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Author: Enriques F.
Tags: matematica geometria algebrica geometria analitica teoria delle funzioni
Year: 1949
Text
FEDERIGO ENRIQUES
LE SUPERFICIE ALGEBRICHE
NICOLA ZANICHELLI EDITORE
BOLOGNA 1949
3»a pm-p jwow
_ • nnavn . _
L’BDITOBE ADBMPpn I UOVI®!
ESSRCITEBA- I DERIT1I SANCITI DALI3 XJSGGI
S.T.E.B. - Sooietfc TiBOgrafioa Editrioe Bolognese • vx - 1949
Il volume che cede oggi la luce, contiene, rielaborata в ordinata, la
parte maggiore delVopera matematica di Nederigo Enriques, vale a
dire la teoria dello superficie algebriche, alia quale il suo поте resterd
sempre legato. Questa opera inimata subito dopo la laurea net 1893
e proseguita per oltre mezzo secolo fine alia morte, con brevi interruxioni
quando problemi di filosofia e di storia della scienza occupavano il suo
spirito universale, si trova dispersa in tina cinquantina di Note e Me-
morie pubbttcate in varie raecoUe.'
A far risaltare Valto valors delVopera, che ha aperto un vasto e
fecondo campo quasi inesplorato quando VEnriques comindb le sue
rieercke, gioverd, il presents volume. Il quale permetterd, ai cuttori della
geometria- algebrica, e in partioolare agli studenti universitari, di
orientarsi neWampio territorio.
Il compianto Autore aveva gid sentito il bisogno di una sistemazione
della geometria sopra le superficie algebriche dope'la sua ohiamata
all1 University di Roma, dove Ugli poteva dediearsi ai soli corsi supe-
riori di matematiea e dove maggiore era il numero legli allievi. Valen-
dosi della coUaborggione di Luigi CampedeUi, allora suo e mio assi~
stente, oggi professors all’University di JFireme, JSgli raccolse to parte
generate della teoria in un volume litografato, che used nel 1932; mentre
una seoonda parte riguardante eategorie partieolari di superficie fu
pubblicata- a stampa, due anni dopo, dal Seminario matematioo del-
V University, di Roma, col concorso dello stesso eollaboratore.
Nsauriti in pochi anni questi due volwmi,TAutore dove&e pensare
ad una seoonda edixione; e durante gli oxi, 'eui fu costretto dalle leggi
razgiali e poi dalla guerra e dalle persecuzioni', Ngli meditb una riela-
boraxione di tutta Topera col prop'osito di semplificare о mettere al
riparo da critiche aloune dvmoetraxioni, di condurre a termine od esten-
dere classificassioni • di tipi partieolari di super fide, e ‘ di toner oonto
del pii, recenti risultati a cui Rgli stesso od altri >neereaton erano
arrivati. '
Il manosoritto era foriunatamente compiuto quanto la morte colse
Nederigo dSnriques nella plena luoiditd ЛеПо spirito.
..•£•• Q'C*»’i ^»-«Г«'ГГ ШГ.
riwer^
VI
L’Autore si era risenato di procedere a talune correrioni definitive
sttlle bonze di stampa, ma purtroppo la sorte non gli concesse il tempo
per questo oompito. Se lo assunsero eon la finezsa del loro ingegno, col
ricordo degli insegnamenti del maestro, con affetto di figli, gli ultimi
disoepoli Pompilj e Franchetta. Ed io che li ho assistlti nei loro dubbi
s» qualohe punto oscuro о meno soddisfacente del testo, posso dire che
il compile era arduo ed avnbbe riehiesto, per essere interamente as-
solto, ricerche non di mesi ma di anni. L’Autore stesso ha сига di av-
vertire fin ddlla prefazione che il trattato, pvh. che esporre una dottrina
gid statica e cristalUzzata, aspira a suscitare nel lettore il desiderio di
portare complement! e perfezionamenti a varie teorie. E dove il terreno
й meno solido I’Autore metis sull’avviso lo studioso.
Di questi punti ancora fiuidi quello ohe presenta la diffioottik piit
ardua ed il maggiore inter esse nella teoria generate delle superficie
forma il soggetto del Сар. IX, ove si tratta dei sistemi continui di curve
algebriche (noncontenutiinsistemilineari) che esistonosopraognisuper-
ficie imgolare. Una geniale intuizione ha oondottol’Enriques nel 1904
ad enunciate e stabiUre questa propriety caratteristiea delle superficie
irregolari; su di essa si sono appoggiate successive fondamentali* ri-
cerche. Feri un’attenta critica ha fatto vedere, van anni Лоро, che la
dAmostrazione dell’Enriques non d soddisfacmvte. La propriety i vera,
almeno sotto qualche restrizione, come risulta daUe ricerohe per via
traseendente di Enrico Poincare. Ma tutti i teniativi compiuti poste-
riormente daWEnriques e da altri per dimostrarla mediants oonside-
rasioni algebrico-geometriohe si sono urtati contra diffiooltd sinora
insuperate. Cid b esplicitamente dichiarato net suddetto Cap. IX, nel
quale VAutore dd> anche suggerimenti sopra una via da tentare per
giungere alia meta. Debbo oonfessare che non vedo come quella ria possa
tradursi in un procedimento irreprensibile.
Ad altri dubbi di ben vninore rilievo pub dar luogo qualche punto
.dei Capp. VII, VIII e X dove si tratta di classificarione e costruzione
di tipi molto particolari di supwfirie. Qui giova ricordare che le ri-
cerehe fondamentali deWEnriques si possono suddvridere in due gruppi:
a) teoria generale delle superfirie algebriche, e in particolare
determinarione dei caratteri invariants per trasformazioni birarionali:
Bostamrialmente, i generi; .
b) olasrifioazione delle superfioie dei primi generi.
Questa seeondo gr-appo ha oondotto VAutore alia scoperta di fa-
miglie motto interessanti ed impreriste di superficie, 'ed ha fomito
anohe modeUi ooncettuali cfie hanno suggerito la scoperta di propriety
riposte appartenenti alia teoria generate, h note peri a tutti i rti&№-
catori quali insidie si nascondano nelle classificazioni motto minu-
riose, dove faciltnenie sfuggono alouni easi riposti, ed altri, ritenuti in
VII
«» prime momenta redlizgabili, si rivelano inesistenti di front» ad un
esame pvii scrupoloso.
Qui dunque si presenta, come I’Autore stesso suggerisce, un prime
campo di indagine per lo studioso, il quale, dope essersi reso familiars
con le discussioni delicate che I’argomento eomporta, sari рог messo
in grade di affronture le difficoUd piit gravi della teoria generate, dif-
fieoltd che non. riguardano soltanto la questions a cui sopra abbiamo
aUuso, ma s’incontrano ogni qual volta si vogliano mettere.in chiara
luce i legami fra la trattagione algebrica e la tviscendente (o la topolo-
gica) delle superficie algebriche. Haturalmente per queste ultimo ri-
cerche lo studioso dovrd prima approfondare la teoria trascendente leg-
gendo i trattati di Picard-Simart, di Lefschetg, ZarisM, Hodge, la
Memoria eitata di Hoincard, e gli. important®, lavori algebrico-tra-
scendenti del Seven ove. si trovano esposte ricerche che esorbitano dal
programma del presente volume. , , '
- Verrd presto il oontinuatore dell’opera delle scuole italiana e fran-
cese, il quale riesca a dare alia teoria delle superficie algebriche la per-
ferione che ha raggiwnto la teoria delle curve algebriche? Lo spero ma
ne dubito.
Л. nutrire i miei dubbi m’induce Vossetvazione che la matematica
ha preso nel secolo attuale un indirizzo ben diveno da quello che do-
minava nel secolo scorso. La fantasia, la vntuirione che guidavano la
ricerca di aUora sono oggi guardate, con soepetto per il terrore degli
errori d cui poesono condurre. Le teorie sorgevano per rispondere al
bisogno che il matematico provava di delineare e preoisare degli oggetti
del pensiero dhe erano gid, in forma vaga, pnsentl aUa sua mente.
Hra I'esplorarione di un ampio territario intravisto da una.eima lon-
tana. Si costruirono cost, nel secolo scorso quei gioieUi che si ohiamano
teoria delle funrioni analitiche, delle funrioni' elliUiche, abeliane,
superficie ad area minima, superficie cubiche.... Oggi piAt ohe il terreno.
da esplorare interessa la via che vi conduce, e questa via ora vien
seminata di ostacoli artificiali, ora si libra tra le nwvole.
Che questa tendenaa non sia una manifestations di.breve dur ata .
si i indotti- a -credere dal paragons col fenomeno analogo ohe si veri-
fica nelle arti plastiche в nella musica. Anche qui la fantasia й bandita
quale soprawivenga dell’epoca romantica, anche qui il contenuto del-
Vopera d’arte interessa meno della teenica о dei meszi d’espressione che
Vartista impiega. Vari critici Ulustri pensano che rappresenii
una decadenga dell’arte e' ne traggono . foschi presagi sud’amenire
della nostra etviltd,.
Sarebbe temerario estendere questi giudigi pessvmisti all’evolugione
che va subendo la matematioa. Tuttavia quando si paragoni il cinquan-
tennio che sta per chiudersi col periodo corrispondente del secolo scorso
VIII
in cui fiorvocmo nomi quali Gauss, Abel, Jacobi, Cauchy e tanti altri
grandissimi, non si possono celare preoceupaeioni sul future della
nostra soienza.
' Un giorno perd, prossimo о lontcmo, rinascerd Vamove per le grandi
leone di cui i nostri maestri del seoolo XIX gettarono to fiasi. JE quel
giomo it trattato di Xederigo JBnriques sard, lotto e meditato come il
resoconto di un’esploragione in un territorio dove molte gemme sono gid
state raccotte e motto altre attendono chi sia degno di seoprirle.
G. Castelnuovo
Roma, Gennaio 1949.
PREFAZIONE
In questo trattato ci proponiamo di esporre la teoria delle superfitie
algebriche, partieolarmente riguardata net suo aepetto algebrico-geo-
metrico, quale si й venuta maturando, durante un cinquantennio,
in iepecie neUa scuola geometrica italiana. 'Per lunghi anni abbiamb
elaborate tale esposizione, rveedendo в talora rifaoendo, о almeno rior-
dinando, le dimostrazioni pint antiche, in guiea da conferire alia teond-
stessa Vassetto ргй rigoroso e pv& eempltee.
Quest’opera di revisions e di ordinamente si d svolta anzitutte
attraverso i corsi deUelezioni da noi tenute neUa University di Roma,
Ле sono state raccolte, in una prima redazione, da Luigi Campedelli,
oggi professors all’University di Firenze, cui ci piace attestors ancora
una volta la nostra gratitudine. Le lezioni di Rnriques-CampedeUi
furono pvbbUcate in due volmmi; la prima parts, col titolo « Lezioni
eulla teoria dells superfieie atgebriche, raccolte dal Doit. Luigi Campe-
delli», in edizione litografica presso la Casa Cedam di Padova, nel
1932 e la seconda parte nel 1934, col titolo « Sulla classificagione deUe
s-uperficie algebriche, particolarmente di genere zero, Iszioni raccolte dal
Pott. Luigi Campedelli», nei Rendioonti del Seminario Matematieo
della R. University di Roma.
Questi volumi rimangono anche oggi it fondamento del nostro lavoro
di sistemazione della teoria ohe tuttavia si й proseguito di poi, sia dalla
cattedra univer sitaria, sia, nel riposo degU ultimi anni, dope I’ottobn
1938. ' . - '
Abbiamo 'ripreso Vesposizione del Campedelli, eorreggendo talnolta
о semplificandb guatohe punto, ma soprattutto dando alia teoria stessa
una р1У ampia estensione con Vusufruire dci contributi recati alia
scienza da alowni giovani geometri. Fra guesti ci i caro ricordare i
nomi di altri nostri disoepoli Ле, dopo il Collega fiorentino, oi Thanno
'aiutato in gucsta ricostruzione, approfondendo alcuni puvM о invi-
tandoci a rimediiarli colla diseussione dette^nosire idee в deRe nostre
spiegazioni: sono il Prof. Giuseppe Pompilf — presto partite per le
armi — в il Pott. Alfredo Francb,etta (due giomni speranze della nostra
scienza), Ле si trovoranno oitatimel eorso di guests Lezioni-, at quali
vogliamo attestare pubblicamente il nostro, anima grata.
J
X PREKAZIONB
Ж» abbiamo da spiegare pi& lungamente il disegno deU’opera,
che gid appare dalTindice generate della materia. Me c’importa ri-
levare che abbiamo cercato, non soltanto di dare dlle teorie esposte
un assetto logioo, si anche (come in opere anteriori) di porgere una pro-
spettiva storica del loro divenire. In tai guisa vuolsi offrire al lettore,
non gid il done di qualoosa di perfetto che si lasci contemplare dal di
fuori, awsi la veduta di un aoquisto e di un progreeso di oui deve com-
pr&ndere le ragioni, e che egli b invitato a riguadagnare da ай e per si,
tr ovando nel Ubro m istrwmento di lavoro. Appuwto percid il cammino
induttivo deUa soienea, Me muove da esempi e cast partieolari, e tai-
volta anche gli errori che occorse superare e correggere, vengono messi
particolarmente in riUevo.
Aggiungiamo che per quel che concerns la соповсепяа di teorie
preUminari (curve algebriohe, superficie raeionaM), ci riferiamo parti-
colarmente aU’esposiaione datane in altre nostro leaioni, che furono
racoolte nei quattro volumi- di JSnriques-Chisini « Teoria geometrioa
deUe eguazioni e dello funmoni algebriche я (l) e in quello di Fabio
Conforto su «Те superficie razionaUv, aneh’esso redatto suite nostro
lezionn (’)•
Il testo che offriamo al lettore й stalo eomposto ed ha trovato la sua
forma defimitiva entro il mese di aprile del 1942, quando la persecu-
eione fasoista vietava, nel nostro paese, anohe le pi^ innocenti pubbUca-
gioni matematiohe, e d’altronde la pubblicazione aW ester о dava luogo
a diffiooltd, che dovemmo in appresso sperimentare. In esso erano in-
dicate alcune note, in {specie note da noi (come -corrispondente) inviate
aU’Accademia deUe Science di Madrid, che non abbiamo potufo sa-
pere ’»e abbiano effettivamente trovato posto in guegU atti accademici.
• Oggi, usoiti fuori dal periodo burrascoso della guerra, nel momenta
di passare U manoscritto alia tipografia, ci riesce ancor difficile di
prendere esatta novione della lettmtvra scientifica degli ultimi tn anwi,
e d'dltra parte gli impegni di nuovi lavori ci vieiano di ritornare sul
lavoro fatto per riesaminarlo al lume di alcvmi studi ohe, piil о mono
approssimativamente, siamo v&nuti a oonoscere soltanto ргй tardi.
Percid eonserviamo al testo deUe presenti legioni la forma datagli,
come si b detto, nel 1942, salvo a eompletare qualehe notizia bibliografica
e ad indicare, con qualche nota, le lacwne che richiederebbero un nuovo
esame.
T. Enbiques
Soma, Settembre 1945.
C1) Bologna, Zaniehelli 1915, 1918, 1924, 1934.
(’) Bologna, Zaniohelli, 1939. ,
IN DICE
Prefazione del Prof, G. Сдвтихлгаото . . . ............................Pag, v
Prefiusione dell’Autore ................................................ » ix
IntroAt&ione............................................................ » 1
1. Bichiamo di nozioni elementari ........... » 1
2. - Traeformazioni razionali ............... » 2
3, ' - Superficie negli iperspazi: sctoglimento delle singolaritS. » 5
4. - Superficie dotate di singularity nonnali ....... » в
5. — Nota ...................... » 8
Слэттоьо I. — Sistemi lineari M curve.................................. » IS
1. - Fasci linear!............................. * . » 15
2. — Faaci irrazionali ............................................. » 17
• 3. — Sistemi lineari ................................................» IS
4. - Propriety caratteristica dei sistemi lineari................... » 19
S. - Estensione dei teoremi di Bertini.............................. » 20
в. - Superficie immagini di sistemi lineari '........................» 22
7. - Curve equivalent! e sistemi lineari coznpleti.................. » 24
8. - Somma e differenza di sistemi lineari: teorema del resto » 26
9. — Superficie immagine del sistema somma ...... » 30
10. - Caratteri virtuali . ................ 1 . . . » 31
11,- Curve eccezionali.............................................. » 33
12. - Bota suite curve eooezionali riducibili ....... » 37
13. - Serie caratteristica virtuale . ............................... » 40
Сарпоьо II. — Sistemi oovariamti в invariant ........ » 41
1. - Curve jacobiane.............................. . » 41
2. - Sistema jacobiano............................................. » <2
3. — Teorema fondamentale » 48
4. — Curve canoniohe . ............................................ » 60
5* - Propriety delle curve eanoniche . ............................. » 52
6. — Genere superficiale e genera lineare........ » S3
7. — Le curve eccezionali come parti fisse del sistema cano-
nico ............................'............... » 66-
' 8. - Curve bicanoniohe e pluricanomche ......... •> 60
9. - Nota etorica....................'........... » 62
XII 1NDICB .
Саргтоьо III. - I>e enperfioie aggiunte ........... Pag. 67
1. - Superfieie d’ordine «—3 aggiunte ad una superfieie
d’ordine n priva di punti multipli propri...... » 67
2. - Superfieie aggiunte d’ordine qualsiasi............... » 69
3. — Superfieie rigate » 70
4. — Propriety caratteristica delle curve- canoniche e delle
♦ curve aggiunte ad un sistema lineare........................ » 71
5. - Pudti multipli isolati................................... » 72
8. - Aggiunte e subaggiunte...........................- » 73
7. - Punti multipli di prima specie . . . .................... » 76
8. - Piani doppi ............................................. s 77
9. — Il gen&re delle curve fundamental! e 1’influenza sulle
aggiunte -............................ ». 80
10. - SingolaritA puntuali di specie superior® ....... » 82
11. - Curve bicanoniche e superfieie biaggiunte................ » 89
12. - Superfieie di genere p = 0 e di bigenere P > 0 . . . »- 92
13. - - Criteri d’equivalenza ...................... . . . » 96
Сайтом IV. - Il genere wwtaerico e il teorema di Riemann-Roch
per le euperfioie . ... . i ......... ..... » 101
1. - Tntroduzione............................................ » 101
2. - Cqndizioni imposts ad una superfieie dal passaggio per
una curva; formule di posfulaaione....................... » 102
3. - Dimensione dei sistemi di superfieie aggiunte ad una
data ................................................; s 107
4. — П genere numerico....................................... » 110
5. " Complement! ............................................. » 114
6. - Note. sulle condizioni di regolaritfc di una superfieie . » 117
7. - Esempi di superfieie irregolari » 120
8. - Il teorema di Biemann-Bocb. per le superfieie: sistemi
pid ampi del sistema canonic© ............. » 123
9. - Eliminazione delle curve eccezionali ......... » 127
10. - Integrity della serie segata da un sistema lineare pic-
colo sulle curve di un sistema grande ......... » 128
11. — II teorema di Biemann-Roch per i sistemi lineari qua-
lunque................................................... » 131
12. - Deficient* della serie caratteristica ......... » 134
13. - Nota storica.......................................... » 137
14. - Curve virtuali ...........................- . . . » 142
15. - Sistemi lineari regolari e sovrabbondanti ...... » 147
18. - Precisazioni suila, regolaritA del sistema aggiunte ad
una curva sopra una superfieie regolare ....... » 150
17. — Segue: il sistema aggiunte ad- una curva connessa fer-
mata di component! multiple sopra una superfieie re-
golare ................;................ s 152
18. - Sulla riducibilitd del sistema canonico........... » 158
19. - Sulla regolaritA del sistema bicanonioo ....... » 158
INDICE
XIII
20. - Nota eulla irriducibilit^ del sistema bicanonioo . . . Pag. 162
21. - Generi di una superfieie spezzata......... . . . . » 163
Capitoxo V. - Invarianti numerioi в piani mvMipli............... » 167
1. - L’invariante di Zeuthen-Segre......................... » 167
2. - Faacio irrazionale ...............................' »• - 173,
3. - Espreesione dell’invariante di Zeuthen-Segre per mezzo
dei generi ............................................ » 173
4. - Curve cuspidate di una rete........................... » 177
5. - Notizia storica....................................... » 180
6. - Caratteri di una rete'e piani multipli............... » 180
7. -Corrispondenza (1, ») fra due superfieie: piani doppi . » 183
8. - Formule di corrispondenza.......'.................... » 185
9. - Teorema d’eeistenza................................... » 192
10. - Complement!: forme limiti della curva di diramazione
secondo Chisini........................................ » 199
• 11. - I moduli di una classe di superfieie algebriche .... » 204
12. - Digressions sull* integrity della serie caratteristica di
un sistema complete di curve piane dotate di nodi e
di cuepidi.......................... ............. «» 207
13. - I moduli delle superfieie regolari di genere p > 3 . . » 209
14. - Nota storica e complement!............................ » 213
Camsoxo VI. — Buperfioie regolari; minima dei generi e condizioni
di razionalitd . '.............. ... » 217
1. - Limits inferiors del genere lineare.................. » 217
2. - Il bigenere e i plurigeneri ............. » 220
3. - Esempi: piani doppi di genere lineare pW = 1 . . . » 224
4. - Condizioni di razionalitA di una superfieie ...... » 230
Capitoxo VII. — Classificazione delle superfieie di genere lineare
pW = 1...............‘......................................... » 237
1. - Superfieie di genere 0 e bigenere 1, con curva bicanonica
d’ordine zero ............................................ » 237
2. - Le superfieie eon tutti i generi eguali ad 1 ..... . » 247
3, - Notizia storica ..................................... » 254
4. - Le superfieie di genere lineare pW = 1 con P > 1 . .. » 257
Capitoxo VIII. - Superfieie regolari canoniche 'e plurioanoniehe » 267
1. - Introduzione ........................................ » 267
2. — Superfieie canoniche di genere p = 4 e genere lineare
pW = 6,5....................................................» 268
3. - Superfieie con. p = 4 e pW = 7 . ................. « 271
4. - Superfieie con p == 4 e pfl> = 8 . ;................ » 273
5. - Superfieie con, p — 4 e pW = 9 .................. » 281
6. — Superfieie con p — 4 e pW >9 ........................ » 283
7. j- Superfieie canoniche con p = 5 e pW = 9 ..... . » . 284
XIV
INDICE
8. - Superficie con p — 5 в pW = 10 ......... . Pag. 286
9. -r Le superficie eopra una variety a 3 о pift dimension! . » 289
10. - Esempi di superficie canoniche iperspaziali ..... » 292
II. - Minimo valore del genere linear» rispetto al genere su-
perficiale.............................................. » 294
12. - larnite superior© del genere lineare pW rispetto al ge-
nere superficial®................................ » . 299
13. - Sistemi canonic! appartenenti ad un’involuzione . . . » 300
14. - Superficie di genere lineare p<O = 2: prime case p = 2 » 303
15. - Superficie con. = 2 в p = 1 (j? = 3, P3 = 5) . . - » 305
16. - Superficie con pW = 2 в p = 0 (P =2, P, = 4) . . • » 308
. 17. — Superficie di genere lineare pW = 3: primo case p = 3 » 311
18. - Superficie con pW = 3 в p = 2 (P = 6).............. » 312
19. - Superficie con pW = 3 e p = 1 (P =4)............... » 316
20. - Superficie con p = 0 e pO) = 3 ........... ». 321
21. — Superficie pluricanoniche semplici e multiple ’ . . . . » 321
Саргтоьо IX. — Superficie irregolari e sistemi oontinui fii curve di-
eegwivalenti ...........................................'» 32ft
1. -Introduzione ...............................'. . » 325
2. — Condizione aritmetica percM una curve, sopra una su-
perficie d’irregolaritA geometric» j, appartenga ad una
serie continue <жа di curve disequivalenti ...... » 326
3. - La variety di Picard corrispondente ad una superficie
irregolare.......................................... » 328
4. — Propriety caratteristica delle superficie algebriche ir- • -
regolari: teorema fundamentals per p„ = 0............ » 328
5. — Teorema, fondamentale per pa > 0................... » 330
6. - Storia della teoria dei sistemi continui (. » 339
7. - Su divers! tentativi di dimostrazionfe e d’estensione del
teorema fondamentale .............. » 347
8. - Il sistema paracanonioo .............. » 354
Й. Disgressione eulle variety abeliane . . ................... » 357
10. - Segue: il genere delle variety abeliane ........ » 361
11. - Faecio irrazionale sopra le superficie di genere geome-
tric© nullo ..................... » 365
12. --Nota eulle superficie d’irregolaritd 1 , ................» 368
Слитоьо X. - 1л superficie &i genere geometneo nullo ..... » 371
1. Introduzione..............................................» 371
2. - Le superficie contenenti un sistema di curve di genere
л e di grado » > 2л.— 2 . .......................... » ' 372
,3 . - Lemma eulle curve riducibili di un faecio ...... » 376
4. - Superficie di genere p, — 0 con рв<,— 1........... » 378
5. - Superficie V con ps= 0 e pa = — I, possedepti un faecio
ellitttco di curve X di genere л > 1: lemma I . . . . » 379
6. - Lemma II: disegno della dimostrazione............. » 381
7. - Primo caso: il genere л delle curve X eia pari .... '» 384
INDICB
XV
8. - Secondo caeo: il genere я delle curve К sia diepari . . Pag. 389
9. — Lemma III ........................................... » 392
10. - Conclusions: le superftaie JF posseggono anche un faecio
lineare di curve ellittiche............................... » 393
11. - Superficie di generi p, «0 e p, =—1 con un faecio
ellitfico di curve di genere я *= 1 ........ » 394
12. - Superficie ellittiche................. » 398
13. - Costrazione delle superficie ellittiche di genere pr = 0 » 401
14. - Superficie cox plurigeneri nulli:. caratterizzazione delle
rigate...................................................... » .405
15. - Nota storica ...... '...... ........................... » 412
16. - Superficie con curve pluricanoniche d’ordine zero: tipi'
con curve ellittiche X di modulo generate » 414
17, — Segue: caso armbnico ............................. » 417
18. - Caso equianannonico . _............................. » 421
19. - Riaseunto............................................ » 424
Cafitolo XI. - Claes-i/teazione generate delle ewperfide........ » 427
1. - Introduzione........................................... » 427
2. — Superficie che axnmettono un» serie oontinua di tra-
sformazioni birazionali in se stesse: casi ohe conducono
alle rigate ................ » 429
3. — Superficie ellittiche eipereUittiche........: ... . s 433
4. - Caratterizzazione delle superficie ellittiche e iperellit-
tiche xnadiante i valori dei generi...................’...., » 438
5. - Superficie ooi generi p, = 1 e pW = 1................ . » 447
6. - Nota sulla teoria geometries delle superficie iperellit-
tiche....................................... .............. » 450
7. - Classiflcazione generate delle superficie algebriche . . » 455
8. - Superficie di genere numerico negative............. » 459
9. - Riaseunto della classificazione precisata ....... » • 463
IKTBODUZIOSTE
1. Richiamo di noaoni elemental!. -
In queste lezioni ci riferiamo, in generate, ad una superficie al-
gebrica dello spazio ordinario, supponendola irriducibile. ba feu-
perficie / verrA definita da un’equazione in coordinate cartesians
f(a), у, «) =₽ 0
ovvero in coordinate omogenee •'
Ж, ait, =0:
f designa nel prime case un polinomio nelle variabili y, g, e nel
secondo case un polinomio omogeneo owero una forma.
Assumiamo come noti gli element! della teoria proiettiva delle
superficie, che includono le nozioni di ordine, classe, superficie
polari, ecc.’ (»). E richiamiamo alcune propriety di cui si farA uso nel
seguito.
Un punto О della superficie /, che sia d’ordine », b semplioe per
essa Be le rette useenti da О segano la superficie in n —1 punti
fuori di O. L’intorno di un punto semplice della superficie si pub
rappresentare in modo eemplice .su un piano in' un ordine di ap-
proBsimazione alto come, si vuole, ciob dove si tenga conto degli
infinitesimi di ordine 1, 2, ..., ecc. In primo luogo b chiaro che
nel primo ordine di Approssimazione la superficie pub essere sosti-
tuita dal piano ivi tangente; ma se si vuol tenere conto del secondo
ordine, Buppionendo gli assi cartesiani scelti in modo opportune,
si sostituirA invece col paraboloide osculatore dello stesso ordine
g = che ei lasoia proiettare univocamente sul piano (a?, y)
dal punto all’infinito dell’asse z. E cosl si dica successivamente
per l’intorno del terzo ordine ecc, Pertanto, essendo data sulla su-
perficie una curva che abbia in О una singularity qualsiasi, si' potrb
Cfr. Евгвигивв-Сяипп, Teoria geometrioa ЛеИе equaeioai e rfelfe fumion.i
algebriiAe.' bibro III. vol. П. Bologna. ZanichelU, 1018.
- Essiams Ж1. - Suverftcte algebnctie, 1
2 ’ INTRODUZIONE
ritenere questa stagolarith formata di punti multipli taftaitamente
victai, proprio come accade nel piano (x).
I punti stagolari о multipli per la superficie / sono deftaiti come
segue: tm punto 0 multiple d’ordine r (r > 1) & tale che le rette per
О segaho la superficie to я — r punti residui. Vi ё taogo a disttaguere
le ewrve multiple e i pw»t* * multipH isolati, senza esctadere la consi-
derazione di pimti multipli notevoli appartenenti ad una curva
multipla, che si preaentano come una sovrapposizione dei due casi,
e su cui avremo taogo di dare nel seguito qualche detacidazione.
Una' curva multipla d’ordtae r si pud ritenere in generate come 1’in-
tersezione di’ r superficie о falde differenzialmente disttate in un
punto generico della curva, fa corrispondenza agli r piani tangenti
fa esso. Invece un punto multiple isolate appare di regola conico,
dove le rette aventi r + 1 intersezioni riunite con la superficie,
formano un cono d’ordtoe r, generaltoente irriducibile.
Ma si possono avere delle particolarizzazioni. Cost due о pfa
falde della superficie tango una curva multipla possono toccarst о
anche fondersi in una fulda d’ardine superiors: il pih semplice esempio
ё offerto dalla curva doppia cuspidale. D’altra parte fl соло tangente
fa un punto r-plo isolate pud spezzarsi о anche ridursi ad un piano ‘
contato r volte: I’esempio pih semplice ё offerto dal punto doppio
uniplanare.
Per dominare tutte le oomplicazioni cui possono dar taogo le
stagolarith della superficie, conviene definire i punt* multipli infi-
nitapiente vidni e le curve (proprie о infinitesivne) da questi coetituite,
come si fa per mezzo dei-rami di curve uscenti da un' punto (’).
In quest’ordtae di idee un punto uniplanare appare come un punto
doppio cui sono tafinitamente vieini tie punti dpppi fa direzioni
distfate. Il pifi semplice esempio di una curva (retta) doppia tafi-
nitesima, tafinitamente victaa ad un.punto multiple isolate, ё fl
tacnodo: схоё un punto doppio О tale che le sezioni piane per О hanno
accanto ad О un altro punto doppio tafinitamente victao. Ma noi
non vogliamo tadugiarci su questo argomento, per cui rimandiamo
alle citate lezioni di Embiques-Ohisiki.
2. Trasfonnazioiu razionali.
Si definisce una trasformazione raziouale dello spazio cui ap-
partiene la superficie / ponendo le coordinate Л, T, Z, funzioni
razionali delle y, «:
w X==21» 2==£42УЙ,
'/ ?.(v) 9>e(®ys)
(x) Cfr. Еггакгсгвз-Онвип, Op. oit., Libro IV, vol. II.
(*) Cfr. Ekbkjwbs-Chibihi, Op. oit. Libro IV, cap. IV.
INTRODUZIONB '
3
dove le 95 sono dei polinomi che possiamo supporre dello stesso
ordine. Per mezzo di questa trasformazione, che supponiamo non
degenere, ad ogni punto generico dello spazio corrisponde
un punto dello spazio (X YZ), e viceversa ad un punto (X ТЯ) cor-
risponde in generate un certo numero finite n (> 1) di punti (a?yz),
i quali si ottengono risolvendo le equazioni (1), in cui le ХТЯ ven-
gano assunte come date e le come incognite: per » > 1 i gruppi
di punti cosi ottenutiformeranno, nello spazio una involuzione
I„ d’ordine », cioft una serie di gruppi di n punti tale che ogni punto
appartenga in generate ad un gruppo.
Ora la trasformazione (1) porterft, generahnente gli oos punti
della superficie /(as, y, z) = 0 in 00* punti distinti, costituenti una
superficie Y, Z) =0 trasformata della /. Ad un punto gene-
rico di f corrispondete, dunque «л punto di V, e viceversa ad un
punto generico di Y eorrispondera, di regola «» punto di /, la tra-
sformazione riuscendo univocamente invertibile per i punti della
superficie > (x). Questa invertibilitA e le circostanze partieolari in
cui essa oessa di sussistere, esigond una spiegazione. Invero abbiamo
visto che la trasformazione (1), considerate fra i due spazi (xyz)
(XYZ), non ё in generate univocamente invertibile, anzi conduce
dai punti (YYZ) ai gruppi di n punti di una involuzione In nello
spazio (пеун). Ma se la / viene scelta in modo generate entro questo
spazio, essa non apparterte, all’involuzione In, eosicchb ad un punto
di f saranno coniugati, in I„, в — 1 punti fuori della superficie, e
quindi ad un punto generico di JF verranno a corrispondere per la (1)
un punto di f ed n —1 punti fuori di essa, descrivendo la superficie
ad essa coniugata rispetto ad I„.
Soltanto nel caeo che appartenga all’involuzione I,, owero
ad un’involuzione parzialmente contenuta in essa, la trasformata
di V si ridurrS, ad una superficie multipla, in corrispondenza [1, »]
о [1, ж] (да» < ») con f.
Ora, riferendoci al caso generale., in cui / e > sieno in corri-
spondenza biunivooa, conviene pur rilevare che la trasformazione
(1) ammette, in generate, delle eccezioni (’). Invero le fonnule della
trasformazione diventano indeterminate in tutti quei punti («у»)
per cui si annullino insieme le sp (cioS per i punti base del sistema
trasformante individuate dalle superficie == 0, <px — 0, — G,
— 0). Una eccezione di questo genere pub aver hiogo anzitutto
(’) Di qui la dietinaone fra traeformezione birazionale intercedente fra due
superficie e traeformazione birazionale о cremoniana, eatendibile allo spazio che
le contieae.
(s) Si tengano presenti le considerazioni analoghe relative alia traaformazione
delle, curve: Cfr. EiraxqtnBS-Ctasnsrx, Op. et., labro V, vol. III.
4
INTRODUZIONE
in un punto sempliee <ii/; altera quest© si trasforma in generale in
una retta о in una curva di J*, curva trasformata di un punto sem-
pliee, che si chiamerJb curva eeeezionale della superficie X.
Invece pub darsi che un.punto base del sistema trasformante
delle q> cada in un punto singolare di /. E se si.ha una eurva mul-
tipla di f su cui si annullino, contemporaneamente, le y, questa si
trasformerb generalmente m una eurva sempliee, ad ogni punto
r-plo .della eurva corrispondendo r punti distinti, in relazione alle
r falde di, / che passano per esso. Se invece un punto base delle y
cade in un punto multiple isolate О della f, queste si trasforma ge-
neralmente in una curva i cui punti rispondono ai punti infinita-
mente vicini ad O. .
Queste affermazioni cadono in difetto quando intervengono punti
e curve multipli infinitamente vicini ai punti singolari considerati.
In quest! cast i’efletto generate della trasformazione b di trasformare
in punti multipli propri i punti multipli infinitamente vicini del
primo ordine, e in generale di semplificare la singolarite, riducendo
da r ad r —1 l’intorno dei punti considerati, almeno quando si
supponga che le superficie p, passanti per un punto O, non abbiano
alcuna tangente fiesa in сопите.
Tuttavia la trasformazione che riesce a semplificare le singolaritb
di una superficie introduce in generate delie nuove singolaritA,
perchb vi saranno in generale ooK cdppie di punti della / dove le
X, T, Z riprenderanno lo stesso valore,. sicchb ad essi risponde-
raimo punti di una eurva doppia di JP.
Gib risulta, in sostanza, da un facile compute di- costanti. Se
le X, E, Z, debbono riprendere lo stesso valore nei punti (i, y, s)
e fas', y', «'), dovranno sussistere le 6 equazioni in 6 incognite:
^(жуг^Й'у'г') — = 0
уг(шуг)фв(.ж'у'ж') — ^s(®'f'e')^e(;ryg) =0
==0 '
le quali ammetteranno in .generate oo1 soluzioni ’ (seyxx'yfuori
delle- ©o’ soluzioni triviali
sb — so' У —y' s® == s' PJ-
In. casi particolari si potranno avere oo1 gruppi di pih che due
puqti di / cui rispondono i punti d’una eurva multipla di JP. Ma
f1) be prime tee equazioni deftriieoono tee ipersuperfteie dello spazio Se, che
hanno a oomune lo S3 (я = г', у = у', я = г') е, fuori -di queste, un» certa variety
a tee dimensioni V; la F viene ‘ interseoata -dalle variety eilmdriche f (xyx"j = 0
e /(as'y'z'J = 0 secondo una curva.
INTRODUZION® 5
potranno anche aversi curve di f su eui le X Y# restino costanti,.
cui rispondono punti multipli isolati di J1. В col compliearsi delle
singolaritS, di f, e ebn 1’intervento di altre circostanze particolari,
non si pub escludere la genesi di singolaritb, pih elevate per la X.
3. Superficie negli iperspazi: scioglimento delle singolari th.
La trasformazione dello spazio ordinario che sopra abbiamo
considerate si pub estendere definendo una trasformazione che
port! la superficie / in uno spazio S; a pin dimension!:
' у — SllSf) у — T. _ Уг(яуг) .
la superficie f(»yz) =0 si trasf ormerb, in una. superficie V dello
spazio Sr quale. b definita dalle formule scritte, e che d’altra parte
pub anche definirsi in vari modi come mtersezione parziale di va-
riety dell’iperspazio (x).
Anche per questa trasformazione si ripetono in gran parte le cose
dette per una trasformazione dello spazio che in generate la
trasformazione riesce biurivoca per i punti delle due superficie (e
non per gli spazi che le contengono), e che una curva multipla "
ordinaria di f, che sia base per il sistema trasformante delle super-
ficie si scioglie in generale diventando luogo degli r punti semplfci
che rispondono ai punti r-pli di / che la costituiseono; e similmente
si dica dei punti multipli isolati che si mutano in curve, ecc. ' ..
Ma qui, almend per r > 5, non si producono in generate nuovi
punti singolari .per la X, chb appuntb per r 2: 6 non esistono in
generale coppie di punti di f ove le X1; Xt, ..., X, riprendano lo
stesso valore, mentre per r = 4 si ha in generate un numero finito
di tali coppie che dlt luogo ad altrettanti punti doppi per la X.
S’ihtuisce per tai modo che si riuecirh sempre a eeiogliere le
singolaritb, di una superficie / e a trasformarla in un/altra dello spazio
Sr affatto priva di singolaritfi, ciob dotata soltanto di punti semplici.
Ma questa riduzione che riesce facile per le superficie dotate sol-
tanto di curve e di punti multipli ordinari (curve multiple a falde
distinte, e punti multipli isolati а соло osculatore affatto generate)
esige un esame pih miniito quando la / possegga singolaritfi infini-
tamente vicine, eomunque complicate. L’analisi che occorre a tai
uopo si pub decomporre tuttavia in due. parti: un’analisi nel senso
della geometria differenziale, dove si tratta di sciogliere le singolaritb>
definite nell’intorno di un punto О di una eurva dello spazio ordinario
ed in cut b lecito giovarsi di trasformazioni birazionali о cremoniane '
(l) Cft. Ешшдавв-Свасмжт, Op.. cit., libro I, J 2a.
в IUTRODUZIONB
dell’inter© spazio ; e successivamente un esame critieo delle nuove
singolarite, che possono venir prodotte dalla traeformazione stessa.
Ma quest’ultimo paseo, che. imports diffieoltft minuziose quando si
teatti della riduzione delle singolaritA coo trasformazioni birazionali
dello Ss (x), si pub evitare тетей una semplice osservazione di
B. LEVi:infatti, se la superficie'= 0 viene trasformata in un’al-
toa ~¥Z) == 0, la superficie dello spazio a 6 dimension! luogo
dei punti (®, y, z, X, T, Z) possiederh soltanto delle singularity che
rispondono alle singolarite comuni alle f e Ж
Коп й nostro proposito fermarei qui a spiegare la Riduzione delle
singularity delle superficie quale si й ottenuta rigorosamente anzi-
tutto da B. Levi, e ci limiteremo ad enunciate il risultate fondamen-
tale cui si perviene, rimandando per la dimostrazione alle principal!
memorie che la contengono e la svolgono in different! maniere (’).
Una swperficie f dotata di singolarita fualsianai si pud setnpre
trasformare birasionalmente in un’ultra priva di smgolaritd, appar-
tenente ad uno spazio a cinque dimensioni.
4. Superficie dotate di emgolarith normal!-
’ Data una superficie con singolarith qualsiansi si cominci anzi-
tutto a trasformarla in una X dello spazio Ss affatto priva di punti
multipli. La jp, proiettata successivamente da due punti sullo
spazio - ordinario, ci darft in questo un’immagine . Ф della su-
perficie data. Si tratta di esaminare quali earanno le singolarith
di Ф quando. la proiezione di J* sia fatta da due punti generic!.
Vogliamo dimostraro che la Ф possiederh soltanto una curva doppia
nodale (piani tangent! generalmente distinti), dotata di punti tripli
che .sono pure tripli per la superficie.
Й chiaro anzitutto che questo ё il tipo delle singolaritd normali,
che avr& in generale una superficie dello spazio ordinario, ottenuta
come proiezione di una superficie dello spazio a pih dimension!,
priva di punti singolari; cid risulta da un semplice compute di co-
t1) Problem» risoluto da О. Снхвхж, in Memorie Acc. Bologna, 1921.
B. Lbvi, Bisoluxione delh' eingolantd puntuali deUe superficie algebriche.
Atti Aeo. Torino, 1897 (cfr. Axm.> di Mat. 1897).
О. СЯ8И1, ' La riaol-uzione deBe singolariifl delle superficie mediante trasfor-
maxioni birazionali dello spazio. Memorie Aco. Bologna, 1921.
Q. AbBAwesa, 'Prasformazione birazionale di una superficie algebrlca qualanque
in un’altra priva di punti multipli. Giro. Mat. Palermo, 1924.
R. J. Wamebr, Bedaation of singularities of an algebraic surface. Annals of Math.,
1935.
O. ZABtsKi, The reduction of the singularities of an algebraic surface. Ann. of
Math., 1939. Cfr. Annals of Math., 1941. . .
INTRODUZIONE
7
stanti. Si osservi infatti che le corde di una superficie dello spazio
8r sono sempre oo* e quindi per r ='6 vi ft un numero finite di corde
passanti per un punto, mentre per т == 4 ve. ne sono oo1. Quindi,
proiettando la J1 da un punto generico dello Ss, la superficie pro-
iezione J?' aoquisterft, in corrispondenza delle corde della J pas-
santi per il centre, un numero finite di punti doppi; proiettando
poi la JP da un punto generico dello la superficie proiezione ac-
quisterft una curva doppia (apparent») sulla quale andranno a cadere
x punti doppi della J!'. In aitre parole, per due punti dello St, о
per la retta che И congiunge, passerft una serie oo1 di piani che m-
contrano la > in due punti e un numero 'finite di piani che la incon-
trano in tre punti, sicchft la proiezione di S’, fatta da quei centri,
possiedera appunto una curva doppia nodale dotata di punti tripli,
tripli insieme per la curva doppia e per la superficie.
Tuttavia si pud dubitare che, per una particolare superficie
dello 8S, sia pure priva di punti multipli,‘la proiezione fatta da due
punti generiei dello 8, venga ad acquistare singolaritft pit elevate,
cioft: una curva multipla anzichft doppia, ovvero dei punti multipli
pih che -tripli per la curva doppia; Per esdudere il prime dubbio
basta notare che le oo* corde di una superficie di uno spazio qualunque
a pitt di' tre dimensioni non possono essere trisecanti, poichft altri-.
menti anche le corde di una curva gobba seziohe iperpiana della
superficie sarebbero trisecanti, il che ft impossibfle (*). Da cift segue
che per un punto generico dello Ss non possono passare trisecanti
della J?, e che quandd la P sia proiettata da un punto generico in
una I” dello 8t, per un punto generico di questo non puft passare
che un numero finite. di trisecanti.
Resta da dimostraro che scegliendo in mode .generico i centri di
proiezione nello 8t, non puft accadere che i piani trisecanti per i
detti centri incontrino la superficie V in pitt che tre punti e quindi
la curva doppia della proiezione Ф possegga, in luogo di punti tripli,
punti di molteplicitft pih elevata(’). Percift basta eseludere che tutti
i piani cui- s’imponga d’incontrare la superficie in tee punti vengano
a incpntrarla di eonseguenza in quattro о pitt -punti. Infatti, se ogni
piano trisecante la J’ multi quadriseeante, lo stesso accadrft per
ogni .curva gobba sezione iperpiana di > (la quale пои pub appar-
tenere ad un 8Я) e quindi anche la proiezione di questa fatta da un
suo.punto sullo 8t dovrft dare una curva di cui ogni corda risulta
trisecante, cift che abbiamo gift ricordato esser impossible.
P) Cfr. Еишчтаа-Сжиип, Op. cit., Libre III, cap. IV, §43, .vol. II, peg. 289.
(®) Cfr. JF. Еимдаа, SuUe aingolarith che naeoono per profession® it me euper-
ficie о variety tdgebriaa, in Soritti matematici offerti a Lvioi Впиохш, Pavia,
1930, pag. 35-1.
8
INTRODTTZIONE-
In tai guisa viene rigorosamente dimostrato un teorema fonda-
mentale gift, riconosciuto dal Koetheb (1888):
‘ Una superficie con singolaritd gualsiansi pub sempre trasformarsi
in un’altra delio spazio ordinario dotata soltante di singolaritd normali,
cioi di una -curva doppia nodale che possiede in generate un numero
finite di punti tripli, i quali sono pure tripli per la superficie.
ba detta curva doppia potrA possedere anche un numero finite
di punti doppi (inorocif provenienta dalle corde della superficie di
8t proiettata sullo 8S che siano doppie per il cono .delle corde pro-
iettanti. •
Giova anche ricordare che sulla detta curva noddle vi sarS, in
generale un numero finite di punti cuspidali (pinch-points) nei quali
le due falde lineari della superficie' si fondono in una falda del se-
eondo ordine, e che riescono punti base semplici per le curve in-
tersezioni variabili delle superficie polari.
. Nel seguito, dovendo svolgere una teoria deUe superficie in cui
si ricercano le propriety invariant! per trasformazioni birazionali,
potremo sempre riferirci ad una superficie modello priva di eingo-
laritfc dello spazio a 6 dimension!, owero ad una superficie dello
spazio ordinario dotata delle singolariti normal!, di cui nel prece-
dents enunciate. In quest’ultimo caso un punto biplanare della
curva doppia. dovti ritenersi come la sovrapposizione di due punti
semplici, i cui intomi corrispondono alle due falde, coal come nella
teoria invariantiva delle curve -un nodo viene considerate come la
sovrapposizione di due punti appartenenti M due rami.
5. Nota. . /
Cid che si 6 detto in ordine alia trasformazione di una superficie
in un’altra dello spazio ordinario, dotata di singolaritS .normali,
' pud preciearsi nel senso che: ё lecito supporre che la trasformata Ал
una qualsiasi superficie sia dotata di curva doppia irriduoibile, la
quale possegga, come si $ detto, un certo numero di punti tripli,
tripli egualmente per la superficie e per la sua curva nodale.
Esporremo la dimostrazione. di questa propriety (*) ammet-
tendo not! i prineipii della teoria dei sistemi lineari, che vengono
esposti nei primi paragrafi di queste lezioni.
A tai uopo conviene partire da una superficie priva di singolarit&
nello spazio 8$, о meglio da una J* che sia proiezione generica di
questa nello.8*, e percid dotata soltanto di punti doppi impropri
(*) Cfr. A. EejUfCHBTTi, Suite вита ‘dofpia della proiezione H una superficie
generate deUo S4 da un punto generis® su wo Headio. B. Aoo. d'Italia, 1941,
v. anche i Rend, dell’Ace. dei Linoei, e. VTH, vol/П, fane. 3; 1047.
INTRODUZIONB
9
ordinarii, eiascuno dei quali pud ritenersi come una singolaritfe
apparent®, rappresentando una coppia di punti sovrapposti di-
stinti. Conviene esaminare le singolarita di una superficie Ф dello
spazio ordinario, proiezipne della J* da un punto generico О dello
St: in quail cast posaa accadere che la curva doppia di Ф rieeca
sempre ridhcibile al variare del centre di proiezione O.
Questo esame conduce a stabUire che: se una superficie V, do-
tata di punti doppi impropri ordinarii nello B^ viene .proiettata
da un punto generico in una Ф dello S8, la cui curva doppia sia
riducibile, la J? й una proiezione della superiieie di Veronese (su-
perficie del quarto ordine di Ss_ rappresentata sul piano'del siste-
ma 00s delle coniche). . "
Per giungere a questo risultato conviene premettere il seguente:
Lemina: non esistono superficie dello’ St possedenti co3 coppie di
piani tangenti, incident! Secondo una retta, in modo che le rette
che congiungono i loro’ punti di eontatto riempiano tutto lo spazio.
' ‘ Sia JP un punto generico di V e я il piano ivi tangente. Per ipo-
teBi esistono 00х piani’ tangenti ad F ed incident! я in rette; i loro
punti di eontatto formano una curva, eventualmente riducibile, di
cui consideriamo una oomponente <7. Sia Q un punto di essa, e Q' il
punto infinitamente vicino a Q su С. I piani tangenti ad J? in Q
e Q' segano я in rettep quindi ciascuno di. essi-glace in un 8*
con я. Ma il piano tangente in Q' eontiene Q, quindi i detti piani
determinano -con. n un unico 8S, il quale й tangente ad in’ tutti
i punti 'di C. Al variare di P, la curva 0 descrive un sistema (al-
meno) 00*;- e se, come- si b supposto, la'superficie P non appartiene
ad un j8s, qgnuna di quest® curve £7, dovendo stare nello St da essa
determinate, e nello 8t determinate-dalla curva infinitamente yicina,
b contenuta in un piano (potendosi riduxre, in particolare, ad una
retta); i piani di due curve (J infinitamente vicine stanno ip un 8t,
Si conclude che una superficie per cui valga 1’ipotesi ammessa, й
rigata, о eontiene 00х curve piane i cui piani formano una svilup-
pabile. Hel prime caso le rette che congiungono i punti di eontatto
di due piani incident! in rette sono le generatrici della rigata; nel
secondo sono le rette dei piani della sviluppabile; in nessuno dei
casi esse riempiono lo 8t. - . -
Cid post© si abbia in 8t una superficie Э1, dotata soltanto di un
numero finito di punti doppi impropri ordinari, la cui proiezione Ф
fatta.da un punto generico О possegga una curva doppia riduci-
bile; diciamo anzitutto che questa curva deve essere connessa, ciob
format» di due о pih parti aventi qualche punto comune. Invero
le curve doppie apparent!--.
C = SIL
che riapondono agli insiemi di codeste parti X, fovnam un sistema.
10 < ' INTRODUZIONB
razionale (о almeno unirazionale) i cui elementi corrispondono ai
punti О dello spazio В*, e percid le C appartengono ad un sistema
linear® di curve su J* (x). Se tale sistema ё irriducibile, le C riduci-
bili che ne fan parte debbono essere eonnesse (»); se invece tutte le
O' del detto sistema lineare sono riducibili esse' vengono composte
con le curve Ж di un fascio, non. aventi fra loro interBezioni varia-
bili. .
Ma questo ease non. pud presentarsi' perchd due curve Ж eonte-
nenti due eoppie di punti di J1 come ААг e AAt lian.no certo (in A)
un punto comune; e si awerta che esse non possono coincidere
in una medesima eurva poichft al variare di Л.» questa verrebbe
a contenere tutti i punti della superficie.
Pertanto si ё condotti ad esaminare se e come la superficie Ф,
proiezione di P da un punto generico 0, possa avere una eurva doppia
composts di due о pib parti fra loro eonnesse.
Un punto di cdnnessionq di tali parti potrb essere:
1°) un sempliee ineroeio, ciob un punto doppio comune a
due rami semplici, che pertanto risulterb un tacnodo per la super-
ficie, owero .
2°) un punto triple, per cui paseino tre rami della curva
doppia, due dei quali possono a priori anche appartenere ad una
medesima componente irriducibile.
_ 1°) Un punto P comune a due rami semplici della curva doppia
0 di Ф sarb in generale proiezione di due punti P e P' allineati col
centre О di St, e si vede tosto che i piani tangenti ad Jin P e f'
appartengono allo stesso iperpiano che ha per traccia il piano tan-
gente а Ф in _P, e che quindi sono incident! secondo una retta. Ma
siccome ii punto doppio P di C viene supposto esistere per ogni
posizione del centre O, la superficie P dovrebbe possedere oo® cop-
pie di piani tangenti incident! e le rette che ccmgiungono i punti
di contatto di queste coppie di piani dovrebbero riempire tutto lo
spazio; eid ё assurdo per il lemma premesso.
Un esame specials esige il casb .in cui i punti P e P' aiano infi-
nitamente vicini, cadendo dunque nei punti che una tangente per
0 ha comuni eon la superficie P. In questo caso il punto P, ineroeio
dei due rami della curva doppia di Ф, ватй. sempre un tacnodo per
Ф, per modo che ogni piano per P segherft Ф in_una eurva avente
ancora un punto doppio infinitamente vicino a P. Segue di qui che
(1) Teorema etabilito per le eerie razionali di gruppi di ptuati eopra una curva
ed esteso alls variety da EwaiQtrse. Cfr. Екгадагив-СкхвпяХ op. oit., Libro V,
cap. I, f 0, vol, III, pag. 78 (cfr. pag. 485). ’
(®) Prinoipio di degeaerazione. Cfr. Езяшчггвв-Снипп, Op. eft., Libro V,
cap. Ш, § 39, vol. Ill, pag. 405.
INTRODnziONB
II
1’iperpiano proiettante da О il piano tacnodale di Ф deve segare
J* secondo Tina curva che ha quattro intersezioni con ogni piano per
la tangente P P' e quindi possiede P e P' come punti doppi; salvo
ad esaminare i casi partieolari in cui la molteplicith effettiva di P
diventi superiore alia molteplicita virtuale 2, abbassandosi invece
la molteplicitd, di P'. L’ipotesi a. cui si riferisce il nostro discorso
import» che, movendosi О nello spazio si-‘abbia sempre per esso
una tangente, diciamo p, incontrante P in due punti infinitamente
vicini, che sarebbero doppi per la sezione con 1’iperpiano tangente in
P; .quindi, ognuno degli oo3 iperpiani tangenti ad P dovrebbe toecare
la superficie io due punti- P e P' infinitamente vicini., Ma ft facile
vedere che questa propriety non pub competere ad lina superficie
P di Ss.; infatbi una proiezione generica di questa sullo 8* sarebbe
tale che ogni suo piano tangente sarebbe tangente ad essa anche in
un punto infinitamente vicino, e percid tisulterebbe essere una
svfiuppabile; allora anche la superficie di 8t di cui essa fe proie-
zione dovrebbe essere sviluppabile, e tuttavia una sviluppabile di
8t possiede soltanto oox e non oo‘ iperpiani che la toccano in due
punti infinitamente vicini.
La conclusione di questo discorso i> di dimostrare impossibile
I’ipotesi che abbiamo fatto, ciod che la proiezione della nostra su-
perficie J* da un punto generico О di 8t sia un-а Ф la cui curva doppia
si componga di due component! che si incrociano in un punto P,
immagine di due punti infinitamente vicini P e P' di P. Senonchd
occorre esaminare il caso particolare a cui si d innanzi accennato:
che in luogo di un iperpiano tangente in P la cui intersezione~con
P abbia -due punti doppi P e P’, s’incontri un iperpiano tangente
la cui sezione abbia in P un punto triple e in P' un punto sempliee,
owero soltanto in P un punto quadruple. Dei due casi nhe qui si
presentano il primo non dd luogo ad eccezione nel ragionamento
preeedente, perchd dovranno aversi ancora oo’ iperpiani tangenti
ad P che la tocchino.pure (virtualmente) in un punto infinitamente
vicino. Invece occorre fermarsi un momenta sulla seconds ipotesi,
in cui si avrebbero a priori non pih oo3, ma -oo’ iperpiani secanti
la P secondo curve dotate di un punto quadruple. Di fatto questa
ipotesi non pub presentarsi perchd una superficie dello tale che
per ogni punto di esso si abbia un iperpiano tangente che la seghi
secondo una curva dotata di punto quadruple, una tale superficie
— diciamo — non pud appartenere allo 8t, ma -giace interamente
in uno spazio 8t. Giacehd le curve sezioni iperpiane di essa sono tali
che il piano osculatore in un punto qualsiasi ha con la eurva stessa
un contatto quadripunto, e percid sono curve piane.
2°) Un punto P che sia triple per la eurva doppia O' di Ф e punto
di connessione di component! irriducibili di questa, pub essere:
12
INTRODUZIONE
a) punto semplice comime a tre component! irriducibili di O;
owero _
ft) punto semplice per una cpmponente irriducibile di G, e
doppio per un’altra, ‘ _
a) Nell’ipotesi a) fl. punto P sarft groiezione di ,tre punti di
diciamo P1} P8, P9; e le component! Жг, Kt, K.t della C per cui P
ft punto triple saranno proiezioni di tre curve, rispettivamente
X-l, -Ks, per cui si pud ritenere che la prima pass! per i punti
P4 e P|; la seconds per P, e P, e la terza per Pt e Pa.
Rioordiamo che la_superflcie Ф proiezione di P deve avere una
singolaritft simile a P, comunque il centre di proiezione 0 van
nello St, e in particolare se esso si faecia muovere sulla retta PXPSP8.
Ora, in corrispondenza a tale variazione di O, potrft accadere che le
curve doppie apparent! .KyijKg su P restinp fisse, oppure variino
con O. Se una di esse, per es. Kt, resta flssa, si deduce che essa fe
una conica: infatti, per essere sempre la curva Kt proiettata nella
medesima curva, bisogna che ogni retta congiungente un punto
di Kt con un punto della retta PJP№ incontri in un altro punto
JTM, ,e quindi la Кг risulta appartenente ad un piano per la retta
P»PS; una curva-piana che si proietti come questa in una curva
doppia (e non di molteplicitft superiore) dev’essere una conica, e
percib la superficie J; possedendo oo® coniche, dovrft, essere proie-
zione di una superficie di Veronese,
Gonviene ora esaminare 1’ipotesi che la curva Jfj varii al variate
di О sulla retta PJPa. In tai caso, per una conveniente posizione di
O, la verrft a passare anche per il punto Рг di codesta retta, e si
avrft corrispondentemente una superficie Ф dotata di un punto
triple particolare P, nel quale due falde, per es. quelle corrispondenti
agli intorni di J?j, e Ps, riescono fra loro tangenti. Ma cib importa
che i piani tangenti ad К in P, e Pt s’incontrino secondo una retta.
Selle nostre ipotesi dunque la X verrft ad avere oo® coppie di piani
tangenti incident! fra loro, in modo che le rette che congiungono
i punti di contatto di quest® coppie di piani riempiono lo spazio
Se, e cib & escluso dal lemma.
ft) Esaminiamo ora l’ipotes£in cui il punto triple P di Ф sia
semplice per una component® e doppio per una componente
Kt della curva doppia. Le Кг e Ж, saranno proiezioni di due curve
doppie apparent! Kx e Kt di P, di cui la prima potrfi supporsi. passare
semplieemente per.P, e P3, mentre la-seconds passerft semplieemente
per Ра e Ра e doppiamente per Pt. Ora, facendo variare il centre di
proiezione О sulla . retta РхР^Рв, potrft accadere che la curva Kx
resti flssa owero che varii eon O. Se resta flssa si conclude come prima
che ё una curva piana, e quindi una conica, donde segue che la Ф
В proiezione d’una superficie di Veronese. Se invece la Kx. varia con
INTRODUZIONE
13
О, per una qualche posizione di questo, essa_viene a passare anche
per Pt: la singolarito, che la Ф presents in P risulta ora un punto
triple in cui almeno due falde si toccano, e pereid i piani tangenti
ad J* in due punti come Pj e P, risulteranno incontrarsi secondo una
retta: la J* possiede oo3 eoppie di piani tangenti incident! e si
ricade nel caso giA escluso.
Da tutto cih .che precede risulta che la proiezione nello spazio 8г
di una superficie dello St priva di singolaritd possiede in generale una
curpa doppia irriducibile; fa eecezione soltanto il c-aso di una super-
ficie di Veronese ohe di folio .si proietta nella superficie di Steiner,
dotata di tre rette doppie passanti per un punto triple.
t
Олмтоьо • I,
SISTBMI LINEABI DI CUBVB
1. Fasci lineari.
i
Sia F una superficie che, per sempliciti di discorso, supporremo
appartenere allo spazio ordinario ed essere dotata delle singolaritSb -
normal! definite nella precedents introduzione.
Oonsideriamo una funzione razionale t del punto variabile an
F che non. si riduca ad una costante:
(1) •
<== ЙЯЙ
Per ogni valore determinate t —ts esisteranno punti di F in
cui la t assume quest© valore: il loro luogo 0 si dir& uha «г» di
livello della funzione razionale t sopra F. Al variare di t- si avrfi> su
F una semplice infinite di curve di livello che si dice costituire un
fascio lineare. Tra le C del fascio figure la сипа degU seri, ciob la
eurva <p = 0 che risponde a t = 0, e la сипа dei poli, cioft la у = 0
per cui t — oo.
Nel caso che quests due curve abbiano una parte in comime
F, la К su cui t assume forma indeterminate, pud ritenersi come com-
ponente fissa delle (7, о were togliersi da tutte le C.
Le definizioni date innanzi sono perfettamente analoghe a quelle
che si rif eriscono alle curve ed alle serie su di esse, e daxmo luogo
ad osservazioni simili. IJ fascio delle <7 definite dalla (1) 6 date ugual-
mente dalla funzione razionale
la sostituzione razionale ha il solo effetto di cambiare il valore di
t che corrisponde ad ogni singola eurva О; pertanto tutte le <7 figu-
rano ugualmente nel fascio e cost la eurva degli zeri come quella
del poli non hanno per esso alcun significato particolare. Date il
16 ' CAPITOLO PRIMO
fascio, m funzione razionale che vi corrisponde testa determinata
dalla seelta arbitraria delle curve т = 0 e r = oo, ed insieme della
curva units, т —1, questa seelta determinando la sostituzione
preeedente. Se per due funzioni ter coineidono la curva degli zeri
e dei poll, esse differiseono per una costante moltiplicativa.
Notiamo inoltre che la funzione razionale (1) fe definita soltanto
rispetto al modulo F. Cost due diverse funzioni dovranno
ritenersi identiche sopra J quando sia per tutti i punti di J’:
i = 21-
V Vi'
ciofe
(2) . «и 0 (mod, F)
ossia ' .
У V1 — Wi = -A-F!
dove J. rappresenta un polinomio.
be curve C di un fascio lineare hanno tutte lo stesso ordine; se
per una di esse 1’ordine si riduce apparentemente, vuol dire che la
curva si 6 spezzata e contiene una parte all’infinito. Per eliminate
la riduzione apparente, quando non si voglia ricorrere ad una tra-
sformazione proiettiva della superficie, basta far uso di coordinate
omogenee y1( a?8, ®a, aq. Oosi ad esempio nella (l),.se il polinomio
<f> era di grado inferiore a y, passando a coordinate omogenee, у
viene moltiplicato per una conveniente potenza di e diventa
quindi manifesto che la curva degli zeri viene a contenere .anche la se-
zione di J1 col piano all’oo (®4 ==()) contato un certe numero di volte.
La definizione di fascio lineare di curve ' C ha un sempliee si-
gnificato proiettivo: invero 1’equazione
(3) . ' y(^) —ty(®ye) = 0
rappresenta un fascio di superficie le quali segano la J* lungo le
curve <7; e la (2) dice che lo stesso fascio di сипе рмд essere. segato
sulla F da diver si fasci Ai superficie.
'll fascio delle superficie (3)-avr& una curva base Г la quale in
generate non apparterrft ad F- ed incontrerft, F in un numero finite
di punti. Questi punti base del fascio lineare di curve 0 sono punti
di indeterminazione essenziale per la funzione -razionale (1).
Infatti la funzione, che in un punto base assume la forma ,
possiede ivi una singolarhA non eliminabile: se invero si cerchi di
definite ivi eodesto valore con considerazioni di limite, il valore cosi
definite per continuity sari diverse quando ci si awicini al punto
base sopra curve C diverse. .
SISTEMI LINEAR! DI CURVE . 17
Un punto base per le curve C di un fascio lineare potrft avere per
le 0 una certa molteplicitd. i > 1 e in tai caso si dirt. un punto base
i-plo del fascio.
Infine potri, accadere che la curva base Г del fascio (3) owero
una parte X di essa, se ё riducibile, giaccia sopra >; aUora (come gib
si ё detto) X si potr& considerate come component© fissa delle curve
C del fascio '{riducibile), ma si pud anche prescindere da Z e ritenere
fl fascio delle 0 come costituito dalle sole intersezioni variabili
della JF colie superficie (3).
2. Fasei irrazionali.
Un fascio lineare di curve C sopra F viene caratterizzato geo-
metricamehte dalle propriety seguenti:
1) ё una serie (algebrica) oo1 d’tndwe 1, ciob tale che per ogni
punto generico di F passi una C-,
2) tale. serie ё razionale, с!оё pud porsi in corrispondenza
biunivoca algebrica con una retta punteg^iata о con la serie dei
valori di un parametro t. -
Tnfatti la t cost definita riesce una funzione univoca e percid
razionale dei punti di F e le curve О sono per essa curve di livello.
Se si chiama fascio una serie di curve <7 che, sia d’indice 1, ciob
goda. della propriety 1) si pud dire dunque che ogni fascio ragionale
й lineare. ' ,
Ma possono aversi sopra una superficie anche dei fasei IrrazionaU,
le cui curve costituiscono gli element! di, un ente- algebrico non ra-
zionale, avente un certo genere p > 0. .Cos! per esempio le gehera-
trici di una rigata, (le cui sezioni plane sono) di genere p, formano
appunto un fascio irrazionale di rette.
Si pub costruire un esempio di superficie che abbia un fascio
irrazionale di curve di genere p, intereecando con una variety qual-
siasi dello St un cono di seconds specie costituito dai piani dello
S* stesso che proiettano da' una retta' i punti di una curva di genere p.
Conviene rilevare che un fascio di curve, appartenente alia super-
ficie F, ё certo razionale se possiede un punto base in un punto sempliee
per la superficie. - ' ' '
Infatti se il punto base О ё sempliee per le curve О di un fascio,
la serie delle C si, trova in corrispondenza biunivoca col fascio delle
tangenti in О. E se invece il punto ё i-plo per le C fi > 1) allora le
C corrispondono in generale ai gruppi di un’involuzione d’ordine
i nel fascio delle tangenti anzidette, e questa involuzione ё razionale
(teorema di Luroth) f1).
(») Cfr. Е»1«иж8-Снхвпя, Op. oit., Libro II, cap. I, | 3," vol I, pag. 187.
Enriques T. - S’itperjJ.cie algebriche.
2
16
CAPITOW WtIMO
fascio, una funzione razionale che vi corrisponde resta determinata
dalla seelta arbitraria delle curve r =0 e r = oo, ed insieme della
curva unity r == 1, quests seelta determinando la sostituzione
precedente. Se per due funzioni ter coincidono la curva degli zeri
e dei poli, esse differiscono per una costante moltiplieativa.
Notiamo inoltre che la funzione razionale (1) fe definita soltanto
rispetto al modulo JVOosl due diverse funzioni ~ e dovranno
ritenersi identiche sopra J1 quando sia per tutti i punti di Ft
(2) , ss 0 (mod. F)
ossia '
yyi —• = AFf
dove J. rappresenta un polinomio.
Le curve C di un fascio lineare hanno tutte lo stesso ordine; se
per una di esse 1’ordine si riduce apparentemente, vuol dire che la
curva si ё spezzata e contiene una parte all’infinito. Per eliminate
la riduzione apparente, quando non si voglia ricorrere ad una tra-
sformazione proiettiva della superficie, basta far uso di coordinate
omogenee a;ll atlf ®3, Cost ad esempio nella (l),.se il polinomio
era di grade inferiore a passando a coordinate omogenee,
viene moltiplicato per una conveniente potenza di aq e diventa
quindi manifesto ohe la curva degli zeri viene a contenere anche la se-
zione di F col piano all’oo (®4 ="0) contato un certo numero di volte.
Ta definizione di fascio lineare di curve "C ha un semplice si-
gnificato proiettivo: invero 1’equazione
(3) . ' —<у(ам/я) = 0
rappresenta un fascio di superficie le quali segano la F tango le
curve C; e la (2) dice che to stesso fascio di curve pub essere.segato
sulla F da diversi fasci di superficie.
'11 fascio delle superficie (3) avrh una curva base Г la quale in
generale non apparterrS. ad F ed incbntrert. JF in un numero finite
di punti. Questi punti base del fascio lineare di curve <7 sono punti
di indeterminazione essehziale per la funzione razionale (1).
Infatti la funzione, che in un punto base assume la forma ,
possiede ivi una singolarit& non eliminabUe: se invero si cerchi di
definire ivi codesto valore con considerazioni di limite, il valore cosi
definite per continuity вагУ diverse quando ci si awicini al punto
base sopra curve (J diverse.
SISTEMI 1INEASI 01 CURVE W
Un punto base per le curve C di un fascio lineare potrA avere per
le 0 una certa molteplieita i > 1 e in tai caso si dirA un base
i-plo del fascio.
Inline potrA accadere che la curva base Г del fascio (3) owero
una parte Ж di esSa, se ё riducibile, giaccia sopra Ж; allora (come gift
si ё detto) Ж si potrA considerate come components flssa delle curve
0 del fascio '(riducibile), ma si pud anche prescindere da X e ritenere
il fascio delle О come costituito dalle sole intersezioni variabili
della > colic superficie (3).
2. Fasei irrazionaB.
Un fascio lineare di curve 0 sopra Ж viene chratterizzato geo-
metricamente dalle propriety seguenti:
1) ё una serie (algebrica) oo1 d’iwdtce 1, cioft tale che per ogni
punto generico di J? passi una C;
2) tale. serie ё razionale, с1оё pu6 porsi in eorrispondenza
biunivoca algebrica con una retta punteggiata" о con la serie dei
valori di un parametro t. ' '
Infatti la t cost definita rieace una funzione univoca e percid '
razionale dei punti di JP e le curve C sono per essa curve di livello.
Se si chiama fascio una serie di curve C che. -sia d’indice 1, oiofe
goda della propriety 1) si pud dire dunque che ogni faecio rationale
i lineare. . , .
Ma possono aversi sopra una superficie anche dei fasti irrazionali,
le cui curve costituiscono gli elementi di un.ente algebrico non ra-
zionale, aventc un certo genere p > 0. Cosi per esempio le genera-
trici di una rigata (le cui sezioni plane sono) di genere p, formano
appunto un fascio irrazionale di rette.
Si pud costruire un esempio di superficie che. abbia .un fascio
irrazionale di curve di genere p, intersecando con una varietA qual-
siasi dello St un cono di seconda specie costituito dai piani dello
St stesso che proiettano da una retta i punti di una curva di genere p..
Conviene rilevare che un fascio di curve, appartenente alia super-
ficie >, & certo razionale- se possiede un punto base in un punto semplice
per la superficie. - ' . •
Infatti se fl punto base О ё semplice per le curve C di un fascio,
la serie delle C si trova in eorrispondenza biunivoca col fascio delle
tangenti in О. E se invecc il punto ё i-plo per le О (i > 1) allora le
0 corrispondono in generale ai gruppi di un’involuzione d’ordine
i nel fascio delle tangenti anzidette, e quests involuzione ё razionale
(teorema di Lfiroth) (x).
(x ) Cfr. KimiQims-CHisiisri» Op. oit., bibro II, cap. I, § 3, vol I, pag. 167.
Enriques E. - Super&cle algebriche.
2
18
CAPITOLO PRIMO
Tuttavia questo ragionamento pud cadere in difetto se le curve
C abbiano in O. tangenti fisse, ciod posseggano come punti base,
non soltanto O, ma an che altri punti ad esso inflnitamente viemi-
Per eliminate Feccezione basta osservare che procedendo sopra un
ramo di una <7 fine ad un ordine r oonvenientemente elevate si
trovers un primo punto 0r, appartenente all’intorno r-mo di Q,
suscettibile di' deserivere liberamente Fintorno del punto base
Or_i, che, come Fintorno di 6, costituisce un ente razionale: se
О,_ж ё un punto base semplice, le curve 0 coriispondono biunivo-
camente ai punti Or del detto inferno-; se Or_i ё i-plo e gli succe-
dono pih punti liberi, Oft le C rispondono ai gruppi di un’involuzione
descritta da questi gruppi di punti.
3. Siatemi lineari.
La definizione del fascio lineare di curve sopra J* si pud genera-
lizzare considerando i sistemi lineari il dimensione v > 1.
Un sistema lineare o6r di curve 0 viene segato sopra > da pn
sistema lineare di superficie (o di ipersuperficie)
(1) Яо^о 4- At?5! 4“ • • + Ла^>к =0;
la dimensions r riesce minore di R quando nel sistema- (1) vi sono
oo* superficie che contengono come parte la JF, e allora r — R — Л ^-1.
Per i sistemi lineari pih volte infiniti ) <7|, come pel fascio, si
deflniscono le curve eomponenti fisse delle О e i punti base di | C\;
un punto base ё un punto commie a tutte le C, dove si annullano
contemporaneamente le <p. ,
Un sistema lineare 1O.| si pub definite in modo intrinseco indi-
pendentemente dal carattere proiettivo della superficie, cosi come
si ё fatto per il fascio lineare. Pereib si considerino r funzioni razio-
nali del punto variabile di P le quali abbiano tutte la stessa. eurva
polare e che supporremo rappresentate da
tj == — — — ... tr— ,
9o V» ' Fe
ammettendo per semplicitb di discorso che esse siano linearmente
indipendenti sopra JF, sicchb non sia possibile taovare.r + 1 costanti
(non tutte nolle) aSf alt ...} ar, per .cui si abbia identicamente
+ •.. + Or<pr ss 0 (mod. P).
Allora la eurva di livello dellh funzione .
to 4- -f* • • 4~ ^rtr
descrive il sistema lineare [ C| di dimension© r.
In questo senabra assumere una posizione special© la eurva
polare ma si pud ecegliere come tale una eurva qualunque del
SISTEMI LINEARI DI CURVE 10
sistema, giacchft ad uno stesso sistema | C] rispondono Infiniti si-
stemi lineari di funzioni che si deducono 1’uno dall’altro con. sosti-
tuzioni lineari.
La dimension© r del sistema lineare [ C | riesce definita geometri-
camente dalla propriety che segue: per r punti generici della superficie
passa una ed una sola eurva del sistema.
Un sistema lineare C si dirA> irriducibile se la eurva generica <7
di esso e irriducibile. Per un sistema lineare irriducibile ] 0 | si dir&
genere effettvvo il genere della sua eurva generica-, e grain effettivo
.il numero delle intersezioni variabili di due C generiche. Per r == 1
il grade 6 nullo, poichb ogni punto comtme a due curve del fascio
is un punto base che appartiene a tutte le C. '
Pra la dimensione r e il grado » di un sistema lineare -| 01 sus-
siste la diseguaglianza r n -f- 1) infatti la serie segata sopra una
qualunque 0 di | C | dalle rimanenti curve del sistema, fuori dei
punti base, ё una g* *-1, per cui si ha r — 1 < n.
La serie lineare g*-1, definita sopra una eurva generica C, ha fon-
damentale importanza nello studio del sistema . lineare e dicesi
serie earatteristica di |<2| (*).
. Il grade' effettivo di un sistema lineare di curve, resta anche
definite per un sistema di curve riducibili che sia privo di parti
fisse. Ora si pub dimostrare che il grado vale « > 0 a meno che il
sistema stesso non sia un fascio lineare', owero le sue curve siano
composte con. quelle di un fascio (razionale о no).
Infatti se n =0 tutte. le curve C dei sistema che passanq per
un punto generiqo dovranpo coincidere in una sola (dimensione
r = 1); oppure dovranno avere in сопите una eurva K, e 1’insieme
delle К costituirb un fascio, .razionale о no, con. cui le 0 vengono
composte. . .
4. Propriety. earatteristica dei sistemi- lineari. .
Abbiamo rilevato che, essendo [О| un sistema lineare di dimen-
sione r sopra la superficie Д per r punti generic! di passa una ed
una sola eurva C. Questa propriety ё earatteristica per r > 1 (“),
(!) La_ serie earatteristica di un sistema lineare ё etata introdotta da С. Вяажв
e G. CaaTEbsrcovo iutorno al 1890. La denominazione di eerie earatteristices
state adoperata per la prim* volts de G. Саятждпиэто nolle: sBieerehe gene-
rali аорта i sistemi lineari di curve piane». Memorie dell’Acc. di Torino, в, II,
t. XLII, 1891, riprodotta a pag. 137 e segg. delle «Меток» ecelte», ZanicheUi,
Bologna, 1937. ’
(*) В1. Еквадгаз, Una gueetion» aulla Unearitd epc. Atti Aos. Lincei, 1893.
Cfr. C. Skgbb, Znirodtizione alia geometria аорта un ente alffsbrico aempKeetnente
inflntto. Ann. di Mat., я. II, t. 22 (1894).
18
CABITObO FRIMO
Tuttavia questo ragionamento pub cadere in difetto se. le curve
C abbiano in О tangenti fisse, cio& posseggano come punti base,
non soltanto O, ma anche altri punti ad esso infinitamente vicini.
Per eliminare 1’eccezione basta osservare che procedendo sopra un
rarno di una О too ad un ordine r convenientemente elevato si
trover! un primo punto 0r, appartenente all’intorno r-mo di O,
suscettibile di' descrivere liberamente l’intorno del punto base
O,_x, che, come l’intorno di O, costituisce un ente razionale: se
Ог_, ё un punto base sempliee, le curve О corrispondono biunivo-
camente ai punti O, del detto interne; se Or_t ё i-plo e gli succe-
dono pih punti liberi, 0r, le C rispondono ai gruppi di un’involuzione
descritta da quest! gruppi di punti.
3. Sistemi lineari.
ba definizione del fascio lineare di curve sopra T si pud genera-
lizzare considerando i sistemi lineari di dimensions- r > 1.
Un sistema lineare об' di curve 0 viene segato sopra J? da pn
sistema lineare di superficie (o di ipersuperficie)
(1) , + ЯхУх 4~ •• • 4- — 0;
la dimensions г riesce minore di Ж quando nel sistema (1) vi sono
oo* superficie che contengono come parte la J?, e allora r == Ж — Л — 1.
Per i sistemi lineari pih volte infiniti | C |, come pel fascio, si
definisoono le curve component fisse delle C e i punti base di | C |;
un punto base ё un punto comune a tutte le C, dove si annullano
contemporaneamente le .
- Un sistema lineare (C| si pud definite in modo intrinseco indi-
pendentemente dal carattere proiettivo della superficie, cosi come
si ё fatto per il fascio lineare. Percid si considerino r funzioni razio-
nali del punto variabile di Ж le quali abbiano tutte la stessa curva
polare e che supporremo rappresentate da
ammettendo per semplieitt di discorso che esse siano linearmente
indipendenti sopra >, sicehh non 'sia possibile trovare r + 1 costanti
(non tutte nulle) a9, at, a,, per .cui si abbia identicamente
+ • • • + s 0 (mod. X1).
Allora la curva di livello della funzione
te — 4- Ijt, 4- ... 4- ЛД.
descrive il sistema lineare (t7| di dimensione r. ...
In questo sembra assumere una posizione speciale la curva
polare ma si pud scegliere come tale una curva qualunque del
BI8TBMI MNKARI DI CURVS 19
sistema, giaceM ad uno stesso sistema | C | rispondono mfiniti si-
stemi lineari di funzioni che si dedueono I’uno dall’altro con sosti-
tuzioni lineari.
La dimensions r del sistema lineare | О | riesce definita geometri-
camente dalla propriety che segue: per r punti generici della superficie
passa una ed una sola curva del sistema.
Tin sistema lineare 0 si dir&> irriducibile se la curva generica C
di esso b irriducibile. Per un sistema lineare irriducibile | C | si dirft>
'genere effetlivo il genere 'della sua curva generic»-, e grado effettivo
il numero delle intersezioni variabili di due C generiche. Per r =1
il grado fe nullo, poichfe ogni punto comune a due curve del fascio
6 un punto base che appartiene a tutte le C. '
Fra la dimensione r e il grado n di un sistema lineare | C| sus-
siste la diseguaglianza r n -f-1', infatti la serie segata sopra una
qualunque C di JOj dalle rimanenti curve del sistema, fuori dei
punti base, b una g'-1, per cui si ha r —1 < n.
La serie lineare gTn~ *, definita sopra una curva generica <7, ha fon-
damentale importanza nello studio del sistema - lineare e dieesi
serie caratteristica di |C?j (’).
- II grado effettivo di un sistema lineare di curve,. rests anche
definite per un sistema di curve riducibili che sia privo di parti
fisse. Ora si pub dimostrare che il-grado vale n >0 a meno che il
sistema stesso non sia un fascio lineare-, owero le sue curve siano
composte con quelle di un fascio (razionale о no).
Infatti se n = 0 tutte. le curve C dei sistema che passano. per
un punto generico dovranno coincidere in una sola (dimensione
r = 1); oppufe dovranno avere in comune una curva X, e 1’insieme
delle JT costituirS, un fascio, razionale о ho, con cui le -C vengono
composte. - . . .
4. Propriety ceratteristica dei sistemi- lineari. -
Abbiamo rilevato che, essendo |<7[ un sistema lineare di dimen-
sione r sopra la superficie F, per r punti generici di F passa una ed
una sola curva 0. Questa propriety 6 caratteristica per r > 1 (*),
(*) La serie caratteristica di un sistema lineare A state introdotta da C. Sbgbss
e G. CasiBbKtrovo interne al 1880, La denominazione di serie оагаИегйЙса &
state adoperata per la. prime volte da G. Слвтжыяшэтго nolle: «BfcereAe gene-
rali аорта i sistemi lineari di оигвв piano». Memorie deH’Aec. di Torino, в. II,
t. XLU, 1891, riprodotte a pag. 137 e segg. delle «Memorie ecelte», Zanidhelli,
Bologna, 1937.
(s) F. Eshiq-qtss, Una questione euBa Unearitd epc. Atti Лес, Linoei, 1893.
Cfr. C. Sbobb, Introguzione alia geometria topra un ente cdgebrico sempUcmente
infimto. Ann. di Mat., s. II, t. 22 (1894).
2в CAPITObO PRIMO
mentre si ft visto che per r = 1 possono aversi anche fasci non
lineari.
La dnnpstrazione del teorema si- dA come segue.
Bengasi per sempliettA di discorso che le curve del sistema | C |
siano irriducibili, e si consider! dapprima il caso r =2. Le oo’
curve si segano a due a due nei gruppi di un‘involuzione I„ di ordine.
л uguale al grade di (01. Si assumano quest! gruppi come elementi
(punti) di.una nuova superficie B'; allora si avrh su V' un sistema
oo* di curve C' trasformato di | <7|, che si segano a due a due in
un punto. Le curve C che passano per un punto A' formano un
fascio dotato di un punto base, e percib razionale (cfr. § precedent©).
. Accanto a questo fascio se ne consider! un altro con un punto base
В'. I due fasci di C* coi centri A' e S' si possono riferire rispettiva-
mente a due fasci di rette A e В nel piano, per mezzo di proiettivitb
che facciano corrispondere ugualmente alia curva O', congiungente
A' e B', la retta IB. Da questo riferimento risulta una corrispon-
denza biunivoca* fra i punti di X" e i.punti del piano, dove alle rette
del piano corrispondono le curve C' e ai fasci di rette i fasci di O';
cift porta che- le 0' sopra X" e quindi anche le 0 sopra JP, formino
un sistema lineare (rete). Il teorema essendo cost stabilito per le reti
si estenderh al caso dei sistemi lineari oo’, e cosi in generale, passando
dalla dimensione r alia dimension® r 4,1. Se | 0 | ft un sistema oo®
di curve, tale che per tre punti generic! passi una 0, le 0 passanti
per un punto fisso A formeranno una rete. 'Ora le reti definite da
due punti base A e В potranno riferirsi proiettivamente a due stelle
di piani A’ e B' dello spazio ordinario, in modo che alle G del fascio
comune alle due reti rispondano ugualmente gli stessi piani comuni
'alle due stelle. Da cift risulta una eorrispondenza biunivoca (omo-
. grafiea) fra il sistema delle G e i piani dello spazio dove' ai piani
di un fascio corrisponderanno le C di un fascio, e ai piani di una Stella
le О di una rete; eib porta che il sistema [0] tan sistema lineare,
c. d. d.
5. Estensione dei teoremi di Bertini.
E. BrartNi ha date per i sistemi lineari di curve plane due teo-
remi fondamentali (x): il prime dice che le' curve di un sistema li-
neare non possono avere punti doppi о multipli variabili che non
appartengano ad una component© flssa; il secondo — che ft un co-
rollariq del primo — afferma che qualora le parti variabili di un
sistema lineare siano riducibili esse si compongono con le curve di
un fascio.- ' .
(’) Hendio. Isbitato Lombardo, 1880.
SISTEMI blNBARI DI CURVE
21
Questi teoremi si estendono facil-mente ai sistemi lineari di curve
appartenenti ad una superficie qualunque (’).
Quando si segua la dimostrazione indicata nelle lezioni di.Es-
biques-Chisini (’), I’estensione riesce immediate.
Se la curva generica C del sistema lineare | C | possiede un punto
doppio о multiple variabile O, la curva C ha almeno due intersezioni
riunite in О eon ogni curva inflnitamente -vicina, e quindi con le curve
di tutti i fasci a cui essa appartiene: cid signiflca che О ё punto base ov-
vero un punto appartenente ad una curva К components flssa delle O.
. Enunciamo dunque che: le curve di un sistema lineare sopra una
superficie non possono avere punti doppi, о multipli variabili (fuori
dei punti base) che non appartengano ad una componente flssa.
П secondo teorema di Bertini segue come oorollario.
be curve C di 101 (non aventi component! flsse) siano riducibili,
per esempio in due parti (variabili) К e K'. Se Ж e Kl non apparten-
gono ad un medesimo fascio, con cui siano oomposte le curve C,
vi saranno per un punto generico O, almeno una curva Ж ed una
curva Ж', distinta dalla К; per conseguenza le £ e K' dovranno in-
contrarsi almeno in un punto variabile, e le <7 dovranno avere al-
meno un punto doppio suscettibile di variare liberainente sopra la
superficie, il che ё assurdo. Invero se i punti comuni alle Ж e Ж'
che compongono una C cadessero sempre in punti base del sistema
| (71, tutte le К e tutte le Ж' passerebbero per quei punti flssi e non
avrebbero intersezioni variabili. Non pud accadere neppure che le
curve complementari К e K' s’incontrino in punti di una curva
flssa, регсЬё quests risulterebbe una componente flssa delle C,
che si ё supposto non esistere, '
Enimciamo dunque: se la curva generica di un sistema lineare
|O| sopra F d riducibilet
1) C oontiene una parte flssa, tolta la quale rimans un sistema it-
riduotWfe, oppure . . ' •
2) le curve C sono composts con r > 1 curve variabili in un fascio,
rationale о no (e sopra questo, coneepito come ente oo1, formano
una gr), о inline
3) le C sono composts come net caso 2) con le curve di un fascio,
ed vnoltre con curve flsse che a quests si aggiungono.
Kei casi 2) e 3) rientrano tutti i sistemi lineari di dimensione r > 1,
e di grado n = 0 (cfr. § 3).
f1) Cfr. S’. Embiq-oss, BiceroAe di SeMnetria eoo. Memorie Ace. di Torino, 1893
e Ifitroduziane oBa geometria sopra una miperfioie cdgebrica. Sooietb Italian* delle
Science (detta dei XL), 189S. Il teorema della riducibilitA й gi& oeeervato in Noether,
Math. Ann., VIII, 1874. )
(’) Op. oit., Libro II, cap. I, i 5, vol. I, pag. 180. ’'
сайтом ввито
22 '
6. Superficie immagmi di 'sistemi lineari. _
Si consider! un sistema lineare | 0 | irriducibile di dimensione
r > 3 e percib di grado n > 0. Biterendo proiettivamente | C | al
sistema degli iperpiani di uno spazio ST si dft, luogo ad una trasfor-
mazione della nostra superficie f* in una J” d’ordine n, su cui le
trasformate delle C vengono segate dagli iperpiani. Infatti le C
si ppssono ritenere astrattamente come gli element! (iperpiani) di
uno spazio 8r e quindi la proiettivitft indicata fa corrispondere al
sistema lineare co’"*1 delle C passanti per un punto P, una Stella
di iperpiani passanti-per un punto P' dello ST e, al variate di P
su P il punto P', varia descrivendo una superficie P'.
La corrispondenza univoca fra P ed P' ё, in generate, univo-
camente invertibite, perehfe alia Stella di centre P' corrisponderS,
' un sistema lineare di curve <7 dotato 'di un punto base (variabile) •
P e questo sistema non avrb, in generale altri punti base, conseguenti
dall’esistenza di P.
In veritd, non si pub escludere che le condizioni di passaggio delle
C per un punto generico di P portino di coneeguenza il. passaggio
per altri punti PXPS.. .Ря_х; allora i gruppi ahaloghi a P Px.. ,РЖ_Х
formeranno sopra P un’mootezione di ordine m a cui apparterranno
le O; e la superficie P' dello Sr determinate innanzi risulterA una
superficie d’ordine —, da considerarsi come multipla d’ordine m.
Che efEettivamente 1’appartenenza ’ad un’involuzione costituisca
una circostanza particolare per un sistema lineare | C\ di dimensione
г Й 3, risulta da un. semplice compute di costanti, perchft vi sono
almeno 3 curve passanti per P e linearmente indipendenti, ed in
generate non vi ё ragione perehb una di queste passi per I'interse-
zione delle altre due. Invece un sistema lineare oo* (ciob una rete)
appartiene sempre ad un’involuzione d’ordine », ove sia di grado .
я > 1; poiehb per un punto P passano soltanto due О linearmente
indipendenti e tutte le altre 0 per P formano un fascio, che ha
come punti base le loro intersezioni. Cosi, dunque, una rete | G | di
grado n conduce ad un piano •multiplo d’ordine dove le G hanno
per immagini le rette n-ple e su cui assume importanza specials
la owrva di diramazione, luogo dei punti del piano a cui corrispon-
dono gruppi dell’involuzione dotati 'di un' punto doppio.
Si pub dare un esempio di un sistema lineare | G\ . di dimensione
r > 3 appartenente ad un’involuzione, considerando il sistema delle
G intersezioni della superficie V con i coni di un certo orfiine я
che abbiano il vertice in un punto fisso dello spazio; il sistema
| C | apparterrh ora ad un’involuzione d’ordine m e sar& di grado
mn, designando con m I’ordine della superficie >.
SISTKMX blNBARI DI CVRV®
28
Volendo escludere I’appartenensa ad un’involuzione di un sistema
| C | diremo in breve che esso ё un sistema semplice.
Bitomando in generale alia trasformazione della superficie >
cui dS> luogo un sistema linear© | C | di dimensione r > 3, noteremo
che la corrispondenza proiettiva di cui sopra si ё discorso si traduce
nelle formule come segue: se il sistema |C| ё rappresentato da
Л>9?в + + • • • -f- Ъфт — 0,
si dovrl, prendere le coordinate dei punti dello Sr:
X» «В фа Zi W ... Xr ss p,.
Concluderemo enunciando un teorema che estende alle superficie
una nota oonsiderazione relativa alle curve e alle serie lineari sopra
di esse: '
la geometria delle trasfohnazioni birazionali sopra le superficie,
quando si river chino le relazioni invariantvoe eon un sistema lineare
semplice oo» almeno, si rispecchia nella geometria proiettiva della su-
perficie immagine del sistema.
Cost la relazione di due sistemi lineari | (7| e | K\ (semplici oo’
almeno) sopra V, di cui il prime contenga il second©, si rispecchia
nel fatto chela superficie immagine di |K| pud ritenersi come pro-
iezione della superficie immagine di 101 da un certo spazio lineare.
Questo, in generate, seghert la detta superficie in un gruppo di’
punti, se |JST| ё dedotto da |O( con 1’imposizione di quei punti
base, ed invece seghert la superficie secondo una X se |X| sia
contenuto parzialmente in |C| per modo che aggiungendo alle К
la eurva fissa X si ottengano delle curve C.
Per quel che concern© i punti base giovert tener presente le os-
servazioni che seguono. Se О ё, sopra la superficie >, un' punto base
i-plo di | G | (semplice pet X), esso sart fondamentale per la trasfor-
mazionp che muta la X nella Ф, avente come sezioni iperpianele O';
e se le G non hanno alcuna tangente fissa in O, ad О corrispondert
su Ф una eurva eccezionale di ordine i. Seinvece 0, esaendo base i-plo
per |C| Con i > 1, le C abbiano una tangente fissa in 0 (cioC un
punto base semplice Ox infinitamente vicino ad O), senza contatto
pih elevate, si potrt dire ancora che ad О corrisponde su Ф una eurva
eccezionale d’ordine «, ma quest», in generale, si comporrt di una
eurva di ordine i —1, i cui punti rispondono ai punti variabili
nell’intorno del primo ordine di 0, e d’una retta immagine dell’intorno
di Oj (i cui punti appartengono all’intomo del second© ordine di 0).
In particolare se » = 1 1’intero intomo del punto semplice О avr&
per immagine su Ф I’intorno di un punto doppio conico, cui si ag-
giungert la retta eccezionale immagine di Ot (si pensi, ad esempio,
alia rappresentazione piana del cono quadrico).
CAPITOLO PRIMO
24
Bota..- In generate' se il "punto sempliee О della. superficie F
costituisee una singolarity comunque complicata per le curve C
di | C |, si pub sciogUere questa singularity trasformando la J? in
una superficie Ф su cui l’intorno del ptmto О (preso neUa sua inte-
grity) verrt, rappreSentato da unaj curva eeeezionale composta di
tante parti quanti sono i rami (lineari о meno) che costituiscono la.
singolarity delle (7 in О; e la connessione di queste parti rispecchiery
la composizione della detta siiigolarity mediante punti multipli
о semplici infinitamente vicini, e le loro relazioni di prossimity (x)
in una maniera che ha formato oggetto deli’analiei di B. Babbeb e
di O. Zabiski (*). Ma avremo occasione di ritornare sull’argomento.
7. Curve equivalent! e sistemi lineari complete
. Le considerazioni che seguono estendono passo a passo ai sistemi .
lineari di curve sopra una superficie cib che si dice per i gruppi di
punti equivalent! e per le serie lineari,complete appartenenti ad una
' eurva (•). . •
Sopra la superficie J* due curve (dello stesso ordine) si dicono
egwwafewti quando appartengono ad un medesimo sistema lineare
di dimensione r > 0: se esse sono distinte vuol dire che apparten-
gono ad un fascio lineare; la considerazione dei sistemi di dimensione
zero, signifies che una eurva deve ritenersi equivalente a sb stessa.
L’equivalenza di due curve О e К si esprimerh scrivendo
’' C ,s= К. о anche C — JK.
Due curve equivalent! C e £ possono sempre considerate! come
curva degli zeri e curva del poll di una funzione razionale-1 sopra
JP; le due curve vengono seambiate fra loro ove si sostituisea alia
funzione t la ~ .
&
La relazione di equivatenza fra curve sopra una superficie gbde
delle. tre propriety fondamentali dell’uguaglianza:
1) la propriety riflessiw, espressa da dad,
2) la propriety gimmetriea, вв О ж £ anche ,K ш 0, -
3) . la propriety tran&ttiva, se C as К e К = L anche С = I.
Per dimostrare quest’ultima propriety si costruisca una funzione
razionale t avente come curva degli zerie come eurva dei poli
С1) Вжш<а«в8*Сияхжг, Op. eit., 1дЬ» IV, vol. II, pag, 327 e segg.
(’) Cfr. Babbzr a Zabiskx, ЯеЛитЫл «ecepUm^l aurvee «) the first Жп4. Ан»,
rican Journal of Jfathematik, 1935 (pag, 119). P. Dv Vax, American. Journal of
Math., 1836.
.. (8) Cfr. BmaqvBS-Сииип, Op. oit., bibro V, vol. Ill (1924).
SISTEMI bXNBABI DI CURVE
25
C, e poi una funzione razionale r che abbia K. come curva degli zeri
ed Z come curva dei poli; allora la funzione ~ avr& come curva degli
zeri C e come eurva dei poll X. Gib prove appunte che C ed Z sono
equivalents.
DaUe ‘ propriety anzidette risulta fl teorema fondamentale:
Sopra una superficie > la totality deUe curve e^uivalenti ad
una -'data curva C costituisee un sistema lineare che dicesi complete.
Questo sistema si ottiene come -insieme delle curve di livello
della funzione razionale che risulta combinando linearmente le
funzioni razionali indipendenti, per cui la С b curva dei poli.
Il sistema complete C cost definite sarb in generate privo di punti
base, ed in ogni case s’mtender&, salvo awiso eontrario, virtuabments
privo di punti base, ai sensi che verranno precisati pifi tardi; ma
si pud anche definite il sistema complete relativamente ad un
gruppo di punti base assegnati sopra la O. Si noti che, trasformando
la superficie in guisa che i punti base della О diventino curve (ec-
cezionali), si dovrft ritenere che la trasformata di € sia spogliata di
queste curve che altrimenti apparirebbero come component! fiase
del sistema trasformato. E cosi la nozione del sistema complete re-
lativamente ad un gruppo di punti base si rieonduce in generate a
quello del' sistema complete senza punti base, sopra una superficie
trasformata.
Comunque sia, il sistema complete irriducibile, con о senza
punti base, resta definite a partire da un sistema lineare (co* al-
meno) contenute in esso, сшйе il .sistema pih ampio dello stesso
grado, che contiene il date.
Dalia propriety traneitiva dell’equivalenza segue che il sistema
lineare complete j C |, con о senza punti base assegnati, viene de-
finite ugualmente a partire da una qualunque delle sue curve.
E owio che il sistema complete | O\ si pub costruire come segue.
Si costruisca anzitutto un sistema lineare qualunque che con-
tenga (totalmente) О e poi si ampli successivamente questo sistema,
flnchb b posaibile; siccome la dimensione non pub superare il grado-
aumentato di pn’unita, si perverrb, in tai guisa ad un sistema .| <7|
che non sara contenute in un altro sistema lineare pib ampio dello
stesso ordine, e questo sarb il sistema lineare complete definite dalla
0. Pertanto, comunque si proceda alia eostruzione dei sistemi via.
via piii ampi di cui si b discorso, si riuscirb infine -allo stesso sistema
lineare complete.
Al concetto di sistema lineare complete risponde il concetto
di superficie normals, superficie di uno spazio Sf che non pub otte-
nersi come proiezione di un’altra dello stesso ordine appartenente ad
uno spazio superiore: essere la superficie normale signifies che fl
САРИОЬО МИМО
26
sistema (irriducibile) delle sue sezioni iperpiane ё complete, e vi-
ceversa. .
. Ecco dunque il significato proiettivo del teorema dei sistemi
completi. Si consider!, per esempio nello spazio ordinario, una su-
perficie > di un certo ordine n; potrA accadere che ia X si ottenga
come proiezione di due superficie dello stesso ordine dello £*, Д.
ed le proiezioni essendo fatte rispettivamente da due punti
О ed O'. Ora se ed sono superficie normal!, risulteranno fra
loro proiettive, ciofe proiettivamente identiche. Se cift non ё, vuol
dire che potrA ritenersi proiezione di una superficie dello 8,
ed.'JPi proiezione di una J’J dello Se, e cos! via; procedendo in un
modo qualunque da una superficie ad un’altra dello spazio superiore,
si arriverA in ultimo ad una superficie -JF, dello spazio 8^ che sarA
normale; e quests T, resterA sempre proiettivamente definita, co-
munque si arrivi ad essa attraverso serie diverse di superficie (J\,
#а, .,., о Xi, ...) che si deducono per proiezione 1’una dall’altra.
Esempi relativi alle superficie normal! s’incontrano gift nella
teoria delle superficie razionali (*).
Cos! una superficie T, del 6° ordine dello spazio ordinario, a
sezioni plane ellittiche, dot-ata di curva doppia del .6° ordine ap-
partenente ad un cono quadrfco ed avente un punto- triplo, triplo
anche per la superficie, nel vertice di detto cono, si pub ritenere
proiezione di pih superficie E, dello stesso ordine dello spazio S4,
non proiettive fra loro; ma queste sono proiezioni di un’unica su-
perficie normal® dello Ss, proiettivamente definita. Queste asserzioni
si giustiflcano partendo dalla rappresentazione piana della J’s merod
un sistema lineare oo’ di cubiche C3 con 4 punti base semplici
-d^-d^d^d*.
Infatti un tale sistema oo* й contenuto in oo1 sistemi lineari oo4
di Ct eogli stessi punti base.did,dsd*, i quali sono, nel piano, omo-
graficamente (e anche birazionalmente) distant! e percid rappresen-
tano superficie >s di Sif non proiettive fra loro. Invece la superficie
normale di Ss di cui queste J’s sono proiezioni (da un punto esterno)
viene proiettivamente definita -dal sistema complete delle C„ per
d.jd.adjd.i. '
8. Somma e differenza di sistemi lineari: teorema del res to.
Curve composte con curve equivalent!, ciofe somme di me egui-
valenti, sono equivalent,
Infatti siano Oa e Ca, e due coppie di curve equivalent!,
e si assuma la t funzione razionale che abbia Cj come curva polare
(x) Cfr. Еышаою-Соитовто, superfieie razionali, Bologna, '1939 (1945).
SISTBMI 1INBARI DI CURVE '27
e Ct come curva degli zeri; e r funzione razionale che abbia
come curva polare e Хг come curva degli zeri; allora la funzione
ci avrd. come curva polare <7X + Xx e come curva degli zeri Ct -f-
Cost dail’essere
Ci s <7,, Xx = X8 ' • -'
si. deduce ' .
+ s 0, + X».
Risulta di qui che, dati due sistemi lineari qualunque |C[ e
| X [, esiste un ben determinate sistema complete | C 4- X |, che
contiene totalmente le curve composte C 4- K\ questo si dirA il .
wfeme complefo jomma di (С | e [ X |.
Conviene notare che se |<7| e |K| sono sistemi lineari irridu-
cibffi di dimensione maggiore di zero, non' coincident! in un me-
d'esimo fascio, il sistema complete | C4--X| i irriducibile. Aggiungasi
che se i sistemi irriducibili | С) e |X| posseggono dei punti base as-
segnati, quest! sono sempre base per [ C + X|. С’ё qui una owia.
conseguenza della estensione del teorema di Bertini.' In particolare
ё irriducibile'il doppio e in generale il sistema | sO | multiple secondo
e del sistema | C |, tranne il caso che | C | sia un fascio.
Bssendo ancora | (? | e | К | due sistemi non coincident! in uno
stesso fascio si considerino le curve composte C-f- J£; abbiamo detto
che esse sono contenute nel sistema complete [ С + К |; ma in ge-
nerate potranno essere contenuti anche in sistemi di dimensione in-
feriore, e in particolare vi sarh un sistema somma minima dei due r
dati.
Рет esempio si'assume una superficie X d’ordine n dello spazio
ordinario, priva di singularity; per un punto О di essa passano
00* piani che segano una rete complete; il doppio minimo di quests
ё il sistema 00s segato dai coni quadrici col vertice in О; ma questo
sistema che ha il punto base О doppio non ё complete, essendo con-
tenuto nel sistema oo* segato sulla X dalle quadriche che la toccano
in O. ,
ba eottrasione di due sistemi lineari, di cui uno contiene parzial-
mente 1’altro, si deflnisce cOme operaeione inverse, della somma e
precisamente come segue. ' , ’
Sia [O| un sistema lineare di cui faccia parte la curva spezzata
О a I + к; allora dices! sistema residua della curva X rispetto
a J С I, il sistema di tutte le curve L che insieme a X costituiscono una
curva di [ О |. Inforza delle propriety delle curve equivalent! si pud
affiermare che: ' - .
se una curva particolare € == L -f- X del sistema complete
j <71 contiene parzialmente una Ж, ogni altra curva equivalente a
X fa parte, di una С. E quindi si ha il teorema del resto: il sistema
28
CAPITObO PRIMO
lineare | £ | residue di una К rispetto ad un sistema | C |, i pure residua
di ogni ultra сипа eguivalente а -Ж.
Insomnia il sistema lineare complete differenza di |C| e. |K\ :
|Z| = |O— Ж|,
fe definite dalla relazione
' ’ jO[-= |X + «|.
NoiA. - П teorema enunciate ammette. тих complement© pro-
iettivo che dimostreremo pih avanti. Vedremo infatti che sopra una
superficie F dello spazio ordinario eon singolaritd normali, le su-
perficie '(aggiunte) di un data ordine dhe passano per la сипа doppia
segano, fuori di guesta, un sistema lineare complete.
In particolare, sopra una superficie dello spazio ordinario, priva
di singolaritb., le superficie у di un date 'ordine Began© un sistema
complete.
Se, riferendoei al case generale, si conducono le <p d’un certo
ordine passanti per una eurva C di F, e si' considerano le interee-
zioni residue К di queste superficie aggiunte con F, ogni eurva О
del sistema complete ] C\ .risulterd uguahnenie residua di ogni K,
rispetto al sistema segato dalle 9 (fuori della eurva doppia), e reci-
procamente ogni К b residua di ogni C.
Questa й la forma del Bestial® di M. Noetheb (l), che ahaloga-
mente a cib che si dice per la geometria.sopra una eurva (osserva-
zione di G. Oastelotovo, 1890) contiene due afiermazioni distinte:
la prima relativa alia sottrazione dei sistemi completi, 1’altra che
ne reca tin complemento proiettivo, concernente 1’integritt. del si-
stema segato sopra una superficie F dello spazio 8» dalle sue aggiunte
91 di un dato ordine.
Conviene ora osservare che, mentre 1’operazione della somma con-
duce in generale, come si 6 detto, da sistemi lineari irridncibili 'a
sistemi irriducibili, cib non ha pih luogo per la sottrazione: quando
si sottragga da un sistema irriducibile |(7| una eurva К (irridu-
cibile о no) il sistema complete residue |G — Ж| pub risultare ri-
ducibile' Un semplice esempio si ha eonsiderando un fascio lineare
I £ I che, per' semplicit&j supponiamo privo di punti base, ed un
sistema lineare |Ж| : se si somma |K| a |2£| si ottiene un sistema
j(J| = + 2£|. E sottraendo da questo (Kj, si ha il sistema
doppio di |X|, sistema riducibile compost© con le curve del fa-
scio I £ I.
Pub anche accadere che sottraendo una К dal sistema irridu-
(1) MafhamatieAe АяпсЛеп, Bd. VTII. C&. per le curve: Вжпд. e NCbtkbb.,
' ’Math. Ann., Bd. VII; Еяшцтав-Снипп, Op. cits., bibro V.
- SISTEMI LINEARI DI CURVE ' . 29
s'~'
cibile 10\, si ottenga un sistema lineare che contenga una parte
fissa K', il cui distacco dalle 0 sia una conseguenza del distacco della
ЛС; e similmente pud anche accadere che sottraendo una eurva -ff
da 101 11 -sistema residuo | L | abbia come conseguenza qualche
nuovo punto base О oltre ai punti base di |<7( che non apparten-
gono a X. Questo case si rieonduce al precedente con una trasfor-
mazione della superficie che muti О in una eurva eccezionale, per-
chd sulla superficie trasformata codesta eurva apparirft come parte
fissa di |Z|.
Osservazione. — La definfeione del sistema | h | = | C — К | 6 le-
gata ad un presupposto d’esistenza, poichb la differenza assume si-
gnificato effettivo soltanto se il sistema |C| contiene parzialmente
. |K|. Ma nel seguito gipvert, anche parlare di curve virtuali che ri- ,
sultano definite dalla sottrazione, anche quando questa sia effet-
tivamente impossibile. Percib si riterrh la relazione. simbolica
’ . ' j <7 -Г| = jL--M| .. '
come equivalent® alia ’ . -
’ _ ' |C+ = |-K + L|.
Le curve virtual! vengono definite-come i numeri negativi nella
teoria degli operatori di Peano, ciod come possibili addendi. Sommafe
la eurva virtuale C -r-K ad un sistema |I>|, vorrit dire sommargli
C e sottrarne K, cib che risulterft in generale possibile per sistemi
sufficientemente ampi. In ogni caso I’equivalenza delle curve virtuali
C —К e L — X signifies I’equivalenza dei sistemi lineari
[D+C~ K\ =|D + L— Ж|,
essendo ’ '
p+(C— K)| =|d+<7— k\:
Tuttavia si- pub dare un concetto pih ristretto delle curve vir-
tuali come curve non aventi esistenza effettiva ma di cui-estate il
doppio owero un multiple, siccome avremo luogo di vedere nel se-
guito. E questo concetto piuttosto che ai numeri negativi risponde a
quello degli ideali, che s’incontrano nella teoria dei corpi algebrici.
Jfotinia. — L’idea, se non il nome, delle «curve virtuali », ciob
I’idea che la eurva С — K, definita тегсё il sistema lineare differenza
di due altri, risponda ad un ente matbmatico dotato di una certa (
realtd., anche quando la sottrazione non conduca ad una eurva -
effettiva, si b affacciata ad Eneiques in rapporto alle curve cano-
niche: essa costituisce anzi il motive principale del nuovo sviluppo
dato alia teoria nel passaggio dalle’ Жсвгойе del 1893 alia Introduzione
del 1896, dove si ricerca in sostanza il pih largo significato che as-
sume 1’invarianza delle dette curve canoniche, anche quando il ge-
SO - ’ СЛИТОГО PRIMO ;
nere p =0. Della curva differenza, С — Ж, I’A. definisce i caratteri
virtual!, grado e genere (cfr. § 10), e rileva che, pur mancando, pub
avere un doppio'dotato di esistenza effettiva. La locuzione «vir-
tuale », applicate alia curva oltrechA di suoi caratteri (che cosi ve-
nivan designati da Enriques), si trova in ima Kota di Sevebi,
'Suite cum algebriohe virtuali appartenenti ad una superficie alge-
brica (Bendic. Istituto Lombardo, 1905). L’interpretezion topolo-
gica delle curve virtual! come cicli a due dimension! ё state av-
vertita da S. Lefsohetz.
9. Superficie irmnagiue del sistema somma.
Si abbiano sulla superficie К' due sistemi lineari irriducibftt
| C | e | jff [ rispettivamente di dimensione res, dove sia r 2: 1,
ed e ;> 1. Si pub costruire in generate una superficie trasformata-
Ф, immagine del sistema somma 10 4- К |, entro uno spazio ad ®
dimension!, dove riesce JR > r 4- s; il sistema somma di cui si patla-
pud essere il sistema somma minimo о anche, se si ruble, il sistema
complete.
Comunque sia, ci saranno nello Sr, due serie lineari di spazi ri-
spettivamente adU-r-1 dimension! e ad £, — s — 1 dimension!
seeanti le К e le C, per fbodo che gli oor iperpiani passant! per uno
Sx-r-i della prima serie segheranno le C, contenendo gli &_s_i a
cui esse appartengono, e reciprocamente si d<ca per gli iperpiani che
paesano per uno Ss_,_t della seconda serie.
