Text
                    В.В.ЖУК
СИЛЬНАЯ
АППРОКСИМАЦИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
§ ИЗДАТЕЛЬСТВ©
ленинградскою
университета
»


ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В. В. ЖУК СИЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЛЕНИНГРАД ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО
Редактор З.И.Царькова Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. B.C. Виденский (Ленингр. пед. ин-т им. А.И. Герцена), д-р физ.-мат. наук В.Н. Малоземов (Ле- нингр. ун-т) Печатается по постановлению Редакционно-издательс:: го совета Ленинградского университета УДК 517.5 1 УК В.В. Сильная аппроксимация периодических функций. - Л.: Издатель¬ ство Ленинградского университета, 1989. - 296 с. ISBN 5-288-00049-2 Разрабатывается новый подход к изучению ряда задач теории аппроксимации периодических функций, основанный на том,что не¬ которые важные величины этой теории связаны посредством унитар¬ ных преобразований. Предлагаемая методика позволила, в част¬ ности, углубить в плане сильной аппроксимации такие вопросы, как интерполяционные формулы типа М.Рисса, оценки норм агрега¬ тов приближения, двусторонние оценки отклонений методов при¬ ближения, непосредственное сравнение методов приближения с точки зрения их аппроксимативных свойств, оценки норм произ¬ водных тригонометрических полиномов, конструктивные характе¬ ристики классов функций. Книга рассчитана на специалистов в области математическо¬ го анализа, аспирантов и студентов математических специальнос¬ тей. Библиогр. 54 назв. 2 5702050000 - 006 076(02) - 89 Издательство Ленинградского ISBN 5-288-00049-2 университета, 1989
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Основные обозначения . . 10 Глава I. Пре, варительные сведения § 1. Некоторые тригонометрические тождества 16 § 2. Нормированные пространства 21 § 3. Унитарные матрицы . . . . . 28 § 4. Некоторые определенные интегралы . 37 Глава П. Линейные методы суммирования рядов Фурье § 1. Суммы Фурье. Элементы теории наилучших приближений 43 § 2. Некоторые представления операторов, построенных на базе рядов Фурье 59 § 3. Средние Абеля-Пуассона и средние Марцинкевича. ... 78 § 4. Суммы Рогозинского .с 97 § 5. Суммы Валле Пуссена, ...... 105 Глава Ш. .Представление агрегатов приближения на классах тригонометрических полиномов § 1. Интерполяционные формулы для тригонометрических по¬ линомов. . 134 § 2.. Коэффициенты Фурье сплайнов 157 § 3. Унитарные матрицы и суммы Фурье 164 § 4с Интерполяционные полиномы и ортогональные системы функций 178 § 5. Средние Абеля-Пуассона и их производные. Суммы Валле Пуссена. . . 185 § 6. Два заключительных замечания 198 3
Глава 1У. Сильная аппроксимация и некоторые классические вопросы теории приближений § 1, Оценки для норм методов приближения 200 § 2. Суммы Фейера и средние Абеля-Пуассона 219 § 3. Неравенства для производных тригонометрических по¬ линомов 242 § 4. Интеграл Джексона 249 § 5. Функции класса Lip 1 и сильная аппроксимация. . . . 254 Комментарии и дополнения 260 Указатель литературы 291
ПРВ1ЩСД0ВИЕ Пусть Lp и С - пространства 2л-периодических функций с обычными нормами,X есть или С, «5^.(/,#>- частная сумма ря¬ да Фурье функции / порядка к. Как известно, ряд Фурье функции из С еще не обязан сходиться в каздой точке. С другой стороны, л-х суммы Фейера = S^(ftx) функции j&Lt сходятся к Jc*0 Jr(tffl) в каждой точке хл, в которой { непрерывна, т.е. имеет V V место равенство HePaBeH0TBy Гальдера 16n<f, X)-J<*>\ ^ IЛ"1 2 I S*<f> *) 9 j1^* Hn X) k*o } при <^£i. Начало изучению величин Hn(q,ffX) было положено Г.Харди и Д.Литтлвудом [83]* которые установили, что если feL^ непрерывна в точке а*, то lim = В дальнейшем О П-+О0 11 ц и величины типа Hn(cf9Jtx). изучались многими математиками в раз¬ личных направлениях. Так как 6n(f,X)-\ $Х+1)Фп{1)<11, где 1 /sin(ni/2)\2 J-л фл(г)=2^\"7йГЩ2Г/ " ^ ейера* то 1фИ ч' Термин ’’сильная аппроксимация'1 мы связываем с кругом вопросов, относящихся к изучению изменения величин типа \х и в зависимости от структурных свойств функции f* Вопросам связи между дифференциально-разностными свойст¬ вами периодической функции и возможной точностью ее приближе¬ ния тригонометрическими полиномами в теории аппроксимации уде* лоно много внимания. Первые результаты в этом направлении били получены в классических работах С.Н.Бернштейна, Ш.Валле Пуссе¬ на, Д.Джексона, А.Леоега и связаны с изучением скорости убыва¬ ния последовательности наилучших приближений функции в записи-
мости от ее структурных свойств. В этих работах были установ¬ лены также и первые оценки для отклонений линейных методов при¬ ближения. Исследования упомянутых авторов получили интенсивное развитие в работах многих математиков. В частности, вопрос о связи между структурными свойствами функции и скоростью убыва¬ ния последовательности ее наилучших приближений для пространств и С к началу 60-х годов был изучен с большой полнотой. Из¬ вестные здесь результаты неоднократно освещались в монографиях по теории приближения (см., например, [23, 69]). К настоящему времени аналогичный вопрос получил свое полное решение для ши¬ рокого класса линейных методов аппроксимации. Установленные здесь результаты имеют окончательный характер для каждой инди¬ видуальной функции* Изложению этой тематики посвящены моногра¬ фии [29, 71]. Что касается сильной аппроксимации периодических функций, то с начала 60-х годов изучению величин типа || уделяется, много внимания, и к настоящему времени в этом направлении получен рад интересных результатов. Вместе с тем исследования здесь еще далеки от завершения, и уровень оконча¬ тельности результатов значительно уступает случаю линейной ап¬ проксимации. В частности, нет еще двусторонних оценок для от¬ клонений методов сильной аппроксимации, совпадающих с точностью до постоянного множителя к имеющих окончательный характер для каждой индивидуальной функции, не проведено сравнение величин типа и | В настоящей книге получены первые результаты такого рода. В 1985 г. вышла книга Л.Лейндлера [86], которая является пер¬ вой монографией, специально посвященной вопросам сильной ап¬ проксимации. Результаты, изложенные в ней и в настоящей книге, дополняют друг друга, практически не пересекаясь. Многие результаты теории аппроксимации периодических функ¬ ций базируются на свойствах тригонометрических полиномов.В свою очередь, эти свойства часто оказываются простыми следствиями некоторых тождеств. Поясним сказанное на примере. Обозначим че¬ рез Ип множество тригонометрических полиномов порядка не выше п. Обратные теоремы теории наилучших приближений тригонометри¬ ческими полиномами в пространстве С основываются на классиче¬ ском неравенстве С.Н.Бернштейна 1Пс<"Пс , если ТеНп . Приведенное неравенство является простым следствием классиче¬ 6
ской интерполяционной формулы М.Рисса [90] (ом., например, [52, с.92, 93]) Т'(0) = ~УЧ (-ifT(n{2k+1)-)cos,ec2~^-^ . (1) 4п L*' \ 2п / 4л k-Q п Пусть теперь /(х)=^^сге11х - тригонометрический полином по¬ рядка не вше л, x*=n2ftk/(2n±l), г~(сг)^„п, $~{2п+1)*!2 * *(f<xk))” Л* Л = f2л +1 )'1/21|exp(v2%kI j(2n+i))J (k,l=-n,n ). Равенства feocp {к=-п,л) кратко могут х Ь-71 быть записаны так: s-Лг. (2) В этой записи важным обстоятельством является то, что матрица А унитарна (см. [76, с.266, 267]), Из унитарности матрицы А следует, что "длины” векторов $ и г равны, т.е. справедливо ра¬ венство 2|с^|2=(2л + 1Г12[/^)Г. О) Jcs -п Х--п Пусть теперь jeHn - четная функция, такая, что /(0)- 0 = этIjn, dl=sin(2 + (-'ljH)\ oin(l) = I, если 1Ф n, &п(п)в2~\ По интерполяционной формуле Лагранжа П f<x) - >f(yOgn,i<x^ ^4) 1=1 где <r ,W- (-l)l<cQS<n-l)x~cos<n^2vc) оП>1 2л (cosуг - cos х) Равенству (4) можно придать вид sin(nxl2)= 1 у <-1)г ot]i2a)d)l2J(yi) ^ * sin(x/2) 2п 2* s\n(yll2) £>n,i где система функций 4oiK2(l)$in(yil2) cos(xl2)sin{nx/2)sinnx -— Or* <Х) = - ^ - <1*1,П) ®Л-1 df12 <cos уг - cos х)
будет уже ортонормированной на [0,л:] . Следовательно, tW/ /2) * ~ У —(6) j0r М sln(xl2)J An2 ш $[п2<уг12) Формулы (1), (3), (6) одного плана. Изучение соотношений типа (2) и (5) и сопутствующих им формул с точки зрения задач тео¬ рии сильной аппроксимации, а также их приложения яаяяется од¬ ним из основных направлений книги. В основе результатов, излагаемых в книге, в большей сте¬ пени лежат конкретные соотношения, чем рассуждения общего ха¬ рактера. В книге приводится очень много конкретных формул. Да¬ леко не всем им даются приложения. Это связано, с одной сторо¬ ны, с обширностью излагаемого материала. С другой стороны, бы¬ ло бы желательно, имея уже примеры приложений, дальнейший их совместный анализ связать с пополнением набора формул в направ¬ лениях , указанных в комментариях к § 3 и 4 главы 3 и к § 2 гла¬ вы 4. Автор убежден, что на этом пути конкретного анализа уда¬ стся найти нестандартные соотношения (например, типа равенств 4.2.(34), 4.3.(21), 4.3.(27)), которые в настоящее время вряд ли можно предугадать из более общих соображений и которые пред¬ ставляют как самостоятельный интерес, так и полезны в приложе¬ ниях . Число формул, приводимых в книге, можно было бы уменьшить за счет болэе общей формы их записи. Автор сознательно отказал¬ ся от такой возможности, ибоэто затруднило бы конкретный ана¬ лиз. Монографию не надо рассматривать как отчет о некотором этапе развития теории аппроксимации. Ее цель,скорее,состоит в том, чтобы изложить некоторые методы исследования, которые мо¬ гут быть использованы при дальнейшем изучении вопросов теория аппроксимации. Основная часть книги содержит только изложение результа¬ тов. Здесь практически отсутствуют какие-либо пояснения, свя¬ занные с постановками задач, историей рассматриваемых вопросов и т.п. Такие пояснения имеются в разделе "Комментарии и допол¬ нения”, написанном в значительно более свободной манере, где автор не считал себя обязанным придавать рассуждениям формаль¬ ный характер. В этом же разделе содержатся постановки ряда во¬ просов и задач, которые было бы интересно исследовать (фразы В
типа "не ясно..”, "было бы интересно..." и т.п., употребляемые в книге, являются лишь сокращением фраз: "автору не ясно..." , "по мнению автора,было бы интересно" и т.п.). Они отражают взгляды автора на излагаемый в книге материал на период завер¬ шения работы над книгой (август 1986 г.). Часть вопросов и за¬ дач сопровождается указанием возможных путей, на которых могут быть получены решения. Книга доступна лицам, имеющим подготовку четырех-пяти се¬ местров математических факультетов вузов. Для ее чтения не тре¬ буется специальных знаний в области теории приближения.Одна¬ ко я хочу обратить внимание читателя, не знакомого с основами теории приближения, на то обстоятельство, что во избежание уве¬ личения объема и дублирования в монографию практически не вклю¬ чался материал, который уже освещался в книгах по теории при¬ ближения. Поэтому изложение не лишено некоторой одностороннос¬ ти. Например, суммам Фейера и средним Абеля-Пуассона посвящен довольно большой § 2 главы 4. Однако здесь не излагаются мно¬ гие известные интересные результаты, связанные с этими замеча¬ тельными методами приближения. Книга состоит из четырех глав. Материал по главам ;веськь условно) распределен так: главы 1-3 связаны с разработкой ме¬ тодов .исследования, глава 4 иллюстрирует их возможности приме¬ нительно к вопросам теории аппроксимации периодических функций Подробные характеристики глав даны в разделе "Комментарии и дополнения". Как правило, аспекты, относящиеся <к истории, вопросов, спе¬ циально не рассматриваются. Утверждения типа "в связи с .т см, [у]" не обязательно означают, что ос содержится в \у] в полном объеме. Библиография не претендует на пелноту. Там, где это ока¬ залось возможным, ссылки даются на монографии, а не на ориги¬ нальные журнальные статьи. В каждом параграфе утверждения одного типа (определения, леммы, предложения, таблицы, теоремы, замечания, формулы) име¬ ют собственную нумерацию. При ссылках внутри параграфа указы*- вается только номер соответствующего утверждения. При ссылках на утверждение другого параграфа утверждение х из § у обозна¬ чается как утверждение у.ос * При ссылках на утверждение из дру¬ гой главы утверждение X из § у главы z обозначается как утвер¬ ждение z.y.x, г.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Ат Ап(т) Вт - множества (57, 71, 59) С - множество комплексных чисел (is) Кт - множество (92) N - множество натуральных чисел (16) 0т - нулевой элемент Ст (22) 1т = (1,1,... ,1) (т раз) (22) Рп - множество многочленов степени п (157) I? - множество вещественных чисел (16) JR + - множество неотрицательных вещественных чисел 2 - множество целых чисел (16) Z+ - множество неотрицательных целых чисел (16) Ат= А * А * ... * А (т раз) (16) Ап(}) С;* 1,16) - матрицы (31,32) <*,$,$) - матрица (37) [а] - целая часть а (16) С (46) -<Г) - классы функций (60) С[а,ЪJ С(г> [а,Ъ] C(Qm) - пространство периодических функций c(p,n,l) = cosec(ynl<p)/2) (168) -'(f) ! (27) с (|3 /)j К0ЭФФи11^енты Фурье f D„ <х) ^n<x)l -афихле (45, 149) Оп(а,х)г (44. 157) 10
_ наилучше приближения (54, 112) En<f) ) - норма J в Wm (27) V |p-|/|x,«*■)“'«**“ / B lP{Qrn) (24* 25« 26) ■ норма $ B c<Qm> (27) \ApX - “о-1 * 8 *?<В> (28> \f‘X>l».p- T,r> \flr (201) gn(ft%) - интеграл Джексона (249) о- ортонормированные системы функций (178-184) ' Лп - множество тригонометрических полиномов порядка, л, НОп,“яУ*?Ял (54) функционалы (227 , 233 , 238 , 239) J1 - интеграл (60) А средние Марцинкевича (79) ?г<г> К<*> )r( Z) }*(Ь1 ядра Марцинкевича (79) к=а,Ъ -к пробегает целочисленную решетку [а, Ь] (16*135) - пространства периодических функций (24, 25, 27' ь LplQJ HX^Y) - множество операторов (28) 1р - пространство последовательностей (24) \\т ил ) ■%+•*» >- пределы последовательностей (52, 57) (d)lim и ) •и
Хр<1» Ла,Ь Ла,Ъ<т> ^а.Ь ^ ^ M„<m,f,x) Ма>ъ<т,/,х) Ма>ъ<т,1) MHQ>b<m,Ux) Prf/.x) ?:</,*> ?г<г> Wi) К{1) ■ pr<m,i> 1 p*{m,i) \ - пространство функций (28) - постоянные (120, 124) - средние Марцинкевича (124) - ядро Марцинкевича (124) - средние Фейера - Марцинкевича (71) - дцро Фейера - Марцинкевича (72) - средние Валле Пуссена - Марцинкевича (218) - ядро Валле Пуссена - Марцинкевича (118) средние Валле Пуссена- Харди - Марцинкевича (218) - средние Абеля - Пуассона (78, 79) - ядра Пуассона (78 > 79) - ядра Пуассона - Марцинкевича .(79) PHr(j,x) ) PHJj, f,x) [ ~ средние Абеля - Пуассона -Харди Qm-[~3t.orj”1 (23) (85) функционалы (237) постоянная (202, 103) ®<},1фх) Рп i (p,f, х) - суммы Рогозинского (97 , 98) Sn <f, х), Sn<aJ,x)r суммы Фурье (45, 46, 87) 12
Ta(f>p Tn<f) t(p,n,l) = m ) II uu IV Ip : Къ<*> \b<^r ■ ^a}b v[<x, b] Wm ^a,b<m> I } 1*1? (X-y) Уп;к<Р> Уп,к<№ otn<t) 1 I f(nn) - функции Стеклова (49) - полиномы наилучшего приближения (54, П2) &g<y»,t<P*/2> {ш) - нормы оператора U (?3) - ядра Вшою Пуссена (107, 192) - постоянная (84) - объем [а, Ь] (23) - пространство периодических функций (27) - функционалы (244) - постоянная (109) - покоординатные минимум и максимум (69) - норма х в 1р (24) - скалярное произведение (22) - узлы (67, 97) - функции (16, 45) - постоянная (193) 13
Ar(KJ,x) 8(h,f,x) Sr<Ji,j,x) разности функции j (92 , 97, 164) &(m) - постоянная (73) Лг/1х> = '£ыгтЛкс11<1)е‘<*-*> (ев) - ядро Фейера - Марцинкевича (71) }Ла>Ъ<1) ~ ядро Марцинкевича (124) 1*а Ь Ст* ^ ^ ~ Валле Пуссена -Марцинкевича (118) Пг(-т,/. 5Tr(wi,?> 5T£<777,2j средние Абеля-Пуассона-Марцинкевича (79) - ядра Пуассона -Марцинкевича (79) - суммы Фейера (51, 76, 165, 192) X) *Ъ</>ХН 6nte>f,%)r , 6a,b(j',x) 1 _ средние Валле Пуссена (107, 192) *o,b<f,*b i 6{p,h,f, X) - разность функции / (92) - еИ<у,п<М> х) (236) бН- вН, ц>г(/,Л) Vr<J’h>p ) средние Валле Пуссена - Харди (107) - модули непрерывности (47* 279) 14
Фп<х) - ядро Фейера (51) Дп<*> - ядро Джексона (249) S (я,и,1^)1 _ функции (195, 211) &{г,п№) ) Ш(п9и,гг)\ функции (195, 2И/ -функция (16) По поводу построения обозначений в многомерном случав см. с.104, 105. Определение суммы ряда см. на с.23. В связи о Ст см. с.22, 23. Соглашения по поводу 0/0 , Сс/0 (а > 0) и т.д. см. на с. 16,
Глава I ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЩНИЯ § £. Некоторые тригонометрические тождества В дальнейшем С ,К, Z.Z+.N' суть соответственно множест¬ ва комплексных, вещественных, целых, неотрицательных целых, на¬ туральных чисел; если А - некоторое множество, то AWeA*A*..*A (т раз); [а], где аеК, - целая часть числа а . Если z€ С , z ^0, то sign z~(z/\г |); sign О = 0. Запись к = а>Ь , где а, J>€PU{-cor-fco] и а4Ь, означает, что А пробегает все це¬ лые числа между а и Ъ , включая а и &, если они целые; если а>Ь, то запись А-а,Ь равносильна утверждению: А пробегает пустое множество. Условимся функции, заданные на подмножествах Ст, имеющие в некоторой точке устранимый разрыв и неопреде¬ ленные в ней, доопределять в этой точке по непрерывности,В дру¬ гих случаях, если не оговорено противное, символ 0/0 понимает¬ ся как 0, символ а/0» где а >0, - как + со, символ (,+ сю)*0 - как +со, символ а Л* со), где а £ JR, - как 0 ; полагаем 0°=1. Там, где это не приводит к неясности, вместо * со пишем прос¬ то оо. Функции : Z-*-} 1/2, 1 | : Z {1/2,1 } при п £ определены соответственно соотношениям f I , если \1\фп, j 1 , если \1\Ф0,п, j jy'2> если ji| = л, 1л* ' | 1/2 , если 121= 0,л. Полагаем (г, I) ~ {1 + г2- 2rcos ? Лемма 1. Пусть ticN , хе С . Тогда п эг* =* 1-Ш **о 71 (i-x?^kxk = ас-<л+1)хл+1+лагп+2, (2) (i-x/J£jc2x** х+ хг-<п+1)гхп**+ {2пг+ 2n-i )хп*г- п гхп*3г (з)
k3x*- x + 4x2 + x3-<n+i )3хп**+(Зп3+6пг-4)хп*г- JC‘i -(Зл3+ Зл2-Зл + 1 )асл+3+ л3эс71+4. U) Доказательство. Докажем (2). Остальные соот- эшения устанавливают с я аналогично. Имеем У1 Л я 4-1 Л+2 Д (1-*)2У JkAjAa:*- 2^ +^(/r-2)jt>-2]{A:-2<Ar-l>+(ic- Ы *■1 А-2 *'3 *«3 + ла? -2)}ж*+ а? + 2хг-2хг - 2лагя+1+(л-1)а:л+1+ лжп+2= х-(п + l)a?n++ л+г Следствие 1. Пусть ne.Nf r.ieC. Тогда r'VA*= Х^-л+1 А» О = %<r,l)(1-г?+ 2rn**cos(n-i)l - 2rncosnl) , (5) 2^ pn(jfc)r*coski = * *-л *-0 г2(Г,2)(1-Г2+ГЛ+1СОв(Л-1)|5 + (г2-1)ГПСОЗл1-ГЛ+ COS<tt4 I)J ) ? (с) л-1 . - л-1 c2^Tr*sm/ci- 2£<r,f)(rsmi+rn*sin(/2-I)l- £*-.тн1 *•<> , -r*sinni), (?) л л - = 2^ ain<k)Tks\nkl = А--л **1 =r^(r^)(^smf-frl4lsin(^-l)i*f(r-1)гпЬ1пл4- rmlsin(^4l)? ). (8) Доказательство. Сначала установим (5) и (7;. В силу аналитичности функций, участвующих в доказываемых . ра¬ венствах, можно считать, что г> 0, ieJR . Полагая х^ге1 в тождестве (cm.C!))^^#*85 (1-хп)/(1-х), применяя формулу Эй¬ лера e**=co$i 4isin? и отделяя вещественные и мнимые части, имеем л-j л-i л-i ^ = ^r*cosA? 4 i^jTr*siH>ci « х«о k*o х*о 2?
a }(r,i)}I-rcosl+ г”+1соз(л-1)?-rncosnt + i(rs\nl + гл+1ьт (л-я?- - r”sin^i)}. Отсзда соотношения (5) и (7) следуют уже очевидным оСразом. Ра¬ венства (6) и (8) легко вытекают соответственно из формул (Ь) и (7). 4 Следствие 2. Пусть neZ+ , ieC . Тогда п п 2^^M(k)cosJti = У e’ki - sin(n+i/2)?cosec(?/2), (У) л п 2^fin(k)co$kl =^c6n(k)el,ci* sinni clg(i/2) (леЛ), (ТО) п **~п 2 У sin (sign A)e**?*(cos (i/2) - cos (л+1/2)?)cosec(i/2), (11) У-р k*-n n 2£ot„(Jc)$inki * - (sign*) e1* = (1- cos л? )clg<i/2). (12) *•0 *—n Следствие 3. Пусть лсК , r.feC. Тогда ^ оьп<*)|*|г'А:|е<**=^2(г,?)|-4гг+2г(1+гг)со5?-лг,,+гсо5(л-2)?+ л*‘п + 2r”+Vn-r2)cos(n-i)f + r”(-n + 4r2+nr'4)cosni- - 2гл+1( l+nr?)cos(n+l)f + nrn+acos<n+2)? ] , (13) Л +2rl*i(n-it2)sin{n~i)i+rfi(-n+4r,2+nr4)sinni - • - ?гл+1(1+лгг)51П(л-*-1)? + лгпч2ат(.п+2)? }, (/[4) П У «„{JOA^r^'e’^^ir.iijerV^D+Zrd-r^cos? + 2гг(1- **” -r2)cos2? +л2гл+3со5(л-3)?-гл','2(Зл2+(лг-4л-2)гг) * « сой<л-2)? Злг+ 3(лг-4л-2)Г2-(лг+4л~2)г4)со5(л-1)? - - г”(лг+ 3^лг-4л~2)гг-3(лг+4л-2)г4-л2г6)со5л£ - - гл+1(2 + 4л-лг+3(л2+4л-2)г2+Зл2г4)соз(л+1)? + +г7иг(лг44л-2 + Зл2г2.)со$<л+2)2-n2r”+3cos(n+3)l (15) 18
<^(Jt)*|A|r,*,e{*i=^3(r,?)|2r(l-6r2+r4)smf4 2r2(l+.r2)sin2?+ **'” + n‘!rt'*3s\n(n-3)i - rn+2( 3n2+ <n2-4n-2)r2)stn (n-2)? + + гл+1(3л2+ Ъ<п2- An - 2)r 2-(n2+ 4n-2)r*) sin (л-1) г - - гп(л2+3(лг-4л-2)гг-3(лг+4л-2)г4-лгг6)$шл? -г"+1(2+ 4л-л?+ t-3<n2+4n-2)r2+3n2r4)sin(n+l)l + r”*S(nz+4n-2 + 3n2r2)sin(n+2)t- - лггя+35т(л+3)? } • Доказательство формул (ТЗ)-(Тб) аналогично доказательству соотношений (6) и (8). При этом используются равенства (2) и (3). Получающиеся выкладки элементарны, но довольно громоздки. Следствие 4. Пусть ле2+, i е С , у- cig<t/2). Тогда л ^ ал(А'>|Л'|е,*г = (V2)(l+y2)(cosni-l) + nysinni , (17) Дг»-л Л - г^<хл(Аг)*е1,%1=-nycosni + (l/2)(I+y2) sin , (18) л У ап{к)к2е'**n<Uy7)co$nt + <1/2)у(2л?-1-уг) sinnf, (1э) >.-п „ - г У |Лг |егА"г = дпУ -{"t/2)y(l+y?} + y((ll2)(l±y2)-n2)cosni + n(i+y2)stл nI, t) Дяя доказательства (T7)~(20) достаточно положить г ~ а а равенствах (13)-(16). Соотношения (17)~(20) могут быть также получены дифференцированием тождеств (10) и (12), Следствие 5. Пусть леДГ, ?е€\ у= clgtf 12). Тогда л-1 У<ЧЛ|/л)еШ= 2 У &„W{Ukln)coskU*™2l?*‘2 > , <81) Чл к п^пЦЦг)' £ а-кг/пг)еш= 2^Jk){l-jc2/n2)<oski * *«-и *.0 = -(l+y2)n‘Icosn? + (l/2)y(l+y2)7i_2smni. (22) 19
Равенство (21) устанавливается вычитанием равенства (17), умноженного на 1/л , из соотношения (10). Равенство (22) полу¬ чается вычитанием равенстза (19), умноженного на 1/л^, из со¬ отношения (10). Следствие 6. Пусть г,£аС . Тогда л-1 ^r*co$kl=£<r,i)(l-rcosf + rn*icos(ri-t)i-ry'cosnl), (23) 2^rt!cos{2k+i)i = I < \ = ^fr,2J)|<l-r)oos?+г cos(2n-D?-r”cos(2n + l)i I , (24) л-1 ^г*$\п<2к+1)Ъ - %(r,2l){(i+r)&\ni 4r”+1sin(2n-l)f - K’° -rns\n(2n + i)i |, (25) оi„(k)r*sini2k+1)l r,2i)[( 1+r)sini -гя+1cos(2л+1 )isxn2?+ *=0 + 2~irn(rz-i)$in(2n+i)l |. (26) Доказательство. Формула (23) уже фактически установлена при доказательстве следствия 1. Доказательство (24) и (25) основывается на соотношениях (7) и (23). Равенство (26) легко получается применением формулы (25). Д Следствие 7. Пусть лет , ieC. Тогда Ух 2|cos(2>c-i)} * 2-1 sin 2л i cosec {, (27) *=1 и ^5хп<2*-1)? = бтгл$со5ес?. (28) Jt-i Лемма 2. Пусть л е N, г, ж, у <е С, A(r,n,x,y) = (i+r2){{i-V)sinxsiny-r”svn{2n+l)x sin{2n+l)y+ + r”+sxn{2n-l)xsin^-i)y} + r{(l-r)(sin3xsiny 4 sin х sin Зу) + 4 rn(s\n(,2n+3)x$\n(2n-i)y 4 s\n(2n+3)ysin(2n-i)x) - - r*+1(sin(2n4i)xsin(2n-3)y •> sin(2n4i)ysin(2n-3)x) J . Тогда n-i V r*sin(2£+l)x <in(2.fc+J)y= i(r, 2(x+u))z{r, 2(X-y))P^r,n,x,ij). 2b* ® (29)
Доказательство леммы 2 получается непосредственными вы¬ числениями. При этом используется формула (24). Следствие 6. Пусть ге [0,1 ) , а*,у € R , Тогда оо У r*sin<2k+i)xs\n(2k + i)y » Л=0 = (l-r)sin arsiny 2(x+y))$(r, 2<x-y))\{ l+r)2+ 2r(co$2x + cos2y)j. (30) Для доказательства следствия 8 достаточно перейти к пре¬ делу при п-*>оо в равенстве (29). § 2» Нормированные пространства В этом параграфе приведем, в основном бе? доказательств, элементарные факты из теории функций вещественной переменной и функционального анализа, чтобы на них ссылаться и чтобы чита¬ тель ознакомился с принятыми обозначениями. Множество X называется (комплексным) линейным пространст¬ вом, если для каждых двух его элементов хну определена их сумма ач-у -элемент того же множества и для любого элемента х нАеС определено произведение Ах, являющееся также элементом множества X, причем эти операции удовлетворяют следующим усло¬ виям: 1) х+у~у + х ; 2) (x+y)+z - x+(y + z) \ 3) ъ Xсущест¬ вует такой элемент О, называемый нулевым, что для любого xgX будет о*а: * О; 4) <Я+у,)х = Ях +}лх; 5) А(х+у) = Ах + Лу; 6) (Аи)х = А(уя) ; 7) 1*х=х. Здесь ar,y,zeX, Л,у е С. Если в определении линейного пространства исходить из мно¬ жества вещественных чисел, то приходим к понятию вещественного линейного пространства. Линейное пространство X называется нормированным прост¬ ранством, если каждому хе X сопоставлено вещественное число Jх ||, называемое нормой элемента х, причем выполнены следующие усло¬ вия (аксиомы нормированного пространства): l))|ocJ>0 для любо¬ го хеХ; || а Ц * 0 только для х *0; 2) (}Длг||«|Д ||лгЦ ' для лю¬ бого хеХ и любого числа А ; 3) Ц х+у\ 4 ||#|{ + ЦуЦ для любых х,уе.Х (аксиома треугольника). Нормированное пространство называется вещественным или комплексным в зависимости от того, вещественным или комплекс- 21
ным является линейное пространство X. Последовательность точек нормированного пространства X называется фундаменталь¬ ной (или сходящейся в себе), если lim ||#л- хт J ~ 0. Норми- прп-*оо ровакное пространство Xназывается полным, если всякая фунда¬ ментальная последовательность его элементов сходится, т.е. из того, что lim ||хп~ ост I) » 0 , вытекает существование такого ntm а> oCqE X, что lim ® 0. Линейное комплексное простран¬ ство Н называется пространством со скалярным произведением, ес¬ ли для каждой пары элементов у, у «Я определено скалярное про¬ изведение (я, у) - комплексное число, удовлетворяющее следую¬ щим условиям (аксиомам); 1) (у,х)** (х,у); 2) (Ях^^1Х2, Ц) = я Я(Хру) + y.<X2ty) ; 3)(х,х)>09 {хух)=0 равносильно х-О. Если в пространстве со скалярным произведением Н положить I х ||«(х,х)*12 (хеЯ), (1) то Я становится нормированным пространством. Полное нормиро¬ ванное пространство называется гильбертовым, если в нем можно ввести скалярное произведение, связанное с нормой соотношением (1). Пусть X - нормированное пространство. Точка х$еХ назы¬ вается предельной точкой множества АсХ в пространстве Xt ес- ли существует последовательность \хп} (хп£А,дспФх0,п~\,с&)} сходящаяся к Xq в X. Множество [Л], получающееся присоеди¬ нением к А всех его предельных точек, называется замыканием Л. Множество ГсХ называется замкнутым в Х9 если F. Замкну¬ тое линейное пространство, содержащееся в X, называется под¬ пространством А'. Множество АсХ называется всюду плотным в X, если [А ] * X . Пространство €т. Элементами пространства С w являются упо¬ рядоченные совокупности т комплексных чисел. Если x-(xv..., принадлежат Ст, <аеС, то ar+y^tfj+y,, "чХт+Ут)* CLX*<&Xp .... ), скалярное произведение элементов у есть число ^-у)-2/^1 х*Ук» н°Рма х определя¬ ется равенством | х \={х»х?!2- У^2 * От-(0,...,0)- нулевой элемент Ст, 1™- )• Чер®3 К^обозначается под¬ множество С7? элементами которого яаляются упорядоченные сово- 22
купности т вещественных чисел. В дальнейшем придерживаемся со¬ глашения: если рассматривается некоторая величина vc е Ст , то хк 1,т) обозначает (если не оговорено противное) ее А*-ю ко¬ ординату, т.е. х= (х11..',хлг). Операции умножения, деления, воз¬ ведения в степень распространяются на элементы Ст. Эти опера¬ ции выполняются покоординатно. В соответствии с этим, если а, be Cm, то ob-(cc1hv^-iambm)t alb = <ai/bv..;tam/bm).B последнем случае ни одна координата Ъ^ не должна Сыть равна кулю. Если a,beRmt то запись а^Ь (соответственно а<Ъ) означает,что aki &jtf (соответственно ак < Ък ) при каждом А: = Если a,b£R™ причем а^Ъ, то (а,Ъ) (соответственно [а,Ъ],\<хгЪ],[а,Ъ) )обо- значает совокупность точек oceR™ удовлетворяющих неравенствам а<х<Ь (соответственно неравенствам <x4>x4 b , а<х4 Ъ , а 4 4х<Ъ), Полагаем [-71, Я ] mt Если AcR7? тс запись 2 означает 2 • Пусть X - нормирован¬ ие А т * eAOZm ное пространство, ЛсЯ, х<лХ при JceAnz™ Ряд Z ос* на- АеД зызается сходящимся (вХ), если вХ сходится последовательность У* я** г^8 JieZ-f.. Суммой ряда называется предел s " fict-Tji}™ПА этой последовательности: s « urn sn . П-+ СО п Предложение i. Пусть X - полное нормированное простран¬ ство, хкеХ(кеХш). Тогда если ряд V В^(( сходится, то ряд У* я* сходится ь X и имеет место неравенство 2 < S i^ti* (2) ■ I Jrezm Доказательство. Обозначим [-7z,nJ , где ле € Z+, через Вп. Пусть е>0. Найдем номер JV£, такой, что при U/j>JVe будет 2] <® . а стало быть, и |V <е . *cBt\Bn v ЯкеВЛВп чаким образом, последовательность sn~сходится в себе в ксВп пространстве X» а потому в силу полноты пространства и просто сходится в X> Переходя к пределу при п оо в неравенстве isn||^2| |**| и используя непрерывность нормы (это значит, хсвп 23
что если уп+у в X, т° J уп | -+ | у | ). приходим к оценке (2). А Пространство 1р при 1 4-р < оо . Элементами пространства 1р являйте я все числовые последовательности х=(хх) ('AeN), та¬ кие, что ряд ^ | |Р сходится. Операции сложения и умноже- ния на число вводятся естественным образом: z^x+у означает z^xк+ук при всех 2*Даг, гдеЛеС, означает 2Л= Яхх при ЛсВГ. Норма определяется равенством |^|^a Е>*ГГ' Неравенство треугольника для |*|р раъносильно неравенст¬ ву Минковского для сумм. Теорема 1 (неравенство Минковского для суш). Пусть р} 1, хл,улеС при JceN. Тогда Jcut Пространство loo . Элементами Zoo являются все ограни¬ ченные числовые последовательности х^(х^) (JceN)* Операции сложения и умножения на число вводятся естественным образом. Норма определяется равенством | ar sup | | .Обозначение |.г|» JCCff ' используем и для хеСт, а именно полагаем Iх lp= (S при [!,«>), M^SUJL 1**1* X*l,W j Теорема 2. Пространство 1р при 14р4оо полное. Пространство LpiQm) при 1 4р < оо . Измеримость множеств и функций всюду понимается в смысле Лебега, функция J:Rm-* С называется периодической (2 я -периодической), если для почти всех xeRm при каждом выполняется тождество х ) - f(X). Элементами пространства Lp<Qm) являются произвольные измеримые периодические функции /:F^Cf для которых §Qm\fi%)\P<ix <оо. Здесь и всюду в дальнейшем (за ис¬ ключением тех случаев, когда оговорено противное) интегралы по¬ нимаются в смысле Лебега. Функции, эквивалентные между собой, отождествляются. Операции сложения и умножения на число вводят¬ ся естественным образом: 2sf+g означает z(x)=j(x) +g(x) для почти всех jreR"1; 2»Д/, где ДеС, означает 2{х)=Л/(х) для по¬ чти всех xeR™ Норма определяется равенством Uli. „г1Л, - 24
= (f0 \f{x>\Pdx)ifp. Неравенство треугольника для ||-||p следует из известного неравенства Минковского для интегралов. Теорема 3 (неравенство Минковского для интегралов). Пусть ■р}1, EcRm, функции f:E-+C и g:Е-*С измеримы на Е. Тогда ('§E\fm+g<cc,\Pdx)ИИ/+{L\sm\?dx)!- U) В дальнейшем вместо LpiQi) часто пишем просто Lp. Лемма 1. Пусть /еI,<Qm), аеТогда J у<»<**- §Sn^x,dx- [-ntm+a,silm4a3 Доказательство. Очевидно, достаточно рассмо¬ треть случай т= 1. Считая т = Т, имеем па+2л п- Л л?! ЛЙ+23Г j fmdat* j + j Jmdx + f <x)dx. Делая замену переменной и пользуясь периодичностью функции f , получаем j^+27ty(.a,;^a;=^^ar.+2jtjSn:=§_*f<x)dx,откудаf(x)dx= * ~§*f(x)dx и А Следствие 1, Норма в пространстве Lp(Qm) инвариантна от¬ носительно сдвига, т „е» для любых faLniQ^ и будет Ц/( * ч- +a)L = !UIp-- действител: [Действительно, используя лемму 4, имеем lf('+a)\p ~ и (fо}*<х+а)\р4х)У?= { J U<x№*fp” (L \MPdxfHfl - Пространство Leo (Qm). Пусть DcRm. Измерзшая функщш jfiD-*C называется почти нсвду^гда^^ на множестве D, ес¬ ли существует такая постоянная С, что jjfY#)|4[C почти всюду на D* Постоянная Co^inj*|С| называется существенной верхней гра¬ нью функции )/| и обозначается через vrai supЛегко по¬ нять, что почти всюду на В будет \f<X)\4<%*' Элементами про¬ странства Leo<Qm) являются произвольные, почти всюду ограничен¬ ные на R периодические функции /: Rm-*C , Функции, эквивалент¬ ные мелду собой, отождествляются* Операции сложения и умноже¬ ния на комплексное число вводятся естественным образом. Норма элемента J определяется равенством 25
see К7* Теорема 4. Пространство Lp(Qm) при 14р4оо полное. Следствие 2. Пусть /яеЬр(€1т) (к е Zn) . Тогда если ряд 2 AfnU сходится, то ряд ^ fk сходится в Lp(QJn) и имеет место неравенство У ^ \ | . *ffZ4 и *£ИЛ Доказательство следствия 2 получается из сопоставления теоремы 4 с предложением 1. Предложение 2. Если f е П LP(Q )ъ lim II/Ц < оо, то pell,**)1 р-»*> р . feL^iQm). При этом существует конечный предел lim Ц/Цр и имеет место равенство Um ||/ ||^ » $*/Ц*, • Р’*С° Доказательство, Предположим, что f Тогда для любого числа А найдется такое множество есОтп с мв- рей jxe > 0, на котором \J(X)\ >А . Отсюда имеем lirn \f{x)\pdxY^^ lim A(ue)^p= A —► + «, p-+4o аГ p-+oo'dQm I ' / p + oo * что противоречит коночпоети рассматриваемого нижнего предела. Далее очевидно, что |/|р ^(2оО?П/;,|/|Л>.и, следовательно, К”» Ш* < IHL* С5) р-*Со • С другой стороны, если Л < (j/ljoo » то найдется такое множество ecQm о ие>0, на котором \}<х) \ >А. Следовательно, )|/||р£ > А{ив)1'Рц потому lim !|/L> -4 * а так как А - любое* лишь ш Сто А < ]j|„. {“ ' li!S 1Лр '> lit- 16) р-*О0 Осталось сопоставит* неравенства i5) и (6), 1 Теорема 5 С неравенство Гёльдвра для интегралов). Пусть р, <*>),! /р+1/^*1, £clCФункции /:f>C и измеримы на £. Тогда ч<($B\Stx)\Vd*yIP(§s\g<x)\(?> £
Следствие 3 (неравенство Гёльдера для сумм). Пусть р9 ^ с при *£*. Тогда Предложение о. Пусть 1 4* р 4 <J, & 001 j& Ly (Qm) • Тогда I/|p<(2nr',/',-W^i? . (9) Доказательство. Неравенство 19) при у*6д ужа отмечаюсь внше. Пусть (г, < оо. Тогда, применяя теорему 5, имеем Очевидно, что норма в L^(От) инвариантна относительно сдвига, т.е. для любоI: JsLa)(Qm) и Щ)И любом cteF”1имеет мес- то равенство fl/l • + «)][» = f/||<w В дальнейшем вместо L^( Qj) часто пишем просто . Пространство С((3т). Элементами пространства С(9т) явля¬ ются лроизэолъкие мопр'фывнне периодические функции f;R -**С . Операция сложения, умножения на комплексное число вводятся ее- тоствсмггтчм образом. Норма определяется равенством Й f 1| ..^ .. , „ “ , я .. »^ И о 1 Ыт) - Ш~ = ™а£и1/'*>!• J.er.-co видеть, что сходимость последовательности (jn) {п€м) У- (Jn и из C(Qm)) в пространстве C/<Jm) означает равно¬ мерную сходимость последовательности функций (fn) к функции Г на «ж. ■" Теорема 6. Пространство С(йт) полное. Следствие 4. Пусть /хеС<<2т) (Л'е Zn). Тогда если ряд я IЛ !1«о сходится, то ряд У X. сходится в C(Qm) и имеет *eZ *Tzn место неравенство 4 Теорема 7. Пусть 1 4р< оо * Тогда множество C(Qm) всюду плотно в Lp<Qm). Черэз будем обозначать фиксированное пространство Lp(Qm}, где 14>р < оо , или C(Qm); W=Wj. Норму элемента в про¬ странстве Wm обозначаем просто | j jj . 27
Пусть t 4 оо , D - измеримое подмножество Rm. Через •брФ) обозначаем множество измеримых функций , для ко¬ торых величина 1/1*, J(x)\pdx)i^ , если i 4 р < оо, urai sup [J(x) \ , если p’soo, xeD конечна. Теорема 8 (обобщенное неравенство Минковского). Пусть 14 4р < оо , множества XcJR7! YcRm измеримы, функция измерима. Тогда (JL Ш/^*н%)^*)1/р ч< ио) или, что то же самое, иу|/М^1?>х < (п) Оператор UtX^Y, где X и У - комплексные линейные про¬ странства, называется линейным, если он аддитивен и однороден (т.е. U(oЬХ+$уУ~ uU(X) +$U(y) для любых ос,уеХ, ). Оператор U:X-+Y9 где X и У - нормированные пространства, на¬ зывается ограниченным, если ( | t7fa:)|(/|a:|) < оз. Ве¬ личина |[/|| называется нормой оператора U, Оператор U называ¬ ется непрерывным, если для любой сходящейся последовательности ] элементов X справедливо равенство ton U(xn)-U{livl Хп). * * П~* оО п^оо . Ограниченность линейного оператора эквивалентна его непрерыв¬ ности . Множество линейных ограниченных операторов Ui Х-*Y обо¬ значается через ИХ-*У)' § 3. Унитарные матрицы 1.° Пусть х,уе^ Если ( х • у) - 0, то векторы х и у на¬ зываются ортогональными. Если (Х'Х)~ то вектор д* называ- ется единичным,или нормированным. Система векторов хк&С (А * « 19S ) называется ортонормированной, если {хК хО-°к,1 { I при Jfc-Z 28
Квадратная матрица А с комплексными элементами называется уни¬ тарной, если выполнено одно из пяти эквивалентных условий : 1) строки образуют орт ©нормированную систему, 2) столбцы обра¬ зуют ортонормированную систему, 3) А А* - Е , 4) А*А*Е, 5) Здесь Е - единичная матрица, А-1 - обратная матрица дщ.матри¬ цы А, матрица А**АГ, т.е. получена из А транспонированием и заменой всех элементов на комплексно-сопряженные. Унитарная ма¬ трица с вещественными элементами называется ортогональной. От¬ метим, что унитарность А влечет за собой унитарность А^про- изведение унитарных матриц есть унитарная матрица, модуль оп¬ ределителя унитарной матрицы равен J. Пусть зееС” уеСт, А « ||акг j| (akl еС, k=Tjn, Условимся равенства ук~ х1 (к=1,т) кратко записи- вать как Определим функции х0: [0,л ) С' , у0 : A0:[Ofm)x х [0,л)-*С соответственно формулами Xq(U)-x1 при Цб[Ы,£), Уо^)гтУк при , A0{l9n)=*akl при х х [Z-1,Z). Тогда равенство (1), очевидно, может быть записано Если векторы {0^(Ist 1,п} составляют ортонормирован¬ ную систему, то функции А0(«,М) (l-itn) будут образовывать ортонормированную систему на [0,л). Если матрица А унитарна (тогда л?- л), то где = <Х^ , и потому у* Ах. (1) в виде или в форме п *-1, 29
Предложена Т. Пусть задана матрица (акге. С, k = l,my l*tn). Тогда где Д - наибольшее собственное значение матрицы А*А . В связи с равенствами (2)-(5) см., например [37, с.ИО-Ш]. Предложение 2. Пусть 14р> Ц,4оо, А = |а*/)| (а^вС, к =* « i,mf 1-Хп), Я = [0,.7п), [0, я), функция g:R*P~+C и оператор U;*£p(D) -+Xy,<Ps) определены соответственно формулами * ак1 при {l,u)e [k-t,U(f9l)*§*f{u)g<ltu)d\i, Доказательство. Ограничимся рассмотрение слу¬ чая, когда р,у<со. Пусть хвСп, функция :[0,л)-*С опреде¬ лена соотношениями J (и) - при и € [ Z -1, Z). Тогда Таким образом, Пусть теперь fe£p{D). Поло- 771 (2) 71 (3) (4) I! Л || 2,2 » УТ, (5) 30
^неравенство J^jYujauj* ^ \j{u)fdufP04e-Bimo в силу теоремы 2.5). Значит. Ц^Цр,^ 4 it A f| Piq • А Теорема й (шиерполлиноянггл теорема М.Рисса). Пусть Цр0, Pvjvb*00’ Х£<°>*)'Рх и %х определены равенствами X-ir^L + Jl -l_=-bJL^JL (6) Pr Ро Pi ’ 9г Ь Ь ' Пусть далее ^ и - произвольные полочлтелыше фиксиро- ванные числа, akleC (Jc=i9m t I* i,n ), X £ С* ук<0С)ог^ а^гХ^ Па1; о:дм тае (Jfil^Г)1-'"* tffi>*г|' (Г ^I^ИА')1/\^!В*<*>\ ■ Тогда МРх'уг 4 MpitCfi- В связи с теоремой Т см., например, [33, сЛ93-19о], Следствие !. Пусть задана матрица | (а^ € * к*1,т9 l-Щ), t 4 р09 pv <£0, <^4 oo. Тогда при любом 'te{0, l) IAII Рх>Ч'Х * IIЛII Po*9о где рх и уг определены формулами (6). 2? Теорема 2, Пусть А: и J - соответственно номера стро¬ ки и статбпа, Пй2 + . Тогда матрицы а.олм, I-TH. n£s), ом-мо. л„,з>-(2п*1|«p(H^I»U)| W-Tv?>. л-(5>-(ж1П««штЙШг£11 — Ап( 6 > - (2я +1 )-*>* | ехр (ЖЦ|±Ш1±Н)| (к,1 = ^п), 31
2$a,(l)\WJ2k+l)Til w5 2n {Jc=0,n-t, 1*1,n, neN), (k,l=0,n-i, netf), An(9) = (2n )~t/21 eacp(г f2^ --1) (А=-я,«-1, Г=-л+1,л,леЭД, Лп|10) ~(^),,г|| sinэт<а**^кгг'^1-) j ft,!- О,л-1, м»), д>(Ш.(»У»|с«Ш*±ШЫ>1 4л (к,1=0,п-i, иеЛ), Ли(12)~(2л)~1/г Цехр( m(k,i*-n,n-i, пеЛ), A»<i3Hlhf2 J sin 1НТГ j леК ), Лд(14)= ||(1^Ш|^Ш.}1/2со5 Jgjj а.г = М ь Лл<15)»(2п+1>^2 |в^р(|^т)| <*.*—л^Г), Ад(1б)= (|-)1/2|sin^|| л-1 е Я ), ЛЙП7>- j(?.^(g.fea>|1/?cos^ij {Jfc.Z-On. ле¥ ), A„m*(2n)"il2 Jexp^i^jj' {к,1~-л+\,п, пеЛ) унитарны♦ Доказательство, Доказательство состоит в не¬ посредственной проверке ортонормированноети строк (столбцов) указанных в теореме 2 матриц. ^РВДа Положим г^»1П:{2£-1)/(2л+1), аг^ - * + Опираясь на равенство 1.(9), при к,р = 1,п,кгр имеем Т-s- 7r -i- 7r _ I fsin{«-vl/2)acA-D 51л(л+1/2)згА+р_, 1 ^S1nZr>$inZrp-?|-1E—?1ГЕ- . j.o. Значит, строки матрицы АпШ ортогональны. Используя равенство (хеС), (?) *=t 32
находим, что J".,sin2 Zr* = ((2n+1 )/4) (Jc-ltn) 2. Матрица ,A/j(2). Положим ту=ис( 2j) + l)/ (2п + i), Ху ~ = ^^/(глТТТТ^пираясь на равенство 1.(9), при к,р-0,п ,кфр ИМ80М я /* » ^(J„{l)<»sir*cosZrp = ||l+]£<»$/*jt-.p + coslxk±p+11 * 1*0 *** * 1 (sinQ4-l/2)ar*-p sin (я +1/2) Xjt+p+i | , п 4| s\n( х^.р/2) sin(X)c+p+x 12) ) т.е. строки матрицы А„(2) ортогональны. Используя равенство ,«cJъ* « 21 + «»<Л-И)ж »1п пх (8) cos кх 2 + 2 sin х А-1 находим, что 1 (Зоо<1)cos2 ZrA (2л+1)/4, если * = 0,л-1, (2л+1)/2, если к -Л . г*о Следовательно, строки матрицы Ап(2) нормированы. 3. Матрицы Л^(15) и Дп(-З)» Положим Ху * 2?с^/(2л+1), ЬАг®(2я+1)^2еэср(1'2яАгlj(2n + i)}. Используя равенство 1.(9), при к,р=-п,п, кФр юнеем «**-» sin !*(*-? Г / О v, -L f \ Хл>=-п,п, имеем X V " {27,+irI 5 ж <2n+i)$\n(xk[fl2) = 0 » 2-л 2-л ^ т.е, строки матрицы ЛЛ(15) ортогональны.Нормированность строк матрицы Ая<15) очевидна. Опираясь на уже доказанную унитарность матрицы Ал(15), труда приходим к следующему утверадению: пусть neZ + , о„ . (W* мр (±?щиш±£<!>>), где у: Z-*R. Тогда матрица К 1 {к}~-п,пу уь.. тарна. Из последнего утверждения, в частности, следует унитар¬ ность матрицы Дл(3)« 4. Матрица Ар(4). Положим * at ( 2-j +1 )/(2п + 1 ), &] = = 2flt^/( 2л +1). Опираясь на равенство 1.(27), при к, р= 0, п, Jc ^ р имеем л У <*,л<7) $\r\(l + ll2)rk$in(l+ll2)rp * 2-0 23
л-1 У <**{I) sin2 (I+1/2)гЛ=| У (i-cos{2l+1)ГК) +1 г«о г«о =j£(cos( 1+1/2) xk.p- cos (1+1/2) ,)+ 1 (cos щ А-p) - cos зг (Jc+p+1 j)* г«о »lf SinnXjc-o _ sinn^p-n . , (>p, , n*+pJ n 4 [ s\n(xk.pl2) sinfa;>+p+i/2) ' ' +'и J Следовательно, строки матрицы АЛ(4) ортогональны. Используя равенство 1.(27), находим, что п n i *{2л+Г)/4,если кфтг, (2п+1)/2, если А-л. 5. Матрица Ап(5). Доказательство ортогональности матрицы Ал(5) близко к доказательству ортогональности матрицы Лл(4). 6. Матрица Л^(6). Унитарность матрицы Лл(6) сразу сле¬ дует из утверждения, установленного при доказательстве унитар¬ ности матриц Лл(15) и Ал(3). 7. Матрица Лл(7)« Пусть г,?*яс(2$-1)/{2п), 2$=п$/п. Опи¬ раясь на равенство 1.(10), при £,p*ltn, кфр имеем Отсюда следует ортогональность строк матрицы Ал(7). Используя равенство (7), без труда получаем, что 2г=1 MZ)slnZ lrJt = л/2 (к=\,п). Значит, строки матрицы АпIV) нормированы. 8. Матрица А п(8). Положим Zg = 3l$/n. Опираясь на равен¬ ство 1.127), при 1,р=0^ьЛ,11гР имеем « , i (smnzr.» sinnzI+p ) \соз(к+и2)21соа<к+\12)2р-Ж^—^ + ш-(^ф | = 0 , Jt=0 т.е. столбцы матрицы Лл(8) ортогональны. Используя равенство 1.(27), получаем Й , ,3гч { п, если 1 = 0, Отсюда следует нормированность столбцов матрицы Ал(8). 34
9. Матрицы A„(l8) и Лл(9). Положим г^ = ^/л. ЪХ1 = (2п)'1,г exp(inJclln) . Используя равенство 1 ЛЮ), при к,р= = -л+1, п, Ьфр имеем п — _т V* iiz„ згпЛСЛ-?» Л S »«V- (гп) i е Г г^-л-м ° г т.в« строки матрицы Ал(18) ортогональны. Нормированность строк матрицы АЛ(18) очевидна. Опираясь на доказанную унитарность матрицы 4Л(18), легко приходим к следующему уп эрждению: пусть ак1 =<2 п )“f/2eocp (ix(kl+f(k) +g(l))/n), где f:Z-+R, g:Z-+R. Тогда матрица Ца^|| я) уни¬ тарна. Из последнего утверждения, в частности, следует унитар¬ ность матрицы Ап(9). 10. Матрица ЛП_(ТО|. Положим = gt< 1/2)/л, Опираясь на равенство 1.(27), при >с,р=0,л-1, кфр имеем л-f (ni . sin(2+f/2)j^ sin(i+l/2)T^=|J^oos(/+l/2)zJt.^-2^cos(/+I/2)z^+I|= г*о м г*о f f sxnnzic-p _ 31пЛ2^»в4Х ] шл " 41 S\n<zk.pl2) sin{Zx+p+tf2) ) * т.в. строки матрицы Ап(10) ортогональны. Применяя равенство 1.(27), находим, что при f sin?(^<W2iM).^f(i-w(a.„r|>). а.. Z.0 Л >0 Значит, строки матрицы Ал(10) нормированы. 11. Матршт ,Ag(_ll). Доказательство ортогональности матри¬ цы Ад(11) близко к доказательству ортогональности матрицыАл(10). 12. Матрица А* (12). Унитарность матрицы Ап(12) следует из утверждения, установленного при доказательстве унитарности матриц Ал(18) и Лп(9). 13. Матрица An(13) • Положим Xf * 2л ♦1). Опираясь на равенство 1д9), при Jt,p=ltn9 Лфр имеем VMn»r Гт 1 f *n<n+i/2)xk.B ${п<п+У2)х^р) 35
