В.В.ЖУК
СИЛЬНАЯ
АППРОКСИМАЦИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
§ ИЗДАТЕЛЬСТВ©
ленинградскою
университета
»

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. В. ЖУК
СИЛЬНАЯ
АППРОКСИМАЦИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
ЛЕНИНГРАД
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО

Редактор З.И.Царькова
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. B.C. Виденский
(Ленингр. пед. ин-т им. А.И. Герцена),
д-р физ.-мат. наук В.Н. Малоземов (Ле-
нингр. ун-т)
Печатается по постановлению
Редакционно-издательс:: го совета
Ленинградского университета
УДК 517.5
1 УК В.В.
Сильная аппроксимация периодических функций. - Л.: Издатель¬
ство Ленинградского университета, 1989. - 296 с.
ISBN 5-288-00049-2
Разрабатывается новый подход к изучению ряда задач теории
аппроксимации периодических функций, основанный на том,что не¬
которые важные величины этой теории связаны посредством унитар¬
ных преобразований. Предлагаемая методика позволила, в част¬
ности, углубить в плане сильной аппроксимации такие вопросы,
как интерполяционные формулы типа М.Рисса, оценки норм агрега¬
тов приближения, двусторонние оценки отклонений методов при¬
ближения, непосредственное сравнение методов приближения с
точки зрения их аппроксимативных свойств, оценки норм произ¬
водных тригонометрических полиномов, конструктивные характе¬
ристики классов функций.
Книга рассчитана на специалистов в области математическо¬
го анализа, аспирантов и студентов математических специальнос¬
тей.
Библиогр. 54 назв.
2 5702050000 - 006
076(02) - 89	Издательство Ленинградского
ISBN 5-288-00049-2	университета, 1989

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 5
Основные обозначения	.	.	10
Глава I. Пре, варительные сведения
§ 1. Некоторые тригонометрические тождества 	 16
§ 2. Нормированные пространства	 21
§ 3. Унитарные матрицы	.	.	.	.	.	28
§ 4. Некоторые определенные интегралы	.	37
Глава П. Линейные методы суммирования рядов Фурье
§ 1. Суммы Фурье. Элементы теории наилучших приближений 43
§ 2. Некоторые представления операторов, построенных на
базе рядов Фурье	 59
§ 3. Средние Абеля-Пуассона и средние Марцинкевича. ...	78
§ 4. Суммы Рогозинского .с	  97
§ 5. Суммы Валле Пуссена, ......	105
Глава Ш. .Представление агрегатов приближения
на классах тригонометрических полиномов
§ 1. Интерполяционные формулы для тригонометрических по¬
линомов. .  	134
§ 2.. Коэффициенты Фурье сплайнов	157
§ 3. Унитарные матрицы и суммы Фурье	  164
§ 4с Интерполяционные полиномы и ортогональные системы
функций	  178
§ 5. Средние Абеля-Пуассона и их производные. Суммы Валле
Пуссена. . .  	185
§ 6. Два заключительных замечания	198
3

Глава 1У. Сильная аппроксимация и некоторые
классические вопросы теории приближений
§ 1,	Оценки для норм методов приближения	 200
§ 2.	Суммы Фейера и средние Абеля-Пуассона 	 219
§ 3.	Неравенства для производных тригонометрических	по¬
линомов 	 242
§ 4.	Интеграл Джексона	 249
§ 5.	Функции класса Lip 1 и сильная аппроксимация.	.	.	.	254
Комментарии и дополнения	   260
Указатель литературы	  291

ПРВ1ЩСД0ВИЕ
Пусть Lp и С - пространства 2л-периодических функций с
обычными нормами,X есть или С, «5^.(/,#>- частная сумма ря¬
да Фурье функции / порядка к. Как известно, ряд Фурье функции
из С еще не обязан сходиться в каздой точке. С другой стороны,
л-х
суммы Фейера	=	S^(ftx) функции j&Lt сходятся к
Jc*0
Jr(tffl) в каждой точке хл, в которой { непрерывна, т.е. имеет
V	V
место равенство	HePaBeH0TBy
Гальдера
16n<f, X)-J<*>\ ^ IЛ"1 2 I S*<f> *)	9	j1^*	Hn	X)
k*o	}
при <^£i. Начало изучению величин Hn(q,ffX) было положено
Г.Харди и Д.Литтлвудом [83]* которые установили, что если feL^
непрерывна в точке а*, то lim	=	В дальнейшем
О	П-+О0	11 ц и
величины типа Hn(cf9Jtx). изучались многими математиками в раз¬
личных направлениях. Так как 6n(f,X)-\ $Х+1)Фп{1)<11, где
1 /sin(ni/2)\2	J-л
фл(г)=2^\"7йГЩ2Г/	" ^	ейера*	то 1фИ ч'
Термин ’’сильная аппроксимация'1 мы связываем с кругом вопросов,
относящихся к изучению изменения величин типа	\х	и
в зависимости от структурных свойств функции f*
Вопросам связи между дифференциально-разностными свойст¬
вами периодической функции и возможной точностью ее приближе¬
ния тригонометрическими полиномами в теории аппроксимации уде*
лоно много внимания. Первые результаты в этом направлении били
получены в классических работах С.Н.Бернштейна, Ш.Валле Пуссе¬
на, Д.Джексона, А.Леоега и связаны с изучением скорости убыва¬
ния последовательности наилучших приближений функции в записи-

мости от ее структурных свойств. В этих работах были установ¬
лены также и первые оценки для отклонений линейных методов при¬
ближения. Исследования упомянутых авторов получили интенсивное
развитие в работах многих математиков. В частности, вопрос о
связи между структурными свойствами функции и скоростью убыва¬
ния последовательности ее наилучших приближений для пространств
и С к началу 60-х годов был изучен с большой полнотой. Из¬
вестные здесь результаты неоднократно освещались в монографиях
по теории приближения (см., например, [23, 69]). К настоящему
времени аналогичный вопрос получил свое полное решение для ши¬
рокого класса линейных методов аппроксимации. Установленные
здесь результаты имеют окончательный характер для каждой инди¬
видуальной функции* Изложению этой тематики посвящены моногра¬
фии [29, 71]. Что касается сильной аппроксимации периодических
функций, то с начала 60-х годов изучению величин типа ||
уделяется, много внимания, и к настоящему времени в этом
направлении получен рад интересных результатов. Вместе с тем
исследования здесь еще далеки от завершения, и уровень оконча¬
тельности результатов значительно уступает случаю линейной ап¬
проксимации. В частности, нет еще двусторонних оценок для от¬
клонений методов сильной аппроксимации, совпадающих с точностью
до постоянного множителя к имеющих окончательный характер для
каждой индивидуальной функции, не проведено сравнение величин
типа	и	|
В настоящей книге получены первые результаты такого рода.
В 1985 г. вышла книга Л.Лейндлера [86], которая является пер¬
вой монографией, специально посвященной вопросам сильной ап¬
проксимации. Результаты, изложенные в ней и в настоящей книге,
дополняют друг друга, практически не пересекаясь.
Многие результаты теории аппроксимации периодических функ¬
ций базируются на свойствах тригонометрических полиномов.В свою
очередь, эти свойства часто оказываются простыми следствиями
некоторых тождеств. Поясним сказанное на примере. Обозначим че¬
рез Ип множество тригонометрических полиномов порядка не выше
п. Обратные теоремы теории наилучших приближений тригонометри¬
ческими полиномами в пространстве С основываются на классиче¬
ском неравенстве С.Н.Бернштейна 1Пс<"Пс , если ТеНп .
Приведенное неравенство является простым следствием классиче¬
6

ской интерполяционной формулы М.Рисса [90] (ом., например, [52,
с.92, 93])
Т'(0) = ~УЧ (-ifT(n{2k+1)-)cos,ec2~^-^ .	(1)
4п L*'	\	2п /	4л
k-Q	п
Пусть теперь /(х)=^^сге11х	-	тригонометрический	полином	по¬
рядка не вше л, x*=n2ftk/(2n±l), г~(сг)^„п, $~{2п+1)*!2 *
*(f<xk))” Л* Л = f2л +1 )'1/21|exp(v2%kI j(2n+i))J	(k,l=-n,n ).
Равенства	feocp	{к=-п,л) кратко могут
х	Ь-71
быть записаны так:
s-Лг.	(2)
В этой записи важным обстоятельством является то, что матрица
А унитарна (см. [76, с.266, 267]), Из унитарности матрицы А
следует, что "длины” векторов $ и г равны, т.е. справедливо ра¬
венство
2|с^|2=(2л + 1Г12[/^)Г.	О)
Jcs -п	Х--п
Пусть теперь jeHn - четная функция, такая, что /(0)- 0
= этIjn, dl=sin(2 + (-'ljH)\ oin(l) = I, если 1Ф n, &п(п)в2~\ По
интерполяционной формуле Лагранжа
П
f<x) -	>f(yOgn,i<x^	^4)
1=1
где <r ,W- (-l)l<cQS<n-l)x~cos<n^2vc)
оП>1	2л	(cosуг - cos х)
Равенству (4) можно придать вид
sin(nxl2)= 1 у <-1)г ot]i2a)d)l2J(yi) ^
* sin(x/2) 2п 2* s\n(yll2)	£>n,i
где система функций
4oiK2(l)$in(yil2) cos(xl2)sin{nx/2)sinnx	-—
Or* <Х) =	-	^	-	<1*1,П)
®Л-1	df12 <cos уг - cos х)

будет уже ортонормированной на [0,л:] . Следовательно,
tW/ /2)	* ~ У —(6)
j0r М sln(xl2)J An2 ш $[п2<уг12)
Формулы (1), (3), (6) одного плана. Изучение соотношений типа
(2)	и (5) и сопутствующих им формул с точки зрения задач тео¬
рии сильной аппроксимации, а также их приложения яаяяется од¬
ним из основных направлений книги.
В основе результатов, излагаемых в книге, в большей сте¬
пени лежат конкретные соотношения, чем рассуждения общего ха¬
рактера. В книге приводится очень много конкретных формул. Да¬
леко не всем им даются приложения. Это связано, с одной сторо¬
ны, с обширностью излагаемого материала. С другой стороны, бы¬
ло бы желательно, имея уже примеры приложений, дальнейший их
совместный анализ связать с пополнением набора формул в направ¬
лениях , указанных в комментариях к § 3 и 4 главы 3 и к § 2 гла¬
вы 4. Автор убежден, что на этом пути конкретного анализа уда¬
стся найти нестандартные соотношения (например, типа равенств
4.2.(34), 4.3.(21), 4.3.(27)), которые в настоящее время вряд
ли можно предугадать из более общих соображений и которые пред¬
ставляют как самостоятельный интерес, так и полезны в приложе¬
ниях . Число формул, приводимых в книге, можно было бы уменьшить
за счет болэе общей формы их записи. Автор сознательно отказал¬
ся от такой возможности, ибоэто затруднило бы конкретный ана¬
лиз. Монографию не надо рассматривать как отчет о некотором
этапе развития теории аппроксимации. Ее цель,скорее,состоит в
том, чтобы изложить некоторые методы исследования, которые мо¬
гут быть использованы при дальнейшем изучении вопросов теория
аппроксимации.
Основная часть книги содержит только изложение результа¬
тов. Здесь практически отсутствуют какие-либо пояснения, свя¬
занные с постановками задач, историей рассматриваемых вопросов
и т.п. Такие пояснения имеются в разделе "Комментарии и допол¬
нения”, написанном в значительно более свободной манере, где
автор не считал себя обязанным придавать рассуждениям формаль¬
ный характер. В этом же разделе содержатся постановки ряда во¬
просов и задач, которые было бы интересно исследовать (фразы
В

типа "не ясно..”, "было бы интересно..." и т.п., употребляемые
в книге, являются лишь сокращением фраз: "автору не ясно..." ,
"по мнению автора,было бы интересно" и т.п.). Они отражают
взгляды автора на излагаемый в книге материал на период завер¬
шения работы над книгой (август 1986 г.). Часть вопросов и за¬
дач сопровождается указанием возможных путей, на которых могут
быть получены решения.
Книга доступна лицам, имеющим подготовку четырех-пяти се¬
местров математических факультетов вузов. Для ее чтения не тре¬
буется специальных знаний в области теории приближения.Одна¬
ко я хочу обратить внимание читателя, не знакомого с основами
теории приближения, на то обстоятельство, что во избежание уве¬
личения объема и дублирования в монографию практически не вклю¬
чался материал, который уже освещался в книгах по теории при¬
ближения. Поэтому изложение не лишено некоторой одностороннос¬
ти. Например, суммам Фейера и средним Абеля-Пуассона посвящен
довольно большой § 2 главы 4. Однако здесь не излагаются мно¬
гие известные интересные результаты, связанные с этими замеча¬
тельными методами приближения.
Книга состоит из четырех глав. Материал по главам ;веськь
условно) распределен так: главы 1-3 связаны с разработкой ме¬
тодов .исследования, глава 4 иллюстрирует их возможности приме¬
нительно к вопросам теории аппроксимации периодических функций
Подробные характеристики глав даны в разделе "Комментарии и
дополнения".
Как правило, аспекты, относящиеся <к истории, вопросов, спе¬
циально не рассматриваются. Утверждения типа "в связи с .т см,
[у]" не обязательно означают, что ос содержится в \у] в полном
объеме. Библиография не претендует на пелноту. Там, где это ока¬
залось возможным, ссылки даются на монографии, а не на ориги¬
нальные журнальные статьи.
В каждом параграфе утверждения одного типа (определения,
леммы, предложения, таблицы, теоремы, замечания, формулы) име¬
ют собственную нумерацию. При ссылках внутри параграфа указы*-
вается только номер соответствующего утверждения. При ссылках
на утверждение другого параграфа утверждение х из § у обозна¬
чается как утверждение у.ос * При ссылках на утверждение из дру¬
гой главы утверждение X из § у главы z обозначается как утвер¬
ждение z.y.x,	г.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Ат
Ап(т)
Вт
- множества (57, 71, 59)
С - множество комплексных чисел (is)
Кт - множество (92)
N - множество натуральных чисел (16)
0т
- нулевой элемент Ст (22)
1т = (1,1,... ,1) (т раз) (22)
Рп - множество многочленов степени п (157)
I? - множество вещественных чисел (16)
JR + - множество неотрицательных вещественных чисел
2	-	множество	целых чисел (16)
Z+ - множество неотрицательных целых чисел (16)
Ат= А * А * ... * А (т раз) (16)
Ап(})	С;* 1,16) - матрицы (31,32)
<*,$,$) - матрица (37)
[а] - целая часть а (16)
С
(46)
-<Г)
- классы функций (60)
С[а,ЪJ
С(г>
[а,Ъ]
C(Qm) - пространство периодических функций
c(p,n,l) = cosec(ynl<p)/2)	(168)
-'(f) !
(27)
с (|3 /)j К0ЭФФи11^енты Фурье f
D„ <х)
^n<x)l	-афихле	(45,	149)
Оп(а,х)г
(44. 157)
10

_ наилучше приближения (54, 112)
En<f) )
- норма J в Wm (27)
V |p-|/|x,«*■)“'«**“ / B lP{Qrn) (24* 25« 26)
■	норма $	B c<Qm>	(27)
\ApX	-	“о-1 *	8 *?<В>	(28>
\f‘X>l».p- T,r> \flr	(201)
gn(ft%)	-	интеграл	Джексона	(249)
о-	ортонормированные системы функций (178-184)
' Лп	- множество тригонометрических полиномов порядка, л,
НОп,“яУ*?Ял (54)
функционалы (227 , 233 , 238 , 239)
J1	- интеграл (60)
А
средние Марцинкевича (79)
?г<г>
К<*>
)r( Z)
}*(Ь1
ядра Марцинкевича (79)
к=а,Ъ -к пробегает целочисленную решетку [а, Ь] (16*135)
- пространства периодических функций (24, 25, 27'
ь
LplQJ
HX^Y) - множество операторов (28)
1р	- пространство последовательностей (24)
\\т ил )
■%+•*»	>-	пределы последовательностей (52, 57)
(d)lim и )
•и

Хр<1»
Ла,Ь
Ла,Ъ<т>
^а.Ь ^ ^
M„<m,f,x)
Ма>ъ<т,/,х)
Ма>ъ<т,1)
MHQ>b<m,Ux)
Prf/.x)
?:</,*>
?г<г>
Wi)
К{1) ■
pr<m,i> 1
p*{m,i) \
- пространство функций (28)
- постоянные (120, 124)
- средние Марцинкевича (124)
- ядро Марцинкевича (124)
- средние Фейера - Марцинкевича (71)
- дцро Фейера - Марцинкевича (72)
- средние Валле Пуссена - Марцинкевича (218)
- ядро Валле Пуссена - Марцинкевича	(118)
средние Валле Пуссена- Харди - Марцинкевича (218)
- средние Абеля - Пуассона (78, 79)
- ядра Пуассона (78 > 79)
- ядра Пуассона - Марцинкевича .(79)
PHr(j,x) )
PHJj, f,x) [ ~ средние Абеля - Пуассона -Харди
Qm-[~3t.orj”1	(23)
(85)
функционалы (237)
постоянная (202, 103)
®<},1фх)
Рп i (p,f, х) - суммы Рогозинского (97 , 98)
Sn <f, х),
Sn<aJ,x)r
суммы Фурье (45, 46, 87)
12

Ta(f>p
Tn<f)
t(p,n,l) =
m )
II uu
IV Ip :
Къ<*>
\b<^r	■
^a}b
v[<x, b]
Wm
^a,b<m>
I }
1*1?
(X-y)
Уп;к<Р>
Уп,к<№
otn<t) 1
I
f(nn)
- функции Стеклова (49)
- полиномы наилучшего приближения (54, П2)
&g<y»,t<P*/2>	{ш)
- нормы оператора U (?3)
- ядра Вшою Пуссена (107, 192)
- постоянная (84)
- объем [а, Ь] (23)
- пространство периодических функций (27)
- функционалы (244)
- постоянная (109)
- покоординатные минимум и максимум (69)
- норма х в 1р (24)
- скалярное произведение (22)
- узлы (67, 97)
- функции (16, 45)
- постоянная (193)
13

Ar(KJ,x)
8(h,f,x)
Sr<Ji,j,x)
разности функции j (92 , 97, 164)
&(m)	-	постоянная	(73)
Лг/1х> = '£ыгтЛкс11<1)е‘<*-*> (ев)
- ядро Фейера - Марцинкевича (71)
}Ла>Ъ<1)	~	ядро Марцинкевича (124)
1*а Ь Ст* ^ ^ ~	Валле Пуссена -Марцинкевича	(118)
Пг(-т,/.
5Tr(wi,?>
5T£<777,2j
средние Абеля-Пуассона-Марцинкевича (79)
- ядра Пуассона -Марцинкевича (79)
- суммы Фейера (51, 76, 165, 192)
X)
*Ъ</>ХН
6nte>f,%)r ,
6a,b(j',x) 1 _ средние Валле Пуссена (107, 192)
*o,b<f,*b i
6{p,h,f, X) - разность функции /	(92)
- еИ<у,п<М> х) (236)
бН-
вН,
ц>г(/,Л)
Vr<J’h>p )
средние Валле Пуссена - Харди (107)
- модули непрерывности (47* 279)
14

Фп<х)	- ядро Фейера (51)
Дп<*>	-	ядро Джексона (249)
S (я,и,1^)1 _ функции (195, 211)
&{г,п№) )
Ш(п9и,гг)\
функции (195, 2И/
-функция (16)
По поводу построения обозначений в многомерном случав см.
с.104, 105. Определение суммы ряда см. на с.23. В связи о Ст
см. с.22, 23. Соглашения по поводу 0/0 , Сс/0 (а > 0) и т.д.
см. на с. 16,

Глава I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЩНИЯ
§ £. Некоторые тригонометрические тождества
В дальнейшем С ,К, Z.Z+.N' суть соответственно множест¬
ва комплексных, вещественных, целых, неотрицательных целых, на¬
туральных чисел; если А - некоторое множество, то AWeA*A*..*A
(т раз); [а], где аеК, - целая часть числа а . Если z€ С ,
z ^0, то sign z~(z/\г |); sign О = 0. Запись к = а>Ь , где а,
J>€PU{-cor-fco] и а4Ь, означает, что А пробегает все це¬
лые числа между а и Ъ , включая а и &, если они целые; если
а>Ь, то запись А-а,Ь равносильна утверждению: А пробегает
пустое множество. Условимся функции, заданные на подмножествах
Ст, имеющие в некоторой точке устранимый разрыв и неопреде¬
ленные в ней, доопределять в этой точке по непрерывности,В дру¬
гих случаях, если не оговорено противное, символ 0/0 понимает¬
ся как 0, символ а/0» где а >0, - как + со, символ (,+ сю)*0 -
как +со, символ а Л* со), где а £ JR, - как 0 ; полагаем 0°=1.
Там, где это не приводит к неясности, вместо * со пишем прос¬
то оо. Функции : Z-*-} 1/2, 1 |	:	Z	{1/2,1 } при п £
определены соответственно соотношениям
f I , если \1\фп,	j	1	,	если \1\Ф0,п,
j jy'2> если ji| = л,	1л*	'	|	1/2	,	если 121= 0,л.
Полагаем (г, I) ~ {1 + г2- 2rcos ?
Лемма 1. Пусть ticN , хе С . Тогда
п
эг* =* 1-Ш
**о
71
(i-x?^kxk = ас-<л+1)хл+1+лагп+2,	(2)
(i-x/J£jc2x** х+ хг-<п+1)гхп**+ {2пг+ 2n-i )хп*г- п гхп*3г (з)

k3x*- x + 4x2 + x3-<n+i )3хп**+(Зп3+6пг-4)хп*г-
JC‘i
-(Зл3+ Зл2-Зл + 1 )асл+3+ л3эс71+4.	U)
Доказательство. Докажем (2). Остальные соот-
эшения устанавливают с я аналогично. Имеем
У1	Л	я 4-1	Л+2	Д
(1-*)2У JkAjAa:*- 2^	+^(/r-2)jt>-2]{A:-2<Ar-l>+(ic-
Ы	*■1	А-2	*'3	*«3
+ ла?
-2)}ж*+ а? + 2хг-2хг - 2лагя+1+(л-1)а:л+1+ лжп+2= х-(п + l)a?n++
л+г
Следствие 1. Пусть ne.Nf r.ieC. Тогда
r'VA*=
Х^-л+1	А»	О
= %<r,l)(1-г?+ 2rn**cos(n-i)l - 2rncosnl) ,	(5)
2^ pn(jfc)r*coski =
* *-л	*-0
г2(Г,2)(1-Г2+ГЛ+1СОв(Л-1)|5 + (г2-1)ГПСОЗл1-ГЛ+ COS<tt4 I)J ) ?	(с)
л-1	. -	л-1
c2^Tr*sm/ci- 2£<r,f)(rsmi+rn*sin(/2-I)l-
£*-.тн1	*•<>	,
-r*sinni),	(?)
л	л
-	=	2^	ain<k)Tks\nkl	=
А--л	**1
=r^(r^)(^smf-frl4lsin(^-l)i*f(r-1)гпЬ1пл4- rmlsin(^4l)? ). (8)
Доказательство. Сначала установим (5) и (7;.
В силу аналитичности функций, участвующих в доказываемых . ра¬
венствах, можно считать, что г> 0, ieJR . Полагая х^ге1 в
тождестве (cm.C!))^^#*85 (1-хп)/(1-х), применяя формулу Эй¬
лера e**=co$i 4isin? и отделяя вещественные и мнимые части,
имеем л-j	л-i	л-i
^	= ^r*cosA? 4 i^jTr*siH>ci «
х«о	k*o	х*о
2?

a }(r,i)}I-rcosl+ г”+1соз(л-1)?-rncosnt + i(rs\nl + гл+1ьт (л-я?-
- r”sin^i)}.
Отсзда соотношения (5) и (7) следуют уже очевидным оСразом. Ра¬
венства (6) и (8) легко вытекают соответственно из формул (Ь)
и (7). 4
Следствие 2. Пусть neZ+ , ieC . Тогда
п	п
2^^M(k)cosJti = У e’ki - sin(n+i/2)?cosec(?/2),	(У)
л	п
2^fin(k)co$kl =^c6n(k)el,ci* sinni clg(i/2) (леЛ), (ТО)
п **~п
2 У sin	(sign A)e**?*(cos (i/2) - cos (л+1/2)?)cosec(i/2), (11)
У-р	k*-n	n
2£ot„(Jc)$inki * - (sign*)	e1* = (1- cos л? )clg<i/2). (12)
*•0	*—n
Следствие 3. Пусть лсК , r.feC. Тогда
^ оьп<*)|*|г'А:|е<**=^2(г,?)|-4гг+2г(1+гг)со5?-лг,,+гсо5(л-2)?+
л*‘п + 2r”+Vn-r2)cos(n-i)f + r”(-n + 4r2+nr'4)cosni-
- 2гл+1( l+nr?)cos(n+l)f + nrn+acos<n+2)? ] ,	(13)
Л
+2rl*i(n-it2)sin{n~i)i+rfi(-n+4r,2+nr4)sinni - •
- ?гл+1(1+лгг)51П(л-*-1)? + лгпч2ат(.п+2)? },	(/[4)
П
У «„{JOA^r^'e’^^ir.iijerV^D+Zrd-r^cos? + 2гг(1-
**” -r2)cos2? +л2гл+3со5(л-3)?-гл','2(Зл2+(лг-4л-2)гг) *
« сой<л-2)?	Злг+	3(лг-4л-2)Г2-(лг+4л~2)г4)со5(л-1)?	-
- г”(лг+ 3^лг-4л~2)гг-3(лг+4л-2)г4-л2г6)со5л£ -
- гл+1(2 + 4л-лг+3(л2+4л-2)г2+Зл2г4)соз(л+1)? +
+г7иг(лг44л-2 + Зл2г2.)со$<л+2)2-n2r”+3cos(n+3)l	(15)
18

<^(Jt)*|A|r,*,e{*i=^3(r,?)|2r(l-6r2+r4)smf4 2r2(l+.r2)sin2?+
**'” + n‘!rt'*3s\n(n-3)i - rn+2( 3n2+ <n2-4n-2)r2)stn (n-2)? +
+ гл+1(3л2+ Ъ<п2- An - 2)r 2-(n2+ 4n-2)r*) sin (л-1) г -
- гп(л2+3(лг-4л-2)гг-3(лг+4л-2)г4-лгг6)$шл? -г"+1(2+ 4л-л?+
t-3<n2+4n-2)r2+3n2r4)sin(n+l)l + r”*S(nz+4n-2 + 3n2r2)sin(n+2)t-
- лггя+35т(л+3)? } •
Доказательство формул (ТЗ)-(Тб) аналогично доказательству
соотношений (6) и (8). При этом используются равенства (2) и
(3). Получающиеся выкладки элементарны, но довольно громоздки.
Следствие 4. Пусть ле2+, i е С , у- cig<t/2). Тогда
л
^ ал(А'>|Л'|е,*г = (V2)(l+y2)(cosni-l) + nysinni ,	(17)
Дг»-л
Л
- г^<хл(Аг)*е1,%1=-nycosni + (l/2)(I+y2) sin ,	(18)
л
У ап{к)к2е'**n<Uy7)co$nt + <1/2)у(2л?-1-уг) sinnf, (1э)
>.-п	„
- г У	|Лг |егА"г =
дпУ
-{"t/2)y(l+y?} + y((ll2)(l±y2)-n2)cosni + n(i+y2)stл nI, t)
Дяя доказательства (T7)~(20) достаточно положить г ~ а а
равенствах (13)-(16). Соотношения (17)~(20) могут быть также
получены дифференцированием тождеств (10) и (12),
Следствие 5. Пусть леДГ, ?е€\ у= clgtf 12). Тогда
л-1
У<ЧЛ|/л)еШ= 2 У &„W{Ukln)coskU*™2l?*‘2 > , <81)
Чл	к	п^пЦЦг)'
£ а-кг/пг)еш= 2^Jk){l-jc2/n2)<oski *
*«-и	*.0
= -(l+y2)n‘Icosn? + (l/2)y(l+y2)7i_2smni.	(22)
19

Равенство (21) устанавливается вычитанием равенства (17),
умноженного на 1/л , из соотношения (10). Равенство (22) полу¬
чается вычитанием равенстза (19), умноженного на 1/л^, из со¬
отношения (10).
Следствие 6. Пусть	г,£аС . Тогда
л-1
^r*co$kl=£<r,i)(l-rcosf + rn*icos(ri-t)i-ry'cosnl),	(23)
2^rt!cos{2k+i)i =
I	<	\
= ^fr,2J)|<l-r)oos?+г cos(2n-D?-r”cos(2n + l)i I ,	(24)
л-1
^г*$\п<2к+1)Ъ - %(r,2l){(i+r)&\ni 4r”+1sin(2n-l)f -
K’°	-rns\n(2n	+	i)i |,	(25)
оi„(k)r*sini2k+1)l	r,2i)[( 1+r)sini -гя+1cos(2л+1 )isxn2?+
*=0	+	2~irn(rz-i)$in(2n+i)l	|.	(26)
Доказательство. Формула (23) уже фактически
установлена при доказательстве следствия 1. Доказательство (24)
и (25) основывается на соотношениях (7) и (23). Равенство (26)
легко получается применением формулы (25). Д
Следствие 7. Пусть лет , ieC. Тогда
Ух
2|cos(2>c-i)} * 2-1 sin 2л i cosec {,	(27)
*=1 и
^5хп<2*-1)? = бтгл$со5ес?.	(28)
Jt-i
Лемма 2. Пусть л е N, г, ж, у <е С,
A(r,n,x,y) = (i+r2){{i-V)sinxsiny-r”svn{2n+l)x sin{2n+l)y+
+ r”+sxn{2n-l)xsin^-i)y} + r{(l-r)(sin3xsiny 4 sin х sin Зу) +
4 rn(s\n(,2n+3)x$\n(2n-i)y 4 s\n(2n+3)ysin(2n-i)x) -
- r*+1(sin(2n4i)xsin(2n-3)y •> sin(2n4i)ysin(2n-3)x) J .
Тогда
n-i
V r*sin(2£+l)x <in(2.fc+J)y= i(r, 2(x+u))z{r, 2(X-y))P^r,n,x,ij).
2b* ®	(29)

Доказательство леммы 2 получается непосредственными вы¬
числениями. При этом используется формула (24).
Следствие 6. Пусть ге [0,1 ) , а*,у € R , Тогда
оо
У r*sin<2k+i)xs\n(2k + i)y »
Л=0
= (l-r)sin arsiny	2(x+y))$(r, 2<x-y))\{ l+r)2+ 2r(co$2x + cos2y)j.
(30)
Для доказательства следствия 8 достаточно перейти к пре¬
делу при п-*>оо в равенстве (29).
§ 2» Нормированные пространства
В этом параграфе приведем, в основном бе? доказательств,
элементарные факты из теории функций вещественной переменной и
функционального анализа, чтобы на них ссылаться и чтобы чита¬
тель ознакомился с принятыми обозначениями.
Множество X называется (комплексным) линейным пространст¬
вом, если для каждых двух его элементов хну определена их
сумма ач-у -элемент того же множества и для любого элемента х
нАеС определено произведение Ах, являющееся также элементом
множества X, причем эти операции удовлетворяют следующим усло¬
виям: 1) х+у~у + х ; 2) (x+y)+z - x+(y + z) \ 3) ъ Xсущест¬
вует такой элемент О, называемый нулевым, что для любого xgX
будет о*а: * О; 4) <Я+у,)х = Ях +}лх; 5) А(х+у) = Ах + Лу;
6) (Аи)х = А(уя) ; 7) 1*х=х. Здесь ar,y,zeX, Л,у е С.
Если в определении линейного пространства исходить из мно¬
жества вещественных чисел, то приходим к понятию вещественного
линейного пространства.
Линейное пространство X называется нормированным прост¬
ранством, если каждому хе X сопоставлено вещественное число Jх ||,
называемое нормой элемента х, причем выполнены следующие усло¬
вия (аксиомы нормированного пространства): l))|ocJ>0 для любо¬
го хеХ; || а Ц * 0 только для х *0; 2) (}Длг||«|Д ||лгЦ ' для лю¬
бого хеХ и любого числа А ; 3) Ц х+у\ 4 ||#|{ + ЦуЦ для любых
х,уе.Х (аксиома треугольника).
Нормированное пространство называется вещественным или
комплексным в зависимости от того, вещественным или комплекс-
21

ным является линейное пространство X. Последовательность
точек нормированного пространства X называется фундаменталь¬
ной (или сходящейся в себе), если lim ||#л- хт J ~ 0. Норми-
прп-*оо
ровакное пространство Xназывается полным, если всякая фунда¬
ментальная последовательность его элементов сходится, т.е. из
того, что lim ||хп~ ост I) » 0 , вытекает существование такого
ntm а>
oCqE X, что lim	®	0.	Линейное	комплексное	простран¬
ство Н называется пространством со скалярным произведением, ес¬
ли для каждой пары элементов у, у «Я определено скалярное про¬
изведение (я, у) - комплексное число, удовлетворяющее следую¬
щим условиям (аксиомам); 1) (у,х)** (х,у); 2) (Ях^^1Х2, Ц) =
я Я(Хру) + y.<X2ty) ; 3)(х,х)>09 {хух)=0 равносильно х-О.
Если в пространстве со скалярным произведением Н положить
I х ||«(х,х)*12	(хеЯ),	(1)
то Я становится нормированным пространством. Полное нормиро¬
ванное пространство называется гильбертовым, если в нем можно
ввести скалярное произведение, связанное с нормой соотношением
(1).
Пусть X - нормированное пространство. Точка х$еХ назы¬
вается предельной точкой множества АсХ в пространстве Xt ес-
ли существует последовательность \хп} (хп£А,дспФх0,п~\,с&)}
сходящаяся к Xq в X. Множество [Л], получающееся присоеди¬
нением к А всех его предельных точек, называется замыканием Л.
Множество ГсХ называется замкнутым в Х9 если	F.	Замкну¬
тое линейное пространство, содержащееся в X, называется под¬
пространством А'. Множество АсХ называется всюду плотным в X,
если [А ] * X .
Пространство €т. Элементами пространства С w являются упо¬
рядоченные совокупности т комплексных чисел. Если x-(xv...,
принадлежат Ст, <аеС, то ar+y^tfj+y,,
"чХт+Ут)* CLX*<&Xp ....	), скалярное произведение
элементов у есть число ^-у)-2/^1 х*Ук» н°Рма х определя¬
ется равенством | х \={х»х?!2-	У^2 * От-(0,...,0)-
нулевой элемент Ст, 1™-	)•	Чер®3	К^обозначается	под¬
множество С7? элементами которого яаляются упорядоченные сово-
22

купности т вещественных чисел. В дальнейшем придерживаемся со¬
глашения: если рассматривается некоторая величина vc е Ст , то
хк 1,т) обозначает (если не оговорено противное) ее А*-ю ко¬
ординату, т.е. х= (х11..',хлг). Операции умножения, деления, воз¬
ведения в степень распространяются на элементы Ст. Эти опера¬
ции выполняются покоординатно. В соответствии с этим, если а,
be Cm, то ob-(cc1hv^-iambm)t alb = <ai/bv..;tam/bm).B последнем
случае ни одна координата Ъ^ не должна Сыть равна кулю. Если
a,beRmt то запись а^Ь (соответственно а<Ъ) означает,что
aki &jtf (соответственно ак < Ък ) при каждом А: =	Если a,b£R™
причем а^Ъ, то (а,Ъ) (соответственно [а,Ъ],\<хгЪ],[а,Ъ) )обо-
значает совокупность точек oceR™ удовлетворяющих неравенствам
а<х<Ь (соответственно неравенствам <x4>x4 b , а<х4 Ъ , а 4
4х<Ъ), Полагаем	[-71, Я ] mt Если
AcR7? тс запись 2 означает 2	•	Пусть X - нормирован¬
ие А т * eAOZm
ное пространство, ЛсЯ, х<лХ при JceAnz™ Ряд Z ос* на-
АеД
зызается сходящимся (вХ), если вХ сходится последовательность
У* я** г^8 JieZ-f.. Суммой ряда называется предел s
" fict-Tji}™ПА
этой последовательности: s « urn sn .
П-+ СО п
Предложение i. Пусть X - полное нормированное простран¬
ство, хкеХ(кеХш). Тогда если ряд V В^(( сходится, то ряд
У* я* сходится ь X и имеет место неравенство
2	<	S i^ti*	(2)
■	I	Jrezm
Доказательство. Обозначим [-7z,nJ	,	где	ле
€ Z+, через Вп. Пусть е>0. Найдем номер JV£, такой, что при
U/j>JVe будет 2]	<®	.	а стало быть, и |V	<е	.
*cBt\Bn	v	ЯкеВЛВп
чаким образом, последовательность sn~сходится в себе в
ксВп
пространстве X» а потому в силу полноты пространства и просто
сходится в X> Переходя к пределу при п оо в неравенстве
isn||^2| |**| и используя непрерывность нормы (это значит,
хсвп
23

что если уп+у в X, т° J уп | -+ | у | ). приходим к оценке
(2). А
Пространство 1р при 1 4-р < оо . Элементами пространства 1р
являйте я все числовые последовательности х=(хх) ('AeN), та¬
кие, что ряд ^ | |Р сходится. Операции сложения и умноже-
ния на число вводятся естественным образом: z^x+у означает
z^xк+ук при всех	2*Даг,	гдеЛеС,	означает	2Л=	Яхх
при ЛсВГ. Норма определяется равенством |^|^a Е>*ГГ'
Неравенство треугольника для |*|р раъносильно неравенст¬
ву Минковского для сумм.
Теорема 1 (неравенство Минковского для суш). Пусть р} 1,
хл,улеС при JceN. Тогда
Jcut
Пространство loo . Элементами Zoo являются все ограни¬
ченные числовые последовательности х^(х^) (JceN)* Операции
сложения и умножения на число вводятся естественным образом.
Норма определяется равенством | ar sup |	|	.Обозначение |.г|»
JCCff	'
используем и для хеСт, а именно полагаем Iх lp= (S
при [!,«>), M^SUJL 1**1*
X*l,W
j Теорема 2. Пространство 1р при 14р4оо полное.
Пространство LpiQm) при 1 4р < оо . Измеримость множеств
и функций всюду понимается в смысле Лебега, функция J:Rm-* С
называется периодической (2 я -периодической), если для почти
всех xeRm при каждом	выполняется	тождество	х
) - f(X). Элементами пространства Lp<Qm)
являются произвольные измеримые периодические функции /:F^Cf
для которых §Qm\fi%)\P<ix <оо. Здесь и всюду в дальнейшем (за ис¬
ключением тех случаев, когда оговорено противное) интегралы по¬
нимаются в смысле Лебега. Функции, эквивалентные между собой,
отождествляются. Операции сложения и умножения на число вводят¬
ся естественным образом: 2sf+g означает z(x)=j(x) +g(x) для
почти всех jreR"1; 2»Д/, где ДеС, означает 2{х)=Л/(х) для по¬
чти всех xeR™ Норма определяется равенством Uli. „г1Л, -
24

= (f0 \f{x>\Pdx)ifp. Неравенство треугольника для ||-||p следует
из известного неравенства Минковского для интегралов.
Теорема 3 (неравенство Минковского для интегралов). Пусть
■р}1, EcRm, функции f:E-+C и g:Е-*С измеримы на Е. Тогда
('§E\fm+g<cc,\Pdx)ИИ/+{L\sm\?dx)!- U)
В дальнейшем вместо LpiQi) часто пишем просто Lp.
Лемма 1. Пусть /еI,<Qm), аеТогда
J у<»<**- §Sn^x,dx-
[-ntm+a,silm4a3
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмо¬
треть случай т= 1. Считая т = Т, имеем
па+2л	п-	Л	л?!	ЛЙ+23Г
j fmdat* j	+	j Jmdx +	f <x)dx.
Делая замену переменной и пользуясь периодичностью функции f ,
получаем j^+27ty(.a,;^a;=^^ar.+2jtjSn:=§_*f<x)dx,откудаf(x)dx=
* ~§*f(x)dx и	А
Следствие 1, Норма в пространстве Lp(Qm) инвариантна от¬
носительно сдвига, т „е» для любых faLniQ^ и будет Ц/( * ч-
+a)L = !UIp--
действител:
[Действительно, используя лемму 4, имеем lf('+a)\p ~
и (fо}*<х+а)\р4х)У?= {	J U<x№*fp” (L \MPdxfHfl -
Пространство Leo (Qm). Пусть DcRm. Измерзшая функщш
jfiD-*C называется почти нсвду^гда^^ на множестве D, ес¬
ли существует такая постоянная С, что jjfY#)|4[C почти всюду на
D* Постоянная Co^inj*|С| называется существенной верхней гра¬
нью функции )/| и обозначается через vrai supЛегко по¬
нять, что почти всюду на В будет \f<X)\4<%*' Элементами про¬
странства Leo<Qm) являются произвольные, почти всюду ограничен¬
ные на R периодические функции /: Rm-*C , Функции, эквивалент¬
ные мелду собой, отождествляются* Операции сложения и умноже¬
ния на комплексное число вводятся естественным образом. Норма
элемента J определяется равенством
25

see К7*
Теорема 4. Пространство Lp(Qm) при 14р4оо полное.
Следствие 2. Пусть	/яеЬр(€1т)	(к е Zn) .
Тогда если ряд 2 AfnU	сходится, то ряд ^ fk сходится
в Lp(QJn) и имеет место неравенство У	^	\	|	.
*ffZ4 и *£ИЛ
Доказательство следствия 2 получается из сопоставления
теоремы 4 с предложением 1.
Предложение 2. Если f е П LP(Q )ъ lim II/Ц < оо, то
pell,**)1	р-»*>	р	.
feL^iQm). При этом существует конечный предел lim Ц/Цр и
имеет место равенство Um ||/ ||^ » $*/Ц*, •	Р’*С°
Доказательство, Предположим, что f
Тогда для любого числа А найдется такое множество есОтп с мв-
рей jxe > 0, на котором \J(X)\ >А . Отсюда имеем
lirn	\f{x)\pdxY^^	lim	A(ue)^p=	A	—► + «,
p-+4o аГ p-+oo'dQm I	'	/	p + oo *
что противоречит коночпоети рассматриваемого нижнего предела.
Далее очевидно, что |/|р ^(2оО?П/;,|/|Л>.и, следовательно,
К”» Ш* < IHL*	С5)
р-*Со	•
С другой стороны, если Л < (j/ljoo » то найдется такое множество
ecQm о ие>0, на котором \}<х) \ >А. Следовательно, )|/||р£
> А{ив)1'Рц потому lim !|/L> -4 * а так как А - любое* лишь
ш Сто А < ]j|„. {“ '
li!S 1Лр '> lit-	16)
р-*О0
Осталось сопоставит* неравенства i5) и (6), 1
Теорема 5 С неравенство Гёльдвра для интегралов). Пусть р,
<*>),! /р+1/^*1, £clCФункции /:f>C и	измеримы
на £. Тогда
ч<($B\Stx)\Vd*yIP(§s\g<x)\(?>
£

Следствие 3 (неравенство Гёльдера для сумм). Пусть р9 ^ с
при *£*. Тогда
Предложение о. Пусть 1 4* р 4 <J, & 001 j& Ly (Qm) • Тогда
I/|p<(2nr',/',-W^i? .	(9)
Доказательство. Неравенство 19) при у*6д ужа
отмечаюсь внше. Пусть (г, < оо. Тогда, применяя теорему 5, имеем
Очевидно, что норма в L^(От) инвариантна относительно
сдвига, т.е. для любоI: JsLa)(Qm) и Щ)И любом cteF”1имеет мес-
то равенство fl/l • + «)][» = f/||<w
В дальнейшем вместо L^( Qj) часто пишем просто .
Пространство С((3т). Элементами пространства С(9т) явля¬
ются лроизэолъкие мопр'фывнне периодические функции f;R -**С .
Операция сложения, умножения на комплексное число вводятся ее-
тоствсмггтчм образом. Норма определяется равенством Й f 1| ..^
..	, „	“	,	я	..	»^ И о 1 Ыт)
- Ш~ = ™а£и1/'*>!•
J.er.-co видеть, что сходимость последовательности (jn) {п€м)
У- (Jn и из C(Qm)) в пространстве C/<Jm) означает равно¬
мерную сходимость последовательности функций (fn) к функции Г
на «ж.	■"
Теорема 6. Пространство С(йт) полное.
Следствие 4. Пусть /хеС<<2т) (Л'е Zn). Тогда если ряд
я IЛ !1«о сходится, то ряд У X. сходится в C(Qm) и имеет
*eZ	*Tzn
место неравенство	4
Теорема 7. Пусть 1 4р< оо * Тогда множество C(Qm) всюду
плотно в Lp<Qm).
Черэз будем обозначать фиксированное пространство Lp(Qm},
где 14>р < оо , или C(Qm); W=Wj. Норму элемента	в	про¬
странстве Wm обозначаем просто | j jj .	27

Пусть t 4 оо , D - измеримое подмножество Rm. Через
•брФ) обозначаем множество измеримых функций	,	для ко¬
торых величина
1/1*,
J(x)\pdx)i^ , если i 4 р < оо,
urai sup [J(x) \ , если p’soo,
xeD
конечна.
Теорема 8 (обобщенное неравенство Минковского). Пусть 14
4р < оо , множества XcJR7! YcRm измеримы, функция
измерима. Тогда
(JL Ш/^*н%)^*)1/р ч<	ио)
или, что то же самое,
иу|/М^1?>х <	(п)
Оператор UtX^Y, где X и У - комплексные линейные про¬
странства, называется линейным, если он аддитивен и однороден
(т.е. U(oЬХ+$уУ~ uU(X) +$U(y) для любых ос,уеХ,	).
Оператор U:X-+Y9 где X и У - нормированные пространства, на¬
зывается ограниченным, если	( | t7fa:)|(/|a:|) < оз. Ве¬
личина |[/|| называется нормой оператора U, Оператор U называ¬
ется непрерывным, если для любой сходящейся последовательности
] элементов X справедливо равенство ton U(xn)-U{livl Хп).
*	*	П~* оО	п^оо .
Ограниченность линейного оператора эквивалентна его непрерыв¬
ности . Множество линейных ограниченных операторов Ui Х-*Y обо¬
значается через ИХ-*У)'
§ 3. Унитарные матрицы
1.° Пусть х,уе^ Если ( х • у) - 0, то векторы х и у на¬
зываются ортогональными. Если (Х'Х)~ то вектор д* называ-
ется единичным,или нормированным. Система векторов хк&С (А *
« 19S ) называется ортонормированной, если
{хК хО-°к,1	{	I	при	Jfc-Z
28

Квадратная матрица А с комплексными элементами называется уни¬
тарной, если выполнено одно из пяти эквивалентных условий :
1) строки образуют орт ©нормированную систему, 2) столбцы обра¬
зуют ортонормированную систему, 3) А А* - Е , 4) А*А*Е, 5)
Здесь Е - единичная матрица, А-1 - обратная матрица дщ.матри¬
цы А, матрица А**АГ, т.е. получена из А транспонированием и
заменой всех элементов на комплексно-сопряженные. Унитарная ма¬
трица с вещественными элементами называется ортогональной. От¬
метим, что унитарность А влечет за собой унитарность А^про-
изведение унитарных матриц есть унитарная матрица, модуль оп¬
ределителя унитарной матрицы равен J.
Пусть зееС” уеСт, А « ||акг j| (akl еС, k=Tjn,
Условимся равенства ук~	х1 (к=1,т) кратко записи-
вать как
Определим функции х0: [0,л ) С' , у0 :	A0:[Ofm)x
х [0,л)-*С соответственно формулами Xq(U)-x1 при Цб[Ы,£),
Уо^)гтУк при	, A0{l9n)=*akl при	х
х [Z-1,Z). Тогда равенство (1), очевидно, может быть записано
Если векторы {0^(Ist 1,п} составляют ортонормирован¬
ную систему, то функции А0(«,М) (l-itn) будут образовывать
ортонормированную систему на [0,л). Если матрица А унитарна
(тогда л?- л), то	где	=	<Х^	,	и	потому
у* Ах.
(1)
в виде
или в форме
п
*-1,
29

Предложена Т. Пусть задана матрица	(акге.	С,
k = l,my l*tn). Тогда
где Д - наибольшее собственное значение матрицы А*А .
В связи с равенствами (2)-(5) см., например [37, с.ИО-Ш].
Предложение 2. Пусть 14р> Ц,4оо, А = |а*/)| (а^вС, к =*
« i,mf 1-Хп), Я = [0,.7п),	[0, я), функция g:R*P~+C и оператор
U;*£p(D) -+Xy,<Ps) определены соответственно формулами
* ак1 при {l,u)e [k-t,U(f9l)*§*f{u)g<ltu)d\i,
Доказательство. Ограничимся рассмотрение слу¬
чая, когда р,у<со. Пусть хвСп, функция :[0,л)-*С опреде¬
лена соотношениями J (и) - при и € [ Z -1, Z). Тогда
Таким образом,	Пусть	теперь	fe£p{D). Поло-
771
(2)
71
(3)
(4)
I! Л || 2,2 » УТ,
(5)
30

^неравенство J^jYujauj* ^ \j{u)fdufP04e-Bimo в силу теоремы
2.5). Значит. Ц^Цр,^ 4 it A f| Piq • А
Теорема й (шиерполлиноянггл теорема М.Рисса). Пусть Цр0,
Pvjvb*00’ Х£<°>*)'Рх и %х определены равенствами
X-ir^L + Jl	-l_=-bJL^JL	(6)
Pr Ро	Pi ’ 9г	Ь Ь '
Пусть далее ^ и - произвольные полочлтелыше фиксиро-
ванные числа, akleC (Jc=i9m t I* i,n ), X £ С* ук<0С)ог^ а^гХ^
Па1; о:дм
тае (Jfil^Г)1-'"* tffi>*г|' (Г ^I^ИА')1/\^!В*<*>\ ■
Тогда МРх'уг 4	MpitCfi-
В связи с теоремой Т см., например, [33, сЛ93-19о],
Следствие !. Пусть задана матрица	|	(а^	€	*	к*1,т9
l-Щ), t 4 р09 pv <£0, <^4 oo. Тогда при любом 'te{0, l)
IAII Рх>Ч'Х * IIЛII Po*9о
где рх и уг определены формулами (6).
2? Теорема 2, Пусть А: и J - соответственно номера стро¬
ки и статбпа, Пй2 + . Тогда матрицы
а.олм, I-TH. n£s),
ом-мо.
л„,з>-(2п*1|«p(H^I»U)|	W-Tv?>.
л-(5>-(ж1П««штЙШг£11	—
Ап( 6 > - (2я +1 )-*>* | ехр (ЖЦ|±Ш1±Н)|	(к,1	=	^п),
31

2$a,(l)\WJ2k+l)Til
w5
2n
{Jc=0,n-t, 1*1,n, neN),
(k,l=0,n-i, netf),
An(9) = (2n )~t/21 eacp(г f2^ --1)	(А=-я,«-1, Г=-л+1,л,леЭД,
Лп|10) ~(^),,г|| sinэт<а**^кгг'^1-) j ft,!- О,л-1, м»),
д>(Ш.(»У»|с«Ш*±ШЫ>1
4л
(к,1=0,п-i, иеЛ),
Ли(12)~(2л)~1/г Цехр( m(k,i*-n,n-i, пеЛ),
A»<i3Hlhf2 J sin 1НТГ j	леК	),
Лд(14)= ||(1^Ш|^Ш.}1/2со5 Jgjj	а.г	=	М ь
Лл<15)»(2п+1>^2 |в^р(|^т)|	<*.*—л^Г),
Ад(1б)= (|-)1/2|sin^||	л-1	е	Я ),
ЛЙП7>- j(?.^(g.fea>|1/?cos^ij	{Jfc.Z-On. ле¥ ),
A„m*(2n)"il2 Jexp^i^jj'	{к,1~-л+\,п, пеЛ)
унитарны♦
Доказательство, Доказательство состоит в не¬
посредственной проверке ортонормированноети строк (столбцов)
указанных в теореме 2 матриц.
^РВДа	Положим г^»1П:{2£-1)/(2л+1), аг^ -
*	+	Опираясь	на	равенство	1.(9),	при	к,р	=	1,п,кгр
имеем
Т-s- 7r -i- 7r _ I fsin{«-vl/2)acA-D 51л(л+1/2)згА+р_, 1
^S1nZr>$inZrp-?|-1E—?1ГЕ-	.	j.o.
Значит, строки матрицы АпШ ортогональны. Используя равенство
(хеС), (?)
*=t
32

находим, что J".,sin2 Zr* = ((2n+1 )/4) (Jc-ltn)
2.	Матрица ,A/j(2). Положим ту=ис( 2j) + l)/ (2п + i), Ху ~
= ^^/(глТТТТ^пираясь на равенство 1.(9), при к,р-0,п ,кфр
ИМ80М	я	/*	»
^(J„{l)<»sir*cosZrp = ||l+]£<»$/*jt-.p + coslxk±p+11 *
1*0 *** *
1 (sinQ4-l/2)ar*-p sin (я +1/2) Xjt+p+i | , п
4| s\n( х^.р/2)	sin(X)c+p+x 12)	)
т.е. строки матрицы А„(2) ортогональны. Используя равенство
,«cJъ* « 21 + «»<Л-И)ж »1п пх	(8)
cos кх 2 +	2	sin х
А-1
находим, что
1 (Зоо<1)cos2 ZrA
(2л+1)/4, если * = 0,л-1,
(2л+1)/2, если к -Л .
г*о
Следовательно, строки матрицы Ап(2) нормированы.
3. Матрицы Л^(15) и Дп(-З)» Положим Ху * 2?с^/(2л+1),
ЬАг®(2я+1)^2еэср(1'2яАгlj(2n + i)}. Используя равенство 1.(9), при
к,р=-п,п, кФр юнеем
«**-»	sin	!*(*-?
Г	/	О	v,	-L	f	\
Хл>=-п,п,	имеем
X V " {27,+irI 5 ж <2n+i)$\n(xk[fl2) = 0 »
2-л	2-л	^
т.е, строки матрицы ЛЛ(15) ортогональны.Нормированность строк
матрицы Ая<15) очевидна.
Опираясь на уже доказанную унитарность матрицы Ал(15),
труда приходим к следующему утверадению: пусть neZ + ,
о„ . (W* мр (±?щиш±£<!>>),
где у: Z-*R. Тогда матрица К 1 {к}~-п,пу уь..
тарна.
Из последнего утверждения, в частности, следует унитар¬
ность матрицы Дл(3)«
4.	Матрица Ар(4). Положим * at ( 2-j +1 )/(2п + 1 ), &] =
= 2flt^/( 2л +1). Опираясь на равенство 1.(27), при к, р= 0, п,
Jc ^ р имеем л
У <*,л<7) $\r\(l + ll2)rk$in(l+ll2)rp *
2-0	23

л-1
У <**{I) sin2 (I+1/2)гЛ=| У (i-cos{2l+1)ГК) +1
г«о	г«о
=j£(cos( 1+1/2) xk.p- cos (1+1/2)	,)+ 1 (cos щ А-p) - cos зг (Jc+p+1 j)*
г«о
»lf SinnXjc-o _ sinn^p-n . , (>p, , n*+pJ n
4 [ s\n(xk.pl2)	sinfa;>+p+i/2) '	' +'и	J
Следовательно, строки матрицы АЛ(4) ортогональны. Используя
равенство 1.(27), находим, что
п	n	i	*{2л+Г)/4,если	кфтг,
(2п+1)/2, если А-л.
5. Матрица Ап(5). Доказательство ортогональности матрицы
Ал(5) близко к доказательству ортогональности матрицы Лл(4).
6. Матрица Л^(6). Унитарность матрицы Лл(6) сразу сле¬
дует из утверждения, установленного при доказательстве унитар¬
ности матриц Лл(15) и Ал(3).
7. Матрица Лл(7)« Пусть г,?*яс(2$-1)/{2п), 2$=п$/п. Опи¬
раясь на равенство 1.(10), при £,p*ltn, кфр имеем
Отсюда следует ортогональность строк матрицы Ал(7). Используя
равенство (7), без труда получаем, что 2г=1 MZ)slnZ lrJt
= л/2	(к=\,п). Значит, строки матрицы АпIV) нормированы.
8. Матрица А п(8). Положим Zg = 3l$/n. Опираясь на равен¬
ство 1.127), при 1,р=0^ьЛ,11гР имеем
«	,	i	(smnzr.»	sinnzI+p	)
\соз(к+и2)21соа<к+\12)2р-Ж^—^ + ш-(^ф | = 0 ,
Jt=0
т.е. столбцы матрицы Лл(8) ортогональны. Используя равенство
1.(27), получаем
Й ,	,3гч	{	п,	если	1	=	0,
Отсюда следует нормированность столбцов матрицы Ал(8).
34

9. Матрицы A„(l8) и Лл(9).	Положим г^ = ^/л.	ЪХ1	=
(2п)'1,г exp(inJclln) . Используя	равенство 1 ЛЮ),	при	к,р=
= -л+1, п, Ьфр имеем
п —	_т V* iiz„	згпЛСЛ-?»	Л
S »«V- (гп) i е
Г	г^-л-м	°	г
т.в« строки матрицы Ал(18) ортогональны. Нормированность строк
матрицы АЛ(18) очевидна.
Опираясь на доказанную унитарность матрицы 4Л(18), легко
приходим к следующему уп эрждению: пусть
ак1 =<2 п )“f/2eocp (ix(kl+f(k) +g(l))/n),
где f:Z-+R, g:Z-+R. Тогда матрица Ца^||	я)	уни¬
тарна.
Из последнего утверждения, в частности, следует унитар¬
ность матрицы Ап(9).
10. Матрица ЛП_(ТО|. Положим = gt< 1/2)/л,
Опираясь на равенство 1.(27), при >с,р=0,л-1, кфр имеем
л-f	(ni	.
sin(2+f/2)j^ sin(i+l/2)T^=|J^oos(/+l/2)zJt.^-2^cos(/+I/2)z^+I|=
г*о	м	г*о
f f sxnnzic-p	_	31пЛ2^»в4Х	]	шл
" 41 S\n<zk.pl2)	sin{Zx+p+tf2)	)	*
т.в. строки матрицы Ап(10) ортогональны. Применяя равенство
1.(27), находим, что при
f sin?(^<W2iM).^f(i-w(a.„r|>). а..
Z.0	Л	>0
Значит, строки матрицы Ал(10) нормированы.
11. Матршт ,Ag(_ll). Доказательство ортогональности матри¬
цы Ад(11) близко к доказательству ортогональности матрицыАл(10).
12. Матрица А* (12). Унитарность матрицы Ап(12) следует
из утверждения, установленного при доказательстве унитарности
матриц Ал(18) и Лп(9).
13. Матрица An(13) • Положим Xf *	2л	♦1). Опираясь
на равенство 1д9), при Jt,p=ltn9 Лфр имеем
VMn»r Гт 1 f *n<n+i/2)xk.B	${п<п+У2)х^р)
35

Значит, строки матрицы Ал(13) оотогональны. Используя равен-
,л <
*i"i •
ство (7), находим, что	®	(2л+1)/4.
если k-i,n,
если к = 0.
14. Матруща A^14h^ Положим « 2аг$/(2.и+1}. Опираясь на
равенство 1Л9)Гири Л.р-ОдТ.	имеем
л	^	Л	Л
^(3w(Z>cosZ*AcosZ*p=-U I + £созг*Л - + У®08****/»] ”
1*0	/*1	Z-J	'
1	\ $\п\П + 1!2)хк-р	$1г\(п+112)Хк+р)
w 4	l“' sin<ЛГЛ.р/2}	~~$\П(Хь+р12)	\	s	u»
т.е. строки матрицы Ал(14) ортогональны. Используя равенство
(8), находим, что
f М>»А*- {‘гл,',М'
а- г	* I (2п+п/г,
7*0	'
Следовательно, строки матрицы Лл(14) нормированы.
15. Матрица,,Aj%(16KjIycTb Zf=n$/n. Опираясь на равен¬
ство 1 л9), при к,р*1уп-1,кфр имеем
VsinizksinizD~i\ <”;№>**-*- ™<n-mzk+p) =
j* * Р 4 l	Sin(Zк.р/2)	SW(Z>Tp/2)	)
4 {(-1 + (-[)“"{ =0.
Значит, строки матрицы Лл(16) ортогональны. Используя равен¬
ство (7), находим, что ]F^$in2Z2jfe*^/2 (k*ltrt-l), т«е* строки
матрицы Лл(16) нормированы.
16. Матрица Дп(17). Пусть JT^/л. Опираясь на равен¬
ство 1.(10),	при к,р=0,п, кФр	имеем
Л	у ^	7?	%
Л (yZ)cosZz*cosZzp = |J]T ^п(Псоь1г^+ £ |3Л(l)coslzkU
г»о	г=о	>о	'
- ±j.sinnzk.p	sinnzk+p |
4 1 *g<z*-pl2)	lg<Z)c+pl2) {
Тем самым ортогональность строк матрицы Ал(1?) доказана. Исполь¬
зуя равенство (8), легко убеждаемся, что
V (Зп С Z) cos21 гк - | П,*‘
если к* 1, л~1,
если к= 0,п,
z«o	~	.
т.е. строки матрицы Лл(17) нормированы, А

Следствие 2. Пусть ^ £{0,1), *,p«R, *-i + f£Z+.
..-1/2	/	1-2Ж*+<йК*	+	в)	\
'е*р( ТпТГ )■
Тогда матрица
А„<1а,1=-л+1-у,л)
унитарна.
Следствие 2 вытекает из утверждений, установленных в пунк¬
тах 3 и 9 доказательства теоремы 2.
§ 4. Некоторые определенные интегралы
Т.° Лемма 1. Пусть ле2+, ct€(0,Jt). Тогда
Сп cosnx	otsinna
V*P-J0 cosx^7ad*"-m3na- '	Ш
В связи с равенством IT) см. [19, с.ТЭЗ» пример 2343 и 74,
с .82].
Следствие Т. Пусть	,	аеС.	Тогда
j^cos/wc-cosna , stsinna	l0^
О cosac-cosa	slna
nJt	.J
Доказательство. Так как up. (cos x-cosa) dx*
= 0 при а €(0,Ч1) (формула (T), случай л=0), то из (Т) сле¬
дует справедливость (2) при а£(0,ет). Поскольку в обеих час¬
тях равенства (2) стоят аналитические функции аргумента а, то
(2)	справедливо для всех аеС. А
Лемма 2. Пусть neZ + , ae(0,at). Тогда
I cost?# - cosna j cosa sinna - ncosna sina ^
V,Pj0 (cosDC -cosa)2 dx - Я
Доказательство. Дифференцируя по а равенст¬
во (2), находим, что
VD	dx	sina/un С* со5Л*’со5л^ dx )rr
P,Jо co^ar- cosa S r'P’Jo (°°s*' cosaaa;/
_ ^ n cos na sin a - cosa sin л a
sin 2 a
С-гсюда, применю! (1), приходим к (3). А
37

Предложение 1. Пусть л, 2 g Z + t QeC и	фик¬
сированные числа, такие, что а*я<21 + $){2п+$)~*€ (0,от). Пусть,
Л . |	мр| СО
далее, ог=(-1> ,ряд 2^^0^со{к)а}ссо&Л1 = Ф{Ь) сходится в про¬
странстве Xj, g<l)=(t + acos(2n+$)l){ i + |3cos(2-<£)i), гк*2ак+
+ ^лл-^г + а1*^-21>-Тотда
I
,эточ2>Ф(£) ja. гг V • t.	m
_a_	.	*	ivsuiAa,	(4)
cosi-cosa	2sirta	*
0	3tsl
С-£11*111-di
J0 (cos?-cosa)2
(	гы-i	i
s ———joosa / r. sin^a -	stna Л {A-2/i-o)|3oo(A)J^cosAa |.	(5)
2sin3aJ jgj	jfa	)
Доказательство. Положим	b0=a0/2,	b* = a*
1фи	УШ®	Ф(В)(1	+	рсоз(2-5')2).	Имеем
¥fi>«£b*cos*i + | £%(cos{A-2+$tf + cos{*+2-&«) =
+ f |£^,2_*-4>+*.2>cos*i +2 W*cosA*j *
*»0	**?.£	*-f-2
^ Yt2V^b*«^W*>)C0S*J +|^cosA* + | j b^coskl -
Jf-0	*.£*
.	DO	OO
»I ja0 + (*«г.у+J r^coskl j-{
Так как функция V*i&*eeT тот же вид, что и функция ф, то до¬
статочно доказать формулы (4) и (5) для случая |3 = 0. Поэтому
будем считать, что £ = 0. Вычислим интеграл
*»-£Ч£ЗЙ-«
при к £ Z+. Легко видеть, что
g(?)cos*J«cos*i + |^«os(?!n+£-*|f+cos<2n+$+*)f]. (6)
Применяя формулу 11) (или (2), ибо g{a)co$ka = 0), находим
2(h)*	+	7<*п1г»+*-*|«+	sin	(2л+£+*•)« )J.
38

Таким образом,
( sinjfca, если *= 0, 2л+5-1,
У (к)- sina | q( если Jcb2n+8.
Используя установленные равенства, получаем
Г	y\slnte.
Т cosJ-cosa ь1л a ^ a
A«f
Тем самым формула (4) доказана. Теперь докажем формулу (5). Опи¬
раясь на равенства (6) и (3), шлеем при к€.2+
g<t)coskl ? ymcosa _ яКк)
0 (cos i -cosa)2 sm2a	sin2a
где L(k) = Jccos ka + (oi/2)[| 2n + 8-k | cos | 2л + 8-£{ a +
+ (2л+5+1с)со5(2л+5+Л)а|.Таким образом,
n,t.\ я	\ <osa$inka+(2n + 8-k)smacoska,ecm k^O.Tn+S-i^
v ^asin3a |	0,	если	k^2n*8.	^
Используя соотношение (8), находим, что
f*
v Jo <
f* #<i)<
Jo <CQSf' -
8<*>*<±> dj =
cosa)2
2Л4 (Г-i
гл+0-i	2n+s~f
* lC0SaX	+	sina	V	( 2n+ <^-*)pwOc)a^cos*aj.i
*•1	kc	0
Следствие 2. Пусть выполнены условия предложения Т. Тогда
хли
** + <-l>,4lrafl+f_fc-0 /*=2, л + ($-1К1-5Я,	(9)
то
С* &ЬФ<1> г( rI+<-i)*+S*+f.„ ко™ 2п^>2*(10)
J0 cosi-cose 2 ( Pj(	когда 2л+5=2.
Доказательство. Считая л +	3,	имеем
2п+£-2	п-1	+£	2л4^-2
^ i^sinJra =	r^sinAa	+ ^ j^sinAa *
/f«2	Ь2	1г*Я4^
77-1*6	Л
“2 ^sinJca + Н/+ГУ г2п^.л5тАа.
*-г	>«2

Отсюда и из условия (9) следует, что Л rksinka * О. Сопо¬
ставляя последнее равенство с соотношением (4), приходим к (10)
при п+6 >3. Справедливость (10) при выполнении условия л+8<
< 3 устанавливается непосредственно. А
оо
Лемма 3. Пусть neZ+, |ЗеС,	ряд	*
* djfCOsJti * Ф(Ъ) сходится в пространстве , *2^ = 2лл +
♦ ^лл-^+2 + а|Л-М^Тогда
*-*)** • (Й)
Jt*0
Доказательство.В доказательстве предложения!
установлено, что
09
( 1 + $COS(2-8)l )Ф(£) в	coskl.
*•0
На основании равенства 1.(21)
2Я+&-1
I-cos(2n+^)J siпг({2п+&)Ц2) „V a /<-w* 5У v ,	«*	<лг>\
—;	i =	• 2	 ■	2	7	pwtt)(2n+y-*)cos*? .	(12)
1-cos?	$\n2<il2)	1
л*0
Учитывая сказанное и опираясь на очевидные соотношения
^coslico$Jcidt=0 (7,/t£Z+,Af J), ^*co$zJctdl- Я/2
{keN) и непосредственно вычисляя интеграл, стоящий в левой
части формулы (11), приходим к равенству (11). А
Следствие 3. Пусть л с Z+, fteC, #£{0,1}, с4=(-1) +\ ряд
2 $оз<к)ал coski = Фа) сходится в пространстве Ij, гк =
*=° 2оа 4 (3 (ал..^+2 4 а,*+£_2,). Тогда
7_ CXii + otcos{?n+£)i)(l 4 |3cos(2-£)?,) л , ,f
J0	1	+ cos i	w<i)di-
"T ]F М*>И)\2л ♦*-*>*.	(13)
*«0
40

Доказательство* Делая в интеграле, стоящем в
левой части равенства (13), замену переменной t = %~u, имеем
3.	ф(я_а)<гц,
t/Q	1 cos и
Значит, по лемме 3
£ Р„т2п+8-кН2{-1 )*ал +(-if $<{-!)	«х-г+г +
£-0	2л+$-i
+ {-l)**Ualk+Z-2\>~i 2 P*><k)<2n+$-kH-H*r* .*
**0
Лемма 4, Пусть «eZ+,	{	0,3 J, ряд ^ (3«<,Ша*созА?»Ф(?)
^е(|
сходится в пространстве ?л= 2%+<1-е)(0!л+1 + <*|*-ц). Тогда
f l'zfw^rE^2i<ii>!2 ф,г)йг =
Jo	<i-QOSf)z
2я*н§~1
= «2-8)31/2) 2 М*){2л+£-*)г* •	(14)
Дохазате л*ь с т в о, Очевидно, что (1- ayz{2-$)l)(i-
Полагая Ъ^а0/2,	при	AeN,
”	(1 + <1-$>со$*>Ф(*)*
•- ^ bjcosAf + fHi-8) JV^fcos/A-f)? +■ <»sfjfe+l)i) ®
A*0	£a>0
/ .***" ^
ь^ош +	{ьМ1+ъы)ъо&м	+	2 ь*+|со$*г)«
еэ
чЗГ?
■i
£i»D
*sr;£	<	.$*-1
1 J
2.4
Остальная часть доказательства аналогична концу (начиная о
формулы (12)) доказательства леммы 3» 1
- ~§Ш£т*Аз пусть л «Я*, *8(0,1 j, <*.<-£■/**, ряд
Д, $«?л)ял cos А? $ ^ ф( &} сходится в пространстве £{, г & «*
л	4/6
“ гвА+<*“0/а*+| +	Тогда
^*Х /%i*&C0s{2n+^i+*®>st2-8)t){Ucosifs	=
((2"£)Я/2) 5! |^езй)(-1)*{‘2л + ^’-^)Я& ,	(15)
^0	41