8! fissi uno Sdella prima serie secante una curva 0 di | <71
e un &_,_x della seconda, secante una curva К di |K| ; quest!
saranno contenuti in un iperpiano dello Su, ed avranno percib
in comune un ; proiettando da questo sopra un Sr+, si ot-
terrfi in.tale spazio. un’immagine JF della superficie date che conterte
una particolare К sezione di un S,-t e una particolare C sezione di
un Sy-x e dove gli iperpiani per lo Ss_x segano le oor curve C, e gli
iperpiani per lo Sr~i le oo* X. .. . ;
Prendiamo in particolare r — 2, s = 1: saremo condotti ad una
superficie dello spazio ordinario su cui la rete delle curve C viene
segata dai piani per un punto О, e И fascio delle К dai piani per una
retta a (non passante per 0) e la -superficie cosi ottenuta sate certe
in corrispondenza biunivoca con quella da cui siano partiti, se | C |.
e | К | non appartengono ad una medesima involuzione.
. La costruzione della superficie К si potte ottenere anche diret-
tamente, ponendo una corrispondenza proiettiva fra • la rete | C |
e_la Stella di piani 0, e fra il fascio | К | e il fascio di piani a. Alla
К che si aggiunge alle C della rete viene cosi a corrispondere l’intorno
del punto multiple» O, che sate precisamente i-plo, ove si design!
SISTBMI ЫКПВЛКХ DI CITRVB
31
eon i il numero delle intersezioni di una О e di una Ж; invero 1’in-
torno di О dovrA avere (come K) i punti a comune con una sezione
piana C. Invece alia 0, che si aggiunge alle К del fascio, corrisponderA
la retta a multipla per J*, che sarA precisamente n-pla, designando
eon » il grado di | С ]. Il piano Ой segher A la superficie Ж fuori di a
secondo i rette eccezionali, uscenti da O. La superficie V sarA dunque
d’ordine я + i e si vede che essa й 1’immagine di un particolare sf-
stema oo* contenuto in | C -р- К}, che possiede' i punti base nei
punti comuni а С e К: sono questi punti che danno origine alle
rette eccezionali per О di cui.s’A detto sopra.
Se ora si vuole costruire sulla J* il sistema somma della rete | C [
e del fascio | JK7|, Й chiaro che converrA ricorrere al sistema delle
superficie che ei ottengono sommando un piano per О e un piano per
a, e percid al sistema lineare oo* delle quadriche per О ed a: si otterrA
cosi il minimo sistema somma ] 0 + Ж ].
10. Caratteri virtual!.
Siano | Ci | e | Ся | due sistemi lineari irriducibili sopra la super-
ficie JP, e si designino rispettivamente con n^ ed i loro gradi ef-'
fettivi, can л, e л* i loro generi, e con i il numero delle intersezioni
variabili di una Ct con una Ct. Il grado del sistema ) Cx 4- O', | ear A
il numero delle intersezioni
+ С3Г = Of 4- С» + 20x0, , .
e quindi varrA
Я == »x -f- Я, -f- 2£ .
Il genere del sistema somma varrA -
. ’ , . я •== + л, + i — 1,
tale esaendo I’espressione del genere di una eurva che viene a spez-
zarei in due parti, espreasione determinate dal Koetheb secondo
1’eaigenza . della continuitA (l).
Queste formule conducpno a definite il grado e il genere virtuale.di
una curva C sopra indipendentemente dalla possibilitA di esten-
dere il siptema lineare oo® da essa determinate. A tale scopo si associ
alia C un sistema irriducibile |Ж| tale che fl sistema |<7 + Ж]
risulti irriducibile; old pub tarsi facilmente mandando per. <7 le su-
perficie di un ordine abbastanza alto e prendendo come curve К
le curve residue. Ora designando con n il grado della C che si tratta
P) Cfr. EiraiqCTs-CHXsnrx, Op. cit„ Libro V, vol. Ill, pag. 390.
32
CAPITOW PRIMO
di definite, con m, il grado di Z e con i il numero delle intersezioni
. di una C eon - una K, il grado di | C 4- К | verrft dato da
S = n 4- m 4* 2i ,
. da cui si ricava
» =‘1У —tn -r-2i. .
Il grado virtuale della C eosi definite й independents dalla seelta
del sistema ausiliario |K| ohe si i associate ad essa. Invero sieno
[-Ki] e JKtI due sistemi ausiliari soddisfacenti alle condizioni posts,
•eoi gradi •m1 ed.»»,, .e siano it e is i numeri delle intersezioni CKt e
OKtl j il numero delle intersezioni variabili di una Kx ed una Kv
Si potranno confrontare 11 grado n, definite rispetto a* |^t|(
il grado n, definite rispetto a | K,|, valutando il grado del sistema
|(O 4- Kt) 4- Kt[ = I«74- K^ + .Й41 = |C + (Kt 4- <»)| -
Si avrft dunque ' - .
К » (th 4* + %ii) 4" 4“ (^1 4*
=* (п.^ 4~' Щ 4~ 2»,) 4~ **4 4* W 4~ 2»i),
da cui segue
• ’ • % =,»s •
In modo affatto simile si pud definite il genets virtuale rt ,di una
curva isolata C, e questo carattere conserva un significato anche ’
- quando la C sia una curva multipla, о una curva riducibUe contenente
qualche parte multipla.
Aggiungiamo che la 1 deflnizione dei caratteH (grado - e genere)
virtual! si estende anche al caso di una curva virtuale С — К defi-
nita come differenza indipendentemente dalla sua effettiva esistenza
(I 8). 'Basta all’uopo sojnmare a. С —K una curva L per modo che
|M| == j<7 —JC4-.C| sia un sistema lineare irriducibile, ё valutare
quindi i caratteri della differenza \X —£|, i quali risultano indi-
pendenti da |Z|.
Bitornando alle curve effective, notiamo ora che la nozione dei
caratteri virtuali di una curva C dft luogo ad alcune osServazioni
che tendono ad. attribuire a codesti caratteri un significato inva-
riants rispetto a tras^ormazioni birazionali della superficie.
Si trasformi la К in un’altra superficie fta modo che ad un punto
О della curva C oorrisponda -una. curva eccezionale о di К; allora
come trasformata della C_ai potrft riguardare la curva composta
C 4 о owero soltanto la O, tralasciando la о che corrisponde ad un
panto fondamentale della trasformazione. La seelta che eosi pub
.tarsi risponde ad un diverse modo di considerate il punto О sopra
SISTEMI LINEARI DI CURVE
33
la curva C: se la О sia suscettibile di appartenere ad un sistema lineare
irriducibile di dimensione > 0 col punto base O, il trasformato di
questo sistema sail, fl sistema ugualmente irriducibile | C j, in cui
la о non flgura .come parte flssa. Ma se invece | C | possa estendersi
in guisa da non possedere pit il punto _Ьаве O, il trasformato di esso
contend in particolare il sistema о + | О [dove la о figura come parte
flssa. In altre parole la curva eccezionale о corrispondente ad О
dovrA ritenersi о meno come componente della curva trasformata
di 0, secondo che s’intenda di considerare la <7 come curva di un
sistema lineare non avente о avente О-come punto base. La cir-
costanza che un sistema [ <7| senza un punto base О esista effet-
tivamente pub ritenersi come accidental® rispetto alia considerazione
di cui sopra. 11 grado virtuale della C, avuto riguardo alle possibili
trasformazioni dei punti di essa in curve eccezionali, si definirA
dunque in generate supponendo che esso non abbia punti base, •
-owero diehiarando quali punti base s’intendono assegnati sopra la
curva, all’infuori dei quali ogni altro punto di J O| che risulti punto
base per un -101 effettivamente costruito deve ritenersi virtual-
mente inesistente. Aggiungasi che se la C possiede un punto multiple
(semplice per la superficie), di molteplicitA > i, questo pub assu-
mersi virtualmente come i-plo per la curva <7, anche se in effetto
possegga una molteplicitA superiore, e se pur questa resulti la mol-
teplicitA effettiva del pih ampio sistema | <7| cui sia imposto di pos-
sedere quel punto come i-pto.
In particolare duiique, se sopra la superficie J* la curva C pos-'
eiede un punto i-plo che non voglia ritenersi come punto base as-
segnato pel sistema ] C |, esso dovrfi nonsiderarsi virtualmente ine-
sistente, e percib il genere virtuqle della О si otterri aggiungendo al
i(i_____________________ 1) '
genere effettivd я, —g—che precisamente il numero di cui
diminuiece il genere’ di ‘una curva irriducibile che venga ad acqui-
atare un,punto i-plo. ’
Similmente il grado virtuale della C si valuterA aggiungendo is
al numero bffettivo dele intersezioni di due C fuori di questo, poiehb
appunto di i* viene a diminuire il numero delle intersezioni di due
curve quando esse acquistino un punto *-plo comune.
11. Curve eccezionali.
’ 1
Da cib che si b detto innanzi, 1’intorno di un punto (semplice) ’
della superficie JF, quando sia punto base per un sistema lineare di
curve,- pub ritenersi come una eund infinitesima che, per una tra-
sformazione della superficie si muta in una curva propriamente detta
(curva eccezionale). Beciprocamente una curva eccezionale b una
Enriqubs iF. - Superficie algebriche.
3
САГ1Т01О PRIMO
eurva tracciata sulla superficie > che possa mutarsi nell’intorno di
un punto semplice.
Volendo esaminare pih da vicino le curve eccezionali stabili-
remo anzitutto questa distmzione:
una eurva irriducibile ao sopra la superficie J? si dfaA eurva ec-
ceeionale di 1» specie .se h suscettibile di trasformarsi in un punto
semplice per mezzo di un sistema lineare |C| che non abbia punti
base su ®. Ed invece si dirfc eurva eeeemionale di 2* specie una eurva
m trasformabile in un punto mediante un sistema lineare | C | che
abbia qualche punto base su di essa.
Esempio di curve eccezionali di prims specie sono le 27 rette
appartenenti ad una superficie cubica generale J*1. Infatti si pub
rappresentare la sopra il piano in mode che ad una qualtmque
di codeste rette riaponda fintorno di uno dei в punti base del sistema
di eubiche rappresentative. Invece nel piano non vi sono curve ec-
eezionali di prima specie. Ma le rette, le coniche e in generale le curve
plane fondamentali per una trasformazipne cremoniana costitui-
scono curve eccezionali di seconds specie: si trasformera una retta
in- un punto per mezzo di una rete omaloidica (per esempio di eo-
niche) avente due punti base sopra la retta; e si traformerft, una co-
nica in un punto assumendo per esempio una rete omaloidica di.
cubiche con un punto base doppio e quattro punti base semplici so-
pra la conica.
Gift da quest! esempi risulta che la distinzione fra le curve ec-
cezionali di prima e di seconds specie ha soltanto carattere pro-
iettivo о gode di una imwionze relativa a trasformazioni prive di
punti base: infatti una eurva eocenionale di second® specie co appar-
tenente ad una superficie J* pwd sempre mutarsi in una eurva ecee-
zionale di prima specie su una superficie trasformata Ф. A tai uopo
si consider! il sistema lineare trasformante | C | che muta a> in un.
punto; esso ha per ipotesi un certo numero « di punti base, con certe
molteplicithi i« sopra co, e il numero delle intersezioni
con e> uguaglia precisamente la somma 4 + <» + •••+<• Ora, se si
somma a |Oj un sistema lineare (A| privo di punti base, e per cui
la oo non sia eurva fondamentale, il sistema | £[ vanA a tra-
sformare m in una eurva, la quale sari, fondamentale per il sistema
trasformato di \C\ (senza punti base sopra di esso) e risulterd.
quindi una eurva eccezionale di prima specie.
Oerehiamo di valutare il genere в il grado di una eurva eccezio-
nale irriducibile di prima specie a, riferendoei al punto semplice О
il cui intomo corrisponde alia a> sopra una superficie trasformata.
Assunto su quella un sistema lineare qualsiasi | C | per cui О non
sia punto base, 1’imposizione del punto base О diminuisce di uno
il grado di {C{; inoltre le C per 0 hanno un punto a comune con
SISTEMI LINEARI Bl CVRVa
36
Fintorno di О stesso. Percte designando con я e я il grado e il genere
di |C| e con »egil grado e il genere della eurva infinitesima che
costituisce Fintorno di O, ossia della eurva eccezionale «, avremo
n = n —1 + v + 2 • 1
® =n4-g-fl —1,
e quindi
. v = -—1 e q = 0.
ba formula g = 0 risulta del resto a priori essendo razionale 1’in-
torno di O. ,
Katuralmente lo stesso compute si pud ripetere sulla superficie
Ф, trasformata di J?, che contiene la e>. Qui si ha un sistema |<7|
per cui а» fe сипа fo^damentale (senza, intersezioni colie C variabili)
e le C passanti per un punto di ш si spezzano nella. cd e in una eurva
residua <7t unisecante la в»: scrivendo fl grado e il genere di | Cj =
= | в» + <7X | si ritrovano le formule precedent!.
Bnunciamo dunque che: una ста eccezionale iniduoibile di
1» specie ha il genere virtuale q = 6 e il grade virtuale v — —1.
Paseando ora alle curve eccezionali di 2“ specie, b&sta ricordare
che una siffatta eurva at si laacia trasfonnare in una eurva ecce-
zionale di la specie, qualora si tolgano da essa dei punti da ritenere
come punti base assegnati di un sistema trasformante [C|; percib
il genere e il grado virtuali di una сипа eccezionale di 2* specie var-
ranno
g —0 e v 2:0.
Per esempio il igrado delle generatrici d’una rigata vale
v =0 ;
il grado d’una retta del piano vale
v ч=1,
quello d’una conica
v = 4 , ecc.
Notiamo ora che I’esigenza che il genere virtuale di nna eurva
eccezionale Sia g = 0, porta che una ’ eurva eccezionale irriducibile
di 1* specie co non pub avere punti doppi о multipli. Infatti il genere
virtuale q viene valutato calcolando il genere del sistema somma
| <71 = | Oj 4-<u | e percib un eventuate punto doppio della com-
ponent© в», non essendo punto base per |C|, deve ritenersi come
inesistente, ed allora, essendo gi& g — 0, la eurva ш risulterebbe
riducibile. ‘ ’
Anticipando alcune nozioni che saranno acquisite nel seguito
vogiiamo dire qui che le curve eccezionali vengono definite dai loro
- 36
CAPITObO PRIMO
caratteri virtual! trovati innanzi. Se да ё una curva irriducibile di
genere p = 0 e di grado v. — —1 sopra la superficie Jf, essa potrfi
trasformarsi in un punto sempliee, operando come segue. Si assuma
sopra V, in modo affatto generate, un sistema lineare 6o’| <7| privo
di punti 'base su X, di un certo genere я e di un certo grado n, le
cui curve seghino in i punti la да. Sommando co a | C | si ottiene un
sistema | 0 -f- ®| di curve (i —1) secanti la да, che sarft> di grado
a 4- 2» —1 e di genere я -f- i — 1, di modo che la diffierenza fra
il grado e fl doppio del genere л — 2w, viene aumentata di una unite.
E, come riconosceremo nel seguitp, questo aumento ba un signi-
fieato effettivo, регсЬё I’addizione di co riesce effettivamente ad
estendere il sistema | О |, risultando la dimensione del sistema irri-
dacibile | C -f- да| maggiore di quella di |>O|. Cid posto, si pub
procedere sommando ancora al sistema ottenuto la- m e cosi di se-
guito, fino a che non si arrivi ad un sistema | 0 4- in (• privo di punti
base su E per cui la co riesce fondamentale. Mediante questo sistema
la superficie ]? si lascia trasformare in una Ф in cui ad да corrispon.de
l’intorno di un punto sempliee 0. In conclusion® la m ё una curva
eccezionale di 1» specie.
' Il procedimento di trasformazione qui adoperato conduce al
risultato seguente:
se la superficie f contiene un certo numero s di curve ecce-
zionali che seghino rispettivamente le C in; itt iS} ..., i. punti,
dove sia ’ - ' •
*i + *» + • • • + i. > 2я —2 —n
si eostruite sopra E un sistema lineare irriducibile di grado S e
di genere ZZ per cui
S >'2lT — 2.
Vedremo nel seguito che I’esistenza di sistemi i cui caratteri
danno luogo ad una tale dieuguaglianza val^ a definite una parti-
eolare famiglia di superficie, che anzi essa caratterizza la famiglia
delle superficie razionali e di quelle riferibili a rigate; sopra- una
superficie che non apphrtenga a codeata famiglia particolare, per
ogni sistema lineare di genere. я e di grado я sussiste la dieuguaglianza
fondamentale
n 2л — 2. - -.
Conseguenza delle cose detto sari che: una superficie non appar-
tenente aUa famiglia delle rigate potrd sempre trasformarsi in un’altra
prvou affatto di curve eoeezionaU.
In pari tempo si riconoseeri che «una superficie che contenga
curve eccezionali di 2a specie appartiene alia famiglia delle rigate ».
Infatti si trasformi dapprima, come. si ё detto, una curva ep-
SISTEMI LINEARI DI CURVE
'37
cezionale di 2a' specie in tma curva 01 di genere g = 0 e di grado
v 2: 0. Qui, per essere v 0, il procedimento di addizione della
co 'ad un sistena | C | non ha mai termine perehb cresoe, о almeno
non diminuisce, il numero delle intersezioni delle curve del sistema
con la co. siechft certo si arriverh ad un sistema lineare di genere U
e di grado Лт, per cui
> > 2П — 2.
12. Note eulle curve eccesdoneli ridudbili.
Quando si trasforma una superficie JF in un’altra Ф per mezzo
di un sistema lineare 101 che abbia su’ V dei punti base distinti O,
OJ( 02, 1.. le curve eccezionali che rispondono a quest! punti, e
che sono in pari tempo fondamentali per lo stesso sistema |JS|
(trasformato delle sezioni plane di .F), sono curve irriducibili fra loro
sconnesse. Ma che cosa aceade quando'i punti O, Ot, Os, ... diven-
tano infinitamente vicinil '
Bengasi che i detti punti 0, 01} Os, ... abbiano per | <71 certe
molteplicitfl, i, ... dove sia i > ii e le differenze
i—4» 4—sieno grand! quanto occorre. A codesti punti
rispondono in generate su Ф delle curve eccezionali, О, £31} £Зг, ....
risp. degli ordini i, it, .... Ma se il punto diventa infinita-
mente vicino ad O, la curva Q d’ordine * viene a spezzarsi in due parti
m e la prima, d’ordine i—4, corrispondente all’intorno
del punto О private di <4 e la seconda, d’ordine 4, limite della curva
eccezionale corrispondente ad Ог.
In generate se piti punti 010»... diventano infinitamente vicini '
ad un punto proprio O, succedendosi su uno о pifc rami, lineari о
superlineari, la eurva eccezionale che risponde al punto 0 si spezzerft.
in piti parti fra loro < eonnesse, comprendenti le curve eccezionali •
che nascono dai'punti sueeessivi. Si pub precisare la cosa riferendoci '
al ease caratteristico in cui O, Ot, 0,, ... si succedano sopra un
unico ramo, e incominciando dagli esempi pih semplici. Se 0, Olf
Ot, ... , 0, si suecedono sopra un.ramo lineare, la eurva eccezio-
nale d’ordine i che risponde ad О diventa una eurva composts
d’ordine (» — 4) + (4 — 4) + • + (»»-i — 4) + :
™ ш -f- Ш1 4- ... "j~ ,
mentre le curve nascenti da OxGs... diventano
ass u>i 4“ Og 4” * • * 4* cig .
S8-i = o>s-i 4~
38 - CAWTOLO PRIMO
E, secondo il principiq di continuity, queste curve composte do-
vranno ritenersi come curve eccezionali, laddove le parti di esse
(ad es. да^да,.. .да«_х) non costituiranno intere com eccezionali,
bensi soltanto componenti di esse. Invero la componente да si tro-
ver& in eorrispondenza biunivoca, non gi&>' coll’intomo di 0 (ргево
nella eua interezza), bensi con quesfintomo private del punto
Oj, e eosi ®i si trovery in eorrispondenza coll’intomo di Ox private
del punto Os, ecc. Potremo passare dalla superficie E alia Ф median to
pit. trasformazioni successive da f а da-Д a , da E,_x
a X, — Ф; la prima di queste trasformazioni muteri О in una curva
да, la seconds muter& un punto O, di co in una curva дах, la terza
mutery un punto O, di дах (diverse dal punto comune ad co e mx)
in una curva да,, ecc. Percib ciaseuna да( (per i'c s) si trovery oon-
nessa in un punto colla successiva да<+1 e il buo grado (che У — 1
sopra diventery —1 —1 == —2 ворта E<+1 e sn Ф. Per conse-
guenza la cur» ecceziowale compost® fi ='<» 4- e»x 4- ... 4- да,,
corrispondente ad una Serie di punti О Ox ... O, infinitmnente vi-
cini, sueoeientisi e« «л ramo lineare, атеУ il genere
g asa (J 4~ 0 -j- ... -f- 0 (g 1) (g “— 1) = 0
e il grado
v = 2 — 2 .— 2 — 1 4- 2 (s — 1) = — 1.
Insomnia si ritrovano eosi i caratteri delle curve eccezionali irri-
ducibili di cui le curve composte Q, Ql} Qs, ..., Q. appariscono
come curve limiti.
Questa coincidenza di caratteri dovry prodursi ancora quando
i punti O, Ox, O,, О, vengano a succedersi sopra un ramo su-
perlineare, ma nella definizione delle curve limiti andiamo incontro
ad una sorpresa: le component! delle curve £3( diventano in generale
curve multiple'. •
Biferiamoci, per semplicity, al caso di tre punti O, Ot, О», buc-
cedentisi sopra un. ramo cuspidale: questo caso si pud trattare ri-
tenendo il ramo cuspidale come limite di un ramo lineAre, dove
Ott variabile nell’intorno di Ox, assuma la posizione del suo punto
satellite. Qui appare che. la curva d’ordine i — trasformata del-
1’intorno di О (private di Ot), viene a ridursi ad una curva o> d’ordine
»—%.—t, e alia curva да,, d’ordine i,, rispondente all’intorno di
О»; per conseguenza quest’ultxma curva viene a comparire due
volte in
да 4- дах + 2да,.
Per comprendere piti chiaramente le ragioni di cib che qui ac-
eade si effettuino tre trasformazioni successive della superficie X,
SISTEMI MSSABJ DI CURVE
39
mutando anzitutto О in to, e poi ancora un punto di co in
c finalmente il punto* * O, comune ad m e in <»8: la posizione del
punto O, eosi definita risponde al punto satellite di Ot sopra la su-
perficie JF. Ma poich.6 О3 ё punto doppio per la curva co 4- o>lt la
-curva eccezionale. trasformata t»x dovrS, contarsi come doppia, in
accordo a cid che si ё detto innanzi. be molteplicit& delle curve ec-
cezionaii composte che rispondono ai punti successivi di un ramo
superlineare sono state determinate da E. Barber e O. Zariski (x),
rilevando anche 1’ordine delle connessioni di queste curve e illu-
strando eosi, sotto un nuovo aspetto, la teoria delle singolarita. di
Enriques (®j. Koi ci limiteremo a riportare la regola generate se-
guente: Ze curva eccezionale composta Q, che risponde ad una serie di
punti O1( ..., O, infinitamente vicini ad un punto propria. O, succe-
* dentisi sopra un ramo superUneare, comprende s 4- 1 components, e
la componente Ле occupa il posto i, vi figura cotta molteplicitd
ht eguale all’ordine minimo del ramo uscente da О (*) Ле contiene gli
i punti Olt Os, ..., Ot.
ba stessa regola si applies alle curve eccezionali composte Д.,
2Э», (’). Iholtre la curva a>t viene eonnessa, non sempre alia
successiva ®(+1, bensi — in generate — alia curva a>i+t che le succede
dope t posti, in eorrispondenza alia circostanza chei punti 0m> • -Oi+,
siano prossimi ad Ot (come risulta anche evident® dall’ispezione dello
schema grafico del ramo O4+1.. -O<+ <). Aggtangaai che la detta curva
e>4 riesce di grado — 1 — t, come appare da cift. che essa rappresenta
1’intomo di un punto 0< da cui sono tolti t punti prossimi. Tenuto
«onto delle molteplicit& che spettano alle curve «»4 in Й<, le curve
eccezionali composte Q, Q, rxsultano sempre di grado
v- = — 1 e di genere о = 0 come le curve eccezionali irriducibili
di-^gi sono limiti.
tnfine rileveremo che I’insieme delle curve eccezionali irridu-
cibili sconnesse fra loro, di cui qui si considers il limite in seguito
all’awicinarsi di Ot, Os, ... ad O, tende ad una_curve
a + Qx 4- ... 4- Q,
che risulta composta con-le <0, colf a>i,. ..., ®,, contate ciascuna
con una molteplicit& che ё la somma delle molteplicit& che essa pos-
aiede per riguardo alle Qt di cui fa parte. Vedremo pih avanti il
significato di quest’osservazione.
(x) Влвввв e Zabiski, 1. 0. Ann. Joam. of Math., 1935.
(*) Quando si parts di un ramp usoente dal punto (owero da Oj ecc.) s’ia-
tende di ever prima eseguita la traeformazion.e ehfe mats O4 in un punto proprio.
(3) Cfr. EsBtquBS-CHisisr, Lezioni eoc., Libro I, vol. II.
40
CAPITOM FflMO
13. Serie earatteristica virtuale.
Abbiamo spiegato come si determinino i caratteri virtuali, e in
particolare il grado л di una eurva G tracciata sopra la superficie
F anche se questa sia una сипа isolata, non contenuta in un sistema
| G | di dimensione r > 0. П prooedimento che conduce a valutare
n (»), conduce altresi a definite, per л > 0, la serie earatteristica di
C, anche. infiipendentemente dalla circostanza che essa appartenga
ad un sistema pih ampio
Infatti si associ a C un sistema lineare irriducibile |ЛГ|, tale
che j G 4- К | riesca - irriducibile; la serie earatteristica di C verr&
definita dalle curve di ]<7 + che passano per le intersezioni di
una C con. una ЛГ. Questa serie invero riesce indipendente dalla
scelta di |A|, come si vede paragonando le serie definite in relazione
a due sistemi | С 4- К | e | C 4- h | edal sistema | G 4- К 4-L1.
Bi noti che, .come avremo occasion© di spiegare nel seguito, sank
sempre lecito Scegliere |K| in modo che le curve di \G 4- J£| se-
ghino sopra C una serie completa, e coal si ottenga sulla € la intera
serie earatteristica virtuale.
L’importanza di questa serie si manifests sopratutto nello studio
dei sistemi eontinui di curve G non costituiti di curve equivalent!
allora la serie earatteristica virtuale della C 'viene segata (tutta о
in parte) dalle curve del sistema ad essa infinitamente vicine.
Нота. - In questa maniera la serie earatteristica di una G
appartenente ad un sistema continue si ’ & presentata implicita-
mente a G. Oastelwovo, siccome .appare da una sua comunica-
zione epistolare ad- Bk^iqubb (’). In seguito il Castelnuovo stesso.
ebbe a rilevare esplieitamente il significato di essa, in rapporto .alia,
superficie (iperellittica) che rappresenta le coppie di punti di una
eurva del genere due, e attrasse su tale esempio 1’attenzione di Sb-
vebi; che fu indotto quindi alia definizione esposta innanzi, siccome
egli stesso accenna in una nota a pife della prima pagina del suo lavoro.
(*) C&. V. Евгввдиа», Jntroduzione ecc., 1886: an. 16 e 16.
(a) F. Sbvbbi, Osservasisnti sui sisietui oontinui di curve, Atti Ace. Torino, 1804.
(’) Cfr. Rendle. Ciroolo Matematioo di Palermo, .25 die. 1898 (a. 4).
Capitolo II.
SISTEMI OOVABIANTI E. INVARIANT!
1. Curve jacobiane.
Sopra la superficie P, che possiamo supporre priva di qualsiasi
singolarith in. un iperspazio, eonsideriamo un sistema lineare- irri-
ducibile |<7j di dimensioned, ciofe una rete. Il luogo dei punti della
superficie che sono doppi per' una eurva della rete, ё una linea alge-
brica Cj, che diremo jacobiana della rete. ba Cf si pub anche deflnire
come luogo dei punti di eontatto di .due curve della rete; infatti il
fascio da queste determinate contiene una eurva che ha un punto
doppio nel punto di eontatto. Nel piano la jacobiana di una rete
di curve dell’ordine » ( >1) й una eurva dell’ordine 3» — 3; ed un
punto base i-plo della rete. ha .in generate per questa la'molteplicith
3i — 1; cost un punto base semplice О fe, in generate, doppio per la
jacobiana, ma. se le curve della rete hanno in О una tangente fissa
la jacobiana ha in essa un punto triple,' eon quella tangente fissa (*).
Queste propriety si cqnservano inalterate anche per le reti date
sopra’ una qualunque superficie V, giacchft la determinazione delle
molteplicitA d’un punto base 0 per la jacobiana di una rete | C [
dipende soltanto dai caratteri differenziali delle curve C considerate
e della superficie che le contiene, la quale, in un ordine d’approssi-
mazione grande quanto si vuole, si pub approssimare con un para-
boloid© osculatore nel punto O, che' a sua volta si lascia rappresenr
tare punto per punto sul piano. Per le curve jacobiane delle reti
estratte da un pih ampio sistema lineare [U| sussiste il Seguenta
teorema 1 ' -
he jacobiane deSe reti oont&nnte in «» medesimo sistema lineare
irriobucibile | C |. di dimensione r > 2 sono eijuvealenti.
Estragghiamo da |C|. due reti qualsiansi e confrontiamo to loro
jacobiane, supponendo anzitutto che le due reti abbiano a comune
P) Cfr. Егпкгешя-Скгахкт, Op. oit., bibro III, vol. II, cap. I, f в.
48
САМТОЬО BBCONDO
un'fascio, e percib appartengano insieme ad un sistema lineare oo8 (*).
Un punto generico P della superficie P 6 doppio per una eurva C '
dei sistema oo’ anzidetto, e la <7, insieme col fascio comune alle due
reti, determina una rete di curve C la cui jacobiana passa per P.
Si vede in tai 'guisa che le jacobiane delle oo1 reti di curve C conte-
nute nel sistema oo8 ed aventi un fascio comune, formano un fascio
(per ogni punto di P ne passa una); ma questo fascio b certo lineare
perehb b razionale, trovandosi in corrispondenza biunivoca col fa-
scio delle reti di un sistema lineare oo* che hanno a comune un
fascio (’). Ora se si assumono entro C | (supposto di_ dimensione
r > 3) due reti di curve aventi a comune una curva C, si pub co-
struire una rete ausiliaria che contenga C ed abbia un fascio a
comune con ciaecuna delle due reti: la jacobiana della rete ausi-
liaria risultert, equiyalente alia jacobiana delle due reti; e, per la
propriety transitiva dell’equivalenza, queste saranno dunque equi- '
valenti fra loro.
In fine se si hanno entro ]<7| due reti senza curva comune (il
sistema | C\ avendo la dimensione r > 4), si potranno paragonare
le loro jacobiane costruendo una rete ausiliaria che abbia a comune
una curva con ciasctma di esse. Le jacobiane delle due reti risulte-
ranno quindi equivalent!, c. d. d.
2. Sistema jacobiane.
Da cib che si ё dimostrato innanzi segue che: . . - - -
Le jacobiane detle reti di curve contenute in un sistema lineare
irriducibile |C| sopra la superficie P appartengono ad un medesimo
sistema lineare complete che si dir A il sistema jacobiana 10s | di | C |.
La dimensione di | C | viene euppoeta per ora > 2.
La definizione che precede & senz’altro perfetta quando il sistema
j C | non abbia punti base, dove s’intenda che il sistema delle ja-
cobiane Ct dovrJt completarsi senza 1’imposizione di alcun punto
base. Se invece | C( abbia un punto base i-plo, s’intenderft che questo
venga assegnato come punto di molteplicitfi 34 — 1 al sistema com-,
pleto |O,|, poichb, come abbiamo detto, 3» — 1 ё in generate la ,
molteplicitb della jacobiana di una rete contenuta in 101.
• Gib vale anche se i punti base sono infinitamente vicini, cosi,
per esempio, se | C | possiede un punto base sempliee con la tan-
gente fissa, ciob due punti base semplici <0, , infinitamente vicini,
(l) Questo sistema viene determinate dal fascio comune e da due curve press
rispettivamente nolle due reti, fuori di esso.
(®) Insieme da assimilarsi ad un fascio di piani dello 8Л.
SISTBMI COVARI*NTI4B INVARIANT! ' ’ 43
le jacobiane delle reti contenute in esso avranno effettivamente
in О un punto triplo con la tangente fissa OOt (*), ma il sistema
di queste curve sari contenute generalmente in un sistema pih am-
pio con due punti base doppi Oe Ot, che costituirh il nostro sistema
jacobiane complete | Ct |. Se anche 1’ampliamento non sia. effetti-
vamente possibile, la singolaritb costituita da un punto triple e da
un punto sempliee infinitamente vicino dovrA ritenersi virtualmente
come costituita dai due .punti doppi О ed 0x. Abbiamo supposto sin
qui che fl sistema | C | fosse irriducibile, ma fe chiaro come la deflni-
zione debba estendersi al case in cui j C | contenga una parte fissa
X (che supporremo sempliee). Qui ogni punto della X appare come
un punto base con tangente fissa per una rete qualunque contenuta
in 101, percib la curva К si staccherft 3 volte dalle jacobiane di tutte
le reti contenute in | C |. Essa dovrA, aggiungersi 3 volte a codeste
jacobiane e il sistema riducibile cosi definite sarA contenute in gene-
rale nel pih ampio sistema irriducibile complete | С/ ].
A dir vero viene cosi dimostrato che la X si stacca almeno tre
volte dalle jacobiane delle reti di | C |. Per riconoscere che di fatto
non si stacca pih di tre volte, si potrA ricondurre la cosa dalla su-
perficie -al piano sostituendo ad X un conveniente paraboloide oscu-
latore in un punto della eurva X о anche una superficie razionale
che abbia un contatto assai elevate con la X lungo tutta la curva
X (*). Si riconosce cosi che una curva X la quale si aggiunga come
components fissa di una rete di curve irriducibili C, figura tn volte
neUa jacobiana di questa rete; essa non pub comparirvi pih di 3
volte, a meno che non sia una parte della jacobiana di |O|.
Kota. - Si pub dare una verifica analitica -diretta.del teorema
a cui siamo pervenuti. Per far cib occorre sapere come un sistema
lineare complete venga segato sopra una superficie J* .(con singolaritA
normal!) dello spazio ordinario, ciob che «le superficie- у aggiunte
ad f, ossia passant! semplicemente per la curva doppia di f, segano
su f sistemi completi » (’). Per semplieitA di discorso supporremo
che / sia una superficie d’ordine n, affatto priva di singolaritA, co-
sicchb le intersezioni complete di essa con la totality delle superficie
di un dato ordine m formino un sistema complete. '
Data su / una rete di curve irriducibili .(C1 che non siano inter-
sezioni complete, a cui si 'aggiunga una componente fissa X, si pub
sempre supporre che la rete 10|-sia residua di una curva L non con-
tenente la X come parte, in modo ehe le C -f- X siano intersezioni
(1) Cfr. i 1.
(’) Cfr. Estbiq-obs-Ckxsini, Libro XV, cap. IV, § 39, vol. II, pag. 634 e seg.
(s) Cfr. la note- al J 4 e il cap. III.
44
CAMTOW SECONDO.
SISTSMI COVARIANTI В INVARIANT!
45;
complete con superficie ф, d’ordine m. Quindi la rete | X + (J | 6 conte-
nufa partialmente nella rete rappresentata da un ’equation e del tipo:
ф(®1®»®а®<)[Л1фл(®1®»®а®1) + Я»ф»(®1Ж»а!а®4) + — О,
dove secondo le nostre ipotesi le ф1( ф», ф3, non si annulleranno si-
multaneamente sulla K, che invece fa parte della ф = 0 fl cui ordine
verry indicate eon s. Ora si tratta di scrivere I’equasione della jaco-
biana della rete eosi rappresentata, e di riconoscere che la curva
Ф = 0, ed in particolare la К che ne costituisce una parte, figura
in essa 3 volte come componente. I punti della jacobiana sono punti
di contatto di una superficie del sistema segante la rete, e della /.
Scrivendo le condition! per il contatto si ottiene un sistema di equa-
tion! lineari, per la cui compatibility deve annullarsi il determinant©
Э®х э(фф») Ml э(фф») э®х _М_ мх
Xygi) э®» !>(№) to. Э(фф») Ms Э(ффа) Ъх3 э(фф») Э®» Ъ(<р<р3) Э®» Ъ-f м» э/ . Ms = 0
Э®, э(фф») to. (Эфф») ЪХц а/ Э®*
Ora dopo avere eseguite le derivate di фф1; ффа, фф», si
S condotti a scpmporre il determinant© I> in una somma di deter-
minant! : tralasciando quei determinant! che risultino identjieamente
nulli, gli altri presentano il fattore comune q>*, tolto il quale riman-
gono quattro determinant! di cui uno contiene ancora il .fattore ,ф.
A not occorre dimes trare che la somma degli altri 3 determinant!
si annulla (semplieemente) nei punti della curva comune p = 0.
Infatti quest» somma si trasforma facilmente in un determinant©
unico. Scriviamo:
. Ъф Ml Эф / Эф» Эф» Э®1 Эф» " _Л_ Э®1 ' э/
ф = ф» м» 2>«Я?а Эя?» Э®, + 1
Эу Эф» . Эф» э/ •
э®» Э®, Э®, Э®а
Эф Эф2 Эф, Э/
< Эа?» ' Эф«. • э®. a®i
Эфх Эф Эф» э/
Эд?! Э®х э®. Эа%
Эф1 Эф Эф» " э/
+ 4>t Эж8 Э®3 Эж» Э®»
Эф1 Эф Эф» э/- •
Эжа а®3 Э.т»
1 э®4 Эф э®. -ЭфА Э®4. э/ , : Э®4
. Эф1 -1^ Эф Э/ '
Эа>1 Э®! ’э®х Э.®х
’ Эфх Эфа Эф э/
+ фа э®,. э®а э®» Эж»
э«а . Эфа э®8 Эф Эа?» Эа?» ?
. Эф1 Э®4 Зг?„ Эф Э/
• Э®, Э®4 Эг»
scambiando nel prime determinant© 1а ,1» colonna con 1л з» «
seconuo la luppo del 4® con la 3», tenuto conto dei segni, appare qui lo svi- determmante del S° ordine:
j Ф* ф» ф» о. 0
Эфх Эф» Эфа Эф а/
Э®, Э®л . э®» Э®» Э®х
Эф1 Э®2 Эф» э®, ’ Jys_ э®2 Эф ЭФ» . Э/ . э®,
.. Эф, Э.Л Эф» Эф э/
Э®8 Эж» ’ Эг» Эж» а®,
Эф1 э®* Эф» Эф, Эф, Эж4 ” - Эф э®. э/ Э®4
Sottraendo alia j la riga moltiplicata per m la 2‘ moltinlicata
fXX X ГГ per la ба per 001 tener del teorema d Eulero, si potiA sostituire ad essa la
0 > ° ? 0, — Sip, — nf .
poicbe eon n, m, s abbiamo designate rispettivamente gli ordini di
f, delle <pt e della ф.
°he U fetermiaaato “ oui Лг»а quests linea si annulla
eXl mente ?> = 0 e / = 0> PercM annullandosi
codesti termini la pnma riga diventa identicamente nulla, c. d d
CAVITOEO SECONDO
Aggiungiamo che la К non. pud staccarsi pih di tre volte dalla
jacobiana della rete; о almeno, se cid acftade, la Ж fa parte della ja-
cobiana della rete spogliata della parte fissa Ж.
Infatti un successive staccamento di Ж dipenderebbe da un con-
tatto fra la superficie / e la Ф lungo tutta la eurva Ж. Ora supponiamo
che in -un punto P di questa eurva coincidano i piani tangenti alia
/ ed alia Ф. Dovrh aversi
' _ ‘ >' d =A 2> 3, 4).
ЪФ
Calcoliamoci la r— . Possiamo derivare per colonne: in tai mode
la derivata verrh espressa come una somma di determinant! otte-
nuti sostituendo in una delle colonne le derivate rispetto a wt. Ora
ё chiaro che trovandoci in un punto in cui у == 0, / == 0, i determi-
nant che si ottengono derivando le prime tre colonne sono zero.
Quindi rest»:
0 0 0 Ъф 8 Mi 0 •
ж Mi ay« Mi X MiMi Э/ Ml +
Ъф1 M* M* M* <>8y
0 0 0 о _ ъ! n l№t.
+ ay* Mi _Ж_ Mi - tiy. Dy
A£i_ M* Ку» M* <>y« Ъ®4 <s®4 _2!L
Sviluppahdo i due determinant!
secondo la prima riga si ha:
m
Ж
\Ъх{/.
ЭУ1 • Ky2 К/
Mi
<>У1 ку, К/
a®* Э®* м*
SISTEMI COVARIANT! В INVARIANT!
Dy,
2/ “ж Ж ж (t=l, 2, 3, 4).
Эу, Ъ<р f
ж Ж ж
con
che
no,
Indicando brevemente il primo determinante del second© membro
, A, il secondo con B, questa equazione si pud sorivere
(5/ <)(р <)/ ~ ,
ж Q x— ~ ® — -4- — й = 1. 2. 3, 4),
> a priori office due possibility; '
« Ж == Л Ж ’ OS8ia le superficie f = 0 e у = 0 si tocca-
cib che b contro le ipotesi; owero
2) A = 0 e allora, come si riconosce subitb dalla struttura
del determinante A, il punto J* si trova sulla jacobiana della rete.
Il procedimento algebrico che qui abbiaxno ^viluppato si lascia
illustrate da alcune semplici consideration! geometriche che ci li-
miteremo ad accennare, riferendoci al caso pih semplice in cui la
f sia una superficie d’ordine n priva di singolarith nello spazio ordi-
nario, le ytj 9»a, ys siano tee superficie linearmente indipendenti
d’ordine m > ® e la у sia una superficie d’ordine s.
Osserviamo che la superficie f presa insiemecon una 'superficie
у d’ordine m — n si pub combinare linearmente oon le
si* costruirh quindi la' superficie jacobiana del sistema lineare 'oo3
cosi determinate», eiob il luogo dei punti doppi delle superficie del'
' sistema, che sarh una superficie Л d’ordine — 4) (x). Ora la В
segherh / in una eurva d’ordine — 4)л che riuscirh composta
della jacobian^ della rete delle curve | C | segate da
e della eurva L intersezione di / e y; siccome quest’ultima 6 d’or-
dine n(» — n), cosi la jacobiana della rete | C | risulterh d’ordine
n(3wi -{- n — 4).
did posto si aggiunga'alla rete
una superficie у d’ordine s, secante / in una eurva Ж d’ordine ns;
aggiungendo la у anche ad / si avrh un sistema Ijneare oo1 di super-
(l) Si ha qui uu’estensione immediate dell* jacobiana di una rete di curve
piane. Cfr. Esbiqvbs-Chisini, Op. cit., bibro'Ш, cap.' I, § 5, vol. II, pag. 31.
48
CAPITOLO SECONDO
flcie d’ordine m 4- s in cui la p figura come parte.fissa. Percid questa
<p si staceherh 4 volte dalla jacobiana D del sistema; la sua interse-
zione con f (d’ordine ns), figurerh una volta nella curva interaezione
di f con у 4- tp, e quindi comparirh 3 volte nella curva jacobiana
' della rete + О |, che C ora d’ordine
п[3(ж + s) -f- n— 4].
3. Teorema fondamentale. . .
Halle osservazioni che precedono segue -il
Teobema eosdamektale : Dati sopra la superficie JE* due sistemi
lineari irriducibili [C| ed |Z|,- cfie supponiamo sempre virtual-
mente privi di punti base e di dimensione non minore di 2, il sistema
jacobiana \C 4- -E|< della loro somma viene espresso da
|O + L\t == |A + 3X| = ]3C + A|-
Infatti nel sistema | C + h | ё contenute il sistema | C | + L
con una curva fissa L, ed il sistema О 4- |Z| con una curva fissa
C, i cui sistemi jacobiani completi sono rispettivamente i sistemi
. IAH-ЗХ] ed |A4-3<7],
che coincidono dunque nel sistema |<?4- Z|s.
In base al teorema fondamentale si pub definite ora il sistema
complete jacobiano di un sistema lineare )O| che abbia meno di
due dimension!, riducendosi dunque ad un fascio, od anche ad una
curva isolate C. Invero basterft sommare alia 0 un sistema ausi-
liario |Z<|, oo® almeno, ed аввшпете
| AI “ 130 4* A — 3JC |.
II teorema fondamentale si estende cosi agli jacobiani di sistemi
lineari comunque riducibili. Occorre soltanto un’awertenza relativa
. al caso in cui si considerino sistemi lineari |0| ed |Z| con punti
base assegnati sopra la superficie J1. Se- 1C1 possiede un punto base
t-plo О che non sia base per |Z|, ed |X| possiede un punto base
s-plo O' che non sia base per |C|, il sistema jacobiano |C 4- -E|#
avr& in О la molteplicith (virtuale) 3» -—.1, ed in O' la molteplicit&
3« — 1, ed invece О avrh la molteplicita 3i per |3C 4- A| ed O'
la molteplicith Ss per ] 3I> 4- A1 i quindi 1‘equivalenza tea i due
sistemi |C,4-3£| e |3C4-A| sussisterft soltanto quando si ag-
giungano ai due sistemi rispettivamente gli intern! dei punti О
ed O'. Si avrJb ciofe:
|3(7 4” A 4* | |3D 4“ A 4™ >
SISTEMI COVARIANTI В INVARIANT!
49
e l’equivalenza сов! precisata ha il sense che risulta dalle nostre
convenzioni: quando si muti la superficie JP, trasformando OedO'
in- curve eccezionali, queste vanno sommate rispettivamente ai
trasformati dei due sistemi 4- 3X[ ed |Д 4- 3C|.
Dope di cib ritorniamo al caso, cui generalmente ci riferiremo
nel seguito, in cui si tratta di sistemi oompleti virtualmente privi di
punti base sopra la superficie J1. L’equivalenza | (7,- 4- 3X| — [X, 4-
4- 3C| si pub ricondurre alia
|0#-30'| '== |X,— 3X| = |Ж|,
che in parole signifiea’: se la jacobiana |(7,| di un sistema | C | con-
tiene il triple di questo, anche la jacobiana [X#| di un altro qualsiasi
sistema |X| conterrd, il triple di |Z| e il sistema |X| ottenuto dalla
sottraeione risulterd indipendente dal .sistema da cui si parte. Questo
sistema | К | si deflnirS, come sistema canonioo- (impure) della su-
perficie jF.
Ma l’equivalenza ’ simbolica che - abbiamo soritto non. perde di
signifieato se anehe jC,| non contenga |3C|, ciob nell’ipotesi che il
sistema differenza [d,—3(71 abbia soltanto un’esistenza virtuale.
In ogni caso il signifieato dell’equivalenza fra sistemi virtuali b
data qui dalla relazione che esprime il teorema fondamentale sugli
jacobiani; non c’b che una sempliee differenza di linguaggio.
Conviene anche ricondurre l’equivalenza dei sistemi virtuali
sopra indicata ad una forma pih sempliee. Peroib ai definirh il si-
stema lineare |C'[ aggiunto a |(7|, mediante la relazione
|<7’| = '
awertendo che | C | (a differenza di | JK"|) avrh in generale un’eai-
stenza effettwa per i sistemi (C | tracciati sopra una superficie qua-
lunque: cib si verifies gih nel piano per i sistemi lineari di curve
d’ordine w e di genere w > 0, poiehb le C sono allora le curve di
ordine m— 3 passanti i — 1 volte per ogni punto base i-plo di | (7| ;
e la cosa si verificherh nel seguito per i sistemi lineari il cui genere
superi un certo limite.
Con 1’introduzione del sistema aggiunto, il sistema canonieo
viene dato da: .
|Ж[ = |C’ — Oj = |X' — L\ ....
e l’equivalenza di sistemi effettivi о virtuali cosi espreasa signifiea
. ’ [O' + z| = ]£' 4- cf
che b la relassione fondamentale per i sistemi aggiunti (privi di punt
base), sempliee trasformata della relazione data di sopra per i si-
stemi jacobiani.
Емвютю Г. - Suverfide algebriche. . . 4.
во
.СМЯТОГО SECONDO
4. Curve canonicbe.
, Abbiamo veduto come a partire da un sistema lineare [ O' | dato -
sopra nna superficie J* si costruisca il sistema lineare aggiunto | C' |
в quindi il sistema canonico |K| = |O' — <7| che potrft, avere una
esistenza effettiva о virtuale e si ft riconosciuto che queet’ultimo
sistema riesce indipendente dalla scelta del sistema |C|, supposto
privo di punti base su V. Anche nel caso che | C | possegga un punto
base i-plo О semplice per j₽*, il sistema |G' — €?| potrib ritenersi
ancora identico a |Kj, se si prescinds dalla eurva infiniteeima co-
stituente.l’intorno di O, che, essendo (i — l)-plo per (O'|, dovrebbe
sommarsi alle K. IZindipendenza di. \K\ dalla scelta di [<7| eigni-
fica che il sistema canonico jK| ha significatq invariants per tra-
sformazioni birazionali della superficie.
Per,epiegare meglio la сова, si considerino due superficie dello
spazio ordinario J? e Ф, rispettivamente d’ordine «еж, dotate di
singolaritfc normali, e si supponga che fra di esse intercede una
corrispondenza birazionale, aggiungendo dapprima 1’ipotesi che
questa non abbia punti fondamentali nft sull’una nft sull’altra super-
fieie. be sezioni piane della superficie JF formeranno un sistema li-
neare (C | il cur traeformato non ha punti base su Ф, e le sezioni
piane L di Ф formeranno del pari un sistema lineare su Ф il cui
traeformato non ha punti base su V. Ora si potrft, eostruire il sistema .
canonico su P sia a partixe dal sistema | C| delle sezioni plane,
sia a partire dal sistema | L\, e si avrft.
=« |C"~C| = |2?— L\ ;
lo stesso sistema ai costruiri, su Ф, sia a partire dal sistema |Z(
dalle sezioni piane, sia a partire dal sistema |C|, avendosi ancora
= \L' — X| = ’|O' —C|.
Dunque le curve del sistema canonico |K| costruite su J? apartire
dal sistema delle sezioni piane, si trasforrnanomelle curve del sistema
canonico di Ф eostruito a partire dal sistema |_£| delle sezioni piane.
Besta a vedere che cosa import! codesta costruzione.
Si puft eostruire sopra Э* il sistema canonico, costruendo anzitutto
il sistema jacobiane di | C |. A tale scopo osserveremo che una Stella
di sezioni piane di >, avente come centre un 'punto qualunque О
dello spazio, costituisce una rete la cui jacobiana ft 1’intersezione di
X1 con la superficie polare di O, d’ordine n — 1, intersezione ulteriore
di esea fuori della eurva nodale. . *
be jacobiane delle reti contenute nel sistema | Op delle sezioni
piane formeranno cosi un sistema lineare a? segato su f dalle po-
lari, fuori della eurva nodale; ma questo sistema avrit come punti
* SISTBMI OOVARIANTI В .INVARIANTI .. 51
base semplici i punti cuspidali sulla detta eurva nodale. Che quest!
punti debbano essere ritenuti come « punti semplici» della super-
ficie e perbid, secondo le noetre convenzioni, debbano esser tolti per
ottenere il sistema jacobiano complete | Ct |, si pud facilmente ,ri-
conoscere. Invero, se ci riferiamo ad una superficie trasformata su
cui la eurva nodale di F venga rappresentata dalla eurva delle coppie
neutre rispetto al sistema |C|, i punti cuspidal! daraxmo su tale
eurva punti base di eontatto per una rete di C e quindi punti base
doppi per un fascio di C: si tratta dunque di punti che apparten-
gono semplicemente alle jacobiane di tutte le reti contenute nel
sistema oo3 delle 0. .
Cid posto, il sistema jacobiano complete [£?,[ privo, almeno
virtualmente, di punti base, contend, Fintero sistema delle curve
sezioni di F con le superficie di ordine » — 1 passanti per la sua eurva
doppia (superficie aggiunte). Se ora da queste superficie si tolgono
3 piani, avremo che le superficie d’ordine » —’4 (supposte esistenti)
passanti per la eurva doppia di Д segano su F curve canoniche.
. Ba modo simile le superficie aggiunte d’ordine m — 4, passanti
per la eurva doppia di Ф, segheranno su Ф curve canoniche.
Quindi 1’invarianza del sistema canonico per trasformazioni
birazionali signifleherd, che «le curve sezioni di JF con le superficie
aggiunte d’ordine n — 4, si mutano, per la trasformazione birazionale,
in curve equivalent! alle sezioni di Ф con le sue superficie aggiunte
d’ordine m — 4 ».
Il teorema assume una forma pih espressiva ove si anticipi un
risultato che verra stabilito nel seguente capitold, ciofe che «le su-
perficie aggiunte di un ordine quahmque, e in particolare quelle di
ordine л — 4, segano sopra la superficie JF d’ordine n un sistema li-
neare complete », ciofe, in questo caso, Fintero sistema canonico | К |.
Avremo pertanto: le curve (canoniche) vntenezioni della super-
ficie F eon le sue aggiunte d’ordine n —i (fuori della eurva nodale)
si mutano, per una trasformazione birazionale, nolle sezioni di Ф
con le sue superficie aggiunte d’ordine ж — 4.
A dir vero si й supposto che la corrispondenza birazionale fra
F e Ф sia senza eccezioni, ciofe che il sistema |Zj non abbia punti
base su F, e | C | non abbia punti base su Ф. Ma se, per esempio, | X |
abbia un punto base i-plo О sopra JF, il teorema sussisterft ancora
con questa modifleazione, che: la eurva eccezionale co corrispondente
al punto О di F si sommer& alle trasformate delle |X|, flgurando
come parte fissa del sistema canonico impure co&tituito . dalle sezioni
di Ф con le sue superficie aggiunte d’ordine m — 4.
Nota. - Si ё supposto che la F e la Ф siano dotate soltanto di
singolarita, normali (етоё di eurva doppia eon punti^ tripli); ma il
62
СЛМТОЬО SBCOTOO
teorema si estende anche se venga meno quests restrizione, pu.chfe
si definiseano le superficie aggiunte ad una data in relazione alle
singolarith pih elevate che essa possegga. Basta qui accennare che
una curva i-pla ordinaria di V dovA essere (t — l)-pla per le super-
ficie aggiunte, ed un punto eonico d’ordine s, fuori della curva mul-
tipla, dovA avere in generate per eodeste aggiunte la moltepliciA
8 —2. Ma di cii) pih avanti.
5. Propriety delle curve canoniche.
Le curve' canoniche sopra una superficie V (dico le curve cano-
niehe impwre, sezioni della Ж d’ordine n colle superficie aggiunte
d’ordine n — 4, fuori della curva doppia) godono di una propriety
che qui vogliamo esplicitamente riconoscere, e che, nelle condizioni
pih semplici, vale anche a caratterizzarle, siccoine vedremo nel se-
guente capitolo.
Si consider! su J un sistema lineare irriducibile privo di punti
base, | C ], di dimensidne r 2, di genere л e di grado ri. La jacobiana
di una rete.di curve .0 sega su una C il gruppo dei 2» -f- 2л —2
punti doppi della gi caratteristica, e questo appartiene alia serie
somma dell® serie canonica e del doppio della g*. Togliendo 20
da 10,1, si avraxmo curve O' aggiunte a \C\ secanti su 0 gruppi
canonici; e togliendo ancora una 0 si avA che le curve canoniche
К segano su C gruppi residui della serie caratteristica.
Enunceremo dunque che:
Le curve aggiunte O’ ввдапо аорта le curve del sistema (0 | gruppi
oanonioi. Le curve canoniche Ж segano sopra le -сипе C gruppi residui
della serie caratteristica.
- Segue di qui che le aggiunte O' segano una curva C, di genere
virtuale л in 3 л —2 punti, e le curve canoniche iS7,.effettive о vir-
tual!, la segano in
i = 2л — 2 — n
punti.
Questa eguaglianza auasiste per gualungue curva C, anche iadlata,
irriducibile о riducibile, riferendoei sempre ai caratteri virtual!,
definiti nel supposto che la C non abbia punti base assegnati su Ж.
Infatti si sommi alia О una convenient© curva L di genere g e grado
v che la incontri in s punti, per modo che il sistema lineare complete
| 0 -f- L | sia irriducibile e di dimension© > 2; basteA assumere
come sistema |Z( il sistema segato dalle superficie d’ordine abba-
stanza alto passanti per C. Ora le curve C + L appartenenti al
sistema [(С*-|-Х)'| segheranno una 0 + L in
2(л -f- Q -f- 8 — I) — 2
SISTEMI COVARIANTI E INVARIANT! 53
punti; togliendo le intersezioni di esse con L, che sono 2 g —2 4- в,
e poi le s. intersezioni con L, resulter&
(СС')==2л—2.
Similmente il numero virtuale delle intersezioni di С e К vale sempre
(OK) 2л — 2 — n.
Nota. Aggiungiamo che per una curva irriducibile O, senza
punti multipli su P, il gruppo segato su di essa da un’aggiunta O'
sar& sempre un gruppo canonico, e il gruppo segato da una К sar&
residue della serie caratteristica (efltettiva о virtuale). BasterA di-
mostrare I’asserto per una curva 0 che faccia parte di una curva
composta C -f- L, appartenente ad una rete irriducibile. Biprendendo
il ragionamento fatto innanzi si troverS. ora che una curva di’
|O,| ='|(0+ L)t— 3L|
sega su <7 un gruppo appartenente alia serie somma della serie ca-
nonica e del doppio della serie caratteristica virtuale della 0 stessa.
6. Genere' superficial® e genere lineare.
L’invarianza del sistema canonico per trasformazioni birazionali
della superficie porta che i caratteri di questo abbiano del pari un
significato invariantivo ’ rispetto a tali trasformazioni. Tuttavia
occorre distinguere: ' •
1) invarianti assolwli, che non mutano per qualsiasi trasfor-
mazione, e . • '
2) vnvarianti relativi che conservano lo stesso valore per tra-
gformazioni birazionali senza eceezione, ma si alterano per trasfor-
mazioni dotate di punti fundamental!, che mutino un punto (sem-
plice) della superficie in una- curva eccezionale dell’altra.
La dimensione del sistema canonico, о meglio il numero delle
curve canoniche linearmente indipendenti, ei d& appunto un in-
variante assoluto, ohe dicesi genere geometrioo superfidale (p о p„),
о semplieemente « genere », della superficie.
Quando si sia dimostrato che il sistema canonico complete viene
segato sopra una superficie _F d’ordine и dello spazio ordinario dalle
sue aggiunte gj„_t d’ordine » —- 4 (cfr. Cap. Ill), si ha che il genere
di una superficie generale d’ordine » (che ё il numero delle li-
nearmente indipendenti) vale . ' . -
‘ e _ (i*-3)(»-2)(n-l)
CABITOW- висозтоо
54
Quindi il genere del piano, delle quadriche e delle superficie cu-
biohe, varrS,
= 0 , .
Cid si verifies direttamente per il piano osservando che, in esso, ’
il sistema (C | delle curve general! d’ordine n 3 contiene il suo
aggiunto | C' J, costituito dalle curve d’ordine n — 3; cosi, essendo
)C[ pih ampio di |C'|, non pud accadere che |O'j contenga |<7| :
O' — C non ha esistenza effettiva, che vuol dire p — 0. L
Dall’essere nullo il genere del piano segue che tutte le super-
fioie razionali (rappresentabili punto per punto sul piano) hanno
parimente il 'genere zero. Fra queste ci sono appunto le quadriche e
le cubiche (almeno quelle che non sono coni) detto iimanzi.
Un’altra famiglia di superficie aventi il genere (geometrico)
wMo. sono le rigate, e quindi anche' le loro trasformate. L’asserzione
si gtustifiea osservando che una generatrice di una rigata F non pub
avere sistema aggiunto, poichd questo dovrebbe segare sulla gene-
ratrice la serie canonica; In generate il sistema |C'| aggiunto ad
un sistema lineare j C | sopra la rigate non pub contenere j 01 percite
le C segando le generatrici in n punti, le C’ le segano in и — 2 punti
(cfr. Cap. Ill, § 3).
Bitornando alle superficie qualunque, di genere p 0, il genere
delle curve canoniche (effettive о virtuali) forniscc un invariante
relative, detto genere lineare p<x> о anche genere lineare relative,
che diminuisce di 1 per ogni punto della superficie F che venga
cambiato in una eurva eccezionale e viceversa cresce di 1 per ogni
curva eccezionale che pi muti in un punto. Infatti abbiamo veduto
che, quando un punto О della, superficie F si muta in una curva
eccezionale <u di Ф, questa ta si aggiunge alle Ж trasformate delle curve
canoniche К •, ora una curva siffatta non b connessa colte dette K,,
ciob ha con esse un numero virtuale d’intersezioni nullo, poichb
il punto О пой. 6 — almeno virtualmente — punto base di | F|,
non avendo il detto sistemaj K| alcun punto base aesegnato sopra F.
Pertanto Bommando alle К la co di genere zero e di grado —1,
всоппевва eon esse, il genere di codeste curve diminuisce di 1.
Qui si palesa I’opportunite di considerate, almeno per le super-
ficie di genere p > 0 dove il sistema canonico ha un’esistenza eftet-
tiva, accanto al genere lineare relative pW, anche il genere del
sistema oanonico puro, spogliato delle sue component! fisse eccezio-
nali, che sate poi il .genere delle curve canoniche sopra una super-
ficie trasformata priva di curve eccezionali, siccome verte precisato
nel seguente § 7; otterremo cosi un invariante assoluto, che de-
nomineremo genere lineare assoluto della superficie data. Il suo valore
sari
pto = p(O (j
SISTEMI COVARIANTI ,E INVARIAMTI _ 55
designando con u il numero dell© curve eccezionali appartenenti alia
superficie.
Ci riserviamo di precisare, nel prossimo paragrafo, che queste,
curve sono sempre curve eccezionali di 1» specie (almeno per p > 0)
non eonnesse fra loro, esaminando in particolare il caso delle cur-
ve eccezionali riducibili. .
Come il genere del sistema canonico anche il grado di esso for-
nisce un invariante relative della superficie, che possiamo indicate
eon pW. Quando, per una trasformazione della superficie >, viene a
sommarsi alle £ una curva eccezionale to di grado — 1 non eonnessa
alle K,'il p^' diminuisce pure di 1. Ed anche qui, aceanto al grado
del sistema canonico impure, possiamo definite il grado del sistema
canonico pure, che costituirh un invariante assoluto, definite • al-
meno per le superficie di genere p > 0. Ma il non ci dft un nuovo
carattere invariante in confronto al genere lineare. Infatti snssiste
fra il genere e il grado del sistema canonico impure la relazione .
I.
Per dimostrarla basta osservare che il sistema aggiunto al sistema
canonico 1K| fe
|K'| = (2K| ;
quindi il numero delle intersezioni di К eon 2K vale 2p(« — 2 e
percib
(XX) = pri) >— 1 .
Nel caso p > 0 (e in tutti i casi in cui si potranno definite i caratteri
assoluti di cui si discorre, ciob quando la, superficie sia trasforma-
bile in altra priva di curve eccezionali) la relazione precedents sussiste
ancora fra il genere e il grado del sistema canonico pure, che sono
pW ff e p(,! 4- c.
Kota. - Risulterh pih avanti che le sole superficie per cui non
b possibile definite il genere lineare assoluto (riierendosi ad una tra-
sformata priva di curve eccezionali) sono quelle che appartengono ‘
alia famiglia delle rigate (razionali о no). Tuttavia anche per queste
si giunge a costruire un invariante assoluto, quale ё date — se-
condo CASTEurnovo (x) — dal massimo del genere lineare relative, in
confronto a tutte le poasibili trasformate della superficie data.
Qui riesce opportune di caleolare il genere lineare del 'piano e
delle rigate irrazibnali di genere p (> 0), che rispondono appunto
a, quel massimo.
I1) Sul genere lineare di una euperficie e euUa claseificaxione a ciii еяво dA luogo.
Rendic. Aco. Linoei, vol. VI, 1897. «Memorie soelte»; pag. 443.
В6
СЛИТОГО SECONDO
T1 genere lineare del piano si ealeolert riferendosi ad un sistema
lineare di quartiche piane | <7|, di genere я — 3 e di grado я = 16:
il genere it' — 0 del sistema aggiunte, che ё la rete delle rette, viene
espresso dalla formula
я' = я -|- p(>> -f- 2я — 2 — л — 1.
Facendo qui я = 3, n — 16, я' = 0, si ricava che il genere lineare
del piano vale
pW = 10.
Passiamo a considerare una rigata d’ordine m e di genere p > 0.
Il sistema doppio delle sezioni piane (segato dalle quadriche) ha
il genere
st = -2p 4~ m — 1
e il grado
n — 4m.
П sistema aggiunte ad esso ё costituito da gruppi di m + 2p — 2
rette C1), e quindi ha il genere
n' = — (m 4~ 2p — 2) 1 — — m — 2p + 3.
• Quindi dalla formula
я' = я 4- J><x) + 2л — 2 — » — 1,
si ricava che: й genere lineare delle rigate di genere p > 0 vale
' p« = — 8(p —1) + 1 • ‘ -
7. be curve eccezibnali come parti fiese del sistema canonico.
Giova ritoraare a precisare in qualche punto cih che si riferisce
alle curve eccezionali appartenenti ad una superficie di genere p > 0,
e alia loro appartenenza, come parti flsse, al sistema canonico | ЛГ].
Che una curva eccezionale di prima specie, <a, sulla superficie F,
appartenga come componente flssa al sistema |F| risulta diretta-
mente dal fatto che essa ha il genere g = 0 e il grado v = — 1.
Infatti la co deve essere intersecata dalle К in
2g — 2 — v = — 1
punti; siecome questo numero (virtuale) ё negative la co deve far
parte di ogni j£. Si pud dire di pih: sulla superficie F, di genere p > 0,
non possono aversi due curve eccezionali irriducibili di prima specie
connesse fra. loro, еюё »,venti qualche punto comune. Infatti, se
p) CS6 pub verifiearsi in varie guise;1 rimandiamo al Cap. III.
SISTKMI COVARIANTI В INVARIANTI"
57
si abbiano due tali curve, m e co', di genere 0' e di grade —1, con
i( 2:1) punti comuni, esse dovranno flgurare come parti flsse, da
contare un certo numero finite di volte, in tutte le curve cano-
niche K. Ma, se la prima si staechi r volte e la seconds s volte, il
numero delle intersezioni di co e co' colie curve residue varrb, risp.
(Xm) — г(сош) — s(cw') = —.1 -f- г — si,
(Ke»') —e(e»'a>') — r(e»o>') — —1 -j- s —ri.
Ora, di questi due numeri, la cui somma b negativa, uno almeno
6 negative, siechb la corrispondente curva, йога', dovrebbe stae-
carsi ulteriormente dalle K, contro il supposto.
Collo stesso ragionamento si prova che la superficie K, di genere
p > 0, non pub contenere una curva eccezionale di seconda specie
co. All’uopo 'giova riferirci ad una superficie Ф, trasformata di' K,
su cui la cd diventi una curva di grado » i 0, conservando sempre
il genere g — 0. Su quests superficie la co dovrb, avere comune con
una curva eanonica К il numero virtuale di punti
2g — 2 — v == — 2 — v
che b negative; la co si stacca dunque come parte flssa dalle К ;
ma dovrebbe stacearsi infinite volte, cib che b assurdo. Invero se
si supponga che si staechi s volte, il numero delle intersezioni colle
curve residue varrh
(Keo) — s(ma>) — — 2 — (s + l)j>
che b sempre un numero' negative.
Biassumeremo i risultati ottenuti enunciando il teorema:
Sopra una superficie Ai genere p > 0, si pub avere tutl’al piA, и»
numero finite Ai curve eccezionali irriducibili di prima specie, non
connesse fra loro, e non si Hanno mai сипе eccezionaU di seconda specie.
• Si awerta che quando si abbiano soltanto curve eccezionali di
1» specie irriducibili, ciascuna di queste, to, si stacca semplieemente
dal sistema canonico, restando fondamentale per il sistema residue
[К — . Tuttavia non si pub escludere che la co si staechi ulterior-
mehte da |K — e>|, flgurando due volte come parte flssa di |Kj.
Oib signifies che trasformando la cu in un punto O, questo risulterb.
un punto base comune a tutte le curve del sistema canonico trasfor-
mato. Siccome perb questo punto’ base non b assegnato,' deve ri-
tenersi virtuabnente inesistente, coal anche la to sulla superficie
data dovrft ritenersi ancora come facente p®rte delle curve canoniche
' pure che si ottengbno staccando una volta le curve eccezionali che
costituiscono parti flsse del sistema canonico impure.
Kota I. - Una menzione particolare merits il caso in cui si abbia-
no curve eccezionali ridudbiU, provenienti da punti base infinitamente
CAPITOW SBCOKDO
S8
vicini di tma superficie trasformata. Qui la molteplicitci, delle curve
eccezionali come parti fisse del sistema canonico impuro si lasciano
determinate in base al principle di continuity, giacchh s^ppiamo che
il caso di cui si tratta nance come limite quando i punti base di un
sistema trasformante si awicinino tea loro indefinitamente. Ricor-
dando I’osservazione con cui si ehiude il § 12 del precedente Cap.,
rileviamo ora che essa ha il seguente significato: Ogni components
<o< di una сипа eccezionale ridudbile
Q 4~ <z>x 4~ ... 4~ -f- ... 4“
si staeca dal sistema canonico impuro tante volte quant’d la somma
delle molteplicit& con cui essa figura nolle curve eccezionali di cui fa
parte (*).
Per esempio, se si ha una eurva eccezionale composta di tee
component!, ciascuna connessa con la successiva, in corrispon-
denza a. tre punti inflnitamente vicini succedentisi sopra un ramo
lineare, codeste component! danno luogo a tre curve eccezionali
composte
m -J- <ot 4~ co, , ®ж + <aa, a>3 ;
allora la ш figurerft. come parte fissa semplice del sistema canonico
[ К J, la cox vi figurery contata due volte, e la a>s tee volte.
Se invece le tre component! anzidette provengono da punti suc-
cessivi sopra un ramo cuspidate (sicchy la ш e la ojj siano connesse
Con la ш, e non fra loro) si avranno tre curve eccezionali
co -f- cut 4* 2®j, <ах 4- , cu, ; .
quindi la ш figurery ancora semplicemente come parte fissa del si-
stema canonico | X. |, la <ut vi figurerh doppiamente, e la co, come eurva
quadrupla.
Il teorema che una superficie X di genere p > 0 possiede in
generale soltanto curve eccezionali di la specie irriducibili non con-
nesse fra loro, fa apparire evidente che la X stessa potry trasformarsi
in altre superficie affatto» priva di curve eccezionali, siecome jBw-
biqtjes ha indicate nella sua «Introduzione» del 1896. Ma la di-
mostrazione rigoroea di cio si fa nel modo pih semplice con Ca-
STEbiroovo-BNBlQXXES (1901), ricorrendo al cosi detto teorema di
Riemann-Boch per le superficie, in condizioni pih larghe che com-
prendono (come gift. si 6 accennato) tutte le superficie non apparte-
nenti alia famiglia delle rigate. E percib ne rimandiamo a pih a-
vanti lo sviluppo. Qui vogliamo soltanto notare che il caso in cui si
(x) A. Fbanchetta, eurve eccezionali riducibili di prima specie. Boll.
dell’Unione Mat. It., Bologna, 1940.
SI8TSMI covamanti e INVARIANT! 59
abbia Tina eurva eccezionale composta di s parti, non, dft> luogo ad .
alcuna difficoltft, регсНё una sua component© costituisce una eurva
eccezionale irriducibile, che potrA sempre eliminarsi, riducendosi
cosi da a ad в — 1.
Nota II. - Bileviamo pih esplicitamente cib che ё incluso
nella propriety earatteristica delle curve canoniche di segare sdpra
una eurva C di grado я e di genere я un gruppo di 2л 2 — n
punti. Appunto per tale propriety la differenza
2 л — 2 — n
(che ё in generate positiva, ma che deve considerarsi anche se vir-
tualmente negative) appare un carattere additivo per i sistemi di
curve 1C1 sopra la superficie; e la propriety additiva di essa si pub
riconoscere anche direttamente dalle formule che danno il grado
e il genere delle curve composte, indipendentemente dal significato
effettivo о virtuale che qui lo rende evidente. Ci6 posto si pud af-
fermare che: Sopra una superficie di genere p >0 una сипа irridu-
cibile 0 di grado n e genere я per cui
n > 2 л — 2
pub essere soltanto una eurva eccezionale di prima specie:
л = 0 , n — — 1.
Infatti se 2л — 2 —n ё minore di zero, la C deve staccarsi da tutte
le curve canoniche К; ma se si suppone che si stacchi s volte, il
numero delle intersezioni di 0 eon le curve residue затй,
2w— 2 — (s + 1)я
e percid sempre negative, a meno che sia n = — 1, e di conseguenza
я — 0.
Questo teorema si estende al caso di curve comunque composte,
osservando che una somma di caratteri negativi о nulli n< — (2л < — 2)
non pub mai dare un numero positive. Ma si va incontro ad una analisi
un po’ delicata nel caso delle curve eccezionali composte. Si evita
la difficolth riferendoci ad -una superficie trasformata priva di curve
eccezionali. Ecco il risultato: Sopra una superfine di genere p > 0
non esistono curve (comunque composte) di genere я e grado n > 2л — 2,
airinfuori di quelle che si ottengono sommando a curve con n <, 2n — 2
delle curve eccezionali seonnesse (aventi con esse un numero virtuale
nullo di,punti comuni).
In particolare si deduce che una eurva eccezionale di prima specie,
comunque composta, appartenente ad una superficie di genere p > 0,
во СЛИТОМ SECONDO
viene caratterizzata come « curva coimessa di genere g = 0 e grado
V = — 1 » (x).' - -
Ebebcizio. — bo studioso ё invitato a seiogliere il seguente pa-
radoBBo: si parta da una superficie del 4° Ordine (di genere p = 1)
j»4 contenente una retta a; si considered su JF* una cubica C, se-
zione plana per в e si esegunA una trasformazione di P* in una su-
perficie Ф, per mezzo di un sistema’lineare -con un punto base О
sopra 0. Avremo cosi, su Ф una curva. ellittica C cui viene sommata
una curva eccezionale co che la incontra in un punto. Ora si consider!
la somma
(7* -f- ;
essa ё una curva di genere virtuale g = 0 e di grado v — —1,
eppure non ё una curva eccezionale!
8. Curve Meanoniche e plurieanoniche.
Abbiamo veduto che I’eeistenza virtuale del sistema canonico
jjff] = \C' ~ O|
coBtruito a partire da un sistema (01 senza punti base sopra una
superficie J1, imports I’esiatenza di caratteri numeric! quail sono il
p<i) e fl che vengono definiti indipendentemente dall’esistenza
effettiva di |JK7|. Ma la considerazione di un sistema canonico vir-
tuale che non abbia esistenza effettiva assume un’ signifieato pih
concrete quando accada che il eietema inesistente dia luogo ad un •
doppio о ad un multiple effettivamente esistenti che si lasciano
deflnire direttamente dalla relazione
]2Ж| = |2(Г— 2C|
owero ...
| <J5C | = ] iC'—iC |,
giacche il teorema fondamentale per gli aggiunti d& in ogni caso
| iC — iC\ == |t£'—iL|.
Bbtiamo anche che il sistema bicanonico si pub definite per sottra-
zione del sistema | C.| dal suo secondo aggiunto
|(C+ <7')'| = .|C+ = |2<7'l > l2K’l = \C" — C\
T1 pih sempliee esempio di una superficie di genere p *=? 0, cui
appartaene una curva bicanonica (d’ordine zero), ed anche il primo
0) Con шмь piboola reetrizione, cio© .eecludendo il caeo che la eurva appartenga
ad un fascio lineare di curve rexionali (con qualohe component® fieea), il teorema
ei eatende a tutte le euperficie (p Oh Cfr. А. Fbancbbtta, SvUa awaUirizxaaione
Mie evne eooexionali ecc. Boll; Unione Mat." It., 1841.
SISTEMI COVARIANTI В INVARIANTI tfl
che si ё presefitato, viene offerto dalla superficie del sesto ordina
J’s che равна doppiamente per gli spigoli di un tetraedro, sulla quale,
avremo occasion© di ritomare nel seguito. be sezioni piane della
Je sono sestiche C di genere 4; le curve aggiunto ad esse sono sestiche
gobbe O' segate dalle superficie cubiche che passano semplicemente
per gli spigoli del detto tetraedro; le curve C e O' sono disequiva-
lenti; ma i loro doppi sono equivalent!, ciob
|2C"| = |2C| ;.
infatti fl sistema complete- |2C.| = -|2C'| viene segate sopra
dalle superficie del 6° ordine, che hanno ugnalmente come doppi
.gli spigoli del nostro tetraedro. ’ .
• .La Д non contiene curve eccezionali, ma se essa si trasformi
in una superficie Ф per modo che un suo punto О si muti in una curva
la. curva eccezionale to contata due volte costituirft da sola la
curva bicanonica di Ф. ’
I caratteri del sistema bicanonico e similmente quelli dei sistemi
pluricanonici forniscono degli invariant! della superficie P. Anzi-
tutto la dimensione ‘del sistema bicanonico, о meglio questa dimen-
sion© aumentata di un’unitS, ciob il numero delle curve Moanoniehe
linearmente indipendenti, costituisce un invariante assoluto che si
denominert, il bigenere P = Pa. Invece il genere e il grado del si-
stema bicanonico forniranno degli invariant! relativi della super-
ficie. Ma ё chiaro che quest! caratteri si esprimeranno per mezzo del
genere lineare (relativo) p<l>.
Infatti, designando con IK] il sistema canonico virtuale di ge-
nere pW e di grado pW — p<» —1, il genere del sistema bicanonico
|2K| verr& date da
2p(t).4-p<‘>-l =3pW-2
e il suo- grado sarft,
. ‘ 4pf*1 = A(pW — 1) .
In modo analogo il sistema t-canonico della superficie P, co-
munque abbiano о no esistenza effettiva i sistemi pluricanonici
d’ordine inferior©, ()i dark: un invariante assoluto che ё lo f-genere
P«, с!оё il numero delle curve i-canoniche linearmente indipendenti,
e .degli invariant! relativi che ne esprimono il genere e 'il grado. Ma
questi dipendbno dal genere lineare pw della superficie; precisa-
mente il genere del sistema t-canonico vale- '
e il suo grado
— 1) .
82
CAMTOM SECONDO
Le considerazioni svolte nel paragrafo precedence intomo alle
curve eccezionali sopra una superficie di genere p > 0, si estendonu
ora alle superficie di genere p = 0 il cui bigenere sia P > 0, o, in
generale, che abbiano un P( > 0. Infatti 1’esistenza effettiva delle
curve bicanoniche о i-canoniche di |iK| = |РГ«|, porta sempre che
una curva di genere я e grado » con » > 2л — 2 debba staccarsi
come parte flssa dalle Kf. In particolare figureranno come parti
. flsse delle £< le curve eccezionali di prima specie, ciascuna contata
in generate i volte. E come nel caso p > 0, non potranno esservi
sopra la superficie che curve eccezionali di la specie non connesse
fra loro. ~Hon oi sofienniamo a diseorrere particolarmente delle
curve eccezionali composte che non danno luogo ad osservazioni
nuove.
Bileviamo soltanto che, in conseguenza di cid ©he si ft detto per
le superficie con un plurigenere P< > 0 (anche quando sia p — 0>
risulterk sempre definite il genere lineare assoluto che del resto vale
pW _f_ designando eon pih.il genere lineare relative, e con & il* *
numero delle curve eccezionali. D’altronde la superficie eon p = О
e con qualche plurigenere diverse da zero, potrft. trasformarsi. in
un’altra priva di curve eccezionali, e il genere lineare di quests ci
darfi appunto il genere lineare assoluto.
9. Nota storica. '
11 genere di una superficie algebrica P si ft presentato per la prima
volta ad А. Ошисн (*) come «numero degli integral! doppi di
prima specie (ciofe sempre finiti) appartenenti ad P ». Se si suppone
la JF d’ordine n, nello spazio ordinario, gli integrand! algebrici di
prima specie si formano a partire dalle superficie aggiunte y*-*,
d’ordine w — 4, come gli integrand! di prima specie di una curva
piana d’ordine n si formano a partire dalle curve aggiunte d’ordine
n — 3. Appare quindi che eodeste у о raeglio le curve (canoniche}
sezioni di esse con P, hori della curva doppia, hanno carattere inva-
riants per trasformazioni birazionali della superficie. La loro in-
variant» ha ricevuto una prima dimostrazione algebrica 'da M-
Noethee (’). Quindi lo stesso Noetheb ha notato che il sistema ca-
nonico \K\ tormsce, oltre il genere p (dimension© aumentata di
una units.) anche un secondo carattere invariants della superficie,
che ft il genere delle K, cioft il genere lineare pW, definite almeno per
p > 0, e da tai' designate come « Kurvengeschlecht » in opposizione
C1) Oomptes-rendus de VAeadmie ties Sciences de Paris, 1868.
(*) Zur IFkeorie des eindeutigen Bntspreohens algebraieeher веЫШе. Math.
Annalen Bd. 2 (1869), Bd. 8 (1874).
SISTEMI COVARIANTI E INVARIANT! 83
a «Flachengeschlecht». Quanto al.grado del sistema canonico
egli ha veduto che si esprime per il pri) eolla formula
' p<«) = pW — 1 ?
conseguenza della propriety fondamentale delle К di segare sulla
curva generica d’un sistema ’lineare | C | gruppi residui della serie
caratteristica. La formula indicata, che Noether riteneva sempre
valida -per i caratteri efffettivi, sussiste invero, senza eccezione, per
i caratteri virtuali, definiti da Enriques. .
F. Enriques, riprendendp dopo un ventennio lo studio generale
delle superficie algebriche dal punto di vista delle trasformazioni
birazionali (*), si volge anzitutto a riconoscere fino a che punto la
propriety fondamentale delle curve canoniche K, supposta sussi-
stere per rapporto ad un particolare sistema | C |, valga a caratte-
rizzare le dette K: ci& avviene invero (salvo un’eccezione) se ](7|
6 un sistema lineare irriducibile oo’ almeno, privo di curve fonda-
mentali proprie (abbassanti il genere delle curve residue). Da cib
1’autore trae una dimostrazione geometrica dell’invarianza • delle
К rispetto a trasformazioni birazionali; una trasformazione bira-
zionale della superficie venendo scomposta in trasformazioni suc-
cessive, ciascuna delle qiiali conserva le sezioni piane d’una Stella,
Questi ed altri argomenti trattati nelle citato « Bicerche » (che a-
vremo occasion® di richiamare nel seguito), vengono ripresi da F.
Enriques, nella.«/«trodwefoee «Ил Geometria sopra le superficie al-
gebriche » del 1890 (’). Per quanto concern© il sistema canonico |K|
la cosa pih important© ё I’estensione del teorema d’invarianza al
caso p„ = 0, in cui |K| non ha pih effettiva esistenza. Gih nelle
«Bicerche» 1’autore aveva considerate il sistema |C"| aggvunto ad un
sistema | C |, che — per p > 0 — si presentacome la somma J C | =
= |C + X|. Ora egli approfondisce lo studio di questo sistema in-
dipendentemente dall’esistenza di |Jr[ (cioft per p = 6). Le curve
C' aggiunte a | C | sopra una superficie F (come le curve d’ordine
n — 3 aggiunte ad una curva piana d’ordine n) segano su una G
generica gruppi canonici. Ma questa propriety da sola non vale a
caratterizzatle, se |C|. possegga delle curve fondamentali proprie;
si riesee tuttavia a definirle in ogni caso, per modo che sia soddisfatta
in ordine a due sistemi lineari qualsiansi (privi di punti base), la
condizione funzionale
|O + D'| |O' + D| .
(!) Bieercfte di gee^Mria svUe super fide algebriche. Memorie della R. Acca-
demia delle Science di Torino, 1803.
(*) Memorie della Societi Italian» delle Scienze (detta dei XL) serie III, 4, X,
1896.
САРХТОЬО BEOONDO
«4
.Questa propriety fondamentale dell’aggiunzione contiene in вё,
per p > 0, I’invarianza del sistema canonico:
e costituisee la generaiizzazione dello stesso' teorema d’invarianza,
•che appare ancora significative nel caso in cui | К |, definite come una
differenza (e percid a priori come virtuale), non abbia- una effettiva '
esistenza. Il significato di cui si tratta viene rilevato da Вквхопей
sotto pih aspetti:
1). ba relazione iondamentale .fra i sistemi aggiunti conduce
a definire univocamente i carafter» virtuali del sistema canonico
e pWf indipendentemente dalla sua esistenza; ё fra di essi in-
tercede, come si ё detto, la relazione
p<’> _ p(l) — i.
2) Pud accadere che, pur non essendo | (7| contenuto in | <7'|,
il doppio о un multiple di esso |s(7| sia contenuto in |sC"| ; vuol
. -dire che una eurva oanoniea virtuale, Ae non ha esistenza effettiva,
pub Aar luogo ed un sistema multiple effettivamente esistente.
Abbiamo gift accennato agli esempi che illustrano tale possibility.
Vedremo pih avanti Futility che presentano, particolarmente nei pro-
blem! di classificazione, i nuq vi caratteri dipendenti dalle dimension! dei
sistemi multipli del sistema canonico, cioft il bigenere e i plurigeneri.
Alla teoria degli invariant! cosi disegnata da Ewbiques doveva
- portare un notevole progresso metodologico 1’idea, affacciatasi
qualche anno dopo allo stesso-autore (*) di definire semplicemente i
.sistemi aggiunti ё il sistema canonico, per mezzo degli jacobiani.
L’idea ё cosi semplice, la sua attuazione cosi facile, la sua portata
cosi generale per riguardo alia teoria delle variety ad un numero
qualunque di .dimension!, che ё potuto sembrare a qualcuno (e non
soltanto a matematici passati per la scuola d’BseiQCTS) trattarsi di
cosa appartenente al patrimonio comune dei geometri e che dovrebbe
esser nota da tempo almenb per cid che concerne le curve. Ma chi
rilegga le esposizioni della geometria sopra una eurva di 0. Segbe
e di E. Bebtini del 1894 (•) non vi trova in realty altra dimostra-
(!) Esposta in un ooreo di lezioni aiTUniveraitA di Bologna dell’anno 1897-08»
Cfr. fl Fragrainvmia. pubblicato nel Bollettino di bibliografia e etoria delle Mate-
znatiche, n. 13 (1899). .
Per le superficie ofr. Inferno ai fondameMt dt№a geometric eopra le euperficie
algebriohe. Atbi Acoademia di Torino, 37, pag. 19 (1901).
(*) C. Sbgbb, Zniroduzione oSa ffeometna аорта un enie ulgebrtco semplitsemeate
infinite. Ann. di Mat., serie II, t. 22.
E, Вив.»», La geometria deUe serie lineari eopra una сапа piana seaondo il
metodo atgebrioo. AnnaU di Matematica, s. II, t. 22.
SISTEMI COVARIANTI В INVARIASTI 65
zion© dell’invarianza della serie canonica sopra una eurva che quella
di Brill e Noetheb legate al teorema di Bibmaiw-Boch, per cui
codeata serie fe Funiea appartenente ad una eurva di genere
p (*). В se cosi non. fosse, se a quell’epoca fosse stata conosciuta la
definizione della serie canonica e la dinaostrazione della sua inva-
rianza che si basa sulla propriety delle serie jacobiane delle gn,
sarebbe invero incomprensibile lo sviluppo pih laborioso della teoria
delle curve canoniche d’una superficie, dato da Enriques nelle
«Ricerche» del 1893 e.nell’elndroduzionefl del 1896.
Aggiungiamo che i’idea dei sistemi jacobiani pud essere attuata
in. divers! modi e cosi dh luogo a talune variant! nell’esposizione di
altri autori.
La forma qui adottata poco lontana del resto da quella che ap-
pare nei «Bondamenti», corrisponde allo sviluppo della teoria <
delle curve esposto nelle «Lezioni» di Enbiques-Chisini (* s) e —
se.non erriamo —• raggiunge il rn.ass.imo di semplicite.
p) Cfr. C. Sseea, 1. c., n. 76s Вявтига, 1. о., n. 21 6) e g),
(s) Vol. IIX. Vedasi anche, per jl tratfcamento analitico: F. Enbiqvbs, Std
teorema d’invarianza della eerie canoniaa eoe. Memorie R. Accademia di Bo-
logna, 1914. -'
Enbwvbs >F. - Suverficie algebriehe.
S
6'f
Gapitolo III.
LB 8BPBBBIOIB AGGIUKTE
Abbiamo veduto che sopra una superficie J1 le curve C' aggiunte
ad un sistema lineare irreducibile .|C| segano su queste gruppT!Ja7
nonici. Ora si vuol riconoscere se, e fine a qual punto, tale propriety
valga a caratterizzare le curve O'. La questions si collega ad un’altra
di earattere proiettivo: come le curve aggiunte al sistema delle
sezioni plane C vengano segate sopra la superficie >, presa nello
.spazio ordinario, mediante eerie superficie, che diremo aggi-uwte
ad essa, definite dalle condizioni di passare i — 1 volte per ogni
curva i-pla di F e da tin conveniente comportamento nei punti,
multipli isolati di JP.
1. Superficie d’ordine n — 3 aggiunte ad una superficie d’ordine n
priva. di punti multipli propri. . -
Si consider! una superficie > d’un certo ordine », nello spazio
ordinario, e si designino con C le sue sezioni piane. La F pub pos-
sedere due specie di singolaritA:
1) una о piii curve multiple, p. es. una curva doppia che ri-
sponde, sopra una trasformata di T, ad un luogo di coppie di punti,
neutre per il sistema lineare trasformatb di |C|, owero una curva
t-pla rispondente ad un luogo di gruppi neutri di i punti ecc.;
2) dei punti, multipli particolarmente notevoli, -sia punti
isolati, sia punti della curva multiple,, la cui singolaritA, non' risulti
dal passaggio per essi di codesta curva.
Per quel che. riguarda la curva multipla ci riferiremo di regola,
per semplicitA di discorso, al caso di curve multiple ordinarie, e
talvolta anche di una curva nodale; ma sarA agevole persuaders!
che cib che diremo vale egualmente per qualunque curva di . singo-
laritA. etraordinaria, quando si tenga conto delle curve multiple in-
finitamente vicine che la definiscono.
САМТОЬО T»ZO
«8
Per cid che concern© le singolarity puntuali notevoli, di cui
occorre tener conto nelle considerazioni di questo capitolo, preci-
seremo la distinzione rieorrendo al seguente criterio: un punto
multiple О di F si diry improprio se il genere di una sezione piana
per О uguaglia il genere delle sezioni eon piani che non paesano per
O; invece si diri> punto meltipto proprio un punto singolare di F
che aVbassa il genere Mie sezioni piane.
Se ci riferiamo ad una superficie trasformata di F su cui alia
curva multipla risponda un luogo di gruppi di punti neutri per
|C|, ad un punto multiple improprio О di F corrispondery in ge-
neral© un gruppo neutro & di punti (presentanti una sola condizione
all© C che debbono contenerli); cosi- p. es. ad un punto che sia triple
per la superficie F e per la sua curva doppia corrisponde in general©
una- tenia neutra di punti; ad un punto (* 4- l)-plo per F e per una
sua curva i-pla un gruppo neutro di i 4- 1 punti ecc.
’ Pub darsi tuttavia che, per una trasformazione di F, il punto О
dia luogo ad una eurva 0'fondamentale pet il sistema |C|, la quale
pud esser composta in generale di tante parti eccezionali sconnesse
quanti sono i punti del gruppo & di cui ai ё discorso innanzi; e convien
notare che. questa formazione della 9 d indicata, 'in modo caratte-
ristico, dalla propriety di essere curva fondamentale impropria,
non abbassante il genere delle C. Infatti tale propriety porta che
ciascuna-parte connessa di 0 sia di genere zero ed abbia un solo
punto a comune con una curva residua rispetto a | C | (o ad un suo
multiple), e cosi questa parte viene caratterizzata come una eurva
eccezionale. .
Cid premesso si consider! una superficie F che non sia rigata,
le cui sezioni piane C sieno di ordine n e di genere n > 1; e sopra
F una eurva L che seghi le 0 secondo gruppi canoniei. In un piano
generico.il gruppo di punti segato da X apparterry ad una curva
d’ordine n — 3, aggiunta alia sezione piana C di F, costituendo
I’intersezione completa di questa fuori dei punti multipli (dove un
punto i-plo di C assort»© i(i — 1)' intersezioni); la C non pud avere
altre intersezioni colla fuori di X, a meno che sia riducibile.
Si assuma nello spazio una retta generica e e, in ogni piano per
essa, la <p„_3 aggiunta alia sezione piana determinata dal gruppo
dei punti in cui la X incontra-il piano; al variare del piano stesso.
per a, la <pn_3 descrivery una superficie Ф, passante i — 1 volte per
ogni eurva i-pla di F (4, che- a priori potry supporsi d’ordine
» — 3 4- A, contenendo la retta a come X-pla. (•*)
(•*) L’affermazione ai pud verificare analiticatnente'ridueendosi al caso di una
superfioie deaoritta dalla taaslazione normale di una eurva piana oon un punto
s-plo (» = i—1) dove 6 evident® che il punto e-plo desorive una retta s-pla.
LE SUPERFICIE AGGIUNTE
09
.'Ora ее Л > 0, 1’intersezione totale della > eon 1а.Ф dovrb, con-
tenere i punti comuni ad л e ad F, che -sono fuori di L (e della curva
multipla). 8e 1 6 uno di questi punti, ci sari almeno un piano, tan-
gente а Ф in A, la cui sezione eon > sarfi» intersecata dalla ag-
giunta nel punto A fuori del gruppo canonico che sta su I, e percib
risulta riducibile. Ma per un noto teorema di Квокескев-Сазтеп-
Nuovo (*) la superficie J*, avendo allora oo8 sezioni piane ridueibili
dovrebbe essere una superficie di Stbikeb. a sezioni piane di genere
zero, cid ehe eontraddice alle nostre ipotesi. Si conclude che le curve
L secanti sulle sezioni piane G gruppi canonici sono intersezioni di
J*, fuori della curva multipla, con superficie aggiunte Фя_, d’ordine
» — 3. Quindi le curve C" aggiunte a | C) dovranno essere contenute
(totalmente о parzialmente) nel sistema |D|. Ora le O' e le £ sono
curve dello stesso ordine 2л: —2, ciofe hanno lo stesso numero d’in-
terseziorii colie O', e percib non possono differire che per curve fon-
* damentali di j C |; cib signifiea ehe il sistema | C'|- (ove sia meno am-
pio di |X|) dovrb. d'edursi da ]X| per 1’imposizione di qualehe punto
base, che cade in un punto multiple О della - J?; ma le 0' non sono
assoggettate ad avere alcun punto base in un' punto multiplo im-
proprio O, perchb anche le aggiunte alle sezioni piane O', per O,
che sono ancora di genere я, idcontrano queste sezioni in 2я — 2
punti (almenb virtualmente) fuori di O.
' Cib che si b detto pub ehiarirsi riferendosi ad, una superficie
trasformata di #, su cui’al -punto О corrisponda un gruppo neutro
di punti semplici, <?: qui il sistema | J. aggiunto a | 0x | (che b de-
dotto da | <71 coll’inapoeizione di punti semplici) non differisce da
| O' |. Entmceremo dunque il teorema: - _ -
8opra una superficie F, d’ordine n, deUo spazio ordinario, non ri-
ijata e priva di punti multipli propri, le curve aggiunte alle sezioni
piane C sono caratterizzate dalla propriety di segare gruppi canonici
sulle dette C-, ed il sistema complete di queste aggiunte viene segato-
su F dalle superficie Ф„„3 d’ordine » — 3 (aggiunte ad essa) passanti
i — 1 volte per ogni' curva i-pla di F.
2. Superficie aggiunte d’ordine qualeiasi.
. 'Questo risultato si estende.alle curve L che segano sulle sezioni
piane C di F gruppi appartenenti alia- serie somma о differenza della
serie canonica e di un multiple, secondo un- numero intero qualsiasi
r, della -serie caratteristicanelle condizioni anzidette (F non rigata
e priva di punti multipli propri) le L vengono segate su F (fuori della
eurva multipla)- da superficie Фя_8+г, d’ordine n — 3 -f- r, aggiunte-
(!) Cfr. Enbiqubs-Confosto, Op. oit., Libro II, cap. .II, § 7, pag. 273.
70
CAPITOLO TBRZO
ad essa. Sia dapprima r > -0. Basta ripetere il ragionamento pre-'
cedente, con. una sola awertenza; quando sia r :> 3 per il gruppo
<p segato da 1 su un piano per la retta a paesano infinite curve
tpn-t+r aggiunte alia sezione C di questo. le quali formano un sistema
lineare di dimensione ——; e conviene determinate una
di queste curve aasegnandone, per es., un conveniente numero di
punti, su a e poi un certo numero di - tangenti e di curve oscu-
latrici. Se poi r < 0, si sonnni alia curva L la curva Я. segata su
> da una generica superficie У d’ordine | r |. Ъа curva h -f- И sega
allora suite sezioni piane di V gruppi delta serie canonica e' per-
tanto esiste una Ф_„ aggiunta ad P, che passa per essa. Ma la
detta Ф„_в, avendo in comune con У la curva H, d’ordine | r | n > »
> | r | (n— 3) si spezza nella F stessa e in una 0,-^ ancora ag-
giunta ad Я, e passante per h.
Dalle considerazioni precedent! segue, in particolare:
Sopra una superficie d’ordine n dello spazio ordinario, non ri-
gata e non possedente punti multipli propri, le superficie Ф„-*. passanti
i — 1 volte per ogni curva i-pla di JF (ciofe aggvunte ad essa) segano
il sistema complete |K| delle curve canoniche [impure), come gift, si
era annunciate al- Cap. IT, f 4; e in generate le Фп_<+, con r> 0 se-
gano completamente eu f-il sistema aggimvto al sistema r-plo delle
sezioni piane, ohe di regola й segato solo in parte dal 'sistema di tutte
le superficie d’ordine r.
. Inoltre guesto sistema |(r(7)'| = ]C' + (r — 1)C| == |K -j-rC| й
ceraiiertwato dalla propriety delle sue curve di segare suUe sezioni
piane C di Ж gruppi appartenenti alia serie somma della serie cano-
nioa e detto r-plo della serie caratteristica.
3. Superficie rigate. \
Il teorema precedents ё state stabilito sulla base di due ipotesi
restrittive:
1) che la J* non sia rigata n& una superficie di Steiner, e che
2) non. possegga punti multipli propri.
Vediamo subito che la restrizione di non essere rigata ё veramente
essenziale. Se la Я ё una superficie rigata d’ordine n e di geneye
n > 0 (che per semplicitiSk di discorso assumeremo dotata soltanto di
eiirva doppia) non esistono curve O’ aggiunte alle sezioni piane C,
. superficie aggiunte ma si hanno gruppi di 2я — 2 generatrici
seeanti le О secondo gruppi canonist.
Infatti, introducendo il sistema canonico virtuale |K |, potremo
acrivere - >
И SUrBBVIOIB aggiunte 71
le C sono uniseeanti le generatrici, le К le segano in —2 punti (l),
•quindi le O' dovrebbero segare le generatrici in •
l-2 = -l
»
punti, quindi dovrebbero contenerle, cib che costituisce un assurdo.
D’altra parte si vede pure che non possono esistere superficie
Ф„_а d’ordine n — 3, passanti per la curva doppia di F, giacchb
quests, curva incontra le generatrici in n — 2 punti.
Si pud aggiungere che, sulla rigata F, esistono pure gruppi di
2л — 2 -f- (r — 1)» generatrici seeanti suite sezioni piane <7 gruppi
della'serie sbrnma della serie canonica e dello r-plo della' serie ca-
ratteristica, ma tranne per r = 2, codesti gruppi non costituiscono
curve aggiunte ad |rG | e non sono intersezioni di superficie aggiunte
giacchb le curve di | (rOy | debbono incontrare le generatrici
di P in r — 2 punti (e non in zero).
. Invece, per r 2, le superficie Фп-л+г passanti per la curva doppia,
segano sulla rigata curve aggiunte al sistema r-plo delle sezioni piane.
Oib si prova osservando che codeste curve debbono -segare gruppi
eanonici suite curve di | rC |, almeno su quelle segate sopra F da
superficie general! d’ordine г, Фт. Infatti sopra una Ф, le curve in-
tersezioni delle Фя_.4+1. = Фи-»-* risultano aggiunte alle. intersezioni
della F. . / '
Che-poi il sistema segato sulla rigata F daKe Ф„_*+г sia sempre
complete, riaulterfl. dimostrato nel seguito, quando apprenderemo
a valutame la dimensione.
4. Propriety caratteristica delle curve canoniche e delle curve ag-
giunte ad un sistenia lineare.
Volendo enunciate i risultati ottenuti sotto forma invariantiva,
dovremo riferirci ad una superficie F e ad un sistema lineare irri-
ducibile j C j sopra di essa, e caratterizzare rispetto a j C| le curve
canoniche e le curve aggiunte-alle C. Ma prima di esporre questo
enunciate conviene liberard da una restrizione superflua. Invero
noi abbiamp supposto che il sistema | C | sia, non soltanto irridu-
cibile, bensi anche semplice di dimensione r > 3, sicchb oo* C possano
apparire come le sezioni piane d’una''Superficie trasformata.
Possiamo affrancarci da quests restrizione.
Se | C | sia (o contenga) una rete di curve irriducibili di. genere
(l) be curve del eietema. |2C4-K|, eeeendo spezzate in 2n — 2-f-n genera-
trici, le eegano in zero punti; quindi le curve К segano le generatrici in — 2
punti.
72
CAPITObO TERZO
я e grado n, possiamo supports che questa venga segata sopra una
superficie P, d’ordine m. > n, dai piani d’una Stella, col centro
in un punto s-plo О (m = n + s).
Allora, a partire da una eurva L che seghi gruppi canonic! sopra
le O, ed in relazione ad un faseio di piani il cui asse л passi per. Of
si costruiry, come innanzi, una superficie aggiunfa Фт_3 secant©
su Д’ la L, la quale passery i r-1 volte per ogni eurva i-pla di Д’,
ed avrft. la molteplicity s —1 nel suo punto s-plo O; rieultery quindi
' L «= O’. .
La possibility di codesta costruzione riposa perb su due ipotesi;
1) che non esistano oo1 sezioni piane per О riducibili;
'2) che la Д’ non possegga punti multipli propri' (anche infi-
nitamente vicino ad O) owero rette multiple per O, le quali potreb-
bero riusdre di minore molteplicity per la Фт~а che abbiamo costruita.
Guardando la eosa sotto 1’aspetto invariantivo le due restei-
zioni si possono assommare in una sola domandando che: la rete
delle C non debba eontenere oo1 curve riducibili. Invero la presenza
d’una eurva fondamentale per un sistema lineare 6or[ (J|, signiflea
che ad esso appartengono oo*—* curve riducibili.
Gib - posto enunceremo il seguente teorema:
Se eopra una superficie В e dato un sistema lineare irriducibile
| C ], di dimensione r > 1, che non oontenga oo»—* curve spezzate,
le curve O' aggiunte ad esso sono caratterizzate dalla propriety di se-
gare gruppi canonici suite С. В le curve canoniche di B. vengono de»
finite dalla propriety, di segare suite C gruppi residui della serie ca
ratteristica.
Anche le curve aggiunte ad un sistema multiple di | О possono
definite! dai gruppi che .segano suite O-, la cosa A chiara senza che
import! inaistere su questo punto.
5. Punti multipli ieolati.
Bitorniamo. alia considerazione proiettiva delle sezioni piane
d’una superficie dello spazio ordinario. -
Vogliamo esaminare too a qual punto i risultati ottenuti si
estendano al caso in. cui la superficie В possegga dei punti multipli
propri abbassanti il genere delle sezioni per eesi. Per semplieitA di
discorso basterh riferirci alle curve O' aggiunte al sistema. delle
sezioni piane 0.. Si tratta dunque di esaminare fino a che punto
queste curve vengano caratterizzate dalla semplice propriety di
segare gruppi canonici sopra le sezioni piane 0 di B. Sulla super-
ficie В d’ordine ® proiettivamente considerate, una eurva L secante
le 0 in gruppi canonici risulta ancora, come si 6 visto innanzi,
intersezione di una Фя_8, d’ordine n — 3, passante i — 1 volte per
ЬВ SUPBRFIOTB AGGIUNTE 73
ogni eurva S-pla di JP. Ma il sistema |X[ pud non coincidere con
| 0" | pur contenendo quest’ultimo parzialmente : in ogni caso si аттУ
|£| — [O' + 61 designando 0 una eurva, о un insieme di curve
fondainentali proprie di |O|. B, discorrendo proiettivamente, le
superficie Ф^_, secant! le O' si distingueranno dalle Фя_8 secanta
le L (soggette soltanto a passa» i — 1 volte per' ogni eurva i-pla
di J5) per la condizione di passare ulteriormente per alcuni punti
multipli di _F.
Per chiarire come sia la cosa, supponiamo che J1 possegga un
punto s-plo isolate, ciob fuori della eurva multipla. Si considerino
i piani dello spazio passanti per un punto P; le sezioni di questi piani
formano una rete di 101, e, dal punto di vista proiettivo, la jaco-
biana della rete viene segata dalla superficie polare di P, d’ordine
n — 1,' la quale passa in generale i — 1 volte - per ogni eurva i-pla
di P e similmente eon molteplicity s— 1 per il punto e-plo O.
Si badi perb che Fintorno del punto s-plo. О corrisponde (sopra una
superficie trasformata) ad una eurva 0 fondamentale per | C|, la
quale fa parte (contata in generale una volta) 'della jacobiana Cf (*).
Per consegixenza, ad ottenere una intera eurva jacobiana converrft
sommare all’intersezione della polare suddetta Fintorno del punto' О,
quindi il sistema. [ Cj ё in' realty segato dalle superficie d’ordine
n—1 passanti i — 1 volte per ogni-eurva i-pla della superficie P
e con molteplicity s — 2 per' il punto s-plo O. JSe segue che le curve
C- aggiunte alle • sezioni piane verranno segate dalle superficie Ф„_а
soggette alle condizioni di passare i — 1 volte 'per ogni eurva i-pla di
Fj e di passare s — 2 volte per il punto s-plo isolate.
Bo stesso ragionam.ento pub ripetersi per un punto s-plo proprio
appartenente alia eurva multipla di Ptil punto s-plo ё (in generale
e ataieno) (s — 2)-plo per le superficie che .segano su V le aggiunte
0' alle sezioni piane. . ' ’
6. Aggiunte e subaggiunte.
b’analisi precedents, relativa ad una superficie P con punti
multipli propri conduce a distinguere per queste:
-1) le superficie soggette a passare i—1—volte per ogni eurva
i-pla' di jf, e
2) le superficie che, oltre a passare i — 1 volte per ogni eurva
i-pla di P, sono anche soggette a particular! condizioni di passaggio
(*) Per ipbtesi la fi non ha intersezioni variabili eon le C. Si prenda su S^un
punto generico A; le О costrette a passare per A si epezzano nella 6 e nelle residue
curve di un fascio; fra queste’ о’ё una passante per A, che insieme a 9 costi-
tuisee una eurva della rete che ha un punto doppio in A. . .
74"
CAPITOIO nSRZO
per i punti multipli propri di essa, in guisa che (per uh ordine co-
munque alto) dieno come intersezioni le curve aggiunte ad un
multiple delle sezioni piane.
Biservando a queste ultime il some di super/teie aggiunte, da-
remo alle prime il nome di superficie subaggiunte, e quindi diremo
asm subaggiunte alle sezioni piane <7 le curve definite dal segare
gruppi canonici eulle C. Oib posto si avrfc luogo di rioercare, per ogni
particolare specie di punti multipli propri, le condizioni ulterior!
che essi impongono alle superficie subaggiunte perchb diventino
aggiunte. A questo proposito giova osservare che le condizioni re-
lative ad un punto. multiple, per le aggiunte di un date ordine,
potranno risultare in parte dipendenti dalle altre condizioni imposte
dalle curve multiple о da altri punti multipli; ma si pub ammettere
fin d’ora (e sari pih precieamente chiarite in seguito) che cib non
accade per le superfiqie d’ordine abbastanza elevate. In ogni modo
valutando il numero di codeste condizioni senza tener cento.delle
eventual! dipendenze di- cui si b discorso, avremo un numero che
risulteri sempre lb stesso (*) per le superficie aggiunte di qualunque
ordine. Se esso risponde effettivamente al numero delle Ф«_4 ag-
giunte d’ordine n~ 4, esprimerS, la diminussione del genere di J*
portata da codeste punto multiple. Comunque, dicendo che il punto
'multiple diminuisce di tanto il genere della superficie, ci riferiremo
alia diminuaione virtuale di codesto genere, di cui rileveremo pih
avanti il significato, riconoscendo che I’espressione virtuale del ge-
nera fornisce un altro ‘carattere invariante della superficie (il suo
genere numeric®), che pub riuscire minors del genere (geometrico)
introdotto innanzi.
Col linguaggio che abbiamo introdotto diremo che:
<7» punto в-plo propria О della super fide V (appartenente о no alia
curva multipla) b (in generate e almeno) (e —2)-pld per le superficie
aggiunte. ' - ..
Kel caso pih semplice in cui О sia isolate con cono osculatore di
genere la molteplicit& di О per le superficie aggiunte
&
b preeisamente « — 2, mentre non si ha alcuna condizione di passaggio
per le subaggiunte; percib si pub dire che esso impone a priori
(x) Quando s’xmponB alle superficie <p d’ordine abbastanza alto di pbssedere
una data singolarit^ puntuale, O, si ё oondotti ad imporre alle g; una certa molte-
pliciiA nel punto О e in un numero finite di punti inflnittanente vioini ad <0 appar-
tenenti ai suoi interni.Baeoeesivi, come conseguenza della quale le <p acquisteranno
eventaahnente le assegnate moltepliciti in curve infinitesime di codesti intorni.
Cost il numero delle condizioni imposte alle <p rienlteA indipendente dall’ordina
di esse.
ЬЕ SUPERFICIE AGGIUNTE
75
—-----------— condizioni lineari alle superficie aggiunte d’ordine
. . 8(«Г —1)(8 — 2) „
-n ~ 4, e cost atmwwtsce di ———g—— a ano genere. . -
In particolare un punto doppio oonieo non influisce sul genere
della superficie.
Eaempi. - La superficie J*4 del 4° ordine senza singularity 6
di genere (superficiale) p — 1, possedendo una curva canonica d’or-
dine _ zero, sezione' della superficie aggiunta d’ordine n — 4 = 0.
Se la JF* aequista un punto triplo, il suo genere diminuisce di 1,
diventando dunque p = 0; d’aceordo col fatto che la J*4 con punto
triplo ft razionale. •
La J* eon un--punto doppio eonico ft ancora di genere 1 e percift
certo non razionale. Ma vi sono superficie razionali del 4° ordine
con un (solo) punto doppio ("): il primo tipo di esse ft la J* dotata
d’un tacnodo. Da questo esempio аррате gift, che «punti doppi
di specie particolare (fra quelle con cono osculatore ridotte ad un
piano doppio) possono diminuire il genere della superficie»: donde
si trae argomento ad un’analisi approfondita.
La superficie J’s del 6° - ordine (n — 5) senza singolarite ha, il
genere p = 4, possedendo ooa curve canoniche che sono le sezioni
dei piani dello spazio (aggiunti ad Fa). Se la J, aequista un punto
quadruple (s = 4) il suo genere diminuisce di ——_ .4,
d’aceordo col fatto che essa diventa razionale.
