ПИ. РОМАНОВСКИЙ
ОБЩИЙ КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
В СЖАТОМ ИЗЛОЖЕНИИ

П. И. РОМАНОВСКИЙ
ОБЩИЙ КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
В СЖАТОМ ИЗЛОЖЕНИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962

517.2
P69
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава I. Введение в анализ 7
§ 1. Функции и графики 7
§ 2. Пределы 11
§ 3. Некоторые замечательные пределы ' . 23
§ 4. Непрерывные функции 26
Глава II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного 35
§ 5. Производная 35
§ 6. Техника дифференцирования 39
§ 7. Техника дифференцирования (продолжение) 43
§ 8. Дифференциал 46
§ 9. Производные высших порядков 43
§ 10. Основные теоремы дифференциального исчисления 51
§ 11. Параметрические уравнения кривых 56
§ 12. Возрастание и убывание функций 60
§ 13. Формула Тейлора 62
§ 14. Экстремумы функций 65
§ 15. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба 68
§ 16. Приближенное решение уравнений способом хорд и касательных 71
§ 17. Соприкасающийся круг 73
§ 18. Интерполирование 76
Глава III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 81
§ 19. Функции нескольких переменных 81
§ 20. Неявные функции . . * 86
§ 21. Геометрические приложения частных производных 91
§ 22. Полный дифференциал 93
§ 23. Экстремумы функций многих переменных 90
§ 24. Частные производные высших порядков юо
1»

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Интегральное исчисление функций одного переменного . . 106
§ 25. Определенный интеграл как предел суммы 106
§ 26. Теоремы о среднем для определенного интеграла и
определенный интеграл с переменным верхним пределом 114
§ 27. Неопределенный интеграл. Связь между определенным и
неопределенным интегралами 118
§ 28. Интегрирование подстановкой и интегрирование по частям.
Несобственные интегралы 122
§ 29. Интегрирование рациональных функций 127
§ 30. Интегрирование тригонометрических выражений 135
§ 31. Интегрирование иррациональностей 137
§ 32. Площади и объемы 141
§ 33. Гиперболические функции 146
§ 34. Спрямление дуг и площади поверхностей вращения 150
§ 35. Кривизна плоских кривых * . 155
§ 36. Приближенное вычисление интегралов . 157
Глава V. Интегральное исчисление функций многих переменных . . . 163
§ 37. Интегралы, зависящие от параметра 163
§ 38. Криволинейные интегралы 166
§ 39. Интегрирование полных дифференциалов 172
§ 40. Двойные интегралы 176
§ 41. Формула Грина 183
§ 42. Замена переменных в двойном интеграле и приложения двойных
интегралов 188
§ 43. Поверхностные интегралы 194
§ 44. Тройные интегралы 197
§ 45. Замена переменных в тройном интеграле 204
Г л а в а VI. Ряды 208
§ 46. Числовые последовательности и ряды 208
§ 47. Несобственные интегралы как аналоги ряда 212
§ 48. Признаки сходимости и расходимости рядов с положительными
членами 217
§ 49. Числовые ряды с любыми членами 220
§ 50. Функциональные последовательности и ряды 226
§ 51. Почленное интегрирование и дифференцирование
функциональных рядов " 231
§ 52. Степенные ряды 235
§ 53. Операции над степенными рядами . . 244
§ 54. Начальные сведения о рядах Фурье 247
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава VII. Дифференциальные уравнения 256
§ 55. Общие сведения о дифференциальных уравнениях 256
§ 56. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка . . 260
§ 57. Некоторые дифференциальные уравнения высших порядков . . 266
§ 58. Существование решений дифференциальных уравнений .... 269
§ 59. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого
порядка 277
§ 60. Понятие о способе Адамса — Крылова приближенного решения
дифференциальных уравнений первого порядка 281
§ 61. Линейные однородные дифференциальные уравнения 284
§ 62. Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами 292
§ 63. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
произвольными коэффициентами 294
§ 64. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами и специальными правыми частями . . 299
§ 65. Системы линейных дифференциальных уравнений 302
§ 66. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов 305
Глава VIII. Вариационное исчисление 311
§ 67. Понятие о вариации функционала 311
§ 68. Необходимые условия экстремума для простейших
вариационных задач 314
§ 69. Поле экстремалей 326

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга содержит сжатое изложение теоретической части
общего курса математического анализа для высших технических
учебных заведений. В нее не вошли дополнительные и специальные главы
курса математики, излагаемые на некоторых факультетах втузов,
однако в нее вошли доказательства многих таких предложений,
которые в практике преподавания обычно формулируются без
доказательства или только вскользь упоминаются. Нетрадиционным является
отнесение к общему курсу анализа и включение в книгу основ
вариационного исчисления, овладение которыми стало ныне необходимым
для многих инженерных специальностей.
Книга в целом не предназначена для первоначального изучения
курса математического анализа студентами втузов, но может быть
полезна при повторении курса и подготовке к экзаменам. С другой
стороны, книга может быть использована для углубленного изучения
тех мест курса анализа, которые во втузах принято излагать без
достаточных обоснований.
Книга возникла в результате переработки конспекта лекций,
читанных автором в Московском авиационном институте, изданного
Оборонгизом в 1957 году.
Автор
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Функции и графики
1.1. Функции. Мы будем предполагать известными основные
сведения о действительных и комплексных числах, начальные сведении
о функциях, основные факты, относящиеся к элементарным функциям.
Напомним некоторые определения.
Если каждому значению переменной величины х, принадлежащему
заданному множеству чисел, соответствует одно или несколько-
значений переменной величины у, принадлежащих некоторому множеству
чисел, то у называется функцией от х; при этом х называется
аргументом. Если каждому значению аргумента отвечает одно значение
функции, то функция называется однозначной (в противном случае —
многозначной). Совокупность значений аргумента образует область
определения функции, совокупность значений функции образует
область значений функции.
Мы будем рассматривать в этой книге в основном действительные
функции действительного переменного (или действительных
переменных). В отдельных случаях, что всякий раз будет оговариваться,
будут рассматриваться также комплексные функции действительного
переменного (комплекснозначные функции) и комплексные функции
комплексного переменного.
Областью определения функции действительного переменного
является некоторое множество действительных чисел. Простейшими
множествами действительных чисел являются интервалы, определяемые
и обозначаемые следующим образом:
совокупность чисел ху удовлетворяющих неравенствам а^х^Ь
называется закрытым интервалом или сегментом и обозначается
[а, Ь];
совокупность чисел х, удовлетворяющих неравенствам a<^x<^bt
называется открытым интервалом и обозначается (л, Ь);
совокупность чисел xt удовлетворяющих неравенствам аа^х<^Ь
или а<^х*^Ь, называется полуоткрытым интервалом и обозначается
соответственно [а, Ь) или (а, Ь].

8
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
Для обозначения функций употребляют знаки f(x), ф(х),..., где
/» Ф» ... суть символы тех действий, которые следует совершить над
аргументом х, чтобы получить рассматриваемую функцию (точнее:
символы соответствия). Если функция задана аналитическим
выражением, содержащим аргумент, то говорят, что функция задана явно,
если же задано лишь уравнение, связывающее аргумент и функцию,
то говорят, что функция задана неявно.
Отметим два узких частных вида функций с симметричной
относительно нуля областью определения*). Функция f(x) называется
четной (нечетной), если для всех х из области определения
/( — *)=/(*) (/( — *) =—/(*)).
Всякая функция f(x) с симметричной относительно нуля областью
определения может быть представлена в виде суммы четной и
нечетной функций: f(x) — <p(x)-{-ty(x)t где
Ф (х) = w ' 'v — четная,
i|5 (х)='-^—{г± — нечетная.
Пусть /—какая-нибудь функция. Определим функцию ф так:
если у принадлежит области значений /, то у (у) обозначает всякое
такое х, что f(x)=y. Функция ф называется обратной для /.
Уравнение у=/(х) после разрешения относительно х принимает вид
х=у(у).
1.2. Графики. Мы предполагаем известными основные факты,
относящиеся к графическому изображению функций в прямоугольных
и полярных координатах. Отметим простую связь между графиками
прямой и обратной функций в прямоугольных координатах.
График функции f(x) есть кривая, имеющая уравнение у=/(х).
Разрешим это уравнение относительно х; тогда оно примет вид
х=у(у) и изобразит ту же кривую. Теперь заметим, что при
перестановке прямоугольных координат какой-нибудь точки получится
точка, симметричная данной относительно биссектрисы первого
координатного угла. Отсюда следует, что если в уравнении какой-нибудь
кривой переставить текущие координаты, то получится уравнение
кривой, симметричной данной, относительно биссектрисы первого
координатного угла.
Следовательно, если в уравнении х = ц>(у) переставим х и у, то
получим кривую ^ = ф(д:), симметричную кривой х=<р(у), или, что
то же, кривой у=/(х) относительно биссектрисы координатного угла.
*) Это означает, что если число х принадлежит области определения, то — х
тоже.
§ 11
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
9
Итак, график обратной функции симметричен графику прямой
функции относительно биссектрисы первого координатного угла (рис. 1).
Таким образом, зная график какой-либо функции, можно легко
получить график обратной функции, например из графиков
показательных функций получаются графики логарифмических функций, из
графиков прямых тригонометрических функций получаются
графики обратных тригонометрических
функций.
Отметим некоторые простые приемы,
позволяющие, исходя из графика какой-
либо функции, получить графики
некоторых родственных ей функций.
Задача. Дан график функции /(х),
найти графики функций /(х) -\-а, f(x -\- а),
af(x), f(ax).
А. у==/(х)-\- а.
Чтобы получить график f(x)-\-a,
надо, образно выражаясь, график /(х)
«сдвинуть вверх на расстояние л», т. е. каждую точку М(Х, Г)
данного графика заменить точкой М1(Х1 У-{-а) (рис. 2)
Б. у=/(х-\га).
Рис. 1.
Чтобы получить график f(x+a), надо график f(x) «сдвинуть
влево на расстояние а», т. е. каждую точку М(Х% Y) данного графика
заменить точкой МХ(Х—a, Y) (рис. 3).
В. у=~=а/(х).
Чтобы получить график а/(х), надо график f(x) «растянуть в
вертикальном направлении в а раз», т. е. каждую точку М(Х, Y)
данного графика заменить точкой Мх (X, aY) (рис. 4).
Г. у=/(ах).
Чтобы получить график /(ах), надо график f(x) «сжать в
горизонтальном направлении в а раз», т. е. каждую точку М (X, Y)
данного графика заменить точкой Mt (— , К) (рис. 5).

10
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
Примеры.
а) Получить график любой квадратичной функции ах* -J- Ьх + с из графика х*.
Имеем
ах1
: + * + « = .(* + £, + £} = .(,, + *£, + £ + £._£) =
-•[('+£),+йё*| "(•+£)'+
4ос— 6»
Последовательное рассмотрение функций
, , , . Аас — Ь* ( . Ь\* . Аас — Ь* , , . ,
^«^.«ч—45—s Чх+5; +~~4T-=flx+6jc+c
показывает, что для получения графика ах*-\-Ьх-\-с следует график дс*
растянуть в вертикальном направлении в а раз, полученный график сдвинуть вверх
4ас — Ь* . Ь
на расстояние —-г ; получающийся график сместить влево на =-.
У
О
A As
t 1
1 1
x ax ~x
Рис. 5.
У=
. „ . ax-[-fc
б) Получить график любой дробно-линеинои функции cx\_d
1 ^ ах4-Ь
—. Исключение целой части из выражения cx_i_d
дает
ах-\-Ь
be — ad
cx-\-d
(•+4)'
Последовательное рассмотрение функций
1 be — ad а . be — ad a
х
из графика
be — ad m a_ be — ad
с*х ' ~с~^~ сгх
f
be — ad ax-\-b
cx-\- d
(•+4)
показывает, что для получения графика
be — ad
axA-b . 1
—Ц—■i следует график — растянуть
СХ + " *
вертикальном направлении в —-^— раз; полученный график сдвинуть вверх
a d
на —; получившийся график сместить влево на расстояние —-.
§ 2] ПРЕДЕЛЫ 11
Примечание. Функции вида у = Л sin (сох-|-а), где Л > 0, а>> 0,
нззываются простыми гармониками, причем А называется амплитудой, со—
частотой и а — начальной фазой гармоники.
в) Получить график любой простой гармоники из графика sin*.
Последовательное рассмотрение функций slnx; Л sin ж; Л sin сох;
Л sin I со ( х-| ] = Л sin (сох-[-а) показывает, что для получения графика
A sin (сох 4- а) следует график sinx растянуть в вертикальном направлении в
А раз, полученный график сжать в
горизонтальном направлении в со раз, получившийся гра-
а
фик сдвинуть влево на расстояние — . ^>fbal
Примечание. Отметим еще второе ана-
- кое выражение для простой гармоники. '
Имеем
A sin (ox -f- a) = A sin а cos сох -|- -
-f- A cos а sin cox = a cos cox -J- b sin сох, где ^
а=А sin а, b = A cos а.
Обратно, если дано выражение Рис. 6.
a cos сох -f- b sin ax,
где а я b — любые действительные числа, 1го, введя для точки (Ь, а) полярные
координаты (А, о), получим (рис. 6) а = А sin a, b = A cos а и, следовательно,
a cos сох + b sin cox = A sin a cos cox -f- A cos а sin cox = A sin (cox -f- а).
Таким образом,' общий вид всех простых гармоник с частотой со есть
a cos cox -|- b sin сох,
где а н b — произвольные действительные числа.
§ 2. Пределы
2.1. Предел числовой последовательности. Будем рассматривать
бесконечные последовательности действительных чисел с,, я,,..., ап,...
Числа ап1 составляющие последовательность, называются ее членами.
Число а называется пределом последовательности alt at, ...
..., дп,..., если для всякого положительного числа е найдется такой
номер Л/, что при л > /Vимеем \ап — а|<^е.
Предел последовательности чисел ап обозначают liman, a также
пишут ап—у а. Очевидно, из ап—у а следует ап—а—»-0 и обратно.
со называется пределом последовательности alt a2, ..., сп, ...,
если для всякого положительного числа К найдется такой, номер N,
что при л]>Л/ имеем \ап\у>К.
При этом пишут Нгаоя = оо, а также ап—юо.
Последовательность чисел ап называется ограниченной (короче:
числа ап ограничены), если найдется такое положительное число С,
что | ап | <; С для всех п.
Последовательность чисел ап называется отделимой от нуля
(короче: числа ап отделимы от нуля), если найдется такое
положительное число С, что \а \^С для всех п.

12 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. 1
1. Если ап—*а, где а — конечное число, то числа ап
ограничены; если ап-+<х>% то числа ап не ограничены; если все апфЪ
и ап—»а=£0, то числа ап отделимы от нуля.
Доказательство. В первом случае найдется такое N, что
при л>А/|а„ —л|<1, а тогда |ая|<|ов — а| + |а|<1 + |а|,
поэтому если обозначить через С наибольшее из чисел \аг\,..., |а^|,
l_j_|ajt TO будем иметь \ап\<,С для всех п. Во втором случае
числа ап, очевидно, не ограничены. В третьем случае, если а конечно,
найдется такое N, что при n~^>N \ап — a\<^-7f, а тогда \ап\^?
>|а|— jfl^-an|>|a| — L|i=i^, поэтому если обозначить через
С наименьшее из чисел |aj, ..., \aN\, l|i, то будем иметь | a„ 1 ^ С
для всех п; если же а = оо, то найдется такое N, что при n^>N
|лп|>1, поэтому если обозначить через С наименьшее из чисел
jaj, .... \aN\, 1, то будем иметь \ап\^С для всех п.
Заметим, что если все an=£Q, то из ограниченности чисел ап
следует отделимость от нуля чисел —; из отделимости от нуля чисел
Л
ап следует ограниченность чисел —.
2. Если все ап^=0, то из ап—*0 следует — —> оо; из аа —у оо
п
следует уО.
Доказательство. В первом случае для любого К^>0 найдется
такое N, что при л>Л/ |а„|<^, а тогда - >Л\
следовательно, -—-*оо. Во втором случае для любого е>0 найдется такое N,
что при п > N \ ап | > i-, а тогда ~ О» следовательно, — —► 0.
3. Если ап—»-0, Ьп ограничены, то апЬп-+0; если ап—+оо,
Ьп отделимы от нуля, то апЬп—*оо.
Доказательство. В первом случае найдется такое Ср> 0, что
|6П|<С для всех п, и для любого е>0 найдется такое N, что
при /*>7V К|<£, а тогда \апЬп\ = \ап\ |М<£С===8'
следовательно, апЬп—уО.
Во втором случае найдется такое С>0, что | Ьп \ 5* С для всех я,
и для любого /Г>0 найдется такое N, что при n^>N Ю^ТГ*
а тогда |апЬп\ = \ап\\Ьп\>-%гС=К, следовательно, апЪц-+ оо.
§ 2] пределы 13
4. Если ап—+0, Ьп—►О, то ап-\-Ьп—► (); если ап—юо и Ьп
таковы, что при любом п ап и Ьп не являются числами разных
знаков, то ап-\-Ьп—*оо.
Доказательство. В первом случае для любого е^>0 найдется
такое Nx, что |ап|<^-^ при л]>Л/„ и найдется такое Nt, что
| £„!<•§• при n^>Nz. Тогда при я>Л/, где N—наибольшее из N,
и /V,, эти неравенства выполняются одновременно и тогда |ов-|~^я|^
<1йпЦ-|&я1<|'+-|-=::8. следовательно, ап-\-Ьп —*0.
Во втором случае ап и Ъп не являются числами разных знаков,
поэтому \an-\-bn\ = \an\-\-\bn\^\an\, и из того, что ап—*оо, и
подавно следует, что ап-\-Ь„—»»оо.
Сделаем еще несколько замечаний. Изложенное показывает, что
последовательности, имеющие конечный предел, являются частным
случаем ограниченных последовательностей; последовательности,
имеющие бесконечный предел, являются частным случаем неограниченных
последовательностей. Поэтому последовательность не может
одновременно иметь пределом конечное число и оо; далее,
последовательность не может иметь два разных конечных предела, ибо
если бы ап—у а, ап —► а', а^=а', то равенство а — а' =
= (а — ап)-\~(ап —а) пРивело бы к противоречию, так как в силу
предложения 4 правая часть его —»*0, ибо каждое слагаемое —»>0,
а левая часть, будучи независимым от п числом, отличным от нуля,
очевидно, не —»-0. Таким образом, всякая последовательность либо
имеет ровно один предел (конечный или оо), либо не имеет никакого
предела. Последовательность, имеющая конечный предел, называется
сходящейся; последовательность, имеющая бесконечный предел или
не имеющая предела, называется расходящейся. Если изменить,
добавить или отбросить конечное число членов последовательности, то
ее предел, если он был, не изменится. Поэтому все предложения
о пределах последовательностей остаются в силе, если вместо условий,
наложенных на все члены последовательности, рассматривать условия,
выполненные лишь для членов с достаточно большими номерами.
Из определения конечного предела числовой последовательности
непосредственно следует: если ап—у а, \а\<1-{-оо, то ап — а-\-ап,
где art—*0 (следует положить ап = ап — а); если ап = а-\-ап, где
а постоянное и ап—»-0, то ап—у а.
Нижеследующее предложение содержит простейшие правила
оперирования с конечными пределами числовых последовательностей.
5. Если ап—у а, Ьп—► *, а и b конечны, то an-\-bn—ya-\-b,
апЬп—*ab; если, кроме того, все Ьп=^=0 и ЬфО, то ^—*^-.

14
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
{ГЛ. I
Доказательство. Имеем ап — а-\-ап, bn = b-\-$n, где
«п—-О, Р„ —0; отсюда an-\-b„ = (a-{-b)-\-{an + $n), anbn = ab-\-
+ (аРв + ^в + алР„);ноа„4-Р„->0 (см. 4), а$п + Ьап + ап$п-*0
(см. 3 и 4), следовательно, an-\-bn—>a-\-b, anbn—*ab.
Далее, если все Ьп=£0 и Ь=£0, то числа Ьп отделимы от нуля
(см. 1), и поэтому числа j~ ограничены, а так как b — bn—>0, то
(учитывая 3) находим ^ —4=^&=Т*=:=ТГ^ —^ —>°» следова-
тельно, Гп—Т. Наконец, £ = ап--+ат =у.
6. Если an—+b, cn—*b, b конечно и Ьп таковы, что при
каждом п Ьп лежит между ап и сп или совпадает с одним из них,
то bn—*-b.
Доказательство. Для любого е]>0 найдется такое Nlt что
при л^-N, \ап — Ь\<^в, и найдется такое Nt, что при n^>Nt
jcn — £|<е. Тогда при n"^>N, где N—наибольшее из Nt и N„
эти неравенства выполняются одновременно, но это обозначает, что
при n^>N числа ап и сп лежат между b—е и Ь-\-ъ. Поэтому в силу
условия, наложенного на Ьп, оно также лежит между Ъ—е и Ь-\-ъ,
иначе говоря, \Ьп — &|<Се ПРИ п^>^, следовательно, Ьп—уЬ.
Примечание. Все определения этого пункта применимы также к
бесконечным последовательностям комплексных чисел а,, а2,..., ап, ...
При этом предложения 1, 2, 3, 5 и первая часть предложения 4 остаются
в силе с дословным сохранением доказательств. Из определения конечного
комплексного предела непосредственно видно, что для сходимости
последовательности комплексных чисел необходимо и достаточно, чтобы сходились
последовательности, составленные из действительных и мнимых частей членов данной
последовательности *).
2.2. Монотонные последовательности. Последовательность а„,
at* •••» йп» ••• называется: возрастающей, если Oj<lfli<C.a«<C* • •'»
неубывающей, если а1 ^ а2 ^ ай ^...; убывающей, если а, > at >
^>а3 у>...; невозрастающей, если а1'^аг'^ай'^... Все такие
последовательности называются монотонными.
Последовательность я„ аг, ... , ап, ... называется ограниченной
сверху (снизу), если найдется такое число С, что ап^С (^С) для
всех п. Очевидно, что ограниченная последовательность будет
ограниченной сверху и снизу; обратно, последовательность, ограниченная
сверху и снизу, будет ограниченной.
-|-оо (— со) называется пределом последовательности ах, аг, ...
..., ап, ..., если для всякого действительного числа К найдется
*) Если a—b-\-ic (где ft и с действительны), то: Ь называется
действительной частью числа а и обозначается Re а; с называется мнимой частью
комплексного числа а и обозначается Ima.
§21
ПРЕДЕЛЫ
15
такое N, что при n^>N имеем а„~^>К (ап<^К). При этом пишут
liman = + c©(liman==-— оо), а также ап —► + ©о (ап —* — оо).
Очевидно, утверждения —»--|-оои—*• — оо исключают друг друга
и являются частным случаем утверждения —юо.
Из определений пределов непосредственно видно, что если ап—>а,
где а конечно или равно ±оо, и если а<^с 0>с), то найдется
такое N, что при /z>N an<c(>c). Далее, если ап^Ьп, ап~->at
b„—>-b (где a, b конечны или равны ±00), то а^Ь. В самом деле,
если бы было а^>Ь, то, взяв с между а и Ь, нашли бы в силу
предыдущего замечания, что при п достаточно большом Д„]>с]>£п,
что противоречит предположению. Справедлива
Теорема. Всякая неубывающая последовательность,
ограниченная сверху, имеет конечный предел.
Эта теорема вытекает из свойства непрерывности числовой прямой,
на доказательстве которого мы не имеем возможности
останавливаться.
Если at^at^at^... и все ап^С, то последовательность
чисел ап, очевидно, не может иметь предела, ббльшего С, и не
может иметь предела, меньшего одного из ап. Поэтому \\тап,
существование которого утверждается предыдущей теоремой, должен быть
не больше С и не меньше ап при всяком п.
Если аг ^= аг ^ я, ^... и все ап ^ С, то lim ап существует,
причем он будет не меньше С и не больше ап при всех п (это
предложение сводится к предыдущему заменой ап на —ап).
Если л,<а,^а,^...; bl^bi^bi^...; «„<&„ при всех л,
то lim ап и lim bn существуют, конечны и lim an <; lim bn.
В самом деле, ap^bq при любыхр и q, ибо если взять m^p,q,
то ap^am^bm*^bg, следовательно, неубывающая
последовательность чисел ап имеет предел а, причем а <: Ьп при любом я, откуда
следует, что невозрастающая последовательность чисел Ьп имеет
предел Ь, причем а^Ь.
Если дополнительно потребовать, чтобы Ьп — ап—>0, то а = Ь.
В самом деле, an^a^b^bn, откуда О^Ь—о<&„ — ап—►О,
поэтому b — 0 = 0.
Последний факт можно еще перефразировать так: если имеем
бесконечную стягивающуюся последовательность сегментов [alt bt\,
[аг, ^«]|'«ч [ап> К]> ••• (т« е- каждый сегмент содержится в
предыдущем) с длинами, стремящимися к нулю, то существует
единственная точка, принадлежащая всем этим сегментам (это будет общий
предел неубывающей последовательности чисел ап и невозрастающей
последовательности чисел Ьп).
Отметим еще, что всякая неубывающая (невозрастающая)
последовательность имеет предел, конечный или равный 4"°°( — °°)-
В самом деле, если эта последовательность ограничена сверху (снизу),
то в силу изложенного выше она имеет конечный предел, если же

16
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
рассматриваемая последовательность не ограничена сверху (снизу),
то она, очевидно, имеет пределом 4~оо(—ос)"
2.3. Предел функции. Будем рассматривать функции, в область
определения которых входят все числа, достаточно близкие к
действительному числу а и отличные от а. Условимся говорить, что
какое-нибудь явление имеет место вблизи а, если оно выполняется
для всех х, достаточно близких к а и отличных от а.
Число А называется пределом функции f(x) при х—>а (короче:
пределом f(x) в точке а), если для всякого положительного числа
е найдется такое положительное число 6, что при 0<^|jt— а|<^б
имеем \/{х)— Л К е.
Предел f(x) в точке а обозначают lim/(jt), а также пишут
х-*а
f(x)—*А при х—>а. Очевидно, из того, что /(х)—>А при х—*-а,
следует, что f(x) — А—*0 при х—>а и обратно.
Бесконечность называется пределом функции f(x) при х—*-а
(короче: пределом f(x) в точке а), если для всякого положительного
числа К найдется такое положительное число б, что при 0<^\х—<х|<^б
имеем \/(х)\у>К.
При этом пишут: lim/(jc) = oo, а также/(л;)—►оопридс—>а.
х-*а
Функция f(x) называется ограниченной вблизи а, если найдется
такое положительное число С, что вблизи а имеем \/(х)]^.С.
Функция f(x) называется отделимой от нуля вблизи а, если найдется
такое положительное число С, что вблизи а имеем \/(х)\^С.
1. Функция, имеющая конечный предел в точке а, ограничена
вблизи а; функция, имеющая бесконечный предел в точке а, не
ограничена вблизи а; функция, имеющая отличный от нуля предел
в точке а, отделима от нуля вблизи а.
Доказательство. Если f(x)—*-А {А конечное) при х—>а,
то найдется такое 6^>0, что при 0<^|х — а]<^б имеем \/(х)—А\<С^\,
а тогда \/(х) | ^ \/(х) — v4j-f-Ml<0_H^I и» следовательно, f(x)
ограничена вблизи а. Если f(x)—►оо при х—► а, то, очевидно, f(x)
не ограничена вблизи а. Если f(x)—*А=£0 при х—>а, то в случае
конечного А найдется такое б]>0, что при 0<[|л; — а | <^ б имеем
I/U) —^ | <'-4-', а тогда |/(лг) j ^ | Л | — | Л —/(л:)| ^= / ^ | —^-' =
= Цр, следовательно, f(x) отделима от нуля вблизи а; в случае
же Л = оо найдется такое б^>0, что при 0<^|jc — я|<^6 имеем
I/(*)I!>1» следовательно, f(x) также отделима от нуля вблизи а.
Пусть f(x) отлична от нуля вблизи а; тогда: если f(x)
ограничена вблизи а, то тт-г отделима от нуля вблизи а; если f(x) отде-
Т\х) J
лима от нуля вблизи а, то jj-r ограничена вблизи о. В самом деле,
§ 2] ПРЕДЕЛЫ 17
It 1
если вблизи а |/(д;)|^С, где С>0, то там т-гх\^^\ есливбли-
1111
зи а |/(*)|^С, то там |д^|<-с.
Функция /(х) называется бесконечно малой (бесконечно большой)
при х—*а, если ее предел при х—*-а равен нулю (бесконечности).
2. Пусть f(x) отлична от нуля вблизи а; тогда: если f(x) —
бесконечно малая при х —*■ а, то -гт-; — бесконечно большая при
х—>а\ если f(x) — бесконечно большая при х—>а, то jj-r — бес-
конечно малая при х—>а.
Доказательство. В первом случае для любого К~^>0
найдется такое 6^>0, что при 0<^|jc — л|<^6 имеем lf{x)\<^~jz-, а
тогда I j-7-71 -^ ^* слеД°вательн0! 7ГТ~"*°°" ^° ВТ°Р0М слУчае для
любого е*>0 найдется такое б*>0, что при 0<Гjдс — a|<16 имеем
1 111 1
1/(*)|>-£-. а тогда |/^|<е' следовательно, _—*0.
3. Если f{x) — бесконечно малая при х—у а, ф(дс) ограничена
вблизи а,то/(х)у(х) — бесконечно малая при х—*-а; если f(x)—
бесконечно большая при х—>а, ф(х) отделима от нуля вблизи а,
то /(х) ф (х) — бесконечно большая при х —*а.
Доказательство. В первом случае найдется такое СГ>0 и такое
Ь1'^>0, что при 0<^|л; — aj<^6, |ф(д:)|«^С; затем для любого е]>0
найдется такое б,]>0, что при 0<^| дс — a|<^6, |/(jc)|<^^-, а
тогда при 0<Jjc — a|<^6, где 6 — наименьшее из 6, и 68, будем иметь
\/(х) ф (х) | = \f(x) | |ф {х) |< £ С= е, следовательно, /(х) ф {х)-*0.
Во втором случае найдется такое С]>0 и такое 6,]>0, что при
О <[ | х—а К б, | ф (х) | ^ С; затем для любого /С]> 0 найдется
такое 68>0, что при 0<|дг — а|<6, \/{х)\^>~, а тогда при
0<|# — а К б, где б — наименьшее из б, и б,, будем иметь
|/(«) Ф (*) \ = I/ (*) 11 ф (х) | >^- С=К, следовательно, /(х)ф(х)—к».
4. Если f(x) и ф(лг) — бесконечно малые при х—*-а, то
f{x)-\-q>{x)— бесконечно малая при х—у а; если f(x) — бесконечно
большая при х—-а и вблизи а /(х) и ц>(х) не имеют разных
знаков, то f{x)-\-q>(x) — бесконечно большая при х—у а.
Доказательство. В первом случае для любого е3>0 найдется
такое 6^0, что при 0<|дс — о|<б, имеем |/(jc)|<-|, и
найдется такое 8в>0, что при 0<|х — fl|<6, имеем |ф(*)|<|-. Тогда

18
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
при 0<^|дг — a f.<[6, где б — наименьшее из б, и б,, упомянутые
неравенства выполняются одновременно, и тогда 1/(х)-\-ц>{х)\^
^ I/(*)I +1Ф(*)|<-тг + у = е, следовательно, /(х) + Ф{х) —»0.
Во втором случае вблизи a f(x) и у(х) не имеют разных знаков,
поэтому вблизи а имеем |/(*) + фМ| = |/(*)| + 1ф(*)1 SH/(*)|>
следовательно, из /(х)—»-оо подавно следует f(x)-\-y\x)—«».
Сделаем еще некоторые замечания. Из 1 следует, что при х—у а
функция не может одновременно иметь конечный и бесконечный
пределы; далее, она не может иметь два разных конечных предела, ибо
если бы /(*)—уА и /(*) —*А\ где АфА\ то равенство А — А'=
= {А—/(■*)) + (/(*) — А') привело бы к противоречию, так как
правая часть, как сумма бесконечно малых, была бы (согласно 4)
бесконечно малой, но левая часть, будучи независимым от х числом,
отличным от нуля, не может быть бесконечно малой. Таким образом,
всякая функция при х—у а либо имеет точно один предел, конечный
или бесконечный, либо не имеет никакого предела.
Из определения конечного предела функции при х—у а
непосредственно следует: если функция имеет конечный предел, то она есть
сумма своего предела и некоторой бесконечно малой; если функция
равна сумме постоянного числа и некоторой бесконечно малой, то
упомянутое постоянное есть предел рассматриваемой функции.
Нижеследующее предложение содержит основные правила
оперирования с конечными пределами функций.
5. Если /(х)—уА и ф(аг)—уВ при х—*а, то f(x)-\-tp(x)—>
—уА-\-В и f(x)y(x)—уАВ при х—> а; если, кроме того, B=jt=Q,
/(*) А
Доказательство. Имеем f(x) = A-\-a.(x); ф(л:) = В4-Р(д!:),
где а(*)—►() и Р(х)—уО; отсюда f(x)-{-y(x) = {A-\-B)-[-
+ (а(х) + Р(х)); f(x)y(x) = AB-{-(A${x)-{-Ba(x)-\-a(x)$(x)), но
а(*) + Р(*)-*0 (по 4), А$(х)-\-Ва{х)-{-а(х)$(х)—уО (см. 3 и 4),
следовательно, /(х) + ф(*)—уА-\-В; f(x)y(x)—уАВ. Далее, если
В=^=0, то (по 1) ф(а:) отделима от нуля вблизи а и, следовательно,
—j-т ограничена вблизи а, но В—ф (х)—»-0, поэтому (учитывая 3)
1 1 В — у(х) 1 I /D . чч _
находим -_-__ = -g-^ = _ -^ (В - Ф {х))—0, следовательно,
Наконец,
Ф(*)—/* 'ф(*) В — В '
Выведенные правила оперирования с конечными пределами функций
имеют единую структуру: предел действия над функциями, имеющими
§ 21
ПРЕДЕЛЫ
19
конечные пределы, получается в результате такого же действия над
их пределами. Список подобных правил может быть продолжен, но на
этом мы не останавливаемся.
6. Если /(х) и ф(х) имеют общий конечный предел при х—*а
и если для всякого х, достаточно близкого к а, у(х) лежит между
/(х) и *ф(лг) или совпадает с одним из них, то ц>(х) имеет тот
же предел при х—у а.
Доказательство. Пусть А — общий предел f{x) и *ф(х).
Для любого е>0 найдутся: такое б,>0, что при 0<Мх— а\<^Ьг
\f(x) — А\<^е; такое б,>0, что при О<^Jлг — а\ <6„ 144*)-
— Л|<е; такое б8>0, что при 0<|х — о|<б, Ф(*) лежит
между f(x) и ф(дс) или совпадает с одним из них. Тогда при
О <| х — о| •<о, где б — наименьшее из б,, б„ б8, ф (х) лежит между
f(x) и $(х) или совпадает с одним из них, и f(x) и ty(x) лежат
между А — е и Л4-е, а тогда ф(дс) лежит между А — е и A-\-et
т. е. \ц>(х) — А\<^е. Следовательно, Ф(х) —-А.
Примечание. Все вышеизложенные определения этого пункта
применимы также к комплекснозначным функциям действительного переменного и
комплексным функциям комплексного переменного (в последнем случае а
обозначает комплексное число, и рассматриваемая функция предполагается
определенной для всех комплексных чисел, достаточно близких к а и
отличных от а), при этом предложения 1, 2, 3, 5 и первая часть предложения 4
остаются в силе с дословным сохранением доказательств. Из определения
конечного предела функции непосредственно видно, что для существования
конечного предела комплексной функции необходимо и достаточно, чтобы
существовали конечные пределы ее действительной и мнимой частей.
Отметим еще следующее определение. -j-°o(— оо) называется
пределом функции f(x) при х—у а, если для всякого
действительного числа К найдется такое положительное число б, что при
0<|х — а|<б имеем /(*)># «/О-
При этом пишут Нш/(д;)=-|-оо( — сю), а также пишут
х-у а
/(х)—j--|~°° (— °°) ПРИ х—*а- Функция /(х) называется
положительной (отрицательной) бесконечно большой при х—»-а, если
f(x)—*--|-оо( — оо) при х—у а. Очевидно, понятия положительной
и отрицательной бесконечно большой исключают друг друга и
являются частными случаями понятия бесконечно большой.
Если f(x)—>А (А конечно или Ч^оо) при х—у а и A<^CQ>Qt
то найдется такое б^>0, что при 0<^|jc — а\<^Ь /{х)<^С 0>С).
Это непосредственно видно из определений пределов. Далее, если
/(•*:)^ф(дг) вблизи а и /(*)— *А, ф(л:)—>В при х—>-а(А, В
конечны или ±00), то А^.В. В самом деле, если бы было А~^>В,
то, взяв С между А и В, нашли бы в силу предыдущего замечания,
что при х, достаточно близких к а, f{x)^>C^>q>(x), что
противоречит условию.

20
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
Рассмотрим теперь некоторые другие определения пределов функций.
Определения правого (левого) пределов функции в точке а
отличаются от определений пределов функции в точке а лишь тем, что
вместо неравенства 0<^|jc — 0j<^6 следует пользоваться
неравенством а<^х<^а-\-Ъ(а— 6<С*<СС)» причем в область определения
функции должны входить все числа, ббльшие (меньшие) а и
достаточно близкие к а. Правый (левый) предел функции в точке а
обозначают llm f(x) (lim f(x)) или /(<z-|-0)(/(a— 0)). Если А есть
правый (левый) предел/(jc) в точке а, то пишут f(x) —»■ А при* —»- a -j- 0
(х—*а — 0); здесь А может быть конечным числом, оо, -|-оо, — оо.
Определения пределов функции при х —► оо, л; —»■ -{- оо, х —► — оо
отличаются от определений пределов в точке а лишь тем, что вместо
неравенства 0 <^ f х — а | <^ б следует пользоваться соответственно
неравенствами I^I^G, x~^>b, х<^ — 6, причем в область
определения функции должны входить соответственно все числа с достаточно
большим модулем, все достаточно большие положительные числа, все
отрицательные числа с достаточно большим модулем. Предел А
функции /(х) при х—►«>, х—f-j-oo, х—у— оо обозначают
соответственно lim/(jc), limf(x), lim/(jc), а также пишут f(x)—>А при
х-юо ж-*4-°о *-*—°о
х—*-со, х—»--|-оо, х—у— оо; здесь А может быть конечным числом,
оо, -j-oo, —оо.
Из определений пределов непосредственно видно, что если
\imf(x) — A, limq>(/) = a, то limf[q>(t)] = A (здесь А, а, а могут
X ~*а t ~ya t ~у а
быть конечными, оо, -|-оо, —оо), причем если а конечное и ф(<)
для t, как угодно близких к а, может принимать значение а, то
следует еще предполагать /(а) = А.
Выше было доказано несколько предложений, относящихся к
пределам функций при х—у а. Вполне аналогично доказываются такие
же предложения, относящиеся к правым и левым пределам функций
и к пределам функций при х—*оо, х—.--{-оо, х—»■ — оо.
Рассмотренные выше предложения о пределах функций были доказаны нег
зависимо от соответствующих предложений о пределах числовых
последовательностей. Но различные теоремы о пределах функций можно рассматривать как
непосредственные следствия из соответствующих теорем о пределах числовых
последовательностей, если предварительно доказана следующая
Лемма. Для того чтобы lim / (х) = А (а и А могут быть конечным чис-
х-*а
лом, оо, -f-oo, — °°)» необходимо и достаточно, чтобы для всякой пос #».*.
тельности чисел хп, отличных от а (входящих в область определения f(x)) и
таких, что хп—»• а, имело место f(x„)—* А.
Доказательство. Пусть, например, а и А конечны. Докажем
необходимость условия. Если / (х) —► А при х —у а, то для всякого е > 0 найдется
такое б > 0, что при 0 < | х — а |< б имеем | / (х) — А |< е; пусть х„^а
входят в область определения f (x) и х„ —у а; тогда найдется такое N, что при
п > # 0 < j x„ — а |< б, а тогда Ц (хп) — А |< е, следовательно, f (хп) —*А.
Докажем достаточность условия. Пусть для всяких х„ Ф а, входящих в область
§ 2] пределы 21
определения f(x) и таких, что хп—у а. имеем f(x„)—у А. Если бы А не было
пределом функции /(х).при х —>а, то для некоторого е>0 не нашлось
бы требуемого определением предела функции числа о, т. е. в любой близости
к а найдется такое хфа, что / (х) отличается от А не менее чем на е,
поэтому для всякого номера п найдется такое х„, что 0< Jхп — а|< — ,
|f (.*„) — A |^se, но тогда хп фа, хп—у а, /(*„) не стремится к А, что
противоречит условию.
Аналогичная лемма справедлива для правого (левого) предела функции
в точке а, 1де a — конечное число; в этом случае следует брать x„>a«fl).
Будем, рассматривать функции, отличные от нуля вблизи а (а
может быть конечным числом, оо, -|-оо, —оо). Две такие функции
/ (х)
f(x) и ф (х) называются равносильными при х —у а, если -±-\ —у 1
при х—у а, что обозначим: f(x)*>-q>(x) при х—у а. При х—*-а
имеем: f(x)-^f(x) (ибо у^г = 1 —* 1 }; из /(х)-^ц>(х) следует
<f{x)^f(x) (ибо^)=^)->|=1); из/(*Ьф(*); ф (*)-*(*)
следует f(x)^(x) (иб! М=Щ|1|-. Ы = l).
/ (х)
7. Если при х—у а имеем f(x)-^fl(x); Ц>(х)^Ц>1(х); £*Л—* А\
f (х)
то -+J1:—у А (здесь а, А могут быть конечным числом, оо, -|-оо,
-Ц.
Нх)
п и, fix) /iW М*) а * а
Доказательство. Имеем •£-Н=±—i{ ; / —*■ А-т- = А при
Ф(х) ф,(х) ф(х) 1
Фх (*)
х—у а, если А конечно (при бесконечном А это также верно в силу
второй части предложения 3 пункта 2.3, что и требовалось доказать.
Доказанное предложение, коротко говоря, показывает, что предел
отношения двух функций не меняется при замене этих функций
равносильными.
Можно также говорить о равносильности функций при х—»аЧ-0
(а — конечное число) с сохранением вышеизложенного о
равносильности.
Будем рассматривать функции, отличные от нуля вблизи а (а
может быть конечным, оо, -|-оо, —оо). Если /(х) и Ц>(х) — беско-
f(x)
нечно малые (бесконечно большие) при х—>а и если .'г—у О
(—>-оо) при х—у а, то говорят, что f(x) есть бесконечно малая
(бесконечно большая) порядка выше чем у(х) при х—у а. Если же
вблизи а ~-\ ограничено и отделимо от нуля, то говорят, что

22
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
бесконечно малые (бесконечно большие) f(x) и ср(л:) имеют
одинаковый порядок при х—*а.
8. Если f(x) и cp(je) — бесконечно малые {бесконечно большие)
при х—+а, причем ц>(х) порядка выше (ниже) чем f(x), то /(*) +
+ <Р (*)*>-/(#) при х—*-а (здесь а может быть конечным числом,
°°t +°°» —°°)-
Доказательство. Имеем Ш±-р*1 = i _|_Ф£>_ i _|_0 = 1
/ к*) Т \х)
при х—у а, что и требовалось доказать. Доказанное предложение
показывает, что бесконечно малая (бесконечно большая) «равносильна
своей главной части» (если называть f(x) главной частью суммы
Я*)-И(*)).
Можно также говорить о порядках бесконечно малых (бесконечно
больших) при х—► а + О (а — конечное число) с сохранением
вышесказанного о порядках.
Асимптоты. Если f(x) и ц>(х) определены вблизи оо (ЧЬ°°)
и f(x) — Ц>(х)—»-0 при х—юо (+00), то график функции <p(je)
называется асимптотой графика функции f(x) при х—»оо (-Нх>).
Рассмотрим, в частности, вопрос о прямолинейных
асимптотах графика функции/(а:) при х—»■ оо (+оо). Если прямая у = Кх-\-Ь
является асимптотой, то /(х) = Кх-\~Ь-\-г(х), где е(лг)—»-0, откуда
Ш = д:+4+^—*tf f(x)-—Kx = b-\-s(x) —»Ь; и, таким обра-
f(x)
зом, К= lim 1A-L; b = lim(f(x)— Кх) (при х—юо (4;00)). Обратно,
f (х)
если f(x) такова, что при х—»-оо (Чг°°) существует lira-^-i = К к,
кроме того, существует lim(/(x) — Кх) = Ь, то прямая у = Кх-\-Ь
является асимптотой графика функции f(x), ибо f(x) — Кх — Ъ—>0.
В частности, если f(x)—*b при х—*-а, то прямая у = Ь является
горизонтальной асимптотой графика функции f(x). Отметим еще, что
если f(x)—»-оо при х—у а (а-\-0, а — 0), где а конечна, то
вертикальная прямая х = а называется асимптотой графика функции f(x).
Из сказанного видно, каким образом следует искать прямолинейные
асимптоты графиков функций.
В заключение заметим, что в анализе и его приложениях вместо
термина «предел функции» часто пользуются менее точным термином
«предел переменной величины», вместо выражения «при л:, достаточно
близком к с» употребляют выражение «начиная с некоторого места»
и тому подобное.
Заметим, что в общем виде ничего определенного нельзя сказать
об отношении двух бесконечно малых величин, об отношении двух
бесконечно больших 'величин, о произведении бесконечно малой
величины на бесконечно большую, о сумме бесконечно больших разных
знаков.
flaiattausrWl
Имеем
где
§ 3] НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 23
§ 3. Некоторые замечательные пределы
3.1. Предел отношения многочленов при стремлении аргумента
к бесконечности. Пусть
= хп-т \ x-T = xn~mD(x\
1 X ' ' Хт
D(x)= \ ХТ.
При х —* оо lira D (х) = -^-. Следовательно,
(0, если от ]> л,
4-, если от = л,
оо, если /»<^л.
Пример.
lim 2*'-Г-*-1 2
ж-«,5х* + 2* + 4—5 '
3.2. Предел отношения -^? при х—*0. Пусть 0<а<-5- •
Возьмем угол с радианной мерой а и построим для него «линию
синуса» КМ и «линию тангенса» AT (рис. 7). Очевидно,
пл. Д АОМ < пл. сектора О AM < пл. Д ОА Г,
или
± OA'MK<^OA'AM<L0A.ATt
или, после деления на -к-(ОЛ)2,
О А ^-ОА ^ОА'

24
т. е.
Введение в анализ
[ГЛ. I
sin а <[ а < tg а.
После деления на sin а получим
1 << -— <Г , откуда 1 > ~> cos a.
^» sin a ^ cos a J ^ a ^
Так как члены этого неравенства не меняются при замене a
л
на —а, то оно справедливо и при о"<Са<С^* Таким образом,
sin х
отношение вблизи нуля заключено
между cos х и единицей, но cos а:—»• 1 при
х—»-0, следовательно (по предложению
6 из 2.3),
lira =1.
(П
Пример.
Рис. 7.
„ sin Зх ..
Нт . .. == lim
sin3x
О с sin 5x
5~5Г"
5
3.3. Понятие о числе е. Число е, являющееся одной из наиболее
замечательных постоянных в математике, определяется как предел
последовательности чисел f 1 -\ ] . Существование этого предела не
очевидно, и этот факт нуждается в обосновании.
Существование конечного предела последовательности чисел
[ 1-J J будет доказано, если мы докажем, что это выражение
возрастает и остается меньше некоторого конечного числа.
Доказательство. Имеем, пользуясь формулой бинома Ньютона,
/, . 1 \п . . 1 , п(п—1) 1
п(п— 1) (п — 2) 1
1-2-3
п«4---
+
04)04)
п(п— 1)(п —2)...1 1
1 —
1-2-3...л
п"
2 +
п
1-2
1-2-3
+-...4
O-ilO-iHbS
1-2-3...п
Отсюда видно, что при увеличении п каждое слагаемое правой
части увеличивается и, кроме того, в правой части добавляются новые
ШЫШтШ
§ 3J НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 25
положительные слагаемые. Следовательно, правая часть при
увеличении п увеличивается, поэтому [ 1 -j— ] возрастает.
Далее имеем
,_I (,_IV,_I)
о I п 1 V "А п ) I
1-2-3.. .п \^ "1 1.2ГЬ2.
"•4i.2.3...n<^24-2-4254 •••42^гт==
±_1 1
= 2+2-^.<2 + -2—=3.
1—— 1 ——
2 2
Таким образом, последовательность чисел ( 1 -j ) является
возрастающей и ограниченной сверху, и следовательно, имеет
конечный предел. Этот предел обозначается буквой е:
Это число иррациональное, его приближенное значение
<? = 2,71828...
Докажем теперь, что такой же предел имеет функция
(14-7) при *->°°-
а) Положим х = п-\-а, где п — целое, 0<а<4. Имеем (при
(1+4)'<(ч-1Г-(-ч-1)"С+^)^-—
при х—»--{-оо,
(1+тГ>('+Ил)"=^#^^т=-'ри —+«.
следовательно (по предложению 6 из 2.3),
■(l4"-j) ~~*е при *—*4°°-

26
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
б) Положим х =—у. Имеем (при х<^—1)
(•+±)'-('-^-С-^Г-('+^Г-
= (1+Р1Г(1+Рт)^е,1=< прих->-оо.
Из а) и б) заключаем, что (1 -\--jY~*е прИ х~*°°- °тме"
тим еще другую форму записи доказанного:
1==а, * = -^-, х—>оо, а —О,
1
lim(l-|-a)T = «. ^
а ->о
Число с в математическом анализе берут за основание логарифмов.
Логарифм числа х по основанию е обозначается \лх и называется
натуральным или неперовым логарифмом.
Пример.
,,5.(1+т)"-*'.[(1+^]'-л
§ 4. Непрерывные функции
4.1. Определение непрерывности функции. Рассмотрим функцию
у=/(х). Пусть jc и у — некоторые значения переменных, а х-{-&х,
у-\-Ау — соответственно новые
значения этих переменных.
Mr/ Тогда Дл; представит собой прира-
^s\\&y щение аргумента, Ау — приращение
Цй^-^—\ ' функции
/\Лх\ Ay=f(x-\-kx)—f(x) {рис. 8).
j J Если при стремлении приращения
i ! *~ аргумента х к нулю приращение функ-
х х ции у=/{х) тоже стремится к нулю,
Рис. 8. то функция называется непрерывной в
рассматриваемой точке х.
Короче говоря, функция непрерывна в точке хъ если при Ах—»-0
имеем Лу—»-0 или lim Ду = 0.
Определение непрерывности функции в точке можно еще
перефразировать так: функция /(*) непрерывна в точке *„ если при X "
имеем /(*)—+/(*в)«
х
•
%*1
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
27
Непрерывность обозначает, что timf(x)=f(llmx)t т. е.
возможность переставлять знаки предела и функции (Ига и /).
Определение непрерывной функции можно еще формулировать так:
Функция y=f{x) называется непрерывной в точке х, если для
всякого е^>0 найдется такое г)]>0, что при |Дл:|<^т) будем
иметь |Ду|<е.
Можно также сказать, что функция непрерывна в данной точке,
если ее предел в этой точке равен ее значению в этой точке.
Функция называется непрерывной справа {слева) в данной точке,
если ее правый (левый) предел в этой точке равен ее значению
в этой точке.
Функция, определенная на данном интервале, называется
непрерывной на этом интервале, если она непрерывна в каждой его
точке, причем в левом (правом) конце интервала, если он входит в
состав интервала, следует иметь в виду лишь непрерывность справа
(слева).
Сумма, разность, произведение функций, непрерывных в некоторой
точке, непрерывны в этой точке. Частное от деления двух функций,
непрерывных в некоторой точке, непрерывно в этой точке, если
знаменатель не обращается в ней в нуль. Проверим, например,
последнее утверждение. Пусть f(x) и ф(лг)— непрерывные функции в точке
*. и «PWt40-
Тогда
,, „ lim Пх)
lim /(*)^*->*, ; ^ /(*„)
х->х0Ч>{х) lim Ф(*) Ф(**Г
X -*Х0
что и требовалось доказать.
Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.
Инеем
Ит/[ф(*)]==/[Шп Ф(*)]=/[ф (*,)].
Ж •* «о X -*■ *0
При этом предполагалось, что ф непрерывна в точке аг0, а /
непрерывна в точке ф(*0).
Легко показать, что все элементарные функции (при надлежащих
оговорках) оказываются непрерывными, но на доказательстве этого
утверждения мы не останавливаемся.
Примечание. Изложенные в этом пункте определения и предложения
применимы к комплекснозначным функциям действительного переменного
(причем в том месте, где говорится о суперпозиции функций, следует
предполагать ф действительной функцией, значения которой лежат в области
определения комплекснозначной функции f). Очевидно, для непрерывности комплекс-
позначной функции необходимо и достаточно, чтобы были непрерывны ее
действительная и мнимая части. Изложенные в этом пункте определения и
предложения применимы также к комплексным функциям комплексного
переменного (за исключением понятий правой и левой непрерывности).

28
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1гл. 1
4.2. Формулировка основных свойств непрерывных функций на
сегменте. Свойство А. Всякая непрерывная функция на сегменте
всегда ограничена на этом сегменте. Это значит, что найдется
такое число К, что (/(л^К/Сдлявсехл: на сегменте [а, Ь] (рис. 9).
S
1.
*К
0
-к
а Г
\J
4 /
\Jf
X
Рис. 9.
Замечание. Теорема перестает быть верной для непрерывных функций
на открытом или полуоткрытом интервале.
Например, /(*) =— непрерывна на (0, 1), но не ограничена, ибо вблизи
точки х = 0 у может быть сколь угодно большим (рис. 10).
О
X
О
А
Рис. 10.
а
Рис. 11.
х
Свойство Б. Если функция непрерывна на сегменте\ то по
крайней мере в одной его точке она принимает наибольшее
значение из всех значений на этом сегменте и по крайней мере в одной
его точке она принимает наименьшее значение из всех значений
на этом сегменте. Это значит, что найдутся такие х, и хг на
нашем сегменте, что /{х1)^/(х)^/{ха)д,пя всех х на [a, b].
Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться и во многих точках.
Например, y — sinx на [0, 9я] 5 раз достигает наибольшего
значения (-|-1) и 4 раза наименьшего (— 1).
Замечание. Теорема перестает быть верной для функций, непрерывных
на открытом или полуоткрытом интервале.
Например, f(x) = x (рис. 11) непрерывна на (а, Ь), ограничена на (а, 6), но
ни в какой точке этого интервала не принимает наибольшего и наименьшего
значения, ибо, какую бы точку мы ни взяли на (а, Ь), всегда найдутся точки
этого интервала, лежащие левее (правее), где наша функция меньше (больше).
§ 4)
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЯ
29
то
Свойство В. Если функция непрерывна на сегменте [а, 6],
то она на этом сегменте принимает все значения между своим
наибольшим и наименьшим значениями. Если т — наименьшее
значение, М—наибольшее значение f(x) на
найдется по крайней мере одна такая
точка | на нашем сегменте, что /(§) = С
(рис. 12).
Определение равномерной
непрерывности функций на
интервале. Пусть f(x) определена на
каком-нибудь интервале. Будем называть
ее равномерно непрерывной на
рассматриваемом интервале, если для всякого
е]>0 можно найти такое т}]>0, что для
любых двух точек нашего интервала хх
и хг% удовлетворяющих неравенству
K — *il<4. »меем |/(*,)— /(*,)!<е.
Если функция равномерно непрерывна
прерывна на этом интервале. Обратное,
т. е. из того, что функция непрерывна
Рис. 12.
на интервале, то она
невообще говоря, неверно,
на интервале, вообще не
следует, что она должна быть равномерно непрерывна на этом
интервале.
Определение непрерывности функции на интервале требует, чтобы
для всякого е^> 0 нашлось такое tj = х\(е, х)^>0, зависящее от в
и х, что при |Дл|<^т|, если х и jc-4-Лд: принадлежат интервалу,
имеем |Ду|<[е. Определение
равномерной непрерывности функции на интервале
требует, чтобы для всякого е^>0
нашлось такое т)=т|(е)^>0 (зависящее
только от е и не зависящее от х), что
при | Дд: j <^ rj, если х и х -J- Да:
принадлежат интервалу, имеем |Ду|<^е.
Свойство Г. Если функция
непрерывна на сегменте, то она равномерно
._. непрерывна на нем. Следовательно,
понятия непрерывности функции на
сегменте и равномерной непрерывности функции на сегменте совпадают.
Замечание. Теорема перестает быть верной для функций непрерывных
на открытом или полуоткрытом интервале.
Например, / (х) = sin — (рис. 13) непрерывна на интервале (0, Ь), где
Ь > 0, ограничена на нем и достигает на нем наименьшего и наибольшего
значения, но не является равномерно непрерывной на нем. Действительно,
в любой близости к нулю найдутся такие точки д;, и xt, что / (х,) = 1 и
/(**)= — 1 и, следовательно, \f(xt) — /(x,)|=2, поэтому для е<2 не
найдется требуемого числа rj.

SO ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ (ГЛ. I
4.3. Доказательства основных свойств функций непрерывных
на сегменте. Будем называть: окрестностью точки х0 всякий
открытый интервал, содержащий х0; правой полуокрестностью точки а:0
всякий интервал вида [х0, х0-{-е), левой полуокрестностью точки
х0 всякий интервал вида (х0 — е, #0].
Доказательство свойства А. Нужно доказать, что если
f{x) непрерывна на сегменте [а, Ь], то она ограничена на нем.
Допустим противное, т. е. что f(x) не ограничена на st = [a, b].
Разделим сегмент s, пополам, тогда по крайней мере на одной его
половине, назовем ее st, f(x) будет неограниченной. Таким же
образом, исходя из сегмента st, определим сегмент sbt исходя из s9,
определим сегмент s4 и т. д. В результате образуется бесконечная
стягивающаяся последовательность сегментов st, sti s9, ... с
длинами, стремящимися к нулю (длины этих сегментов образуют
геометрическую прогрессию со знаменателем -^-Ь такая, что на каждом $п
f(x) не ограничена. Согласно 2.2, существует точка х0,
принадлежащая всем sn. В этой точке f(x) непрерывна, следовательно, в
некоторой окрестности точки х0 (или в полуокрестности, если х0 есть
а или b) f(x) ограничена. При п достаточно большом сегмент sn
лежит в этой окрестности (или полуокрестности), и поэтому f(x)
оказывается ограниченной на этом sn, что дает искомое противоречие.
Таким образом, свойство А доказано.
Доказательство свойства Б. Нужно доказать, что если
f(x) непрерывна на сегменте [а, b]t то среди ее значений (когда х
пробегает упомянутый сегмент) имеются наибольшее и наименьшее.
Говоря в процессе доказательства о значениях /(х), мы всякий
раз имеем в виду лишь значения этой функции для лс,
принадлежащих сегменту [а, Ь\. Из свойства А вытекает существование таких
чисел сх и dl% cl<^dl, что все значения f{x) лежат между ними.
Если одно из значений f{x) превышает ^ ', то положим ct =
=с'~]~ '; dt = dl. В противном случае положим с2 = сг, dt= ^ * .
Таким, же путем, исходя из чисел с2, dz, определим числа с„ dt\
исходя из чисел с„ d„ определим числа с4, d4 и т. д. В
результате образуется неубывающая последовательность чисел с„ таких,
что некоторое значение f(x) превышает сп, и невозрастающая
последовательность чисел dn, таких, что все значения f(x) не превышают
d —~ с
dn. При этом dn — с„= 9»-'1' Согласно 2.2, эти последовательности
имеют общий предел М, Из построения видно, что имеются значения
f(x), как угодно близкие к Ж, и что все значения f(x) не
превышают М (ибо из f(x)^dn в пределе получаем f(x)*^M). Покажем,
что М будет одним из значений /(х) (тогда это будет искомое
§ 4J
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
S1
наибольшее значение /(х)). В самом деле, если бы М не было
значением f{x), то функция д. _f/~< была бы непрерывной на [а, Ь]
(ибо знаменатель =?=0) и неограниченной на [а, Ь\ (ибо знаменатель
может быть как угодно мал), что противоречит свойству А. Таким
образом, доказано, что среди значений непрерывной функции на
сегменте всегда есть наибольшее. Отсюда следует, что среди значений
f(x) есть наименьшее, ибо если — т есть наибольшее из значений
— f(x), то т — наименьшее из значений /(#)• Свойство Б доказано.
Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции,
непрерывной на сегменте, называется колебанием функции на этом
сегменте.
Доказательство свойства В. Нужно доказать,- что если
f(x) непрерывна на сегменте [a, b]t т и М—ее наименьшее и
наибольшее значения на этом сегменте, m<:C<:Af, то f(x) принимает
значение С для некоторого х на [а, Ь]. В доказательстве нуждается
лишь случай т<^ С<[ М. Пусть а и р, а<^Р,— те точки сегмента,
где f(x) принимает крайние значения т и М. Тогда y{x)=f{x) — С
будет иметь разные знаки на концах сегмента st — [a, Р].
Достаточно показать, что в некоторой точке этого сегмента ф(лг)
обращается в нуль (тогда в этой точке f(x) примет значение С). Если
в середине сегмента st <p(x) обращается в нуль, то все доказано,
если же нет, то берем ту его половину stf где (р{х) имеет разные
знаки на концах. Если в середине сегмента st cp (х) обращается в нуль,
то все доказано, если же нет, то берем ту его половину st, где ф (х)
имеет разные знаки на концах. И так далее. В результате мы либо
дойдем до точки, где <р(х) обратится в нуль, и тогда все доказано,
либо получим бесконечную стягивающуюся последовательность
сегментов slt st, s,, ... с длинами, стремящимися к нулю, такую, что на
концах каждого sn ф(Аг) имеет разные знаки. Согласно 2.2,
существует точка х0, принадлежащая всем сегментам sn. Пусть ап — тот
из концов сегмента sn, в котором ф положительна, Ьп — другой конец
сегмента sn. Имеем:
«« — *„» К —* *„. Ф К) > О, Ф Ю < 0.
следовательно, <р (х0) = { }|™ £ J£»J J £» откуда ф (х0) = 0.
Свойство В доказано. Из доказанного свойства следует, что если
областью определения непрерывной функции является сегмент, то
областью значений этой функции будет также некоторый сегмент.
Отсюда непосредственно видно, что если непрерывная функция
возрастает или убывает (см. определение в 12.1), то обратная функция
непрерывна.

32
•ВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ^ ,
вспоДмо^ Предварительно докажем
то для всякого е>ГеТмент TaZ^l^T* "* Се™еНТе Iе" *'•
частных сРгМри^„ сегмент [а, о\ можно разбить на конечное число
меньше е Т°В "*' ЧТ° колеба"и* /(*) «а каждом из них буде?
шЛпТ™" Противное. т- е- что для некоторого е>0 не cv
tE^^JF*?'**сегмента '^^ч- р^делим?е;м нетс^
ГГ"е не cv,MLa*Heft МбРе.ДЛЯ °ДН0Й И3 ег° половин' назовем
«L ** также не существует разбиения требуемого вида (ибо если бы
обе половины сегмента шж допускали разбиение требуемого вида то
их соединение дало бы разбиение требуемого вида для s что про
лГГеГен^ТГхоГ^ ТЗКИМ Ж6 °бра30М« исходГиз^Тпред::
™1«л '..исходя из s„ определим сегмент sA и т. д В резулъ-
тате образуется бесконечная стягивающая последовательное™ сешентов
ап *„ stf ... с длинами, стремящимися к нулю, и такая что кажлый с
Йглас^о 2 ^ ^ЖД0М ЧЙСТН0М С6ГМеНТе было меньше Упомянутого е.
гакTflJul СуществУет точка *.. принадлежащая всем sn В этой
точке f{x) непрерывна, следовательно, найдется окрестность точкиТ
(или полуокрестность, если *0 есть .'или *), такая? что для все" х°
лежащих в ней, будем иметь !/(*)-/(*.) KJ., а тогда для ^
точек х и х", лежащих в ней, будем иметь |/(*") —/(*') | <)/(*") _
~/(*.)| + l/(*o)— /(*')|<|-+-|-=е. При достаточно большом л
сегмент sn лежит в названной окрестности (или полуокрестности «
пХивГр^Г'та^м^ Н6М °КаЗЫВаеТСЯ — £££?££
пТрРйпр бра3°М' вспомогательное предложение доказано
Перейдем теперь к доказательству свойства Г. Нужно доказать
прерывна на [а, Ь]. Взяв любое е>0, разобьем [d, b] на частные
сегменты так, чтобы колебание /(*) на каждом из них было <Л .
Пусть 1,-наименьшая из длин этих частных сегментов. Пусть точ^и
х я х на [в,Ч таковы, что |*"-*'|<т,, тогда эти ТУ0ЧКИ™™
принадлежат одному частному сегменту, либо двум соседним (пусть
тогда х0 их общий конец); в первом случае \/(х")~/(*')|< —<е
во втором^ случае |/(*")-/<*')|< |/(*") -/(*.) | + |/(*.) J
-/М|<2+7=«. Итак, во всех случаях из неравенства
д^ка7ано,<Т1 СЛеДУСТ НеРаВ6НСТВ° |/(/)""^Кв- Свойство Г
4.4. Точки разрыва функций. Точка, в которой функция не
является непрерывной, называется точкой разрыва функции.
§ 4]' НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 83.
Примеры точек разрыва
Пример A. /(x)=tgx (рис. 14). Одной из точек разрыва будет ~.
В данном примере при подходе аргумента х с разных сторон к ■— функция
стремится к бесконечности разных знаков.
У
Рис. 14.
1
Пример Б. /(дс)=—5 (рис. 15). Точкой разрыва является 0. В данном
примере при подходе аргумента х к 0 с любой стороны функция стремится
К бесконечности определенного знака.
Пример В.
Sign*
f -1, х<0.
= { 0, «О,
\ 1. х>а.
Точкой разрыва является 0 (рис. 16). В данном примере в точке 0 левый
предел равен — 1, правый + 1.
Пример Г. f(x)~[x). Знак [х\ обозначает ваибольшее целое число»
не превосходящее х.
У
1
f(x) = [x). Знак [х] обозначает ва
. Например, 5 -^ = б; [4] — 4;
Г
У
г
1
2,7]=—3.
-г
X
-/
О 1
-1
г з
Рис. 16.
-г
Рис. 17.
В данном лримере функция имеет точки разрыва во всех целых значе-
Пример Д./ (*)=sin- при х ф 0, f (0) = 0. В данном примере в точке 0
будет^разрыв, причем в этой точке не существует ни правого, ни левого шж-
дела функции (рис. 18). ' ^^
2 П. И. Романовский

34
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
{ГЛ. I
Классификация точек разрыва. Точка разрыва, в
которой функция имеет конечный левый и правый пределы, называется
точкой разрыва первого рода, в противном случае она называется
точкой разрыва второго рода.
Рис. 18.
Точка разрыва первого рода а называется правильной, если
значение функции в ней равно среднему арифметическому левого и правого
пределов:
f\a\ = У(а-0) + У(Д-т-0) #
В примере В имеем правильный разрыв первого рода, в примере Г —
неправильные разрывы первого рода, в примере Д—разрыв второго
рода.
ГЛАВА II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
§ б. Производная
5.1. Определение производной. Пусть /(*) определена в
окрестности точки х, тогда процесс дифференцирования этой функции
в точке х состоит в следующем:
1) даем аргументу приращение А* и вычисляем соответствующее
приращение функции Ду;
2) найденное Ду делим на Дя, т. е. составляем отношение ~ ;
3) ищем предел полученного отношения при Д*—^0,'т. е.
»гай-
Этот предел, если он существует и конечен*), называется
производной от функции /(х) в точке х и обозначается у, /'(*). JL
Таким образом, имеем
или
f(x)= ton »*+A*>-W . (2)
их -* в ЛХ
Функция, имеющая производную в точке х, называется
дифференцируемой в этой точке.
Примечание. Если в определении проиэ-> i. <й в виду правый
(левый) предел, то получим понятие правой (левой) > > "ной в точке х.
*) Бесконечные производные мы исключаем из рассмотрения.
2*

Рис. 19.
36 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ГЛ. И
6.2. Определение касательной. Рассмотрим подвижную
прямую </„ проходящую через данную точку М. Тогда неподвижная
прямая <*, проходящая через точку М (рис. 19), будет называться
предельным положением йх} если угол между
'df й и dx стремится к нулю.
Примечание. Если угловой к* мщщиент
Аг, прямой dlt проходящей через точку М,
стремится к некоторому пределу k, то прямая d
с угловым коэффициентом k, проходящая через
точку М, будет предельным положением прямой d.
Если секущая ММХ данной кривой при стремлении точки Mt,
взятой на кривой, к точке М на той же кривой стремится к
определенному предельному положению, то это предельное положение
секущей называется касательной к данной кривой в точке М.
6.3. Геометрический смысл производной. Пусть М и Mt —
точки графика функции f(x) с абсциссами х и х -{- Ьх (рис. 20).
Имеем ~=^ф|== kiy следовательно, отношение ^ есть угловой
коэффициент секущей MMt графика
данной функции /(jc).
'.
О
У/! 1 ^
^х^/ 1 Лх \
/»! !
X
Рис. 20.
Рис, 21,
Если f[x) дифференцируема в точке х, то при Ал:—»-0 kt =
=2j—►jf'===*, поэтому секущая MMt (рис. 21) стремится к
предельному положению и, следовательно, в точке М существует
касательная с угловым коэффициентом k—y'.
Таким образом, если функция дифференцируема в данной точке,
то график этой функции имеет в соответствующей точке
касательную, причем угловой коэффициент- касательной равен производной
в рассматриваемой точке.
ШЫЙатгШ.
5]
ПРОИЗВОДНАЯ
37
5.4. Механический смысл производной. Рассмотрим движение
точки по какой-нибудь траектории.
' А. Пусть / — время (отсчитываемое от некоторого начального
момента), $—путь (отсчитываемый от некоторого начального
положения). За промежуток времени At (от
момента t до момента t -4-Afi пройден некото-
As
рый путь As (рис. 22). Тогда доесть
средняя скорость движения за промежуток
времени А*. Предельное значение
д»
Um.-f?
Рис. 22.
будет мгновенной скоростью движения в
момент t. Следовательно, производная пути s
по времени t равна скорости движения v в рассматриваемый момент:
ds
dt v'
(3)
Б. Пусть v — скорость движения точки в момент tf v-\-Av—-
скорость движения- точки в момент *-|-Д^ тогда -^ есть среднее
ускорение за промежуток времени А/.
Предельное значение
До
lim -гт-
будет ускорением в момент t. Следовательно, производная скорости v
по времени t равна ускорению а в рассматриваемый момент
(4)
5.5. Необходимое условие существования производной. Если
функция дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой
точке.
Д о к азательство. Пусть в точке х функция дифференцируема,
т. е..при Ах—*0 имеем
*У
Ах
■+у\ тогда &y==-j£ Ajc
у.о^=о,
и следовательно, функция непрерывна в точке xt что и требовалось
доказать.
Примечание. Это условие только необходимо, но ие достаточно.
Функция может быть непрерывной в точке, но не дифференцируемой в ней.