Значит, строки матрицы Ал(13) оотогональны. Используя равен- ,л < *i"i • ство (7), находим, что ® (2л+1)/4. если k-i,n, если к = 0. 14. Матруща A^14h^ Положим « 2аг$/(2.и+1}. Опираясь на равенство 1Л9)Гири Л.р-ОдТ. имеем л ^ Л Л ^(3w(Z>cosZ*AcosZ*p=-U I + £созг*Л - + У®08****/»] ” 1*0 /*1 Z-J ' 1 \ $\п\П + 1!2)хк-р $1г\(п+112)Хк+р) w 4 l“' sin<ЛГЛ.р/2} ~~$\П(Хь+р12) \ s u» т.е. строки матрицы Ал(14) ортогональны. Используя равенство (8), находим, что f М>»А*- {‘гл,',М' а- г * I (2п+п/г, 7*0 ' Следовательно, строки матрицы Лл(14) нормированы. 15. Матрица,,Aj%(16KjIycTb Zf=n$/n. Опираясь на равен¬ ство 1 л9), при к,р*1уп-1,кфр имеем VsinizksinizD~i\ <”;№>**-*- ™<n-mzk+p) = j* * Р 4 l Sin(Zк.р/2) SW(Z>Tp/2) ) 4 {(-1 + (-[)“"{ =0. Значит, строки матрицы Лл(16) ортогональны. Используя равен¬ ство (7), находим, что ]F^$in2Z2jfe*^/2 (k*ltrt-l), т«е* строки матрицы Лл(16) нормированы. 16. Матрица Дп(17). Пусть JT^/л. Опираясь на равен¬ ство 1.(10), при к,р=0,п, кФр имеем Л у ^ 7? % Л (yZ)cosZz*cosZzp = |J]T ^п(Псоь1г^+ £ |3Л(l)coslzkU г»о г=о >о ' - ±j.sinnzk.p sinnzk+p | 4 1 *g<z*-pl2) lg<Z)c+pl2) { Тем самым ортогональность строк матрицы Ал(1?) доказана. Исполь¬ зуя равенство (8), легко убеждаемся, что V (Зп С Z) cos21 гк - | П,*‘ если к* 1, л~1, если к= 0,п, z«o ~ . т.е. строки матрицы Лл(17) нормированы, А
Следствие 2. Пусть ^ £{0,1), *,p«R, *-i + f£Z+. ..-1/2 / 1-2Ж*+<йК* + в) \ 'е*р( ТпТГ )■ Тогда матрица А„<1а,1=-л+1-у,л) унитарна. Следствие 2 вытекает из утверждений, установленных в пунк¬ тах 3 и 9 доказательства теоремы 2. § 4. Некоторые определенные интегралы Т.° Лемма 1. Пусть ле2+, ct€(0,Jt). Тогда Сп cosnx otsinna V*P-J0 cosx^7ad*"-m3na- ' Ш В связи с равенством IT) см. [19, с.ТЭЗ» пример 2343 и 74, с .82]. Следствие Т. Пусть , аеС. Тогда j^cos/wc-cosna , stsinna l0^ О cosac-cosa slna nJt .J Доказательство. Так как up. (cos x-cosa) dx* = 0 при а €(0,Ч1) (формула (T), случай л=0), то из (Т) сле¬ дует справедливость (2) при а£(0,ет). Поскольку в обеих час¬ тях равенства (2) стоят аналитические функции аргумента а, то (2) справедливо для всех аеС. А Лемма 2. Пусть neZ + , ae(0,at). Тогда I cost?# - cosna j cosa sinna - ncosna sina ^ V,Pj0 (cosDC -cosa)2 dx - Я Доказательство. Дифференцируя по а равенст¬ во (2), находим, что VD dx sina/un С* со5Л*’со5л^ dx )rr P,Jо co^ar- cosa S r'P’Jo (°°s*' cosaaa;/ _ ^ n cos na sin a - cosa sin л a sin 2 a С-гсюда, применю! (1), приходим к (3). А 37
Предложение 1. Пусть л, 2 g Z + t QeC и фик¬ сированные числа, такие, что а*я<21 + $){2п+$)~*€ (0,от). Пусть, Л . | мр| СО далее, ог=(-1> ,ряд 2^^0^со{к)а}ссо&Л1 = Ф{Ь) сходится в про¬ странстве Xj, g<l)=(t + acos(2n+$)l){ i + |3cos(2-<£)i), гк*2ак+ + ^лл-^г + а1*^-21>-Тотда I ,эточ2>Ф(£) ja. гг V • t. m _a_ . * ivsuiAa, (4) cosi-cosa 2sirta * 0 3tsl С-£11*111-di J0 (cos?-cosa)2 ( гы-i i s ———joosa / r. sin^a - stna Л {A-2/i-o)|3oo(A)J^cosAa |. (5) 2sin3aJ jgj jfa ) Доказательство. Положим b0=a0/2, b* = a* 1фи УШ® Ф(В)(1 + рсоз(2-5')2). Имеем ¥fi>«£b*cos*i + | £%(cos{A-2+$tf + cos{*+2-&«) = + f |£^,2_*-4>+*.2>cos*i +2 W*cosA*j * *»0 **?.£ *-f-2 ^ Yt2V^b*«^W*>)C0S*J +|^cosA* + | j b^coskl - Jf-0 *.£* . DO OO »I ja0 + (*«г.у+J r^coskl j-{ Так как функция V*i&*eeT тот же вид, что и функция ф, то до¬ статочно доказать формулы (4) и (5) для случая |3 = 0. Поэтому будем считать, что £ = 0. Вычислим интеграл *»-£Ч£ЗЙ-« при к £ Z+. Легко видеть, что g(?)cos*J«cos*i + |^«os(?!n+£-*|f+cos<2n+$+*)f]. (6) Применяя формулу 11) (или (2), ибо g{a)co$ka = 0), находим 2(h)* + 7<*п1г»+*-*|«+ sin (2л+£+*•)« )J. 38
Таким образом, ( sinjfca, если *= 0, 2л+5-1, У (к)- sina | q( если Jcb2n+8. Используя установленные равенства, получаем Г y\slnte. Т cosJ-cosa ь1л a ^ a A«f Тем самым формула (4) доказана. Теперь докажем формулу (5). Опи¬ раясь на равенства (6) и (3), шлеем при к€.2+ g<t)coskl ? ymcosa _ яКк) 0 (cos i -cosa)2 sm2a sin2a где L(k) = Jccos ka + (oi/2)[| 2n + 8-k | cos | 2л + 8-£{ a + + (2л+5+1с)со5(2л+5+Л)а|.Таким образом, n,t.\ я \ <osa$inka+(2n + 8-k)smacoska,ecm k^O.Tn+S-i^ v ^asin3a | 0, если k^2n*8. ^ Используя соотношение (8), находим, что f* v Jo < f* #<i)< Jo <CQSf' - 8<*>*<±> dj = cosa)2 2Л4 (Г-i гл+0-i 2n+s~f * lC0SaX + sina V ( 2n+ <^-*)pwOc)a^cos*aj.i *•1 kc 0 Следствие 2. Пусть выполнены условия предложения Т. Тогда хли ** + <-l>,4lrafl+f_fc-0 /*=2, л + ($-1К1-5Я, (9) то С* &ЬФ<1> г( rI+<-i)*+S*+f.„ ко™ 2п^>2*(10) J0 cosi-cose 2 ( Pj( когда 2л+5=2. Доказательство. Считая л + 3, имеем 2п+£-2 п-1 +£ 2л4^-2 ^ i^sinJra = r^sinAa + ^ j^sinAa * /f«2 Ь2 1г*Я4^ 77-1*6 Л “2 ^sinJca + Н/+ГУ г2п^.л5тАа. *-г >«2
Отсюда и из условия (9) следует, что Л rksinka * О. Сопо¬ ставляя последнее равенство с соотношением (4), приходим к (10) при п+6 >3. Справедливость (10) при выполнении условия л+8< < 3 устанавливается непосредственно. А оо Лемма 3. Пусть neZ+, |ЗеС, ряд * * djfCOsJti * Ф(Ъ) сходится в пространстве , *2^ = 2лл + ♦ ^лл-^+2 + а|Л-М^Тогда *-*)** • (Й) Jt*0 Доказательство.В доказательстве предложения! установлено, что 09 ( 1 + $COS(2-8)l )Ф(£) в coskl. *•0 На основании равенства 1.(21) 2Я+&-1 I-cos(2n+^)J siпг({2п+&)Ц2) „V a /<-w* 5У v , «* <лг>\ —; i = • 2 ■ 2 7 pwtt)(2n+y-*)cos*? . (12) 1-cos? $\n2<il2) 1 л*0 Учитывая сказанное и опираясь на очевидные соотношения ^coslico$Jcidt=0 (7,/t£Z+,Af J), ^*co$zJctdl- Я/2 {keN) и непосредственно вычисляя интеграл, стоящий в левой части формулы (11), приходим к равенству (11). А Следствие 3. Пусть л с Z+, fteC, #£{0,1}, с4=(-1) +\ ряд 2 $оз<к)ал coski = Фа) сходится в пространстве Ij, гк = *=° 2оа 4 (3 (ал..^+2 4 а,*+£_2,). Тогда 7_ CXii + otcos{?n+£)i)(l 4 |3cos(2-£)?,) л , ,f J0 1 + cos i w<i)di- "T ]F М*>И)\2л ♦*-*>*. (13) *«0 40
Доказательство* Делая в интеграле, стоящем в левой части равенства (13), замену переменной t = %~u, имеем 3. ф(я_а)<гц, t/Q 1 cos и Значит, по лемме 3 £ Р„т2п+8-кН2{-1 )*ал +(-if $<{-!) «х-г+г + £-0 2л+$-i + {-l)**Ualk+Z-2\>~i 2 P*><k)<2n+$-kH-H*r* .* **0 Лемма 4, Пусть «eZ+, { 0,3 J, ряд ^ (3«<,Ша*созА?»Ф(?) ^е(| сходится в пространстве ?л= 2%+<1-е)(0!л+1 + <*|*-ц). Тогда f l'zfw^rE^2i<ii>!2 ф,г)йг = Jo <i-QOSf)z 2я*н§~1 = «2-8)31/2) 2 М*){2л+£-*)г* • (14) Дохазате л*ь с т в о, Очевидно, что (1- ayz{2-$)l)(i- Полагая Ъ^а0/2, при AeN, ” (1 + <1-$>со$*>Ф(*)* •- ^ bjcosAf + fHi-8) JV^fcos/A-f)? +■ <»sfjfe+l)i) ® A*0 £a>0 / .***" ^ ь^ош + {ьМ1+ъы)ъо&м + 2 ь*+|со$*г)« еэ чЗГ? ■i £i»D *sr;£ < .$*-1 1 J 2.4 Остальная часть доказательства аналогична концу (начиная о формулы (12)) доказательства леммы 3» 1 - ~§Ш£т*Аз пусть л «Я*, *8(0,1 j, <*.<-£■/**, ряд Д, $«?л)ял cos А? $ ^ ф( &} сходится в пространстве £{, г & «* л 4/6 “ гвА+<*“0/а*+| + Тогда ^*Х /%i*&C0s{2n+^i+*®>st2-8)t){Ucosifs = ((2"£)Я/2) 5! |^езй)(-1)*{‘2л + ^’-^)Я& , (15) ^0 41
Доказательство, Делая в интеграле, стоящем в левой части равенства (15), замену переменной имеем Г51 7 ~ I (l-<x>s(2n+8)u){l~co$(2-$)u)(t-cosu)~2 Ф(<к-и)<1и. ио Значит, по лемме 4 ~ 2л+У-1 >=((2-5)?с/2)^ (3«а-){2л+5-А){2(-1 )*«* + (-l)V-D(<r*+1 +«№-„)) = 2n**r£-f = ((2-5)зг/2)2] £«,(А) (-1 >*( 2л + ) z* . А *=о 2.° Теорема 1. Пусть n,l,je Z+, /Зе С и - ' фиксированные числа, такие, что а = аг(2£ + ^)(2л+5)** е (0,от), г> = я(2^ + ^)(2л+5)“1е (O.orJ, а Ф Ъ. Пусть, далее,-.оь~(-1)^+{ ряд ^ Pooik)a.kco$ki =Ф(1 > сходится в пространстве Lt , g < i) = (I + tfcos (2 n+8) I) (1+(3 cos {2-t>) I), rk= 2ak+ (3 (%. ^+г+ «,А.^2 Тогда если (-l)*+1r2/1+fl~_fc=0 (А»2,л+{^-1)(Г-5)), а при Ь = я;, щюме того, 2л *£-2 г* + 2 М*Я-П*+*(2л+5-*)^»о, то J g(i№(lHcosi-cosa.)~I(cost-cosbri di - 0. Доказательство. Ясно, что С <г(Ъ)Ф(1){со$1 -cosa)'*(cost- cosb)'*di = Jo & ! (f*_£ii*!!L« . Г gftisw cosa-cosb ]J^ cosi-cosa Jo cos i-cos & Применяя следствие 2 (при b<jc) и следствия 2 и 3 (при ), получаем требуемое. А 42
Глава II ЛИНЕЙНЫЕ MF-TOTTH СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ § j. Суммы Фурье. Элементы теории наилучших приближений 1° Пусть хеС™. Р.зд c*eUX'ky • (1) где коэффициенты ске С , называется тригонометрическим рядом. Термин "тригонометрический" по отношению к ряду (1) становится понятным, если принять во внимание формулу Эйлера eiz = cosz + isxnz (zeC). (2) Пусть ае Z™. Ряд e«t,x>= J (-is\gnkift...{-UignkmfmcJcet<x'k} *ezm называется сопряженным (тригонометрически) к ряду (1) о поряд¬ ком сопряжения а. Ясно, что 6{х) = 6(0т, х}. Пусть neZ™ , Сумма S{n,x)=jj^ ckei<0C'k* называется n-ft частичной суммой ряда (1). **£->ця] Пусть D - измеримое подмножество Система функций <р_: : D-+C(keEcZn) называется ортогональной на D, если Ял г - а ® 0 при .fc^Z {Jc,l€.E). Если A**»! <кеЕ), то система называется нормированной. Ортогональная и нормиро¬ ванная система называется ортонормированной. Система функций в1 х {keZ} ортогональна, а система {2%f ^eikx (keZ) ортонор- мирована на любом отрезке длиной 2м9 так как для любого аеИ ^ кф19 I в ) » Т 9 k,l€Z. (3) Ja | 2лг при «fc=*Z, Система {ksZm) ортогональна, а система {2я)т%‘<хк) <кеЖ ) ортонормирована на кубе Qm. 43
Лемма 1. Пусть дан тригонометрический рад (1), f е ), neZ+, Sn{X)* ^ Cfe€i<a!‘k>. Если К е 1-п,п1п го ск»(2яГт$в f(*)e'l(x'Mdx (JteZm). (4) Доказательство. Фиксируем Jc. В силу (3} при достаточно больших п (п Следовательно, при пьп0 «= |(2я)т,л - /lx)e'l<x'Aldxj ° iSn(x)-j(xi)e'l<xk)dx I -S s»-/|, - h ■ Отсюда находим,' что О 4 ct 4 lim |3Л « 0. 1 Лемма 1 показывает, что в простейших случаях, когда рад (1) имеет суммой функцию у, его коэффициенты выражаются через эту функцию посредством формул (4). Множество таких радов со¬ ставляет объект специального изучения. Определение 1. Пусть / eXjCQ^). Величины cJ^/)«{2Jt)*wjo f<x)e *<*’*>dse <keZm) (б) называются (тригонометрическими) коэффициентами Фурье функции /.Рад %<f>ei<X'** <хе€т> (6) называется (тригонометрическим) рядом Фурье функции у, I Следотвие 1, Если ряд (1) сходится в пространстве ]то он является рядом Фурье своей суммы, Следствие 1 очевидно в силу леммы 1» ибо сходимость рада в пространстве С(О^) влечет за собой сходимость зтсго ряда к той же суше в пространстве j 2*° Лемма 2, Пусть пеХ™, Аке€ при кй[-п9п\(\2™ 4>(*|-ТЛ,'«*■*’, Jtl,(a„>.U<y.x)-T W/)*"1'*! Тогда 44
U<f,x)*<2n)'mjs fiDQfx-lidl, (7) а при xeRm справедливо и равенство U(f,x)~ (2я}~т С f(x+i№<-i)dt. (8) оот Доказательство. Учитывая (5), имеем U<fxh(2nf”( Xj.el<<x~i>'*>dl~{2K)'ml f(i&<x-l)dl. Ае[-п,п] Формула (8) получается из (7), если в последней сделать заме¬ ну переменной 1-х~и и воспользоваться леммой 1*2.1. А Пусть хе€т. п9ае г1™ , причем а^в{0,1} при к*Л,т . Функции го - ^ , п . _ ТТ/$\п(Пх+Цг)Хк \ */<05<3f#/2)- СО$(Пя+1/2}Хк \а* оп<а,х)0-11\—Щх^гТ") \“ Ш(хкГг] / ' J? (а г) - IT(sinп***t-***1*** \а* (о) Яп«*'*>г \Нр£75Т7 w называются соответственно сопряженным (модифицированным со¬ пряженным) ядром Дирихле порядка п с порядком сопряжения а. При атом в случае пк = 0 в формуле (9) сомножитель clg'-j^sinTfcaj. заменяется на 1/2. Функция п/г!_п /л* -» -ft $inw*+№)x* ffn(x)-1>„{W ,я)0-%1 _■ v--—* A.r smfxKm называется ядром Дирихле порядка л. Определим фикции otn:2w-*{ 1/2,1], г 2я*— {1/2, if ЩЖ H&Z™ соответственно соотношениями 1C, «.Л». й.(П ■ гПмй«,(^). Если n.a*Z", ги^од), areC™ то полагаем isign.fr, Л... (-isignim ^f»(<^,/,x)m S^{a,f,x)0. Суммы S* </,*>- (/, *)0- 5„(0я;/,х)0 - J b<f)el<*’*\ &е£ЛёП} 45
w.*>t-sn«>m'f,*k= 2 ^<k>c^f>eU3e'k) Х£[~П,П] называются соответственно суммой Фурье (модифицированной сум¬ мой Фурье) функции / порядка п . Предложение 1. Пусть feLi(Qm)f neZ™, as Z+n[0™im]9 ге\ОЛ), осе Cm. Тогда 5Л<*,Мг=<2я)'даС f<№„<»,x-l)rdt, («> _7П И а при ХйН справедливо и равенство ^л<л,/,х)г-(2яУт( j(x+l)Dn«x,-i)rdl. (12) OQm Доказательство, На основании (10) и леммы 2 S„<a,ftx)r = (2itfm С /Я)Ф{а,х-Ь)гсН , *JQm если хеСт и (2я)~т f f{x+i)Q(<x,-i)rdl, *JQm если xeR™ где Ф(а,2)г= 2 li-isignkf)*1*х...х(~151дгп:кт)атel<ik)= Xsl-n,n] - П(| Z*i Отсюда, принимая во внимание равенства 1 Л.(9)-1 Л .(12), а так¬ же определение функции Z^fa, i )Т , получаем требуемое. А Следствие 2. Пусть feL^Q^), пе Z™, осв С™. Тогда $*{/>*>*L '№№*<*-*><&, (13) vwm а при seeR справедливо и равенство 5л(£ос)={2пТт С (14) '-'Qm Для доказательства (13) и (14) достаточно положить соответст¬ венно в формулах (И) и (12) а=От и учесть, что Dn(-l)=Dnil). 3? Через Выбудем обозначать множество [arcR : х £ О } . Пусть I4p4 « t felp (Qm)* Функция с»</)р> определенная 46
на R+ равенством [[/(• +называется моду¬ лем непрерывности / в пространстве Lp(Qm). Таким образом, ес- ли i 4 р < оо , то если р= оо г то Oi(f,^)co= SUP {vraisup |/(af+2)-/te;j| . j 11 ^ h. Qm Б частности, -для / £ (x,if)eKh где Л1* = {foy): я; е R w, у е Я "JI я-у | «Л|. Модуль непрерывности функ- цои feWm в пространстве будем обозначать просто aj(f )* Пусть X - комплексное линейное пространство, Отображение р:Х-*Л+ называется полунормой на X, если: a)р^х^у)4р(х)^р{у) для х,уеХ; б) для ДеС , #бАг . Отметим не¬ которые свойства модуля непрерывности* МЛ. При фиксированном л отображение» сопоставляющее /Vу/. число OJ(fth)t является полунормой на Щп- При этом для любой fe Wm и любого Несправедливо равенство М.2. Если /eW^, то w<f,h)4 2||/[|, о><0)«0. М.З. Функция о>(/> возрастает на В*. МЛ. Функция tofj7) равномерно непрерывна на JR+. Приступая к доказательству сформулированных выше свойств, прежде всего напомним, что норма в пространстве Wm инвариантна относительно сдвига, т.в. для любой и при любом t е "Rm имеет место равенство )||=jj/||. Доказательство свойства МЛ получается непосредственной проверкой аксиом полунормы исходя из определения модуля непре¬ рывности, аксиом нормы пространства!^ и ее инвариантности от¬ носительно сдвига. Свойства М.2 и М.З очевидны. Доказательство свойства МЛ. Так как при 04 Aj <Л2 04ui<f,h2)-ai(f,hlU sup {fl/<-+?)-/A)|-|/(-+AIVI«!>-/W|l4 47
< sup +A,J/1'Ш 4 W(f,hs-ht), ШфйаГ то достаточно установить, что tim о» (/, A) * О . (15) A-*o+ Если то (15) сразу следует из равномерной непре¬ рывности / на Кда. Пусть В силу теоремы 1.2.7 для В > 0 существует функция ge.GlQmY,такая, что < е . Ис¬ пользуя свойства МЛ. М.2 и очевидное неравенство oj(g,h) 4 4 , имеем о){/,А)4 <i)(f-g,h)+ Oi(g,h)4 2lf-gl+i2«)mo)<g,hYa, < < 2s + Отсвда находим, что Tun toff, А) 4 2s. Учитывая произвольность 6, заключаем, что lim цН/гЛ)**0. А 4? Предложение 2. Пусть 14р 4 се,Ы2т, Pk~fak,2я(А+1т>], функция 1ргЯт->€ суммируема на l?”1 и "такова", что ряд ■ где тк= urai supjtpfcc)] , сходится. Тогда: 1) для любой/е^(б,д и, функция Uifh заданная на .1? формулой U{f,x)='J^nf(x+l)<f(t}d2, (16) принадлежит €(Qm)\ 2) справедливо неравенство f^-y^)!s‘,vVI^W<LlT'*,i«-' да| |3) имеет место включение VsL{Lp{Q,n) —»■ LpШт)). Доказательство. Прежде всего заглотим, что функция jfjf*+af) tp{•) суммируема на .??*”. Действительно, учитывая лешу 1.2.1, имеем С wj/(»+^>f(^!^ 5 ч< 2^ X» Jl < а>.* 48
Периодичность функции U<f) очевидна. Докажем ее непрерывность, пусть x.yeR7"' Рассуждая, как и выше, и применяя равенство (/[5), имеем ; Г Ij<x+i)-f(y+b\&Yt mk s^r JQjtl JccZm JceZm Тем самым пункт 1 предложения 2 доказан. Теперь, применяя об¬ общенное неравенство Минковского (см.теорему Т.2.8) и учитывая инвариантность нормы э Ьр(От) относительно сдвига, получаем •1ЛЛя»К'г,1й- Отсюда сразу следует (17). Третий пункт предложения 2 вытекает из очевидной линейности оператора U на ^(От) и только что доказанной его ограниченности в Lp<Qm). А Пусть функция f:Rm-+C локально интегрируема на R . Обо¬ значим через S(oc,r) шар 1Rm: fi-xj ^7*{, а через $<г)~ его меру. Точка :r£Rm называется точкой Лебега функции f , если lim Щг)'1 f \f(i)-f(x) loft =0. (18• r'*° S(x,г > Классическая теорема Лебега (см., например, [46, с.344]) утвер¬ ждает, что равенство (18) справедливо почти всюду. Определение 2. Пусть функция /: Rm~* С локально интегри¬ руема на РШМ -[-Я12,Я12]тщг-1еЯ. Функцией Стекяо- ва первого порядка для функции f с шагом Я называется функция ^h9i<f >;Я -*С, определяемая формулой sh,t<f>x)~h~m С f<x+i)dl. Функцией Стеклова порядка г для функции / с шагом Я называет¬ ся функция Отметим, что если je L^(Qm), то (на основании первого пункта предложения 2) S^j(f)€. C<Qm) и почти всю¬ ду на Рт(см. равенство (18)). Очевидно, что для^с!» (Qm) справедливо неравенство § 4 j/Ц^. 49
Приведем теперь формулировку хорошо известной теоремы бега о предельном переходе под знаком интеграла (см., например [10, с.200]). Эта теорема понадобится нам неоднократно. Теорема 1 (АЛебег). Пусть на множестве ЕсИт задана по. следовательность суммируемых функций Е-+ С , которая сходит¬ ся почти всвду на £ к функции /. Если существует такая сум¬ мируемая функция <р что \jk(oc)\при каждом k почти всюду на £, то f тоже суммируема на Е и Д™ Se fje<x)dx = §Е f(x)dx. Предложение 3. Пусть функционал ф: C(Qm)-+Ci определен равенством Ф(/)~ $Qmf(x)f(oc)dx,где (ре«%*(Qm)- фиксирован¬ ная вещественнозначная функция. Тогда ФемС«}т)-~С1) и |1 Ф |)- MSoJf(x>idx- Доказательство. То, что ФеКС(От)-^ С1) * 1фи L |<p(x)|oZo?f очевидно. Докажем неравенство ||Ф|) ^ Определим функцию на 0т соотношениями при гге(-зг,ог)”\ g(x) = 0 при В силу сказанного после определения I S^tl(g)€C{Qm), почти всюду на К771, <^)||осЛ || g Ц**, ^ 1. Учитывая эти фак¬ ты и применяя теорему 1, получаем, что ||Ф|>Ф<5«&»- “ л )(?<x)dx §Qjp<x)(p<x)dx-§\yx)\dx. & Предложение 4. Пусть функция суммируема на <3Ж Тогда J= sup \\f<Om)-§of(X)'4?<x)dx\/§f\\lx, | » 1+J^ \4?<x)\dx Доказательство. Обозначим [-$, ^j7” через p(S) Фиксируем ее<0,1) и найдем б'е<0,я),такое, чтобы 6)L4oJ^^jy(D х dx <£. Тогда J* |4*<аг)|с£г-е. Определим*функ¬ цию {re Lt(Qm) наЯ|''йи соотношениями g№)=-signЩх) при х £ E(-7i,Jt)m\p(8),g<X)^l ПРИ XEp(S), Q<X) = 0 При Х€От\(-Я,!К) Как и в доказательстве предложения 3, имеем Sj,j<g)e C{Qm> > почти всюду на Ttm, j| s*Mg))],*,< j|g||oc^ *• ^евидн0, 50* Ьа+
что Um i *§’ ~ * Учитывая сказанное и применяя /?*^о+ теорему Т, находим* что SHi<g>°m)' LSKX(g,x)^wdx — ' *JQm Vm ^ 1 + So \^<x)\^x ~ 2£ ‘ Таким образом. 1 + ( |У{Х)Ызс- 2e. Устремляя в последнем iJQm неравенстве в к О, получаем требуемое, А 5.° Пусть feLt<Qm), rteN™ хеСт. Суммой Фейера функ¬ ции / порядка п называется функция «я</,*) = (v [О"1,"])*1 J S*<f’x)- _1 *> A^LO^n) Функция Фп<х) = (у[Оп\п]) II (s\T\{nRxkl2)/sxn(xkl2)) называется ядром Фейера порядка п. Предложение 5. Пусть neN™ хе€т. Тогда e>n<f,x) = {2rtfm( f<l№n<x-l)di (19) а при rreKm справедливо и равенство e„<f,x) = (2nfm ( f(x+l№n(i)di. (20) Доказательство. Опираясь на определение суш Фейера, легко убедиться,_что <w.*>- X (fti'-M/MW)*"*-*' • («о A€[~nf7iJ *=* Отсцца на основании леммы 2 имеем en(f,x)- (2st)~m f О От при хеС , если же хеКт, то справедливо и равенство бл={2я)*тj*c /сас+г)Ф(-г)огг, где ф<г,т Л / J|( J. jjt |/Л| \)е »'?•*> В силу равенства 1.1.(21) и определения ядра Фейера Ф(2)*ФП(?Л Осталось заметить, что Ф„<-1)-Фп<1). А 51
Замечание 1. Справедливы равенства (2я)'мС Dn(i)dl =1 </ieZ+), (22) Wm (2я)~т С 0n<t)dl-t <2tcNm). (гз) vQm Равенства (22) и (23) очевидны э силу соотношений 1.1.(9) и 1.1.(21). Пусть п £ 2™ и } ап} - последовательность комплексных чи¬ сел. Условимся min пк обозначать через л . Последователь- k=i,m v ность {иЛ} сходится к пределу S при п -»+оо (запись lim ип-s) п-ь+оо если для любого в > 0 существует такой номер Jce% что неравен¬ ство |uh-s| <е выполняется для всех п% у которых п }ке. Теорема 2. Пусть f£C(QTtJ )f neNm. Тогда lim = 0. Доказательство. В целях простоты изложения ограничимся рассмотрением случая т = 2. Из условия jfe C(Q2) следует. что J равномерно непрерывна на К2. Фиксируем е > 0 и найдем <^>0,таксе, что при ?е Д- [-£,$]2с Q2 и хеЯ2 спра¬ ведливо неравенство }f<x+i)-f<x)j<e* Обозначим$д2\дФп^)<Н через Зп. Учитывая, что одномерное ядро Фейера - четная неотри¬ цательная функция, а также одномерное соотношение (23), имеем +£фпА>с1Ф 4Ak$ssi”4dz+k$ss™2?dzy = (j* sin"2 fdz}(n? + ). Сл едовательно, U>rt Уп« 0, (24) п^+со Положим . Принимая во внимание предложение 5, равен¬ ство (23), неотрицательность ядра Фейера, находим, что прияе е R <2л)2\бп<£х)-/т\= t)di -§&р<х)Фла)<Н j = “ \Hq (f<X+t}| * \f<x+1 )-f<x)\^n<i)dl <
< ^ t<Pn<l)dl + <2,t)2£ + 2JUJn . Отсюда заключаем, что при всех п е N2 \L <е+МЗп. В силу (24) при достаточно больших щ и п2 будет М2„ < £ , а тогда при этих л, и пг справедливо неравенство l^n<f )-/{„< 2е. А Предложение 6. Пусть Нр<°°, feLp<Qm), neNm. Тогда 126) Доказательство. Пусть сначала р « оо . учи¬ тывая предложение 5, неотрицательность ядра Фейера и равенство (23), имеем |м/>1«. < «2«rf ФпШг-у^. *~Qm Пусть теперь t4p <оо. Опираясь на предложение 5, теорему 12.8 и учитывая неотрицательность ядра Фейера, находим, что К<Я11р = (2Я>-тЦ,т | S^ftx+hQnWdi\pdx)yp 4 4<2яГтС lf<-+f>L<Pn<t)dt. tг Остальная часть доказательства такая же, как и в случае р-оо.л Теорема 3. Пусть 14р <00, feLp<Qmh леN”*. Тогда lim Ц/-бл{/>|| -О. П-+ + 0О Г Доказательство. Пусть е> О, Найдем функцию ge С(От)9 такую, что \f-S\r <е. Это можно сделать в силу теоремы 1.2.7, Используя теперь предложения 6 и 1.2.3, получаем <2 tf-elp+<2я»л//> K<g> • По теореме 2 для всех л , координаты которых достаточно велики, будет Ил<£)-^||оо < (2n)~m^z. А тогда при этих л справедливо неравенство #■/- 6л(/)^р < Зе. А Следствие 3. Пусть felj<Om) такова, что С при всех Ае2т. Тсгда f^Q на 53
Действительно, ь этом случае при любом лвЛтт з силу фор¬ мулы (21) будет Sn<f,x)s о. Значит, по теореме 3 (/> =1) fl * ЦУ-биСОЦ* = Следовательно, 0 на R*”. л-*-+00 3 6.° Пусть ле2+, жеС”*. Сумма Т<х>=2* схег<х'к>, где Лсе[-л,л] коэффициенты сЛ€ С , называется тригонометрическим полиномом порядка п . Тригонометрические полиномы порядка О171 суть комп¬ лексные постоянные. Множество всех тригонометрических полино¬ мов порядка п обозначаем символом Нп ; через Him) обозначаем U Нл. neZ? п ... m Определение 3, Пусть iipico, feLp(Qm), neZ+. Наилучшим приближением порядка л функции f в пространстве Lp<Qm) называется величина En(f)p= inf |/~ЗГ]|п. Наилучшее Т приближение порядка п функции feWm в пространстве обо¬ значаем через Enjf). Предложение 7, Пусть X - нормированное пространство, - конечномерное подпространство X. Каков бы ни был элемент ссеХ, найдется элемент х0еХ0, такой,что Цат-araJ| = in^f У е *о г Доказательство предложения 7 имеется, например, в [37, с.58- 61]. Пусть i4p4oo, felp(Qm), neZ+. Функция Tn(f)peHni удовлетворяющая равенству |называется по¬ линомом наилучшего приближения порядк^ п функции j в прост¬ ранстве Lp<Qm). Через Tn(f) обозначаем полином наилучшего при¬ ближения порядка п функции fcWm в пространстве Wm. Существование полинома Tn<f)p следует из предложения 7, Если полином ТеНп определяется равенством ||f~T§p = En(f)p неоднозначно, то через Tn<f)p обозначаем любой из них. По¬ следнее соглашение не приведет к недоразумениям. Предложение 8. Пусть 14 p<<fr4°°, JieZ + . Тогда Доказательство. Обозначая (2зс)т^~*№ че- рез $ и используя неравенство 1.2.(9), имеем En<f)P41/- w)9|р < * у-тяфч\ч = ]. J 54
| Теорема 4. Пусть fe Wm. n e Z”. Тогда lim £„(/) =0. | Л-*-ЮО Для доказательства теоремы 4 заметим (см.(21)), что бл(/)е еЯ (более того, Нп-1т> • Потому имеет место неравенство Еп<р4 4 ||/-бл(/>||- Осталось воспользоваться теоремами 2 и 3. 7.° Пусть Обозначим символом L* множество опера¬ торов UeL(C(Qm) —C<Qm)),обладающих свойствами: I) U<f)eHn для любой feC<Om)i 2) U<f)=f для /е#л. Условимся при ?е eRm через £ обозначать функцию /(• + ?). Теорема 5. Пусть л е Z+, xeRm, Ue I*, f е C(Qm). Тогда n (2л)'т\ U(L,x-i)di =sn(f,x). (26) Доказательство. Обозначим левую часть (26) через <{?(/,#) и покажем, чтс при фиксированном я: функционал Прежде всего проверим, что функционал <р задан на C(Qm). Для этого покажем, что для любой £еС(От) под знаком интеграла в (26) стоит непрерывная функция. Имеем (heRm) |- u(ft, хЛ)\i| V(fUh,x-t-h)-и<;г,х-Щ+\т&, *- -l-h)-u<fi,x-i) | s< II Ulll\fi+h-ft Д+ \U(fitx-i-h)-U(ft ,x-i)\ . При \h \ — 0 первое слагаемое стремится к нулю ввиду равномер¬ ной непрерывности функции /, второе - ввиду непрерывности функ¬ ции U(fi) . Очевидно, что <р - линейный функционал. Кроме того, |у</>|<<2*)-яСп I u<fvx-i)\dt 4 (2flirf \\U\\ fl/^ di = II II II * II *jQfri Vw» ж ~ Ir IIIM 9 и» следовательно, (j> € L<C(Qm) -*C ). Покажем теперь, что (26) справедливо для любой £йН<т), Пусть сначала £еНл, тогда и ^ . Следовательно, U(ff , С другой стороны, Sn(ftx)=f(x). Пусть те- т?ъ f(x)*ei<x’k>, где keZm \ [-п,п] . Имеем ^(х)=еихк>ецШ, lJdfi,x-l}=U<el<x'k,,x-t)e,<i'kf. Но U(et<xk\x-l) как функ- ция аргумента I принадлежит Нп% вследствие чего, в силу ор¬ тогональности системы ег< Р* (peZ™) на Qm, f U(ei<x*\ х-г)eUi'k>dt = 0 . •JQm 65
Таким образом, левая часть (26) равна нулю* Очевидно, равна ну¬ лю и правая часть (26). Из доказанного и линейности ср и S„(*tx) вытекает, что (26) справедливо для любой feH(m). По теореме 2 для любой fe С<Qm). Поэтому для лю- бой° fe C(Qm) |f <f)- f 4 | f ||i-0, i.e. <f<f) = lim Аналогично Sn{f,x)= lim Sn(6k K—OO i + °o Осталось принять во внимание, что = Sn<6jc<f), х). А Демма 3. Если ле/+, то С* \j>n<l)\di > (S/jr)ln<n+i). Доказательство. Легко убедиться, что J* | |*>"‘^‘)>| di. Используя неравенство | sin 11 ^ \11 при I е R , имеем jp«in«.pmifl s jWlstaiavwijdl . j*"’*®Ijinii di^ 2w 2n 2/i Теорема 6. Пусть «eZf, areR”*, UeL„, J l/Ц » '/.ZJ v,W-/\su\. Is-1 s-VI-/I/UI. ||V*-*)|* sup {\Sn<f,x)\/yfiM {. Тогда H " feC(Om) m \Up\Sn\>\Sn{-,x)[b {4!n2)n (27) 1*1 Доказательство. В силу равенства (26) для лю- бой feC(Qm> IV/>1. < т>и «»<И1Л.. и, следовательно, Ц Sn Ц ^ Ц V Ц . Неравенство очевидно. В силу предложения 3 и равенства (14) = (2or)~mx \Dn(l)\di. Осталось воспользоваться леммой 3. 1 56 m
Теорема 7 (Банах - Штейнгауз). Пусть X ~ полное нормиро- ванное пространство, У - нормированное пространство. Если по¬ следовательность операторов U„eUX-У) <пеЯ) ограничена в мвдой точке X (т.е. sup || Un<x) ||у < оо для фиксированного 71 £ jff хеХ), то sujs 1 Un |j < оо- Доказательство теоремы 7 имеется, например, в [37, с.229, 230] гли [11, с.214, 215]. m В дальнейшем множество | х е 7L + : х^ ~ = ... •= хт | будем обозначать через Ат. Пусть гЪКэА™, {ип}пеК~ последовательность комплексных чисел* Последовательность сходится к пределу 5 при п-> + оо в смысле d .(запись (d) lim un=s или ип ^-*s(d)\ 71-.+ЛЭ fl~+±C<0 если для любого е > 0 существует такой номер к£, что неравен¬ ство |ил-5|<е выполняется для всех /2€Лт, у которых п ^ . Для последовательности {ил}ле# вещественных чисел естествен¬ ным образом вводятся понятия верхнего (нижнего) предела в смыс¬ ле d* При этом верхний предел обозначается как (d)lim ип % п~+ оо нижний - как (d)lim ип, 71 -н» ОО Теорема В. Пусть UneLn (л в А). Тогда существует функ¬ ция JeC{<Sm), для которой (d)lim }|/~ ~ ‘ /г~* со Доказательс т в о. Действительно, если бы для любой feC(Qm) было (d)lim |/ - Un(f)|| <оо, то из теоре- n~t.°9..... ш 7 следовало бы, что suj}^ jZ/n!| это противоречит соот- ношению ^;lim |Ц,|| = оо, очевидным образом вытекающему из не- П~+ 00 равенств (27)* i Из теоремы В следует, что не существует последовательнос¬ ти ^операторов UneL* (пеАт% реализующей неравенство (o^lim (|| /- Un (/)$„ jEn <f)„)<00 для любой f е С(Qm). этот факт имеет принципиальное значение для теории аппроксимации перио¬ дических функций. Теорема Пусть creF”1. Существует функция fe C(Qm) .для которой (оГ)Шп о оо. 71-+ОО ' ^ ^ Доказательство теоремы 9 аналогично доказательству теоре- 57
S’ Лемма 4* Пусть weN . Тогда \Dn<l)\dl 4 4 (In л + яг). '-я Доказательство. Учитывая неравенство c\gi< <1/ i , справедливое для t€ ( О, ет/2], тлеем i hmldl+Vj% ® л3**1 . ЛЯ . Осталось принять во внимание, что 4 i~dl-lnn,а t i sinidi < <1,10.А Теорема ТО. Пусть felVm. Если (d)lim E„(f)lnm<n + 1) = 0, (28) п-+> оо то ряд Фурье функции J сходится к ней в пространстве \\гт. Доказательство. Пусть neZ™. Учитывая, что Sn(T)=T для любого ТеНп и обозначая sup {|Мл(/)||/||Л1} через 1п , имеем I/-V/)||=+| V W-/)| 4 у<<1+гп>1 /- ТЛ <f)l = {ln +1 )Еяф. (29) Далее, опираясь на формулу (14) , предложение 2 (неравенство 07)) и лемму 4, находим, что для 1п справедлива оценка 771 < Y\({2fa)'kn(n}!.+ i) + 2). ‘(30) Х=»1 Сопоставляя соотношения (29) и (30), осуществляя предельный пе¬ реход и учитывая равенство (28), получаем, что Ы)Ты v/>|( '< «*>М™ л+1п Лос п~*оо , V 4 (d)lim En<f)(((2/n)ln(n + l) + 2)m+l) ~ 0. А п-+оо ' m v Следствие 4. Пусть feC(Qm). Если (d)limЕдф^Ьп (п+1)=- П+СО = 0, то ряд Фурье функции j сходится к ней в пространстве C(Qm), т.е. сходится равномерно. Следствие 4 интересно сопоставить с теоремой 9.
Теорема 11. Пусть feL2<Qm), neZ+. Тогда I/--En <f}*=Ш1 - (2n)mI I>l2- (3I) Лс[-Л,Л] |/|i-ww2 ЫЯ12- (32) XeZm Равенство (32) называется равенством Парсеваля. Доказательство. Пусть ТеНп. Учитывая, что та) = У\ cJT)el<i Jc> и равенства (3),имеем (7= J* |/(£}-Ш)|2<Й= * От ire[-^fnj - i-^^.^Тохи^пф. Jct[-n,n] *е[-п,п] Хе[-п,п] Прибавляя и вычитая (2я)тlc*Cf)|2 получаем Ае[-л,п] >|/||+(2я)я,2 |сл(Г;-с^/)|2-(2я)т2 }ск(/))2. (33) леЦ-л.п] А£[-л,л] Отсюда следует, что J достигает своего минимума при ck<T)-ck(f) (к е [~п,п] HZ”1). Таким образом, имеет место равенство jjf - (33) вытекает, что 1/-?л(/)|2=||/|2 - (2ЯГ J \скф\*. (34; яе[-п,п] Тем самым равенства (31) доказаны. Переходя в (34) к пределу при п ~* + оо и принимая во внимание, что по теореме 4 = 0 душ feL2(Qm)> приходим к (33). *"*** §___2. Некоторые представления операторов, построенных на базе рядов Фурье ^*° Введем обозначения: Вт= { х е Z2^: хк « осm при ** *’т I ; если и’% то d <mf utl) = d<u,i) = oi'm x Sln ujtj * если иеК, te JRm, to y(mfu,l) - ~ 59
тт = я и ; если то 1" т g(m, и, i) =g(u,i) = oT2m ]~[siп(и;Ц) s\n(u^^m). Под интегралами &"и i»?' (з отличие от интегралов Лебега т и I - ) будем понимать соответственно lim 4 и Пт ( Л-»+«>Л[-А|А]т A->+«>J[OA]»' Пусть a,beJt, a<b, reZ+. По определению полагаем C[atb] . множество непрерывных функций j С*Г) [<*,&]55 [fe С[а,Ь] 3fWeC[a,b]]t Cir^{feC(Ql):3f<r)e€<Q1)\; 2Р Предложение 1. Пусть jfeC, neN, хеК . Тогда $n(f>x)t~ я | dt • W Доказательство. Из разложения clgz**^ (г-Ы){ следует, что и~со причем ряд в правой части равенства сходится равномерно отно¬ сительно £е[-я,я]. Отсюда находим, что «—> l=-co ■ * s м ■ * ^dt ■ a Z = -oo бедствие 1. Пусть f e. Cr ne Z+, ar^R . Тогда Sjf,*>^$Rf<x+l>5jlT~di +£rfj"j<x+hcosnldi. (2) Доказательство, Если n - 0, то равенство (2) очевидно. При леК имеем о + ±.j* f(x+l)cosni<ii* Sn(fx){+ ~ ^ftx+bcosnl rfl. 60
кеХ где Применяя (1), получаем (2).А Следствие 2. Если а е Я , то Я, ^ <3' Доказательство. Полагая в равенстве (1) п =1, f(x)= 1» находим, что jfsjp(($ini)/l)dt = i . Делая в последнем интеграле замену переменной i-au {а считаем не равным нулю, случай а= 0 тривиален), приходим к формуле (3). А Предложение 2. Пусть feHim), хе€т, функция <р-’К+“* С суммируема на Я+, при кеА™. Тогда 2 ^т/<х+г)Фаха, (4) *<*>-!£ (f(U)ip(m,u9i)du . (5) Доказательство. Ввиду линейности ка Н<т) пра¬ вой и левой частей формулы (4) достаточно (4) установить толь¬ ко для функций вида ег(х1\ где 1е2т. Поэтому будем счи¬ тать, что f(x)=€l<x'1^ Опираясь на соотношения -I Г sinziz i4z 7 _ f если 2 1 0, если 0^1/<г/> которые легко получаются применением формулы (3), нетрудно про¬ верить, что если JceZ™ и ие (к, Jc4-1*1), то f f<x+i) d(m,ir, l )dl , (б) JHm Отсюда следует, что Т AksJc<f>x)= С С0(и)( Пт Г f(x+t)a(u,l)dl)du . *£дт Jo ' \Л^+л> ' Так как при любом г/ £ Я <2' 61
{41я)п\еи*'1'\ sirWu-Z^)z+sinlu+Zp)z ^2J Воспользовавшись теперь теоремой 1.1 и теоремой Фубини о по¬ вторных интегралах (см., например, [10, с.225, 226]), получим, что оо . р X Hil^w fa*i>vu’l>ilj'iu - Лемма 1. Пусть If, V e L { Wm и таковы, что: 1) U(f) , V(f)E €<ОтУ , если feWm, 2) U<f) = V{f){BWm) для feHim), Тогда U{fx)=>V<f,x) для всех хеРт и fe Wm. Доказательство. Обозначим через }J С/ (| и Jl/’fj нормы операторов U и V в Wm . Пусть feWm. При любом ледг™ имеем \UW-V(j)\.\U<f~b<fd-V(f-b(f))l 4(1 V\ + \V\)\f-*nWb Переходя в полученном неравенстве к пределу при п-»оо и учи¬ тывая теоремы 1.2 и 1.3, находим, что \ U<f)-V{f)|) » 0 , т-.е, 17(f)- V(f) почти всюду на Лт. Осталось принять во внимание непрерытзность функций U(f) и V(f )* А Теорема 1. Пусть х € Р7П, функция <p:JR+-*€ суммируема на К+, при JceAm, ^R+|<j>(u)|ln,"(2 + u>rfu С оо , функция Ф определена формулой (5), \$Hi)\dl < оо. Тогда для feCiQm) справедливо равенство У Aj^tf.ae)» f f<x+l№i)di . xe\n RM Доказательство. Применяя неравенство 1.(30), находим, что для любой g€.C(Qm) 2 II Igloo|?<U)|ln"V2+Uj<fu, где постоянная C(m) зависит только от т. Поэтому в силу след¬ ствия 1.2.4 ряд J) сходится в пространстве С(От) • леА7" Учитывая сказанное, нетрудно понять, что оператор U, задавае¬ мый формулой U<g)=y принадлежит 62 хеАт
Так как Jw |ф(1)\<И < °° , то оператор V, задаваемый форму¬ лой V(g)= g<x+l№<l)dl9 также принадлежит L(C(Qm)-~C(Qm)). Остальная часть доказательства получается сопоставлением пред¬ ложения 2 с леммой 1. А ^ Предложение S. Пусть feH<m), хеС™ функция <р;R+-C суммируема на R+, nptl AeZ+‘ Тогда где 4f<u)d(m,u,l )du. (7) Доказательство. Как и в доказательстве пред¬ ложения 2, можно считать, что f(x)= е1<х'1), где ZeZm. Прини¬ мая во внимание формулу (6), имеем Меняя в правой части последнего равенства порядок интегрирова¬ ния и предельного перехода (законность этой операции обосновы¬ вается так же, как в доказательстве предложения 2), а затем порядок интегрирования, получаем требуемое, А Теорема 2. Пусть xeRmt функция суммируема на *+• v4,»+1n.j¥(u^u ПРИ Л'€С Tip,{ln(2+uPidu<m> ция Ф определена формулой (7), J т\ф{1\\<И <о°. Тогда для fe € C(Qm) справедливо равенство ^JcSx{f'x} * С $<х+1)Ф<1У<11 . *Й? ^ Доказательство. Применяя неравенство Т.(30), nz J находим, что для любой ge C<Qm) 2 p*v«.->|w < c^>f#s« СIтНПln + up>du ■ /ceSj1 где постоянная Cf/rc) зависит только от т. Остальная часть до¬ казательства аналогична доказательству теоремн 1. А Предложение 4. Пусть feH<2m), Х£С2т, функция <р:JR суммируема на ^(u)du при кеВт, где \шШ*Jftp* • Тогда & 63
ksB™ где У С Нх+1)Ф(:1)сИ, Ф(1) = ^к7Л <f(U)g<m,u,l) du. (8) Доказательство. Можно считать, что f<x) = _ екх<1) ^ Гд0 1е%2тщ принимая во внимание (6), имеем AgB **■ Меняя в правой части последнего равенства порядок интегрирова¬ ния и предельного перехода, а затем порядок интегрирования, по¬ лучаем требуемое. А Теорема 3. Пусть хеТ12т, функция (р.-К^С суммируема на <Lr и)Прж1 bi2(2+zy&K«>, величины и функция Ф + ' Л . определены так же, как в предложении 4, J^2Тогда для f€.€(02m^ справедливо равенство J j>2/n ' ЛсВ777 К Доказательство теоремы 3 аналогично доказательствам тео¬ рем I и 2. 3.° Яеша 2. Если лей" , .хеЛ, то " Si"“ s< Я, (9) Л-1 л Ssb к Л»1 Esin {2/c-f l)jc 1 у jjr_ /Л-Г.ч 2*+1 4 2 * Jt*0 Доказательство. Сначала установим (9). Учи¬ тывая формулу 1,1.(9), имеем п V sinAoc _ 1 Г sin<*+l/2tf :?* я ^/г/гч L~k~ ~2j0 sxnai2) dl 2 • Не ограничивая общности, считаем :re<0,jt). Положим ~£пТ[ * Подынтегральная функция в (11) на [О.зг] обращается в нуль толь¬ ко в точках lk {k=Ln) и меняет знак при переходе аргумента через эти точки, а интегралы Ук (к * 0,гг) , где 64
, Гг*«dl=(-\)* Г1 4т£ттгтатdl а-о,л-1), Vl, “SindWT Jo sln«Uik)/2) utjc cnsw<n+V2>i лi r?l/2-£i?4.(n4I/?)? d% n Jj sm(il2) 3q sinUi+ljfyiD убывают по абсолютной величине с ростом Л и образуют знакоче¬ редующуюся последовательность. Следовательно, „ , 1 Сх sin(n+i/2)i ^ Зо / „ lj0 si n<mr dt 4 т 4 31 (при оценке J0 мы воспользовались известным неравенством |sinwu|4 (уп | sin и\, если теЛ , иеР. ). Отсюда и из равенства (■Г!) сразу получается (9). Докажем (10). Применяя формулу 1.1.(27) и рассуждая, как при доказательстве (9), при are (0,л) имеем V sin(2A+l)ar| _ Г Г* sin2ni Й, i f3I/(2n> sin 2nl от 1-1Ш- '2 J -Щ-** * 2 J0 sin* 01X4 I Jc* 0 I Следствие 3, Пусть n в Z+, te R , x в [0,at] . Тогда «Jj еш 4 3n, |3= |у'г+1/2,г Iz^-n г*-л 1+1/2 4 2+2Я. В первой суше слагаемое, отвечающее индексу суммирования 1~ О, считается равным лг . Доказательство. Применяя (9), имеем 0£ * + 2 J«H « + If ilr^l + 1J AfStll | < з*. м * I z«i ' in Аналогично, используя (10), получаем р.|е«..и* + ,/г)! jinlhJIZ!*. I <г,2*. * г-о ' Лемма 3. Пусть J'elj имеет на [-я, гг] ограниченную ва¬ риацию, Х€р . тогда Y сл<^)егкх = (l/2)(f<x+)+f(x-}. В чаот- +С0 ности, если ас - точка непрерывности f, тоТ г). Лемма з - известный признак Жордана сходимости рядов Фурье (см., например, [34, C.98J щи [2, с.121]). 65
Следствие 4. Пусть ае(0,л), at е [0,1), хеН . Тогда I, если |ас| < а, J_ V sin(Jc-nn,)g eWc+aих пт / * ^ Я Jad к+<£ к*-ос 1/2, если |ас | = |а|, О, если ^е[-я,л]\[-о:,а]в Здесь при Jc+oi = 0 величина (s\n(k+<t)a)/(k+ot,) считается равной Доказательство. Определим функцию на от¬ резке [-я.я] соотношениями: f{x)-^ioLXt если xs [-a,<x],f(x) = * 0, если асе \ [-а, а] . Легко видеть, что sin(*+akr rictx^-ikx,. если A+oi ^ 0, ЯГ<>С + оО <xjnt если A + &=0. Осталось воспользоваться леммой 3. L Следствие 5. Пусть а е (0,я)т 9 ае [От, 1т). Тогда ряд *eZm * * где при = 0 величина (sin(kj + cij)aj)l(kj+o&j) считается равной <ij, сходится при всех агеК^и его сумма равна единице при х е (-а, а)» нулю - при а?е [~я,я]т\ [-а, а]. Доказательство следствия 5 основано на следствии 4. Пусть feL1<(3m), Л=(Л^) л eZm , где ЯкеС, хеСт. Тогда по определению полагаем Я ▼ f<x) = ^ &*ck(f)et<x'k>. *eZn Теорема 4. Пусть пе Z+, оc.fieR"! хе€т, Cj.eC (keZm), функция &гРт-*С определена равенством g<i)=£ ске1^', keZm Я = (Лл)кег»>, где Лл•g(k^), /еНп. Тогда Д ckf(x+<k+ot)^). JteZm Доказательство. Имеем Ят/<х)= £ ^lcl(f)ei<x'l) ~ 66
l€l-tl,n] KCZn ,y Ck T cl<f)exp(i((x+<J'+u)pbl))='l£i ckf(xHk+&)P). A kezm 1е[-л,п] xeZm Пусть neZ+,*eZm, ci,$e€m, n+j e Nm. Тогда полагаем z, , . jr<2*+aQ Ьп,к(Ь^^~ 2n+f Следствие 6. Пусть neZ™, a,felt™, n+$eNmt xeCm, ckeC (keZm), функцияg:Itm->C определена равенством g<i) - = H Скеш'<к+с1)\ Л=(Лк)ке2т, где Л^(2жк/(2г>+$)),/е Нп. JceZm Тогда Я TjVx)= \ ckf(x+ уп>к<$, 2ос,)). keZm Для доказательства следствия 6 достаточно положить в тео¬ реме 4 (3 = 2jt-lm/( 2п + ^). Следствие 7. Пусть neff™, ке[0™л) f)Zmt хе €т, иеЕтг nuiz(vzk, л{Ж+1т)), qj е [О™, I171), /сЯЛ, Тогда 5JУ 2&)) dim,и,1+01). гегт Доказательство* Определим функцию Я формулой (12)* В силу следствия 5 Sk<j,x)- J ЯгсгГ/>е*",,\ ф г«1-л,п] где A; = л я1 (п). Осталось применить следствие 6. А Теорема 5. Пусть леВГтЛАт, 2<и е [От, 1т]Пг + , хе Ст, А/г -Лт П [О™, п ), функция ф: [0,эт] -*С суммируема на [0,3т], Д. - 1)/Л| I /»Я **|/л f(u^u ПР11 keAn&il)=^y(u)c^(m,u,l)dii,f£Hn.TXs% H,**Sk<f>x> = '$\ f<*+yn,i<°m> 2ы,))ФЦ+а). (ТЗ) ЛеЛп ЫЖт Доказательство. Ввиду линейности на Нп пра¬ вой и левой частей формулы (13) достаточно (13) установить толь¬ ко для функции вида е1<х'г\ где reZm П[-л,л]. Поэтому будем считать, что f(x) = eUx r\ . Полагая z/.« и .(О^ЗДи опираясь на следствие 7, имеем ' 67
m I У Ajcsjr(f,x)** С (pw(lim У *<х+1/1)я,<и,1+лЫи=иг. *&„ J°T Х**+"иПлГ Испсяьзуя следствие 3, находим 12 ' 3?»Je,<*'i П X < 6xp(br<p +0ij)^/nj))(p+ot,pfsin(u<p+eij)) N<3Byw',| Применяя теперь теорему 1.2, находим, что ь?*1т У Q(u)<y,(u,l+oi)du ®У f{x+i!,)QHl+at.). 4 2^~uKtJm Jo zTf™ Теорема 6. Пусть леХт. 2<ие [Ow, lmjnz”, же С™ Ап = = [О™ n-fmJ, функция <j>: [0,3tJw-»C суммируема на [О.ЗГ]”1, Ях = = ( a>(u)<fu при ЛбАп,Ф<г)=(г <j)(u)rf,w,u,?^U,/efln. СяЛ/л,зг№+|"Ч/п] Ля] Тогда У b*Sk<f'x)= 2 /(х+уп>1(О”2«))ф(^ + 0£). *еЛл ге2т Доказательство. Как и в доказательстве тео¬ ремы 5, можно считать, что f(X)*e1<x'r\ где reZmП[-п9п]ь Опираясь на следствие 7 и пслагая ynl ), имеем *7ап Jco^t '*-♦» . Меняя в правой части последнего равенства порядок интегрирова¬ ния и предельного перехода (законность этой операции обосновы¬ вается так же, как и при доказательстве теоремы 5), а затем порядок интегрирования и суммирования, получаем требуемое. 1 Теорема 7.'П>сть пе№тПВт,2<хе[0*т, i2m]Л Z2m, ХеС2т, £л=Вт П[02т, и), функция я]т— С суммируема на [0,эт]т , \=( f<u)du,npu кеВл, где % = |1 Zt [ кр,кр + lj ; Ф(?) = л h wmteimiViJydu, feHn * Тогда -ЧО.я]*1* ° ~ У SJc<f>Х)х\ У<х + Уп1<02т> 2<*Я Ф<2 + °^- лТвп К*2" Доказательство. Можно считать, что f(x> ~ 1 (х'г} где г е %2тП [->?,л]. Полагая уь - уЛ^ (02т, 2oi) а - е опираясь на следствие 7, имеем т
Y A,Sk(f,x)=[ J ffx+yJgOt.l+aiK/u. h k k J[o,^jm ?*+мге[-г,г]гта Меняя' в правой части последнего равенства порядок интегрирова¬ ния и предельного перехода, а затем порядок интегрирования и суммирования, получаем требуемое. 1д у 4? Условимся для хе€т через аг (соответственно эг) обо¬ значать max |(соответственно minj ж* | ). к*\,т а Предложение 5. Пусть <r:Z+ -*•£ , числа Як =g(k) (JceZm) таковы, что 2 \Я]£~^jfc+im11т1т(£ +2) <оо, (<£}liтп Я^1игп(А + + 1) = 0. Тогда для ряды V eUx'k> и *e2m 2! < Як “•Я*+1т) сходятся в И£, и имеет место (в wm) к€Ат равенство У Akck(f)ei'*'k)m AeZm *еАт Доказательство. Положим АЛ~АтП[0™я] при пе Z™, 1 = 1т, = 0. Считая neAmt feL1(Om), имеем 2 ^кСк</)е Sjt-f (f«~ ^ fc€t-n,n] кеАп леАп *еЛп-Г = *я<J,X) + 2 (Ак-Л^)Sk(f,x). (14) i Пусть теперь fe В силу неравенства 1.(30) S^(/)| 4 C<m>§f\\hin{k + 2) (кеАт), (15) где постоянная С(т) зависит только от /п . Значит , S l<V^+{)^(i)| 4С(Л2)|/|У |ДА-ДА+(|1пт(А+2)<~. Ьь-Д”1 ЛеДт Отсюда, опираясь на следствия 1.2.2 и 1.2.4, прихода к схо¬ димости в Wm рада 2 <Л*-Лц Сопоставление условия - Л А?Ат <aKlim Ак1 п (к +1) * 0 с неравенствам (15) приводит к еоот- ношению < d) Um Ак jj SM (/)((= О . Из сказанного и равенства (14) Уже легко следуют сходимость ряда % Jb*Cjt<f)eli*'k} в Ki 69 и справедливость доказываемого о&веястза. А
Лемма 4. функция = (1еВт), j JZL » j ^‘=*1 где Jc(f)=(]jlj) , суммируема на J?™. Докаэательс т^в о. Пусть £0=[ОП1,1т], ^nh^\jlsin<iju))du при ?eRm, A»j?eRmj . 1 0 j"1 : Hj = ±1 > t?= f»”* j • Очевидно, что f |Ф«)|йч<£5е.1ФШ|«. ^ -*4 + /=0 if Так как |smzK< 1, [smzj ^|z| при zeK, to 4 = {l/2)\lj\ () (16) и ^ J/ umdu - (тл-Н)"1 ^ (1/2) - Покажем, что §F'№fi)ldi < оо .Поскольку все эти (17) интегралы равны, то ограничимся рассмотрением первого из них Выполняя интегрирование, легко убеждаемся, что iw)i~<2 £%V‘ S*A }•! Фиксируем ее Из (16) и (1?) сразу следует, что |фт|.-|^«>1вм|чк*н1"*ж « ISьчГ*- $£А j-1 * f * эначит, 5Е11ф<?)И ^ ь b\emt)di- Поэтому для доказательства суммируемости на R* функции Ф до¬ статочно установить конечность последнего интеграла. Для дока¬ зательства же последнего факта, в свою очередь, достаточно по¬ казать, что при любом tfeA интеграл л iem-i 70