Доказательство, Делая в интеграле, стоящем в
левой части равенства (15), замену переменной	имеем
Г51
7 ~ I (l-<x>s(2n+8)u){l~co$(2-$)u)(t-cosu)~2 Ф(<к-и)<1и.
ио
Значит, по лемме 4
~ 2л+У-1
>=((2-5)?с/2)^ (3«а-){2л+5-А){2(-1 )*«* + (-l)V-D(<r*+1 +«№-„)) =
2n**r£-f
= ((2-5)зг/2)2] £«,(А) (-1 >*( 2л +	) z* . А
*=о
2.° Теорема 1. Пусть n,l,je Z+, /Зе С и	-
' фиксированные числа, такие, что а = аг(2£ + ^)(2л+5)** е (0,от),
г> = я(2^ + ^)(2л+5)“1е (O.orJ, а Ф Ъ. Пусть, далее,-.оь~(-1)^+{
ряд ^ Pooik)a.kco$ki =Ф(1 > сходится в пространстве Lt ,
g < i) = (I + tfcos (2 n+8) I) (1+(3 cos {2-t>) I), rk= 2ak+ (3 (%. ^+г+ «,А.^2
Тогда если
(-l)*+1r2/1+fl~_fc=0	(А»2,л+{^-1)(Г-5)),
а при Ь = я;, щюме того,
2л *£-2
г* + 2 М*Я-П*+*(2л+5-*)^»о,
то J g(i№(lHcosi-cosa.)~I(cost-cosbri di - 0.
Доказательство. Ясно, что
С <г(Ъ)Ф(1){со$1 -cosa)'*(cost- cosb)'*di =
Jo &
 	!	(f*_£ii*!!L«	.	Г gftisw
cosa-cosb ]J^ cosi-cosa	Jo cos i-cos &
Применяя следствие 2 (при b<jc) и следствия 2 и 3 (при	),
получаем требуемое. А
42

Глава II
ЛИНЕЙНЫЕ MF-TOTTH СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ
§ j. Суммы Фурье. Элементы теории наилучших приближений
1° Пусть хеС™. Р.зд
c*eUX'ky • (1)
где коэффициенты ске С , называется тригонометрическим рядом.
Термин "тригонометрический" по отношению к ряду (1) становится
понятным, если принять во внимание формулу Эйлера
eiz = cosz + isxnz (zeC).	(2)
Пусть ае Z™. Ряд
e«t,x>= J (-is\gnkift...{-UignkmfmcJcet<x'k}
*ezm
называется сопряженным (тригонометрически) к ряду (1) о поряд¬
ком сопряжения а. Ясно, что 6{х) = 6(0т, х}. Пусть neZ™ ,
Сумма S{n,x)=jj^ ckei<0C'k* называется n-ft частичной суммой
ряда (1).	**£->ця]
Пусть D - измеримое подмножество Система функций <р_:
: D-+C(keEcZn) называется ортогональной на D, если Ял г -
а	® 0 при .fc^Z {Jc,l€.E). Если A**»! <кеЕ),
то система называется нормированной. Ортогональная и нормиро¬
ванная система называется ортонормированной. Система функций
в1 х {keZ} ортогональна, а система {2%f ^eikx (keZ) ортонор-
мирована на любом отрезке длиной 2м9 так как для любого аеИ
^	кф19
I	в	)	»	Т	9 k,l€Z. (3)
Ja	|	2лг	при	«fc=*Z,
Система	{ksZm) ортогональна, а система {2я)т%‘<хк)
<кеЖ ) ортонормирована на кубе Qm.
43

Лемма 1. Пусть дан тригонометрический рад (1), f е	),
neZ+, Sn{X)* ^ Cfe€i<a!‘k>. Если
К е 1-п,п1п
го	ск»(2яГт$в	f(*)e'l(x'Mdx (JteZm).	(4)
Доказательство. Фиксируем Jc. В силу (3} при
достаточно больших п (п
Следовательно, при пьп0
«= |(2я)т,л - /lx)e'l<x'Aldxj ° iSn(x)-j(xi)e'l<xk)dx I -S
s»-/|, - h ■
Отсюда находим,' что О 4 ct 4 lim |3Л « 0. 1
Лемма 1 показывает, что в простейших случаях, когда рад
(1) имеет суммой функцию у, его коэффициенты выражаются через
эту функцию посредством формул (4). Множество таких радов со¬
ставляет объект специального изучения.
Определение 1. Пусть / eXjCQ^). Величины
cJ^/)«{2Jt)*wjo f<x)e *<*’*>dse	<keZm)	(б)
называются (тригонометрическими) коэффициентами Фурье функции
/.Рад
%<f>ei<X'** <хе€т>	(6)
называется (тригонометрическим) рядом Фурье функции у,
I Следотвие 1, Если ряд (1) сходится в пространстве
]то он является рядом Фурье своей суммы,
Следствие 1 очевидно в силу леммы 1» ибо сходимость рада
в пространстве С(О^) влечет за собой сходимость зтсго ряда к
той же суше в пространстве
j 2*° Лемма 2, Пусть пеХ™, Аке€ при кй[-п9п\(\2™
4>(*|-ТЛ,'«*■*’, Jtl,(a„>.U<y.x)-T W/)*"1'*!
Тогда
44

U<f,x)*<2n)'mjs fiDQfx-lidl,	(7)
а при xeRm справедливо и равенство
U(f,x)~ (2я}~т С f(x+i№<-i)dt.	(8)
оот
Доказательство. Учитывая (5), имеем
U<fxh(2nf”(	Xj.el<<x~i>'*>dl~{2K)'ml	f(i&<x-l)dl.
Ае[-п,п]
Формула (8) получается из (7), если в последней сделать заме¬
ну переменной 1-х~и и воспользоваться леммой 1*2.1. А
Пусть хе€т. п9ае г1™ , причем а^в{0,1} при к*Л,т .
Функции го	- ^ ,
п . _ ТТ/$\п(Пх+Цг)Хк \	*/<05<3f#/2)- СО$(Пя+1/2}Хк \а*
оп<а,х)0-11\—Щх^гТ")	\“ Ш(хкГг]	/	'
J? (а г) - IT(sinп***t-***1*** \а*	(о)
Яп«*'*>г	\Нр£75Т7	w
называются соответственно сопряженным (модифицированным со¬
пряженным) ядром Дирихле порядка п с порядком сопряжения а. При
атом в случае пк = 0 в формуле (9) сомножитель clg'-j^sinTfcaj.
заменяется на 1/2. Функция
п/г!_п /л* -» -ft $inw*+№)x*
ffn(x)-1>„{W ,я)0-%1 _■ v--—*
A.r smfxKm
называется ядром Дирихле порядка л.
Определим фикции otn:2w-*{ 1/2,1], г 2я*— {1/2, if ЩЖ
H&Z™ соответственно соотношениями	1C,	«.Л».	й.(П ■
гПмй«,(^). Если n.a*Z", ги^од), areC™
то полагаем
isign.fr, Л... (-isignim
^f»(<^,/,x)m S^{a,f,x)0. Суммы
S* </,*>-	(/,	*)0-	5„(0я;/,х)0 - J b<f)el<*’*\
&е£ЛёП}
45

w.*>t-sn«>m'f,*k= 2 ^<k>c^f>eU3e'k)
Х£[~П,П]
называются соответственно суммой Фурье (модифицированной сум¬
мой Фурье) функции / порядка п .
Предложение 1. Пусть feLi(Qm)f neZ™, as Z+n[0™im]9
ге\ОЛ), осе Cm. Тогда
5Л<*,Мг=<2я)'даС f<№„<»,x-l)rdt, («>
_7П	И
а при ХйН справедливо и равенство
^л<л,/,х)г-(2яУт( j(x+l)Dn«x,-i)rdl. (12)
OQm
Доказательство, На основании (10) и леммы 2
S„<a,ftx)r = (2itfm С /Я)Ф{а,х-Ь)гсН ,
*JQm
если хеСт и
(2я)~т f f{x+i)Q(<x,-i)rdl,
*JQm
если xeR™ где
Ф(а,2)г= 2 li-isignkf)*1*х...х(~151дгп:кт)атel<ik)=
Xsl-n,n]
- П(|
Z*i
Отсюда, принимая во внимание равенства 1 Л.(9)-1 Л .(12), а так¬
же определение функции Z^fa, i )Т , получаем требуемое. А
Следствие 2. Пусть feL^Q^), пе Z™, осв С™. Тогда
$*{/>*>*L '№№*<*-*><&,	(13)
vwm
а при seeR справедливо и равенство
5л(£ос)={2пТт С	(14)
'-'Qm
Для доказательства (13) и (14) достаточно положить соответст¬
венно в формулах (И) и (12) а=От и учесть, что Dn(-l)=Dnil).
3? Через Выбудем обозначать множество [arcR : х £ О } .
Пусть I4p4 « t felp (Qm)* Функция с»</)р> определенная
46

на R+ равенством	[[/(• +называется моду¬
лем непрерывности / в пространстве Lp(Qm). Таким образом, ес-
ли i 4 р < оо , то
если р= оо г то
Oi(f,^)co= SUP {vraisup |/(af+2)-/te;j| .
j 11 ^ h.	Qm
Б частности, -для / £
(x,if)eKh
где Л1* = {foy): я; е R w, у е Я "JI я-у | «Л|. Модуль непрерывности функ-
цои feWm в пространстве будем обозначать просто aj(f )*
Пусть X - комплексное линейное пространство, Отображение
р:Х-*Л+ называется полунормой на X, если: a)р^х^у)4р(х)^р{у)
для х,уеХ; б)	для ДеС , #бАг . Отметим не¬
которые свойства модуля непрерывности*
МЛ. При фиксированном л отображение» сопоставляющее /Vу/.
число OJ(fth)t является полунормой на Щп- При этом для любой
fe Wm и любого Несправедливо равенство
М.2. Если /eW^, то w<f,h)4 2||/[|, о><0)«0.
М.З. Функция о>(/> возрастает на В*.
МЛ. Функция tofj7) равномерно непрерывна на JR+.
Приступая к доказательству сформулированных выше свойств,
прежде всего напомним, что норма в пространстве Wm инвариантна
относительно сдвига, т.в. для любой	и	при	любом	t	е	"Rm
имеет место равенство	)||=jj/||.
Доказательство свойства МЛ получается непосредственной
проверкой аксиом полунормы исходя из определения модуля непре¬
рывности, аксиом нормы пространства!^ и ее инвариантности от¬
носительно сдвига. Свойства М.2 и М.З очевидны.
Доказательство свойства МЛ. Так
как при 04 Aj <Л2
04ui<f,h2)-ai(f,hlU sup {fl/<-+?)-/A)|-|/(-+AIVI«!>-/W|l4
47

< sup	+A,J/1'Ш 4 W(f,hs-ht),
ШфйаГ
то достаточно установить, что
tim о» (/, A) * О .	(15)
A-*o+
Если	то (15) сразу следует из равномерной непре¬
рывности / на Кда. Пусть	В силу теоремы 1.2.7 для
В > 0 существует функция ge.GlQmY,такая, что	<	е	.	Ис¬
пользуя свойства МЛ. М.2 и очевидное неравенство oj(g,h) 4
4	,	имеем
о){/,А)4 <i)(f-g,h)+ Oi(g,h)4 2lf-gl+i2«)mo)<g,hYa, <
< 2s +
Отсвда находим, что Tun toff, А) 4 2s. Учитывая произвольность
6, заключаем, что lim цН/гЛ)**0. А
4? Предложение 2. Пусть 14р 4 се,Ы2т, Pk~fak,2я(А+1т>],
функция 1ргЯт->€ суммируема на l?”1 и "такова", что ряд	■
где тк= urai supjtpfcc)] , сходится. Тогда: 1) для любой/е^(б,д
и,
функция Uifh заданная на .1? формулой
U{f,x)='J^nf(x+l)<f(t}d2,	(16)
принадлежит €(Qm)\ 2) справедливо неравенство
f^-y^)!s‘,vVI^W<LlT'*,i«-' да|
|3) имеет место включение VsL{Lp{Q,n) —»■ LpШт)).
Доказательство. Прежде всего заглотим, что
функция jfjf*+af) tp{•) суммируема на .??*”. Действительно, учитывая
лешу 1.2.1, имеем
С wj/(»+^>f(^!^ 5
ч< 2^ X»	Jl	<	а>.*
48

Периодичность функции U<f) очевидна. Докажем ее непрерывность,
пусть x.yeR7"' Рассуждая, как и выше, и применяя равенство
(/[5), имеем
; Г Ij<x+i)-f(y+b\&Yt	mk s^r
JQjtl	JccZm	JceZm
Тем самым пункт 1 предложения 2 доказан. Теперь, применяя об¬
общенное неравенство Минковского (см.теорему Т.2.8) и учитывая
инвариантность нормы э Ьр(От) относительно сдвига, получаем
•1ЛЛя»К'г,1й-
Отсюда сразу следует (17). Третий пункт предложения 2 вытекает
из очевидной линейности оператора U на ^(От) и только что
доказанной его ограниченности в Lp<Qm). А
Пусть функция f:Rm-+C локально интегрируема на R . Обо¬
значим через S(oc,r) шар 1Rm: fi-xj ^7*{, а через $<г)~ его
меру. Точка :r£Rm называется точкой Лебега функции f , если
lim Щг)'1 f \f(i)-f(x) loft =0.	(18•
r'*°	S(x,г >
Классическая теорема Лебега (см., например, [46, с.344]) утвер¬
ждает, что равенство (18) справедливо почти всюду.
Определение 2. Пусть функция /: Rm~* С локально интегри¬
руема на	РШМ	-[-Я12,Я12]тщг-1еЯ.	Функцией	Стекяо-
ва первого порядка для функции f с шагом Я называется функция
^h9i<f >;Я -*С, определяемая формулой
sh,t<f>x)~h~m С f<x+i)dl.
Функцией Стеклова порядка г для функции / с шагом Я называет¬
ся функция
Отметим, что если je L^(Qm), то (на основании первого
пункта предложения 2) S^j(f)€. C<Qm) и	почти всю¬
ду на Рт(см. равенство (18)). Очевидно, что для^с!» (Qm)
справедливо неравенство §	4	j/Ц^.
49

Приведем теперь формулировку хорошо известной теоремы
бега о предельном переходе под знаком интеграла (см., например
[10, с.200]). Эта теорема понадобится нам неоднократно.
Теорема 1 (АЛебег). Пусть на множестве ЕсИт задана по.
следовательность суммируемых функций Е-+ С , которая сходит¬
ся почти всвду на £ к функции /. Если существует такая сум¬
мируемая функция <р	что	\jk(oc)\при каждом k
почти всюду на £, то f тоже суммируема на Е и
Д™ Se fje<x)dx = §Е f(x)dx.
Предложение 3. Пусть функционал ф: C(Qm)-+Ci определен
равенством Ф(/)~ $Qmf(x)f(oc)dx,где (ре«%*(Qm)- фиксирован¬
ная вещественнозначная функция. Тогда ФемС«}т)-~С1) и |1 Ф |)-
MSoJf(x>idx-
Доказательство. То, что ФеКС(От)-^ С1) *
1фи L |<p(x)|oZo?f очевидно. Докажем неравенство ||Ф|) ^
Определим функцию	на	0т	соотношениями
при гге(-зг,ог)”\ g(x) = 0 при
В силу сказанного после определения I S^tl(g)€C{Qm),
почти всюду на К771,	<^)||осЛ || g Ц**, ^ 1. Учитывая эти фак¬
ты и применяя теорему 1, получаем, что
||Ф|>Ф<5«&»-
“	л	)(?<x)dx	§Qjp<x)(p<x)dx-§\yx)\dx.	&
Предложение 4. Пусть функция	суммируема на <3Ж
Тогда
J= sup \\f<Om)-§of(X)'4?<x)dx\/§f\\lx, | » 1+J^ \4?<x)\dx
Доказательство. Обозначим [-$, ^j7” через p(S)
Фиксируем ее<0,1) и найдем б'е<0,я),такое, чтобы 6)L4oJ^^jy(D
х dx <£. Тогда J*	|4*<аг)|с£г-е. Определим*функ¬
цию {re Lt(Qm) наЯ|''йи соотношениями g№)=-signЩх) при х £
E(-7i,Jt)m\p(8),g<X)^l ПРИ XEp(S), Q<X) = 0 При Х€От\(-Я,!К)
Как и в доказательстве предложения 3, имеем Sj,j<g)e C{Qm> >
почти всюду на Ttm, j| s*Mg))],*,< j|g||oc^ *• ^евидн0,
50* Ьа+

что Um i *§’	~	* Учитывая сказанное и применяя
/?*^о+
теорему Т, находим* что
SHi<g>°m)' LSKX(g,x)^wdx —
'	*JQm	Vm
^ 1 + So \^<x)\^x ~ 2£ ‘
Таким образом. 1 + ( |У{Х)Ызс- 2e. Устремляя в последнем
iJQm
неравенстве в к О, получаем требуемое, А
5.° Пусть feLt<Qm), rteN™ хеСт. Суммой Фейера функ¬
ции / порядка п называется функция
«я</,*) = (v [О"1,"])*1 J S*<f’x)-
_1 *> A^LO^n)
Функция Фп<х) = (у[Оп\п]) II (s\T\{nRxkl2)/sxn(xkl2))
называется ядром Фейера порядка п.
Предложение 5. Пусть	neN™	хе€т.	Тогда
e>n<f,x) = {2rtfm( f<l№n<x-l)di	(19)
а при rreKm справедливо и равенство
e„<f,x) = (2nfm ( f(x+l№n(i)di.	(20)
Доказательство. Опираясь на определение суш
Фейера, легко убедиться,_что
<w.*>- X (fti'-M/MW)*"*-*' •	(«о
A€[~nf7iJ *=*
Отсцца на основании леммы 2 имеем
en(f,x)- (2st)~m f
О От
при хеС , если же хеКт, то справедливо и равенство
бл={2я)*тj*c /сас+г)Ф(-г)огг,
где ф<г,т Л / J|( J. jjt |/Л| \)е »'?•*>
В силу равенства 1.1.(21) и определения ядра Фейера Ф(2)*ФП(?Л
Осталось заметить, что Ф„<-1)-Фп<1). А	51

Замечание 1. Справедливы равенства
(2я)'мС Dn(i)dl =1 </ieZ+),	(22)
Wm
(2я)~т С 0n<t)dl-t <2tcNm). (гз)
vQm
Равенства (22) и (23) очевидны э силу соотношений 1.1.(9)
и 1.1.(21).
Пусть п £ 2™ и } ап} - последовательность комплексных чи¬
сел. Условимся min пк обозначать через л . Последователь-
k=i,m	v
ность {иЛ} сходится к пределу S при п -»+оо (запись lim ип-s)
п-ь+оо
если для любого в > 0 существует такой номер Jce% что неравен¬
ство |uh-s| <е выполняется для всех п% у которых п }ке.
Теорема 2. Пусть f£C(QTtJ )f neNm. Тогда
lim	= 0.
Доказательство. В целях простоты изложения
ограничимся рассмотрением случая т = 2. Из условия jfe C(Q2)
следует. что J равномерно непрерывна на К2. Фиксируем е > 0 и
найдем <^>0,таксе, что при ?е Д- [-£,$]2с Q2 и хеЯ2 спра¬
ведливо неравенство }f<x+i)-f<x)j<e* Обозначим$д2\дФп^)<Н
через Зп. Учитывая, что одномерное ядро Фейера - четная неотри¬
цательная функция, а также одномерное соотношение (23), имеем
+£фпА>с1Ф 4Ak$ssi”4dz+k$ss™2?dzy
=	(j* sin"2 fdz}(n? +	).
Сл едовательно,	U>rt	Уп« 0,	(24)
п^+со
Положим	.	Принимая	во	внимание	предложение 5, равен¬
ство (23), неотрицательность ядра Фейера, находим, что прияе
е R <2л)2\бп<£х)-/т\=	t)di -§&р<х)Фла)<Н j =
“ \Hq (f<X+t}| *	\f<x+1 )-f<x)\^n<i)dl <

< ^ t<Pn<l)dl +	<2,t)2£	+	2JUJn .
Отсюда заключаем, что при всех п е N2
\L <е+МЗп.
В силу (24) при достаточно больших щ и п2 будет М2„ < £ , а
тогда при этих л, и пг справедливо неравенство l^n<f )-/{„< 2е. А
Предложение 6. Пусть Нр<°°, feLp<Qm), neNm. Тогда
126)
Доказательство. Пусть сначала р « оо . учи¬
тывая предложение 5, неотрицательность ядра Фейера и равенство
(23), имеем
|м/>1«. <
«2«rf	ФпШг-у^.
*~Qm
Пусть теперь t4p <оо. Опираясь на предложение 5, теорему 12.8
и учитывая неотрицательность ядра Фейера, находим, что
К<Я11р = (2Я>-тЦ,т | S^ftx+hQnWdi\pdx)yp 4
4<2яГтС lf<-+f>L<Pn<t)dt.
tг
Остальная часть доказательства такая же, как и в случае р-оо.л
Теорема 3. Пусть 14р <00, feLp<Qmh леN”*. Тогда
lim Ц/-бл{/>|| -О.
П-+ + 0О	Г
Доказательство. Пусть е> О, Найдем функцию
ge С(От)9 такую, что \f-S\r <е. Это можно сделать в силу
теоремы 1.2.7, Используя теперь предложения 6 и 1.2.3, получаем
<2 tf-elp+<2я»л//> K<g> •
По теореме 2 для всех л , координаты которых достаточно велики,
будет Ил<£)-^||оо < (2n)~m^z. А тогда при этих л справедливо
неравенство #■/- 6л(/)^р < Зе. А
Следствие 3. Пусть felj<Om) такова, что	С при
всех Ае2т. Тсгда f^Q на
53

Действительно, ь этом случае при любом лвЛтт з силу фор¬
мулы (21) будет Sn<f,x)s о. Значит, по теореме 3 (/> =1) fl
* ЦУ-биСОЦ* =	Следовательно,	0	на R*”.
л-*-+00	3
6.° Пусть ле2+, жеС”*. Сумма Т<х>=2* схег<х'к>, где
Лсе[-л,л]
коэффициенты сЛ€ С , называется тригонометрическим полиномом
порядка п . Тригонометрические полиномы порядка О171 суть комп¬
лексные постоянные. Множество всех тригонометрических полино¬
мов порядка п обозначаем символом Нп ; через Him) обозначаем
U Нл.
neZ? п	...	m
Определение 3, Пусть iipico, feLp(Qm), neZ+.
Наилучшим приближением порядка л функции f в пространстве
Lp<Qm) называется величина En(f)p= inf |/~ЗГ]|п. Наилучшее
Т
приближение порядка п функции feWm в пространстве обо¬
значаем через Enjf).
Предложение 7, Пусть X - нормированное пространство, -
конечномерное подпространство X. Каков бы ни был элемент ссеХ,
найдется элемент х0еХ0, такой,что Цат-araJ| = in^f
У е *о	г
Доказательство предложения 7 имеется, например, в [37, с.58-
61].
Пусть i4p4oo, felp(Qm), neZ+. Функция Tn(f)peHni
удовлетворяющая равенству |называется по¬
линомом наилучшего приближения порядк^ п функции j в прост¬
ранстве Lp<Qm). Через Tn(f) обозначаем полином наилучшего при¬
ближения порядка п функции fcWm в пространстве Wm.
Существование полинома Tn<f)p следует из предложения 7,
Если полином ТеНп определяется равенством ||f~T§p = En(f)p
неоднозначно, то через Tn<f)p обозначаем любой из них. По¬
следнее соглашение не приведет к недоразумениям.
Предложение 8. Пусть 14 p<<fr4°°,	JieZ + . Тогда
Доказательство. Обозначая (2зс)т^~*№ че-
рез $ и используя неравенство 1.2.(9), имеем
En<f)P41/- w)9|р < * у-тяфч\ч = ]. J
54

| Теорема 4. Пусть fe Wm. n e Z”. Тогда lim £„(/) =0.
|				 Л-*-ЮО
Для доказательства теоремы 4 заметим (см.(21)), что бл(/)е
еЯ (более того, Нп-1т> • Потому имеет место неравенство Еп<р4
4 ||/-бл(/>||- Осталось воспользоваться теоремами 2 и 3.
7.° Пусть	Обозначим символом L* множество опера¬
торов UeL(C(Qm) —C<Qm)),обладающих свойствами: I) U<f)eHn
для любой feC<Om)i 2) U<f)=f для /е#л. Условимся при ?е
eRm через £ обозначать функцию /(• + ?).
Теорема 5. Пусть л е Z+, xeRm, Ue I*, f е C(Qm).
Тогда	n
(2л)'т\ U(L,x-i)di =sn(f,x).	(26)
Доказательство. Обозначим левую часть (26)
через <{?(/,#) и покажем, чтс при фиксированном я: функционал
Прежде всего проверим, что функционал
<р задан на C(Qm). Для этого покажем, что для любой £еС(От)
под знаком интеграла в (26) стоит непрерывная функция. Имеем
(heRm)
|- u(ft, хЛ)\i| V(fUh,x-t-h)-и<;г,х-Щ+\т&, *-
-l-h)-u<fi,x-i) | s< II Ulll\fi+h-ft Д+ \U(fitx-i-h)-U(ft ,x-i)\ .
При \h \ — 0 первое слагаемое стремится к нулю ввиду равномер¬
ной непрерывности функции /, второе - ввиду непрерывности функ¬
ции U(fi) . Очевидно, что <р - линейный функционал. Кроме того,
|у</>|<<2*)-яСп I u<fvx-i)\dt 4 (2flirf \\U\\ fl/^ di =
II II II * II *jQfri	Vw»	ж
~ Ir IIIM 9 и» следовательно, (j> € L<C(Qm) -*C ).
Покажем теперь, что (26) справедливо для любой £йН<т),
Пусть сначала £еНл, тогда и ^	. Следовательно, U(ff ,
С другой стороны, Sn(ftx)=f(x). Пусть те-
т?ъ f(x)*ei<x’k>, где keZm \ [-п,п] . Имеем ^(х)=еихк>ецШ,
lJdfi,x-l}=U<el<x'k,,x-t)e,<i'kf. Но U(et<xk\x-l) как функ-
ция аргумента I принадлежит Нп% вследствие чего, в силу ор¬
тогональности системы ег< Р* (peZ™) на Qm,
f U(ei<x*\ х-г)eUi'k>dt = 0 .
•JQm
65

Таким образом, левая часть (26) равна нулю* Очевидно, равна ну¬
лю и правая часть (26). Из доказанного и линейности ср и S„(*tx)
вытекает, что (26) справедливо для любой feH(m). По теореме 2
для любой fe С<Qm). Поэтому для лю-
бой° fe C(Qm)
|f <f)- f	4	|	f ||i-0,
i.e. <f<f) = lim	Аналогично	Sn{f,x)=	lim	Sn(6k
K—OO	i	+	°o
Осталось принять во внимание, что	=	Sn<6jc<f),	х). А
Демма 3. Если ле/+, то
С* \j>n<l)\di > (S/jr)ln<n+i).
Доказательство. Легко убедиться, что
J* |	|*>"‘^‘)>|	di.
Используя неравенство | sin 11 ^ \11 при I е R , имеем
jp«in«.pmifl s jWlstaiavwijdl . j*"’*®Ijinii di^
2w	2n	2/i
Теорема 6. Пусть «eZf, areR”*, UeL„,	J l/Ц »
'/.ZJ v,W-/\su\. Is-1 s-VI-/I/UI.
||V*-*)|* sup {\Sn<f,x)\/yfiM {. Тогда
H	"	feC(Om)	m
\Up\Sn\>\Sn{-,x)[b {4!n2)n	(27)
1*1
Доказательство. В силу равенства (26) для лю-
бой feC(Qm>
IV/>1. < т>и «»<И1Л..
и, следовательно, Ц Sn Ц ^ Ц V Ц . Неравенство
очевидно. В силу предложения 3 и равенства (14)
= (2or)~mx \Dn(l)\di. Осталось воспользоваться леммой 3. 1
56	m

Теорема 7 (Банах - Штейнгауз). Пусть X ~ полное нормиро-
ванное пространство, У - нормированное пространство. Если по¬
следовательность операторов U„eUX-У) <пеЯ) ограничена в
мвдой точке X (т.е. sup || Un<x) ||у < оо для фиксированного
71 £ jff
хеХ), то sujs 1 Un |j < оо-
Доказательство теоремы 7 имеется, например, в [37, с.229,
230] гли [11, с.214, 215].	m
В дальнейшем множество | х е 7L + : х^ ~	= ... •= хт | будем
обозначать через Ат. Пусть гЪКэА™, {ип}пеК~ последовательность
комплексных чисел* Последовательность	сходится	к	пределу
5 при п-> + оо в смысле d .(запись (d) lim un=s или ип ^-*s(d)\
71-.+ЛЭ	fl~+±C<0
если для любого е > 0 существует такой номер к£, что неравен¬
ство |ил-5|<е выполняется для всех /2€Лт, у которых п ^	.
Для последовательности {ил}ле# вещественных чисел естествен¬
ным образом вводятся понятия верхнего (нижнего) предела в смыс¬
ле d* При этом верхний предел обозначается как (d)lim ип %
п~+ оо
нижний - как (d)lim ип,
71 -н» ОО
Теорема В. Пусть UneLn (л в А). Тогда существует функ¬
ция JeC{<Sm), для которой (d)lim }|/~	~	‘
/г~* со
Доказательс т в о. Действительно, если бы для
любой feC(Qm) было (d)lim |/ - Un(f)|| <оо, то из теоре-
n~t.°9.....
ш 7 следовало бы, что suj}^ jZ/n!| это противоречит соот-
ношению ^;lim |Ц,|| = оо,
очевидным образом вытекающему из не-
П~+ 00
равенств (27)* i
Из теоремы В следует, что не существует последовательнос¬
ти ^операторов UneL* (пеАт% реализующей неравенство
(o^lim (|| /- Un (/)$„ jEn <f)„)<00 для любой f е С(Qm). этот факт
имеет принципиальное значение для теории аппроксимации перио¬
дических функций.
Теорема Пусть creF”1. Существует функция fe C(Qm) .для
которой (оГ)Шп	о оо.
71-+ОО	'
^ ^ Доказательство теоремы 9 аналогично доказательству теоре-
57

S’
Лемма 4* Пусть weN . Тогда
\Dn<l)\dl 4 4 (In л + яг).
'-я
Доказательство. Учитывая неравенство c\gi<
<1/ i , справедливое для t€ ( О, ет/2], тлеем
i hmldl+Vj%
®	л3**1 .	ЛЯ .
Осталось принять во внимание, что 4 i~dl-lnn,а t i sinidi <
<1,10.А
Теорема ТО. Пусть felVm. Если
(d)lim E„(f)lnm<n + 1) = 0,	(28)
п-+> оо
то ряд Фурье функции J сходится к ней в пространстве \\гт.
Доказательство. Пусть neZ™. Учитывая, что
Sn(T)=T для любого ТеНп и обозначая sup {|Мл(/)||/||Л1} через
1п , имеем
I/-V/)||=+| V W-/)| 4
у<<1+гп>1 /- ТЛ <f)l = {ln +1 )Еяф.	(29)
Далее, опираясь на формулу (14) , предложение 2 (неравенство 07))
и лемму 4, находим, что для 1п справедлива оценка
771
< Y\({2fa)'kn(n}!.+ i) + 2).	‘(30)
Х=»1
Сопоставляя соотношения (29) и (30), осуществляя предельный пе¬
реход и учитывая равенство (28), получаем, что
Ы)Ты v/>|( '< «*>М™ л+1п
Лос	п~*оо
, V
4 (d)lim En<f)(((2/n)ln(n + l) + 2)m+l) ~ 0. А
п-+оо	'	m	v
Следствие 4. Пусть feC(Qm). Если (d)limЕдф^Ьп (п+1)=-
П+СО
= 0, то ряд Фурье функции j сходится к ней в пространстве
C(Qm), т.е. сходится равномерно.
Следствие 4 интересно сопоставить с теоремой 9.

Теорема 11. Пусть feL2<Qm), neZ+.	Тогда
I/--En <f}*=Ш1 - (2n)mI	I>l2-	(3I)
Лс[-Л,Л]
|/|i-ww2 ЫЯ12-	(32)
XeZm
Равенство (32) называется равенством Парсеваля.
Доказательство. Пусть ТеНп. Учитывая,	что
та) = У\ cJT)el<i Jc> и равенства (3),имеем (7= J* |/(£}-Ш)|2<Й=
*	От
ire[-^fnj
- i-^^.^Тохи^пф.
Jct[-n,n]	*е[-п,п]	Хе[-п,п]
Прибавляя и вычитая (2я)тlc*Cf)|2 получаем
Ае[-л,п]
>|/||+(2я)я,2	|сл(Г;-с^/)|2-(2я)т2	}ск(/))2.	(33)
леЦ-л.п]	А£[-л,л]
Отсюда следует, что J достигает своего минимума при ck<T)-ck(f)
(к е [~п,п] HZ”1). Таким образом, имеет место равенство jjf -
(33) вытекает, что
1/-?л(/)|2=||/|2 - (2ЯГ J \скф\*.	(34;
яе[-п,п]
Тем самым равенства (31) доказаны. Переходя в (34) к	пределу
при п ~* + оо и принимая во внимание, что по теореме 4
= 0 душ feL2(Qm)> приходим к (33).	*"***
§___2. Некоторые представления операторов,
построенных на базе рядов Фурье
^*° Введем обозначения: Вт= { х е Z2^: хк « осm при
** *’т I ; если и’%	то d <mf utl) = d<u,i) =	oi'm x
Sln ujtj * если иеК, te JRm, to y(mfu,l) -	~
59

тт
= я	и ; если	то
1"	т
g(m, и, i) =g(u,i) = oT2m ]~[siп(и;Ц) s\n(u^^m).
Под интегралами &"и i»?' (з отличие от интегралов Лебега т
и I - ) будем понимать соответственно lim 4 и Пт (
Л-»+«>Л[-А|А]т A->+«>J[OA]»'
Пусть a,beJt, a<b, reZ+. По определению полагаем C[atb] .
множество непрерывных функций j	С*Г)	[<*,&]55 [fe С[а,Ь]
3fWeC[a,b]]t Cir^{feC(Ql):3f<r)e€<Q1)\;
2Р Предложение 1. Пусть jfeC, neN, хеК . Тогда
$n(f>x)t~ я	|	dt •	W
Доказательство. Из разложения clgz**^ (г-Ы){
следует, что	и~со
причем ряд в правой части равенства сходится равномерно отно¬
сительно £е[-я,я]. Отсюда находим, что
«—>	l=-co
■ * s м ■ *	^dt ■ a
Z = -oo
бедствие 1. Пусть f e. Cr ne Z+, ar^R . Тогда
Sjf,*>^$Rf<x+l>5jlT~di +£rfj"j<x+hcosnldi. (2)
Доказательство, Если n - 0, то равенство (2)
очевидно. При леК имеем
о
+ ±.j* f(x+l)cosni<ii* Sn(fx){+ ~ ^ftx+bcosnl rfl.
60

кеХ
где
Применяя (1), получаем (2).А
Следствие 2. Если а е Я , то
Я, ^	<3'
Доказательство. Полагая в равенстве (1) п =1,
f(x)= 1» находим, что jfsjp(($ini)/l)dt = i . Делая в последнем
интеграле замену переменной i-au {а считаем не равным нулю,
случай а= 0 тривиален), приходим к формуле (3). А
Предложение 2. Пусть feHim), хе€т, функция <р-’К+“*
С суммируема на Я+,	при	кеА™.	Тогда
2	^т/<х+г)Фаха,	(4)
*<*>-!£ (f(U)ip(m,u9i)du .	(5)
Доказательство. Ввиду линейности ка Н<т) пра¬
вой	и левой	частей формулы	(4)	достаточно	(4) установить	толь¬
ко для	функций	вида ег(х1\	где	1е2т.	Поэтому будем	счи¬
тать, что f(x)=€l<x'1^ Опираясь на соотношения
-I	Г	sinziz i4z 7	_	f	если
2	1	0, если	0^1/<г/>
которые легко получаются применением формулы (3), нетрудно про¬
верить, что если JceZ™ и ие (к, Jc4-1*1), то
f f<x+i) d(m,ir, l )dl ,	(б)
JHm
Отсюда следует, что
Т AksJc<f>x)= С С0(и)( Пт Г f(x+t)a(u,l)dl)du .
*£дт	Jo	'	\Л^+л>	'
Так как при любом г/ £ Я
<2'
61

{41я)п\еи*'1'\
sirWu-Z^)z+sinlu+Zp)z ^2J
Воспользовавшись теперь теоремой 1.1 и теоремой Фубини о по¬
вторных интегралах (см., например, [10, с.225, 226]), получим,
что	оо	.	р
X Hil^w fa*i>vu’l>ilj'iu -
Лемма 1. Пусть If, V e L { Wm	и таковы, что: 1) U(f) ,
V(f)E €<ОтУ , если feWm, 2) U<f) = V{f){BWm) для feHim),
Тогда U{fx)=>V<f,x) для всех хеРт и fe Wm.
Доказательство. Обозначим через }J С/ (| и Jl/’fj
нормы операторов U и V в Wm . Пусть feWm. При любом ледг™
имеем
\UW-V(j)\.\U<f~b<fd-V(f-b(f))l 4(1 V\ + \V\)\f-*nWb
Переходя в полученном неравенстве к пределу при п-»оо и учи¬
тывая теоремы 1.2 и 1.3, находим, что \ U<f)-V{f)|) » 0 , т-.е,
17(f)- V(f) почти всюду на Лт. Осталось принять во внимание
непрерытзность функций U(f) и V(f )* А
Теорема	1.	Пусть х € Р7П, функция <p:JR+-*€ суммируема	на
К+,	при	JceAm, ^R+|<j>(u)|ln,"(2 + u>rfu С	оо	,
функция Ф определена формулой (5),	\$Hi)\dl < оо. Тогда для
feCiQm) справедливо равенство
У	Aj^tf.ae)»	f f<x+l№i)di .
xe\n	RM
Доказательство. Применяя неравенство 1.(30),
находим, что для любой g€.C(Qm)
2 II	Igloo|?<U)|ln"V2+Uj<fu,
где постоянная C(m) зависит только от т. Поэтому в силу след¬
ствия 1.2.4 ряд J)	сходится	в пространстве С(От) •
леА7"
Учитывая сказанное, нетрудно понять, что оператор U, задавае¬
мый формулой U<g)=y	принадлежит
62	хеАт

Так как Jw |ф(1)\<И < °° , то оператор V, задаваемый форму¬
лой V(g)= g<x+l№<l)dl9 также принадлежит L(C(Qm)-~C(Qm)).
Остальная часть доказательства получается сопоставлением пред¬
ложения 2 с леммой 1. А	^
Предложение S. Пусть feH<m), хеС™ функция <р;R+-C
суммируема на R+,	nptl	AeZ+‘ Тогда
где
4f<u)d(m,u,l )du.	(7)
Доказательство. Как и в доказательстве пред¬
ложения 2, можно считать, что f(x)= е1<х'1), где ZeZm. Прини¬
мая во внимание формулу (6), имеем
Меняя в правой части последнего равенства порядок интегрирова¬
ния и предельного перехода (законность этой операции обосновы¬
вается так же, как в доказательстве предложения 2), а затем
порядок интегрирования, получаем требуемое, А
Теорема 2. Пусть xeRmt функция	суммируема на
*+• v4,»+1n.j¥(u^u ПРИ Л'€С	Tip,{ln(2+uPidu<m>
ция Ф определена формулой (7), J т\ф{1\\<И <о°. Тогда для fe
€ C(Qm) справедливо равенство
^JcSx{f'x} * С $<х+1)Ф<1У<11 .
*Й?	^
Доказательство. Применяя неравенство Т.(30),
nz J
находим, что для любой ge C<Qm)
2 p*v«.->|w < c^>f#s« СIтНПln + up>du ■
/ceSj1
где постоянная Cf/rc) зависит только от т. Остальная часть до¬
казательства аналогична доказательству теоремн 1. А
Предложение 4. Пусть feH<2m), Х£С2т, функция <р:JR
суммируема на	^(u)du при кеВт, где \шШ*Jftp*
• Тогда	&
63

ksB™
где
У	С	Нх+1)Ф(:1)сИ,
Ф(1) = ^к7Л <f(U)g<m,u,l) du.	(8)
Доказательство. Можно считать, что f<x) =
_ екх<1) ^ Гд0 1е%2тщ принимая во внимание (6), имеем
AgB	**■
Меняя в правой части последнего равенства порядок интегрирова¬
ния и предельного перехода, а затем порядок интегрирования, по¬
лучаем требуемое. А
Теорема 3. Пусть хеТ12т, функция (р.-К^С суммируема на
<Lr и)Прж1 bi2(2+zy&K«>, величины	и функция Ф
+	'	Л	.
определены так же, как в предложении 4, J^2Тогда
для f€.€(02m^ справедливо равенство
J j>2/n '
ЛсВ777	К
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательствам тео¬
рем I и 2.
3.° Яеша 2. Если лей" , .хеЛ, то
" Si"“ s< Я,	(9)
Л-1
л
Ssb
к
Л»1
Esin {2/c-f l)jc 1	у	jjr_	/Л-Г.ч
2*+1	4	2 *
Jt*0
Доказательство. Сначала установим (9). Учи¬
тывая формулу 1,1.(9), имеем
п
V sinAoc _ 1 Г	sin<*+l/2tf :?*	я	^/г/гч
L~k~ ~2j0	sxnai2) dl	2	•
Не ограничивая общности, считаем :re<0,jt). Положим ~£пТ[ *
Подынтегральная	функция в (11)	на	[О.зг] обращается	в	нуль	толь¬
ко в	точках	lk	{k=Ln) и меняет	знак при	переходе	аргумента
через эти точки, а интегралы Ук (к * 0,гг) , где
64

, Гг*«dl=(-\)* Г1 4т£ттгтатdl а-о,л-1),
Vl, “SindWT	Jo sln«Uik)/2)
utjc
cnsw<n+V2>i лi	r?l/2-£i?4.(n4I/?)? d%
n Jj sm(il2)	3q sinUi+ljfyiD
убывают по абсолютной величине с ростом Л и образуют знакоче¬
редующуюся последовательность. Следовательно,
„ , 1 Сх sin(n+i/2)i	^ Зо / „
lj0 si n<mr dt 4 т 4 31
(при оценке J0 мы воспользовались известным неравенством |sinwu|4
(уп | sin и\, если теЛ , иеР. ). Отсюда и из равенства (■Г!)
сразу получается (9). Докажем (10). Применяя формулу 1.1.(27)
и рассуждая, как при доказательстве (9), при are (0,л) имеем
V sin(2A+l)ar| _ Г Г* sin2ni Й, i f3I/(2n> sin 2nl	от
1-1Ш- '2 J -Щ-** * 2 J0 sin* 01X4 I
Jc* 0	I
Следствие 3, Пусть	n в Z+, te R ,	x	в [0,at]	. Тогда
«Jj еш 4 3n,	|3= |у'г+1/2,г
Iz^-n	г*-л	1+1/2
4 2+2Я.
В первой суше слагаемое, отвечающее индексу суммирования 1~ О,
считается равным лг .
Доказательство. Применяя (9), имеем
0£
* + 2 J«H	«	+	If ilr^l + 1J AfStll | < з*.
м	* I z«i	'	in
Аналогично, используя (10), получаем
р.|е«..и*	+	,/г)!	jinlhJIZ!*.	I	<г,2*.	*
г-о	'
Лемма 3. Пусть J'elj имеет на [-я, гг] ограниченную ва¬
риацию, Х€р . тогда Y сл<^)егкх = (l/2)(f<x+)+f(x-}. В чаот-
+С0
ности, если ас - точка непрерывности f, тоТ	г).
Лемма з - известный признак Жордана сходимости рядов Фурье (см.,
например, [34, C.98J щи [2, с.121]).
65

Следствие 4. Пусть ае(0,л), at е [0,1), хеН . Тогда
I, если |ас| < а,
J_ V sin(Jc-nn,)g eWc+aих
пт / *	^
Я Jad к+<£
к*-ос
1/2, если |ас | = |а|,
О, если ^е[-я,л]\[-о:,а]в
Здесь при Jc+oi = 0 величина (s\n(k+<t)a)/(k+ot,) считается равной
Доказательство. Определим функцию на от¬
резке [-я.я] соотношениями: f{x)-^ioLXt если xs [-a,<x],f(x) =
* 0, если асе	\	[-а,	а]	.	Легко	видеть,	что
sin(*+akr
rictx^-ikx,.
если A+oi ^ 0,
ЯГ<>С + оО
<xjnt если A + &=0.
Осталось воспользоваться леммой 3. L
Следствие 5. Пусть а е (0,я)т 9 ае [От, 1т). Тогда ряд
*eZm	*	*
где при	= 0 величина (sin(kj + cij)aj)l(kj+o&j) считается
равной <ij, сходится при всех агеК^и его сумма равна единице
при х е (-а, а)» нулю - при а?е [~я,я]т\ [-а, а].
Доказательство следствия 5 основано на следствии 4.
Пусть feL1<(3m), Л=(Л^) л eZm , где ЯкеС, хеСт.
Тогда по определению полагаем
Я ▼ f<x) = ^ &*ck(f)et<x'k>.
*eZn
Теорема 4. Пусть пе Z+, оc.fieR"! хе€т, Cj.eC (keZm),
функция &гРт-*С определена равенством g<i)=£ ске1^',
keZm
Я = (Лл)кег»>, где Лл•g(k^), /еНп. Тогда
Д	ckf(x+<k+ot)^).
JteZm
Доказательство. Имеем
Ят/<х)= £ ^lcl(f)ei<x'l) ~
66

l€l-tl,n] KCZn
,y Ck T cl<f)exp(i((x+<J'+u)pbl))='l£i ckf(xHk+&)P). A
kezm 1е[-л,п]	xeZm
Пусть neZ+,*eZm, ci,$e€m, n+j e Nm. Тогда полагаем
z, , . jr<2*+aQ
Ьп,к(Ь^^~ 2n+f
Следствие 6. Пусть neZ™, a,felt™, n+$eNmt xeCm,
ckeC (keZm), функцияg:Itm->C определена равенством g<i) -
= H Скеш'<к+с1)\ Л=(Лк)ке2т, где Л^(2жк/(2г>+$)),/е Нп.
JceZm
Тогда
Я TjVx)= \ ckf(x+ уп>к<$, 2ос,)).
keZm
Для доказательства следствия 6 достаточно положить в тео¬
реме 4 (3 = 2jt-lm/( 2п + ^).
Следствие 7. Пусть neff™, ке[0™л) f)Zmt хе €т, иеЕтг
nuiz(vzk, л{Ж+1т)), qj е [О™, I171), /сЯЛ, Тогда
5JУ	2&)) dim,и,1+01).
гегт
Доказательство* Определим функцию Я формулой
(12)* В силу следствия 5
Sk<j,x)- J ЯгсгГ/>е*",,\
ф	г«1-л,п]
где A; = л я1 (п). Осталось применить следствие 6. А
Теорема 5. Пусть леВГтЛАт, 2<и е [От, 1т]Пг + , хе Ст,
А/г -Лт П [О™, п ), функция ф: [0,эт] -*С суммируема на [0,3т], Д. -
1)/Л|	I	/»Я
**|/л f(u^u ПР11 keAn&il)=^y(u)c^(m,u,l)dii,f£Hn.TXs%
H,**Sk<f>x> = '$\ f<*+yn,i<°m> 2ы,))ФЦ+а). (ТЗ)
ЛеЛп	ЫЖт
Доказательство. Ввиду линейности на Нп пра¬
вой и левой частей формулы (13) достаточно (13) установить толь¬
ко для функции вида е1<х'г\ где reZm П[-л,л]. Поэтому будем
считать, что f(x) = eUx r\ . Полагая z/.« и .(О^ЗДи опираясь
на следствие 7, имеем	'
67

m I
У Ajcsjr(f,x)** С (pw(lim У *<х+1/1)я,<и,1+лЫи=иг.
*&„	J°T	Х**+"иПлГ
Испсяьзуя следствие 3, находим
12
' 3?»Je,<*'i П X < 6xp(br<p +0ij)^/nj))(p+ot,pfsin(u<p+eij)) N<3Byw',|
Применяя теперь теорему 1.2, находим, что
ь?*1т У	Q(u)<y,(u,l+oi)du ®У f{x+i!,)QHl+at.). 4
2^~uKtJm Jo	zTf™
Теорема 6. Пусть леХт. 2<ие [Ow, lmjnz”, же С™ Ап =
= [О™ n-fmJ, функция <j>: [0,3tJw-»C суммируема на [О.ЗГ]”1, Ях =
= (	a>(u)<fu при ЛбАп,Ф<г)=(г <j)(u)rf,w,u,?^U,/efln.
СяЛ/л,зг№+|"Ч/п]	Ля]
Тогда
У b*Sk<f'x)= 2 /(х+уп>1(О”2«))ф(^ + 0£).
*еЛл	ге2т
Доказательство. Как и в доказательстве тео¬
ремы 5, можно считать, что f(X)*e1<x'r\ где reZmП[-п9п]ь
Опираясь на следствие 7 и пслагая	ynl	),	имеем
*7ап	Jco^t	'*-♦»	.
Меняя в правой части последнего равенства порядок интегрирова¬
ния и предельного перехода (законность этой операции обосновы¬
вается так же, как и при доказательстве теоремы 5), а затем
порядок интегрирования и суммирования, получаем требуемое. 1
Теорема 7.'П>сть пе№тПВт,2<хе[0*т, i2m]Л Z2m, ХеС2т,
£л=Вт П[02т, и), функция	я]т— С суммируема на [0,эт]т ,
\=( f<u)du,npu кеВл, где % = |1 Zt [ кр,кр + lj ;	Ф(?) =
л h
wmteimiViJydu, feHn * Тогда
-ЧО.я]*1* °	~
У	SJc<f>Х)х\	У<х + Уп1<02т> 2<*Я Ф<2 + °^-
лТвп	К*2"
Доказательство. Можно считать, что f(x> ~
1 (х'г} где г е %2тП [->?,л]. Полагая уь - уЛ^ (02т, 2oi) а
- е
опираясь на следствие 7, имеем
т

Y A,Sk(f,x)=[	J	ffx+yJgOt.l+aiK/u.
h k k J[o,^jm ?*+мге[-г,г]гта
Меняя' в правой части последнего равенства порядок интегрирова¬
ния и предельного перехода, а затем порядок интегрирования и
суммирования, получаем требуемое. 1д	у
4? Условимся для хе€т через аг (соответственно эг) обо¬
значать max |(соответственно minj ж* | ).
к*\,т	а
Предложение 5. Пусть <r:Z+ -*•£ , числа Як =g(k) (JceZm)
таковы, что 2 \Я]£~^jfc+im11т1т(£ +2) <оо, (<£}liтп Я^1игп(А +
+ 1) = 0. Тогда для	ряды V	eUx'k> и
*e2m
2! < Як “•Я*+1т)	сходятся	в И£, и имеет место (в wm)
к€Ат
равенство
У Akck(f)ei'*'k)m
AeZm	*еАт
Доказательство. Положим АЛ~АтП[0™я] при
пе Z™, 1 = 1т,	= 0. Считая neAmt feL1(Om), имеем
2 ^кСк</)е	Sjt-f	(f«~ ^
fc€t-n,n]	кеАп	леАп	*еЛп-Г
= *я<J,X) + 2 (Ак-Л^)Sk(f,x).	(14)
i
Пусть теперь fe В силу неравенства 1.(30)
S^(/)| 4 C<m>§f\\hin{k + 2)	(кеАт),	(15)
где постоянная С(т) зависит только от /п . Значит ,
S l<V^+{)^(i)| 4С(Л2)|/|У |ДА-ДА+(|1пт(А+2)<~.
Ьь-Д”1	ЛеДт
Отсюда, опираясь на следствия 1.2.2 и 1.2.4, прихода к схо¬
димости в Wm рада 2 <Л*-Лц	Сопоставление условия
-	Л А?Ат
<aKlim Ак1 п (к +1) * 0 с неравенствам (15) приводит к еоот-
ношению < d) Um Ак jj SM (/)((= О . Из сказанного и равенства (14)
Уже легко следуют сходимость ряда % Jb*Cjt<f)eli*'k} в Ki
69
и справедливость доказываемого о&веястза. А

Лемма 4. функция
=	(1еВт),
j JZL » j	^‘=*1
где Jc(f)=(]jlj) , суммируема на J?™.
Докаэательс т^в о. Пусть £0=[ОП1,1т],
^nh^\jlsin<iju))du при ?eRm, A»j?eRmj
. 	1	0	j"1
: Hj = ±1 > t?= f»”* j • Очевидно, что
f |Ф«)|йч<£5е.1ФШ|«.
^ -*4 +	/=0 if
Так как |smzK< 1, [smzj ^|z| при zeK, to
4	=	{l/2)\lj\	()	(16)
и	^	J/ umdu - (тл-Н)"1 ^ (1/2) -
Покажем, что §F'№fi)ldi < оо	.Поскольку	все	эти
(17)
интегралы равны, то ограничимся рассмотрением первого из них
Выполняя интегрирование, легко убеждаемся, что
iw)i~<2 £%V‘
S*A }•!
Фиксируем ее	Из (16) и (1?) сразу следует, что
|фт|.-|^«>1вм|чк*н1"*ж «
ISьчГ*-
$£А j-1	*	f	*
эначит, 5Е11ф<?)И ^	ь	b\emt)di-
Поэтому для доказательства суммируемости на R* функции Ф до¬
статочно установить конечность последнего интеграла. Для дока¬
зательства же последнего факта, в свою очередь, достаточно по¬
казать, что при любом tfeA интеграл
л iem-i
70

C-rff, С dh С dlm-i С 	•	dim
i/'£ J14 4~£ *W 2“t «V ^'£ I + - + 3f™*m I1'6”1
конечен. В последнем интеграле сделаем замену переменной ?т =
Имеем
Г 	Лт
^Гиг1 + ---+^*т1‘-ет
I&1	|^/я+1И/»	dy
,т7,	   ..	.	\	JVJ
Р1
< *
m-f
где £= sig'n {j>m 2	He	зависит	от	t . Рассуждая так и
j*i
далее, получаем, что
^)^(Йх>Юг||г,ве'8^1 <о°*
'г1	9	1
ибо 2**2лге >1 в силу выбора е . А
Пусть лбЛГ.Через Ап{т) будем обозначать множество
Определение 1. Пусть /епеН , а:еСт, Средними
Фейвра-Марцинкевича функции f называется функция
Mn<m,f,x) = л** £
Функции
Мл(т,1)=п-* J lyfj (i6CwJf
кеАц(т)
рптЛ} = 2тл'1^ (Д ZpsinfuJjjj rfu CieC"1)
называются ядрами Фейера-Марцинкевича,
Предложение 6. Пусть леМ , oreRm. Тогда:
1) если feLt{Qm), то
Mn(n,f,x) = (2nfm Г f<x+l)JUn{m,t)dt ;	<Л8)
vQm
2) если /£	ТО
Mji<*n*f,x) = <2nfm§^tnj<x+t>yn(m>i)0ft •
Доказательство. Опираясь на равенство 1.(14),
имеем
71

Мп<т,/,х)=<2ятГтп* Y, j* f<x+l)I>k<i)dl =
#£An(m) От
/<х+Ып*У DJl))di = (2яГт С f(xJrl)M (m,l)dt.
*4.	'	7
Тем самым равенство (18) доказано* Докажем (19). В силу леммы 4
функция J*n<m) суммируема на JRm* Применяя теорему 1, имеем
M„m,f,x)= 2 (n-i§kt*du)Sk<f,x)= С mf<x+l)<£>(t)di ,
*eAn<m) *l
где Ф<l)=л'^J”{f,(m,u,i}dtг * (2я)~т-у.п{т,1). A
Следствие 8. Пусть /eCf(Jm), леИ", cccF”. Тогда
= (20)
Формула (20) получается из формулы (T9) заменой перемен¬
ных в стоящем там интеграле.
Предложение 7. Пусть последовательность «„eF™ (леЬГ) та¬
кова, что <лп > От , lim ctn = О”1, функционалы Фл '• C<Qm) •* С1
л~* со	р
определены равенствами	,	где	функция
суммируема на Лт. Тогда
SUP8I = Мш. |Ф«|- С
TiCN	Л	ix>	i»
Доказательство* Неравенство sup J Фп | 4
4 J* т\^Щ^ очевидно. Поэтому достаточно доказать,что Пт ||Фл|>
^ Jpmlfrtlldt . Положим Кп ж1-я1м/ал, я1т/а,п ] и рассмо¬
трим функционалы : C(Qm)-+ € , определяемые равенствами
чуя-f	-(Д^ГТ
кХп	\	I*x	f	vQfn
В силу предложения 1*3
I *.1 -(ft «’Wifi	-	f	14<l)\dt.
' 2*1	^Vfn	иХл
С другой стороны, дяя любой f€ С(От)
\$х/<«»г)гг><11\< |	|+
72

щиш».	Отсюда	находим,
В дальнейшем придерживаемся следующих обозначений. Если
и S Lp(Qm)-+b(Qm)' то 1У1р означает норму оператора V . в
Lp(Qm). т.е. Wp-iXtpJPWlMb вСЛИ U:W>*~W*" то
||означает норму оператора V в Wm ; если U:C(Qm) -+C(Qm),
то JL7Jc означает норму U в CjQm). Полагаем
ае<т) = л	j	£ (ft ^ sin ШЪг ])da |di'•
Замечание 1. Пусть вещественнозначная функция
ipeJC{(Qm)f значение оператора U для любой /£•!»<#„> зада-
ется формулой Uif,x)°§	Тогда	-	I^So	=
•Доказательство. Очевидно, что j|^|c4 flj^loo^
< J \iD{l)\dl . С другой стороны, в с илу предложения ЬЗ §Щ€ >
*
Следствие.9. Справедливо равенство
sup {20Т.Г™ С j Лп {m, i) \ di = (m) »	(21)
Л£-N
Доказательство. Опираясь на равенство (20),
полыхаем, что для любой fe C(Qm)
= эe<m |/|»-
Значит, || МпШ)\с 4 эе(т). В силу предложения 9 и формулы' (20)
зе(т) 4 su^ J М„(т)Цс . Из равенства (18) и замечания 1 следу¬
ет, что рМп<т)^с=(2л)'т^ \dln(m,i)\dt.Осталось сопоставить
приведенные соотношения. А
^Ш^твиедо. Справедливо равенство
sufil-MnW)|.c * «ОЛЬ	(22)
Если | ^ р < qq ^ то
73

I	sug	II	Мл<т)\\р	4 &(m).	(23)
Доказательство. Равенство (22) установлено
фактически при доказательстве следствия 9. Сопоставляя предло^
жение 1.2 (формула 1.(17)) с равенством (18), приходим к нера^
венству \Мп(т)\р4	|Мп(т>ЦМ. Учитывая теперь след¬
ствие 9, получаем требуемое. тА
Леша 5. Пусть Ue L (Wm-+ Wm), |)£/f|H *» sup {\]U<f)$/y$\>
Тогда	**Am
Доказательство. Неравенство ^ ||^|j оче-
видно. Докажем, что	Пусть feWm . Учитывая не¬
равенство 1.(25), при любом п eNm имеем	*
х Ибл(Я1 < I! U 8я 1^1- Так как	(см.теоремы
1.2 и 1.3), а оператор U непрерывен, то lira | U(6n
п-+оо
= 1 u<f)\\ • Следовательно, | u<f)\\ = pm | U<6n(f))f 4 |(U{|H §/1,
т.е.||У[и||У||я. А	п+Хл
Теорема 8. Пусть g:Z+-*C9	(к	е	Z	), oL ~
=g{l-l)-2g(l) + g<l+il Тогда если	<&>,	lim
-<y(l-l))=0, lim gtl) lnm I =0, то для любой /e^i рядн
^	t	2~*+o&	oo
I! Akcfi(f>ei(x'k) и	сходятся	в Wm, ихсум-
мы равны (в Wm) и справедливо неравенство
2 а*ъфеих'*}1 .< *<тфЦ W-
.(24)
Доказательство. Положим
х)-0. Считая neN, п = {п,••■,»),feLj<Qm), имеем
2	-	^nSnif,X)	-fr ^ (Як~ Ak+im) Skif,х) =
k£l-n,n]™	л1	Jc£An(m>
*AnS„<f,x) + '£(g<l)-g(l+l))((l+t)Ml+i<m,ftx)-Ml(m,f,x))=
l~0
л-t
г-i
Пусть теперь feWm. Так как	4	эе<т)	ff	|	,	то
JltyilJV*.,/)! v< «wMj	(26)
74	™	М

отсюда и из сходимости рада JJJjfl вытекает, что рад
2”	сходится> а тогда в силу следствий 1.2.2
и 1 2.4 рад	сходится	в	Wm. Из условия J,imn<g(n)-
-gin-i))= 0 и соотношений (22) и (23) следует,что
-g<n))n\Mn<m,f)\-0. Наконец, из условия lim g<n).lnmn=0
и неравенства 1.(30) получаем, что lim g*m>fi5л(/)|-= 0 • Из ска¬
занного и равенства (25) уже легко следуют сходимость в Wm ря-
да 2 Л**Ф*иХ-к) и спРаввдливость доказываемого равен¬
ства. Неравенство (24) теперь очевидно в силу (26). 4
5? Остановимся на средних	т.е. суммах Фейера
для одномерного случая.
Предложение 8. Пусть /^, лейГ , жвЯ. Тогда
Доказательство, Так. как	А\п12^8т~,
то в силу равенства (T9) формула (27) имеет место для .тобой jtC.
На основании предложения 1,2 функция
У°°	si	n?{ntl2)
J-od
принадлежит € для любой	a	I/eX (l^L^) . Очевидно/что
•)££ для любой /сТр а о ,	Применяя теперь
лемму Т, убеждаемся в справедливости (27) для любой /eXj . к
Лемма 6. Пусть ряд ^кехМ\'\1 где лке € , сходится. Тогда:
Т) для любой £€L^{Qm) функция U{f)t заданная на ^фор¬
мулой	^k€jc(fпринадлежит C(Qm);
k€Zm
2) справедливо неравенство
М,,.- "В. ,11Ш/МЛМ4<2lr,'”£ «Iя*1 •	1281
f£Lt(Qm)'	'	9	kcZm
о)	имеет место включение U е Ь(Ь^(ОтУ^СЮт)).
Доказательство. Так как при ке Ът
<2лт)1сП/)|=1£f<l)eiihk,diU$
т	*	Qm	**Qm	75

«	1	(*«)■“	I M-
*€Zm	X£Zm
Отсюда на основании следствия 1.2.4 приходам к сходимости ря-
да У ^jc<f)el<x^}B C(Qm}(а потому U<f)eC<Qm))
и справед-
keZm
дивости оценки (28). Остальная часть доказательства очевидна, д
Близким к доказательству леммы 6 способом устанавливаются
леммы 7 и 8, приводимые ниже. Отметим, что при доказательстве
леммы 7 используется неравенство 1.(30), а при доказательстве
леммы 8 - предложение 1.6.	ш
Лемма 7. Пусть ряд	1^*|Ц h\(2+kp),	где ЯкеС9 схо-
p*i	—
дится. Тогда: 1) для любой feWm ряд 17(f)» У	сходит-
JceZ™
с я в 2) имеет место включение UeL (Wm ^
Лемма 8. Пусть ряд	1^*1* гДе	сходится.Тогда:
JcsNm
1)	для любой	ряд	Т	сходится	в	IV; 2) име-
ет место включение C7ei	-> Wm).
В определении сумм Фейера параметр п предполагался нату¬
ральным. Расширим теперь определение сумм Фейера на случай, ко¬
гда параметр neR+t положив по определению	ос)	=	0	и
, t* ^ .	2	+ i*, ?. 1 S\Ti^(zf/2) jq
если z в R+\JO}.
Предложение 9. Пусть fе Lv z>0, oceR. Тогда
6-»(/,»)= У (i-lk\/z)%(f)eikx .	(29)
A£C'2-2J	«	,	, ... <»«
Доказательство. Обозначим 2*
JtcC-2,Z]
через Uif,зс). Так как (см., например, [3, с.28]) при atyeR
e , sin2«?	/<я/2)(|о|-|у|/2),	если	|г/|ч<2|«|,
Jo ^ ~^	= I	если	|у|>2|«|,
то при keZ
i-1/cl/z, если
0.	если |A|>z.
Следовательно, ъг(е**\х)~ U(exki, х) . Отсюда ввдду линей¬
ности операторов <rz- и £7 на множестве тригонометрических полино-
76
- eikx

мов Ж1) вытекает, что равенство (29) справедливо для любой
feH(i)* Конец доказательства предложения 9 проводится так же,
как конец доказательства предложения 8. А
Предложение 10. Пусть	#eR,	Я^еС,
■+ д </с£%+), функция «рлК^С суммируема на F+* Тогда если
ОО	ГМ	ОО
(30)
ОО	ГМ	оо
2 *2l4l < 00 >	J z2\f(z)ldz	< со,
-fc*i
Л СО
2^ (l-k)<$t = J {z-k)^(z)dz (k€Z+)t	(31)
z«A+f
то справедливо равенство
Г00
У	*	j Z<f<Z)Sz(f, X) dz .	(32)
Jt=I	0
Доказательство* Из соотношений (29) и (28)
вытекает, что	<z*l)|[g-J(I	для любой g^Ll% а потому
£*1411 <W>M JУ |j £ *<*+п|<Г*|,
А'=1	Л=1
ч< l/Ij £ Z(Z + »|f{8j|rf2.
Отсюда, учитывая условия (30), обычным образом получаем, что
функции	и	ИРИ~
надлежат С, а для операторов U и V справедливы включения U,
VeLiL^+Lj. Поэтому в силу леммы 1 достаточно доказать (32)
только для функций fd)-егР^9 где p.eZ* Опираясь на (29),
имеем
^o’z(f<z)ez(eipitx^dz j!j^f(z)z(l-\p\/z)dz* егрх
Осталось воспользоваться условием (31). А
Замечание 2. Пусть числа Д^еС (keZ+) таковы, что
^	^ • Положим	+ А^.Тогда
яри	справедливо	равенство	»ЯА..
^Доказательство, Имеем п
А*=1 (А2'ДМ) * £ Ь» i-A:)-(Z-w|arAz+1)= lim j J <М-кЦАгЛм) -
***	z**	'
77

- у <1-тГЛы)\ =Iirn !У (ШХ	-Х,)- У (г-»(Д -Я;+1)| -
им	* *~1Ямя	им ж	1
*л1»1(Л+1'*,(Л"";гл+{) +	= Х(г-Л^‘ ^
Z=>r+-1
Замечание 3. Пусть функция <р:Р+-€ имеет произ¬
водную, абсолютно непрерывную на каждом отрезке, содержащемся
в [0, *f оо), и пусть lim<p(x)	limxv'ioc) = 0. Тогда ю(к) =
*t4«	*	*-*.	+	»	'	1
«^{z-k)^\zydz при к£ Z+.
Доказательство. Имеем
(p{*>=4im -J^<p7zkfyz~A)«iim^{z~Jc)(f"(z)dz,=:^{z-k)<prr(z)dz. А
Замечание 4, Пусть /elj, хеП , функция <р:К^С
измерима наР+ и такова, что J°°{z+I}“jcp(z)|dz<oo. Тогда
Л со	/»+ой
^z(f<z)62{ftx)dz * J cof<x^'	,
где	TCfU	= г^г^Г1 j*o <pfz)svnz{zil2)dz .
Доказательство. Опираясь на условие j\z+l)2*
*|<f(z)]rfz <«> и неравенство 1<V^||oo^z+^ f^li» справедли¬
вое для любой gzLl9 нетрудно установить, что функция p(z,l) -
y<z)f<x+l}i'm2sin2 (zi/2)	суммируема	на К+*К . Следователь¬
но, по теореме Фубини в интеграле
1 + 00
T(Z)\J wf<x+trt~2&K2\zi/2)dljdz z<f<z)6z{f,x)dz
можно изменить порядок интегрирования. Осуществляя такое изме¬
нение , подучаем требуемое. А
§ 3. Средние Абеля-Пуассона и средние Марцинкевича
Т.° Определение 1. Пусть feLl<Qm)t re[агеР”!
Средними Абеля-Пуассона функции / называется функция
рг </•*>" 2(П	(1)
Ке7Г 1=1	/
функции	"	f	2
9Г{1> = П I + r2-2r cosг
l*I	L	I	*
78

