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Author: Urbaneja P.M.G.
Tags: storia matematica i geni della matematica rba storia della matematica numeri naturali
ISBN: 2531-890X
Year: 2018
Text
Apollonio
GENI
della
MATEMATICA
Il dominio delle
sezioni coniche
Apollonio
RBA
PEDRO MIGUEL GONZÁLEZ URBANEJA è professore di Matematica,
divulgatore scientifico, scrittore e filosofo della scienza.
I geni della matematica
Pubblicazione periodica settimanale
Anno I - Numero 35 - Milano, 18 gennaio 2018
Edita da RBA Italia
Via Gustavo Fara, 35 - 20124 Milano
Direttore generale: Andrea Ferdeghini
Responsabile editoriale: Anna Franchini
Responsabile marketing: Tiziana Mandameli
Direttore responsabile: Stefano Mammini
© 2016 Pedro Miguel González Urbaneja per il testo
© 2016 RBA Coleccionables, S.A.U.
© 2017 RBA Italia S.r.l. per la presente edizione
Impaginazione e adattamento: Lesteia, Milano
Traduzione: Mario Naldi
Copertina: Lorenç Marti
Progetto pagine interne: Luz de la Mora
Infografica: Joan Pejoan
Crediti fotografici: Album: Archivo RBA: 19, 35, 37, 48, 62d, 62s, 97, 12la, 121bs,
121ad, 127, 153b; Sébastien Bertrand: 128; Getty Images: 67b;
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Stampato nel 2017 presso LIBERDUPLEX
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può essere riprodotta o diffusa senza il consenso dell’editore.
Sommario
INTRODUZIONE 7
CAPITOLO 1 Apollonio, l’apice della geometria alessandrina 15
CAPITOLO 2 L’ultimo prodigio della geometria greca:
Le coniche 41
CAPITOLO 3 Su intersezioni, segmenti estremi, somiglianze,
tangenti e normali 89
CAPITOLO 4 Altre opere matematiche di Apollonio m
CAPITOLO 5 Un lascito sempre vivo nelle scienze e nell’arte 133
LETTURE CONSIGLIATE 155
INDICE 157
Introduzione
Apollonio di Perga fu il terzo più grande matematico dell’età aurea
della geometria greca. Se Euclide sistematizzò il sapere matema¬
tico e Archimede si distinse come il poliedrico genio inventore per
antonomasia, Apollonio di Perga seppe unire in sé la specializza¬
zione tecnica e il virtuosismo geometrico, due virtù che nelle sue
mani raggiunsero l’eccellenza. Così, quasi mezzo secolo dopo Ar¬
chimede, fiorì il terzo più grande talento dell’ellenismo, nonché
l’ultimo dell’Antichità classica greca: Apollonio di Perga, chiamato
il «Grande geometra», per via dei suoi innumerevoli meriti.
Qualsiasi lode all’opera matematica di Apollonio è più che
giustificata. Chi meglio definì la portata dei suoi contributi fu il
matematico e storico spagnolo Francisco Vera Femández di Cord¬
oba (1888-1967), che nella sua opera Breve storia della geometria
attribuì al sapiente greco alcuni termini che rivolse esclusivamen¬
te ai personaggi più notevoli della storia: «Le ricerche di Apollonio
sono di una grandezza cosmica. La sua importanza fu manifesta
nello sviluppo della meccanica celeste durante il xvii secolo. Senza
gli studi del geometra di Perga, Keplero (Johannes Kepler, 1571-
1630) non avrebbe scoperto le leggi della dinamica planetaria, né
Newton quelli della forza di gravità universale».
Questa definizione, partorita da un consumato specialista del¬
la materia, certifica che il valore storico dei contributi matematici
di Apollonio fu davvero straordinario. A fronte di tutto ciò, risulta
7
davvero sorprendente che la sua figura e la sua opera siano meno
conosciute di quelle di Euclide e Archimede; una lacuna che la
presente biografia intende colmare in modo piacevole e con l’umil¬
tà e il rigore necessari. Tutto ciò senza dimenticare certi fonda¬
menti, dettagli e aneddoti che, certamente, accenderanno la curio¬
sità del lettore, anche di quello che ben conosce l’inestimabile
lascito dei grandi matematici greci.
Euclide non ha bisogno di presentazione. È noto che negli
Elementi codificò i fondamenti della geometria greca, la riga e
il compasso, e stabilì il corpus centrale della totalità delle scien¬
ze matematiche elementari. Da parte sua, Archimede, nella sua
opera ricca e brillante, esaltò il patrimonio matematico greco e
approcciò lo studio rigoroso di una moltitudine di problemi in¬
finitesimali, che trattò con ineffabile originalità. A che cosa si
dedicò Apollonio? Concisamente, concentrò la sua attività in
una direzione pressoché monotematica e impiegò una sagacia
magistrale nelle sue ricerche; specialmente, sulle cosiddette «se¬
zioni coniche». Approdò infatti a illuminanti scoperte circa gli
elementi geometrici di tali curve: assi, centri, diametri, asintoti,
fuochi, rette massime e minime - tangenti e normali - ecc. Que¬
ste scoperte lo resero il primo specialista di grande fama che la
storia della geometria registra e danno piena giustificazione al
suo appellativo di «Grande geometra».
Mentre l’opera di Euclide si incentrò sull’ingegneria logica
della geometria elementare e quella di Archimede si orientò sulla
geometria della misura, con l’introduzione del concetto di «infini¬
tesimale», i lavori di Apollonio ebbero come oggetto la geometria
della forma. Da qui la comparsa delle cosiddette «coordinate» nel¬
la sua opera principale: Le coniche. Questi elementi matematici
sono premesse indispensabili di quella che oggi è nota come «ma¬
tematica superiore». In questo senso, Apollonio potrebbe essere
considerato un «matematico puro», un virtuoso della forma.
In generale, la vita e il destino dei matematici greci classici
non fu particolarmente interessante, a eccezione di Archimede, la
cui turbolenta vita politica, militare e scientifica, in relazione con
i Romani, risultò quanto meno intensa. Apollonio, invece, si mostrò
imperturbabile di fronte agli avvenimenti che gli accaddero e ri-
8
INTRODUZIONE
mase concentrato sulle sue ricerche. Per dirla con le parole del
saggista austriaco Egmont Colerus (1888-1939), autore della cele¬
bre Breve storia della matematica, Apollonio fu un uomo alieno
alla vita quotidiana e completamente votato al suo amore per la
matematica: «L’incendio di Siracusa non l’inorridì, né arrivò a tur¬
barlo la grande inventiva di Archimede; ma si preoccupò di con¬
durre a perfezione definitiva la matematica greca, la geometria
eleatica ed euclidea».
Oltre a queste valutazioni, l’eccellenza che Apollonio raggiun¬
se nella sua opera fondamentale, Le coniche, mostra una capacità
prodigiosa, in grado di cancellare completamente qualsiasi dubbio
circa la presunta semplicità dei matematici greci. La perfezione
del lavoro di Euclide e di Apollonio, come quintessenza della cul¬
tura alessandrina, suscita l’impressione che, in quel territorio ge¬
ografico e culturale, si fosse raggiunto l’apice del sapere. E così fu.
E ne è prova la validità, ancora attuale, di alcune illuminate cono¬
scenze risalenti a oltre 22 secoli fa. Il suo valore, pertanto, è in¬
commensurabile.
È d’uopo segnalare che le curve di secondo ordine, o sezioni
coniche, erano già state scoperte da un altro matematico greco, Me-
necmo, appartenente all’Accademia platonica. Menecmo le concepì
come un artifìcio per risolvere il famoso «problema di Delos» circa
la «duplicazione» del cubo, una questione che sarà spiegata con det¬
taglio in queste pagine. A partire da un cono circolare retto di un solo
foglio, Menecmo tagliò il cono con un piano perpendicolare a una
delle sue generatrici. A seconda che l’angolo al vertice fosse retto,
acuto od ottuso, il geometra platonico ottenne ciò che più tardi Apol¬
lonio avrebbe denominato, rispettivamente, «parabola», «ellisse» e
«iperbole», che in quel momento formavano un unico ramo.
Ugualmente, le sezioni coniche furono studiate da Euclide e
da un matematico suo contemporaneo, Aristeo, in due trattati in¬
titolati Luoghi solidi (nome greco per le sezioni coniche, proba¬
bilmente derivato dalla definizione stereometrica data da Menec¬
mo). Sfortunatamente, entrambi i trattati, di cui si ha notizia e di
cui si conservano alcuni frammenti grazie al Tesoro dell'analisi,
opera magna del matematico greco Pappo di Alessandria, sono
irrimediabilmente perduti.
INTRODUZIONE
9
In ogni caso, il grado di perfezione al quale giunse Apollonio
non fu superato per moltissimi secoli. Lo stesso Archimede do¬
vette usare le antiche definizioni di Menecmo, nonché i teoremi
presenti nei trattati sulle sezioni coniche di Euclide e Aristeo
relative alle opere Sulla quadratura della parabola e II metodo
relativo ai teoremi meccanici, dove necessariamente utilizzò
l’espressione «sezione di cono rettangolo» per la parabola. Fu
Apollonio che ebbe l’idea geniale di ottenere le tre sezioni coni¬
che a partire da un solo cono obliquo di base circolare. Come?
Provando che, se si fosse fatta girare una retta intorno a una
circonferenza e se si fosse mantenuto fisso uno dei suoi punti,
tale retta avrebbe generato per rotazione un doppio cono, da cui
si sarebbero ricavate quattro sezioni coniche, secondo l’inclina¬
zione del piano che seziona un unico cono acutangolo: l’ellisse,
la parabola e i due rami dell’iperbole (e, come caso particolare
dell’ellisse se il piano è orizzontale, il cerchio). In questo ambito,
Apollonio battezzò le sezioni coniche coi loro nomi attuali.
L’influenza storica di Apollonio, pertanto, è proporzionale alla
sua insuperabile maestria. Si avvicinò perfino ad alcune teorie mo¬
derne, come quella della polarità e della generazione delle coniche
per fasci proiettivi, che avrebbe definito in modo rigoroso il mate¬
matico svizzero Jakob Steiner (1796-1863), più di venti secoli dopo.
Con il suo approssimarsi ai concetti di «evoluta» ed «evolvente»,
in relazione ai centri di curvatura, così come quelli di «involuta» e
«involvente», in connessione con lo studio della variazione delle
tangenti, Apollonio si avvicinò alla geometria differenziale.
Benché sia giusto attribuire ad Apollonio il titolo di pioniere
in molti ambiti, si deve anche sottolineare l’influenza delle sue
opere nella rivoluzione scientifica, che ebbe luogo a partire dal
Rinascimento; così lo riconoscono diversi saggisti e storiografi
della scienza. Un altro encomio lo si deve tributare alla sua defini¬
tiva classificazione dei problemi geometrici in «piani», «solidi» e
«lineari», a seconda che la soluzione richieda, rispettivamente,
rette e circonferenze, coniche o altre curve superiori (come la
concoide o la quadratrice). Si tratta di un’idea molto efficace per
la scelta degli strumenti di soluzione adeguati. In concreto, si sup¬
pone un’estensione della glorificazione platonica della linea retta
io
INTRODUZIONE
e del cerchio dei «problemi piani», cosa che si tradurrà più tardi
nello studio deH’incomprimibilità delle equazioni cui conducono i
problemi geometrici.
L’idea di adattare la categoria degli strumenti geometrici da
utilizzare alla naturalezza dei problemi geometrici da risolvere, in
maniera tale da applicare sempre i metodi più semplici possibili,
avrebbe costituito un tratto distintivo delle future geometrie ana¬
litiche dei sapienti francesi Pierre de Fermat (1601-1665) e Carte¬
sio (1596-1650). Inoltre, tale idea avrebbe costituito un componen¬
te essenziale per il miglioramento della matematica, e avrebbe
condotto tale scienza a elevarsi grazie all’eleganza e alla precisio¬
ne dei suoi procedimenti.
Precisamente, l’aspetto più rilevante dell’influenza di Apollo¬
nio nell’ambito della matematica fu la sua incidenza storica sulla
geometria analitica. Nello studio delle coniche, Apollonio consi¬
derò certe «linee di riferimento» (diametri coniugati o diame¬
tro-tangente), che ricoprono il ruolo di coordinate.
Nel secondo caso, prendendo un diametro e una tangente in
uno dei loro estremi come «rette di riferimento», le distanze
medie dal diametro a partire dal punto di tangenza formarono le
«ascisse» e i segmenti paralleli alla tangente, intersecata dal dia¬
metro e dalla curva, le «ordinate». Per ogni conica, la relazione
tra aree e lunghezze si traduce in una relazione tra le ascisse e
le corrispondenti ordinate, che Apollonio definì il sintomo della
curva, che non è altro che l’espressione retorica della «equazio¬
ne analitica» della curva. Questa, nella sua evoluzione storica,
avrebbe dato luogo alla «equazione caratteristica» o «proprietà
specifica della curva», come la denominò Fermat nella sua In¬
troduzione ai luoghi piani e solidi.
Il linguaggio di Apollonio è sintetico. Utilizzò con una perizia
sorprendente la tecnica pitagorica della «applicazione» delle aree,
ma i suoi metodi di coordinate rivelano una grande similitudine
con la geometria analitica. I concetti e gli elementi geometrici in¬
trodotti sembrano emulare la presenza di «sistemi di riferimento
con coordinate» (ascisse e ordinate), con cui si esprimono le
«equazioni» delle coniche, ma questi sistemi di coordinate furono
sempre sovrapposti a posteriori alle curve, per studiare le loro
INTRODUZIONE
11
proprietà. Nella geometria greca, coordinate, variabili ed equazio¬
ni non erano elementi di partenza, bensì concetti accessori. Deri¬
vavano da situazioni geometriche concrete delle curve che deter¬
minavano le equazioni; e ciò senza che si verificasse la situazione
inversa, cioè che le equazioni determinassero le curve, poiché
queste si producono sempre mediante una costruzione stereome¬
trica (come sezioni di un solido) o in modo cinematico (come com¬
posizione di movimenti; tale è il caso della spirale di Archimede o
della quadratrice di Dinostrato). In tal modo l’insieme delle curve
utilizzate dai Greci fu necessariamente molto limitato.
A dispetto di detti ostacoli, soprattutto l’assenza di un’algebra
simbolica in senso algoritmico, l’opera di Apollonio suppose il pri¬
mo stadio nella storia della matematica nell’applicazione di «co¬
ordinate» per lo studio delle proprietà delle curve. Sebbene il di¬
scorso retorico si sostituì al simbolismo, e la costruzione
geometrica alle tecniche algebriche, le relazioni tra aree e lunghez¬
ze, mediante le quali Apollonio espresse le proprietà intrinseche
delle curve, furono rilevate con grande facilità. Altrettanto fecero
Fermat e Cartesio, approdando all’ulteriore linguaggio dell’algebra
simbolica delle equazioni e permettendo l’associazione di curve
ed equazioni. Questa è la vera essenza della geometria analitica. Il
lavoro di Apollonio, dunque, inaugurò la rotta storica verso un
sentiero matematico brillante e fondamentale: tutto ciò mirò allo
sviluppo delle geometrie analitiche di Fermat e Cartesio.
12
INTRODUZIONE
475 a.C. ca.: Dispersione della comunità
pitagorica.
429 a.C. ca.: Peste di Atene. Origine mitica
del problema della duplicazione
del cubo.
IV s. a.C.: Archita di Taranto offre alcune
soluzioni al problema della
«duplicazione del cubo».
350 a.C. ca.: Menecmo scopre le tre sezioni
coniche (ellisse, iperbole, parabola)
in relazione al problema
della «duplicazione del cubo».
300 a.C. ca.: Euclide pubblica gli Elementi.
262 a.C. ca.: Apollonio nasce nella polis greca
di Perga, nella regione della Panfilia.
200 a.C. ca.: Apollonio determina
in Le coniche le sezioni coniche
di forma stereometrica, introduce
i suoi elementi essenziali (assi, diametri,
tangenti, asintoti, segmenti massimi
e minimi, o normali) e classifica
i problemi geometrici nell’ambito
pianimetrico, mediante «coordinate
ed equazioni».
190 a.C. ca.: Data approssimata della morte
di Apollonio.
il s. a.C.: Ipsicle di Alessandria cita un’opera
persa di Apollonio: Sulla comparazione
tra il dodecaedro e l’icosaedro inscritti
in una sfera.
150 d.C. ca.: Tolomeo pubblica YAlmagesto.
325 d.C. ca.: Pappo di Alessandria raccoglie
il sapere geometrico nella sua estesa
Collezione matematica, un’opera
fondamentale per conoscere i lavori
di Apollonio.
460 d.C. ca.: Proclo di Licia scrive
i suoi Commenti sul primo libro
degli Elementi di Euclide e recensisce
alcune opere perse di Apollonio.
1600: François Viète pubblica Apollonius
Gallus.
1629: Pierre de Fermat fa conoscere
ai suoi colleghi matematici parigini
VIntroduzione ai luoghi piani e solidi,
fondamento della sua «geometria
analitica».
1637: Cartesio pubblica il Discorso sul
metodo, che include la Geometrìa,
la Diottrica e le Meteore.
1675: Isaac Barrow riassume i primi quattro
libri di Le coniche.
1687: Isaac Newton pubblica Principia.
1698: Antonio Hugo de Omerique pubblica
Analisi geometrica.
1707: Isaac Newton pubblica Arithmetics
Universalis, dove dà soluzioni
analitiche ad alcuni casi del «problema
di Apollonio».
1710: Edmond Halley pubblica la editio
prìnceps dell’opera Le coniche,
e recupera il trattato Separazione
di un rapporto traducendolo
dall’arabo al latino.
1837: Pierre-Laurent Wantzel dimostra che
il problema della duplicazione del cubo
non poteva essere risolto unicamente
con riga e compasso.
1921: Paul Ver Eecke realizza l’unica
traduzione completa di Le coniche
di Apollonio in una lingua volgare,
il francese.
INTRODUZIONE
13
CAPITOLO 1
Apollonio, l’apice
della geometria alessandrina
Apollonio fu l’artefice di una colonna portante
della matematica universale: Le coniche. L’opera si occupa
della risoluzione geometrica delle equazioni quadratiche,
ma tratta anche di fisica e astronomia, poiché le sezioni
coniche sono anche le orbite dei pianeti e delle comete,
nonché la traiettoria dei corpi pesanti. Inoltre,
fu il promotore dell’utilizzo delle coordinate per
la risoluzione di problemi di geometria analitica.
La maggior parte delle informazioni che si hanno sulla vita di
Apollonio proviene da poche notizie che l’autore stesso inserì
nelle introduzioni di alcuni degli otto libri che compongono la
sua opera magna, Le coniche. Contemporaneo di Archimede, ben¬
ché più giovane, Apollonio doveva avere tra i venticinque e i qua¬
ranta anni di età quando cadde vittima dell’esercito romano, du¬
rante la Seconda Guerra Punica (212 a.C.). Come concordano i
commenti e gli studi cronologici degli autori più specializzati, tra
cui emergono Pappo di Alessandria, che visse nel iv secolo d.C.,
ed Eutocio di Ascalona (ca. 480-540 d.C.), si narra che Apollonio
nacque verso l’anno 262 a.C. nella regione della Panfilia, precisa-
mente nella polis greca di Perga. Oggi questa località corrispon¬
de al sito archeologico di Perge, un insieme di rovine che resiste
al trascorrere del tempo nella periferia della città turca di An¬
talya, a sud del Paese, un’enclave molto turistica e bagnata dalle
acque del golfo omonimo.
Si stima come certo e provato che Apollonio studiò nel Mu¬
seo di Alessandria insieme ai discepoli di Euclide. Apollonio tra¬
scorse parecchio tempo nella capitale alessandrina, dove svilup¬
pò la sua fervente attività, lavorando come professore di
geometria sotto i regni di Tolomeo III Evergete (246-222 a.C.) e
Tolomeo Filopatore (222-204 a.C.).
APOLLONIO, L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
17
Altre località che ospitarono Apollonio furono Efeso e Per¬
gamo (oggi Bergama), che attualmente appartengono alla Tur¬
chia. Buona parte della sua opera fu scritta a Pergamo, un’urbe
il cui prestigio era praticamente simile a quello di Alessandria:
ospitava anche una splendida biblioteca e costituiva un emporio
accademico del sapere. Nelle rovine dell’antica Efeso si erge
ancora la facciata centrale dalla Biblioteca di Celso. Questa mo¬
numentale e vistosa struttura, quotidianamente fotografata da
numerosi turisti, fu costruita come mausoleo in onore di Tiberio
Giulio Celso Polemeano (45-120), un senatore romano che si
industriò enormemente per il benessere della sua città natale.
La biblioteca arrivò a immagazzinare più di 10.000 rotoli. Si con¬
sidera infine che Apollonio morì ad Alessandria, vero epicentro
deH’ellenismo nell’Africa del nord, verso l’anno 190 a.C. Sfortu¬
natamente, nell’attuale città egiziana non rimane alcunché del
celebre museo e della biblioteca, centri di importanza capitale
per il sapere universale.
È un fatto bizzarro che, contro l’usanza comune, Apollonio
non abbia dedicato alcun libro delle Coniche ai re di Alessandria,
bensì a personaggi di Pergamo. Celebrò il sovrano Eudemo nei
libri I e II, mentre il destinatario dei libri IV-VII fu Attalo (forse il
re Attalo I di Pergamo, che regnò nel 241-197). A tale riguardo,
lo storico e matematico belga George Sarton (1884-1956) osservò
che probabilmente al tempo si verificarono contrasti tra Apollo¬
nio e le autorità del Museo di Alessandria. Come raccontò Pappo
di Alessandria nella Collezione matematica, dove fece numerosi
riferimenti all’opera di Apollonio, il «Grande geometra» aveva un
carattere malinconico e irascibile, spesso intrattabile. In questo sen¬
so, il matematico e storico spagnolo Francisco Vera Femández de
Cordoba (1888-1967) annotò che «Apollonio aveva un carattere col¬
lerico... ed era un genio dal cattivo temperamento».
Il nome Apollonio era molto frequente in Grecia, motivo per
cui normalmente si commettono errori di attribuzione iconogra¬
fica rispetto ad altri saggi ed eruditi greci che si chiamarono allo
stesso modo: tra essi, Apollonio Rodio, Apollonio di Tralles, Apol¬
lonio di Atene, Apollonio di Tiana e Apollonio di Tiro, che citiamo
solamente qui, per evitare facili confusioni.
18
APOLLONIO. LA PI CE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
IL MUSEO E LA BIBLIOTECA DI ALESSANDRIA
Nel 323 a.C, alla morte del grande
conquistatore Alessandro Magno,
uno dei suoi uomini di fiducia, il co¬
mandante Tolomeo I Sotere (367-282
a.C.), fu designato governatore della
parte egiziana dell’Impero greco. Lì
consolidò il suo potere verso il 306
a.C., e si autoproclamò faraone l’anno
seguente. Tolomeo I Sotere favorì il
flusso verso Alessandria dei migliori
scienziati, artisti e tecnici di tutti gli
angoli del mondo greco. Questo la¬
voro di mecenatismo spostò il centro // fuoco della Biblioteca di Alessandria (1876),
della cultura greca da Atene ad Ales- °Pera anonima di una collezione privata,
sandria, tramutata in una vera e pro¬
pria capitale della civiltà, faro della cultura scientifica e generale del Medi-
terraneo. La grande vittoria di Tolomeo I Sotere fu l’aver promosso una
delle istituzioni scientifiche più rilevanti di tutta la storia: il Museo di Ales¬
sandria, la cui celebre biblioteca, a lui legata, ma nel contempo indipenden¬
te. disponeva della maggiore quantità di materiale bibliografico esistente:
nel suo periodo migliore, superò i 700.000 esemplari. La scienza alessan¬
drina fu molto influenzata dal sapere aristotelico, presente in gran parte dei
suoi fondi bibliografici, tuttavia il museo abbandonò presto la ricerca dell’u¬
nità del sapere (un’esigenza filosofica aristotelica) in favore di una rigorosa
ricerca di discipline concrete: medicina, astronomia, matematica, meccani¬
ca ecc. Grazie alla protezione della dinastia Sotere, il museo accolse sempre
grandi scienziati ed eruditi specializzati in una determinata materia. È il
caso di Euclide, ma anche della maggior parte dei grandi matematici suc¬
cessivi all’Accademia di Platone: per citarne solo alcuni, Aristarco, Erato-
stene (che ricoprì la carica di bibliotecario), Tolomeo, Diofanto, Pappo e
Teone, padre della martire Ipazia. Per questa ragione, al nome di tutti co¬
storo si accosta sempre il gentilizio «di Alessandria».
Una fine indegna
Altri matematici importanti, come Archimede, Nicomaco, Proclo e Apollonio,
non vissero in pianta stabile ad Alessandria, ma si formarono e lavorarono in
questo grande emporio scientifico. Disgraziatamente, la Biblioteca di Ales¬
sandria, parzialmente incendiata dalle truppe di Giulio Cesare nel 48 a.C., non
sopravvisse ai saccheggi romani alla fine del m secolo, alla distruzione dei
templi pagani del iv secolo e alla demolizione totale (con conseguente rogo
dei manoscritti) durante l’invasione araba del vn secolo.
APOLLONIO, L’APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
19
MENECMO E IL «PROBLEMA Dl DELOS»
I riferimenti cui guardano Le coniche di Apollonio risiedono
nello studio delle coniche realizzato da Menecmo (350 a.C. ca.),
e nel cosiddetto «problema di Delos» o «problema della dupli¬
cazione del cubo». In primo luogo, Menecmo, membro dell’Ac¬
cademia platonica, fu il più celebre dei discepoli di Eudosso di
Cnido (408-355 a.C.), oltre a essere maestro di Aristotele e di
Alessandro Magno: a lui è attribuita l’introduzione delle sezioni
coniche, cioè la scoperta di quelle particolari curve che ricevet¬
tero il nome di ellisse, parabola e iperbole. Come si vedrà, la
scoperta della cosiddetta «triade di Menecmo» fu un felice ri¬
trovamento in relazione al problema di Delos o della duplica¬
zione del cubo.
«I Greci scoprirono le coniche nel loro stadio primitivo
all’intemo di coni o cilindri, e Apollonio le sviluppò come
un mero gioco di ingegno. Quale sorpresa avrebbero avuto,
quindici secoli dopo, Keplero, quando scoprì che la traiettoria
del pianeta Marte è ellittica, e Galileo, quando si rese conto
che la caduta delle pietre è parabolica.»
— BenoIt Mandelbrot, matematico francese (1924-2010).
Menecmo scoprì che per risolverlo c’era un’adeguata famiglia
di curve, cioè tre tipi di coniche ottenute con lo stesso metodo:
tutto ciò a partire dalla sezione di un piano perpendicolare alla
generatrice di coni retti di tre tipi, a seconda che l’angolo al verti¬
ce sia acuto, retto od ottuso. Partendo da un cono circolare retto
su una sola faccia ad angolo retto, scoprì che se si taglia il cono
con un piano perpendicolare a una delle sue generatrici, la curva
intersecante è tale che la sua «equazione» - per usare un anacro¬
nismo, in rapporto ai termini della geometria analitica moderna
- si possa esprimere nel seguente modo:
y1 = Ir,
20
APOLLONIO. LAPICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
dove 1 è una costante che di¬
pende esclusivamente della
distanza del vertice del cono
dal piano della sezione. Si igno¬
ra come Menecmo ottenne que¬
sta proprietà, che dipende da
alcuni teoremi di geometria
elementare. Sicuramente utiliz¬
zò le conoscenze geometriche
familiari ai matematici dell’Ac¬
cademia platonica.
Sia, dunque, ABC il cono,
ed EDG la curva ottenuta ta¬
gliandolo con un piano perpendicolare al punto D alla generatrice
ADC del cono. Sia P un punto qualsiasi della sezione di curva e un
piano orizzontale che taglia il cono nella circonferenza PVQR, es¬
sendo Q l’altro punto di intersezione della sezione di curva con que¬
sta circonferenza (figura 1). Per ragioni di simmetria risulta che i
segmenti PQ e RV sono perpendicolari al punto O, cosicché OP è la
media proporzionale tra RO e OV. Pertanto,
OP2 = RO • OV.
Allora, dalla somiglianza dei triangoli AOVD e ABCA si ottiene:
OV/DO = BC/AB,
e dalla somiglianza dei triangoli ASDA e AABC si ottiene:
SD/AS = BC/AB.
Considerando OP = y, OD = x, come «coordinate» del punto P:
y2 = RO • OV,
in modo che, facendo uso del parallelogramma RODS, e, pertanto,
RO = SD:
APOLLONIO, L’APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
y2 = OP2 = RO • OV = SD • OV = AS • (BC/AB) • DO v(BC/AB) =
([AS • BC2]/AB2) • x.
Poiché i segmenti AS, BC, AB sono gli stessi per tutti i punti
della curva EQDPG, si può scrivere Inequazione della curva» o
«sezione del cono rettangolo» in questo modo:
y2 = \x,
dove 1 = AS • BC2/AB2 è la costante che si chiama latus rectum.
Allo stesso modo, per coni con angolo acuto e ottuso al vertice,
Menecmo ottenne tali espressioni:
y2 = Ir - (b2/a2) • oc2, sezione di cono acutangolo,
y2 = bc + (b2/a2) • oc2, sezione di cono ottusangolo,
dove «a» e «b» sono costanti e il piano secante è perpendicolare
a una generatrice.
Si riscontra una grande similitudine tra gli sviluppi di Menec¬
mo circa espressioni equivalenti a «equazioni» e l’uso di «coordi¬
nate», cosa che induce gli storiografi ad affermare che conoscesse
già certi aspetti della geometria analitica. In realtà, se si ignora il
linguaggio della geometria analitica, diventa difficile spiegare la
scoperta di Menecmo. Le coniche di Menecmo hanno la propria
origine nei tentativi di Ippocrate di Chio (470-410 a.C.), di risolve¬
re il problema classico della duplicazione del cubo mediante l’in-
terpolazione di due medie proporzionali. Quindi, consideriamo un
cubo con lato «a». A partire dalla proporzione continua:
a _ % _ y
x ~ y ~ 2a ’
che è il risultato dell’interpolazione di due medie proporzionali tra
a e il suo doppio 2a, si ottengono le parabole:
oc2 - ay, y2 = 2ar,
22
APOLLONIO. L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
e, al contempo, si ottiene l’iperbole equilatera:
xy = 2a2.
Tanto l’intersezione delle due parabole quanto quella di una
delle parabole e l’iperbole danno x3 = 2a3, cioè lato del cubo di
volume doppio, come si può vedere nella figura 2.
Menecmo scoprì ciò che, in linguaggio moderno, si realizza
attraverso le equazioni delle coniche mediante la costruzione di
punti di intersezione delle coniche ottenute. Come? Spostando in
modo conveniente il piano secante il cono per trovare coniche con
latus rectum, come vuole l’obiettivo proposto.
Secondo le attestazioni di Proclo (412-485) ed Eutocio di Asca-
lona, Menecmo fu il primo a scoprire le sezioni coniche. Ma forse
non fu proprio così: in precedenza, Archita di Taranto (428-360
a.C.), un grande politico riformatore e maestro di Platone, studiò
il problema della duplicazione del cubo e ottenne due medie pro¬
porzionali mediante una complessa intersezione di un cono di ri¬
voluzione, un cilindro di rivoluzione e una superficie torica. In
questo modo, Archita aveva potuto studiare l’ellisse come sezione
obliqua del cilindro. D’altra parte, oltre alla linea retta, un elemen¬
to che nella vita quotidiana si incontra con maggiore frequenza è
la curva ellittica, giacché sia gli oggetti circolari osservati in obli¬
qua sia la loro ombra sono ellittici.