38 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
Примеры.
А. у = \х\. В точке *=О эта функция непрерывна» имеет левую и правую
производные, но не имеет производной (рис 23). Точка (0, 0) — угловая.
. f xslaY' при * ^°*
I 0, при х = 0.
У
. 1
О
1
*
/1 1
/ / 1
/ 1 1
л
Щ
AW \
Mil >х
\ 11
\
Рис. 23.
Рис. 24.
Эта функция непрерывна всюду, но не дифференцируема при х=0
(рис. 24). Секущая ОМ при приближении точки М по кривой к 0 бесконечно
много раз занимает положение прямых у=:х ку— —дги^ие стремится к
определенному предельному положению.
5.6. Уравнения касательной и нормали к кривой. Рассмотрим
график функции у=/(х) (рис. 25). Если f(x) дифференцируема
в точке х, то график функции в
соответствующей точке {х, у) имеет
касательную с угловым
коэффициентом fc=y, следовательно, на
основании правила составления уравнения
прямой, проходящей через данную
точку и имеющей данный угловой
коэффициент, уравнение касательной
к графику данной функции в
рассматриваемой точке будет У-5— у==
=У {X—х)(Хк Y—текущие
координаты касательной). Угловой
коэффициент нормали в этой, же точке
на основании условия перпендикуляр-
-7у. Следовательно, уравнение
Рис. 25.
1
ности прямых будет kx = —-г =
нормали к графику данной функции в рассматриваемой точке будет
Y-y = -y{X-x).
ШЫЙатгШ.
§ 6] ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 8Л
§ 6. Техника дифференцирования
6.1. Производные некоторых функций. А. Производная
постоянной (имеется в виду функция, все значения которой равны
одному и тому же числу):
У = С,
у + Ау = С,
Ау = 0,
^ = 0, lim ^=0, т. е. / = 0.
(С)' = 0. (1)
Б. Производная аргумента (имеется в виду функция,
значения которой совпадают с соответствующими значениями аргумента):
у = х,
у-{-Ау=х + Ах,
Ау = Ах,
*£_, lim А*
Дх-»е
В. Производная синуса:
у = sin х, у -\- Ау = sin (* + Ах),
ЛГ^1' "?. Д7=1»т- е./ = 1,
A^ = sin(*-|-Ajc) — sin*==2sin^cos(*+^V
i ^f
Ay 2 / , Ax\ ' Ay л
2
т. e. yr=cosjc,
(sIn#)' = cosA;. (3)
Г. Производная логарифма:
У = 1ёа* (а>0иа^1), y + Ay = \ga{x-\-Ax)t
Sf-^0+¥)-4-^0+¥)-4fc(«+¥f.
.. Ay I , 1 *\ ,1
xlo a"
1
*) Учитывая, что lge b = r-—, если a, b положительны и ф 1.

40 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЯ. II
В частности, при а = е находим
(In*)'=4* <5>
6.2. Вывод общих правил дифференцирования. 1) Вынесение
постоянного множителя.
y=zcu, где и=/(х)— дифференцируемая функция.
у-\-Ау = с(и-\-Аи),
Ау = сДи,
Ьу Д" „_ Ду „ .. Ди
Дх д*« Джн>0Дх Дхн.од*
или
/=си',
(си)' = си\ (6)
2) Производная суммы.
у = и^|- v, где и =/(.*) и v = ф (а;) — дифференцируемые функции.
^ -|- АУ = (« + д«) + («+ Дг>)»
Ду = Ди -|- Дг>,
Дх Дх^Дх' д^н-оД* *^.Л*Чч>
или y' — u'-\-v\ т. е.
(a + t»)'=e'+v'. (7)
Отсюда по индукции производная суммы нескольких функций
равна сумме производных этих функций.
3) Производная произведения двух функций.
y=uv, где »=/(*), 1>=ф(#) — дифференцируемые функции.
у -\- Ау=(« -}- Ди) (v+Д^),
Д_у =? Auv -{- uAv -{- ДиДф,
(Ду_Д« , До , Двд
lira ^= lim £%+« Hm ^+ lim *! lim Av
&x-*oax Ax-*»»'** Ax-► о адс Дх-»• о д*Ax-+ о
ИЛИ
у'=u'v -\- wo' -|- u' • 0 = u'v -(- m>'t
(И9)'=а'9+«*»'. (8)
§ 6] ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 41
4) Производная произведения нескольких
функций.
Пусть «=/(*), v = <p(A:)t w=ty(x)— дифференцируемые
функции. Тогда
(wow)' = Циф) w]' = (uv)' w -\- (uv) w' = (u'v -f- uv')w Ц- и*яи>' =
Методом математической индукции убеждаемся, что аналогичная
закономерность будет иметь место при любом числе множителей, т. е.
если и, ==/, (х), и, =/, (*), ..., иа =/„ (х) суть я дифференцируемых
функций, то
(и^,.. .ыя)'=и|и,.. .ип-\- utut.. .ид-|- • • • +ttitti- • •««* (9)
5) Производная частного.
У=—, где и=/(аг) и © = ф(а;) — дифференцируемые функции,
причем v = y(x) отлична от нуля в рассматриваемой точке
, А и4-Аи
д ц-}~Дц . и (о -{- А") р — Ц (р 4~ Др) Дыр — ыАо
у р 4- Др р р(р+Др) р (р+Др)'
Д" Ду Hm ^o-a Hm ^
Ду Ах Дх .. Ау Ах-^о^* дх-»е fl*
Дх~ t»(t»-f-AP) ' дх^оД*"- P(p-f Ит Ао)
Дх -+0
ИЛИ
т. е.
и'у — цр'
V*
Замечание. Полагая в (9) все иЛ=х и учитывая (2), получим (х**)' =г
rr/tx4-1 для целых положительных п, откуда при помощи (1) и (10)
усматриваем, что эта же формула справедлива для целых отрицательных л; из
формулы (1) очевидно, что она справедлива и для п — 0. Умея < «••< ренцировать
х* при целых п, мы можем при помощи (6) и (7) продифференцировать любой
многочлен, а после этого при помощи (10) — н любую рациональную функцию.
6) Производная сложной функции.
Пусть у =/(«), где и = ф (х), причем / и ф — дифференцируемые
функции.
Тогда у будет функцией от х. Требуется найти производную у
по х, точнее, зная производные у по и и и по лс, найти
производную у по х.

42 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО {ГЛ. I
Имеем
by by Ли
А* ~~ ДйДх
{если Ди==0, то вместо ^следует писать ~), откуда
lim ^= Urn £* Hm £?
их-* о Лх Ди -»■ в Ли Д* -*■ о ах
ИЛИ
dx dudx"
(И)
Производная сложной функции равна производной этой функции
по промежуточному аргументу, умноженной на производную
промежуточного аргумента по независимому переменному.
Пример, у=sin In ж. Положим и = \пх, тогда y=sinu
dy dydu 1 , 1
-£■ = —■ t-=cos u • —=coslnx • —.
dx dudx x x
Вторая запись формулы производной сложной
функции.
Пусть у=/(и), где и = ф(х), тогда выведенная формула может
быть переписана так:
[/И' =/'(")"'. (12)
Производная сложной функции равна производной последнего
действия, умноженной на производную той функции, над которой
это действие совершается.
Пример. y = \nsiax.
Заметим еще, что если <р непрерывна, / имеет отличную от нуля
производную и /(ф) дифференцируема, то ф дифференцируема. Это
До Л (/Ли
видно из рассмотренного выше равенства д^—д д-э еслИ его Р33"
Дц
решить относительно д— и затем перейти к пределу. Так, например,
если логарифм положительной непрерывной функции дифференцируем,
то и сама функция дифференцируема.
Примечание. Определение производной, данное в начале § 5,
применимо и к комплекснозначной функции JF (*) = ф (х) -J- ty (x) действительного
переменного х. Из этого определения непосредственно видно, что для 1.н^
ренцируемости f(x) необходима и достаточна дифференцируемость ф(ж) и у(х)
(в рассматриваемой точке), причем
/'(*) = ?>'(*)-HY(*)-
§7] ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 43
Для комплекснозначных функций действительного переменного остаются
в силе Доказанные в настоящем пункте предложения 1 (где С — комплексное
число), 2, 3, 4, 5, 6 (где ф — действительная), причем доказательства
сохраняются. Определение производной, данное в начале § 5, применимо и к ком*
плексным функциям комплексного переменного, причем остаются в силе
доказанные в настоящем пункте предложения 1 (где С — комплексное число), 2,
3, 4, 5, следующее за ним замечание и предложение 6, с сохранением
доказательств. Заметим, что если комплексная функция комплексного переменного
имеет производную в некоторой точке действительной оси, то такую же
производную имеет в этой точке данная функция, если ее рассматривать
как комплекснозначную функцию действительного переменного.
§ 7. Техника дифференцирования (продолжение)
7.1. Логарифмическая производная. Логарифмической
производной функции называется отношение производной к самой функции.
Заметим, что:
если /(дс)^>0, то
[ln/W]'=7^/W=^,
если f(x)<C 0, то
Объединяя эти две формулы в одну, получим, если f(x\=£Qt
[1п|/(*)Ц'=£|3. (l)
Из этой формулы видим, что логарифмическая производная функции
равна - производной от логарифма модуля данной функции. Отсюда
видно, что логарифмическая производная произведения (частного)
равна сумме (разности) логарифмических производных
соответствующих компонент.
Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что
выражение, подлежащее дифференцированию, сначала логарифмируют,
затем дифференцируют и полученный результат умножают на самую
функцию. '
Короче, логарифмическое дифференцирование состоит в том, что
сначала находится логарифмическая производная данной функции,
а потом обычная производная.
7.2. Производные степенных и показательных функций. Эти
производные выведем способом логарифмического дифференцирования,
а) у == ха (а — любое действительное число).
\пу=а\пх\
и* \ а , ау ах° а.
-2-=а—=—; у =—~—— аха ,
у х х ' х х
(*в)' = схв-\ (2)

44' ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО |ГЯ» II
В частности, при в=— 1 и при с=-гг находим
Ш'—?• (3)
^'=2-77- (4>
Ыу — хЫа; — =Ыпа; y'=y\na = aKlnat
б) у = а*; а>0.
У
{ахУ = a* In а. (5)
При а — е имеем
(«*)' = «*. (6)
в) Смешанная показательно-степенная функция.
Пусть и=/(#)]> О и ф=ф(аг) — дифференцируемые функции,
a y — uv.
]ny—v\nu; £-—v — -±-v'\nu; у' — uv\v~-\-v'\t\u\\
(uv)'=upv'\nu-\-vuv-lu'. (7)
Замечание. Пользуясь формулами производных логарифмических,
степенных, показательных функций и общими правилами дифференцирования,
можно про - •• и. рейдировать любые алгебраическо-логарифмичесхо-локазатель-
ные выражения.
Для возможности дифференцирования любых выражений,
составленных из элементарных функций, остается еще вывести формулы
производных прямых и обратных тригонометрических функций.
7.3. Производные тригонометрических функций. 1)
Производные прямых тригонометрических функций.
Раньше было показано, что
(sin х)' = cos х. (8)
Далее имеем
(cosх)' = [sin (у— x)J = cos (£ — x^j (f-- *) =
= sinx (—1) = — sin xt
(cos x)' = — sin jc, (9)
У I sinxV (sin x)' cos x — sin x (cos x)' cos8x-}rsin8jc .
\ЩХ) \cosx) cos*x cos*x
__—5- —sec* a;,
cos8 x
(tgx)'=zsec*x. (10)
ШЫЙатгШ.
§ 7| Техника' дифференцирования (продолжение) 45
<ctg*)'= [tg (f -*)]' = sec' (f- *) (f -*)' =
= csc*.*;(—1) = — cscfx,
(ctg*)' = —csc1*. (11)
(sec *)' = (—-Y = ^(cos*)'==-^==tg*sec*,
* ' \COSXj COS*JCv '■ COS1* ^ '
(sec x)' = tg x sec x. (12)
(esc xV = [sec (f- - *)] '=tg (f _ x) sec (f - *)(f -*)'=
= ctgA;cscA:(—1) = — ctg*«cscA:,
(csca;)' = — ctgjc«cscjc. (13)
2) Производные обратных тригонометрических
функций.
<y=arcsinjc; x=s'my. Продифференцируем по х:
cosy./=l; y> = ^rv^rvJ= (-fO<f).
(arcsinx)'==^jL=. (14)
,y = afccosAr; x=cos у. Продифференцируем по x:
1 1
siny'y'=\; y' = —
sin у V 1 — cosa0
=-?тЬ (0<><*>'
(arccosA:)' = -^TL=; (15)
J>==arctgjif; x=tgy. Продифференцируем пол:
11 1
ysectay=l; у'
sec* у l-f-tg^ l-f-x"
(arctg^^j-i-,; {Щ
^ = arcctg#; x=ctgy. Продифференцируем по x:
-/OC'jfslj/s-J,
1 1
csc*y l-f-ctga# l-±-x*'
1
1-f-x"'
(arcctg *)'=--!- U7)

46 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
§ 8. Дифференциал
8.1. Определение дифференциала. Определение дифференцируе-
мости функции в точке, введенное в 5.1, равносильно
нижеследующему.
Функция у=/(х), в область определения которой входит
некоторая окрестность точки х, называется дифференцируемой в этой
точке, если из ее приращения в этой точке можно выделить главную
линейную часть ААх (А— некоторое число) так, что оставшаяся
часть будет бесконечно малой порядка выше Ах. Точнее говоря,
рассматриваемая функция дифференцируема в точке х, если
существует представление Ау — ААх-\-у(Ах)Ах, где А — некоторое
число и у(Д*)—*0 ПРИ А*—*"0«
Доказательство эквивалентности обоих
определений дифференциру емости. Если функция дифференцируема
в новом смысле, то имеет место вышенаписанное представление Ду,
откуда *^ = А-\-у(Ах), следовательно, у'— lim -^ существует и
функция дифференцируема в старом смысле (в данной точке). Обратно,
если функция дифференцируема в старом смысле, то
существует,
откуда ^:
/= lim ^
-у' -\-у(Ах), где у(А*)—"О ПРИ А*—••О,
следовательно, Ду =у'Ах -f-
-J- у (Ax) Ах, и поэтому функция
дифференцируемав новомсмысле
(в данной точке), причем А =у\
что требовалось доказать.
Главная линейная часть
приращения дифференцируемой
(в данной точке) функции, то
есть у'Ах, называется
дифференциалом и обозначается йу.
В частности, dx= х'Аде =
= 1 • Ах == Ах. Следовательно!
dy—y'dx.
Рис. 26.
8.2. Геометрический смысл
дифференциала. Выясним
геометрический смысл дифференциала (рис. 26).
Имеем NT=tg<¥-MN—y'Ax=dy.
Таким образом, дифференциал функции равен приращению
ординаты касательной, проведенной к графику рассматриваемой функции
в данной точке.
§ 81 дифференциал 47
В частности, если функция линейна, ее графиком будет прямая
линия, и касательная совпадет с ней. В этом случае дифференциал
функции точно равен ее приращению.
8.3. Формальные свойства дифференциала. Всякая формула
для производной после умножения на дифференциал аргумента
превращается в формулу для дифференциала.
Отметим некоторые из этих формул:
1) Так как (си)'— си', где и—/(х), то
(cu)'dx=:cu'dx
и
d(cu) — cdu, (1)
т. е. постоянный множитель выносится за знак дифференциала.
2) Так как (u-\-v)' = u'-\-v\ где и=/(х); v = y(x),
то
(и-\-v)' dx=u'dx -f- v'dx;
d(u-\-v)=du-\-dv. (2)
3) Так как (uv)'~u'v-\-uv\ где «=/(*); v=y(x), то
(uv)' dx=uv'dx -\- vu'dx;
d(uv)=udv-\-vdu. (3)
4) Так как |~J =—-г , где u=/(x); v = q(x)t то
5) Так как [/(«)]'=/'(и)и\ где и=ф(дг), то
[f(u)]'dx=f(u)u'dx;
d\f(u)]=f(u)du. (5)
Таким образом, дифференциал сложной функции равен производной
последнего действия, умноженной на дифференциал той функции, над
которой это действие совершается. Последняя формула показывает,
что формула для дифференциала функции d/(x)=f(x)dx остается
в силе, если вместо независимой переменной х поставить какую-
нибудь функцию. Этот факт называют свойством инвариантности
дифференциального обозначения.

"48 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ГЛ. II
§ 9. Производные высших порядков.
9.1. Определение производных высших порядков. Производные
высших порядков являются результатом последовательного
дифференцирования функции. Производную данной функции назовем первой
производной, производную от первой производной назовем второй
производной, и так далее. Вообще, л-й производной назовем
производную*) от (л—1)-й производной.
Обозначения:
/*"» = [уи - *>]' =/<"> (х)=^
йхп*
Нулевой производной от функции называется сама функция. Из
определений следует, что {у<1гук)=:^+к).
Примеры нахождения простых закономерностей
при вычислении последовательных производных.
1) Рассмотрим степенную функцию у=х°. Последовательное
дифференцирование дает:
у=Л
у' = аха-\
и вообще
(*вУи>=^(а— 1)...(с—п+\)х*-п. (1)
2) Последовательные производные от показательной функции:
у = а*,
у' = a* In a,
/ = а*(1пс)*,
и вообще
(ах)1т = аК{\па)п. (2)
*) Бели она существует.
ШЫНатгШ
§ 9] ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 49
3) Последовательные производные от sin* и cosjc:
y = slnxf
у' = cos х,
У = — sin x,
у'"=—cos л:,
j;IV = sinA:.
Отсюда видно, что через каждые четыре порядка будет повторе*
ние; то же можно сказать о производной cos л::
(slnjc)(**+'>=(sinjc)<'\ (3)
(cos *)<**+'> == (cos x)lI). (4)
Легко заметить, что выражения п-х производных от синуса и
косинуса могут быть записаны едиными формулами
jy —sinx;
У=cos x= sin f x +•?■)»
y'=Hx+i+!H*+f)'=s"'(*+£)i
/"=sia(*+^+»).(*+^)' = s>„(x + f):
и вообще
(sinx)w=sin(je+^). (5)
Замечая, что (cos x)' ==—sin x=cos ( x + -5- J, по таким же
соображениям приходим к формуле
(cos*)<B>=cos(*+^). (6)
9.2. Некоторые общие правила для нахождения высших
производных.
а) у=си, где и=/(*).
/ = си\
и вообще
(си)(и) = са(и), (7)

50 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак производной
любого порядка.
б) y = u-{-vt где «=/(#), ф = ф(х).
/ = «' + *',
y"^=u"-\-v\
и вообще
(а + ф)(и) = и(и) + ф(п>, <8)
т. е. производная любого порядка от суммы равна сумме
производных того же порядка от слагаемых.
в) у = uv, где и =/ (х), v = (f (x).
у == а"© 4" и'*>' + tf 'ф' + ttv"—tfv-\- 2и V + W".
у = и"Чг -f- u V + 2к V + 2и V + «V +**'" =
=u'"v -f- 3«V + Зи V+«»'".
и вообще
= £<&<"-*>*<*»== £л(п~ !Ь;2-<^-*+ Цда»-»^ .(9)
Докажем формулу (9) методом индукции. При л=1 эта формула
обращается в формулу (8) § 6. Предполагая (9) справедливой для
некоторого п при любых п раз дифференцируемых функциях и, v,
покажем, что (9) будет справедливой и для п-\-1 при любых п~\-\
раз дифференцируемых и, v. Имеем
{uv)in+l} = [{uvYYn)={a'v+uvT)=,Si cyn-*+V*>+
— цся+ii^_j. V (c*-J-CJ-») a<»-*+,V*> + utfn+t} =
учитывая, что
Формула (9) называется формулой Лейбница.
,— .i+i
Ш1аЙат
§10] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 51
Примечание. Определения производных высших порядков вводятся
также для комплекснозначных функций действительного переменного и для
комплексных функций комплексного переменного, причем предложения а) (где
с — комплексное число), б), в) вместе с их доказательствами остаются в силе.
9.3. Дифференциалы высших порядков. Они вводятся
следующим образом:
dy =y'dx,
dty = d(dy)=y"dxt,
d,y=d{dzy)=y'"dx't
и вообще
dny = d{dn'ly)=yimdxn. (10)
При этом всякий раз при взятии дифференциалов dx
рассматривается как постоянная.
9.4. Механический смысл второй производной. Рассмотрим
движение точки по какой-нибудь траектории. Пусть t — время,
s—Пройденный путь, v — скорость, а — ускорение.
Мы видели (см. механический смысл производной в § 5), что
ds dv
di=v> Ж'=а>
откуда
£=«. <»>
т. е. ускорение в какой-нибудь момент t равно второй производной
от пути по времени.
§ 10. Основные теоремы дифференциального исчисления
10.1. Теорема Ролля. Пусть f{x) непрерывна на [а, &],
дифференцируема внутри этого сегмента и, кроме того, /(e) =/(*). Согласно
основному свойству непрерывных функций (см. 4.2), f(x) принимает
в некоторой точке сегмента наименьшее значение и в некоторой
точке сегмента наибольшее значение.
Если обе эти точки попадают на концы сегмента, то f(x)
окажется постоянной. В этом случае производная f{x) в каждой точке
между а и Ъ равна нулю. Исключим этот случай; тогда по крайней
мере одна из названных двух точек лежит внутри сегмента. Пусть,
например, внутри сегмента лежит точка |, где функция принимает
наименьшее значение. Имеем А/(|)^0 при любом значении А|
(таком, что £-f--A£ лежит на нашем сегменте).

52 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
При Д£>0 получаем -^р^О, откуда в пределе при Д£ —► ()
При Д|<[0 получаем -ппг«^0, откуда в пределе при Д£ —»-0
Из неравенств / (1)5^0 и/'(|)«^0 заключаем, что /'(£) = 0>
Таким образом доказана теорема Ролля:
Если функция непрерывна на сегменте, дифференцируема в
каждой точке внутри сегмента и имеет одинаковые значения на
концах сегмента, то по крайней мере в одной точке внутри сегмента
ее производная обращается в нуль.
Из теоремы Ролля вытекают различные следствия. Например,
если функция, имеющая производные достаточно высокого порядка,
п раз обращается в нуль на рассматриваемом интервале, то первая
производная обратится в нуль по крайней мере п — 1 раз, вторая — по
крайней мере п — 2 раза и т. д. и, наконец, (л—1)-я производная
обратится в нуль по крайней мере один раз.
10.2. Теорема Лагранжа. Пусть /(х) непрерывна на сегменте
с концами а, Ь (а§р) и дифференцируема внутри него. Рассмотрим
функцию Р(х)=/{х)— kx; тогда F {х) =/' (х) — k. Подберем
k так, чтобы F (a) — F (b). Это приводит к требованию /(а) —
— ka=f(b)— kb, или
b — a
После такого выбора k к F(x) применима теорема Ролля, согласно
которой в некоторой точке £ внутри сегмента имеем Г(^) = 0, т. е.
/*(£) — £ = 0, k=f{£). Сравнивая оба выражения, полученные для
&, придем к формуле Лагранжа
Таким образом доказана теорема Лагранжа:
Если функция непрерывна на сегменте и дифференцируема
внутри него, то отношение приращения функции к приращению
аргумента на этом сегменте равно значению производной в
некоторой промежуточной точке.
Формулу Лагранжа можно переписать в виде
/(*)—/(«)=/' Ш (Ь -а) (2)
или, беря х вместо а и х-{-Ьх вместо bt в виде
Дх + Ах)— f(x)=f(x + tiAx)Axt (0<б<1). (3)
Эту формулу называют формулой конечных приращений.
1\laiaHaus
§ Ю]
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
53
Геометрический смысл формулы Лагранжа. Левая
часть формулы Лагранжа
/(*>)-/И
Ъ —а
является угловым коэффициентом хорды АВ (рис. 27). Правая часть,
согласно геометрическому смыслу
производной, является угловым
коэффициентом касательной в точке
С. Равенство угловых
коэффициентов прямых обозначает
параллельность их. Следовательно, если имеем
дугу графика дифференцируемой
функции, то по крайней мере в одной
точке дуги касательная параллельна
хорде, стягивающей дугу.
10.3. Теорема Коши. Пусть/(jc)
и <f(x) — непрерывные функции на
сегменте с концами a, b {а > Ь), диф- рис. 27.
ференцируемые внутрисегмента, и
предположим, что производная от <р(х) нигде не обращается в нуль
между а и b (тогда в силу теоремы Ролля <р (а) -ф <р (I?)).
Составим функцию F(x)—f(x) — kq>(x); тогда
Г (*)=/• (*) — Aq>'(*).
Подберем k так, чтобы F{a) = F(b). Это приводит к требованию
/{а) — kq(a)=f(b) — kq(b) или
ч
ф
О
/
jA>
а
/ с/
/ т
Ь-а.\
4
(J
I ... у'
b
X
k
f(b)-fia)
<р (Ь) - <р (а)'
После этого к F{x) можно применить теорему Ролля, согласно
которой в некоторой точке £ сегмента имеем ^'(D^^o, т' е- «/'(6) —
— £ф'Ш = 0, откуда
k =
Ч>'(I)'
Сравнивая между собой оба выражения для k, получим искомую
формулу Коши
f(b)-f(a) _/'(£) ш
<p(fc)-<p(a) ^ (I)' W
Таким образом доказана теорема Коши:
Если две функции непрерывны на сегменте и дифференцируемы
внутри него, причем производная второй не обращается в нуль

54 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. И
внутри сегмента, то отношение приращений этих функций на
ванном сегменте равно отношению их производных в некоторой
промежуточной точке.
Примечание. Формула Лагранжа является частным случаем формулы
Коши; достаточно положить <р (х) = х.
10.4. Раскрытие неопределенностей. Пусть /(х) и ф(*)
непрерывны в точке а, дифференцируемы вблизи точки а (в самой точке а
необязательно). Предположим, что в точке а обе эти функции
обращаются в нуль.
1 1 i ^— По формуле Коши находим
О. 3?i 31 .. „
Рис. 28. <р(*) Ф (*) — 9 (°) Ф' (*i)'
где xt лежит между а и х (рис. 28).
Если
Ф'(*) L
при х—>а (тогда подавно хг—*-а), то
/(*)^Г(*«) iL
Ф(х) ф'(ж,)
Таким образом приходим к правилу Лопиталя:
Если две функции обращаются в 0 в точке а, то предел
отношения этих функций равен пределу отношения их производных,
если последний существует.
В частности, если /(#) и <р (#), обращающиеся в нуль в точке
с, непрерывно дифференцируемы в окрестности точки а, причем
их производные одновременно не обращаются в нуль в точке а, то
хчаФМ Ф (а>
Пример.
lim —- = lim -t = lim -—=hm = 6.
x^.qx — shlx x-*ol~cosx *->osin* *-*ocos*
Покажем, что правило Лопиталя остается в силе и для раскрытия
неопределенностей типа —.
Пусть дифференцируемые функции /(*) и ф(#) являются
бесконечно большими при х —»■ + оо (— оо, а -\- 0, а — 0); тогда
предел отношения этих функций равен пределу отношения их
производных, если последний существует.
§ 10] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 55
Пусть, например, f{x) и ц>(х)—»-оо при х-^*-\-оо и
дифференцируемы на [с, -}-оо). Обозначая наименьшее и наибольшее из чисел
|/(*)|i |ф (•*)'! через ij)(jc) и ¥(х), найдем, что ty(x) и УР(х)—*- + оо
при х—>--|-оо и непрерывны*) на [с, 4~°°)* Из свойства В § 4
следует, что для каждого достаточно большого х найдется на [с, -\- оо)
такое х (зависящее от х), что W(x)—Yty(x)t причем очевидно,
х—»--4-оо при а;—>--}-оо. Из определения х видно, что бесконечно
большие f(x) и ф(лг) имеют порядок выше, чем соответственно
бесконечно большие /(х) и ф(дс); поэтому в силу предложения 8 из 2.3
f{x)-^f(x)—f(x); Ф(#)-^ф(х) — ц>{х) при х—у-\-оо. Если теперь
!M-.LnPHX-+ + oo,TO fto-f& =Zb±__Lia!&Q +00
Ф W ^ 4>(x)-q>(x) Ф (*i) * ~
(л;,, полученное в результате применения формулы Коши, лежит между
х и х). Следовательно, в силу предложения 7 из 2.3 Ц~ —»• L при
X—->-}-оо, что требовалось доказать.
Пример.
lim(jclnx) = Um^=Um-^r = lim( — x) = 0.
х-+0 х-*0 l х-*0 * х-+0
оо
Пользуясь правилом для раскрытия неопределенностей типа ~,
^, можно раскрывать и неопределенности другого вида, например
О-оо, О0, I00 и т. д.**).
При этом если речь идет о степени [/(*)]*(х), то ее следует
записать в виде «»(*> in/м и ТОгда дело сведется к раскрытию
неопределенности в показателе.
Пример.
lim хх = lim e*ln *=е» = 1.
х->0 х-+0
*) Заметим, что наименьшее и наибольшее из двух действительных чисел
А, В соответственно равны -■ ' —' ~~ '
2 "" 2
**) Следует заметить, что практическая ценность правила Лопиталя
ограничена, так как найти предел отношения производных Двух функций,
обращающихся в 0 или со в данной точке, иногда бывает труднее, чем найти предел
отношения самих функций.

56 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. И
§ И. Параметрические уравнения кривых
11.1. Параметрические уравнения плоской кривой. Рассмотрим
две функции /(*) и <р (*). Если каждому значению t в
рассматриваемой области определения этих функций отнести точку с координатами
/Ш. Ф(0»'то совокупность этих точек будет представлять собой
некоторую плоскую кривую.
Уравнения
/ 1
1
1
\
\
-
X 1 'х
1
/
/
У
называются параметрическими уравнениями
этой кривой.
1) Параметрические уравнения
окружности.
Возьмем за параметр центральный угол t
(рис. 29). Тогда
x = /?cosf, \ м
y — Rslnt. } кч
Это будут параметрические уравнения окружности радиуса R.
2) Параметрические уравнения циклоиды.
Если окружность катится по прямой линии без скольжения, то
фиксированная точка окружности описывает некоторую кривую,
называемую циклоидой.
Рис. 29.
Рис. 30.
Пусть окружность радиуса а катится по оси Ох, и в начальный
момент выбранная точка этой окружности М находится в начале
координат. Возьмем за параметр угол поворота катящейся окружности
(рис. 30).
Для получения'параметрических уравнений циклоиды следует в
формулах (1) заменить R на а, /на ^ — *» х на x — at% у на у — а.
ШЫИатгШ
§ П|
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ
57
Таким образом, параметрические уравнения циклоиды имеют вид
x=a(t—sin
у = а{\
sin/), I
cost), f
(2)
11.2. Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной
параметрически. Пусть точка М (#, у) соответствует значению t
параметра, а точка Ж, {х -|- Ад;, у -\- Ау\ соответствует значению / -\- At.
Уравнение секущей MMt „-
на основании правила составле- '
ния уравнения прямой,
проходящей через две точки, будет
X-x=Y-y
Ах Ау '
где X, Y—текущие
координаты, или
Х-х
Ах
At
У-У
At
Рис. 31.
В пределе при At—»-0 это уравнение перейдет в уравнение
касательной в точке М и будет иметь вид:
X-x=Y-y
dx dy
dt dt
(3)
Это уравнение касательной к кривой, заданной параметрически.
Отсюда угловой коэффициент этой касательной есть
k =
dy
dx *
dt
Следовательно, угловой коэффициент нормали будет
dx
к=-±
dt
dy'
dt
Уравнение нормали принимает вид
dx
dt

58 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
ИЛИ
Ш(Х-Х) + «[(У-у)=0. (4)
11.3. Параметрические уравнения пространственной кривой.
Рассмотрим три функции /(/), q>(*), ty{t). Если каждому значению
t в рассматриваемой области определения этих функций отнести точку
с координатами /(*), <p(f), ty(t)t то совокупность этих точек будет
некоторой пространственной кривой.
Систему равенств
*=/('),
}
назовем параметрическими уравнениями этой кривой.
В качестве примера параметрических уравнений пространственной
кривой рассмотрим параметрические уравнения винтовой
линии.
Если точка М равномерно движется по окружности, плоскость
которой равномерно перемещается в перпендикулярном направлении,
то упомянутая точка окружности описывает в пространстве некоторую
кривую, называемую винтовой линией.
Пусть в начальный момент окружность лежит в плоскости хОущ
центр в начале координат О, а точка окружности на положительной
части оси Ох. Так как проекция на плоскость хОу точки М
равномерно движется по окружности радиуса R с центром О, то, беря за
параметр центральный угол, найдем, что первые два параметрических
уравнения винтовой линии совпадают с параметрическими уравнениями
упомянутой окружности:
JC = /?COS
v = /?sin
t. ;
Далее, так как плоскость окружности равномерно перемещается
в вертикальном направлении, то аппликата точки винтовой линии
пропорциональна /, и третье параметрическое уравнение винтовой
линии будет иметь вид z=ct.
Итак, параметрические уравнения винтовой линии суть
= /?cosf, 1
= Rsint, \
= ct. )
х =
У
11.4. Уравнения касательной пряной и нормальной плоскости
к пространственной кривой, заданной параметрически. Пусть точка
М(х, y,z) пространственной кривой соответствуетзначению параметра /,
§ HJ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ
59
а точка Мх {х -\- Д*, у-\-Ьу, z-\-Az) соответствует значению
t-\-&t (рис. 32).
Уравнения секущей MMt на основании правила составления
уравнений прямой в. пространстве,
проходящей через две точки, будут
Д* Ay Аг *
где X, Y, Z—текущие координаты или
Х-х Y-y
Ах
At
Ay
At
Z — z
д;
Я
^х
Рис. 32.
В пределе, при Аг—*■(), эти уравнения перейдут в уравнения
касательной в точке М:
X-X==Y-y ^Z-z
dx dy dz
dt dt dt
(5)
Тогда уравнение нормальной плоскости в точке М запишется
в виде
»<*-*>+£ur-»+!i*-*>-o (6)
напомним, что уравнение плоскости, проходящей через точку {x,y,z),
может быть записано в виде
А{Х— X)-\-B(Y—y) + C(Z—z) = 0
и что в качестве А, В, С можно взять угловые коэффициенты
перпендикулярной прямой).
Пример. Найти уравнения касательной к винтовой линии в любой
точке. Здесь
jc = #cos/, \ . .
z=ct, I dt dt
cost: —=c
dt
■ уравнения касательной будут
X—Rcost Y — Rsint z-ct
— Rsint
R cost
Заметим, что касательная к винтовой линии имеет постоянный угол
наклона к плоскости хОу. Иначе говоря, третий направляющий косинус будет
постоянен. В самом деле,
с с
cosy — :
не зависит от t.
V(-R*intY + {RwstY-{-<* VR*+c*

60 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ГЛ. if
11.5. Параметрическое дифференцирование. Пусть х и у суть
функции от tt причем х является возрастающей или убывающей
функцией в рассматриваемом интервале, тогда у окажется однозначной
функцией от х. Требуется найти производную у по дс,. зная
производные х и у по г.
Условимся обозначать производные по х штрихами, производные
по t точками. Имеем
Ау
Ay At
Ах ~ Ах »
At
откуда в пределе при А*—»-0
У' =4. (7)
х
Эта формула называется формулой параметрического дифферент
цирования.
Пользуясь формулой параметрического дифференцирования, можно
вывести формулы, выражающие производную любого порядка я от у
по х через производные от х и у по t порядка не выше п. Так,
например,
/
=<>'>'=(!) =Ф=%^-
{
Таким образом,
?=*b^L. (8)
Пример. Найти угловой ко •> •< • нт касательной к циклоиде в любой
точке. . .
Имеем
x=a(t — sin/), i = e(l — cos/),
y = a(\ — cos<)t y = asint.
■ ,_y__ asint _ sin* _2stnTcos~_
У ~ x~ a(l-coe0—I-*»*— 2sin« _1 ~~ 82*
§12. Возрастание и убывание функций
12.1. Определение и необходимые условия. Функция называется
возрастающей (убывающей), если ббльшим значениям аргумента
соответствуют ббльшие (меньшие) значения функции, или* иначе говоря;
положительному приращению аргумента соответствует положительное
(отрицательное) приращение функции.
ШЫЙатгШ.
§ 12J ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ 61
Если дифференцируемая функция на данном интервале
возрастает {убывает), то. на этом интервале производная
неотрицательна {неположительна).
Доказательство. При Дд:]>0 имеем Ау]>О(Ду<^0),
следовательно, -Л^>® ('д^<^0)' 0ТКУда в пределе при Ах—»>6
находим у' ^з 0 (у' ^ 0), что и требовалось доказать.
12.2. Достаточные условия. Если в каждой точке данного
интервала производная рассматриваемой функции положительна
(отрицательна), то на этом интервале функция возрастает
(убывает).
Пусть хх и хг — любые две точки данного интервала, причем
xl<^xt\ тогда по формуле Лагранжа имеем
/(*,)—/<*,)=/(5) (*,—*i).
где *,<!<*, (Рис« 33).
Первый множитель правой части по условию положителен
(отрицателен), а второй положителен, так как xt<^xt. Следовательно,
Рис. 33.
правая часть положительна (отрицательна), откуда /(<*,)<[/(•*,)
(fixi)"^f{x*))i T« €« наша функция возрастает (убывает).
12.3. Практическое правило исследования функций на
возрастание и уб ■■■■ ■■ ие. Для исследования функции на возрастание и
убывание находят производную и приравнивают ее к нулю. Далее
находят корни полученного уравнения, а также точки, в которых не
существует производной. Все эти точки вместе с возможными
точками разрыва функции разбивают область определения нашей
функций на ряд участков. На каждом из этих участков выясняется знак
производной (на протяжении одного участка знак не меняется), чем и
решается вопрос о возрастании или убывании функции на каждом из
участков. Разумеется, что правило имеет в виду лишь функции
достаточно простого вида, обычно встречающиеся на практике.
Приме р. Исследовать на возрастание и убывание функцию/ (х) = * -}—.
Эта, функция нечетная, поэтому достаточно исследовать ее изменение на
(0, -f* op). Очевидно, f (x) = 1 — -j обращается на этом участке в нуль
только при *== 1. На (0, 1) /' (дг) < 0 (ибо —►— оо при ж—► 0), на(1, -f- о»)
Г(х)>0(ибо —*1 при ж—►-f-°°>«

62 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
Таким образом, /(х)
на (— оо, — 1) возрастает,
на ( — 1, 0) убывает,
на (0, 1) убывает,
на (1, +оо) возрастает.
§ 13. Формула Тейлора
13.1. Обобщенная теорема Ролля. Пусть на данном сегменте
функция п раз дифференцируема, обращается в нуль на его концах,
и, кроме того, каждая из производных порядка ниже п обращается
в нуль на одном из его концов. Тогда по крайней мере в одной
точке внутри сегмента л-я производная обратится в нуль.
Доказательство. Пусть, например, /(а)=/(£) = О,
/'(«) =0,
/» =0,
/<"->> (а) = 0.
По теореме Ролля имеем /'(|,) = 0, где а< £i<C* (Рис- 34).
Но тогда на основании теоремы Ролля, примененной к производной
данной функции, получим
/"(!,) = 0, где «<£,<£,.
Затем на основании теоремы Ролля, примененной ко второй
производной, найдем /"'(!,) = 0, где а<£,<|а и т. д.
til i i it
о- СУ <i £г Zi Ь
Рис. 34.
И, наконец, на основании теоремы Ролля, примененной к (п — 1)-й
производной, найдем/(п) (|) = 0, где a<Cl<C£n-i» чт0 и
требовалось доказать.
13.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Пусть /(х) п раз дифференцируема на сегменте с концами а, Ь (а>Ь).
Рассмотрим многочлен Р(х):
Р(х)=А^ААх~а)^Ах^^^.,.+А^^^.
Составим вспомогательную функцию
F{x)=/(x)-P{x).
§ 13J ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 63
Найдем ее производные до л-го порядка включительно:
F(x)=/(x)~A0-At(x-a)^At^^...-An^^1
F'(x)=f(x) -A, -^(*-a)--..-V^1°i)|',
\п-г
г (х)=г(х) -а2 ..._и„£=^:, ,
F<n-l>(x)=f"-*>(x) —An^-A^x-a),
F*">(x)=fn>{x) —An.
Постараемся коэффициенты многочлена Р(х) выбрать так, чтобы
функция F(x) удовлетворяла условиям обобщенной теоремы Ролля:
F(a) = 0; F{b) = 0;
F'(a) = 0; F"(a) = 0;
Fln-1>(a) = Q.
Это приводит к системе уравнений
/(а)-А0 =0Л
/'{а)-А, = 0,
f{a)-At =0,
О)
f"-^{a)-An_1=0, j
f{b)~A0-Al(b-a)-...-An$^f-===b. (2)
Из этих уравнений Лв, И,, ..., Ап определяются однозначно (из
(1) непосредственно находятся А0, Alt ..., An_lt после чего из (2)
определяется Ап, ибо коэффициент при нем отличен от нуля). После
такого выбора Ak функция F(x) удовлетворяет условиям обобщенной
теоремы Ролля. Тогда по этой теореме получим /Г(И)(£) = 0 для
некоторого £ между а и bt или
/(и)Ш-А,=о. (3)
Из равенств (1) и (3) находим выражения для А0, Alt ..., Ап
и вставляем их в равенство (2). В результате получим искомую формулу
Тейлора.
После перенесения всех членов, кроме первого, в правую часть
она примет вид
/(»)=/(")+/' («)(*--«>+/»*Цг-"+ •••
При л=1 эта формула превращается в формулу Лагранжа.

64 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. 11
Заменив Ъ на х, мы можем переписать формулу Тейлора так:
/{х)=Аа)+/'(а)(Х-а)+Г(а)£^+.. '+ГЦ~1^)У^Г+
+/wft)(iL=r::.
или
ft=0
где
представляет собой остаточный член в форме Лагранжа (| лежит
между сил:).
При <2 = 0 формула Тейлора превратится в так называемую
формулу Маклорена
Ах)=/(0)-\-/'(0)х+г {0) |- + ..-+/<и-1,(0)(^г+
+/,и>(0*)~,
где
0<6<1,
или
и —1
/w=£/"*«>)4+k„.
и
где
В случае, когда /(х) является многочленом л-й степени, fny{x)
будет постоянной и, следовательно, в остаточном члене вместо £
можно написать любое число, например а.
Таким образом, для многочлена л-й степени
Р(х) = Р(а)-{-Р'(а)(х — а) + Г{а)£=£+...
A=0
С помощью этой формулы можно, например, расположить
многочлен по степеням х — а.
§ HI
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ
65
§ 14. Экстремумы функций
14.1. Определение и необходимые условия. Функция имеет
минимум {максимум) в данной точке, если ее значение в этой точке
меньше (больше) ее значений во всех других достаточно близких
точках. Минимум и максимум функции называют одним словом экстремум.
Теорема. Если в точке х0 функция имеет экстремум и
дифференцируема в этой точке, то производная в ней равна нулю.
Доказательство. Пусть, например, в точке х0 функция
y=f{x) имеет минимум; тогда при Ах0, достаточно близких к нулю,
имеем Д/(*0)]>0, отсюда
А/ (*о) ( >0 при Дх0>0,
Д*о \ <0 при Дд:0<0,
откуда в пределе при Дд;0—»-О, учитывая дифференцируемость
функции в точке х0, получим, что
J K 0,1<°. откуда /'(*„) = О,
что и требовалось доказать.
14.2. Достаточные условия (первого порядка). Предположим,
что функция /(х) непрерывно дифференцируема в окрестности точки х01
производная от f{x) обращается в нуль в точке х0 и не обращается
в нуль в других точках интервала (jc0—е, *„-{-£), где е —
достаточно мало.
Тогда логически возможны четыре случая (см. таблицу на стр. 66)
Из сказанного следует
Теорема. Если производная обращается в нуль в некоторой
точке и при этом меняет свой знак, то функция имеет
экстремум {минимум, если знак меняется с — на -}-, максимум, если
знак меняется с -\- на —), если же производная обращается
в рассматриваемой точке в нуль и при этом знака не меняет^
то в этой точке функция не имеет экстремума.
14.3. Достаточные условия (высших порядков). Предположим,
что функция f{x) n раз непрерывно дифференцируема и что в точке х9
все ее производные порядка ниже п обращаются в нуль, а л-я
отлична от нуля, т. е.
/' (*„) =Г {х0) =...=/<"-» {х0) = О,
По формуле Тейлора находим
f{x)-Ax.)=f»(l) ^^ , (1)
где £ лежит между х0 и х.
3 П. И. Романовский

66 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
№ по
пор.
1
2
8
4
*0—*<Х<Ха
!/'<0j у убывает
у'>0; у
возрастает
у'<0\ у убывает
у'>0\ у возра^
стает
Xo<x<Xo-fe
у'>0; у
возрастает
i/<0; у убывает
у'<0; у убывает
у*>0; у
возрастает
Вил графика
в окрестности х0
\
\
Хд
х0
V.
OCq
1 ,,.
Xq
Заключение
о поведении
функции
в точке хп
минимум
максимум
нет
экстремума
1?ет
экстремума
При я, достаточно близком к jee, /'"'(l) имеет знак /^ (*<>)» сле"
довательно, правая часть (1) при п четном имеет знак fn) {х0), откуда
следует, что при /^{х^^О (<^0) f{x) имеет в точке хь минимум
(максимум), а при п нечетном правая часть (1) в точке х0 меняет
знак, следовательно, функция f{x) не имеет экстремума в точке хв.
Итак, имеет место следующая
Теорема. Если в данной точке все производные порядка ниже
п обратились в нуль^ а п~я производная отлична от нуля, то при
л четном функция имеет экстремум {минимум, если п-я
производная положительна в этой точке, максимум, если п-я производная
отрицательна в этой точке), а при п нечетном — экстремума не
имеет.
В частности, при л = 2 получаем достаточные условия экстремума
2-го порядка. Если в данной точке первая производная обращается
в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то в этой точке
функция имеет экстремум (минимум, если вторая производная
положительна в этой точке; максимум, если вторая производная отрицательна
в этой точке).
14.4. Практическое правило исследования функции на
экстремумы. Если функция уже исследована на возрастание и
убывание, то экстремумы автоматически выявляются.
ШЫЙатгШ.
§ И]
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ
67
Если же ставится вопрос только о нахождении экстремумов
дифференцируемой функции, то можно поступить так: находят первую
производную, приравнивают ее нулю, решают полученное уравнение
и для каждого из его корней решают вопрос о наличии в нем
экстремумов, пользуясь доказанными выше теоремами.
1) f{x) и /{х)-\-с имеют экстремумы в одних и тех же точках
и притом одноименные. Поэтому при исследовании функции на
экстремумы постоянные слагаемые можно отбрасывать;
2) /(х) и с/(х) имеют экстремумы в одних и тех же точках,
причем одноименные (разноименные), если с^>0 (с<^0). Поэтому при
исследовании функции на экстремумы постоянные множители можно
отбрасывать;
3) /(х)~^>0 и !//(*) имеют одноименные экстремумы в одних
и тех же точках. Поэтому при исследовании на экстремумы
квадратного корня достаточно исследовать на экстремум подкоренное
выражение.
Список подобных замечаний можно продолжить.
Замечание о нахождении наименьших и
наибольших значений дифференцируемой функции на
сегменте. Если точка, где достигается наибольшее (наименьшее)
значение, попадает внутрь сегмента, то в ней производная равна
нулю, если же эта точка попадает на конец сегмента, то производная
может и не равняться нулю. Поэтому точки экстремума надо искать
среди:
а) точек, лежащих внутри * ,
сегмента, для которых ^'^О,
б) концов сегмента.
О
а
b х
Рис. 35.
Рис. 36.
Примечание. В некоторых случаях вопрос о наличии наименьшего
и наибольшего значений может быть решен без использования достаточных
условий экстремума. Отметим некоторые, часто встречающиеся случаи. Если
fix) положительна на интервале (а, Ь), обращается в нуль на его концах
и если между а и b производная только один раз обращается в нуль
(рис. 35), тогда в этой точке f(x) имеет на (а, Ь) наибольшее значение. Если
функция при стремлении аргумента к концам интервала стремится к -J- со
и если внутри интервала производная только один раз обращается в нуль
(рис. 36), тогда в этой точке /(х) имеет на (а, Ь) наименьшее значение.
3*

68 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
Пример. Из всех прямоугольников, вписанных в данный эллипс, найти
тот, площадь которого наибольшая (рис. 37).
Отнесем эллипс к осям координат; тогда его уравнение будет
х* if
а1 ^ Ьг
Пусть (х, у) — координаты правой верхней вершины вписанного
прямоугольника. Имеем
S = 4ху = — х УЖ=хг = — Уа*х* - х*.
я а а
По характеру задачи 0<х<а и дело сводится к отысканию
наименьшего значения функции
f(x)=za'x'— х*.
На этом интервале (заметим, что функ-
X ция положительна на этом интервале и
обращается в нуль на его концах)
имеем F (х) — 2а*х — 4х\ причем
уравнение
Рис. 37. 2агх — 4х" = 0
имеет на (0, а) только один корень х =
V2
, откуда заключаем, что
прямоугольник с максимальной площадью получится прих= —т= , но тогда у — —^=.
у £. у £
и Smax = 4^A:=,2a6.
Итак, максимальным по площади вписанным прямоугольником будет тот,
стороны которого пропорциональны осям эллипса. В частности, при а = Ь
получается, что из всех прямоугольников, вписанных в круг, наибольшую
площадь имеет квадрат.
§ 15. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
15.1. Определения и необходимые условия выпуклости и
вогнутости. Пусть f(x)— дифференцируемая функция на
рассматриваемом интервзле. Тогда график этой функции в каждой точке имеет
касательную. Если на данном интервале график функции лежит выше
(ниже) всякой своей касательной (кроме точки касания), то функцию
называют выпуклой (вогнутой) на рассматриваемом интервале.
О графике этой функции говорят, что он выпуклый вниз или
вогнутый вверх (вогнутый вниз или выпуклый вверх).
Пусть функция f(x) выпукла на данном интервале. Пусть xt и
хя, хг<^хг,— любые точки на этом интервале, тогда хорда Af,Af2
лежит выше касательных, проведенных в точках М1 и Ж2, так как
сам график лежит выше этих касательных (рис. 38).
§ 15J
ВЫПУКЛОСТЬ, ВОГНУТОСТЬ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
69
Отсюда видно, что угловой коэффициент касательной в точке Мх
меньше углового коэффициента хорды МгМг, а он в свою очередь
меньше углового коэффициента касательной в точке Мг. (Это
заключение легко доказать аналитически.)
Учитывая геометрический смысл производной, заключаем, что
всякий раз, когда х1<^х2, следовательно, /'(х) возрастает.
Поэтому если данная функция/(х)
дважды дифференцируема, то /" (х) ^5= 0.
Если f(x) вогнута, то—f(x)
выпукла. Следовательно, по
доказанному
0.
откуда
/"(*)<0.
Рис. 38.
Итак, доказана
Теорема. Если дважды
дифференцируемая функция выпукла
(вогнута) на данном интервале, то на этом интервале вторая
производная неотрицательна (неположительна).
15.2. Достаточные условия выпуклости (вогнутости). Пусть
на данном интервале функция дважды дифференцируема. Взяв какую-
нибудь точку х0 на этом интервале, применим формулу Тейлора
при п = 2:
/ (*) =/(*.)+/' (*.) (х - хш)+г (I) {^2zrl,
но f(x) есть ордината кривой y=f(x), a f(x0)-\-f'(x0)(x— х0)
есть ордината касательной к упомянутой кривой в точке с абсциссой х0.
Таким образом:
Укр=/(Х),
У нас =/(*„) +/' W (* — *о)>
укр — уКЛС=Г(В (*-~2*с)2 •
Отсюда видно, что если вторая производная положительна
(отрицательна), то при х=^=х0 правая часть последнего равенства больше
(меньше) нуля. Следовательно, Д'кр^-Д'кас (.Укр<Окас), т. е. функция
f(x) выпукла (вогнута) на данном интервале.
Таким образом, доказана
Теорема. Если вторая производная на данном интервале
положительна (отрицательна), то данная функция на этом
интервале выпукла (вогнута).

70 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
15.3. Практическое правило исследования функции на
выпуклость и вогнутость. Для исследования функции на выпуклость и
вогнутость находят вторую производную и приравнивают ее нулю.
Затем находят корни этого уравнения. Они вместе с возможными
точками разрыва функции и ее первой и второй производных
разбивают область определения нашей функции на ряд участков. На
каждом из них выясняется знак 2-й производной (на протяжении
одного участка он не меняется), что и решает вопрос о выпуклости
или вогнутости дуг на каждом участке.
Указанное правило имеет в виду лишь функции достаточно
простого вида.
15.4. Точки перегиба. Точки, где касательная пересекается с
кривой, называются точками перегиба кривой. Будем предполагать,
что /(х) дважды непрерывно дифференцируема. Очевидно точки,
где f(x) отлична от нуля, не являются точками перегиба графика
f(x), следовательно, в точке перегиба /п(х) = 0.
Таким образом, необходимым условием точек перегиба графика
дважды дифференцируемой функции является обращение второй
производной в нуль.
Выведем достаточное условие точек перегиба. Пусть f{x) n раз
непрерывно дифференцируема на некотором интервале, х0 — точка
этого интервала. Пусть
а /(П) (х0) =fc 0. По формуле Тейлора находим
или
v —v =/<иЧЕП*"~'*^".
-Укр .Укас J Vb/ nj •
При ху достаточно близких к х0, /'"'(l) имеет знак /1п)(ха),
поэтому при п четном разность
сохраняет определенный знак в окрестности х0, при п нечетном
меняет знак.
Итак, доказана следующая
Теорема. Если в некоторой точке интервала все
производные рассматриваемой функции от второй до (п—1)-й обратились
в нуль, но п~я производная не обращается в нуль, то при п
нечетном график функции имеет в соответствующей точке
перегиб, а при п четном не имеет перегиба.
ШЫЙатгШ.
§ 16J
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
71
В частности, если в некоторой точке интервала вторая
производная обращается в нуль, а третья не равна нулю, график функции
имеет в соответствующей точке перегиб.
Если функция уже исследована на выпуклость и вогнутость, то
точки перегиба ее графика обнаруживаются автоматически; если же
нет, то поступают так: находят вторую производную, приравнивают
ее нулю, решают получившееся уравнение и для каждого из его
корней решают вопрос о наличии или отсутствии точек перегиба,
пользуясь вышеуказанными теоремами.
§ 16. Приближенное решение уравнений способом
хорд и касательных
16.1. Две вспомогательные задачи.
Задача 1. Через точки кривой у=/{х) с абсциссами а и Ь
проведена хорда (рис. 39). Найти х* — абсциссу точки пересечения
ее с осью Ох (предполагается, что f{a)=^=/{b)).
У
Решение. Уравнение упомянутой хорды имеет вид
У -Па)
х — а
следовательно,
х* — а
Ь-а !(Ь)-ЦаУ
-f(a) .
откуда
b-a tKb)-f(a)'
г*
— „... (b-a)f(a)
f(b)-f(a) '
х*= af(b)-bf(a)
f(b)-f(a) • W
Задача 2. В точке кривой у=/(х) с абсциссой Ь проведена
касательная (рис. 40). Найти х— абсциссу точки пересечения ее
с осью Ох (предполагается, что f (Ь)фО).
Решение. Уравнение упомянутой касательной имеет вид
У—№=Г{Ъ){Х—Ь),

72 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
следовательно,
откуда
fib)'
(2)
16.2. Способ хорд и касательных. Пусть имеем уравнение
/(je)=0, левая часть которого имеет положительную первую и
положительную вторую производные
(f(x) возрастает и выпукла) на
некотором интервале, и f{x) имеет
разные знаки на его концах (рис. 41).
Тогда уравнение имеет на этом
интервале единственный корень х0.
Пусть взяты приближенные значения
этого корня а, и А, соответственно
с недостатком и избытком. Назовем
их первыми приближениями. Далее
проведем хорду АХВХ и касательную
в точке Вх. Абсциссы точек пересе-
назовем вторыми приближениями.
Рис. 41.
и Ь,
2»
чения их с осью Ох, аг
Из условий, наложенных на /(*), следует, что
Таким же образом переходим от вторых приближений к третьим
приближениям at и Ьг и т. д.
В результате получим бесконечную возрастающую
последовательность приближений с недостатком
и бесконечную убывающую последовательность приближений с
избытком Ьх > Ьг > Ьг > ... > Ьп > ... > xot причем
а
п + \
anf ibn) — bnf (a„)
fibn)-f{an)
(3)
Из сказанного следует, что существует a=liman (a<:#0) и
П-КЗО
b= limbn {Ь^х0).
Покажем, что а = х0 и Ь = х0. Переходя к пределу при п—»• оо
во второй формуле (3) (что законно, ибо /' (Ь) ф 0), найдем
/'(6)'
§ »71
СОПРИКАСАЮЩИЙСЯ КРУГ
73
откуда /(6) = 0, следовательно, Ь=хь. Теперь, если бы имели
а<С*о» то переход к пределу при п—»-оо в первой из формул (3)
был бы законен и мы получили бы
а
_ af(x0)-xof(a) -xj(a)
f(Xo)-t(a)
-/(«)
= *••
что не согласуется с предположением, следовательно, неизбежно
Итак, последовательности приближений ап и Ьп имеют пределом
корень х9 рассматриваемого уравнения и, таким образом, с помощью
формул (3) корень х0 может быть
подсчитан с любой степенью
точности.
Если требуется подсчитать
корень xQ с точностью до а (где а > 0),
то следует вести вычисление ап и
Ьп до того места, когда впервые
окажется Ьп — аи<!а.
Если на данном интервале/' {х) >0
и /*(.*Х!0 (/(■*) возрастает и
вогнута) и /(х) на концах имеет
разные знаки, то приближение с
недостатком следует искать по формуле (2), а приближение с избытком —
по формуле (1), и мы придем к аналогичным результатам (рис. 42).
Если на данном интервале /' (х) < 0, то, заменяя уравнение /(х) = 0
ему равносильным —/(д:) = 0, мы придем к рассмотренным случаям.
Рис. 42.
§ 17. Соприкасающийся круг
17.1. Существование соприкасающегося круга. Предельное
положение круга, проведенного через три бесконечно близкие точки
кривой, при стягивании их в одну точку М называют
соприкасающимся кругом данной кривой в точке М*).
Пусть дана кривая у=/{х), где /(х) — дважды непрерывно
дифференцируемая функция. Проведем через точки этой кривой с
абсциссами xlt хг, х3 круг и пусть Р(а, Р) — его центр, Q — радиус
(рис. 43).
Составим вспомогательную функцию F(x) = [х—a)2 -j- {у —|3)г —q2,
где у=/{х), и найдем первую и вторую производные от F{x).
*) Неподвижный круг называют предельным положением подвижного
круга, если центр и длина радиуса подвижного круга стремятся соответственно
к центру и длине радиуса неподвижного круга.

74 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. И
Имеем
~F{x) = x-a-\-{y-$)yf,
±Г{х) = \+у"-\-{у-$)/.
Очевидно, F{x1) = F(x2) = F{xa) = 0. Следовательно, по теореме
Ролля F (хл) = F (*,) = 0, где
xi < хл, < х* < хл < *.» и еи*е Раз
по теореме Ролля Т7" (яв) = 0, где
Учитывая выражения для f (х)
и /^(jc), последние два равенства
перепишем так:
*8 — а + ОЧ— Р)У = °> I
1+^ +(Л-Р)/«=0 J
(для простоты вместо /(•*„)»
/Ч*„). /"W мы пишем jrBI
У„. Й-
XfXuXgXgX^ Xj
Рис. 43.
Из этих уравнений находим (если ув=^0)
Р==У.+
1+У,
У,
При jclt jc2, л:,—^ л: имеем также jc4, jc6, jee—► # (где л:—абсцисса
рассматриваемой точки Л4 данной кривой). Если в рассматриваемой
точке у"=£0 (тогда .у*=£0 при xlt xz, xt, достаточно близких к х),
то полученные равенства дают в пределе
,: J/'O+i/")
lima = jc —
</"
Отсюда видно, что в рассматриваемой точке М данной кривой
существует соприкасающийся круг (если в этой точке у^ьО), причем
координаты его центра определяются формулами
С=Я_*И!4А )
§ 17]
а радиус — формулой
СОПРИКАСАЮЩИЙСЯ КРУГ
9
i*\T~
Я=У(£-*)' + (П-^)" = <-!±^
75
(2)
Центр и радиус соприкасающегося круга в точке М данной кривой
называются соответственно центром кривизны и радиусом, кривизны
этой кривой в точке М.
17.2. Формулы для радиуса кривизны и координат центра
кривизны кривой, заданной в параметрической форме. Пользуясь
выведенными формулами для радиуса кривизны и координат центра
кривизны кривой и формулами параметрического дифференцирования,
находим формулы для радиуса кривизны и координат центра кривизны
/ x = x(t),
кривой <
y=y(t):
R.
(1Ч-у")а_(1 + *У _(.
\у
ху — ху
ху — ху
Ь — х -, — X
ху — ху
• • t -г
у __ у(х -\-у)
ху — ху
г\=у-\-
\Л-У'%
У
■у +
1 +
У
•2
х
ху — ху
— у\ * (**+'?)
ху — ху
таким образом:
6 = х-
r\=y-\r
\ху'—'ху\ '
xf/—xy
xP+'if)
(3)
(4)
xy — xy J
Определение. Эволютой кривой называется геометрическое
место ее центров кривизны. Формулы (4) для координат центра кри-
_ / x = x(t),
визны кривой \y===y{t)
параметрические уравнения ее эволюты.
можно одновременно рассматривать как

76 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. И
§18. Интерполирование
18.1. Задача интерполирования. Пусть дана произвольная
функция. Задача интерполирования (в общем виде) может быть
сформулирована следующим образом: требуется построить функцию из
определенного класса К так, чтобы она совпадала с данной функцией
в нескольких заданных точках. Эта задача сводится к следующей:
найти функцию из класса К, принимающую в заданных точках
наперед заданные значения.
Рассмотрим, в частности, задачу: найти полином степени не выше
п, принимающий в п-\-1 заданных точках *0, х1У ...ухп наперед
заданные значения у0, уг, ..., уп. (Точки х0, х„ ..., хп называют
узлами интерполяции).
Для решения этой задачи рассмотрим произвольный полином
степени не выше п
Axn-\-Bxn-1-\-...-{-L
и подчиним его отмеченным выше требованиям. Это дает систему
уравнений
Axnl + Bx^''l+---+L=y^
Определитель этой линейной системы
Уп-
И П — 1 1
*0 ^0 ... 1
П П — 1 -I
X 1 Л| ... '
г" хп~1 1
есть определитель Вандермонда и, следовательно, отличен от нуля,
так как числа х0, хх, ..., хп различные. Поэтому в силу правила
Крамера наша задача однозначно разрешима, т. е. существует
единственный полином степени не выше п, принимающий заданные
значения в п-\- 1 заданных точках.
Замечание. Пусть р0(х), р1(х), ..., рп(х) — какие-нибудь полиномы
степеней 0, 1, 2, ... , п; тогда произвольный полином Р(х) степени не вышел
можно единственным способом расположить по этим полиномам, т. е.
единственным способом записать в виде
Р (х) = с0р0 (х) + схрх (х) -{- • • • + спрп (х).
В самом деле, выберем сп так, чтобы Р (х) — спрп (х) не содержало члена с х
в степени п, После этого выберем с„_, так, чтобы Р (х) — спрп (х) — сп_1рп_1 (х)
не содержало члена с х в степени п — 1 и т. д.
§ 181
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
77
18.2. Интерполяционная формула Лагранжа. Даны точки лгв,
jc„ ..., хп. Найдем полином я-й степени, обращающийся в единицу
в точке х0 и в нуль в остальных данных точках.
Очевидно, р9 (х) = К (х — xt) (х — xs)... (х — хп) удовлетворяет
второму из этих условий. Чтобы удовлетворить и первому условию,
нужно подобрать К так, чтобы
1 = К(х0 — х,)(х0 — х2)... {х0 — хп),
откуда
к== 1 g
(X0 Xj) (Х0 Хг) . . . (Х0 Хп)
Следовательно, искомый полином будет
IX)= (*~*i) (*-*«) •••(*-*„) •
(х0 хх) (х0 хя)... (х0 — хп)
Перейдем к общей задаче — задаче нахождения полинома Р(х),
удовлетворяющего требованиям:
Р(*г) = Уг>
Р{*п)=Уп-
Очевидно, этим условиям удовлетворяет полином
п
Р(х)=У0Ро l*)+.y,Pi (*)+••■ + У«Рп(х) = 2 УкРЛ*)*
где каждый полином pk(x) обращается в единицу в точке xk и
в нуль в прочих точках (построение р0(х) было выполнено выше).
Учитывая полученное выше выражение для pk(x), получим
искомую формулу для Р(х)
п
ptx\~ У у (*—*о) •■.(* — **-i)(* — xk+t) ... (х - хп) ...
Это интерполяционная формула Лагранжа.
Если мы хотим, чтобы значения этого полинома в точках хк
совпадали со значениями данной функции /(х) в заданных точках,
го следует положить в полученной формуле ук=/(хк).
18.3. Конечные разности. Пусть имеем систему чисел ук,
зависящих от целого индекса k. Полагают, по определению,
Аук=ук+1—ук (первые разности),
А*ук = Аук+1 — Аук (вторые разности),
&'yk = &2yk+l—Д*ук (третьи разности) и т. д.

78 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
Пусть теперь f(x)— какая-нибудь функция и h — фиксированная
величина (приращение аргумента, шаг).
Полагаем
Д/(*)=/(* + Л)—/(х) (первая разность функции/(#)),
А2/ (х) = Af(x-\-h) — Д/ {х) (вторая разность функции /(*)),
А*/(х) — Аг/(х-\-п)— &*/(х) (третья разность функции /(х))
и т. д.
В качестве примера на вычисление разностей функции рассмотрим
полиномы вида
где а;0, xt, xlt...—арифметическая прогрессия с разностью Л, и
найдем конечные разности этих полиномов при шаге Л.
Имеем
__ (х—х _ t) (x—Xf) (х—х,)... (х—xk _ 8) — (x—x0) (x — x,)... (x — xfe _,) __
hkk\
_ (x — xc) (x - x.) {x—x2) ... (x — xk_g) [(x — x_,) — (x—xfc_,)!
hkk\
(x - x0) (x - x,) ... (x — xfe_g) , .
— A*-i(A_l)! — ft-.V*>
(ибо xk_x — x_1 = hk).
Таким образом, вычисление разностей от pk(x) сводится к
понижению индекса на единицу. Следовательно,
18.4. Интерполяционная формула Ньютона. Пусть х01 хх>
..., jc„— л-f-l чисел, образующих арифметическую прогрессию.
Полином Р(л;), решающий основную интерполяционную задачу,
расположим по полиномам р0 (jc) = 1, pt(x), ...,/?„ (х) (см. 18.3).
Имеем
Р(Х) = со + CiPi (*) + С2Р» (*) + СгРг (*)+•••+ С«/>« (*)»
дя(х)= Cl + с*л(*)+с3аЛ*)+---4-cn/>«-i(*).
Д'Я (X) = С% + Сз/>1 (*) + • • •+ *„/>,,-. (*).
A'^U) = сг Л~ • • • + СпРп-г (А
§ 18]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
79
Положив в этих равенствах *==*„ и учитывая, что pt{x)t
pt(x), .... />„(*) обращаются в нуль при х = х0, получим
AP(x0) = clt
А*Р(х0) = с2,
АпР(х0) = сп.
Но в силу предъявленных к
Р(х0)=Уо; АР(х0) = Ау0, ...
Следовательно,
с1 = ДУо.
сж = ДЧ.
• • • •
Я(л;) требований
Д"Р(*в) = Д»л.
Таким образом, мы пришли к интерполяционной формуле Ныо-]
тона (в случае равноотстоящих узлов)
^(*) —Л + X (х — х0) -\- -р 2] г • • •
• • • -4-
2!
АиУо (х-х0)(х-х,)...(х-х„_1)
hn
п
=*.+ £т
я!
Д*//о (* —х0)(х —х,) ... (х-хд,_,)
(2)
*=1
18.6. Остаточный член для интерполяционных формул. Пусть
/(х) — какая-нибудь п-\-\ раз дифференцируемая функция на
интервале и пусть Р(х) — полином степени не выше п, совпадающий
с этой функцией в /г—J— 1 точках рассматриваемого интервала х0,
Требуется оценить величину ошибки, получающейся при замене
функции /(х) полиномом Р(х) в какой-нибудь точке х
рассматриваемого интервала, отличной от узлов интерполяции.
Составим вспомогательную функцию:
F(x)=f(x) — P(x) — kq(x)t
где
q(х) — (* — х0)(х—хх) ... (х — х„).
Имеем
Я"+,,(л:)=/(и+,>(*) — /г(я+1)!
Подберем k так, чтобы F(x) = 0, что возможно, ибо q(x)=^=0.
Тогда F(x) будет обращаться в нуль в п-\-2 точках, х0, xlt xz, ...
• • • j Xnt X.
Следовательно, по следствию из теоремы Ролля (я-[-1)-я
производная F обращается в нуль по крайней мере один раз. Таким
образом, в некоторой точке £ имеем:
Яи+1)(£) = 0

80 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ГЛ. II
/(И+,Ч&)—*(я+1)! = о,
ИЛИ
откуда
/«"_+»> <§
(п + 1)!'
но F{x)=f{x)—Ж*)— kq{x) = 0t следовательно,/(*)—/>(*)=&?(*).
где k=f'"+1)(l). Заменив ж на х, приходим к следующей формуле для
(n-f- 1)!
остаточного члена при интерполировании:
/W-/>W -^^т (*-*.)1*-*,).- Сх-^)- (8)
Здесь i лежит между наименьшим и наибольшим из чисел хв,
Х^г « • •» <^в> *•
ГЛАВА ГП
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 19. Функции нескольких переменных
19.1. Основные определения. Если некоторым системам
значений переменных величин xlt х2, ..., хп соответствует одно или
несколько значений переменной величины и, то и называется функцией п
переменных a:,, xt, —, хп. Если упомянутым системам значений xt,
jc2, ..., хп отвечает одно значение и, то функция называется
однозначной, в противном случае — многозначной.
Функцию двух действительных переменных х, у можно
рассматривать как функцию переменной точки плоскости, если х, у
понимать как прямоугольные координаты точек плоскости. Аналогично
функцию трех действительных переменных х, у, z можно
рассматривать как функцию переменной точки пространства.
Пусть и есть заданная функция от х,, jc2, ..., хп. Совокупность
всех рассматриваемых систем значений л;,, х2, ..., хп есть область
определения функции. Совокупность всех рассматриваемых значений и
есть область значений функции.
Если функция задана аналитическим выражением, содержащим xJt
xt, ..., хп, то под областью определения можно подразумевать
совокупность всех тех систем значений хг, хг, ..., хп, для которых
рассматриваемое выражение имеет смысл.
Функции переменных хг,хг, , хп обозначаются f(xltx2,.. .,*„)»
F(xt, ха, ..., хп) и т. п.
Областью определения функции двух переменных /(х, у)
является некоторая плоская фигура, если х, у истолковывать как
прямоугольные координаты точки плоскости.
Аналогично областью определения функции трех переменных f(x,y, z)
является некоторая пространственная фигура.
Множество точек на плоскости (в пространстве^ называется
открытым, если вокруг каждой его точки можно описать круг (шар),
целиком лежащий в рассматриваемом множестве. Открытое множество

82 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. III
называется областью, если всякие две его точки можно соединить
непрерывной кривой, лежащей в рассматриваемом множестве.
Граничной точкой области называется точка, не принадлежащая области,
но такая, что в любой близости к ней имеются точки
рассматриваемой области. Совокупность всех граничных точек области называется
границей области. Если к области присоединить ее границу, то
полученное множество точек называется замкнутой областью. Множество
точек на плоскости (в пространстве) называется ограниченным, если
его можно поместить в некотором круге (шаре) достаточно большого
радиуса *).
Примеры.
а) Областью определения функции \п(х-\-у) можно считать
полуплоскость х-\-у*>0.
б) Областью определения функции У1 — х2 — уг — г2 можно считать
шар х2-\-уг-{-г* s^ 1.
19.2. Непрерывные функции нескольких переменных. Для
простоты будем рассматривать функции двух переменных (аналогичное
рассмотрение проводится для функций любого числа переменных).
Функция /(#, у) называется непрерывной в точке (х, у), если
для всякого е>0 найдется такоет)>0, что при | Ajc|<t|, IA^Ktj
имеем
1/(* + Д*. у-\-Ау)—/(х, >)1<в
(при этом имеют в виду лишь такие Ах и Ду, что точка
ijc —|— Алг, у-\-Ау) лежит в области определения функции). Выражение
/{х-{-Ах, у-{-Ау) — /{х, у)
называется полным приращением функции /{х, у) и обозначается Л/.
Функция называется непрерывной на каком-нибудь множестве
точек, если она непрерывна в каждой точке этого множества
(рассматриваемого как область определения).
Формулировка основных свойств непрерывных
функций**). 1) Всякая непрерывная функция в ограниченной
замкнутой области всегда ограничена в этой области. Это значит, что
найдется такое число К, что \/\<С,К для всех точек
рассматриваемой области.
*) Аналогичная терминология вводится для множеств в n-мерном
пространстве. Под п-мерным пространством понимается совокупность всех
систем хх, xt, .... хп из п действительных чисел, причем расстоянием между
точками (jCj,.... хп) и (xt xn) называется
**) На доказательстве этих свойств мы не останавливаемся.
§ 19J
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
83
Замечание. Теорема перестает быть верной для непрерывных функций
в, открытой области и для непрерывных функций в неограниченной замкнутой
области.
2) Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то
по крайней мере в одной ее точке она принимает наименьшее
значение и по крайней мере в одной ее точке принимает наибольшее значение.
^ Замечание. Теорема перестает быть верной для непрерывных
функций в открытой области, для непрерывных функций в неограниченной
замкнутой области.
3) Если функция непрерывна в какой-нибудь области, то она в этой
области принимает все значения, лежащие между ее значениями
в каких-либо двух точках области.
4) Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области,
то она равномерно непрерывна в ней. Это значит, что для любого е^> О
найдется такое т]>0, что всякий раз, когда (х, у) и (х -\- Ах, у -\- Ау)
лежат в области и |Ajc|<^ti, |Лдг|<[т], имеем |Л/|<]е.
19.3. Частные производные первого порядка. Пусть / есть
функция нескольких переменных. Если зафиксировать все эти
переменные, кроме одного, то функция нескольких переменных становится
функцией этого одного переменного.
Частной производной функции нескольких переменных по какой-
нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная
производная по этому переменному, считая другие переменные
фиксированными (постоянными).
Например, для функции двух переменных /(х, у) частные
производные определяются так:
#_ Ит /(х + А*. y) — f(x. у)
дх Ах-ю Дх '
#__ Ит /(*, y + by)-f(x, у)
ду Ау-ю Ьу '
если эти пределы существуют.
Геометрический смысл частных производных
функций двух переменных. Рассмотрим поверхность
z=/(x, у) (эту поверхность называют пространственным
изображением функции /(х, у)).
Пересечем ее плоскостью у = const, проходящей через
рассматриваемую точку. В сечении получится некоторая кривая. Тогда,
учитывая определение частной производной и геометрический смысл
производной функции одного переменного, найдем, что
-L = tg a,
дх ь '

84 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. Ill
где а—угол между касательной, проведенной к упомянутому
сечению, и осью Ох (рис. 44).
Аналогично
где р — угол между осью Оу и касательной к сечению поверхности,
изображающей /(*, у), плоскостью х = const, проведенной через
рассматриваемую точку.
Понятие о функциональных определителях
(якобианах). Во многих вопросах
анализа большое значение имеют
определители, составленные из частных
производных нескольких функций от
нескольких переменных. Такие
определители называют
функциональными определителями или якобианами
(по имени математика Якоби).
Пусть имеем п функций /,, /„ ...
• • • i /и» зависящих не менее чем от
п переменных, в число которых вхо-
Рис. 44.
Якобианом функций /,,
называется определитель
дхг
дх2
df±
дх% дхг
дят переменные л;,, х
"2>
хг
/„ по переменным л;,, xz,
dh
х.
дхп
dh_
дхп
din df„
дхх дхг
d(h> h> ••" fn)
dfn
дхп
обозначаемый -=- . .
О (Xi, Xlt • • • i Xn)
При перестановке двух функций или двух аргументов якобиан
лишь изменит свой знак (сохранив свою абсолютную величину), так
как это сводится к перестановке в определителе двух строк или двух
столбцов.
19.4. Формула производной сложной функции (полной
производной). Пусть и=/(х, у), где x — q>{t), y = ty{t), тогда в
конечном итоге и будет функцией одного t.
Задача. Найти обыкновенную производную и по г, зная
частные производные и по х и у и обыкновенные производные х и у по t.
При этом предполагается, что частные производные от и по х и у
непрерывны для рассматриваемых значений х и у.
§19) ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 85
Дадим переменному t приращение At\ тогда х, у, а следовательно,
и и получат свои приращения Ах, Ау и Дм.
Имеем, учитывая формулу Лагранжа,
Au=f(x+Ax, y-\-Ay)—f(xt у) =
= \f{x-\-Axty-\-Ay)—f{x>y-\-Ay)]+[f{x,y-{-Ay)—f(x,y)]=
=/;(*+ед*. у+аУ) д*+/; (*, у+о, аУ) ау *>;
Д*
=Мх + ЪАх, j, + Aj) £+/;(*, у + Ъ^у)^,
где 0<Ь, e,<l.
Переходя к пределу и учитывая непрерывность частных
производных, получим:
du ,' . ч их . ,» , du
* = /*<*■ У)-й+/у{х,У)$
или
du ^L^jt^i^E /iv
dt dxdl~T~dydt' "'
Эту формулу называют формулой производной сложной
функции или ^формулой полной производной».
Аналогично выводится формула полной производной в случае
любого числа промежуточных аргументов (при аналогичных
предположениях): если
U=f\Xl1 Хг, ..., Хп),
где
*1 = Ф,(0.
то
или
*„ = <Р„(0.
du _д[_ dxj , _д£_ dx^, , _д[_ dx^
dt дхг dt ~Г дх2 dt nr • • • "Г дхп dt
п
du V^ df dxi
/=i
*\
*) Для любой функции f(x, у) независимых переменных х, у, имеющей
частные производные по х и у, находим, как в тексте (при достаточно
малых Дх и Ау):
f(x + Ax, y + Ay)-f(x, y) = f'x(x-\-tAx, y-\-Ay)Ax + f'y (х, у + 9гЬу) Ау,
О < в, вж < 1.-
Эту формулу (и аналогичную формулу для полного приращения функции
любого числа независимых переменных, имеющей частные производные по
всем переменным) будем называть обобщенной формулой Лагранжа.