La J’s con retta doppia a ft di genere p = 2, possedendo come
curve canoniche le 901 cubiche sezioni dei piani (aggiunti) passanti
per d. -Se essa aequista un punto triplo О fuori di a, il suo genere si
riduce ad 1. In questo caso tf’ft un piano aggiunte, cioft il piano
Oa, che sega J, secondo la curva canonica impwra costituita da tre
rette per O. Queste rette sono eccezionali per J’s; infatti si puft ri-
eonoacere che le quadriche per О ed a segano su J1, un sistema li-
neare |G| di genere 5 e di.grado .8, merce cui la Fs si trasforma
•in una J, di Ss contenente una cubica piana Ca, immagine del punto
O, mentre le tre rette della curva canonica impura si trasformano in
tre punti allineati della С» semplici per la superficie J»: e proiet-
tando la dalla retta che contiene questi tre punti della C, si riot-
tiene la Fs. Siceome le sezioni iperpiane della J’geono curve canoniche
di genere 5 nello 8it il sistema di esse risulta aggiunto di se stesso,
e si ha eosi la veriflea che il genere della superficie ft eguale ad 1.
p) Superficie determinate da'M, КОтнжв. Cfr. Emuqtrjss-CoNTOBro, Op. cit.,
Libre I, cap. VIII.
IS САРГГОЬО TERZO
7. Punti multipli di prima specie.
Volendo ricercare pih da vicino le eondizioni imposte alle super-
ficie aggiunte da un punto singolare della JF, convent distinguere
anzitutto i punti multipli di prima specie da quelli di specie superior©.
Diremo di «prima specie » un punto singolare О di JF, che suppo-
niamo abbassare il genere delle sezioni piane C, quando-vicino ad
esso non vi sia alcun altro punto multiplo abbassante il genere delle
C per O. Sopra una convenient© trasformata di J1 il punto О diventa
una curva 9 fondamentale pel sistema ' | C |, e cib che caratterizza
la в come curva fondamentale di prima specie b ch© « non vi й alcuna
parte di essa che costituisea una curva fondamentale del sistema
residuo | C —. 91».
be -eondizioni impost© alle superficie aggiunte Ф da un punto
multiplo di prima specie О della J*' si esprimono semplicemente
dicendo che: le Ф debbono essere segate dai .piani per 0 secondo
curve che sommate ad .una retta per О dwentino aggiunte alle sezioni-
di F. ' ' ' . .
• Da dimostrazione si fa nel modo pih sempliee riferendosi all©
Ф„_* d’ordine и— 4, e supponendo ehe la rete delle C sezioni di
> coi piani per О non contenga oo1 curve ridueibili." Perchb allora
riesce evident© che le Ф„_* sopra indicate segano sulle C gruppi
reside! della serie caratteristica, propriety che — nelle ipotesi fatto
— vale’a definite le curve canoniche. Il ragionamento si ripete ana-
logament© per le Фя_*+г con r > 0, anche se manchino le Ф„_«.
Fhempi. - Sia una superficie F dotata di un tacnodo O, eiofe
di un punto О tale ehe le sezioni-piane per esso abbiano due' punti
doppi infinitamente vicini in О (О- Applicando il criterio precedent©
si vede che le sezioni piane delle Ф„_4 per O, prese insieme ad una
retta per 0, debbono costituire curve aggiunte alle sezioni di >.
Cib porta che le dette aggiunte debbono passare semplicemente per
il tacnodo O. • ,
Se invece si ha un osonado, ciob un punto О tale che le sezioni
piane per esso abbiano tre punti doppi infinitamente vicini in O,
si trova in modo simile che.le aggiunte debbono passare semplicemente
per Vosonodo e toocare ivi il piano tangente ad F.
Fserdzio. - Sia Ft una. superficie del 5° ordine dotata d’una
retta doppia a e d’un tacnodo O. be aggiunte d’ordine и — 4 == 1
a questa superficie si ridueono al piano Oas sicchft risulta' p == 1.
(x) Cfr. Еиифяе-Снввп, Op. cib., hibro IV.
LB SOPBRBICIB AGGIUNTE
77
L’intersezione della J’s col -piano Oa (fuori di a) sarA costituita da
due curve eccezionali: ana conica e la retta b, che si toccano in . O.
Si verificheranno queste affermaziohi. trasformando la J’s in
una del 4° ordine senza singolaritA, contenente una retta a,':
la quale superficie (su cui il sistema delle sezioni .piane ё 1’ag-
giunto di se stesso) ё di genere p = 1 e possiede una curva cano-
nic» d’ordine zero.
Si effettuerft la trasformazione anzidetta per mezzo di una Spe-
ciale trasformazione quadratics di prima specie dello spazio, de-
finita dal sistema omaloidico delle quadriche che passano perdue rette
incident! e toccano in un punto di upa di esse un date piano: le.
’rette base saranno la a e la retta b intersezione del piano tacnodale
in О col piano Oa, e ii piano tacnodale in. О sarA il piano tangente
fisso di cui si ё discorso. Per effetto di questa trasformazione la su- ’
perficie J’s diverrA una J1* del 4° ordine e la quartic» ulteriore inter-
sezione del piano tacnodale di J’s, fuori della retta b, si muterA
in. una retta «' di J1*. La conica eccezionale di P, si trasformerA
in un punto O' di J’s e la retta eccezionale & in un punto B; le tra-
sformate delle sezioni piane di J*s saranno curve C, d’ordine 7,
intersezioni- ulteriori della J*» nolle quadriche per a', aventi un punto
base doppio in O' e un punto base sempliee in B.
-Se si assume ad ar bitrio una superficie J’4f contenente una retta
a', e eu J’s un punto generico O' (appartenente ad una cubic» К
sezione piana-per a') si pu6, viceversa,. trasformate la J* in una
J’s dotata di retta doppia e di. tacnodo. A tai uopo giova adoperare
il sistema omaloidico delle quadriche che passano per a' e per la
retta &' tangente in 0' alia cubica JT, e toccano in O' la J’t. -Qui oc-
corre osservare che I’imposizione di un punto doppio O' alle curve
.0*4 intersezioni parziali delle quadriche per la retta a', porta di con-
seguenza anche un punto base sempliee nel tangenziale di 0' su
K. Cosi И sistema complete delle 0* senza punti base, che ё di genere
-6, di dimensione в e .di grado 10, dA luogo ad un sistema. sovrabbon-
dante con un punto base doppio e uno sempliee, di genere 5, di grado
в e di dimensione 3.
8. Piani doppi.,
Faeciamo una breve digression® per fermarci sopra una famiglia
notevole di superficie, che viene illustrata dalle considerazioni pre-
cedent!. Si consider! la superficie J1 definita dall’equazione
dove f ё una curva d’ordine pari 2n: la J1, per proiezione dal punto
all’infinito О dell’asse z, viene rappresentata- sul piano doppio con
oma di diramazione f. Una / d’ordine pari, assunta ad arbitrio,
riguardata di fronte alle trasformazioni birazionali del piano, de-
78
СЛМТОЬО TERZO
finisce tma classe di superficie cui appartiene J’; se la / ё d’ordine
dispart si aggiunge. ad essa, come linea di diramazione, la retta
all’infinito del piano (x).
La superficie J* ё d’ordine 2n e, se la / ё priva di singolarite, pos-
siede un solo punto mulrtplo proprio nel punto O. L’analisi di questa
singolaritA si riconduce aH’analisi della singolaritb che il punco al-
l’infinito dell’asse g presents per la eurva iperellittica sezione di
un piano parallelo a codeeto asse, per esempio della eurva iperellit-
tica z’ = /(«), con / d’ordine 2n. Si sa (®) che tale eurva possiede
in О un punto (2n —2)-pto a cui sono vicini e fronteggianti n — 1
punti doppi su un ramo d’ordine n —-1 tangente alia retta aH’in-
flnite del piano. ‘ •
Quindi la superficie JF possiede in О un punto singolare (2n — 2)-plo
definite dalla propriety che ogni sezione piana per esso debba avere
n — 1 punti doppi prossimi ad O. '
Cib posto consideriamo le superficie aggiunte alia jF dell’ordine
2n — 4. Queste sono coni (e pih propriamente cilindri) di vertiee
O, poiehb sommando un piano vengono a dare come sezioni delle
curve aggiunte alle sezioni di JF; ma di pih tali coni sono soggetti
alia condizione di contenere i punti doppi di J? vicini ad 0, e percib
da essi si etacca il piano all’infinito contato n — 1 volte. Condudiamo
che le superficie d’ordine 2л — 4 aggiunte alia' «* — /(<ву) constano
del piano all’infinito contato л — 1 volte e dei coni d’ordine n — 3
eol vertiee <?. Il piano all’infinito saga la I? eeoondo 2n rette ecoezio-
nali. Le curve canoniche del piano doppio che ha per eurva di dira-
mazione una eurva generate d’ordine 2л sono rappresentate su questo
dalle curve C„_s d’ordine n — 3. Il genere del piano doppio vale
P
n(n — 3)
---------X
(n - l)(a - 2)
2
Ora si noti che un punto quadruple della eurva di diramazione
f ё un tacnodo per la superficie z’ ««* ftfioy), essendo piano tacnodale
il piano z = 0, dove le rette per 1’origine hanno quattro interse-
zioni colla superficie. Ne deduciamo che: un punto quadruple della
eurva di diramazione diminutece di 1 il genere del piano doppio.
Similmente un punto sestuplo della eurva di diramazione d&
luogo ad un oecnodo di V e percib risulta doppio per le On_, cano-
niche; in generale un pwnio 2i-plo della eurva di diramazione й
(♦ — l)-pto per le Сп-а canoniche e cosi diminuisee di Ц ge-
nere del piano doppio.
P) Cfr. ENsatqtHBa-CHisiwi, Lexioni, Libro V, J 12, vol. Ill, pag, 80.
(®) Cfr. ENBiqwBe-CmsxNi, Op. cit., Libro V, | 12 not®, vol. Ill, pag. 93.
ЬВ SUFEBFXCIB AGGIUKTB
79
JJn punto multiple A di /, d’ordine dispart 2i + 1, deve rite-
nersi, in generale, come d’ordine 2i, in quanto le trasformazioni bi-
razionali del piano,' aventi in О tm punto fondamentale, mutano
Fintorno di questo punto.in una linea che fa parte della trasformata,
della eurva di diramazione. Ma, per to stesso motivo, un punto
multiple di f d’ordine dispart 2s + 1, che cada inflnitamente'vicino
ad A, dovri ritenersi come (2s -f- 2)-plo; e cosi, in particolare, se
si abbiano due punti multipli inflnitamente vicini A e JLX, dello
stesso ordine dispart 2» + 1, le <7„_a canoniche dovranno passare
i volte A per (anzichb i — 1) e i — 1 volte per At. П prtmo esempio
si ha per i = 1: la singolaritd [3,3], cosi definita, dtmwudsoe -di 1
il genere del piano doppio, cosi come accade per un punto 4ф1о.
Nel • 110 ritroveremo questo risultato esaminando fl punto doppio
singolare che ad essa eorrispdnde per la superficie J*.
_ Notizia storica. - La nozione dei piani doppi risale ad А. Olkbsoh
« Leber den Zusaxnmenhang einer Klasse von Flfichenabbildungen
mit der Zweitheflung der Abelschen Funktionen » (*), il quale ha
rappresentato sul piano semplice i piani doppi con eurva di dira-
mazione d’ordine 2 e 4 (quest’ultimo proveniente — secondo Geihee
— da una prdiezione della superficie cubica) e quelli con sestica
di diramazione dotata d’un punto quadruple provenienti, per
proiezione, da una superficie del 4° ordine eon retta doppia. Quindi
(1878) M. Noetheb (*) ricercava sistematicamente tutti i piani doppi
razionali, rtducendoli a tre tipi biraztonalmente distinti, che — me-
diante una trasformazione (1,2) di B. De Paolis — danno luogo ai
tipi delle involuzioni di В. Bebecni. Il terzo tipo di Noether 6 il piano
doppio con sestica di diramazione dotata di due punti tripli inflni-
tamente vicini.
Pih tardi (1896) Ekbiqttes, intraprendendo to studio di varie
classi di piani doppi non razionali (*), indicava esplicitamente come
si ottengano sul piano doppio le immagini delle curve canoniche
e pluricanoniche (cfr. Cap. Ill, § 11 e cap. V, §7).
(X) Math. Annalen, Bd. Ill, 1881. Cfr. anche: Crelle’s Journal, 63.
(’) Heber die Emzweideiutigen Sbenentraneformationen. Sitzungeberiohte d.
Phye-med. Sooietat zu Erlangen,, 10. . •
(’) In particolare nella memoria Sui piani doppi di genere mo. Memorie della
SoeietA It. d. Soienze (detta dei XL}, 1896.
La teoria dei piani doppi razionali e della involuzioni piane del 2° ordine,
elaborate e sistemata nell’insegnamento di Енвхчтгив, viene espoeta nelle Lezioni
di EseiQtnBS-C*»»»BMa: (cap. 6, JJ 67-63) e hel trattato su Le eaperflA razionali
di Enbiqubs-Comobio .(Libro II, cap. IV e V).
80
ОЛМТОЬО TSRZO
9.'П genere delle curve fondamentali e [’influenza sulle aggiunte.
Biprendiamo a considerate i punti multipli di prima specie '
della superficie J, cui riapondano curve fondamentali irriducibili
del sistema | C | delle sezioni plane. Una sifEatta curva fondamentale
в possiede un genere q e un grado —s (virtuali); s indicher& — 'come
vedremo —> la molteplicito del punto О per If, g il genere del oono
osculatore (sempliee' о multiplo) in 0 (tenuto conto delle tangenti
ai rami’ della curva doppia ehe passano per O, e ritenute come vir-
tualmente inesistenti le altre eventual! generatrici doppie di codesto
cono).
Sappiamo che, per la presen»-del -punto multiplo O, il sistema
| C’l aggiunto‘al sistema delle sezioni piane C differisce dal sistema
subaggiunto |Zj per io staccamento ’ della 0 contata un certo mi-
mero di volte, e ci proponiamo di ricercare questo numero ® per cui
sarS, |Z| = (O' -f- ®0|.
Eaprimendo che la 0 ё curva fondamentale, senza intersezioni
colle curve di (C |' =s= | Ox -f- 0 j avremo
(0Cj) + (00)=O ?
e quindi . , - .
(0Oi) == s : . •
11 numero s, essenzialmente. positive, ё il numero delle intersezioni
di 0 con le qurve Ox residue di essa rispetto a | C |', ciod, in generate,
la molteplicito. del punto О per >, come si ё aeoennato innanzi. Cid
post®, per determinare il numero ж Sopra definite potremo partire
da | O'| e cercare di ampliarlo auccessivamente col sommarvi 0,
fincM sia possibile.
Й certo che questo ampliamento successivo tocca ad un limite
quando il numero delle intersezioni di 0 colle curve sommande di-
venti nullo'о negative. Dunque dovremo avere:
(00') + ®(00) > 0..'
Scriviamo
10 [ « | Ox ~f“ 0110' | =же | Ox -f- 0' |
(00') = (0Oj) + (00') = 8 + 2p — 2; ’
la diseguaglianza precedents diviene
2g — 2 — (® —1)8 S: 0 ,
. che fissa un limite superior© al. valore di ж: ‘
. ' - 2a —2
XB 8UPBREI0IE AGGIUNTE
81
Dalla diseguaglianza precedent© ricaviamo anzitutto che, se
g = 0 anche ® — 0. Dunque le curve fondamentali irriducibili di
prima specie e di genere zero d’un sistema lineare ] C | non influi-
scono Bulla definizione delle curve aggiunte. O, sotto forma proiettiva:
un punto multiplo. di prima specie a cono osculatore (sempliee о mul-
tiple) irriducibile di genere (virtuale) zero non influisce sul genere
della superficie. ' „ • ‘
In questa olasse di punti multipli rientra anzitutto il punto doppio
conico-, di cui si ё parlato innanzi, e poi un punto triplo che sia/
sempliee per la eurva doppia di F, ecc. Se nella diseguaglianza pre-
cedent© facciamo g == 1, risulta as 1, Qui si pud sempre prendere
a — 1. Infatti riferiamoci ad una J* dotata di curva doppia sopra
la quale si trovi un punto. s-plo per cui passino ~ — 1
rami di codesta curva; 'il punto e-plo О di cui si discorre risponde
appunto ad una curva fondamentale di -genere. g = 1. Ora il coho
osculatore ad F in О ё un cono d’ordine s che ammette un cono
aggiunto d’ordine s — 3; cib signifies che le superficie subaggiunte
(d’ordine assai elevate), soggette a passare per la curva doppia,
avranno in О la moltepliciti s — 3, mentre le aggiupte debbono
avere in ease la molteplieitik s — 2. ' 1
Nel caso dei punti multipli con q = 1, rientra anche il tacnodo,.
' dove la eurva irriducibile 9 si riduce aH’intorno di О sul 'piano taono-
dale oontato due volte.-Infatti la 9 appare qui rappresentata sul
fascio doppio delle tangenti con quattro. rette di diramazione che
rispondono alle sezioni piane cuspidal! useenti dal tacnodo. Si.’ri-
trova cos! il risultato stabilito nel precedente paragrafo, che il
tacnodo diminuisce-di 1 il genere della superficie.
In modo simile si vede che I’osenodo risponde ad una curva fon- .
damentale 9 di genere q — 2, e qui |1 valore del numero ® risulta
as = 2, d’accordo con cib che si ё veduto: I’osenodo. diminuisce di 3
il genere della superficie.
Ora riferendosi’ al caso di una eurva fondamentale di prima
specie irriducibile di genere g qualunque, si pub chifefiere se il si-
stema | O'| posea sempre ampliarsi successivamente col sommarvi
9, finchb as soddisfi alia diseguaglianza precedente, come si verifies
nel caso di un- punto multiplo isolate, ba risposta ё negative : il limite
euperiore di as non-ё sempre un massimo effettivamente raggiunto.
Per vederlo basta un esempio. Si supponga che F possegga una curva
1 doppia passante con sei rami per un punto sestuplo p il cui cono
osculatore risulterft dunque di genere g = 4. In generate le tangenti
a codesti rami non apparterranno ad un cono, quadrico e' quindi una
superficie aubaggiunta ad 'F dovrft avere in О La molteplicitfi 3,
avfendo ivi un cono osculatore del 3° ordine aggiunto 'al conj oscu-
JEkbiqveb y. - Supsrfyte alffebriche.
6
сайтом tbrzo
latore di J1. Il punto О avrh per le superficie aggiunte la molteplicitA
4; sicchft il sistema aggiunte alle sezioni piane si deduce dal pih
ampio sistema subaggiunte con lo staccamento di una*sola curva
9 rispondente all’interno di 0, ed il valore 1 fe inferior© al limite
che viene indicate per x dalla diseguaglianza precedent©:
' в — (®—1)« 0, '.
che dfi per il massinao valore di «, « = 2.
10. Singolarith puntdali di specie superior©.
L’analisi delle singularity puntuali di specie superior© e dell’in-
fluenza che esse hanno sol genere della superficie, si riconduce alia
definizione dei punti multipli che. possono cadere infinitamente
vicini ’ad un punto singolare proprio, e che non siano definiti dal
passaggio di curve singolari, proprie о infinitesime.
Se s’immagina eompletamente sciolta la singolarity puntuale
posseduta da- una superficie J* in un punto O, il sistema delle se-
zioni piane di JF, о egualmente un suo multiple (ohe possiamo assu-
mere di dimensione grande quanto si vuole) ci darA sulla trasformata
di V un sistema lineare | C j dotato di una curva fondamentale,
che rispondeaH’intemo del punto O. Se la singularity di О fe di prima
specie, codesta curva fondamentale ё similmente di prima specie,
sicChfe staccandola da |C| nessuna parte di essa rimane fonda-
mentale per il sistema residue. Inveee si definite come сапа fon-
damentale di seconda specie (corrispondente ad un punto multiple
О di seconda specie), una curva fondamentale che contiene alcune
\ .parti costituenti curve fondamentali di prima specie per il sistema
' residue. E eosi, in generale,- si definiranpo induttivamente le curve
fondamentali di specie s, riducendone il • concetto a quello delle
curve di specie e—-1.
Da questa definizione risulta che il problem* di determmare
I’infiuenza sul genere .della superficie J* di un punto multiple di
specie s, si riconduce all’analogo problems relative a singolarity
di specie s — 1, e eosi la determinazione delle condizioni che una curva
fondamentale del sistema. |C| impone alle curve subaggiunte- che
. debbano essere aggiunte a 10|, si fa dipendere dalla determinazione
analogs nei riguardi del sistema che si ottiene da (О | staccando co-
desta curva.
Biferiamoci, per semplicity, al caso di una curva fondamentale
di seconda specie del sistema | G |.
’Sopra la superficie J che ha per sezioni piane le C abbiamo un
punto multiple 0 a cui sono infinitamente vicini, nell’intorno del
IX submwicik agsiustb
- 8.»
prime ordine, alcuni punti multipli (propri) 0t, O„..... Sopra una su-
perficie trasformata, al punto О corrisponderS. una curva 0 fonda-
mentale per |0| ; ad Oj una curva fondamentale 01? ecc.- Ora &
interessante notare che le. curve 0a, .... compaiono necessa-
riamente some parti della curva fondamentale 9, siechS si avr&
in generale .
0 -j- dg -j-....
Infatti la trasformazione a cui si ё sottoposta la superficie Ж
si put> effettuare per gradi asBumendo anzitutto un, sistema _tra-
sformante di superficie col punto base semplice O, sicehd I’intorno di
О si muti in una curva fie (semplice о multipla) a cui apparterranno
i punti singolari Ox, Os, ....; e poi trasformando successivamente
eiascuno dei punti O1} O„ .... in una curva che risulterft general-
mente connessa con la 9V. In forza di queste connessioni quando si
stacca da j C | la curva 0# si vengono a staecare conseguentemente
anche le 0M Gt, .... le quali sono del pari curve fondamentali (senza
intersezioni con le (7). In altre parole la somnia ‘
0 = 6a + -j- ....
costituisce una curva fondamentale monovalente per |(7|, il cui
staccamento da |C| importa una sola condizione. Inveee il sistema
residue (C — 0) possiederi ancora le curve fondamentali 9,, fis,
sicehfe potrt, dirsi che le curve
fig “h 2G, ~4~ fig -f- ..,.
e ‘ .
fie + 0X + 20g + ....
> "
ecc., saranno curve fondamentali bwalenti ’di- | C |, il cui stacca-
mento da 101' importa Лив eondizitmi.
Consideriamo per esempio il caso ’ di un punto Лорр io wnipla-
nan (isolate). Questo ё un punto doppio О in cui il cono osculatore
si riduce ad un piano contato due volte; le rette per 0 in codesto
piano hanno in generate un contatto tripunto eon la superficie,
salvo tre rette con contatto quadripunto che definiscono tre punti
doppi Ov Ог, infinitamente vicini ad О (*)• Supporremo per sem-
plieitft che la superficie I1 a cui appartiene il punto uniplanare О
sia una superficie cubica 1'», e quindi iilnstreremo le cose dette
riferendoci alia ana rappresentazione piana.
Come'sistema rappresentativo di >s -si pud prendere nel piano
un sistema lineare oo’ di enbiche Ca passanti per tre punti base in
linea retta 0,, Oa, Oa e per altri tre punti infinitamente vicini a
(x) Cfr. per ев. Екактвв-Скгвпяг, Op. -Cit., Libre IV.
84 - ’ CAPITOLO TERZO
questi О'г> 0%, O8, dove la retta a cui appartengono OM 08, O8 cor-
risponde al punto uniplanare О e alia parte 60 del suo intorno.
Trasformiamo il nostro sistema di Ca con una trasformazione cre-
moniana dal 4° ordine, asBumendo come rete trasformante una rete
di quartiche con un punto base triple, tre punti base semplici Ox,
O8, O8 ed altri tre punti base semplici. Il sistema | O8| si trasformete
in un altro sistema di curve | O8|, eon un punto base sestuplo P,
tre ptinti tripli Alf J.s, JL, allineati, altri tre punti doppi Blt Bt,
Ba, 0 tre punti semplici O3, Ot, O8 che apparterranno rispettivamente
alle rette PBlt PB„ РВг. La retta AjA»A8 contata due volte rap-
. presents la eurva 08, mentre le PB1} PBt, PBa sono le immagini di
9i, 9t, 0». Appare toato che il gruppo di rette 08 4- ft, 4- 0S Д-
costituisce una eurva fondamentale monovalente per' il sistema
| О |, giacchfe staccando la retta &s si staccano di conseguenza anche
le rette 01} 0», 9* che la incontrano „ciaecuna in un punto fuori dei
punti base, e conseguentemente la nominate retta AiA^A s si stacca
una seoonda volta; quindi il sistema residue della 9 — 99'+ @i 4-
4- 0» 4- 03 viene costituito dalle quartiche 0* che passano tre volte
* per P, semplicemente per Bt, Bs e ancora semplicemente per
Ai, As, Л- Per questo sistema residue Да 08 non 6 pih retta
fondamentale; invece sono ancora rette fondamentali le rette PB,.,
PBa, PBs, ' . • '
Ii’analisi della singolarite di 2» specie che una superficie В pos-
siede in un p»wto- «niplenare or dinar io O, permette di ricondscere
che" eodesto punto non ha influenza вмИе superficie aggiunte о sul
genere. ' ' - .
' Infatti si consider! il sistema | C |' delle sezioni piane di В (a
cui eventualmente si potrft sostituire un suo multiple). Le Ci se-
zioni piane per О formano un sistema lineare che possiede soltanto
le curve fondamentali di 1* specie e di gendre zero 08, 08,'08corri-
spondenti ai punti doppi 01} 0„ О», infimtamente 'vicini ad O.
Pereid questi punti doppi' non mfluiscono suite curve canoniche che
restano definite dalla propriety di segare sulle C, gruppi residuL
della serie earatteristica, ciofe tali che appartengano ad una eurva
d’ordine n — 3 aggiunta ad una cpstituita da una e da una
retta per 0. Dunque le curve aggiunte alle (7X sono segate dalle su-
perfleie aggiunte Ф„-8 che passano semplicemente per О e, sommando
la eurva 0 che rappresenta Fintorno di questa, le curve O' aggiunte
alle sezioni piane di J? verranno segate da Фя-8 che non sono pih
soggette a passare per O. .
, Mentre il punto doppio uniplanare ordinario О non influisce
sul genere di una superficie B, possono darsi partieolarizzazioni di
questa singolarite che portano un’influenza sul genere. Si 6 visto
gift che cib accade per il tacnodo, caratterizzato dalla propriety che
ЬВ 8UPBRFICIB AGGIUNTE ' 85
le- rette tangenti per О abbiano con. J un eontatto quadripunto,
e percib abbassante di due, anzichfi di uno, il genere delle sezioni
piane per esso.' Ma pih meraviglioso d il caso di tin punto unipla-
nare О che abbassi soltanto di 1 il genere delle sezioni piane per esso,
e che ppssegga infinitamente vicino un tacnodo O1} per modo che
il genere delle sezioni piane per- OOX risulti abbassato di 3 anzichb
di 2. In questo caso il sistema | j delle sezioni piane per О possiede
una eurva fondamentale 9 di genere 1, che ha per immagine- il
tacnodo Ol} e .questa porta - che le superficie Ф„_* debbono passare
semplicemente per OM ossia, per effetto di scaricamento, per O.
Si deduce quindi che un- punto doppio uniplanare, abbassante sol-
tanto di 1 il genere delle sezioni -piane per esso, a eui s-й» infinita,-
- mente vicino un tacnodo diminpisee di 1 il genere della superficie.
Sota. — Noether ha indicate due tipi di superficie del quarto
ordine che riescono razionali per il possesso della singolarith sopra
• indicata (*) e la razionalith di queste superficie & d’accordo col fatto
che 1’anzidetto punto singolare diminuisce di 1 il genere della su-
perficie del 4° ordine, e cosi lo riduce a zero. I due tipi di superficie
di Noether danno luogo ad una rappresentazione piana rispettiva-
’ mente:
1) col sistema rappresentatxvo di oe>’ curve C7 del 7° ordine
' aventi un punto base triple e 9 punti base doppi .sopra una cubica
fondamentale; e - '
2) col sistema rappresentativo di oo’ - curve С» del 9° ordine
aventi 8 -punti base tripli, uno doppio e uno semplice, sopra una
cubica fondamentale.
In ambedue i.easi la cubica fondamentale del sistema rappresen-
tativo, eqatituisce una 9 di 2“ specie che ё fondamentale anche per
il sistema residue. '
Ed appare dalla rappresentazione indicata che eddesta 1 co-
stituisce sopra la superficie J**, owero sopYa una trasformata in eui
la singolarith venga sciolta senza introdurre nnove curve eccezionali,
una eurva di genere 1 e di grado — 1: infatti la cubica piana da eui si
tolgano 10 punti base ё precisamente una eurva di grado — 1 (•).
I1) Cfr. Enbiqwss-Confobto, lie superficierazionali, Op. cit., pag. 186 e 204.
(’) Qui ocoorre ewertire che il tipo 2) delle superficie di Noether present» una
coraplicezione proiettiva, oonsistente in cib che il piano taonodale di Oj, passa per
O, siccM le sezioni piane per OOt ebntengono un terzo punto doppio fiaao allineato
con ООЯ e si spezzano nella retta, OOt e in una cubica di genere 1 per cui essa 4
tangente di fieseo. Per effetto di tale oirooatanza 1’analisi della singolariti dev’es-
ser fatta ricorrendo, invece she al sistema delle sezioni piane, ad un sietemit di
intersezioni con superficie d’ordine piti elevate. Cfr. Еяшо’тшв-Ссагговто, Op.
ait., pagg. .206-7.
86
CAPITOW TBRZO
' A questo riguardo 1’analisi della singolaritA offerta dalle super-
ficie di Noether si estende alle singolaritA consimili di una su-
perficie qualunque: la singolaritA Hi 2“ specie costituita Ha tin punto
doppio co» infinitamente vicino un tacnodo risponde in" generate ad
una curva fondamentale di genere 1 в di grado — 1 per il sistema li-
neare | C | delle sezioni piane della superficie (x).
• La dimostrazione diretta ’ delFasserto (indipendente dalla pos-
sibility di approssimare la superficie data con una J** avente la
medesima singolaritA) si pud dare: anzitutto mostrando che una
curva fondamentale di genere 1 e- di grado — 1 di un sistema • li»
neare | О | produce la detta singolaritA sopra una superficie che abbia
oo’ C come sezioni piane; e vice versa- partendo da una J* che pos -
segga la detta singolaritA, che venga sciolta, e caleolando i caratteri
della curva fondamentale che ad essa risponde.
Si assuma che la в sia una curva fondamentale per un sistema
| C| di genere st e grado », curjra che abbia a sua volta il genere
p == 1 e il grado v = — 1; appare tosto che il numero delle inter-
sezioni . '
((7 _™. os G0,-—* 00 — v 1,
cioft le curve del sistema residue ) |. — | G — в | hanno una in-
tersezione, necessariamente fissa, con la 0 (C-fi = 1). Per. conseguenza
fl genere as di | vcrrA data dalla equazione
st “ x -|“ 1? -f- 1 — 1 = x -{- 1,
cioA
- _ >
X = st — 1
ed il suo grado (virtuale) si calcolerA dalla formula
n ™ CO “ (l?i -f- 0)(Ci -4“ 0) @iGi ”h -00 4~
che dA
CiGx — n — 1
(invece il grado effettivo di | Cx |, essendovi un punto base su 6,
sarA л—2). •
Cih posto sopra la superficie F che hd’ come sezioni piane oo* C,
la в avrA per inamagine un punto 0, che abbassa di 1 il genere delle
sezioni piane per esso e quindi й doppio per F; e vicino ad О vi sarA
un punto singolare Ol che abbassa di due il genere delle sezioni
(piane о superficial!) per esso, e quindi e un tacnodo.
Vieeversa, se si parte da una superficie F che possegga un punto
doppio О con infinitamente vicino un tacnodo O,, al punto О ri-
(>) Cfr. ©. Pbdob, On the. canonical System of certain algebraic Surfaces. Froo.
Fhil. Soo. Cambridge, vol, 33 (1937).
И SVrBRFICIS AOeiVMTB '• 87
sponderh. sopra una convenient© trasformata di JP, una curva в
fondamentale per il sistema delle sezioni piane (7, che a priori si
comporrft. di due parti 0O e 0S, la prima di genere zero corrispondente
all’intomo del 1° ordine di О (escluso il tacnodo), 1’altra di'genere
1 corrispondente all’intomo di Ox: la eurva
в = вв + бг
fondamentale pfer | C |, e necessariamente conneasa, rappresenterft
l’intorno complete del punto O.
Ora si pud valutare il genere g e il grado — v della curva 9.
Esprimendo che il distacco di essa dal sistema | 0 | di genere a
abbassa di 1 il genere della О, avremo'
|cq = + в|-
л = (л — 1)’ 4- g 4- a? — 1,
dove a? S: 1 designa il numero dei punti, di connessione delle C spez-
zate, comuni аве Ct; e di qui si deduce
a? = 1 e g = 1.
Quindi, calcolando il numero delle intersezioni ОС, in funzione
del grado di 9, si avr&
C-fi (C — 6)S = — 66 = — v == 1.
Dopo cib valutiamo il grado — vz di 0i acrivendo 'che il paasaggio
delle sezioni 0, di F per abbassa di 2 il loro genere; avremo
| <7x| = |<7S4~
я — l=z-3414i — 1.
dove у .designa il numero delle intersezioni .
= (Ci — 91)01 = — Ofii == Vi,
e di qui si ricava „ . _ „ a
Ora, designando con —va il grado della d0 si avris,
— v = — ve — »i 4- 2 - -1,
-e quindi
*4 + n — 3 ,
»’O ~ 1 •
In conclusion© la curva вв di genere 0 e grado — 1, resulta una
•curva eccezionale che pud mutarsi in un punto sempliee della curva
9i di genere 1, la quale diventa cosi una 9 di grado
v — — 1-
(conservando il genere g = 1).
88
САМТОЬО TBRZO
' La singolarito. costituita da un punto doppio a cui ё vicino un
tacnodo B’incontra nello studio dei piani doppi, quando la curva
di diramazione possieda due punti tripli infinitamente vicini 0,
Oi, о come si dice, un punto [3,3]. In questo caso si consider! per
esempio il sistema delle curve C aventi un certo genere я che i
rappresentato sul piano doppio dal sistema co* delle coniche; le
coniche passanti per О rappresentano curve Cz di genere л—1,
ma quelle per О ed 0* rappresentano curve di genere л —- 3. Dun-
que il punto О 6 un punto doppio della superficie == /(®y)
che abbassa soltanto di 1 il genere delle sezioni (piane о superfi-
cial!) per esso, mentre il punto Ox ad esso vicino abbassa ulterior-
mente di due il genere di codeste sezioni, e percib ё un tacnodo.
Cost ritroviamo che: un punto [3,3] appartenente alia curva di dira-
mazione d’ordine 2n di un piano doppio deve ritenersi come un punto'
bafee semplice per le curve d’ordine n — 3 immagini delle curve
canoniche '(cfr. § 7) e quindi diminuisce di 1 il genere del piano doppio,
Le due superficie razionali del 4° ordine di Noether che sopra
abbiamo ricordato vengono proiettate dal loro punto singolare in.
un piano doppio, con curva di diramazione del 6° ordine, la quale
possiede rispettivamente per i due tipi un punto quadruple, e un
punto [3,3]: coal viene eonfermato che la singolarity di quelle
superficie diminuisce di 1 il genere delle superficie del 4° ordine.
Ssereizi. •
1°) Si riconosca che la singolarity (isolata) costituita da due
punti tripli infinitamente vicini 00t impone alle aggiunte due punti
base semplici e percid ha sul genere della superficie la stessa influenza-
che due punti tripli distinti. ~ -
Quindi si calculi il genere d’una superficie del 6° ordine' con
retta doppia e due punti tripli infinitamente vicini OOX fuori della
retta: si troverft
p =5= 0 .
Questa deduzione ё d’aceordo col fatto che la ё razionale,
possedendo un fascio di quartiche sezioni piane razionali per 00
Si риё otienere la rappresentazione piana della sopra indi-
cate valendosi di una taasformazione quadratics di 2» specie, me-
diant© il sistema omaloidico delle quadriche passanti per la retta
doppia di >5 e per altri tre punti di essa, due dei quali siano i
punti tripli infinitamente vicini О ed 0ж. In tai guisa la J 6 si tra-
sformer& in una superficie del 4° ordine J*4 con retta doppia.
2°) Si aseuma una superficie J1* del.4° ordine, priva di singo-
larity, -contenente una retta a: fl sistema lineare delle sezioni piane
sommato al doppio del fascio delle cubiche sezioni per a, dy
un sistema lineare di curve О di genere 3 4- 1 + 1 4- (3 — 1) -f-
ЬВ SUPERFICIE AGGIUNTE
+ (3 — 1) = 9 di cui ei trova facilmente che il grade ё 16, e la di-
mensione ё eguale a 9. Si imponga alle О di possedere un punto
triplo in un punto P di fuori di a, che sia un flesso per la
passante per esso. Si' ottiene cost un sistema lineare ‘oo» di curve
di genere 6 e di grado 7, che possiede la curva fondamentale -ffs,
di genere* 1 e di grado' —1. Per mezzo di questo sistema la Ft si
' lascia trasformare in una superficie Ft del 7°. ordine possedente una
retta quadrupla, una retta tripla (che riduce a 6 il genere delle
sezioni piane) e un punto doppio eon infinitamente vicino un tacnodo:
si ritaova eosi, per la P,, il genere della Ft dhe ё p — 1. С’ё una su-
perficie aggiunta d’ordine 7—4 = 3, che si riduce al piano oonte-
nente le rette quadrupla e tripla contato due volte e al piano pro-
iettante dalla retta' quadrupla il punto doppio isolate, che sega
Ft secondo una cubica eccezionale.
• Bicercare la taasformazione inversa della Ft nella JF*.’
Fota. - In cib che precede abbiamo fatto alcune osservajzioni
•in rappprto ad esempi interessanti, ma non riteniamo, in alcun
modo;' di avere esaurito la teoria delle curve fondamentali dei sistemi
lineari, nelle sue relazioni eolle singolarity. Occorre pereio esaminare
e meditate una aerie di esempi pih copiosa, e riconoscere le compli-
cazioni cui danno luogo. Per approfondire tale.ordine di- question!,
invitiamo lo studioso a considerate talune, pure assai ’ semplici,
singolarity che possono appartenere alia curva di diramazione di
un piano doppio: punti quadrupli infinitamente vicini, serie di 4
о 6 ecc. punti tripli infinitamente vicini, serife di punti’tripli infini-
tamente vicini a punti quadrupli ecc. Si tratta di. definite questi
casi earatterizzando. la ’ curva fondamentale per il sistema delle
sezioni piane della superficie F, che risponde ai detti punti singolari,
e Ге cjrcostanze cui dy luogo il suo staccamento (l). , .
11. Curve bicanoniche e superficie biaggiunte. '
Data nello spazio ordinario una superficie F di un certo ordine
a abbiamo appreso a costruire su di essa le curve canoniche come
intersezioni di superficie Ф„_* d’ordine n — 4 aggiunte ad №, e pih
in generale le curve aggiunte al sistema r-plo delle sezioni piane
C di F, mediante le superficie’aggiunte Ф„_4+г, le quali segano sempre
su > un sistema lineare complete. Ora sard. facile determinate sopra
F le curve bicanoniqhe ed anche.le curve seconde aggiunte al si-
(*) Cfr.: A. ftuscHBm, Sut punti doppi isolate delle superficie algebriche.
Rend. Aee. Linoei, 1943. Note I e II.
90
САЙТОМ) TERZO
sterna r-plo di | C |, valendosi percib di superficie biaggiunte ad У,
y1B_8 e V«n-a+r, rispettivamente d’ordine 2» — 8 e 2n — 8 + n
Biferiamoci per sempIicitA di discorso al caso del genere p > p,
-in cui esistbno effettivamente le aggiunte e le curve canoni-
ohe loro sezioni. Il comportamento delle superficie biaggiunte у 8
in relazione alle singolaritA di V viene definite di regola dal corn-
portamento di due Ф„_* che, prase insieme, compongono appunto
una y»n_g. Tuttavia occorre definite pih precisamente questo. com-
portamento, come facoiamo eon le osservazioni che seguono.
Se la У possiede, soltanto una curva doppia e non punti multipli
propri, le Фв_* passano semplicemente per codesta curva e le yt„_e
passano per. essa doppiamente: il sistema lineare negate da queste
ySB_8 b complete perchb si deduce dal sistema segate dalle aggiunte
(che giA sappiamo essere complete) staccando l’intorno della
curva doppia.
• Ma se la У possegga una curva di molteplicitA i > 2 le super-
ficie biaggiunte ygB_s (e similmente le y8B_»+r) saranno soggette
a passare per codesta curva; non gift con la molteplicitA 2i — 2,
ma. con la molteplicitA i, avendd un conveniente contatto con le
falde 'della superficie У lungo di essa; per esempio se i — 3 le у
possiederanno la eurva tripla di У come tripla e. toccheranno sem-
plicemente le falde di У. Infatti ad una superficie у che passi quattro
volte per una curva tripla di У si pub sempre sostituire una combi-'
nazione lineare di у e di У che passi toe volte per questa curva, toc-
cando le falde di У. Delle у che cosi vengono sotteposte a eondizioni
meno restrittive si pub dire che segano certo su У un sistema li-
neare segate dalle aggiunte dello stesso ordine, staccando, un certo
numero di volte l’intorno della curva multipla. Invece le у passant!
quattro volte per una curva tripla di У non dai^nno in generate
jm sistema complete.
Similmente un punto isolate s-plo della superficie У(в > 2) che.
A in generate (s — 2)-plo per le superficie aggiunte Ф, dovrA essere
multiplo per le superficie biaggiunte y, non giA con la molteplicitA
2з—4, ma con la molteplicitA s, aggiungendo la cpndizione di
toccare la У nel punto stesso s — 4 yolte.
Cosi se О b un punto triplo isolate di У le у sono soggette a passare
doppiamente per esso. Se invece О 6 un punto quadruple, le у sono
soggette soltanto ad avere in esso un punto quadruple; ma se О
A un punto quintuple di У, esso dovrA essere soltanto quintuple
per le y, che perb dovranno avere in esso lo stesso cono osculatore.
Un’attenzione particolare deve essere rivolta al comportamento
delle superficie biaggiunte in un tacnodo della superficie У. A primo
aspetto si potrebbe ritenere che un tai punto, essendo sempliee
per le superficie aggiupte Ф„_4, debba essere doppio per le ySe_8,
ГВ STCMBJHCIE .AGGIUMT®
91
come per le superficie composte di due Фя_4. Ma si rifletta al modo
come viene stabilito il comportamento delle superficie Ф„_4 in un
tacnodo 0: una sezione piana per О possiede-due punti doppi in-
finitamente vicini О ed 0t, e la sezione di una Фя-« 6 tale ehe insieme
ad una retta per О deve costituire un’aggiunta alia sezione di
J1. Percib la Ф,_4 ё soggetta a priori a passare per il-punto 0t infi-
nitamente vicino ad 0, e soltanto per effetto di scar«em»to viene
a passare per il punto proprio O. Similmente un piano per О verrA
segato da una superficie biaggiunta ysn_8 secondo una eurva che a
priori sarA soggetta a passare doppiamente per e, per scari-
camento, verrA a passare semplicemente per О ed Ox. Quindi le condi-
ssioni ehe un tacnodo impone alle superficie biaggiunte consistono sol-
tanto nel passare per questo punto e toceare ivi il piano tacnodale:
cosi il* tacnodo diminuisce il bigenere di ire. Queste eondizioni si
possono anche verificare rilevando che esse importano per le curve
bieanoniche sezioni delle y!n_« la- propriety caratteristica di segare
sopra la eurva generica di un sistema lineare |C| (per esempio
della rete delle sezioni .piane per O) gruppi di punti appartenenti
alia serie doppia della residua della serie caratteristica.
Bivolgiamo ora la nostra attenzione al caso della singolaritA
noetheriana costituita da un punto doppio О ,con un tacnodo infi-
nitamente vicino Ot. Anche qui il passaggio delle per О ё una
conseguenza del principle di scaricamento delle singolaritA: a priori
le dovrebbero passare per il punto infinitamente vicino Ov
Quindi le y2„_8 soggette a passare due volte per Oz verranno effet-
tivamente determinate dalla condizione di passare per i due punti
infinitamente vioini О ed Ov Dunque: «n punto'doppio con tacnodo
infinitamente vicino impons in genere alle superficie biaggiunte di
passare semplicemente per i due punti infinitamente vicini, О ed Ou
e quindi diminuisce il bigenere della superficie soltanto di due. Й
facile verificare questi risultati riferendoci ad un piano doppio con
eurva di diramazione /(®y) = 0 d’un certo ordine 2», ciofe aUa su-
perficie g* — flary). Abbiamo visto che un punto quadruple della
f = 0 ё un tacnodo per la superficie JP, e, nel piano, le curve cano-
niche di J* sono rappresentate da curve d’ordine n — 3 passanti
semplicemente per 0. Ora le curve d’ordine 2л — 6 passanti doppia-
mente per О rappresenteranno curve bieanoniche di T, per quanto
il sistema di cod eate curve non sia, in generate, complete (*). Oosi
si riesce a verificare ehe un tacnodo diminuisce di. 3 il bigenere di P.
I1) Un sistema. lineare complete di curve |C | sopra il piano doppio rappre-
senta, sulla superficie V, -asm. gift, un sistema complete, bensl un sistema di curve
appartenenti all’involussione I le cui coppi® corrispondono ai punti del piano
doppio; e questo si lascia in generate calenders in un piii ampio sistema le cui
92 CASITOLO TERZO
Di qui si passa al caso della singolariti noetheriana che risponde
a un punto [3, 3] della eurva di diramazione f. tl punto [3, 3] & da
ritenersi come un punto doppio O, eui sia inflnitamehte vicino un
punto 4-plo 0x. Le immagmi delle curve bicanoniche vengono dunque ‘
assoggettate . a passare doppiamente per Ог, ossia — per effetto di
scaricamento —- le immagini delle curve bicanoniche dovranno pas-
sare semplicemente per О e Oi, e quindi «» p««to [3, 3] della eurva
di diramazione del piano doppio diminuisce di 2 il Mgenere della su- > ;
perfieie. * ' ” J
12. Superficie di genere p — 0 e di Mgenere P > 0. . Z|
Le cose dette permettono facilmente di eostruire esempi di su-
perfleie di genere p =» 0 e di bigenere P -> 0, le quali percib sono
certo non razionali.
П prime esempio si d presentato ad Enbiques nel 1896 _(*). Й
la superficie del 6° ordine P, che passa doppiamente per gli spigoli
di un tetraedro. Prendendo questo tetraedro come fondamentale
per un sistema di coordinate proiettive, la Pe viene rappresentata
da un’equazione della forma:
P, = ‘ ®i®A) 4- = 0
dove / e sono forme quadratiche rispettivamente nelle
e nei prodotti di terne di queste variabfli. Del resto la P, appartiene
al sistema lineare doppio di quello costituito dalle superficie cubiche
che passano semplicemente per gli spigoli del tetraedro.
curve non appartengono piii all’involuzione I. Cib si vede gia nel caso del piano
doppio con eurva di diramazione del 4° ordine ft — 0 che si ottiene per proiezione
del punto all’infinito О dell’asee » della superficie del 4° ordine di equazione
®* = che ha in О un tacnodo con piano taonodale all’infinito. Qui le oo5 ’(
ooniohe del piano sono immagini delle curve segate su 2?t dai ooni quadriei per O, , '
curve ipereffittiche che appartengono all’involuzione X. Ma il sistema di tali
curve 6 contenuto nel sistema lineare complete oo® che viene segato sopra J?t J
dalle quadriche toocanti .in О il piano taonodale. , 1
Per quel che concerns la possibility di esten,dere il sistema delle curve bicano-
niche ohe hanno per immagine sul piano doppio delle curve d’ordine 2n — 8,
la questions dipende dal oomportamento delle superficie biaggiunte nel punto
all’infinito dell’asse g, dove la S’ present» una nota singolarity. Basti dire che in
generale le avranno in quel punto molteplicity 2n — 2 cd un convenience
eontatto con la superficie. Appare di qui che, mentre le curve canoniche di una
superficie rappresentabile sul piano doppio appartengono eempre all’involuzione
le cui coppie rispondono ai punti di questo piano, lo stesso non aceade in ge-
nerate per le curve bicanoniche (Cfr. Cap. V, | 7).
(*) Intt’oduzione eee., 1. c.
LB SUSBRFICIB AGGIUNTE
93
La jF, ё di genere p — 0, регсЬё non esis tono, quadriche aggiunte
ad essa, сюё passanti per gli spigoli del tetraedro. Ma il bigenere
della f, vale J* = 1, регсЬё esiste una superficie biaggiunta ad essa
deU’ordine 2-6 — 8 = 4, cioft il nostro tetraedro. Questa y>« sega
sopra Ve una eurva bioanonica d’ordine utero. 11 sistema lineare | G j
delle sezioni piane di di genereя = 4 e di grado 'n — 2я — 2 = 6-;
la sua serie earatteristica ё una g, complete e non special©, il cui
doppio dh il doppio della serie canonica. Il sistema | C’ | aggiunto
a | О | viene segato su F, <Йй1е superficie cubiche Ф, passanti sem-
plieemente per gli spigoli del tetraedro; esso ё, come | (7 ], un sistema
di sestiche di genere 4 о di grado 6. E с’ё questo di notevole, che i
doppi dei due sistemi 101 e | G' | coincidono:
|2C | = (2(7'| ; . . .
questa coincidenza esprime il signifietto concrete dell’esistenza del
sistema bicanonico d’ordine zero (2 (7'—2(7].
Siccome poi
| (2(7)*[ = |2C'| == ](7 + C'|
si deduce che 1 ' ...
• |(7' —(7| = [2(7' — 2(7| = [2(7 —2(7[ . ' . '
e quindi ' ,
|C'| - |C[;-, .
in parole: il sistema delle sezioni piane di Еа ё a sua Volta 1’aggiunto
del suo sistema aggiunto, segato dalle superficie Ф, che passano per
gli spigoli del tetraedrp. .
Valutiamo il genere lineare рЫ della .1% calcolando il genere vir-
tuale delle curve di [ С -r C| second© il § 10 del Cap. I. Designando
con soil genere e il grado'di (<7|, con as e $ il genere e il grado
della eurva virtuale К = 0' — C d’ordine zero, che ha i = 0 in-
tersezioni con le C, scriveremo il genere <e il grado di | (7 + К | = | <7' |:
Я’ = Я + ® -f- 0 — 1 = я
, _ n’ — n -j- у -f- 2 • 0 = n,
da'cui ' . ' -
x = 1 , у = 0 :
il genere lineare della Vs vale p<*> = 1.
Un secondo esempio di superficie di genere p = 0e di bigenere
P > 0 ё state indicate dal Castelwovo, ancora nel 1896 Й la
superficie del settimo ordine F, che passa tre volte per una retta r,
due volte per .una conica Г (non. incidente ad r) ed inoltre possiede
tre tacnodi i cui piani tacnodali passano per r. ....
P) G. Castblnvovo, SvUe eupwfieie di genere zero. Memorise della Soo. It.
delle Scienze (detta dei XL), serie III, t. 10, 1896.
04
. сайтом terzo
Una tale superficie (irriducibile) esiete di fatto e si pud costrmre _
come segue: si assurna anzitutto una superficie cubica Ж, che passi
semplieemente per la rette r e per la conica Ге si considermo tre
piani аг at as passanti per la retta r e tangenti alia Ж, nepettavamente
nei punti A, -A«, A (bori di r). fi facile vedere che eeiste una su-
perficie irriducibile del 4° ordine Ж*- passante doppiamente per la
conica Г & tangents ai piani at a*as rispettivamente nei punti Ai, A,,
л : queste superficie presa insieme coi tee piani cqajaa costituisce
una particolare F, riducibile che passa due volte per la cornea
Г tee volte per la retta r, e possiede i tecnodi A1} A,, Aa con. i
piani tacnodali ax a, aa. Ma una seconda superficie spezzata soddi-
sfacente alle medesime condizioni si ha sommando alia F* contete
due volte un piano per la rette r ; quindi, facendo. fascio delle due
Ж, spezzate, si otterte una Г, irriducibile dotata delle smgolarite
sopra indicate. \ - • _ ,
Non vi sono superficie Ф» aggiunte ad Ж,: invero una Ф, dovendo
passare per la conica Г e doppiamente per la retta r che non 6 inci-
dent© ad essa, dovrh a priori spezzarsi, contenendo -come parte il .
piano di Г. Ma la quadrics residua 6 assoggettata anzitutto a pas- •
eare doppiamente per r e quindi deve spezzarsi in due piani p«r r,
e deve inoltre passare per i tecnodi Ax, At, Aa; ci& import» tre
condizioni impossibili * soddisfare. Si conclude che il genere di
vale
v p == 0.
Ora determiniamo le superficie =-w biaggiunte alia
Tra queste si troveranno certo le superficie composte del piano
Г contato due volte e di quattro piani per la rette lytre dei quail
aseoggettati a passare per i tecnodi Aa, At, A3 e percib comcidenti
con i piani ажа»а8; сов! ai ottengono oo* superficie biaggiunte у»
che contengono come parte variabile un piano generico per r e
segano sulla F,' oo* quartiche bicanoniche di genere 1, formanti
. un fascio 'senza punti base. Й chiaro che questo sistema bicanonico
di grado zero non pub essere ampliato, e percih la oondizione im-.
poeta alle superficie biaggiunte di' passare triplamente per la
rette r e toecare le falde della N, per essa, porta qui, come conse-
guenza, che la у» poseegga la r come retta quadrupla.
Kiassumendo diremo che: la superficie F, di Castebnuovo Па
genere p == 0 e il bigenere P = 2, contenendo un faseio di gwrtwhe
piane Mcanoaiche di genere 1 в grado 0.
Й facile determinate il genere lineare della -F,,_cio6 il genere
(virtuale) delle sue curve canoniche virtuali Ж; infatti essendo
il grado di |Ж] uguale a p«—1, il genere eil grado di |2Ж| saranno
ri8p.ttiv»m«te e 4p(i)_4
ьи subemtoib. agoiunte
0&
Dall’essere 3pto-2=l e 4>to-4 = o si rfcava ugualmente
che il genere lineare vale p<*) = 1,
. Per lunghi anni non si sono presentati altri esempi 'di super-
ficie di genere p = 0 e di bigenere P > 0, e specialmente rimaneva
senza nsposte la domanda se tea tali superficie ne esistano di quelle-
per cui il genere lineare pW> 1, possedenti un sistema bicanonico
irriducibile di dimensione >1. A queste domanda rispondono ora
gli esempi effettivamente eostruiti, simultaneamente e- indipenden-
temente 1’uno dall’altro, da h. Gomeaux (») e -da L. Сдмевпаш (n
nel 1931-32. ' 4 r
! _ Ci limiteremo a riferire 1’esempio costruite dal Campedelli che
si rrferisce ad un piano doppio eon curva di diramazione d’ordine
10, dotata di 6 punti [3,3] (coppia di punti tripli infinitawnente
vicini). Si pub costruire efiettiv&mente una sittatte curva Дв, almeno
- come curva composte di tre coniche a due a due bitangenti e di una
quartica /* che le toechi nei loro в punti di contatto. Invero si ot-
terranno 3 coniche mutuamente bitangenti prendendo p. es. due cer-
chi concentric! (che si toccano nei punti ciclici del piano), ed un’eUiase
che tocchi il cerchio minorenegli estremidi un diametroedit maggiore
negli estremi del diametro perpendicolare. I в punti di contatto delle
comche eosi ottenute offrono 12 condizioni lineari ad una quartica.
Prendendo insieme una di queste quartiche con le tee coniche a eoeti-
tuire la curva di diramazione fM di un piano doppio, avremo che:
1°) non esiste sul piano doppio alcana curva canonica. che
aarebbe una conica passante per i в punti singolari della /и, mentre
nell esempio costruito si vede che codesti 6 punti non appartengono-
ad una conica (cerchio); quindi il genere del piano doppio vale
P = 0 i
2o) esiste una rete di quartiche che, come la quartica /* com-
ponente della /10 di diramazione, раввапо per i 12 punti tripli di
quests: esse rappresentano oo* curve bicanoniche della, superficie
appartenenti all’involuzione le cui coppie hanno per- immagini i
punti del piano, e si pub vedere che formano il sistema bicanonico
- complete, sicchb il bigenere della supefleie vale
P = 3. . .
JFota. - La dimostrazione che P — 3, e non P > 3 risultete
pih avanti dalla espressione del P per mezzo del genere lineare
che dft qui p == p __ dove a vajore deI
(*) Cfr. L. Godbaux, Sur une surface a^brique&i genre иёго et bigenre deux.
Rend. Ace. dei lAneei, vol. XIV, 1031.
(‘) L. Самрвпвьы, Sui piani doppi con euroa di diramazione del dedmo ordine.
Ibidem, vol. XV, 1932. .
06 ' ’ САМТОЬО TBRZO
direttamente osservando che la conica doppia virtuale costituente
la curva canouica, possederebbe 8 punti di^iiramazione: 6 nei punti
tripli di. /io ed altri due fuori. Se non si vuol ricorrere alia curva
•canouica' virtuale basta anche osservare ehe il grado del sistema
bicanonico b il doppio del grado del sistema delle quartiehe, sicchft '
'si ha 4(pd>—1) = 2 • 4 = 8 , p(o=3.
Se' non si vuol far uao della relazione fra il bigenere ed il genere
lineare si pub tuttavia dimostrare direttamente che, per la nostra
superficie, la rete delle quartiehe doppie immagini delle curve bica-
moniche ft completa. Percib basterh osservare ehe la /*, conaponente
.della curva di diramazione, fa parte di una sola curva bicanonica,
costituita dalla curva stessa eontata due volte, e che le ©o2 quartiehe
per i' punti tripli di /w segano su codesta /* tma gt completa e non
speciale: invero se questa serie fosse la- serie canouica di /4 i 12
punti tripli della /M verrebbero ad appartenere ad una enbiea, cib
•ehe facilmente si vede costituire un assurdo.
13. Criteri d’equivrienza. • ' ,
• '.La costruzione delle superficie sub-aggiunte ed aggiunte ad una
superficie V non rigata dello spazio ordinario contiene jm criteria
di eguivalenza,: due curve L ed M che seghino sopra le sezioni piane
0 di T gruppi della serie somma (O' differenza) della serie canouica
di (7 e di un multiplo della serie- caratteristica, sono equivalent!,
a memo di curve fondamentali del sistema 10 j; sono eenz’altro equi-
valent! se 101 non possegga curve fondamentali prpprie. И si pub
•osservare che l’equivalenza delle due curve £ ed M pub essere in-
ferita dalla sola condizione di segare gruppi equivalent! sopra le C,
anche se la eerie cui -essi ^appartengono non sia la somma della serie
•canouica e d’un multiplo'della serie caratteristica, quando il sistema
[ C1 non abbia,' come si ft detto, curve fondamentali proprie.
Infatti, condueendo per X una superficie aggiunta ad ]?, d’ordine
abbastanza elevate, si avri come intersezione ulteriore una curva
D. Ora £ + D ed X 4- D segano su una 0 gruppi equivalent! della
eerie somma della serie canoniea e di -un multiple della serie carat-'
teristica; percib sono equivalent!, e quindi risultano anche equiva-
lent! Z ed..M.
-1 criteri di equivalenza si possono sviluppare indipendentemente
dalla teoria delle superficie aggiunte e subaggiunte, come ha fatto,
in una'maniera interessante, >. Sevebi C). Esponiamo brevemente
I1) Cfr. F. Severn, Il teorema d'Abel tndle etrperftcie algebriohe. Ann. di Mat.,
(3), IS, 1905. Oaeervaeioni vtfrie di geotn^ria sopra vm euperfleie algebrica. Atti
1st. Veneto, 65, parte II, 1908. Alowe relatioai di equtoalenea esc. Ibidem, 70, 1911.
IJB SUBBRMCIE AGGIUNTE
07
quest! sviluppi. Anzitutto si abbia sopra una superficie Л* un'fascio
lineare di curve C dotato di almeno un punto base sempliee О e privo
di curve ridueibili. Allora se due curve Ko e Ж№ non passanti per О
segano sulle C gruppi di punti eguivalenti, esse sono eguvoalenti.
Infatti sopra una qualunque 0 del fascio possiamo assumere i
gruppi segati da Xo e £«, come gruppo degli zeri e dei poli di una
funzione razionale <p, che rimane determinata -a meno di una eo-
stante moltiplicativa, e possiamo anche determinate questa co-
stante imponendo alia <p di assumere il valore 1 nel punto 0.
Al variare della 0 nel suo fascio, la у ei d& una funzione razionale
dei punti della superficie che ha.come curva degli zeri la Ж9 e come
curva dei poli la Ж№, sicehA queste, curve risultano equivalent!^
c. d. d. Perchd la deduzione sia rigorosa occorre tuttavia dimostrare
che la Ke esaurisce la eurva degli zeri della~no8tra funzione, e cosi
la Жж ne esaurisce la curva dei poli. A tai udpo si osservi che nel-
I’ipotesi opposta, si dovrebbe aggiungere alia Xo una curva che.
•non avendo intersezioni variabili con le C irriducibili del fascio,
dovrebbe comporsi con un.a о piii O'; ma allora, sopra una tale 0,
•il punto О verrebbe a costituire un punto d’ipdeternnnazione della
funzione, dove es&a avrebbe contemporaneamente i valori zero ed
1, e cib 6 impossibile, non appartenendo О пё al gruppo degli zeri
nfe al gruppo dei poli che determinano sopra la G la funzione razio-
nale subordmata. ' ' '
Il precedente criterio d’equivalenza si'pub generalizzare. Sia
] <71 «л fascio di curve, razionale о йтмилок, privo di curve riduci-
iili: due curve Ж9 в Ж № cKe seghino sopra le C gruppi equivalenti,
sono tra loro egwoalenti a meno di, curve del fascio, eiofe si ha
К, + ГС Ш I. 4- S’C.
Per dimostrare questo secondo criterio d’eguivalenaa, procederemo
come mnanzi a costruire una funzione razionale avente la K„
elt Zx rispettivamente come curva di zeri e come curva di poli.
Sappiamo che la g> й definita a meno di una costante moltiplicativa
.sopra ogni C del fascio, e (designando con. t il parametro delle 0
di questo fascio) otteniamo in tai guisa una funzione dei punti della
superficie, dove occorre determinare A. A questo scope non
occorre determinare un punto sopra ogni 0, come si faceva nella
dimostrazione del primo ejiterio, ma basta determinare su di essa
un gruppo di -un certo numero m di punti, formate dalle interse-
zioni che la C stessa ha eon una curva L ausiliaria tracciata sulla
superficie; si darft allora la somma del valori
+ .... 4-
ЕлмвГВВ F. » s«₽er#ci« aleebrlehe. . ' 7
98
САЙТОМ tzrzo
che la <p assume nei punti di eodestb gruppo. Pih semplicemente
bastert assumere in luogo della <p la funzione
/== ____________________
‘ Ft 4- v* + ••• + ’
che b una funzione razionale dei punti della superficie, independent»
dal.
Й ovvio che la jff0 fa parte della eurva degli zeri di / e la K«
fa parte della eurva dei poll, ma queste curve non. sono cosi esau-
rite: alia Ж# occorre sommare un gruppo SC formato delle О che
passano per i punti d ’intersezione di L con Ж«; infatti, sopra queste
C il denominator© di f diventa oo e quindi f b nullo dapertutto.
Sijnitaente, alia jff«, conviene sommare un gruppo S'C formate
dalle C che passano per le intersezioni di Z con Жо, come si vede
scambiando 1’ufficio delle curve Iff, e S.№ col sostituire ad f, -j .
Avremo dunque
Ж, + SO в Ж» 4- S'O.
Che effettivainente la K, -h SO esaurisca la eurva degli zeri di f
(e analogamente per la .+ S'O), si prova osservando che eo-
desta eurva degli zeri non pub oontehere fuori di Ж, che un certo
numero di curve senza intersezioni variabili con le C, e pereib un
gruppo di C (ixriducibili); ma sopra una О non pud aversi identi-
camente f === 0 se non quando diventi infinite la somma +
4- .... + e quindi una delle cib che signifies che la C stessa
deve passare per un punto comune ad X e Жю. .
Aggiungiamo due osservazioni. La prima ft che quando il fascio
delle curve C sia razionale, le О di essa sono equivalenti, e pereib
, esiste una differenza SO — S'O costituita da un gruppo di un certo
numero в di curve О da prendere positivamente о negativamente,
aicchb si avrt
' жв кя — ac ' :
owero ’ > ’ . i
+ so. , i
E se in particolare il fascio delle О b dotato di punti base si ha sen- -j
z’altro I’equivalenza ' - 1
quando I’equivalenza -tea i due gruppi (Cjffe) e (CK„) sussista te- '
nendo conto anche dei punti che cadono nei punti base. . <
Infatti, dall’essere, per esempio,
‘ Жв ss — sO <
i
ХЯ SUBSRMCIB 'AGOIVNI®
80
segue
(СЖо) = (CK№) — 8(0(7);
ma 6 pure
. ' . (CK0) ® (СЖ«),
e quindi, se il gruppo (CO) non. ё nullo, deve еввехе 8=0.
Passiamo al tew criterio d’eguivalevusa: se sopra una superficie
P 6 dato un sistema oo1. d’indfee (*) v > 1 di curve tutte imducibili,
due curve Ke e Ле seghino le C in gruppi eguivalenti, sono egui~
volenti.
Per dimostrario si eostruite come innanzi sopra ogni eurva C
una funzione razionale <p che abbia i suoi zeri nelle intersezioni
con la Л?в e i suoi poli nelle intersezioni con la Xw? la quale rests
determinate a meno di una eostante moltiplicativa Л. Quindi si
asaumete sopra P una eurva ausiliaria L avente un certo numero
m d’intersezioni eon le C, e — per ogni 0 — si considered la somma
dei valori che la p prende in codeati ns punti: ' -
4- у» 4~ •••• "h 9» •
In tai guiaa sopra ogni C riesce determinate la funzione razionale
f « —_____________________________£_— ' .
1 Pi 4- Fa + •— 4- Fm ‘
Dope cid determineremo una funzione razionale у dei punti della
superficie > attribuendo ad essa in un punto P la somma dei valori
/i, /и •— fr che la f riceve sopra le v curve 0 passanti-per Pt
- • у '== fi 4~ /»4- •••• 4- /»•
Possiamo indicate gli anzidetti valori delle ft valendoci di un indice
superiore; ed allora scriveremo
/<=s .
La funzione razionale 9 si annulla evidentemente sulla eurva
Ke, dove tutte le pV> sono eguali a zero e suoi poli debbono ea-
dere necessariamente nella ; ma non 6 a priori evidente che tutti
i punti della siano poli per la funzione razionale y, poichfe una
somma di inflniti. non J^sempre infinite. Quello che_possiamo af-
fermare d che lacurva Z", degli zeri di у ё del tipo = Ko 4- -A,
mentre, detta la eurva dei poli, si ha Ж« = !?«,+ В. Begando
le curve Ke e con la generica C, si ha
' ’ (Кв! C) -F (A, С) , 0) - (В, C)
(x) S’intende che per tin punto generico della superficie paasino v curve del
sistema.
100
ОАМТОЬО TEBZO
Ma b per ipotesi (Ke, C) ss C), e quindi le curve J, e В non.
avrebbero intersezioni con la generica curva C, mentre le nostre-
ipotesi escludono I’esistenza di curve siffatte. Ooncludendo, si ha
Ж = K« , X» = Xx
. J»-»- ц у j. Gw • 1 Q®
e risulta cost dimostrata 1’equivalenza delle curve Хв e Кж.
Osservazione. - In cib che precede si 6 trattato dei criterii che
permettono di riconoscere I'equivalenza di due curve (isolate) sopra
la superficie P. Altri criterii pih significative si hanno in relazione
ad una serie continua (almeno oo1) di curve \C\, che venga data
su Il prime criterio di questo genere b state stabilito da Enriques
nel 1896. Una serie razionale di curve (<7[ b sempre costituita di
curve eguivalenti, ciob conteputa in un sistema lineare. La propriety
si dimostra come per le serie razionali di gruppi di punti sopra una
curva (»), quando non si voglia ricondurre a tai caso, тетей i criterii
dati innanzi. Un secondo criterio notevole viene messo in luce' da
Severi (1905) (*). Si pub attenuate, in generate, che una serie oo1
(almeno) di curve C 6 costituita di cum equivalenti, se le 0 segano
gruppi equivalenti sopra una sola curva generica di un sistema eon-
tvnuo {B} AHnAice v > 1. . .
Infatti la oondizione perohb una serie oo» di gruppi di punti sopra
una curva sia costituita di gruppi equivalenti (ciob sia eontenuta
in una serie lineare) si pub esprimere, con Castetauovo, mediante un
criterio numerativo, ove figura il numero dei punti doppi della serie
stessa (che deve avere il valore massimo) (»). Ora, se questo criterio
b soddisfatto dai gruppi sezioni delle C con una B, per ragioni di
, continuity ватУ anche verifleato per rapporto alle altre B, e eosi
si viene ricondotti al terzo criterio, date innanzi.
Aggiungiamo che il criterio d’equiyalenza delle serie oovdi gruppi
di punti sopra una curva, che sopra abbiamo ricordato essere state
stabilito' dal Castelncovo, si estende pure alle superficie, come ha
mobtrato B. Toreeli. Questi scrive una diseguaglianza cui soddisfa
il numero d delle curve dotate di punto doppio, appartenenti ad una
serie oo*; (dove compare 1’invariante di Zeuthen-Segre della super-
ficie: cfr. cap. V); il massimo di tale numero d risponde al caso in
cui la detta serie sia costituita di curve equivalenti (‘).
(») Cfr. Eukiqubs-Ckxsini,' Op.’ cit., Libro V, cap. I, nota al | 10, vol. Ill,
pag. 78 (e pag. 486).
(’) Oeeervaziqni ecc., 1, c..
(?) Cfr. EKBtqOTS-CKxsnn, op. cit., Libro V, cap. IV, 42 (vol. Ill, pag. 482).
(*) Cfr. В.' Тоши, Sai sieftwwi aljebrioi di curve appartenenti ad una sit-
perfieie ixlgebrisa,. Atti B, Aceadexriia delle Science; Torino, 1907.
nnflfrn
Оамтоьо IV.
IL GEHEBE NUMEBIOO E IL TEOBEMA DI BIEMANN-BOCH
PEB LE SUPEBEICIE
1. Introduzione.
Per intendere il sense degli sviluppi che seguopo conviene ri-
chiamare i problemi che s’incontrand nella teoria delle curve, e
che trovano qui la loro naturale estensione (l).
Dope avere definite le serie lineari sopra una curva e le opera-
zioni elementari che le concernono, e dopo avere riconosciuto 1’in-
varianza della serie canonica, si affaccia la domanda di valutare
quale sia la dimensione r della serie complete determinate sopra una
curva di genere p da un gruppo di n punti. La prima risposte che qui
si ottiene, ciofe f » — p, viene date dal ca'eolo della dimensione
del sistema delle curve, d’ordine abbaatanza elevate, aggiunte alia
curva piana G d’ordine m e di genere p. AttesochS il sistema di
queste aggiunte yra_8+, sega sempre su C (qualunque sia -s, posi-
tive о negative) una serie complete, e per s abbastenza alto i punti
doppi della C offrono alle curve d’ordine m — 3 4- s che debbonb
contenerle
а = и^1Мвга)__.р;" , ..
Condizioni lineari indipendenti, la serie di grado n = 2p — 2 -f- sm
segata su C da codeste aggiunte risulta di dimensione
« — ?•
Й chiaro quindi che una qualsiaei serie segata sopra U dalle
passanti per un gruppo G di punti che imponga ad esse con-
dizioni tutte indipendenti avte la dimensione uguale al grado di-
minuito del genere p, Quest! risultati vengono poi, precisati nel
sense che la serie canonica, di grado 2p — 2, segate su G dalle
C1) Cfi;. p. ев. EsnsuQvas-CHxenn, Op. cit. _ Libro V, vol. III.
САР! ТОГО «Jt'ARTtf
102
aggiunte ha sempre la dimensione p — 1, quale risulta dal
numero delle eondizioni offerte dai punti doppi di G alle curve 'd’or-
dine m — 3 che debbono eontenerie, queste eondizioni riuscendo
fra loro indipendenti. Inflne il teorema di Biemann-Boch propria-
mente detto risponde' nel modo pih generale alia questions di va-
lutare la dimensione della aerie completa determinata su C da un
gruppo di л punti: designando eon i (5:0) I’indice di speciality
del gruppo, ciofe il numero dei gruppi canonici, linearmente indi-
pendenti, che lo contengono, la dimensione della detta serie risulta
esattamente '
r = n — p Ц- i.
Ora, volendo estendere quest’ordine di problem! alle superficie,
saremo indotti anzitutto a cercare per la. superficie J* d’ordine я
dello spazio ordinario, quale sia- ia dimensione del sistema lineare
segato dalle superficie gggiunte Ф„_,+„, per s abbastanza alto,
e porre in relazione il risultato ottenuto col calcolo del genere su-
perficial© di V, di cui si avr& in tai guisa un’espressione virtuale.
Seguendo questa via saremo indotti a valutare la dimensione dei
sistemi' lineari che si presentano come aggiunti di altri sistemi,
stabilendo cost un «teorema di Biemann-Boch. per i sistemi ag-
giunti », e poi ad esaminare if caso di un sistema lineare qualunque,
che non-si present! pih come aggiunto di un altro.
Per valutare la dimensione del sistema delle Ф„_»+< aggiunte
ad una superficie F, occorre richiamare le cosidette formule di po-
stulazione di Cayley (1870) e di Noether (1871), che esprimono il
numero delle eondizioni lineari indipendenti imposts da una curva
alle superficie d’ordine abbastanza elevate che debbano passare per
essa, una о pih volte.
2. Condizioiii impoete ad una superficie dal paesaggio per una curvas
formule di. postulazione.
Bi consider! nello spazio ordinario una curva gobba (irriducibile)
C di un certo ordine m e di un certo genere p, che sia priva di punti
multipli; le superficie Ф di un ordine ® qualunque segano sopra
' G una serie lineare .di ordine mn, la cui dimensione designiamo
con r. Se la serie ё completa e non. special© si pub scrivere
r & mn — p.
In .tale ipotesi si trova subito la postulazione della curva C ri-
spetto alle superficie d’ordine n, ctoft il numero delle eondizioni
lineari indipendenti che la 0 ofEre alle Ф che debbono eontenerie;
infatti И numero di queste eondizioni вагУ
r -f- i = ж® — p 4 i.
IL GENERE NUMBRICp В И, TEOREMA DI RIBMANN-ROCH, ECO. 103
La nostra domanda riceverebbe cosi la piii sempliee risposta,
senonchb due cause' possono modificare in sense opposto il risultato
accennato: la serie pud essere specials, e quindi di dimensione-
r > m — p, e pub essere deficient®, ciofe avere una dimensione mi-
nor® della serie completa, Per effetto della prima circoetanza la
postulazione di C per le Ф pub riuscire > wt» — p 4- 1, e per effetto
della seconda pub riuscire minore. Ma delle due cause perturbatrici
una si elimina senz’altro riferendoci a superficie Ф d’ordine л ab-
bastanza alto; giacchb basta prendere n in modo che sia
mn > 2p — 2. ' .
•Quindi si pub affermare che per le superficie Ф di ordine w abba-
stanza alto, Га curva gobba <7, d’ordine n e genere p, ha una postu-
lazione < яда - P + 1; cib signifiea ehe per da C passano almeno
(n + 3)(я + 2)(» + 1) ,
----------g—-------------wm -f- p — 1
superficie Ф linearmente indipendenti.
Si pub preciaare il risultato ottenuto, dimostrando che per «
abbastanza alto, n m — 2, la detta serie risulta completa (l).
A tale scopo si proietti la curva C sopra un piano da un punto
generico О dello spazio: si avrfc cost una curva'd’ordine » con
, (m —1)(« — 2) , , , ,
Л ---------g— --------p punti doppi, sopra la quale le curve ag-
giunte d’ordine > m — 2 eegheranno una serie completa e non spe-
cial®. - Segue di qui che I coni d’ordine tn —- 2 (o maggiore) aventi
il vertice in О e contenenti le d corde di 0 .che passano per O, seghe-
таппо sopra 0, fuori dei punti d’appoggio di tali corde, una serie
completa. A fortiori le superficie d’ordine я > m —- 2 . passanti
per gli etessi punti segneranno su <7 fuori di quest! una serie completa.
Questa serie si amplia se si estende il sistema delle superficie anzi-
• dette riferendosi all© totality delle superficie Ф„ d’ordine » dello
spazio.'Ora, per dimostrare ehe queste segano su C una serie com-
pleta basterh riconoscere 'che il gruppo G dei 2d.punti d’appoggio
della C con le corde di essa per O, oftre alle Фа eondizioni lineari
indipendenti, cosicchb 1’addizione dei punti di G conduce da una
serie (non specials) completa di dimensione
дай» — 2d — p
ad una serie completa di dimensione
да» — p.
(x) La dimoatrazione che segue 6 di G. Castblnvovo, Sui multipli di una eerie
lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica. Rend. Ciroolo Mat.
di Palermo, t. VII, 1883. Riprodotto in ” Memorie Scelte „ pag. 95.
102 - CAPITObO QUARTO'
aggiunte ^»_s, ha sempre la dimensione p — 1, quale risulta dal
numero delle condizioni offerte dai punti doppi di О alle curve d’or-
dine m — 3 che debbono contenerle, queste condizioni riuscendo
fra loro indipendenti. Infine il teorema di Biemann-Boch propria-
mente detto risponde nel ntodo pih generate alia questione di va-
lutare la dimensione della eerie complete determinate su О da un
gruppo di » punti: deeignando con i (^ 0) 1’indiee di speciality
del gruppo, cioS il numero dei.gruppi canonici, linearmente indi-
pendenti, che to contengono, la dimensione della dette serie risulta
esattamente
r = n p -f- ».
Ora, volendo estendere quest’ordine di problem! alle superficie,
saremo indotti anzitutto a cercare per la. superficie V d’ordine n
dello spazio ordinario, quale sia- la dimensione del sistema lineare
segato dalle superficie aggiunte Ф»_а+», per s abbastanza alto,
e porre in relazione il risulteto ottenuto .col calcolo del genere su-
perflciale di P, di eui si avte in tai guisa un’espressione virtuale.
Seguendo queste via saremo indotti a valutare la dimensione dei
sistemi lineari che si presenteno come aggiunti di altri sistemi,
etabilendp cosi un «teorema di Biemann-Boch per i sistemi ag-
giunti », e poi ad esaminare il’ caso di un sistema lineare qualunque,
che non-si present! pih come aggiunto di un altro.
Per valutare la dimensione del sistema delle Ф„_.а+, aggiunte
ad una superficie >, oecorre richiamare le cosidette formule di po-
stulazione di Cayley (1870) e di Noether '(1871), che esprimono il
numero delle condizioni lineari indipendenti imposte da una eurva
alle superficie d’ordine abbastanza elevate che debbano passare per
essa, una о pih volte.
2. Condizioni imposte ad una superficie dal passaggio per una curves
formule di postulazione.
Si consider! nello spazio ordinario una eurva gobba (irriducibile)
O' di un certo ordine ж e di un certo genere p, che sia priva di punti
multipli; le superficie Ф di un ordine « qualunque segano sopra
C una serie lineare дглл, di ordine »», la eui dimensione designiamo
con r. Se la serie h complete e non speciale si-pub scrivere
r = mn — p. . -
In .tale ipotesi si trova subito la postulazione della eurva 0 ri-
spetto alle superficie d’ordine n, eioh il numero delle condizioni
linear! indipendenti che la C offre alle Ф che debbono contenerle;
infatti il numero di queste condizioni sate
r -f- 1 = ш — p + 1.
IL GENERE NUMERlCp E IL ISOMMi DI RIBMAKN-ROCH, BOO. 103
ba nostra domanda riceverebbe cost la pih semplice risposta,
senonchb due cause' possono modificare in sense opposto il risultato
accennato: la serie g^„ pud essere speciale, e quindi di dimension©
r > mn — p, e pud essere deficient©, ciob avere una dimensione mi-
nore della serie completa, Per effetto della prima circostanza la
postulazione di C per le Ф pud riuscire > mn — p + 1, e per efletto
della seeonda pud riuscire minore. Ma delle due cause perturbatrici
una si eInnina senz’altro riferendoci a superficie Ф d’ordine n ab-
bastanza alto; giacchb basta prendere n in modo che sia
win > 2p —'2. ’
•Quindi si pub affermare che per le superficie Ф di ordine n abba-
stanza alto, la eurva gobba <7, d’ordine л e genere p, ha una postu-
lazione nm — p + 1; cib signifies che per 'la C passano almeno
(n 4- 3){n -f- 2)(« 4- 1)
——•-------g—-------------nm 4~ P — 1
superficie Ф linearmente indipendenti.
Si pub precisare il risultato ottenuto, dinaostrando che per и
abbastanza alto, » S: m ~ 2, la detta serie g%,„ risulta completa f1).
A tale scopo si proietti la eurva 0 sop» un piano da un punto
generico <? dello spazio: si avrft cosi una eurva'd’ordine » con
, (m — l)(m — 2) , , , .
a ----------.j--------p punti doppi, sopra la quale le curve ag-
giunte d’ordine > m — 2 segheranno una serie completa e non spe-
ciale. Segue di qui che i coni d’ordine m — 2 (o 'maggiore) aventi
il vertiee in О e contenenti le d corde -di 0 che passano per O, seghe-
ranno sopra 0, fuori dei punti d’appoggio di tali corde, una eerie
completa. A fortiori le superficie d’ordine n > nt — 2 . passanti
per gli stessi punti segneranno su 0 fuori di questi una serie completa.
•Questa serie si amplia se si estende il sistema delle superficie anzi-
dette riferendosi alle totality delle superficie Фя d’ordine n dello
spazio. Ora, per dimostjare che queste segano su 0 una serie com-
pleta barter^ riconoscere 'che il gruppo- G dei 2d. punti d’appoggio
della .<7 con le corde di essa per O, offre alle Ф% condizioni lineari
indipendenti,. cosicchb 1’addizione dei punti di' G conduce da una
serie (non speciale) completa di dimensione
mn — 2d — p
ad una serie completa di'dimension®
mn — p.
C1) La diznostrazione ehs segue & di G. Cabtblwvovo, Sui multipli di una aerie
lineare di grapjti di punti appartenente ad una eurva (Ogebriaa. Rend. Ciroolo Mat.
di Palermo, t. VII, 1893. Riprodotto in “ Memorie Scelte „ pag. 95. •
104
САМТОЬО Q XT АВТО
A tai uopo, riferendoci per semplieitA’di. discorso al caso n =*
— m — 2, basterA. costruire ona superficie d’ordine m — 2 che passi
per 2d — 1 punti di в e non per II rimanente; una tale superficie
si otterrA soxnmando ad un cono d’ordine wt — 3 che .passi per d — 1
corde di C uscenti da O, e non perdft rimanente, un piano che passi
per uno dei due punti d’appoggijbAHa rimanente corda, e non per
1’altro. L’esistenza del cono d’ardSwotn — 3 anzidetto, risulta dal
note teorema che i punti doppi di una curva piana d’ordine m (pro-
iezione della C) ofErono condizioni indipendenti alle curve d’ordine
» — 3 che debbano essere aggiunte ad essa.
Concludiamo pertante: una curva gobba irriducibile d’ordine m?
e genere p, senza punti multipli, offre
mm — p 1
condizioni lineari alle superficie d’ordine n > m — 2 che debbono
contenerla.
Il calcolo della postulazipne di una curva, che sopra abbiamo
indicate, si estende, con lievi modificazioni, al caso di curve gobbe
dotate di punti multipli, ed anche riducibili. Consideriamo dapprima
il caso pin important® per noi in cui si tratti di una curva. О (d’or-
dine m e genere p) che sia dotata di un certo numero t di punti tripli,
con tangenti non appartenenti allo stesso piano, e che vogliamo sup-
porre ancora irriducibile. Qui si dimostra anzitutto che i t punti
nominati impongono 4t condizioni lineari indipendenti alle super-
fieie Ф d’ordine < abbastanza elevate che debbano possederli come
punti doppi, e poi che -le Ф, passanti doppiamente per i t punti
tripli di C, segano su C (fuori di quest!) una serie completa (non
speciale), diguisachA la postulazione della, curva C per le Ф d’ordine
n abbastanza alto risulta
41 + nm 61—p + 1 — mm— 2t—p + 1.
_ La prima asserzione ё evidente, poichfe rassegnazione d’un punto
doppio di posizione assegnata porta 4 condizioni lineari a .cui la
gpperfieie deve soddisfare; la seconda asserzione -si giustifiea collo
stesso ragionamento svolte per le. curve € senza punti. multipli.
In modo simile si ottiene la postulazione di C nel caso in cui la
C possegga un certo Питого v di punti doppi (nodali): qui conviene
pure far passare anzitutto le Ф anche per questi r punti, eio che
imports т condizioni lineari e diminuisce di 2т il numero delle in-
tersezioni eolla C; eosi fa postulazione della C per le Ф d’ordine »
risulta
т + n» — 21 — 2т — p -|~ 1 ₽ nm — 2t — r — p -|- 1.
И, GENERE NUMBRICO В IL TEOREMA 01 RIEMANN-HOCH, ECC. ' 105
Infine vogliamo estendere quests formula al caso in cui la curva
C si spezzi in pih parti, riepettivamente d’ordine »8, e di
genere pt, pt, ....
Per aemplicith di discorso riferiamoci al caso in cui si abbiano
due sole component! e Ct). le quali potranno essere connesse at-
traverso semplici incroci, ciofe punti doppi della curva compost»
0 — Ct 4- Ct) о anche attraverso qualcuno dei punti tripli della
C che sia doppio per una delle component! e semplice per 1’altra.
Osserviamo anzitutto che le superficie Ф, d’ordine n abbastanza
elevato, passanti doppiamente per I punti tripli di C e eemplice-
mente per i suoi punti doppi segheranno serie complete (non spe-
cials ) tanto su che su Ca; invero si latecino cadere per le Ф le condi-
zioni relative al paesaggio per i punti doppi о tripli di C3; le 9 eosi
ottenute segheranno su Cx una serie completa; ma si pub sempre
supporre che per un. gruppo di questa serie passi un sistema cost
ampio di. superficie Ф che si ровва sempre soddisfare alle copdizioni
omesse e' trovare quindi una Ф che passi per quel'gruppo. Diciamo
di pih: non solo le serie segate dalle Ф sopra Cr e C* sono ciascuna
completa per proprio conto, ma anche la serie che si ha sulla curva
spezzata riesce completa, potendosi associate ad un gruppo qualunque
della serie data su.Cj un-gruppo su 0»; in altre parole quando si
considerano le Ф passanti per un gruppo della serie su Сг e per- un
altro gruppo associate della serie sopra Ct, pres! i’uno e.1’altro in
modo arbitrario, non aceade che queste Ф debbano contenere di
conseguenza 1’una о 1’altra delle due curve. Per vederlo, collo stesso
procedimento usato nel caso della C irriducibile, possiamo riportarci
al piano, invocando la proposizione che « sopra una curva piana
riducibile le curve aggiunte d’ordine assai elevato segano sempre
una serie completa ».
Abbiamo cos! stabilito che per le superficie Ф d’ordine abbastanza
elevato, passanti come si 6 detto per i punti di connessione delle
component! di C, la postulazione della curva С b uguale alia somma
delle postulazioni delle sue component!. .Resta soltanto da valutare
queste postulazioni. A tai uopo indichiamo con «н ed mt gli ordini
e eon рг e p» i generi delle dette component!. Be Bi prescinde dai punti
.fissi assegnati alle Ф, gli ordini delle due serie segate su Ct e su
sarebbero rispettivamente ed Ж1 e le dimensioni ^d
nm, ~ pa. Ma un punto doppio della C = 4- Ct diminuisce di 1
la dimensione del sistema delle Ф e diminuisce complessivamente
di 2 la somma degli ordini delle due serie-segate su ecu Ct, tanto
se questo punto A un punto doppio per una delle component! irri-
ducibili di C, quanto se ё un punto semplice comune ad entrambe.
Similmente un punto triplo della curva composta <7, dovendo essere
106 ’ CAPITOLO QUARTO
doppio per le Ф, diminuisce di 4 la dimensione del sistema delle Ф,
e diminuisce complessivaniente di 6 la somma degli ordini 'delle
serie da esso segate su Ct e su tanto se ё un punto doppio per una
e sempliee per 1’altra, quanto se ё un punto triple per una di esse..
Insomma si rieonosce in tai guisa che i t punti tripli della curva
О ed i r punti doppi di essa, hanno la stessa influenza che nel caso
della curva C irriducibile. Quindi la postulazione della 0 verr&
espressa dalla stessa formula scritta innanzi, in cui intervengono i
i punti tripli della C e i suo! т punti doppi, dove si faceiano le modi-
fieazioni che qui indichiamo. Al posto della serie d’ordine x — mn -
— 6t — 2r segata dalle Ф sulla curva irriducibile O, si dovranno
considerare le due. serie segate sopra Ct e Cj, di cui designiamo
gli ordini con e e, al posto della dimensione x —p di quella
serie, si avr& la somma delle dimension! delle due serie date su
A e С,, сюё -в, — -J- ж, — Pa.
Ma, mentre nel caso precedente la postulazione di C veniva data
da x — p + 1, ora questa postulazione si otterrft, sommando le
postulazioni di Cx e Cs e sard. quindi
жг — px + 1 4- Ж» — P, + 1 = Ж — (Pi 4- Pa) + 2.
In conclusione la postulazione della curva C =-(4 4- per
le superficie d’ordine n abbastanza elevato, verrk espressa da
mn — 2t — r — (pi 4~ P«) + 2.
Questa formula si riconduce a quella che abbiamo scritto per
le 0 irriducibili se, al posto dei generi pt e p, delle component!
e 0» di C, s’inttoduca il genere p della curva eomposta, calcolato,
secondo Noether, nell’ipotesi che le. component! non abbiano punti
' di connessione C): p = ₽1 4.
Bnunciamo il risultato generale a cui si perviene nel caso di
una curva d’ordine m eomposta di h Stine irriducibili di generi p1}
Р», —• Р», la quale sia dotata di t punti tripli (a tangenti generiche)
e di x punti doppi', la postulazione della eurva per le superficie d’ordine
» abbastanssa elevato i
m.— 21 — r — p 4~ 1
dove
p = px 4- p, 4- .... 4- pK — Л 4- 1
designa il genere della curva composta nell’ipotesi, che le sue parti
non siano fra loro eonnesse.
(i) Invece queeti punti sono etati tolti imponendoli come punti baee alle Ф.
IL GENERE NV M ERICO В IL TEOREMA DI RIEMANN-HOCH, ECC. 107
3. Dimensione dei sistemi di superficie aggiunte ad una data.
Riferiamoci ad una superficie J* di un certo ordine n, apparte-
nente alto spazio ordinario, e dotata di singolarity normal!: curva
doppia nodale con punti tripli a tangenti non complanari e, se si
vuole, anche doppi (x). Valiitiamo il numero delle superficie
iinearmente indipendenti aggiunte ad V, di un ordine m — n -
-4 + « abbastanza elevato. Designando ancora queste superficie
con Фте e indicando con d 1’ordine della curva doppia di V, con q
il suo genere, con t il numero ‘dei punti tripli e eon r il numero dei
punti doppi, avremo che il numero Дгш delle Фт вагУ
+ 3) — (dm — 2i — т — q + 1); '
quindi la differenza — Nm—t вагУ data da '
2Fw'->w_1 = (W + 3)-d.
Il signifieato di questa relazione У che Ze ««per/icie agigwnts Фт
d’un ordine abbastanza elevato"segano sopra un piano il sistema linea-
re complete delle curve aggiunte <pm alia sezione di ]?.
Infatti si pub dedurre la dimensione — 1 del sistema |Ф„_г |
dalla dimensione Ж» — 1 del sistema delle Ф„, staccando da queste
un piano; e to staccamento del piano imports preeisamente r + 1
eondizioni lineari quando sia r la dimensione del sistema segate dalle
Фм. In questo caso dunque si trova.
r+ i = 2 )~d,
m(m + 3)
r = -----------d ,
che Й la dimensione del sistema complete delle aggiunte alia
sezione piana di T.
®el seguito diremo che il numero definite dalla formula scritta
irmanzi esprime in ogni caso il numero virtuale deUe superficie Фт
aggiunte ad JF: sappiamo che per m abbastanza alto il numero vir-
tuale й uguale al numero effettivo delle- Ф,„, invece per i valori pih
bassi di m ci potrft essere una differenza. Tuttavia b importante
osservare ehe: per m > « —- 4 й numero effettivo delle superficie
aggiunte ad X* i sempre N"m. ' '
p) A priori si puo eupporre che la data superficie F possegga una curva doppia
irriducibile priva d’ineroci: r = 0 (Cfr. Introti'usione,, eec., § 5). Tuttavia pub essere
utile sviluppare le fortnule anche nel caso f > 0.
108 ' CAPITOW QUARTO
де
Per dimostrarlo, partiamo da wo valore deU’ordine m tale che il
numero effettivo delle Фж-в1а uguale al numero virtuale Jfvt, e che
sia in » — 3.
Dal numero delle Ф„, aggiunte ad V si deduce il numero delle
Фв_х sottraendo la dimensione r del sistema' segato dalle Ф„ sopra
un piano, aumentata di un’uniiA. Se questo sistema b il sistema com-
plete delle aggiunte alia sezione piana, il numero effettivo delle-
фя_г risulta ancora uguale al numero virtuale; se, invece е’ё una
differenza, bisogna dunque che il sistema delle fw sezioni delle Ф,ж
sopra un piano non sia complete, e allora
- ’ ’ r
* 2
e quindi il numero effettivo- delle Фт-г riesce maggiore di
Questo ragionamento si pub applicate-flnehb sia m — 3, perch.fi
in’questa ipotesi il sistema complete delle. curve aggiunte alia se-
zione piana di V, d’ordine n, ё regolare, ciob ha la dimensione
—de non maggiore, i punti doppi della eurva sezione
di > imponendo condizioni indipendenti alle curve g>m che debbono
passare per eesi. Invece se ai prende m == » — 4 il sistema delle
<?«-« aggiunte alia sezione di > riesce sovrabbondante e cosi il ra-
gionamento precedent© non ё pih applicable.
Chiameremo genere numerico о aritmetieo pa, della superficie '
jP, il numero virtuale delle curve canoniche linearmente indipendenti,.
ossia il numero Ж>-< delle superficie aggiunte Фк-е, il genere super-
flciale della stessa P' che abbiano definite nel precedent© capitolo,
verrh distinto, ove occorra, dal.genere numerico designandolo come
genere geometrical pe.
Per quanto abbiamo visto sopra si pub affiermare che: il genere
numerico della superficie J? & in ogni caso minore о uguale del genere
geometrical
Bileveremo fra poco 1’invarianza del genere numerico rispetto'
a trasformazioni birazionali della superficie P. Intanto scriviamo ’
il valore. di questo carattere per mezzo delle formule di postulazione’
sopra stabilite:
p«==f ~1)-(л-4И + 2*+т+ e-1-
Per conseguenza il numero’ delle. superficie Ф„_*+< aggiunte ad
J?,- che sono linearmente indipendenti, si potra esprimere come
II. GKNBliB NUMERICO В IL TEOREMA DI RIEMANN-ROCH, ECO. 109
segue:
Ж-4+. =f.~| + S)~(n-4 ^s)d + 2t + r + q-1 = :
/л—14-s\ ' /» — l\
= ₽«+! 3 з )“8d-
Quindi il sistema lineare costituito dalle intersezioni di queste
aggiunte Ф,_»+, eon F avris. in generate la dimensione:
„ _ /в—1\ . . М-1 + Л /»—1\ (s—l\ , л
i I, з \ ’ з / V 3 / \ 3 / 1 ’
. i's_i\
essendo \ 3 / (che si annulla per s *= 1, 2, 3) il numero delle au-
perficie linearmente indipendenti d’ordine s—4(^0), ossia la di-
mensione del sistema delle superficie che paesano per una
medesima intersezione con la superficie J* d’ordine ». La dimensione
del sistema delle sezioni delle Ф„_*+,, che sopra abbiamo acritta,
si lascia esprimere in una forma molto semplice, introducendo il
genere я, delle curve segate su > dalle superficie d’ordine s. Calco-
liamo anzitutto questo я, per mezzo del genere я (= ж) delle se-
zioni piane di s'; avremo
, s(s — 1) , ,
я, = ®r -j---£-n —• s -f-1 ,
e, sostituendo per я il suo valore
(n-l)(n-2) ,
я==~------§-------d’
risulterS.
f(n —1)(» — 2) ] s(s —-1)
Я» == 8 I x-------A j -f- ——- 41 — § -{- £ ==
I " • J "
. S(« — l)(n — 2) 8(8 ~ 1) '
Ma si ha
s(n —!)(» —2) e(s—l) _ _ , ,
2 _ _ »_s + 1 „
=c>_,+r(.7lp(J;1)1
quindi
XT - " i
— 1 — ( g J == Рл + Я, — 1.
Concludiamo che Я siste-ma lineare segato sopra F Aalle sttper-
fioie- Ф„_4+, Л'огМпв- n — 4 -f- s, che i il sistema aggiunto a quella
по
CAPITOLO QUARTO
| C, | segate dalle superficie d’ordine st per s abbastanza alto, ha la
dimensione
pa + Я. — 1 ,
avendo designate eon tn, il genere di | C, |, s-plo del sistema delle
sezioni piane.
4. Il genere numerico.
Biferiamoci sempre ad una superficie JF dello spazio ordinario,
avente un certo ordine n e singolarity normali. Ci proponiamo di
valutare la dimensione del sistema |C"| aggiunte ad un sistema
lineare irriducibile | C |, appartenente alia Bicordiamo anzitutto
che le curve aggiunte <?' segano sopra una О gruppi eanonici; stac-
eando la О da j O'| si ha il sistema canonico |X| di dimensione
pe— 1, quindi, per il gruppo canonico d’intersezione di una <7'-
con una С, <kovr&wao passare co’’ curve C. Segue di qui che la di-
mensione del sistema | & J ё data in ogni caso da
r = p, + я — 1 — d(O)
' dove d(C) designs la defioienza della serie segata dalle C su una
C; si ha in particolare <5(C) = 0 e
r = p, st — 1
se (C' [ sega sopra la C la serie completa
A priori la deficienza d(<7) dipende dalla seelta del sistema | C |;
ma possiamo riconoscere una disuguaglianza fondamentale a cui
dA luogo la considerazione della somma di due sistemi lineari irri-
dueibili (oo" almeno) e |X|.
Si ha infatti
:£ <J((7 + X). .
Supporremo per semplicitft che i sistemi 101 ed j X | siano privi
di punti base sopra la superficie V. Partiamo dalla relazione fonda-
mentale
|(X4-C)'| = |X+ 0'1 = |X'+ Ol-
in base a questa relazione il sistema | C' | si otterry da | (X + 0) ‘ ,
staccando la curva X, e cio importa un-numero di condizioni lineari
che ё date dalla dimensione della serie segata da | (X -f- 0)' ] su
X, aumentata di una unite. (*)
(*) Be si tratta di due fasci S intesp che siano distinti eicchS |C + L | risulti
pure irriducibile.
IL GENERE NCMERICO IL TEOREMA DI RIEMANN-ROCH, ECC. Ill
Ora la serie mdicata su L ё la somma delle serie canonica (XZ'>
e dalla serie segata da j C), la quale fe eertamente d’ordine maggiore
di zero, essendo i sistemi | C | ed | L | ambedue di dimensione mag-
giore о uguale a uno.
Cio posto, designiamo con л il genere di ] C ], con g il genere
di |L e eon i il numero delle intersezioni (iC). Allora il genere
di ] L + C |, sardi
л' — я -f- g + i — 1,
© quindi la dimensione di |(X 4-- O)'\ вагй,
ps 4* я' — 1 — d(X <4- 0) .= pff 4* л 4~ $ Ч- 2 — <5(X 4" C).
Inveee la dimensione di | C | vale
V, 4- я — 1 — d(O').
La differenza fra le due 'dimensioni й indicata, come si ё detto,
dalla dimensione della serie non speciale g segnata da | (X 4- C)' ]
su |L|, .aeeresciuta di un’unit&. Se la serie g fe completa e quindi
di dimensione •
— 2 4- i g SSS Q 4- < -- 2,
risulta senz’altro -
<5(0 - <5(X 4* 0);
se inveee la g ё deficiente, la defioienza di essa esprime la diffe-
renza d(X 4- 0) — <5(C). In ogni caso si ha:
<5(0 <: <5(i 4- Ol-
li ragionamento sussiste ancora nel caso in cui i due sistemi
| C | ed | X] abbiano dei punti base sopra J*. I punti base comuni
ai due sistemi, о i punti base, di | C | che non appartengono ad. | L |,
non hanno a priori alcuna influenza. Se е’ё un punto base di |X|
che non appartenga a |<7j e percib, almeno virtualmente, neppure
a | C |, 1’intorno del punto (considerate come curva infinitesima)
andrebbe sbmmato a |C'|, cib che non ne aecresce la dimensione;
eosi la conclusion© preeedente s’estende anche a questo caso.
OsBerviamo di pih che. 1’ipotesi fatta su |X| di appartenere ad
un sistema irriducibile oo1 almeno, contiene pih del necessario:
in realty la L potr& essere anche una curva isolata e composta di
pih parti X,, A, purchb nessuna di queste sia fondamentale per
il sistema |C| e semprechb sommando a |0| le hx,.L^, .... sueeessi-
vamente Bi ottengano sistemi lineari irriducibili di dimensione su-
feriore.-Infatti si potrh etaceare la L da |(Z 4- 0)'( staccando suc-
cessivamente le sue parti , e se queste non sono fonda-
mentali per | C [, le serie segate su di esse, di ciii ei occorre la di-
mensione, saranno sempre non speeiali, contenendo in вё la serie
canonica.
112
слитого quarto
Ora ricordiamo che si fe calcolato la dimensione del sistema
segato sopra V dalle superficie aggiunte per e abbastanza elevato;
questo sistema, che 6 1’aggiunto del sistema s-plo delle sezioni piane,
converrft, qui designate eon | X,|. Indicando eon л, il genere di | Zs|
si й trovato che la dimensione del sistema |X^|- vale
?<, + »,—1.
D’altra parte essa si esprime in funzione del genere geometrico
p„ e della deficienza della serie segata da |X'| su X,, valendo -
Vt + я, — 1 — й(Х,) •
Di qui si deduce che '
Ж.) ==?«—₽<.,
essendo s, .come si ё detto, un numero abbastanza elevato.
- Oib posto si consider! su 1? un qualunque sistema irriducibile,
' oo1 almeno, | C (, di un certo genere я, che supporremo al solito privo
•di punti base, is chiaro che per s abbastanza elevato vi sono super-
ficie d’ordine s passanti per una C, e quindi | <7| ё contenuto in | L, |,
•che atizi si presenta come la somma di ) C | e di un altro sistema irri-
ducibile |Jf| == JX, —0|.
Pertanto se ne deduce ehe
' 6(C) <1 6(1,),
Questa conclusions si estende facilmente al caso in cui 1C1
sia dotato di punti base, con certe molteplicitA *Xj *'», .... Infatti,
riferendoci ad un valore di s abbastanza alto, si potr& sempre im-
ports al sistema |X,j di possedere gli stessx punti base.di |C| con
le stesse niolteplicitS., costfuendo cosi un sistema |X,| che con-
tenga | <71, e tale anzi che il residue (X | — | L, — C | sia un sistema
lineare irriducibile. Ora ё lecito supporre che i punti base di |X,|
impongano У eondizioni lineari indipendenti alle curve ag-
giunte I', che debbano passare per un puntoj-plo con la moltepli-
citik i —-1. Avremo cosi un sistema lineare |X,| eon gli stessi punti
base di | C\ per cui risulta ancora
й(Х,) = рг —pe.
В si dedurrh come innanzi .
6(C) 6(1,) A
In tai guisa abbiamo dimostrato che: sopra la superficie ¥ la
deficiema della'serie (canouica) che il sistema aggiunto ad wri sistema
lineare irriducibile | C | sega sopra una C generica ha vm valore massimo,
IL GENERE NVMERICO 1 IL TEOREMA DI RIEMANN-HOCH, ECC. 113
cAe coetitvisce ®w oarattere intrinseco della superficie e che eguaglia
'la differenza p, — pa fra il genere geometrico e il genere numerico
. Л1 essa. Questo massimo 6 raggiunto per una classe di sistemi lineari
appartenenti ad F, che comprende in ogni caso i sistemi abbastanza
grandi, ciod tali- che contengano in её un multiplo d’ordine assai
elevato d’un altro sistema irriducibile. Anzi questa classe e definita
in guisa che « ogni sistema lineare irriducibile maggitrre di un altro
di essa (Моё che lo cdntenga parzialmente) appartiene alia classe
medesima ».
A priori potr& averai soltanto una seconda classe ristretta di
sistemi lineari |O|, per cui la deficienza della serie (canonica) se-
gata su C da | C'| rest! inferiore al massimo.
Da quel ehe si ё detto risulta ehe. il genere numeric® p„ di una
superficie, definite direttamente dalle, formule di postulazione
- (sulla superficie data о su una trasformata eon. singolaritA normal!)
costituisee un oarattere invariante per trasformazioni birazidnali
della’superficie stessa, non soltanto nel caso'in-cui si abbia pa = pt!
si anche quando sia pa.< pe.
jOonverrh tuttavia distmguere 1. due casi designando come su-.
perfioie regolari quelle per cui p. — p,, ed irregolari (di irregolarith
pt—p«) quelle per cui pa <
- Per le une e per le altre superficie il risultato ottenuto contiene
1’estensione (dalle serie sopra una curva ai sistemi sopra una super-
ficie) del teorema di Biemann-Boch, per ora limitatamente ai si-
stemi lineari ' |C'| ehe sono aggiunti ad altri sistemi irriducibili
| C[ (di genere я e grado n). ba dimensione di | <7'|., о almeno un
limite inferiore di essa, viene calcolata per mezzo del genere di
| C [• dalla formula
r' > p„ + я — 1.
Ma ё facile esprimere la stessa r' pei caratteri, genere я' e grado
n', del sistema | C |. Infatti —designando eon. p<l> il genere lineare
(relativo) *della superficie F, e supponendo, per semplicitfi, di di-
acorso, che |C| e |C'| = \C + K| siano privi di punti base su F
si avri
я' = л + p(1) -j- 2л — 2 — » — 1 = Зя — 3 — п pW
п' = п (Р(1} — 1) +. — 4 — 2п = 4л — 5 — п + р^\
е quindi ' ’
- 'Я—1 = я' — п’ 4~ 1.
Cosi la dimensione del sistema )С'| вагй,
г’ > pe 4- п' — л' + 1,
jExBiQins - Super^cte
3
114
САМТОЬО QUARTO
е similmente, se | С |' stesso sia 1’aggiunto di un altro sistema irri-
ducibile, la sua dimensione varrb
r > pa -f- » — m + 1-
Vedremo pih avanti come questa й*вву«л^Ма«ва /<mdament«ler
che costituisce il teorema di Riemann-Roeh per i sistemi lineari ag-
giunti, si estenda, con ana piccola modiflcazione, a tutti i sistemi
lineari apparterienti ad una superficie di genere numerico p„. Quindi
diremo regolare ogni sistema lineare complete non speciale la cui
dimensione sia espressa i^l’eguagUanza precedent©, e sovrabbon-
dante un sistema per cui valga propriamente 1& diseguaglianza.
‘ 5. Complement!.
JSegli sviluppi che precedono ci siamo riferiti ad una superficie
dello spazio ordinario, dotata di singolaritA, normali: in questa
ipotesi abbiamo determinate la postulazione defie superficie aggiunte
che sono soggette a passare semplicemente per la eurva doppia di
jp1. Ma non vi 6 alcuna difficolth ad estendere le nostre eonsidera-
zioni, contemplando anche superficie con singolaritA pih elevate.
Se si vuol seguire la via indicata nei precedent! paragrafl, si sar&
eondotti anzitutto ad estendere le formule di postulazione, deter-
minando (con Bbether) il numero delle condizioni che una eurva,
d’ordine wt e genere p, impone alle superficie d’ordine n abbastanza
alto' che debbahb contenerle come 8-pla, che b (•):
[(3n-4« + 4)m - (Sa + l)(p - 1)]. (’)
В similmente si dowA valutare il numero delle condizioni im-
poste. alle superficie d’un dato ordine dal possess© di un punto mul-
' tiplo isolato, che per un punto s-plo b
(s. + 2\
. . Л 3 r - .
Ma,' col complicarsi delle singoIaritA di F, il calcolo della po-
stulazione da cui dipende la dimensione dei sistemi di superficie
- aggiunte, diventa pih difficile, siccome appare gift, da cib che ab-
biamo detto in ordine alia influenza virtuale sul genere dei punti
. multipli propri di X*. Giova pereib designate una via pih rapida, in-
dipendente dalla natura delle singolaritA, della superficie J?. Indi-
f1) Cfr. anche L. Слмгапвьы, Sulla postulazione di una ourva i-pla. (Rend.
.Circolo Matematico di Palermo, to. 55, 1031).
(’) Da modificare per la preeenza di punti multipli della eurva.
IL GBNERB NUMERICO E IL TEOREMA DX RIEMANN-ROCH, ECO. 115
cheremo in ogni caso con » I’ordine di >, con si il genere delle sue
_ sezioni piane, con n, e я, i caratteri del sistema s-plo, segato su
J* dalle superficie d’ordine e.
Osserviamo anzitutto che, supponendosi determinate il genere
numerico p» (in rapporto ad una trasformata di JP con singolaritS,
normali), conosciamo a priori la dimensione dei sistemi di super-
ficie aggiunte ad JF, e possiamo affermare che le superficie aggiunte
Ф„-г+, per s abbastanza grande, segano su V un sistema lineare
complete • di dimensione
+ л, — 1,
che a sua volta sega una serie completa d’ordine 2л — 2 -f- sn sulla
sezione piana C di >. Pereib le Ф„_а+. segano su ogni piano il sistema
complete delle curve d’ordine n — 3 + » aggiunte alia sezione piana C.
Cid postb si vede che 1a dimensions dei sistemi lineari delle super-
ficie Ф„_а+, aggiwnie ad J1, per s abbastanna grande, formano una pro-
gression® aritmetica del terno ordine che ha per ragione
. «(« - 3)
я + sn + -----2--- .
Questa progressions,. prolungata per i valori piii piccoli di e,
vale a definire in ogni caso I'espressione virtuale del numero delle
superficie aggiunte di date ordine linearmente indipendenti, e in
particolare il genere numerico pa.
In queste sense si pub dire che la progressione aritmetica an-
. zidetta, che 6 d’altronde -una oonseguenza delle formula di postu-
lazione, tiene luogo della conoscenza effettiva di queste formule (l).
Biprendiamo a' considerate i sistemi delle superficie Ф„_,+, ag-
giunte alia J1. " '
Indiehiamo eon A 0 il pih piccolo numero tale che per s > A
codesti sistemi seghino su un piano la totality delle-. curve aggiunte
dello stesso ordine; vuol dire che, se non 6 A — 0, il sistema delle
(che 6 d’ordine maggiore od uguale ad »— 3) segherfe
su un piano un sistema di curve aggiunte non complete, con la de-
P) Indipendentemente dalla eircostanza ehe il gruppo base aesegnato all»
Ф sia oostituito dalle singolaritfc. di una superficie J* rispetto a cui le Ф debbono
.essere aggiunte, si pud dimostrare che i numeri esprimenti la dimensione del siste-
ma della superficie Ф d’ordine abbastanza alto costrette a passare con carte inolte-
plicitA per i punti e par le curve di un gruppo base assegnato, danno luogo sempp»
ad analoga progressione aritmetica del terzo ordine, la cui conoscenza vale, in molti
casi, a supplire la conoscenza effettiva delle formule di postulazione. Cfr. G. Сл-
stelnvovo, Alouni rivultati aui sistemi lineari di curve appartenenti ad una super?
fide algebrica. Mem. 800. It. delle scienze (detta dei XL), serie III, t. 10, 1898.
