GIOVANNI GALLA VOTTI
MECCANICA
ELEMENT ARE
cr
(I}
BORINGHIERI

@ 1980 Editore Boringhieri societa per azioni
Torino, corso Vittorio Emanuele 86
CL 74-9113-1

Indice
Prefazione, 9
1 Realta fenomenica e modelli, 13
1.1 Premessa
1. 2 Un esempio di modello
1. 3 Le leggi della meeeaniea
1.4 Considerazioni generali sui modelli
2 Aspetti qualitativi della teoria dei moti unidimensionali, 21
2.1 Teorema di eonservazione dell'energia
2.2 Proprieta generali di esistenza, unicita e regolarita dei moti. Unieita
2.2 Sehemi di problemi
2.3 Proprieta generali di esistenza, unieita e regolarita dei moti. Esistenza
2.3 Sehemi di esercizi
2.4 Proprieta generali di esistenza, unieita e regolarita dei moti. Regolarita
2.5 Soluzioni loeali e globali di equazioni differenziali
2.5 Sehemi di problemi ed esereizi
2.6 Moti periodici e aperiodiei unidimensionali eonselVativi
26 Sehemi di esereizi
2.7 Aneora generalita sulle equazioni differenziali. Equazioni autonome. Atti di mota
2. 7 Sehemi di esereizi
2.8 L'equilibrio. Stabilita in assenza di attrito
2.8 Sehemi di esereizi
2.9 Stabilita e attrito
2.9 Sehemi di esercizi
2.10 Relazione tra periodo e ampiezza. Oseillatori armoniei
2.10 Sehemi di esereizi
2.11 L'oseillatore smorzato. Esponenziali di numeri eomplessi. Fonnule di Eulero
2.11 Sehemi di esercizi
212 Oseillazionl armoniehe forzate in presenza di attrito
213 Lo sviluppo di Fourier per Ie funzioni periodiehe
2.12 e 2.13 Sehemi di problemi ed esereizi
214 Un'applieazione: eostruzione di un oseillatore rigorosamente periodieo nonostan-
te la presenza di attrito. Lo seappamento ad aneora
2.15 Condizioni di eompatibilita nella teoria dello seappamento ad aneora
2.16 Aneora sullo seappamento ad aneora. Stabilita del mota periodieo
2.1 7 Oseillazioni non lineari. II pendolo e Ie sue oscillazioni forzate. Esistenza delle
pieeole oseillazioni
2.17 Sehemi di esereizi e problemi
2.18 Le oscillazioni del pendola smorzato. Pieeole oscillazioni forzate
2.1 7 e 2.18 Sehemi di esereizi
2.19 Oseillazioni armoniehe poco smorzate. Risonanze e piccoli denominatori
2.20 Oseillazioni forzate in assenza di attrito. Moti quasi periodici
2.19 e 2.20 Sehemi di esercizi

6
2.21
2.21
2.22
2.22
2.23
2.23
2.24
2.24
I ndice
Funzioni quasi periodiehe. Funzioni multiperiodiehe. Tori e teorema di Fourier
a piu dimen sioni
Sehemi di esereizi e problemi
Osservabili e loro medie temporali
Sehemi di esereizi
Medie temporali su sueeessioni di istanti noti a meno di errori. Probabilita e fe-
nomeni aleatori
Sehemi di esercizi e problemi
Proprieta estremali del mota eonservativo. Azione e prineipio variazionale
Sehemi di problemi
3 Sistemi a piu gradi di liberta. Teoria dei vincoli. Meccanica analitica, 158
3.1 Sistemi di punti
3.2 Lavoro, momen to lineare e momen to angolare
3.3 Il prineipio della minima azione
3.4 Considerazioni introduttive alla teoria dei moti vineolati
3.5 I vineoli ideali matematiei
3.6 Vineoli ideali reali
3.7 Cinematiea dei sistemi quasi vineolati. Riformulazione del problema dei eriteri
di perfezione di vineoli eonservativi approssimati
3.8 Un eri terio di perfezione per i modelli di vineoli approssimati
3.9 Applieazione ai moti rigidi. II teorema di Konig
3.10 ConsideIazioni generali sulla teoria dei vineoli
3.11 Equazioni differenziali di Lagrange e Hamilton. Meeeaniea analitiea
3. 11 Sehemi di esereizi
3.11 Problemi e eomplementi
Esercizi per il eapitolo 3
4 Sistemi meccanici speciali, 235
4. 1 Sistemi di oseillatori lineari
4.2 Rotazioni irrazionali sui toro a I dimensioni
4.3 Sistemi ordinati di oseillatori. Diseussione fenomenologiea e formulazione euri-
stiea del modello di corpo elastieo perfetto (corda, lan1ina e solido elastiei)
4.4 Catene di oscillatori e cOJ:da vibrante. II problema di Dirichlet unidimensionale
dlsereto
4.5 La corda vibrante come easo limite di una catena di oseillatori. Caso g e h nulli.
Equazione delle onde
4.6 Corda vibrante: easo generale. II problema di Dirichlet in [0, L]
4.7 Lamine elastiehe. Problema di Dirichlet in n c R 2 e eonsiderazioni generali sulle onde
4.8 Oseillazioni non armoniehe. Pieeole oseillazioni e sistemi integrabili
4.9 Sistemi integrabili. Moti eentrali con veloeita areolare non nulla. Problema dei due eorpi
4.10 Le leggi di Keplero
4.10 Sehemi di esereizi
4.11 Sistemi in tegrabili. Solido con pun to fisso
4.12 Sistemi integrabili: mota geodetieo sulla superfieie di un ellissoide. Altri sistemi
in tegrabili
4.12 Sehemi di esereizi
4.13 Aleuni eriteri di integrabilita. Introduzione. Considerazioni e definizioni geometriehe
4.13 Sehemi di esereizi e problemi
4.14 Sistemi analiticamente integrabili. Frequenza di visita ed ergodicita
4.13 e 4.14 Sehemi di esereizi e problemi
4.15 Criteri di integrabilita analitiea, eomplessjta delle traiettorie ed entropia
4.15 Sehemi di esercizi
S Proprieta di stabilita dei moti dei sistemi dissipativi e dei sistemi conservativi, 334
5.1 Giroseopio con attrito. Deserizione di un modello matematieo
5.2 Proprieta dei moti stazionari del giroseopio con attrito

7
5.3
5.4
5.5
5.5
5.6
5.6
5.7
5.7
5.8
5.9
5.10
5.10
5.11
5.12
Indice
Attrattori e stabilita
Esercizio per it paragrafo 5.3
II eriterio di stabilita di Lyapunov
Applieazione al giroseopio. Punti stazionari vagamente attrattivi
Sehemi di problemi e eomplementi
Proprieta dei punti stazionari vagamente attrattivi. II teorema della varieta attrattiva
Sehemi di esercizi e eomplementi
Applieazioni al giroseopio e biforeazioni dei moti stazionari vagamente attrattivi
in moti periodiei. II teorema di Hopf
Sehemi di esereizi e eomplementi
Cenni alla teoria della stabilita delle orbite periodiehe e di attrattori piu eomplieati
La stabiIita nei sistemi eonservativi: introduzione
La teoria formale delle perturbazioni
Sehemi di esereizi
Funzioni olomorfe e loro proprieta elementari. Teoremi analitici sulle funzioni
implicite
Perturbazioni di intere traiettorie 0 di insiemi invarianti. II teorema dei piccoli
denominatori
Appendici
A Notazioni sulle matrlci. Autovalori e autovettori, 459
B Sviluppi di Lagrange e di Taylor, 462
C Funzioni COO a supporto limitato e funzioni connesse, 464
D Principio di annullamento degli integrali, 465
E Matrici definite positive. Autovalori e autovettori, 466
F Teorema delle funzioni implicite, 472
G II teorema di convergenza uniforme di Ascoli-Arzela, 477
H Dimostrazione della [5.6.20], 480
I La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, 482
L Dimostrazione della formula [5.6.63], 483
M Serle di Fourier per funzioni di C.([O, L ]), 485
N II teorema analitico delle funzioni implicite, 486
o Un semplice algoritmo per la soluzione delle equazioni differenziali. II me-
todo delle differenze fInite, 492
Dejinizioni e simboli van, 495
Bibliografia, 497
lndice analitico, 499

A Daniela per amore infinito

Prefazione
Elementare, nell'accezione intesa nel titolo, non vuol significare facile: ha anzi-
tutto il significato di "senza prerequisiti", eccezion fatta per i fondamenti dell'ana-
lis; injinitesi111ll1e e della fisica classica.
Vuole inoltre significare "rivolto ai fondamenti": gli argomenti scelti si ferma-
no, infatti, za dove inizia l'evoluzione della meccanica dell'ultimo secolo: anzi so-
no anche assenti la teoria delle perturbazioni e i suoi sviluppi e applicazioni alla
teoria del sistema planetario da Lagrange a Poincare, salvo un accenno introduttivo
ai paragrafi 5.10, 5.12. Questo secondo significato, periJ, piu che una scelta a prio-
ri rispecchia la necessita di finire questo Zavoro in un tempo ragionevole.
Gli argomenti ora menzionati, insieme ad una rassegna critica degli "scarsi" ri-
sultati della teoria ergodica e dei "molti" risultati della meccanica statistica, po-
trebbero ben costituire il contenuto di un secondo volume che, periJ, per varl mo-
tivi non ho realmente in programma. La teoria dei campi classica (teoria dell'elasti-
cita e teoria delle onde) e la meccanica quantistica potrebbero costituire un terzo
volume ecc.
Questo libro e nato come sintesi del contenuto di varl corsi di Meccanica razio-
nale,l classica e quantistica, e di Meccanica dei fluidi da me tenuti all 'Universita di
Roma negli anni 1975-76, 1976-77 e 1977-78. E' indirizzato agli studenti del se-
condo e terzo anno del corso di laurea in Matematica 0 Fisica.
Vista 1 'attuale preparazione degli studenti delle universita itallane e il grado di
astrazione cui purtroppo assurge l'insegnamento dell'analisi matematica, pur con
importanti e fortunate eccezioni, penso che i primi quattro capitoli (0 parti da essi
selezionate) potrebbero essere svolti nel secondo anno di corso, mentre l'altro po-
trebbe essere svolto in meta dell'anno successivo come preparazione a un argomen-
to monografico che potrebbe vertere su uno dei seguenti temi, tutti adombrati in
1 Controverso e il significato dell'aggettivo "razionale": qui non significa "pignolo" 0 "no-
ioso" (come comunemente inteso dai "eolleghi analisti") bens! indica 1a ricerca degli aspetti
matematici di varie questioni che naseono nella teoria dei moti di sistemi di punti materiali.

10
Prefazione
questo volume: Teoria dell 'elasticita, Teoria delle equazioni differenziali aile deri-
vate parziali, Teoria dei processi stocastici, Teoria dell'informazione, Meccanica sta-
tistica, Meccanica dei fluidi, Teoria ouantistica del mota del punta e dei campi. 2
Ho ritenuto importante aggiungere un discreto numero di esercizi, nel vero sen-
so della parola, e di problemi, e complementi (contraddistinti da un asterisco e non
sempre faci/i): questi ultimi sono stati introdotti per evitare un eccessivo sviluppo
del testo e per abituare 10 studente a ragionare, costruttivamente, da solo. Le pri-
me volte dovrebbero essere svolti con I 'aiuto di un docente. Qualche esercizio e
stato proposto per essere svolto con I 'aiuto di un piccolo calcolatore del tipo di
quelli in dotazione a molti istituti (ovvero talvolta svolgibili anche a mezzo di un
calcolatore programmabile da tasca): nell'appendice 0 descrivo un semplice algo-
ritmo numerico adatto a questi esercizi. E' bene che gli studenti si familiarizzino
con i calcolatori per comprendere la lorD importanza anche per quel che riguarda
gli studi teorici e per smitizzarne la figura.
Questi esercizi, problemi e complementi devono essere considerati dallo studen-
te come parte integrante dellibro: illoro svolgimento e essenziale alla piena com-
prensione della teoria.
Ho cercato, in questo libro, di illustrare molti problemi tipici della meccanica
adottando I'idea guida di propo"e sempre casi semplici che, al tempo stesso, coin-
volgano nel lorD studio metodi ed idee di interesse piu generale. Ho rifuggito, con
cura, dal formulare rlsultati "ottimali", salvo quando costrettovi e per motivi debi-
tamente spiegati. Ovunque ho reso, quindi, manifesta la mia simpatia per Ie uniche
funzioni degne di questo nome, Ie funzioni di classe Coo, e per la teoria elementare
dell'integrazione ("di Riemann ").
Le dimostrazioni dei varl risultati sono state separate dal testa (a mezzo di sim-
boli di inizio e fine di dimostrazione) sia per facilitame la lettura sia, soprattutto,
per sottolineame il ruolo in un certo senso secondarlo: troppo spesso gli studenti
confondono la comprensione di una proposizione rnatematica (0, peggio, fisica)
con i giochi di parole necessari alia sua dimostrazione. Lo studente dovra ritenere
di aver capito un teorema solo quando Ie sue meditazioni su di esso, sulle sue con-
seguenze e applicazioni, 10 porteranno a rltenerlo evidente e di dimostrazione inu-
tile (questo significa che la dimostrazione deve, per intero, essere presente alla men-
te, ovvia e naturale in tutti i suoi aspetti e, all 'occo"enza, descrivibile in tutti i det-
tagli): un tale livello di comprensione pub essere raggiunto a piccoli passi, attraver-
so molti esercizi, problemi, esempi e controesempi, e un paziente lavoro di ripen-
samento. Solo cosz' 10 studente pub acquistare reale familiarita con il vero signijica-
to dei teoremi, che di solito li trascende di gran lunga. Solo cos z' 10 studente potra
essere in grado di spiegare ad altri quello che apprende e, eventualmente, contri-
buirvi con nuove idee.
2 In riferimento ai nomi qui usati penso, ad esempio, ai eontenu ti dei libri di Landau- LifSits
(1976-79), Kintehin (1963), Lanford (1972,1974), Miranda (1970) eGihmann e Skorokod
(1975-76).

11
Prefazione
Sarebbe stato bello riuscire a mantenere costantemente, nell 'esposizione e sele-
zione dei vari risultati, un punta di vista rigorqsamente costruttivo: pur avendolo
tentato mi rendo conto di avere indulto spesso a considerazioni di natura e interes-
se puramente matematico e speculativo. Me ne scuso con quei lettori, so ben po-
chi, che condividono questo punta di vista pur non facendo alcuna concessione a
trattazioni che non siano, "se non per gravi e giustificati motivi", ineccepibili quan-
to a rigore matematico.
Infine un breve commento sulla vistosa assenza, da queste pagine sugli elementi
della meccanica, della teoria classica dei fluidi: l'unica scusa che adduco per l'esclu-
sione di questo argomento oltre a quella, che a molti pa"ebbe pretestuosa, di non
essere pertinente e che, forse, quanta qui esposto (nel cap. 5, in particolare) pub
servire da introduzione a questa affascinante parte della fisica matematica, delLa fi-
sica e dell 'analisi.
Ringrazio il professor G. Benfatto per avermi aiutato nella revisione di alcuni
paragrafi e il professor V. Franceschini per avermi fornito i bellissimi grafici, trat-
ti dalle sue ricerche, del paragrafo 5.8. Ringrazio in particolare il professor Luigi
Radicati per la stima dimostrata verso di me proponendomi di scrivere un Libro di
meccanica e fomendomene i mezzi concreti tramite l'editore Boringhieri.
Roma, luglio 1978
G.G.

Capitolo 1
Realta fenomenica e modelli
1.1 Premessa
1.£ osservazioni sperimentali si basano sulla misura di varie grandezze, ossia suI-
l'associazione di determinate successioni di numeri a determinate successioni di
eventi.
Le grandezze vengono defmite "operativamente", ossia sono definite dalla stes-
sa successione di operazioni che occorre eseguire per pervenire al numero che ne
fornisce Ia "misura".
Ad esempio, sappiamo qual e la successione di operazioni necessarie per misu-
rare la "distanza" fra due punti P e Q assegnati nello spazio ambiente: si deve pren-
dere un certo regolo e riportarlo sulla retta che congiunge P e Q, a partire da P, un
numero opportuno di volte affmch6 il secondo estremo coincida con Q; se, dopo n
riporti, l' estremo del regolo e giunto in un punto Q n =1= Q e precedente Q sulla ret-
ta PQ e all'(n + l)-esimo riporto I'estremo del regolo giunge in un punto Qn+ 1 suc-
cessivo a Q sulla retta PQ, si deve prendere un altro regolo "dieci volte piu corto"
e riportarlo a partire da Qn cercando di fame combaciare il secondo estremo con
Q. Se cia non e possibile, si pua defmire in analogia al caso precedente e in modo
ovvio un punto Qn 1 suI segmento Q n Q; poi, prendere un regolo dieci volte piu
corto del secondo e ripetere l' operazione. ..
Si costruisce coSt, induttivamente, un numero n + (0, nln2...) (in rappresenta-
zione decimale) che e la misura della distanza fra P e Q.
La successione di operazioni ora descritta sembra ben defmita, ma, in realta, a
un attento esame rivela non possedere i requisiti necessari per essere considerata
una nozione matematicamente precisa. Ad esempio: cos'e 10 "spazio ambiente",
cos'e un "punto" in esso, cosa una "retta", cos'e un "regolo", e possibile "divi-
derlo" in parti uguali e infmite volte? n flSico non si interessa molto (anzi ffat-
to) a questi aspetti della questione: egli considera una grandezza fisica ben defmi-
ta quando e ben chiaro il procedimento empirico che e necessario seguire per mi-
surarla.

14
Capitolo primo
Un procedimento di misura e considerato chiaro quando tutti g1i osservatori so-
no condotti a ottenere 10 stesso risultato misurando una stessa grandezza. Questo,
e bene sottolinearlo, e un criterio empirico ed e eternamente soggetto a revisione:
per cui grandezze oggi considerate, dai fisici, ben defmite potranno, in futuro, non
essere piu considerate tali.
Dunque il fisico, dalIe sue osservazioni suI mondo, ottiene un insieme di nume-
ri che corrispondono alI'esecuzione di determinate operazioni considerate "oggetti-
vamente de fmite " .
Per cercare di organizzare in uno schema coerente I'insieme di questi numeri
spesso (non sempre), il f!Sico ricorre alla formulazione di "modelli", ossia associa
alIe misure che esegue strutture matematiche ben definite e cerca di stabilire un
(piccolo) numero di relazioni matematiche fra queste strutture. Da tali relazioni
ne conseguono logicamente altre che, reinterpretate a mezzo del modello (usato
in senso inverso) possono servire a prevedere relazioni non ancora osselVate fra va.
rie misure empiriche: e la fiducia nell' esistenza di buoni modelli che fece dire a
Galileo che
la filosofia e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aoerto
innanzi agli occhi (io dico l'universo), ma non si puo intendere se prima non s'im-
para ad intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali e scritto. Egli e scritto
in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche,
senza i quali mezi e impossibile a intendeme umanamente parola; senza questi e
un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. 1
Un modello matematico e considerato soddisfacente quando non conduce a con-
traddizioni con l' esperienza. Qualora, invece, cia accada, il fisico scarta il modello
come "errato", e pero la costruzione matematica ad esso associata rimane valida
matematicamente e a testimonianza di una imperfetta rappresentazione deUa
natura.
In senso stretto non esiste un modello che non sia errato: esistono solo modelli
che ancora non si sono rivelati errati: pero tutti i modelli "seri" (quali la "dinami-
ca del punta e dei sistemi", la "teoria della relativita", la "meccanica quantistica",
l"'elettromagnetismo", la "termodinamica", la "meccanica statistica" ecc.) hanno
condotto e continuano a condurre alIa formulazione di problemi matematici estre-
mamente interessanti; inoltre, accade spesso che un'analisi delle proprieta. matema-
tiche di un modello che si rivela "errato" aiuti alIa formulazione del modello "piu
perfezionato" che il fisico cerca di elaborare per sostituirlo.
Si vede dunque come illegame fra la realta fenomenica e la matematica sia sta-
bilito da quello che abbiamo chiamato "un modello". Semgra pero impossibile da-
re una defmizione matematica precisa della nozione di modello che e essa stessa
una nozione empirica. Una buona comprensione di tale nozione si PUQ ricavare so-
lo dalI' esame di molti casi concreti.
1 G. Galilei, II Saggiatore (Feltrinelli, Milano 1965) p. 38.

15
Realtil fenomenica e modelli
1.2 Un esempio di modello
Prendiamo ad esempio un caso storicamente particolannente importante e signi-
ficativo: quello della "meccanica del punto e dei sistemi di punti". V ediamo cioe
in concreto come nasce il modello matematico del punto materiale soggetto a for-
ze 0 del sistema di punti materiali soggetti a forze, a partire da osservazioni empi-
riche.
II primo asserto (0 "assioma" per riferirsi a un linguaggio piu familiare ai mate-
matici) e che 10 spazio ambiente e uno spazio euclideo tridimensionale £3: ogni
punto dello spazio si PUQ rappresentare in tennini di tre coordinate relativamente
a un sistema ortogonale di riferimento (0; i, j, k).
Una tale schematizzazione ha un chiaro senso matematico, ma sembra assoluta-
mente indimostrabile in tennini matematici e traduce la seguente osservazione em-
pirica: in pratica un pun to dello spazio e individuato misurando (spesso solo in li-
nea di principio e con il metodo dei regoli sopra descritto) la distanza del nostro
punto da tre pareti ortogonali e concorrenti in un angolo. Si noti che tutte queste
operazioni sono considerate ben definite nella vita di tutti i giorni.
Un secondo asserto (0 "assioma") riguarda la nozione di "tempo", che per il fi-
sica e la grandezza fisica misurata dall"'orologio" (classicamente descritto come un
pendolo, ma che PUQ essere sostituito da un qualsiasi aggeggio piu moderno). Si
suppone che il tempo sia una "grandezza assoluta"; ossia e possibile (almeno in li-
nea di principio) associare ad ogni punto dello spazio ambiente un orologio, mec-
canicamente identico in ogni punto, ed e inoltre possibile coordinare ("sincroniz-
zare") gli orologi in modo che, se t' e t sono due istanti prescelti e se p' e P due
punti prescelti e se t' < t, allora e possibile lanciare un "segnale" (ad esempio una
pallina) da P verso P' in modo che il segnale parta da P all'istante t (come indicato
dall'orologio in P) e pervenga in P' all'istante t' (come indicato dall'orologio in P');
viceversa, se t < t' l' operazione ora descritta deve risultare impossibile.
Un attimo di riflessione ci fa accorgere che la defmizione operativa di "sistema
di orologi sincronizzati" e basata sulla constatazione empirica che e possibile invia-
re segnali a una arbitraria velocita. E' anche chiaro che la nozione di tempo e una
nozione puramente fenomenologica e lungi dall'essere matematicamente ben posta.
Accettando il punto di vista finora discusso, siamo condotti a dire che 10 sche-
ma matematico, 0 modello, che rappresenta il continuo spazio temporale nel quale
hanno luogo Ie nostre osservazioni consiste in uno spazio a quattro dimensioni, ogni
punto del quale (x, y, Z, t) rappresenta un punto dello spazio visto in coordinate
cartesiane rispetto a un riferimento (0; i, j, k) ("laboratorio") e osservato all'istan-
te t (misurato dall'orologio universale prima descritto).
Un punto materiale e, empiricamente, un oggetto qualsiasi, che, almeno ai fmi
che interessano Ie nostre osservazioni, pub essere assimilato a un punto dello spa-
zio (ad esempio, un pianeta 0 una stella nell'universo, un sasso che cade in un bur-
rone, una nave che si muove nell'oceano ecc.); tale punto conselVa la sua individua-

16
Capitolo primo
lita nel tempo; quindi, e definita la sua traiettoria a mezzo della funzione del tem-
po x=x(t), ove x=(x, y, z) e il vettore che ha per componenti Ie coordinate del
punto materiale nel riferimento (0; i, j, k) prescelto per individuare i punti dello
spazio.
Matematicamente un punto materiale che si muove ed e osservato al variare di t
in un intervallo I, si rappresenta come una curva C in £3 di equazioni vettoriali,
nel riferimento (0; i, j, k) prescelto per descriverla, P(t)-O=x(t), tEl, e il para-
metro t ha l'interpretazione di tempo (cioe e chiamato "tempo").
Dato un punto materiale che si muove al variare di t in I, si associa ad esso la
velocita ad ogni istante t in I: tale grandezza e operativamente defmita fissando
to E I e rilevando la posizione pet 0) e la posizione P(t 0 + e) e defmendo
p(t o + e)-P(t o )
v(t o )= ;
e
il parametro e> 0 si intende scelto "oculatamente piccolo" (secondo criteri abba-
stanza ben codificati, ma che dipendono dai casi concreti).
n modello mate matico della velocita defmisce Ia velocita all'istante to EI del
punto materiale (pensato come una curva C parametrizzata da1 parametro tEl)
come la derivata della funzione tx(t) all'istante to (cioe per t=t o ).
Similmente la nozione empirica di accelerazione viene associata alla derivata se-
conda di x (t).
Per completare il modello matematico descrivente il punto materiale occorre an-
cora defmire la "forza" che agisce suI punto.
Dal punta di vista operativo la forza che agisce ad un dato istante sul punto ma-
teriale consiste in tre grandezze scalari che insieme defmiscono un vettore f( t). La
forza f che agisce su un punta materiale che si muove in E 3 osservato da un riferi-
mento (O;i,j, k) e defmita operativamente a mezzo del "dinamometro" che e uno
strumento il cui uso e utile descrivere sommariamente e in fonna assai idealizzata.
n dinamometro e essenzialmente una molla opportunamente costruita che im-
magineremo come un segmento molto sottile, leggero e dotato di un gancio.
Se un punto materiale si trova all'istante t nel punto (x, y, z) e con velocita
(v x , v y , v z ) (rispetto a un riferimento (0; i, j, k)) e si vuole misurare la forza a cui
e soggetto, si aggancia il dinamometro al punto, dopo avergli impartito una velocita
di traslazione (v x , v y , v z ), e si cerca di tendere la molla in modo che l'accelerazione
all'istante t + e sia nulla (ove e >0 va scelto "oculatamente piccolo").
La forza, operativamente defmita, e il vettore f la cui direzione e q uella del dina-
mometro all'istante t + e, il cui verso e quello opposto a quello del dinamometro
(pensato orientato dal gancio verso la molIa) e il cui modulo e la misura dell'elon-
gazione della molia. Ovviamente il dinamometro qui usato deve essere un oggetto
fissato una volta per tutte.
Possiamo riassumere quanto detto fmora dicendo che un pun to materiale sogget-
to a forze e osservato  un riferimento (0; i, j, k) di £3 a1 vanare del tempo in un

17
Realtill fenomenica e modelli
intervallo I e, nel suo modello matematico, descritto da una linea in uno spazio a 7
dimensioni: un suo punto (t, x, y, z, fx, fy, fz) rappresenta un punto materiaIe che
all'istante t ha coordinate (x, y, z) in (0;  j, k) e, in (0; i,j, k), e soggetto ad una
forza (Ix, f y , fz). La curva che rappresenta il punto materiale PUQ essere parametriz-
zata dal parametro t stesso al suo variare in un intervalIo aperto I e sara supposta
tale che in questa rappresentazione parametrica Ie funzioni x(t), y(t), z(t) siano due
volte derivabili con derivate continue (in modo che abbia senso defmire velocita e
accele razi one ).
1.3 Le leggi della meccanica
Avendo formulato in termini matematicamente chiari cosa si debba intendere
per "punto materiale soggetto a forze ed osservato in un dato riferimento dello
spazio E 3 al variare del tempo in un intervallo I" (brevemente "punto soggetto
a forze") procediamo al completamento del modello matematico della meccanica
del pun to.
Occorre, alIo scopo, discutere Ie leggi della dinamica e la loro interpretazione
matematica.
Sperimentalrnente si osserva che, dato un punto materiale, esiste una relazione
semplice fra la sua accelerazione a a un istante t (osservata in un dato riferirnento)
e la forza f che agisce sul punto alIo stesso istante (osservata nello stesso riferirnen-
to); tale relazione e chiamata "2 0 principio della meccanica" e stabilisce l' esistenza
di una costante m > 0 caratteristica del punta materiale in questione ed indipenden-
te dal riferimento in cui viene osservato, tale che:
mll=!
Questa legge introduce, grazie alle proprieta delle equazioni differenziali, molte re-
lazioni tra Ie quantita x, V, t, e tali relazioni possono essere a volte verificate speri-
mentalmente. Ad esempio, se e a priori nota la forza che agirebbe sui punto mate-
riale, qualora si venisse a trovare nel punta (x,y, z) all'istante t con velocita
('Dx,Vy,vz), allora, denotando f(x,y,z,'Dx,'Dy,'Oz, t)=f(x, 11, t) tale forza, l'equazio-
ne differenziale:
.
mx=f(x,x,t)
permette di detenninare il mota successivo a uno state iniziale nel quale la velocita
v 0 e la posizione x 0 so no assegnate a un istante to (almeno per un intervallo di
tempo abbastanza piccolo e se la funzione f verifica Ie ipotesi necessarie per I'ap-
plicabilita dei classici teoremi di esistenza e unicita per Ie equazioni differenziali or-
dinarie in forma no nn ale ).
n "1 0 principio della meccanica" postula l' esistenza di almeno un riferirnento
(0; ;, j, k), detto "riferimento inerziale", in E 3 , tale che un punto materiale che si
trovi "lontano" dagli altri oggetti dell'universo risulti sottoposto a forza nulla in

18
Capitolo primo
(0; i, j, k). Tale riferimento si identifica sperimentalmente con un riferimento con
orlgtne m una ."stella tissa 77 e con aSSl orlentati verso altre tre stelle fisse. E' in que-
sto riferimento che di solito si immagina di studiare Ie proprieta del moto.
Le nozioni di "molto lontano" e di "stella fissa" sono naturalmente nozioni em-
piriche e non matematiche.
Dal punto di vista matematico, il primo principio viene utilizzato per dare a un
particolare riferimento in £3 un molo privilegiato e per definire la "forza assolu-
ta" 0 "vera" come la forza che agisce su un punto materiale osservato in questo
riferimento. Questo riferimento (0; i, j, k) deve essere scelto una volta per tutte e
viene chiamato "riferimento fisso".
E' possibile e a volte conveniente, in pratica, introdurre sistemi di riferimento
1a cui origine e i cui assi varina al variare del tempo rispetto al riferimento "fisso"
(0; i, j, k) : (O(t); i(t); jet); k(t)). Poiche f=ma, segue che, se il riferimento mobi-
le si muove di moto rettilineo uniforme e puramente traslatorio rispetto al rife-
rimento fisso, allora la fona che un punto materiale risente e la stessa se osservata
in questo riferimento 0 in quello solid ale con Ie stelle fisse: dunque in questo ri-
ferimento vale il principio d'inenia e cioe un punto materiaIe "molto lontano"
dagli altri oggetti dell'universo e soggetto a una forza nulla (poiche l' accelerazione
e la stessa nei due riferimenti). Vedremo meglio questo punto quando analizzere-
mo la dipendenza della forza, della velocita edell' accelerazione nei sistemi di ri-
ferimento in moto. I riferimenti in moto rettilineo uniforme rispetto al riferimen-
to fisso si dicono "inerziali".
II modello matematico di un pun to materiale di massa m, soggetto a forze e
verificante Ie leggi della dinamica, e allora semplicemente un punto materiale sog-
getto a fone, nel senso precedentemente discusso, e tale che valga la relazione
f=ma.
Questa nozione verra abbreviata in "punto materiale di massa m" .
E' chiaro che dal nostro punto di vista ill 0 principio della meccanica e privato,
nello schema matematico ora proposto (in cui f viene comunque immaginata data),
del suo profondo significato fisico. Una formulazione matematica che consent a di
inglobare in forma non banale il lo principio e possibile, ma ci porterebbe su ar-
gomenti che esulano dai propositi di questo libro.
Concludiamo l'analisi della formulazione matematica di un modello per la mec-
canica del punto con una breve discussione del modello matematico per un "siste-
ma di N punti materiali di masse ml, m2, ..., mN".
Un tale sistema consiste matematicamente di N punti materiali di masse
m., ..., mN soggetti a forze, nel senso appena descritto, e verificanti, inoltre, il
"3 0 principio della meccanica".
Si intende con quest a locuzione che deve essere possibile rappresentare la forza
Ii che agisce suI punta i-esimo nella forma
li=  fji
i*i

19
Realti fenomenica e modelli
dove Ij -+- i sono tali che:
a) fij= -/ji i,j= 1, 2, ... ,N; i=l=j.
b) Ij-+-i e parallelo a Pj-P;, cioe alla congiungente Pi con Pj.
Questa ipotesi ovviamente traduce un fatto empirico preciso: e cioe possibile de-
fmire operativamente cosa debba intendersi per Ii -+- j' la "forza che il punto i eserci-
ta suI punta j".
Ad esempio, la forza Ij -+- i si misura nel modo seguente: si misura, in un sistema
di riferimen to inerziale, la forza Ii che agisce suI punta i e poi si toglie dal sistema
di punti materiali in esame it unto j e si misura di nuovo la forza che agisce suI.
l'i-esimo punto, ottenendo If I , e si pone
. -+- . = -1". - f j)
JI I JI I ·
II terzo principio della meccanica nasce dall' osservazione sperimentale che Ii -+- j =
= - fj -+- i e che Ii -+- j e parallelo al vettore Pi - Pi' e che inoltre la forza totale che
agisce su uno dei punti materiali e la somma delle forze esercitate su di esso dagli
altri punti del sistema, se osservata in un riferimento inerziale.
Per ovvi motivi questo principio prende anche il nome di "principio di azione
e reazione".
La fisica pone ancora altre restrizioni sulle leggi di forza che possono essere
usate per specificare ulterionnente il modello di un sistema meccanico. Si tratta
pero di restrizioni che non hanno un carattere COSt generale come i principi del-
la meccanica, ma sono, piuttosto, affermazioni che dicono quali leggi di forza
siano da considerarsi un buon modello in determinate circostanze: ad esempio
due punti materiali senza "alcuna struttura" (nozione empiric a che non elucide-
,
mm
remo) si attraggono con una forza di intensita k,2 ' ove r e la distanza fra i
punti; se la struttura dei punti puo riassumersi dicendo che essi hanno una "cari-
ca elettrica e" (altra nozione empirica che non discutero) allora la forza mutua
sara la somma vettoriale della forza di attrazione "gravitazionale" prima descritta
e di una forza repulsiva di intensita e 2 Ik',2.
I principi della meccanica gia pongono abbastanza restrizioni suna natura delle
forze ammissibili in un problema meccanico che e conveniente e interessante esa-
miname Ie implicazioni prima di passare alIo studio di modelli piu ricchi di quello
generale di sistema di N pu.nti massa e che si ottengono specificando in modo con-
creto Ie leggi di f orza.
1.4 Considerazioni generali sui modeUi
Nel resto di questo libro incontreremo ancora altri processi di astrazione e
schematizzazione di fenomeni empiricamente osservati (ad esempio quando discu-
teremo la nozione di "osservabile" 0 di '''corda vibrante"). Ma in tali casi non ri-
petero in dettaglio la costruzione del modello matematico: questa e una prassi

20
Capitolo primo
molto comune e si basa sull'idea che siano Ie parole stesse che si usano, per desi-
gnare oggetti matematici ben definiti, a defmire implicitamente il modello.
E' questa prassi, 0 meglio la sua imperfetta comprensione, che a volte causa
malintesi tra fisici e matematici e provoca l' accusa di uso non rigoroso della mate-
matica.
Dccorre aver chiaro che quando il fisico parla usando termini matematici, in
nessun modo attribuisce ad essi 10 stesso rigido significato che un matematico vi
attribuirebbe; piuttosto Ii usa per aiutarsi a formulare un modello che poi, una
volta ben defmito, e fermamente intenzionato a trattare in modo rigoroso (dal mo-
mento che crede, 0 spera, che ilIibro della natura sia scritto in caratteri matema-
tici). Eventuali passaggi non logici nelle deduzioni di un fisico, eventuali approssi-
mazioni che appaiono piu che ardite matematicamente, vanno sempre inteipretate
come ulteriori complicazioni, 0, meglio, raffinamenti del modello che il fisico cer-
ca di costruire.
Nel tumultuoso sviluppo dell a rice rea spesso il fisico modifica il modello di cui
si serve mentre 10 usa, oppure modifica il significato matematico di oggetti e gran-
dezze che entrano nel modello senza cambiare ad essi di nome. Questo si giustifica
osservando che l'interesse principale del fisico sta nella costruzione dei modelli e
solo in minor misura nella teoria matematica dei medesimi, considerata spesso scon-
tata.
AI fme di evitare un eccessivo e pignolesco appesantimento dell' esposizione ade-
riro, in quanto segue, alla prassi secolare di non addentrarsi in una discussione fisi-
ca della costruzione dei vari modelli che incontreremo e lascero, salvo in alcuni casi
importanti, immaginare tale discussione tramite i nomi suggestivi con cui designero
vari enti matematici.
Nota bibliogrtlficQ
E' assai utile leggere, almeno, Ie definizioni e Ie leggi del moto dei Princzpi ma-
tematici della filosofia naturale di I. Newton (Utet, 1965) pp. 91-136, per ren-
dersi esattamente conto deUa fonnulazione newtoniana della meccanica e della sua
modernita. Per evitare di leggervi "troppo", per evitare cioe di interpretare in senso
troppo moderno queste pagine immortali, e opportuno leggere l'articolo di ,C.
Truesdell in Essays in the History of Mechanics (Springer Berlino, Heidelberg, New
York 1968) pp. 85-137.
Parallelamente alIo studio dei primi tre capitoli di questo libro sara assai utile e
stimolante la lettura dei prirni due capitoli dellibro di E. Mach, La meccanica nel
suo sviluppo storico-critico (Universale scientifica Boringhieri, Torino 1977) pp.
1-290.

Capitolo 2
Aspetti qualitativi della teoria dei moti unidimensionali
2.1. Teorema di conservazione deU'energia
Consideriamo un punto materiale di massa m in uno spazio ambiente R, l unidi-
mensionale, soggetto ad una forza dipendente esclusivamente dalla posizione. E',
dunque, assegnata una legge di forza f(), ER1, che supporremo di classe c oo ,1
che ad ogni punto  della retta R 1 associa la componente f() della forza alla qua-
Ie il punto materiale e soggetto quando si viene a trovare nella posizione .
Un "moto" del pun to materiale, osservato al variare del tempo in un intervallo I,
e una funzione tx(t), tEl, di classe Coo (I) tale che
mx(t)= f(x(t)) 'VtEI
[2.1.1]
11 "teorema di conservazione dell' energia" si ottiene dalla [2.1.1] moltiplicandola,
membro a membro, per x(t) ottenendo
mxx=xf(x)
[2.1.2]
(ove si e soppressa l' esplicita menzione della dipendenza da t, come si f ara spesso nel
seguito), e osservando che, se si definiscono Ie seguenti funzioni
t
 V() =- J f(') d' ,
1
1/ -+ T(1/) =2m 1/2,
[2..1.3]
si ha
d
-T(x)=mxx
dt
d
-V(x)=-f(x)x,
dt
[2.1.4]
[2.1.5]
1 Vedi eleneo dei simboli a p. 495.

22
Capitolo .condo
per cui la [2.1.2] PUQ essere riscritta
d
-(T(x) + V(x)) =0.
dt
[2.1.6]
Questo implica che ad ogni mota t  x (t), tEl, PUQ essere associata una costan-
te E, che dipende dal moto in esame, tale che
T(x(t)) + V(x(t))=E
ttlt E L
[2.1.7]
AIle espressioni T(x) e V(x) si da i! nome, rispettivamente, di "energia cinetica"
ed "energia potenziale" e la [2.1.7] si legge cosi: "In ogni mota che si svolge sotto
l' azione di una forza di energia potenziale V la somma dell' energia cinetica e del-
I'energia potenziale e costante". A questa costante si da i1 nome di ":energia tota-
Ie" del moto considerato.
Dalla [2.1.7] si puo dedurre un'espressione per la velocita
x(t)=:t ( (E-V(X(t))JI2 tEL [2.1.8]
Questa e il fondamento della teoria qualitativa dell a [2.1.1], che analizzeremo
(ai  2.6 e 2.8) adoperando costantemente un linguaggio ispirato alIa interpreta-
zione fisica della [2.1.1] come equazione dl moto.
Per "teoria qualitativa della [2.1.1]" si intende l'analisi delle proprieta dei moti
che verificano la relazione [2.1.1] e che sono valide indipendentemente dalla scel-
ta di f, almeno per vaste classi di funzioni f.
La conservazione dell' energia e un primo esempio di proprieta qualitativa.
Osservazione. La conservazione dell'energia si PUQ far risalire almeno a Huygens;
successivamente fu u tilizzata da Giovanni e Daniele Bernoulli insieme alla legge di
conselVazione della quantita di mota (Cartesio) (vedi C. Truesdell, Ope cit., pp.
105 sg.).
La [2.1.8] nella forma integrata che useremo al paragrafo 2.6 e una "fonnuIa di
quadratura", riduce cioe il problema della detenninazione della legge oraria, tx(t),
di un mota a quello del calcolo dell'area di figure piane (vedi  2.6):
t Xr d
X(O) ( (E_V()))1I2
Quindi l' area che sottende il grafico della curva di equazione   y () =
( 2 ) -112
= m (E - V()) fra i punti x (0) e x (t) e il tempo che il punto materiale
impiega a raggiungere x (t) partendo da x (0) all'istante t = 0 con velocita positiva
ed energia E, almeno se t e piccolo. Newton ridusse "alle quadrature" i piu sem-
plici problemi di mota senza passare esplicitamente per I'equazione della con3er-

23
Moti unidimensionali
vazione dell'energia (vedi ad esempio, I. Newton, Ope cit., libro 1, sez. X, proposi-
zioni XXXIX, XLI, LII, LVI ecc.).
2.2 Propriem generaU di esistenza, unicim e regolarim dei moti. Unicita
Nel precedente paragrafo abbiamo supposto di "avere a disposizione u un mota
svolgentesi, sotto l' azione di una fona f, in un intervallo di tempo I.
Ci si pub domandare quali ulteriori proprieta di un mota permettano di indivi-
duarlo fra tutti i moti che, nello stesso intervallo di tempo I, si svolgono sotto
l'azione della stessa fona. Anzi, ci si pub preliminarmente domandare se, dato un
intervallo I, esistano moti, cioe soluzioni di classe Coo della [2.1.1] pensata come
equazione per t-+x(t), tEL
Vista I'importanza di queste domande dedicheremo, prima di procedere nello
studio dell a [2.1.1], un po' di attenzione al problema generale dell' esistenza, urn-
cita e regolarita per Ie soluzioni delle equazioni differenziali in Rd.
Anzitutto osserviamo che la [2.1.1], pensata come equazione differenziale "del
secondo ordine" in R 1 e equivalente a una equazione differenziale "del primo or-
dine" in R2: bastera scriverla nella fonna:
{ X(t)=y(t)
y(t)=f(x(t))
tEl,
[2.2.1]
ove la [2.2J] e un'equazione per la funzione incognita t-+(x (t),y(t)) definita su
I e a valori in R 2 e di classe Coo.
Piu in generale, si consideri una qualsiasi equazione differenziale in R d "di ordi-
ne s", s = 0, 1, 2, ..., avente la forma
dSx ( dS-1X dx )
----s(t)=f S-l (t), ..., -(t), x(t), t
dt dt dt
e tEl, ove f e una funzione di classe Coo a valori in R d definita su R d X. R d X... X
X R d X R,# e t -+ x(t) e una funzione di classe Coo incogt}ita. Questa equazione pub
essere pensata come un'equazione del primo ordine in R dS ponendo:
[2.2.2 ]
dx
-(t)=y (t)
dt 1
dYl
(t) = Y2(t)
dt
dYS-2
(t)=YS-l (t)
dt
dy s -1
(t)=f(Ys-l (t), ..., Yl (t), x(t), t)
dt
[2.2.3]

24
Capitolo secondo
e considerando la [2.2.31 come un'equazione per la funzione t -+ (x (t), Y 1 (t), ..., YS-l (t))
defmita e di classe COO su I e a valori in R ds = R d X R d X... X Rd. La [2.2.2] e la piil
generale equazione differenziale che incontreremo in questo libro. In virtu della
preceden te osservazione sara allora, per i nostri scopi, sufficiente studiare equazio-
ni differenziali aven ti la fonna:
x(t) =F(x(t), t)
[2.2.4]
in R d e del primo ordine.
Conviene introdurre una precisa convenzione su cosa sia un' equazione differen-
ziale e cosa sia una sua soluzione.
1 Defmizione Data una funzione F di classe Coo definita su R d X Rea valori
in R d , si chiamera "equazione differenziale associata a F su R a " l'espressione [2.2.41
spesso abbreviata in x = F(x, t).
Una "soluzione di classe C(k)" (k  1) della [2.2.4]2 sull'intervallo I (chiuso,
aperto 0 semiaperto) sara una funzione t-+x(t), tEl, di classe C(k) che, posta
nella [2.2.4], la soddisfa identicamente per tEL
Una "soluzione" della [2.2.4] per tEl e una funzione di classe COO che posta
nella [2.2.4] la soddisfa identicamente. 3
A volte chiameremo Ie soluzioni della [2.2.4] "moti".
Occupiamoci prima del problema della unicita delle soluzioni della [2.2.4].
I Proposizione Sia (, t)-+F(, t) una funzione di classe Coo su R d X R a valori
in Rd. Dati a >0, b >0, to E R sia tx(t) una soluzione di [2.2.4] di classe C(l) su
J = [t 0 - Q, to + b]:
i) Ia funzione t-+x(t) e di classe Coo su 1.
ii) se ty(t) e un'altra soluzione su J di [2.2.4] e se y(to)=x(t o ) allora x(t) = y(t),
tEJ.
Osservazioni
1) Questa proposizione applicata, via la [2.2.3], alla [2.2.2], ci dice che due so-
luzioni di un'equazione di ordine s in R d , per tEJ, e di classe C(s) (J) coincidono
se e solo se all'istante to EJ ("istante iniziale") hanno Ie stesse prime s -1 derivate
("uguali dati iniziali"). Se la [2.2.2] e l'equazione che governa un mota in R d , e se
s = 2, questo significa che il mota e univocamente determinato, se esiste, dalla posi-
zione x(t 0) iniziale e dalla velocita x(t o ) iniziale ossia, come si suol dire, "dall'atto
di moto" iniziale (x(t o ), x (to)).
2) E' chiaro che pub essere interessante e importante sapere se, specificando pro-
2 Vedi eleneo dei simboli a p. 495. k
3 Vedremo ehe ogni soluzione di elasse C ( ), k  1, e automatieamente di elasse COD (vedi
proposizione I).

25
Moti unidimensionali
prieta delle soluzioni della [2.2.2] diverse dai dati iniziali a un istante iniziale, ora
menzionati, si determina univocamente, se esiste, la soluzione che verifica tali pro-
prie ta. 4
n criterio di unicita che abbiamo scelto di illustrare in dettaglio nella precedente
proposizione e stato selezionato solo perche conduce a una risposta semplice e rapida
ed e, inoltre, uno dei criteri di unicita che piu spesso tornano utili nelle applicazioni.
Dimostrazione. Integrando membro a membro la [2.2.4] e ponendo xo=x(t o )=
=y(t o ) otteniamo
t
x(t)=xo + J F(x(r), r) d r
to
tEJ
[2.2.5]
e, similrnente, poiche t -+ Y (t) e anche soluzione di [2.2.4]
I
y(t) =xo + J F(y(r), r) d r
10
tEJ
[2.2.6]
e, quindi, Vt EJ:
t
x(t)-y(t) = J (F(x(r), r)-F(y(r), r))d r.
to
[2.2.7]
Occorre ora, per dimostrare (ii), trovare una maggiorazione del secondo membro
che consenta d.i concludere che il primo e nullo. II procedimento che segue e di
estremo interesse perche, evidentemente, trascende il particolare risultato che ci
proponiamo di ottenere. s
Per valutare l'integrando di [2.2.7] possiamo ricorrere alIa fonnula di Taylor:
sia S una sfera di raggio COSt grande da contenere i valori x (r), y (r) per ogni r E J
e si ponga
d a F(i)
Ms= max  (, r) , E2.2.8]
tES, TEl i,i-l a j
ove F(i)(E, t) e la i-esima componente del vettore F(t, t)=(F(l)(, t), ..., F(d)(, t))E
ER d .
Allora, dalla formula di Taylor:
IF(x(r),r)-F(y(r), r) IMs Ix(r)- y(r) I
[2.2.9]
4 Per fare un esempio poniamo il seguente problema: si eonsideri la [2.2.2] con s = 2 e si
assegnino due istanti tie t 2 e due posizioni XI e x 2 in R d ; e unico il moto, soluzione di [2.2.2],
ehe conduce da XI a x 2 al volgere del tempo da t I a t 2 (ammesso che ne esista uno)?
5 Informalmente l'argomento e questo: la diftettnza 1%(t)-y(t)1 e, per la [2.2.7 J circa
It-tol.IF(x(t), t)-F(y(t), t)l, se t - to; ma l'ineremento IF(t), t)-F(y(t), t)1 e propor-
zionale, per it teorema di Lagrange, all'ineremento della variabile di Fe, cioe, a C Ix(t)-y(t)1
ove C e una stima della grandezza delle derivate prime di F. Dunque la [2.2.7] im plica che
1.x(t)-y(t)1 e Clt-toll.x(t)-y(t)1 sono uguali se I-to e questo irnpliea Ix(t)-y(t)I=O per t
vicino a to poiehe, per t - to' C I t - to I < 1 !

26
Capitolo secondo
Inserendo questa disuguaglianza in [2.2.7] si trova:
t
Ix(t)-y(t) IMS J Ix(r)- y(r)1 dr
to
t E J, che pub essere iterata n volte:
[2.2.10]
Ix(t)-y(t)IM J dT 1 J dr 2 ... J dr n IX(Tn)-y(r n ) I [2.2.11]
[to, t,1 (to,t l ] (to, t n -t1
Sia J.L il Massimo di x(r)-y(r) per rEJ; allora, VtEJ:
Ix(t)-y(t)IMJ.I J dT 1 J dT 2 ... J dTn=
[to, t) [tn, Tal It o , Tn-I]
- M n It-to In n (a + b)n
- SJl M S Jl
n! n!
[2.2.12]
che e valida per ogni n intero positivo. Poiche il membro di destra in [2.2.12] e in-
finitesimo per n  + 00 il risultato desiderato segue passando allimite per n  00 in
[2.2.12].
Per verificare (i), che tx(t) e di classe COO su J, si pub osservare che se tx(t)
e di classe C(I) la [2.2.4] implica che tx(t), tEJ, e di classe C(I) perche e una
funzione composta di una funzione di classe C (00) e di una funzione C (I); inoltre,
derivando la [2.2.4]:
d aF . aF
x(t)=  - (x (t),t).i(l) (t)+- (x(t),t)
i=1 ai at
che, a sua volte, dimostra che t  x (t), t E J, e di classe C (I) per 10 stesso ragiona-
men to precedente. Derivando aHora [2.2.13] si evince che tx(t), tEJ, e di classe
C( 1) ecc.
[2.2.13]
mbe
Osservazione. E' ovvio che, se si fosse supposta F di classe C( k), k  1, la dimo-
strazione precedente avrebbe ugualmente funzionato per quel che riguarda la unici-
ta. Per quel che riguarda la regolarita di tx(t), teJ, avrebbe permesso di conclu-
dere, solo, che t  x(t) e di classe C(k + 1).
2.2 Schemi di problemi
1. Se tx(t), t 0, risolve i =f(x) e se x(O)=x(T) allora x(t)=x(t + T), Vt O.
2. La proprieta analoga alIa (1) non e valida se l'equazione differenziale non e
autonoma (cioe per Ie equazioni del tipo x= {(x, t)). Trovare un esempio diverso da
x = t( 1 - t) x.
3. Se t  x(t), t  0 risolve x = {(x, t) e
i) f(, t) = f(, t + T)

27
Moti un idimensionali
ii) x(O)=x(m T)
allora x(t) = x(t + m T),
con m intero;
Vt  O.
4. Si consideri l'equazione x(t)=I(t)x(t) con IE Coo. Se t-+-x(t) e t-+-y(t) so-
no due soluzioni, tEl, e se x(t) $ 0, esiste A tale che
y(t) = A x(t),
VtEl
s. Se la funzione I dell'equazione in (4) e periodica di periodo T e t-+-x(t) $
$ 0, t , ne e soluzione, anche t -+- x(t + T) ne e soluzione e quindi esiste A =1= 0
tale che
x(t + T)=AX(t), Vt o.
6. A, in (5), e >0 (idea: altrimenti esisterebbe tE[O, T] tale che x(i)=o e
quindi x(t) = 0).
7. La piu generate soluzione t-+-y(t) dell'equazione in (4) con I periodica d.i
periodo T ha 1a forma
y(t) =A A t / T z(t)
ove t -+- z(t) e una funzione periodica di periodo T.
*8. Si generalizzi 1a teoria in (4), (5), (6), (7) at caso a d-dimensioni. Cioe si
consideri l' equazione in R d :
x=L(t)x
ove t-+-L(t) e una matrice di c1asse Coo, dXd. Si dimostri che se t-+-X(I) (t),
t -+- X(2)(t), ..., t -+- x(d)(t) ne sono d soluzioni, per t EJ, "linearmente indipendenti
per t=toEJ" (cioe tali che i d vettori X(I)(t O ), ..., x(d)(t o ) so no lineannente indi-
pendenti) e se t-+-y(t), t EJ, ne e un'a1tra soluzione, si ha
d
y(t) =  Aj x(j)(t), tel,
j= 1
se AI, ..., Ad so no opportunamente sce1te.
*9. In re1azione a (8) si dimostri che, se Ie soluzioni t-+- X(1 )(t), ..., t -+- x(d) (t),
tEJ, sono linearmente indipendenti per t=toEJ, allora sono tali VtEJ.
*10. Mostrare che (9) implica che 1a matrice W(t)
(i)
Wji=Xj (t), i,j= 1, ...,d,
ove t-+-x(l)(t)....,t-+-x(d)(t) sono d soluzioni dell'equazione in (8), ha determinan-
te w(t) non nullo per t EJ se e solo se w(t o )* 0 per qualche to E J.
*11. Se 1a matrice L(t) ha coefficienti costanti si ha
d d d
-w(t)=-det W(t)=( Ijj)w(t)
dt dt j=1

28
Capitolo secondo
e quindi
d
w(t)=w(to)exp(t-to).L ljj.
}=1
* 12. In generale la matrice W e tale che
d
- W(t)=L(t) W(t).
dt
*13. In relazione a (8) si faccia vedere che, se g1i elementi della matrice L(t),
t-+lij(t), sono funzioni periodiche di periodo T e se t-+X(I)(t), t-+X(2)(t), ..., t-+
-+ x(d)(t) sono d soluzioni linearmente indipendenti di x = Lx, t  0, devono esiste-
d 2 t t . A (i) . . - 1 d 1 . h
re cos an 1 j , I, ] - , ..., , ta 1 c e
x(il(t + T) =  A IiI xUI(t).
j=1 /
*14. La matrice A defmita in (13) ha determinante non nullo (si osservi che la
precedente relazione implica che W(t + T)=A W(t) e quindi w(t + T)=w(t). (det A».
*1 s. Si supponga l'esistenza di una matrice S invertibile e tale che
S A S- 1 = A
,
ove A e una matrice diagonale Aij = Ai S ij, i, j= 1, ..., d. Qui A e la rnatrice definita
in (13), (14). Allora posta (vedi (13»:
y(il(t)=  S;jx(j)(t) tO
j=l
si ha
i) y(I), ..., y(d) sono linearmente indipendenti
ii) y(i)(t + T)=Aiy(i)(t), t o.
*16. La piu generale soluzione dell'equazione di cui al problema (13), (14), (15),
e nelle ipotesi che valga la proprieta supposta in (15), ha la forma: 3a=(Qh".' aa)E
E R d tale che:
d tiT.
x(t) =  aj Aj z(/)(t),
J= 1
ove t -+z(j)(t) e una funzione periodica di periodo T. Si supponga prima Aj> 0
e si studi i1 caso generale dopo la lettura del  2.11.
Osservazione. Vedremo che esistono sempre d soluzioni linearrnente indipendenti
di x = Lx, ma l' esistenza di S e una condizione restrittiva. Se S non esiste si pub mo-
strare che la piu generale soluzione di i = L x con L periodica di periodo T, e di clas-
se Coo, si puo porre nella forma
P 6(if )
x(t) = 1; 1; Qjk "Jo,.}IT (c z(j)(t),
j=l k=1
ove p<:d, 8(j) e Ai sono opportune costanti e t-+z(j)(t), tO, sono funzioni pe-
riodiche. (Vedi, per esempio, H. Poincare, Les Me thodes Nouvelles de la Mecanique
Celeste, vol. 1, Gauthiers-Villars, Parigi 1892, pp. 63-68.)

29
Moti unidimensionali
* 1 7. Si consideri l'equazione differenziale
x +a(t)x + b(t)x = 0
tO
00
a, bEe ,
e, ridottala a un sistema di due equazioni lineari del primo ordine, si interpretino i
risultati dei problemi (8) 7 (16) in termini delle sue soluzioni.
* 18. Si dimostri, nel caso dell'equazione (1 7), che la matrice W del sistema del
primo ordine ad essa associata e
( x(I)(t) X(I)(t» )
W(t) =
X(2)(t) i(2)(t)
e
w(t)=a(t)w(t),
ove x ( 1) e x ( 2) sono due soluzioni indipenden tie
*19. Svolgere i problemi analoghi a (17), (18) nel caso dell'equazione lineare di
ordine n
d n x n - 1 d j x
+ L aij(t)=O tO.
dt n j=o d t 1
2.3 Proprieta generali di esistenza, unicita e regolarita dei moti. Esistenza
Un problema di esistenza di soluzioni della [2.2.4], e quindi [2.2.2], naturalmen-
te associato alla proprieta di unicita enunciata nella proposizione I del paragrafo
2.2 e risolto dalla seguente proposizione:
II Proposizione Sia F una funzione di classe Coo definita su R d X Rea valori
in Rd.
Dato Eo E R d , to ERe un intomo sferico chiuso di raggio p, S(o, p), di o esi-
ste Tp>Oedunasoluzione t-+>x(t), definitapertE[to-T p , to+Tpl, ediclasse
C( 1) della [2.2.4] tale che
x(to)=o, x(t)ES(Eo, p).
[2.3.1]
Se si definisce
M p  t = max IF(, r)1
, O' 0 tES(to' p)
T E [ to - p, to + p]
[2.3.2]
si pub scegliere:
Tp = p(1 + Mp, o, t o )- 1
[2.3.3]
Osservazioni
1) Per la proposizione I del pargrafo 2.2 la soluzione e anche di classe Coo e
unica fra quelle di classe C(I) verificanti [2.3.1].

30
Capitolo secondo
2) La dimostrazione che segue e "costruttiva" nel senso che fomisce una suc-
cessione di funzioni tx(n)(t), tE [to - Tp, to + T p ], che approssimano, per n OO,
la soluzione ricercata e, al tempo stesso, fomiscono una valutazione dell' errore di
approssimazione definito come max Ix (t)-x(n)(t)l.
tE [to- Tp' t o + TpJ
3) Nelle applicazioni e spesso utile non seguire 10 schema di risoluzione della
[2.2.4] proposto dalla dimostrazione (che segue) della proposizione II. Bens! con-
viene spesso utilizzare procedimenti ad hoc che utilizzano Ie particolari proprieta
della F in esame.
Con tali procedimenti si possono, di solito, ottenere stime degli errori di appros-
simazione.che interessano assai migliori di quelle che seguono dall'applicazione di
metodi molto generali.
4) E' importante farsi una ragione della limitazione posta sull'intervallo d.i esi-
stenza [to - Tp, to + T p ] della soluzione.
Nel corso della dimostrazione appare necessario avere un controllo a priori di
quanto al massimo pub, x (t), allontanarsi da o (la posizione iniziale per t = to).
La continuita di F garantisce la fmitezza del massimo di IF(, t)1 per  ES(o, p),
rE [to - p, to + p] (ad esempio) e, quindi, in tutto l'interva1lo [to - Tp, to + Tp], do-
ve Tp e dato da [2.3.3] il punto x(t) si mantiene entro la sfera S(o, p) perche
Ix(t)1 = IF(x(t), t)1 e il secondo membro di questa relazione non supera [2.3.2].
L'intervallo [to - Tp, to + T p ] non e certo ottimale, se non altro perche la scel-
ta dell'insieme S(o, p) X [to - p, to + p] suI quale valutare il massimo di F e arbi-
traria: un migliore intervallo di esistenza potrebbe essere ottenuto sfruttando que-
sta arbitrarieta e ottimizzando sugli insiemi sui quali si pub valutare il massimo.
5) Infme non ci si pub attendere in generale un intervallo di esistenza infinito,
contenente cioe R+, come si vede a mezzo di controesempi: il piu semplice e for-
nito dall'equazione x =x 2 in R 1.
Dimostrazione. Anziche studiare soluzioni di classe C (1) della [2.2.4] verifican-
ti [2.3.1] studieremo soluzioni di classe C(o), t x (t), t E [to - Tp, to + T p ] del-
l'equazione:
t
x(t)=o + J F(x(r), r) dr
to
[2.3.4 ]
verificanti [2.3.1].
E' evidente che ogni funzione continua che verifica [2.3.4] e [2.3.1] e una solu-
zione di classe C(I) delle [2.2.4] e [2.3.1] e viceversa.
Definiamo per tE[to-T p , t o + T p ] la successione di funzioni tx(n)(t), n=
= 0, 1, ..., a valori in R d a mezzo del seguente schema ricorsivo
x(O)(t)=o t
X(I)(t)=o + J F(x(o)(r), T) dr
to
t
x(n)(t) =o + J F(x(n - 1)(T), r) dr
to
[2.3.5]

31
Moti unidimensionali
n = 0, 1, 2,... Si noti che ognuna di queste funzioni e continua, anzi di classe Coo,
su [t o - Tp, to + T p ].
Facciamo vedere che esiste, unifonnemente per tE [to - Tp, to + T p ] illimite
lim x(n)(t) =x(t)
n-+ oo
[2.3.6]
e che tale limite, che per la unifonnita della convergenza di [2.3.6] sara una fun-
zione continua (essendo tale x(n»), defmisce una soluzione di [2.2.4], [2.3.1].
Si dimostrera l'esistenza e l'uniformita del limite [2.3.6] riscrivendolo come:
00
x(o)(t)+ L (x(k)(t)-x(k.l)(t))
k=l
[2.3.7]
e deducendo che, posto
Ilk = max Ix(k)(t) -X(k.l )(t)1
tE [t o - Tp, t o + TpJ
[2.3.8 ]
la serle
00
L Ilk
k=l
[2.3.9]
e convergente. Questo significhera che la serle [2.3.7] e uniformemente convergen-
te per tE [to - Tp, to + T p ] e, dunque, 10 stesso potra dirsi dellimite [2.3.6].
Per stimare Ilk si pub, riferendosi alle [2.3.5], osservare che, per k = 2, 3, ...:
t
x(k)(t)-x(k- l)(t)= J. (F(x(k-l)(r), r)- F(x(k- 2)(r), r» dr.
o
[2.3.10]
Utilizziamo allora il teorema di Taylor nella forma:
IF(, r) - F(l1, r)1  Lro. p, tolE -111
\f, 11 ES(Eo, p), \frE[to-T p , t o + T p ] ove
[2.3.11]
L -
to' p, to -
d
max L
rES(O' p) I, }= 1
t E [ to - T p' to + T p ]
aF(i)
()j (, t) .
[2.3.12]
Si pub allora dedurre da11e [2.3.10], [2.3.11]:
Ix(k)(t)-x(k-l)(t)1 Lt: t J Ix(k-l)(r)-x(k-2)(r)1 d;
 0' p, 0 (t 0' t]
[2.3.13]
\fk = 2, 3, ..., purche si verifichi preliminarmente che \fk = 0, 1, 2,... Ie funzioni
tx(k)(t), tE[to-T p ' t o + Tp], abbiano valori in S(o, p).
Quest'ultima proprieta e facilmente verificabile per induzione a partire dalle
[2.3.5] in virtu della scelta di Tp (che, come si e detto nell'osservazione (4) pre-
cedente, e appunto stato scelto in modo che questa proprieta sia vera): per indu-
zione supponiamo che Ix(h)(t)-ol  p, \fh =0, 1, ..., k-l, evidente per k= 1, e
dimostrlamo che Ix(k)(t)- o I  p. DaIle [2.3.5] si ha

32
Capitolo secondo
IX(k)(t) -o I  J drIF(x(k-I)(r), r)1 
[1 0 , t]
 M p  tit - to I  M p I: t T p < p.
,  0' 0 ,  0' 0
[2.3.14]
Tornando alla [2.3.13], vediamo che essa implica, per iterazione e, poi, per
[2.3.14] con k= 1:
Ix (k)(t) - x(k - l)(t)I";; L:- 1 t dT 1 J dTl f dT 2 ...
0' p, 0 [t 0' t] [ to' T 1 ] [t 0' T 1 ]
k-I
J (I) k- 1 Tp
dr k - 1 I x ( r k - I) -  0 I  L to, p, to , P
[to, Tk-2] (k-l).
perche Tplt-tol.
Evidentemente la [2.3.15] dimostra la convergenza della serle [2.3.9] e, quindi,
illimite [2.3.6] esiste unifonnemente per ,t E [to - Tp, to + T p ] e defmisce una fun-
zione t  x(t), in questo intetvallo, a valori in S(o, p). Questa funzione verifica la
[2.3.4] come si vede immediatamente passando allimite per n oo in [2.3.5] e uti-
lizzando la unifonnita della convergenza del1imite [2.3.6] per passare allimite sot-
to il segno d'integrale.
La [2.3.1] e anche conseguenza di quanto detto.
[2.3.15]
mbe
2.3 Schemi di esercizi
1. Si stimi inferiormente e superiormente l'ampiezza Tp dell'intervallo di esi-
stenza delle seguen ti equazioni
i=x
i =x + x 2
x=x-i: +x 2
i=-i 2
x=-sinx
x(O) = 0,
x(O)= 0,
x(O)=O,
x(O)= 0,
x(O)= 0,
i(O)= 1
i(O)= 1
i(O)= 1 e x(O)= 1, i(O)= 0
i(O) = 1
x(O)= 1.
2. Si risolvano Ie equazioni
x = - x 2
i=x
i = (cos X)2
x=4(x 3 -x)
x=-(4x 3 -6x 2 +2x)
x(O) = 1
x(O)= 1,
x(O)= 1
x(O).= 0,
x(O)= 0,
x(O)=O
x(O)=Y2
x(O)= I/Y2
Si ut:1izzi, per Ie due ultime, Ia conservazione dell'energia.
3. Si risolvano Ie equazioni
x=x+y _ _
. +2 x(O)-O, y(O)-I.
y=-x y
4. Si trovino due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione in (3).
*5. Si calcoli esplicitamen-te w(t) (vedi esercizi (10-;'- (18)  2.2) per Ie due so-
Iuzioni trovate in (4).

33
Moti unidimensionali
*6. Se t L(t) e una matrice d Xd di classe Coo, tE R, l'equazione
x(t)=L(t)x(t) tE [- T, T]
ammette d soluzioni linearmente indipendenti, se T e abbastanza piccolo. Sono,
d . 1 1 .. . d t . . d t .. . . all (i) (O) £ . 1 d
a esemplO, e so uZlonl cornspon en 1 at a 1 InlZl : Xj = U ij, ] = , ..., per
i= 1, ..., d.
2.4 I'roprieta generali di esistenza, unicita e regolarita dei motL Regolarita
Abbiamo visto che Ie soluzioni di cIa sse C (I) della [2.2.4] sono di classe Coo, ne-
cessariamente. E' questa la piu semplice proprieta di re go lari ta delle soluzioni del-
le equazioni differenziali del tipo [2.2.4] con F di classe Coo.
Ci occuperemo ora di altre proprieta di regolarita delle soluzioni di [2.2.4].
Nelle applicazioni spesso accade che i1 secondo membro di [2.2.4] dipenda da
parametri aE R m e che, inoltre, sia importante sapere come variano Ie soluzioni
della [2.2.4] con dato iniziale o a1 variare di Q e dello stesso o.
Una prima risposta a questa domanda e fornita dalIa seguente proposizione:
HI Proposizione Sia, t, QF(, t, Q) una funzione di classe Coo definita su
R d X R X R m a valori in R d e si consideri l'equazione
t
x(t)=o + S F(X(T), T, Qo) dT [2.4.1]
to
come equazione per la funzione t  x (t) parametrizzata da o, to, ao E R d X R X R m .
Dati p>O e ( , t, Q )ERdXRXR m esiste Tp>O tale che:
i) La [2.4.1] ammette una soluzione per ogni o, to, ero verificanti Io-  I <  ,
Ito- 71 <  ' IQo- er l <  ; tale soluzione, che denoteremo t-+x(t)=St(o, to, ero),
e definita per tE[to-T p , to + T p ], Tp>O.
ii) La funzione
(t,  0, to, ao)  s t (o, to, Qo),
[2.4.2]
definita per
- p - p - p
Io-I < 2' Ito- tl < 2' IQo-(t1 < 2' It-to 1 < Tp,
[2.4.3 ]
ha valori nella sfera di raggio p e centro  in R d ed e di classe Coo.
ill) n valore Tp pub essere scelto
Tp = p/2 (1 + maxIF(, (t, t)1)
[2.4.4]
ove il massimo e da considerarsi sull'insieme I-Ip, 1(t- Q Ip, It-tlp.

34
Capitolo secondo
Osservazioni
1) La [2.4.1] e equivalente alla
x(t)=F(x(t), t, Qo), x(to)=o
[2.4.5]
e, quindi, la proposizione III fornisce un teorema di regolarita delle soluzioni della
[2.4.5] in funzione dei dati iniziali, del tempo, e di eventuali parametri a dai quali
pub dipendere F.
GIi insiemi [2.4.3] e la stima [2.4.4] non devono essere presi troppo suI serio, in
quanto non sono ottimali, ma solo indicativi del tipo di concretezza cui si pub per-
venire nel fonnulare un criterio di regolarita.
2) Posto fj =«(3h ..., (3d+m +2) = «O)h (0)2' ..., (O)d' (ao)., ..., (ao)m, t, to)
e abbreviando
s t(  0, to, Qo) = « S t (o, to, ao)) h ..., (S t( 0, to, aO))d)
[2.4.6]
in
x (t) = (x 1 (t), ..., Xd(t))
[2.4.7]
e derivando fonnalmente la [2.4.5] rispetto a (3i, i = 1, 2, ..., m + d, si trova:
d ax(t) d aFaXh(t)
dt a(3o =  - a l: (x(t), t, (to) a(3. +
I h= 1 h I
m aF aak
+  _ a (x(t), t,) a(3
k= 1 ak i
[2.4.8 ]
e
( ) }=to = ;
[2.4.9]
'Vi = 1, 2, ..., m + d.
Anche si potrebbero ottenere equazioni analoghe per Ie derivate di ordine supe-
riore a1 primo. ax oCt)
3) Vedremo, dalla dimostrazione che segue, che Ie derivate ;. effettivamen-
te verificano queste d(m +d) equazioni [2.4.8], [2.4.9]. I
4) Le d(m + d) equazioni [2.4.8], [2.4.9] possono essere considerate immaginan-
do che x(t) sia una funzione nota (ottenuta risolvendo la [2.4.5]). Allora Ie [2.4.8],
[2.4.9] con i = 1, ..., d possono essere interpretate come un sistema di d 2 equazioni
dif  0 Ii !in . d 1 t . [2 2 4] II d 2. . aXj(t) . . _ 1 d . .
lerenzla earl, e IpO .. , ne e mcognlte , I, / - , ..., , m CUI
a(o )i
Ie [2.4.9] con i = 1, ..., d fungono da dati iniziali per t = to.
Le [2.4.8], [2.4.9] con i=m + 1, ..., m +d, analogamente, si interpretano come
d .. !in . II d . 0 aXj (t) . 1 d 1 .. 1
m equazlom ean ne e m mcogmte , / = , ..., ,s = , ..., m m CUI e
[2.4.9] fungono da dati iniziali. a(ao)s
Ciascuno di questi due sistemi pub essere risolto pensandolo come una equazio-

35
Moti unidimensionali
ne differenziale lineare del tipo [2.2.4] con certi dati iniziali: e questo un modo
ax.
per calcolare effettivamente Ie derivate 3fj che, come vedremo in varie istanze,
sara utile. 1
Dimostrazione. La dimostrazione di questa proposizione e, essenzialmente, una
ripetizione della dimostrazione del teorema di esistenza del paragrafo 2.3.
Ne daremo solo uno schizzo lasciando allettore, ove 10 ritenga necessario, la cu-
ra di completarne i dettagli.
L'affennazione circa l'esistenza (e unicita) delle soluzioni [2.4.2] per t E [to - Tp,
to + T p ] e Io-  I   ' lao- a I   ' Ito- 71   segue facilmente dalla proposi-
zione II, insieme alla stima [2.4.4] per Tp (identificando il parametro p della II con
p/2).
Facciamo ora vedere che (t, o, to, ao)-+St(o, to, ao) e di classe C(I) nell'in-
sieme [2.4.3].
Sia 1J=(b ..., m+d+2) come nella precedente osservazione (2) e ricordiamo
che, come visto a1 paragrafo 2.3, possiamo immaginare che t-+St(o, fo, Qo) sia
ottenuta come limite della successione di funzioni t-+x(n)(t, o, to, Qo) defInite
ricorsivamente per t E [to - Tp, to + T p ]:
x(o)(t, o, to, ao) = Eo
t
x(n)(t, o, to, ao)=o + J F(x(n-I)(T, o, to, ao), T, ao)) dT
to
[2.4.10]
per n = 1, 2, 3,...
E' ovvio, da questa defmizione, che Ie funzioni (t, o, to, ao)-+x(n)(t, o, to, ao)
sono di classe Coo, 'tin.
Inoltre differenziando la seconda delle [2.4.10] rispetto a (3i, i = 1, ..., m + d + 2,
si ottiene per Ie regole di derivazione degli integrali e delle funzioni composte:
3x(n)(t, o, to, ao) = 30 + J t {  aF ( (n -1) (  ) .
aRe an.. a. \x T, (to, to, ao
fJl fJl to J=O C;J
(n-I) }
axj . (T, o, to, ao) m aF (n -I) aQI
· 3fjj + 1; _ a (x (T, o, t, ao), T, ao) a Re dT +
1=1 QI fJl
( (n-l) at ( ato [2.4.11]
+F\x (t, o, to, ao), t, ao) a{3i -F to, to, ao) a(3i
ove gli ultimi due termini provengono dai contributi alle derivate da parte degli
estremi di integrazione e, inoltre, si e usata l'identita x(n -1)(t o , o, to, ao) = o.
ax(n) ax(n - I)
Questa relazione fra a(3i e a(3i pub essere u tilizzata per stimare Ie

36
Capitolo secondo
ax (n) OX (n - 1) I I !in d 11 d . . d 11 . . II
- ungo e ee e a lffiostrazlone e a propos1Z10ne , paragra-
ol3i ol3i
fo 2.2. Procedendo come allora e osservando che Ie [2.4.10] implicano, vista la
scelta di Tp, che
Ix(n)(t, Eo, to, ao)-olp [2.4.12]
'tin =0, 1, ..., si deduce da [2.4.11], [2.4.12] che esistono due costanti M , L tali che
ax(n) _
3(3; (t, to, to, eto) <:OM [2.4.13]
ax(n) ox(n - 1) In -1 _
3(3 (t, to, to, eto)- 3(3 (t, to, to, eta) <:0 M [2.4.14]
i i (n-l)!
valide per t, «0, to, Eo nella regione [2.4.3] e per n = 1, 2, ...
Le [2.4.13] e [2.4.14] aIlora implicano l'esistenza e l'uniformita, nella regione
[2.4.3], del limite
. ax(n)
"P;(t, to, to, eta) = Jim 3(3. (t, to, to, eto)= [2.4.15]
n-.+ oo I
ax(O) . 00 ( ox(n) ox(n -1) )
= 3(3; (t, to, to, eto) + n: 1 3(3; (t, to, to, eto) - 3(3; (t, to, to, eta)
i = 1, 2, ..., m + d + 2: tale limite e, dunque, una funzione continua nella regione
[2.4.3].
Poiche illimite Jim x(n)(t, o, to, «0) esiste ed e uguale a St(o, to, ao), runi-
n-. 00
fonnita del limite [2.4.15] garantisce la intercambiabilitA del limite in [2.4.15] e
dell'operazione ; che in esso appare e, quindi, mostra la derivabiJitA di St(to,
to, Qo) e la sua continuita in [2.4.3]. In altre parole questo mostra che questa fun.
zione e di classe C(t} nella regione [2.4.3] e, per inciso, mostra anche, via la consi.
derazione del limite per n oo nella [2.4.11], la validita dell'affennazione ne11'osser.
vazione (3) seguente la proposizione III.
Un argomento essenzialrnente identico puo essere sviluppato per mostrare che
(t, Eo, to, ao)St(Eo, to, Qo) e di classe c(p), "tip;;' 1; bastera derivare un nume-
ro sufficiente di volte la [2.4.11], membro a membro, per ottenere relazioni analo-
ghe aIla [2.4.11] per Ie derivate di ordine superiore e poi utilizzarle per ottenere
stime analoghe aIle [2.4.13], [2.4.14].
moo
Osservazione. Se si fosse supposta F di classe C(k), k;;' 1, si sarebbe potuto an-
cora ottenere un teorema di regolarita: si sarebbe pero solo potuto dimostrare (con
la stessa dimostrazione de11a proposizione III) che la funzione (t, Eo, to, ao)-+
 St(Eo, to, (to) e di classe C(k).

37
Moti unidimensionali
2.5 Soluzioni locali e globali di equazioni differenziali
La teoria finora svolta dell'equazione differenziale in R d
x(t) =F(x(t), t)
x(to)=o
[2.5.1]
[2.5.2]
ove F e una funzione in COO(R d X R) a valori in R d e una teoria "locale": il teore-
ma di esistenza del paragrafo 2.3 infatti fomisce una soluzione della [2.5.1], [2.5.2]
defmita solo in un intomo finito di to.
Nelle applicazioni, per evidenti motivi, occorre spesso avere a disposizione cri-
teri che consentano di garantire l'esistenza e l'unicita di soluzioni di [2.5.1], [2.5.2]
in intervalli di tempo contenenti un intorno di R+ = [0, + 00]): chiameremo queste
soluzioni "gIobali" (nel futuro).
Per analizzare questo problema premettiamo la seguente defmizione:
2 Definizione Una soluzione tSt(o, to) delLa [2.5.1], [2.5.2] dejinita per
tE(a, b) si dice "mas sim ale " se non esistono soluzioni della stessa [2.5.1], [2.5.2]
definite in intervalli aperti che contengono propriamente (a, b).
Date due soluzioni di [2.5.1], [2.5.2] dejinite in intervalli aperti /1 e /2 conte-
nenti to e chiaro che tali soluzioni coincidono in /1 n/ 2 (vedi proposizione I, p. 24):
se /2 :J / h propriamente si dice che la seconda soluzione e un "pro lungam en to "
della prima.
Osservazioni
1) Una soluzione di [2.5.1], [2.5.2] e, dunque, massimale se e solo se "non e
prolungabile" .
2) E' chiaro che per ogni dato iniziale [2.5.2] esiste una soluzione di [2.5.1]
che 10 rispetta ed e massimale: l'intervallo di defmizione di questa soluzione e, in-
vero, l'unione di tutti gli intervalli sui quali e possibiIe defmire una soluzione di
[2.5.1], [2.5.2].
3) Nella definizione di intervallo massimale intervengono solo intervalli aperti:
far vedere, per esercizio, che se si allargasse la classe di intervalli considerati l'inter-
vallo massimale rimarrebbe, anche nel nuovo senso, uguale a quello ora definito (si
usi i1 teorema di esistenza del  2.2 per prolungare soluzioni di [2.5.1], [2.5.2] fuo-
ri di intervalli chiusi 0 semichiusi).
IV Proposizione Sia tSt(o, to) una soluzione massimale di [2.5.1], [2.5.2]
e sia (a, b) l'intervallo sul Quale tale soluzione e definita, (toE (a, b)): se b < + 00
si ha
lim supISt(o, to)1 = + 00
t -+ b-
[2.5.3 ]

38
C8pitolo secondo
se a>-oo
lim supISt(Eo, to)1 = + 00.
ta+
[2.5.4 ]
Osservazione. In altre parole una soluzione di una equazione differenziale, tipo
[2.5.1], [2.5.2], pub non essere globale nel futuro se e solo se "diverge in un tem-
po fmito".
Dimostrazione. Supponiamo che lim supISt(Eo, to)1 < + 00.
Esiste allora K < + 00 tale che: tb-
ISt(o, tol K 'ftE [to, b).
[2.5.5 ]
Dalla proposizione II del paragrafo 2.3, per ogni r E [to, b) potremo trovare una
soluzione dell'equazione:
x(t)=F(x(t), t)
x(r)=S1'(o, to)
[2.5.6]
defmita in un intervallo [r- T., r + T 1 ] che, per la [2.3.3] del paragrafo 2.3 (con
p = 1), pub essere stimato come
T 1 =(1 + max IF(, t)I)-I;>(1 + max IF(E, t)I)-1 = T 1
It-TI<l Itl<l+IaI+lbl
It-.x(T)I<l Itl<I+K
[2.5.7]
e, ovviamente, per tE(r- T ., r + T I) n [to, b) si deve avere x(t) = St(Eo, to), per
il teorema di unicita.
E' quindi chiaro che la soluzione t-+St(Eo, to), in esame, della [2.5.1], [2.5.2]
pub essere estesa ad una soluzione defmita per
tE U (r- T ., r+ T 1 )=(t o - T ., b+ T 1 )
TE(t o ' b)
[2.5.8]
e questo contraddice l'ipotizzata massimalita di (a, b). Similmente si ragiona per
t -+a+.
mbe
Conviene, vista questa proposizione, porre la defmizione seguente:
j Defmizione Si consideri l'equazione differenziale [2.5.1]. Se etiste una fun-
zione (r, s, t) -+ jJ (r, s, t) definita e continua su R 3 a valori in R e tale che, se
t-+St(o, to) e una soluzione di [2.5.1], [2.5.2] per tE(a, b), si ha
ISt<o, to)1 (IEol, to, t) [2.5.9]
'fo E R d , to ER, t E R, t  to, si dice che la [2.5.1] e "un 'equazione differenziale
normale" (nel futuro).

39
Moti unidimensionali
Analogamente si definisce la norma/ita nel passato.
Osservazioni
1) La [2.5.9] e una forte condizione sui moti generati dalla [2.5.1]: per la sua
indipendenza da a e b viene talvolta chiamata "una stima a priori" suI mota gene-
rata da [2.5.1].
2) Un'equazione tipo [2.2.2] di ordine s si dira nonnale se, ridotta al primo or-
dine via Ie [2.2.3], e un'equazione normale nel senso ora definito.
Piil concretamente questo significa che e possibile dare una stima a priori, in
funzione dei dati iniziali x(t o ), x(t o ), ..., X(S-I)(t O ) e degli istanti iniziali to e di
osservazione t, dei moduli di x(t), x(t), ..., x(s- 1)(t) e, inoltre, questa stima di-
d . ., d ( ) . ( ) -(S-I) ( )
pen e con contmulta a to, t e x to , x to , ..., x to .
L'interesse della precedente proposizione e reso manifesto dalla seguente propo-
sizione :
V Proposizione Se l'equazione differenziale [2.5.1] e normale, aUora, per ogni
dato iniziale [2.5.2], ammette una soluzione globale (nel futuro).
Dimostrazione. Per la defmizione 3 se (a, b) e un intelVallo massimale di defi-
nizione di una soluzione di [2.5.1] verificante [2.5.2], e se b < + 00 si avra:
lim supl St(o, to)1  J.L (Iol , to, b)
t -. b-
[2.5.10]
e quindi il risultato segue dalla proposizione IV precedente.
mbe
Un esempio di eq\lazione nonnale e fornito dalla seguente proposizione:
VI Proposizione Si consideri l'equazione differenziale [2.1.1] descrivente i moti
di un punto materiale di massa m vincolato sulla retta e soggetto ad una forza pu-
ramente posizionale di classe Coo la cui energia potenziale V e inferiormente limita-
ta. Allora 1 'equazione [2.1.1] e normale (vedi osservazione 2 alia definizione 3).
Dimostrazione. Poiche, vedi paragrafo 2.1, se t -+ x (t) e un mota soluzione di
[2.1.1] definito per tE(a, b) e verificante x(to)=o, X(t o )=170' si ha
-4- mx(t)2 + V(x (t»=E= -4- m17 + V(o)
[2.5.11]
VtE(a, b) e, quindi:
( 2 ) 112 ( 2 ) 112
Ix(t)l= m(E-V(x(t))  m(E-M)
se M= inf V(), (M > -00 per ipotesi, e -+). Inoltre
ER
[2.5.12]

40
Capitolo secondo
t ( 2 ) 112
Ix (t)1 = Io + l x(r) drl  Iol + -,;;(E-M) It-tol [2.5.13]
ed e chiaro che [2.5.12], [2.5.13] implicano la normalita di [2.1.1], vista la dipen-
denza di E da o e 170.
mbe
Concludiamo questo paragrafo con un'ultima importante osselVazione sulle "sti-
me a priori".
Osservazione. Spesso nelle applicazioni si incontrano funzioni (x, t) -+ F(x, t)
che sono di classe Coo per (x, t) E (R d / A) X Rove A e un "insieme di sing 0 larita" ,
solitamente costituito da punti, linee, superfici 0, addirittura, regioni dotate di pun-
ti interni: in A X R la F non viene neppure definita. In tali casi tIe singolarita di F
significano che it modello che da origine alle [2.5.1], [2.5.2] non e un buon mo-
dello del fenomeno fisico che pretende descrivere, almeno se il dato iniziale [2.5.2]
o it mota da esso generato entrano nella regione A.
Ad esempio la forza di attrazione del Sole sulla Terra e ben descritta dalla for-
mula klxl- 2 solo se la distanza Ixl fra la Terra e it Sole e molto grande rispetto al
raggio del Sole:  chiaro che la singolarita in x =0 e puramente fittizia e dovuta a
eccessiva idealizzazione!
E' chiaro che, in questi casi, si e liberi di modificare la F su A ad esempio, tra-
sf onnandola in una funzione F (A) di cIa sse Coo su R d X R che fuori di A X R coin-
cide con F. L'equazione
x=F(A)(X, t)
[2.5.14]
sara un modello dello stesso fenomeno fisico altrettanto buono quanto il precedente.
E' ovvio, pero, che i soli moti interessanti fra quelli descritti da [2.5.14] saran-
no quelli che si svolgono fuori di A X Rove F e F (A) sono indistinguibili.
In questo libro troveremo talvolta equazioni aventi la fonna [2.5.1] ma con F
singolare in qualche regione: pero in tutti quei casi sara evidente l'esistenza di una
"stitpa a priori" che garantisce l'esistenza di una funzione continua e positiva p.' su
RdXRXR tale che, se t-+St(o, to) e una soluzione di [2.5.14] defmita per

t E (a, b) e con dato iniziale o E A = {insieme dei dati iniziali considerati interessan-
ti per il problema in esame}, si avra
d(St(o, to), A)p.'(o, to, ao) [2.5.15]
ove p.' e una funzione continua su RdX R X R e positiva se EoEA,,\e d(, A)= di-

stanza di e da A. Di solito si fara in modo che A=A c (eventualmente allargando
l'insieme A).
Per quanto ora detto  chiaro che, se siamo esclusivamente interessati a moti

che hanno origine fuori di A e A=A c , si potra immaginare che questi siano moti
che verificano la [2.5.14] e si potra, quindi, applicare ad essi i vari risultati concer-

41
Moti unidimensionali
nenti Ie equazioni differenziali con secondo membro di classe Coo. Queste elucubra-
zioni motivano la seguente definizione:
4 Defmizione Sia (, t)-+F(E, t) unafunzione di classe Coodefinita su (Rd/A)XR
e a valori in R d , ove A e un insieme chiuso in Rd.
Si supponga che:
i) Esiste una funzione F(A) di classe Coo su R d X R a valori in R d che su (Rd/A)X
X R coincide con F.
ii) Esiste una funzione J..I.' definita su R d X R X R a valori reali, continua, positi-
va su (Rd/A) X R X R, tale che, se t-+St(o, to)=x(t) e una funzione a valori in R d
definita per tE(a, b) e che verifica x(to)=o, X(t)E(Rd/A) per tE(a, b), e x(t)=
=F(x(t), t), tE(a, b), allora 'dtto, tE(a, b):
d(St(o, to)), A)J..I.'(o, t, to) >0; [2.5.16]
iii) L 'equazione differenziale x =F(A)(x, t) e normale.
Si dira allora, che l'equazione differenziale e "n orm ale " fuori di A (nel futuro).
Lasciamo come esercizio, allettore, la dimostrazione della seguente proposizione:
VII Proposizione Sia (, t)-+ F(, t) una funzione di classe Coo su (Rd/A) X R
e si consideri l'equazione differenziale x = F(x, t): se questa equazione e normale
tuori di AC R d , ogni dato iniziale EoA dil luogo a una soluzione locale di
x(t)=F(x(t), t); x(t o ) =o; x(t)f/= Rd/A
che e globalmente estendibile (nel futuro).
[2.5.17]
Come illettore potra verificare, per esercizio, quando perverra al capitol0 4,
( 4.9), un esempio interessante della situazione contemplata nella definizione 4 e
proposizione VII 10 si trova nel problema dei due corpi: l'insieme A e, in quel ca-
so, l'insieme dei dati iniziali in cui la distanza fra i due corpi e nulla, ovvero e nul-
la la velocita areolare iniziale (per motivi evidenti questi ultimi dati iniziali vengo-
no classificati come singolari anche se, quando la distanza iniziale fra i due corpi
e non nulla, la Fein realta regolare).
2. S Schemi di pro blemi ed esercizi
*1. Sia t-+x(t) una funzione di classe COO su R d tale che
t
Ix(t)\\x(O)I+MJlx(T)\ dT tO,
o
all or a
Ix(t)\  y(t) t  0

42
Capi tolo secondo
ove y(t) e defmito come soluzione di
t
y(t)= Ix(O)1 + M J y(r) dr t  0
o
e cioe y(t) = Ix(O)1 exp Mt.
*2. Se -+'P() e una funzione monotona crescente di ER, e 'PO e t-+x(t)E
E COO(R) e tale che
Ix(t)I";; Ix(O)1 + f 'P(lx(r)1) dr t  0
o
si ha
Ix(t)ly(t) tO
t
se y(t) e definita da y(t) = Ix(O)1 + J 'P(y(r» dr, se, cioo, posto
o
f dl1
4>(y)=
1%(0)1 'P(11)
y(t) verifica 4>(y(t» = t, (y(t)=4>- 1 (t».
*3. Condizione sufficiente affinche l'equazione differenziale in R d , x = {(x, t),
sia normale e che, posto per ogni r> 0:
'PT(S)= max If(E, t)1
tE [0, T]
Jtls
l'equazione, su C l (R),
Y='PT(Y) y(O)=lx(O)1 t
sia pormale per ogni T. (Idea: x(t)=x(O) + i f(lx(r)1) dT Ix(t)I";; Ix(O) +
+ i 'PT(lx(r)1) dr; si applichi poi l'esercizio 2.)
*4. Se t-+ L(t) e una matrice di classe Coo, defmita per tE R, l'equazione i =L(t)x
e normale (nel passato come nel futuro).
.s. L'equazione di cui al (4) ha d soluzioni globali linearmente indipendenti.
6. Si calcoli con l'approssimazione del 60% it valore -x( 1) della soluzione del-
l' equazione
x(t)+ log(1 +x(t)2)=0, x(O)=O,
. 1
x(O)=Z.
7. Come (6) per
x + sin x = 0,
x(O) = 0,
. 1
x(O)= 4.
8. Come (6), (7) per Ie equazioni degli esercizi del paragrafo 2.3.
*9. Come (6) ma con l'approssimazione dell' 1% usando un calcolatore da tavo-
10 e la stima dell'errore implicita nel teorema di esistenza del paragrafo 2.3, ovve-
ro con it metodo dell' Appendice O.

43
Moti unidimensionali
10. Come (9), ma usando l'integrale dell'energia e la relativa formula di qua-
dratura.
11. Come (9) per l'equazione in (7) (pendolo).
2.6 Moti periodici e aperiodici unidimensionali conservativi
Ritomiamo ora, dopo la parentesi sulle questioni generali di esistenza, unicita e
regolarita per Ie equazioni differenziali ordinarie, alIa teoria qualitativa del mota
che si svolge sotto l'azione di una forza [puramente ..posizionale considerata al pa-
ragrafo 2.1, [2.1.1].
Per tali moti, abbiamo visto al paragrafo 2.1, vale il teorema di conservazione
dell'energia (e, percio, si dicono anche "moti conservativi" 0 "generati da forze
conse IV ative").
Ci occuperemo ora di analizzare in quali circostanze i moti, soluzioni di una
equazione differenziale come la [2.1.1], sono periodici e in quali aperiodici.
Si consideri allora l'equazione differenziale [2.1.1] e si su pponga che la forza [
sia gene rata da una funzione   V() di classe Coo, sua energia potenziale, che ora
supporremo inferionnente limitata cosicche, per la proposizione VI, il mota e glo-
bale per ogni dato iniziale: cioe dato (170, o)E R X R e to ER esiste una, e una
sola, soluzione tx(t) della [2.1.1]: definita per tE[to, +00) e ivi di classe Coo,
tale che
X(t o )=170' x(to)=o.
[2.6.1]
Allora se E =  7l + V(o) possiamo rappresentare graficamente i1 dato inizia-
Ie e l'energia potenziale come nella figura 2.1.
Vale la seguente proposizione:
VIII Proposizione n moto tx(t), tE [to, + 00), di [2.1.1] con dato iniziale
[2.6.1] e, se M=infV(»-oo, periodico con periodo minimo positivo se e solo
t
se o e compreso [ra due valori adiacenti x_ < x+ tali che E - V(x:t) = 0 e in cui la
derivata di V e, rispettivamente, positiva e negativa.
Dimostrazione. Anzitutto, Vt to, deve essere x(t)E [x_, x+]: infatti l'ipotesi
su : (x:!:) implica E-V()<O in un intomo destro di x+ e sinistro di X_o Poiche
t  x (t) e una funzione continua di t E [to, + 00) il moto, qualora uscisse da [x_, x+]
dovrebbe necessariamente visitare uno di questi due intomi ove, per [2.1.1], do-
vrebbe avere energia cinetica negativa e, questo, e impossibile.
Chiamiamo, allora, supposto 170>0, t+={sup dei valori di tO tali che X(T)O,

44
Capitolo secondo
v
Figura 2.1
'IT E [to, t)} e, dalla [2.1.8], si deduce
x(t) = ( (E- V(X(t)))J 12 to";' t";' t+ [2.6.2]
per la con tinuita di t  x (t) e l'ipotesi 17 0> o. Per valu tare t + osserviamo che [2.6.2]
imPliC;_to :r ( (E-V())Y 1/2  [2.6.3]
per t 0  t < t +. Se allora mostriamo che
lim x(t)=x+
t -+ t+
[2.6.4]
si potra usare [2.6.3] per scrivere
x+ ( 2 ) - 112
t+ -to=}o -;;(E-V(n) d [2.6.5]
che ci servira a dedurre che t+ < + 00, ossia che il punto impiega un tempo fmito
per raggiungere x+.
Una volta raggiunto x+ non vi potra restare: infatti per ipotesi f(X+) =

45
Moti unidimensionali
= -  (x+)<0 e, quindi, per [2.1.1] si avnl x(t+)<O e, dunque, per t in un intor-
no destro di t+ si avra, per il teorema di Lagrange, x(t)<O e x(t) <x+. Si potra al-
lora ripetere il. ragionamento gia fatto per dedurre che
( 2 ) + 112
x(t)=- m(E-V(x(t))) tE [t+, t_]
ove t_ e, analogamente a t+, defmito da t_ = {sup dei valori di t> t+ tali che
x(r)<O, 'VrE(t+, t)}.
Procedendo come prima si mostrera che
[2.6.6]
x_ ( 2 ) - 112
t_:-t+=J- -(E-V()) 
x+ m
[2.6.7]
e che t_-t+<+oo.
E' allora chiaro che il ragionamento si potra ripetere e che, do po un ulteriore
intervallo di tempo t' -t_ il punto ripassera per o con velocita positiva 110 e
t o ( 2 ) - 112
t'-c= l m(E-V()) dJ;
[2.6.8 ]
E' chiaro che, da questo punto in poi, il moto si ripetera identico a prima e
cioe x(t+T)=x(t), 'VtO, ove Te la somma degli intervalli di tempo [2.6.5],
[2.6.7], [2.6.8]:
x+ ( 2 ) -112
T=2J m(E-V()) dJ;
[2.6.9]
e dunque il mota e periodico (vedi anche il problema (3) del  2.2).
Resta allora da far vedere [2.6.4] e mostrare che [2.6.5] implica t+ < + 00. Poi-
che per t < t... si ha x (t) > 0, e chiaro che esiste illimite x = lim x (t) ed e raggiun-
t -+ t+
to con monotonia. Non pub essere x <x+, perche allora v = lim x(t)=
= ; (E- V( x ))t 112 >0 che e incompatibile con l'esistenza tite x 0 con la
defmizione del valore t+: se, infatti, il valore di t+ fosse + 00, sarebbe chiaro che
V >0 implicherebbe x = + 00 (contro x <x+); se, invece, t+ < + 00, si avrebbe V =
=x(t+»O e quindi x(t) sarebbe positivo in un intorno di t+ contro la definizione
di t +.
Dunque x =x+ e da [2.6.3] segue [2.6.5]. Per vedere ora che [26.5] implica
t + < + 00, applichiamo il teorema di Lagrange per dedurre che esiste una posizione
xE(o, x+) tale che
E-V(nE-V(x+)+ [(x+) i-x+) = [(x+)i-x+) [2.6.10]
VE(X, x+): infatti E=V(x+) e -  (x+)=[(x+)<O e la differenza (E-V())-

46
Cepitolo secondo
-(E-V(x+)) + f(x+) (-X+) e infmitesima di ordine superiore in (-x+) per x+.
Allora
X [2 ) - 112
t+ -to  t\--;;(E-V()) d +
+T (; f;+) (_x+)Jlfl dJ;<+00
x I. ) - 112
perche il primo integrale e fmito (essendo min\ ; (E- v() < + 00 per E [o, X'D
mentre il secondo e fmito come si pub esplicitamente verificare calcolandolo.
Per concludere 1a dimostrazione occorre considerare i casi 170 <0 e poi 110 = 0
(cioe o =x:t:): tali casi si riducono facilmente a quello ora trattato 0 si trattano di-
rettamente lungo Ie stesse linee. Li lasciamo allettore come esercizio.
Inoltre occorre ancora far vedere che, se f(X+)=O ovvero f(x_) = 0, ovvero f(x+)=
= f(x_) =0 0, addirittura, X+ 0 x_ 0 entrambi non esistono, i1 mota non e periodi-
co oppure ha periodo nullo. Quest'ultimo caso si presenta se e solo se 170 = 0,
f(o)=O: si dice, allora, che o e un "punto di equilibrio". Degli altri casi tratte-
remo, per esempio, solo i1 caso 170>0, f(X+)=O.
Procedendo come prima si dimostra che t+ e dato ancora dalla [2.6.5]; ma ora
per stirn are t + occorre migliorare la [2.6.10] usando 1a formula di Taylor al secon-
do ordine 6 poiche f(X+) =0: se f'(x+)= :i (x+) si ha
E-V(n=  f'(x+)(-X+)2 +o«-X+)2)
[2.6.11]
[2.6.12]
poiche la funzione a sinistra e nulla con la sua prima derivata in x+. Quindi esiste
x' E(o, x+) tale che, se f'(x+) >0:
E-V()f'(x+) (-X+)2 E(X', x+). [2.6.13]
Supponiamo, per semplicita, che appunto f'(x+) >0 e, allora, da [2.6.5], [2.6.13]
deduciamo
x+ ( 2 ) -112
t+ -to J - f'(x+) (-X+)2 d= +00.
-, m
x
[2.6.14]
Lasciamo a1lettore, come esercizio, anche il caso in cui f'(x+)=O (in tal caso,
si Caccia vedere, E - V() si annulla per   x+ piu velocemente di (- X+)2 e, quin-
di, l'integrale [2.6.5 ] diverge).
mbe
Enunciamo, per futura referenza, la seguente ovvia
IX Proposizione Se oER iafunzione tx(t) = o, costante, e soluzione di
6 Vedi app. B.

47
Moti unidimensionali
[2.1.1] se e solo se o e un pun to di stazionarietiz per v:
Dimostrazione. f(o)=O se e solo se -  (o)=O.
2.6 Schemi di esercizi
1. Si stimi il periodo del moto verificante l'equazione
x=x(x-l)
x(O) = 0,
1
x(o)= .J2'
. 1
x(0)=2
x(O)=O
ovvero
x = - 2x -4x 3
a meno del 60%.
2. Come (1) per l'equazione
x=-x 3 x(O)=O, x(O)=l.
3. Si dimostri che il periodo del moto di energia totale E verificante x = - x 3
ha periodo T(E) tale che 1im T(E) = + 00.
EV(oY
4. Si dimostri che il periodo del moto di energia E verificante l'equazione
mx=- : e, se V(O)=O V'(O)=O, V"(O»O, tale che
lim T(E) = 21T - .
Eo+ V V"(O)
s. Si stimi inferiormente e superiormente, a meno del 60% il periodo del moto
.. x
x=-
l+x
x(O)= 0,
. 1
x(0)=2.
6. Sia   V() una funzione convessa pari, di classe Coo, nulla nell' origine. Si
determini se il periodo del moto di energia E e uguale, maggiore 0 minore del pe-
riodo del moto (armonico) di energia potenziale
1 2 1 ", 2
V(n=20 =2(sP V ( )H
ed uguale energia totale E. Analogamente si stabilisca, se poss.1bile, la relazione che
intercorre fra i periodi dei moti di uguale ampiezza.
7. Come (1) a meno dell' 1 % (usando un calcola tore ).
8. Come (2) a meno dello 0,5% (con calcolatore).
9. Come (5) a meno dell' 1% (con calcolatore).

48
Capitolo secondo
10. Si calcoli il tempo minimo necessario perche il moto (5) raggiunga il pun to
di coordinata 1/8 a meno del 60%.
11. Come (10) a meno dell'l% (con calcolatore).
12. Stimare, a meno del 10%, il periodo del moto
1
x(0)=2' x(O)=O
i = log (1 + x)
(con calcolatore).
13. Si trovi a meno del 20% I'ampiezza del moto associato a (2) di periodo
T= 10 (se esiste).
14. Si trovi illimite per E  00 del periodo del moto di energia E associato a (2).
1 s. Co me (14) per (5).
16. Come (14) per (12).
17. Quali sono i valori dell'energia cui corrisponde un moto aperiodico, secon-
do l' equazione (I)?
18. Come (17) per (5).
2
19. Come (17) per i = -e -x .
20. Come (1 7) per x = sin x.
2.7 Ancora generalita suUe equazioni differenziali. Equazioni autonome.
Atti di moto
E' opportuno, prima di procedere, porre un certo numero di definizioni soprat-
tutto come scusa per esporre ancora altre semplici ma interessanti osservazioni ge-
nerali sulle equazioni differenziali.
S Defmizione Sia (, (I>, ..., (s- 1»)  f(, E(I>' ..., (s- 1») una funzione di
classe Coo definita su R sd a valon in R d e si consideri l'equazione
dSx ( dx dS-1x 
dt S (t)= f,(t), dt (t), ..., dtS-1 (t1
d d (S- 1)
_ 2- _ (1) X ( ) _ (S- 1)
x(to)-o, dt (to)- , ..., dt to-
[2.7 .1 ]
[2.7.2]
del tipo della [2.2.2] per la funzione t  x (t) a valori in R d , tEL
Diremo che la [2.7.1] e un'equazione differenziale "autonoma" di classe Coo. In

49
Moti unidimensionali
altre parole [2.2.2] si dice au to noma se il secondo membro "non dip en de esplicita-
mente dal tempo':
La spazio R d X... X R d = R sd pensato come spazio dei dati iniziali ((o), (1), ...,
(s- 1») di [2.7.1] si chiamera 10 "spazio degli atti di moto" per [2.7.1] e i suoi
punti "atti di moto".
6 Defmizione Diremo che un'equazione differenziale autonoma, come La [2.7.1],
di classe Coo e "reversibile" se, data comunque una soluzione t  x (t) di [2.7.1] de-
finita in un intorno (-e, e), la funzione tx(-t), tE(-e, e), e ancora soluzione
di [ 2.7 .1 ].
Vedremo che molte equazioni di moto per sistemi meccanici non dissipativi sono
reversibili.
L'interesse delle equazioni autonome sta nella validita delle seguenti facili pro-
posizioni:
X Proposizione Si consideri un 'equazione differenziale in R d , autonoma, di
classe Coo, normale e del primo ordine (s=l, in [2.7.1]).
Sullo spazio R d e possibile definire una famiglia (St)to di trasformazioni di
R d in se, tali che Ie {unzioni
tSt-t (o) oERd; t, toER+
o
[2.7.3 ]
sono Ie soluzioni della [2.7.1] con dato iniziale o per t=to.
Per ogni t, St e una trasformazione di classe Coo di R d in se e si ha
St(St'())=St+t'() Vt, t' O
[2.7.4]
Dimostrazione. Sia tSt(Eo, to) la soluzione di [2.7.1], con s=l, defmita per
tto, che esiste per la supposta normalita di [2.7.1].
Poniamo
St(eo)=St(o, 0).
[2.7.5]
I risultati del paragrafo 2.5 ci dicono che St e una trasformazione di classe Coo
di R d in see
Poniamo ora, per tto, x(t)=St-t (o); si ha:
o
dx d d
dt(t)= dt St-to(o)= dt St-to(o, 0)=
= f(St-to(Eo, 0))= f(St-to(o))= f(x(t))
perche f "non dipende esplicitamente da t". Dunque....tSt-t (o) e soluzione di
o
[2.7.1] per t  to e, inoltre,
[2.7.6]
Sto-to(o)=So(Eo)=so(eo, O)=Eo
[2.7.7]

50
Capitolo secondo
e, dunque, per il teorema di unicita, proposizione I, paragrafo 2.2:
St-t (o) = St(o, to) tto.
o
[2.7.8]
Similmente si verifica che tSt(St'(o)) e soluzione di [2.7.1], con s = 1, con
dato all'istante 0 uguale a St'(Eo): ma tale e anche tSt+t'(eo) e quindi:
StSt'=St+t' \:It, t'O. [2.7.9]
mbe
XI CoroUario Si consideri l'equazione autonoma in R d di ordine s e classe Coo
data da [2.7.1], che supporremo normale.
E' possibile definire sullo spazio R ds degli atti di moto della [2.7.1] una fami-
glia di trasformazioni (St )t 0 di R d in se, di classe Coo, tali che la funzione
tSt-t (o, (l), ..., E(S-l»)=(X(t), X(l)(t), ..., X(S-l)(t))
o
[2.7.10]
definita per t  toe la soluzione delle equazioni
x(t)=X(l)(t), X(1)(t)=X(2)(t), ..., X(S-2)(t)=X(S-1)(t)
x(s- l)(t)= f(x(t), X(l)(t), ..., x(s- l)(t)),
[2.7.11]
con t  to, equivalenti alla [2.7.1], come giiJ notato al paragrafo 2.2, e verificanti
il dato iniziale:
x(to)=o, X(l)(tO)=(l), ..., x(S-l)(to)=e(S-l).
[2.7.12]
Inoltre:
StSt'=St+t' \:It, t'O.
[2.7.13]
Dimostrazione. E' evidente vista la equivalenza fra [2.7.1], [2.7.2] e [2.7.11],
[2.7.12] e vista la proposizione X.
mbe
7 Definizione Data un 'equazione autonoma [2.7.1] in R d di classe Coo e ordine
s, normale, la famiglia di trasformazioni (St) t 0 dello spazio degli atti di moto R ds
in se di cui alia proposizione XI si dice il ''flusso'' su R ds che "risolve [2.7.1],
[2.7.2] ".
OsseroQzione. Se l'equazione e normale anche nel passato e possibile defmire St
per t < 0 e la famiglia (St )tER forma un gruppo, verifica cioe [2.7.13], \:It, t' E R
(esercizio ).
Un'osservazione interessante sulle equazioni autonome, gia incontrata implici-
tamente al paragrafo 2.5 e all'esercizio 3 del paragrafo 2.2, e la seguente:
XII Proposizione Si consideri l'equazione di ordine s, [2.7.1], autonoma, di
classe Coo, su R d che supponiamo normale.

51
Moti unidimensionali
Se ((o), (l),..., (S-l»)ERSd e un atto di moto tale che, perqualche T>O,
si ha
ST(E(O), ..., (S-l»)=((O), ..., (S-l»)
[2.7.14]
aUora il dato iniziale ((O), ..., E(S- 1)) genera un "moto periodico", cioe una solu-
zione periodica di [2.7.1], con periodo T.
Dimostrazione. La funzione tSt+T(E(o>, ..., (S-l)), ove (St)to e il flusso
su R ds risolvente [2.7.1], e una soluzione di [2.7.11] che verifica il dato iniziale,
per t=O, ((O),..., e(S-l») e quindi, per il teorema di unicita del paragrafo 2.2, e
la funzione t  S t(( 0 ), ..., (s - 1 »). Cioe questa funzione e periodica con periodo T.
mbe
Osservazione. Piu in generale e evidente che tSt+T(e(O), ..., E(S-l») e soluzio-
ne di [2.7.11] per tO: cioe se tx(t) e una soluzione di [2.7.11] per tO, an-
che tx(t+ T) e, per tO, soluzione di [2.7.11].
2.7 Schemi di esercizi
Dirnostrare che tutte Ie equazioni differenziali che seguono sono normali e
1. si descriva il gruppo (St )tER associato aIle soluzioni dell'equazione differen-
ziale
x=-g
come gruppo di trasfonnazioni sullo spazio R 2 degli atti di moto. Se ne disegnino
Ie traiettorie in R 2 .
2. Come (1) per x = -w 2 x.
3. Come (1) per :X = - g - AX.
4. Come (1) per i=-w 2 x in R 3 .
5. Come (1) per i=-g-Ax in R 3 .
6. Come (1) per :X =w 2 x.
7. Come (1) per l' eq uazione del primo ordine in R 2
x=ax+y
y =-x +ay
e si discuta il risultato al variare di a.
8. Dimostrare che se l'equazione differenziale [2.7.1] e reversibile e normale,
allora e normale anche nel passato e il flusso (St )to che risolve la [2.7.1] per

52
Capitolo secondo
tO pub essere esteso a un flusso (St)tER che risolve la [2.7.1] per tE R: si pub
porre S- t= (St)- 1, Vt  O. La famiglia di trasformazioni (St )tER fonna in questo
caso un gruppo di trasformazioni di R ds in see
2.8 L'equilibrio. Stabilita in assenza di attrito
Abbiamo gia notato (proposizione IX,  2.6) che Ie soluzioni stazionarie di [2.1.1]
cioe Ie soluzioni aventi forma t  o = costante (o e detta "posizione di equilibrio"),
corrispondono ai punti di stazionarieta della funzione energia potenziale V che ge-
nera f e che supporremo inferiormente limitata in modo che [2.1.1] sia normale. 'In
tali posizioni la forza esercitata suI punto materiale e nulla.
Vogliamo ora distinguere i punti di equilibrio sulla base di una proprieta quali-
tativa: la stabilita dei corrispondenti equilibri. Evidentemente occorre prima stabi-
lire cosa debba intendersi per "equilibrio stabile". Come al solito questa e una no-
zione empirica suscettibile di assumere significati precisi differenti, a seconda del
particolare problema nel quale si presenta la necessita di studiare la stabilita del-
l'equilibrio. Riteniamo dunque utile dare allettore diverse definizioni di stabilita
di un punto di equilibrio, lasciando immaginare, senza discussione, i diversi tipi d.i
problemi per i quali tali nozioni possono avere rilevanza. Nel seguito x 0 denotera
un punto di equilibrio per [2.1.1] nell'ipotesi che f sia generata da un'energia po-
tenziale V di classe Coo e inferionnente limitata.
8 Defmizione Xo e una posizione di equilibrio stabile se esiste una funzione
ea(e)+oo, definita per eO e infinitesima per eO, tale che ogni moto tx(t)
che fa seguito, secondo [2.1.1], ad una condizione iniziale con x(O)=xo, Ix(O)1 e
ha la proprieta:
Ix(t)-xol <a(e) VtO.
[2.8.1 ]
Osservazioni
1) In altre parole x 0 e una posizione di equilibrio stabile se un pun to materia-
Ie posto in Xo con velocita piccola si mantiene indefmitamente vicino a Xo e tan-
to piu vicino quanto piu x(O) e piccolo.
2) II fatto che a(e) possa essere + 00 significa che ammettiamo la possibilita che
dati iniziali in cui la velocita x (0) e troppo grande possano dare luogo a moti che
si allontanano indefinitamente da Xo. La [2.8.1] e, in realta, una condizione rilevan-
te solo per e piccolo.
3) II fatto che l'istante iniziale sia stato scelto to=O e irrilevante perche la [2.1.1]
e autonoma.
In molte applicazioni non e affatto sufficiente sapere che x 0 e un punto di equi-
librio stabile nel senso della definizione 8: ad esempio si richiede talvolta che a (e ),

53
Moti unidimensionali
che per ovvi motivi viene spesso chiamata "funzione di margine", abbia una strut-
tura preassegnata. Questo conduce alIa seguente definizione:
9 Defmizione Assegnata una funzione della variabile €  0: €  b (€)  + 00 (in-
finitesima 0 no per €O) si dice che Xo e un punto di equilibrio stabile "con mar-
gine b" se il mota tx(t), tO, seguente ad una condizione iniziale con x(O)=xo,
Ix(O)1 < € e tale che:
Ix(t)-xolb(€) VtO.
[2.8.2]
Osservazioni
1) La definizione 9 differisce dalla 8 sia perche €  b (€) e assegnata a priori,
sia perche b (€) non e necessariamente infinitesima per €  O.
2) Ovviamente si possono dare definizioni, analoghe alle 8, 9, in cui il dato ini-
ziale "perturbato" e x(O)=xo + €, x(O)=O e altre ancora.
Non fonnalizziamo Ie possibilita intraviste alia osservazione 2, ma proseguiamo
enunciando un ben nota criterio di stabilita nel senso 8 per poi dare una terza,
nuova, definizione di stabilita che coinvolge l'introduzione di nuove interessanti
idee. Vale la seguen te proposizione:
XIV Proposizione Se Xo e un punto di minima in senso stretto per la funzio-
ne V, energia potenziale dei moti verificanti [2.1.1], allora Xo e un punto di equi-
librio stabile nel senso della definizione 8.
Dimostrazione. L'energia del mota di dato iniziale x(O)=xo, x(O)=€ e
2
E€= m 2 € + V(xo). Poiche, per ipotesi, Xo e un punto di minima in senso stretto
per V, vedi figura 2.2, cioe V(»V(xo) se *xo e I-xol e abbastanza piccola,
si possono defmire Ie posizioni x_, € e x+, € che sono rispettivamente it primo zero
di E€ - V() a sinistra e a destra di Xo. L'ipotesi che Xo sia un punto di minima in
senso stretto per V implica anche che, come e facile verificare,
lim x:t, € = 0
€o
[2.8.3]
e, inoltre, x+, E e x_, € sono monotone, crescenti e decrescenti rispettivamente, in €.
Per € grande puo accadere che x+, €= + 00 0 x_, €= -00.
Se allora si pone
a(€)= maxlx a , €-xol,
a=:t
[2.8.4]
si vede che la [2.8.1] e verificata per i moti tx(t) tali che x(O)=O, Ix(O)1 €.
mbe

54
Capitolo secondo
IV

X_, f
Xo
X+, f
Figura 2.2
Osservazioni
1) II metodo di dimostrazione della XIV ci ha consentito di defmire, in realta,
la funzione margine minimale: la [2.8.4]. E' quindi facile dare dei criteri di stab i-
lita nel senso della defmizione 9 utilizzando la precedente dimostrazione, nelIe ipo-
tesi della XIV.
2) Si noti che, se d 2 V (xo»O, la aCe) in [2.8.4] e dell'ordine O(e).
2
2.8 Schemi di esercizi
1. Determinare Ie posizioni di equilibrio stabile con tolleranza di velocita (ve-
di definizione 9):
1
b(€)= - + €2
2
per Ie seguen ti energie potenziali V e per un punto materiale di massa uno.
V()=(- 1)
V()= 10g(1 +2)
V() = - sin 
1 2 - 2
V()=- e c;
2

55
Moti unidimensionali
V(n= 1122
2. Come (1) con
1
b(€)=3€ se €<S' b(€)=+oo se
1
3. Come (1) con b(€)=2 +€.
1
€-
5
4. Dimostrare che l'energia potenziale V definita da
V()=e- ult{e + (Sin + J) *O
=0 =O
ha infinite posizioni di equilibrio stabile nel senso della definizione 9 (idea: si fac-
cia vedere che V' () e infinite volte positiva e negativa nell'intomo di zero).
5. Non tutte Ie posizioni di equilibrio stabile per V() = (sin ) e - t 2 hanno tol-
l
leranza b(€)= 2' se € 1, b(€)= +00, se €> 1.
2.9 StabiIita e attrito
Un'ulteriore defmizione alternativa di stabilita di un punto di equilibrio x 0 per
una legge di fona IE COO(R) generata da un'energia potenziale V inferionnente li-
mitata, trae origine dall'osservazione che, nella pratica, se un punto x 0 e una posi-
zione di equilibrio stabile, allora, sotto una piccola perturbazione dello stato di
quiete, il punto materiale si muove da Xo per poi, alla lunga, ritornare in Xo con
velocita essenziahnente nulla. Si pensi a cosa avviene spostando un pendolo dalla
sua posizione di equilibrio.
Per dare un significato matematico preciso a1 criterio di stabilita che sembra
emergere da queste considerazioni occorre precisare cosa debba intendersi per "at-
trito". Rinviando, per una discussione accurata del fenomeno dell'attrito, ai testi
di fisica e ingegne,ria osserviamo che, su una base empirica, una fona di attrito e
tale da "opporsi al moto": e allora si comprende come il modello mate matico per
una fona di attrito sia quello di una legge di fona che dipende dalla posizione x
e, soprattutto, dalla velocita x del punto e abbia, inoltre, sempre segno opposto a
quello di x.
II modello piu semplice e quello in cui la forza di attrito si descrive, in tennini
di una funzione (11, )-+O:(l1, ) di classe Coo su R 2 a valori in R+, come
A(x, x)=-xo:(x, x)
[2.9.1]

56
Capitolo secondo
con la ulteriore condizione su 0: che 0:(17, )=O implichi 17 = 0 (l'attrito e nullo solo
se il pun to e fermo).
Esempi notevoli sono l'''attrito lineare":
A(x, x)=-Xx X>O
[2.9.2]
quello "cubico":
A(x, x)=-Xx(l +X'x 2 ) X, X'>O
[2.9.3]
quello "quadratico":
A(x, x) = - Xx(l + X'X 2 )112 X, X' >0.
[2.9.4]
Possiamo ora formulare la seguente nozione di stabilita:
10 Definizione Se Xo e un punto di equilibrio per la [2.1.1], si dira che Xo e
"fortemente stabile" se il moto t x (t), t  0, di un punto materiale posta nel-
l'istante to=O in Xo con velocita x(O)=€ e descritto dalla equazione 7
mx=- Xx + f(x)
[2.9.5]
e tale che, se € e abbastanza piccolo:
lim x(t)=xo 'fX >0.
t  +00
[2.9.6]
Osservazione. Questo significa, in altre parole, che Xo e fortemente stabile se,
in presenza di un attrito lineare comunque piccolo, un dato iniziale x(O)=xo,
x (0) = € produce un mota che, asintoticamente, ritoma in Xo almeno se € non e
troppo grandee
Vediamo ora un criterio di stabilita in questo nuovo senso.
xv Proposizione Sia Xo un punto di equilibrio per la [2.1.1] e si supponga che
V sia inferiormente limitata e che, per -xo*O e abbastanza piccolo, -f'()=
- d 2 V (n sia positiva: allOTa Xo e un punto di equilibrio fortemente stabile.
d2
Osservazioni
1) La condizione su V e verificata, ad esempio, se in Xo V ha un minima in
senso stretto e se non tutte Ie derivate di V sono nulle in Xo (esercizio).
2) La funzione V nulla per  = 0 e per  * 0 tale che
v(o=e- 1/It '(e + (Sin : y )
[2.9.7]
7 Esercizio. Si mostri ehe [2.9.5] e normale VA  0 e, anzi, \fAE R.

57
Moti unidimensionali
e una funzione energia potenziale alIa qale il criterio della proposizione XV non
si pub applicare. Si pub vedere che la [2.9.7], in realta, fornisce un controesempio
all' idea, che potrebbe balenare, che questa nozione di stabilitA forte e quella della
defmizione 8 (9 2.8), siano equivalenti. L'origine e, invero, un pun to di equilibrio
stabile per la proposizione XIV (vedi esercizi 9 2.8), ma non 10 e secondo la defi-
nizione 10.
Passiamo alIa dimostrazione della XV che, come si potra intravedere, e un caso
particolare di una tecnica abbastanza generale adattabile allo studio di vari proble-
mi di stabilita e che incontreremo nuovamente nel capitolo 5.
Dimostrazione. Intuitivamente ci aspettiamo, probabihnente, che in presenza di
attrito l'energia non si conservi piu: faremo vedere che nelle nostre ipotesi l'ener-
mx(t)2
gia del mota t x(t) soluzione di [2.9.5], definita come E(t)= 2 + V(x(t)),
tO, e una funzione non co!tante di t e tale che lim E(t)=Eo=V(xo). Poiche
t+oo
V()V(xo)=Eo, e nell'intorno di Xo esiste un unico punto, Xo, per cui V()=Eo,
si deve allora necessariamente avere lim x(t)=xo.
t+oo
Per studiare la variazione dell'energia in funzione del tempo su un mota verifi-
cante la [2.9.5] calcoliamone la derivata, usando la [2.9.5]:
d d ( mi(t)2 
dt E(t)= dt 2 +V(x(t))J=x(mX-f(X))=-A:i2O. [2.9.8]
Si vede, effettivamente, che, in presenza di attrito lineare ([2.9.2]), l'energia e una
funzione monotona non crescente del tempo (e decrescente se il punto ha velocita
non nulla). Esiste pertanto illimite
Eoo= lim E(t) inf V(»-oo.
t+oo ER
[2.9.9]
Poiche Xo e, in virtu delle ipotesi su f', un punto di minima in senso stretto, esi-
stono, se € e abbastanza piccolo, due punti x+, € e x_, €' a destra e sinistra di x 0
rispettivamente, che il punto materiale che si muove secondo [2.9.5], a partire dal-
la posizione iniziale x(O)=xo e dalla velocita iniziale x(O)=€, non pub oltrepassa-
re nel suo moto, perche E(t)E(O).
Riteniamo che la situazione sia eloquentemente illustrata dalla figura 2.3 ed
evitiamo di dilungarci in dettagli ulteriori.
Supponiamo che € sia stato scelto cosi piccolo che, come nella situazione esem-
plificata nella figura 2.3, I f' ()I =1= 0 se  =1= Xo e x_, €    x+, €: questo e possibile
per Ie ipotesi sulla struttura del minima di V in Xo.
Supponiamo ora, per assurdo, Eoo>Eo (come in fig. 2.3). Per prima cosa osser-
viamo che, per t+oo, illimite lim x(t)=x deve esistere: se COSt non fosse, e
t+oo

58
Capitolo secondo
v
Ee=E(O)

X_, e
Xt Xo ab x 2
X+, e
Figura 2.3 Grafieo di t -+ (x(t), E(t»).
x = lim inf x(t) < X = lim sup X (t), esisterebbe un intervallo [a, b] C [ x, x ] ove
t-++ t-++
'Y= min (E - V())>O (vedi fig. 2.3).
E [a, b]
Questo intelVaIlo dovrebbe essere percorso infmite volte dal moto, poiche X e
X sono limiti di t x(t); inoltre quando il punto si trova in [a, b] la sua velocita
non e troppo piccola ne troppo grande:
e
( 2 ) 112 ( 2'Y ) 112
li(t)1 = m(E(t)- V(x(t))  m [2.9.10]
IX(t)I (; (E(O)-E o )Yf2 [2.9.11]
e, quindi, ogni volta che il moto entra in [a, b] vi spende almeno un tempo lungo
( 2 ) - 1/2
T=(b-a) m(E(O)-E o )
per [2.9.11] e quindi perde una quantita di energia pari, almeno, a
[2.9.12]
2
-X-'Y T
m
[2.9.13]

59
Moti unidimensionali
per la [2.9.8]. Dunque dopo infiniti passaggi l'energia dovrebbe scendere a -00:
cioe dovrebbe essere Eoo= -00 che e assurdo, (EooEo). Dunque esiste x = 1im x (t):
t+oo
e chiaro che x deve essere una delle ascisse delle due intersezioni fra la retta di or-
dinata Eoo e il grafico di V (in fig. 2.3 uno dei due punti x h X2): altrimenti lim x (t)=
( ) t+oo
= i: ; (E_ - V(x)} 112 ed x(t} non potrebbe avere limite fmito per t-+ + 00. Dun-
que lim x(t)=O. Questo pero contraddice Ie equazioni del mota; infatti si avreb-
t+oo
be, per la [2.9.5]:
lim x(t}= [(x)
t+oo m
[2.9.14]
e, cioe, illimite di x(t) non potrebbe essere fmito,8 mentre, come si e visto, e
nullo.
Quindi Eoo= 1im E(t)=Eo e cioe lim x(t)=xo per quanto gia detto all'inizio
t+oo t+oo
di questa dimostrazione.
mbe
2.9 Schemi di esercizi
1. Si c onsideri l'equazione x = - AX + f(x), x(O)= 0, x(O)= -1 oppure x(O)=
= - V 2/ 15, e si deterrnini illimite per t  + 00 di x(t) se A = 50 e se f ha energia
potenziale V() = 2 ( + 1)2.
2. Si dimostri che l'equazione che esprime la variazione dell'energia in funzio-
ne della po sizione e, nei moti che verificano m i + AX + V I (x) = 0 e data da
dE ( 2
-=:tA -(E-V(x)).
dx m
3. Si considerino i moti descritti dalle equazioni
m x + AX + V I (x) = 0
m x + AX + W I (x) = 0
con x(O)=y(O)=O, x(O)=y(O)=xo, e si supponga che per xo XI si abbia
0< - W'()< - V' ().
Si denotino vx() e Vy() Ie velocita dei moti x e y, rispettivamente, alloro
primo passaggio per E[xo, Xl] e si supponga nota che x(t) e y(t) sono non ne-
gativi per ogni t che precede l'istante (rispettivo) di primo passaggio per Xl.
Si mostri che vx()Vy(), \fE[xo, Xl].
4. Si tratti il caso analogo a (3) con dati iniziali x(O) = y(O) = Vo > O.
8 Esercizio. Se lim f(t) esiste e se esiste lim f'(t) si ha lim f'(t)=O.
t+oo t+oo t+oo

60
Capitolo secondo
s. Formulare risultati analoghi a quelli di (3), (4) quando vo<O< w'()v'().
6. Come (1), per V() = (- 1) ( + I) ( + 2), x(O) = 3/2, x(O) = 0, X = 4. E per
V()=2 (+ I) (+ 2), X = 1, x(O) = 0, x(O)= --\12. E V()=2 (+ 1)2, x(O)= 0,
x(O)= 10, X= 10.
7. Quanto deve essere grande X affinche it mota di dato iniziale x(O)= 0,
x(O) = 10, sia attratto dall' origine svolgendosi sotto l'azione della forza di energia
I
potenziale V() = 2 2 exp - 2 e di un attrito lineare - Xx?
8. Dimostrare che, se X e piccolo abbastanza, il mota di (7) "sfugge", ossia
x(t)  + 00. Stimare per un tal moto (scegliendo arbitrariamente X) il tempo ne-
(-"+00
cessario perche l' ascissa  = 1 0 venga raggiun ta.
2.10 Relazione tra periodo e ampiezza. Oscillatori armonici
Considereremo i moti di un punto materiale di massa m soggetto a una legge
di forza [generata da un'energia potenziale   V(),  E R, di classe Coo e tale che
i)
ii)
ill)
V()=V(-)
dV ()*O se *O
d
lim V()=+oo.
t+oo
[2.10.1]
I moti di un tale punto, cioe Ie soluzioni di
mx=- dV (x(t))

[2.10.2]
sono, per quanto visto al paragrafo 2.6, tutti periodici con periodi T< + 00.
Ci domandiamo ora se esistano energie potenziali V verificanti [2.10.1] che ge-
nerano moti di periodo indipendente dall'energia (0, se si preferisce, da1l'ampiezza).
E' ben nota che l'''energia elastica":
1
V()= - k 2 + V(O)
2
[2.10.3]
genera, secondo [2.10.2], moti di periodo costante, T=2Tr(m/k)1f2, a1 variare del-
l'energia totale del mota stesso ("oscillazioni armoniche").
Facciamo ora vedere che questa e una proprieta caratteristica degli oscillatori ar-
monici, nella classe [2.10.1].
XVI Proposizione Se tutti i moti che si svolgono sotto l'azione della [orza di
energia potenziale [2.10.1] sono periodici con 10 stesso periodo, allora esiste k>O
tale che V e espresso daUa [2.10.3].

61
Moti unidimensionali
v
I
I
I
I
I
I
I
I 
I .
-x(E) x(E)
Figura 2.4
Dimostrazione. Sia E l'energia di un mota associato a [2.10.1], [2.10.2] e sia
x(E) la relativa ampiezza (nelle notazioni del paragrafo 2.6, x(E)=x+); vedi figu-
ra 2.4. n periodo di questo moto e:
x(E) ( ) - 112
T(E)=4 J ;, (E-V()) ill;
[2.10.4]
(vedi  2.6). Poiche V e una funzione monotona crescente di  per   0, possia-
mo costruire la funzione inversa della funzione V, che denoteremo v -+ (v), che e
defmita per VE[V(O), +(0) ed e tale che V((v)) = v, \fVE[V(O), +(0), ed e anche
di classe COO((V(O), + (0)), per la seconda delle [2.10.1].
Eseguendo in [2.10.4] it cambiamento di coordinate -+(v) si ottiene

62
Capitolo secondo
E '(v) dv
T(E)=4 J ( ) [2.10.5]
V(o)  (E-v) 1/2
ove '(v) e la derivata, in V, della funzione V-+(V). Imponendo T(E)= T= costan-
te la [2.10.5] diviene un'equazione per '(v) che si pub risolvere facilmente grazie
at seguen te artifizio.
Si moltiplichi [2.10.5] per (b-E)-112 e si integri su E fra V(O) e b (supponen-
do che il parametro arbitrario b sia stato scelto > V(O)):
P T(E) .;;;- S b J E '(v) dv
J dE =4 V 2 dE -
V(&) Y b-E 2 V(o) V(o) V (E-v) (b-E)
=4 V m f d vnv) ( f dE ) .
2 V(o) v Y (E-v)(b-E)
[2.10.6]
L'integrale nell'ultima parentesi pub essere calcolato esplicitamente e vale 1T, (Vv, b !):
allora
f dE T(E) = 47T V; (Hb)-HV(O)))=47T 0; Hb)
V(o) Vb -E
[2.10.7]
Questa formula, di per se notevole, ci fornisce l'energia potenziale in "funzione
del periodo", 'IV verificante [2.10.1].
Se T(E)= T= costante, 'fEE(V(O), + 00), si deduce da1la (2.10.7):
Hb)=  V 2 Vb-V(O)
[2.10.8]
che per la defmizione di (b)- significa che:
V()=+ m (1:r) -2 e + V(O).
[2.10.9]
mbe
Osservazione. In questa discussione e essenziale che V() = V( - ): se V verifica
solo (i) e (ill) delle [2.10.1], allora la [2.10.5] non e corretta e si deve scriverla
x+(E) ( 2 ) - 112
T(E)=2 J -(E-V()) d [2.10.10]
x_(E) m
ove x+(E) e x_(E) sono Ie radici, uniche per Ie [2.10.1] (i) e (ill), di E-V()=O a
destra e sinistra, rispettivamente, di zerQ. Procedendo come nella dimostrazione
della proposizione XVI, dopo aver spezzato [2.10.10] in due integrali del tipo
[2.10.5] fra x_(E) e 0 e fra 0 e x+(E), si trova
 b T(E)
21T _ 2 (x+(b)-x-(b))= I dE
Yb -E
[2.10.11]
che detennina x..(E)- x_(E) in funzione del periodo.

63
Moti unidimensionali
Vediamo dunque che esistono infinite funzioni   V() verificanti (i) e (iii) di
[2.10.1] che danno luogo a moti periodici di periodo indipendente dall'energia.
Si pub visualizzare Ia situazione dicendo che i grafici di queste funzioni V si ot-
tengono deformando Ie parabole [2.10.9] mantenendo perb fisse Ie distanze fra i
valori x+(E) e x_(E) tali che V(x;!(E)) =E.
Dalla [2.10.11] segue anche che, condizione necessaria e sufficiente affinche
T(E) sia indipendente da E, e che esista k' > 0 tale che il mota periodico di ener-
gia E abbia luogo fra x_(E) e x+(E) tali che, 'tiE> V(O):
x+(E)-x_(E)=k' VE - V(O)
[2.10.12]
sempre nelle ipotesi che V verifichi solo (i) e (ill) delle [2.10.1].
2.10 Schemi di esercizi
1. Si determini una funzione V di , verificante [2.10.1] e V(O)= 0, che gene-
ra moti periodici che abbiano periodo T(E)=E (si supponga m = 1). Si confronti i1
graftco di V con una parabola.
2. Come (1) con T(E) = VE.
3. Come (1) con T(E) = log ( 1 + E).
4. Come (1) con T(E)=CE Ct , a>O.
s. 11 periodo di un oscillatore di massa 1 deve variare, al variare di E, come
log(1 + YE)
con una precisione del 30% per 4 E 100: trovare uno schema di calcolo e ta-
bulazione di una funzione   V() che generi tali oscillazioni.
6. Eseguire effettivamente i1 calcolo impostato in (5) su un calcolatore da ta-
yolo dotato di macchina disegnatrice e fornire i1 grafico della funzione V cercata
(ma non la tabulazione).
7. Come (6) con precisione dell' 1 %.
8. Come (6) ma con intervallo 0E4.
2.11 L' oscillatore smorzato. Esponenziali di numeri complessi. F onnule di
Eulero
Nel paragrafo 2.10 abbiamo visto che l'oscillatore armonico e un sistema con
la proprieta, assolutamente notevole, di esibire solo moti periodici e con periodo
indipendente dal particolare mota in esame.