In alcune occasioni si è osservata perfino un’origine delle co¬
niche attraverso ima generazione cinematica, come il caso delle
«quadratrici di Ippia» e della «spi¬
rale di Archimede». Tuttavia, ciò
sembra smentito di fronte alla per¬
sistenza, fino al xvii secolo, del ter¬
mine «problemi solidi». I Greci così
chiamavano i problemi la cui riso¬
luzione dipende dalle coniche,
come se volessero insistere su
un’origine stereometrica.
Le coniche oggi si definiscono
come insieme di punti nel piano per
APOLLONIO, L’APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
23
cui le distanze da una retta (direttrice) a un punto (fuoco) hanno un
determinata rapporto (eccentricità). Da un punto di vista algebrico,
la definizione trova una semplice applicazione nelle equazioni della
geometria analitica moderna. Inoltre, la trigonometria permette,
mediante la rotazione degli assi, di passare facilmente dall’equazio¬
ne dell’iperbole riferita ai suoi assi a quella riferita ai suoi asintoti.
Perciò impressiona particolarmente l’abilità che dimostrò Menecmo
scoprendo la più utile famiglia di curve di tutta la geometria e di
tutta la scienza, pur privo di strumenti e simboli algebrici.
Lo stupore aumenta se si considera che, indipendentemente
della loro origine piana o stereometrica, Menecmo fu capace di
vincolare entrambi gli aspetti delle coniche. Mostrò che le sezioni
dei coni avevano importanti proprietà come luoghi piani, cosa che
poteva tradursi in espressioni geometriche basilari (equivalenti
alle attuali equazioni). Queste, a sua volta, permettevano di dedur¬
re altre innumerevoli proprietà delle coniche, che sarebbero poi
state sviluppate da Apollonio di Perga nei primi libri della sua ope¬
ra maestra, Le coniche. A seguito di tale considerazione, alcuni
storiografi moderni attribuirono ai matematici greci la paternità
della geometria analitica, con Menecmo in testa. Infatti, stabiliro¬
no che l’essenza di questo ramo della matematica è lo studio dei
luoghi per mezzo delle «equazioni».
IL PROBLEMA CLASSICO DELLA DUPLICAZIONE
DEL CUBO
La duplicazione del cubo ha un’origine mitologica. È noto anche
come il «problema di Delos», in riferimento all’isola greca omoni¬
ma, patria del dio Apollo, in cui si trovava un santuario in suo ono¬
re. Uno degli attributi divini di Apollo era la cura delle malattie: in
particolare la peste, che ogni tanto decimava la popolazione greca.
Questa piaga rubò le vite di numerosi ateniesi, tanto da motivare
la spedizione di una delegazione all’oracolo di Apollo, nell’isola di
Delos, per trovare una soluzione che risolvesse una volta per tutte
quella pandemia. L’oracolo replicò che la peste sarebbe terminata
24
APOLLONIO, LAPICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
ARCHITA DI TARANTO
Archita di Taranto (428-347 a.C.) fu un
esimio matematico pitagorico, che si
impegnò con successo in politica e
che perfino ricevette l’omaggio di Ora-
zio nelle sue Odi, che lo lodò come
invincibile militare. Uno dei suoi disce¬
poli fu Platone, a cui inculcò una rive¬
renza quasi sacra verso la matematica.
Molto attento all’educazione, segnalò
sempre il ruolo fondamentale che essa
avrebbe sempre dovuto ricoprire nella
formazione dei giovani. Ad Archita si
attribuisce la classificazione dei quat¬
tro rami del Quadrivium medievale:
l’aritmetica, che studia i numeri a ripo¬
so; la geometria, che studia le gran¬
dezze a riposo; la musica, che studia i
numeri in movimento; l’astronomia,
che studia le grandezze in movimento.
Come geometra, fu un pioniere nella
valutazione dello studio della stereometria, o geometria dello spazio tridi¬
mensionale, eredità di Platone - La repubblica -, e l’applicò in maniera
sorprendente alla soluzione del problema di Delos o della duplicazione del
cubo. Archita introdusse l’idea cinematica di considerare una curva gene¬
rata da un punto in movimento e una superficie generata da una curva in
movimento. Quanto alla sua vita personale, si sa che salvò la vita a Platone
in uno dei viaggi che il filosofo fece nella Penisola Italica, poiché interce¬
dette per lui al cospetto del tiranno Dionisio.
Archita di Taranto, in un affresco nella
biblioteca di San Lorenzo dell’Escorial,
realizzato nel 1586 da Pellegrino Tibaldi.
qualora si fosse raddoppiato l’altare cubico del dio Apollo. Imme¬
diatamente, gli ateniesi si impegnarono nella duplicazione delle di¬
mensioni dell’ara, ma ciò non risolse il problema: l’altare, lontano dal
raddoppiarsi, incrementò di otto volte il proprio volume. Si decise di
consultare Platone, al cui avviso la geometria era una necessità pro¬
pedeutica per chiunque. Il filosofo replicò che il dio di quell’oracolo
non aveva richiesto un altare doppio per porre termine alla peste di
Atene, ma aveva in realtà biasimato i Greci per la loro indifferenza
e la loro mancanza di rispetto nei confronti della geometria intesa
APOLLONIO. L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
25
come scienza dello spirito. I pitagori¬
ci sapevano che il quadrato costruito
sulla diagonale di un altro quadrato
ha un’area doppia rispetto al primo,
cioè sapevano «duplicare il quadrato»
mediante la costruzione della radice
quadrata di 2. Questo problema ap¬
pare nel dialogo Menone, di Platone.
Perciò, sembra naturale che, riferen¬
doci in generale allo spazio, si abbia la
duplicazione del cubo mediante la costruzione della radice cubica di
2 (come in figura 3), che è equivalente a risolvere l’equazione xì = 2.
Il primo a ricondurre il problema della duplicazione del cubo
all’inserzione di due medie proporzionali fu Ippocrate di Chio (470-
410 a.C.). Dopo di lui, numerosi matematici affrontarono il proble¬
ma Per esempio, Pappo di Alessandria descrisse numerose «soluzio¬
ni» nel libro HI della Collezione matematica, ed Eutocio di Ascalona
fece altrettanto nel suo Commentario a uno dei migliori trattati
di Archimede, Sulla sfera e sul cilindro. I contributi più rilevanti,
nonostante tutto, si dovettero a Nicomede (280- 210 a.C.), Erone di
Alessandria (10-70 d.C.) e, soprattutto, Menecmo, in relazione all’in¬
troduzione delle sezioni coniche. Il problema classico continuò a
ribollire nella mente dei matematici per secoli. Finalmente, nel 1837,
il matematico francese Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848), alla luce
dei lavori sulle equazioni algebriche di un altro collega scomparso
in età prematura, il norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), provò
quello che si sospettava già; che il problema della duplicazione del
cubo non poteva essere risolto unicamente con gli strumenti plato¬
nici, la riga e il compasso.
y/2
UN CONO UNICO PER GENERARE LE CONICHE
Per oltre 150 anni, le curve introdotte da Menecmo furono cono¬
sciute a partire dalla descrizione grezza risalente ai tempi della
loro scoperta, cioè mediante la perifrasi «sezione (perpendicolare
26
APOLLONIO. L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
a una generatrice) di cono acutangolo, rettangolo e ottusangolo»
per ellisse, parabola e iperbole, rispettivamente. Fu Apollonio in
Le coniche a dimostrare che da un unico cono si possono ottene¬
re tre tipi di sezione variando l’inclinazione del piano che taglia il
cono (un passo decisivo nel processo di unificazione dei tre tipi di
curve). Provò inoltre che il cono non deve essere necessariamen¬
te retto. In questo modo considerò, ugualmente, il cono con due
facce, che identificò con i due rami dell’iperbole.
Inoltre, Apollonio coniò per i posteri i nomi di «ellisse», «pa¬
rabola» e «iperbole» per le sezioni coniche. Nella storia della ma¬
tematica, i concetti sono sempre stati più importanti della termi¬
nologia utilizzata, ma in questo caso il cambiamento di nome
delle sezioni coniche ebbe un enorme rilievo. I termini adottati, in
realtà, non erano nuovi, poiché provenivano dael linguaggio pita¬
gorico relativo alla risoluzione di equazioni quadratiche. Così, el¬
lisse significa «deficienza»; iperbole equivale a «eccesso» (nel lin¬
guaggio ordinario, un’iperbole è un’esagerazione) e, per ultimo,
parabola significa «equiparazione». Il cambiamento di nomencla¬
tura implicò una trasformazione concettuale: le coniche non sa¬
rebbero più state descritte da un punto di vista costruttivo, bensì
attraverso relazioni di aree e longitudini, che davano in ogni caso
la proprietà caratteristica della definizione di curva ed esprime¬
vano le sue proprietà intrinseche. Per esempio, la nota equazione
della parabola con vertice all’origine è:
y2 = bc,
dove 1 è il latus rectum o «parametro doppio», rappresentato da 2p.
Questa espressione della parabola in forma di «equazione»
sintetizza precisamente il farraginoso e lacunoso enunciato che
compare in Le coniche, come una sorta di proprietà che attiene
alla «sezione conica» considerata, che Apollonio battezzò con il
nome di «parabola». Questo enunciato, in modo molto conciso, si
può esprimere così:
— La parabola ha la proprietà caratteristica secondo cui, per
ogni punto preso sulla curva, il quadrato costruito sulla sua
APOLLONIO, L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
27
UNA SODDISFAZIONE PER IL SANTUARIO Dl DELOS
La storia leggendaria del «problema di Delos» ispirò il racconto di vari matematici,
storiografi e scrittori classici, tra cui quelli dello storiografo Plutarco (46-ca.-125 ca
d.C.) e del matematico Eratostene di Cirene (276-194 a.C). Quest’ultimo diresse una
lettera a Tolomeo III Evergete dove ricordò le parole che un poeta attribuì al re Mi¬
nosse, provando che la tomba del suo caro figlio Glauco aveva in ognuno dei suoi lati
una longitudine di cento piedi: «Scarso spazio in realtà concesso a un sepolcro reale;
duplicatelo, conservando sempre la forma cubica, duplicate immediatamente ognuno
dei lati». Il poeta aggiungeva che il re Minosse «si sbagliava, dato che, duplicando i lati
di una figura piana, questa si quadruplica, mentre, se è solida, si moltiplica per otto», e
che, come conseguenza dell’imposizione del sovrano, «si pose allora tra i geometri il
problema di come potesse essere raddoppiata una figura solida qualsiasi, mantenendo
la sua tipologia di origine. Questo fu il cosiddetto problema della duplicazione del
cubo». In quella stessa lettera, Eratostene di Cirene spiegò l’apporto dato da Ippocrate
di Chio (470-410 a.C.), che fu il primo a ricondurre il problema della duplicazione del
cubo all’inserzione di due medie proporzionali: «Dopo molte titubanze fu Ippocrate
di Chio il primo a scoprire che se in due rette, una il doppio dell’altra, si inseriscono
due medie proporzionali, si raddoppierà il cubo; con ciò si trasformò una difficoltà in
un’altra non minore».
«Vi riuscì senza sforzo»
La lettera di Eratostene specificò che gli abitanti di Delos, sollecitati dall’oracolo
a duplicare il suo altare, si trovarono davanti alle stesse difficoltà e inviarono emis¬
sari ai geometri raggruppati attorno a Platone nell’Accademia «al fine di spronar¬
li nella ricerca del desiderio dell’oracolo». In seguito, sempre secondo il racconto,
ordinata y è esattamente uguale al rettangolo costruito
sull’ascissa x e il latus rectum, designato con 1.
Allo stesso modo, Apollonio fece la medesima cosa per l’iper¬
bole e l’ellisse, in due proposte che scrisse in un linguaggio retori¬
co complesso e che possono essere così semplificate:
Nella sezione conica considerata - chiamata iperbole -, il qua¬
drato dell’ordinata equivale a un’area rettangolare applicata
secondo il latus rectum, cioè avendo il latus rectum come
altezza, e l’ascissa come base, maggiorata di un’altra area si¬
mile a quella con l’asse trasverso o con il diametro come base,
28
APOLLONIO, L’APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
Resti archeologici della Via dei Leoni, nel santuario dell’isola greca di Delos.
fece i nomi di chi «tentando di inserire in due medie proporzionali rette» trovò la
soluzione teorica: Archita di Taranto, che la ottenne «con il semicilindro», ed Eu-
dosso, che impiegò «certe linee curve». Eratostene di Cirene finì la lettera indican¬
do che «a essi successero molti altri, che tentarono di perfezionare le dimostra¬
zioni, ma non la realizzazione delle costruzioni e il loro adattamento alla pratica»,
e non lasciò luogo a dubbi nella sua postilla finale circa chi ottenne un successo
totale: «Se si eccettua Menecmo, che vi riuscì senza sforzo».
e la metà del latus rectum come altezza.
Se si semplifica ancora di più mediante «equazioni», come
nel caso della parabola, il complesso linguaggio di Apollonio, si
può tradurre così: per l’iperbole, a, come per l’asse trasverso o
il diametro, e b, come l’asse non trasverso. Per l’ellisse, a e ò,
come gli assi. Per entrambe le coniche, l’ordinata sarà y\ l’ascis¬
sa, x\ e il latus rectum, 1. Tutto ciò può essere espresso nelle
seguenti relazioni:
Iperbole: yl = Lr + (ò2/a2) • x2, oppure, [(x+a)2/a2] - [yVb1] = 1.
Ellisse: y1 = Lr - (ò2/a2) • oc1, oppure, [(# - a)2/a2] + [y'W] = 1.
APOLLONIO, L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
29
FIG. 4
Parabola
Il piano di taglio
è parallelo #una
sola generatrice.
Ellisse
Il piano di taglio
non è parallelo ad
alcuna generatrice.
Iperbole
Il piano di taglio
è parallelo a due
delle sue generatrici.
che sono le «equazioni» dell’iperbole e dell’ellisse, rispettivamente,
riferite a uno dei loro vertici come «origine di coordinate», dove
concorrono come «assi di coordinate» un diametro e la tangente
alla conica nel suo estremo, e dove il latus rectum è:
La costruzione di Apollonio delle tre sezioni coniche median¬
te un cono unico, variando l’inclinazione del piano che taglia il
cono (nel caso particolare ottenuta mediante un cono retto), è
illustrata nella figura 4.
IL PIANO D’OPERA DI APOLLONIO
Apollonio in persona spiegò le circostanze dell’elaborazione e del¬
la composizione della sua opera nel primo degli otto libri di cui è
composta. Si sa che, risiedendo ad Alessandria, ricevette la visita
di un geometra chiamato Naucrate, che l’esortò a intraprendere il
1 = 2ò2/a.
30
APOLLONIO. L’APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
progetto. Probabilmente, Apollonio scrisse un’affrettata prima
bozza delle Coniche in otto libri e, più avanti, già a Pergamo, do¬
vette limare e perfezionare il contenuto. Rivelò le sue intenzioni
nell’introduzione, che dedicò a Eudemo:
Dal momento che, quando ci vedemmo a Pergamo, seppi che volevi
conoscere quello che ho scritto sulle coniche, ti invio, corretto, il
primo libro e ti invierò gli altri non appena li avrò ripassati; credo
che non avrai dimenticato quanto mi impegnai a scriverli dietro
la supplica di quel geometra Naucrate, quando fu mio ospite ad
Alessandria, e mi vidi obbligato a metterlo al corrente di quello
che avevo redatto in otto libri, senza revisionarli, quando stava per
imbarcarsi. Ora che dispongo di tempo, non li pubblicherò senza
averli corretti; ma, dal momento che alcuni dei miei amici hanno
i due primi senza correzioni, non ti colga impreparato trovarne
modificato qualche passaggio.
In tale introduzione, inoltre, Apollonio descrisse quale fosse
il contenuto della sua opera, che così iniziava:
Degli otto libri, i quattro primi contengono gli elementi di teoria: il
primo tratta della generazione delle tre sezioni e delle opposte, così
come delle sue principali proprietà che ho studiato con maggiore
attenzione e di cui, in maniera più generale, si sono occupati alcuni
geometri prima di me.
In seguito, descrisse l’obiettivo del secondo libro, che «si
riferisce a diametri, assi e asintoti delle sezioni coniche, e che
tratta di alcune cose necessarie per i diorismi; qui vedrai quello
che io intendo per diametri e assi». Più estesa è la descrizione
del terzo libro, dove puntò alle sue scoperte. A tal riguardo, af¬
fermò che «comprende molti e molto curiosi teoremi utili per la
costruzione dei luoghi solidi; ce ne sono di belli e nuovi».
Le sue note sul quarto libro anticiparono la novità del lavoro
realizzato, in quanto «tratta delle intersezioni delle coniche tra
loro e con il cerchio, e altri temi, nessuno dei quali è stato stu¬
diato dai miei predecessori, specialmente in relazione al numero
APOLLONIO. L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
31
di punti in cui una conica o una circonferenza può tagliare l’iper¬
bole». Dopo avere commentato che i libri restanti «si riferiscono
alla più alta scienza: uno tratta in modo generale i massimi e i
minimi; un altro ricerca le sezioni coniche uguali e simili; un altro
si riferisce ai teoremi necessari per risolvere questioni determi¬
nate, e l’ultimo è dedicato ai problemi che si prestano a discus¬
sione», concluse che «per il resto, tutte queste cose non vengono
pubblicate con l’intenzione di proibire a chi le approccia il dirit¬
to di apprezzarle secondo la propria opinione».
«Durante la stesura di questo libro, ho compreso che la regola
per costruire il luogo di tre e quattro linee [problema di Pappo]
fu data dal solo Euclide, in un caso particolare e in una maniera
casuale e poco felice, perché la soluzione completa esige
la conoscenza dei teoremi che io ho scoperto.»
— Apollonio di perga.
In questo modo, Apollonio rese noto che sapeva molto più
del tema delle coniche rispetto a quanto, fino ad allora, fosse noto
e, soprattutto, lo realizzò in un modo molto più organizzato. Fu
per tale motivo che si decise a pubblicarlo ed esplicito il conte¬
nuto della sua opera nella prefazione del Libro I.
CONTENUTO E VICISSITUDINI STORICHE
I primi quattro libri delle Coniche fornirono un’introduzione ele¬
mentare, benché non perfettamente organizzata, su una materia
per larga parte conosciuta. Nonostante ciò, a partire dal Libro V
vennero esposte le scoperte più innovative e importanti di tutta
l’opera.
Il Libro I parte con la generazione delle coniche. Una volta
ottenute le relazioni basilari (tra cui che si aggiungono le «coor¬
dinate» di un punto della curva nel piano, espresse tramite le
«equazioni» descritte in precedenza), mediante considerazioni
32
APOLLONIO, LAPICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
stereometriche spaziali, Apollonio si dedicò a studiare con me¬
todi pianimetrici le proprietà fondamentali delle coniche. Lo fece
includendo tangenti e diametri coniugati, a partire da quelle
«equazioni» piane e ovviando ogni riferimento esplicito al cono
generatore. Apollonio usò in modo sistematico un paio di dia¬
metri coniugati o un diametro e una tangente come equivalente
di un «sistema» di coordinate oblique, dimostrando che se si
abbozza una retta per un estremo di un diametro di un’ellisse o
di un’iperbole, parallela al suo diametro coniugato, la retta trac¬
ciata è tangente alla conica. Il «sistema di riferimento» diame¬
tro-tangente dimostra un’utilità molto significativa di fronte
all’invarianza dell’«equazione» della conica in occasione di un
«cambiamento di riferimento» diametro-tangente di un punto a
un altro punto della conica.
Da parte sua, il Libro II abbonda di nuove proprietà, offre un
studio esaustivo sugli asintoti dell’iperbole e studia il problema
di tracciare una tangente che formi un angolo dato col diametro
che passa per il punto di contatto.
Il Libro III tratta in primo luogo le proprietà di triangoli e
quadrilateri determinati da tangenti e diametri coniugati e altre
proprietà delle tangenti. Si studia l’iperbole come luogo di punti,
tale che xy = costante, dove x e y sono ascissa e ordinata rispetto
agli assi costituiti dagli asintoti. Di seguito, Apollonio studiò una
serie di interessanti proprietà focali che permettono il tracciato
delle coniche mediante una composizione di movimenti continui
e, inoltre, servono per definirle in modo pianimetrico come «luoghi
geometrici». In quanto al Libro IV, le sue pagine accolgono lo stu¬
dio dei punti di intersezione delle coniche ed esibiscono un meto¬
do di tracciare due tangenti una conica da un punto.
Il Libro V è uno delle principali opere maestre della geometria
greca. È dedicato ai «segmenti massimi e minimi», cioè alla distan¬
za massima e minima di un punto da quelli di una conica (le rette
normali). Senza dubbio, in questo libro alberga il germe della teo¬
ria di evolute ed evolventi, che si trova in Horologium oscillato-
rium (1673), opera del fisico, astronomo e matematico olandese
Christiaan Huygens (1629-1695). Intuendo il concetto di curvatura,
Apollonio si situò alla base della geometria differenziale.
APOLLONIO. L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
33
Dopo essere ricorso a metodi puramente sintetici, ottenne
l’evoluta delle coniche come luogo dei centri di curvatura, me¬
diante la determinazione del numero di normali distinte da ogni
punto. Inoltre, costruì la normale a una conica da un punto ester¬
no, mediante l’intersezione della conica data con un’iperbole
equilatera, chiamata «iperbole di Apollonio», associata al punto.
Lo splendore di questo quinto volume non appanna l’impor¬
tanza dei seguenti. Il Libro VI è dedicato all’uguaglianza e alla
somiglianza delle coniche e, durante il suo sviluppo, Apollonio
risolse un problema rimarchevole: dati una conica e un cono
circolare retto, trovare una sezione del cono che sia uguale alla
conica data. Il Libro VII riferisce numerose proprietà dei diame¬
tri coniugati; tra esse, si sottolineano la costanza della somma
nell’ellisse e la differenza nell’iperbole dei quadrati dei diametri
coniugati. Le congetture sul Libro Vili riporterebbero a nuovi
problemi su diametri coniugati e la risoluzione di questioni pen¬
denze nei libri precedenti.
Sfortunatamente, degli otto libri delle Coniche di Apollonio
si conserva solamente il testo greco originale dei primi quattro.
I tre seguenti sono noti grazie alle traduzioni arabe, mentre l’ot¬
tavo ed ultimo è irrimediabilmente perso. L’influenza di Apollo¬
nio fu decisiva sui geometri greci e orientali successivi (Arabi e
Persiani), che di frequente commentarono il trattato Le coniche.
Il primo studioso di Apollonio fu Pappo di Alessandria, che
commentò buona parte della sua opera nel Tesoro dell’analisi,
del libro VII della sua Collezione matematica. Da parte sua, Se¬
reno Antisense (ca. 300-ca. 350) scrisse un opuscolo, ora perso,
che apparentemente completava i teoremi di Apollonio relativi
all’ellisse.
Più tardi, Suda o Suida, un lessicografo greco del x secolo,
affermò nel suo noto Lessico che Ipazia di Alessandria (m. 415
d.C.), si occupò delle Coniche fino a che non morì lapidata per
mano della plebe. Ugualmente, si dichiara anche il Commentario
di Eutocio di Ascalona. Dopo una lunga parentesi, l’interesse per
l’opera di Apollonio rinacque per mano dei saggi orientali che la
diffusero in Occidente, tra il ix e il xm secolo, tradotto dall’arabo.
Nel xii secolo apparve la prima versione completa delle Coniche
34
APOLLONIO, L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
GLI ELEMENTI DI EUCLIDE
Gli Elementi, l’opera massima del geometra platonico Euclide, presenta una
magnifica struttura di ingegneria logica e matematica, imbastita in 465
assiomi, tutti veri, che hanno resistito l’implacabile prova del tempo. Nes¬
suna altra opera scientifica coetanea resiste minimamente al paragone con
gli Elementi, che segna una delle pietre miliari più importanti della storia
della cultura, la scienza e il pensiero. Come codificazione dei fondamenti
della geometria elementare, la geometria della riga e compasso, stabilì un
ferreo paradigma di esposizione e dimostrazione in matematica. Eretta
come un’opera maestra canonica, vigente e insuperata per 2300 anni, è
stato per professionisti e simpatizzanti della matematica, lettura dietro
lettura, una fonte inesauribile di risorse geometriche, di fruizione intellet¬
tuale e di piacere supremo per la sua acutezza, l’ingegno mostrato e un’e¬
legante argomentazione matematica. Gli Elementi di Euclide è il libro mag¬
giormente pubblicato, dopo la Bibbia, e costituì, con un’autorità
indiscussa, il corpus della dottrina centrale della totalità delle scienze ma¬
tematiche elementari fino alla metà del xix secolo, così come il principale
veicolo di trasmissione del sapere matematico fino a metà del xx secolo.
Ancora oggi, costituisce
il nucleo essenziale del¬
la matematica elemen¬
tare che determina gran
parte della tematica
scolare basilare e se¬
condaria.
Papiro con un frammento
degli Elementi di Euclide,
trovato nel giacimento
egiziano di Ossirinco.
in latino, grazie al più fecondo traduttore della scuola di Toledo:
Gherardo da Cremona (1114-1187). Il primo testo greco delle
Coniche riapparve in Occidente nel 1427, grazie all’umanista ita¬
liano Francesco Filelfo (1398-1481). Nel 1675, il professore e
matematico britannico Isaac Barrow (1630-1677) pubblicò un
manuale di geometria che condensò in modo canonico i primi
quattro libri delle Coniche.
APOLLONIO. L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
35
Tuttavia, lo sforzo di questi eruditi per offrire la traduzione
più fedele dei primi quattro libri non colmò il vuoto dei quattro
volumi sconosciuti che mancavano.
Alcuni geometri cercarono di ricostruirli, come Vincenzo Vi-
viani (1622-1703), il cui Libro V ampliò notevolmente la cono¬
scenza che esisteva sui risultati di Apollonio. Nel 1658, il geome¬
tra italiano Borelli trovò un manoscritto arabo, datato al 994, che
riassumeva i libri V, VI e VII, e che fu tradotto dal latino ed edito
nel 1661. Pochi anni più tardi, successe altrettanto con un mano¬
scritto simile, quello che stimolò l’appetito degli scienziati: se si
erano trovati tre libri, benché in modo parziale e in arabo, perché
non l’ottavo e ultimo? Alla fine, le speranze svanirono: il Libro
Vili non comparve mai. Nel 1710, l’astronomo e fìsico britannico
Edmond Halley (1656-1742) regalò al mondo quella che si consi¬
dera l’edizione principe di Le coniche.
UN’OPERA CAPITALE PER LA GEOMETRIA
Per poco interessato e informato che sia sulle questioni più pro¬
fonde della geometria, nessuno si può meravigliare che si parli
deH’importanza della circonferenza. Non solo è la più semplice
delle coniche, la quintessenza della regolarità e la simmetria, ma
è profondamente radicata in natura e nel progetto. Con maggiore
intensità pensava a essa l’uomo dell’antichità, che immaginava
che i corpi celesti girassero su orbite circolari. E cosa dire della
vita quotidiana attuale, con il giro delle porte, delle ruote, delle
colonne o del compasso come strumento basilare? Apollonio
ebbe motivi profondi per sviluppare la propria teoria delle sezio¬
ni coniche, la quale spinse storicamente a:
a) La risoluzione di equazioni quadratiche, che dall’epoca
pitagorica si erano sviluppate come «algebra geometrica»
con la cosiddetta «applicazione delle aree».
b) Il gruppo dei «tre problemi classici» («quadratura del
cerchio», «trisezione dell’angolo» e «duplicazione del
36
APOLLONIO, LAPICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
HALLEY IMPARÒ L’ARABO PER TRADURRE APOLLONIO
Edmond Halley, in un ritratto
realizzato verso il 1687 da
Thomas Murray.
Il nome dell’astronomo e fisico britannico Ed¬
mond Halley (1656-1742) è abbastanza noto al
grande pubblico a causa di una famosa come¬
ta che orbita attorno al Sole approssimativa¬
mente ogni 77 anni. Invece, si conosce molto
meno, perfino in ambiti accademici, la devo¬
zione che ebbe Halley per l’opera di Apollonio
di Perga, tanto che si propose di realizzare la
migliore traduzione possibile dei sette libri
conservati delle Coniche. Halley cominciò il
compito nel 1704 e la sua determinazione fu
talmente grande che decise di imparare l’ara¬
bo per tradurli egli stesso. Sei anni dopo, i suoi
sforzi e il suo talento si videro ricompensati
con la pubblicazione di un lavoro che risultò
magistrale. La prima parte raccoglieva il testo greco dei primi quattro libri,
la versione latina corretta di Federico Commandino, i testi greci di Pappo
ed Eutocio e i testi greci e le sue versioni in latino. La seconda parte può
essere definita semplicemente sensazionale: non solo offriva la sua tradu¬
zione in latino dei Libri V, VI, VII, basata sulla versione araba di Thabit ibn
Qurra, ma anche una ricostruzione congetturale del libro perso, l’anelato
Libro Vili, che realizzò egli stesso. La terza e ultima parte, complementare,
conteneva i libri di Sereno Antisense sulla sezione del cilindro e del cono,
nel suo originale greco e nella sua traduzione latina. Come curiosità, bisogna
segnalare che nell’illustrazione del frontespizio delle Coniche tradotte da
Halley appaiono alcuni naufraghi che contemplano sui bordi le figure sulle
iperboli di Apollonio, sotto cui si legge in latino «Aristippo, filosofo socra¬
tico essendo naufragato nel mare di Rodi, e avendo osservato nella spiag¬
gia figure geometriche, si dice che esclamò davanti ai suoi compagni: rima¬
niamo ben speranzosi, poiché vedo orme di uomo». Questi termini che
elevano la geometria a scienza dello spirito e segno di civiltà, furono presi
da Halley dall’opera De Architecture, di Vitruvio.
cubo», la cui risoluzione esigeva equazioni di un grado
superiore al secondo.
Questi problemi furono sollevati dall’Accademia platonica,
che notò la necessità di applicare intersezioni di diverse sezioni
coniche. Come abbiamo segnalato nel caso della duplicazione
APOLLONIO. L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
37
del cubo, questi avevano condotto Menecmo alla sua scoperta.
Nonostante ciò, ci sono molti più motivi per cui le sezioni coniche
di Apollonio occupano un posto di privilegio in geometria tra
tutte le possibili curve:
a) Dalla sua definizione, data da Apollonio, si sa che rappre¬
sentano in modo completo tutto il campo delle equazioni
di secondo grado.
b) Le sezioni coniche sono le orbite dei pianeti e delle co¬
mete, le forme dei corpi celesti di rotazione e la traietto¬
ria dei corpi pesanti.
c) L’importanza trascendentale delle coniche poggia sul fat¬
to che la principale capacità di percezione dell’uomo ri¬
siede nell’occhio. I raggi luminosi che vi penetrano e che
partono da lui per formare la visione formano un cono
secondo le leggi della rifrazione e della convergenza di
una lente biconvessa. Tutta l’immagine che arriva loro
mediante quel cono di raggi si presenta sotto forma di
una sezione conica. Tutto il mondo visibile è un «univer¬
so di sezioni coniche».
Il punto di partenza storico di tutto questo spiegamento di
conoscenza geometrica, che culminerebbe nella geometria pro¬
gettuale del xix secolo, non fu un altro che merito di Apollonio,
che si occupò dei raggi riferendoli alle sezioni coniche.