Biportato nelle “Memorie seelte,, pag. 885. . .
Ив , САМТОЬО QUARTO
ficienza 3S_1> 0. Per s < Л — 1 i sistemi delle Фж_8+> (s — 0, 1, ....
h — 2) eegheranno sullo stesso piano sistemi di curve aggiunte,
eompleti о no, che a priori potranno supporai avere le deficienze
<3e «> 0 , di 2> 0, ...., <5*~a > 0 .
Ora abbiamo viste che, in eorrispondenza alia deficienza d»_t,
e in confronto della sua espressione . virtuale, cresce appunto di
<5*-! la dimensione del sistema delle superficie aggiunte d’ordine
n — 3 4- Л — 2 e . quella del sistema delle curve da esse segato
su X, che varrh
P« 4* — 1 4~ <5»-l
Similmente se <3ft~s > 0 сгевсегй, in' sefiso analogo, di d*_, la
dimensione del sistema segato dalle Фп-а+л-а> che varrJk
Pa 4" Яц -f~ Йд-2 4" <5*-i ,
' Infine la dimensione del sistema canonico, segato -dalle Ф„_4,
risulterS.
Р» — 1 == pa — 1 4~ de + 4~ ••• 4~ ds_j. •
(Моё I'irregolantd p, — pe delta superficie eguaglia la somma delle
defidenee dei sistemi di curve segati sopra mw piano dalle, superficie
aggiunte ad J?, d’ordine
n—з 4-® per. s =-1, 2,....
Possiamo precisare alquanto gli enunciati -che precedono, di-
moBtrando ’anzitutto che se le superficie aggiunte di un ordine
maggiore od uguale ad n —2 segano sopra un piano il sistema oowi-
' pleto delle curve aggiunte dello stesso ordine, lo stesso accade per tutti
i sistemi lineari di superficie aggiunte, d’ordine superiors. (Si dirft
poi come 1’enuhciato si estenda per s = 0, eiofe al caso in cui le su*
perficie aggiunte d’ordine n — 3 segano su un piano il sistema com-
plete delle aggiunte di quest’ordine).' .
Per dimoBtrare il teorema enunciate, 'potremo passare dai si-
stemi delle superficie Ф ai sistemi di curve da essi eegati sopra J?,
e quindi alle- serie che quest! sistemi segano sopra una aezione piana
C di >. В basteri stabilize che: « se le curve del sistema | sC 4- C |,
per 8 > 1, segano su C la serie completa, anche la serie segata su
. C dalle curve di | (s 4* 1)0 + C’| t certo completa ».•
Supporremo dapprima che sia s >’l e — per semplicith di di-
scorso — iacciamo — 2. L’ipotesi 6 dunque che -le curve -di
2(7 4~ C’,|> sezioni delle 0„-i aggiunte, seghino su C la serie com-
- pleta ‘ g d’ordine 2w — 2 4~ 2® determinata dalle curve aggiunte
Bd'evidentemente basta mostrare che la somma minima di
quests g e della serie segata dalle rette ё necessariamente completa.
IE GENERE SfUMb'etCO В IE TB08EMA OX RIBMANN-ROOH, ECC. 117
Si tratta insomma di stabilire (con Castelwuovo) il seguente:
Lemma sulla integrity della somma di due serie appartenenti ad
una curva.
Sopra una curva di genere я Bi eommi ad una serie completa e
non. speciale gm di un certo ordine m una serie oo1 almeno g„ веша
punti fissi, che sia contenuta in e dia come residua rispetto' a' quests
una serie.non speciale; la somma minima di e g„ e necessariamente
completa.
Infatti si sommino alia che ё di dimensione m — я due gruppi
G e G' della' da ritenere- come flssi: si avranno eosi due serie li-
neari d’ordine n 4- ж e di dimension© m — я, che hanno a comune
Ja serie formata da 2n punti fissi costituenti il gruppo G 4- G' e
dai gruppi della | — g„ | che ё una serie d’ordine m — », supposta
non speciale, e percit) di dimensione .
m — n— л.
Pertanto le nostre due serie,- che hanno some 'fissi i gruppi G
e G’, saranno contenute in .una serie di dimensione minima
m -f- я —я
che risulta dunque completa, c. d. d..
Questo lemma si applies immediatamente al caso A > 2. Ma,
con lieve modificazione, il ragionamento si estende al caso A = 1
(non pert ad Л = 0).'Bi tratta di proyare che sommando alia serie
segata su C dalle curve aggiunte ys_8 la serie segata dalle
rette, si ottiene sempre, come somma minima, la serie'completa
segata dalle. <р„_г. •
Infatti si sommino alia gt„-t+n due gruppi flssi G e G' segati
da due rette a e a' del piano; si avranno due serie lineari di dimen-
sione sy— 2 + n, che hanno a comune la canonica .(non gid.
di dimensione я —2, ma di dimensione я — 1): la somma minima
delle due serie coi due gruppi flssi G e -G' ё ora una serie d’ordine
2я - 2 4- 2я e di ’dimensione я — 2 -f~ n — 1 anzichd n — 2 -f- n.
Questa serie, non completa, viene segata su C dal sistema di tutte
le <pn-t che paesano per il punto comune alle rette a e a'. Ora il mi-
nimo sistema lineare contenente entro di se due sistemi di <p9-x con
un 'punto base diverso ё il sistema complete di tutte le f?s_x. Bisulta
pertanto che la somma minima della serie fte_s+„ e della serie se-
gata dalle rette del piano riesce necessariamente la serie completa
segnata dalle
6, Nota eulle condizioni di regoleriA di una superficie.
- Abbiamo veduto che, data una superficie J* d’ordine n dello spazio
ordinario, -che per sempliciti vogliamo support© dotata di singolaritft.
118
CAPITObO QUARTO
normal!, se le Ф„_» aggiunte a questa, d’ordine n — 2, segano su
un piano il sistema complete delle curve aggiunte alia sezione di J*,
lo stesso accade per le superficie 0„_s+r aggiunte d’ordine > » — 2;
in questo caso dunque la irregqlaritS. p„— della superficie ё
uguale alia deficienza della serie (canouica) segata sulle sezioni
piane О di F dalle Ф„_8. In particolare, se le Ф„_а segano sulle dette
C la serie canonica completa, rirregolarite, ?,-₽, = 0, ossia la
superficie F ё regelate. ’
Ma fl criterio di regolarit&, cosi stabilito da Enbiqves, pud ri- •
dursi ad altro pih sempliee.
La superficie F, d’ordine л dello spagio ordinario i regolare (p„ = p,)
se le superficie Ф„-г d’ordine n — 3, aggiunte ad essa, segano su una
sezione piana la serie canonica completa.
Daremo un rapido cenno della dimostrazione che CASTEuiraovo (x)
ha recato di‘questo teorema. Con viene anzitutto stabilire il
-Lemma. - Se un gruppo di m, < n punti della nostra superficie J*
scelti fra> gli n punti segat-i da una retta a, appartiene ad una serie spe -
ciale g* , di dimensione Л > 1, sopra una sezione piana 0 per a, to
stesso accade per ogni altra sezione di F con un qualsiasi piano per a.
Ё una conseguenza immediata dell’ipotesi che le Фя_а seghino
sulle sezioni piane C di F la serie canonica completa. Infatti, per il '
teorema di Biemann-Boch, un gruppo della detta su 0 offre
precisamente » — Л eondizioni ai gruppi canoniei di C, owero
anche alle C',. che debbono contenerlo: ma il numero di tali condi-
zioni ё indipendente dalla seelta di una particolare C del fascio
segato su J? dai piani per a.
Sulla base del lemma anzidetto siamo in grado di riconoscere
ehe « se le Ф„_а segano la serie canonica completa suite sezioni piane
О di /, la serie caratteristica del sistema complete |(7| riesce com-
pleta ».
Sappiamo ehe il sistema complete | C | si pud costruire su F
тегсё il sistema lineare di tutte le aggiunte Ф„_г che passano per
la sezione & di una Фп_8 (teorema del reste). Basterh quindi mostrare
che codeste Ф„_8 per una C segano sopra un piano la serie completa
delle curve y„_8 d’ordine n — 2 aggiunte alia sezione di F.
A tai uopo si cerchi di costruire una superficie Ф„_8 aggiunta
ad >, come luogo di una curva dello stesso ordine n—2 aggiunta
alia sezione C di un piano a variabile in un fascio, che abbia per
asse una retta generica dello spazio, a, non incidente a ’17'. Alla ^>n_8
s’imports,:
P) Alcime propriety fondantentali dei sistemi lineari di curve traoaiati sopra una
superficie algebrica. Annali di Mat., serie II, t. 25 (1897). Cfr. Memorie eoelte. XXIII.
Ib GENBRB NUMKRICO E-IL TEOREMA DI RIBMANN-ROCH, ECC. 119
1) di passare per i 2л — 2 punti di un gruppo canonico, se
zione di
' 2) di passare per 8 — 1 punti, At, A„ .... A,_i, scelti fra gli w
punti comuni a О e alia retta a, designando s la dimensione della
serie- caratteristica di <7 resa completa, ciob la dimensione della serie
completa cui appartiene la gn segata sulla C dalle rette del piano a;
3) e infine di toccare un piano y, passante per un punto Ax
•di codesto gruppo di 8 — 1 punti e non contenente a.
Le eondizioni 1) e 2) determinano, in un piano generico per a,
un fascio di curve ?зя_Ж) cui’ appartiene la eurva eomposta della
' retta a e della y„_3 passante per il gruppo canonico di 0 sezione
di O'. Aggiungendo la condizione 3) resta determinata nel piano
eurva <?„_«; e, al vartare di questo piano, la <pn~t cosi costruita
descriverA una superficie Ф»_3+й, aggiunta ad J? che a priori potrA
essere d’un ordine n — 2 -f- A > n — 2, passando h (> 0) volte per
la retta a. Per il nostro scope occorre dimostrare che deve essere
Л = 0. Si supporrA dunque Л > 0 e si ridurrA all’assurdo - questa
ipotesi. *
A tai uopo si oaservi che, essendo A > 0, si avranno, in un punto
A, di a, A piani tangenti alia Ф„_8+а, uno qualunque dei quali a se-
gherA questa superficie secondo una curva eomposta della retta a con-
tata A volte e di una passante per gli e punti AXAS...-.A,_X A,. Ora
si pud porre А, типа delle »(a — 1) intersezioni della superficie
> о della curva C sezione di a eon a, fuori di АХА8.... A,_x: siccome
la ^„_3 sezione di a non passe per Ax (essendo a non incidente а &),
bisogna eheil gruppo di punti AXA8...,A, appartenga, non gift, ad una,
ma ad un fascio di curve aggiunte alia sezione О di S' con a,
e quindi ehe codesto gruppo appartenga ad una дг, speciale, di di-
mensione (almeno) eguale ad 1. Ma questo non pub accadere sopra
un particolare piano a per a, senza che accada per tutti i piani a.
Pertanto si deduce che A = 0, e cosi riusciamo a costruire una su-
perfleie Ф„_8 aggiunta. ad S’ che soddisfi alle eondizioni di:
1) passare per una curva C' sezione di f eon una aggiunta Ф„_а;
2) passare per .a— 1 fra gli n punti intersezioni di > con
una retta a; . .
3) toccare un piano у per uno di questi punti.
Variando i punti che figurano nella condizione 2) si possono otte-
nere oo,+1 Ф„_а per O', le quali segano, su un piano generico a, oo*
curve ciob la totality delle curve aggiunte <?„_» passanti per il
gruppo canonico sezione di &. Cib signifies che le Ф„_а per O’
segano su S uri sistema lineare | (7| di dimensione «4-1, che ha
i la serie caratteristica completa, e. d. d.
Per stabilire il teorema di Oastelnuovo basta ormai rilevare che:
« sopra una curva <7 di genere я( > 0) la somma minima della serie
120
СЛИТОГО QUARTO
canonica e d’un’altra serie completa g*, priva di punti flssi
e non composta con una involuzione, В sempre completa ».
Cid risulta dall’osservare «be un gruppo &„ della seconda. serie
presenta s condizioni indipendenti ad un gruppo della stessa pj
che debba eontenerlo e n —« condizioni ad un gruppo della serie
canonica, quindi (x) almeno
s -f- л — s — 1 = л — 1
condizioni ad un gruppo della serie somma minima д^~г+п = 4-
4-Й; percid la dimensions di questa supers di (almeno) n —1
la dimensione della serie canonica, e vale dunque
4» — 1) + я — 1 = s + я — 2:
vuol dire che la serie minima ^j~4a 4- g• ha la dimension© della serie
completa ossia coincide con questa.
Xota. — Il teorema di Castelnuovo che esprime le condizioni di
regolarit& della superficie, in relazione al sistema [C [ delle sue sezioni
piane, si estende facilmente ai sistemi lineari irriducibili | C ] anche
non semplici, come 1’autore stesso ha awertito. Avremo dunque:
La condisione necessaria e sufficients percM una superficie sia re-
golare (pa == p„) i che il sistema |G'| aggiunto ‘ad un sistema lineare
irriducibile [ <71, di genere л > 0, oo’ almeno, segM sulla 0 generica
la serie canonica completa, ciod сЛЖ sia di dimensione p„ 4- n — 1.
Ogni sistema lineare irriducibile completa appartenente ad una su-
perficie regelate ba la serie earatteristica completa.
Bitroveremo pih avanti quest’ultimo teorema come'caso partico-
lare di una propriety relativa alia deficienza della serie earatteristica
dei sistemi lineari completi appartenenti a superficie irregolari.
7. Esempi di superficie irregolari.
Gli sviluppi che precedono vengono illustrati da qualche esempio.
Per la superficie generale d’ordine », priva di singolaritft, le super-
ficie aggiunte Ф„_4 bostituiscono la totality delle superficie d’ordine
» — 4; il numero effettivo di queste, linearmente indipendenti, &
uguale al numero virtuale
In —1\ (» —1)(® — 2)(« — 3) (’)
?« — p« = \ 3 J=-------------—5--------------
(4 Cfr. Cabtblnvovo, Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti
appartenente ad use ama algebriea. Rendic. Circolo di Palermo, 1893. Atemorie-
seelte; VIII.
(’) Se ei vogHono.applicare le formule general» di postulazione, si deve ritenere
ohe la eurva doppia d’ordine n = 0 eia di genere g = 1.
И. GENERE NUMERICO И IL TEOREMA DI RIBMANN-ROCH, SCC. 121
Dunque, le superficie generali del proprio ordine sono regolari;
in particolare I piani, le quadriche e le superficie cubiche che non
siano coni, quindi anche tutte le superficie razionali hanno fl genere
superficial
pt =®= p® = 0.
Ora, se s'impone ad una superficie d’ordine n di possedere una
eurva doppia, d’ordine relativamente piccolo, si ottengono del
pari superficie regolari; se invece si vuole che la superficie possegga
una eurva doppia d’ordine piuttosto alto, si trova a priori un nu-
mero di condizioni che eccede il numero dei parametri da cui di-
pende la superficie del dato ordine; pertanto riesce difficile, per
questa via, ottenere esempi di superficie irregolari.
Ma si prenda a considerate un eono V d’un ordine n > 2, e di
genere p > 0, e sia О il suo vertiee (punto n-plo); qui mancano
certo le superficie aggiunte d’ordine n — 4, che dovrebbero passare
per il-punto О con la molteplicity n—2 >л— 4, sicchfi risulta
(come giy sappiamo)
p„ = 0.
Mancano anche per la stessa ragione le superficie Ф„_а aggiunte
ad f che dovrebbero segnare su di essa pa + p curve aggiunte alle
sezioni piane linearmente indipendenti, sicchb
?« + V 0,
ciob
Pa — p.
Ma esistono invece dei coni aggiunti Ф„_а (con О («• -т- 2)-plo>
i quali segano sopra un piano il sistema complete delle curve d’or-
dine n — 2 aggiunte alia sezione di J*'. Pereib i nostri risultati ci
autorizzano a dire che il genere numerico
P® == —P-
Si conclude che le rigate di genere p hanno il genere numerico
—p e V irregolaritd .
p„ — Pa==P- '
Questo teorema riesce dimostrato trasformando la rigata in un
cono; ma anche senza eseguire questa trasformazione si pub ripe-
tere il ragionamento precedents, basato su cib, che: 1°) non esistono
sulla superficie curve'aggiunte alle sezioni piane C; e 2°) le curve
di | О -f- C' | (sezioni delle aggiunte Ф,_я) segano su iina C -la serie
completa.
L’esempio delle rigate b note fino dai primi studi di A. Cayley 0)
P). On the deficiency of certain surfaces. Math. Aunalen, Bd. III.
122
CAFITObO QUARTO
(1871) e di M. Noetheb, che hanno riconosciuto I’espressione vir-
tuale del genere diventare in questo caso negativa. Successivamente
il prime esempio di superficie irregolare, per cui p, > О ё state in-
dicate da G. Casteenvovo (j). . . -
Si imponga ad una superfine 1*, d’ordine 6 di possedere 8 punti
tripli As., J.,,..., J.8 in posizione arbitrariamente assegnata nello
spazio. Le У, dipendono da 83 costanti, I’imposizione di un punto
triplo imports 10 condizioni lineari, quindi le J1, che passano tripla-
mente per JL1? At saranno oo*, e si spezzeranno nelle terne di
quadriche (appartenenti a un fascio) che passano per quegli 8 punti.
Ma inveee di' prendere J.t, J.2, JLe in posizione arbitraria, si
supponga che essi costituiscano il gruppo base'di una rete di qua-
driche Ф». In questo caso, combinando linearmente le terne di 0S,
si otterrA un sistema lineare di irriducibili, di dimensione 9 (’).
Ora le J*, eosi costruite risultano di genere p, — 3, avendo come
aggiunte d’ordine 6 - 4 = 2 le quadriche Ф» della rete considerata.
Ma gli 8 punti base J.t, At, At impongono alle Ф, sette condi-
zioni lineari indipendenti inveee. di otto, che ё il numero virtuale
di queste condizioni. Percib il genere nutaerico delle J, vale
jQa = *pg — 1 как 2 .
Й interessante notare che quell© costruite ё il primo caso di
una serie di esempi analoghi. Si possono costruire in generate su-
perficie irriducibili d’ordine 2л (и > 3) che posseggono 8 punti
«-pli nei punti base di una rete di quadriche: queste risultano
irregolari di. genere
»(л— 1)
F» — . 2
e
— n — 1.
Qui interessa osservare che le quadriche della rete segano sopra
una JPtn un sistema lineare composte con quartiche ellittiche; e
queste quartiche formano su-Fs» un fascio irrazionale di genere
n n (n-l)(n-2)
?«“?» =---------§------ ’
infatti il genere del fascio eguaglia il genere del cono osculatere della
J’s, in uno dei punti rt, che ё punto base per il fascio delle quartiche
stesse.
(*) Cfr. Cl. Cujjmnrovo, Ossenxaioni i-ntorno alia geametria sopra ma tu-
perflate. Bend. 1st. Eombardo, 1881. Nota I. ’* Mtaorie eoelte „ n. XVII.
(s) Si pub dimoetrare che il efetema delle eon gli otto punti tripli non pub
avere dimensione r > 8, valutando r per mezzo della dimensione del sistema che
quests segano sopra una quadnea della rete.
IL GENERE NUMERICO E IL TEOREMA DI RIEMANN-ROCH, ECC. 123
Aggiungiamo che la serie degli anzidetti esempi, indicati da Oa-
stelntjovo, si lascia generalizzare come ha mostrato L. Campedelli
(1936) e).
La costruzione di una Ps„ irriducibile con 8 punti -»-pli dipende
invero da quella di un fascio lineare di curve ellittiche d’un ordine
m divisore di » (n = ms), che possegga 8 punti base s-pli sopra una
quadrica: questo gruppo di punti base appartiene sempre ad una
quartica ellittica, e dh su quests un gruppo proveniente dalla di-
visions per » della serie segata sulla curva da -tutte le superficie
d’ordine 2n. Il fascio delle curve ellittiche di cui si tratta si lascia
proiettare sul piano da uno dei suoi punti base in un fascio di Hal-
phen di curve Cara eon 9 punti base m-pli.
A partire dal fascio indicate sopra una quadrica si ottengono
superficie eon 8 punti »-pli, irregolari, che posseggono sempre
un fascio irrazionale di genere p-„ — p„.
Nota. — In base al teorema del § 6 che afferma 1’integrith della
serie caratteristica d’un sistema lineare complete sopra una super-
ficie regolare, si riconosce in generale che «il possesso d’un fascio
irrazionale (di genere л > 0) di curve, porta che la superficie sia
irregolare». .
' Pih precisamente troveremo che la superficie ha I’irregolarith
Pt—рЛ^л. Ma di cib pih avaxiti.
8. П teorema di Riemann-Hoch, per le superficie: sistemi pih ampi
del sistema canonico.
Abbiamo rieonosciuto che un sistema lineare di grado n e genere
л, che sia 1’aggiunto di un altro sistema irriducibile-sopra una-su-
perficie di genere numerico pa, ha la dimensione.
Л-+-1,
e questa dishguaglianza fondamentale, pur nelle condizioni reatrit-
tive che qui sono supposte, costituisce un’estensione alle superficie
del nqto teorema di Riemann-Boch relative alle curve. Conviene
anzitutto renders! cento del significato della restrizione che- |C|
sia il sistema aggiunte di un altro sistema irriducibile. Per sempli-
cith di discorso riteniamo che jC[ sia privo di punti base sulla su-
perficie P, e lo stesso accada pel sistema |L| di cui esso A 1’aggiunto.
Designando con |'Ж| il sistema canonico avremo
]C| = jL + Kj.
(4 L. Самгйювыд, in Atti ®. Aecademia di Torino, 1938.
122
сайтом quarto
(1871) е di М. Коетнев, che hanno riconosciuto I’espressione vir-
tuale del genere diventare in questo caso negative. Succeesivamente
il primo esempio di superficie irregolare, per cui p„ > О ё State in-
dicate da G. Castelnuovo (x).
Si imponga ad una' superfine P, d’ordine 6 di possedere 8 punti
tripli J-i, A„..., J.s in posizione arbitrariamente assegnata nello
spazio. Le dipendono da 83 costanti, 1’imposizione di un punto
triple imports 10 eondizioni lineari, quindi le IP, che passano tripla-
mente per Alt ...., Ag saranno oo’, e si spezzeraimo nelle terne di
quadriche (appartenenti a un fascio) che passano per quegli 8 punti.
Ma invece di prehdere Аг, Аг, A, in posizione arbitraria, si
supponga che esai costituiscano il gruppo base di una rete di qua-
driche Фа. In questo caso, combinando linearmente le terne di Ф„
si otterrfi un sistema lineare di irriducibili, di dimensions 9 (’).
Ora le JF, cosi costruite risultano di genere ft = 3, avendo come
aggiunte d’ordine 6—4 — 2 le quadriche Ф, della rete considerata.
Ma gli 8 punti base Al} As, As impongono alle Ф, sette condi-
zioni lineari indipendenti invece di otto, che ё il numero virtuale
di queste eondizioni. Percib il genere nuinerico delle JFt vale
• ' p„ = pt — 1 = 2 .
Й interessante notare che quell о costruite ё il primo caso di
una serie di esempi analoghi. Si possono costruire in generale su-
perficie irriducibili d’ordine 2» (» 3) che posseggono 8 punti
л-pli nei punti base di una rete di quadriche: queste PSn risultano
irregolari di. genere
==....sT".. '
e
p, = n .— 1.
Qui interessa osservare che le quadriche della rete segano -sopra
una un sistema lineare composto con quartiehe ellittiche; e
queste quartiehe formano su un fascio irrazionale di genere
ps— pe =
(»-!)(»-2)
2
infatti il genere del fascio eguaglia il genere del cono osculatore della
in uno dei punti A, che ё punto base per il fascio delle quartiehe
stesse.
(*) Cfr. G. CASj^bWOvo, Oaaervazioni iraorno alia geometria sopra ana ««-
perftoie. Bend. let. Lombardo, 1891. Kota I. "Mtoiorie eoelte,, n. XVII.
(s) Si рой dimostrare che il sistema delle J1, con. gli otto punti tripli non pub
avere dimensione r > 9, valutando r per mess» della dimensione del sistema che
queste J*, segano sopra un» quadrioa della rete.
- IL GENBRB STVMERICO в IL TEOREMA DI RIE MAKN-ROCH, ECC. 123
Aggiungiamo che la serie degli anzidetti esempi, indicati da Ca-
' stelkttovo, si lascia generalizzare come ha mostrato L. Campedelli
(1936) W.
La costruzione di una irriducibile con 8 punti »-pli dipende
invero da quella di un fascio lineare di curve ellittiche d’un ordine
- m divisore di n (л = ms), che possegga 8 punti base s-pli ‘sopra una
quadrica: questo gruppo di punti base appartiene sempre ad una
quartiea ellittica, e dh su questa un gruppo proveniente dalla di-
visions per w .della serie segata sulla curva da -tutte le superficie
d’ordine 2n. Il fascio delle curve ellittiche di cui si tratta si lascia
proiettare sul piano da uno dei suoi punti base in un fascio di Hal-
phen di curve G3M con 9 punti base m-pli.
A partire dal fascio indicate sopra una quadrica si ottengono
superficie con 8 punti л-pli, irregolari, ehe poseeggono sempre
un fascio irrazionale di genere p„ — p„.
" Nota. - In base al teorema del § 6 che afferma L'integritA della
serip caratteristica d’un sistema lineare complete sopra una super-
ficie regolare, si riconosce in generate' che «il possesses d’un fascio
irrazionale (di genere w > 0) di curve, porta che la superficie sia
irregolare». .
- Pit. precisamente troveremo che la superficie ha l’irregolarit&
Р»—Рв^я. Ma di cid pih avanti.
8. Il teorema di Riemann-Roch per le superficie: sistemi pih ampi
del sistema canonico. _
Abbiamo riconosciuto che un sistema lineare di grado n e genere
л, che sia 1’aggiunto di un altro sistema irriducibile-sopra una-su-
perficie di genere numerico p», ha la dimensione
r^pa +»—»+!,
e questa disiiguaglianza fondamentale, pur nelle eondizioni restrit-
tive che qui sono supposto, costituisce un’estensione alle superficie
del noto teorema di Biemann-Boch relative alle curve, Conviene
anzitutto rendersi conto del signifieato della restrizione che-
sia il sistema aggiunto di un altro sistema irriducibile. Per sempli-
cite di discorso riteniamo ehe | C | sia privo di punti base sulla su-
perficie f, e Io stesso accada pel sistema (L | di cui esso & 1’aggiunto.
Designando con | il sistema canonico avremo
|O[ = |L + K|.
(x) Ъ. Слюивш, in Atti R. Aeoedemia di Torino, 1936.
124
CAPITOLO QUARTO
Cosi la condizione imposta a |O] di essere 1’aggiunto di un altro
sistema, si. traduce in quella di contenere il sistema canonico, dando'
luogo ad un sistema residue | L |, d’ordine maggiore di zero, o, come
diremo, di essere рЛ л®рм» del sistema canonico.
< Un sistema j C| pih ampio del sistema canonico |X) si potrh
sempre ritenere come 1’aggiunto del sistema
|£| = |C— K|,
ma .non si pnd dire a priori che |i| sia irriducibile. Anzi vi sono dei
casi in cui, pur accrescendo la dimensione di | C | col moltiplicarlo
per un numero grande ad arbitrio, il sistema |U| sempre riesce ri-
ducibile, contenendo delle component! fisse, non connesse con le
component! variabUi. Cid accade invero se | С | ft il sistema delle
sezioni piane di una superficie JP la quale possegga un punt» mul-
tiple proprio influents sul. genere, per esempio.un punto multiple
isolate, d’ordine v > 3, che rappresenta una eurva fondamentale
9 di | С |, sebbene qui sia facile riconoscere che la disuguaglianza
di cui si tratta (dimensione di | C| > p„ + n —.я + 1) sussiste a pih
forte ragione. Infatti, designando con n e я i caratteri del sistema
C = '|C' — б I, avremo che [C| 6 1’aggiunto del sistema irriducibile
|i| = .
|C| = |i'|,
e quindi la dimensione di |(7| ft
r pa +'n — я + 1 ;
n a ’ (v — l)(v — 2)
ora il grado di 0 ft — v e il suo genere q —-----------g------ Si 1,
quindi si avrft.
•n = n — »<_
я = я Ц- g + v — 1
e di conseguenza la dimensione di 101', r > f, varrh
r > P® + n — я -j- 1 .
Ma, per procedere rigorosamente con la massima. generality,
dimostreremo che ogni sistema lineare |O| pih ampio del sistema
canonico | AT | ha la dimensione r > рл + n —я -f- 1, . ricorrendo
ad altre considerazioni che valgono ugualmente per sistemi | U|
riducibili о irriducibili.' - . -
Data sopra la superficie T una .eurva О irriducibile о riducibile,
possiamo sempre supporre che le superficie aggiunte ad J*, Ф«-4+,
(d’ordine n — 4 s abbastanza alto) ehe siano costrette a passare
per C non passino di conseguenza per un’altra eurva о per punti
IL GENERE NUMERICO В IL TEOREMA 01 RIEMANN-ROCH, BOO. 125
fuori di C & della eurva doppia P). Cib posto la eurva C sarft conte-
nuta nel -sistema \L', | segato su J* dalle Ф„_4+(1, e darh rispetto a
questo un sistema residue irriducibile. (senza punti base)
| d| (= |z; — c[. .• -
Ora, designando con r' la. dimension©, - con n", e il genere e il
grado .di |£.|, abbiamo trovato
r's > pa + n'„ — я', 1
(anzi in questo caso vale proprio il segno di eguaglianza); staccando
una eurva _D, si trovers, -ehe il sistema residue | = |'X'— JO |
deve avere la dimensione
V > pa + П — Я + 1 ,
qualora si sappia che la serie segata da [ Д ( su D й non speciale, «c-
eome pub affertnarsi nel caso che | (7| ’sia pih ampio del sistema ca-
nonico jK[, le qui curve segano su D gruppi residui della serie oa-
ratteriatioa di i>. .
Sviluppiamo il calcolo introducendo i caratteri genere g e grado v
di D e il numero t delle intersezioni di O' e D. ba serie segata da [ JD' |-
su D avrA 1’ordine v -f- t, © (se sia completa) la dimensione v 4- t — q,
quindi lo Btaecamento di D diminuisce di v 4- i — p-f-lal piiula
dimensione r' di | L's [; segue
r > r; — (v 4-1 — q 4- i).
D’altra parte
. ’ n' = n 4- v + 2t •
я' = я 4- о 4- t — 1
e quindi . . . . .
»' —я', =s n — я 4- v —:g4-i + l;
per conseguenza • . .
г ^ра4-.'л — «4-1* '
Abbiamo cosi dimoatrato che; per i sistemi lineart irriducibili
о ridwsibili di grado n e genere- я piA ampi del sistema canonico, la
dimensione vale sempre '
'T p„ П — «4- i-
Questa diaeguaglianza cpstttoisce il coaidetto teorema di’Biemann-
Boch per le superficie, che si estenderS, poi — nel modo che vedremo
’— ai sistemi lineari qualunque.
P) Cii> risulta dall’osservare che nelle formule ffi postulazione relative ad una
eurva composta (o ad una eurva e a un gruppo di punti) ciascuna components porta
un numero effettivo di condizioni. ’ ‘
128
сайтом quarto
Intanto, riferendoci ai sistemi ргй ampi del sistema canonica
distingueremo:
1) i sistemi regolari -per cui vale 1’eguaglianza
r == pe +~ »* — я + 1
2) e i sistemi sovrabbondanti per cui inveee
r>pe+n—я + 1.
Abbiamo gift, veduto Che esistono certi sistemi regolari, chfe
tali sono gli aggiunti ai multipli d’ordine assai elevato d’un sistema
irriducibile [X].
Il risultato che abbiamo ottenuto porta subito eonseguenze no-
tevoli.
Sia | О | un sistema lineare irriducibile di genere я e grado nf
piH ampio del sistema canonico в regolare sopra la superficie F, e
si sommi ad esso una. curva irriducibile D di 'genere q e grado v,
la quale intersechi le 0 in.un certo numero m (> 0) di punti.
Il grado e il genere di [ <7 + D | sono rispettivamente
n v + 2m
e , , -
л + g + w — 1,
e quindi la loro differenza vale
(я — я) + (v — g) + m + 1 > n — я
se sia
да» > g — v. , _ . -
Si deduce che il sistema | C + Z> | ha, in tale ipotesi, 'dimensione
maggiore di
po + n — n + 1 -
che ё la dimensione di | C | ;• e percib ё certo irriducibile.
Inoltre questo sistema |<7+I>] sarft regolare e dovr& segare
su D una serie (non speciale) completa, altrimenti staceando I>
si otterrebbe un sistema |(7| sovrabbondante.
Si awerta che questo ampliamento di j <7| sarebbe impossibile
per m ~ 0, cioft se la curva D fosse fondamentale per | C|; in questo
caso dovrft dunque aversi v — q < 0, il che result» a priori dal-
I’osservare che la curva fondamentale D di genere g > 0, deve avere
’ il grado negative: v < 0, essendo — v il numero delle intersezioni
di D colie sue curve residue (di J C — _D|).
Se neirosservazione’precedente s’inverte 1’ufficio di |C| e |D|,
si ё condotti ad affennare: date sopra la superficie V un sistema li-
neare (virtualmente privo di punti base) j C |, comungue riduoibtle,
IL OBNBRB NVMBRICO S IL TEOREMA DI RIBMANN-ROCH, ВСЮ. _ 127
«♦ pud sempre sommargli un sistema lineare irriducibile regolare | D |
in gui'sa da ottenere »» sistema irriducibile | D 4~ C | egualmente re -
golare.
fi sufficient© assumere eome sistema |D| il multiple |£,| — |s£|
‘d’un sistema regolare |X| privo di carve fondamentali, e percib
avente colie C (o colle component! di esse) un numero d’interae-
zioni grande con s. Nel caso che le curve C siano riducibili, p. es.t
<7 = Ci 4- <7i-|- si sommerh anzitutto un multiple di |X| a
'Ci e poi il sistema irriducibile (ampio quanto si vuole) eosi.ottenuto
a Ci e" eosi di eeguito, finchfe si pervenga . ad un sistema | sh 4- C |
irriducibile. ~
9. ЕНиатаяаопе delle curve eccezionali.
Biprendiamo le considerazioni del paragrafo precedent© in ordine
alia somma di una curva ad un sistema lineare regolare | C |, sopra una
superficie J*. В prendiamo come curva sommanda a |C| una curva
eccezionale » di genere g = 0 e di grado v > —1. Se essa non - 6
fondamentale per |C|, e quindi incontra le Oin m >0 punti,
sommandola [ C | si otterrd, sempre un sistema lineare di maggior
dimensione, irriducibile e regolare come |Cj. В le.curve di questo
sistema somma avranno con essa m 4- v intersezioni. Percib la to
potrh sommarsi successivamente a |C|, e si otterrh una serie illi-
mitata di' sistemi di dimensione crescente se ё v 0, ciob nel
caso in cui la a> sia unh curva eccezionale di seconda specie. Inveee
ее la & ё di prima specie (v = ~~ 1), la serie dei sistemi ottenuta si
arresters, al sistema |C + w»u»j per cui la co diventa fondamentale.
Ora si consider!, per ogni sistema lineare | C | di grado n e ge-
nere я, appartenente' alia superficie J?, la differenza 2л — 2 — n
_ (numero delle intersezioni delle sue _ curve colle curve canoniche
virtual!) che <й> un carattere addittivo a(C) dei sistemi sulla stessa JP.
Questa differenza diminuisce almeno di unaunith, ogni'volta che si
somma и a | С | о ad uno dei sistemi successivamente coal ottenuti,
e quindi, se la serie di questi ё illiinitata, finisee certo per divenire
negativa, sicchb si avranno .sopra V sistemi di genere я e di grado
n 2л — 2. - ' . ' ' .
' Oi6 postb noi vogliamo supporre che la superficie JP non contenga
sistemi per cui la differentia -—a(C) =п — (2я—2) > 0. In tale ipotesi
essa non conterrft, curve eccezionali di seconda specie e potrh contenere
soltanto un numero finite «.di curve eccezionali di prima specie.
Per semplicith discorreremo di queste ritenendo che siano curve
eccezionali irriducibili, salvo -ad aWertire poi cib che deve dirsi nel
casp escluso. (che rispondfe a curve eccezionali immagini di punti
infinitamente vicini).
128
САЙТОМ QUARTO
Si assuma che il sistema (irriducibile regolare) | О | sia, non solo
virtualmente si anche effettivamente, privo di punti base su F. Se
•come si ё detto innanzi, le C segano la curva eccezionale a> in m pun-
ti, la co sarh curva fondamentale (di grado — 1 e percib diminuente
di 1 il grado delle curve residue) per il sistema | С + тш |. В traafor-
mando la superficie > in un’altra _F'- per mezzo di questo sistema,
la ю si muterit in un punto sempliee О di JF'.
Ora ognuna delle altre 8—1 curve eccezionali su JF sari, senza
connessione colla co e percib dart, su JP' ancora una curva eccezionale
di prima specie "(owero un punto sempliee della superficie)} altri-
menti si otterrebbero su JF' curve eccezionali di grado > 0 (ossia
di aecqnda specie), e quindi si costruirebbero sulla superficie e
anche su J*, sistemi ] C | • per cui il oarattere
— a(C)>0.
Dunque la trasformazione di P in F' riesce a diminuire il numero
delle curve eccezionali appartenenti alia superficie, sicchb dopo s
trasformazioni otterremo una superficie Ф aflfatto priva- di curve
eccezionali.
A. vero dire si ё sempliflcato il nostro discorso supponendo che
le curve eccezionali su JF siano tutte irriducibili. Ma se vi ё su F
una curva eccezionale di prima specie eomposta di Л- parti (date
in un certo ordine co, co'.... ca<*-x>), 1’ultima di queste- component!
costituisce sempre una curva eccezionale di grado v = — 1, e quando
si riduce questa curva ad un punto colla trasformazione che muta
F in'JF', la componente che -la precede diventa una curva eccezio-
nale (di.prima specie), di grado v ——1. Cosi la curva eccezionale
eomposta di Л parti -(eon cui si formano Л curve eccezionali di F,
una irriducibile ed Л — 1 ridueibili) diventa su F' una curva ecce-
zionale eomposta di Л — 1 parti. В finalmente acompare dopo Л
traeformazioni, riducendoai (su Ф) ad un gruppo di Л punti semplici
infinitamente vicini. ‘ -
Concludiamo pertanto: Una superficie si pub generdhnente tra-
sf ormare in un’altra priva di curve eccezionali. Questa trasformazione
viene a mancare soltanto per le superficie, (di genere pe — 0, bigenere
F = 0 ecc.) suite quali esistono sistemi lineari | <71 per cui il oarattere
— a(C) = n — (2л — 2) >0, ciob, come vedremo per le superficie
che appartengono alia famiglia delle rigate.
10. Integrita della eerie eegata da un sistema lineare piccolo sulle
carve di un sietema graxtde.
L’estensione-del teorema di Biemann-Boch ai sistemi lineari
qualunque (anche a quelli «speciali», che sono meno ampi del
Il GENERE NUMERICO E IL TEOREMA DI RIEMANN-ROCH, ECO. ' 129
sistema canonico) si dark nel modo pih sempliee fondandosi sulla
integrity della serie che un sistema lineare «piccolo » Sega sopra
la curva generica di un sistema « normalmente grande». «Piccolo »
e « grande » sono termini relativi' che si’ definiscono come segue:
si consider» «grande» rispetto ad un sistema lineare date [ О |
(virtualmente privo di punti base sopra la superftcie J*) un
sistema lineare |JD| che contenga |O| per modo che la differenza
| D — C | eguagli il multiplo | sL |, eeeondo im intero s grande quanto
si vuole, di un sistema lineare irriducibile |£| senza punti base,
owero costituisca un sistema « pih ampio » di | sL |. E si dirS, ehe
|P| ё normalmente grande, rispetto a |C|, se la condizione prece-
dente sia soddisfatta in ordine ad un sistema |X] privo di curve fon-
damentali, di modo che, scegliendo s sufficientemente grande si pub
ottenere che il'sistema |B| = |Z> — C| sia irriducibile C1)-
Si vuol dimostrare il Iemma fondamentale.
Un sistema lineare completa | C |, irriducibile о riducibile, веда
una serie completa sopra la eurva irriducibile d’un sistema lineare
|D che sia, nei suoi confronts,, normalmente grande.
Per stabilire questo lemma, si assuma sopra -una D un gruppo
arbitrario <? della serie completa CD, segata da |C*|, e gli,siassoci
un gruppo la cui esistenza sari dimostrata nel seguito, che
soddisfa alle due propriety segqenti:
1) G 4- &' sia un gruppo della serie caratteristica (general-
mente non completa) segata sulla D dalle altre curve di |P|;
2}G' sia un gruppo della serie segata sulla D da una'curva
irriducibile В di [ D — О |.
Allora G 4- G' costituiri il gruppo base d’un fascio di curve D
e rispetto a questo’ si avri una curva fondamentale irriducibile В
passante per G'-, di conseguenza al fascio suddetto apparterri una
curva D spezzata in В e in una C per'G; ogni gruppo G della serie
completa CD, su D, sari dunque gruppo sezione di una C.
Occorre soltanto riconoscere ehe, essendo |D| assai grande
rispetto a | C\, esiste effettivamente per ogni-gruppo G, della serie
completa CD, un gruppo G' associabile ad esso che soddisfi alle
propriety 1) e 2). A tai uopo conviene mostrare che le due serie li-
near!, a priori non complete, DD — Ge BD, segate su D rispetti-
vamente dalle D per G e dalle B, e contenute nella medesima serie
(*) Cii> non ё pid veto se | L [ e quindi [ =» | £> | possegga una curva fdnda-
rnentale 9 che non sia fondamentale per | C [, giaoohft allora fl si stacca come parte
fiesa da | D — G Quindi anche il lemma fondamentale non eueeiste piii per |.O |
in confronto a questo sistema (non normalmente) grande | D j: per Csernpio il
sistema canonico | К j non sega piii, in generate, sopra un* D la eerie complete
(Segata da | К 4- fl
EHsninss iF. - SuuerfieU aloehrlelie. Й
130
СМИТОМ) quarto •
complete, hanno certo a eomune una effettiva serie lineare, descritta
dai gruppi G'. E pereib basta stabilire che le deficienze di codeste
due serie sono inferior! alle loro dimension!, perchft allora, come si
vede facilmente, la somma delle dimensibni' delle due serie, ft mag-
giore della dimensione delle serie completa.
Ora quest’ultima condizione ft certamente soddisfatta poichft si
riconosce che, per s grande tendente all’infinito, la dimensione
della serie earatteristica di |D|, su D, e quindi anche la dimen-
s8
gione della serie DD — G, diventa inflnita del 2° ordine come -g- »
(n grado di ]£]), e lo stesso accade per la dimensione della serie
BjD; invece il difetto della aerie earatteristica DD, e quindi anche
quello della serie DD — G, se pure possa crescere indefinitamente
eon e, non potte a priori diventare infinite d’ordine superiore al primo.
Ci limiteremo a svolgere questo semplice compute nel caso in
eui sia
|D| = |£,| |O| = |X| . - •
Designando eon лея grado e genere di | 0 | e eon n, e л, grado
e genere di |X,|, la dimensione r, di |X,| viene data dal teorema di
Biemann-Boch: ' ' . .
r. 4- n. — 3it 4- 1,
dove
•' ,8(8 — 1) ,,
я, — а*п, я, = «я 4---------g----л — s 4- 1 i
е quindi
s* s i
г, у» — «я — » 4- » — 1;
dunque la dimensione effettiva della serie earatteristica | DD | —
— vale
• 8®
г, —1 2» у n 4- —•
tralasciando i termini d’ordine в. В poichft il gruppo G — CD, com-
prende в»'punti, anche la dimensione della serie effettiva DD — G
sate
, tralasciando i termini d’ordine inferiore al 2°.
D’altra parte anche la dimensione della serie segata su D = D,
dalle curve В di ]X8-x| = — C| sate
Ora si pud valutare il difetto di.codeste serie о almenojun 11-
mite superiore di esso che dipende dal. difetto della serie' caratte-
IL GENERB NUMERICO E IE TEOREMA DI RIBMANN-ROCH, BOO. 131
ristiea DD e quindi dal suo indice di speciality. Se questa serie sia
completa (di dimensione r, — 1 = pe 4-л,) il suo indice di
speciality ватУ pa, se invece essa abbia il difetto A, il suo indice di
speciality ватУ .
. , » = d 4“ Fa-
in ogni caso questo indice i вагУ inferior© all’ordine della serie
residua, cioft al numero delle intersezioni I> — B, eon una eurva
canonica K:
DK = «(2л — 2 — я),
e di conseguenza il difetto della predetta serie JDB, e quindi anche
i difetti di DD — & e di BD, non potranno diven tare inflniti eon
s, d’ordine superiore al primo. ' ' c. d. d.
Lo stesso compute si estende, con lievi modificazioni, al caso
in eui, essendo [ L | un sistema privo di curve fondamentali, sia an-
cora |D| = |X,| = |sX| ed 111 = |B’+ <7|, owero in cui sia
]D| = p# + B\,
e IСI coincida con |Z| о sia contenuto parzialmente in esso:
p| = |B+C|.
Si perviene .egualmente alia conclusione ehe il sistema complete
IСI sega sulla' eurva D d’un. sistema normalmente grande una serie
completa. ’ . .
11. Il teorema di Riemann-Koch per i sistemi lineari qualunque.
Al posto del sistema lineare |O'], considerate nel precedent©
paragrafo, si assume, il sistema canonico | К ], supponendo dunque
Pt > 0, e si costruisca un sistema lineare irriducibile [D |, che sia
normalmente grande rispetto a |X|. Potremo affermare che |Ж|.
sega, sopra una eurva generica D di |D|, la serie completa residua
della serie earatteristica.
Questa affermazione vale anche per p„ = 0, nel senso che « sopra
una superficie di genere pr == 0, la serie earatteristica di un sistema
D [, normalmente grande, ft una serie non speciale ». Per dimostrarlo
si assuma un sistema lineare ausiliario ] C ] e si consider!, insieme
ad esso, il suo sistema aggiunto |C"|. 8e [ 1>| ft abbastanza grande
rispetto a | C [ e a | <7' |, ambedue questi sistemi segano sopra una
В generica serie complete: diciamo у e y'. Se la serie earatteristica
DD ft speciale e quindi contenuta nella serie canonica BB’, dove
|P'| = |X> 4- O' — O|, la serie у sard, contenuta in y', e preciea-
mente un gruppo & di у farSt. parte d’un gruppo G’ = О 4- di
д’. Si tratta di riconoscere che, in tale ipotesi, anche 10' | contiene
|C| e quindi > 0, contro 1’ipotesi.
132
CATITOLO QUARTO
A tai uopo basta osservare che la curva <7 passante per G (e,
nel caso di riducibility, ogni componente di essa) ha eon. la D (nor-
malmente grande) uh numero d’intersezioni maggiore di О O', e
quindi fa parte della O’ per в + <?i- . .
’ Cosi abbiamo stabilito che sopra ma superficie di genere ps > 0,
la serie caratteristica d’un sistema lineare normalmente grande (in
confronto del sistema canonico) Aa Vindice di speciality. p„.
Ora si consider! sulla superficie F un sistema lineare |(7| co-
munque speciale d’indice t (S: 0) ed un sistema |H| normalmente
grande rispetto ad esso. Vogliamo riconoscere che «1 ’indice di spe-
ciality della serie segata su una D dal sistema | JO 4- <71 6 uguale
all’indice di speciality di |C7[, cioft al numero i delle curve cano-
niche К linearmente indipendenti di cui fa parte una О ».
Infatti, essendo completa la serie segata da |>| su D, per un
gruppo G della serie CD su una D passano tante curve canoniche
X, • linearmente indipendenti, quanto ft 1’indice di speciality della
serie segata sulla stessa D da | D -f- C |; ciascuna di queste X ha
eon C (o, nel caso di riducibility,. con una qualsiasi componente di
<7) un numero d’intersezioni CD > CX e quindi contiene per intero
la C.
Ora, §i&mo in grado di dedurre la dimensione r del sistema J C |
di grado n, genere я e indice di speciality i, che si ottiene staccando
una D dal sistema | D -f- О j; percift oecorre togliere dalla dimensione
di quest’ultimo sistema che ft regolare, la dimensione della serie
segata su D da | D + C |, di cui si conosce 1’indice di speciality i,
ma che pud non essere completa; In questa maniera si trova un li-
mite inferiors per r: precisamente si trova, come pei sistemi pih ampi
del sistema canonico: r pe -f- ® —я + 1 quando sia i = 0, cioft
per tutti i sistemi |C| non speciali, e in generale • .
r pa -f- » — n'+ 1 — i
per i sistemi speciali d’indice i. . .
Questa ditteguagliama costituisce Vespressione piit generale del
teorema di Biemann-RooA per le superficie.
Essendo stata riconosciuta per i sistemi lineari completi irridu-
cibili о riducibili 101, senza punti base sopra la superficie V, si de-
duce-che essa ft valida per qualsiasi sistema lineare comunque dotato
di punti base assegnati:! infatti un punto base i-plo che s’imponga
alle C ne diminuisce il grado di il genere di ^——11 j6 ja dimensione
di
i(i + l) .» »(t-D
g— - 2 .
al pih.
IL GENERE NUMERICO В IL TEOREMA DI RIBMANN-ROCH, BCC. 133
I sistemi lineari | C | per cui la dimensione r riesce eguale a
r — pe + » — л + 1 - i si diranno regolari; sowabbondanti qe sia
r > p„ + n — л + 1 — i.
Il teorema di Biemann-Boch per le curve di genere p ci dft la
dimensione della serie completa speciale g* espressa per la dimensione
della serie residua di essa rispetto alia canonica. Codesto teo-
rema ha come owio complement» I’osservazione che la serie residua
della Й ha 1’ordine 2p — 2 —». Anche per i sistemi lineari speciali
appartenenti ad una superficie, si pud completare il teorema di Bie-
mannBoch, esprimendo i caratteri genere e grado del sistema resi-
due, per mezzo di quelli del sistema datb. Infatti siano ICx| e |C,|
due sistemi lineari residui 1’uno dell’altro rispetto al sistema canonico
Siano n, e i .caratteri, genere. e grado, del primo sistema j
n, e Я| i caratteri del secondo, e si design! con m il numero delle
intersezioni di | <7x| e | €?a j. Introducendo il genere lineare p<‘> della
superficie, potremo esprimere il "genere e il grado di- |JC| per mezzo
delle formal e - • .
pW = + яа + m — 1
p(x) __ i = % + -f- 2m.
Ma si pub ealcolare m tenendo eonto che ] Ж ] sega su un gruppo
di . ’ ’ '
2ях — 2 — »x = »x + m,
punti, sicchb ' ' .
wi == 2«i — 2 — 2«v
Avremo pertanto
• p<i) = yti + я* -f- 2ях — 2 — 2»x — I = ЗЯх 4- я, — 2»i — 3
pW — i = Ц_ 4- — 4 — 4лж = 4- Иа — 4,
da cui si rioava -
я> sxx -i~ Зях 4” 2iix 4"
Hg =s 4- 3#x — 4ях 4" *1-
Quests fomnule valgono ad esprimere i _ caratteri del sistema | <7,|
resid-uo del sistema speciale | Cx | rispetto al sistema canonico, per mezzo
dei caratteri di | <7Ж J.
Si noti che le dimensioni dei due sistemi residui uno dell’altro,
| Ci ] e | Ct ], sono date da . .
n =. pa 4- »i — — тл 4- (pt. . . .
rg =<= pa 4- л2 — я, — n 4- «»,
IM
СЛИТОМ) QUARTO
designando а»! e а>г le rispettive eovrabbondanze. Quindi. dalle for-
mule. precedent! si ricava
O>1 = ша.
с!оё: due sistemi speciali residui Tuno deW altro rispetto al sistema
canonico hanno la medesima sovrabbondanza.
12. Deficienza della serie caratteristica.
Sopra la superficie J* di genere numerico p„ e genere geome-
trico p, pe si consider! un .sistema lineare irriducibile [ 01 di
genere я, di grado n e dimensione г, Ле per semplicitA supponiamo
non special®. Sopra la curva generica , 0 abbiamo due serie lineari,
residue 1’una dell’-altra rispetto alia serie canonica; sono: la serie
caratteristica g£~x, segata' dalle altre curve 0, e la serie d’ordine
2я — 2 — и e di dimensione p, —• 1 segata -dalle curve canoniche K.
Se .queste serie hanno rispettivamente la deficienza d e d’, esse
sono contenute in due serie complete di dimensione
r — 1 4~ d e pg;— 1 4~
Applicando il teorema di Biemann-Boch. sopra la eurva si ha
> r_ 14-й = я—»+•?,- 1 + d'4-1
ciofe
r “ n — я 4" pg 4" d' — d 4” I*
Quindi se d' = 0
r = p„ — d 4- л — я 4“ !•
Ora, se | О | 6 un sistema lineare regolare, normalmente grande
• rispetto al sistema canonico, la sua dimensione vale
T ™ pa 4“ ® — я 4* 1
• -
_ e d’altra parte sappiamo che le curve canoniche К segano sopra C
la serie completa, siechfe в! ha d' = 0.
Si deduce che
d = P, — p..
In parole: la serie caratteristica di un sistema lineare completa
irriducibile, normalmente grande, che sia regolare (*), ha la deficienza
d^pt — pa.
(t) Si vedri piti avanti ohe « ogni sistema lineare normalmente grande 6 re-
golare». .
IL GENBRB NOMBRICO IL ИОИМ* M RIBMANK-ROCH, BOO. 135
- Cid posto vogliamo dimostrare ehe la serie caratteristica di un
qualunque sistema’ lineare irriducibile | G | appartenente alia su-
perficie > ha sempre una deficienza
. d Р» — p„.
Per ottenere questo risultato stabiliremo il seguente
Lemma: Se un sistema lineare
|c| = !<?!-+-
somma di due sistemi irriducibili sega la serie complete su una curva
del sistema [Ct|, la deficienza йг della serie caratteristica’ di j <7Х|
4, minore od uguale di quella d, di | O, |: ’ ' ’
, . di sJ dt.
Bi designino cofi nx, «i, п», i caratteri di j<?х| e ‘|08|, con rx
ed rt le loro rispettive dimension!, e con з il numero delle interse-
zioni di una Сг Con una infine sia r la dimensione di j C |. Per
ipotesi ia serie segata da- |C| sopra una CL® completa. Quindi anche
le C passanti per il 'gruppo G degli s punti comuni ad una e ad
una segheranno su <7tuna serie completa di dimensione rx— 1 +
' D’altra parte la dimensione della serie completa segata da C
m. Ci ft . ' ‘ ' . ' ' -
r — r2 — 1
e quindi la dimensione della serie segata su Сж dalle C per. -sate
r _ jy—-1 —• (g — e),
dove 8 —s designa il numero delle eondizioni linearmente indipen-
denti ehe il .gruppo di s punti G presents alle G che debbono conte-
nerlo. Oosi avremo- ’ . = . .
. . . П— 1 + A' = r —r, —1 —(s —e), . .
cioft . . , .. .. . ’. . .
= r — (rx 4- Г,) — (3 8). . ' .
Questa eguaglianza vale-anche mdipendentemente’’ dall’ipotesi
che |.C| seghi su |C?iJ la serie complete, purchft si sostituisca a
dt la deficienza’dj della serie caratteristica di | Сл | rispetto & quella
segata dalle C per G applicando lo stesso ragionairiento
al sistema |C8| si trova:
d2 2: d', = r — (rt + rs) — (« — e). - .
Dal confronto delle espressioni di Лг e risulta in ogni caso
-di da . - * . . c. d. d.
136
CAPITOLO QUARTO
Oib posto, essendo dato sopra la superficie У un sistema lineare
qualsiasi irriducibile oo1 almeno |(7| di grado we genere я, si co-
struisca su У un altro sistema lineare irriducibile |D|, che sia
regolare e abbastanza grande in modo che la deficienza della sua
serie earatteristica valga p„ — p„
Sappiamo (§ 8) ehe sommando | C | a ] JD | (per essere il numero
delle intersezioni (CD) maggiore di n—я) si ottiene ancora un
sistema regolare 10 4- D) ehe sega sopra C- la serie completa. Pereib
la deficienza d della serie earatteristica di | C | dovr& essere
'. ' d ps — p„ .
Tn parole: la serie earatteristica di un sistema lineare irriducibile
sopra una superficie di generi pa e p, > pa ha la defieienza'
d p, — pa.
Cost la irregolaritd p, — p„ d’una superficie viene anche definita
come il massimo' valore della defimenea della serie earatteristica per i
sistemi lineari irriducibili che ad essa appartengono,
Sopra una superficie regolare (p, = pa) ogni sistema lineare irri-
ducibvle complete ha la serie earatteristica completa. O, sotto 1’aspetto
proiettivo: una superficie regolare normale, in- un certo spazio,
ha come sezioni iperpiane curve normali. Se le sezioni d’una super-
ficie normale non sono normali, si deduce
Pa < Pr-
Possiamo illustrate le cose • dette coll’esempio delle superficie
rigate.
Sappiamo che le rigate (a sezioni) di genere p hanno il gefiere
geometrico p, = 0 e il genere numerico pa = — p. Pertanto le ri-
gate' normali d’ordine n dovranno appartenere in general® a spazi
di dimensione r = n — 2p -f- 1, ed invero 0. Segee (l) fine dal 1890,
ha rleonoscmto che una rigata non speciale d’ordine n e genere p,
che non sia un cono, appartiene precisamente ad uno spazio
invece una rigata speciale, le cui sezioni plane о iperpiane siano curve
special! d’indice i, ё normale in uno spazio di n — 2p 4- 1 4- t di-
mension! (escluso sempre il caso del cono in cui il sistema delle se-
zioni risulta sovrabbondante); cosi la serie earatteristica del si
sterna, delle sezioni iperpiane ha in ogni caso la deficienza p.
- Ossenasione. - Il teorema sulla deficienza della serie caratte-
ristica dei sistemi lineari completi, ha- eondotto G. Сайтеыптоуо "a
riconoscere che: ogni superficie contenente un fascio irrationals di
genere p (> 0) di-curve e irregolare di irregdlaritd
' Pi —Pa^P.-
(4 C. Sborb, QtruAes et surfaces reglies. Math. Annalen, 1892.
IL GENERE NUMERICO E IL TEOREMA DI RIEMANN-ROCH, ECO. 137
Questo teorema rientra in un altro pih generale stabilito da >. Eu-
SIQUES (x): «ил superfieie che oontenga un sistema algebrico irndu-
cibile {(7^ di trurve non equivalents i irregolare •, pih preeisamente se
•JO} contiene oo* (d > 0) curve non equivalents TirregolaritA della
superficie vale
ps—pa^>d.
Enriques ha riconosciuto la deficienza della serie (canonica) se-
gata sopra una О dal sistema aggiunto j C' |. In quella occasione
Castelnitovo <— eui egli aveva comunicato il resultato — ha osser-
vato la deficienza della serie earatteristica del sistema lineare com-
plete a cui appartiene una (7. La dimostrazione assume la forma pih
semplice nell’esposizione di F. Sevebi (a). Invero basta notare che
il sistema continue complete | (?4 sarft, formate da oo4 sistemi lineari
101 aventi, in generale, una certa dimensione r: quindi la serie
earatteristica di |O') sopra una- C generica avrft. la dimensione r -r-1
e sarft.-contenuta nella serie earatteristica del sistema continue di
dimensione r — 1 4- d, ciofe nella serie segata su C dalle curve infi-
nitamente vicine di
Si awerta esplicitamente che il teorema relative al fascio irra-
zionale rientra in quello cosi stabilito: basta notare che, sottraendo
da un sistema lineare abbastanza ampio i .gruppi di p curve d’un
fascio di genere p, si ottiene un sistema continue formate da oo»
sistemi lineari disequivalenti.
13. Note storica.
La considerazione del genere numerico d’una superficie si b
presentata fine dai primi atudi di A. Cayley, H. G. Zeuthen e M.
Uoether. Dopo ehe Wether, ebbe definite il genere (geometrico>
p d’una superficie F„ d’ordine n, come numero delle superficie ag-
giunte Фя-Д linearmente indipendenti, era natural©' di cercare una
espressione di p per mezzo dei caratteri della eurva doppia di j
e all’uopo soccorrevano le formule di postulazione di Cayley. Questo
stesso matematico (*) ebbe a notare che, nel caso delle rigate di ge-
nere p, il calcolo accennato conduce al valore negative — p, mentre
il genere geometricamente definite non pud, per sua natura, discen-
dere al disotto di zero e, in questo caso, h preeisamente nullo.
(x) Una propriety delle eerie continue di curve apparienenti ad una superficie
algebrica regolare, Rendio. Circolo Mat. Palermo, t. XIII, 1899.
(’) Oseervaxioni sui sistemi continui di curve apparienenti ad una superficie
algebrica* Afcti R. Accad. Science di Torino, 1904.
(3) A. CaYijby, On. the deficiency of certain Surfaces. Math. Annalen, Ed. Ill
(1871). . - ... -
138
CABITObO QUARTO
Erattanto Zeuthen, da uno studio suite corrispondente fra su-
perficie algebriche, era condotto a dimostrare (sia pure eon qualche
restrizione in ordine alle singolarity) che «I’espressione aritmetica
(virtuale) 'del genere, secondo Catdey, rimane invariata per trasfor-
raazioni birazionali della superficie,. e cib indipendentemente dal.
suo (preeunto) significato geometric© e dalla- dimostrazione dell’in-
varianza del sistema canonico fornita da Noether». .
Quest! risultati venivano interpretati da Noether (l) nel senso
-che il genere d’una superficie d’ordine n. pub essere definite in
due modi: per via geometriea come numero effettivo delle super-
ficie aggiunte Ф„_< linearmente indipendenti, e per via nnmerica
mediante le fonnule di postulazione; s’introducono cpsi il genere
geometrioo © il genere nwmerico della superficie, - ambedue a priori
invariant! per trasformazioni birazionali, ma che si presumono
coincident! fra loro, salvochb il genere numeric© pub diventare ne-
gative (per le rigate) e percib sembra assorbire 1‘altro in un carat-
tere-di significato pih generate,
Senonehb la presunzione di Noether, che debba essere, per p„
non negative, p» = p„, b venuta a cadere in seguito -ai nuovi esempi
di superficie non regolari aggiuntiei all’eseinpio delle rigate. Come si
b detto il prime esempio di queste b‘ state recato da G. Castewttovo
in una Nota dell’Istituto lombardo del 1881. Altri esempi sono emersi
dalle ricerctte di E. Pi-gar® e di G. Humbert suite superficie posse-
denti integral! di differenziali total! di prima specie, e in particolare
suite superficie' iperellittiche, per cui p, == 1 e p„ = —1.
Successive stud! hanno. messo in luce larghe classi di superficie
irregolari, come si b indicate nell’Osservazione del § 7.
Erattante le ricerche iniziate nel 1893 e proseguite nel 1896
(nella oitata «Introduzione ») hanno condotto' E. Enriques a ri-
conoscere if significato geometrico della differenza p'„ — p„ in rap-
port© alia deficienza della serie (canonica) che il sistema |tf'| ag-
giunte ad un sistema lineare irriducibile | C | sega sulla curva ge-
nerica di | C |: donde risulta la dimostrazione affatte generate del-
1’invarianza del p„, essendo gift, stabilita 1’invarianza delp,. Per
Enriques I’irregolaritb p, — pa b il valore massimo della deficienza
indicata, restando a priori possibile che esistano sistemi' [ (7| per cui
la detta deficienza sia < In questo punto E. Picard ha
completato la teoria, dimostrando (per via trascendente) che il
sistema .|0'| aggiunte ad un. sistema irriducibile semplice 101
(oo’ almeno) b sempre regolare, e percib p, •— p„ si definisce sempli-
eemente come deficienza della eerie segata sulla sezione piana d’una
(x) MofternssiwsZse Annalea. Bd. VIII (1875).
Ib GBNBRB JSTOMBRICO В IL ТВОВЕМАЧП RIBMANN-ROCH, BCC. 139
superficie -F„ dalle superficie aggiunte Ф„_# (l).. In ordine a questo
teorema che per. p, — pa comprende il teorema di Oastelnuovo
esposto nel § 6, vedansi gli sviluppi del seguente paragrafo.
_ L’estensione alle superficie del teorema di Biemann-Bqch ap-
pare anzitutto accennata da M. Koetheb nel 1886 (’). L’autore con-
sidera un sistema lineare complete irriducibile | О f di dimensione
r, di grado n e genere я, avente un certo indiee di speciality i 0,
sopra una superficie di genere (geometrico) p. ba serie caratteri-
stica di 10 j, segata da 101 su una C generica, ё una jf1 residua
della eerie ggr*. segnata dal sistema canonico [ЛС|; e Noetheb,
senza dichiararlo esplicitamente, postula che le due serie (segate
da sistemi completi) sieno complete; in tale ipotesi il teorema di
Biemann-Boch relative alia curva C fornisce 1’eguaglianza
T = p -j- n — Я + 1 —
La question© viene ripresa da Enriques fine dalle «Bicerche »
del 1893 nelle quali riesce a dimostrare che per le superficie regolari
di genere p > 1, la serie caratteristica di un sistema complete ё
sempre completa, se tale sia la serie -caratteristica del sistema ca-
nonico •, in tale ipotesi (che rieultera, poi portare una restrizione su?
perflua) resta eosi dimostrata la diseguaglianza
г Й p + » - л + 1,
e l’autore avverte che essa non pud convertirsi .in una eguaglianza,
ciofe che esistono certo sistemi sovrabbondanti, bastando all’uopo
la presenza di curve fondamentali di genere g > 0.
Kell’ «Introduzione » del 1896, colla nuova definizione' del ge-
nere numerico, Bsbiques dava per tutte le superficie regolari e
non regolari l’estensione del teorema di Biemann-Boch ai sistemi
aggiunti, che vuol dire — sostanzialmente — per i sistemi pih ampi
del sistema canonico. - .
Per estendere il teorema ai sistemi lineari qualunque pareva
necessario di ricercare il massimp della deficienza ‘della serie carat-
teristica e dimostrare che esso ё date da p, — p„. Questo risultato
0) E. Picabd, Sw quelqws question,» se. raetachant й -la connexion lineaire
dans la tMorie' des fonotions algibriques de <fea® variables'inMpendanUs. v. Crelle,
Bd. 129, 1905. Cfr. Pioabd et Simabt, Tr«i«, t.. II, yag. 437. Una dimostrazione
algebrioo-geometrioa (ed anohe nn’estensjone dalle condizioni di euseintenza) del
teorema, й abate data dal Sbvbbi, nella Nota Sulla regala/ritd,' del sistema aggnento
(Linoei, 8 nov. 1908), fondandoei pert sul teorema della oompletezza della serie
caratteristica di tin sistema continue ’
(a) B-xtension d» Offyr&mx de Riemann-Roeh aux surfaces alg^brigues. Comptes
Rendus de I’AcadSmie des Sciences, Paris, t. 103.
140
СЛВ1Т01Л QUARTO
appunto ё stato conseguito da G. Castblitoovo in due memorie (’>
degli anni 1896 e 1897.
II procedimento usato a tai uopo si basa sopra una conveniente
estensione dell’idea che conduce a trovare le piu semplici eondizioni
di regolarita di una superficie, siccoine abbiamo esposto nel § 6.
Si tratta di metodi che sembrano ancora suscettibili di applicazion.e
feeonda, ma rieecono alquanto laboriosi.
Una semplificazione notevole й stata recata in quest’ordine di
question! da P. Severi, in due Note del 1903 e del-1905 (®); parti-
colarmente nella seconda Nota 1’autore riesce ad'invertire I’ordine
delle deduzioni, giuetificando prima il teorema di Biemann-Boch.
e traendone poi il massimo della deficienza della serie caratteristica-
dei sistemi irriducibili.
П punto di partenza di questi sviluppi ё il note teorema di Noe-
ther dell’Af + Btp esteso alle superficie nella forma seguente:
Ogni superficie /я(®уг) = 0, d’ordine я», non contenente 'il
piano ts — 0, che passi per- i punti del gruppo G comune al piano
% SSSS 0 6 alia curva B, d’ordine ns, intersezione completa della su-
perficie /„ d’ordine n, priva di punti multipli propri, con una su-
perficie f, d’ordine s, ha un’equazione della forma
fm. — Afn -h Bf, 4* * «/ж-l — 0,
essendo /e_t.un polinomio d’ordine m— 1 ed J. e В polinomi in
so, y, di-grado m— n e tn—s rispettivamente.
Assumendo addirittura ehe la superficie /„ sia dotata di singola-
ritt. normali, da questo .teorema segue ehe le superficie d’ordine
qualunque, passanti per i punti doppi di una D„' segano su Ur
la serie completa: invero si dimostra che la proposizione ё vera per
m—1, ве‘ё vera per tn.
Da cib Severi trae il-'
Ввтлпа. r- Per s > « — 4 le superficie Ф„_4 aggiunte alia f„ se- '
gano sopra la curva B, (intersezione completa di fn e di /,) una serie
completa. - - . '
Infatti le superficie d’ordine n — 4 passanti per i punti doppi
(*) Afciwri risultaii mti sistemi lineari di curve appartenenti ad una superflaie-
tdgtbrica. Memorie della Sooietk Italians delle Soienza, detta dei XL- (1886, vol. X).
Marne propriety fondamentali dei sistemi- lineari di eurve traeoiati sopra una «-
per|fcfe a^ebrica. Annali di Matematica, eerie II, vol. XXV. Riprodotte in “ Me-
morie soelte XXII -e XXIII.
(*) Sulla serie aaratterietioa di и» sistema lineare-di curve appartenente ad una
superfiA /dgtisnoa. Rendioonti B. Aocadetnia dei Linoei, eerie V, vol. XII (1903)»
Sul teorema di Ямтапп-ВоА e suite serie continue di aurve appartenenti ad una su-
perfiaie algebncd. Atti Acoademia delle Soienze di Torino, vol. XL (1005). . '
IL OBNB^E NUMERICO E IL TEOREMA DI RIEMANN-KOCH, BOC. - 141
di D, vengono a contenere per intero la curva doppia di /„ e quindi
risultano aggiunte ad essa.
Come conseguenza del precedent© lemma si ha che «le„ curve
canoniche Ж, e poi anche le curve d’un sistema (speciale) conapleto
| C | eontenuto in | К |, segano sulle curve D, la serie completa. E
percib, staccando D, dal sistema complete |_D, 4- Oj, si ottiene per
la dimensione di | О | la diseguaglianza che esprime il teorema di
Biemann-Boch.
D’altra parte lo stesso lemma enunciate innanzi, quando si sia
verificato che il sistema complete |D,| = |eD| (privo di curve fon-
damentali proprie) й regolare (cfr. il § 15), porta ehe la serie carat-
teristica di una D, ha la deficienza p, — p„,
Da cib si deduce (come qui fe fatto nel paragrafo precedente) ehe
la serie caratteristica d’un* qualsiasi sistema lineare irriducibile
| Cl, oo1 almeno, ha una deficienza' < p„—pa.
Il ragionamento che conduce a tale risultato ё quello stesso che
Eneiqwes aveva adoperato nelle « Bicerche » per passare dalla serie
caratteristica del ’sistema’ canonico a quella d’un altro sistema li-
neare qualunque, sopra una superficie regolare, e che OASTEbWpvo
aveva.ripreso nella forma piti generate, come un mezzo affatto se-
condario, per giustifleare il teorema sulla deficienza della serie carat-
teristica nei casi pafticolari che sfuggivano alia sua dimostrazione
diretta (sistemi non semplici).
La nuova dimostrazione del teorema. di Biemann-Boch per i
sistemi lineari qualunque, quale ё offerta in questo trattato (x), ё
almeno tanto sempliee nel concetto quanto quella del Sevebi. Essa
ha, ai nostri oeehi, Ц vantaggio di indicate la ragione profonda del
fatto che le curve canoniche Ж (о le curve d’un sistema speciale)
segano sulle JD, una serie completa: che non' sta nell’essere le D,
intersezioni complete della superficie J*„ data con una' hens!
nell’essere |Ж| assai piccolo rispetto al sistema |D,|. Inoltre il
nostro procedimento porge la dimostrazione pih diretta del teorema
che si ha in vista, rimanendo nello stesso ordine d’idee in cui si
tratta il caso prelimmare dei sistemi aggiunti о dei sistemi pih ampi
del sistema canonico, senza che faccia bisogho di ricorrere a qualche
motivo nuovo, come sembrava necessario seguendo le vie di Ca- .
STEbSUOW e di Sbvebi. . ' •
Ed ancora, poichb il teorema di Biemann-Boch per un sistema
lineare | viene ottenuto dalla considerazione della serie che un si-
stema | L | == ,| О 4- JD | sega sopra una curva D, che si distaccherS,'
P) Cfr. F. Enbujobs, <SW Vextention du, theorem® de Riemann-Rooh aux ey-
et&mee Uniatree de eourbes appartenant й line aurface alg&rrique. Bull, des Sciences
MatMmatiques, 1940 (Cfr. in particolare il n. 5).
CAMTOW QUARTO
142
da | LI, esso rest» giustificato per il aiatema | C [ = ] L — D | eomun-
que questo sia ridudbUe.
Ora la considerazione relativa al distacco di una D da si
incontra gid, nelle «Bicerehe» di ENBiQUES.(del 1893) (l), e pereib
si pub ritenere che Bkbiqtjes stesso, e Cabtelnuovo con lui, hanno
conosciuto assai presto, almeno implicitamehte, la possibility di
estendere il teorema di Biemann-Boch ai sistemi riducibili. Se-
condo la loro mentality induttiva essi dovevano renders esplicita
la conoscenza in occasione di casi concreti. L’estensione -ai sistemi
riducibili viene formulata in una loro memoria comune del-1800 (a).
Il teorema di Biemann-Boch porge anche notevoli criteri per
I’esistenza effettiva delle curve virtuali, siccome diremo nel se-
guente paragrafo. -
14. Curve virtuali.
Teniamo present® che il calcolo della dimensione d’un sistema
lineare jO| = \A-—B|, residue di una JB rispetto ad un sistema
regolare e non speciale |1|, si. b ottenuto valutando la dimen-
sione della serie segata da jA| su questa eurva B; appare di qui
che il teorema di Biemann-Boch, esprimente il risultato di codesto
calcolo, deve porgere anche un criterio per I’esistenza effettiva delle
curve virtuali di \A — B|. Cib b anzitutto evidente nel caso in cui
| J. | seghi sopra una В una serie non speciale. ,
ba formula che d& la- dimensione del sistema aggiunto ad un,
altro di genere я:
r pa + я — 1
b una prima applicazione di questo criterio, che si 6 presentata gib.
nella «Introduzione » di Enriques' del 1896. Una second» applica-
zione й la formula che db la dimensione del sistema i-canonico sopra
una superficie di-genere lineare pb);
; , . + <i>D
quale s’incontra in una Mota di OASTEbiroovo del 1897 (’) e nella
me^poria di Oabtelnttovo-Enbiques del 1900 (‘): infatti il sistema
' ' (J) L. c., IV, 4.
(*) СлАГИЖСОУО-Еквхчива, Sopra alcune questions fondamentali nella teoria
deUe superficie algebriohe. Axmali di Mat., t. VI, serie III, n. 4.
(’) Sid genere lineare di una superficie ece. Rend. R- Aoo. dei Lincei, 1897;
riprodotta in «Memorie seelie», XXIV.
(*) Sopra aloune questioni fondamentali della .teoria dedle superficie. Ann. .di
Matematioa, 1900. „
lb GENERE NUMERICO В lb TEOREMA M RIEMANN-ROOH, ECC. 143
itoanonico |iKj si pub dedurre da un sistema regolare |JL| =
— j В + iK. I, i-mo aggiunto d’un sistema regolare | В |, staeeandone
| В |, e В 4- iK sega appunto sopra una В una serie non speciale.
Una terza applicazione del teorema di Biemann-Boch come
criterio d’esistenza effettiva delle curve virtuali b data da Severi
(190S) e contempla in generale il caso che | A | seghi sopra una eurva
В una serie comunque speciale: siccome diremo pih avanti.
Volendo esaminare la questione d’esistenza delle curve d’un
sistema differenza |C| = |A — B|, 6 lecito supporre che i due si-
stemi | A | e j B|, che definiscono le curve virtuali C, sieno ambedue
irridutibtli, regolari e privi di curve fondamentali, nonchb di .punti
base sopra una superficie F, priva essa stessa. di singolarith; imperoc-
chb ai detti sistemi ] A | e | В | si pub sempre sommare -un altro si-
stema regolare e privo di curve fondamentali.
Cib posto osserviamo che:
1) U’esistenza effettiva delle curve virtuali di | C( = |A—B|,
esige anzitutto che il grado del sistema diminuendo sia maggiore
od eguale a quello del diminutore
Aa^Ba.
Infatti se A* < Ba, le curve C debbono avere un-numero nega-
tive d’intersezioni .colle curve, del sistema |A -f- B|, essendo
(A 4- B)(A — В) — A* — В1, e pereib dovrebbero- essere compo-
nent! fisse di questo sistema che per le ipotesi ammesse, b irridu-
cibile.
2) In secondo luogo perchb esistano curve di \A—B| b
necessario ehe il numero delle intersezioni delle curve A e В sia
compreso fra i gradi dei due sistemi, | A| e |B|:
B* <; JLB '
Sfe cosi non fosse le curve 0 avrebbero un numero negative
d’intersezioni colle curve В о colle curve A, avendbsi rispettiva-
mente: per AB < Ba
BfA- — В) < о
e per ALB'*> J?
J-U — B) < 0.
be condizioni 1) e-2) sono necessarie sia per 1’esistenza effettiva
di |C| = |J. —Вj, sia per quella d’un multiplo |»(J. — B)]. Anzi
se - .
A* > Ba
bisogna che sia
Ba < AB < A’,
altrimenti le C (o le iC) — ehe non sono in sense assoluto curve
d’ordine zero -r- avrebbero zero intersezioni colle В о colle A e
144
CAPITOIO QUARTO
percib sarebbero curve fondamentali per il relative sistema (che
abbiamo supposto non possedere curve siffatte).
Alle due condizioni necessarie sopra enunciate, fa riscontro la
oondizione suffloiente per 1’esistenza di un multiple di | C | :
. Se il grado virtuale di |G| = .|A—B| e positive ed А’>АВ>
> В3, le curve del sistema multiple | iC |, per i abbastanza grande,
hanno sempre esistenza effettiva. . .
Infatti, si consider! la'serie segata dal sistema \iA —(i —1)B|
sopra una. curva В (supponendo che tale sistema esista efiettiva-
mente); queste serie ё d’ordine
ABHi-W-B’),-
•che, per i abbas tahza grande, viene a superare For dine dei gruppi
canonici di В; percib la detta serie fe mon speciale, e si potte calcolare
la dimensione del sistema residue
— (» — 1)B — B\ = [iA - iB\
mediant© la formula
rt St + »< — тг<'4- 1,
•dove
nt = *’w
nt =* гл + -—g— n — г + 1
(n = (A — B)’ = grado virtuale di [<7|; л — genere virtuale di
Dalla formula precedent© risulta r< > 0 per valori sufficiente-
mente alti di i e quindi Fesistenza effettiva delle curve di, |»C|.
Tuttavia nel discorso precedent© si ё supposta a priori 1’esi-
stenza del sistema |»A—(i —1)B|; questo supposto si giustifica
per i valori di i che rendono rt > 0, giaechb in tali condizioni si pos-
sono calcolare successivamente le dimensioni virtual! di | iA — В |,
|i’A — B — B\ = '|iA — 2B| fino a jtA —(£—1)B|, che risultanb
tutte a fortiori maggiori di r«: invero per i detti valori di i, la dimen-
sione della serie segata da [iA — (»— 2)B| ворга В sate a fortiori su-
periors a quella della serie canonica, e quindi non speciale, ecc.,
•Il criterio d’esistenza delle curve virtual! che eosi abbiamo di-
mostrato si applica al sistema pluricanonico di una superficie per
•cui il genere lineare sia p<l) > 1, e quindi il grado virtuale del si-
stema canonico • ' . „ ' '
p(»> = pto — 1 > 0.
Si trova eosi la formula gift, scritta innanzi
p« + (pW -1) + 1.
Ib GENERE NUMBRICO В‘lb TEOREMA DI RIEMANN-KOCH, ECC. MS
*
Si noti che il criterio non conduce ad alcuna risposta decisiva
intorno all’esistenza dei multiple |i<7[ di un .sistema virtuale di
grado n = 0, e eosi non permette di. affermare a priori I’esistenza
di curve pluricanoniche per p<1? = 1; sebbene questa esistenza venga
poi dimostrata mediante altre considerazioni per le superficie prive
•di curve eccezionali (non appartenenti alia famiglia delle rigate).
Il caso in cui il grado di | СЦ sia n < 0 resta a fortiori inde-
ciso; non si pud dire se i due sistemi [Aj e |B|, о i loro multipli
jiAj ed )iBj, per i sufficientemente grande, diano luogo о meno
ad una differenza effettiva-
A complement© di questa discussione vogliamo ancora consi-
derate il caso in cui i sistemi |A| e |B| abbiano lo stesso grado:
. А* = Ж
In questo caso la differenza | A — В |. о un suo multiple,. non pub
avere esistenza effettiva se il numero delle intersezioni delle A e В
b 'diverso da A*; si ha dunque la condition© necessaria d’esistenza
AB == A1 = B*,
e il grado virtuale di |C| = |A —B\ vale
» == (A — B)’= 0.
Ora la curva C non pub avere esistenza effettiva se non come
curva d’ordine zero, quando sia A ® B. Inveee la curva di | iC |
avrh esistenza effettiva, ancora come curva d’ordine zero, quando
sia
iA » iB.
Qui vi b luogo ad osservare che qualora non sia abbia, per qualche
valore di i, iA ss iB, si potrb eostruire sulla superficie.(che possiamo
supporre avere per sezioni plane о iperpiane le curve B) una serie
illimitata di sistemi | iA — (i — 1) В j, tutti format! di curve dello
stesso ordine, e per conseguenza contenuti in una о pih serie continue
di curve non equivalenti, cib che porta che la superficie sia irregolare:
₽.>?«•
Si pub dunque affermare che: . . ' -
Sopra una superfide regolare due sistemi lineari di curve )A ] e
| В | dello stesso grado, Ле s’intereeohino in
AB = A’ = B*
punti, sono parti aliquote di uno stesso sistema multiple:
(«A| = |«B|,
Ehbuws» У. • Swperflcle algebriche.
10
140
САГ1ТО1Л QUARTO
sicehb il multiplo secondo i della loro differenza ё la curva effet-
tiva d’ordine zero: iA — iA.
. Se si prescin.de dalla regolarity della superficie, si pud affermare
in generate che: «se due curve A e В dello stesso grado w si se-
gano in л punti, due multipli di esse appartengono ad una me-
desima serie continua di curve, о come si dice, sono algebricamente
» (x).
Il criterio d’esistenza effettiva di j О | = | A — В |, che abbiamo
detto essere state indicate da 8етш (’), consiste nella sempliee
extensions formate del teorema di Biemann-Boch alle curve virtuali,
quale si ha definendo i’indice di speciality i di |C|come «numero
delle curve linearmente indipendenti. dal sistema residue di 10 [
stesso rispetto al sistema canonico (impure) |K |», ciofe come dimen-
sione del sistema
\K — 0| = |B + X — A]
aumentata di una unite.
Designando con n e я i caratteri virtuali. di | C |, la diseguaglianza
r pa 4- n — я + 1 — i,
porge un limite inferiore per la dimensione r di 101 e assicura quindi
dell’esistenza effettiva del sistema quando sia
’ . —гг-f-l—i S: 0.
Per giustificare cib che si ё detto nel nostro ordine d’idee (e
limitandosi, per semplicitfi di discorso all’ipotesi i > 0) basta tener
. presente il lemma che ci ha condotto al teorema di Biemann-Boch
pei sistemi special!, osservando che il sistema | В 4- К — A | pub
ritenersi come un sistemi piccolo rispetto al sistema normalmente
grande |sB| per s assai elevato; percib |B 4- 'K — A | seghete sulla
curva del detto sistema una serie completa di dimensione i — 1,
e quindi I’indice di speciality della serie segata sulla curva stessa
da |A’4~ (s—1)31 avr& precisamente I’indice di speciality i: di
qui si deduce la formula scritta innanzi ehe db un limite inferiore
della dimensione r di
|A,4-(« —1)X —«В| =.|A — 3].
(1) Ofr. V. Sbvbbi, Math. Annalen, 02 (1908), pag. 194. A. To»», Proc, of the
Cambridge Phil. Soc. 23 marzo, 1939. Pe# le relazioni con un'teorema sulla base
di W. V. D. Новой, J. London Math. Soo. 12, 193?, cfr. B. Sbobb, Ann. di Mat.,
1937 e 3, Ввовсгеш, J. London Math. Soc., 1938.
(a) Suite curve algebrtefoe virtuali appartenenti ad una euperficie algebrica. Rendic.
1st. Lombardo П. 38 (190S).
IL GENERE NUMERICO В IL ТЮЛЕМ* DI RIBMASN-ROCH, ECC. 147
Qui conviene aggiungere 1’osservazione che I’indice di speciality
« di una curva virtuale G pub riuscire grande quanto si vuole, a dif-
ferenza dell’indice di una curva effettiva che ё sempre
• '♦ Л •
Infatti il residue di <7 rispetto a |X|,
|В + Ж„А|,
non i> detto a priori che sia contenuto in \K \: anzi 1’esservi conte-
nute esprime, in altro modo, la condizione necessaria e eufficiente
perch ё una curva virtuale speciale abbia esistenza effettiva.
15. Sistemi lineari regolari e eovrabboedanti.
Sopra una superficie di genere aritmetico p„ si abbia un sistema
lineare irriducibile complete, di genere л, grado » e indice di specia-
lity i: la sua dimensione soddisfa alia diseguaglianza che costatuisce
il teorema di Biemann-Boch
r^p, + »- л4-1- i,
owero ' '
r == p, -f- » — я + 1 — i + to
con ' ' ' .
0;
il sistema si ё detto regolare se to — 0, e sovrabbondante se co > 0;
in quest’ultamo caso co ne designa la sovrabbondansa.
Vi ё luogo a ricercare se esistano dei criteri che permettano di
valutare la eovrabbondauza d’un sistema |C|, о almeno di deci-
der© se | <71. sia о meno regolare.
•Il risultato piii important©, in quest’ordine d’idee, conceme la
regolarity del sistema aggiunto ad un sistema Ijneare irriducibile
IC], che noi abbiamo dimostrata per un multiplo abbastanza grande
di | G | (oo* о oo’ almeno) e che si ё detto essere stata riconosciuta
da Picard (§ 13) per il sistema aggiunto a |C| stesso.
Qui possiamo stabilire motto semplicemente il teorema di Pioard-
ove si aggiunga tuttavia una. restrizione superflua:
Il sistema | C' |, aggiunto ad un sistema lineare irriducibile. | C j di
dimensione r ;> p„ — p„& certo regolare (di dimensione p„ + л — 1). (4
La dimostrazione riposa sopra un
Lemma. - Siano |0| e |I>| due sistemi lineari irriducibili, di-
ciamo per semplicity di dimensione maggiore d’uno. Si pud ricono-
П Cfr. Enbiqubb, Bull, de Se. Math., I. c. 1940.
148 CAPITOLO QUARTO
score che « | C | sega sulla eurva del sistema somma | О -j- D | una
serie completa se la dimensione di |D| super! pe —p„». Infatti si
consider! sulla eurva Z di = |<7 + J?| un gruppo & della serie
completa contenente i gruppi intersezione delle C. Siccome la serie
earatteristica di |X| ha la deficienza d p, — p«, fra gli oor gruppi
XD ve ne saranno che associati a G costituiseono gruppi
della serie earatteristica di |X[: si^> G* uno di questi gruppi. Ота
per G + G' passa un fascio di curve X, e, rispetto a questo, la eurva
D per G' 6 fondamentale: staccandola xesta una. eurva di |0| ehe
passa per G. Cosi dunque la serie completa- dei gruppi G viene segata
su h dal sistema 10|.
Cid posto, si assuma sopra una superficie un sistema lineare irri-
ducibile |C|, di un certo genere я e di dimensione maggiore di
p„—Р»; vogliamo provare che il suo aggiunto |G4-K| (K desi-
gnando il sistema canonico) b regolare, di dimensions pa 4- n — 1.
Д. tai uopo si associ a j G-| un sistema lineare irriducibile [D j
di dimensione maggiore di p, —pa, il eui aggiunto sia regolare; e
si eostruisca il sistema'
|X| = |<7 + X 4- K|.
Sopra una eurva L, tanto il sistema 10 4- X [ che il sistema
| X 4- X |, segheranno serie complete, le quail dovranno essere
residue Fund dell’altra rispetto alia serie canonica. Siccome si
conosce la dimensione della serie segata da |JE> 4- X\, che ё eguale
alia dimensione del sistema \D 4- X\, si dedurrA la dimensione della
serie segata da . | C 4- К |, che й quella segata da questo. stesso si-
stema.
Dicansi invero q ed m il genere e il grado di |U 4-’К|, ed s
il numero delle intersezioni di una C con una D 4* ЛС: la dimensione
della serie segata da [X4--^| su X vale
P«4-’»—g4-l
e il suo ordine Й m 4- s mentre И genere di L ё
Я я Я + g + » ---1. •
Quindi il teorema di Riemann-Eoch ci dft> che la dimensione della
serie segata sulla stessa L da |C K| 6
pe 4- ® — j + 1 - (m + « - л) — 1 =р, + ж — 1.
Un altro criterio di‘ regolarit& (che, riesce utile nelle question! di
' postulazione d’una superficie rispetto alle variety Vn_x d’uno 'spazio
S, a*>3 dimension!) concerne i multipli d’un sistema lineare:
Sono regolari i multipli d’ordine assai elevate d’un sistema irriducibile,
oo’ aimend, [ O|, privo-di curve fondamentali.
IL GENERE NUMERICO В IL TEOREMA BI RIEMANN-ROCH, ECC. 149
Si consider! un cert» valore di Л per cui il sistema \ЛО\ con-
tenga parzialmente il sistema canonico |Ж|, di guisa che si abbia
[ЛО-К1 = PI-
• Sappiamo che, per s abbastanza alto il sistema aggiunto ad | sO
ciob | sC 4- К |, ё regolare. Ora si avrft
1(8 + h)C] = |«c+ j + Z|,
dove D sar& una eurva composta, in generale, di pih components,
semplici о multiple, di grado positive о negative. Ci6 postb si tratta
di mostrare che il sistema regolare |«O4- K\ si amplia successiva-
mente in sistemi regolari (secondo il criterio del § 8) quando si som-
mano ad esso le component! ‘ irriducibili di D.
Infatti, designando con £ una eomponente irriducibile di D,
di caratteri g e v, ed essendo comunque g > 0, si vede che fl numero
delle intersezioni di L conle curve sommande di )«C + K| (dove
в ё alto quanto si vuole) vale.
m = st 4- 2g — 2 — r > g — v,
essendo t > 0 регсЬё Z non ё eurva fondamentale per (О |. L’ana-
logs diseguaglianza sussiste sempre per il numero delle intersezioni
delle curve di |s6 4- К 4- Z| con una eomponente di D, e cosi
successivamente in rapporto alia somma di | sC 4- JT ] eon tutte le
component! irriducibili di ]J9|.
In ultima analisi il sistema |«O 4- JC 4- О |, che ё il sistema mul-
tiple | (s 4- h)<7 j, per 8 4* Л assai elevate, risulta regolare, c. d. d.
Bastert, spiegare la cosa riferendosi al primo caso significative,
in cui si taatti di sommare | sC 4- К 4-1> | alia Z stessa, ehe si sup-
ponga entree come eomponente doppia in una eurva JD ed essere
di genere g 0 e di grado negative v == — r'. Diciamo dunque che,
in questo caso, il numero delle intersezioni di I con le curve di
|«€ 4- ЛГ 4- Z] vale
. st 4-' 2g —2 4- v' — v' = st 4- 2g —-2 > g 4-
per s abbastanza alto in confront» a »>' — — v.
Il teorema innanzi stabilito si piib enunciate dieehdo che:
Ogni sistema linear» normalmente дгапЛе (rispetto al sistema ca- ’
nonico) Э regolare.
Giova rilevare esplieitamente che la prqprietd non sussiste per
sistemi grandi che non siano tali normalmente.
Z’esempio pih semplice ё dato dai sistemi lineari che posseg-
gono curve fondamentali proprie:
Se il sistema lineare |0j Ла una eurva- fonAamentale propria в
ISO . camtom auARTO
di genere g > 0, i multipli cmnunque grandi di | C ( hanno la sovrab-
bondanaa
to 2i 6 (x)-
Infatti il distaoco.di una 0, di grado — v, da [ sC | diminuisce di
1 la dimensione effettiva del sistema, di v il suo grado e di v + g — 1
il suo genere, e quindi di g —1 la sua dimensione virtuale;. vuol
dire che la sovrabbondanza co di |eC| supers di g quella a>’ di
|s(7 —«(: - '
OJ =. co' 4- g.
Si noti che, in generate (per g > 1) anche to' > 0, e percfe il
genere g della curva fondamentale й soltanto un limite interfere
della sovrabbondanza di |e<7[. Qui riesce istruttivo il semplice esem-
pio proiettive di una superficie > d’ordine n (a sezioni piane C)
dotata d’un punto multiple isolate d’ordine i > 3, su cui le super-
flcie <p, (d’ordine в abbastanza alto) segano il sistema lineare | sO |.
Si vede teste, non soltanto che le <p. general! segano su J1 та
sistema sovrabbondante (che ha la curva fondamentale d'rappresen-
tata dall’intomo di 0), si anche che sono sovrabbondanti 1 sistemi
segati'su ]? dalle <p, passanti per О colle molteplicite 1, 2, .... i — 3,
mentre 6 regolare quello segato dalle g>, aggiunte che passano i — 2
volte per O. Donde si teae facilmente il calcolo della sovrabbondanza
a>. di j«<71.
16. Preeisazioni euBa regolarita del sistema aggiunte ad una curva
sopra шш superficie regolare.
Vogliamo approfondire la questions della regolarite о della so-
vrabbondanza dei sistemi lineari pih ampi del sistema canonico,
riferendoci al caso semplice delle superficie regolari, con p, = —
« p > 0.
Se {C\ 4 un sistema lineare pih ampio del sistema canonico |K|,
si ha
. dove |£| designs un sistema effettivo, e quindi
|0| = |b + K| = {X'{.
Сов! 101 si pub considerate come sistema aggiunte ad una curva
L effettiva. Ora se L i irriducibile, di un genere я > 0, il suo sistema
aggiunto i certo regolare, di dimensione p я — 1 giaeehb esso sega
sopra L una serie (completa) che non pub superare la serie canonica
—______________i
(x) Cfr. Ekbwx’ES, Ricerche ecc., 1893.
Ib GENERE NUMERIC® Г И, TEOREMA DI RIEMANN-KOCH, ECO. 151
La stessa condusione — reyotariM del sistema aggiwnto ad h —
' ai esten.de al case in cui la curva L sia una curva connessa comwngue
spen^nta in parti sempU&L
Curva connessa fermata di component! semplici signffica « curva
ohe comrmque divisa in due parti d& luogo a curve aventi qualche
punto (di connessione) a comune », owero anche topologicamente,
una « curva о superficie riemanniana su .cui pud darsi sempre un
«ammino continue che ne congiunga due punti arbitrari ».
Per le curve connesse, formate di component! semplici, che sono
eosi definite, sussiste il • ’
hemma di oomposi&ione geometrico, delle curve connesse. Una
curva connessa X formats di s component! semplici si pud sempre
ottenere sommando ad una parte connessa formata di a-—1 com-
ponenti Xt 4- X* 4- .... 4- Х,_х una s-ma componente L, che. abbia
•con questa qualche punto comune (di connessione).
- Si dimostra per induzione completa: supponendo che la data X
contenga una parte connessa, formata di Ж component! irriducibili
semplici con Л < в, questa parte deve essere connessa colla rima-
nente e percid con una almeno delle sue component!; sommandole
tale componente si ottiene una parte connessa di X, formata da
Л +1 component!.
Come Corollario: data una curva connessa I formata di в com-
ponent! semplici, si pub prendere queste in un ordine Xt, L*,
I* per modo che nella
X » Xx 4- X* 4“ •••• 4“
tutte le parti Xt 4- X* 4- .... 4- X* (Л « 1, 2, в) siano connesse.
In forza di questa propriety b facile riconoscere che «il sistema
aggiunto |X'| 6 regolare», come sopra si 6 enunciato. Infatti si
designi con л» il genere di Xx 4- ••• 4- До con 5r* il genere di X»,
e con i* il .numero, delle intersezioni (Xx 4- ....,4- X*_t)X*. Avremo
• che il genere di
X == Xx 4“ •••* 4“ (f^i 4“ 4“ Xg„x) -j-
заЛ - • _
л, = я, 4- w,_i 4- i, — 1,
e la serie segata da |X'j su X, sarS> d’ordine
»s '= 25r, — 2 4 t
e di dimensione . __
г, ^я,-2 +
. quindi-lo staccamento di 1, da |X'| importer^
r, 4- 1 я, 4- i, — 1
condizioni.
162
сайтом quarto
Risulta quindi: s® b regolare il sistema |(I4 4-•—4~
aggiunto ad |I4 4- .... 4- X«-i| si ha precisamente
r, 4-1 •= n, + — 1
ed й regolare anche il sistema \£'‘\ aggiunto ad |Xj = J A 4- —• 4~
4- X, |. П teorema enunciate si verifica per una L formata di a
component! (semplici e eonnesse fra loro) se si verifies per una
curva formata di s — 1 component!. ® cosi pub ritenersi dimostrato
in generale, essendo regolare |Z( |
Al contrario di cib che accade per le curve eonnesse, non sono re-
golari, ma sovrabbondanti, i sistemi aggiunti a curve spezzate scon-
nesse. Piii precisamente:
Il sistema | £' | aggiunto ad una curva £ eomposta di a parti irri-
duciMU. sempUoi аепяа punti comuni Ла la sovrabbondanxa s—1.
Si dimostra collo stesso ragionamento induttivo, adoperato per
le curve eonnesse. Si tratti per es. di una eurva £ (di genere я)
eomposta di due parti Д e A, di genere яж e senza punti
comuni (я + Allora fl. sistema aggiunto |X'| =
== | (144- ia)' | sega su Xx la serie canonica completa те*
siduo di 14 rispetto ad esso — che & [XJ| — sega su £t la serie cano-
nica quert’ultimo sistema |XJ| й regolare, quindi |X'| b
sovrabbondante, di dimensione
con
p 4" n p 4- (zq 4- — 1) — 1 4- co
co — 1.
Dopo cib Й anche' facile valutare la sovrabbondanza del siste-
ma |(X4~ XeA)'| aggiunto ad una eurva sconnessa L 4- £st6t,
formata di una eurva irriducibile £ di grado > 0, diciamo per
semplicitb di una curva variabile in un sistema lineare oo’, e di
pih curve irriducibili 6, di grado vt < 0, fondamentali per questo
sistema |X|, contate ciascuna un certo numero e, di volte.
17. Segues il sistema aggiunto ad ши curva connessa formata di
component! multiple sopra una superficie regolare.
I risultati indicati non esauriscono la questione della regolarith
о sovrabbondanza del sistema aggiunto ad una curva £ sopra una
superficie regolare, quando la £ sia comunque eomposta di parti
semplici e multiple, ba dififtcoltb che qui s’ineontra tiene invero al
concetto della «curva connessa», ehe. occorre estendere appunto
al caso di una £ qualunque, eomposta come sopra.
Designamo come curva {aritmeticamente} eonnessa una curva £f
comunque formata di component! irriducibili semplici- e multiple,
Ib GENERE NUMERICO E lb TEOREMA DI RIBMANN-ROCH, BCC. 153
quando due parti qualunque, e Ii( in cui essa venga divisa, hanno
sempre un numero (virtuale) di punti comuni
XxA>0:
non ё escluso che qualche parte di abbia un numero negative
— я di punti comuni con 1>г (contenente almeno una component©
multipla di Lt, di grado negative), рпгсЬё la parte restante abbia
allora pih ehe n punti comuni colla stessa La.
La eonsiderazione delle curve eonnesse, comunque formate con
parti multiple, d& luogo a difficolta che sono state esposte da A.
Fbanohetta (x), e che qui eonviene sqgnalare. '
• Contrariamente a cib ehe di I’intuizione nel caso di parti semplici
(aventi eon altre un numero 0 di -punti comuni) non si pub dire
in generate che aggiungendo ad una curva connessa A una com-
ponent© 0 che la incontri in n > 0 punti si ottiene sempre una curva
eonness^ L + C. ' . -
Infatti \Fbanchetta adduce esempii di curvescownesse formate di
s component^ scomponibili in una curva connessa formata di s — 1
eomponenti e in una components che Vincontra in un numero positive
di punti.
In conseguenza di cib cade anche la dimostrazione del lemma
(di composimione geomebrica) ehe abbiamo stabilito nel paragrafo
precedente per le curve eonnesse formate di component! semplici:
non si pud dire in generate ehe una curva aritmeticamente con-
nessa formata di' e component!, si ottenga sempre aggiungendo una
component© irriducibile ad una eurva connessa formata di s — 1
component!. . ‘
Tuttavia sussistono per le curve aritmeticamente conn.es»© al-
cune propriety, mease in luce da йшгашт (*), che prendono il
posto delle precedent!, quali vengono enunciate dai seguenti teo-
remi:
Teorema I. - Una curva L (formata comunque di component!
irriducibili semplici о multiple) ё aritmeticamente connessa se ogni
sua parte connessa ё connessa colla rimanente' (ciofi ha con questa
un numero virtuale di punti comuni > 0).
Invero se la L = A + В non sia connessa, avendosi AB < 0,
о А ё connessa e si ha dunque una parte connessa di L che inter-
seca la residua in un numero. < 0 di punti, owero ё possibile de-
comporre A in due parti Ая e As non eonnesse fra loro :
A == Ax + As, . AiAe 0;
(x) SuUa earaUeriszarione delle curve eccezionali ridueibili di prima specie, la
Boll. dellTTnioneMat., Bologna, 1941.
(®)l.e.
OATITOW QUARTO
IM
mentre dall’essere AB < О segue che una almeno delle due carve,
sia J-i, un numero non positive d’intersezioni eon В ma in questo
ease si ha
I* -di ~f~ (“^-s "4~ B)
con
4~ B) — -f- ArB <£ 0,
ossia vi b una parte J.x di A, entro X, sconnessa colla parte residua.
Ora sari At eonnessa owero contend, una parte A„ sconnessa colla
eurva residua (X — Au) e cosi di seguito. Ma la serie delle parti suc-
cessive A, Alt A11} il cui numero di component! va diminuendo,
avrb> termine con una eurva eonnessa, formats di una о pih compo-
nent! irriducibili: 1’ultima parte cosi ottenuta sarebbe una eurva
eonnessa in sb e sconnessa colla residua.
Teorema II. - Da una eurva I (aritmeticamente) eonnessa, si
pub togliere una parte В eonnessa (formata di una о pih compo-
nent!) per modo che la parte residua I — В sia ancora eonnessa.
Fra tutte le possibili parti connesse di X, se ne seelga una, B,
ehe abbia il minimo numero (positive) di punti comuni colla parte
residua J. = I — diciamo che J. risulta pure eonnessa. ’Se' cosi
non fosse, si avrebbe una divisione in parti econnesse
A — JLj -f- Att
5» 0,
dove si pub supporre che sia, in sb, eonnessa (teor. I). Ma, in tai
caso, la В dovrb avere con ciascuna delle parti e A, di Д un nu-
mero positive d’intersezioni, chfe altrimenti sarebbe (B 4- AHi 0
о (B + A*)At <. 0 e pereib la L sarebbe sconnessa; avremo dunque
’ BA >0 e BAt > 0,
quindi
BAi <BA = В(Аг -f- J.s),
e a fortiori '
(В + АИ1<ЯА;
cosi la Alt parte eonnessa di X, avrebbe colla residua un numero
d’intersezioni minore ehe la B, eontro la nostra ipotesi.
I teoremi di Нпанонкгта tengond luogo, fine ad un certo punto,
delle propriety intuitive che earatterizzano le curve connesse for-
mate di component! semplici, siccome vedremo nel seguito.
Tuttavia non sembra facile dedume, senza eccezione, la regola-
rita del sistema [X'| aggiunto ad una eurva eonnessa qualsiagi X
(con component! multiple di grado negative). Si pub tentare una
via alquanto indiretta, che & in stretto rapporto con i nostri svi-
luppi sul teorema di Riemann-Hoch, ma ehe resta tuttavia gubor-
dinata ad un’ipotesi di lavoro che verra шевва in luce pih sotto.
XL GENERE NUMERICO E IL TEOREMA OX RIEMA^N-ROCH, ЯСС. 166
Si assuma sulla superAeie T un sistema lineare regolare | C'(,
che sia multiple d’ordine. assai elevate d’un sistema irriducibile
oo’ almeno, privo di curve fondamentali, siccM risulti, in primo
luogo, irriducibile |Z| = |(7 4- Z|: si pub ritenere ehe tanto |Z|
•come il suo sistema aggiunto [Z'| == |Z 4- Z?| seghino serie com-
plete sopra una eurva D di questo sistema | О -f- L | normalmente
grande. Ora si riconoseerit ehe anche | C ] sega su tale eurva D una
serie completa. Infatti, sia G un gruppo-della serie completa CD e
Tun. gruppo residue di G rispetto alia serie earatteristica di |T|,
sezione di D con Z; G 4- Г costituisce il gruppo base d’un fascio di
curve D, che non hanno alcuna intersezione colle component! di
Z, fuori di D,
Ora se s’impone ad una D di questo fascio di contenere un punto
di Z fuori di Д stante la connessione di Z, 1’intera eurva eonnessa si
stacehera dalla D, restando una G per G, c. d. d.
- La dimostrazione precedente si basa sul .presupposto ehe essendo
la Z aritmeticamente eonnessa, quando s’imponga ad una D del
fascio predetto, di contenere un punto di Z, fuori di Г, la Z si
stacchi completamente, ossia ogni sua eomponente si stacchi con
la moltepliritft con cui essa compare in Z.
Tale propriety ci pare vera, ma non ne possediamo una dimo-
strazione esauriente. Koi la introdurremo come ipotesi di lavoro,
restando cosi inteso che il risultato precedente e le conseguenze
che ne trarremo, sono subordinati alia validity di tale ipotesi.
Ora, avendo riconosciuto che il sistema regolare 101 sega sulla
. eurva I> di [D| = [G 4- L| una serie completa g, che fe residua di
quella segata da | Z' | = ] Z + S. ], si potr& valutare la dimensione
di quefit’ultima (e quindi di |Z'j) eh© eguaglia 1’indice di speciality
di g diminuito di una unity. Designando con.» il grado di [ C |, con p
il suo genere, e con ® il numero delle intersezioni CD, 1’ordine della
serie g sarh ‘ '
л 4- m,
e la sua dimensione f
r = + -
mentre il genere di D vale
я 4 e + » — i.
Quindi 1’indice di speciality i di g 6 dato da:
й1 4* uj — (ж 4" p 4* "—* I) 4~ p 4“ — Q H-
e di qui segue che la dimensione della-serie (CL') residua, di CD 6
‘i — 1 = p 4 я — 1-
Dunque | Z' | ha questa stessa dimensione ed b regolare.
1бв
CABITOLO QUARTO
In conclusione: Sopra una superficie regolare di genere p > 0t
il sistema. aggiwnto ad una curva aritmeticamente connessa ё sempre
regolare. - '
18. Salla riducibilitii del sistema canonico.
П teorema stabilito nel paragrafo precedente porta a notevoli
applicazioni in ordine al sistema bicanonico e ai sistemi plurieano-
ni<n. Per comprendeme il sense conviene rifarci dalla question»
della riducibilitii. del sistema canonico.
Moether riteneva di poter dimostrare che il sistema canonico di
una superficie di genere p > 0 possa essere riducibile soltanto in
due' casi: '
1) per la presenza di curve eccezionali (di genere g = 0 e
grado v = —1) che costituiscono parti flsse del sistema canonico
impuro;
2) per essere il genere lineare (assoluto) — 1, nel qual case
le curve canoniche pure sono in generate composte colle curve ellit-
tiche d’un. fascio. •
Cost per pw > 1 il sistema canonico puro sarebbe sempre irri-
ducibile. Ma la deduzione di Hoether cade in error®, e si danno
effettivi esempi di curve canoniche (pure) К riducibili, appartenenti
a superficie di genere p > 0 e genere lineare pW > 1:
1) Il prime esempio viene offerto dal piano doppio con curva
di diramazione <7S„ d’ordine 2», dotata d’un punto 0 (2л — 6)-plb
(n > 4) e di due punti [3,3], e _A„ allineati con О sopra una*
retta a •
(p s=z 2® — 7 , pt) = 4® —15).
be curve canoniche К hanno per immagini (doppie) le curve
<7„_a con О (n — 4)-plo passanti semplieemente per At e At, e percib
spezzate in con О (n — 5)-plo e nella parte flssa a. Ora questa
retta rappresenta una curva в (irriducibile)- componente fissa delle
Ж, che non ё eccezionale,.avendo il genere g =J= 0 e il grado v — — 2:
siccome appare anche dal fatto che essa ha due intersezioni colle
residue component! delle K, perchft il numero di queste intersezioni
vale:
2g — 2 — 2v — 2
(g = 0 , v = — 2).
2) Un secondo esempio ft offerto dal piano doppio eon curva
di diramazione Oie, d’ordine 10, dotata di 3 punti [3, 3] sopra una
retta a, che non fa parte di Сы. Un semplice compute di costanti
ci dh un sistema lineare .di 0M con 3 punti 3-pli assegnati su a e
altrettanti punti 3-pli vicini a questi in direzioni date, sistema di-
IL GENERE numerico e il teorema di riemann-roch, ecc. 167
•dimensione 29, che pertanto non si riduce a quello oo“ costituito
-dalla a contata 2 volte e da curve U» con 3 tacnodi e tangenti tacno-
dali date. Ora, sul piano doppio .che abbiamo costruite, le immagini-
delle curve canoniche sono le coniche spezzate nella retta fissa a
e in una retta variabile.. La corrispondente parte fissa Q del sistema
•canonico | К [ ft una curva di genere g — 1 e grado JJ — —« J • i ge-
neri della superficie J* valgono ’
p = 3 , pW ==fi.
Si calcolerh il grado v == — 1 di 9 awertendo che la в — parte
fissa di | К | — ha 2 intersezioni colle curve residue, sicehft
2g—2—2» = —2v = 2 , v — —1.
D’altronde la curva completa che risponde alia a su J1 ft una
curva di genere 4 composta di 3 curve ellittiche di grado —1 ri-
spdndenti ai punti [3, 3] e della nostra 9, che ha un punto comune
•con ciascuna di esse: il grado complesaivo di codesta curva completa ft
— 3 — 1 + 2.3 .= 2.
3) Un terzo esempio ft ofierto dal piano doppio con curva di
diramazione C1S, d’ordine 12, con 4 punti [3, 3] appartenenti ad
una retta a (che non fa parte di <7«); con un compute di costanti si
dimostra I’esisten» di Ca irriducibili, che non contengono a. Ora -
le curve'canoniche Ж sono date sul piano doppio da cubicher spez-
zate nella retta a e in una conica variabile. Alla retta a risponde
una 9 componente fissa delle X che ha il genere- g == 1 e il grado
v == —2; infatti la в ha- 4 intersezioni colle curve • residue, sicchft
2g — 2 — 2» = — 2v = 4 , v = — 2 (’).