86 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. III
§ 20. Неявные функции
20.1. Теорема существования неявной функции. Лемма. Если
функция/ (х, у), непрерывная в прямоугольнике [a^x^b; c<Ly*^d]t
при каждом х на [а, Ь] является возрастающей функцией от у
на [с, d] и обращается в нуль в некоторой точке (х0, у0) внутри
упомянутого прямоугольника, то найдутся такие числа
а, р {as^a<^x0<^$^b)t что в прямоугольнике [as^xssp;
c^y^d] уравнение /{х, у) — 0 равносильно уравнению у=у{х),
где у{х) — однозначная непрерывная функция на [а, р],
удовлетворяющая неравенствам
^1 c<.y(je)<d.
Доказательство (рис.45).
Так как /(х0,у) есть
возрастающая функция от у на [с, d],
обращающаяся в нуль при
У=Уо, то /(*•. 0<0;
f(x0id)~^>0; атак как/(лг, с)и
f(xt d) являются непрерывными
*_ функциями от х на [a, Ь], то
х при а, р, достаточно близких
к х0 (я ^ a < х0 < р < Ь),
будем иметь f(x, c)<^0, и
/(jc, d)>0 при х на [а, р].
При каждом фиксированном х на [а, р] /(х, у), будучи
непрерывной возрастающей функцией от у на [с, d], имеющей разные
знаки на концах этого сегмента, ровно один раз на [с, d]
обращается в нуль для некоторого у = у(х) (где c<^y(x)<^d).
Следовательно, в прямоугольнике [a^xs^P; c^y^d] уравнение
f{x, ,y) = 0 равносильно уравнению у=у(х). Покажем теперь, что
однозначная функция у(х) непрерывна на [а, р]. Пусть л:, — любая
точка этого сегмента. Так как f(x, у) есть возрастающая функция
от у на [с, d], обращающаяся в нуль при y=zy(xt), то
/(*,, у(х^ — е)<^0; /(*,, у{х1)-\-в)У>0 (е достаточно мало), атак
как /(х, у(х1) + в) суть непрерывные функции от л: на [a, Ь], то
при достаточно малом т)^> 0 будем иметь соответственно
f(xty(xt) 4^6)^0 при \х — •«jK^'n» откуда видно, учитывая
определение у(х), что \у(х)—.у(х,)|<Се ПРИ I* — ^К»!. «<л:<р,
что и доказывает непрерывность у(х) на сегменте [а, р]. Что
требовалось доказать.
Таким же образом доказывается, что если /(х1У ..., хп, у)
есть непрерывная функция в (п -\-1 )-мерном прямоугольнике
[ak^x^bk (Л=1, 2,..., п); c^y^d], обращающаяся в нуль в
некоторой точке (jcJ,..., л£, у0) внутри упомянутого прямоугольника
а х0 р
Рис. 45.
§ 201
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
87
и являющаяся возрастающей функцией от у на [с, d] при всяких
л:,, ..., хп (aks^xk*^bk; /е=1, —, л), то найдутся такие числаaft,
рА(аЛ<аА<х°<рА^£А; Л=1, 2,..., л), что в (л-f 1)-мерном
п рямоугольнике. [aft ^ jcft ^ рА(&= 1, , л); cs^j/s^d] уравнение
/(Хц ..., х„, _V) = 0 равносильно уравнению j;=j;(jc1> ..., л;л), где
>(#,,..., хп)—некоторая однозначная непрерывная функция в л-мер-
ном прямоугольнике [<^k^xk^Pk (ft=l, 2,..., л)],
удовлетворяющая неравенству с <^у (л:,, ..., хп) <[tf.
Аналогично доказывается предложение: пусть <j>(jc,, ..., лся) и
■ф(х,, , хП) непрерывны и удовлетворяют неравенству ЧХ^'ф на
[аА <!**<! £*; Л=1, 2,..., л]; /(л:,,..., лги, J/) непрерывна в
замкнутой области D:
[ak^xk^bk; k=)t 2, ..., пЛ
[ф(л:,,..., хп)^у < Ц(xv...,xn);J
/(*„ .... хл; ф(х„ ..., хя))<0и /(л:,, ..., xn; i|>(*,. ...,хп))^0;
/ есть возрастающая функция от у при фиксированных xk. Тогда
в D уравнение /(■*,,..., хп, .у) = 0 равносильно уравнению
У==У{Х1* • • •» *п)» где У(Х1*-"> хп)—некоторая однозначная
непрерывная функция на [ak^x^bk; k=\, 2,..., л],
удовлетворяющая неравенству ф ^ у ^ ijj.
Теорема. Пусть f(x, у) — непрерывная функция, имеющая
непрерывные частные производные в некоторой области, и пусть
в точке (х0, у0) этой области / обращается в нуль, а -^- отлична
от нуля. Тогда в некоторой прямоугольной окрестности
упомянутой точки уравнение /(х, у) = 0 однозначно разрешимо
относительно у, причем решение у{х) является непрерывно
дифференцируемой функцией от х.
Доказательство. Пусть в точке (х01 у0) —- положительна
(в противном случае следует / заменить на —/), тогда вследствие
непрерывности -g- она будет положительна на некотором
прямоугольнике, внутри которого лежит точка (л;0, у0), и следовательно, на
этом прямоугольнике является возрастающей функцией от у (при
фиксированных х). На основании леммы внутри .некоторого прямоугольника
уравнение /(х, ^) = 0 однозначно разрешимо относительно у и
решение у(х) является непрерывной функцией от х. Покажем, что у(х)
дифференцируема. Как при выводе формулы полной производной
(см. 19.4), находим f{x-\-Ax, у-{-Ау)—f(x, у)=/'х{х-{-ЬАх,
y-\-Ay)Ax-\-f'y{x, у-{-ЬгАу)Ау, но при у=у(х), Ау = Ау[х)

88 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. Ш
вычитаемое и уменьшаемое в левой части равны нулю, и следовательно,
Ау(*)= j^(* + 0Ax, у + Ьу(х))
Так как при А* —*■ О имеем Ду (х) —► 0 (ибо .у (*) непрерывна) и так
как /' /' непрерывны, то из последней формулы видно, что у\х)
f'x(x, y(x))
существует и равна т , а так как последнее выражение
/>(«• У(*))
непрерывно, то у'(х) непрерывна, что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается, что если /(*,, ..., хп, у) есть
непрерывная функция п -\-1 переменных, имеющая непрерывные
частные производные по всем переменным в некоторой области, и
если в некоторой точке этой области / обращается в нуль,
4- отлична от нуля, то в некоторой прямоугольной окрестности
названной точки уравнение f(xt, ..., хп, _у) = 0 однозначно
разрешимо относительно у, причем решение y(xlt ..., хп) является
непрерывной функцией, имеющей непрерывные частные производные.
20.2. Неявные функции, определяемые системой уравнений.
Теорема. Пусть /,. ...,/„ — непрерывные функции переменных хг, ...
..., хт, у%, ..., у„, имеющие непрерывные частные производные по этим
переменным в некоторой области (т -f- п)-мерного пространства, и пусть в точке
(х°, ..., х°т, у\, ..., у°п) этой области эти функции обршцаются в нуль,
а якобиан ч/ "" . отличен от нуля. Тогда в некоторой прямоугольной
окрестности упомянутой точки система уравнений
I /1 v*i» •■•» хт> Ух* ■••• #n)==U>
V Tn\xv •••» Хт, у у, ..., уп) = О
однозначно разрешима относительно ух, ..., уп, причем функции Уь(х1г ..., хт)
(fe = l, ..., л), образующие решение, непрерывны и имеют непрерывные
частные производные.
Доказательство. Проведем доказательство методом индукции. Для
п = 1 теорема доказана (в этом случае она превращается в теорему
предыдущего пункта). Покажем, что теорема будет верна для любого п, если она
верна для п — 1. Так как якобиан ,. "" . отличен от нуля в точке
д(уг. .... уп)
(ж*. ..., x°m, y9v .... у9п), то одна из частных производных от /„, пусть,
например, ■—■ , отлична от нуля в этой точке, следовательно, в некоторой
прямоугольной окрестности упомянутой точки последнее уравнение системы
однозначно разрешимо относительно уп\
Уп==Ч> Ух1' •••» хт* У\< •••» Уп-х)'
причем ф непрерывна и имеет непрерывные частные производные.
Следовательно, рассматриваемая система уравнений в названной окрестности
ШЫЙатгШ.
§ 20]
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
8<*
равносильна системе
М (•*!» •••» ХШ' Ух> ■••• Уп-U Ф (*!» •••» Хт> Ухг •••• Уn-\)^-=:*^'^
1п-ЛХ» •••• хт, У1 Уп-1* ф(*1»
. Уп — Ф (■*!» •••» хт, У\* •••» Уп-х)»
Ух.
-. Уп-i))—^
в h — 1 первых уравнений которой не входит у„. Индукция будет проведена, если
показать, что в точке (xj х°т, у\ У°п-^
• /=*?" ■••-*—> фо,
o(yt, .-., Уп-t)
ГДе t|)/(X|, ..., Хт, Ух, .... Уп~\) == li(xit ''ч хт, Уи •••• Уп-f
ф(*1 Хт, Ух, ..., */„_,)) (/=1 П— 1).
Имеем (/, ft = l, 2, ..., п — 1)
dtyi _ dfj . dfi дф
dyk~»" "*"
dfn =
дУх'
*|?и-
"дУп-i
.1 <ЭФл-1
^i '"дуп_х
9^.
дУп
дУк ду„ dyk '
5ф| ду>х
д[х_
дУп
дух '"дУп-i
dyx
0
'дУп-*
0
dfx
дУп
д[„
дУп
dyx
dfn-л
dfx dfx
dyn.i dy„
dfn_x dfn_x
dyx
dfn д<р
dyn-i dyn
dfn dq> dfn
dyndyx"' dyndyn_x dyn
где последний определитель получен из предшествующего так: из каждого ft-ro
столбца (k=\, .... п— 1) вычтен я-й столбец, умноженный на -~-. Но диф-
ференцирование по yk уравнения, определяющего ф, дает з-^+ ^-^д^®'
k dfny'1 kdfn
и, следовательно, n-я строка последнего определителя имеет вид -41', .... -—■.
dyx dyn
Таким образом,
}dfn = d(fx, ...,fn)
dyn d(yv,..., yn)
и, следовательно, / Ф 0 в точке {х\, ..., х*т, у\, ..., ^_„), так как
якобиан, стоящий в правой части, отличен от нуля в точке {х\, .... х°т, у\, ...,у%),
что требовалось доказать.

90 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. Ш
20.3. Дифференцирование неявных функций. Пусть f{x, у)
непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой
области. Если в некоторой точке / обращается в нуль, а -^— отлична
от нуля, то в некоторой окрестности названной точки упомянутая
производная остается отличной от нуля и неявная функция у(х),
определяемая в этой окрестности уравнением f(x, у) = 0, в силу
теоремы из 20.1 однозначна и дифференцируема. Дифференцируя
предыдущее соотношение с помощью формулы полной производной,
получим
df
дх
*ду dx '
откуда получаем формулу для производной неявной функции
dy
дх
dx
ду
10
Пусть f(xt yt z) и ф(лг, у, z) непрерывны и имеют непрерывные
частные производные в некоторой области. Если в некоторой точке /
d(f, ф)
и ф обращаются в нуль, а якобиан д ~ г' отличен от нуля, то
в некоторой окрестности названной точки упомянутый якобиан
остается отличным от нуля и неявные функции у(х), г{х), опреде-
„ /.Я*, у, z) = 0,
ляемые в этой окрестности системой уравнений <
{ ф(*, У, z) = 0t
в силу теоремы из 20.2 однозначны и дифференцируемы.
Дифференцируя предыдущие соотношения с помощью формулы полной
производной, получим
df_ . df dy
dx ~т~
dy dx
дф . дф dy .
dx ~* du fir ~
df dz
dz dx
дф dz
= 0,
dy dx ~ dz dx
Откуда, применяя правило Крамера, найдем
= 0.
dy —
dx
df dl
дх dz
d<p дф
dx dz
df df
dy dz
dtp дф
ду дг
dz
dx
df
dy
dtp
¥
df
dy
дф
ду
df
dx
dip
dx~
df
дг
дф
дг
§ 21| ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 91
или
d(f, Ф)
dy
dx
1 /,(*,.
д (х, г) #
d(f, Ф) '
д(у, г)
• ' •» Хяч
dz
dx
Л.
d(f.
d(y,
d(f.
Ф)
X)
Ф)
(2)
d(y, z)
непрерывны и имеют непрерывные частные производные в некоторой
области и если в некоторой точке эти функции обращаются в нуль,
а якобиан д, "" 'п отличен от нуля, то в некоторой окрест-
0 \Уи • • •» Уп)
ности упомянутой точки упомянутый якобиан остается отличным от
нуля и неявные функции yk(xlt ..., хт) (k=lt ..., я),
определяемые в этой окрестности системой уравнений
{/i(xlt ...txm,ylf ...tyn)=z0 (/=1,2, ..., п),
в силу теоремы из 20.2 однозначны, непрерывны и имеют
непрерывные частные производные по xlt ..., хт. Дифференцируя
предыдущие соотношения с помощью формулы полной производной, получим
\ dxj^dy,dxj"Г • • • "Г dlJn дХ] — и»
откуда, применяя правило Крамера и пользуясь обозначениями
якобианов, получим
d(h fn)
°Ук= d{yl yk_lf Xj, yk + l yn) /y'= 1, 2, ..., /П,\ /оч
**l d(f ,fn) [k=\t2 п)Л6)
д(Уг Уп)
§ 21. Геометрические приложения частных производных
21.1. Касательная и нормаль к плоской кривой f(x, у) = 0.
Рассмотрим кривую, определенную уравнением /(лг, дг) = 0, левая
часть которого имеет непрерывные частные производные.
Точка этой кривой называется ординарной, если в ней ^ и —■
не обращаются в нуль одновременно, в противном случае точка
называется особой.
На основании теоремы существования неявной функции в
некоторой окрестности ординарной точки уравнение кривой однозначно
разрешимо либо относительно х, либо относительно у, причем эти
решения непрерывно дифференцируемы.

92 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. III
Учитывая геометрический смысл производной и формулу
производной неявной функции, находим угловой коэффициент касательной
(если |=^о)
д±
. dy_ их
R~~dx~ df »
ду
а затем угловой коэффициент нормали
д1
дх
Следовательно, уравнение касательной к кривой /(х, у) = 0 в точке
(*, У) будет
Y-y = -*j-{X-x)
ду
или
*1ЛГ-*) + |(К-Л = 0. (1)
Уравнение нормали к кривой F(xt у) в точке (jc, у) будет
«Я
ах
или
■ Х — х Y-y
U _ д1
дх ду
(2)
В формулах (1) и (2) X, У обозначают текущие координаты;
х, у обозначают координаты данной ординарной точки кривой.
21.2. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
к пространственной кривой, заданной двумя уравнениями с тремя
переменными. Уравнения касательной к пространственной кривой,
заданной параметрически, имеют вид (см. 11.4)
Х — х Y —У__£ — *
их rfy dz
dl dt dt
ЪаЫНашф,
§ 22] полный дифференциал 93
Если кривая задана системой двух уравнений
/{х, у, *) = 0,
<Р(*. У* г) = 0,
{
то, считая х за параметр и пользуясь выведенными выше формулами
для -£ и -г-, найдем, что уравнения касательной к рассматриваемой
кривой будут (если ' л
или
д(у, г)
Х-х
1
Х-х
dif, Ф)
r-~j
У-У _
<>(Л Ф)
d(x, z)
<?(/. Ф)
d(0. z)
У-У
d(f, ф)
Z—г
<*(/. Ф)
С(/. Ф)
д(у, г)
Z — г-
о П. Ф) ' .
(3)
д(у, г) д(г, х) д(х, у)
Следовательно, уравнением нормальной плоскости к
рассматриваемой кривой будет
d^lX-x) + d^AY--y) + dJ^AZ-z) = 0. (4)
д(у, z)x ' ' d{z, x)v -" ' 0(х, уу ' у '
В формулах (3) и (4) Х, К, Z обозначают текущие координаты;
х,у, £ обозначают координаты данной точки кривой, в которой по крайней
s d(f. Ф) д (Л Ф) ^ (Л Ф) *
мере один из якобианов ... у \, "' *[. -ту—Ц не обращается в нуль.
д(у, г)л a (z, х)' д (х, у) к "* J
§ 22. Полный дифференциал
22.1. Определение полного дифференциала. Пусть дана
непрерывная функция двух переменных и{х, у). Она называется
дифференцируемой или имеющей полный дифференциал в данной
точке х, у (функция предполагается определенной в окрестности
этой точки), если из полного приращения функции в этой точке
и(х-{-Ах, у-\-Ау)— и(лг, у) может быть выделена главная
линейная часть, т. е. такая часть вида ААх-\-ВАу (где А и
В—некоторые числа), что оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего
порядка относительно К(А*)2 + (Ду)1 • Таким образом, и (х, у)
дифференцируема в точке х, у, если существует представление*)
и(х-\-Ах, у-\-Ау)— и{х, у) = ААх-\-ВАу-\-
+ Y(A*. Ay)V(Ax)2 + {Ay)\
у {Ах, Ау)—у О при Да:, Ау~*0.
*) Из этого определения видно, что функция, дифференцируемая в точке
{х, у), будет подавно непрерывной в этой точке.

94 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. III
Тогда (беря Д_у = 0)
и(х-\-Ах, y) — a(xt y) = AAx-\-y{Axt 0)|Д*|;
?<* + **-*-"ЫЛ=А±у{Ах. 0)-^А при Ах-.О,
следовательно, в рассматриваемой точке и (х, у) имеет частную
производную по х, причем g-= А. Аналогично обнаруживается суще-
ствование частной производной по у и равенство ^- = В.
Таким образом, главная линейная часть полного приращения
функции и(х, у) равна ^Ах-\-^Ау. Она называется полным
дифференциалом функции и(х, у) в данной точке; обозначая полный
дифференциал знаком du, а приращения независимых переменных
их и dy, получим формулу
. ди . . ди ,
du=;¥xdx + Fydy.
Аналогично определяется полный дифференциал функции любого
числа переменных.
22.2. Достаточные условия существования полного
дифференциала. Из существования полного дифференциала, как мы видели,
вытекает существование частных производных. Обратное вообще
неверно, т. е. может случиться, что частные производные в точке
существуют, а полного дифференциала в этой точке не существует.
Тем не менее если частные производные существуют в окрестности
рассматриваемой точки и, кроме того, в дайной точке непрерывны,
то в данной точке существует полный дифференциал. В самом деле,
используя формулу Лагранжа, получим
и(х-\-Ах, y-\-Ay) — u{xt y) = [u{x-{-Axt y-{-Ay) —
— и{х, у-\-Ау)]-{-[и{х, у-{-Ау) — и{х, у)] =
= и'х{х + ЬАх,у + Ау)Ах + и'у(х,у-\-\Ау)Ау = [и'х{х,у)+а}Ах-\-
+ [«;(*. 30 + Р]АУ = «;(*. У)Ах-\-и'у{х, у)Ьу + аЬх + $Ау>
где 0<[6, 6а<[1 и а, р*—>0 при Ах, Ау—»-0, так как по условию
частные производные непрерывны в точке (х, у). Но
аАлг -f- рДу
У(Дх)2+(Д^
а1~ЫР1—у® ПРИ Ах, &у—>0, следовательно, и'х(х, у)Ах-\-
-\-и' (х, у)Ау является главной линейной частью полного
приращения и, таким образом, полный дифференциал существует.
ftalaHamrtlb
§ 221 ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 95
Если xk (k=\, ..., п) являются дифференцируемыми функциями
переменных tlt ..., tm в некоторой точке и если и является
дифференцируемой функцией переменных xlt ..., хп в
соответствующей точке, то и будет дифференцируемой функцией переменных
/,, ..., tm в первоначально названной точке, причем
п
du=dudx>+ •••+wndxn=yLpkdxk
(таким образом, выражение полного дифференциала сложной функции
выглядит так, как в случае, когда х„ ..., хп являются
независимыми переменными — свойство инвариантности дифференциального
обозначения!)
Предположим для простоты, что и имеют непрерывные частные
производные по всем xk и все xk имеют непрерывные частные
производные по всем t{; тогда (см. формулу полной производной)
и будет иметь непрерывные частные производные по всем tt и
т т п п т п
/ = 1 ' | = 1 ft=l * ' k—\ к « = 1 ' A = l "
что и требовалось доказать.
22.3. Касательная плоскость к поверхности. Рассмотрим какую-
нибудь поверхность и возьмем на ней точку М (рис. 46).
Плоскость, проходящая через М, называется касательной
плоскостью к рассматриваемой поверхности в точке Ж, если отноше-
ние ~мм ^ при ^>—у^* где ^»— произвольная точка
рассматриваемой поверхности; МХК—перпендикуляр из Мх на взятую
плоскость.
Из определения полного дифференциала непосредственно следует,
что если /{х, у) дифференцируема в точке х, у и если Adx-\-Bdy
есть полный дифференциал функции в точке {х, у), то плоскость
Z—z = A(X—х)-\-В{У—у) будет касательной плоскостью к
поверхности 2=/(х, у) в точке {х, у, z). Следовательно, уравнение
касательной плоскости к поверхности z=/{x, у) в точке {х, у) есть
Из сказанного легко уяснить геометрический смысл полного
дифференциала.

96 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. III
Полагая в уравнении касательной плоскости
Х=х-\-Ах, У=у-{-Ау,
найдем Z—z = -£Az-\-^-Ay, т. е. Z—z=df.
Таким образом, полный дифференциал функции /(х, у) равен
приращению аппликаты касательной плоскости к поверхности
z=/(xt у) в рассматриваемой точке.
Если поверхность задана уравнением F(x, у, 2) = 0 (где F имеет
непрерывные частные производные), то считая z неявной функцией
х, у и дифференцируя это равенство по
х и по у, получим ( если -^-=£0 ]
Рис 46.
dF , dF дг _
дх *~дг дх '
'да
dF
дг дх
дх ~д¥;
дг
dF .dFdz _
ду ' дг ду
dF
дг ду
ду dF '
дг
:0,
dF
Вставляя эти выражения в (1) и умножая на -~-, найдем уравнение
касательной плоскости к поверхности F(xt yt z) = 0 в точке (х, у, z)i
dF, v \ i dF t\r \ i dF . _
(X—x)+ ^-(У—у)-\- ^-(Z-
дх
ду
дг
2Г) = 0.
(2)
Отсюда следует, что уравнения нормали (т. е. перпендикуляра
к касательной плоскости в точке касания) к поверхности F(x, у, z)==0
в точке (xt yt z) имеют вид
А'
Y-y__Z-z
д£
дх
dF_
ду
dF_
дг
(3)
Формулы (2) и (3) имеют силу лишь для ординарных (неособых)
точек поверхности. Точка (л:, yt z) поверхности F{x, у, 2) = 0 на-
я dF dF dF Л
зывается ординарной, если в ней ч—, ^—, ^— не обращаются
одновременно в нуль. Из теоремы 20.2 следует, что в некоторой
окрестности ординарной точки уравнение F(x, yt z) = 0 однозначно
разрешимо относительно одной из координат, причем это решение имеет
непрерывные частные производные.
§ 23] ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 97
§ 23. Экстремумы функций многих переменных
23.1. Безусловные экстремумы. Функция нескольких переменных
имеет минимум {максимум) в данной точке, если ее значение в этой
точке меньше (больше), чем в других достаточно близких
точках. Минимумы и максимумы функции называются ее экстремумами.
Если функция нескольких переменных имеет экстремум в
некоторой точке, то она, очевидно, имеет одноименный экстремум и по
каждому из переменных в этой точке (если зафиксировать другие
переменные), но обратное, вообще говоря, неверно.
Если, кроме того, в данной точке функция дифференцируема, то
она имеет частные производные в этой точке и в силу необходимого
условия экстремума для функции одного переменного все эти
производные в данной точке равны нулю.
Таким образом, необходимое условие экстремума
функции нескольких переменных формулируется так:
Если функция нескольких переменных имеет экстремум в
данной точке и дифференцируема в этой точке, то в этой точке
частные производные по всем переменным равны нулю (или короче,
полный дифференциал в этой точке равен нулю). Обратное, вообще
говоря, неверно.
Точки, в которых все частные производные первого порядка
равны нулю (или короче, точки с нулевым полным дифференциалом),
называются точками стационарности функции.
Таким образом, точки экстремума являются частными случаями
точек стационарности.
Можно указать практическое правило нахождения экстремумов
функции многих переменных:
1) находим частные производные функции п переменных по всем
переменным и приравниваем их нулю;
2) решаем получающуюся систему п уравнений с п неизвестными
и находим, таким образом, все точки стационарности;
3) для каждой из точек стационарности отдельно решаем вопрос
о наличии в ней экстремума *).
23.2. Условные экстремумы. Пусть имеем функцию нескольких
переменных, причем эти переменные связаны несколькими
зависимостями, число которых меньше числа переменных. Экстремумы функций
от переменных, связанных некоторыми зависимостями, называются
условными экстремумами.
*) Заметим, что в простых задачах это часто удается делать без
использования основных теорем о достаточных условиях экстремума (о таких
теоремах для случая функции двух переменных см. § 24).
4 П. И. Романовский

{
98 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. III
Выведем необходимое условие условного экстремума. Пусть,
например, имеем функцию /(*, уу z)% где переменные связаны двумя
зависимостями:
Ф(*. 3>, *) = О,
Ч>(*. у, z) = 0,
и пусть / имеет в данной точке условный экстремум.
При этом предположим, что в окрестности этой точки /, ф, ф
имеют непрерывные частные производные и в данной точке хотя бы
один из якобианов - у' у , ч/' у , .у' у отличен от нуля. Пусть,
д(у, г) д{г, х) • д(х, у) у *
например, д л' отличен от нуля. Считая х аргументом, будем
рассматривать у и z как неявные функции х, тогда наша функция
/(#, у, z) становится функцией одного переменного х.
Необходимое условие экстремума показывает, что в
рассматриваемой точке
dxj \ » j* i дх , dydx*dzdx
Дифференцируя почленно уравнения, связывающие х и у, придем
к аналогичным равенствам
дх ~*ду dx~*~ dzdx '
££ _j_ ^ f!^ i ctydz n
дх *ду dx*dz dx *
Умножая последние два равенства на неопределенные множители Я и и,
и складывая почленно все три равенства, получим
dl + Xdr+^dx-^r\d^ + XdJ + ^)dx +
l\dz^"dz ^^дг J dx—V-
Подберем Я и [1 так, чтобы выражения в скобках равнялись
нулю, что возможно, так как определителем получающейся системы
уравнений относительно Я, и, является якобиан у' ^ » который по
условию отличен от нуля в рассматриваемой точке; тогда окажутся
выполненными три равенства:
§ 23] экстремумы функций многих переменных УУ
Замечая, что левые части этих трех равенств являются частными
производными от /-l-X(p-J-fi,iJ>, приходим к следующему заключению:
в точке условного экстремума функции / при надлежащем выборе
постоянных Яиц частные производные от /~\- Яф -J- ид|> по всем
трем переменным должны быть равны нулю.
Аналогичные выкладки можно провести для функции п
переменных, связанных т зависимостями (где т<^п).
Таким образом, приходим к необходимому условию
условного экстремума.
Если функция f(xlt x2, .... хп), где переменные связаны
зависимостями
{ФД*,, хг, .... хп) = 0,
фД*,. *,• •■•» Х,г) = 0>
Фст(*1>*»> ••- ^п)^0.
имеет условный экстремум в рассматриваемой точке, то в этой точке
при надлежащем выборе постоянных множителей Я,, Я2, ..., Ял
частные производные выражения/-^ Я,ф, -|- Я,ф£-|— • *Н"" ^яФяп0 всем п
переменным xlt x2, ..., хп должны быть равны нулю*).
Множители Я,, Я2, ..., Яст называются множителями Лагранжа.
Для отыскания условных экстремумов функции / от л
переменных, связанных т зависимостями
« (р«==0' (т<«).
поступают так:
1) Частные производные выражения
по всем п переменным приравниваем нулю. Тогда эти п равенств
вместе с т условиями образуют систему п-\-т уравнений с п-\-т
неизвестными
•*"!» ^2' * * * » ХП1 ^1> ^"2» •*•» ^"т )*
*) При этом предполагается, что /, <ри .. .,фст имеют непрерывные
частные производные и в рассматриваемой точке хотя бы один из якобианов
функций фп .... фда по каким-нибудь т из переменных хи .... х„ отличен от
нуля.
**) Эта же система уравнений может быть получена, если приравнять
нулю частные производные от функции / -|- Я^ -\-... -f- Ялфш по всем
неизвестным xlt xz, • •., хп, Ях, Яа, ..., "кт.
4*

100 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. Ш
2) Решаем эту систему уравнений.
3) Для каждой полученной системы значений
решаем отдельно вопрос о наличии в ней условного экстремума.
Пример. Из всех прямоугольников с данной площадью S найти
прямоугольник с наименьшим периметром (рис. 47).
Здесь дело сводится к отысканию минимума
функции двух переменных
f(x, у) — х-\-у,
связанных одной зависимостью xy = S. Составив
выражение
х + У + Ь(ху — S),
приравняем нулю его частные производные по х, у,
и, учитывая еще соотношение между х, у, получим систему трех
уравнений с тремя неизвестными х, у, X
1+^ = 0.
_ xy = S,
откуда x = y = \rS, т. е. искомый прямоугольник является квадратом.
{
§ 24. Частные производные высших порядков
24.1. Определения и обозначения. Частные производные
высших порядков представляют собой результат последовательного
частного дифференцирования. Порядком частной производной называется
число этих дифференцирований.
Обозначения:
дх \дх)~дхг~ J**—/**—/*** дх \ду)-~дудх~~ /ух~/у^
l(dl\—^L—f"—f • E.(dl\—dJ.— f'—f —f
ду \дх)~дхду~ Jxy—'xv* ду \ду)~дуг~~ Jyy—'yy—Jy*-
Вообще, если имеем функцию нескольких переменных jc,, хг, ...,хп
и если m = i1-\-i2-\-...-\-in, где слагаемые суть целые
неотрицательные числа, то
д^дх'* ... дх?»
обозначают, что / продифференцирована £, раз по хх, затем
полученное выражение продифференцировано i2 раз по л:2 и т. д.
24.2. Теорема о независимости от последовательности
дифференцирований. Частные производные высших порядков не зависят
§ 24]
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
101
от последовательности дифференцирований, а зависят лишь от
того, по каким переменным и сколько раз по каждому
произведено дифференцирование (при этом предполагается, что всё
встречающиеся частные производные непрерывны).
Учитывая, что всякая перестановка из конечного числа элементов
может быть получена конечным числом перемен мест двух соседних
элементов, заключаем, что вопрос сводится к доказательству
равенства
d*f __ а2/
дх ду ду дх
в предположении, что обе части непрерывны в рассматриваемой точке.
Доказательство. Составим вторую разность функции f(x, у)
в точке (х, у) (рис. 48), т. е. выражение
А'/=/(*, J)+/(* + *. .У+ *)— /(*.* + *) — f{x + hty).
Считая временно у постоянным, рассмотрим функцию <р(лг) =
=/(#, y-\-k)—f{x, у) и найдем ее производную
ф' (*) =/; (*, y+*)—fx (*. у)-
Легко заметить, что А8/= <р (л: -\- И) — ф(*)«
[x+h,y+k)
b\
О
(а*0Ь,у*6,Ю
l±+Bzb,y+63h)
X
Рис. 48.
Рис. 49.
Далее, применяя два раза формулу Лагранжа, получим
A>f=y'(x + bh)h = [f'x(x + bh,y-\-k) —fx(x-}-bh,y)]h =
" ==/^ (* + №.* + *. *)** (О<0,61<1).
Меняя роли переменных л:, у, таким же образом получим
**/=/;* (*+м, у+ьшк)1*
(0<6s,t),<1) (Рис- 49)-
Приравнивая оба выражения для А8/ и деля полученное равенство
на Л/г, находим
Г (х+ел, у+М)=/;х {х+\н, у+о,*).

102 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. III
Переходя к пределу при л, k—»-0 и учитывая непрерывность
рассматриваемых частных производных, получим в пределе
что и требовалось доказать.
Если и (х, у) имеет непрерывные частные производные до л-го
порядка включительно в некоторой области и x(t), у (t)— л раз
дифференцируемые функции переменного t (системы значений их
входят в область определения а), то u{x{t), y(t)) будет л раз
дифференцируемой функцией переменного t. Это непосредственно
проверяется методом индукции с помощью формулы полной производной:
аг=«л* W' у wi *' w+иу Iх w- у (<)] / (0.
Вообще, если u(xlt ...yx ) имеют непрерывные частные
производные до л-го порядка включительно в некоторой области и
дгД^, ...,/)(/=!, ...,р) имеют непрерывные частные
производные до л-го порядка включительно в некоторой области переменных
tl% ...,tg (системы значений xt должны входить в область
определения и), то сложная функция переменных *,, ..., t
будет иметь непрерывные частные производные до л-го порядка
включительно.
24.3. Формула Тейлора для функции двух переменных. Пусть f(x, у)
имеет в своей области определения непрерывные частные производные до п-го
порядка включительно. Зафиксировав какую-нибудь точку х, у и взяв
достаточно малые А, к, составим вспомогательную функцию
<p(t)=f(x + th, y + tk).
С помощью формулы полной производной найдем выражения для
производных этой вспомогательной функции
Ф/Г(0 = Й-(...)Л + /1У(...)*] h + \fyx(...)h+fyA.'.)k]k =
=fi.(...)Л*+^*у(...) Л*+/у.(.••)**•
Учитывая теорему о независимости частных производных от
последовательности дифференцирований и замечая, что коэффициенты в полученных
выражениях образуются, как в биноме Ньютона по закону паскалевского
треугольника, заключаем, что вообще при т^п
ф<« <0 = ЙЙ(...)*ш + rn№_Xy{...)hm-*k + m{™-l)fxn_tyt(...)X
1=0
§ 24] ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
103
или
ФвИ)(0=(^Л + 1*у)/(х + М, y + tk).
где знак символической т-й степени
обозначает операцию
У ст ° . hm-iki.
^ т дхт~1ду1
1 = 0 v
По формуле Тейлора находим
ф(1)=ф(0)+ф:(0)+^ф^о) + ... + (_4^^
(где 0 < в < 1), что после замены ф и ее производных их выражениями и
приводит к искомой формуле Тейлора для функции двух переменных
/(* + А. » + *) = /<*. 0 + (sA+5£*)'<x'0 +
+;^Е*+£Т^+1л-|'+1*) (1>
(где 0<8<1). В частности, при п = 2 получим
/(* + *.* + *) = /(*. *) + £<*, *)*+/,<*, У)* +
+ £(* + •*.* + •*)*"]. (2)
24.4. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Пусть
f(x,y) — функция двух переменных, имеющая в своей области определения
непрерывные частные производные первого и второго порядков. Мы видели,
что точки экстремумов функции находятся среди ее точек стационарности.
Найдем теперь достаточные условия для того, чтобы точка стационарности
была точкой экстремума.
Пусть (х, у) — точка стационарности функции /, т. е. точка, в которой
^ = -^-=0. Формула (2) дает
/(*+*. ir+*)-/(«.*)=4-(SAt+2s^A*+^*i)L«./+^-
Обозначим значения -^-j, - , -~ в точке (х, у) соответственно через А,
В, С, а значения этих же производных в точке {х-\-Ш,
у-{-Щ—соответственно через Alt Blt Cv Тогда Лд -*■ А, Вх -*- В, Сх-+ С при h, k -*• 0.

104 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. Ill
Полагая (рис. 50) /j = rcos<p; A=rsin<p, найдем
/ (х + h, у + к) - f(x, у) =1 (Л,Л2 + 2B,hk -f C.fc2) =
= -о"r* (Aicos* Ф + 2Bicos Ф sin Ф -|- C, sin8 Ф),
следовательно, при А ф 0 (тогда Л, ?£ 0 при достаточно малых г) имеем
1 (Л, cos ф -|- Bv sin Ф)* + (AtCt — В*) sin2 ф
f(x + h, y + k)-f{x, У) = -£Г*
Л,
• (3)
Если АС — В* > 0 (тогда обязательно Л Ф 0), то при г > 0 достаточно
малом Л,С, — Б* > 0; Л, имеет знак числа Л и выражение
(Л, cos ф + fi, sin ф)8 + M,<?i — Si) si"8 Ф
при всяком ф положительно (второе слагаемое может обратиться в нуль
только при 81пф==0, а в этом случае первое положительно в силу Л, рО).
ВЬ,у*0Ю
М(х,у)
Рис. 50.
Следовательно, при г>0 достаточно малом и любом ф выражение (3) имеет
одинаковый знак с Л. Таким образом, доказана следующая
Теорема (достаточное условие экстремума функций двух переменных)
Если f(x, у) имеет непрерывные частные производные первого и второго
порядков и если в некоторой точке
дх~ ' ду ' дх*ду* \дхду)
>0.
то в этой точке функция f(x, у) имеет экстремум:
минимум, если
максимум, если
дх*
Покажем еще, что в случае АС — В2 < 0 в рассматриваемой точке
функция не имеет экстремума. При Л Ф 0 можно воспользоваться выражением (3).
При ф = 0 выражение (Л, cos Ф + Bl sin ф)2 -{- КАХС^ — В\ )sin2 ф стремится к
Л* > 0, когда г —+■ 0; при ф = ф0, где ф0 корень уравнения Л cos ф0 -\- В sin ф0=0,
упомянутое выражение стремится к (АС — В2) sin2 ф0 < 0, когда г—*0;
наконец, Аг при г достаточно малом и любом ф имеет знак числа Л. Таким об-
ftalatlamTik
§ 24J ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 105
разом, выражение (3) при как угодно малых г бывает как положительным,
так и отрицательным. Таким оОразом, доказано, что при АС — В2 < 0, Л Ф 0
функция не имеет экстремума в данной точке. При С ф 0 приходим к такому
же выводу, если поменяем роли х и у. При Л = С = 0 должны иметь В Ф 0,
но Л, cos2 ф-f-2В, cos ф sin ф-|-Q sin2 ф при ф = -^-иф=^- стремится
соответственно к В и — В, когда г —у 0, и поэтому при как угодно малых г
бывает как положительным, так и отрицательным, следовательно, функция
не имеет экстремума в данной точке. Таким образом, доказана следующая
Теорема (достаточное условие отсутствия экстремума). Если f {х, у)
имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков и если
в некоторой точке
дх*дуг \дхду) ^ '
то в этой точке функция не имеет экстремума.
Заметим еще, что в случае АС — Въ = 0 экстремум может быть и может
не быть. В этом случае исследование вопроса об экстремуме сильно
осложняется.

ГЛАВА IV
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 25. Определенный интеграл как предел суммы
25.1. Нижние и верхние интегральные суммы. Пусть /(х) —
непрерывная функция на сегменте [а, Ь\. Разобьем сегмент [а, Ь] на
конечное число сегментов. Пусть б,- — длина /-Й части этого
разбиения D, т{ и Mt — соответственно наименьшее и наибольшее
значения /(х) на этой части (рис. 51).
Величины
п
5 = тД + mzbs -]- ... -f mfii + ... + «* А = 2 «А»
1 = 1
называются соответственно нижней интегральной суммой и верхней
интегральной суммой /(х) для рассматриваемого разбиения D
сегмента [а, Ь].
Очевидно, s^S.
Теорема. При добавлении новых точек деления нижние суммы
не уменьшаются, а верхние не увеличиваются.
Доказательство. Пусть сначала добавлена одна новая точка
деления, попадающая на k-ю часть. Тогда последняя разобьется на
h
л 1 1 1 1 i 1 »
jz a
Рис. 51.
две части с длинами б* и b"k (рис. 52). Пуст ь максимумы f(x) на
этих частях будут M'k и Mj. Тогда Жд, lrf'k^Mk (ибо максимум
на части сегмента не превышает максимума на целом сегменте).
§ 25] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММЫ 107
°к-
• 6'к > I « 5Ц-
При добавлении упомянутой новой точки деления все слагаемые,
составляющие верхние интегральные суммы, кроме Mkbk, остаются
без изменения, вместо МкЬк появляются два новых слагаемых
M'kb'k и М'ьЪ'ь.
М'ьЪ'ь + NCA ^ Mkb'k + Mkb''k = Mk (b'k + bl) = Mkbk.
Отсюда видно, что при добавлении одной новой точки деления
верхняя интегральная сумма не увеличивается, но добавление,
нескольких новых точек деления равносильно
последовательному добавлению по одной новой
точке деления. Этим доказано неувеличение
верхней интегральной суммы при добавлении
нескольких новых точек деления. р _„
Аналогично доказывается, что при
добавлении нескольких новых точек деления нижняя интегральная сумма
не уменьшается.
25.2. Определенный интеграл от непрерывной функции как
общий предел нижних и верхних интегральных сумм. Пусть /(х) —
непрерывная функция на сегменте [а, Ь); тогда она равномерно
непрерывна на этом сегменте (см. 4.2), поэтому для любого е]>0
найдется такое т)>0, что если х' и х" принадлежат сегменту [а, Ь\
и удовлетворяют неравенству | х"— х' | <^ rj, то |/(*") —/(#') |<[ j-^— .
Отсюда следует, что если длины всех частных сегментов б,- какого-
нибудь разбиения D сегмента [а, Ь] меньше rj, то все Mt — т{ <^ ~— и
п
1=1 1 = 1
Рассмотрим бесконечную последовательность разбиений D„ D2,
Qt i f , j I £>„..., DB ... сегмента [а, Ь], где
• ; ; каждое разбиение получается из
Dz\ у + Т t ♦ ' предыдущего путем добавления но-
!•! ' i вых точек деления, и такую, что
^?' ••■••■* •' длина наибольшего частного сегмента
разбиения Dn стремится к нулю при
р 50 п—»-оо (рис. 53). Пусть нижние и
верхние интегральные суммы для
этих разбиений будут соответственно s,, s2, st, ...,£,, S2, 5,,...
На основании изложенного имеем
s1<s8^s3<..., $„<£„,
S1>S1>S,^...1 S„ —s„->0,
откуда следует (см. 2.2), что sn и Sn стремятся к общему пределу /.

108 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Легко видеть, что предел J не зависит от выбора
последовательности разбиений Dn упомянутого вида. В самом деле, возьмем две
такие последовательности разбиений D™ и £>(п2) (рис. 54 и 55) с
интегральными суммами si,0, S™ и s?v, Sl*\ составим для каждого п
tf/"i —9 9 £}jz,\ Т t I
Z?'"i 9 9 \ Diz}\ » т t ♦ i
/.t iii ,„, i i ii
Djtix—ь—Ъ Ь k-^— d(3z)\ * * • * * '
Рис. 54. Рис. 55.
разбиение Dn, в котором точками деления будут точки деления обоих
разбиений D?' и D£2) (рис. 56).
Обозначая соответствующие разбиению Dn интегральные суммы
через sn и Sn, будем иметь
8?><8
■B<S.<Si4; s|f)<sn<S„<S|f>.
Следовательно, общий предел сумм sn и Sn будет одновременно как
общим пределом сумм s%\ S„\ так и общим пределом сумм в!?
и SIP.
Так как при составлении последовательностей разбиений
упомянутого выше вида можно было исходить из любого разбиения £>,
то для любого разбиения D имеем
Dt >■■■ т ■ ■*? ■ 9 t ' s^Js^S и, следовательно, s n S отли-
• ! 1 ' ' чаются от J не более чем на 5 — s, по-
^-2' J ?j | ' | ! этому из сказанного выше о величине
j.l-oi ii 6« 4 <Ь-о-4—I S — s заключаем, что для всякого е^>0
найдется такое rj ^> 0, что для всякого
"" "" "" разбиения D сегмента [а, Ь\ на частные
Рис 56. сегменты с длинами <^tj числа s к S
отличаются от J менее чем на е.
Отсюда видно, что если Dlt Dz, ..., Dn, ... есть любая такая
последовательность разбиений сегмента [а, Ь\, что длина
наибольшего частного сегмента разбиения Dn стремится к нулю (точки
деления каждого разбиения могут выбираться независимо от точек
деления предшествующего разбиения), то нижняя и верхняя
интегральные суммы sn и Sn для разбиения Dn стремятся к J.
Итак, общий предел нижних и верхних интегральных сумм не
зависит от выбора последовательности разбиений.
Упомянутый общий предел J нижних и верхних интегральных
сумм называется определенным интегралом от данной непрерывной
§ 251 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММЫ 109
функции f{x) на сегменте [а, Ь] и обозначается
ь
}f{x)dx.
25.3. Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть
f{x) ^0 на [а, Ь\. Верхняя интегральная сумма геометрически
представляется как площадь ступенчатой фигуры (рис. 57), ограниченной
осью Ох, прямыми х = а, х~Ь и ступенчатой ломаной, лежащей
не ниже графика функции.
Нижняя интегральная сумма геометрически представляется как
площадь ступенчатой фигуры (рис. 58), ограниченной прямыми л; = а,
У
0
а
/
h ~х~
О
а
Рис. 57.
Рис. 58.
х = Ь, осью Ох и ступенчатой ломаной, лежащей не выше графика
функции /(х).
Следовательно, площадь J нормальной области (которую
называют также криволинейной трапецией), т. е. фигуры, ограниченной
осью Ох, прямыми х = а, х = Ь и графиком функции f(x),
заключена между нижней и верхней интегральными суммами функции /(х)
при любом разбиении D сегмента [а, Ь].
Отсюда следует, что общий предел нижних и верхних интегрзль-
ных сумм, о которых говорилось выше, равен J.
Таким образом, приходим к геометрическому смыслу
определенного интеграла от неотрицательной функции.
ь
Если /{х)^0 на [а, Ь], то \/(x)dx равен площади нормальной
а
области.
25.4. Определенный интеграл от непрерывной функции как
предел интегральных сумм. Пусть f(x) — непрерывная функция
на [а, Ь]. Рассмотрим какое-нибудь разбиение D сегмента [а, Ь\ на
частные сегменты с длинами bv 62, ..., 6П (рис. 59).

110 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Пусть £,, £г, ..., £п — точки, произвольно выбранные на
рассматриваемых частных сегментах. Имеем (где т( и Mt—наименьшее
и наибольшее значения /(х) на i-й части):
п
2 «А < S/(ЕЛ ^ < S >ид.
^=i i=i i=i
п
Суммы вида 2/(ii)^i называются интегральными суммами
i'=i
функции /(х) для разбиения D. Мы видим, что они заключены
А . .'Зг. , __А
■<—=*-
■<■ »-
Рис. 59.
между нижней и верхней интегральными суммами функции f(x) для
того же разбиения D. Так как нижние и верхние интегральные суммы
ь
стремятся к }f{x)dx при неограниченном уменьшении длин частных
а
интервалов, то к этому же пределу стремятся и промежуточные суммы
2 ЛЬ) *,-.
1=1
Таким образом,
\/{x)dx = lim^/(ll)6i,
t=i
когда наибольшее из чисел б,- стремится к нулю. В частности, в
качестве £j можно брать левые концы частных сегментов.
| 1 т—\ • 1 » I ш | 1
Рис. 60.
Обозначая точки деления через x-t (и меняя нумерацию
промежуточных точек, см. рис. 60), получим
\ f{x) dx = lim 2 /(Ei) Д*|1 гДе &xi = xi+i — xi-
В частности, можно полагать |/==^.
§ 2^1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММЫ Щ
Если о^>^, то полагают
Ь а
^f{x)dx = —^f(x)dx.
а Ъ
ь
Если а = Ь, то полагают ^f(x)dx = 0.
а
26.6. Простейшие свойства определенного интеграла. 1) При
перестановке пределов интеграции интеграл лишь изменяет свой знак-
ь а
lf{x)dx = — ^f(x)dx.
а ь
2) Если отрезок интегрирования [о, Ь] разбит на несколько
отрезков, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его
частям. Например, при а<^с<Ь (рис. 61)
Ь щ, с Ъ
lf(x)dx = lf(x)dx-\-\f(x)dx.
а а с
Это непосредственно следует из определения интеграла.
+
а с Ь
Рис. 61.
3) Для любой тройки чисел а, Ь, с на интервале непрерывности
f(x) имеем
Ь с ь
$ /(х) dx=^ /(x) dx-\- $/(*) dxt
а а с
что непосредственно проверяется.
4) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла. Действительно,
Г
J k/(x)dx=Um^kf(xi)Axi = k\im^f{xi) AXi = k \f(x)dx.
5) Определенный интеграл суммы равен сумме определенных
интегралов слагаемых. В самом деле,
ь
$ l/(x) + <р (*)] dx = limф [f(Xi) + Ф {х,)] Axt =
ь ь
а п

112 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Примечание. Из геометрического смысла определенного интеграла
и свойства 2) следует, что если 1(х) на [а, Ь] несколько раз меняет знак, то
ь
\ l(x)dx равен алгебраической сумме площадей фигур, ограниченных линиями
а
у = 0; y=l(x); x=za; x=b, причем площади фигур, лежащих выше (ниже)
оси Ох, берут со знаком -J-(—).
25.6. Примеры непосредственного вычисления определенного
интеграла.
ь
Пример 1. Вычислить \ xdx.
а
Для составления интегральной суммы S разбиваем сегмент [а, . Ь] на
Ч Ь
а х, Xz Х3 Х„-г О.
Рис. 62.
равные части, т. е. берем точки деления по закону арифметической
прогрессии (рис. 62).
Тогда
S = a(Xl — fl)-f-x,(x2 — x,)-f-... -f-*„_i (b — xn_1) =
b — a , . . . b — aa-\-xn ,
= —£- (a + «i + ...+*B-i) = —JT 2 n =
_(b-fl)(o-f^.,) (b-a){a + b)_b*-a*
— —2 2 2 *
Следовательно,
Ьг — аг
xdx = —к—.
5-
a
Ь
Cdx
Пример 2. Вычислить \ — (где 0 < а < Ъ).
а
Для составления интегральной суммы S разбиваем сегмент [в, Ь] на части,
Н f » Ь- I
О a- xf .x2 Xti-i
Рис. 63.
ъ
беря точки деления (рис. 63) по закону геометрической прогрессии (пусть
ц — ее знаменатель). Тогда
S=z-i(JcI-fl) + 4-(^-^)H \-—Ф-хп_1) =
a *i лп-1
= — (aq~a)-{-—{xlq — xl)-] \-~— (xn-xQ — *n-i) =
а Хъ хп-\
= (?- 1)-Н<7-1)+---+(«:-1> = п1«-1)*
п раз
§ 25] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММЫ ИЗ
Для вычисления предела S заметим, что b = aqn:
... . . In b — lna
In b = \x\a-\-n\T\ q, n = j -.
Следовательно,
In 6 - Im» Jb gpj
\nq ^ ' a \nq
При п-уоо имеем q-y\, и наибольшая из длин частных интервалов
стремится к нулю. Но по правилу Лопиталя
lim — = lim -р = Iim q=l.
Я
Следовательно, переходя к пределу в выражении для S, получим
ь
!
dx . Ь
— = In —.
х а
а
Из этих примеров легко понять, что непосредственное вычисление
определенного интеграла затруднительно в связи с отсутствием общих
правил вычисления интегральных сумм.
25.7. Обобщенные интегральные суммы. Пусть F (и, v) — непрерывная
функция переменных и и v, и пусть и (х) и v (х) — непрерывные функции от х
на [а, Ь]. Тогда F (и (х), v (x)) будет непрерывной
функцией от х на [а, Ь].
Разбив сегмент [а, Ь] на части с длинами б,- и взяв
на каждой части произвольные точки £,- и rj,-, назовем
2/ЧИ&). »(ч,-)]*«
и
обобщенной интегральной суммой функции F {и (х), v (x))
для рассматриваемого разбиения.
При £/ = »1/ она обращается в обыкновенную
интегральную сумму. Покажем, что предел обобщенных инте- Рис- 64.
тральных сумм совпадает с пределом обыкновенных
интегральных сумм. Для этого достаточно показать, что разность между
обобщенной и обыкновенной интегральными суммами стремится к нулю (при
стремлении к нулю наибольшего из б,-). J
Пусть М таково, что на [а, Ь]
i»(*> и
Непрерывная функция F(и, г) равномерно непрерывна на квадрате |u|^Af,
|и|^М (рис. 64) (см. 19.2). Следовательно, для всякого е>0 найдется
такое tj, что при \Ди | < rj, | Av |< г) будем иметь
\AF(u, v)\<e.
Но и(х) и v(x) равномерно непрерывны на [а, Ь\, следовательно, найдется
такое б > 0, что при | Ах | < б будем иметь
\Аи(х)\\
\&v(x)\j<4'

П4 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Если теперь разбиение сегмента [а, Ь] таково, что все в,<в, то, взяв
на каждом частном сегменте какие-либо числа £,-, т),-, £,• (Рис- 65), найдем, что
I «<£/)-««/> К Ч.
\vW-v (£/)|<т).
а тогда
IF (и (1,). v Ш) -F(u (£,-), v (С,)) | < е,
и, следовательно,
12 F (и (£,•), v (г,,)) б,- - 2 F (и (£,), « (М)в| I < е (Ь - а),
1 i
что как угодно мало, если е достаточно мало, что и требовалось доказать.
Итак,
ь
^F(u (х), v (х)) dx = lim 2 F (и (£,), v (tj,-)) в/
a
при стремлении'к нулю наибольшего из б,- (рис. 66). Таким образом,
определенные интегралы названного вида являются пределами обобщенных интег-
'' -- | , S< , | ■ *г ■ I — i-
I 1 1—1—I 1—L
—t
Рис. 65. Рис. 66.
ральных сумм. Аналогичное равенство справедливо, когда число
промежуточных аргументов больше двух.
§ 26. Теоремы о среднем для определенного интеграла
и определенный интеграл с переменным верхним пределом
26.1. Предварительные замечания.
1) \ dx = lim 2^ 8,- = Ь — а.
i
ъ
2) Если на [а, Ь\ -ф(л;)>0, то §\p(x)dx^zO.
а
Действительно, интегральные суммы ^ 0, поэтому их предел ^ 0.
ь
Отсюда следует, что если на [а, Ь] /(х)^ц>(х), то ]/(x)dx^
а
Ь
«^ ^ ф (x)dx.
а ь ь ъ
В самом деле, \ ф (х) dx — J f(x) dx=) [ф (х) —/ (*)] dx ^ 0,
a a a
так как на [a, b\ ф(д;)—/(a;)^0.
§ 26J ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 115
3) Если на [a, b\ tj? (х) ^ 0, но не тождественно равно нулю, то
ъ
$\j)(je)d*>0.
а
Действительно, для некоторого х0 *р(х0)^0, поэтому по
причине непрерывности на некотором сегменте [a, P], содержащем x0J
i|? (jc) ^ с = ■ ^ , а значит, в силу 1) и 2),
* р в
J -ф(л;)йГд;^ ^-ф(д;)^д;^ ^cdx = c($ — a)>0.
a a a
Отсюда следует, что если на [a, b] /(jc)^i|)(jt;), но не равны тож-
b b
дественно, то ^ f(x) dx <^ V ф (х) dx.
а а
Ь Ь Ь
В самом деле, ^q>{x)dx—J / (х) dx = J [ф (х)—f(x)] dx ]> 0,
a a a
так как на [a, £] ф(д:)—f(x)^0, но не тождественно равна нулю.
Перейдем к выводу обобщенной теоремы о среднем.
Пусть f(x) и Ц>(х) — непрерывные функции на [a, b], причем
4>{x)^s0 (но не тождественно равна нулю), т, М — наименьшее и
наибольшее значения f(x) на [a, b]. Тогда для всех х на [a, b\
m</(jc)<M,
откуда, учитывая, что ф (х) ^ 0,
mq> (x) ^ f(x) ф (jc) ^ Жф (jc).
Применяя свойство 2) и правило вынесения постоянного множителя
за знак интеграла, имеем
ъ ъ ь
т J ф (х) dx ^ J f(x) ф {х) dx < Ж J ф (jc) dx,
ее a
Ь
J F (*) Ф (ж) «** г.
т*^ <ж(ибо J ф(х)Лс>о).

116 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ГЛ. IV
Но непрерывная функция f(x) принимает на [а, Ь\ все значения,
лежащие между т и М, следовательно,
ь
$/(x)q>(x)d*
Ч =/Ш
$<р(*)
dx
для некоторой точки £ на [а, Ь].
Таким образом, приходим к формуле
ъ ь
$f(x)q>(x)dx=fa)l<f>(x)dxt
а а
где | — некоторая точка на [а, Ь\.
Если ф(л:)<:0, то, применяя предыдущую формулу к /(х) и
—ф (х) и умножая затем на —1, получим такую же формулу для /(х)
и <р(*).
Таким образом, доказана
Обобщенная теорема о среднем. Если /(х) непрерывна
на [а, Ь], Ф (х) непрерывна на [а, Ь] и не меняет на нем знака, то
ь ь
$f{x)q>(x)dx=f{1-) J 4>(x)dx, (1)
а -а
где £ лежит на [а, Ь].
При ф (х) = 1 получим обычную теорему о среднем
ь ь
lf(x)dx =/(!•) J dx =/(£)(* —в),
а а
Ъ
\fix)dx=f£){b-a). (2)
а
Эта формула позволяет оценить величину интеграла, если известно,
в каких границах лежат значения функции.
ь
Отношение ° , __ , равное по теореме о среднем значению
функции f(x) в некоторой точке сегмента [а, Ь], называется средним
значением функции f(x) на [а, Ь].
26.2. Оценка приближения интегральными суммами. Пусть / (х) —
непрерывная функция на сегменте [а, Ь] и, следовательно, равномерно непрерывная
ЪаМНаитЬ
§ 26J ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА И 7
на нем. Поэтому для любого е > G найдется такое г\ > 0, что при | Ах | < т)
будем иметь | Д/ (х) | < е. Возьмем интегральную сумму S функции / (х) для
, $i *
Рис. 67.
какого-нибудь разбиения [а, Ь] на части с длинами, меньшими т), и оценим
ь
величину разности между S и \f(x)dx. Пусть длины частных интервалов
а
будут б,- (рис. 67). Имеем (используя в выкладках теорему о среднем)
$/(x)dx=2 J /<*)<** =2 t№(xi-xl_l)=yi /(*],)*,•;
b
\S- $/(x)dx| = |J U (h) - f W] AiК
<2 l/<6d-/tai)l*/<«2 **=•<*- c),
/=i i=i
ибо 1 f (£,) — / (П/) I < 8, так как j & — щ |< tj-
Итак, имеем искомую оценку:
*
\S-^f{x)dx\<e{b-a),
а
если только длины частичных интервалов разбиения меньше т].
В частности, если / (х) дифференцируема на [а, Ь], то из формулы Лагранжа
Д/(х) = /' (x-f-OA.*) Дх (где 0<6<1) следует, что для любого е>0 можно
6
положить к] = jt , где Л! — максимум модуля /' (х) на \а, Ь].
26.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Пусть f(x) — непрерывная функция на [а, Ь]. Положим
X

118 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Докажем существование производной от F{x). Имеем, используя
простейшие свойства определенного интеграла и теорему о среднем,
дг-(-Дх * х
F{x-\-(±x) — F{x) = $ f{fidt—[№dt =
а а
к+Ьх
= J fifidt=f{x + bbx)tix (0<6<1),
X
откуда, учитывая непрерывность f{x),
Ol+^i^W ===/(*+ 6Д*)-*/(*) при Д*-+0,
Г (jc) ==/(*).
Итак,
X
а
Таким образом, доказана следующая
Теорема. Производная определенного интеграла с переменным
верхним пределом равна подынтегральной функции, взятой для
верхнего предела.
§ 27. Неопределенный интеграл. Связь между определенным
и неопределенным интегралами
27.1. Первообразная. Пусть f(x) — какая-нибудь функция,
определенная на некотором интервале. Первообразной для f(x) называется
всякая такая функция F(x), производная которой есть f(x):
Основная теорема интегрального исчисления.
Всякая непрерывная функция имеет первообразную.
X
В самом деле, \/(t)dt по доказанному (см. 26.3) является одной
а
из первообразных для f(x).
Очевидно, что если F(x) есть одна из первообразных для /(#),
то F(x)-{-C также будет первообразной. Возникает вопрос, будет ли
всякая первообразная для f(x) записываться в виде F{x)-\-C.
Лемма. Если производная некоторой функции тождественно
равна нулю, то эта функция является постоянной.
§ 27J НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 119
Доказательство. Пусть Ф'(х) = 0 на рассматриваемом
интервале. Тогда, если хъ, хг — любые две точки этого интервала
(рис. 68), на основании теоремы Лагранжа имеем:
Ф(х2) — Ф(х1) = Ф'&)(хг—х1) = 0 (x2 — Xl) = 0t
откуда ф(л;1) = ф(л;2), т. е. Ф(х) равна постоянной, что и
требовалось доказать.
Следствие. Если две функции имеют одинаковые производные,
то они отличаются на постоянную.
Действительно, если
то
[Fl{x)-Fi{x)]' = F[{x)-F't(x)=Ot
следовательно, по лемме Ft(x) — F1{x) = C или Ft {x) = Ft (x)-J-С;
—н 1—
х, хг
Рис. 68.
Отсюда следует, что всякие две первообразные от одной функции
всегда отличаются на постоянную. Изложенное показывает, что если
F(x) есть одна из первообразных для f{x), то F(x)-\-C есть общий
вид всех первообразных для f(x).
Примечание. Если /(х) = <р(х)-f-гф(х) — комплекснозначная функция
действительного переменного и если Ф (х) — первообразная для <р (х), У (х) —
первообразная для ij? (х), то F (х) = Ф (х) -f «W (х) будет первообразной для / (х).
Обратно, если F (х) = Ф (х) 4- № (х) есть первообразная для / (х), то Ф (х)
будет первообразной для ф (х), W (х) будет первообразной для ty (х). Отсюда и
из сказанного выше следует, что всякая непрерывная комплекснозначная
функция действительного переменного /(х) имеет комплекснозначную
первообразную, и если F(x) есть одна из них, то общий вид всех их есть F (х)-\-С,
где С — произвольное комплексное число.
27,2. Неопределенный интеграл. Неопределенным интегралом
непрерывной функции *) называется любая первообразная этой функции.
Таким образом, для непрерывной функции понятие первообразной и
понятие неопределенного интеграла совпадают (для разрывных
функций эти понятия различны, но на этом мы не будем останавливаться).
Неопределенный интеграл функции f(x) обозначается
lf{x)dx.
Всякая формула дифференцирования, прочитанная справа налево,
порождает формулу интегрирования.
*) Возможно, комплекснозначной.

120 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ГЛ. IV
Таблица простейших интегралов
1) jVd*=;££l+C (пф-\). 2) jf = ln* + C*).
з) ^л=^+с «)Кл=к+сР!)-
5) }zosxdx = smx-\-C. 6)jsin.*fifac = — cos л;-f-С-
9) Г у^-^ = arcsin x -f- С 10) f j-^==arctgx-fC.
27.3. Простейшие свойства неопределенного интеграла. 1) Так
как интегрирование есть операция, обратная дифференцированию, то
имеют место формулы:
[$/(*)dx]' =/(*): d J /(*) dx=/{x) dx;
J /=* (x) dx = F(jc) -f- С; J dF(x) = F(x) + C.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
^kf(x)dx = k^f(x)dx.
Доказательство.
[*-$/(*)rfx]'=* [£/(*)Лс]'==Л/(х).
3) Неопределенный интеграл суммы равен сумме неопределенных
интегралов слагаемых:
$ [/(*) + Ф (*)] rf* = J /(*) rf* + S Ф (х) rf*.
Доказательство.
[$/(*)«**+'$ Фix)dx]'= [$/(*)«**]+[$ Ф (*)Лс]'=/(«Н-ф(*).
Изложенное в этом пункте распространяется на комплекснознач-
ные функции (тогда С, /С—комплексные числа).
*) Эта формула действует на интервале (0, -f- oo). В случае интервала
(—оо, 0) в правой части следует х заменить на — х. В обоих случаях
правую часть можно записывать в виде In | х | -f-с или в виде In сх (где с > О,
если х берется на (0, + оо); с<0, если х берется на (— оо, 0)).
§ 27J НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 121
27.4. Связь определенного интеграла с неопределенным. Пусть
F{x)— один из неопределенных интегралов функции /(#); тогда
х
а
так как всякие две первообразные отличаются на постоянную.
Полагая в этом равенстве х = Ь и х = а, получим
ъ
/=■(*)=$/(f) «И+ G
а
а
/=■(«)= J/(0 л+с= с,
а
откуда
F{b) — F(a) = l/(t)dt.
а
Таким образом, доказана формула Ньютона—Лейбница
ь
Sjf{x)dx = F(b) — F{a),
а
выражающая определенный интеграл через неопределенный. Она
показывает, что определенный интеграл от непрерывной функции равен
приращению неопределенного интеграла на интервале интеграции.
Если ввести обозначение
ь
F{x)\ = F(b)-F{a),
а
то формулу Ньютона—Лейбница можно переписать так:
)/(x)dx^F(x)\
или
lf(x)dx=]f{x)dx\ .
Пример I.
Пример 2.
b
а
b
Г хг
\ xdx = ~2
Ь Ьг-а*
\ —= 1пх
J х
ь b
= lnfc —lna =ln— (0<a<6),
a a

122 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
§ 28. Интегрирование подстановкой и интегрирование по частям.
Несобственные интегралы
28.1. Замена переменного в неопределенном интеграле (или
правило интегрирования подстановкой). Если F(x) есть
первообразная для/(л:)*), то Ffq)^)] будет первообразной для /[<р(*)]ф'(*)-
В самом деле, в силу формулы производной сложной функции
имеем
{F[<p (0] }' = F [ф Ю]ф' (0 =/[ф V) 1ф' (О-
Доказанное предложение можно записать так:
$/{x)dx=lf[<p{t)W{f)dt=lfl<pV)]d<t{f).' (И
*=<f(0
Эта формула называется формулой замены переменного в
неопределенном интеграле.
а) Линейные подстановки.
Если J f{x)dx = F(x) + Ct то$/(ах)</* = £^+С, ибо, по-
t
лагая # = —-, получим
а
§n™)dx = ±§f{f)dt==±F{f) + C==±F{ax) + C.
Таким образом, если мы умеем интегрировать функцию f{x), то
мы можем проинтегрировать и f{ax).
Пример.
J \х + С (n = 0). J I С (n = 0).
б) Подстановка, приводящая к логарифму.
Если надо проинтегрировать дробь, производная знаменателя
которой с точностью до постоянного множителя равна числителю, то
подстановка «знаменатель = *» приводит наш интеграл к
табличному 2).
Пример.
Ctgxd*:=C|^d* = -jy=-ln/ + C = -lncosx-T-C
COS X => t
— sin xdx — dt
или, короче,
$*"ЧШЛ=-Р£г=-,П,В"+С-
•) Возможно, комплекснозначной.
§ 28] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 123
28.2. Формула интегрирования по частям для неопределенного
интеграла. Пусть u = F[x), ъ = Ф(х)— непрерывно
дифференцируемые функции *); тогда
d (uv) = udv-\-v du;
\ d (uv) =\и dv -j- \ v du;
uv— \udv-{- \vdu;
S.udv = uv—\ v du. (2)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Ее можно переписать так:
$ F{x) Ф' (х) dx = F(x) Ф (х) — $ F' (x) Ф (x) dx.
Пример.
V x cos xdx = x sin x — \ sin x dx = x sin x -j- cos x -j- C.
и = x; dv = cos x dx
du = dx; v = sin x
или, иначе,
\ x cos x dx = \xd sin x = x sin x — \ sin x dx = x sin x -(- cos x -f- C.
Отметим некоторые виды интегралов, вычисляемых с помощью
формулы интегрирования по частям.
а) Интегралы вида \ P(x)e*xdx, \Р(х) sin fix dx, [Р(х) cosfix dxt
где Р{х) — многочлен л-й степени.
Применяя формулу интегрирования по частям, взяв и = Р(х), мы
сведем эти интегралы к интегралам аналогичного вида с понижением
степени многочлена на единицу.
Следовательно, упомянутые интегралы можно вычислить, применяя
п раз формулу интегрирования по частям (учитывая, что при л = 0
они линейной подстановкой сводятся к табличным).
б) Интегралы вида \ е*х cos fix dxt [ ё*х sin fix dx.
Эти интегралы после двукратного применения формулы
интегрирования по частям приведут к уравнениям первой степени
относительно искомых интегралов, из которых они и определяются.
*) Возможно, комплекснозначные.