64
Capitolo secondo
In questo paragrafo e nel successivo esamineremo altre notevoli proprieta degli
oscillatori armonici e dedicheremo altri paragrafi allo studio della stabili ta di que-
ste proprieta rispetto a "picco Ie" modifiche della legge di forza.
Consideriamo un punto materiale di massa m i cui moti siano descritti dall'equa-
zione:
mx(t)= - kx (t)- Xx(t) + (t)
[2.11.1]
ove k>O, X>O e EC-(R) e una funzione preassegnata. La [2.11.1] e un'equa-
zione nonnale come si verifica moltiplicandola per x(t) e, posto E(t)=  X (t)2 +
k
+ "2 x (t)2, deducendo
d (t)2
- d E(t)=-XX(t)2+X(t)(t)max(-A1l2+1l(t))= 4X [2.11.2]
t ER
e, quindi, 'tit  0:
1 1 tf
E(t) = "2 mx(t)2 + "2 kX(t)2 E;;;E(O) + I 4A dT
che implica la normalitA di [2.11.1] per la defmizione 3 del paragrafo 2.5 e la suc-
cessiva proposizione V.
I moti associati a [2.11.1], con tO, si dicono Ie "oscillazioni forzate di un
oscillatore annonico in presenza di attrito line are " . In questo paragrafo ci occupe-
remo del caso  = 0, ossia dell'equazione:
[2.11.3]
mx=-Xx+kx
[2.11.4]
i cui moti sono Ie "oscillazioni smorzate".
Gli argomenti usati per la dimostrazione del criterio di stabilita del paragrafo 2.9
si adattano facilmente al caso particolare dell'equazione [2.11.4] e permettono di
concludere che i moti ad essa associati hanno un andamento asintotico per t -+ + 00
banale: 1im x(t)=O.
t-++-
In realta la [2.11.4] PUQ essere "esplicitamente" risolta e dalle fonnule risolu-
tive si ottiene una descrizione assai dettagliata dei moti ad essa associati. Dimo-
streremo la seguente proposizione:
XVII Proposizione Dati (170, o, to)E R 3 e possibile trovare due costanti Ao e
A tali che la soluzione di [2.11.4] verificante il dato iniziale:
x(t)=llo x(to)=o
[2.11.5]
pub scriversi, per tto, come
- (t- t ) ( .JA2-4mk (t- t ) - .JA 2 -4mk (t-to
x(t)=e 2m 0 Aoe 2m 0 +Ae 2m )} [2.11.6]

65
Moti unidimensionali
se ? > 4mk, ovvero come
--(t-t)( V 4mk-"J.,?
x(t)=e 2"m 0 \Ao cas 2m
V 4mk- "J.,? \\
+ A sin 2m (t-to
(t - to) +
[2.11.7]
se X 2 < 4mk, ovvero come
A
- 2m (t - to) ,
x(t)=e (Ao+Ao(t-to))
se X 2 =4mk.
[2.11.8]
Osservazioni
1) Si noti che, come immediato corollario di questa proposizione lim x(t) = 0
t --+- +00
con "velocita esponenziale".
2) Le soluzioni [2.11.6], [2.11.7], [2.11.8] possono essere prolungate a soluzio-
ni di [2.11.4] su tutto R: ma per t -00 si ha lim suplx(t)1 = + 00 a meno che
x (t) = o. t--+-- 00
Dimostrazione. Ad esempio si potrebbe procedere per verifica diretta sostituen-
do Ie [2.11.6], [2.11.7], [2.11.8] in [2.11.4] e facendo vedere inoltre che, in ognu-
no dei tre casi, Ie costanti Ao e A possono essere determinate in modo da soddi-
sfare Ie [2.11.5].
E' pero opportuno dare una dimostrazione del risultato (per X 2 =1= 4mk) diretta
e induttiva per l'interesse del metodo che verra presentato, la sua generalita e Ie
nozioni matematiche che mette in luce e che torneranno utilissime nel resto del
libro.
Cerchiamo soluzioni della [2.11.4] aventi forma
x(t)=Ae Qt
[2.11.9]
Inserendo [2.11.9] in [2.11.4) si vede che, perche [2.11.9] sia soluzione, Q deve
ve rifi care
mQ2 +XQ+k=Q
[2.11.10]
e, quindi, Q=Q+ 0 Q=Q_ con
-X v }.,?-4mk X  0 4mk )
Q = =-- 1  1- .
:t 2m 2m X 2
[2.11.11]
Se X 2 > 4mk non ci sono problemi; posto, per t E R:
x(t) = Ao e+(t- to) + A e-(t- to),
[2.11.12]

66
Capitolo secondo
si ottiene, 'lAo, AER, una soluzione di [2.11.4] perche la [2.11.4] e un'equazio-
ne lineare omogenea e, dunque, Ie combinazioni lineari di sue soluzioni ne sono
ancora soluzioni. L'imposizione delle condizioni iniziali [2.11.5] da luogo al sistema
o=Ao+A 17o=a+Ao+a_A [2.11.13]
h h d . X  4mk ) 112 . di d . d .
c e a etermmante a+-a_=- - e, qUIn , consente I etermmare
m X 2
univocamente Ie costanti Ao e A. Questo dimostra la proposizione se ? >4mk.
Euristicamente it caso X 2 = 4mk pub essere pensato come caso limite per A  (4mk)l12
del caso X 2 >4mk: determinando Ao e A, esplicitamente, a mezzo delle [2.11.13]
si ottengono Ie espressioni
e o:+(t - to) - e 0: _(t - to)
X(t)=170 -o
a+ -a_
a eo:+(t-to)-a eo:-(t-t o )
- +
a+ -a_
[2.11.14]
che per X 2  4mk tendono a
  A \ \ - 2m (t- to)
\o + \1/0 + 2m o) (t - to)} eA. [2.11.15]
Questo conduce all'idea che [2.11.15], e cioe [2.11.8], sia la piu generale soluzio-
ne della [2.11.4] se X 2 =4mk: 10 si pub infatti verificare immediatamente sostitu-
endo [2.11.15] in [2.11.4]. II caso X 2 <4mk e il piu interessante. In questo caso
la funzione teO:-zt, tE R, non ha senso perche a-z e complesso. Possiamo, tutta-
via, dato un numero complesso z EC, cercare di defmire tezt, tE R, come una
funzione a valori complessi proprio in modo che questa funzione risulti essere so-
luzione di [2.11.4] per z = a+, Z = a_. E' chiaro che questo 10 si potra ottenere im-
ponendo che valga la seguente regola di derivazione
 e zt = z e zt [2 11 16]
dt . .
che implica che, se a verifica [2.11.10] la teo:t, tER, verifica [2.11.4], come si
vede per sostituzione diretta.
Dato z =x + iy, x, Y E R, cerchiamo di defmire e Z in modo che valga [2.11.16].
E' naturale cercare di far questo richiedendo a questa funzione, se possibile, di ve-
rificare altre proprieta de lie funzioni esponenziali di variabile reale, come:
e X + iy =e x e iy
[2.11.17]
e che se z =x E R, e Z sia l'esponenziale "solito" di x. Quindi, se si richiede [2.11.17],
si vede che quel che occorre reahnente defmire e l'esponenziale e iy di un numero
immaginario.
Poniamo exp iy t= (t) + hjJ(t), tE R, e '/J, 1/1 sono due funzioni reali ignote. Im-
ponendo la [2.11.16], :t exp iy t=iy exp iy t, si trova:
.
(t) + i(t)=iy ('/J(t) + i(t))
[2.11.18]

67
Moti unidimensionali
e, cioe,
.
(t) = - Y \jJ(t) \jJ(t) = Y (t).
Pertanto
(t)=_y2(t) (t)=_y2\jJ(t)
[2.11.19]
[2.11.20]
aIle quali si devono aggiungere Ie condizioni iniziali exp iy · 0 = 1, [:t exp iy t] _ =iy
che, in termini di  e \jJ significano t - 0
.
(O) = 1, (O) = 0, \jJ(0) = 0, \jJ(0) = 1.
[2.11.21]
E' dunque naturale, poiche Ie [2.11.20], [2.11.21] determinano univocamente
(t)= cosyt, \jJ(t) = sinyt
[2.11.22]
porre, per x, y E R:
e iy = cos y + i sin y
e X + iy =eX(cosy + i siny)
ed e facile verificare che, effettivamente:
[2.11.23]
, ,
i) e Z +z =e z . e Z 't/z, z' E C
[2.11.24 ]
a mezzo delle formule di addizione trigonometrlche.
ii) La funzione t exp zt e tale, 't/z EC, che
d
-ezt=ze zt
dt
[2.11.25]
per esplicita verifica.
ill) Anche
co zk
e Z =  -
k=o k!
[2.11.26]
come si deduce con un paziente calcolo a partire dalla seconda delle [2.11.23] uti-
lizzando in essa Ie serle di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno per espri-
mere per serie it secondo membro di [2.11.23].
Allora possiamo dire che se Q+e dato da [2.11.11] e A?<4mk la funzione
tA eo:+ t e, 't/AEC, una soluzione di [2.11.4] a valori complessi. Pero la [2.11.4]
e un'equazione line are a coefficienti reali e, quindi Ie funzioni t  Re(A eo:+ t ),
tIm(Aeo:+t) sono soluzioni di [2.11.4]. Scegliendo A=1 vediamo che Ie funzio-
ni di t E R:
-t V 4mk-A?
Re(eo:+t)=e 2m COs t
2m
-t V4 mk-A?
Im(eo:+t)=e 2m sin t
2m
[2.11.27]

68
Capitolo secondo
so no soluzioni della [2.11.4] e resta cosi spiegata la forma [2.11.7] delle soluzioni
per ?<4mk.
Occorre ancora verificare che e possibile scegliere A 0 e A  in modo da soddisfa-
re [2.11.5]: l'imposizione di [2.11.5] di luogo a un sistema lineare per Ao e A
che, come si puo verificare, ha determinante non nullo.
Alternativamente si pub porre:
x (t) =A+ eQ+(t- to) + A _eQ-(t- to)
[2.11.28]
con A+ e A_ complessi e imporre a [2.11.28] di verificare [2.11.5]: la parte reale
di [2.11.28] sara allora la ricercata soluzione di [2.11.4]. Si trova, imponendo
[2.11.5], il sistema
o =A+ + A_, 17o=Q+A+ + Q_A_
[2.11.29]
che ammette soluzione perche ha determinante Q+ -Q_=I=O (e complesso).
E' anche chiaro che, poiche Q+= Q _ e o, 170 sono reali, i numeri A+ e A_ sono
runo il coniugato dell'altro: A+= A _. AUora, poiche il coniugato di eQ+(t-t o ) e
eQ-(t-t o ) (vedi [2.11.23]) segue che [2.11.28] e reale 'ItER, e cioe non e neppu-
re necessario prendeme la parte reale per ottenere la ricercata soluzione di [2.11.4].
mbe
Osservazione. Usando la rappresentazione [2.11.28] per la soluzione [2.11.7] ve-
diamo che i casi A 2 > 4mk e A 2 < 4mk possono essere trattati sullo stesso piano:
e questa una prima istanza in cui ruso di funzioni a valori complessi torna utile e
semplifica calcoli e formule anche in problemi in cui, in defmitiva, si e solo inte-
ressati a "risultati reali" e non complessi.
Da questo momenta faremo libero uso delle formule [2.11.23], dette "formule
di Eulero".
2.11 Schemi di esercizi
1. Si dimostri a mezzo delle formule di Eulero la formula "di de Moivre":
(cos {J + i sin O)n = (cos nO + i sin nO),
n intero.
2. Si dimostri, a mezzo delle formule di Eulero e del binomio di Newton che
(n intero  0) . .
( e iO + e -'O ) n 1 n ( n )
(cos (;I) n = 2 = 2 n - 1 l3, 0 k cos(n - 2k) (J ·
3. Si svolga l'analogo di (2) per (sin O)n.
n
4. Si calcoli, a mezzo delle formule di Eulero:  cosjO utilizzando Ie formule
di addizione delle progressioni geometriche. j=o

69
Moti unidimensionali
s. Si calcoli
2 J 'Ir in8 dO
e -
o 21T
211' dO
e I (cos 8)n 21T ' n EZ;
(usando Ie formule di Eulero; vedi (2)).
6. Si calcoll
211' l)
f(sin O)n 
6 21T
211' . dO
e J(SinO)n(cosO)m_ 2 .
o 1T
*7. Si trovino due soluzioni indipendenti linearmente di x + x + x = 0 e se ne
calcoll i1 determinante w(t) per tO (vedi problemi (10), (18) del  2.2).
· 8. Si consideri il sistema di equazioni in R d
x=Lx
ove L e una matrice dXd, L=(lij)i,j=l,...,d, a coefficienti costanti. Se ne cerchino
Ie soluzioni aventi la forma
x(t)=eQtx(O).
Quale equazione algebrica deve venficare ex?
9. Si applichi il metodo suggerito in (8) per trovare due soluzioni indipenden-
ti di
{ x=ax+ y
y=-x+ay
e si descriva il flusso (St)tER, nello spazio degli atti di moto, al variare di a.
10. Si calcoli l'intervallo di tempo fra l'n-esimo e l'(n + 1)-esimo passaggio per
l'origine delle soluzioni di: x + x + x = O.
11. Come (10) per: i+  i+x=O.
2.12 Oscillazioni armoniche forzate in presenza di attrito
Consideriamo ora Ia [2.11.1] con I()=I=O: i relativi moti so no Ie "osciliazioni for-
zate in presenza di attrito lineare di un oscillatore annonico con termine forzante
I()". Un'ovvia, ma importante osseIVazione sulla [2.11.1], e che Ia piu generale so-
Iuzione di classe Coo di [2.11.1] pub essere scritta come somma di una particolare
soluzione tXpart(t), tO, della [2.11.1] e di una soluzione della [2.11.4], cioe
dell' equazione omogenea associata alla [2.11.1]: invero la linearita della [2.11.1]
fa sl che la differenza di due sue soluzioni e soluzione di [2.11.4].
Dunque, in formule, una soluzione tx(t), tO, della [2.11.1] potra essere

70
Capitolo secondo
scritta:
x (t) =Xpart(t) + Xo(t)
[2.12.1]
ove t--:;'Xo(t) e una soluzione di [2.11.4].
Nel paragrafo 2.11 abbiamo visto che lim xo(t)=O e, inoltre, abbiamo trovato
t+oo
espressioni esplicite per x oCt), t E R. Dunque la discussione delle proprieta dei mo-
ti descritti da [2.11.1] si riduce a quella delle proprieta di una particolare soluzio-
ne della [2.11.1] stessa, che possiamo scegliere secondo convenienza. Questa osser-
vazione e particolarmente rilevante qualora ci si interessi al "comportamento asin-
totico per t--:;. + 00" ove txo(t) diviene infmitesima.
Descriveremo ora un metodo per la ricerca di soluzioni particolari della [2.11.1]
valida nel caso, assai interessante sebbene speciale, in cui  sia periodica con perio-
do T> o.
Dimostreremo la seguente proposizione:
XVIII Proposizione Sia t--:;.(t), tE R, una funzione di classe Coo a valori in R,
periodica con periodo T>O. Allora [2.11.1] ammette una soluzione periodica con
10 s tesso periodo.
Osservazione. In conseguenza possiamo allora dire che tutti i moti descritti dal-
la [2.11.1] con termine forzante periodico sono "asintoticamente periodici": que-
sto nel senso preciso che, dato un qualsiasi mota tx(t), tO, della [2.11.1], esi-
ste una soluzione periodica della [2.11.1], txper(t), tE R+, tale che Ix(t)-
-xper(t)I--:;.O per t--:;. +00 (basta, infatti, scegliere in [2.12.1] la soluzione partico-
lare coinciden te con la soluzione periodica la cui esistenza e asserita da questa pro-
posizione ).
Dimostrazione. Trattiamo prima it caso, apparentemente assai speciale, in cui:
( ) A 21T
 t =  cos T t
tER,
ER.
[2.12.2]
Anziche risolvere it caso [2.12.2] risolviamo l'equazione
2rr i t
U + "\. +k A T
mx I\X x=e
[2.12.3]
( 2rri t )
e, poiche Re\e T = cos  t, e chiaro che se tx(t) e una soluzione di
[2.12.3] definita per t  0, allora t--:;. Re x (t) e soluzione di [2.11.1] con  dato da
[2.12.2] .
Viste Ie proprieta [2.11.25] degli esponenziali e evidente che [2.12.3] ammette,
per tE R, la seguente soluzione:

71
Moti unidimensionali
X(t)=
2rri t
" T
'(Je
-m(  r +iX  +k
[2.12.4]
la cui parte reale sara la soluzione periodica con periodo T per la [2.11.1] con I()
dato da [2.12.2]. Piu esplicitamente tale parte reale e la funzione txper(t), tER:
( ( 21T ) 2 ) 21T 21T. 21T
k-m y cosTt+XySffiyt
xper(t)=. ((k- ( r m r + x z ( 2; r yn
[2.12.5]
Per passare al caso generale osselViamo che, se tx';?(t), tE R+, e tx'./J(t),
tER+, sono soluzioni di [2.11.1] con termine forzante, a secondo membro, ugua-
Ie a I() E COO(R) 0 \jJ E COO(R) rispettivamente, allora la funzione t  x,;?(t) + x ltI(t),
t E R+, e soluzione di [2.11.1] con a secondo membro il termine forzante '(J + \jJ.
Questa e una immediata conseguenza della linearita della [2.11.1].
Consideriamo allora il caso
( )  ,,(1) 21T +  ,,(2). 21T
'P t = no '{In cos Tnt n1 'Pn sm Tnt
,,(1) ,,(2) da . ali 0 1
ove '{In , '(In sono te costantl re , n = , , ...
Usando Ie formule di Eulero possiamo scrivere [2.12.6] come
[2.12.6]
N 2rri nt
I()(t) =  V;n e T
n=-N
[2.12.7]
ove V;n e defmito da
" ( 1) ." (2)
" -:- 'Pn -I 'Pn
I()n='P-n= 2
n>O;
" " ( 1)
'Po = 'Po .
[2.12.8]
Quindi una soluzione particolare e periodica con periodo T della [2.11.1] con I()
dato da [2.12.6] e:
2rri nt
N "T
'Pn e
xper(t)=  2
n=-N ( 21T ) + . 21T '\ +k
-m -n z-n/\
T T
[2.12.9]
che e reale, poiche gli addendi della somma [2.12.9] con indici n e -n sono com-
plessi coniugati per Ie [2.12.8] e [2.11.23]. La proposizione e dunque dimostrata
nel caso in cui I() e dato da [2.12.6] 0 [2.12.7]. Evidentemente 10 stesso metodo
permette di risolvere il caso in cui I() e dato da:

72
Capitolo secondo
21'( i t
-n
+00 A T
'P(t)= L 'Pne tER
n=-oo
[2.12.10]
con
-
(Pn = V;- n n = 0, 1,...
[2.12.11 ]
se la serie [2.12.10] converge abbastanza bene perche la funzione di tER da essa
defmita sia di classe Coo e perche la funzione t  xper(t) definita per t E R da:
+00
xper(t) = L V;n
n=-oo
21'( i t
-11
T
e
( 21T ) 2 . 21T
-m Tn +IATn+k
[2.12.12]
sia di classe Coo e Ie sue derivate prime e seconde possano essere calcolate per serie
(cioe derivando la [2.12.12] termine a tennine).
Una condizione che, come e facile vedere, e sufficiente perche questo avvenga
e che la successione (V;n): _00 decresca per n  00 "piu velocemente di qualsiasi po-
tenza", ossia che per ogni p  0 esista C p tale che
IA 10;:;;; c p
'Pn (1+1 nl)P \in = 0, :t1, :t 2, ...
[2.12.13]
Se vale la [2.12.13], infatti, Ie serie [2.12.10] e [2.10.12] convergono uniforme-
mente insieme alle serie ottenute derivando [2.12.10] e [2.12.12], tennine a ter-
mine, un numero arbitrario di volte. Ad esempio la serie delle derivate k-esime de-
gli addendi di [2.12.10] e
21'(i t
+00 A ( 21Ti ) k T
n 'Pn Tn e
[2.12.14]
e it suo n-esimo termine pub essere maggiorato, in modulo, da (si noti che
21Ti
exp Tnt = 1, \ftE R):
A ( 21T ) k ( 21T ) k I n I k
l'Pnl T Inl 0;:;;; T C p (I+lnl)P
[2.12.15]
per [2.12.13], \fpO. II secondo membro di [2.12.15], indipendente da t, pub
essere sommato su n se si sceglie p (per altro arbitrario) tale che p > k + 1.
I teoremi di derivazione per serie, allora, ci fanno vedere che la [2.12.10] e di
classe Coo e che Ie sue derivate possono essere calcolate derivando [2.1 2.10] termi-
ne a termine. Simili argomenti si ripetono per [2.12.12].
Dunque la proposizione e provata anche nel caso in cui 'P e dato da [2.12.10]
e i coefficienti V;n, nEZ, decrescono per n  00 piu velocemente di qualsiasi poten-
za (cioe verificano [2.12.13 ]).

73
Moti unidimensionali
A questo punto utilizziamo la seguente importantissima proposizione che ci di-
ce che quest'ultimo e, in realta, il caso piu generale e consente quindi di completa-
re la dimostrazione della proposizione in questione ("teorema dello sviluppo di
Fourier"):
XIX Proposizione Sia T>O e 'PECoo(R) una [unzione periodica con periodo
T e di classe Coo a valori in R. Esiste, ed e unica, una successione (<Pn):-oo di nu-
meri cumplessi tali che
i) <Pn = <P- n n = 0, 1, 2, ...
ii) lim (1 + Inl)P l<Pn 1= 0 'tip E Z+
[2.12.16]
[2.12.17]
n---+oo
ill)
21ri t
-n
+00.... T
'P(t)=  'Pn e 'titER.
n=-oo
[2.12.18]
I numeri <Pn si chiamano Ie "armoniche" di 'P rispetto al periodo T e
1 T - zrri nt
'Pn = T J Ip(t) e T dt 'fin EZ
o
iv)
[2.12.19]
e, infine: 'tis = 0, 1,...:
s zrri nt
d '{) +00 ( 2n i ) s.... T
v) ----s(t)=  - T n 'Pn e
dt n=-oo
'tit E R.
[2.12.20]
Osservazioni
1) La [2i2.17] si pub anche scrivere come la [2.12.13]; si legge "Ia successione
(<Pn )nEZ tende a zero per n  00 piu velocemente di qualsiasi potenza".
2) Si noti che la proposizione XIX implica, per [2.12.18], [2.12.19], che due
funzioni su R, di classe Coo, periodiche con 10 stesso periodo T > 0, coincidono se
e solo se hanno uguali tutte Ie armoniche relative al periodo T ("unicita dello svi-
luppo in serie di Fourier").-
La dimostrazione di questa proposizione verra data nel prossimo paragrafo e
concludera anche la dimostrazione della proposizione XVIII.
2.13 Lo sviluppo di Fourier per Ie funzioni periodiche
Preliminarmente alIa dimostrazione dell a proposizione XIX, paragrafo 2.12, os-
serviamo che, se t'P(t), tER, e defmita da [2.12.10], con (<Pn)nEZ verificante
[2.12.16], [2.12.17], la funzione 'P e necessariamente di classe Coo, per i teoremi
di derivazione per serle (vedi Ie considerazioni relative alle [2.12.14], [2.12.15]).
Inoltre, poiche [2.12.18] e, in questo caso, uniformemente convergente:

74
Capi tolo secondo
T 21ri T 21ri
--nt dt +00 --(n-k)t dt
JeT VJ(t) - =  q,k JeT -
o T k=-oo 0 T
[2.13.1]
per Ie proprieta di permutabilita fra Ie operazioni di integrazione e sommazione di
serie uniformemente convergenti.
Ma:
T 21ri k < 1 se n=k
--(n- )t dt
Je T -=
o T 0 se n=l=k
[2.13.2]
come si vede scrivendo l'esponenziale come somma della sua parte reale e immagi-
naria ed eseguendo gli integrali. La [2.13.2] si usa scrivere:
T 21ri k
--(n- )t dt
Je T -=8 n k
o T
n, k = 0, 1: 1, ..., oe 8 nn = 1 e 8 nk = 0 se n =1= k.
Sostituendo [2.13.3] in [2.13.1] si deduce:
[2.13.3]
1 T - 21Ti nt
T Se T .p(t)dt=n nEZ
o
[2.13.4]
che dimostra che, se  ha la forma [2.12.10] con (n)nEZ verificante [2.12.17], a1-
lora i numeri C{;n sono univocamente detenninati dalle [2.12.19]. Se  e reale vale
inoItre la [2.12.16] che e, in questo caso, conseguenza della [2.12.19] (0 [2.13.4]).
Queste considerazioni mostrano la validita della proposizione "inversa" di quella
che dobbiamo dimostrare e Ie abbiamo riportate perche servono a far capire it per-
che delle [2.12.19] e a introdurre la fondamentale relazione [2.13.3].
Dimostriamo ora la proposizione XIX del paragrafo 2.12.
Dimostrazione. Data  E Coo(R), reale e periodica con periodo T > 0, poniamo
1 T - 21T i n t
n=TSe T .p(t)dt nEZ [2.13.5]
o
ed e evidente che C{;n=C{;-n, 't/nEZ, perche  e reale. La [2.12.16] e, quindi, vera.
Per studiare it comportamento per n  00 di C{;n integriamo in [2.13.5], per parti:
- 21Ti nt
1 e T
(Pn = T 21Ti
--n
T
(t)
T _ 21T i n t
1 T e T
--J . '(t)dt=
T 0 21TI
--n
T
[2.13.6]
o
1 1 T - 21r i n t
- T (2;i n) Ie T .p'(t)dt

75
Moti unidimensionali
ove '{)' denota la derivata prima di '{) e si e utilizzata la periodicita di '{) per elimina-
re il primo addendo del membro centrale di [2.13.6].
Perche '{)' e, evidentemente, di classe Coo e periodica con periodo T e cosi sono
dP,n
"", 'Y - (p) . '. t I [2 13 6] . t d d . .
'P , '{) , ..., P = '{) , ... SI puo 1 erare a . . m egran 0 1 nuovo per partl.
dt
Dopo p passi, p = 0, 1, 2, ..., si ottiene
lIT - 21ri tn
'P = -Je T '{)(P)(t)dt
n (2;it To
[2.13.7]
e, dunque, se
c = max I'{)(p )(t)1
P otT
[2.13.8]
si ha, 'tip = 0, 1, ...:
l'Pnl  ( T ) p cp 'fin EZ
21Tlnl
[2.13.9]
che, evidentemente, e equivalente alia [2.12.17].
Resta da dimostrare la [2.12.18] con 'Pn, nEZ, dato da [2.13.5]: la [2.12.20]
e, invero, come si e gia notato conseguenza di [2.12.18] e [2.13.9] (0 [2.12.17]).
Consideriamo allora la ridotta di ordine N di [2.12.18] che elaboriamo sosti-
tuendo in essa la [2.13.6]:
i i.
N -nt N -nt T 21r1 d
T T - -nr r
 e (Pn=  e Je T '{)(r)-=
n=-N n=-N 0 T
[2.13.10]
21ri
1'. ( N Tn(t-r» ) dr
=J  e '{)(r)-
o n=-N T
che e una identita valida 'tI'{) E COO(R).
La somma che appare in parentesi in [2.13.10] pub essere scritta come
21r i ( , ) .
N -n t-r . N 21T1 (t )
T --n -r
1+e +e T
n=l n=l
[2.13.11]
e Ie due somme che qui appaiono possono essere "esplicitamente"sommate in quan-
to somrne di progressioni geometriche di ragione exp! i (t-T): il risultato, do-
po qualche passaggio e: ( 1 )
sinN+- 21T (t-r)
2 T se r=l=t+mT,
N 21ri n(t-T) 1 21T 'tIm intero
n::NeT - sin 2T (t-T) [2.13.12]
1 se r=t+mT, m intero

76
Capitolo secondo
e questa funzione e di cia sse Coo in r come risulta ovvio dal membro di sinistra di
[2.13.12] e ha la proprieta, veramente notevole:
. ( 1 ) 21r
Tsm N+- -(t-r)
1 J 2 T
- dr = 1
To. 1 21r
8m - -(t-r)
2 T
\ftE R
[2.13.13]
che segue dalla identita [2.13.10] ponendo in essa '{) = 1 e osservando che in que-
sto caso, per la [2.13.3], (Pn =ono, \fn E Z (o menD misterios?]1ente, segue da
[2.13.2] applicata al primo membro di [2.13.12]).
Tomando alIa [2.13.10] e utilizzando [2.13.12], [2.13.13] si ha:
N . i nt 1 T Sin(N+  ) 7; (t-T)
 '{)n e =- J <,a(r)dr=
n=-N To. 1 21r ( )
sm-- t-r
2 T
( 1 ) 21r
T sin N+ - -(t-r)
1 2 T
= y J 1 (Ip(t) + Ip(T) -Ip(t)) dT =
o . 21r ( )
sm-- t-r
2 T
( 1 ) 21r
T sin N + - -(t-r)
1 J 2 T
='{)(t)+y 1 ('{)(r)-'{)(t)) dr.
o sin - 21r (t-r)
2 T
[2.13.14]
Dunque dimostrare la [2.12.8] e equivalente a dimostrare che
( 1 ) 21r
1 Tsin N+ 2 T(t-r)
lim - T J 1 (Ip(T)-Ip(t)) dT=O.
N-+oo 0 . 21r (
sm- - t-r)
2 T
[2.13.15]
II motivo per cui questo e vero e legato all' osservazlone che la funzione di r E R:
'{)(r)-'{)(t) 1 21r
r V1t(r) = 1 cos"2 T(t-r) = (se r-=l=t+mT \fm intero) =
. 21r ( )
sm-- t-r
2 T [2.13.16]
= T '{)'(t) se r = t + mT con m intero
1r
e di classe Coo e periodica di periodo T: e questa una affermazione che lasceremo
come esercizio (vedi esercizi 1 -7 6 alla rme del paragrafo).
Allora l'integrale in [2.1315] pub essere scritto, grazie a questa osservazione e
sviluppando il numeratore a mezzo delle formule di addizione trigonometriche, come:

77
Moti unidimensionali
1 '(1. 21T 21T }
T 6 yin rN(t-r) 1/It(r) + cos rN(t-r)(.p(T)-.p(t» dT
[2.13.17]
e si riconosce in questa espressione, via Ie formule di Eulero, una combinazione Ii-
neare di quattro annoniche di or dine tN della funzione 7-+ Wt(7) e 7-+ (7)-(t)
che, per quanto osservato, sono periodiche di periodo T e di classe Coo.
Dunque l'integrale in [2.13.17] deve, per quanto visto all'inizio del paragrafo
(fonnula [2.13.9], valida per un'arbitraria funzione  di classe Coo e periodica con
periodo T), tendere a zero piu rapidamente di qualsiasi potenza per N -+ 00. Lo stes-
so accade per [2.13.15] e quindi la [2.12.18] e dimostrata.
mbe
2.12 e 2.13 Schemi di problemi ed esercizi
1. Sia fECOO(R) e f(O)= 0; si ponga
f(t)
t/J(t)=t' t=l=O e w(O)=f'(O).
Applicando la formula di Leibnitz
Lf(t)g(i)= f ( k ) f(h)(t)g(k-h)(t)
dt k ,h=o h
h
ove f(h)= d h f, si dimostri che per t* 0
dt
1/I(k)(t) = h o (Z) f(k -h )(1)(- 1)(- 2)... (- h) t- h -1 =
k ( k ) f(k-h)(t) (-l)kk! k (-t)k-h _
=  (-l)h h! =  f(k h)(t).
h=o h t 1 + h t 1 + k h=o (k-h)!
2. Si consideri la funzione W (k) di cui all'( 1) e si faccia vedere che
f(k+ 1)(0)
lim t/J(k) (t) = (- l)k k = 0, 1,...
t-+o k + 1
(Idea: Si usi la formula di Taylor in t con incremento - t:
k (-t)h (-t)k+l
=f(O)=  f(h)(t) + f(k+l)(t)+O(t k + 2 ).)
h=o h! (k+l)!
3. Si dimostri che, se una funzione W e continua in to ed e di classe COO in un
intervallo aperto (to, b) e in un intervallo aperto (a, to) e se 1im W(k)(t) esiste,
't/ k  0, allora W e di classe COO in tutto (a, b) (to incluso). t-+t o
(Idea: 10 si dimostri per induzione, osservando che
1/1 (k ) ( t ) -1/1 (k ) ( T) = _ s t W (k + 1) ( 0) dO
t-7 T t-7

78
Capitolo secondo
se [7, t] C (a, to) 0 (to, b) e se '" e k volte derivabile in (a, b )/{to} e se esiste illi-
mite lim VI (1)(7) e 10 si denota ",<k)(to), si ha:
T-+t o
lim 1/1 (k ) ( t) -1/1 (k ) (T ) 1/1 (k ) (t) -1/1 (k ) (to) = t 1/1 (k + 1) ( 0 ) dO
t-T t-t J t-t
T-+t o 0 to 0
e si usi la continuita di ",(k+ I) in to per concludere che ",(k) e derivabile in to, con
derivata continua.)
4. Si dimostri che se [e COO e se si pone
[(t)- [(to)
"'(t)= t=l=to; "'(to)=['(t o )
t- to
allora '" e Coo.
s. Si dimostri che se f, g E COO(R) e g(to) = 0 g' (to) =1= 0 e se si pone
[(t)- [(to)
"'(t)= t=l= to, It- to 1 abbastanza piccolo
g(t)
[' (to)
"'(t o )= ' ( )
g to
si definisce una funzione "', COO in un in torno di to.
6. Se [ e COO e periodica con periodo T e se si pone:
1r
([(7)-[(t» cOSr(t-7)
Vlt(7)= se 7 =1= t + mT per ogni intero m
sin .-!... (t -7)
T
T ,
=- f (t) se 7=t+mT per m intero
1r
si applichi (5) per far vedere che Vlt e, come funzione di 7, di classe COO(R) e, inol-
tre, e periodica di periodo T (s usi per questo (2».
7. Si calcoli il coefficiente di Fourier di ordine 0 per la funzione di periodo 21r:
[(t)=
1
1
l--cost
2
usando la definizione.
8. Come (7) per il coefficiente di ordine 1 e - 1.
9. Utilizzando la serle di Taylor per la funzione (l-)-I si calcoli la trasfor-
mata di Fourier per la funzione complessa di periodo 21r:
1
[(t)= ( 1 . )
1- - e 't
2
tER.

79
Moti unidimensionali
10. Come (9) per:
1
f(t)= 
1 .
1 - - e zt
3
(usando la serie di Taylor per (1 - )-1/2).
11. Come (10) per:
( 1 ) m/n
[(t)= 1- 3 eit
m, n E z.
12. Posto, per z complesso
e iz - iz
-e
sin z =
2i
si determini la trasformata di Fourier di f(t)= sin e it tER (usando la serle di Tay-
lor del seno).
13. Posto, per z complesso e I zl < 1:
00 (- l)n + 1
log(1 + z)= L zn
n=l n
si verlfichi (usando Ie proprieta dei prodotti nelle serle di potenze)
i) exp log(1 +z)= 1 +z
e
ii) si calcoli la trasformata di Fourier di
[<t)=-lOg0-+ei) tER.
14. Come (9) per:
1
1
1 - - cos t
2
f(t) =
tER
e si stimi, a meno del 10%, f2.
15. Come (14) per:
[<t)=-lOg(l-+COSt) tER
e si stimi, a meno del 30%, f 3.
16. Come (14) per:
f(t)= exp cos t tE R
.... ....
e si stimi, all' 1%, fo e fl.

80
Capitolo secondo
*17. Si dimostri che tutte Ie funzioni degli esercizi 9";- 16 hanno trasformata di
Fourier che decade esponenzialmen te per n  00 e se ne stirni caso per caso la ve-
locita di decadimento.
18. Si dimostri che la funzione:
f(t)= +i e-Jj;je int tER
n=-oo
e di classe Coo, periodica, e la sua trasformata di Fourier non decade esponenzial-
men tee
19. Si dimostri che la funzione
+00
[(t)= 
int
e
1 +n 4
n=-OO
e continua, derivabile per serie, periodica di periodo 21r, con derivata continua e
periodica di periodo 21r, ma non e Coo.
*20. Si analizzi criticamente la dimostrazione del paragrafo 2.15 per dedurre
che se f e una funzione continua periodica di perlodo T e derivabile a tratti con
derivate limitate in ogni tratto si ha:
. 211'
+00 A l - tn
f(t)=  fn e T
n=-OO
T 211'i
A --nt dt
confn dato daIf(t)e T T' nEZ.
Se [ e discontinua (e se [e derivabile a tratti con derivate limitate all'interno di
ogni tratto) vale la formula precedente in tutti i punti di continuita. Nei punti di
[(t+) + [(t-)
discontinuita, posta [(tf)= 1im [(7) la somma della serle e 2 (si mo-
T-+t:t
stri che [(t f) esistono e si considerino i punti 0 e T come un unico punto al fine
della continuita).
2.14 Un 'applicazione: costruzione di un oscillatore rigorosamente periodico
nonostante la presenza di attrito. 1..0 scappamento ad ancora
Che l'una parte l'altra tira e urge
Tin tin sonando con sl dolce nota
Che '1 ben disposto spirto d'amor turge.
Nel paragrafo 2.12 abbiamo visto che un oscillatore annonico smorzato si pub
muovere di mota esattamente periodico con periodo uguale a quello del tennine
forzante. Inoltre qualsiasi suo moto differisce da questo mota periodico per una
quantita che, per t  + 00, diviene infmitesima con velocita esponenziale.
E' naturale cercare di sfruttare questa proprietA per la costruzione di un orolo-
gio, cioe di un meccanismo che si muove di moto rigorosamente periodico. E' pe-

81
Moti unidimensionali
ro chiaro che la difficolta di produrre una forza rigorosamente periodica sembra
essere almeno dello stesso ordine di grandezza.
Lo scappamento ad ancora risolve simultaneamente i due problemi facendo in
modo che sull'oscillatore agisca una forza periodica se l'oscillatore si muove di mo-
to periodico e, ove cio non accada, trae vantaggio dalla presenza dell'attrito per
far SI che l'oscillatore abbia un moto che e asintoticamente periodico, cioe tale
che la differenza fra la posizione x(t) dell'oscillatore all'istante t e quella di un
punto ideale che si muova di moto periodico, t -+ x per ( t), t E R+, tenda a zero per
t -+ + 00, esponenziahnente.
Una descrizione empirica dello scappamento ad ancora, assai schematizzata, e
la seguente.
L"'ancora" e un meccanismo messo in moto dall'oscillatore al suo passaggio
nel punto Xo =0, ad esempio, con velocita positiva: in questo istante una mota
dentata collegata a un peso viene liberata da un freno, che la mantiene in uno sta-
to di quiete, e si mette in moto. 11 dente della mota, poco dopo, tocca l'oscillato-
re e 10 accompagna per un piccolo tratto esercitando su di esso una forza. A un
certo istante successivo i1 dente della mota perde it contatto con l' o scillat ore che
rimane nuovamente libero mentre la mota continua a girare mossa dal peso fino a
ritornare nella posizione iniziale.
Nel frat tempo l'oscillatore, rimasto libero, esegue un'oscillazione e tutto il pro-
cesso si ripete, poi, at nuovo passaggio per x 0 = 0 con velocita positiva.
Possiamo cercare di schematizzare i1 sistema meccanico ora descritto a mezzo
di un moto retto dall'equazione, per la funzione t-+ x (t), defmita per t  0 da:
mx + AX + kx=O se x O
[2.14.1]
[2.14.2]
mX+Ax+kx=f(xo, T) se xO
ove l'azione della mota dentata e stata schematizzata da una forza f(xo, T) che di-
pende dalla velocita i 0 dell'ultimo passaggio per x 0 = 0 con velocita positiva e dal
tempo T trascorso da tale istante.
Si noti che [2.14.1], [2.14.2] e un'equazione di moto di tipo differente da quel-
10 considerato nei paragrafi precedenti. E' una forza, quella che appare in [2.14.2],
che non solo dipende dal tempo ma anche dalla storia passata del moto stesso.
L'equazione in questione non e, dunque, un'equazione differenziale nel senso del
paragrafo 2.3, defmizione 1.
In conseguenza, non sappiamo ancora se [2.14.1], [2.14.2], anche con f di clas-
se Coo, ammette una soluzione, e cioe una funzione t-+x(t), tE R+, di classe Coo
che verifica [2.14.1], [2.14.2].
Per studiare [2.14.1], [2.14.2] e bene porre alcune restrizioni sulla forma di f
che intendiamo considerare: ossia e opportuno specializzare ulteriormente i1 mo-
dello. Questo sia per evitare problemi tecnicamente troppo complessi, sia per evi-
tare di svolgere una teoria per una f troppo generale che non corrisponde alle leg-
gi di forza che possono avere interesse per il nostro problema.

82
Capitolo secondo
A titolo di esempio supponiamo che [(Xo, 7) sia nulla se Xo non appartiene a
un intetvallo di estremi v_ e v+ ove v_ e v+ sono due costanti positive:
Xo  [v_, v+].
[2.14.3]
Questa ipotesi traduce il fatto che, se it punto passa in x 0 = 0 troppo veloce, non
e mai raggiunto dal dente della mota che, quindi, non agisce mai ese, mvece, pas-
sa troppo lento, l' ampiezza della sua osciliazione e troppo piccola per premettergli
di entrare in contatto con il dente della ruota.
Supponiamo poi che, se Xo E [v_, v+], allora la forza che agisce suI punto mate-
riale dipende solo dal tempo 7 trascorso dall'ultimo passaggio in x 0 = 0 con veloci-
tit x 0 positiva. Cioe
[(Xo, 7)=PX(Xo)g(7)
[2.14.4]
ove X(xo)=1 se xoE[V_, v+] e zero altrimenti. La funzione t-+g(t), definita per
t E R, si suppone di classe Coo e nulla fuori di un intervallo [0, Tg], Tg> 0; inoItre
si suppone che il massimo di g sia 1. La costante P, che riguarderemo come un pa-
rametro variabile, rappresenta I'''intensita'' della forza. Dal punto di vista fisico si
puo immaginare che P dipenda dal peso che muove la mota dentata e g sia una
funzione che descrive in dettaglio il meccanismo della ruota.
Ovviamente [2.14.4] verra considerata come un modello matematico della forza
generata dallo scappamento ad ancora. Tale modello e solo una schematizzazione
in cui alcune proprieta di un qualsiasi meccanismo reale corrispondente sono cer-
tamente sovrasemplificate. E', pero, un modello cne, come vedremo, presenta al-
cune caratteristiche interessanti come, ad esempio ed in primo luogo, il "mecca-
nismo di autoreazione", che fa SI che il sistema [2.1.1], [2.14.2], [2.14.4] in cer-
te circostanze "cerchi automaticamente" una situazione che gli pennetta di muo-
versi di mota periodico.
La funzione g ha dunque un grafico del tipo illustrato nella figura 2.5. n tempo
Tg deve essere piccolo rispetto ad esempio, al tempo necessario ad una elongazio-
ne dell'oscillatore dalla posizione x 0 = 0 alia posizione di massima distanza da x 0 = o.
E' questo un requisito dall'ovvio significato fisico che possiamo tradurre dicendo
che Tg1/4To ove To=27T V; e i1 periodo dell'oscillatore ideale: e una condi-
zione che cerca di tradurre il fatto che il dente si deve staccare dall'oscillatore pri-
To
ma che questo inizi il ritorno verso l'origine. Empiricamente la condizione Tg 4
dovrebbe garantire questo, almeno se l'attrito e piccolo (da produrre effetti trascura-
bili per tempi dell'ordine di To: cioe, come abbiamo visto al  2.12, se i\? 4mk).
Dunque assumiamo [2.14.1], [2.14.2], [2.14.4] come modello dello scappamen-

to ad ancora con Tg< -f e >..2 <4mk e dimostriamo la seguente proposizione:

83
Moti unidimensionali
9
T
Tg
Figura 2.5
xx Proposizione Le [2.14.1], [2.14.2], [2.14.4], sotto opportune condizioni
di compatibilita fra i parametri P, Tg, V_, V+, ammettono una soluzione di classe
Coo e periodica de[inita per tE R+.
Osservazione. Nel paragrafo 2.15 discuteremo Ie condizioni di compatibilita fa-
cendo vedere che se A e abbastanza piccolo, possono essere soddisfatte effettiva-
mente. Nel paragrafo 2.16 faremo vedere che, se A e abbastanza piccolo e Ie con-
dizioni di compatibilita so no verificate, i moti che hanno dati iniziali abbastanza
vicini a quelli del moto periodico tendono asintoticamente a confondersi con es-
so, con velocita esponenziale (vedi figg. 2.6 e 2.7}

84
Capitolo secondo
x
x
Figura 2.6
Grafieo t-'(x(t), x(t» di una soluzione periodica delle [2.14.1], [2.14.2], [2.14.4], con seelte
eonvenien ti dei parametri arbi trari.
Dimostrazione. Se t x(t) e un moto periodico di periodo T> Tg tale che x (0) =0
e chiaro che la funzione defmita per t  0:
'P(t) = [(vo, r)=PX(vo)g(r),
[2.14.5]
ove Vo e la velocitil del punto all'istante del suo ultimo passaggio per 0 con veloci-
til positiva. ere il tempo trascorso da tale istante, e una funzione di classe Coo e
periodica se, anche, avviene che il tempo necessario a ritornare in 0 con velocita
positiva e pari al periodo T stesso. 9
9 Potrebbe avvenire ehe it punto passi piu di due volte per l'origine nello spazio di un pe-
riodo.

85
Moti unidimensionali
x
\
x
Figura 2.7
Grafieo t -. (x(t), x(t» di una soluzione con dato iniziale arbitrariamente seelto: si eonfonde
con la soluzione periodiea della figura 2.6 in poche oseillazioni (3 nella precisione del di-
segno ).
Supponendo dunque che tx(t), tE R+, sia un moto periodico di classe Coo e
di periodo T, uguale a1 tempo di primo ritomo con velocita Vo positiva nell'origi-
ne, e che Vo E [v_, v+] avremo che "tit  0:
m X (t) + AX (t) + k x (t) = 'P (t).
Se Vo E [v_, v+] e se si pone:
T i T g .
--nr dr J - -lnr dr
Kn= Jg(r)e T - = g(r)e T -
o ToT
(nell'ipotesi che T> Tg), si avra, per quanto visto al paragrafo 2.12, che
[2.14.6]
[2.14.7]

86
Capitolo secondo
21ri nt
,. T
+00 gn e
x(t)=P L ( ) [2.14.8]
n = -00 21T 2 2 + k + 21T . '\
-m - n -zn/\
T T
e la serie converge uniformemente percheS Kn tende a zero per n  00 piu velocemen-
te di qualsiasi potenza.
Ovviamente dobbiamo ancora detenninare T e verificare che, per tale T, la
[2.14.8] e veramente soluzione di [2.14.1], [2.14.2], [2.14.4]: dobbiamo cioe im-
porre che [2.14.8] sia tale che:
i) x(O)=O
ii) x(O)E[v_, v+]
ill) T>Tg
iv) T e il tempo di primo ritomo in 0 con velocita positiva.
[2.14.9]
[2.14.10]
[2.14.11]
[2.14.12]
La [2.14.9] e un'equazione per il periodo T:
+00 ( ( 21T ) 2 21T ) - 1
0= L Kn -m - n 2 +k+-Xn
n=-oo T T
[2.14.13]
e si noti che in questa equazione T appare anche nei coefficienti Kn (vedi [2.14.7]).
Se all or a i parametri v+, v_, P, Tg, so no tali che [2.14.13] ammette almeno una so-
luzione T ese, con questa scelta di T, la [2.14.8] veri fica Ie condizioni di compati-
bilita [2.14.10], [2.14.11], [2.14.12], segue che la [2.14.8] e una soluzione delle
[2.14.1], [2.14.2], [2.14.4] periodica con periodo T.
mbe
Nel prossimo paragrafo faremo vedere che, se X e abbastanza piccolo, comun-
que si prefissino v+ e v_ e Tg< :0 = 2; v7 ' Ie [2.14.9], [2.14.10], [2.14.11],
[2.14.12] possono essere simultaneamente soddisfatte pur di scegliere P in un op-
portuno intervallo, ossia pur di "regolare" bene il "peso" che tiene in moto il pen-
dolo. AI paragrafo 2.16 vedremo la stabilita della soluzione periodica costruita nei
paragrafi 2.14, 2.15 e come essa possa essere usata per costruire effettivamente un
moto periodico.
Osservazione. La dimostrazione che segue nel paragrafo 2.15 e quella successiva
del paragrafo 2.16 presuppongono una certa maturita da parte dello studente a cau-
sa della concisione degli argomenti. Pertanto si consiglia di saltare il paragrafo 2.15
e leggere il paragrafo 2.16 solo fino a pagina 92 e di ritomare poi alle dimostrazio-
ni esposte nei paragrafi 2.15, 2.16 dopo aver completato 10 studio del capitolo 2 e
aveme svolto i relativi esercizi e problemi.
Esercizio. Si scelga ad arbitrio una funzione g e due nurneri 0 < v _ < v+ e si scri-

87
Moti unidimensionali
va un programma per un calcolatore che corrisponda alIa soluzione euristica (cioe
senza stima dell' errore) dell'equazione [2.14.1], [2.14.2], [2.14.4]. Al variare di P
si facciano disegnare a1 calcolatore alcuni grafici della soluzione dell'equazione pro-
grammata con dati iniziali x(O) = 0, x(O) = 1, senza peri> mai tabulare i risultati.
2.15 Condizioni di compatibilita nella teoria dello scappamento ad ancora
Come detto alIa fine del paragrafo precedente faremo ora vedere che, se A e suf-
To
ficientemente piccolo, dati v_, v+ e g con Tg< 4' e possibile fissare P in modo
che la [2.14.8] verifichi effettivamente Ie quattro condizioni di compatibilita
[2.14.9]-[2.14.12] e, quindi, sia una soluzione periodica dell'equazione [2.14.1],
[2.14.2], [2.14.4] del modello dello scappamento ad ancora.
Considerlamo la [2.14.13] come un'equazione per T- 1 parametrizzata da A >0
e ricercruamone soluzioni aventi la forma:
T - 1 = T 0- 1 (1 + A€)
[2.15.1]
che e suggerita dall'idea che per A piccolo l'oscillatore possa oscillare con un moto
periodico di periodo vicino a1 periodo To = 211" V; dell' oscillatore privo di a ttrito.
L'equazione per T, [2.14.13], diviene allora, separando esplicitamente dalla serle
i due termini complessi coniugati, di indice n = :t 1:
{ ( ( 21T ) 2 21Ti ) -l }
0=2 Re it -m To (1 + A€)2 + -r; A(l + A€) +
+00 ( ( 21T ) 2 21Ti ) - 1
+ L Kn -m - n 2 +k+-An
n=-oo T T
n=#= :!:1
che, usando To= 211" V; , diviene:
0=2 Re{ it t k (2€+€2 A )A+ 2;: A(l +A€)Yt}+
+00 ,, ( ( 21T ) 2 2 21Ti ) - 1
+ ngn -m T n +k+rAn ·
n=#=:!:l
[2.15.2]
[2.15.3]
Vediamo che, per A piccolo, il primo di questi addendi viene ad avere un denomi-
natore piccolo: per evitare di dover studiare un'equazione contenente termini con
1
denominatori piccoli, moltiplichiamo [2.15.3] per A. Posto, per A, €ER 2 , IA€I<2:
cI>(A, €)=2Re{it(-k(2€+€2 A )+ 2;: (l+A€)Yt}+
+A  gn ( _m ( 21T ) 2 n2+k+ 21Ti An ) -1
n=-oo T T
[2.15.4]

88
Capitolo .condo
ove T- 1 = TO-l (1 + A€) (vedi [2.15.1]) ed e forse opportuno ricordare che da T
dipendono anche i coefficienti Kn (vedi [2.14.7]); riscriviamo la [2.15.3] come
<I> (A, E) = 0 [ 2 .15 .5]
1
con l'addizionale restrizione IAEI < "2 (per essere sicuri che i denominatori di
[2.15.4] non si annuIlano). tlJ e C- per A€>-  "0
Per studiare [2.15.5] osserviamo che l'equazione
<1>(0, E)::O
[2.15.6]
porta a
il
2 Re 2 . =0
'lTl
-2k€ +-
To
[2.15.7]
che ha per soluzione, se si pone:
b(T- 1 )= Re iI, c(T- 1 )= Irnil
[2.15 .8 ]
la quantita Eo:
1 2'IT C(TO-l)
€o=- 2k To b(T;l)
se b(To-l)=#=O.
Si noti, inoltre, che effettivamente (vedi [2.14.7]), b(To-l)=#=O:

b(To-l)= jg(T)&OS  T d T T >0
o .10 0
1',
C(TO-l)= Jg(T) sin 7: T  >0
o .10.10
[.15 .9]
[2.15.10]

grazie all'ipotesi Tg < -1-, che jrnpIica che per T E [0, Tg] il seno e il coseno che
appaiono nelle [2.15.10] sono >0. Queste osservazioni fanno sperare che esista
una soluzione dena [2.15.5] avente la forma:
€(A)=EO+O(A)
[2.15.11]
almeno se A e piccolo.
T
10 Lo si dimostri facendo vedere ehe, se T= To (1 + €)-1 >  > Tg, dall'espressione [2.14.7]
e, dalle stime [2.13.8], [2.13.9] segue ehe 4
A ( T ) p dPg
Ign l  2 I I max - (t), Vp=O, 1,...
n n 0  t  Tg dt P
e simili relazioni valgono anehe per Ie derivate rispetto a T delle gn (vedi, ad esempio, la
sueeessiva [2.15.19] per un'idea sui metodo di dimostrazione).

89
Moti unidimensionali
Se questo fosse vero, avremmo risolto il problema che ci siamo posti all'inizio
del paragrafo. Infatti, in questa ipotesi, possiamo calcolare dalla [2.14.8] la veloci-
ta X (0):
x(O)=p  2rrin KnL (2rr ) 2n2m+k+ 21T i"An ) -l=
n=-oo T \: \ T T
=  [2 Re 2;i Kt(-k(2€+A€2)+ 2;i) -t + [2.15.12]
+"A +£ 21Ti n tn ( - ( 21T ) 2 n2m + k + 21Ti "A n ) - ]
n = -00 T T T
n=l= 1: 1
e, quindi, la [2.15.12] e [2.15.11] implicano:
X(0)=L [ 2 Re {  ib(To-t)-C(o-t) } + O("A)  =
"A To -2ke + 21TI
o To
= 2P (b(To-1)+O("A))
"A
[2.15.13]
con un po' di pazienza algebrica, usando la [2.15.9]. Percio per "A piccolo possiamo
scegliere P in modo che x(O)E[V_, v+] (basta che O("A) sia piu piccolo di b(Tol)).
Si noti che P-+O per "A-+O se si impone che x(O)E[v_, v+]: questo e in accordo
con I' osservazione empirica ovvia che il "peso" necessario a muovere un oscillatore
deve essere tanto piu piccolo quanto minore e l'attrito.
Simihnente a partire da [2.14.8] e [2.15.11] si verifica la [2.14.12] se "A e abba-
stanza piccolo: si pub infatti vedere che e sufficiente verificare [2.14.12] sostituen-
do a x(t) in [2.14.8] il solo contributo dei termini con n =:t 1 nella serie [2.14.8]
(che nella precedente discussione sono i soli importanti per "A piccolo ai fmi del
calcolo di T e x (0)). Per tale approssimazione di t -+ x (t) l'affermazione e pero ov-
via, poiche un tale mota approssimato e un moto armonico di periodo T.
Lasciamo allettore l'elaborazione dei dettagli, come esercizio. La [2.14.11], in-
fme, e una conseguenza, per"A piccolo, di [2.15.11].
Possiamo riassumere la discussione precedente in:
XXI Proposizione Se La [2.15.5], come equazione in € parametrizzata da "A,
ammette una soLuzione avente La forma [2.15.11] per "A sufficientemente piccolo,
allora l'equazione del modello dello scappamento ad ancora descritto da [2.14.1],
[2.14.2], [2.14.4] ammette una soLuzione periodica di periodo T tale che
T-l=Tol(1 +€o"A+o("A))
[2.15.14]
se "A e abbastanza piccolo e P e opportunamente scelto.
Resta, aHora, per completare la soluzione del problema proposto, da verificare

90
Capitolo secondo
che [2.15.5] ha davvero una soluzione E come [2.15.11], se A e piccolo.
Poiche gia conosciamo una coppia (A, €) che verifica [2.15.5], la coppia (0, Eo),
viene spontaneo trattare la [2.15.5] a mezzo del teorema sulle funzioni implicite
(vedi app. F). In base a questo teorema basted verificare che la funzione <1>, defi-
1
nita sull'insieme aperto di R 2 consistente dei punti (A, €) tali che IAEI < 2 e qui
dotata di derivate prime continue rispetto a A ed € e:
a <I>
ae(O, €o)*O.
[2.15.15]
In questo caso la [2.15.5] ammettera soluzioni per A abbastanza piccolo e
a <I>
aA (0, eo)
E= €o - a<l> A + O(A).
ae(O, Eo)
[2.15.16]
La verifica della [2.15.15] e un facile esercizio che si basa sulle seguenti osserva-
zioni:
i) <1>, defmita da [2.15.4], e la somma di una serie di funzioni di € e A, tu tte
1
dotate di derivate prime continue rispetto a E eAse €A > - 2: per quel che con-
cerne la derivabilita di Kn vedi [2.14.7].
ii) Dalla [2.14.7] si deduce, ricordando l'ipotesi che g(r)E[O, 1]:
1:
I .... I  g
gn T.
[2.15.17]
iii) Sempre da [2.14.7] si evince:
a ,e, 1   21fin 1   2 . 21rin
bn --7 1Tln --7
-=- g(r)e T dr+- g(r) re T dr
aT T 2 0 T T 2
[2.15.18]
e, integrando per parti il secondo integrale e poi maggiorando il risultato in modo
ovvio si ha:
ag n Tg  d )
aT 2 1 + max dTg(r).
T 7E[O, Tg] r
iv) Ie (i), (ii), (iii) precedenti implicano facihnente che la serie ottenuta da
[2.15.4 J derivando termine a tennine rispetto a A 0 € e uniformemente .convergen-
te per A, € in ogni insieme cruuso e limitato, contenuto nella regione IA€I < 1. Dun-
que nella regione in cui I A€I < 1 vale la regola di derivazione termine a termine del-
la se rie che de fmisce <1>.
v) Derivando termine a tennine la serie [2.15.4] che defmisce <I> e calcolando
poi i risultati delle derivate rispetto a E e A in (0, Eo) si trova, con un po' di pa-
a A a A
. I b . d . ( . . h gn A n 0)
Zlenza a ge nca, a esemplO SI notl c e _ a - 1 + € '\ _ a =:
€ A=O  € A=O
[2.15 .19 ]

91
Moti unidimensionali
a <I> ( To ) 2 kb(To-l)3
a;-(O, €o)= ---;- b(To-l)2+C(Tol)2 >0
e questa verifica della [2.15.15] conclude la discussione:
[2.15.20]
mbe
2.16 Ancora sullo scappamento ad ancora. Stabilit3 del moto periodico
Nei paragrafi 2.14 e 2.15 abbiamo visto come il modello dello scappamento ad
ancora [2.14.1], [2.14.2], [2.14.4] ammetta una soluzione periodica, per A suffi-
cientemente piccolo, se l'intensita P della forza motrice e convenientemente scelta.
Cruameremo questo moto, immaginando cosi di aver fissato P in funzione di A,
t x (t), tER+.
E' chiaro che l'esistenza del moto x , di per se, non e interessante nelle applica-
zioni. Infatti per porre il sistema in questo stato di moto occorre dare, esattamen-
te, all'istante t=O la posizione x(O)=O e la velocita x(O)=vo defmita da [2.15.12]
che corrisponde al moto periodico in cui i parametri PeA sono quelli assegnati a
priori. 11
II moto periodico studiato nei paragrafi precedenti sara interessante nelle appli-
cazioni solo se "stabile". Cioe solo se, facendo partire il sistema da uno stato ini-
ziale x(O)=O e x(O)=Vo+17, perturbato rispetto a quello che genererebbe un mo-
to periodico, il moto txl1(t) che ne consegue per tO, secondo [2.14.1], [2.14.2],
[2.14.4], esiste ed e unico se 17 e piccolo e, inoltre, e tale che
IX l1 (t)- X (t+T l1 )1  0
t+oo
[2.16.1]
se T 11 e opportunamente scelto.
Nelle applicazioni di fatto si richiede di piu: ad esempio si vorrebbe che illimi-
te [2.16.1] venga raggiunto con velocita esponenziale con tempo di dimezzamento
dell'ordine del periodo T del moto periodico. In tal caso, dopo "poche" oscillazio-
ni, il moto sareb be a tutti gli effetti pratici identico a quello rigorosamente perio-
dico. E' quello che accade negli orologi a pendolo.
Esaminiamo dunque la questione della stabilita e dimostriamo la seguente pro-
posizione:
XXII Proposizione II mota periodico del modello dello scappamento ad anco-
11 Si dovrebbe anehe dimostrare ehe a un tale dato iniziale segue effettivamente un moto
periodieo: eioe bisognerebbe provare un teorema di unieita almeno per il dato iniziale in que-
stione. Questo e possibile, come pure e possibile per i moti con dati iniziali di poco perturbati
rispetto a quelli ehe generano il moto periodico e ehe ineontreremo nel corso della diseussio-
ne di questo paragrafo. Non entriamo pero nella, non difficile, dimostrazione della validita del-
le pro prieta di uniciti ehe ei interessano: illettore potra far!o per esereizio, poi. Si noti ehe
la proposizione I del  2.2 non si appliea ora, perehe Ie equazioni ehe studiamo non rientrano
nella definizione 1,  2.2.

92
Capitolo secondo
ra t-+ x (t), tE R+, costruito nei paragrafi 2.14 e 2.15 e stabile nel senso descritto
in relazione alla [2.16.1] se A e abbastanza piccolo. [llimite [2.16.1] e raggiunto
esponenzialmente con un tempo di dimezzamento dell'ordine di grandezza:
tll2  max(r. 2;)
[2.16.2]
Osservazioni
1) Nel corso della dimostrazione risaltera, netta, l'importanza dell'esistenza del-
l'attrito. E' una regola piuttosto generale che i moti che si svolgono in presenza di
attrito siano piu stabili dei corrispondenti moti ideali in assenza di attrito, purche
l'attrito non sia cosi forte da renderli completamente differenti: it prezzo che si
paga per questa stabilita, di ovvia ed essenziale importanza nelle applicazioni, e na-
turalmente la necessita di una forza motrice per mantenere il moto stesso.
2) Si potrebbe richiedere e dimostrare la stabilita rispetto a dati iniziali piu ge-
nerali e realistici di quelli considerati nella proposizione XXII. Ad esempio, rispet-
to a dati iniziali x (0) = € e X (0) = Vo + 11, la teoria e i risultati sare bbero assai simili.
3) La proposizione XXII conclude la teoria dello scappamento ad ancora. Oc-
corre tenere ben presente che il modello matematico [2.14.1], [2.14.2], [2.14.4]
e solo un modello e, per certi aspetti, e non soddisfacente. Ad esempio non e rea-
listica l'indipendenza della forza dell'effettivo valore della velocita xo. Tuttavia, e
questa e sempre la funzione dei modell, chiarisce un importan te meccanismo pre-
sente anche in modelli piu raffmati: l'esistenza di una reazione dell'oscillatore su
se stesso, "autocontrollo del moto", 12 che 10 induce a muoversi dopo poco tempo
di moto periodico. Questo autocontrollo, intuito e messo in pratica da Huygens
nell'orologio a pendolo, e un fenomeno che si presenta in molti modelli che appa-
iono nelle piu svariate circostanze ed e su di esso che si basa la progettazione e la
costruzione di macchine di precisione e la loro stessa possibilita di esistenza.
Dimostrazione. Poniamo, vedi [2.16.1] e righe precedenti per Ie notazioni,
x l1 (t)= x (t) + (t)
[2.16.3]
e mostriamo, anzitutto, che esiste una soluzione di classe c: oo delle [2.14.1], [2.14.2],
[2.14.4] verificante Ie condizioni iniziali x l1 (O) = 0, x l1 (O) = x (0) + 11, purche 11 sia ab-
bastanza piccolo e P, A tali che il moto periodico t -+ x (t), t  0, esista.
La prima osservazione e che, se t-+1 (t) e la soluzione dell'equazione:
mI+AI+kI=O tER+
1(0)=0, il(O)=11
[2.16.4]
e se Tl e it primo istante positivo in cui it moto t-+ X (t)+I(t) passa per l'origine
12 Feedback per gli italianisti.

93
Moti unidimensionali
con vel oc ita positiva, allora questo mota risolve [2.14.1], [2.14.2], [2.14.4] per
t E [0, T 1]' se 11 e A sono piccoli.
Per comprendere questa proprieta si noti che la soluzione di [2.16.4] e (vedi 
2.12), se A 2 < 4mk:
. v{ k A2 )
sm -- t
-t m 4m 2
1(t)=l1e 2m If.. [2.16.5]
V\  - 42 )
e, dU;;;);: ( _ 42 )-1n, 11 (t)1  1111 (1 + (  _ 42 } 1n). [2.16.6]
Allora, se 1111 e abbastanza piccolo, per fissare Ie idee 1111 <5 A < 1, per un 5 A op-
portunamente scelto, e chiaro che la [2.16.3] con l(t) al posto di (t), verifica
[2.14.1], [2.14.2], [2.14.4] se A e sufficientemente piccolo.
Per valutare SA si devono imporre Ie condizioni: 1) Tl > Tg, '11111 <OA; 2) la ve-
locita al primo passaggio per l'origine del mota t  x (t) +  1 (t) e ancora negativa e
quella al secondo passaggio e positiva.
Questa condizione e vera per il mota di riferimento se A e abbastanza piccolo
perche, come gia detto, in tal caso il mota di riferimento e quasi un mota armoni-
co e per quest'ultimo tale proprieta e vera. Allora rimane vera per il mota t  x (t) +
+  1 (t) se A e abbastanza piccolo. Lasciamo l'elaborazione dei dettagli allettore.
Questa proprieta non restera, in generale, vera per t> Tl perche nella [2.14.4]
il tempo T e contato, nel mota t x (t), a partire da T mentre nel mota txT1(t)
- -
e contato a partire da Tl e Tl =1= T, in generale.
Per studiare il mota in tempi successivi a T 1 si pub procedere come segue. Se
111 = ; ( T 1 ) + l ( T 1)- ; (0)
[2.16.7]
e, se 11111 <SA possiamo defmire, per quanto gia visto, la funzione t(t) in [2.16.3]
come (t)=2(t), ove 2(t) e defmito per t fra T l e il primo istante T 2 successivo
a Tl in cui il mota ripassa per 0 con velocita positiva, come soluzione della prima
delle [2.16.4] con dato iniziale:
2(Tl)=0 2( T l)=111.
[2.16.8]
Ripetendo il ragionamento possiamo continuare indefmitamente defmendo 113, 114, ...,
purche l11il <SA' pervenendo cosi alIa definizione degli istanti T 1 , T 2 ,... corrispon-
denti ai successivi passaggi per 0 con velocita positiva.
E' allora chiaro che la proprieta di stabilita asserita nella proposizione sara di-
mostrata se faremo vedere che esistono due costanti CA>O, OA < 1 tali che '111,
1111 <5 A:
- - p
ITp+l-(T+Tp)lcAOA p=O,I,... [2.16.9]

94
Capitolo secondo
p
l11 p l CAOA 1111
p=O, 1,...
[2.16.10]
almeno per A sufficientemente piccolo. La costante 1 11 (vedi [2.16.1]) sara allora,
se To = O:
00 _ _
1 11 = .L (Ti -(T+ Ti-I)).
l= 1
[2.16.11]
Facciamo dunque vedere la validita di [2.16.9], [2.16.10].
n valore di 0 Ache troveremo avra la forma
XTo
OA =e 2m (1 +O(A))
1[m
To = 21T V k
[2.16.12]
per A abbastanza piccolo (si noti che OA < 1 se A e abbastanza piccolo): questo pro-
vera, evidentemente, anche la [2.16.2]. Per evitare una discussione troppo lunga non
determineremo esplicitamente quanto A debba essere piccolo, esattamente, perche
[2.16.12] valga. OsseIViamo pero che supponiamo, fin dall'inizio, che A 2 < 4mk,
che e la condizione perche il mota smorzato [2.16.4] sia oscillatorio e ha anche il
significato che il tempo di dimezzamento [2.16.2], non pub essere inferiore al pe-
riodo To naturale dell'oscillatore [2.16.4], (X:$ v'4mk   :$21T).
Trascurando nella [2.16.12] l'infinitesimo 0 (A) vediamo che pill e grande l'attri-
to A, compatibilmente con la condizione di oscillazione A 2 < 4mk, pill rapidamen-
te il mota tende a divenire periodico (vedi osservazione precedente).
Per discutere [2.16.9] e [2.16.10] occorre trovare un'espressione pill concreta
- -
per Tie, in generale, per Ti, i  1.
Poniamo TI = T+ Kl e l'equazione per K 1 e:
x 11 (T + KI)= 0
[2.16.13]
con la condizione aggiuntiva che T + K 1 sia il primo istante successivo a 0 in cui
l'oscillatore ripassa per l'origine con velocita positiva.
Per studiare [2.16.13] applicheremo il teorema delle funzioni implicite (app. F).
Defmiamo per K, 11 E R 2 , K> - T:
"'(K, 11)= x (T+K)+I(T+K)
e la [2.16.13] diviene
[2.16.14]
"'(K, 17) = O.
[2.16.15]
Poiche abbiamo visto nei paragrafi 2.14 e 2.15 che t x (t), tER+, e di classe
Coo e tale e anche, ovviamente, la t  1 (t), t E R+, possiamo dire che '" e di clas-
se Coo, suI suo insieme di definizione.
E' inoltre facile verificare, da [2.16.14], [2.16.5]:
"'(0, 0) = 0
a",
aK (O,O)=vo

95
Moti un idimensional i
.  k A 2 )' 2
sm -- T
a", _ - 2 T m 4m 2
011 (0, O)-e (_ A 2 ) 112
\m 4m 2
[2.16.16]
Pertanto, per il teorema delle funzioni implicite, esiste (per 17 piccolo) una soluzio-
ne di [2.16.15] che denoteremo "1(17) e
. ( k A 2 1/2
sm -- T
m 4m 2
_ A2 ) 1/2
\m 4m 2
"AT
e 2m
1<1(17)=-
Vo
17 + ° "A (17)
[2.16.17]
ove l'indice A in 0"A(17) ricorda che l'infinitesimo e funzione anche di A.
Tenendo conto dei risultati del paragrafo 2.15, d'altra parte, si ha (vedi [2.15.14])
T= T o (I-€oA +O(A))
[2.16.18]
kT
e, sfruttando la relazione sin 0 = 0, si trova con semplici passaggi, da [2.16.17]
m
e [2.16.18]:
€c To ,
1<1(17)= (A+O (A)) 17 + ° "A (17). [2.16.19]
Vo
E' anche facile verificare che la condizione aggiuntiva associata a [2.16.13] e
soddisfatta se "1 e dato da [2.16.19] ed 17, A sono abbastanza piccoli. Possiamo
allora calcolare 171:
17 1 =  (T + I< 1) + € 1 ( T + I< 1 ) - Vo =  (T) I< 1 +  1 (T + I< 1) + O"A (I< 1)
[2.16.20]
.
ove x e stato sviluppato in serie di Taylor al primo ordine attorno aTe si e usa-
ta la relazione x (T)= vo.
.. ..
Le equazioni del moto [2.14.1], [2.14.2], [2.14.4] implicano che x (T)= x (O)=
= - vo e, allora, da [2.16.20] deduciamo, usando [2.16.18], [2.16.5] e paziente
m
algebra:
"A To
171 =17 e- 2m (1 + O(A) + OA(17)),
[2.16.21]
I""ooJ
ove O(A) e un infmitesimo di ordinc superiore in A e 0"A(17) e un infmitesimo del-
10 stesso ordine di 17 dipendente da A. E' allora chiaro che se 5  < 5"A e scelto suf-
ficientemente piccolo (in funzione di A) la [2.16.21] e la 1171 < 5  implicano la
11711 OAI171 se 1171 <5
[2.16.22]
con O"A dato dalla [2.16.12].
Quindi se A e abbastanza piccolo e se 1171 < 5  si trova che 11711 <5  e il ragiona-
mento e ovviamente indefinitamente ripetibile per stimare, successivamente, 11711,

96
Capitolo secondo
11121, ...: e chiaro che, allora, da [2.16.22] e [2.16.19] si deducono Ie [2.16.9] e
[2.16.10] e la dimostrazione della proposizione XXII e, cosi, conclusa.
mbe
Esercizio. Si studi a livello euristico la stabilita delle soluzioni di [2.14.1],
[2.14.2], [2.14.4] utilizzando i1 programma del paragrafo 2.14. Si faccia disegna-
re al calcolatore il grafico, per il mota x periodico, della traiettoria del mota suI
piano R 2 degli atti di moto. Lo si confronti, al variare di X, con i1 grafico del mo-
to di uguale ampiezza di un oscillatore ideale senza attrito (ma di uguale massa e
costante elastica) e senza forze esterne.
2.17 Oscillazioni non lineari. II pendolo e Ie sue oscillazioni forzate. Esistenza
delle piccole oscillazioni
Nei precedenti paragrafi abbiamo visto che il periodo delle osciliazioni forzate
di un oscillatore armonico smorzato risulta identico a quello del termine forzante
( 2.12). Abbiamo anche visto come questa proprieta potesse essere poi sfruttata
in interessanti applicazioni ( 2.14-2.16).
La nozione di oscillatore "line are" , 0 "armonico", e pero una nozione assai "ri-
gida" e, nelle applicazioni, un oscillatore lineare pub apparire solo come modello
semplificato di qualche piu complessa entita. Ad esempio assai spesso un oscillato-
re lineare appare come modello per Ie "piccole oscillazioni" di un sistema govema-
to da equazioni non lineari. II prototipo di questi sistemi non lineari e il pendolo.
E' naturale porsi la domanda della stabilita di alcune proprieta delle soluzioni
di certe classi di equazioni rispetto alle equazioni stesse: infatti e chiaro che nelle
applicazioni ci si potra "fidare" solo di quelle previsioni di modelli che non muta-
no cambiando "di poco" il modello stesso. Questo perche, come sottolineato nel
capitolo 1 non esiste un "modello assoluto". Come esempio di problema di stabi-
lita del mota nel senso ora accennato tratteremo alcune questioni relative al mota
del pen dolo forzato, cioe governato dall'equazione 13
mx(t) + AX(t) + k sin x(t)=f(t) tE R+
[2.17.1]
con X, m, k > 0 e f e una funzione di classe Coo su R e periodica con periodo T.
Nel seguito occorrera confrontare vari moti, cioe vane funzioni, e adotteremo,
per fissare Ie idee, come misura della grandezza su [a, b] CI di una funzione t I.{) (t),
defmita per tEl, la quantita 14
13 Esercizio. La [2.17.1] e un'equazione differenziale "normale".
14 Ovviamente e possibile assumere altre quantita a misura della grandezza di una funzione.
Di soUto quale sia la "buona" misura dipende dalle esigenze della partieolare applicazione ehe
b
si ha in mente. Esempi di altre tali misure sono J Icp(t)1 dt ovvero sup Icp(t)1 + sup 1.p(t)1
 a tE[a, b] tE[a, b]
o cp(t)1 2 dt.
a

97
Moti unidimensionali
1I'PII[a, b] = SUp 1'P(t)l.
tE[a, b]
Ci domandiamo ora se i moti di [2.17.1] hanno Ie seguenti proprieta:
1) Se tx(t), tE R+, e un mota descritto da [2.17.1] e se x (0), X (D) e IIfIlR+
sono sufficientemente piccoli, allora l'ampiezza IIxli R+ del mota e essa stessa pic-
cola ("esistenza delle piccole oscillazioni").
Questa e una proprieta che ab biamo implicitamente verificato per gli oscillatori
armonici in occasione della deduzione della soluzione generale del paragrafo 2.12.
2) L'equazione [2.17.1] ammette, se II fllR+ e sufficientemente piccolo, una so-
luzione periodica con 10 stesso periodo di f.
3) Per t  + 00 ogni soluzione di [2.17.1] si confonde, con velocita esponenziale,
con la soluzione periodica di cui al punto 2) se i dati iniziali sono sufficientemen-
te piccoli.
In questo paragrafo ci occuperemo del problema (1) e dimostreremo la seguen-
te proposizione che "10 risolve":
[2.17.2]
XXIII Proposizione Esistono 'Y, 'Y'>O tali che, se fECOO(R) e (xo, Vo)E R 2 , il
mota tx(t), tER+, descritto da [2.17.1] seguente il dato iniziale x(O)=xo,
x(O)=vo verifica fa
IIxll R+  'YO x 0 I + Ivo I + II fll R+)
se Ixol + IVol + II fIlR+<'Y'.
[2.17.3]
Osservazioni
1) L'equazione [2.17.1] e solo un esempio di un'equazione non lineare prescel-
to fra tanti per la sua importanza storica. I risultati ed i metodi che seguiremo si
applicano ad equazioni assai piil generali. Illettore riconoscera che, nella dimostra-
zione che segue, una sola cosa  importante e precisamente il fatto che k sin x - kx
sia, per x  0, un infmitesimo di ordine superiore a x. Per esercizio, il lettore potra
ripetere la dimostrazione che segue, con ovvie modifiche, per 10 studio di una pro-
posizione identica alla XXIII per l'equazione m x + AX + kVi(x) = f(t) nell'ipotesi che
1PEC-(R) sia tale che 1P(O)=O e : (0»0.
2) E' opportuno rendersi conto della necessita di porre una restrizione su II fIlR+;
questo e reso evidente dal fatto che l'equazione:
mx+ AX + sin x =Aw + sin wt
[2.17.4]
ha come soluzione, fra Ie altre, twt, tE R+. Le restrizioni su IXol e IVol non so-
no invece necessarie: in altre parole nella proposizione XXIII si potrebbe sostituire
la condizione Ixol + Ivol + IlfIIR+<'Y' con IIfIlR+<'Y'. Le abbiamo imposte solo per
semplificare un po' i calcoll.
3) L'idea della dimostrazione che segue e di "confrontare" la soluzione [2.17.1]

98
Capitolo secondo
con la soluzione dell'equazione analoga in cui sin x e sostituito da x. Tale confron-
to non sara di1etto, ma avra luogo riscrivendo k sin x come kx + k (sin x - x) e con-
siderando la funzione tk(sinx(t)-x(t)) come una funzione nota e maggiorabile
Ix (t)31 3
da k 6 ' grazie alIa disuguaglianza 0   - sin   6' '1 E R+.
Si ottiene in tal modo un'equazione lineare con termine forzante f(t) - k(sin x (t)-
- x (t)): risolvendola "esplici.tamente" (vedi la dimostrazione che segue) si trova una
relazione fra l'ampiezza M(t) = max Ix (T)I = IIxll[o, t] e il suo cuba che implica, co-
o;t
me vedremo, che M(t) e effettivamente piccolo 'It  O.
Questo metodo di dimostrazione e un caso particolare di un metoda generale
per ottenere stime a priori sulla grandezza delle soluzioni di equazioni non lineari
ed e talvolta chiamato metodo di "autoconsistenza": illettore e invitato a medita-
re sulla ragione di questo nome dopo la lettura della dimostrazione che segue.
Dimostrazione. Per semplicita supporremo }...? =1= 4mk. Prima di analizzare l'equa-
zione [2.1 7.1] e utile osselVare che l'equazione
mi+Xi+kx=FU) tER+
[2.17.5]
con FE COO(R) ammette fra Ie sue soluzioni definite per tE R la funzione:
S f e+(t-;)-e-(t-;) dT
Po(t)= F(T)-
o a+-a_ m
[2.17.6]
ove a+ e a_ sono Ie due radici dell'equazione ma 2 + Xa+ k=O, ossia
Q=- 2 I 0 4k).
[2.17.7]
Questa proprieta pub essere direttamente verificata inserendo [2.17.6] in [2.17.5] ed
e un caso particolare di una proprieta generale delle equazioni differenziali lineari che
verra illustrata a mezzo di esercizi e problemi (vedi esercizi di questo paragrafo ).15
Per quanto si e osservato al paragrafo 2.12 la piu generale soluzione della [2.17.5]
avra allora la forma
x (t) = x (t) + poet),
[2.17.8]
ove t x (t), tE R+, risolve la [2.17.5] con F = O. E' anche utile notare che dalla
[2.17.6] segue
Po(O)=O Po(O)=O
[2.17.9]
15 Si noti ehe se F e periodiea la [2.17.6] non 10 sara, in generale. Dunque questo metoco
per ottenere soluzioni particolari della [2.1 7.5] e diverso da quello, valido per Ie funzioni F
periodiehe, visto al  2.12.

99
Moti unidimensionali
per calcolo diretto e, inoltre, si vede anche che Po e reale anche quando a:f: sono
complessi.
Tomando ora alla [2.17.1] con condizioni iniziali x(O)=xo, x(O)=vo la riscri-
veremo come:
mx (t) + Ai(t) + kx (t) = f(t) + k(x (t)- sin x (t))
[2.17.10]
e, per Ie osservazioni appena fatte, a proposito delle [2.17.8] e [2.17.5], facendo
finta che il secondo membro di [2.1 7.10] sia una funzione "nota" di t, potremo
dire che:
t e Q+ (t - T) - e Q- (t - T) dr
x(t) = x (t) + J [f(r) + k(x (r)- sin x (r))] - [2.17.11]
o a+ -a_ m
ove t x (t) e una soIuzione della [2.17.5] con F = O e tale che, per Ie [2.17.9]:
.
x (O)=xo, x (O)=vo.
Dai risultati del paragrafo 2.12 segue
[2.17.12]
vo-a_xo vo-a+xo t
x (t) = e Q + t - e Q -
a+-a_ a+-a_
[2.17.13]
e, poiche Re a:t<O, segue anche leQ:f:tl  1, 'VtO. Quindi
( la+I+la-! 2 
II x IlR+  Ixol + IVol ·
la+ -a-! la+ -a-!
Pertanto, ricordando che M(t) = IIxll[o, t], si deduce dalla [2.17.11], utilizzando Ia
disuguaglianza:
3
0-sin6 'VER+
[2.17.14]
[2.17.15]
la seguente disuguaglianza, 'Vt 0:
 k ) t dr eReQ+(t-T)
Ix(t)IlI x IlR++ IIfIlR++- 6 M(t)3 .J-.2
o m la+ -a-!
[2.17.16]
perche lexp a:ttl = exp Re a:tt exp Re a+t, 'VtO. Ne segue, eseguendo l'integrale
in [2.17.16],
Ix(t)1 lI x IlR+ + 2 (II fll R+ + 6 k M(t) [2.17.17]
IRe a+lla+ -a-!  J
che implica, per [2.17.14]:
Ix(t)IA+BM(t)3 tO
[2.17.18]
con
A= la+I+la-l lxol+ 2 IVol+ 211f1lR+
la+ -a-! la+ -a-! miRe a+lla+ -a-!
[2.17.19]

100
Capitolo secondo
A+Sm 3 -m
-1/
JJ2 (A) 1/V3B
A
"
,
m
Figura 2.8
B= 2k
6mlRe Q+IIQ+ -a-l
E' immediato che la [2.17.18] implica, per la monotonia di M(t) = IIxll[o, t] e per
l'arbitrarieta di t:
[2.17.20]
M(t)A+BM(t)3 'VtER+
e, da [2.17.19] segue anche che:
[2.17.21]
M(O) = Ix(O)1 = IXol <A.
[2.17.22]
E' ora facile pervenire alla conclusione dell a dimostrazione.
II grafico (fig. 2.8) della funzione M -+ A + BM 3 - M ha la fonna illustrata nella
figura 2.8 se 2; BA 2 < 1. Dunque se IXol, IVol, IIfIlR+ sono sufficientemente pic-
coli (vedi [2.17.19] e [2.17.20]) perche questa disuguaglianza sia vera, si vede che

101
Moti unidimensionali
l'equazione A +BM 3 -M=Q ha tre radici reali J.Ll(A), J.L2(A), J.L3(A), tali che J.Ll(A) <0,
l 1 ) 1
1l2(A)E\0, v'3ii e 1l2(A» v'3ii .
Inoltre, per MO, A + BM3_MA-M e, quindi, J.L2(A)A.
Poiche la funzione t-+M(t), tE R+, e una funzione continua che verifica [2.17.21],
[2.17.22] ed e, inoltre, non negativa, e chiaro che
M(t)J.L2(A) VtER+.
[2.17.23]
Infine seM;"O,M vk- sihaA+BM3-MA+BM-M=A-2Me
3B 3B 3
quindi, 1l2(A)  A, e quindi la [2.17.23] conclude, viste Ie [2.17.19] e [2.17.20]
la dimostrazione.
mbe
2.1 7 Schemi di esercizi e pro blemi
1. Si consideri l' eq uazione differenziale
x =ax + [(t)
in k e si provi che
t
p(t)= J ea(t-T) [(T) dT
o
ne e una soluzione particolare, corrispondente al dato iniziale p (0) = O.
*2. Sia L Wla matrice a X d a coefficienti costant e si consideri l'equazione
differenziale:
i =Lx + f(t)
ove f e una funzione di classe COO a valori in Rd. Siano x( 1), ..., x(d) d soluzioni (li-
. d . d . ) d 11 '. · L d ti . . . Ii (i ) 
nearmente m Ipen enti e equazlone omogenea x = x con a m1Z1a Xj =uij,
i,j=I,...,d.
Allor a, posto
t
tp(t)= J W(t-r)f(r) dr
( ) (i) ( ) . . 1 d ' 1 .. d ., Ii . . d .
(ove Wij t =Xj t, I, J = , ..., , e a matnce mtro otta gta neg eserC1Z1 el pa-
ragrafi 2.27 2.5) t p(t) e una soluzione particolare de11a i =L + f(t) (idea: si
dW
usi la proprieta gia vista all'esercizio (12) del paragrafo 2.2 per cui T=LW). Ta-
le soluzione verifica il dato iniziale p (0) = O. t
3. Si applichi i1 metodo del problema (2) per trovare soluzioni particolari del-

102
Capitolo secondo
l'equazione
x=-x +y + fl(t)
y=-x-y + f2(t).
4. Come (3) per mX+Ax+kx=f(t) (dopo averla ridotta a un sistema di due
equazioni lineari).
s. Come (3) per
d 4 x
dt 4
d 2 x
+x=t
dt 2
(dopo averla ridotta a un sistema di 4 equazioni lineari).
6. Nei problemi (4), (5) si dimostri che la soluzione particolare costruita con
i1 metodo suggerito da (2) verifica la condizione iniziale x(O)=x(O)=O nel caso
(4) e x(Q)=x(O)=x(O)=x.(O)= 0 nel caso (5).
2.18 Le osciUazioni del pendolo smorzato. Piccole oscillazioni forzate
Mostreremo ora ehe anehe il pendolo ammette moti periodiei isoeroni rispetto
al termine forzante, almeno se Ie oseillazioni sono pieeole. Questo risolve i1 pro-
blema (2) posto a pagina 97 ( 2.17) in senso affermativo.
Aneora trattiamo l'esempio del pendolo per ragioni affettive: la teoria ehe se-
gue e valida per Ie equazioni ottenute dalla [2.17.1] sostituendo sin x con una ar-
bitraria funzione \)I ECOO(R) tale ehe \)1(0)=0, \)1'(0»0.
Nel easo degli oseillatori armoniei avevamo visto ehe valeva una proprieta piu
forte: ogni mota di tali sistemi, se fonato da una forza periodiea, era asintotiea-
mente periodieo per too.
Non e possibile sperare in un risultato cosi generale ora: infatti l'equazione:
x + AX + sin x = AW + sin wt
[2.18.1]
ha per soluzione, fra Ie altre, la funzione t  wt che non solo non e periodiea, ma
non e neppure asintotica ad una soluzione periodiea.
Consideriamo l'equazione (normale se fECOO(R+))
mx + AX + k sin x =I'f{t) tE R+
[2.18.2]
A, m, k > 0, A 2 =1= 4 mk (per semplicita) e dimostriamo la seguente proposizione:
XXIV Proposizione Se t  J(t), t E R, e una funzione di classe Coo, periodica
con periodo T>O, esiste un moto periodico di periodo T verificante [2.18.2] pur-
che I' sia abbastanza piccolo.
Dimostrazione. L'idea sta nel eonsiderare insieme alla [2.18.2] la

103
Moti unidimensionali
m X + AX + kx = 'Y f,
[2.18.3]
"equazione linearizzata" associata alia [2.18.2], che, come abbiamo visto al para-
grafo 2.12, ammette una soluzione periodica con 10 stesso periodo di I e avente
forma (vedi  2.12):
21Ti nt
A T
+00 In e
t x 'Y(t) = 'Yx(t)='Y  ( )
n=- -m 2; 2 n2+k+ 2n :\
A
ove (In)nEZ sono Ie armoniche di I.
Cerchiamo, poi, una soluzione periodica di [2.18.2] avente la forma:
[2.18.4]
tx(t)='Yx(t)+y(t) tER+
[2.18.5]
con dati iniziali:
x(O)='Yx(O)+e x(O)='Yx(O) + 1],
[2.18.6]
nella speranza di poter mostrare che e, 1] e y esistono e sono infmitesimi di ordine
superiore a 'Y per 'YO e, cioe, che l'equazione [2.18.3] descrive it mota periodico
di [2.18.2] a me no di infinitesimi di ordine superiore in 'Y.
La funzione tx(t), soluzione di [2.18.2] con dati iniziali [2.18.6], dipende da
€, 1] e 'Y e porremo
x (T) = 'Y x(T) + aCE, 1], 'Y)
x (T) = 'Y x(T) + b (e, 1], 'Y).
[2.18.7]
Vediamo allora che la condizione che [2.18:5] sia ,!na soluzione di [2.18.2], pe-
riodica con periodo T e (poiche x(T)=x(O), x(T)=x(O)):
II (e, 1], 'Y) = a(e, 1], 'Y)-e=O
12(e, 1], 'Y) = b(e, 1], 'Y)-1]=0
[2.18.8]
per il teorema di unicita sulle equazioni differenziali e poiche Ie periodica con pe-
riodo T (vedi esercizi e problemi del  2.2 e proposizione XII, p. 00).
Si noti che a e b sono funzioni di classe Coo di e, 1], 'Y E R 3 , per i1 teorema di re-
golarita del paragrafo 2.4.
Per studiare Ie [2.18.8], che considereremo come equazioni per €, 1] parametriz-
zate da 'Y, osserviamo che ty(t), defmita da [2.18.5] in termini di una soluzione
tx(t), tER+, della [2.18.2], [2.18.6] e tale che:
my (t) + AY (t) + k y (t) = k ( 'Y x (t) + Y (t) - sin ( 'Y x (t) + Y (t))
y(O)=e, y(O)=1].
[2.18.9]
Da queste equazioni si vede che se e = 0, 1] = 0, 'Y = 0 segue y (t) = 0, t E R+, e quindi:
II (0, 0, 0) =0
12 (0, 0, 0)=0.
[2.18.10]

104
Capitolo secondo
Viene allora spontaneo cercare soluzioni di [2.18.8] nell'intorno di ')' = 0 a mez-
zo del teorema delle funzioni implicite in due dimensioni (vedi app. F).
La condizione di risolubilita di [2.18.8], per')' vicino a zero, e che la matrice
j aco biana:
afl
 (0, 0, 0)
J=
af2
 (0, 0, 0)
afl
 (0, 0, 0)
af2
a:;] (0, 0, 0)
[2.18.11]
abbia determinante non nullo (vedi app. F).
Per calcolare Ie derivate in [2.18.11] occorre ricordare che fl e 12 sono definite
in termini di a e b e
a(e, 11, ')')= yeT)
b ( e, 11, ')') = y (T)
[2.18.12]
ove ty(t) e la soluzione di [2.18.9].
Per Quanto notato al paragrafo 2.17, vedi [2.17.5], [2.17.6], [2.17.8], possiamo
fingere che i1 secondo membro di (2.18.9) sia "noto" e scrivere
t  (t-T)  (t-T)
y(t)= y (t)+r e + -e - k(')'X(T)+y(T)-
5 a+ - a_
- sin (')'X(T ) + yeT ))) dT
[2.18.13]
ove t  Y (t) e soluzione dell'equazione omogenea
- .
mY+A y +k y =O
.
y (O)=e, y (O)=11
e, cioe (vedi [2.17.13]):
[2.18.14]
11-a e a+e-l1 t
y (t)= - eo:+ t + e- .
a+ -a_ a+ -a_
Dunque:
e+T -e_T a+e_T -a_e+T
aCE, 11, ')')=11 + e +
a+ -a_ a+ -a_
[2.18.15]
[ e+(T- T)-e-(T- T) "-
+ k(YX(T)+Y(T)-
a+ -a_
[2.18.16 ]
- sin ( ')' x ( T ) + Y (T ))) d T
e una simile espressione si trova per b, derivando [2.18.13] rispetto ate ponendo
t=T.
Dalla [2.18.16] possiamo calcolare Ie derivate parziali di a rispetto a e, 11, ')' in
(0, 0, 0).

105
Moti unidimensionali
Ad esempio
aa cx+e Ol _ T -cx_e Ol + T T { eOl+(T- r)_eoL(T- r)
- (0,0, 0)= + J dT _ ·
ae cx+ -cx_ 0 cx+ cx_
ay } Q ea._T -cx eOl.+ T
.,,(l-cosY(T))-(T) = + _-
ae cx+ Q_
[2.18.17]
ove TY(T), TO, e la soluzione di [2.18.9] in e=17=,),=O e, cioe, yeT) = 0 (si
noti che non e necessario conoscere  poiche e moltiplicato, in [2.18.17], per
(1 -COSY(T)) = 0).
Similmente si trova:
aa e Ol + T _ea._T
_ a (0,0,0)=
17 cx+ - cx_
[2.18.18]
ab e Ct - T -e Ol + T
_ a (0,0, O)=CX+Q_
e cx+ -Q_
[2.18.19]
ab cx+e Ol + T -CX_eOl_ T
_ a (0,0,0)=
11 Q+ -cx_
[2.18.20]
e, quindi, per Ie [2.18.8] e immediato scrivere la matrice J, [2.18.11], a mezzo di
[2.18.17]-[2.18.20]:
Q ea._T -Q e Ct + T
+ -
-1
e Ct + T -e Ct - T
Q+ -Q-
Q+ea.+T -CX_eOl_ T
Q + - cx_
[2.18.21]
J=
Q+ -Q-
eOl_ T _e Ol + T
Q+ -cx_
e un po' di paziente algebra conduce a:
det J=(e Ol + T -1)(e Ol - T -1) * O.
[2.18.22]
perche Re(ea.:t T -1) * O.
Questo completa la dimostrazione e consente anche di dire che e(')'), 11(')'), so-
luzione di [2.18.8] e un vettore con componenti dell'ordine 0(')'). In realta 0(')')
pub essere sostituito da 0(')'), qui, sempre per il teorema sulle funzioni implicite:
questo infatti significherebbe che  (0, 0, 0)=0 e  (0, 0, 0)=0, come in real-
ta e e si PUQ verificare calcolando  (0, 0, 0) e  (0, 0, 0) con 10 stesso pro-
cedimento seguito per calcolare Ie altre derivate di a e b.
mbe

106
Capitolo secondo
2.1 7 e 2.18 Schemi di esercizi
1. Si mostri che l'oscillatore:
x +i +x +x 3 = f(t)
e un'equazione differenziale normale se fE COO e che, in tal caso, possiede piccole
oscillazioni nel senso della proposizione XXIII, paragrafo 2.17.
*2. Si consideri l'oscillatore:
x + i + x + x 3 = 0
e si trovi i11irnite T cui tende l'intervallo di tempo fra due consecutivi passaggi per
l'origine al tendere all'oo del tempo: far vedere che T non dipende dall'atto di mo-
to iniziale (T=21T t4 ).
*3. Come (2) per l'oscillatore: x + x + th x = 0 e si mostri che T e 10 stesso di
queUo in (2).
4. Si dimostri che il mota associato a x + x + x 3 = 0, x(O)= 1, x(O)==: 0, non pas-
sa mai per l' origine ma x( t)  0 per t  00.
s. Si stimi la velocita minima da attribuire a1 punto materiale che per t = 0 si
trova nell'origine affinche, movendosi secondo l'equazione differenziale in (4), su-
peri la posizione x = 10.
1
6. Come (4) ma con l'equazione: x+3x+x+x 3 =O, x(O)=2' x(O)=O.
7. Esaminare sotto quali ipotesi la dimostrazione della proposizione XXIV e Ie
sue tesi restano valide quando A = O.
2.19 Oscillazioni armoniche poco smorzate. Risonanze e piccoli denominatori
Non ci occuperemo in dettaglio dello studio del terzo problema a pagina 97,
( 2.17) e, in proposito, ci limiteremo a enunciare la seguente proposizione:
XXV Proposizione Sia fECoo(R) una funzione periodica con periodo T>O. Se
'Y e sufficientemente piccolo l'equazione [2.18.2] ammette una soluzione perio-
dica txp(t), tER+, con periodo T e ogni altra soluzione tx(t), tER+, con da-
to iniziale (xo, vo) tale che Ixol + IVol e sufficientemente piccolo tende, per t-. oo ,
alia soluzione periodica con velocita esponenziale: cioe esistono C, p. > 0 e tali che:
Ix(t) -xp(t)1  Ce -JJt 'VtE R+
[2.19.1]

107
Moti unidimensionali
Osservazioni
1) La dimostrazione di questa proposizione sarebbe una ripetizione di quella
analoga, ma piu complessa, vista nella teoria dello scappamento ad ancora (9 16,
proposizione XXII). Illettore che avni studiato quella dimostrazione non avra dif-
ficolta a trasformarla in una dimostrazione della precedente proposizione.
2) Dunque Ie piccole oscillazioni degli oscillatori non lineari smorzati sono assai
simili, qualitativamente, a quelle degli oscillatori lineari smorzati, almeno per quel
che riguarda Ie proprieta 1, 2, 3, selezionate a pagina 97.
- La presenza dell'attrito si e rivelata essenziale nella teoria fin qui svolta. Ci po-
niamo ora it problema di cosa accada per A  o. La questione verra studiata solo
nel caso di oscillatori lineari: ma questa volta non "per semplicita", bens! perche
solo in questo caso sara possibile dare, senza eccessive complicazioni tecniche e
concettuali, risposte soddisfacenti. Nel caso non lineare, purtroppo, non solo la di-
scussione e tecnicamente piu complessa, di una complessita forse sorprendente, ma
anche, tuttora, i risultati che si ottengono sono menD dettagliati di quanta si vor-
rebbe e sarebbe necessario nelle applicazioni (vedi  5.12).
In realta, a dispetto di quanta a volte si pensa, il mota dei sistemi meccanici e
assai pill semplice e stabile in presenza di attrito che in sua assenza: se I'attrito e
nullo il mota e molto pill sensibile ai dettagli delle equazioni del mota e ai dati
iniziali, presentando COS! particolari difficolta e fenomeni affatto nuovi. Anche dal
punta di vista matematico la teoria dei moti senza attrito appare ricca e profonda,
connessa ai pill svariati problemi fondamentali dell'analisi e della geometria: dalla
teoria dei numeri, alIa topologia, al calcolo delle probabilita. Studieremo nel caso
line are cosa avviene per A  0 e non solo, direttamente, il caso A = 0 per cercare di
dare un'idea di come il mota in presenza di attrito, a regime asintotico per t + 00
semplice, si trasformi con continuita in un mota senza attrito, a regime asintotico
"complicato", come vedremo.
Sia dunque fECOO(R) una funzione periodica con periodo T>O e, dati m, k>O,
consideriamo I'oscillatore lineare
mx +AX +kx=f
[2.19.2]
con A> 0 e, simultaneamente, I' oscillatore lineare senza attrito:
mx + kx = f
[2.19.3 ]
Enunciamo il seguente risultato che fornisce la possibilita di confront are Ie solu-
zioni di [2.19.2], [2.19.3].
XXVI Proposizione Dati Xo e Vo in R e posto tX'A(t), tER+, la soluzione di
[2.19.2] tale che X'A(O)=xo, X'A(O)=vo, e chiamata t-+xo(t), tE R+, la soluzione
di [2.19.3] con dati iniziali xo(O)=xo e xo(O)=vo si ha:
i) lim X'A(t)=xo(t), \it E R+.
X-+o

108
Capitolo secondo
ii) n limite precedente e "uniforme per Xt-+O": cioe dato e>O esistono 5 e >O,
Xe>O per cui:
Ix.(t)-xo(t)l<e 'fIX<X e , 'fIt<5€X- 1 .
[2.19.4]
Per xo(t) si pub trovare un 'espressione piu esplicita.
iii) Se il periodo T di f non e multiplo intero del "periodo proprio " To = 211' vm/ k
dell '0 scilla tore senza attrito:
... 2ni nt
( 211't ) +00 fn e T
xo(t)=Aocos--;r-+¥?o +  ( ) 2
 0 n = - 00 211' 2
-m - n +k
T
[2.19.5]
...
ove Ao e 'Po sono opportune costanti e (fn)nEZ sooo Ie armoniche di f.
iv) se esiste un intero n tale che T= n To:
2nin
... -t
( 211't ) +00 fn e T
xo(t)=Ao cos - T +'Po +  ( ) 2 +
o n=-oo 211' 2
n=#=:tn -m T n +k
21ri
... -t
In e To
+ 2t Re
2 . 21T .
z-m
To
[2.19.6]
Osservazioni
1) La (ii) e particolarmente significativa e ci dice che piu piccolo e l'attrito A,
piu grande e i1 tempo in cui il mota con attrito e quello senza attrito coincidono
entro una data approssimazione e (tale tempo e, almeno, 5€/X). Dunque (ii) raffor-
za (i), che ne e conseguenza.
2) Questa proposizione i1lustra il fenomeno delle "risonanze" non smorzate. Per
quanto visto al paragrafo 2.12 la soluzione di [2.19.2] cui siamo interessati e:
21ri
... Tnt
+00 In e
x",(t)=A+e+t +A_e-t +  [2.19.7]
n=-oo -m 21T 2 n2 + 211'i An +k
T T
in cui A+ e A_ sono due costanti da determinare imponendo
x'<O) =xo,
x",(O) =vo;
(X+=-ti ' ,
- 2m \ V-lJ
se X 2 <4mk, come supporremo essendo interessati allimite A -+ 0, e quindi Re Qt =
=-X/2m.
Allora dalla [2.19.7] si vede che per t-+ 00 i1 mota asintotico di [2.19.7] e perio-
dico con periodo T ed e descritto (quando A+e+t e A_e-t sono molto piccoli e,

109
Moti unidimensionali
cioe, per 2 A m t > 1) da:
21ri
A -nt
+00 In e T

n=-oo -m 21T 2 n2+k+ 21Ti nX
T T
[2.19.8]
Se esiste n tale che T= n To selezioniamo in [2.19.8] gli addendi con n =:1: n e, usan-
d ( 21T ) 2 -2 k 1 . ..
o m T n = ,. a rlscrlVlamo come
\ 21ri 21rin
A -t A -t
In e To In e T
2 Re 2. +  [2 19 9]
1T1 I I 2 2 2 . . .
-;r- A In,n -m --.!!.. n 2 + k + --2!!. nX
o T T
Posto in=Pnei6n, PnO, 8n E R, il primo addendo in [2.19.9] diviene:
.21T
sin To t + 8n
21T X
To
2Pn
[2.19.10]
mentre la serie in [2.19.9] puo essere, termine a termine, maggiorata uniformemen-
te in A da:
A
 lJ" n l 2 .
 1 ( ) r [2.19.11]
\nl*n_ m  n 2 +k
Vediamo dunque che, se T= n To, e la forza I e arbitrariamente piccola, ma tale
A
che In =1=0, il mota da essa impressa all'oscillatore [2.19.2] puo avere ampiezza
enorme, come mostrano [2.19.9], [2.19.10] e [2.19.11], se A e piccolo. Questo e,
appunto, il fenomeno della risonanza smorzata che, come vedremo, e l'origine del
termine proporzionale a t in [2.19.6]. Ovviamente se T/To non e intero ma quasi
tale, (  n EZ). avvern\ che nella serie [2.19.8] i termini con n=:! n vengono
ad avere un denominatore che, pur non annullandosi per A  0 (come nel caso pre-
cedente), diviene piccolo producendo ugualmente in [2.19.8] due contributi che
possono "dominare sugli altri".
3) Occorre osservare che la risonanza si manifesta solo quando i termini A+eO!+t
e A_e cu in [2.19.7] sono piccoli e quindi solo se  > 1: dunque se e vera che,
in presenza di risonanza (T= n To, n E Z), una forza piccolissima puo produrre oscil-
lazioni enormi (proporzionali a A-I) e anche vero che il tempo che occorre atten-
dere perche cia accada e esso stesso assai grande (proporzionale a A-I).
4) Le [2.19.5], [2.19.6] ci danno Ie piu generali soluzioni di [2.19.3] con dati
iniziali assegnati. Ci fanno vedere che, nel caso A=O, i moti dell'oscillatore lineare

110
Capitolo secondo
non sono piu asintoticamente periodici, bensi "somma" di due mati periodici con
periodi T e To, rispettivamente uguali al periodo del termine forzante e al periodo
proprio To = 2rr -Vm/k dell'oscillatore libero, se T/To non e intero. Se T/To e intero
e se la I ha componente armonica di ordine T/ To non nulla, il moto asintotico e
addirittura illimitato (risonanza non smorzata dall'attrito). Inoltre, in ogni caso, il
mota asintotico dipende dai dati iniziali (cioe da Ao e 'Po). E' chiaro che la soprav-
vivenza in regime asintotico di pro prieta caratteristiche dei dati .iniziali e dovuta
all'assenza di attrito: questo, analiticamente, si manifesta attraverso il fatto che
exp a:t tf 0 perche Re Q:t =0 se A =0. Procediamo ora alIa dimostrazione della
t+oo
proposizione:
Dimostrazione. La dimostrazione consiste nel considerare la [2.19.7], determi-
nare Ie costanti A + e A_ in base ai dati iniziali e poi calcolare esplicitamente illi-
mite per A  0 di [2.19.7]:.,Tratteremo solo il caso risonante che offre qualche in-
teresse, I'altro caso e assai piu semplice e privo di interesse analitico.
Consideriamo la [2.19.5] e determiniamo A:t:; conviene separare gli addendi del-
la serie con indice n = t n dagli altri. Poniamo, allo scopo:
-m
[2.19.12]
w.(t) = 
n*:tn
e notiamo che Ie equazioni per A+ e A_ sono:
In
A+ + A_=xo - Wx(0)-2 Re
2rri A
To
[2.19.13]
A
. Iii
a+A+ +a_A_=vo- Wx(0)-2 Re T
e, allora (se A 2 < 4mk):
A+=  (vo-},.(O)- 2R:iii -0._(0-1/1,,,.<0)-
0.+ 0._ \ 
iii "
-2Re 2;: A}}
A_=A+.
Quindi con un po' di paziente algebra, usando talvolta la relazione in= i -n:
[2.19.14]
{ e iOl + t . }
x},. (t) = 1/1},. (t) + 2 Re 0.+ -0._ (vo -1/1},. (0) -o._(xo -1/1},. (0))) +

111
Moti un idimensionali
+2Re e iOl +t I-n a_ lii a_
-- --
a+ -a_ X 2rri X 21Ti
-
To To [2.19.15]
{ 21f i ,.. }
- t Iii
+2 Re e To 2;: >..
 k ( X ) 2 21T 0
e notanda che a -a_=2 -- - =2 - 1-
+ m 2m 
[2.19.15] come:
X 2
4mk ' conviene riscrivere
{ eOl+t
xx(t) = ¥lx(t) + 2 Re . 21T 0 . >..2
21 To 1 - 4mk
(vo-x(O)-a_(xO-¥lX(O») } +
+2Re { . 21T 0 >..2
21 To 1 - 4mk
,..
-f;ii (1 +
a_ ) +
21Ti
To
[2.19.16]
21fi
-t
e To _e Ol + t ,..,.. e Ol + t
+ 2. Iii + Iii 
 X 2 21Ti X 1- X 2
To  4mk
+2 n )}.
(-- * )+
ove il criterio che anima i raggruppamenti dei vari termini in [2.19.16] e quello di
riscrivere la [2.19.15] come somma di termini che hanno limite per X  0: e chiaro
che sara probabilmente piu facile, per illettore, rifarsi indipendentemente questi
calcoli senza preoccuparsi di ritrovare [2.19.15] e [2.19.16] ma cercando di otte-
nere illimite per XO della [2.19.7] seguendo 10 schema di calcolo che piu gli ag-
grada. In ogni caso e facile, dalla [2.19.16] passare allimite XO e i1 risultato e:
xo(t) = Wo(t) + 2 Re
21fi
-t
To
e
2 21Ti
To
. 21Ti
(vo-Wo(O)+ To (xo-Wo(O)) +
[2.19.17]
,.. 21f i ,.. 21f i 21f i
I-ii -t Iii -t Iii -t
+  e To +  e To +t e To
21T 2 21T 2 2 . 2rr
-4m -- -4m - ml--
  
Questo dimostra (i) e (iv) della proposizione XXVI, poiche e immediato verificare

112
Capitolo secondo
che [2.19.17], ottenuta come limite per AO della soluzione di [2.19.2], e effetti-
vamente soluzione di [2.19.3], vedi paragrafo 2.4, proposizione III.
Un'analisi un po' piu accurata di come [2.19.16] tende a [2.19.17] per AO
mostra che in realta tale limite e uniforme per A t  0: e sufficiente, per rendersi
conto di questo, una stima della velocita di convergenza di [2.19.16] a [2.19.17]:
la lasceremo, pero, come esercizio per illettore.
mbe
2.20 Oscillazioni forzate in assenza di attrito. Moti quasi periodici
Nel paragrafo precedente si e fatto vedere che un oscillatore armonico senza at-
trito si muove, sotto l'azione di una forza periodica, di mota che e "somma" (0
"sovrapposizione") di due moti periodici, con periodi rispettivamente uguali al pe-
riodo proprio To dell'oscillatore e al periodo T della forza periodica (se T/ To non
e intero).
In questo paragrafo dimostreremo una proposizione che consente di visualizza-
re alcune proprieta dei moti di questo tipo. Una notevole proprieta di questi mati
appare rappresentandoli come moti nello spazio degli atti di moto (vedi  2.7) nel
piano R 2 pensato come illuogo delle possibili velocita e posizioni iniziali. Questo
significa che il moto tx(t), tO, soluzione di [2.19.3] e descritto a mezzo della
curva in R2: t (x (t), x(t)), tE R+. Si tratta di una rappresentazione del moto che
finora non abbiamo mai usato: e in un certo senso ridondante perche, data la fun-
zione t x(t), tE R+, la sua derivata e "data" automaticamente. D'altro canto ogni
punta della curva t (x(t), x(t)), tE R+, che rappresenta il mota in questione, de-
termina completamente il mota stesso. Anche, a volte, puo essere interessante co-
noscere quali sono Ie coppie (x, x) che possono presentarsi nell 'evoluzione di un
dato moto. In tal caso questa e una informazione che si desume direttamente dal
luogo geometrico descritto in R 2 da t (x (t), x (t)), tE R+, senza dover esplicita-
mente conoscere a quali valori di t corrispondono i vari punti delluogo.
COSt un mota periodico appare, nello spazio degli atti di moto, come una cur-
va chiusa. Un mota come quelli incontrati al paragrafo 2.12, che tende asintotica-
mente a divenire periodico, appare come una spirale che si avvolge, avvicinandovisi
indefinitamente, attorno alIa curva chiusa che rappresenta il mota periodico asin-
totico.
Di particolare interesse risulta la struttura di un mota sovrapposizione di due
moti periodici nella sua rappresentazione nello spazio R 2 degli atti di moto: tale
struttura e elucidata dalla seguente celebre proposizione ("teorema di Eulero"):
xxvn Proposizione Se f, g E COO(R) e sono periodiche con periodo minimo 21T
denotiamo f' e g' Ie rispettive derivate prime. Dati w, Wo positivi si consideri il
moto in R 2 descritto da t  (11 (t), (t)), t E R+:

113
Moti unidimensionali
l1(t) =w f'(wt) + Wo g'(wot)
(t) = f(wt) + g(wot)
[2.20.1 ]
(si nod che l1(t)=€(t)); tale moto e periodico se e solo se w/wo e un numero ra-
zio na Ie. Se w/wo e i"azionale, la curva t(l1(t), (t)), tto, riempie, VtoE R+,
densamente la regione nf,g:
nf, g={(l1, ) 1(11, )E R2: 11= wf'(a) + wog'(),
 = f(a) + g({3); a, {3E [0, 211' ]}.
[2.20.2]
Osservazioni
1) La regione nf,g pub essere facilmente visualizzata. Si consideri Ia curva rf
nel piano (11, ) avente equazioni:
{ 11 = w f'(a)
aE [0, 211']
 = f(a)
[2.20.3]
Questa curva e, per l'ipotesi sulla periodicita di f, chiusa. Fissato ora a E [0, 211']
si consideri Ia curva r g(a) avente equazioni:
11 = w f'(a) + Wo g'({3)
=f(a)+g({3)
E[O, 211']
[2.20.4 ]
che, di nuovo, essendo g periodica, e una curva chiusa di "centro" (w f'(a), f(a)).
Al variare di a in [0, 211'] Ia curva rg(a) si "muove Iungo rf" e "spazza" Ia re-
gione nf,g: un caso semplice e illustrato nella figura 2.9.
2) L'interesse di questa proposizione per Ia teoria delle oscillazioni forzate non

11
Figura 2.9

114
Capitolo secondo
risonanti (di oscillatori lineari) e evidente per quanto discusso al paragrfo 2.19 (ve-
di (iii) della proposizione XXVI). Ci fa vedere che queste oscillazioni, se T e To
hanno rapporto irrazionale, non sono periodiche sebbene, pur di aspettare abba-
stanza, ritornino vicino quanto si vuole ai dati iniziali.
3) E' interessante, anche per future applicazioni, l'interpretazione geometrica
della proposizione XXVII nel caso wi Wo = irrazionale. In questo caso l'espressione
analitica della proprieta di densita in [2.20.2] e: dati a>O e toER+, per ogni (a, (3)E
E[0,211']2 esiste to(a, »to tale che
I(a-wta(a, )) mod 211'1 <a
I(-wota(a, (3)) mod 211'1 <a
[2.20.5]
e, cioe, esistono due interi maCa, ) e na(a, ) tali che
la-wta(a, )-211'ma(a, (3)I<a
I-wota(a, )-211' na(a, (3)1 <a.
[2.20.6]
Si consideri allora il piano R 2 pavimentato con quadrati di lato 211'. In questo pia-
no si consideri la retta per l' origine con pendenza wol w:
{ =wot
tER
17 = wt
e la semiretta corrispondente a t  to.
Immaginiamo ora di identificare i punti del piano Ie cui coordinate (vedi fig. 2.10)
differiscono per multipli interi di 211'. Allora la retta ora descritta PUQ essere pensata
come un insieme di segmenti nel quadrato [0, 211']2 in cui punti corrispondenti su lati
opposti vengono identificati (da un punto di vista topologico si PUQ dire che, in
tal modo, si sta considerando it quadrato [0, 211']2 come un toro bidimensionale).
La [2.20.6] dice che uno almeno dei segmenti associati alIa semiretta [2.20.7]
con t  to taglia l'intorno quadrato di lato 217 e centro (a, ) (vedi fig. 2.11).
In altri termini la semiretta [2.20.7] con t  to, riportata nel quadrato [0, 211']2
a mezzo dell'identificazione dei punti del piano con coordinate che differiscono
per multipli di 211' (pensata dunque come avvolgentesi suI toro) riempie densamen-
te il q uadra to.
[2.20.7]
Di +wo. E ' . h w - To P d . d . . . .
mOS",'llZlone. OVVIO c e, se - = - T = - = rapporto 1 ue Interl prmu
Wo q
fra loro (ove si e posta T= 211' e To = ), allora il mota [2.20.1] e periodieo
w Wo
con periodo T'= p T=q To. Per esercizio illettore PUQ far vedere che, nella interpre-
tazione geometrica della osservazione 3) precedente, questo significa che la retta
[2.20.7], pensata come insieme di segmenti suI quadrato di figura 2.10, consiste
di un numero finito di segmenti (che formano una curva chiusa se it quadrato vie-
ne pensato come un toro). Supponiamo ora che w sia irrazionale. Definiamo per
Wo

115
Moti unidimensionali
o
1'/
Figura 2.10
r--,
----Te I
4
I
I
I
Figura 2.11
a
Figura 2.12
ogni intero n il numero Tn come:
a+21Tn
w
[2.20.8]
a-WT n + 21rn =0
Tn=
Per verificare la pro prieta [2.20.51, e quindi la proposizione in questione, bastera
far vedere che, comunque si fissi no E Z e a> 0, esiste nEZ, n  no e m (n) intero
tali che
1-WoTn-21Tm(n)1 <a. [2.20.9]
Sara utile allettore illustrare, lungo Ie linee della precedente osservazione 3, il si-
gnificato geometrico di [2.20.8], [2.20.9] suI toro di figura 2.11.
Sostituendo Tn, dato da [2.20.8], in [2.20.9] si trova
I Wo Wo I
- w a-21T-Wn-21Tm(n) <a
[2.20.1 0]
Wo
ossia, posto 'Po=-- a
W
!li'o-27r :0 n-21Tm(n)l<u.
[2.20.11 ]
La [2.20.11] ha una semplice interpretazione geometrica che conviene illustrare.
Si consideri la circonferenza di raggio 1 e si consideri la rotazione R, di tale cir-
conferenza, dell'angolo () = 21r Wo (vedi fig. 2.12). II punta di coordinata angola-
W
re, sulla circonferenza, 21T Wo n PUQ essere interpretato come l'immagine dell'ori-
W

116
Capitolo secondo
gine 0 della circonferenza rispetto alIa rotazione R n , cioe rispetto a n successive
rotazioni R. Se 'Po viene interpretato come un punta della circonferenza, la [2.20.11]
significa che la rotazione R n porta l'origine a distanza angolare inferiore a a da 'Po.
II nostro problema e, allora, quello di far vedere che, dato a> 0, esistono infiniti
interi n > 0 tali che la rotazione R n porti l'origine della circonferenza a distanza
angolare inferiore a a da 'Po. E' chiaro che, per dimostrare questo, basteni far ve-
-., ,..."
dere che esiste un n > 0 tale che R n sposti l'origine di una quantita non nulla a
una distanza angolare e in modulo inferiore a a: infatti, se questo accade e chiaro
che conRn,n=kn, k>O, si sposta successivamente l'origine di e, 2e, 3e,..., ke,...,
e, dunque, prima 0 poi (e per infinite volte) si PUQ fare in modo che l'immagine
dell'origine cada nell'intorno di 'Po di ampiezza angolare a. ( )
Per mostrare l'esistenza di n si osservi che la successione 27T Wo k , pen-
W kEZ+
sata come successione di coordinate angolari di punti sulla circonferenza, corrispon-
de a una famiglia di punti due a due distinti: infatti
Wo Wo
27T -k 1 =27T -k 2 +27TJJ
W W
con k 1> k 2 e Il interi implicherebbe, se k 1 =1= k 2 , che Wo = k k = numero razio-
W 1 2
nale. Se allora 'P e un punto di accumulazione della successione di punti sulla cir-
conferenza di coordinate angolari ( 27T Wo k ) esistono due punti di tale suc-
W kEZ+
cessione piu vicini a 'P di un angolo a /2. Cioe esistono k h k 2 > 0 tali che
1T :0 k l -21T :0 k2) mod 21T <a [2.20.13]
e questo significa che la rotazione R k l- k 2 sposta l'origine della circonferenza in un
punta la cui distanza angolare da essa e e e 0 < lei <a (e =1= 0 per la considerazione
legata aHa [2.20.12]).
Dunque si puo scegliere n =k 1 -k 2 se k 1 >k 2 0 n =k 2 -k 1 se k 2 >k 1 .
[2.20.12]
mbe
2.19 e 2.20 Schemi di esercizi
1. Si trovi la frequenza risonante per l'oscillatore
x+x+x=f(t)
con
f(t)=
1
1 27T
1-- cos-t
2 T
1
per T= 1, 47T, -, 67T, 12.
7T
2. Si stimi l'ampiezza asintotica delle oscillazioni dell'oscillatore in (1).
3. Si determini l'ampiezza asintotica delle oscillazioni dell'oscillatore:
x+x=f(t),
con f descritta da (1) nei casi risonanti.

117
Moti unidimensionali
4. Si consideri la traiettoria nello spazio degli atti di moto del moto:
U + 3 t
x x= cos-
T
x (0)= 0, x (0)= 1
1
e si determini la regione n visitata da questa orbita se T= 1r 0 T= 2.
s. Nel caso dell'esercizio (4), con T=rr, si valuti il tempo 0 necessario affinche
la regione n sia riempita dalla traiettoria t-'(x(t), x(t)), Oto, in modo che
nessun suo punta disti dalla traiettoria per piu di € con
1 1 1
€ = 10' 100 ' 1000.
6. Di quanta si deve rendere minore l'attrito A del mota
X+AX+X=10-3- lO costYl=f(t)
affinche l'ampiezza delle oscillazioni del mota asintotico sia non inferiore a A = 1 ?
7. Come (6), con A= la, 100, 10 6 .
8. Come (6) con J(t)= 10- 3 (1-0,99 cos t)-t.
9. Scrivere un programma per la soluzione empirica (cioe senza stima dell' erro-
re) a mezzo di un calcolatore da tavolo della equazione:
U + . +  I 1 ) -t
x x x = \ - 2 cos t ,
al fine di ottenere grafici nel piano degli atti di moto delle traiettorie corrisponden-
ti a varie scelte dei dati iniziali (utilizzando un calcolatore dotato di macchina dise-
gnatrice ed evitando sempre di tabulare i risultati).
2.21 Funzioni quasi periodiche. Funzioni multiperiodiche. Tori e teorema di
Fourier a pin dimensioni
Le considerazioni del paragrafo 2.20 suggeriscono Ie seguenti definizioni:
11 Defmizione Una funzione fE COO(R) si dice "quasi periodica con pulsazioni
Wh ..., Wd" se esiste una fUllzione c.pE COO(R d ) tale che:
c.p(h ..., i, ..., d)= c.p(h ..., i + 2rr, ..., d)
\fEER d , \fi=l, 2,...,de, inoltre,
f(t) = 'P( wtt, ..., Wd t ) tE R.
[2.21.1]
[2.21.2]
I numeri Tt=21r/Wh ..., Td=21r/Wd si dicono i "periodi" di f e i d numeri reali
Wh ..., Wd si dicono Ie "pulsazioni" di f.

118
Capitolo secondo
Osservazioni
1) Si pub aHora dire che il moto tx(t), tE R, di un oscillatore armonico con
pulsazione Wo forzato da una forza periodica con pulsazione we, in assenza di ri-
sonanze, una funzione quasi periodica con pulsazioni Wo e w (vedi  2.20).
2) La precedente defmizione di funzione quasi periodica e piu restrittiva di quel-
la che di solito viene considerata nella letteratura: tuttavia e sufficiente per i no-
stri scopi.
3) E' utile notare che, data f, possono esistere varie scelte di d e WI, ..., Wd e,
corrispondentemente, varie scelte di '(J che permettono di rappresentare f come in
[2.21.2]. Un esempio banale e fornito dalla considerazione di una funzione E COO(R),
periodica con periodo 21T e delle funzioni di E R 0 (I, 2)E R 2 definite da \jJ() =
= '(J(2) e \jJ ( 1, 2) = '(J(2 1 + 32) che, via Ie relazioni
I(t) = 1/1  t)= .p(wt) [2.21.3]
l(t)= 1/I( t,  l' [2.21.4]
consentono di rappresentare I come funzione quasi periodica con pulsazioni 
oppure w ovvero ( ' )-
4) Nella definizione 11 i numeri WI, ..., wd non sono necessariamente tutti po-
sitivi: alcuni possono essere nulli e altri negativi.
Le funzioni  usate per introdurre la nozione di funzione quasi periodica sono
di per se notevoli e conviene porre Ie seguenti definizioni:
12 Defmizione Dati L., ..., Ld>O si consideri la pavimentazione di R d Ie cui
tessere sono il parallelepipedo [0, L I] X [0, L 2 ] X ... X [0, Ld] e Ie figure da esso ot-
tenute traslandolo di (niL., ..., ndLd) con n., ..., nd interi.
Due punti , 11 E R d si diranno equivalenti se sono "ugualmente posti" nelle tes-
sere del pavimento, cioe se esistono d interi n., ..., nd tali che i -1U = niLi, i = 1,
2, ..., d. Denoteremo Td(L., ..., Ld) J'insieme delle classi di equivalenza cosI' otte-
nute e po"emo:
d ({}, {17}) = min I' -17'1 [2.21.5]
t'E it}
l1'E {fJ}
se {}, {ll}ET d (L., ..., Ld) e {} e la classe di equivalenza che contiene .
L'insieme Td(L., ..., Ld), considerato come spazio metrico con funzione distan-
za definita da [2.21.5] ("distanza sui toro T d (L h ..., L d )") sara chiamato "toro
d-dimensionale" di lati L., ..., Ld. Se L 1 =L 2 = ...=Ld=2Tr il toro di tali lati si de-
notera semplicemente T d .

119
Moti unidimensionali
Osservazione. Questa definizione, nonostante l'apparenza complicata, e semplice
e PUQ essere informalmente riassunta dicendo che il toro T d (L b ..., Ld) e "ottenu-
to identificando i lati opposti del parallelepipedo [0, L 1] X ... X [0, Ld] di R d". Per
questo si usa descrivere i punti di rI (L 1, ..., Ld) a mezzo delle coordinate cartesia-
ne in R d di uno qualsiasi dei corrispondenti rappresentanti in R d sottointendendo
la relazione di equivalenza: tali coordinate si dicono "coordinate angolari naturali"
suI toro T d se L 1 =L 2 = ...=Ld= 2rr e, in generate, si pone, per , flE R d :
dTd(L1,...,Ld)(' TI)=d({E}, {Tl}) [2.21.6]
("la distanza fra  e fl sui toro Td(L b ..., Ld)"). Le funzioni su Td(L b ..., Ld)
possono naturalmente essere pensate come funzioni su R d :
13 Defmizione L'insieme COO(Td(L b ..., Ld)) e, per dejinizione, l'insieme delle
funzioni f definite su T d (L h.'" Ld) e tali che posto (vedi dejinizione 12):
7() = f({}) 'i E R d [2.21.7]
la funzione 7 e di classe coo su Rd.
L'insieme delle funzioni 7 E COO(R d ) aventi la forma [2.21.7] si dice "l'insieme
delle funzioni multiperiodiche su R d " con periodi L 1, £2,.'" Ld 0 con pulsazioni
WI = 2rr/L h ..., Wd= 2rr/Ld.
Se 7 ha la forma [2.21.7] con fECOO(Td(L h ..., Ld) 10 stesso accade per Ie de-
rivate parziali di f di ordine arbitrario: cioe dati n h ..., nd interi non negativi, esiste
'Pn 1 ,..., ndECoo(Td(Lh ..., Ld)) tale che:
-.,
a n l+."+ ndf
n nd ()='Pnl'''.' nd({}) [2.21.8]
a11... ad
e si po"a, ovviamente:
a n1 +...+ nd f _
n nd ({})-'Pnl,...,nd({})
al 1...ad
[2.21.9]
A seconda delle circostanze una funzione di classe Coo e multiperiodica con perio-
di L h.", Ld e Ie sue derivate parziali saran no 0 no pensate come elementi di
CGO(Td(L 1, ..., Ld)) e v ice versa.
Un ovvio esempio di funzione multiperiodica su R d con pulsazioni WI, ..., Wd
e dato dalla somma della serie
ni EZ
f( l: l: ) =  c ei(nlwltl+...+ndwdtd)
t;h.", t;d n 1 ,...,nd
n 1 , ..., nd
[2.21.10]
se i coefficienti c n1 , ..., nd E C verificano Ie relazioni:
a) c n1 ,..., nd= c- n1 ,..., -nd
[2.21.11]

120
Capitolo secondo
b) 'V s = 0, 1, 2, ..., esiste c s > 0 tale che:
(1 + Inll)S ...(1 + I n dl)Slc n1 ,...,nd l cs.
[2.21.12]
Le derivate parziali di una tale f possono, evidentemente, essere calcolate per serie.
E' im"portante far vedere che, viceversa, Ie [2.21.10], [2.21.11], [2.21.12] fornisco-
no it piu generale esempio di funzione multiperiodica. E' questo, essenzialmente,
il contenuto della seguente proposizione, "teorema dello sviluppo di Fourier a piu
dimensioni" :
XXVID Proposizione Se f e una funzione multiperiodica di classe Coo e perio-
di Lb L 2 , ..., Ld positivi, aUora, posto wi= 21r/Li' i= 1,2, ..., d, pub essere rappre-
sentata a mezzo della [2.21.10] con coefficienti c n1 , ..., nd' ni E Z, che verificano Ie
[2.21.11] e [2.21.12] e sono dati da
L1d1 L2d2 Lp dd .
c n .,..., nd = ! 1:;! L'2 ... r Ld e-/(w.n. E.+...+wdndEd) f(h ..., d)[2.21.l3]
Osservazione. Se d = 1, questa proposizione coincide con it teorema dello svilup-
po di Fourier delle funzioni periodiche; vedi proposizione XIX, paragrafo 2.12.
Dimostrazione. Poiche f( h ..., d)= f ( , ..., d ) e multiperiodica con pul-
WI Wd
sazioni w i=l, i=I,...,d, (e quindi con periodi uguali a 21r) basteni considerare it
caso WI= ...=wd= 1, cioe fECOO(T d ).
La dimostrazione PUQ essere svolta per induzione suI numero di dimensioni. Es-
sendo la validita della XXVIII gia nota nel caso d = 1, la supporremo valida per
d = 1, 2, ..., k e la dimostreremo per d = k + 1.
Sia fE COO(T k + I) e consideriamo la funzione parametrizzata da k+ IE R e defi-
nita su R k :
Wt (h ..., d) = f( 1, ..., d, k+ 1).
k+1
Tale funzione, "k+1 E R, e multiperiodica su R k e di classe Coo.
L'ipotesi induttiva implica aHora:
f(  1:  ) -  ,;, (  ) ei(n,t1+...+nktk)
h ..., k, k+l - ¥'n 1 ,..., nk k+l
n 1 , ..., nk
[ 2.21 .14 ]
[2.21.15]
con
... _ 2 r ll' 2r dl ... dk -i(n, t 1 +...+ n ktk)
1/In 1 , ..., nk(k+ 1) - J ... J (2 ) k f( h ..., k, k+ 1) e
o 0 1r [2.21.16]
Dalla [2.21.16] segue, d'altra parte, che n1'.'" nk(k+.l) e una funzione di cIa sse
Coo con periodo 21r di k+l' per ogni scelta di nh ..., nd. Eossiamo aHora applicare
il teorema di Fourier per d = 1 e ottenere
211' d'
 n n d(  k + l) =  eink+ltk+l I .;, n ( 1:' ) e-ink+lt' - [ 2.21.17 ]
1'''.' ¥'n 1 ,..., d  21r
nk+l EZ

121
Moti unidimensionali
e, cioe, usando la [2.21.13] come definizione di c n1 ,..., nk+l e combinando [2.21.17]
e [2.21.16] si deduce:
+00
,i, ( 1: ) =  c eink+ltk+l
'l'n 1 ,..., nk t;k+l n 1 ,..., nk, nk+l
nk+ 1=-00
[2.21.18]
Sostituendo [2.21.18] in [2.21.15] si ottiene la [2.21.10] se vale la [2.21.12] (che
implica che Ie serie su nk+ 1 e su n I, ..., nk possono essere sommate incondizionata-
mente), perche allora la serie su n h ..., n k+ 1 e assolutamente convergente.
Bisogna quindi verificare la [2.21.12] per completare Ia dimostrazione: la [2.21.11]
e infatti evidente dalla [2.21.13]. Basta, come nel caso d= 1, integrare per parti la
[2.21.13]: integrando 0 volte rispetto a j si ottiene, se nj=l=O:
1 2 J 1f 2r d 1 ... dk+ 1
C n1 ,...,nk+l= ( . ) 0 ".j (2 ) k+l
I nj 0 0 1r
k+t
aOf -  inrtr
o (I, ..., k+l)e r-l [2.21.19]
aj
e, se F;= max a(7! m ,la [2.21.19] da:
t,j aj
F'
a
le n .. .... nk+l 1 E;;; Inj 1(7
Essendo evidente dalla [2.21.13] che, 'Vn}, n2, ..., nk+b nulli 0 no, Ic n1 ,..., nk+l l F,
la [2.21.20] implica l'esistenza di Fa tale che
[2.21.20]
FO
Ic n ,.....nk+l l E;;; (1 + Injl)(7 [2.21.21]
'V oE Z+, 'Vnj E Z, 'Vj = 1, 2, ..., k + 1. Moltiplicando Ie [2.21.21] al variare di j ed
estraendo la radice (k + 1)-esima del risultato si trova:
o
ICn1,...,nk+llFo[(1 + Inti) ...(1 + Ink+ll)]- k+l [2.21.22]
che implica [2.21.12] per l'arbitrarieta di o. moo
Conviene notare il corollario della proposizione XXVIII:
XXIX CoroUario Se f e quasi periodica con pulsazioni Wh ..., Wd e di classe
Coo(R) aUora ammette una rappresentazione come:
f( t ) =  c e i (n 1 w 1 +...+nd w d)t
n1'.'" nd
n 1 , ..., nd
[2.21.23]
con c n1 ,..., nd verificanti [2.21.11], [2.21.12].
E' notevole che, in certi casi, dati W h ..., Wd, la rappresentazione [2.21.23] e
unica:
xxx Proposizione Se fE Coo(R) e quasi periodica con pulsazioni WI, ..., wd e

122
Capitolo secondo
tali numeri sono razionalmente indipendenti,16 i coeffieienti della rappresentazio-
ne [2.21.23] sono dati da:
t
e = lim l... J e - i(n l WI + ...+ndwd)r f e r ) dr
n 1 ,...,nd t
t+oo 0
[2.21.24 ]
e, quindi, la rappresentazione [2.21.23] e uniea, dati Wl,..., Wd.
Dimostrazione. Viste Ie pro prieta di decrescenza in n = (n l, ..., nd) per n -. 00
di e n1 , ..., nd espresse da [2.21.12] I'integrale in [2.21.24] PUQ essere calcolato per
serie :
J.... f e - in'WT I(T) dT = _ L d C n J.... f e - i(n -n)'WT dT [2.21.25]
t 0 nEZ t 0
ove n=(n., ..., nd), w=(W., ..., Wd).
L'integrale a secondo membro in [2.21.25], diviso per t, ha modulo 1 (essen-
do l'integrando di modulo 1). Quindi, per Ie proprieta di decrescenza [2.21.12], il
limite [2.21.24] pub essere calcolato passando allimite sotto il segno di serie in
[2.21.25]. Se n =1= Ii l'argomento dell'esponenziale integrando in [2.21.26] non e
identicamente nullo per l'ipotesi di indipendenza razionale di w., ..., Wd, perche
/"foJ
(n - n ) . w =1= 0, e quindi l'integrale vale (diviso per t):
1 expi(n-n).wt-l
- -O [2.21.26]
t i(n-n).w too
/"foJ
Quindi tutti gli addendi di [2.21.25] con n =1= n non contribuiscono allimite [2.21.24]:
/"foJ
l'addendo con n=n, invece, vale, 'tit, e" e quindi [2.21.24] segue da [2.21.26].
mbe
Ci si PUQ infine domandare cosa si possa dire se w., ..., Wd sono razionalmente di-
pendenti: vale, ad esempio, la seguente proposizione:
XXXI Proposizione Sia fECOO(R) quasi periodic a con pulsazioni w., ..., Wd ra-
zionalmente dipendenti. Esiste p < d e p numeri W., ..., w p razionalmente indipen-
denti e una funzione multiperiodica  E COO(r P ) tale ehe
f(t) = ?J(wtt, ..., wpt).
[2.21.27]
Osservazione. Dunque, se Wt, ..., Wd sono razionalmente dipendenti, e possibile
16 Una famiglia n = (WI' W 2 , ...) di numeri reali si dice costituita da numeri razionalmente
indipendenti se ogni sottoinsieme finito (wi I' ..., wip) en ha Ie proprieta ehe la relazione
p
L nkwik=O
k=1
e n l , ..., np interi impliea n l =... =np= o.

123
Moti unidimensionali
ridurre la complessita della rappresentazione [2.21.23] riducendo la "dimensione"
della serie multi pia che appare in essa.
Dimostrazione. Si considerino tutti i sottoinsiemi di W b ..., wd costituiti da nu-
meri razionalmente indipendenti e sia ( w b ..., w p ) un insieme massimale fra questi
(cioe tale che, aggiungendo a W h ..., w p un'altra pulsazione W'E(Wb ..., Wd), l'in-
sieme ( w b ..., w p , w') non sia piiI costituito da numeri razionahnente indipendenti).
Possiamo supporre senza perdita di generalita che W I = WI, ..., wp = w p . .
E' allora chiaro che per ogni j = p + 1, ..., d esistono p numeri razionali r 1(/)' ...,
r i), che possiamo supporre aventi tutti un comune denominatore N, tali che
p (i) .
wi =  rk Wk ] = p + 1, ..., d
k=1
w. ( . )
. d . "" 1 . 1 2 . t d . t . / . 1 d
e, qUln I, posto wi = N per] = , , ..., p, eSls ono p. In erl mk , ] = , ..., e
k = 1 , ..., p, tali che:
p (i) ""
Wj=  mk Wk j= 1, ..., d.
k=1
Scriviamo ora, usando la proposizione XXIX,
d
i 1: nhwht
f( t ) -  e e h = 1 _
- n 1 ,...,nd
n 1 ,...,nd . d  P (h)_ 
I  nh  mk Wk t
_  e e h=l k=1 =
n 1 , ..., nd n 1 , ..., nd p  d 1
.  _  (h)
I 6J W 6J mk nh t
_  e e k=1 h=1 =
n 1 , ..., nd
n 1 , ..., nd p
) i  wkqk
 (  e e k=1
= n 1 , ..., nd '
q l' ..., q p n 1 , ..., nd
d (h)
 mk nh=qk
h=1
[2.21.28]
[2.21.29]
[2.21.30]
e, allora, posto
""
e =
ql'''.' qp

e n1 ,..., nd'
n 1 , ..., nd
[2.21.31]
d (h)
 mk nh=qk
h=1
si trova che C q q =C- q - q , P er Ie [ 2.21.11 ] . Inoltre, esiste H s >O per cui
l' ..., p l' ..., P
s s "" I
(1 + Iq 11) ... (1 + Iqp I) Ie ql' ..., q P 
Hs  (1 + I n ll)s... (1 + Indl)S le n1 ,..., nd l [2.21.32]
n 1 , ..., nd
d (h)
 mk nh=qk
h=1

124
Capitolo secondo
poice Iqjl <:.MI  Ink I\' con M= mlmY\ La serie in [2.21.32] pub essere
magglOrata da: \k-l  k./
 (1 + I n ll)s... (1 + Indl)S C S + 2 
nl' ..., nd (1 + Inll)s+2 ... (1 + I n ll)s+2 [2.21.33]
 cS+2((l + Inl)-2)d
n
"'"
per Ia [2.21.12]. Quindi [2.21.32] e [2.21.33] significano che Ie costanti c q1 ,...,qp
verificano Ia [2.21.12] e la proposizione e dimostrata potendosi porre, per Ia [2.21.30]:
P
i  w.q..
"'" . 1 II
7f) (   ) =  C e 1=1 [22134]
 b"., P  ql,...,qp . .
ql,...,qp
mbe
2.21 Schemi di esercizi e pro blemi
'"
1. Si calcoll il coefficiente f 0 0 della funzione:
,
( cos 1 + cos 2 ) -1
f( h 2) = 1 - 4
a meno del 60%.
2. Si calcoll a meno del 60% la parte reale del coefficientei_ll di fEC oo (T 2 ):
,
( cos  1 + cos 2 \
f( 10 2) = - log I - 4 J
3. Si dimostri che, se fE COO(T 2) e
00 ( cos 1 + cos 2 ) k
f(b2)=Ck 4
k=o
e I Ck I  D k ,D. l)  0, aHora esistono C. €  0 tali che
(1 +8)
I f '" I Ce-€(ln.ll+ln2\).
n l' n 2 '
stimare € e C in termini di D e 8.
4. Se Wl/W2 e irrazionale, far vedere che, 'tJcp EC oo (T 2 ), la chiusura dell'insie-
me dei valori assunti per tE R+ da f(t)=CP(Wlt, W2 t) coincide con cp(T 2 )= imma-
gine di T 2 per cp.
s. Come (4) nel caso cpECoo(T d ) (can T d in luogo di T 2 ), f(t)=cp(w1t,
W2 t, ..., Wd t ), se (w b ..., Wd) sono razionalmente indipendenti.

125
Moti unidimensionali
2.22 Osservabili e loro medie temporali
Per fissare Ie idee considereremo una equazione differenziale autonoma:
mx=f{x, x),
[2.22.1]
ove (11, ) f{11, ) e una funzione in C OO {R 2 ) a valori reali e m >0. Supporremo
che [2.22.1] sia un'equazione-normale. Conformemente alIa definizione 7 ( 2.7),
denoteremo con {St)tER+ il flusso che risolve la [2.22.1]: se (11, )E R 2 , la funzione
t{x{t),x{t))=St{11, ), tER+
[2.22.2]
sara tale che tx(t), tER+, sia soluzione di [2.22.1] con dati inizialix(O)=11,
x(O) =.
Ricordiamo che la trasformazione (t, 11, ) St(11, ) definita su R+ X R X Rea
valori in R X R e di classe Coo e, inoltre:
St+t' =StSt'
,
t, t E R+ ;
[2.22.3]
vedi corollario XI, paragrafo 2.7.
Poniamo ora la seguente definizione:
14 Definizione L'insieme delle [unzioni di classe Coo su R 2 , pensato come spa-
zio degli atti di moto di [2.22.1], sara chiamato "l'insieme delle grandezze osserva-
bili istantanee" 0, piu semplicemente "l'insieme delle osservabili" per il punto ma-
teriale descritto da [2.22.1].
Se tSt(11, ), tO, e un moto di [2.22.1], descritto nello spazio degli atti di
moto, e se F e una osservabile, il suo "valore" all'istante t E R+ sui moto di dato
iniziale (11, ) e definito da:
F(x(t), x(t))=F(St(11, ))
[2.22.4 ]
e la funzione t  F(St(11, )), tE R+, e la "storia" dell'osservabile F sui moto che
si diparte dall'atto di mato (11, ).
Osservazioni. La ragione di questo nome e evidente. QueUo che senz' altro meri-
ta un commento e il motivo per cui si definisce una osservabile come una funzio-
ne della sola posizione e velocita (vedi [2.22.4]) e non, piu in generale, anche del-
l' accelerazione e delle derivate successive.
In realta, questa definizione non sarebbe piu generale, in quanto, tramite la
[2.22.1] e come gia osservato al paragrafo 2.4, e possibile calcolare tutte Ie deriva-
te, successive alIa prima, della funzione tx(t), tER+, derivandone successivamen-
te i due membri. Le osservabili, dunque, corrispondono aIle grandezze fisiche che
possono essere misurate osservando a un dato istante la posizione e la velocita del
punta materiale (e di esse costituiscono un modello matematico).

126
Capitolo secondo
Data un'osservabile F e un mota tSt(11, ), tE R+, si possono porre molte do-
mande sui risultati delle osselVazioni di F ai vari istanti. A titolo di esempio esami-
neremo la nozione di valore medio di un'osservabile su un mota assegnato. E'
bene premettere e sottolineare che si pub, a proposito della nozione di valore me-
dio di un'osselVabile, ripetere quanta detto a proposito della stabilita delle posizio-
ni di equilibrio. Non ha cioe senso dare una definizione assoluta di valore medio
di un'osselVabile al variare del tempo: e infatti possibile dare a questa nozione mol-
ti significati che corrispondono a diverse esigenze, che possono naturalmente pre-
sentarsi in molte applicazioni. In questo paragrafo e nel successivo discuteremo
solo alcuni interessanti esempi di definizioni di valore medio temporale, lasciando
immaginare allettore in quali applicazioni una definizione, piuttosto che un'altra,
possa apparire rilevante. Illettore potra, per esercizio, anche irnmaginare altre de-
finizioni e situazioni che Ie rendono naturali e applicare i metodi che esporremo
per discuteme Ie proprieta.
15 Definizione Se FEC OO (R 2 ) e un'osservabile per i moti descritti da [2.22.1]
e T > 0, si definisce il "valore medio continuo" sui moto con dato iniziale (11, ) E R 2
e relativo all'intervallo di tempo [0, T], la quantita:
1 T
MT(F; 1/, n= T J F(St(1/, m dt.
o
[2.22.5]
n "valore medio continuo" di F sui moto che si diparte da (17, ) e definito 001
limite:
F (17, ) = Hrn Mr(F; 11, )
r +oo
[2.22.6]
se esiste.
Sirnilmen te si pub definire il valore medio con passo di osservazione a> 0:
16 Definizione Se FEC OO (R 2 ) e un'osservabile per i moti descritti da [2.22.1]
e se N E Z+ si definisce il "valore medio discreto con passo di osservazione a > 0"
di F relativo al moto che ha origine con dato iniziale (11, ), relativo a N osserva-
zioni, fa quantita:
) 1 N-l
MN (F; 11, )= N .L F(Sja(11, )). [2.22.7]
}=o
II "valore medio discreto" con passo a di F sui moto tSt(11, ), tE R+, e defini-
to dallimite:
- ( ) (a)
F a (17, ) = Hm MN (F; 17, )
Noo
[2.22.8]
se esiste.
Piil in generale conviene porre la seguente definizione:

127
Moti unidimensionali
17 Defmizione Se ECOO(R+) e se 1 '>0, NEZ+, a>O, si pone:
1 T
AT()=T J (t) dt
o
(a) 1 N - 1
AN ()=- N .L (ja)
}=o
 = Urn RT()
Too
[2.22.9]
 (a)= lim Ai:)()
Noo
se i limiti esistono. Le quantita definite in [2.22.9] si dicono, rispettivamente, "me-
dia continua di 'P su [0, T]", "media discreta di I.{) su N osservazioni con passo a",
"media continua di  e media discreta di  con pas so a".
Osservazioni
1) Se  e costante  =  (a) = .
2) Se X= lirn (t), esiste aHora  =  (a)=X; ad esempio, infatti, si noti che:
t+oo
AT()-x=AT(-X)
[2.22.10]
e se T€ e tale che, per t T€, II.{)(t)- XI <€ si ha:
1  1 T
A T (\{!- X)= T J (\(!(r) - X) dT + T r (\(!(r) - X) dT [2.22.11]
o f€
e il primo addendo nel membro di destra deHa [2.22.11] e infinitesimo per T-+OQ
mentre, per la scelta di T€, it modulo del secondo addendo e maggiorato da
T-T
T € €..;; €. Quind i Ii m sup IA T ( \(! - X) I";; € e cioe X e it valore medio continuo
T+ 00
di , per l'arbitrarietft di €.
3) Se ECoo e una funzione periodica con periodo T'f»O si ha:
1 T'f)
lim AT()=  =- T J(T)dT.
Too I() 0
[2.22.12]
In fatti se scriviamo T = n T I() + () con n intero e () E [0, T I()) si ha che T -+ 00 <==>
n -+00, e
1 TI() 8
A T (\{!)= T +9 (nJ\{!(r) dr+J\{!(r) dr),
n I() 0 0
[2.22.13]
che, evidentemente, implica la [2.22.12].
4) Se I.{) ECOO(R) e una funzione periodic.a con periodo TI(»O e se a>O e tale
che T <p = E.... con p e q interi primi fra 10£0 (cioe se T <p e razionale) si ha:
a q a

128
Capitolo secondo
+00
'P (a) =  ifJmp,
m =-00
[2.22.14]
ove (<Pn )nEZ so no Ie armoniche di 'P. Infatti:
21rin .
(a) 1 N-l 1 N-l r}a
u1t N ('P)= N . 'P(ja)= N .  (j;n e 'P -
}=O }= 0 nEZ
= L (j;n (  i 1 exp 2;in ia ) .
nEZ }=O I{)
II termine in parentesi tonda in [2.22.15] e un numero che, in modulo, e inferiore
a uno 0 uguale a uno (perche somma di N addendi con modulo 1 divisa per N).
Questo significa che la serie [2.22.15] converge uniformemente rlspetto aN e si
pub aHora permutare I'operazione di somma della serle, nell'ultimo membro di
[2.22.15], con quella di limite per Noo.
C . ... It . 21T i na -J- 1 . h
orne plU vo e VlstO, se exp T -r, Sl a
I{)
21rina N
1 N -1 21Tina. 1 e T I(J -1  0
- N .  exp J = - -----r
T N 21ri na N --"- 00
}=o 'P -r
e TI{) -1
[2.22.15 ]
[2.22.16]
21Tina 1 ."\ na..... E Z I
mentre se exp T =, ClOt; se T e Intero, ossia se n =mp, m , a somma
'P 'P
su j in [2.22.16] vale evidentemente 1, 'VNEZ+. Dunque passando allimite per
Noo in [2.22.15] si ottiene la [2.22.14].
5) Se 'P e periodica con periodo T 'P' 'P E COO(R), e se T 'PIa e irrazionale si ha
1 T'P
'P (a)= 'P = ifJo = - T J 'P(T) dT. [2.22.17]
'P 0
Questo segue dal fatto che, ora, nella serle [2.22.15] tutti gli addendi sono infini-
tesimi per N -+ 00 salvo quello corrispondente a n = 0 (infatti exp 2 na =1= I, V n =1= 0;
vedi [2.22.16]). I{)
6) Se 'P periodica con periodo T'P' 'PECOO(R), si faccia variare a >0 in modo
che asia razionale rispetto a T<{J e in modo che, espresso T<{J come rapporto E-
a q
di due interi primi fra loro, il numero p tenda all'infinito!' Allora si vede dalla
[2.22.14] e dalle proprieta di decadimento dei coefficienti di Fourier che 'P (a) 'P .
Dunque "meno T 'P e commensurabile con a" e piu la media 'P (a) discreta di passo
a deHa funzione 'P e vicina alla media continua 'P .
17 P misura il numero di volte ehe e neeessario ripetere a per ottenere un multiplo di T 'P'
cioe, il "grado di eommensurabilita di T I{) rispetto ad a".