C-rff, С dh С dlm-i С • dim i/'£ J14 4~£ *W 2“t «V ^'£ I + - + 3f™*m I1'6”1 конечен. В последнем интеграле сделаем замену переменной ?т = Имеем Г Лт ^Гиг1 + ---+^*т1‘-ет I&1 |^/я+1И/» dy ,т7, .. . \ JVJ Р1 < * m-f где £= sig'n {j>m 2 He зависит от t . Рассуждая так и j*i далее, получаем, что ^)^(Йх>Юг||г,ве'8^1 <о°* 'г1 9 1 ибо 2**2лге >1 в силу выбора е . А Пусть лбЛГ.Через Ап{т) будем обозначать множество Определение 1. Пусть /епеН , а:еСт, Средними Фейвра-Марцинкевича функции f называется функция Mn<m,f,x) = л** £ Функции Мл(т,1)=п-* J lyfj (i6CwJf кеАц(т) рптЛ} = 2тл'1^ (Д ZpsinfuJjjj rfu CieC"1) называются ядрами Фейера-Марцинкевича, Предложение 6. Пусть леМ , oreRm. Тогда: 1) если feLt{Qm), то Mn(n,f,x) = (2nfm Г f<x+l)JUn{m,t)dt ; <Л8) vQm 2) если /£ ТО Mji<*n*f,x) = <2nfm§^tnj<x+t>yn(m>i)0ft • Доказательство. Опираясь на равенство 1.(14), имеем 71
Мп<т,/,х)=<2ятГтп* Y, j* f<x+l)I>k<i)dl = #£An(m) От /<х+Ып*У DJl))di = (2яГт С f(xJrl)M (m,l)dt. *4. ' 7 Тем самым равенство (18) доказано* Докажем (19). В силу леммы 4 функция J*n<m) суммируема на JRm* Применяя теорему 1, имеем M„m,f,x)= 2 (n-i§kt*du)Sk<f,x)= С mf<x+l)<£>(t)di , *eAn<m) *l где Ф<l)=л'^J”{f,(m,u,i}dtг * (2я)~т-у.п{т,1). A Следствие 8. Пусть /eCf(Jm), леИ", cccF”. Тогда = (20) Формула (20) получается из формулы (T9) заменой перемен¬ ных в стоящем там интеграле. Предложение 7. Пусть последовательность «„eF™ (леЬГ) та¬ кова, что <лп > От , lim ctn = О”1, функционалы Фл '• C<Qm) •* С1 л~* со р определены равенствами , где функция суммируема на Лт. Тогда SUP8I = Мш. |Ф«|- С TiCN Л ix> i» Доказательство* Неравенство sup J Фп | 4 4 J* т\^Щ^ очевидно. Поэтому достаточно доказать,что Пт ||Фл|> ^ Jpmlfrtlldt . Положим Кп ж1-я1м/ал, я1т/а,п ] и рассмо¬ трим функционалы : C(Qm)-+ € , определяемые равенствами чуя-f -(Д^ГТ кХп \ I*x f vQfn В силу предложения 1*3 I *.1 -(ft «’Wifi - f 14<l)\dt. ' 2*1 ^Vfn иХл С другой стороны, дяя любой f€ С(От) \$х/<«»г)гг><11\< | |+ 72
щиш». Отсюда находим, В дальнейшем придерживаемся следующих обозначений. Если и S Lp(Qm)-+b(Qm)' то 1У1р означает норму оператора V . в Lp(Qm). т.е. Wp-iXtpJPWlMb вСЛИ U:W>*~W*" то ||означает норму оператора V в Wm ; если U:C(Qm) -+C(Qm), то JL7Jc означает норму U в CjQm). Полагаем ае<т) = л j £ (ft ^ sin ШЪг ])da |di'• Замечание 1. Пусть вещественнозначная функция ipeJC{(Qm)f значение оператора U для любой /£•!»<#„> зада- ется формулой Uif,x)°§ Тогда - I^So = •Доказательство. Очевидно, что j|^|c4 flj^loo^ < J \iD{l)\dl . С другой стороны, в с илу предложения ЬЗ §Щ€ > * Следствие.9. Справедливо равенство sup {20Т.Г™ С j Лп {m, i) \ di = (m) » (21) Л£-N Доказательство. Опираясь на равенство (20), полыхаем, что для любой fe C(Qm) = эe<m |/|»- Значит, || МпШ)\с 4 эе(т). В силу предложения 9 и формулы' (20) зе(т) 4 su^ J М„(т)Цс . Из равенства (18) и замечания 1 следу¬ ет, что рМп<т)^с=(2л)'т^ \dln(m,i)\dt.Осталось сопоставить приведенные соотношения. А ^Ш^твиедо. Справедливо равенство sufil-MnW)|.c * «ОЛЬ (22) Если | ^ р < qq ^ то 73
I sug II Мл<т)\\р 4 &(m). (23) Доказательство. Равенство (22) установлено фактически при доказательстве следствия 9. Сопоставляя предло^ жение 1.2 (формула 1.(17)) с равенством (18), приходим к нера^ венству \Мп(т)\р4 |Мп(т>ЦМ. Учитывая теперь след¬ ствие 9, получаем требуемое. тА Леша 5. Пусть Ue L (Wm-+ Wm), |)£/f|H *» sup {\]U<f)$/y$\> Тогда **Am Доказательство. Неравенство ^ ||^|j оче- видно. Докажем, что Пусть feWm . Учитывая не¬ равенство 1.(25), при любом п eNm имеем * х Ибл(Я1 < I! U 8я 1^1- Так как (см.теоремы 1.2 и 1.3), а оператор U непрерывен, то lira | U(6n п-+оо = 1 u<f)\\ • Следовательно, | u<f)\\ = pm | U<6n(f))f 4 |(U{|H §/1, т.е.||У[и||У||я. А п+Хл Теорема 8. Пусть g:Z+-*C9 (к е Z ), oL ~ =g{l-l)-2g(l) + g<l+il Тогда если <&>, lim -<y(l-l))=0, lim gtl) lnm I =0, то для любой /e^i рядн ^ t 2~*+o& oo I! Akcfi(f>ei(x'k) и сходятся в Wm, ихсум- мы равны (в Wm) и справедливо неравенство 2 а*ъфеих'*}1 .< *<тфЦ W- .(24) Доказательство. Положим х)-0. Считая neN, п = {п,••■,»),feLj<Qm), имеем 2 - ^nSnif,X) -fr ^ (Як~ Ak+im) Skif,х) = k£l-n,n]™ л1 Jc£An(m> *AnS„<f,x) + '£(g<l)-g(l+l))((l+t)Ml+i<m,ftx)-Ml(m,f,x))= l~0 л-t г-i Пусть теперь feWm. Так как 4 эе<т) ff | , то JltyilJV*.,/)! v< «wMj (26) 74 ™ М
отсюда и из сходимости рада JJJjfl вытекает, что рад 2” сходится> а тогда в силу следствий 1.2.2 и 1 2.4 рад сходится в Wm. Из условия J,imn<g(n)- -gin-i))= 0 и соотношений (22) и (23) следует,что -g<n))n\Mn<m,f)\-0. Наконец, из условия lim g<n).lnmn=0 и неравенства 1.(30) получаем, что lim g*m>fi5л(/)|-= 0 • Из ска¬ занного и равенства (25) уже легко следуют сходимость в Wm ря- да 2 Л**Ф*иХ-к) и спРаввдливость доказываемого равен¬ ства. Неравенство (24) теперь очевидно в силу (26). 4 5? Остановимся на средних т.е. суммах Фейера для одномерного случая. Предложение 8. Пусть /^, лейГ , жвЯ. Тогда Доказательство, Так. как А\п12^8т~, то в силу равенства (T9) формула (27) имеет место для .тобой jtC. На основании предложения 1,2 функция У°° si n?{ntl2) J-od принадлежит € для любой a I/eX (l^L^) . Очевидно/что •)££ для любой /сТр а о , Применяя теперь лемму Т, убеждаемся в справедливости (27) для любой /eXj . к Лемма 6. Пусть ряд ^кехМ\'\1 где лке € , сходится. Тогда: Т) для любой £€L^{Qm) функция U{f)t заданная на ^фор¬ мулой ^k€jc(fпринадлежит C(Qm); k€Zm 2) справедливо неравенство М,,.- "В. ,11Ш/МЛМ4<2lr,'”£ «Iя*1 • 1281 f£Lt(Qm)' ' 9 kcZm о) имеет место включение U е Ь(Ь^(ОтУ^СЮт)). Доказательство. Так как при ке Ът <2лт)1сП/)|=1£f<l)eiihk,diU$ т * Qm **Qm 75
« 1 (*«)■“ I M- *€Zm X£Zm Отсюда на основании следствия 1.2.4 приходам к сходимости ря- да У ^jc<f)el<x^}B C(Qm}(а потому U<f)eC<Qm)) и справед- keZm дивости оценки (28). Остальная часть доказательства очевидна, д Близким к доказательству леммы 6 способом устанавливаются леммы 7 и 8, приводимые ниже. Отметим, что при доказательстве леммы 7 используется неравенство 1.(30), а при доказательстве леммы 8 - предложение 1.6. ш Лемма 7. Пусть ряд 1^*|Ц h\(2+kp), где ЯкеС9 схо- p*i — дится. Тогда: 1) для любой feWm ряд 17(f)» У сходит- JceZ™ с я в 2) имеет место включение UeL (Wm ^ Лемма 8. Пусть ряд 1^*1* гДе сходится.Тогда: JcsNm 1) для любой ряд Т сходится в IV; 2) име- ет место включение C7ei -> Wm). В определении сумм Фейера параметр п предполагался нату¬ ральным. Расширим теперь определение сумм Фейера на случай, ко¬ гда параметр neR+t положив по определению ос) = 0 и , t* ^ . 2 + i*, ?. 1 S\Ti^(zf/2) jq если z в R+\JO}. Предложение 9. Пусть fе Lv z>0, oceR. Тогда 6-»(/,»)= У (i-lk\/z)%(f)eikx . (29) A£C'2-2J « , , ... <»« Доказательство. Обозначим 2* JtcC-2,Z] через Uif,зс). Так как (см., например, [3, с.28]) при atyeR e , sin2«? /<я/2)(|о|-|у|/2), если |г/|ч<2|«|, Jo ^ ~^ = I если |у|>2|«|, то при keZ i-1/cl/z, если 0. если |A|>z. Следовательно, ъг(е**\х)~ U(exki, х) . Отсюда ввдду линей¬ ности операторов <rz- и £7 на множестве тригонометрических полино- 76 - eikx
мов Ж1) вытекает, что равенство (29) справедливо для любой feH(i)* Конец доказательства предложения 9 проводится так же, как конец доказательства предложения 8. А Предложение 10. Пусть #eR, Я^еС, ■+ д </с£%+), функция «рлК^С суммируема на F+* Тогда если ОО ГМ ОО (30) ОО ГМ оо 2 *2l4l < 00 > J z2\f(z)ldz < со, -fc*i Л СО 2^ (l-k)<$t = J {z-k)^(z)dz (k€Z+)t (31) z«A+f то справедливо равенство Г00 У * j Z<f<Z)Sz(f, X) dz . (32) Jt=I 0 Доказательство* Из соотношений (29) и (28) вытекает, что <z*l)|[g-J(I для любой g^Ll% а потому £*1411 <W>M JУ |j £ *<*+п|<Г*|, А'=1 Л=1 ч< l/Ij £ Z(Z + »|f{8j|rf2. Отсюда, учитывая условия (30), обычным образом получаем, что функции и ИРИ~ надлежат С, а для операторов U и V справедливы включения U, VeLiL^+Lj. Поэтому в силу леммы 1 достаточно доказать (32) только для функций fd)-егР^9 где p.eZ* Опираясь на (29), имеем ^o’z(f<z)ez(eipitx^dz j!j^f(z)z(l-\p\/z)dz* егрх Осталось воспользоваться условием (31). А Замечание 2. Пусть числа Д^еС (keZ+) таковы, что ^ ^ • Положим + А^.Тогда яри справедливо равенство »ЯА.. ^Доказательство, Имеем п А*=1 (А2'ДМ) * £ Ь» i-A:)-(Z-w|arAz+1)= lim j J <М-кЦАгЛм) - *** z** ' 77
- у <1-тГЛы)\ =Iirn !У (ШХ -Х,)- У (г-»(Д -Я;+1)| - им * *~1Ямя им ж 1 *л1»1(Л+1'*,(Л"";гл+{) + = Х(г-Л^‘ ^ Z=>r+-1 Замечание 3. Пусть функция <р:Р+-€ имеет произ¬ водную, абсолютно непрерывную на каждом отрезке, содержащемся в [0, *f оо), и пусть lim<p(x) limxv'ioc) = 0. Тогда ю(к) = *t4« * *-*. + » ' 1 «^{z-k)^\zydz при к£ Z+. Доказательство. Имеем (p{*>=4im -J^<p7zkfyz~A)«iim^{z~Jc)(f"(z)dz,=:^{z-k)<prr(z)dz. А Замечание 4, Пусть /elj, хеП , функция <р:К^С измерима наР+ и такова, что J°°{z+I}“jcp(z)|dz<oo. Тогда Л со /»+ой ^z(f<z)62{ftx)dz * J cof<x^' , где TCfU = г^г^Г1 j*o <pfz)svnz{zil2)dz . Доказательство. Опираясь на условие j\z+l)2* *|<f(z)]rfz <«> и неравенство 1<V^||oo^z+^ f^li» справедли¬ вое для любой gzLl9 нетрудно установить, что функция p(z,l) - y<z)f<x+l}i'm2sin2 (zi/2) суммируема на К+*К . Следователь¬ но, по теореме Фубини в интеграле 1 + 00 T(Z)\J wf<x+trt~2&K2\zi/2)dljdz z<f<z)6z{f,x)dz можно изменить порядок интегрирования. Осуществляя такое изме¬ нение , подучаем требуемое. А § 3. Средние Абеля-Пуассона и средние Марцинкевича Т.° Определение 1. Пусть feLl<Qm)t re[агеР”! Средними Абеля-Пуассона функции / называется функция рг </•*>" 2(П (1) Ке7Г 1=1 / функции " f 2 9Г{1> = П I + r2-2r cosг l*I L I * 78
называются ядрами Пуассона. При die.Rm, <м>От полагаем P£<f,x)= Prw)(f,x), ^(i) = frw(D , n*<l)=fir<cc>(i)' где Очевидно, что Определение 2. Пусть re[0"Jlm), х е. R2m ■ Средними Марцинкевича функции / называется функция •y/.w-ino-'HjE (ЛК'Н^*1- (2> М JceBm Z-l Функции m ~ , Л , , 7 TT tf-rlnlt+rl)2+2rl(ca$ti + cosll+m)) (i*C2rn) W <1+r!~ 2rlCOS {il+ll+m^1 + ri ~ 2rzcos ~ll+m )f у г; - sm ft anV<v0^lV(V^m>2) называются ядрами Марцинкевича. При обеКт, oi > Om полагаем Определение 3. Пусть feL^O^,), re [0,1), r e J?m. Средними Абеля-Пуассона-Марцинкевича функции / называется функция Лг<™,/,#)=? (1-r) rkiSk(fiX). (3) Jc€ Ат Функции ^ Jfr^w7^) = (l-r)^ г tDk(x), pt<rn,x) = 2m ln( I/r) [^U JJ x^siniux^du (r>Q) называются ядрами Пуассона-Марцинкевича. При 06eRrc6> о полагаем П*(т«,/7х)~Пе.*(7тг,/,:*:), Я*(т,х)* - р*<т,х) = (ттг,л:) . Замечание 1. Для любой S&Lx(Qm) ряды, стоя¬ щие в правых частях равенств (1) и (3), сходятся в простран¬ стве С(От). Доказательство. Сходимость рада в формуле (1) легко устанавливается с помощью леммы 2.6. Докажем сходимость Ряда в формуле (3). Так как |с^(/)|^(2я)‘т| / ||j , то 79
У r^f-УЯМ X rki(2kt+i)m< <*. *eAm *eAm . Отсюда в силу следствия 1,2.4 вытекает сходимость ряда У г в С/©*). А *=*" * Замечание 2. Для любой feLt<Q2m) ряд, стоящий* правой части равенства (2), сходится в пространстве C(Q2m) , Доказательство замечания 2 аналогично доказательству схо~ дам ости ряда в формуле (3). Замечание 3. Пусть ге [0,1) . Тогда: 1) при tsR -fOO ^ = Y r,k,etki= (1-г) 2 (4) *«-» *=о 2) при fel?2 (1-г) T*tDkii). (5) АеВ1 Доказательство. Установим сначала равенства (4)* Опираясь на формулу 1/1.(5) и полагая Т>^(1) - 0, имеем ^ Ч-оо ОО “ - £ r^D^l) = (1-г) 2 r*Dk(l)‘ ft* О Jf=0 Л=0 Простое доказательство (5) основывается на определении ядра Дирихле и формуле 1.1.(30). i Предложение I. Пусть /Е1,г<Ят), re[Om,im), хеИт. Тогда Pr<f,x)= {2<п)~т Г ftx+l\3i<i)di, (6) v(3m РТ</,Х)={2я!Гт§Rmf(X+l)firii)dl (r> Om>. (7) Доказательство. Фиксируем jc и положим при Л€^Г,?еНт т , /©^(Ппktl)е~м'к) /теХ-п,*]"» 4-1 7 Очевидно* что ^ „(Им2*/*'*)' Учитывая пф-- вую из формул (4), легко понять, что Vn<i) при п-+оо всюду на R сходится к функции f<x+l)(Pr<i). Применяя теперь теорзмуТ.1. получаем =Sjb™W>)cli = Jt£ $Qmvn<t>M~ 60
*eZm M m Замечая, что j f{x+i>eulk)<ii ^^S<i)eua-x)k)di=(2^)mcK(S)ex< приходим к равенству (6). Докажем соотношение (7), Опираясь на формулу (см., например, [3, с.17]) f °° cosи\ dz^£- е~ли <«>0, .и»0), Jq а2 + zz 2ot легко проверить справедливость (7) для функций вида е1<х’к>, где JceZm. Отсюда ввиду линейности обеих частей формулы (7) следует справедливость (7) уже для любой feH(m). На основании предложения 1.2 функция Ш/,*) = (2лГт^ки f<'+l)[ir<l)dt принад¬ лежит C<Qm) для любой f€L<Qm), а 1/е1а1«?от)-Д1«?т)).0шфаясь на лемму 2.6, легко убеждаемся, что Pr(f,')e €<От) (этот факт уже отмечался в замечании 1), a PTe.L(Li«im)-+Ll(Qmh Применение леммы 2.1 завершает доказательство. А Следствие 1. Пусть /e£j(Qm), x.oieR"1, ai>0” Тогда «'/•*>* г» (Я rhr)dt (3) Равзнстзо (8) получается из формулы (7) заменой перемен¬ ных в стоящем там интеграле. Предложение 2. Пусть re[0m,Vn), x.= J?2m. Тогда: 1) если j s Ь{<02т), то 4(/.л-) = {2яГгтС j(x + l)}ji)dt ; О) 2) если feC<Q2m) , г>От, то Jr(f,x)*(2str2m ^fiv+HfcUdt. (10) Доказательство, Так как при ire £ s JR2m спРаведу1тлВ0 неравенство £ Лг*\(2^+()2, то ряд S (t) = (ТГ гМш!)''сходится равномерно относительно г р2тп W"t м 7 * • Опираясь на формулу (5), нетрудно убедиться,что £(£> = ЛЛ*) • Учитывая определение сумм Jrif,x), применяя равен- СТВ0 ^*^4) и меняя порядок суммирования и интегрирования (за-
конность этой операции легко обосновывается с помощью теоремы 1.1), имеем <f,x)=<2яГы(fjd-n)) 2 (П г11)f №+ЩШ1=(2п)2тС f<x+m)dl к keBm \ 1-1 * @2т J$2m = (2^)'2wf f(x+l)]r{l)dl. ™2т Равенство (9) доказано. Докажем (10). Полагая Х=Цт [кй,1с+1] ~0£ - Р= 1 гг при кеВ , гг*е 1 и применяя теорему 2.3, имеем Vf'x) = (П “JJgJ Syjte~f*'U>du)Wx>~$F2 где <P(i)= (П g<m' и> t)du • Опираясь на формулу (см., например, [3, с.23]) f°Vuzcos xrzdz - u{u2 + z/zyl (и > 0), (11) Jo непосредственными вычислениями убеадаемся, что Лемма 1. Функция ^П^-j е~и (leRm} суммируема на R™. Доказательство. Пусть E0=[Omt f™], i^={ f :^>i) (} = 1'т)> = J*0 е~и(П sin(lju)jdu {leRm), : ^ = ±1, } = |. Рассуадая^, как при доказательстве леммы 2.4, находим, что fn„lpi)ldi 4 Ss0^{i)l<ii^Soe'Uu^u< <со, j(f(i)j4li^jJJ%"uudu Если (m/2)€N, то, выполняя интегрирование (при этом используется формула (11)), имеем I гщ < г1- X (1+(| ¥if)- < г"» V |£ ify Если же tfm+o/2) с N, то, выполняя интегрирование, при котором используется формула (см., например,[3, с.71]) § e~uzsinvzdz * i/fu2 + и2)'* < и > 0), имеем «! i , *1 f Л и>1 «“2 I «лИ2 М)Т< г""2 I *л 82
Остальная часть доказательства очевидна в силу доказательства леммы 2 *4* ^ ^ прот^ожение 3. Пусть ге[0,1) , aeR . Тогда: 1) если то Д<т, f, х) = (2л)'т jQrJ<x+?)3lr{m,t>dt; (12) 2) если feC(Qm), r > 0 , то Пг(т,/,а:) = (2лГт (13) Доказательство равенства (12) аналогично доказательству равенства (9). Докажем (13)* Положим г=е~°\ Из суммируемости функции $ (см. лемму 1) на R+ легко выводится суммируемость функции J (e’auJl ^f5in (ui^du на JRm, Применяя теорему 2.1, имеем *+1 Пг(тп ,/,*) = «2) (Г e'^dujS^f.x)* JfceAm = eij (e'aun^fs'm(u!z r« 0 R« Следствие 2. Пусть feC(Qm),a>0, xsR771. Тогда П*(лг,/,а?)*(2л)_я*§^mf(x+&l)p*<m,i)dt. (14) Формула (14) получается из формулы (13) заменой перемен¬ ных в стоящем там интеграле. Следствие 3. Пусть Je €{Q2), сО0, хеЖ2. Тогда K(2'S’x)=£>§r2-r+fy-igpm+iii+w di' (I5) Следствие 4. Пусть re[Om, im), 14-p^oo , Тогда: 1) для любой f eLp(Qm) iPr<f>tp < l/j|? J 46) 2) для любой feLp<Q2m> < |/1я. 4V) Доказательство. Очевидно, что iPr<l) ^ 0 при Jr(i) > 0 при I еР2т . Полагая в формулах (6) и (9)функ- 111110 f товдественно равной единице, приходим к равенствам J* tPr<i)* yr(lidl*{Zrr)2”]Учитывая теперь формулы (6) и (Э)^ при- ** 83
меняя предложение 1.2 (формула 1.(17)), получаем требуемое. 4 В дальнейшем Следствие 5. Справедливо равенство sup (2яУт\ |ЗГr<m,i)\dl *=&т). (18) ге«ш “вт' ' Доказательство, Опираясь на равенство (14), получаем, что для любой JeC<Qm) при ге (0,1) (Inr^./)|U < \U\ Значит, |lTr(jm)|jc4^'(w). В силу предложения 2.7 и формулы (14) &<т) 4. sup |jll*(wi)flf = sup |ПГ(^)|С. ОЬ>0 r£(0,t) Из равенства (12) и замечания 2.1 следует, что \\Tlr<m)J\c= {2х)'т> J0 \3lr{m,b)\dl. Осталось сопоставить приведенше соотношения.! Следствие 6. Справедливо равенство sup |Пг(т)| * &<т). (19) Если 1 £ р < оо , то sup j|nrfm)|L « dim). (20) г<?«М> Доказательство. Равенство (19) установлено фактически при доказательстве следствия 5. Сопоставляя предло¬ жение 1.2 (формула 1.(17)) с равенством (12), приходим к нера¬ венству )(Г1Г(м)|^ 4 J%r(mtl)fdi . Учитывая теперь следствие 5, получаем требуемое. 1 Предложение 4. Пусть г[Оу1)г xeRm. Тогда nr(m,f,x) = J г*с*(/>еих'к>, (21) *£Zm оо nr(m,f,x) = (i-r)2'£r*(Jc+l)Mk+1<m,f,x). (22) л-о Доказательство. Равенство (21) получается при¬ менением к Пr(m,ftx) предложения 2.5, равенство (22) - приме¬ нением теоремы 2.8. При этом следует иметь в виду, что рдды, 84
участвующие в равенствах (21) и (22), сходятся в C(Qm)f а, сле¬ довательно, их суммы непрерывны* (эти факты устанавливаются про¬ стыми рассуждениями, аналогичными доказательству второй части замечания 1)•А Предложение 5. Пусть /alp re (0,1), xeR. Тогда пг< = rzz6z(f,x)dz. (23) Доказательство. Положим Лсл)=гг, Аа=Л{А) , ю(2)=Л"(г), <^.=Л.а_1-2Аа.+AA+I = r*"f(I-r)2. В силу замечаний v-фСО » Л оо 2, г и 2.3 (z~k)(f(z)dz при Л'£Z+. Применяя теперь предложение 2.10, находим, что ОС ^ (1-г )2 г*Г*+ f)6A+1 = {lnrf% rzz <зъar> dz. *»o 0 Осталось воспользоваться равенством (22) при лг~ 1. А 2? Определение 4* Пусть /eLJ((3m)r £>0, re[Om, im), areRm. Средними Абеля-Пуассона-Харди с по1сазателем функции / называется функция Замечание 4. В условиях определения 4 функция PHr<$tffoe) возрастает вместе с •$ на (0, оэ). m w ^ Доказательство. Положим <Г= Д (Ьг,), £(&)-Г1 гг К i=i i=i Пусть 0 <$'<$, Р = Применяя неравенство Гель- Двра для сумм (см.следствие 1*2.3), имеем рНР<Ш,х)” J ^ JtcZ m Ф(2«*’Г(2 ■ wrW/.*/.i Замечание 5. Для любой fcLt(C*т) ряд, стоящий в (правой части формулы (24), сходится в пространстве C(Qm}. Доказательство замечания 5 аналогично доказательству вто¬ рой части замечания 1. 8Ь
Теорема I. Пусть feLz(<2m), r£[Om,im), зге К™ Тогда PH2<f,X) 4 Pr(\f\2,x). ^25) Доказательство. Положим ys{xv...,xn,xv..,xm) и определим функцию g,:K?m-*-C равенством ) х * Stim+i *2m>* Нетрудно понять, что PH2r(f,x) = Jr(g,y>, (26) а, значит, в силу предложения 2 PH2 (f,x)= {2я)"?mJ* g<y+l)Jr<l)dl. Применяя неравенство Буняковского (т.е. неравенство 1.2.(7) при р » 2), имеем PH2<f,x)4 -(2n)'?mJ 3rm+?m)fpr7.<l)di. Далее, принимая во внимание (см.(5) или доказательство предло¬ жения 2), что М л<?вт* i*i 7 равенство 2srr при лс Z+, а также (см.(4)) соотно¬ шение т £ш = (ПМ2 <^кт), (г?) w г / находим . Г |/f хт+1т)\2}гЯ) di =. 2m m = (2ЭТ)И(' Afix+ltfQiim = {2я)гтеРг(|/|г(х). Осталось сопоставить полученные соотношения, 4 66
Предложение 6. Пусть feLJQm), re xeRn. Тогда m с тп Pr<f>*>=\№'n)) Zm(n rtl) (28) Z—i jsj доказательство. Обозначим через 8 ne(k) coot- ответственно п: *f(brz) и Фиксируем x и положим при ч «ъ /Л пеН, ie* Vnf<x+i)e(X)Dj.{l). k€lO,n]m Так как i H™f< 2.^+1), то очевидно, что 771 |Vn^|s<|j4*+?)|<F X Ш)Ц(2кг + 1). Kezy 1=1 Учитывая формулу (27), легко понять, что при п + оэ всю¬ ду на Rm сходится к функции f{x+l)iPr(l). Применяя теперь тео¬ рему 1.1, получаем С f<x+t)Q<i)dt =( (li mVJl))dl~ Urn С Vn(b)dl = JQJm Г JQ^n+co'n n-coJQm 71 s(k)( f<x+i)Dk{l)dl = (2л)т<^У Е(к)Зк(/ух). A *ez™ Qm Пусть функция ср.-Б+^С измерима на R+, peR™t p>Om. Функция m ?>>= (Па) Jk? е'<р'г’ <р'г,<гг называется преобразованием Лапласа функции <р. Имеются обшир¬ ные таблицы преобразований Лапласа для конкретных функций, за¬ данных на Р+* (см. .например,[3, 24], полезны также книги [18,58]). Условимся для leRm через [I] обозначать ([ij,..., [ fm ]} . Пусть feLi<QM), х eCm, left + . Расширим определение сумм фУРье S^if) на случай "нецелого не отрицательного" параметра i , положив по определению ^(f>x) . Тогда в силу пред¬ ложения 6 средние АСелл-Пуассона можно записать так: V. « - (ft*!)!.*'"-'4’. «*><« • (28'> Z=1 Н+ Далее. исходя из определения средних Аб еля-Ilyac сона-Харди, л ег~ К0 ИОНЯТЬ, что m РНЦМ, X)*. | St<f,xi\*di. 87
Таким образом, средние P*if) функции / совпадают с преобразо¬ ванием Лапласа функции Sf(f> , а средние функции/ совпадают с преобразованием Лапласа функции fSj </)|* . Следствие 7. Пусть feL2<Qm), re[Omfim)f a?eFm. Тогда S (П r*'))V/> *>{* 4 2 (П Г11) S*< Ul2.*)- (29) aszj'ni ' JtSj 2*1 Для доказательства (29) достаточно принять во внимание ра¬ венства (24) и (28) и воспользоваться теоремой Т. Следствие 8. Пусть fe€iOmh #€Fm, функции Я (^ = 1,лг) измеримы, неотрицательны и таковы, что §0g}Weudu <oo,^g.(u)\\nu\^du<oo,^г>=(П(^+1))'! Тогда (30) J gb+imW*y]sf'(f,x)f 4 £ (31) *£ Z™ Jtcsy где g* - преобразование Лапласа функции g . Доказательство. Докажем сначала, что в' усло¬ виях следствия 8 функция m * УЯ a{i,z)*g<i)e~il i >е~( Д lniz{+ 2) г*1 суммируема на i?* * F™. Для этого достаточно установить сумми¬ руемость функций gj<ipe~%e~bzi ln<zj + 2) (32) яаЯ+хЦ+, что, в свою очередь, сводится к проверке справедли¬ вости при I -* Of равенства J* elz\n{z+2)dz » 0{lmml\lnt\). (33) Считая ? > 0 и интегрируя по частям, имеем JVtaln(z+2kfe-i$2- + j-jo ~£idz ' Но (ом. [63. с.56, 57]) Я-1
Q л = 0,57*.. - постоянная Эйлера. Отсюда легко следует гд® о С 33) * Приступаем к доказательству (30). Из неравенства (29) сле¬ дует, что ^e'{i'Z)\Sz^x)\2dz < jn?^'z>W|2,*)rfz '.34) при любом г >От. Значит, In? V/> *)\Zdz)dl 4, Изменяя порядок интегрирования в обеих частях последнего нера¬ венства, приходим к (30). Изменение порядков интегрирований за¬ конно: в левой части неравенства это следует из неотрицатель¬ ности подынтегральной функции, в правой (заметим, что в силу неравенства 1.(30) max | Sz{\f\\x)\ ^ А упэос^ j/<'tf)]2]7™Ito(zz + 2))- из неравенства Х€Р Х£Р |g{l)eibi )e~(°'z>$z<\f\2,x)\ 4 где А - абсолютная постоянная, и суммируемости 6L{l>z). Не¬ равенство (31) устанавливается аналогично. А Следствие 9. Пусть fe€(Qm)t х,а,Ъ€.Кт, a,<x>Om, ге(От, 1т), к{a,i) = (JI (tj + lfi) I Тогда Sgm | W>e"'’M)di < iRm5«(l/l(35) X ^ Y, ^(\f\\x)h«t,k)flrlkl. (36) *«" *** JsZ? 2-1 Доказательство, Положим в следствии 8 gil) = я» С> " П&лМ. где J 0 при 0 f ^ ^ при ij > oij . Тогда g*(p)=e~<<*‘ P}JI pj ~a* • Значит, R+ 89
Неравенство (35) доказано* Неравенство (36) устанавливается аналогично. А Следствие 10. Пусть 2£р4оо, fe Lp{Qm)t r€[0™,Im). 'Тогда l™r<f>tp < М,- OV) Доказательство. На основании (16) IPr<t/|2Vv<lll/l1p/2=IUIIr Применяя теперь неравенство (25). находим, что ч< \\Pr(U\2)\\?(2 4 «/I" • к зЯ Теорема 2. Пусть JeLf{Qm), areR™ ~ 4юкся- рованная последовательность неотрицательных чисел, 0 < ^ 4 2, т* € 4 I ^ | {Jzm(AA(П(Ьгг)rf')'^)2/‘4‘j* *воли i<2, m) dh( ^ Па'гг,гг*'Г)1/2' еслп * *2* Тогда L. JteZ™ (I ^V/.*»!*)^ < <39) KeZ™ (2 ^,г)(Р,(|/|2,х)),/8‘ </*1гЮт)М40) AeZ? * *• 7П Доказательство. Положим <У-П<1-г,>,е(А)=ТГг*г г-1 1 г-1 1 />=2/?, у- p/(p-i)=2/(2-j). Будем сначала считать, что $< 2, Применяя неравенство Гельдера для сумм (см.следствие 1.2.3), имеем У \|У/.*>|#=2 Л*' Se<k)f*l2($£<k))^/гI^(/,JC)I^ 4**; Отсвда следует соотношение (39) при £< 2. Бели же £ =2, то 2 AjtlV/»|2i( Slip■ (^(^e(A))*1)) J <fo*)|y/>*)|2 “ *сг; *eZ? *«z™ = Хг{2,г)РНгг<£х). 90
Тем самым неравенство (39) доказано. Для доказательства нера¬ венства (40) достаточно сопоставить соотношения (39) и (25).А Следствие 11. Пусть feLp{Qm), {Як)^£Хт фиксированная последовательность неотрицательных чисел, 0<Ц4 2 , постоянная JUj,r) при re{Om,im) определена формулой (38), x(^vfW,rb Тогда ||(I A*lV/>lf)V#|| Доказательство. Сопоставляя неравенства (39) и (37), получаем, что при ГЕ(От} \т) Id >|*Н <Л#.М|Л,- |\>£Zm / lip Отсюда сразу следует (41). к Леша 2. Пусть /eC(Qm), re(0,1), (p/2)eN . Тогда а-г)1 г*1|.уя)р}^ ^ (^(pm))f/P|/|M . AeAm * ' w Доказательство. Для хеЯ положим уЛ = С ас, х, .... *)е!?рт и определим функцию g:F^m-+€ равенством gfi) = = jf ^ji f ^•» ^ * f^rn(p-L)+i**va' 7np Нетрудно понять, что (1-г)]£ r*<\Sx.(f,x)f = TIr(rjp,g, 1/д.), кеЛт Учитывая теперь равенство (19)? имеем лед'71 ч< IП f Onp.g)^ i {Ъ(рт» VP ]|gj| VP = {fr(prn)}UP у L. A Теорема 3. Пусть f€C<Qm)t - фиксированная последовательность неотрицательных чисел,з»0, Щ)*№)[-$/2], %i.«f Н ' I 0,111 f Я, Тогда |(S * ячч*'™Ы’»'/ири\-- us) *eAm ' 91 при ^ < l<j), при
Доказательство. Положим е(*)=(1-г)г ** 9 р ^ 88 Ъф1(Щ)-$). Будем сначала считать, чт0 . Применяя неравенство Гёльдера для сумм, имеем 2 A*IVi>|*-E AJtearI//’£^)V?jsA(/)|!?4 * €Ат к€Ат <dj «*,1 ад,|*'Т. V«Am 7 Применяя лежу 2, находим, что "jceAm 1,03 AeAm Отсюда следует соотношение (42) при $ Если же 4.°Через Kw будем обозначать множество |^eRm; Определение 5. Пусть jc,/i£Cm, DcCm, при любом ^eKmточка x+jhel), ре [0^1 f:D -►€. Тогда полагаем e<P,h,f,x) = J (П $(A9f,x) = &(Om, А,/,х)-27У(х>. При определении величины <£7 А, /, х), называемой централь¬ ной разностью второго порядка функции / в точке х с шагом h , естественно дополнительно предполагается, что xeD. Лемма 3. Пусть [-^^Jw, re ff m). Тогда (2л Г™ С 9r(l)dl = I, (43) dQm (2яГ2т$ (44) lim (2л )‘m f ^r<l)di“ 1, (45) lim {2п)'Ьп( ;r(W2=i. (46) r>t*n оАы 92
доказательство. Равенства (43) и (44) уже от¬ вечались при доказательстве следствия 4. Установим соотношение 1л.ь) Для этого в силу (43) достаточно показать,что lim (!Pr<i}di = tx 0. Доказывая последнее равенство, ограничимся в це¬ лях простоты изложения случаем ж = 2. Прежде всего заметим, что при и€[-п,я] , ре [0,1) справедливо неравенство <1-р2)и2 oi(u)=-7—5-Ц v< Я^П-рЬ (47) ' 1 + -2pcos и г Действительно, f _ 2 и(и.)= ~—*- 0^2 4^_ 2и • и? 112 Sin 2 Из этого представления видно, что ot(u) возрастает на <0,я] (ибо (sinu)/u убывает на [0, зт/2] ). Поэтому а<и) £ &<%)= ^ я2<1-р) . 1+р 1 Учитывая, что одномерное ядро Пуассона - четная неотрицатель¬ ная функция, неравенство (47) и одномерное равенство (43), имеем 4 + z^h) 4 4n3^^u2duJ(2-rrr3). Следовательно, lim 4 =0. Теперь докажем равенство r+i2 Jq2\a2* (46). Определим функцию geLoo<0m) на Qm соотношениями: а 1 при хейт, g(oc) = 0 при х€ Лт . В силу замечания 4 и тео¬ ремы 1 -Рг <£,о771) 4 PHr<g,о7") ч< pV2(g,От). Отсюда, учитывая равенства (6), (9), (26), приходим к неравен¬ ствам (2я]~п$& ?г<ши((2я)-гт^ }ГШ1)1/24(<2я)т^ Фгат)ф. (48) Осталось перейти к пределу при г-+1т в неравенствах (48) и воспользоваться равенством (45). А 93
Леша 4. Пусть при re(0*lft) функции ¥r:Km-*H + удо¬ влетворяют условиям: а) I Ф <l)di 4 X <«>, б) при любом JRm г * Фиксированном S> 0 справедливо равенство Им I Vr(i) di =0, r+fn Jpm\ г * #ЛТП r+in ^пт\1~^г Тогда, если ot€(J!co(Pm) , iim ом?) = 0, то i+om lim f - 0 . (49) Доказательство. Фиксируем s > 0 и найдем та¬ кое £>0, что при [-£, выполняется неравенство |об(?)|< < в . Теперь, опираясь на свойства функции имеем |£,„<мЯУ,<*х«|< е* + - >. Кг. r-+i* Таким образом, Urn Отсюда, принимая во внимание произвольность 6 , приходим к равенству (49). А Предложение 7. Пусть при ге(0*1”) функции % z&ootQm'} удовлетворяют условиям: a) V?r(i)^ 0 при ie Qm, 6)^%(l)di- - 1, в) ¥г(?) при I € Qm , г) при любом ” фикси¬ рованном <?e{0,jr) справедливо равенство lim f ¥,/I )di = т. Положим Ar(f,x)~i j<oc+f)4?r(l)dl. Тогда: 1) если f€Loo(Om)i т seC и в точке о:е£твыполняется равенство lim 6(0 ^ - 2-5 , Т0 lim Л {/,*) = s ; (50) г-»1я 1 2) если то М™я|/“АггЯ|| (51) Доказательство. Сначала докажем (50). Опира¬ ясь на свойства функций , имеем IV/.*)-sh|fe <f<x+l>-s)%H>dl |=|^оя]и(е(От, tj,x)-2ms)%<im\{ ■I [О,Я]" 94
где Очевидно, что o^K2m(||;f||^ |s|) при le[0^]mi ~ О* Осталось применить к последнему интегра¬ лу лемму 4. Докажем равенство (51). Принимая во внимание тео¬ рему 1*2.8, легко понять, что |/-М/>!= ||л-+г)-/мЖ«>а?г = = С cKDVJDdl, jQm где as(2) = JJ;f{-+Z)-/(*)||. Очевидно, что c^K2f/j| при I й От . С пвугой сторону, учитывая равенство 1.(15), имеем O^lim ottf) i AFJ ?>om < Цт o){ff\l\)= 0. Следовательно, iim оt(l) - 0. Применяя к N in+о * *-om последнему интегралу лемму 4, получаем требуемое, А Замечание 5. Из доказательства предложения 7 яс¬ но, что справедливо следующее утверждение, усиливающее вторую часть предложения 7. Пусть при ге<0*1л) функции VreJ^iX)(Onj) удовлетворяют условиям: a) 0 при 1е От , 0) f 4Jl)dl ~ От - 1, в) при любом фиксированном S'eiO^jr) справедливо равенство lim ( 4?Jl)dl= 1. Тогда для любой fzWm при р> О Теорема 4. Справедливы следующие утверждения: 1) если feLooiQm), seC и в точке ar€*Rm выполняется равенство lim e(Om, ltf,x) = 2'% то 2-om lim Pr(f, x) ~ S ; С52) 2) если f£L0o(Q2m),S£C и в точке эсеР2/71выподнлется равенство lim e(02mf то г-о2от lim (53) 3) если /,6 Wm, to Йт!|7-Д^М1 = °; <34> 4) если fe W2m% to Э5
Доказательство. Принимая во внимание лемму 3, нетрудно понять, что функции к (2st)~2rn}T(i) удовле- творяют условиям предложения 7. Учитывая равенства (6), (9) и применяя предложение 7, приходим к доказываемым соотношениям. А Замечание б. Справедливы следующие усиления со¬ отношений (54) и (55). Пусть р> 0. Тогда: 1) если то 1Ьп <2*р*С = 0; (56) r~l<* Н 2) если f ~W2rn > то lim <2jrf2m ( = 0 . (57) Доказательство замечания 6 основывается на замечании 5. Теорема 5. Справедливы утверждения: 1. Если fELooiQn) , seС и в точке ссеВт выполняется ра¬ венство lim 6(Om,£,/,aO = 2ms, то lim PHy{f-s,oc) - 0. (58) r-»im 2. Если /еС«Зт), то (59) 3. Если 2ip (со, feLp<Qm) . то «о. (60) Доказательство. Сначала докажем (58). Рассу¬ ждая так же, как в начале доказательства теоремы 1, получаем, ЧТ0 PHr(f~S,X) = |< 2я f ?mj^( f(x+laihs)(f<x+l!>')-I)Jr (t)dt jI/2, Отсюда, опираясь на равенст- 00 s справедливое при $€K2m, нахо¬ дим, что где )в(0"| l(i\f,x)-2ms ||e(0" 2ms |. Очевид¬ но, что &{l)4 2*m(|/J|e0+ |i))?, lim oe<i)»0. Осталось применить 96 {~°!m
последнему интегралу лемму 4. Докажем равенство (60). Приме¬ няя теорему 1 и равенство (56), получаем ЦРВД-/М, - Л, ч< 1(Р,(|/-/(-)|2, •))1/2||р = Соотношение (59) устанавливается аналогично. А § 4. Суммы Рогозинского 1? Пусть 7i€Z+,JceZm, <*,}еСт, л + ^JV7". В § 2 была введена величина , ^ * п(2Я+<*>) Ьп,*<1>*) = <2л+$) ' По определению положим &.*<*>« уя.* (Iй,О"), 3^(2) (l.w. I”1)» уя>*«Л о™), i4*(4)=i/n.*<0m,fm). Далее, если jseZ+nfM]™, то Чп,к <Р> - I !/Я1,к№>> ■ • •' Улт,*т </>»»• Там, где нет опасности недоразумений, в случае, когда Z £ Rm служит индексом, вместо пишем 1т . В соот¬ ветствии с этим величину часто обозначаем просто ^ !„• m _ Пусть 1>сС, x,hi=€1 причем при точка {х±Щ2)еВ. Тогда налагаем 8Т(к, /, а) = j? (- i )* с* / {*+ (г-2к )А/2). Величина $rOi,f,x) называется центральной разностью .г-го по¬ рядка функции f в точке х с шагом Я . Пусть feLv neZ+f TeZ, хеС. Тогда по определению =Шх+УплА+Зп<£х-у^а)) + 2 <-1 )z+Icos (ynl {t)/2)Sn<f, х), 97
Rn,i<2’f>x)“ •У/,*+Ул,г<2»+ sn(f<x-yn,i<2))' P*,i<3j,x>= Sn(J,X4 ynrl<3»+ Sn(f,x-yriil<3)) + 2i-i)MSn(f!x) {леЩ Рп,1<4^)= s„<J,*+yn,i<4)) + Sn(f, x-ynJ(4)) (neN), Pn,l<5>f>x> - Sn<J. »+*/л,г{1)> + Sn<f> х~Уп,1<1))> Pn,i^'f,x) * (/> х^Уп,1 + (/ix~bn,i *3)) <nefi), Pn,i(6+P<f’x> = $2<yn,i<P>> sn<f)>x> <p=T^,n-[p/3]€Z+), *n,l <~p,f,x) = Sx{ 2ynl(p), S„<f),x) (p* TJ, n-[p!3]e Z+). Величины £ni{p,jtdc) при ^£|2,4,5,6j называются суммами Po- ГОЗИНСКОГО. 2? В дальнейшем Jliij.x) = il/3t)^f(t)cosl(l-x)dl, 9>t(f,x)=(l/jr)^f(l)sinl(t~x)di. Лемма 1. Пусть /el,, n£Z,,.r,o{eC. Тогда Л V/,se+at) + ^(/, x-ct) = 2 J pwW*t(f,x)cos la, (i) >0 71 Sn<f,x+a) -Sn<f,x-a) = 2 ^ &l<f,x)$inla. (2) г-о Доказательство. Ограничимся доказательством равенства (1), ибо соотношение (2) устанавливается аналогично. Имеем 7? V/,*+«>+J V/){eM<*+et)+ett(*'el,J = я л г’-л ~2'%icl<f)eilxcosla = 2^ cl(f)eilx)cosla. U-n 1=0 Осталось заметить, что с, (f )eilx+ с_г (f)eilx= {2л )'1^j<i)(€d<x'i,+ eil<i~x))dl = = st'^^/^^ccsZCJ-x) г£2. i Таблица 1, Пусть а*еС, Тогда: ^ Т. Если ^e{o,l{, <*,j3eJ?, Ti-l + feZ+, > 5={2«+^)‘I/2(gC»+2я{А+«)/(2л+^ )) X 98
xe*p(i^p(*+«)/<2л+г?)))”.-л+1_# . то s=A„<19,u,(i,j)r. 2. Бели neN,«.еЯ, r*<c_n+t<f)ei<~'’+t>x,...,c„^<f)ei<*-1}x, сл(/)е{пх+с_л(/)е£п*е'42аг*), 5 = (2п>'1/?(5л(/<а+зг(Х4а!,/л^л-=-л+1» t0 ^ = Ал(19,<и,0,0)г. 3. если Т° 4. Если 5=(2л+1Г1/г(о!^>-г?л,^2-/-;г>^»0< г = ((3^г(г)Лг(/,х))г" 0, ТО 5 “ А^ ( 2 )2*, . . 5. Вели ла№,5=(2пГгдаЛ)^(6,/,х^0, х Ji<f,x))”,0, то s =Ап<17)г. 6. Если леХ, 5={2л)'%?лу 4,/,*))£;, , то 5 = АЛ(8)Г. 7. Если ne)V, s=(2n+1f ^(Л^М,/,х))^, г= ((Вг(jf, £))"„;, то S’=A?l(13)r. 8. Если ле N, 5=(2«+1Г1/2(^х(-2,/.«:»^0, г=(Зг(/,.г>)" ^ то $ = Ал(1 >г. ' 9. Если л-teW, $=<2n)-tl2m„tfl(-5,f,x))lli, Г = ($г(/,х))"^ , то s*A„(I6)r. 10. Если леМ,$Ч2лГ2(Яя>х<-4,/,х))”1б’ г=(лпШ(Щ(^х))^, то s= Ап(7)г. Доказательство таблицы 1. Пункт 1. Имеем 71 Следовательно, 5 = Аэт(19,<к, 6, ^)г. А Пункт 2. Пусть QCk*R{k+<&)jn . При к=-п+19я имеем S„ (/, * + Я*) = J Cj(/! e,';<3C+^i = *2 ^)^Х^х^ы/^чс.п^)е1пхе^)еы^ . 1*-Л4Х Значит, s = Ал (19,ot, 0,0)г. 4 Пункты 3-ТО. Из равенства (1) следует, что **.№,*)-Z^jWtf.x) cos <*=0-R), 1=0 tn + i 99
Лл,*<2,/,*) = ?|M> Mt<f,x)cГ*-0,я), 71 Лц»1У,*1>2 jMI)JiV**)C0S Цг <n€N> * = z-o *я.*<4'Л*>в 22^<I)Jx(/,*W^p^ <леЛ,А=О^М). z*o Из равенства (2) следует, что Л Дд*М,/.*>- 2j^(/,*>sin^f (леДГ, *-£л), л/** Я*,*<“2>Л*>= 22-®if/-5f>sinlST£L? V*eW. *=оГ^Ъ, м л Ля.* W,ае> = 2У Я, </,*>sin4г »» А-ТТл^Т), Л ^ ■ Л„*М./.*>в22®>tf.a'JSui4**±*Hi {««я, А=0,л-П. г-i Заключения пунктов 3-10 - другая форма записи приведенных выше соотношений. ^ Демма 2. Пусть ле2+, а?еС, Кп (х, и)-Dn(x+oC) + D„ у,п (x, ct,) = Dn(x-<a)-Dn (x+ol), (3 (#,&)- (cos #- cos x rf. Тогда cos<<^/2)(cos72a:-cos(n+f)x), если oi= Ьл,г К ЯЛ(Х,М) _ - sin<ccl2)(cosnx+co$(n+i)x), если Л«ул1(2), 2(-l)1 (Ь{хл) cosnoccosot - cos{л+ f)ос, если aL°yn^{3), n€~N: (- sin <34 cos л ас, если о1^у7*г(4)} neN, !$тл12)($1ппх+$\п<71+Ш), если об=г/п>г(1), ccste/^Hsin^ar-smfTH'l)*), если <у« 2 (2)> sin & sin пас, если ot= z/n ?<3), леН# sm*cccos<tt-sin(л+1)я?, если <и*ул# z(4),.H£Nr. Следствие 1, Пусть Л€«2+, осеС, Тогда: 1) если то Ал(^,а) + 2{-l)z+1cos(&/2)2V;rj = I “1 -I = 2(-inI-cos<fc)cos(tf/2)(coSTi;r-cos{m-l)a;)(co$tf-cosa:) (I-cosan ; 2) если fltN, м-Цп 2<3), то * , -X/^Z4i*, 2M)*(I-cosoi)sin Дл(аР.Л>+ 2H) AtfJC)--; ГЗ 7=7ТГ • п ’ л (cos ot—COS Л) lg<xf2) 100
Лемма 3. Пусть £ С, d/l(x) 2$'тлх)/х, <'я,)&()~ =r 4 dn<x~u), fn<x,<M**dn(x-<L)-dn(x+ah Тогда &s\nM2)cosnx+xcos(QLl2)$innx,e<xiH oi» гл , (i), С Л* ) */ Л, I __ Уп'^Г / e ^лсо8«й/2)ссюлас+зс51г»<оь/2)$1п7«р,если oj= yn x (2), 4{-l)l(x2-u2) 1 #5innac, если a=ynl(3)t. neN, ,-otcosnx, если &*упЛ<4), new, 1afSin{o6/2)cosnx+o^cos(^/2)sinHarl если #=г/лгШ, -xcos(&l2)co$nx±a$m(&l2)$innxt если &-ул>г<2>1 &siri?iy, если &*ул г(3), л£*К, -arcosfl#, если ^°г/^(4),леК, Следствие 2. Пусть ne2+txeC, dn<x)*{2$\nnx)lx, Ъ (x,cl)* =■ dn{x+<&) + dn{x-cL). Тогда: 1. Вели ct,-yni<l) , то + 2(~D1+1cos(ol/2) d„<x)** = 4M)*ofi | # sin {<*/2)cosnx + &cos(a/2)sinnxJ x~I{x2-a2ft. 2. Если леН, ы = ул1(3) ? то \>niX,GL)+ 2(-l)Wdn(X)~ 4<-i)l<iL2X~l{X2~ <*2rfsin ЛЗС. Леммы 2, 3 и следствия 1, 2 устанавливаются непосредствен¬ ными вычислениями. Предложение ,1. Пусть ZeZ, яеН, Тогда: 1) если I /0, о£=ул,2<3), то П ,7 ,..._(-i)l(l-cos*>r f<X+t)$,xnnl Jt “пл'ЬТ*** at Д (cose-co«*/to{i/2) et' (3) (4) - f vl 2H)Vf /i.t+i)sin^ ,f. = -* JR uii^T dt ’ 2) если « = ул;< 4), to O ,,*_i <-l>,+1sino£. f51 Л.г+?)С05лг (5) jj- J^-cosu-cosl dl * fxi* itDHI* С f/x*l)cosni (6) л-1’ ,лх' it J„ г?- Доказательство. Ограничимся доказательством Равенств (3) и (4). Соотношения (5) и (6) устанавливаются ана~ 101
логично. Сначала докажем (3). На основании равенств 1.(13) Sn(f,x)*(2i4~1 f" f<i)D„<x-l)di. U-JT Следовательно, Jta<3,f,x)'=i2itr*^f<i)fa<x+ci-i) + Dn<x-ot-l)+ 2{-\)мВп<х-1)\йъ =. «{2я)~1^Кfix* Ь {2>n<st-2> + Dn <-<* -1) + 2 {-I )mDn <-t )j dl. Отсюда, учитывая четность функции D„ и применяя пункт 2 след¬ ствия 1, приходим к (3). Теперь докажем (4). Считая feC и по¬ лагая d„(l)*(2s\nnt)/l. на основании равенства 2.(2) имеем S„{f, аг)=(2я)',С f<i)dn<t-x>dt + (2jr)"* f* f(i)cosn(i-x)di . и я О-п Отсюда легко находим, что § f<i)[dn<f-%-<&} + dn<l-х+сь)+ 2H)Mdn(t-x)}di * = {2л)'1 С «?я^+«) + 2Н)1+1с?пС?>} ofi . ь/JF? Применяя теперь пункт 2 следствия 2, приходим к формуле (4) при условии, что /яС. Распространение формулы (4) на функции из Zj производится аналогично тому, как это делалось в доказатель¬ стве предложения 2.8. к Замечание 1, Опираясь на леммы 2, 3 и следствия 1, 2, легко получить формулы, аналогичные (3), (4) и для дру¬ гих сумм Яп,1<р>/'Я) • Мы не' станем здесь на этом останавливать¬ ся, а будем приводить соответствующие формулы по мере потреб¬ ности* Следствие 3. Пусть леН, ZeZ, oceJR, Тогда <1Ф0)< t7) Jbi<4.f.x>.Hf*‘*M+t>di• t8) Формулы (7) и (8) получаются соответственно из формул (4)и(б) заменой переменных в стоящих там интегралах. Теорема 1. Пусть leZ+, 14р4<х>, ($ini)/i , 3l<3,l) = <4/n)(2$*l\d<i)\dl ~^l\d<i)\dt), О» 102
л(2/+1№ Я(4,п = (4/я)\ \<HD\di. (10) Jo Тогда *%l*AtWlp < <f-3.4), (II) supfl-R^jifJk(12) Л€ Jf Доказательство. Сначала докажем (II) и (12) при j =3. Можно считать, что ZeN’, ибо при Z -0 доказывае¬ мые соотношения очевидны. Пусть z/^z<3) . Из формулы (4) и предложения 1.2 сразу следует, что ' “'ЛиЙ&тИ - V Опираясь на предложение 2,7 и формулу (7), легко понять, что sup |j-R^(3)JJc sir Покажем, что «5?(3rZ) . Так как Л€Л л- ■ — - '■» sin? _ 3 1 0СЛИ Эт(5?+П) при 2=0,Z-l, sx&n 1(12-пг1г) ( M)^, если ie(n-j,3r^+i)) при 1-|Н)'Д*"‘‘"г(гЬ + nfer-1)^- (ю’ Учитывая равенства > f ЛМ*. f dii)dl 3lJ • * + 7T и (13), находим jtZ> ря* 2 pKi л2п1 рлГ *я! Л2л1, \d<l)\di+2^ Id(i)\di \dil)\dt-^x \Mjflb f*7\l f*>nl = 4jo Id<t)\di - 2 j Таким образом, равенство 1г = ${3,Z)f а вместе с ним и соот¬ ношения (11) и (12) при £ = 3 доказаны. Теперь докажем (11) и (12) при #-4, Пусть г^З/л.г*4)* Из формулы (6; и предложе¬ ния 1.2 следует, что 103
K.<4< frllfgfK Опираясь на предложение 2.7 и формулу (8), легко понять, что sup \Рп%{4)\с » Тг . Покажем, что 7г =Л(4,1). Положим осг * П€1* * = 3t(2Z+l )/2 . Так как I, если I€ [0,31/2), cos? n*t2l+l)2-4l2~' {-1)<+г+1 если ?е<я^+*г,01<^+1)+аег) при j>= И)*+г, есии ?е(я^+зс2,я{^+1)+агг) гри j>= 0, оо, то имеем -I (яТ;/2)=(-1)Ч (dii-x^+dd+x^di + I {сШ-хг) + зР=~£ ^ z со + dd + x^Jdl + 5> l(d(t-xl}+d<i^xt))di. (54) |fo ■«»**♦*% Учитывая, что я<£+1)+ое* n(f+i) 5с^41)+^ я<$+2*+2) j d<i-x,)dl ® | J dil+Xjidl- | tftfM?, Я^+Xj iti «(J+2Z+I) 3t/2 Ч2 n(l*15 Jd<l-xt)dl d<i)dt, £ dil+tydl » J diDUl 0 M Q 3ff и равенство (14), находим /»о /*ж(2М) чиш* +1я1|^Кг+Зя^ \dm\di + лзигг+D +j0 I <*#■>№*- Id(i)fdi. Таким образом, равенство ^ = ^14,/), а вместе с ним и соот¬ ношения (И) и (12) при #= 4 доказаны. А 3? Дадим описание применяемой в дальнейшем методики по¬ строения обозначений операторов, действующих на функции не¬ скольких переменных, при условии, если аналогичные обозначения уже были введены для.одномерного случая. В целях простоты за¬ писи и ввиду полной аналогии с произвольным многомерным случа¬ ем ограничимся рассмотрением двумерного случая. Пусть UiL^C Ш
у. I -+С - два оператора (функционала), f€Lt(Q2). Тогда г результатом действия оператора UV на функцию f понимает- ^ Следующее: сначала оператор U применяется к функции f при афепленном втором аргументе, а затем оператор V применяется получившейся функции второго аргумента. Если операторы V и V реют соответственно обозначения Вп?Л2(р2г у ос2) t где nJ ’ Ч * Pj * ~ одномеРные величины, то оператор UV будем обозначать как АВпЛ (р, • ,х), где л, I, р , х - уже двумерные величины {n-<nvn2) и т.д.). При этом, если А совпадает с 5, т0 вместо АВ пишем просто Л. Например, обозначение ВпЛ(р,/,х)9 где л, 11 р % ос - двумерные величины, a f е , означает величину, являющуюся итогом последовательного применения опе¬ ратора Fnitlj<Pv 9 **0 к Функции / , у которой закреплен вто¬ рой аргумент, и оператора Rn2,i2 (р2>9» ^ к получившейся функ¬ ции второго аргумента. Аналогично, если операторы U и V имеют соответственно вид Ani<'*oct) и ВПг('уХ2)9 где , ocj - од¬ номерные величины, то оператор VV обозначается как АВл<*,х)9 где л = (л1,л2)> х = {х19х2). ^ соответствии с этим действие оператора Sen<*rX)r где л, х - двумерные величины, на функ¬ цию из означает, что сначала к функции при закреплен¬ ном втором аргументе применяется оператор Фурье затем к получившейся функции второго аргумента применяется опе¬ ратор Фейера бЛ2(*» х2) 9 В дальнейшем, когда отсутствует опас¬ ность недоразумений, мы будем применять обозначения, построен¬ ные описанным выше способом, без каких-либо пояснений. В част¬ ности, считаем суммы Япл <p,j9 х), где , а л, I х - тп-мерные величины с естественными областями изменения, Диктуемыми условиями, при которых заданы соответствующие одно¬ мерные операторы, уже определенными. .Ls. Суммы Валле Пуссена I? Лемма 1. Пусть ре(0,оо)9 функция <р: В™-* такова, что 1 ^г’Ши*2ii+i)fdi<°°' Тогда: 1) для любой feL^QJ Функция U(f), заданная на Rm формулой (L* * 105
принадлежит C(Qm)\ 2) справедливо неравенство .IIWL/IAl j 3) если areR”1, to I ^/+<$r.a:>U< | Wf,x)l+ i^<^X)\. (2) Доказательство. Так как для любой J'eL (Q > при xeRm iv/)| < <(гяГ(П(2*^1>)|Л|,, то /лтЧ><*)| V/,*J|P<** 4<2m)~mPt<p)lif |P. Отсюда вытекает, что последний интеграл сходится равномерно на RWU, следовательно, U(f}€ С(Qm)), а также справедливость не¬ равенства (1). Неравенство (2) справедливо в силу неравенства Минковского для интегралов (теорема 1.2.3). А Теорема 1. Пусть feLt{Qm), #еЯт, функция <р;Р+*-*Л+ измерима на 0<^4 2, с*еЯт, о&>От, ’14-<т«'«Й К'‘^Г'ЧН ■»“" 1 < г, л+ г-1 • /3) ”?Р (^1)((Й«1 К^ГГ вСЛИ ^■2- Тогда (Sr?V<1>! < *<№ри»<М), (4) (6) «И)1'* < Теорема 1 - аналог теоремы 3.2. Ее доказательство близко к доказательству теоремы 3.2 (здесь вместо неравенства Гёльдв* ра для сумм используется неравенство Гёльдера для интегралов^ Следствие 1. Пусть оо , j€Lp<Qm), функция <p:lV ►Р+ измерима на R + , 0<^< 2 , постоянная Хфоь) определен* формулой (3) ♦ Тогда К J*» v* *> fw. •>!*<« )ад1Р * *<*>!/!,. <б)
Пусть £сЛ” - ограниченное измеримое множество, , ( 1 при f е Е, \ о при * eR т\Е характеристическая функция множества Е . Представляет инте¬ рес изучение средних <p > 0) в зависимости от изменения множества Е. В «случае, когда мно¬ жество Е является параллелепипедом, средние ZJ(f) называются средними Валле Пуссена, а средние V<f) - средними Валле Пус¬ сена-Харди . 2.° Определение 1. Пусть /€^<0т), a,beFm, a>Ow, b>0™ x € Cm. Средними Валле Пуссена функции J называется функция чь./.*.-(П‘Д w*"1*- г-1 [в,а+Ь] Функции m _J - (П Ь.)' Хк„ц Ли,«|Л ■ ъ«-(йЬ-ГП , ' г-i ы г Г(П ‘.)“П --а,а?| - Ь'Ич называются ядрами Валле Пуссена. Определение 2. Пусть зЕ>0. g.beFm. а } От9 Ъ > От# агеСт. Средними Валле Пуссена-Харди с показателем $ Функции / называется функция «И.* <*• S-->- !(П ь, )Х,..Ч1 Wг,1'" 1Vi- &*всто сНаЬ( 2,f, x) часто пишем просто 6Ho b <f, х). Замечание 1. Если в условиях определений 1 и 2 Ъе1*т, то m г-1 *e[e,a+b-lm} ic?