124 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО |ГЛ. IV
Пример.
С е** cos рх dx = -g- е«х sin рх — ~ С ee* sin рх dx
u = ea*; dv = cos$xdx
du = аеах dx; v =
sin fix
P
u = eax; dv = sin$xdx
cos Bx
du = ae*x dx, v= ^~
P
= -Ie**Sinpx -j(—g-ea*cosP*+ |-J e« cos px d* ) =
= -;r e** sin
(•+Й5
P
P* + -p eex c°s P* — Й- С <?* cos Px dx;
e"* cos Px dx =
Pea*sinpx-f-aea*cospx .
f"^coSpxrfx = e'X<Psi"^ + aCOSPX)+C.
J al + p2
в) Интегралы от произведения многочлена Р(х) на логарифм или
аркус.
С помощью формулы интегрирования по частям, если положить
dv = P{x)dx, указанные интегралы приводятся к более простым
интегралам, иногда легко вычисляемым (это объясняется тем, что при
дифференцировании логарифмов и арку сов получаются алгебраические
функции).
Пример.
С г. . х» In х If,.
\ x*lnxdx =—^ — \ xsdx = -
з з J з
u = lnx; dv = x*dx
хЧпх х9 , _
— "о "Гс
du =
dx
V=T
28.3. Замена переменного и формула интегрирования по
частям для определенного интеграла. Мы видели, что если F(x) есть
первообразная дляДдс), то /^(0] есть первообразная для/[ф(*)]ф'(/),
где ф (t) — непрерывно дифференцируемая функция от t на некотором
интервале, такая, что ее значения принадлежат интервалу
непрерывности /(х).
Пусть а и Р — два значения t и а = ф(а), £ = ф(р'), тогда
ь Р
\f(x)dx = F(b) — F(a)=:F[4ti)]-F[4>(a)]=lf[4>(t)]<p'(f)dt.
а о
Таким образом, доказана формула замены переменного в
определенном интеграле
ь р
(3)
I f{x)dx=[f[4{t)Wit)dt.
ШЫЙатгШ.
§ 28] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 125
Если u=f(x), v = q>(x) — непрерывно дифференцируемые
функции, то
\udv= uv—\vdut
откуда
Sib ib я b
и dv\ = uv\ — \ v du
•a 'a
или
ь ь
^ udv = uv\ — ^ v du. (4)
a a a
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для
определенных интегралов.
28.4. Понятие о несобственных интегралах. Пусть f(x)
непрерывна на [а, -|" сю), тогда полагают по определению
+ 00 /
\ f(x)dx= lim \/(x)dxy
а ' - + » а
если этот предел существует.
Пусть f{x) непрерывна на (— ею, Ь], тогда полагают по
определению
ь ъ
] f(x)dx = lim ^/(x)dx,
— 00
Л-*— со
если этот предел существует.
Если /(х) непрерывна на всей числовой прямой, то полагают по
определению
+ 00 С +00
l"/(x)dx= I '/{X)dx+ I f(x)dx.
— со —со
где х — какое-нибудь число (выбор его безразличен), если оба
интеграла в правой части существуют. Тогда
+ оо I
\ f(x)dx= lim \f(x)dx.
-oo 5 "•'7 е0*
I -» +00
Если f(x) непрерывна на (a, b]t то полагают по определению
ь ь ■ . .
\/(x)dx = \im J f{x)dx,
a-*°a + «
если этот предел существует.

126 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Если /(х) непрерывна на [a, b)f то полагают по определению
ь ь-р
J f{x) dx = lim J f(x) dx,
если этот предел существует.
Если f{x) непрерывна на (а, Ь), то полагают по определению
ь с ъ
$ f(x)dx= J f(x)dx-{-\ f{x)dx,
а а с
где a<^c<C^b (выбор с безразличен). Тогда
ь *-?
^/(x)dx = \im J f(x)dx*).
Интегралы рассмотренных здесь видов называются
несобственными.
Несобственные интегралы называются сходящимися, если они
существуют и конечны.
Несобственные интегралы называются расходящимися, если они
либо не существуют, либо бесконечны.
Пример 1. Исследовать несобственный интеграл
+ со
Имеем
i
Y V hi/, «=1,
+ 00
С dx 1
откуда видно, что V -у сходится и равен а_ i ПРИ «> 1» расходится при
о
*) Если /(х) имеет на данном интервале конечное число точек разрыва
(в которых она может быть и не определена) и на каждом частичном интервале, на
которые данный разбивается упомянутыми точками разрыва, J / (х) dx
существует и конечен, то сумма этих интегралов будет по определению интегралом
от f (х) по данному интервалу (в этом случае / (х) называется интегрируемой
на данном интервале). Функция называется абсолютно интегрируемой на
данном интервале, если ее модуль интегрируем на этом интервале.
§ 29] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 127
1
Г dx
Пример 2. Исследовать несобственный интеграл \ -g- (а > 0). Имеем
о
Г_ —
1п— , а= 1,
в
С dx 1
откуда видно, что \ -^ сходится и равен j ^ при а<1, расходится
о
при а^ 1.
28.5. Интегралы от комплекснозначных функций
действительного переменного. Если f(x) — q>(x)-\-ity{x) — непрерывная комп-
лекснозначная функция действительного переменного на [а, £1, то по-
ь ь ь
лагают по определению С f(x)dx= С y{x)dx-\-i С ty(x)dx, при-
а а а
чем формулы из 25.4 и свойства, изложенные в 25.5, остаются в
силе. Остаются в силе также теорема о производной интеграла с
переменным верхним пределом, формула Ньютона—Лейбница, формулы
замены переменного и интегрирования по частям, определения
сходимости и расходимости несобственных интегралов.
§ 29. Интегрирование рациональных функций
29.1. Разложение полинома на линейные множители*). Пусть
Р(х)—многочлен л-й степени, Q(x)—многочленm-й степени, гдетг^я.
Расположив их по убывающим степеням х, будем делить Р(х)
на Q(x); тогда полученное частное Т{х) будет многочленом степени
п — т, а остаток R{x)— многочленом степени меньше т.
Упомянутые многочлены связаны соотношением
PM=Q{x)T{x) + R{x).
В частности, если Q{x) = x — а, то Т{х) будет степени п—1, а
R[x)— нулевой степени (т. е. R {x) = const = R).
Следовательно, при Q(x) = x — а предыдущее соотношение
примет вид
Р(х) = (х — a)T{x) + R.
Полагая х = а, получим P(a) = R.
*) В 29.1-^29.4 х обозначает комплексное переменное, и коэффициенты
всех встречающихся многочленов могут быть любыми комплексными числами
(если не сделаны оговорки).

128 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Таким образом, доказана следующая
Теорема. Остаток от деления многочлена на х— а равен
значению этого многочлена при х = а.
Следствие (теорема Безу). Многочлен Р(х) делится без
остатка на х — а только в том случае, когда а есть его корень.
Кроме доказанных теорем, нам потребуется еще
Формулировка основной теоремы алгебры. Всякий
многочлен, отличный от постоянной, имеет по крайней мере один
корень.
Из основной теоремы алгебры и теоремы Безу следует, что
всякий многочлен л-й степени разлагается на п линейных множителей.
В самом деле, Р(х) имеет некоторый корень ах, следовательно,
делится на х — at, поэтому
Р{х) = (х — а,) ЯДх).
степени л — 1
Далее Я, (л:) имеет некоторый корень аг, следовательно, делится на
х — а%, поэтому
Р(х) = {х — аж)(х — аг) 1\(х).
степени л — 2
Продолжая это рассуждение, получим, наконец,
Я(х) = (х — а,)(х — аг) ... (х — ап)Рп(х).
нулевой
НО Р„ (Х) = COnSt = Д Следовательно, степени
P{x)=zA(x—al){x—at) ... (* — ап). (1)
Очевидно, А есть старший коэффициент многочлена Р(х). Легко
видеть, что это разложение единственно. Из (1) видно, что
многочлен w-й степени имеет не более п корней.
Будем говорить, что корень а многочлена Р{х) имеет кратность
k, если в разложении на линейные множители х — а входит k раз,
т. е. если Р{х) = (х — a)kQ(x)t где Q(x) — многочлен (п—Л)-й
степени, причем Q(a)=^=0. Заметим, что в силу этого определения
фраза «с есть корень нулевой кратности» обозначает, что «а не
является корнем». Корень кратности 1 называется простым, корень
кратности 2 — двойным, корень кратности 3 — тройным.
Из сказанного следует, что всякий многочлен имеет ровно п
корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Сумма кратностей корней равна степени многочлена. Следующая
теорема позволяет определять кратность корня, не зная разложения
многочлена на множители.
Теорема. Если а есть корень кратности k многочлена Р(х),
то а обращает в нуль не только этот многочлен, но и все его
производные порядка ниже k и не обращает в нуль k-ю
производную»
'HalaHamiik
§ 29] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 129
Доказательство. По условию Р(х) = {х — a)kQ(x), где
Q(x) — многочлен степени п—к, причем Q{a)=^=0.
После дифференцирования получим
Я' (х) = k (х — а)к~' Q {х) + {х — а)к Q' {х) =
= {x — a)k-1 [kQ (х) + (jc — a) Q' (х)] = (х— а)к' » Q, (х),
v v . <
Qiix)
причем Qt (a) = kQ{a)=^=0. Отсюда видно, что а является корнем
кратности k—1 для Р'(х).
Продолжая это рассуждение дальше, найдем, наконец, что а
будет корнем кратности 1 для Plk~1}{x) и корнем кратности 0 для
Plk)(x), т. е. не будет корнем Р1к)(х), что и требовалось доказать.
29.2. Разложение многочлена с действительными
коэффициентами на линейные и квадратичные множители с действительными
коэффициентами. Сопряженным комплексного числа а = а-|-Р'
называется число о = а — ip. Отсюда видно, что а совпадает со
своим сопряженным только тогда, когда оно действительно.
Сопряженные комплексные числа, как легко видеть, обладают свойствами
а-\-Ь = а -\-Ь; а — Ь = а — Ь\ (а)п = ап; a-b = a-b\ f-^j=~.
Пусть Р(х) — многочлен с действительными коэффициентами
Р(х) = Ах" + Вх*"1 + \-L
и а — какое-нибудь комплексное число.
Имеем на основании отмеченных свойств сопряженных чисел
~Р~Щ=Аап + Вап-х-\-... -\-L = А~аГ + ВаГ~х -j- ...+/. = Я(а),
следовательно, если а есть корень многочлена Р(х), то а тоже
будет его корнем, ибо
Р(а) = Р~Щ=0 = 0.
Таким образом, мнимые корни многочлена с действительными
коэффициентами всегда попарно сопряжены. Из доказанной выше теоремы
видно еще, что мнимые сопряженные корни имеют одинаковые кратности.
В разложении нашего многочлена на линейные множители соединим
вместе линейные множители, соответствующие мнимым сопряженным
корням аЧ^/р. Произведение этих множителей
[* — (сс+ ф)] [х — (а— ф)] =(х — а — if)(х — а-f- /р) =
= (х — а)2 — /*Р' = (х — а)* + Р*
является квадратичной функцией с действительными коэффициентами.
5 П. И. Романовский

130 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Отсюда видно, что всякий многочлен с действительными
коэффициентами разлагается на линейные или квадратичные (с мнимыми
корнями) множители с действительными коэффициентами.
29.3. Выделение целой части из неправильной рациональной
Р (х)
дроби. Рациональная дробь -^гг-{ называется правильной, если степень
многочлена Р(х), стоящего в числителе, меньше степени многочлена
Q(x), стоящего в знаменателе, и неправильной, если степень
многочлена, стоящего в числителе, больше или равна степени многочлена,
стоящего в знаменателе.
Р (х)
Если ~-^- — неправильная дробь, то, деля Р(х) на Q(x) по пра-
V (х)
вилу деления многочленов, расположенных по убывающим степеням,
мы разобьем ее на целую часть Т(х) (частное от деления) и пра-
R (х)
вильную дробь —-!■ (где R(x)— остаток от деления)
Р(*)_ т, v , RM
29.4. Разложение правильной рациональной дроби на простей-
шие элементы. Пусть I*h\—правильная рациональная дробь, и пусть
в разложение знаменателя на линейные множители х — а входит к
раз, т. е. F(x) = (x — a)kF1(x)4 F,(a)=£0.
А
Если от нашей дроби отнять ■ _ -г^ , то останется
fix) А ==f(x)-Fl(x)A
(х — a)k F, (x) (x — a)k F, (x) (x — a)k '
В полученной дроби знаменатель делится на х — а. Подберем А
так, чтобы и числитель разделился на х — а. Для этого в силу
теоремы Безу а должно быть корнем числителя, т. е. должно быть
/(a)-AF1(a) = 0.
Это требование выполнимо, ибо F1 (а) =/£=0. После такого выбора А
полученная дробь сократится на х — а и примет вид щ.гдеФ^)
есть частное от деления F(x) на х — а.
Таким образом, доказана
Лемма 1. Если имеем правильную рациональную дробь и в
разложении знаменателя на простые множители линейный,
множитель х — а входит k раз, то после отщепления слагаемого вида
- с надлежаще выбранным А останется правильная дробьу
(х — а)*
знаменатель которой есть частное от деления знаменателя данной
дроби на х — а.
§ 29) интегрирование рациональных функций 131
Последовательное применение этой леммы показывает, что всякая
правильная рациональная дробь может быть разбита на простейшие
элементы вида : (где а, А,— вообще говоря, комплексные числа).
(х — a)R
Получаем схему разложения правильной рациональной дроби на
простейшие элементы:
F(x) = c(x — a)k. ..(x — b)l\
fix) _ А\ | A* I i Ak j_
F{x) —х-а-Г(х-аГ-Г----Г {x_a)k-r
~x— b ' (x— b)** '" "1
(x-V"r ■••"!" (x_ ft/-
fix)
Пусть теперь —^r— правильная рациональная дробь, в которой
г (х)
все коэффициенты числителя и знаменателя действительны, и пусть
в разложение знаменателя на простые множители с действительными
коэффициентами x*-\-px-\-q (с мнимыми корнями а + ф) входит k
раз, т. е. F(x) — {x*-\-px-{-q)kF1(x), Ft(a-{-i$)=^0 (очевидно,
коэффициенты многочлена Fx (x) действительны).
Ах А- В
Если от нашей дроби отнять — (А и В—действитель-
(*"-г-Р* + ЯГ
ные числа), то останется
fix) Ах + В ___f(x)-(Ax-\-B)Fy{x)
(x* + px + q)kFx(x) \x*-{-px + q)k (x*-{-рх +qfFx{x) '
Подберем действительные числа А и В так, чтобы а~|-/р оказался
корнем числителя (тогда а — /р тоже будет его корнем), т. е. так,
чтобы
A[a+if) + B=y + ibt где Y + a = 2fc±£L
- j Aa4-B=v,
или, иначе говоря, чтобы i ив__х что возможно, так как
Р=^0. После такого выбора действительных чисел А и Б полученная
дробь может быть сокращена на x*-\-px-\-q и примет вид ~^,
где Ф(х) — частное от деления F(x) на хг-\-рх-\-д.
Таким образом, доказана
Лемма 2. Если имеем правильную рациональную дробь, в
которой все коэффициенты числителя и знаменателя действительны,
и если в разложении знаменателя на простые множители с
действительными коэффициентами квадратичный множитель х*-\-
-\-px-\-q входит k раз, то после отщепления от нашей дроби
5*

132 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
слагаемого вида —-—^t с надлежаще выбранными действи-
(x*-fP*-f<7)*
тельными А и В, останется правильная рациональная дробь с
действительными коэффициентами в числителе и знаменателе, причем
последний есть частное от деления знаменателя данной дроби на
х'+РХ + Я-
Последовательное применение лемм 1 и 2 показывает, что всякая
правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами
в числителе и знаменателе может быть разбита на простейшие
элементы видов
А
1) 1(где а и А действительны);
(х — а)*
Ах А- В
2) — г (где р, о, А, В действительны, р* — 4л<'0).
(*2 + Р*-т-<7Г
Получаем схему разложения правильной рациональной дроби с
действительными коэффициентами в числителе и знаменателе на
простейшие элементы:
F(x) = c{x — a)k.. .(х — b)l{x*-\-px-\-q)m.. .(хг-\-гх-\-з)п;
fix) А, ■ At . I Ak .
F (х) — х-а-Т-(х-а)*-Г-'' * "Г {х_ a)k-r • • •
• • • +r=T> + (^Гб)»+ • • • + -~y +
~rx*+px+q~i~ •••-г (Х*4_рХ + 9)«-г •••
•••-T x* + rx + s "Г '••"Г (x* + rx + s)n '
Имеем практическое правило разложения правильной рациональной
дроби на простейшие элементы:
1) разлагаем знаменатель на простые множители;
2) записываем разложение данной рациональной дроби на
простейшие элементы с неопределенными коэффициентами;
3) полученное равенство умножаем на общий знаменатель;
4) (1-й вариант): раскрываем скобки, приводим подобные члены
и уравниваем коэффициенты при одинаковых степенях;
4) (2-Й вариант): скобок не раскрываем, но даем аргументу х
столько различных значений, сколько имеется неопределенных
коэффициентов (используя в первую очередь корни знаменателя);
5) в результате получим систему уравнений первой степени
относительно искомых коэффициентов, из которой они определяются*).
*) Так как получающаяся система уравнений первой степени
(коэффициенты при неизвестных в которой не зависят от /(*)) должна иметь решение
ШЫЙашгШ.
§ 29) ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 133
Пример.
х*+1 __ x'-f-l _A В С
ха — хг хг (х — 1) х ' х2 *" х — 1'
**_|-1—Л(х* — х)-\-В(х— 1) + Сх*.
А-\-С = \, А — -\,
х24-1 ■ 1 1
-а+в=о, в = _1§:£-±1=-±-^4
— В = 1, С = 2.
х* — х2. х х*~х—1'
29.5. Интегрирование простейших элементов рациональной
дроби. Интеграл от простейших элементов первого тина посредством
линейной подстановки приводится к табличным интегралам 2) или 1):
i
i А\п(х-а) + С, fc=l
= / А
«*—>* l-(*-.)(*-a)*-+C- **>
Для вычисления интеграла от простейших элементов второго типа
нам потребуется интеграл
dx
:](*2
+ 1)"
Для вычисления этого интеграла выведем рекуррентную формулу,
выражающую /я через /„_,, а также учтем, что /, есть табличный
интеграл 10).
С dx Сх*-{-1 — хг Г *** I Г ~х*dx
J(x*+1)" J (*« + 1)« аХ — J(x2+l)''-« -rj(x*-f-l)'' —
. —xdx
u = x; dv =
du = dx; v =
(x*+l)"
1
(2n—2)(x2-f I)"-1
С 4* i x 1__ С dx
— J(x2-f l)"-1~^"(2rt-2)(л:*-f-l)"-, (2n-2)J (xa+l)«-,—
x . 2n — 3 P dx
(2n —2)(xa+l)"-1 "T~2n —2 J (x* + 1)""1 '
Таким образом,
ж x _i In — 3 ,
n (2«—гН^+П"-1 » 2n —2 ""
при всяком выборе свободных членов (так как в качестве / (х) можно брать ■
любой многочлен степени ниже чем F (х)), то по известной теореме о системах
уравнений первой степени определитель системы отличен от нуля, и
следовательно, применимо правило Крамера. Отсюда видно, что разложение на
простейшие элементы единственно.

134 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
С помощью этой формулы последовательно находим:
/,= arctg х,
К
+ 1 f =
1
arctg x,
2(jc*-fl) ' 2 *« — 2(*8+1) l 2
/j ~ 4(xa-f-l)2 + T 7» = 4(x8+l)8 + 8 (л;* +J)+T aFCtg *'
Для вычисления интеграла \ ^ Tdx (p2— 4<7<0) может
J (xx + px + qr
быть использован следующий прием.
Производную от хг-\-рх-{-д вписываем в числитель и дописываем
там надлежащий постоянный множитель и надлежащее постоянное
слагаемое, далее разбиваем наш интеграл на два интеграла, после
чего в первом делаем подстановку хл-\-рх -\-q=t (что приводит
к табличному интегралу 2) или 1)), во втором — линейную подстановку
х\£_ — и у п £*. (что приводит к интегралу Jk, в частности,
при k=l к табличному 10)).
Пример 1.
5x4-8 .
< . /TV
Ji(2*-6) + 23
J x2- 6x-\-l3UX~J x2-6x-f-13
d* =
_5f 2jc-6 A Г dx _ 5 Г dt 23 Г _rfu_ __
~2 Зх*-6х+13ЙХ + ^ J(x-3)2 + 4— 2 J <~*~2,)и2-{-1
1
6x +
(2*-6)dx=d/
х-3 = 2н
dx=2du
==|.ln<4.2|arctgM-f-C=|-ln(x«-6x+13)-r-^arctg^2^ + C.
Пример 2.
■1<2х+1) + 4-
Г *4-l „ __f-2-(2*+P + Y., _
J (*■+*+■.)■ J (^ + X4_i)a й*-
_ 1 Г 2х + 1 . J_f ^
(2x+I) d*=rff
2j*2^3]/"3
rJ(«;
x+T=—a
dx= da
x
du
■=-£+
2-f-l)2_ 2*
. 4 Г « , 1 . "1 ,r_ 1 , 2A-H ,
+ зУТ[2(и2+1) + 2" 2"]+ 2<*2 + х + 1)"1"б(х«+х+1)"1~
2x-f 1
3l/"3
arctg
Уз
+c=
x-1
3(x2 + *-f-l) ^зуз
2 . 2jc+1 . _
f —= arctg —±=- + C.
VF
§ 30/ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 135
29.6. Общее правило интегрирования рациональных функций.
1) Выделяем из рассматриваемой рациональной дроби целую часть
(если дробь неправильная);
2) разлагаем правильную остаточную дробь на простейшие
элементы;
3) вычисляем интегралы от целой части и всех простейших
элементов и складываем их.
Общее правило не следует применять в тех случаях, когда
непосредственно виден более простой путь. Например, при вычислении
С хг dx
интеграла \ а •, разумеется, следует сразу делать подстановку
хг — 1 = /, а не разлагать подынтегральную дробь на простейшие
С х dx
элементы. Например, в интеграле \ 4. г . . следует вначале
сделать подстановку x* = tt а не разлагать непосредственно
подынтегральную дробь на простейшие элементы и т. п.
Замечание. В дальнейшем знаки R(...), г(...) будут обозначать
любые рациональные функции от величин, помещенных в скобках.
§ 30. Интегрирование тригонометрических выражений
30.1. Интегралы вида ^ JR(s\nx, cosx)dx. Универсальная
подстановка. Учитывая, что синус и косинус выражаются рационально
через тангенс половинного угла
2tgf l-tff.
sin a = ; cos a =
l-ftg2-f l-f-tg8y
и что производная арктангенса рациональна, замечаем, что интеграл
\ R (sin tt cos t) dt посредством подстановки
приводится к интегралу от рациональной функции
Jfl(sinx, «**)<**==£ Я (j^, |^£) Hpi^'M*-
Пример.
Г" ЗтЬТ
dt х
-j= In t + C= In tgy -l-C.

136 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Частные подстановки, а) Если R(ut —v) = — R{u, v), то
]R (sin л:, cosx)dx подстановкой sinje = * приводится к интегралу
от рациональной функции
^ R (sin xt cos x) dx = ^ г (sin я) cos x dx = ^ г (/) df,
ибо после выделения.множителя cos* в оставшемся выражении cosx
может входить лишь в четных степенях, которые рационально
выражаются через sin*.
б) Аналогично, если R (— и, v) = — R (и, v)t то J R (sin xt cos x) dx
подстановкой cosjc = / приводится к интегралу от рациональной
функции.
в) Если R(—и, —v) = R(u, v), то }#(sinx, cosx)dx
подстановкой tgx = t приводится к интегралу от рациональной функции
j R (sin x, cos x) dx =
= J R(*gx cosx* cosx)dx—^r (tgя)sec* xdx = ^ г(f)df,
учитывая, что четные степени косинуса выражаются рационально
через тангенс.
30.2. Интегрирование произведений синусов и косинусов.
Формулы
cos a cos р* =-тг cos (а — Р) -\- у cos (а -\- р),
sin а sin р = — cos (а — Р) — у cos (cc-f- p),
sinacos p=Ysin(a—Р) -\- у sin (а -\- р)
позволяют произведения синусов и косинусов представлять в виде
линейных комбинаций синусов и косинусов и могут быть использованы
для интегрирования произведений синусов и косинусов.
Пример. Если т, п положительны, то (учитывая пример
рассмотренный в § 28)
\ cos тх cos пх dx = у \ cos (m — п) x dx -f- у \ cos (m + n) x dx =
sin (m — n)x , sin (m-[-n)s , „
_J 2(m-n) + 2(m + n) +C (m*n)'
sia2»uc « ,„,_„.
ШЫЙатгШ.
§ 31J интегрирование иррациональностей 137
§ sin mx sin nxdx = ±.§ cos (m-n)xdx--L § cos (m + n)xdx =
( sin(m-n)x sin (m + n)x . _ , , %
_J 2(m-n) 2(m + /i) + C (m * ">•
| sin2m;e , _ y
1х-"4^-+с (m = it).
\ slnmx cos nxdx — ~ f sin(m —n)xd*-fy Г sin(m -f- fi) *rfjt =
coS(m-n)x cos(m + n)x , „ ...
2(m-n) 2(m + n) + C (w ф П>'
cos2mx
-—5ЙГ + С (m_n).
В частности, упомянутые формулы могут быть использованы для
вычисления интегралов вида J sin" x cos" x dx (m, n — целые
неотрицательные).
Этот прием удобен, когда т и п—четные (в случае, когда одно
из них нечетно, удобнее пользоваться частными подстановками,
указанными в 30.1).
§ 31. Интегрирование иррациональностей
31.1. Интегралы вида $/?(*, у/ax + b)dx. Эти интегралы
подстановкой ax-\-b = f* приводятся к интегралам от рациональной
дроби
Если в подынтегральном выражении встречаются радикалы с
различными показателями из ах-\-Ь, то под п следует понимать общее
наименьшее кратное показателей.
Пример.
JFT?F?=61 гтт<"=6К"-'+,-ял)'"=
= 2Р - 3t* -J- 61 - 6 In (/ 4-1) + С = 2 \Гх~ -
-3J/T + 6 J/Г -61n(i+J/T)-(-C.
Интеграл более общего вида J r(x, у ^Л^) dx подстановкой
ах-\-Ь м
cx-i-d= также приводится к интегралу от рациональной функции.

138 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
31.2. Интегралы вида ]R(Xf Vax* + Ьх -\- С ) UX. Свертывая
квадратный трехчлен в двучлен и выполняя надлежащую линейную
подстановку, мы сведем эти интегралы к интегралам видов
J R(x, Va* — x*)dx, x = asmt,
$#(*, V'x* + aa)dxt x=aigt,
$#(*, Уxz — a*)dx, x = asect
«тригонометрические
подстановки»,
которые с помощью указанных подстановок сводятся к интегралам
от выражений, рациональных относительно синуса и косинуса:
$#(*, Va2 — x*)dx =
$Я(х, Vx*Jras)dx =
$#(*, Vxx — a2)dx =
R (a sin tt a cos t) a cos tdt =
r (sin t, cos t) dt,
/?(atgf, a sec 1) a sec* tdt —
г (sin t, cos t) dt,
R (a sec tt atgt)a sec ttgtdt =
r(sin/, cost)dt.
Пример.
^-^^=§costdt==slnt + C=y=a + C,
(x'+l)*
x = tg /; dx = sec* / dt.
31.3. Интегралы вида \ Yax'-^-bx-^c ^x* где ^(-^V—многочлен.
Эти интегралы являются частным случаем интегралов из 31.2, однако
для них бывают более удобны иные приемы вычисления.
Г dx
Предварительно вычислим интеграл \ у s , .. Имеем (yMi
обе части подынтегральной дроби на х -\- У хг -\- А)
шожая
[-^^[Щ^Лх^^Ш + С
\n{x-\-Vxz-\-A)-\-C%
ШЫЙатгШ.
§ 31J ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ 139
Покажем, что если Р{х) многочлен, то всегда
)Vax* + bx-\-c * * ~ }Уахг
+ Ьх + с
где Q(x) — некоторый многочлен, степень которого ниже степени
Р(х), А— некоторая постоянная.
Правила дифференцирования дают
(**-« Уах* + Ьх + с)'= -^Щ==^; {k= 1, 2, ...; афОУ
у axz -\-bx-\-c
где pk (х) — некоторый многочлен £-й степени (его старший
коэффициент ka=^=0). Взяв произвольный многочлен л-й степени Р(х),
расположим его по многочленам 1, р1{х), ..., рп(х) (см. об этом в
конце 18.1):
п
P(*)=X+2>*P*(*),
тогда
J
*=1
PW dx
Vax*-\-bx-\-c
n
J Vax* -г- fcx -{- с ZJ J Vax2-\-bx-\-c
n
J Vax*-\-bx + c^ Zj
k=i
(1)
что и требовалось доказать.
Многочлен Q(*) и число Я находятся следующим образом:
а) записываем формулу (1) с неопределенными коэффициентами;
степень Q(x) берем на единицу меньше степени Р(х);
б) дифференцируем обе части равенства (тогда исчезнут
интегралы);
в) умножаем полученное равенство на Уах* -\- Ьх -\- с (тогда
исчезнут иррациональности);
г) раскрываем скобки, приводим подобные члены и приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях х;
д) решаем получившуюся систему уравнений первой степени
и находим, таким образом, коэффициенты многочлена Q(x) и
число Л.

140 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО |ГЛ. IV
Пример.
х' + рх + д = А(х* + рх + д) + (Ах + В)[х + ^ + К
'24 = 1,
урЛ+В=р, A=-2' B==T' '—8—*
qA + ^pB + b—q,
\Vx'+px-\-qdx=^L£Vxi+px+q +
+ *Я^Р:\п(х + £ + Гх> + рх + <,У)+С.
Г dx
Заметим еще, что интегралы вида J ^ах^_^пуахг-{-Ьх +
= с по-
с
мощью «обратной подстановки» ах-\-р=-т приводятся к
предыдущим. Интегралы вида \ R(x, ]/ P(x))dx, где Р(х) — многочлен
степени выше второй, вообще не выражаются через элементарные
функции и называются эллиптическими, если Р(х) есть многочлен
третьей или четвертой степени, и ультраэллиптическими, если Р(х) ->—
многочлен степени выше четвертой.
Рассмотрим примеры интегралов от элементарных трансцендентных
функций, не выражающихся через элементарные функции.
1) § е~х* dx (интеграл, встречающийся в теории вероятностей),
Г dx
2) \ .— (интегральный логарифм),
С e*dx
3) \—— (приводится к предыдущему подстановкой дс —Inf),
«* х
Р sin х Г cos х
4) \ dx и \ dx (интегральный синус и интегральный
косинус),
5) \ sin x*dx и \ cos x*dx (интегралы Френеля).
§ 32]
ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
141
§ 32. Площади и объемы
32.1. Площади в прямоугольных координатах, а) Пусть д>=у (х)—
непрерывная функция на [х0, X] и у(х)^-.0.
Площадь *) 5 фигуры ABCD, ограниченной линиями дг = 0, у =
=у{х)* х = *& * = AT (рис. 69), есть**)
х
S— lim y\ytAxt=\ydx; (l)
I X0
б) Пусть yt{x) и уг(х) — непрерывные функции на [xlt xt],
причем уЛ*)^УЛх)-
Площадь фигуры ABCD, ограниченной линиями у—ул (jc), у =
=yt(x), х=хх% x — xt (рис. 70), является разностью площадей
криволинейных трапеций FBCE и FADE, если ух (х) и ух (х) ^ 0.
О
Хд Х^ J?i *йХ^ л X
Рис. 69.
Рис. 70.
В общем случае этого можно достигнуть опусканием оси Ох (что
не изменит разности уг—ух).
Таким образом, во всех случаях
(2)
*i
*) Плоская фигура называется квадрируемой, если существуют
многоугольники, площади которых отличаются как угодно мало и такие, что один содержит
данную фигуру, а другой содержится в данной фигуре. Тогда существует
единственное число 5, которое меньше или равно площадям всех
многоугольников, содержащих данную фигуру, и которое больше или равно площадям
всех многоугольников, содержащихся в данной фигуре; это число S называется
площадью данной плоской фигуры. Из 25.3 следует, что нормальные области
квадрируемы.
**) Для краткости вместо lim мы пишем lim .
max A*t -*■• A*i -+ о

142 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Пример. Определить площадь S фигуры, ограниченной дугой синусоиды
и осью Ох (рис. 71):
S := V sin * dx = — COS X I = 2.
ч
Рис. 71.
32.2. Плошади в полярных координатах, а) Требуется найти
площадь S фигуры ОАВ, ограниченной линиями г = г(ф), Ф = ф„»
ф = ф (рис. 72).
Рис. 72.
Разобьем [ф0, Ф] на части точками деления ф,, проведем лучи
ф=ф/ и построим элементарные круговые секторы с радиусами r-t =
= г(ф.) и центральными углами Аф/ = ф,+1 — ф,-.
Площадь элементарного кругового сектора есть
следовательно,
уГ/г,Аф|- = уг'Аф„
ф
S= Ига1^^Дф/==иг^ф,
A«fj-+0
(3)
»о
§ 32J ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 143
б) Площадь S фигуры ABCD (рис. 73), ограниченной линиями
г = г,(ф); г = г2(ф); ф = ф,; ф = ф1, определяется как разность
Рис. 73. Рис. 74.
площадей криволинейных секторов OCD и ОАВ, причем 0^г,(ф)^
<МФ) на [Фп Ф»]
S=-H(r|_ г?)*р. (4)
Пример. Найти площадь 5, ограниченную лемнискатой r* = alcos29
(рис. 74):
Л «
1 г Г
5 = 4--^- \ a8 cos 2ф <2ф = a2 sin 2ф =а*.
о
32.3. Объемы тел. Пусть наименьшая и наибольшая абсциссы
точек рассматриваемого тела будут х0 и X.
Пусть S(x)— площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной к оси Ох и пересекающей ее в точке с абсциссой х (рис. 75).
Разобьем [jc0, X] на части точками деления xt и проведем
плоскости x = xt. Построим элементарные цилиндры с основаниями S{xt)
и высотами hxi = xl+l — х{. Объем элементарного цилиндра есть
S(xl)Axi (рис. 76). Следовательно, объем тела*)
х х
V= lim y5(jc;)A^=[5Wdjc, V=[S(x)dx. (5)
_ t X0 X0
*) Пространственная фигура называется кубируемой, если существуют
многогранники, объемы которых отличаются как угодно мало и такие, что один
содержит данную фигуру, а другой содержится в данной фигуре. Тогда
существует единственное число V, которое меньше или равно объемам всех
многогранников, содержащих данную фигуру, и которое больше или равно объемам
всех многогранников, содержащихся в данной фигуре; это число V называется
объемом данной пространственной фигуры (тела). Тела, ограниченные
поверхностями достаточно простого вида, кубируемы и их сечения плоскостями квадри-
руемы, следовательно, для таких тел выкладки 'настоящего пункта законны
(однако мы не останавливаемся на детальных формулировках, относящихся к
этому вопросу).

144 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ГЛ. IV
Пример. Найти объем пирамиды с высотой Н и площадью основания S.
Поместим начало координат в вершине и направим ось Ох по высоте
Рнс. 75.
Рис. 76.
Рис. 77.
пирамиды (рис. 77). По известной теореме о площадях сечений пирамиды,
параллельных основанию, имеем
S(x)_x*
S ~~Иа*
Следовательно, S(x) = ^f •
н
Г Sjc* Sx*
—tsh-
32.4. Объем тела вращения. Требуется найти объем V тела,
ограниченного поверхностью, полученной от вращения кривой у =у (х)
вокруг оси Ох и плоскостями х = хв; х = Х (рис. 78, а).
ШЫЙатгШ.
§ 32]
ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
145
Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси и
пересекающей эту ось в точке с абсциссой xt есть круг радиуса у{х)
(рис. 78,6), поэтому 5 (*) = я {у{х))*, следовательно, по формуле (5)
получим
X
V=n[y*dx. (6)
Пример. Найти объем шара радиуса R.
Поместив центр шара в начале координат, мы можем рассматривать его
как тело, ограниченное поверхностью, порученной от вращения полуокруж-
Z
6)
Рис. 79.
ности у — Ук*-х* на [ — #, /?] вокруг оси Ох (рис. 79). Следовательно,
У = л §(R'-x')dx=n(R*x—^\\
1Я/?3-

146 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
§ 33. Гиперболические функции
33.1. Определение гиперболических функций. Подобно тому
как тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс —
определяются исходя из окружности
*■+/ = !.
соответствующие гиперболические функции определяются исходя из
равносторонней гиперболы хг—у*=\.
Рассмотрим окружность
х* +у*=\ (рис. 80).
Рассмотрим гиперболу
х2 — /=1 (рис. 81).
Рис. 80.
Рис. 81.
Аргумент ф обозначает
удвоенную площадь кругового сектора
АОМ (и равен центральному
углу АОМ),
КМ—«линия синуса»,
ОК—«линия косинуса»,
AT—«линия тангенса».
По определению:
зтц>=КМ=у,
cos q>=OK=x,
tgq> = AT.
Аргумент ф обозначает
удвоенную площадь гиперболического
сектора АОМ (но не равен
центральному углу АОМ).
КМ — «линия
гиперболического синуса»,
ОК— «линия
гиперболического косинуса»,
AT—«линия
гиперболического тангенса».
По определению:
shy = KM=y,
chy=OK—x,
tgq> = AT.
ftlalattausrWl
§ 33]
Имеем
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Имеем
147
*»+/ = !,
cosJ^-j-sin1^ = 1,
&ОКМоп>&ОАТ,
АТ = КМ
ОА ОК '
sin ф
° ™ cos ф *
1 s^ sin ф ^ -\- 1,
• 1 ^ cos ф ^ -J- 1,
cha ф — sh2 ф = 1,
Д О/ШслД ОАТ,
АТ_КМ
ОА~~
Шф =
ОК '
sh ф
сЬф'
— оо <^ sh ф <^ -j- oo,
ch ф 5г 1,
— 1<№ф<4-1.
33.2. Выражение гиперболических функций через
показательную. Имеем: пл. /\ОКМ=Щ (рис. 82). Затем (см. пример в 31.3)
Рис. 82.
пл.
х х
И/СЖ===^/^^^=[4/^:^-у1п(Х4-1/^г=1)]| =
1
=|/P^=T-lln(A:-f/^=T)=f-^ln(A:-T-^);
ф = 25 = 2(пл. &ОКМ— пл. АКМ) = \п{х-\-у); х-\-у=е*.
Следовательно,
х—у= .
* х + у
х*-у*_\ _ -т
е9 к •
У =
еч-е-*

148 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Таким образом,
8Пф = ^=^., (1)
ch<p = —^ , (2)
33.3. Обратные гиперболические функции. Пусть х— какое-
либо действительное число. Arshjc обозначает всякое такое число у,
что shy — x. Из этого уравнения легко находим у:
еУ-е-У _
2 —"^'
е*у — 2хеУ— 1=0,
су = х-\~Ухг-\-Т (учитывая, что е*]>0);
jr = In (jc +1/7+1).
Итак,
Arsh д: = In (x+Уд:а+1). (4)
Далее Archjc обозначает всякое такое число у% что ch<y=Jt.
Из этого уравнения легко находим:
еУ + е-У
1 — ¥
2 —*»
<>У —2x^+1=0,
с^=лг-ЬУлл;а—1 (решение существует только при х^\).
у = \п(х±Ух*—1) = ±\п(х-\-Ух*—1).
Ограничиваясь положительным значением, получим
Агсплг = 1л(л: + 1/л;2— 1), х^\. (5)
Наконец, Arthjc обозначает всякое такое число у, что thy = x.
Из этого уравнения легко находим
ё*У-1
е*У +1
.1+*
х,
ety = ._ (решение существует только при—1<CJC<C^)« Следо-
I X
вательно,
At^x==^\n\^, — !<*<!. (6)
§ 33} ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 149
33.4. Дифференцирование прямых и обратных гиперболических
функций.
1) (shx)' = {~my=e-l+f^ = chx, (shje)' = ch*. (7)
2) (Chx)'=^^t£— j =e—±_ = shXj (chAr)=shjc. (8)
„. ... v, /shx\' ch2x—sh*x 1 /XV» 1 /nv
3> <th*> =Чс¥х) = ch*x =-cF7 • <***> ="cF7- <9>
4) <y = Arshjc x — shy; l=ch^j;',
v' = -ij— = r l = , ' (Arshjc)'= -—4=. (10)
5) ^ = Archje; je = chj/; l=shjry',
v'= -^— = . ' = - l (Archjc),= ,.. 1 (il)
* *Ъу у cha у - 1 /x2-l V ' /x*-l '
6)3> = Arthx; x = th<y; 1=^-,
/ = ch^ = r^r=T^r, (Arth*)'^^. (12)
33.5. Добавление к технике интегрирования (гиперболические
подстановки). Интегралы нижеуказанных видов
$/?(*, Vo* — x*)dx, x = flthr,
подстановки»
$!?<*, VxT+*)dx> x = asht, [ «гиперболические
[ R(x, Ух* — аг) dx% x = acht
в результате применения названных подстановок приводятся к
интегралам вида \г(ег)Ш (а этот интеграл подстановкой ег = и
приводится к интегралу от рациональной функции). Действительно,
J/?(jc, VaY=xT)dx=§R(alht1 -ду)-^-dt = jг(е<)dt\
^R(x, Vx* + aa) d* = J /? (й sh /, flchr)flch/^= J г(е')Л;
$/?(*, J/jc* — a*)dx = ^R{acht, asht)ashtdt= J r(<?V.
5Р|^^ = ^сЬЧ^ = ^(е^)^^^ + 7 + 2^ =

150 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
§ 34. Спрямление дуг и площади поверхностей вращения
34.1. Спрямление дуг в прямоугольных координатах. Длиной
дуги называется предел длины вписанной ломаной линии при
неограниченном уменьшении длин ее звеньев.
Найти длину s дуги у=у(х), х0^х^Х, где у(х)—
непрерывно дифференцируемая функция на [л:0, Х\.
Разобьем [х0, X] на части точками деления xt (рис. 83).
У.
Впишем в дугу кривой х0 ^ х ^ X ломаную линию так, чтобы
абсциссами ее вершин были х{. Длина одного звена ломаной (в силу
теоремы Пифагора и формулы Лагранжа)
м№+, = Укьхд* + (Ау«)'=Д*, Yх + {ШУ=AXi V 1+^',(^)-
Длина ломаной
МйМ,МЛ... Мп = 2 У 1 +У" Hi) Ajc£,
I
Следовательно, в пределе
х
s = J У*+У" их.
(1)
*0
Покажем, что предел отношения хорды к дуге при стягивании дуги
в точку равен единице. Имеем (рис. 84)
yW>a=jVl+/SU) dx = (xt — хг)У\+у'ш{1)
(здесь использована теорема о среднем для определенного интеграла).
М
§ 34] СПРЯМЛЕНИЕ ДУГ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
151
(здесь использованы теорема Пифагора и формула Лагранжа).
Следовательно,
М_
М
\мг __ -,/1+у"(л) , T/'i+y"(*»)_..1
при хЛ—*хх (ибо тогда |, т)—»-#,).
Пример. Спрямить дугу цепной линии у = chх(0-sgх^х0) (рис. 85).
Имеем
х0 х0
S= С "j/T+sh**их = { chxdx = sh x
х0
= sh х„.
Рис. 85.
0
$т
*>Мп
"^^
\Jfr
ц
j:
Рис. 86.
34.2. Спрямление дуги плоской кривой, заданной
параметрическими уравнениями. Рассмотрим дугу плоской кривой
где x(i), y(i) — непрерывно дифференцируемые функции (рис. 86).
{
*я
h
Рис. 87.
Разобьем [/0> Т] (рис. 87) на части точками деления tt. Впишем
в дугу кривой ломаную линию, вершины которой суть точки,
соответствующие значению параметра tt.
Длина одного звена (в силу теоремы Пифагора и формулы
Лагранжа)
MM^VlAxjf + iAy,)^ ^ЩРАШ^1==

152 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Длина ломаной
(это выражение есть обобщенная интегральная сумма).
Следовательно, в пределе
т
s=^Vx*-\-y%dtt
'о
где * —длина дуги / *^*$* (*.<*< 7),
[ГЛ. IV
или
-1У($),+Ш),«-
Пример. Найти длину дуги циклоиды (рис. 88)
у = а(1 — cost) y
х* 4- у8 = 2а1(1 — cos 0 = 4а* sin» у ,
s=2a
Г * М
\ sin — dt = — 4а cos -д- = 8а
(2)
Рис. 88.
34.3. Спрямление дуги пространственной кривой» заданной
параметрически. Рассмотрим дугу пространственной кривой
x = x(t),
y=y{t), (/.<*< 7").
z = z(t)
где *(/), у(0» *(0 — непрерывно дифференцируемые функции.
§ 34] СПРЯМЛЕНИЕ ДУГ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ 153
Рассуждая, как в 34.2, находим для длины дуги аналогичную
формулу
н vrn'+m+m'"1- <з>
'о
Пример. Найти длину дуги винтовой линии
{
х — —asin t,
у = а cos t,
z=c.
x = acost,
y = aslnt, (O^t^ T),
z = ct
т
s=[ V&sin* t-f a2cos1 t + c*dt
о
т
— VlF+l* \ dt=V^+^т.
34.4. Спрямление дуг в полярных координатах. Рассмотрим дугу
г = г (ф), ф, «< ф а^ фа, где г (ф) — непрерывно дифференцируемая
функция. Найти длину у этой дуги.
Переходя к прямоугольным координатам, получим параметрическое
представление нашей кривой (где
Ф — параметр)
/ * = '"(ф)С08ф, / ^ ^ v
Ь = г(ф)в1пф (Ф.<Ф<Ф.)-
Имеем (точками обозначены
производные по ф)
х = г cos ф — г sin ф,
у = г sin ф -\- г cos ф,
x*+y* = r* + r\
Следовательно,
{
Рис. 89.
*=$ W-f 'r*dy.
(4)
<?1
Пример. Спрямить дугу логарифмической спирали г = еа<р (<р, ^ <р ^ <р8)
(рис.у 89)
е°т . =
=£Ш1(е.,._^)=£1±2!(„_Г1).

154 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
34.6. Площадь поверхности вращения. Площадью поверхности,
полученной от вращения дуги вокруг какой-нибудь оси, называется
предел площади поверхности, полученной от вращения ломаной,
вписанной в дугу при неограниченном размельчении ее звеньев
(поверхность от вращения ломаной вокруг
оси состоит из конечного числа
боковых поверхностей усеченных
конусов и понятие площади такой
поверхности дается в элементарной
геометрии).
Пусть имеем дугу у=у(х), x0^x^Xt где у{х)—непрерывно
дифференцируемая функция. Разобьем [jc0, X] на части точками
деления х{ и рассмотрим вписанную ломаную, абсциссы вершин которой
суть х{ (рис. 90). Длина одного звена ломаной
MtMi+, =У\ -{-/* (£.) Д*(см. 34.1).
Затем Ш±МШ =у ад (где х.«- т,. ^ х.+ j.
Боковая поверхность усеченного конуса, полученного от
вращения MlMi+l вокруг оси Ох, есть
2л 0f + y/+« м.М.
Следовательно, поверхность от вращения ломаной A/0Af,.. .Мп вокруг
оси Ох есть
22яу(т1,)1/1+У(6,-)А*1
(заметим, что это обобщенная интегральная сумма). Следовательно,
в пределе для площади а поверхности вращения нашей дуги вокруг
оси Ох получим
х
о=2я$уУ\+у,л(1х. (5)
§ 35]
КРИВИЗНА ПЛОСКИХ КРИВЫХ
155
Пример. Найти площадь боковой поверхности шарового пояса.
Плоцадь поверхности, полученной от вращения дуги окружности
У—Vr*— х*, o^S ж ^6, вокруг оси Ох (рис. 91), есть
ь
2я jV*« -*" УГ,+^Р*5 =
с/
= 2tcR\ dx = 2nR{b — а).
Примечание. Аналогично доказывается, что
если дуга задана параметрически
x = x(t).
У = У(0
(to^t^T),
Рис. 91.
где x(t), у (t) — непрерывно дифференцируемые функции, то площадь
поверхности, полученной от вращения этой дуги вокруг оси Оде, будет
т
«-J»/(SHJ)'*
(6)
§ 35. Кривизна плоских кривых
35.1. Основные определения. Рассмотрим плоскую кривую с
непрерывно вращающейся касательной (рис. 92). Возьмем дугу ММЛ
этой кривой (рис. 93). ь
Рис. 92.
Рис. 93.
Полной кривизной дуги ММг называется приращение угла наклона
касательной Дф к оси Ох при переходе от точки М к Мг.
Средней кривизной дуги ММУ называется отношение полной
кривизны этой дуги к ее длине, т. е.
Дф
дГ-

156 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Кривизной кривой в точке М называется предел средней кривизны
дуги ММХ при стягивании этой дуги в точку М.
35.2. Формула для кривизны кривой у=/(х). Из определения
кривизны кривой в точке следует, что эта кривизна
Д,_0Д5 ds s'
(здесь использована формула параметрического дифференцирования,
у причем роль параметра играет х, штри-
f хами обозначается производная по х).
'v Из геометрического смысла
производной следует
откуда
t/
Рис. 94.
cp = arctg/, ф' = Г1р(7Р*
Далее заметим (рис. 94), что
^s_ As MM,_ As У{Ьх)г + (Ду? As -.А \(.Ьу\л
Ах ЛМ, Ах MMl Ax ЛШ, V ~т \Ах/ '
Но отношение хорды к дуге при стягивании дуги в точку
стремится к единице (см. 34.1), следовательно, переходя к пределу,
получим
s'=V\+{y')\
А*-» О
или
Следовательно,
^ Ф
К=
У
(1 + У'г)
'2\2
S
(1)
О + У'Т
(беря направление кривой в сторону возрастания абсцисс).
§ 361 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 157
35.3. Формулы для кривизны плоской кривой, заданной
параметрически. Пусть имеем кривую
x=x(t), \
У=У(*). I
Обозначая дифференцирование по х штрихами, дифференцирование
по t точками и используя найденные выше формулы для кривизны
кривой y=zf(x) и формулы параметрического дифференцирования,
находим
ху — ху
v У *' ху — ху .
к_ _ J— ,
(i+у'г [!+(-|)8]1 <*+лг
К= **-Гу±. (2)
(ia + y,)S
При выводе этой формулы предполагалось, что х"^>0 (х
возрастает в окрестности рассматриваемой точки). Если х<^0 [х убывает
в окрестности рассматриваемой
точки), то эта формула дает также ^ к>0
правильный результат, учитывая,
что при движении по кривой у =/(дг)
в сторону убывания х в правой части
формулы для К в 35.2 нужно
приставить знак минус.
Схема знаков кривизны указана
на рис. 95. Рис. 95.
35.4. Соотношение между кривизной и радиусом кривизны
плоской кривой. Сравнивая формулы (1) и (2) данного параграфа с
формулами (2) и (3) § 17, заключаем, что кривизна К и радиус
кривизны R плоской кривой в точке связаны зависимостью
*=Ш" (3)
§ 36. Приближенное вычисление интегралов
36.1. Общие соображения. Пусть /(х) есть т-\-\ раз
непрерывно дифференцируемая функция на [а, Ь) и х9, xt, . . . ,
хт—узлы интерполирования, лежащие на [а, Ь]. Тогда,
обозначив р(х) полином степени не выше да, совпадающий с f(x)

158 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
в точках дг0, xlt. . . t x'mt получим (см. 18.5)
/(*)=P(*) + (W+/)"(* — Х0){Х— Xt) . . . {X— Хт),
где |— некоторая точка на [а, Ь].
Отсюда вытекает формула приближенного интегрирования
ь ь
l/(x)dx=^p(x)dx-\-R; \
а а I
Ь > О)
l^l<(-^TT,Jl^-^)U-^) ... {x-xm)\dxt J
а
где МтАгХ обозначает максимум модуля (т-\- 1)-й производной /(х)
на сегменте [а, Ь]. Эта формула показывает, что если в
определенном интеграле от f(x) на [а, Ь] заменить подынтегральную функцию
интерполирующим многочленом при произвольном выборе узлов
интерполирования на [а, Ь], то будет допущена погрешность R, оценку
которой дает написанное выше неравенство.
В частности, если узлы интерполирования равноотстоящие и
концы сегмента входят в их число, т. е. х0 = а, xt, xit . . . , xm = b,
образуют арифметическую прогрессию с разностью h— ~ , то,
пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, можно формулу (1)
переписать так:
ь
lf[x)dx =
а
т Ь
= У fix ) С (* —Хо) ... (* — **_i)(x — xk+1) ... (х— хт) dx . „
T±l *'J (Ч — *o) ••• (4 — **_i)(** — xk+1) ... (xk — xm) ~i~ '
* = 0
Делая во всех интегралах правой части подстановку х=а-\-
-\-t(b— а) и замечая, что xk = a-\ (b—а), получим
т
О т
1/(х)4х=(Ь-а)£/\а + ^(Ь-а)]х
a ft=o L J
v V __v чи i m a m_t : dt i d.
x\*(±_±y..(±_*^(±_*JiIY..(*_0 +* !
J m V w ™ / \m m /\m m J \m J
о
i
|«|<(*-«>"+'отЯ'('-^)---(<-,)1л
о
Перейдем к рассмотрению частных случаев формулы (2).
(2)
§ 361
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
159
36.2. Способ прямоугольников. При /» = 0 формула (2)
принимает вид
ь ,
\ f{x) dx = (b — а)/(а) $ dt + Rl
а о
1 1
|/?|<(ft — a)*Ml\\t\dt = {b — afM^tdt
или
о
а
Это элементарная формула прямоугольников.
Разбивая [а, £] на л равных ча- у
(3)
стей, мы разложим \ / {х) dx на
сумму интегралов по частным
интервалам. Применяя к каждому из них
элементарную формулу прямоуголь- -jj
никое и складывая результаты, полу-
чим общую формулу
прямоугольников (при этом значения /(х) в
Уо
У,
а
х
Рис. 96.
точках деления обозначены у0, ylt ... , уп; см. рис. 96)
(4)
dx
п
1
Kl^EjAf, (* — <»)■
(в самом деле, | R\ < л у Мх (^—^Х ^1-М^Ь — а)*, если принять
во внимание оценку погрешности в элементарной формуле
прямоугольников).
36.3. Способ трапеций. При т=\ формула (2) принимает вид
ь у i
^f(x)dx = {b-a)^/(a)y6=^ldt-\-f(b)^jdtj-^R;
i 1
dt

160 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
ИЛИ
(5>
§fix)dx={b—a) [i/(fl) + l/(ft)J -f Я;
а
\R\^Mt{b — a)\
Это элементарная формула трапеций.
ь
Разбивая [с, Ь] на п равных частей, мы разложим \/(x)dx на
а
сумму интегралов по частным интервалам. Применяя к каждому из них
У;
У,.
Уп
о
Рис. 97.
X
элементарную формулу трапеций и складывая результаты, получим
общую формулу трапеций, (при этом значения /(х) в точках деления
обозначим у9, ylt ...,у„; см. рис. 97)
о
(6>
\*\<T*JM*V>-*Y
(в самом деле,
1*1<«и*(Ч^)'=пвглМ*-«Л
если принять во внимание оценку погрешности, в элементарной формуле
трапеций).
ШЫЙатгШ.
§ 36]
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
161
36.4. Способ парабол (Симпсона). При /к —2 формула (2)
принимает вид
ъ
r('-J>-'>
[/(x)dx = {b—a)\f(a)[) Ы dt +
J L ^o-l)(0-„
1
\R\^{b-ayf §\t(t-±){t-l)\dt =
о
i
■ i
= {b-a)^([t(±-t)(\-t)dt + ^t(t---L)(\-t)dA
или
b
(7)
\f{x)dx = {b-a) [i/(fl)-l-4/(e+*)+^/(A)] +/?;
a
|/?|<^24(^-«)4.
Это элементарная формула парабол (Симпсона).
ъ
Разбивая [с, Ь] на л равных частей, мы разложим ^/(x)dx на
сумму интегралов по частным интервалам. Применяя к каждому из. них
1 ДЖ,
Уо
Уг
Уг
УгП
b х
Рис. 98.
элементарную формулу парабол и складывая результаты, получим
общую формулу парабол (Симпсона) (при этом значения f{x) в точках
" П. И. Романовский

162 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО {ГЛ. IV
деления обозначим уь, yt, *..,ytn; см. рис. 98)
ь
а
—+4У»-+Л.) + Л; \R\^^Mtip-af (8)
(в самом деле, \R\^n ^ М,(^^у==-^р Мя {Ь — а)\ если
принять во внимание оценку погрешности в элементарной формуле
парабол).
ГЛАВА V
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 37. Интегралы, зависящие от параметра
37.1. Непрерывность интегралов, зависящих от параметра.
Пусть f(x, у) непрерывна в прямоугольнике R: а^х^Ь; с^у <; d,
и пусть у1(х)1 уя{х) определены на сегменте [а, Ь] и удовлетворяют
на нем неравенствам c^yl{x)s^d; cs^yt{x)^d. Покажем, что
зависящий от параметра х интеграл
у»(*>
F(x)= J f{x,y)dy
Ух (*)
будет непрерывен в точке х, если в этой точке у1 и у% непрерывны.
Имеем (учитывая теорему о среднем для определенного интеграла)
у»
Пх) = 1/{х,у)ёу;
Ух
Уз + *Уг У* У» + АУ» Уг+ЬУа
F(x + bx) = $ /(* + A*,j)rfy=$ — I + $ ;
Ух + tyx У i Уг У г
Уз (*)
F(x + Ax)-F{x) = $ \f(x-\-bxty)—f{x,y)\dy —
Ух (*) ч
где 8lf 82 лежит между 0 и 1.
Первое слагаемое правой части (1) стремится к нулю при Ад;—»-0
(в самом деле, / непрерывна на R и, следовательно, равномерно
непрерывна на R, но тогда для любого е ^> О найдется такое г) ^> 0, что /
изменяется менее чем на е, когда координаты точек R изменяются
тленее чем на rj), поэтому, учитывая правило оценки модуля интеграла,
заключаем, что модуль первого слагаемого правой части (1) будет
6*

164 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
меньше e(d— с) при |Ал;|<^т)), и теперь при условии
непрерывности yt и yt в рассматриваемой точке х найдем, что F(x-\-Ax)—
— F(x)—»-0 при Ах-г->0, то есть F будет непрерывной в
рассматриваемой точке х.
Примечание. Пусть f(x,y) непрерывна в замкнутой области D,
определяемой неравенствами [ *» ^Л^.3^,. /vx где ух (х), уг{х) непрерывны на
I У\ \Х)^У ^=г У г \Х),
сегменте |х„ хг] и внутри этого сегмента удовлетворяют неравенству ух (х) <
<Ух(х). Тогда
У«(*)
Ф(х)= J f(x,y)dy
У. (*)
будет непрерывной функцией на [xt, хг].
Это следует из доказанного, учитывая, что f(x, у) можно продолжить до
непрерывной функции в прямоугольнике, содержащем D (например, так: для
точек х, у, лежащих ниже D, положим f(x, y)=f[x, ух(х)], а для точек х, у.
лежащих выше D, положим f(x, y)=f[x, yt(x)]).
Аналогичные результаты получаются для интегралов, зависящих
от нескольких параметров.
37.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от
параметра. Предположим теперь дополнительно, что f(xty) имеет на
прямоугольнике R непрерывную частную производную f (x, у) и
покажем, что тогда зависящий от параметра х интеграл
у»(*>
/=•(*)= $ f{*,y)dy
yi(«)
будет дифференцируем в точке х, если в этой точке уг пуа
дифференцируемы.
Имеем (исходя из (1) и пользуясь формулой Лагранжа)
У» (*)
у. (*>
У» <*>
где О, зависящая от у, лежит между 0 и 1.
§ 37] ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 165
Первое слагаемое правой части (2) стремится к нулю при Ах—>-0
(это доказывается исходя из непрерывности f'x на R так, как
доказывалось исходя из непрерывности / на R стремление к нулю первого
слагаемого правой части (1)), и теперь, при условии дифференцируе-
мости ух и у% в рассматриваемой точке х, найдем, что правая часть (2)
при Ах—>-0 стремится к
У2 <*)
J
/Ax,y)dy-\-^f{x,y1)-^Axtyl).
dX J *~***' dx
y.<*>
Этим доказано, что F(x) будет дифференцируемой в рассматриваемой
точке х, причем
F{x) = )Mx,y)dy + &f{xtyJ-%f(x,yl). (3)
yi
Это и есть общая формула дифференцирования интеграла,
зависящего от параметра.
Если в качестве yt(x) и yt(x) взять с и d, то для интеграла
d
*Ч*) = $/(*. y)dy,
с
в котором пределы интеграции не зависят от х, а от параметра
л; зависит только подынтегральная функция* будем иметь
d
Г{х) = $Мх, y)dy (4)
с
(эту формулу называют формулой дифференцирования под знаком
интеграла).
Если подынтегральная функция не зависит от параметра х, а от
параметра х зависят только пределы интеграции, то есть если
Уг(Х)
F{x)= $ f(y)dy,
yi w
где /{у) непрерывна на [с, d], то в точке х, где yt и
^.дифференцируемы, будем иметь
В частности, когда уг постоянна, а у2 равна аргументу, как
частный случай формулы (б) получим известную формулу для
производной определенного интеграла с переменным верхним пределом (см. 26.3).

166 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
§ 38. Криволинейные интегралы
38.1. Определение криволинейного интеграла. Рассмотрим на
плоскости спрямляемую дугу АВ, и пусть Р(х, у)— какая-нибудь
непрерывная функция на этой дуге (рис. 99).
Процесс интегрирования этой функции вдоль направленной дуги
АВ по переменному х состоит в следующем:
1) дугу АВ разбиваем на части точками Mk{xk% ук);
2) на каждой частной дуге Мк Мк+1 выбираем точку Nk(lkt г\к)
и умножаем значение функции Р(х, у) в этой точке на приращение х
вдоль рассматриваемой частичной дуги, т. е. составляем произведения
вида
р(1ь> r\k)Axki
где
&xk—xb+i —xh*
3) полученные произведения складываем, т. е. образуем сумму
£Р(£Л, цк)Ахк;
4) находим предел этой суммы при стремлении к нулю
наибольшей из длин частичных дуг
Пт^Р{Ък, г\к)Ахк.
Этот предел, существование которого можно доказать, называется
криволинейным интегралом от Р(х, у) по переменному х вдоль
дуги АВ и обозначается
$/>(*, у) их.
АВ
§ 38] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ JQ7
Таким образом,
] Р(х, y)dx = limyiP(lk, цк)Ахк. (1)
АВ *
Аналогично вводится криволинейный интеграл по переменному у:
\ Q(*, у) dy = Нш 2 Q (Е*. Ч») АЛ- (2)
АВ ' k
Далее вводится комбинированный криволинейный интеграл вдоль
дуги АВ
\Pdx+Qdy = \ Pdx-\-^Qdy. (3)
АВ АВ АВ
Аналогично вводятся криволинейные интегралы вдоль спрямляемой
пространственной кривой АВ от непрерывных функций трех
переменных, заданных на этой дуге. (Здесь Р, Qt R — непрерывные функции
от jc, у, z на дуге АВ, |ft, цк, £л— координаты какой-нибудь точки
на А-й частичной дуге.)
\Р(х, у, z)dx = \\m%P(lk, ъ, Ь)А**, (4)
АВ *
\ Q (*, у, z) dy = llmj Q (^, Л*, tk) АУ» (5)
AB *
$Я(*, у, z)dz=\imJiR(lkt r,ft, Zk)bzk$ (6)
AB *
J Pdx+Qdy-\-Rdz=^ Pdx + J Qdy-\-\$dz. (7)
AB AB AB AB
38.2. Простейшие свойства криволинейных интегралов. 1) При
перемене направления дуги интеграции кри- ^—оВ
волинейный интеграл лишь изменит свой знак
АВ ВА
Это непосредственно следует из
определения. Д
2) Если путь интеграции разбит на части Рис jqq
(рис. 100), то криволинейный интеграл вдоль
всего пути равен сумме криволинейных интегралов вдоль его частей
Ы+S-
АВ АС СВ
Это непосредственно следует из определения.

168
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
3) Криволинейный интеграл вдоль замкнутой кривой не зависит от
выбора начальной точки пути, а зависит лишь от направления обхода.
В самом деле (рис. 101),
S=S+S = S =$ + $•
АтВпА АтВ ВпА
ВпАтВ ВпА АтВ
Правые части равны, следовательно,
S = $ •
АтВпА ВпАтВ
Если интеграл взят вдоль простого (несамо-
Рис. 101. пересекающегося) замкнутого контура С на
плоскости, то направление обхода, при котором
ограниченная контуром площадь остается слева (справа), называется
положительным {отрицательным) и для обозначения интеграла,
взятого в таком направлении, употребляется знак
Ф(*)-
Очевидно,
с с
Ф=-§
У
с с
ч 4) Постоянный множитель выносится за знак криволинейного
интеграла.
Это непосредственно следует из определения.
5) Криволинейный интеграл от суммы равен сумме криволинейных
интегралов слагаемых.
Это непосредственно следует из
определения.
6) Криволинейный интеграл на
плоскости вдоль отрезка,
перпендикулярного к оси Ох{Оу), по
переменному х(у) всегда равен нулю
(рис. 102):
$Р(х, y)dx = 0t
АВ
CD
В
А
х
Рис. 102.
7) Криволинейный интеграл вдоль пространственной кривой,
расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси Ох(Оу, Ог), по
переменному х(у, z) всегда равен нулю.
Это непосредственно следует из определения.
§381
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
169
38.3. Вычисление криволинейных интегралов. Пусть на
плоскости даны параметрические уравнения
{
x = x(t),
y=y{t)
(*0<*<Г)
направленной дуги АВ, причем x(t), y(t) — непрерывно
дифференцируемые функции от t (следовательно, дуга АВ будет спрямляемой) и
x{tb) = xA, x(T) = xB.
tg If t2
-m f-
т
tk *к+1
Рис. 103.
Рассмотрим шкалу параметра t. Разобьем сегмент [t0, Т] на части
точками деления th (рис. 103). Точки Мк{хк, ^.соответствующие
этим значениям t, разбивают дугу АВ на части.
У
О
х
Рис. 104.
где
С помощью формулы Лагранжа находим
А** = *('*+,) — x(tk) = x'(xk)Atk,
Значениям параметра тк соответствуют на нашей дуге точки
Ч(&*. 1*)(рис. Ю4).
Имеем
^P(£ft, цк)Ьхк=^Р[х{хк), у(хк)]х'(хк)Ык.
Здесь левая часть есть интегральная сумма для криволинейного
интеграла от Р вдоль кривой АВ по х% правая часть оказывается
интегральной суммой для некоторого определенного интеграла по

170
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
переменному t. Поэтому, переходя к пределу, при неограниченной
уменьшении наибольшего из Afft получим
J Р(х, y)dx=\ Р[х(0, у (/)]х' (t)dt
АВ
ИЛИ
$ Р(х, y)dx=\ Р[х(0, у(0]<**(О-
Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла
по у, а также для криволинейного интеграла вдоль пространственной
кривой. Таким образом, мы приходим к следующему правилу.
Если заданы параметрические уравнения пути интеграции, то для
преобразования криволинейного интеграла в простой нужно всюду под
У
О
у=уш
У
Уг
У,
х,
Xz я
О
X
Рис. 105.
Рис. 106.
знаком криволинейного интеграла заменить текущие координаты их
выражениями через параметр и затем интеграл понимать как простой
определенный интеграл в пределах изменения параметра.
Отметим простые частные случаи.
1) Пусть у =у(х), xl^x^xt,— уравнение дуги АВ (рис. 105).
Тогда (выбирая х за параметр) получим
$ P{x,y)dx=lP[x,y{x)]dx.
АВ х.
2) Пусть х = х(у), yt^y^yt (Рис- *06)— Уравнение дуги CD.
Тогда (выбирая у за параметр) получим
$ Q(x,y)dy = lQ[x{y),y]dy.
CD Уг
{
§ 38| КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ '71
Пример. Вычислить Ф * у~ у л х , где С—окружность радиуса R
х -\-у
с
с центром в начале координат.
Параметрические уравнения окружности С суть
х = R cos t,
0ss*<2it.
у = R sin t.
Следовательно,
Фхйу — ydx _ Г R cos t d (R sin t)—R sin t d (R cos t)_ С И1_7п
хг + Уг ~ J (Я cos *)* + (/? sin 0* ~~ J
Co о
38.4. Условия независимости криволинейного интеграла от
формы пути. Пусть Р{х,у), Q{xty) — непрерывные функции в
некоторой области. Будем говорить, что криволинейный интеграл
^Pdx-\- Qdy не зависит от формы пути в этой области, если
значения этого интеграла вдоль всяких двух дуг, пробегающих в
названной области и имеющих общее начало и общий конец, одинаковы
(дуги предполагаются кусочно-гладкими, т. е. состоящими из
конечного числа гладких дуг, причем дуга называется гладкой, если ее
можно изобразить параметрическими уравнениями, в которых
фигурируют непрерывно дифференцируемые функции).
Теорема. Для независимости криволинейного интеграла
\ Рйх -\-Qdy от формы пути в рассматриваемой области
необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было
полным дифференциалом некоторой функции, имеющей непрерывные
частные производные первого порядка в названной области.
Достаточность. Пусть Pdx-{-Qdy = du{x,y)t где и(х,у) —
I . х —- % IA
функция требуемого вида. Если < .V' t1^t^tt (где x(t)f
у [f) непрерывно дифференцируемы) — параметрические уравнения
гладкой дуги Г, пробегающей в области и соединяющей точки Мх и Мг,
то, учитывая правило преобразования криволинейного интеграла в
простой и свойство инвариантности дифференциального обозначения, найдем
U
\PdxJrQdy = \du{x,y) = \du[x{f),y{t)\^
г г *,
= u[x(t),y{t)]\ta =u(Mt) — u{Mt).
'*»
То же будет справедливо для кусочно-гладкой дуги (для этого нужно
разбить ее на гладкие дуги, к каждой из них применить эту формулу
и полученные равенства сложить). Этим доказана независимость
рассматриваемого криволинейного интеграла от формы пути.