♦
La curva completa che risponde ad л su Ж 6 una curva di genere
5 composta di 4 curve ellittiche di grado —1 rispondenti ai punti
(3, 3] e della nostra 9, che ha un punto comune con ciascuna di esse:
grado complessivo di codesta curva completa .ft
4 — 2 -J- 2.4 “ 2.
P) Citiamo ancora 1’esempio di una guperfioie irregolare oon == 2, p, «= 3,
pW «= 11,. quale 6 rappresentata eul piano doppio oon <7И di diramazione compoeta
di 3 quartiche C4 (d’un faecio) che eitoocano in 8 punti d’una conica <7S; Ib.im-
rnagini delle curve canoniche sono spezzate nella conica Оя, cui'risponde una в
fissa di genere 3, e in una retta variabile. La superficie contiene un fascio irrazionale
(ellittioo) di curve, rappreeentato del faecio delle C4, d’aceordo oon un teorema
generale eui piani doppi’ irregolari di M. D® Fkanchis.
158
CAPITOLO QUARTO
Nota. — Hello state attuale delle nostre conoscenze non si ва»
se esistono superficie con p(l) > 1 il cui sistema canonico sia riduci-
- bile in modo che le sue parti variabili siano composte colle curve
& d’un fascio (*). In ordine a tale possibility possiamo soltanto di-
mostrare la seguente proposizione:
. Se le смгее сляоЫоЛе pure d’una superficie di genere p > 1 (al-
1’infnori di parti fisse) sono eomposte colle curve h d’un fascio di genere
я e grado n, si ha in ogni caso
я < p(1>, n <: p<’> — — 1.
Si designino con в le eventual! component! fisse delle К:
IЖ i = zo + |Л|
e eleno @ e v i caratteri di una 9. Esprimiamd il grado di | Ж | come
' somma- dei numeri d’intersezione delle sue component! 1c (irridu-
cibili о meno) e в; avremo
• »(2я—2 — »)-f-.Д2р — 2 — v) == pW — 1.
Ora, riferendoci ad una superficie trasformata priva di curve
eccezionali вагУ per ogni 9 •
2g — 2 — r 0,
quindi
2л — 2 — n <, p<x> — 1.
D’altra parte una curva & ha, colla curva residua (в — l)fc -|- E9r
il numero virtuale d’intersezioni
2я — 2 — 2л > 0.
Di qui si deduce
« < я —1,
e
я < pV>, n pW — 1, . c. d. d-
19. Sulla regolariti del sistema bicanonico
be possibility che il sistema canonico puro ]Ж| d’una superficie,
con p > 0 e pw > 1, sia riducibile, costringe ad esaminare piit
profondamente la question© « se il sistema bicanonico e i sistemi
pluricanonici siano. regolari ». Per cib occorre dimostrare che, co-
munque le Ж siano spezzate in parti semplici e multiple, sempre
(per p<x> > 1) esse sono eonnesse; quindi ё regolare il sistema ag-
giunto,
|2Ж} }Ж'|,
P) Bsempi effettivi sono stati costruiti recentemente da &. Роиии: Alcuni
esempi Ai superficie algebriche a sistema canonico pwo degenen, Bend. Ace. Lincei^
в. 8, v. IV, 1948. ' .
XL OKNBRE NUMERICO B,II> TEOREMA DI RIEMANN-KOCH, ECC. 159
e similmente, essendo pur eonnesse le curve di 12K j, fe regolare i
sistema tricanonico
|3K| ®= | (2K)’| ecc.
In parole: Sopra una superficie regolare di genere p > 0 e di ge-
nere lineare pW > 1, Ц bigenere vale eaattamente
JP «Я p
e lo i-genere
P( ==F + titrillJ,w.
• &
Per dimostrare questo importante teorema conviene riconoscere
succesBivamente che, per p > 0 e p<*' > 1:
1) le parti variabili del sistema bicanonico sono irriducibili;
2) le curve canoniche Ж, comunque ridueibili, sono sempre
eonnesse, di ordine di connessione > 2 (cio6 una parte qualsiasi di
К ha almeno 2 intersezioni colla residua).
3) di conseguenza fl sistema bicanonico puro e regolare di
dimensione p + p<*> — 1 e non maggiore.
Queste deduzioni si estendono a fortiori, ai sistemi pluricanonici
d’ordine >2. • -
1) ba prima proposizione si dimostra facilmente. Anzitutto
se p 2 e pw > 1, le parti variabili delle curve canoniche sono ir-
riducibili о formate colle curve irriducibili C, di' genere я > 1, ap-
partenenti ad un fascio; quindi le curve C' aggiunte ad una O' for-
mano un sistema lineare di dimensione p + я — 1 (almeno) secanti
su C la serie canonica completa due 0" hanno almeno 2я— 2
intersezioni variabili e percib le C‘ non sono composte colle curve
d’un fascio; a fortiori il sistema bicanonico |2Jf | che contiene par-
zialmente [ C | non pud avere parti variabili ridueibili composte colle
curve d’un fascio.
Il teorema si eetende al caso p = 1. In questo caso, se le parti
variabili delle curve bieanoniche sono composte colle curve irridu-
cibili C di un fascio, anzitutto — per essere p<*> >1 — il genere di
queste dovr& essere я >1 (*). Cio posto, se le componenti C ehe en-
trano nelle curve di 12X J. sono in numero di в (P « » + 1 designando
il bigenere della superficie), per essere p — 1, vi saranno « curve
Ол i cui doppi appartengono al fascio | C | :
X ~ 0 4~ sOi .
(x) Infatti vedremo in seguito che se ms superficie possiede un fascio di
curve ellittiche ed fl sue genere geometric© ё positive allora il suo genere li-
neare ё neoeseariamenie pW = 1.
САМТОЪО QUARTO
160
Ora il sistema [ C* | aggiunto ad una eurva Ci e contenuto in
12K | dovrebbe avere come parti variabili le curve C di [ C [; ma cib
b impossibile perchb la sua dimensione vale non gift, uno, bensi
(almeno) p + л — 1 = я > 1 С1).
(1) La prop. 1) si dimostra anche in altre, maniera, facendo vedere anzitutto
ehe deva essere я = 2 e quindi neoessariamente p > 1,- Se le parti variabili delle
curve bicanoniche 2K sono composte di s (> 1) curve C d’un fascio lineare, com-
plete, designando con в le parti fisse di |2K | scriveremo
• '|2Kl = Xfl+ |sC|.
Ora si indiohino con и. e fe il grado e. fl genere di [C |, e con reg quelli di un*
в, e valutiamo il carattere adflittivo delle 2K che esprime il numero delle loro
intersezioni con ana K; avremo
2K - K = 2p<4 —2 = .£(2g —2 —v) + 8(2я~2 —n).
М»; riferendoci, com’b lecito, ad una superficie senza curve eccezionali;
2q — 2 — 0,
e pereib
в(2я — 2 — n) 2pW —. 2 ,
Quindi, affinoht il faacio \O | sia complete, la ana dimensione dovrfi essere r — 1;
pereib, se \O | non b contenuto nel sistema canonico |K |:
p 4- n—я + i'£ 1
- : n < я — 1;
e questa diseguaglianza vale a fortiori se |C | b contenuto in |K), percbb in tai
caso |2C | fa parte del sistema aggiunto
\C' | = [(? + К [.
Cib posto, ее я > 2, si avte
»(Я— 1)2 2pd) — 2
Я-12:'2
pW — 1 S s
e.di conseguenza la dimensions di ]2K | vale
2: p + pW---- 1 > 8,
in contraddizione oqlVipotesi che |2K | sia forrnfcto dai gruppi di a carve del fa-
scio |O | e quindi abbia la dimensione. s.
Dope avere cosi stabilito la nostra proposizione nel caso я > 2, Testa a di-
eoutere Vipotesi я =« 2.
In questo caso il fascio delle curve О di genere я = 2 permette di rappresentare
la superficie sopra un piano doppio con eurva di diramazione /«»» di un certo or-
dine pari 2m, • dotate d’un punto О (2m — 8)-plo о (2m — B)-plo e di -altre singo-
larite elementari: punti 4-pli e 'punti £8,3]. ’
In questo piano le curve bicanoniche hanno per immagini curve Фи,-» aggiunte
ad /8ж, che si oompongono di una фада_»_, fissa e dis rette per O. Siccome fra le
curve bicanoniche c’b almeno una eurva canonica contete due volte, la
dovrh essere il doppio di un* eurva (в = 2Л) che, insieme ad h rette per O,
oostituisoe I’immagine di una eurva canonica. Bssendo It a. 1, si deduce p > 1,
caso gib, esaurito dalle prime considerazioni del teste t
Ib GBNERB NUMERICO В II. TEOREMA DI RIBMANN-ROCH, BCO. 1вГ
2) Per dmiostrare la connessione delle curve canoniche >K,
bastard. dimostrare che sono connesse le curve bicanoniche di [ 2K |,
e per cib si tratta di ritoe all’assurdo 1’ipotesi che queste siano
sconnesse. Ora il sistema bicanonico |2K| consterfi di una parte
fissa JD (comunque composta) e di parti variabili irriducibili C:
|2K| = X + |O|.
Se le curve del detto sistema sono sconnesse, si poseono divider©
in due parti aventi un numero <; 0 di punti eomuni: una di queste
parti contend una C ed una parte (fissa) S di X, mentre 1’altra sarfe
una D fissa:
X = X + X , (C+ 0 .
• Ora b lecito ritenere ehe la X sia eonnessa; se non lo fosse si la-
scerebbe scomporre in due parti X» e X» eon nn numero nullo о ne-
gative di punti comum, e una di queste —'sia p. es. Xx — avrebbe
• Xx(C + X + X2)-^ 0 .
intersezioni colla residua; e cosi seguitando si arriverebbe in ogni
caso a trovare una parte eonnessa di X, e quindi di С + X, avente
un numero < 0 d’intersezioni colla eurva, residua.
Supposto dunque che X sia eonnessa, si design! eon g il suo ge-
nere e con v il suo grado: per essere ,D eonnessa sari
t> °- W
Scriviamo il numero delle intersezioni di D colla eurva residua
rispetto al sistema bicanonico 12K [:
D(2K — D)=* D(C + S) = 4g — 4 — 3v 0 .
Se ne deduce ' ’
*S*g(g —1). . '
Ora, se g = 0, per essere v intero,. sari
(*) Questa proposizione si dimostra, con. induzione completa, per le curve
D composte di s component» irriducibili' ove si ritenga dimoetrata per le curve
composte di meno che e component». Infatti la D si pud decomporre in due parti
Dx в Dit ciaecuna eonnessa in ai e connesse fra loro, con n >' 0 punti oomuni;
quindi, designando eon gx e g2 i generi di quests curve, si avrii
g » f f П ------------- 1, J
gx 2» 0 , Pa S o , g i 0 ;
c. d. d.
Выводив -T. - Superilcie alcebrtclie. "
11
OAPITOIO QUARTO
102
quindi o’ v > 0 cid che porta p — 0, owero la D й una curva ecce-
zionale -della superficie (g = 0, v = — 1). Si pub supporre che la
superficie sia trasformata in guiaa da non contenere curve siffatte,.
e percib b lecito scartare 1’ipotesi g = 0, e prendere
e i- - - .
' Ma se g == 1, non potendo aversi v > 0 (altrimenti p = 0) ватУ
v = 0, e allora si trova che le curve ’bicanoniche e pluricanoniche
di | iK | avranno con D zero intersezioni, mentre la D stessa ha sempre
zero intersezioni colle residue di |£K?— D\, |iX —2Z>( ecc.; da cib
segue che le curve di \iZ. | sono composte colle curve ellittiche d’un.
fascio e il genere lineare = 1, contro la nostra ipotesi > 1).
In conclusion©, se le curve bicanoniche sono sconnesse, una
parte D di esse, connessa in sb ed avente un numero 0 d’inter-
sezioni colle residue, dovrh ritenersi di genere g > 1 e di grado
4
» ^3 (g - 1) > g — 1.
Ma questa conclusion© b assurda, contrastando coll’ipotesi ch©
X> sia parte della parte fissa £ delle curve di giacchfe la di-
mension© del sistema complete d’indice di speciality, p, secondo
il teorema di Biemann-Boch, vale
p + v — (g — 1)— p > 0 .
Dunque le curve del sistema bicanonico |2JK| e percib anche le
curve К del sistema canonico, sono connesse: una parte qualsiasi
di’ una K, di genere g e grado *, avrh colla residua up numero pari
> 0 di punti comuni:
ag-2-2^2,
• e cost Г ordine di connessione delle К b 2: 2.
3) Dall’eesere connease le curve canoniche pure К (per p > 0,.
j>W >1) si deduce che il sistema bicanonico |2Ж[ = ]Ж'| 6 re-
. golare. Similmente reeultano connesse tutte le curve pluricanoniche,
e quindi ancora regolari i relative sistemi
l<«l = Wb ’ '
20. Nota sulla irridueibilith ’del sistema bicanonico.
Dope avere dimostratb che sopra una superficie regolare con
p > 0 e p(1) > 1 il sistema bicanonico puro & regolare, si pone la
domanda se esso sia sempre irriducibile, e — poichb abbiamo escluso
la riducibility delle sue parti variabili — si tratta di dimostrare ohe
non ha parti fisse (fuori delle curve eccezionali).
ib мики nvmbbico в ie teorema di riemask-roch, все. ' 1вЗ
Ma la dimostrazione urta in difficolta d’ordine delicate, quando
le curve canoniche si suppongono comunque formate di compo-
nent! semplici e multiple. Ci limiteremo a dimostrare il teorema nel
caso in cui le curve canoniche (pure) К siano formate component»
eenipliei.
In tai caso sappiamo che ima X rimane connessa quando si
tolga da essa una componente (irriducibile) Xt avente colla curva'
residua Xt il minimo numero w (> 2) di punti comuni.
Ora, designando eon я, e я, i generi di Ж, e Xa rispettivamente,
avremo il genere di K:
л = JU -|- Jtg 4- n — 1.
Quindi il distacco di -Xi da | X | diminuisce di >i 4- 1 == 4-
4-я — 1 >0 la dimensione del sistema regolare aggiunte a | Ж (,
rt designando la dimensione della serie segata da |K'| su Жх. Cib
signifies che la Хг non pub essere parte-fissa di |X' | = ‘[Ж1 4- HJ|,
chb altrimenti togliendo la detta parte si otterrebbe il sistema
|Ж£| colla medesima dimensione.
Ora — tolth la componente Жм — le curve di |Ж8restano con-
nesse, ma non pih (in generale) di ordine di connessione > 2: esse
potranno avere dei manici, ciob delle component» aventi «n punto.
comune colla curva residua, le quali — ove siano di genere 0 —
eostituiranno parti fisse di |KJ|. Tuttavia questi manici non sono,
in ogni caso, parti fisse di |Ж'|; e eib perehb altrimenti la serie
segata da | X‘ [ su Xx avrebbe dei punti flssi e non sarebbe
completa, mentre deve avere la dimensione .
rx —- 2 4~ n.
Dunque si b riconosciute che, per essere le Ж curve connesse
d’ordine di connessione 2, Ц sistema aggiunto |Ж'| non pub
contenere .come parti fisse nb la Ж, , nb i manici della curva residua
Xs, Ora, spogiiando una Ж, di tali manici, ei avrh una curva con-
nessa Ж», d’ordine di connessione > 2, e si dimostaerS similmente
che non sono parti fisse di |Ж^|, nb una componente toglibile senza
rompere la connessione della curva, nb i manici della curva re-
sidua. Cost proseguendo risulta che nessuna delle component» di
Ж pub essere parte fissa di |2Ж| == |Ж'|. ' c. d. d.
-21. Generi di una superficie spezzata.
Agli sviluppi di questo capitolo vogliamo aggiungere qualche
indicazione in' jordine alle superficie spezzate. Se una superficie Ж
di un certo ordine m, che vogliamo supporre dotata di singolarity
164 ’ ' ' CAPITObO QUARTO . - '
hormali, viene a spezzarsi in due superficie J’1 ed rispettivamente
d’ordine ж ed m„ si domanda di determinare i caratteri numerici
di J* in funzione di quelli di ]?г e J’2 e della eurva ad esse comune.
Conviene precisare ehe la superficie limite. J*s avr& una curva
doppia limite di quella di J\ che sarft, eomposta di tre parti: una
parte d’un certo ordine <, doppia per Fi e non appartenente ad
J’s, una seconda parte di cui indicheremo 1’ordine con <S8, doppia
per J’s e non appartenente ad J’1, ed inline una terza parte —. di-
ciamo d’ordine <5 — appartenente ad J’1 ed J*8. All’infuori di questa
si avrft una curva C di un certo genere я, intersezione di Ji ed FSt
che stabilise© la connessione fra le due superficie Д ей Jr8, la cui
somma viene pensata come limite di J?.
. Ora si tratta di determinare i caratteri numerici della superficie
spezzata J* = Ft 4- J*8 in funzione dei caratteri analoghi delle due
superficie componenti, e di quelli della curva comune C attraverso
cui sono eonnesse, (*). .. ‘
Parliamo anzitutto del genere aritmetico. Indicheremo sempli-
cemente eon p (eguale pa) il genere aritmetico di Fj con px e p? ri-
spettivamente i generi aritmetici di F^ ed J’s, mentre si ё detto я
il genere della curva C. .
• ft chiaro che si pud. calcolare il p valendoci delle formule di
postulazione relative alle curve doppie di J’l ed J’s, о meglio alle
curve d’ordine 3X<58 e 5 ehe costituiscono il limite della curva doppia
di J* quando questa degeneri in J’1 ed J’s. In ‘questa maniera si pub
pervenire alia formula .
p = Pl + Ps + »,, . .
che costituisce I’estensione all© superficie della formula di Noether
che di il genere di una curva spezzata (®).
Ma possiamo giustiflcare la formula senza eviluppare il ealcolo
sopra indicate.
Infatti le superficie ФЖ1+й,_4 d’ordine mx + m, ~ 4= aggiunte
alia J’1 + J’B (per cui la C non ё da-ritenere come curva doppia)
segheranno‘sopra J’1 il sistema aggiunto a |C| che ha la dimension©
virtuale: •
• . Pi + w —1, •
e per eiascuna di queste curve si avranno in generale infinite su-
perficie ФШ1+М1_4; la dimensione virtuale di questo sistema di
(x) Che debba esietore una curva di ooimesBione. d’ordine maggiore di zero,
risulta dal prineipio di degenerazione applicate alle curve sezioni piane di №. Cfr.
Еюисикв-Сигагмт, Op. cit. ’ ’
(’) In generate, per le variety di qualunque dimensione: cfr» E. Skvsbx, №onda-
menti la gtometria mdle variety ейдеЬп/Лл. Rendic. Circolo Mat. di Paterino, 1909.
IL GENERE NUMERICO В IL TEOREMA DI RIBMANN-ROCH, BCC. 165
вагй, p2, essendovi oo»<-1 Ф^+Я1_4 spezzate nella Px e in una super-
ficie Фж>_4 aggiunta alia Ps. In tai guisa si trova la dimensione del
sistema delle Фт1+ш>_4 aggiunte ad Px 4- Ps:
. p — 1 = 4-ps + « — 1.
A questo discorso si potrebbe obiettare che le superficie Ф ag-
giunte ad Рг 4~ P., per fl fatto di essere obbligate a passare per una
curva d’ordine <52 non. appartenente ad Pi, potrebbero segare su
Pi un sistema di dimensione inferiore a quella del sistema ] C ]
aggiunto a |C|. Ma, trattandosi di dimension! virtuali, questa cir-
costanza non. ha effetti sul nostro caleolo, a cui potrebbe edstituirsi
un caleolo analogo su superficie aggiunte d’ordine piii elevato.
Concludiamo pertanto che il genere numerico di una superficie
spezzata le cui componenti di genere. Pi e ps siano eonnesse mediants
una curva comune di genere я, vale
P = Л.+ Л + я.
Proponiamoci ота di valutare il genere lineare pW di Pi -f- Pt.
A tai uopo occorre conoscere i. generi lineari p^ e pjW di Px ed.
Pg, il genere della eurva di connessione C che gift, abbiamo desi-
gnate con я, e i gradi nx ed w, che questa curva possiede rispetti-
vamente sopra P, e sopra Ps.
Il genere lineare della superficie spezzata vale
px(1> 4- psd> 4. 8я — — щ — 9.
Infatti, come abbiamo osservato, le superficie d’ordine 4- »»a 4~
4- 4 aggiunte ad Px 4- Ps segano su Px curve .0' aggiunte a C che
sono di genere
px(i) 4- 3л — 3 — Wi;
similmente le curve che le stesse Ф segano su Ps sono di genere
P»b) 4- Зя — з — »г.
Ora una eurva.del primo sistema su Px ed una curva del secondo
su Р» costituiranno insieme Г intersezione di Px 4- P« con una
+»,_* aUorchft abbiano a comune un gruppo canonico di 2л — 2
punti eostituenti le loro intersezioni con O, sicchft il genere delle.
curve composte di queste due sarA
pW = ptw 4. p^w 8л — Mi — — 9 ;
c. d. d-
Capitolo V.
IWAEIABTI KUMERIOI E PIANI MULTIPLI
1. L’invariante di Zeuthen-Segre.
In cib che precede si sono introdotti gli invariant! delie super-
ficie che vengono deflniti in relaztone al sistema canonico, seguendo
un procedimento che appare naturale estensione di quello che con-
duce a definire il genere di una eurva. Ma quest’ultimo procedimento
pub essere esteso in sensi diversi, e si riesce quindi a definire altri
caratteri numeric! delle superficie che hanno del pari un signifi-
cato invariante e che possono essere adoperati con vantaggio negli
sviluppi .ulterior! della teoria, sebbene non siano caratteri essenzial-
mente nuovi, potendosi esprimere per mezzo del genere numerico
p„ e del genere lineare come avremo occaaione di spiegare.
Sopra la superficie E si consider! un fascio lineare di curve irri-
ducibili di genere я > 0, aventi un certo numero n di punti base
effettivi (semplici о multipli), e si design! con d il numero delle
curve del fascio dotate di un punto doppio, fuori dei punti base.
L'eapreesione
I = d — л — 4л,
fwmata col numero dei punti base^ eol genere e col numero delle curve
dotate d’un punto doppio' dfun fascio lineare, non dipende dalla scetta
arUtraria del fascio, e costituisoe pereib un invariante (relative) della
superficie.
Il signifteato. -invariante di queato carattere 6 state riconosemto
anzitutto da Zbtohb» (x) riferendoai ad qn fascio di sezioni piane
di una superficie. O. Segue (’)" ha dimostrato direttamente 1’egua-
glianza dei caratteri analoghi in ordine a due fasci qualunque ap-
parCenenti alia superficie. E percid I viene designate di solito come
invariante di Zeuthen-Segre.
(4 M. G. ZBWCStBN-, Studes gimnetrifu«B etc. Math. Ann., IV, 1871.
(’) C. Sbs»b, Interne ad un carattere- <йМв supe-rfioie etc. Atti Ago. Soienze di
Torino, 1898.
188
САМТОЬО QUINTO
Esponiamo la dimostrazione di Segre, confrontando due fasci
in relazione affatto. generica, | (7, | e | C, ], presi sulla superficie.
Il prime fascio avrft> un certo numero »x di punti base che vo-
gliamo supporre semplici e distinti; il secondo avrd> similmente na
certo numero nt di punti base, diversi dai primi e pure semplici e
distinti. Designeremo rispettivamente con e i generi delle
curve generiche dei due fasci, e con a il numero -delle intersezioni
(Cit?,). E considereremo la curva X luogo dei punti di contatto delle
curve Cx e <7S, eio6 la jacobiana dei due fasci.
Una curva Cx incontra L nei punti del gruppo jacobiano della
serie ffi segata da [ <7a] su Ог, e percid in 2e 4 2лгх —2 punti, fuori
degli. nx punti base che pure appartengono ad L. Similmente' una Ct
sega L in 2e 4 2л* — 2 punti variabili..
Ora sulla curva X, il cui genere designeremo oon я, avremo due
serie oo1, rispettivamente d’ordine 2s 4 2л*—2 e 2s 4- 2л» — 2, che
designeremo eon gt e gt. Oonsideriamo il gruppo jacobiano di' gt.
che b formate di .
. 4s '+ 4(л* — 1) 4 2л — 2
_ punti.
Si osservi che i punti doppi della serie su X vengono dati dar
1) i <5t punti doppi del fascio | Ct |; infatti uno di questi punti
e doppio per il gruppo segato dalla relativa 0,8111; .
2) i т punti ove una. (7X e una <7S hanno un contatto tripunto,
perch 6 ivi si hanno due punti infinitamente vicini di una Cx comuni
ad X; • .
3) e infine gli w» punti base del fascio (7g; infatti uno di questi
punti figura come punto fisso per la serie segata dalle Ct sulla Cx
che passa per esso, e quindi conta due volte nello. jacobiano di questa
.serie, sicehfi costituisee im semplice contatto della Cx con la X.
Cib posto avremo*
4s 4- 4(лх — 1) 4 2я — 2 = + г 4 nt.
Similmente, scambiando | Ог | con ] £7» | si otterrft.
4s 4 4(ла — 1) 4 '2 л — 2 = 6, 4.T 4. «1 •
Sottraendo si deduce ’ ...
<5X — — 4лх = 6t — л, — 4яа,
с. d. d,
Oaaervazione. — Abbiamo supposto che i punti base di ciascuno
dei due fasci | £7X[ e | <7S| fossero semplici e distinti, ma possiamo
affrancarei da . queste restrizioni.
Pongasi per esempio che un punto 0 base di | <7а | sia un punto
multiple d’ordine r maggibre di'uno, a tangenti variabili. Allora fe
INVARIANT! NUMBBICI В PIANI MVbTIttI 169
facile mostrare che questo punto avrft la molteplicitft 2r — 1 per la
jacobiana L-. si verifica infatti che la L completata eon. due curve
Ci e 0s, appartenenti rispettivamente ai due fasci, costituisee la
curva jacobiana della rete cui appartengono i due fasci.
<7«4~ |<7i| .e <7i'4~
e percib avrft in 0 la molteplieitft 3r — 1; togliendo la <7, resta che
Z ha in О .la molteplieitft 2r — 1. Ora quando nel ragionamento pre-
cedent© si va a cereare la molteplieitft con cui О figura appartenere
al gruppo di punti seziohe di Z con la che passa per 0, si. troverft
che questa molteplieitft b 2r e quindi che О appartiene 2r volte al
gruppo jacobiano della g* sopra la Z; di conseguenza il pUnto О
viene sempre a flgurare una volta nel compute deH’ordine della
serie jacobiana di
Per quel che concerne il caso in cui uno dei nostri fasci possegga
punti base infinitamente vicini, si pub dire che la nostra formula
vale sempre eonformemente ad una. esigenza di continuity, purchb
si tenga ©onto. delle curve del fascio che vengono ad acquistare un
punto doppio (diminuendo il genere л) in un punto base del fascio
stesso,_ p in un punto ad esso infinitamente vicino. Basterft riferirci
al caso in cui il fascio | Cx | abbia nil punto base semplice О in cui
le sue curve si toechino: allora il fascio contiene una curva avente
in O .im punto .doppio e. una seconda curva (infinitamente vicina
alia precedent©) che ha un punto doppio infinitamente vicino ad O:
queste due curve debbono flgurare nel compute -di d, che sarft dunque
eguale al numero delle curve del faecio dotate di un punto doppio
fuori dei punti base, aumentato di 2.
Dope cib possiamo valutare' 1’equivalenza di una curva 0, Л-
tata di un punto r-plo, fuori dei punti base, mostrando che essa
Hen luogo in generale di (r —-1)’ curve donate di punto doppio. Si
confront! il fascio •|(71| a cui appartiene la curva dotata del punto
r-plo con'un secondo fascio generico J Anzitutto, come gift si
6 osservato innanzi, il punto r-plo, P, sarft (r — l)-plo ..per la jaco-
biana dei due fasci | Gt | e | Ct ]. E sopra ogni ramo di questa jaco-
biana il ptinto P figurerft come (r — l)-plo per la serie segata dalle
C®; sicchb, ripetendo il ragionamento precedent©, P verrft a eontare
(r —-l)s, volte nel compute dell’invariante I.
In luogo di una curva dotata di im punto multiple, pub trovarsi
in un fascio (0 | una curva che contenga tutta una componente
doppia p multiplai: per. esempio una
C<0) = 2% 4-
dove la j abbia un certo genere g > 6 e la residua curva у (che pub
anche mancare) ineontri la x it m certo numero i 0 di punti.
CAPITObO аиЮТО
ITO
Non 6 difficile valutare 1’equivalenza di quests eurva 2% 4- y,
cioft il numero delle curve О dotate di punto doppio che vengono
da esea assorbite. -
Quest® calcolo si trova sviluppato in una memoria di Сдатаь-
jroovo-EKBKjxrES 0). bo esporremo qul nel caso pih semplice in eui
non interviene la eomplicazione dei punti base inftnitamente vicini,
riferendoci percib all’ipotesi che il fascio non possegga punti base,
che ё il caso in eui ci convent in segufto applicate la formula in
relazione ai fasci irrazionali.
Paragonando fl fascio lineare |(7( — ad un altro fascio
generico | Ct |, si osserverh anzitutto che la % si stacca dalla jaco-
biana X dei due fasci, e la eurva Xt parte residua di quests, passerh
per gli i punti comuni a x ® V che sono tripli per la eurva Se-
guendo .un procedimento analogo a quello tenuto nel caso generate,
ei dovrSi, cercare 1’ordine delle serie segata su Xx .dalle curve dei fasci
e |O,|.
Intanto 1’ordine della serie g^ segata dalle curve C, sulla Xj 6
«ti — 2s 4- 2«i — 2 con 8 = (CtOs),'
giacclte tante sono le' Ct che toccano una 0t generica.
Per determiner® 1’ordine della serie segata su Xx dalle <J»,
occorre tenet present© che il gruppo jacobiano della serie g* segata
dalle su una Cs generica comprende anche il grappo dei punti
d’intersezione della • Cg stessa colla %. Indicando con в il numero
di questi punti si avi& Ле I® curve Cx toceanti propriamente
ин» C, generica sono
я», = 2s -f- 2я» — 2 — о,
e questo ё anche fl numero delle intersezioni (GSX). Ora, indicando
con P il genere della jacobiana Xi, il gruppo jacobiano della serie •
su Xx sar& compost® di 2w»x 4- 2P — 2 punti, e questo stesso
• gruppo ё formate da:
1) i i punti doppi delle restanti curve nodate che apparten-
gono al fascio [ Сх |;
2) i r contatti tripunti di una Ct con una 0,;
3-) gli »s punti base del fascio 10»|;
4) gli i punti comuni a x e y, ciaseuno dei quali, essendo triplo
per il gruppo segato dalla <7<e) — 2% + V su Xx deve essere contato
due volte;
(*) Слвтвьжтото-Емвюовв, Sopra aloune queetioni fowkmentali все. Ann.
Л Mat., 1901.
INVARIANT! NUMBRICI В PIANI МГИЯШ . 1Ц
В) i 2a -f- 2g — 2 punti doppi della serie segata dal fascio
| Ct | sulla x> attesochff la A passa per questi punti, che sono doppi
per il gruppo segato dalla OW, .
Si avrb dunque
2vii 4~ 2I\-~- 2 « 5 4“ r 4™ 4~ 2i 4“ 2c 4~ 2p -— 2 .
Invece, per la serie segata dalle curve Сл su Д. si ba semplice-
tnente '
2Жа 4* 2P — 2 da 4™ Г,
mancando i punti base per il fascio [ <7X].
Eliminando da queste due relazioni 2P — т — 2 e sostituendo
i valori di mj e m, n ottiene -
d — 4~ 2g — 2 4~ 2*. == <5a — Uj — 4зт« . '
Ma se fl fascio [ <7tj fosse dotato -solo di curve aventi punti doppi
isolati, e si indicasse con <5t il loro numero, si avrebbe
I «= di — .
Dal eonfronto segue che una attna CW dotata di una components
doppia di genere q Ле interseehi in i punti. la eurva residua conta
per
4 = 2g — 2 + 2i
curve delate di un punto doppio, nel calcolo delTinvariante di Zeu-
then-Segre, almeno nell’ipotesi che il fascio non sia dotato di punti
base.
Il ragionamento che precede si estende al caso in eui il fascio
J <71 — | Ci | contenga una eurva '
CW s= 4" y>,
contenente una componente multipla secondo Л (maggiore di 1),
priva di punti doppi, la quale incontri in i punti la residua eurva
In questo caso si avrb
da = (Л — l)(2g -2)4- hi.
Pitt in generale, si supponga che il fascio ] C| contenga una eurva
spezzata • ' '
• <}(») = h^i 4- 4~ 4~
costituita di t component! % semplici о multiple (hr > 1), e che le
curve Xr 6 Xt abbiano ir, punti a comune. b’equivalenza di queeta
172
CVPITOLO QUINTO
curva ai fini del caleolo dell'invariante di Zeuthen-Segre ё data
dalla formula di Godeaux f1).
4 = ДЛГ — l)(2g, - 2)'+ Sir.(fi, + Л. -1)
Questa formula ё suscettibile di eorrispondere a tutti i casi,
quando si tenga conto di due modifieazioni:
1) Se una delle curve, %x, possiede un punto doppio о multiplo,.
<5e deve essere debitamente accresciuto: se si tratta di un punto
doppio e si assuma gx come genere effettivo, a d0 si deve aggiungere
2ЛХ —1; se invece con gx si rappresenta il genere virtuale di %1} il
de va aumentato soltanto di un’unitb,.
2) Kel caso ehe il fascio | Cj abbia punti base infinitamente
vicini sopra una- component© multipla Xi della si possono elimi-
nate codesti punti mediante una trasformazione della superficie che
li muti. in curve eccezionali: cib equivale ad aggiungere alle* x? uno
о pih intorni di punti base. Con questa convenzione la formula di Go-
deaux risponde anche al caso di. punti base infinitamente vicini.
2. Fascio irraraonale.
L’invariant® di Zeuthen-Segre relative' ad una superficie JF
pub caleolarei non soltanto in relazione ai fasci lineari traeciati su.
J*, si anche a fasci irrazionali che ad F appartengono. . ,
Precisamente Viwvariante I si esprime in relazione ad un fascio
di genere g > 0 costituito di curve di genere n che contenga A curve
dotate di punto doppio mediante la formula
I = A .+ 4(e — 1)(я — 1) — 4 (•).
• Questa formula si-pub dimostrare direttamente, riprendenda
il confronto di due fasci |€JX| e | £?»| eol sostituire ad uno dei due il
fascio irrazionale C} di cui qui si discorre. Ma .si pub anche ricon-
durre questa dimostrazione al caso di due fasci lineari, sostituendo
a | | un fascio lineare costituito dai gruppi di n curve C di una
fj, dove n b un intero sufficiehtemente grande, per esempio uguale
a g + 1. Invero la circostanza che uno dei due fasci sia eomposta
di curve ridueibili noninfirma i ragionamenti svolti nel precedente
paragrafo. 4
(J) L. GonaAVx, Sur le calotil de I'tn/oariant de Zeuthen-Segre. Mtaioires de-
le. SociSW dee Satemoee du Hainaut, t. 86, 1920. Cfr. Bull de I’AcadSrdie Royal®
de Belgique, 13 ott. 1834. V. anche L. Схигавшад Sid compwto ddPinvanante-
di ZeuAen-Segre per una superficie algebrica. - Ancora «id compute ее». Rend. Acc,
Linoei, eerie 6, t. XIX, 183A ' ' : -
(!) Cfr. Casmxxvqvo-EinoQVBe, 1. c.
INVARIANT! NUMERICI E PIANI MTOTIMI - 173
Adunque i gruppi di n curve <7 della g* predetta formeranno un
fascio lineare di curve, di genere -
II = nn — «4-1
privo di punti base; e in questo fascio si avranno:
1) A curve eontenenti una <7 con punto doppio e
' >) 2л + 2g — 2 curve eontenenti una C di genere я contata
•due'volte, ciascuna delle quali equivale а 2я — 2 curve'dotate di
punto doppio; • • '.
quindi si avr&
J = A (я — 2)(2n 4- 2g — 2) — 4ZT = 4 + 4(<? — 1)(л — 1) — 4 ,
c. d. d.
3. Espreseione dell’invariante di Zeuthen-Segre per meno dei generi.
Si ё 'detto che I’tw-uarianie I di Zeuthen-Segre й un invariante
relative della superficie JF; infatti esso cresee di uno quando un punto
О di & si muti in una ama eccezionale. L’asserzione si verifica in'
due modi:- qualora si prenda un punto О di > che non sia punto
base e sia sempliee per una curva del fascio | <7 [, mutando О in una
curva eccezionale, crescera di uno il numero <5 delle curve- dotate
di punto doppio; invece se О cade in un punto base del fascio |C|,
la trasformazione diminuisce di uno il numero dei punti base.
Osserviamo ora che una trasformazione della superficie so-
stituente ad un punto una curva eccezionale fa variare in sense in-
verse 1’invariante- I e il genere lineare pW della superficie, giacchd
aappiamo ehe quest’ultimo decresee di una тай. РезфШ la somma
I pW
costituirft un ‘invariante assoluto della superficie. Ma non si tratta
'di un invariante nuovo, poichA No&eher ha dimostrato che esso si
esprime per il genere numerico mediante la formula.
X 4” X2pe 4" (x) *
Questa relazione si eollega ad un gruppo di formule ehe mettono
. in evidenza diversi caratteri numerici in variant! vi delle superficie.
La dimostreremo qui seguendo la via iridicata da T. Bonnesen (’).
(4 Ковтижа, op. o., Math. Ann., VIII.
(’) P, Bonnbsmt, Sur fee eiiriee UnSaires triplement infinies de eowbee tdgt- j
briquae sar une eur'feu» algSbrigue. Bull, de I’Acad&nie Royal des Sciences et des j
Letties de Qanemarque, 1908, n. 4. ‘ . j
I
cxpitow qviSTO
174
. Biferiambci ad un sistema lineare irriducibile semplice oo* di
curve |O|, che possiamo ritenere sezioni piane di una superficie
J’ dotata di una eurva doppia D; porremo per semplicitS, che la D
sia irriducibile © dotata soltanto di t punti tripli che siano pure'
tripli per la >. L’invariant© I della superficie J si pud calcolare in
relazione ad un fascio di sezioni piane C, e vien dato da
(i) I <5 — л — 4я,
dove л ё YorAine di V, я il genere delle 0 e d designa la classe deUa
superficie >. La classe di J? ё pur data dal grado effettivo del sistema
JOjI segato su > delle polari <Pe_x; questo sistema possiede come
punti base semplici i т punti cuspidali di 1* sqpra D, eicchd <5 4- т
eguaglia il grado di
] Ct\ — 130 jtj
calcolato a preseindere dai r punti base auddetti. Introducendo il
genere lineare pW (genere delle curve canoniche impure K) avremo
quindi ’ ’
(2) 5 4- r-= 3n 12 (л —1).4- ?(1) — 1.
Ora al sistema oo* | О ] si legano alcuni caratteri (caratteri pro-
iettivi della , superficie B) e in- particolare i seguenti:
- a) 1’ordine d della eurva doppia D che dipende dal'grado n-
e dal genere я di [ C |:
л (» —1)(« — 2) ;
W “ =-------g— --------51 ’
P) il genere g della eurva doppia D;
y) il numero t dei punti tripli di D,. che sono anche tripli
per la superficie B; inoltre, chiamando 4 la eurva che corrisponde
alia eurva doppia I) su un modello J” privo di singolaritS, della-
superficie В:
6) il genere (effettivo) П della eurva delle coppie neutre di | C |,
eurva j che viene rappresentafe, sulla D doppia con т punti di di-
ramazione nei punti cuspidali. Occorre notare che la eurva 4
delle coppie neutre appare possedere t terne di punti doppi in cor-
rispondenza ai t punti tripli della D, e percio il gewere ®»rt«ate. di
zf Г
n + 3t.
Bra i caratteri anzidetti oltre le (1) e (2) intercedono diverse re-
lazioni da cui appare che oltre i due caratteri лея del sistema | C ],
due soli caratteri della superficie sono suscettibili di assumere valori
indipendenti e, fine a un certo punto, arbitrari.
Anzitutto osserviamo che la eurva A covariante del sistema
oo’ | (j | risulta essere sopra la superficie X" (trasfonnata di J* ove ё
INVARIANT! NVMBRICI В PIANI MUbTIPbl
175
sciolta la eurva doppia D) una eurva parziale del sistema | (n—4)0 |;
piti precisamente, sommando a 4 una eurva canoniea si ottiene
|zd -J- X | = | (и — 4)01.
Percift le intersezioni di zd eon le. curve del sistema aggiunto .
14 + К | formeranno un gruppo canonico sopra la eurva J di ge-
nere virtuale П + 3t, e si avrft, quindi
(4) 2(JT 4- 3t) — 2 = 2(n — 4)d,
dove d ft espresso della formula (2). . .
D’altra parte, poichft la eurva doppia D ft in corrispondenza
(1, 2) con,la zl e si hanno su essa т punti di diramazione, avremo,
per una nota formula di Zeuthen, .
(5) 2(2p — 2) + т = 2ZZ— 2 .
Pinalmente possiamo procurarci una sesta relazione, valutando
fl numero delle intersezioni di una Cf, jacobiana di una rete di | G [,
eon la zf, o, cift che ft lo stesso, con la JR. A tai uopo osserviamo che
= |SO + X| . e |zl -f- K| = |(n — 4)O|;
per conseguenza fl numero delle intersezioni (O,Zf) — (С/D') ft date
da
(30 4- K)[(b — 4)0 — K] = 2n»~- 7#'4- 16 4- 2л(л — 7). .
Ma questo stesso numero (CtD) si pud calcolare direttamente
sulla superficie P, cercando il numero a delle intersezioni di D con
la seconda polare Ф„_, di un punto generieo O; infatti la Gt inter-
sezione della polare di О incontra 1% eurva doppia D: nei r punti
cuspidali e negli a punti comuni » D e а Ф»_а (fuori dei punti tripli
di I?) in ciasouno dei quail fl piano tangente ad una falda di V va
a passare per O. Ordunque avremo
{Ct J)} == « 4-
dove ,
a — (w — 2)d — 3t.
Per conseguenza possiamo scrivere
(в) ' . 2ms 4- n 4- 14 4- 2л(« — 7) — -= {v. — 2)d — 31.
Alle sei relazioni che abbftmo scritte conviene aggiungerne una
settima che introduce il genere si ha
(«—1)(и—2)(n—3) , „Л(и—1)(»—2) 1 , ,
pe == ----—-g --------1 — (и—4) Г-----j' — л 4- 2t 4- e~1 =
— § (a —1)(« — 2)(9 — 2n) + «(« — <) + 2* + 6 — !•
176
СЛРХТОЬО «VI кто
Abbiamo trovato sette equazioni che legano gli undici caratteri:
n, я, <5> I, d, @, П, t, t, p„, pW. - • .
Fra questi лея possono assumersi find ad un certo punto in
modo arbitrario, dipendendo dalla seelta di un fascio [ C1 sopra la
superficie J?; pertanto 6 chiaro a priori che ijsette caratteri
5 , I , Q , ' П, V, t
potranno esprimersi in funzione dei detti » e я e degli invariant!
Pa e P(t> della superficie. In particolare si dovrh esprimere I come
funzione di pa e ₽<*>: a priori si potrebbe supporre che questa fun-
zione dipenda altfesi da n e я, ma in fatto dovrt riuscire indipendente
da questi, trattandosi di un carattere invariant» di У. '
Non resta che eseguire й calcolo, e poichfe le (1) e (2) contengono
gi& una espressione esplicita di I e di d, si tratta di risolvere cinque
equazioni lineari, in cui figurano come parametri n, я, e
Si ottiene eosi: • . . ' '
Й e » +, 4я — p W -f~* 12pa + 0
e = 1 (M« — 7л + 48) .+ (n — 12)я + »P. — 2pW
И = n* — вл + 2(n — 10)n + 12p« — 3pW + Зв
- . t ==g(»» —9n« + 26» — 78) — (л — 8)я — 4p«+
r = 2л -J- 8я — 12pe -f- 2рЫ — 22. - '
Dalla prima di queste formule si ricava 1’espressione di Noether
dell’invariante di Zeuthen-Segre: ’ , '
' I = 12p„ — p<x) + 9.
Note. - Le quattro formule che- danno g, IT, t e t, inettono in
evidenza quattro invariant! relativi eostruiti col caratteri d’un ‘si-
stema lineare oo8 | <7|- appartenente alia superficie. In particolare
ё degna di nota 1’ultima formula, che contiene linearmente лея;
. essa definisce I’invariante .
2» + 8я — т = 12p„ —^2p<« + 22.
Oombinando questa formula colla prima si otterrS. un altro
invariante relative molto semplice (x), cioft
. 2<3 —r = 36р. —4p« + 40. (*)
(x) Cfr. BOiWESW, 1. c.
(’) Cfr, Вокэпвзик, 1. о.
INVARIANT! NUMBRICI В PIANI МТГЬМГЫ
177
Questo invariant© 6 costruito a partire da due caratteri inerenti
ad un sistema lineare 00s jC| tracciato sopra la superficie: <5 de-
signa, in generate, il numero. delle curve C di un fascio dotate di
un pdnto doppio (fuori dei punti base) e т indica il numero dei
fasci contenuti nel sistema oo“ ] (31 che posseggono un punto base
doppio (fuori dei punti base di | C |).
Ossenazione. - L’espressione dell’invariante di Zeuthen-Segre
per mezzo del genere numerico e det genere lineare conduce a ritro-
vare il genere lineare del piano e delle rigate, che abbiamo caloolato
nel Cap. II, § 6.
Anzitutto si pud calcolare .1‘invariant© I del piano, riferendosi ad
un fascio di coniche, per cui si ha: -
il genere я = 0,
il numero dei punti base n — 4,
e il numero delle curve dotate di punto doppio d = 3.
Avremo
I = й — n — 4я = — 1 •.
quindi dalla formula - - .
I = 12p„ — pW 4- 9
essendo pa — 0, si rieava
p(l) SSS Ю.
Passiamo ora all© rigate itrazionali di genere pa ——p (p >0).
•Qui si pud calcolare il valore di I in relazione al fascio delle rette
generatrici, che й di genere p e per cui
я = 0, z1==0, я==0.
Si avrft
I = ri Ц- 4(p ” 1)(я •— 1) — 4 — — 4p.
Ora dalla formula noetheriana si deduce
- i2pB — р<1> Ц- 9 = — 4p
ed essendo pa = — p,
pm- = _ B(P — i) 4-1 .
Allo stesso risultato si perviene riferendosi inveee che al fascio'
irrazionale delle generatrici ad un fascio lineare di sezioni piane. •
4. Curve cuspidate di una rete.
Biprendiamo il sistema lineare oo^Cl e i.caratteri di esso con-
siderate nel precedent© paragrafo. Le formule stabilite ei permet-
Вмодотв У. - Sv.terfi.cte oUretrfche. . IB
178
САЙТОМ QUINTO
tone di determinare i caratteri appartenenti ad una rete di curve
|Cj, e in particolare il numero % delle curve di una rete che sono
dotate di una cuspide. _ '
' A tai uopo riferiamoci alia superficie T che ha per sezioni plane-
le curve С. 11 luogo dei .punti di V per cui la sezione piana tangente
possiede una cuspide A la curva parabolica C„ di J?, sezione della X*
stessa con la superficie Hessiana И. E quindi le % sezioni piane do-
tate di cuspide ehe passano per un punto 6 dello spazio, corrispon-
deranno alle intersezioni di 0» con la curva Cf, jacobiana della rete
segata dai piani per O, fuori dei punti cuspidal! di J1, che apparten-
gono semplicemente alia e, come vedremo, sono doppi per la
curva parabolica C*. ' -
Per valutare % occorre pertanto: ,
1) determinare il comportamento della hessiana nella curva
doppia nodale della superficie T; -
2) trovare ulterionnente le molteplicitA che la curva Сл pos-
siede nei r punti cuspidali di J.
Il primo caleolo.si ettettua semplicemente sostituendo alia data-
una superficie, cM torniamo momentaneamente a indicate con E, che
abbia nell’origine un punto doppio biplanare, coi piani tangenti
x e y; scriviamo in coordinate omogenee ®, y, «, «:
1* = ««-’asy -j- w"-“’ys(® у z) -f- .... ц- yn(a?yz). -
Lo hessiano di > 6 -
w №
Ъх* &й>у ЪхЪи
aw aw ъзя-
H — ЪуЪх • Sy* ЪуЪи
W sw w Ъг& .
ЪяЪх Ъ&у
W W
ЪчЛх ЪиЪу
Eseguendo il caleolo-si trova che il comportamento dell’hessiana-
nell’origine delle coordinate (a? = у — g — 0, « = 1) reeta de-
finite dalla hessiana della superficie approssimante del terzo ordine,
e cosi H possiede nel punto biplanare di F un punto quadruple.
Eitornando ora alia nostra superficie > 'dotata di curva nodale,
si deduce che la sua hessiana H d’ordine 4n — 8 passa quattro volte
per la detta curva nodale. Per conseguenza la curva parabolica
Сл apparterrA al sistema lineare
. - ' |« + 8< '
designando al solito con К le curve canoniche della superficie.
INVARIANT! NUMERICI В PIANI MUIOTbl 179
Ora si vede ehe i т punti cuspidal! di Xs (semplici per le Cf) sono
doppi per la curva parabolica O'*. Infatti, riferendoci ad una super-
ficie trasformata su cui venga sciolta la curva nodale di JF, un. punto
cuspidale di F darA su tale superficie un punto base doppio per un
fascio di | C |, nel quale si avranno dunque iae curve 0 'dotate di
cuspide. .
Cib posto, il numero delle curve cuspidate di una rete entro [ СЦ
verrA dato da
я = (0, • С») — 2т.
Ma essendo '
•= |3C + K| , |0s| = j8C + 4H|,
si avrA
• 0») = 24л + 20(2w — 2 — ») + 4p« — 4,
e ricordando I’espressione del r dal paragrafo precedente
• r = 2n + 8я — 12рл 4- 2pW — 22
segue. ‘
X ==- 24 (pe f я).
Si arriva cosi alia relazione scoperta da Zettihew : il ««mere deUe
curve cuspidate di una rete di genere л ё in generale 24 •(>«• + »)*'
A dir vero noi abbiamo dimostrato questa formula riferendoci
ad una rete di curve <7 ehe sia contenuta totalmente in un sistema
oo’. Ma A facile estendere il ragionamento fatto riferendosi ad un
sistema lineare oos |Z 4. C| che contenga parzialmente |<7|. E
cosi la formula verrA giustifieata in .ogni caso (x).
P) ba dimostrazione della formula data nel teeto si pub esporre anche in una
forma poco diverse, dove non si fa piii uso delle propriety dell’Hessiana. A tel
uopo conviene assoeiare alia superficie F la sua duals J” che ё trasformata di F
ottenuta faoendo oorrispondere alle sezioni piane le jacobiane Ct delle reti di |C [.
Se ora si costruisce la superficie duale di F' si dovrA ricadere sopra F. Cib signifiea. .
che le curve jacobiane delle reti di Cs sopra F, diciamo le Ofi, debbono identi-
floarsi con le sezioni piane O, a meno di una components fissa, che si riconosoe essere
la curva parabolica 0*.
Infatti si considerino le pblari rispetto ad F dei punti di un piano e, le quali
formano una rete. Ё chiaro anzitutto ehe la sezione piana О di « appartiene alia
jacobiana Cfj di codesta rete, perchA la polare di un punto P di C sega F in una
curva che passa doppiamente per P. Inoltre, se si assume un punto A sulla curva
parabolica <7*, il piano tangente in A incontra « secondo una retta a, e le polari
dei punti di a segano F secondo le .curve di un fascio che ha in A un punto base
con tangente fissa, fra le quali се п’ё una dotata di un punto doppio in A; percib
la curva СЛ fa parte della seconda jacobiana Ou.
Dalla relazione
|СЫ= |<7s+c?|
segue quindi
. |C* | = |8O + *K I -
180
CAPITObO QUINTO
5. Notfcsia etorica.
ba relazione del numero delle curve cuspidate di una rete col
genere numerico ё stata scoperta da H. G. Zetithe’n (*). Supponendo
nota 1’invarianza del genere numerico (cheZEUTHEXeNoETHEBrico-
noecevano, sia pure‘con qualche restrizione relativa alle singoIaritS.
della superficie), Zeuthek veniva eosi a provare che il numero #—24л,
caleolato a partire da una rete (di sezioni piane), risulta. indepen-
dent© da questa, e percib costituisce un carattere intrinseco della
superficie. Ж Sevebi nel 1902 ha dato una dimostrazione diretta
di questo teorema, con un procedimento affatto elementare (*).
ba dimostrazione svolta nel testo si trova in Boknesen, 1. c. (*).
Non possiamo chiudere questo cenno storico che completa le
notizie date nei precedent! paragrafi, senza ricordare un ordine
d’idee in .cui si ricerca I’interpretazione geometrica funzionale delle
formule numerative di cui innanzi si ё discorso. Й note come questa
veduta si sia • introdotta nella teoria delle curve, col teorema di
PAiMbEV^-CASTEiiWOVO (inteipretazione della formula di Zeuthen
relativa alle corrispondenze [i,»]) e colla eonsiderazione della serie
jacobiana • di una serie lineare, in cui Bnbiqbes ha riconosciuto il
modo pih. semplice di deflnire la'serie canonica e dimosttarne
1’invarianza. . '
Per tfovare una interpretazione analogs della geometria numera-
tiva sopra le Superficie, Severi, in successive memorie a partire dal
1932, ha cercato di costruite una teoria delle serie di gruppi di punti,
che chiama di equivalensa, la quale dovrebbe costituire una natural©
estensione deda teoria delle serie lineari sopra una curva.
Per un’ampia bibliografia sull’argomento vedi il libro di Ж
Sevebi: « Serie, sistemi di equivalenza e corrispondenze algebriche
suite variety algebriche », Boms, ed. Cremonese, 1942.
6. Caratteri di una rete e piani multipli.
Be formule .stabilite nel precedent© paragrafo permettono anche
di esprimere i caratteri di una rete di curve (<71, per mezzo di due
(*) ,H. -G-. Zbuvmsn, ihudes giomitriguee etc. Math. Ann., Bd. IV, 1871, Cfr.
la memories, pure oitata, di Кояиш, dei Math. Ann., VIII.
(’) F. Ssvbbi, Я genere aritmetico ed il дерете lineare in relazione alle reti di
curve traodate sopra una superficie algebrica. Atti Aoo. di Torino, vol. XXXVII,
1902. ... ‘
, (•) Cfr. anche M. Рлждаьи, Bui sistemi lineari triplamente infiniti di curve
traodati sopra um superficie algebrica. Rend. Giro. Mtft. Palermo, t. XX, 1903.
Ea eonsiderazione relativa alia jaoobiana di una rete di jacobiane, ohe abbiamo in-
dicates in una nota precedents, e’inoontra anche in E. Слговлы.
INVARIANT! NUMERIC! E PIANI MUETIPM
181
di essi, p. es. del genere л e del grado n, e degli invarianti della
superficie: pa e p<x>. '
Sia ) C ] una rete di curve irriducibili (di genere л e grado n)
priva di punti base sopra la superficie T; ad essa apparterranno m
genere i seguenti caratteri numeric!:
1) il numero AT delle intersezioni delle curve C colla jacobiana
della rete Ctt ,
JT = 2n + 2л — 2;
2) il numero 8 delle curve C di«« fascio dotate di punto doppio,
che sappiamo essere espresso da '
3 ж н ~f“ 4л 12pe — p^ 4“ fi 5
3) il genere della detta jacobiana Ct ( = 3(7 4~ -K)
. _ _ • P,= 4-Sw — «;
4) il numero fc dei contain tripunti delle C della rete (punti
base d’un fascio di О osculatrici);
6) il numero i delle curve della rete |O| dotate d’una ouspide-,
6) il numero d dei doppi oontatti delle <7 della rete (punti
base d’un fascio di О bitangenti);
7) il numero t delle О della rete dotate di due punti doppi.
Si pub supporre che la rete delle <7 sia segata su I1 da una Stella
di piani, per un punto O, che sarft in generate multiple per J? & rap-
presenterft. una curva irriducibile £ (la quale sommata alle C di
il sistema delle sezioni piane).
Allora la J1 viene proiettata da О sopra un'piano multiple n-plo,
i cui punti rispondono a gruppi di n punti di > appartenenti all’in-
voluzione I definita dalla rete | О |. Bi caratteri.anzidetti assumono
il seguente significato:
1) .У ё Гordine della curva di diramazione D del piano n-plo
(curva'luogo dei punti del piano cui rispondono gruppi di I dotati
d’una cpincidenza);
2) P ё il genere della curva di diramazione Dy
3) д ё la etasse della detta curva Z>;
.4 ) к ё il numtao delle rette per О che hanno un contatto tri-
punto colla superficie P, e quindi il numero delle cuspidi della D;
6) i ё il numero delle curve cuspidate, sezioni piane di D
per O, e quindi fl numero dei flessi della curva di diramazione Dy
6) d ё il numero delle'rette per О bitangenti ad V e quindi
il numero dei 'nodi di Dy
182
camtolo qvikto
7) t ft il numero dei piani per О bitangent! ad F e quindi il
««mere Mie tangenti doppie (con contatti distinti) della D. '
Questi caratteri sono legati dalle formule di PlUoker relative alia
eurva D, che in generale 6 irriducibile e non possiede altre singolaritSk,
puntuali о tangenziali.
In tai guisa si perviene a stabilire le seguenti relazioni:
'>=2п4-2я — 2
P == p« + to - 9
$ = я ix-4~12pa — pd) 4-9 •
A)
к — 3(n -f- 6л -f- pd> —4p„ —11)
i = 24(л 4- pa)
d = 2[(w 4- w)s — 5n — 17л — 2p« 4- 6pa 4- 24]
t = 4- to 4- 12p«—pW)1 4- 1бл—6л 4- 132p«—17р«4- 74].
JU
Quests formule esprimono in generate i caratteri di una rete irri-
ducib&e | C | priva di punti base sopra la superficie F, ovoero i caratteri
pUlokeriani della eurva di diramarione D del edrrispondente piano
multiplo, per meesso del genere e del grade, я ed n, di | C-) в degli inva-
riant ра в della superficie.
« Tali invariant! sono espressi per mezzo dei caratteri di D dalle
formule: ’ .
pft) = p — 9л 4- 9
•®)
‘. о anche
fc
4fa = n + P —-3л —--у — 2
(я = |-л4-1).
Osservarione. - Tra le formule Л) hanno particolare importanza
la quarts e la quinta, che mettono in evidenza due caratteri inva-'
rianti della rete | C | contenenti linearmente «ел, ciofe 3 (я 4- 6 л — к)
e 2to — i. :
Ma soprattutto й important© Fultima di quest® due formule che ci
poTge 1’invariante assoluto p„. Come si ё detto quests relazione fra
il p„ e il numero delle curve cuspidate di una rete ё stata scoperta
da G. H. Zeothen. Ed 1*. Seveki ha dimostrato in modo diretto ed
elementare che Гевргеввмте 2to — i Й eguale per tutte le reti prive di
punti base appartenenti alia superficie P. Si ha cost una nuova di-
mostrazione dell’invarianza del pa.
INVARIANT! HVMBRICI В PIANI MOTTUM 183
7. Corrispondensm (1, ®) fira due superficies piani doppi.
Si abbia on» corrispondehza (1, ®) fra due superficie f ed Ft
ad un punto di F corrisponde «w punto su f, mentis ai punti di f
corrispondono su F i gruppi di una involuzione I d’ordine n (ogni
punto di F appartiene ad «» gruppo della I). Aggiungiamo per
semplicitft i’ipotesi che non vi siano punti fondamentali, ciod punti
di / о J* a cui risponda sull’altra superficie .una eurva.
Ad un sistema lineare irriducibile |o|, date sopra /, risponderft,
•su J* un sistema lineare | C |, appartenente all’involuzione I. Alla
jacobiana | c,| di una rete contenuta. in | o|, risponde su F una eurva
che fa parte della jacobiana della yete delle | C | omologhe. Ma per
completare. la jacobiana di quests occorre aggiungervi la eurva
delle coincidenze D, che corrisponde alia eurva di diramazione sopra
infatti, un punto di D 6 un punto base di un fascio di | C\. dentro
la suddetta rete, che ha una tangente fissa, e percid ebntiene una
0 dotata di punto doppio. Cib posto, ricordando la definizione delle
•curve canoniche (|Ж| = |C, — 301) si deduce il teorema:
Per effetto di una corrispondenza (1, ») fra le superficie f ed Ft le
trasformate delle curve canoniche di f,. sommate alia' eurva omologa
della eurva di diramazione, costituiscono curve canoniche di F~ (x).
II teorema va modificato quahdo vi sia sopra f un punto fonda-
mentals a eui risponda sopra F una eurva (owero una eurva' e un
gruppo di punti); questa eurva fondamentale -va aggiunta alls immagini
delle curve canoniche di f e alia eurva di coincidenza, per formare una
•eurva. eanonica di P.
Il teorema enunciate sussiste anche quando le curve canoniche
di / siano virtuali. Si pub fame applicazione al problema delle curve
canoniche e pluricanoniche di un piano doppio.
Si abbia una superficie F contenente un’involuzione razionale I
di 2° ordine, mercb cui viene rappreeentata sul piano.doppio
= /«П (®, V)
dove la eurva di diramazione /a^ d’ordine 2®, pqtrJb avere dei punti
singolari, la cui molteplicitb ft da valutare secondo le convenzioni
del Cap. Ill, § 7.'Sul piano doppio si assume la eurva d’un si-
stema lineare che non abbia punti base fuori dei .punti singolari
di a risponde su F una eurva che ha per aggiunte le trasfor-
mate delle 9>m_3, aggiunte alia <pm nel piano,.sommate alia eurva di
coincidenza omologa alia' /,«. Se, in luogo di una prima aggiunta, si
considera una seconds aggiunta уш_а, alia trasformata di essa dovrft
sommarsi la eurva di coincidenza contata due volte, e cost via.
(!) Cfr. Enbiqubs, ЛйегеЛе ecc..
184 СЛМТОЬО QUINTO
Infatti sul piano le curve canoniche virtuali К sono definite
dalla sottrazione ' .|K| .
e percib si otterranno curve canoniche sopra- J* sommapdo le К
alia curva di coincidenza /ая; aommando a queste le omologhe delle .
si avranno dunque le aggiunte a queste ultime curve.
Appliehiamo il risultato ottenuto assumendo al posto delle y,„.
la curva di diramazione e le seconds aggiunte a questa:
Per avere su P le seeonde aggiunte alia curva di coincidenza contata ;i
due volte, che risponde alia ftn, basterb, sommare questa curva con- |!
tata due volte alle trasformate delle /»„_£. Sottraendo dal sistema j;
cosi ottenuto la stessa eurva di- coincidenza contata due volte, si к
avranno le curve bieanoniche di’J*, fra cui sono quelle, appartenenti
all’invOluzione X, che hanno per immagini le /г„_в- _
Dunque: le curve seeonde aggiunte alia curva di diramazione del , .
piano doppio sono' immagini di curve bieanoniche appartenenti al-
1’involuzione I. Questa deduzione b d’accordo con cib che si. b vis to
al Cap. Ill, § 7: che le curve canoniche della superficie sono rappre-
sentate dalle /A_s appartenenti alia metft, del sistema secondo ag-
giunto alia eurva di diramazione.
Il ragionamento si estende alle curve pluricanoniche: si otten-
gono curve tricanoniche del piano doppio sommando le terze aggiunte
della, curva di diramazione a guesta, stessa curva, e cosi via.
Ma ritorniamo alle curve bieanoniche, per osservare che, anche
in altro modo, si ottengono curve bieanoniche del piano doppio вот- ,
mando la curva di diramazione alle aggiunte delle curve immagini
delle curve canoniche; basta ricordare che il sistema bicanonico sega
gruppi della serie canonica sulle curve del sistema canonico.
Ora si noti che il sistema 'bicanonico b trasformato in se stesso
dall’involuzione I, mentre le sue curve non appartengono in gene-
.rale a questa involuzione. Quindi-do vremo considerate codesto ai-
stema cojne uno spazio lineare di P — 1 dimension! (P designando
il bigenere di P) su cui la I subordina un’omografia involutoria con
due spazi di punti uniti Sr e St, dove
Uno dei due spazi, sia p. ев. 8T) risponderb al sistema delle Lj
seconds aggiunte della mentre I’altro spazio St corrisponderA !
al sistema formate dalla /а„ di diramazione presa insieme con le
aggiunte delle immagini delle curve canoniche. Quindi, desi-
gnando con m = t -f- 1 il genere delle /»_», risulterb.
P = r -j- я 4* 1.
Questa formula esprime il bigenere del piano doppio in funzione
del genere (r 4- 1) delle curve /SB_a aggiunte alia curva di diramazione .
INVARIANT! NUMERICI В PIANI' МОТИВЫ ' 185
e del genere я delle curve ruetft dello biaggiunte /ая_в, ciob del genere
dell’involuzione di 2° ordine che la I subordina su una curva ca-
noniea.
Le cose dette si estendono faeilmente ai plurigeneri. Ci limite-
remo a rilevare che se i plurigeneri debbono essere tutti nulli, man-
cheranno tutti i suctogsivi aggiunti alia curva di diramazione, e percib
questa curva si potrft> trasformare birazionalmente in una eurva
d’ordine 2 л eon -un punto (2». — 2)-plo о in' una quartica о in una se-
stica con due punti tripli infinitamente vicini, о in un caso parti-
colare di queste (* *).
Pertanto si pub affermare che:
Un piano doppio avente tutti i generi nnlli й rationale owero rife-
ribile ’ad una rigata iperellittica. .
8. Formnle 'di corriepondenza.
’ll teorema che abbiamo dato nel paragrafo precedente in ordine
alia trasformazione delle curve canoniche in una corrispondenza (1, n)
fra due superficie / ed P, dice anzitutto che, in ogni caso, il genere
P, di F non pub essere inferiore a quello di/:
’ " - - P,
Inoltre lo stesso teorema conduce subito ad una relazione fra i
generi lineari P<b e pw delle due superficie.
"XJonviene premettere un’osservazione relativa alia curva di di-
ramazione D della corrispondenza sopra /.Essa sarA in. generale do-
tata di un certo numero di nodi a cui rispondono sopra V gruppi
di n punti con due coincidenze distinte. Inoltre la D possieder^ un
certo-numero di cuspidi; a ciascuna delle quali risponde un gruppo
di » punti di cui tre sono venuti a coincidere. Cib posto, per un note
teorema di Zeuthen, ad una eurva canonica n-pla su f ehe incontri
in s punti la curva di diramazione d, risponde una curva di genere
л(р«-1) + |+1. -
di coincidenza Л,
di questa, si avrh
Questa curva incontra in я punti la eurva
sicchb designando eon q il genere effettivo (®)
. pb) = n(pto-i) + e+ |s.
(i) Teorema di. Слатямго'ого-Ежвючгжв, 1900. Cfr.
Ensiqubs-Contomto,
Le iiuperfioie razionaU, J 27, pag. 489.
(*) Si animette ehe la eurva d non.presenti altro singularity che i nodi e le
cuspidi che hanno -il signifieato spiegato innansi rispetto alia nostra corrispon-
denza.
184
САМТОЬО. atriNTO
' lega i generi lineari deUe due superficie in cor-
da* S . Tn essa deve farsi g = 1 ed s — 0 quando ‘manchi
. •» una / senza singolarity) la curva di dirama-
uente si pud scrivere una seconda relazione
numerici P* e pa di > ed f J*).:
^o si assumery uh fascio di curve | c [ sopra f e il fascio
«awcorrispondenti |0| sopra 1*. Per mezzo dei caratteri di
^esti due fasci si. valuteranno gli invarianti di Zeuthen-Segre i
ed I delle due superficie e si scrivery la relazione da cui essi sono
legati. '
Si design! dunque .con m il numero dei punti base di |c|, con a
il genere delle c, e eon <3 il numero delle e dotate di punto doppio;
avremo ' ' .
• _ ' i *= 5 — m — 4az .
Ота il numero M dei punti base del fascio | <7|, e fl genere ZT
delle G sono dati rispettivamente da
M = mn
e .
П — n{n —1) -)- 1 -f- g-
-ove con t si deeigna il numero delle intersezioni di una c con la curva
di diramazione d su f. Quanto al numero J delle curve О dotate di
punto doppio, si troveranno anzitutto tra queste le <5 curve che ri-
spondono alle e dotate di punto doppio,' ognuna delle quali, avendo
n punti doppi, dovry contare per n. Ma vi saranno in generale altre
A— nd curve che si ottengono dalle c che toccano la curva d, fatta
eccezione per quelle che hanno un contatto improprio, passando
per una cuspide della d, alia quale risponde su V un punto in ctti
si riuniscono tre degli « punti corrispondenti.
Pertanto, designando con g il genere efiettivo della curva di
diramazione d, e con % A numero delle cuspidi di essa si-аггУ
Zl n$ ~f- 2t -f~ %g — 2 — x j
quindi si avry Fin variant© di Zeuthen-Segre della P espresso da
I = J — M — 4Л = -f- 2g — 2 — x — — !) — .
(*) EwaiernES, Л-fcerefce все., 1893.
(’) Cfr. Sbvbbi, Svlle rdazioni ohe legano i caratteri invarianti di due superficie
algebriohe. Bend. let. Lombardo, 1903.
INVARIANTI NUMZRICI 8 PIANI MULTIPLI
187
Cid poeto, ricordando la relazione di Noether
4 -== I2pa —— pd) -|™ 0
'I = 12 Pe —- Р») + 9,
ei dedurra
24(Pa 4- 1) = 24n(pB + 1) 4- 6g — 6 4- 3e — 2^.
.Questa relazione lega i generi numerici delle due superficie f ed JF
in eorrispondenza (1, n), nell’ipotesi semplificativa che non esistano
punti fondamentali della eorrispondenza sopra /. Anche qui se man-
ca la curva di diramazione si assumerh
g == 1} s === 0.
Le formule che legano i generi numerici e i generi lineari di due
superficie / ed IF in eorrispondenza (1, n) si possono anche scrivere
in altra forma, introducendo al posto del numero s che, designa il
numero ’delle intersezioni della curva di' diramazione d di f con le
curve canoniche й, il grado v della curva d: grado virtuale che si
esprime per mezzo di s e del genere virtuale di d, q 4- e 4- %, dove
con s si indica il numero dei nodi di d e con % il numero delle
cuspidi. Si avrh
8 = 2(g 4- e 4- — 2 — v
« quindi le formule che legano i caratteri di f e di P diventeranno:
ры = — I) 4- 4g 4- 3(e 4- z) — — 3
24(Pa 4- 1) == 24п(ра 4-1)4- 12g —12 4- 6s 4- 4# — 3.
La prima formula si pub dedurre egualmente comparando i
gradi del sistema canonico su f e su J*. Bicordiamo che si ottiene
una curva- canonica £ di J? sommando alia trasformata, di опа к
di / lit curva di coincidenza D che la incontra in' 8 punti; indicando
con ® il grado di- D, avremo:
, PW-1=b(?W-1) + «+28.'
Questa formula si accords con la precedente, ove si calcoli i
valore di as che 6 - -
® | — (® 4- £)•
In particolare, se si ha su f una curva di diramazione о una com-
ponent© di essa di grado v, che sia priva affatto di punti doppi,
la curva di coincidenza che le corrisponde sopra JF ha il grado
Oid appare chiaro specialmente nel caso di una, eorrispondenza
(1, 2), n = 2, dove la curva di diramazione deve ritenersi in generale
188
САИТОЬО QUINTO
priva di punti doppi: a questa eurva di grade v corrisponde una-
V
eurva doppia di grade 2v, la cui component© ha dunque il grado g-.
Й interessante confrontare le formule qui ottenute con quelle
che porgono il genere numerico e il genere lineare dei piani multiplx
che abbiamo. date nel' § в.
Si debbono ritrovare queste formule tenendo conto che il genere '
lineare (relativo) del piano vale = 10 (*), mentre il suo genere
numerico ё = 0. _ ' - .
A tai uopo si riprendano le notazioni adoperate nelle formule
B) del § в, mettendo cost P al posto di g, fc al posto di %, d al posto
di в в j*- al posto di v, dove
JV xs 2h 4~ 2 л —— 2.
Con queste posizioni, le nostre formule danno
pw = pw 4- 4P 4- 3(d + Л) -=--•№ — 3
*»
e poichfe
si deduce
PW=P- 9л 4-0;
che ё la prima delle nostre formule B).
Similmente la formula che d& 24 (jPo 4- 1) diventa
24(Pe 4- 1) == 24n 4- 12(P — 1) 4- 6Л 4- 4* — ЗЖ
da cui
4Р« = »4-Р — Зя — 2 • .
О
che ё la seconds delle nostre formule B).
In questo modo 'si sono ritrovate le formule che ddnno i caratteri
di un piano multiple. '
Bsempi. — Biprendiamo le notazioni di - questo paragrafo, per
applicate le forinule ottenute ad aleuni esempi interessanti.
Si consider! la superficie di Jtwnmer, superficie singular© del eom-
plesso quadratico -di rette dello spazio, che ё definita come,super-
ficie del 4° ordine ft dotata di 16 punti doppi (*). Si note che la ft,
che ё superficie duale di si stessa, possiede 16 piani tangenti doppi,
che la toccano ciascuno lungo una conica, cui appartengono 6 punti,
doppi. Oib risulta aenz’altro dalla rappresentazione della /< su un
piano doppio eon sestica di diramazione spezzata in 6 rette, quale
si ottiene proiettando la /< da un suo punto doppio. Ora si conside-
(I) Cfr. Cap. II, g в; Cap. V, g 3.
(a) Cfr. Ensiqubs-Chisini, Lezioai вес., ХдЪго VI, J 40, vol. IV, pag. 248.
INVARIANT! NUMBRICI В PIANI MULTIPLI
189 '
Tino 3 piani tangenti doppi della /« passanti per un punto doppio A;
questi s’intersecheraimo a due a due secondo rette, che proiettano
da A tie punti doppi, Д C, D-, quindi risulta che il tetraedro ABCD
i cui vertici sono doppi per /«, contiene semplieemente i rimanenti'
12 punti doppi della /<, tre su ciascuna faccia.
Ci6 posto, designando con T (г»,у, «) — 0 Tequazione di codesto
-tetraedro, costruiamo nello spazio <8* у « «) la superficie J* di equa-
zione . ’
w2 = у я)
(M®, у, == о),
che ё rappresentata sopra la- /* doppia. ’ •
. Imports osservare che su quests superficie doppia non v’fi
eurva di diramazione d’ordine maggiore -di zero. Ma vi sono 16
curve di diramazione infinitesime, costituite' dagli intomi dei 16
punti doppi, per cui T passa un numero dispart di volte. Di qui
risulta che la nostra doppia ё irriducibile; e del rest» cid dipende
anche dal criterio di Comessatti (l), osservando che su ciascuna quar-
tiea sezione piana doppia di Д, vi sono 8 punti crttici apparent! che
cadono nei punti di contatto di un quadrilatero, e non apparten-
gono ad una conica. ba corrispondenza (1, 2) che intercede tea
ed P ’conduce dal sistema delle sezioni piane di ft che ha il genere
st — 3 e il grado n = 4, ad un sistema lineare di genere 6 e grado
8 = (2 • 5 — 2.) sopra V. Si deduce che la J5 ё, come la doppia,'di
genere
Р» == 1 ' ’ ’
•ed ha, come queUa, eurva canonica d’ordine zero, e quindi tutti
i plurigeneri eguali ad’ uno.
A priori il genere lineare (aesoluto) di j? sar& dunque P‘> == 1.
Ma valutiamolo con la nostra formula:
ры = n(pw -1) + 4g 4- 3(e + X) v — 3.
A tai uopo si osservi che la eurva -di diramazione Л su /4 ё co-
stituita dai 16 intorni dei 16 punti doppi, ciascuno dei quali ё una
eurva infimtesima di genere zero e grado —2 (e = % — 0). Troveremo
dunque .
. , p<» 4-15 + 5--32—3 ==—15.
(!) IWcordiamo oho in base al criterio di Comessatti la eondizione necessa-
ria e sufficients affinohA una cam irriducibile C,. tangente ovunque I’incontra
alia eurva di diramazione DSm, sia iramagine di una eurva epezzata Й ehe il
gruppo dei punti di oontatto appartenga alia serie segata su C dalle curve
meta, della eurva- di diramazione.
190
САЙТОМ) QUINTO
Questa coneluaione paradoseale riesce chiarita se si pensa che
a ciascuna. curva di diramazione di genere zero e grado — 2, risponde
a priori una eurva di genere zero e grado — 1,- ehe fe eccezionale, e
che nel caso nostro appare come.l’intorno di un punto sempliee di J1,
Per costruire la eurva canonica di F noi abbiamo eommato. alia
trasforinata della eurva canonica d’ordine zero di /t, la trasformata
della curva di -diramazione, per conseguenza abbiamo valutato' il
P® tenendo conto degli iptorni di 16 punti'semplici come se quest!
fossero curve eccezionali di JF agli effetti del caleolo del genere li-
neare. In altre parole‘abbiamo valutato il genere lineare di una su-
perficie trasformata di P con 16 curve eccezionali. Eliminando queste
curve si trova, come deve essere:
pw « i.
Procedendo ancora a valutare il genere numerico di S', si avrit
. - 24(Pa+ 1) =98-12 • 15 —12 + 3 -32 = 0
ossia
Pa — -- 1 •
Nota. - Come ё stato dimoatrato da B. Kntar (l), la superficie
di Kummer Д si'pub. rappresentare come una involuzione sopra la-
superficie Ф di cui gli element! sono le.- coppie di punti di una curva
C di genere 2; precisamente, si prendono come conjugate -su 0 le
coppie di punti .che sono residue 1’una dell’altra rispetto ad una-
gj. tn tai guisa si definisce su Ф un’involuzione I ehe ha’16. punti
di concidenza, in corrispondenza alle 16' coppie di C provenienti
dalla bisezione della g%. Ora la I essendo rappresentata dalla /*,.
si ha che la Ф viene rappresentata da questa superficie di Summer
doppia, con 16 punti di diramazione, che cadono nei suoi 16 punti
doppi. Pertanto si deduce ehe la superficie Ф equivale alia P di
cui innanzi abbiamo scritto 1’equazione. В cosi la superficie iperel-
littica rappresentante Vinsieme delle coppie di punti di una curva di
genere 2, Ba i generi
V» — 1 > pa = — 1
e tutti i plurigeneri uguali ad 1. Avremo occasion© di ritornare pift
avanti su tale superficie (’).
. Tin altro esempio interessante, in ordine alia nostra teoria si
ha eonsiderando la superficie di genere p, = p, = 0 e di bigenere.
f1) Cfr. Еввдим-Свшш, 1. о.
(a) "Per la costruzione judicata irmanai della superficie iperellittica come su-
perficie di Kummer doppia, con curva di dframazione definita dal tetraedro Г,
cfr. Enbiquks-Sbvubx, Memoirs ear lee ewfacee hypereUitpiquee. Acta Math., 1908.
INVARIANTI NUMBBICI'.B PIANI MULTIPbl 191
P = 1, costituita dalla sestica /. che passa doppiamente per gli
spigoli di un tetraedro T (cfr. Cap. II,. § 8). Costruiamo la superficie
> definita dalle equazioni
u’ = 21 (®, f, g), ft (SB, y, z) = 0,
che b rappresentata sopra la /, doppia. Poichb T ed /, hanno comuni
i 6 spigoli del tetraedro T contati 2 volte, sulla /e non c’d curva di
diramazione d’ordine > 0. Ma'non ci sono nemmeno curve di di-
ramazxone infinitesime, ciofe punti di diramazione: a priori questi
potrebbero cadere soltanto nei vertici .di T; ma uno di questi vertici
• A proviene su ft dalla sovrapposizione di 3 punti semplici, i cui in-
toned appartengono ai piani facce del tetraedro passanti per A. Ora,
poichft A ё 4-plo per la sezione di fs con una faceia a, i punti infirfi-
tamente vicini ad A su a non saranno punti di diramazione della
, nostra f t doppia. Cid posto osserviamo che le curve C sezioni piane
di fs sono curve doppie irriducibili (criterio di Odmessatti) e quindi
rappresentano su P curve C di genere w — 7 e di grado J =• 2 • 6 =
= 2я — 2. Siccome il doppio di |<7| ‘coincide col doppio del sistema
aggiunto:
|2(7'| = |2<7|,
si deduce che su P
|C'| = \C\
e percib il genere geometrico di P vale
P, = 1.
La P possiede una curva canonica d’ordine zero, quindi il suo
genere lineare
P<1> = 1 '
. e tutti i suoi plurigeneri P{ — 1.
Confrontiamo i caratteri di P con quelli .della superficie doppia
ft che ha
pa SSS 0 f pQ) I
(cfr. § II, 8). Le nostre formule ci danno
л==2, p = 1, v == 0 , s = % — 0 ,
P« = 2(pW — 1) -j- 4g — 3 == 1 ‘ ' •
e
• 24(РЯ + 1) == 2 • 24(pe + 1) = 48
donde‘ ‘ . .
Рл = 1.
sestica ft passante ioppimnente per gli spigoli di un tetraedro
Лв — come sempliee —• ё una superficie regolare di genere zero e di
192
CAPITObO QUINTO
bigenere uno con curva bicanonica d’ordine zero, si pud ritenere come
una superficie doppia coi generi eguali ad 1 e con curva canonica
d’ordine zero (l).
9. Teorema d’esistenasu
Bitonaiamo alia eonsiderazione dei piani multipli. Quando una
superficie f con dati generi p. e p<15 venga rappresentata sopra un
piano multiple di un certo ordine n, in eorrispondenza ad una sua
rete di curve di genere я ef grado n, abbiamo appreso a valutare i
caratteri della curva di diramazione del piano n-plo per mezzo di л,
я, p« e pm (cfr. §8). .
Le formule eosi ottenute indicano gift che la curva di diramazione
di un piano к-plo, per » > 2, non pub assumersi ad arbitrio. A dir
veto, data una qualunque curva piana
' - ' /(®! y ) = 0
ai puo costruire fl piano n-plo (cielico)
' ' Z” =ч / (W) / '
che ha appunto, come curva di diramazione, la / = 0.
Ma la curva di diramazione di questo piano u-plo non 6 costituita
dalla sola / irriducibile, bensi dalla / contata volte, alia quale
si aggiunge ancora la retta all’infinito, contata una о pih volte,
quando 1’ordine m di / non sia multiple di n (’). Goal dunque la curva
di diramazione di un piano cielico w-plo, non й affatto una curva
irriducibile. arbitrariamente data.
Poichd la curva di ’diramazione di un piano »-plo per n > 2
non pub darsi ad arbitrio, nasce il problems di «determinate le
condizioni perchb una curva piana f(xy) — 0 sia. curva di diramazione
di' un piano n-plo». Queste condizioni condunanno ad un teorema
d’esistenza per i piani multipli о per le funzioni algebriche di due va-
riabili, teorema che presents un senso analog©, ma sotto un certo
f1) Cfr. F. Enbiqcts, Un’aeaeroazione relativa edit superficie di Ыдвпете uno.
Bendits. Ace. Bologna, 1908.
(*) Per vederlp baste riferirei ad una retta n-pla о meglio ad un» rieraanniana
ad n fogli, che si coatruieca asaumendo nel piano della variabile compleesa m
punti di diramazione, a oiaaouno dei' quali riaponda la eoetituzione ciolioa fra i rami
,{12 3... »). Un giro ohe awolga tutti gli m punti di diramazione dA luogo ad una
permutazione fra i rami eepresea da (12 3 ;.. n)n, e queeta й la eoatituzione cor-
rispondente ad un. giro interne, al punto all’infinito, che pertanto rieece di fatto
un punto di diramazione, quando la detta eoetituzione non sia identic», oioA m
non aia multiplo di n. . - ‘
INVARIANTI NTTMERIOI E PIANI MULTIPLI 193
aspetto diverse, dal teorema d’esistenza per le rette n-ple о pet le
funzioni algebriche di una variabile, dato da Впшкн (x). Infatti,
nel caso di Biemann il gruppo dei punti di diramazione si pub
dare ad arbitrio, ed in eorrispondenza ad esso si ha un numero
finite di classi di funzioni algebriche (o di rette «-pie), ognuna delle
quali dipende datl’assegnare le sostituzioni fra i rami, in relazione
ad un sistema di cappi awolgenti i punti di diramazione; qui in-
vece,' come si 6 detto, si tratta di trovare le condizioni particolari
a cui la curva di diramazione deve soddisfare per 1’esistenza del piano
«-plo e, almeno in generale, quando queste condizioni siano soddi-
sfatte, si avte soltanto una class© (’) di superficie rappresentata sul
piano, ossia un piano »-plo unico, cui risponde un determinate si-
stema di sostituzioni in relazione ai cappi • awolgenti la curva di
diramazione, di cui diciamo in appresso.
- Tuttaviar il significato algebrico della question© resta analogo
a quello della eostruzione di una funzione algebrica d’una sola va-
riabile di cui sono dati i punti 'di diramazione. Quando si prqietti
la superficie = 0 dal punto all’infinito Z deli’asse delle z
sopra il piano й = 0, si ha in generale in questo piano una curva
luogo dei punti critici della г(фу) ohe si rappresenta annullahdo il
discriminant© di questa funzione,
— 0
ciob il risultante delle due equazioni
Х\агуя) == 0, ’ • -gj- — 0. "•
Pete codesta curva A = 0 si decompone in generale in due parti,
d=dx-J‘, . .
una delle' quali, zl, = 0, b una curva critica apparent©, proiezione
della curva doppia di X, mentre 1’altra 4 = 0 (la cosidetta parte
principale del discriminants) costituisce propriamente la curva di
diramazione della funzione algebrica z(aty). П nostro problems con-
. siste nell' «assegnare le condizioni perchb una curva piana sia
curva di''diramazione di una funzione algebrica di'due variabili»
e quindi nella «eostruzione di questa funzione algebrica con data
curva di diramazione ». La posizione del problem» stesso si pud
precisate assumendo che la curva piana /, che vuolsi essere curva di
• . f1) Cfr, p. ей. Емвздожв-Сихаии, Lezioni. Libre V, cap. Ill, 33 "(vol. Ill,
pag. 35S).
(a) Cfr..- O. Caxsnri, SuHa ideniitH birazionale delle funzioni algebriche di due
‘variabili dotate di una mederima сипа di diramazione. Rend. let. Lombardo di
Science e Lettere, 1944.
Ekkiqubs F. - Sugerficia algebriche.
IS
IM
слмкм» quinto
diramazione di un piano n-plo, sia una eurva di ordine pari 2m (’),
proiezione da un punto 0 del contorno apparente C di una super-
fieie T, cost che la f possegga un certo numero d di nodi ed un certo
numero 'di cuspidi, che rispondano a punti doppi apparent! della
detta eurva <0: oltre a questi punti doppi la f pud possedere nodi e
cuspidi rispondenti a punti doppi isolati (rispettivamente punti co-
niei e punti biplanari) della J?; ma da quest! punti doppi di / si pub
prescindere ritenendoli come virtualmente inesistenti.
Oib premesso, consideriamo nel piano della eurva data f un fascio
di rette, il cui centre, per semplicitk di discorso, possiamo support©
non appartenente ad f, e sia per esempio il fascio у == ta> col centre
nell’origine 0. Per un valore generico di t, si ha una retta w-pla
su cui sono segnati 2w* punti‘di diramazione semplici; nel piano rap-
presentativo della variabile complessa x si aasumono 2m cappi
uicenti dal punto О e awolgenti codesti 2m punti; si possono aese-
gnare ad arbitrio 2m trasposizioni eui rami corrispondenti ai detti
cappi, con la condizione che il gruppo da esse generate sia transitive
e che il loro prodotto sia I’identitA: .in tai gUisa si trova un numero
finite di curve irriducibili, in generale birazionalmente distinte,
che vengono rappresentate sulla retta n-pla у — te e che sono egual-
mente 'di genere
m , „
‘ = n + 1;
queste curve sono definite a meno di trasformazioni birazionali,
ciob rispondono a class! determinate di curve о funzioni algebriche,
generalmente distinte.
Il numero r delle dette curve .... CT b stato determinate
da Hukwitz, ma qui non ocoorae eonoscerlo. Imports invece tener
presents che, quando si faccia variare t descrivendo un cammino
chiuso nel piano т di quests variabile complessa, le .curve Ci f
Cr (o le class! di curve eui esse appartengono) verranno in ge-
nerate permutate fra loro: cib awiene in primo luogo perchb ven-
gono fra loro permutati i 2m punti di diramazione intersezioni della
retta у — tx con. /, ed anche perchfe il sistema dei cappi, coi quali
si costruisce per es. la riemanniana ad <n fogli di Clf pud ridursi per
continuity ad un nuovo sistema di cappi, che si lascia. riportare al-
1’antico mutando opportunamente le relative trasposizioni. Ora se
la f й eurva di diramazione di un piano n-plo, proiezione di una su-
perficie > razionalmente detenninata, bisogna che una delle dette
curve, sia per es. Cls essendo sezione di V, venga razionalmente
Se fosse di ordine dispari le si ag^giungerebbe necessariamente la retta
airinfinito.
INVARIANT! NUMERIC! В MANI MUWIMI ' 195
determinate e percib la sua riemanniana non si scambi con quelle
di <7„ .... Crj ma ritorni sempre in Сг per ogni giro ehiuso percorso
dal punto t nel piano di quests variabile complessa.
Si tratta in primo luogo di stabilire le 'condiisioni d'invar iama,
delta (classe a cui appartiene) Cx о della sua riemanniana, rispetto
a tutti i possibUi cammini eMusi percorsi da t nel piano r. Queste
condizioni saran.no certo condizioni necessarie per I’esistenza d’un
piano w-plo avente / come eurva di diramazione.
Brecisiamq il sense della nostra ricerca. Anzitutto si scelga un ’
valore iniziale di t, sia p. es. t = 0, e nel piano della variabile
complessa ® si assegni un sistema ordinato di cappi uscenti da О
ed awolgenti i punti di diramazione АгА,.... A,CT (intersezioni di
/ colla retta у = ©)•; quindi, in ordine ad una data nomenclatura dei
rami 1, 2, n della funzione algebrica «(«), si prenda nota delle
trasposizioni che rispondono ai detti cappi OAif riuscendo cosi a
definire la riemanniana ad n fogli rappresentativa della nostra <?x
(quella di cui si ricercano le cohdizioni d’invarianza rispetto ai giri
chiusi percorsi da t nel piano r). .
. Avendo deflnita la riemanniana iniziale, fra quelle che rappre-
sentano le rette multiple у — te, faremo variare per continuity. la
t (a partire dal punto t = 0) descrivendo 'un cammino ehiuso nel
piano т di codesta variabile; mentre t varia in questo modo, anche
la Ct varia per continuity e la sua riemanniana si pud costruire con
fogli sovrapposti sul medesimo piano' della variabile complessa so,
poichb (nel linguaggio della geometria algebrica) alia retta multipla
у — la — che ha per punti di diramazione le intersezioni con f —
si pub sostituire in generale la sua proiezione "suU’asee delle as fatta
dal punto aH’infinito dell’asse y. . •
Ora, in corriapondenza ad una variazione continua di t nel piano
r, escludendb le posizioni di t eui rispondono due punti' Ar e A,
coincident!, vedremo nel piano della variabile complessa ® i punti
Ax As.... moversi con continuity senza mai coincidere, descri-
vendo linee qualsiansi (chiuse о aperte) ed & lecito far variare i
cappi OAt che li awolgono, sempre con continuity, in modo che
essi — conservando 1’ordine in cui si succedono — rimangano linee .
aperte e soiolte, non attraversantiei fra loro.
Dope cib si consider!, nel piano t, un giro ehiuso percorso dal
punto t, a partire dall’origine t — 0. Se questo giro non comprenda
alcun punto critico eui’ rispondono due punti A, coincident!, esso
potry deformarsi per continuity riducendosi ad un ciclo nullo, per-
cid in corrispondenza ad esso il sistema ordinato di cappi e le relative
sostituzioni che definiscono la riemanniana Cx dovry ritornare in sb
stesso: insomma fl detto ciclo non d& luogo ad alcuna condizione
per I’invarianza deilia Cx.
396
СЛР1ТШЛ QUINTO
Pertanto le eondizioni d’invarianza della <7, si ridurranno a quelle
che rispondono a giri elementari о cappi del piano т avvolgenti un
punto critico t, per cui coincidono due punti Л(.
Ora siftatti giri possono appartenere a tre specie diverse:
1) giri che awolgono un punto -T, cui risponde _ una tangente
sempliee della curva f condotta dal punto esterno O-,
2) giri che awolgono un punto D cui risponde una retta per
•O che va ad un nodo della eurva /; e . .
3) giri ehe awolgono un punto Q cui risponde una retta per
O che va ad una cuspide di f.
' Per ciascuno di questi tie casi ё facile determinare le eondizioni •
d’invarianza della riemanniana C1} incominciandb dall’ipotesi sem-
pliee in cui i due punti J^A/ehe vengono a coincidere nel punto
critico (T о JD о Q) appartengono a cappi ОЛХ e О A* contigui ed
owest^»«»te vicini:' intendiamo ebn cib che al limite (quando
e J-s si sovrappongono) le due linee OAi e OA3, aventi comune il
punto terminate Аг ~ At, delimitino una superficie in cui non cade
alcuno degli altri punti per modo che codeste linee роввапо
ridurei infinitamente vicine senza attravereare altri cappi della
riemanniana variabile e quindi anche senza mutare le sostituzioni
sui rami di z(a?) che loro corrispondono,
Esaminiamo Buccessivamente i tre casi deflniti innanzi:
1) Se J.x e A3 vanno a coincidere in un punto T, sulla retta
multipla limite ОТ i due punti di diramazione A3 e A3 si perdond,
confondendosi in un punto critico apparente immagine di' un- punto
doppio'di (e dopo il giro di t si scambiano 1’uno coll’altro); cib
signifiea che le due trasposizidni relative ai due cappi e OAt
(onestamente vicini) debbono''essere identiche. Viceversa se questo
accade, per esempio se ad OAi e OAt risponde la medesima trasposi-
zione (12), la riemanniana Сг, in corrispondenza al cappio del piano
т awolgente T, rimane invariante.
2) Se Аг e At vanno a coincidere in un punto B, sulla retta
multipla limite OB i due punti di diramazione rij e J.s si sovrappon-
gono in un punto ehe ё immagine di due punti diatinti di. Сж. Cib
signifiea che le traspbsizioni relative ai due- cappi OAX e OJ_8 (one-
stamente vicini) debbono portare su eoppie di rami distinte, ossia
esseye permutabili e in generale disgiunte come (12) e (34) (*). Vi-
ceversa se questo accade, la riemanniana C1} in corrispondenza al
cappio del piano r awolgente B, rimane invariante.
(*) Saranno inveoe idantfche e percib ancora permutabili se il punto S sia
un nodo virtualmente ineeietente di f.
INVARIANT! NUMERICI В PIANI MUETIPLI • 197
3) Infine se AI: e At vanno’ a coincidere in un punto Q, sulla
retta multipla limite. 00 i due punti'di diramazione A,. e A2 si so-
vrappongono in 0, ® P® effetto del giro di t si scambiano fra loro;
ma il punto Q diventa immagine di un flesso di Cx, per modo Che le
trasposizioni relative ad e Л, dovranno dare come prodotto una
sostituzione ciclica del 3° ordine,' portando percib su due eoppie di
rami aventi un ramo a comune, ciod essere concatenate come (12>
e (23). . . .
Le eondizioni .1), 2) e 3) aasicurano 1’invarianza della riemanniana
Оз. rispetto ai giri avvolgenti i punti T, D e Q, nel piano r, quando
i due punti Ar A, che vanno coincidere in c'odesti punti siano i
termini di cappi 0Ar e OA, che diventano onestamente vicini-.
Il caso in cui OA, e OA* non diventano onestamente vicini, si lascia
ricondurre al precedente: in questo caso infatti accade che le due
linee anzidette che vengono ad avere 1’estremo comune Ar == A,
formeranno una linea chiusa delimitante una superficie entro cui
cade qualcun altro dei punti A«; ma si pud sempre ridurre la linea
OA, infinitamente vieina alia 0Ar, facendola variare per continuity
traversando i suddetti punti A<: vuol dire che per effetto di questa
riduzione, cambiando 1’ordine dei cappi, cambia anche la trasposi-
zione corrispondente al cappio OAt (1).
Possiamo riassumere il risultato ottenuto dicendo che: le condi-
zioni A’invUrianza di una riemanniana Clf per riguardo aUe sue varia-
zioni nel fascio delle rette n-ple у =tx, coi punti di diramazione sulla
сипа f, sono relative ai giri che la t compie nel piano r, avvolgendo
rispettivamente i punti critioi T, D e Q (punti che rispondono alle
tangenti proprie e alle rette che vanno ai nodi e alle cuspidi della-
curva di diramazione f); esse -«i esprimono dicendo ehe le trasposizioni
corrispondenti ai punti di diramazione Ar e A, che vengono a coincidere
in uno .di quei punti- critioi, debbono essere rispettivamente identiche,
о permutabili (e in generale disgiunte) о concatenate, quando il sistema
dei cappi che definisce la riemanniana sia trasformata in guisa Ле i
cappi avvolgenti i detti punti, OAr e 0A„ diventinb onestamente vicini,
Le eondizioni sopra espresso sono eondizioni ' neoessarie, p&ichA
la eurva f, dotata di nodi e di. cuspidi, sia curva di diramazione d’un.
piano n-plo ' (n > 2). Vogliamo rieonoscere che esse sono. altresi
sufficienti per 1’esistenza di tale piano »-plo.. ' -
A tai uopo si consider! il fascio di‘piani per 1’asse z, aventi per
tracce, nel piano (z = 0) della curva f(xy) — 0, le rette у = tai. In
ciascuno- di questi piani si vuol. costruire una curva ben definita-
che, per proiezione dal punto all’infinito dell’asae z, -diciamo Z,
dia luogo alia retta n-pla coi punti di diramazione in Ax As.... Agm
(!) Cfr. p.. es. EKBiQUES-CHisnw, Lesioni, bihro V, | 3, vol. Ш, pag. 18.
198 ’ САМИМ» QUINTO
intersezioni colla curva f. La Ot, come si fe detto innanzi, b definita
come riemanniana in modo invariante rispetto ai giri chiusi.di t
nel piano; ai pud costruire quindi una immagine proiettiva irridu-
cibile di €?t ciofe una curva d’un certo ordine л 4- Л abbastanza
alto, che passi Л volte per il punto Z e tocchi le rette ZAt. Ad una
siffatta curva si pub imporre allies! di passare per » punti di-
stinti Ot Os .... O„, della retta OZ, ed inoltre di soddisfare un certo
numero di condizioni lineari, dipendenti da i; si troverh eosi un
numero finite di curve C(«+*> irriducibili, e fra queste un numero
finite s di curve rappresentate dalla riemanniana Ci, cui risponde-
ranno s funzioni algebriche eguataiente diramate «4», ....
z,(«) C1); allora la somma
«(®) == + sse(m) -f- .... + «,(»),
corriBponderh del pari ad una curva irriducibile C rappresentata
sulla riemanniana Oi e razionalmente definita. Facciamo variate
eodesta <7 col parametro t, e.si otterrh una superficie > rappre-
sentata sul piano n-plo z » 0 colla curva di diramazione /. Й ovvio
che la f fa parte della curva di diramazione del piano n-plo ottenuto
pToiettando la T dal punto Я; si potrebbe tuttavia dubitare che a
quests curva -si aggiunga un certo numero di rette.di diramazione
uscenti da О; ma se eosi fosse dovrebbe qualche piano per la retta
OZ teccare la > lungo una curva, e cib й impoasibile se I punti ОХО2...ОЯ
sono distinti, come si fe supposto. '
In conclusione: Le condizioni d’esistenza di un piano n-plo (» > 2)
di cui sia assegnata la curva di diramazione — 0, dotata di nodi
e di cuspidi, (e non passante per 1’origine О = [00]) si esprimono
тегов le condizioni d’invarianza di wna delle riemanniane rappre-
sentate sulla retta multipla у =ta, in relazione ai cammini chiusi
che il parametro t pub compiere, a partire dall’origine 0 nel piano
della propria variabile complessa, avvolgendo i punti che rispondono
alle tangenti condotte ad "f da О owero alle rette congiwngenti & coi
suoi nodi о cotte- sue cuspidi.
1J essenziale osservare che le condizioni richieste per 1’esistenza
di un piano multiple -avente una certa curva di diramazione f, sono
-condizioni qualitative^ ohe non possono variare quando la f stessa
varii con continuity. Quindi il teorepia d’esistenza che abbiamo
stabilito dA luogo.al seguente:
CordUario, — Dato' nel piano un sistema continue di curve f, do-
tate di nodi e di cuspidi, se una di codeste curve й euna di diramazione
di un piano n-plo, altrettanto accade per tutte le curve del sistema.
(x) Cfr. EwaiQWs-CmsiNi, Lezioni. Libro V, §- 33, vol. Ill, pag. 355,
INVARIANTI NUMBRICI E PIANI MVETIPEI . 199
10. Complementis forme limiti della cwva di diramazione secondo
Chiaim. '
Il teorema d’esistenza pei. piani multipli, col suo corollario,
eaposte nel precedents paragrafo, ё state stabilito da, F. /Ekbiques
nella memoria « Sulla costnizione delle funzioni algebriche di due
variabili possedenti una data curva di diramazione », inserita negli
Armali di Matematica в. IV, t. I (1923). . ' '
A questo teorema si coUegano poi interessanti sviluppi. Anzi-
tutto O. Zabjski (*) ha trasformato le condizioni di esistenza di En-
riques in ’una forma topologico-gruppale,' dalla quale ‘ egli deduce
in particolare che una curva priva di cuspidi non pub essere curva
di diramazione di un piano multiple d’ordine » > 2r tranne il caw
della curva contata n — 1 volte che risponde a un piano n-plo cielico.
Ma, sia sotto la forma di Enriques che sotto quella di Zariski,
il teorema di esistenza dei piani multipli va incontro a notevoli dif-
ficolto nella sua praties applicazione, dando luogo al problem» ul-
teriore di determinare le curve di difiamazione soddisfaeenti alle
condizioni poste. Un contribute importante a questo problems ё
state date da O. Omsisi (’), eon la ricerca delle forme limiti contenute
in un sistema continue di curve di diramazione, dotate di un certo
numero di nodi e di cuspidi.
Per comprendere la ricerca di- Ctasnri, si consider! una superficie
F d’un certo ordine m, + Л, con un punto-A-plo Z, la quale venga
a spezzarsi in due parti /x ed /« mtersecanti le rette per Z rispetti-
vamente in n ed e punti (m == » 4- s). Qui la curva di diramazione
del piano w»-plo, cu sui F viene proiettata da Z, si spezzeri nelle
due curve di diramazione del piano я-plo e -del piano e-plo corri-
spondenti ad /i e ad /a, e nella curva doppia proiezione della curva
comune ad Д ed' che diventa curva critica apparente'. Questa
oaservazione conduce a ricercare se si poasa costruire la curva di
diramazione di un piano w-plo, eon m = я -f- s, sommando alle,
curve di diramazione dei due piani n-plo ed e-plo, una curva doppia,
che dovri avere un comportamente opportune rispetto a quelle,
p) O. Zabiskz, On Лв problem of existence of algebrato functions of two variables
possessing a given branch curve. Am. J. Math., vol. 51 (1929). On the linear connection
index of th» algebraic surfaces г» =» /(®P). Proo. Mat. Aooad. Sc. U. 8. A., vol. 15
(1928). On the irregularity of cyclic multiple plarm. Atm. of Math., II e., vol. 32
(1931). Cfr. Algebraic surfaces, Berlino, Springer, 1835.
(*) O. CeistNi, Un teorema di uittema dei piani multipli. Note -I e II, Atti
Aoc. Linoei, VI, 19 (1934). Un pUt general» teorema di esistenza dei piani multipli.
Atti Ace. Lincei, VI, 27 (1938). Alfre curve di diiramtaione dei piani n-pU. Atti
Acc. Lincei, VI, 29 (1939). ' - '
200 CAFITObO QUINTO '
per modo che la eurva composta, costauita come si й detto, rappre-
senti la eurva limite di ,un sistema continuo di curve di diramazione
di piani' m-pli, dotato di un certo numero di nodi e di cuspidi.
Cio che si fe detto vale a spiegare la genesi del pensiero di Своего.
Tuttavia la ricerca generale delle curve doppie da aggiungere alia
soinma delle,. curve di diramazione di un piano n-plo e di un piano
s-plo, di luogo ancora a notevoli difficolth. Per superarle, Chisimi,
si restringe al caso in cui sia, per es., s = 1, eiofe si abbia soltanto la
eurva di diramazione di un* piano л-plo, da cui, con 1’aggiunta di
una conveniente eurva doppia, si voglia trarre la eurva di diramazione
di un piano (л 4- l)-plo. Basterh spiegare la costruzione di Chisini
riferendosi ad un semplice esempio.
Proponiamoci di costruire il sistema delle curve di diramazione dei
piani guadrupli che nascono per proiezione della superficie generale
del 4° ordine JF*. Questo curve di diramazione sono Clt d’ordine
12 con d 12 nodi e i = 24 cuspidi.
Be faceiamo passare la superficie M per il centro di proiezione
Z, la eurva di diramazione del piano quadruple C1S, degenera nella
eurva’ di diramazione di uh piano triple C10, dotata di fc* = 18 cu-
spidi (e nop pih di nodi), e in una retta Ct tangents doppia della
CM, contata due volte. A sua volta la См Й suscettibile di degenerare
in una sestica O4, afiatto generate, eurva di diramazione di un piano- -
doppio, e in una coniea sestitangente ad essa, contata due volte,
e cib in’ corrispondenza alia condizione che si imponga ’alia P* di
passare dbppiamente per il punto Z. Infine Be il punto doppio Z
della diventi triplo, la cofrispondente eurva di diramazione Ce.
del nominato piano doppio degenera in una cubic* contata due -
volte.
Giova ora esaminare che сова diventino le singolarith della eurva
di diramazione del piano multiplo, in corrispondenza alle successive- .
degenerazioni sopra indicate.
Anzitutto, quando la anzidetta degenera nella CI0 + 20*,.
ciaseuno dei due punti di contatto P* e di Ct e O10 appare come li-
mit© di 3 cuspidi della CM, e ciaseuno degli altai, 6 punti comuni
a Oi e C10 risulta limite di due nodi di CM. B’asserto si giustiflea
riferendosi alia superficie P4 che viene a passare per il centro di.
proiezione Z-, occorre toner conto che le cuspidi di si ottengono
ptoiettando da Z le intersezioni di j?4 con la 1* e la 2® polare del punto
Z, e che i nodi di Ол provengono dalle bitangenti alia P4 passanti
. per Z, le qUali diventano ora le sei tangenti altrove Condotte per
15 alia quartica sezione della V* col piano tangente in< Z, ciascuna
contata due volte. .
Oib che si ft osservato in ordine alia degenerazione delle singolarit^ .
della Cit quando questa diventa -}- 2C4, sussiste ancora nei ri-
INVARIANT! NUMBRIOI В PIANI MULTIPLI 201
guard! della ClB degenerante in Сй 4- 2(7г; vale a dire che i в punti
di contatto della C2 con la Ct vengono ad assorbire ciaseuno 3 cu-
spidi della Сгя.
Abbiamo osservato in qual modo la eurva di diramazione (7lt
di un piano Quadruple rappreseiitativo di una 1?* possa tarsi dege-
nerate suecessivamente in una Clt -j- 2Ci e. poi in una Ct + 2(7» +
4- 2Clt e inline anche, se si vuole, in una 2(7, 4- 2(7, 4- 2<7t, dove la
C1B ё eurva di diramazione d’un piano triplo, bitangents alia retta
<7X, e la Ot (eurva di diramazione di un piano doppio) ft sestitangente
alia coniea <7,. Ora questo proeesso analitico di riduzione si lascia
invertire conducendo quindi ad un proeesso sintetico costruttivo
dei piani multipli, che costituisce appunto 'il teorema di esistensa di
Chisini. Infatti 1’autore risale dalle forme Haiti a forme pih gene-
ral! dei piani multipli ritrovando le terne di cuspidi e le coppie di
punti doppi che sono assorbiti dalle singolaritAlimiti. Oosi, prendendo
le mosse. dal piano doppio con sestica <7« di diramazione e partico-
larizzando la (7, in guisa che ammetta una coniea (7, sestitangente,
si considererft la eurva Ct 4- 2(7, come caso particolare di una (710,
per la quale verranno soddisfatte le condizioni d’Enriquea spiegate
hel precedents paragrafo, e che percib risulterft, eurva di diramazione
d’un piano triplo. E poi, sommando ancora alia Cu una bitangents
C1} si proverb similmente, che la (7XO 4- 2GX (о la 0, 4- 2(7, 4- 2<7X)
ft forma limite di una Clt che costituisce la eurva di diramazione
d’un piano quadruple, rappresentativo di una superficie J1, a se-
zioni piane di genere 3. Й inutile dire che il caso a eui ci siamo ri-
feriti non ft che un esempio particolare, sebbene caratteristieo, di
un metodo che conduce 1’autore al ricdnoscimento delle condizioni
d’esistenza per una piii vasta famiglia di piani multipli. Kon ci
proponiamo di esporre qui gli sviluppi pih general! di Chxsjmi, ma
ci limiteremo a chiarire il suo metodo costruttivo ed anche le que-
stion! delicate cui esso d& luogo col riferirei ad una famiglia note-
vole di superficie che comprende in sft le quartiche J**, sulla quale
dovremo ritomare nel seguito di queste Lezioni; didamo delle su-
perficie coi generi p„ = p, =£S 1 © ss=S 1 possedenti . una eurva
canonica d’ordine zero.
D’acebrdo colie formule del § 6, si ottengono superficie apparte-
nenti alia anzidetta famiglia, partendo dai piani multipli n-pli,
con n = 2л— 2, definiti da una eurva di diramazione
d’ordine 2м 4~ 2л — 2 == 3n == вя — в, dotata di Л(я) = 24(я — 2)
cuspidi'e й(я) = 18я* — 78я 4~ 8* nodi: infatti un piano n-plo
sifEatto (ove. esista) ha i generi pe = — 1 ed anche il p, =*= 1,
possedendo una eurva canonica d’ordine zero; e le immagini delle
rette del'piano appartengono ad un sistema lineare di genere я
e grado 2л — 2, e quindi di dimensions я. Oosi il piano n-plo
202 САЙТОМ QUINTO
si pud far nascere per proiezione, da punti esterni, di una superficie
J*„ d’ordine n = 2я — 2 dello S„, a sezioni iperpiane canoniche
di genere я.
Ora qui si tenterfi. di provare I’esistenza di piani n-pli riepondenti
alle Ctn di diramazione sopra indicate, e quindi delle Pn =
di S„ a sezioni canoniche di genere », per tutti i valori di я == 3,
4, 6 .... Gift nella discussione precedente abbiamo indicate come.si
pervenga a costruire la curva di diramazione 0lt di un piano qua-
druple (rappresentativo di una corrispondente а- я = 3, a par-
tire dal piano doppio eon sestica di diramazione <7e, sestitangente
ad una conica 0,. Ora si procederS. similmente a costruire il piano
sestuplo corrispondente & я = 4, a partire da una O1S sestitangente
ad una conica <7»: ci domanderemo se Clt + 2Ca sia la forma dege-
nere di una Cw curva di diramazione di un piano quintuple e se,
sommando poi a questa 'una retta bitangente contata due volte,
si pervenga ad una (7U, curva di diramazione d’un piano sestuplo.
Se questo accade, mentre la (7„ sopra indicata possiede &(я) = fc(3) =
= 24 cuspidi e й(я) = d(3) = 12 nodi, la Cie avr& in piii 18 cuspidi
(3 , cuspidi corriepondendo a ciascuno dei в contatti di Cn eon. 0s)
e 24 nodi (2 nodi nascendo da'ciascuna delle 12 intersezioni semplici
di C1S con 0,), e cosi in tutto 42 cuspidi e Зв nodi; sommando poi
alia Cu la bitangente <7t contata due volte, si otterrb una 0u avente
in piii altre в cuspidi e altri 24 nodi, e cosi
fc(4) = 48 cuspidi
e .
d(4) = 60 nodi.