/ m f (ГЬг) Г 7=i *£[a,a+b-lm] 3 Замечание 2. В условиях определения 2 функция возрастает вместе с £ на (О, оо). Доказательство замечания 2 аналогично доказательству за, мечания 3.4. Предложение 1. Пусть f£Li(0m),aib€Rmfa^0mtb>0^ хеЪщ Тогда 6«,г» <■/.»> = <2*>"т Ьп1<х+г>&а.ь<*>м’ ^ «ЧЬ'/,*) = { 2*)'” С (8| Qnj Если, кроме того, asZ™, bCN™, . то справедливо и соотно. шение в<х,Ъ<№)= <2а1Гт С f<x+t)V*b<i>dl. (8f; J#m m _j Доказательство. Обозначим ) через }; i=i Докажем (7) . Пусть сначала $е C(Qm). По теореме 2.2 6^ {/,#)« = Ф<1)<Н, где Ф (l)=b'£ dim,u, * Ь'ет «J[afa+b] Таким образом, соотношение (?) для функций / из C(Qm) доказа¬ но. На основании предложения Т.2 функция г/г/,.) = < г% +i) K,b^di принадлежит C(Qm) для любой & Ue Ld^O^-* L^Qj В силу леммы 1 ^аУъ^/*в) & С (Qm)t а HL^Qm) Применяя лемму 2.4, убеждаемся в справедливости (7) для функ¬ ций f из 1ц (Qm) . Докажем (8). Опираясь на равенство 1.(44) имеем 1, 408
«г.е. (В). Осталось заглотить, что если aeZ™, Ъ eNm, то УаЪ^^^аЪ*11* • Действительно, если as Z fieN, цеС , то оь+^1 Oi+0-l м 2 Bpty) =(2sin2(^l2)fI jj (cos pij - cos(p + l>y) = Р=<* Р = вА = {2sin2(z//2)fI(cos<Ky-cos(ol+p)y) = pV^ {г/j . Следовательно, 77j Jpi.a+b] Jte[o,«+b-jmj * 7.f\ Ziai *J <>/ a>b aid Следствие lf. Пусть feLt(Qm), a,b,u£Rm, a } 0™, b,ci > Oms jteR"! Тогда e«a,*b<f>*>m <**}"* §лт№+*/*)*а,Ь<г>М * Доказательство. По формуле (7) ^04 ai&btfyX) = (2jT) + ^cta,<x.b^ ♦ Делая в интеграле замену переменной &1=и% получаем требуемое.1 Введем обозначение. Если a,£eRm, а ^ О 777, Ь > От, то полагаем л ь>а>ъ<тп)={2я )'m£m 11^ьf*>| <Я. Следствие 2. Пусть <х^От9 Om7 Тоща \V,b<i)\dl, (И) OQm . (2лгтаvra>bm). (i2) Доказательство. Для доказательства соотноше¬ ний (10) и (11) достаточно сопоставить формулу (8) с предложе¬ ниями 1.2 и 1.3. Из равенства (7) следует, что ||ба&(|с ^ . Сопоставляя последнее неравенство с равенством (11), приходим к соотношению (12). А Следствие 3. Пусть последовательность a^eR™ (neN) та- нова, что ля>От, lim (im/<n>n )“07П; <х,Ь е J?m, а}От, Ъ>Ощ. Тогда 109
| ««JjKne.-rflc - gSi Кл«, «Лblc " ^bfW)' Доказательство. Из формулы (9) ясно, что sup iiffe„a,artbf,- ^ ^W). С другой стороны, поскольку JsffW л то в силу предложения 2.7 lint jj ga„a.-«,,bii,- > иК, 4 л "♦ оо * Следствие 4. Пусть а € Z+ > beN74. Тогда К* 1с в (13) Доказательство. В силу равенства (И), как вто нетрудно понять, для доказательства (13) достаточно уста¬ новить утверждение: если JceZ+, л€!9 , то £т I cos Jci - cos(?i+*)? | Г (cos*?-COS{n+ic)J! r^cosf di я Jr P • Из разложения *00 co$ec*(f/2) * 4 ^ fi-i-23t*)"2 (14) ft*-®9 следует, что \coski - cos(^+/c)J j A JcosM - cosfn+k)i | l-cosi * 2 Zt <* + 2я1)2 » I причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на каж дом отрезке. Имеем С* |cosJtf~cos<Ji+A)2| Т fn icoskt-cosjn+krt | ix—ran dt 9 2AJnc—ш 2п№— dt * 2у f<?t*n*|cosfcf-cos(n+/c)i| (cosJH-cos^*.?! „ ,A«5(a-n* i* e Jp P 5P. Теорема2. Пусть jcFm, a,<t>Om, A JO* 110 (15)
Тогда *nkaia(i,f.x) i С<1,к,а1,)РН*х/а<£х), (16) Доказательство. Будем считать, что 0< # < 2. Случай f = 2 рассматривается аналогично. Применяя неравенство (4), имеем вНы <,($,/. х) 4 ^РН^/а (f,x), где f < -ILЛ WH* -СГЧ'-^ Тем самым неравенство (16) доказано. Неравенство (17) устанав¬ ливается аналогично, но здесь вместо неравенства (4) использу¬ ется неравенство (5).4 Следствие 5. Пусть 2$р4а>, feLp<Qm), 0 <$42, а.кеЯ™ а>От, постоянная определена формулой (15) , £<£*)= in;f^C{j\A:,#). Тогда ‘>0|*л*«,«(*./.->|р < c<i>*)if\p- («) Доказательство следствия 5 получается сопоставлением не¬ равенств (16) и 3.(37). Следствие 6. Пусть 24р^оо, feLp(Qm), asR^aX)”!Тогда *<5/4)Пtth ■ ll9) «•’"И,- ‘20> 11(|ЫХ, и2е)"°шР- <»> Iя S Доказательство. Для доказательства (19) (со¬ ответственно (20)) достаточно положить в (18) Л-О7*, jb=l (со¬ ответственно 2) и оценить константы C(j,Om) = 1,2).Для Доказательства (21) (соответственно (22)) надо положить в (18) i = 1 (соответственно $-2) и оценить константы (1=
Следствие 7. Пусть /ei2{(?m), {ac.a.A.&jcR”1, a,«>Om, kiOm, P<a,k)=[ka, (k+lm)a] . Тогда Доказательство. Для доказательства (23) надо положить в (17) $=2 и воспользоваться формулой 3.(7). Нера¬ венство (24) получается из (23), если В последнем положить оь = = Iм , к = Om. i Пусть i4p£oo, Je Lp(Om) . В определениях наилучшего при- ближения En{f)p и полинома наилучшего приближения Тл</)р предполагалось, что параметр л принадлежит множеству Z+. Рас¬ пространим теперь эти понятия на случай параметра аеР™, по¬ ложив по определению Ea<f)p = %iaz<f)p> Ta<f)p=T[ai<fb- Теорема 3. Пусть 24р4оо, f€Lp(Qm), a>0 .Тогда ЦП аП[а,2а)^(/’ '< (( 2е)М/2 + 0 (25) Доказательство. Обозначим №Л„,, -facfdf }1/2 через U<f,x). Пусть лей” r.g ’силу не¬ равенства Минковского для интегралов U(r,x)4бН а,га<г,х)+\г<%}\ и U{r+g,x)£ V<r,x) -f U(g,x). Отсюда, учитывая (22), находим. что при 24р4«> \U\p 4{2е)я/г + 1, (26) а для любых г и g из Lp(Qm) справедливо неравенство |0(«ат»ь I Ulgllp ■ (27) Пусть ТеН„, где л 4 а. Так как при любом Ца имеет место равенство Si(T,x)'sT<x), то U(T, х) = 0, а 1-и<ЩшО. (28) Теперь, опираясь на (26)-(28), получаем, что \\vwh4u<f-w>p)ip +1и<т*<мР °\т-ъ<лрЧр<> 112
4? Рассмотрим вопрос об изменении функции в зави~ ^ости от аргументов а и Ь . В этом пункте будем придержива¬ ться следующих обозначений: j - постоянная Эйлера ( ^ = 0,57721 2 f*|sinJsin«/tf „ , JL/V Jn* . , i 1 «Г^-ЗтJ0 гг~*4iL 4*2-l' +lnZ + 2? (вычисления дают oi0= 0,98943...). Лемма 2. Пусть ye[i,oo), A(y) = b?<y)-(4/ns)ln(y + i), NyWMp - <4/яг)1пу. Тогда Я2А* 4№-i\Zt гг-i + 2[*y] + i /’ ' Ы о f функция А возрастает и Л(П = I - (4/лг)1п2 ^ A<y) < lim А(у)-ип ; *• « BfV)e(0,97ft?3,l], B(3/2) = 0,97995 ... < lim Bfu) = a5n<B«K * У’*'00 так что функция В не монотонна. Доказательство. Так как 4 v I-COS2/C* Г00 3in2at sin2 И га д |smr| = — liprrf- ' J0 р dl = то , если Oiaib (см., например, [22, с,270, пример 2957; Т8 , C.465J), то M ,.w„,-32 V. . i fwU-cos2*yl)U-cos2m „ 'j' этз M <4*2-1X41*-1) Jo p at * tjjJ i6 v Ay + I - 1 Ay - г | 'я?^, ,4*2-1X412-I) JU=I Опираясь на полученное представление функции и?, находим, что 32 V tninjky,l\ W ~ я* JL (4*2-i)(4tJ.i) " « C*W *'1'1 оо я* ^ 4*2-1 1 L 412-1 L, 4Z2-1 | - *-! ' Z-i 1-1*У)+1 •l*yj+l C*»J
tfcy] =i6.V_j / V i . *y-t*yj \ л5 Li 4k1-i \ Ш 21-1 2[*l.]+1 /• *»t ' 1-1 o. Первое утверждение леммы доказано. Из равенства ^ (4к2-1)* = 1/2 следует w ^ *-х #*^у+|>-§2?зеЬ fln^,=#S^b • k*i 0 Кроме того, [ку) V 1 Ху-Iky] dx 2ш 21-1 + 2[ку] +1 ~ Jo 2[*]+1 1=1 Значит, %).&£ - wfeoH*' >»1 Поскольку (2[x]+iy*~(2{х+к)У^>0 функция Л возрастает. Далее У Г. (21-1 Г1 - 2'1 Inр • — ► In2 + у/2 и потому c*w У -L- + hldtxl _ <ln(u+l) » ilnfc+ln2+| jL 21-1 2[Jfjf] + l 2 3 У~*> 2 2 z* i равномерно относительно JteN . Значит, <ю Гад ^■-иХвЬ (2 Л * Щ- - ^ ' 1*1 16 V 2'НпЛ+1п2+Ц2 _ * -5*2. “ 0 * Jci Положим У(а:) = 1+^ |^[|']'-мТ ТоГда Bw=f^Aki(^тк ~ iln*i' + i 1п*Ь k*i _ 16 у 1 / Г*У rfi f *У rft . г 1, 16 у У^+г'Чп* я2 2< 4fc2-i\J0 2[t]+l "J, ~W 2 Г 31* 2* 4кг-1 • При леЯГ будет У(л.1/2) - W-lg) - ^ -М; ^ dl >». Л4
«гак что последовательность {Ч7^} убывает, а ^4?<-п+1/2)} - воз¬ растает. Кроме того, 1£'<х) = (х-[х]-112){х(2[х] + 1 J)”1 < О при X е(л,л+1/2), > 0 при х €:(п+Ц2,л+1), т.е. на отрезке [л,л + 1] наибольшего значения Ч1 достигает при х=п , а наи¬ меньшего - при х=п + 1/2. Поэтому у 16 V / 16 V ад + г'У,,,», я5 2т 4*^1 * &2т 4*2-1 5(1) '* o/]i\ \ 16 V W([*y]41/2)+2~1lit* ч 16 V УЦс-П/2)+2~* In* % о(у}' %г jh 4*2-1 ^ 3t2 Ai 4*2-1 *“L * *г1 S4*b(21 гга + Tfe -1"<‘^3>+ “)• да **1 1=1 „ , , 4 V / 1 1 \ 1 _ в у 1л(1ч-<2*)-1) _ этг тш\2к-1 2*+1/2* + 1 л® ^ 4**-1 Х*1 ^ л-1 -1,6 8 V 1Л(1+(2*)-1) 2 Л2 Я* 4*2-1 Вычисления дают для последнего выражения значение 0,97883;.. Со¬ отношение liтВ<ч)~&* вытекает из соотношения lim А(гл ==#,п у-*оо у+оо J и равенства А(у) -В<у) = (4/п2){1пу-1щуЩ, Далее тЗ/2) * г^Ш - 16£ 4 ||с - (25ГГ1 j*” j dl = = {2я )_1J* j 2 + 4cos? + 3cos 21 + 2cos3i + соs4i |rf? = (2/зт)(2УТ-5/3), и потому Si3/2) = и?(3/2) - (4/яг)1п(3/2) = = (2/я)( 2VT- 5/3) - (4/Я2)In03/2) < 0,97995 <&0 . А Теорема 4. Пусть bjerJ?2 : <*^0. Ь>о|. Тогда UP { 4i П1' " (4/л2) 1л (а/Ь + 1)1 * Л. + (4/л2) 1п2 = 1,27035.429) ^ trfr ХГ1 ’ * 0 ^sup^t^(l) - <4/я2)1л(2а/Ь + 1)| =1, (до) inj“ iv> .(I)-{4/si?)ln{afb +1)| =1, са,Ь)£:Х (<ЬЪ)€Х ‘ inf | u7 ь(1) - (4/лг)1п(2о/Ъ +1)J е[о,Э7883, 0,37995] 115
Для доказательства теоремы 4 достаточно сопоставить равенство * ъ^(2а/Ъ + 1) с леммой 2. Теорема 5. Пусть Нр4 оо, feLp<Qm),a,beJtm, аД Оп, Ь> О”; Тогда |/-бв,ь^>|р^{(Ш4/я2)1п^г/Ьг + 1)+ 1.3»+lJ Eaif)p , (31) |/-<Чь</^р4^ПИя2>1,,<2в|/Ь| + 1>+*))+1}£в^. (32) Доказательство. Учитывая, что для любого Те еНп при а)п справедливо равенство ^аъ(Т)-Т и неравенство *>a,b<mh имеем - |/-T*<f>p-ea,b<f-W>p) dp s< Г ГГ» Осталось принять во внимание, что фА ъ<т>-Иг^ ь и вос" пользоваться соотношениями (29) и (30). А Следствие 8. Пусть iip4 оо, neZ™. Тогда 1/-^<'л1р^{(П^4/яг>1п^+1> + I*3« +i\En<f)P> (33) 6 f-Sn<f>\p ч< {(П« 4/312 Лп( 2л,ч 1) +1)) +1J Еп <f)p . (34) Для доказательства соотношений (33) и (34) достаточно при¬ нять во внимание, что и положить в неравен ствах (31) и (32) а = л, Ь ~ i Лемма 3. Если леК, то = + #= /,«599... (35) Доказательство. Принимая во внимание опреде¬ ление величины и следствие 4, имеем W& d* - dx - = X + ТГ-" f, 43599... А 'И 6
Теорема в. Пусть леЛ” Л‘ = 1/3 + 2УТ/<п:. Тогда: 1) если 1 ^ 4р (И' feLp<Qm>> то |/-ff„,n(/)|p ч< {Km + l)Enif)p ; (36) 2) справедливо равенство /*.'/>»( ■ *"*<• (а,) Доказательство. В доказательстве теоремы Ь установлено, что 4(vr„„{m) + l)En<f)p. В силу леммы 31*Я'„<т> = П”,.to tniii’Km. Сопоставляя эти два фак¬ та, приходим к неравенству (36). Учитывая очевидное неравенст¬ во £л(Д* < ll/lioc* если fzC<Qm)> предложение 1.4 и следствие 4, имеем sup j|/-6»,n(/>L/£nsup feC<Qm) /fCWffil' ' ’ > 1 + |«*.nlc - 1 + ьгпп(т) = l+Xm. A 5? Лемма 4. Пусть pe{Q,oo), функция ^»:P+-R+ такова, что ^<f‘)(2i^i)mPdi<co. Тогда: T) для любой feLt<Qm) функ¬ ция U(f), заданная на Fm формулой '/-«I fdt)4p. принадлежит ; 2) справедливо неравенство sup {[uwi./\fU I ^8) Ус 3) если p^i. j,g£Lx<Qm), to \u<f+g,xH v<f U<f,*)\ + \u<g,*)\. (З9) Доказательство леммы 4 аналогично доказательству леммы 1. Теорема 7. Пусть feC{Qm)% функция измерима на R+. #>0, *W=(-2>H/2], fljL(<pW^V*e’‘UrV*{'''^“|1/rI/t^ п*“ *<*<*>. * * *>0 vrai sup при Тогда hJ f<u>JSfmu(f>l*du}Wl^ 4 1»^
Теорема 7 - аналог теоремы 3.3. Пусть JTcJ*+ - ограниченное измеримое множество. Представ¬ ляет интерес изучение средних и</,х) = {цЕ Г1> Ш*у~ j<^rJ §„ fs <i > I Vi pdt)i,p (p>0) в зависимости от изменения множества Е . В случае т когда мно^ жество Е является отрезком, средние U(f) называются средними Валле Пуссена-Марцинкевича, а средние Vtf) - средними Валле Пус се на-Х арди-Марцинкевича. Определение 3. Пусть 0т^ a,beR+> Ъ>07 хеС^.Сред- ними Валле Пуссена-Марцинкевича функции f называется функция , ра+Ь 31^^ 1171 ОС ) — Ъ j ^X )di ш ра+Ъ Функции Л1а'ЪШ,Х)-зг Ъ~г \ f*a)b<m,x) = (П x'^sinfux^jdu называются ядрами Валле Пуссена-Марцинкевича. Определение 4. Пусть %feLi(Qm)1 #>0, b>0, а<=К+, хеС™, Средними Валле Пус с ена-Х арди-Марцинке вича с показателем j функ¬ ции f называется функция ос)~ |b | Spm i (fi x))^d 11 Замечание 3* Если в условиях определений 3 и 4 aeZ+, beN , то a+b-i ь1 ^ Va 4+Ъ-1*~а ^ Замечание 4. В условиях определения 4 функция МНавозрастает вместе с f на (0, оо) . Доказательство замечания 4 аналогично доказательству за¬ мечания 3.4. Замечание 5. При О, Ь> 0 функция суммируема на JRW, 118
доказательство. Так как fa,b<m’xi = (* + «/Ь) Цо,<х+ъ(т'х) ~ (а/&) У'а.а <т'х>, то достаточно доказать суммируемость на R™ функции и^(т,х) . Заменой переменных и~Ы} x-(zjb) интеграя I ^о.ь ^ ^в 2Ж6_1 |ХЬ( П >) j сводится к интегралу 2mdx. Конеч¬ ность последнего интеграла следует из леммы 2.4. А Предложение 2. Пусть а } О, Ь>0, xeRm. Тогда: 1) если feLt(Qm). то -^a.b <m,J:,x) = (2nTm§Qmf<x+l)Mab<m,i)<il; (40) 2) если f£C(Qm), то M<x,b(tn’f'x>‘l2nfmfiRmf<x+i>txa,b<n1-г)<М • Ul) Доказательст во. Опираясь на равенство 1.(14), имеем лв+ь. л . Ma,b<m'f'x)*<2п>~тЪ Je (jQ f<x + u)Dimiifтdufdt* = Dim^(u)di'jdu'*{2n)m{j^f<x+ uiM^b(mu)du. Тем самым равенство (40) доказано. Докажем (41). Учитывая за¬ мечание 5 и применяя теорему 2.1, имеем Мау/п,^.г>=|/^г+?)Ф(?)з'£, /*<Я+Ь R7*1 где ф(1) = Ь'1I y<m,u,i)du = {2п)~тусЪ(тЛ). А Замечание 6. При а ) О, Ь > 0, лгеС2 а <2х)~ ^ V/ji*cos((at^2)(a:iii-f)lt,1ya))sin(bf.Ti4H)*<1y3);2) г*ь ’ bart3f2 А.' ’ x,+ {-i)k+ix> л=о 1 Если aeZ, belV , дгеС2, то JU (9У}. i у, cos<(a+bl2Hxt+('4**iXt»Sin(b<XfH-l}***x2)l2) а,ь ' 2b А.' ' sin<3e1/2)sin(3f2/2)sin((XI+H)*4laf2)/2) Следствие 8f. Пусть JeC<Qm), х,Ь >0, а>0, хеК*- Тогда Л1аа(«,Ь^7П»/.*)е<2я)'т j" п f<X + tl&} fXaib(m,t)<it. 119
Введем обозначение. Если а} О, Ь> 0, то полагаем i| fia b<m,i)\dl. Следствие 9. Пусть а> О, Ъ> 0, 14 р 4 <*>♦ Тогда I .^а,ь(т)Лр 4 | ^агь(гпНс М^ь<тЛ)\<И 4 Следствие 10. Пусть последовательность (neN) такова, что Фя>0, lim cLt-oo; а^О, Ъ>0. Тогда п П’>О0 SUP Ил„«,«яб^т>8с = 1Ы| М«„о,«пЬ^т>1с “ da,b<m). ItSrS Л**Л Доказательства следствий 8-10 аналогичны доказательствам следствий 1-3. Следствие И, Пусть f£C<Qm)t j/2 €JV, acP+f Ъ >0. Тогда \(b'lSab 1 Slml<f'‘)lidi)t/iL '<(( 1 +<х/’°)е^тР)т lift ■ Для доказательства следствия И достаточно применить тео¬ рему 7 к функции <р , заданной на R+формулами <f(i)= при 1е [а, <х + Ь], f(i) = 0 при IеЗ?+\[а,а+Ь]. Теорема 8. Пусть feC(Qm), ^/2eN, <zeJ?+, Ь>0. Тогда !(^^ 1 + ))^+i)£,ma </)„• Доказательство теоремы 8 аналогично доказательству тео¬ ремы 3. б? Рассмотрим вопрос об изменении функции Ла%(2) в зави¬ симости от аргументов а и b . Лемма 5. Пусть функция f:[a,h]-+F возрастает, а функция g:[a,b}-*n убывает. Тогда fcajgiMt 4 1(43) Доказательство. Положим A=(h-a)*ti*f(l\dt* с - # р * а * sup | Неравенство (43)равносильно неравенст- ву 04$*{A-f<l))g(l)dl, Так как при 1е\аус] справедливы нера¬ венства 0, gil)^g(c)9 а при I € [с,Ь] - неравенства A-fit) 4 0, git) 4gic), то A-f(l))gMl »§JA-f<l))g<i}dl + §*<A-fil))g(l)dt)
> J%A-f{i))g(c)di + §*(A-f(i))g(Oclt =0. A Неравенство (43) называется неравенством Чебышева. Следствие 12. Если /:[а,Ъ]-*К возрастает на [<М#+Ь)/2] ’й симметрична относительно точки <а+Ь)/2 , t.e.f(a+b-x)~f(x), а :[а,Ь]^Н двевды дифференцируема на [а,Ъ] и аЛ#) > О, ; то имеет место неравенство (43). Доказательство. Действительно, полагая х = -а+Ъ-l в интеграле f<X)g(oc)dx и снова заменяя I на х , “^еём р(р+ы/2 п(й*ъуг »«>*т 4 f(xig<x)dx= j f(x)g(x)dx+^ J(a*b-x)g(a+b-x)dx* j(xwx)dv, где h(X)=g<x)+g(a-*b~X}. Так как gr возрастает и х 4a+b-х при хе[а, <а+Ь)/2], то g'(х) 4g'«x+b-x). Поэтому h'<x>4 0 и Я убывает на [а,(а+Ь)/2] . Значит, по лемме 5 (,тЪ)12 у р<а+Ь)/2 л<а*Ь)1 г . м лЬ ^ f(x)h<xidx 4 j f<x}dx^Jt<x)<Ix* )а3<хg<x)dx. Следствие -13» Пусть n.l-2eN, Я=п/п , функция g:[h, Щ2\-* -*Е дважды дифференцируема на [Я, lh/2] и на этом отрезке g(Xh 4 0, glxt^Q. Тогда Г»гй/2, . ' о (*№/2 , J jsm«*|g4x)aa:^ jj- ^ g(x)dx. Доказательство. При I четном [A, lh\2\ - 42-i (Г-з)/г. = Ut[M, <k+S)h] , а при I нечетном [Л,ДЛ/2j = Uf [kh,(k+l)h]v Ut(Z-l)hl2, 1Я12 ]. На каздом из отрезков ]kh, (A+IJA] функции j зЫлат | и g удовлетворяют условиям следствия 12, а на отрезке [(MJA/2, JA/2] - условиям леммы 5. Кроме того, п(**т rtZh/2 (I/A)|sin лх| tfx = {2/hji Jsin nx|<fac* (2/Я). Складывая получающиеся неравенства, приходим к утверждению следствия 13. А в+ь Лемма 6. Пусть <*>0, Ъ>0, 0<y^x,d{x,y)-j(xybfi^ sinxf* x siny?rf2j. Тогда справедливы соотношения: <*,) d<x,y)$ * <ХУГ1; 0) d<x,y) 4 2<bxy(x-y))~i ; $) rf(x,y) < (а + Ъ)г; dw.yi^tyxyftsmza+tyxsm(o+b)i/}+by'1; b)d(x,y)4х'\а*Ъ).Цщ 121
[дополнительном ограничении у е(0,<я(2(а+Ь))”1 ] справедливо и (неравенство jj) d(x,y) & 2<а + Ъ)(Ьх2)~J Доказательство. о& ) Оценка очевидна, (3) Используя (42), имеем 1 к=0 $) Так как |sinu|^ju| при ueJ?, то d(x,y) 4<xybf1 §**bxyl2di 4 <а\Ъ)2. S) Очевидно, что d(x,y)=(hxyfi§a sin(a.+b)xsin<a+b)ydi+ ч* г(£с,у), где r(x,y>*{bxyf1{(ym#£-$i7i(a+bja:jsm^? + s\n(a + +b)x($\nyl - sin(a+b)y))di. Поскольку |stn3c?-stn(a+b)^J^^Ja+J ^|, I$ini/l-$in<cn-b]yl4yla+b-il, то j r(ar,i^j| ifbacyf^ar+i/jJ11* (a-tb-Z)d? = = b{2xyfi(x + y) 4 by'1. Следовательно, d<x,y) 4 <xyf1\$\n (-s+ + b.):x|]sin<'a+&}#| + by'1. a+& £ ) d(x,y) 4 (xyb^ ж'^а+Ь). ^) Применяя вторую теорему о среднем значении (если / неотрицательна и возрастает, а h интегрируема (по Риману), то ^cf(x)h(x)dx*j(d)§*h(X)dx, где fe[c,d] (си., например, [74, с.И9])), получаем *<*>У>" |^&|а smyls-wxldi ш -'ЩР* |£ sinxidij^-^.k Лемма 7. В условиях леммы б .Г* СС d<x,yidxdy 4 (2/7t2)(ln{i + a/b) + К )г, где К - абсолютная постоянная. Доказательство. Условимся ссылаться на оцен¬ ки леммы 6 как на соотношения (ос )-(*?) в соответствии с пунк¬ тами леммы 6, в которых они находятся. Положим к = 3T(2{a + b)j*» l = si/(2b), &={{x,y)eR2-.0 <у < х\, Л^[(х,у)£ Л: X 4^}, A2={{3r,y)* 122
0 J ей: к 4x41, у 4 k], й3~\{ж,у)еЬ: x> I, у 4 *}, йА^{<х,у) e&:xe e [к,k+l], «/>*{, ^s“|(x,y)eA : x> k+l,y£k] рассмотрим интегралы It =§§ dix,y)dxdy . Очевидно, что I * A. ^ V Jj. Оценим каждый из интегралов I . При атом будем йс- U <«> пользовать запись типа <С , которая означает, что при установ¬ лении рассматриваемого неравенства используется соотношение (оь X ИМ00М а М * j{=J dxj^d(x,y}dy 4 dxj^{a+b)zdy = (а+Ъ)2кг2~1 = (jt2/8), ИМ.****** ™ £dx£ x^fa+bydy = (Jt/2)ln (I + afb), ,***•!'% <J/* *' л со OX / nx~l px \ H.H d<x’b)dv =3kHdx (1 d<*&du <^%) < / Г L_ J. f I*00 j _2_ i„ fg-Dfjc-*) . ^J*+l l«j* bxy(x-y) Jx-£ xy } ~ ^+1 ( Ьа-2 j XI + X xT } ax ^ §ш I 6*2ln Я" + x(x-u) dx = mKI} W2+ f + A ) + + Ж) + 1п\Г?'1)<11п(3+|-/+|- =|-Ьг{4+о/6}+ J-. Приступая u рассмотрению интеграла 1$ , оценим прежде всего интеграл jc_IJsjn(a+b)*Jdx. Опираясь па следствие 13, находим, что «жг+а 1Ы/2 Jfk.l)*1 j ((sinэе|/л;)о?а: ^ < £/2^ Л* + |Ь(т(3 + I)) < |Ь(J+ f ) + 0,05. Теперь имеем, < ГЧГР^5,п;-1-'+f - 123
......r ■ 2-I- - */• Осталось сопоставить полученные оценки и произвести элементар¬ ные преобразования. А Теорема 9. Если а £ 0, Ь > 0, то Лй'Ъ {2К ( 16/314) {in (I + а/Ъ) + х)2, где JC - абсолютная постоянная. Для доказательства теоремы 9 достаточно принять во внима¬ ние, что Лаъ{2)~{8№) jj d<xtif)dxdy и ^воспользоваться лем- мой 7. о\у<х б? В этом пункте условимся для is Rm через (1,1) обо¬ значать (\,"Ч 1т) - точку R2m. Определение 5. Пусть <х>Ъ еВт, а^О™ Ь> О™ хе €2т. Средними Марцинкевича функции f называется функция Функции т 2=1 ’ J называются ядрами Марцинкевича. Если a>bs Rmf Отг Ь > От5 то полагаем Л«,ъ-№~гт§п2т\У*МЩМ- Предложение 3. Пусть a,beRm, а } О"! b>0wi, areR2m, Тогда 1) если то Мй.Ъ<£*> ■ {2я)"2т f j(x+i)Ma b(t)dl; (44) 2) если /с С(Огт), то Ма,ь</,х) M2n)‘*m5R2«/r*+*J/4*^ • U5) Доказательство предложения 3 аналогично доказательству предложения 2. При этом используется теорема 2.3. Следствие 14. Пусть f^C(Q2m), tf,fr>Owp а>0, хсй2т. Тогда р *■ (ЗяГ2*^ f(*+iуa,b<l>di ■ 124
Гледотвие 15. Пусть a.beR™ а}О™ Ь> Оп\ 14р4оо. Тогда Ив.b|U labile \Matb<l>ldl 4 Jaib . Следствие 16. Пусть последовательность cAneRm (neN) та¬ кова, что оьп> Om, lim {1т/лп) = От, a,b eRm, й^От, Ъ> О™Тогда sup = 1Ш. | мала,л„ь!с ~ ^а,Ъ • TX€~N 71 Следствия 14-16 - аналоги следствий 8-10. Их доказатель¬ ства строятся по тем же принципам, что и доказательства след¬ ствий 1-3. Следствие 17. Пусть а, Ь € J? т; а } О™ Ъ> От. Тогда 1 Ma,fr||c « (W**)n JJiiniH-OflbO+X)2, 2-1 где К - абсолютная постоянная. Для доказательства следствия 17 достаточно сопоставить те- орему 9 со следствием 15 и принять во внимание очевидное ра- венство Л.Ъ*П£А,М2). Теорема 10. Пусть Кр i°°, f е L^Q^), a,beRm,a>0™ b>(f! Тогда и-яй!ь(Л1РЦ\Ыс^)Е<а,о>(1Ь < т 4 atjh^) E<a,<xi(f)p » где Kim) зависит только от тв Доказательство теоремы 10 аналогично доказательству тео¬ ремы 5* При установлении второго неравенства используется след¬ ствие 17. Ле?лма 8. Пусть а9 Ъ е Rm, О771, Ь > Q™ Тогда (е«„,ь||с 4 Доказательство. Пусть / е C(Qm). Для хеН** положим Уха(х'Х) и определим функцию g: В.2гп-+- С равенством hm)* Нетрудно понять, что следует доказываемое неравенство, i 125
Теорема 11. Пусть /е C(Qm), а,Ъ€Ят, а}От, Ь>Ош. Тогда Доказательство теоремы 11 аналогично доказательству тео¬ ремы 3. При этом используется лемма 8. 7? В этом пункте для одномерного случая получим уточне¬ ние некоторых результатов, изложенных в этом параграфе выше. Теорема 12. Пусть fe [2too), + * Тогда ИНАа,а<#Цс « СЦ.к). Для того чтобы доказать теорему 12, нам понадобится сле¬ дующая лемма, принадлежащая Ф.Риссу. Лемма 9. Пусть ре[29оо)} <£=pf(p-i),- : [<*,Ь] -+С , где keEcZ, - ортонормированная на [а,Ь] система функций^, причем -«-/up su^b] | <f*<2)I < oo, fe 1Я{ [a. b)), t , Тогда (j |d.tf)| PfP '< . (46) кяЕ Доказательство леммы 9 можно найти, например, в моногра¬ фиях [35, с.154-166; 2, с. 211-215]. Приступаем к доказательству теоремы 12. Учитывая инвари¬ антность нормы цространства С относительно сдвига, легко по¬ нять f что [®н*а,вф| с - su^ \внкй а hj, о)/ у и | Поэтому достаточно доказать, что €?■#*<,,<*<$,f,0)4 С{$, для любой JeC. Пусть feC, ае(О.эт). Определим функций /г и f2 на отрезке [-зт.яг] соотношениями , я I f<i), если ?е [-st,-es)U<*,9rj, 1 * I если iet-ei,*], Положим при ic[0,3t] g<t>n + * cosec{1/2). Рассмотрим еЯa { J , j£, 0) . Имеем £°>- (2^ jWi*0,l ) - 426
= \S g<:t>sin(l+t/2)idl j . l~ka 0 j(aK легко убедиться непосредственными вычислениями, система функций (2/3r)^2sin{A + f/2j£ (k€z+)- ортонормированная на [О,я]. Значит, в силу неравенства (46) (wf( S l^gdhind+wtdtl*)11*i)**, 4W*)m'mzlf\„($*sinbWdiy/'1', где ^ a^/(^-1).. Таким образом, sH*a,a (j »J5,0) 4 2(i^-fH^^sirr^idi f*аЩ1 f loo. W) Теперь оценим бН^а а i $ ,j£, 0). Для этого сначала пока¬ жем, что <*+1)а-1 к. J (21+1)* 4 2*а*"^ l*dl. (48) 1*ка Так как то для доказательства (48) до- * ак ч /»М статочно установить, что при ZeZ+ {Ш/2)*4j l*dt * Послед¬ нее неравенство справедливо, ибо 4* jf(Z + ^|f2/ifM-I/2)Jrf?a(Z+I/2)t Опираясь на неравенства (48) и i т |sin2|, если тйЬГ, left , имеем (Дг+Па-1 .. t**a . (*+l)a-t У IJ, «»*»«/«» sSSraf-'*1* |) < UJta <2М)Л 4 2*-l[l*'l%1dlfiaulb*lf\eo. ' Wte ' W* ' (49) 127
По неравенству Микковского < $,f, 0) 4 бНка а < f, /j, 0) + + GHfa a<fyfStOy. Сопоставляя последнее неравенство с нера¬ венствами (47) и (49), приходим к неравенству вЯЛав(^,0)< 4 ^(dtk,ix) | у • где Cti(H,k,a)~ 2{ity~V$i sin*?J di )%~т+ ^«a,(50) справедливому при любом ог. н (0,эт). Покажем, что при этих a Singl'd2 4 f<£- 1-Г1 2 *'Г л *"*. (51) Кая этого достаточно установить, что f<y,> |5)=ty-if*i 0 (52) при (<jf.,^)e(l,2] х (0,3T/2J . Так как у'р{Ц,$)> 0, то - ST^r-di aV<V‘ Отсюда, учитывая, что f(2)= О, приходим к (52), а сле¬ довательно, и к (51). Сопоставляя теперь (50), (51) и полагая os*2 /<*,для С^(а,к,а) получаем оценку Осталось заметить, что наименьшее значение функцияg при¬ нимает при , , Ш{М \№*,}/ я . - 6 vi / ( г<*-1 и оно равно Cii.k). Теорема 12 доказана. A *.t ^ Замечание 7. Пусть а€Л. keZ+, С(к)=5г'г^з( izdt). Тогда 86'-Н*а>в(2)jc 4 С{к). В частности,С(0) = 1,1645..., С(1) *1,6107’..., С(2) = 1,9023... Для доказательства замечания 7 достаточно положить в тео¬ реме 12 i * 2. Теорема 13. Пусть аеЛ, кех+, ст. inj U + (&)*|. «се(0,я/(£«»]( ; » Тогда |«Я*Д в (1)|с<С(А). В частности, С (0) = 1,0947..., С(1) * 1,5747.’. , 128
Доказательство. Очевидно, достаточно дока¬ зать, что для любой /еС Так как при I € 2+ ""g- rfi • то, положив 6; = sign (J, О), будем иметь (k+m-i ***«,« <!./.<>>“ a* J К</.0>|- р . *„ <*+*«-1 г‘ка я5йЗ 2 ^(l+ll2)idt 4 I/I* 3<k,ay, * t**a где 3(к,а)и Л. f I J ff,sin(l+l/2)*l<tf. Оценим 3fk,a) . Если ote(О,ai/fJt+DJ, то при fef0,a/a], 14 4(k+i)a-i будет sin<Z +1/2)2 ^ 0. Значит, l*ktL «Jo coski - cosfJf.l)? jj 0 i2 f Так как (см., например, [18* с.464}) J^sinto _ ((я/4)(1-Ь), воли 0 4 Ъ < 1, то при /,л eZ+ Si^f/2) 5}„{г + 1/2,г5{пГл+1/2,г<ггв{я/8' 0СЛИ г = Л* (53) v« * I 0, если 2* л. Применяя неравенство Буняковского (теорема 1.2.5 при р = 2) и учитывая соотношения (53), получаем л» I 2 ь*п<** wUi 4 ' 1*ка 129
Таким образом, при любом о& е (0, ет/(* + 1)] М,*>4 },<*,*, +W<,H I $У^Г""al di * (-,kf- S<«>. Следовательно, У(к,а) 4 inf &<оС). А ас (О, я/(*+1>]° Теорема 14. Пусть eeZ+, be N. Тогда ||вЯа(Ь(1)|с ^ (4/«2) In (1+ а/Ь) + /,7535. Доказательство. Пусть /е С , х е R , <гг = = sig-л St<f,x). Имеем в+ь N в-Нор*»/.*)» Ь'1 2 л* *♦£.-! • (anbr^/miJcoeectW) 2^6ts\n(Ul/2)idt 4 Ц/Ц*, Ji4bJ ?»<* rtjt (Я**"* I где У(а,Ь)**{кЬТ*\ cosec('?/2)| ^ 6г$\п(1+1/2)? <£f . *■ ® z*a з Оценим J(a,b) . Для этого представим его в виде суммы 2^/<z,b), ГД6 я/ь в+Ь~1 *'* Jj/a,6>= 2(яЬГ1^ г_,| e,sm<J+l/2)f |<*г, лл/ь.^-1 I У2<а,Ъ)=<яЪ)-^о j £ 6,sm(Z + I/2)2J(cosec(i/2) - 2)1) dl ^ er, sin {Z+1/2 J ijcosec/ Z/2) Z . Принимая во внимание следствие 13, имеем лзг/Ь e+b-l 3{(а,Ъ)4 2{лЬгМ £ (jsln(/+f/2)i|/?)rfi = 0 г»<* «+V1 p.u*Umib м<н-ъ-фмчъ » 2<пЬГ* (fsinu |/u)ofa i (2/jt)j (|sinu|/ujrfu < J3l л<[2<а+Ь>/М+1)я/2 ^({s\nu)/u)du + {2j%)J (|sinu)/u)cZ« ^ 2/я) Si я + (4/я2)1п(2*1([2<а+Ь)/Ь]+1))4 <2/«)Si3t + (4/лг)1л(3/2 +а/Ь)* a 30
4/я2)1п(i + ajb) + (4/jt2)1 n(3/2) + <2/iJt)Si st. Очевидно, что У2<а,Ъ)4> J0 teosec{lj2) - 2ll)dl=(2l<n)\n (z~* tgz^ ), где z6=Jt/(4b) . Применяя неравенство Буняковского, находим JjCa.b)2^sin(Z+l/2)i1 jJ^cosec2^/2)df|^= - (яЪ Г^2(cig (зг/(2Ь)>) . Покажем, что 14%г) + *<*»<%***)“< f • (54> Так как z % zb - z;2 4 z*tg V zf^/З, то (!g* - * + 00 оо + 2<*z*2I+\ ctcrac = 1/x-x/Z - где а1,Ь1 > 0) 1*1 ° 2*1 8s^{z~^lgzb-l)4 i-2zbclg2zb и, следовательно, 2il2ln(z~blgzb)+ + (2zb<^g2zb)^2 4 1, что и доказывает (54). Сопоставляя теперь оценки для Зл. и учитывая неравенство (54), получаем У<а,Ь) < (4/яг)1п{1+а/Ь) + {4/я2)1п<3/2) + {2/я)$?я+У2У:ГГ = = Н/я2)1п (1 + а/Ь)+ 79346... 1 Замечание 8. Незначительное усложнение доказа¬ тельства теоремы 14 (область интегрирования интеграла У{а,Ь) разбивается не на отрезки [0,я/Ь] и [я/Ь,л] , а на отоезки [0,Л«/Ь] и [яоь/Ь,:я], где обе <0,1), а затем идет минимизация по qj ) позволяет получить оценку |еЯвЬ(1>|с4 (4/я2Нп(1 + а/Ь) + 1,7886 taeZ^,beJi). Замечание 9. В связи с оценкой (см. замечание 7) Цв#0£<2)||с ^ 1,1645..., если beJV. возникает вопрос, нель¬ зя ли ее улучшить до неравенства 1«ЯлЬ<2)|с < !• Мы сейчас дадим на этот вопрос отрицательный ответ. А имен¬ но покажем, что Иа!бЯ0)Ь(2)|с>(4/я)((2/я>|Я/2(><и((зтг)/г}^г]г^м)1/г (55) 0 ‘° 131
Доказательство, Фиксируем Ьел и пусть Б€<0,зт/<4Ь)) . Определим функцииg и 6eLM на отрезке J соотношениями f 2, если 1е{-я/(2Ъ), п/<2Ь)), о ” 1 0, если I € (-JT/(2b)f п/(2Ъ)), 6<l)-$\gncosbb. Теперь определим функции ge,6^ С на [-от,я] следующим образом I g<i), еот 1€(-я/(2Ъ)9-я/(2Ъ)+£)и(31/(2Ь)-€9П/{2Ъ))9 Sa \ линейна на дополнительных интервалах, $•(?)* i signcosb!tecjm ie(n/(2b) + itk/b-e, дг/(2Ь) + этЛ:/& + s), е I где >=-Ь,Ь-1, линейна на дополнительных интервалах. Пусть, далее, $2<i>=ge<l) - 66<1). Очевидно, что 1е(1)еС, уэя \je<i)\ =1. Легко также понять, что при лю¬ бом фиксированном JceZ Vf»>•<гя>’1£* (2я)~*£* Следовательно, при справедливо соотношение lim £Л£е,0) = € ■* ()_ "S»<i>0.h а значит, справедливо и равенство lim Ь_1У 0)= Ь-1 л S-'O 2-0 1 « Ь"*Т Sf(#,0). Простые вычисления показывают, что рядом Фурье функции $ является ряд 11 IV 4йШ«»и - . ь hi г **° Поэтому b'^Sfoo^b-^U s?n(fat/<2b))j2 = # Z*0 2*0 fr*f Таким образом, при любом beN |егЯ0^(2)||с > б#оь<2,^6,0) Отсюда ясно, что lim |erHflb<2JJc > lim ^ . Легко прове¬ рить, что *** * b*°* lim <xl = 323t-3J^2(J“((sini)/t)di)2du = 1,134... А Замечание 10. Незначительно модифицируя доказа¬ тельство теоремы 12 при Jc = 0, j = 2, можно показать, что верх¬ ний предел последовательности {Ь*1Д~.)при Ь-* оо не превосходит 1,14868. 132
Теорема 15. Пусть ае2+, ЪеЖ pfeC . Тогда | ь"‘5Г+ь**г<*,“ st {S’') •dl Ls< 1п<1+ а>ь)+2А **</>* • (ь6; II Ь'^ь2Ь^('>" S*<f'Ф> IМ I- * 2,58 Еь (*}” ’ (57) ) - SI J N< 2,62Eb(f)„. (58) Доказательство теоремы 15 аналогично доказательству тео¬ ремы 3. При этом используются теоремы 14, 13 {Jc =1) и замена- нив 7 (Л =4).
Глава Ш ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АГРЕГАТОВ ПРИМИРЕНИЯ НА КЛАССАХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ § Т. Интерполяшонные формулы для тригонометрических полиномов В этом параграфе изложение в основном будет вестись для двумерного случая. Это позволит достаточно полно выяснить идей¬ ную сторону рассматриваемого вопроса, избежав при этом громозд¬ кости изложения, присущей произвольному кратному случаю. Т.° Установим формулы, выражающие коэффициенты тригономе¬ трического полинома через его значения. Леглма Т. Пусть пе Z+tf€Hn, аеС, ке Z, ук= ул *Ш. Тогда Jcv-fl Доказательство. Пусть г=((2л+1 f^2f< ук + <х )£ и, • Тогда равенства ct{f )eiUieily* Ос-^йп) Zv-ЭТ кратко могут быть записаны в форме г -An<iS)$ . Ввиду унитар ¬ ности матрицы Апа5) справедливо равенство A~*(t5) -A^ (35), Следовательно, s«Al(15)r, т.е. я Cj (/>£**** (i)* 2 ). А к*-л Лемма 2. Пусть пеН, /еЯл, аеС, ук- ЖУ«,*(5>- ^ я Тогда см)=ы 2 <м*>лу*+«>«‘"у* f Z- “Л41,7? ). *-л f/- л Доказательство, Пусть Тог*а равенства 134
/гуА+и)- ci(S >e'l°Letly* ( л = -л+1,л> 1--П + 1 кратко могут быть записаны в форме T=An(\S)s . Ввиду унитар¬ ности матрицы Лп(18) справедливо равенство А~*(13) = A* ii8). Следовательно, л-Л*<18)г, т.е. л л c<j)eil*=<WlY ;<ук+«)еЪ*-(2п)-*% <*п<*)/<ук+и)е-{Ъ*. А *=-Л*Г Л-вг-П Замечание 1, Леммы ! и 2, по сути дела, уже уста¬ навливались ранее (см* таблицу 2.4.1, пункт 1). Пусть ле2+, leZ , &е€. Тогда по определению .gn<l*0L} = = е~г1л гфи \1\Фп% gn<l,*)= 1 при |J| -л = l при |2|^л, g*<l,cL)=itl* при |7|-л. Если neZ™, leZ™ соеС™ ТО га £л'7-а>" П £*,/*»• **Ь gZtM-JIgZJ1*'**)- **i *** Л Запись ^=а,Ь , где а,ЪеК и aih , означает, что к пробе¬ гает целочисленную решетку прямоугольника [а,ЬJ. Следствие 1. Пусть пеЯ, <*,х е€, AeZ, ^ е С ), Л-1 /We2czezZar4- слс°а л^-оь), * y^k{3). Тогда г«-и+1 . я = 1] ип(Ь>/<ук+*)е~нУ* {i*-ji+i,n). *п к~-п Доказательство. Положим T(X)*f(X)+ic„sinn(cc- n-J 11 -ос). Очевидно, что Т(х)* сге*1х + cneincLelnx и 77^+оь) = г*-л+т - f<yk + 06 ) . Применяя теперь к функции Т лемму 2, получаем требуемое. А Предложение 1. Пусть nzZ+ > f€Hn% &£Cm, keZm9 укаУп,кН\ vn = ( ir[-n, п + ImJ )~s. Тогда ci<f) = eu<i'Uvn 2 (I) *е£-л,л) Доказательство. Доказательство предложения 1 основывается на лемме 1 и проводится по индукции. Ограничимся рассмотрением случая тл= 2. Записывая функцию / в виде i цг (сг^е'12*2, где и, Сзг^^У “ применяя Ч*'Лг лемму 1, имеем 135
я* =(2«l+f)V^2 v&wf>+ ^e3cp<-ihyl,t,k}<i)>> V-"f VW04 /<Ух+vexp <-Щ%г,кг«)). *2*~n2 Осталось сопоставить полученные соотношения. А Предложение 2. Пусть леКт, f еИп, tb€Cmf k,l£%w\ с2(/>- О при 2 с{-л,я]\{-л+1” п], y„ik<3), Тогда с,Ш=е“,№’2Ч 2 ^=-л+1и,п;. (2) *е£-Л,7?] Доказательство предложения 2 основано на лемме 2 и аналогично доказательству предложения 1. Предложение 3. Пусть пе2+*Х, /еЯл, &в €2, к Л € Z2, «/{/)= о при Ze xf-*2+i,n2]«A, #*=3^,*^ ило((,2п1+1)2п2)"^ Тогда ЪФа-**‘*'\ S <WW(!/a+ *>6"^*'^ <1еА). О) *e£-*V*I Доказательство предложения 3 основано на леммах 1 и 2 и аналогично доказательству предложения 1. Замечание 2. Пусть neZ+, Же Zmr а,еСт, укяуГ{^й). Тогда, если f,geHn и Д%.+к>=4Л) при Ж=-п,п, то ег<ч?= = сг^) при ZeZ7? Это замечание очевидно в силу предложения 1. Следствие ,2. Пусть пе W2, <г,ж еСг, keZ% сгеС (le Zz), Ук*Уп,к<®> -а*[-л+12,п-12], ^ + cosTtjZacj-aj)^ ^€,гг*г + icVi %-V-i + cos«2(a:2-«2) 2J + слсозл1(х1-«и1)со$п2га,2-«.2).(4) Тогда сt* g„<l, <*) Vj, У оin<k)R(yk+&)e <!l* 1 {l*-n+tz,n). ЛбРл.п] Доказательство следствия 2 может быть получено на основе следствия 1 рассуждениями* аналогичными доказательству предло¬ жения 1. Однако простым является и более прямое доказательство, основанное на предложении 2, приводимое ниже. Пусть 136
Легко видеть, что Tiy^cLj-Riy^a) . Применяя к функции Т предложение 2, получаем требуемое. А Следствие 3. Пусть neZ+xN, &,хе€2, b,leZ2, о?еС (leZ2), У*=Уп,к«1'Ъ))> А=[“л1>л1] х[-л2+1»лг-1].уп=((2л1+1)2п2)'1. R(x) = '^clel<x’l) + cosn2(x2-cL2)^ii с1^пе'1'х' . (5) геА г,=-л, Тогда при I е [-п1,п1]х[-пг+1,пг] ct = gnJlz>*B)€"h*ivn 2 *пг<к2^(Ук+*'>е"<Ьк'Ц■ ХЕ[-П,П] Доказательство. Пусть T<x)-R<oc)+is\nnp(ocP- - Ci пеи*х*. Очевидно, что Tiy^oi)-R(yk^oi). Применяя к 1’ 2 *Хв"^| функции Т предложение 3, получаем требуемое. А 2? Пусть где Д^вС. Рассмотрим вопрос о выражении значений функции Л vf(x), где f - тригонометриче¬ ский полином, через значения функции /♦ Теорема 1; Пусть л е2+, /е#л , oc,x€Cmt JkeZ™ ук= yn^{l)j Л»(Аг)£е2т., где Лге€, i^n-(ir[-n,n^im]y\ функция определена формулой ФШ = У Лгеиъ'1) . (6) г«[-л,яЗ Тогда Xvfix) = vn ^ /<ук+а)Ф<х-1/к-<л). (7) *e[-n,7i] Доказательство* Применяя (Т), имеем Д *fm = 2 - 1б[-л,т»3 "«nX ar-^-ej.Z# » *еС-Л,Г»] ZcT”»71] = lS»2 + 4 >еЕ-я,я] 537
Следствие 4. Пусть леЯ™, jeH„, a.xeC” keZm, yk=y„ik(t), hxihi)iez™> ГД0 Лг£С, функция Ф определена при ieCm фор¬ мулой (6), vn-п + Тогда Ф<-^-<54). (8) Л£-[-П,Л] Дяя доказательства следствия 4 достаточно в формуле (7) в качестве <и взять ос+а . Следствие 5, Пусть naZ™, aaCm, JceZ™ ук-уп^), (1*^п$), Ф(2} = 2 Тогда Г£Г-Л,73] 2 ^om гг[-п,п + 1т]. (S) *еЬя,"] . . Для доказательства (9) достаточно применить следствие 4 к функции f (х) * f. Демма 3. Пусть леМ2 а,гееС2, AeZ2 &=*/.„ *.<3), числа ci£C таковы, что сП£1гг = сЛ1,г2, если /2=-л'2+1,л2г cZij.„2= *cZl(„2, . если , с_л = сл, ггп»(4п1пгГ1, Я-f/Vtez2 ’ где ДгеС. Пусть далее - 21 (геС2/.еСТогда Л VR{X)* vn 2* ап<к)Жук+01,)'(£(х-ук-*.). НИ, 71J Доказательство, Ясно, что . g£(l,oi) gn<l,u) ~ = Функция Л может быть представлена в форме (4), При¬ меняя следствие 2 и учитывая условия, наложенные на коэффици¬ енты сг , имеем сг= Vngn(l,*) ап{к)В.(ук+ч)ецУ*'1) (U-п.п). Используя последнее равенство, получаем Я*Д{х)=Цл 2 h^nm ct„<k)gn(l,0L)g2<t,a)B(yk+eiyexp(i{{X-ykyl))= Ike С-л,л] *е[-И,П] гс[-П.П] '* *5. X 4 138
Следствие 6. Пусть леи2, л,х еС* k,lelг, ул-уп * (3), сгДге £С (1=-п,п), ип=(4л)л2Г1, ¥(?)= 2 cL}l<l)Jllei,hI> (ieC2).Тогда лг-г ге1"-м3 2 Ч,ЪехРС'ЗДг,*2<3> + <*,)) + *е£-л,яЛ Z2=^2+l ni-1 •+И)*2 2 %«2e*P(t‘V&I,*I{3)+ Н)*1+,Ггсл|^-^-й) = I,=-«,+! "г-1 _ -”1-1 •г72 '“‘"‘'“'‘2 v,,,,.,/'>*■> + 2г’'г"г“г,2V,,,,,/'■*■)* Z^-T12+1 (Гг1=я2 Zj*-^+I + 2"2сл X Aj€xp(i((x-tt)*Z)). 1г11вПх»1^21~яг Для доказательства следствия 6 достаточно применить лемму 3 к функции «2-з пi-t ^f*) = cosnI<arI-otI) 2 Сл,,1г<?’1г*г + cos лг<аг2-а2)^ + Г^-л^г 7^-я+З 4- C„COS 77, COS Я2<Г5С2~0&2Ь Лемгла 4» Пусть л е Н2,/сгНл € С2, Зс,1еХ* z/A= уп% (5), Я = аг)1ехг, г- ЯбС, ил = (4л1лгГ1, «Дг>Дге?гЧЫ) 2£L-n,n] {1е£?). Пусть далее Cf-c^f), $n={ueJR2: |ы2) = лг|: A(f,x) = vn У an<k)f<y}(+ct,)Tg(x~ул~<&), jfc6[-*y0 Azcrr'№/,-2'2(2 c,ei<a'Z))(2 ^exp{z7('x-<»j-Zj)) + l€SCji Xg-I l£^Cn Is&n + 2-!/ J e«f*i 2 + l2*-nz+t m П2|-Л2 г,.-Л,+1 Тогда я vf<x) = A<f,x) + Дока'зат_ё“льство. Пусть Гея-;* 2 c,e^w'г, ге[-л+1* л-я]' ’ T(x)-J<x)-T<x). Нетрудно убедиться, что п + j jJ сгв*^1> + 2 £ с,*****1», 2еЛ" 7гс-л241 toM2 Zj«-n,M
1чу*+*И-ц*»+**2 с,е"*'г'+(-Ф2 сге!гЛ]еоср/172^?2(3)+^))+ 2вХЯ l2e-TI2+l ly.ilj nrl + И)*2 2 ( 2 Czei%‘,)e*p(*Zf^Ji(3)+«1)). |l2l=n2 Опираясь на последнее соотношение и следствие 6. имеем + 2 j Л,г(сге<ггс62+ ) + 1У’Л2 Ясно, что Д vrfa:} = Л Дгсг€г{ЛГ*г> , (М) ге-В где Ля[-я#л]\[-л+12 Так как по лемме 3 Дт Т(х)=А(Т,х), то Д ▼/<£) = Я* 77*) + Я ▼ Плг;=А(Т;а:)+Л(г,д^ + Дтг{л)-Л(г1л|> * A(f,x) + Avw -A<r,xj. Осталось заметить, что в силу соотношений (10) и (И) Я vmj^ ~ A<rtx)= B<f,x). А Следствие 7. Пусть выполнены условия леммы 4, и, кроме то¬ го, имеют место соотношения с,е*<“•*> 2 « Лгe',^*'г, 2 сАеш'к> И£ХЛ), хеХп кеХп ЛЪ.*гс*еЩ** ’XiC-h.h 1г°-пгл\,пг-\), Яи.-ггс1е4Пг*г= Л1сН,-1г (Ikl-fy* h‘ Тогда A(ftX)** A{f{* + x), О2). Доказательство. Положим х). Оче¬ видно, что Я vf*(02) = Я wf<x). Поэтому достаточно показать, что в условиях доказываемого следствия B<f*Q2} * B(f,x). Справедливость последнего соотношения легко устанавливается не¬ посредственными вычислениями. 1 140
Теорема 2. Пусть лелг2 /еЯи, т,х е С2 "к,1еЪ\ - * Д=<^)г£22» где ЛгеС, v„»(4n1n2)It W) = = j ttH(l)^euVl} (ieC*), Xn={ueB2.* Iujj-я,, |ы2|=л2(. ie l-n.n) Тогда: 1) если V'^E = (Ze**), *e*n Aic-iui2<f>€~2i*il1 « Агс/{</) (IZjI-n,, г2—Дг+ >, (12) ^icii,-h*f)e 2101,212 ~ (Нг|=Лг> Zjs-nj+f, flj-l), то ^ ; (13) *«[-71,77] 2) если . 4XlcJ(f) {1еХя), = Аг V/) (lithnj, гг=-лг+1, л2-1), (14) (|Z2|-«a, Z,—л,+ 1. arl), то Д»/(л) = У), X &л(А)/(аг+«/*+оо ¥(-у*-л). (15) *е[~л,п] Доказательство. Будем использовать обозначе¬ ния леммы 4. Условия (12) обеспечивают равенство B(f,X) =0,и, значит, в силу леммы 4 соотношение (13) имеет место. Положим /*(*) “/(> + х). Условия (14) обеспечивают равенство Б(/*02) = = 0. Очевидно, что Я^/*{©г) = Я^f(xh Осталось применить лем¬ му 4.1 Леша 5. Пусть ле2+*Н, и,х еС2, кеЖ2 уп>к {(1,3», числа сге С (U-n,n) таковы, что €ilrn2 = с1\,-п2 » если = аГЯ|.п,, уи*((^л,+(}2лгГ1, Д = (Лг)1в!гг, где Л2еС, Пусть далее *(*>=£ let-n.n] 2 1€[‘Л,1г] (7е С2}. Тогда
Доказательств о. Ясно, что g^h^z^ gn2 <h> ttjjf*'**1*1 = e~i(cl'r>. функция R может быть представлена в фор~ ме (5). Применяя следствие 3 и учитывая условия, наложенные на коэффициенты сг , имеем сгт vngn,<l2’*z)e~tkUi % <*71г<к2>Я<У*+*)е~иУ*'1} * ЛеЕл,п} Используя последнее равенство, находим Я*Р(Х)=и„ 2 V*2 W гг-«г «№Щх'у**1 • г,ке[-я,пJ *£[-?!, Я] ?«!-*,П]. *е £•","} Следствие 8. Пусть ле Z+*If, ot.ac cC2, fc.le Zf у^-у^ИМ, •сг,АгеС Vff&ij+XZZnar1, 2 аЛгаг)Лгеиы> (I e С2). Тогда д, w [*«»«) ^2 a»2^H-f)^(2 Сгьпге*Р<*^П1,г1«)+«1)г1))^'У*-й!= >tt-yi,nj я, It»-»! Пг\*Ъ it*-ns Для доказательства следствия 8 достаточно применить лемму б К ПОЛИНОМУ R{%) = СО$Т12(Х2-&г) n Cllyn2^Xil1. Лемма 6. Пусть выполнены условия следствия 8 и пусть да¬ лее f€ Нп , Д * (Лг)1€Х2, Лг - О при I е 2г\ [-л, п ], Affix) - Ц| J « >* *?рЯ,н] 2"2 eix*1* 2 А|(С|Гj?* - %^гф е“2<“г,г)е****'. \Ц1*пг 2|«*Л| Тогда Xytf(X)"Mf,x) + Bif,x) Я}.г Доказательство. Пусть Г(х)=£ £ сг(/)е^‘! Ч*~я1 hm~ni+t r/х) ф(х)-Т{х). Легко видеть, что У(&+*)»(-! )**2 { I «>♦*,> *i.) • il-Я,' (l|J^ 142
Отсюда на основании следствия 8 имеем д(г,х)=2~12 %Лг(С1фе^Ч с.1г<реы*1г)е1**г1. (i6) \h\**2 hK~ni м ясно, что Лтг<х>~ ]£ Ц Я1с1(/)еих’г'. И?) 'tel-пг г,—нх Так как по лемме 5 А г TYrj =А(Т,х), то Avf(x)~A(f,xHA*r(xh -Air,x). Осталось заметить, что в силу соотношений (16) и (17) Цтг(х) - А(г,х) - В<т,х). А Следствие 9. Пусть выполнены условия леммы 6 и, кроме то- ГО, ^1гг2с1<Ле4Ы21^Л1Сг1Г1г</> \h\^n2). Тогда A<ffx)*A<f <• + #), 0*|. Доказательство. Положим f%)sf{*+x). Оче¬ видно, что Лт/^02) = Яу/(’а:). Поэтому достаточно показать, что в условиях доказываемого следствия £(f*02}-В(/,ас). Справед¬ ливость последнего соотношения легко устанавливается непосред¬ ственными вычислениями. А 2 2 Теорема 3. Пусть лeZ+*N,/£#„,х,хеС, k,leZ, t/j. * = Уп,к<(1М, Л«(Л*>ге2г, где ЛлеС, ил=((2п^1)2пг f! УМ- = £ oLn^h^ieUi l) (iеС2). Тогда; 1) если №** 2,-*=^—(18) то А */<*> = vn V a>7tJk2if(yfe+a)^(x-yic-<i) ; (19) jfcct-H.n] 2) если 0Ы=пг> ha'nvni^ (2TJ) to Art fix) “ 2 *пг<кг>3<х+У*+,*№<~У)t-4£)- **£-«,nj Доказательство. Будем использовать обозначе¬ ния леммы 6. Условия (18) обеспечивают равенство B(J,x) =Р и, значит, в силу леммы б соотношение (19) имеет место. Ползли Условия (20) обеспечивают равенство B(f* О2) *0. Очевидно, что Л */*«>*)е Д r/fx). Осталось применить лемму б. А 3.°Пусть л»{Лрп2)£КЛ1 Положим * €к Ф при к* у которых f-nt, 1 143
nt], Аг=От* ck<f>=0 при других *6 [-л1}и,]х[-и2,лг]»А, и опре¬ делим функцию U(f)eH„ соотношением сАе Огра- ничивая область применения результатов, установленных для по¬ линомов порядка п , полиномами типа функции U<f), мы, вообще говоря, упрощаем их формулировки и приходим к ^-мерным ана¬ логам этих результатов, в частности, при Т - к одномерным аналогам. В дальнейшем такого рода специализация будет прово¬ диться неоднократно. При этом большей частью будут приводиться лишь формулировки соответствующих утверяадений и опускаться по¬ дробности выводов, поскольку последние не вызывают серьезных затрудненийv Аналоги, как правило, помещаются под той же руб¬ рикой, что и результаты, которым они соответствуют, но со штри¬ хом. Теорема 2\ Пусть п в ВТ, feHn # ot,,xeCt k,leZ, Ук^Уп,*^), Л*<яг)иг . где хге€, Тогда: 1) если ЛгС-1</)егШ - Дгсг(/) то Л Д ▼/<•*)= (2л)"1 2 (тз0 2) если Л-гсг<У)егш = Ягс^) (|г|=л), то Я Я*/(*)= (2л)'1 «я(*)/(а?+1/#4в1) ). (Т5Г) Следствие ТО. Пусть nelV, ук = cxkjji, Яге С (1=-п,п), Л.Я»ДЯ, ^<И=^'иплп(1)Я1е%г1. Тогда 71 2 H)kctn(Jc)^<yk>- 2пА„. (22) Л«-л Для доказательства (22) достаточно в пункте 2) теоремы 2Г положить ^(х) = cosftx, as=0, я=0 и принять во внимание, что в этом случае Д ▼/(0)* 2-*<Ая + Л-л> = Лп- Следствие И. Пусть пел, «еС, г^«*лА/я, AjffC (7*-л,я), У(*)*2"»-п «и<ПДгв<11. Тогда п Т о^<*) - 2лД0. (23) к*-п Ш
Для доказательства (23) достаточно в пункте 2) теоремы 2/ доложить 4.° Приведем некоторые следствия результатов, изложенных в пункте 2.° Следствие 12. Пусть ote [О2 l2]flZ2 фиксировано, пеКг, ]c,leZ* xeCs, ytc = n(2fc+ec)/(2n), А= <Лг) 1е хг , где Аге С, «'Л(i)Aгef^■г, fieC2), feHn,Тогда: 1) если Ze[-n,nj = С1ипгФ*<-и гС1и-пгФ d{=-nvnj), то •(4л1пг>~1 <*'П<к)$<Ук)х2<х-Ук>'’ *e[-n,nj „ 2) если Ая?(1г-(-1ЛА_Л|>1а А^я -(-1) гАг{,-„г ТО A *•/<*) = (4л1«гГ1 X «М Д** У* >^ <"*/*>• ЛеС-я,п] Для доказательства следствия 12 достаточно заметить, что выполнение условий пункта 1) (пункта 2)) следствия. 12 влечет выполнение условий пункта 1) (пункта 2)) теоремы 2. Следствие 13, Пусть р е[0* i2]HZ2 фиксировано, леДГ2» к,1еХг, хеСг, г/л= упк (4), А=(Аг) 1егг, где Д^еС, 4(1) - “ 2 лп<1)Лге1<Ы) <l€Ct), /еЯ„ . Тогда, если Zej;-n,7ij „ A,cz(/>|3+M)pi+H)^ + {-i)Pi+ft+i | = о <11Х1"Л1 * Iz2l“«a), Дгсг(/)(1+<-1)р1) =0 <!гх!-«j. ^ = "лг41> Дгс^/М1+(-1)Рг) =0 < Гг21 = ?!=-«!+!, л,-1>, то A^/w=H)p«+p2<4n,n2r^rS^ Доказательство, Пусть Jt€C2. Положим &(h) = = j<x+h}, yg> -*6, * (4> g=TJ) .Легко убедиться, что при f«C* ■ (^=1,2) Учитывая эти соотношения и при- Ajf I ~ 1 2 " 2 меняя пункт 2) теоремы 2 <»ST 12/(2л))т имеем (-1)Р1+Рг 4л,пг {.А */<*))« °Ку*>^У*)в *е[-л,п-1г1 145
n2-t -1 ЛГ1 n2-t |f2*0 *2e“«* ^p-Hj fc2^0 **(<.ov<’’i'-s-.>l- 7ij-l «2-1 *j 2{л^)+нЛь^,-бг;5к%)- 2 *<Р’Ук£*№укu *,.-njM 21 Н[03я-«] Теорема 4. Пусть a,p, ре[0*12] П22 фиксированы, л£гТ^, yk=y„iis(0\a), У& “ уп,,**{0>а}2 д“\ Ag«c. V*I?*S, *-<*«>*.*.. {/-<,2), *Р«|» /ей,, p. *<P’V*,f,x> + Гаг-ПМ}*1*^^.^’,«),/,*} + + + fer i )ca2-!) (-Г ГЧ1 (-1) Чг G<pfi?;fiX), * (24) Тогда если Я^ e M)$A^ {Zy = - П},п^ , Я1ег(/ J {3 ~H )?1+в1 -(-i)p**a*-{-l)pi*P2*ai*ai | = o (iZ,|-nj.pa|-«2), Л,сгФ(1-И)р1+в1) = 0 ( М,)»и,, гг=-л2+1,п2-1), Дгс^/)(1-(-1)Рг+аг) = 0 (|г2|=«г« *j-4, nrat *г~*г то Я^/(аг) = {-1),,1+Я2(4п1л2Г1 2 2 ап<А2е<а>РфУл>М2 Ф<У*> ■ k1*=i-a: bfl-a? Доказательство. Ограничимся рассмотрением случаев а=(0,1), рх = 0 и <*«(0,1), pf =1. Случаи, от¬ вечающие другим значениям параметров а и р , исследуются по той же схеме. Пусть Не С2. Положим а,<к)=^(х+Н)} { + (-1 )) ¥£ Легко видеть, что Vjf-ij) - .2 w-hA-i)k42a2), у%.г-у‘*>, у%- -у^-2л. Пусть сначала fa =0. Тогда Яд* = 0. Из (23) следУ' 146 2
ет, что 1Ло’=0 и потому Vt<0) = Учитывая изложенное выше, при- меняя пункт 2) теоремы 2 (<fcf= 0, об2 = л/(2л2)) и рассуждая как лрй доказательстве следствия 13, имеем (.1)Р,+Рг4л1п2 (Я»/fa:)) - jJ а<Ця)% *far<i+ H)ft)Pol" £ Г + Н ^ ) + (-^* **(-У%’У%)+ (-I)Pl+P^(-& )- (I+{-I)p<)(«(0,yg)+f-I)Vo>-4’))j¥W л*-аг •I I *г=1-вг Пусть теперь р, = 1. Тогда АТ =0. Из (22) следует, что У (-1)^^ (Аг) ^(у'11) = о и потому 4?j(0)»-2] «л,<-М-1) ** £4 1 ** *£=1 1 * (1 + H)?I) 4fj(у^). Рассуждая, как и выше, и испсшь- зуя последнее равенство, имеем И^Мл^Дт/г*»- ^1<0)[30+£ + H)PrP-*t) = *j« X + -(-!)**{!+ {-!)^)Рв1 = Hj-Of Л?~Л2 ' У £ <*nf*>«<«>P.P.y*.j\*) Д *Г1-а1 %2si~a2 Следствие 14. Пусть p e [02,i2] f\Z2 фиксировано, ne Z2, areC2 A,ZeZ2 ул = ул*{2), Д = (Дг) геХг , где AteC, У?<1) = "I Vm‘Z; ^eC2>, Уй=((2и1+1)(2л2+1))-1 Тогда, 0ЗДи Д1 = (-1)р1Д.г г =(-1)РгД , <Z=-7yi), то T47
Ае[02П) Доказательство. Пусть h € C2f &ih)=f<x+k)t y*W).Легко убедиться, что , при исг> y-ij-r-4' Q = 1,2). Учитывав эти соотношения и применяя следствие 4 {m = 2t ^=jrl2/(^ + f2)), имеем П1 _х (-1 /1*Ргv~l (ЛГ/(Х>)* 2 а<ук№ук) = J { J а(ук) 4<ук) + *€{•»»«] *1ж'п1 «г **е0 *2=0 ЛХ Л2 в2 2 yrf>x>W(b’*>- Vй! *i*0 X£tO?nJ 4 5? Дадим формулировки результатов, установленных в пунк¬ те 4.,° применительно к одномерному случаю. Следствие Т2'. Пусть «e{0,fj фиксировано, neJN , же € , у^= яШ+<0/(2п), Я“{Я1)1ех , где ХгеС,’41(1)*'%"ш_п<х.п(1) * *\telli, /гТогда: 1) если^слс/) = {-I fc_n(f), то Я rf<x> = (глГ1^ *л(*)/<ук)Ч<х-ук); „ *ш’п 2) если Дл=»(-1) А_п , то и Я*/(х> = (2лГ1 J ^M{k)fix*yk)4H-yk). **-Л Следствие ИЗ'. Пусть {о,Ч фиксировано, п€ N, хеС, г^=Л(2А+1)/(2л), Д=(Дг);ег, где х хДгв*^ /сЯя. Тогда, если Аг = (-1)рА_г (l=-n,n), А,<у/)(1 + ■+<-1)Р)*0 при |2|*п, то п.х А »/<*>= (-1 G<p,y}c,flx)4’(yt'), *»0 Теорема 4У. Пусть а,р, ре{ 0,11 фиксированы, леЯГ, хе С , ^=31(2*+а )/(2л), A-№i)UZfTze AzeC, (1=-п,п), •Ш
Лрл{1-а) = 0, V<*)=2 ал(1)Ягет, feH„, * Z s-л efa,p,p,i/A.,/(ac) = 6(^,i/Jt)/Ia-i + (a-l){-I)*<’(l+W)p)/faci. (24') Тогда, если =0 при |Z|*n , то П-Л Ат/Гж) = {-1)р(2лГ12 cin(Jc)G(<t,pt ,х)Ш(ук). k*i~iI Следствие 14', Пусть фиксировано, neZ+ , areC , у^=0Т{2А+О/(2л+1), Д*Йг)ге2, где Лг«С# Лге ***, Тогда, если Лг = (-1 )^A-Z (1^^п9п) , то л Д'г/Ш = М)р(2л+1Г12 *л1к)&(р,у).,3,х)Р1(у1е). *=о 6.° Приведем следствия результатов пункта 2,° относящиеся к вопросу восстановления тригонометрического патинома по его значениям в заданной сетке узлов. Следствие Т5. Пусть пе Z?, /£■#„, л,эее-Ст, *eZm, у* = vnm<v[-n,n+fm})'s. Тогда /<*>= *>>.]£ f<yx+<*)Dn<x-yx-<*>- к е1-л,П] Для доказательства следствия достаточно положить в те¬ ореме 1 Т (le Zm) и принять во внимание, что V е ***'**= г€(-л,л} = илт. Пусть п£ Z+ , аге€т. Тогда полагаем 1>л(aty -1>л (О™, х}j< Функция Dn{*)\ называется модифицированным ядром Дирихле по¬ рядка п. Следствие 16. Пусть леЛ*2, j€Hntectx€ С2, Jc,leZ2f yt = * Уп,к<*>, vna (4л,лаГ{ #л={ц.еЛ2: 1 ы, I»л,. №21' Тогда, если <,-*<*•*> £ c^f)eu*-kim 4Ci<ft <l€Xn), *exn * Cj(/> (\Ы=пг- hs-ni+h*rl), 149
TO 2 <*>»<*> fty*-**>Dn<*~У*-<*)f леС-я,7»] Для доказательства следствия 16 достаточно положить в те¬ ореме 2 Яг = 1 {l€Z2) и принять во внимание, что 1= = !>***>,. Следствие 17. Пусть леЖ+хЗ¥, feHn, и,хе€2, к,1ё У к ~ Уп,к У *’3 ^ ^ 2ni+Я 2 л2 f1. Тогда если cZf (/ )e2,<^ ** = *С|</> <1Ы = Л2» г1в-л1>л1), то /«?)*«» J «яг<*гМ<Ук+ *)\<0СГУпьк<1)- V-VЪ'Уяькг*3*-1**^• *е£~я,п) 1 a i Для доказательства следствия 17 надо в теореме 3 положить Дг = 1 (Zf?Z2). Более подробно остановимся на одномерном случае. Получаю¬ щиеся здесь соотношения сведем в таблицу. Таблица 1. Пусть ле Z+yf€Hni х€ С, Тогда та 1. fix^ibi+lT1-2/<&Д*#2У«-Ул,1Г*У (*-Г2). (25) г=-п 2. Если сл(/>=<■-„(/) , то Я /1й;>={2лГ12 лл(г>/(ул,гЯЩ<х-Уп,г{Щ <П€Я). (26) 3. Если сл (/)*-<:_„{/), то 71 ^аФу„,1 (4)) Dn (x-y„'t (4))t (HfN), (27) l±-n 4. Если f &)=/<-%) при fell, то 2(co$nx-cos<n+i)x) V „ {-i)lCOS(ynl(l)/2) , &7Г , «в. ^ (a) 271+1 Го cos^tfj-cos* С05(Л-1)Ж-С05(Л+Г)Ж « A , . (-1)1 , '*« s «о. • «*'
Ь. Если леЛ', (~1) при ZeR, то 2<sro«* + sin<n+i)ar) « H)zsiniy„ 2(1 )/2) , . f<X) = У — .(32) J 2и + 1 £* у ’ cosynl(l)-cosx 2(sinnx-sin(n+i)x) « H)lcos{y„,<2)/2) , „ f(Xh У/(Ут<2)> — — (33) 3 2л+1 i-'«08^(2)-cos* ’ sinfn+lja: «Ц , (-f)zsini/„*f ><3) S№ r/(yatI,{3)) ' ^ . (34) я + 1 £$ Jn+i,i cos^+IjZ(3)-cos* sinfn-Oac-sfown+I)*'- «-< {-l)z /{x)a ^ f<yn>z<4)) — • (35) 2n >o cosjr„tI(4)-cos* Доказательство таблицы 1. Равенства (25) очевидны в силу следствия 15. Соотношения (26) и (27) по¬ лучаются применением первой части теоремы 2', в которой надо по¬ ложить \г - 1 {leZ). Доказательства соотношений (28), (29), (32i (33) основаны на формуле (25). При атом используются равенства леммы 2.4.2. Докажем в качестве примера (33). Так как •~ЗяаМ UeZ), то У j<yn,i №п <*'Уп,1 (*» = ][ f<ynrl-№Dn <х~Упгг-1 <2»= U-n 1*0^ = У ~ Е АД2»>-°Я <х+Ущг т. ио 1*0 Далее /№) = 0 ввиду нечетности функции /. Поэтому в силу (25) (при к = 2)л.х f(x)* (2п+1Г*Ё/<у„,г<2»(Ц,<*-у„,1<2» - П„<х+упЛ(2»). 1*0 По лемме 2.4.2 _ „ 4 2(-l)l(sinnx ~smin+t}x)cQ$<ynti(2)l2) »n<*-yn,i<2»-D»<*+yn,i<2» юУпЛф-Шх'-' • Сопоставляя два последних равенства, получаем (33). Доказатель¬ ства равенств (30), (31), (34), (35) основаны на формулах (26), (27) и проводятся аналогично. А Из таблицы 1 следует, что любая функция f^Hn может быть записана в виде (25), любая четная функция f^n - в виде (.26), 151
(28)-(31), любая нечетная функция /еЛЛ - в виде (27), (32)- (35). Формулу (25) при Л --- 1 можно переписать в виде 71 /«>-]£(36) Г*-п где функции ЬлгеНп обладают свойствами: если 1,р=-п,п, т0 Ч,^Уя,р^^к ° при 1*Р> ?л,гtyn.i <* У = 1 • Полиномы Ьп,г на- зываются фундаментальными полиномами формулы (25) (А =1). За¬ пись, аналогичную (36), допускают и формулы (25) (А -2), (26)- (35), При этом формулы (26) и (27) предварительно следует пе¬ реписать в виде fw«(2«ГГ2 f<yn>i<y »Dn(x-упЛ Ц))t «I - з, 4). Из сказанного, в частности, следует, что если <1=^л^л), то функция /, задаваемая формулой (см.(25) при А~Т) л fix) » fZn+ir1^ ггР„ (ж-упл (1)), 1--П есть полином из нп, такой, wo /(ynj{t})=Zi (l~-ntn). Если же ъге£ (l=>l,n)t то функция /, задаваемая формулой (см.(34)) Л/л,» s\n<n+Ux Т* « f-I)*sin уп*иг <3) ^ 2* 2 cosyn+ul<3)-co$x > есть нечетный полином из лй. такой, что и т.д. 7.° Приведем две таблицы формул, связанных с представле¬ ниями линейных агрегатов приближения общего вида, построенных на. базе рядов Фурье. Эти формулы будут многократно использова¬ ться в-дальнейшем. В своей основе они уже были получены ранее* Новым является форма их записи с помощью сумм Фурье и су ям Rji,i (р t у»#) • Таблица 2. Пусть ле Z+, АгеС (leZ)f Яг = 0 при Г1>я, А-(Л,)М„*,**€, Ф**>т1?т-пв1”(Ш1е'а' Тогда: 1, Если j>c|I,2),to А»/Г*»-(2п+1Г1 J (37) г*-л 152
2. Если ре{3,4] фиксировано, neN, Лп = {-1)р*1 Л_п, то л Д rf(X) = ( 2л Г1 2 •?„ (/, * + у„,г(Р)) ч?<-уп>1 ip)) * (38) г*-и-и 3. Если Aj= A,j (leZ+), Аг = 0 при |Z|=7i, то Л Я *f<x) = (2л +1 Г12 *л,г <1 ’/• * J г/я,г <1». (зэ} п Яф<х)=(2п)"^а„(:)Лп1(3,/,х)Ф(уп1(3)) {ле!*), (40) 1*1 Л-1 Ат/(эг)=<?пГ,2^л(4-/^>ф(*/л,1(4)> <пеж). (41) 7-0 4. Если А;=А7 (l£'Z+), то Л Ат/(ас) = {2л+1Г1206л(7)-,?л>7(2>/.^)ф(*/п,7(2))- (42) 1=0 5* Если A^e-Aj (Z-eZ*), то Я а - (2л +1 г1 2 ^72,2 (- Uf* X) ф (уп г ( I )) , ( 43 ) 7=1 л-1 А^(**.-(2л41Г1 Т^г^2‘/^)Ф^л,г<2^2 144) z«o л-1 Ат/(ат)= Rn,i(~4,f,x) y<y„ti(4)) <nejf). (45> 1=0 6. Если Аг«-Лч (ZeZ+), Л*-0 при )Z| * л , то л А»/<я)=-(2лГ12ллД(-3>/,аг)ф(у„1(3)) (леЯ). (46) Z=i Доказательство таблицы 2♦ Доказы¬ вать надо, по сути дела, только формулу (39), ибо формула (37) вытекает из следствия 4 (при тп =1), в котором надо положить а 0 при р = 1 и а*Я/(2л+1) при р = 2. Формула (38) легко выводится из второй части следствия 12г. Формулы (40), (41), (45), (46) следуют из теоремы 4Г. Формулы (42) и (44) получаются при¬ менением следствия 14\ Равенство (43) очевидно в силу (37), в условиях (43) функция Ф нечетна. Приступаем к доказа- 153
тельотву (39). Условимся вместо Sn{ftx±yn l{\\) и писать соответственно Sf и Фг . Полагая в формуле (37) (при - 1) » cos ля?, ос = 0 и учитывая четность функции ф , ка~ ходим, что 77 п %*~22COS(n^.l<IW^Ze 2^{~*)Ш<:0$(Уп,1а)/2^1- ^47J М ' I-1 Сопоставляя теперь формулы (37) (при р - Т) и (47), получаем, что п * Я»/т-(2«иГ1{фдЧ2^++5Г^4в<2п+!Г12!;?п-г(1’^л:,фг' 4 ,*i i-i Таблица 3. Пусть fefa, п е Z+, же С, сгеС ileZ), Ь = (Лг)1£Х, Лг -0 при |71 > л . Тогда: 1. Если функция g: R-*C определена равенством *ех Aixg<y„,i<l» (1*~п,п), то /ег 2* Если функция ^: К^С определена равенством *6Z ягё<Уп,1{*я т° Avff*)»2 cisn<f'*+yn,l<2)) • (5I) 3. Если пеЛ , функция g*:!R->C определена равенством (43л Я^£<улЛ<Э)) il^ruhU ТО b/(*)*S CiSn<f>* + yn,lM>- (62) ZffZ 4. Если лcN, функция опредалена равенством (50). , то л*/<х>=2 V/. *+у*.н4м- С53) 1€Т 5. Если выполнены условия пункта 1) таблицы 3 и, ьрома то- •о, g<y„yl»-0 . то 154
= J «г^л.| <!»/»*)• С54) гс* 6. Если выполнены условия пункта Т) таблицы 3 и, кроме то¬ го, сг~с-г <i€%+h т° Д»/т=2сг^лг(-1,/,зс). (55) left 7. Пусть фиксировано. Если выполнены условия пунк¬ та 2) таблицы 3 и, кроме тоге, с7=Н)рс,. <ZeZ4), lim = 0, то г^°° Я*/<Х) = j с, п„>г ((-1 ?Л, S,x). (50 1*0 8. Если выполнены условия пункта 3) таблицы 3 и, кроме то¬ го, сг**-г gVJt) = Of то = Г 157) гем 9* Если выполнены условия пункта 3) таблицы 3 и, кроме то¬ го, cL= ~c_z то Я* f<x) - €z^n,z (“3,х) • (58) 7<т* ТО. Пусть />€-{0,1} фиксировано. Если выполнены условия пункта 4)таблицы 3 и, кроме того, f {l€Z+)t iim с, * 0, то CiXn,i((-DP4,f,x)- ^9) 2-0 ТТ. Пусть #ггН, функция {рг[0,я]-*С суммируема на [О,Я]. j YWofo (£=0, л-1), ЛШ*(л2)“М <p<u>sin{n2iz/vt)rfu. Тогда л-1 0 Т * 2 S„<f,x+bn,l<P»A<y„,1<P» <р~3,4), (60! jTo zez Л-1 У ikS*V'*)ts 2 X».i<3>f<*>A<i/n,l<3)l, гпч Л-1 со **0 2*0 155
Доказательство таблицы 3. Пункты т*^ легко устанавливаются с помощью следствия 2.2,6* Докажем (54) Пусть выполнены условия пункта 5, Будем, как и в доказательств таблицы 2, вместо Sn <f,oc ± ynliV), писать 5*. Полагая в (49) f(x)-cosjIX , х -0, находим^ что оо С0 = 2 2 И )*+4cos (Уп,1 < I)/2). (63) г-i По формуле (49) для любой coso + 2сг^++^>- 2€Х им Сопоставляя последнее равенство и (63), приходим к (54). Теперь докажем (56) при р = 0. Пусть выполнены условия пункта 7 при р = 0. На этот раз положим 5** Sn< fyx± ул z(2)j. Г -1 m-l * * Легко понять, что V Принимая во внимание по- 2--J71 г*0 следнее равенство и равенство (51), имеем гл-1 <30 Я./w» 1ш 2 cz5z+=lijn [Слг5+ + Jcz(S++Spj = 2 сг7?л>г{2,_/,х). г--^77 1 2*о г**о Остальные соотношения пунктов 6-10 устанавливаются анало¬ гично. Равенства (60) легко следуют из теоремы 2.2.6 {лг =1). Докажем (61). Будем вместо Sn(fix±yf1l{5)) и A<ynli$)) писать соответственно Sjf и Аг. Полагая в формуле (60) (при p = 3)f<x)= = cos лаг , л=0и учитывая четность функции Л , находим, что Л0~2%<-1)МЛг. (64) Z-1 Сопоставляя теперь формулы (60) (при р ~ 3) и (64), получаем,что У + 2 ^++5PV2 *„.,«./.*> лг. *.0 Z<TN ?£N Теперь докажем (62). На этот раз полагаем 5* =5Л Лг = А<1fnj(4)). Легко понять, что Прини- мая во внимание последнее равенство и равенство (60) (при р 2 ** S*<f’X)=l™J* 5l+V^{A«Sm+2 I fCmO OO l*~™ M 156 i-o
S 2. Коэффициенты Фурье сплайнов I? Для при кеЪт и |5€Rm полагаем сА(р,/)= (2яГт С f(X)e-i<x'<*+M dx . Vm Величины ) называются обобщенные козффициентами Фурье функции / . Предложение 1. Пусть фиксировано [3 е Я™ функция f: Rm-*C такова, что C<(3m), ряд Л рав- 771 Л й( мерно сходится на R к функции g. Тогда g<x)=f<x) при Доказательство. Так как ряд ck(&f)€i<X'^ равномерно сходится на Я^к функции g(X)ei(J>^cX то по следст¬ вию 2ЛЛ с*<М)в<2я)~т Г g<v)eUx'&el<*'k)dx. v Qm Значит, при всех к е Ъ т ( f<x>ei<x'%-i<x,k>dx = f gmeUx’^eUx'kidx. Отсюда на основании следствия 2Л.З заключаем, что g(x)e *f(x)e~t<x*P) при хеЯ™ т.е. g(X) ~ f(x). А Через р*. где будем обозначать множество алгебра¬ ических многочленов с комплексными коэффициентами степени не выше л, Пусть <z~Xq <х^ < ... < Хр*Ь - разбиение отрезка [а3Ь J. функция /:[а,Ь]-*€ называется сплайном (полиномиальным) сте¬ пени п дефекта А' (О^А^я) с узла/ли \х;\^ л, если: a) f€Pn на [*;.*/*] Леша 1. Пусть ге2:+, /еС{г)[а,Ъ}, <иеС\|о}. Тогда Г f< X) COS <££ = (-1 fci~r£bf(I'>(X)COS(a.X-3ir/2)clx + Г-t “tt j(-l)*a"*_I|/№V&)<:os(o&b-3i(JSr+l)/2)-yf*ira)cos{«a-nrA+i)/2;|, (I) )roi'rC fir>(x)sin(<x,x-!XrJ2)(ix + Г-1 л V<* - 7/2) -/^Wsin^a-Mk+i )/2)|, (2) + lf*0 T57
Доказательства равенств (1)-(3) получаются интегрировани¬ ем по частям* Для [0,ет]) при keZ и (ЗеС полагаем /»ЯГ + fxdcc, ЬЛ(р,/) = <k+fi)xdx. Величины &%($,/) и называются соответственно обоб¬ щенными косинус- и синус-коэффкцивнт&ми Фурье функции /, Предложение 2. Пусть функция бесконечно диф¬ ференцируема на [0, тг], kcZ9 Тогда: 1) если к £ 0 и Um k~2r £ J<2r}(x>coskx о?эс=0, то Г-*+оо Jo оо 2) осли ^iim^ffc+l/2)_2rJ'J/f?rVa,)COS(k+l/2)xdx=Ot то V J/2,/)- Я 1J И* )Z (j{гг><Я)(>+ 1/2)'гМИ )*-/?WV0)(A+I/2)‘2M};(5) г-о я 3) если ^ 0 и lim к~2т%* fi2T)(x)$\nkxdx = О f то г-*+«<? Ь*<0,/)» п*2(-1 (/л>*-/<г°{0>} ; (6) г>0 4) если lira {k+lJ2f2r I f<2r)(x)sin(k+J/2}xdx О, то ]?И >г|/<гг,(0>^+1/2)'гг‘ +У<гг'к1,<этХЛг+1/2)2г_г(-1 )*J. О) Доказательство. Доказательства равенств (4. )- (7) основаны на соотношениях (Т) и (2) и ведутся по одному пла¬ ну. Поэтому ограничился лишь доказательством равенства (4) . Применяя при оа-0, b*ut равенство (Т) (в котором в ка¬ честве г берем 2г), находим, что J*/ ixHos кх dx * 2Ы )w[A'W {<-1 )*/2MW-/гм><0)| + z»t + (-nr*‘2r J*o f<lr)(x)cos kxdx .