172 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
Необходимость. Предположим, что \ Pdx-\-Qdy не зависит
от формы пути; тогда при обозначении криволинейного интеграла
достаточно указывать лишь начальную (Мх (х1г yt)) и конечную
{Мг{хг,уг)) точки пути интеграции (не называя самого пути) и писать
Мг х2,уа л, у
J или J . Рассмотрим функцию u(xty) = J Pdx-\- Qdy. Оче-
Afi xt,yt x0,y0
х+ьх,у
видно, и(х-{-Ах, у) — и(х,у) = J , что можно представить в
*,у
виде
х+Д*
$ P(t1y)dt = AxP(x-\-bAx,y); 0<6<1,
X
если в качестве пути взять отрезок прямой и преобразовать
криволинейный интеграл в простой. Отсюда
ди= и{х + Ьх,у)-и(х,у)=р
Аналогично ~ = Q(x,у). Следовательно, Pdx-{-Qdy=du(х,у), что
и требовалось.
Аналогично вводится понятие независимости от формы пути для
криволинейного интеграла \Pdx-\-Qdy-\-Rdz и доказывается такай
же теорема.
§ 39. Интегрирование полных дифференциалов
39.1. Условия, при которых выражение Р1 йхх + • • • + Ра dxn
является полным дифференциалом. Пусть функции Рк (*,, х2, ..., хп)
(k = 1, 2, ..., л), определенные в некоторой области л-мерного
пространства, имеют непрерывные частные производные первого порядка.
Теорема. Если выражение Р,dxt-\-... -\-Pndxn является
полным дифференциалом некоторой функции и(хг,...', хп),
имеющей непрерывные частные производные первого порядка'в упомяну-
„ ••* я (п — 1)
той области, то в этой области выполняются
С„=-—^—соотношений
г. А , г> ' '&и п ди
Доказательство. Дифференцируя равенства Pt — ^-,Pk =^-
дР- ■■ dsu dPk ' д2и
соответственно по хк и *„ получим -^=^7^-^ й£=ЩЩ> и
§ 39J ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 'J73
учитывая, что в силу 24.2 правые части полученных равенств равны
дРг дР
между собой, заключаем, что а^=^гт (Л Л = 1, 2, ...,я), что и
требовалось доказать.
Теорема. Если п функций Pk(xt, ...,хп) имеют непрерывные
частные производные первого порядка в прямоугольной области
I I *) и если в этой области выполняются С„ соотно-
4.0„<V
шений -5-* = -^ (i<^k\ i, k = 1, 2, ..., я), то в этой области
выражение Рх dxx -\-... -\- Рп dxn является полным дифференциалом
некоторой функции и(хг, ...,хп), имеющей непрерывные частные
производные первого порядка.
Доказательство. Требуется показать, что при наложенных
на Рк требованиях существует функция и(хг, . ..,#„), имеющая
непрерывные частные производные 1-го порядка и удовлетворяющие
системе уравнений
{
5£=p*(*i« *■» •••»*«> № = \,2, ..., я). (П
Проведем доказательство методом индукции. Для п = 1 теорема
вытекает из существования первообразной для непрерывной функции
одного переменного. Покажем теперь, что теорема верна для любого л,
если она верна для п — 1. Найдем все решения отдельно взятого
первого уравнения системы (1). Если ■^- = Pl(xv ...,jen), то
С7Л|
«(*!, •••.*И)=$*>,(',*„ ..... *Я)Л + Ф(*1. ...,*„), (2)
а
где а взято в интервале (a,, bt) и где <р — постоянная относительно xt
(значения которой зависят от ха, ..., хп). Так как первое слагаемое
правой части (2) имеет непрерывные частные производные 1-го порядка
в силу §§ 26, 37, а левая часть — по предположению, то <р тоже имеет
непрерывные частные производные 1-го порядка. Обратно, если <р имеет
непрерывные частные производные 1-го порядка, то функция и\х1%...
..., хп), определяемая формулой (2), также имеет непрерывные
частные производные 1-го порядка и, кроме того, удовлетворяет
первому из уравнений системы (1). Для того чтобы теперь
«(*,, ....,*„) удовлетворила прочим уравнениям системы (1), следует
*) Каждое aft конечно или равно — оо, каждое bk конечно или равно -f- оо.

174 • ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ. V
подобрать ф (х„ ..., хп) так, чтобы
\wk[\ рЛ**х» • ••.*„) «и+<р(*.. • ••.*„)] =
= Pik(JCI, ...,хя) (£ = 2, 3, ...,л)
ИЛИ
Учитывая, что ^—, = ^-5, и замечая, что в силу § 37, правые части
этих уравнений суть
X,
Г дР
а
х,
= Рк(Х1, ...,*„) — J|^C *. AT„)^ = PftU1, ...,*„) —
a
заключаем, что требования, налагаемые на <p(jea, ..., хп\ имеют вид
||^ = ЯА(а, х2, .... хп) {k = 2, 3, ..., л)
и по предположению индукции они выполнимы (Q_, соотношений,
которыми должны связываться правые части, вытекают из соотношений
—i = -r-£ где 2 <;*'<:£<; л, если в них положить х. = а). Таким
dxk dxi ' ж
образом, индукция проведена и теорема доказана.
Примечание. Можно показать, что теорема остается в силе, если
вместо прямоугольности области предполагать лишь ее односвязность, однако
на этом мы не будем останавливаться. *
39.2. Интегрирование полных дифференциалов. Задача. Пусть
ЯА(х*,, ...,jc„) имеют непрерывные частные производные в некоторой
прямоугольной области. Выяснить, будет ли выражение Рх йхх-\-...
... -\-Рп dxn полным дифференциалом некоторой функции л переменных
и (хи ..., хп) (имеющей непрерывные частные производные первого
порядка), и если будет, то найти все такие функции u(xlt ...,xa).
Из обобщенной формулы Лагранжа (см. 19.4) следует, что если
одна из искомых функций и (л;,, ..., хп) существует, то существует
бесконечно много искомых функций, причем общий вид их есть
и (xtt ..., дгя) -|- С, где С— произвольная постоянная.
§ 39) ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 175
Из 39.1 следует, что Я, dxt-\- ... -\-Pndxn будет полным
дифференциалом только в том случае, когда выполняются С„ соотношений
d^==~dxT^<^k'' '» *=1» 2. .--.л). Нахождение тех и(х, ...,хп),
полным дифференциалом коих является выражение Я, dxt-\-.. .-\~Pndxn,
может быть выполнено методом индукции, намеченным в
доказательстве второй теоремы 39.1.
Пример. Выяснить, будет ли выражение
yzu dx + (xzu + ги) dy -f- (xyu + yu -f- u) dz + (xyz + yz + z + 1) du
полным дифференциалом некоторой функции v (х, у, z, и), и если будет, то
проинтегрировать его.
Здесь С\ = 6 условий, очевидно, выполняются. Последовательно
находим (беря всякий раз а = 0)
' *> ы ( Ё^-ги ( *L_U <?Х _,
дх y2U ду~ги I &—в -Ж-1
dv I йф
^-=xzu-±-zu J *
ду ^
\
fo — xyu + yu + u
Idz—y-i-jf-r- ^ -fa
dv
{ дИ=хуг + уг + г + 1
v = xyzu + <p(y, г, и\ <р =*yzu-f -ф(г, «), ij> = ги + х ("), Х = и+С,
о = xyzu -f- yzu -j- z" -f- и -f- С.
Остановимся еще, в частности, на случаях л = 2 и л —3.
По второй теореме из 39.1 выражение Р(х, y)dx-{-Q(xt y)dy,
где Я и Q имеют непрерывные частные производные 1-го порядка
в односвязной области плоскости, будет полным дифференциалом
л/л ЯР
только в случае, когда -д~- = ~д-- Искомые функции и(х, у)
(полный дифференциал коих равен Pdx -\- Q dy) тогда можно в силу 38.4
записать в виде
х. у
и(х,у)= I Pdx+Qdy-\-C.
х0.Уо
В случае прямоугольной области в качестве пути интеграции
можно взять двухзвенную ломаную, состоящую из отрезков
параллельных Ох и Оу. Тогда приходим к формуле
с у
«(*. y)=lPV,y.)dt+lQ{xt f)dt + C.
х0 Уо
По второй теореме из 39.1 выражение P(x,ytz)dx-{-Q(x,y,z)dy -\-
~{~R(x%y,z)dzt где Я, Q,R имеют непрерывные частные производные

176 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
1-го порядка в односвязной области пространства, будет полным
3Q дР\ dR__dQ .
дифференциалом только в случае, когда "ддГ ^ W ' ~дй ~дг~'
-¥-=4^-. Искомые функции и{х, у, z) (полный дифференциал коих
равен Pdx-\- Qdy-\-Rdz) тогда можно в силу 38.4 записать в виде
х. у. z
и{х, у, z) = J Pdx-\-Qdy-{-Rdz-\-C.
*o. Уо. zo
В случае прямоугольной области в качестве пути интеграции
можно взять трехзвенную ломаную, состоящую из отрезков
параллельных Ox, Оу, Oz. Тогда приходим к формуле
х У г
«(*, У, ^=lPitty9tz.)dt+)Q[xtttz9ydt+lR{xtyt t)dt-\-C.
у
J
х0 Уо *а
§ 40. Двойные интегралы
40.1. Определение двойного интеграла. Пусть D — ограниченная,
замкнутая, квадрируемая область плоскости, в которой введены
прямоугольные координаты. Пусть в
области D задана непрерывная
функция двух переменных /(х, у).
Процесс интегрирования /(х, у)
по области D состоит в следующем:
1) Разобьем область D на квад-
рируемые части, пронумеруем эти
> - части (разбиение на части может про-
D х водиться весьма разнообразно) и
Рис. 107. обозначим k-ю часть и ее площадь
ок (рис. 107).
2) В каждой части берем точку (£А, г\к) и значение функции
в этой точке /(|л, т]А) умножаем на ak, т. е. составляем
произведения вида f{lk, rjft)ov
3) Полученные произведения сложим между собой, т. е. образуем
сумму
к
4) Находим предел этой суммы при стремлении к нулю
наибольшего из диаметров частей. (Диаметром фигуры называется наибольшее
из расстояний между точками этой фигуры, например диаметром
прямоугольника будет длина его диагонали.)
§ 40]
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
177
Этот предел, существование которого можно доказать, называется
двойным интегралом от функции / {х, у) по области D и обозначается
l[f(x> y)dxdy.
D
Таким образом,
JI /(*, у) dx dy = lira2/(|Л1 r)k)ok. (1)
D *
Примечание. Определение двойного интеграла как предела
интегральной суммы, которое мы изложили, остается в силе, если вместо разбиений
на части области D разбивать на части некоторые «приближающиеся» к D
области D (рис. 108). При этом предполагается, что каждая часть о>, на
которые разбивается D, имеет общие точки с D, и точки
(§*» Л*)» выбираемые в ak, лежат в D.
Далее предполагаем, что последовательный выбор
областей D осуществляется так, что площади части D,
лежащей вне £>, и части D, лежащей вне D, стремятся к
нулю. Пусть эти площади меньше е, где е — сколь
угодно малое положительное число, и пусть S, составленная
этим новым способом, — интегральная сумма. Отбросив от
каждой ok часть, лежащую вне D, мы изменим S мень- Рис. 108.
ше, чем на Me, где М — максимум модуля £ (х, у) в D, и
получим новую сумму S*. Разбив теперь часть D, лежащую вне Ь, на части со
сколь угодно малыми диаметрами, и составив произведения площадей этих частей
на значения f (х, у) в каких-нибудь точках этих частей, прибавим эти
произведения к S*. Тогда S* изменится менее чем на Me, и в результате мы
получим интегральную сумму S, фигурирующую в определении двойного
интеграла, причем
|S —5|<2Ме.
Изложенное показывает, что S—5—"О, а так как
\ J f.(x, y)dxdy,
$"*$$/(*, у),
40.2. Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть
/(*» У)—непрерывная, положительная функция в области £>.
Рассмотрим поверхность z=f(x, у), изображающую функцию f(x, у)
(рис. 109). При определении двойного интеграла мы делили D на
части с площадями ok и составляли произведения /(ift, т]ь)аА.
Геометрически эти произведения представляют собой объемы
цилиндрических столбиков с площадями оснований ок и высотами /(|ft, rjfc).
Сумма объемов всех полученных столбиков

178 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
z-f(x,y)
есть объем ступенчатого тела, ограниченного плоскостью 2 = 0,
цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Ozt
направляющей которой является контур области D, и ступенчатой
поверхностью, составленной из
кусков горизонтальных
плоскостей. Переходя к пределу,
получим объем нормальной, области^
т. е. области, ограниченной
поверхностями z = 0; z = f(x, у) и
упомянутой цилиндрической
поверхностью с образующими,
параллельными оси Oz.
*х \ /" ^V Итак, если f(x, у)
положительна в области D, то \ \ /(х, у) dx dy
равен объему тела, ограниченного
Рис. 109. плоскостью хОу (т. е. плоскостью
2 = 0), поверхностью z=f(x, у)
и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси
Ozt имеющей в качестве направляющей контур области D.
Бели функция f{xt у) отрицательна на £>, то
$$/(*. y)dxdy
равен упомянутому объему со знаком минус.
40.3. Простейшие свойства двойного интеграла. 1) Если область
интегрирования D разбить на части, то двойной интеграл по этой
области равен сумме двойных интегралов по ее
частям.
Пусть D разбита на Dt и £>2 (рис. 110).
Тогда
что непосредственно видно из определения
двойного интеграла.
2) Постоянный множитель выносится за знак двойного интеграла.
В самом деле,
HW{x,y)dxdy = \lm,%fV{lh т],.)<т, = tf lim ]£/(£;, 1fK=
о ' *
Рис. ПО.
'NalaUaus
§ 40] ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 179
3) Двойной интеграл суммы равен сумме двойных интегралов
слагаемых.
В самом деле,
S \ !/(*> У)+Ч I*. У)]dx аУ =lim 2 1ЛЕ*. П») °k + -
D к
+ Ф(£*. Т|А)]стА = Ит2/(1А. ЛаК + 1»п1]Ф(£а. Л*К =
k k
— $ J /(*, У) dx dy -\-JJ ф (x, y) dx dy.
D D
Замечание. Отсюда и из геометрического смысла двойного интеграла
для знакопостоянной функции следует:
Если область D разбивается на конечное число частей, на каждой из
которых £(х, у) сохраняет определенный знак, то \ \ [(х, y)dxdy равен ал-
D
гебраической сумме объемов тел, ограниченных поверхностями г = 0; г — JF(х, у),
цилиндром с образующими, параллельными оси Oz, направляющей которого
является контур области D, причем объемы тел, лежащих выше (ниже)
плоскости хОу, берутся со знаком -{-(—).
4) Двойной интеграл от единичной функции равен площади области
интеграции.
В самом деле,
Si^dxdy = lim2 ok = пл. D.
5) Двойной интеграл от неотрицательной функции неотрицателен.
Действительно, в этом случае интегральные суммы ^Он,
следовательно, их предел ^0.
Отсюда следует, что если f{x, y)^q>{x, у) на области £), то
J J/l*i У) dx dy < J J ф (x, y) dx dy.
D D
В самом деле, J J <p (#, y)dxdy — J J / {x, y) dx dy = J J [<p {x,y)—
D D D
—/(*i y)]dxdy^Qt так как ф(дс, у)— f(x, у)^0щ области D.
6) Вывод теоремы о среднем. Пусть на замкнутой квадри-
руемой области D задана непрерывная функция /(#, у). Тогда (в
силу 19.2) f(x, у) принимает в области D все значения, лежащие
между наибольшим и наименьшим значениями f(x, у) на D.
Обозначая их соответственно М и т, для всех точек области D
имеем
»*</(*, У)^М,
поэтому
\\mdxdy < JS/(JC, y)dxdy < JJiMdjcdy,

180 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
ИЛИ
откуда
т-пп. D<jJ/(jc, y)dxdy^M-ni\. D,
D
$$/(*. y)dxdy
m
пл. D
M.
Дробь, стоящая в средней части, является промежуточным числом
между т и Ж, следовательно, /(х, у) в некоторой точке (|, rj)
области D принимает это значение:
$$/(*, y)dxdy
откуда
пл. D
=/(£, г,),
\\fKx* y)dxdy=/(lt ч).пл.Я.
D
Это и есть искомая формула. Таким образом, доказана
Теорема. Двойной интеграл от непрерывной функции, взятый
по ограниченной квадрируемой области, равен произведению
площади этой области на значение подынтегральной функции в некоторой
точке области.
Ау*
tod
y-Ytxi
У-Уа№
щ хи,
Рис. 111.
9 .. v,„, Эта теорема позволяет
оценивать величину двойного интеграла,
если известна площадь области
интеграции и известно, между
какими числами лежат значения
функции в этой области.
40.4. Преобразование
двойного интеграла в двукратный
(повторный). Пусть в замкнутой
области D, ограниченной линиями
У=УЛ*)* У = к(*). *=*•.
х=Х, задана непрерывная функция f(x, у) (рис. 111).
Разобьем сегмент [х0, X] на части точками деления х{ и
проведем вертикали x=xt. Будем рассматривать отрезки этих вертикалей,
лежащие в D. Отрезок вертикали x=xt разобьем на части точками
деления ук (каждому xt отвечают свои ук) и проведем через эти
точки горизонтальные прямые до пересечения с вертикалью jp=jc/+l.
Совокупность всех прямоугольников со сторонами Ах{ и &ук (см.
рисунок) можно рассматривать как разбиение «близкой» к D области
на части, поэтому (в силу примечания в конце 40.1) сумма
&
§ 40] ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181
когда наибольшее из всех чисел Axit Ayk стремится к нулю, даст
в пределе двойной интеграл от f(x, у) по области D.
Возьмем произвольно малое е>0. Так как /(*, у) равномерно
непрерывна в D, то найдется такое Т)^>0, что в области D при
| Ду | <^ т) имеем
!/(*, j>+Ay>—/I*. j)|<e.
Предположим, что все наши Дул меньше tj. Имеем
2 /(*i. yk) Axi Ау*=2 Axi 2 Л*/, л) by*
i.k i k
(смысл этой записи состоит в том, что сначала мы суммируем по
индексу k, т. е. «по столбикам», а затем результаты складываем,
т. е. суммируем по индексу /).
Но в силу 26.2
2/to, л)Ау*= I f(xi>y)dy+*h kl<ez;,
* Уо <*i)
где L — максимум У(х)—у0(х) на [х0, X]. Следовательно,
У <*«)
2Л*;> Л)Л*/4Уа=2Да;' i f(xit y)dy-\-2ieiAxi;
'.* ' Уо(х») i
откуда видно, что вторая сумма в правой части стремится к нулю.
Поэтому в пределе получим искомую формулу преобразования
двойного интеграла в повторный
X Y 1х)
Ил*. y)dxdy=^dx J /(*, y)dy.
D x0 Vo(*>
В правой части этой формулы внутренний интеграл есть интеграл
зависящий от параметра х *).
Меняя роли х и у, придем к аналогичной формуле
J J /(*, » dx dy = J dy J /(x, у) dx%
D Уо; x0 (y)
где D — область, ограниченная линиями х — хь{у),.х= Х(у), у== уа,
у^у (рис. 112").
В этой формуле внутренний интеграл зависит от параметра у.
*) Он является непрерывной функцией .от х (см. примечание в § 37).

182 . ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
Частный случай. Если область интегрирования есть
прямоугольник, ограниченный прямыми х = а, x — b, y = ct y = d (рис. ИЗ),
У
У
О
х
Рис. 112.
Рис. 113.
то формула преобразования двойного интеграла в двукратный имеет
вид
Ь й d Ь
$ $/(*, y)dxdy=[ «**$/(*, y)dy= I dy $/(*, y)dx.
D . а с с а
Последнее равенство
называют «формулой
интегрирования под знаком
интеграла».
Если, кроме того, в
подынтегральной функции
переменные разделены, т. е. /(*, y) = q>(x)q(y), то двойной интеграл
превращается в произведение двух простых интегралов:
Ъ d Ь d
$ J q>(x)ip(y)dxdy—$4{x)dx^ip{y)dy=lq>(x)dx-ly(y)dy.
D а с в с
Пример I. Найти [[ xydx dy, где Л —область, ограниченная
D
линиями у=х*, х = уг (рис. 114).
§ 41]
Имеем
ФОРМУЛА ГРИНА
183
« У* 1 t.y=V7
^ ^xydxdy = ^ хйх ^ ydy = $*|-| dx =
D
X*
1
о
Пример 2. Найти \ V sin x sin у dx dy, где область D — квадрат
0<Жя, 0=^#<я (рис. 115).
Имеем
\ V smxs\nydxdy=z V s\nxdx С s\n у dy=(^s>U\xdx\ =2* = 4.
D о о о
§ 41. Формула Грина
41.1. Вывод формулы Грина. Формула Грина преобразовывает
криволинейный интеграл вдоль простого замкнутого контура в
некоторый двойной интеграл по области D, ограниченной этим контуром.
Пусть сначала область D имеет следующий специальный вид: она
ограничена линиями у =yt (x),
У=У* (*). *=*,, х = хл (рис. 116).
Контур С этой области D
разбивается на части I, II, III, IV
(части II и IV могут иногда
вырождаться в точку).
Для любой непрерывной в
замкнутой области D функции Р(х, у),
имеющей непрерывные частные
производные первого порядка,
имеем
г I II III IV
Рис. 116.
Второе и четвертое.слагаемые правой части равны нулю, так как
криволинейный интеграл по х вдоль отрезка, перпендикулярного оси
Ох, всегда равен нулю. Первое и третье слагаемые преобразуем

184 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
в простые интегралы (за параметр выбираем х). Следовательно,
ф Pdx = J Р[х, у, (х)} dx + J Р[х, уш (х)) dx =
X,
**
=-1Ч^=-Я1^-'
У=У*
dx =
У=У1
С D
Покажем теперь, что эта формула будет верна и для
произвольной области D, которую можно разбить на конечное число частей
Dlt D2, ..., Dn рассмотренного выше вида (проведя надлежащим
образом вертикальные
«перегородки», рис. 117). " А
Щ D «t^e
.27 О
х~хг(у)
Рис. 117.
Рис. 118.
Действительно, обозначая через Ck контур области Dh% получим:
учитывая, что интегралы по перегородкам не оставят следа.
Рассмотрим теперь замкнутую область D, ограниченную линиями:
* = *iO0. * = Xt(y), У—Уг, У=Уг (РИС, 118).
Контур С этой области разбивается на четыре части I, II, III,
IV (части II и IV могут иногда выродиться в точку).
Пусть Q[xt у) — непрерывная функция с непрерывными частными
производными 1-го порядка в области D. Имеем
Ф«*=$.+$+$+.$•
II Ш IV
§ 411
ФОРМУЛА ГРИНА
185
Второе и четвертое слагаемые правой части равны нулю, так как
криволинейный интеграл по у вдоль отрезка, перпендикулярного
к оси Оул всегда равен нулю. Первое и третье слагаемые правой
части преобразуем в простые интегралы (беря за параметр у).
Следовательно,
§Qdy = l Q[xl(y),y]dy+l Q[x2(y), y]dy =
c У* yi
у* у. t
= ) №(*.. У) — Qi*t.y)]dy = l Q(x,y)\ *dy =
-Мз—яз**-
Уг
x=x.
x=x,
У1
*i
§Qdy=\№dxdy. (2)
С D
Покажем теперь, что эта формула будет верна и для
произвольной области D, которую можно раз- «
бить на конечное число частей £>,, .
£>„ ..., Dn рассмотренного выше
вида (проводя надлежащим
образом горизонтальные «перегородки»,
рис. 119).
Обозначая через Ск контур
области Dk и учитывая, что интегралы
по перегородкам не оставят следа, О
получим: Рис. 119.
Складывая почленно формулы (1) и (2), получим так называемую
формулу Грина
фр^+(3^=Я(§-|)^^. (3)
С D
41.2. Выражение площади фигуры через криволинейный
интеграл по контуру. При Р=—у; Q = 0 из формулы Грина следует,
что
— tyydx=§\dxdy = im. D.

186 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ. V
Аналогично при Я=0; Q=jc получаем
ф х dy = j ^dxdy = nn. D.
Наконец, при Р= — у; Q=~x находим
•о-фя^у—ydx=\ \ dxdy = nn. D.
с d
Таким образом, для площади плоской фигуры £>, ограниченной
контуром С, имеем формулы
пл. D= — faydx = faxdy~ уфх^у— у dx. (4)
ее с
41.3. Геометрический смысл якобиана. Пусть на плоскости хОу
задана область D, ограниченная контуром С (рис. 120), а на
плоскости uOv задана область А, ограниченная контуром Г (рис. 121).
У
О
V
X
0\
и
Рис. 120.
Рис. 121.
Предположим, что между точками областей D и А установлено
взаимно однозначное соответствие, выражаемое формулами
х = х(и, v)t
у=у(и, v)r
Будем также предполагать, что x(ut v),y(u, г>)-^-непрерывные
функции с непрерывными частными производными в замкнутой области А.
Введем параметрические уравнения контура Г области А:
{.
\v = v{f) *
t^L
(предполагаем, что и u(t), v{t) непрерывно дифференцируемые
функции на [txt /2j).
ШЫЙатгШ.
§ 41J ФОРМУЛА ГРИНА
Тогда параметрические уравнения контура С будут
: = *(/),
187
{;
= УЮ
t.^t^t,
к
где x = x{u(t), v(t)), y—y{u(t), v(t)) (точкам контура Г
соответствуют точки контура С).
Имеем (полагая J (и, v) = \, ' ( и используя при
преобразованиях выражение площади через криволинейный интеграл по контуру,
правило преобразования криволинейного интеграла в простой, формулу
полной производной, формулу Грина, теорему о среднем для двойного
интеграла): ,
„л. о=ф**=Йл=?*@а+ё£)л=
С t, t,
г *
~±Ш£2-£2)*"-±И
дх д£
ди dv
ду ду
ди dv
dudv —
= ±§§tffc£)dttdv=s±§§Ji*> v)dudv = ±J(%t Л) пл. А =
д
= |7(g, f|)| пл. А,
откуда
пл. D
пл. Д
=|ЛБ. л)|.
(5)
Эту формулу можно рассматривать как плоскостный аналог
формулы конечных приращений Лагранжа.
Стягивая А в точку (и, v) (тогда точка (£, tj) будет стремиться
к точке (и, I»)) и переходя к пределу, получим
|У(и, v)I = lim
пл. D
"шГд '
Это показывает, что якобиан двух функций по двум переменным
можно рассматривать как своего рода плоскостный аналог производной.

188
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ |ГЛ. V
§ 42. Замена переменных в двойном интеграле
и приложения двойных интегралов
42.1. Вывод формулы замены переменных в двойном интеграле.
Пусть имеем двойной интеграл от какой-нибудь непрерывной
функции f(x> У) в области D на плоскости хОу
\[f{x,y)dxdy
D
и пусть на плоскости uOv задана область А.
Если между точками областей Д и D установлено взаимно
однозначное соответствие (вида, рассмотренного в 41.3), то двойной
интеграл по области D можно преобразовать в некоторый двойной
интеграл по области Д. Разобьем область Д на части. Обозначим
i-ю часть и ее площадь st. Это разбиение порождает определенное
v
О
и
Рис. 122.
Рис. 123.
разбиение D на части. Пусть /-я часть и ее площадь будут at
(рис. 122 и 123).
На основании формулы (5) § 41 получим
Ц = | У («., Vi) |; а, = \J (в,, vt) | *,.
Точке (uhVi) в Si отвечает определенная точка (xityt) в ait где
xi = x{ui, vt), yt=y(ut, v(). Имеем
Правая часть этого равенства оказывается интегральной суммой
для некоторого двойного интеграла по области Д.
Переходя к пределу при неограниченном уменьшении диаметров st
(тогда диаметры at также будут неограниченно уменьшаться),
получим
Ц/(х* y)dxdy = l\/lx{u> v), у {и, v)]\J\u, v)\dudv
§ 42|
или, короче,
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
189
dudv.
(О
Это есть искомая формула замены переменных в двойном интеграле.
42.2. Двойной интеграл в полярных координатах. Связь между
прямоугольными координатами и полярными координатами (если за
полярную ось взять положительную часть оси абсцисс), выражается
формулами
X = Г COS ф,
у = г sin ф,
следовательно,
дх дх
' cos ф — г sin ф I
= г (cos" ф -j- sin2 ф) = г.
{
0(*.У).
д(г,у)
дг dq>
ду ду
дг dtp
sin ф г cos ф |
Таким образом, формула перехода в двойном интеграле к
полярным координатам г, ф имеет вид
J S /(*. У)dx аУ = i J /(r cos ф, r sin ф) г dr Лр,
(2)
где, говоря упрощенно, область Д есть совокупность всех таких
точек с прямоугольными координатами г, ф на плоскости гОф, что
точка с полярными координатами
г, ф на плоскости хОу
принадлежит D.
Например, области D на
плоскости хОу, ограниченной линиями,
9
f-f
"\
S
1
2
О
i • ■
Ш1 /швух/
Z
5
Ъ
Рис. 124.
г-2 г~5
Рис. 125.
уравнения которых в полярных координатах суть г = 2; г = 5; ф=0;
п
Ф —"2~ (рис 124), отвечает на плоскости гОф область Д,
ограниченная линиями с теми же уравнениями, но понимаемыми уже как
уравнения в прямоугольных координатах (рис. 125).

190 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
Если, в частности, область D ограничена линиями /, = г1(ф),
г = МФ)> <Р = Ф». <Р = Ф. (причем 0</-1(<р)<г,(ф)) (рис. 126, 127)',
<Pi
О
Рис. 126.
Рис. 127
то формула перехода в двойном интеграле к полярным координатам
принимает вид
\ \ /(#, у) dydx=^dq> ^ /(г cos ф, г sin ф) г dr.
D «Pi Г» (<р)
42.3. Площадь кривой поверхности. Рассмотрим поверхность
с непрерывно вращающейся касательной плоскостью.
Площадь куска такой поверхности может быть определена так:
кусок поверхности разбивается на части, и каждая часть проектируется
на касательную плоскость, проведенную в некоторой точке этой
части. Затем берется сумма площадей полученных проекций и
находится предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшего из
диаметров частей, на которые кусок поверхности разбивался. Этот
предел называется площадью рассматриваемого куска поверхности.
Рассмотрим поверхность z=f(xr y)t где f(x, у) непрерывная
функция, имеющая непрерывные частные производные первого порядка.
Вырежем из поверхности кусок 5, и пусть D — его проекция на
плоскость хОу. Разобьем D на части с,- и в каждой из них возьмем
точку £;, т),-. В точке пересечения поверхности S с прямой х — £,-;
j/ = Tj£ проведем касательную плоскость. Цилиндр с основанием ot и
образующими, параллельными оси Oz, вырежет из этой касательной
плоскости кусок с площадью s( (рис. 128).
Очевидно, ai = si cosyit где Yi—Угол нормали щ к поверхности
z—f{x,y) в точке, в которой * = £;, y = i\i, с осью z.
Следовательно,
о,-
cos Yi
£*■■=£
cos Yi
§42}
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
191
Правая часть последнего равенства дает в пределе
Ийхйу
cosy'
D
где y — угол нормали к поверхности z—f(x,у) с осью z. Сумма
2а si даст в пределе площадь S рассматриваемого куска поверхности
(это следует из
определения площади поверхности).
Таким образом,
4S
dxdy
cosy
(3)
Этой формуле для
площади кривой поверхности
можно придать другой вид.
Вспомнив, что уравнение
касательной плоскости к
поверхности z =/{х, у) имеет
вид
Z—z =
= p{X—x) + q{Y—y)
О
\^z-f(x,y)
D f£.VJ
Рис. 128.
(где р==!, ?=!), „л„ -p{X-x)-q{Y-y)-{-{Z-z) = 0,
заключаем, что
cos у =
V(-p)f+(-<7)i+i w+^+i
и формула для S принимает вид
(4)
Пример Найти площадь куска поверхности г = ху, вырезанного ци-
линдром х*-{-у2=1. г
Имеем
дг дг Г р ,
,дх = у> ду=Х; S=))VTT^4:?dxdy,
О
I™™™J32T радиУса l c центром в начале координат. Переходя к полярным
координатам, получим к
S=j"rf(pJ VTnF73rdr=-| я (2 у~2 _ 1).
а a

192
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ.У
42.4. Механические приложения двойных интегралов. Пусть
на плоской фигуре D распределена масса т. Пусть q(x, у) обозна*
чает поверхностную плотность распределения массы в точке (х, у\ы
Умножения, суммирования и переходы к пределам приводят к
формулам:
1) Масса плоской фигуры
т=) ]Qdxdy.
(5)
2) Момент инерции плоской фигуры относительно начала
координат О г г
D
(в случае равномерного распределения массы q = const и может быть
вынесено за знак интеграла).
3) Координаты центра тяжести С
\ \ xq dx dy \ \ t/Q dx dy
п . .. _ о
Ус =
^Qdxdy ^Qdxdy
(7)
Рис. 129.
(в случае равномерного распределения массы
q== const выносится за знаки интегралов и
сокращается).
Пример. Найти момент инерции однородного круга радиуса R относи»
тельно его центра.
Имеем J0 = q \ \ (xt-^-yt)dxdy, где D — круг радиуса Я с центром в на-
D
чале координат (рис. 129). Переходя к полярным координатам, получим
R
■ж
1
/0=4qJ dtp Jr»dr=^p- = 0,5m*2.
42.5. Понятие о несобственных двойных интегралах.
Ограничимся одним частным случаем несобственных двойных интегралов»
Пусть /(#, у) — непрерывная положительная функция на всей пло-
скости. Несобственным двойным интегралом от /(х, у) по всей
плоскости хОу называется
lim J $/(*, y)dxdy
D
при неограниченном расширении ограниченной замкнутой области В
(неограниченное расширение- D обозначает, что с некоторого момента
ШЫЙатгШ.
§ 42]
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
193
D содержит как часть любую наперед заданную ограниченную
плоскую фигуру). Этот предел существует и не зависит от выбора
расширяющихся областей D, но может быть как конечным, так и
бесконечным. В первом случае несобственный интеграл от рассматриваемой
положительной функции называется сходящимся.
Покажем, что сравнение результатов вычисления двумя разными
способами несобственного интеграла \ \ e~*2~yZdx dy (взятого по всей
+ 00
плоскости) дает возможность вычислить интеграл Гаусса С e~x*dx,
о
играющий важную роль в теории вероятностей. Пусть Кц — круг
радиуса R с центром в начале координат, Са — квадрат с центром
в начале координат и сторонами, параллельными осям координат и
равными 2а. Имеем
tit R
lim f f e-**-y2dx dy = lim f dw \ e~r*r dr =
He-*-»*dxdy =
R-*co
= limn(l—e~R) = n.
R-Усь
lim \[e-*2-y2dxdx =
a a
= lim \ e~*sdx \ e~y dy =
a + oo
а-усо
— a
— со
откуда
+ 00 +00
( $ e-x2dxy = n; J e-**dx = Vn,
— 00
— 00
HO
Следовательно,
+ 00 +O0
J e-xtdx = 2 J e-x*dx.
— oo
+ CO
,-**
dx
_Vn
' П. И. Романовский

194 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
§ 43. Поверхностные интегралы
43.1. Определение поверхностных интегралов. Пусть S —
двухсторонний*) кусок поверхности, который можно разбить на конечное
число частей, каждая из которых либо изобразима уравнением вида
z=f(x, у), либо является частью цилиндрической поверхности
с образующими, параллельными оси Oz.
На этом куске S выберем определенную сторону.
Пусть R{x, у', z) — непрерывная функция на 5.
Процесс интегрирования функции R(x, у, z) по выбранной
стороне поверхности 5 по переменным х, у состоит в
следующем:
1) поверхность 5 разбивают на части sit каждая из которых либо
изобразима уравнением вида z=f{x, у), либо является частью
цилиндрической поверхности с
образующими, параллельными оси Oz;
2) на каждой части st берут
точку £,-, t)f, £,■ и значение
рассматриваемой функции в этой точке
умножают на взятую с определенным
знаком площадь проекции st на
плоскость хОу, причем берут знак
плюс, если выбранная сторона
поверхности обращена на s{ в сторону
Рис. 130. возрастания z, и берут знак минус,
если выбранная сторона
поверхности обращена на st в сторону убывания z; если ss принадлежит
цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz,
то вопрос о знаке отпадает, ибо в этом случае площадь проекции
равна нулю;
3) полученные произведения складывают;
4) находят предел этой суммы при стремлении к нулю
наибольшего из диаметров частей sf.
Этот предел называется интегралом от R{x, у, z) по выбранной
стороне поверхности 5 по переменным х, у и обозначается
J J R (х, yt z) dx dy.
s
Аналогично определяются поверхностные интегралы по другим
парам переменных (при аналогичных ограничениях налагаемых
на S).
*) Понятие «стороны поверхности» нуждается в обосновании, но на этом
мы не можем останавливаться.
§ 43]
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
195
Таким образом,
Пр(*' * z)dydz = lim^P(li1 г,,., £.) {Sl)
s i
HQ{x> У> z)dzdx = \\m^Q(llt f|„ £,) (*,)„,
J §R(x, y, z)dxdy = Um^R{lh rj,-, £,) [s^,
S i
где (s{) — площадь проекции s{ на плоскость хОу, взятой с
определенным знаком, и аналогичный смысл имеют ($[)уг, (s,)^.
Далее вводится понятие комбинированного поверхностного
интеграла:
J ^Pdydz-\-Qdzdx-{-Rdxdy =
s
= $ [раУ dz+ S S Qdzdx+l J Rdx dy.
s s s
43.2. Простейшие свойства поверхностных интегралов. Из
определения поверхностных интегралов непосредственно вытекают
следующие свойства:
1) при перемене стороны поверхности поверхностный интеграл
лишь изменяет свой знак;
2) если кусок поверхности разбит на части, то интеграл по всему
куску равен сумме интегралов по его частям;
3) постоянные множители выносятся за знак поверхностного
интеграла;
4) поверхностный интеграл от суммы равен сумме поверхностных
интегралов от слагаемых;
5) поверхностный интеграл по куску цилиндрической поверхности
с образующими, параллельными оси Oz, по переменным х, у всегда
равен нулю (аналогично: интеграл по куску цилиндрической
поверхности с образующими, параллельными оси Ох, по переменным у, z
и интеграл по куску цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными оси Оу, по переменным z, x всегда равны нулю).
43.3. Простейшие случаи преобразования поверхностных
интегралов в обыкновенный двойной интеграл. Пусть дана поверхность
z=z(x, у), S — кусок этой поверхности, А его проекция на
плоскость хОу. Если на S выбрана сторона, обращенная в сторону
возрастания z, то

196 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
(рис. 131), откуда после перехода к пределу получим
$ $/?(*, у, z)dxdy=^ $Я[*. У* z(x> y))dxdy.
Аналогичные формулы получаются для поверхностных интегралов
по другим парам переменных:
J J Р(х, yt z) dy dz = J J P[x(y, z), у, z]dy dz
S A
(где 5 — кусок поверхности x — x(y, z), A— его проекция на
плоскость yOz),
J. ) Qix> У* z)dzdx— J J Q[x, y(z, x), z]dzdx
S A
(где 5—-кусок поверхности y=y{zt x), А его проекция на
плоскость zOx).
г i
Пример. Найти \ \ 2-, где S обозначает верхнюю половину сферы
радиуса 1 с центром О, причем выбрана верхняя сторона S. Тогда А — круг
радиуса 1 с центром О на плоскости хОу, г(х, у) = }^1 — хг— у2,
следовательно,
И dxdy Г С dxdy _ Г С dxdy _
2-** })2-(Г\-х'-УГ J J »+*• + *■
S А ,Д
2*
= М
r dr ** 1 . ,, . ,.
трг = Ф о Tln(l+rs)
= я1п2.
§ 44]
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
197
о
fti.ViA
гх
Рис. 132.
§ 44. Тройные интегралы
44.1. Определение тройного интеграла. Пусть D —
ограниченная, замкнутая, кубируемая область пространства, в котором введены
прямоугольные координаты, и пусть в области D задана непрерывная
функция трех переменных f(x, у, z).
Процесс интегрирования
/(*, У, z)
по области D состоит в следующем
(рис. 132).
1) Разобьем D на кубируемые
части, пронумеруем эти части
(разбиение на части может проводиться
весьма различно) и обозначим г-ю
часть и ее объем Vt.
2) В каждой части берем
точку (gj, Tj/f £f) и значение функции
в этой точке /(£,-, т),-, £/) умножаем на Vit т. е. составляем
произведения
3) Полученные произведения складываем, т. е. образовываем сумму
]£/(Ь. г,,, С) Vt.
4) Находим предел этой суммы при стремлении к нулю
наибольшего из диаметров частей.
Этот предел, существование которого можно доказать, называется
тройным интегралом от функции /(х, у, z) по области D и
обозначается Г С С
J J ]/(*, У, z)dxdydz.
D
Таким образом,
J И/С*. * z) dxdy dz =Нт£/&it г),, tj)Vt. (1)
D i
Определение тройного интеграла остается в силе, если вместо
разбиения области D брать разбиения областей D, «приближающихся»
к Д подобно тому как это делалось для двойных интегралов (см.
примечание к 40.1).
Геометрический смысл тройного интеграла естественным образом
проявляется в четырехмерном пространстве, но на этом мы не будем
останавливаться. В частном случае, когда /=1, очевидно,
Hi1** ty dz = lim 2^ vi = объему D.

198 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
44.2. Простейшие свойства тройного интеграла. 1) Если область
интеграции D разбита на части, то тройной интеграл по этой области
равен сумме тройных интегралов по ее частям.
V\\==\\\-f-jjj» где Dx и Dt — части, на которые разбита D.
D О, Da
2) Постоянный множитель выносится за знак тройного интеграла,
3) Тройной интеграл суммы равен сумме тройных интегралов
слагаемых.
4) Теорема о среднем. Если /{х, у, z)— непрерывная
функция на области D, то
$ J $/(*» У, z)dxdydz=f&t tj, £)■ объем D,
D
где (si т), £) — некоторая точка области D, т. е. тройной интеграл
равен произведению объема области интеграции на значение
подынтегральной функции в некоторой точке этой области.
44.3. Преобразование тройного интеграла в двойной от
простого. Пусть в замкнутой области D (рис. 133), ограниченной цилиндром
с образующими, параллельными оси Oz (вырезающим на плоскости
хОу площадку А), и поверхностями
z = z0(x, у), z — Z(xy у), задана
непрерывная функция /(х, у, z).
Разбиваем А на части О; и над
каждой 0[ строим цилиндрический
столбик с образующими,
параллельными оси Oz, В каждой
области о1 берем какую-нибудь
точку (£;i 'Л/)» проводим через нее
вертикаль и рассматриваем участок
этой вертикали, пробегающий в
области D. Этот участок разобьем
на части точками деления zk
(каждому / отвечают свои zk) и через
них проведем горизонтальные
плоскости.
Рис. 133. Совокупность всех цилиндров
с основаниями o*f и высотами Azk
можно рассматривать как разбиение «близкой» к D области на части.
Поэтому сумма
(когда диаметры частей о{ и величин kzk неограниченно уменьшаются)
даст в пределе тройной интеграл от f(x, у, z) no D.
z=Z(x,y)
z=z0fx,y)
§ 44) тройные интегралы 199
Возьмем произвольное е>0. Так как /(*, у, z) равномерно
непрерывна в D, то найдется такое 6>0, что для любой точки
области D при |Az|<^6 имеем
1/(*. У, z + Az)—f{x4 у, z)/<е.
Предположим, что все наши Azk меньше б. Имеем
^/U/. 4i. ^)^A^ = Sa^/(^' T1''' Zk)AZk
(смысл этой записи состоит в том, что сначала мы суммируем по
индексу k, т. е. «по столбикам», а затем результаты складываем,
т. е. суммируем по индексу /). Но в силу 26.2
£/(£/, Л,'» Ч)^к = I /(£„ г),-, z)dz + е,-, | ef |<el,
где L — максимум Z(x, у) — zQ(x, у) на А.
Следовательно,
2 °iei I <C e ^ * пл- A
i I
откуда видно, что вторая сумма в правой части стремится к нулю.
Поэтому в пределе получим искомую формулу преобразования
тройного интеграла в двойной от простого:
)\)f(x,y, z)dxdydz=^dxdy J f(x, у, z)dz. (2)
D A z0{x,y)
В этой формуле внутренний интеграл есть интеграл, зависящий
от двух параметров х, у (интегрирование в нем происходит по г,
а сам он является функцией от х, у)*).
В частности, если область А на плоскости хОу ограничена
линиями у=у„(х), y = Y(x), x — x0, х=Х (рис. 134), то используя
формулу преобразования двойного интеграла в двукратный, получим
формулу преобразования тройного интеграла в трехкратный:
X Y(x) Z(x,y)
Ш^*' У' z)dxdydz=\dx \ dy \ /(*, у, z)dz. (3)
D х0 у0(ж) So(Jc,y)
*) Он является непрерывной функцией от х, у на А (см. 37.1).

200
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
В правой части формулы (3) внутренний интеграл есть функция
от jc, у, промежуточный интеграл есть функция от х, внешний
интеграл есть число.
О
z=Z[x,y)
-D
\z=z0[x,y)
» • i /
ССп
X
Рис. 134.
X
Частный случай. Если область интеграции есть
прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным
плоскостям (рис. 135):
* = <*,. y — at, z = a„ x — bt, y — b2, z = b„
то формула преобразования тройного интеграла в трехкратный
примет вид
D
Рис. 135.
ь, ь, ъ„
= J dx $ dy \ /(*, у, z) dz.
ax a% at
Если, кроме того, в подынтегральной
функции переменные разделены, т. е.
/(jc, ул z) = <р, (х) ф2 (у) ф, (z), то тройной интеграл превращается
в произведение трех простых интегралов:
Ь\ Ья Ьл
Ш 4>i (*)(Р* ООф, Ю ахаУ dz=r \ Фх (*)dx' 1 Ф* 00аУя S Ф» №dz-
D et а» а,
fllaluHausrWl
§ 44]
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
201
Аналогично можно вывести формулу преобразования тройного
интеграла в простой от двойного. При выводе следует использовать
«суммирование по слоям» вместо «суммирования по столбцам».
Рассматривая тело D произвольной формы, обозначим через za
и Z наименьшую и наибольшую из аппликат точек области D и,
Рис. 136.
понимая под А (г) проекцию на хОу сечения тела D горизонтальной
плоскостью, проведенной на уровне z (рис. 136), получим формулу
(на выводе и оговорках мы не останавливаемся)
ж.
Ш^*'^ *)dxdydz=\dx\lf{x, у, z)dxdy. (4)
«о А(г)
В правой части этой формулы внутренний двойной интеграл
зависит от параметра z (от z зависит как область интеграции, так и
подынтегральная функция).
Пример 1. Вычислить \ \ V xyz dx dy dz, где D—область, ограничен-
D
ная поверхностями г = 0; г — ху, у — х*; х — уг (рис. 137).
Имеем
1 Ух" ху 1 V7 2 г—ху
\\\ хуг dxdydz=\xdx \ у dy I г dz = V х dx \ у — dy =
D о х» о о х» г==0
X» 0
1
ОХ* О О

202 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
Пример 2. Вычислить [ [ [ г dx dy dz, где D — верхний полушар ради-
D
уса R с центром в начале координат (рис. 138).
Z
О
Имеем
Рис 137.
Рис. 138.
R
[ [ \ г dx dy dz = J г dz J J dx dy = n J 'z {R* - г') dz =
D о A (z) •>
учитывая, что А (г) есть круг радиуса У R2 — z2 и, следовательно,
[ С dx <# = пл. Л (г) = л (Я2 — г2).
А (а)
44.4. Формула Остроградского. Эта формула преобразовывает
поверхностный интеграл по замкнутой поверхности в тройной интеграл
по области, ограниченной
этой поверхностью.
Пусть D — замкнутая
область, ограниченная
замкнутой поверхностью 5, и
пусть Р{х, у, z), Q(x, у, z),
R(,x, У> z) —непрерывные
функции с непрерывными
частными производными
первого порядка на D.
Предположим сначала,что
D ограничена поверхностями
z = zx {x,y)t z = zz(x,y) и
цилиндрической
поверхностью с образующими,
параллельными оси Cte,
вырезающей на плоскости хОу площадку А (рис. 139). Тогда 5 будет состоять
из куска Sx поверхности z = zx {х, у), куска Sz поверхности г = г2{х,у).
'X
Рис. 139.
§ 44]
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
203
куска St цилиндрической поверхности с образующими, параллельными
оси Oz. Имеем
D А г,
*=^[R{x,y,zt)—R(x,y,z)]dxdy = ^Rdxdy + ^Rdxdy,
Л ■':.'•
тг
где интегрирование происходит по нижней стороне 5, и по верхней
стороне St. Добавляя \\ Rdxdy к правой части последнего равен-
ства, мы не нарушим его, так как М Rdxdy = 0, следовательно,
s3
\\\wdxdydz=z\\Rdxdy' ^
D S
где в правой части интегрирование происходит по внешней стороне
замкнутой поверхности 5.
В общем случае D можно разбить на
конечное число частей рассмотренного
выше вида (мы ограничиваемся
рассмотрением областей D, допускающих такое
разбиение). Применяя к каждой части
формулу (5) и складывая полученные
равенства, найдем, что (5) будет
справедлива для рассматриваемой области D
(учитывая, что интегралы по перегородкам взаимно уничтожаются).
Меняя роли переменных, получим еще две аналогичные формулы:
D S D S
Почленное сложение трех полученных формул дает искомую
формулу Остроградского
^Pdydz+Qdzdx + Rdxdy=W(§+& + §)dx4ydzt (6)
где D—ограниченная замкнутая область в пространстве (рис. 140),
S—замкнутая поверхность, ограничивающая D, и где Р, Q,
R—функции, непрерывные вместе с их частными производными первого порядка
на D, причем в левой части формулы интегрирование происходит по
внешней стороне замкнутой поверхности 5.
Рис. 140.

204 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
§ 45. Замена переменных в тройном интеграле
45.1. Формула замены переменных в тройном интеграле. Пусть
в пространстве с прямоугольными координатами х, у, z задана
ограниченная замкнутая область D и в пространстве с прямоугольными
координатами и, v, w дана ограниченная замкнутая область А.
Предположим, что между точками А и D установлено взаимно однозначное
соответствие, выражаемое формулами
х = х(и, v, w),
y—y{u,v,w),
Z — Z{U, Vt W),
(фигурирующие здесь функции предполагаются непрерывными вместе
с их частными производными 1-го по-
М рядка). Тогда можно доказать, что если
положить
и v д(х, у, г)
то БЁм-5 = 1у^' *Ь 01» где & Л. 0-
некоторая точка области А.
рис# 141. Пользуясь этим, можно (подобно тому,
как это было сделано для двойных
интегралов) вывести формулу замены переменных в тройном интеграле.
При этом мы приходим к следующему результату.
Если /(х, у, z) — непрерывная функция в области D и между
точками областей А и D установлено взаимно однозначное
соответствие (о котором упоминалось выше), то
Щ/(*. у, z)dXdydz=^f{x, у. z)\ybJLJL\dudvdw. (1)
45.2. Тройные интегралы в сферических координатах. В
прямоугольной системе координат х, у, z возьмем какую-нибудь точку М.
Соединим точку М с началом О, положим г = ОМ и спроектируем ОМ
на плоскость хОу (рис. 141).
Пусть ф — угол между Ох и ON, б — угол, образованный ОМ с
плоскостью хОу. Числа г, <р, 6 называются сферическими
координатами точки М (г — радиус-вектор, <р — долгота, б — широта).
Положение точки М в пространстве вполне определяется ее сферическими
координатами г, ф, 6.
Заметим, что точки, лежащие на оси z> имеют неопределенную
долготу, начало координат, кроме того, имеет неопределенную широту.
ШЫНатгШ
§ 45|
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
205
Выбор значений сферических координат всегда можно сделать
так, чтобы:
0<г<-}-оо,
0 < ф < 2л,
Имеем связь между прямоугольными и сферическими координатами
{
Следовательно,
х= ON cos у,
л., . ON=r cos6.
у = ON sin ф,
*=ГСО8 0СО8ф,
у=r cos 6 sin ф,
z=rsin6.
Вычислим якобиан у*' У> у
дх дх дх
дг дф д8
ду ду ду
дг дф дв
дг дг_ дг
дг дф Ы
д(г, ф.в)*
COS 6 COS ф Г COS б Sin ф
cos 0 sin ф r cos 0 cos ф
sin 0 0
■ r sin 6 cos ф
- г sin 6 sin ф
Г COS 6
= г2 cos 6
cos 6 cos ф — sin ф — sin 6 cos ф
cos 0 sin ф cos ф — sin 6 sin ф
sin в 0 cos О
= r2 cos 0
Итак,
(sin* I
- sin ф — cos ф
cos ф — sin ф
-f- cos* б
COS ф
sin ф
-вШф
cos ф
)-
= r2 cos в (sin2 б -{- cos* 6) (cos* ф -{- sin* ф) = r*Cos 0.
д(х,у,г),
д(г, Ф, 0) Г COS0*
Из сказанного следует, что если /{х, у, z) — непрерывная
функция в области D, то
ША*».У« z)dxdydz =
D
= 3 J J/(г cos б cos ф, г cos 6 sin ф, г sin 0) г* cos б dr d(p db, (2)
А

206 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
где, говоря упрощенно, область А есть совокупность всех таких
точек с прямоугольными координатами г, ф, 0 в пространстве О/чрб,
что точки со сферическими
координатами г, ф, 6 в пространстве Oxyz
принадлежат D.
46.3. Тройные интегралы в
цилиндрических координатах. В
прямоугольной системе координат х, у> z возьмем
какую-нибудь точку М. Пусть
N—проекция М на плоскость хОу. Положим
г —ON, и пусть ф — угол xON
Рис. 142. (рис. 142). Числа г, ф, Z называются
цилиндрическими координатами точки
М. Положение точки М в пространстве вполне определяется
цилиндрическими координатами г, ф, г.
Вычислим якобиан (*» У> z> Имеем
д (г, <р, г)
дх
дг
ду
дг
дг
дг
дх
ду
ду
ду
дг
ду
дх
дг
ду
dz
дг
дг
СОЭф
sin ф
0
ГЭШф
Г COS ф
0
о
о
| cos ф
этф
•ЭШф
СОвф
= г (cos2 ф -{- sin* ф) = г.
Из сказанного следует, что если f(x, у, z)—непрерывная
функция в области D, то
jjj^^'-У» z)dxdydz= ] ] ^/(гсоэф, гэтф, z)rdrdydz, (3)
d д
где, говоря упрощенно, область А есть совокупность всех таких
точек с прямоугольными координатами г, ф, z в пространстве Oryz,
что точка с цилиндрическими координатами г, ф, z в пространстве
Oxyz принадлежит D.
45.4. Механические приложения тройных интегралов. Пусть
тело D заполнено массой т. Пусть q{x, у, z) — объемная плотность
распределения массы в точке х, у, z.
Умножения, суммирования и переходы к пределам приводят к
формулам:
1) Масса тела
т = J J J q dx dy dz. (4)
D
ftlalattausrWl
§ 45J ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 207
2) Момент инерции тела относительно оси Oz
У01=Ш ix*+y*)Qdxdydz (5)
D
(в случае равномерного распределения массы q = const может быть
вынесено за знак интеграла):
3) Координаты центра тяжести С
П$ *в dx йУ dz HS W?dx dy dz J Г J* zq dx dg de
Хс=Щ^ауаш'9 yc==iJJQdxdydz ; *c=Y£fQdxdydz {Q)
(в случае равномерного распределения массы q = const выносится за
знаки интегралов и сокращается).
Пример. Найти момент инерции однородного шара радиуса R
относительно его диаметра.
Имеем J0z = J J J (x2 -\-y*)Qdx dy dz, где D — шар радиуса R с центром
(0, 0, 0).
Переходя к сферическим координатам, получим
тс
Т иг R
Jo8 = Q f d9 f dфfг«cos,вdr = |.ЯQ^?« = 0,45/п^?2.
jc О 0

ГЛАВА VI
РЯДЫ
§ 46. Числовые последовательности и ряды
46.1. Сходящиеся и расходящиеся числовые
последовательности. В 2.1 было дано определение предела числовой
последовательности. Последовательность, имеющая конечный предел, называется
сходящейся. Последовательность, имеющая бесконечный предел или
не имеющая предела, называется расходящейся.
Критерий Кош и. Для того чтобы числовая последователь-
ность а,, а„ ... , <z„, ... была сходящейся, необходимо и
достаточно, чтобы для всякого е^>0 существовал такой номер Л/, что
при л>Д/ и любом целом р>0 имели бы \ап+р—ап\<^е. Короче
говоря, для сходимости числовой последовательности необходимо
и достаточно, чтобы все достаточно далеко лежащие члены ее
отличались между собой как угодно мало.
Необходимость. Пусть ап—>а, тогда для всякого е^>0
найдется такой номер Л/, что при л^>Л/ имеем \ап — а \ <^-^, и прк
р^>0 имеем также \ап+р—а\<^-к.
Следовательно,
ап+р— ап\^\ап+р— а\-\-\а — ап |<
<Т + Т==Е при n>N> Р>°'
что и требовалось доказать.
* Достаточность. Из \ип+р—ы„Ке следует, что
— е<ып+/,—ыи<е или ип — е<ия+рОя + е.
Таким образом, из условий теоремы следует, что все члены
последовательности с достаточно большими номерами можно поместить
на сегменте с как угодно малой длиной. Пусть sn — сегмент длины,
меньшей —, на котором помещаются все члены нашей последователь-
§ 46] числовые последовательности и ряды 209
ности с достаточно большими номерами. Пусть затем оп есть общая
часть сегментов s,, s2, ... , sn. Тогда оп есть тоже сегмент, на
котором помещаются все члены нашей последовательности с достаточно
большими номерами и, кроме того, последовательность сегментов
есть стягивающаяся (т. е. каждый следующий содержится в
предыдущем), и длины их стремятся к нулю. Как было отмечено (§ 2),
существует точка а, принадлежащая всем этим сегментам. Легко
видеть, что число а есть предел данной последовательности:
1> 2> • • • > **п> • • •
Для монотонных последовательностей необходимые и достаточные
условия сходимости значительно проще. Из рассмотрения § 2
следует, что для сходимости неубывающей последовательности
необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.
46.2. Начальные сведения о числовых рядах. Числовым рядом
называется всякая бесконечная последовательность чисел,
соединенных между собой знаком сложения: иг-\-иг-\-... -j-ип-\-... или,
коте
роче, 2 ап- Числа
5, = «..
5. = И1+И2 + И„
5П = И,+"2 + ",Ч----+ИП
называются частичными суммами ряда.
Таким образом, всякий ряд порождает последовательность
частичных сумм
'-'l> *-*2> • • • 1 °п> * * '
Обратно, всякую последовательность чисел S,, 52, можно
рассматривать как последовательность частичных сумм некоторого
числового ряда, а именно ряда
S1 + (S1-S1) + (S,-S1) + ... + (S„-S„..1) + ...
Ряд называется сходящимся {расходящимся), если
последовательность частичных сумм сходится (расходится).
Предел последовательности частичных сумм ряда, если он
существует, называется суммой ряда
S= lim Sn.
Я -+00

210 ряды [гл. v»
В этом случае пишут
00
Сходящийся ряд имеет конечную сумму. Расходящийся ряд либо не
имеет суммы, либо имеет бесконечную сумму.
Пример. Ряд a-{-aq-\-aqs + ... называется геометрической
прогрессией. Здесь
1 — Яп
и в случае \q\< 1
lim Sn = —^—,
n-*-ao 1 — ч
т. е. убывающая геометрическая прогрессия образует сходящийся ряд.
При |<7l^*l (если а ф 0) рассматриваемый ряд расходится.
1) Если ряд 2ип сходится и имеет сумму S, то ряд 2смп
тоже сходится и имеет сумму cS.
В самом деле, пусть Sn—частичная сумма данного ряда, тогда cSn
будет частичной суммой второго ряда, но по условию Sn—»- S,
следовательно, cSn—*cS, что и требовалось доказать.
Примечание. Если ряд 2ип расходится и с ф О, то ряд 2сип тоже
расходится, ибо если бы он сходился, то, умножая члены ряда 2 е"»
на —, получили бы по доказанному сходимость ряда 2 "и» что противо-
с ^^
речит условию.
2) Если ряды 2мп и 2фп сходятся и имеют суммы S uS\mo
ряд, полученный почленным сложением, т. е. ряд ^(un-\-vn)
сходится и имеет сумму S -\- S'.
В самом деле, если Sn и S'n — частичные суммы данных двух
рядов, то 5п-[-5п будут частичные суммы ряда 2(Mn + vn)> но ^я—*^»
S'n—^S', следовательно, Sn-\-S'n~*S-\-S\ что и требовалось
доказать.
Примечание. Если ряд 2"п сходится, а 2°п расходится, то ряд
2 (ип + vn) расходится (ибо в противном случае 2 vn> будучи разностью
двух сходящихся рядов, был бы сходящимся рядом).
Если же 2"п и 2°" оба Расх°Дятся' то ° Ряде 2i(un + vn) B общем
случае ничего сказать нельзя.
3) Если в каком-нибудь ряде добавить, отбросить или
изменить конечное число членов, то сходимость или расходимость ряда
от этого не изменится.
§ 46J ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 211
Пусть, например, в ряде изменено конечное число членов, тогда,
начиная с некоторого места, частичные суммы ряда окажутся
измененными на некоторую постоянную величину, а это не изменит факта
сходимости или расходимости.
Таким образом, конечное число членов ряда никогда не влияет на
сходимость и расходимость.
Из критерия Коши для числовых последовательностей
непосредственно вытекает критерий Коши для числовых рядов.
Для того чтобы ряд и, -\- иг -\- и3 -\-... был сходящимся,
необходимо и достаточно, чтобы для всякого е^>0 нашелся такой
номер N, что при n^>N и р^>0 имели бы \ип+1-\-ип+1-\-.. ,-\-
~\~ап+Р\<СЕ или, короче говоря, для сходимости числового ряда
необходимо и достаточно, чтобы все достаточно далеко лежащие
отрезки этого ряда были как угодно малы (называя отрезком ряда
сумму нескольких подряд взятых членов).
Для доказательства достаточно лишь заметить, что ип+1-{-ип+2 -\-...
...-\-un+p—Sn+ —Sn и учесть критерий Коши для числовых
последовательностей.
46.3. Необходимые условия сходимости числового ряда. 1) Если
ряд сходится, то его члены стремятся к нулю.
Пусть 2ия сходится, тогда Sn—>S. Следовательно, un = Sn —
— ■£„_,—*-S-— 5 = 0, что и требовалось доказать.
Примечание. Это условие не является достаточным, т. е. существуют
расходящиеся числовые ряды с членами, стремящимися к нулю. Это видно на
примере ряда
1+1 + 1 + J. .1.1+1 + 1 + 1. 1. .
^2^2^3^3^3^4^4^4^4^~
"• + 7Г+7Г + *'- + 7Г + --*
п раз
Очевидно, члены этого ряда стремятся к нулю, а Sn стремится к
бесконечности (ибо сумма 1+2 + 3 + "* + п членов равна л), ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены.
В самом деле, если 2 й/» сходится, то Sn стремится к конечному
пределу и, следовательно, ограничена, т. е. найдется такое /О>0,
что |5я|<^/е для всех п.
Примечание. Это условие не является достаточным, т. е. существуют
расходящиеся числовые ряды с ограниченными частичными суммами. Это видно
на примере ряда
1—1 + 1 —1 + ...
Этот ряд расходится, ибо члены его не стремятся к нулю, а все частичные
суммы равны 0 или 1, следовательно, ограничены.

212
РЯДЫ
[гл. vi
46.4. Сравнение рядов с неотрицательными членами. Для рядов
с неотрицательными членами имеет место
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами
необходимо и достаточно, чтобы частичные суммы ряда были
ограничены.
Необходимость условия нам известна (она имеет место для
любых числовых рядов).
Достаточность доказывается так:
Так как члены ряда неотрицательны, то последовательность
частичных сумм неубывающая, а так как частичные суммы по условию
ограничены, то эта последовательность сходится.
Принцип сравнения рядов с неотрицательными
членами. Пусть имеем два ряда с неотрицательными членами 2 ип
и 2фш причем члены первого ряда не превосходят
соответствующих членов второго ряда, тогда:
а) Если второй ряд сходится, то и первый сходится.
б) Если первый ряд расходится, то и второй ряд расходится.
Доказательство. Так как второй ряд сходится, то его
частичные суммы S„ ограничены, но тогда частичные суммы первого
ряда Sn <; S'„ подавно ограничены. Следовательно, первый ряд сходится.
б) Допустим противное, т. е. что второй ряд сходится, тогда по
первой части принципа и первый ряд сходится, а это противоречит
условию.
Следствие. Пусть имеем два ряда с положительными членами
2 "я и 2vn» пРичем отношение сходственных членов этих рядов
заключено между некоторыми положительными числами а и b
a<V<b'
(Например, это будет иметь место, если — стремится к конечному
положительному пределу.) Тогда ряды 2jUn и 2jvn либо оба
сходятся, либо оба расходятся.
Доказательство. Из условия видно, что avn<^un<^bvn,
следовательно, если ряд 2 vn сходится, то и ряд 2 bvn сходится и
в силу первой части принципа ряд ^ип сходится. Если же 2фя Рас"
ходится, то 2лг,я расходится, но тогда по второй части принципа
ряд 2ttn расходится, что и требовалось доказать.
§ 47. Несобственные интегралы как аналоги ряда
47.1. Начальные сведения о несобственных интегралах.
Рассмотрим несобственные интегралы вида
-)-оо Ь +оо
J f{x)dx, $ f{x)dx, $ f{x)dx,
a —oo -co
§ 47] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАК АНАЛОГИ РЯДА 213
где f{x) определена и непрерывна для первого интеграла на
интервале [а, -|-оо), для второго — на (— oo, Ь], для третьего — на
ъ
( — со, +оо), и интегралы вида §f(x)dx, где /(х) определена и
а
непрерывна соответственно на интервалах (a, b], [a, b), (a, b).
(Определение сходимости и расходимости несобственных интегралов см. 28.4.)
Мы будем говорить здесь о несобственных интегралах вида
+ G0
j f(x)dx. Аналогичные рассуждения можно провести и для несоб-
а
ственных интегралов других видов.
Интегралы \j/(x)dx, где /><z, будем называть частичными ин-
а
+оо
тегралами несобственного интеграла \ /(х) dx (по аналогии с
терминологией, ПрИНЯТОЙ ДЛЯ РЯДОВ). а
+°° + 00
1) Если ] f(x)dx сходится и равен А, то ^ cf{x)dx тоже
сходится и равен сА. 1
В самом деле, по условию ]f(x)dx—► А при /—»-оо, следова-
а
II
тельно, J cf(x)dx = c S)/{x)dx—+ сА, что и требовалось доказать.
а а
Таким образом, постоянный множитель можно выносить за знак
несобственного интеграла.
+ со +00
Примечание. Если \ f (х) dx расходится и с ф О, то С с/ (х) dx то-
а а
же расходится, ибо если бы он сходился, то, умножая подынтегральную функ-
+ 00
цию интеграла \ cf (x) dx на —, получили бы, по доказанному, что
а
|-оо
\ f(x)dx сходится, что противоречит условию.
а
+со +оо
2) Если J f{x) dx и J ф (х) dx сходятся и равны со ответ-
а а
ственно А и В, то
+ 00
1 [f(x)-\-y(x)]dx
а
сходится и равен А-\-В.
+ 00

214 ряды [гл. vi
/ i
В самом деле, по условию ]f(x)dx—у A, } y{x)dx —+ В, следо-
а
вательно.
t
[\f{x)-\-4(x)]dx=\f(x)dx + l<v{x)dx^A + B.
а а а
Таким образом, несобственный интеграл суммы равен сумме
несобственных интегралов слагаемых, если последние сходятся.
+со +«з
Примечание. Если С f(x)dx сходится, а \ <p(x)dx расходится,
а а
+ 00 +СО
то \ If (х)-\-Ч> (х)] dx расходится (ибо в противном случае \ <p(x)dx, бу-
а а
дучи разностью двух сходящихся интегралов, был бы сходящимся интегралом).
+ 00 +00
Если [ f(x)dXH С (p(x)dx оба расходятся, то об интеграле
а а
+ 00
\ U (х) + Ф (х)\ dx в общем виде ничего нельзя сказать.
а
+со
3) Сходимость или расходимость J f(x)dx не нарушится,
а
если f(x) изменить на конечном участке интервала интеграции
с сохранением непрерывности, или же сместить предел
интеграции, не выходя из области непрерывности подынтегральной
функции.
Критерий Коши для несобственных интегралов.
Для сходимости несобственного интеграла необходимо и
достаточно, чтобы для всякого е^>0 нашлось такое К, что при
любых р, q^>К выполнялось бы неравенство \}f(x)dx <e*)-
р
+ 00
*) Несобственный интеграл \ f{x)dx называется абсолютно сходящимся,
а
+00
если С \f{x)\dx сходится. Из критерия Коши непосредственно видно, что
а
абсолютно сходящийся несобственный интеграл сходится.
ШЫЙатгШ.
§ 47J НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАК АНАЛОГИ РЯДА 215
На доказательстве мы не останавливаемся.
Необходимое условие сходимости несобственных
+00
ин те градов. Если j f(x)dx сходится, то частичные инте-
а
I
гралы ^ f(x) dx (где 1"^>а) ограничены.
а
l
Это непосредственно вытекает из того, что J f{x) dx стремится
а
к конечному пределу.
Примечание. Это условие не является достаточным. Например,
+ 00 /
\ cosxdx расходится, ибо частичные интегралы V cos* dx=sin / не стремятся
о о
к пределу при /—»• оо, но тем не менее они ограничены.
Однако в случае /(х)^>0 условие это будет и достаточным, ибо
в этом случае частичные интегралы \f(x)dx возрастают и, оста-
а
ваясь ограниченными, стремятся к конечному пределу.
Таким образом, для сходимости несобственного интеграла от
положительной функции необходимо и достаточно, чтобы частичные
интегралы были ограничены.
47.2. Принцип сравнения несобственных интегралов от
положительных функций. Пусть на участке [a, -f"°°) ^аны две
положительные непрерывные функции /(х) и <р(х), причем f(x)<^ у (х),
+ 00 +Q0
и рассмотрим несобственные интегралы \ f(x)dxu \ q>(x)dx,
а а
тогда:
1) если второй интеграл сходится, то и первый сходится,
2) если расходится первый интеграл, то расходится и второй.
Докажем эти утверждения.
1) Если второй несобственный интеграл сходится, то его
частичные интегралы ограничены, а тогда ограничены и частичные
интегралы первого; следовательно, первый несобственный интеграл сходится.
2) Предположив противное, т. е. что второй несобственный
интеграл сходится, получим на основании 1) сходимость первого
интеграла, что противоречит условию.
Следствие. Если f(x) и Ц>{х) — положительные непрерывные
функции на интервале [a, -j-°°)» причем отношение f(x) к <p(x)

216 ряды [г л. vi
заключено между двумя положительными числами Л и В, А <С^ , \ <С £
(в частности, это будет так, если -*-у-~ стремится к конечному
положительному пределу при х—»-оо), то несобственные интегралы
+оо +оо
^ f(x)dx и V ц>(х)ёх или оба сходятся, или оба расходятся.
а а
Доказательство. Из условия видно, что A(p(x)<^f(x)<^B(p (х),
+ 00 +J30
следовательно, если \ y(x)dx сходится, то и ^ By(x)dx схо-
а а
+ 00
дится, следовательно, по первой части принципа ^ /(х)d* сходится.
о
+оо +оо
Если же \ <р (х) dx расходится, то расходится и ^ Лф (х) dx.
а а
+00
следовательно, по второй части принципа ^ f(x) dx расходится, что
а
и требовалось доказать.
Из доказанного предложения следует, что оно остается в силе,
если предполагать, что f(x) и ф(х) непрерывны на [а, -4-оо), при х
/ (*)
достаточно большом сохраняют постоянные знаки и L-h\ стремится
ф (X)
к конечному и не равному нулю пределу при х—»--|-оо.
В самом деле, заменяя а большим числом и меняя, в случае
надобности, знак / или ф, мы придем к доказанному предложению.
Некоторые признаки сходимости и расходимости
несобственных интегралов. 1) Если при х —»■ -{-оо f(x)xa
стремится к конечному, не равному нулю пределу (тогда f(x)
сохраняет постоянный знак при достаточно больших значениях х),
+ 00
то \ f(x)dx при а^> 1 сходится, при as^l расходится.
В самом деле, f(x)xa='-j1, следовательно (беря а^>0),
+00 +00
J f(x) dx ведет себя как J -J- (см. 28.4).
а а
+00
В частности, \ от рациональной дроби (если знаменатель не
а
имеет корней ^а) сходится, если степень знаменателя более чем на
единицу превосходит степень числителя, и расходится в противном
случае.
§ 48] ряды с положительными членами 217
2) Если при х—+ 0 f(x)x* стремится к конечному, не равному
ь
нулю пределу, то \f(x)dx при а<1 сходится,при a^sl рас-
о
ходите я.
ь
В самом деле, f (х) х* =-L^, следовательно, ^ /(х) dje ведет себя
х*
ь
X'
как \ ~ (см. 28.4).
•» х
§ 48. Признаки сходимости и расходимости рядов
с положительными членами
48.1. Признак сходимости Даламбера в расширенной
формулировке. Если в ряде с положительными членами 2 ип
отношение последующего члена к предыдущему', начиная с некоторого
места, меньше q, где q<^l, то ряд 2 ип сходится.
Доказательство. Не нарушая общности, можно
предположить, что -^ <^q для всех п (этого можно достигнуть, изменив
конечное число членов).
Тогда
и* ^ ^
и
Таким образом, члены данного ряда не превосходят
соответствующих членов убывающей геометрической прогрессии ux-\-uxq-\-uxq* -\-...,
которая сходится, следовательно, по принципу сравнения ряд ]£]ып
сходится.
Признак сходимости и расходимости Даламбера.
Пусть 2ип есть ряд с положительными членами и такой, что
-£^—*-р. Тогда ряд У^ип сходится, если р<^1, и расходится,
если р]> 1 (при р=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда
остается открытым).