' In generale per proseguire questo procedimento costruttivo, in
corrispondenza ai valori successivi di я, giova anticipate una no-
zione che verr& stabilita nel seguente paragrafo, ciofe che le super-
ficie JPn (di generi pa — — p = 1, p<15 == 1) dipendono da almeno
9p — 2pw -J- 12 = 19 pdrametri eseenziali о moduli, invariant! ri-
spetto alle trasformazioni birazionali. Per eonseguenza, quando sia
date un piano multiplo definite da una curva di diramazione C9n —
— coi caratteri anzidetti, disponendo di un parametro, si
potr& particolarizzare la 0in in guisa ehe possegga una conica sesti-
tangente 0,. E per seguire il metodo di Chisini siamo indotti sempre
a domandarci 'se la 0,„ + 2<7, possa riguardarsi Come forma limite
di una Can+*, d’ordine 3» + 4, ehe possieda, oltre alle cuspidi e ai
'nodi della 0», 18' cuspidi e 12л — 24 — 24(я— 2) nodi, corri-
spondenti rispettivamente ai в punti di contatto della Ct colla C»„
e aUe 6n —12 intersezioni ulterior! di queste curve; в Be le (7a„+*
cosi costruite rteultmo curve di diramazione di piani (w 4-l)-pli.
Se cib possa tarsi (in guisa ehe vengano soddisfatte le eondizioni
INVARIANT! NtTMBRICI В PIANI .МСИ1Ш 203
d’invarianza del precedente paragrafo) le Cae+* cosi costruite risulte-
ranno curve di diramazione di piani (» 4- l)-pli. B, come diremo, som-
mando ad esse una conveniente retta bitangente Olt si ottenA poi la
curva di diramazione di un piano (л 4- 2)-plo, rappresentativo di
una -F„+is, a sezioni canoniche di genere s-f-l dello spazio Sx+l.
Ma la domanda sopra espressa non eompdrta sempre una ri-
sposta affermativa. Perchb la Оая 4-2C« sia effettivamente forma
limite di una <7a„+a soddistacente alle nostre richieste, bisogna ehe
le singolaritA di essa si risolvano in nodi e cuspidi nel modo indicate,
e che per la curva €?,„+« cosi costruite si verifichino He eondizioni
d’invarianza che permettono di ritenerla come curva di diramazione
di ,un piano (» 4- l)-plo. Ora 1’insieme di queste eondizioni non viene
aoddisfatto per una qualsiasi conica sestitangente а <7a„; ma, ri-
ferendosi, per esempio al caso n = 4, si pud soddisfare riducendo
la Сы alia forma limite di Ohisini Си — 2Ct + 2Ci + Ct e ammet-
tendo poi che’ vi sia una seconda conica sestitangente a C* divers»
da Cv Da cib appare 'come la difficolte si possa superare per i piii
picooli valori di w, ma' non si vede che possa tarsi per i piii grand!.
Comunque, se si sia riusciti a vedere la eurva Сая -h 2(7, come
forma limite di una C»+« ehe sia curva di diramazione di un piano
(n 4- l)-plo, converrh ancora sommare a quests una rette bitangente
Clf seelta in guisa che la curva Cin 4- 2Ca 4- 2Ca sia forma limite
•della curva di diramazione di un piano (n 4- 2)-plo. Ma qui (senza
bisogno di ricorrere a oonsiderazioni analoghe a quelle che, nel caso
-di ’» — 4, ci hanno condotto alia seelta della (7a sestitangente a
(7M), la difficolte della seelta di Ct si super» subito in base a questa
sempliee osservazione: ehe il piano (n 4- l)-plo definite dalla eurva
-di diramazione O#n+1 ha i generi uno e percib appare rappresentativo
di una Л’в+а-(» = 2я— 2) a sezioni canoniche di genere я + 1,
proiettate da un suo punto sempliee; a questo punto'risponde'la
retta eccezionale, bitangente a Oan+a, che b la richiesta Ct.
Cib che abbiamo detto vale a spiegare il metodo costruttivo di
Ohisini, e in qualche modo a saggiarne il signifieato coll’esame di
un problems concrete. Per quel ehe eoncerne questo problems —
relative all’esistenza e alia classificazione delle superficie J1», coi
generi uno.—- ne daremo la soluzione diretta nel § 3 del Cap. VH
ove si troverh anche una notizia storica dell’ordine di queste ri-
cerche. _ " ‘
Aggiungiamo alle precedent! alcune' indicazionf bibliografiche.
Mentre nelle citezioni fatte ci riferivamd a piani я-pli con » > 2,
.si possono annoverare alcune ricerche special! sul caso dei piani
doppi: S’. Eneiqxjbs, «Sui piani doppi di genere 1», Memorie -della
Societe It. delle Scienze, detta dei XD, Boma, 1896; «Sui piani
•doppi di genere lineare p<x> == 1 ». B>. Aecademia dei Jjincei, 1898.
204
САМТОЬО QUINTO
L. Cambedeiai, «Sopra i piani doppi con tutti i generi uguali
all’unit&». Bend, del Sem. mat. 'di Padova, vol. XI, 1940; «Le
superficie eon i generi uguali aH’unitft., rappresentabili in infiniti modi'
sul piano doppio », Bend, del Sem. Mat. della B. University di.
Boma, в. V, vol. I, 1940 e «La elasaificazione dei piani doppi oon.
tutti i generi uguali all’unit&». Atti del 2° CongresBO dell’Unione
Mat. Ital., Bologna, 1940; « Sui piani doppi con curva dl dirama-
zione dell’ottavo ordine ». B. Accademia dei Lincei, 1932; «Sui
piani doppi con curva di diramazione del 10° ordine», ibidem,
1932,; «Sopra alcuni piani doppi notevoli eon curva di dirama-
zione del 10° ordine », ibidem, 1932.
'Al caso dei piani doppi si rawicina in qualche modo Id studio
di quei particolari piani quadrupli che dipendono da equazioni'
abeliane, ciob dall’estrazione di due radicali quadratic!: P.'Libois,.
Bend. Ace. Lincei, 1934.
A classi notevoli di piani multipli n-pli, con n > 2, si riferiscono
ancora i seguenti lavori: B. Segue, « Sulla caratterizzazione delle
curve di diramazione dei piani multipli general!», Beale Ace. d’Italia,,
vol. I, 1930. — G. Ромни, «Sulla rappresentazione algebrica dei
piani tripli », Bend. Sem. mat. della B. University di Boma, 1939;
« Osservazioni sui piani tripli». B. Istituto Lombardo, 1941; «Sui.
piani multipli diedrici». Bend. Sem. mat. della B. University 'di
Boma, 1939. 11
11. I moduli di ши classe di superficie algebriche.
La considerazione dei piani multipli oon curva 'di diramazione
semplice, su cui pub generalmente rappresentarsi una superficie alge-
brica, e il relative teorema- di' esistenza che abbiamo spiegato nel pre-
cedente paragrafo, permette di dire qualcosa in ordine al numero dei.
moduli о parametri da cui dipende la determinazione di una elasse
di superficie entro una famiglia continua cui rispondono ceria valori
dei caratteri p e pW. Assumiamo per semplicity che si tratti di su-
perficie regolari p == p, = pa, aventi qualche plurigenere JP( > 0,
e percib trasformabili in guisa da eliminate le curve eccezionali,.
sicchb il p(I) diventi per esse il genere lineare assolvto.
Sopra una superficie jF soddisfacente alle condizioni anzidetter
scegliamo ad arbitrio un sistema lineare irriducibile, senza punti
base | C di .genere я e grado 2л — 2, che eupporremo regolare
e non speciale, -quindi di dimensione
r = p + n — л + 1.
Una rete generica contenuta entro 101 -permette di rappresen-
tare la V sopra un piano multiple d’ordine n, dotato di una curva-
INVARIANTI NUMBRICI E PIANI MULTIPLI
205
di diramazione D d’ordine 2w. 4-2® — 2, la quale possiederb un certo
numero & di nodi e un certo numero ft di cusp idi, dove questi numeri
si esprnnono per p e p&\ mercb le formule del § 6. Ora, se faceiamo
variare la curva D, d’ordine 2» 4-2® — 2, entro un sistema continue
di curve aventi ancora Л nodi e ft cuspid!, abbiamo visto che questa
curva ё curva di diramazione per un piano n-plo, cui risponde una
. superficie avente gli stessl caratteri p e p<l! di J?. Perb non tutte le-
curve di questo sistema, di dimensione
s >. (n 4- я — l)(2n 4- 2® 4~ 1) — Л — 2ft,'
corrisponderanno a superficie birazionalmente distinte dalla V-,
anzitutto le oo8 trasformate omografiche di JD conducono alia stessa
JP} e alia stessa rete di curve 10 [ sopra di essa; in secondo luogo,
vi sono nel sistema оо’ 101, infinite reti, ciascuna delle quali dipende'
da 3r — 6 parameter!. Avremo pertanto almeno
(n 4- я — l)(2n 4- 2® 4- 1) — d — 2ft 8 — (3r — 6)
superficie, le quali debbono ritenersi birazionalmente distinte dalla
J?. Infatti se oo1 curve.D non corrispondenti a reti contenute entro
|<71, diano luogo a superficie.birazionalmente identiche, cib signiflea
che la V possiede una serie continua di ret! di curve non equivalent!,,
in cui 6 contenuta una rete. di C, e cib contraddice 1’ipotesi che la
superficie sia' regolare ’ (pB — p„).
A dir vero ‘ in oonfronto a' questa asserzione si pub sollevare il
dubbio che una rete di Ct diciamo | t7|s, possa presentarsi come li-
mite di una rete di curve [-£]*, d’ordine pih alto, dotata di. punti.
base, cos! come la rete delle rette del piano appare limite d’una rete
di coniche con tre punti base. Ma fl dubbio espresso viene facilmente
escluso per le superficie T su cui il grado d’un sistema lineare di-
curve non pub superare il doppio del genere meno due, e che percib
possono ritenersi prive di curve eccezionali, alle quali ci riferiaino.
Invero se una rete |Б|, di genere effettivo я e di grado effettivo w
possieda qualche punto base d’ordine i > 1, le L avranno colle curve
canoniche JK? un numero virtuale d’intersezioni 2® — 2.-я — 27»*, e
al limite dovranno spezzarsi in curve 0 aumentate d’una eompo-
nente fissa в, la quale avrb colle Ж il numero negative d’intersezio-
ni: —JS*. Questa & avrb, dunque un certo genere g e un grado
v = 2 g — 2 4- J?»8 >• 2p — 2;
e la sua presenza sulla superficie > contraddice 1’ipotesi fatta in
base a cui essa si b trasformata -'in guisa da non possedere curve.
eccezionali. Qui per la giustezza del nostro compute (affermazione
che si avranno oo”—•+* piani multipli identic!), giova aggiungere
che la’nostra > non pub ammettere una serie continua di taasfor-
206 ' олгхтоьо aviwro
mazioni birazionali in se stessa; giacchfe ne risulterebbe: о che il
sistema complete | C| dovrebbe appartenere ad una pih ampia serie
di curve disequivalenti, cit> che eontraddicc all’ipotesi pa = Р»,
owero che | (7| aarebbe taaaformato in se stesso, e cib contraddice
all’ipotesi'che la superficie J non appartenga alia famiglia delle li-
gate C).
Siamo ora in grado di scrivere il numero fif dei moduli da cui di-
pende la classe delle superficie о almeno un limite inferior© di
queste numero. Avremo infatti • .
M 2» (n + я — l)(2n + 2л + 1) ~ d — 2ft — 8 — (3r — 6), ;
oseia . ,
M (» + я — l)(2n + 2w 4- 1) — d — 2fe — 3r — 2.
In questa formula soatituiamo a 4 e i le loro espreseioni per
p e pW date dalle formule del §6: .
a = 2[(n + л)8 — ба — 17л — 2pte 4- 6pa + 24]
ft = 3(»+*6л + рй) — 4p„ —11); .
inoltre soatituiamo ad r il suo valorfe
, r = p4-«— я 1.
Toveremo сов!
. Jf 2> 9p — 2pW> 4- 12,
owero, pib precisamftnte,
: jf - 9p _ 2p<ri 4-12 4- <u, • „
dove co 0 designa la aovrabbondanza del sistema delle curve
piane D;- vuol dire che nel sistema.continuo delle curve D d’ordine
2n 4~ 2л —- 2, dotate di d 4- punti doppi, le condizioni impost©
che ft punti doppi diventino cuspidi, non sono ft condizioni indipen-
denti, ma dipendono spltanto da ft — a» condizioni.
Concludiamo intanto:
I>e s»perfieie r&golari co» gualoie plurigenere Pt > 0, di genere
swperficiale p в genere linear» assohtto pW, dipendono, in generale, da
M = 9p — 4- 1'2 4- a»
moduli, oon co Й: 0.
. Per le superficie con pa< pef fl compute che precede si deve
modifleare in rapporto alia propriety earatteristioa di queste super-
(4 Infatti le superficie che poeseggono un’infiniiA continue di trasforme®ioni
proiettive sono razionali о rigate. Teorema di Ентчоив-Тлмо. Cfr. Ekbxqcts-
Сомжовчю, £e euperfloie raxionali^Op. oft., cap. VT, f 37, peg. 498.
. ’ INVARIAHTI NVMERICI В ИШ МХТИ1И.1 207
fide, che stabiliremo pih avanti, eioft alia propriety di contenere serie
oo»»**» di sistemi linear! disequivalenti. Quindi per le superficie
irreffolari il ntmm dei mmfeli sard.
X = 10ps — pe — 2p<x> H~ 12 + m ’
eon co 0 (*). . s .
Bitomiamo alle superficie regolari (p„ — p, = p). Per le super-
fieie con eurva canonica о bicanonica d’ordine zero (p == 1, p<»> — 1,
e p = 0, p® = 1) si avri rispettivamente
9p — 2pW + 12 =19
e
9p — 2p® + 12 = 10,
e verificheremo che in efletto il numero dei moduli ft appunto, per
le prime'
X = 19,
e per le seconde
• , X = 10;
dunque \ ’
<a = 0.
Ma in genere si troverft, . • •
<y > 0.
12. Digression© eulla integrity della aerie caratteristica d’tm ei-
. sterna complete di curve piane dotate di nodi e di 'cuspidi.
Per eaprimere il compute dei moduli di una superficie con- una
formula pih significative eonviene cercare il significato del carattere
<o, che appare nella formula del paragrafo precedent©. Й agevole
riconoscere che «la sovrabbondanza m di un sistema continuo di
curve piane •{!> }•, d’ufi certo ordine n dotate di Л nodi e di Л cuspidi,
6 minors о eguale aU’indiee di speciality della sua serie caratteristica.
sopra una generica Д cioft della serie segata su di essa dalle curve
dello stesso ordine che paesano semplicemente per 1 d nodi e per le fc
cuspidi, e toccano in questi punti le tangenti cuspidali».
Infatti ricordiamo che, essendo data una serie continua ^H}-
di curve piane 2>, d’un certo ordine » dotate di d nodi e di fc cuspidi,
le curve di D } infinitamente vicine ad una data D '= X>a hanno con
quests 2 intersezioni assorbite in ciascun nodo e 3 intersezioni as-
sorbite in ciascuna cuspide (*). Vuol dire che ia serie caratteristica,
(x) Salvo il ngniScato di co la formula vale a fortiori per te euperfiaie du ип-
mettono un gruppo continuo di traaformaaoni in её steaee.
(*) Oeeervazione di De Jowquatoaes e Beck (Math. Annalen, Bd. 14, 1878).
Cfr. Екаготевв-Снхвпп, labro II, cap. II (vol. I, pag. 331, cfr. vol. II, pag. 286).
208
слитом а и INTO
segata su Do dalle D infinitamente vicine ё contenuta nella serie
completa segata sulla detta De dalle curve dello stesso ordine pas-
santi per i suoi d nodi e le sue ft cuspidi e tangenti in questi punti
alle tangenti cuspidali. Ora, se il sistema continue ^D ha la sovrab-
bondanza oo, la dimensione di esso vale, non. gift
»(« + 3).
1 т -----2-------й — «s/c,
bensi '
, »(» 4-3) , ,
т -f- e> ---<!**— — d — 2ft -j- co,
e quindi la dimensione della serie d’ordine m, = u—2d—3ft,
segata sulla Do, di genere
л(л — 3) ' '
эт — _____—-- j — д —
dalle D infinitamente vicine ё + m — m — л -j- a, cioft codesta
serie caratteristica ё speciale, d’indice di speciality almeno eguale
ad ш. A prima vista si sarebbe tentati di dire che co ё senz’altro eguale
al detto indice iii speciality, cioft che «la serie caratteristica del si-
stema complete D costituito. delle curve piane d’ordine n con d
nodi e к cuspidi, ё completa ». Infatti ё facile verificare che viene-
soddisfatta la seguente propriety differ&nsialez nel fascio determinate
da ’una D e da una sua eurva aggiunta che tocchi nelle, к cuspidi
le sue tangenti cuspidali, la curva infinitamente vicina alia D, pos-
siede d nodi e ft cuspidi vicini a quelli della D stessa.’.
Ma questa propriety differenziale non porta di conseguenza che
ognuna delle anzidette curve con d nodi e ft cuspidi, vicine a D,
faceia parte di una serie continue di curve dotate dello stesso numero
di nodi e di cuspidi. Invero, se ci riferiamo alia variety F rappresen-
tativa degli element! (curve) del sistema D, questa F ci арраптУ
come intersezione di una variety W, dello spazio SB a В —
dimension!, rappresentativa del sistema di tutte le curve piane
d’ordine. л dotate di d 4- ft nodi, con ft ipersuperficie о falde
ipersupejrficiali lineari del detto spazio B«-, e potrebbe accadere
p. es. ehe queste ft falde abbiano in ogni punto comune lo stesso
spazio tangente a В — (ft — 1)' dimensioni, pur intersecandosi.se-
condo una variety di В — к (e non di В — к 4-1) dimensioni: in
questo caso un punto" di F' (rappresentante una curva di {D[)
avrebbe, non giy oo’-% bensi oor punti vicini appartenenti a F
(ciofe immagini di curve di |D^). . '
INVARIANTI NVMBBICI В PIANI МТГЬПШ.
209
Sebbene tahini indizii e gli esempi eh® conosciamo tendano ad
escludere questo. dubbio, non siamo riuseiti a dimostrare cib ehe
crediamo vero, e dobbiamo limitarci a introdurre una
Ipotesi di lavoro: Il sistema continue complete delle curve piane
D dotate di d nodi e Л cuspidi ha la serie caratteristica completa;
percib la sowabbondanea to di questo sistema {D } eguaglia I’indice di
speciality della serie stessa, segata su una I) dalle curve infinita-
mente vicine.
. Questa ipotesi conduce ad alcune conseguenze notevoli, ed ha
un certo valore euristico, in1 rapporto agli sviluppi- che seguono.
13. I moduli delle superficie regolari di genere p > 3.
Abbiamo veduto come venga espresso in generale il numero dei
moduli da cui dipende una classe di superficie algebriche (con qualche
plurigenere maggiore di zero, ciob non appartenenti alia famiglia
delle rigate), quando queste superficie vengano rappresentate sopra
piani multipli con curve di diramazione D d’un certo, ordine »,
dotate di un certo numero di nodi e di cuspidi. La formula conseguita
nel § 11 contiene, oltre i caratteri, generi superficial! pe, p, e genere
lineare assoluto pW, anche un oarattere numerico to, non negative,
che b la sovrabbondanza del sistema continue delle D, e — secondo
la.'nostra ipotesi di lavoro (§ 12) — I’indice di speciality della serie
caratteristica di
Ora il signifieato ammesso per co b suscettibile di un’altra inter-
pretazione e c’induce a scrivere una formula piii significativa, in
ordine al numero dei moduli delle superficie regolari di genere p > 3.,
A tai uopo si consider! una superficie Л* = >„ dello spazio ordi-
nario, di un certo ordine л, dotata di singolarity normali, e la rappre*
sentazione di J* sopra un piano н-plo, che si ottiene per proiezione
della > stessa da un punto esterno generico, O. In questa rappresen-
tazione la curva di diramazione D nasce per proiezione dalla curva
Ct jacobiana della rete delle sezioni piane C con piani per 0. Ora
sulla curva piana JD la serie caratteristica completa del sistema
continue JUb costituito .dalle curve dello stesso ordine collo stesso
numero di nodi e di cuspidi, ha precisamente I’indice di speciality
<a>. Bi tratta di ritrovare questa serie, di speciality m, sulla eurva
jacobiana Ct. A tai uopo si osservi ehe la Ot b sezione di > con la
polare del punto O, ossia (designando con. К le curve canoniche di
JP) b una eurva del sistema lineare [30 4- segato sopra f dalle
superficie aggiunte -ad essa d’ordine л — 1, ehe passano per, i
т punti cuspidal! di JP, 11 cui gruppo,'appartenente alia curva-doppia
di ]?, jexA designate con (?. Le altre curve Clt passanti per i~r
punti cuspidall, ^egano sulla O,, fuori 'di essi, una serie lineare che,
Енищотв E. - Suyerficie elwbrtefte. • ' 14
CAVITOLO QUINTO
210
come .subito vedremo, viene proiettata da 0 nella serie segata-
sulla curva di diramazione D dalle sue prime polg-ri. Infatti, detta-
Of la sezione di 1? eon la superficie polare di un punto O, il piano
tangente ad -F in un punto P comune a 0, e O} passa per la retta-
00'. quindi la tangente. alia curva D nel punto P', proiezione di.
P da O, passa per la traccia della retta OO.sul piano multiple.
Segue da cid che la serie caratteristica di sulla D proiezione-
di 03, nasce per proiezione dalla serie che viene segata su 0, dalle
curve del sistema lineare | L | == | £0 + К | passanti per G (owero-
sia dalle superficie aggiunte <p„ passanti per i t punti del detto
G). Dunque il carattere <u, che designs rindice di speciality della-
predetta serie caratteristica di si pud anche interpretare come
«indice di speciality della serie segata sopra la curva Of, che e
una curva di |3(7 + per G, dalle curve del sistema lineare |_D| =
-== |4<7 + Ц passanti egualmente per в».
Questa interpretation® proiettiva del carattere to, rispetto alia-
superficie J₽, ё valida egualmente per superficie regolari e irregolari-
E conduce a valutare il numero dei moduli da cui dipende una classe
di superficie ,P entro ,1a pih ampia famiglia continua di superficie
che la contiene, in un modo che si accords assai bene ooU’intuizione-
Infatti si consider! il sistema continue di tutte le superficie P,
aventi Io stesso ordine » e una curva doppia coi medesimi caratteri,. ,
su cui si trovi lo stesso numero т di punti cuspidali: le superficie
di un tale sistema | P„ } cui appartenga P, determinano su una di
•esse, в in particolare sulla data P, un sistema lineare earatteristico,
costituito dalle intersezioni di P colle superficie del sistema infini-
tamente vicine, e questo sistema lineare (che a priori si potrebbe
dubitare non complete) viene segato sulla P dalle superficie ag-
. giunte d’ordine n, tangenti nei punti del gruppo G ai piani
cuspidali di P.
Il nostro teorema d’esistenza cui si aggiunga 1’ipotesi di lavoro-
del § 12, ci assicura che il sistema continue P„ segherh su una P
il sistema lineare caratteristica .complete reciprocamente, questo-
presupposto eguivale alia detta ipotesi di lavoro, e d& il modo di com-
putare, il numero dei moduli da cui dipende la classe di X entro
{P„|. Naturalmente per avere superficie oon moduli generali, converry
parttre da un modello proiettive P di cui si possa assicurare a priori
1’esistenza entro una .famiglia continua di superficie coi dati carat-
teri; per esempio da una P che risponda ad un sistema lineare re-
golare' di grado. n e genere я convenientemente elevato, per cui sia
soddisfatta la diseguaglianza » > я — 1, owero anche — salvo
il caso di genere piccolo о di qualche eccezione analogs — da una
superficie canonica, avente per sezioni piane oo» curve K. Vediamo
a ohe conduca fl compute dei moduli, riferendoci alle due scelte di
INVARIANTI WMBRICI И BIANI MUIZHBU 2Ц
J» sopra indicate p supponendo, per semplicita di discorso, che la
superficie sia regolare. .
• Anzitutto colla prima seelta si ritrova la formula dei moduli
def 111. Infatti si tratta di valutare, la dimensione JR del sistema
caratteristico di e poi il numero S che indiea quanta sono i
parametri da cui dipendono le' JFe del detto sistema continue bira-
zionalmente identiche ad una data >; sari quindi
> = J? — S.
Ter calcolare R valutiamo anzitutto la dimensione del sistema
|.Cj = |4<J + j£| senza punti base, che & lecito supporre seghi
su una C f una serie completa e non speciale, e poi sottragghiamo da
codesta dimensione т — co, ciob il numero dqfle condizioni indipen-
denti che fl gruppo' dei r punti cuspidali di' J* impone alle curve L
che debbano contenerld. ba dimensione di |£| varr&
. p 4л 6л -— 4,
e quindi la dimensione del sistema caratteristico di sarb>
R — X =» p Ч- 4л 6n —- 4 —- r о, -
dove . ‘ ,
т » 2n -f- 8л ’— 12p -j- 2p^ —- 22,
sicchfe
JR = 13p -f- 4л — 4л — 2p^ -j- 19 -p ш.
* D’altra parte si calcola 8 aggiungendo 16 (numero dei parametri
di un’omografia spaziale) al numero dei parametri che definiseono
un sistema lineare bo* entro il sistema lineare complete | C | di di-
mensione r. Si ottiene eosi ‘
S = 4r —12 + 16 = 4r + 8
ciob
8 = 4p 4- 4» ~х,4л -f- 7.
. Pertanto si trova , - .
ЛС = R — S = 9p — -f- 12 co,
che 6 la formula data nel § 11.
Ma, tenuto conto del sigpificato di to, (in accordo colla nostra
ipotesi di lavoro del § 12), si pub dare una formula pih significativa,
mostrando che per p > 3 si ha in generale
JM — lOp — 12 4- tn'
212
слгиоьо quinto
a tai uopo riprendiamo il calcolo precedents, riferendoci ad una
Buperflcie f« d’ordine n = p<*> 1 le cui sezioni piane siano curve
canoniche K. Qui occorrono le seguenti modifieazioni:
1) le curve h di |Z| == ]5X| segano sunna Ot = K, la serie
canonica completa, percib il calcolo di B, indicando ancora con ш
Vindas® di speciality della serie segata sulla su Kt dalle eurva di
J5K| che paesano per il gruppo G, ci dark ancora . .
JR — 1 — p 4л 4~ 6лн— 4= —r d-1®
da cui risulta che i т punti cuspidali impongono, non t — co ma
T — — i) condizioni indipendenti alle L che debbano contenerli:
2) il sistema (Ж|, a differenza del sistema regolare non spe- .
ciale j<7| consideratojnnanzi, ha la dimensione
p — 1 » p -|- n — я .
(n = pM — 1 , Я — pW)’,
anzichS. ' ' ;
p + n—яН-i;
quindi il numero delle superficie birazionalmente identiche ad
una data risulta
4p 4- 4» — 4л 4- 3 .
invece di
4p 4~ 4л ~~ 4л 4* 4 •
. Pertanto si trover^ che fl numero dei moduli di viene dato.da
' ' M == 9p — 2p<« 4-1в'4-в
dove в = m — 4 designa rindice di speciality della serie segata
su una Kt dalle curve di |6Jffj pasaanti per il gruppo G dei punti
cuspidali che appartengono alia superficie J* immagine di un sistema
lineare acelto entro |K|.
Ora si pud valutare m, о almeno un suo limite infqriore, osser-
vando che il gruppo G dei punti cuspidali 6 un gruppo di punti
appartenenti alia eurva. Kt jacobiana di una rate di curve X, ed
intersezione parziale con eurva una Ь del sistema
s. . |X| '== jsx] .
che У aggiunto a '
|X,| = 14X|.
И gruppo <?, sary dunque un gruppo speciale, ed йпротгУ аПе
curve di |5X| che debbono contenerlo, precisamente r—6 condi*
zioni, dove 0 sia la dimensione della serie completa cui appartiene
il GT sopra Kf (teorema di Biemann-Boch).
INVARIANT! NUMERIC! E TIANI ИПИ1И1 213
> Ma si ha un limite inferiore di 6, notando che la rete avente come
jacobiana la Kf appartiene ad oo®-* sistemi linear! oo* di curve Ж,
contenuti entro il sistema canonico. Ciaseuno di quest! sistemi oo®
definisce un gruppo &r sopra Kf, che ё il gruppo dei punti doppi
per oo1 curve del sistema. Pertanto risulta -
Й p — 4 .
e in fine
M = iop — 2pW + 12 -bw' 1 (co'2:0).
Enuneiamo il risultato ottenute, tenendo present© che in esso
• gioca 1’ipotesi di lavoro del f 12, di cui occorrerebbe dare la dimo-
strazione:
II numero dei moduli da cui dipende una classe di superficie re-
golari di genere p > 3, eon sistema canonico irriducibile sempUoe
(р(П > в), i probabUmente .
M 10? — 2?w + 12.
Kel seguente paragrafo diremo come quests formula si estenda
al caso delle superficie toegolari.
14. Nota stories .e complement!.
- Il prime tentative di determinare il numero M dei moduli da
eui dipende una classe dj superficie algebriche ё dovuto a M. Noe-
theb (*) (1888) che ritiene valida, sotto larghe condizioni, la formula
ЛГ = 10? ---2pte 12 (p — pa Ps),
quella appunto che, secondo la nostra ipotesi di lavoro del § 12,
darebbe in generale un limite inferiore di M per le superficie regolari
con ? > 3, corrispondendo ad a>' — 0. Коетяев ё giunto a quests
specie di divin^zione mediante un intuit© geniale. Egli ё partite
dalla formula che dh la postulazione di una eurva gobba 0 (dotata
di punti tripli) per le superficie d’ordine », che debbano passare
doppiamente per essa. Se il numero delle condizioni cost impost©
ad >в ё negative, — Д presume che S indichi il numero delle condi-
zioni регсЬё la detta eurva C sia doppia1 per una tF„-, quindi si tro-
vers, il numero dei moduli relativi alle colla € doppia, valutando
fl numero > dei parametri da cui dipende la O:
— s' '
(i) M. Каивзв, АпасМ Лаг Moduln einer Olaan alg^raiadher Fl&shen. Sit-
rangeberiohte dec Akademie, Berlin, 1888.
214 ; САЙТОМ QUINTO
La question® dei moduli delle superficie 6 stata ripresa da Bm-
biques in due lavori, del 1908 e del 1912 C1). La valutazione si fa
considerando —- nello spazio ordinario —- il sistema continue delle
superficie d’ordine л dotate di una curva doppia con dati carat-
teri, e ammettendo che il sistema' caratteristico, segato su una
dalle l*e infinitamente vicine, sia complete: che in tale presupposto
si contenga impiioitamente un’ipotesi che non viene sufficientemente
dimostrata accertando la corrispondente propriety differentiate,
non si accorse allora 1’autore; la lacuna fe stata segnalata soltanto da
Zabiski (1936) (’) dopo eh® una lacuna analogs era stata trovata
dal Sevebi (1921) nella dimostrazione del teorema'fondamentale
ehe esprime la propriety caratteristica delle superficie irregolari
(cfr. Cap. IX, § в).
Comunque, Enriques, basandosi sull’ipotesi implicit» sopra ac-
cennata, trovava anzitutto la formula del § 11:
M — 10pa — Р» — 2p<l> 4- 12 -f- co (a> 0)
valida per tutte le superficie regolari e irregolari che non apparten-
gono alia famiglia delle rigate (ctod con’qualche plurigenere > 0);
e in secondo luogo la formula pih espressiva .che dovrebbe valere,
in generate, per le superficie regolari (eon .'sistema canonico irridu-
cibile sempliee) il cui genere p > 3 (pW > 6):
M = lOp — 2pte 4 12 + w'; («' 2> 0)
questa formula, come abbiam detto, per to = 0 si riduce a quella
di Koether. Nella seconda Nota (del 1912) Enriques traeva dalla
formula dei moduli una qualche veduta del teorema d’esistenza dei
piani multipli, rilevando 'che le eondizioni perchb una. curva piana
dotata di un certo numero di nodi e di cuspidi sia curva di diramazione
’ d’un piano multiplo sono di natura puramente aritmetica, di guisa-
chb si pub dire che « se una curva D sia curva di diramazione d’un
piano n-plo, lo stesso dovri accaderte per tutte le curve del pih
ampio sistema continue che sono dotate dello stesso numero di nodi
e di cuspidi». L’autore avvertiva, in questa occasione, che sif-
fatte eondizioni aritmetiche potranno determinarsi collo studio del
gruppo di monodromia, come ha realizzato di poi nella memoria
degli Annali di Matematica del 1923 e qui si & esposto nel § 9.
Ora b chiaro che, partendo — come si b fatto innanzi nel § 11
(!) E. Embxqxdes, Sui moduli delle superficie algebriche. Rend. Lincei, giugno
1908; Sui moduli di tea closes <U superficie algebriahe в sul teorema d’esistenza
per fe funzioni dlgehrvtihe di dee иатъаЫл. Att. R. Aooademia di Torino, 1912.
Cfr. Annafi di Mat., 1923-24.
(•) O. ZaBiskl, Algebraic Surfaces. Beriino, 1835 (cfr. V, 8).
INVARIANT! NVMBRICI В PIANI MUMMU 216
— dal teorema d’esistenza dei piani multipli, si riesce a dare la prima
formula dei moduli ehe (esclusa la famiglia delle rigate) ё assoluta-
mente generale, e resta cosi immune dalla eritica di Zariski. La quale
tocoa invece la seconda formula piii espressiva (per p > 3), che in
questa esposizione si ё fatta dipendere dall’ipotesi di lavoro del § 12.
La questions dei moduli delle superficie algebriche ё stata ri-
presa da B. Sesbb (*) nel 1934, in ispeeie coll’intento di trovare una
formula pih espressiva per le superficie irregolari. In questa ricerea
peril rimane il presupposto (dell’integritfi del sistema caratteristico
di un sistema continue di superficie >„) ehe noi abbiamo rieondotto
.all’ipotesi di lavoro del f 12; giaoohd il Segbe non si era accorto
della difficult^ messa in luce piii tardi dalla eritica di Zariski.
Qui notiamo che, sulla base del detto presupposto, il ragiona-
mento svolto innanzi per il caso generate delle superficie regolari
con p > 3 si estende subito al caso delle superficie irregolari (te-
nendo presente la propriety caratteristica di queste cui si ё aecen-
nato). In tai guisa si perverrebbe alia formula
X — 12pe — 2p, — 2p<1} 4-12 4" <» (e> > 0)
Ma il Segbb tiene un’altra via che lo conduce ad un’altra formula
pih significativa, tantochd gift nel caso delle superficie regolari ё
eondotto a scrivere to > p — 1, e quindi
X > lOp — 2pW + 11,
formula che (salvo le restrizioni sopra accennate) dovrebbe valere
per tutte le superficie con qualche plurigenere non nullo, senza che
. faccia bisogno diammettere p > 3, curve canoniche irriducibili, ecc.
Del resto questo risultato rientra nella formula piii generate
che d& i moduli delle superficie irregolari. Infatti B. Segbe trova
<» S: 2p„ — p„ — 1, e quindi - ’
X ~ 9p< 4" Ps —* 2pd) 4* 11 4* d
Per chiudere riportiamo una formula comunicataci dai Prof. G.
Савтеьэтгоуо il quale per il oarattere co ha trovato la seguente
disuguaglianza:
co 2p« 4 ?«4 P(l) — I — 3 .
(i) B. Sbgbb, Sui moduli delle superficie algebriahe irregolari. Bendio. Aoc. Lin-
oei, vol. XIX (1934).
CapitolO VI.
SUPEBFIOIE REGOLABI: МИПМО DEI GENERI
' . /е condizioni di bazionalitA
Tn questo capitolo vogliamo coneiderare per eemplicitA вирет-
flcie regolari di genere - ’ '
?. = ?«==₽,
sebbene molti risultati che a queste si riferiscono si estenderaimo
senza difficolth alle superficie irregolari; come avremo вревво occa-
sions di avvertire. ‘
1. Limite inferiore del genere lineare.
Consideriamo una superficie ’Л* di genere p „>' 0, che possiamo
supporre priva di curve eccezionali (Cap. IV, § 9). ba T possiede per
ipotesi delle curve canoniche che. supporremo dapprima essere di
ordine maggiore di zero. Vogliamo dimostrare che il genere'lineare
di J* (che ё qui il genere lineare asaoluto) vale
pW > 0. „ ' '
Occorre riconoscere che 1’ipotesi pto < 0 conduce ad un assurdo.
Sia'dunque pW о, e quindi il grado del sisteina canonico |Ж|
pw = pM—
Avremo eosi (almeno) una curva canonica К di grado negative,
la quale potrh essere costituita da pih parti semplici о multiple:
3L ~ -I* .... -4*
dove le non possono essere curve di genere virtuale gt = 0 e
di grado v* == — 1, che sarebbero curve eccezionali di prima specie
sopra V. Intersechiamo una delle component! di К,- sia per esempio
Ki, con la K. Il numero delle intersezioni аатй.
2@x — 2 — n
218
САМКИ» аввто
Questo numero non pub essere negative. Infatti se
2gi — 2 — »>x < 0,
essendo 0, segue
n^-1
e quindi ‘ (essendo esclusi i valori vt — — 1, g, — 0),
Ma questo b assurdo perchfe una component© Жж di grado vx > 0
non pub avere un numero negative di intersezioni con la К = s-JS^ 4-
4- я»Ж, 4- .... Ora, avendo provato ohe le component! Ж< di Ж
debbono avere eon К un numero non negative d’intersezioni, si
deduce facHmente che la Ж stessa deve avere un grado p<’> 0.
Infatti, designando eon »o il numero delle intersezioni di due .
component! K(e K( della Ж, il grado della Ж sarfi. espresso da
p(>) = Sa}vt Ц- 3SstS^ntt.
L’espressione del p<*> ci appare ora come uha forma quadratics
nelle ef e, tenendo presente il teorema di Eulero suite funzioni
omogenee, si riconosce che essa deve essere essenzialmente non ne-
gative perchb le sue derivate parziali rappresentanti il doppio del
numero delle intersezioni (Ж • Ж() sono
S: 0.
La diseguaglianza p<l> > 0 sussiste ancora nel caso che la super
ficie Ж- possegga una sola curva canonica d’ordine zero (p = 1).
Infatti si assuma sopra la JF, priva di curve eccezionali, un sistema
lineare irriducibile | C| senza punti base di genere я e grado w;
avremo in questo-case
n — 2w — 2,
. essendo il numero 'delle intersezioni (<7 • Ж) == 2я — 2 — » = 0. E,
designando con |(7'| il sistema aggiunto di |C|, di genere я' e di
grado- вагй
. |O'| = ]O|.
Ora, valutando il genere я' =* я di | O' |, si trova
я' == я = я 4~ pW 4- 2я — 2 — n — 1
e quindi
pO) as 1. Il
Il teorema dimostrato (pW > 1) sussite anche per le superficie
di genere p == 0 che abbiano un plurigenere P< > 0. Infatti, si
STTPERFICIB RBGOUARI : MINIMO OBI GENERI В CONDIZIONI, ЯСС. 210
pud ripetere il ragionamento, ove si ponga al posto della curva ca-
nonica К la curva f-canonica iX, la quale se fosse pW < 0 dovrebbe
avere con ciascuna delle sue component! (di genere g e grado v)
un numero non negative d’intersezioni, espresso da
i(2g — 2 — v).
Anche nel caso (Ft = 1) in cui la curva i-canonica sia d’ordine
zero, e quindi un' sistema | C [ teoineida col -suo i-esimo aggiunte, si
conclude come nel qaso f — 1, che . •
• ' pw = 1.
Infine avvertiamo che la dimostrazione del nostro teorema 6
aflatto indipendente dali’ipotesi che la F sia regolare. Bnunciamo
dunque,. senza reetrizioni, che:
Una superficie di genere p„ > 0, о anche. di genere p, = 0 che
abbia un plurigenere Ft >0, ha il genere lineare assoluto
• ' . pw 1.
Vogliamo oflrire una seconda dimostrazione del teorema sopra
enunciate, la quale dipende da un lemma che riceverft nel eeguito
important! applicazioni. Abbiasi una superficie F, che vogliamo sup-
porre priva di curve eccezionali, di genere lineare p<‘> ^o, e si as-
suma sopra di essa un sistema lineare irriducibile regolare | C ], di
genere ж e di grado » 2 л —2. be C incontrano una curva cano-
nica virtuale К in '
2 л — 2 — n > 0
punti. Inveee le curve C" del sistema aggiunte (|<7'| = | <7 4- K|)
incontrano le X in
2л — 2 -r- n -f- — 1 < 2я — 2 — n
punti. Goal, passando da un sistema lineare al suo aggiunte, il nu-
mero delle intersezioni delle curve del sistema con la curva. ca-
nonica va diminuendo. Ma cib porta che il process© dell’aggiunzione
•stessa debba avere un termine, owero che si arrivi a sistemi lineari
di genere я e grado N > 2л — 2; ma 1’esistenza di un siffatto fii-
stema |A| porta ancora di necessity che la serie degli aggiunti
| Ii'ecc. debba avere un termine, perchb il numero delle
intersezioni (I L) > (I' • I) > (I"' • Z)....
Dunque 1’ipoteai pW < 0 'porta che, a partire da un sistema li-
neare | <71, si ottenga soltanto una serie limitata di successivi ag-
giunti, e percib che un sistema |<7| non possa'essere contenuto in
nessuno dei suoi sistemi aggiunti j <JW |, oseia che tutti i plurigeneri
della superficie siano Pt = 0.
220
CAPITObO SBSTO
Qui occorrono due osservazioni. ba prima & che 1’ipotesi di una.
superficie > priva di curve eccezionali si introduce soltanto a scope
di riduzione all’assurdo; se si rigetta tale ipotesi si deve ammettere
senz’altro che la superficie J* possegga un sistema con » > 2л — 2,
a partire dal quale il proeesso "di aggiunzione si estingue.
ba seconda osservazione si riferisee alia eventuale riducibilita»
del sistema | C'| aggiunto Ц sistema irriducibile |O| da cui siamo
partiti. Se la superficie Л* ё regolare e | C | privo di curve fondamentali,
ё chiarq che | C!) non pub essere riducibile, e cpsi in particolare non
pub ridursi al sistema (C | cui si aggiunga' una eurva 'canonica fissa.
Ma, indipendentemente dalla irriducibiliti dei sistemi aggiunti suc-
cessivi a | <7|, basta in realty pervenire ad un sistema |X| comunque
riducibile, di genere я e di grado IF >2л —2; ogni multiple di
questo sistema dart, sempre un sistema. lineare che soddisfa a fortiori
alia medesima diseguaglianza. Biuscirft, quindi agevole costruire
un sistema irriducibile che soddisft del pari ad una diseguaglianza
analoga, sommando |sJS | ad un conveniente sistema lineare irridu-
cibile, su di che non giova qui trattenersi ulteriormente.
JFrattanto concludiamo affiermando il risultato sopra enunciate.
2. П bigenere e i plurigeneriu
Biferiamoci ad una superficie J1 tale che per ogni sistema li-
neare di genere я, sia il grado n < 2л — 2, la quale, come abbiamo
visto (Cap. XV, § 9) pub trasformarsi in guisa da eliminare le sue curve
eccezionali. A part-ire da un sistejna lineare irriducibile |G|, che
pub essere il sistema delle sezioni iperpiane di una X1 priva di singo-
laritb, cerchiamo di costruire il-sistema bicanonico di f. Occorre
percib staecare una 0 dal sistema Secondo aggiunto |C"[. Ora
se si suppone che sia la differenza
d == 2л — 2-;й.^0,
le 0* 'segheranno sopra O’ una serie d’ordine 2л — 2 + d Ле ё certo
non speciale e percib lo strfccamento di 0 da j C* | imporrt, al pih
л —-1 -j- d condizioni» Quindi,' calcolando con il teorema di Bie-
mann-ВоЛ la dimensione di ] C* |, si trova che quella del sistema
bicanonico | C’ — 01 sar& espressa, da
> — 1 S: pa 4- 2>W -—1;
avremo dunque
P Pa + ‘
Questo risultato ё indipendente dall’esistenza effettiva delle
curve сапотЛе (d’ordine d 0), ciob sussiste per p, 0. In
particolare per le euperfioie regolari (p = P« = Р»), prime di curve ec-
SUPBRyiCIB RBGObARI : MINIMO OBI GBNBBi В CONDIZIONI, ECG. 221
cezionali, con curve canoniche virtuali d’ordine d (> 0) 41 bigenere
vale sempre
1) _ P p + p(I). . ;
Se vi sono curve canoniche irriducibili di genere p® > 1, su cui
•allora il sistema bicanonico sega la serie canonica complete, si ha
esattemente: '
P =k= p 4~
In luogo dell’eguaglianza 2) si ha in generate la diseguaglianza
.3) P S: p + 1 per - p« == 1,
giacchfe il sistema canonica di grado p<x> — 1 = 0 si spezza allora
nelle curve ettittiohe к d’un fascio (lineare sulla P regolare): se una
•eurva canonica ё composta di p — 1 curve > d’un tel fascio, le'
curve bicanoniche sono. formate da 2p— 2 curve fc e danno quindi
-un sistema lineare di dimensione
P —l=2p —2;.
se alle p — 1 curve й si aggiunge qualche eurva flssa, il doppio di
queste pud costituire una eurva к susoettibile di variare nel fascio di
esse; e percib pub riusoire
P —l>2p —2. ' .
I risultoti precedent! subiseono qualche modificasaone nel caso
j «1, quando c’b una eurva canonica • effettiva d’ordine d == 0:
si ha allora in luogo della 1): ’ '
P = 1 ,
e
• pU) ==i .. (p c p pWf, . ’ ,
Infatti se 6 d = 0, il sistema j C | considerate sopra la superficie
P 6 di grado
n = Sirs — 2,
ed essendo p — 1 si ha
(C l = | C' [ = (C" [;
quindi il sistema bicanonico coincide col sistema d’ordine zero che
costituisce il sistema canpnico e che ha la dimension©
p — 1 == P — 1 = 0;
II genere di tale sistema [K| vale "
pte =1,
222 ’ сайтом» bbsto
perchfe sommando una Ж d’ordine zero ad una G si ha una curva
eomposta di genere ’
л = я 4- pW -f"0 — 1.
Oosi й s»per^c»e reyofcw* di genere p == 1 ehe poeseggono una curva
canonica d’ordine zero si distinguono da quelle eon сипе canonica
d’ordine maggiore di zero per avere; le prime
1? = 1, •'
e le seconds
JP 2: p + P<x> 2> 2.
Per una superficie regolare senza curve eccezionali (л < 2я — 2>
di genere p = 0, eon curva canonica virtuale d’ordine d — 0 (d = 2л —
— 2 — n) sussiste ancora, come per d > 0, la diseguaglianza 1) eiofr
avendosi
Jp -™ X J P^ =s= 1*
Infatti, essendo |<7'J diverse da | G |, anche | C‘ | sar& distmto
da | <7'| _e segherd. sopra una О una serie non speciale; di con-
seguenza lo staceamento di C da | O’ | importer^ я — 1' eondizioni
lineari al pih: si deduce ehe esso imports proprio я — 1 eondizioni,
risultando^
|O*j — |C| , P = 1, = 1.
Osservazione. - Й importante osservare che i risultati precedent!,,
in ispeeie la diseguaglianza fondamentale
1) P 2: p + Pw,
cadono assolutamente in difetto per le superficie eontenenti sistemi
lineari |Oj di genere я e grado я > 2я— 2; ossia aventi curve ca-
noniche virtuali d’ordine negative
— d = n — (2л — 2),
Infatti il sistema | C [ segherh ora sopra una G una' serie d’ordine
2л — 2*—d che potri essere speciale.
Valga ad esempio il caso del piano, in cui ei assume il sistema li-
neare |C, | formato dalle curve generali del 7° ordine. Le curve
aggiunte sono le quartiehe C4, e le seeonde aggiunte le rette Clt
secanti sopra una C4 una serie g%, serie speciale d’indice di speciality
i — 10.
Qui si pub calcolare il genere (lineare pW) del sistema canonico
virtuale
SVPEREICIB REGObABI: MINIMO DEI GENERI В CONDIZIONI, ECC. 223
Siecome le К segano le <7X in — 4 « - 3 e le C4 (di genere 3) in —12
punti, si avrA
0 = 4-3-12-1 -
e quindi ritroviamo ehe il genere lineare (relative) del piano vale:
рЫ «10. ".
Krattanto, non essendo possibile staccare \C\ da |Cx| manca
affatto il sistema Bicanonico e percib
J? a= 0.
be formula che esprimono il bigenere pet mezzo del genere su-
perfleiale e lineare, si estendono ai plurigeneri. Quando la superficie
JP. priva di curve eccezionali possegga carve canoniche virtuali d’or-
dine d > 0 (d = 2я — 2 — ») si ha .
> p. + (p« -1) +. 1
e per una superficie regolare (p«T= p, =p)di genere lineare pW > if
con curve (i— 1) canoniche irriducibili t
P< == p _j_ fi£_—(yd? — i) x ,
a
L’eguagUanza diventa diseguaglianza nel caso p^- = 1, dove le
curve pluricanonwhe di grado ta(p<» — 1) = 0, si compongono tutte
colle curve ellittiche di un medesimo fascio:
Pt S: p + 1-
Fanno eccezione alia diseguaglianza fondamentale
J>f p + *I£zzl) (f>« _ +1
le superficie di bigenere P = Pa = 1 ehe poeseggono una curva ca-
nonica virtuale d’ordine d — 0 e una curva bicanonica effettiva,
pure d’ordine zero. In questo caso la serie segata dal terzo aggiunto
| C" | = ] C [ sopra una C A la serie canonica (di dimensione я — 1),
quindi il адю staccamento da | C” |, importando ж eondizioni, non
ё possibile, sicchfi
Dunque le superficie regolari dl genere zero e bigenere uno con curva
bicanonica d’ordine zero si distinguono da guelle eon curva bicanonica
d’ordine maggiore di zero per avere :
"le-prime il trigenere
Ps = 0,
224 ' САМТОЬО SKSTO
mentre le seconds hanno
P3 l> 1.
Per le prime superficie si ha poi •
-₽»< — 1 , . Л<+1 = 0 ,
mentre per le seconds tutti i plurigeneri sono essenzialmente posi-
tivi. Anzi essi vengono a superare 1’unith anche nel caso pW = 1.
Infatti, combinando una curva bicanonica contata tre volte con una.
curva trieanonica contata due volte si ottiene un fascio di curve
.sesticanoniche, sicchA • '
P. > 2.
3. Esempi: piani doppi di genere lineare p(1) = 1.
- Una esemplificazione interessante delle formule del precedents
paragrafo viene offerta dai piani doppi di genere lineare pW = 1 (x).
Ivi si dimostra che ad esctasione del piano doppio con sestica di
diramazione affatto generale - ”
che ha curva canonica d’ordine zero (genere e plurigeneri p = JPr = 1)
gli altri piani doppi, per cui p{1> = 1 e qualcuno dei plurigeneri
Pt > 1, contengono un fascio (razionale о meno) di curve ellittiche
Z, trasformato in её dall’involuzione I le cui coppie rispondono ai
punti del piano. E quindi si d condottj a due famiglie di superficie
rappresentabili su tali piani doppi:
I) superficie con un fascio lineare di curve ellittiche L (irridu-
cibili) trasf ormate in зё dall’involuzione ! che subordina su di esse una
involuzione lineare й, le quali vengono rappresentate su piani doppi
con curva di diramazione Z>ln d’ordine 2» (n :> 3) dotata d’un punto
(2n — 4)-plo о (2» — 3)-plo O, ed eventuahnente di altre singolarity
abbassanti il genere: punti quadrupli e punti [3,3]; le rette per О
sono le immagini sul piano doppio delle curve Z;
II) superficie con un fascio di curve ellittiche irriducibili
Z, che possono essere curve d’un fascio razionale, trasformate in зё
dall’involuzione I subordinante su di esse un’involuzione ellittica
y|, owero curve d’un fascio (razionale о meno) associate a due a
due da I in un’involuzione razionale del fascio; queste superficie si
rappresentano su piaati. doppi per modo che alle Z rispondano le
f ~ '
(x) Cfr. F. EsrBiftxras, Sui piani doppi di genere'lineare pW = 1. Beadle. B.
Aoo. leaoei, Aprils e Maggio 1898. , -
SUPERFICIE REGOLARI : MINIMO DEI. GENERI E CONDIZIONI, EOC. 225
curve ellittiche d’un fascio di Halphen f1) (curve Ot, con 9 punti
s-pli) e pertanto le curve di diramazione di essi (supposte prive di
curve eccezionali) sono composte colle curve del detto fascio ed
eventualmente anche colla cubica passante per i suoi nove punti
base. . . . . .
®ra i piani doppi della categoria I sono notevoli quelli con curva
di diramazione Ds„ dotata di coppie di punti tripli infinitamente vi-
cini (punti {3, 3]) allineati col punto (2n — 4)-plo O.
. Per я = 4 abbiamo il piano doppio con. JDt di diramazione dotata
d* .un punto 4-plo О e di due punti tripli infinitamente vicini 4 e A,
allineati сод O; la De si compone di una D, con O*AlA* e della retta
r = OA. Il genere di questo piano doppio vale
== pa == p = ls
avendosi Ш curva canonica rappresentata dalla retta. r = О A
(sqggetta a passare semplieemente per О e O’& qualche difflcoltft
a^determinare il genere lineare pW, giacchb alia retta doppia r = О A,
sembra rispondere soltanto una coppia di curve' razionali coinci-
dent! sconnesse. Si scioglie la diflftcoltt. riconoscendo che la super-
ficie J* rappresentata per proiezione sul piano doppio possiede una
curva canonica impura, costituita da due curve eccezionali infini-
tamente vicine i cui punti rispondono ai punti generic! di r, e da una
curva infinitesima rappresentata dall’intorno del punto la quale,
per una taasformazione di V in una superficie priva di singolarity,
si muta in una curva d’ordine maggiore di zero e di genere = 1.
D’aceordo eon questo riconoscimento la F avri il bigenere
- JP ssz p 5=3 2,
essendovi un fascio di Curve bicanoniche ellittiche rappresentate
sul piano doppio dalle rette per O: aggiungendo le curve eccezionali
si avranno come immagini delle curve bicanoniche impure le coppie
di rette formate da r e da una retta variabile per O. Oib che si b detto
si. rende chiaro considerando il sistema lineare oo* delle coniche
per AAlf che porta a trasformare la J in un cono quadrico doppio
senza curve eccezionali: le. immagini di codeste coniche doppie,
con 10 punti di diramazione, sono curve iperellittiche di genere 4,
formanti un sistema lineare di grado 4 (< 2 • 4 — 2); le quali ven-
gono segate in 2 punti (coniugati) dalla curva canonica che risponde
all’intorno di Аг, e in 4 punti, costituita da.due eoppie di punti co-
niugati nella dalle curve bicanoniche; percib queste ultime sono
(’) Oft. p. es., Еивдчта-Сокювм, be ewper^Soie «aeionaK. (ZaaichelU -
Bologna).
Bsbiqds Sv-perficie dlgebrlche.
IS
%№ САМТОЬО ШИТО
rappresentate sul cono dalle sezioni piane d’un fascio, e sul piano
dalle rette per O. Precisiamo che il detto cono quadrico doppio pos- '
siederh una curva di diramazione. D10 del 10° ordine, di cui la Dr
si pud ritenere come' proiezione da un punto triple P a cui 6 in-
finitamente vicino un’altro punto triple Pi che si proietta in O.
Ъа retta PPt giaoe sul piano tangente al cono lungo la generatrice
& per Pei piani per essa segano sul cono le immagini delle cur-
ve bieanoniche.
Accanto al piano doppio menzionato innanzi, che ha una curva
di diramazione D8 = nD, con O*A*A{, si pub considerate fl piano
"doppio con D, di diramazione passante per O4 e per due coppie di
punti tripli infinitamente vicini allineati eon О: A*A* e Questa
J>g ft spezzata nelle due rette r = OA ed « — OB e in una Da(0*A®
AfB’BJ). IT genere di tale piano doppio b
p — 0,
e fl bigenere
-P = 1,
essendovi una curva bicanonica impura rappresentata dalla coppia
delle rette res. Questa curva si riduee ad una coppia di curve
eccezionali contate due volte. Valutando il trigenere del piano doppio
si troverebbe Р» = 0. Cib risulta indirettamente dalle osservazioni
ehe seguono.
Se si trasforma il piano doppio in una superficie V senza curve
eccezionali, appare che la curva bicanonica di F b d’ordine zero:
И pub costruire 1* mercb il sistema lineare <x>* delle cubiche per
OAAJBBi, che sono immagini di curve di genere 4 e grado 6; si
b condotti in tai guisa ad una superficie cubica doppia (normale
in S'*) eon curva di diramazione del 10° ordine.
Vedremo nel seguito che la F si pub trasformate anche nella,
superficie Fe del 6° ordine ehe passa doppiamente per gli spigoli
d’un tetraedro.
Oonsideriamo ora i piani doppi (ancora della categoria I) con
eurva di diramazione 1>M del 10° ordine, dotata d’un punto 8-plo
О e di due coppie di -punti tripli infinitamente vicini ААг e ВВ»
allineati eon О: la J>a b eomposta delle due rette r « OA e s =* OB
e di una Z>,(O4A’AJB’B?). Qui si ha una curva canonica impura rap-
presentata dalle due rette' eccezionali r ed s, e da una curva resi-
dua (che diventa d’ordine > 0 sopra una superficie trasformata
senza singolaritb) formata di due componenti ellittiche che rispon-
dono agli intorni dei punti A,e sicchb
sx рл хгл p ’sas 1 sas
ВСТЕЕПСХЕ REGOLARI: KIMMO MI GENBRX E CONDIZIOHI, ECO. ' 227
Il bigenere P deve superare I’unith e difatti si ha una rete di
curve bieanoniche che hanno per immagini sul piano doppio le
coppie-di rette per O', si conclude dunque che
P = 3 (> p + pty,
Accanto al piano doppio menzionato si consider! quello eon curva
di diramazione А» dotata di un punto 6-plo О e di 3 coppie di punti
3-pli infinitamente vicini AA1} BBlt EE1} allineati con O. La super-
ficie В cosi definita non possiede curva canonica, non essendovi
alcana conica passante doppiamente per О e semplicemente per A,
В, B', quindi . -
Pa ass =s= p sss 0.
Invece si hanno curve bieanoniche ellittiche rappresentate dalle
rette per O, cui si aggiungono le immagini eccezionali delle rette
di diramazione .
r *= OA , в = OB , t = OE;
percib
f« == 1
e
P SOS 2 (
Fra codeste curve bieanoniche vi sono tre curve doppie (in cor-
rispondenza alle tre rette r, «, t о meglio agli intorni di Als ed ®i),
le quali prese insieme semplicemente costituiscono una curva tri-
canonica della superficie F:
Pf 1 ( =
, Il doppio ddla detta.curva tricanonica appartiene al triple del
sistema bicanonico; si ottiene cosi il sistema lineare delle curve
sesticanoniche di J*, le quali hanno per immagini le terne di rette
per O. Si ha dunque:
P, = 4.
Nella categoria П teoviamo pure esempi interessanti per la
nostra teoria. Si assuma un piano doppio con curva di diramazione
Pen (» > 1) costituita da una curva ellittica irriducibile con 9 punti
2n-pli, appartenente — com’bnoto — ad un fascio di Halphen (*).
La superficie E cosi definita possiede una curva canonica avente per
. P) .Ogni curva (doppia) del fascio di Halphen rappresenta due curve L di-
etinte non appartenenti all’involuzione I giacchb cib accade per la D$nl del reeto
cib b d’accordo col criterio di Comussaxti, poichb la De„ pub ridurei per continuity
ad un» doppia. Cfr. p. ев. Екиапвв-Си»»!, Libro V, cap. IV, | 38 (vol. Ill,
pag. 44S). • -
228
САМТОЬО SBSTO
immagine una eurva d’ordine 3n — 3 soggetta a passare n — 1
volte per i 9 punti base del 'fascio, la quale si riduce alia cubica
pei 9 punti contata n — 1 volte; dieiamo alia ' Si ha pertanto
P« ess sss p ж=г 1 , =cs I*
Ora la eurva di diramazione 1>,я, pfesa insieme con la
aggiunta alia (da contare due volte) formerib. una eurva bica-
nonica di V (cfr. Cap. V, § 7), mentre un’altra eurva bicanonica ё data
dalla. у}"-8 da contare due volte. Si deduce che le curve del fascio
di Halphen definite dalla !>,», .prese insieme colla 9>J~’ fiesa, rappre-
sentano un fascia di curve bicanoniche, costituite dunque da curve
ellittiche irriducibili L (*) (non appartenenti all’involuzione I) e-
•da una parte fissa, che ё una eurva ellittica multipla secondo n — 2,
la eui eomponente appartiene all’involuzione I ed equivale ad una
parte (w-r-l)-ma di Z. Cost avremo
P-2 (=p4-Pw)-
Si trova poi facilmente che le curve tricanoniche sono date dalle
coppie di curve X, sicche
= 3. . . .
Accanto al preoedente troviamo ancora nella eategoria II il
piano doppio con eurva di diramazione = !>»•-« + composta
d’una eurva irriducibile Da«_, di Halphen, con 9 punti (2w — l)-pli
e dalla cubica I>, che passa per questi 9 punti.
La superficie V cost definita possiede «лй eurva canonica rappre-
eentata dalla D3 contata. n — 1 volte, dieiamo ДГ1, stochfe
sssi s=a p =ss 1 , sssz 1.
be curve bicanoniche trasformate in вё dall’involuzione I sono
dates dalla Dj-* doppia, Contata due volte, e dalla eurva di dira-
mazione 4- !>» presa insieme all’aggiunta dell’immagine della
eurva canonica, che ё la Dj“a doppia. Quindi si ha un fascio di curve
bicanoniche ellittiche rappresentate dalle curve d’ordine в® — 3
del fascio di Halphen semplici (s)f prese insieme cella eurva multipla
rappresentata dalla ДГ* doppia:
ks 2.
(x) Ogni eurva Jj di questo faecio 6 immagine di due curve еШШАе distinte
in aooordo col oriterio di Сомивважгг, perchS fl gruppo dei punti critici apparent!
eegato su £ daO* Оля viene eegato eguelinente dalla -О|п, doppio della JD|. Cfr.
Еввттав-Сшвгж, 1. о.
(«) Ved. not* preoedente.
SUPERFICIE REGObARl: MINIMO DEI GENERI E CONDIZIONI, ECO. 229
Bon ci soffermeremo sui piani doppi della eategoria П aventi
una eurva di diramazione comunque composta code curve d’un.
fascio * *di Halphen: i quali portano in generale a superficie irregolari
con
p, — 1 , Р» > 1 , ’-pw = 1-
Ma vogliamo indicare un piano doppio con pM =ss 1> P = 0» '
.P == 1, dotato di eurva bicanonica d’ordine maggiore di zero, che
possiede un fascio di curve ellittiche (non autoconiugate in I) rap-
presentate dalle curve d’un fascio di Halphen, e nondimeno esce
dalla eategoria П per la presenza di una retta parte della eurva di
diramazione, immagine di ttna eurva eeeezionale. un piano doppio
gift, presentatosi ad Enkiqves, che ha una' eurva di diramazione
D10 d’ordine 10 e s’incontra nella dassifieazione di questi piani di
Ii. Оамиюеш (*): la 2>ie si compone di una D, + r, dove la 2>, b
una eurva ellittica (irriducibile) di Halphen con 9 punti tripli, sei
dei quali AJ.X, BB1} JBB,. sono a coppie infinitamente vicini mentre
gli attri tre (distinti) si trovano sulla retta r. .
ba superficie > rappresentata su questo piano doppio non pos-
siede curve canoniche, poichb una coniea passante per i tre punti
tripli di D, su r e per i tre punti А, В, e E si spezzerebbe nella cwr«®
eeeezionale che risponde alia retta r (!) e in una retta per A, В a
E, che invece non sono allineati. ,
Si ha dunque
"P = 0,
D’altra parte una retta doppia per А, В e E, se esistesse, avrebbe
4 punti di diramazione (tre nei detti tre punti e uno su r), quindi il
genere lineare assoluto di В (genere delle curve canoniche private
della eurva eeeezionale) vale
i pt*) I.
Ora sulla > si ha una eurva bicanonica irriducibile (•), che fe
rappresentata sul piano doppio dalla cubica Da passante per i 9
punti tripli di P, cui si aggiunge la eurva eeeezionale rappresentata
dalla retta r. Dunque il bigenere di V vale
P “ 1. ,
(*) L. Coerasesaaa, Sui piani doppi «m сыпи» di dira/nuwione «fel 10» ordine
e Sopra alauni piani doppi notevoli con eurva di diramazione del 10® ordine. B. Aoe.
Xancei, 1932.
(*) Й facile vedere che la eurva corrispondente a eodesta retta di dxrama.-
zione di genere 0 e grade — 2 ha sopra J1 il genere 0 e il grado — 1. ,
(’) L’inriducibilita della eubioa doppia risulta dal oriterio di ОомЕзалаетх»
tenuta presents la oostruzione del fascio di Halphen eui appartiehe la St.
230
CAWTOLO SBSTO
In conformity del nostro, teorema si dovry avere il trigenere
1 e il eestigenere P, 2: 2.
Per verificarlo si osservi che (la D» possedendo una curva ag-
giunta- d’ordine 0) una curva tricanonica di P verry data dalla curva
di diramazione D» cui si’ aggiunga la curva eccezionale r. Codesta
curva tricanonica b isolata, ciob non suscettibile di variare in un
fascio, poichb altrimenti, non avendo punti comuni colla curva
bicanonica rappresentata da Dt) dovrebbe contenerla e si avrebbe
p„ > 0. Vuol dire che le curve ellittiche doppie di 9° ordine, del
fascio di Halphen deflnito dalla Z>„ sono immagini di curve irridu-
cibili (autoconiugate nell’involuzione I definite su P dal piano dop-
pio). Questa deduzione si pub anche confermare direttamente col
criterio di Comessatti. Infine abbiamo им curva tricanonica Ds
e un fascio di curve sesttcanoniche irriducibili rappresentate dalle
curve del fascio di Halphen cui appartengono la curva tricanonica
contata' due volte e la curva bicanonica contata tre volte. Dunque
si ha:
Р» = 1 , ‘Pt = ,2.
4. Condizioni di razionrfia di una superficie.
Una superficie razionale, ciob riferibite punto per punto al piano,
deve avere come questo il genere p = p« — p. = 0 e insieme col
genere debbono annullarsi tutti i suoi plurigeneri. Gli esempi che
abbiamo addotto (in particolare la superficie del 6° ordine che passa
doppiamente per gli spigoli di on tetraedro) mostrano che una su-
perficie regolare di genere p == 0' pub avere il bigenere P > 0, sicchb
' 1’annullamento. del genere non basta a fornire le condizioni di ra-
zionality di una superficie. Ora b estremamente interessante rico-
noscere che queste condizioni possono esprimersi annuHapdo oltre
al genere anche il bigenere, ciob scrivendo
pe == P — 0
(da cui segue necessariamente anche p, = 0). Questo teorema b do-
vuto a G. Oasteltoovo che lo ha data in una memoria del 1896 (*).
La dimostrazione del nostro teorema si lascia ricondurre ai cri-
teri di razionalitb, di Noether e di Clebsch-Noether, relativi alle
superficie con un fascio lineare di curve razionali e ai tipi di piani
doppi da essi determinati. A tale scope si parte da un sistema li-
neare irriducibile | C | sopra la superficie data e si costruiscono suc-
<x) G. Castbx.nvovo, S«He eu/perflde M genere zero. Soo. It. delle Science
(detta del XL), ofr. Jfemwie mselte, pag. 307.
SW-BRMCIB REGOLARI: MISIMO OKI GBNBBI В CONDIZIONI, EOC. 231
cessivamente il suo sistema aggiunto il secondo aggiunto
| 0* | e eosi di seguite. Si riconoacerft, che, essendo pe — P = 0 la
serie di questi aggiunti suceessivi ha un termine, e 1’ultimo sistema
aggiunto co1 almeno riesee composte di curve razionali о ellittiche
e conduce quindi ad uixo dei casi di razionalitft contemplate nei en-
ter! di Noether e di Diebach-Noether di cui si ft discorso. .
La discussions si pud svolgere in forma assai semplice distin-
guendo due ipotesi: 1°) la superficie data JF contiene un sistema li-
neare irriducibile | G [ di genere n e di grado n > 2я — 2, che pud
supporsi essere il sistema delle' sezioni piane о iperpiane di una J1,
afflatto priva di singolaritft; 2°) per ogni sistema lineare irriducibile
date sopra la superficie P sussiste la diseguaglianza £ 2я — 2,
designando n e я il grado e il genere del sistema.
Ipotesi I. - is chiaro che costruendo i suceessivi aggiunti | O'' |,
|0*|, ecc. a partire dal sistema |C| date sopra si ottiene una
aerie limitata di sistemi; in altre parole il procedimento d’aggiun-
zione si estingue. Infatti le curve G', C*,.... avranno un ordine de-
crescent©
-2?r— 2, 2я — 2 — d, 2л— 2 — 2d,
essendo
d = » — (2я — 2).
Pertanto vogliamo considerate 1’ultimo sistema aggiunto | (Ж |
di dimensione 1.
Supponiamo dapprima che i sistemi aggiunti |C'|, |C’|,
| (Ж ( della serie anzidetta siano irriducibili. Il sistema 10<‘> |, prime
della serie che non ha un aggiunto di dimensione' maggior di zero, ft
costituito di curve di genere zero о uno. f$e il sistema [<?<*>} ft for-
mate di curve di genere zero, il teorema di Noether (*) sulle super-
ficie contenenti un fascio lineare di curve, razionali permette di de-
durre senz’altro che la > ft razionale.
Be inveee il sistema |0«>| ft di genere 1, conviene distinguere
1’ipotesi che la sua dimensione sia rt > 2, owero = 1. Be r4 2
il sistema complete di curve ellittiche | СЮ |, che, per la regolaritft
della superficie, ha- -serie caratteristica completa, avrft, il grado
«< = rt, e percib contend dentro di sft una rete di grado 2, mereft
la quale to. superficie P viene rappresentata sul piano doppio oon
quartica di' diramazione: da cib segue (») che la nostra superficie ft
razionale.
Be inveee rt = 1, il sistema ohe precede j C<‘> | nella
eerie degli aggiunti, dovrb essere di genere due, e si potrft, supporre
. p) Cfr. p. e. EHBiquas-CoHVOBTO, Op. ей.
<•) Teorema di Olebeoh. C&. Еявхатав-Сомжшто, Op. cit.
232
CABITOM 8KST0
di dimensione r4_i > 2, perchfe altrimenti si potrebbe risalire ad un
sistema precedente, ancora di genere due. Ora si, pub vedere che il
sistema | | non 6 sempliee: tutte ie C<‘~v passanti per un punto
P della superficie P passano di conseguenza per un punto J*-' che 6
coniugato a P nella sopra di essa;' infatti il coniugato di P sopra
una variabile per P dovrh essere fisso, altrimenti descriverebbe
"una curva о una componente di CW di genere zero, eontro le
nostre ipotesi. • .
Cib posto, essendo la P una superficie regolare, il sistema (Д1-1*
aggiunto a sar& un sistema regolare, di dimensione — 1,
designando p<_8 il genere di | ©(<-•> |, ed avrb> la serie caratteristica
completa e non speciale. Percib questa serie, che abbiamo visto
essere eomposta con la й, saiA precisamente il doppio di questa g$.
Quindi il sistema | j sar& un sistema oo3 di curve di genere 2,
appartenente ad un’involuzione di eoppie di punti, mercb cui la
’nostra superficie’> viene rappresentata-sopra una quadrica doppia
con curva di diramazione del sesto ordine Pt. Siccome le’ gene-
ratrici di Q non possono possedere un numero dispart di punti di
diramazione. si deduce che la Q b un cono,, il cui vertice costitui-
sce un punto di diramazione da aggiungere alia Ptt secante le gene-
ratrici in tre punti. Il cono doppio cosi definite si lascia rappresen-
tare sul piano doppio di Noether con sestica di diramazione dotata
di due punti tripli infinitamente vicini, e da cib segue che il piano
doppio й razionale (x).
Abbiamo ammesso • che la serie dei suecessivi sistemi aggiunti
|(7'(, [ C |, .... sia formata di sistemi irriducibili. Se percorrendo
questa serie s’incontra un sistema C<*> dotate di una curva fissa
в e di cui la parte variabile sia irriducibile, appartenente ad un si-
stema di dimensione r* 2, si potrft, in generale proseguire la costru-
zione della nostra serie di sistemi aggiunti ponendo al posto di j <J<*> |
il sistema irriducibile | Cto — 91, apogliato della parte fissa в. B-
se questo sistema sia di genere О о 1, e quindi (per I’integrttA della
serie caratteristica) di grado и* = г»—-1 owero nh — rh, si conclu-
der& (come innanzi) che la superficie P й razionale.
Bests da approfondire I’esame del caso in cui il sistema | C* — 0 [
apogliato della parte fissa 9, sia un fascio owero sia composte colle
curve L d’un fascio ehe, per la regolarite della superficie, sarh li-
neare.
bi primo luogo se le curve X del fascio sono razionali il note teo-
rema di Noether ei permette di aifermare la razionalite della su-
perficie.
P) Teorema di Soother. Cfr. Емвгегшв-Соитовто, Op. eit.
SUPERFICIE RBGOIARI : MINIMO DEI GENERI В CONMZIONI, ECC. 233
Si assuma invece ehe le curve X abbiano il genere e > 0. Os-
serviamo intanto che la S, parte fissa di | <7* | dovte essere eurva
fondamentale per il sistema irriducibile | O'*-11, giaechb | O* | sega
su una C*-1 la serie canonica completa, priva di punti fissi.
Cib posto, le curve X incontreranno le C^~l in r 1 punti va-
riabili (poichb dall’ipotesi v = 1 si dedurebbe ehe le £ sono razionali),
e la serie canonica completa segata da | О* — 01 su una C*-1 sate
eomposta coi gruppi dell’involuzione d’ordine v segata, dal fascio.
delle X; di qui si deduce che le C*-1 sono curve iperellittiche essendo
v =='2: il fascio delle X, con Cui si compongono le curve di | C* 0|,
b un fascio lineare di- bisecanti.
Ora ricordiamo che il sistema complete |O*-I| aggiunte al si-
stema irriducibile | <7*-’ | (sopra la- superficie JF regolare di genere
p = 0) b un sistema regolare (di dimensione 1) e percib ha
serie caratteristica completa e non speciale. Questa serie b eomposta .
colla gl perchb altrimenti il coniugato d’un punto P sopra una
O*~x per J? descriverebbe una eurva- razionale; formante la I о una
componente della X per JP. Per conseguenza il sistema | O'*-11 non h
sempliee, ma composte con una involuzione di 2°’ ordine e il grado
и*-, di codesto sistema di curve iperellittiehe sate il doppio della
dimensione diminuita di una unite:
«vi = 2(гл_х—1);
mentre il suo genere yarte ..
' Ял-i •— — 1-
Possiamo arrivare a una determinazione pih precise di questi
caratteri, mercb la considerazione seguente. Se si stacca dal sistema ,
| C*-11 una curva X (su cui le O*~x segano le coppie di una й) si ot-
tiene un sistema lineare di dimensione r*-i — 2, che deve avere come
sistema aggiunto, il sistema aggiunto di (C*~l j, diminuito della.
X, e percib il sistema costituito da tutti i gruppi di — 2 curve
X; quindi lo staccamento della X da |0*~x| ne diminuisce il'genere
di una sola unite. Ma d’altra parte, le <7*~x che vengono a spezzarsi
nella X e in una-curva residua, debbono essere eonnesse, e quindi
la X ’deve incontrare le curve residue in i 1 punti; cosi, essendo
w*_i — 1 il genere di queste curve, si avte .
— (ял-i —-1) + e +»—i
da cui (essendo g > 0) segue ,
g = 1, i = 1. .
CABITOW SBSTO
234
Dunque, 1© curve residue di una L rispetto a | C*-11 segano la
Ji in un punto che 6 neeessari%mente fisso, e comune alle L del nostro
fascio, e oib porta che queste curve residue si spezzino in tante J
del fascio stesso.
Ora, тетей il sistema trasformiamo la superficie F in
una superficie doppia d’ordine ж = r*_, — 1 nello spazio ad m 4-
4-1 == r*-i dimension!. Questa superficie, su cui le curve J sono
rappresentate da rette, sari un cono avente un certo vertice O,
e dovrti. possedere una eurva di diramazione D, d’ordine
2 -J- =s 2ж 4" 2.
Se quest» D deve incontrare le generatrici' della superficie in
atoneno 3 punti variabili (affinehb il genere delle X sia g > 0), deve
essere.»» = 2; infatti un iperpiano condotto per О sega il nostro
cono in m generatrici, e percib si deve avere - '
3» < 2« 4- 2.
In tai guisa siamo pervenuti a concludere che il sistema | <7*-11
conduce a rappresentate la nostra superficie P sopra un cono quadrico
doppio, con sestica di diramazione, che, come gib, abbiamo ricordato,
b razionale (Noether).
Ipotesi II. - Dobbiamo ancora esaminare la seconds ipotesi:
ogni sistema lineare irriducibile tracciato sopra la superficie J* ha
genere я e grado n, soddiafacenti alia diseguaglianza
n < 2я — 2.
Aaaumiamo quests ipotesi che ridurremo all’asaurdo. Secondo
1’aseunto, la superficie > si pub supporre trasformata in- guisa da
non contenere curve eccezionali, e, se si vuole, priva di singolarith
in un convenient© spazio. De sezioni iperpiane di essa costituiscono
un sistema lineare |0|, di cui desigmamo con n il grado, e con n
il genere, essendo, come si 6 detto
» — 2.
• Allora il bigenere P della P, si pub valutare aumentando di una
unit®» la dimensione del sistema bicanonico, il quale si ottiene stac-
cando una C dal sistema secondo aggiunto . (C’ (, e, come abbiamo
visto, si trova che per una superficie regolare di genere superficial©
p == pa == p„ == 0, ©di genere linear© pW, il bigenere vale
P pto.
Per conseguenza, se P — 0, sarh
p<15 <; o.
SUBERFICIB REGObARI : MINIMO DEI GENERI В CONDIZIONI, ECO. 236
Allora si consider! la serie dei sistemi aggiunti euccessivamente
a jCj, |C"|, (C’j, il numero delle intersezioni (2я— 2—л)
che | C | ha eon ie curve canoniche virtual!, cresce passando al si-
stema aggiunto di — 1, ciod in realth diminuisce almeno di una
unite. Pertanto dovte awerarsi uno almeno dei due fatti che se-
guono:
1°) о la differenza л — (2я — 2) costruita con i caratteri di
un sistema j (J | diventa positiva per qualcuno degli aggiunti succes-
aivi, cib che contraddiee direttamente la nostra ipotesi;
2») owero la serie dei- detti aggiunti 6 limitata.
In tai caso, eosi come accadeva nella Ipotesi I), si arriva ad un
ultimo sistema lineare, composto con le curve razionali di un fascio
lineare, oppure ad un fascio di curve ellittiche che si presents come
aggiunto alle curve di genere 2 iperellittiche di un sistema lineare oo’
almeno di grado 4. Con Jo stesso ragionamento svolto nella Ipotesi I,
ai. deduce di qui la razionalite della superflcie J1. Ma non importa
nemmeno ripetere quel ragionamento; basta awertire che, in con-
traddizione alia nostra Ipotesi II, siamo pervenuti a costruire sopra
P un sistema lineare di genere я e grado л > 2я •— 2, sicchd 1’ipo-
tesi stesea viene ridotta all’aesurdo. Qui d opportune oseervare che
quando si abbia sopra F un sistema |X| comunque riducibile che
non contenga component! eccqzionali, di genere яе grado » > 2я — 2,
sommando un multiple di esso ad un sistema regolare, si pud sempre
•ottenere un sistema lineare irriducibile i cui caratteri soddisflno alia
medesima diseguaglianza. Conctaderemo enunciando il teorema:
le condizioni neceesarie в sufficienti perchb una superficie sia razionale
sono espresse daU'annuUarsi del genere numerico e del bigenere:
Pt, » JP == 0;
•dove la condizione P — 0 porta a priori che sia anche p, == 0.
Cost in altre parole pud dirs! che le superficie razionaU vengono ca-
ratterizzate come « superficie regolari di bigenere zero ».
Questo teorema appartiene a G. Oastelnttovo chelohadimostra-
to sostanzialmente col metodo qui tenuto: dove si sono introdotte
soltanto semplifleazioni di particolari.
Capitolo VII.
CDASSIBICAZIOM DELLE StTPEBBIOIE
DI GENEBE ИЯВАВЕ p<« = 1-
1. Superficie di genere zero e bigenere 1, con cum bicanonica
d’ordine aero.
Abbiamo veduto (Cap. VI, | 2) ehe tea le superficie regolari di
genere p — 0 e di bigenere P = 1 quelle- dotate di curva bicanonica
d’ordine zero, sono caratterizzate, di front® alle trasformazioni
birazionali, dal valore del trigenere, che ё per esse
_PB = 0,
owero del sestigenere, che й
j?B = 1 ,
(anzichfe Pt > 1).
Ora vogliamo approfondire to studio di quest® superficie JP,
riconducendole ad un tipo proiettivamente definite, che вагй. il
piano doppio con curva di diramazione DB, formats da una sertica
con due tacnodi M ed N e con un punto doppio nell’intersezione
dalle loro tangenti tacnodali-p e q, cui si aggiungono quest© due
rette peg. Biconosceremo poi che questo piano doppio si pud
trasformare in una superficie del 6° ordine jf*, passante doppiamente
per gli spigoli di un tetraedro, che percib pud ugualmente prendersi
come tipo della nostra famiglia di superficie (p » 0, Is sss 1, » 0).
Bicordiamo anzitutto le propriety fondamentali delle nostre su-
perficie J, rif erendoci ad un modello di esse privo di curve eccezionali:
1°) ogni eurva О di genere я tracciata su X1 ha il grade
n =ь 2sr — 2;
2°) la dimension© del sistema linear© complete |(7| (virtual-
mente privo di punti base), й
i ’ г й: л —-1;
288
CABITObO 8ИТ1М0
3°) per ogni sistema irriducibile | C |, di genere я. > 1, ai ba
esattamente
r = я — 1
cioft il sistema ё regolare;
4°) il sistema lineare (C| ha come aggiunto un sistema |<7'(r
distinto da esso, coi medesimi caratteri; la relazione ira i due sistemi
ft reciproea, essendo anche | С | I'aggiunto di | O' |: i due sistemi sono
due diverse metft. del medesimo sistema doppio
|£| = [2j0| = |2<7'|;
6°) alia superficie У possono appartenere curve ellittiche, cioft
curve irriducibili di genere virtuale я == 1, e quindi di grado n = 0.
Queste curve possono essere isolate, cioft costatuenti un sistema re-
golare. di dimensione r — 0, owero appartenenti ad un fascio (si-
stema sovrabbondante, di dimensione r == 1). Be | C | ft un fascio di
curve ellittiche sopra У, il sistema aggiunto | C' | ft costituito da due
curve ellittiche isolate e , aggiunte 1’una dell’altca, i cui
doppi appartengono al fascio. Infatti la curva aggiunta C, non avendo
intersezioni variabili con le C del fascio, ed essendo distinta da una
C, deve constare di parti di curve O, e d’altra parte 120' | deve equi-
valere a una coppia di curve O.
Beciprocamente se nel fascio |O[ si ha una curva meth -g
anche la sua aggiunta вагй, una curva metft. del fascio, ё le curve
aggiunte a ^ + (^) saranno le 2 » 0. В quindi per la pro-
priety 4°) a un fascio di curve ellittiche 101 non pub appartenere
che una sola coppia di curve ellittiche doppie, formate con due metft.
del fascio, ehe sono aggiunte 1’una dell’altra;
6») una curva 6, ehe non sia. componente delle curve ellittiche’
di un fascio |C[, sega necessariamente le C in un numero-pari di
punti. Infatti questo numero ft doppio del numero delle interse-
zioni di 9 eon le curve j;
7°) una eurva 0 irriducibile di genere (virtuale) zero e quindi
di grado —2, sopra la superficie У, non pub possedere aleuna curva
aggiunta.
Infatti, se esistesse un’aggiunta questa dovrebbe incontrare
la 0 in —2 punti e quindi coinciderebbe con 0; ma da 0 = 0' se-
guirebbe ehe il genere p == 1, conteo 1'ipotesi.
In altre parole 1’esistenza di 0' porta che la 9 sia di genere > 0;
abMSSiWICAZmns овыл зивввиетв di genere eineare ecc.
23®
8°) sopra la superficie J*, date un fascio di curve ellittiche | <7|,
non pud estotere una curva irriducibile 9 di genere zero che le bf-
sechi.
Infatti il sistema С + 9, ehe sarebbe un fascio di curve di genere
virtuale g == 2, dovrebbe ammettere un sistema aggiunto |Z| di di-
mensione 1, contenente la curva eomposta fi 4- + (5) > invece si
pub riconoscere che questa curva non pub variate in un fascio. A tai
uopo si OBservi ehe la — deve incontrare la L in un solo punto,
essendo
C£_C CC C/Gy
%L ~~ + 2 2 + 2
e ' ‘ '
CC „
12 = 0;
quindi le X segano --g, e analogamente , in un punto fisso e
percib — se ve ne sono oo1 che non si ridueono alto 9 stessa aumentata.
della 0" == — 4- (1^ — risultano prive d’intersezioni colle C
e quindi composte colle dette C e con una curva 9' aggiunta aS:
ma 1’esistenza di 9‘ porterebbe che il genere di 6 sia > 0, contro
1’ipotesi.
Teniamo present! le proposizioni 1) .... 8).
Essendo I O'I un sistema lineare irriducibile, di dimensione
я — 1, si consider! il sistema doppio \L | che ha il grado 4n — 8л — 8,
il genere 4л— 3, e la dimensione 4л— 4. Entro il sistema |Z| si
hanno due sistemi oo11'-*, diciamo' S e S', costituiti: il primo dalle
eoppie di curve С, e И secondo dalle coppie di curve O', ciascuno dei
quali ha I’indice
Indicando con £«»_< lo spazio i cui punti rappresentano gli ele-
ment! (curve) del sistema |X|, si avranno in esso due variety, rap-
presentative di S e Z'/di dimensione 2л — 2, e d’ordine i, le quali
avranno a Comune i1, owero una infinite di punti.' Cosi si trovano
delle curve X che sono contemporaneamente decomponibili in due-
curve C e in due curve 0"; queste X sono necessariamente spezzate,
e permettono in generale di costruire entro un sistema | (7| di ge-
nere ж > 1, un sistema parzialmente contenuta in esso, di genere
minore di л.
Precisiamo che si trovert, una curva eomposta di due C :
a = <jx4- с», c = c*+ ct
240 , СМИТОМ) SWTTIMO ! .
decompoeta in modo che una parte della prima, insieme ad una parte
della seeonda, dovrb, dare una eurva O', sia per es.
Ci + C. =-O', Ct -f- 0» = C',
sicchb, essendo
O,+o».= (Ox+O»)' '
si dedurrik
Oa = 01
e analogamente.
Os = Oj.
• Oid importa che le curve Ox> Oa e similmente le Cs e O* siano di
genere maggiore о uguale a uno.
Distingueremo due casi:
a) fra le due curve Ct e 0s ve п’ё una, per -es. 0x, di genere
»i > 1. . -
b) le due curve Ot e O, sono di genere 1.
STel caso a) si pud affermare che la O, appartiene a un sistema li-
neare complete |0t| di dimensione лг — 1 1. Siccome questo
sistema ё contenuto panriahnente in 101, la sua dimensione лх — 1 < -
< я — 1, e quindi fl genere я, < я. .
Inoltre, le parti variabili delle curve Cx dovranno essere irridu-
cibili, e ancora di genere g > 1 (g < л). Invero, pongasi che codeste
parti siano eomposte con s curve К di uh fascio lineare (s > 1).
Se le К iGawra di genere maggiore di 1, il sistema complete multiple
di | К | secondo s, risulterebbe di dimensione maggiore di в, e quindi
irriducibile.
Sia invece il genere delle К uguale ad 1. In tale ipotesi i gruppi
di sK sono soltante parti delle curve Cx:
I ^*11 $ "f“ I .
E affinchd il genere'di Cx sia лж > 1 bisogna che la в, о una com-
ponente di essa, ineontri in qualche punto le К (una eurva non
intersecante le К resultando parte d’una К e quindi di genere minore
о uguale 1). П numero di. queste intersezioni essendo pari, e percib
maggiore о ugual due, 1’addizione di ad | sK | riesce certo ad am-
pliare il sistema | sK | se ё di genere 1, ed anche se бх ё di genere
0, poichb in tale ipotesi il numero delle intersezioni con le К deve.
essere maggiore di 2 (cfr. prop. 8) e quindi maggiore о uguale a 4.
In conclusione, il sistenia delle. <7X, owero un sistema complete
in esso contenuto, costituisce un sistema lineare .irriducibile, di ge-
nere ma®iore .d’uno.
. Pertanto, 1’appUcazione reiterate, del nostro proeesso di riduzione.
ove non s’incontri il caso 6), conduce a trovare un' sistema lineare
parzialmente contenuto in |<7] e di genere due.
CLASSIFIOAZIOCT DELLE SUPERFICIE DI GENEBB LINBABE ВСЮ. 241
Mettiamoci invece nel caso Ъ), supponendo dunque che fra le
curve di un sistema | C| di genere ft si trovi qualche eurva spezzata
in due curve di genere 1,
C = 4- 0t.
Siccome Сг e 0t sono curve di genere 1 e di grado 0, i loro doppi
204 e 2(7» daranno luogo a due fasci di curve ellittiche, le eui parti
variabili designeremo con KteKt, e, come innanzi, b facile riconoscere
che nessuno di quest! due fasci pub possedere parti fisse che non siano
component! delle curve del fascio stesso. Quindi le curve dei due
fasci 12£i| e |Ж»| dovranno intersecarei in un numero di punti
maggiore di zero, afifinchh il grado di ] Ct. 4- (7»| risulti maggiore di
jKT _y
zero. Ora due curve metft di Кг & Ki; dieiamo -v e ™ costituiscono
due curve ellittiche isolate, aventi un certo numero s d’intersezioni,
tale che • • . '
1<£8<£я — 1.
In conclusione si pub ritenere che, ove il nostro procedimento di
riduzione non conduca a costruire un fascio di genere 2, si arriver&
sempre a determinate due curve ellittiche isolate, che. torniamo a
chiamare e (7,, eon un certo numero s л — 1 di punti a comune
(s > 0). A rigore non si pub affermare che queste e (7» sieno senza
parti oomuni; potrebbe accadere per esempio che la Ct sia spezzata
in due curve di genere zero con due punti comuni, Oi == fl 4- 9,
e similmente sia C, — 6-4- 6»; allora <7X e 0» avrebbero a comune la
componente 9, ma nelle deduzioni fondate suH’uso dei caratteri
virtual!, ё « come se » le due curve 6 4- e S 4- 0» sieno irridueibili
con ,
« = (S+01)Q+ 0S) •
punti comuni.
Il procedimento di rtduzione che abbiamo messo in opera, a
partire da un sistema lineare irriducibile, sopra la superficie JF, con-
duce a costruire su J*: о un sistema lineare op1 | C | di genere 2, ov-
vero una coppia di curve ellittiche e <7, con s( 1) punti comuni.
Nel primb caso le curve C debbono ritenersi irridueibili, perchb
sono a priori irridueibili e di genere 2 l.e loro parti variabili costituenti
un fascio: se invero queste fossero curve К di gdnere 1, (C| posse-
derebbe una parte fissa 6, secante le К eoltanto in 2 punti comuni,.
che ё impoasibile.
Pertanto si troveranno entro -|(7| delle curve spezzate in due
component! ellittiche isolate (7» e <7*, con we punto comune.
Nel second© caso, quando si abbiano su JF due curve ellittiche
isolate <7» e con s > 1 punti oomuni, si pub trovare su J* una coppia
di curve ellittiche secantisi in s' < s- (s' > 1) punti, e quindi anche
Епади V. - Stiverficle algebrtehe. 18
240 . слитого sbttimo
deeomposta in modo che una parte della рнта, insieme ad una parte
della seconds, dovrft dare una curva O', sia per es.
Ox -4- Cs == O', 0% 4- O4 O',
sicchb, essendo
Oi 4~ 0» -== (CJx 4- огу
si dedunA,
o.^c;
e analoganiente
0* = O'x.
Cid imports che le curve Ox, C*e similmente le Cs e Ct siano di
genere maggiore о uguale a uno.
Distingueremo due casi:
a) fra le due curve Cx e Cs ve n’fe una, per es. Ox, di genere
Л1>1. _
b) le due сиггфА e Ct sono di genere 1.
Nel caso a) si pub aftermare che la appartiene a un sistema li-
near© complete |OX| di dimension© ях — 1 > 1. Siocome questo
sistema b contenuto parzialmente in ] C |, la sua dimension© лх — 1 <
<я — 1, e quindi il genere < я. , '
Inoltre, le parti variabili delle curve Ox dovranno essere irridu-
cibili, e ancora di genere g > 1 (g < л). Invero, pongasi che codeste
parti siano composte con з curve К di un fascio linear© (s >1).
Se le Ж fossero di genere maggiore di 1, il sistema complete multiple
di J К | secondo s, risulterebbe di dimension© maggiore di s, e quindi
irriducibile.
Sia invece il genere delle Ж uguale ad 1. In tale ipotesi i gruppi
di sK sono soltanto parti delle curve О-с.
|ож| = e+|SK|. .. ..
В affinchb il genere'di C* sia > 1 bisogna che la 6, о una com-
ponent© 9X di essa, incontri in qualche punto le Ж (una curva non
interaecante le К resultando parte d’una К e quindi di genere minor©
о uguale 1). П numero di quest© intersezioni essendo pari, e percib
maggiore о ugual due, 1’addizione di ad | sK | riesce certo ad am-
pliare il sistema (зХ( se Gx й di genere 1, ed anehe ee b di genere
0, poichft in tale ipotesi il numero delle intersezioni con I© Ж dev©
essere maggiore di 2 (cfr. prop. 8) e quindi maggiore о uguale a 4.
In conclusion©, il sistema delle Cx, owero un sistema complete
in esso contenuto, costituisce un sistema linear© irriducibile, di ge-
nere maggiore d’uno. —
Pertanto, I’applicazione reiterata del nostro process© di riduzione.
ove non s’incontri fl caso b), conduce a trovare un sistema linear©
parzialmente contenuto in [ C [ e di genere due.
CLASSIFICAZIONB ПИЛИ SVB8RFICIE DI QBNBRB UNBARE SCO. 241
Mettiamoci invece nel caso V), supponendo dunque che fra le
curve di un sistema | О | di genere я si trovi qualche curva spezzata
in due curve Si genere 1,
О « ft 4- ft.
Siccome Сг e ft sono curve di genere 1 e di grade 0, i loro doppi
2ft e 2<jj daranno luogo a due fasci di curve ellittiche, le cui parti
variabili designaremo con ЖгеЖг, e, come innanzi, 6 facile riconoscere
- che nessuno di quest! due fasci pud possedere parti flsse che non siano
component! delle curve del' fascio stesso. Quindi le curve dei due
fasci (i'll ® l-®M dovranno mtersecarsi in un numero di punti
maggiore di zero, af&nchb il grade di | Ct 4- ft | risulti maggiore di
Ж” ж
zero. Ora due curve zneti di Zte£„ diciamo -г e -г1 costituiscono
due curve ellittiche isolate, aventi un certo numero s d’ihtersezioni,
tale che . ' . .
—1.
In conclusions si pud ritenere che, ove il nostro procedimento di
riduzione non conduca a coetruire un fascio di genere 2, si arriverib
sempre a determinare due curve ellittiche isolate, che torniamo a
chiamare ft e ft, con un certo numero « < л — 1 di punti a comune
(s > 0). A rigore non si pub affermare che quest© ft e ft Bieno senza
parti eomuni; potrebbe accadere per esempio che la ft sia spezzata
in due curve di genere zero con due punti comuni, ft = в 4- ft
e similmente sia ft — 6 4- ft; allora ft e ft avrehbero a comune la
component© 9, ma nelle deduzioni fondate sull’uso dei earatteri
virtual!, 4 « come se » le due curve 9 4- ft e 9 4- ft sieno irriducibili
con ; s
8 = (ff ft, Q -f- ft)
punti eomuni.
Il procedimento di riduzione che abbiamo messo in opera, a
partire da un sistema linear© irriducibile, sopra la superficie JF, con-
duce a costruire su V: о un sistema lineare dp1 | C ( di genere 2, ov-
vero una coppia di curve ellittiche ft e ft con s(1) punti eomuni.
Nel prime caso le curve C debbono ritenersi irriducibili, perchft
sono a priori irriducibili e di genere 2 l.e loro parti variabili costituenti
un fascio: se invero queste fossero curve Ж di genere 1, |C| posse-
derebbe una parte fissa ft secant© le К soltanto in 2 punti eomuni,.
che d impossible.
Pertanto si troveranno entro -| C| delle curve spezzate in due
component! ellittiche isolate ft e ft, con «» punto comune.
Nel secondo caso, quando si abbiano su ¥ due curve ellittiche
isolate ft e ft con s > 1 punti eomuni, si pub trovare su J1 una coppia
di curve ellittiche secantisi in s' < s (s' > 1) punti, e quindi anche
Enbiqxtes F, - Superficie algebriche.
16
242 САВ1ТО1Л SBTTIMO
una coppia di curve ellittiche con tm-punto comune. La possibility
di questa nuova riduzione si dimostra come segue.
Se s > 1 il sistema lineare | С ( = | Сг -j- (7,1 6 di genere я —
= s 4- 1 > 2. Quindi fra le coppie di curve 2(7, ~ si avranno in ge-
nerale у(2гЕ 2) >9 curve spezzate. Se queste contengono delle
* \ » —1/ *
componenti di genere maggiore о uguale due, si arriva a costruire
col procedimento gi& esposto una coppia di curve ellittiche con un
numero d’intersezioni s' < s. Sa invece tutte le dette curve spez-
zate sono formate da componenti ellittiche occorre svolgere le
considerazioni seguenti.
Precisamente si deve ammettere che oltre alia coppia 'di curve
spezzate che eostituisee
O'» -f- (7a + <7J + (?a,
J
si trovi un’altraZcoppia di curve spezzate io componenti ellittiche
4- (7t + Ci -f- C't,
dove Ca e £7* sieno distinte da Cu Cs, Ci e O£: 1’esistenza di Ca 4- Cf
si deduce dall’ammettere che le due variety S e S’ rappresentative
delle coppie di curve С e C abbiano qualche altro punto a comune
AistivAo dai due punti che rispondono alle coppie
+ <7a Ci 4- Ci
e
Ct -f- (7а 0s 4* Ci;
ed invero vedremo fra poco che le dette eoppie di curve ellittiche
isolate <7Я + Ct e Ci 4- Ca, non possono rispondere a intersezioni di
S e S' che cadano infinitamente vicine.
Ordunque, essendo Ct 4- (7* una curva spezzata del sistema | О [
diversa da (7X 4- Ct e da 4- (7J, bisognerh che С» e (7* seghino in
qualche punto ciascuna delle due curve Сг e Ct, chfe altrimenti eon-
terrebbero come parte.la. Cx stessa, owero una delle due curve
Оя о Ci; segue che, per esempio, la <7, dovri incontrare ciascuna
delle Ci e 0, in un numero di punti minore di s; sicchfe abbiamo ot-
tenuto, come si voleva, una coppia di curve ellittiche isolate Ci e
<73 con s' < s punti a comune.
Beata da giustificare che il nostro sistema ] C [ non pub eontenere
due coppie di curve ellittiche isolate infinitamente vicine <?x 4- C*
e 0a 4- C^, dove sia per es. <7, infinitamente vicina a <7t e (7* a Ct.
Infatti le curve e 2(7, dovrebbero definite un fascio di curve el-
littiche, di cui Ci risulterebbe componente fissa, sicchd la Ci stessa
CbASSIFICAZIONE ОШИ SUPERFICIE DI GENERE LINEARE ECO.
243
verrebbe a variare in un fascio di curve ellittiche, mentre si 6 sup-
posta isolata.
Da cib che precede si ricava la conclusione che la nostra super-
ficie > possiede una coppia di curve ellittiche isolate Ci e Ca aventi
un punto a' comune, per modo che le loro aggiunte, <7( e (7g, sono
incident! alia <7S e alia C7X- ba curva eomposta (7X 4- O8 4- Oi riesce
pertanto di genere 3, e definisce una rete di curve \K\ di questo
genere: le Ж segano 0, e С'г ciascuna in un sol punto, che deve
essere fisso; quindi le Ж hanno due punti base semplici, ehe cadono
precisamente nei punti cbmuni a O$ e 0„ e Oi e CJ, giacehb la 0, fa
parte di oo* curve Ж avendo come residue rispetto a (J5T{ il fascio
delle curve ellittiche |2(7S|: 1’asserto risulta dall’osservare che le
curve' Cl 4- 2(7. sono seeonde aggiunte alle К = Ct 4- 0. 4- <7g,
e quindi sono equivalent!, appartenendo al medesimo sistema |Ж|.
Pertanto le Ж risuJteranno curve iperellittiche, segandosi a due
a due in due punti variabili; queste К segano poi sulla <7Х le coppie
di una Й, essendovi una sola curva residua di (7X rispetto a |X|,
che b la 4- Bi aggiunga che i punti base delle Ж sono, sopra
una К qualunque, due punti doppi della relativa gl.
Per mezzo della rete di curve iperellittiche |Х[ di genere 3,
si pub ora rappresentare la superficie F sopra un piano doppio, che
avrb una curva di diramazione K, di ordine 8.
Di questa Dg ftaanno parte due rette di diramazione, peg,
conispondenti ai punti base di |Kj; e il punto C = pg sarA 1’im-
magine della curva ellittica C'u e quindi quadruple per la D,, ov-
vero doppio per la sua componente D, che rimane togliendo le rette
? e j. Le rette del fascio di centre 0 saranno, nel piano doppio, le
immagini delle curve ellittiche del fascio |2(7g| = |2(7J|; alle Ct
e Cl corrisponderanno due tacnodi della D, con le tangenti tacno-
dali peg, ossia due punti [3, 3] della eurva di diramazione D,.
Queste singolaritA della DB valgono effettivamente a. caratteriz-
zarla come curva di diramazione di un piano doppio, di genere
p„ = pt = о e P = 1, eon curva bicanonica (pura) d’ordine zero,
siccome si riconosce in base al Cap. V,- § 7. ' ,
Ooncludiamo pertanto che le superficie regolari di genere aero в
bigenere 1, con 'curva bicanonica d’ordine zero -— guali sono carat-
teriznate dal valore Ps — 0 del tngenere, owero JP. = 1 del sestigenere
— formano una sola famiglia, che ha per Про il piano doppio con curva
di diramazione
Dt = D, 4- ? 4~
costituita da una sestica con due tacnodi e con un punto doppio nel
punto d’incontro delta loro tangenti taenodali, cui si sommino guests
stesse tangenti.
244
СЛМТОЪО 8ИТ1ЙО
Questa famiglia di superficie dipende da 10 moduli. Infatti la
costruzione della D, con 4 punti doppi assegnati e quindi della D4
dipende da
— s 3 = 12 '
costanti, sicchb, agginngendo le в costanti che dipendono dalla
seelta dei punti singolari della Dtf si hanno oo« curve P,. Dai 18
parametri che ad esse appartengono, bisogna toglieme 8, in corri-
spondenza alle ©о» J9S omografiche, che definiscono, naturalmente, '
la stessa superficie J?.
Si consider! la superficie sestica JF,, dello spazio ordinario, pas-
sante doppiamente per gli spigoli d’un tetraedro T. Essendo la
una superficie regolare eon p = 0, P = 1, Ps = 0, essa deve potersi
rappresentare su un piano doppio con eurva di diramazione P>t}
dotata delle singoljextft. dette innanzi. Si ottiene effettivamente una
rappresentazione di J?, su un piano doppio mercb la proiezione eghem-
ba da una coppia di spigoli opposti a e b del tetraedro T, giacchb le
rette incident! ad a e b incontrano la Pe in due punti semplici. Ma
questa costruzione conduce in generale ad un piano doppio con
eurva di diramazione !>„, che soltanto con una trasformazione nl-
teriore del piano pub ricondursi alia nostra Ds. Giova percib parti-
colarizzare la detta costruzione, aseumendo un piano rappresen-
tativo che passi per uno spigolo c del tetraedro, incidente ad a e
b. Allora le rette del piano doppio appaiono immagini delle curve X
segate su J*, dalle quadriche per в, b, o. Queste К sono curve ipe-
rellittiche di genere 3, fra le quali si trova una eurva spezzata negli
intorni di 3 rette doppie del tetraedro T: c, d, ed e, essendo dede
.gli spigoli di T ulterior! sezioni di con i piani oa в eb. Si not! che
le component! di questa Ourva К spezzata, ciob gli intorni’delle 3
rette doppie c, d, .ed e, sono .curve ellittiche connesse come le Cl}
Ci} Ci, di,cui ci siamo valsi innanzi per costruire la rete delle К
che ci ha condotto al piano doppio con DB di diramazione.
Si riesce cost a verificare nel modo pih semplice le conclusion!
che si traggono a priori per la jP«, dalla propriety di essere superficie
regolare di genere p = 0 e bigenere P = 1, con eurva bicanonica
d’ordine zero.
Ora si osservi che vi sono nello spazio oo1’ sestiche Pe passanti
doppiamente per gli spigoli di un. dato tetraedro I (delle quali ab-
biamo scritto Fequazione nel § 11 del Cap. Ill) e che vi sono oo’
omografie coi punti uniti nei vertici di T; segue da cib che le IP,
dipendono da 10 parametri о invariant! proiettivi, proprio come i
piani doppi con di diramazione, su cui abbiamo appreso a rap-
presentarie. Che quest! invariant! proiettivi diano altrettanti moduli
delle superficie rispetto alle trasformazioni birazionali si deduce
CbASSXFlCAZIONB DBIXB SVPEaSXCIB DI GWBBB MNEAffiB ECC. 245
da cib che il sistema delle sezioni piane 6 complete, ed essendo la
superficie regolare, non pub essere contenuto in una aerie continua
di sistemi analoghi, benchb invero possa averei sopra V una serie
discontinua di sistemi siffatti (x).
Segue da! cib che la 1*,, al pari ed in luogo del corrispondente
piano doppio eon JD* di diramazione, si pub assumere come tip©
generate delle superficie regolari di genere p = 0 e di bigenere P = 1,
con eurva bicanonica d’ordine zero (P„ = 0).
Il problema di costruire la trasformata Pt a partire da! piano dop-
pio con Da di diramazione, si pub rieolvere determinando in questo
piano una cubica K3 passante per i В punti doppi di D,, che tocchi
J9, in 4 punti e che sia immagine di una eurva ellittica spezzata sopra
la superficie JP rappresentata dal nostro piano doppio. Che’ fra le
cubiche K, aggiunte a De e quadritangenti ad essa esistano efEet-
tivamente delle immagini di curve spezzate, si pub dimostrare
adoperando il criterio di Comessatti, gift pih volte riohiamato. Si
tratta di provare che c’b una Xa quadritangente а Д, i cui punti
di contatto stanno sopra- un’altra cubica parimenti aggiunta a
De. E per cib si partirft da una cubica quahmque Kt e si sceglieranno
su di essa due punti P e § aventi lo stesso tangenziale 0; poi si see-
glierib un gruppo di 4 punti A-tA^AgA^ sezione di Ж, con un’altra
cubica K'a passante per О e tangente in P e Q alia nostra Ka; si
verifica quindi che vi sono oo* curve del 6° ordine Da passanti dop-
piamente per О ed aventi in P e Q due tacnodi con le rispettive tan-
gent! tacnodali p = PO e $*= QO e tangenti a K, in Д, Л,
J.*: al variare della Kt e dei punti che abbiamo scelto sopra di essa
per la costruzione precedente, la JDt viene a variare nel sistema com-
plete delle sestiche dotate di due tacnodi e di un punto doppio nel
punto d’incontro delle loro tangenti tacnodali p — PO e g = QO
e tangenti а Кя in Aa, J.,, Aa. Si deduce che, data a priori una
tale JDaf esistono delle cubiche Kt aggiunte e quadritangenti ad essa,
(x) L’esistenza effettiva di una tale serie risulta dalla propriety di di poa-
sedere un’inflnite discontinue di trasformazioni birazionali in её steasa. Queste
si lasciano definire in rapporto alle oo’ quartiche ellittiche К segate dalle quadriohe
passanti per 4 spigoli a b d e di T che formino un quadrilatero sghembo. Su oiseouna
di queste curve ai ottiene una trasformazione birazionale, eommando ad un punto
J* il gruppo virtual» d’ordine zero, differenza delle coppie •— G, sezioni di due
spigoli incident! d ed as dove giova notare ohe quests coppie Gt e Gt non poseono
essere equivalent!, пё dar luogo a multipli equivalent!, giaoohfe ne rieulterebbe ohe
le stesse d ed «, о i loro multipli riuscirebbero equivalents, cib ohe contraddice
al fatto ohe d ed e hanno un punto a oomune. Pertanto la trasformazione definite
sopra ogni К del nostro fascio, portents da un punto P al punto P' =* P +
non potr& essere ciclioa, e oosi darb luogo ad una serie infinite di potenze, ohe danno
anoora trasformaziom hirazionali della superficie in её stessa.
246 ОАМТОЬО BBTTIMO .
che sono immagini di due curve ellittiche distinte sopra la super-
flcie P.
Oi6 posto, -si eonsiderino su P le curve di genere 2 che hanno per
immagine le rette per uno dei due tacnodi di Z>«, sia per es. per Pt
che possiamo supporre distinto.da O; sommando a codeste curve
di genere due una curva ellittica bisecante corrispondente alia nostra
£, si defining un sistema lineare oo* di genere 4 e grade 6 che conduce
a rappresentare la > sopra la sestica J*, che passa doppiamente per
gli spigoli d’un tetraedro. Le immagini. delle sezioni plane di quests
Pt saranno sul piano doppio ooa curve del 6° ordine Ke, aventi a
comune eon P, i punti doppi О, P, Q e P', Q' inflnitamente vicini
a quest! ultimi; aventi inoltre un punto doppio variabile e 8-tan-
genti alia Dt.
Л signifieato della costruzione operata sul piano doppio si pub
anche spiegare dicend(o che: sopra la superficie X, ehe abbiamo ri-
conosciuto eontenere' un quadrilatero semplice di curve ellittiche
isolate, C4 4- <7a +-'^1 + GJ, esistono altre due curve ellittiche iso-
late, (Js e Oi (corrispondenti alia, sopra nominata X»), incident!
ai lati del quadrilatero. Tre curve ellittiche a due a due incident!
come Ct, Ct e CB, costituiscono una curva di genere 4 apparteneote
ad 'un sistema lineare oos, che conduce a trasformare F in una J’e
dove le dette curve hanno per .immagini tre rette doppie, lati d’un
trilatero e le loro aggiunte, <7{ C* O‘t, dan luogo del pari a tre rette
doppie, spigoli d’un tetraedro di cui fa parte il trilatero, passanti
per il vertice opposto alia faccia di esso.
Biassumendo il risultato ottenuto enunoeremo il teorema (*):
he superfuAe regolari Si genere p — О в P — 1, eon curva bica-
nonica d’ordine zero — quali sono caratterisizate Sal vdlore P, — 0
del trigencre (o Pt = 1 del sestigenere) — si lasoiano trasformare in
sestiohe Ft passanti doppiamente per gU spigoli d’un tetraedro.