129
Moti unidimensionali
Come corollario di queste osservazioni e come esempio di questioni che posso-
no essere collegate aIle definizioni precedenti enunciamo la seguente proposizione:
XXXII Proposizione Sia VECOO(R) una funzione inferiormente limitata e si
considerino i moti associati all'equazione
mx(t)= -  (x(t)) tE R+.
[2.22.18]
Se F e un 'osservabile "a supporto limitato", per i moti descritti da [2.22.18] (cioe
se I F(17, )I = 0, se 1171 + II e abbastanza grande) ogni dtlto iniziale (17, )E R 2 diL
luogo a un moto sui quale la media continua 0 discreta di F e definita.
Se lim V() = + 00 ogni osservabile (a supporto limitato 0 no) ha valore medio
OO
definito, continuo 0 discreto. Nei casi precedenti Ie medie continue e queUe di-
screte con passo a coincidono su tutti i moti, eccezion fatta, even tualmen te, per i
moti periodici con periodo commensurabile con a.
Dimostrazione. Dal paragrafo 2.6, proposizione VIII, segue che i moti descritti
da [2.22.18] 0 tendono all'infinito 0 a un limite finito (cioe lim St(17, )=(O, xo))
t+oo
ovvero sono periodici. Nei primi due casi la proposizione XXXII segue dall'osserva-
zione 2 e nel terzo caso delle osseIVazioni 3, 4 precedenti. L'ipotesi di supporto su F
e necessaria per trattare il caso in cui St(17, ) diverse per t  + 00: questo caso non si
pub presentare se V diverge all'infmito, per la conselVazione dell'energia e, quindi,
in questa circostanza non e necessario porre restrizioni su F.
mbe
2.22 Schemi di esercizi
1. Si calcoli il valore medio continuo dell'energia cinetica e nel quadrato del-
l
l'elongazione (cioe degli osservabili [(17, ) = 2 17 2 e g(17, ) = 2) nel mota:
x+x=O x(O)=O,x(O)=1.
2. Si confronti il val ore medio continuo dell'energia cinetica e queUo dell'ener-
gia potenziale nell'oscillazione di energia E del mota di equazioni: mx = - kx.
3. Si calcoli il valore medio discreto con passo a nel mota x + x = 0, x(O) = 0,
x (0) = 1 dell' osserva bile energia cinetica per a = 27T, 47T, 1 07T, 1, 2, 3, +,  27T.
1
4. Come (1) nel mota: x + sin x=O, x(O)=O, x(0)=2 con la precisione del
60%.
5. Come (3) nel mota di (4) con la precisione del 60%.

130
Capitolo secondo
6. Come (4) e (5) con la precisione dell' 1 % usando un calcolatore.
7. Si calcoli il valore medio dell'ascissa nel moto:
x + x = cos 1T t, x ( 0) = 1, x (0) = 1
nel continuo e con passo discreto a avente i valori dell'esercizio 3.
8. Dimostrare che se I.{J, \]I E Coo(R) e se lim II.{J(t) - \]I(t)1 = 0 e se I.{J e 1/J sono
t+oo
dotate di medie (continue 0 discrete con passo a) aHora tali medie coincidono.
9. Applicare (8) per calcolare il valore medio di X(t)2 nel mota di dato iniziale
x(O) = 0, x (0) = 1 per l'oscillatore
x+x +x=cost.
Come varia tale valore medio al variare dei dati iniziali?
10. Si stimi a meno del 30% illavoro medio ("lavoro per unita di tempo")
svolto dalle forze d'attrito nel mota di (9) (si fissi arbitrariamente la definizione
di valore medio).
11. Si stimi la massima deviazione fra media continua e media discreta (al va-
riare del passo a di osservazione) dellavoro per unita di tempo delle forze d'attri-
to nel mota (9).
12. Si calcoli il valore medio continuo del lavoro svolto dalla forza forzante
nel mota (9) e 10 si confronti con quello svolto dalla forza d'attrito.
13. Come (12), ma considerando valori medi discreti con passo a = ; .
14. Si calcoli in generale il valore medio dellavoro della forza forzante, della
forza d'attrito, dell'energia cinetica e dell'energia potenziale elastica nell'oscilla-
tore:
mx+Xx +kx=f(t),
con f(t) = cos w t. Si considerino solo valori medi continui.
15. Come (14) ma con una generica fEe oo( R), periodica con periodo 21T .
W
16. Trovare nel moto di (14) i1 valore di w cui corrisponde, per unit a di tem-
po, un massimo lavoro della forza forzante ("pulsazione risonante").
17. Se fE Coo(R) e quasi periodica allora esistono i valori medi di f continui
e discreti di passo a E (0, + 00). Trovare condizioni su a e Ie pulsazioni di f per
l'uguaglianza fra medie continue e medie discrete.
18. Trovare una funzione di classe COO priva di media continua.
19. Si stimi a meno del 60% il valore medio dell'osservabile x 2 nel mota di

131
Moti unidimensionali
energia 10 relativo all'equazione
X + x 3 = o.
*20. Come (19) a menD dell' 1% (usando un calcolatore).
21. Si dimostri che, se l'energia potenziale V produce moti periodici (per un
punto di massa 1) di periodo T(E) tale che, al variare dell'energia totale E in un
intervallo [ Eo, E 1], T' (E ) > 0, aHora la media discreta di passo a = 1 e la media
continua coincidono (per qualunque osservabile) per E in un insieme denso di
[Eo, E 1 ] e pure non coincidono in generale perE in un (altro) insieme denso di
[Eo, E 1]. II secondo di questi insiemi e, pero, numerabile.
22. Si dimostri che, se ECOO(R) e ha periodo T> 0, la funzione a  r.p (a) e
con tinua sui numeri irrazionali rispetto a T.
23. Si dimostri che, se fE C OO ( R) e una funzione quasi periodica con pulsazio-
ni wI, W2, ..., wd, esistono i valori medi continuo e discreto con passo a> O. Tali
valori medi coincidono se W = 21T, wI, ..., wd sono razionalmente indipendenti. Si
a
trovino, nel caso generale, espressioni dei valori medi in questione in termini dei
coe fficien ti di Fourier di [.
2.23 Medie temporali su successioni di istanti noti a meno di errori. Probabilita
e fenomeni aleatori
...or mi eli' anche:
Questa Fortuna di che tu mi tocche,
Che e, che i ben del mondo ha S1 tra branche?
Le medie continue e discrete di passo a sono, come si intuisce facilmente.. no-
zioni matematiche assai idealizzate, anche se T ovvero N sono < + 00. Le prime,
per essere effettivamente misurate, richiederebbero una infinita di misure di f, una
per ogni istante, e non c'e bisogno di sottolineare il grade di astrazione cui biso-
gna assurgere per immaginare possibile una siffatta serle di misure. Le seconde so-
no solo in apparenza "piu concrete": e infatti inimmaginabile it poter eseguire mi-
sure in istanti l'uno seguente il precedente a intervalli di tempo esattamente uguali
ad a e, questo, a causa degli inevitabili errori di misura. Ovviamente la considera-
zione degli errorl di misura potrebbe essere invocata a proposito di quasi ogni ar-
gomento finora considerato 0 che considereremo in seguito: decidiamo di discu-
terla ora, essenzialmente a caso, a proposito dello studio delle medie di funzioni.
I metodi e Ie idee coinvolte nella sforzo di precisazione della nozione di errore
sono di grandissimo interesse e molto generali e potrebbero essere applicati alIa
considerazione di errori nel contesto di altri problemi gia visti 0 che vedremo. II
lettore potra tentare da se alcune fra queste applicazioni.

132
Capitolo secondo
Una schematizzazione, molto semplificata, del processo di accumulazione dei
dati per il calcolo di una media e il seguente: si misura l8 f, funzione della quale
si vuol ottenere il valore medio, all'istante iniziale che sara 70 -., 0; poi si attende
un intervallo di tempo 71  a e di nuovo si ripete la misura di f e, successivamen-
te, si ripete l' operazione dopo tempi di attesa 72, 73, ecc.: ogni 7 i e circa a, ma
non esattamente a causa degli errori di misura degli intervalli di tempo. Si defini-
ra, poi, la media di f come "la media dei risultati ottenuti". Tale media anziche:
lim JltJ:)(f) [2.23.1]
Noo
sara:
1 N-I
lirn N . L f (70 + 7 1 + ... + 7 j ) .
N oo }=o
[2.23.2]
Possiamo ulteriormente schematizzare gli errori di misura del tempo immaginando
che:
70 = Eo, 7 i = a + Ei, i = 1, 2, ...
[2.23.3]
e Ei =:t E con € fissato, E  a, e il segno di €i e scelto "a caso".
Si pub immaginare un meccanismo semplice che produca una successione di er-
rori come quelli in [2.23.3]: supponiamo di essere in grado di eseguire misure di
tempo perfette, ma di procedere deliberatamente cosi: all'istante iniziale lanciamo
una moneta ed eseguiamo una misura di f all'istante 70 = Eo, ove €o = + € se il ri-
sultato dellancio e stato "testa", ovvero Eo = - € se il risultato e stato "croce".
AlI'istante 70 lanciamo nuovamente la moneta ed eseguiamo la seconda misura di
f all'istante 70 + 7 b ove 71 = a + € 1 e € 1 = :t € a seconda del risultato del lancio del-
la moneta ecc. 19 Si pub a lungo dibattere su quale sia un modello matematico che
consenta una traduzione soddisfacente, in termini matematici chiari, della successio-
ne di operazioni appena descritta.
Lo schema maternatico piu interessante si basa sulla nozione di probabilita:
18 Defmizione Sia 8 un insieme finito di elementi, che chiameremo "eventi
possibili". Su 8 sia definita una funzione p che a e E 8 associa p (e)  0 tale che:
L p(e)=I.
eEl
[2.23.4 ]
La coppia ( 8, p) si dice "distribuzione di probabilita" su 8.
Se A C 8 e un sottoinsieme di 8 si pone:
p(A)= L p(e)
eEA
[2.23.5]
18 Per semplieita supporremo di essere in grado di eseguire misure esatte di f: l'uniea sor-
gente di errori sara dunque quella relativa alle misure degli intervalli di tempo.
19 In altri termini anziehe laseiare "laneiare la moneta" agli strumenti di misura la "laneia-
mo noi stessi".

133
Moti unidimensionali
e si dice che p (A) e la probabilita di A rispetto alIa distribuzione di probabilita
(8, p).
Questa nozione di probabilita e precisa da un punta di vista matematico, ma e
assai menD evidente che cosa abbia a che fare con la realta.
E' chiaro che la relazione fra questa definizione e il mondo empirico non pub
essere stabilita su basi matematiche 0 deduttive. Allo stesso modo per cui non si
pub stabilire deduttivamente la relazione fra soluzioni di equazioni differenziali e
moti di punti materiali.
La teoria del mota del punta materiale come teoria di una equazione differen-
ziale ci appare naturale solo dopo una lunga pratica di confronti fra Ie relazioni
tra it modello matematico del punto materiale e Ie corrispondenti proprieta empi-
riche, cioe sperimentali, dei punti materiali reali. In questo confronto si affina sia
l'intuizione matematica sulla struttura delle soluzioni di equazioni differenziali sia
l'intuizione fisica sulla natura del moto. A causa della conoscenza pratica, anche
sommaria, della teoria delle equazioni differenziali non si pub fare a meno, a livel-
10 piu 0 menD inconscio, di osservare con occhio sempre piu esigente i moti per
scorgere in essi quelle caratteristiche che risultano chi are dalla loro interpretazione
analitica attraverso il modello del punta materiale.
Similmente la nozione di probabilita consente di formulare modelli matematici
di fenomeni aleatori e di valutare quantitativamente Ie probabilita di classi di even-
ti pervenendo a risultati del tipo "tale classe di eventi ha grande probabilita" 0
"piccola probabilita" 0 "probabilita 1 /7" ecc.
II significato da dare, in tennini di interpretazione empirica, a tali risultati si
chiarisce e perfeziona via via che si procede nelle applicazioni, e questo pennette
di ripensarli in tennini piu intuitivi e piu immediatamente traducibili in linguaggio
e prescrizioni empiriche.
La chiave della interpretazione empirica della nozione di probabilita e la seguen-
te: sia dato un "fenomeno aleatorio" che si svolge "seguendo 10 giudicio di costei /
che e occulto come in erba l'angue", che si immagina "ripetibile" 0 "riproducibile",
nel quale gli eventi possibili fonnano un certo insieme 8. Affennare che un mo-
dello di questo fenomeno e fornito dalla distribuzione di probabilita (tff, p) signi-
fica formulare una legge (e questo su basi empiriche) che consiste nel sostenere
che il numero di volte che in n "prove", 0 "ripetizioni dell a produzione dell'even-
to", l'evento e 20 accadra circa p(e). n volte, se n e molto grande, e Ie deviazioni
da questo valore sono assai piccole, p(e)n, salvo casi particolarmente sfortunati
che possono essere trascurati "agli effetti pratici".
Ci si pub domandare quale sia il valore predittivo di una tale legge: il valore
predittivo e enorme se la legge e formulata a priori, cioe senza aver preventivamen-
20 e PUQ eonsistere nelle sei faeee di un dado e la "prova" nellancio del dado do po averlo
opportunamente "agitato" e l'evento prodotto e la faeeia superiore del dado dopo il laneio: se
non ci sono "imbrogli" p (e) = 1/6.

134
Capitolo secondo
te misurato Ie frequenze di occorrenza di ciascun even to di tf su un gran numero
di "prove". Allo stesso modo in cui enorme e il valore predittivo delle leggi della
dinamica se vengono applicate a casi ai quali si ritiene che siano applicabili, ma
per i quali non ne e stata effettivamente verificata l'applicabilita che viene control-
lata solo a posteriori (si pensi alla teoria microscopica dei gas 0 alla teoria del si-
stema planetario).
Ovviamente, talvolta, la legge formulata pub essere errata, cioe la distribuzione
(tff, p) pub non essere un buon modello del fenomeno aleatorio, nel senso prece-
dente. Questo pub avvenire per due motivi: 0 il fenomeno e aleatorio, ma non va-
le per esso la legge empirica sull'esistenza di una ben detenninata frequenza di av-
venimento di ogni evento possibile, nellimite di un gran numero di prove: questa
circostanza avrebbe l'analogo meccanico in un punta materiale per it quale si po-
tesse constatare, dopo alcune misure dirette di forza e conseguente accelerazione,
che non vi e proporzionalita tra tali grandezze. Alternativamente pub essere errata
la legge di probabilita (tff, p) assunta a rappresentazione del fenomeno aleatorio:
tale circostanza avrebbe l'analogo meccanico in un caso in cui si sia "dimenticato"
di annoverare fra Ie forze che agiscono su un punta materiale qualche forza f che,
invece, effettivamente agisce su di esso.
Chiudiamo qui la discussione ,sulla nozione di probabilita e sulla sua interpreta-
zione empirica: si potrebbe continuare a lungo, a rischio di rendere sempre piu
sfumato ed evanescente il contenuto dell'analisi. Riteniamo infatti piu utile e co-
struttivo illustrare il contenuto della definizione 18 con alcune applicazioni.
Per avere a disposizione un linguaggio piu flessibile e opportuno convenire sul-
l'uso di alcune altre definizioni "semplici". Anzitutto diamo la definizione di "va-
riabile aleatoria":
19 Definizione Sia (tff, p) una distribuzione di probabilita e sia [ una [unzione
reale su 8:
i) Si dira che [ e una "variabile aleatoria".
ii) Se ai, a2, ..., an (f) sono i valori, a due a due distinti, assunti da [(e) al va-
riare di e in tff, chiameremo EI, E 2 , ..., En{f) i co"ispondenti insiemi di eventi di
tff: cioe Ei e costituito dagli elementi e E E tali che f(e) = ai, i = 1, ..., n ([). Gli
insiemi (E I, E 2, .. ., En (f)) sono due a due disgiunti e la lara unione e tff: essi [or-
mano dunque una "partizione 9f di tff ", che chiameremo la "partizione di tff as-
sociata a [".
iii) La "distribuzione di probabilita" della variabile aleatoria [e la distribuzione
di probabilita (If, Pf) ove If ha per elementi gli net) insiemi E h ..., En(f) e
Pf(Ei)=p(Ei)= L pee).
eEE.
I
[2.23.6]
iv) Piit in generale se 9 e una partizione di tff in n insiemi (E t, E 2 , ..., En) chia-
meremo (tfffJI' PfJI)' la "distribuzione di probabilita associata a 9", la distribuzio-

135
Moti unidimensionali
ne di probabilita in cui gli elementi di 89J sono gli insiemi che costituiscono la
partizione 9 e, se E E 9,
PgI (E)=p(E)=  p(e).
eEE
[2.23.7]
Osservazione. La nozione di distribuzione di probabilita di una variabile aleato-
ria f ha rilevanza, perche, se dell'evento aleatorio e E if a noi interessa esclusivamen-
te it valore f(e) che implica per la variabile aleatoria f, e chiaro che possiamo iden-
tificare tutti gli eventi e E t! che danno luogo allo stesso valore di f(e) e chiamare
"even to " questa collezione di eventi. Supponiamo, ad esempio, di dover eseguire
una misura di una grandezza g e che tale misura sia affetta da un errore che pub
essere pensato come dovuto a N "cause" tutte indipendenti fra loro, ciascuna del-
le quali produce un errore additivo suI valore di g che e :t E, con uguale probabilita.
La descrizione completa dell' errore e, dunque, una N-pla e=(El, ..., EN) di nume-
ri che assumono valori Ei = :t E; l'ipotesi di indipendenza e uguale probabilita degli
rrori sara tradotta in modello dicendo che tutte Ie N-ple E sono ugualmente pro-
babili e, cioe, sullo spazio 8 degli eventi, costituito dalle 2 N successioni e = (€ 1,
1
..., €N) con €i = :t €, e definita la distribuzione di probabilita p (e) = --w .21
2
Supponiamo perb che non ci interessi conoscere i dettagli della struttura del-
l'errore, ma solo l'errore complessivo:
N
f(e)=  €i.
i= 1
[2.23.8]
E' questa una variabile aleatoria su 8; tale variabile pub assumere i valori N€, N - 2€,
..., - N€ e il valore (N - 2k) € e assunto su tutte Ie successioni e che contengono k
segni -: chiameremo Ek l'insieme di tali successioni.
L'insieme If e aHora costituito da N + 1 elementi Eo, Eb ..., EN e:
1 1 ( N )
Pf(Ei)=p(Ei)=  --w=--w .
eEEi 2 2 I
[2.23.9]
Potremo evidentemente considerare (If, Pf) come un modello per l'errore senza
piu far riferimento agli eventi elementari.
La precedente defmizione ci da un modo di costroire distribuzioni di probabi-
lita nuove a partire da una data distribuzione di probabilita. E' utile, in questo ri-
spetto, anche la seguente defmizione che fornisce un'altra costruzione di distribu-
zioni di probabilita a partire da ( 8, p).
21 E' questo un celebre modello usato da Gauss per la sua teoria matematiea degli errori:
una delle prime, grandiose applieazioni del ealeolo delle probabilita.

136
Capitolo secondo
20 Defmizione Sia (8, p) una distribuzione di probabilita. Se N e un intero
positivo denoteremo (if, p)N fa distribuzione di probabilita su ifN che a e E ifN,
e=(et, ..., eN), associa la probabilita p(N)(e):
p(N) (e) =p(el) ...p(eN).
[2.23.10]
La distribuzione (if, p)N sara chiamata fa "distribuzione di N eventi indipendente-
mente estratti con distribuzione (if, p)".
Concludiamo questa serie di defmizioni necessarie per stabilire un linguaggio
adatto, come gia detto, alla formulazione concisa e suggestiva di proposizioni in-
teressanti introducendo l'importante nozione di successione di variabili aleatorie
convergenti in probabilita a un limite costante:
21 Defmizione Sia (tff N , PN), N=O, 1, ..., una successione di distribuzioni di
probabilita e sia IN una variabile aleatoria definita su (8 N, PN), N = 0, 1,... Si di-
m che la successione (IN)NEZ+ di variabili aleatorie "converge in probabilita" a
un limite IER per Noo se,22 Ve>O:
lim PN({eleE 8 N , IfN(e)-II>e})=O.
N-+oo
[2.23.11]
Diamo alcuni esempi:
XXXIII Proposizione Sia (8, p) una distribuzione di probabilitil e f una va-
riabile aleatoria su (8, p). Definiamo la variabile aleatoria IN SU (tff, p)N come:
!N(e)=  !(ej)
i=l N
se e=(et, ..., eN)E 8 N . Allora la successione IN converge in probabilita per N oo
a f = L f(e)p(e).
eEl
[2.23.12]
Osservazioni
1) Questa proposizione, "legge dei grandi numeri", ci dice che il valore medio
di una somma di N variabili aleatorie indipendenti e "quasi costante se N e gran-
de" 0, meglio, che la probabilita che tale valore medio differisca da una certa co-
stante per piu di una prefissata quantita e tende a 0 per Noo (vedi [2.23.11]).
2) Questa proposizione fa capire perche la quantita  f(e) p(e) prende il no-
eEl
me di "val ore medio" della variabile aleatoria f rispetto alIa distribuzione di pro-
babilita (8, p).
22 Usiamo la eonvenzione ehe {eleEA; f(e)EB} si legge "sottoinsieme di A costituito da-
gli elementi e tali ehe f(e) EB".

137
Moti unidimensionali
La dimostrazione della proposizione XXXIII si basa su un elementare ma im-
portante disuguaglianza, "disuguagIianza di CebySev", che  alla base di moltissi-
me stime pro babilistiche:
XXXIV Proposizione Sia f una variabile aleatoria rispetto alia distribuzione di
probabilita (8, p). Si definisca il "momento k-esimo" di f come:
JJk(f)= L If(e)l k pee) kEZ+.
eEl
[2.23.13]
A 110ra, 'tJ k E Z+, 'tJ l) > 0: 23
JJk(8)
p({eleE 8, If(e)I>8}) k .
8
[2.23.14]
Dimostrazione. Si ha, per [2.23.12]:
JJk(f) > L If(e)l k p(e)5k L p(e)=
efi.8 eEl
1!(e)I>6 If(e)I>6
=8 k p({eleE 8, I/(e)1 >8}).
[2.23.15]
mbe
Dimostriamo ora la proposizione XXXIII:
Dimostrazione. Applicando la disuguaglianza di Cebysev alIa variabile aleatoria
fN - f si ha:
DN - JJ'J.
PN({eleEco , IfN(e)-fl>8)2
5
[2.23.16]
ove:
JJ2= L NPN(e)(fN(e)- f )2= L p(et)p(e2)...p(eN).
eEl e 1 , ..., eN
- (  . (!(ei)- n V =.   p(el)...p(eN)-
1= 1  N I, ] = 1 e I' ..., eN
_ _ 1 N
-(f(ei)-f)(f(ej)-f)=---:; .L L p(el)...p(eN)-
N 1=1 el,...,eN
- (f(ei) - f )2,
[2.23.17]
poiche g1i addendi con i =1= j nella penultima sommatoria sono tutti nulli perche,
essendo L pee) = 1:
e
L p(el)". p(eN) (f(ei)- f )(f(ej)- f )=
e l , ..., eN
= L p(ei)p(ej) (f(ei)- f ) (f(ej)- f )= ( L pee) (f(e)- f )\2 =0
ei, ej e J
per la definizione di f = L pee) fee), se i =1= j.
e
[2.23.18 ]
23 Vedi nota 22 a pagina precedente.

138
Capitolo secondo
L'ultimo membro di [2.23.17] pub essere, similmente, calcolato e si ottiene
1 ( ) a2
112 = N 2 N p(e)(f(e)- f ? = N '
[2.23.19]
ove a 2 = L p(e) (f(e)- f )2 e la proposizione e dimostrata perche J12 -+ 0: vedi
e N
[2.23.16]. mbe
Osservazione. Addirittura [2.23.16] e [2.23.19] mostrano che la probabilita che
IfN(e) - f I> lj N tende a zero per N  00, se lj N e una successione, N = 0, 1, ..., tale
che Nlj '1  00.
N
Anche it problema della detenninazione del valore medio su una successione di
tempi che si succedono a intervalli di a:t €, ove la successione dei segni :t e una
successione casuale nel senso discusso empiricamente all'inizio del paragrafo, pub
essere facihnente trattato con questa tecnica:
XXXV Proposizione Sia fEC(R) una funzione periodica con periodo T>O.
Consideriamo 1a distribuzione di probabilita (tC N , P N) sullo spazio tffN delle
N-uple e=(€o,..., €N-l)' €i=:t€, i=O, 1,...,N-l, ove:
PN(e)=2- N \:leE tf N .
[2.23.20]
Dato a> € tale che !!... sia i"azionale, si consideri 1a variabile aleatoria su (tff N, P N):
€
-., 1 N-l
JlfN(f)=- N .L f(ja+€I+...+€N).
J=O
Allora -., 1 T _
li mJlfN(e)=- T Jf(r)dr=f
Noo 0
[2.23.21]
[2.23.22]
in probabilita.
Osservazioni
1) Questa proposizione e interessante, perche ci mostra che, se anche si fanno
errori nella misura dei successivi intervalli di tempo al termine dei quali vengono
eseguite Ie misure di f, it valore medio di f calcolato in base ai dati ottenuti e,
con grande probabilita, vicinissimo a una costante che e, proprio, it valore medio
"ideale", cioe il valore medio continuo, indipendente da a e €, purche !!... sia irra-
€
zionale.
2) La coincidenza della media aleatoria con quella continua dipende dalla irra-
zionalita di!!... e non dal valore di T: cioe e una proprieta della struttura della mi-
€
sura (attraverso i parametri a e €) e non dipende dalle caratteristiche di f come in-

139
Moti unidimensionali
vece accadeva nel caso del confronto fra Ie due nozioni ideali di media (vedi pro-
posizione XXXII,  2.22) continua e discreta con passo a (ove interveniva la razio-
all ' d . r )
n ta 0 menD 1 - .
a
3) La proposizione potrebbe essere estesa, con 10 stesso metodo della dimostra-
zione che segue, al caso in cui €i assume piu di due valori: in questo caso la condi-
zione  irrazionale pub essere sostituita con "esista almeno uno dei valori dell'er-
a _
rore, € , per cui  e irrazionale".
a
4) Infine sempre la stessa tecnica di dimostrazione consentirebbe di trattare il
""
caso  razionale e condurrebbe a far vedere che V#N{f) converge in probabilita
a
ad un certo limite, facilmente esprimibile a mezzo della trasformata di Fourier di
f (con una formula analoga alIa [2.22.14]). La differenza tra questo limite e il va-
lore medio continuo pub essere misurata dal "grado di commensurabilita di a ri-
spetto a E" (vedi osselVazione 6, p. 128). Nel caso che l'errore assuma piu di un
valore questa differenza dipende dal grado massimo di commensurabilita fra a e i
valori dei vari errori. E' sufficiente che fra i vari errori possibili ce ne sia uno ri-
""
spetto al quale a e poco commensurabile perche la media V#N{e) converga, per
N  00, a un valore assai vicino alIa media ideale continua. Per questa ragione e
raro che la media aleatoria sia sensibihnen te diversa da quella continua: nella ap-
plicazioni esistono, invero, moltissime cause di errore e, corrispondentemente, E
PUQ assumere moltissimi valori: necessariamente a sara poco commensurabile rispet-
to a qualcuno di questi:
Dimostrazione. La dimostrazione e fondamentalmente una semplice constata-
y
zione basata sulla disuguaglianza di Cebysev (vedi proposizione XXXIV): si consi-
deri la rappresentazione di Fourier di f:
" 21f'i n t
f(t)= L fn e T
nEZ
[2.23.23]
T
e, tenendo conto che /0 = f = T -1 J f{r) dr:
o
JilN(e)- f =  (;1 f(ja +Eo + El +... +Ej- f =
1 N-l ( - )
=ji[ jO f(ja+Eo+...+Ej)-f =
- L !n (  i 1 exp 2 r 1Ti n(ja + Eo +... + Ej
nEZ J=O ')
n=#=o
[2.23.24 ]
y
dunque, per applicare la disuguaglianza di Cebysev, calcoliamo J.l2 (N), usando

140
Capitolo secondo
[2.23.24 ]:
'" - 1
Jl2(N)= L (A/N(E)- f) PN(e) = !i L(A/N(f)- f )2 =
E 2 e
A A { I 0,N-1 1
L fn 1 fn 2 2 L -W- L
n l , n 2 EZ Nil' i2 2 e
n l *0, n']. *0
[2.23.25]
exp 2;i (it nl a + i2 n 2 a ) exp 2;i [(Eo + ... + Ei, )nl + (Eo + ... + Ei2)n2 J}
La serie su n1, n2 e maggiorata, termine a termine, dalla serle convergente
L lin Ilin I: invero il termine nella parentesi graffa e una somma di N 2 2 N ad-
I 1.
n l , n 2
dendi, tutti con modulo 1, divisa appunto per N 2 2 N e, quindi, ha modulo non
su periore a 1.
Dunque la serie su n., n2 in [2.23.25] converge uniformemente rispetto a N e
si puo allora permutare l'operazione di somma della serie con illimite per N  00.
Ci proponiamo, sulla base di questa osservazione, di far vedere che Jl2(N)-+0
."
per N -+ 00: e chiaro, per la disuguaglianza di Cebysev, che questo implichera la
proposizione XXXV.
Sulla base delle precedenti osservazioni sulla uniformita dell a convergenza della
serle su n., n2 in [2.23.25], sara sufficiente mostrare che per ogni coppia n1, n2
(n1 e n2 non nulli) che appare in [2.23.25] il termine in parentesi graffa converge
a zero per N OO, cioe:
1 0,N-1 2rria (i 1 n 1 +j2 n 2) 1 '1:1ri (nl(Eo+...+Ej )+n 1 (€o+...+ei»
lim - LeT - LeT 1 2 =0.
N N 2 .. 2 N
oo 1 1 ,12 e
[2.23.26]
II contributo alIa somma in [2.23.26] degli addendi con i1 = i2 e una somma di
N2 N addendi, tutti di modulo 1, divisa per N 2 2 N e dunque, in modulo, non su-
pera N -1 e quindi tende a zero per N -)- 00. Resta allora da far vedere che illimite
della somma in [2.23.26], con la ulteriore restrizione i2 =1= i., e nullo. Basta ovvia-
mente considerare solo il contributo degli addendi in [2.23.26] con i1 < i2 e mo-
strare che e infinitesimo per N -+ 00; il contributo degli addendi con i 1> i2 si tratta
allo stesso modo.
Si ha, supposto i2 > i1:
1 N-1 N-1  2.  1
.. exp 1Il (nlil+n2i2)!i.
N 1 1 =0 12=1 1 + 1 2 e
2ni 2ni
. exp T (n1 + n2) (Eo +... + Ei 1 ). exp T n2 (€il+1 + ... + Ei2).
[2.23.27]
Eseguendo successivamente Ie somme su EN -1' ..., € h Eo si trova che [2.23.27] e

141
Moti unidimensionali
uguale a:
 it .Nf ( ex p 2a (ntit+n2h)\/COS 7; €n2 ) i.-it.
N /1=0 1 2 =/1+ 1  \
(2rr il
· ,osy€(n t +n 2 ); =
I N-1 N-1 (( 2rria  2rr  il
=.L .  exp T (n1 +n2) cos y €(n1 +n2) .
N /1=0/2=/1+1
(f 2rria ) 2rr ) i2-il
· \\ex p T n2 cosy €n2 ·
Ora si pub eseguire Ia somma su i2 utilizzando Ie proprieta delle progressioni geo-
metriche: notiamo che, se n2 *0:
[2.23.28]
2rri n",a 2rr
A=e T cos y € n2 * 1 [2.23.29]
h ' '\ 1 I 2rri 1 . d 2rr€
perc e 1\ = se e so 0 se exp T a n2 = 1: e corrlspon entemente cos T n2 =
= 1: 1. Nella prima eventualita si avrebbe:
2rr
y€n 1 =2rrm,
2rr 2 '
--an2= rrm
T
[2.23.30]
con m e m' interi non nulli, ovvero, nella seconda eventualita:
'Jrr
T €n1=(2m + l)rr
2rr
Tan2=(2m' + l)rr
[2.23.31]
con m e m' interi. Dividendo membro a membro Ie [2.23.30] 0 Ie [2.23.31] si ve-
de che entrambe implicherebbero  razionale, contro I'ipotesi.
a
Quindi Ia somma su i2 in [2.23.28] da luogo a:
1 N-1 ( 2rri- a(nl+n",) 2rr ) il AN-il-1
.L e T cosy€(n1+n2) A A-I
N /1=0
[2.23.32]
ove A e dato dalla [2.23.29]. Questa somma e una somma di N addendi, tutti con
modulo non superiore a
I
N 2
2
lA-II
[2.23.33]
2 1
e quindi ha modulo che PUQ essere maggiorato da - -+ 0
lA-II N Noo .
mbe

142
Capitolo secondo
2.23 Schemi di esercizi e problemi
1. Si consideri la distribuzione di probabilita equa (E, p) su un insieme di 6
eventi E= 1,2,3,4,5,6 ("dado perfetto"). Si calcoli la distribuzione di probabili-
ta delle seguenti variabili aleatorie (vedi definizione 20):
il (i)={ 1 se i pari f2(i) ={ 1 se i = 1, 2, 3
-1 se i dispari -1 se i=4, 5, 6
1
13(i)=(i-l)(i-2) 14(i) =(i-l) (i- 2) (i- 3) Is (i) = 1 + i 2
1
2. Sia E costituito da due elementi + 1 e -I e p(:!: 1) = 2". Si calcoli in (E, p)N
il momenta /l2 della variabile aleatoria El + ... + EN, E E EN.
3. Come (2) per fee) = sin(El + ... + EN).
4. Come (2) ma con p(+ 1)= 2/3, p(-I)= 1/3.
5. Si dimostri che se E={+ 1, -I} e p(+ 1)= 2/3, p(-I)= 1/3 la variabile alea-
toria su (E, p )N:
El+...+EN
fN(E)= N
converge a 1/3 per N OO.
N
6. In terpretando L log i = log n! come una somma in tegrale per I'in tegrale di
i = l
Riemann fra 1 e (n + 1) della funzione   log  si faccia vedere che
1
o  log n!- n(log n - 1)  1 + - + log n
n
. , 1  n!  n . e l + l/n
e, Cloe:  n -n  .
n e
*7. Utilizzando la formula ("di Stirling")
n! =nne- n ..[2;m (I + 0(-; )) n  1
si faccia vedere che la probabilita che
El+...+EN
iN(e)= ..fii E[a, b]
rispetto alIa distribuzione (E, p)N, ove E={+ I, -I}, p(:!: 1)= +, tende a
b x 2
J - - dx
e 2
a y'2:;
per N  00 (teorema di Gauss).

143
Moti unidimensionali
El + ... + EN
(Idea: tale probabilita PUQ essere calcolata osservando che
assume
Vii
o I 0 N - 2k k N N b b O l o' 2 - N ( N ) . 0 II 0 f
1 va on Vii' = - , ..., , con pro a Ilta k : SI espnmano a ora 1 at-
toriali in () a mezzo della formula di Stirling ricordando che k deve essere tale
N-2k
che a Vii b.)
*8. Mostrare che (7) implica che la successione di variabili aleatorie fN, ivi con-
siderata, non converge in probabilita per N  00.
*9. Mostrare che la successione:
(a) E 1 + .0. + EN
fN (e) = a/2
N
di variabili aleatorie sullo spazio (E, p)N dell'esercizio 7 converge a zero in pro-
ba bilita se a> I, non converge se a = 1 e diverge se a < 1 (nel senso che la pro ba-
bilita che N -a/21 El + ... + ENI  a tende a zero per N  00, \fa E [0, + 00)).
10. Far vedere che la probabilita che fN(E); vedi esercizio 7, sia >0 tende a
1
2" per N  00: stimare la velocita di questa convergenza usando la formula di Stir-
ling (vedi esercizio 7).
11. Si consideri la media stocastica con passo a = 2: 0 a = 1, rispetto a una di-
1 1
stribuzione di errori di schema E={-E, E}, p(:t E)= 2"' E= 10' dell'osservabile
energia cinetica nel mota di energia E = 1 dell' oscillatore
x + x = o.
Si calcoli il numero N di misure necessarie perche la probabilita che la media su N
1
osservazioni differisca dalla media stocastica meno delI 0% sia maggiore di 1 - 100 .
1
12. Come (11) con schema di errore E={E, 0, - E}, p(:t E) = 3'
1
p(o)= 3.
13. Come (11) per l' osservabile energia potenziale.
14. Come (11) per l' oscillatore x + x + x = cos t.
1 S. Come (11) per I'oscillatore x + x + x = (1 - cos t)2.
16. Come (11) per I'oscillatore in (15) sostituendo all'osservabile energia cine-
tica ]'osservabile lavoro per unita di tempo della forza forzante.

144
Capitolo secondo
2.24 Proprieta estremali delmoto conservativo. Azione e principio variazionale
Poiche la costruzione dell'intero universo e perfettissima
ed e dovuta ad un Creatore infinitamente sapiente, non
v' e nulla al mondo che non presen ti q ualche proprieta di
massimo 0 di minimo. Percib non pub esservi dubbio sulla
possibilita che tutti g1i effetti siano determinati dalle cause
finali con l'aiuto del metodo dei massimi, COSt come 10
sono dalle cause efficien tie
Le posizioni di equilibrio di un punta materiale su una retta si identificano con
i punti in cui l'energia potenziale e stazionaria.
Ci possiamo domandare, tenendo presente che l'equilibrio e una particolare for-
ma di moto, se anche gli altri possibili moti del punto, svolgentesi sotto l'azione
di una forza di energia potenziale V, possano essere caratterizzati da analoghe pro-
prieta di stazionarieta: questa analisi servira da prima illustrazione al contenuto
della proposizione, appena citata, di Eulero. Un'analisi piu profonda sara presen-
tata nel capitolo 3.
Consideriamo un punta materiale, di massa m > 0, animato da un mota che,
svolgendosi nell'intervallo di tempo [t 1 , t2] porta il punta da 1 a 2: un tale mo-
to e una funzione tx(t), tE[t b t 2 ], di classe Coo e tale che X(t1)=h X(t2)=2.
Sia JIl t t (}, 2) l'insieme di tali moti. Se VE COO(R) e una funzione inferior-
l' '1
mente limitata, ha senso considerare i moti del pun to materiale che si svolgono sot-
to l'azione della forza di energia potenziale V. E' chiaro che tali moti sono una
classe molto ristretta in At t (}, 2), possibilmente addirittura vuota. Ad esem-
l' '1
pia sono da ricercarsi fra quegli elementi xEv!4 t (1, 2) per i quali:
l' '1
-4- mx(t)2 + V(x(t)) = costante
[2.24.1]
per t E [ t t. t 2 ].
Ci domanderemo ora se esiste una funzione A de fin ita su JIl t t (}, 2) a va-
l' '1
lori in R che e minima 0, almeno, stazionaria suI mota che porta da  1 a 2 fra
gli istanti t 1 e t 2 svolgendosi con energia potenziale V. Per chiarire il senso di que-
sta domanda occorre prima intendersi suI significato della "estremalita" di una fun-
zione di un moto (ossia di un'altra funzione ).24
Restringeremo la nostra attenzione a particolari funzioni su At t1 , t'1(}, 2): que 1-
Ie che hanno la forma:
t 1
A(x)= J2(x(t), x (t)) dt
t 1
ove la funzione !£E C OO (R 2 ).
[2.24.2]
24 Rieordiamo ehe una funzione A E C I(R d ) si dice "stazionaria" 0 "estremale" in oE R d
se ha tutte Ie derivate prime nulle in o.

145
Moti unidimensionali
E' chiaro che [2.24.2] associa ad ogni x Evlt t1 , t2(1' 2) un ben determinato
numero reale. A questo numero si da il nome di "azione del mota x rispetto alIa
funzione lagrangiana 2" .2S
La nozione di stazionarieta 0 "estremalita" di A e assai naturale in termini del-
la connessa nozione di "moti variati".
22 Defmizione Dato x E JIl t t (1' 2) e una funzione (t, e) y (t, e)E R in
l' 2
C OO ( [t}, t 2 ] X (-I, 1)) tale che:
i) Y (t, 0) = x ( t), \f t E [t}, t 2 ]
ii) y(tt, €)=}, y(t 2 , e)=2 'tJeE (-I, I)
[2.24.3]
[2.24.4 ]
si dira che la funzione y e una "variazione del mota x", parametrizzata dal para-
metro eE(-I, I), invlt t t (}, 2). L'insieme delle variazioni di x in vltt t (1, 2)
l' 2 l' 2
sara denotato 1/'x.
Piu in generale, se vIt e un sottoinsieme di vltt t (}, 2) denoteremo "f/: x fvlt)
l' 2 
l'insieme delle variazioni di x tali che per ogni e E (- I, 1) la funzione
ty€(t)=y(t,e) tE[t},t 2 ]
e in vIt.
[2.24.5]
Osservazioni
I) Possiamo immaginare che un mota variato y sia un fascio di moti con ugua-
Ii dati iniziaIi e finali (vedi fig. 2.13)
2) A volte sara opportuno pensare una variazione y di x in JlcJlt.. t t (1, 2)
l' 2
come una "curva regolare" nella spazio v'H: per ogni e E (-1, I) si ha un punta
y€ EvIt e Yo = x (vedi [2.24.5]).
3) Se F e una funzione su vltcJll t t (1, 2) eyE 1<. x (vIt) avra senso conside-
l' 2
rare la funzione di e E (- I, 1) : e  F (y €) "valore deHa F sulla curva y per x nel
punta parametrizzato da e E (-I, I)".
Poniamo aHora la seguente definizione:
23 Definizione Sia vIt C vltt t (1, 2) e sia A una funzione su vIt avente la
l' 2
forma [2.24.2]. Diremo che x EvIt e un punta di "stazionarieta" per A su vIt se,
per ogni y E r;(vlt1Ia funzione
eA(y€)
eE(-I,I)
[2.24.6]
(vedi [2.24.5]) ha in e = 0 un punta di stazionarieta: cioe
:e A(Ye)le=o=O 'tIy E "Yx(vIt).
[2.24.7]
2S Per l'origine di questo nome si veda la nota eonelusiva del cap. 3.

146
Capitolo secondo
x
2
/--
/' 
/ h
/ '/
/ I I
/ I
/ 1,/
YE, // /'1
,-- ---....." / I
// / I
/ // /
/ YE , -_/ /
/ /.-- /
/ / /
I / ,//
/ ,,'" / y
I / /' /' EJ
Ii //
/
./
1
tl
t2
t
Figura 2.13
Osservazioni
1) In altre parole x e un punta di stazionarieta per A in v# se su ogni curva re-
golare y E 1/x(V#), per x, la funzione A, pensata come funzione del parametro €,
che parametrizza la curva, ha un pun to di stazionarieta in € = 0 (cioe in x).
2) Si noti che nella teoria dei massimi e minimi di funzioni FE Coo(R d ) ci sono
varie definizioni equivalenti di punti di stazionarieta; ad esempio
a) Se a aF (x)=O per i= 1,2, ..., d allora x si dice punta di stazionarieta per F.
Xi
b) Data una curva di classe Coo, €  Y f, € E (-1, 1), per x = Yo, la funzione
€F(y€) ha derivata rispetto a € nulla per €=O.
La defmizione (b) e, evidentemente, l'analogo "finito dimensionale" cui si ispira
la definizione 23: intuitivamente si PUQ infatti pensare che x E A t t (b 2) sia
l' 2

147
Moti unidimensionali
un vettore con una infinita continua di componenti Xt = x (t), t E [t 1, t 2]' (non in-
dipendenti, pero, ma vincolate dalla condizione che t  Xt sia una funzione di clas-
se C OO ([t 1 , t2]) e Xt =b Xt =2).
1 2
3) Strettamente parlando occorrerebbe dimostrare che la [2.24.6] e derivabile
rispetto a €. E' questa una immediata conseguenza delle regole di derivazione degli
integrali. Anzi e facile dare esplicite espressioni per Ie derivate di A. Ad esempio
dalla [2.24.2], [2.24.6] segue:
d A(YE)= d [  (t, e),y(t, e))dt=
t-z { a!£ ( ay ) a2y
= J. dt 311 at (t, e), y(t, e) 3e3t (t, e) +
+ 3/( ( (t, e),y(t, e)) .  (t, e)}
ay ay a 2 y a 2 y
e, abbreviando at (t, €) in at e a€at (t, €) in a€at ' y(t, €) in y ecc., la
[2.24.8] si riscrive
d t 1 { a 5£ ( a y ) a2 y a g; ( a y ) a y }
de A(YE) = l dt 311 --at' y 3e3t + 3 at' Y ---a;-, [2.24.9]
[2.24.8]
e, poi, sottointendendo anche gli argomenti  e Y in 2 e nelle sue derivate:
d 2 t-z { a2!f ( a2y ) 2 a2 ( a 2y ) ay
-A - dt · + . .- +
de 2 (YE)- J. 311 2 3e3t 3311 3e3t 3e
a If ( a3y ) a 2 !£ ( a2 y ) ay
+ . + . .- +
a17 a€2at a17a a€at a€
+ a2Y . (  ) 2 + 32 . ( 32y)\..
a2 a€ a a€21f
[2.24.10]
Come nel caso delle funzioni su R d conviene distinguere fra punti di stazionarieta
e punti di minima relativo (0 "locale").
24 Defmizione Se x EJl t t (h 2) diremo che x e un punto di minimo "re-
o l' '2
lativo" 0 "locale" per A, definito da [2.24.2], su JI se per ogni moto variato
yE (tJK) la funzione €A(y€), vedi [2.24.6], ha un minimo relativo in €=O.
Osservazioni
1) Cioe A ha un minima relativo in x su JI se su ogni curva regolare y per x
giacente in JI ha un minima relativo nel punta x.
2) Evidentemente perche x E JI sia un punta di minima relativo per A su JI
e necessario che x sia un punto di stazionarieta di A su J1.

148
Capitolo secondo
3) Una condizione necessaria perch6 un pun to x di stazionarieta di A su JII sia
un punto di minima relativo  che:
d 2
de 2 A(Ye) e=O  0 'fly E "Yx(JII).
4) Se x e un punta di minimo assoluto su JII per A, cioe se A(x')A(x),
"t;j x' E Jt, e chiaro che x e anche un punta di minima relativo per A su AI.
5) Se, in x, A ha un minimo locale su JII deve accadere che, dato y E x(JII),
esiste 17 E (0,1) tale che V€E[-17, 17], A(Yf)A(x): q1Jesto valore di 17 pub pero
dipendere dalla scelta di y, come e evidente.
6) Si potrebbe essere tentati di definire un minima locale richiedendo che A(x)
A(x'), Vx' EJII e "abbastanza vicino a x". Pero non sarebbe chiaro cosa intende-
re per "abbastanza vicino a x".
[2.24.11]
Cerchiamo ora un criterio necessario e sufficiente di stazionarieta che sia "sem-
plice" come quello di solito usato per funzioni su R d (vedi osservazione 2, (a),
p. 146) che riguarda l'annullamento del gradiente.
xxxv Proposizione II moto x E ..;H, t t (1, 2) e un punto di stazionarieta per
l' 2
la [2.24.2] su JIlt t (b 2) se e solo se:
l' 2
dd t a/: (x(t), x (t)) = a /[ (x (t), x (t))
VtE [tl, t 2 ].
[2.24.12]
Osservazioni
1) E' essenziale in questa proposizione che l'insieme JIIcJll t t (t, 2) suI qua-
I' 2
Ie si considera la stazionarieta sia JIlt t (b 2) stesso.
l' 2
2) La [2.24.12] pub essere pensata come una equazione differenziale per la fun-
zione tx(t), tE [t 1 , t2], cioe come una equazione per la determinazione dei pun-
ti di stazionarieta di A su tutto JIIti' t2(b 2): se CoS! pensata si chiama "equa-
zione di Eulero-Lagrange". E' analoga, come risulta molto chiaro dalla dimostra-
zione che segue, alIa condizione di annullamento del gradiente pensata come equa-
zione per la ricerca dei punti di stazionarieta di una funzione su Rd. E' opportu-
no notare che, in generale, la [2.24.12] non e una equazione differenziale nel sen-
so della defmizione 1, paragrafo 2.2: in importanti casi perb e equivalente a una
equazione differenziale in tale senso; vedi esercizi di questo paragrafo e del  3.11.
Dimostrazione. E' una semplice verifica. Sia y E rx e poniamo
ay
z(t) = a;- (t, 0)
tE [tl, t 2 ]
[2.24.13]

149
Moti unidimensionali
. a 2 y
z(t)= ata€ (t, 0) tE[t 1 , t 2 ]
[2.24.14]
e osserviamo che [2.24.3] implica, V t E [t 1, t 2 ]:
y(t, 0)= x(t)
ay
at (t, O)=x(t)
[2.24.15]
e la [2.24.4] implica:
Z(tl)=Z(t2 )=0
[2.24.16]
AHora la [2.24.9] si scrive, con queste notazioni:
- d d A(Ye) = f dt { °ag; (x (t), x(t))i(t) + 0 0 : (x (t), X(t))Z(t) } .
€ e=O t 11
1
[2.24.17]
Si osserva ora che al variare di y in rx la funzione z definita da [2.24.13] descri-
ve tutto l'insieme At t (0,0): la [2.24.16] mostra infatti che zEAt t (0,0) e,
H 2 l' 2
inoltre, data arbitrariamente z EAt t (0, 0) e ponendo:
l' 2
y (t, €) = x ( t) + € Z (t) € E (- 1, 1) t E [ t 1, t 2 ]
[2.24.18]
si ottiene un mota variato y E rx che genera, via [2.24.13], [2.24.14], proprio z.
Possiamo aHora cercare di utilizzare l'arbitrarieta di z in [2.24.17] per dedurne
condizioni su x. A questo scopo conviene eliminare, da [2.24.17], z(t) integrando
per parti il primo addendo in [2.24.17]; si ottiene:
d [ a t2 t 2 { d ( alE )
dE A (Ye) e=O = 017 (x (t), x (t)) Z(t)Jr,+  dt 017 (x (t), x (t)) -
[2.24.19]
- °or (x (t), x (t))} z (t) dt
che, quindi, per la [2.24.16] e per la precedente osservazione sull'arbitrarieta di z
mostra che la d d A I = 0, Vy E , diviene:
€ €=O
1 2 { d ( a!E ) a.P }
o =  dt z(t) dt 017 (x(t), x(t)) - o (x(t), x(t))
Vz EAt" t 2 (0, 0).
[2.24.20]
II principio di annullamento degli integrali (vedi app. D) implica l'equivalenza di
[2.24.20] e [2.24.12].
mbe
Vista la precedente proposizione XXXVI e aHora immediato rispondere al quesito

150
Capitolo secondo
posta all'inizio di questo paragrafo: infatti se si pone, per x E  t t (h 2):
l' '2
t 2 ( 1 \
A(x)= I, 2: m X(t)2 -V(X(t))j dt
[2.24.21]
si vede che vale la proposizione:
XXXVII Proposizione II mota x di un punta di massa m > 0 che si svolge nel-
l'intervallo di tempo [tt, t 2 ] da I a 2 sotto l'azione di una forza di energia po-
tenziale VECOO(R) rende stazionaria l'azione [2.24.21] su At t (h 2), cioe l'azio-
l' '2
ne con densita lagrangiana
1
.5E(11, ) = 2: m 11 2 - V().
[2.24.22]
Dimostrazione. La [2.24.12] diviene:
dd t mx(t)=-  (x (t)).
[2.24.23]
robe
Vale inoltre la seguente interessante proposizione:
XXXVIII Proposizione Sia t x (t), tE R, un mota di un punto materiale di
massa m > 0 svolgentesi sotto l'azione di una forza di energia potenziale VE COO(R),
inferiormente limitata.
Dato t l E R esiste 7>t l tale che, se t2 E[tl, 7], il mota t x (t), osservato per
tE [tl, t 2 ], cioe come elemento x EAt t (X (tl), x (t 2 )) non solo rende staziona-
l' '2
ria in A t l' t'2( X (tl), x (t 2 )) l'azione lagrangiana [2.24.22] ma anche la rende re-
lativamente minima.
Osservazione. La precedente proposizione motiva it nome di "principio della
minima azione" dato a volte aIle proposizioni XXXVII, XXXVIII.
Dimostrazione. Per l'osservazione 5 a pagina 148 dato y E rx troveremo un 11y
tale che A (y € )  A (x ), \feE [ -71y, 71y].
Si definisca 71y in modo che ly€(t)- x (t)l 1, \ftE[tt, t 2 ], \feE [-fly, 71y]. Con-
frontiamo ora A(y€) con A( x ):
t 2 {
A(YE)-A( x )= J  (( x (t) + i(t))2 - X (t)2)-
t 1
- (V (x (t) + z(t)) - V( x (t)) }dt
ove si e posta z(t)= y€(t)- x (t), tE[t l , t2].
[2.24.24 ]

151
Moti unidimensionali
La funzione z ha, evidentemente, la proprieta
Z(t 1 )=Z(t2 )=0
[2.24.25]
e dipende anche da e. Per mostrare che [2.24.24] e  0 applichiamo la fonnula di
Taylor (vedi app. B):
V(')-Vm=  ()«(-)+cpW, n (r;n 2
[2.24.26]
ove 'P E C OO (R 2 ) e opportuna. Allora [2.24.24] diviene:
t 2 { r i (t)2 Z (t)2 ]
A(Ye)-A (X )=J, L m 2 -cp (x (t)+z(t), x (t)) 2 +
+[m  (t)z(t)-  (X (t))Z(t}dt.
Integrando per parti il primo addendo nella seconda parentesi quadra e usando Ie
equazioni del moto m x = - r (x ) e la [2.24.25], si vede che l'integrale del ter-
mine nella seconda parentesi quadra in [2.24.27] e nullo. Allora, posta
[2.24.27]
M= max 1'P (x (t)+, x (t)) I
tE[t 1 , t 1 +1]
It I 1
[2.24.28]
si vede che, se lei < 17y, la [2.24.26] implica:
m t 2 M t 2
A(Ye)-A (x );;;;' 2: J Z(t)2 dt-T J Z(t)2 dt, [2.24.29]
tit 1
se t 2 - t 1 < 1, che e una condizione che si pub ottenere supponendo, senza perdita
di generalita:
t < t 1 + 1
[2.24.30]
almeno.
D'altra parte, poiche z (t 1) = 0:
t
z(t)= J i(r) dr
t 1
[2.24.31]
e, applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz (vedi app. I):
t'1 ( '1 ) 1/2 (f1 ) 1/2
 f ( T ) g( T) dT ,,;;;; V: (T? dT V .g( T? dT
\:If, gECOO([tt, t 2 ]), si trova dalla [2.24.31]:
t'1 t 2 t 1 2
JZ(t)2 dt= J dt r i(r).1 dr 
tIt 1 II
[2.24.32]

152
Capitolo secondo
 S2 dt ({i(T)2 dT )( f dT )  [2.24.33]
t 1 \11 1 1
t 2 q ) (t - t )2 
 J d t (t - t 1) i (r)2 dT = 2 2 1 J i (T)2 dT
t 1 1 t 1
e, quindi, [2.24.29] e [2.24.33] significano:
( ( t - t )2 ) t 2
A(YE)-A (x );;;:' m-M 2 2 1 P(T)2 dT [2.24.34]
che implica A(y€)-A (x )O se t2 E[tt, t] e t e abbastanza vicino a t 1 (e precisa-
- 2
_ (t -tl)
mentetalechet-t 1 <lem-M 2 >0). mbe
Ci si pub domandare cosa accada se l'intervallo [tl, t 2 ] non e piccolo: e facile
in questo caso rendersi conto che e sempre possibile spezzare l'intervallo [tl, t 2 ]
in intervallini, in numero totale finito, cosi piccoli che in ciascuno di essi l'azione
e localmente minima, nel senso della definizione precedente. Questa situazione ri-
corda da vicino Ie proprieta delle geodetiche su superfici curve: ad esempio, su una
sfera, una linea che congiunge due punti lungo un cerchio massimo ha la proprieta
di essere la linea, giacente sulla sfera, piu corta che congiunge i due punti se essi
sono abbastanza vicini, la loro distanza essendo misurata lungo la linea stessa. Se,
pero, i due punti non sono abbastanza vicini, non e piu vero, in generale, che tale
linea e la piu corta (per la sfera "abbastanza vicini" significa a distanza inferiore a
Rrr, se R ne e il raggio).
Concludiamo con un importante commento: vogliamo notare che it fatto che
Asia stazionaria 0 minima localmente e una "proprieta intrinseca" cioe indipen-
dente dal modo in cui il moto viene descritto. Precisiamo piu in dettaglio questa
affermazione. Sia   ')'(),  E R, una funzione di classe Coo "non singolare" (cioe
tale che ')"() =1= 0, 'f E R). E' allora possibile utilizzare come coordinata per il
pun to di ascissa  la quantita ')'().
Sia r la funzione inversa di ')' definita (e di classe C) sull'intervallo aperto I
immagine di R per ')': 1= ')'(R). Supponiamo I =R.
Se tx(t), tE [tl, t 2 ], e un mota su R possiamo descriverlo a mezzo della fun-
zione ts(t)= ')'(x(t)), tE [tt, t 2 ]: diremo che tale funzione descrive it mota x nel
sistema di coordinate su R associato alIa funzione ')'. Evidentemente esiste una cor-
rispondenza biunivoca B fra i moti x E Jlt t t (b 2) e i moti s EJlt t t (')'(1),
l' 2 l' 2
')'(2)) stabilita dalla relazione:
s(t) = ')'(x (t))
x(t)= r(s(t))
[2.24.35]
tE [tt, t 2 ]. Scriveremo s =Bx.
Se osserviamo che:
x(t) = r' (s(t)) s(t),
[2.24.36]

153
Moti unidimensionali
ove r' e la derivata di r, possiamo notare che Ie lagrangiane:
m1l 2
fe(ll, ) = 2 - V()
]j(T/, )=m p'm 2 T/2_V(f'())
2
[2.24.37]
[2.24.38]
attribuiscono la stessa azione ai moti x Evitt t (b 2) e s =Bx EcA t t ('Y(I),
l' 2 l' 2
'Y(2 )), rispettivamente. Cioe se s =Bx:
1 2 ( m X (t)2 :\
A(x)=ldt 2 -V(X(t))} =
'- ? ( m r' (S(t))2 S(t)2 )
= A(s) = }, 2 - V(f'(s(t))) dt,
come segue immediatamente da [2.24.36], [2.24.35].
Se y E (cA) e naturale associare a y l'elemento che denoteremo By, di
j'(BcA) definito da:
[2.24.39]
(By) (t, €) = 'Y(y(t, E)) (t, €)E [tt, t 2 ] x(-I, 1) [2.24.40]
e B cAe cAt I' t2('Y(I)' 'Y(2)) e l'immagine di cA per 1a trasformazione [2.24.40).
E', allora, immediata conseguenza delle definizioni 23, 24 che, se A e stazio-
naria 0 localmente minima su x EcA t t (b 2) in .A, anche A e stazionaria 0 10-
I' 2
calmente minima su s =Bx E ,li t t ('Y(I), 'Y(2)) in B cA e viceversa. Questo, in
l' 2
particolare, significa che Ie equazioni
dd t (aa; (x (t), x (t))) = aaf (x(t),x(t))
dd t ( af: (s(t), S(t))) = aaf (s(t), s(t))
[2.24.41]
[2.24.42]
sono "equivalenti".
Come vedremo, questa proprieta di invarianza delle condizioni di stazionarieta
o di minima locale rispetto al sistema di coordinate costituisce l'aspetto piu inte-
ressante delle considerazioni svolte in questo paragrafo. Ne vedremo delle notevo-
lissime applicazioni nel caso della teoria dei sistemi a piu gradi di liberta.
Osservazioni
1) Quanto discusso in questo paragrafo si e sempre fondato sull'ipotesi che i
moti considerati si svolgessero sot to l'aziane di forze conservative. In particolare
non e possibile formulare in modo semplice un principio generale di minima azio-
ne per moti in cui c'e dissipazione.
2) L'azione di un mota x di lagrangiana [2.24.37] PUQ essere pensata come il
prodotto di (t 2 - t l ) Rer la differenza fra il valore media in [tt, t 2 ] dell'energia ci-

154
Capitolo secondo
netica e it valore medio dell'energia potenziale nello stesso intervallo:
A(x) 1 S t 1mX (t)2 1 S t 1
= dt- V(x(t)) dt
t2- t l t 2 -t 1 t 2 t 2 -t 1 t
1 1
e per questo motivo che si suol dire che it mota che si svolge, tra t 1 e t 2 da 1 a
2' e quello che minimizza, localmente nel tempo, la differenza tra energia cinetica
ed energia potenziale medie.
Lasciamo al lettore elaborare Ie sue considerazioni filosofiche su questa proprie-
tit matematica. Illettore interessato potnl ripercorrere la storia dei principi varia-
zionali nella meccanica e nella fisica piu in generale, per comprendere come consi-
derazioni soggettive, nell'accezione moderna del tennine, abbiano influito sulla
formulazione dei principi variazionali e suI riconoscimento della loro equivaIenza
aIle equazioni "newtoniane" del movimento; vedi anche i commenti aIle pagine
178 e 233 e la citazione di Eulero all'inizio di questo paragrafo.
[2.24.43]
2.24 Schemi di problemi
Sia 2E C CIO( R 2 ) tale che la corrispondenza
(1/, n -+ ( p , ) = (aa1/ (1/, ), )
puo essere invertita in classe C CIO come corrispondenza fra R 2 e R 2 , e sia
(p, )([(p, ), )
la corrispondenza inversa.
1. Posto:
H( p, ) = p [( p, ) -2([( p, ), ) = [P17 - 2(17, )]ll=f(p, )
verificare che Ie equazioni di Lagrange sono equivalenti a
p = -  (p, )
. aH
=ap(p, ).
II mota descritto in termini di P e , cioe come funzione t  ( P (t),  (t)), soluzio-
ne di questa equazione differenziale, si dice "moto hamiltoniano" e 10 spazio R 2
pensato come spazio degli atti di mota delle. equazioni hamiltoniane precedenti si
dice "spazio delle fasi". (Idea: si noti che dalla definizione di p in termini di 17 e
 e dalla definizione di H segue che  (f( p, ), ) = f( p, n e si ricordi la defi-
nizione di [ (che e essenzialmen te = 17).)
2. La funzione H pUG essere espressa in termini di 2 e viceversa come:
H(p, ) = max (P17 - 2(17, )
ll ER

155
Moti unidimensionali
2(1/, ) = max (P1/ - H(p, »
pER
("formula di Legendre"), se il massimo e assunto in un unico punto 11 0 p rispet-
tivamente e, inoltre, tali punti sono gli unici punti di stazionarieta per Ie funzioni
in questione (idea: si scrivano Ie condizioni di stazionarieta per P11- H( p, ) e quel-
la per P11- 2(11, ».
3. Le "equazioni di Hamilton":
. aH  )
P=-3f(p,t;
. aH
 = ap (p, )
di hamiltoniana HE C CIO( R 2 ) si ottengono imponendo la stazionarieta della quantita
t
s= f<p(t) xU) - H(p(t), x(t))) dt
I
nello spazio ..At I' t 2 «1Tt, l), (1T2, 2» delle funzioni di COO([tb t2]) a valori in R 2 ,
t(p(t), x(t», tali che P(tl)=1Tb P(t2)=1T2, X(tl)=b X(t2)=2. ("Principio di
Hamilton".) (Idea: si applichi la definizione generale di stazionarieta del 9 2.24.)
4. Se t(p(t), x(t» e un mota che verifica Ie equazioni di Hamilton di cui
all'( 1) la quantita
t
](p(t) x(t) - H(p(t), x (t))) dt
t l
coincide con
t 1
J(x(t), x(t» dt
t l
cioe con l'azione del mote stesso (naturalmente se !£ e H sono legate fra loro co-
me in (I».
s. Sia H E C OO (R 2 X R) una funzione che a (1T, , t) associa H (1T, , t); posta
t
S«p, x)) = ](p(t) x (t) - H( p(t), xU), t)) dt
t l
per (p, x)E..A t t « 1T t, t), ( 1T 2, 2» si trova che la condizione di stazionarieta di
I' 2
S in At t « 1T t, 1), ( 1T 2, 2» e
l' 1
p(t)=-  (p(t), x(t), t)
x(t) =  (p(t), x(t), t).
6. Sia H la funzione di cui all'(l) e sia St(p, x)= (p(t), x(t», t O. La solu-
zione dell'equazione di Hamilton di cui all'( 1), supposta normale nel futuro, con
dati iniziali (p, x) per t = O.
Sia A C R 2 una regione misurabile sec.ondo Riemann. Allora:
area(StA) = area A,

156
Capitolo secondo
se StA = insieme dei pun ti S t( P, ) al variare di (p, ) in A (teorema di Liouville.)
(Idea: In generale sia x = f(x) un'equazione differenziale autonoma. Si ponga
y=St x :
area StA= J dx= j de/ oS-t (y» ) dy,
St A \ oy
ove o t ela matrice jaco biana della trasformazione x = S _ t( y). Questa formula
mostra che t area StA, t  a e di classe coo.
AHora:
d d areaStA =i [d d det o:-t (y dy
t t=T A t Y t=T
ma (vedi  2.7), St+T=StST' e quindi:
j r d as_ t - T 1
= L"dt det oy (Yt=o dy=
J [ d a s-t(S-TY) J
= - det dy =
A dt ay t=o
J [ d a s-t(S-TY) ] ( as-T(Y) )
= - det . det dy ;
A dt a(S-TY) t=o ay
basta verificare aHora che:
[ d a s_t(.x) ]
- det = a
dt ax t=o
ma, se X = f(x):
St(x) = x + f(x) t + 0(t 2 ),
e quest a relazione resta vera se derivata rispetto aHe coordinate di x; quindi:
det Os:x) =det(l+( e;» )) t+0(t 2 »)=
d a[(j)
= 1 + L ax . (x) t + 0 (t 2 )
j= 1 J
ove 1 = mat rice identita (d X d).
Dunque area StA= area A se (St)to e associato a un'equazione differenziale
"a divergenza nulla" cioe ad un'equazione x = f(x) in cui:
d a[(j)
L a (x) = o.
j= 1 Xj
Tali sono Ie equazioni di Hamilton).

157
Moti unidimensionali
7. Si calcoll l'azione fra 0 e T= 21T di un moto qualsiasi di un oscillatore ar-
monico di pulsazione w. w
8. Si calcoli l'azione fra 0 e t del mota di un punto di massa m soggetto alIa
forza f= - mg.

Capitolo 3
Sistemi a pili gradi di liberta. Teoria dei vincoli.
Meccanica analitica
3.1 Sistemi di punti
Un sistema di N punti materiali pub essere soggetto a vincoli.
Di solito un vincolo e una restrizione sui possibili valori che possono assumere
Ie coordinate che individuano gli N punti materiali formanti it sistema.
A volte la restrizione vincolare e imposta non solo sulle coordinate ma anche
sulle loro derivate tern porali.
Ad esempio, se una configurazione del sistema e descritta da 3N coordinate
(xt, Yt, Zl), (X2, Y2, Z2), ..., (XN, YN, ZN) rappresentanti Ie coordinate cartesiane
di ciascun punta materiale componente il sistema, un vincolo pub avere la forma:
( ) 2 2 ) 2 2
xi-Xi +(Yi-Yj) +(Zi-Zj =Iij
[3.1.1]
i, j = 1, 2, ..., N, ove Iii sono certe quantita date ("vincolo di rigidita").
Per affrontare con ordine il problema del mota dei sistemi, vincolati e non, ini-
zieremo con la definizione del mota di un sistema, forse ovvia dalle considerazioni
dei capitoli 1 e 2, ma che conviene ripetere.
Prima e perb utile stabilire una convenzione che permetteni notevoli semplifica-
zioni delle notazioni. Se M=ml + ... + mp e una somma di p interi positivi potre-
mo pensare 10 spazio R M come identico aHo spazio R m lX R m 2X ... X Rmp: it pun-
to =(t,..., M)ERM pub venire identificato con lap-upla di vettori ((1),...,
(p))ERmlX ...XRmp, ove (i)=(ml+...+mi_l+b...' ml+...+mi) per i=l, 2,..., p.
Assai spesso questa decomposizione di  in (( I), ..., (p») e "naturale" nel con-
testo. Ad esempio se un punta di R 3N rappresenta una configurazione di un siste-
ma di N punti materiali attraverso Ie lorD coordinate cartesiane ordinatamente ri-
portate in successione, sara "naturale" pensare  come ((I), ..., (N)), ove (i)E R 3 ,
i= 1,2, ..., N, rappresenta la posizione in R 3 dell'i-esimo punta materiale. Tutte Ie
volte che sara utile, ove dal contesto emerga una naturale decomposizione di  E R M
. ( (I) (P» ) (i) E R mi .- 1 . d  I d . tt .
m  , ..., t; ,  , 1- , ..., P, rlguar eremo  come una p-up a I ve orl
in R miX ... X R m P .

159
Sistemi a piu gradi di liberta
Questa identificazione vernl fatta senza esplicita menzione, purche questo non
dia luogo a equivoci reali.
COSt a volte una funzione a valori in R 3N definita su R, ad esempio tC{J(t), si
potnl scrivere, se questo risultenl naturale dal contesto, come t  (.p(I)(t), ..., cp(N)(t)),
t  (i) (t) . - 1 2 N f . . al .. R 3
con cp , 1- , , ..., , unzlonl a v on In ecc.
Infine, se F e una funzione di classe Coo su R M = R m l X ( ...  .)Rmp  a valori in R d
denoteremo con il simbolo  () la matrice jacobiana a ()._ ; se
t;; I 1-1,...,d
j=I,...,M
=((1), ..., (P))E R m , X ... X Rmp il simbolo a) () denoted la matrice jaco-
(D a
biana a,: (n ove i = 1, ..., del varia nell'insieme di indici che corrispondono
aile coordinJate di (S).
Poniamo aHora la seguente definizione:
1 Defmizione Un "moto" di un sistema di N punti materiali in uno spazio R d
a d dimensioni osservato per tEl, ove I denota un intervallo, e una funzione di
elasse Coo, t  x(t) = (X(I){t), ..., x(N)(t)) definita per tEl e a valori in R dN = R d X
d
X ... X R .
Si dira ehe un moto x di un sistema di N punti materia/i di masse mt, ..., mN
positive osservato per tEl e governato da una "legge di forza F" se:
i) F e una funzione di elasse Coo definita su R 2Nd + 1 a valori in R dN ehe scri-
veremo F= (f(I), ..., f(N») ove f(i) e una funzione di elasse Coo definita su R 2Nd + 1
a valori in R d , i = 1, ..., N.
ii) per i= 1,2, ..., N e VtE/:
mi x (i){t) = f(i){X(I){t), ..., X (N)(t), X(I){t), ..., x (N)(t), t). [3.1.2]
iii) La [3.1.2], pensata come equazione differenziale, e normale (vedi 92.5, de-
jinizione 3, p. 38) per ogni seelta di mt, ..., mN positivi
Osservazioni. La (iii) e una restrizione di natura "fisica" sulle Ieggi di forza F
che considereremo. Tali leggi saranno spesso soggette ad altre restrizioni e, sempre,
dal paragrafo 3.2 in poi, alIa condizione di verificare il terzo principio della dina-
mica (vedi cap. 1 e 9 3.2).
Particolare importanza avranno Ie "leggi di forza conservative" aIle quali dedi-
chiamo il resto di questo paragrafo.
2 Defmizione Una legge di forza F per un sistema di N punti materiali F:
R 2Nd + 1  R Nd si diee "eonservativa" se:
i) dipende eselusivamente dalla eonfigurazione del sistema: eioe esistono N fun-
zioni di elasse Coo, 7 (i), i = 1, 2, ..., N, a valori in R d e definite su R Nd tali che,
per i = 1, 2, ..., N:
f(i)(l1(I), ..., ll(N), (1), ..., e(N), t) = 7(i)((1), ..., (N»)
[3.1.3]

160
Capitolo terzo
ii) esiste una [unzione VECOO(R Nd ) a valori reali tale che: 'Ii = 1, 2, ..., N:
 f (i) ( (I) t (N» ) =_ av ( t(l) t (N» )
 , ...,  a(i)  , ..., 
[3.1.4]
che, ovviamente, sara chiamata "energia potenziale" della legge di forza F.
L'interesse di questa definizione sta nel fatto che gran parte dei modelli di for-
za sona descritti da leggi di forza conservative, che verificano cioe [3.1.4] che, ri-
cordiamo, significa piu esplicitamente:
(7 (i)(E{I) ... e(N»)). = - a  ((1), ..., (N»)
" J a(E(I»)j
[3.1.5]
ove i = 1, 2, ..., N e j = 1, 2, ..., d.
Inoltre it teorema di conservazione dell'energia si estende facilmente a sistemi
di N punti materiali soggetti a forze conservative.
Dato un mota x di masse m 1, ..., mN positive, si definisce la "energia cinetica"
all'istante t la quantita:
1 N ( . )
T(t) = - . mi(x I (t))2
2 1=1
[3.1.6]
e la "energia potenziale" all'istante t della forza F, che anima, per tEl, i1 mote x
e che supponiamo conservativa e di energia potenziale VECOO(R Nd ), la quantita:
V(t)=V(X(I)(t), ..., x (N)(t)).
[3.1.7]
Si osserva, poi, che:
T(t)=  mi x (i)(t) ox(i)(t)
dt i=1
[3.1.8]
d N av .
d t V(t) = . (i) (x (t)) .X(l)(t)
1=1 aE
[3.1.9]
e, quindi:
d d (T(t) + V(t)) = . x(i)(t).fmix(i)(t)+ a) (x(t))\ =0
t 1=1 \ a 
per Ie [3.1.2], [3.1.3], [3.1.4].
Vale dunque la seguente proposizione:
[3.1.10]
I Proposizione Se t-+x(t)=(X(I)(t), ..., x(N)(t)), tEl, e un mota di un sistema
di N punti materiali govemato da una legge di forza conservativa di energia poten-
ziale  esiste una costante E, "energia totale del moto", uguale ad ogni istante al-

161
Sis18mi a piu gradi di liberti
1a somma dell'energia einetiea e dell'energia potenziale:
T(t) + V(t)=E 'tItE!,
con T(t) e V(t) definiti da [3.1.6] e [3.1.7].
[3.1.11]
Osservazione. E' bene sottolineare che si ha qui una prima importantissima dif-
ferenza fra i moti a piu dimensioni e i moti di un singolo punto materiale in una
dimensione: in quest'ultimo caso, come implicitamente notato a1 capitolo 2, qual-
siasi legge di forza "puramente posizionale" e conservativa. Ora, invece, se d> 1 0
N> 1 esistono leggi di forza puramente posizionali che non sono conservative nel
senso ora convenuto.
Ad esempio se N= 1, d=2 la legge f
11 (b  2 ) = 1 I" (  1, ,,) =  1
[3.1.12]
 . h ' a/ 1 -L at" , h . d d . d
non t; conservabva, perc e a2 -r- a 1 mentre, e claro, queste ue envate 0-
vrebbero essere uguali se f fosse conservativa (in quanta sarebbero, entrambe, la
derivata seconda mista di una stessa funzione).
3.2 Lavoro, momenta lineare e momenta angoIare
Ci si pub domandare se sia possibile estendere il teorema della conservazione
dell'energia in modo che possa applicarsi ai sistemi soggetti a leggi di forza non
conservative.
La risposta e, in un certo senso, affermativa e semplice e va sotto il nome di
"teorema delle forze vive". Occorre, per formularlo, introdurre la nozione di "Ia-
voro di una forza" su un moto:
3 Defmizione i) ehiameremo "Iegge di forza" per un sistema di N punti mate-
riali in R d una lunzione F di elasse Coo definita su R 2Nd + 1 a valon in R Nd ehe ve-
rifiea Ie proprieta (i) e (ill) della definizione 1 del paragrato 3.1.
ii) Se x e un mota definito per tEl di un sistema di N punti materiali e  e
una legge di lorza per esso (non neeessariamente eoineidente con la legge di lorza
ehe genera il moto x) si definisee il "lavoro" della lorza cf> nell'intervallo di tempo
[t., t 2 ] C I la quantitiz:
Lt l . t 2 (4)>. x)= . j21p(i) (x (t), x(t), t). x (i)(t) dt
1=1 t
1
ove si e posto =(.p(I), ..., .p(N») e X=(X(I), ..., y(N»).1
[3.2.1 ]
1 Secondo Ie convenzioni del  3.1.

162
Capitolo terzo
Osservazioni
1) Se  e una legge di forza "puramente posizionale", cioe se esistono N fun-
zioni in COO(R Nd ) a valori in R d ,  (I), ..., 'P (N) tali che
'fJ(i)(fI(I), ..., fI(N), (I), ..., (N), t)=V5 (i)(e(l), ..., E(N))
'I(fl, , t)E R 2Nd + l , i= 1,2, ..., N, si ha:
1 2 N. .
Lt., t2(' x)= J .L  (1)(X(t)) · i(l)(t) dt
t 1=1
.
[3.2.2]
[3.2.3]
e si riconosce in questo integrale l'integrale curvilineo della forma differenziale su
R Nd :
 IP (i)(). dE(i)
i= 1
[3.2.4]
esteso alla curva ff(x) in R Nd descritta fra t1 e t2 dal punta x(t) ("traiettoria"
di x).
2) Dalla osservazione 1 si evince che illavoro di una forza , puramente posi-
zionale, eseguito in un certo intervallo di tempo in cui it sistema si sposta dalla
configurazione x(t l ) alIa configurazione X(t2) lunge una traiettoria ff, dipende
solo dalla trai.ettoria ff e non dalla legge oraria con cui !!7 e percorsa.
3) Se  e conservativa e V ne e l'energia potenziale (vedi [3.1.4]) si vede che
la forma differenziale [3.2.4] coincide can it differenziale di V:
 IP (i)() · d(i) = - d V
i=1
[3.2.5]
e, quindi, dalla [3.2.3] segue:
L tl , t2(' x)= - V(x(t 2 )) + V(x(t 1 )),
[3.2.6]
che mostra che illavoro compiuto in un certo intervallo di tempo da una forza
conservativa su un mota x dipende esclusivamente dalle configurazioni iniziale e
finale del sistema in mota (non dipende cioe neppure dalla traiettoria seguita).
Possiamo ora enunciare il teorema delle fone vive:
n Proposizione Sia tx(t), tEl, un moto di un sistema di N punti materiali
di masse m., ..., mN positive, svolgentesi satto I'azione di una legge di [orza F.
Allora la variazione dell'energia cinetica (0 "[orza viva")2 fra gli istanti t 1 e t2 di
I e pari allavoro svolto in [t1, t2] da F sui moto x:
T(t 2 )-T(t 1 )=L t t (F, x).
I' 2
[3.2.7]
2 Negli "antiehi" testi la forza viva e in realta definita come il doppio dell'energia cinetica.

163
Sistemi a pili gradi di liberta
Osservazione. Per la [3.2.6], la [3.2.7] diviene nel caso in cui F sia conservativa,
il teorema di conservazione dell' energia gia visto al paragrafo 3.1, proposizione I.
Dimostrazione. Per la definizione di mota sotto l'azione di una forza F= (f,(I),
..., f(N») (vedi definizione 1, [3.1.2]):
mjx (j)=f(j){i(I), ..., i(N), X(I), ..., x (N), t) [3.2.8]
per j= 1, ..., N. Moltiplicando allora la [3.2.8], scalarmente, per x(j) e sommando
il risultato su j:
 mox(j)'x(j)=  f(jLx(j)
. J . '
}=1 }=1
[3.2.9]
e integrando membro a membro rispetto a t fra tl e t2 si ottiene la [3.2.7].
mbe
L'interesse della proposizione II sta nella sua generalita.
Esistono altre immediate conseguenze della [3.1.2] valide nell'ipotesi aggiuntiva
che la legge di forza F verifichi il terzo principio della dinamica: sono Ie cosiddette
"equazioni cardinali" il cui interesse e, pure, legato alla lara grande generalita.
Come discusso nel capitolo 1 l'ipotesi che una legge di forza F per un sistema
di N punti materiali verifichi il terzo principio della dinamica significa, matemati-
t h . F - {f (l) f (N» ) I (.':, . . f (j) '- 1 2 N
camen e, c e per pnma cosa, se - , ..., , e lunZlonl J - , , ..., ,
si possono rappresentare al modo seguente:
f(j){",(I), ..., fl(N), (1), ..., (N\ t) = f(j)e{fI(j), (j), t) +
+  f(i-+j){fl(i), flU), (i), (j), t),
i= 1
i=l=j
ove f(j)eEC oo {R 2d + 1 ), f(ij)ECOO{R4d+l) sono funzioni a valori in R d , opportu-
ne, i, j= 1,2, ..., N.
Per i motivi discussi al capitolo 1 la funzione f(j) e va sotto it nome di "forza
esterna" che agisce suI j-esimo punta materiale e la f(ij) e invece chiamata la
"forza che il punta i-esimo esercita suI j-esimo".
Si suppone, inoltre, che:
[3.2.10]
fU -+j)(fl, fI', , ', t) = - f(j-+i)(fI', fI, ', E, t)
[3.2.11]
e, infine,
f (i -+j)( fl, 11', E, E', t) e parallelo a ' - E.
[3.2.12]
Le [3.2.10], [3.2.11], [3.2.12] sono la forma analitica che, nelle nostre nota-
zioni, assume il terzo principio della din arnica per la forza F che sollecita il siste-
ma di N punti materiali oggetto della nostra attenzione (vedi cap. 1):

164
Capitolo terzo
4 Defmizione Una legge di forza F per un sistema di N punti materiali in R d
verifica il terzo principio della dinamica se ammette una rappresentazione come la
[3.2.10], verificante [3.2.11] e [3.2.12].
In tal caso la quantita:
R(e)(r/I), ..., fI(N), (1), ..., (N), t)=  f(j)e(fI(j), (j), t) [3.2.13]
1=1
pensata come funzione di classe Coo su R 2Nd + 1 a valori in R d prende il nome di
"risultante delle forze esteme" della legge di forza F.
Nel caso d=3 la quantita:
Me) (fI(I), ..., fI(N), e(I), ..., e(N), t)=  ((jL a) 1\ f(j)e(flU>, e(j), t)[3.2.14]
j=1
prende il nome di "momento risultante delle forze esteme" di F rispetto al punto
aE R 3 .
Osservazione. Se d =1= 3 si pub ancora definire il momenta delle forze rispetto
ad un punta ma non e in generale pensabile come un vettore di R d : non ci adden-
triamo, pero, in questa discussione.
Vale la seguente proposizione ("equazioni cardinali della meccanica"):
III Proposizione Dato un moto tx(t), tE R+, di N punti materiali in R 3 di
masse ml, ..., mN positive, si definisce la "quantita di nloto" all'istante t come:
Q(t) =  m. x (j)(t)
. J
J=I
[3.2.15]
mentre l'espressione:
Kcx(t) = . mi((jLa)l\x(j)(tj
J= 1
[3.2.16]
definisce il "momento della quantita di moto" rispetto ad a, all'istante t.
Se il moto x avviene sotto l'azione di una forza F verificante il terzo principio
e se si pone R(e)(t)=R(e)(x (1)(t), ..., x (N)(t), X(I)(t), ..., x(N)(t), t) e Me)(t)=
=Me)(x (1)(t), ..., x (N)(t), X(I)(t), ..., x(N)(t), t); vedi [3.2.13], [3.2.14], si ha:
 Q(t)=R(e)(t)
dt
[3.2.17]
d (e)
d"t KQ(t) = MOl. (t)
[3.2.18]
Dimostrazione. DaIle [3.2.8], sommando membro a membro su j si deduce:

165
Sistemi a pili gradi di liberti
 mox(j)=  f(j)
. J .
J=1 J=1
[3.2.19]
e [3.2.10], [3.2.11] implicano
o mjx(j)=R(e)
J=1
[3.2.20]
e, cioe la [3.2.17].
Analogamente, moltiplicando la [3.2.8] vettorialmente per x(j)(t)-a, aE R 3 , e
sommando,
 mo(x(j)(t)-a)!\x(j)(t)=  mo(x(j)(t)-a)!\f(j)e=M(e)
. J . J Ck
J=1 J=1
[3.2.21]
aye n do us at 0 [3.2.1 0], [3.2.11] e [3.2 .12] .
Inoltre:
(x(j)(t) -ex) A x (j)(t) = (x(j)(t) -0) 1\  x (j)(t) =
dt
=  {(x(j)(t)-a)Ai (j)(t)} - {  (x (j)(t)-O) } Ax (j)(t) =
dt dt
=  {(x(j)(t)-a) A x (j)(t)} - x (j)(t)Ax (j)(t) =
dt
=  {(x(j)(t)-a) A x (j)(t)}
dt
e quindi:
 mo(x(j)(t)-a)!\x(j)(t)=  m-(x(j)(t)-a)!\i(j)(t)=
. J d t . J
J=1 J=1
d
= <it KOI.
[3.2.22]
[3.2.23]
che, con [3.2.21], dimostra la [3.2.18].
mbe
Osservazioni
1) Spesso la quantita di mota e chiamata "momento lineare" e il momento del-
la quantita di mota e chiamato "momento angolare".
2) La [3.2.17] va spesso sotto il nome di "teorema del baricentro". Per capire
l'origine di questo nome si associ al mota tx(t)=(X(I)(t), ..., x (N)(t)), tEl, il
mota txG(t) ove:
o mi x (i)(t)
1= 1
N
 m.
. I
1= 1
ER d .
[3.2.24]
xG(t)=

166
Capitolo terzo
Se, aHora, chiamiamo il mota t  xG(t), tEl, il "moto del baricentro" e poniamo
N
M= L mi ("massa totale del sistema") Ie [3.2.15], [3.2.17] si possono scrivere ri-
i= 1
spettivamente:
Q(t)=M XG(t)
M xG(t) =R(e)(t)
[3.2.25]
[3.2.26]
e la [3.2.26] si pub leggere "il baricentro di un sistema di N punti materiali si muo-
ve come se fosse un punta materiale di massa uguale alla massa totale del sistema
e soggetto all'azione di una forza uguale aHa risultante delle forze esterne" agenti
sui sistema.
3) Si noti che, in generale, la [3.2.26] non e un"'equazione chiusa": il secondo
membro infatti non pub essere calcolato senza gia conoscere Ie locazioni e Ie velo-
cita di tutte Ie particelle componenti it sistema.
Fanno perb eccezione alcuni casi particolari e particolarmente import anti. Ad
esempio, se Ie forze esterne agenti sui j-esimo punta sono indipendenti dalla po-
sizione e velocita del punta (come nel caso della forza peso).
4) Vale la pena di notare esplicitamente che non e, in generale, vero che it mo-
mento delle forze esterne possa essere calcolato immaginandone la risultante appli-
cata al baricentro: cioe come (xG - a.) /\ R(e). Ne, in generale, e vero che la deri-
vata del momenta della quantita di mota del baricentro, cioe diM(xG-a)AxG,
sia it momenta risultante delle forze esterne.
5) Perb nel caso speciale:
t(j)e=mj g
[3.2.27] _
ove g e un vettore fissato (indipendente da t e dall'atto di mota del sistema), si
pensi alIa forza peso, si ha:
R(e)= ( . mj\ g=Mg
/= 1 ')
e, per [3.2.24]:
(e) N ( . )
M Q =.L (x / -0.)/\ mj g=
/=1
= G1 mj(x(j) - o 1\ g=M(xG - 0) 1\ g= (XG - 0) 1\ R(e)
[3.2.28]
[3.2.29]
e, inoltre:
dd t (xG-a)I\M XG=(xG-o)I\M XG +XG I\M XG =
= (xG-a)/\M XG=(xG-o.)AR(e)=Me)
Le [3.2.29], [3.2.30] mostrano quanta particolare sia it caso della forza di gravita
riguardo aHe equazioni cardinali e spiega it perche del nome di "baricentro" 0
"centro di massa" 0 "centro di gravita" dato al punta definito dalle [3.2.24].
[3.2.30]

167
Sistemi a pili gradi di Ii berta
3.3 II principio della minima azione
II principio della minima azione visto al paragrafo 2.24 ha un'ovvia generalizza-
zione ai sistemi di N punti materiali soggetti a forze conservative.
Poniamo la seguente definizione, che e una semplice estensione al caso dei siste-
mi di punti delle analoghe definizioni del paragrafo 2.24.
5 Defmizione i) denotiamo vittI' t2(b 2) l'insieme dei moti t x(t) = (x (l)(t), ...
..., x (N)(t)), tE [t., t2], di un sistema di N punti materiali in R d , tali che x(t l )=
=l E R Nd e X(t2 )=2 E R Nd .
ii) Se x EvltCvlt t1 , t2(b 2) denoteremo (A) 10 spazio delle "variazioni"
del mota x in At e, cioe, l'insieme delle funzioni y E CQO([t l , t 2 ] X (-1, 1)) a valori
in R Nd , (t, €)y(t, E), tali che:
a) y (t, 0) = x(t),
'tItE [t., t 2 ];
[3.3.1]
[3.3.2]
b)y(tt, €) = 1J y(t2, €) = 2, 'tI€E(-I,I);
c) [issato €E(-I, 1), la funzione ty€(t):
y€(t)= yet, €) tE [t., t2]
[3.3.3]
e un moto y€EJIt.
Po"emo (Jlttl' t2(b 2)) = .
iii) Se ECOO(R2Nd+l) e una funzione a valori reali definiremo l'azione di den-
sito lagrangiana  come fa funzione A su At t (b 2) a valori reali definita come:
l' 2
t]
A(x)= J .P(x(t), x(t), t) dt [3.3.4]
t 1
per x EAt t (b 2).
l' 2
iv) L'azione A, [3.3.4], e stazionaria 0 localmente minima sui mota xEAc
cJlt t t (l, 2) su At se fa funzione €A(y € ), €E(-I, 1), e stazionaria 0 local-
l' 2
mente minima, rispettivamente, per €=O e.per ogni yE (A).
Osservazione. Si noti che [3.3.4] e leggermente piu generale dell' analoga defini-
zione del paragrafo 2.24: conviene infatti, nella teoria dei sistemi a piu gradi di li-
berta considerare funzioni lagrangiane piu generali, onde consentire senza variazio-
ni eccessive di linguaggio e di notazioni, cambiamenti di coordinate che dipendono
esplicitamente dal tempo.
La condizione di stazionarieta della [3.3.4] su J1i t t (1, 2 ) in x si deduce esat-
l' 2
tamente allo stesso modo dell'analoga condizione vista nella proposizione XXXV
del paragrafo 2.24, via il principio di annullamento degli integrali, e ne lasceremo
allettore, per esercizio, la deduzione dettagliata:

168
Capitolo terzo
IV Proposizione Un moto x E.A t1 , t2(I' 2) rende estremale in .At l' t 2 (EI, 2)
l'azione [3.3.4] se e solo se:
dd t ( :r; (x (t), x (t), t= : (x(t), x(t), t)
VtE[t l , t 2 ] e Vi=I,2,...,N.
[3.3.5]
Osservazione. Nella [3.3.5] usiamo la notazione sulle derivate introdotta all'ini-
zio del paragrafo 3.1.
Spesso, con ovvio abuso di notazione, la [3.3.5] si scrive nella forma compatta:
d alE
dt ax
alE
ax .
[3.3.6]
Un immediato corollario della proposizione IV e:
V Proposizione Data una funzione a valori reali VE COO(R Nd ) inferiormente li-
mitata, il moto x Eu14 t (I, 2) rende stazionaria su.At t (I, 2 ) l'azione di
l' 2 l' 2
densitiz lagrangiana su R 2Nd + I:
N m.
(1l, , t)= L --.!- (1I(i))2 - V()
;=1 2
[3.3.7]
ove m., ..., mN sono positivi, se e solo se x e un moto di un sistema di N punti
materiali in R d di masse ml, ..., mN che, per tE[tl, t2], si svolge sotto l'azione
della legge di forza F di energia potenziale V.
Dimostrazione. Basta sostituire [3.3.7] in [3.3.5] per vedere che, in questo caso,
[3.3.5] diviene la [3.1.2] con F data da [3.1.4] cioe
mrx(j)(t)=- ar.) (x(t)) j=l,...,N
a J
se x(t) = (x (I)(t), ..., x (N)(t)), t E [t 1, t 2 ].
[3.3.8]
robe
Vale anche la seguente generalizzazione della proposizione XXXVIII,  2.24.
VI Proposizione Sia tx(t), tER+, un moto di un sistema di N punti mate-
riali in R d di masse ml, ..., mN positive che si svolge sotto l'azione di una forza
conservativa di energia potenziale VECOO(R Nd ). Dato tIER+ e t2>tl, se t2-tl e
sufficientemente piccolo, il moto tx(t), considerato nell'intervallo di tempo
[t l , t 2 ], non solo rende stazionaria in.At t (x(tt), X(t2)) l'azione di densitiz /a-
I' 2
grangiana [3.3.7], ma anche /a rende localmente minima.
Dimostrazione. La dimostrazione di questa proposizione e facilmente immagi-

169
Sistemi a pili gradi di liberta
nabile sulla falsariga della analoga XXXVIII del paragrafo 2.24. Vernilasciata co-
me utile esercizio.
I commenti visti aIle pagine 152 sg. si estendono in modo ovvio a commenti
a questo paragrafo. E' in particolare molto importante che illettore traduca nel
linguaggio della teoria dei sistemi di punti materiali Ie osservazioni gia fatte al pa-
ragrafo 2.24, a proposito delle rappresentazioni dei moti in coordinate diverse da
quelle cartesiane e della invarianza rispetto a cambiamenti dl coordinate delle equa-
zioni di Lagrange [3.3.6].
Negli esercizi e nei paragrafi che seguono vedremo alcune interessanti applica-
zioni della "formulazione lagrangiana" [3.3.6] come formulazione "invariante",
per cambiamenti di coordinate, delle equazioni del mota; tra queste la teoria dei
vincoli perfetti.
3.4 Considerazioni introduttive alia teoria dei moti vincolati
Elli avien cappe con cappucci bassi
Dinanzi a Ii occhi, fatte della taglia
Che in Clugni per Ii monaci fassi.
Di fuor dorate son, sl ch'elli abbaglia;
Ma dentro tutte piombo, e gravi tanto...
II principio della minima azione consente la seguente, in un certo senso banale,
considerazione. Sia x  A(x) l'azione definita sui moti J!tt 1 , t 2 (Eb E2), a priori pos-
sibili, di un sistema di N punti materiali soggetti ad una legge di forza conservativa F.
Supponiamo di sapere, a priori, che la legge di forza F sia tale che il mota x,
che, sotto it suo impulso, si svolge da 1 a E2 fra t 1 e t 2 , verifichi certe proprieta:
ad esempio, Ix (t)1  s, 0 Ii (t)1  P (ove S e P sono costanti note), 0 x (1)(t) = 0 ecc.
Allora e chiaro che la ricerca di x in J!ttl' t 2 (Eb 2) potra essere ristretta al sot-
toinsieme J!t dei moti di J!tt t (b 2) che verificano Ie proprieta in questione.
l' 2
Assai spesso accade che un sistema di punti materiali sia soggetto a "vincoli",
ossia a leggi di forza che non permettono che "pochi" moti fra quelli a priori pos-
sibili. Si pensi ad un punta materiale vincolato ad una superficie: in tal caso la su-
perficie esercita suI punta una forza che e sistematicamente tale da impedire al
punta di abbandonare la superficie stessa.
Si pensi anche ad un sistema rigido di N punti materiali: ora il punta i-esimo
esercitera suI punta j-esimo una forza f(i-+j) che e sistematicamente tale da forzare
i due punti a mantenersi a distanza fissa.
Tenendo conto dei vincoli, i moti di J!tt t (b 2) permessi saranno, in gene-
l' 2
rale, parametrizzabili mediante un numero 1, spesso  Nd, di coordinate e, in con-
seguenza, potremo immaginare di descrivere i moti del sistema in termini di 1 fun-
zioni del tempo e, quindi, di esprimere la lagrangiana e l'azione in termini delle 1
funzioni stesse. Quindi I' azione di un mota x permesso dai vincoli assumera la

170
Capi tolo terzo
fonna:
t 2
A (x) = J dt2(al (t), ..., al(t), al (t), ..., al(t), t)
t 1
[3.4.1]
se t-+a(t)=(al (t), ..., al(t)), tE [t., t 2 ], e la descrizione del mota x nelle coordi-
nate "essenziali".
Per precisare meglio quanto detto finora si ammetta che esistano N funzioni in
COO(R I) a valori in R d :
a=(at, ..., al)-+X(i)(a)=X(i)(al, ..., al) [3.4.2]
i= 1,2, ..., N, tali che l'insieme dei moti t-+x(t)=(X(I)(t), ..., x (N)(t)), tE [t., t 2 ],
"vincolati" 0 "permessi" dai vincoli, sia l'insieme dei mati immagine di moti in R I
via la trasformazione [3.4.2]. Cosi, assegnato un mota t-+a(t), tE [t., t2], in R l
si descrive, via Ie [3.4.2], il mota vincolato t-+x(t), tE[t., t 2 ], ove
X(i)(t)=X(i)(a(t)) i= 1,2, ..., N
[3.4.3]
che abbrevieremo in x(t)=X(a(t)).
PiiI precisamente si ammetta che la legge di forza F, conservativa, per il sistema
di N punti materiali, di masse m., ..., mN positive, in esame sia tale che i mati in
 t t (EI, 2)' che si possono effettivamente svolgere sot to la sua aziane, siano
l' 2
contenuti nella classe dei moti aventi la forma [3.4.3], con 'a EAt t (at, (2), ove
1 l' 2
01, Q2 ERe X(UI )=El, X( CV 2 )=2.
Se X e un mota vincolato nel senso ora precisato, la sua azione [3.3.4] rispetto
alIa lagrangiana [3.3.7], in cui V e l'energia potenziale di F, pub essere scritta co-
me in [3.4.1] ove 2 E C OO (R 21 + I) e la funzione
,....,
!e ((3 t, ..., (31; ai, ..., ai, t) =
N mi ( N ax (i) ) 2
= L - L (a) (3. - V(X(a))
i = 1 2 j = 1 aa j 1
e questo perche X (i)(t) pub essere calcolato, derivando la [3.4.3], come:
. 1 ax (i)
x (!)(t) = . a. (a(t)) aj(t) i = 1, ..., N
J=I a J
[3.4.4 ]
[3.4.5]
se x e it mota vincolato immagine del mota a.
Dunque se x EAt 1 , t 2 (Et, 2) e il mota che effettivamente si svolge sotto l'azio-
ne della forza F ed e l'immagine di a, via la [3.4.3], e chiaro che l'azione A di la-
,....,
grangiana [3.3.7] e stazionaria su x e l'azione A di lagrangiana [3.4.4] e stazionaria
su a: questa proprieta e un'immediata conseguenza dell'ovvio fatto che se A e sta-
zionaria su un mota x i nvlt. t t ( 1, E2 ) e anche stazionaria sux inA'cA t t ( ., t2)
l' 2 l' 2
qualunque siaA' (purche x EA'): nel nostro caso A' e l'insieme dei mati imma-
gine, via Ie [3.4.3], dei moti in At t ( at, Q2 ) .
I' 2

171
Sistemi a pili gradi di liberta

La condizione di stazionarieta di A, l'azione su vlt t t (at, (2) di densita lagran-
 l' 2
giana!E data dalla [3.4.4], e per la proposizione IV del paragrafo 3.3:
:t  (ti(t), aCt), t)=  (ti(t), a (t), t)
[3.4.6]
i = 1, 2, ..., 1, V t E [t 1, t 2 ].
Si comprende subito I'importanza di queste considerazioni: Ie [3.4.6] so no evi-
dentemente Ie equazioni del mota dopo che sono stati eliminati i parametri descri-
venti Ie configurazioni del sistema ma resi "inutili" 0 "ridondanti" della presenza
di vincoli che permettono, via Ie [3.4.2], [3.4.3], di ridurre a 1, da Nd, il numero
di coordinate necessarie a descrivere Ie configurazioni "effettivamente possibili".
Balena quindi l'idea che il meccanismo di eliminazione delle coordinate ridon-
danti nei sistemi conservativi soggetti a vincoli semplici, tipo [3.4.2], [3.4.3], sia
particolarmente semplice: basteni riscrivere la densita lagrangiana dell'azione in ter-
mini delle sole coordinate essenziali, tramite Ie [3.4.3], e poi dedurre Ie equazioni
[3.4.6].
E' pen) chiar0 3 che non puo non esserci un grosso ostacolo a questa radiosa ma
semplicistica visione.
I veri vincoli sono generati da forze che, come vedremo, non sono in generale ne
semplici ne conservative nel seso del pragrafo 3.1, ma dipendonb anche dalle ve-
locita dei punti, oltre che dalle loro posizioni.
Stando cosi Ie cose, Ie considerazioni sopra svolte divengono quasi inutili perch6
inapplicabili ai casi piu semplici e interessanti di moti vincolati nel senso [3.4.2],
[3.4.3] .
Per convincersi di quanta appena detto, consideriamo un caso semplicissimo:
quello di un punta materiale vincolato ad una curva r di equazioni parametriche
intrinseche date da
S(S)E R d , sE R,
[3.4.7]
ove s e, appunto, un'ascissa curvilinea su r.
Supporremo r semplice, di classe Coo e d= 3.
Se T(S) e n (s) denotano, rispettivamente, il versore tangente e il versore norma-
Ie principale a r nel punto di ascissa curvilinea sese res) denota it raggio di cur-
vatura nello stesso punto, e ben nota che
.,.(s)= (s)
ds
n(s)
res)
dT (s)
ds .
[3.4.8]
Allora, se ts(t), tER, e l'equazione oraria di un mota su r, si avra:
dd t Hs(t)) = set) reset))
[3.4.9]
3 Segue dal ben noto "prineipio di eonservazione delle diffieolta".

172
Capitolo terzo
e
d 2 S(t)2
 (S(t))= S(t) r(s(t)) + n(s(t)).
dt r(s(t))
[3.4.10]
Se il puntu e soggetto a una forza che e la somma della reazione vincolare R(s, s)
e di una forza estema f(s) si avra, denotando tx(t) 10 stesso mota in R3:
mx=f+R
che, per Ie [3.4.10], diviene
ms=f.f'+R.T
[3.4.11]
[3.4.12]
.2
S
m-=f.n+R.n
r
[3.4.13]
e dalla [3.4.13] si ricava che 1a componente secondo n della reazione vinco1are e:
.2
S
R.n=m--f(s).n(s)
res)
[3.4.14]
nel punta della curva di coordinata s.
Dalla [3.4.14] si vede che R(s, s) dipende necessariamente da s e, quindi, 1a rea-
zione vincolare non puo essere conservativa nel senso, assai stretto e vero, del pa-
ragrafo 3.1.
Vedremo pero che la sostanza dell'idea intravista in relazione al1a [3.4.6] sara
salva: occorrenl pero una lunga discussione che, necessariamente, era da aspettar-
selo, passa per una piu approfondita discussione di carattere fisico-matematico del-
1a nozione di vinco1o. Tale discussione sara diretta a chiarire che cosa sia un vinco-
10, ossia Quale sia it fenomeno fisico it cui modello matematico e "it vincolo".
Nel prossimo paragrafo daremo la definizione generale di vincolo ideale, metten-
done in luce Ie principali proprieta matematiche' e rinviando ai successivi paragrafi
una piu approfondita discussione che metta in luce come la nozione empirica di
vincolo senza attrito sia naturalmente schematizzata nel modello matematico del
prossimo paragraf o.
3.5 I vincoli ideali matematici
Poniamo, innanzitutto, una definizione sufficientemente generale e matematica-
mente precisa di mota vinco1ato di un sistema di N punti materiali:
6 Definizione Date s funzioni a valori reali v;(t), ..., v;(s) in C OO (R 2Nd + t), si dini
che un sistema di N punti materiali in R d , di masse m 1, ..., mN positive, soggetto a
una legge di forza F e "sottoposto ai vincoli v;(t), ..., v;(s)" se la legge di forza F

173
Sistemi a piu gradi di liberta
e tale che i moti tx(t)=(X(I)(t), ..., x(N)(t)), tE R+, da essa mossi verificano
identicamente Ie s relazioni:
1/;(i)(x (I)(t), ..., X (N)(t), X(I)(t), ..., x (N)(t), t)=O
[3.5.1]
VtE R+, purche esista un istante IE R+ in cui Ie [3.5.1] sono verificate.
Esempio. Se VECOO(R Nd ) e EER la
1/;(11(1), ..., fl(N), (I), ..., e(N), t)=
= _ 2 1 . mi (11(i»)2 - V((1>, ..., (N») - E
1= I
e un vincolo per i moti di un sistema di N punti materiali di masse ml, ..., mN mos-
si dalla legge di forza di energia potenziale 
Di particolare interesse sono i vincoli indipendenti dal tempo e dalle velocita:
7 Defmizione Nel contesto della de[inizione 6, si supponga che esistano s {un-
.. l . 1 . (I) (s). C OO (R Nd ) t 1 . . h \-/. - 1 2 .
Zlonl a va on rea I <.p , ...., <.p , In a lee, vl- , , ..., s.
1/;(i)(,,(I), ..., lI(N), (I>, ..., (N), t) = <.p(i)(Et, ..., (N») [3.5.2]
V(fl, , t)E R 2Nd + I.
Si dira che il sistema e "soggetto a s vincoli <.p(I>' ..., <.p(s) olonomi".4
(1) (oS')
Denoteremo viti t' ..., <P (el, E2) il sottoinsieme dei moti in vlt t t (I, 2) co-
l' 2 l' 2
stituito dai moti x Evitt t (h 2) del sistema tali che
l' 2
<.p(i)(x(t)) = 0, VtE [t l , t 2 ], i= 1, ..., s. [3.5.3]
Questo insieme di moti sara anche chiamato "l'insieme dei moti soggetti ai vincoli
<.p(I), ..., <.p(s),:
lnfine se eE R Nd e <.p(i)(E) = 0, i= 1,2, ..., s, si dira che  e "compatibile" con
il vincolo <.p( I), ..., <.p(s)".
Nel seguito ci occuperemo soltanto di vincoli olonomi.
II primo compito che ci proponiamo e quello di dare una definizione precisa di
vincolo (olonomo) "perfetto".
Una possibile definizione e ispirata dalla [3.4.14]: in quel caso e chiaro che chia-
meremo "ideale" it vincolo alIa linea r se R · 'I = 0, cioe se "l'unico effetto" della
linea r e quello di mantenere it mota su r; in tale caso l'equazione del mota di-
viene semplicemente:
m s= f(s). '1(s)
[3.5.4]
4 Olonomo vuol dire, appunto, "dipendente da1 posto".

174
Capitolo 1Bno
che si pub leggere: "1' accelerazione lungo r e proporzionale alla proiezione su r
dell a forza attiva", cioe "della parte non vincolare della forza".
La relazione R · T = 0 puo anche essere interpretata dicendo: "La reazione vin-
colare agisce ortogonalmente a r": ma non e immediatamente chiaro cosa voglia di-
re, nel caso di vincoli generali del tipo contemplato nelle defmizioni 6 e 7, che la
reazione vincolare e ortogonale al vincolo.
A pensarci un attimo appare pero naturale la seguente nozione: 1a reazione vin-
colare R(ll, ) agente su un sistema di N punti materiali in R d , in moto, che si ven-
gono a trovare nella configurazione , compatibile con il vincolo, con velocita fl e
"ortogonale al vincolo" se, detta fI' la velocita al passaggio per  di un qualsiasi
altro mota per  e compatibile con il vincolo risulta:
R(f1, t) . fl' = 0
che scritta piu esplicitamente, se R =(R(l), ..., R(N») diviene:
[3.5.5]
 fI'(j}. R(j)(fI, E).
j=l
Si potrebbe argomentare su questa generalizzazione: in questo paragrafo tuttavia
ci occuperemo delle conseguenze matematiche dell'idea precedente e ne vedremo
invece il significato fisico, profondo ed interessante, nei prossimi paragrafi. Stabi-
liamo dun que, formalmente, la seguente definizione:
[3.5.6]
8 Defmizione Sia </J(l), ..., </J(s) un sistema di vincoli olonomi per un sistema di
N punti materiali in R d , di masse mt, ..., mN positive, soggetti ad una legge di for-
za (11, e) F(fl, ) indipendente dal tempo.
Data una legge di forza conservativa di energia potenziale V(a)E COO(R d ), dire-
mo che il si#ema di' vincoli e "ideale", rispetto alia ''forza attiva" F (a) = _ a a)
e alia "reazione vincolare" R =F- F(a), se per ogni  E R Nd , che rispetti i vincoli,
doe tale che
</J(j)() = 0 j = 1, ..., s
si ha:
R(flh e)' '12 = 0
[3.5.7]
[3.5.8]
comunque si scelgano i vettori velocita '11 e '12 nell'insieme dei vettori velocita
i(O) dei moti tx(t), tE R+, del sistema compatibili con i vincoli e passanti per
 all'istante t=O: x(O)=t. s
Ci riferiamo a questa situazione utilizzando Ia locuzione abbreviata "il sistema
di punti materiali e soggetto alia forza attiva F(a) e a s vincoli olonomi </J(l), ..., </J(s)
ideali':
5 Per l'indipendenza dal tempo della forza F e dei vincoli e della forza F(a) e chiaro che
l'istante t = 0 non ha, in realta, aleun ruol0 privilegiato.

175
Sistemi a pili gradi di liberta
Osservazioni
1) Precisamente, dunque, l'ultima frase della definizione 8 signitica che it siste-
ma di punti materiali in oggetto e soggetto ad una legge di forza F indipendente
dal tempo che produce i vincoli </J(l), ..., </J(S); vedi definizione 7, che sono ideali
rispetto alIa forza attiva F (a) e alIa reazione vincolare R = F - F (0).
2) La [3.5.8] e anche, spesso, chiamata "equazione simbolica della Dinamica",
"principio di D' Alembert", "principio dei lavori virtuali".6
3) La [3.5.8] viene anche letta "illavoro virtuale della reazione vincolare ideale
e sempre nullo": e forse la lettura piu suggestiva, perche sottolinea il fatto che il
vettore velocita 112 non e 10 stesso di quello, (111), che provoca la reazione vinco-
lare in e, bens! e quello di un altro mota possibile ("moto virtuale") per .
La parola "Iavoro" e, naturalmente, riferita al fatto che R(flt, E) .'12 e illavoro
per unita di tempo che la reazione vincolare al mota Xl che a un dato istante pas-
sa per  con velocita 111 com pie suI mota Xz che allo stesso istante passa per  con
velocita 11z (moto virtu ale ).
4) E' import ante rendersi conto che la decomposizione F = F (a) + R dell a forza,
in somma di "forza attiva" e "reazione vincolare", e certamente non univoca, se

pur esiste. Ad esempio, se F e un campo di forze conservativo la cui energia po-
tenziale V E COO(R Nd ) e costante sulla regione di R Nd descritta da
'P(l)(E)= </J(2)(t)= ... = </J(S) (E) =0
[3.5.9]
allora la decomposizione
 
F=(F(a)+F)+(R-F) [3.5.10]
e ancora una possibile decomposizione di Fin forza attiva conservativa (F(a) + F)

e in reazione vincolare (R - F) che verifica [3.5.8].7
5) E' anche importante rendersi conto che, sulla base della detlnizione 8', la
idealita di un sistema di vincoli dipende dalla scelta di F (a): solo una volta date
F (a) ed F si PUQ definire R e quindi verificare la [3.5.8]. La idealita di un sistema
di vincoli non e dunque una proprieta della sola F.
Nella traduzione in modello mate matico dei problemi che venono suggeriti
dalle applicazioni concrete, spesso accade che siano date Ie equazioni dei vincoli
</J(l), ..., 'P(s) e, separatamente, Ie forze attive F(a) e Ie reazioni vincolari R.
Nelle applicazioni infatti e spesso possibile distinguere operativamente fra Ie
forze dovute ai vincoli ("Ie reazioni vincolari") e Ie forze dovute ad altre cause
("Ie forze attive"). In tali casi. e a priori assegnata Ia legge di forza R 0, almeno,
certe sue proprieta, ed e talvolta addirittura possibile dire che il vincolo e ideate
indipendentemente dalla natura, conservativa 0 no, delle forze attive, adottando
la [3.5.8] come definizione di vincolo ideale.
6 Quest'ultimo nome e riservato alla [3.5.8] nelle sue applicazioni alia statiea: in tali casi
Ia si eonsidera di solito con '11 = 0; vedi nota eonelusiva a p. 233 e osservazione 2 a p. 178.
7 Esercizio. Verifieare questa affermazione, esplicitamente.

176
Capitolo tarzo
Nei prossimi paragrafi vedremo istanze in cui la decomposizione [3.5.10] e ese-
guibile "in modo naturale".
6) La locuzione dell' ultimo capoverso della definizione 8 si giustifica solo se in
termini delle informazioni in essa contenute e possibile ricostruire Ie equazioni di
mota per i moti vincolati: questo e vero ed e il contenuto della proposizione VIII
che segue.
Riservandoci di chiarire il sigilificato fisico della definizione 8 nei prossimi pa-
ragrafi, passiamo ora ad analizzare alcune proprieta dei sistemi a vincoli ideali nel
senso della definizione 8 stessa.
La prima conseguenza degna di nota e la seguente proposizione: "teorema di
conservazione dell'energia per sistemi a vincoli ideali":
VII Proposizione Sia t-+x(t), tEl, un mota di un sistema di N punti in R d ,
di masse mt, ..., mN positive, soggetto a un sistema di s vincoli olonomi ideali e
alia forza attiva F(a) conservativa con energia potenziale V(a)ECoo(R Nd ). Suppo-
niamo che x rispetti i vincoli.
Esiste una costante E tale che
T(t) + V(a)(t) =E, 'Vt EI, [3.5.11]
ove V(a)(t)= V(a)(x(t)) e T(t) e l'energ;a cinetica del mota x all'istante t.
Osservazione. Si noti che la proposizione VII non suppone che la reazione vin-
colare sia conservativa nel senso del paragrafo 3.1, ma "solo" che sia ideale, verifi-
chi cioe [3.5.8].
Dimostraz ion e. E' un'immediata conseguenza del teorema delle forze vive ( 3.2):
la variazione dell'energia cinetica fra gli istanti tie t2 di I e uguale alIa somma del
lavoro compiuto suI mota x dalla forza F(a), che e - (V(a)(t2) - V(a)(t 1 )), e del
lavoro
N t 2 . .
. JR(/)(x(t), x(t)) .x(/)(t) dt
/= 1 t 1
[3.5.12]
compiuto dalla reazione vincolare R.
Ma, per ipotesi, it mota x rispetta i vincoli e, dunque, vale la [3.5.8], che use-
remo con '71 =112 =x(t): cioe illavoro [3.5.12] e nullo e quindi
T(t2)- T(t 1 )= - V(a)(t 2 ) + V(a)(tl)
che implica la [3.5.11].
[3.5.13]
mbe
Di assai maggiore interesse e la seguente proposizione, "principio della minima
azione per moti vincolati soggetti a vincoli ideali":

177
Sistemi a piu gradi di liberti
VIII Proposizione Si consideri un sistema di N punti materiali in R d , di masse
mt, ..., mN positive, soggetto a s vincoli olonomi ideali <p(I), ..., <p(s) e alia forza at-
tiva F(a) conservativa e di energia potenziale V(a)ECoo(R Nd ). Si denoti con R la
reazione vincolare.
L 'azione di lagrangiana
!e(ll, E, t) = _ 2 1 . mj(f,<i»2 - V(a)(t)
}=1
[3.5.14]
(1) (s)
e stazionaria in JIIi t' ..., I{) (h 2 ) sui moti di questo insieme generati dalla leg-
l' 2
ge di forza F(a)+R =F.
Inoltre, sia t  x (t), t E R+, un mota del sistema che si svolge sotto l'azione del-
fa forza F, rispettando i vincoli. Dato t 1 E R+, esiste t >t 1 tale che, se t 2 E [t 1l t],
(1) (oS')
l'azione di fagrangiana [3.5.14] e localmente minima inJII, t;".' I{) (x(t 1 ), x(t 2 ))
( 1) (s)
sui mota x, osservato per tE[t}, t 2 ] e pensato come elemento diJII, t;.'" I{) (x (t 1 ),
x(t 2 )).
Osservazioni
1) L'importanza di quest a proposizione sta nel fatto che, se usata oculatamen-
te, permette di "eliminare" i gradi di liberta ridondanti per la, presenza dei vincoli.
Supponiamo di essere in grado di trovare N funzioni su R I a valori in R d :
Q=(al, ..., al)-+ X(i)(a)=X(i)(al, ..., al)
i= 1,2, ..., N di classe Coo e tali che, \faE R l ,
<p(j)(X(a))=O j= 1, ..., s,
[3.5.15]
[3.5.16]
ossia tali che l'immagine di R 1 per la trasformazione [3.5.14] sia un insieme di R Nd
che, automaticamente, "verifica i vincoli".8 (1) (oS')
Supponiamo anche di sapere che it mota X EJlti t' ..., I{) (b 2), che ricerchia-
l' 2
mo e che si svolge sotto l'azione della forza F, sia rimmagine in R Nd di un mota
a, svolgentesi in R 1 in JIlt!, t 2 (a(tt), iz(t 2 )), via la trasformazione [3.5.15].
E' chiaro che l'azione A(x) di lagrangiana [3.5.14] PUQ essere calcolata sui mo-
(I) (oS')
ti xEJII, t 2 '.'" I{) (t, 2), che sono immagini, via la [3.5.15], di moti
aEJll t !, t 2 (a(t 1 ), iJ(t2)) in R 1 , come A(a), ove A e l'azione su JIlt!, t 2 (0(tl)' 0(t 2 ))
di lagrangiana:
"- 1 N t 1 ax (j) ) 2
!E (, Q) = _ 2 . mj  a (a) (jk - V(a)(X(a»;
J=1 k=1 ak
[3.5.17]
8 Ad esempio nel easo del punta materiale vineolato alIa eurva del  3.4, si puo prendere
1= 1 e Q-+x(Q)=t(o:), o:E R, e il parametro Q ha l'interpretazione di aseissa eurvilinea.
Questa ipotesi suppone in altri tennini la "piena eomprensione" della struttura dei vincoli.

178
Capitolo terzo
vedi paragrafo 3.4, [3.4.5]. (1) (.\1
Poiche A e, per la proposizione VIII, stazionaria su x in At<P t ' ..., <P (b 2),
 l' 2
si avra che A e stazionaria su 0 in tutto At t (0(t 1 ), 0(t2 )), che e un insieme di
l' 2
moti senza vincoli alcuni e quindi, per la proposizione IV, paragrafo 3.3 questo si-
gnifica che:
dd t (: ((t), O(t)) =  (a(t), o(t» [3.5.18]
i=l, 2,...,1 e tE[t 1 , t 2 ].
Le [3.5.18] forniscono 1 equazioni per Ie 1 funzioni incognite t -+Oi (t), i = 1, 2, ...,
1, t E [t 1, t 2 ]: queste sono Ie equazioni del mota per Ie coordinate essenziali, una
volta eliminati i gradi di liberta resi inessenziali dalla presenza dei vincoli.
E' importante, anzi fondamentale, rendersi conto della differenza fra Ie consi-
derazioni di questo paragrafo e quelle, apparentemente simili, del paragrafo 3.4
(pp. 169 7 172 sgg.): quelle infatti si svolgevano sotto l'ipotesi che la forza F fos-
se conservativa nel seno del paragrafo 3.1! Illettore si rendera conto, dopo qual-
che esercizio, dell'enorme semplificazione che Ie [3.5.18] comportano rispetto al
procedimento di scrittura delle equazioni del mota in coordinate cartesiane segui-
to dalla eliminazione delle reazioni vincolari e delle coordinate ridondanti: in mol-
ti casi, si pensi a un corpo rigido, N puo essere enorme, ma 1 molto piccolo.
2) Conviene spendere qualche parola per spiegare il perche del nome di "prin-
cipio" dato alla proposizione VIII e usato, come in molte altre occasioni (principio
di D' Alembert, dei lavori virtuali ecc.), quasi sempre in occasione di definizioni 0
di teoremi.
Questi nomi hanno un'interessante ragione storica: illettore non deve credere
che la discussione delle leggi della meccanica e la trattazione di tutti i problemi
meccanici mediante l'applicazione dell'equazione f= m D, e degli altri due principi
della meccanica, ai punti materiali nei quali si pUO idealmente pensare di decom-
porre un sistema, sia sempre stato un procedimento ovvio, dall'opera di Newton
in poi. Come si e gia accennato, Newton stesso non pervenne in modo chiaro a
questa conclusione, tanto che nella studiare i moti rigidi ricorse ad argomenti di-
versi dal metodo moderno basato sulle equazioni cardinali.
Sia prima di Newton che dopo, i filosofi erano abituati ad affrontare i problemi
meccanici sulla base di ipotesi speciali, "principi", che venivano da loro considera-
ti di portata piu 0 menD generale e che spesso era poco chiara.
Le equazioni di Newton 0, meglio, i suoi principi, possono essere considerati
come appartenenti alIa classe di questi principi e furono, inizialmente, specialmen-
te adattati alla teoria del mota dei corpi celesti. Parallelamente ai tre principi chia-
ramente formulati da Newton, per primo, esistevano gia, piu 0 menD chiaramente
formulati, almeno in molti casi particolari, i principi dell a conservazione dell'ener-
gia (per sistemi semplici e risalente almeno a Huygens), della conservazione della
quantita di mota (risalente almeno a Cartesio); it principio dei lavori virtuali era

179
Sistemi a piu gradi di liberta
da tempo utilizzato in problemi di statica (Del Monte, Galilei, Stevino)...
A questi principi, ora accennati, se ne possono aggiungere molti altri inventati
per trattare problemi meccanici piu complessi in anni successivi alI'opera di Newton.
Con Ie ricerche di Eulero ha, forse, inizio la sintesi di tutti questi principi ed il
riconoscimento che tutti possono essere dedotti e unificati a part ire dai principi di
Newton e, cosa spes so non sufficientemente posta in luce, ad essi equivalenti alme-
no se interpretati opportunamente (e probabilmente al di la del significato e dei li-
miti loro attribuiti dai fondatori). 9
Torniamo ora alIa dimostrazione della proposizione VIII:
(1) (s)
Dimostrazione. Sia x EJlttl(J t ,..., I(J (b 2 ) = JIt un moto che si svolge sotto
l' 2
l'azione di F=F(a) + R. L'azione di x relativa alIa lagrangiana [3.5.14] e:
t i N m. }
A(x)= J  -L (i (j)(t))2 - y(a)(x(t)) dt.
t J= 1 2
1
[3.5.19]
Sia y E "f/;(JIt) e calcoliamo la derivata rispetto a E della funzione A (y €). Se si
pone (vedi definizione 5) z(t)= : (t. O)=(z(1)(t), .... z(N)(t)). tE [tt. t2], si ha
z(t 1 )=Z(t2)=O e
d r 2 N { . . a y (a) . }
- A ( Y € ) = J L m j X C' ) (t) · z (J ) ( t) - . (x ( t)) 0 z (J ) ( t) d t [3.5.20]
dE €=O t j=l aE(J)
1
Integrando per parti i termini che, nell'integrando di [3.5.20], contengono z (j), si
deduce, usando z(t 1 )=Z(t2) =0:
d t 2 N { . a y (a) } .
-A(y€) =-J L mjx(J)(t)+ . (x(t)) oz(J)(t)dt
dE €=o t 1 j=l a(J)
[3.5.21]
Le equazioni del mota sono:
. aV(a) .
m.x(J)(t)=- . (x(t))+R(J)(x(t) x(t))
J a (J ) ,
[3.5.22]
e, dunque, non si puo concludere che il secondo membro di [3.5.21] e nullo, ma
solo che
t 2 N
-..!..A(y€) =-J  RU)(x(t).x(t)).zU)(t)dt.
dE €=O t j=l
1
[3.5.23]
Pero la [3.5.8] permettera di concludere che, 'fiT E [t., t2]:
 R(j)(x(r), x (r)) . z(j)(r) = 0
j=l
[3.5.24]
9 Vedi nC'i-a eonelusiva alle pp. 153, 233.

180
Capitolo tarzo
se potremo mostrare che esiste un mota definito per t  T e compatibile con i vin-
coli che, all'istante T si trova in x(r) con velocita Z(T).
Tale mota esiste e per costruirlo si e (vedi la defmizione di z) tentati di porre
ty(r, t-T): questa posizione defmisce una funzione di t, per t-TE(-I, 1), che
per t = r ha appunto derivata Z (r) e, poiche y E (JI1), verifica i vincoli. Rimane
il problema, "banale e irrilevante", di definire il mota per t >T + 1.
Poiche quello che interessa e la velocita all'istante r, il modo piu conveniente
e di modificare un po' la defmizione per t - r < 1 in modo da non modificare la
velocita all'istante T ma, al tempo stesso, avere una defmizione del mota per ogni
tT: sia XECOO(R) una funzione che vale 1 nell'intorno dell'origine e zero fuon
di [-1, 1]. Si ponga x'(t)= y (r, (t- T) X(t- r)), tE R; e chiaro che tx'(t), tE R,
rispetta i vincoli e inoltre x'(r)=z(r).
Non dimostreremo la pro prieta di minima locale, perche la dimostrazione, pur
lunga, si basa sulle stesse idee dell'analoga gia vista al paragrafo 2.24 (oltre che,
natural mente, sulla [3.5.8]) e non dovrebbe presentare particolari difficolta. La
lasceremo allettore come stimolante esercizio.
mbe
3.6 Vincoli ideali reali
La discussione del paragrafo 3.5 e, in larga misura, insoddisfacente. La nozione
di vincolo Ii usata e, infatti, stata data su base puramente matematica e non e af-
fatto chiaro di che cosa i vincoli ideali e non ideali costituiscano un modello mate-
matico.
In questo paragrafo, e nei successivi, modificheremo radicalmente il punto di vi-
sta e faremo vedere che un vincolo ideale, per N punti materiali, pub essere anche
pensato come un caso limite di opportuni campi di forza conservativi assai forti
che obblighino Ie traiettorie del sistema a svolgersi su certe superfici di R Nd 0 nel-
Ie loro immediate vicinanze.
Da un punta di vista fisico si pensa sempre a un vincolo come a un complesso
di forze agenti su un sistema di punti materiali e dovute alloro tentativo di defor-
mare certi ostacoli: tali tentativi provocano deformazioni elastiche impercettibili 0,
meglio, trascurabili ai fini delle osservazioni che ci interessano e che impediscono
che Ie deformazioni stesse divengano grandi.
Si pensi a un punta vincolato su un cerchio 0 su una superficie, ovvero si pensi
a un sistema rigido.
Si noti anche, e proprio il caso di sottolinearlo, che l'elegante teoria del para-
grafo 3.5 e totalmente inutile: i vincoli, ora, sono solo tali in un senso approssi-
mato e non sono quindi del tipo Ii considerato.
La questione che piu ci interessa in questo contesto e se Ie soluzioni delle equa-
zioni che si ottengono minimizzando l'azione di lagrangiana [3.5.14] sui moti vin-
colati da s vincoli olonomi I.p(l), ..., I.p(s) (vedi definizione 8,  3.5) forniscano 0 me-

181
Sistemi a piu gradi di liberta
no buone approssimazioni del mota reale sotto l'azione dei vincoli (necessariamen-
te tali solo in senso approssimato) reali.
Questo problema ha davvero interesse per la fisica e Ie applicazioni, a differen-
za del problema animante it paragrafo 3.5, che, astrattamente, ricercava una defi-
nizione di vincolo perfetto che desse luogo a una condizione sufficiente perche Ie
equazioni del mota si ded ucessero dal principio di minima azione, associato alIa
lagrangiana [3.5.14], per i moti vincolati dai vincoli I.{)( 1), ..., '-P(S) (vedi proposizio-
ne VIII,  3.5).
Per comprendere meglio 10 spirito e it significato delle varie definizioni e propo-
sizioni che seguiranno, conviene analizzare un caso semplice ma assai significativo.
Consideriamo un punta materiale di massa m >0 in R 2 e supponiamo che sia
2
soggetto a una forza elastica di energia potenziale V(a)= m;, (x 2 + y2) e a una
forza di richiamo all'asse y =0 conservativa di energia- potenziale:
1 2
A W(x, Y)=T m AY .
[3.6.1]
Consideriamo i moti del punta sotto l'azione della forza di energia potenziale:
1 1
V(a) + X w= 2 m W 2 (X 2 +y2) +2 m Xy2.
[3.6.2]
E' chiaro che, se A e molto gran de , una tale forza simula, in un senso da chiarire,
un vincolo alIa retta Y = O. Per capire questa affermazione studiamo i moti che han-
no inizio sulI'asse Y =0 e che si svolgono sotto l'azione della forza descritta dall'ener-
gia potenziale [3.6.2].
Le equazioni del mota sono:
m x = - w 2 m x
my=-w 2 my-mAY
x(O)=xo, x(O)=vo, y(O)=O, Yo=wo
[3.6.3]
e, per fissare Ie idee, supponiamo Xo > O.
Per la lara estrema semplicita Ie [3.6.3] possono essere risolte in modo elemen-
tare: se t(x,(t)'Yi\(t)), tER, denota it mota soluzione, per tER, di [3.6.3]:
( 7J2 ) 1/2
X1l.(t)=\+ :2 cos(wt+lpo)
Wo
Y ( t ) - sin ( A + w 2 ) 1/2 t
i\ - (A + w 2 )1/2
[3.6.4 ]
Vo
I.{)o = arctg - .
wxo

182
Capitolo terzo
Si vede aHora che illimite per X-+oo del moto [3.6.4] e il mota t-+(x(t),y(t)), ove
( v 2 ) 1/2
X(t)=\+ :2 cos(wt + lJ?o)
yet) - 0
[3.6.5]
qualunque sia Wo: e, come e immediato verificare, proprio la soluzione delle equa-
zioni che si ottengono imponendo, secondo la proposizione VIII ( 3.5), la stazio-
narieta sui moti vincolati dal vincolo olonomo ideale 2 = 0 dell'azione di lagrangiana:
 _ m(17 +11;) _ 2 i + 
2(111, 112, 1, 2, t)- 2 mw 2
[3.6.6]
In base all' osservazione 1 alla proposizione VIII ( 3.5), queste equazioni coincido-
no con Ie equazioni per i moti t -+ x (t), t E R+, in Riche rendono stazionaria la
"lagrangiana vincolata" (vedi [3.5.17]):
1 2 w 2 2
2" m 111 -m 2 1
[3.6.7]
che e quel che diviene nel nostro caso la [3.6.6] imponendo il vincolo.
E' interessante osservare che piu il vincolo approssimato realizzato dalla [3.6.2]
e "rigido", cioe piu X e grande, e piu Ie deviazioni dal mota che rispetta i vincoli
1
sono piccole (lYxI   per A grande, vedi [3.6.4]). AI tempo stesso, pero, la
coordinata YA (t), che rappresenta appunto la violazione del vincolo, oscilla sempre
piu rapidamente: Ie sue vibrazioni hanno infatti frequenza
V A =
(A + w'" )1''''
21T
[3.6.8]
Queste oscillazioni piccolissime, ma di frequenza enorme ("vibrazioni di fatica"
del vincolo) forniscono una buona rappresentazione intuitiva dell'effetto di un vin-
colo ideale approssimato suI mota di un sistema: si potra in generale pensare che
un sistema di N punti materiali soggetto ad uil vincolo approssimato ide ale si muo-
va come se fosse sulla "superficie"  C R Nd definita dal vincolo e con piccolissime
escursioni ortogonali a  descritte da moti oscillatori di ampiezza assai piccola, ma
di frequenza enorme. Sulla base di questa discussione appare naturale la seguente
definizione:
9 Definizione Dato un sistema di N punti materiali di masse mb ..., mN in R d
sia  C R Nd un insieme chiuso e sia W una funzione di classe Coo che /za su  un
minima in senso stretto: cioe  e illuogo dei punti  E R Nd tali che W() = 0 e
VEf: si ha W(E»O (se, come supporremo, il valore del minimo di W e nullo).
Diremo che la legge di forza conservativa di energia potenziale:
E-+X Wee) EE R Nd
[3.6.9]

183
Sistemi a piu gradi di libertS
e un modello di vincolo conservativo approssimato di struttura W e rigidita X, X> 0,
relativo alla regione .
Denoteremo tale legge di forza con il simbolo (, W, X). Se  e una ipersuper-
ficie regolare di dimensione 1< Nd diremo che il modello di vincolo (, W, X) e
un "vincolo bilatero approssimato di dimensione I" 0 "di codimensione Nd-l':
Osservaz ion e.  PUQ in generale essere dotato di punti interni: in tal caso si di-
ce che [3.6.9] e un modello di "vincolo unilatero".
E' opportuno ricordare la nozione geometrica di superficie regolare in R Nd :
10 Definizione Sia (3:E:(f3) una funzione definita su un insieme aperto con-
vesso n di R d a valori in un intorno U C Rd. Supponiamo che Z sia di classe Coo
e invertibile come trasformazione di n in U e, inoltre, supponiamo che :a: sia non
ngolare, cioe tale che la matrice jacobiana J((3) definita da:
a .
l
Iij (13) = a(3j ( (3)
abbia determinante mai nullo in n.
Diremo che Z "stabilisce un sistema di coordinate regolari su U" e, se  =Z(P),
si dira che f3 Ene la coordinata di  nel sistema di coordinate associato a :a: su U.
Denoteremo il sistema di coordinate ora descritto con il simbolo (U, Z), e n sara
chiamato la "base" del sistema di coordinate.
Un insieme  C R d si dira "superficie regolare di dimensione s" se, per ogni
o E  e possibile trovare un intorno U 0 e un sistema di coordinate locali regolari
(U o , :a:) con base no tali che i punti di  n U o siano tutti e soli i punti con coor-
dinate (3= (l, ..., d) tali che
[3.6.10]
 1 = 2 = ... = d - s = 0
[3.6.11]
A volte si dira anche che una superficie , regolare e di dimensione s, e una su-
perficie regolare di codimensione d - s.
Torniamo alla defmizione di vincolo conservativo approssimato. Ci limiteremo,
d' ora in poi, alla esclusiva considerazione di vincoli conservativi approssimati bila-
teri con codimensione s, 0 < s < Nd.
Si consideri un sistema di N punti materiali in R d , di masse ml, ..., mN positive,
soggetto all'azione di una forza conservativa di energia potenziale V(a)E COO(R Nd )
inferiormente limitata, e a un modello di vincolo conservativo approssimato (, W,
X) bilatero l-dilnensionale.
Si supponga che  sia definita da equazioni del tipo
(l)(E)=... = (S')(E)=O
con (i)ECOO(RNd), (it numero s' non e necessariamente Nd-l).
[3.6.12]

184
Capitolo terzo
E' naturale studiare i moti t  x(t), t E R+, che si svolgono sotto l'azione della
forza conservativa di energia potenziale:
 V(a)(E) + A W()
[3.6.13]
e che fanno seguito al dato iniziale xx(O)=o, xx(0)=170 compatibile con i vinco-
H, cioe tale che
oE
[3.6.14]
Ci si chiede se esiste il limite
x(t)= Hm xx(t) tE R+
x +oo
[3.6.15]
Inoltre ci si chiede se tx(t), tE R+, coincide, quando esiste, con un mota che si
svolge sotto l'azione dei vincoli olonomi ideali [3.6.12] e della forza attiva di ener-
gia potenziale V(a\ conformemente alla definizione 8 e alla proposizione VIII del
paragrafo 3.5.
E' facile convincersi che non ci si PUQ attendere, cosi in generale, una risposta
affermativa a questa domanda.
Basta riconsiderare il punta materiale in R 2 , di massa m > 0, vincolato alla retta
2 = 0 e il modello di vincolo (L, W, A) con  = (retta 2 = 0) e, ponendo  1 = X,
2 = y:
m
W(x, y) = 2 y2 (1 + x 2 ). [3.6.16]
Le equazioni del mota analoghe alle [3.6.3] divengono ora
m x = - m w 2 x - A m y2 x
mY=-Amy(1 +x 2 )-mw 2 y
x(O)=xo, x(O)= Vo, y(O)=O, y(O)=wo.
[3.6.17]
Questa equazione e piu complessa della [3.6.3] e ci accontenteremo di discuterla
in modo euristico, non rigoroso.
Sia t(xx(t),yx(t)), tO, la soluzione di [3.6.17]. La conservazione dell'ener-
gia implica che, posta
V5 + w 2
E = m + m w X 2
22 0
[3.6.18]
si ha, VtO:
XX(t)2 + YX(t)2 XX(t)2 + YX(t)2 Am
E=m 2 +mw 2 2 +TYx(t)2(I+x x (t))2
[3.6.19]
Allora [3.6.19] implica:
\xx(t)\, IYx(t)1 <::(2E/m)1/2
[3.6.20]

185
Sistemi a piu gradi di liberti
IXA(t)1 (2E/m W 2 )1/2
I YA (t)1  (2E/m X)1/2
[3.6.21]
[3.6.22]
che si ottengono osservando che tutti gli addendi in [3.6.19] sono non negativi.
Fissiamo aHora un intervallo [0, T] di tempo, e notiamo che la prima delle
[3.6.17] insieme a [3.6.20], [3.6.21], [3.6.22] implica che la funzione xA(t) ha
modulo uniformemente limitato, a1 variare di X> 1, per t E [0, T]. Dunque se T
e "piccolo", si puo pensare che la funzione tXA(t), tE[O, T], sia praticamente
costante insieme aHa sua derivata prima e, aHora, si pub porre euristicamente
xA(t)=xo, tE [0, T], nella seconda equazione delle [3.6.17].
Con questa approssimazione la [3.6.17] diviene "risolubile elementarmente":
YA (t) :::: wo(w 2 + X(1 + X ))-1/2 sin(w 2 + X(1 + X ))1/2 t
[3.6.23]
che fa vedere che, almeno se tE [0, T], YA(t) varia, molto velocemente se X e gran-
(w 2 + X(1 + X ))1/2
de, con frequenza vA  2 pur mantenendosi piccolo (per [3.6.22]
1 n
 ....ri: ).
Poiche, come si e visto, xA(t) varia invece lentam ente, p otremo sostituire, nella
prima delle [3.6.17], a XY(t) il suo valore medio XYA(t)2 fra 0 e t, se t e grande
rispetto al tempo caratteristico Tl., della variazione di Y A , A :::: :rx ):
t 2
X J Wo 2
X y (t)2 :::: - (sin(w 2 + X(1 + x ))1/ 2 r)2 dr =
A t 0 (w 2 +X(1 +X)) 0
X w [ 1 t(W1+A(1+X»111 J
= sin 0 2 dO
w2+A(1+x) t(d+A(1+XWI2 i () ,
[3.6.24 ]
ove si e usata la [3.6.23] e si e posto 8 =r(w 2 + A(1 +XW/2 =21T  . Poiche t
si suppone ;» T A = 2 21T 2 1/2 ' l'integrale nella parentesi quadra in [3.6.24]
(w +X(I+xo))
pub essere sostituito da:
1 R 1
lim R J sin 2 0 dO = _ 2 .
R-.oo 0
[3.6.25]
Quindi:
1 Xw
AYA(t)22 W2+A(1+X)
1 w
-
2 (1 +x)
[3.6.26]
se X e abbastanza grande.
Eseguendo allora nella prima delle [3.6.17] la sostituzione XYA(t)2 -+ XYA(t)2,

186
Capitolo terzo
si ottiene
2
WOm
m X = - m W 2 X - X
A A 2(1 +X) A
per t nell'intorno di 0 (ma t T'J.
Per t arbitrari un simile argomento suggerisce che, in generale, l' accelerazione
ix dovrebbe essere tale da verificare I'equazione:
[3.6.27]
2
mwo
m X = - m w 2 x -
2
x
1 +X2
[3.6.28]
Quindi it modello di vincolo alIa retta y = 0 e di struttura [3.6.16] non da luogo,
nellimite X  00, a moti che si svolgono sotto I'azione del vincolo ideale y = 0 e la
1
forza attiva di energia potenziale V(a)(x)= T m w 2 x 2 , come ingenuamente ci si
sareb be potuto attendere.
Bens! si PUQ pensae che il moto, limite per X  00 di xx, sia un mota soggetto
a1 vincolo ideale y = 0 e alIa forza attiva di energia potenziale
2
2 wom
V'(a)(x)= m w x 2 + log(l +X2),
2 4
[3.6.29]
che ha la spiacevole caratteristica di dipendere dalla velocita iniziale Wo trasversale
a1 vincolo.
Si pub allora pensare, in generale, che un modello di vincolo conservativo bila-
tero dia luogo, nellimite di rigidita infinita, a moti che si svolgono rispettando i
vincoli e come se i vincoli fossero ideali, ma sotto l'azione di una forza attiva mo-
dificata rispetto a quella, di energia potenziale V(a\ che ingenuamente si potrebbe
ritenere essere la "forza non vincolare". In generale, cioe, la struttura W dei vincoli
ha influenza, pur se X e grande, e contribuisce alle forze attive in modo che pub
anche dipendere dai dati iniziali 0 meglio "dalle sollecitazioni iniziali sui vincoli
stessi" (come nel caso ora esaminato la forza attiva [3.6.29] dipende da wo, velo-
cita ortogonale al vincolo per t = 0).
Questa congettura, 0 meglio abbozzo di congettura, getta luce sulla distinzione
un po' formale del paragrafo 3.5 tra forza attiva e reazione vincolare.
Nei prossimi paragrafi affronteremo questioni legate ai seguenti problemi:
1) Quali condizioni occorre ancora imporre a un modello di vincolo approssima-
to (, W, X) affinche it mota tXA(t), tto, che si svolge sotto I'azione della
forza di energia potenziale
V(a)+Xw
[3.6.30]
ove V(a) e una funzione di classe Coo su R dN , e segue il dato iniziale
X(O)=EoE, x(O)=flo
[3.6.31]
sia ben approssimato dal mota che si svolge sotto l'azione della forza attiva di

187
Sistemi a piu gradi di liberti
energia potenziale y(a) e dei vincoli ideali c.p(I), ..., c.p(S')IO e segue il dato iniziale
x(o)=o, x(o)='1, ove f'I e una opportuna "proiezione di 170 su "?
In altre parole, quando un modello di vincolo approssimato conservativo e ben
approssimato da un modello di vincolo ideale, nel senso della definizione 8 ( 3.5),
con la identificazione "ingenua" delle forze attive?
2) Se (, W, X) e un modello di vincolo approssimato conservativo bilatero l-di-
mensionale, e vero che it mota che si svolge sotto l'azione della forza di energia
potenziale [3.6.30] con dato iniziale [3.6.31] e ben approssimato, per X OO, da un
mota che si svolge sotto l'azione dei vincoli ideali c.p(I), ..., c.p(s') e di una forza atti-
va conservativa di energia potenziale Y '(a) in generale diversa da Y (a) e 110 -dipen-
dente?
3) Nella stessa situazione e se 110 e opportuno, cioe se 110 =1l (vedi (1)) e vero
che y,(a)= y(a)? Come nel caso prima esaminato euristicamente del vincolo alia
retta y = 0 generato da [3.6.16] quando Wo = 0 (vedi [3.6.17], [3.6.29]).
Affronteremo con un certo impegno solo it problema (1) cui ci riferiremo co-
me al problema della ricerca di "condizioni sufficienti di perfezione" per vincoli
bilateri approssimati conservativi.
Sara utile, all0 scopo, approfondire la cinematica dei sistemi di punti materiali
soggetti a vincoli: a questo studio di carattere puramente geometrico, e assai sug-
gestivo per i suoi ovvi legami con la geometria differenziale, dedicheremo it pros-
simo paragrafo.
3.7 Cinematica dei sistemi quasi vincolati. Rifonnulazione del problema dei
criteri di perfezione di vincoli conservativi approssimati
In questo paragrafo considereremo R Nd come uno spazio vettoriale in cui il
prodotto scalare fra due vettori =((l), ..., (N») e X=(X(l), ..., X(N)) e defmito da:
 m. (i). X(i)
. I ,.
1= 1
[3.7.1]
ove m I, m2, ..., mN sono numeri > O.
La lunghezza di un vettore e allora
IIII =(1 mi((i»)2)1I2.
[3.7.2]
Queste posizioni, che a prima vista possono lasciare perplessi, consentono di dire
che l'energia cinetica di un mota tx(t), tto, di un sistema di N punti materia-
Ii di masse mt, ..., mN e:
10 Si suppone qui ehe  sia individuata dalle equazioni Ip(I)<t)=...=Ip(S')(f)=O; vedi defi-
nizioni 7 e 8 (pp. 173 sg.) per i1 signifieato preciso di questa frase.