IL TEMUTO INFINITO E LA FINZIONE DELLE PARALLELE
Le coniche rivoluzionò la geometria classica, poiché fece trabal¬
lare i postulati di Euclide e suscitò grandi «provocazioni geome¬
triche», come l’insinuazione dell’infinito e dell’irrealtà ottica
delle parallele. Nello studio delle sezioni coniche, gli asintoti
sono due rette che, in certe proposizioni, continuano ad avvici¬
narsi in modo progressivo, sempre di più, verso l’infinito, alle
due braccia dell’iperbole; però senza arrivare mai a toccarsi,
38
APOLLONIO, L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
FOTO IN ALTO
Resti dell’agorà
di Perga nella
periferia della città
turca di Antalya.
Questa fu
la culla natale
di Apollonio.
FOTO IN BASSO
A SINISTRA
Grande busto
di Alessandro
Magno nel Museo
Archeologico
di Antalya, dove
si conserva l’arte
ellenistica
di Perga.
FOTO IN BASSO
A DESTRA:
Statua ritrovata
a Perga del dio
Hermes,
messaggero
divino e protettore
del commercio
e della fecondità.
APOLLONIO, L'APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA 39
come lo fa una tangente, o a secarsi, come fa una secante. Sicu¬
ramente scoperte da Apollonio, la loro semplice esistenza agitò
il fantasma dell’infìnito. Eudosso aveva introdotto un palliativo
davanti alla presenza dell’incommensurabile, quell’«avvicinarsi
tanto quanto si desideri» presente nella Teoria della proporzio¬
ne e nel Metodo di esaustione di Euclide. Ma in questo nuovo
ambito geometrico non serviva più, perché con gli asintoti...
dove finisce tale «avvicinamento»?
Si presentò anche un altro problema legato al «postulato» del¬
le parallele. Ora, tra le linee che si tagliano e quelle che si manten¬
gono sempre alla stessa distanza, c’era una terza classe di linee,
inopportuna e sconveniente, che non si intersecano né si manten¬
gono sempre alla stessa distanza tra loro. Secondo l’espressione
euclidea, il continuo avvicinamento di due linee era condizione
necessaria e sufficiente per la sua intersezione, mentre una distan¬
za costante lo era per il parallelismo. All’improvviso, con gli asin¬
toti, neanche con l’avvicinamento continuo si arrivava necessaria¬
mente in tutti i casi a un punto di intersezione. Bisogna obiettare
che in Euclide si trattava di due rette, mentre con gli asintoti si
lavorava con una curva e una retta che possono seguire perfetta¬
mente leggi differenti dal caso di due rette.
La comparsa degli asintoti obbligò la geometria a porre in
discussione per secoli il postulato delle parallele. Questo contrad¬
dice l’evidenza dei sensi. Il mondo della percezione visuale, «il
mondo delle sezioni coniche», non conosce le parallele. Nessuno
che contempli il mondo reale le ha mai viste. Sono una condizione
creata dall’uomo, una finzione, e non una realtà ottica. Con Apol¬
lonio, pertanto, terminò l’epoca eroica della matematica greca, e
si fece largo la discussione su dubbi essenziali per la scienza. Que¬
sti, approcciati con spirito critico e rigoroso, sono una porta aper¬
ta ai più grandi avanzamenti e progressi, e non sporadicamente
conducono alla conoscenza. E Apollonio, come tutti i grandi ma¬
tematici, iniziò a porsi domande.
40
APOLLONIO, L’APICE DELLA GEOMETRIA ALESSANDRINA
CAPITOLO 2
L’ultimo prodigio della geometria
greca: Le coniche
Le coniche è una colonna portante della geometria
di misurazione, con un linguaggio e uno sviluppo tanto belli
quanto complessi. Dei sette libri conservati
che la compongono, nei primi tre vengono definiti
e dimostrati, mediante proposte e teoremi alcune proprietà,
della parabola, dell’iperbole, dell’ellisse e dei due rami
dell’iperbole. Vengono approfonditi anche gli elementi
geometrici legati alle tre sezioni coniche.
Tutta la geometria comprende due grandi capitoli: la geometria di
misurazione e di posizione. Entrambe, nelle loro linee elementari,
sono sviluppate negli Elementi, l’opera principe di Euclide. Al con¬
trario, le parti più complesse della prima si trovano nel lascito
matematico del più illustre scienziato dell’Antichità, Archimede,
mentre il più celebre rappresentante della seconda è Apollonio,
creatore delle Coniche. Senza dubbio, l’importanza capitale di
quest’opera per la matematica, e in concreto per la geometria, me¬
rita di vedere approfonditi i suoi contenuti in modo esaustivo: solo
così si potranno comprendere, nella loro totalità, i contributi che
realizzò il geometra di Perga. Il compito è arduo, poiché il testo
originale, come si è segnalato, presenta una difficoltà estrema, con
passaggi molto densi e tali da scoraggiare chiunque, soprattutto
chi non possiede un elevato livello matematico e una grande pa¬
zienza; due virtù che non vanno sempre a braccetto.
Questa ragione è proprio ciò che ci spinge a offrire qui, in
onore della chiarezza, uno sforzo di semplificazione del conte¬
nuto delle Coniche, per adattare l’opera al linguaggio attuale. Lo
scopo è fare in modo che il lettore conosca i contributi di Apol¬
lonio in modo più diretto, senza complicazioni addizionali, così
da apprezzarli in tutta la loro bellezza; e alla fine, comprenderli
senza riserve e poterli incorporare nelle proprie conoscenze ma¬
tematiche.
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
43
In questo capitolo, pertanto, si approcceranno in maniera
dettagliata i tre primi libri che compongono Le Coniche, con le
loro estensioni, definizioni e affermazioni. I libri seguenti, come
è logico, troveranno spazio nei capitoli successivi.
IL LIBRO I DELLE «CONICHE»
Il Libro I delle Coniche contiene 60 proposizioni e comincia con
8 definizioni relative alla generazione delle superfici e del volume
dei coni retti e obliqui, dei diametri coniugati e degli assi delle
linee curve. La definizione 1 fu redatta in questi termini, dove il
«Grande geometra» specificò il senso che voleva dare a «super¬
fìcie conica», «vertice» e «asse» della stessa:
Se da un punto non situato sul piano di un cerchio si traccia dalla
sua circonferenza una retta, la si prolunga nelle sue due direzioni
e, sempre fermo il punto, si fa percorrere alla retta una circonfe¬
renza fino a che non ritorni alla sua posizione iniziale, definisco
«superficie conica» l’area che, descritta dalla retta, è composta di
due superfici con vertice opposto, che si estendono all’infìnito,
esattamente come la retta generatrice; e chiamo «vertice» della
superfìcie il punto fìsso, e «asse» la retta tracciata da questo e dal
centro del cerchio.
Le definizioni 2 e 3 vertono sul cono. La prima di esse la si
ritrova nelle parole dello stesso Apollonio:
Chiamo «cono» la figura delimitata dal cerchio e dalla superfìcie
conica compresa tra il vertice e la circonferenza del cerchio; «ver¬
tice» del cono è lo stesso della sua superfìcie; «asse» è la retta
tracciata dal vertice al centro del cerchio, e «base» è quest’ultimo.
Quanto alla definizione 3, Apollonio denominò «cono retto»
quello che ha l’asse perpendicolare alla base, e «obliquo» quello
che non l’ha.
44
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA' LE CONICHE
Le definizioni 4, 5 e 6 si incentrano sul concetto di «diame¬
tro». Di seguito, inseriamo due note chiarificatrici per la defini¬
zione 4; per tutto il resto bastano le parole che usò il matemati¬
co alessandrino:
Chiamo «diametro» di ogni linea curva situata in un solo piano la
retta che, tracciata nella curva, divide in due parti uguali tutte le
parallele a una retta qualunque nella curva; «vertice» di questo
l’estremo di quella retta [cioè, del diametro] situata nella curva, e,
infine, chiamo «rette tracciate ordinatamente al diametro» [che
oggi si chiamano «ordinate»] le parallele.
La definizione 5 prosegue così:
Allo stesso modo, definisco anche «diametro» di due linee curve
situate in uno stesso piano, da un canto, la retta trasversale che,
tagliando queste due linee, divide in due parti uguali le parallele a
una retta qualsiasi in ogni curva; e «vertici» di questo gli estremi
del diametro che si trovano in esse. Dall’altro lato, chiamo «dia¬
metro» la retta che, situata tra entrambe le curve, taglia in due
parti uguali tutte le parallele a una retta qualsiasi intercettata dal¬
le linee, e, infine, definisco «ordinate» le parallele.
Nella definizione 6, Apollonio segnalò che dava il nome di
«diametri coniugati» di una e di due linee curve «alle rette che
rappresentano un diametro che divide in due parti uguali le pa¬
rallele all’altro».
Ugualmente, nella definizione 7, che precisa anche una nota
chiarificatrice, stabilì:
Chiamo «asse» di una e di due curve il diametro di questa o di queste
curve che taglia le parallele [cioè, il diametro coniugato a questo asse]
ad angolo retto.
Infine, nella definizione 8 disse che chiamava «assi coniugati»
di una e di due curve i diametri coniugati che tagliano reciproca¬
mente ad angolo retto le sue parallele.
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
45
La figura 1 contribuisce a visualizzare alcuni dei concetti espo¬
sti in queste definizioni.
LE PRIME TRE PROPOSIZIONI
Le prime tre proposizioni del Libro I delle Coniche, che conside¬
rano la sezione del cono un piano che passa per il suo asse, sono
relative al triangolo assiale principale del cono. Le due seguenti
proposizioni dimostrano che in un cono obliquo a base circolare,
ogni sezione parallela alla base è un cerchio. Le proposizioni che
seguono mostrano curve generate in questo modo:
a) Per il piano secante che taglia tutte le generatrici su una
stessa superficie del cono.
b) Per il piano secante parallelo a una delle generatrici.
c) Per il piano secante che taglia le due superfici del cono.
Queste proposizioni apportarono l’importante nozione di «pa¬
rametro» che Apollonio denominò «lato retto» e che i geometri
46
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
rinascimentali designarono per lungo tempo come latus rectum.
Fornirono anche, in seguito, le nozioni di ascissa e di ordinata, e
dimostrarono «la costanza del rapporto del quadrato dall’ordinata
all’ascissa», per la curva generata dal piano secante parallelo a una
delle generatrici del cono.
Come si è già detto, tanto i matematici dell’Accademia pla¬
tonica quanto Aristeo, Euclide e Archimede avevano considera¬
to le tre sezioni coniche, in modo esclusivo, come sezioni piane,
perpendicolari a una generatrice, dei coni retti acutangolo, ret¬
tangolo e ottusangolo.
Per questo motivo, nelle opere di Archimede la parabola fu
designata ancora con l’espressione «sezione di cono retto ret¬
tangolo»; l’iperbole con «sezione di cono retto ottusangolo», e
l’ellisse con «sezione di cono retto acutangolo». Fu Apollonio
che presentò per la prima volta le tre sezioni coniche ottenute
da sezioni piane di uno stesso cono, retto od obliquo, a base
circolare.
La priorità assoluta di questa concezione generale di otte¬
nere le tre sezioni coniche è attribuita al geometra Gemino di
Rodi, un matematico e astronomo greco del i secolo a.C. del
quale si sa che citò l’isola greca in qualche suo lavoro, e a Euto-
cio di Ascalona, benché sia molto probabile che in qualche caso
particolare tanto Euclide quanto Archimede avrebbero ottenuto
qualcuna delle sezioni coniche allo stesso modo di Apollonio.
Quello che sembra indiscutibile è che si devono ad Apollo¬
nio le denominazioni di parabola, iperbole ed ellisse, che si so¬
stituirono alle farraginose circonlocuzioni menzionate. Sebbene
queste corrispondessero fedelmente e razionalmente a come
sono generate le tre sezioni coniche, Apollonio dovette tenere
in conto come la loro reiterazione complicasse oltremodo il testo
delle dimostrazioni di Archimede. Giudiziosamente, Apollonio
creò la nuova nomenclatura che legò, in forma filologica, le ca¬
ratteristiche semantiche dei termini con le proprietà di ognuna
delle tre curve, proprietà che avrebbero posto in evidenza le
equazioni cartesiane.
A questo riguardo sono illuminanti le considerazioni che fece
lo storico statunitense Cari Beqjamin Boyer (1906-1976), specia-
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
47
ARCHIMEDE, UN GENIO POLIEDRICO E UNIVERSALE
Archimede, considerato il matematico più
importante dellAntichità, aveva la capaci¬
tà di sintetizzare due nature distinte per
trovare la migliore via alla volta della co¬
noscenza. Questa virtù gli permise, per
esempio, di moderare la poderosa imma¬
ginazione trascendentale di Platone con la
condotta meticolosa e corretta di Euclide.
Si distinse nella storia della cultura, della
scienza e della tecnologia come uno dei
saggi più eminenti, fu l’artefice di moltepli¬
ci congegni costruiti grazie alla sua por¬
tentosa immaginazione, e pertanto fu ri¬
conosciuto come il primo ingegnere
dell’Antichità. Inoltre, i suoi contributi alla
statica e all’idrostatica, è considerato an¬
che il fondatore di queste scienze e, di con¬
seguenza, l’antico progenitore di quelle
discipline che, venti secoli più tardi, avrebbero adottato il nome di filosofia
naturale e fisica matematica. Nel campo stretto della matematica, Archi-
mede è considerato come il più originale, rigoroso e prolifico dei geometri
greci, poiché ampliò in modo colossale il patrimonio geometrico euclideo
e coniugò alla perfezione l’intuizione con la scoperta e il virtuosismo con
la dimostrazione. Si attribuisce ad Archimede l’origine storica del calcolo
integrale, dove il suo punto di partenza fu la congiunzione di due metodi:
uno, euristico ed empirico, l’altro, rigoroso ed apodittico. Così, il suo «me¬
todo meccanico» di ricerca puntò verso gli indivisibili e gli infinitesimali
delle quadrature che, nel xvn secolo, avrebbero favorito il calcolo di Newton
e Leibniz; infine, il suo «metodo dimostrativo assoluto» punto all’aritmeti¬
ca dei limiti, che è la base dell’analisi moderna del xix secolo.
«Tra tutti i grandi uomini dell’Antichità»
Parafrasando la celebre frase attribuita a Newton, si può rendere omaggio
ad Archimede definendolo come uno straordinario titano sulle cui spalle
si sollevarono i giganti matematici del xvn secolo per forgiare uno degli
strumenti scientifici più potenti di tutta la storia del pensiero matematico:
il calcolo integrale. Per tutto ciò, non stupisce che l’enciclopedista france¬
se Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert (1717-1783), nel suo Discorso preli¬
minare sull’Enciclopedia, elogiasse il genio di Siracusa con questa massima:
«Tra tutti i grandi uomini dell’Antichità, è Archimede quello che più merita
figurare al fianco di Omero».
Archimede pensoso, di Domenico
Fetti (m. 1623).
48
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA LE CONICHE
lizzato in storia della scienza, nella sua famosa opera Storia della
Matematica:
Non c’è dubbio che nel corso della storia della matematica i concetti
siano stati molto più importanti della terminologia utilizzata, ma, cio¬
nonostante, il cambiamento di nome delle sezioni coniche dovuto ad
Apollonio ha avuto un’importanza maggiore della norma Per appros¬
simativamente un secolo e mezzo, queste curve non ebbero un altro
nome specifico, ma nient’altro che nude descrizioni del modo in cui
erano state scoperte. Fu realmente Apollonio, probabilmente seguendo
un suggerimento di Archimede, che introdusse per la prima volta i
termini di ellisse e di iperbole in relazione a queste curve.
Boyer pose l’accento sul fatto che le parole «ellisse», «parabola»
e «iperbole» non erano state coniate per l’occasione, bensì «adattate
a partire da un uso precedente, dovuto magari ai pitagorici, per la
soluzione di equazioni quadratiche attraverso il metodo di applica¬
zione delle aree». Lo storico precisò che il termine ellisse rimanda a
una «deficienza» e delimitò il suo uso a un contesto molto concreto:
«quando un rettangolo dato si doveva applicare su un segmento dato
e risultava scarso in un quadrato o in una figura [o in un’altra figura
data]». Circa la parola iperbole («andare oltre») commentò che era
stata adottata per il caso «in cui l’area eccedesse rispetto al segmen¬
to dato»; e sulla parola parabola («collocare a lato» o «paragonare»),
segnalò che «indicava che non esisteva deficienza né eccesso».
«Il livello più avanzato delle sezioni coniche nelle Coniche
di Apollonio spiazzò tutti i suoi rivali in questo campo.»
— Carl B. Boyer.
Dalle proposte di Apollonio comparve la nota equazione mo¬
derna della parabola con vertice nell’origine e con asse nell’asse
delle ascisse, che è la seguente:
y2 = Ir,
dove «1» è il latus rectum o parametro, che normalmente si rap¬
presenta con 2p e talvolta con 4p.
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
49
Cioè, la parabola ha la proprietà caratteristica per cui, per
ogni punto preso sulla curva, il quadrato costruito sulla sua or¬
dinata ed è esattamente uguale al rettangolo costruito sull’ascis¬
sa x e il parametro «1».
Le equazioni dell’ellisse e dell’iperbole, riferite in modo ana¬
logo a uno dei suoi vertici come origine, sono:
{x ± a)2 y
= 1 oppure y = Lr ±
bV
dove «1» è di nuovo il latus rectum o parametro 2b2/a. Cioè, nel
caso dell’ellisse:
y2 < Lr,
mentre, per l’iperbole,
y2 > Lr,
Come si può ora comprendere, Apollonio di Perga raffinò
considerevolmente lo studio delle coniche. In realtà, apportò una
semplificazione e una sistematizzazione che risultarono decisive
per sbrogliare il groviglio esistente. E non solo: favorì anche un
impiego più razionale di queste risorse geometriche e, con ciò,
aprì la porta ai perfezionamenti e alle applicazioni pratiche che
sarebbero arrivati molti secoli dopo.
Le Coniche, oltre al suo merito totalizzante, contengono ma¬
teriali sommamente originali e ingegnosi, organizzati in maniera
eccellente. Senza dubbio, si tratta di una costruzione geometrica
monumentale, un’opera che presuppose il culmine della geome¬
tria greca e sviluppò il tema in modo definitivo anche per il pen¬
siero matematico successivo.
LE PROPOSIZIONI PIÙ IMPORTANTI
Le proposizioni più importanti di tutto il Libro I sono quelle deno¬
minate 1.11,1.12,1.13. La loro lettura risulta difficoltosa, a causa
50
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA LE CONICHE
della quantità di spazio loro concesso e per via della loro intrinse¬
ca complessità: vengono infatti descritte le proprietà fondamenta¬
li della parabola, dell’ellisse e dell’iperbole, che Apollonio fece
derivare dalla considerazione stereotomica delle curve.
La prima di queste proposizioni, il teorema della parabola,
offre subito diverse difficoltà di interpretazione e comprensione,
che si incrementano ancora più con il teorema dell’iperbole e che
raggiungono l’apice nel teorema dell’ellisse. Nonostante ciò, è es¬
senziale leggere distintamente le spiegazioni allegate a seguito
dell’esposizione nuda di ognuna di esse, senza intrattenersi troppo
nel linguaggio del saggio alessandrino. In ogni caso, queste consi¬
derazioni non recano demerito alle fenomenali scoperte di Apol¬
lonio di Perga, ma invitano a contestualizzare il linguaggio del suo
tempo per poterlo semplificare e allineare a quello che si usa og¬
gigiorno in matematica.
IL TEOREMA DELLA PARABOLA
Questo teorema corrisponde alla proposizione 1.11, che, con le
parole di Apollonio, presenta il seguente enunciato, la cui risolu¬
zione rimane illustrata nella figura 2:
Se si taglia un cono con un piano che passi per l’asse e con altro che
tagli la base perpendicolarmente a quella del triangolo secondo il
suo asse, se il diametro della sezione è parallelo a uno dei lati del
triangolo, il quadrato di ogni retta tracciata dalla sezione del cono
parallelamente all’intersezione del piano secante e quello della base
del cono fino al diametro della sezione - cioè il quadrato dell’ordina¬
ta di un punto della sezione - equivale al rettangolo formato dalla
retta che separa il diametro dalla parte del vertice della sezione;
equivale anche al rettangolo formato da una determinata retta, poi¬
ché è l’area tra l’angolo conico e il vertice della sezione, che è la
stessa di quella del quadrato della base del triangolo secondo l’asse
del rettangolo formato dagli altri due lati del triangolo. Chiameremo
parabola tale sezione.
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
51
FIG 2
A
Non meno difficile il seguito, la cui lettura può lasciare prati¬
camente senza respiro:
Sia un cono di vertice A e per base il cerchio BG: tagliamolo con
un piano che passi per l’asse, che produrrà come sezione il trian¬
golo ABG, e con un altro piano che tagli la base del cono secondo
la retta DE perpendicolare alla base BG del triangolo ABG, e che
tagli ugualmente la superficie conica secondo la linea DZE, il cui
diametro ZH è parallelo al lato AG del triangolo che passa per
l’asse; tracciamo dal punto Z la perpendicolare ZT a ZH e facciamo
in modo che la retta ZT stia a una data retta ZA come il quadrato
di BG al rettangolo formato da AB e AG e, infine, da un punto K
qualsiasi della sezione, tracciamo la parallela KL a DE. Affermo
che il quadrato di KL equivale al rettangolo di ZT e ZL.
Tanto l’enunciato quanto la dimostrazione di Apollonio,
come si può vedere, sono abbastanza astrusi. Fortunatamente,
l’algebra letterale può venirci in soccorso. Nel cerchio di diame¬
tro MN si ha:
kl2 = lm ln,
52
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
che, per costruzione, è:
ZT BG2 BG BG
ZA AB AG AB AG’
dei triangoli simili (AMN, ABG, ZML), da cui risulta:
BG MN ML LN BG MN ML
AB AM ZM AZ’ AG NA LZ *
La seconda uguaglianza si converte in:
ZT _ LN ML _ KL2
ZA AZ'LZ AZ-LZ’
da cui risulta:
KL2 = ZT ZL,
e la retta ZT è quella secondo cui stanno in potenza le rette trac¬
ciate in modo coordinato sul diametro ZH, retta anche chiamata
latus rectum. Cioè, si tratta della retta a partire dalla quale si
applica un’area rettangolare equivalente alla potenza (un quadra¬
to) delle rette tracciate in modo coordinato sul diametro. Apol¬
lonio e i suoi predecessori, soprattutto Archimede, designarono
sempre con questa espressione la retta che rappresenta l’altezza
costante di un rettangolo, che ha come basi l’ascissa di un punto
della conica e la cui area - o l’area maggiorata di un’altra area
determinata nell’iperbole, o l’area diminuita di un’altra area de¬
terminata nell’ellisse - equivale nella parabola al quadrato dell’or¬
dinata. Questa retta caratteristica si chiama da questo momento
«parametro» e si pone in evidenza per le equazioni cartesiane
della parabola:
y2 = 2px,
dell’iperbole:
y2 = + f y2,
d
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
53
e dell’ellisse:
2 P 2
y = p* “2T,
d
IL TEOREMA DELL’IPERBOLE
Il teorema dell’iperbole corrisponde alla proposizione 1.12, la cui
risoluzione è illustrata nella figura 3, e che il «Grande geometra»
sviluppò in questo modo:
Se si taglia un cono con un piano che passi per l’asse e con un altro
che tagli la base perpendicolarmente a quella del triangolo secondo
il suo asse, se il diametro della sezione trova uno dei lati del trian¬
golo oltre il vertice del cono, il quadrato di ogni retta tracciata
dalla sezione del cono parallelamente all’intersezione del piano
secante, e il quadrato della base del cono fino al diametro della
sezione, equivale a un’area descritta da una certa retta, poiché è il
prolungamento del diametro della sezione che sottende l’angolo
esterno del triangolo, ed è la stessa di quella del quadrato della
parallela dal vertice del cono al diametro della sezione fino alla
base del triangolo, cioè il rettangolo formato dai segmenti che la
retta determina sulla base, la cui altezza è la parte del diametro
[«l’ascissa»] separata dalla prima retta [«l’ordinata»] dalla parte del
vertice della sezione, maggiorato di una figura simile e similmente
disposta, cioè il rettangolo limitato dalla retta che sottende l’ango¬
lo esterno del triangolo e il parametro relativo. Tale sezione la chia¬
meremo iperbole.
Questo enunciato si complica ulteriormente nella sua conti¬
nuazione, che risulta lunga, complessa e strapiena di spiegazioni
incidentali:
Sia un cono di vertice A e per base il cerchio BG; tagliamolo con
un piano che passi per l’asse, il quale produce come sezione il trian¬
golo ABG, e con un altro piano, che tagli la base del cono come una
retta DE perpendicolare al BG del triangolo e alla superficie conica
54
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
FIG 3
T
secondo la linea DZE, il cui diametro ZH, prolungato, trova uno dei
lati AC del triangolo ABG in un punto T oltre il vertice; tracciamo
da A una retta AK parallela al diametro ZH della sezione; eleviamo
nel punto Z la retta ZL perpendicolare a ZH e facciamo in modo che
la retta ZT stia a una retto ZL come il quadrato di KA al rettangolo
formato da KB e KG, e, infine, tracciamo da un punto qualsiasi M
della sezione MN parallela a DE e da N la retta NOQ parallela a ZL,
prolunghiamo la TL fino al suo incontro in Q con la NOQ e dai
punti L e Q le LO e QP parallele alla ZN. Affermo che il quadrato di
MN è equivalente al rettangolo ZQ, che, applicato alla retta ZL, ha
la larghezza ZN e l’altezza LQ, che è un rettangolo simile a quello
delle rette ZT e ZL.
Apollonio affermò che, nella sezione conica considerata, il
quadrato dell’ordinata equivale d un’area rettangolare che, se¬
guendo il parametro, cioè avendo l’altezza come parametro e
l’ascissa come base, è aumentata di un’altra area, simile a quella
che ha l’asse trasverso o il diametro come basi e l’altezza come
parametro. In questo modo, designando l’ordinata «y», l’ascissa
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
55
«x», l’asse trasverso o diametro «a» e l’altezza «p», l’enunciato
della proposizione si può tradurre nella seguente relazione:
2/2 = p^+f y2’
che è l’equazione cartesiana dell’iperbole, riferita ad assi obliqui,
essendo uno di essi il diametro e l’altro la tangente nell’estremo.
Benché la dimostrazione di questa proposizione sia molto faticosa,
l’algebra allevia la complessità della retorica classica greca. Così,
come si può vedere nella figura 3, nel cerchio di diametro RS si ha:
MN2 = NR ■ NS,
costruita come:
ZT KA2 KA KA
ZL KB KG KB ' KG ’
e dai triangoli simili - AKB, HZB, NZR, e AKG, HTG, NTS, rispet¬
tivamente - risulta:
KA = HZ = NZ KA HT NT
KB HB NR’ KG HG NS *
La seconda uguaglianza si converte in:
da cui risulta
e come
ne deriva che
ZT _ NZ NT _ NZ • NT
ZL NR ’ NS MN2 ’
mn2 =
ZL NT
ZT
•NZ,
ZT _ NT NO _ ZL NT
ZL NQ’ W ZT ’
MN2 = NQ • NZ.
56
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
Come si voleva dimostrare, NQ • NZ è l’area del rettangolo
PZNQ uguale al LZNO, cioè a quella applicata a ZL con l’altezza
ZN, maggiorata nel rettangolo PLOQ simile a VTZL; similmente,
i suoi lati sono la retta ZL, che quale Apollonio chiamò «para¬
metro», e la ZT opposta all’angolo ZAT esterna al triangolo se¬
condo l’asse.
IL TEOREMA DELL’ELLISSE
Il teorema dell’ellisse corrisponde alla proposizione 1.13, dove
Apollonio non misura le parole per la sua descrizione:
Se si taglia un cono per un piano che passi per l’asse e per un
altro asse, non parallelo né in senso contrario, che tagli i lati del
triangolo che passa per l’asse, se l’intersezione del piano secante
con quello della base è perpendicolare a quella del triangolo o al
suo prolungamento, il quadrato di ogni retta tracciata dalla sezio¬
ne del cono parallelamente a detta intersezione, fino al diametro
della sezione, equivale a un’area applicata come una certa retta
poiché il diametro è lo stesso del quadrato della parallela al dia¬
metro, dal vertice del cono fino alla base del triangolo, e al ret¬
tangolo formato dalle rette che quest’ultima determina nei lati del
triangolo, la cui altezza è la parte del diametro separata dalla pri¬
ma retta, dalla parte del vertice della sezione, diminuito in una
figura simile e similmente disposta, del rettangolo limitato dal
diametro e l’altezza. Chiameremo ellisse tale sezione.
Lo sviluppo successivo continua in modo ancora più esau¬
stivo che nei casi della parabola e dell’iperbole.
Sia un cono di vertice A e per base il cerchio BG; tagliamogli con
un piano che passi per l’asse, il quale produce come sezione il
triangolo ABG, e con un altro piano, non parallelo né in senso
contrario, la cui intersezione con la superficie conica sia la linea
DEL di diametro DE e ZH perpendicolare a BG del piano secante
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
57
e della base del cono; tracciamo dal punto E la ET perpendicola¬
re a ED, da A la AK parallela a ED, e facciamo in modo che la
retta ED stia a una retta ET come il quadrato di KA al rettangolo
formato da KB e KG, e, infine, tracciamo da un punto qualsiasi L
della sezione la parallela LM a ZH. Affermo che il quadrato di LM
equivale al rettangolo che, applicato a ET, ha larghezza EM dimi¬
nuita in una figura simile al rettangolo delle rette ED ed ET
Questa proposizione, illustrata nella figura 4, completa la
dissertazione di Apollonio sulle tre sezioni coniche, le cui pro¬
prietà dedusse a partire dalla sua considerazione stereotomica.
Il suo enunciato è tanto complicato quanto quello prece¬
dente, e viene a dire che nella sezione conica considerata, il
quadrato dell’ordinata equivale a un’area rettangolare che, ap¬
plicata seguendo il parametro, cioè, avendo questo parametro
come longitudine, e avendo l’ascissa come larghezza, è rarefat¬
ta di un’altra area, simile a quella che ha per altezza il parametro
e come larghezza il diametro.
In questo modo, designando l’ordinata «y», l’ascissa «x»,
l’asse trasverso o diametro «a» e l’altezza «p», tale enunciato
può tradursi nella relazione:
2 P 9
y = p
<%
che è l’equazione cartesiana dell’ellisse, riferita ad assi obliqui,
essendo uno di essi il diametro e l’altro la tangente nell’estre¬
mo. Come nei casi precedenti, l’algebra simbolica ci viene in
aiuto per rappresentare la dimostrazione attualizzata del risul¬
tato di Apollonio.
Nel cerchio di diametro PR si ha:
lm2 = mpmr,
costruito come:
ED KA2 KA KA
ET KB KG KB KG’
58
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
e, dai triangoli simili - ABK, EBH, EMP y AGK, AGH, DRM, rispet¬
tivamente -, risulta
KA HE ME KA HD MD
KB HB MP’ KG HG MR‘
Seguendo un’argomentazione simile a quella valida per l’iper¬
bole, visto in precedenza, si verifica che la seconda uguaglianza si
converte in:
ED _ ME MD ME MD
ET MP * MR lM2 ’
da cui risulta che
e come
T ,,2 ET • MD A/fU,
LM =_E5—ME,
ED _ MD ET MD
ET MV ’ ED ’
si ottiene infine che
LM =MVME.