Переходя а последнем равенстве к пределу при г -++ со , получа¬ ем требуемое. А Лемма 2. Пусть re2+t (ЗеС , функция f(x)€^X€: С<ГК Тогда при * = о7F (8) Доказательство* При А = О равенство (В) оче¬ видно. Предположим, что (8) доказано для всех к£$<г. Покажем, что тогда (8) справедливо и при к«$+1. По формуле Лейбница 2*1 имеем * (fixyeP*)***”* 2 • 1-0 Отсюда следует, что ^ /*л'те*х|* - - 0. А г=о еженло 3. Пусть (JeP, keZ9 reNt -я:»а0< ат < ##Хя0*зг, функция такова, что f€C<rmi)[-n, к ] , /сРг на каждом из отрезков [a^fa^+1] (j* О, р-1 >, }jfSir)(af^ Тогда, если Jfc + |3#0, то f сл<|3,/) = (2«Г1((£а+р)Г'12 <У^гЩ)еик^)Ч + + M)*rfJJ^A+^)/M{/(I,(jt)e'i^-/<z>(-«)e‘P“>} . (9) 7*С Доказательство. Положим и * г (*+£). Опираясь на равенство (3), имеем j>_j ■*Т умр-“л* -1 «*'" I </"4..*'V'”')- jf.O p-ffi 1-0 *■^■‘2 -****> - =«« 2 - 2 Я г-о Осталось заметить, что *-«я =* Ы ) V''*3*, е*я= <-i) V/3* . л *f;9
Следствие 1. Пусть |Je[0,J) фиксировано, кеЪ , тел t -я»я0<о1<...<а? = я, функция /:В-*С такова, что f<x)e'P*e е€<г'и, /еРг на каждом из отрезков [а#, o#+IJ 0,^-1); = при jP= i,p, . Тогда: 1) если *+|3* 0,то ; (ло> 2) при агек справедливо равенство /«)-Ге,(Р.У>«"**?и. «I) *•-*> Для доказательства равенства (10). достаточно сопоставить (9) и лемму 2. Соотношение (И) очевидно в силу (10) и предло¬ жения 1. Предложение 4. Пусть |Je€, k€Z,reN9 0=a0<at<... < ар = п, функция /:[0,$т]-*€ такова, что fePr на каждом из отрезков (f*0,p-l) ; y^S<r)(afa) ПРИ ?*Т/>-У0 = “ Ур*i ~ Тогда, если Л+Р ^ 0, то <t>^,/)“«1|<-I>,VA+pr:ruI]|J^-yy+1)cos((*+(3ja^-3C{i*+f)/2)+ t*D р Ьк1№я**\п)Т<Щ>Г'* J -Щт+D/2J+ t-i S-0 + 13) ^иЛА+^Гг*1(/(/,№)5гп^+|3)я-я(г+1)/2)+/г>{0)5т(яа+1)/2))]и 7*0 Доказательство. Ограничимся доказательством формулы (12), ибо соотношение (13) устанавливается аналогично. Положим co*k+f}> cosi<^a^-nlj2)-Опираясь на равенство (1), имеем Zl ZL А+1 Л У+f мн Л J'fJ n«»^./)a2iJe fwcos&xdx *Ь0Г<* cos(oix-nr/2)dz + p’j * ** ** p-t 2iwc^+i’r# w ta * i*o -Щ.г+i))+-si(l*i)l2) ~fl>№ cosiitfl* D/2))' 7-0 160
Осталось заметить, что ^ 3?30 $*0 2.° Более подробно остановимся на случае, когда рассмат¬ риваемая функция является ломаной, т.е. сплайном первой степе- НИ дефекта t. Предложение 5. Пусть (be [0,1) фиксировано, ke'L, -л = = = а0< «1 <••• < ар= ap*i ~ функция/: JR-+C такова, что у(х)е~Фх е С, ^ линейна (т.е./ePj) на каждом из отрезков «*и] 9СЛИ «У - «у-1 О, если $еО,р+1. У/ Тогда: 1) если то с>(р,/)=<2эт)-1а+0ГгУ (у -у#+,)е',ч*+|5)л^ ; (14) $-0 2) при xeR справедливо равенство (1!); 3) при (3*0 имеет место соотношение Р c0(0,f) - «,{/) - <«*♦, - «*-, >/<«*>. («) Доказательство. Для доказательства пунктов 1 и 2 предложения 5 достаточно положить г -1 в следствии 1 . Установим (15). Очевидно, что j ~ (V2)(<x1+l ~at Mf(a№ >+ Следовательно. p-1 P **с0ф•Y(a*r*/Wafa>+f<at»” L<ai+rai-t)f<at>> a Доказательства формулируемых ниже следствий 2-6 основаны на предложении 5 и получаются непосредственными вычислениями. Подробности этих вычислений ввиду их простоты опускаем. Следствие 2. Пусть /3e[0,i) фиксировано, p,^Ct причем % Sin(3or _ 0, 04 а <Ь < УГ, четная функция /: [~31,п]-+С опре¬ делена на [0,тс] соотношениями 161
J(X>- I, если x £ [0, о], j + (Р~1М*~Ф если *е[а,Ь], Ъ-а ’ р + , если яе[Ь,я]. Тогда: 1) если A + jJ^O, то ' * Slip 1т£см<*’13|л * L ♦ ££«.,»♦*.} ; 2) если р = 0, то с0(0,/)={2лГ1|(га+Ь)(1-р)+<Ь+ос)(р-^)+ 2ет^ j. Следствие 3. Пусть pefO,!) фиксировано, , при¬ чем ^cospat^O, 0<a^b<d<at, нечетная функция $\ [-я, я]-»- € определена на [О,Я] соотношениями 1х/а, если ле[0,а], 1, если #€ [а, Ъ], 1^'У, если *б[М], Р+ ^~я-Т'^} > если *«[<*.*]• Тогда: 1) если к+(ЬФО, то *1J я^+р)г{зг-<г ' crf-bH«-</> + sin{A+^)b - £Sin<\fc + (3)a| ; 2) если /3 = 0, то с0(0,/) = 0. Следствие 4. Пусть /3с [0,1) фиксировано, о^С, причем g,sin (in^O, O^a <31, четная функция у: [-01,я]->С определена на [0,Л] соотношениями ( если х€[0,а], jl+ff 0СЛИ Л€{а,я]. Тогда; 1) если , то —2 (соs(A+fl)a- cos(*+/5>Ji); я(я-а)(А+|3>2
|2) если (3 = 0, то co(0,f) = ((a + n)(l-<j,) + 2ntq.К2ЯГ1. Следствие 5. Пусть pet0-1) фиксировано, qeC , причем ^ cos /Ззг=0, 0< а ^ Ь < я, нечетная функция /:[-я,зг]-»С опреде¬ лена на [О,тс] соотношениями х/а, если асе [О,а], 1, если *е [л,Ь], J< I (*.-i)<x-b) г , + ЭТ- fr ' еСЛИ Хе *• ’ Тогда: 1) если Л+(3^0, то 2) если р = 0, то c0(0,f) = О. Следствие 6. Пусть keZ, 0<а4зг , нечетная функция f : :[-ят,я]-*С определена на [0,тг] соотношениями Ix/а, если х е [О, а], 1, если хе[а,л]. я- /</ч у. istn^A+l/2)a Тогда с*П/2,/) = - я(к+у2)га 3? Предложение 6. Пусть «,- фиксированные числа, такие, что ot,|3 еН, ^ ej 0,1 {, л-1 + Z+7 reUf; аг = 2ac < Z + +Л)(2л+$)-1 при l = -n+l--jj,n, a_n^=-3t, л„+1 = я ; функция /: :[-зс,я]-*С такова, что /е fe Рг на каждом из отрезков [ap,«p+j] (p=-n-j, п); yp=f<r,<<>p-0). Тогда: 1) ес¬ ли аге(-л,тс) при Z = -л+1-^и, ^<1>(Я)=/а,(-Я)еггя? при I = *{Уг+1 Г.-л+W» то ’ 2) е7и «V*. /м,(Я)=/а,(-я)е *гяР при Z= 0,г-1, 5 в (2п+$)~*'г ((i(k + + РУГ+,с*<М-* > ПРИ i—л+Н.и-1. ^П«{2яг1(/(Г>(-Я)е*^я(3= то s = = 06» Доказательство. Доказательство предложения 6 основано на предложении 3. В условиях пункта 1) предложения б в силу формулы (9) имеем <163
p(-i —^fz---}) (последняя формула, очевидно, справедлива и для случая Усч-^3 * 0, ибо тогда в обеих частях равенства стоят нули). Из приве¬ денной формулы пункт 1) следует очевидным образом. В условиях пункта 2) в силу формулы (9) при имеем (1(А+Р))г**сл<р,Л = “ <2irr*| ]£ (У1н~У№г<к+^аг + (f(r){-n)ei*frP-f(r)m)e'i,'M(i,,Tl Пункт 2) - другая запиоь последней формулы, А Пусть reZ&, DcC, fiD-*C9 xthe€7 причем при yv=0~r точка x+yheD.. Тогда полагаем Аг<ь, /,*)• V И)r~kC‘rf<x + т. г *в° Величина Л называется разностью r-го порядка функции / в точке х с шагом h . Следствие 7« Пусть 0,$,п - фиксированные числа, такие, что jSeZ, ?e{0,l}, n-l+£eZ+; аг-я(2г+£)/(2л+£), функция feC такова, что на казвдом из отрезков [ар,ap+i\ Тогда s * A*{19,j>/2, (!,£)$. Следствие 7 получается применением второй части предложе¬ ния в. § 3. Унитарные матрицы и суммы Фурье Т? Условимся в обозначениях* Пусть ле2^, ас Z”1 П [О fmJ,*«rC"! Тоадя по определению полагаем dn<a,x)- J„(a,x)0 = _ owyi^cos^^-сosfrt+iix* - sin(wK-H )»х j а* *»i * * <164
dn(a,x) j* =li\ щ ) — щ j. Jc-i * (D _ 2 При этом в случае Л*- 0 в формуле (1) сомножитель хк {cos(nk- -\)xk-cos<nk+\)xk) заменяется на х£ (1-cosхк). Пусть лeNm, aeZ™, хеС™ feLt(Om). Функции 6n«*,f,x)* бл«х,^,х)0 =(1/гл[о”л]} 2 Sk(aJ,x), en<a,f,x)=(i/v[Om,n-a/2)tm]) j Sk(a,f, or J»x ^r£[Om, л “fmJ называются соответственно сопряженными суммами Фейера (сопря¬ женными модифицированными суммами Фейера) функции/ порядка п с порядком сопряжения а . 2? Приведем таблицу формул, выражающих суммы SJk(aif,x)r через суммы Фурье функции / порядка п и суммы Rn i (p.f.x). Таблица 1. Пусть fe Lv к,п хе С, а,ге [0, if, ре £ Jl,2f, (f. £ {3,4 Тогда: Т. Если Лг^л, то Sk(a,f,x>r-~- (2»+!)‘,V S„<f,x+i/ntl<p»l)k<«,-i/n.M’{2) l*-л + 00 ^<№+Уп,1<;-У}'Ъ(“, ь*л<р))г’ (2'> z-~« л S*<0,f,x^tfn+tf1 (з) г*о оо (3'} z*o п-Гр/2] ^(1,/,*)у=(2л+1)*г J Я^-р^хЩа-У^рЯг’ (4) оо Т *л,гtpj.xrfki 1,-Упл<Р»г i=t-№] 2. Если Дг <л, то „ Sk<0,J,x)r~i2n* if1 J а:) 2?*(0, ))г, 15) **J 165
оо W.*>re<2n+IJr* И') » M St.<a,f,x)r^n)-1'l£ S„<f,x+yn>l(p)D),(a, -уп>гЩ))г, (6) U-n*l •f oo ^fa,/,a?)r= (2яГ' 2 Зп&х+У*,1«1))<**<агУп,1 <p)r. ) z—ОС» 5A<0,/,*)r=f2n)-* S М*>ЯяДГ*,/,*7^(0,&,<?)>,.. (7) j-i-wmj оо Sj!<0,f,x)r^(2r>ri J Rn,l«l'f'x}dk<0’yn,l<4»r > И'> г»н?/4] *4«Z/4]' ‘V*»/» *>гв(2я) 1 2 l*nwJ ao stu,f,*)rBttorl 2 Rn,i(-b^x>dx(i’-yn,i<Vh 1=HW 3. При яеЯГ справедливы равенства jn ^<1,/,аг)=(2лГ12 ^</.*+*/лД4>)^<!.-*/*,г<4»: _ . 1 ’ Z—/2+1 ♦ во (8) (8Г) (S) £„<!,/,*)= (2иГ‘ j Sn{f,x+yntim dn{\,-yn>l(4))t, l—oo n-1 O') 2^П-4.У.*>1У1.-Ям<«),1, HO) z*<s S„< l./.af) - (2л)-1 £ Р«.г (-4./,*) <*л (I,-Яг • HO!'I Доказательство таблицы Т. Доказа¬ тельства равенств (2)-(10) основаны на таблице 1.2. Введу оче¬ видности мы их опускаем. Доказательства равенств (2')-(!0') ос¬ нованы на таблице 1.3 и проводятся по одной и той же схеме. По¬ этому ограничимся доказательством лишь соотношения (2'). Опре- дачим функцию Я*{а,л,р,2;г при le [~rc,7i], А,л с Z+, к^п, Г,О € 10,1 J . р€ {1,2} следующим образом: 166
К №’n<pJ)r = когда г « А <« ; лп(о,и,р.г)0 = Л Q { О, 71 ,^Э , ? J J =* когда гг е JV ; K(6>n>hlh = когда я«К ; Л*(1|Л,р, ?),= когда г+1^А<л; 1, если 0, если линейна на [г/Я|*.г(1), г/й)*+1 (I)}, . четная на [~я, я], 1, если 2-р при г=Я, линейна на в четная на [-ас, ас] ; 1/2 npk 2 = 0, 0, если 2£[Уя,1 Ш.«], линейна на [о.Ум(1>3> . четная на [-ОС,от] , 1/2 при 2=0, 1-/>/2 при f = aс, линейна на (А^З, L четная на [-ос,at] ; 1, если 1/2, если i€ Уя.яПЬ 1-р/2 при i = П, линейна на fyn,n-,m,&t„WjH[yn,„<iMiJ, L четная на О при 2=0 и I, если *е[1/л>,<1), у„ *_г<ПЗ, линейна на нечетная на [-Я, Я], А0(2,л,р,2)г»О при 2 €• [-я, 01] ; О при 2 = 0, 1, если р-1 при 2 * ос , линейна на [О.Уя.И1»] и [Ул,„ <*),*], к. нечетная на [-".я], 167
О при ? = О, 1, если I€ [ул>1Ш, 1/2 при геуЛ)Л(П, (p-t)j2 при i = n, линейна на [^' Уп,[ Ул,п-1^’ Ул,пП)] и 1Ут,,п<Н<п], нечетная на [-зт,л], О при Ы> и , 1/2 при 1~упЛМ), линейна на f О, ул1<1>] и [г/„лШ,1/л>2а,3, нечетная на [-я,я], Легко проверить, что ■Va./.^r* (“i f 2 Хн(а,п,р, ynl (i))Tct<f)eUx. 1*>-п Положим <уа, п ,р, г,к)в (2 я)"1/-г )в^_я дл<а,п,р, езср (-i <l+(p-l)/2)l)di. Опираясь на следствия 2.2-2.б, нетрудно проверить, что с{ <а,п,р, г,к)=(2п+1)Ык (а, -у„л<р))г <leZ). Отсюда на основании предложения 2.1 заключаем, что Хк(а,п,р, l)r-(2n+ df'<a,-y*,l<p))rexp(Ul+<p-i)/2rt). Осталось воспользоваться пунктами 1 и 2 таблицы 1.3. А 3.° Условимся cosec (ул7(р)/2) обозначать через с(р,п.1}, уПг1 <р№) ~ через t{p,n,l). Таблица 2. Пусть /cL,f хеС, лсг+. Тогда: 1. Если яеК, S* , r-i42n*l)plHRKlit,S, х)СЦ,п,1))*я1, то s~A„(i)r. 2. Если 5 *(лУ?<к>(3л( S'f’ х> - * )i))?,o * rl s * (4«л+1)Р2ЛЯ(гН,/,*)с/1,п,0 при 1-1,я, г0 = 0, г = (гг)гя=0 . то s»A„{2)r. 3. Если Sn<f,x>=0, * *<*'gn<b + W)$[Vc+m<f,x))Z..„, rl-<2n+i)-V2^{f.x + 168 когда л с N ; когда п е N ; когда п > 2.
+ ynl(l))c{l,n,l) при 1Ф0,Г6=о, r={Tt)™^n, то S=A„(3)j\ 4. Если s={a*j?(Jt)S]'<ffa:))Zw0, r = (4(2n+i)ym(oil^(l)Rnj(2, f,x)C{2,п,1 ))?,„, то s=A„<4)r. 5. Если леРГ, s = ( SJe{i,if,x)-Sn(i,f,x))”lг= (4{2л+1)Г1/* %/Рл11(~2,у,х)с(2,л,1)^^о t то ssa.AjjfSji*. 6. Если 5= яr=(2n+i)-W(Sn(f,x+yn_j<2))ci2,n,D)l_n, TO s=An{b)r. 7. Если леЯ, s = (Sy (f,x))^Q, r^(Sn)~t,s(oi^z(l)Ля>г (3,f,x)x jc c{3,n,Z ))zbji то «?*-Ал{7)л. 8. Если neW, 5 = {^( 1,/,ОС)- 6Л(I,/,x))jt~J0, rl = (8nfIl2Rn<1(-3, f,x)c{3,n,l) при l=i,n-i,r0=0,r=(rl)”'J0, то 5=Лл(б)г. 9. Если new, 8n<f,X)=0, (^Цк+1/гЦ^У’Х) ~ ®nf i>frx) + + i (sign (A+f/2)) ^C,fc+I/2fj (f,x))*~jn, rt=<2n)'^2</,ar+^/„iZ<3))c(3,n,Z) при rfl = 0, r = frz)”_„+1, то s = A„(9)r. 10. Если Л£ Pf, s=( .?*(.£*>)£ о « <8nrm<P„tl<4,f,x) X xc{4,n,Z))”jJ,To s = A„{10)r. 11. Если S = (S* (1./» *) - •$„ (1 >/. *))£o, r= (Sn)'I/2x x ^п,г(“4,/, af)c(4,n,Z))";Jf TO s = A„(ll)r. 12. Если л e Tit s-fV+i/zi] “ WM) + <(sign(fr+ + V2»V+WUV’*^» r = (2n)~*l2(Sn(f,X +yn>l(4))С(4,л,I})^, то s*A„(I2)r. 13. Если ле W, fjf, ас)» 0, r = <4(2n+lj x то s=A„H3)r. 14. Если s = -en.t<IJ, х)0)£о' ri - « {4<2л+1))"х/2ЯЭТ)г<-1,/,*)?<!,n,l) при 1*0, ro *0, r*{rt)*a0, fo s=AnU4)r. 15. Если S„(f,x)*0, S‘>(Sm(i,ftx)t~e^t{t,f,x)J + + *<si5**) V/.a^KU,, Гхв<2л+1)'1,Ч^*+Уи,г<1»^1.«.^ ПРИ **0, r0 = 0, r-<rz)^.n, to 5=A„{f5)r. 16. Если /ieN, s ”(W.*>t)2.t> г^(4(2п^)Г11г(ЯПг1<2, /.X)i(2,n,I))££, to s = A;<l)r. 169
17. Если s=(№(к)(l,j\ccjj- fn^d,j,x)))0 , где Л+1<1,/.*>в2И>Л11 (И) *r0 r^{M2n-H)y1li{Rn)ti-2,f,x)i(2,n,l))jm0, TO s= A'ni2)r. 18. Если ^ ГД0 fmdUf**) есть (11), x+ynl(2))i(2,n,I))fc^ * to S-Arn(3)r. 19. Если л-leN, s*{Sk<fix)i)£tr-(8nF,fajl3,f,x)m,n.l^ to S-An<i6>r. 20. Если пел, sk<* Sk{i,j,x)x-en <S,f,x) при k=0,n-i, (pf(k)S* >JLo. r^Snf113^ <-3,f, x)i(3,n,l) при Z»l,n, r0=0, r-frr>?e0,To s«A„(J7)r. 21. Если neW, s*= %|<I,/,ac)i-^<1./**) + + *<sign*)Stt,<fp*)Ife<uni *—я+f.n-i, s = ('^t)#«-wrf » r,»(2п)ШSn{J,x+yn l(3))I<3,n,l) при 1*0, rQ=0, rs<ri>7-n*i> T0 s*AH<VJ)t. 22. Если new, Sk'=Sk(J,x)1 при A-!,«-!, •Sn=2‘I/2^,.I(/)a!; Ss<'5*Ci* T0 -J =^n<7)r. 23. Если neJf, ~ 8n(l.,f)X))) ’ 1'~ = {8п)-Ч2(ПлЛ(-44.х)1(4,п,1))п£, то s = AnfSfr. 24. Если neN, SA-8w{i,f,x)i-S„(i,f,x)+ i(signA)5,Jt|(/,a>)1, если А=-л+^л-1, S^(Sx)km,n^t r = {2n)'ilz(Sn{f, х + Уп,1(4))Ш.п.1))п1?.п, s-A>n0)r. Доказательство таблицы 2. Пункт _1 ■ По формула (5) SMX)* — V . Sin ———* (А-0,л-I). (12) *V’ 2n+l £« Sin(t/^,(f)/2) 2n + l Следовательно, 1 П^тккт^. По формуле (4) Так как (смЛ.1.(9)) Hi) * ® Щ?* Je *7» r из равенства (13) следует, что 170
«„^(1,/,*),—(2И + 1Г1 п, I). (14) 1*1 По формуле (4) ^ с /1 /* у )=г ^ -^у?Л эе) / (2k+i)7Ll %Х \ yt, а у.I 2>?+l 2* sln<^u)/2)\ 2и + 1 ~cos2n+i) ' ’ * Следовательно, c/f .„I ~ /1 г у\ - * V Rnj(~Uf*x) г ^(2к+Ья1_ С15) ^ \~2n+I 2т sin(ynii(i)/2) 2n+t при к-0,п . Отсюда сразу получается, что 5»Ал(2)г. А Пункт З. Учитывая, что = 0 и опираюсь на формулы (12) и (15), имеем Л z*-n 1 С и/*1 <? /w*i 1 V Дл(/.**Уя.^»)С0= <г»+пяг %*V2I](^~2п+1 2-я siniy^Wti] 2n+1 при /с*-л,л . Остальная часть доказательства очевидна, A Пункт 4^. По формуле (3) 1 Т» *п<1)Яп,1(2,f,X) . (2A+i)3t(2Z + I) (тг> V/.*)"5hT2» S 2(2n+I) (16) при к=0,п, Следовательно, s=A7I(4)r. А Пункт, 5, По формуле (4) при А = 0,72 ЛИ f ^I.-L.y *n,i«.f,x) / (2k+l>yn,i(2) y„,Z(2) t 2/t+lig smty„(f<2)/2){COS 2 cos— В частности, n,s S* *) — < 2n+1)"1 j Япл (~2,f,x)clg <упл( 2 У2). 1*0 Из приведенных равенств следует, что s (Т f х\ S (1 f зг>- * ^ Rn,tf~2$f>х) ^5(2/с+1)эт(27+1) ^ * V1»/.*) 2n+l i SiTtfyn>,<2)/2> 2<2л+1) * Значит, s=A*(5)r. А Пункту доказывается аналогично пункту 3. При этом используются формулы (16) и (17). А Пункту По фор¬ муле (7) л /.г л* \ _ J V 9 ОС) • {2Л*41)Я1^ /1._л м ft f /tq ) Z ЧГпЖ"Ш2Г В'п 2П (*-0,я-П (18) 7*1 */п'1 171
Следовательно, s*An(7)r. А Пщкт 8Г По формуле (8) при & ^ = О,л-1 „ О /♦ 1 V лл<Шп.г(-3,/,х) / <2k+i)jci 1ГТ \ ,..г w.*>-2n^Ti^;l3)72) (cos и- - cosf£j- Л9) Так как (см.1Л.(27)) '^t^0cos((2k + i)ynl(3)/2)=0 (Z=1>),to иа равенства (19) вытекает, что л ena^x)^-(2n)-i^(iln<m„tl(-i,ftx)clg{ynil<3)l2). (20) г-1 Из (T9) и (20) следует, что с /1 f -м» ..м (1 -f vi — —- *V* (2Af+I)Jr2 V1-/ Sin<yntl<3)/2j C0S 2n v 2l) при Л=0,л-1. Значит, 5=Лл(3)г. А Пункт 9 доказывается ана¬ логично пункту 3. При этом используются формулы (18) и (21). А Пункт 10. По формуле (7) „ 1 ^ P»,l(4,f,x) . (2k+i)nmn) 510 ^ при Л * 6,n~i. Следовательно, $*AniiO)r, А На. сю- новании формул (10) и (8) SnWtft &)ш~ (2Ti) ^n,i »x)cig(y^i{4)/2)t 1-0 с /f ^1.. 1 xf Bn.i<~4,f'X) /*n.M+i№<2l+i) \ 5*^ 2- йл^;;г(4)/2) Г05 Зл cos—47Г~/ при А-0,л-1. Отсюда следует, что - м г 1-1 - ri г riu 1 V (2/с+1)Л(21+11 z*o Значит, 5*-Дл{И)г. 1 П^кт^Д2 доказывается аналогично пунк¬ ту 3. При этом используются формулы (22) и (23). А Д^нкт^Ь Из формул (2) и (5) следует, что при к*1,п l_V-MM£LSin^2i . (24) С,//- . - 1 -у ™ */’ 1 Zn + lgf tgtyb,,<iy2) 2л+1 172
Значит, SsAn(l3)r. A Из формул (13) и (14) вытекает, что при к » 0,л V*./.*)t- <W f>/.x>1 = 2nTl 2 igtyrfW) C0S М?Т ' (26) Остальная часть доказательства очевидна, А Пункт 15. Из фор¬ мул (24) и (25) следует, что 71 с _ I ’’С* Sn<f,x+p„.t(U) Л2атг (stgn*)%,(/,*>,_ — £ ы&гГйт Svn'SmT ’ ?*-Я * t tifx)-e .11 fa) У 5^(1,/,^;, «■«,!«./,afjj ,2»ll ^fa,|)/2) C0S 2л+1 * где слагаемые, отвечающие индексу 2=0, равны нулю. Осталь¬ ная часть доказательства очевидна. А Пушст А6. По формуле (3) S)(<f,xl = -5-~S' sin-l-t—tv (к<= 1,п). (26) * J’ '1 2л+1 ^g(y„'i<2)/2) 2п+1 Значит, .5 = .Д^Шг. 1 Пункт 17. По формуле (4) Отсюда, учитывая, что (см Л Л. (9)) I + 2%(-l)*cosA^j-*--? » О при 2=0,л-1, находим ^ /»♦! а,/,х) = -(2„ + гГ^ Ял>1 <-2,ft.x)clg(yntl{2)f2). Следовательно, fv| V /ffvi 1 V ^juii-2,f,x) и Stf2ltl) V*)r МЧ-x>-Щ~1 2j igifoVW) 2n + l U'J при fc=0>n . Таким образом, s=A*n{2)r, A nyHKTj^ доказыва¬ ется аналогично пункту 45. При этом используются формулы (26) и (27). 1 Пункт19; По формуле (7) <• (rv) IV С;„Ш . . w’x)^2KL^y-i<m * u8) при к= Следовательно, s^-AnH6)r. X Пункт 20.Из фор¬ мулы (8) следует, что
1 уЛл.г<-3.1,х) (л S*U'f'x>i 2Л h ) \ ~ л Г 1 ^iffi х, J_y cos —= 2п 2т ^g(yn,i(3)l2) ' п при k=0,n-i, (29) при к=п. Опираясь на (29) и (20), приколам к равенствам j-e^I.f.oc) при k*0,n-i, (30) при Отсюда вытекает соотношение s=An(i7)r.A ^_нкт 21 доказыва¬ ется аналогично пункту 15. При этом используются формулы (23) и (30). А Пункт 22. По формуле (7) Sk<f,X).= ±. sin kJT<22+i) (31) При JceJ,77-l. По ТОЙ Ж9 формуле ”•M*h 2” & %&».(«>/*> ‘ Следовательно, $г?Л^(7)г. 1 Пункт 23. Спираясь на формулы (В) и (10), легко находим, что SudrftXi.-SJl.f,*)» ~ У Рп.'1<Г^х) cos (зз) * J 1 л J 2я j*^yn>lmt2) гп при к « 0, л-1. Следовательно, s-A'„(8)r. А Пункт 24. Из фор- мул (31), (33) и (32) следует, что /-Iv.il-i'* //**1- 1 V Sn^x*yn.l<4)\ ^ Ш2Ш) при А*-я+1,л-|, ^(Уы«>/г> sm г» Остальная часть доказательства очевидна. А Замечание 1. Близким к доказательству пункта 20 таблицы 2 образом доказывается следующее утверждение. Пусть feLit пеЛ, леС, aek(f,x) = Sk(l,f,x)t при *-0,л-1,а>п(/,*)г я VH1»/.*) . Лл(/,х)«и-1xk(f,x), гг*<8п)~иг * 174
при Z=r,n, r0= 0, S = (ffikH9!k<f,x)-An(f, at)))*=o • r=1ri>i°o • Тогда s=A„(I7)r. Таблица 3. Пусть feLifxe С, n eZ+. Тогда: 1. Если лея, s = HIp=**n^(1--5p<I*Cx• r*{2n + t) х)сг(1, nt t))*Ktf TO An(t3)r. 2. Если яа, S - ( 4 £p.*+1 (W I,/, *), - Sp (1./, *),»)£, г=(2л + 1) 1/2/ /?л>г |-1,у,а?> ?( f.n.ZKd.n.Jj^.j.To s=An (l)r . 3. Если *ш(4р&(к£^)сс1„/р)5р(/,ху2я0, r = (2n+I)Vi *(**il)Bnji&f,x)c*{i.n,l))*a0, to s = A'n(2)r. 4. Если л£М, г-(2п+1Г«». * <2,f,x)i(2,n,liC(2,n,iy£, to s =A„(51r. 5. Если л-I с IV» 5* («г; ’‘<2nfil2(PntI(-3,f,x)c2{3, n, I )) , TO S“i4na6)r. 6. Если леМ, {/,*■>» еи<1,/.ж)-Sk(f,f,x}t при к* x>)£o • r-<2лГГ/г5 =ЛГ7)г. 7. Если л е Я, s - (4(3^2 (*> J ^ ^ (/. *))£» , г- <2nf'>\,(4, f,x}c*(4,n,l)) £*, то 5-Лл(в)г. __ 8. Если лея, &(/,*•)»V/,аг>1 при A*f,n-f. э>л{/,х)-Vitf.** s"(42p.*+s <PJ ip• г- (2лrW(7?,,z то $eA„tfflr. Доказательство таблица 3. Пункт 1. При tcC имеем „ f П-I ^ cos/p+ 1/2)? «(1/2 )cosec(i/2}£ (sin(p+i)l -sinpi)* p*k p~k = {1/2)cosec( Ц2)(sin nl - sin A?), (34) n ^oiaiptcosip+ifell =(t/2)co$ec<H2Hsin(n+ll2)tco<i(ll2)~slnki)X35) W «5
Из соотношения (35) следует, что 71 JJ an(p)cos((p+il2)yn l{l)) = -(i!2)sm<kynilii№l,n,l). Опираясь на последнее равенство и формулу (15), находим, что 2 %{Р^6п4г1 <**/> e2(2^SЗпЩТЩг)sirl 2п+1 ^ 36 5 рэ* Z-1 w Следовательно, 5»АЛ(13)г. 4 П}шкт^ При 2б€ имеем ” п £ <о$/>2 = ( 1/2) cosec (2/2) (sin{p+H2)l-sin (p~ i/2)i) = p*fol p*k+i s {\f2)coseciil2){sin{n+y2)l -sinfk+V2)i). (37) Из соотношения (37) следует, что V COS <руп>х i 1)) «■- (X/2) sin {(&+1/2 )уЛ4 J a)) c (1, n, I). Опираясь на последнее равенство и формулу (25), находим, что "2(2и+»^.^яД(1)/2)в1П{у^,«)/2)'в"‘ 2п+1 • (38 Значит, $*=Ап(1)г. А Пункт 3. При 1еС имеем *М /VWWVAVW Л-1 n-J £ sin(p+1/2)2 = {1/2) cosec {2/2)^ (cos р2 -cos{p*i)i) = р.* Р-* (39) *(l/2)cosecZJ/2)(cos.fc2 -cos«2), Л ^ U,n(p)sin(p+tl2)l=‘(tl2)cosec(il2}(coskl-cos(n+fl2)lcos(tl2)).{4i)) р*к Из соотношения (40) следует, что А ^ ««(p)sb<(p+l/2)i/AI{2))=r(l/2)cos^yAl(2»c(2,n,Z>. Р-* Опираясь на последнее равенство и формулу (16), находим, что V tLdnS 1fx\ 1 V со- *«<22+1) L Ъ<Р>*рф*>-2(гп+1) 1т %\пЧу'л7)1$) cos TnTi • р** z*o 176 p**+f n
Следовательно, s=A^(2)r. A ^€^ теем п п V sin/)? = (I/2)cosec(i/2)2] (cos{p~l/2)2~cosf/>+I/2)?)= p**+l p=A4l * {t/2)cosec<1l2)(cos{k+il2)f~co$(n + i/2)l). (41) Пз соотношения (41) следует, что л JF sm(pz/„ j(2))~ <1/2>со*((Л+1/2)уяг<2))с<2,л,1). P**+i Опираясь на последнее равенство и формулу (26), находим, что V С ,гп- 1 V Япл<Ы*) ^{2к+1)%{2М) и ) I'ы *p{J’X)r 2<2n+i)L^<yn3l<2)/2)S\ny,Kl<2)l2)W> 2(2n+I) ’ Значит, 5=Ал(5)г, А Пунктик Из соотношения (34) следует,что Л-1 ^cos«p+I/2)t/w>l<3))=-(l/2)Sin (kynl(3))c{3,n,l). р=/с Опираясь на последнее равенство и формулу (21), находим, что л-1 п _ • (43) Следовательно, s=An<!6)r. А Пункт 6. При имеем &n<p)cospi~{'lf2)c0sec(il2)($innfco${l{2)-$m(k4'il2)l}. (44) Из соотношения (44) следует, что й ^ <&п{р)со${рупЛ(3))=-№}2)$т{{к+1}2)уп1{$))С(3,п,1). Опираясь на последнее равенство и формулу (30), находим, что X* /v /п*0 IV Дпл(-3,/,а?> (SblM ^ 4”Я ,g(y«'3V2)s«J1,,,<3Y2>sin г» •(45) Значит, s = An(7)r.A Пункт 7. Из соотношения (39) следует,что Л-1 ,vvwwVV sin<Qj+1/2)< 4 )) => <I/2) COS { Аул> J { 4 )) с (4, ri, I). V* Опираясь на последнее равенство и формулу (22), находим, что Ч s **!<«»/'»> сд. *я<2*-и) 2» V^,af)"4n i» Sin8<v„ ,<4)/2J 2n (46) 7,* L0 *n,I 177
Следовательно, s = A'n(8)r . А При Z«C имеем J <an(p)sinpi ~ {l/2)cosec(i/2)(са$ (д + i/2)i - cosnl cos(l/2)). (47 j P**+\ Из соотношения (47) следует, что п ^ = (1/2)со$«* + i/2)yn>l(4))c(4,n,l>. Р* *41 Опираясь на последнее равенство и формулы (31) и (32), находим, что V i V */1,1 <4,/, (2Ы)пШН) ,р. Значит, 5*Ал(Г1)г. 4 § 4. Интерполяционные полиномы и ортогональные системы функций I? Теорема 1. Пусть л-IelV , фиксированные вещественные числа а0,арап таковы, что: а)о|+а|+а^#0, б) функция = agl2 + <ttcosl+an{cosnl+cos<n+i)l) неотрицательна на [0,я]; функ¬ ция р: [0,JtJ-R измерима на [О,at] и такова, что />2(£)»ВД1 при i е [0,?с]. Пусть далее bi~ynil<i), о?г=зт(2л+1)(а0/2+ <*jCo$ Ь£+ + <-1)1апсов(Ьг/2)).Тогда: 1) система функций ~ д X)J2 )11гР<х>*™<<2”^)*1г.u-tjiyu) gn,lU’X> щ/ COS ^-cosx ортонормирована на [O,0t] ; 2) если /<?#„, /(0) =0, J4l)=f<-1) при ?eR, *ej0,JtJ, то jix)p<Х)_ 1 у Н )г(2о?г^гЛ&г) } sin (ас/2) 2л+1 £* sin(bt/2) бл,г й) если /£#„. f(D=-f(-i) при 2«сЯ , are [0,л) , то j<x)p<x) i ур (-i)l{2di)V2^(bl) гя) а- Т — О* . 1 J, 2- /. cos^c/P) 2л+1 cosibji) ®n,i Доказательство. Полагая в теореме 1.4.1 У ° - О, 5' =1, Фа>*Чта) (left), $ --0 (тогда = -I, г^- %а* при = 0,1,л,^+1 = 2ап, остальные = 0>, убеждаемся в ортсго' 17В
дальности на [О.ет] системы функций gnl(1) U ~Т7п ). Те¬ перь, опираясь на равенство 1.4.(5), после несложных вычисле¬ ний находим Jo 5л>г Jo rf?<cosbz - cos ас)2 Докажем пункт 2). На основании формулы 1.(28) в условиях пункта 2) иглеем 4sin((2n+i)xl2)sin<xl2) V J-i)lcos<bil2) f(x) = 2.'f<bl> cos b,- cos ж * Z=1 * Следовательно, 1 ^ 4rf/?H)cos<bz/2) sin(xl2) 2ml Z* 2r/2 sin bz 7 ^”'7 Тем самым формула (2) доказана. Пункт 3) доказывается так же, как пункт 2), но при этом вместо формулы 1.(28) используется формула 1.(32). А ^ Замечание 1. Пусть а= 2я/3 . Если ряд а0/2 + a^coski - Ф<1) сходится в пространстве 5 то £КЦ-со$Ъ1)Ф(Ъ 7* Зя ^ 1 j-—д--—д- а? " —-{а /2+ atcosa), Jq (соьг-cosa)2 sm2a 0' х Это замечание легко получается применением формулы 1.4.(5). Теорема 2. Пусть п-1 е ?«г ? фиксированные вещественные чис¬ ла а0,а,,ап таковы, что; а) а2+а2 + ар ^-0 , б) функция ЧЧ$> - ~<х^2 + ахсо$1 + an{co$nl-CQS(n+.[)I) неотрицательна на [ 0, лт J 7 функция р: [0,siJ~*oR измерима на [0,я] и такова, что р2(1) ~ = Ч?(г) при 1е [0, я]. Пусть далее Ъг^уп>1{2), d^(2n + г} * x(a0/2 +a cosbj -г М)г ап sinfbz/2)) Тогда: 1) система функций ^«!г'г)-(^Г?ВоЛ',-010'г,5‘- <г-о^К4) ортонормирована на [ 0, тс ]; 2) если /яЯл, /(Тс) = 0, /<? )=/(-?) при 2eR , ас€[0,зг], то f<X)p<X) 1 « <-1)^!)%^ cos(эе/2) 2н+1 ij cosffej/2) ’ '> (б) 3) если /еЯЛ. при ?eR , зссЮ.п], то (в) sln<xl2) ~ 2л+ 1 sin(bil2) «М,ЛХ;* 1-0 * 179
Доказательство. Полагая в теореме 1.4.1 j ^ * 1, & =1, Ф^)яУШ fJeR), р = Q (тогда =1, гк=2а# при А * О, 1,л, гл+1 = -2ап , остальные г*. = 0), убеждаемся в орто- тональности на [0,ог] системы функций gnl(2) (Z=0, л-1). Теперь, опираясь на равенство 1.4.(5). после несложных вычислений на¬ ходим J06n»z Jo d£cosbt - cos JC)2 '• Докажем пункт 2). На основании формулы 1.(29) в условиях пунк¬ та 2) имеем Л,-. 4cos{(2n+l)xl2)cos(xl2)^ ,(-i)Ms\n<btl2i 2nTl • 1*0 Следовательно, f(x)pix) 1 Vi Adi2i~l)Ms>\r\ibil2) .{b . , cos7x/2) * 2ЯТГ2. 21/2sin b, Wgn.i'2'*’- 2*0 * Тем самым формула (5) доказана. Формула (6) доказывается ана¬ логично, но здесь вместо формулы 1.(29) используется формула 1.(33). А w Замечание 2. Пусть а*т/3. Если ряд а0/2 * * X в*006**?» (акеС) сходится в пространстве 2^ , то Cn<t+cos3l)<P<i) зт /л J, (сой - cose )'г dl яШЪГ(ай/2 + aicosa;- Это замечание легко получается применением формулы 1.4.(5). Теорема 3. Пусть л е N, 2^ “ ул> j(2>, ' 2 У^(со5(пП)Ж-нсозп3:)£(п(у2)а(гяй Ж2п+1)/ cosx - cosbj’* <os(Ji+l)x 4 cos«x *=i если Тогда: l) система функций (1 = 0,л) ортонормирована на [0.«] ; 2) воли /еЯл, при 2еН , хеС , то г*° Доказательство. Полагая в теореме 1.4.1 * 1, <E>(fc)«i4Cosi (icR) , без труда убеждаемся в сртогональ- 180
ности на [0,jc] системы функций £п,г(3)* . Нормированность си- стемы gnjl(5) при п^2 установлена в теореме 2 (слу¬ чай а0- 2, аг = -I, ап = 0), при п = 1 она очевидна в силу замечания 2* Далее, опираясь на равенство ([.4.(13), имеем f*%2 /3 V)dx~ f” 1 *«М*2"*1»» JX-1 J0 Sn,n{i'x>ax J0 Ж2« + 1)(1+С05Л?) dX Тем самым первое утверждение теоремы доказано. Пункт 2) теоре¬ мы легко получается применением формулы 1.(29).А Теорема 4. Теорема n-2eN, фиксированные вещественные чи¬ сла ао»а1*ал-г»ЛЛ таковы, что: а) + +e«_|+«n **) функ¬ ция Ш)ев(,/2 +ajCosi + -f cos{n+i)2) + a„cos я? неотрицательна на [О,at]; функция p:[0,rcJ**R измерима на [ Q, Я] и такова, что p*(i)*V(t) при 1е[0,я]. Пусть далее Ь2 * = Ул,г(*)’ <?г=2ял(а0/2+ + + «л/2)). Тогда: Я) система функций . /2 V1/2 p<0f)sin7ia: sin6> _ , ч 8n,i* *х (iTi) cosb} - cos х >и-П (9) ортонормирована на [0,от]; 2) если /<=#л, f<l)=f{~t) при leR, /(0)» f(fi) = С, то л j fix)p(x) Г Ч? (-i)ld\nf<bi) .. SU1X " n 2. 2I,2sin&, 8п,1^,х)' Z-l 4 3) если при le JR. xe[0,ii] , то л-r f<X)P(x>= (l/n)2 (dl/2),l2(-t)l:f<bl)gn'l<4,x>. Ш) Z«1 Доказательство. Полагая в теореме 1.4.1 ^ * = У = О, Ф<2) = Ф(г) (2eR) , р = 0 (тогда <*=-1,Гд= 2ал при А =0,1,л-I,л, гл+1=2ал.1( остальные ГА=0), убеждаемся в ортогональности на [О, JTJ системы функций gnfZ(4) (^-^«'1). Те¬ перь, опираясь на равенство 1.4.(5), после несложных вычисле¬ ний находим, что С31 2 Q^(i-cos2nx)4(x)s\nzbi , п ~ - J,• J0 ' rfjt Докажем пункт 2). На основании формулы 1.(30) в условиях пунк¬ та 2) имеем 181
s: fix) ^ sinj^srnx^ f(,y j-f )l n dmi J COShj - COSX 2*1 Следовательно, fix)p(X) I ^ cljl?-(-l)lf<bl) sin a: n f!i 21/2 sinb* • Тем самым формула (10) доказана. Пункт 3) устанавливается так же, как пункт 2), но здесь вместо формулы 1.(30) используется формула 1.(34). Д » Замечание 3, Если ряд а0[2+5) аксо$к1=Ф<1) tyeC) сходится в пространстве Lf, то *’* 'л(1-со$4 ~c5Pf dl= 2п<а0-аг). Теорема 5* Пусть л-2еВГ, фиксированные вещественные числа &^<хп таковы, что: а) а^+а^Ф О, б) функция W^) = (I+cos?)x х^/24-аЛсо5л?) неотрицательна на [0,яг] ; фикция р : [ 0, измерима на и такова, что />2<?>—при £ [О,л;]. Пусть далее Ь^^упг(3)9 dt=%n{a^ (-1)г<хп). Тогда: 1) система функций 1/2 <, (5 ар» ^nJ^msinnxsin(bi/2) Sn,l'°'X} dl^icosbr-cosx) ' ’ } u 4 ортонормирована на [ О,от ]; Я) если JeHjj, при ieR, f(0) = 0, зге [O.otJ.to f(X)P(X) 1 -Л <-l)lae.Iflz(l)dli/2f(bl) *2~—i — > = £•„ «(5,a:). (о3) s*na? 2n **a smibill) 6nyl 2=1 Доказательство, Полагая в теореме Т.4 Л $ ~ * У * Q* Ф(?)~ (геЯ), (5 = 0, без труда убеждаемся в ор¬ тогональности Ha.[0,:rt;J системы функций £пЛ{5) (1=1,п). Норми- рованность системы gn,l<5> <М установлена в теореме4- Далее, опираясь на равенство Т.4.(13), имеем f<r5„i5.*i<**= р-i”» *?*{<«»/» . |. J 0«И,Я J0 «^(I + COS?) Тем самым пункт 1) доказан. Формула (13) легко вытекает из ФрР" щлн 1.(30). Д 182
Следствие 1. Пусть леК , Ъ^упЛ (3) , dлл(2+Ы)4 ).Тогда; 1) система функций « /л мI 4&}n(l)siT\{bil2)cQsixl2)$xn(nxl2)sxnnx ,т £"»* (cos- cos#) ортонормирована на fO,?rc J; 2) если feHjj, при ieR , /(0) = 0, хеС t то „.„.sin<nxl2) I .. . /'x> шдаг= in L—sin(b;m Z=*f 4 Доказательство* При 3 система (14) сов¬ падает с системой (12), если в последней положить - 2, = = -1, и справедливость следствия 1 вытекает из теоремы 6. При л = 2 ортогональность систеш (14) легко устанавливается с по¬ мощью теоремы 1,4.1. Нормированность системы (14) при л - 1>2 устанавливается непосредственно. Формула (15) при п -1,2 оче¬ видна ввиду формулы 1.(30).А Следствие 2. Пусть леН , Ь1-уп1{3). Тогда; 1) система функций О- (7j.w ^f(l>co&(xl2)sinnx sin(bt/2) nmTni (W) ОЛ,7 ’ (0ГЛ)^2(СО5 Ъг - cos X ) ортонормирована на [0,sr]; 2) если feHnt /(2)-/(-?) при leR, /(О) = 0, Х€С , то f(x) _ / тг/7 *1?) ПЯ73/2) “ (тг) 2* - ~хпЩТ) <7- *>• ^ Доказательство. При л £ 3 система (16) сов¬ падает с системой (12), если в последней положить a0^2f ип ^ * 0, и справедливость пункта 1 следствия 2 вытекает из пуньега Ч. теоремы 5. При п~ 2 ортогональность системы (16) легко уста¬ навливается с помощью теоремы 1.4.1. Нормированность системы (16) при п ~ 1,2 устанавливается непосредственно. Формула (IV) очевидна ввиду формулы 1.(30).А Теорема 6, Пусть фиксированные вещественный чис¬ ла aQt tfj, ап_г таковы, что; а) а$+ а\ +<12п^ * 0 . 3) функция Ф(2) = а0/2+«jcosf + a*-i(cos(n-t)$-cos(rt+I)!) неотрицательна нз [0,тс] ; функция je:[0,Tt]-^R измерима на [0,тр] и таковаt что при Ze[0,jrJ. Цуеть далее <улiZ<‘*K <^*=2Я'«{^/г* + e1cosbt + {-nIa„.1sin Ь, ). ’ 133
Тогда: I) система функций ft Л8 Х)-Шт (1ш О^ГТ) 118) ол,2'°> 9 \dil cosbz-cosa: ортоноршрована на [O.stJ ; 2) еслипри leR , я*€[0,я], то f<sc>pix) = ii/n)S\ldil2)V2{-i)t*fj:<bt)g„tJ(8,x) ; (19) t-0 3) если /снл, я г >=-/(-?) при 2еВ , гее (0,3t), то /(юрт 1 у (-пма,%ц .8ж, (go) slni ял L 2«2sinb, * • |«0 Доказательство. Полагая в теореме 1.4.1 $ = = 1, £ = 0, (?аК ), |3 = 0 (тогда оь = 1, гк=2ак при Jc л-1, остальные г^=0), убевда- емся в оргогональности на Со,ат] систеш функций gn,l<8) (Z = ■= 0, n-f ), Теперь, опираясь на равенство 1.4.(5), после не¬ сложных вычислений находим i, а=о?тт). Jо ол.1 J0 Spcosfy-cosa:)2 * Докажем пункт 2). На основании формулы 1.(3'!) в условиях пунк¬ та 2) имеем „.j г»о 6 г=о Тем самым формула (19) доказана, Формула (20) устанавливается аналогично, но здесь вместо формулы 1.(31) используется форму¬ ла 1,(33). А Замечание 4. Пусть п - 2, функция = + •f^a^cosic? » г*е ах€& (Ье2+), &2 ~ 0,неотрицательна на функция р :[0jс]-* К измерима на [0/п:] и такова, что при 1е [0, тс], Пусть далее Ьг*1/Л>г(4) , dx = 2лп(а0/2 + ajcosbj). Тогда справедливы утверждения тео¬ ремы 6. Доказательство замечания 4 аналогично доказательству тео¬ ремы 6, 2 Р Приведем без доказательств ряд важных результатов, от¬ носящихся к ортонормированиям системам функций. Обстоятельное 184
изложение затрагиваемой тематики имеется в [ 33, гл.9; 35, гл Л2). Будем предполагать, что 2 оо , l/pQ + функ¬ ции X9o(ta,b]) <Jc-i,7t) образуют ортонормированную на от- резке [<х,Ъ] "систему, Й<рд|^>£*Ьз« Теорема 7> Пусть р0< р 4 2., у определено равенством pjp+ * <2 ~РоУ<р = Тогда • Теорема 8. Пусть 14р4 2, определено равенством (2- -РоУР+Ро1Я = fctytofi)- Tor«a Теорема 9. Пусть р^<р <2, fei£p{[a,b]) и Л{4Лг$...4 «#. Тогда где А(р,р&) зависит только от р и р0 , Теорехма 10. Пусть 24 у <fy0, и Тогда где 3{q>if,Q) зависит только от <£ и При этом постоянная &{%>%) может быть взята удовлетворяющей неравенству В(^^й)4 Л-gl^, где А - абсолютная постоянная. § 5. Средние Абеля-Пуассона и их производные . Суммы Валле Пуссена ТЯ Таблица Т. Пусть feLiir1xeС, а,е<0,оо)> ле» . Тогда Й J r,McJfc('/)a1*rsc= (2п П-r ))"т< 1+r)< 1 -гп) .S’* (/,х) 4 х~-п 185
н + (2лГ*(1-г2)|^*па)ПпЛ(Ъ,1,х)(и{-1)Мгп)уг,упЛт, (5) nrt 2 ^ ff, arj 4 *•0 + (2n*l)iyp^<5,f,x)[f+r+2M)Z+trntW(^z<l)/2){ г(г,ул г<!)), ft ^ (2) я Я V ал(^1гл^(/,ас) *(2n+lf1T«^iff^(2,y,af>c(?,«1Z>|(f+r}sin|Ve {(2)/2J+ *«o - ffi ’ + (-i)lrirn(rz-i)\2<r,tfn>t(2)), (3) n-i I’ *«0 n-i У T*Sf(f,x) в(2п(1~г)г)~*((1 + гЦ1-гп)-2nrn{t~r))S„(f,x) + ft J, f.f + <2n)_1(l+r)2] +K У tn)% (rtynil{ 3)), (4) 7.1 1*1 П-i . *=0 1*0 (5) Я-1 J^e*kSkif.x) - р-е^-лае'^Нла^-е-*»*15n(/f a) + *'° + <* V Яп.1<6,£хН1 + Ы)ше-*п) n(t-e-*) £t «2 + i/^,z<3) ’ (6) Iе >(7) i ^(Si^n A) r,fc| ck if Jfl1** = n-i k"~n - <2n fl J Rnl (-4,f,x)j 2г&\пУяЛ<4) + f 1),+1ги(1-г2)}pAfoW), о (8 * ^ И**1*1c#</)€<fee*(2n(l-r)2)*V2i*(l-r")-nr'Vl-r2))^t(/,ar) + ТЭ6
+ (2лГ1 Л «fl(Z)i?^(6,y,ar)|-4r?+(^I)*r*M+4r2+rtr4) + + 2г(1+г2+(-1)ггя(л-1-гг(л+1)))cos 1/^(3)] |2(Г> у^г (3)) f (g) л i V *r,fc,c*(/)erta:= (2лГ1 У Ля,|(-4,/,яг)| 2r(f-r*)sm2/^(4)+ i-о +(-1)1гл(-л+ 4гг+пг4) + 2(-1)1гл+1(л-1-гг(я+1))со5у^г<4)} а2(г,1/и г(4», ’ (10) У Аггг**,сл(/)01<:*= (2л (1-г)3)'*(2г(1+г)-л2гп+ (л2-4л-2)г"+Г4 п + (л2+ 4 л-2 )гп+2-лгг"+3)3,(/,*) - (2n)-''£*in(l)Pnjl<6,f,x)^Ai-r*)+ + (-1)ггл{л2+3(ла-4л-2)гг- 3(лг+4л-2)г4-лгг6) + + 2 г (r4-l + (“I )Mrn(2n2- 2п -1 -12 лг2 - {2лг+ 2л -1 )r 4))cos J/M,i (3) + + 2гг(гг-1 + (-1 )lrn{{ «-1 )г- гг(л+1 )2))cos(2i/aj( З»|^3(з*,1/П(г(3)}, (II) п л-1 г У А|Л|г,к,сл(/)е’**» (2л)'12] -Ри,;Н,/,ж){2г{1-6г+r4)sin<t/ffI(4)+ А i*o , + 2r2{I+r2)sin(2ynZH)) + 43{л2-4л-2);г~3(я24 4л-2)г4- ~7?2r6}4 2<-1}^л*Ч?л2-?я-^12лг2-(2л2+?л-1)г4)со$ *уяг{4)4 + 2{-l)l+1rn+2((n-l)2-(n+l)?r2Jcos(2yrttj(4))J^<Г,упЛ<4)), (*2) n-t ^л(/.яг)^(4лГ,2 \ъ ("4ar) (-1 )*c 2 (4, л, г), (13) W> л У,*>=(л/2) •?„(/,*)-(4л)*15] «п((>ЛЛ(,(6^х)(14(-1)1+1)сг(3,п,г>, i-i (54) Я S"(f,x^-B-42n2+t)S„(f,x) + (i/2>yu„^Rn>l<B,f,x)H)%2an,l>. i~ (15) Я-f ’ 5^%/^)’Н4лГ1^Яяд(-4,/,Л:)|г(4)й,1|+(-1)1412л|сг(4,п,г). (16) Д о к а з а т е л ь с т в о т а б л й ц ы 1, Доказа¬ тельства равенств И), (8)-(12) основаны на таблице 1.2{йсполь 187
зуются соотношения 1.(38), 1.(45)) и равенствах 1.1.(6), 1.1.(8), 1.1.(13)-1.1 .(16). Ввиду простоты они предоставляются читателю. Для доказательства равенств (13)-(16) достаточно в формулах (9)-(12) положить г = 1. Формулы (2)-(5) устанавливаются не¬ посредственными вычислениями, основанными на таблице 3.1 (фор¬ мулы (2), (3), (6), (7)) и соотношениях 1.1.(25), 1.1.(26).При этом полезно иметь в виду равенство ^ г *( 2А+1)«(1~ г )“21'(1+т И1 - г ”) - 2nrn{i-r)\ , (17) Л-0 Дяя доказательства равенства (17) достаточно умножить обе час¬ ти соотношения 1.1.(25) на (1/2) и перейти к пределу при I -*• 0. Докажем (6) и (7). В силу формулы 1.(60) *-1 +0О {1-е*) J - J + упЛ<р))Л (упл<р», где ^£-{3,4}, , лг j %-е-<*Л(йjsinni ч- jcosni) &г + гг В частности, Л (0) = Г1 (I-е~<*п-ш.е~ап). Остальная часть до¬ казательства очевидна. 4 Лемма 1. Пусть ге35+, AeZ,«>0, (0,1/2}, <хг+{к+@)2*0, Р*° НМ+2 Й/2] ,..*+!-*« Т* ЯГ+1"* V х z {i) Ct . * Со+п/г] + / С<у)/г{-1 fc\P+2? x + H) [* 2л (г+1-г)!(«г+(А+р)г)« Z ’ * * l-l p-o (19) ISO
Тогда 3r~Itf0 #IV'ow;sin{A+(3) xdx = С (г,о., к,ft), xre~№Xcos{k+ji) xdx & В(т,ы,1с,\3). Доказательство. Лемма 1 устанавливается не¬ посредственными вычислениями. При этом используются формулы (см. [18, с.212]) fxb^sinbx dx=eax2i^^^^sin<bx+Al) +С, ^ i-tef f *ree*cos Ь*<г* = ea* j cos(bx+kiy + С, * **1 где si n2 =-Ь(аг+Ь2)*^2, cos? = а<а2+Ъ2)~^2, и равенства (cm. [58, C.760]) tfn-iv2] sin лаг = V (-1 }*C2*+Isin 2*+I ae cos"'2*'*», *=o t»/2] cosnx - 2 (-1 )*cf sin x cos"'2**. A fi-0 Замечание 1. Пусть reZ+. Тогда: I) если keZ, то C(2r,0,k,l/2) у+лг* (-i )* + (-I)3 se2r{2r){ * " Id (2r+l-2Z)}(OT(*+i/2))2z + {ет(А+1/2))гг+** *•* r C<2?+l,Q,k,il2) (-1 Г ; ЗТ2г+1(2г+1)! ~ £g (2i-2i)!(3r(>c + I/2))22+z ' i?(2r,O.A.1/2) ^ * у <-t)* jr2r(2r)! "‘ А <?r-22 )!(«<*♦ 1/2 ))w+j ’ D<2r+l,0,k,l/2) kA (-1>г t (-f)r+f . jr2r-fj(2r + l)! ~ gjj <2r+I-2ZH(J£(A+f/2))2I+I Шк+1}2))2т+г ’ 2) если JteZ, к г£0, то C(2r,0,*,0) _ *+1 yi {-pi (-1 )r зг2т<2г)! f“ (2n-2Z)J (яА-)2/+1 + (згЛ)2г+1 ' г®о г г C<2r+l, Qfk,0) f Л*1у __±11 %2г+* {2r+l)l f£{Zr*t-2lll<srk)U+i ' 169
■P(gr.O.A.O) e ,, 3T27*(2r){ (-1>г , f2r+l-2Z)! (nfr)2? ’ 2*1 r*l т ~4 D(2r+1, 0Ж0)' , ,.*ц у <-f )z Ы)7^1 . jr2r+i(2r+i)!AJ {2r+2-2Z)!(jrA)22 (я^2г+2 ' 3) если a> 0, то Dfr, «6,0,0)=r! я"1«.'г"}{1-е_“Л {ant)1/1!), г*о 2?<r, 0,0,0)- nr/(r+t). Теорема Т. Пусть f eLt, neN, xeC, at ^ 0 , f = лй/те , функции C(r,a#.fc,/3) и l}(r,oc,k,fl) определены соответственно формулами (18) и (19). Тогда; 1) если reZ+9 то *-■№ ос г-i 2) если 2'€N * то _ л ! ~-п г-9 Доказательство. Спираясь на предложение 2/: и лемму 1, легко убедиться, что при t в' [-тс,тс] Z«-oo Осталось воспользоваться таблицей 1.3 (формулы 1.(52) и 1.(59) Ь Следствие 1. Пусть neN, хеС. Тогда СО S»<J>*)-<4n/nb'%P„,i<-4,f,xH-l)li2l+ir*, (13') г»о оо ^(1,/зс) - (»/2) $,#/,*) - <г./хг)£Яг,,1 <6./, эс){ i+M )J+I) 2'г, (14Г) 1»! ОО Sn’<f,x>~-<nV3)V/,*) 4 (2в*/яг>2 7?л>г(6./,х)Н)г+1 Гг, (15') г*1 190
sZ<i>f’x> = <8r>Z/7c5)'%,-Rn,l<-4’f,x>(2t+I)"3<:rrM)z<2Z+l)-2).(16') 2-0 Доказательство следствия 1 получается сопоставлением тео¬ ремы 1 с замечанием Т. Таблица 2 (дополнение к таблице 3.3). Пусть fe Lj, neNt X€ С . Тогда: 9) если rl = (2n)~Il2<x,tJ*<l)8nl(6,f,x)c?(3,n,l) при Z = I, п , Г0 =0, Г = <^г )гЛ_0 , то 5=Лл(17)г; 10) воли S=(4(3fw(5;(/,x) + f ($„«,/,*}t г = ^2л^/г{Лп,г(-4,/,агК2(4,п,г))”;’ , то s=A'„{7>r. Доказательство. Пункт ’9). Так как при Sn(f, х ) = 0 справедливо равенство Rntl{Z^fx) = Вп1(6ь^х), то, при¬ меняя формулы 3.(18) и 3.(39), находим, что при к - 0,я Т* I V *n<l)J?n.i<.6.f,x) ЧУ (2p+ttol _ 2 У/.*'" 2л 1 siл/г{3)/2) 2- Sln 2Й p=k Г= 1 *™'г Я=* - if <*n<l)Rn.i<6,f,x). km + / j ,z+j v ‘<n*J Sin2tyn l(3)/2) ' л Г Отсюда, используя формулу (15), получаем я 42,V^J ЯЛл<М'"л1 S\n2{lJ j<3>/2) 005 л • г*! Значит, $ = Лл<17)г. i Пункт 10). Принимая во внимание фор¬ мулы 3.(23) и 3.(34), при к=0,л , имеем V/s и fx\-s a f ~\)ш-1-V уСОс i&.tWEgi.tg, 2л 2* SinCi/д г<4)/2) 2я 4п Р*я 1=о ' р** 1 V Arc(2Z+l) , у^г+п ~ 4Л1 5К5?1Г,1й,Т)(sw —2л“ + <Л) >' ff0sin2^n,iM)/2)' 2л Отсюда, учитывая формулу (13), получаем, что чкн,*>£г£г1' 191
Следовательно, s = y4{j<?)r. А 2? Пусть feL^ae Z-+, beN, гв{0,1}, хеС. Сумма рса (ср.определение 2.5.1) называется суммой Валле Пуссена функции f, а функции cos аас- соsta+bix 0СЛИ г=0, 1 - cos х ’ cos aaf-(I/2)(cos{«+b-l)*+cos<a+b)x) — -" 1 . , если j’ = t 1 - COS X ’ *» f 2(cosaac-cos(a+bjx)ar2, если r= 0, ».b 1 bfr+lj-r ]f2cosa«-cos(a+&-l)ar-cos<e+b)a:)a:'2ecmH r=f, - ядрами Валле Пуссена. Очевидно, что ^a>b<f,x)0=&ab(f,x), Vab(x)0=l^(х), ^a,b^x^0~ ^<с,ь onPefl^SHI1H сумм Валле Пуссена сразу следует, что %i (f.x) = ®o, ь(f-x > = *b <J>x >' %,b<S’X) *<1 + а1Ъ)6а+Ъ<f’*) - <afb><f> x> > (20) ~ ,,rl bea,b<f'x> + <b-i>ea,b-ia*> , , <°a,b •/. x\ 2b^l ' Далее, по определению полагаем 6b<f,X)l=6fjl>{f,x)i=(2'b~lfi[b6b{f,x) + {b-i)6b,t </,«■)}. (22) Очевидно, что %C/,*)j = 6r6(0,f,x)s. Чтобы придать смысл ра¬ венству (20) при а = 0 и равенствам (21) и (22) при Ь «убу¬ дем считать, что €0(£х) = е<[0(/,х)=* 0. Легко видеть, что ... . { 2а + Ъ, если г* О, <*,bf г- а,6<0,г_ | 2а + Ь-(Ь-1)Д2Ь-1),если r-f. Предложение 1. Пусть /«£,., ««2ц., bfiN, гrjO.l}, гвеЯ- *«,Ь </,*>,.»{2л>~*§^<х+ЫЬ,Ъ<1>г di • 192 Тогда
Доказательство. Имеем л + b-l <я+Ь-1 2 ~ (2sin2(2/2))'1 2 <cosp?-cos(p+i)i) = = {2sin2(i/2)r'l{cosai - cos(ra+b)2)*^b(i)0b> (23) ***>-! flmVy V «ia^b.j(p)Df><i}=(2s\n,<i/2)y fce+bf{pj(cospf-eos(p+I>?)= = ^b^)j(b-I/2). (24) Теперь, опираясь на равенство 2Л.(14), находим, что а+Ь~1 ^.П-г.(ь7г(„-гХ/'Х*,) I w*'т' = {2тс)"1§ f<x+l)Vab{l)rdt. А О-it Следствие 2. Пусть /clj , beN , агеК. Тогда 1 Ся Г i~cos(b-i/2)icos(l/2) ,, 5TS57172) dt ■ Таблица 3. Пусть /е!р a,neZ+, belS , re {0,1] , .reC . Гогда: 1. Если Ь-1 <С п, то 6вУ**,г-<2я + 1>-1 S V/.*+*6,.i«»X,b^,ia»r*<25) 1--п + 00 бв,ьС^)г“^л+1^5л</-зг+УЛ)г(1)>^ь^,г<1»г. t25r) Z=~«5 П 6a,b<f'x>r= <2п +I>‘!Х V*>ЯЛ)1<2’/.*> *a,b <Ул,г<2»г , <-26) 2*0 со ®а,ь</.аг)г = ^,, + 1>',2 ял(г<2./.*)^г,ь^Ул,1(2))г • <2в”) г-о 2. Если а + Ь-1 < п , то <4bf/’X,r “ <?И+1 2)ЛМ<■Г'/' (уя>/ (1 »г . (27) 2*1 оо *atb<f,x)r* (2Л+1Г1 * (27 ) 193 2*!