188
Capitolo tarzo
1
T(t) = 2 IIx(t)1I 2 ,
[3.7.3]
cioe e la meta del quadrato della lunghezza della velocita del punta che in R Nd
rappresenta la configurazione del sistema, senza esplicito riferimento aIle masse
(che, pero, compaiono nella definizione di lunghezza [3.7.2]).
Sia ora (U, Z) un sistema di coordinate regolari locali in R Nd e sia t --+- x(t),
tto, un mota di un sistema di N punti materiali, di masse m., ..., mN positive,
che, per tE[tt, t 2 ], ha luogo in U.
Possiamo allora considerare il mota t--+-b(t), tE [tt, t 2 ], "immagine" in n del
mota t--+-x(t), tE[t l , t 2 ], in U, via il sistema di coordinate (u, Z): cioe il mota
tale che
x(t)=Z(b(t)) tE[tt, t 2 ]
[3.7.4]
E' ovviamente possibile esprimere l'energia cinetica del mota x in termini di pro-
prieta cinematiche del suo mota immagine b. Infatti, scrivendo Z= (:;:(1), ..., Z(N»)
e differenziando [3.7.4] rispetto a t:
X (j)(t) = 1V£ 3:;n (b(t)) bl(t)
1= 1 1
ove x(t)=(x(t)(t), ..., x (N)(t)), b(t)=(b 1 (t), ..., bNd(t)) secondo Ie solite natazioni.
Quindi:
[3.7.5]
1 N ( . )
T(t)=- L m.(x J (t))2=
2 . J
J=1
1, Nd N mj ( a(j) a(j)  . .
= L L _ 2 3(3 (b(t)). a(3 (b(t)). bl'(t) b,"(t)
1', 1" j= 1 l' I"
[3.7.6]
che scriveremo:
1 1, Nd ..
T ( t) = - L gl' 1" (b (t)) b l' (t) b I" (t),
2 1', 1"
[3.7.7]
ave abbiamo posto, per (JE n:
N az(j) az (j)
gl' l" ( (3) = j 1 mj 3(31' «(3) · 3(3l" (P)
[3.7.8 ]
1', 1" = 1, 2, ..., Nd.
Vista la generalita di [3.7.7] conviene definire in generale la [3.7.8] pensata co-
me funzione su n a valori nello spazio delle matrici Nd XNd:
11 Definizione La funzione (J--+- g(P), definita su n e a valori nello spazio delle
matrici Nd XNd, definita da [3.7.8], si chiamera la "matrice cinetica" per il pro-
dotto scalare [3.7.1], ovvero, equivalentemente, per un sistema di N punti materia-

189
Sistemi a piu gr.1i di liberti
Ii in R d di masse m}, m2, ..., mN, positive, "relativa al sistema di coordinate (U, :E)
loeali regolari in R Nd ,:
Osservazioni
1) Via la [3.7.7] la matrice cinetica consente di calcolare l' energia cinetica in
coordinate locali arbitrarie, donde il nome.
2) Elencheremo e discuteremo Ie proprieta piu notevoli della matrice cinetica
alIa fine di questo paragrafo: per ora ci contentiamo di notare che gli elementi di
matrice di g pensati come funzioni su n sono funzioni di classe Coo.
Per 10 studio della cinematica dei sistemi quasi vincolati toma utile la seguente
definizione, puramente geometrica:
12 Defmizione Sia  una superfieie regolare di eodimensione s in R Nd e sia U
un intomo di un punto eo E  sui quale e definito un sistema di coordinate (u, :2:),
con base n, regolari e "adattato" a , eioe tale ehe  n U sia nel sistema (U, :2:)
deseritto dalle
{3 J.  {32 = ... = (3s = 0;
[3.7.9]
a) diremo ehe (U, :2:) e "ben adattato" a  se la matriee einetiea per il prodot-
to sealare [3.7.1] assoeiata a (U, :€) ha il primo minore prineipale di ordine s eo-
stante sull'iperpiano [3.7.9]: eioe, se per P = (0, 0, ..., 0, (3s+., ..., (3Nd) En si ha:
'tI1', I" = 1, ..., s,
gl' 1" ((j) = gl ' I" (0, ..., 0, {3s + b ..., (3 N d ) = 'Yl' 1" ,
[3.7.10]
ove 'Y = ( 11 ' I" ) I', 1" = I, ..., s e una matriee s X s indipendente da (l
b) Diremo ehe (U, :2:) e "ortogonale" su  rispetto al prodotto sealare [3.7.1]
se e adattato a  e se 'tip = (0, ..., 0, (3s+ b ..., (3Nd) En:
glk (/3) = 0 1= 1, 2, ..., s; k = s + 1 , ..., N d .
[3.7.11]
Osservazioni
1) Se tx(t), tER+, e un mota che a un dato istante 7 si trova in un con
velocita x(l) "puramente trasversale" a  nel sistema (U, :2:), cioe tale che it mo-
to b, immagi!1e di x in n, per t vicino a t, via il sistema di coordinate (u, :a:), ab-
bia velocita b (7) con componenti relative a  nulle:
b (t) = (b l (t), ..., b s (I), 0, ..., 0)
[3.7.12]
e se il sistema di coordinate (U :2:) e bene adattato a , allora I'energia cinetica di
x all'istante t dipende solo da b 1 (t), ..., b s (l) e non dalla posizione b (t) (ossia
di xC!) su  n U).
2) Se it sistema di coordinate e ortogonale su , I'energia cinetica di un mota
t x(t) che per t= t attraversa  e, in questo istante, somma di due termini: l'uno
dipende solo da b l (t), ..., b s (7), oltre che da b (1), l'altro solo da b s + I (t), ...,

190
Capitolo terzo
b NdCt), oltre che da b (f):
1, S ..
T 1 (f)= L g[' l"(b(f)) bl'(f) bl"(f)
[',I"
s+Nd ..
T 2 (f) = L gl' ["(b (f)) b['(f) bl"(f)
1',1"
[3.7.13]
e T(f)=T 1 (f) + T 2 (f). Si pub cioe dire che per t=f l'energia cinetica e somma
dell' energia cinetica della componente del mota ortogonale aLe dell' energia cine-
tica della componente parallela a L, in questo sistema di coordinate.
3) A pensarci diviene geometricamente intuitivo che, se L e una superficie re-
golare in R Nd e o E, e sempre possibile trovare un riferimento (U, :E:) di coordi-
nate regolari ben adattato a  e, su L, ortogonale e tale che o E U (vedi proposi-
zione XIII che segue).
Le equazioni del mota possono essere immediatamente scritte in un arbitrario
sistema di coordinate in assenza e in presenza di vincoli a mezzo delle seguenti
proposizioni:
X Proposizione Sia V una funzione di classe COO(R Nd ) e inferiormente lim ita ta.
Sia tx(t), tto, un moto di un sistema di N punti materiali in R d svolgentesi
sotto la forza F di energia potenziale V.
Se per tE [t 1 , t2] il moto x si svolge in un intorno U di R Nd sui Quale e stabi-
lito un sistema di coordinate locali (U, :E:) con base n, il moto b, immagine del
moto x considerato per t E [t t, t 2] in n verifica Ie equazioni di Lagrange associate
alia lagrangiana:
Nd 1
(0, 13)  !E(a, (3) = L - gl' ["((3) (Xl' (Xl" - V(:E:((3))
I' ["=1 2
,
[3.7.14]
ove aER Nd , (JEn 11 e g e Ia matrice cinetica di [3.7.1] relativa a (U, :E:), cioe:
d d t ( 1 g[['(b(t)) b['(t)\=- ( ov({m ) +
['=1  [13=b(t)
1 N d a g[' [" ..
+ T 1'.7-. = 1 0(3[ (b(t)) b['(t) bl"(t) 1= 1, 2, ..., Nd.
[3.7.15]
11 Se (ct, jj)  !fJ(ct, (j) e una funzione definita su un insieme aperto W di R 2M e di clsse
COD, a valori reali, si dinl ehr una funzione tb(t), tE [tl' t]], di elasse Coo e tale ehe (b(t),
b(t) E W, tE [t I' t 2]' verifiea Ie equazioni di Lagrange associate a !fJ se
d ( a!fJ. ) a!fJ .
- - (b(t), b(t) = - (b(t), b(t», i= 1,2, ..., M
dt aai a
anehe se W non coincide con R 2M , come si e supposto finora in eonnessione con l'equazione
di Lagrange; vedi anehe definizione 14 (p. 218).

191
Sistemi a pili gradi di liberta
Dimostrazione. E' questo un facile sercizio che si basa suI principio della mi-
nima azione e vernllasciato allettore.
Inoltre:
XI Proposizione Sia  C R Nd una superficie regolare di codimensione s e sup-
poniamo che  sia illuogo dei punti R Nd tali che
'P(I)()= ...= 'P(S')(E)=O [3.7.16]
ove 'P(I), ..., 'P(S') E COO(R Nd ).
Sia F(a) una legge di forza conservativa per un sistema di N punti materiali in
R d , di masse mt, ..., mN positive, e sia V(a)E COO(R Nd ) la sua energia potenziale,
che suppon-emo limitata inferiormente.
Sia tx(t) E, tE [tt, t2], un moto del sistema che si svolge per tE [t l , t2]
in un intorno U di  sotto l'azione della forza attiva F(a) e del vincolo olonomo
ideale 'P(I), ..., 'P(s) nel senso delle definizioni 7, 8 del paragrafo 3.4.
Se in U e possibile stabilire un sistema di coordinate locali regolari e adattate
a , (U, Z), con base n.. il moto b, immagine in n del moto x osservato per
tE [t l , t 2 ]:
b(t)=:=:-I(X(t)) tE[tl, t2]
[3.7.17]
e tale che:
b l (t) =... =bs(t) = 0 [3.7.18]
e, posto b(t)=(O,..., 0, bS+I(t),..., bNd(t)) = (0, b(s)(t)) il moto tb(S)(t),
tE [t l , t2], verifica Ie equazioni di Lagrange associate alla lagrangiana 20 su
RNd-sX n(S)12 definita da (a, P) .Po (a, ), (a, (J)E RNdX n(s) ove:
1 S+I, Nd
«(t, (l) ="2 ,"i... g['r(O, (l) a[' ar - V(a)(:E:(O, (l)),
1,1
(se 0 e l'origine di R S ) e, cioe, Ie equazioni
 ( 1Y£ gl1"(O, b(S)(t» blf) (t = _ ( a V(a)(Z(O, 6) ) +
dt 1"=s+1  al =b(S)(t)
[3.7.20]
1 s+ I, Nd agl'I" . (s) . (s)
+ - L . (0, b(s)(t)) bl' (t) bl" (t)
2 1', I" a1
[3.7.19]
Vl=s + 1, ..., Nd.
12 n,(S) qui denota l'insieme di R Nd - s dei punti =({3S+I' ..., {3Nd)E R Nd - s tali che
(0, IJ) E n se 0 e l'origine di R S .

192
Capitolo terzo
Dimostrazione. Anche questa proposizione e facilmente dimostrabile come 00-
rollario della VIII ( 3.5) e vernllasciata come importante esercizio.
Grazie alle proposizioni X e XI e aIle definizioni di questo paragrafo possiamo
riformulare e precisare il problema 1 posta alIa fine del paragrafo 3.6. Esso appare
naturalmente connesso alla seguente definizione:
13 Defmizione Sia (, W, A) un modello di vincolo bilatero conservativo di co-
dimensione s e  sia descritta dalle [3.7.16]. Sia yea) una funzione di classe
COO(R Nd ) e inferiormente limitata e sia t --+- x,(t), t E R+, il moto di un sistema di
N punti materiali di masse ml, ..., mN che si svolge sotto l'azione della forea F di
energia potenziale
 --+- v() = V(a)() + A W()
[3.7.21]
e segue il dato iniziale
xx(O)=oE, xx(O)=flo E R Nd .
[3.7.22]
Diremo che (, W, A) e un modello di vincolo approssimato ideale se, comunque
si scelgano yea), to, 110, come sopra
i) Esiste il limite:
lim xx(t) =x(t) 'tit  O.
XOO
[3. 7 .23 ]
ii) La funzione t --+- x(t) e un moto che si svolge su  sotto l'azione delLa forza
attiva F(a), di energia potenziale V(a), e del vincolo ideale a  (nel senso della de-
jinizione 8, 9 3.5).
iii) /1 dato iniziale verificato dal moto x e
x(O)=to, X(O)=fl [3.7.24]
ove 'l e La proiezione ortogonale di flo rispetto al prodotto scalare [3.7.1], sui
piano tangente a  in o.
Osservazioni
1) Se (U, :2:) e un riferimento locale tale che Eo E U e (U, :€) e adattato e orto-
gonale su  si avra, per [3.7.5]
Nd az 0
'70 =.L a Re (130) O:i ,
I = 1 fJl
[3.7.25]
ove 130 sono Ie coordinate di o in (U, :E:) e aE R Nd e un opportuno vettore.
Allora la proiezione 1I e, per defmizione:
 Nd a:e 0
110 = . L a R. (Po) 0: i
1= S + 1 fJl
[3.7.26]

193
Sistemi a piu gradi di liberta
e 1l non dipende dal riferimento scelto (purche adattato e ortogonale).
2) E' chiaro che, per definizione, se (, W, X) e un modello di vincolo ideale
approssimato per un sistema di N punti materiali di masse m1, ..., mN, aHora i mo-
ti del sistema, soggetti alla legge di forza conservativa di energia potenziale Y (a),
sono, per X grande, ben approssimati dai moti dello stesso sistema soggetto a s'
vincoli ideali <,0(1), ..., <,O(S') che individuano , e a una forza attiva di energia po-
tenziale y(a) (nel senso della definizione 8 e proposizione VIII del  3.5).
3) II problema 1 del paragrafo 3.6 (p. 186) e equivalente alla questione seguente:
dato(, W, X) come riconoscere se questie un modello di vincolo approssimato ideale?
4) Se per tE[tt, t 2 ] il mota t-+x(t) si svolge, per X abbastanza grande, in un
intomo U tale che U n  =1= (/J e su U e stabilito un sistema di coordinate locali
(U, :E:) adattato a , i punti (i) e (ii) della definizione 13 sono equivalenti all'affer-
mazione seguente suI mota t-+b"A(t), tErtI, t2], immagine sulla base n di (U, :E:)
del mota x"A osservato per t E [t b t 2 ]:
i 1) esiste il limite
lim b"A(t)=b(t)
"A ---+ 00
[3.7.27]
e ha la forma b(t)=(O, b(s)(t)), 0= origine di R S , b(s)(t)E R Nd - s
li 1 ) t-+b(t) e di classe Coo e verifica [3.7.18] e [3.7.20].
La condizione (iii) e equivalente alla seguente affennazione:
iiit) se o E U e (U, Z) e ortogonale su :
:;(b(O))=o, bi(O)=O i= 1,2, ..., s.
[3.7.28]
Nel prossimo paragrafo discuteremo un importante criterio di perfezione dei
vincoli conservativi approssimati.
Concludiamo questo paragrafo enunciando alcune semplici proprieta delle ma-
trici cinetiche su R Nd , associate alla metrica [3.7.1] in un sistema di coordinate
(U, Z) locali regolari, e accennando inoltre, alla dimostrazione di alcune proprieta
geometriche delle superfici regolari (esistenza di coordinate ben adattate e ortogo-
nali sulle superfici in questione).
XII Proposizione La matrice g«(3) definita in [3.7.6] e, \1(3 E n, simmetrica.e
definita positiva.
Gli elementi della matrice g((3) e di tutti i suoi minori principali e gli elementi
di matrice delle matrici inverse dei minon. principali di g(fj) e i determinanti di tut-
te queste matrici sono, come funzioni di (3 E n, di classe Coo(n). Esiste una funzio-
ne (j-+C(fj), (3En, positil'a ovunque e continua, tale che se p.«(3) e una matrice mi-
nore principale di g«(3), 0 e la matrice inversa di una tale matrice, e ha ordine q si
ha, per ogni a = ( ai, ..., a q ) E Rq:
q 2 1, q q 2
C «(3) L al  L p.1' I" «(3) al' al"  C ( (3) - 1 L al
1=1 1',1" 1=1
[3.7.29]

194
Capitolo terzo
Osservazione. Ricordiamo che una matrice J.l, q X q, si dice defmita positiva se
e sUn1etrica e se
l,q
L J.ll' I" al' aI" > 0 se a * O.
I', I"
[3.7.30]
(Vedi app. E.)
Dim os traz ione. La simmetria di g() (cioe gl' l"()=gl" l'() e evidente dalla
[3.7.8] .
La positivita di g(fJ) segue dalla sua interpretazione cinematica: infatti
1 1, N d
2 :J:,,, gl'I"«(3)al' aI" e l'energia cinetica di un mota che, a un certo istante, si
1,1 . Na a(j)
trova in :E:(If) con velocita X (/) =  ;(3 (If) aI, j = 1, 2, ..., N (vedi [3.7.5]). Se
1= 1 I
0*0, allora x * 0, perche il sistema di coordinate (U, :2:) e regolare (vedi [3.6.10])
1, N d N ( .
e dun que L gl' 1"«(3) al' aI" = L m.(x ]»)2 >0.
I', I" j = 1 J
Dall'algebra e ben nota che la -matrice g«(3) e definita positiva se e solo se sono
tali tutte Ie matrici minori principali di g(lJ) e, in questo caso, anche Ie matrici in-
verse delle matrici minori principali sono definite positive e tutte Ie matrici men-
zionate hanno determinante positivo. Inoltre, se J.l e una matrice positiva q X q,
esiste una funzione positiva e continua C 1 (J.l) degli elementi di matrice di J.l tale che:
q 2 1, q q 2
C 1 (J.l) L al  L J.ll' I" al' aI"  C 1 (J.l)- 1 L al
1 = 1 I', I" , 1 = 1
[3.7.31]
(vedi app. A, E, corollario III ed esercizio a pp. 469, 471).
E' allora chiaro che la proposizione precedente e una immediata conseguenza
di queste pro prieta algebriche e dell'osservazione che tutti gli elementi di matrice
delle matrici menzionate sono funzioni di classe Coo di (3 E n poiche sono ottenuti
eseguendo prodotti e somme di elementi di matrice di g«(3) e, eventualmente, di-
videndo i risultati per prodotti di determinanti di matrici minori principali della
matrice g (che sono positivi per quanta detto prima).
mbe
Vale la seguente proposizione relativa all'esistenza di sistemi di coordinate (u, 2)
ortogonali e ben adattati, rispetto a [3.7.1] e [3.7.6] , a una superficie regolare .
XIn Proposizione Data una mperficie regolare , di codimensione s, in R Nd e
sempre possibile, dato o E , trovare un intomo U di o sui quale sia definibile
un sistema di coordinate locali regolari ben adattato e ortogonale su  rispetto al
prodotto scalare [3.7.1]; anzi si pub fare in modo che la matrice cinetica sia, sui

195
Sistemi 8 piLi gradi di liberta
"
/'
/
/
I
I
,
,
,
,
I
I
I
--- ....... - - - - -
-- ---
,
\
\
\
\
\
\
,
"-
"-
"'-
"-
.....................
------- - - - - ---"
F . 3 1 h d " t ( " 1 ) ,," d " ,
19ura .  a coor Ina e fJ , (3 e (3 = aseissa su  I  .
'"""'"-...............

""'
"
"'-
'U
"
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\
\
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I
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I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
punti della base corrispondenti ai punti di  n U, data da
KIl' = 'Y 1)11' I, l' = 1, 2, ..., s l' > 0
("sistema canonico su ").
[3.7.32]
Dimostrazione. Ne diamo solo uno schizzo lasciando allettore, abbastanza ma-
turo riguardo all'analisi reale e alia geometria analitica, Ia cura di dare una dimo-
strazione completa.
In prima Iettura 10 studente potra evitare di cimentarsi con questo problema,
ma sara conveniente che si faccia un'idea del significato geometrico della proposi-
zione XIII Ieggendo e cercando di capire quanto segue.
Sia Eo E  e U un intomo limitato di o suI quale sia definito un sistema di co-
ordinate regolari Iocali (u, :a:) adattato a : supponiamo, per semplicita, che
:=:-1 (Eo)=O. Costruiremo it sistema di coordinate (U, Z) ricercato facendo in mo-
A
do che UC U.
Questo sistema e geometricamente illustrato nel caso d=2, s= 1 nella figura 3.1.
La costruzione di (U, Z) procede cosi: in ogni punta ' di  n U consideriamo

196
Capitolo terzo
un iperpiano in R Nd ortogonale a  in ' nel senso della ortogonalita associata al
prodotto scalare [3.7.1]. Denotiamo questo iperpiano 1T(').
Fissiamo su 1T(') un sistema di assi cartesiani con versori el ('), ..., es(') mu-
tuamente ortogonali (nel senso del prodotto scalare [3.7.1]).
Scegliamo quest! ass! in modo che i1 punta E'+ei(e'), i=l, 2,..., s, abbia coor-
dinate che siano funzioni di classe Coo delle Nd - s coordinate non banali di E' in
(u, :E:): cioe scegliamo gli assi cartesiani in modo che siano "funzioni di classe Coo
del punta ' E  n U" .
Esiste un intorno U' di o, U' C U, tale che ogni punta t E U' si trova su un
unico piano 1T(E'), con ' opportunamente scelto su  n V'.
Ad ogni pun to E E U' assoceremo, allora, Nd coordinate : Ie prime s, denotate
pl=(l' ..., s), sono Ie coordinate di  nel riferimento cartesiano sui piano 1T(')
che contiene, e Ie rimanentiNd-s sono Ie coordinate "=(S+b".' Nd) con
i =(3;, i=s + 1, ..., Nd, se E' ha in (U, ) coordinate (0, ..., 0, (3S+b ..., (3Nd).
Ad ogni punta E E U' rimangono cost associate Ie coordinate p e si verifica che,
posta E . :€(fj), al variare di E in U', (J varia in un insieme aperto n' C R Nd . Inoltre
la funzione :e e una trasformazione di n' in U' di classe Coo invertibile e non sin-
golare, cioe ha matrice jacobiana con determinante mai nullo su n'.
Sia aHora SNd una sfera contenuta in n' e con centro nel punta i-l(O)=O
e poniamo U='Z.(SNd).
E' chiaro, dalla costruzione, che la coppia fU, E) e un sistema di coordinate ca-
nonico su  con base SNd.
La difficolta della dimostrazione rigorosa sta nel giustificare l'effettiva possibi-
lita delle molte "scelte" fatte nel corso del precedente argomento descrittivo e nel-
la verifica della validita delle affermazioni sulla unicita del piano 1T(t') per  e sul-
la non singolarita della matrice jacobiana:
,.,
j()= a:: (6) ESNd.
al3
[3.7.33]
3.8 Un criterio di perfezione per i modelli di vincoli approssimati
Dedicheremo questo paragrafo a110 studio, interessante anche se un po' comples-
so, della seguente proposizione:
XIV Proposizione Sia dato un siste111ll di N punti materiali di masse mt, ..., mN
positive, e un modello di vincolo conservativo approssimato (, W, X) bilatero e di
codimensione s.
Supponiamo che per ogni  E  esista un intomo U che ammette un sistema di
coordinate (U, :€), con base n, regolare ben adattato e ortogonale su , rispetto
al prodotto scalare [3.7.1], e tale che:
W(Z(I3)) = W «(31, (32, ..., (3s),
[3.8.1]

197
SistBmi a piu gradi di liberti
ove W e un 'opportuna funzionale di COO(R S ) nulla nell'origine e ivi minima in sen-
so stretto e {j=(h ..., S, S+l' ..., Nd)En.
Allora (, W, X) e un modello di vincolo ideale secondo la dejinizione 13 (p. 192).
Osservazioni
1) Abbiamo gia notato alla proposizione XIII ( 3.7) che e sempre possibile tro-
vare un intorno U di Eo E  sui quale si pub stabilire un sistema di coordinate (u, :2:)
ben adattato e ortogonale su  rispetto al prodotto scalare [3.7.1]. In generale pero
la funzione   W(Z()) dipendera da tutte Ie Nd coordinate di pEn e non dalle
sole prime s.
2) Prima di procedere alla dimostrazione della proposizione XIV discutiamo il
seguente esempio.
Esempio. Si consideri il sistema costituito da due punti materiali in R 3 di mas-
se m 1 e m2 e il modello di vincolo definito da
={el=((l), E(2»), IE(1)_(2)1=/}
W(E) =«(1)-E(2»)2 _/ 2 )2
[3.8.2]
[3.8.3]
ove 1>0 e un numero positivo.
Verifichiamo che (, W, X), modello approssimato conservativo per un vincolo
di rigidita, soddisfa Ie ipotesi della proposizione XIV.
Si considerino Ie seguenti coordinate:
1 = It(1)_(2)1-1= p-[ 2 =8 133 =..p
4=(EG)1 s = (EG)2 6=(EG)3'
ove (p, (), <{)) sono Ie coordinate polari del vettore (2)_(1) e EG e il vettore che
individua la posizione del baricentro:
[3.8.4]
ml(l) + m2t(2)
EG= ml+ m 2
E' chiaro che a mezzo delle [3.8.4] e facile stabilire un sistema di coordinate re-
golari locali (U, Z) in un intorno abbastanza piccolo di un qualsiasi punto o E 
tale che () E (0, 17') e <{)E (0, 217') che, evidentemente, per l'arbitrarieta della scelta
degli assi cartesiani per it sistema di coordinate polari non e una reale restrizione
su Eo: questo riferimento e adattato al vincolo .
Facciamo vedere che e ben adattato ed ortogonale: calcoliamo, allo scopo, la
matrice cinetica relativa a questo sistema di coordinate.
Si osservi che:
ml(t(t))2+ m2 (t(2))2=(ml+ m 2)tb+ 7::2 (t( lL t(2»)2 [3.8.6]
[3.8.5]
che segue immediatamente dalle relazioni:

198
Capitolo tBrzo
(1) =G + m2 (E(1)-E(2»)
ml +m2
[3.8.7]
E(2) =G- ml (E(t)-E(2»)
mt+ m 2
quindi, poiche:
(( 1) _ t (2»)2 = p 2 + P 2 (j 2 + P 2 sin 2 ()  2
[3.8.8]
che e evidente se si ricorda che l'elemento di linea in coordinate polari e
dp2 + p2 d8 2 + p2 sin 2 () d<,02 e che (p, (), <,0) sono, appunto, Ie coordinate polari di
E(1)_(2), si vede che [3.8.6], [3.8.8] danno:
mt (E(1»)2 + m'], (E(2»)2 =(ml + m2) (l + i + i) +
2m 1 m", . 2 2 . 2 2 2 · 2
+ + «(31 + (1 + (31) (3'], + (1 + (31 ) sin (32 (33 )
ml m'],
[3.8.9]
che mostra che, su , i1 sistema di coordinate [3.8.4] e ben adattato e ortogonale
2m 1m'],
(Ktt (fJ) = + e mancano nella forma quadratica [3.8.9] i termini misti
ml m'],
1" 1 * 1).
Un altro esempio e il modello di vincolo (, W, X) per un singolo punto mate-
riale in R 3 con = {EIEEa}, ove a e una superficie regolare in R 3 eWe una fun-
zione di classe C-, positiva fuori di a e tale che se  e sufficientemente vicino a a.
ha la forma:
W(E) = ("f · (- E ))2,
[3.8.10]
dove t e it pun to di a piu vicino a  e 'l'f e un versore normale a a in E .
Dimostriamo ora la proposizione XIV:
Dimostrazione. Sia ('10, Eo) un dato iniziale per il dato sistema di punti mate-
riaIL
Fissiamo X 1 e sia V(a)EC-(R Nd ) una funzione reale e inferiormente limitata.
Sia U un intorno di Eo suI quale sia possibile definire un sistema (U, :E:) di co-
ordinate regolari ben adattate e ortogonali su  e tali che valga la [3.8.1]. Sia n
la base di (U, :e) e supponiamo che :::-1 (Eo )=0.
Per semplicita supporremo anche:
- 1 , 2
W«(3t, ..., (3,) = _ 2 .  (3i .
1= 1
[3.8.11]
A dispetto della particolarita della [3.8.11] questa e un'ipotesi che pub essere
facilmente eliminata a prezzo di qualche complicazione formale che in prima let-

199
Sistemi a piu gradi di liberti
tura renderebbe solo piu oscure Ie vere difficolta del problema e del metodo di so-
luzione.
Denotiamo t  x'A (t), t E R+, il moto che il sistema di N punti materiali esegue
sotto l'azione della forza di energia potenziale y(a) + A W a part ire dal dato inizia-
Ie (110, o). Per la conservazione dell'energia si avra:
ove:
N m. C)
il + (X"A' (t))2 + V (a)(X"A(t)) + A W(X"A (t)) =E
E =  mi (,.,i))2 + V(a)(o)
i=1 2
[3.8.12]
[3.8.13]
e indipendente da A perche o E  eWe nulla su . AHora [3.8.13] e la supposta
limitatezza di y(a) implicano, per la [3.8.12] e perche WO:
N m. C )
  (X'A' (t))2E+sup(-y(a)())=C<+00.
i=1 2
[3.8.14]
Se Sf) de nota una sfera chiusa di raggio p, centro o, e contenuta in U, la [3.8.14]
implichen\ che il mota tX'A(t) si svolgera in Sf) per tE[O, T], cioe xx(t) ESp per
t E [0, T], se T e fissato in modo che:
T ' / C <,p.
V-m.ln mj
I
Fissiamo dunque Tverificante [3.8.15] e studiamo il mota tX'A(t), tE[O, T].
Ci limiteremo a dimostrare l'esistenza del limite lim X'A(t)=x(t) e la validita del-
le [3.7.18], [3.7.20] solo per questi valori di t. 'A--++oo
La trattazione del caso generale, cioe t arbitrario, offre alcune difficolta aggiun-
tive e non 10 discuteremo in dettaglio: tali difficolta sono di natura geometrica e
legate al fatto che (U, :::) e un sistema di coordinate locali e non globali.
Per prima cosa mostriamo che il mota tX'A(t), tE[G, T] tende a "schiacciar-
si" su  per A  + 00.
E' questa una semplice conseguenza della conservazione dell'energia e della (so-
la) positivita di W: non dipende dunque dalle ipotesi particolari suHa natura del
vincolo, [3.8.1], ma varre bbe anche per generali vincoli approssima ti conservativi.
Sia tb'A(t), tE[O, T], il mota immagine del mota x A osservato per tE[O, T]
nella base del sistema di coordinate: b'A (t) =:a: - 1 (X'A (t)), t E [0, T]. Riscriviamo la
conservazione dell'energia nelle coordinate locali (U, :2:) usando la matrice cinetica
g l' di q uesto riferimento:
[3.8.15]
1 1, Nd .. ( )
_ 2  gl' 1"(b'A (t)) b'Al'(t) b'Al"(t) + y a (:E:(b'A(t))) +
1',1"
[3.8.16]
+ A 2 .f b"Ai(t)2 =E
1= 1

200
Capitolo terzo
ove si e usata la [3.8.11] per esprimere W. 11 primo degli addendi in [3.8.16] e non
negativo (e, infatti, l'energia cinetica; vedi anche proposizione XII,  3.7]. Quindi
[3.8.16] implica:
( 2C ) 112
IbAi(t)l T i=I,2,...,s.
[3.8.17]
ove C e defmita in [3.8.14].
Dagli esempi discussi al paragrafo 3.6 ci si attende che it moto t  bACt), pur
schiacciandosi su , oscilli molto rapidamente trasversalmente a . Sara quindi uti-
le cercare di stimare Ie velocita bAi(t), i= 1, 2, ..., s, delle coordinate infinitesime.
La [3.8.16] fornisce anche queste stime: per la proposizione XII (p. 193) possiamo
dire che esiste una costante g-l=minimo di C(I3) per 13 tale che Z(fj)ES p ' per cui:
1 Nd. 1 1, Nd ..
- g-1 L (b A /(t))2  - L gl' 1"(bA(t)) bAI'(t) bA/,,(t)
2 1= 1 2 1', I"
[3.8.18]
per tE[O, T]: perche per tali t si ha, per la scelta di T, che xA(t)=(bA(t))ESp.
E allora la [3.8.18] e la [3.8.16] implicano:
IbA/(t)1  Y2Cg 1= 1, ..., Nd; tE [0, T]. [3.8.19]
Utilizziamo ora Ie ipotesi sulla ortogonalita e buon adattamento del sistema di co-
ordinate (U, :2:); se si pone (j=({jv' Iln) con Pv=((31, ..., (3s) e Pn=((3S+b ..., (3Nd), si
ha:
KI'I"(O, I3n) = 0 1= 1, ..., s; l' =s + 1, ..., Nd
(ortogonalita) e:
KI' 1"(0, n) =111' 1, l' = 1, ..., s,
[3.8.20]
[3.8.21]
ove la matrice 1, s X s, e una matrice data ad elementi di matrice costanti al varia-
re di (j,z.
Essendo Ie funzioni gl', 1"(13), (jE [2, di classe Coo si deduce dal teorema di La-
grange-Taylor (vedi app. B), V(l3v' I3n)E [2:
S
gll'(l3v, (jn) = .L g l',j(Pv, (j,z) {3j
J= 1
per 1=1,2,..., s, 1'=s+ 1,...,Nd e, per 1,1'=1,..., s:
[3.8.22]
s
gll'((jv, (jn)=111' + . gl',j(Pv, Pn) (3j
J=1
[3.8.23]
ove gl,l',j((j), (jE [2, sono opportune funzioni in COO(n).
Le [3.8.22], [3.8.23] possono essere sfruttate per scrivere "piu esplicitamente"
Ie equazioni del mota [3.7.15] per Ie sole coordinate "non vincolate", cioe con
indice l=s + 1, ..., Nd; usando la [3.8.1] si ottiene, per l=s + 1, ..., Nd:

201
Sistemi a pili gradi di libertil
d {L s S ..  Nd . 
- d ,L.L gl',j(bA(t)) bAj(t) b A l'(t) + , L gll'(b A (t)) b x l'(t) =
t 1 = 1 J= 1 1 =s+ 1
N aV(a) _ az(k)
= L (k) ((bA(t))). al3 (bA(t)) +
k=1 ae I
1 s+ 1 Nd agl' 1" . .
+ _ 2 1; 3(3 (b7l.(t)) b7l.1'(t) b7l.1"(t) +
1', 1" 1
[3.8.24 ]
 s Nd sag!, I" j ..
+ L L L " (bA(t)) b"Aj(t) bAret) bAl"(t) +
/'=1 l"=S+l j=1 a131
1 S S agl', 1 ", j .. l
+ 2 1',  = 1 j 1 3(31 (b71. (t» b7l.j(t) b7l.1'(t) b7l.1"(t)J
ove abbiamo posto in parentesi quadra i termini che dovrebbero tendere a zero
per A+oo affinche Ie [3.8.24] divengano, almeno formalmente, Ie [3.7.18],
[3.7.20] in questo limite, come voluto dalla definizione di idealita del vincolo.
Nelle [3.8.24] non appaiono contributi di W, perche, per ipotesi, W(Z(I3)) di-
pende solo da 131, ..., s e non appare quindi nelle equazioni con indice superiore as.
Si noti che nella [3.8.24] ogni termine in parentesi quadrata contiene solo ad-
dendi proporzionali ad almeno una delle prime s coordinate che, per [3.8.17], so-
no infinitesime per A  + 00 uniformemente in tE [0, T]. I coefficienti, in [3.8.24],
di tali coordinate sono uniformemente limitati in A perche it mota si svolge per
tE [0, T] in Sp e, ivi, Ie g... sono funzioni di classe COO e, quindi, limitate con Ie
loro derivate.
Per vedere rigorosamente che questa convergenza delle [3.8.17], [3.8.24] aIle
[3.7.18], [3.7.20] implica che, uniformemente in tE [0, T], Ie funzioni t-+ bXl(t),
l=s + 1, ..., Nd, convergono a limiti bl(t) che verificano [3.7.20], con Ie condizio-
ni iniziali volute [3.7.24 J, occorre pero ancora un certo lavoro.
Integriamo [3.8.24] membra a membro fra 0 e t rispetto a t:
Nd . r S S
l' =+ 1 gU'(b71. (t» b7l.['(t) + U': 1 jl gl', j( b71. (t» ·
. ] Nd .
· b7l.j(t) b7l.1(t1-1'+ 1 gl.['(b(O» b['(O) =
t { N aV(a) _ , az(k) ,
= J -  (k ) ( .=. (b 71. (t ». 3(3 ( b 71. ( t ) +
o k = 1 aE 1
1 S + 1 Nd agl' I" . . }
+- 2 1; 3(3 (b7l.(t'» b7l.1(t'» b7l.1"(t') dt' +
1',1" 1
 ' ( S Nd Nd agl' I" j ..
+ J dt' ."L ,,"L  a' - (b71. (t'» b7l.j(t') b7l.['(t') b7l.1"(t') +
o I = 1 I = s+ 1 J = 1 I
[3.8.25]

202
Capitolo terzo
1 Nd s ag[' I" . .. l
+21'}=1 II al ,J (bx(t))bXj(t')bXr(t')bXI"(t')JJ
,?ve si e usata l'ipotesi che bAl(O)=O, se 1=1,..., s e che i dati iniziali bA/(O) e
bAl(O), 1 = 1, ..., Nd sono A-indipendenti.
Portiamo ora a secondo membra in [3.8.25] il secondo e il terzo addendo e
consideriamo Ie (Nd - s! equazioni risultanti come un sistema di equazioni lineari
nelle (Nd - s) incognite bAI(t), 1 = s + 1, ..., Nd. La matrice dei coefficienti e i1 mino-
re gs della matrice cinetica relativo alle ultime (Nd - s) righe e (Nd - s) colonne di g:
per la proposizione XII (p. 193), la matrice gs ammette una matrice inversa e, quin-
di, si pub ricavare bAl(t), 1= s + 1, ..., Nd in funzione dei secondi membri. Si ottiene:
bxY(t)=L ¥ (gs-l(bx(t))Tl ,f .f gl'.j(bx(t))bXj(t)bxr(t)l+
L I=S+1 1=1]=1 J
Nd _ 1 Nd ·
+ L -(gs (bA(t)))TI L g l'(b(O)) b['(O) +
I=S+l I'=S+1
t { Nd -1 ( N av(a) _ ' )
+ J - L (gs (b x (t))"f1 L (k) (.::..(bx(t ) ·
o 1= s+ 1 k= 1 a
a(k) 1 s+ 1 Nd agl'I" . . }
.  (b).(t'))+- 2 t a (bx(t'))bxr(t')bxl"(t')) dt'+
1 1',1" 1
[3.8.26]
r Nd t { S Nd s
+=+l (gs-l(bx(t)))Tlj 11l"+1 jl'
a g l ' 1 " .
, ,} , ,.,. ,
a{31 (bA(t)) bAj(t ) bAl'(t ) b X l ,,(t ) +
1 S s agI' 1" j .. } ]
+ _ 2 L L' a' (bx(t') bXj(t') bxr(t') bXl',(t') dt' ·
I', 1"=1 j=1 1
L'idea ora e di notare che, e questo e ovvio, i termini in parentesi quadra in [3.8.26]
tendono a zero, uniformemente, per tE[O, T], quando A+oo (segue invero da
[3.8.17], [3.8.19], per la scelta di Tela uniforme limitatezza in Sp delle funzioni
g ... e delle lara derivate).
Inoltre si cerchenl di dimostrare la convergenza a un limite per A  + 00 dei ter-
mini non in parentesi quadra, in [3.8.26], chiamando OAT(t), tE [0, T], la 10ro som-
ma e facendo vedere prima che e possibile trovare una successione An  00 estratta
da una arbitraria successione di ve rgente, tale che 0AnT(t) converga a un limite 0T(t)
uniformemente in tE [0, T], 'fJ 1 =s + 1, ..., Nd. Questo 10 si dimostrera facendo ve-
dere che la famiglia di funzioni su [0, T] parametrizzata da A e 1 : (oAT) A 1, T = s+ 1, ...o-'-d.

203
Sistemi a piu gradi di libertil
e una famiglia di funzioni equicontinue ed equilimitate su [0, T] e applicando quin-
di il teorema di convergenza di Ascoli-Arzela (vedi app. G).
Si mostrera infine che il limite per A  00 di bAY esiste, facendo vedere che ogni
possibile limite verifica un'equazione differenziale con condizioni iniziali assegnate,
e applicando il teorema di unicita sulle equazioni differenziali: questa equazione dif-
ferenziale sara, essenzialmente la [3.7.20] e sara facile completare la dimostrazione.
La equilimitatezza della famiglia (bAY) di funzioni e evidente dalle [3.8.17],
[3.8.19].
Dimostriamo separatamente l'equicontinuita della parte delle bAT che proviene
dall'integrale in [3.8.26] e della parte fuori del segno di integrale. Questa proprie-
ta discende dalla osservazione che:
i) Sia data una famiglia (JJa)aEA di funzioni su [0, T] aventi forma
t
JJa(t) = J va(r) dr
o
[3.8.27]
ove (va)aEA e una famiglia equilimitata di funzioni in C(O)([O, T]), cioe e una
famiglia di funzioni continue maggiorabili come IVa(t)IB, \ftE[O, T], \faEA.
Allora la famiglia (JJa)aEA e equicontinua su [0, T]: infatti:
IIla(t) - J.la(t')1 = I f,J a ( T) dT I  B It- t'l, VaE A.
t'
[3.8.28]
ii) Famiglie di funzioni composte di una data funzione di classe Coo(R h ) e di
funzioni equicontinue ed equilimitate su [0, T], a valori in R h , formano famiglie
di funzioni equicontinue ed equilimitate su [0, T] (esercizio).
E' allora chiaro che il primo addenda non in parentesi quadra e equicontinuo
at variare di A perche (g; 1)1' () sono di classe Coo su Sp e t bA(t) e una fami-
glia equicontinua per (i) a causa della [3.8.19].
Similmente e facile vedere che anche il contributo del secondo addendo non in
parentesi quadra in [3.8.26] e equicontinuo (combinando opportunamente e ripe-
tutamente Ie (i), (ii)) a1 variare di A. AHora possiamo applicare il teorema di Asco-
li-Arzelii (app. G): da ogni successione divergente di numeri positivi e possibile
estrarre una successione (An )nEZ+ divergente tale che illimite
lim bAnY(t) = bY(t)
noo
[3.8.29]
esista uniformemente per tE [0, T] e per ogni I =s + 1, ..., Nd. La [3.8.26] aHora
implica, poiche come si e osservato gia i termini in parentesi quadra a secondo
membro tendono a zero uniformemente per A  + 00, che
lim bAnY(t)=bT(t)
noo
[3.8.30]
esiste uniformemente per tE[O, T], I =s+ 1,...,Nd. Questo implica che:
t
lim bAnT(t) = lim (bAnY(O) + J bAny(r) dr)=
noo noo 0

204
Capitolo terzo
= lim (by(O) + f bJl.nY(r) dr)=by(O) + 1 57 (T) dT =
n 00 0
= bT(t), 1 =s + 1, ..., Nd,
[3.8.31]
uniformemente per tE [0, T], poiche i dati iniziali bAT(O) sono A-indipendenti;
by e definito nell'ultimo passaggio. Le funzioni t  by (t), t E [0, T], definite in
[3.8.31] sono, per la [3.8.31] stssa, derivabili e
.
by(t)=5T(t) tE [0, T]
[3.8.32]
1 =s + 1, ..., Nd.
Tomando ora aHa [3.8.25] con A = An e usando [3.8.17], [3.8.31], [3.8.30],
[3.8.32] troviamo, allimite per n  00:
Nd . Nd .
 gII'(b (t)) bl'(t) =  gll'(b (t)) bl'(O) +
I' = s+ 1 l' = s+ 1
t { Nd a V(a) _ , a:::(k) ,
+ J -  (k) (.=.(b (t ))). a(3 (b (t )) +
o k= 1 a 1
1 s+ 1 Nd agl'l" . . }
+ _ 2 :t a(3 (b(t')) br(t') bl',(t') dt'
1', I" I
[3.8.33]
1 = s + 1, ..., Nd e avendo posta b (t) = (0, ..., 0, b s + 1 (t), ..., b Nd (t)).13
Si vede dunque che esiste b(t)= lim b"An(t), tE [0, T], e b descrive un mota che
noo
verifica [3.7.18], [3.7.20] con Ie vol.ute condizioni iniziali (e face vedere, infatti,
che b e in COO([O, T]) ricavando Ie b(t) dalle [3.8.33], come Ie bAT dalle [3.8.24],
e derivando indefinitamente membro a membro, per induzione).
Resta da far vedere che esiste uniformemente in [0, T] illimite Iim bAT (t),
A+OO
1 =s + 1, ..., Nd, senza bisogno "di passare a sottosuccessioni". Bastenl, at solito,
far vedere che tutte Ie successioni An OO, per Ie quali esiste uniformemente illi-
mite lim bAnT(t), 1 =s + 1, ...., Nd, convergono aHo stesso limite.
noo
Se due successioni divergenti (An )nEZ+, (A )nEZ+, producessero limiti t bI(t)
e t bl(t), l=s + 1, ..., Nd, uniformi in [0, T] e diversi, posta:
b(t)=(O, ...,0, b S + 1 (t), ..., bNd(t)) = (0, b(s)(t))
b'(t)=(O, ...,0, b;+l (t), ..., bNd(t)) = (0, b'(s)(t))
[3.8.34]
Ie [3.8.31], [3.8.33] implicherebbero per t=O che, Vl=s+ 1,...,Nd
bl S ) (0) = bi (s) (0) = bi (0), h/ S ) (0) = hi (s)(O) = bl S ) (0),
[3.8.35]
.
ove bl(O) e bl(O), l=s+ 1,...,Nd, sono i dati iniziali.
13 Si rieordi ehe bI(t) e definito da [3.8.31] solo per I=s+ 1,..., Nd.

205
Sistemi a pili gradi di liberti
Inoltre Ie [3.8.33], se derivate termine a termine, mostrano che t  b(s)(t), e
tb'(s)Ct), 'tItE [0, T], verificano Ie [3.7.20] e, cioe, Ie equazioni di Lagrange asso-
ciate alla [3.7.19], con gli stessi dati iniziali (vedi [3.8.35]).
Facciamo ora vedere che Ie [3.7.20] possono essere poste in una forma adatta
alIa applicabilita del teorema di unicita del paragrafo 2.2: questo evidentemente
implichera che b(t)=b'(t), tE[O, T].
Per poter applicare alle [3.7.20] il teorema del paragrafo 2.2, occorre eseguire
alcune trasformazioni che saranno poi analizzate in dettaglio a1 paragrafo 3.11,
proposizione XVII, perche di notevole interesse in generale.
Sia (11, (j) H(11, fJ) una funzione a valori reali in COO(R2tNd-S») che, se fJE R Nd - s
e tale che (0, (j) E:E -1 (8 p), coincide con:
1 s + 1, Nd 1
-  (Ks- (O,jj))/'I"1TI'1TI,,+V(a)C:ECO,jj))
2 l' I"
,
[3.8.35]
se si denota 11 = (1T s +b ..., 1TNd).
AHora, posta per l=s + 1, ..., Nd
Nd ( ) .
PI(t) =  Klt(O, b S (t)) bl'(t)
I' =s+ 1
[3.8.36]
Nd ( ) .
piCt)=  KIl'(O, b' S (t)) bl'Ct),
I' =s+ 1
[3.8.37]
Ie funzioni t(p(t), b(s)(t)) e t(p'(t), b,(s)(t)), tE[O, T] verificano gli stessi
dati iniziali per t=O, vedi [3.8.34], e inoltre, come si potrebbe verificare con un
po' di pazienza ma come si vedra in dettaglio e in forma "meno miracolosa" al pa-
ragrafo 3.11 (vedi Ia proposizione XVIII e Ie relative osservazioni) soddisfano Ie
equazioni differenziali:
Pl(t)=-  (p(t), b(S)(t))
. aH ( )
bl(t) = _ a (p(t), b S (t))
1TI
. , aH, ) , ( s ) )
PI(t)= - a(31 (p (t , b (t)
b/(t) = : (p(t), b'(s)(t))
[3.8.38]
per 1= s + 1 , ..., N d e per t E [0, T].
Poiche Ie [3.8.38] sono manifestamente tali che ad esse, come equazioni diffe-
renziali, si PUQ applicare it teorema di unicita I, ( 2.2), e poiche p(O) =p'(O) e
b(s)(O)=b'(s)(O) segue che p(t)=p'(t), b(s)(t)=b'(S)(t), tE[O, T]; cioe b(t) = b'(t),
tE [0, T].
Poiche la [3.7.24] e stata, evidentemente, implicitamente verificata nella forma
[3.7.28] (vedi [3.8.34]) la dimostrazione e conclusa.
mbe

206
Capitolo terzo
3.9 Applicazione ai moti rigidi. n teorema di Konig
II criterio generale di perfezione per vincoli approssimati discusso al paragrafo
3.8 e interessante, perche permette di mostrare la perfezione di certe classi di mo-
delli di vincoli.
Ci proponiamo, in questo paragrafo, di far vedere come, sulla base del teorema
del paragrafo 3.8, sia possibile mostrare che un modello naturale di vincolo di rigi-
dita sia un modello di vincolo approssimato ideale.
Consideriamo it seguente modello (, W, X), che e uno dei piu interessanti mo-
delli di vincolo:
={1=((1),..., (N»)ER3N, 1(i)_(j)I=lij per i, jES; (i)Eai per iET}
[3.9.1]
ove lij sono numeri non negativi, S e un insieme di coppie di numeri in (I, 2, ..., N) e
T e un insieme di numeri in (1, 2, ..., N), ai sono superfici regolari in R 3 , 0, 1, 2-di-
mensionali (una superficie O-dimensionale e un punto).
La funzione di struttura W sia data da
W()=  \]Ii"(I(i)_(j)12 -It.) +  \]Ii(I(i)-aiI2)
jES J J iET
[3.9.2 ]
ove \]Ii, \]IijECOO(R) e \]Ii (0) = \]Iij(O)=O e \]Ii, iE T, \]Iij, i, jES, sono funzioni con
un minima in senso stretto nell'origine. n simbolo 1-aiI2 denota una funzione
di classe Coo su R 3 che nell'intorno di ai e it quadrato della distanza di  da ai.
E' chiaro che il modello (, W, X) e un modello naturale di vincolo di rigidita
per certe coppie (quelle di S) di punti del sistema e di vincolo di permanenza su
certe superfici 0 linee 0 punti per alcuni punti del sistema (quelli di T). Come si
e detto e, questo, un modello di vincolo assai generale, perche si incontrano spesso
solo vincoli di questo tipo per i quali, anche, la [3.9.2] e un buon modello per la
funzione di struttura. Non e facilissimo mostrare che [3.9.1], [3.9.2] definiscono
un modello di vincolo approssimato ideale.
Ci limiteremo, in questo paragrafo, a esaminare il caso in cui [3.9.1] sia "un
vincolo di rigidita" ossia il caso in cui S contiene abbastanza coppie (per esempio
tutte) di punti da permettere solo configurazioni ottenute, Ie une dalle altre, per
moti rigidi di tutto 10 spazio.
Enunciamo pero, in generale, it risultato principale suI vincolo (, W, X):
xv Proposizione /1 modello (, W, X) di vincolo approssimato definito da
[3.9.1], [3.9.2] e ideale per sistemi di N punti materiali in R 3 , di masse ml, ..., mN
positive.
Dimostrazione. (Caso T=C/J, Stale che  sia un vincolo di rigidita.) , nel caso

207
SistBmi a piu gradi di liberti
in esame, si decompone in un numero finito di parti connesse ognuna rappresentan-
te un sistema rigido .14
Supporremo N 3, it caso N = 2 essendo gia stato trattato nell'esempio del pa-
ragrafo 3.8; supporremo che i punti 1, 2, 3 siano non allineati nelle configurazioni
di L (it caso degenere di un sistema di N punti allineati si potrebbe trattare in mo-
do analogo).
Le con figurazioni ' E L e locate su una stessa componente connessa di  saran..
no univocamente individuate a mezzo della posizione G del baricentro nel riferi-
mento cartesiano "fisso" (0; i, j, k) e da tre versori i h i", i3 solidali con it sistema
e, infine, dalle posizioni p., P 2 , ..., PN degli N punti materiali nel riferimento
(G; i h i 2 , i3): per it vincolo di rigidita i punti PI, ..., PN avranno coordinate
(Pi -G )1, 1= 1, 2, 3, i = 1, ..., N costanti, \f' in una stessa componente connessa di
L, nel riferimento (G; i., i 2 , i 3 ). Supporremo di aver scelto i3 parallelo al vettore
(P 2 - PI) e i 2 nel piano (p., P 2 , P 3 ).
Per dimostrare la proposizione XV sara sufficiente costruire un sistema di coor-
dinate, locali nell'intomo di un punto o E L e regolari, ben adattato e ortogonale
su L e nel quale la struttura W del vincolo abbia la proprieta [3.8.1].
Senza perdere in generalita potremo supporre che il piano dei primi due assi
del riferimento solidale (Go; i, i, i) associato a o, cioe it piano (i, i), non
sia parallelo al piano (i, j).
Sia e una configurazione vicina a o: in generale  $. L.
Associamo a  3N coordinate P=((3.,..., (33N) che otteniamo attraverso la se-
guente costruzione.
E' chiaro che  PUD essere individuata assegnando una configurazione ' E  e i
vettori ,,(1), ..., ,,(N) che danno Ie deviazioni dei punti di  rispetto ai corrisponden-
14  puo eonsistere di pin parti eonnesse: ad esempio se N=4 e Ie distanze fra i punti, de-
notati 0,1,2,3, sono d(O, 1)=1, d(O, 2)=1, d(l, 2)=, d(l, 3)=, d(2, 3)=, allo-
ra  eontiene due parti eonnesse: la prima eonsiste nelle eonfigurazioni ottenute per rotazio-
ni e traslazioni dalla eonfigurazione (fig. 3.2a) e l'altra dalla fig. 3.2b.
r
3
2
2
(a)
I
I
I
I
I
! 3
I
I
I
I
I
I
I
Figura 3.2
(b)

208
Capitolo terzo
ti PI, ..., PN di '. Le 3N + 6 coordinate necessarie per individuare Ie 3N componen-
ti di ,,(1), ..., I(N) nel riferimento (G; ;1, ;2, ;3) solidale con ' e Ie 6 coordinate ri-
guardanti la posizione e orientazione nello spazio di (G; ; 1, ;2, ;3):5 ossia di t',
sono evidentemente sovrabbondanti.
Per ottenere un sistema di coordinate locali regolari in un intomo di o rimuove-
remo dalle 3N + 6 coordinate sovrabbondanti ora introdotte, 6 coordinate impo-
nendo Ie due seguenti condizioni:
 mi,,(i)=O
i=1
[3.9.4 ]
 (Pi-G)Ami,,(i)=O
i=1
[3.9.5]
che significano che G e effettivamente il baricentro di  (e non solo di ') e che
Ia configurazione E' e scelta in modo che il sistema di vettori (mi,,(i»)i=I,...,N'
"quantita di deviazione" (analoghi alle quantita di moto), abbia momenta nullo.
Le 6 coordinate che eliminiamo sono, ad esempio, Ie prime due componenti di
1'(1) in (G; ;lI ;2, ;3), Ie tre componenti di 1(2) e la prima componente di ,,(3) in
(G; ;lI ;2, ;3). Le coordinate {3 saranno aHora nell'ordine:
( 1) ( 3) (3) ( 4) ( 4) (N)
(K 3 , K 2 , K 3 , K 1 , K 2 , ..., K 3 , (), 'fJ, 1/1, (G)" (G)2, (G)3)
15 Le coordinate ehe useremo per individuare (G; '1' ' 2 , '3) sono Ie tre coordinate eartesia-
ne di G in (0; i, I, k), it riferimento fisso, e i tre "angoli di Eulero" (8, f(J, \jJ). Gli angoli 8 = i;k,
<I'=f'n, \jJ =n"i 1 sono illustrati nella figura 3.3: 11 e il versore della intersezione fra il piano (i/) e
il piano (;1' ;2) arbitrariamente orientata ("linea dei nodi 77 ). Si noti ehe Ie componenti ill iI' ;2'
;3 di k, '3 e 11 sono
k=(sin8 sin\jJ, sin 8 eos, eos8)
n = (eos \jJ, - sin \jJ, 0)
13 = (0, 0, 1)
[3.9.3]
ehe saranno utili in segui to.
Figura 3.3

209
Sis1emi a piu gradi di liberta
ove (), I{J, 1/1 sono gli angoli di Eulero di;t. ;2,;3 rispetto a;, j, k e (G)h (G).
(G)3 sono Ie coordinate di G in (0;;, j, k) e "ji) sono Ie componenti in (G;;lI
;2, ;3) delle deviazioni ,,(i).
Date Ie 3N coordinate (3 la configurazione  =:E:() si costruisce al modo seguente:
i) G = «(33N - 2, (33N - 1, (33N) - G determina il baricentro G.
ii) {3rot = (3N - 5' 3N - 4, 3N - 3 ) = ((), 'fJ, \jJ) determinano Ie orientazioni degli
assi ;11 ;2, ;3: sono quindi determinate Ie posizioni Ph ..., PN degli N punti della
configurazione prima chiamata E'.
iii) Dalle rimanenti coordinate v = (h ..., 3N _ 6) si determinano ,,(4), ..., ,,(N)
e quindi Ie posizioni in (G;;lI ;2, ;3) dei punti 4,5, ..., N e, inoltre, Ie coordinate
(1) (3) (3) d . (1) (3)
"3 e "2 , "3 I " e" .
iv) Le coordinate di ,,(2) e Ie rimanenti coordinate di ,,(1) e ,,(3) si determinano
imponendo [3.9.4] e [3.9.5].
Dalla [3.9.4] si evince:
( ) m 1 ( ) N mi ( . )
"2=__,,I_ L _,,'
m2 i=3 m2
[3.9.6]
che, inserita nella [3.9.5] da:
ml (P 1 - P 2 )/\,,(1) +  mi( Pi - P 2 )/\ii)= o.
;=3
[3.9.7]
Moltiplicando la [3.9.7], scalarmente, per (P 1 - P 2 ) si trova
 mj(pi -P 2 )/\ ,,(i). (P 1 - P 2 ) = 0
i=3
[3.9.8]
che da il valore di ,,3): perche (P 3 - P 2)!\;1 ha componente non nulla lungo (P 2 -P 1 )
(si ricordi che ;3 e ortogonale al piano P 1 P 2 P 3 e questi tre punti non sono allineati).
Una volta nota completamente ,,(3), la [3.9.7] fornisce Ie due prime componen-
ti di ,,(1) univocamente (la [3.9.7] lascia solo indeterminata la componente di ,,(1)
I P P h ,,(3) . d . , )
ungo 1 - 2 cepero e "1 e qUln I e nota .
Infine, noti ,,(1) e ,,(3) completamente, dalla [3.9.6] trasluce ,,(2).
E' facile verificare Ia invertibilita della trasformazione che a t3 = ({3v, (3rot, (3G) as-
socia  = 'Z({3), secondo Ie regole (i) + (iv) precedenti; tale trasformazione e di classe
Coo e ha matrice jacobiana non nulla nell'intorno di o: non entreremo nei dettagli
di questa semplice ma Iaboriosa verifica della regolarita, invertibilita e non singoIa-
rita di :2:. Dunque Ia trasformazione :2: stabilisce un sistema di coordinate Iocali re-
golari in un intorno U di o E .
Vogliamo ora far vedere che la matrice cinetica associata a (U, :2:) ha Ie neces-
sarie proprieta per poter affermare che :2: stabilisce un sistema di coordinate ben
adattate a  e ortogonale su .
Occorre, dunque, esprimere l'energia cinetica di un mota tx(t) degli N punti

210
Capitolo 1erzo
materiali a mezzo del mota immagine t-+b(t)=(bv(t), brot(t), bG(t))=Z-I(X(t)),
ammesso che it mota si svolga in U per t E [t 1, r 2 ].
Per la definizione delle coordinate 13 si ha, per tE[tt, t2]:
(.) 3 (i)
x I (t)=bG(t)+  (KI (t)+(Pi-G)I);I(t)
1=1
[3.9.9]
e, differenziando membro a membro, si trova:
C) · 3 (i) 3 (i)
X I (t)=bG(t) +  KI (t) il(t) +  ("I (t) +
1= 1 1= 1
d.
+ ( p. -G ) ) 'I(t)
I I dt .
[3.9.10]
Utilizziamo ora una ben nota formula cinetica che consente di esprimere Ie de-
rivate di una terna di versori dipendenti dal tempo, ma sempre mutuamente orto-
gonali, come:
dil(t)
dt =w(t) 1\ il(t),
[3.9.11 ]
ove w(t) e un opportuno vettore detto "velocita angolare della terna""6 Una utile
espressione per w e, in termini degli angoli di Eulero (vedi nota a p. 208):
w=On +k+ i3.
[3.9.12]
16 Per eonvineersi della [3.9.11] si osservi che, In generale, l'orientazione nella spazio di
(ii' ;2' i 3 ) immaginati emergenti da un punta fisso n, PUQ variare solo se variano i suoi tre an-
goli di Eulero (8, I(), \jJ) rispettu alla terna (;, J, k). Se variasse solo (J questo signifieherebbe
ehe il riferimento (n; '1' i 2 , ' 3 ) ruoterebbe attorno alla linea dei nodi (vedi fig. 3.3) e sarebbe
alIora chiaro che ogni punta P solidale con (n; '1' '2' ' 3 ) si muoverebbe con veloeita in (n; I,
j, k) data da
Yp= 8n f\ (P- n).
Questo vale, in partieolare, per gli estremi di ;1' ;2' 13 e pertanto:
dil .
-=0"/\'1 1= 1,2,3.
dt
Un simile argomento mostra ehe se (;1' ;2' ' 3 ) varia perehe variano solo I{) 0 solo \jJ allora:
di[ . k 1\ ·
-=1{) "'I 0
dt
dil .
dt =\jJ1 3 /\11,
1= 1, 2, 3.
In generale, se simultaneamente variano sia 8 ehe I{) ehe \jJ, si avra naturalmente:
dll
=w/\II
con w dato da [3.9.12], w=Bn + <pi + i3 (per la regola di derivazione delle funzioni compo-
ste). E' utile notare in eonnessione alIa [3.9.13], una sua famosa eonseguenza: la relazione fra
la veloeita di un mota tP(t) in un riferimento (0; I, /, k) fisso e dello stesso mota in un ri-
ferimento (n(t); i 1 (t), ;2(t), 1 3 (t» dipendente da t. Dalla relazione fra vet tori
P(t)-O= (P(t) - n(t» + (n(t)-O)

211
SistBmi a pili gredi di liberti
Tornando alIa [3.9.10], la riscriveremo usando la [3.9.11]:
x (i)=bG + 'l (i) + wl\(,,(i) + (Pi-G))
[ 3 .9 .13 ]
ove si e posto i'(i)(t)= f KV)(t) ;/(t), (che e diverso da ,,(i)(t)) e, inoltre, si e po-
1=1
3
sto (Pi-G)= L (Pi-G), i,(t).
1=1
Dunque e ora possibile calcolare l'energia cinetica; dalla [3.9.13]:
1 N ( . ) 1 N. ( . )
T=- . mi(x ')2=_ .L mi(bG+wl\(Il, I +(Pi- G ))+
2 1=1 2 1=1
. ( ") 1 ( N ) . 1 N r\
+i' ' )2 =- . mi (bG)2 +- . mi(w!\(Il,(IJ + (pi- G ))2 +
2 1= 1 2 1= 1
1 N . ( . ) N. ( . )
+- L mi(<< ')2+ L mibG.W!\(II.' +(Pi- G ))+
2 i=1 i=1
[ 3 .9 .14 ]
+  mJJG. i: (i) +  mi w A (,,(i) A (Pi -G)) · i: (i).
i= 1 i= 1
11 quarto e quinto adendo dell'ultimo membra di [3.9.14] sono nulli, come si
PUQ vedere ponendo b G in evidenza e ricordando la definizione di baricentro (per
cui i mi(Pi -G) =0) e la [3.9.4].
seritta per eomponenti come:
x(t) i + y (t) 1+ z(t) k=x t (t) ' 1 (t) + x 2 (t) ' 2 (t) +
+x 3 (t)i 3 (t) + x!l(t) 1 + y!l(t)/ +z!l(t)k
con notazioni ovvie, segue derivando tennine a tennine:
( ) ( ) di dl dl
V a =y r +x (t)  (t) +x (t) --.!.. (t) +x (t) -2.. (t ) + Y
1 dt 2 dt 3 dt !l
ove y(a) e la veloeita di t-+P(t) in (0; 1.1, k), y(a)=(x(t)i + y(t)/ +z(t)k), y(r) e la velo-
cita dello stesso moto "relativa" a (n(t), 1 1 (t), ;2(t), I,(t», cioe y(a)=:x 1 (t) 't(t) +x 2 (t) i 2 (t) +
+x 3 (t) ;1(t), e Y!l e la veloeita del moto t-+ !l(t) in (0; I, I, k), eioe Y=x f1 (t) 1+ y!l(t)J +
+ z !l(t) k).
Usando allora la [3.9.11]:
y(a) = y(r) + w /\ (Xl (t) 1 1 (t) + x 2 (t) ;2(t) + x 3 (t) ;3(t» + Y n =
= V (r) + (w /\ (P - !l) + Y!l).
n termine in parentesi ha l'ovvia interpretazione di "velocita di traseinamento" che avrebbe
it punto P se fosse solidale al riferimento (!l(t); it (t), ' 2 (t), 1 3 (t»: quindi questa formula si
legge "la veloeita assoluta e uguale alIa somma della veloeita relativa e della velocita di trasci-
namento". Inoltre la veloeita di un punto P, solidale rispetto ad un riferimento (!l; 't' '2' '3)
in moto, e data da
YP=Y!l + w/\ (P-!l) [0:]
ove Yp e la veloeita in (0; I, j, k) di Pew e la veloeita angolare della terna ;11 ;1.' ;1. rispetto
alla (;, I, k). Quest'ultima relazione e, ovviamente, di grande interesse nella teoria dei moti Ii-
gidi.

212
Capitolo tarzo
Per studiare il secondo e sesto termine dell'ultimo membro di [3.9.14] useremo
la formula:
(a I\b) .c=(b 1\ c) .a=(c 1\ a) · b
[3.9.15]
per notare che:
 mi wA(/(i) +(Pi-G)).it (i)=
;=1 N. . .
= w. ( m;(,,(l) + (P; -G)) 1\ i' (I»).
;=1
[3.9.16]
Si pub osservare che la quantita in parentesi in [3.9.16], a secondo membro, e il
momenta della quantita di mota Kg n ) "relativo" al riferimento (G; it. ;2, ;3) 0
"intemo" e, inoltre, per [3.9.5] (scritta per componenti in (G; ;t, ;2, ;3)) e per la
defmizione di t(i) dopo la [3.9.13] e per la costanza delle componenti di (Pi-G)
in (G; ;1, i 2 , ;3):
Kg n )=  mi(/(i) + (Pi-G»Ai(i) =  mi,,(i)Ai(i),
i= 1 i= 1
[3.9.17]
E' quindi vero, e come vedremo importante, che Kg n ) = 0 se ,,(1)=... =,,(N)=o,
cioe se it sistema si trova" all'istante in considerazione, su .
Scriveremo il secondo addendo dell'ultimo membro di [3.9.14] come:
1 N ( . )
-  m;(wl\(" I +(P;-G)))2=
2 ;=1
=+ W{l mi(,,(i)+(Pi-G))A(WA(/(i)+(Pi-G)=
1
=2 (w./(w)).
[3.9.18]
ove si e usata [3.9.15] e si e posto:
I( w) =  mi(/(i) + (Pi -G)) A (wA (,,(i) + (Pi -G))).
i= 1
[3.9 .19]
Posto allora:
1 (N ) 2
TG=2V1 mi XG
[3.9.20]
"energia cinetica del baricentro",
( " ) 1 N . ( . )
T In = -  mi(i' I )2,
2 i=1
[3.9.21]
"energia cinetica relativa (0 interna)",

213
Sistemi a piLi gradi di libert8
'T' K (in)
.lC= G .W
[3.9.22]
"energia cinetica complementare",
1
Trot=T w./(w),
[3.9.23]
"energia cinetica di rotazione", si e fatto vedere che
T=TG + T(in) + Trot + TC.
[3.9.24 ]
Questa relazione e talvolta chiamata "teorema di Konig".
Dalla [3.9.24] e immediato concludere che it sistema di coordinate definito dal-
la Z nell'intorno di Eo e ben adattato e ortogonale su .
Si pub, infatti, osservare che in un punto  E  Ie coordinate ,,(1), ..., f(N) e,
cioe Ie Pv; sono nulle: dunque Z definisce, intanto, un sistema di coordinate adat-
tate a . Inoltre se il moto tx(t) viene ad occupare, ad un certo istante to, la
posizione EE si avra che Tc(to)=O per Ie [3.9.17], [3.9.22].
AI tempo stesso T(in)(to), come e facile rendersi conto dalla determinazione di
,,1), ,,1), ,,(2), ,,3) via Ie [3.9.4], [3.9.5], e una forma quadratica nelle sole by(to)
i cui coefficienti dipendono solo dalla struttura di  via Ie coordinate (Pi - G)Z,
1= 1,2,3; i= I! ..., N: sono, cioe, costanti. Infine TG(t o ) e una forma quadratica
nelle variabili bG(t o ), a coefficienti costanti, mentre Trot(to) e una forma quadra-
tica nelle componenti di w in (G; it, i 2 , i 3 ) con coefficienti che dipendono solo
dalla struttura di  via Ie coordinate (Pi-G)zi=I,...,N; 1=1, 2, 3 (vedi per mag-
giori dettagli la [3.9.29] che segue). Dunque, poiche Ie componenti di w sono, per
la nota a pagina 208 (vedi [3.9.3]) e per la [3.9.12]
WI = 8 cos 1/1 +  sin 8 sin 1/1
W2 = - 8 sin 1/1 +  sin 8 cos 1/1
W3 = cos 8 + 1/1,
[3.9.25]
.
l'energia cinetica di rotazione Trot (to ) e una forma quadratica in brot(t) =
. .
= (8, , 1/1 )t=t o con coefficienti che dipendono esclusivamente da (8, 'f), 1/1 )t=t o .
Dunque nelle forme quadratiche che definiscono T su  mancano termini misti
. . . .
tipo (bY)i. (brot)j 0 (by);. (bG)j e, cioe, it sistema di coordinate in questione e or-
togonale su . E' ben adattato per la gia osservata costanza dei coefficienti della
forma quadratica in by (to ) che esprime T(in)(to).
Dalla definizione di W e, infine, chiaro che W dipende esclusivamente dalle de-
viazioni K(I), ..., ,,(N) e, anzi, dalle loro coordinate in (G; it, i 2 , i 3 ) cioe dalle sole
(3y (come gia notato queste componenti, ricostruite dalle py via Ie [3.9.4], [3.9.5]
dipendono esclusivamente dalle py e non dalle Prot 0 (3G). Questo conclude la di-
mostrazione della idealita del modello di vincolo (, W, A).
mbe

214
Capitolo terzo
Osservazione. Deducendo la [3.9.24] si e implicitamente mostrato che l'energia
cinetica di un corpo rigido, cioe di un mota di un sistema di N punti materiali in
R 3 , di masse mt, ..., mN positive, e esprimibile in tennini di 6 coordinate e delle
lara derivate. Se tali coordinate sono Ie coordinate XG del baricentro G e i tre an-
goli di Eulero di un riferimento solidale (G; it. i 2 , i 3 ), rispetto a un riferimento
"fisso" (0; i, j, k), e se WI, W2, W3 sono Ie componenti in (G; it. i 2 , i 3 ) del vetto-
re velocita angolare w (vedi [3.9.12], [3.9.3]), allora esiste una matrice 3 X 3,
1= (Iij )i, j= 1,2,3 tale che:
1 .2 1 3
T=- 2 MXG +- 2 . IijWiWj,
I, J= 1
[3.9.26]
N
ove M = L mi e T, XG, w denotano l'energia cinetica, la velocita del baricentro e
i= 1
la velocita angolare di (i 1, i 2, i 3) rispetto a (i, j, k) nel mota in questione, a un
dato istante.
Invero la [3.9.26] e conseguenza della [3.9.24], perche in questo caso T(in)=
=O=TC, e della [3.9.18] che mostra che
1 1 N
T rot =- 2 w. I(w)= _ 2 .L mi[(Pi-G)/\(W/\(Pi- G ))]. w=
1= 1
1 N
=- L mi(w/\(Pi-G))2
2 i= 1
[3.9.27]
per la [3.9.15]; e se ()i e l'angolo fra w e (Pi-G):
(w/\(Pi- G ))2 = (W)2 (pi- G )2 (sin ()i)2 =
=(W)2 (Pi- G )2 (1-(cos ()i)2)=(W)2 (pi- G )2 ( 1- (W.(pj-G))2 ) =
(W)2 (Pi- G )2
= (W)2 (Pi -G)2 -(w. (Pi -G))2 =
 3 2 ) 3 2 ) 3
= L WI L (Pi-G)l -  WIWl'(Pi-G)I(Pi-G)l' =
1=1 1=1 1,1 =1
3  3 2 )
= _ wIW/' (_ (Pi-G)y)811'-(Pi-G)I(Pi-G)/,
I, I - 1 I = 1
e, pertanto,
N { 3 2 }
II!' =.L mi (_ (Pi-G)T) Ol/' -(Pi-G)l (Pi-G)!, ,
1=1 1=1
[3.9.29]
che e una costante, per 1, l' = 1, 2, 3, caratteristica del corpo rigido perche tali so-
no Ie componenti (Pi - G )1, i = 1, 2, ..., N; 1 = 1 , 2, 3 dei vettori (Pi - G) nel riferi-
mento solidale (G; it. i 2 , i 3 ).

215
Sistemi a piu gradi di liberti
Ritomeremo su queste formule [3.9.26], [3.9.29], deducendole, indipendente-
mente dalla teoria dei vincoli, per facilitarne la comprensione ai lettori che non
avranno dedicato attenzione alla dimostrazione di questo paragrafo.
3.10 Considerazioni generali sulla teoria dei vincoli
La trattazione dei vincoli approssimati, nell'analisi della proposizione XIV (g 3.8)
e nella proposizione XV (g 3.9) contiene ancora parecchi aspetti insoddisfacenti
che vogliamo ora sottolineare.
Nelle applicazioni in cui un certo modello (, W, X) di vincolo approssimato e
un buon modello, il parametro di rigidita X ha un ben definito valore X < + 00 che
non sara possibile far tendere a + 00.
Dunque si pone il problema di poter stimare in funzione di X l'errore che si
commette approssimando i "moti reali" t -+ x A (t) con i loro limiti per t -+ 00 (che
sono descritti dalle equazioni del mota relative a vincoli ideali se (, W, X) e un
modello ideale approssimato e, dunque, da equazioni "semplici").
La teoria del paragrafo 3.8, a ben guardare Ie formule, fomisce anche stime de-
gli errori coinvolti nella approssimazione ora descritta.
Basta pero dare uno sguardo ai calcoli Ii fatti per rendersi conto che, se N e
un numero dell'ordine di grandezza di qualche decina 0 addirittura dell'ordine del
numero di Avogadro (come nella maggior parte delle applicazioni), tali stime si ri-
velano, per valori ragionevoli di X e modelli ragionevoli di W, ridicolmente grosso-
lane.
II problema di trovare buone stime degli errori e un problema che, a1 solito,
non va posta troppo In generale ma solo con riguardo a precIse e concrete questio-
ni di natura fisica concernenti i1 comportamento di grandezze, caso per caso, inte-
ressanti. E', pur in questa accezione, un problema assai difficile, ed e un tipico pro-
blema di "meccanica statistica". Salvo alcuni semplici casi, e un problema essenzial-
men te aperto dal punta di vista matematico.
I fisici e gli ingegneri hanno elaborato teorie, non rigorose matematicamente,
che consentono loro di valutare in modo ragionevole, e spesso sperimentalmente
corretto, gli errori coinvolti nella approssimazione di vincolo perfetto. Spesso pero
e solo attraverso i1 ricorso ad esperimenti che si riesce a capire se un certo vincolo
possa 0 meno essere approssimato da vincoli ideali.
E' bene che 10 studente abbia presente queste considerazioni nello svolgere eser-
cizi sui moti vincolati onde apprezzarne it carattere puramente didattico e non rea-
listico.
Questa discussione, che non potremo proseguire ulteriormente, da un'idea della
profondita della nozione di vincolo ideale e pub forse essere utile a rendere ragio-
ne delle lunghe controversie e discussioni che si sono avute sull'argomento e che
possono lasciare sorpreso chi, per la prima volta, ne scopra l'esistenza.

216
Capitolo tarzo
Altri problemi che sorgono in modo naturale nella teoria dei vincoli olonomi
sono i seguenti:
i) nel caso che un vincolo (, W, A) approssimato conservativo non sia perfet-
to, come PUQ essere descritto il mota nellimite A -.. oo? E' possibile, come sembra-
no mostrare Ie considerazioni del paragrafo 3.6, trattare, in questo limite, il vinco-
10 come ideale nel senso del paragrafo 3.5, modificando l'energia potenziale delle
forze attive? (Vedi esempio del 9 3.6.)
ii) Nel caso (i) come stimare la forze attive? E gli errori coinvolti nell'appros-
simazione A = + oo?
iii) Come trattare il caso in cui it modello di vincolo (, W, A) sia ideale ma il
sistema si muova sotto l'azione di una forza che e somma di quella vincolare di
energia potenziale AWe di una legge di forza
F(a)=F(a)((I), ..., (N»)EClim (R Nd )
[3.10.1]
non necessariamente conservativa?
iv) Come (iii) ma con modello di vincolo approssimato conservativo ma non
ideale.
v) Come (i) e (H) nella situazione descritta da (iii).
I precedenti problemi sono difficili e in larga misura aperti (non sono note,
cioe, proposizioni generali interessanti relative ad essi) salvo it problema (Hi) che,
invece, e essenzialmente completamente risolto dalla seguente proposizione che si
dimostra esattamente come l'analoga proposizione del paragrafo 3.8.
XVI Proposizione Sia (, W, A) un modello di vincolo ideale di codimensione
s per un sistema di N punti materiali di masse m b ..., mN.
Consideriamo un dato iniziale ('10, Eo ) tale che Eo E  e sia t -.. X A (t) il mota
che segue questo dato iniziale e si svolge sotto l'azione del campo di forze conser-
vativo vincolare di energia potenziale AW e del campo di forze F(a)E Cll m (R Nd ),
non necessariamente conservativo.
Allora illimite
lim xA(t)=x(t)
X-++oo
[3.10.2]
esiste per ogni t E R ed e un mota vincolato a  con dato iniziale
x(O)=o, x(O)=fl;
[3.1 0.3]
(vedi 9 3.7, [3.7.24]). E' descritto, in un intervallo di tempo [t l , t 2 ] nel Quale si
trova in un intorno U sui Quale e definito un sistema di coordinate locali regolari,
adattato a , (U, Z) con base n, da un mota t -.. b (t), t E [t., t 2] verificante Ie
equazioni:
b l (t)=b 2 (t)= ...=bs(t)=O
[3.10.4]
e

217
SistBmi a piu gradi di liberti
d ( aT.  ( aT ) .
dt 3CXi (b(t), b(t)} - 3(J; (b(t), b(t))=<I>i(b(t))
[3.10.5]
per i=s + 1, ..., Nd, ove:
1 Nd
T(Q,P)=T. gij({l)CXiCXj (Q,{l)ERNdXQ
I, J= 1
[3.10.6]
se g e la matrice cinetica associata al sistema (u, Z) e
N a(k)
4>;(t)) = L F (a) (k)(Z(fJ)) . - ((3)
k=l at)
[3.10.7]
Dimostrazione. La dimostrazione e identica a quella dell' analoga proposizione
XIV del paragrafo 3.8.
Osservazione. Le funzioni [3.10.7] su n prendono nome di componenti della
"forza nel sistema di coordinate (U, Z)".
Concludiamo questo paragrafo con un ultimo commento sui teoremi dei para-
grafi 3.8 e 3.10.
La condizione o E  appare poco naturale e dovreb be essere sostituita da "o
sufficientemente vicino a ".
n problema e, pero, che cosa debba intendersi per "sufficientemente vicino".
E' abbastanza chiaro che la nozione di vicinanza deve essere A-dipendente: infat-
ti chiameremo o vicino a  solo se l'energia A W(o) non e troppo gran de "cioe
se la deviazione iniziale fuori di  non coinvolge forze vincolari troppo intense".
E' allora chiaro che si potra, in generale, tentare di mostrare proposizioni ana-
loghe a quelle dei paragrafi 3.8 e 3.10 nell'ipotesi che la posizione del dato iniziale
sia una funzione di A: EO(A), tale che illimite lim to(A)=oE. In questo caso
A+OO
AW(O(A))/A  0 e quindi l'energia vincolare iniziale non e troppo grande (nel
A +oo
senso che e di ordine inferiore a quello, A, delle deviazioni A-indipendenti).
La dimostrazione delle proposizioni XIV, XVI sarebbe identica in queste ipote-
si piu generali come potrebbe essere verificato mediante un esame, punta per pun-
to, della dimostrazione del paragrafo 3.8.
Nota storica. L'idea che i sistemi vincolati, ideali e non, possano pensarsi come
casi limite di sistemi non vincolati ma soggetti a forze intense e, naturalmente an-
tica. Pero, a mia conoscenza, e stata posta per iscritto, in forma di un preciso teo-
rema legato al principio della minima azione, solo moUo recntemente in V. I.
Arnold, Metodi matematici della Meccanica classica (Editori Riuniti, Roma 1979),
pp. 77-79. Qui Arnold esprime questa idea e mostra come il principio della mi-

218
Capitolo terzo
nima azione possa dedursi da essa via la proposizione XIV del paragrafo 3.8 di questo
capitolo. E' questa, a mio avviso, la piu interessante e profonda fra Ie "dimostrazioni"
del principio della minima azione (e quindi del principio dei lavori virtuali): ne esi-
stono altre, a volte ingegnose, che mai pero sono qualcosa di piu di pseudodimo-
strazioni (nel senso assai ben chiarito da E. Mach nel suo libro gia citato, capp. 1 e 2).
3.11 Equazioni differenziaIi di Lagrange e Hamilton. Meccanica analitica
E' conveniente, prima di passare a esaminare problemi meccanici concreti, de-
sumere da quanto visto finora alcune strutture matematiche astratte che nascono
spontaneamente nel contesto della teoria dei vincoli e del principio di azione mi-
nIma.
Poniamo la seguente definizione:
14 Definizione Sia U C R l X R l X R un insieme aperto e .P una funzione di clas-
se Coo su U. .P si dira "regolare" su U se la trasformazione che al punta (0, q, t)E U
associa il punto:
(1T, q, t)=Z(a, q, t)E Rl.X R l X R,
[3.11.1]
ove
a.P
1Ti = a (0, q, t),
Q.
I
[3.11.2]
trasforma l'intorno U in un intorno VC RIX RIX R, V= Z(U), in modo invertibile
e il determinante jacobiano della trasformazione [3.11.1] e non singolare su U. 17
Se .P e regolare in U Ie equazioni per il mota t(q(t), q(t), t) in U
dd t (  (q(t), q(t), t = ; (q(t), q(t), t)
[3.11.3]
i= 1,2, ..., I, si dicono "equazioni differenziali lagrangiane di lagrangiana .P(q, q, t)".
Vale la seguente proposizione:
XVII Proposizione Sia .Puna lagrangiana regolare su UC R21+1 e sia t(q(t),
q(t), t)E U un mota in U definito per tE [t., t 2 ], verificante Ie [3.11.3].
Posto, per (p, q, t)EV (vedi definizione 14)
(o(p, q, t), q, t) = Z -1 (p, q, t)
[3.11.4]
17 Tale determinante coincide, come e facile vedere, con it determinante della matriee 1,
Ix I: ( 32:£ )
Jij(Ol, q, t)= (Ol, q, t) i, j= 1, ..., I
301.i dOlj

219
Sistemi a phi gradi di liberta
I
H(p, q, t) = L Pi CXi(P, q, t) - ff(o:(p, q, t), q, t)
i=l
[3.11.5]
il moto in  immagine del precedente moto in Uvia la [3.11.1], t(p(t), q(t), t)=
= 2(q(t), q(t), t) verifica Ie equazioni:
Pi = - ; (p (t), q (t), t)
qi =  (p(t), q(t), t)
[3.11.6]
[3.11.7]
per i = 1, 2, ..., I.
Osservazione. Si noti che [3.11.6], [3.11.7] sono equazioni aIle quali possono
essere applicati i criteri di esistenza, unicita e regolarita locali per Ie equazioni dif-
ferenziali; a differenza delle [3.11.3] ove ad esempio Ie massime derivate non ap-
paiono, necessariamente, con coefficienti costanti (vedi fase fmale della dimostra-
zione del 9 3.8, p. 205).
Dimostrazione. La dimostrazione e una banale verifica algebrica. La [3.11.3] si
scrive, per la [3.11.2]
dd t Pi(t)= ; (ti(t), q(t), t)
[3.11.8]
ma, per la [3.11.5], i= 1, ..., I:
aH a ff I a  aCi.j I aCi.j
-=- - L _ a + L Pj- a [3.11.9]
aqi aqi j= 1 aCXj qi j= 1 qi
e, per [3.11.2], [3.11.4] (che implicano Pi - ; (a:(p, q, t), q, t)), Ie due som.
J
me in [3.11.9] sono uguali e quindi si elidono, e [3.11.8], [3.11.9] divengono [3.11.6].
Inoltre per [3.11.5] e [3.11.2]:
aH I aCi.j I a Sf aCi.j .
- =Ci..+ L p'-- L -=Ci.i=qi
api I j= 1 J api j= 1 aCi.j api
[3.11.10]
e, cioe, segue la [3.11.7].
mbe
La precedente proposizione suggerisce la seguente definizione:
15 Defmizione Sia VeRI X R 1 X R un insieme aperto e H sia una funzione di
classe Coo del punta (p, q, t) E v: H si dua "regolare" su V se la trasformazione
che a (11', I), t) E Vassocia

220
Capitolo terzo
\}1{1r, (j, t) = (a, (j, t)
[3.11.11]
ove:
aH
ai=- a (11, (3, t) [3.11.12]
1Ti
trasforma V in un intorno UC R21+1, U=w(V), in modo invertibile e il de term i-
flilnte jacobiano dell a [3.11.11] non e mai nullo su  18
Se H e regolare in V il sistema di equazioni, per il moto t-.+(p(t), q(t), t) in V:
pj(t) = - Z (p(t), q(t), t)
qj(t)= ;: (p(t), q(t), t)
[3.11.13]
[3.11.14]
i = 1, ..., I, si dice "sistema di equazioni di[[erenziali hamiltoniane in V con hamil-
toniana H".
Vale aHora la seguente proposizione analoga alIa XVII:
XVIII Proposizione Sia H una hamiltoniana regolare su VC R21+1 e sia t-.+(p(t),
q(t), t)EVun moto in Vdefinito per tE[t 1 , t2] e verificante Ie [3.11.13] e [3.11.14].
Posto per (0, (3, t) E U, vedi de[inizione 15,
(1f(a, p, t),fJ, t)= 'It-I (a, (j, t)
[3.11.15]
e
1
.p(o:, {3, t)=.L 1Tj(a, (3, t) aj-H(1T(a, (3, t), (3, t)
J=1
[3.11.16]
il moto, in U, t-.+(a(t), q(t), t)='I!-I(p(t), q(t), t), tE[tl, t 2 ], verifica Ie equa-
zioni
q(t) = aCt)
:t (  (q(t), q(t), t)) = aa: (q(t), q(t), t)
[3.11.17]
[3.11.18]
per i = 1 , 2, ..., I.
Dimostraz ion e. La dimostrazione e essenzialmente identica a quella della propo-
sizione precedente, XVII.
18 Tale determinante e uguale, come e facile vedere, al determinante della matriee
3 2 H
Jii- i, j= 1, ..., I.
t - 31Ti 31Tj

221
Sistemi a piu gradi di Ii berti
Osservazioni
1) Le due proposizioni ora date mostrano che "un sistema di equazioni diffe-
renziali lagrangiane, regolare in U, e equivalente a un sistema di equazioni diffe-
renziali hamiltoniane regolare su V e viceversa". Gli insiemi U e V sono legati dal-
Ie relazioni:
i) V e l'immagine di U per la trasformazione:.
'E. : (0., 13. t)  (71, 13. t) = ( aa: (0., 13. t), 13. t)
[3.11.19]
ove  e la funzione lagrangiana su U;
ii) U e l'immagine di V per la trasformazione:
\f.t : ('If, (j. t)  (0., (j. t) = ( ( 'If, (j. t), 13. t)
ove H e la funzione hamiltoniana corrispondente a !£;
Hi) la fE e la corrispondente H sono legate dalle:
[3.11.20]
I
H(1r,(j, t)= L 1Ti(Xi(1r,(j, t)-(a(1r,f3, t),P, t)
i=1
[3.11.21]
I
(a, (3, t)= L 1Ti(a, (3, t) (Xi- H (1f(a, (3, t) a, t).
i= 1
[3.11.22]
2) Nelle applicazioni finora incontrate e in quelle che incontreremo, .!cf(a, (3, t)
ha sempre la forma:
1 I
ff(a, (3, t)= _ 2 .  gij(fj) (Xi (Xj- V((3)
I, J= 1
[3.11.23]
con g matrice definita positiva. La fE e solitamente definita in intorni U aventi la
forma U = R 1 X U o X R, U o C R l e aperto. E' facile verificare che [3.11.23] e regola-
re in U poiche la [3.11.19] diviene:
I
1ri = .L gij() (Xj
J=I
[3.11.24 ]
che e ovviamente invertibile e non singolare se pensata come defmente (vedi
[3.11.19]) una trasformazione di U su V = R 1 X U 0 X R: questo in virtu della propo-
sizione XII (9 3.7) sulle matrici cinetiche.
La funzione di Hamilton associata a [3.11.23] e, per [3.11.24], [3.11.21]:
1 1
H(1r, (3, t) = _ 2 .  (g-I ((3))ij 1Ti 1Tj + V((3),
I,J=I
[3.11.25]
ove g- 1 ((3) e la matrice inversa della matrice g((3).

222
Capitolo terzo
3) Si noti, nel caso della lagrangiana L3.11.23], che la [3.11.2] e la condizione
che esprime l'annullarsi su a del gradiente della funzione di aE Rd.
a-+ 1r. a- (a, (3, t)
[3.11.26]
e una semplice discussione fa anzi vedere che in tale a la [3.11.26] ha un massimo,
per cui
H(w, (J, t) = maxI (11'. a- ,pea, (3, t))
QER
[3.11.27]
se .P e dato da [3.11.23]. Questa formula e detta, talvolta, "fonnula" 0 "trasfor-
mazione" di Legendre. Per quanta detto e valida in molte applicazioni.
Similmente, se H e dato da [3.11.25] si ha:
!fJ(a,(j, t)=max l (w.a-H(1f,a, t))
wE R
[3.11.28]
detta anche "trasformazione di Legendre inversa" della [3.11.27].
E' interessante notare la seguente proposizione che e una versione astratta del
teorema di conservazione dell'energia.
XIX Proposizione Si consideri un sistema di equazioni differenziali hamiltonia-
ne in un intorno U = R I X U o X R C R 21 + 1 e sia (11', 13, t) -+ H(ff, P, t) la relativa fun-
zione hamiltoniana (regolare). Allora se t-+(p(t), q(t), t)EU, tE[t., t2], e un mo-
to che verifica in U Ie equazioni di Hamilton si ha:
d aH
dt (H(p(t), q(t), t))= at (p(t), q(t), t).
[3.11.29]
Quindi, se H e "indipendente dal tempo ", cioe se esiste una funzione h su R I X U 0
tale che H('/(, (3, t) = h(rr, (3), la [3.11.29] implica che esiste una costante E, asso-
data al moto in esame, tale che:
h(p(t), q(t))=E tE[tl, t 2 ]
[3.11.30 ]
Dimostrazione. Infatti
d aH
dt H(p(t), q(t), t)= at (p(t), q(t), t) +
+.f. ( a O Pi + a O qi ) = a a H (p(t), q(t), t) +
1=1 1T, fJI t
+ .f. (qi Pi -Pi qi)= ° a H t (p(t), q(t), t).
1=1
[3.11.31]
mbe
Osservazioni
1) Nei casi finora incontrati nelle applicazioni la funzione di Lagrange aveva la

223
Sistemi a piu gradi di libertil
forma [3.11.23] e _ 2 1 .  g;j(q (t)). tl;(t) tlj(t) aveva l'interpretazione di energia
I, J= 1
cinetica T(t) del moto e V(q (t)) di energia potenziale V(t) del moto e, per la
[3.11.24], la relazione fra p(t) e q(t) e
p(t)=g(q(t)) q(t).
Allora, per [3.11.32]:
1 I
2 .  (g-l (q (t))) ij Pi(t) Pj(t) =
I, ] = 1
[3.11.32]
- _ 2 1 .  g(q(t) tl;(t) tlj(t) = T(t)
I, ] = 1
[3.11.33]
e quindi la [3.11.30] diviene
T(t) + V(t)=E,
[3.11.34 ]
cioe e it teorema di conservazione dell'energia.
2) Nel caso in cui si considera un sistema di N punti materiali non vincolato di
lagrangiana:
1 I 2
2(a, (J) ="2 ;1 m; 0:; - V({J) [3.11.35]
si vede che 1Ti=mil1i, i= 1, ...,N e, quindi se tx(t), tE[tt, t 2 ], e un mota del
sistema:
Pi (t) = mi xi ( t) i = 1 , ..., 1,
[3.11.36]
che spiega il nome di "impulsi generalizzati" dato alle variabili 1Ti: talvolta si di-
cono anche "impulsi coniugati" alle variabili (3i.
In relazione alle equazioni di Hamilton e interessante la nozione di "trasforma-
zione canonica", cioe di trasformazione di variabili che lascia inalterata la struttura
delle equazioni di Hamilton. Tale nozione ha una notevole importanza negli algo-
ritmi utilizzati nella teoria delle perturbazioni, cui accenneremo nel capitolo s.
16 Definizione Sia VC R21+1 e H una funzione hamiltoniana regolare su V (ve-
di definizione 15). Su V sia definita una trasformazione C di classe Coo tale che:
i) L'imrnagine di (p, q, t)EV ha 1a for111il (11',1(, t)=C(p, q, t) ("trasformazio-
ne isocrona ").
ii) L'immagine W=C(V) di Ve un insieme aperto in R21+1 e la trasformazione
C e invertibile su W con inversa di classe Coo e, inoltre, la matrice jacobiana della
trasformazione C non e mai nulla su 
iii) Esiste su W una funzione H' di classe Coo tale che, se t' (p(t), q(t), t)E V,
tE [t 1 , t 2 ], e un qualsiasi moto in V che verifica Ie equazioni di Hamilton con ha-

224
Capitolo tarzo
miltoniana H, [3.11.13], [3.11.14], aUora t(.(t), K(t), t)=C(p(t), q(t), t)EW
verifica Ie equazioni di Hamilton in W con hamiltoniana H' e viceversa.
Diremo che la trasformazione C e "una trasformazione canonica di V in W ri-
spetto aUe hamiltoniane H e H":
Le hamiltoniane H e H' e Ie variabili (p, q, t) e (1f, ", t)=C(p, q, t) si diranno
qanonicamente coniugate.
iv) Se C e una trasfor111ilzione indipendente dal tempo e verificante (i), (ii) e se
Ie funzioni hamiltoniane H' (1f, ,,) = H (C - 1 (rr, ,,)) sono canonicamente coniugate da
C, comunque si scelga la [unzione H su V e indipendente da t, si dira che C e "una
trasformazione canonica indipendente 001 tempo".
La seguente proposizione fornisce un metodo molto generale di costruzione di
trasformazioni canoniche.
xx Proposizione Sia H una funzione hamiltoniana regolare su VC R21+1 e sia
F una funzione di classe Coo su R21+1 che denoteremo:
(q, Ie, t) F(q, 1(, t)E R.
[3.11.37]
Posto, per i= 1, 2, ..., 1:
aF
Pi = aqi (q, ", t)
aF
1Ti = - _ a (q, Ie, t)
"i
[3.11.38]
supponiamo che Ie [3.11.38] stabiliscano una corrispondenza CF biunivoca fra
(p, q, t)EVe (1r, ", t)E W, (1f, Ie, t)=CF (p, q, t); inoltre supponiamo che W sia
aperto e CF sia di classe Coo su V con inversa di classe Coo su W e con matrice ja-
cobiana a determinante non nullo.
Allora Ia trasformazione CF e canonica su Vela funzione hamiltoniana H' su
W coniugata alia H su V e:
H'(w, Ie, t)=H(p(w, &. t), q(w, Ie, t), t) +  (q(w, Ie, t), Ie, t) [3.11.39]
ove si e posto:
(p(1f, Ie, t), q(1r, ", t), t)=C;l(fI, It, t).
[3.11.40]
Osservazioni
I) La funzione F si dice "funzione generatrice" della trasformazlone canonica CF.
2) Dalla dimostrazione della proposizione XX seguira che altre trasformazioni di
coordinate analoghe alle [3.11.38] sono trasformazioni canoniche: ad esempio, da
una funzione <I> su R 21 + 1 e di classe Coo
(q, 1f, t)  <I>(q, fI, t) E R
[3.11.41]
si costruisce una trasformazione canonica C<I> ponendo, per i = 1, ..., 1:

225
Sistemi a piu gradi di liberti
a <I> a <I>
Pi = _ a (q, 11, t) Ki = _ a (q, 11, t) [3.11.42]
qi ni
H'(1f, K. t)=H(p(1f, IC. t), q(1f, IC. t), t) +  (q. n, /c. t), n. t) [3.11.43]
ove si e denotato (p(w, Ie, t), q(Jr, K, t), t)=Cl(1r, K, t).
Similmente e con analoghe notazioni la funzione '11 su R 21 + 1
(p, ", t)'I1(p, K, t)ER
definisce una trasformazione canonica 19 C'l! ponendo, per i= 1, ...,1,
a '11
qi = - api (p, ", t)
H'=H+ a'll
at
a'll
ni=-- a (p, Ie, t)
Ki
[ 3 .11 .44 ]
[3.11.45]
E, anche, una funzione R di classe Coo su R 21 + 1:
(p, w, t)R(p, Jr, t)E R
[3.11.46]
definisce una trasformazione canonica CR ponendo:
aR
qi=- api (p, fl, t)
H'=H+ aR
at
aR
Ki=- a (p, Jr, t)
ni
[3.11.47]
[3.11.48]
3) Risultenl, perb, che la classe di trasformazioni canoniche costruite a partire
cia F come descritto nella proposizione XX non e essenzialmente meno vasta di
quella che si ottiene aggiungendovi Ie trasformazioni canoniche associate a funzio-
ni <I>, '11 e R come descritto nella precedente osservazione.
Sostanzialmente ad ogni F si pub associare una <I>, una '11 e una R che produ-
cono la stessa trasformazione canonica.
Dimostrazione. La dimostrazione e una semplice verifica che perb risulta, per
via diretta assai contorta.
Conviene procedere nel seguente elegante modo che mette in luce un'altra for-
ma del principio di minima azione: il principio di Hamilton.
Posto %V = Jt; t (PtQltl; P2Q2t2; V)=(insieme dei moti m in V aventi Ia for-
I 2
ma tm(t)=(p(t), q(t), t)EV, tE[t b t 2 ], e tali che p(t 1 )=pt. Q(tl)=Ql, P(t2)=
=P2, q(t 2 )=q2 (detti moti "sincroni" in V). Consideriamo la funzione su Ji,lV:
s(m)=J.l pj(t) qj(t)-H(p(t), q(t), t)) dt
[3.11.49]
19 Se sono verifieate Ie eondizioni di regolarita e non singolarita per Ie trasformazioni C<!>,
C W , CR analoghe a quelle supposte per CF.

226
Capitolo terzo
e, con i metodi ormai familiari, e facile vedere che la condizione di stazionarieta
di S su m, in %V, e la condizione che il mota m verifichi Ie equazioni di Hamilton
in V con hamiltoniana H (che sono, essenzialmente, Ie equazioni di Lagrange per
l'azione di lagrangiana [3.11.49]).
Sia ora t1J.(t)=(1r(t), K(t), t)=CF(p(t), Q(t), t), t' (t 1 t 2 ], il moto immagine
di un moto mE%V: e un mota in %W=CF(%V)= JiI; t (CF(P1' QiJ tl),
1 2
CF(P2, Q2, t 2 ); W).
Se J.1 verifica Ie equazioni di Hamilton per una hamiltoniana H' su W dovra ren-
dere stazionaria l'azione:
(p) = {1 'Tri(t) Ki(t) - H'(ll(t), IC(t), t)}dt
in %W.
Una condizione sufficiente perche questo avvenga e che:
S(m)=L(CF(m)) + costante VmE%V
[3.11.50]
[3.11.51]
che e sicuramente verificata se Ia forma differenziale su V:
I
L Pi dqi-H(P, q, t) dt
i= 1
[3.11.52]
e Ia forma differenziale su W:
I
"" , . ,
 1Ti dKi - H (1r , " , t) d t
i= 1
[3.11.53]
sono trasformate l'una nell'altra dalla trasformazione CF a menD di un differenzia-
Ie esatto.
Questa condizione si pub imporre richiedendo l'esistenza di una funzione G su
W tale che:
I
L Pi dqi-H(P, Q, t) dt=
i= 1
1
= L 7r i dK i - H' ( 1(, ", t) d t + dG ,
i= 1
[3.11.54]
ove p, Q, t si pensano funzioni di 1r, ", t via la trasformazione CF.
"""J
Per usare la [3.11.54] conviene pensare la funzione G come una funzione G di
Q e Ie, t anziche di 1r e K, t via la [3.11.38]. Si ha allora dalla [3.11.54]:
"""J 1 I
dG = L Pi dqi - L 7ri dKi -(H - H') dt
i=l i=l
[3.11.55]
e quindi si vede che la [3.11.54] e valida se e solo se esiste una funzione G che,
pensando via [3.11.38] i coefficienti dei differenziali nel secondo membro di [3.11.55]

227
Sistemi a piu gradi di liberti
come funzioni di q e K, e tale che, per i = 1, ..., 1:
"""J
"""J
"""J
H-H'=  .
[3.11.56]
aG
Pi= aqi '
ac
1T. = - -
I a" i '
Tali relazioni sana evidentemente soddisfatte proprio dalla funzione F.
Dalla [3.11.55], sottraendo membra a membra d'l p;q;) e pensando
1
\{I=F- Piqi
i= 1
come funzione di p e ", t via Ie [3.11.44) si trova che la trasformazione CF pub
anche essere pensata come la trasformazione C\{1 descritta dalle [3.11.44]. Simil-
mente ponendo:
I
<I> = F +  1T . " .
. I I
1= 1
[3.11.57]
e pensando questa funzione come funzione di (q, ft, t) via Ie [3.11.42] si trova che
CF pub anche essere pensata come la trasformazione C<I> descritta dalle [3.11.41],
[3.11.42].
Infine ponendo:
I I
R=F+  1Ti"i- L Piqi
i=l. i=1
[3.11.58]
e pensando, via [3.11.47], R come funzione di p, 11, t si vede che CF pub essere
pensata come la CR descritta dalle [3.11.46], [3.11.47].
mbe
Osservazione. L'interesse delle trasformazioni canoniche sta nel fatto che, a vol-
te, e possibile risolvere Ie equazioni di Hamilton trovando una trasformazione ca-
nonica che trasformi il sistema di equazioni hamiltoniane in VC R 21 + 1, di hamil-
toniana H, in un sistema copiugato con hamiltoniana H' =0.
Un modo concreto per cercare di trovare una tale trasformazione canonica ("me-
todo di Hamilton-Jacobi") consiste nel ricer care, in virtu dell a proposizione XX,
una funzione F, definita in un opportuno intorno n C R 21 + 1 tale che:
, ( aF ) aF
H =H\ aq (q, Ie. t),q, t +--at(q, Ie, t)=O
'tJ (q, ", t) E f2.
Possiamo considerare questa equazione ("di Hamilton-Jacobi") come una equa-
zione in cui" e un parametro e quindi come una equazione di fferenziale aIle deri-
vate parziali per una funzione (q, t) f(q, t)
[3.11.59]
( at ) at
H\ aq (q, t), q, t + at (q, t)=O
[3.11.60]

228
Capitolo tarzo
della Quale cerchiamo una famiglia a 1 parametri K=(K 1, ..., "I) di soIuzioni.
Se fossimo veramente in grado di costruire una tale famiglia di soIuzioni, cioe
ad esempio, se fossimo in grado di trovare una soluzione Coo in q, K., t delle
[3.11.59] per (q, ", t) E n, ove n e un certo insieme aperto, potremmo conside-
rare la trasformazione [3.11.38] canonica su n C R l X R l X R, generata da F, pur-
che F oltre ad essere di classe Coo sia tale che [3.11.38] trasformi in modo inver-
tibile e non singolare n in un in-sieme aperto W.
La trasformazione CF trasformerebbe Ie equazioni hamiltoniane di hamiltoniana
H in n in equazioni banali, hamiltoniane con hamiltoniana nulla, in W.
Va pero da se che, evidentemente, Ia difficolta di risolvere la [3.11.59] e equiva-
lente, proprio per quanto ora detto, a quella di risolvere l'originaria equazione ha-
miltoniana e non deve essere pensata, la [3.11.59], come una panacea universale.
L'utilita della discussione appena fatta sulla equazione di Hamilton-Jacobi sta nel-
la possibilita di formulare degli algoritmi di soIuzione delle equazioni di Hamilton
essenzialmente diversi dal metodo ricorsivo visto al paragrafo 2.3, per Ie equazioni
generali del primo ordine.
Questi metodi, basati sulla costruzione di successioni di approssimazioni alla
[3.11.59] sono metodi in cui viene esplicitamente sfruttata la struttura particolare
delle equazioni di Hamilton; quindi non e sorprendente che possano rivelarsi piu
consoni aHo studio di tali equazioni e fornire migliori approssimazioni a parita di
lavoro formale svolto.
Tuttavia illettore potra convincersi dell'effettivo interesse di questo metodo
per studiare Ie equazioni di Hamilton, solo vedendo qualche problema concreto
studiato sulla base di algoritmi di approssimazioGe di soluzioni delle equazioni di
Hamilton in cui, in realta, si approssimano soluzioni della equazione di Hamilton-
Jacobi. Le piu celebri e celebrate applicazioni si trovano nella teoria del moto dei
pianeti e, piu in generale, nei problemi di stabilita del moto di sistemi conservativi:
una di queste sara illustrata nel 9 5.12.
3.11 Schemi di esercizi
1. Estendere la nozione di trasformazione canonica sostituendo l'insieme aper-
to V' C R 21 della definizione con un insieme aperto di R l X T I.
2. Usando (1) si costruisca la trasformazione canonica di funzione generatrice:
mw 2 1
f(q, K)=Tq tg" qER,KET
e si noti che questa trasformazione rende semplice l'hamiltoniana:
P 2 2
W m 2
H(p,q)= 2m + 2 q.
Si trovino Ie soluzioni dell'equazione del mota dell'oscillatore armonico con l'aiu-
to di q uesta trasf ormazione.

229
Sistemi a piu gradi di liberta
3. Si consideri un sistema meccanico unidimensionale costituito da un punta
materiale di massa m ed energia potenziale VE C OO ( R). Si supponga che V abbia
un minimo assoluto Eo in qo=O e che V'(q)=1=O, Vq=1=qo. Si consideri la trasfor..
mazione canonica (p, q)  (E, T) definita nell'intorno di un punta ( p, q ) dalla fun-
zione genera trice:
q
f(E, q)=J V 2m(E-V(q)) dq
o
supponendo p 212m + V( q ). La si scriva esplicitamente e si calcoli l'hamiltoniana
nelle nuove coordinate.
4. Qual e il significato fisico di T in (3)?
s. Interpretare f, definita in (3), come soluzione dell'equazione
1 ( df ) 2
2m dq +V(q)=E
e confrontare questa equazione con l'equazione di Hamilton-Jacobi.
6. Si definisca, per EEo:
{ q+(E) dq'
w(E)=21T J
q_(E) 0 (E-V(q'))
ove qt.(E) sono Ie radici di E- V(q) = O. Si definisca, per E> Eo:
E
a(E) = J 27f, dE'
Eow(E )
e la sua funzione inversa A  e(A) (tale che e(a(E)) =E). Si consideri la trasforma..
zione canonica (p, q)(A, I.(J) di funzione generatrice:
q
S(A, q) = J V 2m (e(A) - V(q')) dq'.
Qo
Si calcoli la nuova hamiltoniana e si dimostri che la trasformazione canonica puo
essere estesa a una trasformazione canonica di R 2 I {(O, qo)} in I X T 1, ove 1= ( 0,
+00 dE' ) as as
21T J , . (Idea: si ponga I.(J= aA (A, q) mod 21T, p = _ a (A, q) e si mostri
E w(E ) q
o
che questa e una trasformazione di classe Coo.)
7. Si faccia vedere che la trasformazione di (6) e la naturale generalizzazione
della trasformazione in (2). L'angolo I.(J definito nelI'esercizio 6 si dice "anomalia
media" e, dunque, l'anomalia media varia sempre in modo uniforme.
3.11 Problemi e complementi
1. Si dimostri che se t x(t), tE [tJ, t2] e un mota che veri fica Ie equazioni
del mota associate alIa lagrangiana [3.11.23] e che ha energia E (vedi proposizio-

230
Capitolo tarzo
ne XIX e seguenti osservazioni) allora x rende stazionaria l'azione:
t 1
A(x) = J T(t) dt
t 1
suAt t (X(tl), X(t2), E) dei moti di energia totale E divU t t (%(tl), X(t2».
1 2 l' 2
2. Si consideri ora su R Nd la metrica associata al pt"odotto scalare [3.2.1] e sia
dl1'elemento di linea di un elemento della curva in R Nd di equazioni t -+ x(t),
tE [t 1 , t 2 ], che e un moto di energia E per il stema di N punti materiali di mas-
se m b ..., m N con energia potenziale V,
dl = V 2 T (t) d t.
Se pensiamo tale curva come parametrizzata dall'ascissa curvilinea e denotiamo
1-+(1) Ie relative equazioni parametriche, possiamo scrivere l'azione di xEJ#1- t (Xt,
l' 2
X2, E):
X 2
A(x) = J V 2(E- V(E(l» dl- E(t2 - tl)
Xl
ove l'integrale e lungo la curva 1-+  (1). Lo si dimostri.
3. Si consideri un sistema meccanico di N punti materiali in R d di masse
m 1, ..., mN. Si supponga che tale sistema sia soggetto a una forza attiva di energia
potenziale V(a) e a un vincolo ideale ad una superficie  regolare a 1 dimensioni.
Si considerino su  due punti  1 e 2 e l'insieme delle curve vU o 1 (}, 21)
,
giacenti su , di classe COO e congiungenti 1 a E2.
Dato EE R, si consideri il funzionale su vU o 1 <El, 21) definito dall'integrale
,
curvilineo sulla curva X EvU o 1 (E}, 21)
,
'2
S(x) = (.i) J v' 2(E- V(E» ds
II
ove l'elemento di linea ds e misurato con la metrica dell'energia cinetica: ds 2 =
=  mj(dx(i)i.
i=l
Si faccia vedere che il principio d'azione implica che S e stazionario sulla cur-
va x se e solo se x e una traiettoria di un mota di energia E che conduce da El a
2. (Principio di Maupertuis.)
(Idea: si consideri un sistema di coordinate regolari nell'intorno di un punto di
 che consenta di rappresentarne i punti via equazioni parametriche  =X(a),
a=(a},..., a/). Sia 2la lagrangiana, della forma [3.11.23], che descrive il sistema
in queste coordinate. Si scrivano Ie equazioni per Ia stazionarieta di S in vU o 1 (1, 21)
,
della curva oX di equazioni parametriche 7-+a(7): se si esegue il cambiamento di
varia bile 7  t, ove
t I
/
.  gij(tI(O»ai«(J)aj«(J)
I, ] = 1
dO
2(E - V(X(a «(J »)
ove l'apice denota derivazione (rispetto a 7 0 (J) si trova che il mota t -+ X (t) =
=X(a(7(t») ha energia E e verifica Ie equazioni di Lagrange per 2.)

231
Sistemi a pili gradi di liberta
4. Nelle ipotesi dell' esercizio 3 si definisca su  l'elemento di linea:
dh= V 2(E-V()) ds.
Si mostri che i1 principio di Maupertuis si PUQ interpret are dicendo che i moti che
si svolgono su  con energia E hanno luogo su geodetiche di  rispetto a questa
metrica. (Per definizione una curva e geodetica per una data metrica se rende sta-
zionaria la distanza fra due suoi punti nell'insieme delle curve che Ii congiungono:
la distanza essendo misurata rispetto alIa metrica in questione.)
In altre parole, se la distanza fra due punti 1 e 2 su  misurata con l'elemen-
to di linea dh e chiama ta "cammino meccanico di energia E" su , si PUQ dire
che "Ie traiettorie reali di energia E sono Ie curve che rendono stazionario il carn-
mino meccanico di energia E".
Al solito si puo far vedere che nei sistemi meccanici Ie traiettorie che rendono
stazionario il cammino meccanico di energia E in realta 10 minimizzano su tratti
abbastanza brevi (vedi esercizio seguente).
s. Nelle ipotesi dell'esercizio precedente si dimostri che se s-+x(s) e una curva
geodetica sulla superficie  associata all'elemento di linea dh allora, dato SI esiste
stale che s-+x(s). SE(Sl, S2), rende minimo i1 cammino meccanico di energia E
fra x (s 1) e .i (s 2 ) , V S 2 E [s b S].
6. Un punto materiale di massa m si muove vincolato a una superficie regola-
re  C R 3 alIa Quale e legato da un vincolo ideale e non e soggetto ad alcuna for-
za attiva.
Dimostrare, come conseguenza del principio di Maupertuis, Eulero, Jacobi (eser-
cizio 3) che il sistema si muove su  in modo che se due punti sulla sua traietto-
ria sono sufficien tenlen te vicini, aHora la traiettoria stessa, fra q uesti due pun ti, e
la curva che minimizza il cammino da percorrere tra i1 primo e il secondo punta
movendosi su  ("principio di Fermat 0 delle geodetiche").
7. I risultati di (4) si formulano in modo naturale anche per sistemi di N punti
materiali come un punta in R Nd pur di misurare Ie distanze in R Nd a mezzo della
metric a associata a1 prodotto scalare [3.7.1].
8. Si consideri l'elemento di linea:
ds 2 = (dX)2 + (dy)2
y2
definito nel semipiano y > o.
Se ne determinino Ie geodetiche attraverso l'interpretazione meccanica che per-
mette di pensarle come i luoghi dei punti descritti dai moti di energia nulla del si-
t .2 .2 1 1
sterna meccanico di lagrangiana 7: (x + y ) + 7: 2" .
y
9. Chiamando "rette per la geometria associata all'elemento di linea ds" Ie
geodetiche dell'esercizio 8 si verifichi la verits. 0 falsita delle seguenti affermazioni:
i) Dati due punti nel semipiano y > 0 per essi passa una ed una sola retta.
ii) Dati due punti in y > 0 essi sono congiunti da un solo segmento di retta
(segmento di retta = parte connessa di retta).

232
Capitolo terzo
tii) Dato un punta e una retta che non 10 contiene esiste una sola retta conte-
nente i1 punto e "paralIela" alIa retta data (cioe priva di punti in comune con
essa), in y > o.
10. Come (8) e (9) per Ie geometrie associate ai seguenti elementi di linea:
i) ds 2 =(x 2 + y2) (dx 2 + dy2)
ii) ds 2 = (1 - X 2 - y2 ) (dx 2 + dy2 )
dx 2 + dy2
tii) ds 2 =
c- + y2
(x, y)E R 2 \{O}
(x, y)ER 2 , x 2 +y2<1
(x, y)E R 2 \{O}.
11. Come (1) e (2) per la geometria definita sulla sfera dall'elemento di linea
indotto da quello euclideo su R3:
ds 2 = d0 2 + sin 2 () d2
in coordinate polari.
12. Si consideri la geometria definita nel semipiano superiore y> 0 dalla metri-
ca dell'esercizio 8. Si definisce un "triangolo" una figura formata da tre punti con-
nessi due a due da segmenti geodetici. Dato un triangolo si denotino Q, (3, 'Y i tre
angoli al vert ice misurati nel prodotto scalare associato alla metrica (che in questo
caso coincidono con gli angoli che Ie tangenti alle geodetiche nei vertici formano
tra lara nel senso della ordinaria nozione di angolo). La q uantita Q + (3 + 'Y -Tr si
chiama "difetto geodetico". Si mostri che e < O.
13. Un raggio lumino so procede in un piano con indice di rifrazione:
n (x, y) = V I - € y2 se I y I < 1.
Usando i1 principio di Fermat si dimostri che i1 cammino del raggio si svolge su
una sinusoide se si suppone che il raggio parta dalI'origine e abbia una direzione
iniziale vicina a quella orizzontale. (II principio di Fermat dice che il cammino dei
raggi rende stazionario it "cammino ottico" fra due punti qualsiasi della traiettoria
del raggio, nelI'insieme dei cammini che Ii congiungono. II cammino ottico in un
mezzo con indice di rifrazione n (x, y) associato alla curva x EvH o 1 (1, 2)
,
t 2
(x) J n(x, y) ds, ds= v dx 2 + dy2.
t 1
Quindi, via il principio di Maupertuis (vedi esercizi 3 e 4) il problema della deter-
minazione del cammino di un raggio PUQ essere interpretato come un problema
meccanico.)
14. Svolgere gli esercizi dal libro di Landau-LifSic, che si trovano nelle serie di
problemi relativi ai  18, 20, 21, 24, 32, 39, 44 in Mecanique (MIR, Mosca
1966) .
1 S. Si e segua la trasformazione di Legendre per la lagrangiana !E(:x, y, x, y) =
= yx 2 + y2 e si spieghi perche si ottiene un risultato strano.

233
SistBmi a pili gradi di libem
Esercizi per i1 ca pitolo 3
Per M. si intende illibro:
L. Metcherskij, Recueil de problemes de Mecanique Rationelle (MIR, Mosca 1973).
Per F.U. si intende illibro:
B. Finzi e P. Udeschini, Esercizi di Meccanica razionale (Tamburini, Milano 1958).
Per i paragrafi 3.1 e 3.2 vedi:
M., capitolo 3 paragrafi 10, 11, 12
4 21, 22, 23
9 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33
10 4,35,36, 38.
F.U., capitolo 6, capitolo 11.
Per i paragrafi 3.3, 3.4, 3.5 e 3.8 vedi:
M., capitolo 4 paragrafi 13, 14
5 15,16,17,18
10 37,39,43
11 46,47,48
6 19, 20.
F.U., capitoli 2,3,5,7,8,10,12,13,14,17,18,21.
Per il paragrafo 3.11 vedi:
M., capitolo 11, paragrafo 49.
Nota conclusiva
1) In queste pagine abbiamo chiamato "azione" una certa quantita (vedi [3.3.4]
e [3.5.14]) senza motivare questa nome.
In realta nella letteratura contemporanea e da qualche tempo invalso l'uso di
chiamare "azione di un moto" l'espressione [3.3.4], [3.5.14] e "principio della mi-
nima azione" it corrispondente principio variazionale.
Questo non e, forse, storicamente corretto: I' azione fu introdotta da Maupertuis
in occasione della formulazione del principio variazionale che porta it suo nome
(vedi problema 3, p. 230).20 II valore numerico di quella che Maupertuis chiamo
"azione di un mota" calcolata suI mota reale, che si svolge sotto l'azione di date
forze, e legato in modo assai semplice al valore numerico dell'azione [3.3.4], [3.5.13]
calcolata, sempre, suI mota reale (vedi esercizi 1 e 2, pp. 229 sgg.). La stesso accade
per i valori numerici di altre quantita talvolta chiamate "azioni di moti" (vedi, ad
esempio, la [3.11.49]). Queste semplici relazioni spiegano i1 perche della confusione
dei nami. Va perb sottolineato che fra Ie varie nozioni di azione intercorre una sem-
plice relazione solo se ne confrontano i valori numerici da esse assunti sui moti
reali: non ha alcun sensa domandarsi se sussista una semplice relazione fra i valari
assunti su moti variati (principalmente perche nei vari principi variazionali i mati so-
no parametrizzati e descritti in modo diverso e non sono quindi confrontabili fra loro ).
E' interessante citare Maupertuis a proposito della sua definiziane di azione, in-
20 Formulazione piuttosto oscura, invero, e chiarita da Eulero (vedi E. Mach, loe. cit., pp.
373 sgg.).

234
Capitolo terzo
terpretata poi da Eulero come descritto nell'esercizio 3 (p. 230):
Dccorre spiegare cosa si intende per quantita di azione. Quando un corpo e porta-
to da un punta a un altro occorre, per fare cia, una certa azione: quest'azione di-
pende dalla velocita che il corpo ha, dallo spazio che percorre, ma non e ne la ve-
locita ne 10 spazio presi separatamente. La quantita di azione e tanto piu grande
quanto maggiore e la velocita del corpo, e piu lungo il cammino che percorre; e
proporzionale alla somma degli spazi, ciascuno moltipIicato per la velocita con la
Quale i cor pi Ii percorrono. E' questa quantita di azione la vera spesa della Natura,
che essa amministra con economia quanta piu e possibile nel movimento della luce.
L'ultima riga si riferisce a un'applicazione che Maupertuis fece del suo princi-
pio di minima azione alIa propagazione della luce.
Per un ommento alla definizione di Maupertuis si vedano Ie irate pagine di
Mach (nota a p. 233).
2) Per una comprensione dello sviluppo storico dei vari principi si pub consul-
tare it citato libro di Mach, in cui vengono discussi criticamente e con attenzione
storica i vari principi della meccanica. Nel libro di Mach si trova anche un interes-
sante commento sulle "concezioni teologiche, animistiche e mistiche nella meccani-
ca" (p. 443) di estremo interesse (vedi osservazione 2 a p. 178 di questo capitolo).

Capitolo 4
Sistemi meccanici speciali
4.1 Sistemi di oscillatori lineari
In questo capitolo aderiremo sistematicamente alla convenzione di denotare e
scrivere Ie funzioni lagrangiane che incontreremo come (x, x, t) 0 (q, q, t)
ecc. invece che come funzioni di variabili generiche Q e (3: la notazione e, ovvia-
mente, impropria perche in questi casi Ie variabili x e x sono da pensarsi come va-
riabili indipendenti.
Questa notazione sara usata anche quando Ie coordinate x e x non sono coordi-
nate cartesiane, ma coordinate locali e, talvolta, i sistemi meccanici saranno diretta-
mente descritti in coordinate locali, omettendo Ie ovvie ma noiose discussioni, ne-
cessarie nei casi in cui Ie coordinate locali sono veramente tali (e cioe non sono
equivalenti a quelle cartesiane globalmente). Un tipico esempio di questa situazio-
ne 10 si ha quando si dice che un punta materiale vincolato alIa superficie di una
sfera unitaria e it sistema descritto dalla lagrangiana, in coordinate polari:
. . 1. 2 . 2.2
!E(8, if), 8, if), t)= 2 m(8 + (sIn 8) if) ).
[4.1.1]
Dopo un minima di esercizio e di riflessione questa notazione e queste convenzio-
ni (assai comuni nella letteratura) appariranno naturali e non dovrebbero dare luo-
go a confusione.
Dunque un sistema di oscillatori armonici a 1 gradi di liberta e, in generale, de-
scritto dalla lagrangiana su R 21:
1 1, I 1 1, I
!E(x, x, t)=2 .L.gij X i X j-2 .L. VijXiXj,
I, ] I, ]
[ 4.1 .2 ]
ove la matrice G = (gij )i, j= 1, ...,1, V = (V ij )i, j= 1, ...,1 sono due matrici simmetriche
e definite positive.

236
Capitolo quarto
Le equazioni lagrangiane associate a [4.1.2] sono:
I I
.L g;jXj=-.L VijXj i=I,..., I. [4.1.3]
J=1 J=1
Queste equazioni si possono trattare in tutta generalita e it risultato della lara teo-
ria e riassunto nella seguente proposizione che, essenzialmente, dice che Ie [4.1.3]
sono equivalenti, via una "semplice" trasformazione, a I equazioni del tipo
Y i = wl Y i i = 1 , ..., I.
[4.1.4]
I Proposizione La piu generale soluzione di [4.1.2], nell'intervallo t E (-00,
+(0),1 si PUD scrivere in termini di 21 costanti arbitrarie (A, 'P)=(A 1, ..., AI, 'PI, ..., 'PI)
come:
x(t) = t Ai 11(i) cos( wi t + 'Pi) [4.1.5]
i= 1
ove WI, ..., WI sono Ie I soluzioni positive dell'equazione, di grado I, in w 2 :
det(-w 2 G + V)
e i vettori 11(1), ..., ",(1) verificano Ie equazioni:
- w: Gll(i) + Vl1(i) = 0
[4.1.6]
[4.1.7]
e possono essere scelte in modo che:
(G 1I(i»). rl j )=5ij i, j= 1, ..., I.
[ 4.1 .8]
Ossen'azione. Le [4.1.3] ammettono dunque soluzioni periodiche aventi la forma
A1l cos(wt + 'P).
[4.1.9]
Tali oscillazioni vengono chiamate "modi normali1 La precedente proposizione ci
dice che esistono I modi normali indipendenti (e "ortogonali" nel senso [4.1.8]) e
che ogni oscillazione e una "sovrapposizione" di modi normali.
Per sottolineare l'interesse della ortogonalita [4.1.8] dei modi normali di oscil-
lazione deduciamo, dalla proposizione I e prima della sua dimostrazione, il segtien-
te corollario:
II Corollario L'energia dell'oscillazione [4.1.5] e:
E= t w[A[
2 i=1
[4.1.10]
e, cioe, la somma delle energie di ciascun modo normale componente.
1 E' facile vedere, e segue implieitamente, dalla dimostrazione della proposizione I, ehe
[4.1.3] e normale nel futuro e nel passato.

237
Sistemi meccanici speciali
Dimostrazione. L'energia e (vedi cap. 3):
1 1 1 I
E=2 .  gij X i X j+2 .  VijXiXj,
I, J= 1 I, J= 1
[4.1.11]
1 1
che in forma vettoriale si scrive (vedi app. A), E= 2 (G x). x + 2 (Vx). x 0, espli-
citamente, da [4.1.5]:
1 I
E = _ 2 .  {A i A j Wi Wj sin ( Wi t + l.{Ji) sin ( Wj t + 'Pj) ·
I, J= 1
· (rl i), G "lj») + A i A j co s ( Wi t + l.{Ji) cos ( Wj t + 'Pj ) . [ 4.1 .12]
. (,,(i), V,.,(j ))}
e, utilizzando [4.1.7], si pub rimpiazzare (1l 0 , Vrl j )), con wJ(rii), Gf1(j») e usan-
do successivamente la [4.1.8] si vede che la [4.1.12] si riduce alla [4.1.1 0].
mbe
Dimostriamo ora la proposizione I: se Wt,..., WI sono 1 radici positive della [4.1.6]
e se ,,1..1), ..., ,,1..') sono 1 vettori, lineannente indipendenti, verificanti Ie [4.1.7], n-
spettivamente, e chiaro che la funzione in [4.1.5] verifica Ie [4.1.3], VAt, ..., AlE
I  I
E R, v 'P 1, ..., 'PI E R .
E' una verifica diretta, per sostituzione di [4.1.5] in [4.1.3]. E' anche facile ve-
dere che dati ad arbitrio  E R 1 e fl E R ' e possibile determinare A E R l , tpE R 1 in mo-
do che la [4.1.5] verifichi, per t=O, il dato iniziale x(O)=,X(O)=fl. Infatti Ie con-
dizioni:
= t A o."U) CDS <po
. J J
J=1
.,,= t -A 0 wo."U) sin <po
. J 1 1
J=1
[4.1.13]
implicano, moltiplicando scalarmente [4.1.13] membro a membro per (G ",(i)),
i= 1, ..., 1, che
(G flU)) · E = Ai cos l.{Ji
(G flU)). fI= - AiWi sin l.{Ji
per Ie [4.1.8]. Le [4.1.14] determinano:
« G ",(j ) ) . ) 2
AJ =((G .,,(j»). )2 + 'f 2 fl
W.
1
i=I,...,1
[4.1.14]
1 (G ",(j)).",
tg <Pj = - Wj (G flU»). 
[4.1.15]
che determinano Ie Aj, j= 1, ..., 1, a menD del segno e, corrispondentemente, Ie

238
Capitolo quarto
<PjE[-1T, 1T], j= 1, ..., I, a menD di 1T in modo che l4.1.14J valga.
Viceversa se Ai e <Pi verificano [4.1.14] e facile vedere che, essendo '1(1), ..., ,,(1)
I vettori indipendenti in R ' e quindi formando essi una base in R ' , Ie [4.1.13] sono
verificate.
Un attimo di riflessione fa capire che, in virtu dei teoremi di esistenza e unicita,
sulle equazioni differenziali, la [4.1.5] e la pill generale soluzione di classe Coo del.
la [4.1.3] in (-00, + 00).
Resta da far vedere che effettivamente esistono gli I vettori ",( 1), ..., ",(l) e gli as.
sociati WI, ..., WI> 0: e questa una ben nota proposizione di Algebra che riassu-
miamo in appendice E. mbe
Converremo di risolvere Ie am biguita di segno nella determinazione di Ai, <Pi,
i=I,..., I, nella [4.1.14] imponendo cheAiO (e aHora <Pi e univocamente deter-
minato ).
Sara utile mettere in evidenza un immediato corollario della proposizione I. Ri-
cordiamo la definizione di T l , "toro a I dimensioni", ottenuto identificando i lati
opposti del quadrato [-1T, 1T]' e queHa di funzione in Coo(T l ) ottenuta pensando
come definita su T l una funzione di classe Coo "multiperiodica" su R ' (vedi defini-
zioni 12, 13, pp. 118 sg.) e formuIiamo la seguente definizione ove, come sem-
pre d'ora in poi, denoteremo i punti cpE r l a mezzo delle I coordinate "PI, ..., <PI di
uno dei punti di R ' che Ii rappresentano:
1 Definizione Dato 8 =((J 1, ..., ()1)E R l , la trasformazione di T l in se definita da:
cp = ( <P., ..., <PI) -+ ( cp + 8) = (<p 1 + 0 I, ..., <PI + 0 I) mod 21T
si dice una "rotazione di T ' di parametri 6 = (0., ..., (1) E R l ".
II gruppo (St)tER di trasformazioni di T ' in se definito da
St'P =St (<Ph ..., <PI) = (<PI + WI t, ..., <PI + WI t) mod 21T [4.1.17]
si dira il "flusso su T l generato dalla rotazione di T I di parametri w=(wt, ..., WI)"
ovvero ''flusso su T 1 di velocitiz costante w".
[4.1.16]
Vale aHora it corollario della proposizione I:
III Corollario E' possibile stabilire una corrispondenza fra tutti i possibili da-
ti iniziali (11, ) E R 21 per I'equazione [4.1.3] e I'insieme dei punti (A, cp)E [0,
+00)1 X r ' a mezzo delle [4.1.15] con I'aggiunta prescrizione AiO, j= 1, ..., I.
Questa corrispondenza e biunivoca e di classe Coo fra (0, + 00)1 X T l e la sua im-
magine in R 21 . 2 Nelle "coordinate (A, cp)" il mota [4.1.5] e semplicemente:
2 Questa regolarita di c1asse COD ha l'ovvio signifieato ehe, pensando la eorrispondenza in
questione come definita su (0, + 00/ X [-'IT, 'IT]l, ed estendendola in modo multiperiodieo a
(0, + 00 l X R / , si ottiene una funzione su (0, + 00 l X R I di elasse COD.

239
Sistemi meccanici speciali
t(A, .p+wt)
(vedi [4.1.17]).
[4.1.18]
Osservazione. E' al corollario III, e precisamente alIa [4.1.18], cui ci si riferisce
quando si dice che it mota di 1 oscillatori armonici e descritto da un moto rettilineo
e unifonne su una famiglia a I parametri A = (A b ..., AI) di tori I-dimensionali.
4.2 Rotazioni irrazionali suI toro a I dimensioni
Nel paragrafo 4.1 abbiamo visto come, nella teoria delle oscillazioni annoniche
si perviene a descrivere, in modo naturale, il mota di I oscillatori annonici come
una rotazione uniforme di T 1 descritta dal flusso:
St'P= (f{J + tW)=('PI + WIt, ..., 'PI + wit) mod 21T [4.2.1]
'fJE T l , tER e w=(wt, ..., Wl)E R ' sono Ie I "pulsazioni" del sistema di oscillatori
definite come Ie soluzioni positive dell'equazione [4.1.6].
Analizziamo alcune proprieta delle rotazioni uniformi di T l :
2 Definizione II flusso (St )tER definito da [4.2.1] su T ' si dice i"azionale se i
numeri (WI, ..., Wl)E R l sono "razionalmente indipendenti", cioe se la relazione:
I
L niwi=O nt,...,nlinteri
i= I
[ 4.2.2]
implica nl =n2 = ...=nl=O.
V ogliamo ora dimostrare:
IV Proposizione Sia (St)tER un flusso su T l definito da [4.2.1] con wE R l .
Se 'fJE T 1 e to E R la traiettoria:
f2(to)= {!p' I cp' =St, tto}
e densa in T l se e solo se il flusso (St )tER e i"azionale.
[4.2.3]
Osservaz ion e. Sare b be possibile dare una dimostrazione diretta della proposizione
IV lungo Ie linee dell'analoga proposizione vista nel paragrafo 2.20, nel caso 1= 2.
Preferiamo, tuttavia, dame una altemativa basata sulla teoria delle serie di Fourier
e sulla seguente proposizione, di per se interessante.
V Proposizione Sia [ECOO(T l ) e (St)tER sia un flusso tipo [4.2.1], i"azionale,
su T 1 ?
3 Vedi cap. 2, definizioni 12, 13 (pp. 118 sg.).

240
Capitolo quarto
/1 valore medio:
- 1 T
f(cp)= lim - T J[(Stcp) dt
T-++oo 0
[4.2.4 ]
esiste V cpE T l e vale, indipendentemente da c(J,
f = 1 [ J f('P, ..., 'Pi) d'P... d'Pi
(21T) T 1
[4.2.5]
Dimostrazione. Poiche [E COO(T l ), [pub essere rappresentata come:
I
-00 +00... i . nj<pj
[( ," ) - t i" e J = 1
y - Jnl...nl '
n l' ..., n 1
[4.2.6]
ove (In 1 , ..., n[ ): sono numeri complessi decrescenti piu velocemente di qualsiasi
potenza di (1 + 11111 +... + InzD- 1 per Inll +... + Inll-+oo (vedi proposizione XXVIII,
@ 2.21).
Inoltre it secondo membro di [4.2.5] e proprio [0,...,0, (vedi [2.21.13]).
AHora:
1
T i  n.I'
1 - 00,+00 ... . J 'Y'J
T J f ('P + wt) d t =  f n ,,".., n[ e J= I ·
o n l' . .., n I
. { IT it .i:. n j W j }
T J e J= I d t .
o
[4.2.7]
La serie in [4.2.7] e maggiorata daHa serie convergente:
L I I n l' .. ., nil
n I' ..., n I
[4.2.8]
perche it numero in parentesi {.} in [4.2.7] ha, evidentemente, modulo non supe-
riore a 1 in quanto media di numeri di modulo 1. AHora la serie [4.2.7], in nt, ..., nl,
e uniformemente convergente rispetto aTe, quindi, it limite di [4.2.7], cioe [4.2.4],
pub essere calcolato passando allimite, termine a tennine, T -+ 00 in [4.2.7].
L'integrale in [4.2.7] vale:
I
iT  n. w .
. J J
1 e J= 1 - 1
o
T I i-+oo
i L n.w.
. J 1
J=1
[4.2.9]
se jnjwj =1= 0; vale 1 se jnjwj = o.
Ma quest'ultima eventualita si presenta se e solo se n t = ... = nl = 0 per l'ipotesi
di irrazionalita di (St )tER e quindi in [4.2.7] tutti gli addendi salvo queHo con

241
Sistemi meccanici speciali
n=O sono infinitesimi per Too. Questo dimostra la [4.2.5].
mbe
(Si noti che la proposizione V e anche corollario immediato della proposizione
XXX,  2.21, p. 121.)
Prima 1i applicare la proposizione Valla dimostrazione della IV notiamo che
esattamente 10 stesso argomento usato nella dimostrazione della proposizione V
pub essere svolto per dimostrare la seguente proposizione:
VI Proposizione Nelle ipotesi della proposizione V sia TE R e si consideri illi-
mite:
1 N-I
:_ Ii hO f{ShTtp).
[4.2.10]
Tale limite esiste ed e dato da [4.2.5] se gli (I + 1) numeri w, WI, ..., wI, con
21T . I . d . d .
W = T' sono raZlona mente In lpen enti.
Osservazioni
1) Questa proposizione VI e la generalizzazione al caso I> 1 delle osservazioni
5, 6 (pp. 128). La dimostrazione e lasciata per esercizio allettore (si usi, ad esem-
pia, 10 stesso metodo della dimostrazione della proposizione precedente).
2) Una semplice analisi delle dimostrazioni delle proposizioni V e VI, conduce
alIa conclusione che i valori medi [4.2.4] e [4.2.10] esistono anche nell'ipotesi che
Wb..., wI (0 WI,..., wI e 21T/T) siano razionalmente.dipendenti: tali limiti pero
non saranno in generale dati da [4.2.5] e saranno -dipendenti.
Un immediato corollario della proposizione VI e la seguente dimostrazione del-
la IV:
Dimostrazione. Sia 'fJo E T I . Supponiamo it flusso irrazionale.
Sia X E Coo(T I ) una funzione non negativa che vale 1 su o e zero fuori di una
sferetta GeC T I di centro 4fJo e di raggio € > 0 (si ricordi che su T I e defmita una
metrica; vedi  2.21, definizione 12, [2.21.5 ]).
Applichiamo a X la proposizione V: vediamo che it valore medio di t X(St'l')
non pub tendere a zero, per nessun 'fJE T l : quindi per ogni to deve esistere t> to
tale che X(S t'l' ) > 0 e cioe S tlfJ e piu vicino di € a 'Po: allora !1( to) e denso.
1
Viceversa se esistono n I, ..., nl non tutti nulli e tali che L ni wi = 0, la funzione
in COO(T I ) defmita da: i= 1
\<,cos( n l<Pl +... + nl <PI) = C(\O)
[4.2.11]

242
Capitolo quarto
non e costante su r l , come e facile vedere. E' tuttavia costante sulla traiettoria
tSt(CP), tE R, VqJE r l : e dunque, ad esempio, la traiettoria dell'origine non si
potra mai avvicinare troppo, al variare di t, a un qualsiasi punta tp tale che C (cp) < 1 :
non pili di 8 ove 8 e tale che IC(cp')-C(cp")1 < l-C(.p) se Icp'-cp"l <0.
mbe
Come dalla proposizione V segue la IV cosi dalla proposizione VI segue it se-
guente corollario:
VII Corollario Nelle ipotesi delLa proposizione IV dato r > 0 e posta W = 21T/r,
l'insieme, numerabile, di r 1 :
!1 r (t O )= {\jII-P =Shr'fJ, hrto}
[4.2.12]
e denso in r 1 se e solo se gli (I + 1) numeri W, WI, ..., WI sono razionalmente indi-
pendenti.
Dimostrazione. Per esercizio.
4.3 Sistemi ordinati di oscillatori. Discussione fenomenologica e formulazione
euristica del modello di corpo elastico perfetto (corda, lamina e solido elastici)
Nelle applicazioni si possono incontrare serie difficoIta nell'utilizzare la teoria
generale dei paragrafi 4.1 e 4.2. Tale uso infatti presuppone la possibilita effet-
tiva di costruire Ie pulsazioni proprie Wt, ..., WI e i relativi autovettori 'Il(1), ..., ",,(1):
abbiamo visto che tale costruzione passa per la risoluzione di un'equazione algebri-
ca di grado 1, la [4.1.6], e di I sistemi di equazioni lineari di 1 equazioni in 1 inco-
gnite, Ie [4.1.7]. E' perb anche vero che in importanti applicazioni Ie matrici G e
V del paragrafo 4.1 non sono arbitrarie, ma hanno speciali proprieta che talvolta
pennettono la esplicita soluzione del problema della costruzione dei modi normali.
Ci proponiamo, nei paragrafi 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 di esaminare in dettaglio alcuni
fra i pili interessanti casi.
Dedicheremo questo paragrafo alla formulazione matematica esatta del proble-
ma che vogliamo considerare.
Sia Z: it reticolo d-dimensionale dei punti  E R d con coordinate che sono mul-
tiple intere di a> 0:
=(nla, n2a, ..., n3a) nt, ..., nd interi. [4.3.1]
Immagineremo che in ogni sito  EZ: sia locato un oscillatore di massa m vincola-
to a muoversi su una retta per E ortogonale a R d a mezzo di un vincolo ideale.
Supporremo inoItre, se Yt e l'elongazione rispetto a e dell'oscillatore in E, che:
i) Ogni oscillatore e soggetto a una forza di richiamo elastica di energia poten-
ziale :
K 2
TYt.
[4.3.2]

243
Sistemi meccanici speciali
ii) Ogni oscillatore e soggetto ad una forza esterna di energia potenziale:
mg(E) Yt [4.3.3]
ove g ("forza peso") e una funzione di classe Coo(R d ).
iii) Fra gli oscillatori si esercita una forza elastica agente fra oscillatori adiacenti
in Z: e di energia potenziale:
1 I 2 2
2: K [(Yr- y£,) +0 ]
[4.3.4]
ove I - E'l =0 e il termine in parentesi quadra rappresenta il quadrato dell'elonga-
zione di una molla tesa fra i due oscillatori.
iv) Un vincolo ideale che obbliga tutti gli oscillatori, fuori di una regione finita
aperta n connessa e con frontiera an di classe Coo e regolare, ad avere elongazioni
d
nulle. Porremo na = n n Za .
Ovviamente considereremo solo i casi d = 1 e d = 2 4 e rappresenteremo grafica-
mente (fig. 4.1) la situazione ora descritta come:
Figura 4.1
nel caso d = 1 (fig. 4.2) e come:
Figura 4.2
nel caso d = 2.
4 II easo d = 3 e un modello poco interessante di solido elastieo: puo infatti "vibrare in
una sola dire7ione".