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
59
Come si voleva dimostrare, MV • ME è l’area del rettangolo
OEMV uguale a TEMN, cioè a quella applicata a ET con l’altezza
EM, diminuita nel rettangolo TOVN simile TEDQ, e similmente
disposto, i cui lati sono la retta ET, che Apollonio chiama «para¬
metro», e il diametro ED della sezione.
I DUE RAMI DELL’IPERBOLE
Una delle questioni più importanti delle Coniche è la considerazio¬
ne del cono con due facce che identifica i due rami dell’iperbole:
è la proposizione 1.14, esposta nuovamente con un enorme appa¬
rato descrittivo.
Se si tagliano le due superfici coniche opposte al vertice con un
piano che non passi per l’asse, si otterrà su ogni superficie una
sezione chiamata iperbole; il diametro di entrambe le sezioni sarà
il medesimo; i parametri delle rette tracciate ordinatamente al
diametro e parallele a quella posta alla la base del cono [cioè,
parallelamente alla retta determinata alla base del cono dal pia¬
no secante] saranno uguali e l’asse trasverso [il lato trasverso,
cioè l’asse trasverso dell’iperbole di doppio ramo] della figura
sarà la retta che unisce i vertici delle due sezioni, che si chiama¬
no opposte.
A seguire, il «Grande geometra» concluse:
Tagliamo le superfici opposte al vertice A con un piano che non
passi per l’asse, e le sue sezioni siano DEZ e HTK. Affermo che que¬
ste sezioni sono iperboli.
La dimostrazione gli costò un sviluppo molto lungo ed esau¬
stivo, giungendo alla soluzione che mostrata nella figura 5. Apol¬
lonio le chiamò «opposte» ai due rami dell’iperbole. A partire da
questa proposizione 14, furono considerarono come una sola cur¬
va prodotta da un piano che taglia le due facce di un cono.
60
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA LE CONICHE
FIG 5
K
DIMOSTRAZIONE MEDIANTE UN UNICO CONO
OBLIQUO
È interessante la considerazione dei tre risultati delle proposi¬
zioni 1.11,1.12,1.13, che vertono rispettivamente sulla parabola,
l’iperbole e l’ellisse, mediante un’unica figura: un cono obliquo.
In questo modo, costruite senza dubbi le tre curve, Apollonio
dimostrò che:
— Nella parabola, il quadrato dell’ordinata è uguale al rettan¬
golo i cui lati sono il parametro e l’ascissa
— Nell’iperbole, il quadrato dell’ordinata è maggiore del ret¬
tangolo i cui lati sono il parametro e l’ascissa.
— Nell’ellisse, il quadrato dell’ordinata è minore del rettan¬
golo i cui lati sono il parametro e l’ascissa
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
61
ALBRECHT DÜRER ILLUSTRA LE CONICHE DI APOLLONIO
Il pittore e incisore tedesco Albrecht Dürer (1471 -1528), massimo esponen¬
te dell’arte rinascimentale in Germania, non trattenne dall’includere due
incisioni sulle tre coniche di Apollonio nel suo trattato Istruzione sulla mi¬
surazione con riga e compasso di figure piane e solide, composto di quat¬
tro libri e più conosciuto in forma abbreviata come Sulla misura (1525).
Davanti alla difficoltà che gli offrì l’analisi e la rappresentazione delle se¬
zioni coniche, ricorse a ciò che in seguito si sarebbe chiamata «proiezione
ortografica»: una trasformazione prospettica del cerchio, usando un «pia¬
no del quadro» inclinato: di lì la compressione estrema degli intervalli pros¬
simi ai vertici, e che le sue ellissi avessero piuttosto forma ovoidale. Con
queste incisioni, Dürer non solo divulgò i lavori di Apollonio, ma contribuì
anche ad appoggiare le tre definizioni classiche sulle coniche: la prima,
secondo cui le parabole sono le curve che si formano tagliando un cono
con un piano parallelo a uno delle sue facce: la seconda, in base a cui le
iperboli sono le curve che si formano tagliando un cono con un piano che
tocchi i due lati del cono; la terza, secondo cui le ellissi sono le curve che
si formano tagliando un cono con un piano che tocca solamente uno dei
lati del cono e non è parallelo a nessuna delle sue facce.
A sinistra, Autoritratto, di Dürer (1500). A destra, Incisione sulle ellissi descritte da Apollonio, che
Dürer ha incluso in Sulla misura (1525).
62
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA LE CONICHE
Effettivamente, queste proprietà sono certe. Eccole verifica¬
te secondo la notazione matematica moderna e con l’ausilio del¬
la figura 6:
FIG 6 /\
Dato il cerchio BC e un punto A fuori dal piano determinato
dal cerchio, sia il doppio cono generato da una retta che passa
per A e che si muove sulla circonferenza. Il cerchio BC è detto la
base del cono, mentre si chiama asse del cono la retta che unisce
il punto A con il centro del cerchio BC.
Sia la sezione del cono su un piano che tagli il piano della
base in una retta DE. Sia BC il diametro del cerchio base perpen¬
dicolare a DE. ABC è un triangolo che contiene l’asse dal cono
(si chiama «triangolo assiale»). Quando questo triangolo taglia
la conica in PF, allora PP’M è la retta determinata dall’interse¬
zione del piano generatore della sezione con il triangolo assiale.
Se QQ’ è una qualsiasi corda della sezione conica parallela alla
retta DE, Apollonio dimostra che PP’ taglia QQ’ nel suo punto medio,
in modo che VQ sia la metà di QQ’.
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
63
Sia ora la retta AF parallela a PM, che taglia BM in E E sia la
retta PL perpendicolare a PM nel piano generatore della sezione.
Per l’ellisse e l’iperbole si prende L, in modo che si realizzi la
proposizione:
PL BF-FC
PP’ AF2 ’
mentre, per la parabola, la proposizione dev’essere:
PL BC2
PA BA•AC'
Per i casi dell’ellisse e dell’iperbole, siano i segmenti P’L e
VR parallelo a PL, da V fino a tagliare P’L in R, mentre, nel caso
dell’iperbole P’, stia nell’altro ramo e si estenda P’L per ottenere
il punto R.
Apollonio dimostrò che, nel caso dell’ellisse e dell’iperbole, si
ottiene:
QV2 = PVPR.
Apollonio chiamò «ordinata» il segmento QV, in modo che
il risultato mostrasse che il quadrato della ordinata QV fosse
equivalente a un rettangolo costruito su PL, esattamente quello
che ha come lati i segmenti PV, PR. Inoltre, Apollonio provò che,
nel caso dell’ellisse, il complementare di quel rettangolo, nel
rettangolo totale determinato dai segmenti PV e PL, è il rettan¬
golo che ha per diagonale LR. Cioè quello determinato dai seg¬
menti LS e SR, che è simile al rettangolo di lati PL e PP’, da cui
proviene il termine «ellisse».
Nel caso dell’iperbole, si continua a sviluppare l’espressione
precedente, ma la costruzione stabilirebbe che VR è più lungo di
PL, in modo che il rettangolo determinato dai segmenti PV e VR
sia più grande del rettangolo costruito su PL; cioè si tratta del
rettangolo determinato dai segmenti PL e PV, propri di un rettan¬
golo che ha per diagonale LR, che è simile al rettangolo di lati PL
e PP’, da cui deriva il termine «iperbole».
64
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA LE CONICHE
Nel caso della parabola, Apollonio dimostrò che, al posto
della precedente, si ottiene la seguente espressione
QV2 = PV PL,
in modo che il rettangolo che equivale a QV2 sia giustamente il
costruito su PL e di larghezza PV, da cui proviene il termine «pa¬
rabola». Queste le equazioni:
QV2 = PV- PR , QV2 = PV- PL
sono le proprietà basilari delle sezioni coniche, a partire dalle quali
Apollonio dedusse il resto. Queste espressioni compiono la stessa
funzione delle equazioni delle coniche nei calcoli moderni, così come
la funzione dell’ascissa e dell’ordinata attuali si sostituiscono al seg¬
mento PV e alla semicorda QV. Per rapportare le proprietà basilari
delle sezioni coniche di Apollonio alla geometria attuale delle coor¬
dinate, è utile porre attenzione alle seguenti notazioni:
— Si denota con 2p il segmento PL, chiamato da Apollonio
«parametro» delle ordinate, e noto abitualmente come
latus rectum nelle edizioni latine.
— Con d, la lunghezza del segmento PP’, chiamato «diametro».
— Con x, la distanza PV misurata a partire da P.
— Con y, la distanza QV.
Allora, se si prendono le coordinate oblique indicate, risulta
che, nel caso della parabola, l’ultima espressione
QV2 = PV • PL
si dovrà scrivere come
y2 = 2px.
Per l’ellisse, dalla penultima equazione
QV2 = PV • PR,
si ottiene in primo luogo che
y2 = ¥V ' PR.
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
65
Dato che PV • VR = x(2p-LS) e che il rettangolo determinato
da LS e SR. è simile al rettangolo determinato da PL e PP’, si
verifica che:
Dagli studi di Apollonio è possibile ricavare che, per la pa¬
rabola, il diametro risulta essere infinito, e così questa curva
potrebbe essere una «versione geometrica limite» dell’ellisse o
della parabola.
Si è visto, dunque, a partire dagli sviluppi di Apollonio che
le sezioni coniche possono considerarsi come curve di secondo
grado, vincolate alle costruzioni greche che utilizzarono per
risolvere l’equazione quadratica; queste finirono nell’«algebra
geometrica» della matematica greca, che rimase cristallizzata
negli Elementi di Euclide e dotò la scienza ellenica dello stesso
valore della geometria cartesiana per la scienza moderna.
La colossale messe di procedimenti sussidiari che, in modo
magistrale, Apollonio applicò e apportò a ogni caso particolare,
sarebbe stata sostituita, secoli dopo, da metodi uniformi e si¬
stematici, introdotti da Cartesio (nonché da Fermat).
LS_x
PL d '
Pertanto,
d ’
da cui risulta che
Cioè si ottiene l’equazione dell’ellisse:
Allo stesso modo, per l’iperbole, si ottiene:
66
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA. LE CONICHE
FOTO IN ALTO:
Facciata della
magnifica
Biblioteca
di Celso, a Efeso,
città nella quale
si stima che
Apollonio realizzò
parte dei suoi
lavori geometrici.
FOTO IN BASSO:
L’altare
di Pergamo,
a Berlino,
trasportato
dalle rovine di
questa polis greca
sita nell’attuale
Turchia. Anche
la storiografia
conferma che
Apollonio
sviluppò II buona
parte della sua
opera.
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
67
Questi sono universalmente applicabili a ogni tipo di pro¬
blema geometrico, una volta stabilite le coordinate cartesiane
su un sistema fisso di assi.
Le relazioni di aree di Apollonio, che esprimono le proprietà
intrinseche della curva, si prestano con somma facilità a essere
tradotte nel linguaggio dell’algebra simbolica tramite equazioni.
Risulta importante evidenziare che tale qualità avrebbe permes¬
so l’associazione di curve ed equazioni, che è la principale fina¬
lità programmatica della futura geometria analitica.
In presenza delle espressioni ottenute per le coniche, trascri¬
zione delle proprietà fondamentali che soddisfanno come luoghi
piani, si osserva che, nel caso dell’ellisse:
mentre per l’iperbole:
y2 < 1^,
y1 > Lr.
Le proprietà delle curve che esprimono queste disuguaglian¬
ze sono quelle che suggerirono i nomi delle coniche, in base al
linguaggio greco ordinario: parabola, ellisse, iperbole. Così furo¬
no battezzate da Apollonio oltre duemila anni fa.
Non solo non furono nomi arbitrari rispondenti alla seman¬
tica dei termini, ma conobbero anche così tanta fortuna da rima¬
nere indissolubilmente vincolati al dizionario geometrico delle
coniche.
ELEMENTI GEOMETRICI DELLE TRE SEZIONI
CONICHE
È il momento di verificare alcuni aspetti delle sezioni coniche.
Per esempio, le tre sezioni coniche, su cui si possono rilevare
gli elementi geometrici e i vincoli reciproci che Apollonio dimo¬
strò, o anche un insieme di archi paralleli in un’ellisse (per
esempio, paralleli a un segmento PQ). Tutto ciò è illustrato nel¬
la figura 7.
68
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA' LE CONICHE
Apollonio dimostrò che i centri di quelle corde si trovano
sul diametro AB dell’ellisse. Provò anche che, se si scorge una
retta passante per C (punto medio di AB) e parallela all’insieme
originale di corde, la citata DE taglia nel punto medio tutte le
corde parallele ad AB; si tratta del diametro coniugato di AB.
Nel caso dell’iperbole, gli archi possono stare all’intemo di
uno dei rami e, in quel caso, il diametro è un segmento che va
da un ramo all’altro; come si può vedere nella figura, si tratta del
segmento AB.
Le corde parallele al segmento AB si situano tra entrambi i
rami dell’iperbole, e il diametro coniugato di AB, definito come
media proporzionale tra AB e il latus rectum dell’iperbole, non
taglia la curva.
Nella parabola, qualsiasi diametro, cioè una retta che passa
per i punti medi di un insieme di rette parallele, è sempre paral¬
lela all’asse.
Non esiste diametro coniugato di un diametro dato, poiché
le corde parallele a questo hanno una lunghezza infinita.
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
69
Inoltre, gli assi di un’ellisse e di un’iperbole sono due dia¬
metri coniugati perpendicolari tra loro, mentre, nella parabola,
l’asse è un diametro i cui archi corrispondenti sono perpendi¬
colari.
LE TANGENTI ALLE SEZIONI CONICHE
Il Libro I tratta anche delle tangenti alle coniche, benché senza
ancora nominarle con questo termine. Per Apollonio, una «tan¬
gente» è una retta che ha un solo punto in comune con la conica
e ha qualsiasi altro punto al di fuori di essa. La tangente appare
nella proposizione 1.17, che stabilisce che la parallela al vertice
di una sezione conica alle ordinate è tangente alla sezione. Nel
linguaggio di Apollonio, la proposizione 1.17 afferma che detta
parallela ai vertice di una sezione conica «a una retta tracciata a
forma di ordinata» (cioè le ordinate) «cade fuori dalla sezione»
(cioè è tangente alla sezione).
Considerando la tangente a una conica come la perpendico¬
lare per l’estremo di un diametro, parallelamente alle ordinate di
questo, Apollonio si ispirò alla famosa proposizione III. 16 degli
Elementi di Euclide, relativa al cerchio e che generalizza per una
conica qualsiasi:
La retta perpendicolare all’estremo di un diametro cade fuori dal
cerchio; tra questa retta e la circonferenza non se ne intromette
nessun’altra e l’angolo del semicerchio è maggiore rispetto a qua¬
lunque angolo rettilineo acuto e il rimanente è minore («angolo
corneale» o «angolo di contingenza»).
Nella proposizione 1.32 delle Coniche, relazionata con la ci¬
tata proposizione 1.17, si dimostra l’unicità:
La parallela al vertice di una sezione conica a una retta tracciata
ordinatamente è tangente alla sezione e nessun’altra retta cadrà tra
la tangente e la sezione. Consideriamo in primo luogo che la sezio¬
70
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA. LE CONICHE
ne conica sia una parabola di diametro AB e tracciamo dal punto
A la retta AG parallela a una retta tracciata ordinatamente. Si è
dimostrato che questa retta cade fuori dalla sezione: affermo che
nessun’altra può cadere tra AG e la curva. Se la sezione è un’iper¬
bole, un’ellisse o una circonferenza di cerchio, il cui diametro è AB
e AZ è il parametro, prolunghiamo la retta BZ e tracciamo dal pun¬
to A la parallelo AG a una retta tracciata in una maniera ordinata.
Così come si è dimostrato che questa retta cade fuori dalla sezione,
affermo che nessun’altra cadrà tra AG e la curva.
La seconda parte della proposizione può essere facilmente
dimostrata, in termini algebrici moderni, mediante la realizzazione
della costruzione indicata in quello stesso enunciato.
a) Caso della parabola. Se nella parabola di diametro AB e
tangente AG al vertice A, il punto D del segmento AD è
esterno, allora si avrà ED > EH, e pertanto si otterrà:
ED2 EH2
EA2 EA2 ’
e, dal momento che AZ risulta essere il parametro corri¬
spondente al diametro AB della proposizione 1.11, risulta:
EH2 = ZA • AE, TL2 = ZA • AT,
dimodoché, rapportato questo valore alla relazione prece¬
dente, si ottenga:
ED2 ZA • AE ZA
EA2 EA2 EA’
e se si fa in modo che sia:
ZA = ED2 ZA AT TK2
AT EA2 AT2 AT2 ’
applicando le espressioni precedenti, si verifica:
TL2 _ TK2
AT2 AT2 ’
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
71
da cui risulta:
TL = TK,
che è impossibile. Tutto questo è verificato nella figura 8.
b) Caso dell’iperbole e dell’ellisse. Per entrambe, consideran¬
do le proposizioni 1.12 e 1.13 e seguendo la linea precedente, si ha:
EH2 = EA • EM, ËD2 =EA EN,
ED _ EN _ TK
EA ED TA’
ËD2 ËÑ2 _ EN _ TP
ËÃ2 EA - EN EA TA’
TK2 ËD2 TP
TÃ2 ËÃ2 TA ’
TK2 = TATP = TL2,
da cui risulta:
TK = TK,
72
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
che è impossibile, come si può vedere nella figura 9.
n caso del cerchio è sviluppato nella proposizione III. 16 degli
Elementi di Euclide, citata in precedenza.
In sostanza, se si traccia una retta da un estremo di un diame¬
tro di un’ellisse o di un’iperbole, parallela al diametro coniugato
del primo, questa retta «toccherà la conica su quel citato estremo
e non è possibile tracciare un’altra retta tra essa e la conica»; per¬
tanto, la retta sarà tangente alla conica. Si può apprezzare in Apol¬
lonio la natura statica della tangente di una curva, di fronte alla
concezione cinematica di Archimede.
Più ancora, nelle proposizioni 1.33 e 1.35, si costruisce una
tangente alla parabola per un punto qualsiasi, e si dimostra la sua
unicità. Nelle proposte 1.34 e 1.36 si effettua la stessa cosa per l’i¬
perbole e l’ellisse.
In una traduzione libera del testo di Apollonio, 1’esistenza ri¬
marrebbe fissata nel seguente modo:
— Teorema 1.33: Se da un punto P di una parabola si traccia
la ordinata PN sul diametro con vertice R, e si considera il
punto J ± N sul diametro, tale che JR = RN, allora la retta
PJ è tangente alla parabola.
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
73
— Teorema 1.34: Se da un punto P di un’ellisse o di un’iper¬
bole si traccia la ordinata PN sul diametro RS, e si conside¬
ra il punto J ^ N su RS, tale che:
JR NR
JS ~ NS ’
allora, la retta PJ è tangente alla curva data, come si vede
nella figura 10.
Nel caso della parabola, Apollonio dimostrò la proposta per
assurdo, provando che la retta JP non può essere interna alla
curva.
La proposizione è reciproca, e si usa attualmente, enunciata
in modo che il vertice della parabola bisechi la subtangente in
qualunque dei suoi punti, una proprietà che permette di tracciare
in modo semplice la tangente.
ALTRE PROPOSIZIONI NOTEVOLI DEL PRIMO LIBRO
Nella proposizione 1.46, Apollonio dimostrò che tutte le parallele
r al diametro di una parabola sono diametri e le ordinate PN ri¬
spetto a r sono parallele alla tangente, nel punto in cui r taglia la
curva.
Nella proposizione 1.47 provò che tutte le rette che passano
per il centro C di un’ellisse, e che tutte le rette che passano per
il centro di un ramo di iperbole che la taglia, sono diametri.
74
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
Le ordinate PN rispetto a r sono parallele alla tangente nei
punti T in cui r taglia la curva. Quanto alla proposizione 1.48,
generalizzò il risultato ai due rami dell’iperbole. Perciò, dalla
congiunzione di entrambe le proposte, si deduce che qualunque
tangente a un’ellisse o un’iperbole è parallela a quel diametro
coniugato con il diametro mediante il punto di contatto.
Le proposizioni seguenti, 1.49 e 1.50, sono faticose, ma non
meno importanti. In esse, Apollonio verificò che se si prende
qualunque altro diametro della conica differente da quello preso
finora come riferimento fondamentale, le proprietà definitorie
della conica rimangono identiche.
Tale questione, nel linguaggio attuale, equivale in realtà a
stabilire la possibilità di considerare in qualsiasi momento la
trasformazione di un sistema di coordinate oblique in un altro.
La proposizione 1.51 deve esser intesa come l’estensione di que¬
sta proprietà (esposta nella 1.50 con un’ellisse e un ramo di un’i¬
perbole) ai due rami di un’iperbole.
Con queste tre proposizioni, 1.49, 1.50, 1.51, Apollonio con¬
cluse lo studio delle proprietà di tangenti e diametri coniugati,
tutto quello che rimaneva per approcciare la costruzione delle
coniche. Finita la proposizione 1.51, Apollonio scrisse il seguen¬
te riassunto:
Una volta dimostrate tutte queste cose, è chiaro che nella para¬
bola le parallele all’asse sono diametri, mentre nell’iperbole,
nell’ellisse e nelle sezioni opposte lo sono tutte le rette che pas¬
sano per il centro; nella parabola, i quadrati delle parallele alle
tangenti sui diametri rispettivi equivalgono a rettangoli applicati
su una stessa retta; ma quei quadrati equivalgono ad aree appli¬
cate su una retta e maggiorate in una figura nell’iperbole e nelle
sezioni opposte e diminuite di quella figura nell’ellisse, e, final¬
mente, è chiaro che anche tutte le cose dimostrate per le sezioni
riferite ai diametri principali sono certe anche se si adottano
altri diametri.
Sono parole davvero notevoli, dato che implicano una traiet¬
toria verso la teoria della trasformazione degli assi di coordinate.
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
75
Una traduzione in linguaggio algebrico mostra l’importanza che
ha qualunque coppia di diametri coniugati, nel caso dell’ellisse e
dell’iperbole, così come un diametro e la tangente al suo vertice
nel caso della parabola, come elementi fondamentali di un riferi¬
mento per ottenere l’equazione ridotta della conica. E in partico¬
lare, caso singolare, ma fondamentale e più abituale di un riferi¬
mento ortogonale (determinato da ordinate perpendicolari al
diametro) che fornisce le coordinate rettangolari, che tanto sem¬
plificano i problemi geometrici.
A partire dalla proposizione 1.52 e fino alla proposizione 1.60
(l’ultima del Libro I delle Coniche), Apollonio si incaricò di mo¬
strare come si possono costruire certe coniche a partire da alcuni
dati, per esempio, un diametro, il latus rectum e l’inclinazione
delle ordinate rispetto al diametro. A tutti gli effetti, costruì in
primo luogo il cono di cui la conica desiderata è una sezione. Que¬
ste proposizioni le denominò «problemi».
Bisogna ancora segnalare l’importanza del cambiamento di
riferimento applicato allo studio dell’iperbole rispetto ai suoi asin¬
toti, che appare nella proposizione 1.60. Con ciò, finisce in modo
brillante il Libro I delle Coniche.
ALCUNI PARTICOLARI DEL LIBRO II
Il Libro II delle Coniche conta 53 proposizioni, buona parte delle
quali è dedicata, fin dall’inizio, allo studio delle principali proprietà
e al tracciato degli asintoti dell’iperbole.
I teoremi finali del Libro II si mostrano come «problemi»: per
esempio, trovare il diametro di una conica, come si chiede nella
proposizione 11.44; trovare il centro di una conica che lo possieda
(proposizione 11.45); incontrare l’asse di una parabola e gli assi di
una conica con un centro (proposizioni 11.46 e 11.47); tracciare
tangenti (proposizioni 11.49 e 11.53).
Per la loro importanza, è d’uopo spiegare lo sviluppo delle
risposte di Apollonio circa i «problemi» esposti in due proposizio¬
ni: la 11.44 e la 11.49.
76
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
Nella proposizione 11.44, la costruzione di un diametro di se¬
zione conica si pone nella seguente maniera (si veda la figura 11):
Sia una sezione conica che contiene i punti A, B, G, D, E e si
costruisca uno dei suoi diametri. Una volta costruito (GT), le
rette DZ ed ET, tracciate in maniera ordinata, saranno uguali ZB
e TA, rispettivamente; quindi se fissiamo la posizione di BD ed
E A in modo che siano parallele, i punti T e Z saranno noti e ri¬
marrà fissa la posizione della retta TZG.
La costruzione sarà, dunque, la seguente: data la sezione
conica si prendono su di essa i punti A, B, G, D; si unisce B con
D; e si traccia la retta AE parallela a BD; si dividono in due parti
uguali queste rette per i punti Z e T, rispettivamente, e la retta di
unione ZT è un diametro. Con questo metodo si possono costru¬
ire tutti i diametri che si desideri.
FIG 11
La proposizione 11.49, che riferisce la regola di Apollonio per
la costruzione di una tangente, centra il problema nel seguente
enunciato: data una sezione conica e un punto non situato all’in¬
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
77
temo della sezione, tracciare da questo punto una retta tangen¬
te alla sezione conica data in un punto.
Apollonio suppose risolto il problema per tutti i casi che pos¬
sono presentarsi nelle tre coniche e, dopo averli analizzati in modo
esaustivo, fece la sintesi di ognuno di essi e fornì la regola per la
costruzione della tangente, che coincide con fattuale applicazione
delle corrispondenti equazioni cartesiane, cioè se (x,y} è il punto
di contatto nelle tre curve, parabola, ellisse e iperbole, rispettiva¬
mente, si ottiene:
a) Per la parabola y2 = 2px, la tangente al punto [x, y^j è:
yy = p(x + x),
da cui p è il semiparametro.
‘2 „ .2
b) Per l’ellisse + ^- = 1, la tangente al punto (x, y] è:
a b v '
xxvy,
a2 b2
X‘- y2
c) Per l’iperbole —T = 1, la tangente al punto:
a b
xx yy _ 1
a2 b2
IL LIBRO III: I FUOCHI DI UNA CONICA
Il Libro III è composto da 56 proposizioni. Le prime quindici
dimostrano le relazioni sulle aree di triangoli e quadrilateri, ri¬
sultato dell’incontro delle tangenti con diametri tracciati dai
punti di contatto.
Le otto seguenti riguardano rettangoli formati dai segmenti
che determinano l’intersezione di archi tracciati nelle coniche.
La maggior parte di queste proposte sono, per loro proprio enun¬
78
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
ciato, un’estensione delle coniche con risultati geometrici ana¬
loghi al cerchio. Le dieci proposizioni seguenti trattano dei mar¬
catori e della loro divisione armonica.
Benché la proposizione III.41 non venga sviluppata in queste
pagine, rendiamo noto che essa dimostra che se tre tangenti di
una parabola si tagliano reciprocamente, rimangono divise per
la stessa ragione.
Questa proposizione, permettendo di tracciare un numero
qualsiasi di tangenti alla parabola, implica un procedimento di
costruzione di questa curva per mezzo di tangenti.
La proposizione III.43 dimostra invece la bella proprietà del¬
la tangente dell’iperbole, che taglia gli asintoti, segmenti il cui
prodotto è costante, e pertanto pone in rilievo la costanza dell’a¬
rea del triangolo formato dalla tangente e dai due asintoti.
Così, in questa proposta, il rettangolo delle rette, che una
tangente all’iperbole determina negli asintoti a partire dal centro,
equivale a quelle che la tangente determina al vertice, come nel¬
la figura 12.
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
79
Sia AD un’iperbole di asintoti DG e De e asse DB. Tracciamo da B la
tangente ZBH e un’altra GAT in un punto qualsiasi A. Affermo che il
rettangolo di DZ e DH equivale a quello di DG e DT. In effetti, trac¬
ciamo da A e B le AK e BL parallele a DE, e tracciamo AM e BN pa¬
rallele a DG, e allora, per essere GAT tangente e AG uguale ad AT,
GT è il doppio di AT, CD il doppio di AM e DT il doppio di AK; quin¬
di il rettangolo di DG e DT è quadruplo di quello di AK e AM.
Allo stesso modo, si dimostrerebbe che il rettangolo di DZ e DH è
quadruplo di quello di BL e BN, e come questo è equivalente a
quello di AK e AM; i rettangoli di AK, AM e BL, BN sono equivalen¬
ti, così come quelli di DG, DT, DZ, DH; analogamente si potrebbe
dimostrare che la stessa cosa succede quando la retta BD è diame¬
tro, ma non asse.
Gli esegeti di Apollonio rimarcano gli ultimi termini espressi
in questa proposizione, grazie a cui amplia la sua validità per qual¬
siasi tangente all’iperbole, da cui deduce immediatamente l’ammi-
rabile proprietà dalla costanza dell’area del parallelogramma, de¬
limitato dai segmenti che la tangente determina sugli asintoti, e di
conseguenza la costanza dell’area del triangolo formato dalla tan¬
gente all’iperbole con i suoi asintoti.
È il momento di incentrarsi nelle ultime proposizioni del Libro
III, che rivelano alcune proprietà focali delle coniche. Arrivati a
questo punto, l’attenzione viene catturata dalla proposta III.45, che
dimostra specialmente che, nell’iperbole e nell’ellisse, il segmento
di una tangente, intercettato da due perpendicolari tracciate nelle
estremità dell’asse, è visto dai fuochi ad angolo retto (figura 13).
Con le parole di Apollonio:
Se in un’iperbole, o ellisse, o circonferenza di cerchio o sezioni op¬
poste si elevano delle perpendicolari negli estremi dell’asse, si appli¬
ca a entrambi i lati un rettangolo equivalente alla figura, maggiorato
in un quadrato nell’iperbole, sia nelle sezioni opposte sia diminuito
nell’ellisse, e si traccia una tangente alla sezione che tagli le perpen¬
dicolari; le rette che uniscono i punti di contatto con quelli prove¬
nienti dall’applicazione sono perpendicolari nei pimti di cui abbiamo
appena parlato.
80
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA. LE CONICHE
FIG 13
Paradossalmente, l’enunciato di questa proposizione, senza
dubbio uno dei più importanti di Apollonio, è abbastanza oscuro.
Tuttavia, apporta in maniera sussidiaria, e per la prima volta, la
nozione dei fuochi nelle Coniche, cioè i punti che risultano ap¬
plicando all’asse il rettangolo caratteristico, maggiorato o dimi¬
nuito in un quadrato, a seconda che si tratti di un’iperbole o di
un’ellisse; pertanto i fuochi dividono l’asse maggiore di una, e il
trasverso dell’altra, in due segmenti, il cui prodotto è uguale al
quadrato del semiasse coniugato; o, se si preferisce usare la ter¬
minologia di Apollonio, «uguale alla quarta parte della figura, cioè
del rettangolo i cui lati sono l’asse maggiore e il parametro».
Si tratta di un uso della classica «applicazione» delle aree:
applicazione parabolica di un’area data, applicazione ellittica
(per difetto) o applicazione iperbolica (per eccesso) di un qua¬
drato. Nel complesso, suppongono un’eredità euclidea, concre¬
tamente nelle proposizioni VI.28 e VI.29 del libro degli Elementi.
Entrambe le proposizioni, per la loro importanza, sono illustrate
nella figura 14.
Per realizzare la costruzione di queste ultime figure, in primo
luogo è necessario applicare, sull’asse maggiore dell’ellisse, o
sull’asse trasverso dell’iperbole, un rettangolo AA’BB’ = Va di fi¬
gura caratteristica = Va AB • parametro = yA CD = OD .