Osservazione. - Giova osservare alcuni casi particolarisnotevoli
della sestica Pe. . . . -
Anzitiitto pud accadere ehe i 4 piani del tetraedro, i cui spigoli
sono rette 'doppie di Ptf vengano a passare per un punto. Il tetraedro
si riduee, quindi,. ad un angoloide, il cui vertice diventa quadruple
per Pg. Quest® caso ё state oaservato dal Оавтеыптоуо. Per proie-
zione del punto quadruple la >e viene rappresentata sopra un piano
doppio eon curva di diramazione Z>ie, la quale, con .una trasfonna-
zione quadratics si lascia ricondurre alia di cui innanzi si & de-
finite il tipo.
(*) F. Esuuquas, Sopra le ewperfioie algebriehe di bigenere uno. Memorie Soc.
It. delle Soienze, detta dei XL, 1906.
CLASSIFIOAZIONE ОИ1И SUPERFICIE DI GENERE LINEARE ECO. 247
Un’altra degenerazione possibile del tetraedro si ha immaginando
che due spigoli opposti diventino rette sghembe inflnitamente vi-
cine, ed insieme le eoppie di facce per codeste rette vengano pure
a coincidere. Si ottiene cost una J*« che possiede una retta tripla e
una retta doppia, inflnitamente vicina sghemba con essa, nonchS
altre due rette doppie fra loro sghembe, incident! alia retta tripla.
Questa eorrisponde ad un piano doppio, con una curva di dira-
mazione De = p + g 4- !>,, dove uno dei tacnodi della JD, ё infi-
nitamente vicino al punto doppio O.
2. be superficie con tutti i generi uguali ad 1.
Abbiamo veduto che le superficie regolari di genere p =' 1, con
curva canonica d’ordine zero, sono caratterizzate di fronte ad altre
aventi egualmente il genere lineare p<l> ’== 1, dall’essere il bigenere
J? = 1, anzichft P > 1. Anche tutti i plurigeneri ulterior! della su-
perflcie risultano Pt = 1.
Asspnto come modello una superficie P priva di curve eccezionali,
ogni sistema lineare | C | di genere я, senza punti base sopra di essa,
ha il grado n = 2л — 2 ed 6 1’aggiunto di -sd stesso, sicchd per un | C*|
irriducibile la serie caratteristica ё la serie canonica.
Sopra la superficie JP (p *= P == 1) una curva di genere virtual®
л 2: 0, irriducibile о ridudbile purcM connesssa, appartiene ad и»
sistema lineare complete di dimensione r => л (etr. Gap. IV, | 17).
Inveee una curva sconnessa appartiene, in generale, ad un si-
stema lineare di dimensione superiore al suo genere л; in particolarei
i gruppi di s (> 1) curve ellittiche di wn fascio, che si trod sopra P,
appartengono ad un sistema lineare (yiducihile) di genere 1 e di di-
mensions s. Sono anche sovrabbondanti i sistemi linear! contenenti
come parte fissa 9 una curva di genere zero.
Kotiamo ancora che: se ad un sistema lineare |O| senza parti
fisse, che si trovi sopra P, -si sommi una curva fissa fl, intersecante
in pih di un punto le component! variabili delle €, il sistema lineare
in generate si axnplia. Il solo caso in cui questo ampliamento non ha
luogo 6 quello in cm ?i sommi ai gruppi di s curve ellittiche d’un
fascio una curva di genere zero unisecante tali curve.
Per classificace le nostro superficie di genere 1 {p — P == 1),
prenderemo in coneiderazione sopra una data P i sistemi linear! irri-
ducibili di genere minimcm > 1, ehe ad essa appartengono. Potremo
supporre anzitutto che il genere del detto sistema minimo | C | sia
л — 2, e poi л — 3, л = 4, ....
L’ipotesi a — 2 porta che il grado del sistema sia я = 2 e la sua
dimensione r = 2, siecM la > ven& rappresentata sopra un piano
248
CAP1T0L0 BBITIMO
doppio con sestica di diramazione Dt. E- di fatto il piano doppio
eon Dt di diramazione ba il genere
p — Pa Pl — 1;
e il bigenere P = 1, essendovi su di esso una sola curva canonica
d’ordine zero.
Per я = 3 si ё condotti atla superficie generate del 4° ordine >*,
che ha veramente il genere p == 1, e possiede una curva canonica
d’ordine zero.
Per я = 4' saremo condotti a considerate una superficie -Pe di
quale si ottiene come intersezione completa di una quadrica
e di una variety cubica Vs. Infatti le oo14 quadriche di $4 segano.
su Pe il sistema doppio delle sezioni iperpiane, che ё di genere
• ' ? 4 4- 4 + 6 — 1 = 13,
e quindi anche di dimensione 13; percib vi ё una quadrica che
contiene JF». Similmente si prova che per. la Pe passano <xf variety
cubiche P3 irriducibili, sicchb la Pe riesce definita come intersezione
completa di una Qt con una F,. D’altronde ё chiaro che la* super-
ficie intersezione cosi definita ha come sezioni iperpiane curve ca-
noniche, il cui sisema lineare risulta pertanto un sistema oo4 di genere
4, aggiunto di аё stesso, onde segue
? e P« = P, = 1 > P = 1.
Per я = 6 si ё condotti ad una superficie P4 d’ordine 8 di S6r
ehe facilmente si vede essere la superficie base di una rete di qua-
driche. ' • ., .
fi facile prolungare la serie delle superficie di genere 1 ehe ab-
biamo costruite per. i primi valori di я, ad es. considerando le inter-
sezioni di quadriche e di variety razionali a tre dimensioni, a curve
sezioni ellittiche. Ma, senza indugiarci su 'questi esempi, rispondiamo
alia questione d’ordine generate che qui si presents:
Le superficie regolari di genere p = 1 e bigenere P =='.1 (superficie
dotate di curva canonica d’ordine zero) si tasdano classificare in
base al valore minimo del genere я (> 1) delle curve irriducibili che
ad esse appartengono, в pertanto si distribuiscono in infinite famigUe
aventi oome tipo superficie '!?„ d’ordine n s= 2я — 2, a sezioni cano-
niche di genere я, appartenenti aUo spazio 8,. ' .
JSsistono famigUe di superficie Pa rispondenti а ШЙ i valori di
я =* 2, 3, 4, 6, ciascuna famiglia dipendendo esattamente da 19
invarianti proiettivi esprimenti altrettanti moduli di esse rispetto аПе
trasformazioni Ы-razionali. Superficie corrispondenti a diversi valori
di no di я sono generalmente irriducibili per trasformazibni birazionali.
CbASSIIICAZIONB DBlbB SVSBRMCIB DI GBNERB LINEARE ECC. 249
L’esistenza effettiva di superficie J1 il» per tutti i valori interi di
я, о per i valori pari di n = 2л; — 2, si rico'nosce osservando ehe eei-
stono almeno co1’ superficie particolari le quali si ottengono come
proiezione di una -Fn+s dotata di punto doppio. Per dimostrario
basta osservare che esistono fra le co1* oo“ J1» particolari ehe
contengonO una conica. Per il momenta giustifichiamo questa after-
mazione con un sempliee computo di costanti: a priori 1’esistenza
di un iperpiano quadritangente ad T^.importeta ж— л’+ 4 condi-
zioni, qualora 1’esistenza di uno di questi porti di conseguenza
1’esistenza di oo* iperpiani simili. Ma se la sezione di un iperpiano
quadritangente alia Pn si spezzi in una conica e in una residua
curva d’ordine n — 2 (che dovrfi avere con la conica 4 punti a
comune) 1’esistenza dell’anzidetto iperpiano trarta con sfe quella
di un sistema’ co»-» di iperpiani simili, quali sono gli iperpiani per
il piano della conica, e si avrfi quindi ж == л — 3. Pertanto, avendosi
ж— я _|_ 4 =•!, non vi saranno in generate iperpiani quadritan
genti ad J?„,’ intersecanti la superficie in una curva spezzata di
cui fa parte una conica, e le superficie per cui siflatti iperpiani esi-
stono, ciofe le eontenenti una conica, dovranno soddisfare ad una
condizione.
'Ora, partendo da una. Д,, contenente una conica C, si consider»
sopra di essa fl sistema somma di C e delle sezioni iperpiane; questo
sarA un sistema di genere z + 1 « dimensione я + 1, rispetto a cui
la 0 6 curva fondamentale; pertanto questo sistema eondurrib al-
1’esist-enza di una di S»+i a curve sezioni canoniche, dotata di.
un punto doppio G, che risponde a C, la quale viene protettata Да
О nella J1» da cui siamo partiti, о in una superficie proiettiVa ad eesai1).
Ma- la famiglia delle superficie dotate di punto doppio, di-
pendendo soltanto da 18 invariant! assoluti, sata contenuta in una
famiglia di dipendenti da 19 invariant!, e perciO prive in gene-
rate di punti doppi. • _
Invero 1’esistenza di questa famiglia piii generate di cio&
il relative computo dei moduli, si giustiflea (come nel § 11 del cap. V}
rappresentando la superficie stessa sopra un piano n-plo e cateolando
la dimensione del sistema di curve (eon un dato numero di nodi e
di cuspidi) definite dalla curva di diramazione C. Qui, trattandosi
di una dotata di punto 'doppio, la C avrh un punto doppio da
I1). Come si vede, il regionamento precedente viene euggerito dal tentative
di costruire induttivamente le con » == 2л — 2 (passando da я а я 4- 1) mediante
il procedimexito costruttivo dei piani multipli di Ohisini (cfr. V, 10). Ma la questions
delicata che e’incontra per quella via (in ordine alia scelia di una conveniente
conica sestitangente all» curva di diramazione), si risolve qui coll’uso del teorema
di Bibmann-Boch per le superficie coi generi uno.
250
CAMTOW 6ВИ1М0
ritenere virtualmente mesistente, che a priori si comprende debba
ecomparire per la eurva pih generale del sistema sopra indicate.
Tuttavia le nostre aflermazioni danno engine a qualche dubbio
critico d’ordine delicate. Occorre provare che:
1°) le J1» le quali (seeondo il § 11 Cap. V) posseggono 19 mo-
duli almeno, posseggono 19 moduli e non pih;
2°) le (o le Tn+t) eontenenti una coniea posseggono effetti- .
vamente 18 moduli- e non pih, ciob che la condizione richiesta per
il possesso della coniea non b identicamente soddisfatta per la -F„
pih generale della sua famiglia.
Queste due affermazioni si giustificano in base al compute degli
invariant! proiettivi che spettano ad una superficie razionale a curve
sezioni canoniche di genere я, dotata di punto triplo, appartenente
allo'' spazio 8„. Tali superficie si lasciano rappresentare eui piano
mediante un sistema Дшеате oo», di genere л e di grado 2 л— 2,
possedente una cu^ifca tondamentale, su cui debbono trovarsi 12
punti base del systems eostituenti un Glt si hanno percib esatta-
mente 12 invariants assoluti, in corrispondenza agli 11 punti indi-
pendenti del e all’invariante assoluto della cubica. Siccome
1’imposizione di un punto triplo ad una superficie importa в
condizioni (e non pih) si deduce che le JFn di 8, non possono formate
una famiglia dipendente da pih che 19 moduli. La stessa conside-
razione mostra che le >я+! general!, dipendenti da 19 invariant!, non
possono possedere un punto doppio, chb, imponendo a questo punto
di diventare triplo, si viene ad assoggettare la superficie а в condi-
zioni e non pih. Da cib segue anche che le Fn possedenti una coniea,
derivando dalla proiezione di una Д+, con punto doppio, dipen-
dono da 18 e non da 19 moduli.
Besta da giustifleare 1’affermazione che le superficie (» =
— 2л — 2) rispondenti a diversi valori di л (> 1), sono generalmente
irridueibili. Cib pub' tarsi induttivamente in base ad un semplice
f1) П teorema a eui qui faooiamo appello trovasi in P. Dv Vax, On rational
surfaces whose prime sections are canonical curves. (Proc. of the Math. Society
of London, 1932). Esso si trova anche virtualmente stabilito nella esposirione
di EranoCTS-OoNj-oBTO, Le anperfloie raxionaU, Libro I, § 41, pag. 184 e § 46,
pag. 220. In questo ultimo luogo (cfr. anche § 40, pag. 223) si dimostra che un si-
stema lineare |O | si _ pub trasformare -in guisa che non poesegga curve fonda-
mentali staccantisi dal sistema aggiunto, owero in un sistema lineare costituito
da curve di un certo ordine n dotato di due punti base di molteplioith r ed s, eon
a = r 4. «; о mveoe di curve di un certo ordine n, con pun*o base (n — r)-plo,
ed altri punti base r-pli ad esso infinitamente vicini in diretioni distinte. In quest»
-ultimi due oasi il sistema |O |, supposto di genere Л, ha il .grado n > 2л — 2;
percib i sistemi \O | a serie caratteristica canonica rioadono tutti neU’enunciato
di pag. 184.
CLASBIFICAZIONE DELLE SUPERFICIE DI GENERE LINEARE ECO. 251
compute di costanti, come quello di cui ei siano valsi innanzi per
mostrare che una Жп non possiede in generate una coniea. Con un
simile compute si- riconosee invero che «sopra wna superficie
di Sr (corriepondente al minimo valore л del genere delle curve
che ad essa appartengono) non vi sono in generate altri sistemi lineari
di curve che il sistema delle senrioni iperpiane в i suoi multipli ».
Anzitutto si demands se fra gli oo’ iperpiani di Sr possono avers!
degli iperpiani ш-tangenti ad !*„ tali che le loro sezioni eon >„
risultino spezzate in due curve di generi лх e л», con ® punti comuni:
я = 4- » — 1. Se es.iste un iperpiano siffiatto, ne esistono
oo*, con ® = лх + sr,; per cib il numero dei parametri da cui dipen-
dono gli iperpiani cercati sarA я — m — as = — 1: vuol dire che le
J, possedenti sifEatte curve spezzate sono soggette ad una condizione.
Tn modo simile si riconosee che la sezione di una J1» eon una ipersu-
perficie di un certo ordine qualsiasi non potry in generate spezzarsi
se non in due curve che siano alia loro volta intersezione completa
di’due ipersuperfleie; in quest’ultimo caso il compute di costanti
d& ancora una condizione da soddisfare per la superficie ma ё
owio che tale condizione risulta qui come conseguenza del fatto
che la l?n contiene il sistema delle sezioni iperpiane, e percib viene
identieamente soddiefatta.
Ora ё necessario awertire che, come gift si ё detto innanzi (trat-
tando delle 1?» che contengono una coniea), il risultato a cui conduce
il nostro compute di costanti laecia sussistere un dubbio che gte
toglie valore alia dimostrazione di Koether che la superficie del 4»
ordine dello spazio ordinario contiene in generate soltanto curve in-
tersezioni complete. .
Tuttavia la cosa pub essere stabilita rigorosamente ed anche
semplicemente, sulla base del principle di continuity, riducendo una
-Ж,'al caso limite della superficie razionale dotata di punto triplo.
Ci limiteremo ad indicate, in breve, come possa svolgersi questa di-
mostrazione nel ease etementare del teorema di Koether suite super-
ficie del 4° ordine: 1’estensione 'del ragionamento alle di genere
uno non presenta diffieolty.
Qui dunque si fa variate per continuity una superficie quartica
JP*, flnchb si riduca ad un generate monoide Ф* possedente un punto
triplo О: il monoide, che contiene 12 rette аха3а3„..ви per O, si lascia
rappresentare sul piano, per proiezione da O, mediant© un sistema
lineare di curve del 4° ordine passanti per i 12 punti base Ax A,....
Au tracce delle rette «*: i quali appartengono ad una cubica fonda-
mentate 0» di genere uno.
ba dimostrazione che ci proponiamo di svoigere mira a stabilire
che: mentre la J* tende per continuity al monoide generate
un sistema lineare irriducibile complete, di curve C, tracciate su
252 OAPITOLO SBTTIMO
si riduce al limite ad та sistema linear® di curve 0, intersezioni
complete di Ф* con superficie d’un certo ordine d, che non ne conten-
gono il punto triple 0. Allora, designando eon я il genere delle 0r
e quindi anche delle C, ed essendo percid 2л — 2 il grado e я la di-
mensione di | C |, resulterft che le dette C su debbono avere 2л 2
punti eomuni celle intersezioni delle superficie d’ordine d, le
quali sono egualmente di genere я e di grado 2л — 2; siccome una-
0 non pud .contenere una serie ft,-» di dimensione я, si deduce che
il sistema | C | su J1* coincide col sistema lineare delle intersezioni
complete delle R. . .-
Per sviluppare la dimostrazione cost indicate, osseryiamo cue,
quando la >* si riduce per continuity а Ф4, a priori un aistemh 101
di genere л e grado 2л — 2, appartenente ad B4, si ridurte, ad un
giatawa co’ di curve limiti connesse formate dalle intersezioni d»
Ф* con superficie passapti per 0 un certo numero di volte, aumentate
delle rette a,-, contate rispettivamente A4 volte (Л* > 0) e dall in-
terne di О contato з 0) volte. Quindi le immagini di tali curve-
sul piano rappresentativo di Ф* saranno, a priori, curve d’un certo
orrH-ne », appartenenti ad un sistema lineare complete
j<7„| = Cm(A^ A|« ... Ajf) + sC, + ShfAt,
dove le (d’ordine m «) appartengono ad un sistema lineare
irriducibile oo’. В siccome le Cm hanno il genere лей grado 2л — 2,
sarh
«,* —Дг4 +s —Й4)’== 2л —2
n(n — 3) — Дг< + s — Л«)(г* + в — Л4 — 1) = 2л — 2 , .
е quindi
Зя* =2= 4" ® ’
Cib signifies che per il sistema | C„ | la cubica О, ё virbualmente
fondamentale, сюё avente zero intersezioni eon le C„.
Conviene discutere anzitutto I’ipotesi:
1) la '0-a ё anche effettivamente fondamentale per il. sistema
complete |0„|, cio6 .
| Cn | — | C„\ , e » 0 , . Л* = 0.
In questa ipotesi dimostriamo facilmente che | (7„| ё uti. multiple
del sistema C< (AjA.-.-Aj,) e percib il corrispondente sistema su
Ф< ё costituito dalle intersezioni complete di questo monoide colie
n
superficie Ft d’ordine d — .
Infatti,. designando con G il gruppo sezione della cubica ellittica
ObASBIFICAZIONE DBbLE RUrBRFTCIE DI GENERE UNBARE BCC. 263
<7, eon.una retta, avremo su questa le seguenti equivalence:
•27г4A4 як n&
£Ats 4G;
moltiplicando la seconds relazione per e sottraendo la prima si
trova:
<—13
—n)A< ae (n — 4r»)G ;
ma quest’ultima relazione non pud sussistere, essendo arbitraria-
mente scelto il gruppo.degli 11 punti A^.a....Au, se non ё n = 4r,
e . .
ri,= rs = = ru = r;
di modo che le Cn sono curve d’ordine 4r appartenenti al sistema
. c. d.d,
Se, inveee, I’ipotesi 1) non ё soddisfatta, avremo due possibility
che si tratta di escludere.
2) Anzitutto che delle Cn non faceia parte la Ga, ma soltanto
1 mtorno di qualche punto A4:
« = 0, Л4 > 0.
Ora se la Ga ё fondamentale per 10» |, questo sistema lineare irri-
ducibile ё un multiple, secondo un certo numero т = гг — ra =....=rlt
di С, e.—- se non deve ampliarsi quando gli si sommino gli intend
dei punti' A4 — bisogna ehe il-punto sommando sia uno solo, per
esempio A1} e ehe abbia per On la molteplicttA 1, quindi r = 1
Ma ё owio che una curva C passable per i 12 punti A, sommata ad
uno di questi, non pud presentarsi come limite di una curva trac-
ciata sopra Ft, quando questa superficie si riduca al monoide Ф».
Se, invefee, si suppone che la 0a non sia fondamentale per 10.1
questo sistema lineare ё regolare (e non sovrabbondante), quindi '
esso si amplia seinpre se gli si sommi' 1’intorno di qualche punto
A(. В cid va contro I’ipotesi che il | Cn|. sia complete.
3) Binalmente conviene discutere I’ipotesi che la cubica Oa
compaia un certo numero « > 0 di volte come parte fissa delle
Cn. In questo caso il | C„|, che non possiede la €a come curva fonda-
mentale, ё regolare, e quindi si amplia se gli si sommi 1’intorno di
un punto At che non sia punto base per esso: cosi potranno figurare
tra i punti costituenti la somma ZA4A4, soltanto un certo numero
t di punti At e ciascuno Л4 s volte. Designando con I = C„Oa
254
СЛРИОЪО 6ETTIM0
il numero delle intersezioni variabili di una C„ colla cubica (7„
si avrt, ora
I q_ ts _ 3s > 0.
Quindi si вагй. condotti a dietinguere due casi a priori possibili:
о I + t > 4, dalla quale 'diseguaglianza segue I’ampliarsi del sistema.
lineare C„ + 0» + -SA4; owero I -f-1 <4, che porta « < 1; in
queat’ultimo caso la dimensione di | | resulterebbe inferiore di 1
al genere di | C„ |: e percib non potrebbe | C„ | essere fl sistema limite
di un sistema lineare appartenente alia la cui dimensione eguaglia
fl genere.
Bscluse cosi le ipotesi 2) e 3) rests soltanto I’ipotesi 1) da cui,
come abbiam detto, si trae che le curve appartenenti ad una generate
J* sono soltanto le intersezioni complete di questa con altre super-
ficie d’ordine d s=s Ij 2} ....
, Osservagione. /Come si ё detto il ragionamento ehe precede si
estende al caso delle superficie J* di genere 1. Tuttavia si arriva cosi
a riconoscere, non gi& che tutte le curve appartenenti ad una J?
generate con 12 moduli sono intersezioni di essa con ipersuperficie,,
bensi ehe tutte queste curve e in particolare le sezioni iperpiane di
Jf, ove non siano le curve irriducibili -di genere minimo appartenenti
ad costituiscono sistemi multipli d’un medesimo sistema di curve
di genere q e di grado v, si avrt. dunque
л == sv = 2л — 2 = s(2g — 2).
Vicevetsa, risalendo da una superficie razionale eon punto tripla
ad una superficie di genere uno a sezioni iperpiane canoniche, si
riconosce '(almeno induttivamente) che quando
n — sv e 2л — 2 == s(2g — 2),
esistono almeno due famiglie di superficie -F„ di genere 1: una super-
ficie multipla e-pla ed una superficie sempliee, 1’una e 1’altra dipen-
denti da 10 moduli e fra loro irriducibili.
3. Notizia atorica.
I primi esempi di superficie di genere 1 eontenenti lo stesso
numero di moduli delle superficie del 4° ordine, e ad esse irriducibili,
sono stati indicati da Castelnttovo (’•) (1898). Nel 1896, 'EKnaquBS (s>
caratterizzava,' dal punto di vista delle trasformazioni birazionali,
la famiglia di queste superficie regolari di genere 1 eon curva ca-
(*) Cfr. F. Евшохи», Ricerche eoe., Ill, в.
(’) J*. Еяадии, Sui piani doppi di genere uno. Memorie della Soc. It. d.
Sciense (detta dei XL), 1896.
CbASSIFl'OAZIOM DELLE SXTPEBFICIE DI GENERE LINEARE ECC. 255
nonica d’ordine zero, mediante il valore del bigenere -P = 1. Piii
tardi Bkbiqtjbs (*) e Sbvebi (*), indipendentemente l’imo dall’altro,
riuscivano a dimostrare J‘esistenza di famiglie di superficie Fn di
S„ d’ordine pari n = 2л — 2, per tutti i valori di я. L’uno e Faltro
prendevano come punto di partenza il computo dei moduli fatto
da Enbiqubs (1908 Cfr. Cap. V, § 11). Poichh le Pn dipendono da 19
moduli (almeno), 1’esistenza di una famiglia di P„ con tanti moduli,
risulta per Bhbiqves dal fatto che si hanno particolari Pn, iperellit-
tiche, con 3 moduli, dotate di 16 punti doppi: di qui anche si argo-
menta che il numero dei moduli appartenenti alle Pn dovrh essere
19 e non superiors; la prova di eih richiede di stabilire che il
possesso di 16 punti doppi caratterizza le Pn iperellittiche, siecome
й note accadere per л = 4 (superficie di Kummer).
. Sevebi riconosce per via algebrico-geometrica 1’esistenza delle
(« = 2л — 2) per qualsiasi valore di я, eostruendo le Ря parti-
colari eon 4 punti doppi, che si ottengono come trasformate di quar-
tiche JP4 possedenti 4 curve di genere (effettivo e virtuale) zero, senza
punti comuni. Ammettendo che il possesso di tali curve dia luogo
per le Д a 4 eondizioni indipendenti (cid che implies il teorema di
Noether che «le curve appartenenti ad una j?* generale sono inter-
sezioni complete » e qualcosa di pih), ne deduce che le Pn general!
non possono contenere pih di 19 moduli, e quindi dipendono esat-
tamente da 19 moduli. .
Qui h opportune notare che la eostruzione di si pud fare a
partite da quartiehe о da altre superficie particolari coi generi uno,
in molti modi diversi, che richiedono perh qualche attenzione come
ё accennato nelle « Lezioni » di Enriques-Campedelli (pag. 311). Per
esempio si ottengono PK con и = 2я — 2, dove я 6 della forma
я — ‘2 + За, a partire da un piano doppio con sestica di diramazione
ehe sia I’inviluppo di una serie oo* di cubiche: all’uopo baste som-
mare alle curve <7, curve di genere due, immagini delle rette del
piano, s curve ellittiche K, immagini delle dette cubiche, eostruendo
cosi il sistema О 4- sK, che 6 appunto di genere я — 2 + 3s (»)-
Siecome si'parte da particolari superficie aventi esattamente IS
moduli ed a queste rispondono tutte le eontenenti una cubica
piana, e percib soggette ad una condizione (e non pih), si deduce cosi
- che le P„ dipendono proprio da 19 moduli, e non da pih.
(*) F. Erbbjubs, he euperfide di genere una, Bendie, Ace. di Bologna, 1908-
(’) F. Ветам, £e euperfioie algebrialie con curva canonica d'ordine zero. Atti
let. Veneto (vol. LXV. 2), 180».
(’) Be z t della forma я = 3 + 3*, ei -procecLeiA, aimibnente a partire da nna
contenente an» retta; в вея » <4- fe, й partirii invece da una Pf particolare
contenente ana cubioa piana.
25в САМТОЬО ввттхмо
Frattanto le question! di cui si discorre sono state chiarite da
А. Fbanchetta (*), nel modo che abbiamo esposto nel teste. L’autore
avendo cercato' di collegare la dimostrazione deU’eeistenza della
serie inflnita delle F. al teorema d’esistenza di Chisini, У eondotto
a dare a eodesta dimostrazione la forma pih semplice, passando dalle
F„ particolari contenenti una eonica alle F„+J. Fbanohetta dimostra
poi ehe le Е» (per un date valore di») non. possono dipendere da pih
che 19 nqoduli, ricorrendo alle ]?n razionali con un punto triple:
appunto -come si a veduto innanzi.
Ohe le corrispondenti a valor! diversi di a, siano general-
mente irriducibili per trasformazioni birazionali dipende, come ab-
biam detto, dal teorema che « sopra una general® non si hanno
altre curve che intersezioni complete eon ipersuperficie ». Del fatte
cosi enunciate si aequista facilmente la nozione in base al teorema
•di Noether, eoncernqnte le quartiche F*, ed al compute di costanti
su cui esso si fondai Ma con cid non si ha ancora una dimostrazione
rigorosa. Enriques e Severe hanno pensato che una tale dimostrazio-
ne potrebbe darsi (per »4) facendo ridurre per continuity una F„ '
generate ad una iperellittica, con moduli generic!, valendosi •
della propriety, ehe si riconosce per via trascendente (*), che, su
di esse, non vi sono altre curve se non le intersezioni complete con
ipersuperficie e le curve di contatto con ipersuperficie tangenti. E
Severe ha realizzato questo disegno, in modo elegante (resta nel suo
discorso una* piccola lacuna cui si supplisce facilmehte). La dimo-
strazione algebrico-geometrica che qui si У porta, riducendosi al
caso limite delle F„ razionali con punto triplo, appartiene a A. Frak-
chetta, nella sua nota gik innanzi citata.
Qui- daremo qualche indicazione bibliografica intorno alle varie
dimostrazioni del teorema di Noether su le superficie del 4° ordine
e su le superficie general! d’ordine superiore.
M. Noether, «Zur Grundlegung der algebraischen Raumcur-
ven ». Abhandlungen der Akademie der Wissenechaften, Berlin, 1883.
K. Bohn, « Die Baumcurven auf der Flaechen vierter Ordnung ».
Berichten der koenigl. Saechs. Gesellschaft der Wissenechaften,
Leipzig, 1897.
F. Severe, « Le superficie algebriche con curva canonica' d’or-
dine zero ». Atti 1st. Veneto (LXV, 2), 1909.
G. Fano, « Suite variety algebriche che sono intersezioni complete
di pih forme ». B. Ace. di Torino, vol. XLIV, 1909.
P) А. КвАЛгеиаид, * Salle superficie regolari di genere uno con curva canonica
fi'ordine zero it. btituto Lombardo, 1942-.
(’) EsrBiqtnra e Sbvbbx, M6m,oire ear les surfaces hypereUiptiffues. Aeta Math.,'
vol. XXXII, n. 27.
CLASSIFICAZIONB ВЕСЛЕ SUEERFICIE DI GENERE DINEARE ECO. . 257
S. Lepschetz, « On certain numerical Invariants of algebraics
Varieties. (Trans, of Am. Math. Society, vol. 22,1921); « Concerning
Koether’s theorem on curves traced on non singular surfaces ».
Bull. Am. Math. Society, vol 29, 1923. .
A. BbAnchbtta, «Sulle superficie regolari di genere uno con
curva canonica d’ordine zero». Istituto lombardo, 18.giugno 1942.
B. D’OnewAb, «Sur les surfaces algdbriques dont tousles gen-
res sont 1». Gauthier-Villars, Paris, 1945.
A chi persegua una classiflcazione completa delle superficie coi
generi 1, si presents ora una nuova demands, ciofe se le superficie
P„ con w = 2sr — 2, a curve sezioni canoniche in un 8,, formino,
entro questo spazio, una sola famiglia, owero pih famiglie diverse,
ciascuna dipendente da 19 invariant! assoluti о moduli. A questo pro-
posito, d’accordo coU’osservaziohe finale del paragrafo precedente, si
pud notare che gift nello spazio Ss si hanno 2 tipi di J*,, cio& la super-
ficie semplice J1» intersezione di tre quadriche, e la superficie di
Veronese doppia, con curva di diramazione d’ordine 12, che ё
la- trasformata di un piano doppio con sestica di diramazione. Ana-
logamente si trovano nello spazio 8t due tipi irriducibili di
una delle quali si deduce da una superficie del’4° ordine dello 8t.
Di qui si ё condotti a riconoscere in 8, due tipi di P10 particolari
dotate -di punto doppio, ehe da questo punto vengano proiettate
rispettivamente nella, Pa e nella P* doppia sopra indicata. Ma
P. »u Van (O-ha mostrato che qneste due appartengono ad una
medesima famiglia di P10 general!, senza punti doppi; e questo. in
aecordo con il risnltato generale stabilito da B. d’Obgevad, nel suo
volume gift, citato, il quale appunto ha dimoStrato che le super-
ficie a curve sezioni canoniche dello S„ formano una sola famiglia.
4. Superficie di genere lineare pt1) = 1 con P > 1.
Si abbia una superficie P, di genere lineare (assoluto) p<x> = 1
e di genere superficiale p .> 1. be sue oo»-1 curve canoniche К
debbono formate un sistema lineare di curve ellittiche, di grado
pd) — i = o, che sarb dunque composto colic curve ellittiche d’un
fascio {senza punti base). Bo steeso pu6 dirs! delle curve bicano-
niche о i-canoniche di P, ehe debbono formate un sistema lineare di
genere^
i{i + 1) ,. . .
—-— (pm — i) + i = i,
(x) >. nv Уль, Superfloie di geners «no ehe non sono base per <un sistesna di
quadriche e Ossenoigioni eulle superficie di genere uno сЛе non sono base per vn si-
stema di quadriche. Rend. В. Ace. dei lanoei, febbraio-marzo, 1932.
Еямют S’. • S-wperficie algebriche. • ' 17
2S8 > . CABITOLO SBTTIMO
e di grado
»2(p« — 1) = 0.
Dunque: le curve canoniche о pluricanoniche d’una superficie dn
genere lineare pW = 1 sono in generale ridudbili, componendosi colic
curve ellittiche d’un fascio.
D’esistenza d’un fascio di curve ellittiche, e d’un fascio lineare per
le superficie regolari, deriva quindi come conseguenza daU’essere il
= i, ogni qualvolta il genere della superficie sia p > 1 о uno
dei suoi plurigeneri J?t risulti
Ft > 1.
Ma questa diseguaglianza sussisterh sempre per le superficie
regolari, non razionali, che posseggano qualche eurva canonica о
bicanonica d’ordine maggiore di zero, giacchfc in. tale ipotesi si ё
visto (Cap. VI, § 2) ehe ё per p > 1
P2>2,
e per p — 0 :
P1>1, P. 2*2.
Siccome, d’altra parte, si ё pur trovato che le superficie per cui
p = 0 e F = 1, con eurva bicanonica d’ordine zero (Р» = 1), pos-
1 seggono sempre dei fasci linear! di curve ellittiche, cosi ё lecito af-
fermare che:
Le superficie regolari (non razionali), di genere lineare (assoluto)
pW = Ij posseggono' un fascio lineare di curve ellittiche, ad egcezione
di guelle che han tutti i generi eguali ad 1 (superficie P« con n = 2л — 2,
a sezioni canoniche in $, caratterizzate da p == P — 1).
’ Per classificare le superficie P. di genere lineare p® =~ 1, con
P > 1, oontenent! un fascio lineare di curve ellittiche <7, conviene
rilevare anzitutto che ad esse appartengono due caratteri iwoarianti,
susoettibili di assumere valori interi arbitrarii, cioe:
1). il genere p (== pe) che ё definite dal numero S delle curve
. C del fascio dotate di punto doppio, avendosil’invariante di Zeuthen-
# ' Begre I = S — 4 = 12p -f- 8 (= 12 pa — p^ 4- 9),
2) e il determinante d, che si deflnisce come fl minimo numero
di punti determinabile razionalmente sopra una C, in funzione del
parametro da eui la C stessa dipende.
Per comprendere il significato di quest’ultimo carattere conviene
ricordare che in generate sopra una eurva ellittica 0 d’ordine ®f
del piano о d’un qualunque spazio Sr, non si possono costruire ra-
'donalmente (in funzione dei coefficient! della sua equazione) altre
serie che i multipli della gni segata dalle rette del piano о dagli iper-
piani dello Sr. E cost non ё possibile in generale abbass&re 1’ordine
CbASSinCAZIOSE ОИШ SUPBRFICIB DI GBNERB blNBARB BCC. 269
и di una C ellittica variabile operando razionalmente sui parametri
da eui dipende la variazione di essa (*).
Pertanto una serie oo1 di curve ellittiche -C, d’ordine n, assunta
nello spazio, formers, in generate -una superficie P con un fascio di
<7 la quale non sarfi, suscettibile di trasformazione che abbassi 1’or-
dine delle C.
Ora possiam dire che: le superficie P, eon un fascio di curve el-
littiche C, di determinants d > 1 si possono trasfonnare -in guisa
che le C diventino cww d’ordine d, e cosi — nell’ipotesi della re-
golarita — in superficie Pm d’un certo ordine m, dello spazio ordi-
nario, con retta (ж— d)-pla (per d = 2 in piani doppi); e non b
possibile una trasformazione di queste che abbassi 1’ordine delle C.
Per giustificare I’asserto si noti che — a tenore della definizione
-— la P contend, una eurva L d-secante le curve C, e non altre
curve, che seghino le (7 in 'un numero minore' di- punti. Ora, som-
mando una C alia L, se ne aumenterb, il grado di 2d e il genere di d,
siechb la dimensione di |X+ (71/data dal teorema di Biemann-
Boch, crescerb, su quella di \L\ di 2d > d > 1, e quindi le curve
£ + O, h -J- 2(7, .... L 4- sC, saran contenute in pih ampi sistemi
lineari irridueibili, d-seeanti le C. Per d == 2 si ottiene un piano
doppio, eon una certa eurva di diramazione su cui le C vengono
rappresentate dalle rette per un punto (2л — 4)-plo di
Per approfondire lo studio delle nostre superficie di genere li-
neare pW == i (superficie regolari, non razionali, eon P > p 1),
conviene studiare in particolare quelle di determinants d = 1.
Una superficie J? di questa famiglia contiene. un fascio lineare di
curve ellittiche C ed una eurva 6 uniseeawte le С. Mercb un sistema
lineare op’ contenuto in |30 4- ed | si pub trasfonnare J? in una su-
perficie i’e, d’un certo ordine m, su cui le (7 siano. cubiche segate
dai piani per una retta (» — 3)-pla a; queste (7, variabili nel fascio
delle dette sezioni piane, avranno un flesso razionalmente distinto,
che si pub supporre fisso, in un punto A (ж —2)-plo per su
«; e si pub anche supporre che a sia la relatiya tangente d’inflessidne
delle <7. Quindi la si rappresenta, per proiezione da J., su un piano
doppio con eurva di diramazione J7S„, d’un certo ordine pari 2л,
dotata d’un punto (2л — 3)-plo О (traccia di a). La jD,„, potrb,
avere altri punti singolari abbassanti il genere del piano doppio:
punti 4-pli о punti [3, 3]. Ma la preeenza di tali singolaritb permette
in generale di abbassare 1’ordine di con trasformazioni quadratiche
(4 Cfr. J?. EuBiquea, S<uR» superfiisie еЛдвЬтмЖл con un jaeoio di wave ellittiche.
Bendic. Aoo, Linoei, 1912. In questa nota la deduzione del n. 3 i infirmata da un
ewore di calcolo. Cfr. pure Ежвжчтая-Сжиия, hexioni, vol. Ill, pag. 346.
2в0
СЛРХТ01Л 8BTTIM0
del piano. Se si vuole che la sia d’ordifoe minima, si deve ammet-
tere che essa appartenga ad uno dei due tipi seguenti:
I) Bs» con un punto О (2» — 3)-plo, senza altre singolarity
influenti sul genere; e
U) Ds„ con un punto О (2a — 3)-plo e un punto В 4-plo, for-
mats della retta OB e di una jE>Sb_x con О (2л — 4)-plo e В 3-plo.
I piani doppi del tipo I sono di genere
p — n — 2,.
avendosi oo”-* curve canoniche rappresentate dai gruppi di p — 1
rette per O. Le curve i-canoniche sono date dai gruppi di i (p — 1)
rette per O, quindi
Pti (F — 1) + !•
Per i piani doppi’del tipo II, si hanno oo*4 curve canoniche rap-
presentate dai gruppi di p — 1 = n — 4 rette per O, cui si aggiunge
la retta di diramazione eccezionale (*), quindi il genere
p = n —3.
' Similmente lo i-genere vale
Pi — Up — i) -f-1.
Ooncludiamo intanto: . *
Be superficie X di genere lineare assoluto — 1 e di determinante
d =1, con P > 1, 'si lasdano rappresentare su piani doppi del tipo I,
con curva di diramazione Dtn dotata d’un punto О (2л — 3)-plo,
owero del tipo II, cio6 con Вг„ di diramazione dotata d’un punto
О (2» — 3)-plo e fuori di esso un punto 4-plo B: eodesti piani doppi
danno luogo a tante famiglie distinte secondo i valori del genere,
ehe У pel tipo I:
p — n — 2 ‘
e pel tipo II
p = я — 3,
e per esse d sempre
= i(p —1) + 1. '
Ogni famiglia delle nostre B* contiene infinite classi di superficie
birazionalmente distinte, ciascuna delle quali ё caratterizzata da
(X) Sulla retta OP vi sono toe punti singolari di Оая, ciofe P, О e il punto infini-
taxnente vicino ed O, quindi il grado della retta di diramazione sul piano, ft — 2,
e la curva corrispondente sulla superficie si oompone di due curve di grado — 1
(e di genere 0).
CbABSIWCAZIOWE DEI.bE SVPERNCIB DI OESERS blNEARE ECC. ‘ 281
" un'certo numero di parametri о moduli, che ё facile valutare. La
Dtn del tipo I per сш sia fissato il punto (2» — 3)-plo O, dipende da
2я(2» 4- 3) (2»-3)(2»-2) „ „
2 - 2 — 8» 3
parametri, e — poiohA vi sono oo’ omografie che lascian fermo il
punto О — possiede -
8n — 9 -
invariant! aesoluti. Cosi le Vs- del tipo I, per ogni valore del genere '
p — » — 2 dipendono da •
8p + 7 ...
moduli. •
Inoltre le JDa„ eon О (2n — 3)-plo e В 4-plo dipendono da
8л —13
parametri e possiedono . .
8» —13 — 6 == 8л —19
invariant! rispetto alle oo’ trasformazioni quadratiche che mutano
in sfe i due fasci di rette О e B. Quindi, essendo p = n—3, si hanno
8p + 6
moduli.
Questi rieultati contraddicono, a prima vista, cib che si fe sta-
bilito nel § 11 del Cap. V, ehe, in generate, una classe di superficie
regolari di generi p e p^ dipende da almeno
9p — 2p« + 12
moduli; poichb per p<x’ = 1 si ha
- 9p — 2pW + 12 = 9p + 10
che supers 8p 4- 7 e 8p -f- 3.
Ma la epiegazione del paradoBBO sta in cib, che le superficie Vх
• di genere lineare pM = i e di determinante 1, con P > 1, dt m data
genere p, rienirano in famiglie B*, di determinante 2, aventi lo stesso-
genere p.
-Infatti il piano doppio del tipo I rientra come caso particolare
nel piano. doppio I' con Лав di diramazione dotata d’un punto
(2л — 4)-plo O, che й egualmente di genere
p = n — 2,
e dipende da
10n —12
invariant!, ossia da
Юр 4- 8
282
CAPITOW SETTIMO
moduli; e per
« 4 , P > 1,
questo numero riesce sempre
2> 9p 4~ 10 (= 9p — 2pW 4- 12).
Similmente il piano doppio del tipo II rientra, come caso parti-
colare, in quello II' con Ds» di diramazione dotata d’un punto
(2n — 4)-plo О & d’un punto 4-plo B, che fe egualmente di genere
p = » — з
e dipende da
10a — 22
invariant! rispetto ad oo“ trasformazioni quadratiche, ossia da
10p + 8 -
moduli. /
' Se ora, dopo avere discorso delle superficie JF1 di genere lineare
pW = 1 e di determinante d — 1 (P > 1), passiamo ad esaminare le
!*• di determinante d = 2 (eon un fascio lineare di curve ellittiche
0), andiamo incontro a qualoosa d’inaspettato: la classifleazione di
tali superficie dipende, non soltanto dal genere p, si anche • da un
nuovo oarattere, che ё il numero s delle curve del fascio 101 che si
riducono a curve ellittiche doppie; d’altronde questo oarattere si
lascia esprimere per il bigenere P mediante la formula
P == 2(p — 1) + s—1.
Per classificare le superficie P1, partiamo dall’osservazione che
una superficie eon un fascio lineare di curve ellittiche 0, su cui esi-
stono curve bisecanti le C, contiene un sistema lineare irriducibile
del tipo (0 4- IC) e quindi si lascia rappresentare (su una rigata ra-
zionale doppia e) sopra un piano doppio con curva di diramazione
Pln, d’un certo ordine 2», dotata d’un punto О (2л —4)-plo. La
potrft avere, in generale, altre singularity elementari abbassanti
il genere p: punti 4-pli e punti [3, 3]. Ma se si vuole ehe 1’ordine
della D,,,. non possa abbassarsi per trasformazioni quadratiche del
piano, si avranno i seguenti tipi irriducibili-.
I') 2)sn dotata di un punto (2n — 4)-plo senza altre singolarity
abbassanti il genere: ’
P == n, — 2;
II') dotata d’un punto (2л — 4)-plo e di un punto 4-plo
p .= » — 3;
IH) Pt„ dotata d’un punto (2® — 4)-plo 0 e di » (^ 1) punti
[3, 3]: .... J.,. La Dt„ contiene s rette per О e una rimanente
CbASSIFICAZIONE 0И1Л SUPERFICIE DI GENERE UINBARB ECC. " 263
parte DJn_„ dotata di s tacnodi per cui le 'nominate rette sono tan-
genti tacnodaji: . !
p = n — 2 — 8.
Le superficie J? di genere lineare pW == 1 e di determinante d = 2
<P> p 1) danno luogo, per ogni valore del genere p, non solo ai
piani doppi dei tipi I' e II' per cui
p == » — 2, » — 3,
в
P as 2(p — 1),
si anche ad infinite famiglie di piani doppi del tipo III, dipendenti
da un altro intero
в == 1, 2, 3 ....:
. p = n — 2 — s,
le quali si laseiano distinguere dando, accanto al genere p, il bigenere
P = 2(p — 1) 4-s 4-1.
Infatti, su un piano doppio del tipo III, le curve canoniche ver-
ranno rappresentate da gruppi di p — 1 = n — 3 rette variabili
per О (rette doppie immagini di curve ellittiche irriducibili O), cui
van sommate le s rette CULX.... OA, (immagini di curve fisse ,
о meglio gli intorni dei punti [ 3, 3]: .... A, (cfr. Cap. Ш, § 8,
11 e Cap. V, § 7); e le curve bieanoniche verranno date dai gruppi
di 2(p — 1) + 8 rette variabili per O. Aggiungasi che per un piano,
doppio del tipo III i sucoessivi plurigeneri sono espressi da
?« = 2i(p — 1) 4" si 4-1,
P«+x ~ (2» + l)(p — 1) 4- si + 1.
• Si pud anche valutare il numero M dei moduli da cui dipende
una classe di piani doppi del tipo III. Invero.la costruzione di una
con punto-(2» — « — 4)-plo О assegnato e dati tacnodi Ax ....
A,, con rette tacnodali ОАг.... OA,, dipende da 6 (2» — s) — в — 6s
parametri, mentre la determinazione del gruppo degli s 4- 1 punti
O, Ax,...., A, mette in evidenza 2s—3 invariant! proiettivi. Dunque
le nostre Di„_, e le dipenderanho da 6(2n— s)— в — 6s -f-
4- 2(8 — 3) '= 10» — вз —12 invariant! о moduli. E poichfe
P xs: П - 2 -3,
avremo
. 3C lOp 4" s 4~
owero, introducendo il bigenere P:
M == 8p 4- P 4- 9.
284
CAPITOW SBTTIMO
- Per p — О, _P = 1, eurva bicanonica d’ordine zero, si ritrovano
i 10 moduli del piano doppio tipico gift incontrato eon I), di dira-
mazione.
I risultati coneeguiti in ordine alia classificazione delle superficie
di genere lineare p(1> = 1 e di determinant®. 2, conducono indutti-
vament® a enunciare, in generale, per le superficie P4 di determinant©
d qualunque, il seguente teorema:
classificazione delle superficie regolari di genere lineare
pW = 1 (P > 1) в di determinante d > 1 (соя un fascio lineare di
curve ellittiche C che possono supporai d’ordine d) si ha da tener contor
non eoltanto del genere p, si anche di altri caratteri mteri in corrispon-
denza ai divisori r di d (1 < r < d), ciaseuno dei quali caratteri, srr
indica il numero delle curve ellittiche ~ , ohe contate r volte apparten-
gono al fascio 101. ?
he varie famigUe^i superficie P*, che rispondono a questi earat-
teri, si lasciano anche distinguere coi valori 'dei plurigeneri: in corri-
c
spondenza a ciascuna delle sr curve — il plurigenere d’ordine i, Pf '
cresce (su i(p—di , massimo intero contenuto in
, e quindi lo r-genere Pr cresce di r — 1, e, in generate, Pir
di i(r — 1) ecc. .
Per giustificare 1’enunciato si osservi che, se sopra una P4, al
c
fascio delle G appartiene una eurva ellittica — che — presa come
r-pia — costituisce una C, questa non influisce sul numero delle C
dotate di punto doppio, ai fini del compute dell’invariante di Zeu-
then-Segre, e percib neppure sul genere numerico pa della superficie
P4, пё sul suo genere geometrico p. = p«; la у, contata r — 1 volte,,
viene ad aggiungerei come component© fissa alle parti variabili
delle curve canoniche К di P4 (composte colie 0). Infatti si costruisca
su P4 una rete di curve | h + C |, ebntenente il fascio di curve spez-
zate L 4- | G (; ё facile vedere che la jacobiana di questa rete con-
tiene r — 1 volte come parte fissa ogni —, e da cid segue che la *—
figurerft, come component© fissa, nelle curve, canoniche Ж.
П problems della classificazione delle'superficie di genere linear©
p№ = 1 si pub ritenere sostanzialmente risoluto dal teorema pre-
cedent®. Ma a questo conviene aggiungere una relazione interessante
che lega le nostre superficie >*, di determinant© d > 1, alle P1 di
OLASSIFICAZIONE DELLE SVPERFICIE DI GENERE LINEARE ECO. 265
*determinante 1, ed offre tm mezzo di studio delle J1*. Si consider!, •
sopra una P*, il, relative fascio di curve elltftiche C che pud supporsi
d’ordine Л. Ad una C risponde in generale una variety rappresen-
tativa delle g$~l che ad essa appartengono; e se si ritengono queste
gf~x come element! « punti » di una eurva, si ha una eurva ellittica
0 birazionalmente identica alia 0, .sopra cui ё dato razionalmente
«и punto, in corrispondenza alia serie segata sulla C dai piani о
dagli iperpiani dello spazio che la contiene. Cosi alia superficie
•JP*, luogo ’delle curve del fascio 101, si pud assoeiare una luogo
delle curve c, che sono birazionalmente identiche alle C omologhe.
Questa asserzione sembrerebbe, a prima vista, contraddire al fatto
che la J1* e la Pa sono superficie birazionalmente distinte; ma con-
viene notare che fra una C e la c omologa vien data non una trasfor-
mazione birazionale, bensi un gruppo di d trasformazioni, che non
sono razionalmente dietinguibili in funzione del parametro della C
etessa, e cosi fra J*1 e si аттй, una corrispondenza algebrica [d, d].
Invero, preso su c un punto P, si determina sulla C una serie
entro la quale si pud flssare razionalmente un gruppo &л di A punti.
Ora se si associa a P un punto P', fra i d del Gi} (0Л = P' -f-
resta deflnita una corrispondenza biunivoca fra C e c, dove ad un
punto A di C risponde su c un punto A' per cui il gruppo A' -f-
appartiene alia serie omologa ad A.
Diremo pertanto:'
Ad ogni superficie Pa di genere lineare pW = 1 в di determinant®
d > 1 (P > 1), contenente un fascio lineare di curve eilittiche C, si
pwd aesooiare una superficie P1 di determinant® 1, con «« fascio- di
curve birazionalmente identiche alle C, la quale si trova con P* in cor-
rispondeitza [d, d]. '
Alle curve G di P* dotate di punto doppio. risponderanno in
particolare curve c dotate di punto doppio su ' quindi le ‘due su-
per fieie Pl e Рл avranno lo stesso invariante di Zeuthen-Segre e lo
stesso genere pa.
Notizia. - bi questo paragrafo si .sono esposti, chiariti, in qual-
che punto corretti e, completati, i risultati sulla classificazione
delie superficie di genere lineare = 1, ottenuti da EjnaiQVES,
specialmente nelle Kote degli anni 1898, 1914: « Sui piani doppi di
genere lineare p<x> — 1 ». Bendlc. Acc. Lincei, 1° sem. 1898, « Sulla-
classificazione delle [superficie algebriAe e particolarmente suite su-
perficie di genere lineare pW — 1 ». Bendic. Ace. Lincei, febbr. 1914.
Le cose dette si estendono facilmente alle superficie irregolari
(P»> P«), tostochfe sia stabilita la propriety caratteristica (relativa alle
serie continue non lineari di curve)’ che le concerns (Cap, IX, § 2 e 3).
Precisapaente, in una Kota «Intorno alle superficie edgebriche di
2вв сариою serai мо
genere lineare pW = 1»(*), B»biqtxes ha’ stabilito che: «le superficie
irregolari di genere lineare p® = 1 e di genere nwmerico pe й: О
(P« > P«) contengono wn -fascio irratsionale, di genere pt— pa, di
curve ellittiche ». Tali superficie si lasciano claseificare nello stesso
modo che le regolari, aggiungendosi per esse il carattere p, — pe.
ruori di queste rhnangono soltanto superficie di genere lineare
ph> = i irregolari, ehe hanno fl genere numerico pa = — 1, e si
lasceranno claseificare oompletamente come «superficie ellittiche ed
iperellittiche, con oo1 e oo’ trasformazioni birazionali in её stesse »
(Cap. XI).
i
I1) R. Ace. di Bologna, Die. 1900.
Capitolo VIII.
SUPEBEIOIE BBGOLABI CANONICHE E PLUBIOANONIOHE
1. Introduzione.
. Le superficie di gefere p, > 3 posseggono лш sistema canonico
(puro) | К | di dimensione p, — 1 S: 3, e .mercfe questo si lasciano
trasformare di regola in superficie camoniche dello spazio a p, — 1
dimensiofii aventi per sezioni iperpiane le curve JZ. In questo
capitolo esamineremo la costruzione di alcune superficie canoni-
che, riferendoci, al caso delle superficie regolari: p, = p„ == p.
be superficie canoniche di 8„-i, aventi il genere linear® (assoluto)
(> 1), saranno in generate d’ordine
pCO «= pCO „— J,
e, nelle loro propriety proiettive, riepecchieranno le propriety in-
variant! dell’intera classe delle superficie trasformate.
Danno luogo «tuttavia ad eccezione, in ordine alia costruzione
delle superficie canoniche: anzitutto le superficie di genere lineare
fW = i, su cui le curve canoniche sono spezzate nelle curve ellit-
tiche d’un fascio. Й 1’eocezione essenziale che ci riporta alia famiglia
di superficie caratterizzata dal possesso di un fascio di curve .ellit-
tiche, studiata nel precedent® capitolo: qui vengono a mancare
afEatto, non solo la superficie canonica, si anche le superficie pluri-
canoniche di cui diciamo in appresso, tutte le curve pluricanoniche
•essendo' egualmente compost© colle curve ellittiche del fascio.
Altre eccezioni о casi in cui il diseorso generate subisce almeno
qualche modiflcazione, sono: "
1) le superficie per cui il genere p < 3;
2) quelle su cui il sistema canonico, pur essendo .irriducibile
oo’. almeno (p > 3), appartiene ad una involuzione Z., d’ordine
n > 1, sicchS la superficie canonica si riduce ad una superficie mul-
tipla (»-pla);
268
CAPITOLO ОТТА VO
3) le superficie, di genere lineare > 1, per cui le curve
canoniche (pure) X siano comunque ridueibili; come’ si ё visto al
Cap. IV, § 18 si danno esempi effettivi in cui to X. contengono parti
fisse (non eccezionali) di genere zero e > 0; resta dubbio che esi-
stano superficie su cui le parti variabili delle К sieno composte
colie curve irriducibili К d’un. fascio.
Se sopra una superficie X il sistema canonico puro |K| possiede
una component® fissa, eccezionale о no, ed hailgenere p >3, avendu
component! variabili irriducibili, le ©о»-1 curve canoniche eondur-
ranno sempre ad una superficie canonica, ma questa sarft, d’ordine
eguale al grado effettivo’ del sistema canonico p<2) < p<!> == pW —1.
Se inveee le parti variabili delle curve. canoniche sono ridueibili,.
non si avrS, pih una superficie canonica. Comunque, anche in questo-
caso come nei precedent!, per p > 1, si potrfl, ottenere un modello
proiettivo della classe, ricorrendo alle superficie Mcanoniche о trica-
noniche, ecc.,. le cui/sezioni piane sono riSpettivamente curve bi- •
canoniche о tricanoniche. Ma di cid pih avanti.
Nei seguenti paragrafi ci riferiremo anzitutto a superficie rego-
lari con curve canoniche (pure) irriducibili (senza punti base) di genere'
p > 3, formant! un sistema lineare semplice ooa almeno di genere p<*>
e grado — 1- ba prima domanda che si presenta ё questa: esi-
stono in un medesimo spazio ciob per to stesso valore del
genere p, superficie canoniche di diverse ordine, corrispondenti
dunque a diversi valor! del p<*>f Ossia: i due caratteri p e p® sono
indipendenti fra loro! La risposta, data dal Noether fino dal 1870,
ё affermativa. .
L’indipendenza di e p, si prova subito con effettivi esempi-
Basta osservare che un punto triplo e un taepodo, impost! alle
superficie J* di un dato ordine e con date smgolaritft., dimmuiscono
egualmente il p di una units,, ma dimmuiscono il p<15 rispettiva-
mente di 3 e di 2. ’ „
2. Superficie самотеке di genere p — 4 e genere lineare p<x) = 6,5»-
In questo paragrafo e nei primi che .gli succedono, ci proponiamo
. di claseificare le superficie regolari di genere superficiale p = 4 e di ge-
nere lineare pw >1, costruendo le relative superficie canoniche, ap-
partenenti allo spazio ordinario S„. Supporremo fit regola che si tratti
di superficie con curve canoniche pure К formanti un sistema semplice
irrifiucibile (privo di punti base sopra un modello senza curve ecce-
zionali), salvo a dedicare qualche nota ai casi di riducibilitft; e cosi.
cercheremo anzitutto le superficie canoniche semplici, che riepon-
dono all’ipotesi d’un sistema |JC| non appartenente ad una involu-
zione In d’ordine n > 1.
SUPERFICIE REGOLAR'l CANONICHE E FLURICANONICHB 289
' Per p — 4 e pW > 1, una superficie canonica ft, supposta sem-
plice, deve avere 1’ordine . •'
sax ~ 1 5.
П tipo semplice corrispondente al pih piccolo valore di pW ё
dunque: la superficie generale del 8° ordine, Fe, superficie canonica
con
p =s= 4*,' == 0,
ft chiaro che una superficie eon p = 4 e pW = 6, di cui le curve
canoniche "siano irriducibili pub ridursi birazionalmente al ..modello
proiettivo della Ft. Come esempi citiamo le superficie indicate da
Noether:
a) La superficie del 7° ordine F1} con conica tripla e punto
triple fuori di essa. Con una. trasformazione quadratics di prima
specie la F, sj riconduce ad una particolare sulla quale sono dati
un punto О ed una conica; il punto О risponde alia retta eccezionale
-in cui fl piano della conica tripla sega F,.
b) La F4 con sestica doppia Ct di genere 3. Nella consueta rap-
presentazione piana di una superficie cubica JF1, passante per C«,
la (J, stessa appare avere per immagine una C't (1® 2® 3® 4* 5s в) il
cui comportamento rispetto ai punti fondamentali 1, 2, 3, 4, б, в, -
viene indicate dal simbolo precedents; quindi le intersezioni varia-
bili residue di due per С» sono cubiehe gobbe, rappresentate da
Ca(2, 3, 4, 5, 6 s), formanti una rete omaloidica; si deduce che le
stesse Fs fonnano il sistema trasformante di una trasformazione
cremoniana dello spazio, che riduce la nostra F, alia Fs.
c) La superficie F, con quintica doppia C, di genere 0. Anche
qui le Ft рёг Ct fbrmano un sistema omaloidico, che perb ha come
curva base la Cs stessa completata da una retta che ad essa д ap-
poggia in 4 punti, che ё retta eccezionale della F,; e тетсё questo
sistema trasformante di Fala F, si riduce eremonianamente alia F„.
Ora vogliamo dimostrare con tutto rigore e generality che:
ogwi superficie F coi generi p — 4 в p<l> — в, tale Ле la parte varia*
Mie delle curve - canoniche sia irriducibile, si lasoia trasformare in
una guintioa canonica Ft.
Indichiamo con |>| la parte variabile del sistema canonico che
per ipotesi non d composts con le curve di un fascio. Facendo
rimmagine proiettiva di questo sistema si ottiene una superficie
F„ il cui ordine n (rg 5) eguaglia il grado effettivo di |7c|.
Se n ~ в la Fn b la quintica e risulta a posteriori
| — | X | •
Be ё n < 5, non pud aversi una superficie canonica semplice
(che sarebbe di genere p < 1) e neppure un piano multiple (che por-
270
СЛИТОЮ OTTAVO
terebbe p = 3), ma soltanto rests possibile — a priori almeno —
una quadrica JF, doppia: s’incontrerebbe di fatto questo caso se si
avesse una componente fissa eccezionale delle curve canoniche pure,
ciob un punto base di |X| sopra un modello di JF privo di curve
. eccezionali. Le curve к essendo di genere n < fW ( — в), la curva di
diramazione sulla J', sarA una Cei+a d’ordine 2л -j- 2, e si proverb
anzitutto che non b certo
я < 5,
e percib sono possibili a priori soltanto i casi:
я — в, 6.
Invero non pub essere я < 5, ossia я < 4, giacchb le curve ca-
noniche К dovrebbero segare le к di -genere я in gruppi residui della
serie caratteristica й — gf, e quindi in*non pih di 2 punti, mentre
deve essere kK > kk — 4. Ma, se л = 5, si ha sulla JF, doppia una
eurva di diramazione/A’ordine 12; e, se л — 6, una curva d’ordine
14. La prima ipotesi porta ad un piano doppio con curva di di-
ramazione Од dotata di due punti 6-pli, che ha come curve cano-
niche le coniche pei due punti -singolari (completate dalla retta
eccezionale che li congiunge) e quindi il genere lineare assoluto
= 5 anzichb pW = 6. La seconda ipotesi conduce ad un piano
doppio con Ca di diramazione dotata di un punto 8-plo 0 e d’un
punto 6-plo O1} owero di due punti 7-pli infinitamente vicini'OOt,
che ha come curve canoniche le oo“ cubiche per 0s e (com-
pletate dalla retta eccezionale 00,) e percib b di genere p = &
anzichb p = 4.
Abbiamo detto che = 6 b il minimo valore che pub assumere
il genere lineare per una superficie di genere p — 4, che ammetta
come modello proiettivo.una superficie canonica sempliee. Ma non
b pih cosi se il sistema canonico |Ж| appartiene ad una involuzione
Is d’ordine 2, ammettendo quindi un punto base.
. Si ha allora come superficie canonica la quadrica doppia eon curva
di-diramazione d’ordine 12, che conduce, come si b detto, al piano
doppio eon curva di diramazione <7M d’ordine 12 dotata di due punti
1 в-pli. Questo piano doppio con p = 4 e = 5( risponde al minima
valore del per p — 4 (d’accordo colla diseguaglianza generale
p(1) S: 2p — 3, che stabiliremo pih avanti). Cib risulta dall’analisi
precedente perchb un valore minore del p&> dovrebbe condurte ad
una superficie canonica sempliee d’ordine 3 о 2, che sarebbe di ge-
nere p = 0, owero ad un piano triplo che avrebbe il genere p — 3.
® dalla stessa analisi resta anche escluso che un’ipotetica ridu-
cibilitA del sistema canonico puro (ciob la presenza di componenti
fisse, eccezionali о no) porti ad altri tipi di superficie con p — 4
© . язв
SUPEREICIB REGOLARI CANONICHE E PLVRICANONICHE
271
* Bntmceremo dunque che: Ogni superficie con p = 4 di genere li-
neare minimo pW — 5 si pwd trasformare пЛ piano doppio con Clt
di diramazione, 'dotata di due punti sestupli.
Come esempio si consider! la superficie J’, del 6° ordine con. due
rette doppie a e b sghembe fra Ibro: le quadriche aggiunte segano
su una tale J1» le curve canoniche, K, le quali appartengono all’in-
voluzione segata .dalle rette. incidenti ad a e b.
3. Superficie con p = 4 e p& = 7.
Passiamo a costruire il modello canonico per le superficie di ge-
neri p == 4 e p!1> — 1. Avremo, nelle ipotesi apparentemente pih
general!, superficie T. d’ordine 6 dello spazio ordinario, le cui qua-
driche aggiunte debbono spezzarsi in un piano variabile e in un
piano fisso, intersecante secondo una cubica doppia.
Cosi per p = 4 e pM == 7 si ha la superficie canonica del 6° ordine
Vt 'con cubica piana doppia.
Ogni superficie i cui generi valgono p == 4 e pW = 7, con sistema
canonico sempliee, si lascia trasformare birazionalmente nella J*a.
Cosi, per, esempio, le superficie del 6° ordine JP, eon 6 punti tripli,
le cui curve canoniche (intersezioni delle quadriche per i 6 punti)
sono precisamente di genere 7 e grado 6.
Xota. - Ma, se si vuole approfondire lo studio della famiglia
delle superficie per cui p = 4 e pW — 1, conviene esaminare quelle
per cui il sistema canonico |JT| (che si suppone irriducibile a pre-
scindere da eventual! componenti fisse) non sia sempliee, sicchb la
superficie canonica si riduca ad una cubica doppia, owero ad una
quadrica _F„ doppia о tripla. Il principale scopo di questo esame ё
di rispondere alia domanda « se tutte- le superficie per cui p — 4 e
pW == 7 appartengono ad una medesima famiglia rappresentata
dalla J*8 canonica, owero se si abbiano pih famiglie distinte di su-
perficie coi detti caratteri».
Per quanto concerne le cubiche J's doppie ё facile persuaders! che
esse rientrano come caso particolare nella famiglia delle J?e.
Anzitutto la JFa non pud essere xigata, poichb non sarebbe пот-
male e ne resulterebbe p = 6; quindi essa sartb a sezioni piane el-
littiche e possiederA una curva di diramazione Olt ‘d’ordine
2pW — 2 = 12.
Questa Gu deve essere intersezione completa della ]?* con una
superficie del 4° ordine, altrimenti si troverebbe su 1?» un fascio di
coniche secanti in 6 punti la <?M, che sarebbero immagini di curve
di genere 2,.secant! le curve canoniche К in 2 punti, sicchb le К
272.
CAFITObO OTTAVO
stesse risulterebbero iperellittiche e le sezioni piane di Ps razionali,
cib che si ё escluso.
Quindi la doppia si lascerh rappresentare sul piano doppio
con eurva di diramazione d’ordine 12 dotata di 6 punti i~pli, che
— di fatto — ha i generi p == 4 e pW = 7, d su eui ie curve canoniche
hanno per immagini le cubiche per i в punti contate due volte.
Dimostriamo che il detto piano doppio rientra come caso parti-
colare nella famiglia deUe Ft con cubica piana doppia-, conside-
rando il. fascio di superficie determinate dalla e da una sua
aggiunta >8 contata,due volte:
JF* -j- = О,
per Я = 0 si ottiene in questo fascio la superficie cubica doppia
con eurva di diramazione segata da J, = 0.
Per dimostrarlo ё sufficiente riconoscere che una sezione piana
/» di apphrtenente ad un fascio /| 4- Я/« = 0 si riduce per con-
tinuity (per Я = OHalla cubic» /5 doppia coi punti di diramazione
nei 12 punti base semplici del dette fascio. Ora —: se supponiamo
la /« affatto generate (сюё senza punti doppi) — essa costitaisce un
inviluppo di classe 30 che, al limite per Я — 0, deve ridursi alia
cubica inviluppo /s — 0 contata due volte (che ё di classe 2 • в ==12),
aumentata dei 18 fasci che hen per centri i punti di diramazione
della detta cubica doppia; ed ё evidente che i punti di contatto delle
tangenti condotte da un qualunque punto P alia per Я = 0,
vanno a cadere nelle 18 intersezioni di ft e /8 (*) Se poi la f, ha 3
punti doppi allineati, presi come base del fascio fl + Я/« = 0, i
3 fasci con quei centri contati 2 volte saranno da togliere dai 18
anzidetta, restando dunque un di diramazione della /» doppia.
Mentre le superficie canoniche costituite da' cubiche doppie con
C№ di diramazione rientrano come caso 'particolare nel tipo pih
generale delle F, con eurva piana doppia del 3° ordine, alTopposto
quelle superficie canoniche' che sono costituite da quadriche doppie
formano una famiglia distinta.
Senza indugiarci in un esame pih minuto, dieiamo che vi ё un
I tipo di superficie F, con p = 4 в pW = 7, su cui le curve canoniche
eono iperellittiche con due punti base (presi fra i punti doppi della
<7i), te quali conducono a quadriche doppie canoniche rappresenta-
bill sopra il piano doppio eon eurva' di diramazione d’ordine 10,
dotata di due punti [3, 3]. . - •
E questi piani doppi pprgono effettivamente una seconda fa-
. miglia di superficie cm p = 4 e pW 7, che non rientrano fra le
>e canoniche semplici, регсЬё dipendono da 39 moduli (39 = 65 —
(д) Cfir. Еквхвшсз-Сиипгх, Lexioni, vol. III.
SUPERFICIE REGOLARI CANONICHE » PLURICANONICHE 278
—18. —8), laddpve abbiam visto che le jFt dipendono da 38 moduli.
Maggiori difflcolta preeenta 1’esame delle superficie canoniche,
con. p == 4 e =’ 7, che si ridncono a quadriche triple. Le super-
ficie di questa famiglia vengono earatterizzate dalla propriety che
le curve canoniche pure Ж non hanno punti base e contengono una
gl, sicchb 1-ЙГ1 risulta appartenente ad un’involuzione razionale del
3° ordine Z,. La quadrica canonica tsripla QI, atudiata da G. Ромиир),
ё un cono в possiede una'eurva di diramazione CM d’ordine 18.
Si riconosee che le j«drfcie triple canoniche QI non rientrano
come easi particolari nella famiglia delle Жа semplici con cubica piana
doppia, bensi costituiscono una terza famiglia di superficie con p = 4
,e pW = 7, distinta dalle preeedenti.
Per dimostrarlo battery constatare che una eurva piana -Ce con
3 punti doppi in linea retta, sezione di non pub ridursi per con-
tinuity ad una coniea tripla CJ, sezione di 01» dotata di 18 punti
di diramazione. A tai uopo .si osserverh anzitutto che il sistema oo”
delle sestiche piane Ca non contiene entro di sb quello’ oo2* delle
coniche triple dello stesso genere con 24 punti di diramazione. Kon
si pui> escludere tuttavia che fra le oo” Ct compaiano particolari
Cl con 24 punti critic!; ma se si vuole trovare entro questa famiglia
una Cf con 18 punti di diramazione distant!, che costituisca una <7e
degenere con 3 punti doppi in linea retta, bisogna che в fra i 24
punti critici suddetti coincidano a coppie in 3 punti critic! apparent!
allineati, e cib b impossibile per una irriducibile. .
4. Superficie con p.=, 4 e pW = 8.
Passiamo al caso successive: p = 4, pW == 8. La superficie ca-
nonica (semplice) Z*, che risponde a questi caratteri dfeve possedere
in generale una eurva doppia C,-, che, contata due volte, costituisce
I’intersezione completa della J?, con la quadrica aggiunta Ф,. La
<7„ per una formula gib> vista (2), possiede un punto triplo che
risulta doppio per la .aggiunta la quale pertanto b un cono.
Questo b in aceordo col fatto che la d, b la eurva di contatto
della Ф, eon- una superficie d’ordine 7, e percib .appartiene al siste-
ma meth del sistema'lineare |CU| costituito dalle intersezioni di Ф,
con le superficie del 7° ordine dello spazio. Ma dalla rappresenta-
zione piana della quadrica appare che il detto sistema | Сц | non b
in generale dimezzabile; affinchb lo sia, bisogna che la quadrica sia
p) G. Ромни, Sidle euperflaie algebriche le cui curve canoniche posseggono
«no jJ. Rendiconti Istitsuto "Lombardo, 1940.
(2) Cfr. cap’ V, 5 3. . ‘
Embiquss F. - Suierftcte algebrlche. IS
274
CAPITOLO OTTAVO
un cono, il cui sistema rappresentativo fe costituito dalle coniche
per due punti inflnitamente vicini O, Ot: le immagini delle
sono allora curve dello stesso ordine C^t (ОЮ]) e la meth del
sistema |GJ4| fe a priori un sistema СЦОЮ1) о un sistema pih
particolare in ess© contenuto. Ma le OJ(O*OJ) che non abbiano
in О una molteplicitfe superiore a 4, sono immagini di curve 0T
di Ф,, curve di contatto della stessa con delle J',, ehe non possono
essere doppie per una j?, irriducibile perchfe le generatrici del cono-
Фг avrebbero con tale S', otto intersezioni. Bisogna dunque che la
curva doppia di una delle nostra J*, appartenga al sistema lineare
che nel piano rappresentatavd di Ф, ha per immagine <7, (O’O|)
e quindi passi tre volte per il vertice del cono ed abbia il genere
g = 4. ...
Abbiamo dimostrato che la J*, canonica (p = 4, p(1> — 8) ove
esieta, possiede come cprva doppia una O, di genere g = 4, dotata
di punto triplo F, la*'quale appartiene al sistema mete di quello
segato ви‘Ф, dalle superficie del 7° ordine che paesano 3 volte per
F (o si. comportano come quelle ehe Manno ivi un punto triplo).
Ora si tratta di riconoscere 1’esistenza effettiva di tali Questa-
si pub infqrire induttivamente dal compute dei moduli; se si as-
sume la formula pih espressiva del § 13, Cap. V:
If lOp — 2p<« 4- 12 = 36,
si fe condotti a ritenere che ogni G, (definite come innanzi sopra un
cono quadrieo di vertice F triplo' per essa) sia curva doppia .per
ooM superficie canoniche J*,: infatti le O, sopra il cono quadrieo
sono co1’ e cost, rispetto alle oo’ trasformazioni proiettive del cono-
danno luogo ad oow curve proiettivamente diatinte; d’altra parte
- inveee le superficie aventi una medeeima curva doppia C, sono
oo*“, poiehfe staccando il cono si hanno oo“ jf, residue, passanti
per la C,.
La conclusions precedent® fe raggiunte soltanto in via induttiva,
sia perchfe la formula dei moduli adoperata dipende da un’ipotesi
non rigorosamente accertata, sia perchfe essa vale a stabilire 1’esten-
sione di una famiglia cqntinua di superficie con dati p e pW, quando
si presuppone data 1’esistenza di qualche superficie della famiglia;
cost bisogna almeno riconOscere Fesistenza effettiva di una parti-
eolare superficie JF, (coi generi p = 4, p<*> — 8) dotata di' una 0T
doppia: si'arriva per esempio a costruire una simile J*, partendo da
una sestica con в punti tripli e un tacnodo, per cui fe appunto
p = 4, pW = 8. Ma pih direttamente si pufe dimostrare che ogni
(appartenente alia serie considerate, sopra un cono quadrico)
fe curva doppia di una superficie (canonica). col metodo indicate
SUFBitFICIE REGOLARI CANONICHE E FLURICANONICHE - 275
da A. Fbanchecta f1), e ne risulta quindi confermato per le stesse
J5, il compute dei moduli.
Il metodo a cui ricorriamo consist© in questo: si riconosce ehe
una C, & sempre curva doppia per una (ed anzi per oo*) superficie
razionale del settimo ordine J?', che possegga inoltre un punto qua-
druple assegnato; combmando linearmente questa particolare PJ
con una degenere passante doppiamente per (7,, si ottengono le
V, canoniche richieste.
' Per realizzare questo programma, si osservi anzitutto che esi-
stoiio superficie razionali del 7° ordine JF’J dotate di una curva doppia
del 7° ordine e di un punto quadruple isolate: una superficie siffatta
viene rapprfesentata sul piano dal sistema delle curve di undicesimo
ordine D«) dove i 18 punti A, Be.D appartengono
ad una curvafondamentale del settimo ordineJE, (A..2>e);
le <7И sono curve di genere 8 e la serie caratteristica del sistema oo*
ё autoresidua, essendo il sistema | Olt ] equivalente alia somma della
curva fondamentale Ki e del suo aggiunto; percid appunto la su-
perficie rappresentata ё una B, a' sezioni plane di genere 8, e quindi
dotata di una curva doppia 0,, la quale possiede inoltre un punto
quadruple' cornspondente alia K,.
Ora le ХЧ, cosi costruite dipendono da un certo numero di inva-
riant! assoluti proiettivi ehe ё facile valutare: questo numero ё 19.
Inoltre si pud calcolare la dimensione del sistema delle 14, ehe pos-
seggofto una stessa curva doppia C, e uno stesso punto quadruple-
0 fuori di esso; questa dimensione supers di uno quella del sistema
caratteristico, segato sopra una'^J dalle altre JPJ dello stesso sistema,
e percid vale в. Cid posto, facendo variare il punto quadruple, si
avranno (al pih) oo8 J’J- con la medesima curva doppia C,j siechb
— essendovi oo*’ — si avranno (almeno) oo* curve 0, doppie
per una Ma le O', cosi ottenute sono proprio quelle curve del 7°
ordine, e di genere 4, giacenti sopra un cono quadrieo, e passanti
triplamente per il vertice, che sopra abbiamo definite. Combinando-
linearmente una V, con le oo" >, degeneri costituite dal cono qua-
drico contenente O', e da una J» per (7,, si ottengono ooM superficie
canoniche JF, ehe passano doppiamente per la O, assegnata. Con cib
viene dimostrato che: eaietono oo" super fide canoniche del 7 ° or-
dine J*,, proiettivamente distinte, le cui curve doppie .««to le oo*
curve del 7° ordine e di genere 4 che si definiscono merci la biseisione
del sistema lineare segato sopra un cono quadrieo dalle superficie del
7° ordine passanti triplamente per il vertice.
Le curve C, si possono coaratterizzare come curve доЪЬе iperel-
0) A. FaANCHSTTA, Su. almmi esempi di superficie canoniche, Seminario Mat.
di Roma, 1939.
276
САЙТОМ) OCTAVO
littiehe Ai genere 4, dotate Ai «» p«»to triple: infatti le purve gobbe
del 7° ordine di genere 4 iperellittiche sono ooM e il possesso di un
punto triple costituisce per esse wna condizione, come appare a.
priori da cib ehe le g| possedenti una terns neutra дорга una curva
iperellittica di genere 4 sono definite dal contenere il doppio della
g\ e percib dipendono da tre costanti arbitrarie.
Abbiamo spiegato la costruzione generate delle superficie eano-
niche dotate di una curva doppia curva di genere 4 iperel-
littica, dotata di punto triple. Ma se in luogo di chiedere la costru-
zione di una con C, doppia, si domandi quella di una X1, canonica
poasedente qualche curva multiple di molteplicitA superiore a 2,
si presents subito 1’esempio semplicissimo della Fj dotata'di una
retta tripla a e di due coniche doppie in piani per essa. Quando siano
assegnate la retta tripla e le due eoniche doppie si hanno oo“F,:
infatti staccando i delle due coniche si diminuisce il numero dei
parametri di 2, e festa la dimensione del sistema dell® >5 passanti
semplicemente per una retta e.per due coniche in piani per essa, che
ё 31. . •
Ora si osaeryi che la curva eomposta di una retta e di due coniche
in piani per essa possiede un invariante assoluto, ehe ё il birapporto
dei 4 punti sulla retta. Si.avranno quindi oo“ superficie canoniche
I*, proiettivamente distinte, che poaseggono una retta . tripla e due
coniche doppie. Si aftaccxa la domanda: queste JF, rientrano come su-
perficie particolari nella farfnglia delle J1, canoniche con G, doppia,
owero costituisoono una serie continpa distinta di superficie, ehe
dipende soltanto da 34 anzichb da 36 moduli! Se la formula che dA
i moduli fosse stabilita senza eccezione nella sua forma piii espres-
siva citata innanzi, la questions verrebbe risolta senz’altro a priori
adottando la prima alternativa. Comunque -si pub riconoscere di-
. rettamente in qual guisa le. J*, con retta tripla e due coniche doppie
sieno particolarizzazioni delle JF, con C,. doppia.
Si tratta di mostrare che le curve dello spazio ordinario Gs .+
4- GJ -f- 3«, costituite di due coniche generiche e della retta d’in-
tersezione dei loro piani, rientrano come caso particolare nella fa-
miglia delle nostre С,, e poichb le nominate Ct 4- GJ + 3a soddi-
sfano alle tre eondizioni di possedere un punto triplo e di essere ipe-
rellittiche (ciob di contenere una gj), basta mostrare ehe codeste
curve composte rientrano nella famiglia delle G, di genere 4. Ora
le C, di genere 4 dello spazio ordinario si possono ottenere come pro-
iezioni di curve Gg dello spazio da un punto jemplice G; e fra
codeste Cs si trovano delle curve spezzate in due quartiehe Gg, GJ
di la specie passanti doppiamente per О ed aventi ivi lo stesso piano
tangente a, le quali da О si proiettano in una curva coihpoBta della
-retta tripla a traecia del piano a e delle due coniche C,, C't proie-
SVFBRBICIB ВКООЬАЯ! CANONICHB В PbVRICANONICHB 277
* zioni di O4, C't. Cosi appare ehe la curva + O'! + 3a pud ritenersi
come una particolarizzazione delle nostre G, iperellittiche e dotate di
un punto tripio. Si pud vedere direttamente che le condiziopi ri-
chieete per questa degenerazione della <7„ sono in numero di 9,
. e percib tutte le curve composte Ct + (7J 4- 3a rientrano nella fa-
miglia delle nostre <7,; come abbiamo giA visto cib porta che le J?,
con retta tripla e due coniche doppie flgurino entro la. famiglia delle
general! superficie canoniche con p = i e pw == 8, soddisfacendo
a 2 eondizioni particolari.
Le superficie canoniche. V, che abbiamo imparato' a costruire
rispondono ai valori dei generi p = 4 e p<*> = 8 (p<1} genere lineare
asaoluto) quando le curve- canoniche К -sopra una superficie trasfor-
mata V senza curve eccezionali formino un sistema sempliee irri-
ducibile e privo di punti .base. Se invece si suppone che il sistema
|K| abbia su F un punto base (sempliee),. questo. sistema avrA il
grado effettivo p<*’ — 1 == — 2 =6, e quindi la superficie ca-
nonica corrispondente si ridurrA ad una sestica sopra la quale
il punto base del sistema canonico dovrA avere per immagine una
retta eccezionale contata due volte: codesta retta fa parte sempli-
cemente dal sistema canonico impuro e figura poi come componente
fissa del sistema canonico puro. . • .
Ora 6 facile costruire effettivamente una superficie del 6° or-
dine -Fe che possieda una conica doppia assegnata 0 e nel piano
у di questa un tacnodo О il cui piano tacnodale a, diverso da y,
sia parimente assegnato; si ottengono tutte le Т» soddisfacenti alle
eondizioni indicate per combinazione lineare di due particolari
la J’-, costituita da una quadrica per О contata due volte, e dal piano
a pure contato due volte, e una Ta eomposta del piano у e di una
У» che passi semplicemente per О ed abbia in О un punto biplanare,
toccando con una delle sue falde il piano tacnodale assegnato -a.
La J?e cosi costruita possiede di fatto una components fissa
delle curve canoniche, che A la retta a lungo la quale’ il piano a
tocca J*,- e ehe percib figura due volte nelle intersezioni di Jfe coUe
oo8 quadriehe aggiunte, costituite da un piano variabile e dal piano
fisso a. Designando con p = 0 e — v, il genere e il grado di codesta
retta a, il genere e il grado di ,2л varranno rispettivamente:
2.0 —1> — 1 = — (v + 1) e — 4v,
si pud quindi valutare il grado p<s> e il genere (virtuale) pd) del si-
stema canonico impuro su (quest’ultimo A il suo genere relative):
p(’> == 6 — 4v -f- 4 — 10 — 4v
рЫ = 8 — (v -j- 1) -p 2 — 1 = 8 — v (pto = 8); ,
278
CAPITOLO OCTAVO
e dalla relazione , ..
5S—
si ricava quindi
10 — == 7 _ v,
v = 1.
Oosl resta dimostrato a posteriori che la retta a ё-effettivamente
retta eeeezionale per (•— v = —- 1)., siechO per la presenza di essa
il genere lineare relative
e il genere lineare assoluto = 8;. inoltre codesta retta, tolta una
volta dalle curve canoniche impure, rimane ancora componente
fissa delle curve canoniche pure, rispondendo dunque ad un punto
base semplice’di |Ж| sopra una superficie trasformata J* (*).
Contiamo ora il пишете dei parametri da cui dipendono le nostre
JPe. Le passanti p<r la coniea C e aventi un punto biplanare О
con una falda tangente al piano a dipendono da 37 parametri; e
percib le J", con coniea doppia, tacnode e piano tacnodale assegnato
saranno oo".
Siceome le singolarit& assegnate per le JFe possono trasformarsi
proiettivamente in altre singularity comunque date nello spazio
(non possedendo nessun invariante assoluto), ed anzi quelle singo-
laritl> sono trasformate in sfe stesse da oo* omologie, si vede che:
le nostre -F« superfine canoniche con p — 4. e p^ = 8, corrispondenti
ad un sistema canonica dotato di punto base, dipendono'da 35 inva-
rianti aeso&M о moduli.
Anche qui il numero dei moduli й minore di quello (Зв) che ap-
partiene alle superficie canoniche JF,, sicchS si й indotti a chiedere
se le dette costituicsano una particolarizzazione delle iP7, oorri-
spondente alia degenerazione di questa in una J*e e in un piano.
Ci limiteremo ad accennare in qual modo la cosa possa realiz-
zarsi. Be alia nostra >e si somma il piano у si ottiene una superficie
che possiede la coniea tripla C ed inoltre due rette doppie fitifini-
tamente vicine coincident! con в; la stessa si pud ritenere dotata
(x) Anche in altro modo Bi pub verificare che la J1,- 6 una euperficia di genere
lineare aaaoluto = 8 le cui-curve canoniche pure poeeiedono come oomponente
fissa la retta eeeezionale. Basta invero trairformare quadraticemente 1* mediants
le quadriche ehe paesano per la coniea C a per un punto A di ease; «i ottiene coal
una superficie del 7° ordine con coniea tripla, che poaeiede inoltre un punto doppio
(di NOSHza) O, eon un tacnodo infinitamente vioino; codeeto punto singolare
(immagine d^una curve ellittica fondamentale di grado — 1) dA luogo ad un punto
base semplice par le curve canoniche segate dalle quadriohe, parti variabili dalle
superficie cubiche aggiunte.
SUPERFICIE REGOLARI OANONIOHE В PLVRICANONICUE 279
soltanto della coniea tripla C e della retta doppia a, ritenendo come
-virtualmente inesistente la retta doppia infinitamente vicina ad a,
che vogliamo considerate come linea di connessione fra la J?e e il
piano y; cosi la I1, composta avr& il genere (numerico) della Т»,
che andrebbe aumentato di zero (genere del piano) e di zero (genere
della lineadi connessione). Si tratta di riconoscere chela JF, degenere
definita in tai guisa, tenuto conto della singolarita puntuale che la
nostra costruzione viene ad assegnarle nel punto O, pud conside-
rate! come caso particolare di una canonica con eurva doppia
-<7, d’ordine 7 e genere 4 (iperellittica *e dotata di un punto triplo).
A tale scope giover& considerate la detta <7, come proiezione da un
punto P di una Ga .d’ordine 8 e genere 4 dello spazio Sa, e quindi
far degenerare la O'« in una eurva 0* di genere 3 appartenente ad
un cono quadrico di vertice P ed avente in P un punto doppio, e
in due rette a ed о incident! fra loro, la prima delle quali sia una
corda di 0, e 1’altra pass! per P: la proiezione di questa 08 dege-
nere, da P nello spazio ordinario, potrft ritenersi come eurva limite
di' una 0, variabile che venga a degenerare in una coniea tripla C e
in una retta a giacente nel piano di <7,- questa eurva degenere va
.completata col sommarle una eurva infinitesima costituita dall’in-
tomo del punto О traccia della retta o, in un piano per a. Si com-
prende in tai modo come anche il possess® del tacnodo della Ps posaa
risultare come limite del possess® della eurva doppia C, che definisce
la famiglia delle P,.
Noia, - Per approfondire lo studio delle superficie con p — 4
e pW = 8 occorre esaminare i casi in cui il sistema canonico |X|,
irriducibile nolle sue component! variabili, appartenga ad una in-
voluzione, dando luogo ad -una superficie canonica multipla. Si b
condotti ad esaminare superficie canoniche costituite da cubiche
P3 doppie, owero da quadriche Ps doppie о triple. Senza indugiarci
su questo esame ci limiteremo a indicate - alcune famiglie notevoli
che in tai guisa si ottengono.
Anzitutto si trova una P8 doppia che risponde al caso in cui le
K, appartenenti ad un’involuzione razionale Za (considerate sopra
una trasformata senza curve eccezionali), abbiano un punto base.
La Pa, come nel precedent®, paragfafo, si riconosee a sezioni piane
ellittiche (ciob non rigata) e la sua eurva di diramazione risulta ora
una eurva d’ordine 2pw — 2 = 14. Bappresentando codesta P,
-sopra il piano si ottiene un piano doppio eon eurva di diramazione
Ca d’ordine 12, dotata di 6 punti i-pli в d’un punto [3, 3]. Bffetti-
vamente questo piano doppio ha come .immagini (doppie) -delle
curve canoniche le cobiehe per i в punti singolari di C-& e percib
p = 4 , pW = 8.
280
CABIT0L0 OTTAVO
Ora si pub riconoscere che la famiglia delle superficie, coi generi
p = 4 e = 8, definita dai nominati piani doppi rientra in quella
delle В, canoniche semplici, che corrispondono al caso di un sistema
canonico dotate di punto base. Infatti si considerino le cubiche
aggiunte ad una delle dette JF,, ciob passanti per la sua conica doppia
0, e per il suo tacnodo О (nel piano di <7S); fra queste superficie se ne
prenda una Te che tocchi in О il piano tacnodale di J’s e si costruisca
il fascio
+ IF, = 0-
In questo fascio, per Я *=' 0, si vede la J*, degenerate con conti-
nuity nella >J, con eurva di diramazione d’ordine 14, sezione delle
J’s fuori di Ce: della eurva di diramazione viene a far parte la retta
che, contata due volte, costituisce la sezione ulteriore di J1, col
piano di Cs. ' » ' ' '
Una seconda famiglia di superficie Canoniche multiple b quella
delle quadriche doppie riferibili al tipo del piano doppio con curve
di diramagione Oit — r 4- 0a comprendente una retta eccezionale r
ed una. Cu d’ordine 11 dotaie di due punti 4-pli infinitamente vicini
Hi su г в di due punti [3, 3] В в D, uno dei quali B, appartenga
ancora alia retta r (essendo il punto tripio infinitamente vicino Вг
fuori di r). Le immagini doppie delle curve canoniche К sono qui le
eoniche per A e D, cpmpletate АаДа retta eccezionale AAtD; percib
p == 4 e pW =s 8,
e sopra un modello della superficie senza curve eccezionali le curve
canoniche avranno 3 punti base. La domanda se questi piani doppi
rientrino nella famiglia definita dalle superficie canoniche J’s о
in quella delle (sistema canonico puro sempliee con un punto
base о una componente fissa eccezionale) sembra dovere ricevere
risposta negative, sebbene il numero dei moduli da cui codesti piani
doppi dipendono sia 33, ciob inferiore a quello delle dette -J?, (che
ne hanno 36) e delle (che ne hanno 35). Invero non si vede come
' una superficie eomposta di una quadrica doppia e di due piani
possa possedere le singolarity caratteristiche della J^.
Hon c’indugeremo oltre Sulle superficie canoniche multiple coi
generi p — 4 e pW = 8, lascianfio il problema delle quadriche triple
canoniche coi detti' generi; diremo soltanto che una ricerca di
G. Ромми (che avremo occasion© di citare nel seguito) riesce ad
escludere 1’esistenza di questo tipo.
Infine ci limiteremo a segnalare che, per una classificazione com-
pleta delle superficie con ₽ = 4 e pW == 8, converrebbe ancora esa-
minare le superficie canoniche multiple ehe potrebbero nascere in
corrispondenza all’ipotesi di curve -canoniche ridueibili con una
’ parte fissa, le epi componenti variabili sieno di genere < p<1!.
ртВВВИСИ REGOLARI CANONICHE И PLURICANONICHE 281
S. Superficie con p = 4 e p(‘> = 9.
be superficie canoniche _FS di genere p = 4 e genere lineare (as-
soluto) p<l> — 9 con un sistema canonico irriducibile sempliee,
senza punti base, si lasciano costruire con lo stesso metodo adoperato
innanzi per -pw = 7,8. La JFt deve possedere, secondo le nostre tor-
mule
=хг 4:
punti tripli, ed una superficie aggiunta Ф, avente, in questi, 4 punti
doppi. Occorre considerate le #8 che passano triplamente per i 4
punti doppi di Фа e dimezzare il sistema lineare delle curve da esse
segate su Фа.
Kicorrendo alia consueta rappresentazione della Фа sopra un
piano, ’ dove le sezioni piane hanno per immagini delle curve C*
passanti per tre coppie di punti infinitamente vicini, PPM ed.
RjRx, sopra una conica, 'il sistema meta. da noi ricercato vien dato
dalle curve del 9° ordine,
' <7.
Queste curve sono sulla Фа oo’1 curve del 12° ordine Си di ge-
nere 10 e a priori oostituiscono possibili curve doppie di superficie
canoniche P8. Ora osserviamo che una Clt la quale sia curva doppia
per una Pe irriducibile sari pure doppia per oolsP8, giacchb stac-
eando la <₽a aggiunta restano oo1’ superficie del 5° ordine P, passanti
per la stessa Си. Siecome le superficie cubiche eon 4 punti doppi
sono oo“, fra loro proiettivamente identiche, le nostre appar-
tengono ad una famiglia ehe dipende- da 21 invarianti assoluti. Se
ammettiamo ehe ciascuna Cu sia curva doppia per una (e quindi
per oo1*) irriducibile, si avranno od” T8 proiettivamente distinte,
ciob il "numero dei moduli delle nostre superficie canoniche verrA
dato esattamente dalla formula
Jf = lOp — 2p« + 12 = 40 —18 + 12 == 34.
Le ragioni esposte nel Cap. V, § 13, ehe .tendono a stabilire 1’an-
zidetta espressione. di Jf almeno eome limite inferiore del numero
dei moduli per le superficie di genere p > 3 (a sistema canonico
sempliee), inducono a ritenere che di fatto tutte le -<7ц definite in-
nanzi siano curve doppie per effettive _F„ irriducibili (ciascuna per
oo1* di queste). Il risultato cosi induttivamente conseguito si pub
confermare col metodo di Fbanchetta, e cosi viene anche, almeno
verosimilmente, confermato. per questa classe di superficie il computo
dei moduli, secondo la formula scritta innanzi. Anzitutto si riconosce
che esistono effetUva-mente superficie canoniche im&uciMli aventi
282
САГПОЬО OTTAVO
м»а Оц doppia, е cib almeno quando questa O„ sia curva doppia
per una superficie razionale 3?'sr dotata altresi di un punto quadruple
isolate: le- fs che vengono associate in tai guisa ad una razionale.
si ottengono per combinazione lineare 'deBa JF, con le superficie-
composte della subaggiunta Ф, e di una >s passante per -la stessa
Ox,. Quanto alia esistenza eflettiva delle J# razionali, si dimostra
ricorrendo al sistema rappresentativo di esse nel piano, che fe un
sistema lineare oo8 di curve di genere p<J> 9 con serie earatteri-
stica autoresidua, quale pud definirsi per esempio mediante le curve
di undicesimo ordine 0ц (AJ....A{S dove i 17 punti А e B'
appartengono ad una curva fondamentale del settimo ' ordine
Dopo avere cosi dimostrato che esistono superficie canoniche ir-
riducibffi >8, si 6 condotti aJffireei ad ammettere che il numero dei
moduli da cui esse d|pendono fe eSsattamente
. . </= 10p — 2p(B 4- 12 == 34,
•e quindi che tutte le <7U ottenute dal problem» di bisezione spiegato
innanzi sono eflettivamente curve doppie di superficie canoniche
J?a; questa affermazione si giustiflca almeno ore si ammetta che
I’impoaizione di un punto quadruple alle nostre porta per esse .
17 condizioni e non meno; giacchfe si ritrova in tai guisa fl numero
(34 —17 = 17) degli invariant! assoluti delle razionali, quale si
lascia valutare dalla rappresentazione piana. . -
Bota. - Anche per p = 4 e p<x) == 9 B’incontrano superficie ca-
noniche multiple, che possono dar luogo a divers! cast. Oi limiteremo
a segnalare due cast Anzitutto la jF4 doppia a sezioni piane di gefiere
2 (eiofe dotata d’una retta doppia) con curva di diramazione d’ordine
12, la quale si lascia rappresentare sul piano doppio oo» curva di di-
ramaeione d’ordine .14, dotata d’un punto Q-plo О e di 8 punti 4=-pli,
AjAs.-.A*. Qui le curve canoniche hanno per immagini (doppie)
le quartiche per OSAXAS....AS, sicchfe risulta appunto
’ . p es 4 e pl1) s=s 9*
Й agevole riconoscere ehe il nominate piano doppio о la corri-
spondente JFJ, rientrano, come caso particolare, nella famiglia delle
superficie con p = 4 e p<xi = 9 definite dalle j*e aemplici. Cib ri-
sulta, con tutta sieurezza, dal compute dei moduli, perchfe gli inva-
riant! proietttvi della C14 di diramazione del detto piano doppio
sono in numero di
119 —19 — 64 — 8 = 28,
e quest© numero riesce inferior© al numero dei moduli della famiglia
cui le appartengono, che fe certo
M 9p — + -12 = 30.
SUPESFICIB КВООЬАШ CANONICHE В PbURICANONICHE .
283
Un secohdo caso notevole in cui — per p = 4. e p<x> = 9 —
a’incontra una superficie canonica multipla & quello della cubica
doppia, con' curva di diramazione d’ordine 16, la quale si lascia
rappresentare sul piano doppio con Сы di diramazione dotata di 4
punti i-pH, AiA^A.^Ai, e di 2 punti [3, 3]: Bx e Вг. Qui le immagini
•delle curve canoniche К sono date dalle cubiche per
e si hanno due punti base di |uK?| in corrispondenza a fi, e Bt. I
nostri piani doppi dipendono da 32 invariant! о moduli; non ci fer-
meremo ad investigate se essi rientrino о meno nella famiglia de-
finita dalle semplici, cui appartengono lOp — 2pW + 12 = 34
moduli. '
<. Superficie con p = 4 e p<*> >9. ' •
Le. difficoltft che gift appariseono nella costruzione delle super-
ficie-canoniche JP8, con.p = 4 e = 9, vanno crescendo quando si
passi ai valorx superior! del pW. П metodo che abbiamo seguito porta
anzitutto alia bisezione’ d’un sistema lineare sopra una superficie
Ф.ч (» = p(1) — 1), problems che non si lascia pih risolvere cosi
sexnplicemehte quando si tratta di superficie non razionali. E questo
caso si presents gift per le >8 con pd> == 10; poichft s’incontra qui
una superficie- aggiunta Ф* d’ordine 4, con
t = 10
punti doppi, e si tratta di dimezzare il sistema lineare segato sulla
dalle superficie J*9 d’ordine 9 che passano triplamente per questi
10 punti doppi.
Il problem» che cosi si presenta per pd> = 10,11dft luogo
alle seguenti osservazioni:
1°) Non si pub in generate affermare che la bisezione del si-
stema segato sopra una Ф„_, con t punti doppi dalle J?n passanti tri-
plamente per essi sia possibile, e nemmeno che essa dia un sistema
univocamente determinate.
2°) In ogni caso occorrerebbe ancora deciders se le ipotetiche
curve C del sistema meth anzidetto, tutte о in parte, siano effetti-
vamente curve doppie per superficie J?» irriducibili.
3) Dalle osservazioni 1“) e 2a) segue che le superficie-canoniche
(semplici) dello spazio ordinario (p = 4, p<x> = n 4- 1), anzichft
costituire un unico sistema continue, potranno dar luogo per i va-
lori di w > 8 a pih famiglie distinte (forse possedenti to stesso nu-
mero di moduli M = Юр — 2p<1’ 4-12 = 60 — 2«). Questa cir-
OAFITOLO ОТТА VO
288
8. Superficie con p S e p^^ =!*10* - -
Paesando ora alle superficie J*- con. p — 5 e pW == 10 (con si-
stema canonico irriducibile, semplice) daretno anzitutto un esempio
in cui d facile costruire la relativa superficie canonica J,, d’ordine
9 (= p(« = pM —1) nellb spazio St. Invero si consider! in 8, la
JF del 6° ordine con 6 punti tripli AjA^.-As, per cui'si ha ap-
punto p "== 5 e pd> = 10. Le quadriche dello Ss, passanti semplice-
mente pei 5 punti suddetti, sono le superficie Фг (= Ф„_«) aggiunte
alia .?,(== jFn), secanti su JP, le curve canoniche. Ora il sistema di
tali Фа rappresenta una variety cubica PJ dello spazio <8*, "FJ parti-
colare (studiata da Segue e Oabtemtoovo) che 6 dotata di 10 punti
doppi in corrispondenza ai 10 spigoli del. pentaedro •4.14i....j4e.
Su questa F} le variety cubiche dello (che in generate non passano
per alcuno dei punti dqjJpi) segano superficie J*, del 9° ordine, aventi
per immagini in St Ife J, che passano triplamente per Аг4а....Л5*
Pertanto la di S* si lascia trasfonnare in una superficie canonica
J’, dello Slt intersezione completa di due variety cubiche di questo
spazio, una delle quali й una FJ dotata di, 10 punti doppi. .
Ma le J, con 5 punti tripli da cui siamo partiti costituiscono sol-
tanto una famiglia particolare di superficie con p '= в e p^ — 10,
ed b chiaro che ogni altra superficie con tali caratteri darh luogo
in generate ad una >» canonica dello Sa intersezione completa di due
variety cubiche: imperocchb su tale J1, si riconosee facilmente che le.
oo“ variety cubiche 8t segano un sistema lineare complete (aggiunto-
al sistema segate dalle quadriche) di dimensione 32,
D’altra parte tutte le T, di St,-intersezioni complete di due va-
riety cubiche, formano un sistema continuo coi medesimi caratteri
p = 6 e pW = 10, sicchb si pud dire che il tipo generate delle swper-
ficie semplici, corrispondenti ai generi p = 5 e pM — '10, i la super-
ficie Pa di St interseeione completa di due wrietd cubiche, la quale
dipende' da .
2 • 34 — 2 — 24 = 42
invariant! assoluti e percib possiede M moduli:
M = lOp — 2p<l> -I- 12 = 42. '
Й interessante vedere come la nominata superficie canonica si
lasci costruire col metodo spiegato nei precedent! paragrafi, a par-
tire da una sua proiezione. dello stesso ordine, che fe una superficie
canonica non normale PJ dello spazio $3, dotata d’una eurva doppia
Clt d’ordine 18, appartenente ad una superficie del 4° ordine <₽*.
Percib giova rilevare che la proiezione di una j?,, fatta da un
punto esterno O, deve possedere t = в punti tripli, i
SVBBBBICIB RBGObARI CANONICHE! В ИДШ&ЮТСВВ 287
‘quali rispondono alle 6 rette per О della variety cubica che passa per
J’, e per О stesso (*), e quindi appartengtao ad una coniea <7, (*).
Ora si vede che la Oie doppia di JPJ deve appartenere ad un si-
stema mete di quello segato sulla Ф4 aggiunta delle superficie di 9°
ordine passanti triplamente per i 6 punti che sono doppi
per la detta Ф4. La bisezione di questo sistema | OM | si ottiene fa-
cihnente osservando che le (7te del richiesto sistema mete si lasciano
definire come, curve appartenenti al sistema somma del sistema
. | C14 ], segato su dalle 'superficie general! del 4° ordine passanti per
e della coniea Ct secondo la quale il piano di (7, tocca <Pt.
La Ф, Й una superficie regolare di genere 1,' con eurva canonica
d’ordine zero, e percib ogni' sistema lineare privo di punti base (in
punti. semplici) su di essa ha la dimensione eguale al genere я, Per-
tanto il sistema |-Сы |, di grado 64 — 2 • 6 =*= 52, ha il genere eguale
alia dimensione 26 + 1^=27. Sommando al | <7M | la coniea
di genere 0, che sega la (?„ (fuori di B1Bs„..Be) in 2 punti, si otten-
goho Ole di genere
л — 27 4™ 0 -J- 2 — 1 = 28.
(*) Й noto ed owio che sopra una Fj di Sv e per an punto О di essa, vi sono
в rette, le quali appartengono alia superficie sezione di Vf collo spazio S, tangent»
in Q, e percib stanno eui cono quadried escalators a questa in O.
((*) A priori si potrebbe credere che le superficie del 4° ordine con в punti
doppi sopra una coniea costituiscano un sistema contenuto in un altro sistema pih
ampio di Ф4 con в punti doppi, non. pifi appartenenti ad una coniea. In realtb le
superficie del 4° ordine con 6 punti doppi si distribuiaoono in pih sistemi continui
oo®, uno dei quali, non ampliabile, ё ooatituito appunto dalle Ф4 con i в punti
doppi. sopra una coniea. Che vi siano Ф4 con. в punti doppi non appartenenti ad
una coniea si vede subito, fteaando 5 pimti doppi in posizione generioa, Alf At,...,
As, e imponendo quindi un punto doppio (in posizione non asseghata) alle Ф4
del sistema lineare di dimension! 34 — 20 = 14, cosi definite: ei ottengono in tai
guisa оо“Ф4 con в punti doppi, non appartenenti ad un piano. Ma, d’altra parte,
se s’impone ad uria Ф4 di possedere un piano tangents lungo una coniea C, le
oo1 sestiche segate sulla Ф4 dalle quadriche per C (fra le quali si trovano oo* qua-
driche spezzate ’nel piano di <7 e in un altro piano variabile), inoontreranno la C
in в punti fissi, ohe risultano doppi per ф4; ora ё facile vedere ohe Fimposizione di
un piano tangents lungo una coniea, porta appunto per Ф4 6 condizioni (quali si
esprunono esigendo che Ф4 contenga una coniea autoresidua rispetto al sistema
dette sezioni piane): si deduce quindi che le ф4 con в punti doppisoprauna coniea
formano ease pure uh sistema continuo oo*8 di superficie del 4° ordine con в punti
doppi.
Riteniamo che sopra una superficie Ф4, dotata di в punti doppi non. apparte-
nenti ad una coniea, non sia generalmente ровшЬйе bisecara il sistema segato
dalle superficie del 0° ordine ohe passano triplamente per i 6 punti: il problema
andrebbe eeaminato rappresentando la sopra un piano doppio, per proiezione
da uno dei suoi punti doppi.
288
САЗМТОЬО ОТТА VO
Quindi anche la dimensione del sistema | | vale 38, e supera '
•di 1 quella del sistema | Cte| cui si sommi la conica fissa Ct: cib
signifiea che il sistema j OJ8| fe irriducibile. Ordunque abbiamo otte-
nuto sopra la 0t con в punti doppi appartenenti ad una
conica, ooM curve <7lg, generalmente irriducibili, dotate di в punti .
tripli in che sono a priori «possibili» curve doppie per
superficie canoniche non. normal! Х"я. Ammettiamo .‘che, fra queste
Oia, ve ne siano oo® (» < 28) per cui passino doppiamente effettiva
superficie J* J irriducibili. Ognuna di queste O1S appartiene allora,
come curva doppia, a oo‘ 1*» irriducibili, essendovi gib. una e quindi
oo4 spezzate nella Ф* e to una T5 per essa. Si avranno quindi
oo®+s J’J con curva doppia <7,, appartenente ad una data Ф; (do-
tata- di в punti doppi sopra una conica). Ma vi sono оом Фд cogli
stessi в punti doppi e, mutando questi, si ottengono oo“ Фо sicchb
si avranno, nello sjiftrio Вг, oo’e+“+s J^; fra queste. ve ne .sono oo18
proiettivamente identiche ad una data, e oo‘> birazionalmente iden-
tiche rispondenti л proiezioni di E, dello da oo4 centri diversi;
percib il numero delle JS% e delle J’s, birazionalmente distinte, ciob
il numero dei moduli delle dette superficie canoniche risulta:
X — 28 + x -f- 5 —19 = ® 4" 14,
e poichb si sa- d’altra parte che . .
_ M'= 42,
si deduce .
. ш = 28.
Vuol 'dire che «tutte le curve <71B ottenute dalla bisezione indicata
innanzi, sono curve doppie di superficie canoniche non normali J’s,
- ‘effettivamente esistenti e generalmente irriducibili ».
Terminiamo proponendo allo studioso alcune ... •
• Bomande. - Se fra le superficie a sistema canonico sempliee, .
j ~ .per p == 5 e pW a io, esistono- о meno superficie su cui questo si-
stema possegga un- punto base, cohducenti percib a superficie ea-
noniche J’s di «S<, о a j; dello Йа, eon curva doppia- Ca d’ordine
11. E se tali superficie rientrino come casi particolari nella famiglia
delle Ев, о delle con 42 moduli, che abbiamo descritta. Se, d’altra
• parte, rientrino come casi particolari nella famiglia delle J1», о
delle J’J, superficie in cui il sistema canonico (possedente un punto
base) & composte eon un’involuzione razionale Is, cio& >g che si
riducono ad >4 doppie, rappresentafoili sul piano doppio con eurva
di diramazione Ct„- d’ordine 12, dotata di 4 punti 4-pli e d’un punto
£3j 3]: si noti che questo piano doppio ha giusto i caratteri p == 5
e pw ==10,-e.che dipende soltanto da 41 moduli.
8VSERF1CIE REGOIfABI CANONICHE В PtUSKMOMOM 289
' Adie. — Pasaando al caso p = 5 e pM == ц, si oaaervi ora il
piano doppio con Clt di diramazione dotata- di 3 punti 4,-pli e di 2
punti [3, 3], cie'Aa i generi p = 5 « pW .== 11 e il sistema canonico
(non sempliee) pon 2 punti base; questo piano doppio, ehe conduce
ad una quartica canonica doppia con CiS di diramazione, dipende da
40 moduli. Se le superficie canoniche semplici Ри di, Я* (con p — 5
e pW = nJ dipendono egualmente da M == Юр — 2p(1) 4-12 = 40
moduli, vuol dire che, come в da ritenere probabile, si avranno per
p =,5. e p^ = 11 due famiglie distinte di superficie: le -FM e le H*t
doppie indicate. Qui giova avyertire ehe esistono certo canoniche
semplici dello spazio 8<; si ottengono particolari (dotate di una
retta doppia) partendo da una dello spazio ordinario con 4 punti
tripli e 1 tacnodo.
f
9. 1л superficie sopra una varieth a 3 о pih dimeneionh
Anzichb proseguire 1’analisi dei precedent! paragrafl, preferiamo
indicate come possano ottenersi notevoli esempi di superficie cano-
niche iperepaziali, con costruzione diretta, in rapport© alia geo-
metria delle variety a pih di 2 dimensioni.
Quando si Jassa dalle superficie alle variety a 3 о pih dimensioni,
s’incontrano tre ordini di propriety:
1°) propriety di ordine generale,' che si presentano come na-
turals estensione di quelle delle curve e delle superficie, e che quindi
4 lecito ritenere come note; alcune di queste sono gih indicate da
M. Noetheb nella sua memoria fondamentale dei Math. Ann. Bd. 8;
2°) propriety pih о meno previste о prevedibili come esten-
sione di quelle delle superficie, che tuttavia possono esigere dimo-
strazioni meno evident!, e. talvolta anche diffieili;
3°) propriety afftttto nuove ed inaspettate che non hanno alcun
riscontro nella teoria delle superficie (x).
(*) Come esempio ricordiamo i risultati di >*sro ed Ензвилгвв intorno alle
question! di razionaUtA.; involuzioni dello upazio non raaonali; diverei tipi di va-
riety eontenenti una congruence di curve razionali, ecc.
Era i lavori sulla geometria delie variety'eitiamo: F. Sbvkbi, Fondamenit per .
la geometria sulle varieid alg^riolte (Rend, del Giro. Mat. di Palermo, vol. XXVHX,
1809), A. Roshnblat®, Varied algebrialee a tree piit dimensioni (Atti del Congreseo
internazionale dei Matematici, 1928) che 6 un rapporto completo dei rieultati con-
seguiti in questo oampo. In esso ei trovano anehe estese indieazioni bibliografiohe.