244
Capitolo quarto
Oal pun to di vista analitico il sistema in questione sembra aHora essere il siste-
ma descritto dalla lagrangiana
1 K
.!f o =- L mYt-- L y2_
2 t E !1 a 2 fE!1 a t
[ 4.3.5]
K'
-m L g()Yt-2 L L(Yt- Y t+ae)2
t E !1 a t E !1 a e
ove L e la somma sui 2d versori unitari diretti come gli assi di Z: : e =et, -et, e2,
e
-e2, ..., ed, -ed se el, ..., ed sono i d versori coordinati associati a Z:. Nell'ultimo
addendo abbiamo tralasciato il termine a 2 che appare in [4.3.4] poiche da luogo a
una costante additiva in .!f o .
Nella [4.3.5] appaiono terminiYt con Ef2a (se E e vicino al bordo di f2 pub
accadere che  + a e f/= f2): tali termini conformemente a (iv) vanno interpretati po-
nendo Yr=O.
Oa un punta di vista fisico l'interesse del sistema meccanico [4.3.5] sta nel fat-
to, suggerito dalle figure precedenti, che se a e molto piccolo esso pub essere con-
siderato come un modello discreto per una corda 0 una superficie ("lamina") ela-
stica, se d=l 0 2.
Ci si pub immaginare che, per a piccolo, dati iniziali (Yt, Yt )t E !1 a , regolari,
cioe aventi la forma:
Yt=U(), Yt=v() E Ef2 a,
[4.3.5']
ove u, v E COO(R d ), evolvano mantenendosi con buona approssimazione regolari si-
mulando cosi il mota di una corda 0 di una superficie. Perche questo accada e
perb chiaro che i parametri m, K, K' devono essere opportunamente scelti in fun-
zione di a: la loro scelta, che adotteremo nel seguito, e motivata dalla seguente
discussione euristica:
a) La massa m di ciascun oscillatore deve avere la forma:
m=Jla d ,
[4.3.6]
perche ciascun oscillatore deve corrispondere intuitivamente a un pezzetto di di-
mensione a del corpo, che verra supposto di densita Jl.
b) Le costanti K e K' devono essere determinate in modo da produrre sull'oscil-
latore in  forze proporzionali ad ad, altrimenti nellimite a -+ 0 svanirebbero (se
 ad) 0 produrreb bero accelerazioni infinite (se  ad).
La forza associata a K e - Ky e quindi
K=aa d , a>O.
[4.3.7]
La forza esercitata dai due oscillatori in E - a e e E + a ei sull' oscillatore in  e
-K'[(Yt-Yt+aei) + (Yt-Yt-aei)]
[4.3.8]

245
Sistemi meccanici speciali
e se Y e assimilabile a u (e), con u E COO(R d ), possiamo calcolare [4.3.8] usando 10
sviluppo di Taylor al secondo ordine:
Yt-Yt:taei  u()-u(E:taei)=
2
= +a(aiuH)--T (aluHt)+O(a 3 )
[ 4.3.9]
ove ai U abbrevia a a. e alu abbrevia a2 . Allora [4.3.8] diviene:
t;l a i
K'a 2 (alu) () + 0(a 3 )
[4.3.10]
che ci permette di concludere che occorre porre:
K'a 2 =ra d r>O.
[4.3.11]
Con queste scelte di K, m, K' la [4.3.5] diverrebbe:
(o(a) Jl d  .2 a d  2
oZ 0 =-a  Y --a  Y -
2 t E !1 a E 2 E!1a t
d  (  ) r d   (YE-Yt+ae)2
-Jla  g  Y -- a   .
t E !1 a t 2 t E !1 a e a 2
[ 4.3.12 ]
Questo modello, a ben riflettere, non e ancora corretto da un punta di vista fisico.
La discussione euristica fatta finora infatti e stata condotta supponendo che 
fosse lontano da an: se  e adiacente a an non e infatti chiaro cosa vuol dire che
Yt e regolare poiche Ie funzioni u, v che la approssimano in [4.3.5'] non possono
essere a-indipendenti, come invece si e supposto, nelle vicinanze di an: basta uno
sguardo aHa figura seguente (fig. 4.3) per convincersene: i punti fuori di an e ad
essa adiacenti hanno una struttura piuttosto erratica e soprattutto dipendente in
modo assai delicato d(l. a stesso.
Questo punto, che potrebbe apparire a un esame superficiale irrilevante, ha in
realta una certa importanza, se non altro per la corretta formulazione del proble-
ma (cosa vuole aHora dire che YE, y e un dato iniziale regolare?).
Nel caso d = 1 la difficolta pub essere semplicemente evitata supponendo che a
sia scelto sempre in modo che an, costituita da due soli punti, sia su Z;: in que-
sto caso dunque ci comporteremo effettivamente cosi e assumeremo quindi come
modello di corda vibrante it sistema [4.3.12] con questa restrizione sui valori "per-
messi" di a.
Nel caso d = 2 ovviamente non e possibile cavarsela COSt a buon mercato e, per
capire cosa fare, occorre di nuovo ricorrere a considerazioni di natura fisica euri-
stica.

246
Capitolo Quarto
an
Figura 4.3
Quando si immagina una superficie elastica omogenea che oscilla con i bordi
fissi su an si ha in mente la seguente situazione: si deposita una superficie elastica
omogenea su un piano e poi la si fissa ("con colla") at piano nei punti di an e
poi la si fa oscillare e se ne studiano Ie oscillazioni.
Se la superficie e descritta da oscillatori, come nel nostro caso, collegati da mol-
le, it procedimento corrispondente e queUo di porre gli oscillatori nelle posizioni
di quiete su Z: e quindi pinzare ("con colla 0 chiodi") Ie molle che collegano i
punti EEn con punti E'=e+ae$n nel punta in cui it segmento EE' interseca an.
Fatto questo, it sistema viene fatto oscillare mantenendo fissi gli oscillatori ester-
ni an.
AI bordo di n si produce la situazione esemplificata in figura 4.4 che signi-
fica che la costante elastica che lega YE e an e diversa da K' come, invece, ipo-
tizzato in , [4.3.12]. Infatti Yt e tirato da an da una molia di cost ante elastica 5
K=K'!!....
€
[4.3.13]
5 La eostante elastica di un pezzo di una molla di eostante K' ottenuto pinzando la molla
a distanza € nella situazione in cui ha elongazione Q, e manifestamente data da [4.3.13].

247
Sistemi meccanici speciali
Yt
Figura 4.4
Poniamo allora, per  E na:
€a(,e)=a se +aeEna'
€a(' e)=(distanza fra  e l'intersezione fra an e it segmento
[4.3.14]
+ae)
[4.3.15 ]
e riassumiamo Ie considerazioni finora fatte nella seguente lagrangiana che adotte-
remo come modello discreto di corda 0 superficie vibrante (vedi fig. 4.5):
(a)=  ad  Yt-p.a d  g<nYt-
E Ef2 a Ef2a
[4.3.16]
a d L 2 T d-2 L L a 2
-2 a t E11 a Yt -2 a t E 11a e €a(t e) (Yt-Yt+ae) ,
Figura 4.5 Illustrazione del sistema di oseillatori eorrispondente a [4.3.16].
scartando il modello piu semplice e semplicistico [4.3.12]: qui i valori di Yt' quan-
do 'fFna (presenti in [4.3.16] quando  e vicino a an e +€a(E, e)e='fFna)
sono da pensarsi nulli; ovvero, piu in generale, se si pensa di fissare la superficie
(0 la corda) a elongazioni preassegnate su an. e descritte da una funzione

248
Capitolo quarto
hE C OO (an),6 sono da pensarsi date da:
Yt'=h(') [4.3.17]
se '=+€a(' e)eEan.
E' chiaro che [4.3.16] differisce da [4.3.12] solo per i termini in cui  e adia-
cente a an. E' anche chiaro che la critica prima fatta a [4.3.12] non si applica piu.
Ad esempio, se h = 0, i dati iniziali Yr e Yt si chiameranno "regolari", in modo ora
assai naturale, se:
Yr= u(), Yr= v()
[ 4.3.18 ]
e u, v E C;,(n) (vedi elenco dei simboli, pp. 495 sg.).
Nei prossimi paragrafi studieremo alcune proprieta dei moti del sistema [4.3.16],
[4.3.17] cercando di prest are attenzione al problema della regolarita dei moti con
condizioni iniziali [4.3.18] e alia loro interpretabilita come moti di una corda 0 una
superficie elastica.
Se d = 3 la [4.3.16] ha ancora senso, ma non fornisce un modello molto natura-
le di solido elastico: diviene pero assai piu naturale se Yr anziche essere una gran-
dezza scalare (YtE Rl) viene considerato come un vettore in R3: in tal caso, pen-
sando YtE R 3 , anziche YtE R 1 come finora, la [4.3.16] fornisce un interessante
modello per Ie deformazioni elastiche di un solido. II caso d = 3 non verra ulterior-
mente esaminato in quel che segue.
4.4 Catene di oscillatori e corda vibrante. n problema di Dirichlet
unidimensionale discreto
Consideriamo la lagrangiana [4.3.16], [4.3.17] supponendo n=[O, L] e a tale
che =N e un intero.
a
Si tratta dunque di un sistema di N + 1 oscillatori in cui it primo e l'ultimo so-
no fissi ad altezze assegnate: la lagrangiana [4.3.16], [4.3.17] diviene:
Jl N-l N-l
!f=- 2 a.L Yla+Jla.L g(ia)Yia-
1= 1 1= 1
N N - 1 ( ) 2 + ( ) 2
- .!!...- a L Y fa - -I- a L Yia - Yia + a Yia - Yia - a
2 i= 1 2 i= 1 2
a
[4.4.1]
Yo=ho, YL=hL, gECOO(R).
Le equazioni del mota per [4.4.1], [4.4.2] divengono per i= 1, ..., (N -1):
[ 4.4.2]
6 Una funzione f definita su una superfieie regolare  C R d si dice di elasse Coo se, per ogni
sistema di coordinate loeali regolari (U, E) la sua restrizione a Un  e una funzione di elasse
Coo delle coordinate dei punti di Un  in (U, :E) (vedi definizione 10, p. 183).

249
Sistemi meccanici speciali
JlO Yia=JlO g(ia)-OO Yia-.I.... (2Yia-Yia+a- Yia-a)
o
[4.4.3]
ove
Yo=ho, YL=hL.
Questo e un sistema di equazioni differenziali lineari non omogeneo che, al so-
lito, studieremo scrivendone Ie soluzioni come somma di una soluzione particolare
e di una soluzione dell'equazione omogenea (che si ottiene ponendo g = 0 e ho =
=hL =0).
Studiamo prima l'equazione omogenea. I risultati dello studio che segue sono
compendiati nella proposizione IX alIa fine del paragrafo. In tal caso Ie [4.4.3] cor-
rispondono aIle equazioni lagrangiane di [4.4.1], [4.4.2] con g=O, ho=hL =0: e
questo un sistema di oscillatori del tipo considerato al paragrafo 4.1 in cui:
G ij = JlO ° ij i, j = 1 , ..., N - 1
T
Vij = 00 0ij + - ( 2S ij -Sij+ 1 -Oij-I) i, j= 1, ..., N -1,
o
[4.4.4]
[ 4.4.5]
come e immediato veri fie are, notando che, se -Y=('Yi)i=l,...,N- b si ha, consideran-
do 'Yo ='YN =0:
N-l N-I N-l
.  Vij 'Yi'Yj =OO.L 'Yl +.I.... .L « 'Yi - 'Yi+ 1 )2 + ('Yi -'Yi -I )2).
1,}=1 }=1 0 }=I
[4.4.6]
Cerchiamo ora di risolvere it sistema w2G11-Vfl=0 (vedi [4.1.6], [4.1.7]): nel ca-
so considerato tale sistema diviene:
2 (217ja -17ja + a -17ja - a )
- JlW 17ja= - O11ja- r 2
o
[ 4.4.7]
ove j = 1 , ..., N - 1 e 17 0 = 17L = O.
Vista la ovvia analogia di questa equazione in t1 con l'equazione differenziale Ii-
neare -J.lw 2 17=-017-T17" cerchiamo soluzioni di [4.4.7] della forma:
'Y). =  R eO/.pja
'.}O tJp ,
P
I3 p , cx p E C,
[4.4.8]
ove p e un indice di somma.
Perche eO/.pja sia soluzione di [4.4.7] per j=2,...,N-2 deve essere:
(-Jlw 2 +0)=- 2r 
0 2 
eQpa+e-Qpa
2 l.
[ 4.4.9]
Se w 2 e tale che questa equazione abbia una soluzione ex allora anche -ex e solu-
zione e tenteremo di risolvere [4.4.7] con '1 dato da:
'Y). = {3 ea.ja + {3 e - a.ja
't}a + - ,
[4.4.10]
ove ex e W sono legati da [4.4.9].

250
Capitolo quarto
Le uniche fra Ie [4.4.7] che [4.4.10] PUQ non verificare sono Ia prima e l'ultima:
tali equazioni divengono, se 1'1 ha la forma [4.4.10], equazioni per 13:t:
 ((- Jlw 2 + a) + -;- (2 -e - paa)) {3p epa(N - 1)0 = 0
p=t a
[4.4.11]
che corrisponde a [4.4.7] con i=(N -1) a e, per i= 1:
L ((- JlW 2 + a) + --..!.... (2 -e paa )) 13 e paa = 0
p=t a 2 p
[4.4.12]
che, utilizzando [4.4.9] divengono:
L -I- e paNa {3 =0
2 p,
p=t a
T
 -  =0
2 tJp
p=t a
[4.4.13]
Perche queste due equazioni omogenee nelle due incognite {3+ e {3- abbiano soIu-
zione non banale occorre che il determinante dei coefficienti sia non nullo e cioe
occorre che:
e 2aNa = 1
[4.4.14]
e, in questo caso, {3+ = - {3- .
Quindi:
. 7T h
a=z-
Na
h=O,I,...
[4.4.15]
cui corrispondono Ie soIuzioni (vedi [4.4.10]):
(h) {3 . 7T h .
17ja = sIn N 1
h = 1 , ..., N - 1
[4.4.16]
e i rispettivi autovalori wh sono, da [4.4.9]:
2 ( 1 -cos : a )
2 a T lVa
Wh=-+- .
Jl Jl a 2
[4.4.17]
Le soIuzioni [4.4.16] sono indipendenti perche ortogonali:
Nl (h) (h')_ {3 2N1. 7Th.. 7Th' .
. 17ja 17ja = . sm N J sIn - N J=
}=1 }=o
{32 N - 1 ( h - h' . h + h' ;)
= 2 jO COS 1T N J - COS 1T N J J =
 . (h-h') . . <h +h' ) )
{32 N - 1 11'1 N } 11'1 N }
=-ReL e -e =
2 j=o

251
Sistemi meccanici speciali
(32
=- Re
2
e 7ri (h-h')_l
. (h-h')
1fl
N
e
-1
e 7ri (h+h')-1
(h+h')
1Ti
N -1
e
2 N ,  ' 1 1
che va interpretata come  _ 2 se h = h ed e nulla perche Re . = - _ 2 '
 elC-1
VaE R e e i 7r(h-h')=e i 7r(h+h') = t I) se h *- h', h, h' = 1, ..., N -1, e quindi:
f'/(h L ,,(h')={32  Dhh" h, h ' =I,...,N-l. [4.4.18]
Dunque, nelle notazioni del" paragrafo 4.1, il piu generale mota degli N -1 oscil-
latori descritti da [4.4.1], [4.4.2] con ho=O=hL e g=O e
N - 1 , 12 ( rrh )
Yja(t) = h1 Ah V N" ,in Na ja COS(Wht+lph)
[4.4.19]
ove Wh > 0 e dato da [4.4.17].
Torniamo ora aHa [4.4.3] e cerchiamone una soluzione particolare. Evidente-
mente la soluzione particolare piu semplice e, se esiste, una soluzione y (t) =c sta-
zionaria, cioe una soluzione del sistema:
(2Cja- C ja+a- C ja-a) .
a Cja + T = J.lg(Ja) +
a 2
[ 4.4.20]
T
+- (8jN- 1 hL +8j 1 h a ), j=I,...,N-l,
a 2
ove va inteso che Co = C L = o. Queste equazioni seguono immediatamente dalle
[4.4.3] in cui si sono eliminati i termini con Ie derivate rispetto al tempo (perche
ricerchiamo una soluzione stazionaria) e si sono portati a secondo membro i ter-
mini non omogenei dipendenti da g e h.
Chiamiam0'Y il vettore "'=('Yia)i=l,...,N-l definito dal secondo membro di
[4.4.20]; ricordando la definizione di V [4.4.5] si vede che [4.4.20] si pub scrive-
re (vedi app. A per Ie notazioni):
1
- Vc='Y.
a
[4.4.21 ]
Questa equazione ha una ed una sola soluzione poiche V, per la [4.4.6], e definita
positiva se a  0 e T > 0 e la sua soluzione e la soluzione particolare della [4.4.3]
ricercata, e ne e l'unica soluzione stazionaria (perche det V =1= 0).
E' anche possibile trovare un'utile espressione per c.
Se in [4.4.16] scegliamo (3=  vediamo che le [4.4.18] dicono che ,,(1), ...,
T/(N - 1) sono (N - 1) vettori a N - 1 componenti e formano una base ortonormale
in R N - 1 .

252
Capitolo quarto
Inoltre tali vettori sono tali che:
V,,(h) = a Jl w T/(h)
[ 4.4.22]
per costruzione.
Dunque potremo scrivere:
N-l
1= L 'j(k)1l k )
k=l
[4.4.23 ]
N-l
C = L c(k) ll(k)
k=l
[4.4.24 ]
ove c(k) sono incognite e:
.y(k) = (l1(k). '1)= vi 2 Jr. p.g(ja) sin rrk ja ) +
N lV=l L
T ( . rrk . rrk(N -1) ) l
+7 hoslOTa+hLslO L r"
Le [4.4.21], usando Ie [4.4.22], divengono aHora:
c (k) = Jl- 1 Wk 2 'j(k)
[ 4.4.25]
[ 4.4.26]
e fomiscono una esplicita espressione per Ie componenti di c sulla base "naturale"
'1(1), ..., ll(N-l).
Prima di enunciare una proposizione che riassuma tutti i risultati fin qui con-
seguiti, e opportuno dare una definizione assai interessante che consente una sug-
gestiva interpretazione della [4.4.21].
3 l)efmizione Sia n = [0, L], e £ =N intero; si definisce "/'operatore di La-
a
place aile differenze finite relativo al reticolo Za" come la matrice (N -1) X (N + 1)
che al vettore 8=(8ja)f= oER N+l associa il vettore ((D8)ja)j=1,...,N-l tale che 7
8ja+a- 28 ja + 8ja-a
(D8)ja= 2 .
a
[ 4.4.27]
In queste notazioni la [4.4.21] si pub scri v ere, con un ovvio abuso di linguaggio:
(ac-Dc)t= Jlg()
ct=ht
 EQa\an.
Ean.
[ 4.4.28]
4 Definizione L 'equazione [4.4.28] prende nome di "problema di Dirichlet di-
7 Gli elementi di matriee Dij di D sono, dunque:
2 °ij+l + °ij-l N
Dij =- - Oij + i= 1, ..., -1
a 2 a 2 j = 0, ..., N

253
Sistemi meccanici speciali
screto non omogeneo" per la regione n sui reticolo Z; con dato al bordo h e dato
interno Ilg.
L'esistenza e unicita della soluzione di [4.4.21] viste nella precedente analisi si
traducono nel corollario:
VIll Corollario II problema [4.4.28] ammette una e una sola soluzione comun-
que lIenga assegnato il dato al bordo e it dato interno.
Concludiamo questo paragrafo riassumendone i risuitati:
IX Proposizione I moti associati alla [4.4.1], [4.4.2] hanno la forma:
(a) (a) N - 1 .. ff ( 7Th 
y (t)==c + hl AhVN sinT tOS(Wht+"'h)
[ 4.4.29]
ove:
2 ( 1 - cos  a)
+2.
J.1 J.1 a 2
[ 4.4.30]
Wh=
e it vettore c(a) = (cf )fE!1 a e la soluzione del problema di Dirichlet [4.4.28] con
dato al bordo h e dato interno J.1g: per  = a, 2a,..., (N - 1) a:
N - 1 sin  k {( )
ca) == L L 2 N 2  g(') sin 7T L k ' +
k= 1. Wk (
+  a: (h o sin 7 a+hL sin 7 a(N- 1 V}.
[4.4.31]
Osservazione. I modi normali hanno una notevole "struttura spaziale" ossia una
notevole dipendenza da : sono infatti interpolabili da una funzione sinusoidale con
due "nodi" (cioe due zeri) agli "estremi" 0 e L e nell' h-esimo modo normale tale
funzione ha esattamente (h - 1) altri nodi in [0, L].
4.5 La corda vibrante come caso limite di una catena di oscillatori. Caso g e h
nulli. Equazione delle onde
La scelta della Iagrangiana [4.4.1], [4.4.2] e stata motivata dalla richiesta che il
sistema meccanico da essa descritto formi un buon modello per Ie oscillazioni di
una corda elastica.

254
Capitolo quarto
In questo paragrafo dimostreremo proposizioni che mostrano in un senso mate-
maticamente preciso come questa richiesta sia effettivamente realizzata nei model-
Ii [4.4.1], [4.4.2] nel caso g e h nulli.
Per avere un'idea di cosa cercare di dimostrare osserviamo prima che, formal-
mente, Ie [4.4.3] hanno un limite per a-+O che e l'equazione:
a2y a 2 Yt [4.5.1]
J1 at 2 =J1g-aY-j a2
Yo =h o , y=hL, [4.5.2]
mentre Ie equazioni [4.4.28] per il "centro" delle oscillazioni divengono, sempre
formalmente:
d 2
ac---;- Ct=J1g E(O, L)
d
[4.5.3 ]
Co =h o , cL =hL.
Dimostreremo ora la seguente:
X Proposizione Sia t-+ y(a)(t) la soluzione di [4.4.3], con g=h =0, che fa se-
guito al dato iniziale:
yJ:) (0) = uo(ja) j= I, ..., N-I
[4.5.4]
Yj)(O)= vo(ja) j= I, ..., N-I [4.5.5]
ove uo, VO EC;'([O, L])={funzioni di Coo([O, L]) nulle in un intomo di 0 e di L}.
Allora per ogni t ERe x E [0, L] esiste illimite:
lim ya)(t)=w(x, t) [4.5.6]
ao
x
e definisce su [0, L] X R una funzione di classe Coo che verifica l'equazione:
a 2 w a 2 w +aw=O (x, t)E[O, L] X R [4.5.7]
J1 at 2 -j ax 2
w(x, O)=uo(x) tix E [0, L] [4.5.8]
aw tixE[O,L] [4.5.9]
at (x, O)=vo(x)
w(O, t)=O= w(L, t) titE R [4.5.10]
che, a sua volta, ammette un 'unica soluzione di classe Coo: e la funzione descritta
nella [4.5.20] che segue.

255
Sistem i meccan ici speciali
Osservazioni
1) E' chiaro che questa proposizione rende preciso il fatto che un dato iniziale
"regolare" evolve per [4.4.3] in una configurazione "regolare". Inoltre spiega per-
che la [4.5.7] riceve il nome di "equazione delle onde" con tensione ;, densitel J.1
e costante di richiamo a. Nel caso a=O la [4.5.7] va sotto il nome di "equazione
delle onde" di D' Alembert e descrive il mota di una corda vibrante sotto l'azione
della sua sola tensione ;.
2) La deduzione dell'equazione delle onde qui presentata e la sua teoria, espres-
sa dalla proposizione X, a part ire dalla teoria delle oscillazioni armoniche, e un ce-
leberrimo teorema di Lagrange.
Dimostrazione. Scriviamo la [4.4.29] nella forma:
(0) N-l { .. 12 7Th
Yt (t)= hl Ah V N" sin T . COS Wh t +
[4.5.11]
+ B  1 ff . 7Th l:. }
hV N" slnTc;.slnwht,
 
ove  = ia, i = 1, 2, ..., N -1, e determiniamo Ah e B h imponendo i dati iniziali.
Consideriamo i dati iniziali [4.5.4] e [4.5.5] come vettori a N -1 componenti
ed esprimiamoli come combinazioni lineari con coefficienti opportuni dei vettori
(I) (N-l) d. . ( (h» ) o- V 2 0 ih °- 1 N - l h .
11 , ..., 11 I component! 11 1- N SIn L a, 1- , ..., , c e, come VI-
sto al paragrafo 4.4, formano una base ortonormale in R N - 1 (vedi [4.4.16], [4.4.18]):
uo()= hl uo(h) 0;.- sin   =ia. i=I,...,N-I
Vom= hl Vo(h) V; sin   =ia, i=I,...,N-l.
[4.5.12]
Viste Ie [4.5.12] e immediato imporre aIle [4.5.11] il dato iniziale [4.5.4], [4.5.5]:
si ottiene


Bh=Vo(h)Wh 1 .
[4.5.13]
Ah=Uo(h)
Ossia, poiche uo(h) e vo(h) si ottengono moltiplicando scalarmente i vettori [4.5.4],
[4.5.5] per ,,(h), la [4.5.13] del:
.. 12  2 ( . 7Th 
VN"Ah=N" \mT) uom
.. 12  1 2  7Th :\
VN"Bh= Wh N"\inTJvom
e la  verte su  = ia, i = 1, 2, ..., N - 1 .

[ 4.5.14 ]
[4.5.15]

256
Capitolo quarto
AHora per Ie ipotesi su Uo e Vo si vede che [4.5.14], [4.5.15] contengono som-
me che moltiplicate per a sono Ie somme di Riemann per gli integrali fra 0 0 L
dele funzioni x -+ ( sin  x' Uo (x), e x  (Sin  ) Vo (x), x E [0, L], quindi, poi-
che Na=L, / \
;  Ah=  I UO(X)in 7T: X)dX
.   1 2 S L ( . 7Th )
hm N Bh= _ - L vo(X) SIn - L x dx
a-+o w(h) 0
[4.5.16 ]
[4.5.17]
ove, per h = 1, 2, ...:
w (h)= lim wh= la + ( 7Th ) 2;
a-+o J1 J1 L
[4.5.18]
vedi [4.4.30].
Vediamo d unque che la somma [4.5.11] pensata come serie in h ha per limite,
termine a termine, per a -+ 0,  -+ X E [0, L], la serie:
w(x, t)=hlsin h x{ (; IUo(X')Sin  X'dX)COS W (h)t+
+ ( f Vo(x') sin  x' dX) sin w (h) t}.
[4.5.19]
F aremo ora vedere che la serie [4.5.19] converge uniformemente in t e x e de-
finisce una funzione w che verifica [4.5.7], [4.5.10].
Faremo poi vedere che verifica [4.5.8], [4.5.9] e infine che verifica [4.5.6]. La
dimostrazione sara conclusa dalla dimostrazione dell'affermazione suH'unicita.
Tutte queste deduzioni si basano sui seguente lemma, corollario del teorema di
Fourier, che dimostriamo in appendice M:
XI Lemma 8ia C 00([0, L]) l'insieme delle funzioni di classe Coo in [0, L] e con
tutte Ie derivate di ordine pari nulle in 0 e in L.
Allora posto:
- 2 J L ( ' ) . 7Tk , d '
uk=T U x sInTx x
o
[4.5.20]
si ha:
i) dato a> 0, 3 CCi tale che
I Uk l CCi(l + k Ci )-l
'tJ k = 1, 2,...
[4.5.21]
[4.5.22]
00 ) ( )  _ ° nk
11 u x =  uk SIn - L x
k=l

257
Sistemi meccanici speciali
iii) la [4.5.20] pub essere derivata per serie un numero qualsiasi di volte;
iv) ogni funzione dell a forma [4.5.22] con Uk verificante (i) e in C 00([0, L]).
Osservazione. C 00([0, L]):) C;([O, L ]).
La convergenza uniforme in t e x della [4.5.19] segue da (i) del lemma. Chia-
meremo w la somma della serie.
La [4.5.7] segue da (iii) del lemma poiche, come e ovvio, ogni addendo di
[4.5.19] verifica la [4.5.7], vista la [4.5.18], e inoltre, la serie [4.5.19] puo essere
derivata un numero arbitrario di volte per serie (per [4.5.21 ]).
La [4.5.1 0] e ovvia perche sin 1rX si annulla in 0 e in L per ogni h.
Le [4.5.8] e [4.5.9] seguono immediatamente calcolando w(x, 0) e  (x, 0)
e usando (ii) del lemma.
Resta da mostrare [4.5.6]: poiche la [4.5.11] converge termine a termine a
[4.5.19] si tratta di far vedere che la convergenza di [4.5.11] pensata come serie
 
in h e uniforme in a e : si pensi [4.5.11] come serie ponendo Ah=Bh=O per h N.
Per ottenere questo bastenl far vedere che, dato 0:>0, 3 C tale che:
v; IAhl";;C(1 +hO<)-1
V; IBhl";;C(1 +hO<)-1
't/ h = 1, 2, ...; 'Va> 0
[4.5.23]
't/h= 1, 2,...; 't/a>O.
[4.5.24]
Dimostriamo, ad esempio, [4.5.23]: dalle [4.5.14] e [4.5.22] si evince:
, f2 A  2 . rrh c (  . rrk t ) -
V AT h= N sInL kl sIny c; uok =
00 ( 2 i=l,...,N-l rrh rr k )
= L U ok - L sin -  sin - 
k = 1 N  = ia L L
[4.5.25]
ed e chiaro, per Ie [4.4.16], [4.4.18], che per h = 1, ..., N - 1:
; sin  sin 7. =Ok.h-Ok,2N-h+Ok.h+2N+...=

[4.5.26]
00 00
= L [) k, h + 2pN - L [) k, 2pN - h
p=o p=l
per cui, pe r [4.5.20] e se 0: > 0 e h = 1, ..., N - 1:
V N 2 Ah =I U oh- U 02N-h+...I 'S  I U Oh+pl";;
p=o

258
Capitolo qu arto
00 C Ol. 00
L L
p=o (1 + (h + p)O:) p=o V (1 + hO:)
Co: ( 00 1 )
= Vi + hO: po Vi + pO:
(,'
0:
1
V I + po:
[4.5.27]

che implica [4.5.23] per l'arbitrarieta di Q e perche Ah = 0 per h N.
Per mostrare l'unicita basta far vedere che se W O E COO([O, L] X R) e verifica
[4.5.7] 7 [4.5.10], con uo=vo=O, allora wO = O.
L'idea della dimostrazione si basa sulla conservazione dell'energia. Le equazioni
[4.5.7] 7 [4.5.10] dovrebbero conservare memoria del fatto che sono un limite for-
male delle [4.4.3] e dovrebbe essere possibile definire, per ogni mota che Ie verifi-
ca, una funzione E(w, t) che e costante al variare di t e che e ottenibile come li-
mite per a  0 della espressione dell'energia per [4.4.3].
Tale energia e (se Yo = YL = 0):
(a)_ all j=1,...,N-l. 2 aa j=l,...,N-l 2
E - _ 2 L. Y t + _ 2 L. Y t +
t=Ja t=Ja
a; j = 1, . . ., N - 1 (y t - Y t + a e )
+- L L
2 t = ja e a 2
[4.5.28]
che formalmente diviene, per a  0:
E(w, t)=  t ( r dx+  t w 2 dx+ ; t (: r dx. [4.5.29]
Se facciamo vedere che Ie soluzioni di [4.5.7] 7 [4.5.10] di classe COO([O, L] XR)
sono tali che E(w, t) resta costante al variare di t l'unicita e provata: invero, se
w(x, 0)=0 e  (x, 0)=0 allora E(O)=O, ma, d'altra parte, e chiaro che E(t)=
=Ow(t, x)=O, \fxE[O, L], se aO e ;>0. Cioe la differenza di due soluzioni
e una soluzione di [4.5.7] 7 [4.5.10] con uo=vo=O e ha energia nulla: e quindi
identicamente nulla.
Per far vedere che [4.5.29] e costante, si procede cosi:
d L aw a 2 w
dt E(w, t)= 11 I at 3t 2 dx +
L aw L aw a aw
+aJw- dx+;J- - - dx
o at 0 ax ax at
[4.5.30]
integriamo l'ultimo integrale per parti usando il fatto che  (0, t) =  (L, t) = 0,
[4.5.10]: si ottiene, raccogliendo anche gli integrali:
dE L aw  a2w a 2 w )
d t = J a t J1 2 +aw-; 2 dx=O
o at ax
per la [4.5.7].
[4.5.31]

259
Sistemi meccanici speciali
La dimostrazione e COSt conclusa.
mbe
Osservazione. Dalla dimostrazione si pub vedere che il fatto che uo, Vo E C;([O, L])
e stato usato solo per poter applicare illemma XI (p. 256) mediante l'osservazio-
ne C;([O, L]) C C 00([0, L ]). E' allora chiaro che si pub rafforzare la proposizione
X sostituendo all'ipotesi che uo, Vo E C;([O, L]) l'ipotesi uo, Vo E C 00([0, L]) e so-
stituendo [4.5.10] con: 8
aw - 00
e at (., t)EC ([0, L])
w(- , t)
'itE R.
[4.5.32]
In tal modo il teorema di esistenza e unicita per l'equazione delle onde
[4.5.7] + [4.5.8], [4.5.9], [4.5.32] con dati iniziali in C oo([O, L]) e pili soddisfacen-
te perche la situazione iniziale di regolarita non viene modificata. D' altronde dalla
dimostrazione data non si puo concludere, e anzi e in generale falso, che se la con-
figurazione iniziale uo, Vo e fatta di elementi di C;([O, L]) allora la configurazione
all'istante t: w(-, t),  (., t) e fatta di elementi di C;([O, L D.
4.6 Corda vibrante: caso generate. n problema di Dirichlet in [( , L]
E' naturale esaminare, visti i risultati del paragrafo 4.4, preliminarmente cosa
avviene della soluzione c(a) stazionaria, [4.4.29], [4.4.31], delle equazioni del mo-
to nellimite a -+ 0,  -+ x.
Le considerazioni euristiche all'inizio del paragrafo 4.5 suggeriscono la seguente
proposiziorte:
XII Proposizione La soluzione stazionaria c(a) delle equazioni che descrivono
il moto della catena di oscillatori [4.4.1], [4.4.2], data dalle [4.4.29], [4.4.31] e
tale che il Umi te:
( ) I . (a)
C x = 1m c
ao
--+x
[4.6.1 ]
esiste per x E [0, L] e de[inisce una funzione c E Coo([O, L]) tale che:
d 2 c
ac-r- =p.g xE[O, L]
dx 2
[4.6.2]
c(O)=h o c(L)=hL.
[4.6.3]
Dimostrazione. Definiamo, per  = ia, i = 0, 1, ..., N = L :
a
8 (.) denota una variabile muta, xE [0, L) in questo easo.

260
Capi tol 0 qu arto
(a) 1 Nl ( . rrk l:  1 ( 2  ( l:' ) . rrk l: )
C =  sIn -.; - -  g c; SIn - c;
 k=1 L wk N ' L
C iQ )2=Ni,I ( Sin   1 2  ; ( sin 7 k ) .(h o -(-I)k hL )
k=1 J Wk a
e, per la [4.4.31], si ha:
c(a) =c(a) 1 + c(a)2
[4.6.4 ]
[4.6.5]
[4.6.6]
e c(a)l risolve la [4.4.28] con h =0, mentre c(a)2 risolve la [4.4.28] con g=O.
Mostreremo separatamente che esistono i limiti:
. (a) 1 ( I )
hm e =e (x)
a.......o
.......x
. (a)2 ( 2 )
hm c =e (x)
aO
x
[ 4.6.7]
[4.6.8]
e definiscono due funzioni di classe Coo([O, L]) che verificano [4.6.2], [4.6.3] con,
rispettivamente, h = 0 e g = O.
Studiamo prima [4.6.7]: si pub utilizzare [4.6.4] come punta di partenza.
Si osserva che la [4.6.4], pensata come serie in k, converge nellimite   x e
a  0, termine a termine, alIa serie
( I )  ( . rr k ) 1 ( 2 J L ( ' ) . rrk , d )
c (x) =  sIn - x _ - g x sIn - x x
k= 1 L W(k)2 L 0 L
ove W (k)2 =  +  (7 J e dato dalla [4.5.18].
Se g fosse in C 00([0, L]) dallemma XI (p. 256), potremmo dire che [4.6.9]
e una serie uniformemente convergente e infinitamente derivabile termine a termi-
ne: sarebbe aHora evidente che e(l) verifica [4.6.2] e [4.6.3] con h=O, poiche:
d 2 e(1) 00 ( rr k ) ( 2 L rrk )
ae(l)-; = L sin - x p. - J g(x') sin - x' . dx'
dx 2 k=l L L 0 L
e, per illemma XI (p. 256), il secondo membro di [4.6.10] sarebbe proprio p.g(x).
Sarebbe anche facile dimostrare la validita di [4.6.7] con ell) definito da [4.6.9].
Si tratterebbe di ripetere parola per &arola la dimostrazione del paragrafo 4.5 in
cui si e discussa la convergenza diya)(t) al suo "limite termine a termine" [4.5.19].
Nel caso presente, perb, gE Coo([O, L]) ma non in generale, a C 00([0, L]) e la dimo-
strazione della [4.6.7] e anche dal fatto che [4.6.9] converge e che la sua somma
e in Coo([O, L]) e verifica [4.6.10] e piu delicata.
Tecnicamente questa complicazione e necessaria ed avviene perche la serie
[4.6.10] non pub convergere troppo bene a g(x): se converge sse assolutamente e
[ 4.6.9]
[4.6.10]

261
Sis1emi meccanici speciali
avesse per somma g, ad esempio, implicherebbe che g(O) = g(L) = O. E', questo, un
fenomeno che sempre si presenta quando si tenta di approssimare una funzione g
con funzioni (nel nostro caso sin 7 x) che hanno proprieta troppo diverse da
queUe di g (ad esempio g(O) =1= 0 in generale ma tutte Ie funzioni approssimanti
sono n uUe in O!).
La discussione che segue e interessante, perche illustra come si possa talvolta
aggirare l'ostacolo ora presentatosi, che e un tipo di problema che occorre spesso
in analisi matematica. Anzitutto dimostriamo che [4.6.9] converge e definisce una
funzione C(I) su [0, L] continua e una volta derivabile, per serie. Faremo poi vede-
re che [4.6.9] verifica anche [4.6.7].
Infine faremo vedere che [4.6.9] verifica il problema di Dirichlet [4.6.2] (il che
implichenl che c( 1) E C 00([ 0, L])): e questa la parte della dimostrazione piu tecnica
e piu interessante.
Per mostrare la convergenza della serie [4.6.9] e la sua derivabilita, una volta,
termine a termine, si pub osservare che:
- 2 J L , . rrk , , r- - 1 2 , rr k ] L
gk=T o g(x )slllT x dx == L 7 Tg(x )cosT x 0 +
1 2 J L " rrk" 1 2 [ k
+ rrk Tog (x ) cos T x dx = rrk T g(O)-(-l) g(L)] +
L [4.6.11]
L
2 J " rrk, d '
+ rrk 0 g (x ) cos T x x
k=1,2,...,
che implica, posta Mg' = max Ig'(x)l:
xE(o,L]
_  2 Ig(O)1 + Ig(L)1 + LMg'
IgklL nk [4.6.12]
questo significa, visto che W (k)2 diverge come k 2 per k 00, che la serie [4.6.9]
converge totalmente e che la sua serie derivata anche converge totalmente in [0, L]:
Ie due serie ammettono infatti come serie maggioranti Ie serie:
 IKkl
k= 1 w (k)2
e
 IKkl rrk
k=1 W (k)2 L
[4.6.13]
entrambe convergenti per [4.6.12].
Dunque, per i teoremi di derivazione per serie, [4.6.9] converge ed e una volta
derivabile per serie e ha derivata continua.
Mostriamo ora che [4.6.9] veri fica [4.6.7].
Poiche [4.6.9] e, come si e gia osservato, illimite termine a termine di [4.6.4]
pensata come serie in k bastera, per dimostrare [4.6.7], far vedere che tale linlite

262
Capitolo quarto
termine a termine e effettivamente corretto: in altre parole bastenl far vedere che
[4.6.4], pensata come serie in k, converge uniformemente in a e . Conseguiremo
questo scopo facendo vedere che [4.6.4], come serie in k con parametri a e , con-
verge totalmente rispetto ai parametri.
Invero una serie maggiorante la [4.6.4] e
N-l 1
L -"2 2Mg,
k=l Wk
[4.6.14]
ove Mg= max Ig(x)l.
xE[O, L]
Ricordando la forma di wk (vedi [4.4.17]) e utilizzando la disuguaglianza:
(1 - cos ) 4
2 -
29'2
 'IT
se  E [0, 'IT]
[4.6.15]
si vede che, se O  a1T:
wi 2 = ((J + 2- 2 (1 - cos y-)a
\:  a 2
) -1 1

!!.- +   k 2
J1 J.1 L 2
[4.6.16]
e quindi [4.6.14] e, a sua volta, maggiorata dalla serie in cui Wk 2 e sostituito dal
secondo membro di [4.6.16] e quest'ultima serie e maggiorata (rimuovendo solo
ora la restrizione k  N - 1) dalla serie:
 2J\tf (  +  4k 2 ) - 1 < + 00
k=l g J.1 J.1 L 2
[ 4.6.17]
e questo prova la totale convergenza di [4.6.4] rispetto ai parametri a e  e, quin-
di, [4.6.7].
Dobbiamo ora mostrare che [4.6.9] e di cia sse COO([O, L]) e verifica [4.6.2],
[4.6.3] (con ho=hL =0): la [4.6.3] e ovvia poiche [4.6.9] converge. Utilizziamo il
fatto, gia notato, che la [4.6.2] sarebbe ovvia se gECOO([O, L]): dato €>O sia
gE E C;([O, L]) una funzione tale che:
i) gE(X) = g(x) se
€xL-€
,
[4.6.18]
1 L
ii) L i Igix)-g(x)1 dx<e,
[ 4.6.19]
L L
iii) la derivata g di gE (vedi fig. 4.6), sia tale che J Ig(x)1 dx < f Ig'(x)1 dx +
+2€Mg. 0 0
Lasciamo come esercizio (vedi app. C) la dimostrazione dell'esistenza di gE.

263
Sistemi meccanici speciali
g
o
€
L-e L
x
Figura 4.6
Definiamo adesso:
L
- 2 J ( ' ) . rrk , d '
g€,k=Yog€X slnTx X
[ 4.6.20]
e
c( 1)€ ( X ) =  (Sin rrk X ) 1 g k
k=1 \ L W (k)2 €,
per quanta gia notato prima, 'r/e >0:
d 2 c( 1)€
ac(I)€ -7 -lI g C(I) € ( O ) = O.
dx 2 -,.... e,
[4.6.21]
[4.6.22]
Utilizzeremo ora la [4.6.22] per concludere che:
I
x d (1)€ x [d (1)€ x d 2 (1)€ J
C(I)€(X) - J c, (x') dx' = J dx' c, (0) + J C " (x") dx" =
o dx 0 dx 0 dx 2
, [ (1)" " ] [4.6.23]
d c ( 1)€ x J x ac E ( X) - p.g ( X )
= x (0) + J dx' dx" € .
dx 0 0 7
Se faremo vedere che:
c( 1)(X) = lim c( 1)€ (x)
E-+O
[4.6.24 ]
d (1) dC (I)E
C (x)= lim (x)
dx E-+O dx
[4.6.25 ]
uniformemente in xE[O, L] potremo passare allimite in [4.6.23] e ottenere:

264
Capitolo qu arto
d (I) X x' [ ac(I) ( X" ) - J.1g( X" )]
c(1)(x) = X  (0) + S dx' S dx" .
X 0 0 T
La [4.6.26] implica, per la continuita di C(I) e g, che C(I) e due volte derlvabile e,
derivando due volte la [4.6.26], verlfica la [4.6.2].
A sua volta la [4.6.2] e il fatto che C(I) e due volte derivabile implica, per il
teorema di regolarita sulle soluzioni delle equazioni differenziali del paragrafo 2.4
(0, come si vede direttamente, da [4.6.2] che mostra che la seconda derivata di
C(I) e derivabile perche tali sono g e C(I) ecc.), che C(I) e in COO([O, L]).
dc( I)
Occorre dunque verificare [4.6.24], [4.6.25]: si osservi che c(1) e dx sono
date dalla serie [4.6.9] e dalla serie derivata della [4.6.9]: tali serie, termine a ter-
mine, sono illimite per €O della serie [4.6.21] e della sua serie derivata; basta
osservare che, per [4.6.19]:
[ 4.6.26]
I g € k- gk l < 2€ 'rJk >0.
,
[ 4.6.27]
Dunque dimostrare [4.6.24], [4.6.25] e, di nuovo, un problema di scambio di
limiti (illimite per €  0 e la somma della serle [4.6.21] 0 della sua serie derlvata).
Bastera al solito verificare la convergenza uniforme in € di [4.6.21] e della sua se-
rle derivata.
Vale la disuguaglianza, ottenuta integrando [4.6.20] per parti e usando g€(O) =
=g€(L)=O, 'rJ€>O:
g E, k= i f gE(X) in  X) dx= :k i f g(x) in  X) dx=
L [4.6.28]
- 7T i L( g'(x) ( sin  x\ dx + :k i S g(x) (sin  X ) d
L E ) L XiF(E, L-E) \
allora:
1 2 J '
I g€ ,kl- k 2LMg'+k Ig€(x)ldx
1T 1T x  [E, L - E J
Ma per la (iii) di pagina 262:
L L
Jlg(x)1 dx < J Ig'(x)1 dx + 2€M g
o 0
J Ig(x)1 dX < LMg'+2€Mg
x  [€, L - €]
e, quindi:
[ 4.6.29]
[ 4.6.30]
[4.6.31]
1
I g €,kl 1Tk [3LMg'+4Mg]
[ 4.6.32]
e aHora la serie [4.6.21] e la sua serie derivata sono maggiorate dalle serie conver-

265
Sistemi meccanici speciali
genti:
00 [3LMg' + 4Mg] 00 1T [3LMg' + 4Mg]
L e L-
k= 1 rrk W (k)2 k= 1 L 1T W (k)2
rispettivamente. Le [4.6.24] e [4.6.25] sono quindi dimostrate.
Per concludere la dimostrazione della proposizione di questo paragrafo occorre
ancora trattare ca)2 definito da [4.6.5] e soluzione del problema (vedi [4.4.28]):
(ac(a)2-Dc(a)2)t=O =ja, j=I,...,N-l
(a)2 - h (a)2 - h
Co - 0, c L - L.
[4.6.33 ]
[4.6.34 ]
Supporremo dapprima a> O.
L'espressione [4.6.5] e poco adatta per la discussione del limite a  0,   x.
Cercheremo perch) una rappresentazione alternativa per c(a)2 in analogia con la
teoria delle equazioni differenziali lineari: cerchiamo cioe una soluzione di [4.6.34]
dell a forma:
cJ:)=(3o e- xja +(31 e-X(L -ja) j=O, ..., N [4.6.35]
ove nel secondo coefficiente si e usata la costante (31 e - XL, anziche (31 per avere
una espressione piu simmetrica. I parametri (31, (30, X so no da determinare in mo-
do che [4.6.34] sia verificata. La [4.6.34] sara verificata per j=2, ..., N-2 se:
T ( exa+e-xa )
a+2- 1- 2 =0 [4.6.36]
a 2
che, con una semplice discussione, si mostra che ammette una soluzione X>O e
tale che:
Hm A = 1 ;r . [4.6.37]
ao v-;:-
Inoltre la [4.6.34] per j= 1 e N -1 ci dice, tenendo conto di [4.6.36]:
R - XL h
fJO + (31 e = 0
-XL a h
(30 e + fJ 1 = L
[4.6.38]
e cioe:
ho-hLe- XL
(30 = 1 - 2xL
-e
[4.6.39]
hL -hoe-XL
(31 = 1 - 2xL .
-e
Viste Ie [4.6.35], [4.6.37], [4.6.39] e ora immediato passare allimite aO, ja-+x
e si ottiene, da [4.6.35]:

266
Capitolo qu arto
- !!... L
h -h e T
(2) ( ) _ I . (a)2_ 0 L
c x - 1m cia - a
ao -2-L
iax l-e T
-E-x
e L +
[ 4.6.40]
-..E..L
hL-hoe T -.!!.(L-x)
+ e T
a
-2 -L
l-e T
ed e immediato controllare che C(2)(X) verifica [4.6.2], [4.6.3] con g=O.
II caso a = 0 si tratta in modo analogo sostituendo a [4.6.35]:
(a) 2 .
Cia =(30+(31Ja [4.6.41]
e si ottiene:
c(2)(x)=h o +  (hL -h o )
L
[ 4.6.42]
e la proposizione e completamente dimostrata.
mbe
Un ovvio corollario delle proposizioni di questo e del precedente paragrafo e:
XIII Corollario Sia t y(a)(t) un moto verificante [4.4.3] con dato iniziale:
(a) (a)
y (0) =c (0) + uo() [4.6.43]
ya)(O)=vo() [4.6.44]
ove Uo, Vo E C OO([O, L ]). Allora esiste illimite:
lim yi a ) (t) =c(x) + w (x, t)
ao
x
[4.6.45]
ove c E COO([O, L]) e verifica il problema di Dirichlet
d 2 c
ac-r - = J.1g
dx 2
[4.6.46 ]
c(O)=h o , c(L)=hL
e w ECOO([O, L] X R) verifica l'equazione delle onde [4.5.7], [4.5.8], [4.5.9], [4.5.10
4.7 Lamine elastiche. Problema di Dirichlet in n C R 2 e considerazioni generali
sulle onde
La teoria delle oscillazioni della superficie elastica e assai piu complessa, e inte-
ressante, di quella della corda vibrante vista ai paragrafi 4.4, 4.5 e 4.6: i risultati
pero sono assai analoghi alle proposizioni dei paragrafi 4.5 e 4.6.

267
Sistemi meccanici speciali
Non entreremo nei dettagli di questa trattazione che ci porterebbe piuttosto
lontano rispetto al nostro programma di analisi dei sistemi meccanici.
Enunceremo solo alcune definizioni e proposizioni, che non offrono difficolta
tecniche, a scopo illustrativo.
Concluderemo poi la nostra discussione della teoria delle onde elastiche definen-
do la velocita di propagazione delle onde e studiandola nel caso semplice della cor-
da vibrante sotto sole forze di tensione (a = g =h = 0).
5 Definizione Sia n C R 2 una regione limitata aperta con frontiera an che e
una superficie regolare (vedi p. 183). Sia na = n n Z e ana = insieme dei punti di an
che si trovano sulle intersezioni fra an e i segmenti che congiungono primi vicini in
Z. Si definisce l'operatore discreto di Laplace su n relativo a Z la trasformazione
lineare che ad ogni vettore =(Dt)rEnaUana associa il vettore «D)t)tEna defi-
nito da:
 a (Dt-Dt+€a(E, e) e)
(D6)t= -  2
e €a(' e) a
[4.7.1]
ove, conformemente alle convenzioni del paragrafo 4.4, e =:t el, :t e2 ove el ed e2
sono due versori paralleli agli assi di Z e, per  E na:
€a (, e) = (dis tanza fra  e il piu vicino pun to
di na u ana nella direzione e). [4.7.2]
Si definisce il "problema di Dirichlet su n discretizzato su Z;" con dato al bordo
h =(ht)tEana e dato interno g=(gt)tEna' l'equazione:
aDt- T (Do)t= gt
Dt=ht.
EEna
[4.7.3]
[4.7.4]
Come nel caso d = 1 si dimostra facilmente, usando l'invertibilita delle matrici
definite positive:
XIV Proposizione Se a  0 e T > 0, il problema di Dirichlet [4.7.3], [4.7.4]
ammette sempre una e una sola soluzione per ogni dato al bordo e ogni dato in-
terno.
Come nel caso d = 1, si dimostra facilmente anche la
xv Proposizione Dati gEC OO (R 2 ), hECOO(an) si consideri il sistema meccani-
co di lagrangiana:
!:e=  a 2  :pl+/l a2  g()YE+
tEna t En a

268
Capitolo quarto
a2 2 T2
--a  Yt--a  
2 tEna 2 tEna e €a(' e)
a
(Yt- Yt+€a(t, e)e)2
[4.7.5]
a 2
ove, se ' E an, si deve intendere:
Yt' =h(').
[4.7.6]
Questo sistema meccanico ha una sola configurazione di equilibrio y = c(a): e de-
scritta dalla soluzione c(a) del problema di Dirichlet con dati interno (tlg())tEna
e di frontiera (h ()) t E ana.
Le difficolta sorgono quando si vuole studiare illimite a  O. Si PUQ dire che Ie
difficolta sono ora dovute alla impossibilita di fornire gli autovalori wi, ..., e i ri-
spettivi autovettori fl( 1),... che descrivono i modi normali del sistema [4.7.5],
[4.7.6] in modo cosi esplicito come nel caso d= 1 e la teoria deve essere svolta in
forma piu astratta. Un esempio di risultato che si dovrebbe ottenere e il seguente:
XVI Proposizione La soluzione stazionaria delle equazioni del sistema mecca-
nico [4.7.5], [4.7.6] con gE COO>(R 2 ) e hE coo>(an) e tale che illimite:
I . (a) ( ) . n
1m Ct =c x eSlste per x E £,
t-+x
a-+o
[4.7.7]
e definisce una funzione cECOO( n ) tale che:
ac(x) -T(C) (x) = tlg(x) per x E n
c(x)=h(x) per xEan
[4.7.8]
[4.7.9]
2 a 2 f
se si denota f(x)= L 2 (x), VfECOO( n ). Inoltre Ie [4.7.8], [4.7.9] hanno
i = 1 ax i
un 'unica soluzione in COO( n ).
I moti t ya(t), tE R, del sistema meccanico in esame che fanno seguito al da-
to iniziale:
(a) (a)
Yt (0)= c t +uo(E) Ena
yia)(O)=vo() Ena
ove uo, V o E C;(n) sono tali che illimite:
lim Yta)(t)=w(x, t) x, tEn x R
a-+o
t-+x
[4.7.10]
[4.7.11]
[4.7.12]
esiste e definisce una funzione in COO( n X R) tale che posto:
w(x, t) = c (x) + w (x, t)
si ha:
[4.7.13]

269
Sistemi meccanici speciali
a 2 --
a w (x, t)-T( W )(X, t)+J1  (X, t)=O
at
a w
w (x,O)=uo(x), at (x, O)=vo(x)
a w
w (x, t)=O, at (x, t)=O, \fxEan.
[4.7.14]
[4.7.15]
[4.7.16]
Infine esiste una famiglia di funzioni S (h) E COO(rl), h = 1, 2, ..., nulle su a n e una
successione w (h), h = 1, 2,..., di numeri positivi tali che:
w (x, t)= f [ U(h)Sh(X)(COS w (h) t)+ (h) Sh(X)(Sin w (h)t [4.7.17]
h=l w(h) J
ove:
u(h)= J Sh(X) uo(x) dx; v(h)= j Sh(X) vo(x) dx
n n
e La serie [4.7.17] converge 'Ix E n, 'It E R.
[4.7.18]
Osservazioni
1) L'analogia fra lamina e corda vibrante sarebbe pressoche completa. Ma la di-
mostrazione della proposizione XVI non mi e nota, se pur esiste.
2) Esiste un caso in cui, pero, la dimostrazione della precedente proposizione,
o meglio di una sua ovvia variazione, e molto semplice. Si tratta del caso in cui n
e un toro: cioe un tubo elastico, chiuso e, inoltre, a>O. E' il sistema associato al-
Ia lagrangiana seguente: se L/a e intero e QL=[O,L]X[O,L]:
(J) _ J.1 2  .2 2  
.zper-- a  Y +J.la  g(,.)y+
2 tEQLnz tEQLnz
[4.7.19]
a 2  2 T 2   (YE- Y t+ae)2
--a  Yt--a  
2 tEQLnz 2 tEQLnz e a 2
e, nell'ultima somma, i punti  + ae che non appartengono a QL n Z;, che corri-
spondono ai punti  + ae che si trovano sulla frontiera superiore 0 sulla frontiera
destra del quadrato [0, L]2, vanno identificati con i punti opposti sulle frontiere
inferiore 0 sinistra di [0, L].
In altre parole QL n Z; viene pensato come un "toro discreto" e la lamina ela-
stica corrispondente perde la frontiera e diviene un tubo.
La teoria di [4.7.19] e identica, ma assai piu facile tecnicamente, a quella della
corda vibrante: i1 malo Ii giocato dalle funzioni I; sin  ja e ora preso dalle
funzioni:
1 2 .
Sh,h,m=/iex p Z (j.ah.+j2 ah 2) se =(j.a.i2a) [4.7.20]

270
Capi tol 0 qu arto
e W(h)2 e ora sostituito da:
2 a r [ ( 1 - cos h I a)
Wh h = - + - 2
1:1 Jl Jl a 2
+ (1 - cos h 2 a)1
a 2 J
[4.7.21]
e il ruolo del lemma XI (p. 256) e ora giocato dal teorema di Fourier bidimensio-
nale.
Lo svolgimento dettagliato della teoria dei moti di [4.7.19] e dell'analogo siste-
ma in d = 1 (anello elastico) e un utilissimo esercizio: illettore constatera pero che
l'ipotesi a> 0 non PUQ ora essere sostituita da a  0: qual e il significato fisico di
questo fenomeno?
Concludiamo la nostra analisi dei moti di sistemi di oscillatori ordinati definen-
do e sommariamente studiando la nozione di velocita di propagazione di un' onda.
6 Defmizione Sia n una regione aperta con frontiera an di classe Coo, neRd,
d= 1, 2.
Si consideri l'equazione delle onde in n per wECoo( n X R):
a 2 w
J.I. 2 -rLlw+aw=O (x, t)EnXR
at
aw
w(x, t)=O= at (x, t) xEan
[4.7.22]
[4.7.23]
con dato iniziale:
w(x, 0)= uo(x)
aw
at (x, O)=vo(x)
[4.7.24 ]
[4.7.25]
e supponiamo che uo, va E Co( n ) e siano nulli fuori di un intomo di raggio € at-
torno a xoEn.
Dato X1 En , Xl =l=xo definiamo:
t€(xo, X1)= inf dell'insieme dei valori t per
u 0' v 0
i quali esiste t' < t per cui w (x 1, t') =1= O.
[4.7.26]
Ovviamente:
t(X., xo)= sup t€(xt, xo)
€>o
[4.7.27]
e il "tempo minimo" perche una perturbazione della superficie in quiete, inizial-
mente nelle vicinanze di Xo, "raggiunga" XI e fa "velocita di propagazione" delle
onde descritta da [4.7.22], [4.7.23] e naturalmente definita da
Ix 1 - X ° I
C= sup
xJ=#=xo t(xh xo)
[4.7.28]

271
Sistemi meccanici speciali
Dimostriamo la seguente proposizione, net caso 0 = O.
XVII Proposizione Se d = 1 e n = (0, L) la velocita di propagazione delle onde
descritte da [4.7.22], [4.7.23] con 0  0, T > 0, J.I. > 0 e:
C= V
[4.7.29]
indipendentemente dal valore di o.
Dimostrazione. (Caso 0=0). ( h ) 2
Dalla [4.5.19] ricaviamo, essendo w (h )2 =   :
w(x, t)= hl (Sin  x) [uo(h) (cos  vi  ht) +
Vo (h)  rr 1 ff \1 1 eM)  rrh  1 IT )
+ nh 0 T ,inTV-;ht JJ =2 hluo(h)LsinT\+V-;t +
L J.I.
rrh (  ) 1 eM) vo(h)  rrh (  )
+ sin - x - - t + - L cos - x + - t -
L J.I. 2 h = 1 , IT rrh L p
V -; L [4.7.30]
-cos  (x- Vf ]
poniamo
U6(X)=  uo(h) sin 1T L h x
h=l
V6(X)=  vo(h) sin 1f: L h x
h= 1
VxER
[ 4.7 .31]
per illemma XI (p. 256) si ha:
U6(X) = Po(x), V6(X) =vo(x) se x E [0, L].
Le proprieta di periodicita del seno ci dicono che u e v sono funzioni (di
classe CeM) per illemma XI, p. 256) periodiche di periodo 2L e:
uri(L +x)= uo(L-x), vt(L +x)=vo(L-x) se xE[O, L]
[4.7.32]
Cioe U6 e v sono ottenute da Uo e Vo prima riflettendo attorno aLe poi prolun-
gando per periodicita la funzione cosi ottenuta su [0, 2L]. Se Uo ha supporto in
un in torno di apertura € attorno a x 0 si ottiene che u  e descritto dalla figura 4.7.

272
Capitolo quarto
u.
-L
-Xo
L
2L -Xo
3L
Xo
Xl X;
2L 2L +xo
Figura 4.7 Esempio di grafieo di (u:).
Le [4.7.30] si scrivono in termini di U6 e V6:
w(X, t)=+[u0+ V; t)+u(x- V; t)J+
x+ 1 II: t
1 1 V
+2 ,IT S vtmdt
Vllx- Vf t
[4.7.33]
come segue immediatamente da [4.7.30] e dalle definizioni in [4.7.31]. AHora, ad
esempio, affinche u01 + v 1 *0 si vede dalla figura che deve essere XI + 0  t
in uno degli intervallini in cui u * e non nullo e quindi deve essere:
IXI-Xol+€ IXI-Xol-€
t
Vf Vf
[4.7.34 ]
e un simile argomento vale per il secondo e terzo termine di [4.7.33].
Questo evidentemente implica [4.7.29].
mbe
4.8 Oscillazioni non armoniche. Picco Ie oscillazioni e sistemi integrabili
Consideriamo un sistema meccanico a I gradi di liberta descritto da una lagran-
giana:
. 1 1 . .
2«(3, , t) = .  _ 2 gij() (3i (3j - V(tJ).
I, J= 1
Supponiamo che gij E COO(R 1 ), i, j = 1, ..., I e
i) VECOO(R 1 ) e abbia un minima in senso stretto in o.
[4.8.1]

273
Sistemi meccanici speciali
ti) II minima in fJo sia di secondo ordine, cioe la matrice:
a 2 v
Iij = 3(3i 3(3j (fjo) i, j = 1, ..., 1
[4.8.2]
sia definita positiva.
7 Definizione Le "piccole oscillazioni" del sistema descritto da [4.8.1], con V
verificante (i) e (ii), "attorno a (jo" so no i moti del sistema meccanico di lagran-
giana :
. 1 I 1 I 0 0
piee(l3, (j, t) = _ 2 .  gij«(jo) l3i I3j - _ 2 .  Iij(l3i -l3i ) . (l3j -l3j ), [4.8.3]
I,J=1 I,J=1
ove o = (13, ..., (37). Le frequenze dei modi normali di [4.8.3] si dicono Ie frequen-
ze proprie di [4.8.1] in 130.
Osservaz io ni
1) Le piccole oscillazioni, dunque, sono i moti del sistema lagrangiano ottenuto
sostituendo alla matrice g il suo valore nel punta (jo di equilibrio del sistema [4.8.1]
e all'energia potenziale il suo sviluppo di Taylor:
1 I 0 0
V(Po) + _ 2 .  Iij (l3i -l3i ) (l3j -l3j )
I, J= 1
[4.8.4]
attorno a 130,9 troncato al secondo ordine.
2) E' chiaro che, in base alla definizione, Ie "piccole oscillazioni" non sono mo-
ti di ampiezza necessariamente piccola. Tuttavia ci si puo attendere, 0 sperare, che
se l'energia di un mota descritto da [4.8.1] e di poco superiore a V«(jo) (e quindi
il moto si svolge tutto nelle vicinanze di (jo se ci si trova inizialmente) avvenga che
il mota di [4.8.3] con uguale dato iniziale 10 "approssimi" bene.
Poiche Ie piccole oscillazioni sono per definizione moti di un sistema di oscilla-
tori armonici e, quindi, "moti semplici" si capisce l'interesse che ha la questione:
in che senso Ie piccole oscillazioni approssimano i moti reali? Nel capitolo 2 abbia-
mo gia incontrato ed essenzialmente risolto questo problema nel caso di sistemi ad
un grado di libertcL
La generalizzazione ai sistemi con I > 1 gradi di liberta delle idee e dei metodi
gia visti al capitolo 2 e, pero, sorprendentemente difficile e interessante.
Rimandiamo al capitolo 5 per un accenno ai risultati principali.
Qui ci occuperemo di dare una definizione di una classe di sistemi che si com-
portano "come se fossero sistemi di oscillatori lineari" e, pur avvertendo il lettore
di non sperare che si tratti di una defmizione che copre molti casi, proseguiremo
9 In [4.8.3] non appare V(/lo)' perehe sarebbe una eostante additiva ehe, quindi, non mo-
difieherebbe il sistema deseritto da [4.8.3].

274
Capitolo quarto
discutendo alcuni sistemi meccanici che rientrano in questa categoria.
8 Definizione Si consideri un sistema di N punti materiali in R d a vincoli 010-
nomi perfetti, mosso da una forza attiva conservativa e a I gradi di liberta. Chiame-
remo "spazio degli atti di moto" del sistema l'insieme !/C R 2dN di tutte Ie coppie
(x, x) in cui x e una posizione cOlnpatibile con i vincoli e x e una velocita compa-
tibile, in x, con i vincoli.
Considereremo Y come una superficie di R 2Nd .
La struttura geometrica di !/ e molto semplice:
XVIII Proposizione La superficie Y della precedente proposizione e una super-
ficie regolare di R 2Nd.
Dimostrazione. Basta trovare/o dato (xo, xo)E!/, un intorno W di (xo, xo) e
su W stabilire un sistema di coordinate locali regolari adattato a Y.
Sia U un intorno di x 0 suI Quale sia possibile stabilire un sistema di coordinate
 =:E:( IJ) regolari locali con base, ad esempio, la sfera unit aria SNd, adattato alIa
superficie  definita in R Nd dal vincolo ideale. U esiste per la definizione stessa
di vincolo olonomo a I gradi di libertcL
In questo sistema di coordinate i possibili vettori (3, velocita del sistema, compa-
tibili con i vincoli sono i vettori tali che:
.. .
131 = 132 = ... = 13 Nd -I = 0
[4.8.5]
e i possibili vettori (3, posizione del sistema, sono tali che:
131 =132 = ...=I3Nd-I=O [4.8.6]
e quindi la corrispondenza, di classe Coo, fra R Nd XS Nd e R 2Nd descritta da:
. Nd. a ": (i)
X(l)= L I3k - ((3)
k= 1 al3k
x(i) = :E:(tJ)
[ 4.8.7]
stabilisce sull'immagine W di R Nd XS Nd un sistema di coordinate, nell'intorno di
xo, Xo (perche (xo, xo)E W), adattato a !/ e che si verifica facilmente essere re-
golare (cioe avere matrice jacobiana con determinante non nullo) avendo per deter-
minante jacobiano in ({3, (j) il quadrato del determinante jacobiano in tJ della tra-
sformazione ::: (regolare per ipotesi).
mbe
Osservazioni
1) Dana dimostrazione precedente si vede che, posto:
10 Vedi definizione 10 (p. 183).

275
Sistemi meccanici speciali
. .
K =(I3Nd-l+b ..., I3Nd) = (Kt, K2, ..., KI)
I( =(I3Nd-l+b ..., I3Nd) - (,,}, "2, ..., "I)
[4.8.8]
. .
Ie [4.8.7] in cui si ponga 131 = ... = I3Nd -I = 0 e 131 = ... = I3Nd -I = 0 stabiliscono un si-
stema di coordinate (K, I() per i punti dell'intorno W nY di (x 0, x 0) ove W e l'im-
magine per [4.8.7] di RNdXS Nd . Inoltre al variare di (x, x) in wnY il punta
(K, I() varia in R l X V ove V e un aperto di R 1 (nel caso in esame V = S 1).
A questa osservazione ci si riferisce dicendo che 10 spazio Y degli atti di mota
ha "localmente la struttura R l X V" con veRI.
Per questo motivo, e con un abuso di linguaggio assai utile e di grande uso, si
denotano talvolta i punti di Y con (K, K) ove (K, K) so no coordinate locali rego-
lari in un intorno di un punto di Y che ha la struttura R1X V in un sistema di co-
ordinate regolari (che si desume dal contesto e, spesso, non e sufficiente a descri-
vere tutti i punti di Y).ll Coerentemente si descrive la lagrangiana come una fun-
zione di K e K: (K, ", t).
2) Poiche Y e una superficie regolare ha senso dire che una funzione f e di
classe Coo su Y. COSt pure ha senso parlare di intorni di punti di Y e di insiemi
aperti su :/.12 In base a queste considerazioni geometriche possiamo porre, ritor-
nando al problema delle oscillazioni e dei moti non armonici, la seguente defini-
zione:
9 Definizione Si consideri un sistema, a I gradi di liberto, di N punti materiali
soggetto a vincoli olonomi perfetti e a forze attive conservative. Se A: y R e
una funzione di cia sse Coo(Y) sullo spazio !/ degli atti di moto, si diro che A e
un "integrale primo" se:
A(x(t), x(t)) = costante
[ 4.8.9]
per ogni moto tx(t), tEl, del sistema.
Esempi. L'energia
E(x. x) = + il mi(x(i))2 + V(a)(x(l), ..., x(N))
[ 4.8.10]
e un tipico esempio di integrale primo. Spesso e l'unico integrale primo che un si-
stema ammette.
Se il sistema e isolato (cioe soggetto a forze esterne nulle) la quantita di moto:
11 E', cioe, davvero locale.
12 Evidentemente fE COD(!I') signifiea ehe la funzione f, ristretta ad un intorno di un qual-
siasi p-unto to E!I', ehe ammette un sistema di coordinate (K, K) in cui tale intorno appare co-
me R l X V, e pensata come funzione di (,c, Ie) e di c1asse COD su R l xV. Nd
Un insieme E c!l' e aperto su !I' se e tale nella topologia relativa ereditata su !I' da R 2 :
se E c!l' e aperto su !I' tali sono gli insiemi ottenuti interseeando E con intorni W sui quali
siano stabiliti sistemi di coordinate regolari e tali appaiono in queste coordinate.

276
Capitolo qu arto
Q(x, x)=  miX(i)
i= 1
[ 4.8.] 1]
e anche un integrale primo (anzi d), quando vale i1 terzo principio della dinamica
per Ie forze interne. Anche il momento della quantitel di mota del luogo a vari in-
tegrali primi, nei sistemi isolati di punti in R d (tre se d = 3).
AlIa luce di questa definizione possiamo interpretare in altro modo il principa-
Ie risultato del paragrafo 4.1 sulla teoria dei moti armonici (vedi p. 238):
XIX Proposizione Un sistema di I oscillatori armonici di lagrangiana [4.1.2] am-
mette I integrali primi A i, A, ..., Al dati dalle [4.1.15].
E' inoltre possibile parametrizzare i punti dello spazio !/ degli atti di mota di
questo sistema a mezzo dei valori (A b ..., AI) e di un punta f{)E T l , 4{)= (l.(Jb ..., I.(Jl),
in modo che Y possa essere pensato come il prodotto [0, + 00) X T l e il mota
t(x(t), x(t))EY, tE R+, del sistema sia descritto in queste coordinate da:
(A b..., AI; I.(Jb ..., I.(Jl)  (A I, ..., AI; 1.(J1 + W1 t, ..., I.(JI + wI t)
[ 4.8.12]
ove WI, ..., WI sono I costanti positive.
Infine la corrispondenza (x, x)(A, 'P) e di cfasse Coo e invertibile per (A, 'P)E
E(O, + 00) X T l e, quivi, ha determinante jacobiano non nullo.
Questa proposizione suggerisce di introdurre sistemi "che si comportano come
oscillatori armonici" a mezzo della seguente definizione:
10 Definizione Si consideri un sistema di N punti materiali soggetti, in R d , a
vincoli olonomi ideali a I gradi di liberta e soggetto a forze attive conservative.
Sia WC!/ una regione aperta dello spazio delle fasi.
Diremo che il sistema in questione e "integrabile su W" se esistono I integrali
primi A=(A}, ..., AI) su Ye una funzione 'P di classe Coo su // a valori in T I tali
che: 13
1) L'immagine di W nella trasformazione:
(x, x) -+ I(i, x) = (A(i, x), 4{)(x, x))
[4.8.13]
abbia fa forma VX T l , ove V e un insieme aperto di R / .
Inoltre la co"ispondenza I fra W e VX T l e invertibile e non singolare. 14
13 La nozione di funzione di elasse COD definita su R d 0 !/, superfieie regolare in R d , a va-
lori in Tie ponibile, in modo naturale, in un solo modo: lasciamo allettore la eura di formu-
larIa. Ove illettore rimanga perplesso su questa nozione la ritrovera diseussa in dettaglio al
9 4.13 in un eontesto piu generale (vedi anehe la nota seguen te).
14 Anehe la nozione di "non singolare" Sl PUQ formulare in un solo modo ovvio. Sia (%0' o)
un punta di W e siano ("0' '(0) Ie sue 21 coordinate non banali in un riferimento locale adat-
tato a !:I'. Denotiamo (K, K) Ie 21 coordinate non banali, nello stesso riferimento, dei punti di
un intorno U di (x o ' .%0) su Y. (segue nota)

277
Sistemi meccanici speciali
2) E' possibile definire, su V, I funzioni A -* w(A)=(Wl(A), ..., w[(A))E R 1 di
classe Coo tali che, se t-*x(t), tE [0, + 00), e un moto del sistema con dato inizia-
Ie in W, allora, V t E [0, + 00), (x (t), x(t)) EWe
I(i(t), x (t)) = (A(i(O), x(O)), cp(i(O), x(O)) + w(A) t) [4.8.14]
e ..p..p + w(A) t denota la rotazione di T l di parametri w(A) t.
. 21T 21T
I numen (WI (A), ..., wI(A» e T 1 (A)= , o.., TI(A)= si dicono ri-
wl(A) wI(A)
spettivamente Ie "pulsazioni" e i "periodi" dei moti in W.
Osservazioni
1) N el caso di un sistema di oscillatori armonici esistono varie scelte di W per
Ie quali il sistema e integrabile su W: nella piu naturale si sceglie W come l'insieme
la cui immagine per [4.1.15] e (0, + 00)1 X T I .
2) Nel caso degli oscillatori armonici w(A) e indipendente da A, "isocronia del-
le oscillazioni armoniche"; e ovvio che questa e una proprieta assolutamente tipica
dei sistemi di oscillatori annonici come, nel caso 1= 1, si e notato nel paragrafo
2.10 (p. 60). Non conviene quindi inserirla nella defmizione di sistema integrabile
per evitare che tale nozione divenga troppo restrittiva (e inutilmente tale).
3) Nel contesto della teoria delle piccole oscillazioni la precedente definizione
pare fatta apposta per formulare la congettura che, in un intorno abbastanza pic-
colo di una posizione di equilibrio di un sistema meccanico descritto dalla lagran-
giana [4.8.1], verificante Ie ipotesi della definizione 7, il sistema sia integrabile. Ta-
le congettura, vera se 1= 1, e falsa se I> 1: in altre parole, in generale, esistono oscil-
lazioni di sistemi a pili gradi di liberta sostanzialmente diverse dalle corrispondenti
piccole oscillazioni. Tuttavia qualcosa di simile a questa congettura e effettivamen-
te vero: ne daremo una descrizione precisa nei paragrafi 5.10, 5.12.
4) Per stabilire l'integrabilita di un sistema meccanico a I gradi di liberta si pro-
cede, di solito, a far vedere che  possibile descrivere i moti che hanna inizio in
W in termini di 21 parametri (A, 4p) E V X T I e di N funzioni di cia sse Coo su
VX T I : <1>1, ..., <l>N in modo che, se x e un moto, si abbia
x(i)(t)=tP(i)(At, .o., AI, '-PI + WI (A) t, ..., '-PI + WI (A) t)
[ 4.8.15]
ove WI (A), ..., Wl(A) sono altre I funzioni dei parametri AI, ..., AI.
Se (Ao, 'Po) =I(x o ' xo) e se individuiamo 'Po E T l e tutti i punti 'P di un suo piccolo intor-
no a mezzo di I coordinate angolari (lpl' ..., Ipl) e allora chiaro ehe la trasformazione I si potra
deserivere, se l'intorno U di (x o ' xo) e abbastanza piccolo, a mezzo di una funzione I di elasse
COD da R l X R l in R l X R l :
(A l' ..., AI, Ip l' ..., Ip f) = i (K l' ..., K I, K l' ..., K 1>.
AHora I si dira "non singolare" in (x o ' xo) se la matriee, 21 X 21, delle derivate parziali di i e
non singolare. Si dira ehe I e non singolare su W se e non singolare in ogni punta di W.
Queste nozioni, e facile verificarlo, non dipendono dall 'arbitrarieta dei sistemi di coordina-
te eonsiderati.

278
Capitolo quarto
Successivamente si procede alia verifica delle proprieta di regolarita e biunivo-
cita della trasformazione x(O), x(O)  A, '{J: questa verifica e di solito facile e di
scar so interesse una volta conseguita la [4.8.15] per tutti i moti che hanno inizio
in W. Anzi la vera difficolta analitica che si in contra nella dimostrazione della in-
tegrabilita di un sistema sta, di solito, nella dimostrazione della validita di una con-
seguenza della [4.8.15]: e precisamente nella verifica che tutti i moti con inizio in
W sono "quasi periodici" ossia tali che Ie coordinate cartesiane dei punti materiali
variano in modo quasi periodico (vedi  2.21). Percio, a volte, nei prossimi para-
grafi ci accontenteremo di dimostrare che i moti di certi sistemi sono quasi perlo-
dici senza evtrare nelle analisi, talvolta lunghe, necessarie per mettere in evidenza
la validita della proprieta di integrabilita.
4.9 Sistemi integrabili. Moti centrali con velocita areolare non nulla. Problema
dei due corpi
II sistema meccanico integrabile piu celebre e il sistema costituito da due punti
materiali di masse ml e m2 che interagiscono via una forza conservativa la cui ener-
gia potenziale V e funzione della sola distanza fra i due punti:
V (b 2) = V(Il- 21)
[ 4.9 .1 ]
ove supporremo che la funzione p  V(p) sia definita per p > 0 e di classe Coo e
tale che:
a)
lim p 2 V(p)=0
p-+o
inf V(p)= -V€>O
P€
[4.9.2 ]
b)
Ve>O.
Si noti che V(O) non e defmita, e questo significa che ci si limitera a considerare
solo moti t(Xl(t), X2(t)), tE R+, tali che IXt(t)-X2(t)1 >0, \itE R+: e questo
il significato della restrizione ai moti con velocita areolare non nulla nel titolo del
paragrafo.
Se t(Xl(t),X2(t)), tER+, e un mota del sistema, i due punti si muoveranno
in modo che la quantita di mota totale ed i1 momenta della quantita di mota to-
tale siano costanti nel tempo: infatti la forza generata dall' energia potenziale [4.9.1]
verifica 15 it terzo principio della meccanica e, allora, valgono per il moto in esame
Ie equazioni cardinali che implicano Ie menzionate leggi di conservazione, poiche
Ie forze esterne sono nulle.
Questo significa che il baricentro G si muove di mota rettilineo uniforme e, pur
di cambiare riferimento, potremo supporre senza perdita di generalita che G coin-
cida con l' origine 0 del riferimento (0; i, j, k) nel Quale studiamo it mota (vedi
primo principio della meccanica).
IS Esereizio.

279
Sistemi meccanici speciali
In questa situazione il mota t-*(XI(t), X2(t)), tE R+, sara tale che:
mIXt(t) = -m2X2(t) tER+
[4.9.3]
e, aHora, per individuare Ie posizioni dei due punti bastera dare it vettore p(t) =
=X2(t)- Xl (t); infatti:
m2
XI(t)=- + p(t),
ml m2
ml
X2(t)= + p(t).
ml m2
[4.9.4]
Poiche it momento della quantita di mota rispetto a 0 e costante, K, potremo
supporre, senza perdita di generalita, che sia diretto parallelamente a k:
K=Ak.
[4.9.5]
Considereremo solo moti per cui A > 0: vedremo che A e proporzionale alIa velo-
cita areolare.
Per Ie [4.9.3], [4.9.4] la [4.9.5] significa che:
K=Ak=ml Xll\Xl + m2 X21\ X 2 =
1\ ( · . ) m I m2 1\ .
=ml X l XI- X 2 =- + p p
ml m2
[4.9.6]
e, cioe, pep si devono sempre trovare entrambi nel piano (i, j).
Dunque it mota t-*p(t), tER+, si svolge nel piano (i, j). Allora potremo otte-
nere Ie equazioni del mota parametrizzando it mota a mezzo delle coordinate po-
lari (p, ()) di p nel piano (i, j) e, poi, calcolando la lagrangiana
+ m 1 (xl)2 + + m2(x2)2_V(l x 2 -XII)
[4.9.7]
sui moti che si svolgono in (i, j) pensandoli COS! parametrizzati e poi scrivendo Ie
equazioni lagrangiane del risultato. E', questo, uno dei (rari) casi in cui si pub ap-
plicare 10 schema del paragrafo 3.4.
Per tali moti la [4.9.7] diviene:
( ) 2 ( ) 2
. . 1 m2 .2 1 mi. 2
2(p,O,p,8, t)=2: ml ml+m2 p +2: m2 ml+m2 p +
1 mlm2
-V(p)=- p2_V(p)=
2 ml + m2
[ 4.9 .8 ]
I )
1 mlm2 .
=_ ( (p2+p2()2)_V(p)
2 m 1 + m2
ove si e utilizzata la ben nota formula che esprime la velocita p 2 in coordinate po-
lari come p2+p2{j2.
Le [4.9.8] mostrano che:

280
Capitolo qu arto
xx Proposizione La teoria del moto di due corpi, di masse ml, m2 positive,
sotto l'azione di una forza centrale conservativa, cioe con energia potenziale V di-
pendente solo dalla distanza mutua, e equivalente a quella del moto di un singolo
punto P di massa m:
mlm2
m=
ml + m2
[4.9.9]
in moto su un piano e sotto l'azione di una forza che 10 collega a un punto 0 del
piano, con energia potenziale V(IP-Ol).
Studieremo ora i moti del sistema descritto da [4.9.8] e tali che A =#= 0: sono i "mo-
ti centrali".
XXI Proposizione I moti del sistema meccanico a due gradi di libertiz descritto
di1 [4.9.8] ammettono due integrali primi:
1 .
E=- m(p2+p 2 02)+V(p)
2
A=p 2 0
[ 4.9 .10 ]
[ 4.9 .11 ]
e, se A =#= 0, si mantengono indefinitamente a una distanza da 0 maggiore di una
quantitiz positiva indipendente dal tempo (ma dipendente da A e E).
Dimostrazione. La [4.9.1 0] e l'energia totale e p2iJ e la componente secondo
l'asse z del momenta della quantita di moto A secondo l'asse z rispetto a 0 diviso
per m, per la [4.9.6].
Si noti che A e, evidentemente, il doppio dell'area spazzata da p per unita di
tempo ("velocita areolare").
Sostituendo la [4.9.11] in [4.9.10] si vede che:
1 ( A2 )
E=2m2+7 +V(p)
[ 4.9 .12 ]
mA 2
e la [4.9.2] implica che esiste Po> 0 tale che E - + V(p) < 0 per p < Po: e
2 p 2
aHora chiaro che:
p(t)po
'itE R.
[ 4.9 .13 ]
mbe
Sia ora t(p(t), O(t)), tE R, un mota associato a [4.9.8], con A=#=O: possiamo
scrivere l'equazione del mota per p considerando l'equazione lagrangiana relativa
alIa [4.9.8] corrispondente aHa coordinata p:
.. 0 . 2 av ( )
mp=mp -ap p
[ 4.9 .14 ]

281
Sistemi meccanici speciali
che, per la [4.9.11], diviene:
A 2 av aVA
mp=m---(p) = - (p)
p3 ap ap
[ 4.9 .15 ]
che mostra che la coordinata p evolve nel tempo come l' ascissa di un punta mate-
riale di massa m in moto su una retta sotto I' azione di una forza conservativa di
energia potenziale:
mA 2
VA(P)= 2p 2 + V(p).
[ 4.9 .16 ]
Poiche il mota in esame si mantiene, per la proposizione XXI, tale che p (t)  Po > 0
potremo ignorare eventuali singolarita di V in p = 0 e il vincolo p  0, dovuto a1 fatto
che p e la coordinata radiale, e potremo applicare la teoria del capitolo 2, valida per
Ie forze con energia potenziale di classe Coo.
mbe
Vale la seguente proposizione:
XXII Proposizione Sia p  V(p), p >0, di classe Coo e verifichi la [4.9.2]. Sia
W una regione aperta dello spazio degli atti di moto, per if sistema descritto dalla
[4.9.8], che consiste nei punti in cui Ie [unzioni E e A, [4.9.10], [4.9.11], sono
tali che
i) A > 0
ii) I 'equazione
mA 2
VA(P)= 2p 2 +V(p)=E [4.9.17]
ammette due sole soluzioni p+(E, A) e p_(E, A) tali che p+(E, A»p_(E, A»O e
aVA
ap (p) =1= 0 per p = p+(E, A) ovvero p = p_ (E, A).
Allora il sistema e integrabile in un intomo di ogni pun to di W e ha due perio-
di dati da:
T 1 (E, A)=2
p+ (E, A) dp
P-J A) V (E-VA(P))
[ 4 .9 .18 ]
21T
T 2 (E, A)= A
p+(E, A) dp
J
p_(E, A) V (E-VA(P))
p+(E, A) dp
P-J A) p2 V(E-VA(P))
[ 4.9 .19 ]
.
Dimostrazione. Sia (Po, () 0, Po, () 0) un atto di mota in W di energia E e velo-
. , I A
Cl ta area are 2.

282
Capitolo quarto
Nel corso della dimostrazione affermeremo che certe funzioni sono di classe Coo
ma ne lasceremo la verifica al lettore.
Si consideri la soluzione:
tR(t, E, A)
tER
[4.9.20]
della [4.9.15] con dato iniziale:
.
R(O, E, A) = p_ (E, A), R(O, E, A) = 0
[4.9.21 J
La funzione R e periodica in t (vedi 9 2.6) con periodo:
p+(E, A) dp
T 1 (E, A)=2 J
p_(E. A) vi; (E-VA(P))
l4.9.22]
ed e di classe Coo in t (vedi 99 2.4 e 2.6).
Se to (Po, Po) e il tempo pili piccolo perche
.
R(t o , E, A) = Po, R(t o , E, A) = Po
[4.9.23]
che necessariamente esiste per la definizione di W, si ha:
p(t) =R(t + to (Po, Po), E, A).
[ 4.9.24 ]
Per studiare completamente it nl0to occorre ora determinare O(t).
Si usa la [4.9.11]:
t A ,
()(t)=()o +) , 2 dt .
o R(t + to(Po, Po), E, A)
[4.9.25]
Osserviamo ora che la funzione integranda in [4.9.25] e di classe Coo e periodi-
ca perche R e tale e, inoltre, R p_(E', A»O. AHora, per il teorema di Fourier:
21Tikt
A = L Xk(A, E) e T 1 (E', A) ,
R(t, E, A)2 kEZ
[4.9.26]
ove (Xk)kEZ sono i coefficienti di Fourier di A/R2, che tendono a zero per koo
piu velocemente di qualsiasi potenza in k.
Inserendo [4.9.26] in [4.9.25] trasluce:
() ( t) = () 0 + Xo (A, E) t +
2rr ikt
Tl (E', A) 1
e -
+ L Xk(A, E) 2 .k
kEZ 1Tl
k=l=o Tl (E, A)
2rrikt o(Po, Po)
Tl (E, A)
[4.9.27]
.e
che scriveremo:
()(t) = ()o + Xo(A, E) t +
+ S(t + to(Po, Po), E, A) -S(to(Po, Po), E, A)
[4.9.28 ]

283
Sistemi meccanici speciali
ove la funzione:
2rrikt
T 1 (E, A)
e
S(t, E, A)= L Xk(A, E) 2 .k
kEZ rr[
k*o
[4.9.29]
TI (E, A)
e una funzione di classe Coo di t, periodica con periodo TI (E, A). E' aHora chiaro
che Ie coordinate di p(t) hanno la forma [4.8.15]: ad esempio, se p(t)=(PI(t),
P2(t)):
PI (t) = p(t) cos 8(t) =R(t + to(Po, Po), E, A). [4.9.30]
. {( cos Set + toe Po, Po), E, A)) (cos Xo(A, E') t + eo - S(t o ( Po, Po), E, A))-
-(sinS(t+to(po, Po), E, A)) (sin Xo(A, E) t+Oo-S(to(Po, Po), E, A))},
che "mostra" che il sistema e integrabile (vedi osservazione 4, p. 277).
E' anche facile trovare esplicitamente la trasformazione I che "integra" il moto:
gli integrali primi sono E e A, gli angoli 'PI e 'P2 suI toro T 2 sono, per [4.9.24] e
[4.9.28], ad esempio:
'Pi (i)o, 0 0 , Po, eo) = Tl  A) to(Po, Po)
'P2 (p 0, 0 0, Po, ( 0 ) = 0 0 - S ( to (p 0, Po), E, A)
[4.9.31 ]
[4.9.32]
i periodi sono, come si evince da [4.9.22], [4.9.23] e [4.9.28], [4.9.30] TI(E, A)
relativo a 'PI e T 2 (E, A) relativo a 'P2 ove:
T ( E A ) - 2rr
2 , - Xo(A, E)
cioe wI(E, A)=2rr/T I (E, A) e w2(E, A)=2rr/T2(E, A)=Xo(A, E).
Resta infine da verificare Ia regolarita della trasformazione I, la sua non singo-
larita e invertibilita su We, infine, Ia [4.9.19].
Come gia detto verificheremo solo [4.9.19]. Per il teorema di Fourier:
[4.9.33]
1 T 1 (E, A) A d t
Xo(E, A)= J 2
TI (E, A) 0 R(t, E, A)
[4.9.34 ]
Poiche R(t, E, A) si comport a in modo simile, come e facile verificare, per
tE[O, TI(E, A)/2] (quando R varia da P_ a P+) e per tE[TI(E, A)/2, TI(E, A)]
quando R varia da P+ a p_ si ha:
2 T 1 (E, A)/2
X (A E)= J
0, TI(E, A) 0 R(t, E, A)2 .
-- -
Ma per tE [0, Tl (E, A)/2] si ha (vedi [4.9.15], [4.9.20]):
R(t, E, A) dp
t= J
p_(E, A) 0; (E-VA(P))
Adt
[4.9.35]
[4.9.36]

284
Capitolo qu arto
e, quindi, cambiando variabile in [4.9.34], "t-+R", si ha
dt= dR
V (E-VA(P))
[4.9.37]
e, percio:
2A p+(E, A) dR
Xo(A, E)= J
Tl(E, A) p_(E, A) R 2 0 (E-VA(R))
[4.9.38]
che insieme con [4.9.18] implica [4.9.19].
mbe
4.10 Le leggi di Keplero
Leva dunque, lettore, a l'alte ruote
Meco la vista, dritto a quella parte
Dove l'un mota e l'altro si percuote;
E Ii comincia a vagheggiar ne l'arte
Di quel maestro che dentro a se rama,
Tanto che mai da lei l'occhio non parte.
Vedi come da indi si dirama
L' 0 bIico cerchio che i pianeti porta
Per sodisfare al mondo che Ii chiama.
II risultato principale del paragrafo 4.9, espresso dalla proposizione XXII, e che
il mota di un punta materiale in un campo centrale, e sotto certe ipotesi sui dati
iniziali, e un mota quasi periodico con due periodi dati dalle [4.9.18], [4.9.19],
he dipendono dall'energia E e dalla velocita areolare A12.
E' facile convincersi, contemplando Ie [4.9.18], [4.9.19], che in generale Ie due
funzioni Tl (E, A) e T 2 (E, A) sono "indipendenti". Quindi, tranne che nei casi:
Tl (E, A)
= numero razionale,
T 2 (E, A)
[4.10.1]
che sono "eccezionali" al variare di E e A, il mota e effettivamente quasi periodi-
co e non periodico.
Si noti pero che l'insieme dei punti dello spazio degli atti di mota in cui vale
[4.10.1] sara in generale denso (!) nelle regioni wcY ove il mota e integrabile.
Per esercizio il lettore puo dimostrare questa affermazione nell'intorno di un pun-
to dello spazio W dove i valori E ed A sono tali che il determinante della matrice
jacobiana della trasformazione (E, A) -+ (T 1 (E, A), T 2 (E, A)) e non nullo.
Esistono pero due casi eccezionali, veramente notevoli e meravigliosi.
Uno e, come gia visto implicitamente al paragrafo 4.1 e in altre occasioni, il ca-
so in cui:
k
V(p)="2 p2,
[4.10.2]

285
Sistemi meccanici speciali
cioe il caso di un oscillatore armonico in R 3 legato a o. Si ha, in questo caso:
Tl T2=21T V
[4.10.3]
e Ie orbite sono ellissi con centro in 0: la [4.1 0.3] e evidente (vedi g 4.1), ma po-
trebb anche essere verificata calcolando gli integrali [4.9.18], [4.9.19].
L' altro caso corrisponde a:
g
V(p)=-m -.
P
[4.10.4]
E' il caso del "problema newtoniano dei due corpi": ora ancora Tl = T 2 ma Tl e
T 2 dipendono da E. Le orbite sono ellissi, se E < 0, con un fuoco in o.
Tratteremo questo problema in dettaglio dimostrando:
XXIII Proposizione I moti con dati iniziali di energia E < 0 e velocita areolare
A/2=1=O sono periodici, perche gli integrali [4.9.18] e [4.9.19] sono identici (VE<O
e VA>O) e
i) Ie traiettorie t p(t), tE R, sono ellissi con un fuoco in 0;
ii) tali ellissi sono percorse con velocita areolare costante A/2;
ill) if rapporto fra if quadrato del periodo T di rotazione e if cuba della lunghez-
za dell'asse maggiore dell'ellisse e costante e dipende solo da g.
Inoltre, dette p+ e p_, p+ > p_, Ie distanze focali della ellisse sulla Quale si svol-
ge un dato mota si ha:
mg
P++P-= - E
[4.10.5]
mA 2
p+p- = -2E
[4.10.6]
T=  (p+ + p_)3/2.
2g
[4.10.7]
Dimostrazione. Con Ie notazioni del paragrafo 4.9 porremo VA (p) =m(A 2/2p2-
- g/ p) e Ie equazioni della conservazione dell'energia e del momento angolare diven-
gono:
_ 2 1 ( p2+ A2 ) _= [4.10.8]
p2 P m
p2iJ = A. [4.1 0.9]
mg 2
n grafico di VA e illustrato nella figura 4.8. Quindi s E < 0 e E> - 2A 2 Ie radi-
ci della equazione VA(P)=E sono due p+(E, A) e p_(E, A) che possono essere espli-

286
Capitolo quarto
VA
e-
e+
e
E
-mg 2 /2A2
Figura 4.8
citamente calcolate risolvendo un'equazione di secondo grado in l/p. Per Ie pro-
. ' d . lin . . il !in . . 1/ d d E VA(P).
pneta el po OIm potremo scnvere po omlO m P ato a - - In
m m
termini delle sue radici:
_ A 2 += A 2 ( _2-\ ( 2-_\
m 2p 2 p 2 p- PI P P+/
[4.10.10]
ove Ia dipendenza di p+ e p_ da A ed E e sottintesa. La quantita P+ e p_ che, ve-
dremo, sono Ie distanze focali dell'ellisse sulla quale si svolge il moto, evidentemen-
te (vedi Ia definizione di VA) verificano Ie [4.10.5], [4.10.6].
Utilizziamo [4.1 0.1 0] per riscrivere [4.1 0.8] e [4.1 0.9] come:
p =:!:A v( - 2- ) ( 2- -  )
p- p P p+
[4.10.11]

287
Sistemi meccanici speciali
. A
()=-
p2
[4.1 0.12]
Supporremo che per t=O si abbia p(O)=p_ e 0(0)=1(: poiche il mota di p e pe-
riowco (perche soluzione della [4.9.15]) e oscilla fra p+ e p_ (vedi proposizione XXII,
9 4.9) questa ipotesi non lede la generalita.
Allora nella [4.10.11] vale il segno + per t E [0, T/2] ove T e il periodo del mo-
to di p:
p+(E, A) dp
T=2 J
p_(E, A) vi; (E-VA(P))
[4.10.13]
(vedi paragrafo 2.6).
Quindi per tE[O, T/2] possiamo dire, osselVando che [4.10.12] implica che e
e una funzione monotona strettamente crescente di t e pensando p come funzio-
ne di a anziche di t, che la [4.10.11] di visa per la [4.10.12] da:
dp =pz 41- _ )( - ) [4.10.14]
dO V -p - p P p+
che, per p_  p  p+, implica:
p d '
o -rr= J p [4.10.15]
p-(P')Z V(:_ - :' )(:' - :+)
1
Questo integrale e elementare: se si esegue it cambiamento di variabile y = - do-
po qualche passaggio si evince che [4.1 0.15] si scrive: P
=- 2 1 ( + ) +- 2 1 ( - ) cos(e-1() [4.10.16]
p p+ p- p- p+
che ci fa vedere che quando () e 21( la p e p+.
Lo studio della traiettoria per t E [T/2, T] procede aHo stesso modo, cambian-
do segno in [4.1 0.11], e si trova che la traiettoria verifica ancora [4.1 0.16] e quan-
do p riassume, all'istante T, i1 valore p_ l'angolo e assume it valore 31(: questo si-
gnifica che dopo it tempo T non solo p ha riassunto 10 stesso valore ma anche ()
10 ha fatto (modulo 21T): dunque la traiettoria in Y e chiusa e i1 mota e periodi-
co (anche e e p riassumono, per t = T, gli stessi valori che per t = 0, per [4.10.11],
[4.10.12], e l'equazione originaria (cioe in coordinate cartesiane) del moto e una
equazione autonoma normale (vedi anche 99 2.4 e 2.7).
La [4.10.16] e l'equazione in coordinate polari di un'ellisse con fuoco nell'ori-
gine e assi focali p_ e p+.
Per calcolare it periodo bastenl eseguire l'integrale [4.10.13], ovvero [4.9.18] e
1
[4.9.19], che con la sostituzione -= y divengono elementari. E', pero, meglio ri-
p

288
Capitolo quarto
cordare che l' ellisse e percorsa con velocita areolare costante AI2 e quindi T pub
essere ottenuto dividendo per AI2 l'area dell'ellisse [4.10.16]; tale area e
p+ + p-
1T 2 V p+p-
[4.10.17]
p+ + p-
p oiche i semiassi di un'ellisse con distanze focali p+ e p_ sono appunto 2
V p.p_. Quindi:
e
p+ + p- 2 1T
T - - / P P - (p+ + p_) 3/2
'-1T 2 v +-A--
v2g
per Ie [4.10.5], [4.10.6].
[4.10.18]
mbe
Osservazioni
1) La [4.1 0 .7] mostra che, in questo caso, i due periodi [4.9.18] e [4.9.19] so-
no indipendenti da A.
2) Si possono facilmente studiare i moti con energia £=0 e £>0: non sono
moti periodici e Ie traiettorie sono rispettivamente una parabola e un ramo di iper-
bole: e un semplice esercizio basato su [4.10.11], [4.10.12], [4.10.14].
3) Le affermazioni (i), (ii), (iii) della proposizione XXIII sono Ie leggi di Keple-
ro scoperte sulla base di osservazioni dirette suI mota dei pianeti. A partire da esse
e ragionando a ritroso Newton ded usse che la forza che doveva legare i pianeti al
Sole aveva necessariamente la forma m; , ove m e la massa del pianeta.
r
L'argomento di Newton e interessante e diverso, in spirito, da quello ora espo-
sto in quanto si basa su considerazioni geometriche assai belle basate sulla teoria
delle coniche: la si trova nel libro primo dei Prine lpi gia citati.
4.10 Schemi di esercizi
1. Si consideri il problema dei due corpi in R 2 ed il sistema hamiltoniano ad
esso associato, con hamiltoniana: H( p, q)= p2 12m - km/l ql. Si ricerchi con il me-
todo di Hamilton-J aco bi una trasformazione canonica che trasformi (p, q) in (E,
A, T, ex) ove E=H(p, q) e A=a(p, q)=velocita areolare del mota con dato inizia-
Ie p, q. Qual e i1 significato fisico delle variabili T e ex?
(Idea: si consideri l'equazione di Hamilton-J acobi per una funzione generatrice
S (E, A, q t, q 2) di una trasformazione canonica:
2 ((:) 2 + (::2 ))- Vq;:q =E
risolvendola in coordinate polari ponendo S = mA'P + a(A, E) (p) e osservando che:
( da(A,E)  2 m2A2 2km 2
(p) + =2mE
dp p2 P

289
Sistemi meccanici speciali
ossia:
da(A, E)
=:!: Y 2m (E - VA (p)
dp
e poi interpretando A e E).
2 D k 1 ° ° R 2 d o . E< ° p+ + p-
. ato un mota ep erlano m 1 energla 0, 81 ponga a = 2 ' e = ec-
centriciti dell'ellisse di distanze focali p+ e p_, (e = (p+ - P _)/( p+ + p_», e si ponga:
L = m - r;- k - ' a = m 3/2 k - / 2
V K vaG = Lvi - e = mA.
Y -2E
Si consideri la trasformazione canonica con funzione generatrice S (L, G; q) = OG +
+ aL, C(p), ove aL, C - o(E, A), vedi esercizio 1), con E e A legati aLe G dalla
precedente definizione. Si dimostri che tale trasformazione puo essere estesa ad
una trasformazione canonica fra tutto l'insieme di dati iniziali tali che E 1 <E(p, q)<
<E2 < 0, 0< Al <a( p, q)< A 2 e l'insieme in R 2 X T 2 avente la forma (L t, L 2 ) X
X(Gt, G 2 )X T 2 , ove Lt, L 2 , Gt, G 2 sono legati ad Et, E 2 , At, A 2 dalle preceden-
ti definizioni. Si scriva esplicitamente questa trasformazione.
3. Si consideri i1 problema analogo a quello in (1), (2) nel caso di moti keple-
riani in R 3 ricercando una trasformazione canonica fra (p, q) e (L, G, 8, I, g, ())
ove L, G, 8 son definiti in termini della energia E, della velocita areolare A e del-
la inclinazione del piano dell'orbita rispetto all'asse z dalle relazioni:
m 3 / 2 k
L=
V 2E'
G=mA 8=G cosio
,
Le variabili (L, G, 8, 1, g, 0) si dicono "variabili ke" pleriane .
(Idea: si scriva l'equazione per la funzione generatrice S:
2 ( (;:lY +(aa r +( aa y)- Vqi:+q =E
di una trasformazione canonica, in coordinate polari:
2 ( (:r + p2s2e (r + ;2 (: y)- k; =E
e la si risolva ponendo:
,.....,
S(p, 0, 'f); G, L, 8) = 'f)G cos i + ac ;(0) + ac L (p)
, ,
ove:
( dac, ; 1 G2 cos 2 i 2
=- +G
dO sin 2 ()
( j 2 (
doc L
d =2m(E-VA(p»=2m-
eccetera).
m 3 k 2 G 2
+
2L 2m2p2
_ k;)

290
Capitolo quarto
4.11 Sistemi integrabili. Solido con ponto fisso
E' un altro interessante sistema integrabile.
Si consideri un sistema di N, N  3, punti materiali non allineati e di masse
mb ..., mN soggetto a un vincolo ideale che impone al sistema di essere rigido ed
avere un punta fisso o.
Oescriveremo il mota del sistema nel riferimento carte siano (0; ;, j, k), conven-
zionalmente chiamato "fisso", e fisseremo un riferimento (0; ;., ;2, ;3) solidale
con il corpo e con gli assi convenientemente scelti.
Per determinare la posizione del corpo sara sufficiente indicare la posizione di
(0;;., ;2, ;3): in questo riferimento, infatti, il punta Pi, i-esimo del sistema, ha
coordinate costanti per l'ipotesi di rigidita.
Per individuare la posizione di (0; ;., ;2, ;3) sceglieremo gli angoli di Eulero
(0, tp, 1/;) che, come vedremo, sona assai naturali, perche in termini di essi, talvol-
ta, il mota e descritto in modo molto semplice.
l' energia cinetica del sistema si puo esprimere in termini della velocita angolare
w del riferimento (0; it. i 2 , i 3 ) rispetto al riferimento (0; i, j, k) (vedi nota 15 a
p. 208 e [3.9.11], [3.9.12]):
. .
w = On + k + 1/;i 3
[ 4.11.1]
infatti la velocita dell'i-esimo punto e (vedi nota 16 alIa [3.9.11], formula (ex), con
n=o, Vn=O).
X (i)=w I\(Pz-O)
e, quindi:
1 N . 1 N
T=- L mi(x(I))2=- L m;(wl\(Pi-O)).
2 ;= 1 2 i= 1
[4.11.2]
[4.11.3]
1 N 1
o (wl\(P;-O))=2" w. E (P;-O)I\(wl\(P;-O))=2" w./w,
ove:
N
Iw= L (Pi-O)I\(wl\(P;-O))=Ko
i= 1
[4.11.4]
e il momenta della quantita di mota rispetto a O.
Le componenti di I(w) in (0; ;t. ;2, ;3) hanno, per [4.11.4], la forma:
3
(IW)Q= L Io:(3w(3 Q= 1,2,3
(3=1
ove e facile verificare da [4.11.4]: 16
N
10:(3= .L mi [(Pi - 0)2 00:(3- (Pi - 0)0: (Pi -0)(3].
1= 1
[4.11.5]
[4.11.6]
16 Si usi l'identita II A (b Ac) = (0. c) b - (0. b) c, (vedi anehe [3.9.29]).

291
Sistemi meccanici speciali
Poiche Ie componenti del vettore (Pi-O) sono costanti in (O;;b ;2, ;3), per il vin-
colo di rigidita, i nove numeri [4.11.6] sono delle costanti caratteristiche del cor-
po rigido in esame. A questo punta conviene scegliere gli assi ; b ;2, ;3, solidali, in
modo da rendere piu semplice possibile la matrice 1 ("d'inerzia") in [4.11.6].
Si puo notare che, se si cambia riferimento solidale ruotando gli assi ; b i 2, ;3
in ;, i, ; Ie coordinate dei vettori (Pi-O) divengono nel nuovo riferimento
(Pi -O), Q= 1,2, 3, legate aIle coordinate dello stesso vettore nel primo riferi-
mento da:
3
( Pi - O)a = L R a{j (Pi - 0)  [ 4.11 .7]
(3=1
e la matrice R e una matrice ortogonale: RR T =RTR = 1 17 e, quindi, la matrice [
definita da [4.11.6] cambia e diviene una matrice [' legata a 1 da:
I=RI'R T .
[ 4.11.8]
Possiamo allora scegliere R in modo tale che [' abbia la forma:
1'=
o
1 2
o
[4.11.9 ]
ove 0 < 1 1  1 2  13: tale R esiste per ogni matrice simmetrica e definita positiva
che si rispetti (vedi app. E): che la 1 sia una mat rice definita positiva viene dal fat-
to che l'energia cinetica si scrive in termini di essa mediante [4.11.3] e inoltre dal-
l'ipotesi che i punti del sistema siano non allineati (esercizio) (vedi anche 9 3.9).
Utilizzeremo questa osservazione per supporre di avere fin dall'inizio scelto
(0; ;t. ;2, ;3) in modo che 1 abbia la forma [4.11.9]. Allora con quest a scelta del
sistema di coordinate l'energia cinetica e il momenta della quantita di mota rispet-
to ad 0 divengono:
1 2 2 2
T="2 (11 WI +/ 2 W 2 +/ 3 W 3)
[4.11.10]
KO=/1Wl;1 + 1 2 W 2;2 + 1 3 W 3;3.
[4.11.11]
Per scrivere la lagrangiana che descrive il mota del solido fisso in 0, soggetto a
vincoli ideali e a nessuna forza attiva, bastera scrivere l'energia cinetica [4.11.1 0]
in termini degli angoli di Eulero (fig. 4.9) e delle loro derivate temporali a mezzo
della [4.11.1], che esplicitamente diviene (vedi [3.9.3], p. 208, e [4.11.1]):
.
WI = (J cos \J; +  sin (J sin \J;
W2 = - (J sin \J; +  sin (J cos \J;
[4.11.12]
[4.11.13]
[4.11.14]
.
W3 =  cos (J + \J;.
17 E vieeversa ad ogni matriee ortogonale eorrisponde un riferimento i, i;, i; in cui Ie eo-
ordinate (Pi - O)'a sono legate alle (Pi - O)a da [4.11. 7].

292
Capitolo quarto
II risultato non e particolarmente illuminante nel caso generale e non 10 scrivere-
mo che nel caso in cui II = 1 2 = I: in questo caso it solido e chiamato "un girosco-
pio" con asse di simmetria ;3. E' il caso che si presenta quando il solido ha una
simmetria di rotazione attorno ad un asse. Si ha:
ff(O, .p, , 0, 'P, 1/1, t) = + 1(0 2 + (sin 0)2 .p2) +
1 ·
+ 2 13 ( cos 8 + Vi)2 .
[4.11.15]
Prima di trattare il caso generale trattiamo il sistema meccanico descritto da
[4.11.15], cioe it giroscopio: in questo caso infatti i risultati sono piu facili da ot-
tenere e particolarmente suggestivi.
Come spesso avviene, non conviene scrivere Ie equazioni di Lagrange per [4.11 .15]
k
I
Figura 4.9

293
Sistemi meccanici speciali
e discuterle da sole: ma conviene combinarle con altre informazioni, pur in esse
implicite, che si ricavano dai principi generali di conservazione (dell' energia e del
momenta angolare Ko nel caso in questione).
Poiche o e un costante del moto, dato un mota t  (0 (t), (t), VI(t)) con da-
ti iniziali (0 0 , o, Vlo, 0 0 , o, Vlo), si PUQ supporre, senza ledere la generalita, che
Ko sia parallelo all'asse fisso k:
Ko=Ak A>O
[4.11.16]
(e chiaro che A = U corrisponde al solido fermo, che restera tale).
Le componenti di Ko secondo gli assi (it, ;2, i 3 ) sona aHora (vedi [3.9.3]):
(KO)3=A cosO
(KO)1 = A sin 0 cos VI
(KO)2=A sinO sin VI
e, per Ie [4.11.12], [4.11.13], [4.11.14] la conservazione del momenta angolare si
traduce neHe tre relazioni:
[4.11.17]
.
A cos 0 =I3w3 =I 3 «P cos 0 + VI)
A sin 0 cos VI =Iw2
A sin () sin VI = 1Wl
[4.11.18]
[4.11.19]
[ 4.11.20]
. .
che sono tre equazioni differenziali neHe tre incognite 0, (P, VI e A e una costante.
Anziche discuterle combiniamole con Ie equazioni lagrangiane associate a
[4.11.15] per Ie coordinate  e VI dalle quali la [4.11.15] non dipende esplicita-
mente e, quindi, esprimono due leggi di conservazione:
d .
(it 13 «P cas 0 + \jJ) = 0
[4.11.21]
corrispondente a VI e
dd t (I(sin 8)2 + I 3 (.p cos 8 + )) .p =0
[4.11.22 ]
corrispondente a .
Le [4.11.18] -:- [4.11.22] formano un sistema sovrabbondante di equazioni che
permettono facilmente di determinare Ie funzioni O(t), (t), \jJ(t) in funzione dei
dati iniziali: la [4.11.21] implica che (p cos 0 + VI e costante a1 variare di t e, quin-
di, la [4.11 .18] implica che cos 0 e costante e cioe:
O(t)=Oo
[ 4.11.23]
(nel sistema scelto il dato iniziale e quindi necessariamente tale che 0 0 = 0).
Sostituendo in [4.11.22] la [4.11.18] e [4.11.23] si deduce =O e quindi:
(t)= o + ot
[4.11.24]

294
Capitolo quarto
.
e poi la costanza di (P e () e la [4.11.18] implicano che \jJ e costante, cioe:
.
\jJ ( t) = \jJ 0 + \jJ 0 t.
[4.11.25]
Dunque [4.11.23], [4.11.24], [4.11.25] danno la completa descrizione del mota
nel riferimento scelto.
A partire da esse e facile (vedi osservazione 4, p. 277) far vedere che il girosco-
pia e un sistema integrabile nel senso del paragrafo 4.8 in una opportuna regione
W dello spazio degli atti di moto. I moti sono quasi periodici di periodi
Tt=21T/(PO' T2=21T/\jJo
[4.11.26 ]
e, quindi, in generale i1 mota e quasi pe.riodico ma non periodico: si noti perb che
l'insieme degli atti di mota per cui (Po / \jJ 0 e razionale (e che quindi danno luogo a
un mota periodico), e denso in Y. Per maggiori dettagli vedi la dimostrazione del-
la proposizione XXN, che segue.
Trattiamo ora i1 caso genelale supponendo It <12 </3 e con un metodo non
analogo a quello seguito finora nel caso del giroscopio.
Come nel caso precedente si conservano, assegnato un mota t «(}(t), (t), \jJ(t)),
l'energia e il momenta angolare. La conservazione dell'energia e del modulo del
momenta angolare danno luogo alle due equazioni:
222
11Wt + 12w2 + 13w3 = 2£= cost ante
[4.11.27]
[ 4.11.28]
22 22 22 2
II WI + /2 W1 + 13 W3 =A = costante
che permettono di ricavare due delle tre componenti di w in funzione della terza:
W3 = 1:
(2£/ 3 - A 2 ) -(1 3 - 1 2 ) 1 2 W
I t (/ 3 -/ t )
(A 2 -2£/ 1 )-(/ 2 -/l)/2W
13(/3 -II)
[ 4.11.29]
WI = 1:
[4.11.30]
Per trovare un'equazione che consenta di determinare W2 si pub osservare che
[4.11.28] contiene assai menD informazioni della costanza del momenta angolare
come vettore.
Infatti la conservazione del momenta angolare [4.11.11] significa (ricordando
[3.9.12]):
dKo d
0= dt =d( (/ 1 W t;1+ 1 2 W 2;2 +/ 3 w 3;3)=
d.
=Itwt;t+I2w2;2+13w3;3+ItWt :; +
d . d .
+I 2 w 2 :; +I 3 w 3 d'; =Itwt;t+I2w2;2+13w3;3+
[4.11.31]
+ 1 1 W l W!\;1 + 1 2 W2 W !\;2 + 1 2 w 3 W !\ ;3.

295
Sistemi meccanici speciali
La [4.11.31] scritta per componenti e semplicemente:
I 1 w 1=(I 2 -I 3 ) W2 W 3
I 2 W 2 =(1 3 -II) W1 W 3
I3w3=(It-I2)wtW2
[ 4.11.32]
[ 4.11.33]
[4.11.34 ]
Queste equazioni, belle, si dicono "equazioni di Eulero" per il mota di un solido.
La [4.11.33] insieme con T 4.11.29], [4.11.30] ci da l'equazione per W 2:
1:(2EI 3 -A 2 ) -(1 3 - 1 2 ) II w;}{(A 2 -2El 1 ) -(1 2 - II) 1 2 w;
1113 [4.11.35]
W2 = :t
e la discussione sulIa scelta dei segni in [4.11.35] porta al solito risultato: inizial-
mente W2 ha un certo segno che mantiene fmo all'istante in cui si annulla; poi la
scelta del segno cambia fmo al successivo annullamento di W2 ecc., alternando.
Dunque (ricordando il  2.6) la [4.11.35] ci dice che W2 varia al variare del tem-
po come l'ascissa di un punta materiale di massa 2 e che si muove sotto l'azione
di una forza conservativa di energia potenziale:
VE A(X)=
,
{(2EI 3 -A 2 ) -(1 3 - 1 2 ) 1 2 X2 } {(A 2 -2EI 1 ) -(1 2 -II) /2 X2}
1113
[4.11.36]
e con energia totale nulla.
Ne segue che t  W2 (t) e una funzione periodica di classe Coo di t che oscUla fra
i valori estremi cx+(E, A), cx_(E, A) che sono gli estremi del piiI piccolo fra i due
intervalli [-ai, a1] e [-a3, a3] con:
a1(E,A)=
2EI3 -A 2
I'). (1 3 -II)
e a3(E, A) =
'A2- 2EI t
II (1 2 - II)
[ 4.11.37]
purche:
a1 (E, A) =1= a3(E, A)
[ 4.11.38]
(in caso contrario l'equazione VE, A (x)=O ha due sole soluzioni :t a in cui
vk A (t a) = 0 e, quindi, per la discussione del paragrafo 2.6, il mota non e perio-
,
dico ).
II periodo di tW2(t) e:
0..(£, A) dx
T 1 (E, A) = 2 'f .
Q._('k, A) V- VE, A (x)
e, anzi, una piiI esplicita espressione per W2 (t) pub essere ottenuta ponendo:
[ 4.11.39]
t f2(t, E, A) tE R
[ 4.11.40]

296
Capitolo quarto
la soluzione della equazione 2n = - a  E. A (Q), (e, quindi anche della [4.11.35]),
con dati iniziali W2
.
n(O, E, A) = o:_(E, A), n(O, E, A) = O.
Si ha:
W2(t)=n(t+tO(W2(0), W2(O)), E, A)
[4.11.41]
[ 4.11.42]
ove t o ( W2 (0), W2 (0)) e i1 minima tempo necessario ache la soluzione [4.11.40]
T 1 (E, A)
di [4.11.35] "passi" per (W2 (0), W2 (0)). Inoltre, per 0  t  2 si ha:
O(t, E, A) d
t= f x [4.11.43]
o:_(E, A) y- VE, A (x)
Per trovare il mota t (8(t), (t), 1/;(t)) ritorniamo aIle equazioni che esprimo-
no i1 momenta angolare e la sua identita con Ak supponendo di aver scelto k e Ko
paralleli (vedi [4.11.18], [4.11.19], [4.11.20]):
13 W3 =A cos 8
1 2 W2 =A sin 8 sin 1/;
I I WI =A sin 8 cos 1/;
[4.11.44]
che ci dicono:
I 3 w 3(t)
8(t) = arccos A
1 2 W2 (t)
1/;(t) = arctg
I 1 W l(t)
ove la determinazione dell'arcotangente in [4.11.46] va scelta in modo che t 1/;(t)
sia una funzione continua.
Dalla [4.11.12], [4.11.13] si PUQ aHora ricavare :
[ 4.11.45]
[ 4.11.46]
=
WI sin 1/; + W2 COS '" II wi + 1 2 w
. 8 =A 2 2 2 2
sIn / 1 WI + /2 W2
[4.11.47]
ove la seconda uguaglianza segue da [4.11.19], [4.11.20] e [4.11.18] se, come sup-
poniamo, immaginiamo di aver scelto l' asse k parallelo a Ko.
Porren10
 2
I I n I (t, E, A) + 1 2 n (t, E, A)
<I>(t, E, A) =A 2 2 2 2 [4.11.48]
II n l (t, E, A) + /2 n (t, E, A)
ove n 1 e legato ad n come WI a W2 in [4.11.29]18 e, allora [4.11.47] diviene:
18 Si noti ehe l'ambiguita di segno in [4.11.29) non ha qui influenza.

297
Sistemi mecc..ici speciali
 = <I>(t + to( W2 (0), W2 (0)), E, A).
[ 4.11.49]
Se si scrive, utilizzando la periodicita di periodo [4.11.39], di t  <I> (t, E, A):
21ri
t
<I> ( t E A ) = +f X ( E A ) Tl (E, A)
, , n, e ,
n=-oo
[ 4.11.50]
si trova, integrando [4.11.49]:
(t) = o + Xo(E, A) t + S(t + t o (W2 (0), W2(0)), E, A)-
-S(t o ( W2 (0), W2 (0)), E, A),
[4.11.51 ]
ove
+00
S(t, E, A)= L Xn(E, A)
n=-oo
n=#=o
21r int
T 1 (E, A)
e
21T in
T 1 (E, A)
[4.11.52]
e una funzione di t periodica con periodo T 1 (E, A).
Le [4.11.45], [4.11.40], [4.11.51] ci danno la completa descrizione del mota
in esame.
Vista l'analogia di questi risultati con quelli relativi al problema dei due corpi
e naturale formulare la seguente proposizione:
XXIV Proposizione II mota di un solido con un punta fisso e momenti di iner-
zia 11</2</3 e integrabile nel senso della definizione 10 del paragrafo 4.8 in una
famiglia di regioni W' che ricoprono la regione W dello spazio degli atti di mota
ove A *0 e a3(E, A)*al(E, A) (vedi [4.11.38]) e, in questi casi il mota e quasi
periodico con due periodi:
Q+(£, A)
T 1 (E, A)=2! dx [4.11.53]
Q_(E, A) y -VE A (x)
,
Q+(E, A)
J dx
21T Q _(E, A) Y - V E A (x) [ 4.11 .54]
,
A a+<1' A) dx r (2E-A 2 )-(/2-/1)/2 X2 l
Q_(E, A) V -VE,A(X) L/l(2E-A2)-/2/3(/2-/l)x2J
e cx,!(E, A) sono Ie soluzioni di VE, A(X)=O con minima modulo.
Un analogo risultato vale se II =/ 2 *13 0 se II =/ 2 =/ 3 .
T ( E A ) - 21T -
2 , - Xo(E, A)
Dimostrazione. Discuteremo in qualche dettaglio questa dimostrazione perche
serve da illustrazione al commenD finale del paragrafo 4.8.
Sia (0; i, j, k ) un riferimento fisso nel quale vogliamo studiare il mota; e un
riferimento diverso dal precedente (0; i, j, k) che, pur essendo fisso, e scelto in

298
Capitolo quarto
funzione dei dati iniziali: si ricordi che k e Ko sono paralleli.
Consideriamo prima il caso del giroscopio che e piu semplice e mostra la strada
da seguire nel caso generale.
Usiamo come coordinate per individuare l'atto di mota del sistema:
1) L'angolo 'Y fonnato dal versore i con il versore i, scelto para11elo all'interse-
zione del piano ortogonale a Ko con il piano i, j.
2) L'angolo 5 fra Ko e k.
3) Gli angoli di Eulero 0, 'P, \jJ di (0; it, i 2 , i 3 ) rispetto a (0; i, j, k) (in cui k
e parallelo a Ko e i e scelto come in (1)): (0; i, j, k) e (0; ii, i 2 , i 3 ) sono da pen-
sarsi come i riferimenti nei quali si sono svolte tutte Ie precedenti considerazioni.
4) Le velocita angolari  e \jJ.
Dalla discussione precedente segue allora che il mota del sistema ha tre integra-
Ii primi: 5, o, o e, fissati 5, o, o, e descritto dai punti ('Y, 'P, \jJ)E T 3 . L'evo-
luzione temporale e il flusso su T 3 di pulsazioni: 19
. . . .
w l(5, o, \jJo)=O, w 2(5, o, \jJo)=o, W 3(O, o, \jJo)=\jJo.
[ 4.11.55]
Si noti che, poiche W I = 0, 'Y e in un certo senso anch' esso un integrale primo (pe-
ro non e Coo su tutto W in quanto essendo un angola puo presentare discontinuita
di 21T).
Resta da veriflcar€? che la corrispondenza fra gli angoli di Eulero (0, I{) , \jJ) e Ie
loro derivate ( 0 ,  , \jJ ) di (0; it, i 2 , i 3 ) rispetto a (0; i, j, k ) e Ie sei coordinate
(5, ifJo, \jJo, 'Y, 'fJ, \jJ) e di classe Coo e non singolare e invertibile su una famiglia di
insiemi W' che, al variare delle scelte di (0; i, i, k ) ricoprono l'insieme W della
proposizione. Non ci addentreremo in questa (poco interessante e noiosa) verifica.
Nel caso generale Ie coordinate da scegliere per mettere in evidenza la integrabi-
lita sono, in luogo di 5, ifJo, \jJo, gli integrali primi E, A, 5.
I""oV I""oV
Le coordinate angolari saranno 'Y, 'P, \jJ ove:
= 21T t o (W2(0), W2(0))
T 1 (E, A)
 = 'Po - S(t o ( W2 (0), W2 (0)), E, A).
[ 4.11.56]
[ 4.11.57]
l..e pulsazioni associate al mota suI toro T 3 associato ad (A, E, 5) sono W I (A, E,
5) = 0, W 2 (A, E, 5) = 21T/T1 (E, A), w 3(A, E, 5) = 21T/T2 (E, A).
Le [4.11.56], [4.11.57] seguono da una attenta contemplazione delle [4.11.51].
[4.11.48], [4.11.42].
Non entreremo nei .dettagli relativi aIle verifiche della regolarita e invertibilita
-.- - ,.,.""",,""""""
della trasformazione (O, 'P , \jJ, 0, 'P , \jJ){E, A, 5, 'Y, I{), \jJ) ristretta a intorni W'C J1I
abbastanza piccoli.
19 La sbarra e qui introdotta sui simboli di pulsazione onde evitare eonfusioni con Ie com-
ponenti della veloeita angolare w in (0; iI' i 2 , i 3 ).

299
Sistemi meccanici speciali
Si pub osservare che se II =1 2 Ie coordinate (E, A, 5) scelte nel caso generale
non si riducono aIle o, Wo, D del caso II =1 2 come trattato in precedenza.
E' possibile trovare altri due integrali primi <I> e W che, se scelti in luogo di E e
A, si riducono a (Po, Wo del caso 1 1 =1 2 . Si ha:
1 T 1 (E, A) I 1 n 1 (t)2 + 1 2 n(t)2
J A 2 2 2 d t,
T 1 (E, A) 0 II n 1 (t) + 1 2 n(t)
<1>=
[4.11.58]
ove n(t) e definito in [4.11.40] e n 1 (t) e legato a n(t) dalla [4.11.29] con n(t)
in luogo di W2 (t). Si noti che <I> e il valore medio di (P su un periodo (perche (P e
periodica con periodo T 1 (E, A); vedi [4.11.47]).
Analogamente dalle [4.11.12], [4.11.13] si pub ricavare un'espressione per W
in termini di WI, W2, W3 analoga alla [4.11.47]:
. (A 2 -2EI 3 )w3
t/J= I;w +I;w
[ 4.11.59]
e quindi si pub definire l'integrale primo:
1 T 1 (E, A) (A 2 -2EI 3 ) n3(t)
'¥ = Tl (E, A) I I; ill (t)2 + I; il(t)2 dt,
ove n 1 e n 3 sono legati a n dalle [4.11.29], [4.11.30] con n al posta di W2; l'am-
biguita di segno in [4.11.30] va risolta scegliendo per n 3 10 stesso segno di W3 (che
si determina dai dati iniziali e dall'osservazione che [4.11.30] non e mai nullo e ha,
quindi, segno costante).
Si vede che <I> dipende solo da A, E mentre W dipende da A, E e dal segno di W3.
Resta infine da verificare [4.11.54]: si ha T 2 (E, A)=21TjX o (E, A) e:
T 1 (E, A)
1 T 1 (E, A) 2 2
X ( E A ) = J <I> ( t E A ) dt= r <I> ( t E A ) dt
0, T 1 (E, A) 0 " T 1 (E, A)  "
[ 4.11 .60]
"[4.11.59]
e, cambiando variabile, tn(t, E, A) si ha:
dt= dn
Y -VE A(n)
,
[4.11.61]
e quindi,
X ( E A ) - 2
o , - T 1 (E, A)
Tl (E, A)
2
J
o
dx A (2E-A)-(I 2 -I I )x 2
Y- VE A (x) II (2E- A 2 )-I 2 I 3 (I 2 -II) x 2
,
[4.11.62]
mbe

300
Capitolo quarto
4.12 Sistemi integrabili: mota geodetico sulla superficie di un ellissoide. Altri
sistemi integrabili
In generale data una superficie regolare  in R d , i "moti geodetici" unitari su
 sono i moti che un punta materiale, avente massa m = 1 e velocita iniziale con
modulo uguale aI, pub seguire al variare dei dati iniziali quando e vincolato a
muoversi su , in assenza di forze attive, da un vincolo ideale (nel senso del 9 3.5).
La lagrangiana che descrive questi moti e dunque:
!E=  x 2
2
[4.12.1]
con il vincolo ideale: x E .
La conservazione dell'energia (9 3.5) implica
1 . 2
T= - x = costante
2
[4.12.2]
sui moti considerati. Dunque l'insieme dei moti con velocita iniziale di modulo 1 e
l'insieme dei moti nei quali la velocita e, ad ogni istante, unitaria.
Sia t  x (t) un ta]e moto: l'ultima osservazione ci dice che se s e I' ascissa curvi-
linea sulla traiettoria g- del mota si ha:
1 1
At t (x)=(azione di x fra t 1 e t 2 )= _ 2 (S2 -Sl)= _ 2 (t2 -t 1 )
11 2
[4.12.3]
ossia l'azione del mota tx(t) fra t 1 e t 2 e la meta della distanza fra x(t 1 ) e x(t 2 )
misurata a mezzo dell'ascissa curvilinea fra x(t 1 ) e x(t 2 ) lungo f7.
Per i1 principio della minima azione sappiamo, d'altra parte, che il moto tx(t)
rende }'azione localmente minima in intervalli di tempo sufficientemente piccoli.
Da questo segue che la traiettoria !!7, come curva in R d , rende (per [4.12.3]) 10-
calmente minima la distanza fra Xl e X2 misurata su f7 se Xl e X2 sono abbastan-
za vicini. Invero dato X1 E !!7, Xl=X(t 1 ) supponiamo che per It2-tll<€ l'azione
At t sia minima su X al variare di y in./lt; t (x(t 1 ), X(t2 )). Se esistesse una cur-
l' 2 l' 2
va 1, 2 di classe Coo che congiunge X (t 1) con X (t 2) rimanendo su  e che e piu
corta della parte di g- compresa fra X (t 1) e X (t 2 ), allora percorrendola con velo-
cita uniforme, a partire da t 1 in modo da raggiungere x(t 2 ) all'istante t 2 , si costrui-
rebbe un mota x E"£ t (x(t 1 ), x(t 2 )) la cui azione sarebbe:
1, 2 l' 2
A ( X ) - ( 11,21 ) 2 t -t ) -
t l' t 2  1, 2 - 2 t 2 - t 1 (2 I-
1 1 1 21 2 1
-- 2 ' <- 2 (t2-tl)
t 2 -t 1
[4.12.4]
se ICC 1 21 «t 2 -t 1 ) e la lunghezza di CC 1 2. Questo e in contraddizione con il prin-
, ,

301
Sistemi meccanici speciali
cipio della minima azione se l'intervallo di tempo € e scelto abbastanza piccolo
(vedi 9 3.5, proposizione VIII e problema 6 a p. 231).
Le curve che, su una superficie , rendono localmente minima la distanza tra i
punti che connettono, purche questi siano abbastanza vicini, si dicono "geodetiche"
di  e questo spiega il nome dato ai moti di lagrangiana [4.12.1] su . II piu sem-
plice esempio non banale di mota geodetico e il moto geodetico sulla superficie 
della sfera di R 3: e facile vedere che Ie traiettorie possibili sono i cerchi massimi.
Ed e anche facile interpret are questo risultato in termini dell'integrabilita del mota
geodetico sulla sfera nel senso del paragrafo 4.8. I moti sono, in questo caso, tutti
periodici.
Un caso menD semplice e il mota geodetico sulla superficie di un ellissoide. Trat-
teremo solo il caso dell'ellissoide di rotazione (pur essendo integrabile anche il mo-
to su un ellissoide arbitrario; vedi problema alIa fine del paragrafo).
In questo caso possiamo scegliere come asse zeta l'asse di asimmetria dell' ellis-
soide e individuare la posizione di un punto sull'ellissoide tff a mezzo di due coor-
dinate (0, ',0):
x = a sin () cos ',0
y = a sin () sin ',0
z = b co s () ,
[ 4.12.5]
ove a e b sona i semiassi principali dell' ellissoide.
La lagrangiana del moto geodetico su tff si scrive immediatamente a partire dal-
Ie [4.12.5]:
. 1 ·
!E«(),, (), ',0, t)=T [(b 2 (sin (})2 +a 2 (cos (})2) (}2 +a22(sin (})2] [4.12.6]
e, quindi, Ie 'equazioni del mota sono:
 a 2 <,O(sin (})2 =0
dt
:t (b 2 (sin 8)2 +a 2 (cos 8)2) 8 = a/i (8,.p, 8, \(J, t).
[ 4.12.7]
[ 4.12.8]
Conviene pero discutere solo la [4.12.7] insieme con la conservazione dell'energia:
1 .
T [(b 2 (sin (})2 + a 2 (cos ())2) ()2 + a 2 (sin ())2 <,02] =E.
La [4.12.9] e la [4.12.7], che useremo per definire l'integrale primo A=<,O(sin ())2, da:
[ 4.12.9]
()=f
(2E(sin 8)2 - a 2 A 2) v'
= :t - VE A «())
(sin (})2 (b 2 (sin (})2 + a 2 (cos ())2) ,
[4.12.1 0]
che, per il solito argomento, visto nei precedenti paragrafi ci dice che t  (}(t) e
una funzione periodica con periodo

302
Capitolo quarto
8+(E, A)
T 1 (E, A)=2 f dB
8_(E, A) y - V E, A (0)
[4.12.11]
ove e_ e e+ so no Ie due soluzioni piu vicine a zero di - V E A (e) = O. Supporremo
,
E, A> O.
Inoltre e(t) verifica:
.. a V E A
e=- ' (e)
ae
[4.12.12]
ed e quindi di classe Coo (vedi 99 2.4 e 2.6) e puo essere espressa in termini della
soluzione tR(t, E, A) di [4.12.12] con dato iniziale R(O, E, A) = O_(E, A) e
R(O, E, A) =0. Tale funzione, ricordiamo, e definita da
R(t, E, A) dO
t= J
8(E, A) y- VE, A (e)
[ 4.12.13]
1 1
per 0  t  2 T 1 (E, A) ed e prolungata in modo naturale per t> 2 T 1 (E, A).
Inoltre:
.
o ( t) = R (t + to ( eo, eo), E, A)
[4.12.14]
. .
ove to(Oo, ( 0 ) e il primo istante in cui il moto tR(t, E, A) passa per (eo, ( 0 ).
Come si vede la discussione e in tutto analoga alle precedenti dei paragrafi 4.9,
4.10, 4.11.
Come aHora il mota tt{J(t) della seconda coordinata si deduce da [4.12.7]:
t A
l,O(t) = 1,00 + J (sin B( r))2 dr [4.12.15]
che si tratta come Ie analoghe espressioni gia viste ai paragrafi 4.9, 4.10, 4.11.
Si nota, cioe, che t  A/sin 2 R(t, E, A) e una funzione periodica con periodo
T 1 (E, A) e di classe Coo e, utilizzando Ia teoria deHa serie di Fourier, si vede che
se (Xn(A, E))nEZ sono i coefficienti di Fourier di A/sin 2 R(t, E, A):
21T ikt
A = Y Xk(A, E) e T 1 (E, A)
(sin R(t, E, A))2 k=-oo
[4.12.16]
e, posto:
+00
S(t, E, A)= L Xk(A, E)
k=-oo
k=l=o
21T ikt
T 1 (E, A)
e
21Tik
T 1 (E, A)
[ 4.12.17]
l'integrale [4.12.15] da:

303
Sistemi meccanici speciali
(t)=o+Xo(A, E) t-S(to(Oo, ( 0 ), E, A)+
+ S (t + to ( 0 0 , 0 0 ), E, A)
[4.12.18]
e, quindi, come nei precedenti paragrafi, si vede che il mota e un mota quasi pe-
riodico con periodi TI(E, A) dato da [4.12.11] e T 2 (E, A):
( IT I (E, A) A d t ) - 1
T 2 (E, A) = 21T Xo(A, E)-I = 21T J =
TI (E, A) 0 (sin R(t, E, A))2
8 + (E, A) dO [ 4.1 2.19]
J ...; V (8)
_ 2 8 - (E, A) - E, A
- 1T 8+(E, A) A dO
6_(1. A) (sin 8)2 ...; - V E. A (8)
eseguendo un cambiamento di variabile (0 =R(t, E, A)).
Si PUQ verificare che in generale al variare di A ed E i due periodi TI (E, A),
T 2 (E, A) hanno rapporto irrazionale se a =1= b.
Per formulare sinteticamente quanto appena visto conviene aderire alla conven-
zione di chiamare "moti geodetici" non solo i moti che si svolgono su una super-
ficie  regolare sotto l'azione del solo vincolo, ideale, a  e che hanno velocita
unitaria ma anche i moti di velocita arbitraria. Allora
XXV Proposizione L'insieme W degli atti di moto vincolati all'ellissoide S di
rotazione e tali che E =1= 0, A =1= 0 e un insieme di dati iniziali ricopribile con insie-
mi W' sui quali i moti geodetici su S so no integrabili nel senso del paragrafo 4.8.
Tali mod sono quasi periodici con periodi TI (E, A), T 2 (E, A) dati da [4.12.11] e
[4.12.19]. In generale al variare di E e A il rapporto TI(E, A)/T 2 (E, A) non e ra-
zionale se a =1= b.
Concludiamo questa rassegna di sistemi integrabili con un elenco di altri sistemi
integrabili su vaste regioni WC!/:
1) Punto su un ellissoide di rotazione, attorno all'asse z e con fuochi II e 12,
soggetto all'azione di una forza di energia potenziale:
g
U(x) = .
Ix- 11\lx-f2\
[ 4.12.20]
Questo sistema si PUQ facilmente integrare, con il solito procedimento e risultati
simili, in coordinate ellittiche (, 17, ) definite in termini delle coordinate carte-
siane (x , y, z) d i x cIa:
y' x 2 + y2 =a y' (2-1)(I-172)
z = a17
azimuth di x = 
[4.12.21]

304
Capitolo qu arto
ove E[I, +00), 1]E[-I, 1], E[O, 21T] e il parametro 0 va scelto in modo che
l'ellissaide in esame sia una superficie  = cost ante: tali superfici sono gli ellissoidi
Z2 x 2 + y2
+ =1
0 2 2 0 2 (2 -1) .
[4.12.22]
2) Punto sulla sfera soggetto a forze attive di energia potenziale:
U ( e ) = b e e ) + c()
,  (sin e) 2
in coordinate polari e bECOO([O, 1T]), cECOO([O, 21T]) e periodica con periodo 21T.
Questo sistema si integra facilmente scrivendone la lagrangiana in coordinate
polari e discutendo Ie relative equazioni di Lagrange.
3) Punta sulla superficie di un paraboloide e iperboloide di rotazione: questo
e un sistema integrabile in un senso piu debole di quello introdotto al paragrafo
4.8. I moti geodetici sono descritti da funzioni <I> come nell'osservazione finale del
paragrafo 4.8, (vedi [4.8.15]), ma tali funzioni non sono necessariamente multiperio-
diche negli ultimi argomenti.
In questo senso piu deb ole l'integrabilita dei moti geodetici sulle quadriche di
rotazione non rigate e facilmente verificata in coordinate ellittiche (vedi [4.12.21])
per il mota su iperboloidi (con parametro 0 scelto in modo che l'iperboloide in
questione sia una superficie 1] = costante).
II mota suI paraboloide di rotazione e invece facilmente studiabile in coordina-
te paraboliche (, 1], ) definite da termini delle coordinate cartesiane (x, y, z) da
[4.12.23]
1
z=- (-1])
2
x 2 + y2 =1]
= azimuth di (x, y, z).
[4.12.24 ]
4) Punto sulla superficie di un toro bidimensionale di rotazione e a sezione cir-
colare. Questo mota viene studiato e integrato usando Ie coordinate (, e) naturali
per il toro:
x = (a + b cos e) cos 
y = (a + b cos e) sin  e,  E [0, 21T]
Z = b sin e
[4.12.25]
ove x, y, z sono Ie coordinate cartesiane.
5) I sistemi di N punti materiali sulla retta R 1 di lagrangiana:
m N 2 N
-- L x. - g L ex p a ( x.- x. )
2 . I. 1 1+1,
1= 1 1= 1
[ 4.12.26]
ovvero

305
Sistemi meccanici speciali
m N . 2 2 IN 1 w 2 N
-Lxi-g  -- 2 LX?,
2 . . . ( ) 2 .
1=1 1</ Xi-Xj 1=1
[4.12.27]
detti sistemi di Toda e di Calogero rispettivamente, la cui scoperta e recentissima,
ammettono N integrali primi "indipendenti" e sono probabilmente integrabili. Di
questi sistemi esistono alcune varianti con la stessa proprieta.
Esistono, ovviamente, altri sistemi integrabili: basta eseguire un arbitrario cam-
biamento di coordinate nelle lagrangiane che abbiamo appena esaminato per otte-
nere lagrangiane integrabili.
Pero sono noti solo pochissimi altri sistemi integrabili .'interessanti", cioe non
ottenuti per banali cambiamenti di coordinate da quelli finora elencati.
4.12 Schemi di esercizi
1. Si esegua esplicitamente l'integrazione dei sistemi studiati nei precedenti pa-
ragrafi e di quelli elencati da 1 a 4 in questo paragrafo utilizzando il metodo di
Hamilton-J acobi applicandolo ai vari sistemi nelle coordinate suggerite al fine di de-
terminare altri integrali primi (oltre l'energia) (vedi  3.11, p. 227 e proposizione
XX, p. 224).
2. Si consideri il moto geodetico sulla superficie dell' ellissoide:
x2 y2 z2
-+-+-=1
a b c
nel sistema di coordinate 10 cali, "di Jacobi", (u, v):
x=
(u-a)(v-a)
(b-a)(c-a)
! (u-b)(v-b)
y= V b
(c - b) (a - b)
o (u-c)(v -c)
z= c
(a-c)(b-c)
e si faccia vedere che l'energia cinetica in queste coordinate si esprime in termini
della funzione:
1 A
A(A)=4 (a-A)(b-A)(C-A)
come:
I
T(u, v, u, v) = 2 (u -v) (A(u) u 2 - A(v) v 2 ).
Applicando poi i1 metodo di Hamilton-Jacobi alIa lagrangiana L (u, V, u, v) = T(u,
V, u, v) si faccia vedere che il mota geodetico sull'ellissoide ammette un altro inte-

306
Capitolo quarto
grale primo
M(u, v, u, v)=(u-v)(vA(u) u 2 -uA(v)v 2 ).
Infine si faccia vedere che il sistema e integrabile in vaste regioni dello spazio del-
le fasi utilizzando il metodo di Hamilton-Jacobi.
(Idea: si scriva l'equazione di Hamilton-Jacobi nelle coordinate u, v per il siste-
ma in questione. Si otterra:
(at ) 1  ( at ) 2 1 ( at ) 2 1 ]
\at + 2  au H(u, v) + av G(u, v) =0
ove:
H(u, v)= (u -v)A(u)
G(u, v)=(v-u)A(v)
e se ne ricerchino soluzioni della forma:
E
t(u, v, t) = - 2 t + \jJ(u, v)
\jJ(u, v) = a(u) + (v).
L' eq uazione diviene:
( a\jJ ) 2 ( a\jJ ) 2
A(v)  - A(u) a;- = (u -v) (A(u)A(v))E
che ammette la famiglia di soluzioni parametrizzata da a e da E:
U v
\jJ(u, via, E)= J V EA(u') (u' + a) du' + J V EA(v') (v' + a) dv'.
U o Vo
Applicando ora Ie considerazioni del paragrafo 3.11 (p. 227) e proposizione XX
aVi
(p. 224), si provi che l'equazione delle geodetiche e a;- =c e cioe Fa(u) + Fa(v)= 2c
.jA(U)
ove Fa e una primitiva di V  . Questo implica che a e un integrale primo che,
calcolato in termini di u, V, u, v, risulta essere - M / E.)
3. Si faccia vedere che un giroscopio simmetrico pesante sospeso per un punto 0
dell'asse di simmetria diverso dal baricentro e, se soggetto a vincoli ideali e alla so-
la forza peso, un sistema integrabile.
(Idea: si scriva la lagrangiana in termini degli angoli di Eulero, avendo scelto il
riferimento (0; i, j, k) inerziale con l'asse k parallelo e discorde rispetto alla forza
peso. Si noti anche che, insieme all'energia, si conserva anche la componente se-
condo k del momenta angolare rispetto al punto di sospensione. Si combini questa
informazione sugH integrali primi con Ie equazioni di Lagrange per integrarle per
"quadrature", ossia riducendo il problema a quello dello studio del mota di siste-
mi unidimensionali conservativi (come nei casi trattati nel testo). (Vedi L. Landau
e E. Lifsits, Meccanica cit., problemi del  3.5.))