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
81
Quindi, si riduce questo rettangolo nell’ellisse, o lo si aumen¬
ta nell’iperbole, di una figura quadrata FBB’H, cioè di un piccolo
quadrato il cui lato FB è uguale all’altezza FH della figura rettan¬
golare caratteristica, che ha come base l’asse intero AB.
Realizzando questa costruzione, a partire da ognuno degli
estremi dell’asse, si ottengono, allora, due punti, F e F’, che si
chiamano «fuochi» della conica, cui Apollonio si riferirà costante-
mente mediante la perifrasi «punti provenienti dall’applicazione».
Il nome di fuochi proviene dai geometri del Rinascimento, a
causa delle sue rilevanti proprietà ottiche. Si dice che il termine fu
coniato da Keplero (Johannes Kepler, 1571-1630).
«La meditazione sui libri di Apollonio renderà possibile la
rivoluzione astronomica operata da Keplero.»
— Alexandre Koiré (1892-1964), storico russo.
LA PATERNITÀ DELL’INVENZIONE DEI FUOCHI
Apollonio determinò solamente il fuoco dell’ellisse e dell’iperbole,
che non significa che ignorasse il fuoco della parabola, né la diret¬
trice delle coniche, né neanche che egli fosse colui che scoprì
questi elementi. Benché Le Coniche sia il documento autentico più
82
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
remoto in cui appaiono in modo esplicito i fuochi, non si può as¬
sicurare che il «Grande geometra» sia stato lo scopritore di questi
punti. Se non si sono incontrate le proprietà focali nel suo prede¬
cessore immediato, Archimede, è perché nelle sue magnifiche pro¬
posizioni geometriche non ne aveva alcun bisogno, poiché inter¬
veniva un altro punto fondamentale indipendente dei fuochi, il
centro di gravità delle coniche, dei conoidi e degli sferoidi.
La summa delle conoscenze precedenti sulle coniche, otti¬
mamente articolate nell’opera di Apollonio, non implica che
questo volesse esporre già tutte le teorie considerate come clas¬
siche nella sua epoca: i quattro libri di Euclide sulle coniche, i
quattro libri sui Luoghi solidi di Aristeo (in cui le coniche sono
considerate come luoghi geometrici) ecc. Possiamo supporre
che queste opere contenevano la nozione di fuoco, dato che Pap¬
po di Alessandria, che le ebbe a sua disposizione, trovò in esse
i lemmi che sfociarono nella descrizione delle tre coniche con
l’aiuto dei fuochi e della direttrice, cosa che riprese il Libro VII
della Collezione matematica.
Apollonio avrebbe affermato l’importanza di una scoperta pro¬
pria menzionandola in qualche preambolo, invece di determinare
il fuoco in maniera accessoria, e gli avrebbe dedicato una serie di
dovute proposizioni particolari. Invece, le proposizioni che dedicò
ai fuochi sono scarse.
EQUAZIONI CARTESIANE A PARTIRE DAI TEOREMI
DI APOLLONIO
Le proposizioni III.46, III.47, III.48, III.49, III.50 riferiscono pro¬
prietà in cui intervengono fuochi e tangenti, fino ad arrivare a due
dei più importanti risultati geometrici del Libro III delle Coniche,
soprattutto per la loro importanza accademica.
Si tratta delle proposizioni III.51 e III.52, nella parte conclusi¬
va di questo terzo übro. Ancora una volta, gli enunciati sono abba¬
stanza astrusi, cosicché in traduzione libera si possono esprimere
in questo modo:
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
83
— Proposizione III.51. La differenza delle distanze di ogni
punto dell’iperbole ai due fuochi è costante e uguale
all’asse trasverso.
È dunque, per il metodo di «applicazione delle aree», tal¬
mente utilizzato dai geometri greci che Apollonio scoprì questa
proprietà così importante dell’iperbole, che offre il metodo per
tracciare la curva mediante un movimento continuo e che, inol¬
tre, serve generalmente per definirla in forma pianimetrica nei
manuali di geometria elementare: «l’iperbole è una curva piana
formata da punti che soddisfano che la differenza delle distanze
da due punti fissi del suo piano sia una lunghezza costante».
— Proposizione III.52. La somma dei raggi vettori tracciati
dai fuochi a ciascuno dei punti dell’ellisse è costante e
uguale all’asse maggiore.
Così come nella proposizione precedente, relativa al caso
dell’iperbole, attraverso il metodo di «applicazione delle aree»
Apollonio raggiunse questa proprietà essenziale dell’ellisse, che
fornisce il metodo per poter tracciare la curva con un movimen¬
to continuo.
In modo pianimetrico, si definisce nella seguente maniera:
«l’ellisse è una curva piana formata da punti che soddisfano che
la somma di distanze da due punti fissi del suo piano sia una
lunghezza costante».
Come nel caso dell’iperbole, questa proprietà è anche la defi¬
nizione dell’ellisse nei testi attuali di geometria elementare.
È il momento di costruire equazioni cartesiane dell’ellisse e
dell’iperbole, a partire dai teoremi di Apollonio.
Secondo la proposizione III.52 delle Coniche, a partire dalla
figura 15 qui sotto mostrata, l’ellisse rimane definita per i punti che
soddisfano:
d(P, Fj) = d(P, F2) = 2a.
Per semplificare il calcolo, si consideri come asse delle ascis¬
se OX, la retta che contiene i fuochi Fj e F.,; e come asse delle
84
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA. LE CONICHE
Asse y ' ‘
Plliççp
(0,b)
(-a.O)
I »
(a.O) Asse x
(0,-b)
ordinate OY, la retta perpendicolare che passa per il punto medio
del segmento determinato dai fuochi. In questo modo, l’ellisse
avrà il suo centro nell’origine di coordinata e i fuochi saranno i
punti = (c, 0) e F2 = (-c, 0).
Per un punto P = (x, y) dell’ellisse, se può scrivere:
d(P,F,) + d(P,F2) = yj(x-c f+y2 + yj(x-c f+y2 = 2a
Elevando al quadrato e trasponendo i termini, si ottiene:
Se si eleva di nuovo al quadrato, rispettando operazioni e rag¬
gruppando termini, si giunge all’espressione:
Da cui risulta:
yl(x - c)2 + y2 = 2a - yj(x - cf + y2.
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
85
da cui, dividendo entrambi i membri dell’uguaglianza per a2 (a2-c2),
risulta:
Finalmente, prendendo b, tale che b2 = a2-c2, si ottiene l’equa¬
zione dell’ellisse cercata:
Si possono anche costruire equazioni cartesiane dell’iperbole,
a partire dai teoremi di Apollonio. Secondo la proposizione III.51,
a partire dalla figura 16, l’iperbole rimane definita dai punti che
soddisfano:
|d(P,FI)-d(P,F,)| = 2a.
FIG 16
Per semplificare il calcolo, come nel caso dell’ellisse, si con¬
sideri l’asse delle ascisse OX, la retta che contiene i fuochi F, e F2,
86
L'ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
e come asse delle ordinate OY, la retta perpendicolare che passa
per il punto medio del segmento determinato dai fuochi.
In questo modo, l’iperbole avrà il suo centro nell’origine della
coordinata e i fuochi saranno i punti F1 = (c, 0) e F2 = (-c, 0).
Per un punto P = (x, y) dell’iperbole si può scrivere:
|d(P.F|) + d(P,F2)| = yjix-cf+y2 -J(x + cf+y2
= 2a.
Da cui risulta:
yl(x-cf +y2 = 2a + y/(x + cf + y2.
Elevando al quadrato e trasponendo i termini, si ottiene:
4a yj(x + c)2 + y2
= -4a2 - 4ex.
Se si eleva di nuovo al quadrato, rispettando operazioni e rag¬
gruppando termini, si giunge all’espressione:
(c2 - a2)#2 - a2y2 = a2 (c2 - a2),
da cui, dividendo entrambi i membri dell’uguaglianza per:
V2 _ 1
Finalmente, prendendo b, tale che b2 = a2 - c2, si ottiene l’e¬
quazione dell’ellisse cercata:
*L_yL = 1
a2 b2
L’ULTIMO PRODIGIO DELLA GEOMETRIA GRECA: LE CONICHE
87
CAPITOLO 3
Su intersezioni,
segmenti estremi, somiglianze,
tangenti e normali
Apollonio espose in modo magistrale le sue scoperte
geometriche nei libri IV, V, VI e VII delle Coniche. Tra questi
spicca il Libro V, su cui Christiaan Huygens avrebbe
edificato le fondamenta della geometria differenziale
nel xvii secolo. Le proposizioni del Libro VII occupano
ancora un posto di onore nei testi moderni in riferimento
alle coniche, poiché contengono la teoria dei diametri
coniugati e le figure che si costruiscono su essi.
Il Libro IV delle Coniche di Apollonio raggruppa 57 proposizioni
e continua, in parte, gli studi del libro precedente. Le prime 23
proposizioni furono dimostrate da Apollonio mediante il metodo
della riduzione all’assurdo e, in sostanza, sono il naturale prose¬
guimento delle proposizioni da 30 a 40 del Libro III. La più im¬
portante di esse è la proposizione IV.9, che fornisce un metodo
pratico per tracciare due tangenti a una conica da un punto
esterno. Di fatto, Apollonio fece passare per questo punto due
marcatori qualsiasi e provò che la retta che unisce i punti armo¬
nicamente separati tagliava la conica nei punti di contatto della
tangente, come si vedrà nella figura 1.
Le 34 proposizioni seguenti, cioè le proposizioni da IV.24 a IV.57,
riguardano il numero reale di intersezioni e contatti che possono
presentarsi tra le diverse sezioni coniche e la circonferenza del
cerchio.
Bisogna segnalare che non tutte queste proposizioni furono
originali, poiché Apollonio commentò nel preambolo delle Coni¬
che, in riferimento ad Attalo, che alcune di esse erano state già
esposte da un matematico del m secolo a.C.: Conone di Samo, di¬
scepolo di Euclide e maestro e amico di Archimede.
Questo brillante geometra è considerato come il precursore
di Apollonio nella teoria dell’intersezione delle curve di secondo
grado, ma è giusto sottolineare un fatto fondamentale: Conone di
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
91
FIG 1
E
Samo ignorava la nozione dei due rami dell’iperbole in quanto
elementi di un’unica curva. Questa era una questione imprescin¬
dibile per fare progredire tale materia; i geometri classici dove¬
vano ancora trovare le risorse che avrebbero completato la di¬
scussione sull’equazione completa di secondo grado.
Per tutto ciò, questa teoria può essere considerata, in gran
parte, come opera originale di Apollonio, e non solo per l’assolu¬
to rigore con cui dimostrò già i risultati geometrici noti in prece¬
denza, con una bella e ordinata sistematizzazione, e la moltitudi¬
ne di casi particolari che apportò e studiò su intersezioni e
contatti, ma anche perché fu, in definitiva, il primo matematico
che riconobbe la grande utilità di questa teoria per la sintesi e la
discussione di una moltitudine di problemi geometrici.
Una delle proposizioni più importanti e note di Apollonio è
la IV.25, illustrata in figura 2, in cui il sapiente di Perga si espres¬
se in questi termini:
Una sezione conica non taglia un’altra o una circonferenza in più
di quattro punti. Supponendo che le due sezioni si taglino nei cin¬
que punti A, B, G, D, E, in questo ordine, tracciamo le rette AB e
GD che, prolungate, si intersecheranno in un punto L esterno alle
sezioni, se si tratta di una parabola o di un’iperbole, e sia OA con
OB come LA con LB e PD con PL, come LD con LG. La retta PO,
prolungata su entrambi i lati, taglierà la sezione, e le rette traccia¬
te dai suoi punti di intersezione T e Q fino ad A saranno tangenti;
92
SU INTERSEZIONI. SEGMENTI ESTREMI. SOMIGLIANZE. TANGENTI E NORMALI
FIG 2
Q
perché LE tagli le due sezioni, dal momento che queste non hanno
alcun punto in comune con B e G, siano M e H quei punti, e allora
NE sarà NH come LE con LH in una delle sezioni e NE con NM
come LE con LM nell’altra N, cosa impossibile; quindi è anche
impossibile ciò che abbiamo supposto all’inizio.
Se le rette AB e DG sono parallele, le due coniche saranno
ellissi o una sarà un’ellisse e l’altra una circonferenza. Dividendo¬
le in due parti uguali nei punti O e P, la retta di unione OP prolun¬
gata su entrambi i lati, taglierà le sezioni in T e Q; la TQ sarà un
diametro e le AB e GD ordinate, e allora, tracciando dal punto E
la ENMH parallela ad AB e GD, essa taglierà TQ e le due sezioni,
perché non ci sono più punti di intersezione tra A, B, G, D, da cui
risulta che in una sezione la retta NE è uguale a NM e l’altra a NH,
cosa impossibile.
Questa proposizione fu completata con la IV. 26, in cui Apol¬
lonio affermò che «se le linee di cui abbiamo appena parlato si
toccano reciprocamente in un solo punto, non si taglieranno in
più di altri due», e con le proposizioni da 27 a 29, che possono
riassumersi dicendo che, se dette linee «si toccano reciproca¬
mente in due punti, non si taglieranno in nessun altro».
In altre proposizioni interessanti presenti nel IV Libro, Apol¬
lonio si dilungò in risultati geometrici intorno al comportamen¬
to dei due rami dell’iperbole; in fin dei conti, introdotti grazie
al suo acume.
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
93
Così, in merito ai contatti, scrisse:
— Proposizione IV.30: Una parabola non tocca un’altra in
più di un punto.
— Proposizione IV.31: Una parabola esterna a un’iperbole
non la toccherà in due punti.
— Proposizione IV.32: Una parabola interna a un’ellisse o a
una circonferenza di cerchio non sarà tangente in due
punti.
— Proposizione IV.33: Due iperboli con lo stesso centro non
saranno tangenti in due punti.
— Proposizione IV.34: Se un’ellisse tocca un’altra ellisse o
una circonferenza con lo stesso centro in due punti, la
retta di contatto passerà per il centro.
Quanto ai tagli che si producono o risultano impossibili, il
«Grande geometra» stabilì le seguenti conclusioni provate:
— Proposizione IV.37: Una conica o una circonferenza che
taglia una delle sezioni opposte [di un’iperbole] non ta¬
glierà l’altra sezione in più di due punti.
— Proposizione IV.38: Una conica o una circonferenza non
taglierà le sezioni opposte [di un’iperbole] in più di quat¬
tro punti.
— Proposizione IV.39: Se una conica o una circonferenza è
tangente a una delle sezioni [di un’iperbole] nella sua par¬
te concava, non taglierà l’altra sezione.
— Proposizione IV.40: Se una conica o una circonferenza è
tangente alle sezioni [di un’iperbole] opposte in un punto,
non le incontrerà in nessun altro punto.
— Proposizione IV.44: Se un’iperbole taglia una delle sezio¬
ni opposte [di un’iperbole] in quattro punti, la sua sezio¬
ne opposta non ne incontrerà nessun’altra.
Infine, bisogna citare la proposizione IV.55, in cui si sostiene
che le sezioni opposte di un’iperbole non tagliano le sezioni op¬
poste in più di quattro punti.
94
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
L’IMPORTANZA DEL LIBRO V
Il Libro V di Le coniche è uno tra quelli che più ha contribuito alla
gloria di Apollonio come geometra. Contiene 77 proposizioni ed è
completamente dedicato alle linee massime e minime, cioè le rette
più lunghe e più brevi che si possono tracciare da un punto al peri¬
metro di una sezione conica. In realtà, sono teoremi su tangenti e
normali. Apollonio suppose in primo luogo che il punto dato fosse
situato sull’asse della sezione conica, e in questo modo risolse un’in¬
finità di problemi con un’eleganza incontestabile. Di seguito, estese
le sue ricerche al caso in cui il punto fosse situato fuori dall’asse,
cosa che condusse a teoremi ancora più complessi. Fu molto co¬
sciente del valore che stava acquisendo il suo lavoro geometrico,
tanto da lasciarne traccia nel citato preambolo diretto ad Attalo.
«Questa materia è indispensabile non solo per quelli che studiano
la nostra scienza, ma anche in considerazione dell’analisi
e della discussione dei problemi, più che ancora per la loro sintesi;
è inoltre uno dei temi degni di studio per il suo valore intrinseco.»
— Apollonio di Perga.
La maggioranza delle proposizioni di questo Libro V si avvici¬
na in modo molto vistoso alle teorie moderne su rette normali,
evolute ed evolventi, e altri problemi che contengono il germe
concettuale di Horologium oscillatorium (1673), l’opera capitale
di Christiaan Huygens. Come si sa, la matematica greca non dispo¬
neva di una definizione molto soddisfacente della tangente di una
curva C in un punto P. Veniva considerata come una retta r con un
unico punto P in comune con la curva, e in tal modo non si poteva
approcciare alcun’altra retta passante per P e situata tra la retto r
e la curva C. Forse Apollonio non trovò molto adeguata questa
definizione di tangente ed evitò di definire la normale a una curva
C da un punto Q, come la retta passante per Q, che taglia la curva
in un punto P ed è perpendicolare alla tangente della curva C pas¬
sante per P. Invece di farlo così, per definire la normale, contò sul
fatto che la distanza dal punto Q alla curva C è un minimo o un
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
95
1 massimo relativo, se si misura precisamente
lungo la normale.
A partire da qui, ripassiamo alcune propo¬
sizioni per ciascuna delle sezioni coniche su
rette minime tracciate da un punto dell’asse.
Per esempio, la proposizione V.4, che Apollonio
stese in questo modo:
Se da un punto dell’asse della parabola a una di-
! stanza dal vertice uguale alla metà del parametro
si tracciano marcatori sulla curva, la più piccola è
situata sull’asse, mentre le altre crescono mano a
mano che si allontanano da esso, e la differenza tra
i quadrati di una di esse e la minima equivale al
quadrato del segmento dell’asse compreso tra il
vertice e il piede dell’ordinata
Possiamo chiarire la proposizione mediante notazione e svi¬
luppo moderni. Pertanto, sia la parabola di asse GE e semipara¬
metro GZ. Se si tracciano, come in figura 3, le rette ZG, ZH, ZT,
ZB, ZA, le ordinate dei punti di intersezione con la curva e la
GM = GZ perpendicolare all’asse, senza perdere di vista la pro¬
posizione 1.11, si ottiene la seguente espressione:
HK2 = 2GM • GK = 2GZ • GK.
Ora, aggiungendo ai due membri di questa uguaglianza il qua¬
drato di ZK = ZG - KG, risulta:
hk2 + zk2=zh2 =
= 2GZ • GK + (zG2 + KG2 - 2GZ • Gk) = ZG2 + KG2.
Da cui risulta:
ZH2 - ZG2 = KG2.
E, allo stesso modo:
ZA2 - ZG2 = EG2.
FIG. 3
96
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
E in caso di:
ZB2 = 2GM • GK = 2ZG2, ZA2 - EG2 = ZG2
risulta subito:
ZA > ZB > ZT > ZH > ZG.
Le proposizioni V.5 e V.6 insistono sul fatto che questa pro¬
prietà è presente tanto nei marcatori dell’iperbole quanto in quel¬
li dell’ellisse, sebbene con alcune precisazioni. La proposizione V.7
afferma che «la minore distanza tra una sezione conica e un punto
preso nella retta minima è quella che c’è dal punto al vertice della
curva, e, tra tutte le rette tracciate da uno stesso lato dell’asse, la
minore è la più prossima alla minima». La seguente proposizione,
V.8, fu un risultato geometrico che Cari B. Boyer qualificò come
CHRISTIAAN HUYGENS
L’astronomo, fisico e matematico olandese
Christiaan Huygens (1629 -1695) arricchì le ori¬
gini della geometria differenziale studiando la
curvatura delle curve piane, genialmente intui¬
ta da Apollonio nel Libro V delle Coniche. Huy¬
gens espose le sue conclusioni in Horologium
oscillatorum (1673), opera in cui trattò anche
della forza centrifuga in un movimento circola¬
re e della teoria del centro di oscillazione, tra le
altre questioni. Il suo talento matematico sareb¬
be stato in seguito confermato dalla risoluzione
di diversi problemi geometrici, come la deter¬
minazione della curvatura della cicloide e la
rettifica della cissoide. Bisogna aggiungere che,
nel campo dell’astronomia, inventò una lente
oculare di telescopio con cui realizzò notevoli
scoperte (per esempio, Titano, la più grande
luna di Saturno); si distinse anche come fisico: elaborò la teoria ondulatoria
della luce e, a partire dalla stessa, spiegò la riflessione, la rifrazione e la dop¬
pia rifrazione della luce.
Ritratto di Christiaan Huygens,
opera del pittore olandese
Bernard Vaillant (1632-1698).
SU INTERSEZIONI. SEGMENTI ESTREMI. SOMIGLIANZE. TANGENTI E NORMALI
97
«un teorema relativo alla normale di una parabola che oggi potreb¬
be far parte di un corso di calcolo differenziale».
Formulando questo teorema con una terminologia moderna, si
otterrebbe:
La subnormale della parabola corrispondente a un punto qual¬
siasi della curva y2 = 2px, è costante e uguale a p, dove p è il
parametro.
Questa affermazione è molto più chiara dell’enunciato di Apol¬
lonio, che comunque riportiamo qui nel suo sviluppo:
Se da un punto di una parabola situato a una distanza dal vertice
maggiore della metà del parametro si prende dalla parte del vertice un
segmento uguale alla metà del parametro e si eleva nel suo estremo
la perpendicolare all’asse fino a che non si incontri la curva, la retta
che unisce il suo punto di intersezione con quello preso sull’asse è la
minore tra tutte quelle che possono essere tracciate da detto punto
alla curva; le altre continuano a crescere mano a mano che si allonta¬
nano da esso e la differenza tra i quadrati di una di quelle rette e la
minima è equivalente a quella del segmento compreso tra i piedi delle
ordinate di dette rette e il punto fisso sull’asse.
Ora, è il turno della spiegazio¬
ne per mezzo della matematica
moderna, con l’ausilio della figura
4. Data la parabola ABG e, nel suo
asse GD, un punto E, la cui distan¬
za al vertice G è maggiore del se¬
miparametro, se si prende il seg¬
mento EZ uguale a questo, e se si
traccia in Z la perpendicolare ZH
all’asse, unendo il suo punto di in¬
tersezione H con E, e questo con
gli altri punti L, K, A della parabola,
la retta EH sarà la minore tra tutte
quelle che partono da E. Le altre
FIG 4
98
SU INTERSEZIONI. SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE. TANGENTI E NORMALI
sono EK > EL > EG, e la differenza tra i quadrati di questi e quello
di EZ = GN, equivale al quadrato del segmento compreso tra il pun¬
to Z e i piedi delle ordinate. Se si osserva che, per costruzione, e
si ricorda la proposizione 1.11, si ottiene:
2GN • GP = 2EZ • GP = KP“,
e in presenza di
EP2 = (EZ + ZP)2 = EZ2 + ZP2 + 2EZ • ZP.
Eseguendo tali operazioni, risulta:
2EZ(GP + ZP) + EZ2 + ZP2 = 2EZ • ZG + EZ2 + ZP2 = EK2.
E poiché secondo la proposizione 1.11, di nuovo, si ottiene:
2GN • ZG = 2EZ ZGP = ZH2,
inserendo questo valore nell’ultima espressione, si ottiene:
(ZH2 + EZ2) + ZP2 = EH2 + ZP2 = EK2.
Cioè:
EK2 - EH2 = ZP2.
E, allo stesso modo, risulta:
EL2 - EH2 = ZM2, EG2 - EH2 = ZG2.
Da queste uguaglianze, deriva immediatamente:
EK > EL > EG > EH,
pertanto, la retta EH è più piccola (è la retta minima) di ogni altra
retta dal punto E alla sezione conica. È d’uopo osservare che la per¬
pendicolarità, che ora si prende come definizione, qui viene dimo¬
strata come un teorema; invece Apollonio prese la proprietà di mas-
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
99
simo o minimo come definizione. Le proposizioni V.9 e V10 possono
essere riassunte a grandi linee considerando che l’iperbole e l’ellisse
hanno proprietà analoghe a quelle dimostrate per la parabola.
RETTE MASSIME E MINIME
Apollonio ampliò le sue ricerche circa le rette massime e minime
comprendendo il caso in cui il punto sia situato fuori dall’asse.
Per motivi di estensione, svilupperemo solamente la proposizio¬
ne V.12, che Apollonio presentò con questo enunciato e con que¬
sta conclusione:
Se, nelle condizioni in precedenza stabilite, si prende un punto in
una retta minima tracciata dall’asse di una conica, e da esso si trac¬
ciano rette su un stesso lato, la retta più piccola è la parte della mi¬
nima adiacente alla conica e le più vicine a questa parte saranno più
piccole di quelle più lontane. Sia AB una sezione conica con asse GB,
e sia GA una retta minima all’intemo di cui prendiamo un punto D.
Affermo che DA è la minore distanza da D alla conica.
Per la sua dimostrazione, risulta imprescindibile tracciare, ef¬
fettivamente, altre rette DE, DZ, DB, come si può vedere nella figu¬
ra 5. Unendo i punti E e Z con G, e A, E, Z, B tra loro, si otterrà, es¬
sendo GE > GA:
GAE = DAE > DEA, DE > DA
e, analogamente, si dimostra che:
DZ > DE, DB > DZ,
e pertanto:
DA < DE < DZ > DB.
Le seguenti proposizioni stabiliscono un interessante teorema
di unicità per ciascuna delle coniche:
100
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
— Per un punto di un conica può essere tracciata solo un’u¬
nica retta minima (o massima) - che sarà un’unica norma¬
le - che sarà perpendicolare alla tangente alla conica nel
punto dato.
La proposizione V.24 presenta il seguente enunciato, illustrato
nella figura 6:
Da un punto di una conica, può essere tracciata una sola retta mini¬
ma all’asse. Sia in primo luogo la parabola AB con asse GB, e in essa
un punto A. Se da questo punto potessero essere tracciate due rette
minime AC e AD all’asse, le distanze ED ed EG del piede E dell’or¬
dinata da A a D e G sarebbero uguali al semiparametro [secondo la
proposizione 13], cosa impossibile.
La proposizione V.25 sostiene che questa proprietà si verifica
anche per l’iperbole e l’ellisse. Quanto alla proposizione V.26,
corredata dall’illustrazione di figura 7, in essa Apollonio sostiene
che «da un punto qualunque dell’ellisse, eccetto il vertice dell’as¬
se minore, può essere tracciata esclusivamente una retta massi¬
ma». La dimostrazione può essere data mediante il linguaggio
matematico attuale, per facilitarne la comprensione, nel limite
del possibile:
Sia l’ellisse ABC con centro H e in essa un punto B. Se da questo
punto supponiamo che possono essere tracciate due rette massime
FIG 5 c
G
B
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
101
FIG 7
A
G
BD e BE all’asse minore AG, e se supponiamo che Z sia il piede
della perpendicolare da B ad AG, si otterrebbero simultaneamente
queste due uguaglianze incompatibili:
ZH _ diametro traverso ZH _ diametro traverso
ZE parametro ’ ZD parametro
La proposizione V.27, si veda la figura 8, afferma che «la tan¬
gente a una conica nell’estremo di una retta minima, tracciata da
un punto dell’asse, è perpendicolare alla minima».
Sia la parabola AB con asse BG. Se la retta minima è un segmento
dell’asse, la proposizione è evidente, e se c’è un’altra retta AG e trac¬
ciamo la tangente AD in A e l’ordinata di A, applichiamo le proposi¬
zioni HI. 13 ed 1.35.
Le proposizioni V.28 e V.29 possono essere riassunte considerando
che l’iperbole e l’ellisse hanno proprietà analoghe a quelle della
parabola
D’altra parte, la proposizione V.30 conclude affermando che
la tangente a un’ellisse nell’estremo di una retta massima, traccia¬
ta da un punto dell’asse minore, è perpendicolare alla massima,
come si vede nella figura 9.
102
SU INTERSEZIONI. SEGMENTI ESTREMI. SOMIGLIANZE. TANGENTI E NORMALI
FIG 8
FIG 9
Sia ABC un’ellisse con asse minore AC; da uno dei cui punti O
tracciamo la retta massima OB e nell’estremo B di essa la tangen¬
te BD. Dato che il semiasse maggiore EK taglia la retta massima
OB in un punto L, il segmento BL della massima compresa tra la
curva e l’asse maggiore è una minima e, come BD è tangente, è
perpendicolare a BO.
Come si può osservare di seguito, le proposizioni V.31 e V.32
non sono altro che le reciproche della V.27; e la proposizione V.33
è la reciproca della V.30.
— Proposizione V.31: La perpendicolare nell’estremo di una
retta minima è tangente alla sezione conica.
— Proposizione V.32: La perpendicolare alla tangente di una
conica nel punto di contatto fino all’asse, è la più picco¬
la tracciabile dal punto di intersezione.
— Proposizione V.33: La perpendicolare all’estremo di una
retta massima è tangente alla conica
RETTE NORMALI A UNA CONICA
Il Libro V continua con uno sviluppo ampio delle normali a una
conica. Apollonio arrivò perfino a dare criteri che permettono
di dire quante normali da un punto dato possono essere trac¬
ciate a una sezione conica; cosa che, in un certo senso, equiva¬
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
103
le a descrivere le evolute delle corrispondenti coniche. In altri
termini, Apollonio, nel corso della sua ricerca sulle rette mas¬
sime e minime che si possono tracciare da un punto a una co¬
nica, determinò le posizioni dei punti dai quali si possono trac¬
ciare due, tre o quattro rette di quel tipo.
Apollonio fissò per ogni tipo di conica il luogo geometrico
dei punti che separano le regioni dalle quali si possono traccia¬
re i diversi numeri delle rette normali.
Il luogo geometrico che non analizzò in profondità è quel¬
lo che oggi si denomina come la «evoluta» della conica, il luo¬
go geometrico dei punti di intersezione di rette normali alla
conica «infinitamente prossime».
Per esempio (si veda la figura 10), da qualunque punto all’in-
temo dell’evoluta dell’ellisse - la cosiddetta curva «asteroide»
- si possono tracciare quattro normali a un’ellisse.
Invece, dai punti esterni dell’evoluta se ne possono traccia¬
re solamente due. Si osserva anche che ogni retta tangente all’e-
voluta è normale all’ellisse, cioè l’evoluta è l’involvente delle
normali all’ellisse. Per la parabola, l’evoluta è la curva denomi¬
nata «parabola semicubica».
Da qualunque punto del piano che stia al di sopra della pa¬
rabola semicubica si possono tracciare tre normali alla parabo¬
la; e da qualunque punto del piano che sia al di sotto, se ne
possono tracciare solo due.
104
SU INTERSEZIONI. SEGMENTI ESTREMI. SOMIGLIANZE. TANGENTI E NORMALI
Per il caso della parabola y = oc2, Apollonio dimostrò che i
punti le cui coordinate soddisfanno l’equazione cubica
ài ^
16
sono la posizione limite dei punti di intersezione delle normali
alla parabola nei punti P e Q, quando Q si avvicina a P Cioè re¬
voluta è composta dai punti di questa curva cubica, che sono
realmente i centri di curvatura corrispondenti ai distinti punti
della conica. Questo equivarrebbe ai centri dei cerchi osculatori
alla parabola. Per il caso della parabola generale y2 = 2px, revo¬
luta sarebbe la cubica dell’equazione
27pi/2 = 8(;rp)3.
Ugualmente, nel caso dell’ellisse e dell’iperbole, le cui equa¬
zioni rispettive sono:
£Ì , l£_ 1
a2 + b2 ’ a2
y2
b2
Si ottiene che le corrispondenti equazioni delle loro evolute sono:
(ax)% + (b yfë = (a2 - b2)^ , (axfô - (b yf* = (a2 - b2)^ .