®а,Ъ^<2n) ^8) 1~-пМ + 00 *п<;'Х+Уп,1^»*а,Ъ<Уп,1<3))г> (28' ) l*~oo n в«,Ъ</,Х)г= <2n^S <VZ)J4i<3'/>*J K,b<Bn,l<3»r> <29) M po ^ fijt,i(3>f>#) ^а,Ь <Уп,1 №))r » (29*) 1*1 Л-1 ба#ь^**^г~ f ^ -^л,г x) ^д,ъ (Уп.г ^ ))r * ^0) z=o oc e«%btf.*>r“ <271 г1 ^<4,/,x) 1>а>ь<у„л (4))r. (30') Z-0 Доказательства соотношений таблицы 3 получаются непосред- ствекными вычислениями, основанными на равенствах таблицы ЗЛ и равенствах (23), (24). 3.° Дадим описание применяемой в дальнейшем методики рас¬ пространения одномерных результатов на случай функций несколь¬ ких переменных. В целях простоты записи и ввиду полной анало¬ гии с произвольным многомерным случаем ограничимся рассмотре¬ нием двумерного случая. Пусть U:LX-+C и V:Lt-+C- два опе¬ ратора (функционала), feL^{Q2)t Если операторы U и V имеют + «э вид = •Aju , V-^ В и , где Ак и - функционалы, от о- >,г-со кг»-оа 2 12 Сражающие Ь^ъ С , то, как правило, справедлива формула UV(f)~ = 2 Применение последней формулы к одномерным ре~ *£%2 зультатам, установленным в этой и предыдущей главах, приводит к обширному множеству соотношений &ля функций двух переменных. Поясним сказанное двумя примерами. Пример 1. Пусть yeLj«32), ле-2\Г2, keZ2H[02 n-t2],xeC. Тогда $*</,*) = (4*(/i2 f1 * Dk(bn,ii4)>- Доказательство. На основании формулы 3.(7) О «0, <1 =4) -194
*1-1 s^f Куь.) - {2ntf1 2 (4,/<.,у.),.». г1-0 Применяя еще раз эту формулу и учитывая, что получаем Sk<f,x) = Skz <Ski< f{i,y), xt), x2) = = <4^)-^^ 12]Я„{(4,4),/,х)Лк(уяг(4}). A Пример 2. Пусть fe LJ<02), neN2, xe€z. Тогда *&{№ = —I— y,R«.i{{-4r4),f,x)i-l{i%i(4^iJt)cH4,ne,l2). dxtdx2 Ющпг le[%n_i4 Локазател^ь^ство, Опираясь на формулу (13), имеем SL<f<-,y).*0m<4»fi J JVjM./f-.y).*!)(-l)hcU4,nvlt). гго Применяя еще раз эту формулу и учитывая, что ^пг>Ц xt = Рпл 4),f, х ), получаем требуемое. А В дальнейшем, используя многомерные аналоги установленных одномерных результатов, мы, как правило, не будем приводить их подробного вывода, а будем лишь давать ссылки на формулы, на основании которых они получены. Опущенные подробные доказатель¬ ства читатель, учитывая сказанное в этом пункте и пункте 2.4, 3°, сможет восстановить без большого труда. 4? В заключение параграфа остановимся на средних Абеля- Пуассона-Марцинкевича. Пусть п €Ti, г, и> V, л е С . Полагаем &<r,n,u,v) = (1 -r)*j^rkD1((u)'Dkiv), tU(ct,ntu,v)=—^—$ е~л*sin ul sinvi di. n*uv*)o Лемма 2. Пусть лсК, r,u,ve С, ■d(r,n,utv)«(l + r2)!<I-r)sin nsinv-rnsm<2n+!)usm(2«+l)t/4 T95
+ rn+1sin(2^-l>usin<2n-l)uj + r{(I-r)(sin3uswir+ sinusin3v)+. + r”(sin(2ji+3)usin(2rt-l)i> + sin(2«+3)xrsin(2n-l)u )- -r”+1(sin<2n+I)usin<2ri-3)br + sin{2n+l )v sin(2«-3)uj |, Тогда Л fr,«, u,v;=(l-rj cosec <u/2 )cosec{u/2 )flr, u+v) j (r, u-v)A(r,n,u/2, щ Доказательство леммы 2 очевидно в силу леммы 1Л.2. Следствие 3. Пусть neN, геС, г^ = Уп,1^) • Т°гДа: 1) если Jc,l eZ Л то (1-Г)г(1 + (-1)к+1+*ГП)((1 + Г)г+ 2r(COS Zjc + COSZ,)) St(r,n,zh,z,)- —_ . * {1 + r2-2rcos(zk+zl))((+r*-2rcos,(xk-zl)) 2) если Jc= 1 ,n , то Я(г,п,0, zk)= A(r,n,z^,0)^(l-r)j(i-r)(l+4r+rz t + + {-Ог+1гй(2и+1 + (2л+3)г+(2л-3)г2 + {2л-1)г3) + 2(( l-r)r + + {-1 )1(2л-()гп**+ M)I(2n+I)rn+z)cosz>.|( I+r2-2r cos zk)~2; 3) справедливо равенство &<r,n,0,0)**(l+6r+r2- (2и+1)2гл+ + (8пг-6)гл+1-(2л-1)ггп+г)(!-гГг. Доказательство следствия 3 основано на лемме 2 и получа¬ ется непосредственными вычислениями. Лемма 3. Пусть л сб€ (0,00), ж/л г <33. Тог¬ да: 1) справедливо равенство Ш(ы,п,и,у) * 2~1сй(п2иг/}~1 х 2) если ktl€Z\{0}, то liX(oLtTly ~ 9, 9 2 ./ 9 2 I * 3) если Ь *\{0{ , ТО 196
2 **<1+e~*n(-i )м) tt (- ик«е'*п Ш^,п,0,гм^Ш(а,п,гк,0)= — — + -— — ; n£(ctz + z£)2 n(a2+z‘) 4) справедливо равенство ШЫ,п, 0,0) = {пиГг{ 2-е~*п(2+2п& +п2иг)}. Доказательство леммы 3 получается непосредственными вычис¬ лениями . Предложение 2. Пусть f eLt<Q2}, neWf п={л>я>, oie{Ot оо), геС^хеС2, zk=ynk(3) при keZ. Тогда n-i r*Sbt*(f’X) = (2п>~2 2 \<l)Sn(f'х+ Уп,1(3))Я(г'л'zwziX £? leL-n’n] (31) (I-r)Vr%t2(f,x) = (2лГ2J] an(l)Rnl((3,3),f,x)Sl(r,n,Z ,z,2), *.o leiv.it J £1 (32) (/,»)-2 sn<f’x+yn,i(3))Ul<0l’H'zhtZhh X=0 2ez2 (33) Доказательство* Опираясь на формулу 3.(6) (а « = г = 0, (^ = 3) и придерживаясь методики, описанной в пункте 3°, получаем, что при к € [0г,п-12] SM<f,x)»<2nf2 J <t'n<l)Snif,x+yn'l{Z))Dk<yn lm. г<г[-п,п] Следовательно, (l-r)£r*S*l2(/,*)W2»>-2£ oin(l)Snif,x*yntl(3)Ht-r) * , ft* 0 Z*[-n,nJ n-i Л У r*Bki2(y ti3)) = (2пГгТ «„(г) Sn(f, *+*/„,2<3)Wr, л, гч,г1г). £o nj Равенство (31) доказано. Опираясь на формулу ЗЛ7) (Р * 0, * = 3), получаем, что при ке [О2, М-1*] 197
Рассуждая теперь как при доказательстве (31), приходим к равен¬ ству (32). Формула (33) получается применением теоремы 2.2*5. д Пусть neJN , теС . Полагаем 4 л2- Ап + 1 + т(Ь~8п2} + г2 {4 4п +1)-г*,-6гЛ+1-гл+2 ■ Лемма 4. Пусть лсК , к<п. Тогда ! п 2л-1у0) = ^y^t<nna)DJt(yn г(3)). (34) г-i Для доказательства равенства (34) достаточно в следствии ТЛТ положить %i = 1 при I = -к, к , = 0 при |Z | = А,+-1, л . Предложение 3. Пусть леДГ, ге€, при Тогда л <2л)'г]£ = , Доказательство. Принимая во внимание спреде- * ление функции SL(r9ntutv) и используя формулу (34), имеем я-1 **0 л-I Л-1 ={\-г)^гк<п-Эк{0)12)г = 4~l{\~r)^rH2n-2k-\)2 = <2п)2 ${г,п). А >*о § 6. Два заключительных замечания Замечание 1. Пусть кЛ = Т%п) - унитарная матрица, Ц : Ij -*€, • Lr -* с (I » 1,л ) линейные функционалы. Положим при А* 1,л 1-1 i-i Пусть / е Lj «?2;. Тогда ***!*</> «22 а*1*Ч vva+> <f> <* i-i ?*i 198
ОТ сюда» учитывая, что матрица Л унитарна, находим что Сопоставление формул таблиц 2.4.1, 3.2, 3.3, 5.2, предло- 3(0ния 2.6, следствия 2.7 с формулой (1) приводит к обширному доожеетву полезных соотношений. Поясним сказанное двумя приме¬ рами. Пример 1. Пусть f€Li<Q2} , 7?£N, ссеС2 . Тогда п-1 л Г» г-1 Пример 1 получается из сопоставления формулы (1) с форму¬ лой пункта 1) таблицы 3.2. Пример 2. Пусть f€Lt(Q2) > лбВГ , агеС2. Тогда ci *•0 л-l = <4(2л+1)Гт YXntZit2((-2r2hf,x)c2<2,n,l). (3) z=o Пример 2 получается из сопоставления формулы (1) с формулой пункта 5) таблицы 3.2. Условимся называть равенство (2) стандартным усреднением формулы пункта!) таблицы 3.2, равенство (3) ~ стандартным ус¬ реднением формулы пункта 5) таблицы 3.2 и т.д. Замечание 2. Остановимся в качестве примера на формуле 4.(20) (аналогичные рассувдения могут быть применены и К формулам (2), (3), (5), (6), (8), (10), (И), (13), (15), (17), (19) этого параграфа). Пусть л-2е№, f$Hnf2 такова, что f(-x,y)=f<xry)~-f<x,y) при (х,у)£&2. Из формулы 4.(20) следу¬ ет, что при X£(0,7t) jgy,х)р*(Х> 1 у {-\)Ukdl‘zdll2f (Ьг,Ьк) sin*# п2 2тI 2stn Ъ, sin Ьк &*>1 * £>п*к у 1,к*0 Отсюда, используя ортонормироваиность на (0,ах| системы функций 8*. г(8> (2-0, n-i), находим, что Рл/(х,х№<х)^ 1 V diJ(bbb:) (4) Jfl sin2 ас 2п2 ш sin2b, w х*о Равенство (4) называем стандартным усреднением формулы 4.(20). 199
Глава 1У. СИЛЬНАЯ АППРОКСШАЦИЯ И НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ § 1. Оценки для норм методов приближения 1.° Лемма 1. Пусть jieNm, feH„, осеСт, keZm, Ап=[-п+1т, n-im]f\Zm, Тогда ct<f)*e'u*‘t}vn Т ап(к)/1ук+а,)ё1'У*‘1} (1еАп). ке\гП,п] Доказательство. При т =1 лемма 1 очевидным образом следует из теоремы ЗЛ.2*. Общий случай устанавливает¬ ся по индукции. Ограничимся рассмотрением случая т = 2. Запи- сивая функцию f в виде Т"г и, (х:уег1*Хг, где Щ 2 г 2 1,2 зс cl<f)€ * и применяя утверлщение доказываемой леммы при jw = 1, для 1еЛп имеем Clip-^jrv U «„/w %„ *, <3>+«i>e*pe«i Уп.,к.ы)> И2 ыг2^Л1,Л1 (3)+^=(2л2jrV***1* 2 е1Пг1кг)^(ук+ас)ехрН1гУпг кг<ЗП. Осталось сопоставить полученные соотношения, 4 Лемма 2. Пусть ле]Чт, /вЯЛ9 Ал~[-т?+1т, п-1т] П Zmt ас,хе еСт, 1teZm, Ук-Уп^З), АгеС при leAn, v>n*(v[~n,n]у1, функ¬ ция Ф:Ст-* С определена формулой Ф(2)=]2 Д1е,,г'^. Тогда — „ 1вАп 1 Ягсгфен*-1> = ггл J oi„(k)f(y^*>Ф(х-ук-а). Доказательство. Опираясь на лемму 1, имеем 2 V oc^Aj/^+otjjAjexpfiVar-^-a!;^)* fcAn **t-np«3 200
Следствие 1. В условиях леммы 2 Jalcl<f>ei(x'I)=vn J ctn<k)f<x+yk+u)9<-yk-<x,). UAn *е£~л,л] Для доказательства следствия 1 достаточно в лемме 2 в ка¬ честве № взять х *fт> • Следствие 2. Пусть neNm,An=[-n+tm,n-1m]C\Zn>, ае€т, ук=уП1к<3), ЛгеС при 1еАп, ггп=(и[-л,л]Г1,ФункцияФ:С% j,C определена формулой Тогда vn S шп(к)Ф{ук + 01)^Яот . ire ['Л,77] Для доказательства следствия 2 достаточно в следствии Т. ПОЛОЖИТЬ J'(X) s t. Лемма 3. Пусть пеИт,/еЬх(От), An=[-n+tm, н-1т] П Zm, же eCm,fceZm, ук= ynj<4), ЛгеС при 1еАп, при jeKm, 1еАп, = функция Ф:€т-*€ определена формулой ф(?) = 2гелЛе{(г‘1)-Т0Гда 2 Xn,*mm,f,x><s>(yM). l€An *«r[0™n-ffwJ Демма 3 выводится из следствия £ ()} рассужде ния^ы, аналогичными доказательству следствия 3.1*13 Предложение 1. Пусть выполнены условия леммы 3, оператор ViC(Qm)^C(Qm) определен формулой = Л1с1(/)е1(Х'!\ Тогда w иА” *e[ow, *-imJ r«I Доказательство. Опираясь ка теорему 2.4.1 (равенство (12), £ = 4), имеем 7П ТП |^(41'п)1сШ#^г,*г(4)|(с s< i*i г-i Остальная часть доказательства очевидна в силу леммы 3. А Пусть DcC™, ре{ 1,2,3,4} фиксировано, х^уп^(р)€Т> при ^ом keZ™ f:D-*C ♦ Тогда полагаем $/^|]и,р~ STJJ3 ,1 f<* + + Ьп,*<р))\. Предложение 2. Пусть neZ+, feHn, хе Cm, I/* - */л,* ^ * Ь <7= - л,/*) , функция ф:Ст-+С определена формулой 201
»*•<”[-».» + *т]Г*. u<f,x) = =%sMhc*<f)eUX'k>- Тогда \/<х)-и</,х)\41Лх)]лЛ(\1-»„Ф(От)\ + ип 2 <Т) Jce[-n,n], £ФОщ Если, кроме того, Лот = 1, Ф(уА) ^ 0 при кеZm, то спра¬ ведливо и неравенство \f<x}-U<f,X) |4(/^|й|1 2( 1-ипФ(От)). (2) Доказательство* По следствию 3.1.4 (об = 0?п) £ ^<х+ук>&<-&)• (3) А-е[-л,л] Следовательно, JiW-Z7C/,»)J=j/<#>(l-i^(Om)) + ь$, Л ^ас+У*>Ф(-2/А>|4 *£[-*,hj где штрих у суммы означает, что в ней слагаемое с индексом .к -- ~ От опускается. Тем самым оценка (1) доказана. Докажем (2). В салу равенства 3.1.(9) и условия Л0т ** I ^ 2' и) Учитывая неотрицательность Ф{у^) (JceZm)vL сопоставляя послац- нее равенство с неравенством (1), приходим к (2). А Замечание 1. В условиях предложения 2 постоянная 2(1 ~tjjФ<Ож}) в неравенстве (2) не может быть заменена мень¬ шей, а именно существует функция geHJlt для которой неравен¬ ство (2) при ос ~ Ош обращается в равенство. Доказательство. Рассмотрим функцию оч*) * 2 1 z=f 1 1 Принимая во внимание соотношение 1.1.(9), нетрудно понять, что geHn . Ясно, что g{Om)~ 1, ПРИ ^ П2т\ {O^J. Опираясь на формулы С3) и (4), имеем g<0M)-Uig,0'”)=(i-4tФ{Ом»+ггя ф(^,=2(1-ц,ф(0т)). 202 *е[-п,п]
Осталось заметить, что = 1. 4 Предложение 3. Пусть neNm, ’f€Hn,xe'CmJ ун = у„к<3), Ал= s[-n+lm,n-im]OZm) АгеС <ZeA„),функция ф:Ст-+С определена формулой Лге^1'г\ vn=(ы[-л,л])“г, U(f,x) - *E*eAnA*c*(f)et("'**'Тогда |/f*)-W/tx)k|/w|и3(|1-Ч,Ф(0*)|+ ггп 2 (5) 1 1 U ке[-п,п],к*От Бели, кроме того, Я^т = 1, 0 при k€Z™ то спра¬ ведливо и неравенство \f(x>-ВД*>И|Л*>|Л(3 2< 1-ч,Ф(От». (6) Доказательство предложения 3 аналогично доказательству предложения 2, ко здесь вместо равенства (3) используется след¬ ствие 1 (при & О*2), вместо равенства (4) - равенство Л 1-и/гФ(От), (7) очевидным образом вытекающее из следствия 2 (= О771) и усло¬ вия ЛфТП = Л. Замечание 2, В условиях предложения 3 постоянная 2(1 (О171)) в неравенстве (б) не может быть заменена меньшей, а именно существует функция , для. которой не¬ равенство (в) при гс^О771 обращается в равенство. Доказательство. Рассмотрим функцию <У(Ч ь = ? IT shl П*Х1 t Принимая во внимание соотношение ТЛ.(ТО), нетрудно понять, что . Ясно, что g{Om)= 1, giy#) = -1 при *е’[-л,л]ПгЛ\{От|. Опираясь на следствие Ф (<tt = Om) и равенство С7), имеем ^{0”')-и^-,07й>=1-^Ф(0та) +tr 2" «ЛШФ(ЙИ2(1-^Ф(Ож)). *бТ-л,л] Осталось заметить, что |/(От)|и3 =1.4 2.° Остановимся на суммах Фейера. Теорема 1. Пусть а,п£Ит, а4п, хеСт, уеЯл.Тогда | ^ 2(i-2 JJ (akjnk 3 • ^8)
Доказательство. Как отмечалось в § 1 главы 2 (см.доказательство предложения 2.1.5), 2 Ькскфем**\ фа<х>= Y Л*еих'к>> Jcetra,a] kel-a.a] где ДА.= У|”1{Г-|А/|/аг). Очевидно, что ^l(0m)=J|”J ак. Уча_ тывая сказанное и применяя предложение 3 (неравенство (6) ) к сумме и(£х)* приходим к доказываемому утверждению.* Следствие 3. Пусть a,neNm} а^п, fe Нп. Тогда 2(!-2-П^Ю)|fll~- (9) k*i Для доказательства следствия 3 достаточно принять во вни¬ мание, что для fe€iOm) при а:еКт справедливо неравенство и воспользоваться оценкой (8). Следствие 4. Пусть леК"т, /бЯл . Тогда '< 2(l-2'w)i/|e, • НО) Для доказательства следствия 4 достаточно в следствии 3 положить а-л. Замечание 3. При т - 1 неравенство (ТО) для функ¬ ции У*'#)-соsnx обращается в равенство. Замечание 4. Нетрудно понять, что неравенство (9) останется справедливым, если в нем норму пространства заменить на норму пространства Lp(Qm) при pe[i,oo). Пусть a eN171, neZ™, Ет - тождественный оператор в С<0т>. Положим ЭС{а,п)~ sup J||i‘-6ra^)|U/||/S«| * X<a)=X«i,*>)^sup^ j||||/|«,j . Очевидно, что ^К(а) = iim Х{а,п). Покажем, что Х<а) = 2.Дей~ стьительно, в силу леммы 2.2.5 СК(а)- Отсюда, при¬ меняя предложение 2.Т.4, находим, что Х(а)£ 1+- 2* С другой стороны, учитывая неравенство 2.1.(25) (р - ** ), име¬ ем !*+■)( Рс 4; 2. 204
Следствие о. Пусть a,^eNmf а 4 п. Тогда ^ia,ny^2(i-Z'mJ{(akjnk)). Следствие 5 очевидно в силу следствия 3. 3 условиях пред¬ ложения 3 постоянная 2(1 -1ГлФ(От)) в неравенстве (6) будет тем меньше, чем больше значение Ф{От). В связи с этим возни¬ кает следующая задача. Пусть neNmt Ук=Уп,к^) • Среди всех полиномов Ф{х) * * X (Л €C)t удовлетворяющих условиям: Ялт = 1 ,Ф<Ць)ь > 0 (k*'Zm)t найти такой, у которого значение Ф<От) будет наибольшим. Устанавливаемое ниже предложение позволяет дать ответ на этот вопрос. Предложение 4. Пусть п£1*т,Ап = [-п+1т,п~1т] при кеАп, 0 при JceZm. Тогда Ф(От)^ Ш»г Доказательство. Пусть leZ,peN, zlSi2nljpt Ясно, что Че™1Я i-eipZt . j еали l-e tzi { р если г„0 Положим <хк = 2тск/п, Вл = [0’", л-1т]. Учитывая (1<и, легко по¬ нять, что О, если кеА„, кф От, т П па , если * =От.' <*-f * Теперь тлеем j «*<*>-£ 2 л,>•<•*■" Г* **ВП *еВ„ Ш„ leAn ксВп = S Я1 X ei<a,'k) = ft n<f * Л • 2еА„ *<?В„ ?-1 Осталось принять во внимание, что ^кеВ Ф<а)с) ^ Ф(0,и). 4 205
Заметим, что ядро Фейера Фп(.г) удовлетворяет условиям предложения 4 и ф^оч-л; [ пz. Поэтому в условиях предложения 3 по отношению к постоянной, стоящей в неравенстве (6), ядра Фейера являются экстремальными. 3.° Рассмотрим теперь средние Абеля-Пуассона, Леша 4. Пусть n€Nm,feHnt я (кеЪт), хест. числа А*еС <keZm) таковы, что ^ \Як | < оо , 14 р 4 оо,V<fyx) = = ь %/<*+*/*)• Тогда k£Zm • < |/«)|„,411Л1+ Y 1л*1)- (12) *£%ГЯ Если, кроме того, Я^О {квХт), V %k*i? 1г то \f(X)-U<f>X)\4 S/WlM 2{1-Я0), (14) 1/-^Л1р<|Яр2{1-Д0). 415) Доказательство леммы 4 в силу его простоты (см.доказатель¬ ство предложений 2 и 3) опускаем. Теорема 2. Пусть ?€[От, Iм), ле№т, хеР™ feHni 1 4 Тогда т \f<x>-prv,xi 1 < з(|- П 'а?,'";# *') ■ U-РгФ|Р< i Я, 2 ( I- ft ) • fc&\ # Для доказательства теоремы 2 достаточно принять во внимп- нле,что для feНл (см.формулу f{x+ynlQ)№U'l}, где т гес-п,п] (в частности, воспользоваться леммой 4 (неравенства (14) и (15)), 4.° Остановимся теперь на суммах Валле Пуссена. Для про¬ стоты ограничимся рассмотрением только одномерного случая. 206
Пусть а+i,b,ns'N, a+b-i<n, f е Нп, хеС. Тогда на осно¬ вании формул 3.5.(28) и 3.5.(28') +£гь Е«»">|л*+-«*'*%&). Z=1 (16) + Л 2 U(x+ %)+/(*~ Щ t~2(cos *2* - со*<£®*1). м n n (I?) Теорема 3. Пусть a + 1, b,neN, a+b-i<n,feHn, хеС, 14p4 «>, №,M)4b + V^(cosec-)2|cos^ — COS^-^ I, 2n ‘2nbf* n ' 2n> \ n П Z“1 Xt«x,b,n) = l - -^±Ь +л-(а,Ь,л). Тогда KbU^I « §f<x>l„'3X«*,b,n), (18) \f<x>-ea,b<f,x>\4 lf(*>Us Xl«*>b,n>, (20) \f-*a,b(f)lp 4 S/ip Xi«*.b,n>- (21) Доказательство. Неравенства (18) и (19) оче¬ видны в силу равенства (16). Для доказательства (20) и (21) на¬ до принять во внимание равенство (16) и воспользоваться соот¬ ношениями (12) ц (13). Л Теорема Зг. Пусть Л+&-1<п ffeHntX€€, Up4°°, Ка.Ь,п>-&& +^.f 1-AcosSSL - cos<Z*l*L I, 2п п2Ъ " I л л Г = 1 - + L(<*,b,n). Тогда неравенства (18)-(21), если в них величины КС<х,Ъ, п) и Щ(<х,Ъ,п) заменить соответственно на L(a,b,n) л ) , остаются справедливыми. Теорема Зг доказывается так же, как теорема 3, но здесь вместо соотношения (16) используется соотношение (17). ,
Замечание 5. Простые вычисления показывают (при этом используется равенство что при ледг справедливы равенства 1(п,л92п)*(3/2), Lf(n9n92n )- 1. Сопо- ставляя .теорему Згс замечанием 5, приходим к следующему утвер¬ ждению. Следствие £, Пусть лс JV, хеС, 14р4ю. Тогда )^л,и($94 j2/J.3 j ^ |У^|?л,3» ^ 8/|р" Неравенство (22) при р=оо уместно сопоставить с тем фак¬ том, что если Е - тождественный оператор в С, то (см. равен¬ ства 2*5(13), 2*5(35) и предложение 2.1.4) |(с« 14 1/3 + 4 2^Ъ/П = 2,435... 5? Дополним результаты § 4 главы 2, относящиеся к суммам Рогозинского. Лемма 5. Пусть пеТ*,Х€С, ук = упк(3), zk= упк(4). Тогда я 22 ** **(cos(-1 )Ш)=(-1 )ks\nnx{clg((х+ Укр) + Сlg((x~yk)/2) - Ze-Л -2clg{x/2)} , (23) 71 2% ellxcoslzk- {-1 )*cosnxf do-{(x+zk)/2)-clg{(x-zk)/2>}. (24) Доказательство. Опираясь на равенство Д.!. (10), имеем 2 jjeilx«oslyk+ и)*+,)« £епШу*>+У 2<-l)*+*Y «“*» lyrt 1-п П '=sinnix+yk)clgUx+yk)j2)+cosn(x+yk)+sinn(x-yk)c:ig{(x-yk)/2)-i + cos mx-yk) + 2i-lf*1sinnx<lg(x/2) + 2<-i)*+Icosnx = = H)*sinnx^c\g((x*yk)j2) +clg((x-yk)t2) - 2clg(r/2) J, 2У e,7*cos lzk = У + У <?,7<*-г* > - * и'п 1"п »•*« г*-* *Н) cos nxcig((х+гл)/2)+НГ sinях + (-1) cosпхcigftx-z*.)/2) •+ + {-I )*sin лх = {-1 J^cosnxJctg(('x+ zk)/2) - c\g{ix-zk)/2)\. Л 208
Предложение 5. Пусть п, I* i еЛ , х е С , / е Нгп. Тогда Л«Г &1- — -<» n №I)V z? /л cosdn/4+як/2) ,ог, Vм’/.*)-— V****,/,.) г-(«21+1»» ■ 12Ь л «о Доказательство, Пусть хг = г/п^3), г/г = г/яг<4), *|-y«n,z <3>> гг = W*Так как ^л>г<3,/,л?}= .2Y {cos*jrz + , А=-л то в силу формулы 3.1.(40) 2я p„tl(3,f,xy (2п) 2 *гп<к>Я2п,к<ЗЛ,х)Ф<хя), где (см.(23)) я *”* Ф(г> = Т (cosjca:, + {-t)l+1)elki - - , Ле-Л t = М ) 2"* sin л? ^clg{(ijxl)/2)^clg((i-xl)/2)- 2ctg(l/2i] * Из разложения ciofZ=5 (z-ht)"1 следует, что & :г-0е> sin nZ jcigtf ?+a?z)/2}-*- 1~хг)/2) -2c\gilj2)\ = » 4а:2 V sm_nZ (2Ч) i С?)/'('?-2згЛ)2-ге,2) *«-с* cosn?[c?g>f(?-z/z)/2)-ctg4(?^)/2^4i/.2 ТГ'ЩГГ^Г > (29) причем ряды, стоящие в правых частях равенств (28), (29), схо¬ дятся равномерно относительно ? на каждом отрезке. Теперь,ис¬ пользуя равенства (27) и (28), имеем Х)~ 2п *H)Wt 2 {Zb-tejftfy-toj)2- xfyhmnz^ k*i fo-a* + 2« ’ и )V‘** J 2 Va>7?a.* {5,£x)$in inz*Hv^i)" *. i 209
+ 00 п Je-« /С»Х 2 ос = И >г»\2^ ^2n,2k-i<zMsm{nz2k^) z2fc_, (zf^j - хгг f * e *=1 <*> » (-1)гSг2Я-1R2n>2к-1 <3./.*) И) *+1< 2* -1)'1((2А-1)-(22)гГ1 *■1 Равенство (25) доказано. Докажем (26), Так как л *> = 2У c°s<tyi>cA'<f>e'kX’ х*-п то в силу формулы ЗЛ(4Т) 2п-1 Ii2n,kl4,ftx)'tS<rk)> (30) л*о где (см.(24)) П y?<lh'<£icos<Jtyt)etki* К)12'1со5л?|с^((?+г/г)/2)-<^((1-угЦ2) |. Дт»~п Теперь, используя (30) и (29), имеем 2л-1 Лл,|К/,*>« Н) R2n,k^'f'x)Yi H~2t(?)Z' ^‘Icos лг* = =fi)W*V,2 2!p2n’ki4'f'x>((гк~2п^2~i/fficosnrk* У«-«* Jr*0 oo = (-1)мп1уг V Xzn,x(4,f,x)(r2-y?f*cosnrk• Je* 0 0° . (-1 )WS{2Z+I)jf1J#2я>*<4,/,*>{(2*+1 )z-<2(2Z+I))2Гсо5(Я/4+лА/2). i *=0 Теорема 4. Пусть леАГ, keZ+, feH^, xeC, fc ** f Vr2Z-1Г1-2 j W-D’1)* J(2Z+ir. Z«1 2 = 0 Тогда | P„ikt3,f,ar)| 4 ^)supar»f, (31 |^(4,/,afjJ< ^<*)sup |Лгя,г(4,у,аг)|. (з2) 210
доказательство. Сначала докажем (31). Можно читать, что Аезг, ибо при * =0 оценка (31) тривиальна. Опи¬ раясь на формулу (25),^имеем I8кг1Г'1 J |Д2я,гы<3-/>*>||tfl-WW-l}*- 1 ' 7»! «о * sup|^l2w<3,/,*)| З^У |(2Z-I)((2Z-1)2- wV1 * . Z*N Z=1 Покажем, что a = JfAj. Имеем ^ jttf = ^2|y ^2Z-l)<f2Ar>2 -(2Z-f)J) + 2 (2Z-l)f(2Z-I)2-(?A:)J>|* * * eo *S(2M " 21-2k-l ~ n+2k^l) + 2 (2Z-2A-I + 2Z+W-1 ~ 2h)° lsl> , 2* ic*+I 2* •*hh - W + 2^-2^ = Z*1 7»! Z*fr+1 Таким образом, равенство oL=J(k) , а с ним и неравенство v3i) доказаны. Докажем (32). Опираясь на формулу (26), имеем оо К*(4Л>-Т)!*sup IR2n,i4\Г?яНы+^ртг-№к+чг\'* ге*+ ' г»о - sup |#гл,г<4»/**НР • Осталось показать, что [3 Имеем Я$~4\2{2к41)^ (2(2kHW-(2l+V* + 2 {2Z+I)2-{2<2fr+l)P j 1 г=0 2к ^ J=2W + 2 2z2*+z+i)+i +2 (27F2FFT ” 2(2*+z+i)+i )|~ 1=0 1*0 >2*+1 = 2^ У (2Z + I)*1. А о г«о 6. Остановимся на средних Фейера-Марцинкевича. Пусть Ид* е С. Полагаем Л-J ^ * Л*1 2 (и) Ш (Я,и,1>-) яг (л ^UUj^J'stnuZsiTl t/J . ® силу замечания 2.5.6 SlnMv-trj> sin«u+i»/2>- $\n(n<u+V))$in«u-V)f2) * ’ 4nsin(u/2) sin (v/2) sin{< u-v)f2) sirt<Yu+tf>/2) 9 211
... i и + tr> sin <ni ii- z/ - f u -14 sin (ft {и -г v)) Ш<л,и.гг>= . (34) Леша_6л Пусть пеЯ, z^y^ib^ г, *■ ул_г (4). Тогда: 1) если *,Ze2 Л [1,л ] , то Л (п, zk, zt) = 0; 2) если кеХ Л [1,п], то 3.(n,zk, zk )-2sin?( zk!2))'\ 3) если JceZ П [l,n], то Р(п,гк,0)=&(п, 0,zk)={-l)**is\r\iizki2)-i 4) справедливо равенство .# (л, 0,0} *> {4 ft 2- f )/3; 5) еоли AJebT, к41, то Ш(п,zJ(,zl)^0-) 6) если Же-ДГ, то Ш{п,гк,гк) = (2n2z^'i ; 7) если кем, то Ш(п,гк,0)= Ш(п,0, zk} » <-1 z^.)'2; 8) справедливо равенство Ш{п,0,0) »(1/3); S) если A,J<xZn [ 0, я-1 J, то # <п,гк,г1) - 0; 10) если AeZ Л [О.и-lJ , то А <3г, г*, > = (?s»n2<з-л/2)>'г; 11) если Л,ге2,(гл|чь|^(, то Ш<п,гК,гг) = 0 ; 12) если k,leX, |7>| = |rz|, то Ш(п,гх,г1у - {2пгг3к У1, Доказательство леммы 6 основано на формулах (33) и (34) а получается непосредственными вычислениями. Условимся в этом параграфе при nsN вместо Mti<2,f,x) и ен0 п <2,/, ху соответственно писать просто M„(f,x) и eHntj,x). ’Теорема Б. Пусть feL^Q2), neN, п=<п,пу, хеСг, гк~ ” Ул.*(3>» г* “Уп,*<4> ПРИ AeZ • Тсгда Лл(/,аг»-(2я)*2 У (зб) геЫ,п] Л •мя<У.л,>*<’вягГ1 2xniiyPttf2l((3,3),J,x)cosec2(zl/2y, (36) г»! *я(/-*)«]£ 5п</>* + Ул,г^ Ш'л >г/,-2г2)- z<rz2 Ля(/,*j = (Уя2)'1 У Лп>,*, ((3.3),/, х) Гг , г»1 (37) (48) П-1 М „ {/. х) =* (8 п2)'1 2 PUi J г , ((4,4), /, х ) cosec 2 (г, /2 >, (39 * z»o 212
<к> Ля</,*>-(2/яг)Лли>127{(4,4),/,*)(22 + 1Гг. (40. 2-0 Доказательство, Так как (с м. доказательство предложения 3,5.2) при jc€ [О* n-i2] Sx<f,%)-{2n)2 ^ n-i TO V #) = *»0 n-i *(2n)'2 J «л(П^(/.*+г/п,х<3,>л'1 2 D*iг<Уп,1<&) “(2л,’22 V,K 2f£-n,n] Л*0 ZtfC'HynJ x 3f+yn<l <3 МЛ in, zh, zl2), Тем самым соотношение (35) доказано. Формулы (36) и (38) .уста¬ навливаются аналогично. При этом используются двумерные анало¬ ги формулы 3.3.(7) (см.доказательство предложения 3.5.2 к при¬ мер 3.5.1) и лемма 6. Формула (37) получается применением тео¬ ремы 2.2.5. Формула (38) - иная запись формулы (37). При т<сы учитывается лемма 6. Докажем (40). Применяя теорему 2.2.5, на¬ ходим, что V/.*+2/в,Р4»Ш(п>%>г1гк let1 Формула (40) - иная запись последнего равенства (при этом учи¬ тывается лемма 6).i Следствие 7. Пусть .л^ЛГ, хеС, ък-уп#{Ъ)ггк* ущк{4) при JceZ. Тогда л ffH^C/,ar) = {8n2riy 0Lrt<li\firiiii3,f,x>\2cosec2{zll2>, UU ft >a eHj-tj.x) ■- |R„'i<3,j,x)\2r2, (42) 2«t n-i eXn<j,x) = iSr,tri'£\Pn!l{4,ftxi\2roSec!l<rlj?h U3) 7*0 rt£0r**>e(2/*2>2 l-^n,: ^’ftX)f2( 2l + i )~г. (44) 2-0 m
Доказательство, Установим равенство (41). По- ложим s=(SJt(tf,x))%l,0, r={8n)~m(ct%2a>Bntl(3,f,x)<i3,n,l))j„t . Тогда по пункту 7 таблицы 3*3.2 $*Ап{7)г. Матрица ^(^уни¬ тарная. Поэтому |S|^=|r|2. Последнее соотношение и есть ра- венство (41). Соотношение (43) доказывается аналогично. При этом используется пункт 10 таблицы 3.3.2. Установим (42). Ис¬ пользуя разложение cosec2ttz = £ ^<г-1с)~г и формулу (41), имеэм л * бН*</,х)Ч2*Ь-*%*п(1>\*ъ1<Мх)\22<1-гп*Г2- •<2ЯгГ*% J *п<1> I *я.г<3,/,*>|2^-2л*Г2 - *•-» W = (2я*Г*111Л*,га/,х)12Г2. Z*i Равенство (44) выводится из соотношения (43) аналогичным обра¬ зом. А При хеЯ равенства (41)-(44) являются простыми следствия¬ ми соотношений (36), (38)-(40). Действительно, определим функ¬ цию формулой: если i/eK2, то g<y>=j%)f<yz). При-- меняя формулы (36), (38)-(40) в точке {ж ,х), где areF, кфукк-- ции g, приходим соответственно к формулам (4Т)-(44). Следствие 8. Пуст ъ j'eLpnelti^eC, при JteZ, sec, Si<f>x)-s\2. Тогда П г<аг)-(8лаГ*2ия(ЩЛ„,1<3,£х)-2(1+ И)M)s\ co$sc2(zl/2)i (45) 7*1 оо ггя?>-(2явГ,Л|Лл,г{3,Л*)- 2^ + H)M)s|?r?, (46) «Л*1 1<Х}*(8пг)~* 2 \Яп,г <4>/>х> ~2s I c<>sec*(тг/2), (4?) 7*0 оо 1<Х)*(2/я2) ^\ЯП)1(4,у,х) - 2S\2( 21 + 1Г*. (48) 7*0 Для доказательства формул (45)-(48) надо применить соот¬ ветственно соотношения (41)-(44) к функции и при¬ нять во внимание, что S^if^x)* Stif,*)-$, Rai(39f*x)mFn9i(3> /,*)- 2(I+(-!)I+I)S, *>- **,1 «/,*>- • 214
Следствие 9. Пусть ле*Г,/е#Л, асеС, гА*у |3 при А*2,^(д:)=л~!]Г” Тогда П р(х)= (S«2fI^a7JfZ>|i?Jj)j(9,/,a:>|2cosec2<zI/2), (49) у5('аг) = (2я2Г1^ |Дл г(9,/,а?)|2Г2, (50) Z=f Л-1 уоСз:)=((9игГ1^ |Лл>2<Ю>/,х)|гсо5ес2(лг/2), (51) z*o аа р{Х) = {2/л2) V\Ял,1И0./,х)\г<2Н1Гг, (52) 1ш*0 Для доказательства формул (49)-(52) достаточно заметить, что для feHn справедливы равенства £nl(3,ffx)~2(l + * и воспользовать¬ ся соотношениями (45)-(48) при S^fiX). Теорема 6. Справедливы соотношения *й?1*Чс = Лд<2>= _ 2 ГГ |(« + y)sin(u-v) + {ir-u)si«{u+ir)| я* JJb2! uu(u2 - ir2> |*И«У, Доказательство. Соотношения (53) очевидны в силу следствия 2.5Л0 и замечания 2.5.в. Из неравенства 2.4(12) = 4) следует, что при л, Z + lel* Ид,г>11г((4>4))1|<. <К,г<4)||гс <Яг<4.*>. Сопоставляя последнее неравенство с равенством (40) и учитывая первое из равенств (53), приходим к (54).4 Теорема ?. Пусть ле-N, п*(п,п) , /е#л , С2 , 14р4 00> Тогда < |/(*>|^3(ЮлМ)/(6л2Ь < 1/||р(10лМ)/(6лг). Доказательств®. Пусть На осно¬ вании формул (35), (Т2) и (ТЗ) 215
| Jix) I 4 y<*q„l3X, II S-Mn<f)\p 4 lflpX, где Х=|1-Л(эт,0,0)/(4эт2)| + (4лгГ1 <Xn(l)j‘H(n,zlj, z^)), Ze[-M,lt],l*02 Опираясь на лемму 6 и используя формулу (см., например, [Ь8, с.644]) л.х 2 cosec2<zA,/2) = (4пг-1)/б -1/2, (55) легко находим, что X*(iOn*-i)/(бл*), 4 Теорема 8. Пусть -д?еС, 2&р4оо, ?(/,#) - = {л_12г-о I W»*> -f(x)l2J1/Z. Тогда < S/<*>!»,з (М*г-1>№2)}1/2, (56) (57) (58) И</.*>| < I/WlA3 {(4и*-1)/(Зл2)} */2, (59) W)iv^\s\p\(^-i)H3ni)Y12, (во) |г(/,*))4(1/2) лгал | Л„)Л< 10,/, х)\. (61) Доказательство. Положим г{3) , - - 7(4 ). Опираясь на формулы (41) и (55), имеем */*3* я I &п{ l)cosec2(Zf/2)J* 2 = ^ . W 1/2 * та* |Ллд(^,/^)|{(4л--1)/(48л2)}1/2^|/^|л з {(4л*-1)/(Зл2)} ■ Тем самым неравенство (56) доказано. Соотношение (59) устанав¬ ливается аналогично, но здесь вместо формулы (41) используется формула (49). Докажем (60). Применяя формулы (49) и (55), по¬ лучаем, что 216
■ 1Ы lip I' •'* Теперь установим (57). На основании формулы (44) I \бНп(/,х)\4 max | 4,/,*)|{(2М2>У (2г+1Гг)1/2= ио + Неравенство (61) доказывается аналогично, но здесь вместо фор¬ мулы (44) используется формула (52), Докажем (58). Опираясь на формулу (44), имеем Им/V I f <гг+о'г)‘/2-м, •* 2«0 Замечание 6. Из доказательства соотношений (56), (57), (59), (61) нетрудно понять, что при х = 0: а) неравенст¬ во (56) для четного полинома 7<гЯЛ, у которого 7(0) = Т,7(ДА:/л)= = H)*41 л) (этот полином имеет вид T<l)=n1smnlc%g{lj2}- -cosnl), обращается в равенство; б) неравенство (57) для поли¬ нома, тождественно равного единице, обращается в равенство; в) неравенство (59) душ четного полинома Т€Нл,у которого 7(0)- = 1, T{$ik/n)=-i ( Jc= 1,п) (этот полином имеет вид Т(I ) - = /Г1 sinflf clg(£/2) - 1), обращается в равенство; г) неравен¬ ство (61) для четного полинома 7еЛл, у которого 7(0) =1, Т((2к + + I )тГ/<2л)}~-1 {Jc=Q,n-i) (этот полином имеет вид Tf^2co5HZ-i), обращается в равенство. Таким образом, в неравенствах (56), (57), (59), (61) при тех предположениях, в которых они были доказаны, постоянные не могут быть заменены меньшими. Теорема 9. Пусть ,14^42, 2 4 со . Тогда Доказательств о. То. что ^ 1, сразу следует из неравенства (58) и возрастания величины" с ростом С другой стороны, для функции g , тождественно равной единице, справедливо равенство }еЯ0 *Й5ГЙр* а 9Р 217
7? Остановимся на средних Абеля-Пуассона-Харди. Лемма 7. Пусть леХ, feHn,n=<n,n), r,xeR, г, = ул^{3). Тогдая{ (1-г)£г*|^(/.аг)|г-(2п)-г2 6ЬП(1)ЯП>1 АЗ^,х)Я„ , {3j,x)A<r,n,z. ,z j ™ M^nl v n-t (62) = (2л)"г 2 г. ). гв[Я«] (63) Доказательство, Определим функцию g; Л2-* С формулой: если уеН2, то gW-JW/W' Применяя формулу 3.5.(32) в точке ( х,х), где xeR , к функции g , приходим к формуле (62). Для доказательства (63 > надо применить (62) к функции и принять во внимание, что Rntit{3tf*x)* ~Я^(9,f, х), Xn'k(3,f*x)=X„'h<9j,x). Л Теорема 10. Пусть леЛ, /еНп, г£-[0,1), хеЯ, i(f,x) = = {n-r)J"^r*| S^f,X) -J<x)\2)m. Тогда Uf,x)4< $<г,п))Угупах\Рп>г{9,£х)1, (64) i(f,x)4 4<j<r,п))1/г |/wj«,3 • ' (6b) Доказательство. Опираясь на формулу (63) а учитывая неотрицательность величин 9Hr97iyZiltzl2) при , имеем ^ иу,х)4тах1^Л11(9,/,х)\и2п}~2 У <хп{1)А<г,п,ггггг )}* . le*t геТГ^п) Отсюда, применяя предложение 3.5.3, приходим к формуле (64ХДля доказательства (65) достаточно принять во внимание, что ynax\PHtl(iJ9x)\4 4|/ш|л>3,и воспользоваться неравенством (64). А Us Замечание 7. При х -■ 0 неравенство (65) (а значит, и неравенстве (64)) обращается в равенство для функции g(i) - - гГ1 sinnlclg(l/2)-1 . Обращение неравенства (65) при дг-0 дтя функции g в равенство легко проследить, если принять во вни¬ мание соотношение (63) и очевидные равенства: g{0) = -i ДЛЯ к - -71,71 , Jc^o. 2Ш
$ 2. Суммы Фейера и средние Абеля-Пуассона 1? Установим ряд полезных формул. Таблица 1. Пусть п = <п,п). Тогда: 1. Если , f€Hn, are С2, то 71-1 я I г=0 л (Skt*<f,x)-fi*»mW**)% $<ул>1<4)12/,х)< 21-ИГ2, (2) *?0 2.0 2. Если хеС2 , то п 71 2 <“я^>5Л12СЛ^ = Н<2я+1 ))-J а^ОДциг^г),/, аг)с2)2,л,г>,(3) *•0 7-0 Л л 2 «bMsjw* tf.*> -/<*>>« ап<Ы(уп1{2Пг4,х)сг< 2 ,п, I >. (4) *s0 7*0 3. Если лсН , хе€, то n-i л *?о 7! Vi»'^*2}'12 ^>ЯлДЗ,/,*>(1+И)и V(3^, Zj, v6 i г*1 ео вл(/,л-) = я‘22^,2(3,/,згК1 + Н)т)Г2, (7) 1*1 л* 1 ^1'/,^ = {4л3Г12 Fn,2<4,f,x)c2(4,}itl), (8) 7*0 ас» 6Л </, - {4/Л2) У J?„,i (4дг > <2 2 +1Г ■2, (9) г*о 4. Если /*яя , хе€\ то л 7J y^)A)j5*{/,^|2»(4{2«+I))-xy^(Z>|^(21/,.r>|2c2^«,Z>, (10) АсО 7^ too 0£л<Аг>/(у;зс>12=1 )/3t2>2 \*nM2Kf’X)\2<2l+i)-} (И) к*0 п 7-0 <W/- =<г*+1>~2 2 **<г> п'г>> №г) i=« г1э
6^/,*>,в<4/Я*)УлПЛ2,3,ХН2Ш)-2 . (13) 1 z=o Доказательство таблицы 1. Формула (3) - стандартное усреднение формулы пункта 4 таблицы. 3.3.2, Для доказательства формул (1), (2) и (4) достаточно формулы 1. 139), 1.(40) и (3) применить к функции /*{•)=/{•) -Six). Форму¬ лы (5) и (10) устанавливаются так же, как формула 1.(41). При этом используются пункты 1 и 4 таблицы 3.3.2. Соотношение (И) выводится из равенства (10) аналогично тому, как формула 1.(42) выводилась из равенства 1.(41). Формулы (6)49), (12), (13) - частные случаи формул таблицы 3.5.3. А Теорема 1. Пусть n-te’N , фиксированные вещественные чис- ла а0, , <кп таковы, что: a) ajj + а\ +а2п Ф 0 , б) функция <x0j2 + a^ost+dnicosni + cos<п+1)1) неотрицательна на [о, Л-J. Пусть далее zt=ynjt\i)t d^a0l2 + aiwszl + (-1)гапсо$ <zl/2). Тогда для удовлетворяющей условиям /<0)= 0, fit при leR , справедливо равенство 2Л *di sWa/2) аг~2л+1 L $\пЧгг!2) ' u‘u Z»t Теорема 1 очевидным образом следует из пункта 2) (формула 3.4.(2)) теоремы 3.4.1. Следствие 1. Пусть леК, f*Hn, ^глуп г<^К хе€. Тогда гг Г'Ши»\2CO$et211/2>^^{2я/(2п+1))У\ЯлЛ{7,^х)\Ьг(1,п,1),(1Ь) 0 ля г*! I |^(?,/,af)|2{I-cos(n+ l/2)?Co$(Z/<’))/(sinJ(f/?)) dl = *чя (1б) = (зг/(2л+1»2]^1 1Дя,г<'’,/,*■)! (2+H)1*lcos{zl/2))/($\nz(zl/2)). Доказательство. Пусть ^Ч?) af<x+ i)+f(x-i)-2f(x). Полагая в формуле (14) и гфименяя ее к функции g-, при¬ ходим к (1.5) при пЪ2. Полагая в формуле (14) xS(i)=l- |(cosn?+ + cos {л + 1)1) и применяя ее к функции g, приходим к (16) при п£2. Случал п =1 рассматриваются непосредственно. А Теорема 2. Пусть neN, zz = J6i,j<3> функция такова, что f<i) при /(0)® о. Тогда %*\f(i)\lco!>ficilij2)dl = {7i/n)y<!tn(l)\'f(zl)\2c2i2,n,l), И?) ij(l 22.0
I «-д-Ё «в» 1 0 Z=I Теорема 2 очевидным образом следует из формул 3.4.(17) и 3.4.(15). Следствие 2. Пусть n€N,feH„, 2г = г/л^(3>, жеС. Тогда »->|2cosec2<f/2>?=(этг/л>Vаг>|2сг{3,л,/), (19) !-1 Уд<*/»*>1 iWTT/Tji^-^l ib^Tv?) -(20) Следствие 3. Пусть neji, feHn, z2 =г/л1{1), arfC. Тогда Jf °° j0 *j|?cosec2<?/2)d* -{Uin+Djn) J (21) ft ^ j“o |^?,/t^|2cosec2(i/2)rff «(4л/я)^|Я„,1<9./,х}1гГг, (22) Z* I Доказательства равенств (21)-(24) основаны на формулах(15X (19), (16), (20) и проводятся по одному плану. Докажем дяя при¬ мера (23). Используя разложение cosec2nz*n^^^Jiz-Jc)2 и фор¬ мулу (16), имеем лМ/,хЦг{2*Н)м „ А«-оо N1 СО »С05(2г/2)К/-(2л+1)АГг=((2п+1)/я)2К)г(^/.^|г(24(-1)Ы£05(22/2))г-2. Z-1 Замечание 1. Пусть .hsN , /е » ^К. Тогда 5jy^?^-jc^>P(£S^rwj,)2^?=: 4ni’0w|^:r+^>+^ar-^)l22‘2 х . xsin^(lj2)dl . (25}
Доказательство, В силу предложения 2.2.8 Применяя последнее равенство к функции /*<•)=/(• 4получаем требуемое.А Замечание 2. Пусть S€^2 » хеИ. Тогда §0 l$<i,f,x)l2cosec2{l/2)di = 4^° j$(l,f,x)\21~2 dl. (26) Доказательство. Из разложения cos ec*(i/2) ~ 4 W = 4У (1+2'ПкГ* следует, что * 4 2L„J*2-- 4 IМ,/,*)|ггг*г. 4 fc к* Замечание 3. Если Semi), то равенства (25) и (26) справедливы для хеС. Лемма 1. Пусть л eft , z^TtZ/л . Тогда Ря $\r\2inl) $\n2i $\п2(п112) | tt!2> если 2 = 1,л, Оо teosZ- cos Zi )$\nz( 112) ^л(1/2~л), если l~0f i n $in2<ni>$in2ts\n2<nl/2) ^ _ nilQn2-l)n 0 {I-cosi)2 s\nHlf2) ~ 6 ' Гя sin%Z)$in2ii sinZ/2) tff = (1=Т~п) Jo iCQ$l~l)(CQ$l~COSZl)$\n2{ll2) CG$Zi~i Доказательство лемш 1 получается непосредственными вы¬ числениями. При этом используются предложение 1.4.1 (формула (4)), следствие 1.4.3, лемма 1,4.4. Теорема 3. Пусть П€№ , zL - уп j (3), функция f€Hn тако¬ ва, что /^>=/(■0 при icB, Тогда !;{ J ^(^2+H)'4l)|yz| V(3,«,Z)4 2^-l]\<l)c*{i,n,meiya,yi)+ 222 М +«IOn2-l)/6)Jz/0|2J M (2V)
Формула (27) обобщает формулу (18), в которую она перехо¬ дит при дополнительном условии =0. Доказательство. По формуле ЗЛ.(ЗО) fil) = *nisw7\is\nl^2iU0$n(l){-\f*iyl (cosl - cosz^)*"*. Следовательно, j>’i, h'h~° x sin2nZsin?? / s\n{nl!2) \2 Jo (cos?-coszZl)(cos ?-coSZ22)\ sin(i/2) ) Отсюда, учитывая следствие 3.4Л (ортонормированность системы gn i (6 )) и лемму 1, после простых преобразований приходим к формуле (27). 4 Следствие 4. Пусть л eN, хе€, feНп, гг = уп1(3), г/г=ИЛ)г(6, f,x). Тогда + 22(-l)r4Vz)c2(3,«,7)Re^0 у*)+('(10«г-1)/в)|%|*|. М (28/ Следствие 5. Пусть T?eN , *еС, f€Hn . Тогда .1*5рг(/,дг)|г + i[y 4„('»Н)'*,Кг«./.«|гсг№л.1))г ;г9) z=o М 00 г*о +ё12ал^1+и>г+1,Кг<б-д^1г^^я.^+41/^1ги21 • (30, м w Доказательства соотношений (29) и (30) основаны на форму¬ лах 1.(41) и (28) и получаются непосредственными вычислениями. При этом полезно иметь в виду равенства 1.(Ь5) и (см., напри- мер, [58, 0.644]) Ця-Ь/2] 2 cosec2 {(2к+1)я/(2п)) = пг/2 + (i/4)((-t)n-l). (31) fr-0 223
Теорема 4. Пусть Л€ JV , f€Hn , осе С • Тогда \№+1>+з<х~щЧЩ(т}г*г' (32^ Доказательство, Применяя формулу (6) к три- гонометрическому полиному (порядка 2л) + имеем = {471гТ^ {|*Я|1<4,/,*>|2 + 4\f<x>\2\сг(4,п,1) = 2п p-j (33) Используя теперь равенства (30) и (33) и учитывая соотношение «£Л (г> f i+{-I )гн)со&сг№К2п))= которое легко можно полу¬ чить, если положить в (30) J7,r) s Т), приходим к равенству гл-i 316гл{|/(л,+.) +,/(#->)]*0)* 2 jST{/,ar)|2+ f«/2}e2j!{|/(3f+0+/C.f-')|!o). г=о Остальная часть доказательства очевидна. А Следствие 6. Пусть леХ , /еЯл , хе€ . Тогда (34) 2=0 Лдя доказательства формулы (34) достаточно (32) применить к функции /*(•)=»/(•)-/(X). Замечание it Пусть леЗЧ , /«Нп , хеС . Тогда J*0 l^(i,^,»)i?cosec2(?/2)cos 2л? dl ** О. ^ Равенство (35) получается из сопоставления формул 1.(49), (49) и (34). 2? Установим ряд вспомогательных результатов. Лемма 2. Пусть функция ^р[-Я,я]-»Н + суммируема на [-Л < , re [0,1). Тогда $*g<4W>dU <36> 224
Доказательство. Принимая во внимание, что jstn ли I 4 л |sinu|, 1-2rcosu+r2=(l-r)2+4rsm2<u/2), если пеН, ygF, при ?eR имеем фп(1) 1 /sinOtJ/2) \2 f-2rcos?+r2 л2(1-г)2 4г ■—~ ~ I гг~ ) 4 *■ : = К(г.п), ?r(t) п\ sin (i/2)/ i-r* n{l-rг) п (f-т*2) Следовательно £^)Ф„<1)<а=§ g(l)$'r(l){§nil)l9ir<l)>)di4K{r,nA g<i)Q<l)df, v-JT ^ Лемма 3♦ Пусть , re[0,1) , хеС. Тогда 4 skM\-r)£\S(i,s,x)\2%kn(mi. Доказательство. Положим тс l/(2nk). Функ¬ ция = ff X)fkeH2kn.Следовательноf по формуле 3.5.(T) _ 3t(l-r2) V .. /M|D 1+М)14,г*я* 2nk \ 0L2nk(l)\R2nk>i(9tf1x)\ i + rz„2rcosz2 * Далее по формуле (18) ^n\S<tfJ,x)\2k02n)({l}di = 2nk 0 "iefeS 2 H г+М )ж) | я2л*,г(9,/,*>|2V<3,2лА', г>• тт \ 2-м~П*+* сложим К(i)I) = ’ fl№Z)=i6w?^sin2('z772T 4 Нетрудно понять, что K(r,l)/Q(r,l) = = 8jik(i-rmi-K-l)Mr2tlk)sm2(zll2) ,8nkli-rHl+i-i)Mr*nk) (3} M . ((i-r)2+4i-sin2(2z/2))<2+M)I+0 4 U + r>(2+(-I)I+i) ' Сопоставляя приведенные выше соотношения, получаем р ^ 2л* Jc IМ./,г>о?2 - «2 гЧ гв* ZeI ^ 8Jc7i(i-y)jт&2nft (О Z) | T^2jtfe,l (Д *^)J ~ Z-1 - S*n{l-r)j^|£r?,/,*)|2*#2n* < *>«**• А
Следствие 7. Пусть п,к € N , те [0,1) * f £Нп , х&С. То1да Г*№14,х)\гк?„аШ41бкЫ1-г)Ся\$<г,/,х)121еФ„<а<н. (з?) i)q “ vQ Для доказательства (37) достаточно принять во внимание, что и воспользоваться леммой 3. Лемма 4. Пусть /еЬг' re(Q,t), a=ln<i/r), Х£Я. Тогда §*\&<l,f,x>f?r<t)di= 2<x$”\${l,f,x>\2(i2+<x2rsdi, (38) 4аС&2<j,i,x)i2(iz+a2>-2dl. Ш где £<f, i,X)=(<i/i)^\S(u,f,x)\2du)il2. Соотношение (38) очевидно в силу равенств 2,3,(6) и 2.3.(7), Формула (39) получается интегрированием по частям в интеграле, стоящем в правой части равенства (38). Леша 5. Пусть » г£ № * ') * X&R* Тогда оо ^ a-r)^trklSk(f,x)-J(X)l24i47t)1^ \$<l,f,x)f%<l>di. (40) *r0 Доказательство. По неравенству 2.3.(25) РН*(£0)4>Рг(\/\2.0). Применяя это неравенство к функции g(#) = -\l/2)(f(X+•) - 2f<x)) , имеем {l- r) 2 r* j sk (/, X >-/<x) |2 * (I-т тk I Sx <g, 0) 12 ^ *-0 **D 4 \^{i,f,x)\2iPr<l)di.A (41) Лемма 6. Пусть re(0,I), neZ+t x,sеЯ, feLt. Тогда |^.(/,ar>-5j24((I-r)rn)'I(f-r>'^ r*|^</,r;-s|2. (42) /c-0 **0 <l~r)^r*| V/,*)-sJ2^(l-r)]£ -5 J2. (43) Л*0 Лг^О Соотношения (42) и (43) очевидны. 226
Введем ряд обозначений. Пусть jfeLj, леЛГ, re[0,l), xeR . Тог¬ да полагаем л-1 Ял(1,/,.г) = (и/л>]£ \Sk<f.x)-flx)\2]t2, . *=0 i I’M Oi-f/2)'1 J Sfiif.x) -/(х>1г} , **0, Hr<3,f,x)= \<t-r) £ г* I s*Of; } Ilz, .-■=0 яй(4,/,яr)= j(4er)'1 £я|<У<г,/,*)|2Фл(г>*г)f/2, Hr{5./,*) - {(4 яr1jjft?,/,* jI ■2 fr(I)dI J1/г, = ^<Un,l<J(}>f'x) (*6{ J>2>3>4}> leZ>> ЯлГ6,/|*>-{(2я+1>(4^лГ1£ \K,l< US,x>\2l'2 \Ш, M Н«С/,*)-|2я'2£ cSsi f/9 Л„(9,/.»)Ь{2гг-2£ |&,i<V.*>l2<?W2} . 1*0 Jlema 7. Пусть f,g е Ll9 neW, rs[0,l), i&p <oo. Тогда i Ял <Arf+gj|p4 ii Нл№,Я|р+ |ЯЛ (*,£•) ||p </ce{ f,2,4,6,7,6,9f), (44; |Яг(А,/^|рЧ<[|Яг.(А,/)Лр + ||Яг(/с^>||р (A e { 3,5}), (45) Доказательство,, Докажем неравенство (44) при J? =4. Применяя неравенство Коши (неравенство Минксвского для интегралов при р =2, теорема Т.2,3), имеем W+g,*)<H„<4,/far> + H„<4,g,x> <xeR). Отсюда ясно, что |ЯЛ<4^)|р4|Ял(4^+Яя(4^}|р<|Яя(4^>|р+|Яй(4,^|р. Таким образом, неравенство (44) при к ~4 доказано. Остальные неравенства доказываются аналогично.А 227