307
Sistemi meccanici speciali
4.13 Alcuni criteri di integrabilita. Introduzione. Considerazioni e definizioni
geometriche
Vista la rarita dei sistemi meccanici "noti" come integrabili, ci si pub doman-
dare se sia possibile rico nos cere facilmente a priori la non integrabilita di un siste-
ma meccanico. Ad esempio, l'integrabilita su una regione W dello spazio Y; degli
atti di mota implica l'esistenza di I integrali primi "indipendenti": un modo, dun-
que, di mostrare che un sistema non e in tegrabile e di far vedere che non ammette
tanti integrali primi quanti so no i gradi di liberta del sistema.
In ogni caso concreto e perb molto difficile decidere se un sistema ha 0 no in-
tegrali primi (oltre a quello dell'energia e aIle funzioni di essa). Celebre e rimasta
la dimostrazione di Poincare della non integrabilita (in un senso un po' piu stretto
di quello che usiamo qui; vedi 95.10 per una discussione piu dettagliata) del pro-
blema di tre corpi attraentesi mutuamente con forze inversamente proporzionali
al quadrato delle distanze e proporzionali ai prodotti delle masse ("problema dei
tre corpi celesti")?O
E' quindi utile cercare di porre in evidenza altre proprieta speciali dei sistemi
integrabili per utilizzarle poi come criteri necessari di integrabilita 0, quindi, come
criteri sufficienti di non integrabilita.
In questo e nei prossimi paragrafi condurremo un' analisi che permettera di
classificare come moti molto semplici e ordinati i moti dei sistemi integrabili e
come moti disordinati quelli dei sistemi non integrabili.
Ritorniamo un po' nello spirito del paragrafo 2.12. Le nozioni Ii introdotte di
osservabili, valori medi ecc. hanno naturali estensioni ai sistemi a piu gradi di li-
berta. Consideriamo un sistema a I gradi di liberta descritto da una lagrangiana vin-
colata:
fE(x, x, t) + vincoli ideali
[4.13.1]
regolare nel senso del paragrafo 3.11 e originante equazioni differenziali di Hamil-
ton normali (nel senso del 9 2.5), nel futuro e nel passato.
Chiameremo Y; 10 spazio degli atti di mota del sistema descritto da [4.13.1]:
!/ e una superficie regolare in R d X R d ove d e la dimensione del sistema non vin-
colato (vedi proposizione XVIII, p. 274).
11 Definizione Sullo spazio Y; degli atti di mo.to di [4.13.1] definiamo l'''evo-
luzione temporale" come il gruppo (S t ) tE R di trasformazioni di !/ in se tali che:
St(x, x) = (x(t), x(t)), tE R,
[4.13.2]
ove tx(t), tE R, e if lnoto che fa seguito al dato iniziale (x, x)E!/. Le funzio-
20 Vedi H. Poincare, lV1ethodes Nouvelles cit., vol. 1 (vcdi anche  5.10, p. 433, osserva-
/lone 1).

308
Capitolo quarto
ni [E COO(Y) saranno chian1ate gli "osservabili" del sistema meccanico vincolato.
E' importante la seguente nozione di "storia di un osservabile [" su una succes-
sione t=(ti)i=j di tempi di osservazione:
12 Definizione Se [ECOO(Y) e t e una successione crescente di tempi (ti)7=0
tale che t; . + 00 chiameremo "t storia di [ sulla traiettoria di (x, x)" fa succes-
. loo
slone:
([(Sti(i, X)))f=o
[4.13.3]
ove (x, x) E Y. E'la successione dei risultati delle successive osservazioni del valo-
re di [ sulla traiettoria di (x, x) agli istanti to, t 1 ,... Abbrevieremo Ie locuzioni ri-
[erendoci alla "( [, t)-storfa dt (x, x)".
Se [e un'osservabile e t e una successione come:
t;=it 1 i=O,I,...; t 1 >0
[4.13.4]
e se (i, x) EWe Y ove W e una regione sulla quale il sistema meccanico [4.13.1]
e integrabile, allora la ([, t)-storia di (x, x) e lungi dall'essere una successione ar-
bitraria.
La proposizione VI del paragrafo 4.2, ad esempio, consente di formulare la se-
guente sua ovvia reinterpretazione in termini delle nuove definizioni appena paste:
XXVI Proposizione Se in We Y il sistema [4.13.1] e integrabile e se t e dato
da [4.13.4] e [e un 'osservabile Ie ([, t)-storie dei punti (x, x) E W hanno valore
medio definito: esiste cioe illimite:
- 1 N-l
[(x, x)= lim - N .L [(Sjt 1 (x, x)).
Noo J=O
[4.13.5]
Inoltre se (A, 4fJ) =/(x, x) sono Ie coordinate di (x, x) in VX T 1 (vedi de[inizione
10, 94.8) e se gli (1 + 1) numeri Wi (A), ..., Wl(A), u, con a= 21T , sono razional-
t
mente indipendenti si ha: 1
[(x , X)=(21T)-IJ Ff(A, 4fJ') d4fJ'
T 1
[4.13.6]
se si e posto:
Ff(A, <p) = [(/- 1 (A, cp)).
[ 4.13.7]
Dunque la non integrabilita del sistema descritto da [4.13.1] PUQ essere messa in
luce trovando in W anche un solo punta (x, x) e un solo osservabile [tale che la
([, t)-storia di (i, x) non abbia valore medio definito.
Questo criterio e, pero, di assai difficile applicazione pratica: Ie ([, t)-storie so-

309
Sistemi meccanici speciali
no di solito difficilmente analizzabili nei casi concreti interessanti e "di solito" am-
mettono valore medio anche in sistemi non integrabili.
Per approfondire la discussione sui sistemi integrabili, conviene restringere rat-
tenzione ai sistemi "analiticarnente integrabili" che sono collegati ad alcune inte-
ressanti nozioni geometriche che ora preponiamo alIa loro discussione.
Perche il lettore non si perda nei meandri della geometria che segue, diciamo
subito che, grosso modo, vogliamo cercare di definire insierni G C R d X T d ' con
frontiera "analitica" a tratti (vedi la definizione che segue di funzione analitica).
A differenza degli insiemi che hanno frontiera Coo a tratti, questi insierni che defi-
niremo hanno la proprieta di essere non solo misurabili (secondo Riemann), ma
anche tali che la loro intersezione con una superficie piana (ad esempio) e Inisura-
bile (secondo Riemann) come sottoinsieme della superficie (rispetto ana misura di
area) .
E' di questa semplice proprieta, e della sua stabilita rispetto a certe classi di
cambiamenti di coordinate, che avremo bisogno in modo veramente essenziale nel-
la rimanente parte di questo capitolo.
Ci sono vari modi di costruire famiglie di insiemi e classi di cambiamenti di co-
ordinate che abbiano questa proprieta: pera nessuno di essi mi pare essere descri-
vibile in poche parole, per quanta strano cia appaia. Per i1 lettore sara un diver-
tente esercizio tentare di dare definizioni alternative a quelle che seguono, mante-
nendo la validita delIa sostanza del discorso:
13 Defmizione Se neRd e un insieme aperto e fE Coo(n) si dira che f e "ana-
Utica" su n se e sviluppabile in serie di Taylor, assolutamente convergente, attor-
no ad ogni punto di n. Ossia se per ogni o E n esiste € (o ) > 0 tale che, se
I-ol€(o):
1 00 ak1+."+ kd f (  (  ) ) 1
[m=  k, kd (o) <; l-k: 1 k
k l' ..., k d a  1 ... a d
(d - (o)d )kd
kd!
[4.13.8]
e, inoltre:
o +00
'L
k l' ..., kd
a k 1 +... + kd f €(o)k 1 +... + kd
( ) < + 00.
a kl a kd 0 k 1 !...kd!
C;1 ... c;d
[4.13.9]
Una funzione su n a valori in R I si dice analitica se tali sono Ie sue componenti.
Nel seguito avremo bisogno anche dell' ovvia estensione della nozione di funzione
analitica f al caso in cui neRd X T d ' e i valori di f sono assunti in R I X T I '.
Osserviamo prima che una funzione f su neRd X T d ' pua essere "canonicamen-
te estesa" a una funzione 7 definita su un insieme neRd X R d ' ponendo:
n = {insieme delle coppie (, 11) E R d X R d '

310
Capitolo quarto
tali che il punta (, cp) E R d X T d ',
con .p=71(mod 21T), e in n}
[4.13.10]
,....."
f(E, fl) = f(, 11 mod 21T)
[4.13.11]
Utilizzando Ie convenzioni [4.13.10], [4.13.11] poniamo:
14 Definizione Una funzione f su neRd a valori in R I X T I', che a  E n as-
socia (x, -.p)E RIX T I ', si dira analitica su n se, per ogni oE n esiste una funzio-
ne F "che la rappresenta ", definita in un intorno U di o a valori in R I X R / ' e ana-
litica, tale che per  E U si ha:
F()=(x, fl) e f()=(x, &p)
[4.13.12]
e, inoltre, 11- cP = 0 mod 21T.
Una funzione f definita su neRd X T d ' a valori in R/X T l ' si dira analitica su
,....." ,....."
n se la estensione canonica f di fan e analitica.
In termini di queste definizioni di analiticita si PUQ definire la nozione di siste-
ma analitico di coordinate locali.
15 Defmizione Sia U un insieme aperto di R d X T d ' e sia ::: una funzione ana-
litica in un insieme aperto neRd + d' tale che:
i) ::: e invertibile come trasformazione da n su U;
ii) ::: e analitica in n e ::: - 1 in U;
iii) il determinante jacobiano di Z non e mai nullo in n. 21
Si dira allora che (U, Z) e un sistema analitico di coordinate locali in U con
base n.
Se UC R d X T d ' e VC R d X T d ' so no insiemi aperti, d +d' = d + d ', e se Z e una
funzione analitica su U a valori in V che stabilisce fra U e V una corrispondenza
biunivoca, non singolare con inversa analitica si dice che Z e una trasformazione
analitica di U in V.
E' ora possibile dare la nozione di superficie analitica:
16 Definizione Una superficie regolare  C R d X T d ' si dice "analitica localmen-
te" in un insieme aperto U se esiste una famiglia (Ua., a.)a.EA di sistemi analitici
di coordinate locali con basi (na.)a.EA, rispettivamente, tali che:
i) i punti di  n U a sono quelli che in (U a , :::a) hanno coordinate 1 =...
=d+d'-I=O, ove 1 e "la dimensione di" (cioe (U a , Za.) e adattato a );
ii) al variare di a in A gli insiemi U a ricoprono  n U.
21 Ovviamente il determinante jacobiano di :e: in o e il determinante jaeobiano in o di
una funzione chc rappresenta E in un intorno di o.

311
Sistemi meccanici speciali
Se  e una superficie analitica localmente in U e f e una funzione definita su
 a valori in R d X r d ' si dira che ''f e analitica su  in U" se e la restrizione a 
,....."
di una funzione analitica su un insieme aperto U   n U.
Se esiste un insieme aperto U che contiene  e  e chiusa e localmente analiti-
ca in U, si dice che L e analitica.
Definiamo infine gli "insieomi analiticamente regolari": a tale scopo penseremo
R d X r d ' immerso come sottoinsieme di R d X r d ', d  d, d '  d', in modo natura-
Ie: cioe identificheremo R d X r d ' con il sottoinsieme di R d X rd' consistente dei
punti (x, cp )ERdXr d ' tali che x =(x, 0) e 'f) =(cp, 0) ove (x, '/))ERdXr d ' e 0 de-
nota i vettori nulli di dimensione d -d 0 d ' -d', rispettivamente.
17 Definizione Un insieme chiuso G e R d X rd' si dira "localmente analitico"
nell'intorno U e R d X r d ' se a G e localmente analitica in U.
Se esiste un insieme aperto U che contiene G e G e localmente analitico in U,
si dice che G e analitico.
Un insieme G e R d X r d ', chiuso, si dira "analiticamente regolare" se esistono
d  d, d 'f d'  un insieme aperto U e R d X rd' contenente _G (pnsato come insie-
me di R d X r d ' a mezzo della immersione di R d X r d ' in R d X r d prima descritta)
e una famiglia di insiemi localmente analitici in U a mezzo dei quali, con un nu-
mero finito di operazioni di unione e in tersezion e, si pub costruire G.
Osservazioni
1) Una superficie analitica  e un insieme analitico. __
2) Se :E: e una trasformazione analitica di ue RdX r d ' in VC R d X r d ' e se Ge U
e un insieme analiticamente regolare allora :E:(G) eVe anche analiticamente regolare.
3) Se  e una superficie localmente analitica in U e se G e U e un insieme ana-
liticamente regolare anche G n  e analiticamente regolare.
Dunque gli insiemi analiticamente regolari restano tali se trasformati analitica-
mente ovvero se intersecatf con superfici regolari analitiche.
4) Su ogni superficie regolare (0 analitica) CRdxrd' si PUQ definire una "mi-
sura di area": se (U, :;:) e un sistema regolare (0 analitico) di coordinate locali adat-
tato a  e con base n esiste una funzione 0 regolare (0 analitica) su n tale che
per Ee  n U:
areaE= J 0(0, ..., 0, d+d'-l+b ..., d+d') dd+d'-l+b ..., dd+d' [4.13.13]
:E - 1 (E)
se l'insieme ::: - 1 (E) e misurabile secondo Riemann (in tal caso si dice che E e mi-
surabile su  rispetto alla misura di area).
II problema della misurabilita (secondo Riemann) non e sempre banale e per
questo ha interesse la nozione, che tanto ci ha distratti dai sistemi integrabili, di

312
Capitolo quarto
insieme analiticamente regolare, come illustra la seguente proposizione che e il
punta di arrivo di questa lunga digressione geometrica.
5) Sarebbe piu naturale definire G analiticamente regolare quando esistono un
insieme aperto U G e una famiglia di insiemi localmente analitici in U a mezzo
dei quali, con un numero finito di operazioni di unione e di intersezione, si pub
costruire G. Si pub dimostrare che questa definizione e equivalente alIa definizio-
ne 17. Si e preferito usare la forma piu complicata perche di essa avremo bisogno
in seguito. Si pub anche vedere che se, nella definizione 17 0 nella sua forma al-
ternativa, si sostituisce la parola "analitica" con "COO" si ottengono, invece, due
nozioni diverse (vedi esercizi del 9 4.13).
XXVII Proposizione Sia  C R d X T d ' una super[ieie loealmente analitiea nel-
l'insieme aperto U e sia E un insieme analitieamente regolare eontenuto in U.
L'insieme E n  e aUora misurabile (secondo Riemann) su L. Esistono eioe, da-
to € > 0, due [unzioni X + e X - di elasse Coo su L tali ehe 0  X -  X +  1 e, se X E
e la [unzione earatteristiea di E n :
i) X-() XE() X+() VEL nE
ii) J (X+() - X -()) dUt< €,
EnY.,
ove l'integrale denota l'integrale di super[feie suU'insieme E n.
[4.13.14]
[4.13.15]
Non descriviamo la dimostrazione di questa proposizione: pur non essendo par-
ticolarmente difficile occorrerebbe, per dimostrarla, un'analisi della struttura delle
superfici analitiche e delle loro intersezioni che, essendo per noi marginale, ci por-
terebbe troppo lontano dal nostro problema. Rimandiamo dunque illettore ai te-
sti di geometria.
4.13 Schemi di esercizi e problemi
1. Mostrare che la funzione su T I : I{)  cos I{) e analitica.
2. Mostrare che la funzione su R a valori in T 1 : x  x mod 21T e analitica.
3. Se I e una funzione di classe COO sui cerchio e se i suoi coefficienti di Fourier
possono essere maggiorati come Ilkl Fclkl, con c< 1, aHora I e analitica sui cer-
chio T I .
4. Generalizzare (3) al caso di una funzione sui toro a piu dimensioni.
6. Si dimostri che: i) Una "superficie" di R localmente analitica in UC R e
una unione di, a1 piu, una infinita numerabile di punti priva di punti di accumula-
zione. ii) Un insieme analiticamente regolare e limitato, in R, e una unione di un
numero finito d'intervalli e di punti.

313
Sistemi meccanici speciali
7. Mostrare che rette, piani, semipiani, semispazi sono insiemi analitici in R 2
e R 3 .
8. Mostrare che triangoli, poligoni, cerchi e Ie lara frontiere sono analiticamen-
te regolari in R 2 e R 3 .
9. Mostrare che i solidi regolari, Ie sfere, i diedri e triedri ecc., e Ie lara fron-
tiere sono analiticamente. regolari in R 3 .
10. Mostrare che il cerchio, l'ellisse e la sfera e l'ellissoide e Ie loro frontiere
sono insiemi analitici in R 2 0 R 3 , rispettivamente.
11. Un cerchio in R 3 non e analitico sebbene sia analiticamente regolare.
12. Sia XI, X2,... una numerazione dei numeri razionali in [0, 1]. Si consideri
per ogni xk l'intervallo aperto di ampiezza 2- k - 1 e centro in xk. Si mostri che
l'unione di tali in tervalli, denotata A, e un insieme aperto denso in [0, 1] con mi-
sura (nel senso di Riemann) estema 1 ed intema non superiore a 1/2.
13. Siag una funzione di Coo(R) positiva in (-1/2,1/2) e nulla altrove. Si
ponga:
00
f (x) = L k! - I g( 2 k + I (x - x k )) x E [0, 1]
k=1
e si mostri che f e positiva su A e nulla fuori. Inoltre si mostri che f e infinitamen-
te differenziabile.
14. Si mostri che l'insieme Doo={x, yIOx 1, f(x)y <+oo} del piano ha
frontiera Coo a tratti ed e misurabile secondo Riemann. Si mostri che l'inersezione
fra D e l'asse . delle x non e misurabile secondo Riemann.
4.14 Sistemi analiticamente integrabili. Frequenza di visita ed ergodicita
Le considerazioni geometriche del paragrafo 4.13 consentono la seguente natu-
rale definizione:
18 Defmizione Si consideri un sistema meccanico in R d descritto dalla lagran-
giana (x, x).!£(x, x) in CCIO(RdX R d ) e soggetto a un vincolo olonomo bilatero
ideale ad una superficie regolare . Sia !/C RdX R d 10 spazio degli atti di mota
di questo sistema vincolato che suppo"emo a I gradi di liberta. Suppo"emn che
.!£ sia una funzione analitica su un insieme aperto W' C R d X R d e che anche //
sia, in W', una superficie localmente analitica 22 e, infine, supporremo che in W= W' n
22 Basta ehe  sia analitiea in R d perche Y sia tale in R d X Rd. Piu in gcneralc se  e ana-
litica nell'insieme aperto U aUora Y e anlitiea in W' = insieme dci punti i, x E R d X R d tali
ch x E U.

314
Capitolo quarto
n!/ il sistema meccanico sia integrabile e denoteremo
(A, 'f))=!(i, x)
[4.14.1]
la lunzione su W la cui esistenza, garantita dall'integrabilita, consente di traslorma-
re W in VX T l , VC R l .
Diremo che il sistema e "integrato analiticamente in W da !" se questa e una
traslormazione analitica di W in VX T l .
Un sistema che puo essere integrato analiticamente si dice "analiticamente inte-
grabile" (ma va! ).
L'interesse dei sistemi analiticamente integrabili, dei quali abbiamo visto molti
esempi (infatti sarebbe non difficile verificare che tutti i sistemi integrabili a piu
gradi di liberta finora considerati sono analiticamente integrabili su vaste regioni W),
sta nel fatto che Ie (I; t)-storie dei punti di W hanno valore medio ben definito
anche se I non e in Coo ma, ad esempio, Ia funzione caratteristica di un insieme
analiticamente regolare.
19 Definizione Sia tff = (Eo, E 1, ..., E p) una lamiglia di so ttoinsiemi di !/, spa-
zio degli atti di mota di un sistema integrabile analiticamente su un insieme aper-
to W, tale che
p
i) .U Ei = Y e anche Ei n Ej = f/J se i =1= j, cioe tff e una "partizione di Y";
1=0
ii) E 1, ..., Ep C W e Ei e un insieme analiticamente regolare, i= 1, ..., p;
iii) d(E;, Ej»O se i =1= j e j, i= 1, ..., p.
p
Evidentemente Eo =YI.U Ei e un insieme aperto in Y, poiche E1, ..., Ep sono
1= 1
chiusi. tff si chiamera "partizione di Yanaliticamente regolare su W".
Denoteremo XEi' i=O, ..., p, Ie lunzioni caratteristiche degli insiemi Eo, ..., Ep
e porremo:
P
fE()= lo jXE/) EY
e, infine, chiameremo (8, t)-storia di (i, x) EY la (I", t)-stoTia di (i, x) E Y,
ove t = ( it 1 )7= 0 , tiE R + .
[4.14.2]
E' assai notevole Ia proposizione:
XXVIII Proposizione Se E e analiticamente rego/are in un insieme aperto UJC//,
ove un dato sistema meccanico e analiticamente integrabile, esiste V(x, x) E W il
limite
1 N-l
lim - N .L XE(Sjtl(i, x)). [4.14.3]
Noo }=o

315
Sistemi meccanici speciali
Tale limite si chiamera "la frequenza di visita ad E della traiettoria associata a
(x, x)" rispetto alia successione t=(it 1 )7=0.
Dimostrazione. L'immagine di E, I(E), via la [4.14.1] e un insieme analiticamen-
te regolare in VX T l (supponendo che I sia una trasformazione analitica che inte-
gra il sistema in W), per Ie definizioni del paragrafo 4.13.
AUora e chiaro che il problema deUa dimostrazione di questa proposizione e
"ridotto" a quello contemplato nella seguente proposizione:
XXIX Proposizione Sia W=(Wl, ..., WI) una l-upla di numeri reali e EC T l un
sottoinsieme analiticamente regolare di T l . Se t = (it 1)7=0, t 1> 0, esiste la frequen-
za di visita:
1 N-l
VE('f)) = lim - N  XE('f) + jt 1 w). [4.14.4]
N-+oo j=o
Se i numeri WI, ..., WI e a= 21T/t 1 sono razionalmente indipendenti si ha, inoltre:
1
VE('f)) = I J d'f).
(27T) E
[4.14.5]
Dimostrazione. Tratteremo solo il caso semplice in cui WI, ..., WI e a sono ra-
zionalmente indipendenti, perche piu facile. 11 caso generale si pUG ricondurre al
precedente con un po' di paziente, ma interessante lavoro, che preferiamo lasciare
allettore rinviandolo aUa successione ragionata di problemi alla fine di questo pa-
ragrafo.
L'idea della dimostrazione e di sfruttare la misurabilita di E per trovare due
funzioni X- e X+ di classe Coo verificanti Ie [4.13.14], [4.13.15] e poi sfruttare la
[4.13.15] per concludere che VE(V'J), se esiste, e compreso fra Ie medie di X+ e X-
che, per la [4.13.15], differiscono al piu di E, se esistono. Per l'arbitrarieta di E e
per la ghl vista (vedi proposizione VI, 9 4.2) esistenza delle medie di funzioni in
Coo(T i ) rispetto alle loro osservazioni sulle traiettorie generate dalla successione di
rotazioni 'fJ  'f) + t IjW, la proposizione e allora dimostrata salvo la [4.14.5] che,
nell'ipotizzata indipendenza razionale di WI, ..., wi e a, si ottiene dalla proposizio-
ne VI del paragrafo 4.2, dalla [4.2.5], [4.13.15] e dalla arbitrarieta di E.
mbe
Un'altra importante proposizione che utilizzeremo per introdurre una interes-
sante nozione di "ergodicita", e la seguente:
XXX Proposizione Nelle ipotesi della proposizione XXVIII siano E ed E'
due insiemi analiticamente regolari in W e sia (x, x) E W. Allora Ie frequenze delle vi-
site della traiettoria di (x, x) ad E ed E' hanno la proprieta:

316
Capitolo quarto
1 N-l
lim N . VEnSjt (E')(X, x)= VE(X, x) VE'(X, x).
Noo J=O 1
[ 4.14.6]
Osservazione. Questa proprieta, allo stesso modo in cui la proposizione XXVIII
appariva come corolIario delIa XXIX, e un corollario della seguente proposizione:
XXXI Proposizione Siano E ed E' due insiemi analiticamente regolari di T I .
Denotiamo (E' +tw) i punti 'P' di T l tali che tp'=VJ+tw per qualche 'PEE: qui
w=(wt, ..., Wl)E R l . Allora se VE(.p) e la frequenza delle visite dei punti tp+jt 1 w,
j = 0, 1, ..., ad E si ha:
1 N-l
lim - N .L vEn (E'+ jt 1 w )(VJ) = vE(.p) vE'(VJ),
Noo J=O
\1t 1 >0.
[4.14.7]
Osservazione. Nel caso in cui Wt,..., wI e o=2rr/t 1 sono razional1nente indipen-
denti, VE('{J) e la misura di E (vedi [4.14.5]). Dunque la [4.14.7] significa che la
frazione di E occupata da immagini di punti di E' e una frazione di E uguale in
media alIa misura di E ': in altre parole E' e, in media, uniformemente sparpaglia-
to in T l . Questo vale VE, E' purche analiticamente regolari.
Dimostrazione. Come nel caso della dimostrazione della proposizione XXVIII
trattiamo solo il caso semplice in cui W t, ..., wI e 2rr sono razionalmente indi-
t 1
pendenti.
II caso generale e trattabile risolvendo l'ultimo dei problemi della successione
ragionata di problemi che appare alla fine di questo paragrafo.
Procedendo come nella dimostrazione della proposizione XXIX e utilizzando
la misurabilita (secondo Riemann) degli insiemi E ed E' si riduce la dimostrazione
delIa [4.14.7] alla dimostrazione di:
1 N-l - -
J Ii jO [(.p) g(lp-jt 1 w) = [(Ip) g(lp)
ove f, gE COO(T l ) e
- 1 N-l
f('f))= lim - N L f('f)+jtt w )
Noo j=o
[ 4.14.8]
[ 4.14.9]
Si noti che la [4.14.8] diverrebbe la [4.14.7] nel caso in cui f= XE e g= XE'.
La [4.14.8], per dimostrare la proposizione, dovra essere applicata alle funzioni
X+, X'+ che, secondo la proposizione XXVII, approssimano XE, XE' dal di sopra
e aIle funzioni X  X'- che approssimano XE, XE' dal di sotto e sono di cIa sse
COO(T l ).
Verifichiamo ora la [4.14.8]; si ha, per l'ipotesi di indipendenza razionale:

317
Sistemi meccanici speciali
- 1 J A
t (Ip) = (2rr i T/ (Ip') dip' = to, ...,0
- 1 J ' , A
g( Ip) = (2rr i T/( Ip ) dip = go, ...,0
ove in!, ..., nl' in!, ..., nl sono i coefficienti di Fourier di leg rispettivamente (vedi
proposizione VI, p. 241). moltre, poiche:
[4.14.10]
I('(J) g('fJ + t1jw) =
L L; .
, , J n l' ..., n I
n l' ..., n I n l' .. ., n I
I
. in;, ..., ni exp i L (nk'Pk + nk'Pk + jt Inkwk) =
k=l
( I ( A
L exp i L mk'Pk L, In l' ..., nl .
m l' .. ., m I k = 1 n 1 + n 1 = m 1
,
nl+lll=ml
· in;, ..., n( exp i Al jt Inkwk).
[4.14.11]
si ha (vew proposizio ne VI, p. 241):
[('P) g(tp + jt1w) = {coefficiente di Fourier
di ordine 0 della funzione in [4.14.11]} =
I
-;  jt 1 n k w k
L f A A k= 1
- n l' ..., n I g - n 1"'" - n I e
n l' . .., n I
[4.14.12]
[4.14.13]
e, aHora:
1 N-l
- N .L [(4{J)g(t,p+t 1 jw)=
}=o
L
A Ale
In l' ..., n I g - n l' ..., - n I N
I
-iN L ttnkwk
k= 1 -1
+
[4.14.14]
n.,...,nl
Intl+...+lnll>O
I
-;  ttnkwk
k=l 1
e -
+; A
J 0, ... , 0 go,..., 0
e, per il solito argomento di passaggio allimite sotto il segno di serie, si deduce
che illimite per Noo deHa [4.14.14] e solo io,...,o. io,...,o che, per la [4.14.10], di-
mostra la proposizione (nel caso di indipendenza razionale dei numeri WI, ..., WI,
a= 21T/t 1 ).
mbe

318
Capitolo quarto
Possiamo dedurre dalle precedenti proposizioni alcune semplici conseguenze.
Sia 8 = (Eo, E 1, ..., Es) una partizione dello spazio degli atti di mota !/ di un
sistema meccanico analiticamente integrabile su un insieme aperto W. Supporremo
che 8 sia analiticamente regolare in W.
Dato t=(it 1 Yi=0 e la partizione 8 ora menzionata e dati kO, intero e 0 il <
< ... <ik, interi, e at, a2, ..., ak in 0, 1, ..., s definiremo:
£1 j 1 ... h ) = S - J . t (E(:i ) n S - J . t (E(:i ) n ... n S - J . k t (EOI. k )
\ a 1 ... ak 1 1 1 2 1 2 1
e, questo, l'insieme dei punti (x, x) E!/ tali che:
[4.14.15]
Si 1 t 1 (X, x)EE(:il'.'" Sik t l(X, x)EE(:ik
[4.14.16]
ossia che, negli specificati istanti, si trovano in dati insiemi della partizione.
E' ovvio, dalla [4.14.15] e dal fatto che E e una partizione di !/ che:
EI il ...ik ) n E(il...ik ) =f/J
\ al ... ak \f31 ... (3k
a menD che a1 =(3., a2 =(32, ..., ak=(3k; inoltre:
[ 4.14.17]
o s ( . . )
U E Jl...Jk =!/
(:iI' ..., Olk al ... ak
oJ £1 jl... jp -1 jpjp+ 1 ... h ) =£( jl ... jp -1 jP+l ... h ) .
(:i 'a 1 ... a p - I a a p + 1 ... ak \ a 1 ... a p - 1 a p + 1 ... ak
E' anche chiaro che; se a 1 *0, a2 * 0, ..., ak * 0, l'insieme £1 jl ... h ) e analitica-
\al ... ak
mente regolare in W perche (St )tER e una famiglia di trasformazioni analitiche su
W 23
In termini di queste posizioni possiamo enunciare la proposizione:
[4.14.1;8 ]
23 Non sarebbe in realta diffieile dimostrare ehe il teorema di regolarita del cap. 2 PUQ es-
sere esteso a un teorema ehe garantisee l'analitieita della dipendenza dai dati iniziali e da even-
tuali altri parametri dai quali dipende il secondo membro dell'equazione differenziale in R d ,
x=F(x) nell'ipotesi ehe F sia una funzione analitiea. Questo segue dal fatto ehe il teorema di
esistenza del 9 2.3 esibisee soluzioni dell'equazione in forma di serie i cui termini sono tutti
manifestamente analitiei nella loro dipendenza dalle variabili in questione. Questo impliehereb-
be ehe la trasformazione St associata alle soluzioni delle equazioni di un sistema meeeanieo
analitieamente integrabile su W cY e automatieamente analitiea e, dunque, non sarebbe neces-
saria la eondizione di integrabilita analitiea imposta, per dedurre la regolarita analitiea di
[4.14.15].
Che la trasformazione St sia analitiea su W pero, nel nostro easo, e una facile eonseguenza
della supposta integrabilita analitiea in W del sistema meeeanieo del Quale St deserive Ie traiet-
torie: infatti se / e la trasformazione di W in V X T l , analitiea, ehe integra il sistema meeeani-
co, si ha:
St (x, x) =/-l(A, 4P + w(A) t)
ove (A, 4p) =/(X, x) e quindi St e analitica in W in quanta trasformazione eomposta di trasfor-
Inazioni analitiehe.

319
Sistemi meccanici speciali
XXXII Proposizione Sia 8=(Eo, ..., E p ) una partizione di Y analiticamente re-
golare in un insieme W sui quale un dato sistema meccanico e analiticamente inte-
grabi/e, e sia t 1 >0.
Esistono, V(x, x)EW, Ie frequenze di visita agli insiemi [4.14.15] da parte del-
fa traiettoria di (x, x) sulla successione t = (it 1 Yj= o.
Denotando tali frequenze
P  i 1 ... i k x X ) = V ( X X )
, E.. ,
a 1 ... ak (. J 1 ... J k )
(X.l ... ak
si trova che valgono Ie:
i) Vk>O, intero, VOi1<i2< ...<ik interi, Va I, ..., Qk in{(O, 1,..., p)}:
[4.14.19]
 il ...ik · )  O .
p X, X  ,
a1 ... ak
ii) Vk>O, intero, Vo i1 <i2 < ... <ik interi, Val, ..., ak in{(O, 1, ..., p)},
V s = 1, 2, ..., k:
[4.14.20]
f (il...is-lisis+l ...ik i, X ) =
(X. = 0 \0.1... as - 1 a as + 1 ... ak
= P ( il". is- ds+ I ... ik j i, x\
a 1 ... as - 1 as + 1 ... ak , ')
[ 4.14.21]
iii) Vk>O, intero, VO i1 <i2 < ... <ik interi,
o p ( .. )
 11 ... lk. - 1
 p x x = .
ai' ..., (X.k a1 ... Qk' ,
iv) V k, h > 0 interi, VO  i 1 < ... < ik interi e 0  i 1 < ... < ik interi e ab ..., Ci.k,
(31... (3s in{(O, 1, ..., p)}:
[ 4.14.22]
1 . 1 Nl ( i1...ik, i1+1...ih+1 . ) _
Im-p xx-
N 00 N 1=0 0.1 ... ak, (31 ... (3h '
_ ( i1...ik . )  i1...ih . 
- p X, X P R a X, X .
0.1 ... ak fJ 1 ... fJh
Aile proprietil (i), (ii), (iii) e (iv) ci si riferisce con i nomi di "positivitil",
patibilitil ", "normalizzazione" e "ergodicitil".
[ 4 .14 .23 ]
"com-
Osservazione. Come vedremo questa proposizione e una reinterpretazione di ri-
sultati sostanzialmente gia ottenu tie
Dimostrazione. Supporremo prima che esistano Ie frequenze [4.14.19] e fare-
mo vedere che questo implica Ie (i), (ii), (iii).

320
Capitolo quarto
Faremo poi vedere l' esistenza delle frequenze [4.14.19] e poi la validita di (iv).
La (i) e ovvia. La (ii) e la (iii) seguono dalla definizione di frequenza e dalle
[4.14.17], [4.14.18],(la (ii) segue dalla seconda [4.14.18] e la (iii) dalla prima del-
le [4.14.18]).
Per verificare I'esistenza delle frequenze [4.14.19] si PUQ osservare che la proposi-
zione XXVIII e la regolarita analitica di E ( i I." ik ) per al * 0, ..., ak * 0, osservata
a I ... ak ( . . )
dopo la [4.14.18], implicano l'esistenza delle frequenze p II... Ik X, x associate a
al ... ak
tali insiemi.
Resta da trattare it caso in cui quaicuno degli indici asia "ullo. E' facile trat-
tare questo caso usando Ie [4.14.18]: se k = I e chiaro che p ( x. x) esiste in
quanto la [4.14.17] e la definizione di frequenza implicano:
p61 X.X ) =I-  p(il x.x\.
\0 Q=1 \a )
[4.14.24 ]
Se k = 2, per 10 stesso motivo, ded uciamo che:
P ( iti2 x,X ) =p(i2 x.x ) -  p(i:i2 x.x,
o a \a  =1  a J
.[ 4.14.25]
per a>O, e quindi esiste, ancora per 10 stesso motivo:
pt x. x)=p x. x) - IP2 X. x)
[4.14.26]
ecc., induttivamente.
Infine la (iv) segue dalla proposizione XXXI immediatamente per al * 0, ..., ak * 0,
(31 *0, ..., (3h *0, perche E ( it...ik ) e E ( :I".h ) sono analiticamente regolari in
a I ... ak fJ I ... fJh
W e la [4.14.23] e', in questo caso, una trascrizione in altri simboli della [4.14.6].
E' chiaro che it caso generale si tratta in modo analogo a quello usato per dimo-
strare l'esistenza delle frequenze a mezzo delle [4.14.18]; vedi [4.14.24], [4.14.25],
[4.14.26].
mbe
E' utile reinterpretare Ia proposizione XXXII ora dimostrata al modo seguente.
Dato (x, x)E W si consideri la (8, t)-storia di (X, x) (vedi defmizione 19, p. 314):
si tratta della successione a=(ai)i=o, ai=O, 1,...,p, degli indici tali che:
S-it 1 (X, x)EE ai i=O, 1,... [4.14.27]
Evidentemente Ie frequenze [4.14.19] possono essere "calcolate" (dalla definizio-
ne) a partire dalla storia a come:
( il...ik · ) 1 . 1 ( il...ik 
P x, x = 1m - nN a ,
at ... ak N-+ 00 N at ... ak
[ 4.14.28.]

321
Sistemi meccanici speciali
ove nN(...) e it numero di valori di h, intero inferiore a N, tali che:
S(h+il)tl(X, x)EECi. 1
[4.14.29]
S(h + ik) t l . (x, x) EE(Y.k
(vedi [4.14.16], [4.14.19]) ossia e it numero di volte che, con OhN e intero,
si verifica:
all + i 1 = Ci 1 , ah + i 2 = Ci2, ..., ah + ik = Cik. [4.14.30]
In altre parole [4.14.28] esprime che P ( il ...ik X, x\ e la frequenza con cui nella
Ci 1 ... ak )
storia a di (x, x) "appare il tratto a}, ..., ak in posti che si succedono a distanze
.. .."
12-/1,...,lk-Ik-1 .
E' aHora naturale la seguente definizione:
20 Definizione Sia a=(ai)i=o una successione, ai=O, 1, ..., p per i=O, 1,...
Dato k > 0, 0 i1 < ... <ik inter; e 0.1, ..., ak in 0, 1, ..., p diremo che un "trat-
to omologo a ( i 1 ... i k ) "si reaUzza in a al posta h-esimo" se:
a 1 ... ak
ah+i l = 0.1, ah+i1. = 0.2, ..., ah+ik= O.k. [4.14.31]
La frequenza con fa Quale tratti omologhi a  i 1 ... ik ) si realizzano in a sara defini-
. . , a 1 ... C1k
ta tramlte fa quantlta:
P N ( il...ik a ) =N-1. (numero di volte in cui un tratto omo-
a 1 ... ak ( . . )
logo a 11... Ik si realizza in a in po-
a 1 ... ak
sri di ordine h >0 e inferiore aN);
[4.14.32]
po"emo:
p (il ...ik a\ = lim PN (il". ik a\
\0.1 ... ak ) N--+  \0. 1 ... ak /
[ 4.14.33]
se esiste.
Diremo "ergodica" una successione a tale che:
i) esiste illimite [4.14.33] Vk>O, VO i1 < ... <ik interi, Val, ..., ak in
0, 1, ..., p.
ii) 30., tiE{O, 1, ..., p}, diversi, per cui si ha:
p(a»o, p(a»o
iii) vale, Vh, k>O, VO i1 < ... <ik, 0  i 1 < ... < ih, Val, ..., ak, b ..., h in
[4.14.34 ]

322
Capitolo quarto
0,1, ..., p:
I " 1  ( il...ik il+l...ih+l )
Im-p a=
N CIO N 1=0 al ... ak (31... h
[ 4.14.35]
( il...ik   il,...,ih 1
=p a p a .
al ... ak (31, ..., (3h
La famiglia di numeri [4.14.33], al variare di k, il ... ik, at, ..., (Xk, si dira la "di-
stribuzione di a': Se a verifica Ie sole (i), (ii) si dira una successione "non banale
a frequenze di apparizione definite".
Infine diremo che una successione a ergodica e "mescolante" se vale la:
I . ( il...ik il +l...ih + 1 ) ( il...ik ) ' il...ih  [ 1
1m P a a a = p a . P a a a 4. 4.36]
loo al... a k fJl... fJh al...ak fJl...tJh
che e, ovviamente, piu forte della [4.14.35].
Osservazioni
1) Dalla definizione [4.14.33] della distribuzione di a come famiglia di frequen-
ze di certi eventi segue immediatamente che questi numeri verificano Ie [4.14.20],
[4.14.21] e [4.14.22] con a in luogo di X, x.
2) Nellinguaggio del paragrafo 2.23, possiamo dire anche che alIa successione
a, della precedente definizione, e associata una famiglia (tff k , Pk )k=o, 1,... di distri-
buzioni di probabilita. tC k e un insieme di (p + l)k eventi, che possiamo denotare
a=(ao, ..., (Xk-l), ai=O, 1, ..., p, la cui probabilita e P ( o 1... k-l a\ perla
ao a 1 ... (Xk - I 
[4.14.33] e la frequenza di occorrenza in a di tratti omologhi a 10 1... k-l ) .
\ao (XI... (Xk-I
Per questo motivo la famiglia (tff k , Pk )k=o, I,... si dice anche la "distribuzione di
probabilita dei simboli a = 0, ..., p nella successione a" e P ( 0 , ..., k - 1 a\ prende
(xo, ..., ak - 1 
it nome di "probabilita che i1 tratto a = (ao, ..., ak - 1) appaia in a".
T proposizione XXXII riletta in termini di quest'ultima definizione, diviene a1-
lora:
XXXllI Proposizione Nelle ipotesi della proposizione XXXII sia (X, x)E W e
a=a(x, x) la (8, t)-storia di (x, x).
Allora, se vale la [4.14.34], a(x, x) e una successione ergodica, ma non mesco-
/ante.
Osservazione. La sola affermazione non contenuta nella proposizione XXXII e
quella relativa alIa proprieta di mescolamento.

323
Sistemi meccanici speciali
Dimostrazione. Per la supposta integrabilita analitica del sistema si puo immagi-
nare che a (x, x) sia la ( C, t)-storia di un punta 'P E T l rispetto ad una partizione
C =(Eo, E},..., E p ), analiticamente regolare, di T l e aHa trasformazione di T l in
se definita da:
St'P='P+ tw tE R, [4.14.37]
con w = ( WI, ..., WI) E R I.
Per semplicita tratteremo solo il caso WI, ..., WI, a= 21T , razionalmente indi-
t 1
pendenti e inoltre supporremo che esistano in C due insiemi E Q e E{3, tali che
p( a»o,p( a»o, che hanno diametro sufficientemente piccolo perche esi-
sta un punta 'Po E T I a distanza da E Q superiore al doppio del diametro di E{3.
L'ipotesi di indipendenza razionale di WI, ..., wI, a, di regolarita analitica di tf
e di validita di [4.14.33] implicano che:
( 0 .  1 J
p J, a = I d'P
11 (21T) EnS_jtl(E')
(vedi proposizione XXIX) e se a(x, x) fosse mescolante si avrebbe anche
l p(  a)=p(  p( a) >0, [4.14.39]
V 'Y, l'
[4.14.38]
ma aHora per j abbastanza grande si dovrebbe avere:
( 0. ) dcp
p J a = J I >0
a (3 EcpSjt,(EIJ) (21T)
e, quindi, EQnS-jtl(E{3)=I=, definitivamente. Ma per l'indipendenza razionale di
WI,..., WI, a la traiettoria -jtIW, jjo, di un punta  fissato in E{3 e densa in
T I comunque si fissa jo (vedi 9 4.2) e, dunque, esisteranno infiniti valori di j tali
che d( -jt 1 w, 'Po) < diametro E{3: e chiaro che per tali valori di j dovnl essere
E(XnS_jt 1 (E{3)='/J perche Ie rotazioni del toro non deformano gli insiemi, ma li
traslano rigidamente e, inoltre, d('Po, E Q ) > doppio del diametro di E{3.
11 caso generale si riduce a quello considerato, facilmente, una volta svolti i pro-
blemi aHa fine di questo paragrafo.
[ 4.14.40]
mbe
4.13 e 4.14 Schemi di esercizi e problenti
Si svolgano i seguenti problemi prima per 1 = 2 eseguendo i disegni delle varie
applicazioni e trasformazioni.
1. Se WI, ..., wI sono razionalmente dipendenti, ma non tutti nulli, esistono
1 < 1 numeri razionalmente indipendenti wI, ..., wT e una matrice J di dimensione

324
Capitolo quarto
I X I a coefficienti interi tali che:
w =Jw.
- 1
2. Si consideri in R l il piano rrl=JR l ed il piano ortogonale rrl . Esiste una ma-
trice J 1 a coefficienti interi e dimensione I X (1-1) tale che rrf = J 1 R l - 1.
- -
3. Si definisca la trasformazione (JXJ 1 )T di TIX T l - l in T l come:
(J X J1)T (8, v) = (J8 + J1 v) mod 2rr.
Si dimostri che questa trasformazione associa ad ogni (8, v) esattamente N punti
di T l distinti due a due, ove N= (det J) . (det J1).
Si pong a per EC T l :
E=(JXJ 1 )T 1 E.
- -
Se E e analiticamente regolare in T l , E e tale in T l XT I - l .
4. Se 'Po E T l e 'Po = (J X J1) T (8 0 , vo) la frequenza di visit a a E della traietoria
di 'Po per la trasformazione 'Po  'Po + wt coincide con la frequenza di visita a E del-
la traiettoria di (8 0 , vo) per la trasformazione (8 0 , vo)  (8 0 + wt, vo), perche:
'Po + wt = (J X J1) T (8 0 + wt, vo).
5. Posto:
- -
E(Vo)=En{(8, v)I(8, V)ET1XT l - l , v=vo}
la frequenza di visita di 'Po a E per la trasformazione 'Po  'Po + wt coincide con la
frequenza di visita a
E(vo)={818 E T 1 , (8, vo)EE(Vo)}C T 1
della traiettoria di () 0 per la trasformazione
8 0 80 + wt.
Inoltre, se E e analiticamente regolare in T l , E( V o ) e analiticamente regolare in T I .
6. Se Wi, ..., WI sono razionalmente indipendenti, ma 0 non e razionalmente
indipendente da essi, esistono I interi m b..., ml e q > 0 intero tali che:
a=(mlwl + m2w2 + ... + mlwl) q-l.
11 problen1a della frequenza delle visite a EC T l della traiettori di 'PETI per la
trasformazione 'P'P + w 2rrj, j= 0, 1, ... e equivalente, via una trasformazione di
a
coordinate opportuna, all'analogo problema in cui, pero, la relazione fra a e gli w
sia semplicemente:
ml
a=-wl
q
(si tratta della trasformazione analoga a quella descritta in (2), (3) associata alIa
trasfonnazione J, a coefficienti interi,

325
Sistemi meccanici speciali
I
,  ,
Wl=WI- miwi
i=2
,
Wj = Wj
j = 2, ..., 1).
7. Si consideri la traiettoria di 'Po E T I per la trasformazione "0  "0 + w 21T j
m a
con a= - WI e WI, ..., wI razionalmente indipendenti.
q
Pensiamo T 1 come T1X T l - 1 e, se (t{J, -tJ)E T1X T l - 1 la trasformazione in que-
stione si scrive:
21Tq ,
( t{J, 1/1)  (t{J + j, VI + w j)
m
, ( ' , )
w = W2, ..., wI
e W2, ..., wI sono razionalmente indipendenti fra lara e rispetto a 21T.
Se E e analiticamente regolare in T 1 , si noti che:
m M-\E(<PO+ 2nq i,1/JO+ W1 i ) =
J=O  m
1 m - I M - I  21Tq
- L L XE t{Jo+ (k+mp), (1/I0+kw')+mpw')=
Mm k=o p=o m
= mil ( Mi\EO+ 2nq k, (1/Jo+kW')+mpw'
m k=o M p=o \ nl JJ
21Tq
che, posto t{Jk = t{Jo + k. 1/1 k = -tJ 0 + k w' si riscrive:
m
1 m-l ( 1 M )
- L M L XE(t{Jk, Vlk + mpw') =
m k=o p=o
1 m-l ( 1 M 
= - L M L XEk(\{)o)(1/Ik + mpw') ,
m k=o p=o
ove E k (<Po) ={ 1/J I 1/J E T [- 1 , ( <Po + 2:q k; 1/J ) E E} e ancora analiticamen te regolare
per k = 0, ..., m - 1. Quindi la frequenza di visita a E esiste e vale, poiche mw;, ..., mWl
sono razionalmente indipendenti fra loro e rispetto a 21T:
1 m - 1 J dtp'
-L
m k = 0 E k (\{)o) (21T )1- 1 .
8. Si deducano, sulla base delle soluzioni dei precedenti problemi, Ie proposi-
zioni XX IX e XXXI nel caso generale.

326
Capitolo quarto
4.15 Criteri di integrabilita analitica, complessita delle traiettorie ed
entropia
Riassumendo quanto visto finora nel precedente paragrafo e in questo, abbiamo
otten uto i seguenti criteri di non integrabilita su we Y (utilizzando Ie notazioni
dei 994.13,4.14):
i) se in W esiste (x, x) la cui (c, t)-storia rispetto a una partizione If analitica-
mente regolare in W contiene tratti omologhi a ( il ...ik ) che non hanno frequen-
al ... ak
za di apparizione definita, allora il sistema meccanico in questione non e analitica-
mente integrabile su W.
ii) Se in W esiste (x, x) la cui (c, t)-storia rispetto ad una partizione tC, analiti-
camente regolare in W, non e banale, ha frequenze definite ma non e ergodica, al-
lora il sistema non e analiticamente integrabile su W.
iii) Se in W esiste (x, x) la cui (iff, t)-storia rispetto ad una partizione iff, analiti-
camente regolare in W, e "troppo ergodica" e, cioe, mescolante, allora il sistema
non e analiticamente integrabile su W.
Concludiamo questa rassegna di criteri di non integrabilita esaminando un'altra
interessante proprieta dei sistemi analiticamente integrabili: vogliamo far vedere che
tali sistemi si muovono secondo moti "poco complessi".
Per ottenere questo risultato dobbiamo cercare di dare, naturalmente, senso al-
Ia "complessita" delle traiettorie e leggi orarie associate a moti in Y generati da
[4.13.1], 0 piu in generale, a moti su una superficie regolare K C R d generati da
un gruppo di trasformazioni di classe Coo, (St)tER.
Un modo naturale per valutare la complessita di un moto e il contare il nume-
ro di tratti di storia omologhi diversi che appaiono nella (c, t)-storia del mota su
una partizione regolare di K.
21 Definizione Sia 0 una successione di p + 1 simboli, 0= (a;)7=0, a;=O, 1, ..., p.
Suppo"emo che ogni tratto omologo a (0, ..., k-} ) (vedi definizione 20, p. 321)
(  cao, ..., cxk - 1
. . fi 0, ..., k - 1 b d . \-I k E Z \-I
appaza In 0 con requenza p 0 en etermlnata, v +, v ao, ..., ak - 1.
ao, ..., cxk - 1
II "numero di tratti di storia di lunghezza k che appaiono in 0" e definito da:
Nass(a, k)={numero dei tratti omologhi a ( 0, ..., k-} ) tali che
'0 k 1  ao, ..., ak-l [ 4.15.1 ]
p , ..., - 0 > a}.
ao, ..., ak - 1
E' chiaro che Nass(o, k)(p + l)k. Porremo:
1
Sass(o) = lim - k log N ass (0, k).
koo
[4.15.2]

327
Sistemi meccanici speciali
Questo numero puo dare un'idea della complessita della successione Q. E' pero
chiaro che Sass (a ) e una misura assai grossolana della complessita di 0: in tale valu-
tazione vengono infatti messi sullo stesso piano tratti di storia che occorrono in 0
con frequenza ovvero, per l'osservazione 2 a pagina 322, come si suol dire, "con
probabilita" molto piu piccola di quella di altri tratti (fra quelli che hanno frequen-
za positiva).
La seguente definizione tiene conto della possibilita che alcuni tratti di storia
siano presenti in 0 con una infima probabilita:
22 Defmizione Sia 0 = (ai)iEZ+, ai = 0, 1, ..., p, una successione di p + 1 simboli
. h . 1 ( 0 ... k - 1 ) . fi
e supponzamo c e Ogn ( z tratto omo  ogo a ao... CXk _ 1 occorra In 0 con una requen-
. O...k-l
za ben determznata po.
CXo ... CXk - 1
Dato e > ° si considerino tutti i possibili sottoinsiemi E dell'insieme delle k-uple
cxo, ..., CXk - b ai = 0, ..., p, tali che:
 ( O...k-l )<
 p 0 e
(Qo' ..., Qk -1) E € CXo... CXk - 1
[4.15.3]
per i quali, cioe, la probabilita totale di occorrenza in 0 e inferiore a f.
Sia:
N (0, k, e) = {estremo inferiore sulle scelte di € del numero di
k-uple che si trovano fuori CC e }
[4.15.4]
e si ponga:
1
S(o, e)=lim sup - k 10gN(0, k, e)
k -+ +00
[4.15.5]
e:
S(o) = lim S(o, e)
€-+o
[4.15.6]
Quest'ultima quantita verra chiamata "en tropia " di 0 ed e una misura della com-
plessi ta di o.
Osservazioni
1) E' una misura piu interessante della .[4.15.2]: attraverso la [4.15.4] e i due
limiti [4.15.5], [4.15.6] si vengono in qualche senso a scartare dal conteggio del
numero di tratti di a i tratti che appaiono con frequenza molto piccola (vedi an-
che la proposizione XXXVI a conclusione di questo paragrafo).
2) Ovviamente:
OS(Q)S(o)log(p + 1)
[4.15.7]
e si pub anche notare che i due numeri [4.15.2] e [4.15.6] possono essere pensati

328
Capitolo quarto
come ottenuti permutando i due seguenti passaggi allimite:
1
Sass(a)= lirn lim - k logN(a, k, €)
koo €-+o
[4.15.8]
1
S(a)= lim lim - k logN(a, k, €)
€-+o k-+oo
[4.15.9]
se tutti i limiti qui indicati esistono.
3) II nome di entropia dato a [4.15.6] e dovuto all'analogia di questa definizio-
ne alla gloriosa idea di Boltzmann slllla proporzionalita fra l'entropia dello stato di
un sistema (nel senso termodinamico della parola) ed il numero di modi microsco-
pici, equivalenti, di realizzare 10 stesso stato macroscopico.
Questa analogia e evidente se non ci si lascia impressionare, ignorandoli in pri-
ma istanza, dai vari passaggi allimite considerati (vedi [4.15.5], [4.15.6], [4.15.8],
[4.15.9]).
Vale la seguente interessante proposizione:
XXXIII Proposizione Se a(x, x) e la (tff, f)-storia di (x, x)EWC !/, ove We
un insieme su cui il sistema meccanico [4.13.1] e analiticamente integrabile, e se
f=(itl)iEZ+, tiE R+, ed 8 e una partizione, analiticamente regolare su W, di Y;
si ha:
S(a(x, x))=O
\j E, V t I > o.
[4.15.10]
Osservazione. Come gia altre volte constatato questa affermazione sui sistemi ana-
liticamente integrabili e immediata conseguenza di una analoga proposizione riguar-
dante Ie rotazioni del toro. In questo caso tale proposizione e la seguente:
XXXIV Proposizione Sia W=(Wl, ..., w/)E R l una l-upla di numeri e si consi-
derino Ie rotazioni (Sjtt)jEZ del toro r 1 con parametri (jt1wt, ..., jt1Wl). Sia 8
una partizione a analitica regolare di r l in (p + 1) insiemi (Eo, Et, ..., E p ). La
(f, 8)-storia di 'fJE r l , f= (jtl)j=o che denoteremo con a('fJ) e tale che:
S(a(&p)) =0 T/&pET l . [4.15.11]
Osservazione. L'argomento presentato in questa dimostrazione costituisce, essen-
zialmente, la dirnostrazione di un teorema (leggerrnente pill generale) e di grande im-
portanza nella teoria dell'entropia ("teorema di Kusnirenko").
Dimostrazione. Consideriamo separatamente il caso 1 = 1 e il caso 1> 1. Nel pri-
mo caso conseguiremo un risultato pili generale:
Sass (a ('P)) = O.
[4.15.12]

329
Sistemi meccan ici speciali
Tratteremo esplicitamente solo i casi in cui gli 1+ 1 numeri W = 21T , WI, ..., wI
t 1
sono razionalmente indipendenti, rinviando alla considerazione dei problemi del
paragrafo 4.14 per comprendere come il caso generale possa ridursi a questo, sup-
ponendo anche che nessuno degH insiemi Ei "si avvolga suI toro": diam Ei < 21T.
Per esercizio si potni rimuovere anche questa restrizione.
Caso 1= 1. Per fissare Ie idee, supponiamo p + 1 = 2 e Eo = (X, 21T) E 1 = [0, X],
X E (0, 21T). Consideriamo Ie immagini dei punti 0 e X per Ie trasformazioni
'{) '{) + jt 1 WI, j = 0, 1, ..., k - 1. Sono, al piu, 2 (k + 1) punti (e almeno (k + 1)), che
dividono l'intervallo [0, 21T] pensato come la circonferenza T 1 in 2(k + 1), al piu,
intervalli consecutivi J I, J 2, ... E' chiaro che tutti i punti interni aHo stesso interval-
10 hanno la stessa (8, t)-storia nel tratto relativo ai primi k indici della loro storia.
AIle 2 (k + 1), al piu, storie dei punti interni agli intervalli possiamo aggiungere
Ie 2(k + 1) storie, al piu, dei loro punti estremi. Otteniamo COSt, evidentemente,
tutti i possibili tratti di storia di lunghezza k che possono apparire nella (tff, t)-sto-
ria di un punta '{) E T 1. Dunque:
Nass(a('{)), k)4(k+ 1)
[4.15.13]
e, quindi, segue la [4.15.12].
Illettore, per esercizio, potni estendere l'argomento ora dato a partizioni di T 1
piu complesse (ma sempre analiticamente regolari, cioe tali che ogni elemento
Eb ..., Ep della partizione (Eo, Eb ..., E p )=8 sia una unione di un numero finito
di intervaHi).
Caso 1> 1. Dato un tratto di storia ( 0 ... k - 1 ) di lunghezza k, a priori possi-
I 0:0 ... ak - t
bile, consideriamo l'insieme di T :
E( 0 ...k-l ) =EQOnS-tl(ECtl) n... nS-(k-t) t 1 (E Qk - t ).
\0:0 ... ak - t
Poiche Ie rotazioni del toro T I sono "trasformazioni rigide", cioe non mutano la
forma degli insiemi che trasformano, si avra che la somma delle superfici laEI de-
gli insiemi E, del tipo [4.15.14] e con 10 stesso valore di k, e tale che:
 3E(O...k-l ) 2(k+l)L,
Ct o , ..., Qk-t \a o ... ak - 1
P
ove si e posta L = .L laEjl. Questa semplice relazione segue dall'osservazione geo-
metrica che: J = 0
U a E ( O ...k-l ) = kljt ( aS_ ( E ))
a ...a _ _ ht 1 Cth
Ct o , ..., Qk-t 0 k 1 h-o
[4.15.14]
[4.15.15]
[4.15.16]
e i punti a secondo membro sono, nel primo membro, "contati due volte" a ecce-

330
Capitolo quarto
zione di un loro sottoinsieme di area totale nulla e corrispondente agli spigoli e ai
vertici degli insiemi £1 0 ... k - ] ) .
\ao ... ak - 1
D'altra parte una regione di data superficie a in R I 0 T 1 (in quest'ultimo caso se
I
diam a<211') non pub avere volume superiore al volume, che denoteremo (2rr)1 Cl a 1-1,
della sfera di uguale superficie. Si ha aHora:
P ( 0 ... k-] a(cp)\ = (21T) -I J dcpCZ 3£1 0 ... k-] ) I! I
Qo ...Qk-I  E(Q::::::J \Qo ...Qk-I [4.15.17]
ove nella prima relazione si e sfruttata l'indipendenza razionale di w = 2rr ,
tl
W h ..., WI applicando la proposiziorte XXIX, formula [4.14.5] (p. 315), mentre nella
seconda relazione abbiamo usato la disuguaglianza "isoperimetrica" appena enunciata.
Questa relazione e la [4.15.15] ci consentono di stimare la frequenza totale dei
tratti di storia omologhi a ( 0 ... k - 1 ) nella successione a ('P) aventi "piccola pro-
ao ... ak - 1
babilita" e, precisamente, tali che:
pi 0 ... k-l a(cp)\  e-T/k
\ Qo ... Qk - I ')
per un dato 11 > 0.
Ricordando l'idea della disuguaglianza di CebySev (proposizione XXXIV, p. 137):
L ( O...k-l a('fJ) ) 
Q:o, ..., Q:k-l P ao... cxk - 1
P ( 0... k - 1 Q (.,,) \ <;, e -ll k
Q:o ... Q:k -1 J
[4.15.18]
-ll k 'Y  k 
-/  eO... - 1 ( :\_
  p a 'PI -
Q.,..., Qk-I pi 0 ...k-l a(cp Qo ...Qk-I
,ao ... ak - 1 
(0 k ) l-'Y
 -rrr k ... - 1 ( )
=  e p a'fJ,
Q:o, ..., Q:k-l ao ... ak - 1
[4.15.19]
comunque si scelga 1> o. 1
Scegliamo aHora 1= 1/1 cioe tale che (1-1) 1-1 = 1 e deduciamo, daHe [4.15.19],
[4.15.17] e [4.15.15], che la "probabilita totale che valga [4.15.18]", (data per de-
finizione dal primo membro di [4.15.19]) e maggiorata da:
flk
e- llk / 1 c!-'Y. L a E ( O ...k-l ) 2(k+ I)Le- T ct'Y.
Q:o, ..., Q:k-l ao ... ak - 1
[4.15.20]

331
Sistemi meccanici speciali
Dunque dato € > 0 e fissato ad arbitrio 17 > 0 la [4.15.20] mostra che se k e grande
(tale che il membro di destra di [4.15.20] e minore di e), fra gli insiemi E che ap-
paiono in [4.15.3] possiamo trovare l'insieme:
€(17)={insieme delle k-uple ao,..., ak-l verificanti [4.15.18]}.
[4.15.21]
Poiche (vedi [4.14.22]):
L P ( 0 ...k-l a(ip)\ = 1 [4.15.22]
0: 0 , ..., O:k-l ao ... ak - 1 'J
e chiaro che il complemento di €(17) non pUG contenere, vista la [4.15.18], piu
di el'lk elementi (ao,..., ak-l): si evince allora
N( e, a(&/J), k)  el'lk
[4.15.23]
se k e abbastanza grandee Dunque:
S(a(4p), e) 17
[4.15.24 ]
e la [4.15.11] segue dalla arbitrarieta di 17.
Finora, illettore l'avra notato, non abbiamo realmente sfruttato l'analitica re-
golarita di E: infatti quanta detto vale anche nella sola ipotesi che gli insiemi
Eo, E h ..., Ep abbiano frontiera regolare a tratti. L'ipotesi di regolarita analitica
e necessaria per poter ridurre il caso generale in cui w, WI, ..., wI non sono neces-
sariamente razionalmente indipendenti al caso ora trattato (secondo Ie idee illu-
strate nei problemi del 9 4.14).
mbe
Queste proposizioni forniscono un ulteriore criterio di non integrabilita anali-
ti ca :
iv) il sistema [4.13.1] non e analiticamente integrabile in WC se in Wesiste
almeno un punta la cui (8, f)-storia su una partizione tf analiticamente regolare
su W, con f=(jt1)jEZ+, ha entropia non nulla.
Citiamo ora alcuni risultati, senza darne dimostrazione, sulla teoria dell'entropia
e dei sisttmi non integrabili che mostrano che, effettivamente, i criteri sopra enun-
ciati (i), (ii), (iii), (iv) di non integrabilita non sono privi di contenuto (esistono
cioe sistemi ai quali possono essere applicati per deciderne la non integrabilita).
XXXVI Proposizione Sia a = (ai);Ez+, una successione di p simboli, a; = 0, 1, ...,
p - 1, ergodica.
i) L 'entropia di a pub essere ca/co/ata come:
S(a)= lim -  p(O...N-l a\ !Ogp( O...N-l a ) . [4.15.25]
N-+ 00 N Ci. o , .o., Ci.N _ 1 \ao... aN - 1 / \ao ... aN - 1
ii) Dato  > 0, esiste N€ tale che, per N  N€, i pN tratli ( 0 ... N - 1 ) di storia di
a 0 ... (}lV - 1

332
Capitolo quarto
lunghezza N a priori possibili si possano dividere in due classi, (N) e :m(N),
tali che:
L ( O...N-l ) <
ari P a a
Q:o,..., Q:N-IE (N) 0... N-l a €
[4.15.26]
. ( O...N-l ) (I (N)
e per ognz ETQ € :
ao ... aN-l
-(S(a)+€)N -/ ( o...N-l  -/ -(S(Q)-f)N
e P a e
ao ... aN - 1
iii) il numero \CfJ (N)\ di elementi di  (N) e tale che
e(S(a)-€)N  \CfJ (N)\  e(S(a)+€)N.
[4.15.27]
[4.15.28]
Osservazioni
1) E' il "teorema di McMillan-Shannon".
2) La [4.15.25] e assai utile, perche talvolta consente il calcolo esplicito di S(a).
II punta (ii) ci dice che, se N e grande, il numero di tratti di storia di a "vera-
mente import anti" (che hanno circa uguale probabilita ed esauriscono tutti i trat-
ti possibili nei sensi, in verita deboli, [4.15.27] e [4.15.26]) e misurato da Sea).
Se a non e ergodica questa proprieta non e, in generale, vera: questo e uno dei
motivi per cui Ie successioni ergodiche sono interessanti.
3) Si noti che (iii) segue immediatamente da (ii) (vedi [4.14.22]).
II seguente teorema (di Hopf-Anosov-Sinai) da un esempio di sistema lagrangia-
no analitico non analiticamente integrabile:
XXXVII Proposizione Sia L C R d una super[icie regolare analitica, limitata e a
"curvatura gaussiana negativa". n mota geodetico su  non e integrabile, perche esi-
ste, per ogni partizione analiticamente rego/are tff di , un insieme di atti di mota
denso in Y la cui (tff, f)-storia, f = (jtl)jEZ+, e mescolante e ha entropia positi-
va, dato t 1> 0.
Questi due ultimi teoremi sono due importanti esempi di problemi di "teoria
ergodica", che e una teoria agli albori della sua esistenza e, tuttavia, e ricca di in-
teressanti risultati e di ancor piu interessanti problemi aperti.
Per dare un'idea di un problema interessante menzioniamo che non e noto, in
connessione al teorema XXXVII, se l'insieme di punti di  con storia mescolante
su una data partizione analiticamente regolare e misurabile secondo Riemann e,
quindi, ben approssin1abile mediante insiemi "buoni".

333
Sistemi meccanici speciali
4.15 Schemi di esercizi
1. Trovare esempi di successioni a di simboli ai = II che non sono ergodiche
dopo aver mostrato che la successione
1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1 ecc.
e non ergodica, ma ha frequenze ben definite. Calcolare l'entropia di quest a suc-
cessione. (Idea: si calcolino Ie frequenze p( a), p( : a), e si constati che valgo-
1
no entrambe "2 e quindi non PUQ valere la [4.14.34].)
2. Trovare un esempio di una successione di simboli 0 e 1 a frequenze non de-
finite.
3. Dare un esempio di un insieme A contenuto in T 1 tale che, posto Eo = A e
El = T 1 /A esiste in T 1 un punto p la cui storia sulla partizione S= (E 0, E 1) rispet-
to alIa rotazione p  (p + w) mod 21T, supposta irrazionale, non ha frequenze defi-
nite. (Idea: sia ao, at,... una successione a frequenze non definite e poi si ponga
A= U {p+kw}.)
k:ak=o
4. Usando la proposizione XXVII si dimostri che se E e misurabile secondo
Riemann allora ogni pun to del toro evolve secondo una rotazione irrazionale visi-
tando E con frequenza definita.
5. Mostrare che l'insieme A dell'esercizio 3. non e misurabile secondo Riemann
(direttamente 0 applicando 4.).

Capitolo 5
Proprieta di stabilita dei moti dei sistemi dissipativi
e dei sistemi conservativi
5.1 Giroscopio con attrito. Descrizione di lU1 modeUo matematico
Le proprieta di stabilita del moto, nelle varie possibili accezioni, sono piu facil-
mente analizzabili, come gia notato nel capitolo 2 nel caso dei sistemi unidimensio-
nali, nei sistemi che si muovono in presenza di forze di attrito.
E' quindi su questi sistemi che concentreremo principalmente l'attenzione, stu-
diando alcune questioni di stabilita scelte fra tante perche particolarmente signifi-
cative e trattabili con metodi abbastanza generali.
Analoghe questioni potranno essere poi poste per sistemi conservativi: ma Ie ri-
sposte, quando note, saranno assai piu difficili da ottenere e ci limiteremo a citar-
ne alcune.
II giroscopio e, in un certo senso, i1 prototipo dei sistemi a piu gradi di liberta:
i sistemi di oscillatori lineari si riducono banalmente, come visto ai paragrafi 4.1 +4.4,
a sistemi di singoli oscillatori, e questo resta vero anche in presenza di attrito linea-
re, e dunque non verranno studiati esplicitamente.
D' altra parte, gia la teoria del giroscopio con attrito, 0 anzi di suoi casi partico-
lari, presenta molti fra i fenomeni, Ie possibilita e Ie difficolta che si possono incon-
trare in sistemi piu complessi.
Questo e il motivo per cui nei prossimi paragrafi tratteremo essenzialmente solo
questo sistema, che utilizzeremo per motivare i successivi passi di una teoria e di
un metodo d'indagine che, come sara evidente, e applicabile anche a molti altri si-
stemi dissipativi.
Consideriamo dunque un corpo rigido di N punti materiali di masse mt, ..., mN
con un punta fisso 0, immerso in un fluido viscoso che si oppone al mota dell'i-esi-
mo punto, esercitando su di esso una forza di attrito:
- "Ami x (i)
[5.1.1]

335
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
II momenta delle forze di attrito rispetto a 0 e, allora,
-A  mj(Pj-O)!\x(i)=
;=1
[5.1.2]
N
=-X  mi(P;-O)I\(wl\(Pi-O))=-Xlw
i= 1
con Ie notazioni del paragrafo 4.11.
E' allora facile vedere che la seconda equazione cardinale, 1 supponendo la cer-
niera in 0 senza attrito, diviene:
Iw=-Xlw-wl\(Iw)
[ 5.1.3 ]
ove W e il vettore Ie cui componenti in un riferimento (0; it, i 2 , i 3 ) solidale con
il corpo sono Ie derivate delle omonime componenti di w nello stesso riferimento
(e quindi la notazione e poco propria, perche  =FW se Co.) viene pensato come
vettore nel riferimento (0; i, j, k) fisso; la manteniamo per la sua convenienza).
Supporremo che il riferimento (0; ii, i'J., i 3 ) sia stato fissato una volta per tut-
te in modo che la matrice d'inerzia I sia diagonale, con elementi:
1 1 ,1 2 ,1 3
[5.1.4]
(vedi [4.11.9], p. 291).
Convernl immaginare, per ottenere moti non banali, che il sistema sia soggetto
all'azione di altre forze motrici descritte da un momenta M rispetto a 0: altrimen-
ti, come e intuitivameIite chiaro e come vedremo brevemente, il sistema si "ferme-
ra" e basta.
Le piu semplici leggi di forza che si possono considerare sono quelle il cui mo-
mento M ha componenti costanti sugli assi di (0; it, i 2 , i3):
M=R 1 i 1 + R 2 i 2 + R3 i 3
[5.1.5]
ovvero quelle in cui tali componenti del momenta in (0; it, ;2, i 3 ) sono funzioni
della sola velocita angolare:
M'(w)=R;(w);1 + R;(w) i 2 +R(w) i3
[5.1.6]
che si possono immaginare (10 vedremo in dettaglio in un esempio) come generate
da meccanismi posti "all'interno" del corpo e che regolano la propria azione in
funzione del mota stesso del corpo.
Le equazioni del mota del sistema diverrebbero, in presenza dei momenti [5.1.5]
e [5.1.6] aggiunti aIle forze di attrito che agiscono su di esso:
leu = -wl\(Iw)-Xlw +M+M'(w).
[5.1.7]
1 Cioe KO=-A[W.

336
Capitolo qu into
Anche nella piu semplice situazione immaginabile in cui:
M=Ri 3
[5.1.8 ]
e M' (w) e una funzione lineare delle componenti w b W2, W 3 potreb be accadere
che l'equazione differenziale [5.1.7] non ammetta in generale soluzioni "globali",
ossia per generici dati iniziali w potrebbe accadere che il mota t  St( w ) che ad
essi segue secondo [5.1.7] sia tale che S t( w )  00 con to < + 00: si noti che il se-
t-+t o
condo membro di [5.1.7] non e di classe CUm e quindi non e chiaro se [5.1.7] sia
normale nel senso dei paragrafi 2.5 e 2.7; ovvero St( w )  00.
t-++ oo
Per evitare di avere a che fare con questi fenomeni, poco interessanti per Ie que-
stioni di stabilita che seguiranno e troppo idealizzati da un punta di vista fisico,2
supporremo che sempre la legge di attrito sia tale che al crescere di w l'attrito cre-
sca talmente da impedire allo stesso w di divenire troppo grande.
Concretamente, per i casi che tratteremo, bastra supporre che il coefficiente di
attrito A dipenda da Iwl: come esempio considereremo il caso:
A(W) = (Al + A2 w 2 ),
[5.1.9 ]
ove A1>0 e A2 O. Questo, fra l'altro, e un modello di resistenza d'attrito abba-
stanza realistico in molte situazioni concrete.
In definitiva il sistema meccanico del quale vogliamo studiare Ie proprieta sara
descritto dall'equazione:
Iw= -w/\ (Iw)- A(W) (Iw) + M + M'(w),
[5.1.10]
ove A(W) e dato da [5.1.9] e M'(w) e una funzione lineare di w. Questo sistema e
abbastanza generale per offrire una grande varieta di fenomeni: anzi per semplicita
ci limiteremo alIa teoria del seguente caso particolare di [5.1.10]:
i) il corpo rigido e un giroscopio:
1 1 =/2 =/ 13 =J,
ii) M=Ri 3 ,
iii) M'(w)=a(W1i1+W2;2),
[5.1.11]
[5.1.12]
[5.1.13]
con a costante;
iv) A(W) e dato da [5.1.9] con A2 >0.
E' bene farsi una rappresentazione fisica del sistema che e matematicamente de-
scritto dalle [5.1.9] -;- [5.1.13].
Si pub schematizzare il corpo come costituito da 6 punti di massa m disposti
due a due sui tre assi coordinati nei punti I pi b I pi 2 , I P';3.
2 E' chiaro ehe un sistema reale in cui w diverge in un tempo finito to presto, per t < to'
si "rompe", perehe i punti del sistelna vengono ad essere sottoposti a forze eentrifughe supe-
riori aHa resistenza del materiale.

337
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
AHora:
/=/1 =/2 =2m(p2 + p'2)
J=/3 =4 mp 2.
[5.1.14]
La forza [5.1.12] puo essere immaginata come generata da "motorini a reazio-
ne" posti nei quattro punti del piano z 3 = 0 che producono una spinta f identica e
perpendicolare all'asse coordinato suI quale si trovano e giacente nel piano z 3 = 0
(si pensi a una girandola); il momenta di queste forze e:
M=4pfi 3
[5.1.15]
come [5.1.12].
La forza [5.1.13] invece e generata da motorini a reazione posati nei due punti
dell'asse ;3 e orientati in modo da esercitare una spinta perpendicolare ai piani i 2 ,
;3 e ii, ;3 rispettivamente e di intensita:
f'W2il e f'w l i 2
[5.1.16]
e percio hanno momenti:
f'p'( wli l + w"i 2 )
[5.1.17]
come [5.1 .13].
Puo apparire alquanto bizzarra, e difficile da realizzare, una forza del tipo [5.1.16].
In realta la cosa non e poi cosi assurda e impratica, perche si pub pensare che il
giroscopio sia in mota nell' aria, ad esempio, e che il motorino sull'asse z abbia boc-
che di aspirazione perpendicolari agli assi ii, i3 e i 2 , ;3 rispettivamente e che Ie 10-
ro spinte (nelle direzioni i I e i 2 ) siano proporzionali alla quantita di aria che pene-
tra nelle bocche per unita di tempo (che e appunto proporzionale alIa velocita an-
gola r e W2 e WI rispettivamente).
Ovviamente, se f'>O, il giroscopio tendera ad aumentare la sua velocita di ro-
tazione attorno agli assi ;1, ;2 ma non indefinitamente bens! solo finche il sistema
non moti con velocita tale da causare un attrito COSt forte da compensare la forza
generata dai motorini (come vedremo questo effettivamente accade se A2 > 0).
Concludiamo questo paragrafo scrivendo esplicitamente per componenti Ie [5.1.10]
nelle ipotesi [5.1.9], [5.1.11], [5.1.12], [5.1.13]:
Wl=-(Al +A2W 2 ) WI +awl- w 2 w 3
W2= -(AI + A2w 2 ) W2 + aW2 + WI W 3
W3= -(AI + A2w 2 ) W3 + R
ove R :;to, aO e si e posta J;/ = 1, caso a1 quale ci si PUQ ridurre se J:;t/ can
il b . d . d . , ( J - / )
cam lamento 1 coor Inate Wi = wi / .
[5.1.18]

338
Capitolo qu into
5.2 Pro prieta dei moti stazionari del giroscopio con attrito
Anzitutto trattiamo la questione dell'esistenza di soluzioni globali per t  0 del-
la [5.1.18].
I Proposizione La [5.1.18] ammette una soluzione t  S t( Wo ), t  0, per ogni
dato iniziale Wo E R 3 .
( 21RI ) 113 ( 2Ia-XII ) 112
[noltre posto n = A2 + A2
i) ISt(wo)Ilwol+n "VtO [5.2.1]
I w ol 2 -4n 2
"Vt
2A2 n 4
ii) I St(wo)1  2n
[5.2.2]
Dimostrazione. Per dimostrare I' esistenza globale basta far vedere, in base alla
defmizione 3 e proposizione V a pp. 38 sg., che se tSt(wo) e una soluzione di
[5.1.18] per t E [0, T] allora verifica [5.2.1] per ogni t E [0, T]. Questa e una sem-
plice conseguenza della struttura stessa della [5.1.18]: si moltiplicano Ie [5.1.18]
per W b W2, W3 rispettivamente e si sommano i risultati ottenendo:
d 1 2 2 2 2 2 2
dt 2 (WI + W2 + W3) la-All (WI + W2 + W3) +
-A2(wi +W +W;)2 +Rl w 31
[5.2.3]
quindi se, ad esempio, valgono Ie:
A2
2 (W 2 )2 > la-All w 2 ,
A
T (W 2 )2 >Rlwl
[5.2.4]
il secondo membro di [5.2.3] e <0. Da cui, se IWol e inizialmente >n:
n= ( Y/3 + ( 21:All )112
la quantita I St(wo)1 deve diminuire al crescere di t fino almeno a divenire minore
di n. Dunque vale la [5.2.1].
Se Iwl > 2n il secondo membro di [5.2.3] e inferiore a - A2 n 4 e quindi, finche
St(wo»2n, si deve avere:
[5.2.5]
I St(wo)1 2  Iwo 1 2 -2A2 n 4 t
e percio per
[5.2.6]
I W ol 2 -4n 2
t
2A2 n 4
si avra ISt(wo)I2n dimostrando COSt la [5.2.2].
[5.2.7]
mbe

339
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
Per ottenere alcune prime infarmazioni sulla natura dei mati descritti dalla
[5.1.18] studiamone Ie soluzioni stazionarie che, evidentemente, ne sono Ie piil
semplici soluzioni.
Facciamo vedere che [5.1.18] ha una sola soluzione stazionaria.
n Proposizione La [5.1.18] ha, V R =1= 0 e V 0:  0, un 'unica soluzione stazionaria
W : W e tale che WI = W2 =0 e W3 e la soluzione reale dell'equazione:
(-Al-A2W) W3 +R=O.
[5.2.8]
Dimostrazione. Le prime due equazioni delle [5.1.18] in cui si pone WI = W2 = 0
danno luogo, se si immagina di conoscere A(W) e W3, a due equazioni lineari e
omogenee in WI e W2: il determinante dei coefficienti di questo sistema e:
(0:- A(W))2 + w,
[5.2.9]
che e nullo solo se W3=0 e O:=A(W).
Ma e chiaro che la terza delle [5.1.18] non ammette una soluzione stazionaria con
W3 = O. Questo significa che, se esistono soluzioni stazionarie, W3 =1= 0 e allora [5.2.9]
implica che WI=W2 =0. E' allora chiaro che se WI=W2 =0 e W3 verifica [5.2.8] it
vettore W e una soluzione stazionaria della [5.1.18]. Si noti che la [5.2.8] ha una
sola soluzione reale perche il membro di sinistra e una funzione monotona di W3
e strettamente decrescente.
mbe
Come appare i1 mota del giroscopio con velocita angolare w?:
III Proposizione II mota del giroscopio corrispondente alia soluzione w stazio-
naria di [5.1.18] e una rotazione con velocita angolare costante, W3, attorno all'as-
se i 3 che si mantiene fisso nella spazio.
Dimostrazione. Sia t  (O(t), tp(t), \jJ(t)) una descrizione del mota in questione
a mezzo degli angoli di Eulero (0, tp, \jJ) di (0; it, i 2 , i 3 ) rispetto al riferimento
fisso (0; i, j, k). Dalle [4.11.12], [4.11.13], [4.11.14] del capitolo 4 si deduce la
. .
relazione fra O(t), (P(t) e \jJ(t) e il vettore w(t): in generale:
.
o = WI cos \jJ - W2 sin \jJ
. W I sin \jJ + W2 cos \jJ
tp = sin 0
[5.2.10]
[5.2.11]
. cos 0 .
\jJ = W 3 - . 0 ( W I SIn \jJ + W 2 co S \jJ).
sIn
[ 5 .2.12 ]
Ponendo Wl=W2=0 e W3=W3, si deduce da [5.2.10] che 8=0 e quindi 0 e co-
stante: supporremo, senza perdita di generalita, di aver fissato (0; i, j, k), i1 riferi-
mento fisso, in modo che 8(0) *0 e *1r.

340
Capitolo quinto
Allora la seconda delle equazioni precedenti, la [5.2.11] implica =O e quindi
tp e costante. Poiche 8 e tp determinano la posizione di ;3 in (0; ;, j, k), segue che
;3 e fisso in (0; ;, j, k) al variare del tempo.
Infine la [5.2.12] implica V; = W3 e dunque il sistema ruota con velocita angola-
re costante attorno a ;3 (fisso).
mbe
Iniziamo ora 10 studio dei moti non stazionari. Se a < Al il mota e particolar-
mente semplice.
IV Proposizione Se a< Aile soluzioni di [5.1.18], tSt(w), di dato iniziale
w verifieano:
I St(w) -wi  C(lwl) e-(i\l- ex )t
[5.2.13 ]
'tJtO, se C(x) e una opportuna funzione ereseente di xE R+. II eorrispondente
mota del giroseopio tende asintotieamente a eonfondersi con una rotazione unifor-
me di veloeita angolare W3 attorno all'asse ;3 ehe a sua volta tende ad assumere
una posizione fissa nel riferimen to fisso (0; ;, j, k).
Piu preeisamente, se t  (8(t), tp(t). V;(t)) e la deserizione in termini di angoli
di Eulero di un mota la cui veloeitiz angolare e w(t)=St(w), esistono tre eostan-
ti e, tp , V; tali ehe:
18(t)- 8 1  C l e- t (A 1 -O:)
Itp(t) - tp I  C I (sin 8 )-1 e -t(A 1 -O:)
I V;(t) - V; - W3 tl  C I (sin e) - I e -t(A 1 -ex)
[5.2.14 ]
se t e abbastanza grande: t  t I" t I, C I dipendono dai dati iniziali e cos'" pure 8, tp,
- 4C(n + Iwl))
V; ne dipendono (ad esempio, C I PUD essere seelto C I = A .
I-a
Dimostrazione. E' anzitutto facile vedere che [5.2.13] implica [5.2.14]: infatti
la [5.2.10] e [5.2.13] implicano che e(t)  0 esponenzialmente e quindi si PUQ
t-+ +00
definire:
t +00
8 = lim e (t) = lim 8 (0) + J 8 ( i) d T = 8 (0) + J 8 ( i) d i
t-+ +00 t-+ +00 0 0
[5.2.15]
poiche l'integrale converge. Inoltre:
_ +00. -(A -o:)t
le(t)-81=IJ8(i)dil2C(n+lwl) e 1 [5.2.16]
t (AI-a)
per Ie [5.2.1 0], [5.2.13].
Possiamo supporre, eventualmente ruotando il riferimento fisso, che 8 =1= 0 e =1= 1r.
AHora [5.2.11] e [5.2.13] implicano che anche tiJ(t) tende a zero esponenzialmente

341
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
e, procedendo come per 0, si ottiene:
+00
<{) = <p(0) + J (r) dr
o
_ 2C(n+lwl) e-(At-a:)t
IIp(t)-1p1  inf I sin 8(r)1 (AI-a)
Tt
[5.2.17]
per la [5.2.11], [5.2.13], che mostra la [5.2.14]. .
Similmente Ie [5.2.12] e [5.2.13] implicano che Vi(t) tende esponenzialmente a
W3; quindi, posta
+00
Vi = Vi(O) + J ((r)-w3) dr,
o
[5.2.18]
si trova, per [5.2.12], [5.2.13]:
t
IVi(t)- Vi - W 3 t l=I.Vi(0) + J (r) dr- Vi - w 3 t l=
o
+00 . 2C (n + Iwl) e -(At-a:)t
= IJ(Vi(r)-w3) drl 
o inf 1 sin O(r)1 (AI-a)
Tt
[5.2.19]
che mostra la [5.2.14].
II tempo (I e da scegliersi in modo che:
I sin 0 1
in[lsin8(r)l 2 >0
Ttt
ad esempio.
Dimostriamo ora la [5.2.13].
Dalla [5.1.18], moltiplicando la prima per WI e la seconda per W2 e somman-
do i risultati si vede:
d 1 2 2 2 2
dt T(W 1 +W1)-(AI-a)(WI +W2)
[5.2.21]
e, quindi:
WI (t)2 + W2 (t)2  (WI (0)2 + W2 (0)2) e- 2(A t -a:) t.
Inoltre, posto 8=W3-W3, la terza delle [5.1.18] si scrive:
[5.2.22]
8=W3 = - A1 8 - A2(W -W)-A2(W + w) W3 =
2 2 2 2 2 2 [5.2.23]
=[-AI-A2(WI +W2)-A2(W3 +W3 W 3 +w3)]8- A 2 W 3(WI +W2)
e quindi, osservando che la soluzione generale dell'equazione
y = f(t) y + get),
tO
,
[5.2.24]

342
Capitolo quinto
con[egECOOe:
t t t
y(t)= y(O) exp J [(7) d7 + J (exp J [(0) dO) g(7) d7 [5.2.25]
o 0 T
si deduce, da [5.2.23]:
8(t)=8(O) exp- f pI. 1 + A2(wi + w) + A2(W + W3W3 + w;)) dr +
tOt
- A2 W3' J d'T(w + W) exp - J (AI + A2 (w; + W3 W 3 + w; + [5.2.26]
o T
+ w + w)) de
e osservando che Ie funzioni che moltiplicano A2 negli esponenziali sono non nega-
tive:
t
18(t)1  18(0)1 e - Att + A21w31 J (WI (7)2 + W2 (7)2) e- A t (t-1') dr 
o
18(0)1 e- A1t +A21 w 31 (WI(0)2 +W2(0)2). [5.2.27]
t
. Je- A1 (t-T)e-(A 1 -Q)2T d7e-(AI-Q:)t(18(0)1 +A21 w 31 (WI (0)2 +W2(0)2)
o
(Al-a)-l )e-(AI-Q:)t (l w 31 + I W 3(0)1 + 2A2 (Al- a)-llw31 (WI (0)2 + W2 (0)2))
ove si e utilizzata la [5.2.22]; e la [5.2.13] segue aHora da [5.2.27] con:
C(IWI)2=(lw 3 1+IW 3 1+ A1Aa IW31(wi+w))2 +wi+w. [5.2.28]
mbe
Lo studio di quel che accade per a> Al e molto piu interessante e coinvolge
un certo numero di idee generali che esporremo nei prossimi paragrafi.
Anticipiamo che il mota cambiera carattere: per a  Al sara descritto, asintoti-
camente, da un comportamento affatto diverso da quello visto finora in cui il gi-
roscopio si disponeva in uno stato di rotazione uniforme attorno all'asse ;3 fisso
nello spazio.
5.3 Attrattori e stabilita
Come si e detto nel paragrafo 5.2, per a  AI, il mota del giroscopio sara di na-
tura qualitativamente diversa da quella vista per a < AI: sara aHora conveniente in-
trodurre aicune nozioni atte a discutere in un linguaggio piu agevole e suggestivo i
risuitati.
Le nozioni che introdurremo, di stabilita e di attrattori, sono assoggettabili alle
critiche gia viste in analoghe occasioni al capitolo 2.
Ora, pero, sceglieremo solo una definizione significativa e non ne discuteremo

343
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
altre alternative ricordando allettore che ce ne sono molte possibili e che, nelle
applicazioni, sono Ie applicazioni stesse a imporre di volta in volta la considerazio-
ne della corretta nozione di stabilita 0 attrattivita:
1 Defmizione Sia fECOO(Rd) e a valori in R d ; si consideri l'equazione differen-
ziale in R d :
x = f (x)
[5.3.1 ]
che suppo"emo normale (vedi de[inizione 3, p. 38).
Se esiste una funzione continua JJ. : R+  R+ tale che 3
ISt(u)IJJ.(lul) 'tItO, 'tIuER d
[5.3.2]
diremo che [5.3.1] e un 'equazione differenziale a traiettorie limitate.
Osservaz ioni
i) In questo capitolo ci limiteremo alIa considerazione delle sole equazioni a
traiettorie limitate.
ii) Un esempio e la [5.1.18]: per Ie proposizioni del paragrafo 5.2 e a traietto-
rie limitate e, per la [5.2.1], si pub scegliere
( 2R ) 1/3 ( 210:- All ) 1/2
JJ.(lwl) = Iwl + x;- + A2
[5.3.3]
2 Definizione Se AC R d , denoteremo St(A) l'insieme dei punti u aventi forma
St(w) con wEA. Un insieme A si dira "invariante" per [5.3.1] (0 per le traiettorie
di [5.3.1] 0 per i moti di [5.3.1]), se:
St(A) C A 'tit  0,
[5.3.4]
cioe A e invariante per [5.3.1] se le traiettorie che hanno origine in A si svolgono
interamente in A.
Un insieme A, invariante per [5.3.1]. si dira "stabile" per l'evoluzione [5.3.1] se
ogni intorno U di A contiene un intorno V di A tale che:
St(V)CU, 'tItO,
[5.3.5]
cioe A e stabile se i moti che hanno inizio sufficientemente vicino ad A non se ne
allontanano troppo.
Esempi
1) L'equazione in R2:
x=--y
y=x
[5.3.6]
3 Conformemente aIle notazioni dei eapitoli preeedenti t -+ St(u) e la soluzione per t  0,
dell'equazione [5.3.1) con dato iniziale u.

344
Capitolo quinto
ha traiettorie limitate (tali traiettorie sono invero cerchi con centro nell' origine) e
ogni cerchio con centro nell'origine e invariante e stabile, per [5.3.6].
2) Un altro esempio di insieme invariante e fomito dalla proposizione I del pa-
ragrafo 5.2 relativa all'equazione del giroscopio [5.1.18]: la [5.2.2] dice che la sfe-
ra di raggio 2[2 e un insieme invariante e, dalla dimostrazione di quella proposizio-
ne segue anche che e stabile.
Una nozione strettamente legata a quella di insieme stabile e quella di attrattore:
3 Definizione Un insieme chiuso A C R d , invariante per l'evoluzione [5.3.1], si
dice un "attrattore" per Ie traiettorie di [5.3.1] se esiste un insieme aperto U ta-
le che:
lim d(St(u), A)=O 't/u E U
t-+ +00
[5.3.7]
ove d(x, A) = (distanza di x E R d da A C R d ), e l'insieme U si dice "un bacino par-
ziale di attrazione" di A. L 'unione di tutti i bacini parziali di attrazione e "il baci-
no di attrazione" di A e sara denotato B(A).
Un attrattore A si dice "minimale" se non contiene alcun sottoinsieme B =1= A
che sia un attrattore.
Un bacino di attrazione parziale U di un attrattore A, per [5.3.1], si dira "nor-
male" se e possibile associare ad ogni uEU almeno un punto 7T(u)EA tale che:
lim d(St(u), St(1T(U))) = 0
t-+ + 00
[5.3.8]
e il punto 1T(U) si chiamera una "proiezione" di u su A.
Esempi
1) La sfera di raggio 2[2 e quella di raggio [2, in R 3 , sono attrattori per [5.1.18],
per la proposizione I del paragrafo 5.2, vedi commento alla [5.2.5]. La prima sfera
non e un attrattore minimale (perche contiene la seconda).
2) Per o:<Xt, W e un attrattore per la [5.1.18], come prova la [5.2.13]; in que-
sto caso, come nell'esempio 1, il bacino di attrazione e tutto R 3 . Questo bacino
e normale: e chiaro che ogni bacino di attrazione per un attrattore costituito da
un solo punta e normale. Ovviamente w e minimale.
3) II cerchio unitario e un attrattore per Ie soluzioni dell'equazione differenzia-
Ie in R 2
.i=-2-(x 2 +y2-1)
2
Y = -  (x 2 + y2 - 1).
[5.3.9]
La si evince moltiplicando la prima delle [5.3.9] per x, la seconda per y e som-

345
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
mando i risultati:
d
dt
x 2 +y2 x2 +y2
=-(x 2 +y2-I)
2 2
[5.3.10]
che, posta p = x 2 + y2 diviene p = - p (p -1) che impHca, se p (0) =1= 0:
p(t)-I = p(O)-I e- t
p(t) p(O)
[5.3.11 ]
dunque Hm p (t) = 1 e il bacino di attrazione del cerchio unitario consiste in
t-+- +00
R 2 \{O}. E' un attrattore normale e it punto (x, y) ha, su di esso, proiezione:
( X Y )
1T(X, y) = ,
Y X 2 +y2 Y X 2 +y2
[5.3.12]
e, in questo caso, la proiezione sull'attrattore e unica. Per esercizio si trovino Ie
traiettorie della [5.3.9] e si veda il significato geometrico della [5.3.12]. Si faccia
vedere che il cerchio unitario e un attrattore costituito da punti fissi.
4) Non e in generale vero che un attrattore sia un insieme stabile.
Per avere un'idea del meccanismo (in verita piuttosto patologico) per cui un
punta puo essere attrattivo senza essere stabile si consideri il cerchio unitario S 1
in R 2 e sia [ una funzione di classe Coo periodica con periodo 21T e tale che [(0) > 0,
VO *0, e [(0)-1 non e integrabile ne a destra ne a sinistra di 0, ove 0 e l'angolo
in figura (quindi[(O)=O, in particolare). Consideriamo l'equazione:
.
o = [«())
[5.3.13 ]
come equazione di mota di un punta che si muove sulla S 1 interpretando () come
l'angolo della figura 5.1 e come posizione del punto.
E' chiaro (poiche [(0) = 0) che () = 0 e una posizione di equilibrio per [5.3.13]:
ma, se ()o>O, aHora, posto O(t)=St«()), O(t) e crescente al crescere di t (perche
[O e [e nulla solo per () = 0, 21T) e impiega tempo infinito a raggiungere 21T (per-
eM [(0)- 1 e non integrabile e tale tempo e r dO ), ma tempo fmito a raggiun-
o [(0) I '
gere qualsiasi angolo O'E(Oo, 21T) (pereM tale tempo e dO < +00). Dunque
o [(0)
lim 0 ( t) = 21T . [ 5 .3 .14 ]
t-+- +00
Tutti i punti del cerchio evolvono in senso antiorario verso 21T e 10 raggiungono da
sinistra! (salvo 0 = 0 e 0 = 21T).
Sia ora f una funzione di cIa sse C OO (R 2 ) che in un intorno a forma di corona circo-
lare U del cerchio unitario vale, se (r, ()) sono Ie coordinate polari di (x, y):
!(X,y)=(-y[(O)-  (x 2 +y2-1),x[(0)-  (X2+y2-1.
[5.3.15 ]

346
Capitolo quinto
y
/
/
/
8
o x
Figura 5.1
Le equazioni differenziali x=f(x), associate alIa [5.3.15], in R 2 si scrivono in co-
ordinate polari e per (x, y) E U:
.
() = f ( () ),
d
_,2 = _,2 (,2 -1)
dt
[ 5 .3.16 ]
e la seconda delle [5.3.16] mostra che U e invariante e che il cerchio unitario e
un attrattore. La prima delle [5.3.16] mostra che il punta () =0,'= 1 e un attrat-
tore minimale sui cerchio unitario che e instabile perche arbitrariamente vicino ad
esso esistono punti che 10 raggiungono dopo essersi allontanati di  2 (ad esempio
il punta , = 1, () = € > 0), cioe del diametro del cerchio.
La questione della normalita di un bacino U per un attrattore A e ovviamente
di grande importanza.
La normalita di U rispetto ad A dipende, intuitivamente, da due fattori: la ve-
locita di avvicinamento dei punti di U ad A e la velocita di reciproco allontana-
mento di due punti su A. Ci si aspetta che Usia normale rispetto ad A se la velo-
cita di allontanamento reciproco dei punti di A e molto piu piccola della velocita
di avvicinamento ad A da parte dei punti di U.

347
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
Per rendere precisa questa idea premettiamo Ie seguenti definizioni:
4 Definizione Sia U un bacino parziale di attrazione per un attrattore A; si de-
finisce il "modulo di attrazione" di A rispetto a U (0 la "velocitiz di attrazione")
la funzione:
dU(t)= sup d(ST(U), A)
uEU
Tt
[5.3.17]
e du(t) PUD essere anche + 00.
Parallelamente a questa nozione conviene introdurne un'altra che misuri la velo-
cita di allontanamento di due punti A. Si noti che, dal teorema di regolarita per
Ie soluzioni di equazioni differenziali, segue che se r e un insieme chiuso e limita-
to, la quantita:
I St(x)-St(x')1
sup , =mt(r)
x, x'Er Ix-x I
[5.3.18]
e finita, 'Vt;;:' 0: ed e naturale chiamare mt(f) il "coefficiente di espansione" della
[5.3.1] relativo a tE Rea r C Rd. Questa nozione e collegata alIa definizione:
5 Definizione Sia A un attrattore per [5.3.1]. "II coefficiente di espansione
uniforme" (bilatero) della [5.3.1] su A e la quantitiz:
Mt(A) = sup
x*x'EA
1'TIt
I ST(X) -ST(x')1
Ix-x'i
- sup m-r(A)
ITI t
[5.3.19 ]
ove si pone Mt(A) = +00 se A contiene punti x per i quali l'evoluzione S.,.(x) non
PUD essere definita per tutti i valori di 7 tali che 171 < t.
Osservazioni
1) Si noti che l'ipotesi di normalita della [5.3.1] non consente di garantire l'esi-
stenza di soluzioni globali nel passato per tutti i dati iniziali. Dunque ha molta im-
portanza notare che nella [5.3.19] sono coinvolti anche tempi nega tivi. 4
2) Un'altra importante osservazione e che, se anche A e invariante nel passato
ed e limitato (e quindi tale e IST(x)-S'T(x()I: IST(x)-S'T(x')1  diametro di A,
'IrE R), la funzione Mt(A) puo crescere molto rapidamente con t. Un semplice
anche se un po' banale, esempio e il seguente: sia fE COC(R) tale che:
. x 2
4 Ad esempio l'equazione differenziale x = - - e normale nel futuro, ma non nel passato:
2
la sua soluzione non PUQ essere estesa oltre to = - x (0) - 2.

348
Capitolo qu into
f(x)=x se
1
Ixl<2' f(x)=-x se Ixl>l.
[5.3.20]
AHora l'intervallo A = [-1, 1] e un attrattore per Ie soluzioni dell'equazione diffe-
renziale x = f (x) ed e facile vedere che:
M t ([-I, 1])et.
[5.3.21]
(Esercizio. Si deduca [5.3.21] studiando l'evoluzione dei punti Xo = 0 ex 1 = e.)
La seguente proposizione precisa l'idea prima discussa in relazione alia normali-
ta di un bacino di attrazione U per un attrattore A di [5.3.1], fornendo una con-
dizione sufficiente (ma non, in alcun modo, necessaria) per la normalita di un ba-
cino.
V Proposizione Sia A un attrattore limitato per [5.3.1] e U un bacino di attra-
zione per A.
Si supponga che esistano C, € >0 tali che Vt 0, VrE [-1, 1]:
) 2 C
Mt+T(A du(t)< 1 .
(1 + t) +€
Allora U e normale rispetto ad A.
Se A e una traiettoria periodica, A e normale se 3 C 1> 0 per cui
[5.3.22]
C 1
d u( t ) 
(1 +t)l+€ .
[5.3.23]
Dimostrazione. Ovviamente l'affermazione sulle orbite periodiche segue da
quella relativa ad attrattori piu generali perche se A e un'orbita periodica e chiaro
che:
Mt(A)MT(A)< +00
[5.3.24]
se T ne e il periodo: quindi [5.3.22] segue da [5.3.23] in questo caso.
Sia t n =n, n = 0, 1, ..., e sia x E U. Sia an EA un punta di A di minima distanza
da Sn(x).
L'idea ovvia e che una proiezione 1T(X) di x sia definibile come:
1T(X)= lim S-n(a n ).
n-+ oo
[5.3.25]
Per dimostrare l'esistenza di questo limite confrontiamo S-n(a n ) con S-n-l(a n +l).
Supporremo che A non sia un punta: aHora Mt(A) 1, perche Mo(A) = 1.
Allora U = chiusura di U e limitato per [5.3.22] con t:::: 0 e, per quanto osserva-
to in relazione aHa [5.3.18], ml( U )<+oo. Si ha, pertanto:

349
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
1 S-n(an)-S-(n+I)(an+I)1 Mn+1 (A) 1 SI (an)-an+11 
Mn+ I (A) (I SI (an) -Sn+ I (x)1 + 1 Sn+1 (x) -a n + II) 
 M n + I (A) (I S I (an) -S I (Sn(x))1 + dU(n + 1))  [5.3.26]
C(l + ml (U))
Mn+l(A)(ml(U)du(n)+du(n+I)) I Mn+1(A)-1
(1 +n) +e
00
per la [5.3.22]. Dunque la serie L IS-n(an)-S-(n+l)(an+I)1 converge e quindi
n=o
esiste il limite [5.3.25] che verifica:
n
11T(X) -S -n(an)1 = 11T(X) - ao - L (S -k(ak)-
k=l
[5.3.27]
00 1
-S-(k-1)(ak-I))1 CMn+1 (A)-I(I +ml (U)) L t:;-  o.
h=n+l h e noo
Facciamo ora vedere che ISn(1T(X))-Sn(a)IO per noo (e cioe 1T(X) e effetti-
vamente una proiezione di x):
I S n(1T(X))-Sn(x)1  I Sn(1T(x))-a n 1 +
+ lan-Sn(x)1  IS n (1T(X))-Sn(S-n(a n ))1 +
+dU(n)Mn(A) 11T(X)-S-n(a n )1 +
00 1
+dU(n) C(I +ml(U)) L 1 +du(n)  o.
h=n+l h +e n-+ oo
[ 5 .3.28]
mbe
Nel prossimo paragrafo illustreremo un criterio sufficiente per la stabilita e "at-
trattivita esponenziale" 0 per la instabilita di una soluzione stazionaria.
Studieremo attrattori piu complessi nei successivi paragrafi.
Esercizio per il paragraf 0 5.3
Si studi la normalita degli attrattori per l'equazione (x, y) = I(x, y) in R 2 con
f(x. y) = (- y(x 2 + y2 -1) -  t/J(x 2 + y2), x(x 2 + y2 -1) -  t/J(x 2 + y2))
ove   0 e una funzione di classe COO del suo argomento, nulla in 1. Mostrare che
d 2 2 _ 1
", d 1 ,. 1 r r r
la normalita dell attrattore e legata alla convergenza e 1 Integra e J -;- 2 .
r Vi(r)

350
Capitolo quinto
5.4 II criterio di stabilita di Lyapunov
Si consideri un'equazione differenziale, tipo [5.3.1], normale e a traiettorie li-
mitate:
VI Proposizione Sia x 0 un punto di equilibrio per [5.3.1] supposta normale e
a traiettorie limitate e si ponga per x E R d :
f(x) =(f(t)(x), ..., f(d)(x))
[5.4.1]
e si definisca la "matrice di stabilitiz" L:
af(i)
Lij= ax' (xo) i,j=I,...,d.
J
Se Ie soluzioni dell'equazione di grado d in A, "autovalori di L" (vedl app. A):
[5.4.2]
det(L-A)=O
[5.4.3]
hanno parte reale negativa aUora Xo e stabile ed e localmente attrattivo con velo-
citiz esponenziale. 5
Se uno, almeno, degli autovalori ha parte reale positiva, aUora x 0 e instabile.
Osservazioni
i) Piu precisamente se tutti gli autovalori AI, ..., Ad di L hanno parte reale nega-
tiva esistono to, P > 0 tali che, se Iw-xo 1< p, si ha:
t
to w
d(St(w), x)2 2 Iwl vtto.
[5.4.4]
ii) II motivo per cui questa proposizione non solo e vera ma anche molto natu-
rale e reso chiaro dalla considerazione del "caso lineare": il caso cioe, in cui:
f(i)(x) = .f Lij xj=(Lx)j
J= 1
[5.4.5]
i= 1, ..., d, e L e una data matrice d Xd (reale).
In questo caso x 0 = 0 e un punta stazionario per I' equazione:
x=Lx
[5.4.6]
con matrice di stabilita L, appunto.
Come visto nei problemi dei  2.2, 2.3, 2.7 si possono cercare d soluzioni li-
nearmente indipendenti di [5.4.2] aventi la forma:
5 Cioe se U e un intorno abbastanza piccolo di %0 e un baeino di attrazione, con velocita
esponenziale, rispetto a %0.

351 Sistemi dissipativi 8 sistemi conservativi
x(t)=eAtv. [5.4.7]
Una tale soluzione esiste, se det(L - A) = 0, e:
LV=AV.
[5.4.8]
Se supponiamo che l'equazione algebrica di grado d in A, det (L - A) = 0, abbia d
radici AI, ..., Ad, due a due distinte, e se V(I), ..., v(d) sono i relativi autovettori
dell'equazione [5.4.8] e noto che V(I), ..., v(d) sono linearmente indipendenti (que-
sta ben nota proposizione di algebra e discussa in app. A).
Allora la funzione di t E R:
x(t)= f ex" eAjtv(j)
. 1
}=I
[5.4.9]
e, per ogni scelta di at, ..., ad E C, una soluzione della [5.4.6].
Per l'indipendenza lineare dei d vettori V(I), ..., v(d) e chiaro che, fissando op-
portunamente i coefficienti ai, si PUQ imporre che [5.4.9] verifichi una condizione
iniziale preassegnata. Dunque [5.4.9] e la piu generale soluzione di [5.4.6], di clas-
se COO(R).
Se Re Ai<O, i= 1, ..., d, e chiaro che:
I x(t)1  e -lit .f lexjllv(i)1
}=1
VtO
[5.4.10]
se - v= max Re Ai<O: quindi l'origine e un attrattore per [5.4.6] con bacino di
i=l,...,d
attrazione Rd. Qualunque sfera limitata e attratta dall'origine con velocita esponen-
ziale, per la [5.4.10].
Se invece Re Al>O e 1m Al *0, ad esempio, e se A2 = A l e V(2)= V (I), e chiaro
che il dato iniziale €(V(l)+ V (l») evolve per [5.4.6] in: 6
2€ e(Re AI) t Re (v( 1) ei(Im AI) t) [5.4.11]
e, quindi, esistono, arbitrariamente vicini all'origine, punti che se ne allontanano
indefinitamente. Dunque 0 non solo non attrae ma non e neppure stabile.
La trattazione, che seguira, del caso non lineare si riduce essenzialmente a quel-
la del caso lineare: se Re Ai < 0, i = 1, ..., d, si mostra che se un pun to e abbastan-
za vicino all'origine i termini non lineari ("di ordine superiore") di f sono trascu-
rabili e, per l' argomento precedente, il punta inizia ad avvicinarsi a 0 e allora i ter-
mini non lineari divengono ancor piu trascurabili e, in definitiva, il sistema si muo-
ve come se fosse soggetto ad un' equazione lineare.
Se Re AI> 0, invece, 0 non PUQ essere un punta di equilibrio stabile perche il
dato iniziale e(v(l) + v (I»), se e e abbastanza piccolo, si allontana dall'origine al-
6 Si noti ehe, essendo la matriee L reale, tutti gli autovalori e autovettori si possono sce-
gliere in modo ehe si presentino in eoppie eoniugate.

352
Capitolo quinto
menD di tanto quanta e necessario perche i termini non lineari dell'equazione dif-
ferenziale divengano sensibili. Questo e sufficiente a escludere la stabilita dell'ori-
gine, evidentemente, pur non permettendo di escluderne l'attrattivita, perche il
punta potrebbe allontanarsi da 0 nel piano V(I), v (I) e poi, influenzato dalla non
linearita dell'equazione, ritornare verso 0 lungo una direzione i in cui Re A;<O:
fa eccezione, naturalmente, il solo caso in cui ReAi>O, 't/i=I,..., d.
II lettore riconoscera queste idee nella seguente dimostrazione:
Dimostrazione. Sia UR una sfera di centro nell'origine e raggio R e Up una sfe-
ra di raggio p e centro nell'origine: supposto che Re Ai<O, i= 1, ..., d, dobbiamo
determinare p in funzione di R in modo che l' evoluzione t  S t( w) di un dato ini-
ziale, wE Up, si svolga, 't/tO, in UR.
Per semplicita diamo la dimostrazione nel solo caso in cui At, ..., Ad sono due a
due distinti. Lasceremo come esercizio per illettore la trattazione del caso generale.
Procediamo come nella teoria delle piccole oscillazioni del paragrafo 2.17: scri-
viamo la [5.3.1], supponendo che Xo =0, come:
x=Lx + ({(x)-Lx) = Lx + N(x)
[5.4.12]
ove N e una funzione di classe COC(R d ) a valori in R d e con uno zero del secondo
ordine nell'origine.
Per i1 teorema di Taylor, dato R > 0, esiste CR tale che:
I N(x)1  CR I xl 2
VxEUR.
[5.4.13]
Consideriamo aHora [5.4.12] come un'equazione differenziale in cui N(x(t)) viene
pensata come una funzione nota di t, t  0: aHora una soluzione particolare di
[5.4.12], COSt pensata, e: 7
t d .
p(t)= J. eAi(t-T)CXi(N(x(r))) v(l)dr
01=1
[5.4.14]
ove, in generale, dato wE R d ; porremo:
w= f CY;(w) v(i).
i= 1
[5.4.15]
Poiche V(I), ..., v(d) e una base in Cd, tale rappresentazione e possibile (e cxi(w) sa-
ra in generale complesso anche se wE R d ) e inoltre esiste una costante A tale che:
d
 Icxi(W)1 Alwl
i= 1
[5.4.16]
Supporremo che Iv(i)1 = 1, i=I,..., d e, quindi,AI. Allora la soluzione di [5.4.12],
. 7 Per vedere ehe la [5.4.14] e un soluzione partieolare della [5.4.12] in cui N(x(t», t> 0,
Vlene pensato noto, basta caleolare p(t) e utilizzare la [5.4.12], [5.4.8] (vedi  2.17, esercizio 2).

353
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
tx(t), tO, con dato iniziale w sara:
d td
St(w) = . eAitai(w)v(i)+ S. eAi(t-r)ai(N(Sr(w))) die
1=1 01=1
[5.4.17]
Utilizziamo ora l'ipotesi di limitatezza delle traiettorie per concludere che esiste
Jl(R)<+oo tale che ISt(w)IJl(R), 'tJtO, "tJwEUR e posto, per pR:
D(t)= max ISr(w)1,
o r t
IWIp
[5.4.18]
si deduce dalle [5.4.17], [5.4.18], [5.4.16], [5.4.13]:
t
I St(w)1  e -lit A Iwl + AS e -1I(t - r) C,.,,(R )D(t)2 dT 
o
A 2
Ap + V C,.,,(R)D(t)
[5.4.19]
ove v= min I Re Ail.
i=l,...,d
Per l'arbitrarieta di tela monotonia di D la [5.4.19] significa:
D(t)::;;;;Ap+  Cjl(R)D(t)2,
[5.4.20]
cioe, se (4A 2 C,.,,(R) 11- 1) P < 1, deve essere:
D(t) 1 + v' 1 -4A 2 C,.,,(R) 11-1 P 1 [5.4.21]
2AC,.,,(R) 11-1  A II l'
2 C,.,,(R) -
ovvero:
D(t) I-v'1-4A 2 C,.,,(R)II-1 p Kp [5.4.22]
2AC,.,,(R) 11-1
se K e opportuno (dipendente da R e  1).
Se p e Po<R tale che:
2Kpo < (2Ac,.,,(R) 11-1 )-1
e chiaro che, "tJw, Iwl  p, si ha:
[5.4.23]
D(O)p.
[5.4.24]
Dunque per t=O vale la [5.4.22]: e aHora vale per ogni tO essendo tD(t), tO,
continua in t e valendo Ie [5.4.23]). Dunque se wE U po si avra:
D(t)Klwl.
[5.4.25]
Questa relazione mostra la stabilita di O.
Per mostrare l'attrattivita si pub sfruttare l'autonomia dell'equazione [5.3.1] e

354
Capitolo quinto
far vedere che esiste un istante to >0 e P >0 tali che, se Iwl <:: p <Po:
1
ISt(w)I<::T\w\ Vtto.
[5.4.26]
E' allora chiaro, per l'autonomia della [5.3.1], che:
IS t (w)I<::2- n lw\ Vtnto
[5.4.27]
come si vede iterando la [5.4.26] e quindi:
t
to
ISt(w)\ <::22 \wl Vtto
[5.4.28]
che dimostra che l'origine attrae i punti di Up con velocita esponenziale.
Dimostriamo dunque la [5.4.26].
La prima delle [5.4.19] implica, insieme con la [5.4.22], se \wl<:: p <Po<R:
IS t (w)l::;;;;e- IIt Alwl+  CIl(R)K2IwI2 [5.4.29]
e, aHara, se p e tale che  CIl(R) K 2 P <  (ad esempio) la [5.4.29] implica:
I St( W)I::;;;; -lit A +  ) Iwl [5.4.30]
1 log 4A
e la [5.4.26] si ottiene scegliendo to tale che Ae- l1to =4' t o = v
La dimostrazione dell'affermazione relativa all'instabilita viene lasciata come
esercizio per illettore.
mbe
Osservazione. La parte finale di questa dimostrazione contiene un'idea estrema-
mente interessante: fa vedere come si possa ottenere, sfruttando l'autonomia di
un'equazione differenziale, un'informazione per t  + 00 da informazioni per t piccolo.
Quest'idea gioca un molo fondamentale nella dimostrazione del teorema del pa-
ragrafo 5.6, punta centrale di questo capitolo.
Esercizio
Se Re Ai < 0, i = 1, 2, ..., d, ewE Up (nelle notazioni dell'ultima parte della di-
mostrazione della proposizione VI), si ponga:
t
+00 
II w lll=fISt(w)1 2 2 °dt
o
e si dimostri che IIwll L definisce una funzione in U che ha la proprieta:
t
2t o
IIStwllL < 2 IIW\\L
("metrica" 0 "funzione di Liapunov" della [5.3.1]).

355
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
5.5 Applicazione at giroscopio. Punti stazionari vagamente attrattivi
Nel caso [5.1.18] e facile calcolare la matrice di stabilita L relativa alIa soluzio-
ne stazionaria w:
L=
A
-W3
a-At-A2W
o
o
o
-AI-3A2W
[5.5.1]
i cui autovalori It, 1 2 , 13 (per distinguerli dalle costanti di attrito At, A2 in [5.5.1]
Ii denotiamo con caratteri latini) sono:
11 = (a - AI- A2 w) + i W3,
1 2 =1 1 ,
13=-AI-3A2W.
[5.5.2]
Vediamo dunque che w e stabile e attrattivo non solo se a < At, come gia visto ai
paragrafi 5.2 e 5.3, ma anche se a  Ale Q < Al + A2 W . L' attrattivita di w e in
questo intervallo di variabilita di a esponenziale in un intorno di w : 'Vt  to:
t
ISt(w)-wl22 to Iw-wol [5.5.3]
se Iw - wi e abbastanza piccolo, e to > 0 dipende solo dai parametri della matrice
L (vedi 9 5.4) ed e stimabile come inversamente proporzionale a (AI + A2 w -Q).
Una discussione identica a quella svolta nel caso a < Al mostra che [5.5.3] im-
plica che ogni mota del giroscopio che e associato alIa evoluzione t-+St(w), della
velocita angolare nel riferimento solidale, tende asintoticamente a confondersi con
una rotazione unifonne attorno all'asse ;3 che si mantiene fisso nello spazio.
La differenza fra il caso Q < Al e quello Al  a < Al + A2 w sta nel fatto che,
ora, non si puo gar ant ire che w sia un attrattore glob ale per [5.1.13], cioe con ba-
cino di attrazione R d : il criterio di Liapunov ha invero carattere locale e pub solo
portare a riconoscere la stabilita 0 attrattivita 0 instabilita locali.
La questione della grandezza del bacino di attrazione di w richiederebbe una ulte-
riore analisi per la quale non ci si potrebbe avvalere direttamente di risultati generali
come il criterio di Liapunov. Non approfondiremo il non facile problema.
Per a> Al + A2 w il mota w non e piu stabile, per la seconda parte della pro-
posizione VI (p. 350).
Ci proponiamo aHora il problema di vedere cosa accade ad un mota che segue
un dato iniziale w leggermente diverso da w per Q > Al + A2 w = Qc, almeno per
(Q - a c ) piccolo. La prima questione che ci si puo porre e se per Q di poco supe-
riore a
QC=Al + A2W
[5.5.4]
il mota si discosta molto, 0 no, dal mota con w = w. Questa domanda conduce
naturalmente alla seguente definizione fondamentale di "vaga attrattivita":

356
Capitolo quinto
6 Definizione Sia (x, ex) -+ [(x, ex) una funzione di classe Coo{R d X R) a valori in
R d tale che Ie equazioni differenziali:
x = [(x, ex)
[5.5.5]
parametrizzate da ex, siano normali VexE R e, inoltre, ammettano una soluzione
stazionaria xo:
[ (x 0, ex) = O.
[5.5.6]
Diremo che x 0 e "vagamente attrattivo", per ex intorno ad Q.c, se esiste Eo> 0 tale che:
i) esiste un intorno U di Xo invariante per Ie evoluzioni S/Q), associate alia
[ 5 .5 .5], per ex E ( Q.c - Eo, ex c + Eo):
S/Q)UC U Vt  0, VexE (exc-Eo, Q.c + Eo), [5.5.7]
ii) dato 0 >0 e l'intorno r{o), quadrato e di centro xo e lato 20, esistono nu-
meri to >0, Eo >0, Eo <Eo, Po >CJ tali che Po  0 e:
oo
S/Q)uc reo)
s/Q)r(o) c r( Po)
V t  to; Vex E ( Q.c - € 0, Q.c + € 5 ).
V t  0; V Q. E ( Q.c - Eo, Q.c + € 0 ) .
[5.5.8]
per ogni 0 abbastanza piccolo.
Osservazioni
1) Se in ex c la matrice di stabilita ha tutti gli autovalori con parte reale < 0, e
chiaro che x 0 e vagamente attrattivo nell'intorno di a c .
2) In altri termini x 0 e vagamente attrattivo in un intorno di Q.c se esiste un in-
torno U che e bacino di attrazione per un attrattore contenente x 0 e con diame-
tro inferiore a una quantita prefissata 0, per tutti gli ex abbastanza vicini ad Q.c. Inol-
tre questo attrattore (contenuto in f(o)) "attrae uniformemente" i punti di U e ha
una "debole stabilita" secondo quanta espresso dalla prima e dalla seconda delle
[5.5.8], rispettivamente.
3) L'ipotesi che x 0 sia ex indipendente e solo apparentemente piu restrittiva di
quella piu naturale secondo la quale per ogni Q. esiste una soluzione stazionaria
x(Q) che dipende da Q. in modo regolare (COO): con un cambiamento di coordinate
ci si riporta sempre nella situazione in cui x(Q) = 0: percio e inutile porre la defi.
nizione in forma piu generale.
4) La condizione che reo) sia, al variare di 0, un quadrato di lato 20 pub essere
equivalentemente rimpiazzata dalla condizione che r(o) sia una famiglia di intorni
omotetici di diametro proporzionale a o.
La condizione (i) di invarianza di U e, in realta, conseguenza di (ii), ridefmendo
eventualmente Eo e U stesso.
Verifichiamo ora che w e vagamen te attrattivo per Ie traiettorie di [5.1.18] pen-

357
Sistemi dissipativi e siS1emi conservativi
sata come equazione differenziale parametrizzata da 0: nell'intorno di (Xc. Questo
non solo ci fornira un esempio interessante di punto stazionario vagamente attrat-
tivo, ma anche ci permettera di illustrare nel caso particolare della [5.1.18] un me-
todo assai nota e generale per la ricerca di insiemi invarianti per equazioni diffe-
renziali .
VII Proposizione Si consideri il semipiano delle variabili w = V wi + w ,
...
Z=W3 -W3.
In tale semipiano si consideri il cerchio C delle coppie (w, z) tali che:
w 2 + Z2 + 3W3Z =0.
[5.5.9]
Si.consideri il rettangolo U(a) (fig. 5.2) con centro nell'origine e lato orizzontale 2a
e verticale 2b con (a, -b)EaC, b<W3.
z
/
/
/
/
/
/
/
w
3 ..
--w
2 3
c
- 3W 3
Figura 5.2

358
Capitolo quinto
i) Se
(O:-O:c) a 2 -A2(a 2 +b 2 - 2W 3 b )<O
[5.5.10]
allora if rettangolo U(a) e invariante per Ie traiettorie di [5.1.18]: dunque U(a) e
invariante per 10: -O:c I abbastanza piccolo (si noti che [5.5.9] e (a, - b) E ac impli-
ca che if coefficiente di A2 in [5.5.1 0] e positivo).
ii) Se a' <a esistono € >0, tE>O tali che U(a') e U(a) sono invarianti per
[5.1.18] se IO:-O:cl <€ e ogni punto di U(a) evolve entrando in U(a') dopo, al piu,
un tempo t E .
Quindi w e vagamente attrattivo, per [5.1.18], nell'intomo di O:c.
Dimostrazione. La [5.1.18] si scrive in tennini delle variabili WI, W2 e z = W3 - W3
e ponendo w2=wi+w (in [5.1.18] w2=wi+w+w e non deve confondersi
2 2 2
con W =Wl +W2):
WI = (0: -O:c) WI - W2 (W3 + z) - A2 (w 2 + Z2 + 2W3Z) WI
W2 = WI (W3 + z)+ (0: -O:c) W2 - A2 (w 2 + Z2 + 2W3Z) W2
z= -(AI + 3A2W;) Z -A2(W 2 +Z2) W3 - A2(W 2 +Z2 + 2W3Z)Z.
[ 5.5.11 ]
Moltiplicando Ie prime due equazioni per WI e W2 e la terza per Z e poi somman-
do Ie prime due otteniamo Ie due seguenti equazioni:
 W2= ( 0:-0: ) W2-A ( W2+Z2+2w Z ) W2
2 dt c 2 3
 Z2=- ( A +3A W 2 ) Z2_A ( W2+Z2+2w Z ) Z2-
2 dt 1 2 3 2 3
-X 2 (W 2 +Z2) W3 Z .
Riscriviamo il secondo membro di [5.5.13] come:
[ 5.5.12 ]
[5.5.13]
1 dz 2 _ '\ 2 '\ ,,2 2 '\ ( 2' 2 + " ) ( " ) [5 5 1 ]
2 ctt--l\lZ -1\2 W 3 Z -1\2 W;-Z 2W3Z. W3+ Z Z, . .4
che mostra che dd t Z2 <0 se z >0 0 se (w, z) e all'intemo del cerchio C';
W 2 +Z2 + 2W 3 Z =O.
[5.5.15]
eseZ>-W3.
La [5.5.12] mostra che 2 < 0 fuori del cerchio concentrico con [5.5 .15] e
di raggio:
 0: -0: ) 112
"2 + c
W3 A2
[5.5.16]
(e, se O:-O:c>O, il cerchio tratteggiato nella fig. 5.3).
Si noti ora che il secondo membro di [5.5.14] PUQ essere maggiorato da:

359
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
z
- 2W 3
w
c
- 3W 3
Figura 5.3
- AIZ2 - A2 WZ2 - A2 (w 2 + Z2 + 2W3Z) W3 Z =
2 " ( 2 2 " )
=-AIZ -A2W3Z W +Z +3W3Z
se w 2 + Z 2 + 2w 3Z  0 e, quindi, Zt2 < 0 en tro I'in tersezione fra tu tto i1 cerchio C
aperto di raggio  W3 e U(cx).
Dunque 2 < 0 sui lati orizzontali inferiore e superiore di U(a).
II secondo membro di [5.5.12] ha, sulla retta verticale w = a, Z  - b il massimo
in (a, - b) e quindi suI lato verticale destro del parallelepipedo U (a) vale la : t w 2 < 0,
se [5.5.10] e verificata (si noti che (a 2 + b 2 - 2W3b) > 0 perche (a, - b) e fuori del
cerchio [5.5.15]).
[5.5.17]

360
Capitolo qu into
dw 2
Infine sulla retta W = 0 si ha dt = O. E' allora chiaro che U(a) e invariante:
conviene pero dimostrarlo esplicitamente per avere occasione di esporre alcuni in-
teressanti criteri di invarianza; vedi proposizione VIII e IX prossime, che illettore
dovrebbe esaminare prima della conclusione della dimostrazione della VII esposta
qui di seguito.
Sia, infatti, r(a) il cilindro retto, centrato nell'origine di R 3 e diretto secondo
l'asse z, imma gine nello spazio (WI, W2, z) del rettangolo U(a): r(a)={(wI' W2,
z)l v wi + W <: a, Izi < b}.
Se (WI, W2, z)Ear(a) consideriamo l'insieme delle normali esterne a r(a) in
(w 1, W2, z) e denotiamo n ( W}, W2, z) una di esse (unica tranne che nei punti
estremi delle basi di r(a)).
Chiamiamo 'P la funzione a valori in R 3 , definita su R 3 (e di classe COO) dal se-
condo membro di [5.5.11].
E' un facile esercizio far vedere che Ie precedenti considerazioni implicano che
esiste una funzione continua a -+ C (a) di a E R+ tale che:
.p(Wt, W2, z) .n(wI' W2, z)<:-C(a)<O
[5.5.18]
V(WI, W2, z)E ar(a) e "tJn(wl, W2, z) nel fascio delle normali esterne a r(a) in
(WI, W2, z), purche la-acl sia abbastanza piccolo.
Si puo anche definire in un intorno dell'origine di R 3 una funzione V Ie cui su-
perfici V(Wb W2, z)=a siano proprio i cilindri ar(a): basta porre V(Wb W2, z)
uguale all'ascissa dell'inter sezione c on la parte superiore di ac di una retta oriz-
zontale 0 verticale per ( v' wi + w , -Izl): la scelta essendo fatta a secondo che
tale punta sia interno 0 esterno a C.
E' chiaro che V e di classe Coo tranne che sulle superfici della sfera w; + w +
+ Z2 + 3W3 Z = 0 e della sua riflessa rispetto al piano W b W2: il gradiente di V e,
in ogni punta non singolare di ar(a), la normale esterna a r(a). Le affermazioni
della proposizione VII allora seguono dalle due seguenti proposizioni, e relative os-
servazioni, la cui dimostrazione non e inglobata nella dimostrazione della proposi-
zione VII, perche di interesse autonomo:
VIII Proposizione Sia UC R d un insieme aperto con frontiera au regolare (di
classe C(k>, k 1). Allora U e invariante per [5.3.1] se, detta n(x) la normale ester-
na a U in xEaU, si ha:
f(x). n(x) <0.
[ 5 .5 .19 ]
La dimostrazione di questa proposizione e essenzialmente la stessa della prima par-
te della seguente proposizione:
IX Proposizione Sia VEC(I)(R d ) e sia U(Jl) l'insieme dei punti xE R d tali che

361
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
V(x) < J1, J1 E R. Se:
av
ax (x).f(x)<o VxEaU(/1)
[5.5.20]
l'insieme U( /1) e invariante per [5.3.1].
Se:
av
sup a (x) .f(x) = -C<O
v (x) E ( IJ l' IJ 2 ) X
[ 5.5 .21]
e se /1' < /1", [/1', /1"] C (J11, J12), si ha:
St lJ ( J1") C U( /1')
V t > ( /1" - /1' )/C.
[5.5.22]
Osservazioni
i) Questa proposizione non e direttamente applicabile alla proposizione VII perche
la funzione V ivi costruita non e di classe C (1): illettore potra, per esercizio, adattare
la seguente dimostrazione della proposizione IX al caso in cui V e C (1) "a tratti" e in
1 uo go di [5.5.20], [5.5.21] valgono 1 e analoghe relazio ni, in cui al post 0 di : (x)
si pongano Ie normali del fascio di normali esterne a U (V(x)) in x. Sara non diffi-
cile far vedere che il caso cui si e pervenuti nel corso della dimostrazione della pro-
posizione VII rientra in questa teoria piu generale.
ii) Alternativamente si possono "smussare" gli spigoli dei cilindri rea), della pro-
"""'"'
posizione VII, costruendo insiemi rea) che sono superfici equipotenziali di una fun-
zione V di classe C( 1) (0 addirittura COO), "quasi singolare" nelle vicinanze degli spi-
goli di r, e verificante [5.5.20], [5.5.21]: questo e possibile per la [5.5.18], eviden-
temente.
Dimostrazione. Sia x E U( /1") e t  x(t) sia i1 mota seguente it dato iniziale x
secondo la [5.3.1]).
Sia t = estremo inferiore alI'insieme dei numeri T > 0 tali che, comunque si scel-
ga e>O, esiste tE(r, r+e) per cui x(t) U(/1").
E' chiaro che, poiche U( /1) e aperto, t > O.
Se t < + 00 si dovnl avere V(x(t)) = /1" perche V e continua. Ma:
d av
dt V(x(t)) = ax (x (t)) . f(x(t))
[5.5.23]
e quindi dd t V(x(t» < 0 se t = t, per la [5.5.20]: questo significa che, in un intor-
no destro di t, V(x (t)) < /1": quindi t = + 00.
Per dimostrare la seconda parte si suppoga che esista in U( /1") un punta x ta-

362
Capitolo quinto
r " , )
Ie che x(t) fF U( /1'), VtE L O , /1 ; /1 + € =/E con € > ° cioe un punto x tale che
V(x(t))Il', 'VtEI€: per tale mota la [5.5.23] e [5.5.21] dicono aHora che
d vx (t)) :e;;; _ C, Vt E / E, e q uindi I'ipotesi faHa e assurda (nfatti seguirebbe che
t " ' ) \
" , J.1 - J.1
V(x (t))  J.1 - Ct < J.1, per t> C . mbe
Osservazioni
1) L' intepretazione geometrica della [5.3.1] e la seguente: in ogni punta wE R d
si disegni il vettore [(w): si pensi cioe la funzione f che definisce [5.3.1] come un
"campo vettoriale" in Rd. Una soluzione di [5.3.1] e associata a una curva in R d
che in ogni suo punta e tangente al vettore del campo vettoriale in quel punto;
questa curva e percorsa dalla soluzione di [5.3.1] net verso indicato dal campo
vettoriale e con velocita in ogni punta uguale al modulo del campo vettoriale in
quel punta (fig. 5.4).
La prima delle proposizioni sull'invarianza (la VIII) ha la seguente interpreta-
zione geometrica che la rende evidente (fig. 5.5).
La seconda figura (fig. 5.6) illustra la prima osselVazione alla proposizione IX.
" " " "
I " " " I I
I I " " " I I
 I I I " " " " I I I
I I I " " " I I I
I
I I " " " " " I I
I I " " " " " I I
I " " " " -' " I
, I I " " " -' "
W I " " -' "
Figura 5.4 Aleuni vettori di un campo vettoriale e una eurva tangente.

363
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
au
Figura 5.5
Stru ttura del campo vettoriale alia fron tiera di U (proposizione VIII).
2) E' utile dare una rappresentazione geometrica della struttura del campo vet-
toriale nell'intorno di un punto vagamente attrattivo (figg. 5.7 e 5.8), a> ac.
Per esercizio illettore disegni rappresentazioni in cui I' origine perde stabilita in
due direzioni reali, in ac. Le figure 5.7 e 5.8 fanno immediatamente pensare che
nell'intorno di un punto yagamente attrattivo si dovrebbero, di soli to, ere are due
punti fissi (caso della fig. 5.7) e un'orbita periodica (caso della fig. 5.8) se la sta-
bilita e perduta, in a c , in una direzione reale 0 in due direzioni complesse. E' so-
stanzialmente questo it contenuto del teorema di biforcazione di Hopf combinato
con il teorema della varieta attrattiva di Hadamard e Perron (validi sotto alcune
ipotesi tecniche aggiuntive di regolarita).
Concludiamo questo paragrafo enunciando un semplice criterio di attrattivita
vaga.
Supponiamo che l'equazione [5.5.5] abbia, nel punta stazionario Xa, una matri-
ce di stabilita L Q con autovettori v ( 1)Q,..., v(d)Q e rispettivi autovalori Al(a),...,
Ad(a) a due a due distinti (per semplicita) al variare di a in un intorno (a c -€,
ac + €) C R. Supponiamo che esistano va e v, va > v, tali che:
Re Al (a), ..., Re Ar( a)  - v
Re A r + 1 (a), ..., Re Ad(a)  - va
[5.5.24]
Dato aE (a c -€, a c + €) e allora possibile eseguire un cambiamento di coordinate
Y=Xa + RQx, ove R Q e una matrice d Xd di classe Coo in a (per la [5.5.24]), in

364
Capitolo quinto
Figura 5.6 Illustrazione della prima osselVazione alia proposizione IX.
modo che il piano Yr+ 1 = ... = Y d = 0 coincida con il piano reale in R d sotteso dai
vettori v(t)Q, ..., o(r)Q.
Posto y(1)=(yt, ..., y,) e y(2)=(Yr+b ..., Yd) l'equazione [5.5.5] diviene nelle
nuove coordinate:
j(1)=Li 1 )y(1)+N 1 (y(l), y(2), a)
y(2)=L2)y(2)+N2(y(t), y(2), 0:)
[5.5.25]
ove Nt e N 2 sono due funzioni di cia sse Coosu RrXRd-rX(o:c-€, O:c+ e ) a valori
. R r R d - r. . ( t) ( 2 ) d . .
m e nspettlvamente mentre L Q , L Q sono ue matrlcl rXr e (d-r)X
X (d -r) rispettivamente. Con questa notazione vale la
X Proposizione Si suppongano Ie [5.5.24] e:
i) esiste C> 0 tale che

365
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
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Figura 5.7
In Qc l'origine perde stabilita in una direzione reale. I vettori sono orien tati "dall'esterno verso
l'interno". La loro lunghezza e in scala (arbitraria).
y(l). Nt + y(2). N 2 < -C(\y(1)\2 + \y(2)\2)2;
y(l). Ll) y(l)O
y(2). L2) y(2) -C\y(2)\2
Va E ( (Xc - €, (Xc + €):
VaE(a c -€, a c ]
VaE(a c -€, a c + €)
ii) per a E ( a c - €, a c ]:
Re Xi(a)O, 'fi= 1, 2, ..., r.
Allora Xo e vagamente attrattivo in un intorno di a c .
[5.5.27]
Osservazioni
1) Questo criterio e adatto nei casi in cui gli intorni U invarianti di x 0, la cui
esistenza e richiesta dalla definizione di vaga attrattivita (vedi definizione 6, (ii))
possono essere scelti sferici.

366
Capitolo qu into
Figura 5.8
In ac l'origine perde stabilita in due direzioni eomplesse. Sono solo disegnate aleune curve
tangenti al campo ("traiettorie del campo").
Abbiamo visto nella proposizione VII che questo non e il caso, ad esempio, del-
la [5.1.18] e del punta w.
2) Pero il precedente criterio si puo adattare (opportunamente cambiando la
[5.5.26] 0 scegliendo altre coordinate) a intorni di forma piu bizzarra: la dimostra-
zione della proposizione VII potrebbe rifarsi a un criterio generale di vaga attrat-
tivita di questo tipo. Per esercizio it lettore dimostri it criterio precedente e cerchi
di adattarlo a caSl in cui gli intorni U la cui esistenza e richiesta dalla definizione
di vaga attrattivita siano non necessariamente sferici.
3) II criterio espresso dalle [5.5.26t [5.5.27] implica la vaga attrattivita, perche
implica che it campo vettoriale e, per [5.5.26], attrattivo verso l' origine nell'intor-
no di (Xc per quel che riguarda la parte non line are mentre, per [5.5.27], la repul-
sivita (se presente) della parte lineare e piccola nell'intorno di (Xc. Questo infatti e
un altro modo per visualizzare il significato della vaga attrattivita (vedi anche i pro-
blemi alla fine di questo paragraf 0 e del  5.7).

367
Sistemi dissipativi e sistBmi conservativi
4) E' infine utile notare come it passaggio da [5.5.11] a [5.5.12] suggerisca la
considerazione del sistema di equazioni in w 2 e z:
1 dw 2
- = ( a-a ) W2_X ( w 2 +Z2 +2w Z ) W2
2 dt c 2 3
; = -(Ai + 3A2 W3) Z - A2(W 2 + Z2) W3 - A2(W 2 + Z2 + 2W3Z) Z
[5.5.28].
che PUQ essere utile per discutere la [5.5.18] ed e costituito dalla terza delle [5.5.11]
e dalla [5.5.12], cioe e una conseguenza di [5.1.18] e coinvolge due sole variabili,
w 2 e z. E' questo un caso fortunato in cui si PUQ abbassare it grado dell'equazio-
ne grazie aIle simmetrie insite nella [5.1.18] fra WI e W2.
Non sarebbe possibile, questo artifizio, in modo COSt algebrico per it sistema:
. (  '\ ' 2 '\ " 2 '\ 2 ) +
WI=- 1\1+1\1 W I+1\1 W 2+1\2 W 3 WI aWt-W2w3
W2 = -(};1 + xwi + X;w + X 2 w;) W2 + aW2 + W2 W 3
W3 = -(XI + X;w + X; w + X 2 w;) W3 + R.
[5.5.29]
pur essendo possibile svolgere una teoria in tutto simile a quella svolta per la
[5.1.18] per studiare la stabilita e vaga attrattivita di w neIl'intorno di a c nel caso,
I'"ttJ
ad esempio, X; > X;  X 2 , Xl = Xt, che illettore potra svolgere per esercizio.
s.s Schemi di problemi e complementi
1. Nelle ipotesi della proposizione X e supponendo anche - Xk(a:) + Xi (ex) +
+Aj(a)*O, 'Vi, j, k, 'VaE(ac-e, a:c+e), far vedere che non e restrittivo supporre
che la funzione N abbia uno zero del terzo ordine in Xo. (Idea: con un cambiamen-
I
to d.i coordinate Yi=zi + .  0ijkZj Zk non lineare si pub trasformare la [5.5.25]
I, k=l
in un'equazione priva dei termini quadratici.)
2. Usando (1) e l'idea della dimostrazione della proposizione X dimostrare che
e possibile formulare un criterio sufficiente di debole attrattivita che coinvolga la
verifica di proprieta delle derivate prime, seconde e terze di {(x, ex) in x = Xo (cioe
la verifica di un numero finito di disuguaglianze algebriche fra un numero finito di
numeri) .
3. Si sostituiscano i prodotti scalari e i quadrati dei vettori in [5.5.26] con Ie
corrispondenti espressioni associate a due prodotti scalari arbitrari in R r e R d - r ri-
spettivamente. Si faccia vedere che la forma modificata della proposizione X che
cosi si ottiene e ancora vera.
4. Si faccia vedere che la forma modificata della proposizione X ottenuta richie-

368
Capitolo quinto
dendo 1a validita delle [5.5.26] solo in un intorno (a-indipendente) dell'origine e
ancora vera.
s. Si svo1ga l'esercizio suggerito dopo la [5.5.29].
6. Sia x = f(x) una equazione differenziale con {(O)  0 e con matrice di Lyapu-
nov con autovalori nel semipiano Re z  O. Si supponga che alcuni di questi autova-
lori abbiano parte reale nulla. Si consideri poi l'equazione x = f(x) + ax e si trovi
qualche condizione sufficiente su f affinche, per questa nuova equazione, l'origine
sia vagamente attrattiva nell'intorno di a c = O.
5.6 ProprietS dei punti stazionari vagamente attrattivi. n teorema della varletS
attrattiva
Ogni cinque anni, se non piu spesso, qualcuno "scopre" il
teorema di Hadamard e Perron, dimostrando10 0 come Ha-
damard 0 come Perron. Anosov
II mota w di [5.1.18], pensata come una famiglia di equazioni differenziali pa-
rametrizzate da un parametro a e, cOIne abbiamo visto nei precedenti paragrafi,
vagamente attrattivo nell'intorno di ac (vedi proposizione VII, p. 357). Dunque
il mota tSt(w), t  0, di un dato iniziale w abbastanza vicino a w continua
a non discostarsi eccessivamente da w almeno se Q e abbastanza vicino ad C1c,
sebbene w sia instabile. Vedremo che w non solo e instabile ma non PUD neppure
essere un attrattore e, dunque, i moti che si svolgono parten do nelle vicinanze di
w, pur restando in quella zona, non possono in generale avere un comportamento
asintotico, per t + 00, consistente in St(w) w.
Nell'approssimazione lineare, in cui il secondo membro di [5.1.18] viene sosti-
tuito dalla funzione x  LCJ.x, ove LCJ. e la mat rice di stabilita [5.5.1] di [5.1.18] at-
torno a w, il moto e assai semplice e W3  W3 con velocita esponenziale (exp - Alt)
mentre wi + w cresce con velocita esponenziale (exp(Q-Qc) t).
L'approssimazione lineare e sicuramente scorretta non appena wi + w diviene
grande appunto perche w e vagamente attrattivo (vedi osservazione 3 alla propo-
sizione X, p. 364). Perb si pub sperare che rimanga un ricordo, anche nel mota es-
senzialmente non lineare governato da [5.1.18] 0 [5.5.28], del fatto che w ha "per-
so stabilita" solo in due direzioni; e cioe per quel che riguarda Ie componenti del
mota nel piano, W3 = 0, generato dagli autovettori vel) e V(2) della matrice di sta-
bilita di w. Possiamo allora pensare che il mota seguente a un dato iniziale vicino
ad w si svolga essenzialmente su una superficie 2-dimensionale e, cioe, che asinto-
ticamente la terza componente W3(t) tenda a divenire una funzione 'P(WI (t),
W2(t)) delle prime ue.
Piu in generale possiamo immaginare di trovarci nella situazione seguente (alla
quale si riferira la prossima proposizione XI).