называются ядрами Пуассона.
При die.Rm, <м>От полагаем P£<f,x)= Prw)(f,x), ^(i) = frw(D ,
n*<l)=fir<cc>(i)' где	Очевидно,	что
Определение 2. Пусть	re[0"Jlm),	х	е.	R2m	■
Средними Марцинкевича функции / называется функция
•y/.w-ino-'HjE (ЛК'Н^*1-	(2>
М	JceBm	Z-l
Функции m	~	, Л ,	,
7 TT tf-rlnlt+rl)2+2rl(ca$ti + cosll+m))	(i*C2rn)
W <1+r!~ 2rlCOS {il+ll+m^1 + ri ~ 2rzcos ~ll+m )f
у г; - sm ft anV<v0^lV(V^m>2)
называются ядрами Марцинкевича.
При обеКт, oi > Om полагаем
Определение 3. Пусть feL^O^,), re [0,1), r e J?m. Средними
Абеля-Пуассона-Марцинкевича функции / называется функция
Лг<™,/,#)=? (1-r)	rkiSk(fiX).	(3)
Jc€ Ат
Функции	^
Jfr^w7^) = (l-r)^ г tDk(x),
pt<rn,x) = 2m ln( I/r) [^U JJ x^siniux^du (r>Q)
называются ядрами Пуассона-Марцинкевича.
При 06eRrc6> о полагаем П*(т«,/7х)~Пе.*(7тг,/,:*:), Я*(т,х)*
-	р*<т,х) = (ттг,л:) .
Замечание 1. Для любой S&Lx(Qm) ряды, стоя¬
щие в правых частях равенств (1) и (3), сходятся в простран¬
стве С(От).
Доказательство. Сходимость рада в формуле (1)
легко устанавливается с помощью леммы 2.6. Докажем сходимость
Ряда в формуле (3). Так как |с^(/)|^(2я)‘т| / ||j , то
79

У r^f-УЯМ	X rki(2kt+i)m< <*.
*eAm	*eAm	.
Отсюда в силу следствия 1,2.4 вытекает сходимость ряда У г
в С/©*). А	*=*"	*
Замечание 2. Для любой feLt<Q2m) ряд, стоящий*
правой части равенства (2), сходится в пространстве C(Q2m) ,
Доказательство замечания 2 аналогично доказательству схо~
дам ости ряда в формуле (3).
Замечание 3. Пусть ге [0,1) . Тогда: 1) при tsR
-fOO	^
= Y r,k,etki= (1-г) 2	(4)
*«-»	*=о
2) при fel?2
(1-г) T*tDkii).	(5)
АеВ1
Доказательство. Установим сначала равенства
(4)* Опираясь на формулу 1/1.(5) и полагая Т>^(1) - 0, имеем
^	Ч-оо	ОО
“	- £ r^D^l) = (1-г) 2 r*Dk(l)‘
ft* О	Jf=0	Л=0
Простое доказательство (5) основывается на определении ядра
Дирихле и формуле 1.1.(30). i
Предложение I. Пусть /Е1,г<Ят), re[Om,im), хеИт. Тогда
Pr<f,x)= {2<п)~т Г ftx+l\3i<i)di,	(6)
v(3m
РТ</,Х)={2я!Гт§Rmf(X+l)firii)dl (r> Om>. (7)
Доказательство. Фиксируем jc и положим при
Л€^Г,?еНт	т	,
/©^(Ппktl)е~м'к)
/теХ-п,*]"»	4-1	7
Очевидно* что	^	„(Им2*/*'*)'	Учитывая	пф--
вую из формул (4), легко понять, что Vn<i) при п-+оо всюду на
R сходится к функции f<x+l)(Pr<i). Применяя теперь теорзмуТ.1.
получаем
=Sjb™W>)cli = Jt£ $Qmvn<t>M~
60

*eZm M	m
Замечая, что
j f{x+i>eulk)<ii ^^S<i)eua-x)k)di=(2^)mcK(S)ex<
приходим к равенству (6). Докажем соотношение (7), Опираясь на
формулу (см., например, [3, с.17])
f °° cosи\ dz^£- е~ли <«>0, .и»0),
Jq а2 + zz 2ot
легко проверить справедливость (7) для функций вида е1<х’к>,
где JceZm. Отсюда ввиду линейности обеих частей формулы (7)
следует справедливость (7) уже для любой feH(m). На основании
предложения 1.2 функция Ш/,*) = (2лГт^ки f<'+l)[ir<l)dt принад¬
лежит C<Qm) для любой f€L<Qm), а 1/е1а1«?от)-Д1«?т)).0шфаясь на
лемму 2.6, легко убеждаемся, что Pr(f,')e €<От) (этот факт уже
отмечался в замечании 1), a PTe.L(Li«im)-+Ll(Qmh Применение леммы
2.1 завершает доказательство. А
Следствие 1. Пусть /e£j(Qm), x.oieR"1, ai>0” Тогда
«'/•*>* г» (Я rhr)dt
(3)
Равзнстзо (8) получается из формулы (7) заменой перемен¬
ных в стоящем там интеграле.
Предложение 2. Пусть re[0m,Vn), x.= J?2m. Тогда:
1) если j s Ь{<02т), то
4(/.л-) = {2яГгтС j(x + l)}ji)dt ;	О)
2) если feC<Q2m) , г>От, то
Jr(f,x)*(2str2m ^fiv+HfcUdt.	(10)
Доказательство, Так как при ire £ s JR2m
спРаведу1тлВ0 неравенство	£	Лг*\(2^+()2,	то	ряд	S	(t) =
(ТГ гМш!)''сходится равномерно относительно
г р2тп W"t м 7 *
• Опираясь на формулу (5), нетрудно убедиться,что £(£> =
ЛЛ*) • Учитывая определение сумм Jrif,x), применяя равен-
СТВ0 ^*^4) и меняя порядок суммирования и интегрирования (за-

конность этой операции легко обосновывается с помощью теоремы
1.1), имеем
<f,x)=<2яГы(fjd-n)) 2 (П г11)f №+ЩШ1=(2п)2тС f<x+m)dl
к keBm \ 1-1	*	@2т	J$2m
= (2^)'2wf f(x+l)]r{l)dl.
™2т
Равенство (9) доказано. Докажем (10). Полагая Х=Цт [кй,1с+1]
~0£	-	Р=	1	гг
при кеВ , гг*е 1	и применяя теорему 2.3, имеем
Vf'x) = (П “JJgJ Syjte~f*'U>du)Wx>~$F2
где	<P(i)= (П	g<m' и> t)du •
Опираясь на формулу (см., например, [3, с.23])
f°Vuzcos xrzdz - u{u2 + z/zyl (и > 0),	(11)
Jo
непосредственными вычислениями убеадаемся, что
Лемма 1. Функция
^П^-j е~и	(leRm}
суммируема на R™.
Доказательство. Пусть E0=[Omt f™], i^={ f
:^>i) (} = 1'т)>	= J*0 е~и(П sin(lju)jdu {leRm),
: ^ = ±1, } =	|. Рассуадая^, как при доказательстве леммы 2.4,
находим, что fn„lpi)ldi 4	Ss0^{i)l<ii^Soe'Uu^u<
<со, j(f(i)j4li^jJJ%"uudu	Если	(m/2)€N, то, выполняя
интегрирование (при этом используется формула (11)), имеем
I гщ < г1- X (1+(| ¥if)- < г"» V |£ ify
Если же tfm+o/2) с N, то, выполняя интегрирование, при котором
используется формула (см., например,[3, с.71])
§ e~uzsinvzdz * i/fu2 + и2)'*	< и > 0),
имеем «!	i	,	*1	f	Л
и>1 «“2 I «лИ2 М)Т< г""2 I *л
82

Остальная часть доказательства очевидна в силу доказательства
леммы 2 *4* ^	^
прот^ожение 3. Пусть ге[0,1) , aeR . Тогда:	1)	если
то
Д<т, f, х) = (2л)'т jQrJ<x+?)3lr{m,t>dt;	(12)
2) если feC(Qm), r > 0 , то
Пг(т,/,а:) = (2лГт	(13)
Доказательство равенства (12) аналогично доказательству
равенства (9). Докажем (13)* Положим г=е~°\ Из суммируемости
функции $ (см. лемму 1) на R+ легко выводится суммируемость
функции J (e’auJl ^f5in (ui^du на JRm, Применяя теорему 2.1,
имеем	*+1
Пг(тп ,/,*) = «2) (Г e'^dujS^f.x)*
JfceAm
= eij	(e'aun^fs'm(u!z
r«	0	R«
Следствие 2. Пусть feC(Qm),a>0, xsR771. Тогда
П*(лг,/,а?)*(2л)_я*§^mf(x+&l)p*<m,i)dt.	(14)
Формула (14) получается из формулы (13) заменой перемен¬
ных в стоящем там интеграле.
Следствие 3. Пусть Je €{Q2), сО0, хеЖ2. Тогда
K(2'S’x)=£>§r2-r+fy-igpm+iii+w di' (I5)
Следствие 4. Пусть re[Om, im), 14-p^oo , Тогда:	1) для
любой f eLp(Qm)
iPr<f>tp < l/j|? J	46)
2) для любой feLp<Q2m>
< |/1я.	4V)
Доказательство. Очевидно, что iPr<l) ^ 0 при
Jr(i) > 0 при I еР2т . Полагая в формулах (6) и (9)функ-
111110 f товдественно равной единице, приходим к равенствам J* tPr<i)*
yr(lidl*{Zrr)2”]Учитывая теперь формулы (6) и (Э)^ при-
**	83

меняя предложение 1.2 (формула 1.(17)), получаем требуемое. 4
В дальнейшем
Следствие 5. Справедливо равенство
sup (2яУт\ |ЗГr<m,i)\dl *=&т).	(18)
ге«ш “вт'	'
Доказательство, Опираясь на равенство (14),
получаем, что для любой JeC<Qm) при ге (0,1)
(Inr^./)|U < \U\
Значит, |lTr(jm)|jc4^'(w). В силу предложения 2.7 и формулы (14)
&<т) 4. sup |jll*(wi)flf = sup |ПГ(^)|С.
ОЬ>0	r£(0,t)
Из равенства (12) и замечания 2.1 следует, что \\Tlr<m)J\c= {2х)'т>
J0 \3lr{m,b)\dl. Осталось сопоставить приведенше соотношения.!
Следствие 6. Справедливо равенство
sup |Пг(т)| * &<т).	(19)
Если 1 £ р < оо , то
sup j|nrfm)|L « dim).	(20)
г<?«М>
Доказательство. Равенство (19) установлено
фактически при доказательстве следствия 5. Сопоставляя предло¬
жение 1.2 (формула 1.(17)) с равенством (12), приходим к нера¬
венству )(Г1Г(м)|^ 4	J%r(mtl)fdi .	Учитывая теперь
следствие 5, получаем требуемое. 1
Предложение 4. Пусть	г[Оу1)г	xeRm. Тогда
nr(m,f,x) = J г*с*(/>еих'к>,	(21)
*£Zm
оо
nr(m,f,x) = (i-r)2'£r*(Jc+l)Mk+1<m,f,x).	(22)
л-о
Доказательство. Равенство (21) получается при¬
менением к Пr(m,ftx) предложения 2.5, равенство (22) - приме¬
нением теоремы 2.8. При этом следует иметь в виду, что рдды,
84

участвующие в равенствах (21) и (22), сходятся в C(Qm)f а, сле¬
довательно, их суммы непрерывны* (эти факты устанавливаются про¬
стыми рассуждениями, аналогичными доказательству второй части
замечания 1)•А
Предложение 5. Пусть /alp re (0,1), xeR. Тогда
пг< =	rzz6z(f,x)dz.	(23)
Доказательство. Положим Лсл)=гг, Аа=Л{А) ,
ю(2)=Л"(г), <^.=Л.а_1-2Аа.+AA+I = r*"f(I-r)2. В силу замечаний
v-фСО	»	Л оо
2, г и 2.3	(z~k)(f(z)dz	при Л'£Z+. Применяя
теперь предложение 2.10, находим, что
ОС	^
(1-г )2	г*Г*+	f)6A+1	=	{lnrf%	rzz <зъar> dz.
*»o	0
Осталось воспользоваться равенством (22) при лг~ 1. А
2? Определение 4* Пусть /eLJ((3m)r £>0, re[Om, im),
areRm. Средними Абеля-Пуассона-Харди с по1сазателем функции
/ называется функция
Замечание	4. В условиях	определения	4	функция
PHr<$tffoe) возрастает	вместе с •$ на	(0, оэ). m	w	^
Доказательство. Положим <Г= Д (Ьг,), £(&)-Г1 гг К
i=i	i=i
Пусть 0 <$'<$, Р =	Применяя	неравенство	Гель-
Двра для сумм (см.следствие 1*2.3), имеем
рНР<Ш,х)” J	^
JtcZ m
Ф(2«*’Г(2	■	wrW/.*/.i
Замечание 5. Для любой fcLt(C*т) ряд, стоящий в
(правой части формулы (24), сходится в пространстве C(Qm}.
Доказательство замечания 5 аналогично доказательству вто¬
рой части замечания 1.
8Ь

Теорема I. Пусть feLz(<2m), r£[Om,im), зге К™ Тогда
PH2<f,X) 4 Pr(\f\2,x).	^25)
Доказательство. Положим ys{xv...,xn,xv..,xm)
и определим функцию g,:K?m-*-C равенством	)	х
* Stim+i *2m>* Нетрудно понять, что
PH2r(f,x) = Jr(g,y>,	(26)
а, значит, в силу предложения 2
PH2 (f,x)= {2я)"?mJ* g<y+l)Jr<l)dl.
Применяя неравенство Буняковского (т.е. неравенство 1.2.(7) при
р » 2), имеем
PH2<f,x)4
-(2n)'?mJ	3rm+?m)fpr7.<l)di.
Далее, принимая во внимание (см.(5) или доказательство предло¬
жения 2), что
М	л<?вт* i*i 7
равенство	2srr при лс Z+, а также (см.(4)) соотно¬
шение	т
£ш = (ПМ2	<^кт),	(г?)
w	г	/
находим .
Г |/f	хт+1т)\2}гЯ)	di	=.
2m	m
= (2ЭТ)И(' Afix+ltfQiim = {2я)гтеРг(|/|г(х).
Осталось сопоставить полученные соотношения, 4
66

Предложение 6. Пусть feLJQm), re	xeRn.	Тогда
m	с тп
Pr<f>*>=\№'n)) Zm(n rtl)	(28)
Z—i	jsj
доказательство. Обозначим через 8 ne(k) coot-
ответственно п: *f(brz) и	Фиксируем x и положим при
ч «ъ /Л
пеН, ie*
Vnf<x+i)e(X)Dj.{l).
k€lO,n]m
Так как	i	H™f< 2.^+1), то очевидно, что
771
|Vn^|s<|j4*+?)|<F X Ш)Ц(2кг + 1).
Kezy 1=1
Учитывая формулу (27), легко понять, что	при	п + оэ всю¬
ду на Rm сходится к функции f{x+l)iPr(l). Применяя теперь тео¬
рему 1.1, получаем
С f<x+t)Q<i)dt =( (li mVJl))dl~ Urn С Vn(b)dl =
JQJm	Г	JQ^n+co'n	n-coJQm 71
s(k)( f<x+i)Dk{l)dl = (2л)т<^У Е(к)Зк(/ух). A
*ez™ Qm
Пусть функция ср.-Б+^С измерима на R+, peR™t p>Om. Функция
m
?>>= (Па) Jk? е'<р'г’ <р'г,<гг
называется преобразованием Лапласа функции <р. Имеются обшир¬
ные таблицы преобразований Лапласа для конкретных функций, за¬
данных на Р+* (см. .например,[3, 24], полезны также книги [18,58]).
Условимся для leRm через [I] обозначать ([ij,..., [ fm ]} .
Пусть feLi<QM), х eCm, left + . Расширим определение сумм
фУРье S^if) на случай "нецелого не отрицательного" параметра i ,
положив по определению ^(f>x) . Тогда в силу пред¬
ложения 6 средние АСелл-Пуассона можно записать так:
V. « - (ft*!)!.*'"-'4’. «*><« •	(28'>
Z=1	Н+
Далее. исходя из определения средних Аб еля-Ilyac сона-Харди, л ег~
К0 ИОНЯТЬ, что	m
РНЦМ, X)*.	|	St<f,xi\*di.
87

Таким образом, средние P*if) функции / совпадают с преобразо¬
ванием Лапласа функции Sf(f> , а средние	функции/
совпадают с преобразованием Лапласа функции fSj </)|* .
Следствие 7. Пусть feL2<Qm), re[Omfim)f a?eFm. Тогда
S (П r*'))V/> *>{* 4 2 (П Г11) S*< Ul2.*)-	(29)
aszj'ni '	JtSj 2*1
Для доказательства (29) достаточно принять во внимание ра¬
венства (24) и (28) и воспользоваться теоремой Т.
Следствие 8. Пусть fe€iOmh #€Fm, функции	Я
(^ = 1,лг) измеримы, неотрицательны и таковы, что
§0g}Weudu <oo,^g.(u)\\nu\^du<oo,^г>=(П(^+1))'!
Тогда
(30)
J gb+imW*y]sf'(f,x)f 4 £	(31)
*£ Z™	Jtcsy
где g* - преобразование Лапласа функции g .
Доказательство. Докажем сначала, что в' усло¬
виях следствия 8 функция
m *	УЯ
a{i,z)*g<i)e~il i >е~( Д lniz{+ 2)
г*1
суммируема на i?* * F™. Для этого достаточно установить сумми¬
руемость функций
gj<ipe~%e~bzi ln<zj + 2)	(32)
яаЯ+хЦ+, что, в свою очередь, сводится к проверке справедли¬
вости при I -* Of равенства
J* elz\n{z+2)dz » 0{lmml\lnt\).	(33)
Считая ? > 0 и интегрируя по частям, имеем
JVtaln(z+2kfe-i$2- + j-jo ~£idz '
Но (ом. [63. с.56, 57])
Я-1

Q л = 0,57*.. - постоянная Эйлера. Отсюда легко следует
гд® о
С 33) *
Приступаем к доказательству (30). Из неравенства (29) сле¬
дует, что
^e'{i'Z)\Sz^x)\2dz < jn?^'z>W|2,*)rfz	'.34)
при любом г >От. Значит,
In?	V/>	*)\Zdz)dl	4,
Изменяя порядок интегрирования в обеих частях последнего нера¬
венства, приходим к (30). Изменение порядков интегрирований за¬
конно: в левой части неравенства это следует из неотрицатель¬
ности подынтегральной функции, в правой (заметим, что в силу
неравенства 1.(30) max | Sz{\f\\x)\ ^ А упэос^ j/<'tf)]2]7™Ito(zz + 2))-
из неравенства Х€Р	Х£Р
|g{l)eibi )e~(°'z>$z<\f\2,x)\ 4
где А - абсолютная постоянная, и суммируемости 6L{l>z). Не¬
равенство (31) устанавливается аналогично. А
Следствие 9. Пусть fe€(Qm)t х,а,Ъ€.Кт, a,<x>Om, ге(От,
1т), к{a,i) = (JI (tj + lfi) I Тогда
Sgm |	W>e"'’M)di < iRm5«(l/l(35)
X	^	Y,	^(\f\\x)h«t,k)flrlkl. (36)
*«"	***	JsZ?	2-1
Доказательство, Положим в следствии 8 gil) =
я»	С>
" П&лМ. где
J	0	при	0	f
^ ^	при	ij	> oij .
Тогда g*(p)=e~<<*‘ P}JI pj ~a* • Значит,
R+	89

Неравенство (35) доказано* Неравенство (36) устанавливается
аналогично. А
Следствие 10. Пусть 2£р4оо, fe Lp{Qm)t r€[0™,Im). 'Тогда
l™r<f>tp < М,-	OV)
Доказательство. На основании (16)
IPr<t/|2Vv<lll/l1p/2=IUIIr
Применяя теперь неравенство (25). находим, что
ч< \\Pr(U\2)\\?(2 4 «/I" • к
зЯ Теорема 2. Пусть JeLf{Qm), areR™	~	4юкся-
рованная последовательность неотрицательных чисел, 0 < ^ 4 2,
т* € 4	I ^ |
{Jzm(AA(П(Ьгг)rf')'^)2/‘4‘j* *воли i<2, m)
dh( ^ Па'гг,гг*'Г)1/2' еслп * *2*
Тогда
L.
JteZ™
(I ^V/.*»!*)^ <	<39)
KeZ™
(2	^,г)(Р,(|/|2,х)),/8‘	</*1гЮт)М40)
AeZ? *
*•	7П
Доказательство. Положим <У-П<1-г,>,е(А)=ТГг*г
г-1	1	г-1	1
/>=2/?, у- p/(p-i)=2/(2-j). Будем сначала считать, что $< 2,
Применяя неравенство Гельдера для сумм (см.следствие 1.2.3),
имеем
У \|У/.*>|#=2 Л*' Se<k)f*l2($£<k))^/гI^(/,JC)I^
4**;
Отсвда следует соотношение (39) при £< 2. Бели же £ =2, то
2 AjtlV/»|2i( Slip■ (^(^e(A))*1)) J <fo*)|y/>*)|2 “
*сг;	*eZ?	*«z™
= Хг{2,г)РНгг<£х).
90

Тем самым неравенство (39) доказано. Для доказательства нера¬
венства (40) достаточно сопоставить соотношения (39) и (25).А
Следствие 11. Пусть	feLp{Qm), {Як)^£Хт
фиксированная последовательность неотрицательных чисел, 0<Ц4 2 ,
постоянная JUj,r) при re{Om,im) определена формулой (38),
x(^vfW,rb Тогда
||(I A*lV/>lf)V#||
Доказательство. Сопоставляя неравенства (39)
и (37), получаем, что при ГЕ(От} \т)
Id >|*Н <Л#.М|Л,-
|\>£Zm	/	lip
Отсюда сразу следует (41). к
Леша 2. Пусть /eC(Qm), re(0,1), (p/2)eN . Тогда
а-г)1 г*1|.уя)р}^	^	(^(pm))f/P|/|M .
AeAm	*	'	w
Доказательство. Для хеЯ положим уЛ = С ас, х,
.... *)е!?рт и определим функцию g:F^m-+€ равенством gfi) =
= jf ^ji	f	^•»	^	* f^rn(p-L)+i**va' 7np
Нетрудно понять, что
(1-г)]£ r*<\Sx.(f,x)f = TIr(rjp,g, 1/д.),
кеЛт
Учитывая теперь равенство (19)? имеем
лед'71
ч< IП f Onp.g)^ i {Ъ(рт» VP ]|gj| VP = {fr(prn)}UP у L. A
Теорема 3. Пусть f€C<Qm)t	- фиксированная
последовательность неотрицательных чисел,з»0, Щ)*№)[-$/2],
%i.«f Н	' I
0,111	f Я,
Тогда
|(S	*	ячч*'™Ы’»'/ири\--	us)
*eAm	'
91
при ^ < l<j),
при

Доказательство. Положим е(*)=(1-г)г ** 9 р ^
88	Ъф1(Щ)-$).	Будем	сначала считать, чт0
. Применяя неравенство Гёльдера для сумм, имеем
2 A*IVi>|*-E AJtearI//’£^)V?jsA(/)|!?4
* €Ат	к€Ат
<dj	«*,1	ад,|*'Т.
V«Am	7
Применяя лежу 2, находим, что
"jceAm	1,03	AeAm
Отсюда следует соотношение (42) при $	Если	же
4.°Через Kw будем обозначать множество |^eRm;
Определение 5. Пусть jc,/i£Cm, DcCm, при любом ^eKmточка
x+jhel), ре [0^1	f:D -►€. Тогда полагаем
e<P,h,f,x) = J (П
$(A9f,x) = &(Om, А,/,х)-27У(х>.
При определении величины <£7 А, /, х), называемой централь¬
ной разностью второго порядка функции / в точке х с шагом h ,
естественно дополнительно предполагается, что xeD.
Лемма 3. Пусть	[-^^Jw, re ff m). Тогда
(2л Г™ С 9r(l)dl = I,	(43)
dQm
(2яГ2т$	(44)
lim (2л )‘m f ^r<l)di“ 1,	(45)
lim {2п)'Ьп(	;r(W2=i.	(46)
r>t*n	оАы
92

доказательство. Равенства (43) и (44) уже от¬
вечались при доказательстве следствия 4. Установим соотношение
1л.ь) Для этого в силу (43) достаточно показать,что lim (!Pr<i}di =
tx 0. Доказывая последнее равенство, ограничимся в це¬
лях простоты изложения случаем ж = 2. Прежде всего заметим, что
при и€[-п,я] , ре [0,1) справедливо неравенство
<1-р2)и2
oi(u)=-7—5-Ц v< Я^П-рЬ	(47)
'	1	+	-2pcos	и	г
Действительно,	f	_	2
и(и.)=	~—*-
0^2 4^_	2и	•
и?	112 Sin 2
Из этого представления видно, что ot(u) возрастает на <0,я] (ибо
(sinu)/u убывает на [0, зт/2] ). Поэтому
а<и) £ &<%)=	^	я2<1-р)	.
1+р	1
Учитывая, что одномерное ядро Пуассона - четная неотрицатель¬
ная функция, неравенство (47) и одномерное равенство (43), имеем
4	+	z^h)	4	4n3^^u2duJ(2-rrr3).
Следовательно, lim 4	=0.	Теперь	докажем	равенство
r+i2 Jq2\a2*
(46). Определим функцию geLoo<0m) на Qm соотношениями:
а 1 при хейт, g(oc) = 0 при х€ Лт . В силу замечания 4 и тео¬
ремы 1
-Рг <£,о771) 4 PHr<g,о7") ч< pV2(g,От).
Отсюда, учитывая равенства (6), (9), (26), приходим к неравен¬
ствам
(2я]~п$& ?г<ши((2я)-гт^ }ГШ1)1/24(<2я)т^ Фгат)ф. (48)
Осталось перейти к пределу при г-+1т в неравенствах (48) и
воспользоваться равенством (45). А
93

Леша 4. Пусть при re(0*lft) функции ¥r:Km-*H + удо¬
влетворяют условиям: а) I Ф <l)di 4 X <«>, б) при любом
JRm г	*
Фиксированном S> 0 справедливо равенство Им I Vr(i) di =0,
r+fn Jpm\ г * #ЛТП
r+in ^пт\1~^г
Тогда, если ot€(J!co(Pm) , iim ом?) = 0, то
i+om
lim f	- 0 .	(49)
Доказательство. Фиксируем s > 0 и найдем та¬
кое £>0, что при [-£,	выполняется	неравенство	|об(?)|<
< в . Теперь, опираясь на свойства функции	имеем
|£,„<мЯУ,<*х«|< е* +	-
 >. Кг.
r-+i*
Таким образом, Urn	Отсюда,	принимая	во
внимание произвольность 6 , приходим к равенству (49). А
Предложение 7. Пусть при ге(0*1”) функции % z&ootQm'}
удовлетворяют условиям: a) V?r(i)^ 0 при ie Qm, 6)^%(l)di-
- 1, в)	¥г(?) при I € Qm ,	г)	при любом ” фикси¬
рованном <?e{0,jr) справедливо равенство lim f	¥,/I )di	= т.
Положим Ar(f,x)~i j<oc+f)4?r(l)dl. Тогда: 1) если f€Loo(Om)i
т
seC и в точке о:е£твыполняется равенство lim 6(0	^
- 2-5 , Т0
lim Л {/,*) = s ;	(50)
г-»1я	1
2)	если	то
М™я|/“АггЯ||	(51)
Доказательство. Сначала докажем (50). Опира¬
ясь на свойства функций , имеем
IV/.*)-sh|fe <f<x+l>-s)%H>dl |=|^оя]и(е(От, tj,x)-2ms)%<im\{
■I
[О,Я]"
94

где	Очевидно,	что	o^K2m(||;f||^ |s|) при
le[0^]mi	~ О* Осталось применить к последнему интегра¬
лу лемму 4. Докажем равенство (51). Принимая во внимание тео¬
рему 1*2.8, легко понять, что
|/-М/>!=	||л-+г)-/мЖ«>а?г	=
= С cKDVJDdl,
jQm
где as(2) = JJ;f{-+Z)-/(*)||. Очевидно, что c^K2f/j| при I й От . С
пвугой сторону, учитывая равенство 1.(15), имеем O^lim ottf) i
AFJ	?>om
< Цт o){ff\l\)= 0. Следовательно, iim оt(l) - 0. Применяя к
N in+о *	*-om
последнему интегралу лемму 4, получаем требуемое, А
Замечание 5. Из доказательства предложения 7 яс¬
но, что справедливо следующее утверждение, усиливающее вторую
часть предложения 7. Пусть при ге<0*1л) функции VreJ^iX)(Onj)
удовлетворяют условиям: a)	0 при 1е От , 0) f 4Jl)dl ~
От
- 1, в) при любом фиксированном S'eiO^jr) справедливо равенство
lim ( 4?Jl)dl= 1. Тогда для любой fzWm при р> О
Теорема 4. Справедливы следующие утверждения:
1) если feLooiQm), seC и в точке ar€*Rm выполняется
равенство lim e(Om, ltf,x) = 2'% то
2-om
lim Pr(f, x) ~ S ;	С52)
2) если f£L0o(Q2m),S£C и в точке эсеР2/71выподнлется
равенство lim e(02mf	то
г-о2от
lim	(53)
3) если /,6 Wm, to
Йт!|7-Д^М1 = °;	<34>
4) если fe W2m% to
Э5

Доказательство. Принимая во внимание лемму 3,
нетрудно понять, что функции	к (2st)~2rn}T(i) удовле-
творяют условиям предложения 7. Учитывая равенства (6), (9) и
применяя предложение 7, приходим к доказываемым соотношениям. А
Замечание б. Справедливы следующие усиления со¬
отношений (54) и (55). Пусть р> 0. Тогда: 1) если	то
1Ьп <2*р*С	=	0;	(56)
r~l<*	Н
2)	если f ~W2rn > то
lim <2jrf2m (	=	0 .	(57)
Доказательство замечания 6 основывается на замечании 5.
Теорема 5. Справедливы утверждения:
1. Если fELooiQn) , seС и в точке ссеВт выполняется ра¬
венство lim 6(Om,£,/,aO = 2ms, то
lim PHy{f-s,oc) - 0.	(58)
r-»im
2. Если /еС«Зт), то
(59)
3. Если 2ip (со, feLp<Qm) . то
«о.	(60)
Доказательство. Сначала докажем (58). Рассу¬
ждая так же, как в начале доказательства теоремы 1, получаем,
ЧТ0 PHr(f~S,X) = |< 2я f ?mj^( f(x+laihs)(f<x+l!>')-I)Jr (t)dt jI/2,
Отсюда, опираясь на равенст-
00	s	справедливое	при	$€K2m,	нахо¬
дим, что
где	)в(0"| l(i\f,x)-2ms ||e(0"	2ms	|.	Очевид¬
но, что &{l)4 2*m(|/J|e0+ |i))?, lim oe<i)»0. Осталось применить
96	{~°!m

последнему интегралу лемму 4. Докажем равенство (60). Приме¬
няя теорему 1 и равенство (56), получаем
ЦРВД-/М, - Л, ч< 1(Р,(|/-/(-)|2, •))1/2||р =
Соотношение (59) устанавливается аналогично. А
§ 4. Суммы Рогозинского
1? Пусть 7i€Z+,JceZm, <*,}еСт, л + ^JV7". В § 2 была
введена величина
, ^	*	п(2Я+<*>)
Ьп,*<1>*) = <2л+$) '
По определению положим
&.*<*>« уя.* (Iй,О"),	3^(2)	(l.w.	I”1)»
уя>*«Л о™),	i4*(4)=i/n.*<0m,fm).
Далее, если jseZ+nfM]™, то
Чп,к <Р> - I !/Я1,к№>> ■ • •' Улт,*т </>»»•
Там, где нет опасности недоразумений, в случае, когда Z £ Rm
служит индексом, вместо	пишем	1т	.	В	соот¬
ветствии с этим величину	часто	обозначаем просто
^ !„• m _
Пусть	1>сС,	x,hi=€1	причем	при
точка {х±Щ2)еВ. Тогда налагаем
8Т(к, /, а) = j? (- i )* с* / {*+ (г-2к )А/2).
Величина $rOi,f,x) называется центральной разностью .г-го по¬
рядка функции f в точке х с шагом Я .
Пусть feLv neZ+f TeZ, хеС. Тогда по определению
=Шх+УплА+Зп<£х-у^а)) + 2 <-1 )z+Icos (ynl {t)/2)Sn<f, х),
97

Rn,i<2’f>x)“ •У/,*+Ул,г<2»+ sn(f<x-yn,i<2))'
P*,i<3j,x>= Sn(J,X4 ynrl<3»+ Sn(f,x-yriil<3)) + 2i-i)MSn(f!x) {леЩ
Рп,1<4^)= s„<J,*+yn,i<4)) + Sn(f, x-ynJ(4)) (neN),
Pn,l<5>f>x> - Sn<J. »+*/л,г{1)> + Sn<f> х~Уп,1<1))>
Pn,i^'f,x) *	(/> х^Уп,1 +	(/ix~bn,i *3)) <nefi),
Pn,i(6+P<f’x> = $2<yn,i<P>> sn<f)>x> <p=T^,n-[p/3]€Z+),
*n,l <~p,f,x) = Sx{ 2ynl(p), S„<f),x)	(p*	TJ,	n-[p!3]e	Z+).
Величины £ni{p,jtdc) при ^£|2,4,5,6j называются суммами Po-
ГОЗИНСКОГО.
2? В дальнейшем
Jliij.x) = il/3t)^f(t)cosl(l-x)dl, 9>t(f,x)=(l/jr)^f(l)sinl(t~x)di.
Лемма 1. Пусть /el,, n£Z,,.r,o{eC. Тогда
Л
V/,se+at) + ^(/, x-ct) = 2 J pwW*t(f,x)cos la,	(i)
>0
71
Sn<f,x+a) -Sn<f,x-a) = 2 ^ &l<f,x)$inla.	(2)
г-о
Доказательство. Ограничимся доказательством
равенства (1), ибо соотношение (2) устанавливается аналогично.
Имеем	7?
V/,*+«>+J V/){eM<*+et)+ett(*'el,J =
я	л	г’-л
~2'%icl<f)eilxcosla = 2^	cl(f)eilx)cosla.
U-n	1=0
Осталось заметить, что
с, (f )eilx+ с_г (f)eilx= {2л )'1^j<i)(€d<x'i,+ eil<i~x))dl =
= st'^^/^^ccsZCJ-x) г£2. i
Таблица 1, Пусть	а*еС,	Тогда:	^
Т. Если ^e{o,l{, <*,j3eJ?, Ti-l + feZ+,
> 5={2«+^)‘I/2(gC»+2я{А+«)/(2л+^ )) X
98

xe*p(i^p(*+«)/<2л+г?)))”.-л+1_# . то s=A„<19,u,(i,j)r.
2. Бели neN,«.еЯ, r*<c_n+t<f)ei<~'’+t>x,...,c„^<f)ei<*-1}x,
сл(/)е{пх+с_л(/)е£п*е'42аг*), 5 = (2п>'1/?(5л(/<а+зг(Х4а!,/л^л-=-л+1»
t0 ^ = Ал(19,<и,0,0)г.
3. если
Т° 4. Если 5=(2л+1Г1/г(о!^>-г?л,^2-/-;г>^»0< г = ((3^г(г)Лг(/,х))г" 0,
ТО 5 “ А^ ( 2 )2*,	.	.
5. Вели ла№,5=(2пГгдаЛ)^(6,/,х^0,
х Ji<f,x))”,0, то s =Ап<17)г.
6. Если леХ, 5={2л)'%?лу 4,/,*))£;,	,
то 5 = АЛ(8)Г.
7. Если ne)V, s=(2n+1f ^(Л^М,/,х))^, г= ((Вг(jf, £))"„;,
то S’=A?l(13)r.
8. Если ле N, 5=(2«+1Г1/2(^х(-2,/.«:»^0, г=(Зг(/,.г>)" ^
то $ = Ал(1 >г.	'
9. Если л-teW, $=<2n)-tl2m„tfl(-5,f,x))lli, Г = ($г(/,х))"^ ,
то s*A„(I6)r.
10. Если леМ,$Ч2лГ2(Яя>х<-4,/,х))”1б’ г=(лпШ(Щ(^х))^,
то s= Ап(7)г.
Доказательство таблицы 1. Пункт 1.
Имеем	71
Следовательно, 5 = Аэт(19,<к, 6, ^)г. А
Пункт 2. Пусть QCk*R{k+<&)jn . При к=-п+19я имеем
S„ (/, * + Я*) = J Cj(/! e,';<3C+^i =
*2 ^)^Х^х^ы/^чс.п^)е1пхе^)еы^ .
1*-Л4Х
Значит, s = Ал (19,ot, 0,0)г. 4
Пункты 3-ТО. Из равенства (1) следует, что
**.№,*)-Z^jWtf.x) cos	<*=0-R),
1=0	tn + i
99

Лл,*<2,/,*) = ?|M> Mt<f,x)cГ*-0,я),
71
Лц»1У,*1>2 jMI)JiV**)C0S Цг <n€N> * =
z-o
*я.*<4'Л*>в 22^<I)Jx(/,*W^p^ <леЛ,А=О^М).
z*o
Из равенства (2) следует, что
Л
Дд*М,/.*>- 2j^(/,*>sin^f	(леДГ,	*-£л),
л/**
Я*,*<“2>Л*>= 22-®if/-5f>sinlST£L?	V*eW.	*=оГ^Ъ,
м л
Ля.* W,ае> = 2У Я, </,*>sin4г	»»	А-ТТл^Т),
Л ^ ■
Л„*М./.*>в22®>tf.a'JSui4**±*Hi	{««я,	А=0,л-П.
г-i
Заключения пунктов 3-10 - другая форма записи приведенных выше
соотношений. ^
Демма 2. Пусть ле2+, а?еС, Кп (х, и)-Dn(x+oC) + D„
у,п (x, ct,) = Dn(x-<a)-Dn (x+ol), (3 (#,&)- (cos #- cos x rf. Тогда
cos<<^/2)(cos72a:-cos(n+f)x), если oi= Ьл,г К
ЯЛ(Х,М) _	- sin<ccl2)(cosnx+co$(n+i)x), если Л«ул1(2),
2(-l)1 (Ь{хл)	cosnoccosot - cos{л+ f)ос, если aL°yn^{3), n€~N:
(- sin <34 cos л ас,	если	о1^у7*г(4)} neN,
!$тл12)($1ппх+$\п<71+Ш), если об=г/п>г(1),
ccste/^Hsin^ar-smfTH'l)*), если <у«	2 (2)>
sin & sin пас,	если	ot= z/n ?<3), леН#
sm*cccos<tt-sin(л+1)я?, если <и*ул# z(4),.H£Nr.
Следствие 1, Пусть Л€«2+, осеС,
Тогда: 1) если	то
Ал(^,а) + 2{-l)z+1cos(&/2)2V;rj =
I	“1	-I
= 2(-inI-cos<fc)cos(tf/2)(coSTi;r-cos{m-l)a;)(co$tf-cosa:) (I-cosan ;
2)	если fltN, м-Цп 2<3), то
* ,	-X/^Z4i*,	2M)*(I-cosoi)sin
Дл(аР.Л>+ 2H) AtfJC)--;	ГЗ	7=7ТГ •
п ’	л	(cos ot—COS Л) lg<xf2)
100

Лемма 3. Пусть	£	С, d/l(x) 2$'тлх)/х,	<'я,)&()~
=r	4	dn<x~u),	fn<x,<M**dn(x-<L)-dn(x+ah	Тогда
&s\nM2)cosnx+xcos(QLl2)$innx,e<xiH oi» гл , (i),
С Л*	)	*/ Л, I
__ Уп'^Г	/	e ^лсо8«й/2)ссюлас+зс51г»<оь/2)$1п7«р,если	oj= yn x (2),
4{-l)l(x2-u2) 1 #5innac,	если	a=ynl(3)t. neN,
,-otcosnx,	если	&*упЛ<4), new,
1afSin{o6/2)cosnx+o^cos(^/2)sinHarl	если	#=г/лгШ,
-xcos(&l2)co$nx±a$m(&l2)$innxt	если	&-ул>г<2>1
&siri?iy,	если	&*ул г(3), л£*К,
-arcosfl#,	если	^°г/^(4),леК,
Следствие 2. Пусть ne2+txeC, dn<x)*{2$\nnx)lx, Ъ (x,cl)*
=■ dn{x+<&) + dn{x-cL).	Тогда: 1. Вели ct,-yni<l) , то
+ 2(~D1+1cos(ol/2) d„<x)**
= 4M)*ofi | # sin {<*/2)cosnx + &cos(a/2)sinnxJ x~I{x2-a2ft.
2. Если леН, ы = ул1(3) ? то
\>niX,GL)+ 2(-l)Wdn(X)~ 4<-i)l<iL2X~l{X2~ <*2rfsin ЛЗС.
Леммы 2, 3 и следствия 1, 2 устанавливаются непосредствен¬
ными вычислениями.
Предложение ,1. Пусть	ZeZ,	яеН, Тогда:
1)	если I /0, о£=ул,2<3), то
П ,7 ,..._(-i)l(l-cos*>r f<X+t)$,xnnl Jt
“пл'ЬТ*** at Д (cose-co«*/to{i/2) et'
(3)
(4)
- f vl 2H)Vf /i.t+i)sin^ ,f.
= -* JR uii^T dt ’
2)	если « = ул;< 4), to
O ,,*_i <-l>,+1sino£. f51 Л.г+?)С05лг	(5)
 jj- J^-cosu-cosl dl *
fxi* itDHI* С f/x*l)cosni	(6)
л-1’ ,лх' it J„ г?-
Доказательство. Ограничимся доказательством
Равенств (3) и (4). Соотношения (5) и (6) устанавливаются ана~
101

логично. Сначала докажем (3). На основании равенств 1.(13)
Sn(f,x)*(2i4~1 f" f<i)D„<x-l)di.
U-JT
Следовательно,
Jta<3,f,x)'=i2itr*^f<i)fa<x+ci-i) + Dn<x-ot-l)+ 2{-\)мВп<х-1)\йъ =.
«{2я)~1^Кfix* Ь {2>n<st-2> + Dn <-<* -1) + 2 {-I )mDn <-t )j dl.
Отсюда, учитывая четность функции D„ и применяя пункт 2 след¬
ствия 1, приходим к (3). Теперь докажем (4). Считая feC и по¬
лагая d„(l)*(2s\nnt)/l. на основании равенства 2.(2) имеем
S„{f, аг)=(2я)',С f<i)dn<t-x>dt + (2jr)"* f* f(i)cosn(i-x)di .
и я	О-п
Отсюда легко находим, что
§ f<i)[dn<f-%-<&} + dn<l-х+сь)+ 2H)Mdn(t-x)}di *
= {2л)'1 С	«?я^+«)	+	2Н)1+1с?пС?>} ofi .
ь/JF?
Применяя теперь пункт 2 следствия 2, приходим к формуле (4) при
условии, что /яС. Распространение формулы (4) на функции из
Zj производится аналогично тому, как это делалось в доказатель¬
стве предложения 2.8. к
Замечание 1, Опираясь на леммы 2, 3 и следствия
1, 2, легко получить формулы, аналогичные (3), (4) и для дру¬
гих сумм Яп,1<р>/'Я) • Мы не' станем здесь на этом останавливать¬
ся, а будем приводить соответствующие формулы по мере потреб¬
ности*
Следствие 3. Пусть	леН,	ZeZ,	oceJR, Тогда
<1Ф0)< t7)
Jbi<4.f.x>.Hf*‘*M+t>di•	t8)
Формулы (7) и (8) получаются соответственно из формул (4)и(б)
заменой переменных в стоящих там интегралах.
Теорема 1. Пусть leZ+, 14р4<х>,	($ini)/i	,
3l<3,l) = <4/n)(2$*l\d<i)\dl ~^l\d<i)\dt), О»
102

л(2/+1№
Я(4,п = (4/я)\ \<HD\di.	(10)
Jo
Тогда
*%l*AtWlp <	<f-3.4), (II)
supfl-R^jifJk(12)
Л€ Jf
Доказательство. Сначала докажем (II) и (12)
при j =3. Можно считать, что ZeN’, ибо при Z -0 доказывае¬
мые соотношения очевидны. Пусть z/^z<3) . Из формулы (4) и
предложения 1.2 сразу следует, что
' “'ЛиЙ&тИ - V
Опираясь на предложение 2,7 и формулу (7), легко понять, что
sup |j-R^(3)JJc sir Покажем, что «5?(3rZ) . Так как
Л€Л	л-	■ — - '■»
sin? _ 3	1	0СЛИ	Эт(5?+П)	при	2=0,Z-l,
sx&n 1(12-пг1г)	(	M)^, если ie(n-j,3r^+i)) при
1-|Н)'Д*"‘‘"г(гЬ + nfer-1)^-	(ю’
Учитывая равенства
>	f	ЛМ*.	f	dii)dl
3lJ	•	*	+	7T
и (13), находим
jtZ> ря*
2
pKi	л2п1	рлГ	*я!	Л2л1,
\d<l)\di+2^ Id(i)\di	\dil)\dt-^x \Mjflb
f*7\l	f*>nl
= 4jo Id<t)\di - 2 j
Таким образом, равенство 1г = ${3,Z)f а вместе с ним и соот¬
ношения (11) и (12) при £ = 3 доказаны. Теперь докажем (11) и
(12) при #-4, Пусть г^З/л.г*4)* Из формулы (6; и предложе¬
ния 1.2 следует, что
103

K.<4< frllfgfK
Опираясь на предложение 2.7 и формулу (8), легко понять, что
sup \Рп%{4)\с » Тг . Покажем, что 7г =Л(4,1). Положим осг *
П€1*	*
= 3t(2Z+l )/2 . Так как
I, если I€ [0,31/2),
cos?
n*t2l+l)2-4l2~'
{-1)<+г+1 если ?е<я^+*г,01<^+1)+аег) при j>=
И)*+г, есии ?е(я^+зс2,я{^+1)+агг) гри j>= 0, оо,
то имеем
-I
(яТ;/2)=(-1)Ч (dii-x^+dd+x^di +	I	{сШ-хг) +
зР=~£	^	z
со
+ dd + x^Jdl +	5>	l(d(t-xl}+d<i^xt))di.	(54)
|fo ■«»**♦*%
Учитывая, что
я<£+1)+ое*	n(f+i)	5с^41)+^	я<$+2*+2)
j d<i-x,)dl ® |	J	dil+Xjidl- | tftfM?,
Я^+Xj	iti	«(J+2Z+I)
3t/2	Ч2	n(l*15
Jd<l-xt)dl	d<i)dt,	£	dil+tydl » J diDUl
0	M	Q	3ff
и равенство (14), находим
/»о	/*ж(2М)
чиш* +1я1|^Кг+Зя^ \dm\di +
лзигг+D
+j0 I <*#■>№*-	Id(i)fdi.
Таким образом, равенство ^ = ^14,/), а вместе с ним и соот¬
ношения (И) и (12) при #= 4 доказаны. А
3? Дадим описание применяемой в дальнейшем методики по¬
строения обозначений операторов, действующих на функции не¬
скольких переменных, при условии, если аналогичные обозначения
уже были введены для.одномерного случая. В целях простоты за¬
писи и ввиду полной аналогии с произвольным многомерным случа¬
ем ограничимся рассмотрением двумерного случая. Пусть UiL^C
Ш

у. I -+С	-	два	оператора	(функционала),	f€Lt(Q2). Тогда
г результатом действия оператора UV на функцию f понимает-
^ Следующее: сначала оператор U применяется к функции f при
афепленном втором аргументе, а затем оператор V применяется
получившейся функции второго аргумента. Если операторы V и V
реют соответственно обозначения	Вп?Л2(р2г у ос2) t
где nJ ’ Ч * Pj *	~ одномеРные величины, то оператор UV будем
обозначать как АВпЛ (р, • ,х), где л, I, р , х - уже двумерные
величины {n-<nvn2) и т.д.). При этом, если А совпадает с 5,
т0 вместо АВ пишем просто Л. Например, обозначение ВпЛ(р,/,х)9
где л, 11 р % ос - двумерные величины, a f е	,	означает
величину, являющуюся итогом последовательного применения опе¬
ратора Fnitlj<Pv 9 **0 к Функции / , у которой закреплен вто¬
рой аргумент, и оператора Rn2,i2 (р2>9» ^ к получившейся функ¬
ции второго аргумента. Аналогично, если операторы U и V имеют
соответственно вид Ani<'*oct) и ВПг('уХ2)9 где , ocj - од¬
номерные величины, то оператор VV обозначается как АВл<*,х)9
где л = (л1,л2)> х = {х19х2). ^ соответствии с этим действие
оператора Sen<*rX)r где л, х - двумерные величины, на функ¬
цию из	означает, что сначала к функции при закреплен¬
ном втором аргументе применяется оператор Фурье
затем к получившейся функции второго аргумента применяется опе¬
ратор Фейера бЛ2(*» х2) 9 В дальнейшем, когда отсутствует опас¬
ность недоразумений, мы будем применять обозначения, построен¬
ные описанным выше способом, без каких-либо пояснений. В част¬
ности, считаем суммы Япл <p,j9 х), где	,	а л, I
х - тп-мерные величины с естественными областями изменения,
Диктуемыми условиями, при которых заданы соответствующие одно¬
мерные операторы, уже определенными.
.Ls. Суммы Валле Пуссена
I? Лемма 1. Пусть ре(0,оо)9 функция <р: В™-* такова, что
1 ^г’Ши*2ii+i)fdi<°°' Тогда: 1) для любой feL^QJ
Функция U(f), заданная на Rm формулой
(L*
*	105

принадлежит C(Qm)\ 2) справедливо неравенство
.IIWL/IAl	j
3)	если	areR”1, to
I ^/+<$r.a:>U< | Wf,x)l+ i^<^X)\.	(2)
Доказательство. Так как для любой J'eL (Q >
при xeRm
iv/)| <
<(гяГ(П(2*^1>)|Л|,,
то /лтЧ><*)| V/,*J|P<** 4<2m)~mPt<p)lif |P.
Отсюда вытекает, что последний интеграл сходится равномерно на
RWU, следовательно, U(f}€ С(Qm)), а также справедливость не¬
равенства (1). Неравенство (2) справедливо в силу неравенства
Минковского для интегралов (теорема 1.2.3). А
Теорема 1. Пусть feLt{Qm), #еЯт, функция <р;Р+*-*Л+
измерима на	0<^4 2, с*еЯт, о&>От,
’14-<т«'«Й К'‘^Г'ЧН ■»“" 1 < г,
л+	г-1	•	/3)
”?Р (^1)((Й«1 К^ГГ вСЛИ ^■2-
Тогда
(Sr?V<1>!	<	*<№ри»<М),	(4)
(6)
«И)1'* <
Теорема 1 - аналог теоремы 3.2. Ее доказательство близко
к доказательству теоремы 3.2 (здесь вместо неравенства Гёльдв*
ра для сумм используется неравенство Гёльдера для интегралов^
Следствие 1. Пусть	оо , j€Lp<Qm), функция <p:lV
►Р+ измерима на R + , 0<^< 2 , постоянная Хфоь) определен*
формулой (3) ♦	Тогда
К J*» v* *> fw. •>!*<« )ад1Р * *<*>!/!,. <б)

Пусть £сЛ” - ограниченное измеримое множество,
,	(	1 при f е Е,
\ о при * eR т\Е
характеристическая функция множества Е . Представляет инте¬
рес изучение средних
<p > 0)
в зависимости от изменения множества Е. В «случае, когда мно¬
жество Е является параллелепипедом, средние ZJ(f) называются
средними Валле Пуссена, а средние V<f) - средними Валле Пус¬
сена-Харди .
2.° Определение 1. Пусть /€^<0т), a,beFm, a>Ow, b>0™
x € Cm. Средними Валле Пуссена функции J называется функция
чь./.*.-(П‘Д w*"1*-
г-1	[в,а+Ь]
Функции	m _J -
(П Ь.)' Хк„ц Ли,«|Л ■
ъ«-(йЬ-ГП	,
' г-i	ы	г
Г(П ‘.)“П --а,а?| - Ь'Ич
называются ядрами Валле Пуссена.
Определение 2. Пусть	зЕ>0.	g.beFm. а } От9
Ъ > От# агеСт. Средними Валле Пуссена-Харди с показателем $
Функции / называется функция
«И.* <*• S-->- !(П ь, )Х,..Ч1 Wг,1'" 1Vi-
&*всто сНаЬ( 2,f, x) часто пишем просто 6Ho b <f, х).
Замечание 1. Если в условиях определений 1 и 2
Ъе1*т, то m
г-1 *e[e,a+b-lm}
ic?

/ m f
(ГЬг) Г
7=i	*£[a,a+b-lm]	3
Замечание 2. В условиях определения 2 функция
возрастает вместе с £ на (О, оо).
Доказательство замечания 2 аналогично доказательству за,
мечания 3.4.
Предложение 1. Пусть f£Li(0m),aib€Rmfa^0mtb>0^ хеЪщ
Тогда
6«,г» <■/.»> = <2*>"т Ьп1<х+г>&а.ь<*>м’	^
«ЧЬ'/,*) = { 2*)'” С	(8|
Qnj
Если, кроме того, asZ™, bCN™, . то справедливо и соотно.
шение
в<х,Ъ<№)= <2а1Гт С f<x+t)V*b<i>dl. (8f;
J#m
m	_j
Доказательство. Обозначим ) через };
i=i
Докажем (7) . Пусть сначала $е C(Qm). По теореме 2.2 6^ {/,#)«
=	Ф<1)<Н, где
Ф (l)=b'£	dim,u,	*	Ь'ет
«J[afa+b]
Таким образом, соотношение (?) для функций / из C(Qm) доказа¬
но. На основании предложения Т.2 функция
г/г/,.) = < г%	+i) K,b^di
принадлежит C(Qm) для любой	&	Ue Ld^O^-* L^Qj
В силу леммы 1 ^аУъ^/*в) & С (Qm)t а	HL^Qm)
Применяя лемму 2.4, убеждаемся в справедливости (7) для функ¬
ций f из 1ц (Qm) . Докажем (8). Опираясь на равенство 1.(44)
имеем
1,
408

«г.е. (В). Осталось заглотить, что если aeZ™, Ъ eNm,	то
УаЪ^^^аЪ*11* • Действительно, если as Z fieN, цеС , то
оь+^1	Oi+0-l	м
2 Bpty) =(2sin2(^l2)fI jj (cos pij - cos(p + l>y) =
Р=<*	Р = вА
= {2sin2(z//2)fI(cos<Ky-cos(ol+p)y) = pV^ {г/j .
Следовательно,
77j
Jpi.a+b]	Jte[o,«+b-jmj *	7.f\ Ziai *J <>/ a>b
aid
Следствие lf. Пусть feLt(Qm), a,b,u£Rm, a } 0™, b,ci > Oms
jteR"! Тогда
e«a,*b<f>*>m <**}"* §лт№+*/*)*а,Ь<г>М *
Доказательство. По формуле (7)
^04 ai&btfyX) = (2jT)	+	^cta,<x.b^	♦
Делая в интеграле замену переменной &1=и% получаем требуемое.1
Введем обозначение. Если a,£eRm, а ^ О 777, Ь > От, то
полагаем	л
ь>а>ъ<тп)={2я )'m£m 11^ьf*>| <Я.
Следствие 2. Пусть	<х^От9 Om7	Тоща
\V,b<i)\dl,	(И)
OQm .
(2лгтаvra>bm).	(i2)
Доказательство. Для доказательства соотноше¬
ний (10) и (11) достаточно сопоставить формулу (8) с предложе¬
ниями 1.2 и 1.3. Из равенства (7) следует, что ||ба&(|с ^
. Сопоставляя последнее неравенство с
равенством (11), приходим к соотношению (12). А
Следствие 3. Пусть последовательность a^eR™ (neN) та-
нова, что ля>От, lim (im/<n>n )“07П; <х,Ь е J?m, а}От, Ъ>Ощ.
Тогда	109

| ««JjKne.-rflc - gSi Кл«, «Лblc " ^bfW)'
Доказательство. Из формулы (9) ясно, что
sup iiffe„a,artbf,- ^ ^W). С другой стороны, поскольку
JsffW	л
то в силу предложения 2.7 lint jj ga„a.-«,,bii,- > иК,	4
л "♦ оо	*
Следствие 4. Пусть а € Z+ > beN74. Тогда
К* 1с в	(13)
Доказательство. В силу равенства (И), как
вто нетрудно понять, для доказательства (13) достаточно уста¬
новить утверждение: если JceZ+, л€!9 , то
£т I cos Jci - cos(?i+*)? |	Г (cos*?-COS{n+ic)J!
 r^cosf di я Jr P	•
Из разложения
*00
co$ec*(f/2) * 4 ^ fi-i-23t*)"2	(14)
ft*-®9
следует, что
\coski - cos(^+/c)J j A JcosM - cosfn+k)i |
l-cosi	*	2	Zt	<*	+	2я1)2	»
I
причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на каж
дом отрезке. Имеем
С* |cosJtf~cos<Ji+A)2|	Т fn icoskt-cosjn+krt |
ix—ran dt 9 2AJnc—ш 2п№— dt *
2у f<?t*n*|cosfcf-cos(n+/c)i|	(cosJH-cos^*.?!	„
,A«5(a-n* i*	e	Jp	P
5P. Теорема2. Пусть	jcFm,	a,<t>Om, A JO*
110
(15)

Тогда
*nkaia(i,f.x) i С<1,к,а1,)РН*х/а<£х),	(16)
Доказательство. Будем считать, что 0< # < 2.
Случай f = 2 рассматривается аналогично. Применяя неравенство
(4), имеем вНы <,($,/. х) 4 ^РН^/а (f,x), где f <
-ILЛ	WH* -СГЧ'-^
Тем самым неравенство (16) доказано. Неравенство (17) устанав¬
ливается аналогично, но здесь вместо неравенства (4) использу¬
ется неравенство (5).4
Следствие 5. Пусть 2$р4а>, feLp<Qm), 0 <$42, а.кеЯ™
а>От,	постоянная	определена формулой (15) ,
£<£*)= in;f^C{j\A:,#). Тогда
‘>0|*л*«,«(*./.->|р < c<i>*)if\p-	(«)
Доказательство следствия 5 получается сопоставлением не¬
равенств (16) и 3.(37).
Следствие 6. Пусть 24р^оо, feLp(Qm), asR^aX)”!Тогда
*<5/4)Пtth ■ ll9)
«•’"И,-	‘20>
11(|ЫХ,	и2е)"°шР-	<»>
Iя S
Доказательство. Для доказательства (19) (со¬
ответственно (20)) достаточно положить в (18) Л-О7*, jb=l (со¬
ответственно 2) и оценить константы C(j,Om) = 1,2).Для
Доказательства (21) (соответственно (22)) надо положить в (18)
i = 1 (соответственно $-2) и оценить константы	(1=

Следствие 7. Пусть /ei2{(?m), {ac.a.A.&jcR”1, a,«>Om, kiOm,
P<a,k)=[ka, (k+lm)a] . Тогда
Доказательство. Для доказательства (23) надо
положить в (17) $=2 и воспользоваться формулой 3.(7). Нера¬
венство (24) получается из (23), если В последнем положить оь =
= Iм , к = Om. i
Пусть i4p£oo, Je Lp(Om) . В определениях наилучшего при-
ближения En{f)p и полинома наилучшего приближения Тл</)р
предполагалось, что параметр л принадлежит множеству Z+. Рас¬
пространим теперь эти понятия на случай параметра аеР™, по¬
ложив по определению Ea<f)p = %iaz<f)p> Ta<f)p=T[ai<fb-
Теорема 3. Пусть 24р4оо, f€Lp(Qm),	a>0	.Тогда
ЦП аП[а,2а)^(/’	'< (( 2е)М/2 + 0	(25)
Доказательство. Обозначим №Л„,,
-facfdf }1/2 через U<f,x). Пусть лей” r.g	’силу	не¬
равенства Минковского для интегралов U(r,x)4бН а,га<г,х)+\г<%}\
и U{r+g,x)£ V<r,x) -f U(g,x). Отсюда, учитывая (22), находим.
что при 24р4«>
\U\p 4{2е)я/г + 1,
(26)
а для любых г и g из Lp(Qm) справедливо неравенство
|0(«ат»ь I Ulgllp ■
(27)
Пусть ТеН„, где л 4 а. Так как при любом Ца имеет
место
равенство Si(T,x)'sT<x), то U(T, х) = 0, а
1-и<ЩшО.
(28)
Теперь, опираясь на (26)-(28), получаем, что
\\vwh4u<f-w>p)ip +1и<т*<мР °\т-ъ<лрЧр<>
112

4? Рассмотрим вопрос об изменении функции	в	зави~
^ости от аргументов а и Ь . В этом пункте будем придержива¬
ться следующих обозначений: j - постоянная Эйлера ( ^ = 0,57721
2 f*|sinJsin«/tf	„	, JL/V Jn* .	,	i	1
«Г^-ЗтJ0 гг~*4iL 4*2-l' +lnZ + 2?
(вычисления дают oi0= 0,98943...).
Лемма 2. Пусть ye[i,oo), A(y) = b?<y)-(4/ns)ln(y + i),
NyWMp - <4/яг)1пу. Тогда
Я2А* 4№-i\Zt гг-i + 2[*y] + i /’
' Ы	о	f
функция А возрастает и
Л(П = I - (4/лг)1п2 ^ A<y) < lim А(у)-ип ;
*• «
BfV)e(0,97ft?3,l], B(3/2) = 0,97995 ... < lim Bfu) = a5n<B«K
*	У’*'00
так что функция В не монотонна.
Доказательство. Так как
4 v I-COS2/C* Г00 3in2at sin2 И га д
|smr| = — liprrf- ' J0  р dl = то ,
если Oiaib (см., например, [22, с,270, пример 2957; Т8 ,
C.465J), то M
,.w„,-32 V. . i	fwU-cos2*yl)U-cos2m	„
'j' этз M <4*2-1X41*-1) Jo	p	at	*
tjjJ
i6 v Ay + I - 1 Ay - г |
'я?^,	,4*2-1X412-I)
JU=I
Опираясь на полученное представление функции и?, находим, что
32 V tninjky,l\
W ~ я* JL (4*2-i)(4tJ.i) "
«	C*W	*'1'1	оо
я* ^ 4*2-1 1 L 412-1	L,	4Z2-1 | -
*-!	'	Z-i	1-1*У)+1
•l*yj+l
C*»J

tfcy]
=i6.V_j	/	V	i . *y-t*yj	\
л5 Li 4k1-i	\ Ш	21-1	2[*l.]+1	/•
*»t	'	1-1	o.
Первое утверждение леммы доказано. Из равенства ^ (4к2-1)* = 1/2
следует	w	^	*-х
#*^у+|>-§2?зеЬ fln^,=#S^b •
k*i	0
Кроме того, [ку)
V 1 Ху-Iky]	dx
2ш 21-1 + 2[ку] +1 ~ Jo
2[*]+1
1=1
Значит, %).&£	-	wfeoH*'
>»1
Поскольку (2[x]+iy*~(2{х+к)У^>0 функция Л возрастает. Далее
У Г. (21-1 Г1 - 2'1 Inр • — ► In2 + у/2 и потому
c*w
У -L- + hldtxl _ <ln(u+l) » ilnfc+ln2+|
jL 21-1	2[Jfjf] + l	2	3	У~*>	2	2
z* i
равномерно относительно JteN . Значит,
<ю	Гад
^■-иХвЬ (2 Л * Щ- -	^
' 1*1
16 V 2'НпЛ+1п2+Ц2	_
 * -5*2.	  “	0 *
Jci
Положим У(а:) = 1+^	|^[|']'-мТ	ТоГда
Bw=f^Aki(^тк ~ iln*i' + i 1п*Ь
k*i
_ 16 у 1 / Г*У rfi f *У rft . г 1,	16	у	У^+г'Чп*
я2 2< 4fc2-i\J0 2[t]+l "J, ~W 2 Г 31* 2*	4кг-1	•
При леЯГ будет
У(л.1/2) - W-lg) - ^	-М; ^ dl	>».
Л4

«гак что последовательность {Ч7^} убывает, а ^4?<-п+1/2)} - воз¬
растает. Кроме того, 1£'<х) = (х-[х]-112){х(2[х] + 1 J)”1 < О при
X е(л,л+1/2),	>	0	при х €:(п+Ц2,л+1), т.е. на отрезке
[л,л + 1] наибольшего значения Ч1 достигает при х=п , а наи¬
меньшего - при х=п + 1/2. Поэтому
 у 16 V	/ 16 V	ад + г'У,,,»,
я5 2т 4*^1	 * &2т	4*2-1	5(1)	'*
o/]i\ \ 16 V W([*y]41/2)+2~1lit* ч 16 V УЦс-П/2)+2~* In*
% о(у}' %г jh	4*2-1	^	3t2	Ai	4*2-1
*“L	*	*г1
S4*b(21 гга + Tfe -1"<‘^3>+ “)•
да **1	1=1	„
, , 4 V / 1	1	\	1	_	в	у	1л(1ч-<2*)-1)	_
этг тш\2к-1	2*+1/2*	+ 1	л®	^	4**-1
Х*1	^	л-1
-1,6	8 V	1Л(1+(2*)-1)
2 Л2 Я*	4*2-1
Вычисления дают для последнего выражения значение 0,97883;.. Со¬
отношение liтВ<ч)~&* вытекает из соотношения lim А(гл ==#,п
у-*оо	у+оо J
и равенства	А(у) -В<у) = (4/п2){1пу-1щуЩ, Далее
тЗ/2) * г^Ш - 16£ 4 ||с - (25ГГ1 j*” j	dl =
= {2я )_1J* j 2 + 4cos? + 3cos 21 + 2cos3i + соs4i |rf? = (2/зт)(2УТ-5/3),
и потому	Si3/2) = и?(3/2) - (4/яг)1п(3/2) =
= (2/я)( 2VT- 5/3) - (4/Я2)In03/2) < 0,97995 <&0 . А
Теорема 4. Пусть	bjerJ?2	:	<*^0.	Ь>о|.	Тогда
UP { 4i П1' " (4/л2) 1л (а/Ь + 1)1 * Л. + (4/л2) 1п2 = 1,27035.429)
^ trfr ХГ1	’	*	0
^sup^t^(l) - <4/я2)1л(2а/Ь + 1)| =1,	(до)
inj“ iv> .(I)-{4/si?)ln{afb +1)| =1,
са,Ь)£:Х
(<ЬЪ)€Х ‘
inf | u7 ь(1) - (4/лг)1п(2о/Ъ +1)J е[о,Э7883, 0,37995]
115

Для доказательства теоремы 4 достаточно сопоставить равенство
* ъ^(2а/Ъ + 1) с леммой 2.
Теорема 5. Пусть Нр4 оо, feLp<Qm),a,beJtm, аД Оп, Ь> О”;
Тогда
|/-бв,ь^>|р^{(Ш4/я2)1п^г/Ьг + 1)+ 1.3»+lJ Eaif)p ,	(31)
|/-<Чь</^р4^ПИя2>1,,<2в|/Ь| + 1>+*))+1}£в^.	(32)
Доказательство. Учитывая, что для любого Те
еНп при а)п справедливо равенство ^аъ(Т)-Т и неравенство
*>a,b<mh имеем
- |/-T*<f>p-ea,b<f-W>p) dp s<
Г	ГГ»
Осталось принять во внимание, что фА ъ<т>-Иг^ ь и вос"
пользоваться соотношениями (29) и (30). А
Следствие 8. Пусть iip4 оо,	neZ™.	Тогда
1/-^<'л1р^{(П^4/яг>1п^+1> + I*3« +i\En<f)P>	(33)
6 f-Sn<f>\p ч< {(П« 4/312 Лп( 2л,ч 1) +1)) +1J Еп <f)p .	(34)
Для доказательства соотношений (33) и (34) достаточно при¬
нять во внимание, что	и	положить	в	неравен
ствах (31) и (32) а = л, Ь ~ i
Лемма 3. Если леК, то
=	+	#=	/,«599...	(35)
Доказательство. Принимая во внимание опреде¬
ление величины	и	следствие	4,	имеем
W&	d*	-	dx	-
= X + ТГ-" f, 43599... А
'И 6

Теорема в. Пусть леЛ” Л‘ = 1/3 + 2УТ/<п:. Тогда: 1) если 1 ^
4р (И' feLp<Qm>> то
|/-ff„,n(/)|p ч< {Km + l)Enif)p ;	(36)
2) справедливо равенство
/*.'/>»( ■ *"*<•	(а,)
Доказательство. В доказательстве теоремы Ь
установлено, что
4(vr„„{m) + l)En<f)p.
В силу леммы 31*Я'„<т> = П”,.to tniii’Km. Сопоставляя эти два фак¬
та, приходим к неравенству (36). Учитывая очевидное неравенст¬
во £л(Д* < ll/lioc* если fzC<Qm)> предложение 1.4 и следствие
4, имеем
sup j|/-6»,n(/>L/£nsup
feC<Qm)	/fCWffil'	'	’
>	1 + |«*.nlc - 1 + ьгпп(т) = l+Xm. A
5? Лемма 4.	Пусть pe{Q,oo), функция ^»:P+-R+ такова, что
^<f‘)(2i^i)mPdi<co. Тогда: T) для любой feLt<Qm) функ¬
ция U(f), заданная на Fm формулой
'/-«I fdt)4p.
принадлежит	;	2)	справедливо	неравенство
sup {[uwi./\fU I	^8)
Ус
3) если p^i. j,g£Lx<Qm),	to
\u<f+g,xH v<f U<f,*)\ +	\u<g,*)\.	(З9)
Доказательство леммы 4 аналогично доказательству леммы 1.
Теорема 7. Пусть feC{Qm)% функция	измерима	на
R+. #>0, *W=(-2>H/2],
fljL(<pW^V*e’‘UrV*{'''^“|1/rI/t^ п*“ *<*<*>.
* *
*>0 vrai sup	при
Тогда hJ	f<u>JSfmu(f>l*du}Wl^ 4	1»^