Лемма 8. Пусть пеН, ге[0,1) , 24р4оо . Тогда 8 Нп(Щр 4 + 1, (46) \\Нп<Щр (47) \НгЩр 4 2, (48) вЛ„<4)|. <2, (49) ! Яг (5) Цр 42, (50) |Ял<6)||р« { 4(2л +2)/(3(2tj41))|1/2, (51) 1|Ял(7)||р < 2, (52) ||Я„(в)||р 4(4/3)1/2, (53) ИЯлШИр ^ 2. (54) Доказательство. В силу неравенства Коши (не¬ равенство Минковского для сумм при р -2, теорема 1,2 0С)4&НОп <f,%)+ I f<#>\ ПРИ feLt * Отсюда следует,что ||ЯЛШ||р4 \\^н6)„ ||р 4-1. Используя теперь оценку ЦЩ,пИв 4 (см. неравенство 2.5.(20)), приходим к неравенству (46). Очевидно, что Н^<2,£х)*{пН%а,£х)+(п-1)Н%.1{1,/,х)\(2п-1)~1, Опираясь на эти соотношения и оценку (46), получаем, что для любой feLp |Я«(2,/)Ц; 4 I л I Я2 <!,/)) \р/г 4 H*.s <1>Л1р/г }<2я-1 Г1 - = {л | >|| 2 + (л-1) || Я^аЯ I гр j {2л-1 >Я< е || / Ц2,, т.е, [|Ял<2)||р ^ УТ7, Докажем неравенство (48). Ясно, что |Яг-(3)|р4 1 PHr |р 4 1. Применяя оценку ЦЯЯ^Ц^ (см. не¬ равенство 2.3.(37)), приходим к (48). Докажем (49). Пусть сна- чала р < ао. Опираясь на обобщеннее неравенство Минковского (см.неравенство 1.2.(И)) и очевидное неравенство 4 4 ||/|^, для feLp имеем •>§ Ф!1а><н)ф4{у12р<4М)§Чптг)^=21Др - 228
Если р - со , то =«з-Г^оэт|| о || 1 фл ^ ^ г)((| /1| i ^ >f/г - = 2fl/|U. Неравенство (50) доказывается аналогично. Докажем (53). Имеем \НЛ{8,Л |р 4 {{2пЦ< 11|\ЯпЛ <3,f, • Цг1р/г l'2fZ‘ = ((2я2Г121<?Л,г(3,/,.)||^'2//2ч<(||/||2(2Я2Г1 16f г*2)"2- 2=1 = (4/з>^2 Ц/1 р „ (мы воспользовались известным равенством V I -(от2/б». Тем z*i самым неравенство (53) доказано. Неравенства (52) и (54) уста- навливаются аналогично (при этом используется равенство И(21+1)= = (я^/в)). Теперь докажем (51). Рассуждая как при доказательстве (53) и используя равенство (см,, [58, с.645]) п 2 Совес2(я£/(2л+1))« (1/3>я(2л+2), (55) *н находим, что ддя feLp Ki i^,(<./.•» |5<{s j^n,f,4;e‘<w>\m * " 2=1 „ Z»1 ^41/ltp(Sсг{I,77,Zj)I/2- f/L 4j(f/3)n(2n+2)\ilz. l*i * Рассуждая теперь как при доказательстве формулы 1,(42), легко убеждаемся, что для любой при Х€К справедливо равенстго 00 1 п Т|^7(1,/.*)|гГ2*Яг(2п41Г22|<?лгП,/,*>|2сгП,«,2Ь (56) I* i ' Осталось сопоставить приведенные соотношения. А Замечание г! Пусть v ?N . 2 ip 4 оо . Тогда ||Ял(1)||р х< 3<Я2уТ)'1/3 + 1 - 2,1645... (46') Сценка (46f) усиливает неравенство (46/. Доказательство. Используя метод доказатель¬ ства теоремы 2.5Л.2, можно показать (проведение подробного до- 229
хазательства предоставляется читателю), что ||бЯ0 п ^ 3(я2|/ЗН Остальная часть доказательства очевидна. Д Замечание Зг. Пусть Tie'S , rc[0,1) . Тогда Доказательство. Пусть fe L2. Учитывая соот- ношения <keZ+ ) (см.равенства 2.1. (31)), имеем л_( Ил(1 ,f)U * {n/»i2^/>гГ/2 N< I/ «2. г^/г=ц/ц2. Л*0 **0 Значит, 1Ял(1)||241, IIЯГ(3)||г^ 1- С другой стороны, для фунгащи cos лаг справедливы соотношения (Нг(3,Значит, и |ЯгВ»|г»|(1-г)2«,*}"*Тг>1- ' Лемма 9. Пусть лег”, 14р4 ос, Aj : Lp{Qm)-*R+ <jaU2)~ две полунормы на LP<Qm>>lAj$p^sup^{ Aj<f)/\\f\\p } < «> =1,2). Тогда, если для любого полинома ТеНп справедливо А^Т) 4КА2(Т), где JCeR*, то для любой $eLp(Qm) тъъч место соотношение AfV■1 < (й*1 \р \\Аг lip Wf)p + ха2<f). Доказательство. Легко понять, что A2<Wip)4Az{T„if)p-J) + Лг(/)^|ЛгЛр5л^^4-Лг</)? А^)4А^-Т„ (f)p) +Af (Тп <f)p )ЦАх\р E„<f )р 4 *Л2{ТЛ{/г. Осталось сопоставить приведенные соотношения. Л Следствие 9. Если в условиях леммы 9 для любого полинома ТеНп справедливо равенство Аг(Т) ■ Az<T) , то для любой fe е Lp(Om) имеет место неравенство MiV>-W>| <{Mi|p + ИгМаду Замечание 4. Пусть «eZ™, Кр•$«>, ЛtLp(Omh — Я+ - падунорма на sup U(/J/|/|pf < «». 230
Тогда, если А(Т) = 0 для любого полинома TeHnt то для любой feLp(Om) справедливо неравенство Аф4 \\A!pEn(f)p. Замечание 4 очевидно, так как в его условиях A if) 4A(f-Tnif)p) + Ai T„<f)p> = A(f-T„ (f)p)4 \\A Ц, Ел (f)p . Лемма 10, Пусть n f?Hn » xeJR . Тогда H„(4,f,x)4<S/2)^Hn{i,f,x), nn<I,f,x)4 V?Hn(4,f,x). Лемма 10 получается из сопоставления равенств 1.(49) и (20Х 3? Теорема 5, Пусть пеН , i4p4 fsLp. Тогда со к^*)-Л*>-(2/з12)2^,гж<^-Н2г+0'21п < 2£„<f)P, iw) Z‘°“ + 2En<f)p> ^58) ^ oo 2Enif)p. (59) 11 1*0 * Доказательство. Доказательства неравенств (57)-(59) основаны на равенствах (7), (9), СИЗ) и замечании 4 и проводятся по одной схеме. Для примера докажем (57). Обозначим левую часть неравенства (57) через Aif). Ввиду равенства (7) А(Т) = 0 для любого ТеНл . Очевидно, что для любой fe^p Л? a<f) -Un<frУ-WJf>- i Rn,tUi <6'f> -Я2/11 )'г Ip 4 1*0 <{fUi+ m + (4MT(2Z+ir2) - 2 I/1 . 1*0 Следовательно, llAflp 4 2. Осталось воспользоваться замечаниедд4.4 Следствие 10. Пусть , 14р 4 <*>» f€^p* Тогда oo <2^lE^2Z+J<3,/,-H2Z + /r* . (61) ® Z®0 ” Следствие TO очевидно в силу неравенства (57). Неравенст¬ ва, аналогичные (60) и (61), можно получить, опираясь на соот¬ ношения (58), (59). 231
Теперь остановимся на суммах Фейера-Марцинкевича. Пусть feLj{Q2)9 x,ie К2. Тогда по определению (см,§ 3 главы 2) $<i,f,X)=f<Xi+lv x2+iz) + f{xi*ivx2-l2)+j:<xi-ii,x2+l2) + + S<xi-h> хг~1г) - 4^<хрхг). Теорэма 6, Пусть леЯ, п=<п,п), 14р4.м, $е Lp<Q2), M„(f,x>={n+t/2fiYiCt„<k) Ski2{f,x) при хеРА Тогда J •) -/(.)- {ЦлЦ У $<ул,(4) J2/, .)(2/-И>'2 s< я fa W 4 (J0iti2) + i)En{f)p, (62) !n 1=0 ,p 4 <Лы<2) + ПЕп</>Р' (63) Доказательство. Обозначим левую часть нера¬ венства (62) через Л(/}* 3 силу равенства (2) А(Т) = 0 для любого Те Ип . Легко понять, что для любой fe Ьр(02) А<р*I•}-<2/я!)% вг(О2 уй>г(4)I2/,«К2Z+1Г2 ^ S*^fj»(l^bi^Ip + (8/я2) Jj] {2Z+1)”2J^ lfip( |-^л(^)||р + Z )< Отсюда, учитывая, что jjM„(2>lp 4 |>ГЛ(2)|С ^oj(2) (см.след¬ ствия 2.5.9 и 2.5Л0), подучаем оценку |Л|р^ J0)I(2)+I. Применяя теперь к полунорме А замечание 4, приходим к неравенству (62). Докажем (63). Так как J4^/)=((^+i)Mn+t(2,f)+nM„(2,f)){2n+lf^ то |ЖЛ)(Обозначим левую часть неравенства (63) через Л<у>. Учитывая равенство Т* ап<2)сг{2,п,1>=2~*(2п+1 )г, МвЦВу как и выше, находим, что \\А||р4 В силу равенства (4) А<Т)= 0 для любого ТеНп. Осталось воспользоваться замечани¬ ем 4. 4 Следствие 11. Пусть леЯ, n^in.n), tiptoe, f€Lp<Q2). Тогда „« „ К(2,у)-у|р<(2/я2> J^^)^/,*H2Z+I)'2| + <V?,+I>V/V 1*0 232 ч< V
(2/я*)| J %л/4)12/(.И2г+1Г2| 1*0 Ял? Следствие И очевидно в силу неравенства (62). 4? Предложение 1. Пусть п,кеЛ, re[0,l), 2к$p4*o,feLp, н„< 10,2k,f,x)= ^г^яг1 £(?,/,:г)|2*ФЛ(гш fI/(2W • яг(и,2л,/,х>- {(2г*яг^л|^г,/(Л)|2Л^{г>^ оа,г,й1= 2+ зрб*2ла-г)} !/<**>. 1Д2*> Тогда 1 Лр(II, 2k,f)lp 4 Q<k,r,»)l\Hn(iO,2k,f)lp. Доказательство. Положим ВЙ(2*,/)*||Л^(Ю, 2*, Используя неравенство Мин- ковского для интегралов и рассуждая как при доказательстве лем¬ мы 7, нетрудно убедиться, что функционалы Вл(2к,*) и Ur{2k,*) являются полунормами на Lp. Опираясь на обобщенное неравенство Минковского и неравенство для любой feLp имеем ... Вл<2*,У).|Я»(10,2*,Я1"',г,; 4 < «•„«)<« 4 21/у. Следовательно, | Вп 4 2 * Аналогично убеждаемся, что 1ир№Щр42. Покажем, что для любой feLp справедливо неравенстве En(f>p h Учитывая, что £«ovi/-wi? ,и приме¬ няя неравенство Гёльдера для интегралов (теорема 1.2.5), нахо¬ дим, что й рх \М./.*У\Фя<*н1Ц 4 Учитывая установленные выше факты, неравенство (37), полагая ?- и применяя лемму 9, для любой f^Lp имеем Vr(2k,f)4{2+2i)E„ <f)p + J В„ <2k,f)4<2+3l)B„<2k,f)=Q<k,r,n)B„<2k,fJ. Замечание 5. В условиях предложения 1 справедливо неравенство 233
|ипио,2k,f)ip N< jI/(2*’!Hrm,ik,f)\p. Замечание b справомиио в силу неравенства (36)* Следствие Т2. Пусть n£N, re[Ott) , 2 4р4 оо, feLp9 Тогда ^<2+12^{1-г))1/2)|Ял(4,у)||р, С64) |Яя(4,я|р < \т\Hri5,f)lp. (ьъ; Для доказательства неравенств (64) и (65) достаточно по-- дожить А =■ i соответственно в предложении Т и замечании 5. Предложение 2. Пусть я£Х, r£[0,I), 2ip4oo, f€Lp. Тогда lHn<l,f)L4 (nii-r)rn)~t/2lHr<3,f)l <r>0), (6fc bb ) |Яг(3,/>|р<(2+(|£’+2Кл(*-гЛ| Нл(1,/)|„ , 16Y) И^ЯИр < I Hr<5,f% • (68; Доказательство, Неравенство (66) очевидно в силу соотношения (42). Неравенство (68) - тривиальное следст¬ вие неравенства (40). Докажем (67). Б силу неравенства (43) для любого ТеНп справедливо неравенство ВЯг(3,/>йр<(лИ-г))^х *1Ял<Ар||? . Обозначим ^72 (1-г)) */2 через Применяя лемму 9 к полунормам (на Lp) [#г(3, *)\\р* Ц //л <I,#IIр (см.лемму 7), учитывая неравенства (46) и (48), а также очевидное нера¬ венство справедливое для любой JеLp* имеем II Дг <з.Д, 4 (2+<vS+i )1)Е„фр+г |ял ((2.fve ■*2>f (i,/) и,, j Теорема 7. Пусть neN, 24р& оо, f^Lp* Тогда \\Hn<i,f%~Wb,f)\\?\ *4£„<f>p. 169) [Wn<Wlp-W8J>lP\ <42*<Лр> (70) |H^H,/)|,-|^{9f/)|,| 4 5Епфр, |ЦЯ„<1,/)||р-уУ2,|Ягл<4,/)|1,| < 5E„(f)p, (72) < 5E„<f)p . (?3)
Доказательство. Из равенств 1. (50), 1.(62), (34), (11.) следует, что для любого ТеНп справедливы равенст- ва [UnilJ)\pm\Hn{8,T)\v -\Нп{9,Т)\р-1/Г\НгяИ,Т)\р, ЦЯЛ+1(2.ГЧр-|Ял(7,Л|р. Опираясь на соотношения (5; и (56), нетрудно установить, что для любого ТеНл справедливо равен¬ ство | Нп( 1,7) || р в || Нп( 6, Г)Цр. Докажем неравенство (72). При¬ меняя следствие 9 к полунормам (на Lp) учитывая неравенства (46f) и (49), для любой feLP имеем ч< (2AeS+2V2)E„<f>p4 5E„<f)p. Остальные неравенства доказываются аналогично. А Теорема 8. Пусть леЯ , 2ip^oo, feLp • Тогда \Hn(4,f)\\? <б||Ял«,/>|р, (74) (75) Доказательство. По лемме 10 для любого ТеНп справедливы неравенства ||ЯЛ(4,Т)Ц .((3/2)^г]| ЯЛ(1.Т)|^, J11. T}L4f2lHn(4,T!l .Нетрудно видеть, что если feLp, то Enif)p4 <ШЧЛр* £и<К41Ял<4’Лip . Учитывая сказанное, а также неравенства (46') и (49), и применяя лемму 9 к полунормам ( на Lp) (|#яП?*)|!р и ||//л<4,*>Кр . для любой f^Lp имеем Ч< 7iH„(4,f)lp. |яя<4>Я|\р4<2 + (3(2)1/г 2,17)Е„(/)р + {3/2)^ч< ч<<2 + (3/2)1/?3,17)|Я,г(1,/)||рЧ<6|1Ял{(,/)1р. 4 Замечание 6. Пусть neN , /sl2 • То1\да |Ял(4,Я1|г«{2+у/6-)|Яп(1,/)||г, (74' ) |Яла,ЯМ<1 + ЗгТ)||Ял<4,/)||г. (75') Для доказательства замечания 6 достаточно в доказательст¬ ве теоремы 8 вместо неравенства (46') воспользоваться равен- ством см. замечание 3). Следствие 13. Пусть neli , feL2 . Тогда (1+3fif1 < {<i/»»>f[ Е\фг Г1/г|Ял(4,/)1|г 4 г-УТ. ' AffiO 235
Для доказательства следствия 13 достаточно сопоставить за¬ мечание 6 с равенством ||#и<*,/)||2 доказательство замечания 30. Следствие 14. Пусть neN , 24 р 4 со, f е Lp. . Тогда iHnius% s< 1!нй<а,/)||р + 4B„<f)p, (76) lHn<8>f4p ч< 5||Ял{1>/)|р. (77) Следствие 14 очевидно в силу неравенства (70). Неравенства, ана¬ логичные (76) и (77), можно получить, опираясь и на соотноше¬ ния (69), (71)-(73). 5? Лемма 11. Пусть «еК, матрица Л=|алг| (ак1€.С, к,1 = = 1,72) унитарна, х,уеСп, у=Ах, Jll(l) = max |а^|, Лщ = ■=тахМ<к) при 1=1,п, 1 <р42, у=р/(р-]).Тогда $;ЛЧ)Г-Ч>‘-г\х1\1')'1г 4 (80) (81) Z*I где А(р) и зависят только от р . Доказательство. Докажем (78). Определим $унк- ции [0>7?J и <рг:[0»л]-*С соответственно формулами: y0(i>”yk при ie [*-£>*) и при f ког¬ да Я = Т7п , Уо^Ъ^Уп > * ал1* Тогда равенство может быть записано в виде ^ * где • Функции образуют ортонормированную систему на [0,л]. Применяя теперь теорему 3.4.7 (при <*? ), приходим к нера¬ венству (73). Неравенства (79)~(81) устанавливаются аналогично, но здесь вместо теоремы 3.4.7 используются соответственно тео¬ ремы 3.4.8-3.4 .ТО. А Теорема 9. Пусть хеС, п еТХ, 1<р42, у=р/<р-1>, j > О, €Hn<1,f,x)-(irl% lSk<f,x>pp/i, Oor- **0
n l*i * «М2,WJ(2]£ |^/г(ИЛЛ(г(3,/,а:)с(5,л,г)|#)1/^ г.х w-x Q(3,$ff,X)= (4л)'1 (*21 Z*Vl . A, 1/4 Q<W, *> = (я** J | Ш*>П*+*> ) /?, ws,=(f <?{«.#,/,*>«(§ Z»I n-x Z*1 1=0 n Q (8, f,f, x) • (T | Rn>l{ l,f, *>f* Г2)Щ, 0<9,i,f,x) = (f jRn,i<3,f,x)\ fr*)i!i, l‘in-1 ... Q(t0,j,f,x>*( l \В„,г<4фх^<1*и'л)щ. Тогда max Q<k,(f,,f,x) 4 6H„(p,f,x), (82) 2,3J &Hn«lrrf*x)4 Win Q (k,p,f,x), (63) ke{t,i,3} j'jnax^Qik.p.f.x) 4 B{(p)eHnip,f,x) , (84) 6Hn<f>f>x) 4 B2(p)^mxn^Qik,cf.,f,x), (85; rnaoc Q(k,<f.,f,x> 4B3<p)Q<4,q,f,x), (86) Q(4,p,f,x) 4B4ip^min^Q(Jc,p,f,X), (87) где Bj(p) (J-—1,4 ) зависят только от . Доказательство. Докажем (82). Пусть г = = п^{4{2^иГт(В„,1 <t,f,x)c{l,n,l)}”р 5-л«*(x})”2l . Тогда в силу пункта 1 таблицы 3.3.2 S”A„(i)r. (88) ••<27
Учитывая это равенство и применяя неравенство (78) (заметим,что для матрицы Лп(1) имеет место соотношение sup M(l)j(4{2n+1)"1)!), 1*1 ,л приходим к неравенству Q(ly<^tf,x)4^Hniptf9X), Аналогично,не используя вместо пункта 1 таблицы 3.3*2 пункты 7 и 10 той же таблицы,■ приходим к неравенствам 0{к9^,/,х)4вНп(р9/,х)щт к = = 2,3. Из сказанного неравенство (82) уже очевидно. Неравенст¬ во (83) доказывается аналогично, но здесь вместо неравенства (78) используется неравенство (79). Докажем (84). Опираясь на (88) и (80), имеем (уС'(Ч2л+1)-1)(р~тШ2пЦ))р1г м 4Bs(p)€Hn(p,Jfx), Отсюда, замечая, что c{lin9l)'*$ins{itlfi2n+l» ^ (2lf1(2n + t) (мы воспользовались неравенством $т?М2/я)? при ?£*[0, я/2]). приходим к неравенству Q<Btp)ftx)4BQ(p)6H:n<prf1x\. Аналогич¬ но, но используя вместо равенства (88) заключения пунктов 7 и 10 таблицы 3.3.2, устанавливаем, что Q<k,p,ffx)4B7ip)eHn(p,f,x) при А =9,10. Неравенство (84) доказано, Неравенство (85) до¬ казывается аналогично, но здесь вместо неравенства (80) исполь¬ зуется неравенство (81). Доказательства неравенств (86) и (87) близки к доказательствам соотношений (84) и (85). Здесь имеет соотношений типа (88) используются соотношения типа $ Введем ряд обозначений. Пусть feL^neX, xsR, $>Q . Тогда полагаем Дм(~ н(2п+Jг1 У Iil,f,х) с (I,л, />I1 JL 1’г нл< Mjf/f it* г* (?5! I *1!'^п,1{ !)<(?, л, нл(15,*,/,*)» (4пг1 (2^ | £л,1<4,/,*) см,«,о|<) ЯлИ«>М,*)i *«0 ЯЯП7,*,/,*)-{ J (<ГЛ,,(f,/,arjj^i’if1, z»r 238
НпМ,1^)*{\\Вп>г{ЪЛ,х)\*г1)Щ, г-i 1У ' г-i Ял 121, ?,/,*> = ( J |^„,г13,/,аг>|^/-г)1/г?, ’ г*о Лемма 12. Пусть J*, nstf, $€ 14р4<х>' Тогда i VW+g)fp (к*Щг>. (89) Доказательство. Все неравенства (89) доказы¬ ваются одним и тем же образом. Для примера докажем (89) при к = = 12. Применяя неравенство Маяковского для сумм (теорема 1.2.1), имеем Hn{i2j.f+gtx)4Hn(12,jtf,x) + Hn{i2,jtg,x) (хеЮ. Отсюда ясно, что \Hnw,j,f4g)\p < \ня\12,м)\р + \нят,1,&)[р. а Лемма 13. Пусть /?£ДГ, ;?£<1,лгЬ Тогда f Яя(12,у>|„* (90> ||нл^)|ж <2(J(2+l/2^)l/# 1/-1р5), (91) ||Я„<ВДМ *,<?), 02) '< 4(IrJ?)^ (93) 1*1 Ц #л (/,?) |« 4 4 <Я2/б) W (/«20^2), (94) где Щр и Л)<р зависят только от ^ ; для К{$) справедлива оценка Хф4max{2,17; {j>+f Kx~*f*2>'(f-1 )1'U j+1 f x/f ),/v^1,+l}. Доказательство. Функция Hn<12,i,j,X) ьозрас- тает вместе с $ на (1 foo ). Применяя теорему 2.6.12, приходим к 239
неравенству (90). Неравенства (91), (93) и (94) доказываются одним и тем же способом. Для примера докажем (91) при J =13. Используя определение Нп (13, ос), неравенство ^ #2п+1)Ц21) и соотношение |f<^7 {itgf #>|Л 4 4 справедливое для geL©о» для любой feLeo имеем | J4i, < «(2 I. • l*t l*i Отсюда следует (91) при ^-13. Докажем неравенство (92). Если f > 2, то очевидно, что Нп{16,$,/,ос)4 Нп (12,£,/,#), и, следо¬ вательно, в этом случае оценка (92) вытекает из неравенства (90), Пусть Jc(£,2). Тогда, опираясь на неравенства (87) и 2.4.(11), швем i ъм( f, <b*tf*ln*<k+ 2)\Viyi^K^) I/ II w, 1*1° где (j = 2,5) зависят только от $. Следовательно, ||0(4, 4 Осталось заметить, что < il <?<4,2>IU+ А *»0 Замечание 7. Пусть #£N, $е(1, «э). Тогда s*;<^>iu(2l 1*)щ» iя*<вдм(21 (Mrff.w) ' М ' i-o Теорема *10, Пусть пеЯ, 1<р42, <f.=p/(p-l),X<p-si^lH„(I2, #)Д * Тогда *1/гГ»),',*«/н+1)|я>(1г1р|у)|и, |н„02.,,/,|, < хг,р>{Е„ф„ *5<р»1г«(я-+иад?./)|.1’199) 240
*< <р>{в„<л„ 4*дав>19}1ял^л^11® 1’(100) где •К/я'/М ^*1,4) зависят только от ^ . Доказательство. Доказательство теоремы 10 ос¬ новывается на леммах 9, 12, 13 и теореме 9. В качестве примера докажем неравенство (95). Из неравенства (82) следует, что для любого полинома ТеНл справедливо неравенство max\Hn<k,a,Т) 4\НпШ,р,Т)1„в. Легко понять, что E„<f)„4 || Н„<12,р,/)||„ для любой / еХл, Учитывая сказанное, а также неравенства (90) и (91), и применяя лемму 9 к полунормам на (см. лемму 12 ) I#„<13,2,*)||«, и ||Ял{12,р,»jfla, , получаем, что для /еХ» |tf„<i^,/)|U (2{%0*112)^+Х{р>)Еп W* + Я Яя <K,/\f)||M ч< 4<(2(f a+J/2>'*JI/f + W/» + l)fl Я„О2)р,р||„=04. Z*0 Аналогично доказывается, что ||Ял(А;^,/)||я, при >=14,15. Тем самым неравенство (95) доказано. А | 6? Лемма 14. Пусть пеЛ , f€Hn. Тогда \j\cm^)MUlv Доказательство. При a»£j? имеем a{2n)~li'f{x + l>l>n<i> <Н, Значит, \S<x)\^(2n)'l^\f(x*i)\\D„ai\di 4{2n)'Umax^\Dn<l)\)j^lf<x+l)\dl* Дежа 15. Пусть neS, ^у^Ъ), 4ft!H7<l)sin<bt/2)cos<x/2)$in(nX/2) sinnx 871,l f “ ^1/2 ^cos ^ _ cos x J Тогда max max |£’я,(6,эЖ 4 (3<2n+f)/jl)^2. хе[о,я]1 6 '* Доказательство. Учитывая (см .лемму 2.4.2) , что (cos&,-cos sc Г1 sinпх е Нп, нетрудно понять, что &1 ,(Ъ)е 071 *^3Л + 1 • В силу пункта!) следствия 3.4.1 J z (6,x)dx = 2. Применяя теперь к функции = лемму 14, имеем max \х*<$,х)]4{3<п + 1/2)/п)г~<3<2п + 1)/п). А ЭГ€[0,Я] ’
Замечание 8. Пусть Яи= .maac max lov ,(6,х)\ Л г.1^ *e[(l,Ji]l6V ■ Прямим исследованием функций ^z(6i можно показать, что Кп « = (8п/(3л%*1г, если Гл+1)2'*е*Г; 0,7247у/Г, если 2_1ле игКГ, л » б ; Я2 ^ 0,7407У?, ТС4 « 0,7286уТ. ‘ Предложение 3. Пусть ««N, Кр^ 2, <p^p/(p-i)> j>>0, zl=nljnt Xn=n~V2 вид яга* . | gn,i<6’x> |> Функция /е#л такова, 1*1,Л Х€ LOjOtJ ' что при ZeJR, /(0) = 0, <?л <12,?,/)=2л fY 2 |<k'/2<Z)(2+(-i )гу1г^гг) cosec ) V{ l«t ' Тогда 0„{tt,^,/)40a(S2tp,f), Q„(12 ,f,f)4Q„<U,p,f), (Ъ^\?1'2)1/?^х<р^т'Р’Л' 0^м^кМЬ^<г1]\н'г)Щ' м м где К(р) и зависят только от р . Доказательство предложения 3 получается из сопоставления следствия 3.4Л с теоремами 3.4.7-3.4Л0, в которых берется % = *>• § 3. Неравенства для производных тригонометрических полиномов (1) 1 ? Демма 1. Пусть . п е V. Тогда Т?с2(4,й,1) = 2л2, Z-0 ^еглШ{1+(-1)г+1)сг(3,л,/) «л2, (2) м 71 J^(Z)c2(3^,Z) - б'^лЧ), (3) г*1 л-1 5|ги,л,г) + Н)г+12л|сНл,г) =2лз. (4) ZrQ Равенства (1)-(3) уже использовались ранее со ссылкой на литературу. Мы сейчас дадим их доказательство. 242
Доказательство. Для доказательства равенств (I) и (4) достаточно в формулах 3.5.(13) и 3.5.(16) соответст¬ венно положить fix) = sin пх, х = 0. Для доказательства со¬ отношений (2) и (3) достаточно в формулах 3.5.(14) и 3.5.(15) соответственно положить Six) - cos лх , X = 0. А Теорема 1. Пусть леЯ , хеС 9 4 00 . Тогда I S'n<f>x)\ ^ n\Sn<f,x>lnf4 9 ^ Ktf>llp <”\\Sn<fH\P> (6) \S'n{i,f,x)-<n/2)Sn<f,x)\ 4 <n!Z)\ V/,a^k3 - (7) II S’<t,f)-<n/2}Sn (f>lp 4 (n/2) I V/Jfp, <8) |5;(1,^|<я|5я</,*)|Л|3, (9) v/)|p, (10) S"<f,x)^6-H2^1)Sn(f,x)\4 *‘44n2-i)\sH<f,X)lnt3i (11) lsZHf)+6-W+l)Sn<f)\p4 b-l<4nU)\sn{f)\p. (12) Доказательство. Доказательство теоремы 1 основано на равенствах 3.5.(13)-3.5.(16) и (Т)-(З). Опираясь на равенства 3.5.(13) и (1), имеем n-i г=° V/)|p с2(4,л,0 - л |V/>|«. 2*0 Аналогично, .опираясь на равенства 3.5.(14) и (2), получаем,что ) S'nU,f,x) - {nl2)Sn(f,x)\ 4 41 S„<f,x>l„t3{2nri J <£„( I){!+(-! )ш)сг(3,п,1^^12)1 У/,*)|Ц, l*t |S'nit,J)-(nl2)Sn(plp 4. 4\s„<f>lp<2rtr1^«„<l){i + {-i)™)c*<3,*,l)-<n(2>iSn<f)lp. Неравенства (9) и (10) очевидным образом следуют из неравенств (7) и (8). Доказательства соотношений (И) и (12) аналогичны 243
доказательствам неравенств (7) и (8), но здесь вместо равенств 3.5.(14) и (2) используются соответственно равенства 3.5.(15) и (3).А 2? Введем ряд обозначений. Пусть Je пе'Н, эсеС. Тогда К<!,/,*)• {(ли/гг1 У «лШ|■(Uf,х)-x)tI2 j1/2 ^0 if 2 x5ojt-t ,,2 W„i3,f,x)‘[ii/r,)Yl\ Skii,f,x)-6n(l,f,x)\ } . . n-t **0 . f/2 n i/2 Wn<5,f,x>*l(2(2n4lJ2)'1 J|Лл *К/,x)|2< 2<1, л,*) J , М^,{6,/,аг)= |(2<2n+B2}*j ji?n,*(-2,/,ar)|2c2(2,n,A-)|I2, ЭТ-1 JfS0 j/£ |Лл,*(-3,/,:г)|гсг{3(л,*)| , 2\Rn,*i-4,f,x)\2c2i4,ntk)\ . k*o Лемма 2* Пусть /eij , Ji^JV , xeC . Тогда oo <2%2}-i Y1 *n,Ki-Uf, x)\2*'2, (13) k*l CO W3?<6,f,x> = (2/n2)% |J?„,*KV.*X2P*+i}‘2, (14) x*o Wx2af,x> = {2Я2)'1 f рЛ)Д-3,/,х)|2А-г, (15) *-I W2(8,f,x)= (2/ji1) Y \Pnle{-4,f,x)\2{2k+i)'2 (16) Jc*0 Доказ.гч v тгва формул (ТЗ)-(Тб) аналогичны доказательству формулы 1, Теорема 2. Пусть , яе-JV » , >£• jl,2,3,4} . Тогда
Доказательство. Докажем равенство (17) при Л =1. Положим Т1 = = (4(2n+l))^2Pnil(-i,f,x)c(i,n,t) при I =Т7п, г0 = O,r=fi})”0. Тогда по пункту 2 таблицы 3.3.2 s=Ani2)r. Матрица Ап(2> - унитарная. Поэтому fs|2-|rl2* Последнее равенство и есть со¬ отношение (17) при к ~1. Равенства (17) при к £"}2,3,4 \ доказы¬ ваются аналогично. При этом используются пункты 5, 8 и 11 таб¬ лицы 3.3.2. А Леша 3. Пусть f€lt , лея , агеС. Тогда < Rn>l^f,x){-i)Ui Г2={Ц8)&п^,х)^{2пг)< S'^j.X), (18) z»r оо ((/n2)J *^(6,/,*)Гг= <1/3)S„(/,ar)-a/n)S^(,f,x) -№)'%'{/,х). (19) Ui Равенства (18) и (19) очевидным образом следуют из соот¬ ношений 3.5.(14f) и 3.5.(15') Теорема 3. Пусть леМ , f€Hn , ocelt. Тогда бН*я</,х) + Шггп<3,;,х) + <4п2Г*1/'<х)1г « «й, (|/|-», (20) *#»,</,*>+'У/я<4’М>-ъ,(Ш*> х) • (21) Доказательство. Учитывая равенства 1.U2), (15) и (17) (при к ~3), имеем ОС К*вЩпф.х) 4 w/ni3,f,x>° <2пЪ'*% {fabAf,x>\*+\PiH,k&.f.xif)jfr = яг%РгП'к<6,У\2,х)к-2+У<Х)\2№2)f А-2 4 *Г* 130 яег*^ 1* f Э 1 *5 ’ *’s Отсюда, применяя равенства (18) и (19), получаем, что JC.<l/3)|/f«|2-<2nf% {1,1/1г,х)~ <8п^(1/(х^ТН1/3)1/М1г-*- +f(x)((I/6)f(X) 4 <8лгг*/"(х)}+/(х)({1/6)/(х>+ (8rt2f1/"<x))B> = \f(x)j г-{2п )'S'Zn (i,lfl2,X>-<SsizrS(( lf<xil2y-f<x)f7i(x) -J(x)f'my 245
Теперь, замечая, что \^<х)\2-(2п)'^'гпа,\^1г,х) = е2п(\/\г, х), а (lf<x)\2y'-j'(x)f"{x)-f<x)f,r<x)=2\f,(x)\z, приходам к формуле (20). Учитывая равенства 1.(44), (16) и (Т7)*при jc ~4), имеем - <2/*2ф|%,*(4,/,^|г+ j*2„,*(-4,/, от >|2>< 21+1 )'*« * (4/Лг>5 Лш(4г |/|2, *>(2* + 1 Г2. z*o Применяя формулу 2.(9), приходим к равенству (21). А Следствие 1. Пусть n£N , » осеЯ. Тогда w*<w>-3ЯПТШ Л ■ (2Z ’ Равенство (22) получается из сопоставления соотношений (21) и 2.(32). Следствие 2. Пусть neW, ^еНл, хеИ. Тогда $inZ{t/2) dl- (23) Равенство (23) получается из сопоставления соотношений (22) и 2.(34). Теорема 4. Пусть n-2€N , фиксированные вещественные чис¬ ла <xQ>ait а„_1 таковы, что: a) a^+aj+a*^ Ф 0 , б) функция Ш1)=(XQ/2+alcosi+an.rfco$in-t)i-Gos{n+l)l)неотрицательна на [О, 31]. Пусть далее хг *уп>1 (4), dt'*а012 + tfjcoszz+(-1 у<хлЛ sin ъг, Тогда для /*ЯЛ, удовлетворяющей условию цри ieB % справедливо равенство ?*\№\гт)л _ 9г V ,п., Jn ~Жг| ai п Zt simzt • к IgO Теорема 4 очевидным образом следует из пункта 3) (формула 3.4.(20)) теорема 3.4.6. Следствие 3. Пусть яе79 , feHn, ЪяУп,1<*Ъ осеС. Тогда я-1 j0 \P„tii-4,f,x)fc2<4,n,l>A2b) Доказательство. Пусть g{t)=f(x+i)-f(x-t) . Полагая в формуле (24) V(i) - i +Cos f и применяя ее к функции 246
g , приходим к (25) при п £ 3. Случаи л = 1,2 рассматриваются непосредственно, i Следствие 4. Пусть ле JV, /<="#Л t #*гС . Тогда = { 8пп )'^Я| f<x+I) -f(x- Dfcosec 2(l(2)dl. 126) Доказательство. В силу равенства (25) (8%n)~i^\f(x+:l)-f<x~l)\2CQSQc2(ll2)dl =■ w£<8,f, х). Осталось заметить, что на основании теоремы 2 ( к = 4) wn<8,f,x>=W„<4,f,x). А Следствие 5. Пусть M€Nf , осеR. Тогда £n\f(x+l)-f<x -l)f2co$ec2{l/2}cos2nicli ~0 . Доказательство следствия 5 получается из сопоставления со¬ отношений (22) и (26). Теорема 5 у Пусть fe tne& , хеС, z^yn ^ (4). Тогда Доказательство теоремы 5 получается из сопоставления ра¬ венств Т.(44), (16) и (Т7) (при Л =4). Следствие 6. Пустъ feLj . ne'N ♦ хеС t 14р4<&. Тогда + 11 . (28> Доказательство, Опираясь на равенство (27), имеем бЯ^ </,*> + W* <4, J, х> 4 4l\Sn<M)\%)4(8/^)t(2k+ir2-l\SM,x)j2lni4. Тем самым неравенство (28^ доказано. Неравенство (29) устанав- ливается аналогично. А Замечание 1. Пусть f nsN, хеС. Легко по¬ нять, что 247
|s'n<f.x> |« I л'1 X}- Sn<i,fix»\ 4 n-i **° N< { л'1 J I SMi 1, fix)- S„(i,f,x) |?| *1 W„{4,f, X). **° n П Так как из неравенства 128) следует, что Wn(4,f,cc)41$п(£х)\Пг4, то (28), в частности, может рассматриваться как усиление нера¬ венства (5). В аналогичном смысле неравенство (29) усиливает неравенство (6). Пусть Ясно, ЧТО Я-| * **0 , и/2п й По неравенству 1.(89) ?(/,:г>^{(4лг-1)/{Зл2){ Таким образом, 1.(59) частично (константа 1 заменяется на не¬ сколько большую постоянную (4/3 )^2 ) усиливает неравенство (9), В аналогичном понимании неравенство 1.(60) является более силь¬ ным, чем неравенство (10). Следствие 7. Пусть , f^Hn , xeR , i 4 р 4 «». Тогда о 4 2eZn{\$\\x)-\S<x)\4\\fm\%,4, (зо> l^nd/l^-l/lM^II/PIp* (31) Доказательство. Из равенства (21) следует, что lHZ(fiX) + W*<4,fix)-2бгМ1\х)-)/т\г. (32) Остальная часть доказательства очевидна в силу следствия 6. А Теорема 6. Пусть feLl(Qz), пеЛ, п = (п,п), хеСг, 1.<.р&оо, Z„(fix)= л'1 ),f,x) ~ к*9 ^*0 m ~ ^(k,n)(№J fyfyfadifihjfX') + Sn((t9i),f9 X >). огда 1=0 n-i Zn<fix)~{8n!r^ Лп>г ,2 (f-4,-4>,/, Х)сг(4,п, l), (34) л r MnifyX) + “ = (4^2 (S„<3’Х+Уп,ц2<4)) + s„{/,*-z/M^2 (4 )))сЧ*Д< 35 J л4о ^
iMjlWlp* iSn<f>ip’ t36) I lz»<f%tlls»<f>lp> (37) 85л</,^>8и,4, ЦЛ^</>+< I ^„</>Яр. (38) Доказательство* Формула (33) - стандартное усреднение формулы пункта 10 таблицы 3.3.2 (она уже отмечалась ранее (см. соотношение 1.(39))), формула (34) — стандартное усреднение формулы пункта 11 таблицы 3.3.2. Равенство (35) лег¬ ко получается из сопоставления соотношений (33) и (34), Дока¬ жем первое из неравенств (36). Учитывая равенства (33) и (1), имеем п-\ IvMm С*<4,я,1)« |VS’*>|m-■ /»о Остальные соотношения (36)-(38) устанавливаются аналогично. 1 Замечание 2. Пусть feLt, nelf , ягеК , 2г=^ц(4). Определим функцию g: J?2-.C для i/eF2 равенством g(y)sJ<y^j<yt)‘ Применяя формулу (35) в точке Кх,х) к функции g , приходим к равенству п.\ 6H*<f,x)+ Wj- (4,f,x) «{4n2f^(j S„(f,x+zl)\i+\s„if, х-гг)\*)сЧ4,*Л), 1*0 равносильному (при x€lt) соотношению (27). Таким образом, фор¬ мула (35) может рассматриваться как двумерное расширение фор¬ мулы (27) (при эсеЮ. Аналогичное истолкование можно дать и соотношениям (33), (34), (36)-(38). § 4. Интеграл Джексона Пусть j€Lt , леЛ , arejt . Функция gn <f>*> * <**>'*$« где n '»■ ^ / Sin(nl/2) \4 Ani } n(2*«+i>\ sin<t/2> / ’ называется интегралом Джексона функции / порядка п . Функция Дп называется ядром Джексона порядка л. | Лемма 1. Пусть , neW, *eR , 249
4и~ ЗМ3-Шг-3|А| + 2п(2пг+Ц ЩШТй , если \к\=0,п-1, -1А1Ь бпк г-(кШ2п?-1)+2л(4пг~И T^ ^'-'v7 если \k\=n-i,2n-2, 2п(2п2-ц) ’ I I > > О, если /А|>2л-Г. Тогда: 1) справедливы равенства Дп<Н-% «> *с-2л+2 2л-2 к=-2п+г 2) если /*гЯ2л> Zjc=y27tik(3)>T^y2n lc{4i,T0 2п (2) (о) (2яГ1?*/^Дп(Шг«(4«Г1 J * **-2п (2яг1(я/адл(гмг»(4Пг12 и) * я к‘0 Доказательство. Равенство (1) (см., например, [60]) устанавливается непосредственными вычислениями. При этом используется равенстве {Щ^тт)г-21?-1кш-ктаН- Л«0 Соотношение (2) легко выводится из определения функции gn(f) и равенства (lj. Равенства (3) и (4) получаются применением след¬ ствий ЗЛЛ2' и ЗЛЛЗ'. Л Следствие 1. Пусть леЩ . Тогда (2Л)1Х1 ^n<l>di eI» 2п (An)‘fJ <л2п(к)Дп(угп>к(3)) = 1, Jc*-2ti 2п-\ <2пГ1% дп(у2п,кт~и (5) (6) (7) *s0 Доказательство. Равенство (5) очевидно в си* лу соотношения Л). Для доказательства равенств (6) и (7) до¬ 250
статочно в соотношениях (3) и (4) взять f тождественно равной единице и воспользоваться равенством (Ь). к Предложение 1. Пусть леТГ , 14р 4 °° * > хеЯ . гК~Угп,к^^' Тогда: 1) если f€ Нг„, то |^*’|кэ • <в> 2) если feLp, то •) ЛлV ио) Ч< 2Ег„</>р. (И) Jc* о Доказательство. Неравенства (8) и (9) полу¬ чаются из сопоставления соотношений 1.(14) и 1.(15) с равенст¬ вом (3). Докажем (10), Обозначим левую часть неравенства (10) через Ф(/). Учитывая равенства (5) и (6), нетрудно понять, что SVB 1 ^ 2* Далее, опираясь на равенство (3), без тру¬ да Получаем, что 4^(7}= О для любого Те Н2п. Применяя теперь замечание 2.4,. приходим.к неравенству (10). Неравенство (И) устанавливается аналогично, но здесь вместо равенства (3) ис¬ пользуется равенство (4). А Введем обозначения. Пусть , хеR. Тогда пола¬ гаем t (Ъ ft 1 "i/2 j К**»/.*)1гДя* 2л ^ f/- £я<3,/,*>- [(влГ1^ \#гя,к<4,/,х)1гД„<угП'Ь<4))у/г, яЙ*^ /а u IV4’/’*f<2*+I>'4} » 255
n-i gn<b,f,x)~W/t6)n'2<2n4l)~1'J?i\8„iie(4lf,x)\2c4<4,n,J()\i 2 * *-o Лемма 2. Пусть neN , /сЯй , xeB . Тогда ёп <*>/> ж> =gn<2>f’x> sgn< 3’f’ х> * (12 > gn(5*f> х> *,gj,<6>f> *> • 43) Доказательство. Равенства (12) - очевидные следствия соотношений (3) и (4). Докажем (13). На основании пункта 7 таблицы 3.3*3 заключаем, что j Sp<f,x>\Z^(32nft j \Rn>l(4,lx)f^{4,n,l). (14) rt* 0 ' In о Применяя равенство (14) к функции f *(•)=/(•)-f(x), приходим к (13). 4 Следствие 2. Пусть . Тогда л-1 ^С4(4,п,1)ш{413\ Пг<2пг+1). (15) Z-0 Для доказательства равенства (15) достаточно положить в со¬ отношении (14) функцию f тождественно равной единице и принять во внимание, что 2 6'in(2n^t). (16) *«о Лемма 3. Пусть пеК . 2 i р 4 оа . Тогда I1е,<Щ,<*> lg»<s>lP*2' (17> * Jf*0 0 |g*(6,||/> *2, 09) Доказательство. Неравенства (17) и (19) до¬ казываются так же, как и неравенство 2.(49). При этом исполь¬ зуются соотношения (5)-(7) и (15). Докажем (18). Учитывая ра¬ венство (14), рассуждая как при доказательстве неравенства 2. (49), применяя теорему 2.4.1 (неравенство 2.4.(11) при ^-4) Л используя неравенство sinl£(2/n)l при $б[0, я/2] , имеем 252
|{6nW«i>-‘ I' [3„«)|f Sp<f,-)f\ml 4 n-i k*° r'k 4 ji nw+tr'i *®o оо ЦТо x c^n^Ulfllpl<24/n2) tj2k+i)'Xf^m(l^rtl\/l)dlj2|V2. Остальная часть доказательства (см.равенство (16)) очевидна. А Лемма 4. Пусть $,g eLt , пеЛ , i4 р4 <*> • Тогда Un<*>f+g%4 \gn<4%+ Un<k’g% <*‘W. Доказательство леммы 4 аналогично доказательству леммы 2.?. Теорема 1. Пусть пе N , 24р 4 ею, feLp. Тогда \1еМ>1,-1&аЫр\ *■ 4E*<f>r (г0> < 4£*</>?• l2I) |&МЬ> I 4XB„(f)p, (22) где К - абсолютная постоянная. Доказательство теоремы Т проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 2.7. При этом используются леммы 2-4. Следствие 3. Пусть , 2 4 р 4 оо , feLp* Тогда ,). Ilga/Vlx4 х‘ (хл</>р * $gn<!'f>lp)• lg*<SJ>lp4 MV/lj. + lg„<4./>tp), \g*«-f>lp * *<(*nV>p + lg»<s.f>lp). где Kj (j = iA)~ абсолютные постоянные. Доказательство. Применяя неравенства {2/Я)14 4 sin 141 при 1в [О, л/2 ], без труда приходим к соотношениям gn<3.f,X) 4X5g2n(4,f,x> 4 K6gn{b,f,X), g„<6,f,x>4 X7gn(4, f,X)4X&gn(Gtf1x), где Kj (j*S9S)- абсолютные постоянные.Ос¬ талось воспользоваться соотношениями (21) и (22). А Замечание 1, Можно показать, что в условиях след¬ ствия 3 (см,комментарии и дополнения к § 4.4) справедливы не¬ равенства W>P*x»lgn<WIP> £n<f)p'<jcntg2»<5-f>$p > где Хэ и К- абсолютные постоянные. 253
Теорема 2. Пусть леЗ*, 2 4 р 4 Lp . Тогда XalgnWlf гдб Xft и Xft - абсолютные постоянные. Доказательство теоремы 2 получается из сопоставления след¬ ствия 3 с замечанием § 5. Функции класса Lip 1 и сильная аппроксимация £.° В этом параграфе и комментарии к нему запись feC до¬ полнительно предполагает, что / - вещественная функция. Далее мы будем использовать ряд результатов (они нумеруются при помо щи букв латинского алфавита), не приводя их доказательства,ог¬ раничиваясь ссылками на работы, где Соответствующие доказа¬ тельства имеются. Пусть feC . Величина wjfh)#* sup II на- г I\l\ih 11 зывается модулем непрерывности г-го порядка функции/ в про¬ странстве С . Полагаем \оо • Лемма А (см.[29, с.332]). Пусть feC , к > 0. Тогда | Лемма 1. Пусть jeC, h> 0. Тогда 4 6p(f,fc). Доказательство. Учитывая неравенства (g, А )«*< 2|gi«. если и применяя лемму Л, имеем Wf(fth}oo ^ сЦ (/“^2 (f ^ ^9^ )ео^ S< 2j|S-S]viS>\» + « 6p<y,A;. 4 Лемма 2. Пусть /еС, леТГ. Тогда где Xj и ~ абсолютные постоянные. Доказательство. Легко понять, что при 2 с € [-Я/Я, я/п] 254
дп<1)= j— (sin<ni/2>\* \ л /JL\ >lLn n n(2n^l)\ si«(f/2) / ^ Дл(n) * n*n • Учитывая это неравенство и опираясь на лемму 1, находим, что > (12/я4) лI|Л*+г)-Л‘>|^?|0„ = (24/яЗ)р(у,я/л;>{4/jr3JtPj(/,п/п)ю, Тем самым соотношение (1) доказано. Докажем (2). Нетрудно убе¬ диться (см., например,[47, с.114]), что при &,£ [0,3) £* \1\«дп(1)<н 4 Х3<*)х-* (з) где зависит только от <#. Учитывая неравенство а1Л]+1)ьн<№)»* если Я, ieR+( см., например,[47, с. 108]), и (3) при cte{ 0,1,2] , имеем j£*|.f<•+ ih/n|;2д«аш lj_*io2f (f,\i\)идиа) di - {/>£)„• * Следствие 1. Пусть feC, Тогда <0t<fi*/n>„4X4 и> где - абсолютная постоянная. Доказательство. Применяя неравенство Буняков- ского Неравенство 1.2.(7) при р ~2), имеем ^ U дя<ам лп<тг )'1г^§\а-+мФ ?bnmdif2^j <2я)*/2|(£* I Л*+1) -У<'>1гДп*нм )1/2 Ц* * Сопоставляя последнее неравенство с (1)» получаем требуемое.Д Теорема А 1см.[39, с.231]). Пусть fe С, пеЖ^ Тогда (f)oo 4 b*i(f7fCf(A + i))eo* (Ь) 255
Теорема В (см,, например, [29, сЛ60-162]). Пусть feC, he (О, я]. Тогда Ся/Л] <%(/'*)* 4 К5Мг J , (6) г-о где Х$. - абсолютная постоянная* В частности, можно взять = 2(1+ Yz)z. Теорема С (см.Гвб, c.20j). Пуоть feC , neTi, reZ+. Тогда Wrto^d+f >'%(/>„, (7) Z«0 Z*0 где K$(r) зависит только от Г. Теорема D [ 29, с.305]. Пусть feC . Тогда соотношение влечет соотношение s*up 1)м 4 2. Для feC полагаем €„</) * SUP (\f(X+ • ) - f(X)\)„> Х€жл Теорема 1. Пусть f€ С , лс Z+, h е (0,п] . Тогда еП if> n/iH+i))cot (8) C«/AJ J a+tiejf) 4 S^XsWj(f,h)„. (9) 1*0 Доказательство. Пусть Легко понять, что Ш1 <gx’b)» = suj)^ \\f<x+l)-f(x)\- \f(x+ и) -Six) || 4 4 SUp If (x+t)-f(X+U)j=<i).<f,h)a,. (10) fl-uUft f Применяя теорему Л и учитывая (10), находим, что *„<•/)-supEJt(gx)4sup u>i(gx,a/<n+tf)ea4 «j• XtfF ЗСви Далее, используя теорему В , имеем Ut<f,*)tox SUp sup gx<l) 4 sup io2<gx,H)ea 4 JtCF xeP 256
[Я/AJ [Я/Й] 4supК5Л22<l+l)Et(gx)„4*b**X X€R ;*0 So Таперь докажем второе из неравенств (9)* Применяя оценку (8) и неравенство Z2 )* 4 2 { Щ1^) (/, ff )т ♦ если 0<it<i2 (см., например, [69, с.1И]), имеем ЫШЪ [nth ] A2 Jfl+DejC/) 1-0 Z-0 «гА^я/ЛЗ+^о^/.я/Ця/Л] +!))„ < 8я*<у, (/.A)*.J По определению полагаем Lip lim A“*(U».[f,A)e<»J. 1 A*0+ (Следствие 2. Пусть fe С , me (0,1 ]. Тогда условия /е Lip at и lim л“ел(f)<& равносильны. я+оо Теорема 2. Пусть fe С, пеТ* . Тогда </, я/и >да « jc7 гг>“/<• >1 ) I«, * (и) «2|[2Ы)|£ ].//.+*>-/✓•)) Р/Ш* jf ч< Х^п/т,)",, (12) Z*0 " где JC7 я Xg - абсолютные постоянные. Доказательство. Сначала установим,* что .для любой & еС 10 я .**•* |лЯ U ^{Ш}г(Ш1^Х3{2){4лТ1п?'^{21лЩ^а)Ца){!1\. (13) Пусть cosliMniDdl, Принимая во внимание равенство 4.(2), шее?/ $п~2 IfcgiiM.ivJil.Klgjg.y-WfijMrftg.O)]- зя-г зч-t 1&0 Х<ясл1*№<&м |< 2 |Х” (cos* * -tos№)iwnam j|sz#0)| 4 4 2% j£f Sin(<2i+iш*i«iW>l Дя<*)<ЯIst<g, 0Я4 Ы 257
< 2**f * 1гД„{Ш1 J {2Z+1)|5,^,0^ 2'%№пг J {22 + J)|Si <g,0) | = 1Ш° 2n*2 я W *Х3(2Ц4я)~1п~г (22+1)Ц*_я g(I) D{ (l)dIJ. z«o Докажем (И). Пусть 7п = [2‘^я + 1)] . В силу (13) I (У*'*+г 2 )| л^„ < г) ^ х3 (2) ttV 21|2f 2Z+I ^ li*” +^ IL Учитывая теперь (1), приходим к (И)* Докажем (12). Опираясь на теорему С (при т = 1) и принимая во внимание второе из нера¬ венств (9), имеем |л'г^2г+1С В1 (Ш1Ц„4 2я*вшл гЦ(Ы)еМН Обя*6« ><*»,(/» */«>»• 4 Теорема 3. Пусть j€ С . Тогда; 1) соотношения /е Lip 1, (14) lim П-+0О | *' I <М||£ w*111» К l*° "_I II <00, (15) lim li+OQ г1пя>'х < oo, (16) Itm nen {f) < ос П-+0О (17) равносильны, т.е. выполнение одного из соотноше ний (14)- (17) влечет выполнение трех других; 2< | если lim h~iu>2(f,h) < <х> , g„(f,X) - интеграл Джек- с он а Ф:, мкции J^Tcm. § 4), то соотношения (14), lim < «, (18) lun и2 | g„(f2> ~g% <f>|U < *> (19) p^HiCvV/Л ЬНЫ 4
Доказательство. Применяя теорему С (при г- - 0) и неравенство (5), при дгвР имеем n-i Л-1 2 IE \$<х+ь~£№\1>га№\<,2лХ“в(0)2^(|У<дс+*)-/г*;|)- < я-1 Я-1 « 2лЛ6(0) J ег</) « 2яХ6<0) Jajjtf.Jt/a+I))* . 2*0 2*0 Отсюда ясно, что включение (14) влечет неравенство (16), С другой стороны, I”'1'! IE \sw-№ (го) Сопоставляя (16), (20) и теорему D , находим, что неравенство (16) влечет включение (14). Таким образом, соотношения (14) и (16) равносильны. Равносильность соотношений (14) и (15) оче¬ видна в силу теоремы 2, равносильность соотношений (14) и (17) уже отмечалась в следствии 2. Ясно, что <2/1 =S2h,s<f?z}~S2h №х> + *■ h ’ (20 По леше 1 Замечая теперь, что в силу неравенства (см,, например, [69, с Л77] ) | J-/|w<соотношение lim * 00 влечет за собой неравенство И то ^ <л»,приходим к равносильности соотношений (14) и (18). Равно¬ сильность (14) и (19) устанавливается близким образом. При этом используются неравенства (2) и (4), а также соотношение (см., например, [ 2♦ с.881J) I < **<*2 if, п/я)ю , где *^9 - абсолютная постоянная. А 259
КОММЕНТАРИИ И ДОПОЛНЕНИЯ Глава 1. § 1. Приведены тригонометрические тождества, ле¬ жащие в основе многих фактов теории аппроксимации периодичэсхсюс функций. § 2* Изложены, в основном без доказательств, элементарные факты из теории функций вещественной переменной и функциональ¬ ного анализа, чтобы на них ссылаться и чтобы читатель ознако¬ мился с обозначениями, используемыми в книге, которые не всег¬ да совпадают с общепринятыми. § 3. Теория матриц обстоятельно изложена в монографиях[4, 15, 42]. Матрицы Ал(}) (j = 1,18) и Ап{ 19, &,{3, #) использу¬ ются при построении таблиц 2.4.1, 3,3.2, 3.3.3, 3.5.2, в пред¬ ложении 3*2.6 и следствии 3.2,7. К материалу, изложенному в пункте 1? естественным образом примыкают леммы 2.5.9 и 4.2.11, теоремы 2.1.11 и 3.4,7-3.4.10. Теорема 1 - начальная теорема теории интерполирования линейных операторов, оформившейся в на¬ стоящее время в самостоятельную ветвь функционального анализа. Подробное изложение теории имеется в монографиях [7, 40, 70J . Обстоятельный обзор современного состояния теории дан в статье § 4. Материал этого параграфа используется в § 3.4 при по¬ строении ортонормированннх систем функций. Глава 2. § 1. Изложены элементарные сведения из теории кратных рядов Фурье и теории наилучших приближений. Одномерным рядам Фурье посвящены фундаментальные монографии Н.К.Бари [2], А.Зигмунда [34, 35], Р.Эдвардса [77, 78]. Теория кратных рядов Фурье развита значительно слабев. В настоящее время она интен¬ сивно развивается. Центральное место в этой теории занимают во¬ просы сходимости и суммируемости разложений Фурье. Обзор лите¬ ратуры по кратным рядам Фурье имеется в статье Б.И.Голубова[1б]. Укажем также на монографии А.И.Ствпанца [65], Р.М.Тригуба [71], -.Ц.Янушаускаса [79], уже не попавшие в обзор [16].