218
РЯДЫ
|гл. vi
Доказательство, а) р<^Ь Возьмем число q так, чтобы было
р<С<7<0 (рис. 143), тогда -^^ будет меньше q, начиная с
некоторого места, ибо -£±!—>p<CQi следовательно, по доказанному вы-
ип сходится.
О р q 1 о / р
Рис. 143. Рис. 144.
б) р^> 1. Так как -^—*Р^> 1 (рис 144), то с некоторого места
■и+* будет больше единицы, поэтому, начиная с некоторого места,
члены ряда возрастают, а потому не стремятся к нулю, и ряд 2 й*
расходится.
48.2. Признак сходимости Коши в расширенной формулировке.
Если в ряде с положительными членами 2и„, начиная с
некоторого места yfun меньше q, где #<М, то ряд 2ип сходится.
Доказательство. Не нарушая общности, можно предполагать,
что \/~u^<^g для всех п (этого можно достигнуть, изменив конечное
число членов).
Из \/~и~п<^q следует, что «п<^п(я= 1, 2, 3, ...), следовательно,
члены данного ряда меньше соответствующих членов убывающей
геометрической прогрессии:
? + ?* + ?* + .•• ,
которая сходится, следовательно, по принципу сравнения ряд ^ип
сходится.
Признак сходимости и расходимости Кош и. Пусть
2ип есть Ря^ с положительными членами, такой, что yfun—>р.
н н
О Р Q I О 1 р
Рис. 145. Рис. 146.
Тогда ряд^ип сходится, если р < 1, и расходится, если р> 1 {при
р=\ вопрос о сходимости или расходимости ряда остается
открытым).
Доказательство, а) р<1. Возьмем число q так, чтобы
р<?<1 (рис. 145), тогда так как \/ип—*P<tf, то с некоторого
места {/й^ будет меньше q, следовательно, по доказанному выше,
ряд 2ип сходится.
'HalaHamiik
§ 48] РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 219
б) р]>1 (рис. 146). Так как %/и~^—»-р^>1, то, начиная с
некоторого места, tyu~n будет больше единицы, следовательно, начиная
с некоторого места, члены ряда будут больше единицы, а потому не
стремятся к нулю, и ряд 2ип расходится.
48.3. Интегральный признак сходимости рядов. Пусть
<р (х) — непрерывная положительная убывающая функция на [1, -{- оо)
00
(рис.147). Тогда несобственный интеграл \ q>(x)dx и ряд
<р(1) + Ф(2)+...+ф(л)+...
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Доказательство. При k^x^k-}- 1 имеем
ф(А-[-1)<ф(л;)<(р(А)
(где знак = может быть лишь для х, равного k или &-J-1), ибоф(х)
Рис. 147.
убывает. Почленное интегрирование этих неравенств в пределах от k
до k -\- 1 дает
fe+t
ЧР (*+!)< [ <р(*)Л*<«р(А).
k
Полагая в этих неравенствах 6—1,2, ... , л— 1 и складывая затем
почленно, получим
п
<р(2) + <р(3)+...+ф(л)< $q>(x)rf*<
<<р(1) + ф(2)+...+«р(л—1).
Если наш несобственный интеграл сходится, то числа в средней
части последнего неравенства ограничены, следовательно, и числа
в левой части ограничены, но это показывает, что частичные суммы
рассматриваемого ряда ограничены, поэтому этот ряд сходится.

220
РЯДЫ
[гл. vt
Если же наш несобственный интеграл расходится, то числа в
средней части не ограничены, следовательно, и числа в правой части не
ограничены, но это значит, что частичные суммы рассматриваемого
ряда не ограничены, поэтому этот ряд расходится.
+ 00
Итак, несобственный интеграл \ q>(x)dx и ряд 2ф(л) или °^а
сходятся, или оба расходятся, что и требовалось доказать.
Ряды вида У*-г . Полагая ср(х) = — , найдем на основании
^■■и ft Л
+О0
интегрального признака, что несобственный интеграл \ -д и ряд
l4-J_4-±4-
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Но мы знаем (см. 28.4), что рассматриваемый несобственный
интеграл сходится при а^>1 и расходится при а^1. Следовательно,
то же относится и к ряду.
Итак, ряд ^-« сходится при а^>1 и расходится при а^.1.
При а = 1 это будет ряд ^ —, или
который называется гармоническим. На основании сказанного
гармонический ряд расходится.
§ 49. Числовые ряды с любыми членами
49.1. Знакочередующиеся числовые ряды. Ряд называется
знакочередующимся, если знаки его членов чередуются. Его можно
записать (если первый член положителен) так:
ах — а2-\~а* — в4+--- . где с„>0.
Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда
стремятся к нулю и абсолютные величины их убывают, то такой
ряд сходится.
Доказательство. По условию at^>at^>а8]>...; ап—»-0.
Рассмотрим в отдельности частичные суммы с четными и нечетными
индексами. Имеем
Szn = (аг — °г) + (*. — <0 + • • • + (а*п- 1 — а2п) =
= С, — К — Й») — К — °5)— • • • — (а2«-2 — ain-i)— Я*
"ttr
'HalaHamiik
§ 49] ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ С ЛЮБЫМИ ЧЛЕНАМИ 221
Из первого представления Stn видно, что последовательность Stn
возрастающая, из второго представления Szn видно, что Stn остается
меньше а,, следовательно, последовательность Stn остается
ограниченной. Такая последовательность стремится к конечному пределу 5
Далее Stn+l = Stn-\-asn+l—*S + 0 = S.
Таким образом, последовательность частичных сумм
Q Q 9 9
«jj, «jJt «jj, ... , »-'п, ...
сходится к 5, значит, данный ряд сходится, что и требовалось
доказать.
Отметим некоторые подробности, относящиеся к поведению
частичных сумм рассмотренного в теореме ряда. Частичные суммы с четными
S
—i 1 ) I 1 1 1 1 »-
Рис. 148.
индексами возрастают, частичные суммы с нечетными индексами
убывают. Сумма ряда больше всех Szn и меньше всех Stn+1 (рис. 148).
Возрастание Stn следует из первого представления Stn,
рассмотренного в доказательстве.
Убывание Stn+l видно из равенства
5*я+. = аг — К — аг) — («4 — «») — • • • — (Я«« — ««»+,)•
Примечание. Из сказанного следует, что \Sn — S |<ап+„ поэтому
если, делая приближенное вычисление суммы знакочередующегося ряда,
удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, мы остановимся на какой-нибудь
частичной сумме, то абсолютная величина ошибки будет меньше модуля
первого из отброшенных членов.
49.2. Абсолютно сходящиеся ряды. Числовой ряд 2wn
называется абсолютно сходящимся, если ряд 2ltt«l сх°Дится.
Примечание. Очевидно, что для ряда с неотрицательными членами
понятие сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Доказательство. Пусть е > 0; тогда, так как 21 w« I сходится,
согласно критерию Коши, найдется N такое, что при п ^> N и любом
р>0 имеем |ия+1 |-f I «„+*! + • • • +К+Я1<8- Но тогда
l««+i4-"»+»+---4-««+^l<lw»+il + l"n+»| + ---+l"«+Pl<e.
Следовательно, на основании критерия Коши ряд ^ип сходится.

222
РЯДЫ
[гл. vi
Теорема. Для того чтобы числовой ряд был абсолютно
сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы его можно было
представить в виде разности двух сходящихся рядов с
неотрицательными членами.
Доказательство, а) Условие достаточно. Пусть ип =
= ап — Ьп, где ап2э0 и Ьп^0, ряды У^ап и^]^ сходятся. Имеем
К1 = К — *«!<<*„ + Ьп, но ряд %{апЛ-Ьп) сходится
следовательно, по принципу сравнения 21 ип I сходится, т. е. ряд 2 ип
абсолютно сходится.
б) Условие необходимо. Пусть ряд 2ап абсолютно сходится,
т. е. ряд J|\ип| сходится. Имеем ип = {ип-[-1ип\) — |"„I» но
0*£ая + \ия\*£2\и„\.
Следовательно, ряды 2(ц«~Иип|) и 21a«l СУТЬ сходящиеся ряды
с неотрицательными членами (сходимость первого из них следует из
сравнения его с рядом 2j 2 [ «„ |).
Примечание, Заметим, что теорема о сходимости абсолютно
сходящегося ряда может быть получена как следствие из последней теоремы (учитывая,
что разность сходящихся рядов сходится).
Вспомогательные замечания. Пусть 2ип — сходящийся
ряд с неотрицательными членами, Sn — его частичные суммы, S — его
сумма. Сумма конечного числа каких-либо членов данного ряда <; Sm,
где т — наибольший из их номеров, и следовательно, она <;6\
Отсюда видно, что если составить ряд из (всех или части) членов
данного ряда, взятых в произвольном порядке, то все частичные суммы
составленного ряда будут ^5, следовательно, он сходится и имеет
сумму s^S. Разобьем члены данного ряда (все или часть) на
конечное число N групп (в каждую из них может входить конечное или
бесконечное число членов), расположим эти группы в каком-нибудь
порядке и затем в каждой группе расположим вошедшие в нее члены
в каком-либо порядке; тогда если S{k) — сумма всех членов &-й группы,
то У S'^S. В самом деле, пусть Si?' — сумма п первых членов
(сумма всех членов) fc-й группы, если она содержит бесконечное
(конечное) число членов, тогда в силу вышесказанного 2 5" ^5»
но У Sift>—* 2 5<*}» поэтому 25<*><5- Разобьем теперь члены
A = i k = i k = i
данного ряда (все или часть) на бесконечное число групп (в каждую
из них может входить конечное или бесконечное число членов),
расположим эти группы в каком-либо порядке и затем в каждой группе
расположим вошедшие в нее члены в каком-либо порядке; тогда если
$<*)— сумма всех членов £-й группы, имеем при любом N в силу
ШаНаихШ
§ 49| ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ С ЛЮБЫМИ ЧЛЕНАМИ 223
последнего неравенства 2 & ^ •$» следовательно, ряд 2 $ схо"
дится и его сумма s^«S.
Пусть теперь все члены какого-нибудь ряда с неотрицательными
членами 2 ип (ег0 частичные суммы обозначим Sn) разбиты на
конечное или бесконечное число групп, причем каждая группа может
содержать конечное или бесконечное число членов. Предположим, что
каждая бесконечная группа (из числа упомянутых) образует
сходящийся ряд и что в случае бесконечного числа групп ряд 2«S(fe> (где
S**— сумма всех членов k-Pi группы) сходится. Тогда данный ряд
2ип сходится. В самом деле, л первых членов данного ряда попадают
в некоторые группы, номера коих обозначим kx, kt, ... , km; тогда
Sn ^Slkl) -|- ... -J-5(*m) s^2«S(*\ следовательно, Sn ограничены в
совокупности и ряд 2ип сходится.
Теорема. Если в абсолютно сходящемся ряде любым образом
переставить члены, то получится абсолютно сходящийся ряд
с той же суммой.
Доказательство. Пусть сначала 2мп — сходящийся ряд
с неотрицательными членами (пусть S—его сумма), 2vn — Ряд» по~
лученный в результате перестановки членов. Из сказанного выше
(см. вспомогательные замечания) следует, что ряд2vn сходится и его
сумма Os^S. Но ряд 2ми получается из ряда 2г>„ также в
результате перестановки членов, следовательно, по этой же причине S^g,
поэтому o=S. Если теперь 2 ия — какой-либо абсолютно сходящийся
ряд с действительными членами, то он является разностью сходящихся
рядов с неотрицательными членами. После перестановки членов он
окажется разностью сходящихся рядов с неотрицательными членами
и с такими же суммами, как до перестановки, что доказывает теорему.
Теорема. Если все члены абсолютно сходящегося ряда любым
образом разбиты на группы*), то каждая бесконечная группа
образует абсолютно сходящийся ряд, и в случае бесконечного числа
групп ряд, составленный из сумм всех членов каждой группы,
абсолютно сходится, причем его сумма равна сумме данного ряда.
Доказательство. Абсолютная сходимость упомянутых рядов
вытекает из сделанных выше вспомогательных замечаний (учитывая,
что модуль суммы абсолютно сходящегося ряда ^ сумме ряда, состав-
ленного из модулей членов). Если число групп конечно и равно N,
то, располагая в каждой группе члены в том порядке, в каком они
встречаются в данном ряде, имеем Sn = &£ -f- ... + SjJJ (*i + • • •
...-{-kN= n)t откуда в пределе S=S(1)-\- .., -f-S(/V) (Sn и 5
обозначают частичные суммы и сумму данного ряда, S^ и S(i) обозначают
*) Число групп может быть конечным и бесконечным, число членов в
каждой группе может быть конечным и бесконечным.

224 ряды [гл. vi
частичные суммы и сумму членов /-й группы). Пусть теперь число
групп бесконечно. По доказанному 5 = 5(,)-|- ... -\-S*™-\-rf™, где
ciN> — сумма всех членов, не вошедших в первые N групп. Для лю-
оо
бого е ^> 0 определим р так, что 2 | ип | <^ е, затем выберем q так,
что первые р членов данного ряда входят в первые q групп. Тогда
оо
при N^>q будем иметь \оШ)\<^г, следовательно, 5=2 Sm, что
и требовалось доказать.
Теорема. Если 2И« и 2^ — абсолютно сходящиеся ряды,
то ряд, составленный из всех произведений ир vq, расположенных
в любом порядке, абсолютно сходится и его сумма равна
произведению сумм данных рядов.
Доказательство. Расположим и vq в последовательность
по следующему правилу: после того как все upvg, где р^п, q<^n,
выписаны, выписываем все прочие upvq, у коихр^п-J- 1, q^n-\-l.
Пусть sn, on(s, о)—частичные суммы (суммы) данных рядов, 5П
«1 <\ 1 «1 «1
"8 *\ "« vt
и» *, ", *\
■—частичные суммы построенного ряда. Пусть sn, on,Sn(s, о) —
аналогичные величины, получающиеся при замене ип на \ип\, vnna \v„\.
Для любого п определим т так, что п^т1, тогда Sn<iSm*^
= smom*£Ls о, откуда следует абсолютная сходимость построенного
ряда (пусть S — его сумма). Затем из
S*=s„oK
'п"п
в пределе находим S — so, что и требовалось доказать.
49.3. Условно сходящиеся ряды. Если ряд 2 ип сходится, но не
является абсолютно сходящимся рядом, то он называется условно
сходящимся рядом.
Пример. Ряд 1 — -S-+-g— -j + • • • Этот ряд условно сходится, ибо
он сходится в силу теоремы Лейбница, но ряд, составленный из модулей его
членов, есть гармонический ряд и, следовательно, расходится.
Теорема о перестановке членов ряда неприменима к условно
сходящимся рядам, и, более того, можно доказать, что в любом
§ 49]
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ С ЛЮБЫМИ ЧЛЕНАМИ
225
условно сходящемся ряде можно так изменить порядок членов, что
вновь полученный ряд будет иметь любую наперед заданную сумму
или даже будет расходящимся.
Но заметим, что любая группировка членов, не нарушающая
порядок следования их, допустима в любом сходящемся ряде и не
меняет величины суммы (последовательность частичных сумм такого
ряда будет подпоследовательностью частичных сумм данного ряда).
49.4. Ряды с комплексными членами. Из критерия Коши для
последовательностей действительных чисел (см. 46.1) непосредственно
вытекает такой же критерий для последовательностей комплексных
чисел (учитывая сказанное в конце примечания к 2.1). Изложенное
в 46.2 и 46.3 дословно применимо к рядам с комплексными членами.
Определение абсолютно сходящегося ряда, теорема о
сходимости абсолютно сходящегося ряда и ее доказательство (49.2)
дословно распространяются на ряды с комплексными членами.
Теорема о перестановке членов, доказанная выше для абсолютно
сходящихся рядов с действительными членами, верна и для абсолютно
сходящихся рядов с комплексными членами. В самом деле, если ряд
2«П> где ип —an~t/An абсолютно сходится, то ряды с
действительными членами 2а« и 2^« абсолютно сходятся, следовательно,
по доказанному их суммы не меняются при перестановке членов,
а поэтому сумма ряда 2«„ также не меняется при перестановке
членов. Теорема о группировке членов и теорема умножения,
доказанные в 49.2 для абсолютно сходящихся рядов с действительными
членами, применимы к абсолютно сходящимся рядам с комплексными
членами с дословным сохранением доказательств.
49.5. Признак Даламбера. Если ряд 2И« вообще с
комплексными членами таков, что -Ji±1 —>-р, то ряд У\ип абсолютно
сходится при р <^ 1 и расходится при р ^> 1 {при р = 1 вопрос
о сходимости или расходимости остается открытым).
Доказательство. Пусть /><М, тогда, так как
и
Я+1
ип
= '-■""*"! , то на основании признака Даламбера для знакоположи-
I ип I
тельных рядов заключаем, что ряд 2lanl сходится и, следовательно,
ряд 2«„ абсолютно сходится.
Пусть р^>1, тогда мы видим, что \ип\, начиная с некоторого
места, должен возрастать, следовательно, ип не стремится к нулю
и ряд 2 "и расходится.
49.6. Признак Коши. Если ряд 2М« вообще с комплексными
членами таков, что "|/^| им |—*-р, то ряд 2"п абсолютно сходится
8 П. И. Романовский

226
РЯДЫ
[гл. vi
при р<^\ и расходится при р ^> 1 (при р = 1 вопрос о сходимости
или расходимости остается открытым).
Доказательство. Пусть р<^1, тогда на основании признака
Коши для знакоположительных рядов 21 ип I сходится,
следовательно, ряд 2«n абсолютно сходится.
Пусть р]>1, тогда, начиная с некоторого места, (^|и„|, а
следовательно и |ц„|, больше единицы, значит, ип не стремится к нулю
и ряд 2ип расходится.
§ 50. Функциональные последовательности и ряды
50.1. Основные сведения о функциональных
последовательностях. Рассмотрим бесконечную последовательность функций,
определенных на сегменте [а, Ь\.
/, (*), Л (*)- Л (*) /п (*)> • • •
(S>
Последовательность функций (S) называется сходящейся к
функции /(х) на [а, Ь], если при каждом значении х последовательность
чисел /п(х) сходится к числу f(x).
y/fsj+e
y=f(x]
y=f„(x)
\y=f(x)-e
Рис. 149.
Это значит, что для всякого е]>0 и всякого х из [а, Ь] найдется
такой номер N, зависящий от е и х (N=N(e, x)), что при всех
n^>N будем иметь
Последовательность функций (5) называется равномерно
сходящейся к функции /(х) на [а, Ь], если для всякого е^>0 найдется
такой номер N, зависящий только от e{N=N(e)), что при всех
n~^>N и любом х из [а, Ь\ будем иметь
!/»(*)—/(*) К е-
Пусть е — какое-нибудь положительное число, «е-полоской»
функции /\х) на [а, Ь] (рис. 149) назовем фигуру, ограниченную линиями
§ 50] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 227
у=/(х) — е, у=/(х)-\-г, х = а, х = Ь. Равномерная сходимость
последовательности функций /и (х) к функции f(x) на [а, Ъ\
геометрически означает, что для всякого е]>0 найдется такой номер Л/,
что графики функций /„(х) на [а, Ь] при n^>N целиком лежат
в е-полоске функции /\х) на [а, 6].
Примеры.
1) Последовательность функций
сходится к функции
х, х'
на [0, 1]
/(*)
-\1
0sSx< 1,
х=1
(рис. 150).
Однако при е < 1 график каждого члена последовательности не
укладывается в е-полоске функции f(x), следовательно, сходимость неравномерная.
X
Рис. 150.
Рис. 151.
Заметим, что в данном примере члены последовательности непрерывны, а
предельная функция разрывна.
2) Пусть функция f„ (x) на [0, 1] определена так (рис. 151):
/ 1
0 при х = 0 и при
п
1.
1
U*)= { l при х= ^,
линейна на [о, 1] и на [1, I] .
Последовательность функций f„(x) на [0, 1] сходится к f(x) = 0 (ибо при
х>0 числа fn(x) для достаточно больших п равны нулю, при х = 0 они все
равны нулю), но сходимость на [0, ]] будет неравномерной, так как при е< 1
график каждого члена последовательности целиком не укладывается в
е-полоске тождественного нуля. Заметим, что в данном примере члены
последовательности непрерывны и предельная функция непрерывна.
8*

228 ряды [гл. vi
Критерий Коши для равномерно сходящихся
функциональных последовательностей. Для того чтобы
последовательность функций Д (л:), Д (х), ..., /„ (х), ... на [а, Ь\
была равномерно сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для
всякого е^>0 нашелся такой номер N, что при всех n^>N и
любом р^>0 имели бы \/п+р{х)—/„(*)!<« для всех х на [а, Ь].
Необходимость. Пусть последовательность функций /п{х)
равномерно сходится к /(х) на [а, Ь]. Тогда для всякого е^>0
найдется такой номер Л/, что при n~^>N
\/nix) — /"(■*)! <С-g* для всех х на ia» Ч-
Так как при n^>N, p^>0 имеем n-\~p^>N, то также имеем
1/и+И*)—/(*)!<у для всех х на la» Ч-
Следовательно, при всех х на [а, Ь] имеем
Достаточность. Если выполнены условия доказываемого
критерия, то для каждого значения х на [а, Ь] выполнены условия
критерия Коши для последовательности чисел /п{х), поэтому при
каждом х на [а, Ь] последовательность чисел /„ (х) сходится к некоторому
пределу f{x). Этим доказана сходимость нашей функциональной
последовательности. Остается обнаружить равномерность этой
сходимости. Так как \/п+р(х) — /„(*)]<> при л> Л/, р>0 и любом х
на [a, b], то в пределе при р—>-оо получим
|/(*) —/„(*)|<в
при п~^>N и любом х на [а, Ь], что и доказывает равномерную
сходимость последовательности функций /п{х) к функции f(x) на [а, Ь].
50.2. Основные сведения о функциональных рядах.
Функциональным рядом называется ряд, члены которого являются функциями
одного или нескольких переменных. Например, ряд, члены которого
суть функции одного переменного х на [а, Ь], можно записать так:
со
ф,(*)+ф2(*)+---+ф«(*)+--- или Е ф»(*)-
Суммы вида Sn (х) = ф, {х) + ф, (*) Ч~ .. ■ + ф„ (■*) называются
частичными суммами данного функционального ряда.
Рассмотрим последовательность частичных сумм:
5, (*), st (*)» 5. (*). • • •. sn (*). • • •
§ 50] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 229
Функциональный ряд называется сходящимся на [a, b]t если
последовательность его частичных сумм сходится на этом сегменте [а, Ь].
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на [а, Ь],
если последовательность его частичных сумм равномерно
сходится на [a, b].
Заметим, что всякую функциональную последовательность можно
рассматривать как последовательность частичных сумм некоторого
функционального ряда. В самом деле, последовательность каких-либо
функций
5|(х), "2(x)i • • •» 5в(х), ...,
очевидно, является последовательностью частичных сумм ряда
5i <*) + Р, (*) — St {х)] + [St {x) — St {x)} + . -.
-. +P»(*)—s„-, (*)! + ■••
Поэтому примеры неравномерно сходящихся функциональных
последовательностей, рассмотренные выше (см. 50.1), легко переделать
в примеры неравномерно сходящихся функциональных рядов.
Критерий Коши для равномерно сходящихся
функциональных рядов. Для того чтобы функциональный ряд
Ф,(*) + ФЛ*)+---+Фп (*) + •••
был равномерно сходящимся на [а, Ь\, необходимо и достаточно,
чтобы для всякого е^>0 нашлось такое N, что при n^>N и
р^>0 имели бы
I фи+» (*)+ф»+« (*)+••• +ф»+я(*) К 6
для всех х из [а, Ь\.
Это утверждение непосредственно вытекает из критерия Коши
для функциональных последовательностей, если заметить, что
$„+,(*) —5„(*) = фя+1(х) + фя+, (*)+ • • • + Ф»+#Д*)-
Отметим еще одно простое достаточное условие равномерной
сходимости функционального ряда. Предварительно введем определение.
Будем говорить, что функциональный ряд ^Ц>п(х) мажорируется
п
на [«, Ь\ числовым рядом 2ав» а„^0, если при всех п и для
л
всех х на [а, Ь]
|ф„М|<л„.
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.
Если функциональный ряд ^ц>п(х) мажорируется на
рассматриваемом интервале сходящимся числовым рядом 2ая» то данный
функциональный ряд равномерно сходится на рассматриваемом
интервале.
8* .П. И.Ромаьовский

230
РЯДЫ
[ГЛ. VI
Доказательство. Так как ряд ^ап сходится, то по
критерию Коши для числовых рядов для всякого е]>0 найдется такое N,
что при n^>N и р^>0 будем иметь
но тогда для всех х на рассматриваемом интервале
<|ф»+,(*)14Чфи+.(*)1+.--+1ф»+,(*)1<
Следовательно, по критерию Коши для функциональных рядов
ряд 2ф«М равномерно сходится на рассматриваемом интервале,
что и требовалось доказать.
Пример. Функциональный ряд £ ^^ равномерно сходится на всей
п = \
числовой прямой, ибо при всех х
sin пх
п
2 »
8 рЯД 2 7Г'
сходится.
П:=1
50.3. Теорема о непрерывности предельной функции. Если
последовательность непрерывных функций на рассматриваемом
интервале равномерно сходится на этом интервале, то
предельная функция непрерывна.
Доказательст во.
Пусть /п{х) непрерывна на
рассматриваемом интервале и
/п(х)—►/(*) равномерно на
этом интервале. Возьмем е^>0.
Вследствие равномерной
сходимости данной
последовательности функций найдется такой
номер л, что
для всех х на рассматриваемом интервале.
Пусть jc0 — какая-нибудь точка этого интервала (рис. 152). Так
как / (х) "непрерывна в х0, то найдется такое т)>0, что при
ШЫЙатгШ.
§51] ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ 231
Но
/(*e + A)—/(*t) = l/(*. + A)— /„(*. + *)] +1/« (*. + *)—
-/nw]+[/»w-/w].
Следовательно,
|/(*.+А)—Л*.)1<1/(*« + л)—/«!*• +А) I+ !/„(*.+*) ~
—ЛЮ1 + |/»(*.)-/(*.)К-д- + |+Т=в
при jAK^T], что и доказывает непрерывность /(х) в точке х0.
Примечание. Теорема перестает быть верной, если в ее условии
равномерную сходимость заменить простой сходимостью. Это видно из примера 1)
из 50.1. Однако пример 2) из 50.1 показывает, что и в случае неравномерной
сходимости последовательности непрерывных функций предельная функция
иногда может оказаться непрерывной.
Как простое следствие, отсюда получается
Теорема. Сумма равномерно сходящегося ряда с
непрерывными членами непрерывна.
Действительно, если уп{х) непрерывна и ряд ^Фи^)
равномерно сходится, то частичные суммы (как суммы конечного числа
непрерывных функций) непрерывны и образуют равномерно
сходящуюся последовательность, следовательно, по доказанной теореме ее
предел (т. е. сумма ряда) есть непрерывная функция.
Примечание. Определения сходимости и равномерной сходимости,
критерий Коши, признак Вейерштрасса, теорема о непрерывности предельной
функции, рассмотренные в настоящем параграфе, излагаются вполне
аналогично в случаях, когда членами последовательности и рядов являются
функции нескольких переменных или комплексные функции действительного или
комплексного переменного.
§ 51. Почленное интегрирование и дифференцирование
функциональных рядов
51.1. Предельный переход под знаком интеграла. Теорема 1.
Если последовательность непрерывных функций fn{x) равномерно
сходится на [а, Ь\ к функции f{x), то
ь ь
а а
т. е. предел последовательности интегралов равен интегралу от
предела последовательности функций.
Доказательство. Для любого е^>0, так как сходимость
последовательности /п (х) равномерна на [а, Ь], найдется такое /V,
что при л~>Л/ -
8**

232 ряды
для всех х на [с, Ь], но тогда
ь ъ ь
| S /и (*) dx — I f{x) dx | = | $ [/„ (x) —f(x)] dx
[ГЛ. V!
e
при n"^>N, а это и значит, что
ь ь
а а
Важно отметить, что без требования равномерной сходимости
теорема может быть неверна. Покажем это на примере.
Пусть /п(х) определена на [0, 1] так (рис. 153):
1 _
/»(*> =
О при л: = 0 и при
п
1.
п при * = 2^,
линейна на 0, ^ и на U^, — I .
Очевидно, /п(х)—>0 на [0, 1], но
djc
1 I 1
Рис. 153.
£/„(*)
о
1
и, следовательно, числа ^ /п (х) dx не
о
1
стремятся к \0йл: = 0.
о
Как простое следствие теоремы 1
получается следующая
Теорема 2. Если функциональный
ряд с непрерывными членами равномерно
сходится на [а, Ь\, то его можно почлен-
~*Z но интегрировать на [а, Ь\.
Действительно, если 2 ф„(*)
равномерно сходится, то частичные суммы S„ (x)
равномерно стремятся к сумме S{x), следовательно, по доказанной
теореме
^Sn{x)dx —+ ^S(x)dx,
§ 51J ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ 233
т. е.
ъ ь ь ь
\ Ф, (*) «**+ $ Ф, (*)<**+...+ $ q>n(x)dx-+ J S(x)dx,
а а а а
Т. е.
Ь ь Ь Ь
J ф1 {х) rfJC'-j-'J Фа (■*) dx + • • ■ 4" J Фп (■*) dx ~\~ • * * = J S(X) dx-
a a a a
51.2. Предельный переход под знаком производной.
Предварительно заметим, что если последовательность непрерывно
дифференцируемых функций равномерно сходится, то еще нельзя утверждать,
что производная предела существует и равна пределу производных.
Например, последовательность функций / (л:) = ■ ■■ равномерно
- ' п
сходится к /(*) = 0, однако /п {х) = Yn cos nx и числа /п(0) = ]/~п
не стремятся к /'(0) = 0.
ТеоремаЗ. Если последовательность непрерывно
дифференцируемых на [а, Ь\ функций сходится на этом интервале, а после-
довательность их производных равномерно сходится на этом
интервале, то можно утверждать, что производная предела
существует и равна пределу производных от членов
последовательности.
Это значит, что если fn(x) непрерывно дифференцируема на
[а, Ь], последовательность функций /п (х) сходится к функции f{x)
и последовательность f'n{x) равномерно сходится к некоторой
функции <p(jc), то /(х) дифференцируема и f (х) = ц>{х).
Доказательство. На основании теоремы о предельном
переходе под знаком интеграла заключаем, что из равномерной
сходимости f'a {х) к <р (х) следует при любом х на [а, Ь\
X X
$Л(0««—$ф(0«й.
а а
НО
х
$ Гп (0 dt =/„ {х) -/„ (а) ->/(*) -/{а).
а
В силу единственности предела отсюда находим
х
/(*)--/(«)= $Ф(0<«.
а
X
/1*)=Да)+$ф(0Л.

234 ряды [гл. vi
На основании теоремы об интеграле с переменным верхним
пределом заключаем, что f(x) дифференцируема и f (х) = у(х), что и
требовалось доказать.
Условия доказанной теоремы могут быть ослаблены. Об этом говорит
следующее
Примечание. Если последовательность непрерывно дифференцируемых
на [а, Ь] функций fn{x) сходится по крайней мере в одной точке с этого
интервала, а последовательность их производных fn (х) равномерно сходится
на [а, Ь], то последовательность f„(x) сходится равномерно на [а, Ь].
X
В самом деле, tn(x) = fn(c)+\fn(t)dt, но для любого е>0 найдется
с
такое Nv что при n>W,, p>0 будем иметь
\ta+p(c)-tn(c)K±t
и такое Nt, что при п > Nv p > 0 будем иметь
I £+,<*>-£ Ml <g(£zi5
иа [а, Ь], а тогда при n>N, р>0 (где N — наибольшее из Nlt Nz) будем
иметь для всех х на [а, Ь]
\tn+P(x)-tn(x)\ =
г X
с
что и доказывает равномерную сходимость последовательности f„(x) на [а, Ь].
Последовательное применение этого примечания, а затем последовательное
применение предыдущей теоремы показывает, что справедлива следующая более
общая
Теорема З1. Пусть fn(x) (п = 1, 2, 3, . ..)т раз непрерывно
дифференцируемы на [а, Ь]; каждая из последовательностей
Ь (х), tz (*). ....
t[ (х), f'2 (х), . . .
f[m-i4x), im-i4x), ■. •
сходится по крайней мере в одной точке на \а, by последовательность
tfw)(*). &а)(х). • • •
равномерно сходится на [а, Ь]. Тогда каждая из вышеупомянутых
последовательностей сходится равномерно на [а, Ь], причем £(*)= limfn(x) есть т раз
непрерывно дифференцируемая функция и #*>(*)= Mm #*>(x) (при k=\,
2, ..., т).
Как простое следствие из теоремы 3 вытекает
Теорема 4. Если функциональный ряд с непрерывно
дифференцируемыми членами сходится на данном интервале, а ряд%
§ 52] степенные ряды 235
составленный из производных его членов, равномерно сходится на
этом интервале, то данный ряд можно почленно
дифференцировать в точках этого интервала.
оо
Действительно, если 2 Ф» (*)—рассматриваемый ряд и S(x) —
его сумма, то из доказанной теоремы следует, что
q>;(*)+q>i(*)+---+q>;,(*) =
= [ф, (*) + Ф. (*)+•••+ Ф„ (*)]' — S' (х),
т. е.
ф;м+ф; (*)+... =$'(*).
Как следствие из теоремы З1 вытекает следующая
Теорема 41. Пусть <р„(х) (п=1, 2, 3, ...) т раз непрерывно
дифференцируемы на [а, Ь\\ каждый из рядов
2ф„<*). 2^w 'Хф»"-0^)
сходится по крайней мере в одной точке на [а, Ь\; ряд 2<РмЯ*М равномерно
сходится на [а, Ь]. Тогда каждый из вышеупомянутых рядов равномерно
сходится на [а, Ь], причем S(x) = ^fpn(x) m раз непрерывно дифференцируема
на [а, Ь] и
5(*>(х) = 2ф?)И (при k=l, 2, 3 /я).
+ 00
п г, V^ sm пх 1 .
пример. Ряд У^ —-— можно почленно дифференцировать при лю-
бом х по крайней мере три раза, ибо этот ряд и ряды из первых, вторых и
третьих производных мажорируются сходящимися числовыми рядами, а поэтому
равномерно сходятся.
§ 52. Степенные ряды
Степенным рядом (комплексного переменного) называется ряд
или, короче, 2 anz"> гДе ап — любые комплексные числа; z—комп-
лексное переменное.
52.1. Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для
некоторого значения переменного, то он абсолютно сходится для всех
значений переменного с меньшим модулем.
Это значит, что если ряд 2ап2ъ сходится, |г|<^]г0|, то ряд-
^anzn абсолютно сходится.
Доказательство. Так как ряд 2fl«2:o СХ°ДИТСЯ» то его члены
стремятся к нулю и, следовательно, ограничены, т. е. найдется такое
число /С, что для всех п
l*«*SI<*.

236
РЯДЫ
[ГЛ. VI
Если |z|<|z0|, то число ? = .jii<l и КЛ = |яи*о(^)',| =
Но числа Kq" образуют убывающую геометрическую прогрессию,
следовательно, ряд ^Кд" сходится, но тогда на основании принципа
сравнения рядов с неотрицательными членами ряд ^l^2^! сходится,
следовательно, ряд ^anzn абсолютно сходится, что и требовалось
доказать.
Следствие. Если степенной ряд расходится (или неабсолютно
сходится) для некоторого значения переменного, то он расходится
для всех значений переменного с ббльшим модулем.
Это значит, что если ряд 2a»zo Расх°Дится или неабсолютно
сходится, |*|>|*,|, то ряд ^anzn расходится.
В самом деле, если бы ряд ^anzn сходился, то по теореме
Абеля (так как |z0K|z|) ряд 2а«го был бы абсолютно
сходящимся, что противоречит условию.
62.2. Область сходимости и характер сходимости степенного
ряда. Рассмотрим какой-нибудь функциональный ряд, члены которого
являются функциями некоторого переменного. Те значения
переменного, для которых рассматриваемый ряд сходится, называются
точками сходимости функционального ряда; те значения переменного,
для которых рассматриваемый ряд расходится, называются точками
расходимости функционального ряда. Совокупность всех точек
сходимости называется областью сходимости рассматриваемого
функционального ряда.
Теорема Абеля позволяет выяснить вид области сходимости степенного
ряда. Пусть ^anzn — какой-нибудь степенной ряд. Логически
возможны случаи:
1) все положительные числа суть точки сходимости;
2) все положительные числа суть точки расходимости;
3) существуют положительные точки сходимости и
положительные точки расходимости.
В первом случае в силу теоремы Абеля данный степенной ряд
сходится (абсолютно) для всех значений z (так как для любого
комплексного числа z найдется положительное число, большее чем |z|).
.Следовательно, область сходимости есть вся плоскость комплексного
переменного.
Во втором случае в силу следствия из теоремы Абеля данный
степенной ряд расходится для всех значений гфО (так как для
любого комплексного числа z=^=0 найдется положительное число,
меньшее чем | z |). Следовательно, область сходимости состоит из одной
точки нуль.
§ 52]
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
237
В третьем случае найдется положительная точка сходимости г, и
положительная точка расходимости Rt. Если *Т есть точка схо-
димости, то положим rs=^-i—-1, Rt = R1; если же r g **' есть точка
f ID
расходимости, то положим rt = rlt Rz= g *. Таким же образом,
исходя из гг> Rt, введем числа га, Rt и т. д. В результате получим
неубывающую последовательность положительных точек сходимости
и невозрастающую последовательность положительных точек
расходимости
/\, =^ Rg s^ Rt ...,
р г
причем Rn — г„= оп-1'—**0« Следовательно, обе названные
последовательности имеют общий предел
lim rn = lim Rn = R.
Если |z\<C.R, то при достаточно большом п \z\<^rn и,
следовательно, в силу теоремы Абеля z есть точка сходимости. Если \z\^>R,
то при достаточно большом п \z\^>Rn и, следовательно, в силу
следствия из теоремы Абеля z есть точка расходимости. Таким
образом, внутри круга радиуса R с центром О ряд сходится
(абсолютно), вне этого круга ряд расходится. Вопрос о точках, лежащих
на окружности, остается открытым. Область сходимости степенного
ряда есть, таким образом, круг радиуса R с центром О (точнее:
внутренность этого круга плюс, быть может, некоторое множество
точек окружности). Этот круг называется кругом сходимости
степенного ряда. Радиус его называется радиусом сходимости.
В нервом и втором случаях следует считать соответственно R = оо
и /?=0 (круг сходимости соответственно обращается во всю
плоскость или вырождается в точку).
Во всех точках внутри круга сходимости степенной ряд
абсолютно сходится (отсюда видно, что если Jan| = |£n|t то ряды У\апг"
и 2#„z" имеют одинаковые радиусы сходимости; в частности, У anzn
и 2j I an 12" имеют одинаковые радиусы сходимости).
На каждом концентрическом круге радиуса r<^R сходимость
степенного ряда будет равномерной. В самом деле, в точке г, как
лежащей внутри круга сходимости, сходимость степенного ряда абсолютна,
следовательно, при | z | <; г степенной ряд 2 anzn мажорируется
числовым сходящимся рядом 2lflnrn| и« следовательно, равномерно
сходится.
Переходя к степенным рядам действительного переменного, найдем
как следствие изложенного выше, что область сходимости степенного

238
РЯДЫ
| Г Я. VI
ряда 2лл#" есть интервал с симметрическими концами (одного из
видов (-R, Я), [ — Я. Я), ( — R, R], [ —/?, Я]). Будем называть
ее промежутком сходимости; внутри промежутка сходимости, т. е.
в (— R, R), сходимость ряда абсолютная; при r<^R сходимость ряда
на сегменте [ — г, г] равномерная (следовательно, она будет
равномерной на всяком сегменте [а, Ь\, лежащем внутри промежутка
сходимости).
62.3. Определение радиуса сходимости степенного ряда. Не
решая в общем виде этой задачи, заметим, что в некоторых простых
случаях радиус сходимости степенного ряда может быть найден
с помощью признаков Даламбера и Коши.
Пусть, например, некоторый степенной ряд 2спг" TaK0Bt что
аи+1
ап
L.
Полагая un = anzn, найдем
1п+\
"я
вn+,zn-t-,
а„гп
bf|l«|-i|«|.
откуда (в силу признака Даламбера) видим, что наш ряд
Т | | ^ , I при \z]<"-7- сходится,
при L | z К 1 сходится, I к ' ' ^> L
при 1|*|>1 расходится, ' ' | при j^,. y±_ расходится,
{
отсюда следует, что радиус сходимости
62.4. Почленное интегрирование и дифференцирование
степенных рядов. Пусть 2an*" — степенной ряд действительного
переменного и R—его радиус сходимости. Согласно сказанному выше,
рассматриваемый степенной ряд сходится равномерно на всяком сегменте
[а, Ь], лежащем внутри промежутка сходимости, поэтому из общей
теоремы о почленном интегрировании функциональных рядов сразу
ВЫТСК36Т
Теорема. Всякий степенной ряд можно почленно
интегрировать в любых пределах, лежащих внутри промежутка сходимости.
Например, степенной ряд всегда можно почленно интегрировать
в пределах от 0 до х, где |#|<[/?.
Лемма. Ряд, полученный почленным дифференцированием
степенного ряда, имеет не меньший радиус сходимости, чем данный
(на самом деле такой же).
ftalaHamrtlb
§ 52] степенные ряды 239
Доказательство. Рассмотрим степенной ряд 2а„хп с
радиусом сходимости R и ряд, составленный из производных его членов
2^""'. Достаточно доказать, что ряд "^па^"'1 сходится в
интервале (— R, R). Пусть \x\<^R иг таково, что \x\<^r<^R.
Имеем
но г есть точка сходимости ряда ^апхп, поэтому числа апг"
стремятся к нулю и, следовательно, ограничены:
К'и1<к.
Значит,
\папх«-х\<Кп-Ц
и-1
1И-1
Но ряд 2jK п— сходится (это следует из признака Даламбера:
„ _У"1*Г~1. K+i|_"+i 1*1 , 1*1 ^ 1х
поэтому по принципу сравнения сходится ряд ^\папхп~х\, а
следовательно, и ряд ^/ianxn"1, что и требовалось доказать.
Теорема. Всякий степенной ряд можно почленно
дифференцировать в любой точке, лежащей внутри промежутка
сходимости.
Доказательство. В самом деле, взяв какую-нибудь точку
внутри промежутка сходимости, заключим ее внутрь сегмента [а, Ь],
лежащего внутри промежутка сходимости. Так как в силу леммы
радиус сходимости ряда, составленного из производных, не меньше
радиуса сходимости данного ряда, то на [а, Ь] равномерно сходится
как данный ряд, так и ряд, полученный почленным
дифференцированием, поэтому на основании общей теоремы почленного
дифференцирования функциональных рядов наш степенной ряд можно почленно
дифференцировать на [а, Ь\ и, в частности, в рассматриваемой точке.
Следствие. Так как ряд, полученный после почленного
дифференцирования, находится в таких же условиях, как данный, то из
доказанной теоремы следует, что всякий степенной ряд можно любое
число раз почленно дифференцировать внутри его промежутка
сходимости. Таким образом, сумма степенного ряда внутри его промежутка
сходимости имеет производные всех порядков.
52.5. Разложение логарифмов и арктангенсов в степенные
ряды. Разложения In (1 -f-л:) и arctgjc в степенные ряды можно
получить весьма просто путем почленного интегрирования геометрической

240 ряды |гл. vi
прогрессии. В самом деле,
-^=1—* + *■—*•+... ПРИ|АГ|<1
(радиус сходимости, очевидно, равен единице).
Почленное интегрирование этого степенного ряда *) в пределах
от 0 до х, где | х \ < 1, приводит к формуле
1„(1+jc) = jc—^- + Т~Т + --- |Х|<1 0)
или
оо
11=1
Отсюда можно вывести разнообразные формулы, дающие
разложение логарифмов в ряды.
В качестве примера выведем формулу, позволяющую
последовательно находить логарифмы целых чисел. Заменяя в последней
формуле х на — х, получим при | х | <^ 1
х*
In (1 — х) = — х 2"
Вычитая это равенство из формулы (1), получим
Ц}±-;Н*+2х+24+---
Взяв х=пК1 , , , где N—натуральное число, найдем
2.N -j- 1
1-х~ 1 ~~ 2N ~~ N •
2N + \
Следовательно,
1 /У + >_ 2 | 2 \ 2 - 1
Ш N ~"2Л/ + 1"1"3(2^ + 1)*~Г5(2ЛЧ-1)5 •""
откуда
2 2 2
1п^+1)==1пЛГ+2ЛГ+1 + 3(2Л/ + 1)' + 5(2Л/ + 1Т8^
Эта формула позволяет последовательно находить логарифмы на
туральных чисел. Далее имеем
(радиус сходимости, очевидно, равен единице).
*) Заменив предварительно х другой буквой.
(2)
§ 52| : степенные ряды 241
Почленное интегрирование этого ряда*) в пределах от 0 до х,
где j х | < 1, приводит к формуле
arctg*==*-^ + -£_-f-|-...i |*|<i. (3)
52.6. Понятие о ряде Тейлора. В § 13 была выведена формула
Тейлора
/(*)=/(<*)+/' {а){х-а)+ ... +/<"-'> (а) <*~Д"' +
где *„=/«!£) (2!=^.
Если рассматриваемая функция /(х) имеет на некотором
интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то для х,
принадлежащих этому интервалу, формула применима при всяком п.
Если для взятого значения х оказывается, что Rn—*0 при
ft—»-оо, то для этого значения х формула Тейлора в пределе
превращается в ряд Тейлорах
/(*) =/(a) +f (а) (х - а) +Г (а) &=& + .. . =
ft=o
В самом деле, частичная сумма этого ряда есть
И— 1
— V **чп\(*-°У
5и=Е/(*ч«)
к
ft=o
k\
затем /(*) — Sn = Rn —.-О, следовательно, S„ —+f{x).
При а = 0 ряд Тейлора превращается в ряд Маклорена:
/(*)=/(0)+/'(0)jc-b/'(0)-J+...= 2/l*,(0)-F.
k=.o
Лемма. Для любого числа х имеем —. ► 0 при п —»■ оо.
Доказательство. Предполагая х^>0 (что не нарушает
общности доказательства), рассмотрим ряд с общим членом
и
п п\
*) Заменив предварительно х другой буквой.

242 ряды 1гл. vi
тогда
хп+л
ип+1==(п-\-\)\ х .
л!
следовательно, в силу признака Даламбера ряд 2 ип сходится, и поэтому
ап—*0, что и требовалось доказать.
Найдем разложения ех, cos x, sin* в ряд Маклорена. Остаточный
член в формуле Маклорена
ЯИ=/(И) фх)
в этих случаях принимает легко оцениваемую форму. Имеем
(учитывая лемму):
JX *" . ID |^eUI 1*1"
/(x)=cosx; /?я = +ж(И^-; |/ги|<-^—о,
Отсюда заключаем, что для всех значений х справедливы
разложения (для подсчета /(п)(0) см. 9.1)
+ оо
е«=1+* + -й- + -ЭГ+...=2-11й-1 (4)
+ 00
cosx=l —|Г + |Г + -|Г+...=Х(—1)ит|^, (5)
я=0
-|-оо
(2л)1
„2И+1
(2МП)1
sinx = A;-^+^-^+---==2-(-1)n(2n^n)i- (6)
Из разложения е* легко получить разложения chje, shx. Имеем
Складывая и вычитая эти равенства и учитывая формулы
ехЛ-е~х , ех—е~х
спл; = .—^ : snje = s—,
§ 52] степенные ряды 243
получим для всех значений х разложения
п = о
+ OD
shjc = Jc + 4" + TT+---== £ (2п+1)Г <8)
52.7. Показательная функция комплексного переменного. Для
любого комплексного числа z определим ez как сумму того степенного
ряда, в который разлагалась ег, когда z являлось действительным
переменным, то есть положим по определению
+ 00
"*' " " 2! "Т~ 3! I ' ' * — ^-i "иГ
и=0
«*=•+*+'+*+...=£* (9)
Признак Даламбера показывает (см. доказательство леммы в 52.6),
что этот ряд абсолютно сходится для всех комплексных значений z.
В случае чисто мнимого показателя z = iy находим
*'=1+(У + -^ + Ж + -4Т+ы+-" =
ii* У* ■ #* i V* I j У*
= (l—^+^—...) + /( jT—^ + ^--...)=:COS>+/8lnjr
и приходим, таким образом, к формуле Эйлера
eiy = cos у-\-i sin у. (10)
Замена ^ на —У Дает e""0'==cos-y— isiny, после чего почленное
сложение и почленное вычитание двух последних равенств приводит
к формулам
cos^=—^ I sin,y== 2i , (И)
выражающим тригонометрические функции через показательную (эти
формулы также называются формулами Эйлера).
Имеем, учитывая правило умножения абсолютно сходящихся рядов,
V? гк Й° г1
— Z-. k\ * £* И »
ft=o г=о
е^А —yiiii —У У iiii —У± У Л. /,'
ег -f- Л! Л — £* {-* kill —£* п\ £* kill ZlZz
ft, l e=oft+*=n n=o k-\-l=n

244 ряды [гл. vi
Но
п п
Ь1, Ш! ^^« —Z- k\(n-k)\ ZlZ* =Z*CnZi*t =Ui+*i)
(формула бинома Ньютона). Следовательно,
+ 00
eziez7==\* (г1+га) —pZj + z,
Таким образом, доказана теорема сложения для показательной
функции комплексного числа
gZi -4-z2 — g г'ег'.
Отсюда видно, что показательная функция е* нигде в нуль не
обращается. В самом деле, если бы ez> = 0, то для любого z имели
бы ег = ег,ег~г* = Иег-г1 = 01 что нелепо, так как е°=\.
В случае любого комплексного показателя z = x-\-iy ' имеем
(учитывая теорему сложения и формулу Эйлера)
ex+iy = ex{cosy-\-isiny). (12)
Покажем еще, что е* как функция комплексного переменного z
имеет для всех значений z производную, причем
Ю'=Л (13)
е*+л_е* е*-1 еЛ-1 , , Л , Л2 .
В самом деле, ^ = g ^ , но h = \ -\- -^-Н"зГ + - • •'»
причем последний ряд как степенной (с радиусом сходимости
/? = -|-оо) изображает непрерывную функцию от Л (учитывая
равномерную сходимость его на всяком круге и теорему из 50.3),
следовательно (используя непрерывность в точке Л = 0),
fji 1 et+fl e*
lim —т— = 1, откуда lim г = е%
л->о " л->о п
то есть (ег)'=ег, что и требовалось доказать.
§ 53. Операции над степенными рядами
63.1. Сложение, вычитание, умножение. Пусть f(x) и ц>(х)
разложены в степенные ряды в некоторых окрестностях нуля
(окрестностями нуля мы называем здесь открытые интервалы с центром
б нуле):
f{x) = а0 -{- агх -\- а3х* -\- ...,
§ 53]' ОПЕРАЦИИ НАД СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ 245
Тогда в наименьшей из этих окрестностей будем иметь
/(*) ± Ф (х) = (а0 ± Ь0) + (а, + bt) х + (а, ± b2) х* + ...
Учитывая, что абсолютно сходящиеся ряды можно почленно
перемножать и что степенной ряд всегда абсолютно сходится внутри
промежутка сходимости, приходим к следующему правилу умножения
степенных рядов.
Пусть f{x) и Ц>{х) в некоторых окрестностях нуля разложены
в степенные ряды:
f{x) = a0Jra1x + aix2-\- . ..,
ф(*)=А + М + *гКа + ...
Тогда в наименьшей из упомянутых окрестностей будем иметь
f(x) ф (х) == аД + {аьЬ, -\- ахЬ0) х + {a0bt + <* А + «А) *"+•..
• • • +(«А + «Л-, + • • • +аА)*"+ • • •
В частности,
[f(x)Y = al + 2a0alX + (2аЛ + а\) х* + (2«0«я + 2аА) Xя + ...
63.2. Подстановка ряда вряд. Пусть функция /(х) при |д; <^7?
разлагается в степенной ряд /(х) = а0-\-агх-\-аяхж-\-...
... -\-апхп-\- ..., и пусть функция ф(х) при |x|<V разлагается
в степенной ряд
<p(*) = *I* + *1*1 + *a*i+...; <p(0) = 0.
Тогда сложная функция /[ф(х)] ПРИ | л: | <СЦQ (число q будет
определено ниже) разложится в некоторый степенной ряд.
Положим
Ф(*)=1М*+|*11*1+1М*'+...
(радиус сходимости этого степенного ряда такой же, как у ряда,
изображающего ф(х)). Функция Ф(х) называется мажорантой для
функции ф(х). Так как Ф(х) непрерывна при | л: | <^г ' и Ф(0) = 0,
то при достаточно малом q, 0<^q<V, будем иметь Ф((>)<^/?.
При | jc | <dQ имеем |ф(л;) |^Ф(|д;| )<^Ф(д)<^/?, потому при |x|<^Q
/[фМ]==«. + в,Ф (*) + <*.[? (*)]* + •••+<*» [ф (*)]"+•••
Но в силу правила умножения степенных рядов при | х | <^ г будем
иметь
1Ч!{х)Г = Ьялх* + Ъя и+1*и+, + *„ и+2*"+2+...
(где Ьпт — некоторые числа), поэтому при | х \ <^ q
/[Ф (*) ] = «о + «. А,* + bl2x* + bl3x> +...) +
+ «* (*„*" + Ьпхг + ...) -f я, (£38*3 + *,**4 +...)+'..-.

246 ряды [гл. vi
откуда после перегруппировки слагаемых получим при | х\ <^ q искомое
разложение
/[ф (*)] = «о + аАхх + («А, + «А,) л:8 +
+ («Аз 4" "А, + аАг) ХШ + . . .
или
/[<Р (*)] = «.+ £ («i^ir. + «Аи + • • • + flАв) *"•
Упомянутая перегруппировка слагаемых законна, так как ряд
1 ^ П^ Я» <-}-0О
абсолютно сходится при |#K[q в силу последнего из
вспомогательных замечаний 49.2.
В самом деле, ряд
|eil(l*,ilQ + l*,.lQi+-..) + |e.l(|*„|Qt + |*.,|Qi+...)+...
сходится, так как его члены не превышают соответствующих членов
ряда
к1Ф(рЖ«2|[Ф(д)]2 + --->
который сходится в силу Ф(£>)<1#.
Пример. Разложить в степенной ряд In cos х.
Имеем
In cos х = In [1 4- (cos x — 1)] = / [ф (x)],
где
f(x) = ln(l+x) = x-l*4-r-yxs-1-x*-f ....
<p(x) = cosx — 1= — у х2 + 24х4_ •••
Следовательно,
lncosx=:^— J x*+2Axi~~ •■•)~"2\ 2" X'^~2i **—•••) +•••
2 X \2X
63.3. Деление. Пусть в некоторой окрестности нуля имеем
разложение
Ф(х) = Ь0-\-Ь1х^гЬ2х*^г..., причем Ф (0) = 60 =^ 0.
Тогда жтт=/[ф(Л:)]> если положить
/W = fc-^; q>{x) = blx-\-btx*-{-...
§54]
Учитывая, что
1
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РЯДАХ ФУРЬЕ
247
Ь„+х
•+i
Ч
К
при |*|<|*0|,
1
заключаем, в силу правила подстановки ряда в ряд, что
Ф(х)

разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности нуля.
Если функция F(x) разлагается в степенной ряд в некоторой
окрестности нуля, то, учитывая сказанное и правило умножения
степенных рядов, заключаем, что
F(x) „,.л 1
\
F(x)
Ф(х)~~' х~'Ф(х)
разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности нуля.
Примечание. Практически деление степенных рядов можно
осуществлять так, как осуществляется деление многочленов, расположенных по
возрастающим степеням.
Пример. Разложить tgx в степенной ряд.
Имеем
sin х; . 1 , . 1
igx =
cos л:
rinx = x-Tx4-120.
cosx = l-—x2-\-^x*- ....
6 X "Г" 120 X
l-^x2 + 2L4X*~
X-
1 з , 1 ,
2 x -J- пд x ...
— x'_ — Xs +...
x+t*"+i! «•+■•■
v»
15
1 2
tgX = X + —Xa-\-j^Xs-{-...
§ 54. Начальные сведения о рядах Фурье
64.1. Периодические функции. Пусть /(х) — функция,
определенная на всей числовой прямой. Число Т называется периодом этой
функции, если для всех х имеем
/(*+ 7-) =/(*).
Если Т есть период функции, то л Г, где п — любое целое число,
есть тоже период (т. е. всякое кратное периода есть тоже период).

248 ряды [гл. vi'
Функция, имеющая период, отличный от нуля, называется
периодической.
Т
Если функция /(х) имеет период Т, то /{ах) имеет период — .
В самом деле,
/ [в (х +-£)] =/ {ах + Т) =/ {ах).
Если f{x) имеет период 7", то интеграл этой функции, взятый
в пределах, отличающихся на 7*, не зависит от выбора нижнего
предела интегрирования, т. е.
c-f-Г Г
[ f{x)dx — ^f{x)dx
с о
при всяком с. Действительно, пусть, например, 0 <^ с <^ Т.
Тогда
r-l-Г Т с + Т Т с Т
S=S+ S4+M-
ее 7" с о о
е+Г с
так как, вследствие периодичности функции, ^ = ^ .
Го
54.2. Ряды Фурье для функции с периодом 2л. Поставим
задачу: разложить сложную периодическую функцию на простые
периодические функции. Под «простыми периодическими функциями»принято
понимать простые гармоники, т. е. функции вида
A sin (сод; -\- а)
или, что равносильно, функциям вида
a cos (ox -\- b sin (ox.
_ 2я
Эта простая гармоника имеет период —.
Если мы хотим разложить функцию с периодом 2я на простые
гармоники, то их частоты следует выбирать так, чтобы каждая из этих
гармоник имела 2л в качестве одного из своих периодов. Таким обра-
зом, частоты следует брать так, чтобы п —=2я {п — целое) или со = л,
т. е. в качестве составляющих следует брать гармоники с целыми
частотами.
Допуская в качестве составляющей еще постоянную, для которой
всякое число служит периодом, приходим к такой задаче: разложить
функцию f(x) с периодом 2л в ряд вида
^ 4- {аг cos x -\- bl sin x) -\- (at cos 2x -\- b2 sin 2х) -+- . ..
.. • + (an cos л* + bn sin пх) -\-...
§ 54) НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РЯДАХ ФУРЬЕ 249
или, короче, в ряд вида
-f-oo
■f + X (а« cos пх ~Ь Ьп sin nx)%
где а0, а,, blt ..., ат Ь„, ...—некоторые постоянные [свободный
член удобно записывать в виде ^) .
Из примеров §§ 28 и 30 видно, что при натуральных т, л
я я в
\ cos пх dx = 0; J sin пх dx = Q\ J sin mx cos nx dx = 0;
—* —n —я
f Г 0 (т^л),
\ cos /»jc cos nxdx = {
-« l я (да = л);
—n
(1)
\ sin wjc sin лл: dx = <
Л l Я (» = «). у1
Предположим, что для f{x) существует разложение в равномерно
сходящийся ряд указанного выше вида
00
/(■*) = ■£ + 21 (аАcos ** 4~ ** sin &0;
А=1
тогда этот ряд и ряды, полученные в результате умножения его на
cos пх и sin пх, можно, как равномерно сходящиеся, почленно
интегрировать на [—я, л] (в силу теоремы 2 § 51), следовательно,
учитывая (1),
* * +оо * ,
J f{*)*c=% J d*+ £(e* §caskxdx + bk § sin kxdx}=naty
~я —я *=> —я —я
J /(х) cos лхdx = Ц- j cos лх dx + £ f ад Г cos kx cos лх rfx -J-
~ж —я *=i _„
ж
-\-bk ) sin их cos nxdx\ = nan (л = 1, 2, 3, ...),
—n '
J /(х)з1плх4х = |г J sin nxdx-\- X (a* J cosAxsinWxdx-}-
~* — n *=1 —n
n
+ ^ J sintasin«*rfx)==n&n (л=1, 2, 3, ...),
— к '

250
РЯДЫ
[ГЛ. VI
откуда
It Я 1С
fi0 —— \/{x)dx; 0„=— V f{x) cos nxdx; £„ = — f f(x)s\nnxdx
— 1С — Я —It
(й=1, 2, 3, ...)• (2)
Пусть f{x) — функция с периодом 2л, абсолютно интегрируемая
на сегменте [—я, я]. Рядом Фурье этой функции называется ряд
+ 00
\-\- X (°и C0S пХ + Ьп Sin ПХ)>
коэффициенты которого определены по формулам (2).
При этом пишут
+ 00
/ (х) -ч. Ц -J- £ (аи cos лх -|- &„ sin лх). (3)
Л = 1
Необходимо отметить, что из определения ряда Фурье отнюдь
не следует, что функция должна разлагаться в свой ряд Фурье.
Из сказанного выше следует только, что если некоторая функция
допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (3), то этот
ряд будет ее рядом Фурье (но не для всякой функции существует
такое разложение!). Тем не менее можно доказать, что при
некоторых условиях, наложенных на /(х), она действительно разлагается
в свой ряд Фурье и в этом случае в записи (3) знак ^ может
быть заменен знаком =. Ниже отмечаем без доказательства
некоторые достаточные условия разложимости функции в свой ряд
Фурье.
Назовем функцию, определенную на сегменте [а, Ь], кусочно-
монотонной (или удовлетворяющей условию Дирихле) на этом
сегменте, если этот сегмент можно разбить на конечное число сегментов
так, что внутри каждого из них рассматриваемая функция будет
монотонна и ограничена.
Назовем функцию, определенную на сегменте [a, b]t
кусочно-гладкой на этом сегменте, если этот сегмент можно разбить на конечное
число сегментов так, что внутри каждого из этих частных сегментов
рассматриваемая функция совпадает с некоторой непрерывно
дифференцируемой на этом частном сегменте функцией.
Формулировка простейших достаточных условий
разложимости функции в ряд Фу рье. Если функция f(x)
с периодом 2я имеет только правильные разрывы (если она вообще
имеет точки разрыва) и если она на сегменте [—я, я] кусочно-
ШЫЙатгШ.
§ 54] НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РЯДАХ ФУРЬЕ 251
монотонная или кусочно-гладкая, то она разлагается в свой ряд
Фурье.
Следует отметить, что это условие, являясь достаточным,
отнюдь не необходимо и что разложение функции в свой ряд
Фурье будет иметь место и при значительно более общих
предположениях.
54.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом
2я. Учитывая, что для интегрируемой на [—с, с] функции /(х)
всегда
с с
\ f{x)dx= J [f(x)-\-f(-x)]dx
-с О
с
(для получения этого равенства разбиваем интеграл \ на сумму
— с
О С
интегралов \ и \ и в первом из них заменяем х на —x)t заклю-
— с О
чаем, что
с с
] f(x)dx = 2^f{x)dxt если /(х)— четная,
—с о
с
\ f(x)dx = Qt если /(х) — нечетная.
— с
Это замечание мы используем при вычислении коэффициентов ряда
Фурье четных и нечетных функций.
Пусть f(x) — четная функция с периодом 2я, абсолютно
интегрируемая на сегменте [—л, я].
Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
тс -к
«o = ^$f{x)dx = ^f{x)dxt
— ■к
ап — — V /(х) cosnx dx =— \ f(x) cos nxdx (n = 1, 2, 3, ...)»
-71
7t
&»=-£§ fix)sinnxdx=Q (л=1, 2, 3, ...).

252 РЯДЫ 1гл- Vl
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют
члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2я
выглядит так:
+°°
n = i
где
an = —\f{x) cos nxdx (л=1, 2, 3, ...)•
о
Пусть теперь f(x) — нечетная функция с периодом 2л, абсолютно
интегрируемая на сегменте [—я, я}. Для коэффициентов ее ряда
Фурье находим формулы:
ж
a0=^^/(x)dx = 01
—я
It
ап—— \ f{x) cos nxdx —Q (л=1, 2, 3, ...),
— я
я я
bn — — \ f{x) sin nxdx — — \ f(x) sin nx dx {n= 1, 2, 3, ...).
— я о
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует
свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной
функции с периодом 2я выглядит так:
f(x)^~ 2 bnsinnx,
где
я
&„=— {/(x)sinnxdx (л=1, 2, 3, ...)•
о
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию
имеющую период 2л (в точках пп, где п — целое, полагаем / (х) = 0) (рис. 154).
на (— я, 0),
4
^ JL на (0. я),
ШЫЙатгШ.
§ *>41 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РЯДАХ ФУРЬВ 253
Очевидно, f (х) ■*- нечетная функция, удовлетворяющая условию
разложимости в ряд Фурье. Имеем
я я
|Я
!>п = — \ -j- sin nx dx = — Г sin nx dx
cosnx
2n
о
cos 0 — cos tin 1 —(— 1)" I — при п нечетном,
при п четном,
In 2n \ Q
-ТГ
О
ТГ
Рис. 154.
следовательно, 6, = 1, Ьг = 0, btr=—, &, = 0, ..., и искомое разложение
будет
I (х) = sin х -f- -о- sin Зх -\- — sin 5х + ...
54.4. Ряды Фурье для функций с любым периодом. Пусть
/(х) — функция с произвольным периодом 2/ (/—полупериод). Пола-
2/
гая x = at, получим функцию /{at) с периодом —. Выберем а так,
2/ /
чтобы— = 2я, т. е. а=—. Таким образом, линейная подстановка
а я
х =— приводит нас к функции /(— J с периодом 2л.
Предположим, что функция /(х) может иметь лишь правильные
разрывы и кусочно-монотонная или кусочно-гладкая на [—/, /],
тогда/[ — J удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье,
следовательно,
^(тг)=1Г+ S («««*«* + *„ sin л*),
n=i
где
°.=4M4)<": ».—гМ^)™""" («=1,2,з,...),
— я —я
ж
—я

254
РЯДЫ
[ГЛ. VI
Возвращаясь как в ряде, так и в формулах для коэффициентов
от нового переменного t к старому переменному х
получаем
('="• *=-т-*0.
+ 00
где
/M=S+£(«.«5r+».»ta2TL).
i
ao=-f§ f(x)dx,
—i
i
ап=-?- \ f(x) cos^-dx (л=1, 2, 3, ...).
—i
i
bn=\yf(x)sm~dx (л=1, 2, 3, ...)•
(4)
(5)
Ряд (4) с коэффициентами, определяемыми формулами (5),
называется рядом Фурье для функции /(х) с периодом 11.
Как и в случае периода 2я, заключаем, что в случае четной
функции с периодом 2/ все £„ = 0 и, следовательно, в ряде Фурье
нет членов с синусами, и он принимает вид
-|-00
Л = 1
где
а. = у £/(*)<**:
о
I
an~^f(x)zos^dx • (л=1, 2, 3, ...)•
о
В случае нечетной функции с периодом 2/ все ап = 0,
следовательно, в ряде Фурье нет свободного члена и членов с косинусами,
и он принимает вид
+ 00
д*)=2* *»sin-r>
И = 1
где
bn==l.§f{x)sm^dx (л=1, 2, 3, ...)•
§ 54]" НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РЯДАХ ФУРЬЕ 255
Пример '1. Написать разложение в ряд Фурье четной функции с
периодом 2. Имеем (здесь /==1)
I (*) — у + ^ ап cos пях; а0 = 2 Г / (х) rfx;
/1=1 О
зп = 2 \ jf (х) cos ппх dx (п = 1, 2, 3, ...).
о
Пример 2. Написать разложение в ряд Фурье нечетной функции
риодом 1. Имеем (здесь /=-«-)
+ 00
7 (*) = 2 &« si" 2мяж,
П = 1
\_
г
bn = 4^f(x)slt)2nnxdx (n=l, 2, 3, ...).
с пе-<

ГЛАВА VII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 55. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
55.1. Общие соображения. Всякое соотношение между
аргументом, неизвестной функцией и ее производной называется
дифференциальным уравнением 1-го порядка. Вообще, всякое соотношение
между аргументом, неизвестной функцией и ее производными до л-го
порядка включительно называется дифференциальным уравнением
п-го порядка.
Всякая система соотношений между аргументом, несколькими
неизвестными функциями и их производными до некоторых порядков
называется системой дифференциальных уравнений.
Решением дифференциального уравнения (системы
дифференциальных уравнений) называется всякая функция (система функций),
при подстановке которой (которых) в уравнение (систему уравнений)
получается тождество (тождества). График решения
дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка может быть записано
в виде
<Р (*.>,/) = О, (1)
где х — аргумент, у — неизвестная функция. В частности,
дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно
производной неизвестной функции, записывается в виде
/=/(*.>). (2)
Дифференциальное уравнение л-го порядка может быть записано
в виде
¥(*,*/■/. ...,УП,) = 0, (3)
где х — аргумент, у — неизвестная функция. В частности,
дифференциальное уравнение л-го порядка, разрешенное относительно высшей-
производной, записывается в виде
/">=/{х,у,у\ ...,Уп-1>). (4)
ШЫЙатгШ.
§ 55] ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 257
Не останавливаясь на общем виде систем дифференциальных
уравнений, отметим системы дифференциальных уравнений в нормальной
форме
>i=/i(*. Уг, Л. •••, Уп),
Уш=/ш(Х> Ун У г, ••-, Уа)>
Уп=/п(х, у„ уг, ..., уп),
(5)
где х — аргумент; yt, уг, ..., уп — неизвестные функции.
Ниже будет показано (см. § 58), что если правые части (5)
являются непрерывными функциями своих переменных в некоторой
области и имеют непрерывные частные производные 1-го порядка
по Уг* У%* •••» Уп и если система чисел je0, CIt Сг, ..., Сп входит
в область определения правых частей (5), то на достаточно малом
интервале, содержащем л:,, существует единственное решение [у, (х),
У*(х), ■••,.)'BW] системы (5), удовлетворяющее л начальным
условиям Коши
У1{х,) = С1,
УЛхо)=Сг,
Уп(**) = Са-
(5')
Отсюда непосредственно следует, что если правая часть
уравнения (4) является непрерывной функцией своих переменных в
некоторой области и имеет непрерывные частные производные 1-го порядка
п0 У* У> •••» Уи_1) и если система чисел х01 С0, С,, ..., Сп_х
входит в область определения правой части (4), то на достаточно
малом интервале, содержащем xot существует единственное решение
у(х) уравнения (4), удовлетворяющее л начальным условиям Коши
У (*.) =С0,
/W =с1§ (Я
у1п-%)М=сЦ
В частности, если правая часть уравнения (2) является непрерывной
функцией от xt у в некоторой области и имеет непрерывную частную
производную по у и если точка (jc0, C0) лежит в области
определения /, то на достаточно малом интервале, содержащем х0%
существует единственное решение у(х) уравнения (2), удовлетворяющее
начальному условию Коши
У(х0) = Сй. (2')

258
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VII
В самом деле, если рассмотреть систему дифференциальных
уравнений (в которой у, ylty2,-.., У„-г обозначают неизвестные
функции)
I Уг=Ух*
1* • • •
Уп-г = Уп-1>
I Уп-1=/(Х, У, У г, ■•-. Уп-i)
(6)
с начальными условиями Коши
то непосредственно видно, что если система функций у (я), ух (jc), ...,
J'n-iW Удовлетворяет (6) и (6'), тоу(х) удовлетворяет (4) и (4');
и обратно, если у {х) удовлетворяет (4) и (4'), то найдутся такие
Уг{х), •••..Уп-i (*)*). чт0 система функций у (х), ух(х), ..., уп^1(х)
удовлетворит (6) и (6').
Из сказанного видно, что общее решение уравнения (4) зависит
от п произвольных постоянных С0, С,, ... , С„_,, представляя собой
семейство функций у(х; С0, С,, ... , Сп_1), зависящее от п
параметров. В частности, общее решение уравнения (2) зависит от одной
произвольной постоянной С и является семейством функций у{х\ С),
зависящим от одного параметра С.
Переходя от функций к их графикам, можно сказать, что общее
решение дифференциального уравнения «-го порядка есть семейство
кривых, зависящее от п параметров и, в частности, общее решение
дифференциального уравнения 1-го порядка есть семейство кривых,
зависящее от одного параметра.
Соотношение, зависящее от п параметров С\, С2, ... , Сп
Ф{х,у; Clf C2, ...,g = 0, (3')
называется общим интегралом дифференциального уравнения (3),
если функции у(х), ему удовлетворяющие при каких-либо значениях
C"i» • • • » £"п> являются решениями уравнения (3) и, обратно, всякое
решение уравнения (3) удовлетворяет (3') при некоторых Сх% ... , Сп
(на оговорках к определению не останавливаемся); в частности,
соотношение, зависящее от одного параметра С,
я Ф(*. у;С)=о> (Г)
*) Это будут у' (*) у<п - » (х).
'HalaHamiik
§ 55J ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 259
является общим интегралом уравнения (1), если функции у{х), ему
удовлетворяющие, являются решениями уравнения (1) и, обратно,
всякое решение уравнения (1) удовлетворяет (Г) при некотором С
(на оговорках к определению не останавливаемся *). Выражение
«проинтегрировать дифференциальное уравнение» обозначает найти его
общий интеграл.
Говорят, что дифференциальное уравнение решается в
квадратурах, если, кратко говоря, его общий интеграл можно записать
с помощью конечного числа знаков интеграла.
Отметим еще, что дифференциальное уравнение 1-го порядка
можно записывать в дифференциальной форме
Р(х, y)dx + Q{xt y)dy = 0. (7)
В такой форме записи х, у равноправны, любое из них можно
рассматривать как искомую функцию от другого.
55.2. Составление дифференциального уравнения семейства
кривых. Можно поставить обратную задачу: зная семейство кривых,
зависящее от п параметров Ф (х, у; Сх, ..., Сп) — О, найти то
дифференциальное уравнение л-го порядка, для которого это
соотношение будет общим интегралом. Такое уравнение называется
дифференциальным уравнением данного семейства кривых. Схематически
эта задача решается так: соотношение Ф (...) = О
дифференцируют п раз (считая х аргументом, у функцией) и из п-\-\ равенств
Ф(...) = 0; 1ф(...) = 0; ...; ^Ф(...) = 0,
связывающих между собою х, у, у\ ..., у1п\ С,, ..., Си,
исключают Ср ..., Сп, в результате чего получают соотношение вида
ф(*» ^i /i •••» Уи))=:0, которое и будет искомым
дифференциальным уравнением.
Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства
окружностей, проходящих через начало координат, центры которых лежат на оси Ох,
Уравнение этого семейства окружностей имеет вид
х*-\-у* = 2Сх.
*) Отметим еще, что решение уравнения (1) называется особым, если через
каждую точку его графика проходит касательная к нему в этой точке интег-
Еальная кривая, не совпадающая с упомянутым графиком ни на каком участке,
[з теоремы о неявных функциях (§ 32) и теоремы единственности решения
дифференциальных уравнений (§ 57) непосредственно следует, что особое
решение уравнения q>(x, у, у') = 0 должно удовлетворять также уравнению
«р' ,(х, у, у') = 0. Соотношение "ф (дс, у) = 0, получающееся в результате исклю-
[ <р =0,
чения у из соотношений < > называется дискриминантной кривой.
\ Фу = 0,
Из сказанного следует, что если уравнение (1) имеет особое решение, то его
график должен быть частью дискриминантной кривой.