Теорема 7 - аналог теоремы 3.3.
Пусть JTcJ*+ - ограниченное измеримое множество. Представ¬
ляет интерес изучение средних
и</,х) = {цЕ Г1>
Ш*у~ j<^rJ §„ fs <i > I Vi pdt)i,p (p>0)
в зависимости от изменения множества Е . В случае т когда мно^
жество Е является отрезком, средние U(f) называются средними
Валле Пуссена-Марцинкевича, а средние Vtf) - средними Валле
Пус се на-Х арди-Марцинкевича.
Определение 3. Пусть	0т^	a,beR+> Ъ>07 хеС^.Сред-
ними Валле Пуссена-Марцинкевича функции f называется функция
, ра+Ь
31^^ 1171 ОС ) — Ъ j ^X )di ш
ра+Ъ
Функции	Л1а'ЪШ,Х)-зг	Ъ~г \
f*a)b<m,x) =	(П x'^sinfux^jdu
называются ядрами Валле Пуссена-Марцинкевича.
Определение 4. Пусть %feLi(Qm)1 #>0, b>0, а<=К+, хеС™,
Средними Валле Пус с ена-Х арди-Марцинке вича с показателем j функ¬
ции f называется функция
ос)~ |b	| Spm i (fi x))^d 11
Замечание 3* Если в условиях определений 3 и 4
aeZ+, beN , то	a+b-i
ь1 ^ Va
4+Ъ-1*~а	^
Замечание 4. В условиях определения 4 функция
МНавозрастает вместе с f на (0, оо) .
Доказательство замечания 4 аналогично доказательству за¬
мечания 3.4.
Замечание 5. При	О, Ь> 0 функция
суммируема на JRW,
118

доказательство. Так как
fa,b<m’xi = (* + «/Ь) Цо,<х+ъ(т'х) ~ (а/&) У'а.а <т'х>,
то достаточно доказать суммируемость на R™ функции и^(т,х) .
Заменой переменных и~Ы} x-(zjb) интеграя
I ^о.ь ^ ^в 2Ж6_1 |ХЬ( П >) j
сводится к интегралу 2mdx.	Конеч¬
ность последнего интеграла следует из леммы 2.4. А
Предложение 2. Пусть а } О, Ь>0, xeRm. Тогда:	1)	если
feLt(Qm). то
-^a.b <m,J:,x) = (2nTm§Qmf<x+l)Mab<m,i)<il;	(40)
2)	если f£C(Qm), то
M<x,b(tn’f'x>‘l2nfmfiRmf<x+i>txa,b<n1-г)<М •	Ul)
Доказательст во. Опираясь на равенство 1.(14),
имеем	лв+ь.	л	.
Ma,b<m'f'x)*<2п>~тЪ Je (jQ f<x + u)Dimiifтdufdt*
=	Dim^(u)di'jdu'*{2n)m{j^f<x+ uiM^b(mu)du.
Тем самым равенство (40) доказано. Докажем (41). Учитывая за¬
мечание 5 и применяя теорему 2.1, имеем Мау/п,^.г>=|/^г+?)Ф(?)з'£,
/*<Я+Ь	R7*1
где ф(1) = Ь'1I y<m,u,i)du = {2п)~тусЪ(тЛ). А
Замечание 6. При а ) О, Ь > 0, лгеС2
а <2х)~	^	V/ji*cos((at^2)(a:iii-f)lt,1ya))sin(bf.Ti4H)*<1y3);2)
г*ь ’ bart3f2 А.' ’	x,+	{-i)k+ix>
л=о	1
Если aeZ, belV , дгеС2, то
JU (9У}. i у, cos<(a+bl2Hxt+('4**iXt»Sin(b<XfH-l}***x2)l2)
а,ь ' 2b А.'	'	sin<3e1/2)sin(3f2/2)sin((XI+H)*4laf2)/2)
Следствие 8f. Пусть JeC<Qm), х,Ь >0, а>0, хеК*- Тогда
Л1аа(«,Ь^7П»/.*)е<2я)'т j" п f<X + tl&} fXaib(m,t)<it.
119

Введем обозначение. Если а} О, Ь> 0, то полагаем
i| fia b<m,i)\dl.
Следствие 9. Пусть а> О, Ъ> 0, 14 р 4 <*>♦ Тогда
I .^а,ь(т)Лр 4 | ^агь(гпНс	М^ь<тЛ)\<И	4
Следствие 10. Пусть последовательность	(neN)	такова,
что Фя>0, lim cLt-oo; а^О, Ъ>0. Тогда
п	П’>О0
SUP Ил„«,«яб^т>8с = 1Ы| М«„о,«пЬ^т>1с “ da,b<m).
ItSrS	Л**Л
Доказательства следствий 8-10 аналогичны доказательствам
следствий 1-3.
Следствие И, Пусть f£C<Qm)t j/2 €JV, acP+f Ъ >0. Тогда
\(b'lSab 1 Slml<f'‘)lidi)t/iL '<(( 1 +<х/’°)е^тР)т lift ■
Для доказательства следствия И достаточно применить тео¬
рему 7 к функции <р , заданной на R+формулами <f(i)=	при
1е [а, <х + Ь], f(i) = 0 при IеЗ?+\[а,а+Ь].
Теорема 8. Пусть feC(Qm), ^/2eN, <zeJ?+, Ь>0. Тогда
!(^^ 1 +	))^+i)£,ma </)„•
Доказательство теоремы 8 аналогично доказательству тео¬
ремы 3.
б? Рассмотрим вопрос об изменении функции Ла%(2) в зави¬
симости от аргументов а и b .
Лемма 5. Пусть функция f:[a,h]-+F возрастает, а функция
g:[a,b}-*n убывает. Тогда
fcajgiMt 4 1(43)
Доказательство. Положим A=(h-a)*ti*f(l\dt* с -
# р	*	а
* sup |	Неравенство	(43)равносильно неравенст-
ву 04$*{A-f<l))g(l)dl, Так как при 1е\аус] справедливы нера¬
венства	0,	gil)^g(c)9 а при	I € [с,Ь] - неравенства
A-fit) 4 0, git) 4gic), то
A-f(l))gMl »§JA-f<l))g<i}dl + §*<A-fil))g(l)dt)

> J%A-f{i))g(c)di + §*(A-f(i))g(Oclt =0. A
Неравенство (43) называется неравенством Чебышева.
Следствие 12. Если /:[а,Ъ]-*К возрастает на [<М#+Ь)/2]
’й симметрична относительно точки <а+Ь)/2 , t.e.f(a+b-x)~f(x),
а :[а,Ь]^Н двевды дифференцируема на [а,Ъ] и аЛ#) > О, ; то
имеет место неравенство (43).
Доказательство. Действительно, полагая х =
-а+Ъ-l в интеграле f<X)g(oc)dx и снова заменяя I на х ,
“^еём	р(р+ы/2	п(й*ъуг		 »«>*т
4 f(xig<x)dx= j f(x)g(x)dx+^ J(a*b-x)g(a+b-x)dx* j(xwx)dv,
где h(X)=g<x)+g(a-*b~X}. Так как gr возрастает и х 4a+b-х
при хе[а, <а+Ь)/2], то g'(х) 4g'«x+b-x). Поэтому h'<x>4 0 и
Я убывает на [а,(а+Ь)/2] . Значит, по лемме 5
(,тЪ)12	у	р<а+Ь)/2	л<а*Ь)1	г	. м	лЬ
^ f(x)h<xidx 4 j f<x}dx^Jt<x)<Ix* )а3<хg<x)dx.
Следствие -13» Пусть n.l-2eN, Я=п/п , функция g:[h, Щ2\-*
-*Е дважды дифференцируема на [Я, lh/2] и на этом отрезке g(Xh
4 0, glxt^Q. Тогда
Г»гй/2, .	'	о	(*№/2	,
J jsm«*|g4x)aa:^ jj- ^ g(x)dx.
Доказательство. При I четном [A, lh\2\ -
42-i	(Г-з)/г.
= Ut[M, <k+S)h] , а при I нечетном [Л,ДЛ/2j = Uf [kh,(k+l)h]v
Ut(Z-l)hl2, 1Я12 ].	На каздом из отрезков ]kh, (A+IJA]
функции j зЫлат | и g удовлетворяют условиям следствия 12, а на
отрезке [(MJA/2, JA/2] - условиям леммы 5. Кроме того,
п(**т	rtZh/2
(I/A)|sin лх| tfx = {2/hji	Jsin nx|<fac* (2/Я).
Складывая получающиеся неравенства, приходим к утверждению
следствия 13. А	в+ь
Лемма 6. Пусть <*>0, Ъ>0, 0<y^x,d{x,y)-j(xybfi^ sinxf*
x siny?rf2j. Тогда справедливы соотношения:	<*,)	d<x,y)$
* <ХУГ1; 0) d<x,y) 4 2<bxy(x-y))~i ;	$)	rf(x,y)	<	(а	+	Ъ)г;
dw.yi^tyxyftsmza+tyxsm(o+b)i/}+by'1; b)d(x,y)4х'\а*Ъ).Цщ
121

[дополнительном ограничении у е(0,<я(2(а+Ь))”1 ] справедливо и
(неравенство jj) d(x,y) & 2<а + Ъ)(Ьх2)~J
Доказательство.
о& ) Оценка очевидна,
(3)	Используя (42), имеем
1
к=0
$) Так как |sinu|^ju| при ueJ?, то
d(x,y) 4<xybf1 §**bxyl2di 4 <а\Ъ)2.
S) Очевидно, что d(x,y)=(hxyfi§a sin(a.+b)xsin<a+b)ydi+
ч* г(£с,у), где r(x,y>*{bxyf1{(ym#£-$i7i(a+bja:jsm^? + s\n(a +
+b)x($\nyl - sin(a+b)y))di. Поскольку |stn3c?-stn(a+b)^J^^Ja+J ^|,
I$ini/l-$in<cn-b]yl4yla+b-il, то j r(ar,i^j| ifbacyf^ar+i/jJ11* (a-tb-Z)d? =
= b{2xyfi(x + y) 4 by'1. Следовательно, d<x,y) 4 <xyf1\$\n (-s+
+ b.):x|]sin<'a+&}#| + by'1.	a+&
£ ) d(x,y) 4 (xyb^ ж'^а+Ь).
^) Применяя вторую теорему о среднем значении (если /
неотрицательна и возрастает, а h интегрируема (по Риману), то
^cf(x)h(x)dx*j(d)§*h(X)dx, где fe[c,d] (си., например, [74,
с.И9])), получаем
*<*>У>" |^&|а smyls-wxldi ш -'ЩР* |£ sinxidij^-^.k
Лемма 7. В условиях леммы б
.Г* СС d<x,yidxdy 4 (2/7t2)(ln{i + a/b) + К )г,
где К - абсолютная постоянная.
Доказательство. Условимся ссылаться на оцен¬
ки леммы 6 как на соотношения (ос )-(*?) в соответствии с пунк¬
тами леммы 6, в которых они находятся. Положим к = 3T(2{a + b)j*»
l = si/(2b), &={{x,y)eR2-.0 <у < х\, Л^[(х,у)£ Л: X 4^}, A2={{3r,y)*
122

0
J
ей: к 4x41, у 4 k], й3~\{ж,у)еЬ: x> I, у 4 *}, йА^{<х,у) e&:xe
e [к,k+l], «/>*{, ^s“|(x,y)eA : x> k+l,y£k]
рассмотрим интегралы It =§§ dix,y)dxdy . Очевидно, что I *
A.	^
V Jj. Оценим каждый из интегралов I . При атом будем йс-
U	<«>
пользовать запись типа <С , которая означает, что при установ¬
лении рассматриваемого неравенства используется соотношение (оь X
ИМ00М	а	М	*
j{=J dxj^d(x,y}dy 4 dxj^{a+b)zdy = (а+Ъ)2кг2~1 = (jt2/8),
ИМ.****** ™ £dx£
x^fa+bydy = (Jt/2)ln (I + afb),
,***•!'% <J/*	*'
л со OX	/ nx~l	px	\
H.H d<x’b)dv =3kHdx (1 d<*&du <^%) <
/ Г	L_ J. f	I*00 j _2_ i„ fg-Dfjc-*) .
^J*+l l«j* bxy(x-y) Jx-£ xy } ~ ^+1 ( Ьа-2 j XI
+ X xT } ax ^ §ш I 6*2ln Я" + x(x-u) dx = mKI} W2+ f + A ) +
+ Ж) + 1п\Г?'1)<11п(3+|-/+|- =|-Ьг{4+о/6}+ J-.
Приступая u рассмотрению интеграла 1$ , оценим прежде всего
интеграл	jc_IJsjn(a+b)*Jdx.	Опираясь	па	следствие	13,
находим, что	«жг+а 1Ы/2
Jfk.l)*1 j	((sinэе|/л;)о?а: ^
< £/2^ Л* + |Ь(т(3 + I)) < |Ь(J+ f ) + 0,05.
Теперь имеем,
< ГЧГР^5,п;-1-'+f -
123

......r	■	2-I- - */•
Осталось сопоставить полученные оценки и произвести элементар¬
ные преобразования. А
Теорема 9. Если а £ 0, Ь > 0, то
Лй'Ъ {2К ( 16/314) {in (I + а/Ъ) + х)2,
где JC - абсолютная постоянная.
Для доказательства теоремы 9 достаточно принять во внима¬
ние, что Лаъ{2)~{8№) jj d<xtif)dxdy и ^воспользоваться лем-
мой 7.	о\у<х
б?	В этом пункте условимся для is Rm через	(1,1) обо¬
значать	(\,"Ч	1т) - точку R2m.
Определение 5. Пусть	<х>Ъ	еВт, а^О™ Ь> О™
хе €2т. Средними Марцинкевича функции f называется функция
Функции	т	2=1	’ J
называются ядрами Марцинкевича.
Если a>bs Rmf Отг Ь > От5 то полагаем
Л«,ъ-№~гт§п2т\У*МЩМ-
Предложение 3. Пусть a,beRm, а } О"! b>0wi, areR2m, Тогда
1) если	то
Мй.Ъ<£*> ■ {2я)"2т f j(x+i)Ma b(t)dl;	(44)
2) если /с С(Огт), то
Ма,ь</,х) M2n)‘*m5R2«/r*+*J/4*^	•	U5)
Доказательство предложения 3 аналогично доказательству
предложения 2. При этом используется теорема 2.3.
Следствие 14. Пусть f^C(Q2m),	tf,fr>Owp	а>0,
хсй2т. Тогда	р
*■ (ЗяГ2*^ f(*+iуa,b<l>di ■
124

Гледотвие 15. Пусть a.beR™ а}О™ Ь> Оп\ 14р4оо. Тогда
Ив.b|U labile	\Matb<l>ldl	4	Jaib .
Следствие 16. Пусть последовательность cAneRm (neN) та¬
кова, что оьп> Om, lim {1т/лп) = От, a,b eRm, й^От, Ъ> О™Тогда
sup	=	1Ш.	|	мала,л„ь!с ~ ^а,Ъ •
TX€~N	71
Следствия 14-16 - аналоги следствий 8-10. Их доказатель¬
ства строятся по тем же принципам, что и доказательства след¬
ствий 1-3.
Следствие 17. Пусть а, Ь € J? т; а } О™ Ъ> От. Тогда
1 Ma,fr||c « (W**)n JJiiniH-OflbO+X)2,
2-1
где К - абсолютная постоянная.
Для доказательства следствия 17 достаточно сопоставить те-
орему 9 со следствием 15 и принять во внимание очевидное ра-
венство Л.Ъ*П£А,М2).
Теорема 10. Пусть Кр i°°, f е L^Q^), a,beRm,a>0™ b>(f!
Тогда и-яй!ь(Л1РЦ\Ыс^)Е<а,о>(1Ь <
т
4	atjh^)	E<a,<xi(f)p	»
где Kim) зависит только от тв
Доказательство теоремы 10 аналогично доказательству тео¬
ремы 5* При установлении второго неравенства используется след¬
ствие 17.
Ле?лма 8. Пусть а9 Ъ е Rm, О771, Ь > Q™ Тогда
(е«„,ь||с 4
Доказательство. Пусть / е C(Qm). Для хеН**
положим Уха(х'Х) и определим функцию g: В.2гп-+- С равенством
hm)* Нетрудно понять, что
следует доказываемое неравенство, i
125

Теорема 11. Пусть /е C(Qm), а,Ъ€Ят, а}От, Ь>Ош. Тогда
Доказательство теоремы 11 аналогично доказательству тео¬
ремы 3. При этом используется лемма 8.
7? В этом пункте для одномерного случая получим уточне¬
ние некоторых результатов, изложенных в этом параграфе выше.
Теорема 12. Пусть fe [2too),	+	*
Тогда ИНАа,а<#Цс « СЦ.к).
Для того чтобы доказать теорему 12, нам понадобится сле¬
дующая лемма, принадлежащая Ф.Риссу.
Лемма 9. Пусть ре[29оо)} <£=pf(p-i),-	: [<*,Ь] -+С , где
keEcZ, - ортонормированная на [а,Ь] система функций^, причем
-«-/up su^b] | <f*<2)I < oo, fe 1Я{ [a. b)),	t	,
Тогда
(j |d.tf)| PfP '<	.	(46)
кяЕ
Доказательство леммы 9 можно найти, например, в моногра¬
фиях [35, с.154-166;	2,	с.	211-215].
Приступаем к доказательству теоремы 12. Учитывая инвари¬
антность нормы цространства С относительно сдвига, легко по¬
нять f что
[®н*а,вф| с - su^ \внкй а hj, о)/ у и |
Поэтому достаточно доказать, что €?■#*<,,<*<$,f,0)4 С{$,
для любой JeC. Пусть feC, ае(О.эт). Определим функций /г и
f2 на отрезке [-зт.яг] соотношениями
, я I f<i), если ?е [-st,-es)U<*,9rj,
1	*	I	если	iet-ei,*],
Положим при ic[0,3t] g<t>n +
* cosec{1/2). Рассмотрим еЯa { J , j£, 0) . Имеем
£°>- (2^ jWi*0,l ) -
426

= \S g<:t>sin(l+t/2)idl j .
l~ka 0
j(aK легко убедиться непосредственными вычислениями, система
функций (2/3r)^2sin{A + f/2j£ (k€z+)- ортонормированная на [О,я].
Значит, в силу неравенства (46)
(wf( S l^gdhind+wtdtl*)11*i)**,
4W*)m'mzlf\„($*sinbWdiy/'1',
где ^ a^/(^-1).. Таким образом,
sH*a,a (j »J5,0) 4 2(i^-fH^^sirr^idi f*аЩ1 f loo. W)
Теперь оценим бН^а а i	$ ,j£, 0).	Для этого	сначала пока¬
жем, что
<*+1)а-1	к.
J (21+1)* 4	2*а*"^	l*dl.	(48)
1*ка
Так как	то	для	доказательства	(48)	до-
*	ак	ч	/»М
статочно установить, что при	ZeZ+ {Ш/2)*4j	l*dt *	Послед¬
нее неравенство справедливо,	ибо	4* jf(Z +
^|f2/ifM-I/2)Jrf?a(Z+I/2)t Опираясь на неравенства (48) и
i т |sin2|, если тйЬГ, left , имеем
(Дг+Па-1	..
t**a
. (*+l)a-t
У IJ, «»*»«/«» sSSraf-'*1* |) <
UJta
<2М)Л 4 2*-l[l*'l%1dlfiaulb*lf\eo.
' Wte '	W* '	(49)
127

По неравенству Микковского	<	$,f, 0) 4 бНка а < f, /j, 0) +
+ GHfa a<fyfStOy. Сопоставляя последнее неравенство с нера¬
венствами (47) и (49), приходим к неравенству вЯЛав(^,0)<
4 ^(dtk,ix) | у • где
Cti(H,k,a)~ 2{ity~V$i	sin*?J	di	)%~т+	^«a,(50)
справедливому при любом ог. н (0,эт). Покажем, что при этих a
Singl'd2 4 f<£- 1-Г1 2 *'Г л *"*.	(51)
Кая этого достаточно установить, что
f<y,> |5)=ty-if*i 0	(52)
при (<jf.,^)e(l,2] х (0,3T/2J . Так как у'р{Ц,$)> 0, то
- ST^r-di aV<V‘
Отсюда, учитывая, что	f(2)=	О, приходим к (52), а сле¬
довательно, и к (51). Сопоставляя теперь (50), (51) и полагая
os*2 /<*,для С^(а,к,а) получаем оценку
Осталось заметить, что наименьшее значение функцияg при¬
нимает при	,
, Ш{М \№*,}/ я . -
6 vi /	(	г<*-1
и оно равно Cii.k). Теорема 12 доказана. A	*.t	^
Замечание 7. Пусть а€Л. keZ+, С(к)=5г'г^з( izdt).
Тогда 86'-Н*а>в(2)jc 4 С{к). В частности,С(0) = 1,1645...,
С(1) *1,6107’..., С(2) = 1,9023...
Для доказательства замечания 7 достаточно положить в тео¬
реме 12 i * 2.
Теорема 13. Пусть аеЛ, кех+,
ст. inj U	+	(&)*|.
«се(0,я/(£«»](	;	»
Тогда |«Я*Д в (1)|с<С(А). В частности, С (0) = 1,0947...,
С(1) * 1,5747.’. ,
128

Доказательство. Очевидно, достаточно дока¬
зать, что для любой /еС	Так	как
при I € 2+
""g- rfi •
то, положив	6; = sign	(J, О), будем иметь
(k+m-i
***«,« <!./.<>>“ a* J К</.0>|-
р	.	*„	<*+*«-1	г‘ка
я5йЗ	2	^(l+ll2)idt	4	I/I*	3<k,ay,
*	t**a
где
3(к,а)и Л. f I	J	ff,sin(l+l/2)*l<tf.
Оценим 3fk,a) . Если ote(О,ai/fJt+DJ, то при fef0,a/a], 14
4(k+i)a-i будет sin<Z +1/2)2 ^ 0. Значит,
l*ktL
«Jo
coski - cosfJf.l)? jj
0	i2
f
Так как (см., например, [18* с.464})
J^sinto	_	((я/4)(1-Ь), воли 0 4 Ъ < 1,
то при /,л eZ+
Si^f/2) 5}„{г + 1/2,г5{пГл+1/2,г<ггв{я/8' 0СЛИ г = Л*	(53)
v« *	I	0,	если 2* л.
Применяя неравенство Буняковского (теорема 1.2.5 при р = 2) и
учитывая соотношения (53), получаем
л» I
2 ь*п<** wUi 4
'	1*ка
129

Таким образом, при любом о& е (0, ет/(* + 1)]
М,*>4 },<*,*, +W<,H I $У^Г""al di * (-,kf- S<«>.
Следовательно, У(к,а) 4 inf &<оС). А
ас (О, я/(*+1>]°
Теорема 14. Пусть eeZ+, be N. Тогда
||вЯа(Ь(1)|с ^ (4/«2) In (1+ а/Ь) + /,7535.
Доказательство. Пусть /е С , х е R , <гг =
= sig-л St<f,x). Имеем в+ь	N
в-Нор*»/.*)» Ь'1 2
л*	*♦£.-!
• (anbr^/miJcoeectW) 2^6ts\n(Ul/2)idt 4 Ц/Ц*, Ji4bJ
?»<*
rtjt	(Я**"*	I
где У(а,Ь)**{кЬТ*\ cosec('?/2)| ^ 6г$\п(1+1/2)? <£f .
*■ ®	z*a	з
Оценим J(a,b) . Для этого представим его в виде суммы 2^/<z,b),
ГД6	я/ь	в+Ь~1	*'*
Jj/a,6>= 2(яЬГ1^ г_,|	e,sm<J+l/2)f |<*г,
лл/ь.^-1	I
У2<а,Ъ)=<яЪ)-^о j £ 6,sm(Z + I/2)2J(cosec(i/2) - 2)1) dl
^ er, sin {Z+1/2 J ijcosec/ Z/2) Z .
Принимая во внимание следствие 13, имеем
лзг/Ь e+b-l
3{(а,Ъ)4 2{лЬгМ £ (jsln(/+f/2)i|/?)rfi =
0	г»<*
«+V1 p.u*Umib	м<н-ъ-фмчъ
» 2<пЬГ*	(fsinu	|/u)ofa i (2/jt)j	(|sinu|/ujrfu	<
J3l	л<[2<а+Ь>/М+1)я/2
^({s\nu)/u)du + {2j%)J	(|sinu)/u)cZ«	^
2/я) Si я + (4/я2)1п(2*1([2<а+Ь)/Ь]+1))4 <2/«)Si3t + (4/лг)1л(3/2 +а/Ь)*
a 30

4/я2)1п(i + ajb) + (4/jt2)1 n(3/2) + <2/iJt)Si st.
Очевидно, что
У2<а,Ъ)4> J0 teosec{lj2) - 2ll)dl=(2l<n)\n (z~* tgz^ ),
где z6=Jt/(4b) . Применяя неравенство Буняковского, находим
JjCa.b)2^sin(Z+l/2)i1 jJ^cosec2^/2)df|^=
- (яЪ Г^2(cig (зг/(2Ь)>) .
Покажем, что
14%г) + *<*»<%***)“< f •	(54>
Так как z % zb - z;2 4 z*tg V zf^/З, то (!g* - *	+
00	оо
+ 2<*z*2I+\ ctcrac = 1/x-x/Z -	где	а1,Ь1	>	0)
1*1 ° 2*1
8s^{z~^lgzb-l)4 i-2zbclg2zb и, следовательно, 2il2ln(z~blgzb)+
+ (2zb<^g2zb)^2 4 1, что и доказывает (54). Сопоставляя
теперь оценки для Зл. и учитывая неравенство (54), получаем
У<а,Ь) < (4/яг)1п{1+а/Ь) + {4/я2)1п<3/2) + {2/я)$?я+У2У:ГГ =
= Н/я2)1п (1 + а/Ь)+	79346...	1
Замечание 8. Незначительное усложнение доказа¬
тельства теоремы 14 (область интегрирования интеграла У{а,Ь)
разбивается не на отрезки [0,я/Ь] и [я/Ь,л] , а на отоезки
[0,Л«/Ь] и [яоь/Ь,:я], где обе <0,1), а затем идет минимизация
по qj ) позволяет получить оценку
|еЯвЬ(1>|с4 (4/я2Нп(1 + а/Ь) + 1,7886 taeZ^,beJi).
Замечание 9. В связи с оценкой (см. замечание 7)
Цв#0£<2)||с ^	1,1645..., если beJV. возникает вопрос, нель¬
зя ли ее улучшить до неравенства 1«ЯлЬ<2)|с < !•
Мы сейчас дадим на этот вопрос отрицательный ответ. А имен¬
но покажем, что
Иа!бЯ0)Ь(2)|с>(4/я)((2/я>|Я/2(><и((зтг)/г}^г]г^м)1/г	(55)
0	‘°	131

Доказательство, Фиксируем Ьел и пусть
Б€<0,зт/<4Ь)) . Определим функцииg и 6eLM на отрезке J
соотношениями
f 2, если 1е{-я/(2Ъ), п/<2Ь)),
о ” 1 0, если I € (-JT/(2b)f п/(2Ъ)),
6<l)-$\gncosbb. Теперь определим функции ge,6^ С на [-от,я]
следующим образом
I g<i), еот 1€(-я/(2Ъ)9-я/(2Ъ)+£)и(31/(2Ь)-€9П/{2Ъ))9
Sa \ линейна на дополнительных интервалах,
$•(?)* i signcosb!tecjm ie(n/(2b) + itk/b-e, дг/(2Ь) + этЛ:/& + s),
е I где >=-Ь,Ь-1, линейна на дополнительных интервалах.
Пусть, далее,	$2<i>=ge<l)	-	66<1). Очевидно,
что 1е(1)еС, уэя \je<i)\ =1. Легко также понять, что при лю¬
бом фиксированном JceZ
Vf»>•<гя>’1£*	(2я)~*£*
Следовательно, при	справедливо соотношение lim £Л£е,0) =
€ ■* ()_
"S»<i>0.h а значит, справедливо и равенство lim Ь_1У 0)=
Ь-1 л	S-'O	2-0	1
« Ь"*Т Sf(#,0). Простые вычисления показывают, что рядом
Фурье функции $ является ряд
11 IV 4йШ«»и -	.
ь	hi	г	**°
Поэтому b'^Sfoo^b-^U	s?n(fat/<2b))j2	=	#
Z*0	2*0	fr*f
Таким образом, при любом beN |егЯ0^(2)||с > б#оь<2,^6,0)
Отсюда ясно, что lim |erHflb<2JJc > lim ^ . Легко прове¬
рить, что	***	*	b*°*
lim <xl = 323t-3J^2(J“((sini)/t)di)2du = 1,134... А
Замечание 10. Незначительно модифицируя доказа¬
тельство теоремы 12 при Jc = 0, j = 2, можно показать, что верх¬
ний предел последовательности	{Ь*1Д~.)при	Ь-*
оо не превосходит 1,14868.
132

Теорема 15. Пусть ае2+, ЪеЖ pfeC . Тогда
| ь"‘5Г+ь**г<*,“ st {S’') •dl Ls< 1п<1+ а>ь)+2А **</>* • (ь6;
II Ь'^ь2Ь^('>" S*<f'Ф> IМ I- * 2,58 Еь (*}” ’	(57)
) - SI	J N< 2,62Eb(f)„.	(58)
Доказательство теоремы 15 аналогично доказательству тео¬
ремы 3. При этом используются теоремы 14, 13 {Jc =1) и замена-
нив 7 (Л =4).

Глава Ш
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АГРЕГАТОВ ПРИМИРЕНИЯ
НА КЛАССАХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
§ Т. Интерполяшонные формулы
для тригонометрических полиномов
В этом параграфе изложение в основном будет вестись для
двумерного случая. Это позволит достаточно полно выяснить идей¬
ную сторону рассматриваемого вопроса, избежав при этом громозд¬
кости изложения, присущей произвольному кратному случаю.
Т.° Установим формулы, выражающие коэффициенты тригономе¬
трического полинома через его значения.
Леглма Т. Пусть пе Z+tf€Hn, аеС, ке Z, ук= ул *Ш. Тогда
Jcv-fl
Доказательство. Пусть г=((2л+1 f^2f< ук + <х )£ и,
• Тогда равенства
ct{f )eiUieily* Ос-^йп)
Zv-ЭТ
кратко могут быть записаны в форме г -An<iS)$ . Ввиду унитар ¬
ности матрицы Апа5) справедливо равенство A~*(t5) -A^ (35),
Следовательно, s«Al(15)r, т.е.
я
Cj (/>£**** (i)* 2	).	А
к*-л
Лемма 2. Пусть пеН, /еЯл, аеС,	ук-
ЖУ«,*(5>-	^	я
Тогда см)=ы 2 <м*>лу*+«>«‘"у* f Z- “Л41,7? ).
*-л	f/-	л
Доказательство, Пусть
Тог*а равенства
134

/гуА+и)- ci(S >e'l°Letly* ( л = -л+1,л>
1--П + 1
кратко могут быть записаны в форме T=An(\S)s . Ввиду унитар¬
ности матрицы Лп(18) справедливо равенство А~*(13) = A* ii8).
Следовательно, л-Л*<18)г, т.е.
л	л
c<j)eil*=<WlY ;<ук+«)еЪ*-(2п)-*% <*п<*)/<ук+и)е-{Ъ*. А
*=-Л*Г	Л-вг-П
Замечание 1, Леммы ! и 2, по сути дела, уже уста¬
навливались ранее (см* таблицу 2.4.1, пункт 1).
Пусть ле2+, leZ , &е€. Тогда по определению .gn<l*0L} =
= е~г1л гфи \1\Фп% gn<l,*)= 1 при |J| -л	=	l при
|2|^л, g*<l,cL)=itl* при |7|-л. Если neZ™, leZ™ соеС™
ТО	га
£л'7-а>" П £*,/*»• **Ь gZtM-JIgZJ1*'**)-
 **i	***	Л
Запись ^=а,Ь , где а,ЪеК и aih , означает, что к пробе¬
гает целочисленную решетку прямоугольника [а,ЬJ.
Следствие 1. Пусть пеЯ, <*,х е€, AeZ, ^ е С	),
Л-1
/We2czezZar4- слс°а л^-оь),	* y^k{3). Тогда
г«-и+1	.	я
=	1]	ип(Ь>/<ук+*)е~нУ*	{i*-ji+i,n).
*п к~-п
Доказательство. Положим T(X)*f(X)+ic„sinn(cc-
n-J	11
-ос). Очевидно, что Т(х)* сге*1х + cneincLelnx и 77^+оь) =
г*-л+т
- f<yk + 06 ) . Применяя теперь к функции Т лемму 2, получаем
требуемое. А
Предложение 1. Пусть nzZ+ > f€Hn% &£Cm, keZm9 укаУп,кН\
vn = ( ir[-n, п + ImJ )~s. Тогда
ci<f) = eu<i'Uvn 2	(I)
*е£-л,л)
Доказательство. Доказательство предложения 1
основывается на лемме 1 и проводится по индукции. Ограничимся
рассмотрением случая тл= 2. Записывая функцию / в виде
i цг (сг^е'12*2, где и, Сзг^^У	“	применяя
Ч*'Лг
лемму 1, имеем	135

я*
=(2«l+f)V^2 v&wf>+ ^e3cp<-ihyl,t,k}<i)>>
V-"f
VW04	/<Ух+vexp <-Щ%г,кг«)).
*2*~n2
Осталось сопоставить полученные соотношения. А
Предложение 2. Пусть леКт, f еИп, tb€Cmf k,l£%w\ с2(/>- О
при 2 с{-л,я]\{-л+1” п],	y„ik<3),	Тогда
с,Ш=е“,№’2Ч 2	^=-л+1и,п;.	(2)
*е£-Л,7?]
Доказательство предложения 2 основано на лемме 2 и аналогично
доказательству предложения 1.
Предложение 3. Пусть пе2+*Х, /еЯл, &в €2, к Л € Z2,
«/{/)= о при Ze	xf-*2+i,n2]«A,	#*=3^,*^
ило((,2п1+1)2п2)"^ Тогда
ЪФа-**‘*'\ S <WW(!/a+ *>6"^*'^	<1еА).	О)
*e£-*V*I
Доказательство предложения 3 основано на леммах 1 и 2 и
аналогично доказательству предложения 1.
Замечание 2. Пусть neZ+, Же Zmr а,еСт, укяуГ{^й).
Тогда, если f,geHn и Д%.+к>=4Л) при Ж=-п,п, то ег<ч?=
= сг^) при ZeZ7?
Это замечание очевидно в силу предложения 1.
Следствие ,2. Пусть пе W2, <г,ж еСг, keZ% сгеС (le Zz),
Ук*Уп,к<®> -а*[-л+12,п-12],
^	+	cosTtjZacj-aj)^ ^€,гг*г +
icVi	%-V-i
+ cos«2(a:2-«2) 2J	+	слсозл1(х1-«и1)со$п2га,2-«.2).(4)
Тогда сt* g„<l, <*) Vj, У оin<k)R(yk+&)e <!l* 1	{l*-n+tz,n).
ЛбРл.п]
Доказательство следствия 2 может быть получено на основе
следствия 1 рассуждениями* аналогичными доказательству предло¬
жения 1. Однако простым является и более прямое доказательство,
основанное на предложении 2, приводимое ниже. Пусть
136

Легко видеть, что Tiy^cLj-Riy^a) . Применяя к функции Т
предложение 2, получаем требуемое. А
Следствие 3. Пусть neZ+xN, &,хе€2, b,leZ2, о?еС (leZ2),
У*=Уп,к«1'Ъ))> А=[“л1>л1] х[-л2+1»лг-1].уп=((2л1+1)2п2)'1.
R(x) = '^clel<x’l) + cosn2(x2-cL2)^ii с1^пе'1'х' .	(5)
геА	г,=-л,
Тогда при I е [-п1,п1]х[-пг+1,пг]
ct = gnJlz>*B)€"h*ivn 2	*пг<к2^(Ук+*'>е"<Ьк'Ц■
ХЕ[-П,П]
Доказательство. Пусть T<x)-R<oc)+is\nnp(ocP-
- Ci пеи*х*. Очевидно, что Tiy^oi)-R(yk^oi). Применяя к
1’ 2
*Хв"^|
функции Т предложение 3, получаем требуемое. А
2? Пусть	где Д^вС. Рассмотрим вопрос о
выражении значений функции Л vf(x), где f - тригонометриче¬
ский полином, через значения функции /♦
Теорема 1; Пусть л е2+, /е#л , oc,x€Cmt JkeZ™ ук= yn^{l)j
Л»(Аг)£е2т., где Лге€, i^n-(ir[-n,n^im]y\ функция
определена формулой
ФШ = У Лгеиъ'1) .	(6)
г«[-л,яЗ
Тогда Xvfix) = vn ^ /<ук+а)Ф<х-1/к-<л).	(7)
*e[-n,7i]
Доказательство* Применяя (Т), имеем
Д *fm = 2	-
1б[-л,т»3
"«nX	ar-^-ej.Z# »
*еС-Л,Г»]	ZcT”»71]
= lS»2 +	4
>еЕ-я,я]	537

Следствие 4. Пусть леЯ™, jeH„, a.xeC” keZm, yk=y„ik(t),
hxihi)iez™> ГД0 Лг£С, функция Ф определена при ieCm фор¬
мулой (6), vn-п +	Тогда
Ф<-^-<54).	(8)
Л£-[-П,Л]
Дяя доказательства следствия 4 достаточно в формуле (7) в
качестве <и взять ос+а .
Следствие 5, Пусть naZ™, aaCm, JceZ™ ук-уп^),
(1*^п$),	Ф(2} = 2	Тогда
Г£Г-Л,73]
2	^om гг[-п,п + 1т].	(S)
*еЬя,"]	.	.
Для доказательства (9) достаточно применить следствие 4 к
функции f (х) * f.
Демма 3. Пусть леМ2 а,гееС2, AeZ2 &=*/.„ *.<3), числа ci£C
таковы, что сП£1гг = сЛ1,г2, если /2=-л'2+1,л2г cZij.„2=
*cZl(„2, . если	, с_л = сл, ггп»(4п1пгГ1, Я-f/Vtez2 ’
где ДгеС. Пусть далее
- 21	(геС2/.еСТогда
Л VR{X)* vn 2* ап<к)Жук+01,)'(£(х-ук-*.).
НИ, 71J
Доказательство, Ясно, что . g£(l,oi) gn<l,u) ~
=	Функция Л может быть представлена в форме (4), При¬
меняя следствие 2 и учитывая условия, наложенные на коэффици¬
енты сг , имеем
сг= Vngn(l,*) ап{к)В.(ук+ч)ецУ*'1)	(U-п.п).
Используя последнее равенство, получаем
Я*Д{х)=Цл 2 h^nm ct„<k)gn(l,0L)g2<t,a)B(yk+eiyexp(i{{X-ykyl))=
Ike С-л,л]
*е[-И,П]	гс[-П.П]
'* *5. X	4
138

Следствие 6. Пусть леи2, л,х еС* k,lelг, ул-уп * (3), сгДге
£С (1=-п,п), ип=(4л)л2Г1, ¥(?)= 2 cL}l<l)Jllei,hI> (ieC2).Тогда
лг-г	ге1"-м3
2	Ч,ЪехРС'ЗДг,*2<3>	+	<*,)) +
*е£-л,яЛ	Z2=^2+l
ni-1
•+И)*2 2 %«2e*P(t‘V&I,*I{3)+	Н)*1+,Ггсл|^-^-й) =
I,=-«,+!
"г-1	_	-”1-1
•г72 '“‘"‘'“'‘2 v,,,,.,/'>*■> + 2г’'г"г“г,2V,,,,,/'■*■)*
Z^-T12+1	(Гг1=я2	Zj*-^+I
+ 2"2сл X	Aj€xp(i((x-tt)*Z)).
1г11вПх»1^21~яг
Для доказательства следствия 6 достаточно применить лемму
3 к функции
«2-з	пi-t
^f*) = cosnI<arI-otI) 2	Сл,,1г<?’1г*г + cos лг<аг2-а2)^	+
Г^-л^г	7^-я+З
4- C„COS 77,	COS Я2<Г5С2~0&2Ь
Лемгла 4» Пусть л е Н2,/сгНл € С2, Зс,1еХ* z/A= уп% (5),
Я = аг)1ехг, г- ЯбС, ил = (4л1лгГ1,	«Дг>Дге?гЧЫ)
2£L-n,n]
{1е£?). Пусть далее Cf-c^f), $n={ueJR2:	|ы2)	=	лг|:
A(f,x) = vn У an<k)f<y}(+ct,)Tg(x~ул~<&),
jfc6[-*y0
Azcrr'№/,-2'2(2 c,ei<a'Z))(2 ^exp{z7('x-<»j-Zj)) +
l€SCji	Xg-I l£^Cn	Is&n
+ 2-!/ J e«f*i 2	+
l2*-nz+t
m 	П2|-Л2	г,.-Л,+1
Тогда	я vf<x) = A<f,x) +
Дока'зат_ё“льство. Пусть Гея-;* 2 c,e^w'г,
ге[-л+1* л-я]'	’
T(x)-J<x)-T<x). Нетрудно убедиться, что	п
+ j jJ сгв*^1> + 2 £ с,*****1»,
2еЛ"	7гс-л241	toM2	Zj«-n,M

1чу*+*И-ц*»+**2 с,е"*'г'+(-Ф2	сге!гЛ]еоср/172^?2(3)+^))+
2вХЯ	l2e-TI2+l	ly.ilj
nrl
+ И)*2 2 ( 2 Czei%‘,)e*p(*Zf^Ji(3)+«1)).
|l2l=n2
Опираясь на последнее соотношение и следствие 6. имеем
+ 2	j	Л,г(сге<ггс62+	)	+
1У’Л2
Ясно, что	Д	vrfa:}	= Л Дгсг€г{ЛГ*г> ,	(М)
ге-В
где Ля[-я#л]\[-л+12	Так как по лемме 3 Дт Т(х)=А(Т,х),
то Д ▼/<£) = Я* 77*) + Я ▼ Плг;=А(Т;а:)+Л(г,д^ + Дтг{л)-Л(г1л|>
* A(f,x) + Avw -A<r,xj.
Осталось заметить, что в силу соотношений (10) и (И) Я vmj^
~ A<rtx)= B<f,x). А
Следствие 7. Пусть выполнены условия леммы 4, и, кроме то¬
го, имеют место соотношения
с,е*<“•*> 2	«	Лгe',^*'г, 2 сАеш'к> И£ХЛ),
хеХп	кеХп
ЛЪ.*гс*еЩ** ’XiC-h.h	1г°-пгл\,пг-\),
Яи.-ггс1е4Пг*г= Л1сН,-1г	(Ikl-fy* h‘
Тогда	A(ftX)**	A{f{*	+	x),	О2).
Доказательство. Положим	х). Оче¬
видно, что Я vf*(02) = Я wf<x). Поэтому достаточно показать,
что в условиях доказываемого следствия B<f*Q2} * B(f,x).
Справедливость последнего соотношения легко устанавливается не¬
посредственными вычислениями. 1
140

Теорема 2. Пусть лелг2 /еЯи, т,х е С2 "к,1еЪ\	-
*	Д=<^)г£22»	где	ЛгеС,	v„»(4n1n2)It	W)	=
= j ttH(l)^euVl} (ieC*), Xn={ueB2.* Iujj-я,, |ы2|=л2(.
ie l-n.n)
Тогда: 1) если
V'^E	=	(Ze**),
*e*n
Aic-iui2<f>€~2i*il1 « Агс/{</)	(IZjI-n,, г2—Дг+	>,
(12)
^icii,-h*f)e 2101,212 ~	(Нг|=Лг> Zjs-nj+f, flj-l),
то	^	;	(13)
*«[-71,77]
2) если	.	4XlcJ(f)	{1еХя),
= Аг V/)	(lithnj, гг=-лг+1, л2-1), (14)
(|Z2|-«a, Z,—л,+ 1. arl),
то Д»/(л) = У), X &л(А)/(аг+«/*+оо ¥(-у*-л).	(15)
*е[~л,п]
Доказательство. Будем использовать обозначе¬
ния леммы 4. Условия (12) обеспечивают равенство B(f,X) =0,и,
значит, в силу леммы 4 соотношение (13) имеет место. Положим
/*(*) “/(> + х). Условия (14) обеспечивают равенство Б(/*02) =
= 0. Очевидно, что Я^/*{©г) = Я^f(xh Осталось применить лем¬
му 4.1
Леша 5. Пусть ле2+*Н, и,х еС2, кеЖ2 уп>к {(1,3»,
числа сге С (U-n,n) таковы, что €ilrn2 = с1\,-п2 » если =
аГЯ|.п,, уи*((^л,+(}2лгГ1, Д = (Лг)1в!гг, где Л2еС, Пусть
далее *(*>=£
let-n.n]	2	1€[‘Л,1г]
(7е С2}. Тогда

Доказательств о. Ясно, что g^h^z^ gn2 <h>
ttjjf*'**1*1 = e~i(cl'r>. функция R может быть представлена в фор~
ме (5). Применяя следствие 3 и учитывая условия, наложенные на
коэффициенты сг , имеем
сгт vngn,<l2’*z)e~tkUi % <*71г<к2>Я<У*+*)е~иУ*'1}
*	ЛеЕл,п}
Используя последнее равенство, находим
Я*Р(Х)=и„ 2	V*2 W	гг-«г	«№Щх'у**1
• г,ке[-я,пJ
*£[-?!, Я]	?«!-*,П].
*е £•","}
Следствие 8. Пусть ле Z+*If, ot.ac cC2, fc.le Zf у^-у^ИМ,
•сг,АгеС	Vff&ij+XZZnar1,	2	аЛгаг)Лгеиы>
(I e С2). Тогда	д,	w [*«»«)
^2 a»2^H-f)^(2 Сгьпге*Р<*^П1,г1«)+«1)г1))^'У*-й!=
>tt-yi,nj	я,	It»-»!
Пг\*Ъ it*-ns
Для доказательства следствия 8 достаточно применить лемму
б К ПОЛИНОМУ R{%) = СО$Т12(Х2-&г)	n	Cllyn2^Xil1.
Лемма 6. Пусть выполнены условия следствия 8 и пусть да¬
лее f€ Нп , Д * (Лг)1€Х2, Лг - О при I е 2г\ [-л, п ],
Affix) - Ц| J	« >*
*?рЯ,н]
2"2 eix*1* 2 А|(С|Гj?* - %^гф е“2<“г,г)е****'.
\Ц1*пг 2|«*Л|
Тогда	Xytf(X)"Mf,x)	+	Bif,x)	Я}.г
Доказательство. Пусть Г(х)=£ £	сг(/)е^‘!
Ч*~я1 hm~ni+t
r/х) ф(х)-Т{х). Легко видеть, что
У(&+*)»(-! )**2 { I	«>♦*,>	*i.) •
il-Я,' (l|J^
142

Отсюда на основании следствия 8 имеем
д(г,х)=2~12	%Лг(С1фе^Ч с.1г<реы*1г)е1**г1.	(i6)
\h\**2	hK~ni
м
ясно, что Лтг<х>~ ]£ Ц Я1с1(/)еих’г'.	И?)
'tel-пг г,—нх
Так как по лемме 5 А г TYrj =А(Т,х), то Avf(x)~A(f,xHA*r(xh
-Air,x). Осталось заметить, что в силу соотношений (16) и (17)
Цтг(х) - А(г,х) - В<т,х). А
Следствие 9. Пусть выполнены условия леммы 6 и, кроме то-
ГО, ^1гг2с1<Ле4Ы21^Л1Сг1Г1г</>	\h\^n2). Тогда
A<ffx)*A<f <• + #), 0*|.
Доказательство. Положим f%)sf{*+x). Оче¬
видно, что Лт/^02) = Яу/(’а:). Поэтому достаточно показать, что
в условиях доказываемого следствия £(f*02}-В(/,ас). Справед¬
ливость последнего соотношения легко устанавливается непосред¬
ственными вычислениями. А
2 2
Теорема 3. Пусть лeZ+*N,/£#„,х,хеС, k,leZ, t/j. *
= Уп,к<(1М, Л«(Л*>ге2г, где ЛлеС, ил=((2п^1)2пг f! УМ-
= £ oLn^h^ieUi l) (iеС2). Тогда; 1) если
№** 2,-*=^—(18)
то	А */<*> = vn V a>7tJk2if(yfe+a)^(x-yic-<i) ;	(19)
jfcct-H.n]
2) если
0Ы=пг> ha'nvni^ (2TJ)
to	Art fix) “	2	*пг<кг>3<х+У*+,*№<~У)t-4£)-
**£-«,nj
Доказательство. Будем использовать обозначе¬
ния леммы 6. Условия (18) обеспечивают равенство B(J,x) =Р и,
значит, в силу леммы б соотношение (19) имеет место. Ползли
Условия (20) обеспечивают равенство B(f* О2) *0.
Очевидно, что Л */*«>*)е Д r/fx). Осталось применить лемму б. А
3.°Пусть	л»{Лрп2)£КЛ1
Положим * €к Ф при к*	у которых f-nt,
1	143

nt], Аг=От* ck<f>=0 при других *6 [-л1}и,]х[-и2,лг]»А, и опре¬
делим функцию U(f)eH„ соотношением	сАе	Огра-
ничивая область применения результатов, установленных для по¬
линомов порядка п , полиномами типа функции U<f), мы, вообще
говоря, упрощаем их формулировки и приходим к ^-мерным ана¬
логам этих результатов, в частности, при Т - к одномерным
аналогам. В дальнейшем такого рода специализация будет прово¬
диться неоднократно. При этом большей частью будут приводиться
лишь формулировки соответствующих утверяадений и опускаться по¬
дробности выводов, поскольку последние не вызывают серьезных
затрудненийv Аналоги, как правило, помещаются под той же руб¬
рикой, что и результаты, которым они соответствуют, но со штри¬
хом.
Теорема 2\ Пусть п в ВТ, feHn # ot,,xeCt k,leZ, Ук^Уп,*^),
Л*<яг)иг . где хге€,	Тогда:	1) если
ЛгС-1</)егШ - Дгсг(/)	то
Л
Д ▼/<•*)= (2л)"1 2	(тз0
2) если Л-гсг<У)егш = Ягс^) (|г|=л), то
Я
Я*/(*)= (2л)'1	«я(*)/(а?+1/#4в1)	).	(Т5Г)
Следствие ТО. Пусть nelV, ук = cxkjji, Яге С (1=-п,п),
Л.Я»ДЯ, ^<И=^'иплп(1)Я1е%г1. Тогда
71
2 H)kctn(Jc)^<yk>- 2пА„.	(22)
Л«-л
Для доказательства (22) достаточно в пункте 2) теоремы 2Г
положить ^(х) = cosftx, as=0, я=0 и принять во внимание, что
в этом случае Д ▼/(0)* 2-*<Ая + Л-л> = Лп-
Следствие И. Пусть пел, «еС, г^«*лА/я, AjffC (7*-л,я),
У(*)*2"»-п «и<ПДгв<11. Тогда
п
Т о^<*)	-	2лД0.	(23)
к*-п
Ш

Для доказательства (23) достаточно в пункте 2) теоремы 2/
доложить
4.° Приведем некоторые следствия результатов, изложенных
в пункте 2.°
Следствие 12. Пусть ote [О2 l2]flZ2 фиксировано, пеКг,
]c,leZ* xeCs, ytc = n(2fc+ec)/(2n), А= <Лг) 1е хг , где Аге С,
«'Л(i)Aгef^■г, fieC2), feHn,Тогда:	1) если
Ze[-n,nj
=	С1ипгФ*<-и	гС1и-пгФ
d{=-nvnj), то
•(4л1пг>~1	<*'П<к)$<Ук)х2<х-Ук>'’
*e[-n,nj	„
2) если Ая?(1г-(-1ЛА_Л|>1а	А^я	-(-1)	гАг{,-„г
ТО
A *•/<*) = (4л1«гГ1 X «М Д** У* >^ <"*/*>•
ЛеС-я,п]
Для доказательства следствия 12 достаточно заметить, что
выполнение условий пункта 1) (пункта 2)) следствия. 12 влечет
выполнение условий пункта 1) (пункта 2)) теоремы 2.
Следствие 13, Пусть р е[0* i2]HZ2 фиксировано, леДГ2»
к,1еХг, хеСг, г/л= упк (4), А=(Аг) 1егг, где Д^еС, 4(1) -
“ 2 лп<1)Лге1<Ы) <l€Ct), /еЯ„ . Тогда, если
Zej;-n,7ij	„
A,cz(/>|3+M)pi+H)^ + {-i)Pi+ft+i | = о <11Х1"Л1 * Iz2l“«a),
Дгсг(/)(1+<-1)р1) =0	<!гх!-«j. ^ = "лг41>
Дгс^/М1+(-1)Рг) =0	< Гг21 =	?!=-«!+!, л,-1>,
то A^/w=H)p«+p2<4n,n2r^rS^
Доказательство, Пусть Jt€C2. Положим &(h) =
= j<x+h}, yg> -*6, * (4> g=TJ) .Легко	убедиться, что
при f«C*	■
(^=1,2)	Учитывая	эти	соотношения	и	при-
Ajf	I	~ 1	2	" 2
меняя пункт 2) теоремы 2 <»ST 12/(2л))т имеем
(-1)Р1+Рг 4л,пг {.А */<*))«	°Ку*>^У*)в
*е[-л,п-1г1
145

n2-t	-1	ЛГ1	n2-t
|f2*0	*2e“«*	^p-Hj	fc2^0
**(<.ov<’’i'-s-.>l-
7ij-l «2-1
*j 2{л^)+нЛь^,-бг;5к%)- 2	*<Р’Ук£*№укu
*,.-njM	21	Н[03я-«]
Теорема 4. Пусть a,p, ре[0*12] П22 фиксированы, л£гТ^,
yk=y„iis(0\a), У& “ уп,,**{0>а}2	д“\
Ag«c. V*I?*S, *-<*«>*.*..
{/-<,2), *Р«|»	/ей,,
p.	*<P’V*,f,x>	+	Гаг-ПМ}*1*^^.^’,«),/,*} +
+	+	fer i )ca2-!) (-Г ГЧ1 (-1) Чг G<pfi?;fiX),
*	(24)
Тогда если	Я^ e M)$A^	{Zy = - П},п^ ,
Я1ег(/ J {3 ~H )?1+в1 -(-i)p**a*-{-l)pi*P2*ai*ai | = o	(iZ,|-nj.pa|-«2),
Л,сгФ(1-И)р1+в1) = 0	( М,)»и,, гг=-л2+1,п2-1),
Дгс^/)(1-(-1)Рг+аг) = 0	(|г2|=«г«	*j-4,
nrat *г~*г
то Я^/(аг) = {-1),,1+Я2(4п1л2Г1 2	2 ап<А2е<а>РфУл>М2 Ф<У*> ■
k1*=i-a: bfl-a?
Доказательство. Ограничимся рассмотрением
случаев а=(0,1), рх = 0 и <*«(0,1), pf =1. Случаи, от¬
вечающие другим значениям параметров а и р , исследуются по
той же схеме. Пусть Не С2. Положим а,<к)=^(х+Н)} {
+ (-1	))	¥£	Легко видеть, что Vjf-ij) -
.2 w-hA-i)k42a2), у%.г-у‘*>, у%-
-у^-2л. Пусть сначала fa =0. Тогда Яд* = 0. Из (23) следУ'
146 2

ет, что	1Ло’=0	и	потому	Vt<0)	=
Учитывая изложенное выше, при-
меняя пункт 2) теоремы 2 (<fcf= 0, об2 = л/(2л2)) и рассуждая как
лрй доказательстве следствия 13, имеем
(.1)Р,+Рг4л1п2 (Я»/fa:)) - jJ	а<Ця)%
*far<i+ H)ft)Pol" £ Г + Н ^ ) + (-^*
**(-У%’У%)+ (-I)Pl+P^(-& )- (I+{-I)p<)(«(0,yg)+f-I)Vo>-4’))j¥W
л*-аг
•I I
*г=1-вг
Пусть теперь р, = 1. Тогда АТ =0. Из (22) следует, что
У (-1)^^ (Аг) ^(у'11) = о и потому 4?j(0)»-2] «л,<-М-1) **
£4	1	**	*£=1	1
* (1 + H)?I) 4fj(у^). Рассуждая, как и выше, и испсшь-
зуя последнее равенство, имеем
И^Мл^Дт/г*»- ^1<0)[30+£	+	H)PrP-*t) =
*j« X
+	-(-!)**{!+ {-!)^)Рв1 =
Hj-Of Л?~Л2
'	У £	<*nf*>«<«>P.P.y*.j\*)	Д
*Г1-а1 %2si~a2
Следствие 14. Пусть p e [02,i2] f\Z2 фиксировано, ne Z2,
areC2	A,ZeZ2	ул = ул*{2), Д = (Дг) геХг , где	AteC,	У?<1) =
"I Vm‘Z; ^eC2>,	Уй=((2и1+1)(2л2+1))-1	Тогда,
0ЗДи Д1 = (-1)р1Д.г г =(-1)РгД	, <Z=-7yi), то
T47

Ае[02П)
Доказательство. Пусть h € C2f	&ih)=f<x+k)t
y*W).Легко убедиться, что	,
при исг> y-ij-r-4' Q = 1,2). Учитывав
эти соотношения и применяя следствие 4 {m = 2t ^=jrl2/(^ + f2)),
имеем	П1	_х
(-1 /1*Ргv~l (ЛГ/(Х>)* 2 а<ук№ук) = J { J а(ук) 4<ук) +
*€{•»»«]	*1ж'п1	«г
**е0 *2=0
ЛХ Л2
в2	2	yrf>x>W(b’*>-
Vй! *i*0	X£tO?nJ	4
5? Дадим формулировки результатов, установленных в пунк¬
те 4.,° применительно к одномерному случаю.
Следствие Т2'. Пусть «e{0,fj фиксировано, neJN , же € ,
у^= яШ+<0/(2п), Я“{Я1)1ех , где ХгеС,’41(1)*'%"ш_п<х.п(1) *
*\telli, /гТогда: 1) если^слс/) = {-I fc_n(f), то
Я rf<x> = (глГ1^ *л(*)/<ук)Ч<х-ук);
„ *ш’п
2)	если Дл=»(-1) А_п , то и
Я*/(х> = (2лГ1 J ^M{k)fix*yk)4H-yk).
**-Л
Следствие ИЗ'. Пусть {о,Ч фиксировано, п€ N, хеС,
г^=Л(2А+1)/(2л), Д=(Дг);ег, где	х
хДгв*^ /сЯя. Тогда, если Аг = (-1)рА_г (l=-n,n), А,<у/)(1 +
■+<-1)Р)*0 при |2|*п, то п.х
А »/<*>= (-1	G<p,y}c,flx)4’(yt'),
*»0
Теорема 4У. Пусть а,р, ре{ 0,11 фиксированы, леЯГ, хе С ,
^=31(2*+а )/(2л), A-№i)UZfTze AzeC,	(1=-п,п),
•Ш

Лрл{1-а) = 0,	V<*)=2 ал(1)Ягет, feH„,
*	Z s-л
efa,p,p,i/A.,/(ac) = 6(^,i/Jt)/Ia-i + (a-l){-I)*<’(l+W)p)/faci. (24')
Тогда, если	=0	при	|Z|*n	, то
П-Л
Ат/Гж) = {-1)р(2лГ12 cin(Jc)G(<t,pt	,х)Ш(ук).
k*i~iI
Следствие 14', Пусть	фиксировано,	neZ+ , areC ,
у^=0Т{2А+О/(2л+1), Д*Йг)ге2, где Лг«С#	Лге	***,
Тогда, если Лг = (-1 )^A-Z	(1^^п9п) , то
л
Д'г/Ш = М)р(2л+1Г12 *л1к)&(р,у).,3,х)Р1(у1е).
*=о
6.° Приведем следствия результатов пункта 2,° относящиеся
к вопросу восстановления тригонометрического патинома по его
значениям в заданной сетке узлов.
Следствие Т5. Пусть пе Z?, /£■#„, л,эее-Ст, *eZm, у* =
vnm<v[-n,n+fm})'s. Тогда
/<*>= *>>.]£	f<yx+<*)Dn<x-yx-<*>-
к е1-л,П]
Для доказательства следствия достаточно положить в те¬
ореме 1	Т	(le Zm) и принять во внимание, что V е ***'**=
г€(-л,л}
= илт.
Пусть п£ Z+ , аге€т. Тогда полагаем 1>л(aty -1>л (О™, х}j<
Функция Dn{*)\ называется модифицированным ядром Дирихле по¬
рядка п.
Следствие 16. Пусть леЛ*2, j€Hntectx€ С2, Jc,leZ2f yt =
* Уп,к<*>, vna (4л,лаГ{ #л={ц.еЛ2: 1 ы, I»л,. №21'
Тогда, если
<,-*<*•*> £ c^f)eu*-kim 4Ci<ft <l€Xn),
*exn
* Cj(/>	(\Ы=пг-	hs-ni+h*rl),
149

TO	2	<*>»<*> fty*-**>Dn<*~У*-<*)f
леС-я,7»]
Для доказательства следствия	16 достаточно положить	в	те¬
ореме 2 Яг = 1 {l€Z2) и принять во внимание, что	1=
= !>***>,.
Следствие 17. Пусть леЖ+хЗ¥, feHn, и,хе€2, к,1ё
У к ~ Уп,к У *’3 ^	^	2ni+Я 2 л2 f1. Тогда если cZf (/ )e2,<^ ** =
*С|</>	<1Ы	=	Л2»	г1в-л1>л1), то
/«?)*«» J «яг<*гМ<Ук+ *)\<0СГУпьк<1)- V-VЪ'Уяькг*3*-1**^•
*е£~я,п)	1	a i
Для доказательства следствия	17 надо в теореме	3	положить
Дг = 1 (Zf?Z2).
Более подробно остановимся на одномерном случае. Получаю¬
щиеся здесь соотношения сведем в таблицу.
Таблица 1. Пусть ле Z+yf€Hni х€ С, Тогда
та
1. fix^ibi+lT1-2/<&Д*#2У«-Ул,1Г*У (*-Г2). (25)
г=-п
2. Если сл(/>=<■-„(/) , то
Я
/1й;>={2лГ12 лл(г>/(ул,гЯЩ<х-Уп,г{Щ	<П€Я). (26)
3. Если сл (/)*-<:_„{/), то
71
^аФу„,1 (4)) Dn (x-y„'t (4))t (HfN), (27)
l±-n
4. Если f &)=/<-%) при fell, то
2(co$nx-cos<n+i)x) V „	{-i)lCOS(ynl(l)/2)	,
 &7Г	,	«в.
^ (a)
271+1	Го	cos^tfj-cos*
С05(Л-1)Ж-С05(Л+Г)Ж « A , .	(-1)1	,
'*« s
«о.	•	«*'

Ь. Если леЛ',	(~1) при ZeR, то
2<sro«* + sin<n+i)ar) «	H)zsiniy„	2(1	)/2)	,	.
f<X) =	 У		—	.(32)
J	2и	+	1	£* у ’ cosynl(l)-cosx
2(sinnx-sin(n+i)x) «	H)lcos{y„,<2)/2)	,	„
f(Xh	 У/(Ут<2)>	—	—	(33)
3	2л+1	i-'«08^(2)-cos* ’
sinfn+lja: «Ц	,	(-f)zsini/„*f ><3)
S№  	 r/(yatI,{3)) 	'	^	 .	(34)
я + 1	£$ Jn+i,i cos^+IjZ(3)-cos*
sinfn-Oac-sfown+I)*'- «-<	{-l)z
/{x)a		 ^ f<yn>z<4))	—	 •	(35)
2n	>o	cosjr„tI(4)-cos*
Доказательство таблицы 1. Равенства
(25) очевидны в силу следствия 15. Соотношения (26) и (27) по¬
лучаются применением первой части теоремы 2', в которой надо по¬
ложить \г - 1 {leZ). Доказательства соотношений (28), (29), (32i
(33) основаны на формуле (25). При атом используются равенства
леммы 2.4.2. Докажем в качестве примера (33). Так как
•~ЗяаМ UeZ), то
У j<yn,i №п <*'Уп,1 (*» = ][ f<ynrl-№Dn <х~Упгг-1 <2»=
U-n	1*0^
= У	~ Е АД2»>-°Я <х+Ущг т.
ио	1*0
Далее /№) = 0 ввиду нечетности функции /. Поэтому в силу
(25) (при к = 2)л.х
f(x)* (2п+1Г*Ё/<у„,г<2»(Ц,<*-у„,1<2» - П„<х+упЛ(2»).
1*0
По лемме 2.4.2
_	„	4 2(-l)l(sinnx ~smin+t}x)cQ$<ynti(2)l2)
»n<*-yn,i<2»-D»<*+yn,i<2» юУпЛф-Шх'-'	•
Сопоставляя два последних равенства, получаем (33). Доказатель¬
ства равенств (30), (31), (34), (35) основаны на формулах (26),
(27)	и проводятся аналогично. А
Из таблицы 1 следует, что любая функция f^Hn может быть
записана в виде (25), любая четная функция f^n - в виде (.26),
151

(28)-(31), любая нечетная функция /еЛЛ - в виде (27),	(32)-
(35). Формулу (25) при Л --- 1 можно переписать в виде
71
/«>-]£(36)
Г*-п
где функции ЬлгеНп обладают свойствами: если 1,р=-п,п, т0
Ч,^Уя,р^^к ° при 1*Р> ?л,гtyn.i <* У = 1 • Полиномы Ьп,г на-
зываются фундаментальными полиномами формулы (25) (А =1). За¬
пись, аналогичную (36), допускают и формулы (25) (А -2), (26)-
(35), При этом формулы (26) и (27) предварительно следует пе¬
реписать в виде
fw«(2«ГГ2 f<yn>i<y »Dn(x-упЛ Ц))t	«I - з, 4).
Из сказанного, в частности, следует, что если	<1=^л^л),
то функция /, задаваемая формулой (см.(25) при А~Т)
л
fix) » fZn+ir1^ ггР„ (ж-упл (1)),
1--П
есть полином из нп, такой, wo /(ynj{t})=Zi (l~-ntn). Если же
ъге£ (l=>l,n)t то функция /, задаваемая формулой (см.(34))
Л/л,» s\n<n+Ux Т* « f-I)*sin уп*иг <3)
^	2*	2 cosyn+ul<3)-co$x	>
есть нечетный полином из лй. такой, что
и т.д.
7.° Приведем две таблицы формул, связанных с представле¬
ниями линейных агрегатов приближения общего вида, построенных
на. базе рядов Фурье. Эти формулы будут многократно использова¬
ться в-дальнейшем. В своей основе они уже были получены ранее*
Новым является форма их записи с помощью сумм Фурье и су ям
Rji,i (р t у»#) •
Таблица 2. Пусть	ле Z+, АгеС (leZ)f Яг = 0 при
Г1>я, А-(Л,)М„*,**€,	Ф**>т1?т-пв1”(Ш1е'а'
Тогда:
1, Если j>c|I,2),to
А»/Г*»-(2п+1Г1 J	(37)
г*-л
152

2. Если ре{3,4] фиксировано, neN, Лп = {-1)р*1 Л_п,	то
л
Д rf(X) = ( 2л Г1 2 •?„ (/, * + у„,г(Р)) ч?<-уп>1 ip)) *	(38)
г*-и-и
3. Если Aj= A,j (leZ+), Аг = 0 при |Z|=7i, то
Л
Я *f<x) = (2л +1 Г12 *л,г <1 ’/• * J г/я,г <1».	(зэ}
п
Яф<х)=(2п)"^а„(:)Лп1(3,/,х)Ф(уп1(3))	{ле!*), (40)
1*1
Л-1
Ат/(эг)=<?пГ,2^л(4-/^>ф(*/л,1(4)> <пеж). (41)
7-0
4. Если А;=А7 (l£'Z+), то
Л
Ат/(ас) = {2л+1Г1206л(7)-,?л>7(2>/.^)ф(*/п,7(2))-	(42)
1=0
5* Если A^e-Aj (Z-eZ*), то
Я а - (2л +1 г1 2 ^72,2 (- Uf* X) ф (уп г ( I )) ,	( 43 )
7=1
л-1
А^(**.-(2л41Г1 Т^г^2‘/^)Ф^л,г<2^2	144)
z«o
л-1
Ат/(ат)=	Rn,i(~4,f,x)	y<y„ti(4)) <nejf). (45>
1=0
6.	Если Аг«-Лч (ZeZ+), Л*-0 при )Z| * л , то
л
А»/<я)=-(2лГ12ллД(-3>/,аг)ф(у„1(3)) (леЯ). (46)
Z=i
Доказательство таблицы 2♦ Доказы¬
вать надо, по сути дела, только формулу (39), ибо формула (37)
вытекает из следствия 4 (при тп =1), в котором надо положить
а 0 при р = 1 и а*Я/(2л+1) при р = 2. Формула (38) легко
выводится из второй части следствия 12г. Формулы (40), (41), (45),
(46) следуют из теоремы 4Г. Формулы (42) и (44) получаются при¬
менением следствия 14\ Равенство (43) очевидно в силу (37),
в условиях (43) функция Ф нечетна. Приступаем к доказа-
153

тельотву (39). Условимся вместо Sn{ftx±yn l{\\) и
писать соответственно Sf и Фг . Полагая в формуле (37) (при
- 1)	» cos ля?, ос = 0 и учитывая четность функции ф , ка~
ходим, что
77	п
%*~22COS(n^.l<IW^Ze 2^{~*)Ш<:0$(Уп,1а)/2^1-	^47J
М	'	I-1
Сопоставляя теперь формулы (37) (при р - Т) и (47), получаем,
что	п	*
Я»/т-(2«иГ1{фдЧ2^++5Г^4в<2п+!Г12!;?п-г(1’^л:,фг' 4
,*i	i-i
Таблица 3. Пусть fefa, п е Z+, же С, сгеС ileZ), Ь = (Лг)1£Х,
Лг -0 при |71 > л . Тогда:
1.	Если функция g: R-*C определена равенством
  *ех
Aixg<y„,i<l» (1*~п,п), то
/ег
2* Если функция ^: К^С определена равенством
*6Z
ягё<Уп,1{*я	т°
Avff*)»2 cisn<f'*+yn,l<2)) •	(5I)
3. Если пеЛ , функция g*:!R->C определена равенством (43л
Я^£<улЛ<Э)) il^ruhU ТО
b/(*)*S CiSn<f>* + yn,lM>-	(62)
ZffZ
4. Если лcN, функция	опредалена	равенством	(50).
, то
л*/<х>=2 V/. *+у*.н4м-	С53)
1€Т
5. Если выполнены условия пункта 1) таблицы 3 и, ьрома то-
•о,	g<y„yl»-0	.	то
154

= J «г^л.| <!»/»*)•	С54)
гс*
6. Если выполнены условия пункта Т) таблицы 3 и, кроме то¬
го, сг~с-г <i€%+h т°
Д»/т=2сг^лг(-1,/,зс).	(55)
left
7. Пусть	фиксировано. Если выполнены условия пунк¬
та 2) таблицы 3 и, кроме тоге, с7=Н)рс,. <ZeZ4), lim
= 0, то	г^°°
Я*/<Х) = j с, п„>г ((-1 ?Л, S,x).	(50
1*0
8. Если выполнены условия пункта 3) таблицы 3 и, кроме то¬
го, сг**-г	gVJt) = Of то
= Г	157)
гем
9* Если выполнены условия пункта 3) таблицы 3 и, кроме то¬
го, cL= ~c_z	то
Я* f<x) - €z^n,z (“3,х) •	(58)
7<т*
ТО. Пусть />€-{0,1} фиксировано. Если выполнены условия
пункта 4)таблицы 3 и, кроме того,	f	{l€Z+)t	iim с,
* 0, то
CiXn,i((-DP4,f,x)-	^9)
2-0
ТТ. Пусть	#ггН,	функция	{рг[0,я]-*С	суммируема	на	[О,Я].
j YWofo	(£=0, л-1), ЛШ*(л2)“М	<p<u>sin{n2iz/vt)rfu.	Тогда
л-1	0
Т	*	2	S„<f,x+bn,l<P»A<y„,1<P»	<р~3,4),	(60!
jTo	zez
Л-1
У ikS*V'*)ts 2 X».i<3>f<*>A<i/n,l<3)l,
гпч
Л-1	со
**0	2*0
155

Доказательство таблицы 3. Пункты т*^
легко устанавливаются с помощью следствия 2.2,6* Докажем (54)
Пусть выполнены условия пункта 5, Будем, как и в доказательств
таблицы 2, вместо Sn <f,oc ± ynliV), писать 5*. Полагая в (49)
f(x)-cosjIX , х -0, находим^ что
оо
С0 = 2 2 И )*+4cos (Уп,1 < I)/2).	(63)
г-i
По формуле (49) для любой
coso + 2сг^++^>-
2€Х	им
Сопоставляя последнее равенство и (63), приходим к (54).
Теперь докажем (56) при р = 0. Пусть выполнены условия
пункта 7 при р = 0. На этот раз положим 5** Sn< fyx± ул z(2)j.
Г -1	m-l	*	*
Легко понять, что V	Принимая во внимание по-
2--J71	г*0
следнее равенство и равенство (51), имеем
гл-1	<30
Я./w» 1ш 2 cz5z+=lijn [Слг5+ + Jcz(S++Spj = 2 сг7?л>г{2,_/,х).
г--^77	1	2*о	г**о
Остальные соотношения пунктов 6-10 устанавливаются анало¬
гично. Равенства (60) легко следуют из теоремы 2.2.6 {лг =1).
Докажем (61). Будем вместо Sn(fix±yf1l{5)) и A<ynli$)) писать
соответственно Sjf и Аг. Полагая в формуле (60) (при p = 3)f<x)=
= cos лаг , л=0и учитывая четность функции Л , находим, что
Л0~2%<-1)МЛг.	(64)
Z-1
Сопоставляя теперь формулы (60) (при р ~ 3) и (64), получаем,что
У	+	2	^++5PV2	*„.,«./.*>	лг.
*.0	Z<TN	?£N
Теперь докажем (62). На этот раз полагаем 5* =5Л
Лг = А<1fnj(4)). Легко понять, что	Прини-
мая во внимание последнее равенство и равенство (60) (при р
2 ** S*<f’X)=l™J* 5l+V^{A«Sm+2	I
fCmO	OO	l*~™	M
156	i-o

S 2. Коэффициенты Фурье сплайнов
I? Для	при	кеЪт и |5€Rm полагаем
сА(р,/)= (2яГт С f(X)e-i<x'<*+M dx .
Vm
Величины	)	называются	обобщенные козффициентами Фурье
функции / .
Предложение 1. Пусть фиксировано [3 е Я™ функция f: Rm-*C
такова, что	C<(3m), ряд Л	рав-
771	Л
й( мерно сходится на R к функции g. Тогда g<x)=f<x) при
Доказательство. Так как ряд ck(&f)€i<X'^
равномерно сходится на Я^к функции g(X)ei(J>^cX то по следст¬
вию 2ЛЛ
с*<М)в<2я)~т Г g<v)eUx'&el<*'k)dx.
v Qm
Значит, при всех к е Ъ т
( f<x>ei<x'%-i<x,k>dx = f gmeUx’^eUx'kidx.
Отсюда на основании следствия 2Л.З заключаем, что g(x)e
*f(x)e~t<x*P) при хеЯ™ т.е. g(X) ~ f(x). А
Через р*. где	будем обозначать множество алгебра¬
ических многочленов с комплексными коэффициентами степени не
выше л, Пусть <z~Xq <х^ < ... < Хр*Ь - разбиение отрезка [а3Ь J.
функция /:[а,Ь]-*€ называется сплайном (полиномиальным) сте¬
пени п дефекта А' (О^А^я) с узла/ли \х;\^ л, если: a) f€Pn
на [*;.*/*]
Леша 1. Пусть ге2:+, /еС{г)[а,Ъ}, <иеС\|о}. Тогда
Г f< X) COS <££	= (-1 fci~r£bf(I'>(X)COS(a.X-3ir/2)clx +
Г-t “tt
j(-l)*a"*_I|/№V&)<:os(o&b-3i(JSr+l)/2)-yf*ira)cos{«a-nrA+i)/2;|, (I)
)roi'rC fir>(x)sin(<x,x-!XrJ2)(ix +
Г-1 л	V<*	-
7/2) -/^Wsin^a-Mk+i )/2)|, (2)
+
lf*0
T57

Доказательства равенств (1)-(3) получаются интегрировани¬
ем по частям*
Для	[0,ет])	при keZ и (ЗеС полагаем
/»ЯГ
+ fxdcc,
ЬЛ(р,/) =	<k+fi)xdx.
Величины &%($,/) и	называются соответственно обоб¬
щенными косинус- и синус-коэффкцивнт&ми Фурье функции /,
Предложение 2. Пусть функция	бесконечно	диф¬
ференцируема на [0, тг], kcZ9 Тогда:	1)	если	к	£	0	и
Um k~2r £ J<2r}(x>coskx о?эс=0, то
Г-*+оо Jo	оо
2) осли ^iim^ffc+l/2)_2rJ'J/f?rVa,)COS(k+l/2)xdx=Ot то
V J/2,/)- Я 1J И* )Z (j{гг><Я)(>+ 1/2)'гМИ )*-/?WV0)(A+I/2)‘2M};(5)
г-о	я
3) если ^ 0 и lim к~2т%* fi2T)(x)$\nkxdx = О f то
г-*+«<?
Ь*<0,/)» п*2(-1	(/л>*-/<г°{0>} ;	(6)
г>0
4) если lira {k+lJ2f2r I f<2r)(x)sin(k+J/2}xdx О, то
]?И >г|/<гг,(0>^+1/2)'гг‘ +У<гг'к1,<этХЛг+1/2)2г_г(-1 )*J. О)
Доказательство. Доказательства равенств (4. )-
(7)	основаны на соотношениях (Т) и (2) и ведутся по одному пла¬
ну. Поэтому ограничился лишь доказательством равенства (4) .
Применяя при оа-0, b*ut равенство (Т) (в котором в ка¬
честве г берем 2г), находим, что
J*/ ixHos кх dx * 2Ы )w[A'W {<-1 )*/2MW-/гм><0)| +
z»t
+ (-nr*‘2r
J*o f<lr)(x)cos kxdx .