Le proposizioni seguenti del Libro V trattano delle interse¬
zioni delle rette massime e minime con le sezioni coniche e del
tracciato di normali. In particolare, spiccano le complesse pro¬
posizioni V.51 e V.52, che dimostrano che i piedi delle normali che
passano per un punto fisso rimangono nella cosiddetta «iperbole
di Apollonio», la cui intersezione con la sezione conica risolve il
problema del tracciare alla stessa una normale da un punto dato.
Un avvicinamento moderno per il caso della parabola sarebbe il
seguente. Sia la parabola y2 = 2p:r, così come Q un punto esterno
alla parabola che non sia sull’asse, da cui si vuole tracciare un
normale alla stessa. Si tracci la perpendicolare QM all’asse AK,
e si prenda in senso opposto la parabola HM = p. Si elevi la per-
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
105
FIG 11
pendicolare da HR a HA, e di seguito si
tracci l’iperbole equilatera che ha per
asintoti le rette HA e HR, secante la pa¬
rabola nel punto R Risulta allora, come
mostra la figura 11, che la retto QP è la
normale cercata, come si ottiene provan¬
do che NK = HM = p. Se il punto Q fosse
situato all’interno della parabola, la co¬
struzione si risolverebbe in modo simile,
ma il punto P si troverebbe tra i punti Q
e R. Apollonio fece anche costruzioni
analoghe per il tracciato di una normale,
da un punto dato fino afi’ellisse e a un’iperbole date, e in questa
occasione usò un’iperbole ausiliaria. Oggi le sue dimostrazioni ap¬
paiono lunghe, difficili e poco eleganti, pertanto si ricorre preferi¬
bilmente a metodi più moderni. Nella notazione attuale, se la co¬
nica viene descritta con una qualunque delle equazioni seguenti:
21 + lL-i \ y*-2vx
a2 + b2 “ ’ a2 b2 ’ V ^’
e se il punto è
P = (m, n),
l’iperbole di Apollonio sarà:
(a2 - b2)xy- a2nu/ + b2nr = 0, (a2 + b2}xy - a2my + b2nr = 0,
xy — (m + p)2/ — pn = 0.
E, nel caso della parabola, i piedi dei normali si trovano anche
nella circonferenza:
x2 +y2 ~(m + p)x-^- = 0,
tema che non fu notato da Apollonio, e ciò l’obbligò a risolvere
come luogo solido un problema che trova la sua soluzione in un
106
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
Dettaglio
di una statua
eretta in onore
del geometra
greco Apollonio
di Perga
nei giardini
del Palazzo
di Versailles,
a Parigi.
SU INTERSEZIONI. SEGMENTI ESTREMI. SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
107
luogo piano. Tale questione avrebbe motivato una critica succes¬
siva da parte di Pappo di Alessandria. Mentre il tracciato della
tangente a una conica è un «problema piano», cioè per risolverlo
basta utilizzare l’intersezione di rette e circonferenze, il tracciato
della normale di una conica con centro da un punto qualsiasi è un
«problema solido»: risulta impossibile risolverlo utilizzando sola¬
mente rette e circonferenze. È invece risolvibile mediante luoghi
geometrici solidi (in questo caso, un’iperbole).
ALCUNI ASPETTI DEL LIBRO VI
Il Libro VI delle Coniche, con 33 proposizioni e 10 definizioni, si
occupa principalmente dell’uguaglianza e della somiglianza delle
sezioni coniche e dei relativi segmenti. La corrispondenza delle
curve di secondo ordine non era materia completamente innova¬
tiva. Le definizioni più importanti del libro sono le prime due.
— Definizione 1: Due sezioni coniche si dicono uguali quando
si possono applicare l’una all’altra in tutta la loro estensio¬
ne, senza che si tagliano.
— Definizione 2: Due sezioni coniche si dicono simili quando,
tracciando lo stesso numero di ordinate dal vertice a di¬
stanze proporzionali, sono proporzionali alle ascisse cor¬
rispondenti.
Quanto alle proposizioni, emergono la VI.l e la VI.2:
— Proposizione VI.l: Due parabole sono uguali se e solo se
lo sono i suoi parametri.
— Proposizione VL2: Due iperboli o due ellissi sono uguali se
e solo se le figure costruite sui loro assi trasversi sono
equivalenti e simili.
Delle rimanenti proposizioni, vale la pena menzionare le se¬
guenti:
108
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
— Proposizione VI. 11: Tutte le parabole sono simili tra loro.
— Proposizione VI. 14: Una parabola non può essere simile
a un’iperbole o a un’ellisse.
— Proposizione VI. 15: Un’iperbole non può essere simile a
un’ellisse.
— Proposizione VI.24: Nessuna parte di una parabola può
essere simile a una parte di un’iperbole o di un’ellisse
— Proposizione VI.25: Nessuna parte di qualsiasi delle tre
coniche è un arco di cerchio.
— Proposizione VI.26: Le iperboli prodotte, tagliando le due
facce di un cono con piani paralleli, sono simili e disuguali.
— Proposizione VI.27: Le ellissi prodotte tagliando un cono
con due piani paralleli, che si trovino ai lati del triangolo
secondo l’asse e che non siano paralleli né antiparalleli
alla base, sono simile e disuguali.
Le proposizioni finali, dalla VI.28 al VI.33, costituiscono il pa¬
radigma dell’eleganza geometrica di Apollonio nei modelli tridi¬
mensionali.
IL LIBRO VII, NONCHÉ L’ULTIMO
Il Libro VII delle Coniche, con 51 proposizioni, espone la teoria
dei diametri coniugati e delle figure costruite su essi. In realtà,
alcune delle sue proposizioni più importanti si possono trovare
ancora oggi nei testi moderni relativi alle coniche, due millenni
dopo che Apollonio le espose. Sono le proposizioni 12, 13, 29, 30,
31. Bisogna anche evidenziare l’importanza delle proposizioni
VII. 12 e VII. 13, chiamate «teoremi di Apollonio», di cui si può
dare la seguente sintesi:
In ogni ellisse la somma, e in ogni iperbole la differenza, di
due quadrati costruiti su due diametri coniugati qualsiasi è
uguale alla somma o alla differenza, rispettivamente, dei qua¬
drati costruiti sugli assi.
SU INTERSEZIONI, SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
109
Benché Apollonio avesse scoperto molte altre relazioni geo¬
metriche, queste due proposizioni sono passate agli annali della
storia della matematica e sono note come «teoremi di Apollonio».
Le proposizioni VIL29 e VII.30 provano che la differenza (in VIL30,
«somma») tra il quadrato di un diametro qualsiasi di un’iperbole
(in VIL30, «ellisse») e la figura costruita su di esso (cioè, la figura
rettangolare caratteristica, la cui base è un diametro e la cui altez¬
za è il parametro corrispondente a questo diametro) è costante.
Infine, sottolinea l’importanza della proposizione VII.31, che con¬
clude così:
Il parallelogramma costruito su due diametri coniugati di
un’ellisse, o dei rami opposti di due iperboli coniugate, è equi¬
valente al rettangolo costruito sugli assi.
Questo teorema, complementare alle proposizioni VII. 12 e VII.
13, dimostra l’invarianza del rettangolo costruito su un due diametri
coniugati di un’ellisse o di un’iperbole. E lo fa con un ingegno che,
più avanti, sarebbe stato definito dal fisico e matematico francese
Blaise Pascal (1623-1622) come «una miscellanea dello spirito della
geometria e dello spirito della finezza».
no
SU INTERSEZIONI. SEGMENTI ESTREMI, SOMIGLIANZE, TANGENTI E NORMALI
CAPITOLO 4
Altre opere matematiche
di Apollonio
Apollonio compose altre opere matematiche
oltre a. Le Coniche e a Separazione di un rapporto,
le uniche conservate nella loro integrità. Benché
la maggior parte sia andata perduta, di alcune di esse
abbiamo qualche informazione o disponiamo di qualche
frammento grazie a Pappo di Alessandria. A questi lavori
geometrici si aggiungono diverse opere di aritmetica,
ottica e astronomia che, recensite da altri autori, glorificano
ancor più il lascito del «Grande geometra».
Il prestigio dell’opera principe di Apollonio, Le Coniche, normal¬
mente eclissa i molti altri trattati matematici del sommo di Perga,
che costituirono (e in alcuni casi costituiscono) un’importante
produzione parallela di modelli di analisi geometrica. Sfortuna¬
tamente, se ne conoscono pochi e, inoltre, in modo frammentario.
Si trovano nei sommari del libro VII della Collezione matemati¬
ca di Pappo di Alessandria. Tale libro si apre con il cosiddetto
Tesoro dell’analisi, cui, tra le altre questioni, si aggiungono i tito¬
li di sei tra i più importanti lavori di Apollonio: Separazione di
un rapporto; Separazione di un'area data; Sezione determina¬
ta; Tangenze; Luoghi piani; Inclinazioni. A tale riguardo, Pap¬
po scrisse la seguente riflessione:
Il campo dell’analisi è la materia precipua a disposizione di coloro
che, dopo avere acquisito le conoscenze elementari, vogliano ci¬
mentarsi nella risoluzione dei problemi relativi alle curve superio¬
ri. Seguendo il sentiero tracciato dall’analisi e dalla sintesi, scopria¬
mo che questa materia è stata trattata da tre uomini: Euclide,
l’autore degli Elementi, Apollonio di Perga e Aristeo il Vecchio.
Il Tesoro dell'analisi è costituito, come segnalò Pappo, dalle
opere perdute di Euclide e di Aristeo il Vecchio, ma fondamen¬
talmente dai lavori di Apollonio, anch’essi perduti o conservati
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
113
in modo parziale. Nonostante ciò, le descrizioni date da Pappo
permettono di ottenere un’idea relativamente approssimativa del
loro contenuto, ed evidenziano che, all’intemo delle loro pagine,
si trovava un abbondante materiale geometrico, il cui studio è
ancora oggi parte dell’attuale geometria analitica. Questo spiega
come, durante il xvi e xvn secolo, tra i matematici del tempo ser¬
peggiasse un’autentica ossessione, quasi una «moda», un gioco
intellettuale di alto livello: la ricostruzione geometrica delle ope¬
re perdute di Apollonio. Tra tutti quelli che si arrischiarono in
questa impresa spiccò, in particolar modo, il matematico france¬
se Pierre de Fermat (1601-1665). senza nulla togliere a tutti gli
altri. Precisamente, nel lavoro di Fermat risiede l’origine della
geometria analitica.
Secondo Pappo, si deve ad Apollonio la codificazione classi¬
ca dei problemi geometrici in «piani, solidi e lineari», come siano
risolvibili, rispettivamente, con rette e circonferenze, coniche o
altre curve superiori (come la concoide di Nicomede, la spirale
di Archimede, la cissoide di Diocle, la quadratrice di Ippia e di
Dinostrato ecc). Il suo proposito principale era quello di adatta¬
re l’apertura alare degli strumenti geometrici utilizzabili alla dif¬
ficoltà dei problemi geometrici da risolvere.
«I primi inventori della geometria analitica avevano a loro
disposizione tutta l’algebra rinascimentale, mentre Apollonio
dovette lavorare con gli strumenti dell’algebra geometrica, molto
più rigorosa, ma contemporaneamente molto più scomoda
di maneggiare.»
— Cabl B. Boyeb.
Anche altri autori apportarono contributi su vari lavori per¬
duti di Apollonio, che si conoscono, in mancanza di maggiori
informazioni, come La vite, Sulla comparazione tra il dodeca¬
edro e l'icosaedro inscritti in una sfera, Quantità irrazionali
non ordinate, Sulla moltiplicazione, Ocytocion. A essi bisogna
aggiungere un riassunto degli Elementi di Euclide, di cui si ha
114
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
LAVORI PERDUTI SULL’OTTICA E SULL’ASTRONOMIA
Alcune referenze riportano che Apollonio
compose due opere di ottica, in cui applicò le
proprietà della geometria allo studio dei feno¬
meni naturali. Così, un frammento di testo
scritto in greco relativo alla matematica
dell’Antichità gli attribuisce un trattato sulla
catottrica (le proprietà della luce riflessa) e un
altro sugli specchi ustori (specchi concavi che
riflettono i raggi solari e li concentrano su un
fuoco, dove si produce un calore capace di
bruciare, fondere o volatilizzare oggetti).
Apollonio si mostrò molto più attivo nel cam¬
po dell’astronomia, dove diverse fonti riferi¬
scono che a lui sono dovuti vari artifici mate¬
matici, ampiamente utilizzati nel mondo
antico, per interpretare il movimento dei pianeti. Per esempio, Claudio
Tolomeo (100 -168), in un esteso passaggio della sua opera più celebre,
l'Almagesto, gli attribuì la dimostrazione (non tanto la scoperta) del pro¬
cedimento per la rappresentazione attraverso epicicli dei fenomeni delle
orbite e dei moti retrogradi dei pianeti. Il tema fu confermato da Proclo
Licio Diadoco (412-485) nella sua opera Hypotyposis, dove menzionò che
Tolomeo aveva usato i risultati di Apollonio nel Libro XII deU'Almagesto.
Al posto delle sfere omocentriche suggerite dal matematico platonico Eu-
dosso, Apollonio descrisse due sistemi disgiuntivi: uno, a partire da movi¬
menti epiciclici, e un altro in base a movimenti eccentrici.
Sistema epiciclico e sistema eccentrico
Nel primo sistema, un pianeta P si muove in maniera uniforme e descrive
un’orbita circolare minore, chiamato «epiciclo» il cui centro C gira, a sua
volta e in maniera uniforme, su una circonferenza di un cerchio maggiore,
con centro nella Terra T. Nel secondo sistema, chiamato «eccentrico», il pia¬
neta P si muove in maniera uniforme e descrive un’orbita circolare maggiore
il cui centro C si muove, a sua volta e in maniera uniforme, su una circonfe¬
renza di un cerchio minore, con centro nella Terra T. Quando si ha PC = C’T,
i due sistemi geometrici sono equivalenti, cosa che Apollonio conosceva alla
perfezione. Nei secoli, a partire dall’intervento di Tolomeo, gli astronomi ma¬
tematici preferirono gli schemi astronomici di Apollonio di cicli ed epicicli o
circoli eccentrici. Invece, grazie ad Aristotele, gli astronomi con un orienta¬
mento più filosofico si dedicarono alla teoria delle sfere omocentriche di
Eudosso, con cui pretendevano di ricavare una rappresentazione globale dei
movimenti approssimativi dei pianeti.
Rappresentazione dei sistemi
epiciclico ed eccentrico descritti
da Apollonio.
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
115
notizia grazie a Marino, un matematico e filosofo greco del v se¬
colo. All’interno di tale trattato Apollonio avrebbe presentato la
nozione di linea come risultato di una percezione sensoriale; e
quella di angolo, come la contrazione in un solo punto di una
superficie, o di un solido sotto una linea, o di una superficie ar¬
cuata. Pertanto, suppose una prima prova di riforma del trattato
classico di Euclide, soprattutto nella parte delle definizioni e de¬
gli assiomi, la più trascurata.
Ugualmente, Apollonio diresse i suoi sforzi allo studio dell’ot¬
tica e, ancor più, dell’astronomia, dove una delle sue dimostra¬
zioni fu usata per diversi secoli dagli astronomi matematici.
GLI SCRITTI SALVATI DA PAPPO
Tra i lavori meno conosciuti di Apollonio ce n’è uno che è soprav¬
vissuto nella sua integrità, tradotto in latino da una copia araba
dall’astronomo, fisico e matematico britannico Edmond Halley.
Si tratta dell’opera che Pappo recensì sotto il titolo di Separa¬
zione di un rapporto. Precisamente, questa menzione avrebbe
condotto Halley al suo felice ritrovamento nel 1710. Il trattato si
divide in due libri che contengono 20 lemmi e 184 proposizioni,
tutte relative ai numerosi casi di risoluzione di un problema che,
in sintesi, Pappo enunciò così:
Date due rette e due punti su esse, tracciare da un terzo punto
un’altra retta che tagli i precedenti in segmenti, che, misurati su
esse dai rispettivi punti dati, siano in rapporto tra loro.
Il problema analitico conduce all’equazione quadratica:
sur - x2 = bc.
Raffrontando la soluzione di questo problema con la propo¬
sizione III.41 del libro delle Coniche (che dimostra che quando
tre tangenti di una parabola si tagliano reciprocamente rimango¬
no divise, rispettivamente, nello stesso rapporto), diventa eviden-
116
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
te che Apollonio si trovava già in condizione di tracciare un nu¬
mero qualsiasi di tangenti alla parabola. Di conseguenza, poteva
risolvere il problema della costruzione della parabola con il pun¬
to medio delle tangenti.
La seconda opera di Apollonio menzionata da Pappo, Sepa¬
razione di un'area, è perduta. A ogni modo, Pappo precisò che
il trattato si componeva di due libri che racchiudevano rispetti¬
vamente 48 e 74 proposizioni. Tutte esse si riferivano a casi par¬
ticolari del problema che Pappo enunciò nel seguente modo:
Date due rette e due punti su esse, tracciare per un terzo punto
un’altra retta che tagli i precedenti in segmenti, che, misurati su esse
dai rispettivi punti dati, delimitino un’area equivalente a un’area data.
Il problema analitico conduce all’equazione quadratica:
ar + x1 = bc.
Se si consulta la soluzione di questo problema nelle propo¬
sizioni III.42 e III.43 del terzo libro delle Coniche, si comprende
immediatamente che essa permette di costruire un numero qual¬
siasi di tangenti all’ellisse e all’iperbole; e, pertanto, risolve il
problema della costruzione di queste due coniche per mezzo di
tangenti.
Grazie alla potenza dell’eredità cartesiana e fermatiana, cioè
alla geometria analitica, i problemi di questi due libri si riducono
semplicemente a un’intersezione di conica. In ogni caso, Apollo¬
nio applicò con somma abilità l’algebra geometrica dei libri II e
VI degli Elementi di Euclide per ridurre 1’«equazione» (si passi
l’anacronismo) a una forma canonica in cui si riconoscesse qual¬
cuna delle tre coniche, mediante trasformazioni geometriche
successive. In questa maniera, si può immaginare come Apollo¬
nio, facendo leva sulle proprie estese conoscenze delle curve
coniche, poté procedere in modo tanto brillante alla risoluzione
dei problemi.
Sulla terza opera di Apollonio, intitolata Sezione determina¬
ta, Pappo indicò che i due libri che la componevano contavano
83 proposizioni. Queste erano precedute da 27 lemmi, nel primo
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
117
libro, e da 24 lemmi, nel secondo. In un linguaggio retorico som¬
mamente confuso, Apollonio, secondo la trascrizione di Pappo,
espose il seguente problema, qui riportato con una terminologia
moderna:
Dati quattro punti A, B, C, D sulla stessa retta, si trovi un quinto
punto P su essa, in modo che il rettangolo costruito su AP e CP sia
in rapporto con quello costruito su BP e DP.
Come nei casi precedenti, il problema è equivalente alla ri¬
soluzione di equazioni quadratiche. Con esse si trattano tutte le
varianti che si presentano, come soluzioni corrispondenti.
TRATTATI SU TANGENZE E LUOGHI PIANI
Una delle opere perdute più rilevanti di Apollonio tratta delle
tangenze. Secondo Pappo, questo lavoro abbracciò due libri e
ricevette il titolo di Tangenze, nome che allude alla concezione
della tangente nella geometria greca. Il valore principale di Tan¬
genze è che nelle sue pagine appare il problema dei cerchi di
«Apollonio», conosciuto storicamente come il «problema di
Apollonio».
Il famoso problema tratta delle proposizioni secondo cui,
«dati tre elementi, che possono essere punti, linee rette o cerchi,
dati in posizione, si tenti di tracciare un cerchio che sia tangente
ai tre elementi dati, o che li contenga in caso di punti». Effettuan¬
do le combinazioni dei tre elementi geometrici (punti, rette o
circonferenze), risultano dieci casi: 1 2 31. Dati tre punti non allineati, costruire una circonferenza
che li contenga.
2. Date tre rette, costruire una circonferenza che sia tan¬
gente alle tre rette.
3. Dati due punti e una retta, costruire una circonferenza
tangente alla retta e che contenga i due punti.
118
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
4. Dati due rette e un punto, costruire una circonferenza
che sia tangente alle due rette e che contenga il punto.
5. Dadi due punti e una circonferenza, costruire una circon¬
ferenza che contenga i due punti e sia tangente alla cir¬
conferenza data.
6. Dati due circonferenze e un punto, costruire una circon¬
ferenza che contenga il punto e che sia tangente alle due
circonferenze date.
7. Date due rette e una circonferenza, costruire una circon¬
ferenza che sia tangente alle rette e alla circonferenza
data.
8. Date due circonferenze e una retta, costruire una circon¬
ferenza che sia tangente alla retta e alle due circonferen¬
ze date.
9. Dati una circonferenza, una retta e un punto, costruire
una circonferenza che passi per il punto e sia tangente
alla retta e alla circonferenza data.
10. Date tre circonferenze, costruire una circonferenza che
sia tangente a tre circonferenze date.
I primi due casi, che sono i più semplici, appaiono nel Libro
IV degli Elementi di Euclide in relazione alla circonferenza cir¬
coscritta e inscritta, rispettivamente, a un triangolo. Il primo
caso è sviluppato nella proposizione IV.5; il secondo, nella pro¬
posizione IV.4. I casi 3, 4, 5, 6, 8, 9 figurano nel Libro I di Tan¬
genze di Apollonio, mentre i casi 7 e 10 si trovano nel Libro II
della stessa opera.
Non si sa quali furono con esattezza le soluzioni di Apollo¬
nio, ma si possono intuire grazie all’informazione riportata da
Pappo. Egli affermò che l’opera si componeva di 21 lemmi, 60
proposizioni eli problemi, tra cui il più difficile era l’ultimo:
Costruire un cerchio che sia tangente a tre cerchi dati.
Attualmente, quest’ultimo problema è considerato quasi ele¬
mentare, dati gli strumenti geometrici di cui oggi disponiamo.
Tuttavia, la ricostruzione della sua soluzione, perduta dall’epoca
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
119
di Pappo, stimolò la curiosità dei più insigni matematici. Le dif¬
ficoltà inerenti al problema, sperimentate dai geometri del xvi,
xvii e xviii secolo, suggerirono a numerosi eruditi che Apollonio
probabilmente non risolse mai l’ultimo caso, fatto che elevò il
tema alla categoria di sfida intellettuale. Tra gli scienziati che
più si impegnarono nella ricerca della soluzione, bisogna citare
i matematici francese François Viète (1540-1603) e Cartesio
(René Descartes, 1596-1650), senza dimenticare i contributi suc¬
cessivi del fisico e matematico inglese Isaac Newton (1642-1727),
del fisico e matematico svizzero Eulero (Leonhard Euler, 1707-
1783), noto come Eulero, e del matematico francese Jean-Victor
Poncelet (1788-1867).
«In matematica esiste una strada nella ricerca della verità che,
come si è detto, Platone scoprì per primo. Teone di Alessandria
la chiamò analisi.»
— François Viète.
Precisamente, Viète fu il primo matematico che propose una
soluzione, a titolo di sfida, al prolifico matematico fiammingo
Adriaan van Roomen (1561-1615). Questo gli trasmise una rispo¬
sta che situava il centro del cerchio nel punto di intersezione di
due iperboli. Viète la stimò insoddisfacente e replicò con un’altra
soluzione che, secondo il suo criterio, era «più semplice e più
concorde col carattere degli antichi geometri, i quali non ammet¬
tevano altro che la retta e il cerchio per la risoluzione dei proble¬
mi piani». Tale soluzione fu raccolta in un’opera di notevole inte¬
resse, Apollonius GaUus (1600), dove Viète ricostruì parzialmente
il trattato sulle Tangenze di Apollonio. A partire dai casi più sem¬
plici, in cui una o più delle tre circonferenze si riducono a punti
o rette, il matematico francese giunse fino all’ultimo caso, il de¬
cimo e il più difficile: quello delle tre circonferenze. Questa co¬
struzione si stagliò come uno dei più begli esercizi geometrici di
Viète ed è considerata come uno dei suoi maggiori contributi alla
matematica.
120
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
FOTO IN ALTO
Newton (1795),
idealizzato
secondo il gusto
dei geometri greci
dal pittore
e incisore inglese
William Blake.
FOTO IN BASSO
A SINISTRA
Cartesio trasse
vantaggio dai
ritrovamenti delle
Coniche e portò
la geometria
a un stadio
superiore.
FOTO IN BASSO
A DESTRA
La risoluzione
dei problemi
di Apollonio
impegnò
matematici
davvero brillanti
come Eulero.
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
121
In seguito, Cartesio approcciò il problema con l’analisi al¬
gebrica e realizzò laboriosi calcoli che incluse nella corrispon¬
denza che intrattenne con Elisabetta di Boemia, Principessa
Palatina (1618-1680), figlia del re Federico V.
I nuovi studi indussero Cartesio a considerare il problema
di Apollonio nello spazio e a proporre la cosa sotto un enuncia¬
to generale che avrebbe seguito i modelli di Fermat. Costui la¬
sciò soluzioni di grande bellezza in varie sue opere, dove arrivò
a enunciare con queste parole il problema spaziale generale:
Dati quattro elementi tra punti, piani e sfere, descrivere una sfera
che, passando per i punti, sia tangente ai piani o alle sfere.
II problema del cerchio tangente a tre cerchi continuò a es¬
sere oggetto di molti lavori algebrici. Uno di essi, di grande in¬
teresse e carattere analitici, fu realizzato da Elisabetta di Boe¬
mia, che lo comunicò a Cartesio per via epistolare.
Anche Isaac Newton, nel suo Arithmetica Universalis
(1707), propose soluzioni analitiche per alcuni casi del «proble¬
ma di Apollonio». In principio, questi andavano a confluire nel¬
le costruzioni geometriche che erano già state già descritte da
Viète, ma Newton, con la sua nota genialità, ottenne una solu¬
zione propria per il caso più generale: cioè quello del cerchio
tangente a tre cerchi differenti.
Newton lo fece nella sua opera più importante, Philo-
sophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), dove sem¬
plificò il metodo di Adriaan van Roomen e mostrò che il proble¬
ma di Apollonio era equivalente al trovare una posizione
conoscendo le differenze di distanze da tre punti noti. Newton
espose queste conclusioni nel Libro I, sezione IV, lemma 1.
La questione suscitò tutta una serie di soluzioni analitiche
promosse da una moltitudine di matematici. Oltre a Guillaume
François Antoine, marchese de L’Hôpital (1661-1704), che prese
in considerazione diversi tipi di cerchi, giunsero soluzioni per
mano mano del britannico Thomas Simpson (1710-1761), dell’i¬
taliano Giuseppe Torelli (1721-1781) e del matematico svizzero
Eulero (Leonhard Euler, 1707-1783).
122
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
In altri luoghi, Pappo affermò che Apollonio aveva scritto
anche un’opera sui Luoghi piani in due libri, che riunivano 147
teoremi con numerose figure e otto lemmi. A giudicare dai chia¬
ri enunciati degli otto teoremi del secondo libro tramandati da
Pappo, l’opera di Apollonio probabilmente costituì una prezio¬
sa collezione di teoremi sulla retta e il cerchio, che attualmente
corrisponderebbero alle soluzioni delle equazioni di primo e
secondo grado.
Come si è detto, i due libri sui Luoghi piani studiavano luoghi
geometrici rettilinei o circolari. Buona parte del primo libro può
essere riassunta, mediante un linguaggio geometrico moderno, con
la seguente affermazione: l’omotetia, la traslazione, la rotazione,
la somiglianza e l’inversione trasformano un «luogo piano in un
altro luogo piano». È giusto notare anche che nel secondo libro
appaiono due importanti luoghi geometrici:
a) Il luogo geometrico dei punti, la cui differenza dei quadrati
delle loro distanze rispetto a due punti fissi A e B è costante, è
una retta perpendicolare al segmento AB.
b) Il luogo geometrico dei punti il cui rapporto delle distanze da
due punti fissi è costante, è una circonferenza.
«INCLINAZIONI»
La Collezione matematica di Pappo include anche un’altra ope¬
ra di Apollonio divisa in due libri: Inclinazioni. Il trattato conte¬
neva tutta una serie di proposte in cui certe rette inclinate, cioè
dirette verso un punto dato, sono intercettate su una lunghezza
data da due linee (rette o archi di circonferenze) date.
Secondo l’informazione data da Pappo, Inclinazioni conteneva
38 lemmi, 125 teoremi e 54 problemi, tra cui una certa quantità
si prestava a discussioni.
Pappo di Alessandria, con grande rigore e minuziosità, riportò
quell’enunciato completo. A mo’ di esempio, si può riportare il
seguente, di carattere molto generale:
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
123
Inserire un segmento di lunghezza data in due rette secanti (o due
archi di circonferenza, o una retta e un arco di circonferenza), in
modo tale che questo segmento prolungato passi per un punto dato.
Si sa che i problemi sui marcatori in generale non ammetto¬
no soluzione mediante la geometria elementare. Dato che il suo
studio analitico riporta a equazioni di secondo grado, tali pro¬
blemi si riconducono a una determinazione di punti che sono
intersezione di sezioni coniche. Il problema generale della se¬
cante, che passa per un punto dato e intercetta, su una lunghez¬
za determinata, due linee rette o curve, era noto già tempo die¬
tro, specialmente da Aristotele. Il sapiente greco, senza
conoscere l’applicazione delle sezioni coniche, non poté ottene¬
re altro che soluzioni meccaniche, cioè empiriche.
D’altra parte, quasi mezzo secolo prima di Apollonio, Archi-
mede alluse in varie occasioni a casi particolari del problema
della secante, cosa che dimostra che la scienza del suo tempo
era già in grado di darne una soluzione. In realtà, Archimede le
utilizzò nelle ingegnose proposte preliminari del suo trattato
Sulle spirali; nella proposizione IV del Libro II del trattato Sul¬
la sfera e il cilindro, e nella proposizione Vili del Libro dei
lemmi. Dunque, questi casi particolari appartengono alla cate¬
goria che Pappo denominò «problemi solidi», per la cui soluzio¬
ne devono intervenire sezioni di corpi solidi, cioè sezioni coni¬
che. Pappo l’oppose ad altri due concetti: ai «problemi piani»,
dove non si richiede altro che l’intervento di riga e compasso,
cioè linee che hanno la propria origine primigenia nel piano; e
ai «problemi lineari», che esigono l’intervento di linee curve di¬
verse rispetto a quelle di secondo grado, cioè quelle linee che
hanno la propria origine su superfìci irregolari o di generazione
cinematica a base di combinazione di movimenti, come le con¬
coidi, le cissoidi, le quadratrici, le spirali, eccetera.