Теория наялучших приближений изложена в монографиях В.КЛзя- дыка[23], С.М.Никольского [52], А.Ф.Тимана f69]. По поводу модулей непрерывности см, [52, с.145-150; 69, гл.З]. В связи с предложением 4 см. [21]. Теоремы 2 и 3 (соот¬ ветственно 4) - распространение классической теоремы Фейера (соответственно Вейерштрасса) на кратные ряды Фурье и прост¬ ранства Lp (#т?|Мсм.[35, с.456, 457]). В связи с материалом, изложенным «в пункте 7,° см.[37, с.237-243J. Теорема 5 - мно¬ гомерный аналог известного тождества А.Зигмунда - И.Марцинке¬ вича - Д.Л .Бермана. Теорема 8 - многомерный аналог известной теоремы С.М.Лозинского - Ф.И.Харшиладзе. Первый пример непре¬ рывной функции, -ряд Фурье которой не всюду сходится, указан Дюбуа-Реймоном (см.[2, с.128-137]). Теорема 10 - многомерный аналог классического признака А.Лебега (см.[2, с.279]) сходи¬ мости рядов Фурье. § 2. При изучении агрегатов приближения полезно иметь различные формы их записи. В § 2 устанавливаются некоторые ут¬ верждения общего характера, связанные с этим вопросом. По по¬ воду предложения 1 и следствий 1 и 2 см.[34, с.95-93]. В связи с утверждениями типа предложений 2-4, 7 и теорем 1-3 см.§ 2иЗ главы 7 книги И.Стейна, Г.Вейса [64J (см. также теорему нас.253 книги [34J или теорему Харди-Юнга в [l, с .141]). По поводу лем¬ мы 2 см.[2, с,99] (в книге [б2, с.90] показано, что ц)I ( <Jox sinx ^х = 1.851...). Содержанием теоремы 4 и следст¬ вия 6 являются интерполяционные формулы типа П.Сайвина (см.[81; 52, с.111-114; 69, с.228-229]). Средние Фейера-Марцинкевича в двумерном случае впервые изучались Марцинкевичем (см.[89,с .527- 538]). В цитируемой работе, в частности, установлено, что $Ц£|3{я<т)|с<<ю при т = 2. Последнее неравенство на случай т> 2 было распространено А.Н.Подкорытовым [55]. Приводимое в книге доказательство леммы 4 сообщено автору А.Н.Подкорытовым. В свя¬ зи с теоремой 8 см. [2, с.100-103; 34, с.155-157; 75, с.165] , предложением 8 - [1, с,142-145]. ^ § з. Пусть <£>0. Числовая последовательность j*лг}^ 0 или ряд с частными суммами (к*0гоо) называется суммируемы,** (С 261
1) к пределу (сумме) s , если li™ (1/л) и сум- Л *♦ со мяк*0 л мируемым Ну к пределу (сумме 5 ), если lim ]<!/«) Т l*,-* |? 1^ * 0 • (1) *-»«( £b * ' Метод суммируемости Ну впервые был рассмотрен Харди и Литтл- вудом. Из суммируемости Ht вытекает суммируемость (С , 1), а из неравенства Гёльдера следует, что если (Л) имеет место для не¬ которого а, то оно имеет место для любого меньшего* у. Сумми¬ руемость показывает, что среднее значение для д^-5 стремит¬ ся к нулю не потому, что положительные и отрицательные члены взаимно уничтожаются, а потому, что индексы к , для которых раз¬ ность велика, редки. Как хорошо известно (с.м,,например, [2, с.128-13?]), ряд Фурье функции из С может расходиться в отдельных точках. По теореме Фейера (см., например,[2, с.139]) ряд Фурье функции суммируется (С ,1) в каждой точке не¬ прерывности /. Теорема Фейера была усилена Харди и Литтлвудом [83], которые показали, что в ней суммируемость (С,Т) можно заменить на суммируемость . Этот результат Харди и Литтлву- да породил большой интерес к суммированию рядов Фурье методами Ну, и к настоящему времени в этом направлении получено много важных результатов (см., например, [2, с,488-508; 35, с.270- 281; 86, 12, 13, 53, 54, 87, 88 и т.д.]). Объясним принцип, на основе которого в книге строятся на¬ звания методов приближения, Пусть U - метод приближения, за¬ даваемый для felt<Qw) при хеЪп формулой ччгч л JiC&t где 0, 2sa Ак~ и пусть этот метод приближения иазн вается методом У. Пусть далее $>0, р-1 е N. Тогда метод приближения, заданный на Lt(Om) формулой (I (где %€ R7*), называется методом У - Харди с* показателем $ , а метод приближения, заданный на Lx(Qmp) формулой 2 ^*5*...,*//’ зя» *ег¥ ос) (где ” ), - методом У- Марцинкевича. Средние Абеля-Пуассона играют в математике выдающуюся роль (см., например, [2, 34, 35, 64; 44, гл.б]). Харди я Литтлвуд [84, с .187] поставили проблему: будет ли ряд Фурье функции из 262
Ll суммироваться почти всюду на R методом Я^? Марцинкевич [89 о.559-565] дал положительный ответ на этот вопрос при ц =2. При его решении он воспользовался средними Абеля-Пуаесона-Харди о показателем 2 и, в частности, установил, что если fel^ то по¬ чти для всех actR справедливо равенство lim (f-r) г-1-0 -fix)| =0. Средние Абеля-Пуассоиа-Марцинкевича являются од¬ ним из возможных прямых обобщений одномерных средних Абеля-Пу¬ ассона на многомерный случай; если взять функцию f(xit...,xm) - = т*е* функцию одной переменной, то В аналогичном смысле средние Фейера-Марцинкевича Мл(т,/,х) об¬ общают одномерные суммы Фейера. Одномерные суммы Фейера и сред¬ ние Абеля-Пуассона для любой функции из 1ц записываются в ввде интегралов (см.формулы 2.1.(20) и 2.3.(6)) с положительными яд¬ рами. В двумерном случае здесь уже есть различия. Средние Пг(2, ffx) для функций из Li<Q2) записываются в виде интеграла с положительным ядром (см.формулу 2.3.(9)), а в аналогичной за¬ писи средних Mn(2J,x) ядро (см.формулы 2.2.118) и 4.1.(33)) знакопеременно. Отмеченное свойство средних Лг(2,/,х) (а в си¬ лу соотношения 2.3.(26) и средних Абеля-Пуассона-Харди (с пока¬ зателем 2) PHr(f,x)) весьма существенно и часто используется (см., например, цитированную выше работу Марцинкевича, работы [12, 87], доказательство теоремы 2.3.1). При т> 2 средние Гут, ftx) аналогичным свойством не обладают, и вообще неясно су¬ ществование средних типа Марцинкевича с таким свойством. Резуль¬ таты пункта 1° - простые приложения утверждений общего харак¬ тера изложенных в § 1 и 2 к конкретным агрегатам приближений. Смысл теоремы 1 состоит в том, что средние Абеля-Пуассона-Хар- ди (с показателем 2) мажорируются классическими средними Абе¬ ля-Пуассона, но не от самой функции /, а от функции |/1г- При¬ мерами приложений этой теоремы служат лемма 4.2.5 и следствия 7-9, содержащие несколько "экзотические” неравенства для сумм Фурье. Следствие 7 дает возможность получить большой набор кон¬ кретных неравенств для сумм Фурье. Приведем един пример нера¬ венств такого рода. Пример I. Пусть fe re [0,1) f xeR, Z+. Тогда t\s*a*>f<cLt 1ы№х)<сЪг1г*- i2) *'* *mt 0*0
Неравенство (2) получается интегрированием (по переменной г) неравенства 2.3.(29). Следствие 1. Пусть feLz i хеВ9 f Тогда 2к</. **»*(<&, г < щ 2 ьш1*.*>(сЬг*г*. **0 9 r-»f-0 j£o Средние Абеля-Пуассона-Марцинкевича могут быть полезны при изучении вопроса сходимости (по квадратам, как это понимается в книге) рядов Фурье. функция ои Л+-+С называется медленно колеблющейся, если для любого е> 0 существуют такие числа JU<s)> О, э><Е)М, что для всех х, у, удовлетворяющих условиям М(е)4х <у 4 $<£) х , справедливо неравенство | aw - &(у)\ < 6. «, Теорема 1 (см. [75, с.208]). Пусть дан числовой ряд J а-, функция ак • медленно колеблющаяся, se € . Тогда, ес~ ли lim «5, то У flj^es. *.в Сходимость ряда Фурье функции в точке л* sP7* равно¬ сильна сходимости ряда Т { £ |m - ^П|т(/♦»)}, а ПгОя,/, Поэтому вопрос о сходимости ряда Фурье распадается на два самостоятельных вопроса; 1) из¬ учения сходимости средних Абеля-Пуассона-Марцинкевича, 2) Bu¬ rn ЯСН0НИЯ УСЛОВИЙ, при которых функция А'»0 будет медленно колеблющейся. По этой схеме сходимость радов Фурье в одномерном случае рассматривалась в [30]. Было бы ин¬ тересно реализовать ее при т £ 2. Пусть Ла[.Аа ] и - два семейства агрегатов при¬ ближения. Будем говорить, что метод приближения В предшеству¬ ет методу приближения А, если каждое АЛ может быть представ¬ лено в виде сушы тш интеграла по переменной р от Вр . Например, в силу формулы 2.3.(22) метод средних Фэйера- Марциикэвича предшествует методу средних Абеля- Пуассона-Марцинкевича • Укажем на один способ нахождения методов приближения, пред¬ шествующих методу средних Абаяя-Пуасеона. 264
Пусть feLt <Qm), at > Om , xeHm. Тогда на основании формул 2.3.(8) и 2.3.(28г) (П«») f пеЧ*'\=*т$£<хМП*Щ^?> 1-1 Ят '*«1 '*«1 * Остановимся сначала на одномерном случае. Допустим, что мы хо¬ тим найти метод приближения, предшествующий |Р<£ }*с<о,со) ’ представимый в интегральной форме с положительным ядром. Тогда поступаем по схеме: 1) делим все части равенства (3) (при т = = Т) на # с целью, чтобы под знаком интеграла стояла функция, монотонная по <& . В этом случае ее производная по # будет со¬ хранять знак. Имеем оГ1.?* </,*>=» f e~‘liSi(J',x)dl = 3i~tC f(x+iK«2+f2fftfZ; О J? 2) дифференцируем написанные равенства по # . Получаем -(<хГ*1>£(£х))^ jj^Hs^xfcli = 2ow-1jj"f<x+l}(o'2+}2r2df; 3) умножаем получившиеся равенства на нормирующий множитель, выбранный из условия, чтобы оператор, задаваемый формулой, сто¬ ящей'в равенстве, был неподвижен на функции, товдественно рав¬ ной единице (в нашем случае нормирующий множитель равен#2), и для получившегося выражения вводим обозначение Таким образом, и P*(f,x)= at f °°Г2Ц<f,x)dt. * (4) Ясно, что приведенные выше рассуждения можно применить и в кратном случае, а также для нахождения методов приближения, предшествующих { U# «>,«>> • Если в первом пункте схемы вы¬ полнить деление на as, а не на а , то при s < 1 методы при¬ ближения, предшествующие {Р£ } * будут записываться в интегральной форме со знакочередующимся ядром. Известно, что если выполнено соотношение Ite/V-Wlr = 0, то / эквивалентна постоянной. С другой стороны, существу- 265
ют функции, не эквивалентные постоянной, для которых lim оГ1 к У <£•* 0-f Таким образом, наибольшая скорость, с которой функции, отличные от постоянных, могут быть приближены средни¬ ми Абеля-Пуассона в пространстве Lt при 0 (эта скорость называется порядком насыщения в Z*), есть ог (подробнее о про¬ блеме насыщения см* [80, с.431-509], см.также [29, с.266-271, 274-283]). Отметим, что порядок насыщения в Li при <х -+ 0 у средних Ц# более высокий, чем у средних Абеля-Пуассона, а именно он равен а* • Рассмотрим теперь средние Абеля-Пуассона-Марцинкевича для двумерного случая. Пусть сь> 0, areF2. Тогда в си¬ лу формулы 2.3,(15) т-т# * 2 С л 2,/,ЗС) = Я2 Jp2^2 + {г,-гг}2){«2++t2)2) * • Исходя из определения средних Абеля-Пуассона-Марцинкевича, не¬ трудно понять, что * с£ С 6 * * * Руководствуясь изложенной выше схемой, будем искать метод при¬ ближения, предшествующий представимый в ин¬ тегральной форме с положительным ядром. Имеем «2П<4(2,/,ж;=л1^е “ =jpJB2 (»tf{ts-i2)Z)(^<i*i2)i}1 -<V2J3*(2>y. ar)j' <= в* f Jf J„2 («2+ (it-I2I*)2(o£* + fl, + t2)2)2 v , , , 4oi4 г //»+{)/«* ++ ?f > <» Тшшм образом, VJf.x)- (*?+ (i,-*2)2)2 = у-1+ Й и л£ <2./.*> ■ 2<*2iJг 3 *»</>*><**• 266
Однако в рассматриваемом случае (в отличие от рассмотренного выше случая средних Абеля-Пуассона) порядок насыщения средних V0i<f) в пространстве C(Q2) при <х-*0 такой же, как и у сред¬ них П£(2,/,х) (он равен со). Вопрос о существовании средних ГД0 представимых в виде £ foc+al)X(l)dtдля любой / где 0 при ieR2, и имеющих в пространстве при об -*■ О порядок насыщения бо¬ лее высокий, чем об, открыт. В пункте 3° средние Абеля-Пуассона-Харди и средние. Абеля- Пуассона-Марцинкевича применяются к вопросу оценки норм мето¬ дов сильной аппроксимации общего вида. К результатам этого пунк¬ та примыкают также теоремы 2.5 Л и 2.5.7, следствие 2.5.1. Пункт 4° содержит простейшие утверждения, связанные со сходимостью средних Абеля-Пуассона, средних Марцинкевича, средних Абеля- Пуассона-Харди . § 4. По поводу сумм В.Рогоэинского и их многочисленных обобщений см. [2, с.483-485; 23, с.121-127, 241-242, 282, 285- 304; 65, гл.6; 71, с.61-64]. В связи с пунктами 1 и 2 таблицы 1 см. [76, с.266-267]. В настоящей книге суммы типа Рогозинского используются при представлении методов приближения как линей¬ ной, так и сильной аппроксимации. Например (см. формул у 4.1.(43)), если feL*}г , neNtxeR, то n-f n-i J-y/.aOj2«(&**f * J j| ™sec*<yn>l{4)/2). г-о Из приведенного равенства сразу следует, что ' Jl-i Л-i п<1 |S* <f,x) -f<x)f a(8nzft'£i\Rnj<4,f,x)-2f<x}l2cosec2<yn't(4)l2). Отсюда естественным образом возникают задачи об изучении вели- чип типа suj> J Ял>г{4,/,х)-а/(Х)}, sug ЦЯЛ,1<4>1|, где об e|o,2j, а Л" - некоторый класс функций. При этом важно про¬ следить зависимость не только по п , но и по I . Теорема 2.4.1 - пример рассмотрений такого типа (в связи с равенством 2.4.(12) при j * 4, 1=0 см. [ 23, о. 122-124; 31, с.179-180]). К мате¬ риалу, изложенному в § 4, примыкают результаты пункта 4.1.5,° § 5. При изложении общей картины в целях простоты ограни¬ чимся рассмотрением одномерного случая и пространства С. Через 267
Хп обозначим множество операторов А : С ~+Нп. Оператор А , за¬ данный на С , будем называть полиномиальным, если он принадле- шт и положительным, если A(f,x)> 0 для всех xsR и неотрицательных f. Среди полиномиальных операторов суммы Вал¬ ле Пуссена Gab(j) играют выдающуюся рель. Особенно интересны операторы = (суммы Фурье), 60>П(f) =■ бл(/) (суммы Фейера) и бл п (f)- собственно суммы Валле Пуссена. Нахождение полинома наилучшего приближения для функции /еС представляет собой трудную задачу (подробнее см, [59]), которую точно удается решить только для отдельных функ¬ ций (см., например, [69, с.86-92]). Сам оператор Тп<*)оо на пространстве С нелинеен. Поэтому естественно возникает вопрос о построении последовательности линейных ограниченных в С опе¬ раторов АлеКл$ удовлетворяющей неравенству для любой /еС. Однако в силу теоремы 2Л.8 такой последова¬ тельности не существует. Вместе с тем, если ослабить условие АпеКп, заменив его условием Ал€К2п-1* то требуемая после¬ довательность {Ал| уже есть. В качестве такой последователь¬ ности можно взять (см.теорему 2.5.6) последовательность опера¬ торов бп п (neN. Наличие неравенства ||/-бЛ|„(/)|оо<Я£л(Яо* > где К - абсолютная постоянная, лежит в основе многочисленных приложений сумм еЛ>л , как в теоретических исследованиях, так и в практических вопросах. Постоянная в неравенстве |/ - -An<f) || ^ £„(/)«,, справедливом , для любой /еС, вообще го¬ воря, будет тем меньше, чем меньше норма оператора Ап, Если мы хотим сохранить требование Ап€Кп% то, как следует из первого из неравенств 2Л.(27), экстремальными операторами будут суммы Фурье Sn, Для сумм Фурье справедлива (см.следствие 2.5.8 (оцен¬ ка 2.5.(33))) сценка \\f - S/t(f)§(X>4((4M2)lnin+i) + 2t3)En<f)C0 . Маяччие б праьой части последнего неравенства множителя, рас¬ тущего при п-*оо как In п , часто на практике не имеет суще¬ ственного значения. Суммы Фейера бл не связаны так тесно, как суммы Фурье или суммы Валле Пуссена б”л>л, с наилучшими при¬ ближениями, Однако они: а) принадлежат Кп , б) при п^оо рав¬ номерно сходятся к породившей их функции из € , в) являются по¬ ложительным оператором на С, г) имеют несколько удобных фер^ 208
записей. Все это делает суммы Фейера наряду со средними Абеля- Пуассона одними из важнейших агрегатов приближения, используе¬ мых в теоретических исследованиях. Основное содержание § 5 составляют оценки для операторных норм сумм Валле Пуссена, сумм Валле Пуссена-Харди, сумм Валле Пуссена-Марцинкевича, сумм Валле Пуссена-Харди-Марцинкевича и сопутствующие им оценки отклонений упомянутых сумм от аппрок¬ симируемой функции посредством наилучших приближений. Первые оценки для операторных норм сумм Валле Пуссена в одномерном случае были даны Валле Пуссеном [ 93J. Эти оценки уточнялись в работах [48, 66, см.также 1, с.253-258]. Теорема 2.5.4 и лемма 2.5.3 дают достаточно полное представление о величине Цб’а.ь\\оа в одномерном случае. Теорема 2.5.4 и лемма 2.5.2 установлены Г.И.Натансоном [45] . Они развивают более ранние результаты П.В. Галкина [14J для сумм Фурье применительно к суммам Валле Пуссе¬ на. По поводу следствия 2.5.3 см. f66; 23, с.119-121; 45]. Пусть ле», ЗД>= suPf|(^"I2SlW>lO^S«,/|/|Ul> где верхняя грань берется по всем вещественнозначным функциям feC, = sup Kn(j ) . Хорошо известно (см., например, [35, с.272-274; 86, с .15-17J ),. что K<j)<oo при ^ > 0. Возникает во¬ прос об аккуратных численных оценках величины К{$). Теорема 2.5.13 установлена совместно автором и Г ..И. Натансон ом (публику¬ ется впервые). Ее доказательство - уточнение рассуждений, при¬ веденных в [ЗЬ] на с.272-273. Из теоремы 2.5.13 следует, что Kit) < 1,095. С другой стороны, Kit) > J) бп Цс = 1. Пусть А -- * { 6£КЛ : е*.я ± 1 (к=0,п-1)1. Нетрудно показать, что supistnf1^ ^^eHsin(k + ll2)l^casec{ll2)di » Кп . Численный анализ (вычислания проводились на ЭВМ) показывает, что Кп = 1 (п «1,15). Метод доказательства, использованный при установлении неравенства К{\) < 1,095, не дает возможности вы¬ числить величину К{О. Сказанное позволяет высказать гипотезу; AMI) = 1. Автор затратил определенные усилия на ее доказатель¬ ство, но не добился полного успеха, а только показал (см, тео- рему 4Л.9), что |п ‘2*„о I для любой feZf Величина K(j) при ^2 оценена в теореме 2.5.12 и замечании 269
2.5.7. В частности (см.замечание 2.5.7), показано, что К{2) < < 1,165. С другой стороны, в силу замечания 2.5.9 lim #„(2)> >1,06>1. По-видимому, можно показать (этот вопрос не рас¬ сматривался), что > 1 при £>1. Теоремы 2.5.12- 2.5.14 и замечание 2.5.7 содержат также аккуратные числовые оценки для операторных норм сумм Валле Пуссена-Харди в прост¬ ранстве С для одномерного случая (по поводу одномерных сумм Балле Пуссена-Харди см. также [86]). Теорема 2.5.14 принадле¬ жит Г.Й.Натансону (публикуется впервые). По поводу принятого в книге определения сумм Валле Пуссена (определение 2.5.1) см.[1, с.253-256]. Следствие 2.5.6 содержит оценки для операторных норм многомерных сумм Фейера-Харди и сумм Валле Пуссена-Харди (в их наиболее важном случае, когда Ъ*а, $е{1,2{) с конкрет¬ ными постоянными. Их простое доказательство основано на ис¬ пользовании средних Абеля-Пуассона-Харди с показателем 2, Ана¬ лиз доказательств теорем 2.5.13 и 2.5.14 показывает, что мно¬ гомерный аналог теорем 2.5.13 и 2.5.14 сводится к одномерному случаю. А именно справедливы следующие утверждения: Теорема 2.5.13f. Пусть, ае N , keZ™, постоянная €<к) оп¬ ределена так же, как в теореме 2.5.13. Тогда S< 1*1 Теорема 2.5.14*. Пусть aeZ”, beNm. Тогда ТЯ |еНа>ь{1 >L 4 П((4М2>Ь {1 + «г/Ьг) + 1,7935). 1*1 Оценки теоремы 2,5.13г при к*0™ и k*lm более точные, чем соответственно оценки 2.5.(19) и 2.5.(21) при р = К следствию 2.5.6 примыкают лемма 2.5.8 и следствие 2.5.17. Пусть aeR+, beN . А.Н.Подкорытов [56] установил,что ^ #(тя) inwf 24 a/b)* М.А.Скопина [61] уточнила эту оценку, пока¬ зав, что J МаЬ{т)\с 4 ({4/л2) In (14 а[Ь) 4 Xfm>)7П. (6) Приведенные в книге доказательства лемм 2.5.6, 2.5.7 и теоремы 2.5.9 сообщены автору А.Н.Подкорытовым. Наличие оценки (6) по¬ зволяет с помощью рассувдений, аналогичных доказательству лем¬ 270
мы 2.3.2, установить, что при аеК+, beN , ^>0 t me'N спра¬ ведливо неравенство \мна,ъ<*п,з>)|с « ((4/%г}1 п{1 + а/Ъ)+ Х(т,1))т, (7) где K(mj) зависит только от т и ^ . Оценка (7) соприкасается со следствием 2.5.11. Было бы желательно более глубоко изучить величины 2г<т) (см. § 2.2). /fl/Lj {см- 5 2*3). Им^Нс. 'л*.ъ<т}, lMHatb(m,i)lc: Оценки дяя отклонений посредством наилучших приближений, приведенные в § 2.5, стандартны. Их принято называть неравен¬ ствами Лебега. Для средних Валле Пуссена известны некоторые усиления неравенств Лебега (см. [ 20, 92]). В случае сильной аппроксимации такие обобщения пока не рассматривались. Следующая числовая лемма лежит в основе многих применений сумм Валле Пуссена к различным вопросам теории аппроксимации периодических функций. Чтобы сформулировать ее, введем следую¬ щие обозначения. При к eRm полагаем 2*m)t [*^J - = signk -(signkt,...,signkm), Ак=[[2к~*т], 2-П. ■3fr=[f2*"2,M] + sign A, [2*~|M]J . Лемма 1. Пусть даны четыре последовательности неотрицательных чисел, удовлетворяющих условиям: а) $<к)= кт) убывает по кавдому аргументу к> б) l£Aje при любом *eZ+, в) тазе опри любых Тогда справедливо неравенство J «г*)|3**к< 2m]P &»£<*). Доказательство. Обозначая max <t(l) через аъ, ^nzm j j J «2 <** j м 2а* МП2*'1!)- «** *еД* kcZ™ ГьАд. 271
Нетрудно убедиться, что \Ак\$([2*~*т]) 4 2т% $<1). Следова¬ тельно, 1еВ* £ «(^/3(АЦ2т2 ?т2! *ezy teB* AeZj* teB* JteZ™ A Лемма 1, по сути дела, - описание технического приема, ко¬ торый часто приходится применять. Иногда бывает удобнее при¬ менять не саму лемму 1, а некоторые ее модификации. Приведем два примера применения леммы 1. Пример 2. Пусть f{~C(Qm), пвЪг, 1, £=sup|Mtftf6ta,}VjJ. згда 0бА ’ С * Доказательство. Можно считать, что п >1 (слу¬ чай п = 1 легко рассматривается непосредственно). Пусть jO€*lv таково, что 2Р~*<п4 2Р. Положим II при А-0,2Р“1, £ 1 при 0,2^-1, j я t О при к}2р, I 0 при к>2, ft{k)~\fix) (rreRm), ('Z + J <f)M . Нетрудно понять (см. теорему 2.5.8), что справедливы неравен- ства j(<а.1 ч< (1*])Етп <f>* при л^ й и if~som Wf« 4 Тогда, применяя лемму й*0 Л'вО Jt«0 4<2(L+1>* J^m (/>«,. Jr-0 Остальная часть доказательства очевидна, А Пример 3. Пусть feC«}m), п£Я, 1, £« sup (|ЛНв#в<7П,^)|с, последовательности неотрицательных чисел 1 |<SV/r) }^e0 таковы, что max &(1)6$(1)при любых ASZ+. Тогда спраг- icAjpOZ ведливо неравенство 272
Ill *<*>!/-]i/s 1 Л-0 1 **() Доказательство примера 3 близко к доказательству примера 2. Мы не станем останавливаться на других результатах, которые получаются на основе совместного использования сумм Валле Пус¬ сена и леммы 1. Отметим только, что таких результатов известно много (см*, например, [86]). Укажем теперь один прием применения сумм Валле Пуссена к изучению отклонений сумм Фурье. Пусть f€C(Qm). Принимая во внимание неравенство (6), не¬ трудно понять, что при любом к е N ^((4/jr2)ln{l+n/Jc) + Кг(т))mEnfm <n,k,f), я+A-I где l(n,k,f)=k~1 Далее нужно удачно l*n оценить сверху величину посредством мажоранты вида g(k)loi,k) и связать к с п . В одномерном случае эта схема реализована в книге [29, с,232-242]. Было бы полезно провести ее в кратном случае. Глава 3. § 1. Пусть леКт, {к = -я, л ), ТеНп. Для одномерного и двумерного случаев подробно исследуются вопросы о выражении суммы 2 через значения полинома Г в равноотстоящей сетке узлов и ее различных формах записи. В связи с затронутыми в этом параграфе вопросами см.монографии Н.И.Ахиезера [Г, с.117-120, 188], В.JI.Гончарова [17, с.46-50], А.Зигмунда [35, гл.10], С.М.Никольского [52, с. 111-117], А.Ф.Ти- мана[б9, гл.4], А.Х.Турецкого [72, 73]. § 2. В приложениях таблицы 3.1.3 важную роль играют слу¬ чаи, когда функция g является сплайном. В связи с этим врзни- кает вопрос о вычислении обобщенных коэффициентов Фурье сплай¬ нов. Рассмотрение этого вопроса и составляет содержание § 3.2. Предложение 3.2.6 и следствие 3.2.7 показывают,что в ряде слу¬ чаев вектор коэффициентов Фурье сплайна связан с вектором его значений через посредство унитарной матрицы. Укажем пример воз¬ можных приложений этого факта. Если П€Т9 , fe С - непрерывная 273
2зт-периодическая ломаная с вершинами в точках (я//л, /Ш/п)} ( I * - ОО, )t р € Ъ , ТО ^+^)4|сА(р,/)|2- 2_1я4л32 |42(?Г/л,/,5Г(г-1)/к)|2. *«-Л+1 г—Л+1 Этот факт сразу вытекает из следствия 3,2.7, ибо в его у слови- Я* Isl2= |$b ■ § 3. Пусть а,Ье€ и Ъ~Аа, где А - унитарная матрица. Тогда координаты векторов а и Ъ подчинены различного рода ин¬ тересным соотношениям. Широкий круг этих соотношений (примером которых служит лемма 4*2.И) базируется начтеории интерполяции линейных операторов (см•комментарий к § 1.3), Центральное место в § 3*3 занимают таблицы 3.3.2 и 3.3.3. К ним естественным образом примыкает таблица 3.5.2. Смысл со¬ отношений, включенных в упомянутые таблицы, состоит в том,что векторы, координаты которых выражаются через частные суммы раз¬ личных порядков рядов Фурье, посредством унитарной матрицы свя¬ зываются с векторами, координаты которых выражаются через сум¬ мы типа Рогозинского одного порядка. В книге (гл.4) даны при¬ ложения (в их простейшем виде) лишь небольшой части соотноше¬ ний таблицы 3.3.2 и одного соотношения (пункта 7) таблицы 3.3,3. Однако уже это дало возможность продвинуться в глубь в изуче¬ нии классических вопросов теории аппроксимации и привело к ря¬ ду фактов нестандартного характера. Приложения остальных (боль¬ шей части) соотношений таблиц 3.3.2, 3.3.3, 3.5.2 и аналогич¬ ных им соотношений таблицы 2.4.1, предложения 3.2.6 и следст¬ вия 3,2.7 в книге не указываются, что связано с отсутствием (на момент написания книги) достаточно полного совокупного их ана¬ лиза, По-видимому, такой анализ должен привести к ряду соотно¬ шений, представляющих интерес. Было бы также полезно продолжить работу по выявлению "скрытых ортогональностей”. § 4. Пусть средние А^с}где С, для функций принадлежащих некоторому классу Ш, при [«,&] могут быть представлены в форме U<ffx}*= J 9 где ~„ *etc,d} ' —- {k=ctd) - различные числа, а функции <к*с,а) линейно независимы на [а,Ь ] . Поставим задачу о разыскании таких функ¬ ций g г по которым функции ik-c,d) образуют на [а,Ь] орто- 274
нормированную систему (см. [47, с.543; ч.З, гл. 5]), т.а. при справедливы соотношения лЬ — , fOj. воли кфЪу - j , т кт1 В этом случае для f€ Ш, очевидно, имеет место равенство Сформулированная выше задача в § 3.4 изучается в предположени¬ ях, что Лд. = 1 при к=-п,п, А*= 0 при \к\>п, $*аУЛ1ь(р) <р- 174) ,7Гг^Н„, [а,Ь] = [0, я] . Исследования, проводимые в § 3.4, базируются на результатах § 1.4, которые, однако, ис¬ пользуются не в полном объеме: более полное использование ре¬ зультатов § 1.4 позволяет придать материалу § 3.4 несколько бо¬ лее общую форму. В книге приложения результатов § 3.4 (анало¬ гично случаю приложения результатов § 3.3) даны лишь частично. § 5. Приводятся конкретные формулы, связанные с представ¬ лениями средних Абеля-Пуассона и их производных, сумм Валле Пуссена на классах тригонометрических полиномов. Первые форму¬ лы такого типа (формула 3.5.(13)) были получены М.Риссом [90], см. также [35, с.18-19]. Глава 4. § 1. Широкий круг задач теории аппроксимации фор¬ мулируется так: пусть К с к. - некоторый ’’естественный" тел асе функций, и - два функционала* Требуется вы¬ числить или оценить величину sup )} * Трудность ре¬ шения тт. задач зависит как, от функционалов А ч В ; так и от класса функций К . Примером решения такого типа задач может -кру¬ жить известный результат Н,И*Ахиэзэра-М.Г.К&ойна-Ж.Фазара (ем., например, [1, с.241-242]): если ле£+, геф, то J л= о В столь законченной форме, как в приведенном примере, решение удается получить далеко не всегда. Поэтому часто прибегают к следующему приему: функционал А "погружают" в семейство "род¬ ственных" функционалов и исследуют величину 275
в зависимости от об при об -*о£0 . Примером реализации такого подхода может служить известный результат А.Н.Колмогорова (см. [38, с.179-188]): если reW, то при п-»со **рсг) {I / ■-<f >и/ <4/:пг>л'1'1п * + 0 <*~2') . К настоящему времени в указанных выше направлениях проведены обширные исследования и получено много замечательных результа¬ тов (по поводу истории вопросов и некоторых из известных ре¬ зультатов см.обзорные статьи С.М.Никольского [50, 51], С.М.Ло¬ зинского и И .П.Натансона [43], С.А.Теляковского [68] и моногра¬ фии Н.П.Корнейчука [39], А.И.Степанца [65], А.Ф.Тимака [69]). Условимся в обозначении; для jfeLj через f обозначаем функцию, задаваемую равенством fix) = 2 <-isignk)ck<f)eikx. *еХ Пусть ri€N . В силу известного неравенства Г.Сеге (см{69, с.223]) для любой справедливо точное неравенство j| f - ^n(f)ioo ~ = л~*||/'Ц» v flfUco • т.е. имеет место равенство sup{if-e/!(f)jja,/ /\\fU }sI- С другой стороны, flee}“г• Естест- венно возникает вопрос: как изменяется величина sujj) { [j f - ' V/>I~/1/!U[ в зависимости от изменения т и п? Этому вопро¬ су легко придать очень общую форму: проследить изменение вели¬ чины^ su{3 Jj\ в зависимости от параметра пеЬГ”1, где KcWm - некоторый '’естественный класс" функций, а Л:Я*-*К+ и BiK-+ JR+ - функционалы. Важность задачи и трудность ее реше¬ ния зависят теперь не только от X ,А и В , как это было выше, но и от Пш В одномерном случае, когда рассматривается метод аппроксимации естественно ставить вопрос об из¬ учении величины типа K(m,n.r) = sup J||/-Um(f)l/\\fm\, JC<m,n,r) =sup f£H„' S6*1»' в зависимости от параметров т% п и г. Если метод приближения "насыщен" в пространстве , то наиболее Еажными (с точки зрения метода 11 тест-функцийподробнее об этом см. [29, гл.5 и с.346-347]) являются величина JC(m,ntQ) и та из величин Х{т,л,г) или X{mtn9r), которая связана о "классом насыще- 276
ния". Поясним сказанное на примере. Пусть- Um(j) есть сумма Фейера 6m<f). Тогда "классом насыщения" метода в пространстве С является множество функций feC , у которых ||^г)|со < 00 • Поэтому в данном случае наибольший интерес пред¬ ставляет величина К(т,п,1). Аналогичная проблематика возни¬ кает и в случае сильной аппроксимации. Например, можно ставить вопрос о характере изменения величин sup{|eHm(^y)J/Ц/|| и ?зрЗ т1 при изменении параметров т, л, ^, г. "Однако здесь возможности метода "тест-функций" не исследо¬ ваны. Неясен также вопрос о второй наиболее важной величине. Основное содержание § 4.1 составляют задачи изложенного выше типа. Леммы 4. Т.1-4 Л. 3 дополняют результаты, изложенные в §ЗД. Поскольку в условиях предложения 4Д.Т \Ф(1)\<11, II то предложение АЛЛ равносильно следующему утверждению. Предложение 4.1.1'. Пусть neN™, An~\-n+tm, л-1т] П Zm, У^Ул,к(4) ПРИ при 1еАПч Л$1 = Яг при ^еКт, le Ап , vn={v[-n, njf1, функция Ф: Ст-+ € определена форму¬ лой Ф<1) = Т, Тогда mieAn t т <2*глС |Ф{г}|<гиц, 2 (П j№[Oa,ln-l™J 1*1 n.j Следствие 1. Пусть леЛГ, Ф(£) “ где . Тогда Г*|Ф|г)|<41^(2/л)У |Ф(я<Я+1/2)/л)|С(2* t)n(\s\ni\lt)dt. (8) **=0 ^ В связи с результатами типа неравзнстпа (8) см.[89, с.260- 292 J, см. также [35, с.46-55]. Суммы Фейера разносторонне изучались многими авторами. В частности, большое внимание (см., например,[49; 65, ■ гл.4]) бы¬ ло уделено изучению изменения величины sug^J/- 6а //)|w , где Ш> - некоторый класс функций, в зависимости от параметра а • Важной характеристикой для отклонений одномерных сумм Фейера 277
является величина Ха = su^ Известно (см., например, [б5, с.245]), чтсг Было бы интересно в плане теоремы 4.1.1 и следствия 4.1.3 рас¬ смотреть величины sug \\f<X)-W^)\/\?'<X)\n,V } (р= 1,4) Следствие 4Л.4 при jn = 1 сов- падает о уже упоминавшимся выше неравенством Г.Сегё. Вопрос о точных постоянных в неравенствах 4 Л.(9), 4Л.(10), 4.1.(19), 4.1.(21), 4.1.(60), во вторых неравенствах теорем 4*1.2 и 4Л.7 требует дополнит&льного исследования. По поводу предложения 4.1.4 см [57, с.96, задача 50J . В связи с неравенствами 4Л.(18)-4Л.(21) отметим, что было бы желательно более полно изучить величины Х(а,Ь,л) и , чем это сделано в книге. Содержание теоремы 4Л.5 (соответственно следствия 4.1.7) составляют интерполяционные формулы типа М.Рисса (см.коммента¬ рий к § 3.5) для средних Фейера-Марцинкевича (соответственно средних Фейера-Харди с показателем 2). Эти формулы имеют весь¬ ма простой вид. Вопрос о нормах методов приближения тесно связан с изуче¬ нием интегралов типа С ! V Оценивание (а тем 1 яерля] * более вычисление) таких интегралов часто вызывает серьезные за¬ труднения, и их изучению посвящен целый раздел теории аппрок¬ симации (подробнее об этом см. [69, гл.8; 64, гл, 7; 71; 31]).. Конкретная оценка 4 Л .(54) иллюстрирует еще один возможный под¬ ход (ему нетрудно придать общий характер: здесь паяная аналогия * В дальнейшем изложении мы используем ряд известных ре¬ зультатов (например, теорему А ), приводя только их формули¬ ровки и ссылки на литературу. В цитируемых работах они установ¬ лены лишь для вещественных функций. Не желая останавливаться на вопросе распространения упомянутых результатов на комялексно- значаые функции, условимся считать все функции в приводимых фор¬ мулировках такого типа, а также в утверждениях, устанавливаемых ниже с их помощью (например, в теореме 2) вещественными. Это обстоятельство далее дополнительно не оговаривается. 278
с предложением 4.1.1 или эквивалентным ему предложением 4.1.1') к вопросу оценивания норм агрегатов приближения. Если / € Нп , то -к-Wl.<I»‘ 11/'ч-ЗД-1||. < Поэтому неравенство 4.1.(60) можно рассматривать как частичное усиление упоминавшегося выше неравенства Г.Сеге. Было бы жела¬ тельно исследовать вопрос о точной постсянной в неравенстве 4.1.(60). В заключение комментария к § 4.1 заметим, что он содержит лишь начальные результаты, связанные с задачей изучения suofAffV обсуждавшейся в начале комментария. Было бы полез¬ но расширить решение этой задачи как в глубь, так и в ширь. § 2. Пусть feLp . Величина сor<f,h)p= sup называется модулем непрерывности г-го порядка функции / в про¬ странстве Lp . Модуль непрерывности г-го порядка функции в пространстве Wt обозначается о)r{f,h)* Положим х*-Ц"и,"тгЛ|Л- Известно (сы.[29, с.260 (лемма 5), неравенство (365), с.266(тео- рема 8)j ) следующее утверждение. Теорема А . Пусть S€ ^ ~ первообразная функция для i€ <0,я ]. Тогда Из приведенных неравенств сразу следует, что для любой /«V,. отличной от постоянной, Л, ^ ———— i Л2 , w2 Я In) *4- п w2(#t 31/П > 279
где 0 и К2 - абсолютные постолнные. Таким образом, для каждой индивидуальной функции получено полное описание порядка убывания (при л со ) величины j|/бл(/)|| в терминах модулей непрерывности. Теорема J3 (см. [29, неравенства (386) и (387)]). Пусть f€Witn€N9 ае (0 ,<*>). Тогда Я/-М/М1 * (2 + \f-KWl ч<(2+**)||/-М/>||. Таким образом, по порядку убывания (при п-+оо ) величины и Wf-pi*/nW\\ каВД°й индивидуальной функции feЩ ведут себя одинаково. К настоящему времени теоремы типа А и В известны для многих методов приближения. Известны также и соответствующие теоремы общего характера. Эта тематика подробно изложена в мо¬ нографиях автора [29] и Р.М.Тригуба [71] (см, также монографию [80р. и мы не будем здесь на ней останавливаться. Немало вни¬ мания также уделяется (см. [86]) изучению аналогичных вопросов и для случая сильной аппроксимации. Однако здесь результаты, окончательные для каждой индивидуальной функции, еще не полу¬ чены. В § 4.2 предпринята попытка получить такие результаты для сильных аналогов сумм Фейера и средних Абеля-Пуассона. Формулы таблицы 4.2.1 (так же как и формулы теоремы 4Л.5, следствия 4.1.7, теоремы 4.3.2, равенства 4.3.(33)-4.3.(35) и т.п.) могут трактоваться как интерполяционные формулы типаМЛЬтс- са (см. комментарий к § 3.5). Их число можно было бы значитель¬ но увеличить, ибо с каждым соотношением таблиц 2.4.1, 3.3.2, 3.3.3, 3.5.2 естественным образом связан набор формул такого вида. Поясним сказанное на примере пункта 10 таблицы 3.3.2. Стандартное усреднение формулы пункта 10 приводит к равенству (формула 4.3.(33)). «M),/,*|c2<4,71,Z), (9) *-о г»о где new, feLj(Oz), are С2 . Далее (|s|* « (г|| , ибо матрица .А,, (10) унитарна), если п е 19 е , хе С , то (формула 4.1. (43)) я1 Т|Яя.1<4./.*Масг<4.я,*) (Ю) *«0 1-0 280
(при areR соотношение (10) следует из (.SU, если последнее при¬ менить к функции g: J?2-* С2, задаваемой формулой в точке у=(х,х)). Применяя теперь формулу (9) к функции g -* С2 , задаваемой формулой g(u) =f<yt), приходим к равенству (формуле 4.2.(8)) л-1 9H<f,x)^{4n2fty^Pnit(4,f,x)cH4,n,l) (neJi,^Lv *«С).(и) Z-0 Опираясь на формулы (9)-(!!) и используя разложение cosec2Jiz = оо аз£* J (Z~k)~2, приходим к формулам (см.4.1.(40),4.I.(44),4.2. (9)) п-i оо Л'1 У Sjtiz(f,x^(2/^)y^ni2M2((4,4),J,x)(2l^f, (9') Л I оо пх^\5киа)\г=Мпг)^\Р„1г<Афх)\2{г1+1)г, Ш **<• „О г'° en{f,x) - (4/я2)£ F„,i<4,f,x)(2H-iY2. (ИО г«о Формулы обсуждаемого типа представляют самостоятельный интерес Их значение повышается тем обстоятельством, что в аналогичной форме могут быть представлены и операторы других типов (см., например, теоремы 4.2.1-4.2.3, следствия 4.2Л-4.2.5). Это по¬ зволяет вести совместный анализ операторов различных классов и устанавливать между ними даже соотношения типа равенств (см., например, теоремы 4.2.4, 4.3.3). Формулы, составляющие содер¬ жание теорем 4.2Л-4.2.3, следствий 4.2.1-4.2.4, с одной сто¬ роны, можно трактовать как интерполяционные формулы типаМ.Рис- са, а с другой - как квадратурные формулы. Было бы полезно про¬ должить построение интерполяционных формул типа М.Рисса, руко¬ водствуясь матрицами АЛ(1)-АЛ<Ю) по типу, например, таблицы 3.3.2, но изменяя в ней вектор г (и вычисляя тогда соответст¬ вующий вектор 5 ) или вектор $ (и находя тогда вектор г). Воз¬ можно, что первоначально следует рассмотреть случай, когда по¬ строение вектора г основывается на величинах {/),*) ♦ +(-1 )МС*к S„ </, *))р cosec * < Л /2) и {8ik~\lh,Sn{f),xtfco&ec*{hl2) , где Je,peJt , xtcC , а функция feL^ вещественнозначная (в ка¬ честве пояснения заметим, что пункты 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11 таблицы 3.3.2 отвечают случаю к =1, р =1, об =-1, пункты 1, 3, 5, 7 таблицы 3.3.3 - случаю > = l,^=l,ot=-2)» 281
Пусть fe С , п€& . Положим Xa<f,x) = 6„<f,x)-f(x} - (оспг1 С Г2£<г, f, x)di. иэт/л М.Заманский [94] показал, что если feC удовлетворяет условию Тдтп /Г* сo2(ffh)M < со, то Tim п !jXn(f)\\ < оо. Этот резуль- п-юо * 11 тат был обобщен А.В.Ефимовым [25], который установил, что для любой feC справедливо неравенство ^ t'jtjn)м , (12) где - абсолютная постоянная. Теорема 4.2.5 может рассматри¬ ваться как дальнейшее развитие неравенства (12). В связи со следствием 4.2.11 см. [41], где имеются двусто¬ ронние оценки для отклонений суш Марцинкевича. В связи с предложением 4.2.1 заметим, что автору не изве¬ стно, будет ли справедливо при любом следующее утвержде¬ ние: если пеЪГ , feC , то где Хш зависит только от # . Было бы интересно продолжить исследования пункта 4° §4.2 в плане изучения связи величин со структурными свойствами функции f , задаваемыми посредством модулей непрерывности, а также сравнить их с величиной По поводу известных в этом направлении результатов см. [29,с.269- 270, 305-306; 26, с.47-48; 28, с.28-31]. Полезно было бы рассмотреть вопрос о многомерных аналога* результатов пункта 4° § 4.2. По-видимому, это можно сделать« придерживаясь той же схемы, что и в одномерном случае. Допол¬ ним результаты пункта 4° § 4.2. Для этого нам понадобятся сле¬ дующие леммы. 283
Лемма А. Пусть Ф - полунорма на IVj , Sl^ {^Я/И^Н * при т =1/2, h> 0. Тогда для f € Щ <P<J)4 (У0/2 + Y2h-2)u2(f,h), Ф^/)ч<{ У0 + У,/Г1) Эта лемма известна (см., например, [29, с.203 ] ). Ввиду простоты приведем ее доказательство (см.[1, с.224-226, 251- 253]). Ясно, что можно считать /еЯ(1). Используя свойства функций Стеклова, имеем ФВ)ч<Ф^-^гW)+*<SAj if Н YJJ-Sa,2W\\ + Yz K2<f>IP < (>J/2.»a»j(/,A>+ Y2h'2u>2<f,h)= (Y0I2 +Y2h^)co2(f,h'„ S< Y0ioi(f,hl2) + Yifrt<at(j,h)aY0 + YJirt)wfif,h). Лемма 3 (см. f 26, с .47-48]). Пусть 0. Тогда Лемма С (см.Г29. с.285, следствие 3j). Пусть /eWj , Л> 0, Л* j* У )е*р {-£г)М- Тогда ^ бВ/“Л^(у)|. Лемма 2. Пусть /еТл$ , ot > 0. Тогда if <j“ °» i i »;(/,«), ИЗ) «,г ^<з**М»М/.«). (И) lI5> где JC4 > 0, JC5 > 0 - абсолютные постоянные. Доказательство. Положим ф/^у_2ог^ С00 Ц S'(i ,/,•)! j* ф^>_ л Jo 7i*+i*)V *г- 283
Легко понять, что для любой /eWJ Следовательно, sup {Ф</)/§/Ц}42. Если feH( 1), то few} к *ч><¥$;ё&р1П-т1П- Значит, Ф^)/|,r|( JПрименяя теперь к полунорме Ф первое утверждение леммы А (при А=оь) , для любой имеем Ф(/)^<1 + <оь2/2)а’2)о)2^об)=г (3/2) (jo2(f,oc). Тем самым второе неравенство (13) доказано. Аналогичным образом (здесь исполь¬ зуется второе утверждение леммы А при Л = аь) устанавливаются вторые неравенства (14) и (15). Пусть Ц1(1)*<2л}/зГу1ехр(-1г11Лл% 2at3jr“1(<st2+22r2f Х = max max J . Нетруд- (*€<0,oo) iep+ l ' но убедиться, что (6XJ’1> 0,03. Учитывая последнее неравенст¬ во и опираясь на лемму С , имеем <wV/.*K j* цм./.*)||<угш Тем самым первое неравенство (13) доказано. Аналогичным обра¬ зом (но здесь вместо леммы С используется лемма В ) устанавли¬ ваются первые неравенства (14) и (15). А Теорема 2. Пусть /е Wp об > 0. Тогда • 4»« р< i ii, W-*r<»{-№* p где KA и X5 - те же постоянные, что и в лемме 2. доказательство теоремы 2 получается из сопоставления фор¬ мулы U) с неравенствами (13)-(15). Лемма 3. Пусть feWit лс Z + . Тогда ГЙ(/К<^А^)5 *-1 46) *»п-Н Доказательство. Опираясь на неравенство ЦГ(2,||4 4 (к(2)2 j о (я,!к, Т)J (см. [69, с.230]), если ТеНк , имеем 23-V
№W\i<*l2)2\8{*lk,6kif\)\±&l2pjfo{Sixlk,f))\Ukl2)z\tolktf)\. Очевидно, что |^(л/л,/)||4 л^ТЦЯА(8,/)у. Далее, для оо справедливо неравенство *"3|б£2)(/)|| [27, с.20, 21, ккп* 1 24]. Сопоставляя приведенные неравенства,приходим к (16). 1 Предложение 1. Пусть xeN, 24р4°о, f е Lp- Тогда »Нл<1,ЯИр4||Яп<8,ЯЦр+ (12ЯДТ) J f)|p. Л-Л+i Доказательство. Можно считать, что 24р < оо # Сопоставляя неравенства 4.2.(76) и (16), получаем требуемое. 1 Следствие 2. Пусть 2 4р 4 со» числовая послед о- вательность }срл} удовлетворяет условиям: а) <рЛ> 0 (л=1, оо ), в) >'*<"• Тогда соотношения ton <рд || Н„ {1, f>b.< w и й« иН» {8’А1р < 00 эквивалентны. Доказательство следствия 2 очевидно в силу предложения 1 и неравенства 4.2.(77). Лемма 4.2.14 установлена Д.Джексоном (см.[б9, с.243-245]). Исследование функций результаты которого составили замечание 4.2.8, по моей просьбе проведено М.А.Скопиной. § 3. В связи с теоремой 4.3.1 см.[1, с.182-193; 35, с.17~ 25; 69, гл.4]. Классическое неравенство если ТеНп, впервые установленное С.Н.Бернштейном (см.[Ь, с,2Ь- 26, 527]) при р=со (распространение на случай i4p<w произ¬ ведено А.Зигмундом), развивалось многими авторами в различных направлениях (см., например, [5* с.335-338; 6, с.127-129, 146- 154, 173-178, 442-445; 9; 32; 67], монографии Н.И.Ахиезера [ 1, с.182-193, дополнения и задачи 2], И.И.Ибрагимова [36, гл.З], А.Ф.Тимана [69, гл.4] и т.д.). Положим Очевидно, что \п1$'п(£х)\*Хп<£х). Значит, нера¬ венство (17) эквивалентно утверждению: если , п€Н % 14 4р4оо, то ^ По известному неравенству Ко¬ ши Knify*) * Wnf4,/fy). Из соотношения 4.3.(29) следует, что 285
| Wn(4,f)\\p 4 й £л tf )||j> при 2 4 p 4. со . Поэтому неравенство 4.3. (29) можно рассматривать как усиление (при р> 2) оценки (17) в плане сильной аппроксимации. § 4.3 посвящеь рассмотрению ве¬ личин типа Wn<4tf,х). Пусть /eij, р е [1, со) , хеС . Легко понять, что при r/2eN . и-i . (n-r^yV/,a:)|= U‘r^{{A+I)r-*r[{^</,ar)-Sn (frx)\ j 4 л-f , ч< 1Л"Г2 ((b+Vr-kr)\sk<f,x) -S^xm , если же (r + l)/2eK, то п* S<r><j,x) I ч< j nrJ ffft+I>r-A*,')| SA(t,f,x) - sn (i,j,x)\P\ilP. Было бы интересно изучить величины { nr J <(А+1 )т-кг)| (/,*) \Р j1/р, П-1 |л'г2 ((А+1)г-Лг)рл<а,/,ж) - V<r,i,a:)|M1/P, 1 *=0 ' где a£{0,l{,r>0, 14р<<*> в плане изложенного в § 4.3, в частности, установить душ них точные неравенства типа ||^{4,/jj|< ^ {/)!!/>• § 4. Интеграл Джексона был впервые рассмотрен Д.Джексоном в работе [85] (см.также [47, сЛ11-И7]). В связи с равенства¬ ми 4.4.(1) и 4.4.(2) см. [60]. Докажем замечание 4.4.1. Положим для feLv ryne N, осе С к~0 р=к I < М*ГЛ1ГН*<Яе,*а:. Х~~Г) Средние обобщают суммы Фейера литера¬ туре их принято называть средними Рисса (см.[29, с.258-266]).Не¬ трудно проверить, что * зДгЛ^*'-(,е) Применяя неравенство Коши, без труда убеждаемся, что \Zn(fyx)~ Известно (см., например, [69, с.272, 338]), что 286
если леК, feLp, 10 E„(f}pi Xf3a>2<f,l/<2n})p,T№ Ka~ аб¬ солютная постоянная. Поэтому для доказательства второго из не¬ равенств замечания 4.4.1 достаточно установить, что для любых fsLptneJV справедливо неравенство а>2</, 1/л )я s< |] /- Z„(f) ||р , (19) где К14 - абсолютная постоянная, а (для наших целей можно было бы считать р > 2). Приступаем к доказательству (19). Известно (см.[1, с.251-252]), что если feH(i)t то j[flp4(tn/2)x *Ц/(г,|р* Используя это неравенство, а также неравенство 4.3. (10), и учитывая (18), для любой feHn имеем I! » (2*4iff{j[|nip -nvlJ"'tp-”4rip\>' > (2n\l)-i\2if*lp-m/2)n]>(215){2пЧ1)'хУ"\? . Поскольку f-Rn,r(f )-(E-6n)r(fl любой feLt {Е - тождест¬ венный оператор в Lj), то ^ ДЛЯ любой feLp . Отсюда и (18) без труда находим, что для любой feLp . Теперь, принимая во внимание сказанное и простей¬ шие свойства модуля непрерывности второго порядка, для любой feLp iiMeGM * Vn)p ^ V» "** ^г( Tn<f)pt l/л j p 4 i 4 ||/- T„<f)pЦр + (t/n )2И T”(f ip||p 4 44E„<fip + <SI2)(2n!*l)n2 IZn<7n<f)p) - T„(f)p Ip 4 < (4 4 2S<2nUliri-2)E„<f)p + (SI2)(2„2+i)n‘?||Z„(/)-/|p s< Докажем первое неравенство замечания 4.4.1. Положим Yn(f*)* ^ Я| аг;|Дn(l)dt. Применяя неравенство Буняковского, без труда убеждаемся, что Yn(f,x) 4gn(i,f, Поэтому для дока¬ зательства первого неравенства замечания 4.4Л достаточна уста¬ новить, что для любых feLptneJi справедливо неравенстве 0)2(f> Чг*р*Х&\уП * где ^15 “ абсолютная постоянная, а 14 4 р 4 оо . Применяя формулу Тейлора и неравенство ЦГ"||р<л2||?||^ если Te'j^, дня любой feH2n имеем |.£W.|*|'^ » Alru- 287
Отсюда и легко проверяемого неравенства Дп<1) Z где Xj6> 0, le[0, i/p], следует, что Ц/"||рл-г« X„{yn<f% Для любой f € Hgn • Дзлее, Для любой feLp справедливы неравенства \УпФ\р<ЧПг Ч,Фр<1Уп<Л1р- Теперь, принимая во вни¬ мание сказанное и простейшие свойства модулей непрерывности, для любой feLp имеем <o2(f.iln)p 4 0>2<f-TSn<j)p,i/n)p+ ш2(Т3я<рр,-1/п)р 4 4 4||/- ГгпФр|р + Л 21 T?n<f>pip4 4Е2пфр 4 К„ I Yn<TgnWjip4 4<4*2К„)Е3пфр^„\У„Щр 4 (4+ЗЛ;7)К Ул </>|р- Кю «Уи if) ||р. Приведем сдно следствие теоремы 4.4.2. Следствие 3. Пусть neN , 24 р 4 <» , f е LD . Тогда ' 2я*1 \gnW\p <2*+l>lw>-/i2) ,/2|„» 11 #реО "г где - абсолютная постоянная. Доказательство. Применяя неравенство Коши и меняя порядок суммирований^ имеем ^ (5,/.*)^IГ* Л |3„<*){л-*) j lsp<f,x) -f(x) I2 = л-l Jr*0 p*k * Зл~*(2пг+1Г* V {лг-(л-Л-1)(и-Л;{| St(f,x)-f(x)lz4 4 (3/2)л2 J f»4i)|s'jk(>f,*)-</(af)|2. **0 Осталось сопоставить последнее неравенство с первым из нера¬ венств теоремы 4.4.2. 1 По-видимому# можно доказать, что справедливо и обратное по отношению к следствию 3 неравенство, т.е. что в условиях следствия 3 имеет место соотношение *-0 1 где К& - абсолютная постоянная, § 5. Пусть /е С , ate (0,1) . Тогда (см., например, [69, гл.5 и 6]) соотношения jfeLipoI и lim я*£Л(/)а,<<*> равносиль¬ ны. Далее соотношение п*°° f € Lip 1 (20) 288
влечет неравенство lim пЕ </)„ < оо. (21) 71-МО С другой стороны, неравенство (21) еще не влечет соотношение (20): существуют функции f , для которых (21) выполняется, но ^ оо вместе с тем f^Lip 1 , Неравенство ^ Ek<f) <оо является до- Jc«0 *° статочным (но не необходимым) условием для выполнения^соотно¬ шения (20). Соотношение (21) равносильно неравенству lim (/Г1* Я -*0+ *а^(/,Л)оо) Следствие 4.5.2 допатняет изложенные выше факты. Было бы интересно выяснить справедливость следующего утвержде¬ ния: существуют ли две функции/ vi g из € , такие, что - = En<g)0l> при всех леН, но вместе с тем /eLipl, a^rirLtpl? В связи с другими результатами, связанными с конструктивными ха¬ рактеристиками функций класса Lip 1, см.[2$ с .300-308, 351] и £86]. В терминах сильной аппроксимации класс Lip 1 может быть опи¬ сан и в непериодическом случае. В качестве примера остановимся на полиномах С.Н.Бернштейна. Введем обозначения: 1]-R; Для любых х.уе [0,lj{,^ip 1= Л), Рп,к<х>в Теорема 3. Пусть / - вещественная непрерывная функция, за¬ данная на [0,1], Л £ 0. Тогда условия / е <£ip (22) vrm sup lf<^M-f(x)\j>nkix)^ < Л* (23) ——- / в | f/2 lim vrai sup](£n{ar))1 V (f<kln)-f<x))2pnk(x)\ 4JI (24) л->« *e[0,I] I ** I равносильны, т.е. выполнение одного из соотношений (22)-(24) влечет выполнение двух других. Следствие 4. Пусть / - вещественная непрерывная функция, заданная на [0,1], ев полином Берн¬ штейна. Тогда условие /eJZipl и совокупность условий Urfe[0 I Х> 1 < М • 289
lim vrai sup {(^„ШГЧВ,,*/2, ж) - В2 < оо 71+00 3CC[0,tJ ' ' равносильны. В заключение комментария отметим, что было бы желательно исследования, проведенные в книге для тригонометрических поли¬ номов, распространить на целые функции конечной степени.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ Т.Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965. 3. Б а р и Н.К. Тригонометрические ряды. М., 1961. 3. Бейтмен Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных пре¬ образований: В 2 т. М., 1969. Т.1. 4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., 1969. 5. Бернштейн С.Н. Собр. соч.: В 4 т. М., 1952. Т.1. 6. Бернштейн С.Н. Собр. соч.: В 4 т. М., 1954. Т.2. 7. Берг й.,Лёфстрём Й. Интерполяционные простран ства.Введение. М., 1980. 8. Б р у д и ы й Ю.А., Крейн С.Г., Семенов Е.М.Ин¬ терполяция линейных операторов // Мат.анализ. Т.24 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1986. 9. Виденский B.C. Экстремгзльные оценки производной три гонометрического полинома на отрезке, меньшем, чем период// Докл.АН СССР. i960. Т.130, » 1. iD. В у л и х Б.З. Краткий курс теории функций вещественной пе¬ ременной. М., 1973. 11. В у л и х Б.З. Введение в функциональный анализ. М., 1967. 12. Габисония О.Д.О точках сильной суммируемости рядов Фурье // Мат.заметки. 1973. Т.14, № 5, 13.Габисония О.Д. Точки сильной суммируемости радов со¬ пряженных с рядами Фурье // Мат.заметки. 1984. Т.36, Л 5. 14. Г а л к и н П.В. Оценки для констант Лебега // Труды Мат. ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР. 1971. Т.105. 15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1967. 16. Голубов Б.И. Кратные ряды и интегралы Фурье // Мат. анализ. Т.19 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР).М., 1981. 17. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. М., 1954. 18. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971. ©.Гюнтер Н.М., Кузьмин P.O. Сборник задач по выс¬ шей математике: В 2 т. М., 1958. Т.2. 20. Дамен В. О наилучшем приближении и суммах Валле Пуссе¬ на // Мат.заметки. 1978. Т.23, 5. 21. Даугавет И.К. Об одном свойстве вполне непрерывных операторов в пространстве С // Успехи мат.наук. 19ъЗ. Т.18, вып.5. 291
22. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по ма¬ тематическому, анализу. М., 1969. 23. Д з я д ы к В.К. Введение в теорию равномерного приближе¬ ния функций полиномами. М., 1977. 24. Д и т к и н В.А., Прудников АЛ. Интегральные пре¬ образования и операционное исчисление. М., 1961. 25. Ефимов А.В. О приближении некоторых классов непре¬ рывных функций суммами Фурье и суммами Фейера // Изв. АН СССР, сер.мат. 1958. Т.22, № 1. 26. Ж у к В.В. О порядке приближения непрерывной 2я-периоди¬ ческой функции линейными методами // Изб.вузов. Математика. 1969. № 10. 27. Ж У к В.В. 0 приближении периодических функций суммами Фейера и интегралом Валле Пуссена. // ЗестнЛенингр. ун-та. 1974. » 13. 28. Ж у к В.В. 0 приближении периодических функций линейны¬ ми методами аппроксимации // Вестн.Ленингр.ун-та. 1982.№13. 29. Ж у к В.В. Аппроксимация периодических функций. Л., 1982. 30. Ж у к В.В. Структурные свойства функций и точность аппрок¬ симации. Л., 1984. 31. Ж у к В.В., Натане он Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л., 1983. 32. Завалищин С.Т. О некоторых экстремальных свойст¬ вах тригонометрических полиномов // Труды Мат. ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР. 1965. Т.78. 33. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.;Л., 1939. 34. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2т.М., 1965.Т.1. 35. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В2 т. М., 1965.Т.2. 36. И б р а г и м о в И.И. Теория приближения целыми функция¬ ми. Баку, 1979. 3'?. Канторович Л.В..Акилов Т.П. Функциональ¬ ный анализ в нормированных пространствах. М., 1959. 38. К о л м о г о р о в А.Н. Избранные труды. Математика и ме¬ ханика. М., 1985. 39. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приб¬ лижения. М., 1976. 40. Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М., 1978. 41.Кузнецова О.И., Т р и г у б P.M. Двусторонние оценки приближения функций средними Рисса и Марцинкевича// Докл. АН СССР. 1980. Т.251, % 1. 42.Ланкастер П. Теория матриц. М., 1978. 43. Л с з и н с к и й С.М., Натансон И.П. Метрическая и конструктивная теория функций вещественной переменной // Математика в СССР за сорок лет. Т.1. М., 1959.
44. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций: В 2 т. M.t 1968. Т.2. 45. Натансон Г.И. Об оценке констант Лебега, сумм Валле Пуссена // Геометрические вопросы теории функций и множеств. Межвузовский тематический сборник научных трудов. Калинин, 1986. 46.Натансон И.П. Теория функций вещественной перемен¬ ной. М., 1974. 47. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.; Л., 1949. 48. Никольский С.М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами // Изв. АН СССР, сер.мат., 1940. 49. Никольский С.М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами // Труды Мат.ин-та ш. В.А. Стеклова АН СССР. 1945. Т.15. 50. Н и к о л ь с к и й С.М. Приближение многочленами функций действительного переменного // Математика в СССР за трид¬ цать лет. М.;Л., 1948. 51. Никольский С.М. Теория приближений функций мно¬ гочленами // История отечественной математики. Т.З. Киев, 1968. 52. Никольский С.М. Приближение функций многих пере¬ менных и теоремы вложения, м., 1977. 53. Осколков К.И. Последовательности норм сумм Фурье ограниченных функций // Труды Мат.ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР. 1977. Т.143. 54. Осколков К.И. О сильной суммируемости рядов Фурье// Труды Мат.ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР. 1985. Т.172. 55. Подкорытов А.Н. Теорема фейера-Марцинкевича в мно¬ гомерном случае. Л., 1976. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 1.2.1977, J6 368. 56. Подкорытов А.Н. Линейные средние кубических cvmm в многомерном случае. Л., 1977. 12 с. Деп. в ВИНИТИ Т.ь. 1977, * 2117. 57. П о л и а Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа; В 2 т. М., 1956. Т.2. 58. Прудников А.П., Б р и ч к о в Ю.А., М а р и ч е в С.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., 1981. 59. Р е м е з Е.Я. Основы численных методов чеоышевского при¬ ближения. Киев, 1969. 60 Сафронова Г.П.О методе суммирования расходящихся иядов, связанном с сингулярным интегралом Джексона // Докл, АН СССР. 1950. Т.73, # 2. 61. С к о п и н а М.А. Константы^Лебега кратных^ суш Валле Пуссена по многогра ния Мат.ин-та им.В. 293 никам // зап.науч.семин.денингр, отд- .Птаюгпва АН ПСПР. 19ЙЯ. & 12В.
62. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная те¬ ория функций комплексного переменного. М.;Л., 1964. 63. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. И.Абромо- вица и И.М.Стиган. 1979. 64. Стейн Им В е Й с Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М., 1974. 65. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометри¬ ческими полиномами. Киев, 1981. 66. С т е ч к и н С.Б. О суммах Валле Пуссена // Докл.АН СССР, 1951. Т.80, № 4. 67. Тайков Л.В. Одно обобщение неравенства С.Н.Бернштей¬ на // Труды Мат.ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР. 1965. Т.78. 68. Т е л я к о в с к и й С.А. Теория приближения функций мно¬ гочленами // Очерки развития математики в СССР. Киев, 1983. 69. Т и м а н А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М., !9ь0. 70. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные про¬ странства, дифференциальные операторы. М., 1980. 71. Т р и г у б P.M. Суммируемость рядов Фурье и некоторые вопросы теории приближений. Донецк, 1980. 235 с. Деп. в ВИНИТИ 8.12. 1980, Jfe 5145. 72. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Минск, 1968. 73. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах: В 2 ч. Минск, 1977. 4.2. 74. Ф и х т е н г о л ь ц Г.М. Курс дифференциального и инте¬ грального исчисления: В 3 т. М., 1970. Т.2. 75. X а р д и Г. Расходящиеся ряды. М., 1951. 76. X а р д и Р.Х., Л и т т л ь в у д Д.Е.,П о л и а Г. Не¬ равенства. М., 1948. 77. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: В 2т, М., 1985. Т.1. 78. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: В 2т. М., 1985. Т.2. 79. Янушаускас А.И. Кратные тригонометрические ряды. Новосибирск, 1986. 80* But z е г P.L., N е s а в 1 R.J. Fourier analysis and approximation# New York and London, 1971. 81# С i v i n P# Inequalities for trigonometric integrals // Duke Math# J. 1941. Vol.8# 82. Gogoladze L.D. On a problem of L.Leindler concern¬ ing strong approximation by Fourier series and Lipschitz classes /7 Analys. Math. 1983. Vol.9, N 3. 83. H a г d у G.H., Littlewood J.E. Sur la s£rie de 294
Fourier d»une fonction а саггё sommable // Compt.Rend.Acad. Sci. 1913. Vol.156. 84. Hardy G.H., Littlewood J.E. The strong sum- inability of Fourier series // Fund. Math. 1935# Vol.25* 85. Jackson D. tfber die Genauigkeit der Annoherung ste- tiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebe- nen Grades und trigonometrische Summon gegebener Ordnung. Diss. Gottingen, 1911* 86. Leindlor L. Strong approximation by Fourier series. Budapest, 1985. 87. b e n 3 к i V/. On the degree of strong approximation of integrable functions // Functiones et approximatio. 1982. Vol.12. 88. Lenski W. On the degree of strong approximation func¬ tions belonging to the spaces 2,P( 1 < p < 00) // Funotio- nes et approximatio. 1982. Vol.13* 89. Marcinkiewicz J. Collected papers. .Yarszawa, 1964. 90. R i e s 2, M. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleiohungen fur Polynome // Jahresber. d. Deutsoh. Math. Verein. 1914* Bd 23* 91. Scheiper H.-J., S i с к e 1 V/. On strong summabi- lity of multiple Fourier series and smoothness properties of functions // Analys. Math. 1902. Vol.8, N 1. 92. Stock In S.B. On the approximation of periodic func¬ tions by de la Vallde Poussin sums // Analys. Math. 1978. Vol.4, N 1. 93* Vallde-Poussin Ch.J. Logons our 1•approxima¬ tion des fonctions d*une varialbe r6elo. Paris, 1919. 94. Z a m a n s к у M. Classes de saturation de certain pre¬ cedes d*approximation des series de Fourier des fonctions continues et application h queiques problemes d*approxima¬ tion // Ann. Soi. Eoole norm. Sup. 1949* Vol.66, H 1.
Научное издание Кук Владимир Васильевич СИЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Редактор З.И.Царькова Художественный редактор В.В.Пожидаев Обложка художника В.А.Тютокина Технический редактор Л.А.Толорина Корректоры Е.К.Терентьева, Н.В.Субботина ИБ Л 2483 Подписано в печать 12.10,88. М-34003. Формат 60x84 4/16. Бумага тип.Л 2. Печать офсетная, Усл.печ.л. 17.20. Уел. кр.-отт. 17,37. Уч.-изд.л. 14,99. Заказ41^4. Тираж 1475 экз. Цена 3 руб, Издательство Ленинградского университета.199034.Ленинград, Университетская наб., 7/9 PC
3 #ув.