Переходя а последнем равенстве к пределу при г -++ со , получа¬
ем требуемое. А
Лемма 2. Пусть re2+t (ЗеС , функция f(x)€^X€: С<ГК Тогда
при * = о7F
(8)
Доказательство* При А = О равенство (В) оче¬
видно. Предположим, что (8) доказано для всех к£$<г. Покажем,
что тогда (8) справедливо и при к«$+1. По формуле Лейбница
2*1
имеем	*
(fixyeP*)***”* 2	•
1-0
Отсюда следует, что	^
/*л'те*х|* -	-	0. А
г=о
еженло 3. Пусть (JeP, keZ9 reNt -я:»а0< ат <
##Хя0*зг, функция	такова,	что f€C<rmi)[-n, к ] ,
/сРг на каждом из отрезков [a^fa^+1] (j* О, р-1 >, }jfSir)(af^
Тогда, если Jfc + |3#0, то	f
сл<|3,/) = (2«Г1((£а+р)Г'12 <У^гЩ)еик^)Ч +
+ M)*rfJJ^A+^)/M{/(I,(jt)e'i^-/<z>(-«)e‘P“>} .	(9)
7*С
Доказательство. Положим и * г (*+£). Опираясь
на равенство (3), имеем j>_j
■*Т умр-“л* -1 «*'" I </"4..*'V'”')-
jf.O p-ffi	1-0
*■^■‘2	-****>	-
=«« 2 - 2
Я	г-о
Осталось заметить, что
*-«я =* Ы ) V''*3*,	е*я= <-i) V/3* .	л
*f;9

Следствие 1. Пусть |Je[0,J) фиксировано, кеЪ , тел t
-я»я0<о1<...<а? = я, функция /:В-*С такова, что f<x)e'P*e
е€<г'и, /еРг на каждом из отрезков [а#, o#+IJ 0,^-1);
=	при	jP=	i,p,	.	Тогда:	1)	если	*+|3* 0,то
; (ло>
2)	при агек справедливо равенство
/«)-Ге,(Р.У>«"**?и.	«I)
*•-*>
Для доказательства равенства (10). достаточно сопоставить
(9)	и лемму 2. Соотношение (И) очевидно в силу (10) и предло¬
жения 1.
Предложение 4. Пусть |Je€, k€Z,reN9 0=a0<at<... < ар = п,
функция /:[0,$т]-*€ такова, что	fePr	на каждом
из отрезков	(f*0,p-l)	;	y^S<r)(afa)	ПРИ	?*Т/>-У0	=
“ Ур*i ~ Тогда, если Л+Р ^ 0, то
<t>^,/)“«1|<-I>,VA+pr:ruI]|J^-yy+1)cos((*+(3ja^-3C{i*+f)/2)+
t*D	р
Ьк1№я**\п)Т<Щ>Г'* J	-Щт+D/2J+
t-i
S-0
+
13)
^иЛА+^Гг*1(/(/,№)5гп^+|3)я-я(г+1)/2)+/г>{0)5т(яа+1)/2))]и
7*0
Доказательство. Ограничимся доказательством
формулы (12), ибо соотношение (13) устанавливается аналогично.
Положим co*k+f}> cosi<^a^-nlj2)-Опираясь на равенство
(1), имеем
Zl	ZL	А+1
Л У+f	мн	Л J'fJ
n«»^./)a2iJe fwcos&xdx *Ь0Г<*	cos(oix-nr/2)dz	+
p’j *	**	**	p-t
2iwc^+i’r#
w ta	*	i*o
-Щ.г+i))+-si(l*i)l2) ~fl>№ cosiitfl* D/2))'
7-0
160

Осталось заметить, что	^
3?30	$*0
2.° Более подробно остановимся на случае, когда рассмат¬
риваемая функция является ломаной, т.е. сплайном первой степе-
НИ дефекта t.
Предложение 5. Пусть (be [0,1) фиксировано, ke'L, -л =	=
= а0< «1 <••• < ар= ap*i ~ функция/: JR-+C такова, что
у(х)е~Фх е С, ^ линейна (т.е./ePj) на каждом из отрезков
«*и]
9СЛИ
«У - «у-1
О,	если	$еО,р+1.
У/
Тогда: 1) если	то
с>(р,/)=<2эт)-1а+0ГгУ (у -у#+,)е',ч*+|5)л^ ;	(14)
$-0
2) при xeR справедливо равенство (1!);
3) при (3*0 имеет место соотношение
Р
c0(0,f) - «,{/) -	<«*♦,	-	«*-,	>/<«*>.	(«)
Доказательство. Для доказательства пунктов 1
и 2 предложения 5 достаточно положить г -1 в следствии 1 .
Установим (15). Очевидно, что
j	~	(V2)(<x1+l ~at Mf(a№ >+
Следовательно.
p-1	P
**с0ф•Y(a*r*/Wafa>+f<at»” L<ai+rai-t)f<at>> a
Доказательства формулируемых ниже следствий 2-6 основаны
на предложении 5 и получаются непосредственными вычислениями.
Подробности этих вычислений ввиду их простоты опускаем.
Следствие 2. Пусть /3e[0,i) фиксировано, p,^Ct причем
% Sin(3or _ 0, 04 а <Ь < УГ, четная функция /: [~31,п]-+С опре¬
делена на [0,тс] соотношениями
161

J(X>-
I,	если	x £ [0, о],
j + (Р~1М*~Ф	если	*е[а,Ь],
Ъ-а ’
р +	, если яе[Ь,я].
Тогда: 1) если A + jJ^O, то
' * Slip 1т£см<*’13|л *
L ♦ ££«.,»♦*.} ;
2) если р = 0, то с0(0,/)={2лГ1|(га+Ь)(1-р)+<Ь+ос)(р-^)+ 2ет^ j.
Следствие 3. Пусть pefO,!) фиксировано,	,	при¬
чем ^cospat^O, 0<a^b<d<at, нечетная функция $\ [-я, я]-»- €
определена на [О,Я] соотношениями
1х/а,	если	ле[0,а],
1,	если	#€ [а, Ъ],
1^'У,	если	*б[М],
Р+ ^~я-Т'^} >	если	*«[<*.*]•
Тогда: 1) если к+(ЬФО, то
*1J я^+р)г{зг-<г '	crf-bH«-</>
+ sin{A+^)b - £Sin<\fc + (3)a| ;
2) если /3 = 0, то с0(0,/) = 0.
Следствие 4. Пусть /3с [0,1) фиксировано, о^С, причем
g,sin (in^O, O^a <31, четная функция у: [-01,я]->С определена
на [0,Л] соотношениями
(	если	х€[0,а],
jl+ff	0СЛИ	Л€{а,я].
Тогда; 1) если	,	то
 —2	(соs(A+fl)a- cos(*+/5>Ji);
я(я-а)(А+|3>2

|2) если (3 = 0, то co(0,f) = ((a + n)(l-<j,) + 2ntq.К2ЯГ1.
Следствие 5. Пусть pet0-1) фиксировано, qeC , причем
^ cos /Ззг=0, 0< а ^ Ь < я, нечетная функция /:[-я,зг]-»С опреде¬
лена на [О,тс] соотношениями
х/а,	если	асе	[О,а],
1,	если	*е	[л,Ь],
J< I	(*.-i)<x-b)	г	,
+	ЭТ- fr	'	еСЛИ	Хе	*•	’
Тогда: 1) если Л+(3^0, то
2) если р = 0, то c0(0,f) = О.
Следствие 6. Пусть keZ, 0<а4зг , нечетная функция f :
:[-ят,я]-*С определена на	[0,тг]	соотношениями
Ix/а, если х е [О, а],
1, если хе[а,л].
я-	/</ч	у. istn^A+l/2)a
Тогда	с*П/2,/) = - я(к+у2)га
3? Предложение 6. Пусть «,- фиксированные числа,
такие, что ot,|3 еН, ^ ej 0,1 {, л-1 +	Z+7	reUf; аг = 2ac < Z +
+Л)(2л+$)-1 при l = -n+l--jj,n, a_n^=-3t, л„+1 = я ; функция /:
:[-зс,я]-*С такова, что /е	fe	Рг на каждом из
отрезков [ap,«p+j] (p=-n-j, п); yp=f<r,<<>p-0). Тогда: 1) ес¬
ли аге(-л,тс) при Z = -л+1-^и, ^<1>(Я)=/а,(-Я)еггя? при I =
*{Уг+1	Г.-л+W» то	’	2) е7и «V*.
/м,(Я)=/а,(-я)е *гяР при Z= 0,г-1,	5	в	(2п+$)~*'г	((i(k	+
+ РУГ+,с*<М-* >	ПРИ	i—л+Н.и-1.
^П«{2яг1(/(Г>(-Я)е*^я(3=	то	s	=
= 06»
Доказательство. Доказательство предложения 6
основано на предложении 3. В условиях пункта 1) предложения б
в силу формулы (9) имеем
<163

p(-i —^fz---})
(последняя формула, очевидно, справедлива и для случая Усч-^3
* 0, ибо тогда в обеих частях равенства стоят нули). Из приве¬
денной формулы пункт 1) следует очевидным образом. В условиях
пункта 2) в силу формулы (9) при	имеем
(1(А+Р))г**сл<р,Л =
“ <2irr*| ]£ (У1н~У№г<к+^аг + (f(r){-n)ei*frP-f(r)m)e'i,'M(i,,Tl
Пункт 2) - другая запиоь последней формулы, А
Пусть reZ&, DcC, fiD-*C9 xthe€7 причем при yv=0~r
точка x+yheD.. Тогда полагаем
Аг<ь, /,*)• V И)r~kC‘rf<x + т.
г	*в°
Величина Л	называется	разностью	r-го	порядка	функции
/ в точке х с шагом h .
Следствие 7« Пусть 0,$,п	-	фиксированные	числа,	такие,
что jSeZ, ?e{0,l}, n-l+£eZ+; аг-я(2г+£)/(2л+£), функция feC
такова, что	на	казвдом из отрезков [ар,ap+i\
Тогда	s	* A*{19,j>/2, (!,£)$.
Следствие 7 получается применением второй части предложе¬
ния в.
§ 3. Унитарные матрицы и суммы Фурье
Т? Условимся в обозначениях* Пусть ле2^, ас Z”1 П [О
fmJ,*«rC"! Тоадя по определению полагаем
dn<a,x)- J„(a,x)0 =
_ owyi^cos^^-сosfrt+iix*	-	sin(wK-H	)»х	j	а*
*»i	*	*
<164

dn(a,x) j*
=li\ щ	)	—	щ	j.
Jc-i	*	(D
_ 2
При этом в случае Л*- 0 в формуле (1) сомножитель хк {cos(nk-
-\)xk-cos<nk+\)xk) заменяется на х£ (1-cosхк).
Пусть лeNm, aeZ™, хеС™ feLt(Om). Функции
6n«*,f,x)* бл«х,^,х)0 =(1/гл[о”л]} 2	Sk(aJ,x),
en<a,f,x)=(i/v[Om,n-a/2)tm]) j	Sk(a,f, or J»x
^r£[Om, л “fmJ
называются соответственно сопряженными суммами Фейера (сопря¬
женными модифицированными суммами Фейера) функции/ порядка п
с порядком сопряжения а .
2? Приведем таблицу формул, выражающих суммы SJk(aif,x)r
через суммы Фурье функции / порядка п и суммы Rn i (p.f.x).
Таблица 1. Пусть fe Lv к,п хе С, а,ге [0, if, ре
£ Jl,2f, (f. £ {3,4 Тогда:
Т. Если Лг^л, то
Sk(a,f,x>r-~- (2»+!)‘,V S„<f,x+i/ntl<p»l)k<«,-i/n.M’{2)
l*-л
+ 00
^<№+Уп,1<;-У}'Ъ(“, ь*л<р))г’ (2'>
z-~«
л
S*<0,f,x^tfn+tf1	(з)
г*о
оо
(3'}
z*o
п-Гр/2]
^(1,/,*)у=(2л+1)*г J Я^-р^хЩа-У^рЯг’ (4)
оо
Т *л,гtpj.xrfki 1,-Упл<Р»г
i=t-№]
2.	Если Дг <л, то „
Sk<0,J,x)r~i2n* if1 J	а:)	2?*(0,	))г,	15)
**J	165

оо
W.*>re<2n+IJr*	И')
» M
St.<a,f,x)r^n)-1'l£ S„<f,x+yn>l(p)D),(a, -уп>гЩ))г,	(6)
U-n*l
•f oo
^fa,/,a?)r= (2яГ' 2 Зп&х+У*,1«1))<**<агУп,1 <p)r.	)
z—ОС»
5A<0,/,*)r=f2n)-* S М*>ЯяДГ*,/,*7^(0,&,<?)>,..	(7)
j-i-wmj
оо
Sj!<0,f,x)r^(2r>ri J Rn,l«l'f'x}dk<0’yn,l<4»r >	И'>
г»н?/4]
*4«Z/4]'
‘V*»/» *>гв(2я) 1 2
l*nwJ
ao
stu,f,*)rBttorl 2 Rn,i(-b^x>dx(i’-yn,i<Vh
1=HW
3. При яеЯГ справедливы равенства
jn
^<1,/,аг)=(2лГ12 ^</.*+*/лД4>)^<!.-*/*,г<4»:
_ . 1 ’
Z—/2+1
♦ во
(8)
(8Г)
(S)
£„<!,/,*)= (2иГ‘ j Sn{f,x+yntim dn{\,-yn>l(4))t,
l—oo
n-1
O')
2^П-4.У.*>1У1.-Ям<«),1, HO)
z*<s
S„< l./.af) - (2л)-1 £ Р«.г (-4./,*) <*л (I,-Яг	•	HO!'I
Доказательство таблицы Т. Доказа¬
тельства равенств (2)-(10) основаны на таблице 1.2. Введу оче¬
видности мы их опускаем. Доказательства равенств (2')-(!0') ос¬
нованы на таблице 1.3 и проводятся по одной и той же схеме. По¬
этому ограничимся доказательством лишь соотношения (2'). Опре-
дачим функцию Я*{а,л,р,2;г при le [~rc,7i], А,л с Z+, к^п,
Г,О € 10,1 J . р€ {1,2} следующим образом:
166

К №’n<pJ)r =
когда г « А <« ;
лп(о,и,р.г)0 =
Л Q { О, 71 ,^Э , ? J J =*
когда гг е JV ;
K(6>n>hlh =
когда я«К ;
Л*(1|Л,р, ?),=
когда г+1^А<л;
1,	если
0,	если
линейна на [г/Я|*.г(1), г/й)*+1 (I)},
. четная на [~я, я],
1,	если
2-р	при	г=Я,
линейна на
в четная на [-ас, ас] ;
1/2	npk	2 = 0,
0,	если	2£[Уя,1 Ш.«],
линейна на [о.Ум(1>3>
. четная на [-ОС,от] ,
1/2	при	2=0,
1-/>/2	при	f = aс,
линейна на (А^З,
L четная на [-ос,at] ;
1,	если
1/2, если i€ Уя.яПЬ
1-р/2	при	i = П,
линейна на fyn,n-,m,&t„WjH[yn,„<iMiJ,
L четная на
О при 2=0 и
I, если *е[1/л>,<1), у„ *_г<ПЗ,
линейна на
нечетная на [-Я, Я],
А0(2,л,р,2)г»О при 2 €• [-я, 01] ;
О	при	2 = 0,
1,	если
р-1	при	2 * ос ,
линейна на [О.Уя.И1»] и [Ул,„ <*),*],
к. нечетная на [-".я],
167

О	при	? = О,
1,	если	I€ [ул>1Ш,
1/2	при	геуЛ)Л(П,
(p-t)j2	при i = n,
линейна на [^' Уп,[ Ул,п-1^’ Ул,пП)]
и 1Ут,,п<Н<п],
нечетная на [-зт,л],
О при Ы> и	,
1/2	при	1~упЛМ),
линейна на f О, ул1<1>] и [г/„лШ,1/л>2а,3,
нечетная на [-я,я],
Легко проверить, что
■Va./.^r* (“i f 2 Хн(а,п,р, ynl (i))Tct<f)eUx.
1*>-п
Положим
<уа, п ,р, г,к)в (2 я)"1/-г )в^_я дл<а,п,р,	езср (-i <l+(p-l)/2)l)di.
Опираясь на следствия 2.2-2.б, нетрудно проверить, что
с{ <а,п,р, г,к)=(2п+1)Ык (а, -у„л<р))г	<leZ).
Отсюда на основании предложения 2.1 заключаем, что
Хк(а,п,р, l)r-(2n+	df'<a,-y*,l<p))rexp(Ul+<p-i)/2rt).
Осталось воспользоваться пунктами 1 и 2 таблицы 1.3. А
3.° Условимся cosec (ул7(р)/2) обозначать через с(р,п.1},
уПг1 <р№) ~ через t{p,n,l).
Таблица 2. Пусть /cL,f хеС, лсг+. Тогда:
1. Если яеК, S*	,	r-i42n*l)plHRKlit,S,
х)СЦ,п,1))*я1, то s~A„(i)r.
2. Если 5 *(лУ?<к>(3л( S'f’ х> -	*	)i))?,o * rl s
* (4«л+1)Р2ЛЯ(гН,/,*)с/1,п,0 при 1-1,я, г0 = 0, г = (гг)гя=0 .
то s»A„{2)r.
3. Если Sn<f,x>=0,
* *<*'gn<b + W)$[Vc+m<f,x))Z..„,	rl-<2n+i)-V2^{f.x	+
168
когда л с N ;
когда п е N ;
когда п > 2.

+ ynl(l))c{l,n,l) при 1Ф0,Г6=о, r={Tt)™^n, то S=A„(3)j\
4. Если s={a*j?(Jt)S]'<ffa:))Zw0, r = (4(2n+i)ym(oil^(l)Rnj(2,
f,x)C{2,п,1 ))?,„, то s=A„<4)r.
5. Если леРГ, s = ( SJe{i,if,x)-Sn(i,f,x))”lг= (4{2л+1)Г1/*
%/Рл11(~2,у,х)с(2,л,1)^^о t то ssa.AjjfSji*.
6. Если 5=
яr=(2n+i)-W(Sn(f,x+yn_j<2))ci2,n,D)l_n, TO s=An{b)r.
7. Если леЯ, s = (Sy (f,x))^Q, r^(Sn)~t,s(oi^z(l)Ля>г (3,f,x)x
jc c{3,n,Z ))zbji то «?*-Ал{7)л.
8. Если neW, 5 = {^( 1,/,ОС)- 6Л(I,/,x))jt~J0, rl = (8nfIl2Rn<1(-3,
f,x)c{3,n,l) при l=i,n-i,r0=0,r=(rl)”'J0, то 5=Лл(б)г.
9. Если new, 8n<f,X)=0,	(^Цк+1/гЦ^У’Х)	~	®nf	i>frx)	+
+ i (sign (A+f/2)) ^C,fc+I/2fj (f,x))*~jn, rt=<2n)'^2</,ar+^/„iZ<3))c(3,n,Z)
при	rfl	=	0,	r = frz)”_„+1, то s = A„(9)r.
10. Если Л£ Pf, s=( .?*(.£*>)£ о «	<8nrm<P„tl<4,f,x) X
xc{4,n,Z))”jJ,To s = A„{10)r.
11. Если	S	= (S* (1./» *) - •$„ (1 >/. *))£o,	r= (Sn)'I/2x
x ^п,г(“4,/, af)c(4,n,Z))";Jf TO s = A„(ll)r.
12. Если л e Tit s-fV+i/zi]	“	WM)	+	<(sign(fr+
+ V2»V+WUV’*^» r = (2n)~*l2(Sn(f,X +yn>l(4))С(4,л,I})^,
то s*A„(I2)r.
13. Если ле W, fjf, ас)» 0,	r	=	<4(2n+lj	x
то s=A„H3)r.
14. Если s =	-en.t<IJ,	х)0)£о'	ri	-
« {4<2л+1))"х/2ЯЭТ)г<-1,/,*)?<!,n,l) при 1*0, ro *0, r*{rt)*a0,
fo s=AnU4)r.
15. Если S„(f,x)*0, S‘>(Sm(i,ftx)t~e^t{t,f,x)J +
+ *<si5**) V/.a^KU,, Гхв<2л+1)'1,Ч^*+Уи,г<1»^1.«.^ ПРИ
**0, r0 = 0,	r-<rz)^.n,	to	5=A„{f5)r.
16. Если /ieN, s ”(W.*>t)2.t> г^(4(2п^)Г11г(ЯПг1<2,
/.X)i(2,n,I))££, to s = A;<l)r.
169

17. Если s=(№(к)(l,j\ccjj- fn^d,j,x)))0 , где
Л+1<1,/.*>в2И>Л11	(И)
*r0
r^{M2n-H)y1li{Rn)ti-2,f,x)i(2,n,l))jm0, TO s= A'ni2)r.
18. Если	^
ГД0 fmdUf**) есть (11),	x+ynl(2))i(2,n,I))fc^	*
to S-Arn(3)r.
19. Если л-leN, s*{Sk<fix)i)£tr-(8nF,fajl3,f,x)m,n.l^
to S-An<i6>r.
20. Если пел, sk<* Sk{i,j,x)x-en <S,f,x) при k=0,n-i,
(pf(k)S* >JLo. r^Snf113^ <-3,f,
x)i(3,n,l) при Z»l,n, r0=0, r-frr>?e0,To s«A„(J7)r.
21. Если neW,	s*= %|<I,/,ac)i-^<1./**) +
+ *<sign*)Stt,<fp*)Ife<uni *—я+f.n-i,
s = ('^t)#«-wrf » r,»(2п)ШSn{J,x+yn l(3))I<3,n,l) при 1*0, rQ=0,
rs<ri>7-n*i> T0 s*AH<VJ)t.
22. Если new, Sk'=Sk(J,x)1 при A-!,«-!, •Sn=2‘I/2^,.I(/)a!;
Ss<'5*Ci*	T0	-J =^n<7)r.
23. Если neJf,	~	8n(l.,f)X)))	’	1'~
= {8п)-Ч2(ПлЛ(-44.х)1(4,п,1))п£, то s = AnfSfr.
24. Если neN, SA-8w{i,f,x)i-S„(i,f,x)+ i(signA)5,Jt|(/,a>)1,
если А=-л+^л-1,	S^(Sx)km,n^t r = {2n)'ilz(Sn{f,
х + Уп,1(4))Ш.п.1))п1?.п,	s-A>n0)r.
Доказательство таблицы 2. Пункт _1 ■
По формула (5)
SMX)* — V .	Sin ———*	(А-0,л-I). (12)
*V’ 2n+l £« Sin(t/^,(f)/2)	2n	+	l
Следовательно,	1	П^тккт^.	По	формуле	(4)
Так как (смЛ.1.(9))	Hi)	*	®	Щ?*	Je	*7»	r
из равенства (13) следует, что
170

«„^(1,/,*),—(2И + 1Г1	п,	I).	(14)
1*1
По формуле (4)	^
с /1 /* у )=г	^	-^у?Л эе) /	(2k+i)7Ll	%Х	\	yt,	а	у.I
2>?+l 2* sln<^u)/2)\	2и + 1	~cos2n+i) '	’	*
Следовательно,
c/f .„I ~	/1	г у\ - * V Rnj(~Uf*x) г ^(2к+Ья1_	С15)
^ \~2n+I 2т sin(ynii(i)/2) 2n+t
при к-0,п . Отсюда сразу получается, что 5»Ал(2)г. А Пункт З.
Учитывая, что	=	0	и опираюсь на формулы (12) и (15),
имеем	Л
z*-n	1
С и/*1 <? /w*i 1 V Дл(/.**Уя.^»)С0= <г»+пяг
%*V2I](^~2п+1 2-я siniy^Wti]	2n+1
при /с*-л,л . Остальная часть доказательства очевидна, A Пункт
4^. По формуле (3)
1 Т» *п<1)Яп,1(2,f,X) . (2A+i)3t(2Z + I)	(тг>
V/.*)"5hT2»	S	2(2n+I)	(16)
при к=0,п, Следовательно, s=A7I(4)r. А Пункт, 5, По формуле
(4)	при А = 0,72
ЛИ f ^I.-L.y *n,i«.f,x) /	(2k+l>yn,i(2)	y„,Z(2)	t
2/t+lig smty„(f<2)/2){COS	2	cos—
В частности,	n,s
S*	*) — < 2n+1)"1 j Япл (~2,f,x)clg <упл( 2 У2).
1*0
Из приведенных равенств следует, что
s (Т f х\ S (1 f зг>- *	^	Rn,tf~2$f>х) ^5(2/с+1)эт(27+1)
^ * V1»/.*) 2n+l i SiTtfyn>,<2)/2>	2<2л+1)	*
Значит, s=A*(5)r. А Пункту доказывается аналогично пункту 3.
При этом используются формулы (16) и (17). А Пункту По фор¬
муле (7) л
/.г л* \ _ J V	9	ОС)	•	{2Л*41)Я1^	/1._л	м	ft	f	/tq	)
Z ЧГпЖ"Ш2Г В'п 2П 	(*-0,я-П	(18)
7*1	*/п'1
171

Следовательно, s*An(7)r. А Пщкт 8Г По формуле (8) при & ^
= О,л-1	„
О /♦	1	V лл<Шп.г(-3,/,х) / <2k+i)jci 1ГТ \	,..г
w.*>-2n^Ti^;l3)72) (cos и- - cosf£j- Л9)
Так как (см.1Л.(27)) '^t^0cos((2k + i)ynl(3)/2)=0 (Z=1>),to иа
равенства (19) вытекает, что
л
ena^x)^-(2n)-i^(iln<m„tl(-i,ftx)clg{ynil<3)l2). (20)
г-1
Из (T9) и (20) следует, что
с /1 f -м» ..м (1 -f vi — —- *V*	(2Af+I)Jr2
V1-/	Sin<yntl<3)/2j	C0S	2n	v	2l)
при Л=0,л-1. Значит, 5=Лл(3)г. А Пункт 9 доказывается ана¬
логично пункту 3. При этом используются формулы (18) и (21). А
Пункт 10. По формуле (7)
„	1	^ P»,l(4,f,x)	.	(2k+i)nmn)
510 ^
при Л * 6,n~i. Следовательно, $*AniiO)r, А	На.	сю-
новании формул (10) и (8)
SnWtft &)ш~ (2Ti) ^n,i	»x)cig(y^i{4)/2)t
1-0
с /f ^1.. 1 xf Bn.i<~4,f'X) /*n.M+i№<2l+i)	\
5*^ 2- йл^;;г(4)/2) Г05 Зл	cos—47Г~/
при А-0,л-1. Отсюда следует, что
- м г 1-1 - ri г riu 1 V	(2/с+1)Л(21+11
z*o
Значит, 5*-Дл{И)г. 1 П^кт^Д2 доказывается аналогично пунк¬
ту 3. При этом используются формулы (22) и (23). А Д^нкт^Ь
Из формул (2) и (5) следует, что при к*1,п
l_V-MM£LSin^2i .	(24)
С,//- . - 1 -у ™
*/’ 1 Zn + lgf tgtyb,,<iy2)	2л+1
172

Значит, SsAn(l3)r. A	Из	формул	(13)	и	(14)	вытекает,
что при к » 0,л
V*./.*)t- <W f>/.x>1 = 2nTl 2 igtyrfW) C0S М?Т '	(26)
Остальная часть доказательства очевидна, А Пункт 15. Из фор¬
мул (24) и (25) следует, что
71
 с	_	I	’’С*	Sn<f,x+p„.t(U)	Л2атг
(stgn*)%,(/,*>,_ — £ ы&гГйт Svn'SmT ’
?*-Я	*
t tifx)-e .11 fa) У
5^(1,/,^;, «■«,!«./,afjj ,2»ll ^fa,|)/2) C0S 2л+1 *
где слагаемые, отвечающие индексу 2=0, равны нулю. Осталь¬
ная часть доказательства очевидна. А Пушст А6. По формуле (3)
S)(<f,xl = -5-~S'	sin-l-t—tv	(к<=	1,п).	(26)
* J’ '1 2л+1	^g(y„'i<2)/2)	2п+1
Значит, .5 = .Д^Шг. 1 Пункт 17. По формуле (4)
Отсюда, учитывая, что (см Л Л. (9))
I + 2%(-l)*cosA^j-*--? » О
при 2=0,л-1, находим ^
/»♦! а,/,х) = -(2„ + гГ^ Ял>1 <-2,ft.x)clg(yntl{2)f2).
Следовательно,
fv| V /ffvi	1 V ^juii-2,f,x)	и Stf2ltl)
V*)r МЧ-x>-Щ~1 2j igifoVW) 2n + l U'J
при fc=0>n . Таким образом, s=A*n{2)r, A nyHKTj^ доказыва¬
ется аналогично пункту 45. При этом используются формулы (26)
и (27). 1 Пункт19; По формуле (7)
<• (rv) IV	С;„Ш	.	.
w’x)^2KL^y-i<m *	u8)
при к=	Следовательно,	s^-AnH6)r. X Пункт 20.Из фор¬
мулы (8) следует, что

1 уЛл.г<-3.1,х) (л	S*U'f'x>i
2Л h	)	\	~	л	Г	1	^iffi х,
J_y	cos	—=
2п 2т ^g(yn,i(3)l2)	'	п
при k=0,n-i,
(29)
при к=п.
Опираясь на (29) и (20), приколам к равенствам
j-e^I.f.oc) при k*0,n-i,
(30)
при
Отсюда вытекает соотношение s=An(i7)r.A ^_нкт 21 доказыва¬
ется аналогично пункту 15. При этом используются формулы (23)
и (30). А Пункт 22. По формуле (7)
Sk<f,X).= ±.	sin kJT<22+i)	(31)
При JceJ,77-l. По ТОЙ Ж9 формуле
”•M*h 2” & %&».(«>/*> ‘
Следовательно, $г?Л^(7)г. 1 Пункт 23. Спираясь на формулы (В)
и (10), легко находим, что
SudrftXi.-SJl.f,*)» ~ У Рп.'1<Г^х) cos	(зз)
* J 1 л J 2я j*^yn>lmt2)	гп
при к « 0, л-1. Следовательно, s-A'„(8)r. А Пункт 24. Из фор-
мул (31), (33) и (32) следует, что
/-Iv.il-i'*	//**1- 1 V Sn^x*yn.l<4)\ ^ Ш2Ш)
при А*-я+1,л-|,
^(Уы«>/г> sm г»
Остальная часть доказательства очевидна. А
Замечание 1. Близким к доказательству пункта 20
таблицы 2 образом доказывается следующее утверждение. Пусть
feLit пеЛ, леС, aek(f,x) = Sk(l,f,x)t при *-0,л-1,а>п(/,*)г
я VH1»/.*) . Лл(/,х)«и-1xk(f,x), гг*<8п)~иг *
174

при Z=r,n, r0= 0, S = (ffikH9!k<f,x)-An(f,
at)))*=o • r=1ri>i°o • Тогда s=A„(I7)r.
Таблица 3. Пусть feLifxe С, n eZ+. Тогда:
1. Если лея, s = HIp=**n^(1--5p<I*Cx•
r*{2n + t)	х)сг(1, nt t))*Ktf TO An(t3)r.
2. Если яа, S - ( 4 £p.*+1 (W I,/, *), - Sp (1./, *),»)£,
г=(2л + 1) 1/2/ /?л>г |-1,у,а?> ?( f.n.ZKd.n.Jj^.j.To s=An (l)r .
3. Если *ш(4р&(к£^)сс1„/р)5р(/,ху2я0, r = (2n+I)Vi
*(**il)Bnji&f,x)c*{i.n,l))*a0, to s = A'n(2)r.
4. Если л£М,	г-(2п+1Г«».
*	<2,f,x)i(2,n,liC(2,n,iy£,	to s =A„(51r.
5. Если л-I с IV» 5* («г;
’‘<2nfil2(PntI(-3,f,x)c2{3, n, I ))	,	TO S“i4na6)r.
6. Если леМ, {/,*■>» еи<1,/.ж)-Sk(f,f,x}t при к*
x>)£o • r-<2лГГ/г5 =ЛГ7)г.
7. Если л е Я, s - (4(3^2 (*> J ^ ^ (/. *))£» , г- <2nf'>\,(4,
f,x}c*(4,n,l)) £*, то 5-Лл(в)г.	 __
8. Если лея, &(/,*•)»V/,аг>1 при A*f,n-f. э>л{/,х)-Vitf.**
s"(42p.*+s <PJ ip• г- (2лrW(7?,,z
то $eA„tfflr.
Доказательство таблица 3. Пункт 1.
При tcC	имеем	„ f
П-I
^ cos/p+ 1/2)? «(1/2 )cosec(i/2}£ (sin(p+i)l -sinpi)*
p*k	p~k
= {1/2)cosec( Ц2)(sin nl - sin A?),	(34)
n
^oiaiptcosip+ifell =(t/2)co$ec<H2Hsin(n+ll2)tco<i(ll2)~slnki)X35)
W	«5

Из соотношения (35) следует, что
71
JJ an(p)cos((p+il2)yn l{l)) = -(i!2)sm<kynilii№l,n,l).
Опираясь на последнее равенство и формулу (15), находим, что
2 %{Р^6п4г1 <**/>	e2(2^SЗпЩТЩг)sirl 2п+1 ^ 36 5
рэ*	Z-1 w
Следовательно, 5»АЛ(13)г. 4 П}шкт^ При 2б€ имеем
”	п
£ <о$/>2 = ( 1/2) cosec (2/2)	(sin{p+H2)l-sin (p~ i/2)i) =
p*fol	p*k+i
s {\f2)coseciil2){sin{n+y2)l -sinfk+V2)i).	(37)
Из соотношения (37) следует, что
V COS <руп>х i 1)) «■- (X/2) sin {(&+1/2 )уЛ4 J a)) c (1, n, I).
Опираясь на последнее равенство и формулу (25), находим, что
"2(2и+»^.^яД(1)/2)в1П{у^,«)/2)'в"‘	2п+1	•	(38
Значит, $*=Ап(1)г. А Пункт 3. При 1еС имеем
*М	/VWWVAVW
Л-1	n-J
£ sin(p+1/2)2 = {1/2) cosec {2/2)^ (cos р2 -cos{p*i)i) =
р.*	Р-*	(39)
*(l/2)cosecZJ/2)(cos.fc2 -cos«2),
Л
^ U,n(p)sin(p+tl2)l=‘(tl2)cosec(il2}(coskl-cos(n+fl2)lcos(tl2)).{4i))
р*к
Из соотношения (40) следует, что
А
^ ««(p)sb<(p+l/2)i/AI{2))=r(l/2)cos^yAl(2»c(2,n,Z>.
Р-*
Опираясь на последнее равенство и формулу (16), находим, что
V tLdnS 1fx\ 1 V	со-	*«<22+1)
L Ъ<Р>*рф*>-2(гп+1) 1т %\пЧу'л7)1$) cos TnTi •
р**	z*o
176
p**+f
n

Следовательно, s=A^(2)r. A	^€^	теем
п	п
V sin/)? = (I/2)cosec(i/2)2] (cos{p~l/2)2~cosf/>+I/2)?)=
p**+l	p=A4l
* {t/2)cosec<1l2)(cos{k+il2)f~co$(n + i/2)l).	(41)
Пз соотношения (41) следует, что
л
JF sm(pz/„ j(2))~ <1/2>со*((Л+1/2)уяг<2))с<2,л,1).
P**+i
Опираясь на последнее равенство и формулу (26), находим, что
V С ,гп-	1 V Япл<Ы*)	^{2к+1)%{2М) и )
I'ы *p{J’X)r 2<2n+i)L^<yn3l<2)/2)S\ny,Kl<2)l2)W>	2(2n+I) ’
Значит, 5=Ал(5)г, А Пунктик Из соотношения (34) следует,что
Л-1
^cos«p+I/2)t/w>l<3))=-(l/2)Sin (kynl(3))c{3,n,l).
р=/с
Опираясь на последнее равенство и формулу (21), находим, что
л-1	п	_
•	(43)
Следовательно, s=An<!6)r. А Пункт 6. При	имеем
&n<p)cospi~{'lf2)c0sec(il2)($innfco${l{2)-$m(k4'il2)l}. (44)
Из соотношения (44) следует, что
й
^ <&п{р)со${рупЛ(3))=-№}2)$т{{к+1}2)уп1{$))С(3,п,1).
Опираясь на последнее равенство и формулу (30), находим, что
X* /v /п*0 	 IV	Дпл(-3,/,а?>	(SblM
^	4”Я	,g(y«'3V2)s«J1,,,<3Y2>sin	г»	•(45)
Значит, s = An(7)r.A Пункт 7. Из соотношения (39) следует,что
Л-1	,vvwwVV
sin<Qj+1/2)< 4 )) => <I/2) COS { Аул> J { 4 )) с (4, ri, I).
V*
Опираясь на последнее равенство и формулу (22), находим, что
Ч s	**!<«»/'»>	сд.	*я<2*-и)
2» V^,af)"4n i» Sin8<v„ ,<4)/2J	2n	(46)
7,*	L0	*n,I	177

Следовательно, s = A'n(8)r . А	При	Z«C имеем
J <an(p)sinpi ~ {l/2)cosec(i/2)(са$ (д + i/2)i - cosnl cos(l/2)). (47 j
P**+\
Из соотношения (47) следует, что
п
^	=	(1/2)со$«* + i/2)yn>l(4))c(4,n,l>.
Р* *41
Опираясь на последнее равенство и формулы (31) и (32), находим,
что
V	i V */1,1 <4,/,	(2Ы)пШН)	,р.
Значит, 5*Ал(Г1)г. 4
§ 4. Интерполяционные полиномы
и ортогональные системы функций
I? Теорема 1. Пусть л-IelV , фиксированные вещественные
числа а0,арап таковы, что: а)о|+а|+а^#0, б) функция
= agl2 + <ttcosl+an{cosnl+cos<n+i)l) неотрицательна на [0,я]; функ¬
ция р: [0,JtJ-R измерима на [О,at] и такова, что />2(£)»ВД1 при
i е [0,?с]. Пусть далее bi~ynil<i), о?г=зт(2л+1)(а0/2+ <*jCo$ Ь£+
+ <-1)1апсов(Ьг/2)).Тогда: 1) система функций
~ д X)J2 )11гР<х>*™<<2”^)*1г.u-tjiyu)
gn,lU’X> щ/	COS	^-cosx
ортонормирована на [O,0t] ;
2)	если /<?#„, /(0) =0, J4l)=f<-1) при ?eR, *ej0,JtJ, то
jix)p<Х)_	1	у Н )г(2о?г^гЛ&г)	}
sin (ас/2)	2л+1	£* sin(bt/2) бл,г
й) если /£#„. f(D=-f(-i) при 2«сЯ , are [0,л) , то
j<x)p<x) i ур (-i)l{2di)V2^(bl)	гя)
	а-	Т 	—	 О*	.	1	J, 2- /.
cos^c/P) 2л+1 cosibji) ®n,i
Доказательство. Полагая в теореме 1.4.1 У °
- О, 5' =1, Фа>*Чта) (left), $ --0 (тогда = -I, г^- %а*
при = 0,1,л,^+1 = 2ап, остальные = 0>, убеждаемся в ортсго'
17В

дальности на [О.ет] системы функций gnl(1) U ~Т7п ). Те¬
перь, опираясь на равенство 1.4.(5), после несложных вычисле¬
ний находим
Jo 5л>г	Jo	rf?<cosbz	-	cos	ас)2
Докажем пункт 2). На основании формулы 1.(28) в условиях
пункта 2) иглеем
4sin((2n+i)xl2)sin<xl2) V J-i)lcos<bil2)
f(x) =		2.'f<bl> cos b,- cos ж *
Z=1	*
Следовательно,
1	^	4rf/?H)cos<bz/2)
sin(xl2) 2ml Z*	2r/2 sin bz	7	^”'7
Тем самым формула (2) доказана. Пункт 3) доказывается так же,
как пункт 2), но при этом вместо формулы 1.(28) используется
формула 1.(32). А
^ Замечание 1. Пусть а= 2я/3 . Если ряд а0/2	+
a^coski - Ф<1)	сходится	в	пространстве	5	то
£КЦ-со$Ъ1)Ф(Ъ	7*	Зя	^
1 j-—д--—д-	а? "	—-{а /2+ atcosa),
Jq (соьг-cosa)2 sm2a 0' х
Это замечание легко получается применением формулы 1.4.(5).
Теорема 2. Пусть п-1 е ?«г ? фиксированные вещественные чис¬
ла а0,а,,ап таковы, что; а) а2+а2 + ар ^-0 , б) функция ЧЧ$> -
~<х^2 + ахсо$1 + an{co$nl-CQS(n+.[)I) неотрицательна на [ 0, лт J 7
функция р: [0,siJ~*oR измерима на [0,я] и такова, что р2(1) ~
= Ч?(г) при 1е [0, я]. Пусть далее Ъг^уп>1{2), d^(2n + г} *
x(a0/2 +a cosbj -г М)г ап sinfbz/2)) Тогда: 1) система функций
^«!г'г)-(^Г?ВоЛ',-010'г,5‘-	<г-о^К4)
ортонормирована на [ 0, тс ];
2)	если /яЯл, /(Тс) = 0, /<? )=/(-?) при 2eR , ас€[0,зг], то
f<X)p<X)	1	«	<-1)^!)%^
cos(эе/2)	2н+1	ij	cosffej/2)	’	'>
(б)
3)	если /еЯЛ.	при ?eR , зссЮ.п], то
(в)
sln<xl2) ~ 2л+ 1	sin(bil2)	«М,ЛХ;*
1-0	*	179

Доказательство. Полагая в теореме 1.4.1 j ^
* 1, & =1, Ф^)яУШ fJeR), р = Q (тогда =1, гк=2а# при
А * О, 1,л, гл+1 = -2ап , остальные г*. = 0), убеждаемся в орто-
тональности на [0,ог] системы функций gnl(2) (Z=0, л-1). Теперь,
опираясь на равенство 1.4.(5). после несложных вычислений на¬
ходим
J06n»z	Jo d£cosbt - cos JC)2	'•
Докажем пункт 2). На основании формулы 1.(29) в условиях пунк¬
та 2) имеем
Л,-. 4cos{(2n+l)xl2)cos(xl2)^	,(-i)Ms\n<btl2i
2nTl	•
1*0
Следовательно,
f(x)pix) 1 Vi Adi2i~l)Ms>\r\ibil2) .{b .	,
cos7x/2) * 2ЯТГ2. 21/2sin b, Wgn.i'2'*’-
2*0 *
Тем самым формула (5) доказана. Формула (6) доказывается ана¬
логично, но здесь вместо формулы 1.(29) используется формула
1.(33). А
w Замечание 2. Пусть а*т/3. Если ряд а0/2 *
* X в*006**?»	(акеС)	сходится в пространстве 2^ , то
Cn<t+cos3l)<P<i)	зт /л
J, (сой - cose )'г dl яШЪГ(ай/2 + aicosa;-
Это замечание легко получается применением формулы 1.4.(5).
Теорема 3. Пусть л е N, 2^ “ ул> j(2>,
'	2 У^(со5(пП)Ж-нсозп3:)£(п(у2)а(гяй
Ж2п+1)/	cosx - cosbj’*
<os(Ji+l)x 4 cos«x
*=i
если
Тогда: l) система функций	(1 = 0,л) ортонормирована на
[0.«] ; 2) воли /еЯл,	при	2еН	,	хеС	,	то
г*°
Доказательство. Полагая в теореме 1.4.1
* 1, <E>(fc)«i4Cosi (icR) , без труда убеждаемся в сртогональ-
180

ности на [0,jc] системы функций £п,г(3)* . Нормированность си-
стемы gnjl(5)	при	п^2 установлена в теореме 2 (слу¬
чай а0- 2, аг = -I, ап = 0), при п = 1 она очевидна в силу
замечания 2* Далее, опираясь на равенство ([.4.(13), имеем
f*%2	/3	V)dx~ f” 1 *«М*2"*1»» JX-1
J0 Sn,n{i'x>ax J0 Ж2« + 1)(1+С05Л?) dX
Тем самым первое утверждение теоремы доказано. Пункт 2) теоре¬
мы легко получается применением формулы 1.(29).А
Теорема 4. Теорема n-2eN, фиксированные вещественные чи¬
сла ао»а1*ал-г»ЛЛ таковы, что: а) +	+e«_|+«n	**)	функ¬
ция Ш)ев(,/2 +ajCosi +	-f	cos{n+i)2)	+	a„cos	я?
неотрицательна на [О,at]; функция p:[0,rcJ**R измерима на [ Q,
Я] и такова, что p*(i)*V(t) при 1е[0,я]. Пусть далее Ь2 *
= Ул,г(*)’	<?г=2ял(а0/2+	+	+ «л/2)).
Тогда: Я) система функций
. /2 V1/2 p<0f)sin7ia: sin6>	_  		 , ч
8n,i* *х (iTi) cosb} - cos х	>и-П	(9)
ортонормирована на [0,от];
2) если	/<=#л,	f<l)=f{~t) при leR,	/(0)» f(fi) = С,
то	л j
fix)p(x) Г Ч? (-i)ld\nf<bi) ..
SU1X " n 2. 2I,2sin&,	8п,1^,х)'
Z-l	4
3)	если	при	le JR.	xe[0,ii]	,	то
л-r
f<X)P(x>= (l/n)2 (dl/2),l2(-t)l:f<bl)gn'l<4,x>.	Ш)
Z«1
Доказательство. Полагая в теореме 1.4.1	^ *
= У = О, Ф<2) = Ф(г) (2eR) , р = 0 (тогда <*=-1,Гд= 2ал	при
А =0,1,л-I,л, гл+1=2ал.1( остальные ГА=0), убеждаемся в
ортогональности на [О, JTJ системы функций gnfZ(4) (^-^«'1). Те¬
перь, опираясь на равенство 1.4.(5), после несложных вычисле¬
ний находим, что
С31 2	Q^(i-cos2nx)4(x)s\nzbi ,	п	~	-
J,• J0 '	 rfjt
Докажем пункт 2). На основании формулы 1.(30) в условиях пунк¬
та 2) имеем
181

s:
fix) ^ sinj^srnx^ f(,y j-f )l
n	dmi	J COShj - COSX
2*1
Следовательно,
fix)p(X)	I ^ cljl?-(-l)lf<bl)
sin a:	n f!i 21/2 sinb*	•
Тем самым формула (10) доказана.	Пункт	3)	устанавливается	так
же, как пункт 2), но здесь вместо	формулы	1.(30)	используется
формула 1.(34). Д	»
Замечание 3, Если ряд а0[2+5) аксо$к1=Ф<1) tyeC)
сходится в пространстве Lf, то	*’*
'л(1-со$4
~c5Pf dl= 2п<а0-аг).
Теорема 5* Пусть л-2еВГ, фиксированные вещественные числа
&^<хп таковы, что: а) а^+а^Ф О, б) функция W^) = (I+cos?)x
х^/24-аЛсо5л?) неотрицательна на [0,яг] ; фикция р : [ 0,
измерима	на	и такова, что />2<?>—при
£ [О,л;]. Пусть далее Ь^^упг(3)9 dt=%n{a^ (-1)г<хп). Тогда:
1)	система функций
1/2
<,	(5	ар» ^nJ^msinnxsin(bi/2)
Sn,l'°'X} dl^icosbr-cosx)	'	’	}
u	4
ортонормирована на [ О,от ];
Я) если JeHjj,	при ieR, f(0) =	0,	зге [O.otJ.to
f(X)P(X)	1 -Л	<-l)lae.Iflz(l)dli/2f(bl)
*2~—i   — >		=	£•„ «(5,a:).	(о3)
s*na?	2n **a	smibill)	6nyl
2=1
Доказательство, Полагая в теореме Т.4 Л $ ~
* У * Q* Ф(?)~ (геЯ), (5 = 0, без труда убеждаемся в ор¬
тогональности Ha.[0,:rt;J системы функций £пЛ{5) (1=1,п). Норми-
рованность системы gn,l<5> <М	установлена	в	теореме4-
Далее, опираясь на равенство Т.4.(13), имеем
f<r5„i5.*i<**= р-i”» *?*{<«»/»	.	|.
J 0«И,Я	J0	«^(I + COS?)
Тем самым пункт 1)	доказан. Формула (13) легко	вытекает из	ФрР"
щлн 1.(30). Д
182

Следствие 1. Пусть леК , Ъ^упЛ (3) , dлл(2+Ы)4 ).Тогда;
1) система функций
« /л мI 4&}n(l)siT\{bil2)cQsixl2)$xn(nxl2)sxnnx ,т
£"»*	(cos- cos#)
ортонормирована на fO,?rc J;
2) если feHjj,	при	ieR	,	/(0)	= 0, хеС t то
„.„.sin<nxl2) I	..	.
/'x> шдаг= in L—sin(b;m
Z=*f	4
Доказательство* При 3 система (14) сов¬
падает с системой (12), если в последней положить - 2,	=
= -1, и справедливость следствия 1 вытекает из теоремы 6. При
л = 2 ортогональность систеш (14) легко устанавливается с по¬
мощью теоремы 1,4.1. Нормированность системы (14) при л - 1>2
устанавливается непосредственно. Формула (15) при п -1,2 оче¬
видна ввиду формулы 1.(30).А
Следствие 2. Пусть леН , Ь1-уп1{3). Тогда; 1) система
функций
О-	(7j.w ^f(l>co&(xl2)sinnx sin(bt/2) nmTni (W)
ОЛ,7 ’	(0ГЛ)^2(СО5 Ъг - cos X )
ортонормирована на [0,sr];
2)	если feHnt /(2)-/(-?) при leR, /(О) = 0, Х€С , то
f(x) _ / тг/7	*1?)
ПЯ73/2) “ (тг) 2* - ~хпЩТ) <7- *>•	^
Доказательство. При л £ 3 система (16) сов¬
падает с системой (12), если в последней положить a0^2f ип ^
* 0, и справедливость пункта 1 следствия 2 вытекает из пуньега Ч.
теоремы 5. При п~ 2 ортогональность системы (16) легко уста¬
навливается с помощью теоремы 1.4.1. Нормированность системы
(16) при п ~ 1,2 устанавливается непосредственно. Формула (IV)
очевидна ввиду формулы 1.(30).А
Теорема 6, Пусть	фиксированные вещественный чис¬
ла aQt tfj, ап_г таковы, что; а) а$+ а\ +<12п^ * 0 .	3) функция
Ф(2) = а0/2+«jcosf + a*-i(cos(n-t)$-cos(rt+I)!) неотрицательна нз
[0,тс] ; функция je:[0,Tt]-^R измерима на [0,тр] и таковаt что
при Ze[0,jrJ. Цуеть далее <улiZ<‘*K <^*=2Я'«{^/г*
+ e1cosbt + {-nIa„.1sin Ь, ).	’	133

Тогда: I) система функций
ft Л8 Х)-Шт	(1ш О^ГТ) 118)
ол,2'°> 9 \dil cosbz-cosa:
ортоноршрована на [O.stJ ;
2) еслипри leR , я*€[0,я], то
f<sc>pix) = ii/n)S\ldil2)V2{-i)t*fj:<bt)g„tJ(8,x) ;	(19)
t-0
3) если /снл, я г >=-/(-?) при 2еВ , гее (0,3t), то
/(юрт 1 у (-пма,%ц .8ж,	(go)
slni ял L 2«2sinb,	*	•
|«0
Доказательство. Полагая в теореме 1.4.1	$ =
= 1, £ = 0,	(?аК	),	|3	=	0	(тогда оь = 1, гк=2ак
при Jc	л-1,	остальные	г^=0),	убевда-
емся в оргогональности на Со,ат] систеш функций gn,l<8) (Z =
■= 0, n-f ), Теперь, опираясь на равенство 1.4.(5), после не¬
сложных вычислений находим
i, а=о?тт).
Jо ол.1	J0 Spcosfy-cosa:)2	*
Докажем пункт 2). На основании формулы 1.(3'!) в условиях пунк¬
та 2) имеем	„.j
г»о	6	г=о
Тем самым формула (19) доказана, Формула (20) устанавливается
аналогично, но здесь вместо формулы 1.(31) используется форму¬
ла 1,(33). А
Замечание 4. Пусть п - 2, функция =	+
•f^a^cosic? » г*е ах€& (Ье2+), &2 ~ 0,неотрицательна на
функция р :[0jс]-* К измерима на [0/п:] и такова, что
при 1е [0, тс], Пусть далее Ьг*1/Л>г(4) , dx
= 2лп(а0/2 + ajcosbj). Тогда справедливы утверждения тео¬
ремы 6.
Доказательство замечания 4 аналогично доказательству тео¬
ремы 6,
2 Р Приведем без доказательств ряд важных результатов, от¬
носящихся к ортонормированиям системам функций. Обстоятельное
184

изложение затрагиваемой тематики имеется в [ 33, гл.9; 35,
гл Л2).
Будем предполагать, что 2	оо	,	l/pQ	+	функ¬
ции	X9o(ta,b])	<Jc-i,7t)	образуют ортонормированную на от-
резке [<х,Ъ] "систему, Й<рд|^>£*Ьз«
Теорема 7> Пусть р0< р 4 2., у определено равенством pjp+
* <2 ~РоУ<р =	Тогда
• Теорема 8. Пусть 14р4 2, определено равенством (2-
-РоУР+Ро1Я = fctytofi)- Tor«a
Теорема 9. Пусть р^<р <2, fei£p{[a,b]) и Л{4Лг$...4 «#.
Тогда
где А(р,р&) зависит только от р и р0 ,
Теорехма 10. Пусть 24 у <fy0,	и
Тогда
где 3{q>if,Q) зависит только от <£ и При этом постоянная
&{%>%) может быть взята удовлетворяющей неравенству
В(^^й)4 Л-gl^,
где А - абсолютная постоянная.
§ 5. Средние Абеля-Пуассона и их производные .
Суммы Валле Пуссена
ТЯ Таблица Т. Пусть feLiir1xeС, а,е<0,оо)> ле» .
Тогда
Й
J r,McJfc('/)a1*rsc= (2п П-r ))"т< 1+r)< 1 -гп) .S’* (/,х) 4
х~-п
185

н
+ (2лГ*(1-г2)|^*па)ПпЛ(Ъ,1,х)(и{-1)Мгп)уг,упЛт, (5)
nrt
2	^	ff,	arj 4
*•0
+ (2n*l)iyp^<5,f,x)[f+r+2M)Z+trntW(^z<l)/2){ г(г,ул г<!)),
ft	^	(2)
я	Я
V ал(^1гл^(/,ас) *(2n+lf1T«^iff^(2,y,af>c(?,«1Z>|(f+r}sin|Ve {(2)/2J+
*«o	-	ffi	’
+ (-i)lrirn(rz-i)\2<r,tfn>t(2)),	(3)
n-i
I’
*«0
n-i
У T*Sf(f,x) в(2п(1~г)г)~*((1 + гЦ1-гп)-2nrn{t~r))S„(f,x) +
ft	J,	f.f
+ <2n)_1(l+r)2]	+K У tn)% (rtynil{ 3)),	(4)
7.1
1*1
П-i	.
*=0	1*0	(5)
Я-1
J^e*kSkif.x) - р-е^-лае'^Нла^-е-*»*15n(/f a) +
*'° +	<*	V	Яп.1<6,£хН1	+	Ы)ше-*п)
n(t-e-*) £t	«2 + i/^,z<3)	’	(6)
Iе	 >(7)
i ^(Si^n A) r,fc| ck if Jfl1** =
n-i	k"~n
- <2n fl J Rnl (-4,f,x)j 2г&\пУяЛ<4) + f 1),+1ги(1-г2)}pAfoW),
о	(8	*
^ И**1*1c#</)€<fee*(2n(l-r)2)*V2i*(l-r")-nr'Vl-r2))^t(/,ar) +
ТЭ6

+ (2лГ1 Л «fl(Z)i?^(6,y,ar)|-4r?+(^I)*r*M+4r2+rtr4) +
+ 2г(1+г2+(-1)ггя(л-1-гг(л+1)))cos 1/^(3)] |2(Г> у^г (3)) f (g)
л
i V *r,fc,c*(/)erta:= (2лГ1 У Ля,|(-4,/,яг)| 2r(f-r*)sm2/^(4)+
i-о
+(-1)1гл(-л+ 4гг+пг4) + 2(-1)1гл+1(л-1-гг(я+1))со5у^г<4)} а2(г,1/и г(4»,
’ (10)
У Аггг**,сл(/)01<:*= (2л (1-г)3)'*(2г(1+г)-л2гп+ (л2-4л-2)г"+Г4
п
+ (л2+ 4 л-2 )гп+2-лгг"+3)3,(/,*) - (2n)-''£*in(l)Pnjl<6,f,x)^Ai-r*)+
+ (-1)ггл{л2+3(ла-4л-2)гг- 3(лг+4л-2)г4-лгг6) +
+ 2 г (r4-l + (“I )Mrn(2n2- 2п -1 -12 лг2 - {2лг+ 2л -1 )r 4))cos J/M,i (3) +
+ 2гг(гг-1 + (-1 )lrn{{ «-1 )г- гг(л+1 )2))cos(2i/aj( З»|^3(з*,1/П(г(3)}, (II)
п	л-1
г У А|Л|г,к,сл(/)е’**» (2л)'12] -Ри,;Н,/,ж){2г{1-6г+r4)sin<t/ffI(4)+
А	i*o	,
+ 2r2{I+r2)sin(2ynZH)) +	43{л2-4л-2);г~3(я24	4л-2)г4-
~7?2r6}4 2<-1}^л*Ч?л2-?я-^12лг2-(2л2+?л-1)г4)со$ *уяг{4)4
+ 2{-l)l+1rn+2((n-l)2-(n+l)?r2Jcos(2yrttj(4))J^<Г,упЛ<4)), (*2)
n-t
^л(/.яг)^(4лГ,2 \ъ	("4ar) (-1 )*c 2 (4, л, г),	(13)
W>
л
У,*>=(л/2) •?„(/,*)-(4л)*15] «п((>ЛЛ(,(6^х)(14(-1)1+1)сг(3,п,г>,
i-i	(54)
Я
S"(f,x^-B-42n2+t)S„(f,x)	+ (i/2>yu„^Rn>l<B,f,x)H)%2an,l>.
i~	(15)
Я-f ’
5^%/^)’Н4лГ1^Яяд(-4,/,Л:)|г(4)й,1|+(-1)1412л|сг(4,п,г). (16)
Д о к а з а т е л ь с т в о т а б л й ц ы 1, Доказа¬
тельства равенств И), (8)-(12) основаны на таблице 1.2{йсполь
187

зуются соотношения 1.(38), 1.(45)) и равенствах 1.1.(6), 1.1.(8),
1.1.(13)-1.1 .(16). Ввиду простоты они предоставляются читателю.
Для доказательства равенств (13)-(16) достаточно в формулах
(9)-(12) положить г = 1. Формулы (2)-(5) устанавливаются не¬
посредственными вычислениями, основанными на таблице 3.1 (фор¬
мулы (2), (3), (6), (7)) и соотношениях 1.1.(25), 1.1.(26).При
этом полезно иметь в виду равенство
^ г *( 2А+1)«(1~ г )“21'(1+т И1 - г ”) - 2nrn{i-r)\ ,	(17)
Л-0
Дяя доказательства равенства (17) достаточно умножить обе час¬
ти соотношения 1.1.(25) на (1/2) и перейти к пределу при I -*• 0.
Докажем (6) и (7). В силу формулы 1.(60)
*-1	+0О
{1-е*) J	-	J	+	упЛ<р))Л (упл<р»,
где ^£-{3,4}, ,
лг j
%-е-<*Л(йjsinni ч- jcosni)
&г + гг
В частности, Л (0) = Г1 (I-е~<*п-ш.е~ап). Остальная часть до¬
казательства очевидна. 4
Лемма 1. Пусть ге35+, AeZ,«>0,	(0,1/2}, <хг+{к+@)2*0,
Р*° НМ+2 Й/2]
,..*+!-*« Т* ЯГ+1"*	V	х
z {i) Ct
. *	Со+п/г]
+ /	С<у)/г{-1	fc\P+2?	x
+ H) [* 2л (г+1-г)!(«г+(А+р)г)« Z ’	*	*
l-l	p-o
(19)
ISO

Тогда 3r~Itf0 #IV'ow;sin{A+(3) xdx = С (г,о., к,ft),
xre~№Xcos{k+ji) xdx & В(т,ы,1с,\3).
Доказательство. Лемма 1 устанавливается не¬
посредственными вычислениями. При этом используются формулы (см.
[18, с.212])
fxb^sinbx dx=eax2i^^^^sin<bx+Al) +С,
^	i-tef
f *ree*cos Ь*<г* = ea* j	cos(bx+kiy	+	С,
* **1
где si n2 =-Ь(аг+Ь2)*^2, cos? = а<а2+Ъ2)~^2, и равенства (cm.
[58, C.760]) tfn-iv2]
sin лаг = V (-1 }*C2*+Isin 2*+I ae cos"'2*'*»,
*=o
t»/2]
cosnx - 2 (-1 )*cf sin x cos"'2**. A
fi-0
Замечание 1. Пусть reZ+. Тогда: I) если keZ, то
C(2r,0,k,l/2)	у+лг* 	(-i	)*	+	(-I)3
se2r{2r){ * " Id (2r+l-2Z)}(OT(*+i/2))2z + {ет(А+1/2))гг+**
*•*	r
C<2?+l,Q,k,il2)	(-1 Г	 ;
ЗТ2г+1(2г+1)! ~	£g (2i-2i)!(3r(>c + I/2))22+z '
i?(2r,O.A.1/2) ^	*	у	<-t)*
jr2r(2r)!	"‘	А <?r-22 )!(«<*♦ 1/2 ))w+j ’
D<2r+l,0,k,l/2)	kA	(-1>г	 t	(-f)r+f	.
jr2r-fj(2r + l)! ~	gjj <2r+I-2ZH(J£(A+f/2))2I+I	Шк+1}2))2т+г	’
2)	если JteZ, к г£0, то
C(2r,0,*,0) _	*+1	yi	{-pi	(-1	)r
зг2т<2г)!	f“	(2n-2Z)J (яА-)2/+1 + (згЛ)2г+1 '
г®о
г
г
C<2r+l, Qfk,0) f Л*1у __±11
%2г+* {2r+l)l	f£{Zr*t-2lll<srk)U+i	'
169

■P(gr.O.A.O) e ,,
3T27*(2r){
(-1>г
,	f2r+l-2Z)!	(nfr)2?	’
2*1
r*l	т	~4
D(2r+1, 0Ж0)'	,	,.*ц	у <-f )z	Ы)7^1 .
jr2r+i(2r+i)!AJ {2r+2-2Z)!(jrA)22	(я^2г+2 '
3)	если a> 0, то
Dfr, «6,0,0)=r! я"1«.'г"}{1-е_“Л	{ant)1/1!),
г*о
2?<r, 0,0,0)- nr/(r+t).
Теорема Т. Пусть f eLt, neN, xeC, at ^ 0 , f = лй/те ,
функции C(r,a#.fc,/3) и l}(r,oc,k,fl) определены соответственно
формулами (18) и (19). Тогда; 1) если reZ+9 то
*-■№	ос
г-i
2)	если 2'€N * то	_
л
!
~-п	г-9
Доказательство. Спираясь на предложение 2/:
и лемму 1, легко убедиться, что при t в' [-тс,тс]
Z«-oo
Осталось воспользоваться таблицей 1.3 (формулы 1.(52) и 1.(59) Ь
Следствие 1. Пусть	neN,	хеС.	Тогда
СО
S»<J>*)-<4n/nb'%P„,i<-4,f,xH-l)li2l+ir*,	(13')
г»о
оо
^(1,/зс) - (»/2) $,#/,*) - <г./хг)£Яг,,1 <6./, эс){ i+M )J+I) 2'г,	(14Г)
1»!
ОО
Sn’<f,x>~-<nV3)V/,*) 4 (2в*/яг>2 7?л>г(6./,х)Н)г+1 Гг,	(15')
г*1
190

sZ<i>f’x> = <8r>Z/7c5)'%,-Rn,l<-4’f,x>(2t+I)"3<:rrM)z<2Z+l)-2).(16')
2-0
Доказательство следствия 1 получается сопоставлением тео¬
ремы 1 с замечанием Т.
Таблица 2 (дополнение к таблице 3.3). Пусть fe Lj, neNt
X€ С . Тогда:
9) если
rl = (2n)~Il2<x,tJ*<l)8nl(6,f,x)c?(3,n,l)	при Z = I, п , Г0 =0,
Г = <^г )гЛ_0 , то 5=Лл(17)г;
10) воли S=(4(3fw(5;(/,x) + f ($„«,/,*}t
г = ^2л^/г{Лп,г(-4,/,агК2(4,п,г))”;’ , то s=A'„{7>r.
Доказательство. Пункт ’9). Так как при Sn(f,
х ) = 0 справедливо равенство Rntl{Z^fx) = Вп1(6ь^х), то, при¬
меняя формулы 3.(18) и 3.(39), находим, что при к - 0,я
Т*	I V *n<l)J?n.i<.6.f,x) ЧУ (2p+ttol _
2 У/.*'" 2л 1 siл/г{3)/2)	2-	Sln 2Й
p=k	Г=	1	*™'г	Я=*
- if <*n<l)Rn.i<6,f,x).	km	+ / j ,z+j v
‘<n*J Sin2tyn l(3)/2) '	л	Г
Отсюда, используя формулу (15), получаем
я
42,V^J ЯЛл<М'"л1 S\n2{lJ j<3>/2)	005	л	•
г*!
Значит, $ = Лл<17)г. i Пункт 10). Принимая во внимание фор¬
мулы 3.(23) и 3.(34), при к=0,л , имеем
V/s и fx\-s a f ~\)ш-1-V	уСОс i&.tWEgi.tg,
2л 2* SinCi/д г<4)/2) 2я	4п
Р*я	1=о	'	р**
1 V	Arc(2Z+l)	,	у^г+п
~ 4Л1 5К5?1Г,1й,Т)(sw —2л“ + <Л) >'
ff0sin2^n,iM)/2)'	2л
Отсюда, учитывая формулу (13), получаем, что
чкн,*>£г£г1'
191

Следовательно, s = y4{j<?)r. А
2? Пусть feL^ae Z-+, beN, гв{0,1}, хеС. Сумма
рса
(ср.определение 2.5.1) называется суммой Валле Пуссена функции
f, а функции
cos аас- соsta+bix 0СЛИ г=0,
1 - cos х ’
cos aaf-(I/2)(cos{«+b-l)*+cos<a+b)x)
— -"    	    1	.	,	если	j’	=	t
1 - COS X	’	*»
f 2(cosaac-cos(a+bjx)ar2, если r= 0,
».b	1	bfr+lj-r ]f2cosa«-cos(a+&-l)ar-cos<e+b)a:)a:'2ecmH r=f,
- ядрами Валле Пуссена.
Очевидно, что ^a>b<f,x)0=&ab(f,x), Vab(x)0=l^(х),
^a,b^x^0~ ^<с,ь	onPefl^SHI1H	сумм	Валле	Пуссена	сразу
следует, что
%i (f.x) =	®o,	ь(f-x >	= *b <J>x >'
%,b<S’X) *<1 + а1Ъ)6а+Ъ<f’*) - <afb><f> x> >
(20)
~ ,,rl bea,b<f'x> + <b-i>ea,b-ia*> , ,
<°a,b •/. x\	2b^l	'
Далее, по определению полагаем
6b<f,X)l=6fjl>{f,x)i=(2'b~lfi[b6b{f,x) + {b-i)6b,t </,«■)}. (22)
Очевидно, что %C/,*)j = 6r6(0,f,x)s. Чтобы придать смысл ра¬
венству (20) при а = 0 и равенствам (21) и (22) при Ь «убу¬
дем считать, что €0(£х) = е<[0(/,х)=* 0. Легко видеть, что
...	.	{	2а	+	Ъ,	если	г*	О,
<*,bf г- а,6<0,г_ | 2а + Ь-(Ь-1)Д2Ь-1),если r-f.
Предложение 1. Пусть /«£,., ««2ц., bfiN, гrjO.l}, гвеЯ-
*«,Ь </,*>,.»{2л>~*§^<х+ЫЬ,Ъ<1>г di •
192
Тогда

Доказательство. Имеем
л + b-l	<я+Ь-1
2	~	(2sin2(2/2))'1	2	<cosp?-cos(p+i)i)	=
= {2sin2(i/2)r'l{cosai - cos(ra+b)2)*^b(i)0b>	(23)
***>-!	flmVy
V «ia^b.j(p)Df><i}=(2s\n,<i/2)y fce+bf{pj(cospf-eos(p+I>?)=
= ^b^)j(b-I/2).	(24)
Теперь, опираясь на равенство 2Л.(14), находим, что
а+Ь~1
^.П-г.(ь7г(„-гХ/'Х*,) I w*'т'
= {2тс)"1§ f<x+l)Vab{l)rdt. А
О-it
Следствие 2. Пусть /clj , beN , агеК. Тогда
1 Ся Г i~cos(b-i/2)icos(l/2) ,,
 5TS57172)	dt ■
Таблица 3. Пусть /е!р a,neZ+, belS , re {0,1]	, .reC .
Гогда:
1.	Если Ь-1 <С п, то
6вУ**,г-<2я + 1>-1 S V/.*+*6,.i«»X,b^,ia»r*<25)
1--п
+ 00
бв,ьС^)г“^л+1^5л</-зг+УЛ)г(1)>^ь^,г<1»г.	t25r)
Z=~«5
П
6a,b<f'x>r= <2п +I>‘!Х V*>ЯЛ)1<2’/.*> *a,b <Ул,г<2»г ,	<-26)
2*0
со
®а,ь</.аг)г = ^,, + 1>',2 ял(г<2./.*)^г,ь^Ул,1(2))г •	<2в”)
г-о
2.	Если а + Ь-1 < п , то
<4bf/’X,r “ <?И+1 2)ЛМ<■Г'/'	(уя>/	(1 »г .	(27)
2*1
оо
*atb<f,x)r* (2Л+1Г1	*	(27	)
193
2*!