Possiamo quindi concludere che in questa opera perduta di
Apollonio, Inclinazioni, comparvero problemi «solidi» e «line¬
ari» e si rinnovarono le tecniche utilizzate da Archimede. Per¬
tanto, il lavoro non fu completamente originale, ma costituì
piuttosto una raccolta. In essa, Apollonio ordinò i problemi sul¬
124
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
le secanti risolte in precedenza, determinò il numero di soluzio¬
ni e le proprie condizioni di risolvibilità e, infine, arricchì l’insie¬
me aggiungendo le proprie scoperte. Secondo un commento del
filosofo neopitagorico Giamblico di Calcide (250 circa-330 circa)
sulle Categorie di Aristotele, conservato a sua volta nei com¬
menti di Simplicio (490 circa-560 circa) sulla Fisica di Aristote¬
le, Apollonio avrebbe trovato una quadratrice che quale chiamò
«la sorella della concoide». Tuttavia, Pappo sostenne che questa
curva era esattamente la «concoide di Nicomede», utilizzata per
la risoluzione di un celebre problema classico: la «trisezione»
dell’angolo. Perciò, Apollonio conobbe questa curva di natura
trascendente e inoltre, secondo Pappo, la utilizzò nella soluzio¬
ne di alcuni dei problemi che approcciò in Inclinazioni. A fron¬
te di quanto descritto, si trattò di «problemi lineari». In concre¬
to, si sa che:
Tutti i problemi relativi alla secante passante per un punto dato, e
intercettata su una lunghezza data da due linee date, delle quali una
di esse è una retta, possono essere risolti con una concoide, il cui
polo è il punto per cui deve passare la secante.
Bisogna segnalare che Apollonio non trattò tutti i problemi
delle secanti come se fossero «problemi solidi», cioè mediante
l’intervento delle sezioni coniche, ma riuscì a supporre molti di
essi come «problemi piani» e, pertanto, suscettibili di essere ri¬
solti con riga e compasso. Una dimostrazione di ciò si può vede¬
re in questo problema, il cui enunciato fu riportato da Pappo:
Dato un rombo, si prolunghi un lato, si tracci una retta uguale a una
lunghezza data (intercettata) nell’angolo esterno e inclinata verso
l’angolo opposto (cioè, passante per il vertice dell’angolo opposto
all’angolo supplementare di quest’angolo esterno).
La soluzione ispirò numerose ricostruzioni con diverse va¬
rianti, come quelle offerte da Christiaan Huygens, dal matemati¬
co dalmata Marino Ghetaldi (1568-1626) e dal matematico spa¬
gnolo Antonio Hugo de Omerique (1634-1705).
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
125
OPERE PERDUTE E QUASI SENZA RIFERIMENTI
Tra i lavori di Pappo si evince che Apollonio fu un autore davve¬
ro prolifico e appassionato dello studio della geometria, ragione
per cui dispiace davvero che tante sue opere siano andate per¬
dute. In alcuni casi, Pappo dovette limitarsi a riferire 1’esistenza
di diversi trattati di Apollonio attraverso gli scarsi riferimenti
offerti da altri autori, e dedurne titoli più o meno fedeli al conte¬
nuto, quando ignoti. Pertanto, a fronte di questa precisazione,
possono essere considerarsi come opere perdute di Apollonio La
vite, Sulla comparazione tra il dodecaedro e Vicosaedro inscrit¬
ti in una sfera, Quantità irrazionali non ordinate, Sulla mol¬
tiplicazione, Ocytocion e il riassunto degli Elementi di Euclide,
i cui tratti generali sono già stati commentati.
Il primo di questi lavori è La vite. Gemino di Rodi, un astrono¬
mo e matematico greco del i secolo a.C. , di cui abbiamo già par¬
lato in precedenza, riportò che Apollonio avrebbe scritto un’opera
sulla vite, di cui si ignora quasi totalmente il contenuto. Rimango¬
no soltanto alcuni riferimenti effettuati da geometri successivi; in
particolare, quelli del filosofo neoplatonico Proclo Lido Diadoco
(412-485), che lo citò nei suoi Commenti sul primo libro degli Ele¬
menti di Euclide. Anche lo stesso Pappo fece riferimento ad Apol¬
lonio circa il tema della costruzione della vite, nel corso di una
proposizione meccanica nel Libro Vili della sua Collezione mate¬
matica. Quindi, è probabile che lo scritto di Apollonio citato da
Proclo contenesse una «teoria geometrica dell’elica».
In altri luoghi, Proclo Lido Diadoco attribuì a Pitagora la
costruzione di «figure cosmiche». Tale definizione è relazionata
con il suo utilizzo nell’elaborazione di una cosmogonia pitagori¬
ca che associava, rispettivamente, i quattro elementi primari
(fuoco, terra, aria, acqua) con i quattro solidi (tetraedro, cubo,
ottaedro, icosaedro), mentre il dodecaedro si riferiva in modo
mistico al cosmo, rappresentazione dell’universo armonico ordi¬
nato dal numero. Precisamente, il dodecaedro e l’icosaedro
avrebbero dovuto ispirare un altro trattato geometrico perduto
di Apollonio, benché occorrano alcune spiegazioni per rendere
conto delle motivazioni che lo ispirarono.
126
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
LE LODI Dl NEWTON AD ANTONIO HUGO DE OMERIQUE
Il matematico spagnolo Antonio Hugo de
Omerique (1634-1705), autore di Analisi
geometrica o Metodo di risoluzione di pro¬
blemi nuovi e veri, nonché di Questioni arit¬
metiche (1698), si rivelò come un notevole
uomo di scienza alla fine del xvn secolo,
tanto da raccogliere l'elogio di Isaac
Newton. Il suo metodo seppe raccogliere i
contributi dei geometri classici, come
Apollonio di Perga, senza disprezzare quel¬
li più recenti, e si orientò allo studio delle
proporzioni. Tra gli altri concetti, Omerique
approcciò la costruzione di triangoli, la so¬
miglianza delle figure, le «quantità linean¬
golari» ecc.
Newton, che in seguito pubblicò la sua Arit¬
metica Universalis (1707), scrisse in una
delle sue lettere che aveva studiato a fondo
l'opera di Omerique e la definì come «giu¬
diziosa e di valore», poiché esponeva «nel
modo più semplice, il metodo di restaurare l'analisi degli antichi, che è più
ingegnoso e più adatto a un geometra rispetto all’algebra dei moderni».
Newton non risparmiò elogi a questo trattato di geometria e aggiunse in
tale missiva che il metodo di Omerique conduceva generalmente a solu¬
zioni più semplici ed eleganti di quelle altre ottenute con l’algebra». Ome¬
rique fu impegnato in gioventù come commerciante navale, ma la pirateria
rovinò il suo commercio. Sebbene la sua consacrazione alla matematica gli
fruttò alcuni riconoscimenti in vita, la sua situazione economica fu sempre
precaria e morì tra i debiti.
Frontespizio della prima edizione
di Analisi geometrica (1698),
di Antonio Hugo de Omerique.
Non bisogna perdere di vista che il trattamento euclideo dei
poliedri regolari risulta essenziale per la storia della matematica,
poiché produsse il primo esempio di un teorema fondamentale
di classificazione. Euclide introdusse uno alla volta i diversi po¬
liedri regolari nel Libro XI degli Elementi. Così, definì il tetraedro
(XI. 12), il cubo (XI.25), l’ottaedro (XI.26), l’icosaedro (XI.27), il
dodecaedro (XI.28). L’oggetto dei teoremi del Libro XIII fu inscri-
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
127
IL PESO DI PLATONE SULLA GEOMETRIA
Per secoli, i poliedri regolari furono chiama¬
ti «corpi platonici», per il ruolo rilevante che
giocarono in un celebre dialogo sulla natu¬
ra scritto da Platone a metà del iv secolo
a.C: il Timeo. In questo dialogo, il più pro¬
fondamente pitagorico di tutta la sua
opera, Platone espose in modo mistico
l’associazione che avrebbe fatto presumi¬
bilmente Pitagora sul tetraedro, il cubo,
l’ottaedro e l’icosaedro in relazione ai quat¬
tro elementi naturali primari. Sebbene un
secolo prima il filosofo Empedocle di Agri¬
gento avesse già vincolato questi ultimi con
la costituzione di tutta la materia, la vene¬
razione pitagorica per il dodecaedro con¬
dusse Platone a considerarlo come la quin¬
tessenza: ai suoi occhi, questo solido, il
dodecaedro, era il quinto elemento, la so¬
stanza dei corpi celesti, il simbolo mistico
del cosmo. Infine, a seguito del rigoroso studio euclideo sui poliedri regolari
o «corpi platonici», l’epoca di Apollonio li liberò in parte dal carattere misti¬
co che aveva attribuito loro la filosofia platonica e acquisirono, alla fine, un
carattere più realistico.
Statua di Platone, con la dea Atena
sul fondo, all’entrata dell’Accademia
di Atene.
vere ognuno di essi in una sfera, cosa che ottenne successiva¬
mente nelle proposizioni da 13 a 17, dove trovò il rapporto tra il
lato del solido e il diametro della sfera circoscritta. Il Libro XIII,
e con esso tutta l’opera di Euclide, trova il suo climax finale
nell’ultima proposizione:
Costruire i cinque poliedri regolari inscritti nella stessa sfera e com¬
parare i lati delle cinque figure.
Tuttavia, la conoscenza delle proprietà comparative recipro¬
che dei poliedri rimase abbastanza incompleta nello studio di
Euclide, a dispetto della sua brillantezza e del carattere esaustivo.
128
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
Ciò dovette ispirare a Apollonio nella stesura del suo trattato
Sulla comparazione tra il dodecaedro e Vicosaedro inscritti in
una sfera, di cui possediamo soltanto un passaggio, raccolto da
Ipsicle di Alessandria, un astronomo e matematico che visse nel
II secolo a.C., in una delle sue opere:
La circonferenza circoscritta al pentagono regolare del dodecaedro
e quella circoscritta al triangolo equilatero dell’icosaedro, entram¬
bi inscritti nella stessa sfera, è la medesima..
Ipsicle affermò che questo ritrovamento era stato descritto,
da una parte, «per Aristeo, nella sua opera sulla comparazione
delle cinque figure» (in riferimento ai poliedri), e, d’altra parte,
«per Apollonio, nella sua seconda pubblicazione relativa alla
comparazione tra il dodecaedro e l’icosaedro». In questo senso,
richiama l’attenzione il fatto che nell’apocrifo Libro XIV degli
Elementi di Euclide, che precisamente si attribuisce a Ipsicle,
appaiano questi risultati:
Il rapporto tra la superficie del dodecaedro e quella dell’icosaedro
è la stesso di quello esistente tra il dodecaedro e l’icosaedro [cioè,
il suo volume], perché la perpendicolare, tracciata dal centro della
sfera sul pentagono del dodecaedro, è la stessa che viene tracciata
dal centro della sfera sul triangolo dell’icosaedro.
In definitiva, si può concludere che sia Sulla comparazione tra
il dodecaedro e Vicosaedro inscritti in una sfera, sia La vite sono
due opere irrimediabilmente perdute di Apollonio, dato che Pappo
poté solo riportare gli scarni appunti di alcuni autori precedenti.
INTERESSE PER L’ARITMETICA
La stessa cosa si può dire di Quantità irrazionali disorganiz¬
zate, che conosciamo grazie a Proclo Licio Diadoco. Questi ri¬
portò che Apollonio aveva scritto su «quantità irrazionali non
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
129
ordinate» e assicurò che le stesse fossero «tenute in grande con¬
siderazione dal matematico». Di questi scritti relativi alle gran¬
dezze incommensurabili non si seppe niente fino al 1853, quando
il matematico ed orientalista tedesco Franz Woepcke (1826-1864)
tradusse una versione in arabo di un commento di Pappo sul
Libro X degli Elementi. Il documento di Woepcke è impreciso,
ma indica che Apollonio distingueva le specie di irrazionali ordi¬
nati e «scoprì la scienza delle quantità chiamate irrazionali non
ordinate, che produsse un gran numero di metodi esatti».
È probabile che, trattando le quantità irrazionali, Apollonio non
abbandonasse ancora l’espressione geometrica delle proprietà nu¬
meriche, per considerare il numero nella sua assoluta purezza. Tut¬
tavia, si applicò con grande impegno all’aritmetica pratica, nota con
il termine greco «logistica» e di uso abituale nel commercio e nei
mestieri artigianali. L’importanza che diede Pappo a questo lavoro
fa supporre che, estendendo la numerazione dei greci, limitata alla
miriade quadrata, Apollonio ebbe nel campo dell’aritmetica un’au¬
torità prossima a quella di Euclide in geometria. In realtà, fissò in
modo definitivo la numerazione dei numeri elevati, inaugurata da
Archimede nella sua opera Arenario.
Si può affermare che Quantità irrazionali non ordinate non
fu l’unica opera di Apollonio che si addentrò nel terreno dell’arit¬
metica. Le sue inquietudini matematiche non poggiarono esclusi¬
vamente sulla geometria e compose altre due opere in cui appro¬
fondì l’aritmetica. La prima di esse è Sulla moltiplicazione, di cui
si conserva una parte minuscola. Si tratta dell’analisi che Pappo
realizzò sulla stessa, e che occupa un frammento del Libro II della
sua Collezione matematica, e raccoglie 12 dei 26 teoremi del nuo¬
vo metodo di Apollonio per la moltiplicazione dei grandi numeri.
Il metodo poggiava su due teoremi principali, regolando, da una
parte, la moltiplicazione delle unità, delle decine e delle centinaia
tra di loro; e dall’altra parte, la moltiplicazione di un numero per
decine, centinaia e migliaia di miriadi di qualunque ordine. Pappo
riprodusse i calcoli di un’operazione matematica con cui Apollonio
esemplificò il suo metodo e proponeva di trovare quel «numero
immenso» ottenuto moltiplicando l’insieme delle 38 lettere di un
verso greco, prese per il loro valore numerico.
130
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
La seconda di esse è YOcytocion, un trattato di calcolo rapi¬
do che fu menzionato da Eutocio di Ascalona nel suo commento
a Sulla misura del cerchio di Archimede. In tale commento, Eu¬
tocio fece riferimento a certi lavori aritmetici di Apollonio, ri¬
spetto ad alcune considerazioni generali sulla relazione della
circonferenza con il diametro:
Apollonio di Perga dimostrò anche questo per mezzo di altri nume¬
ri, dando luogo a un’approssimazione più grande nell'Ocytocion.
Eutocio calcolò che la misura data da Apollonio era più ri¬
gorosa di quella di Archimede, il cui approccio non rispondeva
agli usi della vita quotidiana. Da ciò si deduce che Apollonio
scrisse un’opera intitolata Ocytocion, in cui applicò un nuovo
metodo per calcolare, mediante numeri molto grandi e operazio¬
ni molto perfezionate, una determinazione della relazione tra la
circonferenza e il diametro. Archimede era stato il primo a cal¬
colarla; ma Apollonio, con il suo metodo, avrebbe ottenuto un
valore molto più preciso.
A chiusura di questo capitolo, possiamo affermare, in defini¬
tiva, che la perdita della maggior parte delle opere di Apollonio
non sminuisce l’importanza della grandezza del suo lascito ma¬
tematico. E neppure il fatto che buona parte dei suoi lavori sia
giunta a noi in forma parziale e frammentaria non toglie merito
alla sua opera. Se si sommano la diversità e la qualità dei suoi
lavori alle capacità scientifiche che dimostrò, in aggiunta al ca¬
rattere abile e innovatore delle sue scoperte, e si moltiplica il
tutto per il suo straordinario apporto globale alla geometria, si
ottiene un risultato uguale, sia che si eliminino le opere perdute
o che ne rimangano alcune ignote, dal momento che l’equazione
rimane più che serena: Apollonio di Perga non suolo fu uno dei
più grandi matematici dell’Antichità, ma anche dell’intera storia
della matematica.
ALTRE OPERE MATEMATICHE DI APOLLONIO
131
CAPITOLO 5
Un lascito sempre vivo
nelle scienze e nell’arte
I risultati conseguiti da Apollonio nella sua ricerca
matematica arricchirono la geometria, una scienza
che sarebbe stata perfezionata da Cartesio, Fermat,
Newton e altri grandi studiosi della sua opera.
II dominio delle sezioni coniche aprì un orizzonte
di possibilità che ispirò notevoli opere d’arte e ispira ancora
oggi l’architettura attuale. Inoltre, propiziò applicazioni
pratiche di carattere scientifico, come le antenne
paraboliche e i satelliti.
Uno degli aspetti più fondamentali dell’opera di Apollonio è, sen¬
za dubbio, l’influenza che esercitò su Fermat e Cartesio in merito
alla nascita della geometria analitica. Sebbene il tema richieda
una lunga trattazione, ci concentreremo esclusivamente su due
aspetti basilari: da una parte, la sua incidenza sulla geometria
analitica di Fermat, a proposito della sua ricostruzione dei Luo¬
ghi piani di Apollonio; dall’altra, l’importanza del cosiddetto
«problema di Pappo», come pietra miliare della geometria anali¬
tica cartesiana. Il problema di Pappo ebbe la sua origine in Eu¬
clide, ma il suo vero sviluppo lo si deve alla mano di Apollonio e
dello stesso Pappo di Alessandria.
Il lascito di Apollonio, inoltre, superò l’ambito della geome¬
tria per raggiungere diverse applicazioni pratiche di natura scien¬
tifica, attualmente di gran peso: per esempio, le antenne parabo¬
liche, i satelliti geostazionari o geosincroni, i forni e le centrali
elettriche solari ecc. Allo stesso modo, tale eredità ha interessa¬
to anche le arti, in particolar modo l’architettura, dove ricoprì un
ruolo chiave nella costruzione di opere tanto celebri come il Co¬
losseo e il pantheon di Agrippa a Roma, la piazza San Pietro del
Vaticano, la Sagrada Familia di Barcellona e la Torre Eiffel di
Parigi, senza trascurare edifici più recenti e con un chiaro gusto
avanguardista, come la cattedrale di Brasilia, il ponte iperbolico
di Manchester e la Casa Danzante di Praga.
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL'ARTE
135
LE SEZIONI CONICHE NELLA VITA QUOTIDIANA
Le sezioni coniche sono molto presenti nella vita quotidiana. Come è na¬
turale, la circonferenza è quella più frequente. Tuttavia, guardando i corpi
in prospettiva, gli oggetti circolari si vedono come ellissi. Così, per esempio,
se si inclina un bicchiere, la parte superiore avrà la forma di ellisse, esatta¬
mente come quando si taglia un pezzo cilindrico di insaccato col coltello
inclinato: le fette avranno una forma ellittica. Anche alcuni contenitori di
latta sono ellittici, come le cornici di certi quadri, alcuni specchi e molti
altri oggetti domestici. Per strada, numerosi messaggi pubblicitari, logo¬
tipi e segni sono ellittici.
Con una torcia si possono ottenere coniche come l’ellisse o l’iperbole, e
una lampada con schermo cilindrico o conico tronco proietterà sulla pare¬
te un’impronta illuminata di forma iperbolica, che può diventare ellittica o
parabolica a seconda dell’inclinazione dell’asse della lampada. Se si lancia
una palla, inizialmente va verso l’alto e in avanti, poi cade senza smettere
di avanzare, descrivendo così una curva a forma di parabola invertita. Qua¬
si tutti i movimenti delle gare di atletica si riducono a parabole: quelle di
chi lancia, di chi salta in lungo, di chi corre: ogni passo è una parabola. Gli
esempi non finiscono qui, perché anche l’acqua del mare nel suo percorso
disegna parabole, così come gli zampilli di acqua di alcune fontane spet¬
tacolari, che progettano belle parabole che crescono e decrescono a se¬
conda della forza con cui esce il liquido.
Come altre fontane monumentali, i getti di acqua della Font Màgica de MontjuTc, a Barcellona,
realizzano un complesso quadro geometrico nel quale predominano le parabole.
136
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELLARTE
Si può dunque affermare che i risultati di Apollonio non solo
sono ancora attuali, ma proliferano e si sono perfezionati a livel¬
li sorprendenti. In realtà, come si è detto, si trovano perfino nel¬
lo spazio, dove i satelliti geostazionari ubbidiscono ad alcuni
fondamenti che il «Grande geometra» stabilì nell’Antichità clas¬
sica, per non parlare dell’onnipresenza delle sezioni coniche nel¬
la vita quotidiana. In definitiva, Apollonio e Le coniche costitui¬
scono un capitolo fondamentale nella storia della matematica,
arricchito in seguito dai contributi di Fermat e Cartesio, due dei
più grandi prosecutori della sua ricerca.
APOLLONIO E LA GEOMETRIA ANALITICA DI FERMAT
Nel xvii secolo, Fermat studiò meticolosamente le opere di Diofanto,
nonché i trattati di Pappo e Apollonio che, insieme a quelli di Viète
favorirono la nascita di una geometria analitica. Fermat fi collegò ai
lavori di Archimede e diede vita a numerosi metodi e calcoli infinite¬
simali. Affascinato dai tentativi di François Viète (1540-1603) e Ma¬
rino Ghetaldi (1568-1626) di ricostruire le opere perdute di Apollonio,
ricostruì a sua volta i due libri dei Luoghi piani e studiò il celebre
«problema di Apollonio» dei cerchi tangenti a tre cerchi e la sua
generalizzazione nello spazio: le sfere tangenti a quattro «sfere».
Nel 1637 Cartesio pubblicò la Geometria, insieme alla Diot¬
trica e alle Meteore, come appendici del suo Discorso sul meto¬
do. Lo stesso anno, Fermat informò i suoi colleghi parigini dei
suoi studi circa la ricostruzione dei Luoghi Piani di Apollonio.
Queste furono consegnate alle pagine dell'Introduzione ai luoghi
piani e solidi (Isagoge ai luoghi piani e solidi), pubblicata nel
1679 da suo figlio all’interno della Varia Opera Mathematica. Le
opere citate di Cartesio e Fermat contengono i fondamenti dalla
futura geometria analitica.
Fermat osservò che il punto debole dei metodi geometrici
dei greci (per esempio in relazione alle quadrature) era insito nel
fatto che si trattava di metodi di dimostrazione, non di scoperta.
Non essendo generali né euristici, esigevano che si conoscesse
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELLARTE
137
in anticipo la soluzione di un dato problema, per ottenerne una
dimostrazione rigorosa. Fermat diede molte poche indicazioni
sul motivo della transizione da Viète alla geometria analitica, ma
probabilmente la sua motivazione principale fu di riuscire a tro¬
vare nuovi metodi più semplici, operativi e, soprattutto, più ge¬
nerali per la scoperta delle soluzioni.
«Apollonio aveva scritto sui luoghi piani e Aristeo sui luoghi
solidi, ma, se non ci sbagliamo, la ricerca sui luoghi non fu
per loro per niente facile; lo affermiamo in base al fatto che,
per un gran numero di luoghi, essi fallirono nella definizione
del problema in maniera generale.»
- Pierre de Fermat.
Così sembrò pronunciarsi su Isagoge ai luoghi piani e soli¬
di, dove stabilì un principio fondamentale della geometria anali¬
tica: «la natura e la costruzione delle curve piane sono determi¬
nate dall’equazione canonica associata». Inoltre, introdusse l’idea
fondamentale di variabile algebrica, basilare per lo sviluppo del
calcolo, e sintetizzò uno dei principi più importanti della storia
della matematica con queste parole:
Ogni volta che in un’equazione finale si trovano due quantità inco¬
gnite, si ha un luogo geometrico, dal momento che l’estremo di una
di esse descrive una linea retta o curva. La linea retta è semplice e
unica nel suo genere; le tipologie di curve sono invece infinite,
cerchio, parabola, ellisse ecc.
Fermat diede un significato all’equazione algebrica con due
incognite. Concepite entrambe come segmenti, la prima di esse
si misura, a partire da un punto iniziale, lungo un asse dato, men¬
tre i segmenti corrispondenti che rappresentano l’altra incognita,
determinati dall’equazione data, si elevano come ordinate, for¬
mando un angolo con l’asse. Nelle Coniche, certe «linee di rife¬
rimento» certe «linee di riferimento» (diametri coniugati o dia¬
metro-tangente), che svolgevano un ruolo di coordinate, si
138
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELLARTE
associavano a una curva data in modo che, attraverso l’algebra
retorica, potessero essere espresse in funzione di quelle linee.
Ma la curva era considerata entità geometrica a priori; e su lei, a
partire dalla sua particolare struttura geometrica intrinseca, si
sovrapponevano, a posteriori, le linee coordinate, la cui relazio¬
ne, descritta verbalmente, risultava come un’«equazione retorica»
della curva. Fermat capovolse tutto: a partire da un’equazione
algebrica con due incognite, illustrò come questa equazione de¬
finisse, rispetto a un sistema di coordinate dato, un luogo geome¬
trico di punti, cioè una curva.
Non si deve attribuire a Fermat il primo utilizzo delle coor¬
dinate. Il ragionamento analitico e l’applicazione dell’algebra alla
geometria erano comuni all’epoca. Ciò che rappresenta una no¬
vità, a partire da Fermat e Cartesio, è la constatazione che un’e¬
quazione algebrica a due incognite rappresenta, per se stessa,
una curva geometrica determinata univocamente. Bisogna rile¬
vare anche che nessuno di essi parlò di un «sistema di coordina¬
te» o dell’idea di due assi (ascisse e ordinate). Fermat scelse
convenientemente una linea retta che svolgesse il ruolo dell’asse
delle x. In realtà, una semiretta, la cui origine era un punto fisso
che, in seguito, si sarebbe chiamato «origine delle coordinate».
Perciò, la geometria sviluppata a partire da questi presupposti
sarebbe divenuta una «geometria delle ordinate», più che una
«geometria delle coordinate». Inoltre, considerando le coordina¬
te come segmenti, Fermat restrinse le operazioni a quello che ora
si chiama primo quadrante. Quindi realizzò la classica divisione
dei luoghi in tre tipi (piani, solidi e lineari), cui fece seguito il
risultato che, se le potenze dei termini in un’equazione data non
superano il quadrato, allora il luogo è piano o solido:
È comodo, per stabilire le equazioni, prendere due quantità scono¬
sciute sotto un angolo dato che supporremo retto, e dare la posi¬
zione e un estremo di una di esse; se nessuna delle due quantità
sconosciute supera il quadrato, il luogo sarà piano o solido.
Si pone ora il tema centrale del lavoro di Fermat: prendere
coordinate e giustificare il risultato considerando casi di equa-
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL'ARTE
139
zioni di gradi progressivi. Fermat cominciò con l’equazione di
primo grado che, secondo la terminologia di Viète, espresse nel¬
la forma «D in A aequetur B in E», cioè, dr = by, e dimostrò
che il luogo geometrico, in questo caso, risulta essere una retta
(semiretta). Quindi, affrontò le equazioni di secondo grado, mo¬
strando in primo luogo che «A in E aeq. Z pi», cioè xy = c2, è
un’iperbole; e che ogni equazione nella forma di d2 = ocy = rx = sy
si può ridurre facilmente all’equazione precedente dell’iperbole equi¬
latera, mediante sostituzioni che sono equivalenti a trasferimenti di
assi. Dimostrò inoltre che x2 = áy , nonché y2 = dr, così come
b2 ± oc2 = áy, sono parabole.
Giunto a questo punto, affermò che «grazie a questo proce¬
dimento abbiamo costruito tutte le proposizioni del secondo libro
di Apollonio sui Luoghi piani».
Proseguì quindi con la dimostrazione che b2 - x2 = ky2 è
un’ellisse e che b2 + x2 = ky2 è un’iperbole, di cui definì i due
rami. La geometria analitica di Fermat dimostrò così la sua po¬
tenza come strumento sistematico di approccio dei problemi di
luoghi geometrici.
CARTESIO E IL PROBLEMA DI PAPPO
Lo stesso Apollonio commentò nelle Coniche l’importanza della
regola per costruire «il luogo di tre e quattro linee», cioè il pro¬
blema di Pappo, chiamato nel suo enunciato più semplice «luo¬
go di tre o quattro rette». Questa fu una delle questioni più im¬
portanti di tutta la geometria greca e solamente Euclide poté
risolverla, ma in un caso particolare: la soluzione completa
avrebbe dovuto attendere la definizione dei teoremi scoperti da
Apollonio. Cartesio, che si avvalse dell’algebra come strumento
algoritmico per elaborare un poderoso metodo analitico-sinteti-
co per l’approccio di problemi geometrici, si propose di riforma¬
re la geometria greca e approcciò il «problema di Pappo delle
tre o quattro rette», che, generalizzato in 2n-l, 2n rette, si trova
in una delle sue migliori opere: la Geometria.
140
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL ARTE
Il matematico francese si lamentò del fatto che la comparsa
delle grandezze incommensurabili ostacolò i geometri greci
nell’assegnare alle figure geometriche numeri che misurassero le
loro lunghezze, aree e volumi; ciò li obbligò a calcolare diretta-
mente con le figure, impiegate come grandezze. Così si faceva
negli Elementi, dove i numeri si sostituivano con segmenti di
retta e le operazioni tra si portavano a termine mediante costru¬
zioni geometriche. Nella geometria greca, i segmenti rettilinei
non avevano lunghezza. Perciò le «operazioni» con i segmenti
restituivano rettangoli e parallelepipedi, oggetti di natura stret¬
tamente geometrica e impossibili da confondere col prodotto
delle lunghezze dei loro lati. Il senso aritmetico delle operazioni
fu ignoto fino all’avvento di Diofanto.
La grande innovazione di Cartesio, pertanto, fu assegnare una
lunghezza ai segmenti, cosa che permise la loro manipolazione
algebrica. Così, non ebbe alcun pregiudizio a parlare, circa il pro¬
blema di Pappo, del «prodotto di quattro linee rette, di cinque o di
più», e scrivere un suo proprio enunciato di un problema che «Eu¬
clide aveva incominciato a risolvere e che Apollonio aveva prose¬
guito, senza che però nessuno l’avesse portato a termine»:
Date tre, quattro o più rette, si deve trovare un punto da cui pos¬
sano essere tracciate altrettante linee rette, un su ognuna di quel¬
le date, sia costruendo con esse angoli dati, sia facendo in modo
che il rettangolo formato da due quelle tracciate dal punto abbia
una proporzione data con il quadrato della terza, se non ce ne sono
più di tre; oppure con il rettangolo delle altre due, se ce ne fosse¬
ro quattro; oppure che, se ce ne sono cinque, il parallelepipedo
composto da tre di esse mantenga la proporzione data con il pa¬
rallelepipedo formato dalle due rette che rimangono e da un’altra
linea data. E così questo problema può essere esteso a ogni nume¬
ro di linee.
Alla fine, precisò che c’era sempre una «infinità di diversi
punti che possono soddisfare quello che si chiede», pertanto si
richiedeva di «conoscere e tracciare la linea su cui tutti essi de¬
vono trovarsi; e Pappo dice che quando non ci sono più di tre o
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL'ARTE
141
quattro linee rette date, si trova in una delle tre sezioni coniche».
Il progetto che impresse al problema fu il seguente:
Ho compreso innanzitutto che, esposto il problema per tre, quattro
o cinque linee, si possono sempre incontrare i punti cercati in ge¬
ometria semplice, cioè utilizzando semplicemente la riga e il com¬
passo; eccetto solamente quando, essendoci cinque linee, esse si¬
ano tutte parallele. E ho scoperto che quando non ci sono più di
tre o quattro linee date, i punti cercati si trovano non solamente in
una delle tre coniche, bensì a volte nella circonferenza di un cer¬
chio o in una linea retta.
Prima di dare la risposta, illustrata nella figura 1, Cartesio
chiarì che avrebbe tentato di «dare la dimostrazione in poche
parole, perché mi stanca tanto scrivere».
Siano AB, AD, EF, GH ecc., varie linee date e si deve trovare un
punto, come C, da cui si traccino altre linee oltre a quelle date,
come CB, CD, CE, CH, in modo che formino gli angoli CBA, CDA,
CFE, CHG ecc. Siano dati, e il prodotto della moltiplicazione di
una parte di queste linee sia uguale al prodotto della moltiplica-
FIG 1
142
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL’ARTE
zione delle altre; oppure che esse abbiano un’altra proporzione
data, cosa che non rende, in alcun modo, più difficile il problema.