369
SistBmi dissipativi e sistemi conservativi
Sia (X, a)  f(x, a) una funzione di classe COO(R d X R) a valori in R d tale che Ie
equazioni differenziali in R d
x=f(x, a)
[5.6.1]
parametrizzate da a, siano normali per ogni a e, inoltre, abbiamo in x =xo una so-
luzione stazionaria per ogni a:
f(xo, a)=O.
[5.6.2]
Denoteremo La la matrice di stabilita di Xo e supporremo che esista a c E R tale che,
per a<a c , tutti gli autovalori Al (a), ..., Ad(a) di La hanno parte reale negativa;
mentre per a E (a c - ao, a c + ao ), ao > 0, solo d - r autovalori hanno parte reale mi-
nore 0 uguale di - Vo < 0 mentre gli altri hanno parte reale maggiore 0 uuale di
-v>-vo, (-v non e necessariamente nullo).
Siano v( I) a, ..., V(d) a d autovettori indipende nt i di La relativi agli autovalori
Al (a), ..., Ad(a) di La che, per semplicita, supporremo due a due diversi. Suppor-
remo anche, per semplificare la notazione e senza reale perdita di generalita, che il
piano reale generato dai vettori v( 1), ..., v(r) coincida con it piano Xr+ I = ... = xd = 0,
almeno per aE(ac-ao, ac+ao) (ove questo non fosse vero ci si potrebbe portare
in questa situazione a mezzo di un cambiamento di coordinate).
Infine supponiamo che Xo sia vagamente attrattivo per [5.6.1] nell'intorno di a c
e denotiamo:
U, r(5)
[5.6.3]
un sistema di intorni, associati per aE(ac-ao, ac+ao), a Xo, la cui esistenza e ga-
rantita dalla definizione di vaga attrattivita (vedi definizione 6,  5.5) che ne de-
scrive anche Ie proprieta salienti.
Per quanto visto, 0 lasciato come esercizio nei paragrafi precedenti (vedi proposi-
zione VII, p. 357), la situazione ora descritta si presenta per la [5.1.18] (0 Ie [5.5.28]
e la [5.5.29]) pensata come famiglia di equazioni differenziali parametrizzate da a.
Enunceremo ora una proposizione che da una risposta positiva alIa congettura,
prima adombrata, che, dato a>a c e sufficientemente vicino ad a c , un mota qual-
siasi di [5.6.1] che inizia sufficientemente vicino a Xo si mantiene in un suo intor-
no (poiche Xo e vagamente attrattivo) e, inoltre, PUQ essere, asintoticamente per
t  + 00, pensato come svolgentesi su una superficie U a invariante, cioe tale che
S/a) uaC U a (se S/a)(w) denota la soluzione di [5.6.1], tO, con dato iniziale w).
Tale superficie risultera avere dimensione r e sara tangente "all'iperpiano di in-
stabilita", X r + I = ... = Xd = 0; sara, inoltre, un attrattore per i moti che hanno inizio
in U e la velocita di attrazione sara esponenziale e, grosso modo, sara misurata dal
parametro -v= max Re Ai, come nel caso lineare: d(St(a)(w), U a )  exp(-vt).
i=r+l,...,d
La superficie U a sara, in generale, non unica, perche, come vedremo nei prossimi
paragrafi, potra essa stessa contenere altri attrattori: e, ovviamente, se Aa e un at-
trattore minimale in U a che e anche attrattore con bacino d'attrazione U, allora

370
Capitolo quinto
ogni ipersuperficie invariante a' CUche contiene Aex e un attrattore in U (vedi eser-
cizi alla fine del paragrafo).
Infine Ie superfici a ex potranno essere descritte, all'interno del cubo r(xo, 8) con
centro Xo e lato 8, da d-r funzioni su R'XR, di prefissata regolarita C(k), k=O,
1,..., a mezzo delle:
_ ('+1) ( )
X,+ 1 - I.{) XI, ..., X r ,
..., Xd = I.{)(d )(x 1, ..., X, a)
[5.6.4]
se 8 e abbastanza piccolo e a abbastanza vicino ad a c (quanto piccolo e quanta vi-
cino potni dipendere anche dal valore scelto per k).
L'interesse di quanto ora descritto e chiaro: in un intorno di un attrattore va-
go si potra, al fine di studiare il comportamento asintotico per t  + 00 di alcune
proprieta dei moti che hanno origine vicino ad un punta stazionario vagamente at-
trattivo, ridurre Ie d equazioni [5.6.1] alle r equazioni,j=l, 2,..., r:
. . - f (j) ( (,+ 1) ( ) (d) { ) )
XI - X h..., X" 'f) X h ..., X" a , ..., 'f) X h ..., X" Q , ex
[5.6.5]
il che, specie se d e grande ere piccolo pub costituire una notevolissima riduzione.
Nel caso, poi, che sia r= 1 0 r= 2 questo risultato pub servire a dire che il pro-
blema della teoria del moto nell'intorno del punta vagamente attrattivo, del tipo
considerato, e un problema "unidimensionale" 0 "bidimensionale": in tali casi Ie
figure disegnate alIa fine del paragrafo 5.5 gia suggeriscono che si potra approfon-
dire la teoria del comportamento asintotico e i relativi risultati (vedi  5.7).
Nel caso della [5.1.18] vediamo che r = 2 (0, addirittura, r = 1 se si considerano
Ie [5.5.28]), e quindi Ie tre equazioni [5.1.18] si potranno ridurre, per a-a c pic-
colo e ai fini dello studio di alcune proprieta asintotiche, alle prime due equazioni
in cui si ponga:
W3='f)(W}, W2, a)+w3,
[5.6.6]
ove I.{) e una opportuna funzione di classe C (k), con k prefissato, tale che, se k  2,
esistono h 2, 3 EC(k-2) per cui:
I.{)(W., W2, a)=wil(W}' W2, a)+w2(W}' W2, ex) +
+WIW23(Wl, W2, a)
(che esprime la tangenza, in w, della superficie a ex al piano W3 = W3). Ad esempio
vedremo che questo fatto consentira di trovare un attrattore minimale in U per
ex> a c , e a - a c piccolo, per il quale U e un bacino d' attrazione normale e quindi
consentira una descrizione ab bastanza completa e dettagliata del comportamento
asintotico dei moti vicini a w.
Diamo ora un enunciato preciso del teorema valido nelle ipotesi descritte nel
testo compreso fra [5.6.1] e [5.6.3] impiegando, come gift detto, Ie notazioni Ii
introdotte.
[5.6.7]
XI Proposizione Doto kO intero e C>O esistono a+, 8,8 0 , v>O e (d-r)fun-

371
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
. . (r+l) (d) d o l C (k) d . ( + 1) . b . l . d ,I'; .
Zlonl 'P , ..., 'P I C asse I r vana I I X b..., X r , a eJlnlte per:
S
IXil2
i = 1, 2,..., r a E ( ao - a+, ao + a+)
[5.6.8]
tali che Ie superfici a 0( C R d descritte dalle [5.6.4] a mezzo di queste funzioni han-
no Ie proprieta:
i) "invarianza locale":
(0()
S t ( a 0( n r (S a )) C a 0( \f a E ( a c - a+, a c + a+), \f t  0
[5.6.9]
ii) "attrattivita locale": \fa E (a c - a+, a c + a+) esiste CO( tale che se wE U:
d(S/O()(w), aO()CO(e-vt \ftO [5.6.10]
iii) "tangenza"; \fa E (a c -a+, a c + a+):
1 (j) ( )1  ( 2 + + 2 ) 3/2
'P X}, ..., X r , a  Xl". X r
1'P(j)(x}, ..., X r , a)1 C(xi + ... + X;)
se k<2
se k  2
[5.6.11]
Osservazioni
1) Puo sorprendere illettore il fatto che, per la prima volta in questo libro, ap-
paia una proprieta importante considerata nella classe C (k) e non in C (00): la ragio-
ne e legata al problema, tuttora aperto, della possibilita (0 meno) che k nella pro-
posizione XI possa essere scelto + 00. Dalla dimostrazione risultera chiaro che per
ottenere un tale risultato, se vero, so no necessarie nuove idee.
2) Questa celebre proposizione e sostanzialmente i1 teorema di I-Iadamard e Perron,
a volte detto della "varieta invariante" 0 "attrattiva" 0 "tangente", che ha avuto fon-
damentale importanza nello sviluppo della teoria qualitativa delle equazioni differen-
ziali ed e stato intensamente studiato subendo molte estensioni e generalizzazioni,
banali talvolta e profonde talaltra.
3) La famiglia di superfiei aO( e in generale lungi dall'essere unica (vedi esercizi
alIa fine de 1 paragraf 0).
4) La lunghezza della dimostrazione e delle formule che vi appaiono puo seo-
raggiare ehiunque a intraprenderne la lettura: in realta i punti, A, B, C, D sono
solo passi di natura defmitoria e notazionale e in essi si sfrutta la proprieta di vaga
attrattivita. II primo sforzo teenieo appare in E, ehe e un'applieazione del teore-
ma delle funzioni implieite e serve solo, pero, per preeisare aleune proprieta del-
le superfiei a(1Tt) approssimanti, per t--++ oo , Ie superfici ehe rieerchiamo e che
sono defmite nei punti precedenti. II punto F eolleziona tutte Ie disuguaglianze
dei punti preeedenti per ottenere ulteriori proprieta delle superfici approssiman-
ti, "per tempi t piecolissimi", e, inoltre, contiene Ie due idee fondamentali del-
la dimostrazione: i) Ie stime per tempi piccolissimi sono possibili perche Va (mag-
giorazione del min - Re Ai, i=r + 1, ..., d), che misura l'attrattivita delle direzioni
i
stabili, e m01to piu grande delle altre quantita in gioco (ehe possono essere seelte

372
Capitolo qu into
infinitesime): cioe, per tempi piccoli, la "forte attrattivita delle direzioni stabili pre-
vale sulle deboli repulsivita di quelle instabili" e ii) Ie stime per tempi grandi, t  + 00,
si ottengono da quelle per tempi piccoli grazie all'autonomia dell'equazione diffe-
renziale. Questi due temi ricorrono poi in forma piu 0 menD scontata nei succes-
sivi punti G, H, I, L, M, N, che si rassomigliano tutti fra lara e, capitone uno, ap-
paiono assai naturali.
Ovviamente, la vaga attrattivita gioca un ruolo essenziale, che non e chiaro
dalle precedenti considerazioni: il lettore potra, a posteriori, constatare il ruolo di
tale proprieta che appare un po' ovunque.
Le formule sono spessa molto lunghe e, senz'altro, potrebbero essere semplifi-
cate e poste in forma piu compatta: tuttavia Ie abbiamo mantenute nella forma
nella quale vengono ottenute applicando Ie formule suggerite nel testo: cosi illet-
tore puo riconoscerne Ie varie parti e, soprattutto, la lara provenienza, e questo, a
mio avviso, rende in real ta piu chiara la dimostrazione.
Dimostrazione. 8 Daremo la dimostrazione di questa bella proposizione nel caso,
apparentemente particolare, in cui d=2 e r= 1 relativo all'equazione (in cui ac=O):
x=ax+P(x, z)
z=-voz+Q(x, z)
ove vo>O e P, Q sono due funzioni di classe C OO (R 2 ) con uno zero del secondo
ardine nell' origine, cioe:
[5.6.12]
2- - -
P(x, z)=x P1(x, Z)+Z 2 P 2 (X, z)+xzP 3 (x, z)
2- - -
Q(x, z)=x Ql(X, Z)+Z2Q2(X, Z)+XZQ3(X, z)
(vedi app. B).
La matrice di stab ilita di 0 E R 2 e:
[5.6.13]
L = ( a 0 )
Q( 0 - Vo
[5.6.14]
e, ovviamente, supporremo che Xo = 0 sia vagamente attrattivo nell'intorno di
ac=O.
II caso ora presentato sembra molto particolare; ma la sua trattazione costringe
ad affrontare tutte Ie difficolta del problema generale la cui analisi e una ripetizio-
ne di quella relativa a [5.6.12]: bastera, essenzialmente, pensare ovunque nelle for-
mule che seguono che x e z siano vettori are d - r componenti e a, V o siano ma-
trici, funzioni di un parametro a, a r X r e (d - r) X (d - r) elementi rispettivamente.
La prima sara una matrice con tutti gli autovalori aventi parte reale non inferiore
a -v > -vo, per aE(ac-ao, ac+ao), e la seconda con tutti gli autovalori aventi
8 Adattata da O. Lanford, Bifurcations of Periodic Solutions into Invariant Tori; vedi Bi-
bliografia.

373
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
parte reale non superiore a -vo<O per aE(ac-ao, ac+ao). E, inoltre, si dovra
pensare che P e Q dipendano anche da a.
E' questo un caso ancora apparentemente particolare, ma al quale ci si PUQ ri-
durre a mezzo di un opportuno cambiamento di coordinate. (Vedi esercizi del  5.6.)
La considerazione delle [5.6.12], dunque, nulla toglie alla difficolta reale del
problema e la preferiamo per evitare al lettore di essere distratto da difficolta fit-
tizie nella prima lettura di una dimostrazione tecnicamente complessa, anche se
piuttosto naturale nel suo svolgimento.
In seconda lettura illettore interessato non avra alcuna difficolta a interpretare,
mutatis mutandis, la dimostrazione come relativa al caso generale. (Vedi esercizi
del  5.6 per alcuni suggerimenti.)
Per facilitare l'analisi della dimostrazione l'abbiamo divisa in vari passi fonda-
mentali contraddistinti da lettere alfabetiche.
A) Considerazioni preliminari e problema equivalente (k=O)
Consideriamo dunque [5.6.12] e sia U e il bacino introdotto in [5.6.3], "di at-
trazione vaga" di xo=O, nell'intorno di ac=O.
Sia r( p) it quadrato di lato 2p e centro nell'origine di R2: wE r( p) se IWil  p,
i=I,2.
Scegliamo ora k = 0, i casi k > 0 saranno tratta ti alIa fine.
Scegliamo poi 8 < 1 e a+ E (0, o) , a+ < 8 e toE (0, 1) sufficientemente piccoli
perche vengano soddisfatte Ie disuguaglianze [5.6.41], [5.6.42], [5.6.43], [5.6.53],
[5.6.61], [5.6.76] che incontreremo in seguito e che e inutile elencare a priori qui
di seguito.
Senza perdita di generalita supporremo anche:
r(o)C u, S/o:)uc r(o) 'Vtto, VaE(-2a+, 2a+)
S/Q:)f(8 o )Cr (;) 't/tO, 't/aE(-2a+, 2a+)
[5.6.15]
per una opportuna scelta di 00 <0, 00 >0 (vedi definizione 6, (ii), p. 356).
Sia Xo una funzione di classe Coo che vale 1 su r (  ) e zero fuori di r ( ; 8\9
supporremo che Xli abbia la forma: ')
Xli (x, z) = X ( ' ) [5.6.16]
ove X vale 1 su r (  ) e 0 fuori di r (;).
Per l'ipotesi di attrattivita vaga di 0  fissato a E (2a+, 2a+) ogni moto che ha ori-
9 Vedi app. C.

374
Capitolo quinto
gine in U entra in r([)/2) in un tempo t6 fmito e ogni moto che ha origine in r([) 0)
non esce mai da r([)/2).
E' aHora chiaro che bastera dimostrare la proposizione per Ie equazioni:
x = X 6 (x, z) (ax + P(x, z)) = X 6 (x, z, a) [5.6.17)
Z = - Jlo z + X 6 (x, z) Q(x, z)= - Jloz + Z6 (x, z, a). [5.6.18]
Poiche XeS e nullo fuori di r (; 8). e chiaro che Ie soIuzioni t -+ S/OI., eS) ( w) di
[5.6.17], [5.6.18] con dato iniziale wE r([)) si mantengono in r(S): basta notare
che, al crescere di t:
S/0:,6)(x, z)=(x, ze- vot ) [5.6.19]
finche X 6 (x, z e - lIot) = o.
B) Alcune stime di derivate varle, necessarie per la dimostrazione
A vremo bisogno, nel corso della dimostrazione, di alcune proprieta delle solu-
zioni di [5.6.17], [5.6.18] pensata come equazione differenziale in r([)) dipenden-
te dai parametri a e [).
Queste pro prieta sono: esiste M> 1 e to >0 tali che per ogni t, It I  to, per ogni
a, 0lal2a+, per ogni [) 1 e per ogni i, j= 1,2 si ha,lo se al=O, a2=JlO
a(s/O:, b)(Wt, W2 ))j
-e- ajt [).. Mltl ( Ial + [) )
aWj IJ
[5.6.20]
a(s (0:, c5) ( ))
t a: 1 , W2 j M(8It1 8j1 + 8 2 1tl 2 8j2)
[5.6.21]
(0:, 6)
a(St (WI, W2 ))j --
at + aiWj M[)«lal + [)) Sit + <S l)i2)
[5.6.22]
ove Ie due componenti di S/o:, c5)(W) sono state denotate (St(0l,6)(W))i, i= 1,2.
Queste proprieta seguono facilmente da un' analisi della dimostrazione del teo-
rema di regolarita ( 2.4) e, salvo la [5.6.20] che viene dimostrata a titolo di esem-
pia nell'appendice H, vengono Iasciate come esercizio per illettore.
Avremo anche bisogno delle seguenti ovvie stime, che seguono immediatamente
dalle [5.6.17], [5.6.18]: se wEr([)), lal <2a+, < 1, i= 1,2:
aX c5 (w a) aX 6 (w a)
a' ";M(lal + [)); a' M[) [5.6.23]
Wi a
10 Qui e nel seguito di questa dimostrazione porremo a volte (x, z) = w, w = (w l' W 2) per
aeeorciare Ie formule.

375
Sil18mi di.ipativi . sistemi con.rvativi
aZ 5 (w, 0:)
a McS;
Wi
aZ 5 (w, 0:)
=0
30:
[5.6.24 ]
I Z 5(W, a)1 MlwI2;
IX c5 (w, a)1 M(lo:llwll + Iw1 2 )
[5.6.25]
ove M pub essere scelto uguale alIa stessa costante di [5.6.20], [5.6.21], [5.6.22J,
eventualmente modificando la precedente.
C) De[inizione delle superfici approssimate
Sia ora 1T una funzione di classe COO tale che 'ixE[-6, 6], 11T(X)Io. Interprcte-
remo questa funzione come defmente una superficie 0(11') C r(o) di equazioni pa-
rametriche
Z=lT(X),
XE[-O,o].
[5.6.26]
Supporremo inoltre che: 11
alT  _ r;- E [ I:' 1:' ]
ax ...-.:::: V 0, X - u, u .
AHora, per l'invarianza di r(o), l'insieme S/o:, c5)(a(lT)), tO, e contenuto in r(cS)
e, inoltre, come vedremo, e una superficie della forma o(lTt), ove 1Tt e una nuova
funzione che verifica [5.6.27].
E' allora naturale cercare di defmire la superficie che ricerchiamo come la su-
perficie a( 11'00) ove:
[5.6.27]
11'00= Hrn lTt
t+oo
[5.6.28]
se questo limite esiste: in questo caso si avra infatti, formalmente, S/Ot, 5)(a(1T00)) =
=a(lToo).
D) Dimostrazione che Ie superfici approssimate sono ben definite
Per prima cosa cercheremo ora un'espressione per lTt. Questa funzione dovrebbe
essere definita da
(0:,5)
(x, lTt(x))=St (Xo,1T(Xo))
[5.6.29]
ove Xo e un punta opportuno in [-0, 0] definito, appunto, dalla [5.6.29] che de-
ve essere pensata come un' equazione definente 11' t e x 0 in termini di x e 11'. Questa
equazione ha sicurarnente soluzione poiche:
S/o:, 5)(:1:0,11'(:1:5))=(:1:0,11'(:1:0) e-vot)
[5.6.30]
11 Questa seelta e piuttosto arbitraria, come risulteni dalla dimostrazione.

376
Capitolo quinto
che, per continuita, implica l'esistenza di una "funzione" A(x, t, a, 1T) tale che
l'ascissa di S/, eS) (A (x, t, a, 1T), 1T(A(x, t, a, 1T)) e proprio x, cioe tale che:
Xo =A(x, t, a, 1T)
[5.6.31]
e soluzione della prima delle due [5.6.29] e, quindi, 1Tt(x) e definibile per ogni
xE[-o, 0] come l'ordinata di St(,5)(xo, 1T(Xo)) con Xo dato da [5.6.31].
Non e chiaro, da questi argomenti, che la funzione A, e quindi 1T t, e unica: a
questo problema e dedicato it punta E.
E) Dimostrazione alternativa dell 'esistenza di 1T t, con stima delle sue derivate,
e prova dell'unicitti per t piccolo
Come gia notato l'argomento D non prova l'unicita di 1Tt ne, tantomeno, pennet-
te di stimarne la derivata in vista della verifica di [5.6.27]. E' in realta un argomen-
to superfluo che abbiamo introdotto per aiutare il lettore a visualizzare quel che
sta accadendo.
E' possibile dimostrare l'esistenza e l'unicita dell a funzione A e al tempo stesso
ottenere una stima delle derivate di A rispetto a x, t, a usando il teorema delle
funzioni implicite.
Per studiare A con questo metoda possiamo scrivere Ie [5.6.29] come:
t
x = Xo + J XeS (S;' eS) (xo, 1T(Xo), a) dr
o
t
1Tt(x) = 1T(Xo) e - lIot + J e - 110 (t - T) ZeS (S;' eS) (xo, 1T(Xo )), a) · dr
o
[5.6.32]
[5.6.33]
(vedi esercizi sulle equazioni lineari dei  2.2,2.3: si considerino Ie [5.6.17] e
[5.6.18] facendo finta che i termini in XeS e ZeS siano "noti").
La [5.6.32] sara scritta nella forma Grr(x, Xo, a, t)=O, ove:
t
J (, eS)
Grr(x, Xo, a, t) = Xo - x + XeS (ST (xo, 1T(Xo )), a) dr
o
[5.6.34]
e un1 funzione definita su tutto R 4 e ivi Coo che considereremo soprattutto per
Ixlo, IXolo, lal2a+. Considereremo la G1(x, Xo, a, t)=O come un'equazio-
ne per Xo parametrizzata da a, t e x, a 1T fisso.
Poiche i1 punta ( x, x, a , 0) e una soluzione dell'equazione in questione 'I x E [-0,
0], V a , I a l < 2a+ applichiamo i1 teorema delle funzioni implicite (app. F, propo-
sizione I, [F.IO], [F. 1 1]), per trovare un intomo quadrato di lato 2p( x, a ) di
( x, a , 0) in R 3 tale che, se
lx- x l, la- a i, Itlp( x, a )
[5.6.35]
aHora G1(x, Xo, a, t)=O ha un'unica soluzione come equazione in Xo E [-0,0].
Per dimostrare l' esistenza di p ( x, a ) occorre studiare la derivata:

377
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
aC lr
a (x, xo, a, t).
Xo
[5.6.36]
Dalla [5.6.34], usando [5.6.20], [5.6.23], [5.6.26], [5.6.27] si evince:
t (, eS) )
aC 1T _ _ J aXeS(ST (xo, 1T(Xo) ,a)
a (x, Xo, a, t) 1 - a dr 
Xo 0 Xo
[5.6.37]
8M(lal +0) (1 +Mltl (Ial +0)) Itl;
moitre:
aC lr
ax (x, x 0, a, t) = 1
aC lr I { axeS (, eS)
a (x, Xo, a, t) = J dr a (ST (xo, 1T(Xo )), a) ·
a 0 WI
a ( S (, eS) ( ( ))) ax
. T X 0, 1T X 0 I + eS (S (, eS) ( ( )) ) .
a a T xo, 1T Xo , a
a W2
(, eS)
aS T (Xo, 1T(Xo ))2 axeS ( eS) }
. aa + aa (ST' (xo, 1T(Xo )), a) 
 It I «Ial + 0) oltl M 2 + S21tl 2 M 2 (Iai + 0) + Mo)
e, infine:
[5.6.38]
[5.6.39]
aC 1T
at (x, Xo, a, t)  MS(S + lal),
[5.6.40]
valide tutte per lal <2a+, It I  to, lxi, IXol cS. Supporremo ora che a+ e S, to sia-
no stati scelti talmente piccoli che per I tl  to:
aC lr 1
axo (x, Xo, a, t) -1 < 10 M(2a+ + S) It I < T
[5.6.41]
aC lr 1
aa (x, Xo, a, t)  2MS It I < 10
[5.6.42]
aC 1T 1
at (x, Xo, a, t) MS(S+2a+)<1O
[5.6.43]
Allora, se I Q I < Q+ e I x I <  [j, i1 raggio p ( x, Q ) prima considerato pub, per i1 teo-
rema sulle funzioni implicite (vedi app. F, proposizione I) essere scelto:
min ( aClr
1 axo cS
p( x, a )= _ 6 cS ac  _ 13 [5.6.44]
11' aC lr aC lr
max + +
ax aa at
(per i terzi membri delle [5.6.41], [5.6.42], [5.6.43]), se i minimi e i massimi so-

378
Capitolo qu into
no considerati rispetto ai parametri t, a, x, x o. al loro variare in [ - to, to], [- 2a+,
2a +], [- 8, 8], [- 8, 8].
Questo dimostra 12 l'esistenza di A come funzione di x, a, t alloro variare in:
I xl :so; 0, II:SO; +, It I :so; t+ = min o. 1 )
[5.6.45]
e dimostra anche la possibilita di stimare Ie derivate di A come (vedi [5.6.41],
[5.6.42], [5.6.43], secondi termini), (vedi app. F, proposizione I):
aG 1T
ax (x, Xo, a, t)
-1  20M\tl . (2a+ + 8)
aG 1T
axo (x, Xo, a, t) [5.6.46]
aG 1T
aa (x, Xo, a, t)
3C.". :SO;4Mltio [5.6.47]
a (x, Xo, a, t)
Xo
aA
QX (x, t, a, 1l') - 1 -
aA
aa (x, t, a, 1l') -
aA
at (x, t, a, 7T)
aG 1T
at (x, Xo, a, t)
aG 1T
a (x, Xo, a, t)
Xo
2M8. (2a+ + 8)
[5.6.48]
valide per x, a, t nella regione [5.6.45].
E' import ante sottolineare che [5.6.46], [5.6.47], [5.6.48] sono state ottenute
12 L'applieazione del teorema delle funzioni implieite proeede nel modo seguente. Si sup-
2
ponga, per semplieita, t o >5 e si osselVi ehe per Ixl -5 il problema della determinazione di
3
A e banale in quanta tale e in questa regione l'equazione differenziale [5.6.17], [5.6.18] e si
haA(x, t,, 1T)=X. Si eonsidera POiXEr_5, 51, E(-+, +) e per [5.6.35], [5.6.44]
L 4 4 J 5 5
si PUQ risolvere, univoeamente, l'equazione per A nella regione lx-xl <-; I-I <-,
5 ( 3 3 ) 13 13
It I < -. Al variare di x, Q in - - 5, - 5 X (- +, Q+) tale regione parallelepipeda ricopre
13 4 4
almeno un intorno di [ - 2- 5, 2- 51 X [- +, +] X r_ ,  1, ad esempio. Per l'unicita di
3 3  [14 14J
A nei parallelepipedi e chiaro ehe Ie funzioni A eos! definite su ogni parallelepipedo coineido-
2
no laddove i parallelepipedi si sovrappongono e, inoltre, valgono x se x=:t - 5: quindi con questo
3
proeedimento si e eostruita una funzione continua, e derivabile almeno a tratti, nella regione
[5.6.45] e tale ehe G 1T (x, A(x, t, , 1T), 0:, t) == O. E' anehe immediato verifieare ehe A e deri-
va bile (e non solo tale a tratti), in virtu della sua derivabilita in ogni parallelepipedo e per Ie
proprieta di unieita di A nelle regioni in cui i parallelepipedi si sovrappongono. E' chiaro ehe
la seelta di 2+ come restrizione su II fu fatta in vista di questa applicazione del teorema del-
le funzioni implicite: a 2+ si sarcbbe potuto sostituire una qualsiasi eostante > C4 e dell'ordi-
3
ne stesso di + (ad esempio - +, si rieordi ehe + < 5). Se to < 5 l'argomento sopra deseritto
2
porta a sostituire 5/14 con t+= min to' 5/14.

379
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
indipendentemente da 11' purche:
11T(X)I8 e
a1T _ r;:-
aX (x )  v 8 .
[5.6.49]
Queste considerazioni mostrano che la funzione 11' t e ben definita, almeno per
lal < a+ e It I < t+, a mezzo di [5.6.29], [5.6.31].
L'unicitfl della funzione A, proveniente dalla sua costruzione (vedi nota prece-
dente), permette di concludere che 0(1Tt) e l'immagine di 0(11') per la trasformazio-
ne S/O!, 0) : S/O!, 0) 0(11') = 0( 1T t) (si osservi che, per }'invarianza di r(cS), si ha
S/O!, 0) 0(11') C r(cS)).
L'invarianza di r(8) per i moti generati da [5.6.17], [5.6.18] implica anche che
1Tt verifica la prima delle [5.6.49].
F) Dimostrazione della validita di [5.6.49] per 1Tt, o t t+
Questa verifica e di fondamentale importanza perche pennettera di definire 11' t
per ogni t  o.
I f . I S (O!, 0) ( ) ( ) E [0 ] ., .. all S (O!, 0) S (O!, 0)
n attl a t 0 11' =0 1Tt , t , t+, garantlra, lnSleme at. t' -
(O!, 0)
=St+t' , che segue dalla autonomia della [5.6.17], [5.6.18] (vedi  2.7), che se
tE [0, t+], t' E [0, t+], t + t' E [0, t+] e se 1Tt, 1Tt', 1Tt+t', verificano Ie [5.6.49] aHora:
( 1T t)t'= 1T t+t'.
[5.6.50]
Questa relazione permettera poi di definire univocamente 1Tt, 'Vt  0, dividendo I'in-
tervallo [0, t] in intervalli di ampiezza r< t+ e definendo poi, ricorsivamente:
11' t = ( 11' t - T) r = « 11' t - 2T) T) T ecc.
[5.6.51]
Questa definizione coincidera, naturalmente, con l'altra posta a mezzo della
(O!, 0)
St 0(1T)=0( 1T t), tO.
Verifichiamo dunque che, se 0  t t +, 11' t verifica la seconda delle [5.6.49] (Ia
prima, come si e notato, e ovvia). Ricorriamo, allo scopo, alla [5.6.33] in cui in
Iuogo di Xo si deve immaginare A(x, t, a, 11'); derivando membro a membro si trova:
a1Tt a1T ( ) aA -v t +  J t t -v ( t-r )
-= Xo - e 0  eo.
ax ax 0 ax i = 1 0
{ (O!, 0)
az o (Q,o) a(Sr (xo,1T(Xo)))i
. _ a (ST (xo, 1T(Xo)), a). a +
Wi Xo
+ a (s:Q, o)(xo, 1T(Xo)))i a1T ( )} aA (  d
a Xo a x,T,a,1T T
a1T(Xo) Xo x
con notazioni un po' abbreviate, ma, si spera, chiare. Per Ie [5.6.41], [5.6.46],
[5.6.52]

380
Capitolo quinto
[5.6.49], [5.6.24], [5.6.20] la [5.6.52] implica:
a1Tt
ax (x)  e- lIot (1 + 20M(2a+ +cS)t)+
+ tM«5{(l + Mt(2a+ + 0) + Mt(2a+ + 0)  + Mt(2a+ + «5) +
+ (1 + Mt(2a+ +5)}. (1 + 20M(2a:+ +o)t)=
=(e-vot(1 + 20M(2a:+ +o)t)+ t M{l + Mt(2a+ +5)+
+Mt(2a++o) + Mt(2a+ +5)+
+ V5 (1 + Mt(2a+ + o)}. (1 + 20M(2a+ + 0) t) <
<(1- o t). VtE[O,t+], VaE[-a+,a+], VxE[-cS,cS]
[5.6.53]
se 0 e a+ si suppongono scelti talmente piccoli che valga l'ultima disuguaglianza
[5.6.53].13
Per i precedenti argomenti questo prova la defmibilita di 1Tt come S/o:,5)(a(1T))=
=a(1Tt), ovvero come [5.6.51], 'VtO, e, inoltre, mostra che 1Tt verifica [5.6.49].
G) Dimostrazione dell'esistenza del limite per n -+ 00 di 1Tnt, per t E [0, t+]
Si procedera valutando ricorsivamente:
l1 1T nt -1T(n -1)tll = max l1T n t(X)-1T(n- l)t(x)1
Ixlc5
[5.6.54J
e facendo vedere che la serie
00
L 111T nt -1T (n - 1) t II < + 00
n=o
[5.6.55]
converge, e questo implica che 1Tnt converge uniformemente a un limite per n -+00.
Per studiare la serie [5.6.55] si considerino due funzioni 1T e 1f' verificanti [5.6.49]
e, a mezzo di esse, si costruiscano Ie funzioni A (x, t, a, 1T) e A(x, t, a, 1f') definite
sull'insieme [5.6.45] risolvendo, come indicato al punta E Ie equazioni per Xo: Grr(x,
Xo, t, a)=O e G1J"(x, xo, t, a)=O.
Si ha, aHora, abbreviando A(x, t, a, 1T) e A(x, t, a, 1T') in Xo e x rispettivamen-
te e usando la [5.6.33]:
l1Tt(x) -1T;(x)1  e - votl1T(xo) -1f'(x)1 +
t [5.6.56]
+ J e- vo (t-r)I Z 5(Sr(O:, 5)(xo, 1T(Xo)), a)-Z5(S;O:, 5)(x, 1f'(x)), a)1 dr
o
che, per [5.6.24], [5.6.49], [5.6.20J, implica:
13 Qui si vede ehe in luogo di  si potrebbe prendere 5"1 con "I < 1. La seelta "I = 1 pub
cssere fatta solo se V o e abbastanza grandee

381
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
l 1T t(x)-n;(x)1  e- vot (ln(xo)-1T'(xo)1 +
t 2
11T'(Xo)-1T'(X)I)+(SMO.L I(S:' 6)(xo, n(XO))i-
o 1= 1
-(S;' c5)(x, 1T'(X))il dr e- vot(lln-n'lI + Ixo -x1) +
t
+ J 2McS(1 +M(a+ +o)r) (lxo-x1 + In(xo)-n(x)I) dr
o
 IIn-n'lI (e- vot + 2Mot(1 + M(a+ + 0) t» +
+ Ixo -x1 ( e- vot + 2Mot(1 + M(a+ + cS)t».
[5.6.57]
Dobbiamo quindi stimare IXo-xl: osserviamo che (xo, 1T(Xo)) e (x, 1T'(X)) sa-
na i valori di S'c5)(x, 1Tt(x)) e S'c5)(x, 1T;(X)) e, quindi, analogamente aIle
[5.6.32]:
t
Xo = x + J dr X 6 (S' 6) (x, 1Tt(X)), )
o
t
x=x + I dr X6(S' 6)(x, 1T;(X)), )
e, aHara, per [5.6.23], [5.6.20]:
t
, r (, c5)
IXo-xol JdrIX c5 (S-T (x, 1Tt(x)), a)-
o
t
(, c5), J
-X c5 (S-T (x, 1Tt(x)),a)l M(a++o).
o
.2(1 +Mr(a++o)) l1Tt(x)-1T;(x)1 dr
 2M(a+ + 0) t(1 + Mt(a+ + 0)) l1Tt(x)-1Tt(x')1
[5.6.58]
[5.6.59]
e, quindi, [5.6.57] e [5.6.59] implicano:
l1Tt(x) -1T(x)1  111T -1T'1I (e -lJot + 2Mot(1 + M( a+ + cS) t)) +
+ (e- vot V5 +2tMo(1 +M(a++cS)t».
. (2M(a:+ + 0) t(1 + M(a+ + 0))) .11Tt(x)-n;(x)l.
[5.6.60]
Da questa relazione, ricavando l1Tt(x) -1T;(x)1 e supponendo che a+, 0, to siano sta-
ti scelti cast piccoli che valga la disuguaglianza
e- vot + 2McSt(1 + M(a+ + 0) t)

1- {2Mt(a:+ + 0) (1 + M(a+ + cS»} {e- vot V5 + 2tMo(l + M(a+ + S) t)}
"  - V 2 ° ) 'tItE [0, to],
segue che l1Tt(x) -1T; (x)I" (1 -  t) 111T -1T ' 1I e quindi
[5.6.61]

382
Capitolo quinto
, ( Va ) ,
l11Tt-1Ttn I-T t 111T-1T II,
VaE [- a+, Q+],
'fItE [0, t+].
[5.6.62]
Un calcolo simile consentirebbe anche di mostrare che se 1T verifica [5.6.49] e a+,
0, to sono scelti opportunamente piccoli, si ha VaE [-a+, a+], Vt, t' E [0, t+]:
II 1Tt-1Tt' II  '1'lt-t'l
[5.6.63]
ove '1' e una opportuna costante: utilizzeremo pero questa informazione aggiuntiva
lasciandone la dimostrazione in appendice (vedi app. L).
La [5.6.62] consente di stimare ricorsivamente la [5.6.54] poiche vale nella sola
ipotesi che 1T e 1T' verifichino [5.6.49] e tE[O, t+], aE[-a+, G:+]. Si trova, per i1
puntol:t_1T(n_l)tll"(l_ o tY-l l1 1T t- 1T 1I"20(1-  tr- 1 [5.6.64]
VtE[O, t+], VaE[-a+, a+] e V1T verificante [5.6.49].
Dunque la serie [5.6.55] converge, uniformemente al variare di 1T nella classe
delle funzioni verificanti [5.6.49], per tE[O, t+] e aE[-a+, a+].
H) Indipendenza da 1T e t del limite per n -+ + 00 di 1Tnt, per t E (0, t +]
Denotiamo 1T00, t, 1f la funzione continua su [-0,0] definita, per ogni tE(O, t+)
e per ogni 1T verificante [5.6.49], da:
lim 1T nt = 1T00 t 1f
, ,
n+oo
[5.6.65]
(la continuita e garantita dalla uniformita in x del limite [5.6.65]; vedi [5.6.55]).
E' chiaro, anzitutto, che 1T 00 t 1f non dipende da 1T: la [5.6.62] significa, invero:
, ,
( ) n
, va ,
111T nt -1T nt II  1 - _ 2 t 111T -1T II  0
n +00
[5.6.66]
ricorsivamente, se 1T e 1T' verificano [5.6.49]. Quindi denoteremo 1T00, t, 1f semplice-
mente 1T00, t. Sia ora t', tE(O, t+] e t'/t=p/q= numero razionale (p e q interi); e
chiaro che:
1T ntp = 1T nt'q
[5.6.67]
e, allimite n -+ + 00, [5.6.67] significa:
1T00 t=1T oo t'
, ,
[5.6.68]
se t, t' hanno rapporto razionale. AHora la [5.6.63] implica evidentemente la
[5.6.68], 'fit, t'E(O, t+].
Denoteremo aHora la funzione [5.6.68] con il simbolo 1T00. Ovviamente (1Too)t=1Too
e questo prova l'invarianza di a( 1T00).

383
Sistemi dissipativi . sistemi conservativi
I) Attrattivitiz di O(1Too)
Dato ( x, z ) E r(5) sia 1T (X) = Z per x E [-5, 5]. Dato t > 2t+ sia t E (0, t+) tale
_ t+ _
che t > T e inoltre t / t = N intero. Allora, per la [5.6.66] 0 [5.6.62]:
l1 1T t - 1T ooll = l1 1T t -(1Too)tll = II( 1T )Nt-(1T oo )Nrll =
= Hrn II( 1T )Nt - (1Tn )Ntll  lirn ( 1 - V 2 0 t ) N 11 1T -1T n II  [5.6.69]
noo noo
(1-  i) NII 1T -1T1I200-  t+y/t+
che dimostra che o( 1Tt ), e quindi S/ex., 5)( x, z ), si avvicina a o(1Too) con velocita
esponenziale.
L) Ordine di tangenza
Farerno vedere che se 1T e scelto tale che:
11T(X)1  Ix1 3 / 2 'Ix E [-5,5]
[5.6.70]
(che e cornpatibile con Ie [5.6.49], perche 5 < 1) anche:
I 1Tt(x) I  Ix1 3 / 2 'Ix E [-5, 0]
[5.6.71]
e quindi per x E [-5, 5] si avra 1 1Too(X) 1 X3/2 e questo concludera la dirnostrazione
della proposizione nel caso k=O.
Sia dunque 1T tale da verificare [5.6.70] e [5.6.49]. DaIle [5.6.33], [5.6.25] e
[5.6.20] e dalla S/ex., 5)(0,0)=(0,0) segue, usando Ie consuete notazioni,
t
I 1Tt(x) I  e-votlxo 1 3 / 2 + J MISex., 5)(xo, 1T(Xo ))1 2 dT
o
e- votlxo 1 3 / 2 + Mt(l + 2Mt(a+ + 5))2 (x + 1T(XO)2) 
 I X oI 3 /2 (e-vot +Mt(l + 2Mt(a+ +5))2 ( + 3))
 Ixo 1 3 /2 (e- vot + Mt(1 + 2Mt(a+ + 0)2 (4 + 43))
(ex. 5)
per tE[O, t+]. Dalla [5.6.58] e dalla [5.6.25], [5.6.20] e dalla St ' (0,0)=(0,0)
[5.6.72]
si evince:
t
J ( ex., 5) ( ( ))) ( ex., 5) ( ) 2 ) d
Ixollxl+M (a+I(S-T X, 1T t X tl+IS- T X, 1T t(x)1 T
o
 Ixl + Mt{a+[(1 + Mt(a+ + 5)) (Ix I + 1 1Tt(x) I)] + [(1 + 2Mt(a+ + 5))2 (lxl 2 +
+ 1 1Tt(x) I 2 )]}  Ix I (1 + Mt{a+[ 1 + Mt(a+ + 5)] + [(1 + 2Mt(a+ + 5))2 oj} +
+ l1Tt(x)1 Mt{a+[ 1 + Mt(a+ + 5)] + [(1 + 2Mt(a+ + 0))2 oj}.
[5.6.73]

384
Capitolo quinto
Per semplificare Ie notazioni riscriviamo [5.6.72] e [5.6.73] osservando che, se Q+,
0, t < 1, esiste M' tale che:
I 1Tt(X) I lxol312 (1-  t+M'..{f; t)
IXollxl (1 +M'(Q++o) t)+I1Tt(x)IM'.(Q++o) t.
AHora, elevando [5.6.72'] alIa 2/3, si deduce da [5.6.72'] e [5.6.73']:
l1Tt(X)12I3(1- V2° t+M' V6 1 [(l+M'(a++o)t)lxl+
+ M'(Q+ + 0) tl1Tt(x)I],
[5.6.72']
[5.6.73']
[5.6.74]
e, poiche 0< 1 e l1Tt(x)1 <0, si PUQ usare I 1Tt(X) I 11Tt(x)12/3 per dedurre da [5.6.74],
se t e abbastanza piccolo:
( Vo ) 2/3
1-T t + M 'vTt (l+M'(a++o)t)
l1Tt(x )1 2 / 3  Ixl 2/3 . [5.6.75]
1-M'(a++O)t(1-  t+M'V6t)
Quindi, supponendo di aver scelto 0, Q e to tali che
(1-T t + M '..{f;tr 3 (1+M'(a++O)t) V o
) 2/3 1-4t
1-M'(a+ +0) t(l- V; t+M'V6 t
tE[O, to], vediamo che [5.6.75], [5.6.76] implicano:
l1Tt(x)l (1- o tr21X1312IX13l2
'fxE[-o,o], \ftE[O, t+], 'fQE[-Q+, Q+].
[5.6.76]
[5.6.77]
M) Regolarita in Q
Per studiare la regolarita in Q si procede ancora lungo Ie stesse linee piil volte
seguite finora. Ne illustriamo i dettagli perche, in un certo senso, c'e un'idea tecni-
ca in pin rispetto ai casi precedenti.
Si consideri una funzione (x, Q)-+1T(X, Q) definita per xE[-o, 0], QE[-Q+, Q+]
e di classe C 1 e, ad Q fisso, verificante Ie [5.6.49]. Definiamo 1Tt(x, Q) pensando,
per ogni Q, 1T come una funzione di x e procedendo come in E.
Dalla [5.6.33] e dalle [5.6.24], [5.6.21], [5.6.20], [5.6.49] si deduce, can Ie so-
lite notazioni, prima che:
t
1Tt(x, a)=e- lIot 1T(Xo, a)+ !e- lIo (t-dZ 6 (S;0<,6)(Xo, 1T(XO, a))"dr [5.6.78]
o

385
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
e, quindi, ricordando che ora Xo dipende anche da a (e denotando a Q la a: ):
- v t an ax 0
lao: 1T t(x, a)1  e 0 ao:n(xo, a) + ax (xo, a)  +
S t 2 aZ 5 (0:, eS) d (0:, 5)
+ . a . (Sr (xo, n(xo, a))) - d [(Sr (xo, n(xo, a)))i] .
o 1= 1 W, a
 r;:- axo
. e- vo(t- r)dr< e- votla n ( xo a)1 + e- vot V 5 +
= Q, aa
t ( ax
+2MSI{MT(s+s2 t )+(I+MT(a++S» a: +
an ax 0 an )}
+ ax (Xo, a)  + aa (Xo, a) dr
t _ r;:- axo
 e- V o la Q 1T(Xo, a)1 + e- vot V 5 aa + M 2 5 2 ( 1 + 8t) t 2 +
[5.6.79]
+2MS(1+Mt(a++S»t-((1+VS) a;: + : (xo,a»)
axo
 {e- vot VS + 2MS(1 +Mt(a+ +S» t(1 + VS)} aa +
+{e- vot +2MS(I+Mt(a++S»t} : (xo,a) +M 2 S2(1+8t)t 2 ,
Come al punta G si stima ora a:; usando la [5.6.58] che ora si scrive:
t
Xo = x + J XeS (8 ' eS)(x, 1Tt(x, a)), a) dr
o
[5.6.80]
e, quindi, procedendo come nella deduzione di [5.6.79]:
axo
aa
 i dT{MS + 2M(a+ +S) r ST (1 + St) +
+(1 +MT(a++S»' : (x, a) J}
2
MSt+2M2s  (1 +8t)(a++S)+
an t
+ t(1 + Mt(a+ + 5)) 2M(a+ + 8)  (x, a) .
[5.6.81]
AHara [5.6.79] e [5.6.81] implicano:
laQ1Tt(x, a  ({M 2 S 2 (1 +8t) t 2 + [2MS(1 + Mt(a+ +S»(1 + V5) t +
+e- vot V5]. [Mot+M 2 (a+ +8) 5t 2 (1 +8t) (a+ +5)]}/

386
Capitolo quinto
j{I-[2M5(1 +Mt(a+ +5)) (I +VS) t+e- vot v'S].
· t(1 + Mt(a+ + 0)) 2M(a+ + o)}) + (e- vot + 2M5(1 + Mt(a+ + 0)) t))j
j{l-[2Mo(1 +Mt(a+ +0) (1 + vt)t+e- vot fi]. [5.6.82]
· t(1 + Mt(a+ + 0)) 2M(a+ + o)}) laa1T(xo, a)1
che, per leggerne Ie caratteristiche essenziali, conviene riscrivere notando che se [),
a+ e to sono scelti abbastanza piccoli esiste M tale che il primo termine in [5.6.82]
PUQ essere maggiorato da:
I[primo termine di destra in [5.6.82]]1 <: Mo v'S t
[5.6.83]
\ftE[O, t+], \faE[-a+, a+] e il coefficiente di laa:1T(xo, a)1 in [5.6.82] PUQ essere
maggiorato da:
I[ coefficiente di laa:1T(xo, a)1 nel secondo tennine di destra di
[5.6.82]]1   -  t).
Dunque la [5.6.82] pub, se a+, 5 e to sono stati scelti sufficientemente piccoli, ri-
scriversi, \ftE[O, t+], \faE[-a+, a+1:
[5.6.84]
lIaa:1Ttll = max 1 aa: 1Tt (x, a)1 <: Mc5 v'S t+ ( 1- V 2 ° t\ lIaa1TlI.
IXI 'J
IQIa:+
[5.6.85]
Fissiamo ora 1T come funzione della sola x verificante Ie [5.6.49] e possiamo appli-
care la [5.6.85] aile funzioni 1Tnt e 1T(n - 1) t 'pensate come funzioni di x e a:
lIaa1Tntll Mo t+[1-  t]" a a 1T (n-l)tl
purche tE [0, t+], n = I, 2, ...
Allora [5.6.86] mostra, ricorsivamente:
[5.6.86]
lI a a 1T ntli  Mo V5 t r + [1-  j +... +  - v; n- J
[5.6.87]
poiche 1T 0 = 1T e a-indipendente; e cioe:
M5 v'S t
lIaa: 1Tntll <:
2 M c5 v'S
Vo
-t
2
Vo
[5.6.88]
La regolarita di 1Too segue immediatamente:
l1Too(x, a) -1Too(X', a')1 = lim l1Tnt(x, a) -1T n t(X' , a')1 <:
n--+ oo
[5.6.89]

387
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
. , , ( a1T nt
 hm (Ix- x 1+ IQ-Q I) max a +
n X
a1T nt )
aQ
ove il massimo e preso suIl'insieme [-5,5] X [-Q+, Q+] e puo, per [5.6.49] conside-
rata per 7r nt e [5.6.88], essere stimato da V5 (1 + 2 0 ). quindi:
( ( " _ r;:- ( 2M 5 ) , ,
l1TooX,Q)-1TooX,Q)Iv5 1+ vo (lx-xl+IQ-QI) [5.6.90]
che mostra che 1T 00 e di classe COin x e Q congiuntamente, (anzi mostra che e lip-
schitziana) .
Questa osservazione completa la dimostrazione nel caso k = O.
N) Caso generale k  0
Per far vedere che 1T00 e k-volte derivabile rispetto ad x, se Q+ e 5 sono scelti suf-
a 2 1T- a 3 1T
ficientemente piccoli, si procede a stimare 2 t e, successivamente, t , ...,
a k + 1 ax a ax 2
1Tt 1 k 0 . d O. d . 1Tt d
k 1 come, ne caso = , Sl erano stu late stIme I 1T t e _ a ' supponen 0
+ X
che 1T sia di classe C k + I. Procedendo con Ie stesse tecniche dei punti F, G, Lese
(1 + k) 5, (1 + k) Q+, to sono scelti sufficientemen te piccoli perche valgano disugua-
glianze simili aIle [5.6.41], [5.6.42], [5.6.43], [5.6.53], [5.6.61], [5.6.76], [5.6.83],
I"'OoJ I"'OoJ
[5.6.84] si trova, per h =0, 1, ..., k + 1 e tE(O, t+), ove t+ e un opportuno nume-
ro positivo:
a h 1T t
ax h
- max
IXIo
ah1Tt ( V )
dX h (x)  1----:}- t
a h 1T
ax h
_( h - 1
+ t Rk. ,lo
a i 1T )
ax i
[5.6.91]
ove 5, y  Rk <5 (Y) e una opportuna funzione continua delle variabili reali 5, y in-
,
finite sima per y  0 e per 5  O. La [5.6.91] ha la stessa struttura di [5.6.86] e, co-
a i -
me queIla, mostra induttivamente che Ie [5.6.49] e --2 J o C,j=2, ..., k+ 1, im-
ax
plicano:
k+l ai1Ttn
L
i = 0 ax i
 Rk 5 C
, ,
VnO, V C  1
I"'OoJ
VtE[O, t+], VQE[-Q+, Q+]
[5.6.92]
- -
ove R... e una opportuna funzione continua di 5 e C infinite sima per 5 e C  o.
La [5.6.92] significa che 1T00 e k-volte derivabile e anzi garantisce che pur di pren-
dere 5 e C abbastanza piccoli tutte Ie derivate di ordine  k possono essere rese
pili piccole di una prefissata cost ante €.
Per campletare la dimostrazione del teorema occorrerebbe verificare che 1T00 e

388
Capitolo qu into
anche k-volte derivabile rispetto ad a ed x congiuntamente se 0, a+, to sono scelti
sufficientemente piccoli. E' chiaro che anche questo sara vero e la dimostrazione
sara ottenuta attraverso stime a priori delle derivate rispetto ad a di ordine fino a
(k+ 1) d o d o d o f . k d o a 1ft d . d o 1 d o ak1ft T 1 . ° .
11ft, 1 or Ine Ino a 1 , ..., 1 or Ine 1 ax . a 1 stlme Sl ese-
guono lungo Ie linee del punta M e di quanta finora detto al punta N: il lettore
che ha avuto la forza di giungere fino a questo punta non avnl la minima difficol-
ta a trasformare in una dimostrazione anche quest'ultima osservazione.
Non diamo i dettagli della ded uzione di [5.6091] e della analoga relazione neces-
saria per la regolarita in a perche si basa, evidentemente, su generalizzazioni delle
stime [5.6.20], [5.6.21], [5.6.22] ecc. alle derivate superiori che sono facili esercizi,
ma che per esteso occuperebbero troppo spazio.
Quanto ora detto completa la dimostrazione del teorema ma, evidentemente,
non permette di cancludere che 1foo e Coo, poiche, per ottenere regolarita di classe
C k , e necessario porre su 0, a+, to restrizioni che sono k-dipendenti: ma nel corso
della dimostrazione 0, a+ e to vanno fissati una volta per tutte.
mbe
5.6 Schemi di esercizi e complementi
1. Si dimostri che 0 = (0, 0) e vagamente attrattivo nell'intorno di a c = a per:
x=ax-x 3
z = - z.
2. Si dimostri che il piano z = 0 e una varieta attrattiva per l'equazione in (1).
3. Si consideri la superficie costituita da tre pezzi, di equazioni parametriche
rispettive:
{ ) - -')'
z ('y = z e; ( -2 ) - 1/2
x(r) = x (r) = va 1 + ex;: e - 2 Q 'Y ; r E [0, + 00)
{ z ( ')') = z' e - ')' ( -'2 )
x(r)= x '(r)=-va 1 + ex; e-2a:'Y -1I\r E [O, +00)
{ z ( ')' ) = 0
x (r)'= r; r E [- YC;-, yc;-).
E' una varieta attrattiva \:I x, x ', z, z' tali che O x, - x ', l x i, Ix'i > va, \:Ia>O?
(Si noti che t  x (t) e soluzione di i = ax - x 3 con dato iniziale x ).
4. Si dimostri che Ie varieta attrattive (3) sono di classe C k , ad a fisso, se a e
ab bastanza piccolo (2ak < 1). Si dimostri che l'equazione (1) ammette infinite va-
rieta attrattive.
5. Si dimostri la proposizione XI nel caso particolare della [5.6.12] per a in

389
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
un intorno di O:c< 0, O:c> -Vo. (Idea: si scriva ora la [5.6.17] come x =O:cx +
+ Xo(x, z) «a-ac)x + P(x, z» e si proceda in modo identico sostituendo, ovvia-
mente la 5.6.32 e Ie sue simili con:
t
x=ecxctxo+JeCXc(t-to)xs(S;CX,S)(xo, 1T(Xo», 0:) dr.)
o
6. Si dimostri la proposizione XI nel caso in cui, in luogo della [5.6.12] si con-
sidera l'equazione, (J1 > 0):
XI =axI + J1 x 2 + PI (X., X2, z)
X2= -J1 XI + aX2 + P 2 (X., X2, z)
Z = - Vo z + Q(XI, X2, z)
(Idea: si scriva ora la [5.6.17] come:
X I = J1 X 2 + X s (X I, X 2, z) (0: X I + PI (X., X 2, z»
X2=-J1XI+X S (X., X2, Z)( aX 2 +P 2 (X., X2, z»
i = z + X 1) (x}, X 2, z) Q(x b X 2, z)
con ovvie notazioni e si proceda in modo identico sostituendo naturalmente la
[5.6.32] e Ie sue simili con:
t
r (0:, S)
x = W(t)xo + J W(t-r)XS(ST (xo, 1T(Xo», a) dr
o
ove
W(t)= ( co t sin t ) ; vedi esercizi del 9 2.5.
- sm t cos t
7. Si consideri l'equazione [5.6.1] supponendo che i d-r autovalori menD sta-
bili della matrice di Lyapunov siano due a due distinti in un intorno di ac.
Denotando Xj(a), j = 1, 2, ..., q, gli autovalori reali e Xj(a) = Pj(a) + i J1j(a), j = 1,
..., (d - r - q )/2 quell complessi, far vedere che esiste una trasformazione di coor-
dinate (lineare) che, dette z., ..., zr, x., ..., x q , x, Xl, ..., x, x p Ie nuove coordina-
te, p = (d - r - q )/2, trasforma l'equazione in questione nella:
X.='\ . ( a ) x.+P.
, 1\, , ,
xf =pi(a)xf + J1i(a)xi + pi
xi= -J1i(a)Xf + Pi (a) xi + Pi
,
z=L (a)z+Q,
ove P, P+, P-, Q dipendono da tu tte Ie coordinate e da 0: e hanno uno zero del
secondo ordine nell'origine delle x, X+, x_, z; inoltre g1i autovalori di L' (a) hanno
tutti parte reale minore 0 uguale a -Vo.
8. Usando (5), (6), (7) si dimostri la proposizione XI nelle ipotesi di (7).
9. Si interpreti la dirnostrazione della proposizione XI come provante, nel caso
che non si faccia l'ipotesi di vaga attrattivita, che esistono superfici 0, definite co-
me nella proposizione XI, verificanti la [5.6.11] e:
li') Se wEr(oo)no cx e Scx)wEr(o/2), \frE[O, t] allora S:O:)wEO Q ("invarian-

390
Capitolo quinto
za locale")
ill') Se St(w)Ef(8/2), VtO, allora:
(0:)
d(St w, 0 0 )  0
t-+ +00
esponenzialmente.
10. Si consideri l' equazione x = f(x) e si assuma che x 0 = 0 ne sia una soluzio-
ne stazionaria. Sia L la relativa matrice di Lyapunov e si assuma che L abbia r au-
tovalori a parte reale negativa e d - r a parte reale nulla.
Si interpreti la dimostrazione della proposizione XI (con a= 0) come provante,
dato k  0, l'esistenza di 5 e 50> 0 e di una superficie 0, r-dimensionale di classe
C (k) . d f . . (r+ I) (d) di . b . li d f . . t
, parametnzzata a unzlonl 'P , ..., 'P r vana 1 x h ..., Xr e ml e per
Ix;1 <:5/2 e verificanti [5.6.11] e Ie proprieta di invarianza e attrattivitit locaIi del
precedente esercizio. ("Teorema della varietit centrale".)
5.7 Applicazioni at giroscopio e biforcazioni dei moti stazionari vagamente
attrattivi in moti periodici. II teorema di Hopf
Quanto visto al paragrafo 5.6 puo, per Ie considerazioni del paragrafo 5.5, esse-
re immediatamente applicato aHa [5.1.18].
Si PUQ quindi dire che, fissato k e C >0, (k2), esiste un intorno f(8), qua-
drato, di w e, in f(5), una famiglia di superfici u Q di equazioni:
W3 = W3 + 'Po: ( WI, W2),
[5.7.1]
definite al variare di WI, W2 in modo che IWII <:5, IW21 <:8 e, inoltre:
l'Po:(wI, w2)1 <:C(wi + w)
[5.7.2]
e la superficie U Q e, per ogni a abbastanza vicino ad a c , invariante nel senso [5.6.9]
e attrattiva per tutti i punti di f(5), con velocita d'attrazione esponenziale, nel
se nso [5.6. 10] .
Faremo ora vedere che, se a e sufficientemente vicino ad a c , a >a c , esiste suHa
superficie OQ un attrattore minimale Ao: costituito da un'orbita periodica di perio-
do approssimativamente uguale a 21T/W3 e che attrae i punti di U Q con velocita
esponenziale.
Sara un facile esercizio, lungo Ie linee della analoga proposizione V (p. 348),
far vedere che, nella situazione del precedente capoverso, A Q e un attrattore per
il quale i1 bacino f(o) e normale (vedi definizione 3, p. 344), anzi, addirittura tale
che per ogni wE f(5) esiste 1T(W) E A Q tale che:
1 S/a)(w)-S/Q)(1T(w))1  0 [5.7.3]
t-++ oo
con velocita esponenziale.
Questa affennazione "completa" 10 studio del comportamento asintotico dei

391
Sistemi dissipativi e sistemi con.rvativi
moti di [5.1.18] con dati iniziali w abbastanza vicini awe con a di poco superio-
re ad a c : per vedere quale sia il mota reale del giroscopio che corrisponde a que-
sto mota asintoticamente periodico della sua velocita angolare occorrerebbe anco-
ra integrare Ie equazioni differenziali "geometriche" che legano g1i angoli di Eule-
ro alla velocita angolare (vedi [5.2.10], [5.2.11], [5.2.12]): non discuteremo perb,
in dettaglio, quest' ultimo pun to.
E' chiaro che i risultati precedenti seguono, come caso particolare, dal seguente
celebre "teorema di biforcazione di Hopf" e dalle osservazioni ad esso relative.
XU Proposizione Si consideri un 'equazione differenziale in R 2 avente la forma:
x=ax-JJ(a)y+P(x, y, a)
j=JJ(a) x +ay +Q(x, y, a)
ove aE R, JJEC(O)(R) e P, Q sono funzioni di classe C(k)(R 3 ) con k abbastanza
grande (ad esempio k6) che hanno, VaER, uno zero del secondo ordine per
x= y =0 neUe variabili (x, y). Si supponga:
i) JJ (0) =F 0;
ii) la funzione xP(x, y, a) + yQ(x, y, a) ha uno zero del quarto ordine in
x = y = 0, \fa E R, neUe variabili x, y e cioe:
[5.7.4]
xP(x,y, a)+yQ(x,y, a)=1'4(x,y, a)+r(x,y, a), [5.7.5]
ove 1'4 e una formJl quartica in x, y (a coefficienti di classe C(k-4) in a) e r(x, y, a)
e una funzione (di classe C (k- 5») injinitesimJl del 5° ordine in x = y = 0, Va E R,
nelle variabili x, y,
iii) esistono v, v', a> 0 per cui:
_ u l ___ 1'4(X, y, a) 
"  -"
(x 2 + y2)2
[5.7.6]
V(x, y) =F 0, Va tale che lal < a.
Allora se a e sufficientemente piccolo e positivo esiste una soluzione periodica
di [5.7.4] che e un attrattore che attrae con velocita esponenziale i punti di un in-
tomo abbastanza piccolo di 0, 0 escluso. /1 periodo T Q di questa orbita e tale che
1im T Q = 21r/p.(0).
QO+
Osservazioni
1) 11 requisito su k di essere  6 e stato imposto per garantire che la funzione
arin [5.7.5] sia infmitesima del 4° ordine (proprieta usata nella dimostrazione in
[5.7.32]); vedi appendice B. In molti casi il valore di k pub essere abbassato: ad
esempio se P e Q sono a-indipendenti si possono ottenere i risultati della prece-
dente proposizione se k  5. 14 In ogni caso Ie condizioni di regolarita imposte so-
no ben lungi da1!' essere ottimali.
14 Si noti ehe in questo caso r e sempre di elasse C(5) e non C(I), come nel easo generate.

392
Capitolo quinto
2) Nelle applicazioni alIa [5.1.18] la [5.7.4] e:
WI = (0: - O:c ) WI - W 3 W2 + P( WI, W2, 0:)
W2 = W3 W l + (O:-O:c) W2 + Q(wt, W2, 0:)
[5.7.7]
ove, posta w 2 = wi + W:
2  A o:(Wt, W2) + O:(WI, W2)2 ) _
P(Wt. W2, a)=-A2 W WI  + 2W 3 w 2 w 2
- W20:(WI, W2) [5.7.8]
Q ( ) _ _ '\ 2  + 2 . I,OQ( W 1. W2) + I,OQ( W.. W2 )2 ) +
WI, W2, 0: - 1\2 W W2 W3 2 2
W W
+WIO:(W}, W2)
ove o: e la funzione di classe C k , k  6, considerata in [5.7.1]. Quindi:
( ... o: o: )
W I P+W2Q=-A2 W4 1 + 2W 3 w2 + W:
[ 5.7 .9]
3 A 1
che, per la [5.7.2], se C e tale che 2"  1 :1: 2W3C  2" e tale che:
( 3 2 2 ) W1P+W2Q A2
-X -+C W  --
'2 2 w 4 2
che implicano Ie [5.7.5], [5.7.6] con v' =  A2, V = 2 . Dunque la [5.1.18] ha
una soluzione periodica attrattiva per 0:""'" O:c, 0: > O:c.
3) Si consideri un'equazione differenziale, parametrizzata da o:E R, in R2:
[5.7.10]
x = II (x, y, 0:)
j = 12 (x, y, 0:)
con II e/2 di classe C k , k6, tali che/l(O, 0:) = 0 = /2(0, 0:) e inoltre tali che la
matrice di stabilita di [5.7.11], in 0, abbia due autovalori complessi coniugati:
[5.7.11]
A:t:(O:) = a (0:) :f: i p,(o:)
[5.7.12]
tali che, al variare di 0: in un intomo J dell'origine, a(o:) sia monotona strettamen-
te crescente e con derivata non nulla e di classe C k e Jl(O:) sia pure di classe C k e:
a(O)=O p,(0) *0.
[5.7.13]
AHora la [5.7 .11] pub essere posta, a mezzo di un ovvio cambiamento di coordina-
te,15 nella forma [5.7.4] almeno nell'intorno di 0:=0.
Questo mostra che la proposizione in questione PUQ essere adattata all' applica-
15 Si pone 13 =a (0:) e si esegue una opportuna trasformazione line are su x e y parametrizza-
ta da 13.

393
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
zione a equazioni differenziali assai piu generali della [5.7.4].
4) II teorema e state formulato in classe C(k), k  6, anziche in classe Coo per-
che di solito viene applicato in concomitanza con il teorema della varieta attrattiva
va visto al paragrafo 5.6 in cui non si pub scegliere k = 00.
5) E' bene sottolineare la situazione molto generale nella quale ci si viene a tro-
vare combinando il teorema di Hopf (inteso nella forma della proposizione XII e
delle sue generalizzazioni che emergono da queste osservazioni e dagli esercizi alla
frne del  5.7) con quello della varieta attrattiva.
Sia data un'equazione differenziale del tipo [5.5.5], da studiare al variare di a
nell'intorno di a c e nell'intorno di un punta stazionario Xo, stabile per a < a c e in-
stabile per a> a c , che per a = a c perde stabilita perche per a  oc tutti gli autova-
lori della matrice di stabilita hanno parte reale negativa, mentre per a> a c due soli
di essi hanno parte reale positiva e la loro parte immaginaria non e nulla per a = a c
("perdita di stabilita in due direzioni complesse").
Se, allora, a destra di a c , x 0 e vagamente attrattivo, il teorema della varieta at-
trattiva consente, come nel caso [5.1.18], di ridurci (al frne delle studio degli at-
tratton nell'intorno di Xo e per a-oc piccolo) a una equazione in due incognite
del tipo [5.7.11]. Questa equazione, per I'osservazione 3 precedente, si pub di so-
lito ridurre, a mezzo di un cambiamento di variabili, a una equazione del tipo
[5.7.4]: a questa si applica poi il teorema di Hopf che caratterizza gli attrattori
nell'intomo di Xo (direttamente, come e possibile nel caso della [5.1.18] per la os-
servazione 2, ovvero dopo ulteriori cambiamenti di variabile come illustrato negli
esercizi alla fme del  5.7).
6) Questo teorema ha un ovvio analogo unidimensionale: si consideri l' equazio-
ne in R 1 :
x = ax + p (x, a) [5.7.14 ]
ove p e di classe C(k), k abbastanza grande, e ha uno zero di ordine tre in x = 0,
'VaER,e:
xp(x, a)=-C(a)x 4 (1 +'Y(x, a))
[5.7.15]
con aC(a) continua nell'intorno di a=O e ivi positiva e 'Y di classe C(l) e infini-
tesima in O. In questo caso e chiaro, per il teorema delle funzioni implicite, che
[5.7.14] ha due soluzioni stazionarie nei punti
-+..
x = - V C(a)
[5.7.16]
se a > 0 ed e sufficientemente vicino a zero.
In questi punti la mat rice di stabilita e  -2a<O e, dunque, i due punti [5.7.16]
sono attrattori con velocita esponenziale dei punti nelle loro. immediate vicinanze.
Questa osservazione e utile per trattare i casi, analoghi a quelli discussi nella osser-
vazione 5 precedente, in cui una soluzione stazionaria di [5.5.5] perde stabilita per-

394
Capitolo quinto
che un solo autovalore attraversa l'asse immaginario quando a passa da minore di
oc a maggiore di a c , Iasciando pero la soluzione stazionaria vagamente attrattiva.
Questa osservazione puo essere applicata per dare una dimostrazione, alternati-
va e piu semplice di quella esposta nella precedente osservazione (ii), della esisten-
za di orbite periodiche attrattive per a"" ac, a> a c per la [5.1.18]: basta applicar-
Ia alIa [5.5.28]. Lasciamo allettore, per esercizio, la discussione; si noti pero che
l'argomento dell'osservazione (ii) si potrebbe applicare inalterato alIa [5.5.29] per
la quale, pero, questa dimostrazione piu semplice (basata sulla simmetria fra WI e
W2) non funziona.
7) PuQ sembrare che Ie [5.7.5], [5.7.6] siano ipotesi molto fortLIn realm esse espri-
mono poco piu che Ia condizione che la parte non lineare dell' equazione [5.7.4]
dia luogo, per a=O, a un'equaZione differenziale x =P, y =Q che ha l'origine per
attrattore, ovvero che la [5.7.4] stessa abbia l'origine come attrattore vago (vedi
esercizi,  5.7).
Diamo ora la dimostrazione del teorema di biforcazione:
Dimostrazione. Consideriamo solo dati iniziali (x, y), per [5.7.4], tali che
(x 2 + y2) <; P 2 ove p sara scelto COSt che:
, xP+yQ v
- 2v  2 2 2 < - _ 2 ;
(x + Y )
Qx-Py (O)
x 2 + y2  2
[5.7.17]
se x 2 + y2  P 2 e se lal a. Si supporra, senza perdita di generalita che asia stato
scelto tale che  I It (D)I > I It (a) I > ; I It (D)I , se lal <a, e inoltre It (D) > D (si ncor-
di che a e state introdotto in relazione alIa [5.7.6 ]).
Questa restrizione su x e y consente di far vedere, intanto, che all'interno della
circonferenza di raggio p esiste se a e abbastanza piccolo una corona circolare, di
raggio interno p ed estemo p, invariante e, inoltre, che i1 cerchio stesso di raggio
p e invariante (per Ie traiettorie della [5.7.4 ]).
Infatti, moltiplicando la prima delle [5.7.4] per x e la seconda per y e somrnan-
do i risultati, si vede:
 (x2 +y2) _ ( xP+yQ ) 2 2 { a(X2 +y2)_ ; (x 2 +y2)2
dt 2 - \a+ x 2 +y2 (x +y ) [5.7.18]
a(x2 + y2)-2v'(x 2 + y2)2
che, se a e ab bastanza piccolo, fa vedere che il cerchio di raggio p e invariante (es-
sendo ap 2- ; p 4<O se a< ; p 2). InoUre, la prima delle [5.7.18] fa vedere che
il cerchio di raggio:
-II V-f a
P = -
Q V
[5.7.19]

395
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
-2
e, se 0: < v ' invariante; ia seconda delle [5.7 .i8] invece fa vedere che il comple-
mento del cerchio di raggio:
-, ,II...
Pa= V 2v'
[5.7.20]
e invariante. Dunque la corona circolare C( p , p ) di raggio interno P e esterno
P; e invariante. Per semplicita supporremo che asia state scel to talmente piccolo
da rendere valide [5.7.6], la proprieta menzionata dopo [5.7.17] e, infine, la
o:p 2 - ; p 4 < 0, Vo:E [-a. a] (fig. 5.9).
Le [ 5 7 18 ] h h . , 1 - , " 2 -" .
.. mostrano anc e c e, se Sl pone Pa= 2: Pa e Pa= Pa e Sl suppone
Q COSt piccolo che P < P , ogni dato iniziale (x, y) nella sfera di raggio P evolve,
secondo [5.7.4], e penetra nella corona C(p, p) in un tempo finito, con la so-
la eccezione ell' origine. " . d x 2 + Y 2
Infati se p 2 = x 2 + y2 > (PaJ2 la pnma delle [5.7.18] mostra che dt 2 EO;;
 -  e quindi il "tempo di ingresso" in C (p, p) di questo dato iniziale puo
v
y
x
e e
Figura 5.9

396
Capitolo quinto
-2 ( ,, ) 2
P - P
essere stimato da T = 2 ex v.
 Sa d x 2 + y2
Similmente se p 2 = (x 2 + y2) < p2 Ia seconda significa che d t 2 
min(QP2-2vp4)=m ove il minima e considerato perppp ed e, quindi,
positive se p > 0: dunque il tempo di ingresso in C( p, p;) e stimabile come
T=«p)2_ p 2)/2m<+oo, se p >o.
Questo significa che ogni dato iniziale vicino all'origine si muove, come vedre-
mo, "a spirale", allontanandosi dall'origine fino a penetrare nella corona C( p, p);
mentre ogni dato in C (p;, p ) si muove, come vedremo a spirale, avvicinandosi al-
l'origine fino a penetrare in C( p, p)"6
Per vedere che i moti che hanno origine nel cerchio C ( p ) di raggio p , e centro
nell'origine, sono moti "a spirale" basta studiarli in coordinate polari:
dO d y(t) yx -yx
-=-arctg-=
dt dt x(t) x 2 +y2
dp = v'(X(t))2+(y(t))2 = xx+yy
dt dt Y X 2 +y2
ove t(x(t),y(t)) denota una soIuzione di [5.7.4], tO, e t(p(t), 8(t)) de nota
Ia stessa soluzione in coordinate polari (se p (0) > 0).
Dunque Ie [5.7.21], [5.7.4] implicano, se p(O»O,
[5.7.21]
[5.7.22]
. ll(a)(x 2 +y2)+Qx-py xQ-yP
8 = =Il(a) +
X2+y2 X 2 +y2
[5.7.23]
e aHora Ia seconda delle [5.7.17] e Ie restrizioni imposte su a(lal < a) implicano:
PO) E;; £1 E;; 2p(O),
[5.7.24 ]
.
cioe 8 e monotona in t e diverge per t  + 00: in altre parole, il mota e a spirale,
se p(O»O e p(O)< p .
F acciamo ora vedere che Ie spirali associate a dati iniziali esterni alIa corona
C (p, p), ma interni al cerchio C ( p ), tendono a confondersi per t  + 00 con Ie
analoghe spirali originate da dati iniziali diversi da (0, 0) e interni al cerchio C (p),
di centro nell'origine e raggio P.
Se questo accade e chiaro che queste due famiglie di spirali saranno separate da
un'orbita periodica che sara un attrattore con bacino d'attrazione parziale C( p )/{O}.
Per vedere questo conviene descrivere Ie spirali come luoghi geometrici pensandole
16 E' chiaro ehe p e p, in questa discussione, possono essere sostituiti da due qualsiasi
numeri il primo dei quali minore di p e il secondo dei quali fra p e p.

397
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
parametrizzate in funzione di 0 anziche di t (questo e possibile per [5.7.24]).
Siano 0  P I (0) e 0  P2 (0) Ie equazioni in coordinate polari delle due spirali
percorse dalle traiettorie di [5.7.4] con dati iniziali PI (0) < P e P2 (0) < P,
P2 (0) > PI (0). E' ovvio, per l'unicita delle soluzioni delle equazioni differenziali
(autonome) che P2(0)-PI (0»0, 'tio o. Dimostriamo che esiste e(a»O e R(a»O
tali che:
P2(0)-PI«(J)R(a) e-e(G:)(J.
[5.7.25]
Un attimo di riflessione mostra, sfruttando l'autonomia di [5.7.4] e Ie [5.7.24],
[5.7.25], che [5.7.25] significa che ogni dato iniziale all'interno di C( p )/{O} ten-
de, con velocita esponenziale e relativa costante di tempo> €(a) f..LO) , ad acco-
starsi a una traiettoria periodica di [5.7.4] che separa geometricamente Ie spirali
"esterne" e queUe "interne".
Per dimostrare [5.7.25] si osservi che [5.7.22] e [5.7.21], [5.7.24] implicano:
dp xx +yy a(x 2 +y2) +xP+yQ
-=p . . =p
dO yx-yx J.L(a)(x 2 +y2)+XQ_yP
[ 5 .7 . 26 ]
e per Ie ipotesi su P e Q si avnl:
xx+yy=a(x 2 +y2)+(X 2 +y2)2 14 (: ' ; , a)+r(x, y, a)
xy - yx = J.L(a) p2 + 8(x, y, a)
[5.7.27]
[5.7.28]
ove r e 8 sono infinitesimi, in (x, y) = 0, del 5° e 3° ordine, rispettivamente, neUe
variabili x, y e sono di classe C (I) in x, y, a. Riscriveremo [5.7.27], [5.7.28] in
coordinate polari:
""'"
x x + Y Y = ap 2 + P 4 f «(J, a) + f ( P, (J, a)
""'"
yx-xY=J.L(a)p 2 +8(p, 0, a).
[5.7.29]
[ 5 .7 .3 0]
lA [5.7.26] si scrivera allora:
""'"
a+p2f(O, a)+ [(P'2 0 , a)
d P
d(J log p = ""'"
8(p, (J, a)
J.L(a) + 2
P
[5.7.31 ]
e, inoltre, se ar e a8 sono i gradienti (in coordinate cartesiane) di reo:
a
ap
""'"
f( P, (J, a) 2 ""'" 1
=-- f(p, (J, a)--(ar.p)=O(p2)
p2 p3 p3
[5.7.32]

398
Capitolo quinto

a [) ( p () a ) 2  a8 · P
- " =-- 8 ( () ) - =0 ( 1 )
a p 2 3 P" a 3
P P P
[5.7.33 ]
ove e importante sottolineare che 0 ( p2) e 0 (1) significano che esiste una cost an-
te M, a-indipendente per lala e p p , tale che IO(p2)IMp2 e 10(1)IM: e,
questa, una conseguenza della regolarita (classe C(k), kl) e degli ordini di infi-
nitesimo in x = y = 0 nelle variabili x, y di reo e del teorema di Lagrange-Taylor

(app. B). Inoltre, per motivi analoghi, esiste M tale che per lal  a, p  p :


[  M  3
2 -..::::: p,
p
8  M 
2 -..::::: p.
p
[ 5.7 .34 ]
E' anche utile not are che [5.7.6] si riscrive - v' f«(), a)  - v.
Queste considerazioni ci permettono di dedurre che il membro di destra di
[5.7.3 1], come funzione di p, e monotona se p   p  p e a e sufficientemente
piccolo. Basta far vedere che la sua derivata e <0, usando [5.7.33], [5.7.32],
[5.7.34] e [5.7.6], se a e abbastanza piccolo e ppp; tale derivata e infatti:
{&(o:) + 5( P20, 0:) ) (2Pf(O, 0:) + a(f( p,:; 0:)fp 2 ) )_
 2 [(p,(),a) ) a (s(p,(),a)/p2) }!
- a+p [«(),a)+ a
p2 p
/ {(o:) + 5( P20, 0:) }2 :so;; [5.7.35]
:so;;{ ( (O)+MP) (-2pv+M(p)2)+
+M(0:+V(p)2 +M(p?)}A ; (O)+MPi2 :SO;;-XV;:,
ove, per [5.7.19], [5.7.20], si puo scegliere:
x=_l v 1
3 V2T J,L(O)
[5.7.36]
se a e abbastanza piccolo (eventualmente molto piu piccolo di a).
Allora se P2(0)<P e Pl(O»P, scrivendo Ie [5.7.31] per Ie funzioni (JP2«())
e ()  PI «()), sottraendole membra a membro, e utilizzando [5.7.35] si trova:
d P2 «())
- d log < -X(P2«())-Pl«()))=
t Pl«())

399
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
=-xv'Q « () ) ( P2«()) -1 ) -Xv'Q , ( P2«()) -1 ) 
PI Pl«()) Po: Pl«(})
_ a ( P2«()) -1 )
"=: 3 2v' J,L(O) PI «()) ,
che, interpretata come disequazione differenziale per P2 (0) -I implica (vedi eser-
cizi del  2.5): Pl«())
[5.7.38]
 _ P2(O) ) & (exp _  0: 0 ) Ix _ P2(O) )
\ PI «()) "=: \' 2 2 v' J,L(O) \ PI (0) .
[5.7.39]
Questo completa la dimostrazione, perche mostra, combinata con [5.7 .24], anche
che la distanza delle traiettorie che hanno origine in C ( p )/ {O} dall'attrattore di-
minuisce con velocita esponenziale (si ricordi che il tempo necessario a penetrare
in C(p, p), ove vale [5.7.38], e fmito per ogni dato iniziale e uniformemente li-
mitato in ogni corona circolare chiusa che non contiene l' origine).
mbe
5.7 Schemi di esercizi e complementi
1. La stirna per il coefficiente e(a) dell'argomento dell'esponenziale in [5.7.38]:
e(o:) =  -; 0: e tale che e(o:) -+ 0: e possibile migliorarla in una in cui e(o:)-+
3 v Jl(O) 0:--+0
 costante * 0 per a  01 E, se no, dame una interpretazione fisica.
In relazione alIa proposizione XI:
2. Si consideri l' eq uazione [5.7.4]. Si f accia vedere che si PUQ; con un earn bia-
mento di variabile, trasformarla in una della stessa forma rna con P e Q che hanno
uno zero del terzo or dine (Idea: vedi problema 1,  5.5).
3. Si consideri I'equazione [5.7.4] supponendo che P e Q abbiano uno zero del
terzo ordine nell'origine (caso cui ci si PUQ ricondurre via l'esercizio 1) e suppo-
nendo a= O. Si scriva l'equazione in coordinate polari nella forma:
p =p 3 f«()) + O(p 4 )
8 =J,L + O(p 2 )
ove f ( () ) = 'Y 4 (cos (), sin ()).
Si faccia vedere che I'origine e un attrattore stabile per questa equazione se
211'
ff«()) dO = c < 0 e che non e ne stabile ne attrattore se c > O. (Idea: un integrale
o
approssirnato e
t
p(t)-2=p(0)-2_2J f(JlT + ()(O)) dT
o
10 si usi per stimare il valore di P(tk) agli istanti tk in cui ()(tk) = 2kTT in funzione

400
Capitolo quinto
di P(tk- I),". (la trasformazione che a P(tk- I) associa P(tk) e detta trasformazio-
ne di Poincare, vedi  8 per altri esempi).)
4. Nelle ipotesi di (3) su P e Q e con a generico si mostri che l'origine e va-
gamente attrattiva nell'intomo di (Xc = 0 se i1 numero c dell'esercizio 3 e positivo.
5. Si usi (4) per indebolire la condizione [5.5.26] nella proposizione X.
6. Nell'ipotesi che i termini P e Q in [5.7.4] abbiano uno zero del terz'ordine
(vedi esercizio 2) si ponga «(X)=a-ill(a) e z=x+iy. Si mostri che in questo caso
la [5.7.4] pub essere scritta come:
i = (a)z + a3z3 + a2z2:z + al zz2 +ao:z 3 + R, aiEC
ove R h uno zero del quarto ordine nell'origine delle x, y. Si mostri anche che,
se w = e I () :
14(COSO, SinO)=Re(a2+a3 (: )+a 1 ( : )+a o ( : f)
e dedurre che i1 numero c dell'esercizio 3 e c = 2n Re a2'
7. Nella situazione dell'esercizio 6 si esegua il cambiamento di coordinate z =  +
+ g33 + g22  + glr  2 + go r 3 e si mostri che si possono scegliere g3, g2, gl, go E C
in modo che l'equazione [5.7.4] divenga:
. - ---
 = «(X)  + a2 2 r + R
---
ove R ha uno zero dell' ordine 4 in O.
8. Si mostri, usando i precedenti esercizi da 2 a 7 che la proposizione XI e
valida nella sola ipotesi che
27T
C = J 'Y 4 (cos (), sin ()) d() < 0
o
e, anzi, in virtu dell'esercizio 7, basta dimostrarla nel solo caso 'Y4 = costante negativa.
9. L'idea del cambiamento di variabile degli esercizi 2 e 7 pub essere spinta alle
sue estreme conseguenze. Si consideri l'equazione [5.7.11] nelle ipotesi ad essa as-
sociate. Sia (a) =a(a) + iJ.L(a). Si faccia vedere che in un intomo dell'origine tale
equazione pub essere posta nella forma:
i = (a) z + czlzl 2 + O(lzl s )
con un cambiamento di coordinate che si ottiene componendo quello dell'eserci-
zio 7 con uno della forma: Z'=Z+P4(Z, z) ove P4 e un polinomio omogeneo di
quarto grado in :z e z. Si faccia poi vedere che per ogni k  0 e con analoghi cam-
biamenti di coordinate l'equazione pub essere posta nella forma:
i = (a) z + C2 zlzl2 + c4 z l z 1 4 + ... + ck z l z l 2k + 0(lzI 2k + I).
Infine se si assume che a(O) =1= 0 si pub porre, per ogni k  0, l'equazione in questio-
ne nella forma:
i = (a) z + O(lzl k).

401
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
In quanta detto finora Q gioca il ruolo di un parametro e quindi simili conclusioni
si possono trarre nel caso che si considerino equazioni in due variabili non dipen-
denti dal parametro a: formularle esplicitamente.
Per quel che riguarda i problemi connessi alIa composizione iterativa delle tra-
sformazioni di coordinate ora discusse aHo scopo di porre l'equazione di partenza
nella forma
i=(a)z
se Re a(O) =1= 0, si veda illibro di Moser citato nella Bibliografia.
Osservazione. Gli esercizi precedenti sono ispirati da O. Lanford, op. cit., vedi
nota 8, p. 372: a questo lavoro si rinvia illettore interessato ad approfondire l'ar-
gomento trattato nei  5.7, 5.8.
5.8 Cenni alia teoria della stabilita delle orbite periodiche e di attrattori piu
complicati
Nondum matura est.
In questo paragrafo rivolgiamo l'attenzione alIa questione, che si pone in modo
naturale, su che cosa accada, al crescere del parametro a, a una soluzione periodi-
ca di [5.1.18] la cui esistenza e stata stabilita ai paragrafi 5.6, 5.7.
Pili in generale ci si puo domandare come si possano stabilire criteri di stabilita
di soluzioni periodiche di equazioni differenziali del tipo:
x=f(x, Q) [5.8.1]
in R d con fECOO(RdX R) 0 C(k)(RdX R) con k abbastanza grande (e almeno 2).
Prima di esaminare l'evoluzione della stabilita di una soluzione periodica di
[5.8.1] al variare di Q, studiamo la nozione stessa di stabilita di un'''orbita'' perio-
dica soluzione dell' equazione in R d :
x= f(x) [5.8.2]
con fECOO(Rd) 0 fEC(k)(R d ) con k abbastanza grande (e almeno k2).
Sia t  x (t), t  0, una sol uzione periodica di [5.8.2] con periodo T > O.
La stabilita e attrattivita di questa soluzione e facilmente discutibile in termini
della "trasfonnazione di Poincare".
7 Defmizione Sill tx(t), tO una soluzione periodica di [5.8.2] con periodo
minilno T> O.
Sia o un punto della traiettorill percorsa in R d da questa soluzione (ad esem-
pio o = x (0)) e sill 0 una superficie (d - l)-dimensionale pillna che tagli l'orbita
nel solo punto o ("elemento di superficie trasversale rispetto all'orbita in O").17
17 Si puo, ad esempio, seegtiere a come un quadrato nel piano il cui versore normale e pa-
rallelo a f(t o ): se illato di a e abbastanza piccolo e a ha centro in to, a e un elemento di su-
perfieie trasversale in to.

402
Capitolo quinto
Si PUD allora definire una trasformazione di classe COO(o C(k) se il secondo mem-
bro di [5.8.2] e solo di c/asse C(k»), su un intomo di Eo relativo a a e a valori su
0, connderando un intorno U di o su 0 talmente piccolo che il moto, secondo
[5.8.2], di ogni dato iniziale  E U ritorna ad attraversare 0, per la prima volta, do-
po un tempo Tt T, in un punto <l>a(E)Eo.
La trasformazione di 0 n U in 0 che a E Eon U associLl <I> a() E 0 e chiLlmata
"trasformazione di Poincare" re/ativa all'orbita periodica in questione, all'elemento
di superficie a e all'intomo U.
Vale aHora il seguente criterio sufficiente per la stabilita e l'attrattivita di un'or-
bita periodica di [5.8.2], ovvero per la sua instabilita: questo criteria e la migliore
i1lustrazione del significato e dell'interesse deHa trasformazione di Poincare:
XID Proposizione Sia tx(t), tO, una traiettoria periodica di [5.8.2] con
un periodo minimo T> O. SiLl 0 un elemento di superficie trasversale alia traietto-
ria in Eo = x(O) e si introducano su 0 coordinate cartesiane 11 = (171, ..., 17d - 1) e si
denoti r/' = <i> 0'(11) la trasformazione di Poincare definita in un opportuno intomo
di eo, assunto come origine delle coordinate su 0: allora 4- a (O) =0.
L 'orbita periodica in questione e stabile ed e un attrattore con velocita espo-
nenziLlle per i punti ad essa suffiientemente vicini se la matrice:
a<i> (i)
a
(Lo);j= af1j (0) i,j=l,...,d-l [5.8.3]
ha tutti gli autovalori con modulo inferiore a uno.
Se uno almeno di questi autovalori ha modulo superiore a uno l'orbita e insta-
bile.
Osservazione. II lettore non avra difficolta a riconoscere in questa proposizione
una ovvia analogia con la proposizione VI del paragrafo 5.4. La dimostrazione an-
che e in tutto simile a quella della proposizione citata, e per certi versi piu sempli-
ce. Ne lasceremo l'elaborazione allettore come interessante esercizio (si consideri,
preliminarmente, i1 caso in cui <i> a e line are ).
Consideriamo ora la [5.8.1] e supponiamo che, per ogni aE(a', a") = J, questa
equazione ammetta una soluzione periodica txa(t), tO, di periodo minima
T> O. Per i teoremi di regolarita sulle equazioni differenziali (vedi  2.4) la fun-
zione (t, a)  xo:(t), (t, a) E [0, + 00) X (a', a"), e di cIa sse C(k) se questa e la clas-
se di regolarita del secondo membro di [5.8.1].
Si potra allora considerare, per ogni a E (a', a") la matrice di stabilita La(a)
(vedi [5.8.3]) relativa a un elemento di superficie ache, se (a', a") e un intervallo
abbastanza piccolo, potra essere assunto indipendente da a. Ammettiamo qui, per
semplicita, che l'intersezione Eo: dell'orbita periodica can 0 sia a-indipendente, per

403
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
aE (a', a"): e chiaro che ci si PUQ ridurre a questo caso a mezzo di un opportuno
cambiamento di variabili.
Chiameremo  questa intersezione e, se (a', a") e un intervallo abbastanza pic-
colo, potremo assumere che Ie trasformazioni di Poincare  a Q siano tutte definite
- ,
in uno stesso intorno U di  su o.
Supponendo dunque che (a', a") sia abbastanza piccolo ci troviamo nella situa-
zione in cui una famiglia di trasformazioni  a, 0:, a E (a' , a"), di a n U in 0 e tale
che:
o, Q() = .
[5.8.4]
In analogia alle definizioni di stabilita, attrattivitcl ecc. relative aIle famiglie di
trasfonnazioni associate aIle soluzioni di equazioni differenziali si possono intro-
durre analoghe nozioni per una singola trasformazione  di R d , 0 parte di R d , in
se (quello che prima era il gruppo (St) to di trasformazioni associato aIle soluzio-
ni dell'equazione differenziale diviene ora il gruppo (n)n o delle iterate della
trasformazione 4»: si pensi cioe a  come a una evoluzione osservata a intervalli
interi di tempo).
Non stiamo a ripetere Ie ovvie nozioni di stabilita, attrattore, attrattore vago
ecc. per Ie iterate di una trasformazione  e menzioniamo solo che, poste queste
definizioni in modo ovvio (viste Ie analoghe dei paragrafi precedenti per Ie evolu-
zioni associate a equazioni differenziali), vale la seguente proposizione (sulla esisten-
za di una varieta attrattiva e sulla biforcazione di Hopf):
XIV Proposizione Si eonsideri la [5.8.1], eon fEe (k + I), eon k > 1, e una fa-
miglia di sue orbite periodiehe ehe verifieano Ie proprieta illustrate nel testa pre-
eedente, dopo la proposizione XIII.
Supponiamo ehe, per a E (a', a"), la matriee di stabilitil Lo( a) abbia gli auto-
valori AS+I(a),..., Ad-I(a) eon modulo v<l e che esista v'E(v, 1) tale che gli
autovalori Al (a), ..., As(a) hanno modulo  v' per aE (a', an). Supponiamo inoltre
ehe il piano generato dagli autovettori associati agli s autovalori A I (a), ..., A s( a)
coincida con il piano lls+ 1= ... = lld - 1=0 SU o.
Se  e un attrattore vago, per Ie trasformazioni 4»0,0: nell'intomo di acE (a', a"),
esistono €, D, Do> 0 e una famiglia di funzioni, definite su un intomo r (D) X (ac - €,
ac+ €) dell'origine di RSX R (f(D)= quadrato di centro nell'origine e lato 2D): 'Iii),
j = s + 1, ..., d, di elasse eke tali che Ie superfiei, in 0, di equazioni:
_ (s+ 1) ( )
l1S+I-'/J 111,.'" l1d-b a
r l1il  D, i = 1, ..., s
[5.8.5]
_ (d - 1) ( )
l1d - I - '/J 11 b ..., lld - I' a
parametrizzate da a E (a c - €, a c + €), sono loealmente invarianti, nel senso analo-
go a [5.6.9], rispetto aile trasfo1711Jlzioni o, 0:, a E (ac- €, ac + e), rispettivamente.
Tali superfiei attraggono con veloeitil esponenziale i punti di f (D).

404
Capitolo quinto
Inoltre se s = 2, se vale una co ndizi one di vaga attrattivita analoga aUe (ii), (iii)
della proposizione XII e At (a)=A2(a) ha modulo strettamente crescente con deri-
vata (rispetto ad a) non nulla in un intomo di a c e se IAt (ac)1 = 1, 1m At (a c ) * 0
e At non e radice dell'unita di ordine  5 ese, infine, k e abbastanza grande e
la - ac I abbastanza piccolo esiste, su a, un insieme invariante per  G, a, che deno-
teremo 'r a , omeo , morfo per a>a c , a una circonferenza. Tale insieme e l'interse-
zione con a di un toro invariante per Ie soluzioni di [5.8.1] e che attira on velocita
esponenziale Ie soluzioni corrispondenti a dati iniziali in un intomo di , eccetto
 stesso.
Osservazioni
1) Come, dunque, i punti stazionari vagamente attrattivi possono "biforcare"
in certe situazioni ingrassandosl in orbite periodiche, attrattive, COSt orbite perio-
diche vagamente attrattive possono "biforcare" ingrassandosi in tori bidimensio-
nali.
2) La dimostrazione di questa proposizione e paraIlela a quella delle due pro-
posizioni analoghe dei paragrafi 5.6, 5.7 (proposizioni XI, XII) e non sara discussa.
3) La proposizione XIV insieme alle XI, XII, XIII e agli esercizi dei paragrafi
5.6, 5.7 ci fomisce una teoria generale della stabilita di punti stazionari e orbite
periodiche vagamente attrattive dell'equazione [5.8.1], se la classe di regolarita di
Ie abbastanza buona (ad esempio IE C(oo»).
Diviene naturale domandarsi se sia possibile, in modo analogo, discutere la teo-
ria della stabilita e delle biforcazioni (in occasione di perdita di stabilita) di attrat-
tori 0 insiemi invarianti piu complessi.
Purtroppo questa domanda e assai difficile e non si presta ad essere considerata
in contesti molto generali: solo in classi di casi particolari la trattazione di questo
problema puo essere svolta in qualche dettaglio (ad esempio la teoria dei cosiddet-
ti attrattori "che verificano l'assioma A").
E' un tema di grande interesse che sembra avere addentellati con tanti fenome-
ni, non solo di natura meccanica (ad esempio, e in particolare, appare nella teoria
della turbolenza nei fluidi, che e di grande stimolo aIle ricerche su questi argomenti).
4) Come commento alla generalita della teoria di questo capitolo occorre porre
in risalto che la vaga attrattivita di un punta 0 di un'orbita nell'intorno di un cer-
to valore critico a c e un'ipotesi interessante, soprattutto per Ie eleganti conseguen-
ze che implica, pero e lungi dall'essere sempre (0 spesso) verificata. Accade spesso
anche che sistemi semplici di equazioni differenziali abbiano punti stazionari 0 or-
bite periodiche che non sono vagamente attrattive nell'intorno di un valore critico
a c ove perdono stabilita. In questi casi non esiste una teoria generale che faccia da
guida e vari fenomeni sono possibili: come, ad esempio, la "improvvisa" (ossia per
ogni a> a c ) transizione ad un regime asintotico governato da attrattori di natura
piu complessa di un punta stazionario, di un'orbita periodica 0 di un toro; tali at-
trattori possono eventuaImente trovarsi molto distanti (e non nell'intorno) dell' at-

405
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
trattore che ha perso stabilita. Si denotano tali attrattori con l' aggettivo "strano":
e una qualifica che, piuttosto che una precisa proprieta matematica, denota l'im-
possibilita di descrivere questi attrattori come oggetti semplici (quali appunto sono
i singoli punti, Ie orbite periodiche 0, anche, tori di due dimensioni).
Per illustrare l' osselVazione 4 e per vedere un po' quanto complicata possa es-
sere la struttura delle biforcazioni in casi di equazioni differenziali relativamente
sempIici (con non linearita solo quadratica) diamo una serie di esempi. Parte dei
risultati citati possono essere ottenuti usando la teoria dei paragrafi precedenti (quel-
Ii relativi alIa stabilita delle soluzioni stazionarie; vedi 99 5.4, 5.5) eventualmente
con l'uso di un calcolatore per il calcolo degli autovalori. La maggioranza, pero,
dei risultati citati PUQ solo essere (attualmente) otten uta eseguendo esperimenti
numerici (di solito entusiasmanti).
Lasceremo allettore, come esercizio, di verificare Ie affermazioni che seguono
analiticamente, quando possibile, e al calcolatore (qualora ne abbia la disponibilita).
Esempio 1. (Modello di Lorenz della turbolenza atmosferica.)
Oal punta di vista analitico si tratta di un sistema di equazioni che il lettore po-
tra, per esercizio, interpretare come equazioni del mota di un giroscopio sottopo-
sto a opportune forze (seguendo schemi analoghi a quelli del 9 5.2). Le equazioni
so no:
x == - ax + ay
y == - ax - y - xz
i == - bz + yx - a
[5.8.6]
con a = 10, b == 8/3.
La struttura degli attrattori e la seguente:
1) a < a == - b( a -1); un unico punta stazionario che si PUQ dimostrare global-
mente attrattivo per a ab bastanza piccolo; tale punta e stab ile (con autovalori di
Lyapunov a parte reale negativa) e, numericamente, globalmente attrattivo fino
1
a ac.
Tale punta e:
a
x=y==O z==--,;; [5.8.7]
ed e stazionario Va.
1 2 l+a
2) a c < a < a c == 2ab a -1 _ b ,...., 83.82; il punto precedente subisce una biforca-
zione per perdita di stabilita in una sola direzione: per il teorema di Hopf, essendo
vagamente attrattivo, biforca in due soluzioni stabili: tali soluzioni esistono per
ogni a > cx, ma perdono stabilita per a  a. Oa un punta di vista numerico un
dato iniziale preso a caso viene attratto da una di queste due soluzioni.
Le soluzioni sono:

406
Capitolo quinto
x=y=:t VO: -b(o+l) z=-o-l.
[5.8.8]
Non si deve pera pensare che gli insiemi invarianti siano esclusivamente costituiti
dall'asse x = y = 0 e da questi due punti. Esistono, ad esempio, per a '" a orbite
periodiche instabili.
3) Per a > a i punti [5.8.8] perdono stabilita: tale perdita avviene in due dire-
zioni complesse. Tuttavia, pur continuando ad esistere per a>o:, tali punti non
sono neppure vagamente attrattivi.
Non si applica quindi il teorema di Biforcazione di Hopf. Appare, invero, un
attrattore strano che permane fmo almeno ad a  230, pur sparendo a volte per
a in certi brevi intervalli ove l'attrattore riassume l'aspetto di un'orbita periodica.
4) Per a grande l'attrattore strano sparisce e in tali casi  sostituito da attratto-
ri costituiti da orbite periodiche come risulta da esperimenti eseguiti al calcolatore.
Le figure 5.10, 5.11 e 5.12 illustrano i qua ttro pun ti pre cedenti.
Esempio 2. ("Equazioni di Navier-Stokes su un toro bidimensionale, a 5 modi".)
E' un esempio di sistema in cui ci sono biforcazioni di Hopf, piil complesso di
quello discus so al paragrafo 5.1 (equazione [5.1.18]). Pua essere, meccanicamente,
interpretato come un sistema di due giroscopi accoppiati in modo strano. La sua
origine fisica e pera da ricercarsi nella teoria dei fluidi. 1£ equazioni so no :
1'1 = -2"11 + 4"12 "13 + 4"14 "15
12 = -9"12 + 3"11"12
1'3=-5"13-7"11"11 +0:
14 = - 5"14 -"11"15
1 s = - "15 - 3"11 "14 .
1) Per a piccolo la soluzione stazionaria ovvia (che esiste 'Va  0):
[5.8.9]
"11 ="12 ="14 ="15 =0
a
"13 = 5"
[5.8.10]
e stabile e globalmente attrattiva (esercizio).
Rimane stabile, per il criterio di Lyapunov, fino ad a = 5 V3i2 (esercizio). Fi-
no a questo valore e, numericamente, globalmente attrattiva.
2) Nell'intomo di a la [5.8.10] e vagamente attrattiva e, perdendo stabilita in
una sola direzione, genera due soluzioni stabili attrattive:
'Yl = e v6; V (a-a)
'Y2=e rt v(a-a)
V 776
[5.8.11 ]

407
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
o
y
50
40
30
20
10
-10
-20
-30
-40
-so
-30
-20
-10
o
10
20
30
x
Figura 5.10
Proiezione suI piano z=a-l dei punti fissi [5.8.8] e di un moto eorrispondente ad un dato
iniziale preso a easo per a > a; Q = 200. II mota non e periodieo.

408
y
50
40
30
20
10
o
-10
-20
-30
Capitolo quinto
-20
20
30 X
-10
o
10
Figura 5.11 Orbita periodiea relativa a1 easo Q grande; Q= 295.
'Y3 = v4
14=15=0,
con € = :t 1.
Queste soluzioni pennangono per a>a e numericamente sono globalmente at-
trattive (per dati iniziali scelti a caso, vedi commento al punta (2) dell'esempio 1)
finche sono localmente stabili; perdono stabilita per a = a :
a= o Vt ,
[ 5 .8.12 ]

409
z
30
20
10
o
-10
-20
-30
-40
-50
Sistemi dissipativi e sistemi con.rvativi
+
- 30 - 20 - 10
o
y
10
20
30
50
40
Figura 5.12 Altra proiezione dell'orbita in figura 5.11.
La perdita di stabilita e in una sola direzione (esercizio) e ciascuna di esse biforca
in due nuove soluzioni che sono localmente attrattive per Q E (Q, Q): ma persi-
stono per ogni Q > Q :
1/5 3;r 9
11=€V3 12=€80 V3 Q 13= 80 Q
14=  v(:o aY - ; 1s=- a:o aY - ; v4
€, a=:t 1
e Q = 22,8537 ... (esercizio).
Per QQ Ie [5.8.13] perdono stabilita, in due direzioni complesse e apparente-
mente restano vagamente attrattive: appare infatti, numericamente, attorno ad ognu-
na di esse un' orbita periodica stabile.
La struttura dei moti per Q > Q e piuttosto affascinante: a vari valori Q' 1, Q' 2 ,
, 3,... appaiono nuove orbite periodiche che biforcano dalle precedenti perche
queste perdono stabilita sempre in una sola direzione con l' autovalore che supera,
in modulo, 1 passando attraverso i1 cerchio unitario in -1.
[5.8.13 ]

410
Capitolo quinto
Questi casi, non contemplati nella proposizione XIV si possono trattare pero,
analogamente al caso dell'osservazione 6 al teorema di IIopf (proposizione XII), e
prevedono che I' orbita si "sdoppi" raddoppiando il periodo (purche l' attrattore re-
sti vagamente tale).
La successione di biforcazioni sembra essere infinita ed e stata osservata speri-
mentalmente fino a quando il periodo ha raggiunto 2 5 volte il valore iniziale (cioe
si sono osservate cinque successive biforcazioni). II punta di accumulazione Hm a' n
n-+ oo
sembra essere, misurato sperimentalmente al calcolatore: a' 00=28,66861 ...
Per a= a' 0 = 28,663 ... appare un'altra famiglia di orbite periodiche che per
a E [a' 0 , a' 00] coesistono con Ie precedenti orbite pur essendo anch'esse stabili:
un dato iniziale scelto a caso e attratto da una delle due. Al crescere di a per
a= a' 1, a' 2, ... queste nuove orbite subiscono 10 stesso fato di quelle precedenti
sdoppiandosi "indefinitamente" con un punta di accumulazione a' 00= lim a' n =
n-+ oo
= 28,72010 ...
Per a > a' 00 appare una regione in cui il mota asintotico sembra essere regolato
da un "attrattore strano". Infine per a> a c  33 tutto torna ordinato e il mota
asintotico e descritto da orbite periodiche attrattive globalmente (dal punta di vi-
sta numerico) e di forma e periodo varianti con regolarita in funzione di a.
Ripetiamo che l'aggettivo "numericamente" riferito a qualche proprieta delle
soluzioni significa che tali proprieta risultano da un'analisi numerica (al calcolato-
re) e non sono affermazioni matematicamente rigorose nel senso tradizionale del
tennine.
Un'altra eccezionalmente interessante e meravigliosa proprieta e che, numeric a-
. I . . 4 n + 1 4 n / 4 n 4 n - 1 5 n+ 1 5 n
mente, nsu ta che Ie successIon I (a c ' - a c ' ) (a c ' - a c ' ) e (a c ' - ac' )/
/( a' n - a' n - 1) sembrano convergere ad un limite p che e '"'-J 4,67. E' questo un
valore numerico che si congettura, "congettura di Feigenbaum", essere "universale",
indipendente, cioe, dalla particolare equazione differenziale in esame, per una va-
stissima classe di equazioni differenziali che danno origine a orbite periodiche sta-
bili che subiscono una successione infinita di "sdoppiamenti" successivi: e, pero,
un problema aperto dare la dimostrazione di questa affascinante congettura che
sembra essere verificata in tanti casi esaminati numericamente (oltre a quelli ora
discussi).
La struttura delle biforcazioni ora discusse e illustrata dalle figure 5.13 -;- 5.20
(proiezioni su vari piani di traiettorie di [5.8.11]:
Esempio 3. Un sistema che mostra orbite periodiche in tori secondo 10 schema
suggerito dal teorema di Hopf e il seguente ("equazioni di N avier-Stokes su un to-
ro bidimensionale a 7 modi"):
1'1 = -21'1 + 4v'5 1'21'3 + 4v'5 1'4 1's
l' 2 = - 91' 2 + 3 v'5 1'1 l' 3
1'3 = - 51'3 -7 v'5 1'11'2 + 91'11'7 + a

411
1'1
3.0
2.0
+P4
1.0
0.0
-1.0
+P3
-2.0
-3.0
Sistemi dissipativi e sis18mi conservativ"
P 2 +
-1.0
0.0
1.0 1'4
Figura 5.13
Orbite periodiehe e proiezione dei punti fissi suI piano "Y l' "Y 4 dopo la biforeazione in cui i
pun ti fissi [5.8.13] perdono stabilita, (k = 28.
1'4= - 51'4 -V"S I'll'S
15= -1'5 - 3V"S 1'11'4 + 5111'6
16= -1'6 + 51115
17= -517 + 9111'3
[5.8.14]
che PUQ essere discusso in modo analogo al sistema dell' esempio precedente.
La struttura delle biforcazioni e degli attrattori e notevolmente piu complessa
(e affascinante).
Non la discutiamo in dettaglio ritenendo che Ie figure 5.21-;- 5.27 da sole ecci-
teranno la curiosita del lettore e 10 spingeranno a leggere i lavori originali.

412
1'1
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
Capitolo quinto
0.0
1.0
3.0
5.0
1'3
1.5
2.0
4.0
4.5
0.5
2.5
3.5
Figura 5.14
Una delle orbite precedenti ha perso stabilita sdoppiandosi Q( > Q(' 1: Q( = 28,60.
1'1
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
5.0 'Y 3
1.0
2.0
1.5
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
Figura 5.15
Ulteriore sdoppiamento dell'orbita biforeatasi da quella della figura 5.11 Q( > Q('2, Q(= 28,650.

11
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
2.0
3.0
13
4.0
2.5
3.5
4.5
5.0
1.0
1.5
0.5
Figura 5.16 Ulteriore sdoppiamento 0: > 0:'3, 0: = 28,666.
11
2.0
0.0
-1.0
-2.0
-3.0
3.0
1.0
0.0
3.0
5.0
2.0
1.0
4.0
13
Figura 5.17
Una delle quattro nuove or bite della famiglia ehe inizia per o:=o:'o= 28,663, 0:= 28,663.

414
11
-1.0
-2.0
-3.0
3.0
2.0
1.0
0.0
Capitolo quinto
0.0
1.0
3.0
4.0
13
5.0
2.0
Figura 5.18 Sdoppiamento dell'orbita in figura 5.17 per Q>Q'1:Q=28,710.

415
11
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
SistBmi dissipativi e sistemi conservativi
0.0
2.0
"Y3
3.0
4.0
5.0
1.0
Figura 5.19
Orbita con mota asintotieo govemato, apparentemen te, da un attrattore strano,  = 31.

"Yt
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
"Y3
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
0.0
1.0
3.0
2.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
'Y4
"Y3
Figura 5.20
= 34: orbita periodiea
attrattiva per [5.8.9].
Figura 5.21
 = 71: un 'orbita periodiea
stabile per [5.8.14].

13
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.0
0.0
0.5
1.0
-0.5
Figura 5.22
a = 71.60: la preeedente orbita ha originato un toro stabile bidimensionale.
14

13
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
-2.0
-4.0
-6.0
-6.0
-2.0
0.0
4.0
6.0
11
2.0
-4.0
Figura 5.23 0: = 190: altra orbita periodiea stabile.
13
10.0
-2.0
-4.0
-6.0
-8.0
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
-6.0 -4.0 -2.0 0.0
2.0
4.0
6.0
11
Figura 5.24
0:= 190: un'altra orbita periodiea stabile ehe eoesiste con quella della figura 5.23 e con il toro
delle figure 5.25, 5.26.

"Y3
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
-2.0
-4.0
-6.0
-8.0
I
-6.0 -4.0 -2.0
2.0
4.0
"Yl
6.0
0.0
Figura 5.25
a = 196: toro stabile ehe eoesiste con Ie orbite stabili nelle figure 5.23, 5.24.
1.87 -
'"
\
\
"
,
,
\
:
"Y7 :
+
:
.
. I
., J
0.73 - \,/
I I
3.49 3.63
"Y6
Figura 5.26 Sezione bidimensionale del toro di figura 5.25.

420
Capitolo quinto
1 .87 -
/
,
;.I.,N
.
..,
....
.
. .
. t$-.'
.' ,
,",'
.1...
.:.,"
..:,. .
....f:..
.::. ,.
"17
0.73 -
.' ,
.1.._
I::' :1
.'"
..:'/
.. '
....,.
.' ,.
,. .,.
,. '/
,..,'
,$/
;'
/
I
1.82
"11
I
3.00
Figura 5.27
Altra sezione del toro di figura 5.25, e per un valore di  leggennente diverso, (= 196).
Tutte Ie equazioni di questi esempi, come notato negli esempi 1 e 2, possono
essere interpretate come equazioni che governano assurdi sistemi di giroscopi 0 so-
lidi accoppiati, ma sono state, in realta, considerate nella letteratura come equa-
zioni differenziali approssimate descriventi il mota di fluidi i quali sono govemati
da equazioni ("di Eulero", di "Navier-Stokes" ecc.) che, se opportunamente scritte,
possono essere considerate come equazioni descriventi infiniti giroscopi (0, meglio,
solidi con un punta fisso) accoppiati!
Non approfondiremo pero la discussione: si tratta, in realta, di problemi inte-
ressanti e sui quali e in corso intensa attivita di ricer ca. (Vedi ad esempio gli arti-
coli di M. Feigenbaum, V. Franceschini e C. Tebaldi citati nella Bibliografia.)
5.9 La stabilita nei sistemi conservativi: introduzione
...desinas ineptire
et quod perisse vides perditum ducas.
E' questo un problema molto naturale che si presenta, forse, per la prima volta
nella teoria del sistema solare, ove e tuttora non risolto.

421
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
Esistono in natura molti sistemi che sono "quasi integrabili" nel senso che Ie
loro equazioni del moto differiscono a menD di termini "pressoche trascurabili"
da equazioni del mota di sistemi integrabili.
Un esempio tipico e fomito dal sistema solare: nell' approssimazione in cui la
massa del Sole e M = + 00, cioe il Sole e un punta materiale fisso che attrae i pia-
neti con una forza centrale di energia potenziale inversamente proporzionale alIa
distanza e proporzionale alIa massa dei pianeti e, inoltre, nell' approssimazione in
cui Ie reciproche attrazioni fra i pianeti vengono trascurate, e chiaro che it sistema
solare e descritto da tante equazioni differenziali in R 3 quanti sono i pianeti (cioe
nove): una per ciascun pianeta.
Abbiamo gia visto, nel capitolo 4 ( 4.10 e 4.9) che ciascuna di queste equa-
zioni e integrabile nel senso del paragrafo 4.8.
E', allora, assai allettante pensare che il moto effettivo del sistema solare sia
"vicino" a questo moto idealizzato seguito da nove pianeti indipendenti.
Mantenendo, per semplicita, l' approssimazione in cui il Sole e un punta mate-
riale fisso rispetto alle stelle fisse, si tratta di confrontare Ie soluzioni dei due si-
stemi di equazioni, i = 1, ..., 9:
Kmi x(i)
mi x(i)= - ( ) ( ) [5.9.1]
Ix i 1 2 Ix i I
e
.. ( i ) Kmi x(i) 19 mimj x(i) - ;x(j)
mi x = - - E L
Ix(i) 1 2 Ix(i) I j*i (x(i) - X(j))2 Ix(i) - x(j) I
[5.9.2]
almeno per dati iniziali che, posti nelle [5.9.1], danno luogo a traiettorie per Ie
quali Ix i - Xj I e talmente grande da rendere il secondo addendo in [5.9.2] "picco-
lo" rispetto al primo. La costante E e la costante di gravitazione universale, m h ..., m9
sono Ie masse dei nove pianeti (con i relativi satelliti se si vuole) e ove si e trascu-
rata la presenza e il mota dei satelliti, comete, asteroidi ecc., K e EMS se MS e la
massa reale del Sole.
Scegliendo come origine dei tempi I'istante fuggente, la situazione in cui inizial-
mente si trova it sistema solare e appunto tale che it termine in E in [5.9.2] ha mo-
dulo assai minore del termine che rappresenta l'attrazione del Sole. La prima que-
stione, preliminare al confronto fra Ie soluzioni di [5.9.1] e [5.9.2], e se questa si-
tuazione si mantiene al variare del tempo.
Questa proprieta e facilmente verificabile attraverso la soluzione esplicita del
problema kepleriano dei due corpi nel caso delle [5.9.1]. Dunque, vediamo che
questa questione e essa stessa intimamente legata al confronto fra [5.9.1] e [5.9.2].
Dai risultati generali della teoria delle equazioni differenziali e evidente che
"equazioni vicine danno luogo a moti vicini": questa vicinanza, pero, non e uni-
forme nel tempo (non segue, invero, dalla dimostrazione di dipendenza regolare
dai dati iniziali e dai parametri dell'equazione, che equazioni vicine con dati ini-
ziali vicini, 0 uguali, diano luogo a traiettorie 0 moti etemamente vicini: questo e,

422
Capitolo qu into
praticamente sempre, falso, come si vede in semplici esempi).
Ci si domanda aHora se Ie correzioni alle equazioni del mota [5.9.1] dovute alla
presenza del termine in € in [5.9.2], pur piccole, possano causare mutamenti nei
moti che, alla lunga, facciano sl che il mota dei pianeti divenga assai differente da
quello previsto dalle [5.9.1].
A priori potrebbero addirittura avvenire catastrofi "inimmaginabili": ad esem-
pia e possibile che l'influenza della forza attrattiva fra i pianeti possa causare col-
lisioni fra i pianeti stessi ovvero la loro caduta suI Sole.
Ovviamente si vorrebbero avere a disposizione strumenti di analisi delle soluzio-
ni di [5.9.2] e di confronto con la [5.9.1] che consentano, non solo di escludere
tali catastrofi, ma addirittura tali da poter dire che e vero, essenzialmente, che il
mota dei pianeti e descritto dalle [5.9.1] e che, volendo, si possono valutare Ie dif-
ferenze fra i moti di [5.9.1] e i corrispondenti moti di [5.9.2], con uguali dati ini-
ziali, per tempi lunghi, almeno rispetto ai periodi di rivoluzione dei vari pianeti.
In altre parole si vorrebbe poter utilizzare la [5.9.1] per previsioni astronomiche
"rozze" e poteme correggere i risultati almeno per tempi dell'ordine di grandezza
di varie migliaia di anni per ottenere previsioni piiI precise. IS
Che questo sia un problema delicato pub essere dedotto dal fatto che stime
grossolane, eccessivamente pessimistiche, degli errori conducono alla conclusione
che l'influenza mutua fra i pianeti PUQ divenire importante nel giro di pochi anni.
Ad esempio il tempo necessario a una collisione fra Terra e Venere, nell'ipotesi
che all'istante zero questi due pianeti 'siano fermi a una distanza d (T, V) uguale
alIa reale distanza massima osservata, potrebbe essere stimato da T colI tale che:
1 ( (mT+mv) ) 2
_ 2 € 2 T collisione=d(T, V)
d(T, V)
[5.9.3]
e, in unita in cui € = 1 e la velocita della luce e 1 e la massa m V di Venere e tra-
scurata rispetto alla massa mT= 1,47 .10- 11 s della Terra e si pone d(T, V)-
=2d(T, S)= 10 3 s si trova:
T collisione  370 anni
[5.9.4]
Dunque si vede che, anche per eseguire previsioni accurate per tempi della durata
di qualche secolo e necessaria una notevole precisione: e cioe e necessario tener
canto del fatto che il mota dei pianeti e all'istante iniziale assai lontano da una
situazione destinata ad una collisione e che, ovviamente, Ie correzioni al mota de-
scritto da [5.9.1] apportate dai termini aggiuntivi in €, in [5.9.2], non sono sempre
favorevoli a collisioni (0 fughe 0 altro): si pensi a1 problema dei due corpi dove la
pur sistematica attrazione si risolve essenzialmente net fornire una curvatura alla
traiettoria. In media questi effetti favorevoli a catastrofi possono essere assai piiI
18 I metodi usati in astronomia forniseono previsioni astronomiehe ehe pero sono quasi
sempre prive di valutazioni rigorose degli errori di ealcolo dei quali viene solo fornito un pre-
sunto ordine di grandezza.

423
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
piccoli, 0 addirittura totalmente assenti, rispetto a quanta il precedente calcolo
pessimistico possa lasciar pensare.
Questo e simili problemi, che ovviamente possono essere formulati per sistemi
assai diversi dal sistema solare (come sistemi di oscillatori armonici con forze con-
servative anarmoniche addizionali, ma piccole, che Ii perturbano 0, piu in generale,
sistemi "vicini" a sistemi integrabili) costituiscono la classe dei piu "semplici" pro-
blemi di stabilita dei sistemi conservativi.
A questi problemi si aggiungono problemi analoghi di stabilita del mota di si-
stemi integrabili modificati dall'aggiunta, fra Ie forze attive, di forze esterne che
variano con leggi temporali preassegnate e semplici.
Tutti questi problemi sono assai piu difficili di quanto ci si potrebbe forse, in-
genuamente, aspettare e solo molto recentemente sono state sviluppate tecniche
atte a darvi qualche risposta anche se siamo molto lontani da una teoria "soddisfa-
cente" .
II risultato centrale suB' argomento e it seguen te celebre teorema (di Kolmogo-
rov, Arnold e Moser) che analizzeremo in alcuni casi particolari e particolarmente
importanti nel paragrafo 5.12. Per approfondire il tema si pub consult are illibro
di J. Moser (vedi Bibliografia).
XV Proposizione Si consideri un sistema meccanico in R d a I gradi di libertti sog-
getto a forze conservative di energia potenziale <1>0 di classe COO(R d ) e inferiormen-
te limitata. Si supponga che il sistema sia integrabile su un insieme aperto WC!/
contenuto nello spazio !/ degli atti di moto.
Sia I la tras[ormazione di W in VX T I che integra il sistema su W (vedi defini-
zione 10, p. 276) e si ponga (A, 4(J)=/(x, x) riguardando (A, 4(J)E VX T l come coor-
dinate regolari in W. Si supponga che I sia una trasformazione canonica indipen-
dente dal tempo. 19
II mota su VXT 1 , immagine di un mota in WC!/ associato all'energia poten-
ziale <1>0 e ai vincoli ideali cui il sistema e soggetto, e descritto dalle trasformazioni
,.
(St )tER:
St(A, ",) = I(St(/- 1 (A, 4(J))) = (A, 4(J + w(A) t)
[5.9.5]
ove w(A)=(Wl(A), ..., WI (A)) sono Ie I pulsazioni corrispondenti agli I integrali
pn.mi A=(A 1, ..., AI) (questo segue dalla stessa dejinizione di sistema integrabile).
Si supponga, ora, che nell'intorno di un punta (Ao, 'Po) la matn.ce:
aw;
Hij= aA. (A) i, j= 1, ..., I
/
abbia determinante non nullo.
Allora se 'II e un 'energia potenziale in COO(R d ), uniformemente limitata, il pre-
[5.9.6]
19 Vedi definizione 16, p. 223.

424
Capitolo quinto
cedente sistema meccanico con gli stessi vincoli, ma pensato mosso da una forza
attiva di energia po ten z iale :
<I> 0 + e'¥ [ 5 .9 .7]
ha . 1 ° ., h d . h . d S (e) S A (e) E R 1
vane notevo I propneta c e saranno escntte c lllman 0 t e t , t , e
trasformazioni che generano i moti, co"ispondenti a [5.9.7] e ai dati vincoli, neUe
coordinate (x, x) e (A, tp) rispettivamente:
A (e) (e)
St (A,4(J)=/(St (A,4(J)) [5.9.8]
e S/e)(A, '/J) e definita solo per queUe coppie t e (A, tp) per Ie quali la [5.9.8] ha
senso (cioe se S/e)(x, x)E W e (x, x)E W).
i) Esiste un intorno di (A 0, 4(Jo) E V X T I che denoteremo 111 contenente un
insieme 1II(e)c1ll invariante per Ie trasformazioni S/e) ed una trasformazione
F(e) di 1II(e) su "f./'(e) X T l ove 1/"'(e) e un insieme di R I che e invertibile e che
, ,
denoteremo:
F(e)(A, 4(J)=(a(e, 4(J, A), w(e, 'P, A)).
[5.9.9]
Esiste inoltre una funzione definita su 1II(e) a valori in R I che denoteremo (A, 4(J)-+
-+{l(e)(A, tp) tale che:
F(e)(S/e)(A, 4(J))=(a(e, 4(J, A), 1/J(e, 4(J, A) + tn(e)(A, 'P)) [5.9.10]
Quindi i moti con dato iniziale in 1I/(e) possono pensarsi come rotazioni di un to-
ro I-dimensionale.
ii) L'insieme 11/( e) C 111 e, in generale, misurabile secondo Lebesgue (e non
necessariamente nel senso usuale di Riemann) e la sua misura e tale che:
mis (111 ( e) n 111)
 1
mis(1f1) eO
se (dillmetro 111) < + 00.
00
iii) Se (A, 4(J)E n lII(en), ove en  0, si ha:
n=l noo
[5.9.11]
A (e )
1im St n (A, cp)=(A, cp+w(A)t)
noo
[5.9.12]
1im o(en)(A, 4(J)=w(A).
noo
[5.9.13]
Osservazioni
1) Questo teorema ci dice che, in un senso opportuno, perturbando un sistema
integrabile con frequenze proprie "veramente variabili" (vedi la condizione [5.9.6]),
si ottiene un sistema che PUQ an cora essere pensato come un sistema che si muove
essenzialmente aHo stesso modo del precedente (vedi [5.9.10], [5.9.12], [5.9.13]),
purche it dato iniziale si trovi fuori di certe zone la cui misura e piccola ed e infi-
nitesima con e (vedi [5.9.11]).

425
Sistemi dissipativi e sistBmi conservativi
2) Nelle applicazioni, di solito, € e quello che e e non pub essere variato (ad
esempio nel caso del sistema solare) e Ie stime sulla struttura della regione 1I/'(e),
implicite nella dimostrazione del teorema, sono spesso troppo cattive per renderlo
utilizzabile in molti casi nei quali si vorrebbe applicarlo.
3) Si pub osservare che questo teorema pub coprire, a mezzo di facili adatta-
menti, un gran numero di casi che non rientrano immediatamente nelle sue ipotesi.
Ad esempio la condizione che <1>0 e 'II siano limitati e di classe Coo pub essere
eliminata, talvolta, a mezzo di stime a priori, magari dedotte da qualche altro adat-
tamento del teorema stesso, che consentano di escludere a priori la visita a regioni
di !/ in cui l'energia potenziale e grande 0 non molto regolare, almeno da parte
delle traiettorie che interessano.
Anche it requisito di regolarita pub essere fortemente ridotto, in ogni caso.
U conclusioni del teorema perb non valgono, in generale, nei casi in cui <1>0 e
VI sono veramente poco regolari: ad esempio se sono solo di classe C(l).
4) Si noti che l'insieme 1I/'(e) e, come si e detto, misurabile secondo Lebesgue.
E' un problema aperto se 11/'((;) possa essere scelto misurabile secondo Riemann:
e questo un aspetto insoddisfacente poiche significa che 1/"( e), pur contenendo
molti punti, per la [5.9.10] e per € piccolo, pub essere male approssimabile a mez-
zo di "insiemi buoni" e, quindi, diviene assai difficile decidere costro ttivamente
l'appartenenza 0 me no di un dato punta all'insieme j/(e) che, per altro, e una que-
stione di ovvia importanza.
5) II teorema precedente non pub essere immediatamente applicato al sistema
solare cioe a un sistema di N punti materiali attratti verso un punta fisso da una
forza centrale inversamente proporzionale al quadrate della distanza e interagenti
fra loro a mezzo di una simile forza di intensita proporzionale al prodotto delle
masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza mutua. Neppure se
Ie masse sono molto piccole.
II motivo risiede nel fatto che it sistema "imperturbato" in cui i pianeti sono
attratti dal Sole senza interagire mutuamente e, come si e visto nel paragrafo 4.10,
(supponendo per semplicita che tutti i pianeti si muovano su uno stesso piano che
contiene il Sole), un sistema a 3N gradi di liberta che ha solo N frequenze indipen-
denti (per Ie leggi di Keplero, infatti, i moti del problema dei due corpi so no sem-
pre periodici se la forza e inversamente proporzionale al quadrate della distanza).
Quindi Ie 3N frequenze del sistema non possono essere mai indipendenti nel senso
della [5.9.6], che viene ad avere 3N linee ripetute. Tuttavia e possibile rafforzare
il teorema precedente perche possa coprire almeno alcuni moti del problema gravi-
tazionale a N corpi. Non enunciamo precisamente, qui, il teorema in questione ma
menzioniamo solo una sua conseguenza: in un problema gravitazionale a N corpi
esistono, se Ie masse dei pianeti so no sufficientemente piccole, moti quasi periodi-
ci in cui i pianeti si muovono su orbite quasi circolari concentriche e quasi com-
planari (quindi senza mai entrare in collisione).
Questa affermazione risolve un problema che per secoli ha affascinato gli inge-

426
Capitolo quinto
gni di matematici, fisici e astronomi: la legge di gravitazione di Newton, da sola,
non e a priori incompatibile con la stabilita del sistema solare (empiricamente os-
servata per millenni e auspicata da tutti). Resta tuttavia aperto il problema della
stabilita del sistema solare: i dati iniziali sulle posizioni e velocita dei vari pianeti
e Ie loro masse reali sono lungi dal rientrare nel dominio di applicabilita della men-
ziona ta estensione del teorema di stabilita.
6) Le idee della dimostrazione della proposizione XV nascono dalla teoria delle
perturbazioni dei moti hamiltoniani. Ad essa dedicheremo il prossimo paragrafo e,
nei successivi, faremo vedere come Ie idee della teoria perturbativa possano essere
impiegate per dimostrare la XV nel caso piu semplice in cui il sistema imperturba-
to sia analiticamente integrabile.
5.10 La teoria forma1e delle perturbazioni
Or ti riman, lettor, sovra 'I tuo banco,
Dietro pensando a cia che si preliba,
S'esser vuoi lieto assai prima che stanco.
Messo t'ho innanzi: omai per te ti ciba;
Che a se torce tutta la mia cura
Quella materia ond'io son fatto scriba.
Consideriamo un sistema meccanico a 1 gradi di liberta descritto- da una funzio-
ne hamiltoniana H su un insieme W, aperto, contenuto in una superficie regolare
21-dimensionale; denoteremo i punti di W con (p, q) e la funzione H come:
(p, q)-+H(p, q).
[5.10.1]
Supporremo che il sistema sia analiticamente integrabile a mezzo di una trasfor-
mazione canonica I che 10 integra trasformando W in un insieme aperto V X T I , V c r:r,
e trasformando la hamiltoniana H in una funzione delle sole prime I coordinate A
dell'immagine (A, cp)=I(p, q) di (p, q)E W, dette "variabili d'azione" per Ie di-
mensioni fisiche di tali variabili quando I e canonica; per 10 stesso motivo Ie 'fJ so-
no dette "variabili d' angolo" .
Consideriamo, altresi, una funzione F, analitica, su W ed il sistema hamiltonia-
no descritto su W dalla hamiltoniana:
H(p, q) + eF(p, q)
ovvero, nelle variabili angolo-azione, (A, qJ) E VX r l :
[5.10.2]
h(A) + ef(A, .p)
[5.10.3]
ove:
h(A) =H(I- 1 (A, cp)), [(A, cp) =F(I- 1 (A, cp)).
[5.10.4]
La teoria delle perturbazioni si propone il confronto, per € piccolo, fra i moti

427
Sistemi dissipativi e sis18mi conservativi
del sistema hamiltoniano con hamiltoniana h ed i moti di quello con hamiltoniana
h + ef, di soli to a parita di dati iniziali.
Come detto al paragrafo 5.9 i metodi di confronto fra Ie soluzioni di equazioni
differenziali al variare di un parametro (teoremi di Liapunov, Hadamard e Perron,
Hopf), sviluppati nei casi "dissipativi", si rivelano spesso inadeguati allo studio del-
le difficolta connesse con questo nuovo tipo di problemi, di natura piuttosto diversa.
Pero la speciale forma delle equazioni di Hamilton fa si che sia possibile costrui-
re un algoritmo semplice e di grande interesse nelle applicazioni, per 10 studio dei
moti dei sistemi vicini a sistemi integrabili.
L'idea e di cambiare variabili a mezzo di una trasformazione canonica (A, 'P)-+
-+(A', 'P'), facendo in modo che l'hamiltoniana assuma la forma:
hn)(A')+en+lf€(n+l)(A', .p')
[5.10.5]
(A ' ' ) d I . bil e h (n) (n+l) f .. I . t . h d "
ove , 'P enotano e nuove varIa lee , J € sono unzlonl ana I IC e 1
e, vicino a zero, di -.p' in T i e di A' in un opportuno insieme aperto.
Quindi per e piccolo l'errore che si commetterebbe assumendo che nelle coordi-
nate (A', .p') il sistema sia descritto dalla hamiltoniana hn) (A') e assai piu piccolo
di quello che si commettereb be assumendo il sistema integrabile nelle variabili
(A, II) originali e, cioe, semplicemente ponendo e = 0 in [5.10.3] (purche la trasfor-
mazione canonica stessa sia non singolare in e = 0, che e un ulteriore requisito es-
senziale in questa costruzione).
Intuitivamente trascurare in [5.10.5], 0 meglio nelle equazioni di Hamilton as-
sociate a [5.10.5], il termine cp' -dipendente, produce nelle soluzioni delle equazio-
ni errori dell'ordine di grandezza e n + 1 T su moti osservati in un intervallo di tem-
po di durata T. Dunque, assegnata un'approssimazione '11, sara possibile mantener-
la, pur trascurando l'influenza dif;n+l) sui moti di [5.10.5], per una durata del-
l' ordine di Te, 11 CX'l1 e - (n + 1); per e piccolo questo PUQ essere un risultato sostanzial-
mente migliore per n > 0 di quello corrispondente alIa semplice, ma spesso troppo
crud a , approssimazione analoga con n = O.
Ci sono due casi notevoli nei quali si PUQ effettivamente costruire una trasfor-
mazione canonica che trasfonni la [5.10.4] in [5.10.5], almeno per (A, 4{J) in un
intorno avente la forma Sp(A o ) X T 1 C VX T 1 , ove Sp(A o ) e la sfera di raggio p in
R l attorno ad un prefissato punta A 0, e per n = 1 ed e piccolo. II primo caso si pre-
senta quando:
h(A)=wo. (A -Ao) +h(Ao)
con Wo E R l verificante:
[5.10.6]
1"'0 · pl- 1
c= sup <+00
JlEZ 1 , jl'j:#O IplQ
[5.10.7]
per C, Q> 0 opportuni.

428
Capitolo quinto
II secondo caso si presenta quando i coefficienti dello sviluppo di Fourier di [:
[(A, .p)=  f.(A) e i ...,
PEZ 1
[5.10.8]
sono nulli per Ivl > N e, posta:
ah
w{A)=-(A)
aA
[5.10.9]
si ha:
Iw(Ao) . vi > 0 'ti"EZ I, 0 < 1"1 N
[5.10.10]
Nel primo caso e addirittura possibile porre l'hamiltoniana nella forma [5.10.5],
'tin = 0, 1, 2, o.., purche € sia abbastanza piccolo (dipendendo, questa ultima condi-
zione, da n).
Questo e descritto dalle seguenti proposizioni XVI (Lagrange, Hamilton, Jacobi)
e XVII (Birkhoff, Siegel).
XVI Proposizione Si consideri la hamiltoniana [5.10.3] su VX r l con
[(A, 'fJ) =  1[.,(A) e ip ..,
PEZ
\.IN
analitica su V X T l , con N> 0, e si assuma che in A 0 E V la funzione h sia tale che:
[5.10,"11]
Iw(Ao)."I>O
11 E Z I, 0 < I pi  N
[5.10.12]
Esistono PI>O e €1>0 e, 'f€E(-et. €I), una tras[ormazione canonica (A, '1)-+
-+ (A I, 'P') definita per (A, cp) E V€ X r l con V V E  S Pt /2 (A 0) e avalon su S Pt (A 0) X T
dipendente linearmente da €, che tras[orma la hamiltoniana [5.10.3] nella hamilto-
niana :
hI)(A') + €2t;I)(A', .p')
h (l) #,(1) I . . h . A ' I
ove € e J € so no ana ItlC e In €, ,'P .
[5.10.13]
Dimostrazione. Dalla defmizione di funzione analitica e dalla teoria delle serie
,......,
di Fourier e delle serle di potenze e facile ded urre l' esistenza di PI> 0 tale che
SP 1 (Ao) eVe tale che [ed h hanno su SPt (Ao) X T1la rappresentazione:
h (A) =  I h(Q)(A - Ao)a [5.10.14]
tlEZ+
1
ove a = (a I, .o., al), (A -A o)a = II (Ai - Aoi)ai e:
i= 1
[(A, .p)=  I  I [.)(A -Aofe ip .,,;
QEZ+PEZ
I.\<N
[5.10.15]
vedi proposizione XVIII,  11, per una formulazione precisa di questa affennazio-

429
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
I
ne e di risultati piu generali d.i questo. Inoltre, V  > 0, se lal = L ai:
i= 1
R = SUp 1 sup l(lh(II)1 + eI"II[.)I) 151- 1111 < + 00.
QEZ+I1EZ
[5.10.16]
Determineremo ora la trasformazione canonica ricercandone la funzione gene-
ratrice. 20 Poiche ci aspettiamo che tale trasformazione differisca dall'identita a me-
no di infinitesimi in €, scriveremo la funzione generatrice incognita come:
A' .'P+<I>(¥', A')
[5.10.17]
ove (A', .p)  A' . cp e la funzione generatrice della trasformazione identica e <I> do-
vrebbe essere infinitesima in €.
La <I> sara determinata imponendo che la hamiltoniana, nelle nuove variabili
(A', '(J') definite dalla trasformazione formale:
A = A ' + a<l> ( A' )
acp 'fJ ,
, + a<l> ( A' )
cp =cp aA' t,p,
[5.10.18]
e, cioe, la funzione:
h ( ' a <I> , ) {, a <I> '.\
A + alp (Ip, A ) + e[\A + alp (Ip, A ), IpJ
[5.10.19]
sia cp-indipendente a meno di infinitesimi di ordine superiore in €.
Poiche, come si e detto, ci si attende che <I> sia cx:O(e) si trova, euristicamente,
sviluppando in serie rispetto a <I> e a la [5.10.19], l'equazione cui <I> deve
soddisfare: cp aA
 (A'). a a <l> (Ip, A') + e[(A', Ip) = (funzione Ip-indipendente), [5.10.20]
aA cP
che, scritta in termini delle componenti di Fourier di <1>, significa, se w(A') =
=  ( A'):
aA'
i(w(A') .v) <l>v(A ' ) + €[v(A')=O VEZ l , Ivl *0. [5.10.21]
Questa espressione e un'equazione effettivamente risolubile, se lA' - Aol < P t <Pt
e P t e scelto COS! piccolo che:
w(A'). v*O VVEZ 1 , O<lvlN
( ve di [5.1 0.12] ).
Definiamo, dunque, in Sp 1 (A o ) X rlla funzione analitica:
f. ( A' ) i II. f(J
<1> ( A' ) = L 11 e
t,p, € I
O<IIIIN -j w(A ).J'
PEz l
20 Vedi 9 3.11, p. 223, definizione 16 e proposizione xx.
[5.10.22]
[5.10.23]

430
Capitolo quinto
e osserviamo che, come segue dal teorema delle funzioni implicite (vedi la propo-
sizione XX del  5.11 per maggiori dettagli in un caso analogo, ma piu complesso)
applicato nell'intorno di un numero sufficiente di punti di T 1 , la seconda delle
[5.10.18] PUQ essere invertita nella forma:
'P =q/ + A( 'fJ', A')
[ 5 .1 0.24 ]
""-J ""-J ""-J
se e E (- e 1, e 1) e se e 1 e scelto abbastanza piccolo.
La funzione A, che dal teorema delle funzioni implicite risulta di classe Coo su
SPI(Ao)XT I e in realta addirittura analitica (vedi la proposizione XX del  5.11
suI teorema analitico delle funzioni implicite); inoltre dalle [5.10.16], [5.10.23]
segue l'esistenza di una costante B tale che:
0<1>, (.p'+A(A', .p'),A') E;;Blel.
aA
[5.10.25]
-
Quindi, se Blel < PI  PI , la trasformazione di SP 1 (Ao) X T 1 in VX T 1 defmita da:
A =A' + : (.p' + Ll(.p', A'), A')
.p=t(J' + (,,/, A')
[5.10.26]
trasforma Sp (Ao) X T 1 in un insieme contenuto in Sp (Ao) X T 1 e contenente
II. _ I
SPl2 (Ao) X T se, Inoltre, BI€I < P1/2.
Se dunque lei e sufficientemente piccolo:
. (""-J Pl- PI PI )
lel<mm\e h - 2B- , 2B - ell [5.10.27]
la [5.10.26] definisce una trasformazione canonica fra SPI(A o ) X T 1 e V(E)X TiC
c VX T 1 con V(€)CSPI(A o ), V(€):)SPl2(A o ).
Inoltre per la scelta di <1>,. [5.10.23], fatta secondo Ie indicazioni delle conside-
razioni euristiche che la precedevano, e chiaro che la nuova hamiltoniana [5.10.19]
su Sp I (A 0 ) X T 1 coincide, a meno di una funzione analitica di e, A' , t(J' e di ordine
e 2 in e =0, con la funzione:
h{A')+ e[o{A') = hl){A')
[ 5 .1 0.28 ]
perche sostituendo [5.10.23] in [5.10.20] si vede che i1 secondo membro di [5.10.20]
e, appunto, efo{A') ove toeA) e la componente O={O, 0, ...,0) di Fourier di f{A, 'fJ).
mbe
La precedente discussione, fondamento degli algoritmi piu comuni per il calco-
10 di moti hamiltoniani perturbati, conduce all'idea naturale di iterare it procedi-
mento riducendo la perturbazione da 0(e 2 ) a 0(e 4 ) ecc.
La difficolta sta nel fatto che, in generale, la nuova hamiltoniana [5.10.19], che
at primo ordine in € si riduce alia [5.10.28], non ha piu la forma necessaria per
l' applicabilita della proposizione XVI. Infatti la perturbazione di ordine e 2 sara una

431
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
funzione di A' e 'fJ' che ha tutte Ie componenti armoniche in 'f)' non nulle, salvo casi
eccezionali. Ci si PUQ convincere di questo con un po' di riflessione notando che
: (If! + A (Ij?', A'), A') contiene termini come exp i A(Ij?', A')' JI che, salvo mi-
racolose semplificazioni, non saranno polinomi trigonometrici in 'f)'.
Ha pero un certo interesse la seguente proposizione, che vale nell'altro caso con-
siderato prima della proposizione XVI, e che mostra che se h verifica [5.10.6],
[5.10.7] e possibile, con un procedimento simile a quello usato nella dimostrazio-
ne della XVI (ma diverso dalla pura e semplice iterazione di quello), rimuovere la
perturbazione a un ordine arbitrario in €.
XVII Proposizione Si consideri l'hamiltonwna [5.10.3] su VX T 1 con h verifi-
cante [5.10.6], [5.10.7] e con f analitica. Esiste p >0 tale ehe:
1) esistono €n >0, n = 0, 1, ..., e funzioni <l>e, n definite su Sp(A o ) X r 1 , genera-
triei di trasformazioni
a <I>
, = + €, n ( A' )
'fJ 'P aA' .p,
a <I>
A =A' + €,n ( A' )
a.p 'P ,
che sono canoniche, V€E(-€n, En), fra (A', tp')ESp(Ao) X T 1 e l'insieme ve(n) X TiC
I '--(n) .
C VX T con V€ =:) Sp/2 (Ao) e, lnoltre:
2) la trasformazione canonica [5.10.29] trasforma la hamiltoniana [5.10.3] nella:
h €, n (A ') + € n + 1 f€( n + 1 ) (A " 4P') [ 5.10.30]
h (A ' ) ' I .. . A ' j"(n+l) , I ... A "
ove €, n e ana ltlca In €, e J € e, pure, ana ltlca In €, , 'P.
[5.10.29]
Dimostrazione. Si definisce, euristicamente:
n
<I>€,n(.p, A')= L €k<l>(k)(cp, A')
k=l
[5.10.31 ]
e si considera l'hamiltoniana nelle nuove varlabili:
h fA' + o<l>e.n ( A ' ) \ + f f A , + o<l>e. n ( A' ) \
\ acp &P,  € \ a.p 'P, , &pJ
[5.10.32]
e si impone, sviluppando in serle di € questa espressione (usando l'analiticita di h
ed f), che la risultante serie in €:
00
L Vi(k)(A', 'P) €k
k=o
abbia tutti i coefficienti Vi(k), k = 0, 1, ..., n, .p-indipendenti.
[5.10.33]

432
Capitolo quinto
Si trova facilmente che questa condizione consente di determinare ricorsivamen-
te <1>(1\ ..., <I>(n) (e, ad esempio, risulta che E<I>(I) e data dalla [5.10.23]).
Come gia menzionato nel corso della dimostrazione della proposizione XVI,
esistono (per l'analiticita di h ed f) tre costanti R, Po, o >0 tali che, rappresen-
tando h ed f come serie:
h(A)= L I h(II)(A -Ao)Q
aEZ+
f(A, .p) = L L ftI) (A - Ao f e il1 ..,
aEZ! I1EZ 1
[5.10.34]
[5.10.35]
si ha, Spo (Ao) eVe (vedi [5.10.16]):
Ih(Q)IRpI(l1 \JaEZ
Ifv(Q)IRpoltlle-oll11 \JVEZ 1 , \JaEZ!
(anzi, per [5.10.6], h(a) = 0, se lal> 1).
Scegliamo p = Po/2 e, quindi, En CDS! piccolo che Ie [5.10.29] effettivamente de-
finiscano una trasformazione canonica (A I, ..p')  (A, ) che trasforma S p(Ao) X T 1
in un sottoinsieme di VX T 1 (si utilizza, allo scopo, il teorema delle funzioni impli-
cite per invertire la prima delle [5.1 0.29] rispetto a ..p').
La condizione [5.10.7] e utilizzata per controllare insieme con Ie [5.10.36] i
problemi di convergenza che nascono nel cercare di risolvere Ie equazioni per
<1>(1), ..., <I>(n).
Ad esempio si trova:
[5.10.36]
fQ) (A ,_ Ao f e i "."
<I>(I)(cp, A')= L I L
QEZ+ II #=0
'"'-J
I1EZ 1
e la convergenza di questa serie ha luogo per IA ,_ Aol piccolo, grazie alIa supposta
analiticita dif, a causa della seconda delle [5.10.36] e della [5.10.7] (che consente
di trattare it fattore IWo. vi-I). La [5.10.37] definisce, invero, una funzione anali-
tica <1>(1) su Spo (Ao) X T I .
Diamo ora una esplicita espressione per i coefficienti e per Ie hamiltoniane ap-
prossimate di ordine n, hn). Questa espressione e ottenuta a mezzo del procedi-
mento appena descritto.
Si trova, per k = 1, 2, ..., vedi [5.10.33]:
\jJ(k)(A I, ",) = { L 1 f(a)(A I, f/J) 1 L 1 1 L* I .
aEZ. n1,...,n a1 n l ,...,n a1
I ( OJ a<l>(n{)  a<l>(k)
..IT IT a. ( .p, A ') } + Wo . a ( .p, A ') =
J=1 S=l 'PJ 'fJ
a<l>(k)
= {N(k)(A I, V')} + Wo . aV' (V', A')
- i Wo . II
[5.10.37]
[5.10.38]

433
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
ove f(Q)(A', 'II) = 1 aIQ: (A', 'II) e il coefficiente a-esimo di Taylor di f
al!...al! a(A 1 aj .
attorno ad A' e la (*) significa che la somma e soggetta al vincolo L L n = k - 1;
inoltre j= 1 s= 1
W(O)(A', '/J) = h (A').
[5.10.39]
La condizione che W(k)(A', .p) sia cp-indipendente per k=O, 1 (caso n = 1), di-
viene:
f(A', 'II) + Wo. a:1) ('II, A') = (funzione indipendente da 'II) [5.10.40]
e determina, a menD di una funzione della sola A', la <1>(1) come nella [5.1 0.37].
Quindi, dalla [5.10.38], si vede che 21 , 22 N2)(A', 'II) = t f(ei\A', 'II) at 1 ) ('II, A')
i=1 i
e analitica su Sp(Ao)X r l e, se N2)(A') ne sono i coefficienti di Fourier, la condi-
zione che [5.10.38] con k=2 sia cp-indipendente detennina <1>(2):
.N;(2)(A') ei".'P
<I>(2)(A, '/J')= L ".
.,.*0 -I Wo .11
e la convergenza segue dalle stime sui coefficienti di Taylor-Fourier di N (2) impli-
cate dalla analiticita di N(2) in Sp(Ao)X r 1 e dalla supposta [5.10.7] ecc.
E' chiaro che:
hE,n(A')=ho(A')+  NJk)(A')e k .
k=l
[5.10.41 ]
mbe
Osservazioni
1) La [5.10.38] mostra che si PUQ scegliere N(k)(A', cp) indipendente dal valore
di n: viene quindi naturale tentare di considerare illimite per 11 -+ 00. In questo li-
mite Ia perturbazione dovrebbe sparire e, il sistema sarebbe trasformato in un siste-
ma con hamiltoniana:
h€(A')=ho(A')+  NJk)(A')e k .
k=l
[5.10.42]
e sarebbe dunque integrabile. Pero dalle stime su En che si deducono secondo 10
schema suggerito dalla precedente dimostrazione risulta che, salvo casi eccezionali,
En --+ 0 e, quindi, non si PUQ conciudere nulla circa illimite n -+ 00.
n--+ GO
E' noto che non PUQ accadere in generale che Ie serie:
GO
L EkN(k)(A')
k=l
GO
L e k <I>(k)('/J, A')
k=1
[5.10.43]
21 e 1 =(1, 0, ..., 0), e 2 =(0, 1, 0, ..., 0).
:n Vedi proposizione XVIII, p. 438.