®а,Ъ^<2n)	^8)
1~-пМ
+ 00
*п<;'Х+Уп,1^»*а,Ъ<Уп,1<3))г>	(28'	)
l*~oo
n
в«,Ъ</,Х)г= <2n^S <VZ)J4i<3'/>*J K,b<Bn,l<3»r>	<29)
M
po
^ fijt,i(3>f>#) ^а,Ь <Уп,1 №))r »	(29*)
1*1
Л-1
ба#ь^**^г~ f ^ -^л,г x) ^д,ъ (Уп.г ^ ))r *	^0)
z=o
oc
e«%btf.*>r“ <271 г1 ^<4,/,x) 1>а>ь<у„л (4))r.	(30')
Z-0
Доказательства соотношений таблицы 3 получаются непосред-
ствекными вычислениями, основанными на равенствах таблицы ЗЛ
и равенствах (23), (24).
3.° Дадим описание применяемой в дальнейшем методики рас¬
пространения одномерных результатов на случай функций несколь¬
ких переменных. В целях простоты записи и ввиду полной анало¬
гии с произвольным многомерным случаем ограничимся рассмотре¬
нием двумерного случая. Пусть U:LX-+C и V:Lt-+C- два опе¬
ратора (функционала), feL^{Q2)t Если операторы U и V имеют
+ «э
вид = •Aju , V-^ В и , где Ак и - функционалы, от о-
>,г-со	кг»-оа	2	12
Сражающие Ь^ъ С , то, как правило, справедлива формула UV(f)~
= 2	Применение последней формулы к одномерным ре~
*£%2
зультатам, установленным в этой и предыдущей главах, приводит
к обширному множеству соотношений &ля функций двух переменных.
Поясним сказанное двумя примерами.
Пример 1. Пусть yeLj«32), ле-2\Г2, keZ2H[02 n-t2],xeC.
Тогда
$*</,*) = (4*(/i2 f1 *	Dk(bn,ii4)>-
Доказательство. На основании формулы 3.(7)
О «0, <1 =4)
-194

*1-1
s^f Куь.) - {2ntf1 2	(4,/<.,у.),.».
г1-0
Применяя еще раз эту формулу и учитывая, что
получаем	Sk<f,x) = Skz <Ski< f{i,y), xt), x2) =
= <4^)-^^ 12]Я„{(4,4),/,х)Лк(уяг(4}). A
Пример 2. Пусть fe LJ<02), neN2, xe€z. Тогда
*&{№ = —I—	y,R«.i{{-4r4),f,x)i-l{i%i(4^iJt)cH4,ne,l2).
dxtdx2 Ющпг le[%n_i4
Локазател^ь^ство, Опираясь на формулу (13), имеем
SL<f<-,y).*0m<4»fi J JVjM./f-.y).*!)(-l)hcU4,nvlt).
гго
Применяя еще раз эту формулу и учитывая, что
^пг>Ц	xt = Рпл 4),f, х ),
получаем требуемое. А
В дальнейшем, используя многомерные аналоги установленных
одномерных результатов, мы, как правило, не будем приводить их
подробного вывода, а будем лишь давать ссылки на формулы, на
основании которых они получены. Опущенные подробные доказатель¬
ства читатель, учитывая сказанное в этом пункте и пункте 2.4,
3°, сможет восстановить без большого труда.
4? В заключение параграфа остановимся на средних Абеля-
Пуассона-Марцинкевича.
Пусть п €Ti, г, и> V, л е С . Полагаем
&<r,n,u,v) = (1 -r)*j^rkD1((u)'Dkiv),
tU(ct,ntu,v)=—^—$ е~л*sin ul sinvi di.
n*uv*)o
Лемма 2. Пусть лсК, r,u,ve С,
■d(r,n,utv)«(l + r2)!<I-r)sin nsinv-rnsm<2n+!)usm(2«+l)t/4
T95

+ rn+1sin(2^-l>usin<2n-l)uj + r{(I-r)(sin3uswir+ sinusin3v)+.
+ r”(sin(2ji+3)usin(2rt-l)i> + sin(2«+3)xrsin(2n-l)u )-
-r”+1(sin<2n+I)usin<2ri-3)br + sin{2n+l )v sin(2«-3)uj |,
Тогда
Л fr,«, u,v;=(l-rj cosec <u/2 )cosec{u/2 )flr, u+v) j (r, u-v)A(r,n,u/2, щ
Доказательство леммы 2 очевидно в силу леммы 1Л.2.
Следствие 3. Пусть neN, геС, г^ = Уп,1^) • Т°гДа:
1) если Jc,l eZ Л	то
(1-Г)г(1 + (-1)к+1+*ГП)((1 + Г)г+ 2r(COS Zjc + COSZ,))
St(r,n,zh,z,)- 		—_ .
*	{1	+	r2-2rcos(zk+zl))((+r*-2rcos,(xk-zl))
2) если Jc= 1 ,n , то
Я(г,п,0, zk)= A(r,n,z^,0)^(l-r)j(i-r)(l+4r+rz t +
+ {-Ог+1гй(2и+1 + (2л+3)г+(2л-3)г2 + {2л-1)г3) + 2(( l-r)r +
+ {-1 )1(2л-()гп**+ M)I(2n+I)rn+z)cosz>.|( I+r2-2r cos zk)~2;
3) справедливо равенство
&<r,n,0,0)**(l+6r+r2- (2и+1)2гл+
+ (8пг-6)гл+1-(2л-1)ггп+г)(!-гГг.
Доказательство следствия 3 основано на лемме 2 и получа¬
ется непосредственными вычислениями.
Лемма 3. Пусть л сб€ (0,00),	ж/л	г	<33. Тог¬
да: 1) справедливо равенство
Ш(ы,п,и,у) * 2~1сй(п2иг/}~1 х
2) если ktl€Z\{0}, то
liX(oLtTly	~	9,	9	2	./	9	2	I	*
3) если Ь *\{0{ , ТО
196

2 **<1+e~*n(-i )м) tt (- ик«е'*п
Ш^,п,0,гм^Ш(а,п,гк,0)=	—	—	 +	-—	—	;
n£(ctz + z£)2	n(a2+z‘)
4)	справедливо равенство
ШЫ,п, 0,0) = {пиГг{ 2-е~*п(2+2п& +п2иг)}.
Доказательство леммы 3 получается непосредственными вычис¬
лениями .
Предложение 2. Пусть f eLt<Q2}, neWf п={л>я>, oie{Ot оо),
геС^хеС2, zk=ynk(3) при keZ. Тогда
n-i
r*Sbt*(f’X) = (2п>~2 2 \<l)Sn(f'х+ Уп,1(3))Я(г'л'zwziX
£?	leL-n’n]	(31)
(I-r)Vr%t2(f,x) = (2лГ2J] an(l)Rnl((3,3),f,x)Sl(r,n,Z ,z,2),
*.o	leiv.it	J
£1	(32)
(/,»)-2 sn<f’x+yn,i(3))Ul<0l’H'zhtZhh
X=0	2ez2
(33)
Доказательство* Опираясь на формулу 3.(6) (а «
= г = 0, (^ = 3) и придерживаясь методики, описанной в пункте
3°, получаем, что при к € [0г,п-12]
SM<f,x)»<2nf2 J <t'n<l)Snif,x+yn'l{Z))Dk<yn lm.
г<г[-п,п]
Следовательно,
(l-r)£r*S*l2(/,*)W2»>-2£ oin(l)Snif,x*yntl(3)Ht-r) *
, ft* 0	Z*[-n,nJ
n-i
Л У r*Bki2(y ti3)) = (2пГгТ «„(г) Sn(f, *+*/„,2<3)Wr, л, гч,г1г).
£o	nj
Равенство (31) доказано. Опираясь на формулу ЗЛ7) (Р * 0,	*
= 3), получаем, что при ке [О2, М-1*]
197

Рассуждая теперь как при доказательстве (31), приходим к равен¬
ству (32). Формула (33) получается применением теоремы 2.2*5. д
Пусть neJN , теС . Полагаем
4 л2- Ап + 1 + т(Ь~8п2} + г2 {4	4п +1)-г*,-6гЛ+1-гл+2
 ■
Лемма 4. Пусть лсК ,	к<п.	Тогда
!	п
2л-1у0) = ^y^t<nna)DJt(yn г(3)).	(34)
г-i
Для доказательства равенства (34) достаточно в следствии
ТЛТ положить %i = 1 при I = -к, к ,	=	0 при |Z | = А,+-1, л .
Предложение 3. Пусть леДГ, ге€,	при
Тогда	л
<2л)'г]£	=	,
Доказательство. Принимая во внимание спреде-
* ление функции SL(r9ntutv) и используя формулу (34), имеем
я-1
**0
л-I	Л-1
={\-г)^гк<п-Эк{0)12)г = 4~l{\~r)^rH2n-2k-\)2 = <2п)2 ${г,п). А
>*о
§ 6. Два заключительных замечания
Замечание 1. Пусть	кЛ	=	Т%п)	-
унитарная матрица, Ц : Ij -*€,	• Lr -* с (I » 1,л )
линейные функционалы. Положим при А* 1,л
1-1	i-i
Пусть / е Lj «?2;. Тогда
***!*</> «22 а*1*Ч vva+> <f>	<*
i-i ?*i
198

ОТ сюда» учитывая, что матрица Л унитарна, находим что
Сопоставление формул таблиц 2.4.1, 3.2, 3.3, 5.2, предло-
3(0ния 2.6, следствия 2.7 с формулой (1) приводит к обширному
доожеетву полезных соотношений. Поясним сказанное двумя приме¬
рами.
Пример 1. Пусть f€Li<Q2} , 7?£N, ссеС2 . Тогда
п-1	л
Г»	г-1
Пример 1 получается из сопоставления формулы (1) с форму¬
лой пункта 1) таблицы 3.2.
Пример 2. Пусть f€Lt(Q2) > лбВГ , агеС2. Тогда
ci
*•0	л-l
= <4(2л+1)Гт YXntZit2((-2r2hf,x)c2<2,n,l).	(3)
z=o
Пример 2 получается из сопоставления формулы (1) с формулой
пункта 5) таблицы 3.2.
Условимся называть равенство (2) стандартным усреднением
формулы пункта!) таблицы 3.2, равенство (3) ~ стандартным ус¬
реднением формулы пункта 5) таблицы 3.2 и т.д.
Замечание 2. Остановимся в качестве примера на
формуле 4.(20) (аналогичные рассувдения могут быть применены и
К формулам (2), (3), (5), (6), (8), (10), (И), (13), (15), (17),
(19) этого параграфа). Пусть л-2е№, f$Hnf2 такова, что
f(-x,y)=f<xry)~-f<x,y) при (х,у)£&2. Из формулы 4.(20) следу¬
ет, что при X£(0,7t)
jgy,х)р*(Х>	1 у {-\)Ukdl‘zdll2f (Ьг,Ьк)
sin*#	п2 2тI	2stn Ъ, sin Ьк	&*>1	* £>п*к у
1,к*0
Отсюда, используя ортонормироваиность на (0,ах| системы функций
8*. г(8> (2-0, n-i), находим, что
Рл/(х,х№<х)^	1	V	diJ(bbb:)	(4)
Jfl sin2 ас	2п2 ш sin2b,
w	х*о
Равенство (4) называем стандартным усреднением формулы 4.(20).
199

Глава 1У.
СИЛЬНАЯ АППРОКСШАЦИЯ И НЕКОТОРЫЕ
КЛАССИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ
§ 1. Оценки для норм методов приближения
1.° Лемма 1. Пусть jieNm, feH„, осеСт, keZm,
Ап=[-п+1т, n-im]f\Zm,	Тогда
ct<f)*e'u*‘t}vn Т ап(к)/1ук+а,)ё1'У*‘1}	(1еАп).
ке\гП,п]
Доказательство. При т =1 лемма 1 очевидным
образом следует из теоремы ЗЛ.2*. Общий случай устанавливает¬
ся по индукции. Ограничимся рассмотрением случая т = 2. Запи-
сивая функцию f в виде Т"г и, (х:уег1*Хг, где
Щ	2	г
2	1,2	зс
cl<f)€ * и применяя утверлщение доказываемой леммы при
jw = 1, для 1еЛп имеем
Clip-^jrv U «„/w %„ *, <3>+«i>e*pe«i Уп.,к.ы)>
И2
ыг2^Л1,Л1 (3)+^=(2л2jrV***1* 2 е1Пг1кг)^(ук+ас)ехрН1гУпг кг<ЗП.
Осталось сопоставить полученные соотношения, 4
Лемма 2. Пусть ле]Чт, /вЯЛ9 Ал~[-т?+1т, п-1т] П Zmt ас,хе
еСт, 1teZm, Ук-Уп^З), АгеС при leAn, v>n*(v[~n,n]у1, функ¬
ция Ф:Ст-* С определена формулой Ф(2)=]2 Д1е,,г'^. Тогда
—	„	1вАп
1 Ягсгфен*-1> = ггл J oi„(k)f(y^*>Ф(х-ук-а).
Доказательство. Опираясь на лемму 1, имеем
2	V	oc^Aj/^+otjjAjexpfiVar-^-a!;^)*
fcAn
**t-np«3
200

Следствие 1. В условиях леммы 2
Jalcl<f>ei(x'I)=vn J ctn<k)f<x+yk+u)9<-yk-<x,).
UAn	*е£~л,л]
Для доказательства следствия 1 достаточно в лемме 2 в ка¬
честве № взять х *fт> •
Следствие 2. Пусть neNm,An=[-n+tm,n-1m]C\Zn>, ае€т,
ук=уП1к<3), ЛгеС при 1еАп, ггп=(и[-л,л]Г1,ФункцияФ:С%
j,C определена формулой	Тогда
vn S шп(к)Ф{ук + 01)^Яот .
ire ['Л,77]
Для доказательства следствия 2 достаточно в следствии Т.
ПОЛОЖИТЬ J'(X) s t.
Лемма 3. Пусть пеИт,/еЬх(От), An=[-n+tm, н-1т] П Zm, же
eCm,fceZm, ук= ynj<4), ЛгеС при 1еАп,	при
jeKm, 1еАп, =	функция Ф:€т-*€ определена
формулой ф(?) = 2гелЛе{(г‘1)-Т0Гда
2	Xn,*mm,f,x><s>(yM).
l€An	*«r[0™n-ffwJ
Демма 3 выводится из следствия £ ()} рассужде
ния^ы, аналогичными доказательству следствия 3.1*13
Предложение 1. Пусть выполнены условия леммы 3, оператор
ViC(Qm)^C(Qm) определен формулой	=	Л1с1(/)е1(Х'!\
Тогда	w	иА”
*e[ow, *-imJ r«I
Доказательство. Опираясь ка теорему 2.4.1
(равенство (12), £ = 4), имеем
7П	ТП
|^(41'п)1сШ#^г,*г(4)|(с s<
i*i	г-i
Остальная часть доказательства очевидна в силу леммы 3. А
Пусть DcC™, ре{ 1,2,3,4} фиксировано, х^уп^(р)€Т> при
^ом keZ™ f:D-*C ♦ Тогда полагаем $/^|]и,р~ STJJ3 ,1 f<* +
+ Ьп,*<р))\.
Предложение 2. Пусть neZ+, feHn, хе Cm, I/* - */л,* ^ * Ь
<7= - л,/*) , функция ф:Ст-+С определена формулой
201

»*•<”[-».» + *т]Г*. u<f,x) =
=%sMhc*<f)eUX'k>- Тогда
\/<х)-и</,х)\41Лх)]лЛ(\1-»„Ф(От)\ + ип 2	<Т)
Jce[-n,n],
£ФОщ
Если, кроме того, Лот = 1, Ф(уА) ^ 0 при кеZm, то спра¬
ведливо и неравенство
\f<x}-U<f,X) |4(/^|й|1	2( 1-ипФ(От)).	(2)
Доказательство* По следствию 3.1.4 (об = 0?п)
£	^<х+ук>&<-&)•	(3)
А-е[-л,л]
Следовательно,
JiW-Z7C/,»)J=j/<#>(l-i^(Om)) + ь$, Л ^ас+У*>Ф(-2/А>|4
*£[-*,hj
где штрих у суммы означает, что в ней слагаемое с индексом .к --
~ От опускается.	Тем	самым	оценка	(1) доказана.	Докажем (2).
В салу равенства 3.1.(9) и условия Л0т ** I
^ 2'	и)
Учитывая неотрицательность Ф{у^) (JceZm)vL сопоставляя послац-
нее равенство с неравенством (1), приходим к (2). А
Замечание 1. В условиях предложения 2 постоянная
2(1 ~tjjФ<Ож}) в неравенстве (2) не может быть заменена мень¬
шей, а именно существует функция geHJlt для которой неравен¬
ство (2) при ос ~ Ош обращается в равенство.
Доказательство. Рассмотрим функцию
оч*) * 2		1
z=f 1	1
Принимая во внимание соотношение 1.1.(9), нетрудно понять, что
geHn . Ясно, что g{Om)~ 1,	ПРИ	^
П2т\ {O^J. Опираясь на формулы С3) и (4), имеем
g<0M)-Uig,0'”)=(i-4tФ{Ом»+ггя	ф(^,=2(1-ц,ф(0т)).
202	*е[-п,п]

Осталось заметить, что	=	1.	4
Предложение 3. Пусть neNm, ’f€Hn,xe'CmJ ун = у„к<3), Ал=
s[-n+lm,n-im]OZm) АгеС <ZeA„),функция ф:Ст-+С определена
формулой	Лге^1'г\	vn=(ы[-л,л])“г, U(f,x) -
*E*eAnA*c*(f)et("'**'Тогда
|/f*)-W/tx)k|/w|и3(|1-Ч,Ф(0*)|+ ггп 2	(5)
1	1 U	ке[-п,п],к*От
Бели, кроме того, Я^т = 1,	0	при	k€Z™	то	спра¬
ведливо и неравенство
\f(x>-ВД*>И|Л*>|Л(3 2< 1-ч,Ф(От».	(6)
Доказательство предложения 3 аналогично доказательству
предложения 2, ко здесь вместо равенства (3) используется след¬
ствие 1 (при &	О*2), вместо равенства (4) - равенство
Л	1-и/гФ(От),	(7)
очевидным образом вытекающее из следствия 2 (= О771) и усло¬
вия ЛфТП = Л.
Замечание 2, В условиях предложения 3 постоянная
2(1	(О171)) в неравенстве (б) не может быть заменена
меньшей, а именно существует функция	, для. которой не¬
равенство (в) при гс^О771 обращается в равенство.
Доказательство. Рассмотрим функцию
<У(Ч ь = ? IT shl П*Х1 t
Принимая во внимание соотношение ТЛ.(ТО), нетрудно понять, что
. Ясно, что g{Om)= 1, giy#) = -1 при *е’[-л,л]ПгЛ\{От|.
Опираясь на следствие Ф (<tt = Om) и равенство С7), имеем
^{0”')-и^-,07й>=1-^Ф(0та) +tr 2" «ЛШФ(ЙИ2(1-^Ф(Ож)).
*бТ-л,л]
Осталось заметить, что |/(От)|и3 =1.4
2.° Остановимся на суммах Фейера.
Теорема 1. Пусть а,п£Ит, а4п, хеСт, уеЯл.Тогда
|	^ 2(i-2 JJ (akjnk	3	•	^8)

Доказательство. Как отмечалось в § 1 главы 2
(см.доказательство предложения 2.1.5),
2 Ькскфем**\ фа<х>= Y Л*еих'к>>
Jcetra,a]	kel-a.a]
где ДА.= У|”1{Г-|А/|/аг). Очевидно, что ^l(0m)=J|”J ак. Уча_
тывая сказанное и применяя предложение 3 (неравенство (6) ) к
сумме и(£х)*	приходим	к	доказываемому	утверждению.*
Следствие 3. Пусть a,neNm} а^п, fe Нп. Тогда
2(!-2-П^Ю)|fll~-	(9)
k*i
Для доказательства следствия 3 достаточно принять во вни¬
мание, что для fe€iOm) при а:еКт справедливо неравенство
и воспользоваться оценкой (8).
Следствие 4. Пусть леК"т, /бЯл . Тогда
'< 2(l-2'w)i/|e, •	НО)
Для доказательства следствия 4 достаточно в следствии 3
положить а-л.
Замечание 3. При т - 1 неравенство (ТО) для функ¬
ции У*'#)-соsnx обращается в равенство.
Замечание 4. Нетрудно понять, что неравенство (9)
останется справедливым, если в нем норму пространства
заменить на норму пространства Lp(Qm) при pe[i,oo).
Пусть a eN171, neZ™, Ет - тождественный оператор в С<0т>.
Положим
ЭС{а,п)~ sup J||i‘-6ra^)|U/||/S«| *
X<a)=X«i,*>)^sup^ j||||/|«,j .
Очевидно, что ^К(а) = iim Х{а,п). Покажем, что Х<а) = 2.Дей~
стьительно, в силу леммы 2.2.5 СК(а)-	Отсюда,	при¬
меняя предложение 2.Т.4, находим, что Х(а)£ 1+- 2*
С другой стороны, учитывая неравенство 2.1.(25) (р - ** ), име¬
ем	!*+■)(	Рс 4; 2.
204

Следствие о. Пусть a,^eNmf а 4 п. Тогда
^ia,ny^2(i-Z'mJ{(akjnk)).
Следствие 5 очевидно в силу следствия 3. 3 условиях пред¬
ложения 3 постоянная 2(1 -1ГлФ(От)) в неравенстве (6) будет
тем меньше, чем больше значение Ф{От). В связи с этим возни¬
кает следующая задача.
Пусть neNmt Ук=Уп,к^) • Среди всех полиномов Ф{х) *
* X	(Л €C)t удовлетворяющих условиям: Ялт = 1 ,Ф<Ць)ь
> 0 (k*'Zm)t найти такой, у которого значение Ф<От) будет
наибольшим.
Устанавливаемое ниже предложение позволяет дать ответ на
этот вопрос.
Предложение 4. Пусть п£1*т,Ап = [-п+1т,п~1т]
при кеАп,	0
при JceZm. Тогда Ф(От)^ Ш»г
Доказательство. Пусть leZ,peN, zlSi2nljpt
Ясно, что
Че™1Я i-eipZt . j еали
l-e tzi { р	если	г„0
Положим <хк = 2тск/п, Вл = [0’", л-1т]. Учитывая (1<и, легко по¬
нять, что
О,	если	кеА„, кф От,
т
П па , если * =От.'
<*-f *
Теперь тлеем
j «*<*>-£ 2 л,>•<•*■"	Г*
**ВП	*еВ„ Ш„	leAn	ксВп
= S Я1 X ei<a,'k) =	ft n<f	* Л •
2еА„ *<?В„	?-1
Осталось принять во внимание, что ^кеВ Ф<а)с) ^ Ф(0,и). 4
205

Заметим, что ядро Фейера Фп(.г) удовлетворяет условиям
предложения 4 и ф^оч-л; [ пz. Поэтому в условиях предложения
3 по отношению к постоянной, стоящей в неравенстве (6), ядра
Фейера являются экстремальными.
3.° Рассмотрим теперь средние Абеля-Пуассона,
Леша 4. Пусть n€Nm,feHnt	я	(кеЪт), хест.
числа А*еС <keZm) таковы, что ^ \Як | < оо , 14 р 4 оо,V<fyx) =
= ь %/<*+*/*)• Тогда
k£Zm	•
< |/«)|„,411Л1+ Y 1л*1)-	(12)
*£%ГЯ
Если,	кроме	того, Я^О {квХт), V %k*i? 1г то
\f(X)-U<f>X)\4 S/WlM 2{1-Я0),	(14)
1/-^Л1р<|Яр2{1-Д0).	415)
Доказательство леммы 4 в силу его простоты (см.доказатель¬
ство предложений 2 и 3) опускаем.
Теорема 2. Пусть ?€[От, Iм), ле№т, хеР™ feHni 1 4
Тогда	т
\f<x>-prv,xi 1 <	з(|-	П	'а?,'";#	*')	■
U-РгФ|Р< i Я, 2 ( I- ft	) •
fc&\	#
Для доказательства теоремы 2 достаточно принять во внимп-
нле,что	для	feНл (см.формулу	f{x+ynlQ)№U'l},
где т	гес-п,п]
(в частности,	воспользоваться
леммой 4 (неравенства (14) и (15)),
4.° Остановимся теперь на суммах Валле Пуссена. Для про¬
стоты ограничимся рассмотрением только одномерного случая.
206

Пусть а+i,b,ns'N, a+b-i<n, f е Нп, хеС. Тогда на осно¬
вании формул 3.5.(28) и 3.5.(28')
+£гь Е«»">|л*+-«*'*%&).
Z=1 (16)
+ Л 2 U(x+ %)+/(*~ Щ t~2(cos *2* - со*<£®*1).
м	n	n	(I?)
Теорема 3. Пусть a + 1, b,neN, a+b-i<n,feHn, хеС, 14p4 «>,
№,M)4b + V^(cosec-)2|cos^ — COS^-^ I,
2n ‘2nbf* n '	2n> \ n	П
Z“1
Xt«x,b,n) = l - -^±Ь +л-(а,Ь,л).
Тогда	KbU^I « §f<x>l„'3X«*,b,n),	(18)
\f<x>-ea,b<f,x>\4 lf(*>Us Xl«*>b,n>,	(20)
\f-*a,b(f)lp 4 S/ip Xi«*.b,n>-	(21)
Доказательство. Неравенства (18) и (19) оче¬
видны в силу равенства (16). Для доказательства (20) и (21) на¬
до принять во внимание равенство (16) и воспользоваться соот¬
ношениями (12) ц (13). Л
Теорема Зг. Пусть	Л+&-1<п ffeHntX€€, Up4°°,
Ка.Ь,п>-&& +^.f 1-AcosSSL - cos<Z*l*L I,
2п п2Ъ " I л	л	Г
= 1 -	+	L(<*,b,n).
Тогда неравенства (18)-(21), если в них величины КС<х,Ъ, п) и
Щ(<х,Ъ,п) заменить соответственно на L(a,b,n) л	)	,
остаются справедливыми.
Теорема Зг доказывается так же, как теорема 3, но здесь
вместо соотношения (16) используется соотношение (17).	,

Замечание 5. Простые вычисления показывают (при
этом используется равенство	что	при	ледг
справедливы равенства 1(п,л92п)*(3/2), Lf(n9n92n )- 1. Сопо-
ставляя .теорему Згс замечанием 5, приходим к следующему утвер¬
ждению.
Следствие £, Пусть лс JV,	хеС,	14р4ю.	Тогда
)^л,и($94	j2/J.3 j	^	|У^|?л,3»
^ 8/|р"
Неравенство (22) при р=оо уместно сопоставить с тем фак¬
том, что если Е - тождественный оператор в С, то (см. равен¬
ства 2*5(13), 2*5(35) и предложение 2.1.4)	|(с«	14 1/3 +
4 2^Ъ/П = 2,435...
5? Дополним результаты § 4 главы 2, относящиеся к суммам
Рогозинского.
Лемма 5. Пусть пеТ*,Х€С, ук = упк(3), zk= упк(4). Тогда
я
22 ** **(cos(-1 )Ш)=(-1 )ks\nnx{clg((х+ Укр) + Сlg((x~yk)/2) -
Ze-Л
-2clg{x/2)} ,	(23)
71
2% ellxcoslzk- {-1 )*cosnxf do-{(x+zk)/2)-clg{(x-zk)/2>}. (24)
Доказательство. Опираясь на равенство Д.!.
(10), имеем
2 jjeilx«oslyk+ и)*+,)« £епШу*>+У	2<-l)*+*Y	«“*»
lyrt	1-п	П
'=sinnix+yk)clgUx+yk)j2)+cosn(x+yk)+sinn(x-yk)c:ig{(x-yk)/2)-i
+ cos mx-yk) + 2i-lf*1sinnx<lg(x/2) + 2<-i)*+Icosnx =
= H)*sinnx^c\g((x*yk)j2) +clg((x-yk)t2) - 2clg(r/2) J,
2У e,7*cos lzk = У	+ У <?,7<*-г* > -
* и'п	1"п	»•*«	г*-*
*Н) cos nxcig((х+гл)/2)+НГ sinях + (-1) cosпхcigftx-z*.)/2) •+
+ {-I )*sin лх = {-1 J^cosnxJctg(('x+ zk)/2) - c\g{ix-zk)/2)\. Л
208

Предложение 5. Пусть п, I* i еЛ , х е С , / е Нгп. Тогда
Л«Г
&1- — -<»
n	№I)V	z?	/л	cosdn/4+як/2) ,ог,
Vм’/.*)-—	V****,/,.) г-(«21+1»» ■ 12Ь
л «о
Доказательство, Пусть хг = г/п^3), г/г = г/яг<4),
*|-y«n,z <3>> гг = W*Так как
^л>г<3,/,л?}= .2Y {cos*jrz +	,
А=-л
то в силу формулы 3.1.(40)
2я
p„tl(3,f,xy (2п) 2 *гп<к>Я2п,к<ЗЛ,х)Ф<хя),
где (см.(23)) я *”*
Ф(г> = Т (cosjca:, + {-t)l+1)elki -
- ,	Ле-Л	t
= М ) 2"* sin л? ^clg{(ijxl)/2)^clg((i-xl)/2)- 2ctg(l/2i] *
Из разложения ciofZ=5 (z-ht)"1 следует, что
&	:г-0е>
sin nZ jcigtf ?+a?z)/2}-*-	1~хг)/2)	-2c\gilj2)\	=
» 4а:2 V 	sm_nZ	 (2Ч)
i С?)/'('?-2згЛ)2-ге,2)
*«-с*
cosn?[c?g>f(?-z/z)/2)-ctg4(?^)/2^4i/.2 ТГ'ЩГГ^Г >	(29)
причем ряды, стоящие в правых частях равенств (28), (29), схо¬
дятся равномерно относительно ? на каждом отрезке. Теперь,ис¬
пользуя равенства (27) и (28), имеем
Х)~
2п
*H)Wt 2	{Zb-tejftfy-toj)2-	xfyhmnz^
k*i	fo-a*
+ 2«
’ и )V‘** J 2 Va>7?a.* {5,£x)$in inz*Hv^i)"
*. i
209

+ 00 п
Je-« /С»Х	2
ос
= И >г»\2^ ^2n,2k-i<zMsm{nz2k^) z2fc_, (zf^j - хгг f * e
*=1
<*>
» (-1)гSг2Я-1R2n>2к-1 <3./.*) И) *+1< 2* -1)'1((2А-1)-(22)гГ1
*■1
Равенство (25) доказано. Докажем (26), Так как
л
*> = 2У c°s<tyi>cA'<f>e'kX’
х*-п
то в силу формулы ЗЛ(4Т)
2п-1
Ii2n,kl4,ftx)'tS<rk)> (30)
л*о
где (см.(24))
П
y?<lh'<£icos<Jtyt)etki* К)12'1со5л?|с^((?+г/г)/2)-<^((1-угЦ2) |.
Дт»~п
Теперь, используя (30) и (29), имеем
2л-1
Лл,|К/,*>« Н)	R2n,k^'f'x)Yi H~2t(?)Z' ^‘Icos лг* =
=fi)W*V,2 2!p2n’ki4'f'x>((гк~2п^2~i/fficosnrk*
У«-«* Jr*0
oo
= (-1)мп1уг V Xzn,x(4,f,x)(r2-y?f*cosnrk•
Je* 0
0°
. (-1 )WS{2Z+I)jf1J#2я>*<4,/,*>{(2*+1 )z-<2(2Z+I))2Гсо5(Я/4+лА/2). i
*=0
Теорема 4. Пусть леАГ, keZ+, feH^, xeC,
fc	**	f
Vr2Z-1Г1-2 j W-D’1)*	J(2Z+ir.
Z«1	2	=	0
Тогда | P„ikt3,f,ar)| 4 ^)supar»f,	(31
|^(4,/,afjJ< ^<*)sup |Лгя,г(4,у,аг)|.	(з2)
210

доказательство. Сначала докажем (31). Можно
читать, что Аезг, ибо при * =0 оценка (31) тривиальна. Опи¬
раясь на формулу (25),^имеем
I8кг1Г'1 J |Д2я,гы<3-/>*>||tfl-WW-l}*-
1	'	7»!	«о
* sup|^l2w<3,/,*)| З^У |(2Z-I)((2Z-1)2- wV1 *
. Z*N	Z=1
Покажем, что a = JfAj. Имеем ^
jttf = ^2|y ^2Z-l)<f2Ar>2 -(2Z-f)J) + 2 (2Z-l)f(2Z-I)2-(?A:)J>|*
*	*	eo
*S(2M " 21-2k-l ~ n+2k^l) + 2 (2Z-2A-I + 2Z+W-1 ~ 2h)°
lsl> ,	2*	ic*+I	2*
•*hh - W + 2^-2^ =
Z*1	7»!	Z*fr+1
Таким образом, равенство oL=J(k) , а с ним и неравенство v3i)
доказаны. Докажем (32). Опираясь на формулу (26), имеем
оо
К*(4Л>-Т)!*sup IR2n,i4\Г?яНы+^ртг-№к+чг\'*
ге*+ '	г»о
- sup |#гл,г<4»/**НР •
Осталось показать, что [3	Имеем
Я$~4\2{2к41)^ (2(2kHW-(2l+V* + 2	{2Z+I)2-{2<2fr+l)P j
1	г=0	2к ^	J=2W
+ 2 2z2*+z+i)+i +2 (27F2FFT ” 2(2*+z+i)+i )|~
1=0 1*0 >2*+1
= 2^ У (2Z + I)*1. А
о	г«о
6. Остановимся на средних Фейера-Марцинкевича. Пусть
Ид* е С. Полагаем
Л-J
^	* Л*1 2	(и)	Ш	(Я,и,1>-) яг (л ^UUj^J'stnuZsiTl t/J .
® силу замечания 2.5.6
SlnMv-trj> sin«u+i»/2>- $\n(n<u+V))$in«u-V)f2)
* ’ 4nsin(u/2) sin (v/2) sin{< u-v)f2) sirt<Yu+tf>/2) 9
211

...	i	и	+	tr>	sin	<ni ii- z/ - f u -14 sin (ft {и -г v))
Ш<л,и.гг>=	  .	(34)
Леша_6л Пусть пеЯ, z^y^ib^ г, *■ ул_г (4).	Тогда:
1) если *,Ze2 Л [1,л ] ,	то	Л (п, zk, zt) = 0;
2) если кеХ Л [1,п], то 3.(n,zk, zk )-2sin?( zk!2))'\
3) если JceZ П [l,n], то Р(п,гк,0)=&(п, 0,zk)={-l)**is\r\iizki2)-i
4) справедливо равенство .# (л, 0,0} *> {4 ft 2- f )/3;
5) еоли AJebT, к41, то Ш(п,zJ(,zl)^0-)
6) если Же-ДГ, то Ш{п,гк,гк) = (2n2z^'i ;
7) если кем, то Ш(п,гк,0)= Ш(п,0, zk} » <-1	z^.)'2;
8) справедливо равенство Ш{п,0,0) »(1/3);
S)	если A,J<xZn [ 0, я-1 J,	то # <п,гк,г1) - 0;
10) если AeZ Л [О.и-lJ , то А <3г, г*,	> = (?s»n2<з-л/2)>'г;
11) если Л,ге2,(гл|чь|^(, то Ш<п,гК,гг) = 0 ;
12) если k,leX, |7>| = |rz|, то Ш(п,гх,г1у - {2пгг3к У1,
Доказательство леммы 6 основано на формулах (33) и (34)
а получается непосредственными вычислениями.
Условимся в этом параграфе при nsN вместо Mti<2,f,x) и
ен0 п <2,/, ху соответственно писать просто M„(f,x) и eHntj,x).
’Теорема Б. Пусть feL^Q2), neN, п=<п,пу, хеСг, гк~
” Ул.*(3>» г* “Уп,*<4> ПРИ AeZ • Тсгда
Лл(/,аг»-(2я)*2 У	(зб)
геЫ,п]
Л
•мя<У.л,>*<’вягГ1 2xniiyPttf2l((3,3),J,x)cosec2(zl/2y, (36)
г»!
*я(/-*)«]£ 5п</>* + Ул,г^ Ш'л >г/,-2г2)-
z<rz2
Ля(/,*j = (Уя2)'1 У Лп>,*, ((3.3),/, х) Гг ,
г»1
(37)
(48)
П-1
М „ {/. х) =* (8 п2)'1 2 PUi J г , ((4,4), /, х ) cosec 2 (г, /2 >,	(39 *
z»o
212

<к>
Ля</,*>-(2/яг)Лли>127{(4,4),/,*)(22 + 1Гг.	(40.
2-0
Доказательство, Так как (с м. доказательство
предложения 3,5.2) при jc€ [О* n-i2]
Sx<f,%)-{2n)2 ^
n-i
TO	V	#)	=
*»0	n-i
*(2n)'2 J «л(П^(/.*+г/п,х<3,>л'1 2 D*iг<Уп,1<&) “(2л,’22 V,K
2f£-n,n]	Л*0	ZtfC'HynJ
x 3f+yn<l <3 МЛ in, zh, zl2),
Тем самым соотношение (35) доказано. Формулы (36) и (38) .уста¬
навливаются аналогично. При этом используются двумерные анало¬
ги формулы 3.3.(7) (см.доказательство предложения 3.5.2 к при¬
мер 3.5.1) и лемма 6. Формула (37) получается применением тео¬
ремы 2.2.5. Формула (38) - иная запись формулы (37). При т<сы
учитывается лемма 6. Докажем (40). Применяя теорему 2.2.5, на¬
ходим, что
V/.*+2/в,Р4»Ш(п>%>г1гк
let1
Формула (40) - иная запись последнего равенства (при этом учи¬
тывается лемма 6).i
Следствие 7. Пусть	.л^ЛГ, хеС,	ък-уп#{Ъ)ггк* ущк{4)
при JceZ. Тогда
л
ffH^C/,ar) = {8n2riy 0Lrt<li\firiiii3,f,x>\2cosec2{zll2>,	UU
ft
>a
eHj-tj.x) ■-	|R„'i<3,j,x)\2r2,	(42)
2«t
n-i
eXn<j,x) = iSr,tri'£\Pn!l{4,ftxi\2roSec!l<rlj?h	U3)
7*0
rt£0r**>e(2/*2>2 l-^n,: ^’ftX)f2( 2l + i )~г.	(44)
2-0
m

Доказательство, Установим равенство (41). По-
ложим s=(SJt(tf,x))%l,0, r={8n)~m(ct%2a>Bntl(3,f,x)<i3,n,l))j„t .
Тогда по пункту 7 таблицы 3*3.2 $*Ап{7)г. Матрица ^(^уни¬
тарная. Поэтому |S|^=|r|2. Последнее соотношение и есть ра-
венство (41). Соотношение (43) доказывается аналогично. При
этом используется пункт 10 таблицы 3.3.2. Установим (42). Ис¬
пользуя разложение cosec2ttz =	£	^<г-1с)~г	и	формулу	(41),
имеэм	л	*
бН*</,х)Ч2*Ь-*%*п(1>\*ъ1<Мх)\22<1-гп*Г2-
•<2ЯгГ*% J *п<1> I *я.г<3,/,*>|2^-2л*Г2 -
*•-» W
= (2я*Г*111Л*,га/,х)12Г2.
Z*i
Равенство (44) выводится из соотношения (43) аналогичным обра¬
зом. А
При хеЯ равенства (41)-(44) являются простыми следствия¬
ми соотношений (36), (38)-(40). Действительно, определим функ¬
цию	формулой: если i/eK2, то g<y>=j%)f<yz). При--
меняя формулы (36), (38)-(40) в точке {ж ,х), где areF, кфукк--
ции g, приходим соответственно к формулам (4Т)-(44).
Следствие 8. Пуст ъ j'eLpnelti^eC,
при JteZ, sec,	Si<f>x)-s\2.	Тогда
П
г<аг)-(8лаГ*2ия(ЩЛ„,1<3,£х)-2(1+ И)M)s\ co$sc2(zl/2)i (45)
7*1
оо
ггя?>-(2явГ,Л|Лл,г{3,Л*)- 2^ + H)M)s|?r?,	(46)
«Л*1
1<Х}*(8пг)~* 2 \Яп,г <4>/>х> ~2s I c<>sec*(тг/2),	(4?)
7*0
оо
1<Х)*(2/я2) ^\ЯП)1(4,у,х) - 2S\2( 21 + 1Г*.	(48)
7*0
Для доказательства формул (45)-(48) надо применить соот¬
ветственно соотношения (41)-(44) к функции	и	при¬
нять во внимание, что S^if^x)* Stif,*)-$, Rai(39f*x)mFn9i(3>
/,*)- 2(I+(-!)I+I)S,	*>-	**,1	«/,*>-	•
214

Следствие 9. Пусть ле*Г,/е#Л, асеС, гА*у |3
при А*2,^(д:)=л~!]Г”	Тогда
П
р(х)= (S«2fI^a7JfZ>|i?Jj)j(9,/,a:>|2cosec2<zI/2),	(49)
у5('аг) = (2я2Г1^ |Дл г(9,/,а?)|2Г2,	(50)
Z=f
Л-1
уоСз:)=((9игГ1^ |Лл>2<Ю>/,х)|гсо5ес2(лг/2),	(51)
z*o
аа
р{Х) = {2/л2) V\Ял,1И0./,х)\г<2Н1Гг,	(52)
1ш*0
Для доказательства формул (49)-(52) достаточно заметить,
что для feHn справедливы равенства £nl(3,ffx)~2(l +
*	и	воспользовать¬
ся соотношениями (45)-(48) при S^fiX).
Теорема 6. Справедливы соотношения
*й?1*Чс = Лд<2>=
_ 2 ГГ |(« + y)sin(u-v) + {ir-u)si«{u+ir)|
я* JJb2!	uu(u2 - ir2>	|*И«У,
Доказательство. Соотношения (53) очевидны в
силу следствия 2.5Л0 и замечания 2.5.в. Из неравенства 2.4(12)
= 4) следует, что при л, Z + lel*
Ид,г>11г((4>4))1|<. <К,г<4)||гс <Яг<4.*>.
Сопоставляя последнее неравенство с равенством (40) и учитывая
первое из равенств (53), приходим к (54).4
Теорема ?. Пусть ле-N, п*(п,п) , /е#л , С2 , 14р4 00>
Тогда
< |/(*>|^3(ЮлМ)/(6л2Ь
< 1/||р(10лМ)/(6лг).
Доказательств®. Пусть	На осно¬
вании формул (35),	(Т2)	и	(ТЗ)
215

| Jix)	I	4	y<*q„l3X,	II	S-Mn<f)\p 4 lflpX,
где Х=|1-Л(эт,0,0)/(4эт2)| + (4лгГ1	<Xn(l)j‘H(n,zlj, z^)),
Ze[-M,lt],l*02
Опираясь на лемму 6 и используя формулу (см., например, [Ь8,
с.644])	л.х
2 cosec2<zA,/2) = (4пг-1)/б -1/2,	(55)
легко находим, что X*(iOn*-i)/(бл*), 4
Теорема 8. Пусть	-д?еС, 2&р4оо, ?(/,#) -
= {л_12г-о I W»*> -f(x)l2J1/Z. Тогда
< S/<*>!»,з (М*г-1>№2)}1/2,	(56)
(57)
(58)
И</.*>| < I/WlA3 {(4и*-1)/(Зл2)} */2,	(59)
W)iv^\s\p\(^-i)H3ni)Y12,	(во)
|г(/,*))4(1/2) лгал | Л„)Л< 10,/, х)\.	(61)
Доказательство. Положим	г{3)	,	-
-	7(4 ). Опираясь на формулы (41) и (55), имеем
*/*3*	я
I &п{ l)cosec2(Zf/2)J* 2 =
^ . W 1/2
* та* |Ллд(^,/^)|{(4л--1)/(48л2)}1/2^|/^|л з {(4л*-1)/(Зл2)} ■
Тем самым неравенство (56) доказано. Соотношение (59) устанав¬
ливается аналогично, но здесь вместо формулы (41) используется
формула (49). Докажем (60). Применяя формулы (49) и (55), по¬
лучаем, что
216

■ 1Ы lip I' •'*
Теперь установим (57). На основании формулы (44)
I
\бНп(/,х)\4 max |	4,/,*)|{(2М2>У (2г+1Гг)1/2=
ио
+
Неравенство (61) доказывается аналогично, но здесь вместо фор¬
мулы (44) используется формула (52), Докажем (58). Опираясь на
формулу (44), имеем
Им/V I f <гг+о'г)‘/2-м, •*
2«0
Замечание 6. Из доказательства соотношений (56),
(57), (59), (61) нетрудно понять, что при х = 0: а) неравенст¬
во (56) для четного полинома 7<гЯЛ, у которого 7(0) = Т,7(ДА:/л)=
= H)*41 л) (этот полином имеет вид T<l)=n1smnlc%g{lj2}-
-cosnl), обращается в равенство; б) неравенство (57) для поли¬
нома, тождественно равного единице, обращается в равенство;
в)	неравенство (59) душ четного полинома Т€Нл,у которого 7(0)-
= 1, T{$ik/n)=-i	(	Jc= 1,п) (этот полином имеет вид Т(I ) -
= /Г1 sinflf clg(£/2) - 1), обращается в равенство; г) неравен¬
ство (61) для четного полинома 7еЛл, у которого 7(0) =1, Т((2к +
+ I )тГ/<2л)}~-1 {Jc=Q,n-i) (этот полином имеет вид Tf^2co5HZ-i),
обращается в равенство.
Таким образом, в неравенствах (56), (57), (59), (61) при
тех предположениях, в которых они были доказаны, постоянные не
могут быть заменены меньшими.
Теорема 9. Пусть	,14^42, 2	4 со . Тогда
Доказательств о. То. что
^ 1, сразу следует из неравенства (58) и возрастания величины"
с ростом	С другой стороны, для функции g ,
тождественно равной единице, справедливо равенство }еЯ0
*Й5ГЙр* а
9Р	217

7? Остановимся на средних Абеля-Пуассона-Харди.
Лемма 7. Пусть леХ, feHn,n=<n,n), r,xeR, г, = ул^{3).
Тогдая{
(1-г)£г*|^(/.аг)|г-(2п)-г2 6ЬП(1)ЯП>1 АЗ^,х)Я„ , {3j,x)A<r,n,z. ,z j
™	M^nl	v
n-t	(62)
= (2л)"г 2	г. ).
гв[Я«]	(63)
Доказательство, Определим функцию g; Л2-* С
формулой: если уеН2, то gW-JW/W' Применяя формулу
3.5.(32) в точке ( х,х), где xeR , к функции g , приходим к
формуле (62). Для доказательства (63 > надо применить (62) к
функции	и	принять	во внимание, что Rntit{3tf*x)*
~Я^(9,f, х), Xn'k(3,f*x)=X„'h<9j,x). Л
Теорема 10. Пусть леЛ, /еНп, г£-[0,1), хеЯ, i(f,x) =
= {n-r)J"^r*| S^f,X) -J<x)\2)m. Тогда
Uf,x)4< $<г,п))Угупах\Рп>г{9,£х)1,	(64)
i(f,x)4 4<j<r,п))1/г |/wj«,3 • '	(6b)
Доказательство. Опираясь на формулу (63) а
учитывая неотрицательность величин 9Hr97iyZiltzl2) при	,
имеем	^
иу,х)4тах1^Л11(9,/,х)\и2п}~2 У <хп{1)А<г,п,ггггг )}* .
le*t	геТГ^п)
Отсюда, применяя предложение 3.5.3, приходим к формуле (64ХДля
доказательства (65) достаточно принять во внимание, что
ynax\PHtl(iJ9x)\4 4|/ш|л>3,и воспользоваться неравенством (64). А
Us Замечание 7. При х -■ 0 неравенство (65) (а значит,
и неравенстве (64)) обращается в равенство для функции g(i) -
- гГ1 sinnlclg(l/2)-1 . Обращение неравенства (65) при дг-0 дтя
функции g в равенство легко проследить, если принять во вни¬
мание соотношение (63) и очевидные равенства: g{0) =
-i ДЛЯ к - -71,71 , Jc^o.
2Ш

$ 2. Суммы Фейера и средние Абеля-Пуассона
1? Установим ряд полезных формул.
Таблица 1. Пусть	п	= <п,п). Тогда:
1. Если , f€Hn, are С2, то
71-1
я I	г=0
л	(Skt*<f,x)-fi*»mW**)% $<ул>1<4)12/,х)< 21-ИГ2,	(2)
*?0	2.0
2. Если	хеС2	,	то
п	71
2 <“я^>5Л12СЛ^ = Н<2я+1 ))-J	а^ОДциг^г),/, аг)с2)2,л,г>,(3)
*•0	7-0
Л	л
2 «bMsjw* tf.*> -/<*>>«	ап<Ы(уп1{2Пг4,х)сг<	2	,п,	I	>. (4)
*s0	7*0
3. Если лсН ,	хе€,	то
n-i	л
*?о
7!
Vi»'^*2}'12	^>ЯлДЗ,/,*>(1+И)и V(3^, Zj, v6 i
г*1
ео
вл(/,л-) = я‘22^,2(3,/,згК1 + Н)т)Г2,	(7)
1*1
л* 1
^1'/,^ = {4л3Г12 Fn,2<4,f,x)c2(4,}itl),	(8)
7*0
ас»
6Л </,	- {4/Л2) У J?„,i (4дг > <2 2 +1Г ■2,	(9)
г*о
4. Если /*яя , хе€\ то
л	7J
y^)A)j5*{/,^|2»(4{2«+I))-xy^(Z>|^(21/,.r>|2c2^«,Z>, (10)
АсО	7^
too
0£л<Аг>/(у;зс>12=1 )/3t2>2 \*nM2Kf’X)\2<2l+i)-}	(И)
к*0	п	7-0
<W/-	=<г*+1>~2 2	**<г>	п'г>>	№г)
i=«	г1э

6^/,*>,в<4/Я*)УлПЛ2,3,ХН2Ш)-2 .	(13)
1	z=o
Доказательство таблицы 1. Формула
(3)	- стандартное усреднение формулы пункта 4 таблицы. 3.3.2,
Для доказательства формул (1), (2) и (4) достаточно формулы 1.
139), 1.(40) и (3) применить к функции /*{•)=/{•) -Six). Форму¬
лы (5) и (10) устанавливаются так же, как формула 1.(41). При
этом используются пункты 1 и 4 таблицы 3.3.2. Соотношение (И)
выводится из равенства (10) аналогично тому, как формула 1.(42)
выводилась из равенства 1.(41). Формулы (6)49), (12), (13)	-
частные случаи формул таблицы 3.5.3. А
Теорема 1. Пусть n-te’N , фиксированные вещественные чис-
ла а0,	, <кп таковы, что: a) ajj + а\ +а2п Ф 0 , б) функция
<x0j2 + a^ost+dnicosni + cos<п+1)1) неотрицательна на [о,
Л-J. Пусть далее zt=ynjt\i)t d^a0l2 + aiwszl + (-1)гапсо$ <zl/2).
Тогда для	удовлетворяющей условиям /<0)= 0, fit
при leR , справедливо равенство
2Л	*di
sWa/2) аг~2л+1 L $\пЧгг!2) '	u‘u
Z»t
Теорема 1 очевидным образом следует из пункта 2) (формула
3.4.(2)) теоремы 3.4.1.
Следствие 1. Пусть леК, f*Hn, ^глуп г<^К хе€. Тогда
гг
Г'Ши»\2CO$et211/2>^^{2я/(2п+1))У\ЯлЛ{7,^х)\Ьг(1,п,1),(1Ь)
0 ля	г*!
I |^(?,/,af)|2{I-cos(n+ l/2)?Co$(Z/<’))/(sinJ(f/?)) dl =
*чя	(1б)
= (зг/(2л+1»2]^1 1Дя,г<'’,/,*■)! (2+H)1*lcos{zl/2))/($\nz(zl/2)).
Доказательство. Пусть ^Ч?) af<x+ i)+f(x-i)-2f(x).
Полагая в формуле (14)	и гфименяя ее к функции g-, при¬
ходим к (1.5) при пЪ2. Полагая в формуле (14) xS(i)=l- |(cosn?+
+ cos {л + 1)1) и применяя ее к функции g, приходим к (16)
при п£2. Случал п =1 рассматриваются непосредственно. А
Теорема 2. Пусть neN, zz = J6i,j<3> функция	такова,
что f<i)	при	/(0)® о. Тогда
%*\f(i)\lco!>ficilij2)dl = {7i/n)y<!tn(l)\'f(zl)\2c2i2,n,l), И?)
ij(l
22.0

I	«-д-Ё	«в»
1	0	Z=I
Теорема 2 очевидным образом следует из формул 3.4.(17) и
3.4.(15).
Следствие 2. Пусть n€N,feH„, 2г = г/л^(3>, жеС. Тогда
»->|2cosec2<f/2>?=(этг/л>Vаг>|2сг{3,л,/), (19)
!-1
Уд<*/»*>1 iWTT/Tji^-^l ib^Tv?)	-(20)
Следствие 3. Пусть neji, feHn, z2 =г/л1{1), arfC. Тогда
Jf	°°
j0 *j|?cosec2<?/2)d* -{Uin+Djn) J	(21)
ft	^
j“o |^?,/t^|2cosec2(i/2)rff «(4л/я)^|Я„,1<9./,х}1гГг,	(22)
Z* I
Доказательства равенств (21)-(24) основаны на формулах(15X
(19), (16), (20) и проводятся по одному плану. Докажем дяя при¬
мера (23). Используя разложение cosec2nz*n^^^Jiz-Jc)2 и фор¬
мулу (16), имеем
лМ/,хЦг{2*Н)м
„ А«-оо N1
СО
»С05(2г/2)К/-(2л+1)АГг=((2п+1)/я)2К)г(^/.^|г(24(-1)Ы£05(22/2))г-2.
Z-1
Замечание 1. Пусть .hsN , /е » ^К. Тогда
5jy^?^-jc^>P(£S^rwj,)2^?=: 4ni’0w|^:r+^>+^ar-^)l22‘2 х
. xsin^(lj2)dl .	(25}

Доказательство, В силу предложения 2.2.8
Применяя последнее равенство к функции /*<•)=/(• 4получаем
требуемое.А
Замечание 2. Пусть S€^2 » хеИ. Тогда
§0 l$<i,f,x)l2cosec2{l/2)di = 4^° j$(l,f,x)\21~2 dl.	(26)
Доказательство. Из разложения cos ec*(i/2) ~
4 W
= 4У (1+2'ПкГ*	следует, что
* 4 2L„J*2-- 4 IМ,/,*)|ггг*г. 4
fc к*
Замечание 3. Если Semi), то равенства (25) и
(26) справедливы для хеС.
Лемма 1. Пусть л eft , z^TtZ/л . Тогда
Ря $\r\2inl) $\n2i $\п2(п112)	| tt!2> если 2 = 1,л,
Оо teosZ- cos Zi )$\nz( 112)	^л(1/2~л), если l~0f
i
n $in2<ni>$in2ts\n2<nl/2) ^ _ nilQn2-l)n
0 {I-cosi)2 s\nHlf2) ~	6	'
Гя sin%Z)$in2ii sinZ/2) tff =	(1=Т~п)
Jo iCQ$l~l)(CQ$l~COSZl)$\n2{ll2) CG$Zi~i
Доказательство лемш 1 получается непосредственными вы¬
числениями. При этом используются предложение 1.4.1 (формула
(4)), следствие 1.4.3, лемма 1,4.4.
Теорема 3. Пусть П€№ , zL - уп j (3), функция f€Hn тако¬
ва, что /^>=/(■0 при icB,	Тогда
!;{ J ^(^2+H)'4l)|yz| V(3,«,Z)4 2^-l]\<l)c*{i,n,meiya,yi)+
222 М +«IOn2-l)/6)Jz/0|2J M	(2V)

Формула (27) обобщает формулу (18), в которую она перехо¬
дит при дополнительном условии =0.
Доказательство. По формуле ЗЛ.(ЗО) fil) =
*nisw7\is\nl^2iU0$n(l){-\f*iyl (cosl - cosz^)*"*. Следовательно,
j>’i,
h'h~°
x	sin2nZsin??	/	s\n{nl!2) \2
Jo (cos?-coszZl)(cos ?-coSZ22)\ sin(i/2) )
Отсюда, учитывая следствие 3.4Л (ортонормированность системы
gn i (6 )) и лемму 1, после простых преобразований приходим к
формуле (27). 4
Следствие 4. Пусть л eN, хе€, feНп, гг = уп1(3), г/г=ИЛ)г(6,
f,x). Тогда
+ 22(-l)r4Vz)c2(3,«,7)Re^0 у*)+('(10«г-1)/в)|%|*|.
М	(28/
Следствие 5. Пусть T?eN , *еС, f€Hn . Тогда
.1*5рг(/,дг)|г + i[y 4„('»Н)'*,Кг«./.«|гсг№л.1))г ;г9)
z=o	М
00	г*о
+ё12ал^1+и>г+1,Кг<б-д^1г^^я.^+41/^1ги21 • (30,
м	w
Доказательства соотношений (29) и (30) основаны на форму¬
лах 1.(41) и (28) и получаются непосредственными вычислениями.
При этом полезно иметь в виду равенства 1.(Ь5) и (см., напри-
мер, [58, 0.644])
Ця-Ь/2]
2 cosec2 {(2к+1)я/(2п)) = пг/2 + (i/4)((-t)n-l).	(31)
fr-0
223

Теорема 4. Пусть Л€ JV , f€Hn , осе С • Тогда
\№+1>+з<х~щЧЩ(т}г*г' (32^
Доказательство, Применяя формулу (6) к три-
гонометрическому полиному (порядка 2л)	+	имеем
= {471гТ^ {|*Я|1<4,/,*>|2 + 4\f<x>\2\сг(4,п,1) =
2п
p-j	(33)
Используя теперь равенства (30) и (33) и учитывая соотношение
«£Л (г> f i+{-I )гн)со&сг№К2п))= которое легко можно полу¬
чить, если положить в (30) J7,r) s Т), приходим к равенству
гл-i
316гл{|/(л,+.) +,/(#->)]*0)* 2 jST{/,ar)|2+ f«/2}e2j!{|/(3f+0+/C.f-')|!o).
г=о
Остальная часть доказательства очевидна. А
Следствие 6. Пусть леХ , /еЯл , хе€ . Тогда
(34)
2=0
Лдя доказательства формулы (34) достаточно (32) применить
к функции /*(•)=»/(•)-/(X).
Замечание it Пусть леЗЧ , /«Нп , хеС . Тогда
J*0 l^(i,^,»)i?cosec2(?/2)cos 2л? dl ** О.	^
Равенство (35) получается из сопоставления формул 1.(49), (49)
и (34).
2? Установим ряд вспомогательных результатов.
Лемма 2. Пусть функция ^р[-Я,я]-»Н + суммируема на [-Л <
, re [0,1). Тогда
$*g<4W>dU	<36>
224

Доказательство. Принимая во внимание, что
jstn ли I 4 л |sinu|, 1-2rcosu+r2=(l-r)2+4rsm2<u/2), если пеН,
ygF, при ?eR имеем
фп(1)	1	/sinOtJ/2)	\2	f-2rcos?+r2	л2(1-г)2	4г
■—~ ~ I	гг~ )	4	*■	:	=	К(г.п),
?r(t) п\ sin (i/2)/ i-r*	n{l-rг)	п (f-т*2)
Следовательно
£^)Ф„<1)<а=§ g(l)$'r(l){§nil)l9ir<l)>)di4K{r,nA g<i)Q<l)df,
v-JT	^
Лемма 3♦ Пусть	,	re[0,1) ,	хеС.	Тогда
4 skM\-r)£\S(i,s,x)\2%kn(mi.
Доказательство. Положим	тс l/(2nk). Функ¬
ция = ff X)fkeH2kn.Следовательноf по формуле 3.5.(T)
_ 3t(l-r2) V .. /M|D	1+М)14,г*я*
2nk \ 0L2nk(l)\R2nk>i(9tf1x)\ i + rz„2rcosz2 *
Далее по формуле (18)
^n\S<tfJ,x)\2k02n)({l}di =
2nk 0
"iefeS	2 H г+М )ж) | я2л*,г(9,/,*>|2V<3,2лА', г>•
тт	\	2-м~П*+*
сложим К(i)I) =	’ fl№Z)=i6w?^sin2('z772T 4
Нетрудно понять, что K(r,l)/Q(r,l) =
= 8jik(i-rmi-K-l)Mr2tlk)sm2(zll2) ,8nkli-rHl+i-i)Mr*nk) (3} M .
((i-r)2+4i-sin2(2z/2))<2+M)I+0	4 U + r>(2+(-I)I+i)	'
Сопоставляя приведенные выше соотношения, получаем
р ^	2л*
Jc IМ./,г>о?2 - «2	гЧ
гв* ZeI
^ 8Jc7i(i-y)jт&2nft (О	Z) | T^2jtfe,l (Д *^)J	~
Z-1
- S*n{l-r)j^|£r?,/,*)|2*#2n* < *>«**• А