Per prima cosa si supponga la cosa come già fatta e, per uscire
dalla confusione di tutte quelle linee, si consideri una di quelle date
e una di quelle da incontrare, per esempio AB e CB, come le prin¬
cipali, cui tutte le altre si devono riferire. Sia designato x il seg¬
mento della linea AB compreso tra i punti A e B; e CB sia designa¬
to y\ e tutte le altre linee si prolunghino fino a che non taglino
queste due parimenti prolungate, se è necessario e se non sono
parallele; come si vede, tagliano la linea AB nei punti A, E, G e la
linea BC nei punti R, S, T.
Ecco uno dei punti di maggiore interesse della Geometria di
Cartesio: incominciare l’analisi, supporre il problema risolto, dare
nome a tutti i segmenti necessari per rappresentarli, tanto quelli
noti quanto quelli sconosciuti, e ricostruire algebricamente il
problema fino a ottenere un’equazione che permetterà di raggiun¬
gere la sintesi. Per facilitare questo processo, Cartesio introdus¬
se il primo sistema di coordinate della Geometria:
Si considero una di quelle date e una di quelle da trovare, per esem¬
pio AB e CB, come le principali e a cui tutte le altre devono riferir¬
si. Si vede così che qualunque sia il numero di linee date, tutte le
linee tracciate da C, che formano angoli dati, conformemente all’e¬
nunciato, possono essere sempre espresse con tre termini, di cui
uno è composto dalla quantità sconosciuta e moltiplicata o divisa
per qualcun’altra nota; un altro dalla quantità sconosciuta x, an-
ch’essa moltiplicata o divisa per qualcun’altra nota; e il terzo ter¬
mine composto da una quantità totalmente nota. Si vede quindi che
moltiplicando varie linee tra loro, le quantità x e y che si trovano
nel prodotto, non possono che avere ciascuna tante dimensioni
quante linee.
Perciò, benché non lo esplicito, nel caso di tre o quattro ret¬
te, il problema equivarrebbe alla seguente equazione quadratica:
Ar2 + B xy + C y2 + dr + ey + f = 0.
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELLARTE
143
In questo modo, nella soglia del Libro II della Geometria,
comparvero per la prima volta le curve come luoghi geometrici
definiti da equazioni. Cartesio risolse in modo brillante e genera¬
lizzato il problema di Pappo ed evidenziò la potenza di alcuni
metodi che, nel corso del tempo, si trasformarono nell’essenza
della geometria analitica.
IL PESO DI APOLLONIO NELLA SCIENZA
E NELLA TECNICA
Durante quasi due millenni, l’idea di Apollonio che le orbite ce¬
lesti dovessero essere spiegate mediante la combinazione di mo¬
vimenti circolari fu una delle più importanti teorie astronomiche.
Sviluppata dall’astronomo Ipparco di Nicea nel n secolo a.C., è
giunta a noi attraverso VAlmagesto di Tolomeo, che completò il
«sistema geocentrico», anche noto come «sistema tolemaico».
Questo sistema ebbe una validità indiscutibile durante il Medio¬
evo; tanto che si pensava che fosse stato rivelato da Dio all’uomo.
Tuttavia, la pubblicazione di De revolutionibus orbium coele-
stium (1546), l’immensa opera dell’astronomo polacco Niccolò
Copernico (1473-1543), cambiò in modo radicale il panorama. Il
transito progressivo verso un «sistema eliocentrico» diede vita a
una grande rivoluzione culturale e a un conflitto religioso che
avrebbe colpito considerevolmente l’ambito scientifico, special-
mente Giordano Bruno (1548-1600) e Galileo Galilei (1564-1642),
autore del Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo,
tolemaico e copernicano (1632). In ogni caso, la formulazione
della legge meccanica di caduta libera dei corpi:
e (0 = (1/2) • g (\
dove e è lo spazio, t è il tempo e g è l’accelerazione della
gravità, permise a Galileo di risolvere un antico problema di ci¬
nematica: studiare le traiettorie dei proiettili di un cannone (a
prescindere dalla resistenza dell’aria) e scoprire che si trattava
144
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL ARTE
di parabole. Oggigiorno può sembrare elementare, ma a quel tem¬
po presuppose un forte colpo alle concezioni vigenti e accettate.
Probabilmente fu la prima volta, nella storia della scienza che si
usò una sezione conica differente della retta o dalla circonferen¬
za per la spiegazione di un fenomeno fisico.
La spiegazione dello stesso è la seguente. Se si mantiene
costante la velocità v con cui il proiettile esce dal cannone e si
varia l’angolo di inclinazione del tubo rispetto all’orizzonte, il
proiettile descriverà differenti parabole e raggiungerà differenti
distanze di volo. La massima distanza corrisponde all’angolo di
inclinazione di 45° ed è uguale a v2/g. Sparando in modo vertica¬
le, il proiettile raggiungerà un’altezza due volte inferiore: v2/2g.
La cosa sorprendente è che per ogni velocità di uscita del proiet¬
tile, qualunque sia la posizione che si dà alla bocca cilindrica del
cannone (sullo stesso piano verticale), ci saranno sempre luoghi
in terra e in aria che tale proiettile non raggiungerà. Tutti questi
luoghi, oltre ai punti dove può arrivare il proiettile se sparato in
modo adeguato, sono parimenti limitati a una curva parabolica:
la «parabola di sicurezza».
Uno dei discepoli di Galileo, il fisico e matematico italiano
Evangelista Torricelli (1608-1647), confermò che la involvente
della famiglia delle traiettorie paraboliche contenute in uno stes¬
so piano è un’altra parabola, che non può essere mai sorpassata
da alcun proiettile sparato dal cannone. Da qui la denominazione
di «parabola di sicurezza», che, come si mostra nella figura 2,
include un’altra proprietà notevole: la sua tangente al vertice
coincide con la direttrice di tutte le parabole della famiglia. L’in-
fiuenza delle opere di Apollonio non finisce qui.
fig 2 parabola di sicurezza
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL’ARTE
145
Per esempio, l’astronomo tedesco Giovanni Keplero (1571-
1630) diede un nome ai fuochi e ponderò la sua importanza come
elemento generatore delle proprietà delle coniche. Keplero svi¬
luppò una specie di «principio di continuità unificatore per tutte
le sezioni coniche». Cominciò dalla sezione conica più elemen¬
tare, formata semplicemente da due rette secanti, in cui il fuoco
è il punto di intersezione e passa in modo graduale per una fami¬
glia infinita di iperboli, man mano che un fuoco si allontana
dall’altro. Quando si è allontanato in modo infinito, si ottiene una
parabola e, oltrepassando il punto dell’infinito per poi avvicinar¬
si di nuovo dall’altro lato, si ottiene una famiglia di ellissi; quan¬
do coincidono i due fuochi, si ottiene una circonferenza.
Keplero difese le teorie eliocentriche in Mysterium Cosmo-
grahicum (1596) e, lavorando con l’astronomo danese Tycho
Brahe (1546-1601), scartò la possibilità che un qualsiasi sistema
combinato di circonferenze potesse spiegare l’orbita di Marte.
Nel 1609 pubblicò Astronomia Nova, dove sostenne che «i pia¬
neti non si muovevano su orbite circolari eliocentriche, bensì in
orbite ellittiche con il Sole in uno dei fuochi». Aggiunse che «le
aree interessate (per via del raggio vettore che unisce il Sole con
il pianeta) in tempi uguali sono uguali». Queste scoperte sono
note come la prima e seconda legge di Keplero del moto plane¬
tario. Così, per spiegare la configurazione dell’universo, fece il
suo ingresso nella scienza astronomica la stessa ellisse studiata
quasi 2000 anni prima da Apollonio, come oggetto puramente
geometrico.
La terza legge di Keplero del moto planetario apparve in Har-
monices Mundi Libri (1619), dove si afferma che «il quadrato
dei periodi dell’orbita dei pianeti è proporzionale al cubo della
distanza media dal sole». Con le sue leggi planetarie, Keplero aprì
le porte allo studio di nuovi enigmi. Iniziò con le sfere di Pitago¬
ra ed Eudosso, e le circonferenze di Apollonio, Tolomeo e Coper¬
nico; continuò con le parabole di Galileo, e aprì il campo alla
teoria della gravitazione universale di Isaac Newton, fondata
proprio sui lavori di Galileo e Keplero. Newton riuscì a unificare
le diverse teorie dei suoi predecessori, elaborò la famosa «legge»
di gravitazione universale e pubblicò l’insieme dei suoi lavori,
146
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL'ARTE
riferiti alla meccanica e all’astronomia, nella sua opera maggiore,
Principia (1687). Newton provò che le leggi di Keplero sono con¬
seguenza diretta delle leggi del movimento dei corpi, chiamate da
allora «leggi di Newton». Il suo gran merito fu di avere dimostrato
che, a partire dalla legge di gravitazione universale, si potevano
derivare leggi da Keplero e che i movimenti degli astri potevano
essere descritti in forma teorica ed esatta, cosa che fu una rivolu¬
zione scientifica e filosofica. In concreto, Newton dimostrò nel
primo libro dei Principia, Il movimento dei corpi, la prima legge
di Keplero; dimostrò inoltre che la legge di gravità, cioè il fatto che
la forza di attrazione sia inversamente proporzionale al quadrato
della distanza, implicava la terza legge di Keplero.
Bisogna rilevare che la geometria delle Coniche di Apollonio
è presente in tutto questo primo libro, con 117 illustrazioni (nel¬
le sue 98 proposizioni e nei suoi 48 problemi), in cui compaiono
le quattro coniche: circonferenza, ellisse, parabola, iperbole.
Newton non utilizzò altri concetti sulle sezioni coniche succes¬
sivi a quelli del «Grande geometra» greco. Nelle edizioni dei Prin¬
cipia, inoltre, normalmente compare una nota sul latus rectum
e su altri concetti di Apollonio. È molto significativo che la base
geometrica dei Principia di Newton, sicuramente il libro più im¬
portante della storia della scienza, sia costituita letteralmente dai
primi quattro libri delle Coniche di Apollonio.
ANTENNE, SATELLITI E ALTRE APPLICAZIONI
Uno degli emblemi che ha portato con sé l’introduzione mondia¬
le della telefonia mobile e dei canali satellitari sono le antenne
paraboliche. Per il loro concepimento, ebbe una grande impor¬
tanza la geometria vincolata alle proprietà della parabola, che
abbiamo descritto in questo libro; un’altra volta, il germe dei
molti progressi attuali affonda le sue radici nei contributi mille¬
nari di Apollonio. Un’antenna parabolica è una parte di un para¬
boloide. Ha la proprietà che ogni segnale che arrivi parallelo
all’asse si riflette in direzione del fuoco; per questo motivo, un’an-
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL'ARTE
147
GLI SPECCHI USTORI
Esistono attestazioni dell’Antichità che narrano come Archimede incendiò le vele
delle imbarcazioni romane che assediavano Siracusa nel 216 a.C, avvalendosi dei
cosiddetti «specchi ustori», cioè quegli specchi concavi che riflettono i raggi so¬
lari e, concentrandoli su un fuoco, generano un calore capace di bruciare o fonde¬
re oggetti. Sebbene il fatto storico sia stato ampiamente discusso, la cosa certa è
che le proprietà degli specchi ustori risultano innegabili e si basano sulle sezioni
coniche, la principale materia di studio di Apollonio. Se si incurva una lastra me-
tenna parabolica raccoglie segnali in tutta la sua superfìcie e li
concentra sul suo fuoco, dove è posto un recettore. In questo
modo si ottengono onde parallele con una fonte di emissione
situata sull’asse della parabola e sufficientemente lontana. Così
funzionano, per esempio, i satelliti geostazionari. All’atto pratico,
occorre mettere in linea l’antenna con il satellite da cui si ricevo¬
no i segnali che si concentreranno nel fuoco del paraboloide,
dove è ubicato il recettore della televisione. Le antenne con mag¬
giore superfìcie concentrano più segnali e ottimizzano la ricezio¬
ne dei programmi, è ciò spiega quanto siano fondamentali per la
trasmissione e la ricezione in ambito scientifico e militare, così
148
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL'ARTE
tallica ben levigata e gli si dà una forma ellittica, rispettando la «legge del percor¬
so minimo» di Erone sulla riflessione della luce, si deduce che l’angolo di inciden¬
za deve essere uguale all’angolo di riflessione. Ciò suppone che i raggi di luce
derivati da un fuoco dell’ellisse, dopo che si siano riflessi sulla lastra ellittica, pas¬
seranno all’altro fuoco. Se ora si considera uno specchio ellissoidale generato dal¬
la rivoluzione di un’ellisse intorno al suo asse maggiore, si otterrà un strumento
con una proprietà terrificante: collocando in uno dei suoi fuochi una fonte intensa
di luce, tutti i raggi che provengano da essa si concentreranno sull’altro fuoco,
provocando l’ignizione di tutto quanto si trovi lì. Sullo stesso principio si basa la
trasmissione di voci a distanza, che a volte si manifesta in alcuni luoghi la cui con¬
formazione ha a che fare con l’ellisse. La parabola gode di proprietà ustorie simili
a quelle dell’ellisse, ancor più note nella scienza, nella letteratura e perfino nelle
leggende. In un certo senso, la parabola può essere considerata come un’ellisse
in cui uno dei fuochi sarebbe trasportato all’infinito.
Fari di veicoli e riflettori
Così come per l’ellisse, se si incurva una lastra metallica ben levigata, se le si dà
una forma parabolica e se si osserva la stessa legge di Erone, i raggi di luce deri¬
vati del fuoco della parabola, dopo essersi riflessi nella lastra parabolica, formano
un fascio di raggi paralleli. In modo reciproco, se un fascio di raggi paralleli all’as¬
se della parabola incide sulla lastra parabolica, i raggi si riuniranno, dopo essersi
riflessi, e si concentreranno su un solo punto: il fuoco della parabola. Su questa
proprietà della parabola si basa l’impiego di specchi parabolici sui fari dei veicoli
e, in generale, sui riflettori. Sono parte di un paraboloide che risulta dalla rotazio¬
ne di una parabola intorno al suo asse.
come telefonico. Secondo lo stesso principio scientifico, si pro¬
gettano i forni solari, che non necessitano altro combustibile che
la luce del sole. Seguendo un processo analogo, bisognerebbe
collocare il materiale a scaldare nel fuoco dello specchio a forma
di paraboloide. Con ciò si possono raggiungere temperature fino
ai 4.000 °C, capaci di fondere materiali refrattari senza lasciare
residui. Bisogna anche citare certe centrali di produzione di ener¬
gia elettrica, la cui fonte energetica è il sole. Sono simili ai forni
citati, ma il loro volume è molto maggiore. La luce del Sole si
riflette in un grande paraboloide con numerosi pannelli, disposti
in una maniera ben studiata.
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELLARTE
149
UN’IMPRONTA INDELEBILE PER L’ARCHITETTURA
Le coniche sono alcune delle curve più importanti che la geome¬
tria offre all’architettura da tempi immemorabili e in differenti
spazi, e grazie a esse si sono realizzare vere e proprie opere d’ar¬
te. Si conservano costruzioni centenarie e perfino millenarie nel¬
la cui facciata o al cui interno si possono osservare coniche: per
esempio, il Colosseo di Roma, costruito nel i secolo con perfetti
archi di parabola nella sua facciata, e la Torre Eiffel, eretta tra
1887 e 1889 a Parigi, una piramide a base quadrata i cui lati non
sono segmenti rettilinei, bensì archi iperbolici; la ragione è che
questi rispondono meglio al comportamento generale della strut¬
tura della torre rispetto alla forza del vento.
Oggigiorno non solo si usano le coniche in dettagli di tipo
decorativo, ma anche in grandi strutture, dove esse compiono
una funzione molto rilevante alla base di iperboloidi di una faccia
(o di rivoluzione, risultato del giro di un’iperbole intorno all’asse
principale che non taglia la curva). È il caso delle torri iperboli¬
che delle grandi centrali termiche, dei ponti e di alcune cupole.
A volte danno forma, anche, a scale, balconi e altre parti di edi¬
fici. Un capitolo a parte meritano le opere dell’architetto spagno¬
lo Antoni Gaudi (1852-1926), in cui si nota un’insolita fusione di
qualità estetica ed eccellenza strutturale, di forma e funzione.
Nell’applicazione delle coniche all’architettura, ha predomi¬
nato l’arco di circonferenza, imposto dai romani nelle loro co¬
struzioni di archi di templi, ponti e acquedotti, volte sferiche di
terme. Questo tipo di arco fu in seguito utilizzato dall’arte roma¬
nica nei suoi archi interni, finestroni e chiostri. I Visigoti e i Mo-
zarabi usarono l’arco ogivale, formato da due terzi di una circon¬
ferenza. In seguito, l’arte gotica predilesse l’uso del centro unico
mediante l’arco ogivale, determinato da due archi di circonferen¬
za; e gli stili artistici successivi, plateresco e barocco, incremen¬
tarono il numero di centri di un arco. In alcune costruzioni ba¬
rocche il circolo tende a trasformarsi in ellisse: soprattutto, in
finestre, nicchie, medaglioni, pale e scudi.
Quanto alle tre coniche tradizionali (ellisse, parabola, iper¬
bole), si può affermare che l’ellisse, in termini generali, si usa
150
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELLARTE
GAUDI, IL MAESTRO DELLE FORME CONICHE
L’architetto spagnolo Antoni Gaudi ampliò in modo considerevole il numero
di forme piane e spaziali, dando vita a una nuova morfologia estetica nell’am-
bito della bellezza, e come componente strutturale dalla prospettiva gravi¬
tazionale dei carichi. Il suo patrimonio geometrico riunisce, nel piano, curve
paraboliche e catenarie; nello spazio, oltre al cono e al cilindro, altre super¬
aci regolamentate composte da linee rette che determinano superfici curve
nello spazio, come l’elicoide, l’iperboloide di una lato e il paraboloide iper¬
bolico. In esse trovò un campo affascinante di ricerca architettonica, soprat¬
tutto quanto alla penetrazione della luce, e apportò soluzioni inedite su muri,
volte e coperture. Gli elementi geometrici più importanti della sua opera sono,
pertanto, le forme coniche (circonferenze, ellissi, parabole e iperboli), le su¬
perfici regolamentate, le forme cilindriche (cilindri e coni) e l’iperboloide di
un lato. Gaudi usò profusamente il paraboloide iperbolico nel Palazzo Güell,
nella Colonia Güell e nel Park Güell.
Paraboloidi iperbolici
L’apice dei paraboloidi iperbolici arrivò con la sua opera più universale: la
basilica della Sagrada Familia. I finestroni laterali si accompagnano alle com¬
plesse forme degli iperboloidi di un lato, presenti intorno al centro ellittico,
che fanno parte del finestrone. Un secondo caso sono le basi delle grandi
colonne che creano una transizione soave tra il solo piano e il principio delle
colonne, con uguali accorgimenti paraboloidi iperbolici. Nel soffitto delle
navate laterali, i corpi delle colonne sono incoronati da capitelli iperboloidi,
e i paraboloidi iperbolici ammorbidiscono l’intersezione degli iperboloidi di
un lato, approfittando dei rimanenti iperboloidi utilizzati per costruire le ge¬
neratrici degli iperbolici.
Dettagli del soffitto della navata della basilica della Sagrada Familia, a Barcellona (Spagna).
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL'ARTE
151
frequentemente in anfiteatri e stadi, nelle scale a chiocciola e
nella superficie di cupole; che la parabola, data la sua grande
resistenza strutturale, si impiega in archi, cupole e ponti, e che
l’iperbole, di forma complessa e di buona resistenza strutturale,
si può ritrovare in coperture e strutture di supporto, come colon¬
ne, torri e camini.
«Per molte ragioni voglio fare le volte con paraboloidi iperbolici.
È un magnifico segno della Santissima Trinità, perché sono
due generatrici rette e infinite, e una terza generatrice retta
e infinita che si trattiene sulle altre due. Il Padre e il Figlio uniti
con lo Spirito Santo. Tre altrettanto infiniti, che rappresentano
una sola cosa».
— Antoni Gaudì.
Anche l’architettura e l’ingegneria hanno usato le superfici
risultanti dal giro delle coniche attorno a uno dei suoi assi. Fa¬
cendo girare una circonferenza attorno al suo diametro, si gene¬
ra una sfera, la metà della quale è la forma più usuale delle cupo¬
le. Facendo girare un’ellisse, un’iperbole o una parabola, si
generano le superfici di rivoluzione ellissoide, iperboloide e pa¬
raboloide, impiegate in numerose costruzioni artistiche e indu¬
striali degli ultimi decenni. Si sono perfino utilizzate altre super¬
fici quadratiche generate anche da altri movimenti di coniche: in
particolare, il cilindro ellittico, che prende come direttrice un’el¬
lisse; il cilindro parabolico, che prende come direttrice una pa¬
rabola, e il paraboloide iperbolico (superficie creata a partire da
una parabola con la concavità verso il basso, che scivola lungo
un’altra parabola con la concavità verso l’alto). Queste superfici
sono regolamentate, cioè composte da linee rette, e facili da co¬
struire con asticelle di legno, cemento o ferro. I risultati estetici
sono molto originali.
A titolo d’esempio, si possono osservare alcuni edifici in cui
le coniche hanno svolto un ruolo estetico o strutturale rilevante:
per esempio, l’ellisse dell’anfiteatro di Pompei e della piazza di
San Pietro in Vaticano; la parabola è ben visibile nel Gateway
152
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELLARTE
FOTO IN ALTO
A SINISTRA
Nel 1961 la NASA
lanciò il Syncom,
il primo satellite
geosincrono della
storia. Dato che
la posizione
relativa di questi
satelliti rispetto
alla Terra non può
variare,
il suo calcolo esige
l’intervento delle
leggi di Keplero.
FOTO IN ALTO
A DESTRA
Vista aerea
della piazza
di San Pietro,
Vaticano: qui
si può apprezzare
il carattere
architettonico
ellittico di questo
recinto di colonne
sacro per
la cristianità.
FOTO IN BASSO
Oltre al suo
significato
e alla sua bellezza,
la scena che
Raffaello dipinse
della sua Scuola
di Atene
presuppone
una composizione
ellittica
di prim'ordine.
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL’ARTE
153
Arch di Saint Louis, in Missouri, e l’iperbole fa mostra di sé nella
cattedrale di Brasilia. Benché da questo elenco sia esclusa la
sfera (circonferenza), un elemento abituale e ben noto, si deve
menzionare la cupola sferica del Pantheon di Agrippa, a Roma.
Quanto ad altre arti diverse dall’architettura, la pittura non si
mostra aliena alle scoperte di Apollonio sulle sezioni coniche e
altri concetti geometrici, ma l’enumerazione delle opere che le
raccolgono sarebbe troppo estesa. Nonostante ciò, per la sua
qualità eccezionale e per la sua grande rappresentatività, è d’uo¬
po menzionare la Scuola di Atene, di Raffaello, come un elemen¬
to ellittico meraviglioso.
Tutto ciò porta a sostenere che il lascito di Apollonio è an¬
cora oggi tanto presente nelle arti quanto nelle scienze. Dalle
Coniche ai satelliti geostazionari, passando per Cartesio, Fermat,
Keplero, Newton e tanti altri, la geometria ha fatto passi da
gigante e ha offerto applicazioni di incalcolabile valore. Di ciò si
è voluto rendere conto in questo libro, il cui obiettivo non è altro
che far conoscere la vita e l’opera di Apollonio, rivendicandolo
come uno dei matematici più insigni della storia. Così lo certifica
l’importanza dell’ambito geometrico in cui esercitò la sua imma¬
ginazione e così lo giudicò Gottfried Wilhelm Leibniz, la cui com¬
petenza matematica è fuori da ogni discussione:
Tutto quello che si apprende da Apollonio tende a fare ammirare
di meno le scoperte delle personalità più eminenti delle epoche
successive.
154
UN LASCITO SEMPRE VIVO NELLE SCIENZE E NELL’ARTE
Letture consigliate
Apollonio, Les Coniques, Parigi, librairie A. Blanchard, 1959.
— Treatise on Conic Sections. Carruthers Press, 2015.
Boyer, C. B., Storia della matematica. Mondadori, 2017.
CoLERUs, E., Piccola storia della matematica. Mondadori, 1960.
Euclide, Tutte le opere. Bompiani, 2007.
González Urbaneja, P. M., Et legado de las matemàticas. De Eucli-
des a Newton. Los genios a través de sus libros. Siviglia,
Consejeria de Cultura de la Junta de Andalucia, 2000.
— Los origenes de la geometria analitica. Tenerife, Funda-
ción Canaria Orotava de Historia de la Ciencia, 2003.
— Fermat y los origenes del cálculo diferencial. Madrid, Edi-
ciones Nivola, 2008.
Heat, T. L., A History of Greek Mathematics. New York, Dover
Publications, 1981.
Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modem Times.
Oxford University Press USA, 1972.
Pappo di Alessandria, La Collection Mathémathique, Parigi, Librai¬
rie A. Blanchard, 1982.
155
Indice
Abel, Niels Henrik 26
Accademia platonica 9, 20, 21, 37
Alessandro Magno 19, 20, 21, 28, 39
algebra geometrica 36, 66, 114, 117
antenne paraboliche 133, 135, 147-
148
applicazione delle aree 36, 49, 84
Aristarco 19
Aristeo 47, 83, 113, 129, 138
Aristotele 20, 115, 124, 125
Archimede 7, 8, 9, 10, 12, 17, 19, 23,
26, 43, 47-49, 53, 73, 83, 91, 114,
124, 130, 131, 137, 148
Archita di Taranto 13, 23, 25, 29
ascisse 11, 28, 29, 33, 47, 49, 50, 53,
54, 55, 58, 61, 65, 84, 86, 108, 139
asintoti 8, 13, 24, 31, 33, 38, 40, 76,
79, 80, 106
assi 24, 29, 30, 31, 33
Barrow, Isaac 13, 35
Brahe, TVcho 146
Bruno, Giordano 144
Cartesio (René Descartes) 11, 12,
13, 66, 120-122
cilindro di rivoluzione 23
cissoide 97, 114, 124
di Diocle, 114
Commandino, Federico 37
concoide di Nicomede 114,125
cono di rivoluzione 23
Conone di Samo 91
coordinate 8, 11, 12, 13, 15, 21, 22,
30, 32, 33, 65, 68, 75, 76, 85, 87,
105, 138, 139, 143
Copernico, Niccolò 144,146
corpi platonici 128
diametri coniugati 33, 34,44,45,46,
70, 75, 76
direttrice 24, 82, 83, 145,152
duplicazione del cubo 9, 13, 20, 22,
23-26, 28, 36, 37
Dürer, Albrecht 62
eccentricità 24
Elisabetta di Boemia 122
ellisse 9,10, 13, 20, 23, 27-30, 33, 34,
41,47,49-51, 53, 54,57,58,61, 62,
64-66, 68-76, 78, 80, 82-87, 93, 94,
100-102, 104-106, 108-110, 117,
157
136, 138, 140, 146-152
Empedocle di Agrigento 128
Eratostene 19, 28, 29
Erone di Alessandria 26, 149
Euclide 7, 8, 9, 10, 13, 17, 19, 32, 35,
38, 40, 43, 47, 48, 66, 70, 73, 83,
91, 113, 114, 116, 117, 119, 126-
130, 135, 140, 141
Eudemo 18, 31
Eudosso di Cnido 20, 29,40,115,146
Eulero (Leonhard Euler) 120-122
Eutocio di Ascalona 17, 23, 26, 34,
37, 47, 131
evoluta 33, 34, 95, 104, 105
evolvente 33, 95
Fermat, Pierre de 11, 12,13, 66, 114,
122, 133, 135, 137-140, 154
forni solari 135, 149
fuoco 8, 24, 78-87, 115, 146, 147,148,
149
Galileo 20, 144-146
Gaudi, Antoni 150-152
generatrice, 20-22, 27, 30, 44, 47, 152
geometria analitica 11,12,13,15,20,
22, 24, 68, 114, 117
Gemino di Rodi 47, 126
Ghetaldi, Marino 125, 137
Halley, Edmond 13, 36, 37, 116
Huygens, Christiaan 33, 89, 95, 97,
125
involvente 10, 104, 145
Ipparco di Nicea 144
Ipazia di Alessandria 19, 34
iperbole 9, 10, 13, 20, 23, 24, 27-30,
32-34, 38,47, 49, 50, 51, 53-57, 59-
61, 64, 66, 68-76, 78-87, 92, 93, 94,
97, 100-102, 105-110, 117, 120,
136, 140, 146, 147, 150, 152, 154
Ipsicle di Alessandria 13, 129
Keplero (Johannes Kepler) 7,20,82,
146, 147, 154
leggi di 146, 147, 153
latus rectum 22,23, 27-30,47,49, 50,
53, 65, 69, 76, 147
Leibniz, Gottfried 48, 154
L’Hôpital, marchese de 122
luoghi 24, 31, 33, 68, 83, 108, 113,
118-123, 135, 137, 138, 139, 140
piani 24, 68, 113, 118-123, 135,
137, 140
solidi 31, 83, 108
Mandelbrot, Benoit 20
Marino 116
medie proporzionali 21, 22, 23, 26,
28, 29
Menecmo 9, 10, 13, 20-24, 26, 29, 38
Naucrate 30, 31
Newton, Isaac 7, 13, 48, 120-122,
127, 133, 146, 147, 154
Omerique, Antonio Hugo de 13, 125,
127
ordinate 11, 28, 29, 33, 45, 47, 50, 51,
53, 54, 55, 58, 51, 64, 65, 70, 73-77,
84, 87, 92, 93, 96, 98, 99, 100, 102,
108, 130, 138, 139
Pappo di Alessandria 9, 13, 17, 18,
19, 26, 32, 34, 37, 83, 108, 111,
113, 114, 116, 117, 118, 119, 120,
123-126, 129, 130, 135, 137, 140,
141, 144
parabola 9, 10, 13, 20, 22, 23, 27-30,
41, 47, 49-54, 57, 61, 62, 64-66, 68-
76, 78, 79, 81, 82, 92, 94, 96, 98,
100-102, 104-106, 108, 109, 117,
133, 135, 136, 138, 140, 145-152
158
INDICE
di sicurezza 145
paraboloide iperbolico 147-152
Pitagora 126, 128, 146
Platone 19, 23, 25, 26, 28, 48, 120,
128
Poncelet, Jean-Victor 120
problema
di Apollonio 13, 118, 122, 137
di Delos 9, 20-26, 28
di Pappo 32, 116, 117, 135, 140-
144
Proclo di Licia 13, 19, 23, 115, 126,
129
proprietà
specifica della curva 11, 27
ustoria dell’ellisse 148, 149
ustoria della parabola 148, 149
quadratrice 10, 23, 114, 124, 125
di Dinostrato 12,114
di Ippia 23, 114
quadratura del cerchio 36
rette
massime 100-108
minime 100-108
normali 103-108
satellite geoestazionario 135, 137,
147, 148, 153, 154
sezione di cono
acutangolo 22
ottusangolo 22
segmenti
massimi 13, 33
minimi 13, 33
Sereno Antisense 34, 37
Simpson, Thomas 122
tangenti 8, 10, 11, 13, 30, 33, 56, 58,
70-80, 83, 91, 92, 94, 95, 103, 104,
116, 117, 137
Teone di Alessandria 19, 120
Tolomeo, Claudio 13,115
Torelli, Giuseppe 122
Torricelli, Evangelista 145
traiettoria di una palla di cannone
144, 145
trisezione dell’angolo 36, 125
Viète, François 13, 120, 122, 137,
138, 140
Wantzel, Pierre-Laurent 13, 26
Woepcke, Franz 130
INDICE
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