260 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |ГЛ. VI)
Дифференцируя его, получим
Исключение С дает нам искомое дифференциальное уравнение
2ху
Пример 2. Составить дифференциальное уравнение семейства всех
окружностей на плоскости
(х-С|)» + (у-С,)* = С,.
(х-С1Г + (у-СгГ = С3,
(*-c,) + G/-c2)f,' = o,
\+ул + (у-сг)у"=о,
\ Зу'у°г + (у-Сг)у"' = 0,
Зу'у"* = (\+у")!(".
§ 56. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка
56.1. Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение вида
у'=/(х)ц>(у) (1)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Предполагается, что f(x) непрерывна на некотором интервале (а, Ь); ф (у)
непрерывна и отлична от нуля на некотором интервале (с, d)*).
Пусть F одна из первообразных для /, Ф одна из первообразных
для —, Y обратная функция для Ф (т. к, Ф монотонна, то Y
однозначна). Если у удовлетворяет (1), то последовательно находим
^)=/1*): [Ф0>)]' = Г(*); <l>[y) = F{x) + C
и, наконец,
Обратно, из (Г) следует (1).
Через всякую точку (*0, ,ув) области fl<x<0, с<^у<^а
проходит единственная интегральная кривая у = Y [Т7^) — Z7!*,,) -f- Ф (у0)]
(постоянная С в (Г) определяется из начального условия у{х0)=у0).
С dy
Заметим, что если несобственный интеграл J^j расходится при
с
нижнем и при верхнем пределах, то ¥ определена на (—оо, 4"°°)
и, следовательно, упомянутое решение определено на всем интер-
*) а, с могут обозначать — оо; Ь, d могут обозначать -\- оо.
§ 56] НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 261
вале (а, Ь). В частности, такое положение будет в случае
уравнения у' =/(х)у, на областях а<^х<^Ь, —оо<^у<^0 и а<^х<^Ь,
0<^у<^-\-оо, откуда видно, что его решение, удовлетворяющее
начальному условию у(хе)=у0 (где. а<^х0<^Ь, у любое), существует
на всем интервале (а, Ь) (причем у(х)^0 в зависимости от J^sgO).
Уравнение с разделяющимися переменными, очевидно, можно
записывать в виде
M{x)N{y)dxJrMl(x)N1(y)dy = 0 (Г)
(в такой записи переменные х, у равноправны). Интегрирование его
практически осуществляется так: обе части уравнения делят
на N{y)Ml{x) (в результате чего «переменные разделяются»), затем,
полученное равенство интегрируют.
Пример 1. Проинтегрировать уравнение
(1+уг) dx + (l+Ji*)dy=0.
Разделяя переменные, получим
dx dy _
Интегрирование дает общий интеграл в виде
arctg х -\- arctg y = C.
Нередко выражение общего интеграла можно упростить, если вместо С"
взять некоторое выражение, содержащее С. Взяв здесь arctg О вместо С,
получим
arctg у = arctg С — arctg x,
или (если перейти к тангенсам)
С — х
У —
1+Сх-'
Пример 2. Найти всевозможные
кривые, имеющие подкасательные
постоянной длины а.
Подкасательной называется проекция
на ось Ох отрезка касательной между
точкой пересечения с осью Ох и точкой
касания (рис. 155).
Исходя из условий и геометрического
дифференциальное уравнение нашей задачи:
4У=У_
dx a
Разделение переменных и интегрирование дают
Рис. 155.
смысла производной, составляем
X ■ X
у=еа С = Се~°
dy dx , x ,
у а * а *
где С=:ес.
Следовательно, искомые кривые являются графиками показательных:
функций.
9 П. И. Романовский

•262
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VII
56.2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
•Функция нескольких переменных называется однородной п-й степени,
€сли при умножении всех аргументов на какой-нибудь множитель она
умножается на п-ю степень этого множителя.
Например, функция двух переменных f(x, у) будет однородной
л-й степени, если ,., J v jn ,.
f(tx, ty) = t"f(x, у).
Свойства однородных функций:
1) сумма однородных функций одинаковой степени есть
однородная функция той же степени;
2) произведение и частное однородных функций есть однородная
функция (ее степень равна соответственно сумме и разности степеней
данных функций);
3) однородная функция двух переменных нулевой степени есть
функция отношения этих переменных, ибо для такой функции f(x, у)
выполняется тождество f(tx, iy)=/{x, у), откуда, полагая t = — ,
видим, что /(х, у) зависит только от отношения аргументов и
поэтому может быть записана в виде cr I — J.
Дифференциальное уравнение вида
*ш
(2)
называется однородным. Такое уравнение подстановкой y = xz,
где z—новая неизвестная функция, приводится к уравнению с
разделяющимися переменными
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка можно
записывать в виде
М {х, y)dx + N(x, у) йу = О, (2")
где М и N—однородные функции одинаковой степени (учитывая,
что отношение однородных функций одинаковой степени является
функцией от — J.
Пример. Проинтегрировать уравнение ~ = ^-——.
Делая подстановку y = xz, получим:
&г . гг — 1
dz_z*-\
Xdx— 2z Z'
dz_ z»+l
Xdx~" 2z *
§ 56] НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 263'
Разделяя переменные и интегрируя, получим
2zdz _ dx
ln(z84-l) = -ln* + lnC; г*-|-1 = —
х
Заменяя г на —, получим общий интеграл данного дифференциального-
уравнения
Хг ~*~ X
или, окончательно,
х* + у2 = Сх.
Это семейство окружностей, проходящих через начало координат с
центрами на оси Ох.
56.3. Уравнения в полных дифференциалах. Если
выражение Р{х, у) dx -[- Q (x, y)dy (считая х, у независимыми переменными)
является полным дифференциалом некоторой функции и(х, у),
то дифференциальное уравнение (где одно из х, у считается
аргументом, а другое неизвестной функцией от него)
Р{х, y)dx+Q{x, y)dy = 0, (3)
называемое уравнением в полных дифференциалах, имеет общий
интеграл
и(х, у) = С. (3')
В самом деле, в силу инвариантности дифференциального обозначения
(см. § 22) Р(х, y)dx-\~Q(xt y)dy будет дифференциалом от и{х, у),
если одно из переменных считать аргументом, а другое функцией
от него, следовательно, (3) можно переписать в виде
du(x, у) = 0 (3">
(где одно из переменных аргумент, а другое искомая функция
от него). Но из (3") следует (3'), и обратно. Таким образом,
решение уравнений в полных дифференциалах сводится к интегрированию
полных дифференциалов для случая двух переменных (см. § 39).
56.4. Интегрирующий множитель. Интегрирующим
множителем выражения Р{х, у) dx -\- Q (x, y)dy (где х, у рассматриваются
как независимые переменные) называется всякая такая функция (i (л;, у),
что выражение ц(х, у)[Р(х, y)dx-\~Q(x, y)dy] будет полным
дифференциалом. Из § 39 следует (в случае прямоугольной области
определения функций Р и Q), что для этого необходимо и
достаточно, чтобы jj, (л;, у) удовлетворяло уравнению в частных производных:
д(110)_д(цР)
9* дх ду ' * '

264 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
ИЛИ
si-'i+^-fH- (4'>
Таким образом, дифференциальное уравнение 1-го порядка (где
одно из х, у считается аргументом, а другое неизвестной функцией
от него)
Р(х, y)dx-\-Q(xi y)dy = Q
может быть сведено к уравнению в полных дифференциалах (и
следовательно, может быть проинтегрировано), если для выражения
Pdx-\-Qdy (где х, у — независимые переменные) удастся найти
отличный от нуля интегрирующий множитель, ибо данное уравнение
после умножения на |х(лг, у) становится уравнением в полных
дифференциалах (см. 56.3).
Заметим,что в случае уравнения (Г)можно взять [i{xty)=Ni > м . > ;
в случае уравнения (2") можно взять ц(х, У) = хМ,х y) + yN(Xt y)*)-
/^ ду дх -
Отметим еще, что в том случае, когда —^ не зависит от у и
рав'но я})(л:), существует интегрирующий множитель, не зависящий
от у: \i(x) = ev<х\ где Y—одна из первообразных для я|э (ибо из
(4') после деления на Q видно, что требование, предъявляемое
к ц(лг), принимает вид д/ = я|з (л;)р,). В частности, такое положение
будет в случае уравнений вида
[L(x) + M(x)y]dx-{-N(x)dy^O (5)
и, следовательно, получается возможность интегрирования таких
уравнений. Уравнения вида (5) называются линейными
дифференциальными 1-го порядка. В дальнейшем (см. § 63) будет указан
другой прием решения их.
56.5. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка,
не решенные относительно производной искомой функции.
Рассмотрим уравнение
У=/{У% (6)
где /—непрерывно дифференцируемая функция на некотором, не
содержащем нуля интервале (а, Ь). Если у(х) ему удовлетворяет,
*) При проверке того, что это jx удовлетворяет (4'), следует иметь в виду,
что однородная функция m-й степени / (х, у) удовлетворяет соотношению
Эйлера x^--\-y^-=mf, которое получится, если равенство [(tx, ty) =
z=.tm[(x, у) продифференцировать по / и положить t=l.
§ 56J НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 265
то, положив у'=р и продифференцировав (6), получим
dy=pdx=/'(p)dp; йх=АУ№.х x=ft[p) + Ct
где /, (р) — одна из первообразных для '--^-. Если теперь, считая
р параметром, определить у как функцию от х из параметрических
уравнений I VZZ А\ ' (предполагается, что /' не обращается
в нуль), то формула параметрического дифференцирования (см. § 11)
показывает, что построенные таким образом функции у(х)
удовлетворяют уравнению (6).
Рассмотрим далее уравнение
*=/(/). (7)
где /—непрерывно дифференцируемая функция на некотором,
не содержащем нуля интервале (а, Ь). Если у{х) ему удовлетворяет,
то, положив у' = р и продифференцировав (7), получим
dx=f=f(p)dp; dy=pf'(p)dp; y=ft{p) + C,
где /t(p) — одна из первообразных для р/'(р). Если теперь, считая р
параметром, определить у как функцию от х из параметрических
уравнений < /YnV-UC (предполагается, что /' не обращается
в нуль), то формула параметрического дифференцирования (см. § 11)
показывает, что построенные таким образом функции у{х)
удовлетворяют уравнению (7).
Пример. Решить уравнение у = 1 -f- у' -\- у'ш.
Полагая у'=р, получим:
у=\+р + р*,
рйх = (\+гр*)йр,
d*=(j + Zp)dp,
* = lnp-f-yp*-[-C.
Общий интеграл
' П. ц Романовский
{
3
#=1+Р + р*.

266 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VIГ
§ 57. Некоторые дифференциальные уравнения
высших порядков
67.1. Уравнения вида yin)=f(x). Уравнение вида
Ут=/{х)
легко решается в квадратурах. Интегрируя п раз равенство
у>=/(>:), получим:
у«-2, г dx[f(x) dx + Cxx-\-Ct,
у-'> =j их J dx §f(x)dx +^!+C2x+Cs,
ГС С X x
n раз
или (после переименования произвольных постоянных)
у=[ dx $dx... <\f{x)dx-{-c1xn-1-\-c2xn-s-\-...-{-cn.
п раз
57.2. Понижение порядка дифференциального уравнения, не
содержащего неизвестной функции. Рассмотрим дифференциальное
уравнение 2-го порядка, не содержащее явно неизвестной функции:
/(*. /. /)=<>■
Полагая y' = z, получим дифференциальное уравнение 1-го порядка
f(x, z, z') = 0.
Проинтегрировав это уравнение, получим общий интеграл в виде
F{x, z, С,) = 0.
Если равенство F{x, z, С,) = 0 удается решить относительно z,
z = <D(x, С,),
то, возвращаясь к первоначальной неизвестной функции, получим
уравнение у = ф^ Q
Решая это простейшее дифференциальное уравнение 1-го порядка,
получим окончательно общий интеграл уравнения/(х,У,<у") = 0 в виде
>=$Ф(х, Ct)dx-{-C,.
§ 57J НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 267
Если равенство F(x, z, C,) = 0 удается решить относительно х, то
оно примет вид
*=¥'(*, С,).
Возвращаясь к первоначальной неизвестной функции, получим
уравнение х=1¥(у'1 С,). Это дифференциальное уравнение 1-го порядка,
не решенное относительно производной известного нам вида (см. 56.5).
Находя его решение, получим общий интеграл уравнения /(jc,y,y) = 0
в параметрическом виде; при этом появляется еще вторая
произвольная постоянная.
Рассмотрим еще дифференциальное уравнение п-то порядка, не
содержащее неизвестной функции и ее производных порядка ниже /г:
/(х, /*\/А+,>, .... уи») = 0.
Полагаем y<k) = z. Тогда
y*+,> = z', yik+i)=z", ... , /и> = *"«-*»
и уравнение/(х, yik\ у*+1>, ... , уи>) —О приводится к
дифференциальному уравнению (я — &)-го порядка
/{х, z, z\ ... , *<""*>) = 0.^
Проинтегрировав, если удастся, это уравнение, получим общий
интеграл его в виде
г\х, z, с,, с,, ... , си_А) = и,
Если это равенство удастся решить относительно z, то оно примет
вид
г = Ф(х, CIf С8, ... , Cn_k),
откуда, возвращаясь к первоначальной неизвестной функции, получим
уравнение
У*» = ф(х, С„ С„ ... , Сп_к).
Это простейшее дифференциальное уравнение fe-ro порядка (см. 57.1).
Интегрируя его, мы введем еще k произвольных постоянных
57.3. Понижение порядка дифференциального уравнения, не
содержащего аргумента. Рассмотрим дифференциальное уравнение
2-го порядка, не содержащее явно х:
Ау,у',у") = о.

268 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VH
Сделаем замену переменных, принимая за новую неизвестную
функцию у' ==р, а за новое независимое переменное .у. С помощью
формулы производной сложной функции находим
v" п> Ф dpdy dp , dp
у F dx dydx dyy F dy
и, следовательно, рассматриваемое дифференциальное уравнение
преобразуется в уравнение 1-го порядка
Проинтегрировав это уравнение, получим общий интеграл в виде
Если это равенство удастся решить относительно р, то оно примет
вид
р = Ф[у, С,),
откуда
у'=Ф{у, С,).
Интегрируя это дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными, получим общий интеграл уравнения
/(*,/,/) = О
в виде
Лф(/с|)==х+с«-
Если равенство F(y, p, С,) = 0 удастся решить относительно у, то
оно примет вид
у = Ч(р, С,),
или
> = V(/, С,).
Это дифференциальное уравнение 1-го порядка, не решенное
относительно у' известного вида (см. 56.5). Решая его, получим общий
интеграл уравнения /(у, у', y") = Q в параметрической форме, причем
появится еще вторая произвольная постоянная.
Примечание. Если дифференциальное уравнение n-го порядка не
содержит как неизвестной функции, так и аргумента, т. е. имеет вид
f(y\ у". ... , 0<й>) = о.
то оба рассматриваемых способа понижения порядка к нему применимы.
Применяя сначала первый из этих способов понижения порядка (56.2), положим
у' = г и сведем уравнение к дифференциальному уравнению (п — 1)-го порядка:
Нг,г' г*»"»») = 0.
§ 58) СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 269
Применяя затем второй способ понижения порядка (56.3), положим г' — р и
сведем последнее уравнение к дифференциальному уравнению (п — 2)-го порядка
f{*'P'pE> '•■'•)=<>. "
Пример. Проинтегрировать уравнение ду'у^ = (1 -|- у") у'",
у' = г; Згг" = {1 + г*)гГ;
г' = р; z" = pd£>, 3zp* = (l+z*)pd£;
dp 3zdz 3
7=7+?: 1пр = т1п(1+г*) + 1пС;
L dz
р = С(1+2*)2; ==С(1+г»)Г;
(1+г2)8 "*"
,2_ C(* + C,)' , C(x + Ct)
dy^ C(x + C)
dx rt/i-c^x-fC,)1"'
У + Сг = ±±-У]-С*(х + С%)*; (x + Ctr-\-(y+.C^ = l
или после переименования постоянных
(X_Ci)2+0,_Ct)»=c2.
Таким образом, общий интеграл уравнения Зу'у"ш = (1 -f- у'*)у'" есть семейство
всех окружностей плоскости.
§ 68. Существование решений дифференциальных уравнений
58.1. Существование решений. Пусть функции fk\x, ytl ... , уя)
(6=1, 2, ... , п) непрерывны в некоторой области G неременных
xt Ун . • • • » Уп'
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с начальными
условиями Коши*)
Ук{\)=У*о 1*"1,2 Я)' (А)
гДе УЛХ) Уп(х) — неизвестные дифференцируемые функции на
некотором сегменте, содержащем х0, и такие, что при каждом
значении а: на этом сегменте система чисел х, у1(х), ... , у (х)
принадлежит G.
I
*) Предполагается, что система чисел х0, у10, . . . , Уп0 принадлежит С

270 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . [ГЛ. VII
Рассмотрим, с другой стороны, систему интегральных уравнений
**(*) = У*.+ 5У*1*. >Л0. ••• . Л(0]Л .(*=!, 2, ..., л), (Б)
*0
где уг(х), ... , д>п(аг) — неизвестные непрерывные функции,
удовлетворяющие аналогичному условию.
Системы (А) и (Б) эквивалентны. В самом деле, если выполнено
(Б), то, дифференцируя (Б) (см. § 26), найдем соотношения первой
строки (А), а полагая в (Б) х = х0, получим соотношения второй
строки (А). Обратно, если выполнено (А), то интегрируя соотношения
верхней строки (А) и определяя постоянные интеграции с помощью
соотношений нижней строки (А), получим (Б). Таким образом,
решение системы (А) сводится к решению системы (Б).
Предположим теперь, что fk {k=\, п) имеют в G
непрерывные частные производные по yt, ... , уп. Возьмем произвольную
систему чисел х0, у10, ...-, ут в G и возьмем а]>0, Ь^>0
настолько малыми, чтобы (п -\~ 1 )-мерный прямоугольник [S),
определяемый неравенствами
*„<*<*„-fa; \y.~-уы\^Ь; ... ; \уп— Упо\^Ь,
принадлежал G. Пусть М—наибольший из максимумов \fk\ на
S(k= 1, ... , п); М0— наибольший из максимумов \fk{x, yl0, ... , уп0)\
на [л:0, *0Ч~а] (^=1> ••• > п)> К—наибольший из максимумов
\J^\ на 5 (к, У=1, ... , п); h=min(a, тг-J. Будем
последовательно строить на сегменте [jc0, дг0-^-Л] функции ykm(x) (k=\, ... ,
л; m = 0, 1, 2, ... ) так, чтобы
( УкАх)=Ук*' (В)
j yk.W=y*-\-{f*& У*т-Л*)> ••• . *»—.(0)Л(«>о).
Это построение имеет смысл и все ykm(x) на [х0, x0-\-h]
непрерывны и удовлетворяют неравенствам |^и(л:) — Уко\^=Ь (это
непосредственно проверяется индукцией по т, учитывая определение М и
неравенство h <i дт- ).
Покажем (методом индукции), что при /»^>0 имеем на [x0, xu-\-h\
\ykAx)-ykm-A^)\^^onm-lKm~A^^ (*=i, ... , я), (l)
При т=\ это выполнено, ибо
х
Хо
§ 58] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 271
Если (1) выполнено для некоторого т, то (учитывая обобщенную
формулу Лагранжа, см. § 19)
х
1Л-+.М — Л-(*)|<$1/*(*. >.«(0. ... , >вв(0) —
Хо
1
х0
Хо
и, следовательно, (1) выполнено для /»-{-1.
Из оценки (1) следует, что функциональные ряды(&=1, ... , п)
СО
2 [л.(*)->*-.(*>] <2>
т — 1
мажорируются на [л;0, лг04~^] числовым рядом
СО «,/Л
2 му-'/г-'^т,
который (как показывает признак Даламбера, см. § 48) сходится
следовательно, функциональные ряды (2) равномерно сходятся на
[х0, x0-\~h\ (см. § 50). Иначе говоря, каждая из функциональных
последовательностей
.Уао, УкЛх), ••• , Улт(х)> •••
равномерно сходится на [х0, x0-{~h] к'некоторой предельной функции
yk(x) (непрерывной в силу теоремы § 50) и при этих yk (см. § 19),
все функции, стоящие под знаками интегралов в (Б), непрерывны на
[xot хй-[-Н]. Из свойства равномерной непрерывности непрерывных
функций на ограниченном замкнутом множестве (см. § 19) следует,
что подынтегральные выражения в (В) равномерно сходятся к
/^ (/, _у, (<), ... ,- yn(t))t следовательно, по теореме о предельном
переходе под знаком интеграла (см. § 51) из (В) в пределе (при
т-* оо) получим соотношения (Б). Таким образом, yk(x) = \imykm(x)
т -> со
образуют решение системы (Б), а следовательно, и системы (А) на
сегменте [х0, x0-{-h].
Аналогично строится решение системы (Б) на [х0 — А, х0] (при
надлежащем -аналогичном выборе h).
Покажем, что если два решения системы дифференциальных
уравнений yk=fk(x, yxt ... , уп) на некотором сегменте [хг, хг]
удовлетворяют в некоторой точке этого сегмента одинаковым начальным
условиям Коши, то эти решения совпадают! Таким образом, надо*

272 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ' (ГЛ. VII
показать, что если {.УдМ} и {^М}-^"*83 решения упомянутой
п
системы на [xt, х2] и ф(л;) = ^ |.У*-(*)— ^л!*)! обращается в нуль
к — 1
в некоторой точке х сегмента [х,, хг], то ф(х) тождественно равно
нулю на [л;,, хг]. Допустим противное, тогда в некоторой точке д;
будем иметь ф^^О, пусть, например, х<^х (аналогично
разбирается случай х^>х). Пусть х0 — ближайшая к х слева точка, в
которой ф обращается в нуль (такая точка существует вследствие
непрерывности ф, при этом х^х0<^х), тогда справа от х0 и вблизи
я0 ф положительна. Для системьГ чисел х0, у10, ... , упо (где
yko=yk(x0) = zk(x0)) определим числа а, Ь, К как выше. Пусть б
меньше, чем —^ и а и настолько мало, что на (лг0, л;04-б] Ф
положительно и ук(х), zk(x) отличаются от ук0 не более чем на*; пусть
|t= max ц>(х) (очевидно, fi]>0) и х* — та точка на [x0, x0-j-°].
где этот максимум достигается; тогда
X
♦
Ii = 9(x*)=/2 \'zk(x*) — yk(x*)\<: J Г !/*(',*.(<),....*»W)-
Xf,
X*
—AC j,W. ••• . >„M)*< 2 U 2J|*/(0—>/(0|* =
*=lj /=1
Xf>
X*
= УС/Сф(/)^<лАГцб<и,
что дает противоречие.
Таким образом, доказана основная
Теорема. Если fk(x, ylt ... , уп) (k=\, ... , п)
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по ух, ... , уп в
области G, то для каждой системы чисел xQ, ylQ, ... , ут,
принадлежащей G, система дифференциальных уравнений
/i =/,(*, уг, ... , у„),
Уп =fn {x, ух, ... , У„)
имеет в некоторой достаточно малой окрестности точки х0
единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям Коши:
УЛхд=У™
Уп М =Упо-
ШЫЙатгШ.
§ 581 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 273
В силу сказанного в § 55 (связь между (4), (4') и (6), (6')), как
непосредственное следствие получается
Теорема. Если/{х, у, у', ... , у1п~1)) непрерывна и имеет
непрерывные частные производные по у, у' у-1' в
некоторой области О, то для каждой системы чисел дгв, уа, у'0, ..., уо~ ,
принадлежащей О, дифференциальное уравнение п-го порядка
/">=/(*,у, у', ... .У""1»)
имеет в некоторой достаточно малой окрестности точки х0
единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям Коши
( у (*.) =у.\
У'(Хо)=Уо,
i yin-1\x0)=y[n~lK
В частности, при л= 1 получается
Теорема. Если /(х, у) непрерывна и имеет непрерывную
частную производную по у в некоторой области О, то для
каждой точки (лг0, у0) этой области дифференциальное уравнение
первого порядка
/=/(*. У)
имеет в некотором достаточно малом интервале, содержащем х0,
единственное решение, удовлетворяющее начальному условию Коши
У(Хо)=Уо-
Примечание. Если G есть полоса а<х<р*) к fk(x, yt, ... , уп)
(ft = l, ... , п) в каждой полосе х,^*^ха (где а < х, < х2 < р) имеют
ограниченные частные производные по ух, ... , уп, то упомянутое в
основной теореме решение существует на всем интервале (а, р).
В самом деле, беря ж, < х0 < х2, мы можем положить а = хг — хй и взять
Ъ > 0 произвольным; тогда (в силу обобщённой формулы Лагранжа, см. § 26)
будем иметь М^М0-{-пКЬ, где К взято так, что все частные производные
h
1-го порядка от fk по yt, ... , уп в полосе х, «£^ х ^ хг по модулю ^/( и —.^
Ь 1
^ м Л- К h' ""*" ~~К ПРИ ^ ~* °°" "споминая определение Л, заключаем, что при
xls^x0s^xi и любых у10, .... уп0 решение существует на лю-бом
содержащемся в (*,, xt] сегменте с концом х0 и длиной < —-. Отсюда видно, что пу-
тем конечного числа продолжений решение можно распространить на весь
сегмент [х„ х,] и, следовательно (т. к. х„ хг — любые числа между а и Р>, на
весь интервал (а, р).
*) а конечно или — оо, Р конечно или -fr oo.

274
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
п
[ГЛ. VII
В частности, fk(x, ylt ... , уп) = 2 h/W^+/*W- где Р*н
fk—произвольные непрерывные функции на (а, р), удовлетворяют
упомянутому условию, ибо ~ =Ры (■*) ПРИ х\ ^ х *^ *« (где а <Cxi<C
<С*2<СР) ограничены (см. § 4). Таким образом, доказана
Теорема. Если рм (х), fk {x) — непрерывные функции на (а, 0),
то при а<*в<р и любых числах у1а, ... , ^„0 система
линейных дифференциальных уравнений
Уг +Рп (*).У. + • • • +Pi« (*)^«=/i (*)»
. Уп+Рп1{х)у1-[-..т-^ряа(х)Уа=/„(х)
имеет определенное на всем интервале (а, р) единственное
решение, удовлетворяющее начальным условиям Коши
У г (*.)=.У|о>
Примечание. Эта теорема остается в силе, еслир^(х), fk(x) являются
какими-либо комплекснозначными непрерывными функциями на (а, р), a
«Ло» •••'Упо— какими-либо комплексными числами, если в качестве неизвестных
функций Уу,...,уп допускать комплекснозначные дифференцируемые функции
на (а, р). В самом деле, если положить
Ры М = Яы (*) + «"*! <*tf /ft (*) = Ф* <*) + 'Ф* (**
»*o = "fto + it'fto: У* = "* + /1,*р
то наша система перепишется так:
п
ч+iv'k + 2 fa« w+*"« (*м («/+ид=фа w+«i>* (*). , _ .
л~, (к = I, A • • • i n),
«ft (*o) + '0* (*o) = «fto + Wfto.
что равносильно (отделяя действительные и мнимые части) системе
/ и
"ft + 2 №*' М "'"" Гы ^ г'1 = ф*(Х)'
R
«*(*в) = "*в.
lflft(*o)=ffto
но эта система с In неизвестными действительными функциями uv ..., ип,
у, у„ имеет единственное решение в силу последней теоремы.
§ 58] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 275
В силу сказанного в § 55 (связь между (4), (4') и (6), (6')) как
непосредственное следствие получается
Теорема. Если р, (х), ..., рп (х), /(х) — непрерывные функции
на (а, Р), то при а<х0<р и любых числах у0, y'Q, ...,^JI_1>
линейное дифференциальное уравнение п-го порядка
yln)+Pi(x)yln-1>Jr---+Pn(x)y=f(x)
имеет определенное на всем интервале (а, Р) единственное решение,
удовлетворяющее начальным условиям Ноши
У (*«,) =Л.
У' (*„) =У1
Примечание. Эта теорема остается в силе, если pt(х), ..., рп(х), f(x)
являются какими-либо комплекснозначными непрерывными функциями на (а, р),
a y0, у0 #о"~1J какими-либо комплексными числами, если неизвестную
функцию у искать среди комплекснозначных п раз дифференцируемых функций
на (а, р). Это непосредственно следует из предыдущего примечания (рассуждая
как в § 55 при установлении связи между (4), (4'), (6), (6')).
58.2. Непрерывная зависимость от начальных данных. Пусть fk (x,ylt.... уп) —
непрерывные функции с непрерывными частными производными 1-го порядка
по tfi, ..., уп в области G и х0, у100, ..., упоо — какая-нибудь система чисел,
принадлежащая G, для которой определены числа a, b, M, К, как в 58.1.
Возьмем е<6. Пусть М0 — наибольший из максимумов \fk(x, у10 уп0)\
на (п -f-1 )-мерном прямоугольнике а, определяемом неравенствами
x0t^xs£x0 + a; | yw — Уш |< е; ...; | ут— уп00\^е.
Пусть h = min ( a, J. Проведем построение последовательных приближений
У km (■*» #10» • • •» f//io)
по формулам (В) из 58.1. Очевидно (см. § 37). это будут непрерывные функции
от х, у10 jB0 на о, и в силу выкладок-58.1 ряд
оо
2 Ь/k т (Ъ 4/ю. • • •. Упо) — ykm-i(x> УЮ Упо)]
Я1 = 1
мажорируется на а числовым сходящимся рядом
2 M^-^m-.JL.
Я1=1
и, следовательно, равномерно сходится на а. Это показывает, что при каждом
k (l^k^n) последовательность функций
Vkm \х' Ую> • • •» Упо)
равномерно сходится на а, следовательно, предельная функция yk {х; у10 уп0),
представляющая собой решение системы (А) на [xQ, xQ -\- h], является
непрерывной функцией от х, у10, ...,ут на а.

276
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VII
Замечание. Пусть G0—ограниченное замкнутое множество (например,
дуга кривой или ограниченная замкнутая область), содержащееся в G, и G,—
ограниченная замкнутая область, содержа*
щаяся в G и содержащая внутри себя G0
(рис. 156).
Возьмем а, Ь настолько малыми, чтобы
при любом выборе х0, уш,.... уп00 в G0
(л-|-1)-мерный прямоугольник, описанный
выше, содержался бы в Gv Пусть \М —
наибольший из максимумов | fk I на G,,
я/
/С — наибольший из максимумов *
ду/
HaG/,
h = min f a, • M e), где е < b фиксировано
Рис. 156.
Из доказанного выше следует, что
системе чисел х0, у100, .... уп00
соответствуют непрерывные функции уь(х, у10, .... уп0) на
всякой
из G„
х0^
:xs£x0-{-h,
- j/юо I «S е.
1 Ум — 0«оо I «S е,
образующие решение системы (А) на [х0, x0-\-h] (то же относится к сегменту
[ха—Л, ха] при аналогичном определении Л).
Теорема. Если система
{
У к (*о) = 0Лоо
(/г=1, 2, .... л),
где все fk непрерывны вместе с частными производными 1-го порядка по #„ ...,уп
« области G, имеет решение \уь(х)\ на сегменте [х,, х2], содержащем х0, то
найдется такое ti_ > 0, что при всяких у^, удовлетворяющих неравенствам
|0*о — 0Аоо 1^4 ^3fe=b 2 п)« система (А) ш*е«я на [х„ х2] решение
\Ук(х' Уш •••• 0по)|» причем каждая «/*(...) является непрерывной функцией
переменных х, ую ..., #,„ на (л-f- 1)-мерном прямоугольнике
■■ Хщ,
I f/ю- f/ioo |<Ч.
10
по
0,
жим
Доказательство. Возьмем в качестве G0 совокупность точек
(л-{- 1)-мерного пространства \х, yt(x), .... уп(х)] для х,я^х<х2 и пусть
А — положительное число, соответствующее G0, согласно предыдущему
замечанию. Из упомянутого замечания видно, что: 1) теорема справедлива для
всякого частичного сегмента, содержащего х0 и имеющего длину sg;«; 2) если
теорема справедлива для некоторого частичного сегмента, содержащего х0, то
она будет справедлива и для частичного сегмента, полученного смещениями
концов предыдущего на расстояние ^ h. Отсюда видно, что теорема справедлива
аля всего сегмента [х,, х2].
В силу сказанного в § 55 (связь между (4), (4') и (6), (6')) как
непосредственное следствие получается
ШЫЙатгШ.
§ 59[ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 277
Теорема. Если дифференциальное уравнение п-го порядка с п начальными
условиями
( 0(n> = h*. 0. 0' 0(я-").
t y{k\xa) = y{S (k = 0, 1,..., n-1),
где ft непрерывна вместе с частными производными 1-го порядка по у, и',...,у1п~и
в области G, имеет решение у(х) на сегменте [хх, хг], содержащем х0, то
найдется такое т| > 0, что при всяких у(0к), удовлетворяющих неравенствам
|0о ) — 000* I ^^ № — 0> 1, ..., л—1), рассматриваемое дифференциальное
уравнение с начальными условиями 0(*)(хо) = у^ также имеет решение на
сегменте [xv х2], причем это решение у(х; уй, y'Q, .... у^~1)) является
непрерывной функцией переменных х, у0, у'0, .... у^п ~,) на (л -f- \)-мерном прямоугольнике
X, а^ X г^ Хг,
|0о — 0оо |<П.
I 0о - 0м I < Ч.
|0?-|)-0Й",)1<ч.
Можно показать, что у(х\ у0, i/'0, .... tf£ 1)) не только является
непрерывной функцией своих аргументов в упомянутом (л-f- 1)-мерном
прямоугольнике, но и имеет непрерывные частные производные, но на этом мы не
останавливаемся.
§ 59. Геометрический смысл дифференциального уравнения
первого порядка
59.1. Поле направлений. Рассмотрим дифференциальное уравнение
/=/(*, У)-
Через каждую точку (х, у) той области плоскости, в которой /(х, у)
определена, проведем отрезок прямой с угловым коэффициентом
f{x, у) {«указатель»), В результате получаем так называемое поле
направлений, соответствующее данному дифференциальному
уравнению. Таким образом, каждому дифференциальному уравнению
у'=/(х, у) соответствует свое определенное поле направлений.
Очевидно, что графики решений данного дифференциального
уравнения должны в каждой точке касаться указателя, соответствующего
этой точке. Обратно, если кривая в каждой точке касается указателя
этой тйчки, то это есть интегральная кривая.
Таким образом, приходим к следующей геометрической
интерпретации:
1) задать дифференциальное уравнение первого порядка — значит
задать некоторое поле направлений;

278
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VII
2) проинтегрировать дифференциальное уравнение 1-го порядка —
значит найти всевозможные кривые, которые в каждой своей точке
касаются указателя этой точки.
Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых
указатели имеют заданное постоянное направление.
Изоклинами дифференциального уравнения
/=/(*, У)
являются кривые
/(х,у) = С.
Например, в случае дифференциального уравнения
?■=**+у*
изоклинами будут окружности
С.
59.2. Ломаные Эйлера и понятие о приближенном решении
дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть имеем
дифференциальное уравнение
/=/(*, У)
с начальным условием у (х0)=у0.
Пусть числа xk выбраны так, что
х0 <^ хх <Q хг <Q...
Из точки М0(х01 у0) проводим прямую по направлению указателя
этой точки (т. е. с угловым коэффициентом f(x0, y0)) до встречи
с вертикалью х = х1 в
некоторой точке Mt(xlt ух)
(рис. 157). Затем проводим
из точки Ml{x1, ух) по
направлению указателя этой
точки (т. е. с угловым
коэффициентом /(*,, ух)) прямую
до встречи с вертикалью х = хг
в некоторой точке Ms(x2, у2)
и так далее.
х Построенная таким образом
ломаная МйМхМгМг...
называется ломаной Эйлера,
соответствующей дифференциальному уравнению у' =/(х, у) с
начальным условием у(х0)=у0 и заданной последовательности значений
аргумента х0, xlt х2, ...
Аналогичным образом может быть построена ломаная Эйлера,
направленная влево от точки М0(х0, у0).
О
Xq Xj Х% Xj
Рис. 157.
ftalatlamTik
§ 59] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 279
Можно доказать, что если выполнено требование, гарантирующее
существование и единственность решения уравнения y'=f[x, у)
с начальным условием у (х0) =уй на некотором сегменте, то
последовательность кусочно-линейных функций, графиками которых являются
ломаные Эйлера, будет равномерно сходиться к упомянутому решению.
Это гарантирует возможность такого выбора последовательности
значений аргумента х0, хг, х2, ..., для которого ломаная Эйлера
будет представлять приближенное решение с любой заданной степенью
точности.
Из определения звеньев ломаной Эйлера получаем очевидные
формулы:
у г— л=/1*о. лН*1—*о);
У г— >i=/(*i. Уг)(х2 — xi)>
Уш—У*=/(хж1 Л)(*1 —*•):
Уп— Уп-х =/(*«-i. Уп-х)(*« —*»-i).
откуда ух, у2, ytt ... последовательно определяются.
59.3. Ортогональные и изогональные траектории. Рассмотрим
какое-нибудь поле направлений (то есть некоторую область плоскости,
каждой точке которой отнесен «указатель» (см. 59.1)). Каждой точке
(х, у) упомянутой области отнесем угол <о (х, у) и повернем указатель
точки (х, у) на угол ьз(х, у). Таким образом, будет построено новое
поле направлений. Если ф (х, у) — углы наклона (к оси абсцисс)
указателей данного поля, то углы наклона указателей нового поля
будут
<Р, {х, у) = у (х, у)-\~а> (х, у).
Отсюда видно, что если данное поле соответствует
дифференциальному уравнению у'=/(х, у), то есть tgq>(x, y)=/(x, у), то новое
поле будет соответствовать дифференциальному уравнению *)
>__ /(*, У) + а(х, у)
У l-a{x, y)f(x,y)>
где a(xty) = \g(u{x, у). В частности, если(o(x,_y)=const=u),a=tgсо;
получаем дифференциальное уравнение изогональных траекторий
к однопараметрическому семейству кривых, определяемых дифферен-
циальным уравнением у'=/(х, у). В случае о* — — получаем
дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
' *) В точках, где а (х, у) — оо, правую часть следует заменить на —

280
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
|ГЛ. VII
Из сказанного следует, что для нахождения ортогональных
(изогональных) траекторий однопараметрического семейства кривых
следует:
1) составить дифференциальное уравнение данного семейства;
2) от дифференциального уравнения данного семейства перейти
к дифференциальному уравнению ортогональных (изогональных)
траекторий;
3) проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение.
Пример. Найти ортогональные траектории семейства парабол у = сх*
(рис. 158):
1) у, ' у' == — (дифференциальное уравнение данного семейства);
I у —— jCCX. X
2) у'=— ^— (дифференциальное уравнение семейства ортогональных
траекторий);
3)xdx + 2ydy = 0, ^ + ^ = C, ^ + -£=1
(искомые ортогональные траектории являются подобными эллипсами с
отношением осей, равным |^2).
Рис. 158.
Рис. 159.
Пример. Найти изогональные траектории пучка прямых У = Сх
(рис. 159):
1) <УГ2_г* у'— —(дифференциальное уравнение данного семейства)}
\у — Cf х
JL + a
2) у' = — (дифференциальное уравнение семейства изогональных
1 —о^-
траекторий — однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка);
§ 601 ПОНЯТИЕ О СПОСОБЕ АДАМСА КРЫЛОВА 281
оч &г I г-\-а
д) у — хг\ х-;--{- г = . ~ ;
dx ' \ — аг
dz а (1 4- zs) 1 — аг _, a dx
dx ~ 1-OZ ' 1+Z* ° X '
C + arctgz —-2-1п(1 +z8) = olnx;
C + arctg-|-=alnx j/l + ii;
С + arctg — = a In Vx*-\-y\
откуда, переходя к полярным координатам, найдем
C + cp = ainr, r—e~°~=C1ea,
где
Таким образом, изогональными траекториями пучка прямых являются
логарифмические спирали.
§ 60. Понятие о способе Адамса—Крылова приближенного решения
дифференциальных уравнений первого порядка
60.1. Обобщенные ломаные Эйлера. Пусть х0, х,, ...,хй+1, хь+1, ...—
заданные числа, образующие возрастающую последовательность (аналогичные
рассмотрения можно провести для убывающей последовательности). Пусть
заданы также числа у„, ух, ..., yk. Ломаной Эйлера {к-\-\)-го порядка
(соответствующей упомянутым системам чисел) для дифференциального уравнения
y' = f(x,y)
мы назовем ломаную линию у = L(x) (х;э=хл), составленную из дуг парабол
(k -f- 1)-го порядка (т. е. дуг графиков многочленов (k -\- 1)-й степени),
получаемых следующим образом.
На отрезке .[х^, xk+l] L(x) обозначает решение уравнения у' = р(х) с
начальным условием у (xk) = yk, где р (х) — полином k-й степени,
удовлетворяющий требованиям
p(xk) = f{xfct yk),
P{xk-i) = f.{.4-i> l/ft-i).
p(x0) = f(x0, y0)
(после определения #(х) положим t/ft+1==#(xA+1)).
На отрезке [x$+1, x^+t] L (x) обозначает решение уравнения y' = q(x)
с начальным условием y(**+i) = ^ft+i, где q (x) — многочлен /г-й степени,
удовлетворяющий требованиям
' q(*k+i) = f(xk+i> Ук+th
q{xk) = f(xk> Ук),
q(Xi)=Hxlt i/,)
(после определения у(х) положим #л+2 = #(*а+2)) и т. д.

282 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
Вообще на отрезке [хп, xn+l] L (х) обозначает решение уравнения у'=г(х)
с начальным условием у(хп) = уп, где г (ж) —полином ft-й степени,
удовлетворяющий требованиям
r(xn)z=zf(Xn, yn),
r(xn-.i) = f{xn-i> yn_l),
г (*«-*) = /(*„_*• Уп-k)
(после определения у(х) положим уп+1 = у(хп+1)).
Разумеется, это построение L (х) можно продолжать лишь до тех пор, пока
точки (хп, уп) находятся в области определения функции f (х, у).
При k = 0 получаем обычную ломаную Эйлера.
60.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона. Пусть узлы
интерполирования х0, xlt ...,хп образуют арифметическую прогрессию с разностью h.
Положим
Л h'
Очевидно, pifi (x) есть многочлен /-й степени,
Pok(x) = l> Pik<xk)=Q ПР" <>0.
Имеем
л_ 1Л _ (х — xk_x)(x — хк_г)...(х — xk_i)—{x—xk)(x—xk_l).. .(x—xk_;+l) __
г! hl
_{х — 4-х)- 'Лх — xk_i+l)[{x — xk_j) — (х — xk))_
i\ h1
(* — xk-i) •• ' (* ~ xk-i+i) n (v\
" : Hi - l ft-1 \xn
0-l)!/z'-'
учитывая в преобразованиях, что (х — xk_() — (х — xk) = ih.
Будем теперь искать многочлен n-й степени р(х), решающий
интерполяционную задачу
р(х0) = Уо.
р(хп) = Уп
в виде с0 + Cjpln -f сгрт + • • • + спРппу. ГДе со> сп • • •»сп — числа, подлежащие
определению.
Имеем
Р (х) = С0 + Cvpln + С,ргп + с&Рап -Ь • • ■ + спРпп>
Ар(х;= cl' + с2р1п_1-\-с9ргп_1 + ••• +спРя-1«-1»
А2р{х)= с2^ -\-с3р1п_г-\- ..:-\-спрп_гп_г,
Д»/?(Х)= С, -\~... +cnPn-tn-v
Д"р(х) =
сп.
ШЫЙатгШ.
§ 60] ПОНЯТИЕ О СПОСОБЕ АДАМСА КРЫЛОВА 283
Вставляя в эти равенства вместо х соответственно хп, *„_,, хп_г,
хп_ь х6, получим
Р(хп) = с0,
bp(xn-i) = Cu
А"р(х0) = сп.
Откуда, учитывая условия, наложенные на р(х),
( с0 = у„,
c, = Ai/„_i,
с« = А8У„_«,
имеем:
1
+ As„ (х — хп)(х — xn-i)(x xn-t) |
а Уп-» зГл5 "Г • • •
+ .„ (X Хп) (X Хп _ъ) . . . (X ■ Xt) ...
Уо лГа7* "
Или, короче,
п
(х — х„) ... (х — *„_,•+,)
р <*> = уп 4- X, А'^-' iih'1
/=i
60.3. Подсчет ординат верши и ломаной Эйлера (А-|"0-го порядка
в случае равноотстоящих узлов. Пусть хс, ж,, х образуют арифметическую
прогрессию с разностью А. Положим y)n = f(xn, yn)h, тогда
fir(xn) = r\„,
hr(xn_l) = r\n_y,
hr{xn_ k) = r\n_k
(где г (х) — многочлен, фигурирующий в определении звена ломаной Эйлера
(£ + 1)-го порядка на [хп, хп+1]). Тогда, пользуясь выражением hr(x), с
помощью второй интерполяционной формулы Ньютона получим:
хп+х *я + 1
&Уп = \ r(x)dx = -£ \ hr(x)dx —
Xn + i k
-A J И"+ 2,— Tit A^.f)dx =
xn «=«
=Ч«+Л 4- Ai J 1.2-3.../ dx-
x„

284 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
= л„+£ач.-,Г('+|,)у-(<+'-|)*=
ТТ, J 1-2... i
f-=i
~ Чи+ X А - i (x — xn + ht).
/=i
где
_ff(f + l)...(< + *-!),„
о
1 5 3
откуда, в частности, ct = — , c2 = j^, ca = -^.
Формула
&Уп = Пи + 2 С'Д,Т1« -' (2)
1 = 1
позволяет последовательно находить Уь+Х, Ук+г> Vk+v ••■ Действительно, если
все ут при т^п известны, то известны и все т)т при т^п, все Дг|я при
т^п— 1, все Д'т)^ при т^п—2 и т. д. и, следовательно, известны все
величины в правой части формулы, поэтому становится известной Ауп, после
чего находится
Уп+1 = Уп + &Уп-
При k = 3 формула (2) принимает вид
15 3
Д^я = ПпЧ-у A*)n-i-t-i2All1"-'+¥Л'Чп-*- (3>
60.4. Общая идея приближенного решения дифференциального уравнения
первого порядка способом Адамса — Крылова. Для приближенного решения
дифференциального уравнения y' = f(x, у) с начальным условием у{х0) = у0
(для х^х„) задаем возрастающую последовательность чисел х0, хг, хг> ...
Процесс Адамса — Крылова (k -f- 1)-го порядка состоит из двух этапов:
1) находят (каким-либо путем) приближенные значения ylt уг, ...,Ук
искомого решения в точках хи хг, .... х^;
2) строят ломаную Эйлера (Л -+- 1)-го порядка, соответствующую системам
чисел
I ^О» 1' 2' • " * » *А» * * *
1. Vv У1' У2, ---'Ук-
Тогда числа у0, уи уж,...,у„, ... будут приближенными значениями
искомого решения рассматриваемого дифференциального уравнения в заданных
узлах.
В случае равноотстоящих узлов уп для п > k можно подсчитать по
формуле (2).
§ 61. Линейные однородные дифференциальные уравнения
61.1. Общие сведения о линейных дифференциальных
уравнениях. Линейным дифференциальным уравнением л-го порядка
называется уравнение вида
Уи,+/\ (*)У"-,) + • • • + Рн{*)У=Я*)* 0>
§ 61J ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 285
где коэффициенты рх (х), рх {x)t .... рп {х) и правая часть /(х) суть
данные непрерывные функции в некотором интервале (а, Ь). Левая
часть этого уравнения линейна и однородна относительно искомой
функции и ее производных.
Если правая часть /(х) тождественно равна нулю, то уравнение
(Л) называется линейным однородным дифференциальным уравнением
или уравнением без правой части. Оно имеет вид
/и,+М*)/"-1)+• • •+/U*).v==o.
Если же правай часть f{x) не исчезает тождественно, то уравнение
(1) называется линейным неоднородным дифференциальным
уравнением (или уравнением с правой частью).
В § 58 было показано, что если х0 — точка в рассматриваемом
интервале (а, Ь) и С0, С,, С8, ... , Сп_, — какие угодно заданные
числа, то существует одно и только одно решение линейного
дифференциального уравнения, определенное на всем интервале (а, Ь),
удовлетворяющее п начальным условиям Коши у(х0) = С0,
y'{*0)=cv..., /"-"(*.)=<:„_,*).
Левую часть уравнения (1) будем обозначать L{y) и называть
линейным дифференциальным оператором.
Тогда линейные дифференциальные уравнения можно записывать
сокращенно так:
L{y) = 0 —линейное однородное дифференциальное уравнение;
L(y)=f{x) — линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
61.2. Основные теоремы о линейных однородных
дифференциальных уравнениях с любыми коэффициентами.
Теорема. 1. Если ух—решение линейного однородного
дифференциального уравнения, то Сух, где С—постоянная, тоже
будет решением. .
Доказательство. Так. как постоянные множители выносятся
за знаки производных, то для всякой п раз дифференцируемой
функции имеем
мад=(о^г+л(су.г-'}+-. +рнсУ1=
= С(У? +Р1уГ" + ... +P„yt) = CL (У,). '
.Если теперь ух есть решение уравнения /,(д^ = 0, то L(yx) — 0, но
тогда L(Cy1) = CL(y1) = C-0 = 0, т. е. Сух будет решением
уравнения L(y) — Q, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если ух и уг—решения линейного однородного
дифференциального уравнения, то ух -\-уг тоже будет ' решением.
Доказательство. Так как производные суммы равны суммам
производных, то для любых п раз дифференцируемых функций ух и ys
*) Это справедливо и при комплекснозначных pk (x), f(x) и комплексных Ск
если допускать комплекснозначные у (см. последнее примечание в § 58). '

286
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VII
имеем
^(л+л)=0',+лГ+р.О'.+л)<,1-1,+ -..+рвО'.+л)=
= Л(^) + /.(л).
Если теперь ух и уг суть решения уравнения L{y) = 0, то L(yl) = 0;
L{yt) = Ot но тогда
L(y1+y2) = L(yl)-\-L(yt) = 0-Jr0 = 0,
т. е. у1-\-у1 будет решением уравнения L(y) = О, что и требовалось
доказать.
Следствие. Всякая линейная комбинация частных решений
линейного однородного дифференциального уравнения есть тоже
решение этого уравнения.
Функции у1Г у2> ...,уп называются линейно независимыми, если
ни одна из них не является линейной комбинацией других или (что
то же самое) если линейная комбинация этих функций C1yi-\-
-\-Сгуг-\-... -\-Спуп может быть тождественным нулем, только если
коэффициенты С,, С2, ..., Сп равны нулю. В противном случае
функции _у,, у2, ..., уп называются линейно зависимыми.
Если v,, у2, ..., уп — п— 1 раз дифференцируемые функции, то
определителем Вронского (вронскианом) этих функций называют
определитель л-го порядка:
w(y^ Л» •••. Уп)
Ух Уг
Ух У'г
Уп
Уп
(п-х) (п-г)
У \ У г
(й-1)
У п
Например,
*{Уг* У,) =
Уг Уг
У'г Уг
УгУ2—УгУг-
Вронскиан является некоторой функцией от х и его можно
обозначить W(x).
Теорема 3. Если несколько функций линейно зависимы^ то
их определитель Вронского тождественно равен нулю.
Доказательство. Если функции ух, yt, ...,уп
(предполагается, что они имеют все производные порядка ниже п) линейно
зависимы, то одна из них является линейной комбинацией остальных,
но тогда ее производные являются линейными комбинациями с такими
же коэффициентами из производных того же порядка этих остальных
функций.
ШЫЙатгШ.
§ 61]
ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
287
Следовательно, в определителе Вронского
Уг •■■ Ук
у:
W{ylt уг, ..., уп) =
Уг
Уп
У\
(И-1)
у?-».
УКп
(п-х)
один из столбцов является линейной комбинацией остальных, а потому
(в силу известного свойства определителей) W[yl% д>2, ..., _уп) = 0,
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Если имеем п линейно независимых частных
решений линейного однородного дифференциального уравнения п-го
порядка, то их определитель Вронского всюду отличен от нуля.
Доказательство. Пусть уг, уг, ... , уп — упомянутые
решения. Допустим, что вопреки утверждению теоремы определитель
Вронского W(x) равен нулю в точке х0.
Рассмотрим систему п однородных уравнений первой степени с п
неизвестными С„, Сг, ... , Сп:
СгУгМ +---+СяУпЫ =0.
cj;w +...+cn/H(x1) =о,
СгУ? ~ 1} (*.) + • • • + СпУп" ~ ° (*.) = °.
определитель которой есть W(xo) = 0.
В силу известной теоремы об однородных системах уравнений
первой степени эта система имеет ненулевые решения. Возьмем одно
из таких решений Сх, Сг, ..., Сп и положим
У = СхУх+СжУ*+---+СпУп'
По следствию из теорем 1 и 2j/ является частным решением
уравнения L{y) = 0. Учитывая происхождение чисел Сп Сг, ..., Сп1
замечаем, что у удовлетворяет начальным условиям
у {*.)=? (*.) =... =?"-»(х0)=о.
Но таким же начальным условиям удовлетворяет тождественный
нуль, поэтому в силу теоремы единственности
у=0,
т. е,
Cj'1 + Ctjrt+...+Crjrll = Oi
следовательно, (так как Ck не обращаются одновременно в нуль)»
Ух, Уг, •-•. Уп

288 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. VII
линейно зависимы, что противоречит условию. Полученное
противоречие доказывает теорему.
Теорема 5. Линейная комбинация с произвольными
постоянными коэффициентами п линейно независимых частных решений
линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка
представляет собой общее решение этого уравнения.
Доказательство. Пусть у , угУ ..., уп — линейно
независимые частные решения линейного однородного дифференциального
уравнения л-го порядка. Тогда по теореме 4
W(x)=W{ylt у„ ...,уп)=£0.
Мы уже знаем, что всякая линейная комбинация из ух, ylt yt1 ...,yn
есть решение уравнения L{y) = О, поэтому для доказательства тео-
ремы остается лишь показать, что любое решение у(х) уравнения
L(y) = 0 является некоторой линейной комбинацией функций
Л. Л. •••>>'«•
Рассмотрим п уравнений 1-й степени с п неизвестными Сх, Сг, ..., Сп:
Сг У г (*.) + • • • + СпУп (*.) =У (*.),
< cty[[x%) H-.-.+c^u,) =/(*„),
k Citf-l4x,)+... +C„ye—о {х,)=у<п-»(х0),
где х —какая-нибудь точка рассматриваемого интервала.
Определитель этой системы есть и7(лго)^0. Следовательно, в силу
правила Крамера система имеет решение С,, С,, ..., Сп. Составленная
с помощью этих чисел линейная комбинация
является некоторым частным решением рассматриваемого
дифференциального уравнения. Уравнения, определяющие числа Ck, показывают,
что в точке х0 значения у и С1у1-\- ... -\-С„уп, а также значения
их производных порядков ниже п соответственно совпадают. Но обе
эти функции являются решениями уравнения L (у) = 0, поэтому в силу
теоремы единственности
т. е. у оказывается некоторой линейной комбинацией решений' ylt
Ух, ••■» Уп* что и над0 было показать.
Из последней теоремы следует, что для нахождения общего
решения линейного однородного дифференциального уравнения л-го по-
§61] ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 289
рядка достаточно найти какие-нибудь п линейно независимых частных
решений его (такая система решений называется фундаментальной) *).
Примечание. Теоремы 1—5 вместе с их доказательствами остаются
в силе, если коэффициенты уравнения являются комплекснозначными
непрерывными функциями, а в качестве решений допускаются комплекснозначные л
раз дифференцируемые функции; при этом постоянные Сх, ..., Сп,
фигурирующие в доказательствах, обозначают комплексные числа. Это следует из
примечания § 58.
61.3. Нахождение общего решения линейного однородного
дифференциального уравнения 2-го порядка при наличии
известного частного решения. Линейные уравнения 2-го порядка с
переменными коэффициентами, вообще говоря, в квадратурах не решаются.
Однако если известно одно (ненулевое) частное решение, то
другое, линейно независимое от известного, может быть найдено с
помощью квадратур, и таким образом, будет найдено общее решение.
В самом деле, пусть ух есть ненулевое частное решение уравнения
Положим y = uytt где и — новая неизвестная функция.
После такой подстановки уравнение принимает вид
и"ух -\- 2и'у[ -\- иу[ 4-Р, (">, + «У»)+Л иУ\ — °.
или
и"Ух + «'(2jfl -\-pyJ +и (у[+р1у[-{-р,у1) = 0,
или (учитывая, что выражение в последних скобках равно нулю)
<у1 + в'(2у;+риу1) = 0.
Это уравнение допускает понижение порядка.
Положив и'= 2, получим
z'yl-\-z{2yl-\-p1yi) = {).
Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:
In z = — 21n-y1— \pldx-\-\nQ
c -J>, dx
*) Фундаментальная система решений всегда существует, ибо, выбирая
начальные данные Коши для частных решений yv ...,yn в точке х0 так, чтобы
определитель системы уравнений 1-й степени, фигурировавшей в доказательстве,
был фО, мы получим систему решений с W(x0)^0, которые в силу теоремы
3 должны быть линейно независимыми.

290
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VH
следовательно,
«=с\±.-*»" *,+с„
"Л=с,л+с.уЛ-г'"''" "*d*
^.+c,.ji
Таким образом, второе частное решение данного дифференциального
уравнения может быть найдено по формуле
С 1 -J>. <*><**.
Уг=УЛ-£е dx-
61.4. Теоремы Штурма. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное
уравнение 2-го порядка
!f + p(x)y' + q(x)y = 0. (1)
Если у есть ненулевое решение этого уравнения и у(а) = 0. то у' (а) Ф О
(ибо начальные условия Кош и { ;(,й:1п' определяют нулевое решение).
Если два решения уравнения (1) у и z имеют общий нуль а, то г = су, где
с__г_(а) бо г и с удовлетворяют в точке а одинаковым начальным усло-
t/'(a)
виям Коши), поэтому линейно независимые решения уравнения (1) не могут
иметь общие нули.
Замечание Подстановкой y = uv (где и — новая неизвестная функция,
v — произвольно выбранная дважды непрерывно дифференцируемая и отличная
от нуля функция) уравнение (1) приводится к виду
vu"-\-(2v'-\-pv)u'+(v" + pv'+qv)u — 0. (2)
Выберем v так, чтобы коэффициент ПРИ "' оказался равным нулю, т. е. поло-
- - С p dx
жим v=e 2 J (при этом будем предполагать р непрерывно
дифференцируемым). Тогда уравнение (2) принимает вид
"" + (трг~тр')и==0' (3)
Это замечание показывает, что при изучении линейных однородных
дифференциальных уравнений 2-го порядка достаточно ограничиться уравнениями
вида ...
y" + Q(x)y = 0, (4)
'где Q (х) — заданная непрерывная функция на рассматриваемом интервале.
Пусть у и z являются ненулевыми решениями уравнений:
y" + Q (х)у = 0,
zw + Qi(*)z = 0.
Умножая эти равенства соответственно на г и у и вычитая, получим
y«z-yz"=(Q1-Q)yz
(y'z-yz')' = (Q1-Q)yz.
(4')
§ 61) ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 201
Пусть а и р—нули функции у(х). Почленное интегрирование последнего
равенства в пределах от а до р приводит к формуле
Р
У' (Р) г ф) - у' (а) г (а) = J. (Q, - Q) yz dx, (5)
а
из которой легко выводятся искомые теоремы Штурма.
Пусть у и г — линейно независимые решения уравнения (4). Если а и Р
являются соседними нулями функции у(х), то последняя сохраняет между
аир постоянный знак, и мы можем считать #(х)>0 при а<х<р (в
противном случае следует заменить у на — у), следовательно, у' (а) > 0; у' ф) <0.
Действительно,
у' (а) = lim ^—'—f ^-i = hm - '—' S* 0,
л->о " л->о "■
ft > о А> о
но i/' (а) ф 0, следовательно, у' (a) > 0 и аналогично,
• да= ito»g-*>-''<P=»B»*-*><o.
Л-> о " Л-> 0 **
Л > о Л > о
но у' (р) ?= 0, следовательно, у' (р) < 0.
Покажем теперь, что г(х) должна иметь нуль между аир. Допустим
противное. Тогда г(х) сохраняет между а и Р постоянным знак, и^мы можем
считать, что г (х) > 0 при a < х < р (в противном случае следует заменить г
на — г), откуда z(a)^0; z(P);ssO, но у и z не имеют общих нулей,
следовательно, z (a) > 0; г (Р) > 0. Формула (5) (при Q = Q,) приводит к
противоречию, ибо левая часть меньше нуля, правая часть равна нулю. Таким образом,
г(х) имеет по крайней мере один нуль между аир. Более одного нуля между
аир она не может иметь, так как иначе между двумя соседними нулями
z{x), лежащими между а и р, находился бы нуль функции у(х), что
невозможно. Таким образом, доказана следующая
Теорема о чередовании нулей. Если у/{х) и г{х) — линейно
независимые решения уравнения
tf + Q(x)y = 0,
то между всякими двумя соседними нулями у (х) лежит ровно один нуль г (х).
Пусть теперь у и z удовлетворяют уравнениям (4') и пусть на
рассматриваемом интервале Qt (х) > Q (х). Если а и Р являются соседними нулями
функции у(х), то последняя сохраняет между аир постоянный знак, и мы
можем считать, что у (х) > 0 при a < х < р (в противном случае следует
заменить у на — у), следовательно, у' (а) > 0; у' ф) < 0. Покажем теперь, что
г (х) должна иметь по крайней мере один нуль между аир. Допустим
противное. Тогда г (ж) сохраняет постоянный знак между а и р, и мы можем
считать, что г (х) > 0 при a < х < р (в противном случае следует заменить
z на — г), следовательно, z(a)^0; г(Р)5*0. Формула (5) приводит к
противоречию, ибо левая часть ^0, правая часть >0. Таким образом, доказана
Теорема сравнения. Пусть у(х) и г(х) — ненулевые решения
уравнений
y" + Q(x)y=o,
г"+ &(*)* = 0,' где Q1(x)>Q(x).
Тогда между всякими двумя нулями функции у (х) находится по крайней мере
один нуль функции z(x).
Теорема сравнения Штурма показывает, что, грубо говоря, нули решений
уравнения у" -\-Q(x)y = 0 располагаются тем более часто, чем больше Q (х).

292 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гЛ. VII
Заметим, что общее решение уравнения
у"+-4*0 = О
(где а — положительное число) можно записать в виде С, sin а(х — С2), откуда
видно, что нули каждого ненулевого решения этого уравнения образуют ариф-
я
метическую прогрессию с разностью •— и любая точка является нулем
некоторого решения.
Пусть теперь на рассматриваемом интервале выполняется неравенство
Мг > Q (х) > т2.
Применяя теорему сравнения к уравнениям
у» + т*у = 0; y" + Q(x)y = 0; y" + Msy = 0
и учитывая предыдущее замечание, легко найдем, что расстояние между какими-
нибудь соседними нулями аир какого-нибудь ненулевого решения уравнения
У" -\- Q (*) У = 0 удовлетворяет неравенствам
§ 62. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
62.1. Характеристическое уравнение. Рассмотрим линейное
однородное дифференциальное уравнение
У"» + о1У"-,,+ ...+вву = о1 (1)
где «г, «„...,«„—постоянные комплексные числа, у—неизвестная
комплекснозначная функция. Левую часть этого уравнения
обозначим L(y).
Характеристическим многочленом данного линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами называют
многочлен
/(г) = '" + «/,",-Ь ••+*».
степень которого равна порядку данного линейного
дифференциального уравнения, а коэффициенты совпадают с коэффициентами данного
уравнения.
Алгебраическое уравнение я-й степени /(/•) = 0 называется дсл-
рактеристическим уравнением данного дифференциального уравнения
62.2. Решение линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. При всяком г имеем
I (егх) = (0<п) + «1 (О1""ч + • ■ ■ + ап*ТХ ='
= rV*-f<i1r,,-V*+ ... + апегх =
= *«(/* +в/"1 + .■..■+вв) = *г*/(г).
§ 62] ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С, ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 293
Справедливое для всех г равенство
L(erx) = erxf(r) (2)
продифференцируем m раз по г:
а/И ЛШ
Раскрывая в левой части L (егх) и учитывая, что*)
дгт \* ' \дгт J *
и применяя в правой части формулу Лейбница для т-й производной
произведения двух функций (см. 9.2), получим
(дт \ лтргх -»/n -1 „тх
или
L(xmerx) = erx [xmf{r) + mxm-lf (r)+ ... +fm(r)]. (3)
Формулу (2) можно рассматривать как частный случай формулы (3)
когда т = 0. При учете, что ^-кратный корень многочлена обращает
в нуль не только этот многочлен, но и все его производные порядка
ниже k (см. 28.1), получается в качестве непосредственного следствия
из формулы (3)
Теорема. Если г есть k-кратный (k ^ 1) корень
характеристического уравнения, то при целом неотрицательном m<^k xmerx
будет частным решением соответствующего линейного однородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Если характеристическое уравнение имеет корни /",,/■„..., Г-
соответственно кратностей kl% klt ..., kq, то fe, -j- ... -\-k =n и
доказанная теорема позволяет получить п частных решений
рассматриваемого дифференциального уравнения
ег*, хе™, . .. ,я*'-1ег'*; .. .; /«*, xerqX, ... , х**~хег**. (4)
Покажем, что они линейно независимы. Если бы некоторая линейная
комбинация их (где не все коэффициенты равны нулю) оказалась
тождественным нулем, to это привело 6fj к тождеству вида
eslXPi {х) _|_ . т я _|_ esjxPj {х) === 0 (у ^ 1),
*) Изменение последовательности дифференцирований по г и х (г —
комплексное, х — действительное) законно, 'так как частные производные любых
порядков по переменным г, х от егх являются линейными комбинациями выра-
жений вида r*xVA (ft, / — целые ^ 0), а ^—^- и -—j- от таких выражений, как
показывают правила дифференцирования, одинаковы.

294 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. VII
где slt ..., Sj — различные комплексные числа; Р, (х), ..., Pj (х) —
отличные от нуля многочлены. При j = 1 оно, очевидно, невозможно.
Если у^>1/то, деля на esj* и дифференцируя достаточно большое
число раз (^> степени Ру{х)), придем к новому тождеству
где Рг(х),..., Р,_х(х) — многочлены таких же степеней, как
соответственно Р1{х)у ...iPj^l{x)*), а числа s1 — s/t ...,5y_x — Sj
различны, то есть придем к тождеству, аналогичному первоначальному
с заменой j на j— 1. Постепенное понижение позволит довести j до
единицы, что и приведет к противоречию.
Таким образом, п частных решений (4) рассматриваемого линейного
однородного дифференциального уравнения линейно независимы,
следовательно, в силу теоремы 5 из 61.2 общим решением будет
линейная комбинация функций (4) с произвольными постоянными
комплексными коэффициентами.
Примечание. Если среди корней характеристического уравнения
имеются комплексные сопряженные а -\- /р и а — ф с кратностями выше т, то в (4)
фигурируют функции хте1а+Фх и хтё?~г$>х. Заметим, что С1хтеР+1Фх-\-
-f С, хт (**-¥* = С, хт еах (cos fix -f- i sin fix) -f C2 xm eax (cos px — / sin fix) =
= cIxCT«^cosp^4-cax'V'*sinp>x, где c.rrzCj-f-Cj, cs = i(Cl — Ct), причем
c„ сг могут быть любыми комплексными числами при надлежащем выборе
комплексных чисел С„ С2 (и если с„ cs—не оба нули, то С,, С2—не оба
нули). Отсюда видно, что если в системе (4) заменить пары функций вида
Л^+'Р1*, x*V" ~ Ф х парами функций хтеах cos fix, xmeax sin f>x, то получится
новая система из п линейно независимых частных решений рассматриваемого
дифференциального уравнения. В частности, если все о„ ..., ап действительны,
то все мнимые корни характеристического уравнения, если таковые есть, будут
попарно сопряжены с одинаковыми кратностями, и тогда описанная выше
замена позволит получить систему п линейно независимых действительных
частных решений. Тогда общее решение (если ограничиваться действительными
функциями) будет линейной комбинацией из них с произвольными
действительными постоянными коэффициентами.
§ 63. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с произвольными коэффициентами
63.1. Основные теоремы. Рассмотрим теперь теоремы,
относящиеся к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям с
произвольными коэффициентами
Левую часть этого уравнения обозначим L{y).
*) Ибо [е?х Р (х)}' — tFx [сР (х) -j- Р' (х)] и, следовательно, если с Ф О и Р (х)
есть многочлен какой-нибудь степени, то сР (х) -\- Р' (х) будет многочленом
той же степени.
§ 63] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 295
Теорема 1. Если у* есть частное решение линейного
неоднородного дифференциального уравнения, a Y — общее решение
соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения,
то
У=У*+У
будет общим решением рассматриваемого линейного неоднородного
дифференциального уравнения.
Доказательство. Пусть и — какое-либо решение уравнения
L(y) = 0. Тогда у*-\-и будет некоторым решением уравнения
L{y)=/(x)f так как -v
Mj^+«О=М/) + М«) ==/(*)+ <>=/(*).
Пусть теперь v — какое-либо решение уравнения" L(y) =/(x), тогда,
полагая u = v—у*, найдем
L{u) = Ot
т. е. и будет некоторым решением уравнения L(y) = 0 и мы имеем
v=y*-\-u. Итак, общий вид всех решений уравнения L(y)=/(x)
есть
/+ г*
где у* — какое-нибудь фиксированное частное решение уравнения
М'У)—/(*); У—общее решение уравнения L(y) = 0.
Практическое значение теоремы заключается в том, что если
уравнение без правой части решено, то для полного решения уравнения
с правой частью достаточно найти какое-либо одно его частное
решение.
Для решения линейного дифференциального уравнения с
комбинированными правыми частями полезна следующая
Теорема 2. Если у х и у2 суть частные решения линейных
неоднородных дифференциальных уравнений ^
L(y)=/1(x)u Mj) =/,(*),
то У\Л~Уг будет частным решением линейного неоднородного
дифференциального уравнения
МзО =/,(*)+/.(*).
Доказательство. Действительно, по условию
Мл) =/.(*). Мл) =/.(*).
следовательно,
Мл+л) = Мл) + Мл)=Л (*)+/,(*).