Следствие 7. Пусть п,к € N , те [0,1) * f £Нп , х&С. То1да
Г*№14,х)\гк?„аШ41бкЫ1-г)Ся\$<г,/,х)121еФ„<а<н. (з?)
i)q	“	vQ
Для доказательства (37) достаточно принять во внимание, что
и воспользоваться леммой 3.
Лемма 4. Пусть /еЬг' re(Q,t), a=ln<i/r), Х£Я. Тогда
§*\&<l,f,x>f?r<t)di= 2<x$”\${l,f,x>\2(i2+<x2rsdi,	(38)
4аС&2<j,i,x)i2(iz+a2>-2dl. Ш
где £<f, i,X)=(<i/i)^\S(u,f,x)\2du)il2.
Соотношение (38) очевидно в силу равенств 2,3,(6)
и 2.3.(7), Формула (39) получается интегрированием по частям в
интеграле, стоящем в правой части равенства (38).
Леша 5. Пусть	»	г£	№	*	')	* X&R* Тогда
оо	^
a-r)^trklSk(f,x)-J(X)l24i47t)1^ \$<l,f,x)f%<l>di.	(40)
*r0
Доказательство. По неравенству 2.3.(25)
РН*(£0)4>Рг(\/\2.0). Применяя это неравенство к функции g(#) =
-\l/2)(f(X+•)	-	2f<x))	,	имеем
{l- r) 2 r* j sk (/, X >-/<x) |2 * (I-т	тk I Sx <g, 0) 12 ^
*-0	**D
4	\^{i,f,x)\2iPr<l)di.A	(41)
Лемма 6. Пусть re(0,I), neZ+t x,sеЯ, feLt.	Тогда
|^.(/,ar>-5j24((I-r)rn)'I(f-r>'^ r*|^</,r;-s|2.	(42)
/c-0	**0
<l~r)^r*| V/,*)-sJ2^(l-r)]£	-5	J2.	(43)
Л*0	Лг^О
Соотношения (42) и (43) очевидны.
226

Введем ряд обозначений. Пусть jfeLj, леЛГ, re[0,l), xeR . Тог¬
да полагаем	л-1
Ял(1,/,.г) = (и/л>]£ \Sk<f.x)-flx)\2]t2,
. *=0
i I’M
Oi-f/2)'1 J	Sfiif.x)	-/(х>1г}	,
**0,
Hr<3,f,x)= \<t-r) £ г* I s*Of;	}	Ilz,
.-■=0
яй(4,/,яr)= j(4er)'1 £я|<У<г,/,*)|2Фл(г>*г)f/2,
Hr{5./,*) - {(4 яr1jjft?,/,* jI ■2 fr(I)dI J1/г,
= ^<Un,l<J(}>f'x) (*6{ J>2>3>4}> leZ>>
ЯлГ6,/|*>-{(2я+1>(4^лГ1£ \K,l< US,x>\2l'2 \Ш,
M
Н«С/,*)-|2я'2£
cSsi	f/9
Л„(9,/.»)Ь{2гг-2£ |&,i<V.*>l2<?W2} .
1*0
Jlema 7. Пусть f,g е Ll9 neW, rs[0,l), i&p <oo. Тогда
i Ял <Arf+gj|p4 ii Нл№,Я|р+ |ЯЛ (*,£•) ||p </ce{ f,2,4,6,7,6,9f), (44;
|Яг(А,/^|рЧ<[|Яг.(А,/)Лр + ||Яг(/с^>||р (A e { 3,5}), (45)
Доказательство,, Докажем неравенство (44) при
J? =4. Применяя неравенство Коши (неравенство Минксвского для
интегралов при р =2, теорема Т.2,3), имеем
W+g,*)<H„<4,/far> + H„<4,g,x> <xeR).
Отсюда ясно, что
|ЯЛ<4^)|р4|Ял(4^+Яя(4^}|р<|Яя(4^>|р+|Яй(4,^|р.
Таким образом, неравенство (44) при к ~4 доказано. Остальные
неравенства доказываются аналогично.А
227

Лемма 8. Пусть пеН, ге[0,1) ,	24р4оо . Тогда
8 Нп(Щр 4	+	1,	(46)
\\Нп<Щр	(47)
\НгЩр 4 2,	(48)
вЛ„<4)|. <2,	(49)
! Яг (5) Цр 42,	(50)
|Ял<6)||р« { 4(2л +2)/(3(2tj41))|1/2,	(51)
1|Ял(7)||р < 2,	(52)
||Я„(в)||р 4(4/3)1/2,	(53)
ИЯлШИр ^ 2.	(54)
Доказательство. В силу неравенства Коши (не¬
равенство Минковского для сумм при р -2, теорема 1,2
0С)4&НОп <f,%)+ I f<#>\ ПРИ	feLt * Отсюда следует,что
||ЯЛШ||р4 \\^н6)„ ||р 4-1. Используя теперь оценку ЦЩ,пИв 4
(см. неравенство 2.5.(20)), приходим к неравенству (46).
Очевидно, что Н^<2,£х)*{пН%а,£х)+(п-1)Н%.1{1,/,х)\(2п-1)~1,
Опираясь на	эти
соотношения и оценку (46), получаем, что для любой feLp
|Я«(2,/)Ц; 4 I л I Я2 <!,/)) \р/г 4 H*.s <1>Л1р/г }<2я-1 Г1 -
= {л |	>|| 2 + (л-1) || Я^аЯ I гр j {2л-1 >Я< е || / Ц2,,
т.е,	[|Ял<2)||р	^ УТ7, Докажем неравенство (48).	Ясно,	что
|Яг-(3)|р4 1 PHr |р 4 1. Применяя оценку ЦЯЯ^Ц^ (см. не¬
равенство 2.3.(37)), приходим к (48). Докажем (49). Пусть сна-
чала	р <	ао.	Опираясь на обобщеннее неравенство	Минковского
(см.неравенство 1.2.(И)) и очевидное неравенство
4 4 ||/|^, для feLp имеем
•>§ Ф!1а><н)ф4{у12р<4М)§Чптг)^=21Др -
228

Если р - со , то
=«з-Г^оэт||	о || 1 фл ^ ^ г)((| /1| i	^	>f/г -
= 2fl/|U.
Неравенство (50) доказывается аналогично. Докажем (53). Имеем
\НЛ{8,Л |р 4 {{2пЦ< 11|\ЯпЛ <3,f, • Цг1р/г l'2fZ‘
= ((2я2Г121<?Л,г(3,/,.)||^'2//2ч<(||/||2(2Я2Г1 16f г*2)"2-
2=1	= (4/з>^2 Ц/1 р	„
(мы воспользовались известным равенством V I -(от2/б». Тем
z*i
самым неравенство (53) доказано. Неравенства (52) и (54) уста-
навливаются аналогично (при этом используется равенство И(21+1)=
= (я^/в)). Теперь докажем (51). Рассуждая как при доказательстве
(53) и используя равенство (см,, [58, с.645])
п
2 Совес2(я£/(2л+1))« (1/3>я(2л+2),	(55)
*н
находим, что ддя feLp
Ki i^,(<./.•»	|5<{s j^n,f,4;e‘<w>\m *
" 2=1	„	Z»1
^41/ltp(Sсг{I,77,Zj)I/2- f/L 4j(f/3)n(2n+2)\ilz.
l*i	*
Рассуждая теперь как при доказательстве формулы 1,(42), легко
убеждаемся, что для любой	при Х€К справедливо равенстго
00	1	п
Т|^7(1,/.*)|гГ2*Яг(2п41Г22|<?лгП,/,*>|2сгП,«,2Ь	(56)
I* i	'
Осталось сопоставить приведенные соотношения. А
Замечание г! Пусть v ?N . 2 ip 4 оо . Тогда
||Ял(1)||р х< 3<Я2уТ)'1/3 + 1 - 2,1645...	(46')
Сценка (46f) усиливает неравенство (46/.
Доказательство. Используя метод доказатель¬
ства теоремы 2.5Л.2, можно показать (проведение подробного до-
229

хазательства предоставляется читателю), что ||бЯ0 п ^ 3(я2|/ЗН
Остальная часть доказательства очевидна. Д
Замечание Зг. Пусть Tie'S , rc[0,1) . Тогда
Доказательство. Пусть fe L2. Учитывая соот-
ношения	<keZ+	) (см.равенства 2.1.
(31)), имеем	л_(
Ил(1 ,f)U * {n/»i2^/>гГ/2 N< I/ «2.
г^/г=ц/ц2.
Л*0	**0
Значит, 1Ял(1)||241, IIЯГ(3)||г^ 1- С другой стороны, для фунгащи
cos лаг справедливы соотношения
(Нг(3,Значит,	и
|ЯгВ»|г»|(1-г)2«,*}"*Тг>1- '
Лемма 9. Пусть лег”, 14р4 ос, Aj : Lp{Qm)-*R+ <jaU2)~
две полунормы на LP<Qm>>lAj$p^sup^{ Aj<f)/\\f\\p } < «>
=1,2). Тогда, если для любого полинома ТеНп справедливо
А^Т) 4КА2(Т), где JCeR*, то для любой $eLp(Qm) тъъч
место соотношение
AfV■1 < (й*1 \р	\\Аг lip Wf)p + ха2<f).
Доказательство. Легко понять, что
A2<Wip)4Az{T„if)p-J) + Лг(/)^|ЛгЛр5л^^4-Лг</)?
А^)4А^-Т„ (f)p) +Af (Тп <f)p )ЦАх\р E„<f )р 4 *Л2{ТЛ{/г.
Осталось сопоставить приведенные соотношения. Л
Следствие 9. Если в условиях леммы 9 для любого полинома
ТеНп справедливо равенство Аг(Т) ■ Az<T) , то для любой fe
е Lp(Om) имеет место неравенство
MiV>-W>| <{Mi|p + ИгМаду
Замечание 4. Пусть «eZ™, Кр•$«>, ЛtLp(Omh
— Я+ - падунорма на	sup	U(/J/|/|pf	<	«».
230

Тогда, если А(Т) = 0 для любого полинома TeHnt то для любой
feLp(Om) справедливо неравенство Аф4 \\A!pEn(f)p.
Замечание 4 очевидно, так как в его условиях
A if) 4A(f-Tnif)p) + Ai T„<f)p> = A(f-T„ (f)p)4 \\A Ц, Ел (f)p .
Лемма 10, Пусть n f?Hn » xeJR . Тогда
H„(4,f,x)4<S/2)^Hn{i,f,x), nn<I,f,x)4 V?Hn(4,f,x).
Лемма 10 получается из сопоставления равенств 1.(49) и (20Х
3? Теорема 5, Пусть пеН , i4p4 fsLp. Тогда
со
к^*)-Л*>-(2/з12)2^,гж<^-Н2г+0'21п < 2£„<f)P, iw)
Z‘°“
+	2En<f)p>	^58)
^ oo
2Enif)p. (59)
11 1*0 *
Доказательство. Доказательства неравенств
(57)-(59) основаны на равенствах (7), (9), СИЗ) и замечании 4 и
проводятся по одной схеме. Для примера докажем (57). Обозначим
левую часть неравенства (57) через Aif). Ввиду равенства (7)
А(Т) = 0 для любого ТеНл . Очевидно, что для любой fe^p
Л?
a<f) -Un<frУ-WJf>- i	Rn,tUi <6'f> -Я2/11 )'г Ip 4
1*0
<{fUi+ m + (4MT(2Z+ir2) - 2 I/1 .
1*0
Следовательно, llAflp 4 2. Осталось воспользоваться замечаниедд4.4
Следствие 10. Пусть	,	14р	4	<*>»	f€^p*	Тогда
oo
<2^lE^2Z+J<3,/,-H2Z + /r*	.	(61)
® Z®0	”
Следствие TO очевидно в силу неравенства (57). Неравенст¬
ва, аналогичные (60) и (61), можно получить, опираясь на соот¬
ношения (58), (59).
231

Теперь остановимся на суммах Фейера-Марцинкевича. Пусть
feLj{Q2)9 x,ie К2. Тогда по определению (см,§ 3 главы 2)
$<i,f,X)=f<Xi+lv x2+iz) + f{xi*ivx2-l2)+j:<xi-ii,x2+l2) +
+ S<xi-h> хг~1г) - 4^<хрхг).
Теорэма 6, Пусть леЯ, п=<п,п), 14р4.м, $е Lp<Q2),
M„(f,x>={n+t/2fiYiCt„<k) Ski2{f,x) при хеРА Тогда
J •) -/(.)- {ЦлЦ У $<ул,(4) J2/, .)(2/-И>'2 s<
я	fa	W
4 (J0iti2) + i)En{f)p,	(62)
!n
1=0	,p
4 <Лы<2) + ПЕп</>Р'	(63)
Доказательство. Обозначим левую часть нера¬
венства (62) через Л(/}* 3 силу равенства (2) А(Т) = 0 для
любого Те Ип . Легко понять, что для любой fe Ьр(02)
А<р*I•}-<2/я!)% вг(О2 уй>г(4)I2/,«К2Z+1Г2
^ S*^fj»(l^bi^Ip + (8/я2) Jj] {2Z+1)”2J^ lfip( |-^л(^)||р + Z )<
Отсюда, учитывая, что jjM„(2>lp 4 |>ГЛ(2)|С	^oj(2) (см.след¬
ствия 2.5.9 и 2.5Л0), подучаем оценку |Л|р^ J0)I(2)+I. Применяя
теперь к полунорме А замечание 4, приходим к неравенству (62).
Докажем (63). Так как J4^/)=((^+i)Mn+t(2,f)+nM„(2,f)){2n+lf^
то |ЖЛ)(Обозначим левую часть неравенства (63)
через Л<у>. Учитывая равенство Т* ап<2)сг{2,п,1>=2~*(2п+1 )г,
МвЦВу
как и выше, находим, что \\А||р4	В	силу равенства (4)
А<Т)= 0 для любого ТеНп. Осталось воспользоваться замечани¬
ем 4. 4
Следствие 11. Пусть леЯ, n^in.n), tiptoe, f€Lp<Q2).
Тогда	„«	„
К(2,у)-у|р<(2/я2> J^^)^/,*H2Z+I)'2| + <V?,+I>V/V
1*0
232
ч<
V

(2/я*)| J %л/4)12/(.И2г+1Г2|
1*0	Ял?
Следствие И очевидно в силу неравенства (62).
4? Предложение 1. Пусть п,кеЛ, re[0,l), 2к$p4*o,feLp,
н„< 10,2k,f,x)= ^г^яг1 £(?,/,:г)|2*ФЛ(гш fI/(2W
•	яг(и,2л,/,х>-	{(2г*яг^л|^г,/(Л)|2Л^{г>^
оа,г,й1= 2+ зрб*2ла-г)} !/<**>.
1Д2*>
Тогда 1 Лр(II, 2k,f)lp 4 Q<k,r,»)l\Hn(iO,2k,f)lp.
Доказательство. Положим ВЙ(2*,/)*||Л^(Ю, 2*,
Используя неравенство Мин-
ковского для интегралов и рассуждая как при доказательстве лем¬
мы 7, нетрудно убедиться, что функционалы Вл(2к,*) и Ur{2k,*)
являются полунормами на Lp. Опираясь на обобщенное неравенство
Минковского и неравенство	для	любой feLp
имеем	...
Вл<2*,У).|Я»(10,2*,Я1"',г,; 4
<	«•„«)<«	4	21/у.
Следовательно, | Вп	4	2 * Аналогично убеждаемся, что
1ир№Щр42. Покажем, что для любой feLp справедливо неравенстве
En(f>p	h	Учитывая,	что	£«ovi/-wi?	,и приме¬
няя неравенство Гёльдера для интегралов (теорема 1.2.5), нахо¬
дим, что	й	рх
\М./.*У\Фя<*н1Ц 4
Учитывая установленные выше факты, неравенство (37), полагая ?-
и применяя лемму 9, для любой f^Lp имеем
Vr(2k,f)4{2+2i)E„ <f)p + J В„ <2k,f)4<2+3l)B„<2k,f)=Q<k,r,n)B„<2k,fJ.
Замечание 5. В условиях предложения 1 справедливо
неравенство
233

|ипио,2k,f)ip N<	jI/(2*’!Hrm,ik,f)\p.
Замечание b справомиио в силу неравенства (36)*
Следствие Т2. Пусть n£N, re[Ott) , 2 4р4 оо, feLp9
Тогда
^<2+12^{1-г))1/2)|Ял(4,у)||р,	С64)
|Яя(4,я|р <	\т\Hri5,f)lp. (ьъ;
Для доказательства неравенств (64) и (65) достаточно по--
дожить А =■ i соответственно в предложении Т и замечании 5.
Предложение 2. Пусть я£Х, r£[0,I), 2ip4oo, f€Lp. Тогда
lHn<l,f)L4 (nii-r)rn)~t/2lHr<3,f)l <r>0), (6fc
bb )
|Яг(3,/>|р<(2+(|£’+2Кл(*-гЛ| Нл(1,/)|„ ,	16Y)
И^ЯИр < I Hr<5,f% •	(68;
Доказательство, Неравенство (66) очевидно в
силу соотношения (42). Неравенство (68) - тривиальное следст¬
вие неравенства (40). Докажем (67). Б силу неравенства (43) для
любого ТеНп справедливо неравенство ВЯг(3,/>йр<(лИ-г))^х
*1Ял<Ар||? . Обозначим ^72 (1-г)) */2 через Применяя лемму 9
к полунормам (на Lp) [#г(3, *)\\р* Ц //л <I,#IIр (см.лемму
7), учитывая неравенства (46) и (48), а также очевидное нера¬
венство	справедливое	для	любой	JеLp*
имеем
II Дг <з.Д, 4 (2+<vS+i )1)Е„фр+г |ял ((2.fve ■*2>f	(i,/) и,, j
Теорема 7. Пусть neN, 24р& оо, f^Lp* Тогда
\\Hn<i,f%~Wb,f)\\?\ *4£„<f>p.	169)
[Wn<Wlp-W8J>lP\ <42*<Лр>	(70)
|H^H,/)|,-|^{9f/)|,| 4 5Епфр,
|ЦЯ„<1,/)||р-уУ2,|Ягл<4,/)|1,| < 5E„(f)p,	(72)
< 5E„<f)p .	(?3)

Доказательство. Из равенств 1. (50),	1.(62),
(34), (11.) следует, что для любого ТеНп справедливы равенст-
ва [UnilJ)\pm\Hn{8,T)\v -\Нп{9,Т)\р-1/Г\НгяИ,Т)\р,
ЦЯЛ+1(2.ГЧр-|Ял(7,Л|р. Опираясь на соотношения (5; и (56),
нетрудно установить, что для любого ТеНл справедливо равен¬
ство | Нп( 1,7) || р в || Нп( 6, Г)Цр. Докажем неравенство (72). При¬
меняя следствие 9 к полунормам (на Lp)
учитывая неравенства (46f) и (49), для любой feLP имеем
ч< (2AeS+2V2)E„<f>p4 5E„<f)p.
Остальные неравенства доказываются аналогично. А
Теорема 8. Пусть леЯ , 2ip^oo, feLp • Тогда
\Hn(4,f)\\? <б||Ял«,/>|р,	(74)
(75)
Доказательство. По лемме 10 для любого ТеНп
справедливы неравенства ||ЯЛ(4,Т)Ц .((3/2)^г]| ЯЛ(1.Т)|^, J11.
T}L4f2lHn(4,T!l .Нетрудно видеть, что если feLp, то Enif)p4
<ШЧЛр* £и<К41Ял<4’Лip . Учитывая сказанное, а также
неравенства (46') и (49), и применяя лемму 9 к полунормам ( на
Lp) (|#яП?*)|!р и ||//л<4,*>Кр . для любой f^Lp имеем
Ч< 7iH„(4,f)lp.
|яя<4>Я|\р4<2 + (3(2)1/г 2,17)Е„(/)р + {3/2)^ч<
ч<<2 + (3/2)1/?3,17)|Я,г(1,/)||рЧ<6|1Ял{(,/)1р. 4
Замечание 6. Пусть neN , /sl2 • То1\да
|Ял(4,Я1|г«{2+у/6-)|Яп(1,/)||г,	(74' )
|Яла,ЯМ<1 + ЗгТ)||Ял<4,/)||г.	(75')
Для доказательства замечания 6 достаточно в доказательст¬
ве теоремы 8 вместо неравенства (46') воспользоваться равен-
ством	см. замечание 3).
Следствие 13. Пусть neli , feL2 . Тогда
(1+3fif1 < {<i/»»>f[ Е\фг Г1/г|Ял(4,/)1|г 4 г-УТ.
'	AffiO
235

Для доказательства следствия 13 достаточно сопоставить за¬
мечание 6 с равенством ||#и<*,/)||2
доказательство замечания 30.
Следствие 14. Пусть neN , 24 р 4 со, f е Lp. . Тогда
iHnius% s< 1!нй<а,/)||р + 4B„<f)p,	(76)
lHn<8>f4p ч< 5||Ял{1>/)|р.	(77)
Следствие 14 очевидно в силу неравенства (70). Неравенства, ана¬
логичные (76) и (77), можно получить, опираясь и на соотноше¬
ния (69), (71)-(73).
 5? Лемма 11. Пусть «еК, матрица Л=|алг| (ак1€.С, к,1 =
= 1,72) унитарна, х,уеСп, у=Ах, Jll(l) = max |а^|, Лщ =
■=тахМ<к) при 1=1,п, 1 <р42, у=р/(р-]).Тогда
$;ЛЧ)Г-Ч>‘-г\х1\1')'1г 4	(80)
(81)
Z*I
где А(р) и	зависят только от р .
Доказательство. Докажем (78). Определим $унк-
ции [0>7?J	и <рг:[0»л]-*С соответственно формулами:
y0(i>”yk при ie [*-£>*) и	при	f	ког¬
да Я = Т7п , Уо^Ъ^Уп >	*	ал1*	Тогда	равенство
может быть записано в виде	^	* где	•
Функции	образуют ортонормированную систему на [0,л].
Применяя теперь теорему 3.4.7 (при	<*? ), приходим к нера¬
венству (73). Неравенства (79)~(81) устанавливаются аналогично,
но здесь вместо теоремы 3.4.7 используются соответственно тео¬
ремы 3.4.8-3.4 .ТО. А
Теорема 9. Пусть	хеС,	п	еТХ,	1<р42,	у=р/<р-1>, j > О,
€Hn<1,f,x)-(irl% lSk<f,x>pp/i,
Oor-	**0

n	l*i	*
«М2,WJ(2]£ |^/г(ИЛЛ(г(3,/,а:)с(5,л,г)|#)1/^
г.х w-x
Q(3,$ff,X)= (4л)'1 (*21
Z*Vl	.	A,	1/4
Q<W, *> = (я** J | Ш*>П*+*> ) /?,
ws,=(f	<?{«.#,/,*>«(§
Z»I n-x	Z*1
1=0 n
Q (8, f,f, x) • (T | Rn>l{ l,f, *>f* Г2)Щ,
0<9,i,f,x) = (f jRn,i<3,f,x)\ fr*)i!i,
l‘in-1	...
Q(t0,j,f,x>*( l \В„,г<4фх^<1*и'л)щ.
Тогда	max	Q<k,(f,,f,x) 4 6H„(p,f,x),	(82)
2,3J
&Hn«lrrf*x)4 Win Q (k,p,f,x),	(63)
ke{t,i,3}
j'jnax^Qik.p.f.x) 4 B{(p)eHnip,f,x) ,	(84)
6Hn<f>f>x) 4 B2(p)^mxn^Qik,cf.,f,x),	(85;
rnaoc Q(k,<f.,f,x> 4B3<p)Q<4,q,f,x),	(86)
Q(4,p,f,x) 4B4ip^min^Q(Jc,p,f,X),	(87)
где Bj(p) (J-—1,4 ) зависят только от .
Доказательство. Докажем (82). Пусть	г =
= п^{4{2^иГт(В„,1 <t,f,x)c{l,n,l)}”р 5-л«*(x})”2l .
Тогда в силу пункта 1 таблицы 3.3.2
S”A„(i)r.	(88)
••<27

Учитывая это равенство и применяя неравенство (78) (заметим,что
для матрицы Лп(1) имеет место соотношение sup M(l)j(4{2n+1)"1)!),
1*1 ,л
приходим к неравенству Q(ly<^tf,x)4^Hniptf9X), Аналогично,не
используя вместо пункта 1 таблицы 3.3*2 пункты 7 и 10 той же
таблицы,■ приходим к неравенствам 0{к9^,/,х)4вНп(р9/,х)щт к =
= 2,3. Из сказанного неравенство (82) уже очевидно. Неравенст¬
во (83) доказывается аналогично, но здесь вместо неравенства
(78) используется неравенство (79). Докажем (84). Опираясь на
(88) и (80), имеем
(уС'(Ч2л+1)-1)(р~тШ2пЦ))р1г
м
4Bs(p)€Hn(p,Jfx),
Отсюда, замечая, что c{lin9l)'*$ins{itlfi2n+l» ^ (2lf1(2n + t)
(мы воспользовались неравенством $т?М2/я)? при ?£*[0, я/2]).
приходим к неравенству Q<Btp)ftx)4BQ(p)6H:n<prf1x\. Аналогич¬
но, но используя вместо равенства (88) заключения пунктов 7 и
10 таблицы 3.3.2, устанавливаем, что Q<k,p,ffx)4B7ip)eHn(p,f,x)
при А =9,10. Неравенство (84) доказано, Неравенство (85) до¬
казывается аналогично, но здесь вместо неравенства (80) исполь¬
зуется неравенство (81). Доказательства неравенств (86) и (87)
близки к доказательствам соотношений (84) и (85). Здесь имеет
соотношений типа (88) используются соотношения типа	$
Введем ряд обозначений. Пусть feL^neX, xsR, $>Q .
Тогда полагаем
Дм(~ н(2п+Jг1 У Iil,f,х) с (I,л, />I1
JL	1’г
нл< Mjf/f it* г* (?5! I *1!'^п,1{	!)<(?,	л,
нл(15,*,/,*)» (4пг1 (2^ | £л,1<4,/,*) см,«,о|<)
ЯлИ«>М,*)i
*«0
ЯЯП7,*,/,*)-{ J (<ГЛ,,(f,/,arjj^i’if1,
z»r
238

НпМ,1^)*{\\Вп>г{ЪЛ,х)\*г1)Щ,
г-i
1У
' г-i
Ял 121, ?,/,*> = ( J |^„,г13,/,аг>|^/-г)1/г?,
’ г*о
Лемма 12. Пусть J*,	nstf,	$€	14р4<х>'	Тогда
i VW+g)fp	(к*Щг>.	(89)
Доказательство. Все неравенства (89) доказы¬
ваются одним и тем же образом. Для примера докажем (89) при к =
= 12. Применяя неравенство Маяковского для сумм (теорема 1.2.1),
имеем
Hn{i2j.f+gtx)4Hn(12,jtf,x) + Hn{i2,jtg,x) (хеЮ.
Отсюда ясно, что
\Hnw,j,f4g)\p < \ня\12,м)\р + \нят,1,&)[р. а
Лемма 13. Пусть /?£ДГ, ;?£<1,лгЬ Тогда
f Яя(12,у>|„*	(90>
||нл^)|ж <2(J(2+l/2^)l/# 1/-1р5),	(91)
||Я„<ВДМ *,<?),	02)
'< 4(IrJ?)^	(93)
1*1
Ц #л (/,?) |« 4 4 <Я2/б) W	(/«20^2),	(94)
где Щр и Л)<р	зависят только от ^	;	для	К{$) справедлива
оценка Хф4max{2,17; {j>+f Kx~*f*2>'(f-1 )1'U j+1 f x/f ),/v^1,+l}.
Доказательство. Функция Hn<12,i,j,X) ьозрас-
тает вместе с $ на (1 foo ). Применяя теорему 2.6.12, приходим к
239

неравенству (90). Неравенства (91), (93) и (94) доказываются
одним и тем же способом. Для примера докажем (91) при J =13.
Используя определение Нп (13, ос), неравенство	^
#2п+1)Ц21) и соотношение |f<^7 {itgf #>|Л 4 4	справедливое
для geL©о» для любой feLeo имеем
| J4i,	<	«(2	I.	•
l*t	l*i
Отсюда следует (91) при ^-13. Докажем неравенство (92). Если
f > 2, то очевидно, что Нп{16,$,/,ос)4 Нп (12,£,/,#), и, следо¬
вательно, в этом случае оценка (92) вытекает из неравенства (90),
Пусть Jc(£,2). Тогда, опираясь на неравенства (87) и 2.4.(11),
швем
i ъм( f, <b*tf*ln*<k+ 2)\Viyi^K^) I/ II w,
1*1°
где	(j	=	2,5) зависят только от $. Следовательно, ||0(4,
4	Осталось заметить, что
< il <?<4,2>IU+	А
*»0
Замечание 7. Пусть #£N, $е(1, «э). Тогда
s*;<^>iu(2l 1*)щ»	iя*<вдм(21 (Mrff.w)
' М '	i-o
Теорема *10, Пусть пеЯ, 1<р42, <f.=p/(p-l),X<p-si^lH„(I2,
#)Д * Тогда
*1/гГ»),',*«/н+1)|я>(1г1р|у)|и,
|н„02.,,/,|, < хг,р>{Е„ф„
*5<р»1г«(я-+иад?./)|.1’199)
240

*< <р>{в„<л„ 4*дав>19}1ял^л^11® 1’(100)
где •К/я'/М ^*1,4) зависят только от ^ .
Доказательство. Доказательство теоремы 10 ос¬
новывается на леммах 9, 12, 13 и теореме 9. В качестве примера
докажем неравенство (95). Из неравенства (82) следует, что для
любого полинома ТеНл справедливо неравенство max\Hn<k,a,Т)
4\НпШ,р,Т)1„в. Легко понять, что E„<f)„4 || Н„<12,р,/)||„
для любой / еХл, Учитывая сказанное, а также неравенства (90)
и (91), и применяя лемму 9 к полунормам на (см. лемму 12 )
I#„<13,2,*)||«, и ||Ял{12,р,»jfla, , получаем, что для /еХ»
|tf„<i^,/)|U (2{%0*112)^+Х{р>)Еп W* + Я Яя <K,/\f)||M ч<
4<(2(f a+J/2>'*JI/f + W/» + l)fl Я„О2)р,р||„=04.
Z*0
Аналогично доказывается, что ||Ял(А;^,/)||я,	при >=14,15.
Тем самым неравенство (95) доказано. А
|	6?	Лемма	14. Пусть пеЛ , f€Hn. Тогда \j\cm^)MUlv
Доказательство. При a»£j? имеем
a{2n)~li'f{x + l>l>n<i> <Н, Значит,
\S<x)\^(2n)'l^\f(x*i)\\D„ai\di 4{2n)'Umax^\Dn<l)\)j^lf<x+l)\dl*
Дежа 15. Пусть neS, ^у^Ъ),
4ft!H7<l)sin<bt/2)cos<x/2)$in(nX/2) sinnx
871,l f	“	^1/2	^cos ^ _ cos x J
Тогда max max |£’я,(6,эЖ 4 (3<2n+f)/jl)^2.
хе[о,я]1 6 '*
Доказательство. Учитывая (см .лемму 2.4.2) ,
что (cos&,-cos sc Г1 sinпх е Нп, нетрудно понять, что &1 ,(Ъ)е
071
*^3Л + 1 • В силу пункта!) следствия 3.4.1 J z (6,x)dx = 2.
Применяя теперь к функции =	лемму	14, имеем
max \х*<$,х)]4{3<п + 1/2)/п)г~<3<2п + 1)/п). А
ЭГ€[0,Я]	’

Замечание 8. Пусть Яи= .maac max lov ,(6,х)\
Л г.1^ *e[(l,Ji]l6V ■
Прямим исследованием функций ^z(6i можно показать, что Кп «
= (8п/(3л%*1г, если Гл+1)2'*е*Г;	0,7247у/Г, если 2_1ле
игКГ, л » б ; Я2 ^ 0,7407У?, ТС4 « 0,7286уТ.
‘ Предложение 3. Пусть ««N, Кр^ 2, <p^p/(p-i)> j>>0, zl=nljnt
Xn=n~V2 вид яга* . | gn,i<6’x> |> Функция /е#л такова,
1*1,Л Х€ LOjOtJ	'
что	при	ZeJR,	/(0)	= 0,
<?л <12,?,/)=2л fY 2 |<k'/2<Z)(2+(-i )гу1г^гг) cosec	) V{
l«t	'
Тогда 0„{tt,^,/)40a(S2tp,f),	Q„(12 ,f,f)4Q„<U,p,f),
(Ъ^\?1'2)1/?^х<р^т'Р’Л' 0^м^кМЬ^<г1]\н'г)Щ'
м	м
где К(р) и	зависят	только	от р .
Доказательство предложения 3 получается из сопоставления
следствия 3.4Л с теоремами 3.4.7-3.4Л0, в которых берется
% = *>•
§ 3. Неравенства для производных
тригонометрических полиномов
(1)
1 ? Демма 1. Пусть . п е V. Тогда
Т?с2(4,й,1) = 2л2,
Z-0
^еглШ{1+(-1)г+1)сг(3,л,/) «л2,	(2)
м
71
J^(Z)c2(3^,Z) - б'^лЧ),	(3)
г*1
л-1
5|ги,л,г) + Н)г+12л|сНл,г) =2лз.	(4)
ZrQ
Равенства (1)-(3) уже использовались ранее со ссылкой на
литературу. Мы сейчас дадим их доказательство.
242

Доказательство. Для доказательства равенств
(I) и (4) достаточно в формулах 3.5.(13) и 3.5.(16) соответст¬
венно положить fix) = sin пх, х = 0. Для доказательства со¬
отношений (2) и (3) достаточно в формулах 3.5.(14) и 3.5.(15)
соответственно положить Six) - cos лх , X = 0. А
Теорема 1. Пусть	леЯ	, хеС 9	4	00 . Тогда
I S'n<f>x)\ ^ n\Sn<f,x>lnf4 9	^
Ktf>llp <”\\Sn<fH\P>	(6)
\S'n{i,f,x)-<n/2)Sn<f,x)\ 4 <n!Z)\ V/,a^k3 -	(7)
II S’<t,f)-<n/2}Sn (f>lp 4 (n/2) I V/Jfp,	<8)
|5;(1,^|<я|5я</,*)|Л|3,	(9)
v/)|p,	(10)
S"<f,x)^6-H2^1)Sn(f,x)\4 *‘44n2-i)\sH<f,X)lnt3i (11)
lsZHf)+6-W+l)Sn<f)\p4 b-l<4nU)\sn{f)\p.	(12)
Доказательство. Доказательство теоремы 1
основано на равенствах 3.5.(13)-3.5.(16) и (Т)-(З). Опираясь
на равенства 3.5.(13) и (1), имеем
n-i г=°
V/)|p	с2(4,л,0	-	л	|V/>|«.
2*0
Аналогично, .опираясь на равенства 3.5.(14) и (2), получаем,что
) S'nU,f,x) - {nl2)Sn(f,x)\ 4
41 S„<f,x>l„t3{2nri J <£„( I){!+(-! )ш)сг(3,п,1^^12)1 У/,*)|Ц,
l*t
|S'nit,J)-(nl2)Sn(plp 4.
4\s„<f>lp<2rtr1^«„<l){i + {-i)™)c*<3,*,l)-<n(2>iSn<f)lp.
Неравенства (9) и (10) очевидным образом следуют из неравенств
(7) и (8). Доказательства соотношений (И) и (12) аналогичны
243

доказательствам неравенств (7) и (8), но здесь вместо равенств
3.5.(14) и (2) используются соответственно равенства 3.5.(15)
и (3).А
2? Введем ряд обозначений. Пусть Je пе'Н, эсеС. Тогда
К<!,/,*)• {(ли/гг1 У «лШ|■(Uf,х)-x)tI2 j1/2
^0	if	2
x5ojt-t	,,2
W„i3,f,x)‘[ii/r,)Yl\ Skii,f,x)-6n(l,f,x)\ } .
. n-t **0	.	f/2
n	i/2
Wn<5,f,x>*l(2(2n4lJ2)'1 J|Лл *К/,x)|2< 2<1, л,*) J ,
М^,{6,/,аг)= |(2<2n+B2}*j	ji?n,*(-2,/,ar)|2c2(2,n,A-)|I2,
ЭТ-1 JfS0	j/£
|Лл,*(-3,/,:г)|гсг{3(л,*)| ,
2\Rn,*i-4,f,x)\2c2i4,ntk)\	.
k*o
Лемма 2* Пусть /eij , Ji^JV , xeC . Тогда
oo
<2%2}-i Y1 *n,Ki-Uf, x)\2*'2,	(13)
k*l
CO
W3?<6,f,x> = (2/n2)% |J?„,*KV.*X2P*+i}‘2,	(14)
x*o
Wx2af,x> = {2Я2)'1 f рЛ)Д-3,/,х)|2А-г,	(15)
*-I
W2(8,f,x)= (2/ji1) Y \Pnle{-4,f,x)\2{2k+i)'2	(16)
Jc*0
Доказ.гч v тгва формул (ТЗ)-(Тб) аналогичны доказательству
формулы 1,
Теорема 2. Пусть	, яе-JV »	,	>£•	jl,2,3,4}	.	Тогда

Доказательство. Докажем равенство (17) при
Л =1. Положим	Т1	=
= (4(2n+l))^2Pnil(-i,f,x)c(i,n,t) при I =Т7п, г0 = O,r=fi})”0.
Тогда по пункту 2 таблицы 3.3.2 s=Ani2)r. Матрица Ап(2> -
унитарная. Поэтому fs|2-|rl2* Последнее равенство и есть со¬
отношение (17) при к ~1. Равенства (17) при к £"}2,3,4 \ доказы¬
ваются аналогично. При этом используются пункты 5, 8 и 11 таб¬
лицы 3.3.2. А
Леша 3. Пусть f€lt , лея , агеС. Тогда
<	Rn>l^f,x){-i)Ui	Г2={Ц8)&п^,х)^{2пг)<	S'^j.X),	(18)
z»r
оо
((/n2)J *^(6,/,*)Гг= <1/3)S„(/,ar)-a/n)S^(,f,x) -№)'%'{/,х). (19)
Ui
Равенства (18) и (19) очевидным образом следуют из соот¬
ношений 3.5.(14f) и 3.5.(15')
Теорема 3. Пусть леМ , f€Hn , ocelt. Тогда
бН*я</,х) + Шггп<3,;,х) + <4п2Г*1/'<х)1г « «й, (|/|-»,	(20)
*#»,</,*>+'У/я<4’М>-ъ,(Ш*> х) •	(21)
Доказательство. Учитывая равенства 1.U2),
(15)	и (17) (при к ~3), имеем
ОС
К*вЩпф.х) 4 w/ni3,f,x>° <2пЪ'*% {fabAf,x>\*+\PiH,k&.f.xif)jfr
= яг%РгП'к<6,У\2,х)к-2+У<Х)\2№2)f А-2 4
*Г* 130	яег*^	1*	f	Э	1
*5	’	*’s
Отсюда, применяя равенства (18) и (19), получаем, что
JC.<l/3)|/f«|2-<2nf% {1,1/1г,х)~ <8п^(1/(х^ТН1/3)1/М1г-*-
+f(x)((I/6)f(X) 4 <8лгг*/"(х)}+/(х)({1/6)/(х>+ (8rt2f1/"<x))B>
= \f(x)j г-{2п )'S'Zn (i,lfl2,X>-<SsizrS(( lf<xil2y-f<x)f7i(x) -J(x)f'my
245

Теперь, замечая, что \^<х)\2-(2п)'^'гпа,\^1г,х) = е2п(\/\г, х),
а (lf<x)\2y'-j'(x)f"{x)-f<x)f,r<x)=2\f,(x)\z, приходам к формуле
(20). Учитывая равенства 1.(44), (16) и (Т7)*при jc ~4), имеем
- <2/*2ф|%,*(4,/,^|г+ j*2„,*(-4,/, от >|2>< 21+1 )'*«
* (4/Лг>5 Лш(4г |/|2, *>(2* + 1 Г2.
z*o
Применяя формулу 2.(9), приходим к равенству (21). А
Следствие 1. Пусть n£N ,	»	осеЯ. Тогда
w*<w>-3ЯПТШ Л ■	(2Z	’
Равенство (22) получается из сопоставления соотношений (21)
и 2.(32).
Следствие 2. Пусть neW, ^еНл, хеИ. Тогда
$inZ{t/2) dl- (23)
Равенство (23) получается из сопоставления соотношений (22)
и 2.(34).
Теорема 4. Пусть n-2€N , фиксированные вещественные чис¬
ла <xQ>ait а„_1 таковы, что: a) a^+aj+a*^ Ф 0 , б) функция
Ш1)=(XQ/2+alcosi+an.rfco$in-t)i-Gos{n+l)l)неотрицательна на [О,
31]. Пусть далее хг *уп>1 (4), dt'*а012 + tfjcoszz+(-1 у<хлЛ sin ъг,
Тогда для /*ЯЛ, удовлетворяющей условию	цри ieB %
справедливо равенство
?*\№\гт)л _ 9г V	,п.,
Jn ~Жг| ai п Zt simzt •	к
IgO
Теорема 4 очевидным образом следует из пункта 3) (формула
3.4.(20)) теорема 3.4.6.
Следствие 3. Пусть яе79 , feHn, ЪяУп,1<*Ъ осеС. Тогда
я-1
j0	\P„tii-4,f,x)fc2<4,n,l>A2b)
Доказательство. Пусть g{t)=f(x+i)-f(x-t) .
Полагая в формуле (24) V(i) - i +Cos f и применяя ее к функции
246

g , приходим к (25) при п £ 3. Случаи л = 1,2 рассматриваются
непосредственно, i
Следствие 4. Пусть ле JV, /<="#Л t #*гС . Тогда
= { 8пп )'^Я| f<x+I) -f(x- Dfcosec 2(l(2)dl.	126)
Доказательство. В силу равенства (25)
(8%n)~i^\f(x+:l)-f<x~l)\2CQSQc2(ll2)dl =■ w£<8,f, х).
Осталось заметить, что на основании теоремы 2 ( к = 4)
wn<8,f,x>=W„<4,f,x). А
Следствие 5. Пусть M€Nf	,	осеR. Тогда
£n\f(x+l)-f<x -l)f2co$ec2{l/2}cos2nicli ~0 .
Доказательство следствия 5 получается из сопоставления со¬
отношений (22) и (26).
Теорема 5 у Пусть fe tne& , хеС, z^yn ^ (4). Тогда
Доказательство теоремы 5 получается из сопоставления ра¬
венств Т.(44), (16) и (Т7) (при Л =4).
Следствие 6. Пустъ feLj . ne'N ♦ хеС t 14р4<&. Тогда
+ 11 . (28>
Доказательство, Опираясь на равенство (27),
имеем	бЯ^	</,*>	+ W* <4, J, х> 4
4l\Sn<M)\%)4(8/^)t(2k+ir2-l\SM,x)j2lni4.
Тем самым неравенство (28^ доказано. Неравенство (29) устанав-
ливается аналогично. А
Замечание 1. Пусть	f	nsN, хеС. Легко по¬
нять, что
247

|s'n<f.x> |« I л'1	X}- Sn<i,fix»\ 4
n-i	**°
N< { л'1 J I SMi 1, fix)- S„(i,f,x) |?| *1 W„{4,f, X).
**°	n	П
Так как из неравенства 128) следует, что Wn(4,f,cc)41$п(£х)\Пг4,
то (28), в частности, может рассматриваться как усиление нера¬
венства (5). В аналогичном смысле неравенство (29) усиливает
неравенство (6). Пусть
Ясно, ЧТО	Я-|
* **0 , и/2п й
По неравенству 1.(89) ?(/,:г>^{(4лг-1)/{Зл2){
Таким образом, 1.(59) частично (константа 1 заменяется на не¬
сколько большую постоянную (4/3 )^2 ) усиливает неравенство (9),
В аналогичном понимании неравенство 1.(60) является более силь¬
ным, чем неравенство (10).
Следствие 7. Пусть , f^Hn , xeR , i 4 р 4 «». Тогда
о 4 2eZn{\$\\x)-\S<x)\4\\fm\%,4,	(зо>
l^nd/l^-l/lM^II/PIp*	(31)
Доказательство. Из равенства (21) следует,
что
lHZ(fiX) + W*<4,fix)-2бгМ1\х)-)/т\г.	(32)
Остальная часть доказательства очевидна в силу следствия 6. А
Теорема 6. Пусть feLl(Qz), пеЛ, п = (п,п), хеСг, 1.<.р&оо,
Z„(fix)= л'1	),f,x)	~
к*9	^*0	m
~ ^(k,n)(№J	fyfyfadifihjfX') + Sn((t9i),f9 X >).	огда
1=0
n-i
Zn<fix)~{8n!r^ Лп>г ,2 (f-4,-4>,/, Х)сг(4,п, l),	(34)
л r MnifyX) +	“
= (4^2 (S„<3’Х+Уп,ц2<4)) + s„{/,*-z/M^2 (4 )))сЧ*Д< 35 J
л4о	^

iMjlWlp* iSn<f>ip’	t36)
I	lz»<f%tlls»<f>lp>	(37)
85л</,^>8и,4, ЦЛ^</>+< I ^„</>Яр.	(38)
Доказательство* Формула (33) - стандартное
усреднение формулы пункта 10 таблицы 3.3.2 (она уже отмечалась
ранее (см. соотношение 1.(39))), формула (34)	—	стандартное
усреднение формулы пункта 11 таблицы 3.3.2. Равенство (35) лег¬
ко получается из сопоставления соотношений (33) и (34), Дока¬
жем первое из неравенств (36). Учитывая равенства (33) и (1),
имеем	п-\
IvMm	С*<4,я,1)« |VS’*>|m-■
/»о
Остальные соотношения (36)-(38) устанавливаются аналогично. 1
Замечание 2. Пусть feLt, nelf , ягеК , 2г=^ц(4).
Определим функцию g: J?2-.C для i/eF2 равенством g(y)sJ<y^j<yt)‘
Применяя формулу (35) в точке Кх,х) к функции g , приходим к
равенству	п.\
6H*<f,x)+ Wj- (4,f,x) «{4n2f^(j S„(f,x+zl)\i+\s„if, х-гг)\*)сЧ4,*Л),
1*0
равносильному (при x€lt) соотношению (27). Таким образом, фор¬
мула (35) может рассматриваться как двумерное расширение фор¬
мулы (27) (при эсеЮ. Аналогичное истолкование можно дать и
соотношениям (33), (34), (36)-(38).
§ 4. Интеграл Джексона
Пусть j€Lt , леЛ , arejt . Функция
gn <f>*> * <**>'*$«
где	n '»■	^	/	Sin(nl/2) \4
Ani } n(2*«+i>\ sin<t/2> / ’
называется интегралом Джексона функции / порядка п . Функция
Дп называется ядром Джексона порядка л.
| Лемма 1. Пусть	,	neW, *eR ,
249

4и~
ЗМ3-Шг-3|А| + 2п(2пг+Ц
ЩШТй	,	если	\к\=0,п-1,
-1А1Ь бпк г-(кШ2п?-1)+2л(4пг~И
T^ ^'-'v7	если	\k\=n-i,2n-2,
2п(2п2-ц)	’	I	I >	>
О,	если	/А|>2л-Г.
Тогда: 1) справедливы равенства
Дп<Н-%	«>
*с-2л+2
2л-2
к=-2п+г
2) если /*гЯ2л> Zjc=y27tik(3)>T^y2n lc{4i,T0
2п
(2)
(о)
(2яГ1?*/^Дп(Шг«(4«Г1 J
*	**-2п
(2яг1(я/адл(гмг»(4Пг12	и)
* я	к‘0
Доказательство. Равенство (1) (см., например,
[60]) устанавливается непосредственными вычислениями. При этом
используется равенстве
{Щ^тт)г-21?-1кш-ктаН-
Л«0
Соотношение (2) легко выводится из определения функции gn(f) и
равенства (lj. Равенства (3) и (4) получаются применением след¬
ствий ЗЛЛ2' и ЗЛЛЗ'. Л
Следствие 1. Пусть леЩ . Тогда
(2Л)1Х1 ^n<l>di eI»
2п
(An)‘fJ <л2п(к)Дп(угп>к(3)) = 1,
Jc*-2ti
2п-\
<2пГ1% дп(у2п,кт~и
(5)
(6)
(7)
*s0
Доказательство. Равенство (5) очевидно в си*
лу соотношения Л). Для доказательства равенств (6) и (7) до¬
250

статочно в соотношениях (3) и (4) взять f тождественно равной
единице и воспользоваться равенством (Ь). к
Предложение 1. Пусть леТГ , 14р 4 °° * > хеЯ .
гК~Угп,к^^' Тогда: 1) если f€ Нг„, то
|^*’|кэ •	<в>
2)	если feLp, то
•) ЛлV ио)
Ч< 2Ег„</>р. (И)
Jc* о
Доказательство. Неравенства (8) и (9) полу¬
чаются из сопоставления соотношений 1.(14) и 1.(15) с равенст¬
вом (3). Докажем (10), Обозначим левую часть неравенства (10)
через Ф(/). Учитывая равенства (5) и (6), нетрудно понять, что
SVB 1	^	2*	Далее,	опираясь	на	равенство	(3),	без	тру¬
да Получаем, что 4^(7}= О для любого Те Н2п. Применяя теперь
замечание 2.4,. приходим.к неравенству (10). Неравенство (И)
устанавливается аналогично, но здесь вместо равенства (3) ис¬
пользуется равенство (4). А
Введем обозначения. Пусть	,	хеR. Тогда пола¬
гаем	t	(Ъ	ft	1	"i/2
j К**»/.*)1гДя*
2л	^	f/-
£я<3,/,*>- [(влГ1^ \#гя,к<4,/,х)1гД„<угП'Ь<4))у/г,
яЙ*^	/а
u IV4’/’*f<2*+I>'4} »
255

n-i
gn<b,f,x)~W/t6)n'2<2n4l)~1'J?i\8„iie(4lf,x)\2c4<4,n,J()\i 2
*	*-o
Лемма 2. Пусть neN , /сЯй , xeB . Тогда
ёп <*>/> ж> =gn<2>f’x> sgn< 3’f’ х> *	(12 >
gn(5*f> х> *,gj,<6>f> *> •	43)
Доказательство. Равенства (12) - очевидные
следствия соотношений (3) и (4). Докажем (13). На основании
пункта 7 таблицы 3.3*3 заключаем, что
j	Sp<f,x>\Z^(32nft	j	\Rn>l(4,lx)f^{4,n,l). (14)
rt* 0	'	In	о
Применяя равенство (14) к функции f *(•)=/(•)-f(x), приходим к
(13). 4
Следствие 2. Пусть . Тогда
л-1
^С4(4,п,1)ш{413\ Пг<2пг+1).	(15)
Z-0
Для доказательства равенства (15) достаточно положить в со¬
отношении (14) функцию f тождественно равной единице и принять
во внимание, что
2	6'in(2n^t).	(16)
*«о
Лемма 3. Пусть пеК . 2 i р 4 оа . Тогда
I1е,<Щ,<*> lg»<s>lP*2'	(17>
*	Jf*0	0
|g*(6,||/> *2,	09)
Доказательство. Неравенства (17) и (19) до¬
казываются так же, как и неравенство 2.(49). При этом исполь¬
зуются соотношения (5)-(7) и (15). Докажем (18). Учитывая ра¬
венство (14), рассуждая как при доказательстве неравенства 2.
(49), применяя теорему 2.4.1 (неравенство 2.4.(11) при ^-4) Л
используя неравенство sinl£(2/n)l при $б[0, я/2] , имеем
252

|{6nW«i>-‘ I' [3„«)|f Sp<f,-)f\ml 4
n-i	k*°	r'k
4 ji nw+tr'i
*®o	оо	ЦТо
x c^n^Ulfllpl<24/n2) tj2k+i)'Xf^m(l^rtl\/l)dlj2|V2.
Остальная часть доказательства (см.равенство (16)) очевидна. А
Лемма 4. Пусть $,g eLt , пеЛ , i4 р4 <*> • Тогда
Un<*>f+g%4 \gn<4%+ Un<k’g% <*‘W.
Доказательство леммы 4 аналогично доказательству леммы 2.?.
Теорема 1. Пусть пе N , 24р 4 ею, feLp. Тогда
\1еМ>1,-1&аЫр\ *■ 4E*<f>r	(г0>
< 4£*</>?• l2I)
|&МЬ> I 4XB„(f)p,	(22)
где К - абсолютная постоянная.
Доказательство теоремы Т проводится по той же схеме, что
и доказательство теоремы 2.7. При этом используются леммы 2-4.
Следствие 3. Пусть , 2 4 р 4 оо , feLp* Тогда
,).
Ilga/Vlx4 х‘ (хл</>р * $gn<!'f>lp)•
lg*<SJ>lp4 MV/lj. + lg„<4./>tp),
\g*«-f>lp * *<(*nV>p + lg»<s.f>lp).
где Kj (j = iA)~ абсолютные постоянные.
Доказательство. Применяя неравенства {2/Я)14
4 sin 141 при 1в [О, л/2 ], без труда приходим к соотношениям
gn<3.f,X) 4X5g2n(4,f,x> 4 K6gn{b,f,X), g„<6,f,x>4 X7gn(4,
f,X)4X&gn(Gtf1x), где Kj (j*S9S)- абсолютные постоянные.Ос¬
талось воспользоваться соотношениями (21) и (22). А
Замечание 1, Можно показать, что в условиях след¬
ствия 3 (см,комментарии и дополнения к § 4.4) справедливы не¬
равенства W>P*x»lgn<WIP> £n<f)p'<jcntg2»<5-f>$p >
где Хэ и К- абсолютные постоянные.	253

Теорема 2. Пусть леЗ*, 2 4 р 4	Lp	.	Тогда
XalgnWlf
гдб Xft и Xft - абсолютные постоянные.
Доказательство теоремы 2 получается из сопоставления след¬
ствия 3 с замечанием
§ 5. Функции класса Lip 1 и сильная аппроксимация
£.° В этом параграфе и комментарии к нему запись feC до¬
полнительно предполагает, что / - вещественная функция. Далее
мы будем использовать ряд результатов (они нумеруются при помо
щи букв латинского алфавита), не приводя их доказательства,ог¬
раничиваясь ссылками на работы, где Соответствующие доказа¬
тельства имеются.
Пусть feC . Величина wjfh)#* sup II	на-
г	I\l\ih 11
зывается модулем непрерывности г-го порядка функции/ в про¬
странстве С . Полагаем	\оо	•
Лемма А (см.[29, с.332]). Пусть feC , к > 0. Тогда
| Лемма 1. Пусть jeC, h> 0. Тогда	4	6p(f,fc).
Доказательство. Учитывая неравенства (g,
А )«*< 2|gi«. если
и применяя лемму Л, имеем
Wf(fth}oo ^ сЦ (/“^2 (f	^	^9^	)ео^
S< 2j|S-S]viS>\» +	«	6p<y,A;.	4
Лемма 2. Пусть /еС, леТГ. Тогда
где Xj и ~ абсолютные постоянные.
Доказательство. Легко понять, что при 2 с
€ [-Я/Я, я/п]
254

дп<1)= j— (sin<ni/2>\* \ л /JL\ >lLn
n n(2n^l)\ si«(f/2) / ^ Дл(n) * n*n •
Учитывая это неравенство и опираясь на лемму 1, находим, что
> (12/я4) лI|Л*+г)-Л‘>|^?|0„ = (24/яЗ)р(у,я/л;>{4/jr3JtPj(/,п/п)ю,
Тем самым соотношение (1) доказано. Докажем (2). Нетрудно убе¬
диться (см., например,[47, с.114]), что при &,£ [0,3)
£* \1\«дп(1)<н 4 Х3<*)х-*	(з)
где	зависит только от <#. Учитывая неравенство
а1Л]+1)ьн<№)»* если Я, ieR+( см., например,[47, с. 108]),
и (3) при cte{ 0,1,2] , имеем
j£*|.f<•+ ih/n|;2д«аш	lj_*io2f (f,\i\)идиа) di -
{/>£)„• *
Следствие 1. Пусть feC,	Тогда
<0t<fi*/n>„4X4	и>
где - абсолютная постоянная.
Доказательство. Применяя неравенство Буняков-
ского Неравенство 1.2.(7) при р ~2), имеем ^
U	дя<ам лп<тг )'1г^§\а-+мФ
?bnmdif2^j <2я)*/2|(£* I Л*+1) -У<'>1гДп*нм )1/2 Ц* *
Сопоставляя последнее неравенство с (1)» получаем требуемое.Д
Теорема А 1см.[39, с.231]). Пусть fe С, пеЖ^ Тогда
(f)oo 4 b*i(f7fCf(A + i))eo*	(Ь)
255

Теорема В (см,, например, [29, сЛ60-162]). Пусть feC,
he (О, я]. Тогда	Ся/Л]
<%(/'*)* 4 К5Мг J	,	(6)
г-о
где Х$. - абсолютная постоянная* В частности, можно взять
= 2(1+ Yz)z.
Теорема С (см.Гвб, c.20j). Пуоть feC , neTi, reZ+. Тогда
Wrto^d+f >'%(/>„,	(7)
Z«0	Z*0
где K$(r) зависит только от Г.
Теорема D [ 29, с.305]. Пусть feC . Тогда соотношение
влечет соотношение s*up	1)м	4
2.	Для feC полагаем
€„</) * SUP	(\f(X+ • ) - f(X)\)„>
Х€жл
Теорема 1. Пусть f€ С , лс Z+, h е (0,п] . Тогда
еП	if>	n/iH+i))cot	(8)
C«/AJ
J a+tiejf) 4 S^XsWj(f,h)„.	(9)
1*0
Доказательство. Пусть
Легко понять, что
Ш1 <gx’b)» = suj)^ \\f<x+l)-f(x)\- \f(x+ и) -Six) || 4
4 SUp If (x+t)-f(X+U)j=<i).<f,h)a,.	(10)
fl-uUft f
Применяя теорему Л и учитывая (10), находим, что
*„<•/)-supEJt(gx)4sup u>i(gx,a/<n+tf)ea4 «j•
XtfF	ЗСви
Далее, используя теорему В , имеем
Ut<f,*)tox SUp sup gx<l) 4 sup io2<gx,H)ea 4
JtCF	xeP
256

[Я/AJ	[Я/Й]
4supК5Л22<l+l)Et(gx)„4*b**X
X€R ;*0	So
Таперь докажем второе из неравенств (9)* Применяя оценку (8) и
неравенство	Z2	)* 4 2 { Щ1^)	(/,	ff )т ♦ если 0<it<i2
(см., например, [69, с.1И]), имеем
ЫШЪ	[nth	]
A2 Jfl+DejC/)
1-0	Z-0
«гА^я/ЛЗ+^о^/.я/Ця/Л] +!))„ < 8я*<у, (/.A)*.J
По определению полагаем Lip	lim A“*(U».[f,A)e<»J.
1	A*0+
(Следствие 2. Пусть fe С , me (0,1 ]. Тогда условия /е Lip at
и lim л“ел(f)<& равносильны.
я+оо
Теорема 2. Пусть fe С, пеТ* . Тогда
</, я/и >да « jc7	гг>“/<• >1	)	I«, *	(и)
«2|[2Ы)|£ ].//.+*>-/✓•)) Р/Ш* jf ч< Х^п/т,)",, (12)
Z*0	"
где JC7 я Xg - абсолютные постоянные.
Доказательство. Сначала установим,* что .для
любой & еС
10 я	.**•*	|лЯ
U ^{Ш}г(Ш1^Х3{2){4лТ1п?'^{21лЩ^а)Ца){!1\.	(13)
Пусть	cosliMniDdl,	Принимая	во	внимание	равенство
4.(2), шее?/	$п~2
IfcgiiM.ivJil.Klgjg.y-WfijMrftg.O)]-
зя-г	зч-t	1&0
Х<ясл1*№<&м |< 2 |Х” (cos* * -tos№)iwnam j|sz#0)| 4
4 2% j£f Sin(<2i+iш*i«iW>l Дя<*)<ЯIst<g, 0Я4
Ы
257

< 2**f * 1гД„{Ш1 J {2Z+1)|5,^,0^ 2'%№пг J {22 + J)|Si <g,0) | =
1Ш°	2n*2	я	W
*Х3(2Ц4я)~1п~г (22+1)Ц*_я g(I) D{ (l)dIJ.
z«o
Докажем (И). Пусть 7п = [2‘^я + 1)] . В силу (13)
I (У*'*+г 2	)| л^„ < г)	^ х3 (2) ttV 21|2f 2Z+I ^ li*” +^	IL
Учитывая теперь (1), приходим к (И)* Докажем (12). Опираясь на
теорему С (при т = 1) и принимая во внимание второе из нера¬
венств (9), имеем
|л'г^2г+1С	В1	(Ш1Ц„4	2я*вшл гЦ(Ы)еМН
Обя*6« ><*»,(/» */«>»• 4
Теорема 3. Пусть j€ С . Тогда; 1) соотношения
/е Lip 1,
(14)
lim
П-+0О
| *' I <М||£ w*111»
К l*° "_I II
<00,
(15)
lim
li+OQ
г1пя>'х
< oo,
(16)
Itm nen {f) < ос
П-+0О
(17)
равносильны, т.е. выполнение одного из соотноше
ний (14)-
(17)
влечет
выполнение трех других;
2<
| если lim h~iu>2(f,h) < <х> , g„(f,X) -
интеграл
Джек-
с он а Ф:,
мкции J^Tcm. § 4), то соотношения (14),
lim < «,
(18)
lun и2 | g„(f2> ~g% <f>|U < *>
(19)
p^HiCvV/Л ЬНЫ 4

Доказательство. Применяя теорему С (при г-
- 0) и неравенство (5), при дгвР имеем
n-i	Л-1
2 IE \$<х+ь~£№\1>га№\<,2лХ“в(0)2^(|У<дс+*)-/г*;|)- <
я-1	Я-1
« 2лЛ6(0) J ег</) « 2яХ6<0) Jajjtf.Jt/a+I))* .
2*0	2*0
Отсюда	ясно, что	включение (14) влечет	неравенство (16), С
другой стороны,
I”'1'! IE \sw-№
(го)
Сопоставляя (16), (20) и теорему D , находим, что неравенство
(16) влечет включение (14). Таким образом, соотношения (14) и
(16)	равносильны. Равносильность соотношений (14) и (15) оче¬
видна в силу теоремы 2, равносильность соотношений (14) и (17)
уже отмечалась в	следствии 2. Ясно, что
<2/1	=S2h,s<f?z}~S2h	№х> +
*■ h ’ (20
По леше 1
Замечая теперь, что в силу неравенства (см,, например,	[69,
с Л77] ) |	J-/|w<соотношение lim
* 00 влечет за собой неравенство И то	^
<л»,приходим к равносильности соотношений (14) и (18). Равно¬
сильность (14) и (19) устанавливается близким образом. При этом
используются неравенства (2) и (4), а также соотношение (см.,
например, [ 2♦ с.881J) I	< **<*2 if, п/я)ю , где
*^9 - абсолютная постоянная. А
259

КОММЕНТАРИИ И ДОПОЛНЕНИЯ
Глава 1. § 1. Приведены тригонометрические тождества, ле¬
жащие в основе многих фактов теории аппроксимации периодичэсхсюс
функций.
§ 2* Изложены, в основном без доказательств, элементарные
факты из теории функций вещественной переменной и функциональ¬
ного анализа, чтобы на них ссылаться и чтобы читатель ознако¬
мился с обозначениями, используемыми в книге, которые не всег¬
да совпадают с общепринятыми.
§ 3. Теория матриц обстоятельно изложена в монографиях[4,
15, 42]. Матрицы Ал(}) (j = 1,18) и Ап{ 19, &,{3, #) использу¬
ются при построении таблиц 2.4.1, 3,3.2, 3.3.3, 3.5.2, в пред¬
ложении 3*2.6 и следствии 3.2,7. К материалу, изложенному в
пункте 1? естественным образом примыкают леммы 2.5.9 и 4.2.11,
теоремы 2.1.11 и 3.4,7-3.4.10. Теорема 1 - начальная теорема
теории интерполирования линейных операторов, оформившейся в на¬
стоящее время в самостоятельную ветвь функционального анализа.
Подробное изложение теории имеется в монографиях [7, 40, 70J .
Обстоятельный обзор современного состояния теории дан в статье
§ 4. Материал этого параграфа используется в § 3.4 при по¬
строении ортонормированннх систем функций.
Глава 2. § 1. Изложены элементарные сведения из теории
кратных рядов Фурье и теории наилучших приближений. Одномерным
рядам Фурье посвящены фундаментальные монографии Н.К.Бари [2],
А.Зигмунда [34, 35], Р.Эдвардса [77, 78]. Теория кратных рядов
Фурье развита значительно слабев. В настоящее время она интен¬
сивно развивается. Центральное место в этой теории занимают во¬
просы сходимости и суммируемости разложений Фурье. Обзор лите¬
ратуры по кратным рядам Фурье имеется в статье Б.И.Голубова[1б].
Укажем также на монографии А.И.Ствпанца [65], Р.М.Тригуба [71],
-.Ц.Янушаускаса [79], уже не попавшие в обзор [16].