434
Capitolo quinto
convergano definendo funzioni analitiche in €, A', cp e, al tempo stesso, €n+lfn+l)
uniformemente in Sp(A o ) X r 1 e in € vicino a zero.
Questo infatti implicherebbe l'esistenza di 1 integrali primi analitici (Ie A'), ana-
litici in €, 4{J, A, per € piccolo e, a mezzo di tali integrali (cosiddetti "integrali uni-
formi"), il sistema sarebbe integrabile analiticamente con una trasformazione cano-
nica che porta ad assumere tali integrali come nuove variabili d'azione. Questa pro-
prieta e stata dimostrata assurda in vari dei casi interessanti: il metodo per questa
analisi, che non esporremo, fu sviluppato da Poincare in relazione a un analogo
problema che si poneva nella teoria del problema dei tre corpi: fu questa la prima
istanza in cui venne chiaramente dimostrata l'esistenza di reall problemi in connes-
sione con la questione della convergenza delle serle [5.10.43].
2) Sulle due proposizioni ora illustrate si fondano vari algoritmi che sono in
pratica utilizzati per studiare perturbazioni di moti integrabili. II metodo piu sem-
plice e il seguente.
Si sviluppa f in serie di Fourier: e questo gia offre difficolta di solito insormon-
tabili; e in realta spesso solo possibile calcolare alcuni coefficienti di Fourier di f.
Pero, in compenso, spesso tali coefficienti tendono a zero, per v 00, assai veloce-
mente; per cui se si scrive f come:
f=f[N]+ f[>N]
[ 5 .1 0 .44 ]
ove, se f e data dalla [5.10.35], si pone:
f[N](A, cp)= L 1 L 1 fa)(A-Aofei".., [5.10.45]
aEZ+ .,EZ
O<I.IN
si ha che €f[>N] e molto piccolo anche per N non molto grande e trascurarlo pro-
duce un errore, su un tempo fissato, notevolmente piu piccolo di €, diciamo O(€1])
con 1]  1.
Si puo aHora applicare la proposizione XVI al sistema di hamiltoniana h + €f[  N]
e rimuovere la perturbazione all'ordine €2: il trascurare, nelle nuove variabili, la
perturbazione di ordine €2 e la perturbazione €f[>N] causera un errore, su un tem-
po fissato, dell'ordine di O( €2) + O( €1]), che, spesso, e un'ottima approssimazione
se w(A). J1 =#= 0, va < Ivl N, VA E {insieme "interessante" di dati iniziali}.
3) Un caso particolare di enorme importanza, al quale, perb, il precedente algo-
ritmo non pub essere direttamente applicato, e quello delle perturbazioni del mota
del sistema kepleriano dei pianeti del sistema solare, in cui si trascurano, nel defi-
nire il sistema imperturbato, Ie reciproche attrazioni fra i pianeti.
Come vedemmo i moti kepleriani sono rigorosamente periodici e ad ogni piane-
ta e associata un'unica pulsazione, invece delle tre a priori possibili: Ie altre due
sono nulle grazie alIa conservazione del momenta angolare.
Non e, dunque, sicuramente possibile soddisfare alle [5.10.10] con N ragionevo-
Ie e quindi non si puo applicare 10 schema precedente.
E' tuttavia possibile applicare uno schema assai simile.

435
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
Si consideri il mota dei pianeti in coordinate angolo-azione (A, 'fJ) ove A = (A (1),
...,A(n)), 4{J=(t.p(1),..., t.p(n») e (A(i), t.p(i)) sono Ie variabili naturali per il sistema
Sole-pianeta i-esimo, neUe quali l'hamil tonian a assume la forma (se ms= massa del
v mom.
S 1 o. I J
o e, mi = massa planeta I - mo, €ij =
ms
lN kmimj kms v mimj
ho(A)- L = ho(A)- L €ij
i<j IXi-xjl i<j IXi-Xjl
N - (i)
ho(A)= Lho(Al )
i= 1
[5.10.46 ]
[5.10.47]
o , d A U) 1 ° d o A U) (A U) A U) A (i) ) . d .
ove Sl e enotata 1 a prima componente I = 1, 2, 3 , e, rlcor la-
mo, che si possono scegliere per A (i) Ie seguenti variabili adatte alia descrizione del
sistema imperturbato:
A (j) 2 - (K ) 2 2 /2E - L
1 = mj Wj OJ = - ms mj j = j
A (j) A ( . ) - G
2 =mj J = j
A (j) A ( . ) . ( . )
3 = mj J cos I J
j=I,...,n
j=I,...,n
[5.10.48]
j=I,...,n,
ove A(j)/2 e la velocita areolare del j-esimo pianeta, Wj Ia sua pulsazione e OJ il se-
miasse maggiore della sua orbita (ellittica) e i (J) e l'inclinazione, suI piano dell' eclit-
tica, dell' orbita j -esima.
oLe variabili di angola associate a queste variabili d'azione sono t.pj) = Ij, t.pj) = g(j),
t.pJ) = h(j), note in astronomia come I"'anomalia media", la longitudine del semias-
se maggiore (orientato dal Sole verso l'altro fuoco) sui piano dell'orbita, e la lon-
gitudine della linea dei nodi del piano dell'orbita rispetto agli assi fissi stabiliti sui
piano dell'eclittica (ossia suI piano x, y del riferimento ierzial scelto).
La [5.10.47] mostra che g(j) e h(j) sono costanti (wJ)=wJ)=O) nei moti im-
perturbati, perche ho(A) dipende solo dalle variabili Lj, j= 1, ..., n.
Si puo allora procedere a scrivere la perturbazione in [5.10.46] in termini delle
coordinate A, <p (cosa non banale, in pratica), e poi si potra tentare di applicare 10
schema visto nella dimostrazione della proposizione XVI per costruire una trasfor-
mazione canonica (A, cp)-+(A', 4{J') che trasformi la [5.10.46] in una funzione in-
d . d d 11 . b il . (j) . 1 I ° d O. b t '
Ipen ente a e varia I t.pl , J = , ..., n, a pnmo or Ine In E = max €ij: as era
procedere come prescritto dalla dimostrazione della proposizione XVI consideran-
(j) (j) .
do t.p2 e t.p3 come parametrl.
Si otternl COSt un'hamiltoniana avente la forma:
h(A '(l) . '(1) ) - h (A ' ) + h (A ' (1) A '(n). '(2)
1 , ..., t.pl ,... - 0 € 1 1 , ..., 3 , t.p2 , ...,
t.p(3)) + O( € 2)
e Ie equazioni del mota diverranno (a menD di O(e 2 )):
[5.10.49]

436
Capitolo quinto
Aj)=O j=l,...,n
.(j)- ah l (A ' (I) A '(n). '(2) 1(3» ) 2 3
I{) (J - € (j) 1 , ..., 3 , 'f)" , ..., 'Pn j.. 1 , ..., n; a = ,
aA (J [ 5 .1 0 .50]
A .(j)-- ahl (A ' (I) A '(n). 1(2) '(3» ) . 1 2 3
(J - € I (j) I , ..., 3', 1{)2 , ..., 'Pn J = , ..., n; a = ,
al{)(J
.(j)_ ah o (A ' (I) ,(n) ) ahl (A ' (I) A '(n). '(2) 1(3» )
I{) I - '(j) I , ..., Al + e '(j) I , ..., 3 ,1{)'], , ..., 'Pn
aA I aA I
e, poiche hi e I{)j)-indipendente, Ie equazioni in parentesi graffa forma.no un siste-
ma di equazioni hamiltoniane, parametrizzate dai dati iniziali delle A J), a 2n gradi
di liberta; "risolte" queste equazioni l'ultima delle [5.10.50] e un'equazione ordi-
naria che esprime if;j) in termini di una funzione nota di t e, quindi, e "banale".
Nella mecanica celeste spesso accade che, nell'intomo W= VX T 1 dei dati ini-
- "J -
ziali interessanti, la hi stessa PUQ essere scritta come hi + Jlh 1, ove hie una hamil-
toniana integrabile e Jl e un parametro "piccolo". Si potra, aHora, applicare di nuo-
vo 10 schema della teoria perturbativa (proposizione XVI) per studiare it mota del
sistema hamiltoniano in [5.10.50], descritto dalle equazioni in parentesi graffa, co-
me perturbazione di un mota semplice.
Un caso di grande interesse in cui questo accade e il caso in cui nel moto im-
perturbato i pianeti si muovono su orbite di piccola eccentricita ed inclinazione:
il parametro Jl risulta dell'ordine di grandezza della massima eccentricita e della
tangente della massima inclinazione.
La rappresentazione del moto del pianeta, cosi ottenuta, e suggestiva: il pianeta
continua a muoversi all' in circa con 10 stesso periodo di rotazione e sulla stessa el-
lisse (vedi [5.10.50], ultima equazione, che dice che Ie anomalie medie ruotano
con pulsazioni imperturbate a menD di O(e)), ma la linea dei nodi e la Iongitudina
del semiasse maggiore sono dtate di un movimento che si svolge su scala di tem-
po O(e- l ) (a causa del fattore a secondo membro delle [5.10.50], equazioni in pa-
rentesi graffa),23 detto "precessio ne ", che e quasi periodico con i periodi caratte-
ristici dei moti con hamiltoniana hi. Cosl pure di mota quasi periodico variano Ie
velocita areolari e l'inclinazione del piano dell' orb ita.
Questa "descrizione tolemaica" e accurata solo all'ordine O(eJl + € 2) T se T e i1
tempo suI quale si vogliono eseguire previsioni astronomiche.
Rimandiamo illettore ai testi di meccanica celeste per Ia concreta applicazione
dei procedimenti e degli schemi di approssimazione a qualche problema astronomi-
co (tra i quali uno dei piu semplici e celebri e quello della teoria della precessione
del perielio di mercurio).
23 Per questo e ehiamato "perturbazione seeolare", essendo, nei casi piu semplici, una sca-
la di tempo dell'ordine del seeolo.

437
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
S.10 Schemi di esercizi
1. Si applichi la idea della dimostrazione della proposizione XVII al caso:
Wo . A + eg('P) A, 'PE R 1 X r 1
con Wo verificante [5.10.7]. Si deduca che questo sistema e integrabile.
2. Si applichi 10 schema suggerito nella osservazione (3) per discutere, al se-
condo ordine in e, il mota associato a:
1 22 1 22 4
2(Pl +qt)+2(P2+q2)+e(2Qt+q2)
3. Come l'esercizio (2) per:
2 2
Pt P2 1
- + -- +e(Qt-Q2).
2 2 v' qi + Q
4. Sia l(L) C R l un quadrato con centro nell'origine e lata 2L. Sia vE Zl, Ivl > 0,
e sia Ie (L) l'insieme dei punti wE 1 (L) tali che w.  < €. Mostrare che la mi-
1111
sura di le(L) e non superiore a 2e(2LVl)1.

Se ne deduca che la misura dell'insieme Ie dei punti wE 1 (L) tali che Iw. 111- 1 <
<Civil, V"'EZ l , 1111 >0, ha complemento con misura non superiore a
2C- t (2LVl)1 L ,.",- l - t .
1..,1>0
(Si parla qui di misura di Lebesgue.)

S. Usando (4) si mostri che Uc Ie ha la stessa misura di 1 (L) (nel senso di Le-
besgue) pur avendo complementare denso.
5.11 Funzioni olomorfe e loro pro prieta elementari. Teoremi analitici suUe
funzioni implicite
Nel paragrafo 5.10 abbiamo menzionato alcune proprieta delle funzioni analiti-
che, senza dimostrazione. Tali proprieta si deducono nel contesto piu generale del-
la teoria delle funzioni olomorfe. Tali funzioni, essenzialmente, si definiscono co-
me funzioni analitiche di variabili complesse: cioe una funzione f a valori in C P,
definita su un insieme aperto W di C 1 e olomorfa se e sviluppabile in serie di po-
tenze attomo ad ogni punto di W.
Per una piu approfondita discussione di alcuni problemi di teoria delle pertur-
bazioni e conveniente porre la seguente definizione, che e abbastanza generale per
i nostri scopi:

438
Capitolo quinto
8 Definizione Siano 1, p, q>O, AoERI e sia 9;(A o ) la multisfera di raggio p e
centro Ao in R 1 : (Ao)={AIAER/, IAi-Aoil<p, Vi=I,..., I}.
Siano f: (Ao)-+ Rq, g: (Ao) X TP -+ Rq, n: (Ao) X r P  Tq tre fun-
zioni analitiche (vedi definizione 13,  4.13);
A
1) si dira che [ e olomor[a nella multisfera complessa !/P(Ao) di centro Ao e
raggio p se esiste una funzione complessa f : (Ao)Cq che e sviluppabile in se-
rle di potenze attorno ad ogni punta di (Ao) e che coincide con [su (Ao);
2) si dira che g e olomorfa, a valori reali su (Ao) X TP, nella regione C( p,
; Ao) definita da:
C( p, ; Ao )={(A, z) I(A, z) E C l + p , IAj - Aojl <p, Vj= 1, ..., I,
e-<Izil<et, Vi=l, 2,...,p}
[5.11.1]
se, posta zj=ei'Pj, j= 1,2, ..., p, per 'PETP e posta
-
f(A, z) = [(A, tp) (A, 'P) E 9; (A 0 ) X TP
[ 5.11.2 ]
- -
la funzione [e estendibile a una funzione, ancora denotata f, olomorfa in C(p,
; A o ), ossia sviluppabile in serie di potenze attomo ad ogni punta di questo in-
steme.
3) Si dira che n e olomorfa in C(p,; Ao), a valori in Tq su (Ao)XTP, se
posta z=(e i 'Pl, ..., ei'PP) per 'fJETP e posta:
Nk(A, z) = exp i nk(A, 'fJ) k = 1, ..., q
[ 5.11.3]
1a funzione N e estendibile a una funzione N olomor[a in C( p, ; Ao) ed ivi mai
nulla.
Osservazioni
1) E' facile dedurre dalla teoria delle serie di potenze, che se f e g, n sono ana-
litiche in VX r P nel senso della definizione 13 del capitalo 4, allora dato Ao E V
"
esistono p>O e >O tali che f e olomorfa in (Ao) e g, n sono olomorfe in
C( p, ; Ao). In generale, pero, p e  potranno essere assai piccoli.
2) Questa definizione e particolarmente utile perche fornisce una semplice de-
scrizione di importanti classi di funzioni su T 1 , pensando T 1 come sottoinsieme di
C I, mediante la naturale corrispondenza:
'{J=('Pl, ..., 'PI)ETlz=(ei'Pl, ..., ei'PI)EC I .
[ 5.11.4 ]
I classici teoremi della teoria delle funzioni olomorfe (teoremi degli sviluppi di
Taylor e Laurent, formula di Cauchy, principio di identita) implicano la seguente
proposizione, che non dimostriamo, rimandando illettore ad un qualsiasi testo
element are di teoria delle funzioni olomorfe:
XVIII Proposizione Siano f, g, n tre funzioni che godono delle proprieta illu-
strate nella dejinizione 8, precedente.

439
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
1) Tali funzioni possono aUora essere rappresentate a mezzo delle serie assolu-
tamente convergenti in C ( p, ; A 0 ):
f(A )= L If(Il)(A -A of
aE z+
g (A, z)= 1: 1 1: 19.)(A-Aofz"
aE z+ PE Z
N(A, Z)!l= 1: 1 1: lNII'!)(A-Aofz"
aE z+ .,E Z
[5.11.5]
[5.11.6]
[5.11.7]
ove A = (A b ..., AI), z = (z t, ..., z p) e
I
(A -Ao)= II (Ai-Aoi)
i= 1
[ .
z.,= II zr'
i= 1
[5.11.8 ]
- ( ) EZ I - ( ) EZ l.. ,1"1",". . / (a) (a) N (a)
se a - at, ..., a[ +, ,,- Vb ..., VI , I coe))IClentl , g, sono oppor-
tuni vettori in C q . I I
2) Inoltre, posta 101 = L lail, 1"1 = L I vii e posto:
i= 1 i= 1
-
Ifl p = sup If(A)I+oo
AE (Ao)
Igl p , = sup I g( A, z)1  + 00, [5.11.10]
(A, z) E C ( p, ; A 0 )
si ha che t(a) e reale mentre g) e gOj so no /'uno il coniugato dell'altro (Va E Z!,
V"E Zl) e vale m:
[5.11.9]
If(a)1  I/l p p -11l1; Ig)1  Igl p ,  p -Ial e-  1"1
[5.11.11]
Osservaz ion e. Se 4{JE TP e z = eif{J = (eil, ..., eip), secondo una notazione che
useremo spesso, la [5.11.6] diviene 10 sviluppo di Taylor in A attomo ad Ao e di
Fourier in q; della funzione (A, 4{J)  g(A, q;):
  (0) A A ) a i.,.V'
g(A, 4p) = kJ I kJ I g., ( - 0 e .
Q E Z + liE Z
[5.11.12]
Possediamo ora la tenninologia adatta per formulare il teorema analitico delle
funzioni implicite. Questo teorema e una versione del teorema delle funzioni im-
plicite particolarmente semplice e forte, valida nel caso in cui Ie funzioni che defi-
niscono il problema di funzioni implicite siano analitiche.
Questo teorema sara di grande importanza nella dimostrazione del teorema dei
piccoli denominatori (proposizione XXI del seguente 9 5.12) che e essenzialmente
la versione della proposizione XV nel caso in cui si ponga l'ipotesi aggiuntiva di
analiticita delle funzioni I e h e della integrabilita analitica di h a mezzo di una
trasfonnazione canonica). Sara in effetti utilizzato per studiare in fonna "ottima-

440
Capitolo quinto
Ie" il problema dell a inversione della second a delle [5.10.18] e, quindi, della co-
struzione effettiva della trasformazione canonica di funzione generatrice [5.10.17].
II teorema in questione e illustrato dalle seguenti due proposizioni la cui dimo-
strazione, descritta nell'appendice N, e basata sui teoremi elementari e fondamen-
tali della teoria delle funzioni olomorfe, prima menzionati.
XIX Proposizione Sia I> 0 ed f una funzione olomorfa nella multisfera com-
plessa (Ao)CC/, reale sulla multisfera (Ao), a valori in C l e tale che
Iflp<E
Sia M una matrice IXI e si ponga:
[5.11.13]
11 = sup I(M- 1 );jl
i, j
[5.11.14]
e si consideri I 'equazione per A:
M(A -Ao) + f(A)=O.
[5.11.15]
Esiste 1> 0 dipendente solo da I tale che [5.11.15] ammette una soluzione se:
1 E ll < p
[5.11.16]
e tale soluzione verifica, ed e l'unica con questa proprietiz, la disuguaglianza:
IA - Aol < 1'€17.
[5.11.17]
Inoltre:
XX Proposizione Sia 1 >0 e siano , p, S, EE(O, 1) e S <; sia Ao E R / .
Sia g una funzione analitica su (Ao) X r l a valori in R I , olomorfa in C(p,
; Ao).
1) Esiste U11ll costante r> 1, dipendente solo da 1, tale che se E = I Kip,  e:
r Eli - (31 + 2) < 1 [ 5 .11 .18]
allora l'equazione per 'PEri, parametrizzata da A E (Ao):
'P' =.p + g(A,.p) mod 21T
[5.11.19]
e risolubile ed ammette una soluzione avente la forma:
SP='P' + 4(A, .p') mod 21T
2) la funzione A e olomorfa in C(p, -li; Ao) e:
IAl p , t-5 <rES-(3/+1)
[ 5.11.20]
[ 5.11 .21 ]
ed e I 'unica funzione che inverte la [5.11.19] e che gode anche di questa proprieta.

441
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
Osservazioni
1) La proposizione XIX e una versione a "infinite dimensioni" del teorema del-
le funzioni implicite (si possono considerare come parametri, nella [5.11.15], i coef-
ficienti di Taylor della f).
2) La proposizione XX e, pure, una versione del teorema delle funzioni implici-
te (si possono qui riguardare come parametri i coefficienti di Taylor-Laurent della
g) e, inoltre, ne e una versione "globale" in quanto la [5.11.19] viene considerata
e risolta al variare di 'P' e 'P su tutto T I .
5.12 Perturbazioni di intere traiettorie 0 di insiemi invarlanti. n teorema dei
piccoli denominatori
Un altro problema perturbativo che ci si pub porre e il seguente.
Sia (A, 4fJ) ho(A) una hamiltoniana analitica su VX T I , che supporremo tale
che la matrice:
a2hO
Mo(A);j= 3A; 3Aj (A) [5.12.1]
abbia determinante non nullo su V X T I .
E' chiaro che, dato Ao E V, il taro {Ao} X T I e un toro l-dimensionale invariante
per il mota associato alIa hamiltoniana h o.
Su di esso si svolge un mota quasi periodico t.p + Wo t con pulsazioni:
ah o
wo=w(Ao)= aA (Ao). [5.12.2]
Se fo e una funzione analitica su V X Tie naturale domandarsi se i moti su
VX T 1 , associati alIa hamiltoniana perturbata:
Ho(A, tp) =ho(A) + fo(A, tp)
[5.12.3]
lasciano invariante un toro in V X T I suI quale il mota si svolge quasi periodica-
mente con pulsazioni w(A o ).
Intuitivamente ci si potrebbe aspettare che il toro suI quale ha luogo un mota
quasi periodico con pulsazioni w(Ao) continuera ad esistere ma sara "deformato
e spostato" in VX T 1 rispetto a quello relativo al caso 10=0, almeno se Mo(Ao) e
invertibile e se fo e "piccolo" .24
Si pub notare che questo problema perturbativo e differente da quello studiato
al paragrafo precedente, che si occupava delle studio delle perturbazioni di moti di
assegnato dato iniziale.
24 Nel caso in cui w(A)=w o ' VAEV, e quindi Mo(A)=O, c facile dare un eontroesempio:
p2 + q2 €
si eonsideri il sistema di hamiltoniana e 1a perturbazione _q2; il sistema perturbato
2 2
non possiede aleun moto di pulsazione 1. Tutti i suoi moti hanno pulsazione .

442
Capitolo quinto
Ora si considera un complesso di mati che godono di una certa proprieta (qua-
si periodicita con pulsazioni w(Ao)) e ci si chiede se un complesso di mati che go-
dono della stessa proprieta continua ad esistere, nonostante la perturbaziane.
La proposizione XV del paragrafo 5.9 fomisce una risposta, in un certa senso
affermativa, alIa questione appena posta.
Enunciamo ora una proposizione che, come risulta dalle osservazioni 1, 2, 3 che
la seguono, dimostra anche la (i) della precedente proposizione XV (9 5.9) nel ca-
so in cui h e f sono supposte analitiche e h risulta analiticamente integrabile a
mezzo di una trasformazione canonica. In realta, come detto piu chiaramente nel-
la osservazione 4, alIa proposizione seguente, Ie stime fatte nel corso della dimo-
strazione consentirebbero senza eccessivo ulteriore lavoro di dedurre anche (ii) e
(iii) della XV, nelle menzionate ipotesi di analiticita.
La dimostrazione della proposizione XXI, che segue, e tratta da Arnold ed e spe-
cialmente adatta allo studio del casa analitico in esame. La dimostrazione della XV
ossia, essenzialmente, della XXI nel caso Coo, si basa su un metodo un po' diverso dal
pun to di vista tecnico ed e dovuta a Moser, ma, come gia detto, non la esporremo.
Chiameremo la proposizione XXI che segue il "teorema dei piccoli de nomina-
tori" ("di Arnold") per motivi evidenti dalla sua dimostrazione.
XXI Proposizione Siano ho e fo due lunzioni reali analitiche su o (Ao) X r 1 ,
olomorfe in C( Po, o; Ao). Si supponga che ho dipenda solo dalle variabili A di
(A, ",)E o(Ao) X r l e che la matrice Mo [5.12.1] sia non singolare VAE o(Ao).
ah
Si supponga che Wo = a (A 0) abbia fa proprietil:
Iwo . "1- 1  Civil
VIJEZ I , Ivl >0
[5.12.4 ]
ove C>O. Si supponga: 25
aho
Eo  aA
PO' o
110  IMo li p 
0' "'0
[5.12.5]
afo _ I ala
fo aA +Po a;-
Po, to Po, to
Esiste una funzione q : C, Po, o -+q(C: Po, o), dipendente solo da 1, Eo, 110, tale
che se Eo, 110 < + 00 e:
foq(C,PO, 0)<1
[5.12.6]
si puo trovare, dentro o (Ao) X r l , un toro 3( wo) con equazioni parametriche:
A =Ao + a('P')
'" = ",' + (j ('P' )
'P' E r 1
[5.12.7]
2S II modulo di una matriee R e definito pensandola come un vettore: IRI=(ijIRijI2)1I2.

443
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
e
1) 5( wo) e invariante rispetto alia evoluzione in o (Ao) X r l associata alia
hamiltoniana [5.12.3]. Su 5( wo) tale evoluzione e descritta dalla trasformazione:
, , +
'P 'P wot tE R+
[5.12.8]
ed e, dunque, descritta da un moto quasi periodico con pulsazioni WOo
2) Le funzioni Q e 13 sono analitiche su T l e:
la(<p')I+I(j(<p')lpo€oq(C, Po, o) V'P'ET 1 .
[5.12.9]
Osservazioni
1) Dalla teoria delle serie di potenze e delle serie di Laurent per Ie funzioni 010-
morfe segue che, se g., g2, ..., g, so no r funzioni analitiche reali su VX T l , e possi-
bile trovare due funzioni continue A  peA) ed A  (A) tali che (A)(A) C V, V
VA E V, ed inoltre tali che gt, ..., g, siano olomorfe in C( peA), (A); A) (vedi defi-
nizione 8, p. 438) e Igllp(A), (A),". siano funzioni continue di A in V, a valori
positivi.
E' dunque chiaro che la proposizione XXI potrebbe essere formulata in una for-
ma apparentemente piu generale richiedendo solo la analiticita di ho, fo e Mo 1 (ve-
di osservazione 3 seguen te ).
2) Un risultato elementare della teoria della misura di Lebesgue (teorema di
Borel-Cantelli) consentirebbe di dedurre che, dato C > 0 e supposto V limitato,
l'insieme V( C) dei punti A C V tali che:
ah 0 - 1
III'W(A)I- 1 = 11' 3A (A) <CIIII I
Vv E Zl, Ivl > 0
[5.12.10]
ha misura di Lebesgue J,L(V(C)) tale che J,L(V(C))J,L(V) per Coo, se Mo(A)-1
esiste VA E V (vedi esercizi 4 e 5, p. 437).
--- ,......
3) Allora si supponga che fo = Afo, con fo A-indipendente, e si fissi un insieme

V C V chiuso e limitato. Si ponga (vedi (1) precedente):
Po= min p(A),
'"
AEV
o = min (A),
AEV
Eo = max E(A),
AEV
110 = max 11(A).
AEV
Si applichi ora la proposizione XXI al sistema hamiltoniano descritto dalla [5.12.3]

in o(Ao) X r 1 con Ao E V(C) (vedi (2) precedente); se ne dedurra, vedi [5.12.6],
che per A piccolo il sistema hamiltoniano perturbato ammette, simultaneamente
coesistenti, i tori invarianti 3(w(Ao»), VAoE V(C). Tali tori si troveranno vicini
(vedi [5.12.9]) ai tori imperturbati.
Quanto piu reciprocamente irrazionali sono Ie pulsazioni w di un mota quasi pe-
riodico imperturba to (ossia quanta piu piccolo e C= sup (lw . 111- 1 1111- 1 )) tanto piu
11*0
grande dovra esser resa la perturbazione, cioe A, prima che possa "distruggere"

444
Capitolo quinto
tali moti e i relativi tori invarianti sui quali hanno luogo.
4) Le osservazioni (1), (2), (3) mostrano che, nel caso "analitico", Ie afferma-
zioni (i), (ii), (iv) della proposizione XV sono un corollario della XXI. La (iii) del-
la XV e anch'essa, nel caso analitico, un corollario della XXI 0, meglio, delle stime
che faremo durante la sua dimostrazione. Non ci addentreremo pero nella necessa-
ria analisi di questo punto.
5) La condizione [5.12.6] coinvolge solo Ie derivate di ho ed to: questo e natu-
rale perche solo tali funzioni appaiono nelle equazioni del mota (equazioni di Ha-
milton).
6) E' importante notare che in questa dimostrazione tutte Ie, numerosissime, di-
suguaglianze si possono "prevedere" in base a considerazioni dimensionali, e que-
sta osservazione e fondamentale per fornire una rapida verifica della correttezza
delle varie formule; su questa osservazione poggia la possibilita di ripercorrere ra-
pidamente e dominare la dimostrazione (fondata sull'idea che la derivata di una
funzione olomorfa si PUQ, grosso modo, stimare con il massimo del suo modulo
in una data regione diviso per la distanza dalla frontiera della regione stessa).
Dimostrazione. Sara utile pensare la hamiltoniana [5.12.3] come una coppia h o ,
to di funzioni, olomorfe su C(Po, 0;Ao)CC21 e reali su Y(Ao)Xr 1 (vedi la de-
finizione 8,  5.11).
A questa cop pia associamo i "parametri caratteristici" (Eo, '170, o; Po, Eo); sup-
porremo, senza perdita di generalita, che Po, oE(O, 1).
Porremo:
o = 1
n 4 3 + n 2
1
Tn=
1 + n 2 '
n=O,I,...
[5.12.11]
No =10 0 110g(C€o(ToOo)I)-1
e Ie scelte per on, Tn, No diverranno ragionevoli in seguito: si vedra che Ie pro-
prieta davvero necessarie per Ie successioni on e Tn saran no quelle di essere somma-
CIO
bili su n, infinitesime come potenze di n, e, inoltre, tali che 4  on<o.
n=o
Definiamo la perturbazione regolarizzata con "taglio ultravioletto" alIa frequen-
za No la funzione:
r[  NO] ( A f ) = L L r(a) ( A -A ) Il i.,. 
J 0 , '7'" I I J 0., 0 e
tlEZ+ .,EZ
I"I No
ove f:) sono i coefficienti di Taylor-Laurent della funzione f olomorfa in C( Po,
o; A 0); vedi definizione 8 e proposizione XVIII del paragrafo 5.11: Ie loro pro-
prieta fondamentali seguono dalla proposizione XVIII, e precisamente dalle [5.11.11],
1 . 11 f . . ato ato
app lcata a e unZlonl aA e  .
[5.12.12]

445
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
Pill precisamente, se ei = (versore della i-esimo direzione in R 1 ), si avnl:
If:+e;)1 (1 +ai)EopoIQle-ol"l, [5.12.13]
afo
per la [5.11 .11] a pp Hcat a a aA ' e
If:) vjl  eopop lal e - to 1111
afo
per la [5.11.11] appHcata a .
.... ah
Si noti che la proposizione XVIII applicata a a: consente di ricavare per i
coefficienti di Taylor di ho in Ao, la disuguaglianza analoga alIa [5.12.13]:
Iha+e;)(1 +ai)IEopIQI [5.12.15]
E' chiaro, per Ie [5.12.13] e [5.12.14], che fJNo] e fJ>N o ] sono olomorfe in
C(po, o; Ao) e:
[5.12.14]
afJNo]
aA
-r B1Eo(T080)-1
poe 0, t o - So
afJNo]
a",
[5.12.16]
-r Bl€OPo(T080)-1
poe 0, t o -5 0
se B 1 e opportuno e, se B 2 e opportuno:
afJ>N o ]
aA
afJ>N o ]
acp
 (  ) -1 -5 N 2
-r ::::::::::.B2 E o Touo e 0 0=B 2 €oC
poe 0, o-cSo
[5.12.17]
 (  ) -1 - cS N - r 2 - T C
-r ::::::::::.B2€0 Touo e 0 °poe 0=B 2 €opoe 0 .
poe 0, to-50
La dimostrazione procede ora lungo Ie linee gia indicate dalla teoria generale
delle perturbazioni: si cerchenl, con una trasformazione canonica, di eliminare la
perturbazione all'ordine Eo descritta, per Ie [5.12.17], dalla perturbazione, fJNo],
regolarizzata nell'ultravioletto.
Secondo quanto visto al  5.10, si sceglienlla funzione generatrice della trasfor-
mazione canonica A, cp  A', 'fJ' come una funzione avente la forma A' . cp + <1>0 (cp, A')
e, vedi [5.10.23], se (A', cp)E Ypo(A o ) X T 1 si definira:
f:) (A' - Ao)Q e i ". VJ
-i(w(A'). v)
<Po('fJ, A')= L 1
ilEZ+
L
IJEZ 1
0< 1111No
[5.12.18]
e tale funzione e olomorfa in C(Po, o -0 0 ; A o ), se Po e opportunamente scelto.
Infatti, se IAi-Aoil < Po e 0 < Ivl No e se B3 e una costante opportuna, si ha:

446
Capitolo quinto
Iw(A'). vl- I = I(wo + (w(A ')-w(A o ))). 111- 1 
_ 1 ( l(w(A')-w(A o )). vi ) -1
Iwo.vl 1- =
I wo . vi [ 5.12. 19]
 E  ) I
Clvll 1-B Clvll+l Po -
3 Po 1+ 1
To
I Aj a 2 h a 2 h
per la [5.12.4] e perche w(A ')-w(A o ) =. S . 3A. 3 (A) dAj e la 3A. 3. si PUQ
J= 1 A oJ J I J
maggiorare, per la formula di Cauchy 0 per Ie [5.12.5], con:
a2hO
(A)
aA; aAj
Eo 1
-
Po (l-e- To i+ 1
A.
VAE oe-To(Ao).
[5.12.20]
Quindi se
( E ) -1
B CN 1 + 1  < e- To
3 0 1+ 1
To
[ 5.12.21 ]
e se si pone:
-T
 _ Po 1+1 -1-1 ) -1 e 0
Po = 2 (B 3 CN o Eo To < Po 2
[5.12.22]
A.
si ha che, VA'E Ypo(A o ), la [5.12.19] implica:
Iw(A').vl- I <2Clvl l 'tJI1EZ / ,O<lvl<N o .
[5.12.23]
Dunque [5.12.18] e [5.12.23] implicano, con la [5.12.21] e viste Ie [5.12.13],
[5.12.14], [5.12.20], che:
a <I> 0
aA'
<Bs€oC(1 +EoC)(Tooo)-Xt
Po' o- 00
[5.12.24]
a <I> 0
a'fJ
< Bs €oPoC(ToOo )-X t
Po, o- 00
[5.12.25]
se B 5 e XI sono opportune costanti. Ad esempio la [5.12.24] si deduce COSt:
a <I> 0 f:+ej) (aj + 1) (A' - Ao)" z"
(z, A') -   +
aA; QEZ! 0< I"I No -i(w(A'). v)
((l) ( 3W(A ') . II) (A I -At zJl
0., aA  J
+I L J 
QEZ+ 0< IvlNo i(w(A'). V)2
  1  € o(2CIVII) ( Po ) IIIle-OOIJlI+ [5.12.26]
ilEZ+ l"INo Po

447
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
+ L L €oPo (2CII1I / )2 ( Eo (l-e- To r [- 1 ) ( Po ) 1111 e -6 0 1111 
4IEZ! 1111No Po Po
 ( €oC €oE o C 2 )
<:B +
1£21 21+1£31'
Touo TO Uo

pur di scegliere bene B ; qui si sono usate [5.12.13], [5.12.23] per stimare la prima
serie e Ie [5.12.14], [5.12.20], [5.12.23] per stimare la seconda (insieme, natural-
mente con [5.12.21] e la sua conseguenza [5.12.19]): XI pub essere scelto 31 + 1

e Bs coincide con la costante B introdotta nell'ultimo passaggio della [5.12.26].
Se vale la [5.12.21] ha dunque senso considerare la trasformazione di Y po (A 0) X
X T 1 C R 1 X T 1 definita da:
A = A' + a <I> 0 ( A' )
acp ., ,
, _ + a <I> 0 ( A' )
'P -.p aA' 'f),
che a (A', 'f))E Ypo(A o ) X T 1 associa (A, 'fJ')E R1X T I . Ci si pone allora il problema
di invertire la seconda delle [5.12.27] rispetto a 'P onde mostrare che la [5.12.27]
e effettivamente, sotto eventuali ulteriori limitazioni, una trasformazione canonica.
Allo scopo utilizzeremo la proposizione XX per dedurre che la seconda delle
[5.12.27] e invertibile a mezzo di una trasformazione avente la forma:
[5.12.27]
., = 'P' + (.,', A') [ 5 .12.28 ]
se, vedi [5.11.18], [5.11.20] e [5.12.24], si ha:
rB s €oC(1 +EoC)(ToOo)-Xl00(3/+2)< 1 [5.12.29]
oltre, naturalmente alIa [5.12.21]. In tal caso 1:1 e olomorfa in C(Po, o -20 0 ; Ao)
e:
IAlpo, t o - 25 0 < rBs €oC (1 + EoC) (ToOo )-X 1 0 0 31 - 1<
<B 6 €oC(1 +E o C)(To O o)-X 2
[5.12.30]
e X2 PUQ esser scelto uguale a X I + 3/ + 1.
Inoltre, se z; exp i l:1 j(z', A'), j= 1, ...,1, varia in C(0-100)26 al variare di A',
z' in C(po, o -20 0 ; Ao), si potni porre:
a <I>
":: ( , A' ) = 0 ( , + 1:1 ( , A' ) A' )
- cp, a..p f{J 'fJ , ,
e :=: risultenl olomorfa in C(Po, o -20 0 ; Ao) e si avnl:
[5.1231]
26 In generale definiremo C () = (multieorona cireolare in C I) ::;: {insieme delle I-pIe
z = (z l' ..., zO tali ehe e- < IZjl < e t , V j}.

448
Capitolo qu into
a <I> 0
1';;'1"'" I" ...1: 
 Po, 1,;0- DJo acp
 Bs EoP o C(ToDo)-x l .
Po, t o - 5 0
[5.12.32]
A causa della [5.12.30], la condizione perch6 questo accada e expl41 Po, to - 36 0 <
< exp Do: tale condizione e conseguenza della prima disuguaglianza neUe [.12.3 0],
vista la [5.12.29].
Pertanto, se valgono [5.12.29] e [5.12.21] si pub definire su !/po (Ao) X Tila
trasf ormazione :
A =A' +:E:(cp', A')
cp=ep' + (cp', A')
che sara una trasformazione canonica definita su !/po (A 0 ) X T I a valori in R I X T I
e, inoltre, ::: e 4 saranno olomorfe in C(Po, o -2Do; Ao) e verificheranno [5.12.32]
e [5.12.30].
Per poter utilizzare la trasformazione [5.12.33] per esprimere ho + fo come una
funzione olomorfa delle nuove variabili (A', cp') in una regione C(po, o - 4D o; A o ),
ad esempio, occorreni evidentemente considerare Ie:
[5.12.33]
A =A' + :E: (z', A')
, -"
zj=zjexpij(z,A) j=l,...,1
definite su C (Po, o - 4& 0; A 0) e a valori in C 21 e imporre che l'immne di
C(Po, o-4Do;Ao) sia contenuta in C(poe- To , o-Do;Ao) ovefJ 0], fJ>N o ],
ho sono olomorfe e controllate dalle [5.12.16], [5.12.17].
E' facile vedere che, grazie aIle [5.12.30] e [5.12.22] occorre solo imporre che,
e- To
oltre alle [5.12.21] e [5.12.29], sia 1:E:l po , to-26 o <PO 2 e cioe, vedi [5.12.32],
[ 5 .1 2 .34 ]
B,€oC(roDO)-X t < 1
[5.12.35]
con B, opportunamente scelta.
E' conveniente notare che Ie [5.12.21], [5.12.29] e [5.12.35] possono riassumer-
si nella unica condizione piu forte (che Ie implica):
Bs [(CEoN+ 1)_ 1 + C€o(1 + CEo)] (ToDo)-X 3 < 1, [5.12.36]
con Bs e X3 opportuni.
Supponiamo dunque valida Ia [5.12.36] e consideriamo il nostro sistema mecca-
nico nelle variab ili (A', 'P') E !/ Po (A 0) X T I. Esso sara ora descritto dalla hamilto-
niana:
HI (A', 'P') =ho(A' + :E:(ep', A')) + fo(A' + :2: (<<p', A'), «P' + ('fJ', A') =
= {ho(A')+ foo(A')} + {[ho(A' +Z(ep', A'))-ho(A')- [5.12.37]
-w(A') . :8: (cp', A')] + [fJ  NO](A' + :E:(cp', A'), 'fJ' + 4('fJ', A'))-

449
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
- IJ  NO](A', 'P' + (cp', A'))] + [/[ >No](A' + :E:(fP', A '), ' +
+ (I(J', A')]} = {h 1 (A ')}+ {II (A', Ip')},
ove
f oo(A ') = L I f(,:) (A' - A 0 )(1
IIEZ+
[5.12.38]
e h I, II sono implicitamente definite nell'ultima relazione di [5.12.37]; nella prima
identita di [5.12.37] si e usata la relazione, che segue dalle definizioni stesse di <Po
(vedi anche  5.10):
w(A '). :o (A I, .p) + fJ ..Nol(A', .p) = {funzione indipenden-
te da ",}
[5.12.39]
ossia, piu precisamente,
w(A '). a o : O (A',.p) + fJ ..Nol(A', .p) = f oo(A ' ).
Evidentemente, se valgono Ie [5.12.36], hIe II saranno olomorfe in C (Po,
0-480;Ao) e, inoltre, per la formula di Cauchy, 0 per Ie [5.12.13], [5.12.14],
[5.12.15],
[5.12.39' ]
ah l
Eo + B 9 €0(To O o)-I.
aA' --
Po, t o - 400
[ 5 .12 .40 ]
I ' ah l ( A' ) . Se a.. ( A' ) = a/oo(A')
Studiamo ora IM 1 - I po ' to-4/io ove M 1 (A )ij = aAj aAj /1 aAj aAj ,
si ha
M I (A') =Mo(A') + a(A')
[ 5 .12.41 ]
e quindi, se 1 denota, ove necessario, la matrice identita,
M 1 (A')- 1=(1 + Mo(A ')-1 a(A'))- 1 Mo(A')- 1=
=Mo(A')-1 + [(1 + Mo(A')-1 a(A'))-1_1] Mo(A')-I.
[5.12.42]
Possiamo allora utilizzare un risultato semplice di algebra lineare che garantisce
l'invertibilita di una matrice 1 X 1 della forma (1 + D) se IDI < 1/2 e, in tal caso, Ia
validita della disuguaglianza 1(1 + D)- I-II <2IDI; lasciamo allettore Ia ricerca
o la dimostrazione di quest a affermazione. Dunque Ia [5.12.42] implica:
1M 1-11 Po  IMo-llpo + 2lMo-1lpo (I Me> Il po lal po ) 
 +B 2 -1 -1-1-
170 10170€oPo To =17b
[5.12.43]
ove la stima su lal po <Ialpoe-To si deduce dalle [5.12.13] come la [5.12.20] dalle
[5.12.15] e si e supposto che IMe) 1aolpo < 1/2 imponendo:
B
10 1 -1- I < 1 /2 [5.12.44]
2 17o€oPo To .

450
Capitolo qu into
Cerchiamo ora in !/Po (A 0 ) un punta A I che descriva il toro {AI} X T 1 suI quale
il sistema meccanico descritto nelle coordinate (A I, 'P') E Y po (Ao) X r 1 dalla hamil-
toniana hi si muove di mota quasi periodico con pulsazione WOe Si deve risolvere
l' equazione:
aho atoo
wo= aA (A I )+ aA (AI)'
[5.12.45]
che possiamo studiare a mezzo della proposizione XIX dopo averla riscritta:
{ a ( A A ) a
O=Mo(Ao)(AI-Ao)+ L h) 1- 0 +
IQI3 aA I
[5.12.46]
at 00 }
+ 3Al (Ad = Mo(AoHAl-Ao) + {n(A d}.
"
Consideriamo questa come un'equazione per Al posta in (Ao) con ppoe-To.
Per applicare la proposizione XIX occorre stimare I nl p. Si trova, applicando
[5.12.13], [5.12.15]:
( ( ) 2 )
P -1-1 -1-1 -1-1
InlpBll Eo p;; To + €oTo 2Bll €oTo
[5.12.47]
-T
purche imponiamo, oltre alle [5.12.36] e [5.12.44], l'ulteriore condizione p Po e 2 . ,
0
dopo aver scelto p = Po V  , ossia:
 o 1 e- To
-<-
Eo 4 B CE N I+l -(1+1).
3 0 0 To
[5.12.48]
AHora la [5.12.46] avra, per la proposizione XVIII, una soluzione AlE (Ao) se:
2 -1-1 < 1 f€O
'Y110 €oTo Bn Po V  '
[5.12.49]
e, in tal caso:
I A 1- Ao 1< 'YTl02€oTo 1 - 1 B 11 .
[5.12.50]
Supporremo aHora valide Ie [5.12.36], [5.12.44], [5.12.48], [5.12.49], il che si
pub, evidentemente, ottenere supponendo che sia valida l'unica condizione piu
forte (che implica e "riassume" Ie precedenti):
{(CEoN+ 1)_ 1 + C€o( l + CE o) + 11o€oPo 1+ C v €oEo N+ 1 +
+110 V €oEo Po I} (Tooo)-x4B12 < 1
[5.12.51]
con X4, B 12 opportune, e considereremo il sistema meccanico di hamiltoniana

451
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
h f ( I 1 '-
I + I in c..7Pl(A I) X T ove PI = 2: Po.
A questo sistema meccanico si possono associare i parametri caratteristici:
E I =Eo + B9 €o(ToOo)-1
+B 2 -I -[-I
171 =170 lo17o€oPo To
I = o - 40 0 [5.12.52]
PI=Po{4B3CEoN+lT(l+1»)-1 con N o =l oo llog(C€o{To O o)-l)-l
afl afl
e, infine: €I  --; + PI I ----; . Resta quindi da trovare una stima
aA a."
P l' t 1 ..,.. P l' t 1
concreta per EI. Tale stima si deduce immediatamente dalle [5.12.37], [5.12.32],
[5.12.30], dalle definizioni di Eo ed Eo e dalla formula di Cauchy e, infine, dal-
Ie [5.12.16], [5.12.17].
11 risultato sara che EI PUQ essere scelto:
€1 =B13E{1 + CEo)2 (1 + CEo) CN+ I (OoTo)-X S
[5.12.53]
con una opportuna scelta di B 13 e di x 5.
La funzione fl definita in [5.12.37] e somma di tre termini che, per la formula
integrale per il resto delle serie di Taylor al secondo ordine 0 al primo ordine, pos-
siamo scrivere rispettivamente:
I t. 2
r{ = Jdtd dt z ho(A' +tz:E:(Ip', A'))=
o 0 dt 2
I I a 2 h
= J (1- t) .  aA . a (A' + tE(Ip', A')) Ej(Ip', A') Ek(tp', A')
o J, k= I J k
I
f II = J dti"[No] ( A'+t7 ( , A' ) '+ ( ' A' )) =
I 0 dt JO ....-.p,,'fJ-.p,
I I af[  No]
= J dt . aA- (A' + t:E:(Ip', A'), Ip' + (Ip', A')) Ej(Ip', A')
o J= I J
f Ill = i" [ > N o ] ( A ' + ';;' ( 'A' ) , +  ( , A' ))
I J 0 .... 'fJ, , f.fJ f.fJ , .
[5.12.54]
AHora:
at I I { ( a3h  
--+=J(1-t)dt. aA.aA °aA (A'+t:E:) [)ps+t
aA s 0 J, k, P J k p
a2hO az. }
+ 2. aA. aA (A' + t:2:)  Ek ,
J, k J k aA s
az p )
aA; EjEk +
[5.12.55]

452
Capitolo qu into
at I 1 { ( a 3 h ) a:=:
-+= J (l-t)dt.L aA.aA °aA (A'+t:E:) t-!j-Z(E:k+
as 0 I, k, P I k p a<ps
( a2 ho ) a:=:o }
+ 2  aA . aA (A I + t:=:) -+ Ek .
hk I k a
Ora, procedendo come nella deduzione della [5.12.20] si deducono dalle definizio-
ni d i Eo e dall e [5 .12 .22], [5.1 2 .30], [5.12.32]:
a 3 h o

aAj aAk aAi Po
a 3 h o
aAj aAk aAi
B E 2 -1-2
_  14 oPO To
e To
Po
a::. j
aA
) -X ) '- 1 -I-l
<:B1S(Bs€oP o C(OoTo 1 Po To 
,...., -T
poe 0, t o -40 0
 B 16 €OC 2 EoN+l (ToOo)-X,
[5.12.56]
a::. j
a
 B I7 €OC 2 EoPo(ToOo)-X6N+ 1
,...., -T
poe 0, t o - 40 0
aj 
a A s ' ,...., -T BI8€OC(l +EoC)po- (ToOo)-X,
poe 0, t o - 45 o
a.
: BI9€OC(1 + EoC) ("oOo)-X s
a f  ,...., - T
'Ys poe 0, t o - 40 o
con opportune scelte delle costanti B ex. at I at I
Allora si PUQ facilmente maggiorare la quantita , ovvero ---;- P 11 al va-
aA s a<ps
riare di (A', z') in C( PI, 1; AI) trovando una stima come [5.12.53], con una op-
portuna costante in luogo di B 13.
Similmen te :
at II 1 { ( a2i<;;;Nol  ( az )
a =Idt lk aA;aAk (A'+t:E:,.,,+)} [)ks+ t a":' Ej+
( a2[No] ) ad ( at[No] ) az. }
+ aAO, a (A'+t:=:,.,'+) 'E.j  + aA. (A'+t:E:,.,'+) 
I, k I  k aA s I I aA s
at D 1 { ( a2[No]  az
=Jdt  aAaA (A'+t:=:,.,'+) t  Ej+
a<ps 0 I, k I k a<ps
( a2[No] )( a ) ( a[<::No]
+ .L aAo. a (A I + t:=:, 'I' +) [)ks +  'E.j +  A . (A' + t:=:,
I, k I <Pk a<ps I I
'I' + )\ aE }
') a s

453
SistBmi dissipativi e sistBmi conservativi
arfI _ {( arJ>No] I  I ) ( aZj ) ( arJ>No]
I -L aA (A +,4(J +) Sjs+- + a
aA s j j aA; 'Pj
I ) at1j }
.p +il) .-
aA '
s
afD! {( a[>NO]  az. ( a[>No]
1 = L 0 (A I + Z, cp' +) -L + 0 (A I +:E,
a'P j aAj a'P a'Pj
'+A + ::; )},
che si possono stimare come la [5.12.55], usando la [5.12.56] e Ie
a 2 I" o [  No]
JI  -I -1-1 -l
-T B20€OPO To Uo
aAj aAk poe 0, o- 50
a2rJNo]
aAj a'Pk
[5.12.57]
(A' +:E:,
[5.12.58]
-" B -1-1-1
-T  20€oTo Uo
poe 0'0-5o
che seguono dalla [5.12.16] procedendo come nella deduzione di [5.12.20], ovve-
ro usando [5.12.56] e Ie analoghe delle [5.12.58], conseguenza delle [5.12.17].
Le [5.12.52], [5.12.53] definiscono una trasformazione Ko fra i parametri ca-
ratteristici:
(E 1 , 111, PI, b Et)=Ko(Eo, 110, Po, o, eo)
[5.12.59]
se vale la [5.12.51].
E' naturale ora iterare il procedimento e definire:
(En, 11n, Pn, n, €n)=Kn-I K n-2 ...Ko(Eo, 110, Po, o, eo)
[ 5 .12 .60 ]
ove Kn e definita sostituendo 8n e Tn a 8 0 e To nelle [5.12.52], [5.12.53].
Supponiamo ora, induttivamente, che esista q > 2C tale che, se €oq < 1 aHora:
00
En  2Eo, 11n 2170, n > o -4 .L 8j = oo
J=O
per n = 0, 1, 2, ..., p e anche:
n n 2
(€Oc)(2+i\) < €n C «€oC)(2-i\), Pne-ron (log(C€o)-I)-n po [5.12.62]
[5.12.61]
per qualche A>O, '0>0 e per n =0, ..., p.
Allora Ie [5.12.52] implicano E p + 1 < 2Eo, 17p+ 1 < 2170, p+ 1 > oo se:
BgC- t . (C€OP-A)j (r/)j)-I<E o
J=O
[5.12.63]

454
Capitolo qu into
00 (C ) (2L "A)i
2 1 €o
B 10 41'/ o C-.L 1+1
/=0 T.
/
.2
e r 0/ .
(IOg(E o c)-I)/ < 1'/0.
Po
[ 5.12.64 ]
Inoltre:
........ -r P2 (l (C ) -I ) -P ( E -1-l N l+2 ) -1
Pp+lPOe 0 og Eo 4B 3 C2 oTp p =
[ ero+ 2r o P ( Io g( CE ) - 1 ) 81+ 1/-1- 1 ]
_ -r (P+l)2 (1 (C ) -I ) -P-l 0 P 
- poe 0 og €o 
8B 3 CE o T P 1-11 og ( CEo)- (2+ X)p (T p5 p )-1
poe-ro(p+l)2(log(C€0)-I)-P-l [5.12.65]
se per ogni p = 0, 1, ..., vale:
[ ero+2roP(1og(CEo)-1) 5+ 1 r ' - 1 ] > 1
[5.12.66]
8B3CEoTpl-1 «2 + "A)P 10g( CE o)-1 + log(T p 8 p )-I)
e, infme:
E p +1 CC-l Bn (CEo:)2(2- X)p (1 + 2CE o )2 (1 + ( CE oi 2 -X)p) C(5 p T pfx s .
. (l5 p 11 og « CE o) - (2+X)P (T p5pf'»'+1(CEo)(2- X)P+1 [5.12.67]
e similmente si procede per Ia prima delle [5.12.62], purche per ognip =0, 1, ..., sia:
C -1 B ( CE ) )..,(2- )..,)P ( 1 + 2CE ) 2 ( 1 + ( C€ ) (2- )..,)p ) C ( 8 T ) -Xs.
13 0 0 0 p p [5.12.68]
· (15 p 1 log «CEo) -(2+X)P (T p 5 p )-I»I+1< 1.
Allora, fissato arbitrariamente "A fra 0 e 1, si scelga '0 in modo che valga la
[5.12.66], qualsiasi sia Eo < 1/2C: cib e manifestamente possibile. E' poi chiaro
che, se €o e sufficientemente piccolo, si possono soddisfare Ie [5.12.63], [5.12.64]
e [5.12.68]: possiamo pensare che q sia stato fissato in modo che la condizione
€07i < 1 implichi che €o e sufficientemente piccolo perche questo accada.
Quindi Ie [5.12.61], [5.12.62] con n <: p implicano Ie medesime con n <: p + 1
se €07i < 1; sono inoltre verificate per n =0 se 7i e opportunamente scelto, come
possiamo supporre senza perdita di generalita.
Si pub aHora iterare il procedimento, se €07i < 1, e costruire una successione di
parametri (En, 1'/n, n, Pn, en) che verificano per tutti gli n=O, 1, ...Ie [5.12.61],
[5.12.62]. II valore di 7i dipende solo, come risulta dalla discussione fatta, da /, Eo,
Po, 1'/0, o, e pub essere scelto continuo in tali parametri.
Infine, dalle [5.12.61], [5.12.62], e chiaro che, eventualmente aumentando 7i in
un opportuno q > q, si pub soddisfare, se €oq < 1, la [5.12.51] e la sua analog a per
n=#=O:
{ 1+ 1 1 1 V 1+ 1
(CEnN n )- +C€n( I+CE n)+lln€nPn +C €nEnNn +
+1'/n V E n E n pl} {Tn 8 n)-X 4 BI2 < 1.
[5.12.69]
Dunque Ie precedenti considerazioni mostrano che e possibile costruire, se €oq < 1 ,

455
Sistemi dissipativi e sistemi conservativi
una successione di trasformazioni canoniche o, 1'''. aventi Ia forma (A', z') 
(A, z):
A =A' + Z (n)(z', A')
z =z' exp i  (n)(z', A')
[5.12.70]
(con Ie notazioni ormai familiari), tali che:
%(C( Pj+ b j+ 1; A j + 1)) C C( Pj, j; Aj)
pe r 0 gn i j = 0, 1,. .., e:
-1-1
IAj+1-Ajl<21' B l1€jTj T/j j=O,I,...
[5.12.71]
[ 5.12.72 ]
Queste trasformazioni sono sempre piu vicine alla trasformazione identica, per
joo: inoltre, posto I(A', z')-(A", z")1 = (IA'-A"I+Polz'-z"l), V(A', z'),
(A", z")EC 21 , si ha, per ogni coppia (A', z'), (A", z")EC(Pj+b j+1;Aj+1) ed in
virtu delle [5.12.71], [5.12.61], [5.12.62], [5.12.32], [5.12.30], 3B 21 per cui
lj(A', z')-j(A", z")I(1 + OJ) I(A', z')-(A", z")1 [5.12.73]
con
o .  B ( 1 - (j) 1 + 1 A (j) 1 ) - 1 (  ) -[- 1
} -...:::: 21'::" Pj+ l' tj+ 1 Po L.l Pj+ 1) tj+ 1 Pj+ 1 TjUj
00
.L OJ < + 00.
}=O
AHora si puo porre:
(A, z) = o 1 ... n(An+ b z') z' E T 1
[5.12.74]
[5.12.75]
e si definiscono cosi, riscrivendo la [5.12.75] come:
A =Ao +Q(n)(')
'(J="/ + (n)(",')
'P' E T 1
[5.12.76]
Ie due funzioni a(n) e fj(n) olomorfe su C(oo) e tali che, per ogni z' E C(oo) e se
B 22 e opportunamente scelta:
(Ia(n )(z') - a(n-1)(z')1 + Po I (n )(z') -13(n-1)(z')1) =
= Io 1... n(An. z')-o 1". n-1 (An-it z')I";; [5.12.77]
 ( .n (1 + 8j I(An. z')- n(An+ 10 z')I';;; B 22 (I An - An + 11 ;-
}=o 'l
+ 1 (n) 1 + p I Ll(n) 1 )  0
- Pn+l, tn+1 0 Pn+1, tn+l noo
per Ie [5.12.32], [5.12.30], e [5.12.72] e il membro di destra in [5.12.77] e una
successione sommabile su n.
Dunq ue esistono i limiti:
Qoo('(J')= lim a(n)(4p'), fjoo('(J')= lim p(n)('(J') 'ETI
noo noo
[5.12.78]

456
Capitolo quinto
e defmiscono (per i teoremi di convergenza delle successioni di funzioni olomorfe)
due funzioni olomorfe in C(oo), via Ie:
A=Ao+aoo(') I
' E T [5.12.79]
= tp' + (joo(tp')
definiscono un toro 3(wo)C o(Ao)XTI.
Resta da far vedere che questo toro e invariante (e infatti ovvio dalIa costruzio-
ne che a oo e (Joo verificano Ie [5.12.9], eventualmente modificando q in q > q).
L'evoluzione St(n) (An, tp'), nelle coordinate associate alIa trasformazione cano-
nica o ...  n - 1 e descritta da:
AnAn+O(€nt)
cp' 4{)' + wot + O(€n t )
[ 5 .12 .8 0]
perche l'hamiltoniana In contribuisce aIle equazioni del mota termini di ordine
O( En).
Se t>O e fissato, e chiaro che O(€nt)Pn per n grande (vedi [5.12.62]), e quin-
di per la [5.12.73]:
Io ... n -1 (S/n)(A n , '))- o ... n -1 (An, .p' + wot)1 
 ( .fI(1 + 8 j ) ) O(En t )  0
e pertanto: J= 1 n oo
lim o... n -1 (S/n)(A n , ')) - lim St(o... n -1 (An, ' ))=
noo noo
[5.12.81]
= lim o... n -1 (An, 4{J' + wot)
noo
e l'uguaglianza fra il secondo ed il terzo limite significa:
St(AO + Q-(I,O'), l + 13-(1,0'»)=
=o + Q-(I,O' + wot), 1,0' + wot + 13-(1,0' + wot»).
che appunto dice che f/( wo) e un toro invariante suI quale ha luogo un mota
quasi periodico con pulsazioni Wo.
[5.12.82]
mbe

Appendici

Appendice A
N otazioni sulle matrici
Autovalori e autovettori
1) Data una matrice J, 1 Xm, e una matrice L, m Xp, s.i denotera JL la matrice
1 X p ottenuta mol tiplicando righe per colonne e Ie matrici J e L.
2) Se J e una mat rice 1 X m e x e un vettore di em si denotera Jx il vettore di
c 1 di componenti:
m
Y , . = L l , . k X k i = 1, ..., I.
k=1
3) det J = detenninante di J, e definito per tutte Ie matrici quadrate.
4) La somma di due matrici IXm e una matrice lXm con elementi di matrice
dati dalle somme degli elementi di matrice, omonimi, delle due matrici.
La matrice AJ, A E C, e la matrice i cui elementi sono AJij.
5) La matrice identita a d dimensioni verra di solito indicata semplicemente
con 1.
Analogamente i1 prodotto di una cost ante A per l'identita verra denotata A,
semplicemente.
6) Gli au tovalori di una matrice J, quadrata sono Ie soluzioni dell' equazione al-
ge brica in A:
det(J-A)=O.
7) La matrice inversa di una matrice J data (quadrata) esiste se det J:#= 0 e sa-
ra denotata J-l: e caratterizzata dalla proprieta JJ-l=J-l J= 1.
8) Una matrice J si dice "ortogonale" se: J- I=JT, ove JT e la matrice traspo-
sta di J: J;f =Jji.
Le matrici ortogonali d Xd si penseranno in corrispondenza biunivoca con Ie
rotazioni di 1f1: la rotazione di R d corrispondente alla matrice ortogonale J sara
la trasformazione di R d in se:
x  Jx.

460
Appendice A
I Proposizione Se J e una matrice con autovalori )..1, ..., )..d due a due distinti
esistono d vettori '0(1), ..., v(d) in (td = spazio vettoriale complesso a d dimensioni
tali che:
Lv(i) =)..i v (i),
v(i) =1= 0
,
i=I,...,d.
[ A.I ]
Tali vettori sono linearmente indipendenti.
Se J e una matrice reale autovalori e autovettori possono essere scelti in modo
da apparire in coppie complesse coniugate.
Dim ostraz ione. Dimostriamo solo l'indipendenza lineare lasciando il resto al
lettore.
Si supponga che esistano d costanti complesse at, ..., ad tali che al V(I) + ... +
+adv(d)=O. AHora moltiplicando questa equazione per In, con n=O, 1, ..., d-I
si ottengono, per la (1), Ie d 2 relazioni:
al (V(I))k +... + ad(v(d»)k= 0
al)..1 (v( 1»)k + ... + ad)..d(v(d»)k = 0
[A.2]
... ........ ..... ..... ...
al )..1- 1 (v( 1»)k + ... + ad )..- 1 (v(d»)k = 0
k= 1,2, ..., d.
Se at,..., ad non sono tutti nulli deve esistere un kE(I,..., d) e un i=O, 1,...,
d-I per cui ai(v(i»)k=l=O (perche 'O(i)=I=O).
AHora considerando [A.2] come un sistema di d equazioni nelle d incognite
al (V(I»)k, ..., ad(v(d»)k si vede che questo sistema, omogeneo, ammette una solu-
zione. Ma Ia matrice dei coefficienti e:
1 1
)..1 )..2
W()..t,..., )..d)= )..i )..
1
)..d
)..
[A.3]
d-l d-l d-l
)..1 A2 )..d
e il suo determinante e:
det W()" t, ..., )..d) = .II. ()..j -)..i)
1<1
[A.4]
(vedi proposizione seguente) e, poiche )..t, ..., )..d sono stati supposti due a due di-
stinti, e non nullo. Quindi e assurdo supporre che ai, ..., ad non siano tutti nulli
e questo prova l'indipendenza line are.
mbe
II Proposizione (teorema dei detenninanti di V andennonde ) Dati d numeri
complessi )..1, ..., )..d il determinante deUa matrice [A.3] e dato daUa [A.4].

461
Notazioni sulle matrici
Dimostrazione. Si osseIVi che det WeAl, ..., Ad- 1) come polinomio in Al a gra-
do (d -1), evidentemente, ha A2, A3, ..., Ad- I per radici perche per tali valori di
Alia matrice WeAl, ..., Ad- I) viene ad avere due colonne uguali.
Allora dal teorema fondamentale dell' algebra:
d
det WeAl, ..., Ad-I)= C(A2". Ad-I) I1(AI- A i)
i=2
[A.5 ]
e la costante C (A2, ..., Ad-I) e, per il teorema sullo sviluppo per colonne dei de-
tenninanti:
C (A2, ..., Ad- i)= (-l)d- I det W(A2, ..., Ad-I) [A.6]
essendo it coefficiente di A-I e, cioe, il minore associato, nella [A.3], all'elemen-
to ultimo della prima colonna di W(AI, ..., Ad- I).
La [A.5] e [A.6] significano:
d
det W(A., ..., Ad-I)= I1(Ai- A I) det W(A2, ..., Ad-I)
;=2
[A.7]
che, ricorsivamente, irnplica la [A.3].
mbe

Appendice B
Sviluppi di Lagrange e di Taylor
I Proposizione Se fE C(k)(R d ) e ha in Xo E R d uno zero di ordine m + 1, m <k,
si ha:
f (x) =

- d (Xi-(XO)i)Qi
fxo, QI' ..., Qd(x) .II
1= I
Q I' ..., Qd
Qio, Qi=m+1
i
1'\1 . ,
'""-I.
[B.1 ]
e Ie funzioni f sono di classe C(k-(m+ 1»(R d ).
Dimostraz ion e. Si considera la funzione Af(A(X-Xo)+xo) che, evidentemen-
te, ha in A = 0 uno zero di ordine m + 1: cioe ha Ie prime m derivate nulle.
Allora:
1 d
f(x) = J dAI d'\ [(AI (x -xo) + xo)=
o 1\1
1 AI d2
= I dA I[ dA 2 dA f(A2(X-XO)+Xo)= [B.2]
1 AI Am d m + 1
= J dAIS dA2... J dA m + 1 m+l f(Am+1 (X-Xo)+Xo)=
o 0 0 dA
1 Am dm+1
= S - m I f(A(X-Xo) +xo) dA.
om! dA +
Esprimendo Ie derivate rispetto a A in termini delle derivate rispetto aile coordi-
nate delle x si trova:
d m + 1
m+1 f(A(X-Xo)+xo)=(m+ I)!
dA

Ql' ..., Qd
Qi o, iQi = m+ 1
[B.3]
a m + If d (Xi-(XO )i)Qi
(A(X-Xo)+xo) II
a QI a x Qd i= 1 a.'
Xl... d I.

463
Sviluppi di Lagr.,ge e di Taylor
e questo dimostra la proposizione mostrando che si pub scegliere:
_ 1 (m + I)!
Ix.. a,... aa<x) = f ,
o m.
a m + If
"c)- Qd (X(x -xo) + xo) dX.
ax 11 ... aXd
[B.4 ]
mbe
Osservazione. La stessa rappresentazione vale, evidentemente, se fE C(k)(rl)
ove n e un insieme aperto convesso 0 se n e un insieme aperto stellato con cen-
tro x o.
II Proposizione Se fEC(k)(R d X R n ) e ha uno zero di ordine m + 1  k in x=xo
per ogni y ERn si ha:
f(x, y)= L
Ql' ..., Qd
o Qi, };iQi=m+ I
d (Xi -(XO)i)Qi
fxo, QI' ..., Qd(' y) .n ,
' I = 1 (Xi .
[B.5]
e Ie [unzioni f sono di classe C(k- (m+ 1»(R d X R n ).
Dim os trazion e. E' una ripetizione della dimostrazione della proposizione I, pre-
cedente.
mbe

Appendice C
Funzioni COO a supporto limitato e funzioni connesse
1) Una funzione "'a di classe Coo a supporto in [0, a] esiste e, ad esempio, si
puo scegliere:
'" a(t) = 0
"'a(t) = exp -1/t 2 (a-t)2
se tf.{O,a)
se tE (0, a).
2) Esiste una funzione di classe COO nulla per tO, uguale a 1 per ta, mono-
tona non decrescente. Ad esempio:
t
X(t)=C J "'a(1') d1'
-00
ove
+00
C - 1 = J "'a(1') d1'.
-00
3) La funzione:
go:, (j(t) = X(t- a +a) X«(3-t+a)
vale 1 sc tE [a, (3] e 0 se t<a -a ovvero t>(3 +a.
4) La funzione su R d :
d
g(I, ..., d)= .II go:;, (ji(;)
1= 1
vale 1 nel parallelepipedo [ai, (31] X... X [ad, (3d], e non negativa e a supporto Ii-
mitato.

Appendice D
Principio di annullamento degli integrali
Proposizione Se [ECOO([a, ti]) e se
(3
f[(t)z(t) dt=O
ex
Vz ECo([a, ti]), aUora [ = o.
Dimostrazione. Basta dimostrare che [ e nulla all'intemo (a, ti) di [a, ti]. Se, per
assurdo, esistesse toE(a, ti) e [(to) =1=0, esisterebbe un intomo di to, ( a , ti), tale
- 1[(to)l-
che a < a < ti < ti, nel quale II (t)1  2 ,t E ( a , ti).
Se t  Xe(t), t E [a, ti], e una funzione di classe Coo non negativa e positiva in to
con su pporto in [ a , ti] si ha, allora,
(j
f[(t) I(t o ) Xe(t) dt= 0
ex
perche t [(to) Xe(t) e in C;([a, ti]). Ma questo e assurdo perche, per costruzio-
( p ) 1[(to)12
ne, questo integrale vale almeno x€(t) dt 2 >0.

Appendice E
Matrici definite positive
Autovalori e autovettori
Definizione Una matrice V=(Vij)i,j=I,...,d si dice "definita positiva" se:
i) Vij=Vji j=l,...,d,
ii) per ogni aE(al, .U' CXd)E R d si ha:
d
(Va.a)= .  Vijaiaj>O
I, J = 1
[E.1 ]
se lat *0.
Discutiamo ora alcune proprieta delle matrici V definite positive.
Anzitutto si pub osservare che det V * 0: altrimenti esisterebbe un autovettore
aO tale che, cioe, Vao=O e laol >0 e quindi (VaO, aO)=O con laol *0.
Formuliamo come proposizione it teorema dell"'esistenza di una base ortonor-
male su cui V e diagonale":
I Proposizione Se V e definita positiva esistono d numeri positivi Ah ..., Ad e
una base ortonormale in R d di versori V(I), ..., v(d) tali che:
Vv(j)= Ajv(j) j= 1, ..., d.
La matrice, ortogonale, J:
Jij = (v(i))j i, j = 1, ..., d
e tale che:
[E.2 ]
[E.3 ]
JVJ T = A
[E.4 ]
ove A e la matrice diagonale d X d con elementi diagonali (AI, ..., Ad).
Dimostrazione. Sia S= {insieme dei vettori unitari aE R d } e sia Al =max(Va.
.a»O. OleS

467
Matrici defin ite positive
Questo massimo sara raggiunto in V(l) ES.
Facciamo vedere che:
Vv( 1)= AI V (I).
Infatti sia w un vettore unitario ortogonale a v( 1): aHora:
w(8)= cos 8 V(I) + sin 8 w
e, VB E [0, 21T], in S e aHora la funzione:
[E.5]
[E.6]
[(8)=(Vw(8). w(8))=(cos 8)2 (VV(l).V(l»)+
+ 2 sin 8 cos 8(VV(1). w) + (sin 8)2 (Vw. w)
ha un massimo per 8 = 0, per la definizione di '0(1) e, quindi, :8 f _ = 0 e cioe,
usando la (i): 8-0
[E.?]
2(VV(1). w)= 0
[E.8]
che per l'arbitrarieta di w ci dice che VV(I) e ortogonale a qualsiasi vettore ortogo-
nale a V(l).
Questo implica che VV(l) e parallelo a V(l), e cioe VV(l)= AV(I) che, moltiplica-
ta per V(I), mostra anche che A = AI.
Sia W(l)=V(l), W(2), ..., w(d) una base ortononnale in R d il cui primo vettore e
V(l), e definiamo la matrice ortogonale J( 1):
Jil) = (w(i»)j i, j= 1, ..., d [E.9]
La rotazione che corrisponde a (J (l»)T ruota i versori unitari coordinati di R d ,
e(l), ..., e(d) nella base w(I), ..., w(d) e mota e(l) in w(1)= v(l).
Si consideri la matrice J( 1) V(J( 1»)T:
d d
(J(l)VJ(l)T)ij = L Ji) L VhkJjl)-
h=1 k=1
[E. 1 0]
 (i)  V (j)
- £J Wh £J hkwk
h=1 k=l
e, sej= 1:
(J(l)VJ(l)T)i1= f wf!) f Vhk V l 1 )=Al f WJ,j)VJ,1)=A1Dil
h=1 h=1 h=1
[E. 1 1 ]
mentre se i= 1, e ricordando che V e simmetrica (i)):
(J(1)VJ(l)T)lj= f w) f VkhVJ,1)=A1Djl'
k=1 h=1
Quindi la matrice:
V(I)=J(I) VJ(l)T
[E.12 ]
[E.13 ]

468 Appendice E
ha la fonna:
CI V 1»).
V(1)= 0 [E.14 ]
"-
ove V (1) e una matrice simmetrica e definita positiva: la simmetria discende dalla
definizione di V (1) e dalla simmetria di V; la positivita si vede, invece, al modo
seguente. Si noti prima che V (1) e definita positiva; infatti:
(J(l)VJ(l)T a.a)=V(J(l)T a). (J(l)T a)O [E. IS]
e I J( l)T al = lal (che discende dalla ortogonalita di J( 1) : J( l)T a. J( l)T a= (J( 1) J( l)T a.
. a) = (a. a), e quindi se [E. IS] fosse nulla, la definitezza di V implicherebbe
J(l)T a= 0 e quindi (1= O.
E' aHora chiaro che iT (1) deve essere definita positiva: basta notare che se
a= (0, (32, ..., (3d) = (0, fj):
"-
V(l)a.a=V(l)fj-O. [E.16]
Possiamo allora ripetere quanto detto a proposito di V, per iT (1): esistera una ma-
trice J(2) ortogonale, avente la fonna:
J(2)= ( 1 O "
o J(2)}
[E.17]
"-
con J ( 2 ) ortogonale a d - 1 dimensioni tale che:
j(2)V(1)j(2)T = ( 1 2  ) =J(2)J(1)VJ(1)T J (2)T. [E.18]
o 0 V(2)
con A2  0 e A2  1 perche A2 e il massimo di (lJ. V (2)fj) = (a. V(l)a) = (J(l)T a.
· VJ(l)T a) At, ove a=(O, t3b ..., (3d-l)=(O, fJ). Iterando l'argomento si ottiene,
dopo d passi, una mat rice J =J (d) J (d - 1) ... J (1) prodotto di matrici ortogonali e
quindi essa stessa ortogonale tale che:
Al
JVJ T = A2
0
o
[E.19]
e AlA2." Ad.
Se si pone:
(i)
Vj =Jij i,j=l,...,d [E.20]
si vede che la (JVJT)ij=Ai8ij significa che (v(i). Vv(j») = Ai 8 ij, i, j= 1, ..., d: ossia

469
Matrici definite positive
Vv(i) = XiV(i) i = 1, ..., d [E.21]
perche i vettori v(i) sono di lunghezza 1 e ortogonali due a due (perche J e orto-
gonale) e, quindi v(i). Vv(j) = 0 per i =1= j dice che Vv(j) e ortogonale a tutti i vet-
tori ortogonali a v(j), essendo '0(1), ..., v(d) una base, pertanto Vv(j) e parallelo a
v(j) e naturalmente ( v(j). Vv(j) ) = X . im p lica che Vv(j) = X .v(j) b
' , J J. me
II CoroUario Se V e una matrice definita positiva i numeri Xt, ..., Xd della pro-
posizione precedente sono Ie radici dell'equazione:
det(V-X)=O
[E.22]
ripetute secondo la molteplicita algebrica.
Inoltre esiste una matrice VJi de[inita positiva il cui quadrato e v. Piu in ge-
nerale esiste per ogni a reale una matrice Va tale che VaV b =V a + b , V 1 =Ve de-
finita positiva.
Dimostrazione. Poiche JVJ T =A si ha V=JTAJ e:
det(JTAJ - X)= det JT(A - X) J=det(A - X)
[E.23]
perche J T J = 1 e it determinante del prodotto e it prodotto dei detenninanti delle
d
matrici fattori. Ma e ovvio che det (A - X) = II (Xi - X).
Si ponga ora: i= 1
VJi =JTVA J
[E.24 ]
ove VA e la matrice diagonale i cui elementi diagonali sono , ..., v:i:i.
E' chiaro che (VA)2 = A e allora:
(VJi)2=J T VA JJTVA J=J T VA 2 J=J T AJ=V
Inoltre # e definita positiva:
(VJi a. a) = (VA Ja. Ja) = f VX; (Ja); .
i= 1
[E.2S]
[E.26]
mbe
In generale si definisce A a come la matrice diagonale di elementi X, ..., X e:
Va=JTAaJ
e si verifica facilmente che Va+b=VaV b , Va, bE R.
III Corollario Se V e definita positiva esiste una funzione J1 (V) > 0, continua,
degli elementi di matrice di V tale che:
Va. a J1(V) laI 2 ..
[E.27]
d d
Dimostrazione. Infatti Va.a=JTAJa.a=AJa.Ja.= L Ai(Ja)lJ1(V) 'L(Ja)l=
i= 1 i= 1

470
Appendice E
=J.l(V) lal 2 ove:
J.l(V)= min Ai-
i = 1, . . ., d
[E.28]
La continuita di J.l segue dal fatto che I'insieme delle radici di un polinomio varia
con continuita in funzione dei coefficienti del polinomio e i numeri AI, ..., Ad so-
no Ie radici di det(V-A)=O. mbe
Concludiamo con la seguente generalizzazione della proposizione e corollan pre-
cedenti.
IV Proposizione Siano G e V due matrici definite positive, d Xd. Esistono d
. (1) (d) d .. . . '\ '\ t Z . h
vetton 71 , ..., v e numerl pOSitiVI 1\1, ..., I\d a lee:
Vv(i) = Ai Gv(i) i= 1, ..., d
Gv(i). v(j) = 8 i j i, j = 1, ..., d.
I numeri AI, ..., Ad sono Ie soluzioni di:
[E.29]
[E.30]
det(V-AG)=O
"[E.3!]
(ripetuti secondo la molteplicitil algebrica).
Esiste una funzione J.l(V, G»O, continua negli elementi di matrice di V e G,
tale che:
Va.aJ.l( G) lal 2 .
[E.32]
I
Dimostrazione. Si consideri la matrice V G- I V v G- I ove  = G- 2" e per
i risultati precedenti una matrice simmetrica e poiche:
V V G-l o.a=V v G- 1 a. v G- 1 a>J.l(V)l v G- 1 a1 2 =
= jJ. (V) G - 1 a . a  J.l (V) J.l (G - 1) lal 2
[E.33 ]
e anche definita positiva.
Siano aHora AI,..., Ad i d autovalori di V G- 1 V V G- 1 e W(I),..., w(d) i relati-
vi autovettori che supporremo un sistema ortononnale in Rd. Si ha:
v G- 1 V v G- 1 W(i)=AiW(i)
[E.34 ]
e AI, ..., Ad sono radici di:
det( v G- 1 VV G- 1 -A)=O.
Ponendo v(i) = V G - I w(i) si nota che:
[E.35 ]
Vv(i) = Ai G v(i)
i=I,...,d
[E.36]

471
Matrici definite positive
(usando la regola G a G b = G a + b , G O = 1) e:
G '0(0. v(j)= G V G- 1 w(i). V G- 1 w(j)= w(i). W(j)=Oij.
[E.37]
Infine:
det(V-AG)
det (v' G -1 V v' G- 1 - X)= det v' G- 1 (V - XG) v'G -1 = det G [E.38]
e questo conclude la dimostrazione, perche si pub porre J.L(V, G)= min Ai.
i
Fsercizio Posto J.L(V)= min Ai e m(V)= max Ai,ove V e una matrice
i= 1, ..., d i= 1, ..., d
definita positiva si ha Va  0:
J.L (V)a lal 2  Vaa. a m (V) 1«1 2
e Va<O:
m(Vf lal2 vaa.aJ.L(Vf lal 2 .
[E.39]
[E.40]

Appendice F
Teorema delle funzioni implicite
SiafECOO(R m X Jff) a valori in R d , che denoteremo (x, Y)-+f(x, y).
Consideriamo l' equazione per y E R d parametrizzata da x:
f(x, y)=o
[F. 1 ]
che e un sistema di d equazioni in d incognite, y = (y ], ..., Y d ).
Supponiamo che (XO, yo)ER m + d verifichi [F.!]. Per it teorema di Taylor (ve-
di app. B):
f(x, y)=J(y -Yo) + L(x -xo) + N(x, y)
[F.2]
ove J e L sono Ie matrici, d Xd e d Xm rispettivamente, delle derivate prime di f:
af(i)
Jjj= aYj (xo.Yo) i.j=l,...,d [F.3]
af(i)
L ij = ax. (x 0, Yo) i = 1, ..., d; j = 1, ..., m [F. 4 ]
J
e N e una funzione di classe Coo a valori in R d con uno zero del secondo ordine in
xo, Yo.
n teorema delle funzioni implicite confronta l' equazione [F. 1] scritta nella fonna:
J(y -Yo) + L(x -xo) + N(x, y)=O
[F.5]
con l'equazione lineare:
J(y -Yo) + L(x -xo)=O
[F.6]
di d equazioni per d incognite.
Se det J * 0 esiste la matrice J-l e la [F.6] ha un'unica soluzione:
y - Yo = _J-l L(x-xo).
[F.?]

473
Teorema delle funzioni implicite
Viene aHora naturale pensare che la [F.5] ammetta una soluzione che differisce
dalla [F.?] a "meno di infinitesimi di ordine superiore in (x-xo)", poiche tale e
la differenza fra [F.6] e [F.?]. Piil precisamente si pub sperare che esista, suH'in-
torno U di x 0, una funzione 'P(x) tale che:
f(x, 'P(x)) = O xEU
cp(x)=-J-IL(x-xo)+(x) xEU
[F.B]
[F.9]
con  di classe Coo e con uno zero del secondo ordine in x o. E' questo infatti il
contenuto del teorema delle funzioni implicite che, in piu, contiene anche una sti-
ma della grandezza dell'intorno U di Xo suI quale si pub definire .
Trattiamo prima il caso d = 1 denotando r m (x, p) il cuba di centro x E R m e
lato 2p.
I Proposizione Dati 0> 0 e a> 0 si ponga:
of
min-
ay
o
Po, Q= 2m
[F.l 0]
m of
max  -
j = 1 ax j
ove il minimo e il massimo sono considerati al variare di x in r m (x 0, a) e di y - Y 0
in [-0,0]. Si supponga f(xo, Yo)=O.
Se Po, Q > 0 e possibile definire una [unzione 'P in r m (x 0, Po, Q) di classe Coo ve-
rificante la [F.8] per ogni x E r m(xo, Po, Q).
Si ha inoltre: of
a'P (x, 'P(x))
aXi (x)=- of
ay (x, 'P(x))
xErm(xo, Po Q).
,
[F .11]
Tale [unzione e l'unica definita su rm(x o , Po Q) a valori in [-0,0] che verifica
,
la [F. 8 ] .
Dimostrazione. Sia (x, Yo + 0) un punto della faccia superiore del parallelepipe-
do r m(xo, PQ, 0) X [Yo -0, Yo + 0].
Facciamo vedere che f ha su questa faccia segno definito e costante opposto a
quello che ha sulla faccia opposta. Questo mostra l' esistenza di 'P poiche la funzio-
ne f(x, y) e, a x E r m (xo, PQ 0) fisso e y - Yo E [-0, 0], monotona perche Po Q >0
, ,
of
(e quindi ay non pub annullarsi): allora avendo segni opposti in (x, Yo + 0) e
(x, yo-o) deve annullarsi in uno, e unico, punta 'P(x) intennedio fra Yo-o e Yo +0.
Per vedere chefha segni opposti nei punti (x, yo+o) e (x,yo-o) supponiamo,
of
per fissare Ie idee, che ay >0 in r m(xo, a) X [Yo -0, Yo + 0].

474
Appendice F
AHora:
[(x, Yo +0) = [(x, Yo +0)- [(xo. Yo)=
= [(X, Yo + 0)- [(X, Yo) + [(X, YO) - [(xo, YO)
[F .12]
,....",
e applichiamo il teorema di Lagrange: denotando X un punta opportuno intenne-
,....",
dio fra x e Xo e Y un punta opportuno intennedio fra Y e Yo troviamo da [F.12]:
a[ ,....", m a[ "-
[(x, Yo+O)=- a (x, Y)O+. _ a . (x, Yo) (x-xo)j
Y 1= 1 XI
(min :;0 8-maXj1 :j )P6,a
1 a[
-o min - >0
2 ay
[F .13]
\fxErm(xo, Po Q).
,
Similmente si mostra che [(x, yo-8)<O, \fxE r m (xo, PQ 0).
,
Questo dimostra l' esistenza di 'f).
Per far vedere la differenziabilita nella direzione del versore e = (e h ..., em) os-
serviamo che dato xErm(xo, PQ 0) e dato € tale che xo+€eErm(xo, PQ 0) si ha:
, ,
o = [(x + €e, 'f)(x + €e)) - [(x, 'f)(x))
[F .14]
"-
e se x, zp e un punta intermedio opportuno fra (x + €e, 'f)(x + €e)) e (x, 'f)(x)) si
trova:
m a[ "- "- a[ "- "-
0= L ei _ a (x, 'f)) € + _ a (x, 'f)) ('f)(X + €e)-'f)(x)) [F. IS]
i=l xi 
che mostra
I'f)(x + €e) -'f)(x)1 
m a[
max 
i = 1 ax i
min I :;
€
[F.16]
e, quindi, che 'f) e una funzione continua.
Sempre la [F. IS], divisa per €, mostra passando allimite €O che:
m a[
-  e. - ( X lI'J ( x ))
1 . 'f)(x+€e)-'f)(x) _ i=l' aXi ' Y
€ € - a[ [F. I?]
ay (x, 'f)(x))
che dimostra la [F .11] oltre alia derivabilita di 'f). E' chiaro che la [F .11] implica
che 'f) e derivabile a sua volta e anzi:
a2
ax j ax i
a 2 [ a 2 [ a'f)
ax,' ax I' ( X, lI'J ) + a a ( X , lI'J ) a
Y x. 111 y. 
, J II
a[
ay (x, 'f))
[F.I8]

475
Teorema delle funzioni implicite
af ( a 2f a2f a'P )
ax;- (x..p) 3Xj3y (x. .p) + 3y2 (x. .p) ax;
+ ( af \ 2
3y (x. .p)j
ove 'P ab brevia 'P (x).
Per 10 stesso motivo [F .18] implica che I.(J e a sua volta derivabile ecc. Quindi
'PEC oo .
mbe
II Proposizione Con Ie notazioni dell'introduzione a questa appendice si consi-
deri il caso d e In arbitrari. Sia f(xo, Yo)=O.
Se det J * 0 esistono p, 0> 0 tali che nell'intomo r m (xo, p) e possibile defini-
re una funzione di classe Coo, x-+4p(X)Erd(YO, 0), che verifica la [F.8] ed e l'uni-
ca funzione su r m (xo, p) a valori in r d(Yo, 8) che possiede questa proprietil. Inol-
tre f verifica anche la [F .9] in r m (xo, p).
Dimostrazione. Questa proposizione e, ovviamente, un corollario della precedente.
Si procede come nella soluzione "per sostituzione" dei sistemi lineari.
Si scriva l'equazione [F.1] nella forma:
[(I)(X, Y., ..., Yd) = 0
[F.19]
f(d)(X, Y., ..., Yd )=0
L'ipotesi det J * 0 implica che almeno una delle derivate parziali rispetto a Y 1
di una delle [, diciamo [(it), e non nulla in xo, Yo.
A pplichiamo allora la propoizione I per trovare un intorno U e di (x 0, (YO)2,
..., (YO)d)ER m + d - 1 suI quale si PUQ definire una funzione 'PI tale che 'P sia di clas-
se Coo ( U 1) e 'P 1 (x 0, (y 0 )2 , ...) = ( Yo) 1 e:
f(it)(x, 'PI (x, Y2, ..., Yd), Y2, ..., Yd) = o. [F.20]
Supponendo che i 1 = 1, per semplicita, il problema della risoluzione di [F .19] divie-
ne quello della ricerca di soluzioni Y2, ..., Yd della:
f(2)(X, 'PI (x, Y2, ..., Yd), Y2, ..., Yd)=O
[F .21]
f(d)(X, 'PI (x, Y2, ..., Y d), Y2, ..., Y d) = O.
II determinante della matrice J 1 delle derivate di f(2), ..., f(d) rispetto a Y2, ..., Yd
in Xo, (YO)2, ..., (Yo)d e non nullo: coincide invero, come e facile convincersi, con
il determinante della mat rice J 1 del sistema che si ottiene risolvendo per sostituzio-
ne il sistema line are J ='0 in R d rispetto alIa variabile 1.
Si PUQ allora applicare di nuovo la proposizione I al sistema [F .21] e ricavare,
ad esempio, Y2 in funzione di x, Y3, ..., Yd ecc.: l'unica difficolta sta nel fatto che

476
Appendice F
Ie funzioni in [F .21] non sono di classe C oo ( R m + (d - 1)) ma solo in un intorno U 1
di xo, (YO)2, ..., (Yo )d. E' ovvio pero che questa non e una reale difficolta; bastera
infatti moltiplicare Ie funzioni in [F .21] per una funzione Coo, nulla fuori di un in-

sieme chiuso contenuto in U 1 e che vale 1 in un intorno U t di xo, (YO)2, ..., (Yo)d.
Si penseranno poi, naturalmente, Ie funzioni COSt ottenute come definite, e di cIas-
se Coo, su tutto Rm+(d-t) e si applichera la proposizione I a questo nuovo sistema
che coincide con il precedente in U t.
Si procedera poi in modo analogo a eliminare Y2 poi Y3 ecc.
mbe

Appendice G
11 teorema di convergenza uniforme di Ascoli- AIzela
E' famosa la seguente elegante proposizione:
I Proposizione Sia n un insieme chiuso e limitato di Rd. Sia (fn) = 0 una suc-
cessione di lunzioni continue su n tali che:
i) la successione (fn) =0 e "equilimitata" su n: cioe esiste M tale che:
IIfnll = maxlfn()1 M
tEn
ii) la successione (fn)=o e "equicontinua" su n: cioe dato E>O esiste DE tale
che:
[G.I]
sup Ifn()- fn(E')1 <E.
n, It- t'I<Oe
Allora esiste una sottosuccessione (fniYi=O tale che illilnite:
[G.2]
f() = .Hm fni(e)
1-+ 00
[G.3 ]
esista 'f/eEn e sia uniforme in EEn.
Osservazione. Quindi I e continua su n. L'aspetto forse piu interessante della
proposizione I e la uniformita della convergenza del limite [G.3] (vedi corollario II).
Dimostrazione. Sia no c n un insieme numerabile denso in n (tale insieme esi-
ste sempre): per essere concreti si pensi al caso n = quadrato in R d e no = insieme
dei punti di a coordinate razionali.
Scriveremo no = {b e2, ...}.
Per la condizione di equilimitatezza sara possibile, con il metoda di Cantor, tro-
yare una sottosuccessione (fn i ){= 0 di (In) = 0 tale che esistano i limiti:

478
Appendice G
.Hrn fni(j)= f(j)
1-+ 00
[G.4 ]
per j = 1, 2, ...
Ora e chiaro che se , 11 E no e I -111 < DE si ha:
I[()- [(71)1 = .Hmlfni()- fni(fl)1 <€
1-+ 00
[G.5]
per la condizione di equicontinuita.
Questo implica, ancora per l'equicontinuita, che esiste 'f  En illimite .1 im fn/e):
1-+ 00
aHo scapo si PUQ far vedere che fn .() e una successione di Cauchy: dato € >0 sia
 1
 E no un punta di no a distanza inferiore a D€ da . AHora:
Ifn/)- fnj()1 < Ifni(E)- fni('f)1 + Ifni('f)- fnj('f)1 +
+ Ifn/t)- fn/Ol E;;;2e + Ifnl)- fn/)I
[G.6]
e quindi, poiche ( fn i(1'))f=O e una successione di Cauchy essendo 'IE no:
. rn Ifni()- fnj(E) I 2E,
I,J-+OO
[G.?]
che, per l'arbitrarieta di €, mostra appunto che fni(e) e una successione di Cauchy:
ne chiameremo f() illimite. E' chiaro che se e, 'lEn, I-fll <o€:
If()- f(l1)1 = .limlfni(E)- fni(ll)1 <€
1-+ 00
[ G .8 ]
per l'equicontinuita, quindi f e continua su n e il sistema f, fn , fn ,... e equicon-
1 2
tinuo su n.
Resta da far vedere che illirnite:
.lirn fn/) = f(E)
1-+ 00
[G.9]
e uniforrne in EEn.
Se cosi non fosse esisterebbe € > 0 e, per ogni i, un punta xi E n tale che:
Ifn/Xi) - f(Xi)1 > E.
[G.10]
Questo e impossibile per l'equicontinuita di (f, In , ...) e per la lirnitatezza di n:
1
infatti esisterebbe un punta x di accumulazione per la successione (Xi)f=t. Suppo-
niamo, senza perdita di generalita, che x = lirn xi.
AHora se I x - xii < o€ : i-+ 00
4
Ifni(Xi)- f(Xi)1  Ifni(Xi)- fni( x )1 +
Ifnj( x )- f( x )1 + If( x )- f(xj)1 E;;;2 : + Ifn/ x )- f( x )1 j=: ;
che e assurdo.
[G.11]
robe

479
Teorema Ascoli-Arzela
U Corollario Se valgono Ie ipotesi delle precedenti proposizioni a eccezione di
quella relativa alia limitatezza di n (0 alia sua chiusura 0 a entrambe), valgono Ie
stesse conclusioni a eccezione dellJunilormitiz delia convergenza di Ini(E) a f().
Qononostante I e continua su n, anzi e uniformemente continua.
Dimostrazione. E' evidente dalla dimostrazione della proposizione I.
Esercizio. Se (In) = 1 e una successione di funzioni di classe C 1 (n) e n e con-
vesso e se esiste M tale che:
a/ n
sup max () M
n tEn 
aHora (In)=l e una famiglia equicontinua su n (idea: si esprime l'incremento di
In come integrale della derivata di f lungo il segmento che congiunge i due punti
e, 11 fra i quali si calcola l'incremento. Si maggiora poi l'integrale con MI - E '1).

Appendice H
Dimostrazione della [5.6.20]
Poniamo (s/Ot,t)){Wt, W2))i=Oi(t, w), i= 1,2. DaIle [5.6.17], [5.6.18] si vede
che:
t
01(t, W)=WI +1 Xt)(O(T, w)) (aOI(T, w)+P(O(T, w))) dT
o
t
02(t, w)= e-votw2 + J e-Vo(t-T) Xt)(O(T, w)) Q(O(T, w)) dT.
o
C . d . d . ao
onSl enamo a esemplo  :
uWl
at (t, w)= 1 + i { aXt)(O(T, w)). ( :0 · (aat (T, w) +
uWl 0 WI
+P(O(T, W))) + X... (a (T, w))  ::t 1 (T, w)+3P(0(T, W)). Ot (T, W)}dT;
oa2 (t, w)= f e-VOU-T) {( aXt)(O(T, w)) ao ) .
aWl 0 aWl
· Q(a(T, w))+X...(a(T, w))(3Q)(a(T, w)). a1 (T, W)}dT
ove 3g denota ( O1 ' :J .
Quindi, utilizzando [5.6.15] e it fatto che P e Q hanno uno zero del secondo
ordine in 0, esistono due costanti p, q tali che:
I ::: (t, w)-l pJ{+ Ol (T, W)/oa I 8+82)+
ao ao }
+ lal a (T, w) + <5 a (T, w) dT
WI WI

481
Dimostrazione della [5.6.20]
(ove si e usato il fatto che lo(r, w)1 ) e:
a0 2 t ( 1 a ao )
aWl (t, w)  q I r; a: l (T, w) 8 2 + 8 aWl (T, w) dT
e quindi:
a0 2
aWl
{ aOI
(t. w)-l 2P(lal+8)t+2P(lal+8))[ aWl (T. W)-l +
+ ::: (T, w) }dT
t { aOI a a 2 }
(t, w) 2q8t+2q81 aWl (T, w)-l + aWl (T, w) dT
aO l
aWl
e posto:
aO l aa2
y(t)= a (t, w)-l + a (t, w)
WI WI
si ha y(O) =0 e Ie disuguaglianze precedenti, sommate, implicano:
t
yet) < 2(p + q) (lal + 8) t + J 2 (p + q) (Ial + 8) yeT) dT
o
che, vedi esercizi del paragrafo 2.5, implica:
y(t) y (t) VtO
ove:
t
y (O)=O; y (t)=2(p+q) (Ial +)t+2(lal +8) (p+q)J y eT) dT
o
e cioe:
y (t)=(e2(P+q)(IO:I+cS)t-l)Mt(lal +8)
per t  to, lal < ao,  < 1 .
Un simile argomento vale per t < 0, It I < to.

Appendice I
La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz
I Proposizione Sia n un insieme chiuso limitato e misurabile (secondo Riemann
o Lebesgue) e f, gEC(O)(n). Allora
IJf()g() d I  VJ f()2 d v'Tg()2 d
n n'
[1.1]
Dimostrazione. Infatti:
o  S (f() + Xg())2 d = J f()2 d + 2X r f() g() d + X 2 J g(E)2 d
n n rl n
e quindi questo polinomio di secondo grado in X ha discriminante non positivo.
Ma tale discriminante e la differenza fra il quadrato del primo membro della [1.1]
e il quadrato del secondo membro.
mbe
Esercizio. Si dimostri 1a [1.1] osservando che, se n e misurabile secondo Riemann:
Sf()g() de= lim  f(i)g(i) mis D.i
n 5-+01
Jf()2 = lim  f(i)2 mis D.i
n 5-+01
Jg(E)2 dE = lim i get i)2 mis D.;
n 5-+0
ove D.b D. 2 ,... e un ricoprimento di n con cubi di 1ato 0 infinitesimo e i E D.i e
applicando l'ordinaria disuguaglianza di Cauchy, . ajbj E;;; ( . aJ ) 1/2 ( . bJ ) 1/2,
J=l J=l J=l
aile successioni ai = f (i) V mis D. i, hi = g (i) V mis D.; .

Appendice L
Dimostrazione della formula [5.6.63]
Seguendo Ie notazioni del paragrafo 5.6 poniamo:
(x, 1rt(X))=S/0I,6)(xo, 1r(xo)), (x. 1rdx))=St\0I,6)(x, 1r(x)). [L.1]
AHora, da [5.6.33] segue:
,
Irrt(x J-rrt'(x)1  Ie -v ot rr(xo) - e- vot rr(x)1 +
t
+ 'Ie- lIo (t-r) Z6(S;0I, 6)(xo, 1r(xo), a)) dr- [L.2]
t'
- J e-vo(t'-r) Z6(S;Ct, 6)(x, rr(x)), a)) drl
o
Sfruttando [5.6.25], [5.6.49], [5.6.41], [5.6.24] (se t' <t):
, ,
Ie-vot-e-vot Ilrr(xo)1 +e- vot 11i(xo)-rr(x)1 +
t'
+ MS 2 It- t'l + J le-vo(t-r)-e-vo(t'-r)IM2S2 dr +
o
t'
+ J e -lIo(t' -r)1 Z6 (S;OI, 6\xo. 1r(Xo), a))- Z6 (S;OI, 6) (x, 1r(x), a))I";;; [L.3]
o
 SVolt-t'l + Irr(xo)-rr(x)1 +(1 + 2vot)MS2It-t'l +
+ 2MtS(1 + M(a+ + S) t) (Ixo - x 1+ Irr(xo) -rr(x)1) 
(Svo+(l +2v o t)MS 2 ) It-t'I+{(VS- +2MtS(1 +M(a++S)t)+
+ 2MtS(1 + M(a+ + S) t) vs-)} Ixo - xl.
Per stimare Ixo - x1 si procede come al punta G usando espressioni analoghe aIle
[5.6.58]:
t
Xo = x + J dr X6(S' 6) (x, rrt(x)), a)
o [L.4 ]
t'
x=x+ J dr X6(S;6)(x. 1rt(X)), a)
o

484
Appendice L
per cui, per [5.6.25], [5.6.23]:
Ixo-xIMlt-t'l (a+5+252)+
t'
+ J dTI X6(S' 6)(x, 'TTt(x)), a)- X6(S' 6)(x, 'TTt'(x)), a)
o
[L.5 ]
 M(a+o + 25 2 ) It- t'l + 2M(a+ + 0) t(I + M(a+ + 5) t) l'TTt(x)-'TTt'(x)l.
Poiche Ie restrizioni imposte su a+, 5, to dalla seconda delle [5.6.41] implicano
(con 5 < I):
f) =(VS + 2tM5(1 + M(a+ + 5) t) (1 + VS)) 2M.
.(a++8)t(I+M(a++8)t)(I+ /0 (1+ 1 ))(1+1) 110 (1+ /0) <+
si deduce, combinando I'ultima delle [L.S] con l'ultima delle [L.3]:
(I-f)) l'TTt(x)-'TTt'(x)I(5vo+(I +2vo)MS2) It-t'l
e, poiche, per la [L.6], (I-B» 1/2:
lI'TTt-'TTt'lI 2(5vo + (1 + 2vo) MS 2 ) It-t'l
'rIt, t'E[O, t+] e, quindi, 'rIt, t'ER+, It-t'l<t+ (vedi [5.6.51]).
[L.7 ]
[L.8 ]

Appendice M
Serie di Fourier per funzioni di C oo ([0, L])
Dimostriamo qui illemma XI di pagina 256: se u E C oo([O, L]) potremo porre:
u*(x) = u(x)
u*(L + x) = -u(L - x)
xE[O,L]
xE[O,L]
[M.l]
e, per l'ipotesi sulla nullita delle derivate pari di u in 0 e L, e chiaro che la funzio-
ne u* COSt definita su [0, 2L] e in Coo([O, 2L]) ed e periodica insieme a tutte Ie
sue derivate, con periodo 2L.
Per il teorema di Fourier, posta per hE Z:
1 2L - i 2Trhx
Uh=- fu*(x)e 2L dx
2L 0
[M.2]
e osservando che:
1 L . Trh . Trh (L )
-l-X -1- +x
uh=-f(u(x)e L -u(L-x)e L )dx=
2L 0
1 L ( . Tr h . Trh ) . L
-1- X I-X -z
= - J u(x) e L -e L dx=- Ju(x) sin
2L 0 L 0
i -
= --u(h)
2
rrhx
L dx =
[M.3]
(avendo usato il cambiamento di coordinate x  L - x), si ha, per x E [0, 2L]:
. Trhx
+00 A I - 00 _ rrh
u*(x)= L uh e L = L uh sin-x
h=-oo h=l L
[M.4 ]
e, dunque, per x E [0, L]:
00 _ rrh
u(x)= L uh sin - L x
h=l
[M.5]
e uh definito in [M.3] coincide con [4.5.22]. La [4.5.23] segue dalla [M.3] e dalla
proprieta di decrescenza per h  00 dei coefficienti di Fourier delle funzioni perio-
diche di classe Coo.

Appendice N
11 teorema analitico delle funzioni implicite
Le dimostrazioni delle proposizioni XIX e XX del capitolo 5 si basano sulla se-
guente idea. 1
Sia F una funzione olomorfa di una variabile complessa zEn e si consideri
l'equazione in z, parametrizzata dalla variabile complessa z', z' =F(z). Si supponga
inoltre che F' sia non nulla su n.
E' aHora conseguenza elementare della teoria delle serie di potenze che, aI va-
riare di z' in un intorno U di z=F(zo) l'equazione in questione e risolubile e la
sua soluzione e una funzione I olomorfa su U tale che F(/(z')) = z', z' E U, e
I(F(z)) = z, zE W= (intorno abbastanza piccolo di zo). La funzione I ha coefficien-
ti di Taylor, nel punta z, che si caIcolano a mezzo di un semplice algoritmo ricor-
sivo in tennini di quelli di F in z o.
Data l' analiticita di / sara possibile esprimere / a mezzo della formula di Cauchy:
I(Z')=  1 m , d
21T1  - Z
[N.t]
ove il contorno di integrazione e un cerchio di centro z contenuto in U e z' e in-
terno a tale cerchio.
Si pub, nella [N.t], cambiare variabile ponendo =F(w) e si trova (se F'(w)=
dF
= dw (w)):
/ ( z' ) =.( wF'(w) dw
2m :r F(w)-z' [N.2]
ove il contorno di integrazione e un piccolo cerchio attomo a Zo e la [N.2] vale
per z' abbastanza vicino a z.
A volte, se F e estendibile a una funzione analitica in un dominio piu vasto d.i
n, pub essere possibile estendere la funzione olomorfa I, defmita in [N.2], a una
funzione olomorfa definita su una regione n'::>F(n), ad esempio deformando il
J Metodo di H. Epstein.

487
Teorema analitico delle funzioni implicite
cammino di integrazione opportunamente a un contomo ache circonda Q:
, 1 wF'(w)
I(z)=- 2 . J , dw
rrl a F(w)-z
[N .3]
e, in tal caso, si avra, in conseguenza del principio di identita delle funzionl 010-
morfe, I (F(z)) = z, VzEn, F(I(z')) = z', 't/z'EF(Q). In altre parole la [N.3] fomi-
ra in questa situazione, una "inversa globale" della funzione F su Q.
Come esempio di una applicazione di questa idea dimostriamo la proposizlone
XX nel caso 1 = 1, per semplicita; il caso l 1 si tratta allo stesso modo sostituendo
alla formula di Cauchy 1a sua analoga (e immediata conseguenza) per Ie funzioni di
piu variabili. 2
Consideriamo la funzione g olomorfa in C(p, ; Ao) tale che g(A, )= g(A , ei.p),
't/E T t , la cui esistenza e garantita dalla supposta olomorfia di g in C(p, ; Ao).
Nel corso della dimostrazione maggioreremo e minoreremo senza esplicita men-
zione quantita come eft, e:t6, e:t f , con e:t t e le:tc5 -11 con efts ricordando che , €,
S<I.
Denoteremo r h r 2, ... varie "costanti numeriche opportunamente scelte".
Poniamo, per (A, z)EC(p, ; Ao)
F(A, z) =z exp i g(A , z) = zG(A, z)
e riscriviamo la [5.11.19] come:
z' =F(A, z).
[N .4 ]
[N.S]
N otiamo Ie seguen ti disuguaglianze:
I G-ll p , t<r 1 €
afi' \
- -] <r 2 €s-2
az p,t-6
che seguono dalla definizione di G (la [N.6]), e dalla formula di Cauchy per G (la
[N.7]). La [N.7] implica: z, z'EC(-S)3 e se r=r2 .2rr:
Iz -z'l (1- r€O -2) IF(A, z)- F(A, z')1  Iz -z'l (1 + r€s -2)
e la [N.6] implica, 't/wEC(), 't/z'EC():
IF(A, w)-z'Ilw-z'l-r3€ e IF(A, w)-wl<r a €.
[N .6]
[N.7]
[N.8]
[N.9]
1
Dato zoEC(-S) e se r€s-2<2 (cosicche F'(A, z):f;O, zEC(-S))
possiamo invertire la [N.S] a mezzo della:
2 Alternativamente si puo anehe proeedere "per sostituzione"; vedi App. F, p. 472.
3 Notiamo, in eonformita con it  5.11, C(t) = {zle -< Izi < e t }.

488
Appendice N
aF
, 1 w aw (A, w)
I ( A z ) = -:- .( dw
, 21r1 Y F(A, w) - z'
[N.IO]
ove il contorno di integrazione e un piccolo cerchio, diciamo di raggio 0, attorno
a Zo e z' varia sufficientemente vicino a z =F(A, zo).
Nella [N.l 0] possiamo allora deformare il contorno di integrazione alla curva
aC( -0) purche z' sia sufficientemente vicino a z: la [N.8] infatti mostra che se
Iw-zol a allora IF(A, w)-z'l = IF(A, w)-F(A, zo) + F(A, zo)-z'l 
a(l- :: ) -IZI-ZI >0, purche Iz'-z1 sia abbastanza piccolo. Dunque in que-
sta deformazione mai si incontrano singolarita nell'integrando di [N.1 0] e si ha, de-
notando F'(A, w)=  (A, w):
, 1 J wF'(A, w)
I(A, z )= _ 2 . dw. [N.Il]
1T1 aC(E-cS) F(A, w)-z'
Dalla [N.9], pero, segue che se €O-l e sufficientemente piccolo si avni, \fz'EC(-20),
\fwEaC(-o), IF(A, w)-z'lrso. Supponendo dunque che e/o sia piccolo ab-
bastanza (il che sara imposto richiedendo che r 4 ; < I), vediamo che la [N.ll]
definisce una funzione olomorfa in C(p, -20; Ao).
Vogliamo far vedere che:
I: C(p, -30;Ao)C(-20)
F: C(p,  -30; Ao)  C( - 20)
[N .12]
se
r 6 €0-5<1
[N .13]
e r 6> r 4, r; e una opportuna costante. Questa proprieta mostreni che, se vale la
[N.13],I(A, F(A, z))=z e F(A, I(A, z))=z', \f(A, z), (A, z')EC(p, -3cS;Ao),
per it princi pia di identita.
Per dedurre Ie [N .12] dalle [N.1I] e [N .13] si osservi che, \fz E C( - 30), la se-
conda delle [N.9] implica:
e- +26<e- t+ 3cS - r 3 € IF(A, z)1 et- 30 + r 3 e <et- 26
se e/o e abbastanza piccolo (e immagineremo che questa condizione sia verificata
grazie alIa [N .13] con r 6 opportuno). Dunque occorre solo dimostrare la prima
delle [N .12].
Si osservi l'identita, \fz' E C( - 20):
, , 1 S ( WF'(A, w) W )
I(A, z )=z +--:- , - , dw
21r1 aC(t-6) F(A, w)-z w-z
[N .14 ]

489
Teorema analitico delle funzioni implicite
per la formula di Cauchy, e si ponga l'integrale in [N.14] uguale a z'R(A, z'):
, _   J (w-z') (F'(A, w)-l)-(F(A, w)-w)
R(A, z ) - 2 ., w dw "
1Tl Z aC(t-5) (F(A, w)-z ) (w-z ) [N.1S]
e, per Ie [N.6], [N.7], [N.9], segue immediatamente che l'integrale in [N.15] PUQ
essere maggiorato, se €/o e piccolo e se €o -4 e piccolo, da:
, 4 1
IR(A, z )1rs€O- <2
z' EC( -20).
[N .16]
Supporremo che la condizione su € e 0, di validita della [N.16], sia conglobata nel-
la [N .13], avendo scelto opportunamente r 6.
E' quindi chiaro che, se r 6 e ben scelto, la [N.13] e la [N.16] implicano la pri-
ma delle [N.12].
Posto allora:
- , 1 ,
(A, z )= -;- loge! + R(A, z ))
1
[N .17]
potremo scrivere, \fz'EC(-20):
, , - ,
leA, z )=z expi (A, z)
[N .18 ]
e  sara olomorfa in C (p,  - 20; Ao) e, ivi, verifichera per la [N.16] e se vale la
[N.13]:
- 4
1lp, - 25< r 7 €0 - . [N.19]
Resta ora da far vedere che  e reale suI cerchio unitario, per A E (Ao).
E' chiaro che se AE (Ao) (e, quindi, e reale) e se Izl= 1 anche IF(A, z)l= 1
per la definizione di F e la realta di g(A, ¥?). E' chiaro che, se A ESp(A o ) (e quin-
di e reale) e se Izl=1 anche IF(A, z)I=1 per la definizione diFe la realta di
g(A, '/)).
D'altra parte un semplice argomento di continuita basato sulla piccolezza di
ag ag _ €
_ a (A,'/)) = z- a (A,z) j,,,€etll-e 1-l<r87(ancoraconseguenzadel-
¥? z z=e u
la formula di Cauchy) implica che la immagine del cerchio unitario per la trasfor-
mazione z -+ F(A, z) e tutto il cerchio unitario, se A e reale e in (A 0) ese, co-
me possiamo supporre, r 8 ; < 1f.
Quindi e immediato dedurre che II(A, z')1 = 1, se Iz'l = 1 e A e (reale) in (Ao).
Questo significa che, posto (A, '/)) =  (A, e ¥), \f (A, ¥?) E  (A 0) X T 1, la funzio-
ne  e reale. Si vede pertanto che la [5.11.19] e invertita dalle [5.11.20] se vale
la [5.11.18] e, in tal caso,  verifica [5.11.21].
L'unicita segue facilmente dal teorema ordinario delle funzioni, implicite (appli-
cato nell'intorno di un numero conveniente di punti ¥? E T 1) e dal principio di identita.

490
Appendice N
Mostriamo ora come, lunge Ie stesse linee, e possibile dimostrare la proposizio-
ne XIX, sempre nel caso 1= 1, per semplicita. Poniamo anche Ao = 0, 17 =M- 1 .
Si consideri l' equazione per A parametrizzata da z':
F(A)=A + M- 1 [(A)=z' e si denoti (O)=  e (O)=.
[N .20]
Osserviamo che, al solito per la formula di Cauchy, esiste 11 tale che:
-.
IF'-II <1117€P-l VAE/2
[N.2I]
-.
e, quindi, VA, A'E/2:
IA-A'I (I-1117€P-l)IF(A)-F(A')IIA-A'1 (1 +11 E l1P-l)
e, inoltre, Vw, z' E:
[N .22]
IF(w)-z'l  Iw-z'I-17€, IF(w)-wl 1l€
[N.23]
che seguono dalla [N.20].
Pertanto se 111l€p- 1 <I/2 si avra IF'(A)I:;eO, VAE/2' e datoAoE/2 e po-
sto z=F(Ao), si potra invertire la [N.20] con:
I(z')=  wF'(w) dw
2m F(w)-z
ove il contomo di integrazione e un piccolo cerchio attomo ad Ao e z' varia abba-
stanza vicino a z. Per A abbastanza vicino ad Ao si avra F(I(z'))=z', I(F(A))=A.
Come nella precedente dimostrazione la [N.22] implica che, se Iz' -z1 e abba-
stanza piccolo, la [N .24] si riscrive:
[N .24 ]
, 1 J wF'(w)
I(z )=- 2 . , dw.
m IWI=p/2 F(w)-z
Se Z'E/4 si ha, per la [N.23], IF(w)-z'l = -1l€>p/8 purche Iwl=  e
1
81l€p- 1 < 1. Pertanto, se 1117€P- 1 <"2 e 11 e scelto abbastanza grande (eventual-
A
mente ridetinendolo), la [N.25] defmisce una funzione olomorfa su Sp/4.
Facciamo ora vedere che:
[N.2S]
I: Sp/8 Sp/4
F: Sp/8 Sp/4
se, per un 12 ben scelto:
[N .26]
1217€P- 1 < 1.
[N .27]
Invero se 12 e opportunamente scelto:
IF(z) I  Izi + €17  p/8 + E17 < pl4
[N.28]

491
Teorema .,alitico delle funzioni implicite
per la [N.23] e, dunque, resta cia mostrare solo la prima delle [N.26].
Usando la formula di Cauchy si puo scrivere, Vz'ES pI4 :
, , 1 J (F'(w)-l) (w-z')-{F(w)-w)
/(z )=z + --:- w " dw =
21r1 Iwl=pl2 (F(w)-z ) (w-z )
= z' + Y{z')
[N.29]
ove:
, - J (F'(w)-l) (w-z')-(F(w)-w)
Y(z ) - 2 . w " dw
1r1 IWI=pI2 (F{w)-z ) (w-z )
e, se Iz'l <pIS, segue dalla [N.21], [N.23], [N.30] che
[N .30]
, , p I
IY(z )1 <13€11=>1/(z )1 <T+13fll<P 4
[N .31]
se vale la [N.27] can 13 opportunamente scelto.
Allora per il principio di identita Ie [N.26], [N.27] implicano che /(F(A))=A,
F(/{z))=z, VA, ZES pls . Dunque l'equazione F(A) =0 ha per soluzione /(0) e, per
Ie [N .29], [N .31]:
1/(0)1 < 13 €11.
[N.32]
La unicita e la realta della soluzione seguono da una applicazione del teorema
ordinaria delle funzioni implicite come Ie analoghe affermazioni della precedente
proposizione.

Appendice 0
Un semplice algoritmo per la soluzione delle
equazioni differenziali. 11 metodo delle differenze finite
Si consideri fE COO(R d ) e l'equazione:
i=f(x)
x(D) = Xo.
Si vuol calcolare x (T) con un da to T> o.
Si ponga 11 = TIN, NEZ+, e si definisca induttivamente:
%o=x(O)
x n =x n - 1 + llf(xn - 1) n = I, 2, ..., N.
Allora si pone:
C= sup f If(i)(x)1
xEil i= 1
d dfU)
L=sup L (x)
xEil i, j= 1 dXj
ove Sl C R d e una regione convessa nella quale si PUQ garantire a priori che si ven-
gono a trovare x(t), VtE[O, T] ed x n , Vn=O, I,...,N, (da trovarsi caso per caso).
Si ha:
CT L
IXN -x(T)1  N (e T -I).
Questa formula del una stima a priori sull'errore che si commette risolvendo ap-
prossimativamente una equazione differenziale con il metodo iterativo esposto (me-
todo delle differenze finite) e PUQ essere usata in molti esercizi che nel testa vi
suggerisce di risolvere "al calcolatore".
La dimostrazione dell'ultima disuguaglianza e una non difficile conseguenza del-
le considerazioni e dimostrazioni addotte nei  2.2, 2.3, 2.4.

493
Metodo delle differenze finite
Dimostrazione. Se dk=Xk-X(k'fl), si ha
f}
dk=Xk-X(krl)=Xk-l + 'fl!(Xk- I)-x(k-l)- J !(x((k-l)'fl + r)) dr =
 0
=dk-I + J (!(x((k-1)'fl + r))- !(Xk-I)) dr
o
e dunque
Idkl.e;;; Idk- 11 + L r Ix((k-l)11 + r)-xk- 1 1 dr.e;;;
o
.e;;; Idk-11 + L r (l d k- 1 1 + Ix((k-l)11 + r)-x((k-l)11)I) dr
o 11
 Idk- II + L'flldk- II + LC J rdr,
o
ove nell' ultima disuguaglianza si e tenuto conto che X = ! (x) e cioe I xl  C
AHora
LC
Idkl (l + L17) Idk-II + 2 'fl2
che, per iterazione, del:
Idkl.e;;; c 11 2 [l + (1 + LTj) + (1 + LTj)2 +... + (1 + LTj)k-l] =
LC ( 1 +L ) k-1 C
= -11 2 11 =  [(1 + L11)k_ 1 ]
2 L'fl 2
e per k=N, ricordando che l1=r/N:
Cr  LT ) N  Cr L
IXN-x(r)I- 1+- -1 -(e T-1)
2N N 2N .

Definizioni e simboli vari
COO{A)
C;{A)
C(k){A)
COO{Q)
C;{Q)
C(k){Q)
COO{T d )
Cd

T d
Si T est un ensemble, et A une partie de T, on notera 'PA
la fonction characteristique de A, si cela n 'entraine pas de
confusion.
(N. Bourbaki, ch. IX)
se A C R d e un insieme aperto: l'insieme delle funzioni su A dotate di
derivate parziali continue di ordine arbitrario. Abbreviato in "funzioni
di classe COO" quando A e sottinteso.
se A C R d e un insieme aperto: sottoinsieme di COO{A) costituito dalle
funzioni nulle fuori di un insieme chiuso e limitato contenuto in A.
ove A C R d e un insieme aperto: e fmsieme delle funzioni su A dotate
di derivate parziali continue di ordine minore 0 uguale a k, k intero:
"classe C(k)".
ove Q C R d e arbitrario: e l'insieme delle funzioni su Q dotate di deri-
vate parziali continue di ogni ordine nei punti intemi di Q (eventual-
mente non esistenti!) e tali che ogni derivata puo essere estesa ad una
funzione continua su Q.
ove Q C R d e arbitrario: sottoinsieme di COO(Q) costituito dalle funzio-
ni nulle fuori di un insieme chiuso e limitato contenuto nell'interno di
Q, supponendo quest'ultimo non vuoto.
ove Q C R d e arbitrario: e defmito come COO(Q) considerando solo Ie
prime k derivate.
funzioni di classe Coo suI toro d-dimensionale T d di lato 21T (vedi defi-
nizione 11, p. 117).
spazio cOlnplesso a d dimensioni e (0) spazio vettoriale complesso a d
dimensioni.
spazio euclideo a d dimensioni e (0) spazio vettoriale a d dimensioni.
toro d-dimensionale di lato 2.

496
R R I
,
cc (tl
,
R+
(A)
....
(A)
C()
Zd
Z Zl
,
Z+
,11
X, y, f, ...
(X(a»)aEJ
IIfllQ
t
O(t)
o(t)
mbe
x.y
xl\y
P-Q
A
Dij
Re, 1m
/, \
Definizioni e simboli vari
retta reale, spazio euclideo a una dimensione.
piano complesso.
intervalIo [0, + 00).
se A E R d e la multisfera di raggio p e centro A, ossia e {BIB E R d ,
IBi - Ail <p, Vi = 1, ..., d}.
se A E Cd e la multisfera complessa di centro A e raggio p, ossia e
{BIBEC d , IBi-Ail <p, Vi= 1, ..., d}.
se  > 0 e la multicorona di raggio intemo e -  ed estemo e, ossia
{zlz E Cd, e-  < IZil <e t , Vi = 1, .o., d}.
reticolo delle d-uple di numeri interi.
numeri interi.
numeri interi non negativi.
vettori 0 punti di R d 0 ([d.
funzioni a valori in R d 0 T d 0 Cd, cioe d-uple di funzioni x =(X(I), ...,
x(d»),... a valori in R, T 0 ([.
ove J e un insieme di indici: famiglia di funzioni a valori in R d , T d 0
Cd descritta dall'insieme di indici J.
se fE C (O)(Q), R d -::; Q e l'estremo sup If()I.
EQ
parametro reale con interpretazione di tempo (di so lit 0 ).
derivata rispetto at.
derivata seconda rispetto at.
quantita dell'ordine di grandezza di t: significa che esiste C >0 e tC>O
tali che IO(t)1  C It I per It I < tc; usata solo quando t e una variabile in-
fmitesima.
quantita infinite sima di ordine superiore a t: significa che lim t-Ilo (t)1 = O.
fi d . d . . to
lne I lmostrazlone.
prodotto scalare di due vettori x, y E Rd.
prodotto vettoriale di due vettori x, y E R 3 .
vettore Ie cui componenti in un dato riferimento sono Ie differenze del-
le coordinate omonime dei punti P e Q nello stesso riferimento (carte-
siano ).
simbolo di identita 0, spesso, di defmizione implicita.
simbolo di prodotto vettoriale fra due vettori in R 3
o 0 1 a secondo che i =1= j ovvero i = j.
parte reale 0 parte immaginaria di un numero complesso.
simboli per la differenza net senso della teoria degli insiemi.

Bibliografia
Opere da eonsultare parallelamente alIa lettura di questo libro:
Arnold V., Equations differentielles ordinaires (MIR, Mosca 1976).
- Metodi matematiei della meeeaniea elassiea (Editori Riuniti, Roma 1979).
Boyer C., Storia delJa matematica (Mondadori, Milano 1980).
Dreyer J., A History of Astronomy from Thales to Kepler (Dover, New York 1953).
Landau L.-LifSits E., Fisica teorica, trad. it., 7 voll. (Editori Riuniti, Roma 1976-79); in
partieolare vol. I: Meccanica.
- Mecanique des jluides (MIR, Mosca 1971).
Mach E., La meccanica nel suo sviluppo storico critico (Universale scientifiea Boringhieri, To-
rino 1977).
Newton I., Principi matematici dell a filosofl/l naturale (Utet, Torino 1965).
Truesdell C., Essays in the History of Mechanics (Springer, Berlino 1968).
Opere. da eonsultare per approfondire temi di questo tibro:
Arnold V., Small Denominators and Problems of Stability of Notion in Classical and Celestial
Mechanics.. Russian Mathematical Surveys, vol. 18, 85 (1963).
- e Avez A., Ergodic Problems in Classical Mechanics (Benjamin, New York 1968).
Gallavotti G., Problemi di teoria ergodica, qualitativa e statistica dei moti, in stampa (Quader-
ni dell'U.M.I.).
Gihmann I. e Skorokod A., The Theory of Stochastic Processes, 2 volL (Springer, Berlino,
Heidelberg e New York 1975-76).
Gnedenko B., The Theory of Probability (MIR, Mosca 1973).
Huang K., Statistical Mechanics (Wiley, New York 1963).
IGntehin A., Mathematical Foundations of Information Theory (Dover, Londra 1957).
- Mathematical Foundations of Statistical Mechanics (Dover, Londra 1963).
Lagrange G., Mecanique AnaUtique (Parigi 1788).
Lanford 0., Entropy and Equilibrium States in Classical Statistical Mechanics, Lecture Notes
in Physics, vol. 20, a eura di A. Lenard (Springer, Berlino, Heidelberg e New York 1972).
- Time Evolution of Large Classical Systems, Lecture Notes in Physics, vol. 38, a cura di
J. Moser (Springer, Berlino, Heidelberg e New York 1974).
Marsden J. e McCracken M., The Hopf Bifurcation and Its-Applications (Springer, Berlino,
Heidelberg e New York 1976).
Miranda C., Partial Differential Equations of Elliptic Type (Springer, Berlino, Heidelberg e
New York 1970).
Moser J., Stable and Random Motions in Dynamical Systems, Herman Weyl Lectures, Annals
of mathematical studies (Princeton University Press, Princeton 1973).

498
Bi bl iografia
Poincare H., Methodes nouvelles de la Mecanique celeste, voll. 1 e 2 (Gauthier-Villars, Parigi
1897).
Reed M., Abstract non Linear Wave Equations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 507 (Sprin-
ger, Bertino, Heidelberg e New York 1975).
Ruelle D., Statistical Mechanics Rigorous Results (Benjami, New York 1969).
Artieoli e rieerehe monografiehe riportat 0 eonnesse a temi di questo tibro:
Feigenbaum M., Quantitative Universality for a Class of non Linear Transformations, J. Stat.
Phys., 19, 25-52 (1978).
Franceschini V. e Tebaldi C., Sequencies of Infinite Bifurcations an4 Turbulence in a Five -
Mood Truncation of the Navier - Stokes Equations, J. Stat. Phys., 21, 707-26 (1979).
Lanford 0., Bifurca.tion of Periodic Solutions into Invariant Tori. The Work of Ruelle and
Takens, Lecture Notes in Mathematics, vol. 322 (Springer, Bertino, Heidelberg e New York
1973) pp. 159-92.

Indice analitico
Algoritmo delle differenze finite, 492
Ampiezza e periodo, relazione tra, 60
Aneora:
seappamento ad, 80
stabilita dell', 91
Angoli di Eulero, 208
Annullamen to, principio di, 465
Anosov- Hopf-Sinai, 368
teorema di, 332
Arnold, teorema di, 442
Arnold-Kolnogorov-Moser, teorema di, 423
Aseoli-Arzela, teorema di, 477
Atti di moto, spazio degli, 49, 274
Attrattore, 338
minimale, 344
stabilita dell', 343, 356
strano, 405
vago, 356
Attrito, 55
e stabilita, 55
nonostante 1', 80
Autoeon trollo, 92
Autovalori, 459, 466
Au tovettori, 459, 466
Azione, 147, 169, 179, 233
Bacino l'attrazione:
normale, 344
parziale, 344
Barieentro, 165
Biforeazione di Hopf, 391
Catene di oseillatori, 242
Catullo, 420
Cauchy-Schwartz, disuguaglianza di, 482
Cebisev, disuguaglianza di, 137
Centro di oscillazione, 254
Codimensione di superfiei, 183
Coefficien te di espansione, 347
Complessita:
assai uta, 3 26 sg.
di sueeessioni, 326 sg.
Coneezioni teologiehe, animistiehe e misti-
ehe, 234
Considerazioni generali:
sui modelli, 19
sui prineipi, 178
sui vineoli, 215
Convergenza uniforme, teorema di, 477
Coordinate, vedi Sistema di coordinate
Corda elastica:
continua, 253, 259
disere ta, 248
Criteri:
di in tegrabili ta, 307, 313
di Lyapllnov, 350
di perfezione dei vineoli, 187
di stabilita, 350
D' Alem bert:
equazione di, 255
principio di, 178
Dante, 80, 131, 169, 284,426
Denominatori piccoli, 106, 441
Difetto geodetieo, 232
Differenze finite:
algoritmo delle, 492
operatore di Laplace alle, 252, 267
Dimensione di superfici, 183
Diriehle t, pro blen1a di, 252, 267
Distribuzione:
di Cebisev, 137
di probabilita, 132
di una sueeessione, 322
Energia:
cinetiea, 21, 160
eonservazione dell', 21, 176
potenziale, 21, 160
En tropia, 327
Equazione differenziale:
a traiettorie limitate, 343

500
Indice analitico
autonoma, 48
delle onde, 255
di Eulero, 295
di D' Alembert, 255
di Hamilton, 220
di Hamilton-Jacobi, 227
di Lagrange, 218
di Lorenz, 405
di Navier-Stokes, 255
n ormale, 38
reversibile, 49
soluzione, 24
soluzione globale dell', 37
soluzione locale dell', 37
soluzione massimale dell', 37
teorema di esistenza per I', 29
teorema di regolarita per I', 33
teorema di unieita per I', 24
Equazioni cardinali. 164
Equilibrio, stabilita dell', 52 sg., 55
Ergodieita, 319, 321
Errori, legge degu, 142
Eulero, 144
angoli di, 208
equazioni di, 295
teorema di, 112
Evento, 121
Evoluzione temporale, 307
Ftdro, 401
Feedback, 92
Flusso, 238, 307
irrazionale, 239
Formule:
di Eulero, 67 sg.
di Stirling, 142
Forza:
attiva, 174
eonservativa, 160
viva, 162
Frequenza:
di un tratto di sueeessione, 322
di visita, 315, 319
Funzione:
analitiea, 309
anali tiea su una superficie, 311
multiperiodica, 119
olomorfa, 438
quasi periodiea, 117
Funzioni:
COD, 495
implicite, teorema delle, 472,486
Galileo, 14
Gauss, legge degli errori di, 142
Geodetiehe, 231, 301
Geometrie, 231 sg.
Giroseopio, 292, 334
Grandi numeri, legge dei, 136
Hamilton:
equazione di, 220
prineipio di, 225
Hamilton-Jacobi, equazione di, 227
Hamiltoniana regolare, 219 sg.
Hopf, biforeazione di, 391
Hopf-Anosov, Sinai, teorema di, 332
Indipen<1enza razionale, 239
Insieme:
anali tieo, 311
anali tieamen te regolare, 311
invariante, 343
stabile, 343
Integrabilita, 276, 313
analitiea, eriteri di, 326
Integrale primo, 275
Isoeronia delle oseillazioni armoniehe, 277
Keplero:
leggi di, 284
variabili di, 289
Kolmogorov, vedi Arnold-Kolmog
roy-Moser
Konig, teorema di, 206
Kusnirenko, teorema di, 328
Lagrange, equazioni di, 218
Lagrange-Taylor, sviluppo di, 462
Lagrangiana:
densita, 145, 167
regolare, 218
Lamina elastica, 242, 266
Lavoro(i), 161
virtuale, 175
virtuali, prineipio dei, 1 75
Legge:
dei grandi numeri, 136
di forza, 161
Lorenz, modello di, 405
Lyapunov, eriterio di, 350
Mach, 233 sg.
Matriee, 459, 466
cinetiea, 188
definita positiva, 466
d'inerzia, 391
di stabilita 0 di Lyapunov, 350
Maupertuis. prineipio di, 230
McMillan-Shannon, teorema di, 331 sg.
Medie temporali:
continue, 126 sg.
discrete, 126 sg.
Modelli, 14 sg.
Momento:
angolare, 164
della quantita di moto, 165
liJ1eare, 165
Moser, vedi Arnold-Kolmogorov-Moser, 423

501
Indice analitico
Nodi dei modi normali, 253
Onde, eq uazione delle, 255
Oseilla tore:
armonieo, 60, 235
forzato, 69, 96, 102, 112
non line are, 96
periodieo nonostan te tu tto, 80
poco smorzato, 106
smorzato, 63
Oscillatori:
lineari, 235
ordinati, 242
Osservabile, 125
storia di un', 125
Partizione analitieamente regolare, 314
Pendolo, 96
Periodi dei moti quasi periodiei, 117,
239, 277
Perturbazioni, teoria delle, 426
Piccoli denominatori, 106, 441
Prinei pio:
della minima azione, 150, 168, 177
dei lavori virtuali, 175
dei lavori virtuali, dimostrazione
del, 218
della minima azione, dimostrazione
de I, 218
delle geodetiche, 231
d eonservazione delle diffieolta, 175
dl D' Alembert, 175
di Fermat, 231
di Hamilton, 225
di Maupertuis, 230
Prine i pi:
della Meeeaniea newtoniana, 17 sg., 163
vari, 1 78
Probabilita:
distribuzione di, 132
di tratti di storia, 321
Proiezione su un attrattore, 344
Pulsazioni di un moto quasi periodieo,
117, 239, 277
Punto materiale, modello di, 15
Quadratura, 22
Quantita di moto, 165
Reazione vineolare, 174
RisQnanze, 108
Rotazioni:
di T 1 , 238
irrazionali, 239
Seappamen to ad aneora, 80
Serle di Fourier di funzioni periodiehe, 73
in COD( T 1 ), 120
in COD([O, L)), 485
Shannon, vedi McMillan-Shannon
Sinai, vedi Anosov-Hopf-Sinai
Sistema di coordinate:
adattate, 189
anali tiehe, 310
ben adattate, 189
ortogonale, 189
regolare, 183
Sistema:
analitieamente integrabile, 326
integrabile, 276, 313
quasi vineolato, 187
Solido con pun to fisso, 290
Spazio, modello di, 15
Stabili ta:
con margine, 53
eriterio di Lyapunov d 350
di un punto in equilibrio, 52 sg., 55
forte, 56
nello seappamen to ad aneora, 91
Stazionarieta dell'azione, 150, 168, 177
Stirling, formula di, 142
Storia di un osservabile, 125
Struttura di un vineolo, 183
Sueeessione:
a frequenze definite, 322
distribuzione di una, 322
ergo diea, 321
equieontinua,477
equilimitata, 477
meseolan te, 322
Sviluppo:
di Fourier, 73, 120, 485
di Lagrange-Taylor, 462
Taylor, vedi Lagrange-Taylor
Tempo:
della varieta attrattiva, 370
della varieta centrale, 390
m odello di, 15
Teorema:
delle fone vive, 162
delle funzioni implieite, 472, 486
di Anosov-Hopf-Sinai, 332
di Arnold, 423
di Arnold-Kolmogorov-Moser, 442
di Eulero, 112
di Konig, 206
di Kusnirenko, 328
di Liouville, 156
di McMillan-Shannon, 331 sg.
To ro, 118
Trasformazione:
analitiea fra insiemi, 310
eanonica, 223
eanonica indipendente dal tempo 224
di Legendre, 222 '
di Poincare, 402
Tratto di sueeessione, 321

502
I ndice analitico
Varia bili :
aleatorie, 134
di Keplero, 289
V arie ta:
attrattiva, teorema della, 370
een trale, teorema della, 390
Veloeita:
angolare, 210
areolare, 280
di attrazione, 347
di propagazione ondosa, 270
Vineolo:
approssimato bilatero, 182
approssimato eonservativo, 182
approssimato ideale, 192
en teri di perfezione del, 196
ide ale, 174
indipendente dal tempo, 173
olonom 0, 173
reale, 180
rigidi ta del, 173
teoria del, 173