296
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1гл. vii
63.2. Метод вариации постоянных для отыскания частного
решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
с любыми коэффициентами. Пусть дано линейное уравнение с
правой частью:
обозначим левую часть уравнения L{y).
Предположим, что нам известны п линейно независимых частных
решений ylt У^.^-%Уп соответствующего однородного -уравнения
L(y) = 0, тогда
У=С1у1 + СяУш+...+СяУя
будет общим решением уравнения L(y) = 0.
Будем теперь варьировать С,, Са, ..., С„, т. е. заменим их в
предыдущем выражении функциями от х, которые обозначим
их> к2, •. • j ип.
Постараемся выбрать эти функции так, чтобы полученное выражение
/ = "iJ'l + eO'i+ ••-+ипУп
оказалось частным решением уравнения L(y)=/(x).
Для указанного подбора функций ut, «„...,«„ мы наложим на
них ограничения, состоящие из п уравнений, связывающих их
производные. Мы будем налагать эти ограничения в процессе
вычисления последовательных производных от у*. Позднее мы покажем, что
этим ограничениям действительно можно удовлетворить.
Запись описанного процесса мы оформим в виде таблицы (см. стр. 297).
Из таблицы видно, что у* будет частным решением уравнения
L{y)=f{x), если ик удовлетворяют наложенным иа них; ограничениям.
Остается показать, что всегда существуют функции мл,
удовлетворяющие упомянутым ограничениям. В самом деле, эти ограничения
представляют собой систему п уравнений 1-й степени относительно
определителем которой является определительВронского!^,,^,...,^,,),
всюду отличный от нуля, так как у1% у„ ..., уп линейно независимы
по предположению. Поэтому правило Крамера применимо и система
имеет определенное решение относительно и'х% иг, ..., ип. В силу
существования первообразной от любой непрерывной функции отсюда
следует существование нужных нам функций ult и2, ..., ип.
Ща&тф
§ 63] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 297
eg
В
4»
3
31
V
eg
налаг
ния,
4»
er
ж
X
eg
(X
О
его производные
ж
•
ж
С?
ft*
Н
о
*
с
3*
в
3
4-
•
+
м
3j
3™
II
3i
, ,
н
с
о.
о
II
в
3i
к В
3
4-
■
41
^Зд
"з"
31
- в
3
+
+
•■4
3>
4-
«. в
3
4-
*
+
3)
•И
3
II
•
3>
t?
1
с
CL
О
II
» и .
3i
-с .
3
+ :
+ :
"an
~з~
3i
- к • о ■
3
4- :
+ :
3i
^ 3
4- •
%в •
с
3
4- :
+ :
3
II
*
3*
*>г
«
с
«X
о
J
«я
1
5в
3i
3
4-
•
•
4-
«1
1
1
*~*b
•. «4
3
/ »1
1
5в
3i
- в
3
4-
•
;
+ Ъ
i ч*-
3i
U -
3
4-
Г*
1
3-в
3
+
+
1
3i
3
Jl
1
•
3i
*<,
c£
1?
II
«■4
1
Se
3i
. в
3
+
4-
1
^ft
3
M
3i
3
+
I
+
м
1
3i
K 3
4-
3i
с
3
4-
+
3i
3*
Jl
5Г
1-4
2
«*i
jl
><
«si
4-
с
3
4-
+
/3
3
II
*
3i
*J

298
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VII
Правило Крамера приводит к следующим формулам:
и
Ух
Ух
у[п;
• ■
•■
-1) _
. 0 ..
. 0 ..
./(*).
• Уп
•Уп
Лп-
•Уп
-1)
W
f(x)Wnk
W
{k=\, 2 Л),
где Wnk есть алгебраическое дополнение элемента в определителе
Вронского, стоящего на пересечении л-й строки и k-го столбца.
Отсюда
и искомое частное решение уравнения L{y)=/(x) будет
y* = utyl + utyt+...-\-u,yn.
Метод вариации постоянных приводит нас к следующему общему
правилу решения линейного уравнения с правой частью: если
У г* >*!»•••> Уп—линейно независимые частные решения линейного
однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения
с правой частью f{x) получается по формуле
где
3r = («I + C1)jrI + («. + Ct)jr1+ • • • +(ап + Сп)Уп>
uk = ^^f{x)dx.
Остановимся, в частности, на решении линейного
дифференциального уравнения 1-го порядка
у'-{-р{х)у=/{х)
методом вариации постоянного. В этом случае соответствующее
однородное уравнение будет с разделяющимися переменными, с частным
решением у1 = е~* р *. Частное решение данного уравнения ищется
в виде у* = иу1, где на и налагается ограничение и'у1=/{х), что
дает u=\-^dx. Следовательно, общее решение данного
уравнения у'-{-р (х)у = f (х) получается по формуле
y = {u + C)ylt где в = ^(Х)
Ух
dx
или
, = *-J'«*,(J/W«J'"*"Ur*«+c).
ШЫЙатгШ.
§ 64] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 299
Пример 1. Решить уравнение у' — у tg х = 2х sec x.
Имеем
y1=secx; и= \ 2хйх — хг; у = (х* + С)secx.
Пример 2. Решить уравнение у" -f- Ay — tg x.
Имеем
t/i = cos 2x, ™ | cos 2x sin 2x
Wzx
уг = sin 2x, I — 2 sin 2x 2cos 2x\ — *>
1
W
w Z2
IP x 1
= — sin 2x, u, = ^ \ sin 2* *g x dx = — y "T" T sin *'
= cos 2jc; u2 = —• V cos 2x tg x dx = — — cos 2x -|- — In cos x,
у==(и1 + С1)у1 + (и1 + Сг)уа=( — ^ + ^™2х + С1)сов2х +
-f- (-к In cos x —j- cos 2x -f- Ca J sin 2x =
= ( 2" + Cj J cos 2x + f -^- In cos x + Ca J sin 2x.
Примечание. Изложенное в этом параграфе остается в силе, если
Рх (х), .... р„ (х), I(х) — заданные комплекснозначные функции; у — неизвестная
комплекснозначная функция (при этом фигурирующие в тексте Си ...,Сп
обозначают комплексные числа; ult ..., ип — комплекснозначные функции).
§ 64. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами и специальными правыми
частями
64.1. Виды частных решений. Пусть дано линейное
неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
у-» + в1у-,>+...+аиу=/(*).
Метод вариации постоянных всегда позволяет решить это
уравнение, так как способ решения соответствующего уравнения без правой
части нам известен.
Но применение метода вариации постоянных связано с проведением
квадратур. При некоторых частных видах правой части f{x) удается
обойтись без них, используя нижеследующие теоремы.
Теорема 1. Если правая часть линейного уравнения с
постоянными коэффициентами имеет вид е*х Р(х), где Р(х) —
многочлен s-й степени и а не является корнем характеристического
уравнения, то существует частное решение вида е*хМ{х), где
М(х) — некоторый многочлен s-й степени.

300 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. VII
Если же а является корнем характеристического уравнения
и имеет кратность k, то существует частное решение вида
хкеахМ(х),'где М — некоторый многочлен s-й степени*).
Доказательство. Пусть а есть Л-кратный корень
характеристического уравнения (в случае, когда а не является корнем
характеристического уравнения, следует полагать k = 0). В силу формулы
(3) § 62 имеем
Заменяя и на »+* и учитывая, что /^>(а) = 0 при у<> получим
L {хт+V*) = ^jfcL+J***-'?* («) = **Рт {х)(т = 0, \,2, ...),
где р (х) — некоторый многочлен m-Й степени (его старший
коэффициент С*+к/1к)(а)ф0). Пусть теперь Р(х) — произвольный
многочлен (пусть s— его степень). Расположим Р(х) по многочленам
/>.(*). P.W. ••■» РЛХ) (см- об этом 18;!)
тогда получим
К** У стхте«х) = ± cmL(xm+ke*x) = e*x £ ^/U*)=^(A
ОТггО т = 0
и, таким образом, ** (с,+ <:,*+ .. • + с***)*" есть частное решение
искомого вида, что требовалось доказать.
Теорема 2. Если правая часть линейного уравнения
с действительными постоянными коэффициентами имеет вид
eax[P{x)cosf>x-\-Q{x)sin^x], где a, р — действительные числа;
Р(х) и Q{x) — многочлены с действительными коэффициентами
(пусть s —наибольшая из их степеней) и а + 'Р не является
корнем характеристического уравнения, то существует частное ре-
шение вида
е«* [М(х) cos $>х -\-N(x) sin p"x],
где М(х) и N{x) — многочлены степени не выше s.
Если же а -\- ф является корнем характеристического
уравнения и имеет кратность k, то существует частное решение вида
xke*x[M{x) cos рх-\-N(x) sin рх],
где М(х) и N(x) — многочлены степени не выше s.
*) а, ах\..., ап и коэффициенты многочленов, вообще говоря,
комплексные.
ШЫЙатф.
§ 64J НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 301
Доказательство. Пусть а-[~*Р является /г-кратным
корнем характеристического уравнения (в случае, когда а-\-ф не
является корнем характеристического уравнения, следует полагать
k = 0). Если в качестве правой части уравнения (при сохранении
левой) взять eiu+,Px[P{x)—iQ(x)], то по теореме 1 будет
существовать частное решение вида я*е<в+,Р>х [М (х)—M{x)]t где М{х) и
N\x) — многочлены с действительными коэффициентами степени <;«*),
поэтому вследствие действительности коэффициентов уравнения
Re {* V+,> * [М(х) — Ш(х)}\ = xkeax [M(x) cos Р* + N(x) sin рх]
будет частным решением уравнения с правой частью
Re {<?<а+'> х [P(x)—iQ(х)]\ = еих [Р(х) cos$x+Q[x) sin pjc],
что требовалось доказать.
Отметим особо простые частные случаи теорем 1 и 2.
При а = 0 теорема 1 принимает вид:
Теорема Г. Если правая часть линейного уравнения с
постоянными коэффициентами есть многочлен s-й степени, причем 0
не является корнем характеристического уравнения, то
существует частное решение в виде некоторого полинома s-й степени.
Если же 0 является корнем характеристического уравнения
кратности k, то существует частное решение в виде
произведения xk на некоторый многочлен s-й степени.
При 5 = 0 теорема 1 принимает вид:
Теорема V. Если правая часть линейного уравнения с
постоянными коэффициентами имеет вид ае*х, причем а не является
корнем характеристического уравнения, то существует частное
решение вида Аеах.
Если же а является корнем характеристического уравнения
кратности k, то существует частное решение вида Ахке*х.
В случае а = 0, s = 0 теорема 2 принимает вид:
Теорема 2'. Если правая часть линейного уравнения с
действительными постоянными коэффициентами есть простая
гармоника a cos $x-\-bsin px, причем ф не является корнем
характеристического уравнения, то существует частное решение в виде
гармоники той же частоты
A cos P* -{- В sin рл:.
Если же ф есть корень характеристического уравнения
кратности k, то существует частное решение вида
xk (A cos Р* -\- В sin px).
*) Очевидно, многочлен s-й степени с комплексными коэффициентами можно
записать в виде М (х) — iN (х), где М (х) и N (х) — многочлены с
действительными коэффициентами степени ^s.
10 п. И. Романовский

302
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. \Ч
64.2. Решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами методом подбора
частного решения. Практическое применение теорем этого параграфа
осуществляется следующим образом: искомое частное решение (вид
которого заранее известен) записывается с неопределенными
коэффициентами и вставляется в левую часть дифференциального
уравнения, затем, после надлежащих упрощений, в полученном равенстве
уравниваются коэффициенты при подобных членах левой и правой
частей, что дает систему уравнений первой степени относительно
искомых коэффициентов, из которой эти коэффициенты определяются.
Такой способ отыскания частных решений неоднородного
дифференциального уравнения называют «способом подбора частного
решения».
Если правая часть данного неоднородного уравнения состоит из
нескольких слагаемых, каждое из которых имеет вид,
предусмотренный теоремами 1 и 2, то в силу теоремы 2 из 63.1 вид частного
решения данного неоднородного уравнения окажется известным.
Пример. Решить уравнение у"— 2у' + У = Xs4"ё* + c°sЗх.
Характеристическое уравнение г2 — 2r -f- 1 = 0 имеет двойной корень 1.
Частное решение следует искать в виде
у = Ах* 4- Вх + С + Dx*ex + Е cos Зх -f F sin Зх
Вставляя это выражение в данное дифференциальное уравнение, приходим
к системе уравнений
( А = \,
— 4Л4-# = °»
2А — 2В-\-С = 0,
2D = 1,
— 8E-6F = l,
— 8F + 6E = 0,
следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
1 А ^
у = С,е* 4" С,хе* 4" х2 4" 4* 4" 6 4" у x4* + 35 COS Зх ~ 35 sin U'
§ 65. Системы линейных дифференциальных уравнений
65.1. Краткие сведения о системах линейных
дифференциальных уравнений. Система п линейных дифференциальных уравнений
с я неизвестными функциями ylt ух, .....Д'и может быть записана
А = \,
5 = 4,
С = 6,
С 35'
F =
35'
§ 65j СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 303
в виде
С У\ +P,i МУг -Т-Р12 {X)yt -f • • • Л-Ргп Му» = /, (*),
I Уш + Pti W^. +Р« М.У.+ • •. +Psn (x)yn =/, (*),
У У'а+Рпг (x)yi-\-p„t(x)yt-\- . . . + />„„(*) У„=/„{х),
где коэффициенты pik{x) и правые части /.(#) — заданные
непрерывные функции на некотором интервале (а, Ь). В случае, когда все
правые части /t (x) тождественно равны нулю, система называется
однородной, в противном случае — неоднородной.
В § 58 было показано, что существует единственное решение
OV Угу ■••jj рассматриваемой линейной системы, определенное на
всем интервале (а, Ь) и удовлетворяющее начальным условиям Коши
( ytM=clt
I У*{хи) = С„
( Уп(х0) = СП1
где ,v0 — какая-нибудь фиксированная точка на рассматриваемом
интервале (й, Ь) и где С,, С2,..., Сп — произвольные числа*).
Ограничившись однородными системами, возьмем, например, л = 3
и запишем такую систему в виде
I y'+PAx)y-{-ql(x)z-\-r1(x)u = 01
\ z'+pa(x)yJrq2(x)z-\-rz(x)u = 0t
Непосредственно видно, что если {у„ zt, иг), {у2, z„ u2), (ytt zt, ua) —
какиегнибудь решения системы, то
при любых постоянных Са, С2, С, тоже будет решением. Можно
показать, что это будет общим решением, если исходные решения
были «линейно независимы» (т. е. перечисленные в последней скобке
функции одновременно исчезают лишь в случае С, = С2 = С8 = 0).
*) Это справедливо и при комплекснозначных р,>(х), /,(х) и
комплексных С/, если допускать комплекснозначные «/,- (см. второе примечание в § 58).
10*

304 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
65.2. Линейные однородные системы с постоянными
коэффициентами. Остановимся подробнее на однородных системах с
постоянными коэффициентами (вообще комплексными)
/ + «ьУ + М + с1и = 0, Л
**+ «,* + &.* + <:«« = О, [ (1)
Будем искать ненулевые решения вида (aerx, pV*, yerx). Это
приводит (после сокращения на егх) к системе однородных уравнений 1-й
степени:
(r + aJa + A.p-f ClY = 0f )
«.« + (' + *.) P + clY = 0, У (2)
v+*.P+('+Oy=o. J
По известной теореме об однородных системах уравнений 1-й
степени система (2) допускает ненулевое решение (а, р\ у), лишь когда
определитель этой системы равен нулю, т. е. если г удовлетворяет
уравнению
а2 r + bt са
аг К г + с,
= 0. (3)
Это алгебраическое уравнение, степень которого, очевидно,
равна числу уравнений системы (1), называется характеристическим
уравнением системы (1). Алгебраические уравнения, записанные
в форме (3), называются вековыми уравнениями. Таким образом,
справедлива
Теорема. Если г — корень характеристического уравнения (3)
и (а, р\ у) — ненулевое решение системы (2) с исчезающим
определителем, то {аегх, $егх, уегх) будет ненулевым решением системы
дифференциальных уравнений (1).
Если все корни характеристического уравнения простые (пусть
ги гг» гз —эти корни), то, составив для каждого из них решение
согласно этой теореме, мы получим линейно независимые решения
(a.eV, р,*г.*, у^% (vv, P.«v, Y.«r"*). («.<**. P,«v. Y.«v).
Общим решением системы (1) будет
(Cl0leV + C.CV** + C,aaeV, СДе V + C,p,*V + СДеV
ClY,*v + QY.«v + C1Y.«v).
В случае наличия кратных корней характеристического
уравнения (3) теорема не позволяет получить нужное количество линейно
§ 66] РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 305
независимых решений. Этот случай ввиду его сложности мы оставляем
без рассмотрения. Но в случае, когда все корни характеристического
уравнения простые, доказанная теорема позволяет до конца решить
рассмотренную систему линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Пример. Решить систему
f у'-{-4ц-г = 0,
J <г-Н)а-р==0. |r + 4 -1 I
\ 2а-f-(r + 1)Р = 0, | 2 г-Н I
*' = -*{ 2а1р = 0 О. 2) (е- 2,-П
<' = ~3>{ 2а-"2р=0 П.1)(е-- ,-).
Общее решение
(С,е-« + Cte~tx, ЪСхе-*х -f С,»"»*).
§ 66. Решение линейных дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов
66.1. Биномиальный ряд. Будем искать последовательность чисел
^0' 1» ^8» ' ' * ' * И» * * ' '
00
удовлетворяющую требованиям: 1) ряд ^спхп сходится на (—1, 1);
о
2) его сумма на (—1, 1) удовлетворяет дифференциальному
уравнению (1-\-х)у' — ау = 0 с начальным условием y(0)=\
(a—произвольно заданное действительное число).
Второе из этих требований (при выполнимости первого)
последовательно перефразируется так:
(1+х)(С1 + 2сгх + Зсях2+...) =
= а (с0 -\- сгх + с2х* 4- свх* + ...)
или
с. = 1;
или ( с0 = 1,
I Cl = ac0,
J 2cz-\-c1=ac1,
I ncn~\-{n—\)cn_1 = acn_l1

806 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
ИЛИ
! с1 = ас0,
а-1
2 с»'
i ::=
а — л 4- 1
1 £
л "-1
Таким образом, искомые сп должны удовлетворять последней ре-
00
куррентной системе и быть такими, чтобы ряд 2сих" сх°Дился на
о
(—1, 1). Из рекуррентной системы сп однозначно определяются
г «(«—1)...(<х —л + 1)
п~ 1-2. ..л
00
причем другое требование (сходимость ^спхп на (—1, 1)) оказы-
о
00
вается также выполненным, ибо радиус сходимости ряда ^спхп
о
(в силу 52.3) равен 1, если а=^0, 1, 2,..., так как j^±i
п , ! I—► 1 (при целых неотрицательных а, си = 0 при л^>а).
Таким образом показано, что ряд
а(а— 1)...(а — п-\-1) „
Е
1-2...л
сходится на (—I, 1) и удовлетворяет на этом интервале уравнению
{1~\-х)у'— ау = 0 с начальным условием ^/(0)=1.
С другой стороны, функция (l-J-x)a также удовлетворяет на
(—1, 1) уравнению (14~д:)У— ау = 0 и начальному условию
^/(0)=1, поэтому в силу теоремы единственности (см. 58.1)
(1 + JC) —2. 1.2-3...а Х ПРИ \*\<Х-
§ 66] РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 307
Ряд в правой части этой формулы называется биномиальным рядом-
При а целом положительном эта формула превращается в обычную
формулу бинома Ньютона (тогда коэффициенты с некоторого места
будут нулями).
Теперь легко получить разложение (а-{-х)л, где а^>0, по
степеням х при |х| <^а. При а^>О, Jх|<^а имеем — <Ч, и тогда
(.+jer=[e(i+i)]W(i+0=.
^[i+.f+gfe^$+"(-;.l>r2>?+-1°
=a-+^-^+5^^'',-^'+'x(c'";.'2).(3~2)a°'v+---
Пример. Разложить в степенной ряд
|/"1 - х2'
Имеем
(——V——^
y=g = ('-^"S"=1 + (-T)<-^+^ 1-2 *'<-«■)' +
, v Ту v t) 1~"Т/, .... . . 1 2 . ьз , ,
+ - 1.2-3 ^(-^)8+... = И-^^ + 2Ц^Ч-
4.ЬЗ"Б^4- | ЬЗ-5...(2л-1)
+ 2^6* +"'42-4.6...2л ^ +'" "РИ '^К1-
Отсюда, почленно интегрируя в пределах от 0 до х, получим
. 1 Xs , 1-3 х9 . . ЬЗ-5...(2л-1) х2"+' . . . ,
агС8ШХ = « + -2Т+2Т4Т + -+ 2-4-6.. .2л 2я+1 + —при |х|< 1.
66.2. Теорема о разложимости в степенной ряд функций,
образующих решение системы линейных дифференциальных
уравнений.
Теорема. Если функции рм {х); fk (,v); {k, /= 1, 2,..., п)
разлагаются в степенные ряды при \ х | <^ к, то функции yk {x),
образующие решение системы линейных дифференциальных
уравнений
Ук= У ры {x)yt 4-Л {х) {k = 1, 2, .... п)
f=i

308 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. VII
с начальными условиями Коши
Ук(°)=Уко (*=1. 2,..., л),
где yko — какие-либо числа, разлагаются в степенные ряды при
х | < h.
Доказательство. Пусть
00
РкЛх)=^аМтхт\
00
mz=o
при | x\<^h. Будем искать числа ckm(k= 1, 2,..., п; т = 0, 1,2,...),
удовлетворяющие требованиям: 1) ряды ^ckmxm (ft =1,2,..., п)
nz=0
сходятся при | лс | <С^ Л; 2) их суммы удовлетворяют упомянутой системе
дифференциальных уравнений и упомянутым начальным условиям.
Второе из этих требований (при выполнимости первого)
последовательно перефразируется так:
Ъ.=У*.1 (1сьтхт)' =
п/оо \/оо \ оо
= 2 ( 2 ««.*■)( 2 сгтх-)+ 2 **-*■(*=!. 2,..., п) (1)
или
п
<*о=Ло;('»+1Кян-1=2 2 w*+ft*«
(Л=1,...,л; /и=0, 1, 2,...). (2)
Таким образом, искомые ckm должны удовлетворять рекуррентной
системе и быть такими, чтобы ряды
00
сходились при |jt|<^ft. Из рекуррентной системы ckm однозначно
определяются и если они окажутся такими, что ряды
со
Hckmxm(k = \,...tn)
/72 = 0
будут сходиться при \x\<^h, то их суммы будут удовлетворять
рассматриваемой системе дифференциальных уравнений с рассматриваемыми
начальными условиями, и теорема окажется доказанной. Остается
доказать сходимость упомянутых рядов.
§ 66] РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 309
Пусть r<ft; М таково*), что "*'"' 1<^ (ft, /= 1, ... , л;
I "km I I T
да = 0, 1, 2...),
Y0 — наибольшее из \yk0\ (ft=l,..., л). Будем искать на ( — г, г)
функцию Y{x)t удовлетворяющую требованиям:
Г = Мп Y \ М
1-— 1- —
Г Г
Г(0) = К,.
Подстановка nY-\-\=Z приводит к уравнению с разделяющимися
MnZ
переменными Z'—-—— с начальным условием Z(0) = nYo-\- 1, сле-
г
довательно,
r-(r. + ±)(.-f)— -±.
В силу 66.1 (о биномиальном ряде) К разлагается в степенной ряд при
оо
*|<V: Y== 2 Cm*™' следовательно,
01 = 0
.00 00 00 00
С.= У, (2с/)'=* (££)( £V) + Ж ££ ,
или
С0=К0; (т4-1)См+1 = Жл 21 ^+^-(« = 0, 1, 2, ...). (3)
р + q = m
Покажем методом индукции, что
1<*.|<С« (ft=l, 2, ..., л; /» = 0, 1, 2, ...). (4)
В самом деле, когда индекс m равен нулю, это очевидно, а
сравнение (2) и (3) показывает, что (4) верно для индекса /я-{-1, если
оно верно для меньших значений индекса.
*) Если какой-нибудь степенной ряд 2 в/я*"1 имеет радиус сходимости R,
то для всякого г < i? ряд 2 anlm сходится, и поэтому модули его членов не
М
превосходят некоторого числа М, следовательно, |аот1^^ (т = 0, 1, 2,...).
Из этого замечания вытекает существование числа М, упоминаемого в тексте.

310 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ [гЛ VII
ею
Так как ряд У*, Стхт сходится при |x|<V, то из (4) следует,
о
СО
что ряды У, cbmxm{k=-1, .... п) также сходятся при |#|<СГ»
о
а так как г было любым положительным числом, меньшим h, то
со
ряды ^Ltckmxa{k=\, .... п) сходятся при |*|<А, что и требо-
о
валось доказать.
66.3. Теорема о разложимости в степенной ряд решений
линейных дифференциальных уравнений. Учитывая сказанное
в § 55 о связи между (4), (4') и (6), (6') заключаем, что из
теоремы предыдущего пункта непосредственно вытекает
Теорема. Если функции /(*), pk{x) (Л=1, 2,
..^^разлагаются в степенные ряды при \x\<^h, то решение линейного
дифференциального уравнения
У(п) + Рг (*) j><"-'>+ • • • +РпМУ=А*)>
удовлетворяющее начальным условиям Ноши
ур) ф)=у™ (Л = 0, 1, .... л—1),
где д,<*> — какие-либо числа, разлагается в степенной ряд при \ х |<Л.
ГЛАВА VIII
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 67. Понятие о вариации функционала
67. 1. Понятие функционала. Рассмотрим какой-нибудь класс К
функций (или линий). Будем называть входящие в этот класс
функции (или линии) допустимыми. Всякое соответствие У, по которому
каждой допустимой функции (допустимой линии) относится некоторое
число, называется функционалом. Число, отнесенное какой-либо
допустимой функции у (допустимой линии С), обозначается J (у) (7(C))
и называется значением функционала J. Совокупность всех
допустимых для данного функционала функций (линий) называется областью
определения этого функционала; совокупность всех значений данного
функционала называется областью значений этого функционала. Мы
будем рассматривать функционалы, имеющие действительные значения.
Примеры функционалов. 1. Класс /С состоит из всех
спрямляемых дуг С в пространстве; J (С) обозначает длину дуги С.
2. Класс К состоит из всех простых замкнутых спрямляемых контуров С
на плоскости, имеющих заданную длину; J (С) обозначает площадь фигуры,
ограниченной С.
3. Класс К состоит из всех функций у действительного переменного,
в область определения которых входит фиксированное число х0; J {y) = y (х0).
4. Класс К состоит из всех функций у действительного переменного,
дифференцируемых в фиксированной точке х„; J(y) = y'(x0).
5. Класс К, состоит из всех непрерывных функций у на данном сегменте
ь
[а, Ь]; J{y) = $ у (х) dx.
а
6. Класс К состоит из всех кривых С с непрерывно вращающейся
касательной, соединяющих точку А с точкой В {А лежит выше В, но не на одной
вертикали); J (С) обозначает время, за которое тяжелая точка, двигаясь под
влиянием силы тяжести по кривой С из точки А с нулевой начальной
скоростью, попадет в точку В.
67.2. Вариации функционала. Пусть У—какой-нибудь
функционал, и пусть у (С) — какая-нибудь функция (линия). Включим
функцию у (линию С) в однопараметрическое семейство допустимых
функций уЛ (линий Са), где областью изменений параметра а

312 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (ГЛ. VIII
является некоторый открытый интервал, содержащий 0, так чтобы
заданная функция.^ (линия С) входила в это семейство при а=0,
т. е. чтобы у0=у {С0=С).
Примеры включения функции (линии) в
однопараметрическое семейство. 1. Класс К состоит из всех концентрических
«жружностей плоскости с центром в начале координат; пусть С — одна из
допустимых окружностей, R — ее радиус; беря £ < R, обозначим через Са
допустимую окружность радиуса R-{-a, — е < а < е (очевидно, С0 есть С).
2. Класс К состоит из всех я раз непрерывно дифференцируемых функций
на данном сегменте [а, Ь\\ пусть у — одна из допустимых функции, tj —
произвольно выбранная функция из рассматриваемого класса, е > 0; положим
0, = 0 + <**]• — е < « < е (очевидно, у0 = у).
Пусть J—функционал, и пусть допустимая функция у (линия С)
включена в однопараметрическое семейство допустимых функций уа
(линий Св) так, как описано выше. Рассмотрим функцию f(a) = J(ya)
(/(а) = У(Са)), областью определения которой служит область
значений параметра а; если эта функция дифференцируема в точке а 2=0,
то функционал J называется варьируемым в допустимой функции у
(в допустимой линии С) относительно выбранного однопараметриче-
ского семейства, причем вариацией функционала J в у (в С)
называется /' (0). Вариацию функционала J обозначают bj. Таким образом,
бУ=/'(0).
Если /(а) имеет л-ю производную (л — натуральное число)
в точке а = 0, то, по определению, л-й вариацией функционала J
в у (в С) относительно выбранного однопараметрического семейства
называется /W(0). л-ю вариацию функционала J обозначают bnJ.
Таким образом, bnJ=fin)(0).
Примечание. Иногда вариацию функционала определяют как
дифференциал от /(а) в точке а = 0 (л-ю вариацию как дифференциал л-го порядка
от 1(a) в точке а = 0). Можно еще пользоваться включением допустимой
функции (линии) в семейство допустимых функций (линий) с любым числом
параметров а„ а2, ..., ат так, чтобы данная допустимая функция (линия)
получалась при а, = 0, а2 = 0, ..., ara = 0.
В этом случае, подобно предыдущему, появляется функция /(а,,
а2, ..., аи) и вариацией функционала в данной допустимой функции
(линии) следует назвать полный дифференциал от / в точке
(0, 0, ..., 0), если он существует.
67.3. Абсолютный экстремум функционала. Пусть J—какой-
либо функционал, имеющий действительные значения. Принято
говорить, что функционал J имеет в допустимой функции у (допустимой
линии С) абсолютный минимум или абсолютный максимум, если
значение J в функции у (линии С) является соответственно наименьшим
или наибольшими^ всех значений J. Таким образом, J имеет абсолютный
§ 67] ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА о I •J
минимум в у (С), если для любой допустимой^ (С) имеем J (y)^J(y)
{J(C)^J(C)). Аналогично J имеет абсолютный максимум в у (С),
если для любой допустимой у (С) имеем J(y)^J{y) {J{C)<,J (Q).
Абсолютные минимум и максимум называют абсолютными
экстремумами.
Задача отыскания абсолютного максимума функционала, описанного
в примере 2 из 67.1, называется изопериметрической задачей.
Задача отыскания абсолютного минимума функционала, описанного
в примере 6 из 67.1, называется задачей о брахистохроне (эта
задача, поставленная И. Бернулли, послужила началом развития
вариационного исчисления).
Если допустимая функция у (линия С) дает абсолютный экстремум
функционалу У, то при включенииу (С) в однопараметрическое
семейство (так, как это описано в 67.2) соответствующая функция/(a) будет
иметь при а = 0 наименьшее или наибольшее значение, следовательно,
если /'(0) существует, то /'(0) = 0. Если /"(0) существует, то
/"(0)^0 («^0) в случае, когда при a = 0 /(а) принимает
наименьшее (наибольшее) значение, так как если бы имели /"(0)<^0 Q>0),
то при а, достаточно близких к нулю, имели бы /' (a) f (0) = 0
в зависимости от a " Q(f (а)^/'(0)=0 в зависимости от a^ 0) и /(a)
имела бы при a =0 максимум (минимум) в узком смысле (см. 14.1 и 14.2)
и не могла бы иметь при а = 0 наименьшее (наибольшее) значение.
Из сказанного следует, что если функционал У имеет в
допустимой функции у (линии С) абсолютный экстремум, то 1) 6У=0
относительно всякого однопараметрического семейства (описанного в 67.2),
относительно которого эта вариация существует; 2) в случае
абсолютного минимума 6V^0 относительно всякого упомянутого
семейства, относительно которого эта вариация существует;
3) в случае абсолютного максимума 6V^0 относительно всякого
упомянутого семейства, относительно которого эта вариация существует.
67.4. Относительный экстремум функционала. Относительный
экстремум функционала определяется как абсолютный экстремум, но
с той разницей, что фигурирующие в его определении функции у
(линии С) должны быть не любыми допустимыми, а лишь «достаточно
близкими» к у (С). Но предварительно необходимо придать точный
смысл выражению «достаточно близкие». Мы ограничимся при этом
рассмотрением самых простых случаев.
Пусть С„(л = 0, 1, 2, ...) обозначает совокупность всех л раз
непрерывно дифференцируемых функций на данном сегменте [х01 *,],
и пусть у — одна из этих функций, ъ-окрестностью п-го порядка
функции у называется совокупность всех функций у из класса Сп,

314 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. VIII
для которых \у{х)—у(х)\<^е; \у' (х)—у' (х)|<е; ...; \у(п){х) —
— у<п)(х) | <£е при всех х на [xQt xt]. Здесь е — какое-нибудь
положительное число.
Будем предполагать, что все допустимые функции, входящие
в область определения функционала У, принадлежат классу Сп.
Говорят, что функционал J имеет в допустимой функции у
относительный минимум {максимум) k-то порядка (Os^fts^/z),
если для всех допустимых функций у, принадлежащих некоторой
е-окрестности fc-ro порядка функции у, имеем J (у) ^J(y) {J{y)^Jiy))-
Относительные минимум и максимум &-го порядка называются
относительными экстремумами k-го порядка. Экстремумы нулевого
порядка называются сильными, экстремумы первого порядка
называются слабыми. Экстремум k-ro порядка (&<^я) будет подавно
экстремумом (&-|-1)-го порядка, в частности, сильный экстремум
будет и слабым.
Функционал У, имеющий в у относительный экстремум /г-го
порядка, будет иметь в у абсолютный экстремум, если в области
определения функционала сохранить лишь те функции, которые входят
в е-окрестность &-го порядка для у, где е достаточно мало.
Наложим теперь на описанное в 67.2 однопараметрическое
семейство добавочное ограничение: для всякого е^>0 найдется такое
6^>0, что при |а|<^6д>а входит в е-окрестность k-ro порядка дляд>.
Тогда из рассмотренных выше необходимых условий абсолютного
экстремума функционала вытекают следующие ниже необходимые
условия относительных экстремумов.
Если J имеет в у относительный экстремум fe-ro порядка {k^n),
то 1) 6У=0 относительно всякого однопараметрического семейства
названного вида, относительно которого эта вариация существует;
2) в случае относительного минимума 6V ^ 0 относительно всякого
упомянутого семейства, относительно которого эта вариация существует;
3) в случае относительного максимума 6V=^0 относительно всякого
упомянутого семейства, относительно которого эта вариация
существует.
§ 68. Необходимые условия экстремума для простейших
вариационных задач
68.1. Вспомогательные леммы. Предварительно построим
некоторые функции, которые будут использованы при доказательстве
лемм. Полином (1 — х*)п+1 положителен и не превышает единицы на
интервале (—1, 1), а при х =±1 он и все его производные
порядка не выше п обращаются в нуль, так как ^Ь 1 является для него
корнями кратности п-\- 1 (см. 29.1). Пусть оп — наименьшее значение
модуля производной этого полинома на сегменте -=-, -=- ; очевидно,
Ч\а1аНаю
§ 68J НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 315
ап^>0, так как из выражения производной видно, что она на этом
сегменте не обращается в нуль. Из сказанного следует, что
функция
J(l-*y+1 при|*|<1,
Р1,~| 0 при |*|^1
п раз непрерывно дифференцируема на всей числовой прямой,
положительна на интервале (—1, 1), равна нулю вне этого интервала,
р(х) ^ 1 всюду, | р' {х) | 5*аи на сегменте -g-, — . Взяв любое
действительное число с и любое положительное число б, рассмотрим
функцию q(х) =р (—*—). Из перечисленных свойств функции р{х)
следует, что q (x) n раз непрерывно дифференцируема на всей
числовой прямой, положительна на интервале (с— 6, с-}-6), равна нулю
вне этого интервала, q{x)s^\ всюду, \q' (х)\ = \-гР'(—-т~)\^х
Г . S .261
на сегменте c—J--^-, с-\—q- •
Лемма 1 (основная лемма вариационного исчисления). Если у {х)
непрерывна на сегменте [х0, xt] и если для всякой функции Т)(*),
п раз непрерывно дифференцируемой на этом сегменте и равной
нулю вблизи его концов, имеем ^ q>(x)r){x)dx = 0, тоц>{х) тож-
х0
дественно равна нулю на [лс0, xt].
Доказательство. В самом деле, если бы непрерывная
функция (p(,v) не была тождественно равна нулю на [xQ1 л*,], то нашлась бы
точка с внутри этого сегмента, для которой ц>(с)Ф0; можно
полагать <р(с)]>0 (в противном случае следует заменить <р на —<р).
Вследствие непрерывности ц>(х) в точке с найдется такое б ^> 0, что
*оО — °<с + °<>1, Ф(*)>0 на (с —6, c-f-б). Беря г)(*) =
— q(x) (соответствующей этим с, 6), получим J <p {x) rj (x) dx =
= J «PM^M^^0. так как <р {х) и rj (х) положительны на (с — 6,
с-Ь
с-[-б), что дает противоречие. Лемма доказана.
Лемма 2. Если у(х) и ty(x) непрерывны на сегменте [х0, xt]
и если для всякой функции r\(x), n раз непрерывно
дифференцируемой на этом сегменте и равной нулю вблизи его концов, имеем
Х\
J[<PWV + ^WV2]^^0, то q{х)^О на [x0, *J.
*0

316 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. VIII
Доказательство. В самом деле, если бы непрерывная
функция ty(x) не была всюду на [х0, xt] неотрицательной, то
нашлась бы точка с внутри этого сегмента, для которой я|э(с)<^0.
Вследствие непрерывности ty(x) в точке с найдется такое 6^>0, что
*.<c — e<c + ft<*lf *(*)< —» = ij3 на [с—в, с + Ь].
Пусть М—наибольшее значение |<р(*)| на \х0, л:,]. Беря
r){x)=q(x) (соответствующей этим с, 6), получим, учитывая
свойства д(х)
X, X,
J Ф (х) if dx ^ M J if dx ^ M (xt — jc0),
*0 - Xq
х, с+Ь с+Ь
JiJ)(x)T)'adjt= $ ty(x)r)*dx^ — m J r\'*dx^
x0 c~b c — b
* t
-, j/«-4(b)'=.
*1 2
откуда \ [q>{x)r\t + ^(x)r]'i]dx^:M(x1— x6) ^"C0' если °
выбрано достаточно малым, что противоречит условию. Лемма
доказана.
68.2. Вариационная задача с неподвижными концами. Пусть
F(x, у, у') — непрерывная функция трех независимых переменных х,
у, у' в некоторой открытой области D (см. 19.1), имеющая
непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков. Рассмотрим
функционал
где допустимыми функциями являются дважды непрерывно
дифференцируемые функции у на [xQ1 *,], такие, что y(xQ)—y01 у(х1)=у1
(*п х2, Ун У% заданы), и такие, что при каждом х на [xot xt]
система чисел jc, y(x)t у'(х) принадлежит D.
Вычисление первой и второй вариаций. Пусть г\{х) —
любая дважды непрерывно дифференцируемая функция на [х0, хг],
такая, что tj(xo) = ti(x,) = 0. Возьмем допустимую функцию у и
рассмотрим однопараметрическое семейство уи= у + <*г\ (при а
достаточно малом уа будет допустимой и будет принадлежать е-окрестности
1-го порядка функции у, где е — произвольно заданное положительное
§ 68J НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 317
число). Имеем
«I х,
f{*) = J(ya)=lF{x,ya(x), y'Jx)) dx=^ F{x,y + ar),y' + arl')dxt
откуда по правилу дифференцирования под знаком интеграла (см. § 37)
*i х,
Хо хц
х,
fiP) = $lFy{x, у, Лч + М*. У* У')П']<1Х.
Хо
Интегрируя по частям и учитывая граничные условия для rj, получим
$/y(*f yt y')t\'dx =
Х0
Xt Xi Х\
= М*. J,/)n| —§-&Fy>(x>y>y')'ii)dx = — §~Fy,(xty,y')dx1
Xq Xq Xq
следовательно,
Xi
f (0) = J [>,<*, y, y') — ±Fy.(xt у, у')] r)dx.
Таким образом, получена формула для первой вариации функционала (1)
(относительно однопараметрического семейства у-\-аг)):
bJ=i[Fy-TxFy')^dX- <2>
Найдем теперь вторую вариацию функционала (1) (относительно одно-
параметрического семейства ^-|-ar|). Вторичное дифференцирование
по параметру а дает
Xt
f'W = §&{F,l-~)1\ + Fy'i--.W}dx =
Хо
X,
= $«^(...)л+^'(...)л']ч+
+ lFyy>(.. .)г) + Fy,y,{.. ,)ц']ц'} dx =
х,
х0 •
Xt
f (Ъ)^\[Руу{х,у,у')г? + 2Руу,{х,у,у')чц' + Fy,y,{x,y1y')v;2)dx.
Хо

318 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. XIII
Интегрируя по частям и учитывая граничные условия для rj, получим
х,
^ 2Fyy> Т)Г|' dx = J Fyy. (rj2)' dx =
До хо
X, X,
= Fyy.r?\Xl -[*-Fy,*t dx = -$± Fyyn* dx,
Xq X0 X0
следовательно, выражение для второй вариации функционала (1)
(относительно однопараметрического семейства у-\-а.г)) имеет вид
&'J=1 \{F»~hF»') n' + 'VW] dx. (3)
Х0
Основное необходимое условие слабого
экстремума. Предположим, что допустимая функция у дает слабый
относительный экстремум функционалу (1), тогда при всякой ц
рассматриваемого вида будем иметь 6У=0, а тогда, учитывая выражение б/
на основании леммы 1, заключим, что у(х) должно удовлетворять
дифференциальному уравнению 2-го порядка:
называемому уравнением Эйлера (соответствующим F). С помощью
формулы полной производной это уравнение можно переписать так:
ГЛх, yt y') — Fxy,(x, у, y') — Fyy>{x, у, у')у' —
У —Fy>y{xty,y')y' = 0. (4')
Функции у, удовлетворяющие уравнению Эйлера и изображающие их
интегральные кривые, называются экстремалями (соответствующими F).
Итак:
Если функционал (1) имеет в функции у относительный
слабый экстремум, то кривая у =у (х), х0^х^xlt есть дуга
экстремали (соответствующей F).
Второе необходимое условие слабого экстремума
(условие Лежандра). Предположим, что допустимая функция у дает
слабый относительный минимум функционалу (1), тогда при всякой т]
рассматриваемого вида будем иметь 6V^0, а тогда, учитывая
выражение 6V, на основании леммы 2 заключаем, что у (х) должно
удовлетворять условию
Fyy [х, У (*), у' {х)] ^ 0 при х0 ^ х <: хх. (5)
§ 68]
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
319
Случай максимума приводится к случаю минимума заменой F на
— F. Итак, имеем
Если функционал (1) имеет в у относительный слабый
минимум (максимум), то для всех х на [х6, xj система чисел х, у (х),
у' {х) удовлетворяет неравенству Fy>y, ^ 0 (^ 0).
Замечания об уравнении Эй л е ра. Дополнительно
предположим, что F имеет непрерывные частные производные 3-го порядка.
Из теоремы существования решения для дифференциального уравнения
2-го порядка (см. § 58) следует, что существует единственная
экстремаль у, удовлетворяющая начальным условиям Коши: у(х)=у;
у' (х0)=у'0, всякий Раз> когда система чисел х0, у0, у'о принадлежит D
и для этой системы чисел Fy>y> =^=0. Действительно, тогда в
окрестности д:0, yQl y'o выражение
.V * ху' 'уу'У
Fyy
будет непрерывной функцией от х, у, у', имеющей непрерывные
частные производные по у и у'.
Заметим еще, что если F не зависит от х или от у, то
уравнение Эйлера решается в квадратурах. Если F=F(y, у') не зависит
от х, то уравнение Эйлера F ——Fy>=0 после умножения на у'
может быть переписано в виде
откуда F—y'Fvi= const, но это есть дифференциальное
уравнение 1-го порядка вида /{у, у') = 0, решаемое в квадратурах. Если
F=F(x, у') не зависит от у, то уравнение Эйлера принимает
вид -j- Fy> =0, откуда Fy> = const, но это есть
дифференциальное уравнение 1-го порядка вида /(дг, у) = 0, решаемое в
квадратурах. Отметим еще, что в случае, когда F(x, у, у') =
—p(x)y*-\-R{x)y'*t уравнение Эйлера принимает вид joy — (#у')'—О,
т. е. становится линейным.
Пример. Из всех кривых, соединяющих точки (х0, у0) и (х„ #,), ж0<х,
и язляющихс» графиками дважды непрерывно дифференцируемых функций,
найти ту, для которой площадь поверхности, полученной от вращения этой
кривой вокруг оси Ох, будет наименьшей.
Формула (5) 34.5 показывает, что вопрос сводится к исследованию на
минимум функционала
J(y)=\yVW^dx.
Хо

320 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. VIII
В данном случае F = F{y, y')=yV^-\-y'* не зависит от х и уравнение Эйлера
дает
р-^г=уУ1+ул-у'Уу^ш=у==с-. y=cVi+y".
Решая это уравнение (см. 56.5), найдем х = С In (р -+- УТ+"р*) + С„ у=
= С 1^1 +р2, откуда, после исключения параметра р, # = Ссп—^—-. Иско-
мая функция должна, кроме того, удовлетворять граничным условиям у(х0)~уь;
y(jc1) = f/1, с помощью которых определяются постоянные С, С,. Таким
образом, мы показали, что если дуга, проходящая через две данные точки, дает
при вращении вокруг оси Ох минимальную площадь поверхности вращения,
то это должна быть дуга цепной линии.
68.3. Обобщение задачи с неподвижными концами. Пусть
F(x,y, у', .... уи)) — непрерывная функция п-\-2 независимых
переменных х, у, у', ..., у{п) в некоторой открытой области D
(в (п -\- 2)-мерном пространстве), имеющая непрерывные частные
производные порядков £^2п. Рассмотрим функционал
*i
J(y) = ^F[xt y(x)f /(*), ..., У> (*)] dx, (6)
где допустимыми функциями являются 2л раз непрерывно
дифференцируемые функции на [х0, xt], такие, что
y{*.)=y.i УМ=у'0; ...; У"-» (*.)=><"->;
У(*г)=Уг> УМ=у[; ...; у-,>(*1)=>1"-»
(числа у0, у'0, ..., X"-»); ylt у[, ..., у-» заданы),
и такие, что при каждом х на [jc0, xx] система чисел х, у{х),
у' {x)f .... ут {х) принадлежит D.
Вычисление первой вариации. Пусть г\{х) — любая 2л
раз непрерывно дифференцируемая функция на [xoi xx]t такая, что
\ г]{х1) = г]'(х1)=:...=ц1п-1Цх1) = 0.
Возьмем допустимую функцию у и рассмотрим однопараметрическое
семейство уа=у-\-а.ц (при а достаточно малому будет
допустимой и будет принадлежать е-окрестности я-го порядка функции з>,
§ 68] НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 321
е — произвольно заданное положительное число). Имеем
f{*) = Jiyu)=$F[x, уа{х), у'а(х), ...,yW(x)]dx =
= I F(x, у + (хт), у' + ат)', .. ., у«) + ат)(н)) dx,
откуда по правилу дифференцирования под знаком интеграла .
= ^[^(---)л+/>'(...)л'+...+^(П)(.-)1гИ^.
/(0)=J[/;(x, з', /. ...,yn>)rj+
+/у (*,*/, ....У",К+...+/>>(*, .у, У, ...,yn))Ti(">]rfx.
Применим теперь к каждому интегралу J Z7 (k)r\{fc)dx (Л= 1, 2,.. .,л)
обобщенную формулу интегрирования по частям:
J uv<k) dx = (иг»(*-J) — иV*~ *> -{- ..._}-(_ 1 )*- V*" ')ф) I _|_
хв
+ (— l)*$U<%tf*
х
(эта формула справедлива для любых k раз непрерывно
дифференцируемых функций и, ч) на [л:0, аг,] и получается в результате
последовательного применения формулы (4) (из 28.3)), и, учитывая
граничные условия для tj, получим
\F {k)rt*>dx = (-\)k \-±-k F {k)r)dx (k=\t2, ..., л),
J У J dxR у
X0
следовательно,
/(0)=J(f,-^/>+^/>_...+(-l)-^iFw)4rf«.
*0

322 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. VIII
Таким образом, мы получили формулу для первой вариации
функционала (6) (относительно семейства у-\-аг\)
"=SiF>-4;Fr+&rr----+i-iri3>F,*hd*. (7)
Необходимое условие экстремума п-го порядка.
Предположим, что допустимая функция у дает относительный
экстремум я-го порядка функционалу (6), тогда при всякой tj
рассматриваемого вида будем иметь 6У=0. Учитывая выражение для 6У, на
основании леммы 1 заключаем, что в этом случае у(х) должно
удовлетворять дифференциальному уравнению порядка 2л
F,—У?+Шру— ■•■+(-»■;£ *>=<>, <8>
называемому уравнением Эйлера — Пуассона. Итак:
Если, функционал (6) имеет в у относительный экстремум п-го
порядка, то у{х) на [х0, хг] удовлетворяет уравнению Эйлера —
Пуассона (8).
68.4. Некоторые другие вариационные задачи.
Вариационная задача с подвижными концами. Пусть F(x, у, у')—
функция трех независимых переменных, удовлетворяющая требованиям,
формулированным в 68.2. Пусть ф(х) непрерывно дифференцируема
на (at b), я|? (х) непрерывно дифференцируема на (с, d), a<^b<^c<C^d.
Рассмотрим функционал J=\F{x, у, y')dxt где допустимыми функ-
циями являются дважды непрерывно дифференцируемые функции на
[х0, хг], такие, что при каждом х на [х0, xt] система чисел*, у(х),
у'(х) принадлежит D, и такие, что у(х0) = у0; у(х1)=у1, где х0,
xlt y0, ух не фиксированы, но должны удовлетворять
соотношениям у0 = ф(х0); y1 = ty{xl); a<^x0<^b; с<^xt <^d. Таким образом,
концы графика допустимой функции должны находиться на кривых
х = ц>(х); y = ty(x) (рис. 160).
Если у, определенная на [х0, *,], дает экстремум функционалу У
при упомянутых допустимых функциях, то у подавно дает экстремум
функционалу У, если сохранить лишь те допустимые функции,
графики которых имеют те же концы, что график у. На основании
основного необходимого условия 68.2 заключаем, что у должна быть
экстремалью.
Продолжим допустимую у{х) вправо от xti так, чтобы после
продолжения она осталась дважды непрерывно дифференцируемой
(для этого, например, достаточно взять полином 2-й степени Р(х)
так, чтобы P{Xl)=y (*,); Р'(х1)=/{xj; Pv(xl)=y"(x1)t и по-
ftalatlamTik
§ 68] НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 323
дожить у(х) = Р(х) при jc^>л;,). Включим теперь
продолженную^*) в пучок с центром (хй, у0), у(х, а) (а достаточно мало)
так, чтобы у(х, 0)=у(х); y(xt-\-a, а) = я|э (х, -\- а) и чтобы
у(х, а) была непрерывной функцией двух переменных, имеющей
непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков, кроме, быть
-« 1 1 1 1 ■ ;
а х» Ь с xt d x0 x,x,+a
Рис. 160. рис. lei.
может, уаа (рис. 161). Это включение можно, например, сделать так:
у(х, а) =у(х) + *(Х> + ^-^ +а\х-*.). Положим у{х1)=у1;
У(х1)=у[;^ •ф(х1) = я|?1; y'(xt) = y'i; ~ya(xt 0) = r\{x)t тогда
УхЛх, 0)=Уах(х, 0) = Т1'(д;) (см. 24.2); т)(х1) = т)1. Полагая теперь
УЛХ)=У(Х, а) при х0^х^х1-\-а, рассмотрим
Xi + a
/(а) = У(Л)=: J F(xty,yx)dx.
Хо
С помощью правила дифференцирования интегралов, зависящих от
параметра (§ 37), находим (пользуясь в процессе преобразований
формулой интегрирования по частям):
/(«)= S [^(-.-)Я+/у(...ьи<**+
Ч-^^. + а, ^(дс. + а, a), ^д^+а, a)J,
/ (°) = $[/7у(^ У, /)Ч + /у(*. У, y')Vi]dx + F{xlt у„ у[) =
Хо *
= §{Fy — iLFy')4dx + Fy'{x, У, У')*)]*1 + Г(*г, У» y't)==
Хо Xq
= 1{Гу-ТхГУ')^х + ГуЛх„ y„y'x)r\x+F{x„ ylt y[).
Хо

324
. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. VIII
Но v\t=ya(xt* °)» "Ф(*i +а) =У(xiЧ"ai а). откуда с помощью
формулы полной производной я|/ (x1-^-a)=yx(xt -\- а, а) -J-
+-Уа(*1 + а. а); беРя 3Десь а = 0, найдем ^^yj-j-rj,; tj1 =
= чК — X* Вставляя это в выражение для /'(0), приходим к
формуле для первой вариации функционала У при неподвижном левом
конце и скользящем по кривой y = ty(x) правом конце графика уа
+ F{Xi,y»y[)> (9)
следовательно, если допустимая у на [xot л;,] есть экстремаль, то
&/ = fy(*lt ylt y'im[—y[) + F{xlt y„ X). (Ю)
Вполне аналогично находим, что вариация У при неподвижном правом
конце и скользящем по кривой у = ц>(х) левом конце графика уа
в случае, когда у на [х0, xt] есть экстремаль, имеет вид
ov=-/y(*0, у„ *;нф;—j#—#ч*.. л. X) по
(появление знака минус объясняется тем, что в исходном интеграле
переменным пределом интеграции становится нижний предел).
Если у, определенная на[л;0, Jt,], дает экстремум рассматриваемому
функционалу, то у и подавно даст экстремум, если сохранить лишь
те допустимые функции, левый конец графика которых неподвижен
(а правый может скользить по кривой y=:ty(x))t или лишь те
допустимые функции, правый конец графика которых неподвижен (а
левый может скользить по кривой y = q> (x)). Итак, если у даст
экстремум рассматриваемому функционалу, то у есть экстремаль и обе
вариации (10) и (11) должны быть равны нулю.
Направление с угловым коэффициентом к называется трансвер-
сальным направлению с угловым коэффициентом k для точки х, у,
если
Fr{x,ytk)(k—k) + F{xtytk) = 0. (12)
Из сказанного следует
Необходимое условие экстремума функционала
в задаче с подвижными концами. Если допустимая у
дает экстремум рассматриваемому функционалу У, то график у
должен бить дугой экстремали, трансверсалъно пересекающей
кривые у = у(х) и yz=ty(x).
Заметим, в частности, что если F{xtyty') = A(xty)Y\-\-yftt
то условия трансверсальности (12) обращаются в условия
ортогональности k = — -г- в точках, где A(xty)=jt=Q.
§ 68]
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
325
Пример. Из всех кривых, соединяющих точки, лежащие на кривых
у = у[х), t/ == -ф (jc), и являющихся графиками дважды непрерывно
дифференцируемых функций, найти ту, которая имеет наименьшую длину.
Формула (1) 34.1 показывает, что вопрос сводится к исследованию на
минимум функционала
Х0
при условии, что концы графика у находятся на кривых # = <р(х); y = ty(x).
В данном случае уравнение Эйлера дает у' =С, следовательно, у = Сх-\-С1г
т. е. экстремалями являются прямые. Условия трансверсальности в
рассматриваемом случае становятся условиями ортогональности. Следовательно,
если функция реализует экстремум, то ее график есть отрезок прямой,
являющейся общей нормалью к кривым у = у(х) и y=ty(x).
Ломаные экстремали. Назовем функцию у(х) на [*„,#,]
кусочно-гладкой п-го порядка, если [х0, xt] можно разбить на
конечное число сегментов так, что на каждом из них у {х) будет п раз
непрерывно дифференцируемой. График такой функции назовем
кусочно-гладкой дугой (порядка п).
Пусть в вариационной задаче с неподвижными концами (68.2) или
в задаче с подвижными концами в качестве допустимых дуг брать
! i ' I 1 I
Рис. 162. Рис. 163.
кусочно-гладкие дуги (порядка 2). Тогда если некоторая дуга S дает
минимум (максимум) функционалу У, то всякая часть этой дуги S
с концами А, В дает минимум (максимум) для У в задаче с непод!
вижными концами А и В, так как в противном случае 5
можно было бы заменить дугой St с теми же концами и такой, что
■'(51)<У(5|)(У(51)>У(51)), а тогда дуга 5(рис. 162),
полученная изSв результате замены St uaSlt дала бы J(S)<^J(S) (У(5)]>У(5)),
что противоречит условию. Отсюда сразу следует, что звенья
кусочно-гладкой дуги, дающей экстремум функционалу У, должны быть
дугами экстремалей. Кусочно-гладкую дугу, звенья которой являются
дугами экстремалей, называют ломаной экстремалью. Если
ломаная экстремаль дает экстремум для У, то, взяв на двух смежных
звеньях точки А и В (рис. 163), проведем через точку излома С

326
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V11I
(13)
(пусть £ ее абсцисса) прямую с угловым коэффициентом k. Включая
дугу АС{СВ) в однопараметрическое семейство дуг с неподвижным
левым (правым) концом и скользящим по названной прямой правым
(левым) концом D, мы включим двухзвенную линию АСВ в
однопараметрическое семейство двухзвенных линий ADB. Пользуясь при
получении выражения для вариации J (вдоль АСВ), которая должна
быть равна нулю, формулами (10) и (11), получим
(Fy,)t-.0k-\-(F—//>*H-e —(/>')t+eft — (F—//>'Н+о = 0.
откуда, ввиду произвольности k
(F_//y)._0 = (F_//v)£+(
Условия (13), относящиеся к точке излома с абсциссой £,
называются условиями Вейерштрасса— Эрдмана.
Таким образом, заключаем, что если кусочно-гладкая дуга дает
экстремум функционалу У, то она должна быть ломаной экстремалью,
причем в точках излома должны быть выполнены условия Вейер-
ш грасса — Эрдмана.
§ 69. Поле экстремалей
69.1. Правильные семейства дуг. Рассмотрим
однопараметрическое семейство дуг класса С2, зависящих от параметра а:
у = ф (х, а) (ас
,)
х
а
а„
[ока,),
и предположим, что ф(х, а) имеет на этом прямоугольнике непре-
рывные частные производные ЛчгРЛга при р=<2, q^\. Такое се-
дхРдаЯ
мейство
y=cp(x,at) Если
назовем правильным.
правильное семейство
а,
таково, что ^р ^> 0 на упомянутом
прямоугольнике, то оно называется
у=(р(х.а0] полем. Одновременно полем
называется и та часть D (рис. 164)
плоскости переменных х, у% ко-
заполняется дугами у =
Рис. 164.
то рая
=ф(х,а)(а0<х=
«„ao<a<ai)>
то есть фигура, ограниченная
линиями х — а0; х = а,; у=ц> (х, а0);
y = q>(xtal). Из определения поля видно, что уравнение у = ф (х, а)
однозначно разрешимо относительно а:
а=а{х,у),
когда точка (х,у) находится в D, причем (см. § 20) а(х, у) непре-
§ 69J
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
327
рывна на D и имеет внутри D непрерывные частные производные
1-го порядка. Отсюда вытекает, что угловой коэффициент и(х, у)
в точке х, у (внутри D) той кривой семейства, которая проходит
через эту точку, есть непрерывная функция с непрерывными
частными производными 1-го порядка внутри D, ибо и(х, у) =
= фх [х, а (х, у)] (наклон поля).
Если дуга класса Cty=y(x), a0s^xs^a,, включена в
правильное семейство дуг
у = ц>{х,а) (а0<х<л,, а^оКо^),
где
ао<°» ai>°. 4>(х,0)=у(х) на К, а,];
то функция Фа(х, 0) называется вариацией данной дуги у=у(х)
относительно упомянутого правильного семейства.
Если вариация дуги у=у(х) положительна на [а0, at], то при
надлежащем уменьшении интервала изменения параметра правильное
семейство становится полем. В самом деле, пусть т — наименьшее
значение фа(х, 0) на [ае, at]. Так как фа(х, ос) равномерно
непрерывна на прямоугольнике (a0^.x^al, a0^a^a,), то найдется
такое 6^>0, что на этом прямоугольнике фа изменится менее чем
на т, когда а изменится не более чем на 6, следовательно, на
прямоугольнике (<z0s^xs^a,, —6^a«^6) будем иметь фа(х, а)^>0, и
семейство дуг у = у(х, а) (<z0 s^ x <; ап —6 ^ ос =^ 6) будет полем.
69.2. Теорема Гильберта и функция Вейерштрасса. Если кривые,
образующие поле, суть экстремали, то говорят о поле экстремалей.
Рассмотрим поле экстремалей (для F), и пусть и{х,у) обозначает
наклон этого поля.
Теорема Гильберта. Если положить
/>(х, у) = F[x, у, и (х, у)] — и (х, у) Fy, [x, у, и (х, у)],
Q(x, У) = Fy[x, у, и{х, у)],
то выражение Pdx-\-Qdy будет {внутри поля) полным
дифференциалом.
Доказательство. Имеем
— = Fxy, (х, у, и) -f- Fyy (х, у, и) ux = Fxy + Fv,y ux\
дР
_' = Fy (х, у, и) + Fy, (х, у, и) иу — uyFy, (x, д>, и) —
— « \РуУ (X, У, U) + Fyy (X, yt U) U] = F — (Fyy + FyyUy) Щ

328
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. VIII
но вдоль каждой экстремали у=у(х), образующей поле, имеем
и—у'*) и, следовательно, их-\-и и = их-\-иуу'=у", поэтому вдоль
упомянутой экстремали имеем
ибо экстремали удовлетворяют уравнению Эйлера. Но образующие
dQ дР л
экстремали заполняют поле, поэтому всюду внутри поля -^ -^— =0
и, следовательно, внутри поля выражение Pdx~\-Qdy является
полным дифференциалом, что требовалось доказать.
Пусть дуга экстремали у:
у=у{х) (х0 <*<*,),
включена внутрь**^ некоторого поля экстремалей (рис. 165),
и пусть внутри поля проведена дуга
Y из класса С2 с теми же концами
у=у(х). Правило преобразования
криволинейного интеграла в простой
(см. §38) показывает, что
J Pdx+Qdy=l[F{x, jtu(x,y)) +
f х0
+ (/ — " (*, у)) Fyix, у,и(х, у))] dx,
X,
^Pdx~{-Qdy=\j F(x,y,y')dx=J(y),
Т *o
причем при преобразовании
последнего криволинейного интеграла
учитывалось, что вдоль экстремали у=у(х)
имеем и(х, у)=у'. Левые части полученных равенств одинаковы,
так как внутри поля криволинейный интеграл от Pdx-\-Qdy не
зависит от формы пути, ибо по теореме Гильберта последнее
выражение является полным дифференциалом (см. §§ 38, 39).
Следовательно, одинаковы и правые части. Учитывая это, находим
Xi
Q.q Xq „ Xf
Рис. 165.
j(y) — J(y) = ^[F(xiyty') — F(xty,u(x,y)) —
хв
Xi _ _
— (y'-u(x,y))Fr(x,y,u(x,y))]dx=lE{x,y,u(x,y),y')dxJ (1)
*) Подробнее: и [х, у (х)] = у' (х).
**) То есть y «лежит внутри поля и является дугой одной из экстремалей,
образующих поле.
ШаНаищЬ
§ 69] поле экстремалей 329
где Е обозначает функцию четырех аргументов {функция Вейершт-
расса), порожденную функцией трех аргументов F и определяемую
так:
Е(х,у, u,v) = F(x,y, v) — F(xty, и) — (v — u)Fy>(x,y, и), (2)
69.3. Достаточные условия сильного экстремума. Из (1)
непосредственно вытекает
Теорема (достаточное условие сильного экстремума
функционала У). Если дугу экстремали у можно включить внутрь поля
экстремалей и при этом Е(х, у, и(х, у), *>)^г0(<:0) для всех
х, у внутри поля и при любых <v (таких, что х, у, v входит
в область определения F), то на у функционал У имеет сильный
минимум (максимум).
Если область определения F такова, что х, у описывает
некоторую область плоскости, у' принимает любые значения, то формула
Тейлора (см. § 13), примененная к F по третьему аргументу,
показывает, что
E(xty,ut v) = -g (* — u)*Fyy>(xtyt w\ (3)
где w лежит между и и v. Отсюда, как частный случай
предыдущей теоремы, получается
Теорема (упрощенное достаточное условие сильного
экстремума функционала У). Если дугу экстремали у можно включить
внутрь поля экстремалей и при этом
Fy>y>(x,y,w)^zO(^0)
для всех х, у внутри поля и при любых wt то на у функционал
У имеет сильный минимум (максимум).
69.4. Условие Якоби. Каждая дуга экстремали yz=zy(x) (для F)
порождает три непрерывно-дифференцируемые функции:
P(x) = Fyy[xty(x)ty'(x))t
Q(x) = Fyy,[xt у (х), у' (*)],
R(x) = FyY [х,у(х),у'(х)).
Предположим, что дуга экстремали у=у(х)у х0^х ^xt,
включена в правильное семейство экстремалей
y = q(x, a) (x0^x^xlt ав<а<а,),
где а0<0, ах>0, q>(x,0)=y(x) на [x0, xj.
Из уравнения Эйлера следует, что
F, [*> Ф (*. «). Ъ (*, а)] — ~ /у [х, <р (х, а), Фх (х, а)] = 0.

330 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. VIII
Дифференцируя эти равенства по а и пользуясь возможностью
менять последовательность дифференцирований по х и а, получим
^[.•■]ф«+^у[---]фх«—^и>'[-..]ф«+^'И---]ф*} = °.
или
ууу[-А—-£xFy? [-..]} ф«—•^{fyy[-.-]q>x«}=o.
Полагая здесь а = 0 и обозначая вариацию экстремали через г\(х),
получим
(Я— Q')4 — (ЯпУ = 0,
или
/?T|"+/?'ri'-|-(Q' —Р)г) = 0. (4)
Таким образом, если дуга экстремали включена в правильное
семейство экстремалей, то вариация данной дуги экстремали
удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению
второго порядка (4) (уравнение Якоби), порожденному данной
экстремалью.
Если дуга экстремали удовлетворяет усиленному условию
Лежандра R(x)^>0 (<^0), то коэффициент при старшей производной
в уравнении Якоби отличен от нуля и к этому уравнению можно
применять основные теоремы о линейных однородных
дифференциальных уравнениях. Говорят, что дуга экстремали у=у(х), x0^x^xt
(удовлетворяющая усиленному условию Лежандра), удовлетворяет
условию Якоби (усиленному условию Якоби), если то ненулевое
решение уравнения Якоби, которое обращается в нуль в точке х0 *),
отлично от нуля при x0<^x<^x1(x0<^x^:xi). Из непрерывной
зависимости решения уравнения (4) и его производных от начальных
данных (что можно получить как следствие теоремы 4 § 61) видно,
что при выполнении усиленного условия Якоби ненулевое решение
уравнения Якоби, обращающееся в нуль в точке л;0<^л:0 и достаточно
близкой к х0, будет отлично от нуля на [*0, xj. Дугу экстремали
у=у(х), x0^x^xt (удовлетворяющую усиленным условиям
Лежандра и Якоби), включим в семейство экстремалей у = ц>(х, а),
имеющих в точке д;0 начальные данные Коши ^ (х0), у'(х0)-{-а.
Семейство y==(p(xia)(x1)^x^xt, —6^а^6), где б достаточно
мало, будет правильным, а так как его вариация г)(х)=^=0 на [х0, jcJ,
то при достаточной малости 6 оно будет полем.
Таким образом, дуга экстремали, удовлетворяющая усиленным
условиям Лежандра и Якоби, может быть включена внутри поля
экстремалей.
*) Заметим, что все такие решения отличаются между собой лишь
постоянными множителями.
§ 69J
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
331
69.5. Достаточные условия слабого экстремума. Из (1) вытекает
Теорема (достаточное условие слабого экстремума
функционала J). Если дугу экстремали у можно включить внутрь поля
экстремалей и при этом E(xt yt и(х,у), v)^ 0(^0) для х, у
внутри поля и при любых v, удовлетворяющих неравенству
\и(х,у)— v\<^e, где е — некоторое положительное число, то на
у функционал J имеет слабый минимум (максимум).
Доказательство. Из непрерывности и (х, у) в замкнутой
области (x0^xs^xlt \у—у(х)\^а), где о достаточно мало,
следует равномерная непрерывность на ней, следовательно, для любого
е]>0 найдется такое г)]>0 (т) <С°")» что при смещении у менее чем
на т), и (х, у) изменится менее чем на у. Если теперь \у(х)—y(x)\<Cj(],
|/W-yW|<| при д:,,^^^^,
то
\у' — и{х,})\<&—у'\ + \и(х,у)-и(х,~у)\<±+±=е,
Е(х,у,и(х,у), У')^0 «0),
J(y)—Лу)^о «0).
Из этой теоремы, учитывая (3) и сказанное в 69.4, вытекает
Теорема (упрощенное достаточное условие слабого экстремума
функционала J). Если дуга экстремали у удовлетворяет
усиленному условию Лежандра R(x)^>0 «0) и усиленному условию
Якоби, то на у функционал J имеет слабый минимум (максимум).

Павел Игнатьевич Романовский.
Общий курс
математического анализа
в сжатом изложении.
М-, Физматгиз, 1962 г. 332 стр. с илл.
Редактор Л. Ю. Чернышева.
Техн. редактор К. Ф. Брудно.
Корректор О. А. Сигал.
Сдано в набор 3/11 1962 г. Подписано к
печати 29/V 1962 г. Бумага бОХ90'/|в.
Физ. печ. л. 20,75. Условн. печ. л. 20.75.
Уч.-изд. л. 19.56. Тираж 60 000 экз.
Т-04799. Цеиа книги 69 коп. Заказ 2695.
Государственное издательство
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография
имени Л. А. Жданова
Московского городского совнархоза.
Москва, Ж-54. Валовая. 28.
Ввв.натахаус.ру