Теория наялучших приближений изложена в монографиях В.КЛзя-
дыка[23], С.М.Никольского [52], А.Ф.Тимана f69].
По поводу модулей непрерывности см, [52, с.145-150;	69,
гл.З].
В связи с предложением 4 см. [21]. Теоремы 2 и 3 (соот¬
ветственно 4) - распространение классической теоремы Фейера
(соответственно Вейерштрасса) на кратные ряды Фурье и прост¬
ранства Lp (#т?|Мсм.[35, с.456, 457]). В связи с материалом,
изложенным «в пункте 7,° см.[37, с.237-243J. Теорема 5 - мно¬
гомерный аналог известного тождества А.Зигмунда - И.Марцинке¬
вича - Д.Л .Бермана. Теорема 8 - многомерный аналог известной
теоремы С.М.Лозинского - Ф.И.Харшиладзе. Первый пример непре¬
рывной функции, -ряд Фурье которой не всюду сходится, указан
Дюбуа-Реймоном (см.[2, с.128-137]). Теорема 10 - многомерный
аналог классического признака А.Лебега (см.[2, с.279]) сходи¬
мости рядов Фурье.
§ 2. При изучении агрегатов приближения полезно иметь
различные формы их записи. В § 2 устанавливаются некоторые ут¬
верждения общего характера, связанные с этим вопросом. По по¬
воду предложения 1 и следствий 1 и 2 см.[34, с.95-93]. В связи
с утверждениями типа предложений 2-4, 7 и теорем 1-3 см.§ 2иЗ
главы 7 книги И.Стейна, Г.Вейса [64J (см. также теорему нас.253
книги [34J или теорему Харди-Юнга в [l, с .141]). По поводу лем¬
мы 2 см.[2, с,99] (в книге [б2, с.90] показано, что ц)I (
<Jox sinx ^х = 1.851...). Содержанием теоремы 4 и следст¬
вия 6 являются интерполяционные формулы типа П.Сайвина (см.[81;
52, с.111-114; 69, с.228-229]). Средние Фейера-Марцинкевича в
двумерном случае впервые изучались Марцинкевичем (см.[89,с .527-
538]). В цитируемой работе, в частности, установлено, что
$Ц£|3{я<т)|с<<ю при т = 2. Последнее неравенство на случай т> 2
было распространено А.Н.Подкорытовым [55]. Приводимое в книге
доказательство леммы 4 сообщено автору А.Н.Подкорытовым. В свя¬
зи с теоремой 8 см. [2, с.100-103; 34, с.155-157; 75, с.165] ,
предложением 8 - [1, с,142-145].	^
§ з. Пусть <£>0. Числовая последовательность j*лг}^ 0 или
ряд с частными суммами (к*0гоо) называется суммируемы,** (С
261

1)	к пределу (сумме) s , если li™ (1/л)	и	сум-
Л *♦ со	мяк*0 л
мируемым Ну к пределу (сумме 5 ), если
lim ]<!/«) Т l*,-* |? 1^ * 0 •	(1)
*-»«( £b *	'
Метод суммируемости Ну впервые был рассмотрен Харди и Литтл-
вудом. Из суммируемости Ht вытекает суммируемость (С , 1), а из
неравенства Гёльдера следует, что если (Л) имеет место для не¬
которого а, то оно имеет место для любого меньшего* у. Сумми¬
руемость показывает, что среднее значение для д^-5 стремит¬
ся к нулю не потому, что положительные и отрицательные члены
взаимно уничтожаются, а потому, что индексы к , для которых раз¬
ность	велика,	редки. Как хорошо известно (с.м,,например,
[2, с.128-13?]), ряд Фурье функции из С может расходиться в
отдельных точках. По теореме Фейера (см., например,[2, с.139])
ряд Фурье функции	суммируется	(С ,1) в каждой точке не¬
прерывности /. Теорема Фейера была усилена Харди и Литтлвудом
[83], которые показали, что в ней суммируемость (С,Т) можно
заменить на суммируемость . Этот результат Харди и Литтлву-
да породил большой интерес к суммированию рядов Фурье методами
Ну, и к настоящему времени в этом направлении получено много
важных результатов (см., например, [2, с,488-508;	35, с.270-
281; 86, 12, 13, 53, 54, 87, 88 и т.д.]).
Объясним принцип, на основе которого в книге строятся на¬
звания методов приближения, Пусть U - метод приближения, за¬
даваемый для felt<Qw) при хеЪп формулой
ччгч л	JiC&t
где	0,	2sa Ак~ и пусть этот метод приближения	иазн
вается методом У. Пусть далее $>0, р-1 е N. Тогда метод
приближения, заданный на Lt(Om) формулой (I
(где %€ R7*), называется методом У - Харди с* показателем $ ,
а метод приближения, заданный на Lx(Qmp) формулой 2 ^*5*...,*//’
зя»	*ег¥
ос)	(где	”	), - методом У- Марцинкевича.
Средние Абеля-Пуассона играют в математике выдающуюся роль
(см., например, [2, 34, 35, 64; 44, гл.б]). Харди я Литтлвуд
[84, с .187] поставили проблему: будет ли ряд Фурье функции из
262

Ll суммироваться почти всюду на R методом Я^? Марцинкевич [89
о.559-565] дал положительный ответ на этот вопрос при ц =2. При
его решении он воспользовался средними Абеля-Пуаесона-Харди о
показателем 2 и, в частности, установил, что если fel^ то по¬
чти для всех actR справедливо равенство lim (f-r)
г-1-0
-fix)| =0. Средние Абеля-Пуассоиа-Марцинкевича являются од¬
ним из возможных прямых обобщений одномерных средних Абеля-Пу¬
ассона на многомерный случай; если взять функцию f(xit...,xm) -
=	т*е* функцию одной переменной, то
В аналогичном смысле средние Фейера-Марцинкевича Мл(т,/,х) об¬
общают одномерные суммы Фейера. Одномерные суммы Фейера и сред¬
ние Абеля-Пуассона для любой функции из 1ц записываются в ввде
интегралов (см.формулы 2.1.(20) и 2.3.(6)) с положительными яд¬
рами. В двумерном случае здесь уже есть различия. Средние Пг(2,
ffx) для функций из Li<Q2) записываются в виде интеграла с
положительным ядром (см.формулу 2.3.(9)), а в аналогичной за¬
писи средних Mn(2J,x) ядро (см.формулы 2.2.118) и 4.1.(33))
знакопеременно. Отмеченное свойство средних Лг(2,/,х) (а в си¬
лу соотношения 2.3.(26) и средних Абеля-Пуассона-Харди (с пока¬
зателем 2) PHr(f,x)) весьма существенно и часто используется
(см., например, цитированную выше работу Марцинкевича, работы
[12, 87], доказательство теоремы 2.3.1). При т> 2 средние Гут,
ftx) аналогичным свойством не обладают, и вообще неясно су¬
ществование средних типа Марцинкевича с таким свойством. Резуль¬
таты пункта 1° - простые приложения утверждений общего харак¬
тера изложенных в § 1 и 2 к конкретным агрегатам приближений.
Смысл теоремы 1 состоит в том, что средние Абеля-Пуассона-Хар-
ди (с показателем 2) мажорируются классическими средними Абе¬
ля-Пуассона, но не от самой функции /, а от функции |/1г- При¬
мерами приложений этой теоремы служат лемма 4.2.5 и следствия
7-9, содержащие несколько "экзотические” неравенства для сумм
Фурье. Следствие 7 дает возможность получить большой набор кон¬
кретных неравенств для сумм Фурье. Приведем един пример нера¬
венств такого рода.
Пример I. Пусть fe re [0,1) f xeR, Z+. Тогда
t\s*a*>f<cLt	1ы№х)<сЪг1г*-	i2)
*'*	*mt	0*0

Неравенство (2) получается интегрированием (по переменной
г) неравенства 2.3.(29).
Следствие 1. Пусть feLz i хеВ9 f Тогда
2к</. **»*(<&, г < щ 2 ьш1*.*>(сЬг*г*.
**0	9	r-»f-0	j£o
Средние Абеля-Пуассона-Марцинкевича могут быть полезны при
изучении вопроса сходимости (по квадратам, как это понимается
в книге) рядов Фурье.
функция ои Л+-+С называется медленно колеблющейся, если
для любого е> 0 существуют такие числа JU<s)> О, э><Е)М, что
для всех х, у, удовлетворяющих условиям М(е)4х <у 4 $<£) х ,
справедливо неравенство | aw - &(у)\ < 6.	«,
Теорема 1 (см. [75, с.208]). Пусть дан числовой ряд J а-,
функция	ак	•	медленно колеблющаяся,	se € . Тогда, ес~
ли lim	«5,	то	У flj^es.
*.в
Сходимость ряда Фурье функции	в	точке	л*	sP7*	равно¬
сильна сходимости ряда Т { £ |m - ^П|т(/♦»)}, а ПгОя,/,
Поэтому вопрос о сходимости
ряда Фурье распадается на два самостоятельных вопроса; 1) из¬
учения сходимости средних Абеля-Пуассона-Марцинкевича, 2) Bu¬
rn
ЯСН0НИЯ УСЛОВИЙ, при которых функция
А'»0
будет медленно колеблющейся. По этой схеме сходимость радов
Фурье в одномерном случае рассматривалась в [30]. Было бы ин¬
тересно реализовать ее при т £ 2.
Пусть Ла[.Аа ] и	- два семейства агрегатов при¬
ближения. Будем говорить, что метод приближения В предшеству¬
ет методу приближения А, если каждое АЛ может быть представ¬
лено в виде сушы тш интеграла по переменной р от Вр .
Например, в силу формулы 2.3.(22) метод средних Фэйера-
Марциикэвича	предшествует методу средних Абеля-
Пуассона-Марцинкевича	•
Укажем на один способ нахождения методов приближения, пред¬
шествующих методу средних Абаяя-Пуасеона.
264

Пусть feLt <Qm), at > Om , xeHm. Тогда на основании
формул 2.3.(8) и 2.3.(28г)
(П«») f пеЧ*'\=*т$£<хМП*Щ^?>
1-1	Ят	'*«1	'*«1	*
Остановимся сначала на одномерном случае. Допустим, что мы хо¬
тим найти метод приближения, предшествующий |Р<£ }*с<о,со) ’
представимый в интегральной форме с положительным ядром. Тогда
поступаем по схеме: 1) делим все части равенства (3) (при т =
= Т) на # с целью, чтобы под знаком интеграла стояла функция,
монотонная по <& . В этом случае ее производная по # будет со¬
хранять знак. Имеем
оГ1.?* </,*>=» f e~‘liSi(J',x)dl = 3i~tC f(x+iK«2+f2fftfZ;
О J?
2) дифференцируем написанные равенства по # . Получаем
-(<хГ*1>£(£х))^ jj^Hs^xfcli = 2ow-1jj"f<x+l}(o'2+}2r2df;
3) умножаем получившиеся равенства на нормирующий множитель,
выбранный из условия, чтобы оператор, задаваемый формулой, сто¬
ящей'в равенстве, был неподвижен на функции, товдественно рав¬
ной единице (в нашем случае нормирующий множитель равен#2), и
для получившегося выражения вводим обозначение	Таким
образом,
и	P*(f,x)= at f °°Г2Ц<f,x)dt.	*	(4)
Ясно, что приведенные выше рассуждения можно применить и
в кратном случае, а также для нахождения методов приближения,
предшествующих { U# «>,«>> • Если в первом пункте схемы вы¬
полнить деление на as, а не на а , то при s < 1 методы при¬
ближения, предшествующие {Р£ } *	будут	записываться	в
интегральной форме со знакочередующимся ядром.
Известно, что если выполнено соотношение Ite/V-Wlr
= 0, то / эквивалентна постоянной. С другой стороны, существу-
265

ют функции, не эквивалентные постоянной, для которых lim оГ1 к
У	<£•*	0-f
Таким образом, наибольшая скорость, с которой
функции, отличные от постоянных, могут быть приближены средни¬
ми Абеля-Пуассона в пространстве Lt при 0 (эта скорость
называется порядком насыщения в Z*), есть ог (подробнее о про¬
блеме насыщения см* [80, с.431-509], см.также [29, с.266-271,
274-283]). Отметим, что порядок насыщения в Li при <х -+ 0 у
средних Ц# более высокий, чем у средних Абеля-Пуассона, а
именно он равен а* •
Рассмотрим теперь средние Абеля-Пуассона-Марцинкевича для
двумерного случая. Пусть	сь>	0, areF2. Тогда в си¬
лу формулы 2.3,(15)
т-т# * 2 С	л
2,/,ЗС) = Я2 Jp2^2 + {г,-гг}2){«2++t2)2) * •
Исходя из определения средних Абеля-Пуассона-Марцинкевича, не¬
трудно понять, что
* с£ С 6 *	*
*
Руководствуясь изложенной выше схемой, будем искать метод при¬
ближения, предшествующий	представимый в ин¬
тегральной форме с положительным ядром. Имеем
«2П<4(2,/,ж;=л1^е “	=jpJB2 (»tf{ts-i2)Z)(^<i*i2)i}1
-<V2J3*(2>y. ar)j' <=
в* f	Jf
J„2 («2+ (it-I2I*)2(o£* + fl, + t2)2)2
v , , , 4oi4 г //»+{)/«* ++ ?f > <»
Тшшм образом, VJf.x)-	(*?+ (i,-*2)2)2
= у-1+	Й
и л£ <2./.*> ■ 2<*2iJг 3 *»</>*><**•
266

Однако в рассматриваемом случае (в отличие от рассмотренного
выше случая средних Абеля-Пуассона) порядок насыщения средних
V0i<f) в пространстве C(Q2) при <х-*0 такой же, как и у сред¬
них П£(2,/,х) (он равен со). Вопрос о существовании средних
ГД0	представимых	в	виде
£ foc+al)X(l)dtдля любой /	где	0	при	ieR2, и
имеющих в пространстве	при об -*■ О порядок насыщения бо¬
лее высокий, чем об, открыт.
В пункте 3° средние Абеля-Пуассона-Харди и средние. Абеля-
Пуассона-Марцинкевича применяются к вопросу оценки норм мето¬
дов сильной аппроксимации общего вида. К результатам этого пунк¬
та примыкают также теоремы 2.5 Л и 2.5.7, следствие 2.5.1. Пункт
4° содержит простейшие утверждения, связанные со сходимостью
средних Абеля-Пуассона, средних Марцинкевича, средних Абеля-
Пуассона-Харди .
§ 4. По поводу сумм В.Рогоэинского и их многочисленных
обобщений см. [2, с.483-485; 23, с.121-127, 241-242, 282, 285-
304; 65, гл.6; 71, с.61-64]. В связи с пунктами 1 и 2 таблицы 1
см. [76, с.266-267]. В настоящей книге суммы типа Рогозинского
используются при представлении методов приближения как линей¬
ной, так и сильной аппроксимации. Например (см. формул у 4.1.(43)),
если feL*}г , neNtxeR, то
n-f	n-i
J-y/.aOj2«(&**f * J j| ™sec*<yn>l{4)/2).
г-о
Из приведенного равенства сразу следует, что '
Jl-i	Л-i
п<1 |S* <f,x) -f<x)f a(8nzft'£i\Rnj<4,f,x)-2f<x}l2cosec2<yn't(4)l2).
Отсюда естественным образом возникают задачи об изучении вели-
чип типа suj> J Ял>г{4,/,х)-а/(Х)}, sug ЦЯЛ,1<4>1|, где
об e|o,2j, а Л" - некоторый класс функций. При этом важно про¬
следить зависимость не только по п , но и по I . Теорема 2.4.1
- пример рассмотрений такого типа (в связи с равенством 2.4.(12)
при j * 4, 1=0 см. [ 23, о. 122-124; 31, с.179-180]). К мате¬
риалу, изложенному в § 4, примыкают результаты пункта 4.1.5,°
§ 5. При изложении общей картины в целях простоты ограни¬
чимся рассмотрением одномерного случая и пространства С. Через
267

Хп обозначим множество операторов А : С ~+Нп. Оператор А , за¬
данный на С , будем называть полиномиальным, если он принадле-
шт	и положительным, если A(f,x)> 0 для всех xsR и
неотрицательных f. Среди полиномиальных операторов суммы Вал¬
ле Пуссена Gab(j) играют выдающуюся рель. Особенно интересны
операторы	=	(суммы Фурье), 60>П(f) =■ бл(/) (суммы
Фейера) и бл п (f)- собственно суммы Валле Пуссена.
Нахождение полинома наилучшего приближения	для
функции /еС представляет собой трудную задачу (подробнее см,
[59]), которую точно удается решить только для отдельных функ¬
ций (см., например, [69, с.86-92]). Сам оператор Тп<*)оо на
пространстве С нелинеен. Поэтому естественно возникает вопрос
о построении последовательности линейных ограниченных в С опе¬
раторов АлеКл$ удовлетворяющей неравенству
для любой /еС. Однако в силу теоремы 2Л.8 такой последова¬
тельности не существует. Вместе с тем, если ослабить условие
АпеКп, заменив его условием Ал€К2п-1* то требуемая после¬
довательность {Ал| уже есть. В качестве такой последователь¬
ности можно взять (см.теорему 2.5.6) последовательность опера¬
торов бп п (neN. Наличие неравенства ||/-бЛ|„(/)|оо<Я£л(Яо* >
где К - абсолютная постоянная, лежит в основе многочисленных
приложений сумм еЛ>л , как в теоретических исследованиях, так
и в практических вопросах. Постоянная в неравенстве |/ -
-An<f) || ^ £„(/)«,, справедливом , для любой /еС, вообще го¬
воря, будет тем меньше, чем меньше норма оператора Ап, Если мы
хотим сохранить требование Ап€Кп% то, как следует из первого
из неравенств 2Л.(27), экстремальными операторами будут суммы
Фурье Sn, Для сумм Фурье справедлива (см.следствие 2.5.8 (оцен¬
ка 2.5.(33))) сценка \\f - S/t(f)§(X>4((4M2)lnin+i) + 2t3)En<f)C0 .
Маяччие б праьой части последнего неравенства множителя, рас¬
тущего при п-*оо как In п , часто на практике не имеет суще¬
ственного значения. Суммы Фейера бл не связаны так тесно, как
суммы Фурье или суммы Валле Пуссена б”л>л, с наилучшими при¬
ближениями, Однако они: а) принадлежат Кп , б) при п^оо рав¬
номерно сходятся к породившей их функции из € , в) являются по¬
ложительным оператором на С, г) имеют несколько удобных фер^
208

записей. Все это делает суммы Фейера наряду со средними Абеля-
Пуассона одними из важнейших агрегатов приближения, используе¬
мых в теоретических исследованиях.
Основное содержание § 5 составляют оценки для операторных
норм сумм Валле Пуссена, сумм Валле Пуссена-Харди, сумм Валле
Пуссена-Марцинкевича, сумм Валле Пуссена-Харди-Марцинкевича и
сопутствующие им оценки отклонений упомянутых сумм от аппрок¬
симируемой функции посредством наилучших приближений. Первые
оценки для операторных норм сумм Валле Пуссена в одномерном
случае были даны Валле Пуссеном [ 93J. Эти оценки уточнялись в
работах [48, 66, см.также 1, с.253-258]. Теорема 2.5.4 и лемма
2.5.3 дают достаточно полное представление о величине Цб’а.ь\\оа
в одномерном случае. Теорема 2.5.4 и лемма 2.5.2 установлены
Г.И.Натансоном [45] . Они развивают более ранние результаты П.В.
Галкина [14J для сумм Фурье применительно к суммам Валле Пуссе¬
на. По поводу следствия 2.5.3 см. f66; 23, с.119-121; 45].
Пусть ле», ЗД>= suPf|(^"I2SlW>lO^S«,/|/|Ul>
где верхняя грань берется по всем вещественнозначным функциям
feC, = sup Kn(j ) . Хорошо известно (см., например, [35,
с.272-274; 86, с .15-17J ),. что K<j)<oo при ^ > 0. Возникает во¬
прос об аккуратных численных оценках величины К{$). Теорема
2.5.13	установлена совместно автором и Г ..И. Натансон ом (публику¬
ется впервые). Ее доказательство - уточнение рассуждений, при¬
веденных в [ЗЬ] на с.272-273. Из теоремы 2.5.13 следует, что
Kit) < 1,095. С другой стороны, Kit) > J) бп Цс = 1. Пусть А --
* { 6£КЛ : е*.я ± 1 (к=0,п-1)1. Нетрудно показать, что
supistnf1^ ^^eHsin(k + ll2)l^casec{ll2)di » Кп .
Численный анализ (вычислания проводились на ЭВМ) показывает, что
Кп = 1 (п «1,15). Метод доказательства, использованный при
установлении неравенства К{\) < 1,095, не дает возможности вы¬
числить величину К{О. Сказанное позволяет высказать гипотезу;
AMI) = 1. Автор затратил определенные усилия на ее доказатель¬
ство, но не добился полного успеха, а только показал (см, тео-
рему 4Л.9), что |п ‘2*„о I	для любой feZf
Величина K(j) при ^2 оценена в теореме 2.5.12 и замечании
269

2.5.7. В частности (см.замечание 2.5.7), показано, что К{2) <
< 1,165. С другой стороны, в силу замечания 2.5.9 lim #„(2)>
>1,06>1. По-видимому, можно показать (этот вопрос не рас¬
сматривался), что	> 1 при £>1. Теоремы 2.5.12-
2.5.14	и замечание 2.5.7 содержат также аккуратные числовые
оценки для операторных норм сумм Валле Пуссена-Харди в прост¬
ранстве С для одномерного случая (по поводу одномерных сумм
Балле Пуссена-Харди см. также [86]). Теорема 2.5.14 принадле¬
жит Г.Й.Натансону (публикуется впервые). По поводу принятого в
книге определения сумм Валле Пуссена (определение 2.5.1) см.[1,
с.253-256]. Следствие 2.5.6 содержит оценки для операторных
норм многомерных сумм Фейера-Харди и сумм Валле Пуссена-Харди
(в их наиболее важном случае, когда Ъ*а, $е{1,2{) с конкрет¬
ными постоянными. Их простое доказательство основано на ис¬
пользовании средних Абеля-Пуассона-Харди с показателем 2, Ана¬
лиз доказательств теорем 2.5.13 и 2.5.14 показывает, что мно¬
гомерный аналог теорем 2.5.13 и 2.5.14 сводится к одномерному
случаю. А именно справедливы следующие утверждения:
Теорема 2.5.13f. Пусть, ае N , keZ™, постоянная €<к) оп¬
ределена так же, как в теореме 2.5.13. Тогда
S<
1*1
Теорема 2.5.14*. Пусть aeZ”, beNm. Тогда
ТЯ
|еНа>ь{1 >L 4 П((4М2>Ь {1 + «г/Ьг) + 1,7935).
1*1
Оценки теоремы 2,5.13г при к*0™ и k*lm более точные, чем
соответственно оценки 2.5.(19) и 2.5.(21) при р =
К следствию 2.5.6 примыкают лемма 2.5.8 и следствие 2.5.17.
Пусть aeR+, beN . А.Н.Подкорытов [56] установил,что
^ #(тя) inwf 24 a/b)* М.А.Скопина [61] уточнила эту оценку, пока¬
зав, что
J МаЬ{т)\с 4 ({4/л2) In (14 а[Ь) 4 Xfm>)7П.	(6)
Приведенные в книге доказательства лемм 2.5.6, 2.5.7 и теоремы
2.5.9 сообщены автору А.Н.Подкорытовым. Наличие оценки (6) по¬
зволяет с помощью рассувдений, аналогичных доказательству лем¬
270

мы 2.3.2, установить, что при аеК+, beN , ^>0 t me'N спра¬
ведливо неравенство
\мна,ъ<*п,з>)|с « ((4/%г}1 п{1 + а/Ъ)+ Х(т,1))т,	(7)
где K(mj) зависит только от т и ^ . Оценка (7) соприкасается
со следствием 2.5.11.
Было бы желательно более глубоко изучить величины 2г<т)
(см. § 2.2).
/fl/Lj {см- 5 2*3). Им^Нс. 'л*.ъ<т}, lMHatb(m,i)lc:
Оценки дяя отклонений посредством наилучших приближений,
приведенные в § 2.5, стандартны. Их принято называть неравен¬
ствами Лебега. Для средних Валле Пуссена известны некоторые
усиления неравенств Лебега (см. [ 20, 92]). В случае сильной
аппроксимации такие обобщения пока не рассматривались.
Следующая числовая лемма лежит в основе многих применений
сумм Валле Пуссена к различным вопросам теории аппроксимации
периодических функций. Чтобы сформулировать ее, введем следую¬
щие обозначения. При к eRm полагаем	2*m)t [*^J -
=	signk -(signkt,...,signkm), Ак=[[2к~*т],
2-П.	■3fr=[f2*"2,M]	+	sign	A,	[2*~|M]J .
Лемма 1. Пусть даны четыре последовательности
неотрицательных
чисел, удовлетворяющих условиям: а) $<к)=	кт) убывает
по кавдому аргументу к>	б)
l£Aje
при любом *eZ+, в) тазе опри любых
Тогда справедливо неравенство
J «г*)|3**к< 2m]P &»£<*).
Доказательство. Обозначая max <t(l) через аъ,
^nzm
j j J «2 <** j м 2а* МП2*'1!)-
«**	*еД*	kcZ™ ГьАд.
271

Нетрудно убедиться, что \Ак\$([2*~*т]) 4 2т% $<1). Следова¬
тельно,	1еВ*
£ «(^/3(АЦ2т2	?т2!
*ezy	teB*	AeZj*	teB*	JteZ™	A
Лемма 1, по сути дела, - описание технического приема, ко¬
торый часто приходится применять. Иногда бывает удобнее при¬
менять не саму лемму 1, а некоторые ее модификации.
Приведем два примера применения леммы 1.
Пример 2. Пусть f{~C(Qm), пвЪг,	1, £=sup|Mtftf6ta,}VjJ.
згда	0бА	’	С
* Доказательство. Можно считать, что п >1 (слу¬
чай п = 1 легко рассматривается непосредственно). Пусть jO€*lv
таково, что 2Р~*<п4 2Р. Положим
II при	А-0,2Р“1,	£ 1 при 0,2^-1,
j	я	t
О при	к}2р,	I 0 при к>2,
ft{k)~\fix)	(rreRm),	('Z + J	<f)M	.
Нетрудно понять (см. теорему 2.5.8), что справедливы неравен-
ства j(<а.1	ч<	(1*])Етп	<f>*	при	л^ й
и	if~som Wf« 4	Тогда, применяя	лемму
й*0	Л'вО	Jt«0
4<2(L+1>* J^m (/>«,.
Jr-0
Остальная часть доказательства очевидна, А
Пример 3. Пусть feC«}m), п£Я, 1, £« sup (|ЛНв#в<7П,^)|с,
последовательности неотрицательных чисел	1 |<SV/r) }^e0
таковы, что max &(1)6$(1)при любых	ASZ+.	Тогда	спраг-
icAjpOZ
ведливо неравенство
272

Ill *<*>!/-]i/s
1	Л-0	1	**()
Доказательство примера 3 близко к доказательству примера
2.	Мы не станем останавливаться на других результатах, которые
получаются на основе совместного использования сумм Валле Пус¬
сена и леммы 1. Отметим только, что таких результатов известно
много (см*, например, [86]).
Укажем теперь один прием применения сумм Валле Пуссена к
изучению отклонений сумм Фурье.
Пусть f€C(Qm). Принимая во внимание неравенство (6), не¬
трудно понять, что при любом к е N
^((4/jr2)ln{l+n/Jc) + Кг(т))mEnfm	<n,k,f),
я+A-I
где l(n,k,f)=k~1	Далее	нужно удачно
l*n
оценить сверху величину	посредством	мажоранты	вида
g(k)loi,k) и связать к с п . В одномерном случае эта схема
реализована в книге [29, с,232-242]. Было бы полезно провести
ее в кратном случае.
Глава 3. § 1. Пусть леКт,	{к	= -я, л ), ТеНп. Для
одномерного и двумерного случаев подробно исследуются вопросы
о выражении суммы 2	через	значения	полинома
Г в равноотстоящей сетке узлов и ее различных формах записи.
В связи с затронутыми в этом параграфе вопросами см.монографии
Н.И.Ахиезера [Г, с.117-120, 188], В.JI.Гончарова [17, с.46-50],
А.Зигмунда [35, гл.10], С.М.Никольского [52, с. 111-117], А.Ф.Ти-
мана[б9, гл.4], А.Х.Турецкого [72, 73].
§ 2. В приложениях таблицы 3.1.3 важную роль играют слу¬
чаи, когда функция g является сплайном. В связи с этим врзни-
кает вопрос о вычислении обобщенных коэффициентов Фурье сплай¬
нов. Рассмотрение этого вопроса и составляет содержание § 3.2.
Предложение 3.2.6 и следствие 3.2.7 показывают,что в ряде слу¬
чаев вектор коэффициентов Фурье сплайна связан с вектором его
значений через посредство унитарной матрицы. Укажем пример воз¬
можных приложений этого факта. Если П€Т9 , fe С - непрерывная
273

2зт-периодическая ломаная с вершинами в точках (я//л, /Ш/п)}
( I * - ОО, )t р € Ъ , ТО
^+^)4|сА(р,/)|2- 2_1я4л32 |42(?Г/л,/,5Г(г-1)/к)|2.
*«-Л+1	г—Л+1
Этот факт сразу вытекает из следствия 3,2.7, ибо в его у слови-
Я* Isl2= |$b ■
§ 3. Пусть а,Ье€ и Ъ~Аа, где А - унитарная матрица.
Тогда координаты векторов а и Ъ подчинены различного рода ин¬
тересным соотношениям. Широкий круг этих соотношений (примером
которых служит лемма 4*2.И) базируется начтеории интерполяции
линейных операторов (см•комментарий к § 1.3),
Центральное место в § 3*3 занимают таблицы 3.3.2 и 3.3.3.
К ним естественным образом примыкает таблица 3.5.2. Смысл со¬
отношений, включенных в упомянутые таблицы, состоит в том,что
векторы, координаты которых выражаются через частные суммы раз¬
личных порядков рядов Фурье, посредством унитарной матрицы свя¬
зываются с векторами, координаты которых выражаются через сум¬
мы типа Рогозинского одного порядка. В книге (гл.4) даны при¬
ложения (в их простейшем виде) лишь небольшой части соотноше¬
ний таблицы 3.3.2 и одного соотношения (пункта 7) таблицы 3.3,3.
Однако уже это дало возможность продвинуться в глубь в изуче¬
нии классических вопросов теории аппроксимации и привело к ря¬
ду фактов нестандартного характера. Приложения остальных (боль¬
шей части) соотношений таблиц 3.3.2, 3.3.3, 3.5.2 и аналогич¬
ных им соотношений таблицы 2.4.1, предложения 3.2.6 и следст¬
вия 3,2.7 в книге не указываются, что связано с отсутствием (на
момент написания книги) достаточно полного совокупного их ана¬
лиза, По-видимому, такой анализ должен привести к ряду соотно¬
шений, представляющих интерес. Было бы также полезно продолжить
работу по выявлению "скрытых ортогональностей”.
§ 4. Пусть средние	А^с}где	С,
для функций принадлежащих некоторому классу Ш, при [«,&]
могут быть представлены в форме U<ffx}*= J	9	где
~„	*etc,d} ' —-
{k=ctd) - различные числа, а функции <к*с,а) линейно
независимы на [а,Ь ] . Поставим задачу о разыскании таких функ¬
ций g г по которым функции ik-c,d) образуют на [а,Ь] орто-
274

нормированную систему (см. [47, с.543; ч.З, гл. 5]), т.а. при
справедливы соотношения
лЬ	—	,	fOj. воли кфЪу
- j , т кт1
В этом случае для f€ Ш, очевидно, имеет место равенство
Сформулированная выше задача в § 3.4 изучается в предположени¬
ях, что Лд. = 1 при к=-п,п,	А*= 0 при \к\>п, $*аУЛ1ь(р)
<р- 174) ,7Гг^Н„, [а,Ь] = [0, я] . Исследования, проводимые в
§ 3.4, базируются на результатах § 1.4, которые, однако, ис¬
пользуются не в полном объеме: более полное использование ре¬
зультатов § 1.4 позволяет придать материалу § 3.4 несколько бо¬
лее общую форму. В книге приложения результатов § 3.4 (анало¬
гично случаю приложения результатов § 3.3) даны лишь частично.
§ 5. Приводятся конкретные формулы, связанные с представ¬
лениями средних Абеля-Пуассона и их производных, сумм Валле
Пуссена на классах тригонометрических полиномов. Первые форму¬
лы такого типа (формула 3.5.(13)) были получены М.Риссом [90],
см. также [35, с.18-19].
Глава 4. § 1. Широкий круг задач теории аппроксимации фор¬
мулируется так: пусть К с к. - некоторый ’’естественный" тел асе
функций,	и	- два функционала* Требуется вы¬
числить или оценить величину sup	)}	*	Трудность ре¬
шения тт. задач зависит как, от функционалов А ч В ; так и от
класса функций К . Примером решения такого типа задач может -кру¬
жить известный результат Н,И*Ахиэзэра-М.Г.К&ойна-Ж.Фазара (ем.,
например, [1, с.241-242]): если ле£+, геф, то
J	л=	о
В столь законченной форме, как в приведенном примере, решение
удается получить далеко не всегда. Поэтому часто прибегают к
следующему приему: функционал А "погружают" в семейство "род¬
ственных" функционалов и исследуют величину
275

в зависимости от об при об -*о£0 . Примером реализации такого
подхода может служить известный результат А.Н.Колмогорова (см.
[38, с.179-188]): если reW, то при п-»со
**рсг) {I / ■-<f >и/	<4/:пг>л'1'1п * + 0 <*~2') .
К настоящему времени в указанных выше направлениях проведены
обширные исследования и получено много замечательных результа¬
тов (по поводу истории вопросов и некоторых из известных ре¬
зультатов см.обзорные статьи С.М.Никольского [50, 51], С.М.Ло¬
зинского и И .П.Натансона [43], С.А.Теляковского [68] и моногра¬
фии Н.П.Корнейчука [39], А.И.Степанца [65], А.Ф.Тимака [69]).
Условимся в обозначении; для jfeLj через f обозначаем
функцию, задаваемую равенством fix) = 2 <-isignk)ck<f)eikx.
*еХ
Пусть ri€N . В силу известного неравенства Г.Сеге (см{69, с.223])
для любой	справедливо точное неравенство j| f - ^n(f)ioo ~
= л~*||/'Ц» v flfUco • т.е. имеет место равенство sup{if-e/!(f)jja,/
/\\fU }sI- С другой стороны,	flee}“г•	Естест-
венно возникает вопрос: как изменяется величина sujj) { [j f -
' V/>I~/1/!U[ в зависимости от изменения т и п? Этому вопро¬
су легко придать очень общую форму: проследить изменение вели¬
чины^ su{3	Jj\	в зависимости от параметра пеЬГ”1, где
KcWm - некоторый '’естественный класс" функций, а Л:Я*-*К+ и
BiK-+ JR+ - функционалы. Важность задачи и трудность ее реше¬
ния зависят теперь не только от X ,А и В , как это было выше,
но и от Пш В одномерном случае, когда рассматривается метод
аппроксимации	естественно	ставить	вопрос	об	из¬
учении величины типа
K(m,n.r) = sup J||/-Um(f)l/\\fm\, JC<m,n,r) =sup
f£H„'	S6*1»'
в зависимости от параметров т% п и г. Если метод приближения
"насыщен" в пространстве , то наиболее Еажными (с
точки зрения метода 11 тест-функцийподробнее об этом см. [29,
гл.5 и с.346-347]) являются величина JC(m,ntQ) и та из величин
Х{т,л,г) или X{mtn9r), которая связана о "классом насыще-
276

ния". Поясним сказанное на примере. Пусть- Um(j) есть сумма
Фейера 6m<f). Тогда "классом насыщения" метода	в
пространстве С является множество функций feC , у которых
||^г)|со < 00 • Поэтому в данном случае наибольший интерес пред¬
ставляет величина К(т,п,1). Аналогичная проблематика возни¬
кает и в случае сильной аппроксимации. Например, можно ставить
вопрос о характере изменения величин sup{|eHm(^y)J/Ц/|| и
?зрЗ т1	при	изменении	параметров т, л, ^,
г. "Однако здесь возможности метода "тест-функций" не исследо¬
ваны. Неясен также вопрос о второй наиболее важной величине.
Основное содержание § 4.1 составляют задачи изложенного выше
типа.
Леммы 4. Т.1-4 Л. 3 дополняют результаты, изложенные в §ЗД.
Поскольку в условиях предложения 4Д.Т	\Ф(1)\<11,
II
то предложение АЛЛ равносильно следующему утверждению.
Предложение 4.1.1'. Пусть neN™, An~\-n+tm, л-1т] П Zm,
У^Ул,к(4) ПРИ	при 1еАПч Л$1 = Яг при ^еКт,
le Ап , vn={v[-n, njf1, функция Ф: Ст-+ € определена форму¬
лой Ф<1) = Т,	Тогда
mieAn t
 	т
<2*глС |Ф{г}|<гиц, 2	(П
j№[Oa,ln-l™J 1*1 n.j
Следствие 1. Пусть леЛГ, Ф(£) “	где
. Тогда
Г*|Ф|г)|<41^(2/л)У |Ф(я<Я+1/2)/л)|С(2* t)n(\s\ni\lt)dt. (8)
**=0	^
В связи с результатами типа неравзнстпа (8) см.[89, с.260-
292 J, см. также [35, с.46-55].
Суммы Фейера разносторонне изучались многими авторами. В
частности, большое внимание (см., например,[49; 65, ■ гл.4]) бы¬
ло уделено изучению изменения величины sug^J/- 6а //)|w , где
Ш> - некоторый класс функций, в зависимости от параметра а •
Важной характеристикой для отклонений одномерных сумм Фейера
277

является величина Ха = su^	Известно	(см.,
например, [б5, с.245]), чтсг
Было бы интересно в плане теоремы 4.1.1 и следствия 4.1.3 рас¬
смотреть величины sug \\f<X)-W^)\/\?'<X)\n,V }	(р=	1,4)
Следствие 4Л.4 при jn = 1 сов-
падает о уже упоминавшимся выше неравенством Г.Сегё.
Вопрос о точных постоянных в неравенствах 4 Л.(9), 4Л.(10),
4.1.(19), 4.1.(21), 4.1.(60), во вторых неравенствах теорем
4*1.2 и 4Л.7 требует дополнит&льного исследования.
По поводу предложения 4.1.4 см [57, с.96, задача 50J . В
связи с неравенствами 4Л.(18)-4Л.(21) отметим, что было бы
желательно более полно изучить величины Х(а,Ь,л) и	,
чем это сделано в книге.
Содержание теоремы 4Л.5 (соответственно следствия 4.1.7)
составляют интерполяционные формулы типа М.Рисса (см.коммента¬
рий к § 3.5) для средних Фейера-Марцинкевича (соответственно
средних Фейера-Харди с показателем 2). Эти формулы имеют весь¬
ма простой вид.
Вопрос о нормах методов приближения тесно связан с изуче¬
нием интегралов типа С ! V	Оценивание	(а тем
1 яерля]	*
более вычисление) таких интегралов часто вызывает серьезные за¬
труднения, и их изучению посвящен целый раздел теории аппрок¬
симации (подробнее об этом см. [69, гл.8; 64, гл, 7; 71; 31])..
Конкретная оценка 4 Л .(54) иллюстрирует еще один возможный под¬
ход (ему нетрудно придать общий характер: здесь паяная аналогия
* В дальнейшем изложении мы используем ряд известных ре¬
зультатов (например, теорему А ), приводя только их формули¬
ровки и ссылки на литературу. В цитируемых работах они установ¬
лены лишь для вещественных функций. Не желая останавливаться на
вопросе распространения упомянутых результатов на комялексно-
значаые функции, условимся считать все функции в приводимых фор¬
мулировках такого типа, а также в утверждениях, устанавливаемых
ниже с их помощью (например, в теореме 2) вещественными. Это
обстоятельство далее дополнительно не оговаривается.
278

с предложением 4.1.1 или эквивалентным ему предложением 4.1.1')
к вопросу оценивания норм агрегатов приближения.
Если / € Нп , то
-к-Wl.<I»‘ 11/'ч-ЗД-1||. <
Поэтому неравенство 4.1.(60) можно рассматривать как частичное
усиление упоминавшегося выше неравенства Г.Сеге. Было бы жела¬
тельно исследовать вопрос о точной постсянной в неравенстве
4.1.(60).
В заключение комментария к § 4.1 заметим, что он содержит
лишь начальные результаты, связанные с задачей изучения suofAffV
обсуждавшейся в начале комментария. Было бы полез¬
но расширить решение этой задачи как в глубь, так и в ширь.
§ 2. Пусть feLp . Величина сor<f,h)p= sup
называется модулем непрерывности г-го порядка функции / в про¬
странстве Lp . Модуль непрерывности г-го порядка функции
в пространстве Wt обозначается о)r{f,h)* Положим
х*-Ц"и,"тгЛ|Л-
Известно (сы.[29, с.260 (лемма 5), неравенство (365), с.266(тео-
рема 8)j ) следующее утверждение.
Теорема А . Пусть S€ ^ ~ первообразная функция для
i€ <0,я ]. Тогда
Из приведенных неравенств сразу следует, что для любой
/«V,. отличной от постоянной,
Л, ^ ————	 i	Л2	,
w2	Я In) *4- п w2(#t 31/П >
279

где 0 и К2 - абсолютные постолнные. Таким образом, для
каждой индивидуальной функции	получено	полное описание
порядка убывания (при л со ) величины j|/бл(/)|| в терминах
модулей непрерывности.
Теорема J3 (см. [29, неравенства (386) и (387)]). Пусть
f€Witn€N9 ае (0 ,<*>). Тогда
Я/-М/М1 * (2 +
\f-KWl ч<(2+**)||/-М/>||.
Таким образом, по порядку убывания (при п-+оо ) величины
и Wf-pi*/nW\\ каВД°й индивидуальной функции
feЩ ведут себя одинаково.
К настоящему времени теоремы типа А и В известны для
многих методов приближения. Известны также и соответствующие
теоремы общего характера. Эта тематика подробно изложена в мо¬
нографиях автора [29] и Р.М.Тригуба [71] (см, также монографию
[80р. и мы не будем здесь на ней останавливаться. Немало вни¬
мания также уделяется (см. [86]) изучению аналогичных вопросов
и для случая сильной аппроксимации. Однако здесь результаты,
окончательные для каждой индивидуальной функции, еще не полу¬
чены. В § 4.2 предпринята попытка получить такие результаты для
сильных аналогов сумм Фейера и средних Абеля-Пуассона.
Формулы таблицы 4.2.1 (так же как и формулы теоремы 4Л.5,
следствия 4.1.7, теоремы 4.3.2, равенства 4.3.(33)-4.3.(35) и
т.п.) могут трактоваться как интерполяционные формулы типаМЛЬтс-
са (см. комментарий к § 3.5). Их число можно было бы значитель¬
но увеличить, ибо с каждым соотношением таблиц 2.4.1,	3.3.2,
3.3.3, 3.5.2 естественным образом связан набор формул такого
вида. Поясним сказанное на примере пункта 10 таблицы 3.3.2.
Стандартное усреднение формулы пункта 10 приводит к равенству
(формула 4.3.(33)).
«M),/,*|c2<4,71,Z), (9)
*-о	г»о
где new, feLj(Oz), are С2 . Далее (|s|* « (г|| , ибо матрица
.А,, (10) унитарна), если п е 19 е , хе С , то (формула 4.1. (43))
я1	Т|Яя.1<4./.*Масг<4.я,*)	(Ю)
*«0	1-0
280

(при areR соотношение (10) следует из (.SU, если последнее при¬
менить к функции g: J?2-* С2, задаваемой формулой
в точке у=(х,х)). Применяя теперь формулу (9) к функции g
-* С2 , задаваемой формулой g(u) =f<yt), приходим к равенству
(формуле 4.2.(8))
л-1
9H<f,x)^{4n2fty^Pnit(4,f,x)cH4,n,l) (neJi,^Lv *«С).(и)
Z-0
Опираясь на формулы (9)-(!!) и используя разложение cosec2Jiz =
оо
аз£* J (Z~k)~2, приходим к формулам (см.4.1.(40),4.I.(44),4.2. (9))
п-i	оо
Л'1 У Sjtiz(f,x^(2/^)y^ni2M2((4,4),J,x)(2l^f,	(9')
Л I	оо
пх^\5киа)\г=Мпг)^\Р„1г<Афх)\2{г1+1)г, Ш
**<•	„О	г'°
en{f,x) - (4/я2)£ F„,i<4,f,x)(2H-iY2.	(ИО
г«о
Формулы обсуждаемого типа представляют самостоятельный интерес
Их значение повышается тем обстоятельством, что в аналогичной
форме могут быть представлены и операторы других типов (см.,
например, теоремы 4.2.1-4.2.3, следствия 4.2Л-4.2.5). Это по¬
зволяет вести совместный анализ операторов различных классов и
устанавливать между ними даже соотношения типа равенств (см.,
например, теоремы 4.2.4, 4.3.3). Формулы, составляющие содер¬
жание теорем 4.2Л-4.2.3, следствий 4.2.1-4.2.4, с одной сто¬
роны, можно трактовать как интерполяционные формулы типаМ.Рис-
са, а с другой - как квадратурные формулы. Было бы полезно про¬
должить построение интерполяционных формул типа М.Рисса, руко¬
водствуясь матрицами АЛ(1)-АЛ<Ю) по типу, например, таблицы
3.3.2, но изменяя в ней вектор г (и вычисляя тогда соответст¬
вующий вектор 5 ) или вектор $ (и находя тогда вектор г). Воз¬
можно, что первоначально следует рассмотреть случай, когда по¬
строение вектора г основывается на величинах	{/),*)	♦
+(-1 )МС*к S„ </, *))р cosec * < Л /2) и {8ik~\lh,Sn{f),xtfco&ec*{hl2) ,
где Je,peJt , xtcC , а функция feL^ вещественнозначная (в ка¬
честве пояснения заметим, что пункты 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11
таблицы 3.3.2 отвечают случаю к =1, р =1, об =-1, пункты 1, 3,
5, 7 таблицы 3.3.3 - случаю > = l,^=l,ot=-2)»	281

Пусть fe С , п€& . Положим
Xa<f,x) = 6„<f,x)-f(x} - (оспг1 С Г2£<г, f, x)di.
иэт/л
М.Заманский [94] показал, что если feC удовлетворяет условию
Тдтп /Г* сo2(ffh)M < со, то Tim п !jXn(f)\\ < оо. Этот резуль-
п-юо	*	11
тат был обобщен А.В.Ефимовым [25], который установил, что для
любой feC справедливо неравенство
^	t'jtjn)м ,	(12)
где - абсолютная постоянная. Теорема 4.2.5 может рассматри¬
ваться как дальнейшее развитие неравенства (12).
В связи со следствием 4.2.11 см. [41], где имеются двусто¬
ронние оценки для отклонений суш Марцинкевича.
В связи с предложением 4.2.1 заметим, что автору не изве¬
стно, будет ли справедливо при любом	следующее утвержде¬
ние: если пеЪГ , feC , то
где Хш зависит только от # .
Было бы интересно продолжить исследования пункта 4° §4.2
в плане изучения связи величин
со структурными свойствами функции f , задаваемыми посредством
модулей непрерывности, а также сравнить их с величиной
По поводу известных в этом направлении результатов см. [29,с.269-
270, 305-306; 26, с.47-48; 28, с.28-31].
Полезно было бы рассмотреть вопрос о многомерных аналога*
результатов пункта 4° § 4.2. По-видимому, это можно сделать«
придерживаясь той же схемы, что и в одномерном случае. Допол¬
ним результаты пункта 4° § 4.2. Для этого нам понадобятся сле¬
дующие леммы.
283

Лемма А. Пусть Ф - полунорма на IVj , Sl^ {^Я/И^Н *
при т =1/2, h> 0. Тогда для f € Щ
<P<J)4 (У0/2 + Y2h-2)u2(f,h),
Ф^/)ч<{ У0 + У,/Г1)
Эта лемма известна (см., например, [29, с.203 ] ). Ввиду
простоты приведем ее доказательство (см.[1, с.224-226, 251-
253]). Ясно, что можно считать /еЯ(1). Используя свойства
функций Стеклова, имеем
ФВ)ч<Ф^-^гW)+*<SAj if Н YJJ-Sa,2W\\ + Yz K2<f>IP
< (>J/2.»a»j(/,A>+ Y2h'2u>2<f,h)= (Y0I2 +Y2h^)co2(f,h'„
S< Y0ioi(f,hl2) + Yifrt<at(j,h)aY0 + YJirt)wfif,h).
Лемма 3 (см. f 26, с .47-48]). Пусть	0.	Тогда
Лемма С (см.Г29. с.285, следствие 3j). Пусть /eWj , Л> 0,
Л*	j* У )е*р {-£г)М-
Тогда	^	бВ/“Л^(у)|.
Лемма 2. Пусть /еТл$ , ot > 0. Тогда
if <j“	°»	i i »;(/,«), ИЗ)
«,г ^<з**М»М/.«). (И)
lI5>
где JC4 > 0, JC5 > 0 - абсолютные постоянные.
Доказательство. Положим
ф/^у_2ог^ С00 Ц S'(i ,/,•)! j*
ф^>_ л Jo 7i*+i*)V *г-
283

Легко понять, что для любой /eWJ
Следовательно, sup {Ф</)/§/Ц}42. Если feH( 1), то
few} к
*ч><¥$;ё&р1П-т1П-
Значит,	Ф^)/|,r|( JПрименяя теперь к полунорме Ф
первое утверждение леммы А (при А=оь) , для любой	имеем
Ф(/)^<1 + <оь2/2)а’2)о)2^об)=г (3/2) (jo2(f,oc). Тем самым второе
неравенство (13) доказано. Аналогичным образом (здесь исполь¬
зуется второе утверждение леммы А при Л = аь) устанавливаются
вторые неравенства (14) и (15). Пусть Ц1(1)*<2л}/зГу1ехр(-1г11Лл%
2at3jr“1(<st2+22r2f Х = max max J	. Нетруд-
(*€<0,oo) iep+ l	'
но убедиться,	что (6XJ’1> 0,03.	Учитывая	последнее неравенст¬
во и опираясь	на лемму С , имеем
<wV/.*K	j*	цм./.*)||<угш
Тем самым первое неравенство (13) доказано. Аналогичным обра¬
зом (но здесь вместо леммы С используется лемма В ) устанавли¬
ваются первые	неравенства (14) и	(15). А
Теорема 2. Пусть /е Wp об	> 0. Тогда	•
4»« р< i ii, W-*r<»{-№* p
где KA и X5 - те же постоянные, что и в лемме 2.
доказательство теоремы 2 получается из сопоставления фор¬
мулы U) с неравенствами (13)-(15).
Лемма 3. Пусть feWit лс Z + . Тогда
ГЙ(/К<^А^)5 *-1	46)
*»п-Н
Доказательство. Опираясь на неравенство ЦГ(2,||4
4 (к(2)2 j о (я,!к, Т)J (см. [69, с.230]), если ТеНк , имеем
23-V

№W\i<*l2)2\8{*lk,6kif\)\±&l2pjfo{Sixlk,f))\Ukl2)z\tolktf)\.
Очевидно, что |^(л/л,/)||4 л^ТЦЯА(8,/)у. Далее, для
оо
справедливо неравенство	*"3|б£2)(/)|| [27, с.20, 21,
ккп* 1
24]. Сопоставляя приведенные неравенства,приходим к (16). 1
Предложение 1. Пусть xeN, 24р4°о, f е Lp- Тогда
»Нл<1,ЯИр4||Яп<8,ЯЦр+ (12ЯДТ) J	f)|p.
Л-Л+i
Доказательство. Можно считать, что 24р < оо #
Сопоставляя неравенства 4.2.(76) и (16), получаем требуемое. 1
Следствие 2. Пусть 2 4р 4 со»	числовая послед о-
вательность }срл} удовлетворяет условиям: а) <рЛ> 0 (л=1, оо ),
в)	>'*<"• Тогда соотношения ton <рд || Н„ {1,
f>b.< w и й« иН» {8’А1р < 00 эквивалентны.
Доказательство следствия 2 очевидно в силу предложения 1
и неравенства 4.2.(77).
Лемма 4.2.14 установлена Д.Джексоном (см.[б9, с.243-245]).
Исследование функций	результаты которого составили
замечание 4.2.8, по моей просьбе проведено М.А.Скопиной.
§ 3. В связи с теоремой 4.3.1 см.[1, с.182-193; 35, с.17~
25; 69, гл.4]. Классическое неравенство
если ТеНп, впервые установленное С.Н.Бернштейном (см.[Ь, с,2Ь-
26, 527]) при р=со (распространение на случай i4p<w произ¬
ведено А.Зигмундом), развивалось многими авторами в различных
направлениях (см., например, [5* с.335-338; 6, с.127-129, 146-
154, 173-178, 442-445; 9; 32; 67], монографии Н.И.Ахиезера [ 1,
с.182-193, дополнения и задачи 2], И.И.Ибрагимова [36, гл.З],
А.Ф.Тимана [69, гл.4] и т.д.). Положим
Очевидно, что \п1$'п(£х)\*Хп<£х). Значит, нера¬
венство (17) эквивалентно утверждению: если	,	п€Н	%	14
4р4оо, то	^	По	известному	неравенству	Ко¬
ши Knify*) * Wnf4,/fy). Из соотношения 4.3.(29) следует, что
285

| Wn(4,f)\\p 4 й £л tf )||j> при 2 4 p 4. со . Поэтому неравенство 4.3.
(29) можно рассматривать как усиление (при р> 2) оценки (17)
в плане сильной аппроксимации. § 4.3 посвящеь рассмотрению ве¬
личин типа Wn<4tf,х).
Пусть /eij, р е [1, со) , хеС . Легко понять, что при
r/2eN	. и-i	.
(n-r^yV/,a:)|= U‘r^{{A+I)r-*r[{^</,ar)-Sn (frx)\ j 4
л-f	,
ч< 1Л"Г2 ((b+Vr-kr)\sk<f,x) -S^xm ,
если же (r + l)/2eK, то
п* S<r><j,x) I ч< j nrJ ffft+I>r-A*,')| SA(t,f,x) - sn (i,j,x)\P\ilP.
Было бы интересно изучить величины
{ nr J <(А+1 )т-кг)|	(/,*) \Р j1/р,
П-1
|л'г2 ((А+1)г-Лг)рл<а,/,ж) - V<r,i,a:)|M1/P,
1 *=0 '
где a£{0,l{,r>0, 14р<<*> в плане изложенного в § 4.3, в
частности, установить душ них точные неравенства типа ||^{4,/jj|<
^ {/)!!/>•
§ 4. Интеграл Джексона был впервые рассмотрен Д.Джексоном
в работе [85] (см.также [47, сЛ11-И7]). В связи с равенства¬
ми 4.4.(1) и 4.4.(2) см. [60].
Докажем замечание 4.4.1. Положим для feLv ryne N, осе С
к~0	р=к
I < М*ГЛ1ГН*<Яе,*а:.
Х~~Г)
Средние	обобщают	суммы	Фейера	литера¬
туре их принято называть средними Рисса (см.[29, с.258-266]).Не¬
трудно проверить, что
* зДгЛ^*'-(,е)
Применяя неравенство Коши, без труда убеждаемся, что \Zn(fyx)~
Известно (см., например, [69, с.272, 338]), что
286

если леК, feLp, 10 E„(f}pi Xf3a>2<f,l/<2n})p,T№ Ka~ аб¬
солютная постоянная. Поэтому для доказательства второго из не¬
равенств замечания 4.4.1 достаточно установить, что для любых
fsLptneJV справедливо неравенство
а>2</, 1/л )я s< |] /- Z„(f) ||р ,	(19)
где К14 - абсолютная постоянная, а	(для	наших	целей
можно было бы считать р > 2). Приступаем к доказательству (19).
Известно (см.[1, с.251-252]), что если feH(i)t то j[flp4(tn/2)x
*Ц/(г,|р* Используя это неравенство, а также неравенство 4.3.
(10), и учитывая (18), для любой feHn имеем
I! » (2*4iff{j[|nip -nvlJ"'tp-”4rip\>'
> (2n\l)-i\2if*lp-m/2)n]>(215){2пЧ1)'хУ"\? .
Поскольку f-Rn,r(f )-(E-6n)r(fl любой feLt {Е - тождест¬
венный оператор в Lj), то	^	ДЛЯ	любой	feLp	.
Отсюда и (18) без труда находим, что	для
любой feLp . Теперь, принимая во внимание сказанное и простей¬
шие свойства модуля непрерывности второго порядка, для любой
feLp iiMeGM *
Vn)p ^	V»	"**	^г(	Tn<f)pt	l/л	j	p	4
i 4 ||/- T„<f)pЦр + (t/n )2И T”(f ip||p 4
44E„<fip + <SI2)(2n!*l)n2 IZn<7n<f)p) - T„(f)p Ip 4
< (4 4 2S<2nUliri-2)E„<f)p + (SI2)(2„2+i)n‘?||Z„(/)-/|p s<
Докажем первое неравенство замечания 4.4.1. Положим Yn(f*)*
^	Я|	аг;|Дn(l)dt. Применяя неравенство Буняковского,
без труда убеждаемся, что Yn(f,x) 4gn(i,f, Поэтому для дока¬
зательства первого неравенства замечания 4.4Л достаточна уста¬
новить, что для любых feLptneJi справедливо неравенстве 0)2(f>
Чг*р*Х&\уП * где ^15 “ абсолютная постоянная, а 14
4 р 4 оо . Применяя формулу Тейлора и неравенство ЦГ"||р<л2||?||^
если Te'j^, дня любой feH2n имеем
|.£W.|*|'^ » Alru-
287

Отсюда и легко проверяемого неравенства Дп<1) Z	где
Xj6> 0, le[0, i/p], следует, что Ц/"||рл-г« X„{yn<f% Для
любой f € Hgn • Дзлее, Для любой feLp справедливы неравенства
\УпФ\р<ЧПг Ч,Фр<1Уп<Л1р- Теперь, принимая во вни¬
мание сказанное и простейшие свойства модулей непрерывности,
для любой feLp имеем
<o2(f.iln)p 4 0>2<f-TSn<j)p,i/n)p+ ш2(Т3я<рр,-1/п)р 4
4 4||/- ГгпФр|р + Л 21 T?n<f>pip4 4Е2пфр 4 К„ I Yn<TgnWjip4
4<4*2К„)Е3пфр^„\У„Щр 4 (4+ЗЛ;7)К Ул </>|р- Кю «Уи if) ||р.
Приведем сдно следствие теоремы 4.4.2.
Следствие	3. Пусть neN , 24 р	4 <»	,	f е	LD .	Тогда
'	2я*1
\gnW\p	<2*+l>lw>-/i2) ,/2|„»
11	#реО	"г
где - абсолютная постоянная.
Доказательство. Применяя неравенство Коши и
меняя порядок	суммирований^ имеем	^
(5,/.*)^IГ* Л |3„<*){л-*) j lsp<f,x) -f(x) I2	=
л-l	Jr*0	p*k
* Зл~*(2пг+1Г* V {лг-(л-Л-1)(и-Л;{| St(f,x)-f(x)lz4
4 (3/2)л2 J f»4i)|s'jk(>f,*)-</(af)|2.
**0
Осталось сопоставить последнее неравенство с первым из нера¬
венств теоремы 4.4.2. 1
По-видимому# можно доказать, что справедливо и обратное
по отношению к следствию 3 неравенство, т.е. что в условиях
следствия 3 имеет место соотношение
*-0 1
где К& - абсолютная постоянная,
§ 5. Пусть /е С , ate (0,1) . Тогда (см., например, [69,
гл.5 и 6]) соотношения jfeLipoI и lim я*£Л(/)а,<<*> равносиль¬
ны. Далее соотношение	п*°°
f € Lip 1	(20)
288

влечет неравенство
lim пЕ </)„ < оо.	(21)
71-МО
С другой стороны, неравенство (21) еще не влечет соотношение
(20): существуют функции f , для которых (21) выполняется, но
^	оо
вместе с тем f^Lip 1 , Неравенство ^ Ek<f) <оо является до-
Jc«0	*°
статочным (но не необходимым) условием для выполнения^соотно¬
шения (20). Соотношение (21) равносильно неравенству lim (/Г1*
Я -*0+
*а^(/,Л)оо) Следствие 4.5.2 допатняет изложенные выше факты.
Было бы интересно выяснить справедливость следующего утвержде¬
ния: существуют ли две функции/ vi g из € , такие, что	-
= En<g)0l> при всех леН, но вместе с тем /eLipl, a^rirLtpl?
В связи с другими результатами, связанными с конструктивными ха¬
рактеристиками функций класса Lip 1, см.[2$ с .300-308, 351] и £86].
В терминах сильной аппроксимации класс Lip 1 может быть опи¬
сан и в непериодическом случае. В качестве примера остановимся
на полиномах С.Н.Бернштейна. Введем обозначения:
1]-R;	Для	любых х.уе [0,lj{,^ip 1=	Л),
Рп,к<х>в
Теорема 3. Пусть / - вещественная непрерывная функция, за¬
данная на [0,1], Л £ 0. Тогда условия
/ е <£ip	(22)
vrm sup	lf<^M-f(x)\j>nkix)^	<	Л* (23)
——-	/	в	|	f/2
lim vrai sup](£n{ar))1 V (f<kln)-f<x))2pnk(x)\ 4JI (24)
л->«	*e[0,I] I	**	I
равносильны, т.е. выполнение одного из соотношений (22)-(24)
влечет выполнение двух других.
Следствие 4. Пусть / - вещественная непрерывная функция,
заданная на [0,1],	ев	полином	Берн¬
штейна. Тогда условие /eJZipl и совокупность условий
Urfe[0	I Х> 1 < М •
289

lim vrai sup {(^„ШГЧВ,,*/2, ж) - В2	<	оо
71+00 3CC[0,tJ '	'
равносильны.
В заключение комментария отметим, что было бы желательно
исследования, проведенные в книге для тригонометрических поли¬
номов, распространить на целые функции конечной степени.

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
Т.Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965.
3.	Б а р и Н.К. Тригонометрические ряды. М., 1961.
3. Бейтмен Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных пре¬
образований: В 2 т. М., 1969. Т.1.
4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., 1969.
5.	Бернштейн	С.Н.	Собр. соч.: В	4 т. М.,	1952. Т.1.
6.	Бернштейн	С.Н.	Собр. соч.: В	4 т. М.,	1954. Т.2.
7. Берг й.,Лёфстрём Й. Интерполяционные простран
ства.Введение. М., 1980.
8. Б р у д и ы й Ю.А., Крейн С.Г., Семенов Е.М.Ин¬
терполяция линейных операторов // Мат.анализ. Т.24 (Итоги
науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1986.
9.	Виденский	B.C.	Экстремгзльные	оценки производной три
гонометрического полинома на отрезке,	меньшем,	чем период//
Докл.АН СССР. i960. Т.130, » 1.
iD. В у л и х Б.З. Краткий курс теории функций вещественной пе¬
ременной. М., 1973.
11. В у л и х Б.З. Введение в функциональный анализ. М., 1967.
12. Габисония О.Д.О точках сильной суммируемости рядов
Фурье // Мат.заметки. 1973. Т.14, № 5,
13.Габисония О.Д. Точки сильной суммируемости радов со¬
пряженных с рядами Фурье // Мат.заметки. 1984. Т.36, Л 5.
14. Г а л к и н П.В. Оценки для констант Лебега // Труды Мат.
ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР. 1971. Т.105.
15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1967.
16. Голубов Б.И. Кратные ряды и интегралы Фурье // Мат.
анализ. Т.19 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР).М., 1981.
17. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения
функций. М., 1954.
18. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. М., 1971.
©.Гюнтер Н.М., Кузьмин P.O. Сборник задач по выс¬
шей математике: В 2 т. М., 1958. Т.2.
20. Дамен В. О наилучшем приближении и суммах Валле Пуссе¬
на // Мат.заметки. 1978. Т.23,	5.
21. Даугавет И.К. Об одном свойстве вполне непрерывных
операторов в пространстве С // Успехи мат.наук. 19ъЗ. Т.18,
вып.5.
291

22. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по ма¬
тематическому, анализу. М., 1969.
23. Д з я д ы к В.К. Введение в теорию равномерного приближе¬
ния функций полиномами. М., 1977.
24. Д и т к и н В.А., Прудников АЛ. Интегральные пре¬
образования и операционное исчисление. М., 1961.
25. Ефимов А.В. О приближении некоторых классов непре¬
рывных функций суммами Фурье и суммами Фейера // Изв. АН
СССР, сер.мат. 1958. Т.22, № 1.
26. Ж у к В.В. О порядке приближения непрерывной 2я-периоди¬
ческой функции линейными методами // Изб.вузов. Математика.
1969. № 10.
27. Ж У к В.В. 0 приближении периодических функций суммами
Фейера и интегралом Валле Пуссена. // ЗестнЛенингр. ун-та.
1974. » 13.
28.	Ж у	к	В.В.	0 приближении	периодических функций линейны¬
ми методами	аппроксимации	// Вестн.Ленингр.ун-та. 1982.№13.
29.	Ж у	к	В.В.	Аппроксимация	периодических функций. Л., 1982.
30.	Ж у	к	В.В.	Структурные свойства функций и точность аппрок¬
симации. Л., 1984.
31. Ж у к В.В., Натане он Г.И. Тригонометрические ряды
Фурье и элементы теории аппроксимации. Л., 1983.
32. Завалищин С.Т. О некоторых экстремальных свойст¬
вах тригонометрических полиномов // Труды Мат. ин-та
им.В.А.Стеклова АН СССР. 1965. Т.78.
33. Зигмунд	А.	Тригонометрические	ряды.	М.;Л., 1939.
34. Зигмунд	А.	Тригонометрические	ряды:	В 2т.М., 1965.Т.1.
35. Зигмунд	А.	Тригонометрические	ряды:	В2 т. М., 1965.Т.2.
36. И б р а г и м	о в	И.И. Теория приближения	целыми функция¬
ми. Баку, 1979.
3'?. Канторович Л.В..Акилов Т.П. Функциональ¬
ный анализ в нормированных пространствах. М., 1959.
38. К о л м о г о р о в А.Н. Избранные труды. Математика и ме¬
ханика. М., 1985.
39. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приб¬
лижения. М., 1976.
40. Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семенов Е.М.
Интерполяция линейных операторов. М., 1978.
41.Кузнецова О.И., Т р и г у б P.M. Двусторонние
оценки приближения функций средними Рисса и Марцинкевича//
Докл. АН СССР. 1980. Т.251, % 1.
42.Ланкастер П. Теория матриц. М., 1978.
43. Л с з и н с к и й С.М., Натансон И.П. Метрическая
и конструктивная теория функций вещественной переменной //
Математика в СССР за сорок лет. Т.1. М., 1959.

44. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций:	В
2 т. M.t 1968. Т.2.
45. Натансон Г.И. Об оценке констант Лебега, сумм Валле
Пуссена // Геометрические вопросы теории функций и множеств.
Межвузовский тематический сборник научных трудов. Калинин,
1986.
46.Натансон И.П. Теория функций вещественной перемен¬
ной. М., 1974.
47. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.; Л.,
1949.
48. Никольский С.М. О некоторых методах приближения
тригонометрическими суммами // Изв. АН СССР, сер.мат., 1940.
49. Никольский С.М. Приближение периодических функций
тригонометрическими многочленами // Труды Мат.ин-та ш. В.А.
Стеклова АН СССР. 1945. Т.15.
50. Н и к о л ь с к и й С.М. Приближение многочленами функций
действительного переменного // Математика в СССР за трид¬
цать лет. М.;Л., 1948.
51. Никольский С.М. Теория приближений функций мно¬
гочленами // История отечественной математики. Т.З. Киев,
1968.
52. Никольский С.М. Приближение функций многих пере¬
менных и теоремы вложения, м., 1977.
53. Осколков К.И. Последовательности норм сумм Фурье
ограниченных функций // Труды Мат.ин-та им.В.А.Стеклова АН
СССР. 1977. Т.143.
54. Осколков К.И. О сильной суммируемости рядов Фурье//
Труды Мат.ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР. 1985. Т.172.
55. Подкорытов А.Н. Теорема фейера-Марцинкевича в мно¬
гомерном случае. Л., 1976. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 1.2.1977,
J6 368.
56. Подкорытов А.Н. Линейные средние кубических cvmm
в многомерном случае. Л., 1977. 12 с. Деп. в ВИНИТИ Т.ь.
1977, * 2117.
57. П о л и а Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа; В
2 т. М., 1956. Т.2.
58. Прудников А.П., Б р и ч к о в Ю.А., М а р и ч е в
С.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., 1981.
59. Р е м е з Е.Я. Основы численных методов чеоышевского при¬
ближения. Киев, 1969.
60 Сафронова Г.П.О методе суммирования расходящихся
иядов, связанном с сингулярным интегралом Джексона // Докл,
АН СССР. 1950. Т.73, # 2.
61.	С к о п и н а М.А. Константы^Лебега кратных^ суш Валле
Пуссена по многогра
ния Мат.ин-та им.В.
293
никам // зап.науч.семин.денингр, отд-
.Птаюгпва АН ПСПР. 19ЙЯ. & 12В.

62. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная те¬
ория функций комплексного переменного. М.;Л., 1964.
63. Справочник по специальным функциям с формулами,
графиками и математическими таблицами / Под ред. И.Абромо-
вица и И.М.Стиган. 1979.
64. Стейн Им В е Й с Г. Введение в гармонический анализ
на евклидовых пространствах. М., 1974.
65. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометри¬
ческими полиномами. Киев, 1981.
66. С т е ч к и н С.Б. О суммах Валле Пуссена // Докл.АН СССР,
1951. Т.80, № 4.
67. Тайков Л.В. Одно обобщение неравенства С.Н.Бернштей¬
на // Труды Мат.ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР. 1965. Т.78.
68. Т е л я к о в с к и й С.А. Теория приближения функций мно¬
гочленами // Очерки развития математики в СССР. Киев, 1983.
69. Т и м а н А.Ф. Теория приближения функций действительного
переменного. М., !9ь0.
70. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные про¬
странства, дифференциальные операторы. М., 1980.
71. Т р и г у б P.M. Суммируемость рядов Фурье и некоторые
вопросы теории приближений. Донецк, 1980. 235 с. Деп. в
ВИНИТИ 8.12. 1980, Jfe 5145.
72. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах.
Минск, 1968.
73. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах: В
2	ч. Минск, 1977. 4.2.
74.	Ф и х	т	е	н г о л ь ц	Г.М. Курс	дифференциального и	инте¬
грального исчисления: В 3 т. М., 1970. Т.2.
75.	X а р	д	и	Г. Расходящиеся ряды.	М.,	1951.
76.	X а р	д	и	Р.Х., Л и т	т л ь в у	д	Д.Е.,П	о	л	и	а	Г.	Не¬
равенства. М., 1948.
77. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: В 2т,
М., 1985. Т.1.
78. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: В 2т.
М., 1985. Т.2.
79. Янушаускас А.И. Кратные тригонометрические ряды.
Новосибирск, 1986.
80* But z е г P.L., N е s а в 1 R.J. Fourier analysis and
approximation# New York and London, 1971.
81# С i v i n P# Inequalities for trigonometric integrals //
Duke Math# J. 1941. Vol.8#
82.	Gogoladze L.D. On a problem of L.Leindler concern¬
ing strong	approximation by Fourier series	and	Lipschitz
classes /7	Analys. Math. 1983. Vol.9, N 3.
83.	H a г d у	G.H., Littlewood J.E.	Sur	la s£rie de
294

Fourier d»une fonction а саггё sommable // Compt.Rend.Acad.
Sci. 1913. Vol.156.
84. Hardy G.H., Littlewood J.E. The strong sum-
inability of Fourier series // Fund. Math. 1935# Vol.25*
85. Jackson D. tfber die Genauigkeit der Annoherung ste-
tiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebe-
nen Grades und trigonometrische Summon gegebener Ordnung.
Diss. Gottingen, 1911*
86. Leindlor L. Strong approximation by Fourier series.
Budapest, 1985.
87. b e n 3 к i V/. On the degree of strong approximation of
integrable functions // Functiones et approximatio. 1982.
Vol.12.
88. Lenski W. On the degree of strong approximation func¬
tions belonging to the spaces 2,P( 1 < p < 00) // Funotio-
nes et approximatio. 1982. Vol.13*
89. Marcinkiewicz J. Collected papers. .Yarszawa,
1964.
90. R i e s 2, M. Eine trigonometrische Interpolationsformel
und einige Ungleiohungen fur Polynome // Jahresber. d.
Deutsoh. Math. Verein. 1914* Bd 23*
91. Scheiper H.-J., S i с к e 1	V/. On strong summabi-
lity of multiple Fourier series and smoothness properties
of functions // Analys. Math. 1902. Vol.8, N 1.
92. Stock In S.B. On the approximation of periodic func¬
tions by de la Vallde Poussin sums // Analys. Math. 1978.
Vol.4, N 1.
93* Vallde-Poussin Ch.J. Logons our 1•approxima¬
tion des fonctions d*une varialbe r6elo. Paris, 1919.
94. Z a m a n s к у M. Classes de saturation de certain pre¬
cedes d*approximation des series de Fourier des fonctions
continues et application h queiques problemes d*approxima¬
tion // Ann. Soi. Eoole norm. Sup. 1949* Vol.66, H 1.

Научное издание
Кук Владимир Васильевич
СИЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Редактор З.И.Царькова
Художественный редактор В.В.Пожидаев
Обложка художника В.А.Тютокина
Технический редактор Л.А.Толорина
Корректоры Е.К.Терентьева, Н.В.Субботина
ИБ Л 2483
Подписано в печать 12.10,88.	М-34003.	Формат	60x84	4/16.
Бумага тип.Л 2. Печать офсетная, Усл.печ.л. 17.20.
Уел. кр.-отт. 17,37. Уч.-изд.л. 14,99. Заказ41^4.
Тираж 1475 экз. Цена 3 руб,
Издательство Ленинградского университета.199034.Ленинград,
Университетская наб., 7/9
PC

3 #ув.