B. Saanz, Q-uelguet r4sultaU nowteaux dans la g6om&trie sw un-e Fg alg&rigue
(MSmoires de I'Aoad&nie R. de Belgique 2е s., t. XIV, 1936). -
19
Винадож E. • Sa-perflele algebrlehe.
CAPITOLO OTTAVO
290
Prenderemo to conaiderazione soltanto il prime ordine di pro-
blem! eoncernenti la teoria generale dei sistemi linear! di superficie
ehe appartengono ad una variety a 3 dimension!, i sistemi aggiunti,
il sistema canonico, e gli invariant! a cui esso dA luogo.
Per semplicitA di discoreo ei riferiamo ad una varietA a 3 di-
mension! F, priva di singolaritA in un conveniente iperspazio, e
consideriamo sopra di essa sistemi linear! di superficie privi di punti
о Идее base. Una superficie 1* su V appartiene in generale ad un si-
stema lineare complete |T|, e si pud operate su tali sistemi — come
sui sistemi linear! di. curve su' una superficie — per somma e sot-
traeione.
Se il sistema |J| ha la dimensione almeno eguale a tre, ogni si-
stema triplamente infinite contenuto in J* poseiederA una s«per-
fieie jacobiana J1,, luogo dei punti doppi delle sue superficie; le JF#
relative ai vari sistemi contenuti totalmente in ].F{ sono equiva-
lenti fra loro, e det^sminano un sistema lineare complete: il sistema
jacobiano di |J*|, fehe indicheremo con [>/].
Analogamente a cib che accade per i sistemi di curve sopra una
superficie sussiste il teorema fondamentale espresso dalla relazione:
|CF + 4- 4Ф| = |4^ + Ф,\,
e la differenza
definisce il sistema canonico di V (*), effettivo о virtuale, mentre il
sistema aggiwnto ad J? b dato da
|^| = |J’i — 3T|.
Se la varietA F„ d’ordine л appartiene allo spazio a 4 dimension!
St) essa poseiederA in generate una superficie doppia Г, i cui punti
rispondono alle coppie neutre del sistema delle sezioni iperpiane sopra
una varietA trasformata; e, salvo che si abbiano singolaritA pih
complicate, il sistema canonico viene segato dalle varietA aggiunte
Ф„-6 d’ordine n — 6, definite sempiicemente dal passaggio per la
superficie doppia Г. Inveee le aggiunte <₽»_< segheranno sulla Т»
le superficie aggiunte alle sezioni iperpiane.
Quando la varietA Fe di St possegga singolaritA pih alte, cio&
una superficie multipla d’ordine i > 2 owero una curva i-pla
(i > 2) о un punto i-plo isolate (i > 3), le varietA Ф aggiunte a
p) ® appena neeessario awertire che le superficie canoniche, cosi definite
rispetto a trasformazioni birazionali sopra la varieta V, non. si debbono confondere
con le superficie pro&eieamenfe oanowUhe, che sono definite, in шк> spazio
dalla propriety che le loro sezioni iperpiane sono curve canoniche (della, stessa
superficie).
eVPEKFtCIB RBGObARI CANONICHE Я HLTJRICANOHICHE 2S1
VK saranno definite in generale dalle condizioni di passare i — 1
volte per ogni superficie «-pla, i — 2 volte per una curva i-pla e
* — 3 volte per'un punto t-plo isolate.
Sopra una varietA V a> 3 dimension! (appartenente о meno ad
uno spazio St) le superficie J1' del sistema aggiunto ad un sistema
| J11 segano una F generic» secondo curve canoniche; e, viceversa,
questa propriety caratterizza le superficie aggiunte IF', quando il
sistema |J* | non abbia superficie fondamentali.
I caratteri del sistema canonico di una varietA. porgono altret-
tanti caratteri invarianti della F stessa, giA incontrati da Жоешнев.
Sono: '
1°) la dimensione del sistema canonico, aumentata di un’unitA,
ciofe il numero .delle superficie canoniche -linearmente indipendenti,
che fe il genere geometrico principals I* (о P„) di F;
2o) il genere geometrico p, e il genere lineare pM delle super-
ficie canoniche ehe si definiscono rispettivamente come genere- su-
perfioiale p„ e genere lineare pW della varietA F.
Il genere ® della curva К intersezione di due superficie canoniche,
e il grado у del sistema canonico (numero dei punti eomuni a 3
superficie canoniche) non eostituiscono dei nuovi caratteri di F,
perchfe si esprimono in funzione dei precedent! in base alle formula
2sc + у — 1 = pW
== pW — 1 = pW,
le quali traducono il fatto che |2К | fe il sistema canonico della su-
perficie canonica. Si hanno dunque tre soli caratteri indipendenti,
come giA fe state notato da Noether.
Di fronte ai caratteri geometric! si possono definire per F i
caratteri numeric!: il genere numerico princiyale Pa e il genere nu-
•merioo superfidale pa (x).
Dalle cose dette segue che, se si ha in '$t una superficie JF inter-
sezione completa di due varietA F" e F“ degli ordini m ed n, prive di
singolaritA sopra la P, il sistema canonico viene segato dalle varietA
d’ordine m 4- » — 6 (’); si ha qui 1’estensione del note teorema di
Noether per le curve gobbe (’).
Se la P non fe intersezione completa di F" e Vя, ma questo s’in-
contrano ulteriormente secondo un’altra superficie JF®, allora sulla
P il sistema canonico viene segato dalle varietA d’ordine я» + n — 5
ehe passano per P*.
F) Cfr. Sjsvrax, 1. c. >
(’) Cfr. Sbtvebi, S-a alame guestioni di paetulanione. Rend. Circ. Mat. di Pa-
lermo. vol. XVH, 1803.
(’) Cfr. Егпиоожв-Сихвшг, op. cit., Libro V, cap. V, J 41 (vol. Ill, pag. 528).
292 - CAPITOLO OCTAVO
In modo analogo, se nello spazio 'ad r dimension! si hanno r — 2
ipersuperficie (varietft ad r—1 dimensioni), degli ordini n1} nSf ....,
W-»> prive di singolaritft, che s’ineontrino in una superficie composta
V + J*, sulla > le curve canoniche vengono segate dalle ipersu-
perficie d’ordine », 4- »s 4- .... 4- »,_s — r — 1 passanti per Л*.
10. Esempii di superficie canoniehe iperspaziali.
be nozioni precedent! conducono a semplici esempi di superficie
proiettivamente canoniche negli iperspazi. Anzitutto si consider!
nello Spazio S* la superficie intersezione completa di due varietft
F“ e F" senza punti singolari. Questa sarft una superficie canonica
se ' ' , „ ,
m + » — 5=1,
giacchft, per quanto si, ft detto, gli iperpiani segheranno su questa
le curve canoniche. Qui si riottengono i due tipi gift indicati innanzi:
la superficie J1, intersezione di una quadrica e di una varietft FJ,:
per cui p — 6 e pw =9; e la superficie J*,, intersezione di due va-
rietft cubiche, per cui p = 5 e p<l> = 10.
. Ma, pih in generale, saranno superficie canoniehe dello spazio
Sr, le intersezioni complete di r — 2 ipersuperficie, degli ordini
»i, «a, »r-3} quando questi ordini (^2) siano tali che si abbia
+ w-s + 4* nT-t — v — 1 == 1,
cioft
wi 4- *»8 4~ .... 4* w,_8 = r 4-2.
Questa relazione, tenuto conto che deve essere n( S;-2, fornisce
alcune notevoli superficie canoniche, quali sono le seguenti.
Bello spazio, St si ha, la superficie' con p = в e p<x> — 13,
intersezione completa di due quadriche e di una varietft cubica.
В nello spazio St si ha la Д, con p — 7 e pW = Г7, intersezione com-
pleta di 4 quadriche.
Questi esempi rientrano in famiglie pih, gerierali di superficie
, canoniche, quali si lasciano definire come intersezione di una varietft
normale a 3 dimensioni di un iperspazio a,curve sezioni ellittiche
owero proiettivamente canoniche, con una ipersuperficie rispetti-
vamente d’ordine 3 о 2.
Per le FJ dello spazio Sr, con n = 2r — 4, a curve sezioni proiet-
tivamente canoniche (1),, che supponiamo prive di punti singolari,
(*) Varietft di questo tipo sono i coni ohe proiettano una superficie con iutti
i generi uguali ad 1 da un punto estorno allo spaxio ebe la contiene. Per i prixoi va-
lori deU’ordine questi coni sono oontenuti in femiglie pih ampio di varietft senza
punti singolari. Oonxunque il ragionamento del testo sembra estendibile anche ai
coni, con. lievi modification!.
SUFEREICIE REGOLARI CANONICHE E PLURICANONICHE 293
si noterft che le loro sezioni iperpiane J5 sono superficie di genere 1
con eurva canonica d’ordine zero, e percib il sistema aggiunto
ad J* b costituito dalla sola superficie d’ordine zero. Per conseguenza
il sistema aggiunto a |2>| b
|(2JP)'| = |>h
quindi le superficie V, ossia gli iperpiani dello spazio Sr segano curve
canoniche sopra le superficie di |2P| ossia suite intersezioni delle
quadriche.
Quanto alle PJ dello spazio S„+l (л> 3) a curve sezioni ellittiche (x),
che sono razionali, avendo le sezioni normal!, basterft notare che le
intersezioni delle quadriche, e percib le superficie del sisteina |2P|,
doppio del sistema |P| -delle sezioni iperpiane, sono superficie coi
generi uguali ad 1, e con eurva canonica d’ordine zero: infatti le
superficie di (2Л"| hanno come .sezioni iperpiane curve d’ordine 2»,
di’genere n + 1, appartenenti a spazi ad.n dimensioni, e quindi curve
canoniche. Segue di qui che il sisteina |2F| possiede • come unica
superficie aggiunta la superficie d’ordine zero, e percib il sistema ag-
giunto a |3>| b
|(3>)'| =>,
sicchb le superficie V, ossia gli iperpiani dello spazio Sn+l segano sulla
intersezione di FJ con una varietft cubica, le loro curve canoniche.
In conclusione, abbiamo ottenuto due serie di superficie eano-
niche, di genere p, nello spazio S^:-
1°) le superficie d’ordine 3p — в (r == p — 1, a = p — 1),
con p(11 = 3p — 5( intersezioni complete di una- ipersuperficie cubica
con und varietd rationale normals a curve sezioni ellittiche, FJ~’: -
2°) e le superficie Fe_is, d’ordine dp —12, con j>W = 4p —ц
(r — p — 1, я = 2p — 6) intersezioni complete di una quadrica eon
una wield Ff»~8, a wm sezioni proiettivamente canoniche.
Vedremo pih avanti altre classi di superficie canoniche definite
sulla varietft a 3 dimensioni' a curve sezioni razionali. Qui non ci s
indugeremo ulteriormente sulla costruzione delle superficie cano-
niche degli iperspazi, limitandoci a segnalare recenti lavori, che si
riattaceano in qualche modo all’argomento, in eui questo esame
viene proseguito, eon la costruzione di altri esempi intere^saaiti:
G. Fang, «Superficie algebriehe e varietft a 3 dimensioni a curve,
sezioni canoniche», Atti Acc. Linoei, 1936; «Su alcune varietft al-
. (x) Le variety a 3 dimensioni a curve sezioni ellittiche sono classificate nelie
note di F. Enriowss, Su» eieiem* lineari di superficie сЛдеЬгйЛе le <яа intereevimi
variabili «ono curve еИЙйсЛв. Rendic. Асо. .1дпсет, maj^io-giugno 1894. Cfr. Math.
Anzuden, Bd. 48.
OAMTOLO OTTAVO
294
gebriohe a 3 dimensioni aventi curve sezioni canoniche » in « Scritti
matematici offerti а L. Berzolari », pag. 329 (1936); « Sulle varieth
algebriche a tre dimensioni a curve sezioni canoniche», Mem.
Ате. d’Italia, 1937. '
b. Godeattx, «Bur la construction d’une surface eanonique »,
Bull, de la Soc. Math, de Mbge в, (1936); «Sur une surface cano-
nique appartenant h la varidM de Segre reprdsentant les couples de
points de deux plans », Bull, de I’Acadtoie Belgique, 22, (1936);
« Sur les surfaces algdbriques dont les sections hyperplanes sont des
combes canoniques », I, II, III, Bull, de la Soc. Math, de Libge,
6, (1937), «Construction d’une surface eanonique du septitoe
ordre », Bull. de.la Soo. des Sciences de Idbge, 1944; «.Construction
d’une surface eanonique du huititoe ordre», Bull, des Sciences
math., 1944; « Construction d’une surface eanonique du neuvitoe
ordre », Bull, de 1’Adad. de Belgique, 1944. .
P. Boubkiat, /Hote sur quelques surfaces canoniques et sur des
surfaces de genre un », Bull, de 1’Acad. de .Belgique 5, 22, (1936);
' « Note sur quelques surfaces canoniques », Acad, de Belgique 3,
22, (1936); «Sur des hypersurfaces et varidtds canoniques », Acad.
de Belgique (6), 23, (1937). -
E. A. Maxwbix, « Begular canonical surfaces of genus three and.
four», Proc.-Cambridge phil. Soc., 33, (1937.)
11. Minimo valore del genere lineare rispetto al genere superficiale.
- Gih dalla eostruzione delle superficie canoniche appare chiaro
che il genere lineare (assoluto) pW di una superficie non pud scendere
al di sotto di un certo valore minimo, in corrispondenza ad un dato
genere superficiale p, (o ₽,), almeno se le curve canoniche sono irri-
ducibili, cib che esclude, per p > 2, le superficie con pV> = 1. Ora
ci proponiamo di dimostrare, senza eccezione alcuna, che per le su-
perficie eon pW > 1 il minimo valore del pW rispetto al p о pt (> 2)
i dato da
p(D = 2p — 3.
In altre parole si ha ...
pW ^2p — S,
o, cib che b lo stesso,
®W _t_ з
il massimo del p rispetto еЛ pW (> 1) й -—~— .
Questa diseguaglianza viene stabilita dal Noetheb, pel caso di
curve canoniche (pure) irriducibili, nella sua memoria dei Math.
SUBBRFXCIB RBSOI.ARI CANONIOHB E PbURICAKONICHE 295
Ann. Bd. 8 (1876). Se si suppongono le curve canoniche X irriducibili,
essa ё una conseguenza del teorema del Clifford per cui Fordine di
una serie speciale gj sopra una eurva qualsiasi ё n > 2r (‘). Infatti
per la'serie caratteristica del sistema | JK71 il grado vale n = -— 1
e la dimensione r = p — 2, sicchfe
pW — 1 2p — 4.
Ma la stessa diseguaglianza ё valid» comunque le К canoniche
si ammettano ridueibili ритсЬё la parte variabile sia spezzata in
curve di genere я 3. Anzitutto se le loro componenti variabili
Л sono irriducibili il loro grado vale a pW — 1 (Cap. IV, § 18),
mentre la dimensione di |й[ ё quella stessa di [K| cioft p — 1;
si ha quindi
n > 2p — 4
e a fortiori
pW — 1 2p — 4
P(1) 2: 2p — 3.
Se poi le к variabili si suppongono composte eon p — 1 curve d’un
fascio, di genere л 3 il genere di | к | (< pW) sarh
si deduce
pW 2p — 1.
Ora se per vna superficie il genere p (> 2) raggiunge il massimo
pW + з
-p _ £_------ (pit) > 2), le curve canoniche sono irriducibili iperel-
littiche. •
Infatti, se le К sono irriducibili,- per la serie' caratteristica gfc
su una К (n — pM —1, r‘ — p — 2) deve aversi n = 2r, e cib porta
appunto che la К sia iperellittiea (*). Se poi le К fossero ridueibili,
il ragionamento si ripeterebbe per le loro component! variabili che
sono certo, queste, irriducibili (altrimenti p« 2: 2p 4-1): le X
risultano cosi iperellittiche e conducono ad una superficie canonica
doppia, riferibile al piano doppio che indichiamo in appresso, per
cui risulta a posteriori non esservi componenti fisse di |K|.
Й notevole che, per le nostre superficie con p massimo, risulti
cosi escluso anche il caso che le curve canoniche pure К contengano
componenti fisse eccezionali, ossia |K| possegga qualche punto
base (sopra un modello privo di curve eccezionali): invero, se vi sono
r punti base risulta
pW > 2p — 3 + s.
(X) Cfr. EKBIQUUB-Ctasiwi, Op. c., Libre V, cap. I, f 11 (vol. Ill, pag. 87)-
(’) Cfr. Esbiqubs-Chtsiki, Op. o., Libro V, f 12, vol. IH, pag. 97.
298
CAPITOM ОТТА VO
ba superficie canonica corrispondente ad Im p massimo (p<x> — 2p —
— 3) ё una superficie normale a curve sezioni iperpiane razionali,
d’ordine p— 2, nello e percib si lascia rappresentare sul piano
. mediante un sistema lineare di curve appartenente ad uno dei se-
guenti tipi (x): .
I) rete delle rette,
i U) sistema oo* delle coniche,
III) sistema delle curve d’ordine n eon un punto base О di
molteplicith »— 1, ed eventualmente anche un altro 'punto base
semplice - distant» da O, owero pih punti base semplici, infinita-
mente vicini ad 0.
’ I piani doppi i cui sistemi canonici hanno per immagini tali si-
stemi di curve razionali sono rispettivamente:
I) il piano doppio con curva di diramazione (7, deU’8° ordine:
p — 3, j>(1) == 3;
II) il piano doppio con curva di diramazione O,e del 10»
ordine; p — 7, pW = 9; _
- • HI) il piano doppio con curva di diramazione 0»,+,, d’ordine
2» -I- 6, avente un punto 2»-plo 0: p = 2n -}-1, pW = i» -— 2; e
ПГ) casi particolari del tipo III) dove la curva di diramazione
(ch? pud supporsi* d’ordine non abbassabile eon trasformazioni qua-
dratiche) possegga, oltre O, un punto 6-plo о 4-plo, essendo p =
= 2w — 2, pW == in — 8 о rispettivamente p = 2я, pW == 4» — 4.
Invero, come si ё detto, sono da escludere quei tipi di piani doppi
per cui la serie earatteristica del sistema canonico puro \K\ abbia
qualche punto Лево (punto base di |K|): cosi p. es. un punto [5, 6 J
owero un punto .[3,3]. .
Bnuneiamo frattanto che: fe superficie di genere superficial»
p > 2 co» pM > 1, per cui il genere lineare assoluto pW raggiunge .
il minim®, pW = 2p — 3, sono rappresentabili sopra un piano doppio
appartenente ad uno dei tipi I), П) III) e III') (’). _ - -
Alla diseguaglianza di Noether
si pud sostituire un’altra diseguaglianza pih espressiva ehe vale
per le superficie con sistema canonico semplice (p > 3), e che b'etata
X1) Ofr. Еиввдпяз-Сюаип, Libra V, cap. II, f 22, vol. HI, pag. 194.
(’) Ofr. В*. Екшфтва, Sopra fe superfide atgebrit&e di cui le curve canoniche
sono ipenBiMt. Bendio. Aoo. Lincei, serie V, vol. V, peg. 191 (1898).
SUPERTICIB REGOLARI CANONICHE В PLVRICANONICHE 297
messa in luce da CAStebHUOVO (x). Qwwio il sistema canonico й irri-
ЛмЛИе в semplice, il genere superficiale (p о p, > 2) non pub superarc
mW A. e
il valore -—x— : si ha dunque
О
nW + 6
. p «g e___— } pw 3P _ e.
Per dimostrare questa' diseguaglianza conviene partire da un lemma
di Bertini concemente la serie g* autoresidue che possono apparte-
nere ad una curva di genere я. Sopra la curva che contiene una tale
g* si assumano due gruppi G e G' della serie, che abbiano a comune
un gruppo Г di r — 1 punti generic!; se la serie 6 Semplice (ciofe
non eomposta con un’involuzione), G e G' non. avranno altri punti
in comune oltre agli r — 1 punti di P, e il gruppo Г non potrft ap-
' partenere ad una serie lineare di dinrensione s > 0. Cid posto,
il teorema di Biemann-Boch dice, che il gruppo G della g* preseata
n— r condizioni ai gruppi canonici che debbano contenerlo (*).
Inoltre il gruppo (?' presenter^ n — r — (r — 1) = n — 2r + 1 -con-
dizioni (a priori non indipendenti), ai gruppi canonici che ne con-
tengono gid, r — 1 punti, e percife a quelli ehe siano giA-start costretti
a contenere il <?. Quindi il numero delle condizioni perchfe un gruppo
canonico contenga G 4- G' — Г fe minore о uguale di
я — r — 2r 4-1) == Zn — 3r 4- 1.
Ora i gruppi canonici soddisfacenti a queste condizioni non pos-
sono essere pih di uno, ciofe coincidono col G 4- G', per cui i punti
di Г sono doppi; altrimenti il Г (che fe -costituito di r — 1 punti
generic! della curva, con r < я), dovrebbe appartenenere ad una
serie con s > 0. Si deduce ehe' "
2л — 3r 4- 1 я — 1,
essendo я — 1 il numero delle condizioni che valgono a determinate
il G 4- <7' entro la aerie canonica.
Ma poiohfe la g' & autoresidua,
л — я — 1,
quindi
л — 3r > 0.
(x) G. CAsvenwovo, Oesentaxioni intomo alia geometria eopra una superficie.
(Bendio. 1st. bomb., serie' II,- vol. XXIV, 1891). «Memorie Soeltes, nn-
xaero XVIII.
(s) Cfr. p. e. Еижвпва.Снмхж, 1. о., Libro V, сер. I, vol. Ш, pag. 86.
208 САЙТО» ОТТА VO
Applichiamo questa formula alia serie caratteristica, semplice,
del sistema eanonico sopra una superficie di generi p e p№, ed avremo
П 3= Jt — 1 a= pW — 1; Г '== p — 2,
e quindi
p(1> — 3p + 6 > 0, c. d. d.
CAsmKUovo, dopo avere scritta questa diseguaglianza, che de-
duce appunto dalla formula di Bertini,.-purge effettivi esempi di
superficie con sistema eanonico irriducibile semplice, per cui il
genere p raggiunge il massimo rispetto al p®, ed anzi riesce a deter-
minate Vlntera famiglia delle superficie per eui oodesto massimo в
raggiunto. I primi esempi sono:
1°) la superficie del 6° ordine di per cui p = 4 e pW = в;
- 2°) la superficie. canonica JPe dello spazio a quattro dimensioni,
intersezione di una quadrica con una variety del 4° ordine, per cui,
come si ё visto, pH 5 e p<1} — 9;
3°) la superficie che si ottiene in 8t sopra il cono a tre dimen-
sioni del 4° ordine, che proietta da un punto 6 una superficie di Ve-
ronese, intersecandolo con una ipersuperficie del 4° ordine che passi
per un cono quadrico a due dimensioni, di vertiee O, giacente su
41 e8BO: P“7,' р«=±15.
Lasciamo allo studioso di verificare che la cosi costruita ё
effettivamente una superficie canonica.
Per p > 7 le superficie canoniche semplici, 9ordine pU) — 1, Ц
cui genere lineare ha Л minimo valore pW = 3p — 6, si ottengono come
interaezioni di una varietd aemplicemente infinita di piani VJ~* d’or-
dine p — 3 «Ио con. una iperauperfi&ie del 4° ordine, pas-
sante per p— 5 piani della 7?“*.
Ci limiteremo a accennare come si giustifichi che una superficie
P d’ordine 3p — 7 ottenuta in tai guisa, sia effettivamente una su-
perficie canonica dello 8^. A tai uopo conviene rieordare edme la
variety FJ~‘ a sezioni iperpiane razionali (*) venga rappresentata
nello spazio per proiezione da p — 4 dei suoi punti: fl sistema rap-
presentativo ё costituito da oo”-’- superficie d’ordine p —- 3 passanti
p — 4 volte per una retta r e semplicemente per altre p — 4 rette ♦
incident! a questa, che sono le tracee dei piani per i centri di pro-
iezione.
(x) Хл variety a tre dimensioni a curve eezioni razionali sono: eerie razionali
eempficemente infinite di piani, owero coni del 4° ordine proiettanti da un punto
le eUperfieie di Veronese, quali vengono rappresentate auUo spazio ordinario da
quadriche tangenti in un punto. Cfr. >. EwaxqwBS, Sui eiatemi Uneari di superficie
alffebriohe ad irttmmoni variabili iperellittiche, Acc. Lineei, 1893. Cfr. Math. Ann.,
Bd. 46.
ахТРЖШНСГВ REGObARX CANONICHE E HbVRICANONICHE 289
Si рий supporre che la superficie J? contenga ip — 4 centri di
proiezione an^idetti, e quindi che essa alxbia come immagine sopra
lo S, rappresentativo una superficie contenente la r come retta
(p— 4)-pla e come rette triple le p— 4 rette t, incident! ad essa.
Biesee quindi evident© che le superficie Фая_, aggiunte alia J*„_a
«i spezzano nei p — 4 piani rt e in una residua superficie Фя_а d’or-
dine p—3 che passa semplicemente per le p—4 rette t Cosi appare
che le Bezioxii iperpiane della superficie normale J1 dello S„_, sono
le curve canoniche, c. d. d.
12. Limite euperiore del genere lineare p<1J rispetto al genere super-
fieiale.
La stessa costruzione delle superficie canoniche cosi some il
compute dei moduli, suggerisoe che il genere lineare pw non possa
auperare un certo massimo rispetto ai p (pa о pa). Be pure non si
sia riusciti ancora a segnare il massimo effettivamente raggiunto
dal pW, convien dire che una prima diseguaglianza in questo senso
4 stata scritta da A. Rosenblatt p):
16 p« + 27.
Pih di recente R. Sevebi (*), appoggiandosi ad un risultato tra-
seendente di Новое, h pervenuto alia diseguaglianza:
pm 2pf 4~ 8pe -f-11 —- q,
dove q designa il'numero base: numero dei sistemi continui di curve
indipendenti tracciati sopra la superficie priva di curve eccezionali.
La question© h sempre aperta sotto 1’aepetto geometric©, anche
nel caso delle superficie regolari: riprendendo il calcolo dei moduli
che (per pe = p„ = p > 3 e per superficie canoniche semplici) ci
ha condottd^ alia formula
M= 10 p — 2p« + 12 4- co,
si ha da ricereare il limite superior©, e posaibilmente il massimo ef-
fettivamente raggiunto, della sowabbondanza • co. Si tratta inverb
di rioonoscere il numero’minimo delle condizioni che il gruppo dei
punti cuspidali d’una superficie d’ordine n anyone alle intersezioni
delle superficie aggiunte dello stesso ordine, che debbano contenerli.
(x) A. RosBWBbASS, Sur guelgves iwlgaliUs eco. Comptee rendue Ao. des Scien-
ces, Paris, t. 164 (1912).
(’) Reridic. Cireolo Mat. di Palermo, t. LVI, pag. 79 (1932).
300
САРХТОЪО ОТТА VO
13. Sistemi canoniei appartenenti ad-un’involurione.
Le costruzioni dei paragrafi precedent! mettono in rilievo che il
sistema canonico di una superficie di genere p > 3, pur supposto irri-
ducibile, pub appartenere ad una involuzione di un ordine n ^2,
in guisa che la corrispondente superficie canonica risulti multipla.
Qui giova dire qualcosa intorno a tale eventuality.
И caso pih sempliee, che abbiamo incontrato negli esempi pre-
cedent!, risponde all’ipotesi che la superficie contenga un’involu-
zione razionale di 2° ordine Z, ciob sia rappresentabile sul piano doppio
con una qualunque curva di diramazione Cin d’ordine pari 2n: in
tai caso — come gibfuosservatoda Noetheb —- lecurvecanoniche
(aventi per immagini curve d’ordine л — 3 doppie ё f ormantt la meth
del sistema secondo aggiunto alia <7S„), appartengono sempre aU'in-
voluzione I,; si haXtundi come canonica una superficie razionale
doppia (eventualmente riducibile essa stessa’ad una superficie mul-
tipla).
Й particolarmente notevole il fatto che il possesso di una in-
voluzione segua necessariamente dall’ipotesi che il genere linqare
pW sia abbastanza piccolo rispetto al p: pO> < 3p — 6, giacchb
si b riconosciuto che, se il sistema canonico ft 'irriducibile sempliee,.
pW > 3p — 6.
Perb non sussiste la proposizione inversa, giacchb esistono per
esempio piani doppi con pW > 3p — в; per я assai grande b tale il
piano doppio" con 0ta di diramazione .afiatto priva di singolarity,
per cui
® = + i? pd) = 2(8 — 3)* + 1
«(I)
dove il rapporto per n =*
oo tend© a 4.
Le superficie canoniche doppie rispondono sempre a superficie’
possedenti un’involuzione del secondo ordine iB, ma questa iim~
husione non i neceesariamente rationale. Alcuni esempi di superficie
le cui curve canoniche appartengono ad un’involuzione ZB non.
razionale, sono stati gift> indicati da altri, di cui non ci sowiene
la citazione. Nel nostro ordine d’idee possiamo costruire un esempio-
interessante di superficie canonica doppia, non riferibile ad un'piano
doppio, partendo dalla superficie canonica con p = 4 « pW ==
la cui curva doppia possiede t — 20 punti tripli. Questa Pie ammet-
terd una superficie aggiunta del 5° ordine Ф,, dotata di 20 punti
coniei. Nel fascio
Ж» + Ф1 = 0
SVMRWOIB RBGObARI CANONICHE S РЫТВГОЛТГОШСНЕ 301
si vedte la ridursi per continuity alia Ф}, sulla quale non si avrft.
alcuna curva di diramazione propria, bensi t == 20 punti eonici costi-
tuenti altrettente curve di diramazione infinitesime. La quintica Фц,
di generi ₽ = 4 e pW = 6 coetittdsee cosi una superficie oanonioa dop-
pia coi generi p = 4 e pW —11. Ci basti di avere aecennato a questo
caso, che indichiamo come argomento di studio al lettore volonteroso.
I primi esempi di superficie il cui sistema canonico appartiene
ad un’involuzione d’ordine n > 2 sono stati segnalati da B. Ss-
gb® (J). Il pih sempliee ё dato dalla superficie del 6° ordine Jf, pos-
aedente due oscnodi A e B':? = 4, p{1) — 0. Le oo’ quadriche ag-
giunte alia >e toccano io 1 e Bi piani oscnodali, e peroid s’inoon-
trano a due a due in coniche tangenti a questi stessi piani, che giac-
ciono in piani per A e B: le dette coniche fprmano, nello spazio,
una congruenza del 1° ordine e segano sulla sestica un’invo-
luzione I*, eon cui risulta composte il sistema canonico. La super-
ficie canonica corrispondente У una quadrica guadrwpla,
Ad una quadrica, e pih precisamente, ad un cono quadrioo 4-plo
canonico, coi medesimi caratteri p = 4 e pW == 11, si ё pur condotti
dal piano doppio eon curva di diramazione Gle, d’ordine 18, con 8
punti 6-pli, giacchb qui le curve canoniche hanno per immagini
doppie le sestiche di genere due passanti doppiamente per gli 8
punti, le quali appartengono, согп’ё note, ad un’involuzione J,
(3° tipo di Bertini).
Laeciamo allo studioso di confrontare i due esempi e di riconoscere
se essi rispondano a tipi distinti di superficie e se neutrino о meno
in una medesima famiglia di superficie piii ampia.
Il secondo esempio di B. Segb® ё la sestica JE’f dotata di un oscnodo
А в di un punto tripio В cui sia vidna una retta doppia infinitesimal
p — 4, = 7. Й chiaro ehe anche qui le quadriche aggiunte si
. segano a due a due nelle coniche .di una congruenza del 1° ordine,
le quali incontrano la sestica in terne di punti di un’involuzione Z„
. colla quale viene composte il sistema canonico. La sestica P, conduce
dunque ad una quadrica tripla canonica, che ha, come si ё detto,
p — 4 ' e . p№ = 7, \
Questo caso di B. Segbe viene a realizzare un’osservazione di
CaStblnttovo, il quale, fin dal 1892, aveva awertito che, qua! ora
le curve canoniche di una superficie contenga.no una serie gl, la
serie caratteristica del sistema dovry essere eomposta con questa,
e percib il sistema canonico apparterry ad un’involuzione razionale
del 3° ordine I,.
P) B. Ssobb, SuUe superficie atgebriahe aventi il sistema canonico eomposta eon
un’imufiuaione. Rendle. Aoc. Line®, s. VI, vol, XVI, pag. 316 (1932).
302
CAPITOW OTTAVO
П problem» di «determinate tutte le superficie (p > 2) le oui
curve canoniche (irriducibili senzia. punti base) contengono una gJ
e che percid si trasformano in superficie canoniche triple, a somoni
razionali » & stato riaoluto di reoente da G. Роаны nella Kota (‘>
« Sulle superficie algebriche le cui curve canoniche poeseggono una
gl». Vi sono tre tipi di superficie canoniche che rispondono a queste
condizioni:
1) un piano triplo con curve di diramazione d’ordine 12
(giA segnalato nelle «Lezioni » di EnriqueB-Campedelli) (*), che ha
p = 3 e — 4;
2) un cono quadrieo triplo con curve di diramazione Cie d’or-
dine 18 per cui
p — 4 e = 7,
nel qual tipo rientra (come caso particolare 1) I’esempio di B. Segre ;
3) un cono cubfco, razionale normale in 8t, triplo con curva di
diramazione CJ€ d’ordine 24, per cui .
p «= з e p^® ssx Id.
Questi tee tipi sono analiticamente rappresentati dalle seguenti
equazioni:
1) piano triplo
+ 3p4z 4- g, = 0,
dove p* (азу) e g« (®y) eguagliati a zero danno curve general! d’ordine
4 e 6 rispettivamente: curva di diramazione
4pJ H- = 0;
2) piano triplo
+ 3p,» + s, 5ЙХ Qj
(*) Bendic. let. Lombardo, 27 marzo 1941.
(a) Ivi si note che un tai piano triplo con p = 3 e ph) =« 4 (che il computo
dei moduli mostra essere caso particolare della famiglia) nasoe dalla superficie
del 5» ordine irs dotata di tacnode, per proiezione da quarto punto singolare. Si
pub similmente partire da una euperfieie canonica J*e dello Ss, che acquiati un punto
triplo.
Questa oonsiderazione si estende facilmente; cosi dalle superficie canoniche
.. dello <Ss, ehe acquietino un punto triplo, si ottiene la costruzione di
particolari. piani multipli canonici, piani quadrupli о quintupli о in generale
(pft) — l)-pli, di genere p = 3 e «= S, 6...
Inveee facendo acquistare alle dette superficie canoniche due punti tripli, si
ottengono superficie eon p = 2 di genere lineare pW = 2, 3, ..., dove il fascio dello
curve canoniche possiede pt® — 1 punti base.
8ЮТЙМСТВ RBGOLARI САМОМЗДИИ В PbVRICANONICHE 303
p, e g, curve d’ordine Be 9, p, passante per due punti tripli inflni-
tamente vieini 0s e OJ, e ?» per 0s e OJ; curva di diramazione
Ф» + f* = 0;
3) piano triplo
г* 4- 3ps -f- Ju = 0;
Pa e curve d’ordine 8 e 12, passanti per un pun,to О e per.due
punti Oi e 0, prossimi ad esso come viene indicate dai simboli
pe(O5O|Os) e 2i»(0*0*0a)j curva di diramazione
4pS 4- §*s = 0.
Non c’indugeremo sull’analisi di Ромиы che si basa sulla teoria
dei piani tripli da lui stesso stabilita (*) e ehe pud anche condursi in
altro modo (’). Ma vogliamo indicare come si giustifichi I’osservazione
di Oastelnttovo che « se le curve canoniche di una superficie con-
tengono una gi la serie caratterietica ё necessariamente composta
con questa ».
. Per dimostrare 1’asaerto basta considerate una curva di genere
я > 3, la quale contenga una ed una serie autoresidua di dimen-
sione r > 1, entro cui sar4 lecito prendere una con » = я >— 1 :
si ridurrft, all’assurdo I’ipotesi che la g* non sia composts colla
(all’infuori di punti flssi). Invero se la gi non ё composts colla g%
si pud trasformare la detta curva in una d’ordine m = n 4- 3
su cui la gl e la gi siano segate rispettivamente dalle rette per due
punti A e B: A и-plo e В 3-plo. Ora una coppia di rette per 13 do-
vrebbe far parte di una curva d’ordine ж— 3 aggiunta alia
e percib dovrebbe esistere una curva • d’ordine in — 5 passante
n __ i = ш — 4 volte per A: cib che ё assurdo.
14. Superficie di genere lineare p{1> = 2 s primo caso p — 2.
Quando per una superficie J il sistema canonico b di dimensione
minore di 3, cioft il genere p < 4, owero se' codesto sistema (puro)
ё riducibile, purchb sia il genere lineare pd> > 1, о anche se esso
appartiene ad una involuzione, in tutti questi casi in cui non si ha
pih una superficie canonica semplice d’ordine pW— 1, si pud assu-
mere utilmente come modello proiettivo della classe ‘di -F la super-
ficie Ысапопгса di (P = p + Pw), le cui sezioni iperpiane sono
le curve bicanoniche, о la superficie tricanonica, ecc. Mortriamo il
P) G. Рожии, SiMn rappresentaicioM algtiriea dei piani tripli. Bendio, Se*
minerio mat. Univeraiti di Rom», s. 4, vol. III. Ossemazioni oui piani tripli.
Bendic, latituto bombasdo, 27 febbraio 1941.
(*) C&. А. 3?ялжзжж№л., *Sutte tuperfim® le oui curve canoniche posseggono
una gl*. ВоЦ. dell’V. M. I., 1942.
304 САМТОЬО OCTAVO
partite che si pud trarre da questa eonsidera2ionep.determman.dQ
in tai guisale superficie regolari di genere lineare pih basso: pW =2,3.
Bengasi che il genere lineare (assoluto) -di V sia p<x’ = 2, e il suo
genere superficiale sia ря = p, = p. Sari,, d’accordo colla relazione
che porge il massimo del p rispetto al pW;
p ^2; .
invero le curve canoniche non possono formate una rete di curve
irridueibili, che sarehbe di grado p<” — pW —1 = 1, e nemmeno
possono essere riducibili contenendo come parti le curve d’un fascio,
che dovrebbero essere di ‘genere < 2 e percib ellittiche, portando
quindi pl1’ = 1. Avremo dunque da esaminare tre casi:
P =S 2 , P “ 1. , P S= 0.
IS in corrispondenza, ai tre valori indicati di p, sard, il bigenere
'' • P — p 4- pt1’ = 4, 3, 2,
e il trigenere -
P, = p + 3pte — 2 = 6, B, 4.
Primo caso: p<x’ = 2, p. = 2, P — 4. Qui si ha un fascio (lineare)
di curve canoniche Ж, di genere 2, e un sistema lineare oo’ di curie
bicanoniche, di genere 3pW — 2 = 4, secanti sulle Ж la gl e percib
appartenenti ad un’involuzione razionale It. Si avrft dunque come
modello proiettivo della classe delle date superficie P, una super-
ficie bicanonica; d’ordine ЦрМ— i) =4; ma questa si ridurri
ad una quadrica doppia con eurva di diramazione O10 d’ordine 10,
secante le coniche sezioni piane in 10 punti; dovendo quindi le ge-
neratrici possedere un numero pari di punti di diramazione, tale .qua-
drica sarb, un cono, sul quale si aggiunge alia <7W, come punto di di-
ramazione, il vertice V: che, .del resto, risponde al punto base del
fascio |K| su B, il-quale (per essere autoresiduo) deve cadere, per
ogni X, in un punto doppio della gl. .
Biassumendo:
he superficie di generi p = 2, p(1’ = 2, ammettono come modello
la superficie bicanonica costttuita dal cono quadrica doppio von eurva
di diramazione d’ordine 10, intersezione completa d’una superficie
del 5° ordine che non passa per il vertice, eui-si aggiunge come punto
di diramazione questo stesso vertice. Il detto cono si lasoia anche
rappresentare sul piano doppio con eurva di diramazione d’ordine 10
dotata di due punti 6-pl-i infinitamente vioini.
Osservazione. - All’analisi precedent© si pub obiettare che essa
suppone le curve canoniche Ж irridueibili. A priori le Ж potrebbero
essere composte colic curve h variabili in un .fascio (lineare) e con
SUWSMUCIE REGOLARI CANONICHE В PLURICANONIOHE
'305
altre curve fisse в: К = nk + EO. Ma, ad ogni modo, le к non po-
trebbero essere di genere я = 0 p я = 1,, giacchb ne segulre’bbe che
la superficie Й razionale (p — 0) owero che ha il p<D = 1. Le k,
il eui genere non pud superare p<‘) (cfr. Cap. IV, § 18), saranno
•dunque di genere 2..
Ora il sistema co’ |k'|' aggiunto a — che fe contenuto in
|2Ж| — avrft, il grado. 4 e apparterrft ad una involuzione razionale
j,, conducendo ad un modello della superficie costituito da un cono
quadrico doppio eon eurva di diramazione C№ d’ordine 10: questo
b il modello generale delle superficie bicanoniche (p = 1, pd> == 2)
definite innanzi, e risulta a posteriori che non esistono parti fisse
del fascio eanonico \K\, пй del sistema bicanonico.
15. Superficie con pW == 2 e p — -! (P = 3,- Ps = 5).
• Qui c’b una eurva canonica К di genere pW = 2 e oo® curve
bicanoniche di genere' 3p<l> — 2 — 4 secantisi a due a due in 4 (p(1) —'
— 1) = 4 punti. Se si suppone la К irriducibile, saranno pure irri-'
ducibili le curve bicanoniche di 12K |, e non potranno essere ipe-
rellittiche, altrimenti la serie caratteristica della rote, formata dalle .
coppie di una gj, non sarebbe completa, siccome esige la regolarita
della data superficie JP. Cii> posto avremo su J*' un sisteina lineare
tricanonico <x>* {3JK7|, formate pure di curve irridueibili, che —' se-
gando su una eurva bicanonica la serie canonica ed essendo p > 0 —
sarib necessariamente semplice. .Esso conduce ad una superficie tri-
canonica d’ordine 9(j>W— 1) = 9 dello spazio St, a sezioni
iperpiane di genere 6pW - 5 = 7.
La’ costruzione diretta della >s di St sembra оййге qualche dif-
ficolta. Invece riesce facile caratterizzare una proiezione J?, di' essa
nello spazio prdinario. A tai uopo si osservi che la J*0 possiede una
retta tripla, corrispondente alia eurva canonica Ж, su cui le curve
tricanoniche segano una gj. Da un -punto di codesta retta tripla
la- E, viene proiettata in una superficie del 6° ordine IF, dello „ S,.
che a priori deve contenere 3 rette eccezionali. La JF, possiedertb un
•punto doppio singolare, O, traecia della retta tripla di JF„ e tale che
1’intorno di О risponda alia eurva К di genere 2. Ora le sezioni piane
di JF, saranno di genere 7, ciofe sestiche dotate di 3 punti doppi, le
sezioni piane per О di genere 4, la singolarita del punto doppio О
corrispondente ad una eurva fondamentale di genere 2 abbasserA
di 3 il genere delle sezioni piane, e- percib queste non avranno punti
doppi lontani da O. Si deduce che. la JF, possiede 3 rette doppie per
О (non confondibfli in una. retta tripla, che porterebbe un fascio di
sezioni piane ellittiche e quindi pW — i). e codeste rette «, Ь e c
Enmqves •>. - SuperScie algebriclte, . . • 20
CAPITOLO ottaVo'
зов
stanno nel piano (*) tangente in О alia (piano che contain due
volte ne costituisce il cono osculatore)’: la singolaritA su ogni se-
zione piana di JF, per О const» di due rami che hanno un contatto
del 5° ordine (contatto sestipunto).
Una JFt, dotata delle.singolaritA indicate, possiede una quadrica
aggiunta che si spezza nel piano delle tre rette doppie contato due
volte; affinchb vi siano tre rette eccezionali, dovranno le nominate
rette doppie essere cuspidali.
La P, che abbiamo costruito ha il genere geometric© p, = 1,
possedendo una quadrica aggiunta costituita dal piano a b o cental®
due volte; essa ha anche il genere numerico = 1, ossia 6 regolare;
infatti per questa superficie, le cui sezioni piane sono di genere 7,
esistono oo7 (7 ==p« + ®—1) superficie aggiunte del 3° ordine, quali
sono definite dalle eondizioni di passare per le rette. a, b,'e, ed avere
un contatto del 4° ordine colle falde di>, in O; ed infine .ha Д genere
lineare'assoluto pM =*2 perchbil suo bigenere vale P = p 4- pw = 3!
essendovi oo’ cur^s/bieanoniche segate dai piani per 0 cui va som-
mato il piano a ft c contato tre volte: il valore del pW risulta anche
daU’ordine della Pt, a sezioni piane tricanoniche, tenuto conto
delle 3 rette eccezionali:
• в = 9(p« — 1) — 3 = 9 — 3 (’). ' ' '
Si pud costruire una P, con le singolaritA sopra indicate partendo
da una superficie cubica Ps che contenga tre rette «, ft, c giacenti
in un piano e passanti per un punto O. Esistono oo* superficie cu-
biche P't che toccano la >, in O, dando luogo sopra ogni sezione piana
ad un contatto sestipunto: queste Pl toccano di conseguenza P*
secondo le tre rette a, ft, o, come appare dalla rappresentazione
•piana, e segano. ulteriormente Ps secondo una cubica piana, risul-
tando caratterizzate da queste propriety. Ora una superficie com-
posts P, 4- Pl fomisce una particolare sestica che possiede le a, bf
e, come -rette tacnodali, e presents in О la singolaritA sopra indicator
(sopra ogni sezione piana per О due rami con contatto sestipunto).
Combiniamo linearinente la Pt 4- 'Pl. con la sestica degenere costi-
tuita dal piano a ft в contatto tre' volte, e da un cono cubico di
vertiee O; ’in tai guisa si otterrA una Pt che avrA in 0 la singola-
ritA richiesta, e per cui le rette a, ft, 0, risultano cuspidali.
Si veriflea tosto che la Pt cosi eostruita possiede un sistema <»’
di-superficie cubiche aggiunte Фй, definite dalle eondizioni di passare
(*) Altrimenti il panto О risulterebbe tripio.
(*) La olaasifieazione delle superficie, con p9) = 2, p = 1, 2, 6 data nella Mota
-di F. Ebbiqvbs, Le superficie algebriche di genere lineare pW = 2. Rendic. Ace.
Lincei, Febbraio 1897.
SUBEBFICIE REGOLARI CANONICHE e'pLVRICANONICHB 307
per le tre rette a, b, c, e di toecare semplicemente in О la IF,, per modo
che la sezione ф Ф3 con. m piano per О venga a contenere 6 fra i 6
punti doppi successivi della sezione di jF,. ® da cib segue ehe la
superficie >«, le cui sezioni piane sono di genere 7, b regolare, giacehb
le dette Ф» segano, sopra una sezione piana di JF,, fl sistema com-
plete delle sue curve aggiunte.
Frattanto riassumiamo il risultato ottenuto enunciando che:
he superfioie regolari coi generi p = 1 e pw =2 si lasciano trasformare
in sestiche JF, dotate di tre rette cuspidali giacenti in un piano e pas-
santi per un punto doppio singolare O, tali Ле sopra ogni sezione piana
per esso si abbiano due rami con contatto del 6° ordine.
Osservazione. - JJell’analisi precedente si b supposto che la curva
•canonica K. sia irriducibile, e quindi ehe la rete delle curve biea-
noniche [ 2E | non abbia parti fisse. Accenniamo rapidamente come
possiamo emaneiparci da quests ipotesi restrittiva, e percib esami-
niamo se per p = 1, pW = 2 sia possibile un sistema bicanonico
|2ЖI = ]ts| -p £9
avente. qualche componente fissa 0, le cui parti variabili siano curve
irriducibili (cfr. Cap. IV, § 19). Si designano con я ed n genere e
grado di una con g e v genere e grado di ima .0. Allora fl carat-
tere addittivo che esprime il numero virtuale delle intersezioni delle
curve bieanoniche colle canoniche viene dato da
2pW — 2=2 = 2л — 2 — n -f- Z"(2p — 2 — v).
E, supponendo eliminate le curve eccezionali della superficie (e
quindi per g = 0, v < — 2), si avrb, per tutte le componenti в:
2g — 2 — v^O,
e quindi
2л — 2 — w < 2.
'Ora se eslste qualche в, per essere la К, e percib anche le curve di
|2X|, eonnesse d’ordine di connessione ^2, sard, il numero delle
intersezioni di.una kt colla £& (residua rispetto al sistema bicanonico)
>» SO = in — 4 — 3n > 2.
Segue di qui
in — 4 — 2n =, (in — 4 — 3») +- n < 4,
n < 2 - e percib n = 2(w > 1),
. 2л — 2 <. n +-2'= 4;
ciob la rete | й, | b costituita di curve di genere я 3, e di grado
n — 2. Ma questa conclusione fe assurda perchb (nell’ipotesi pih
308
CAPITOLO OTTA'Vo
favorevole: я == 3) porta come conseguenza la possibility di rappre-
sentare- la data superficie V sopra un* piano doppio con curva di
diramazione Oe d’ordine 8, che — per essere p = 1 — deve posse-
dere due singolaritA elementari, punti quadrupli о punti [3,3],
onde risulta
p(l) XSSZ 1.
Dunque il sistema bicanonico d’una J* di genere p — 1 con pw = 2,
non possiede parti fisse, e la classificazione di codeste superficie
riesce perfetta.
16. Superficie con pW == 2 e p — 0 (J? = 2, Pa = 4).
Si ё condotti ad una superficie tricanonica dello spazio ordinario
St: superficie d’ordine 9, a sezioni piane di genere 7 e percid
dotata d’una curva doppia Са d’ordine 21, la quale non appartiene
ad alcana superfioie <₽5, ma ё egualmente doppia per oo4 superficie
' biaggiunte Ф» d’ordine 10, • che segano su di essa le sestiche gobbe
di genere 4 d’un fascio, curve bicanoniche. ,
Коп ё facile costruire direttamente la JF* e deflnirne precisamente
le singolaritA, ma si pud almeno dimostrarne I’eeistenza, partendo
da -particolari superficie della famiglia di cui essa porge il modello
proiettivo. A tai uopo si pub partire dal piano doppio di Oam-
ревеьы, dotata di curve, di diramazione О» d’ordine 10 con un punto
4-plo A e В -punti [3, 3], per il quale
. p sss 0 e pd) sss* 9,
avendosi un fascio di curve bicanoniche di genere 3pW — 2 == 4,
rappresentate dalle quartiche -(doppie) che paesano doppiamente
per A e semplicemente per le 6 coppie di punti tripli inflnitamente
vicini di C№, formanti le singolaritA [3, 3]. Il piano doppio cosi
definite rappresenta una superficie J* su cui le curve bicanoniche non
sono iperellittiche e pereid le curve tricanoniche formano un sistema
semplice (vedi I’Osservazione pih avanti). Мегсё questo sistema la
V si lascia trasformare nella J?» tricanonica sopraindicata, о meglio,
in un caso particolare di essa.
Invero i nostri piani doppi dipendono da 4 moduli, essendovi
4 invariant! proiettivi della Сы di diramazione:
4 « 65 — 8 — 5 • 9 — 8; ”
inveee il numero dei moduli, che spettano alia famiglia della super-
ficie Тв, eon p — 0 e pW == 2, ё certo
’ Jf > 9p — 2p.<D -I- 13 = 8.
SUPBRMOIB REGOLARI CANONICHE Й PLVRICANONICHE 309
" Osservazione. - Aggiungeremo che la trieanonica eorrispondente
ad una superficie > regolare con p = 0 e = 2 riesce certo sem-
plice, almeno se le curve bicanoniche di К sono irriducibili.
Accenniamo rapidamente come possa giustifiearsi I’asserto.
Anzitutto conviene stabilire che dall’essere irriducibili le curve
bicanoniche segue che sono irriducibili e senza punti base le
tricanoniche Ka del sistema aggiunte |KJ j = |Ka|. Siccome le
KJ segano sopra -una К» la serie canonica completa, se esse sono ri-
'dueibili dovranno contenere una parte fissa 9 (irriducibile) fonda-
mentale pel fascio | K,1, e allora il sistema trieanonico spogliato
della 9 costituir& Faggiunto alia curva Ka— 9, aicchfe (K,—
avrebbe egual dimensione di |KJ ciofi dimensione 3: si tratta quindi
di riconoscere ehe cid ё impossibile perchS la Ka — & ё una curva
connessa di genere < 4 (Ofr.' Cap. IV, § 17). A tale scopo si realiz-
zeranno le Ka come sestiche' canoniche dello spazio ordinario, pro-
iettate sul piano in sestiche con due punti tripli, e se ne studieranno
le possibili degenerazioni: cosi appunto si vede che il distacco di una
9 irriducibile da | Ka| conduce necessariamente ad una curva con-
nessa di genere < 2.
Una analisi simile vale ad escludere che il |Ka| irriducibile abbia
qualche punto base sopra la data superficie >: in primo luogo non
pud esservi un punto base che sia .semplice per la curva Ka che vi
passa, eec. Cid posto, essendo |K»| un sistema lineare irriducibile
senza punti base, di grado 0, ove esso appartenga ‘ad una involu-
zione Z„ d’ordine », dovrA essere n divisore di 9 e pereid n — 3.
In tale ipotesi si ё condotti ad esaminare una superficie cubica
razionale a sezioni ellittiche, tripla, con curve di diramazione Oia
d’ordine 12, che dovrebbe coetituire la trieanonica della J di genere ,
p. =! p, == 0 e di genere lineare pb) == a. Ma ё facile persuaders!
che una tale cubica K, tripla, di generi p = 0 e p® =* 2 won eezste.
Diciaano anzitutto ehe la nostra che oontata 3 volte eosiatuirebbe
la trieanonica di una superficie К eon p == 0 e pb) = 2, deve pos-
sedere almeno un punto doppio (singolare). Invero, se si suppone
la K, priva di punti doppi si avranno su di essa due reti omaloidiche
di cubiehe gobbe complementari (rispetto Л sistema delle sestiche
segato dalle quadriche): 10s | e |i, |; e si vede torto che queste deb-
bono rappresentare due reti di curve, rispettivamente 101 e j 11,
di grado 3 e di genere 4. Se cosi non fosse, poiohfe le Cs -Ь
segano la di diramazione della К» tripla in 24 punti, sarebbe una
delle due reti, per eaempio | C |, di genere ж 4; ma, se n < 3, tutti
i plurigeneri della K risultano nulli; se inveee я = 3, le curve
bicanoniche di >, che — per ipotesi — formano 'un fascio, seghe-
rebbero su una О le coppie di una gl, eid- ehe ё incompatibile col
fatto ehe le C eontengono una gi senza punti fissi.
310
САИТОЬО OTTAVO
Cid posto, essendo le C e le h eurve-di genere 4, si riconosee che
an di esse la gl caratteristica ё autoresidua (rispetto alia serie cano-
nica). Se cosi non fosse, ad es. per la C, si prova che il genere delle
curve canoniche virtusdi K, che hanno 3 punti comuni nolle C,
deve valere = 1, anzichd ?<*> == 2. Invero si assuma come mo-
dello di una V una semplice, d’un certo ordine n assai alto, su
cui le О vengano segate dai piani per un punto (» — 3)-plo О: le
curve del sistema aggiunto | O' | = | О + X | appartenenti ad ’ X
saranno proiettate da О in curve piane del 6° ordine e, in particolare
le 0" per un gruppo della gl caratteristica di C(che sono oo1) in se-
stiche con un punto triplo: cid signifies che il genere delle C vale
7 = <4-p(«4-3-i,
e quindi
pC1) === 1.
Eesta dunque „fissato che ciascuna delle due reti di curve | C |
e |Z| mJ possiede una serie caratteristica autoresidua. Di eonse-
guenza le curve bicanoniche X2 (di |2X|) segano su una C gruppi
della serie doppia della detta g} e quindi sono contenute parzial-
mente nel sistema doppio j2(7|, e cosi similmente in |2Z|.
Siccome il '|2(J| complete ha la dimensione 6 e il |2G| minimo
la dimensione 6, vi ё «па eurva del fascio | Xg | appartenente al 12(71
minimo, e questa ё caratterizzata dali’appartenere alia involuzione
Ia le cui terne rispondono ai punti della X8, e percib deve appartenere
altresi al minimo sistema 12L |.
Ora si rappresenti la cubica X, punto per punto su un piano a:
le sezioni piane di Xs avranno per immagini’ le cubiche per 6 punti
non appartenenti ad una coniea; le curve del minimo
sistema |2C[ potranno supporsi rappresentate dalle coniche di a;
e quelle del minimo sistema [2Z| da d’ordine 10 passanti 4
volte per i 6 punti Quindi dovrebbe esservi nel piano a una co-
rnea, passante per qualche punto Ai} che faccia parte insieme di una
<7M eincontrile (7Mmede8ime in 2 punti variabili: ma una tale coniea
non esiste. Cosi ё rifiutata 1’ipotosi di una Xs (immagine tripla di
una X tricanonica con p = 0 e p<x> = 2) che non possegga punti
doppi. ' .
Supponiamo d’altra parte che esista una X, dotata di un punto
doppio* О (comunque singolare), le cui sezioni piane siano immagini
delle curve tricanoniche Xa di X.
be sezioni piane di X, per О (come si ё detto prima per le
eventual! cubiche gobbe appartenenti a questa superficie) saranno
immagini di curve <7 del genere 4, e le curve bicanoniche X, di X
avranno per immagini su X, delle sestiche semplici, incontranti le
dette (7S in 6 punti variabili, e percib non passanti per O. Di conae-
SUPERFICIE RECTOLARI ОАНОК1СИЕ Е PEURIOANOEIOHE 311
guenza il sistema quadricanonico aggiunto, a | Ж31 cioft
|2K,| = = |4K|
sard, costituito in generate di curve non passanti per.O; e ad О ri-
sponder^ su > una eurva 6 fondamentale peril detto | JK7B |. Ma da cid
si deduce che togliendo la 9 da tale sistema si ha 1’aggiunto‘a |O|:
| 0' | = | — 91
(|x5-e| = |o|), '
e quindi il genere delle О deve risultare eguale a quello- delle Ka
diminuito di una unit A,:
' 7 —1 == «;
conseguenza assurda perchd il. genere delle C vale, come si ё detto,
я == 4!
Cosi ё esaurita la discussions: le triple bicanoniche di genere
p — 0 e pW = 2 non esietono. ' _ . c. d. d.
17. Superficie di genere lineare pW = 3- prime caso p = 3 (*).
Esaminiamo le superficie (regolari) di genere lineare p(^ = 3. Il
loro genere superflciale
. + 3
p <. ——
non potrh superare il valore 3 (efr. § 11). Avremo dunque a priori
4 casi: _ '
p == 3, 2, 1, 0.
Primo caso: pW = 3, p == 3. П sistema eanonico |2T|, supposto
irriducibile, ё una rete di grado p<8> == pW —1=2, che conduce a
rappresentare la superficie sul piano doppio con eurva di diramazione
Ct d’ordine 8.
b’ipotesi della riducibflitft di [ H| in una componente fissa £9
e in una parte variabile |fc| non conduce -ad ateun caso nuovo.
Si designino eon я ed n i caratteri delle k, e con g e v quell! di una
0. Oalcolando il carattere additivo che indica fl numero delle inter-
sezioni delle curve canoniche con queste stesse curve, avremo:
2л— 2—n £(2q—2— v) = 2.
P) X>a olassificazione delle superficie di genere lineare pW = 3, per p = 1,
2, 3, che viene qui in varii sensi approfondita ed eetesa *1 саво p »= 0, ё data da
Ж. Enbiqwbs nella Nota Suite miperficie algebriAe di genere lineare pW = 3. Rendic.
Lincei, maggio 1897. Manea soitanto il tipo semplice per p® = 3 в p = 2, del § 18.
312
САЙТОМ ottavo
Ora il numero delle intersezioni di una к (irriducibile) col rest©
delle curve canoniche, SO, ё
2л — 2— 2л > 0,
ed il grado del sistema |Л|. ё л > 2, quindi
2я — 2 — ж > 2.
D’altra parte, se si ammette di avere eliminate dalla superficie
ogni eurva eccezionale, sarA per ciascuna 9:
2g — 2 — v ^0;
per conseguenza ,
2x— 2—» = 2, 2g—2—v = 0,
y* ’ n — 2 e я — 3.
Pertanto le к formano una rete che conduce a trasformare la
superficie data in un piano doppio ' con (J8 di diramazione, e le &
risultano a posteriori non esistere. '
18. Superficie con. pW = 3ep — 2 (P — 5).
Supposto che il fascio canonico |Ж ] sia irriducibile a prescindere
dalle componenti eccezionali fisse che rispondono ai suoi punti
base, le oo1 curve bieanoniche, secant! su ogni К la serie canonica
completa gl, formeranno pure un sistema irriducibile, di genere
3pd) — 2 = 7 e grado 4(pW — 1) = 8, privo di punti base. В questo
sistema dovrA essere sempliee, se le curve canoniche del fascio | К |
non sono iperellittiche, come conviene'in primo luogo supporre.
Quindi-si ё condotti ad una Pa bicanonica sempliee dello $*, a se-
zioni iperpiane di genere 3pW — 2 = 7, su cui le К sono quartiehe
piane aventi due punti comuni e percib giacenti in piani per una
retta a, la quale non sta su Gli iperpiani per a segano P8 secondo
coppie di quartiehe Ж; segue che i piani delle Ж formano un cono
quadrico di 2» specie Q, che ha per asse la «. Ora si proietti P8 sullo
spazio 8* da un punto generico P di Q: si avrA in S, una superficie
’ P; con due rette quadruple о e o' infinitamente vicine, ascent! da
un punto O. Cid signifiea ehe la Ж8 ё intersezione completa del cono
quadrico e d’una ipersuperficie del 4° ordine. Ma (come giA ab-
biamo veduto)Tintersezione di quadrica e quartica in ё in generele
una superficie canonica di generi p sx § в _pd) == 9: per avere una
Ps bicanonica (p = 2, p« = 3) bisogna imporre all’intefsezione sud-
detta convenient! singolaritA che ne abbassino il genere, e precisa-
mente — poichA il genere 9 delle sezioni iperpiane deve abbassarsi
SUPBRFIOIE REGOLARI CANONICHE В PLITRICANONICHE 31S
di 2 — eonverrA imporre alia J’s una linea* doppia Ct del 2° ordine.
Ora, riferendosi alia J?i proiezione di J’s in St da un punto del conn
quadrico che la contiene, si vede che la proiezione di Ct non pub
constare di due rette, incident! о meno, che non stiano in un piano
per о e quindi deve essere una conica giaoente in un piano per o.
In conclusione il tipo deUa superficie bicanonica sempliee, per p = 2'
e pW == 3, й una J» d’ordine 8 dello spazio St appartenente a un cono
•quadrico Q e avente come proiezione da un punto di Q neUo spazio-
ordinario una J, dotata di due rette quadruple infinitamente vicine o
o' incidenti e di und conica doppia, giacente in un altro piano per o.
Si costruisce la V's combinando linearmente: una quartica eon.
due rette doppie о e o' passante per la conica C's, contata due volte,
ed una V't degenere eomposta del piano m = о o' contato 4 volte
e.del piano у della conica 0' contato due volte, oltrechft di una ge-
nerica quadrica. В si verifies tosto che la superficie J*J dotata delle
singolaritA che ne risultano d proprio la nostra superficie bicanonica,
non normale. Infatti le superficie aggiunte ad essa si ridurranno:
1) per effetto della presenza delle 2 rette 4-ple о e o': a coni tangenti
lungo о (cui si aggiunge il piano <o = oo' contato due volte); e 2) per
effetto della conica doppia C't (il.cui piano у si stacea dai detti coni}
a piani per о secant! su F’e le quartiehe ; onde segue p — 2, p<*> = 3.
Inoltre с’й una Ф, biaggiunte, Ф-, = co5ya, che sega soltanto se-
condo le curve singolari, dimodochfe le sezioni piane di Vt risultano
curve bieanoniche.
Ogni superficie con p — 2 e pW = з( bon curve canoniche (irri-
ducibili) non iperellittiche, si pub trasformare nella Va bicanonica
sempliee di St.
Un esempio particolare 6 dato dal piano doppio con curva di di-
ramazione <71S d’ordine 12, dotata di 8 punti 4-pli Qui.
le curve canoniche sono rappresentate dalle cubiche C8'per AxAg....Alf
le. quali — prese come doppie, eoi punti di diramazione negli in-
eontri con C18 — costituiseono, in generate, curve di genere 3 non
iperellittiche. In effetto ci sono oo* curve bieanoniche aventi per
immagini sul piano curve d’ordine 12 passanti 4 volte per
e 8-tangenti alia Ca di diramazione; e queste rappresenta.no un
sistema lineare complete oo* sempliee. Entro il detto sistema com-
plete vi sono oo’ curve bieanoniche che hanno per immagini le se-
stiche Cg passanti doppiamente per i punti 4-pli di <7lg e formano un
sistema lineare, non complete, appartenente ad una involuzione del
4° ordine. •
Hell’esempio precedente si vede una 'particolare >s bicanonica
che — da un certo punto estemo *— viene proiettata in un cono del
secondo ordine quadruple. Un altro esempio notevole ё date da una
Vs che pud proiettarsi da un punto estemo О in una quartica
314
CAPITOLO OTTAVO
genere 1 doppia con curva di diramazione plana del 4° ordine
dotata altresl di un piano tangents lungo una conica, sulla quale si
-trovano 6 punti oonici di diramazione. •
Invero se la J*8 fe trasformata in sfe da una involuzione It, subor-
dinate da un’omologia armonica di centro O, essa avrh per proie-
.zione da О una J?«, sulla quale le curve canoniche К Ъшшз per im-
magini le sezioni piane di genere 3 d’un fascio, e che percife deve es-
sere priva di curva doppia: siccome poi la If coniuga a coppie le
-curve canoniche del fascio |X| га Д, in questo fascio si debbono
trovare due X unite, una delle quail si proietta nella curva di dira-
mazione С,, di -FJ, I’altaa (iperellittica) nella conica C sezione d’un
piano tangente a, e su questa si trovano (oltre le due intersezioni
con <7*) в punti di diramazione, ehe sono i punti oonici di J?t su a.
Beciprocamente, si assuma una _F< con piano a tangentelungo una
conica <7 e si coetruisjza la J = estraendo su la ™ guisa
da possedere una qdartica C4 di diramazione fl = 0, cui si aggiunge
la conica critics apparente С. Й facile persuaders! che le oo1 sezioni
dei piani passanti per la retta comune ai piani a e fl costituisoono quar-
tiche doppie, immagini di curve spezzate come la sezione del piano
fl, e percife — prese semplicemente — rappresentano oo1 curve ca-
noniche di T, sicehfe per la detta X risulta p, = 2. Si pufe anche ve-
Tificare che p« = 2, sia mostrando a priori la regolarite della super-
ficie, sia calcolando il pa mediante le formule stabilito per la corri-
spondenza [1, 2] fra J1* ed IF: dove occorre toner conto che i в punti
doppi di JF* sulla conica C costituiseono 6 curve inflnitesime di dira-
mazione (da aggiungere alia quartica sezione del piano Д) cui ri-
spondono curve eccezionali о punti semplici della superficie JF.
Maun secondo tipo affatto distinto, che non rientra in quello delle
J*e bicanoniche semplici (p = 2, p<*> = 3) fe date dalla superficie
bicanonica costituita da una superficie Xt di Segre (*) (con due punti
doppi) doppia, owero dal piano doppio con curva di diramazione O10
d’ordine 10, dotata di 2 punti 4=-p'li e di 2 punti [3, 3] (“).
Qui le curve canoniche sono rappresentate da oo1 coniche d’un
fascio (ciascuna da prendersi come doppia con 6 4-2=8 punti di
diramazione) e le bicanoniche da oo* quartiche con due punti base
doppi e due contatti:
p = 2, pW =3. /
Si dimostra facilmente ehe ogni superficie F con p = 2 e p(i) = 3
che oonduca in ad una bicanonica doppia i a curve canoniche iper-
(x) Cfr. F. Ewbioots-F. Cowroaso: «Le superficie razionali n, pag. 144.
() O, se place meglio, di una Cia costituita da una retta r e da una O, con tre
punti 3-pU su r e, fuori di essa, due punti 3-pli infinitamente vicini.
SVPERFIOIB RBOObABI CAHONICHB В Fb'URICANONICHB
315
' ellittiche в si lascia rappresentare sulla Ff di St о sul piano doppio
aneidetto. , " . .
Anzitutto, se il sistema bicanonico 12K | di F non & semplice,
vuol dire ehe le curve di esso passanti per un punto A debbono pas-
sare di eonseguenza per (almeno) un altro punto A'; ma questo non
pub essere fuori della X ehe passa per A, e se sta sulla К (supposta
irriducibile) vuol dire che la serie canonica yj segnata da |2X| su К
«6 compost» e la X 6 iperellittica.
Ora se le X sono iperellittiche la superficie bicanonica trasfor-
mata di > si ridurrh ad una -f 4 doppia, e perchfe la J1*, sia normale in
- 8^ dovrfe. essere a sezioni iperpiane ellittiche, ossia una superficie' di
Segre, intersezione completa di due quadriche di <S4. Sulla J*J, le cui
sezioni iperpiane doppie sono di genere 3 pd) —2 — 1, si avrh una cur-
va di diramazione Ca d’ordine 12. Aggiungasi che la nostra Ft di 8t
non fe la pih generate intersezione di due quadriche, bensi fe dotata
1 di due punti doppi, i quail cadono nei punti base del fascio delle
coniche canoniche (immagini di due punti doppi della gl suite X).
ba rappresentazione punto per punto della sul piano conduce
ad un sistema rappresentativo delle sezioni iperpiane eostituito da
curve del 4° ordine con due punti doppi e due punti base semplici
di contatto: questo sono le immagini delle curve bicanoniche d’un
piano doppio, con p = 2 e pW = 3, di cui la curva di diramazione
Clt> possiede due punti 4-pli e due punti [3, 3].
Abbiamo aftermato che le Ft di Segre doppie costituiseono un
secondo tipo di superficie con p — 2 e p<‘> = 3, non rientrante come
caso particolare nella famiglia che ha per tipo la F* bicanonica sem-
plice. Per dimostrarlo si pufe rieorrere ad un compute di moduli:
tante la >g bicanonica semplice come la J’J dipendono da 24 —
= 9p —• 2pW -f- 12 moduli, e percife formano due famiglie dietinte.
Ma cib appare anche in modo diretto, perchfe se si cerca di ridurre
per continuity la PJ, proiezione della Fs in Sit alia F‘t proiezione
della Ft di Segre, contata due volte, si perviene, non gife. ad una
quartica dotata di conica doppia irriducibile (siccome accade di
regola pel nostro secondo tipo),, bensi ad una quartica con due rette
doppie inflnitamente vicine: pertanto Bi hanno veramente due fa-
miglie dietinte di superficie con p = 2 e p® == 3, aventi a comune
una particolare sottofamiglia.
Osservazione. — Anche1 qui si pufe completare 1’analisi,-esammando
I’ipotesi che il sistema canonico |X| sia riducihile,
Anzitutto fe lecite afiennare che dovranno essere, in ogni caso,
irriducibili le curve & component! variabili delle X, perchfe altri-
menti, essendo esse composte colle curve d’un fascio lineare (regu-
larity della -superficie) si avrebbero almeno oo* X e p > 2.
316 ' CAPITOLO OTTAVO
Ora si potrh supporre che le Ж posseggano, oltre le ft, delle com-
ponent! fisse 9, non eccezionali
|Ж| = 2»+ |fc|.
Designando con went caratteri di (ft | e con g e v quelli d’una
9, avremo '
2я — 2 — » -f- 27(2g — 2 — v) = pW —1=2,
mentre ж 2* 2.
Inoltre, riferendoci ad una superficie senza curve eccezionali,
sari> per ogni 9
2p — 2 —- v is 0.
Siccome poi una ft ha 2a; — 2 — 2® intersezioni colla residua eur-
va £9:
/ 2я — 3 — 2® ;> 0.
Da queste disegfiaglianze risultano pei valori di я ed ® tre pos-
sibility - ‘ 1
1) л = 2, я = 0;
2) я ='2, n SS» 1 |
3) я ~ 3, я — 2.
Ma 1’ipotesi 1) si scarta subito. Il sistema |ft'| aggiunto л (ft J
sarebbe un sistema oo’ di curve del grado
1 0 2*2 + 2 === 6,
formato di curve iperellittiche (bisecanti le ft) e percib cbndurrebbe
ad una rigata cubica doppia, la quale non b normale, sicchb [ft'{
(che ha la dimensione -p -|~ 2 — 1 =3) dovrebbe essere contenuto
in un sistema complete di dimensione . > 3: cib che b impossibile.
Anche 1’ipotesi 2) (ж = 2, я == 1) й scarta facflmente.
Perchb il sistema aggiunto | ft' ( che b un sistema di curve ipe-
rellittiche, di genere 4 e grado 7, dotato d’un punto base semplice,
eondurrebbe ancora ad una rigata cubica doppia non normale, onde,
la sua dimensione sarebbe > 3, cib che ft impossibile. '
Besta 1’ipotesi 3) (я = 3,я = 2). Ma in questa ipotesi il sistema
(2ft | ci conduce proprio alia superficie Ж* doppia cui conduceva
|JS? | = |2Ж ( nel supposto delle Ж irridueibili. Si rieade quindi sullo
stesso piano doppio e, a posteriori, si- riconosee che le Ж sono irri-
ducibili: |Ж|
19. Superficie con = 3 ep = l (IP = 4).
Supposto che la eurva canonica X sia irriducibile, il sistema bica-
nonico рЖ |, che b oo’, sarh pure irriducibile e privo di punti base su
SUPERFICIE REGOLARI CANONICHE E PbURICANONICHE 317
JC. Se esso ё semplice conduce a trasfonnare la superficie data in
una J?8 d’ordine 8, dello spazio a sezibni piane di genere 3pW —
— 2 = 7, e percid dotata d’tma eurva doppia Clt d’ordine 14.' Questa
(7и appartiene ad una superficie' biaggiunta Ф,, d’ordine 2 • 8 —
— 9 = 7, che insieme ad un piano eostituisce una Ф8 secante su Te
una eurva bicanonica; anzi la Clt ё intersezione completa delle J*8 e
(7 • 8 \ 1
-j— = 14). D’altra parte deve esistere una quartica aggiunta
•Ф*, che sega su. fuori di <7M, la К canonica d’ordine'4 (4 • 8 —
— 2-14 = 4). Cid posto ё facile caratterizzare la eurva (7M: es'sa ё,
in generale, la eurva doppia della superficie -Ф, a sezioni'ellittiche,
superficie possedente una quartica aggiunta Ф4 e percib razionale.
. Pertanto la superficie bicanonica semplice J's di generi p = 1 e
-pW == 3 Й definita, in generate, dal possesso di una eurva doppia
Clt} d’ordine 14, ohe b la eurva doppia di una superficie rationale Ф?
•del 7° ordine a sezioni eOMiohe C). Per costruire la >8 basterft com-
binare linearmente la quartica Ф* aggiunta а Ф,, contata due volte,
e la Ф, stessa, presa insieme con uh piano generic©.
Si pud valutare il numero dei moduli da cui dipende la si
trova che la 0I4 (o la Ф,) possiede 12 invariant! proiettivi ed ё doppia
per oo*jF8, sicchb vi sono -oo1* Р» proiettivamente distinte: il nu-
mero dei moduli di J?g vale: ' • "
M =.16 = 10p — 2pW 4- 12 .
Ora nella famiglia delle JV bicanoniche semplici con p — 1 e
рЫ = з si vedranno rientrare, come casi particolari^ le. superficie
bicanoniche multiple, che — almeno nell’ipotesi di una eurva ca-
nonica irriducibile — sono soltanto quartache doppie J*|, e danno
luogo a due tipi di queste. ' 1
Se sopra una superficie F con p — 1’ e pfl) — 3' s£ha una eurva
canonica' К irriducibile, e il sistema bicanonico \ZK [, che sega su
К la. gl complete, non sia semplice, bisogneri. che esso appartenga
.ad un’mvoluzione del 2° ordine I4 per cui la К sia: 1) eurva doppia,
owero: 2) eurva iperellittica trasfqrmata in se stessa. E siccome
.in nessun caso (2X| puo avere dei punti base, si deduce che «le
•sole superficie bicanoniche multiple per p == 1 e p.w = 3, sono quar-
tiche doppie '
Studiamo successivamente i dpe casi cui conducono le due ipotesi
sopra indicate 1) e 2) in ordine aH’appartenenza di (2Х-{ ad una in-
voluzione Д.
f1) Per le superficie » sesioni ellittiche cfr. p. es. ENBtqvi® - Сохговто.
superficie rasionali. Libre II, cap. III.
318
СЛИТОГО CTTAVO
Anzitutto: se si assume 1’ipotesi 1) la superficie bicanonica tra-
sformata della data J sarb una quartica JF* doppia con quartica
piana di diramazione JK. ® perchb' la X abbia il genere p® = 3,
e anche perchb la J’1 result! di genere p = 1, bisognerb, che le sezioni
piane di J1* non abbiano punti doppi, e che la J?* stessa sia di genere
1. Si pub costruire una J* di genere 1 doppia, rappresentante una
V con p = 1 e pM = 3, facendo fascio di una J’g bicanonica (coi
detti generi) e della sua aggiunta J** contata due volte; in questo
fascio
Я>в4-Л = о
si vede la superficie generica (che b una Jy ridursi per continuity
(per Л — 0) alia J1* doppia. ba J** possiede come punti doppi i
punti tripli di Рв, e questi si aggiungono come punti (curve infini-
tesime) di diramazione alia curva di diramazione propria che ё la
la quartica X. intersezione sempliee di jPa; la rimanente parte che b
la C14, curva di contatto di e di una Ф,, costituisce una curva
eritica apparente.
Ora il numero dei punti tripli della (7M, curva doppia di J*s
(e anche di Ф,), si pub valutare eon la nota formula, che dfti
•t = 10.
Questo numero si ritrova anche in altro modo dalla formula di
corrispondenza ehe lega i generi numerici delle due superficie di
genere 1, F4 ₽ F, in corrispondenza [1, 2].
Da cib ehe precede risulta esistere, come caso particolare della
jP8 bicanonica con p — 1 e p<b == 3, una di genere 2 doppia pos-
sedente come element! di diramazione una quartica sezione piana
e 10 punti conici. Tuttavia si potrebbe pensare ehe le J4 doppie
innanzi costruite rappresentino soltanto una sottofamiglia di un
tipo pih generate di superficie bieanoniche doppie con p ~ 1 e
pW = 3, le quali non rientrmo nella famiglia delle Xs. Per risolvere
questo dubbio, bisogna approfondire lo studio delle nostre Jf. Esse
possono deflnirsi estraendo su P* la radice quadrat» d’un polinomio
di 8° ordine, il quale pub ridursi ad аФ,, essendo « = 0 il piano
della К di diramazione e Ф, la superficie del 7° ordine che ha come
eurva doppia la C14 (curva eritica apparente). A codesto polinomio
афт si pub sostituire un altro.polinomio nF,, facendo variare li-
beramente la superficie entro il sistema delle T,, d’ordine 7, che pae-
sano triplamente per i 10 punti doppi di J, e la toccano lungo una
curva del sistema complete | <7lt |. Anzi si pub ampliate questo si-
stema sommandovi due volte gli intorni dei 10 punti conici, prendendo
dunque al posto di una superficie J1, che passi semplicemente per
codesti 10 punti e tocchi J*4 tango la curva eritica apparente del 14°
SUPWICIB REGObARI CANONICHE E PLVRIOANONICHE ' 31»
„ ordine (che- tomiamo a chiamare (7ц). Ed. ё poi lecito sommare о
eottrarre ad una tale JF,, una superficie d’qrdme pari ’2», che toechi
la J*« secondo una curva Ctn} sostituendo cosi alia Clt una curva
eritica apparente CM ± Cin. Pih precisamente vogliamo dimostrare
ehe si pud togliere dal sistema ] <7M|, segato su dalle T? tangenti
che passano per i suoi 10 punti conici, due quartiehe sezioni piane
(ciascuna contata due volte), in guisa da deflnire la VI mediante
i’estrazione di una dove V& eguagliato a zero rappresenti
una cubica tangente a Vt lungo una sestica <7e di genere 3; quest’ul-
tima potr& dunque aseumersi come curva critics apparente della
J’1. ' .
A tai uopo osserviamo che fl sistema lineare delle (7U segate su
J’s dalle J1, per 10 punti conici ha il grado
4-7« — 2-10, •
- e quindi il sistema metfi delle <7M segate dalle V,_ tangenti ё di grado
7» — 6 = 44,
44 4- 2
e percib ha il genere e la dimensione —-g— =* 23. Ora il sistema
| Cis |-Sega sopra una quartica piana Ct una serie дЦ, sicchb togliendo
la 04 da ((714 | si ottenA un sistema | Clo | - di dimension© e genere
23-г-12 =11. В poichb questo |CM| sega su un’altra quartica
sezione piana una gjo, togliendo anche questa curva si avr& un si-
stema lineare oo» di sestiche C, di genere 3, curve di contatto di
cubiche passanti per 10 punti conici di Vt.
In conclusion©: la, bicanonica con p — 1 e p{1) — 3, rappresentata
sopra una superficie del 4° ordine J1* di genere 1 doppia, ё definita
'in relazione ad -una Vt che sia toccata lungo una sestica Сл di genere 3
da una superficie del 3.° ordine V, ed ablfia quindi su questa Ct 10
punti conici", la J’1 si ottiene estraendo su Vt la ^aV,, dove a desigpa
il piano della quartica di diramazione.
Besta da verificare che la detta JP| rientra come caso partigolare
nella famiglia delle bieanoniche Vt (p = 1, pW = 3) eemplioi.
. Percib basta oalcolare il numero degli invariant! о moduli da
cui dipendono le nostre J*J. Anzitutto si osserverb, che «1’eeistenza
di una sestica di genere 3, Cts autoresidua rispetto al-sistema segato
dalle superficie cubiche, porta per la J’s 10 eondizioni e il- possesso
di 10 punti doppi (in generate conici) sopra la <7e ». Infatti 1’esistenza
di una <7, di genere 3 sopra J1* porta intanto una condizione per J1*;
soddisfatta questa condizione si avranno- <xfi cubiche Vt secant!
su Vt due sestiche C, dello stesso genere 3, residua 1’una dell’altra;
e due sestiche siffatte — formando insieme una curva 0e di genere
19 — avranno 14 punti oomuni; ma perchS le (7, residue siano equi-
CAPITOLO OTTAVO
320
, + che fra i 14= punti suddetti vi siano 4 punti variabili .
“ 10 p“u iopp‘
1 J base, P»«> »B»o P« 1“ »"« »il
n л /и m sistema su una C« residua, porta una oondizione,
gata dalle С» Kase aventi come serie residua la S* ca*
»=> «И» <U 10 PXX»b £ totto, awe, le e«»alsio»l
noniea, part» “’““J” MMeaere ae 0. autoresidi» al genera
““ p“"li topp‘ d‘
л s-
Z Л StT di ®a sezione piana K, e tolti i IS parametn dr
tX omografia spaziale: rests ehe le nostro ffipendono da.
jf - — 24 +- 3 —15 == 12
invariant! proiettivj/o moduli. E poichfe
M < 9p — 2p(1) -|- 12 = 1®»’
;;x:-?v:=S“S:.KS=-"=-=
етяйь'.»
™” a 71 irtlXe prendenao «« аеррш «»
tica, e si яп+«+й, rfi retta doppia) con una curva di dirama-
rioST d’ordine 12; ed anche questa Л rientra come caso partn
colare nella ^Xne un-p^o doppio
, Bappresentando la -Pt sopra m piano, si o^ Q
con curva * -IMfatti sti questo piano doppio c’fe
* Л 4 Р“*й|®’?]2.кжл дапете ®w= 3, che ha per immagine la
ЙП?4 rappresentativo delle se-
w8e famiglia delle bicanoniche semphot Г* (con p - л e P
perc»'la ™a di diramazione dipende da
fig _ 8 — 30 — 8 *= 13
invariant! proiettivi о moduli, ed fe
13 < »p — 2pi° +12 = 15=
«*» л-™»)
ehe: tutte U euperfieie «m p = 1 в ?w - 3, aWmo вв
SOTBRFIOIB RBGObARI CANONICHE В MiVRICAJSONIOHB 321
»noniea 6 irriducibile, rientrano nella ~ famiglia pih generate delle bica-
noniche semplici Д, dello spazio ordinario. Sembra anche che I’even-
tuale riducibilitfe della curva canonica non dia luogo ad alcun caso
nuovo, Ma non c’indugeremo in un esame minuto della questione.
20. Superficie con p == 0 e pW = ‘3.
Qui le curve bicanoniche formanti una rete di grado 4 (p<*> — 1) =
= 8, conducono in general® ad un piano multiple d’ordine 8, percife
conviene cercare il tipo delle date superficie ricorrendo alia super-
ficie trieanonica, la qudle й una P1B d’ordine 18 dello spazio a 3pW —
-r- 2 =₽= 7 dimeneioni.
I caratteri elevati di questa superficie rendono difficile di co-
etruirla direttamente nello S,, о di deflnirne precisamente una proie-
zione nello S',: la quale dovrfe avere sezioni plane di genere epw —
— 2 == 16, e percife possiederfe, in generale, una curva' doppia Clta
d’ordine 120.’ Ma possiamo almeno dimostrare 1’esistenza della
>ie, perchfe si conosce un caso particolare della famiglia, quale fe
un piano doppio di Campedelli, definite da una curva di diramazione
<7ie d’ordine 10 con 6 punti [3, 3], non appartenenti ad una conica.
jfe facile rendersi conto ehe il detto piano doppio conduce ad una
superficie trieanonica I1!, semplice. Ma questa non fe la JS1,, pih ge-
nerale, perchfe la Cm di diramazione sopra nominata dipende da 3
invariant! proiettivi о moduli, e si ha
3 < 9p — 2pW + 12 = 6.
• Aggiungasi che, almeno se la rete delle curve bicanoniche di f
(superficie regolare) fe irriducibile, la 'trieanonica corriepondente
{p = о e p<V = 3) riesce certo semplice. Infatti una superficie trica-
•18
nonica multipla (d’ordine -g- ==- 9.) pbtrebbe naeeere soltanto nel-
1’ipotesi che le curve bicanoniche Ж, di J* siano iperellittiche, risul-
tando all ora composta la serie canonica (completa) che le curve tri-
canoniche segano sopra una In questa ipotesi la serie caratte-
ristica della rete bicanonica su una generica curva sarfe una jJ
composta colla й °be appartiene alia K, stessa, *e percife contenuta
in una gf completa; ma (se la superficie deve essere regolare) cife
orta P = 6 anziehfe P == 3.
21. Superficie plurieanomche semplici e multiple.
Nei precedent! paragrafi abbiamo incontrato divers! tipi di su-
perficie ehe dan luogo a bicanoniche doppie, in ispecie i tie tipi ge-
nterali eeguenti: ' '.
Esbkiots iF. - S-apertcle olffrtrfche.
322
CAMW.0 OTTAVO
. I) Рет p = 3 e pW == 3, il piano doppio con eurva di dirama-
zione Cg d’ordine 8;
II) Per p — 2 e pW = 2, il piano doppio con eurva di dirama-
zione C10 d’ordine 10 dotata di due punti quintupli infinitamente
vicini; ' -
III) Per p = 2 e pW = 3, il piano doppio con eurva di di-
ramazione (J12 d’ordine 12,-dotata di due punti quadrupli e di due
punti [3, 3].
Per i tipi I) e U) non soltanto la bicanonica si anche la tricano-
nica risulta una superficie doppia, in quanto le curve bicanoniche
(di cui le tricanoniche sono le aggiunte) sono curve iperellittiche.
Ora ci proponiamo di dimostrare che questi tipi I) e II) sono i
soli tipi di superficie, con p > 0 e p(1) > -1, le cui- tricanoniche siano
superficie multiple.
A tale scope si jyHerta che, essendo le curve- bicanoniche о le
parti variabili di esse curve irridueibili (cfr. 119, Cap. IV), le aggiunte
e quindi le tricanoniche, о le loro parti variabili, formeranno certo
un sistema semplice se le dette bicanoniche non sono iperellittiche
(e quindi appartenenti ad una involuzione razionale I,); se dunque
una superficie tricanonica regolare (per p > 0 e p<‘> > 1) non b
semplice, essa deve essere rappresentabile su an piano doppio -per
modo che le bicanoniche (iperellittiche) abbiano per immagini le
curve razionali di un sistema lineare oos almeno, eui vada sommata
eventualmente qualche componente fissa.
Conviene esaminare successivamente i tre casi in cui le immagini
delle dette bicanoniche si riducono a:
1) le oo1 rette del piano; .
2) le oo8 coniche del piano;
3) o, inline, alle curve C„ d’un certo ordine я (> 1) formanti
un sistema lineare di dimensione 2» — s con un punto base (» — 1)-
plo О e senz’altri punti base (s == 0), owero con un altro punto
base semplice Ox (a = 1), о eon e (> 1) punti base semplici ОгОа....О„
infinitamente vicini ad О (in direzioni distinte).
L’ipotesi 1) —- che dfl> P = p + pw — 3, p — 1 e pW — 2 —
b impossibile come appare daU’esame delle superficie con tali ca-
ratteri che abbiamo svolto nel § 15. -
L’ipotesi 2) conduce al piano doppio eon di diramazione, ciob
al tipo I) con p — 3, pW = 3, incontrato nel § 17.
L’ipotesi 3) si realizza per » = 2, quando si assuma come eurva
di diramazione del piano doppio una Ca d’ordine 8 con due punti
tripli infinitamente vicini 0 e le immagini delle curve bicano-
niche sono le coniche per 0 e Ot.
. SVPBRFICIiS REGObAM CANONICHE И PLURICANONICHE 323
Ma il piano doppio cosi definite rientra nel tipo pih generate
dove si assuma, come eurva di diramazione una C1B d’ordine 10 eon
due punti б-pli infinitamente vicini, che ft il tipo II)' per p = 2 e
p(4 = 2: quando la C1B abbia altresi un punto doppio, si riconduce
quadratieamente ad una (7e con punto [3, 3].
Per discutere in generate le possibiliti cui dh luogo l’ipotesi. 3),"
pongasi che le bicanoniche del nostro piano doppio contengano una
.parte fissa d’ordine d, da eommarsi alle C'„; affinchft 1’addizione di
questa parte non ampli il sistema |C„| bisogna che essa consti di
rette fondamentali per C„, eontate rispettivamente йхЛа....Л, volte,
ciofe di rette OOt e quindi che passi eolla molteplicith d per О e colla
molteplicitSk A, per Of. Cosi la eurva di diramazione del piano dop-
pio sarh una (72e, d’ordine 2m che ha le curve 0» 4- Sht OO«, d’or-
dine n d = » 4- come second© aggiunte; ed avremo
2m = л 4~ d. 4- 6. . -
Oltre a .cib basterh ritenere che la Cim deve possedere in О la
molteplicith » — l + d + 2 = «fd4-l = — 5. Ora sopra un
piano doppio con eurva di diramazione <7аж dotata di un punto
О (2m — 5)-plo, le immagini delle curve bicanoniche-sono in generate
curve d’ordine 2m — 6 = » 4- й passanti per О colla’ molteplicith
. . 2»— 8=»4-'<i — 2;
affinchft questa moltepliqith creeca di 1, diventando n 4- d — 1
(come accade per le C„ 4- Zht • OOt), bisognd che vicino ad О si
trovi un altro punto (2m — 5)-pIo di C,m; ma la somma
2m — 64- — 6 < 2m,
e quindi'
m — 5 , 2m = 10
о (in particolare)
m — 4 , 2m — 8;
cosi si ritrova il tipo II).
In' conclusion© enunoeremo il teorema:
la tricanonica di una superficie regolare di generi p > 0 e p^ > 1
i sempre una swperfioie semplice, d’ordine < в (pW —1), fatta ecce-
zione per due tipi I) e II) di superficie riferibili al piano doppio, che
rispondono ai valori p — 3 e pW = 3, в p = 2 e — 2.
Per questi due tipi I) e II) risultano doppie tanto la bicanonica
che la tricanonica: la bicanonica ft per la I) una superficie di Veronese
(Fi di Ss) doppia e per la II) un cono quadrico doppio dello la
tricanonica ft, nel prime caso, una superficie doppia 1*#, d’ordine 9
a sezioni ellittiche in Ss, nel eecohdo caso una superficie doppia
J’s, d’ordine 6 a sezioni ellittiche in Я».
324 СЛИТОГО ОТТА VO
. . Siecome dunque le curve tricanoniclie delle nostre superficie
non sono, in nessun caso, iperellittiche, ne segue (per p > 0) che
le loro aggiunte non appartengono ad una involuzione, cioS: sopra
wna superficie regolare per p > 0 в р<х> > 1, le enne guadrioanoniche
(o le componenti variabili di esse), e guindi anche le iroanoniche per
'i > 4 formano sempre un sistema sempliee.
Questa proposizione affermante la semplicitSt delle superficie
pluricanoniehe (p<^ > 1) per i > 3, si estenderft. verosimilmente al
caso p == 0; ma occorre per eii> una analisi pih difficile, in cui non
c’indugeremo (cfr..per p<x> = 2 la discussione del § 16).
Capitolo IX.
- SUPEREICIE IBBBGOXABI E SISTEMI CONHNUI
DI CURVE DISEQUIVAUEKTI
1. latro&Mrione.
Bichianiiamo alcune osservazioni che abbiamo fatto nel Cap. IV,
§12.
E anzitutto awertamo che, parlando di curve e di sistemi li-
neari о continui di curve 0, sopra una superficie H1, sottintenderemo
di regola ehe si tratti di. curve irriducibili prive di punti multipli (l).
Abbiamo veduto che, sopra una'superficie regolare, un sistema
lineare complete di curve | 0\, ha la serie 'caratteristica completa.
Ed una superficie cui appartenga un sistema continue di curve U,
formate di oo4 sistemi lineari distinti, <поё un sistema 10} contenente
oo4, con d > 0, curve disequivalenti, ё irregolare, d’irregolaritA
, ^-.d. t .
L’affermazione si giustiflca senz’altro per sistemi continui -{O}-
di curve irriducibili oo’t' format! di oo4 sistemi lineari che hanno
una eerta dimensione (generica) r: giaechS la serie caratteristica
segata su una 0 generica dalle curve infinitamente vicine di •{ <?} avrh
la dimensione
r-f-d—1,
e quindi la serie caratteristica del sistema lineare |<7] avrh la de-
ficienza (almeno) eguale a d; basta quindi invocare il teorema di
Castelnuovo (Cap. IV, .§ 12) per cui
. . • d^p.~ p. .
Aggiungasi che questa diseguaglianza vale anche per sistemi
continui | format! di curve ridueibili; perchft, in primo luogo, (*)
(*) Se bi vuole considerate anche curve О eon punti multipli, conviene rite-
nere ehe questi punti siano punti base assegnati per i sistemi lineari e continui
a cui oi si riferisce.
i
32в ' САМТОЬО MONO
si pud prescindere da eventual! component! fisse che facciano parte
delle C, ed in secondo luogo, se le C variabili siano riducibfli, sot-
traendole da un sistema lineare abbastanza grande |Z[ si potrh
ottenere un sistema continuo — C}> che — all'infuori di compo-
nent! fisse — verrA costituito di curve irridueibili e conterrA almeno
— соЛе {C\— oo* curve disequivalenti.
Scope principale di questo Oapitolo A di esporre le argomenta-
zioni che portano ad in vertire il teorema precedente, nel sense che:
sopra una superficie irregolare, di generi pa e ?»>₽«, e quindi
d’irregolaritA g = p,— p„ esistono sempre sistemi continui di
curve fonnati di oo* sistemi linear! distinti.
П possess© di sistemi continui di curve disequivalenti costituirA
cosi la propriety caratteristica delle superficie irregolari. E il teorema
che 1’enuneia e la precisa come sopra, in ordine al valore di p, — pat
si potrA ehiamAre il teorema fondamentale nella teoria delle super-
ficie irregolari. /*
Ma prima di abbordare la dimostrazione del teorema fondamen-
tale, in vista delle difficoltA d’ordine delicato ehe essa presenta,
conviene mettersi nolle ipotesi pih general! in cui se ne faccia aatra-
zione, ed esaminare dunque che сова possa dirsi delle superficie
conteneuti sistemi 'continui oo* di curve disequivalenti, quando si
sappia soltanto che
0 P, — pa,
come .si 6 riconosciuto innanzi. Д tai uopo distingueremo due irre-
golaritA della superficie, a priori non sempre eguali: Virregolaritd
numerica . ‘ '
P» —P.
e Virregolaritd geometrica j, cioA la massima dimensione d’una serie
continua di curve disequivalenti che si trovi sulla superficie:
г <; рв—рл.
Questo numero g design», in ogni caso, un carattere invariante
della superficie stessa: tutti gli esempi noti di'superficie irregolari
(superficie con un fascio irrazionale di curve, superficie delle coppie
di' punti d’una eurva' ecc.) danno г > 0 ed anzi g = p, — p„ .
2. Condeione aritmetica. perchA una eurva, sopra una superficie
d’irregolaritii geometrica g, appartenga ad una serie continua
oo« di curve disequivalenti.
Sia f > 0 1’irregolaritA geometrica d’una superficie S’-, vuol dire
che ad 1* appartiene una serie continua co' e non una serie pih
ampia, di curve disequivalenti.
SUPERFICIE IRREGObARI И SISTEMI CONTINUI DI CURVE, ECC. - 327
. Si domanda: pub darsi.un criterio aritmetico perchb una eurva
<7, su j?, appartenga similmente ad una serie oo’ di curve disequi-
valenti, ossia ad una serie formata di oo’ sistemi lineari completi
distinti? .
La risposta ё fornita dal calcolo della dimepsione virtual© del
sistema individuate dalla curve C (di genere я, grado n, e indice
di speciality i): .
-r==pe-f-n—я -f- 1 — i.
Inveto sia | C j un sistema lineare’ di curve, irridueibili о ridu-
cibili, di grado n, di genere я, e di indice dr speciality i, aritmetioa-
mente effettivo, ciob tale che 16, sua dimensione virtuale .
' pe+ »—•»+! — i^O;
ad esso associeremo un altro sistema lineare regolare | P| (irridu-
cibile ecc.) -abbastanza grande, per modo che anche [(?+ X>| sia
regolare. Il sistema |I>] potry supporsi contenuto in un sisteina
continuo -{D}- formate di oo’ sistemi lineari disequivalenti, uno dei
quali — diverso da |D| — vogliamo designate con. |D|.
Ora il sistema |t7| si lascia costruire staecando una eurva D
da |(7 4- D|, e la sua dimensione risulta > pa + л—я -f- 1 — i,
giacchb |<7-|- D| sega sulla detta D una serie (completa о meno)
che ha precisamente 1’indice di speciality i (cfr. Cap. ГУ, § 11).
Consideriamo la serie segata ’ dallo stesso sisteina | <7_-f- D | su
una D. Hon й possibile che, per una scelta generica di D in
la detta serie abbia un indice di speciality superior© ad i, perchb
— variando la D con continuity — si pud ridurla alia D e, in questo
passaggio al limite, 1’indice di speciality della seriejuon pub dimi-
nuire. Pertanto la dimensione del sistema lineare | C7.| = | О + D —
— Pj risultery (secondo il note calcolo che porge il teorema di
Biemann-jBoch) S: pe + n—я + 1—i: cosi, al variare di S, si
otterranno oo’ sistemi lineari completi distinti, formanti una serie
irriducibile •{ O|.
Enunciamo il teorema cosi conseguito:
Sopra una superficie di irregolariti geometrica g > 0, wn> sistema
lineare aritmetioamente .effettivo, oiob di grado n, genere я e indice
di speciality i, tale ch,c
-p«+»—«’+! — * S:-0,
appartiene sempre ad una serie oo* di sistemi lineari disequivalenti.
' Si vede qui la pih semplice definizione della irregularity geome-
tries (e poi della differenza p„ — pa in rapporte al teorema fondamen-
tale che porge la propriety caratteristica delle superficie irregolari).
328
CAMTOW NONO
3. 1л variety di Picard corrispondente ad una superficie irregolare.
Kel precedente paragrafo si 6 visto come, sopra una superficie d’ir-
regolariti geometrica g (> 0), gli oo« sistemi lineari formanti un certo
sistema continue | [<7(} о {0} siano legati a quello di un altro si-
stema contdnuo analogo | vi ё una corrispondenza biunivoca-
fra gli element! (sistemi lineari) di {e quelli di essendo omo-
loghi i sistemi lineari residui Funo dell’altro rispetto a un 10 + D|.
Questa osservazione (che appartiene a Castelnuovo) si pud precisare
dicendo: GK elementi (sistemi lineari) delle serie continue oo« appar-
tenenti ad una-superficie di irregolaritd geometrica q (> 0), si possono
ritenere come i punti di una medesima varietd dbeliana У, ehe Ca-
steimuovo ha volute intitolare al name del geometra francese, come
variety di Picard, corrispondente alia superficie.
Invero l’operazioj>4 + D — D per cui si. passa da un .sistema li-
neare ' | О | ad un altro sistema lineare | О | contenute in | C\, si pu£
interpretare eome una trasformazione puntuale della variety К
in sb stessa; ё owio che tutte le trasformazioni analoghe sono per-
mutabili e formano un gruppo co® semplicemente transitive- senza
eocezioni entro la. detta variety V = V„ (a g dimensioni): ehe ap-
punto percib viene caratterizzata quale varietd abetiana, non de-
genere. ’
11 signifieato del teorema conseguito viene chiarito dalle consi-
derazioni seguenti.
Bi ponga tt problems di determinare tutte le curve d’un dato
ordine » appartenenti ad una superficie algebrica P.
A priori queste curve che — per appartenere alia P — ven- ‘
gone assoggettate a eondizioni algebriche, si ripartaranno in un certo
numero di famiglie e percib oostatuiranno, in generale, dei sistemi
continui algebrici.
Tali sistemi saranno. sistemi lineari se la P ё regolare. Be, invece,.
la P b di irregolaritb geometrica q (p„ > p«) codesti sistemi — ri-
guardati come variety aventi per elementi dei sistemi lineari distinti
— saranno, non gib varietA algebriche di tipo qualsiasi, ma variety
abeHane o, almeno, formeranno coi toro multipli, delle variety
abeUane.
A meglio comprendere che cosa cib import! varranno alcun! ri-
chiami che gioverb, fare appunto. sulle variety abeliane (cfr. § 9).
4. Propriety caratteristica delle superficie algebriche irregolari: teo-
rema fondamentale per ps = 0t
La dimostrazione del teorema fondamentale sulle superficie
irregolari, ehe abbiamo enunciate nel § 2, si && nel modo pih sem-
SUPERFICIE IRREGOLARI E SISTEMI CONTINUI DI CURVE, ECC. 32»
' plice per le superficie di genere p, — 0, e richiede invece considera-
. zioni piii delicate per p, > 0. Pereid conviene distmguere questi.
due casi. ' '
Supponiamo dapprima che sia p, — 0 e quindi pa~ — p '< 0.
Si consider!, sopra la nostra superficie V, un sistema lineare com- •
pleto (C |, che sia regolare, non. speciale, di genere ле di grado nr
e quindi di dimensione
r —---p + n---Я 4- 1.
В ad esso si associ un altro sistema lineare |D|, che sia pure re-
golare, di genere g e di grado v, e quindi di dimensione
r' = — p 4- v — g + 1,
e tale che anche la somma | C + D | sia un sistema regolare (cfr. Cap.
IV, § 8). .
. Designando con m il numero delle intersezioni di C e D, seri-
veremo il genere e il grado di j 0 4- D | = | В | :
П—я+д + т'—1
N = n 4- * 4" 2» ,
e quindi la sua dimensione:
R = — p 4- -V — IT 4* 1 — ~ ?4 (n—я) 4- (*— g) 4~ w 4“ 2,
ciob
B=r+r’-|-p + m.
Bicordiamo ehe, in base al priheipio di degenera^ione о di spas-
samento (x), una curva irriducibile, dotata di un certo numero »
di punti doppi, non pub ridursi, per continuity, ad una curva spez-
zata le cui. componenti, ove siano prive di punti multipli, non
abbiano almeno m + 1 punti comuni (ciob con un punto doppio di
pih, attraverso a cui vengano eonnesse le due componenti della
curva spezzata). Da questo prineipio si deduce che, imponendo alle
curve В di possedere m punti doppi, non si potrft ottenere un siste-
ma continue В di dimensione r4-r'4-p >r 4-r' formato di curve
irriducibili, che eontenga entro di её il sistema delle curve di
|15j — |C4-D| spezzate in una curva-di |C-| e in-una curva di |D|,
ma si verrh a definite un sistema di cui una parte almeno (della
stessa dimensione) eontenga entro di её un sistema continue di curve
spezzate in una curva dell’ordine di О e in una curva dell’ordine
di D, queste due componenti. descrivendo dunque due sistemi con-
tinui non lineari, diciamo { C\ e ^D}-, complementari.
• (») Cfr. Взоади»-Сшвх»1, L. V, Cap. Ill, 35 '(vol. III, pag. 405)-
380
CAPITObO NONO
Ad ogni curva C del pih ampio sistemM con tin uo {O'}- corrispon-
der&, come residue rispetto ad |JB), un sistema lineare di curve
| D | e viceversa; sicehd ft facile valutare la dimensione del sistema
continue j <7|-, che dovrfc essere (almeno) r + p, e similmente quelia
di I, che dovrib essere r'+ p. Anzi si pud dire che consterib
di una serie (almeno) oo’ di sistemi lineari disequivalenti, aventi
la dimensione eguale ad r, perchft la dimension® dei sistemi lineari
completi formanti ^(7}-, che ё a priori^ r, non pud essere > r,
visto che codesti sistemi lineari si riducono per continuity al | C (
da cui siamo partiti, che ha proprio la dimensions r.
Ma nel caso che il genere geometric© di В sia p„ = 0, sappiamo
che la JP non pud contenere un sistema continue di curve formato
di oo* sistemi lineari distinti, dove sia d > p„— pa — p; pertanto
si conclude ehe, sopra le superficie irregolari'di genere geometric©
p, = 0, esistono sistejni continui di oo’ curve disequivalenti, e non
sistemi formati dazfina serie pih ampia di curve siffatte.
Biassumeremo i risultati ottenuti enunciando ‘il Teorema
fondamentale ristretto: Una superficie di genere numeric® negative
,pa _ — p conUene certo sistemi continui formati di oo’ curve di-
seguivalenti, e, se il genere geometrico pc — 0,’ non possiede sistemi
piH ampi di curve diseguivalenti; in altri termini Virregolaritd geo-
metrica vale
« > — P
e per p, = 0 eguaglia Virregotaritd numerica
р, — рл =' p*
5. Teorema fondamentale per pe > 0.
Oerchiamo di eetendere il teorema fondamentale alle super-
fieie di genere geometrico p, > 0 & di genere numeric© qualunque
< Pr A tai uopo riprendiamo a considerate, sopra la superficie
JF (supposta di generi pa e ps) due sistemi lineari non special! regolari
| (J| e \D| coi caratteri п,я e v, g tali che anche la somma |J5| —
= |<7 + Z>| sia regolare, segando su una D una serie completa
e non special© pw+«.
Designando con > e II i caratteri di |JS(, si vede (come innanzi
nel caso p, == 0) che il sistema lineare |>| avr& la dimensione
.R==pa-|-A' —ZT-f-l = pa (w—я) 4" (* — в) 4* m 4~ 2
. ' (m = OD),
ossia
д r f w — pa>
SITBERFICIB IRREGOLARI В SISTEMI CONTINUI DI CURVE, BCC. ' 331
•dove r e r' sono le dimension! di |C\ e |D|. Ora, se il sistema li-
neare [O| deve essere contenuto in un sistema continue {0} di di-
mensione r4?=’’4?i —P« (formato di oo' sistemi lineari di-
stinti), bisogna ehe I'imposizione alle £ sopra В di m punti doppi,
onde risulta to spessnamento di tali curve in (7 dij C| e D del sistema
residuo {D}, porti — non gift, л* condizioni indipendenti (o »» — pe
come apparirebbe dall’esistenza di | C | e di | D |) — ma eoKanto m—p,
condizioni. Be cib aeeade, il sistema continue {(?}, di dimensione
p, 4- n—я 4- 1, avr&, su una C = CO| la serie caratteristica com-
plete, e вагй> quindi non ampiiabile.
Oosi, per mostrare che '«i’imposizione alle В su F di m punti
doppi, onde risulta lo spezzamento di tali curve in curve di {O'}
e {D}, non pud portare pih di ж — p, condizioni», e quindi 1’irre-
golaritS, geometrica g di V eguaglia I’irregoJarith numerica (f = pe —
— p„), si ё condotti ad esaminare la serie caratteristica del sistema
-continue {(?}; pare che si raggiungerh la dimostrazione cercata
ove si riconosca che codesta serie ё completa,
В a tai uopo basterft, considerate le curve В di J IS | = | 0 4- D |
che passano pel gruppo -G degli m punti eomuni alle due compo-
nent! .Co e Do di una > spezzata, De = Cv 4-. De; queste D segano
eu Co la serie caratteristica completa, ed una di' esse, insieme ad 1ЕВ,
determine un fascio lineare di curve che si toccano nei punti del Gt
segue da cib che anche la curva del fascio inflnitamente vicina ad
Ж possiede m punti doppi vidni a quell! del G C1), ё percih, se aoche
a queste curve inflnitamente vicine sia applicable 'il principle di
degenerazione, essa deve spezzarsi in due curve Сг e D1? la prims
delle quail — vicina a Ся — sega su C* un gruppo (arbitrariamente as-
aegnabile) della serie caratteristica. . "
Abbiamo cosi raggiunto la dimostrazione (per p, qualunque)
•del teorema fondamentale? -
Ho, i’apparenza della dimostrazione non ci deve ingannare:
il teorema di cui si tratta eonceme una propriety integrate, e noi
abbiamo stabilito soltanto una propriety differenziale ehe ne ё una
conseguenza, ma che "viceversa non implies necessariamente la
prims. Invero si ё dimostrato tutt’al pih che «la serie caratteri-
stica di Co - viene segata completamente da curve Clf inflnitamente
vicine ad essa », ma non che le <7X appartengano veramente, come
curve tendenti al limite, ad un sistema continuo di curve proprie {C}.
С’ё qui un punto critico della dimostrazione, di cui rileveremo
pih avanti il signifleato storico (§ 6): la condizione per cui « m — p,
punti doppi imposti alle В debbono portare di conseguenza altri
(!) Cfr. p. es. ENBiqVBS-CHxenri, Le^ioni, L. II, f 5, vol. I, peg. 183 e L. Ill,
Cap. II, | 20, vol. II, pag. 187.
332
CABITOW NONO
p, punti doppi » si ё verificata non « in grande » ma «in piccolo »,
a meno d’mfinitesimi d’ordine superiore, per le curve infinitamente
’ vicine ad Ba-
ba propriety differenziate «in piccolo» consegue, come si ё=
detto,, dalla propriety integrate о «in grande » che vuolai atabilire,
ma questa non ё a sua volta conseguenza di quella.
Per chiarire meglio la eosa si consider! una variety V, di dimen-
sione r, la quale sia definita in uno spazio & (R > r) come inter-
sezione di un certo numero di ipersuperficie (o di falde lineari dif-
ferenzialmente distinte di una eteasa ipersuperficie algebrica): per
valutare la dimensione r si ё condotti a ricercare il numero s dei
punti linearmente indipendenti nell’intomo del prim’ordine di un
punto. generico P di V,; ma ё chiaro che le variety di cui V, ё de-
flnita come intersezione possono avere in ogni punto di questa un
certo contatto, ed in Jal caso il numero dei punti vicini a P, di cut
si $ detto, risulter^rs >r. • '
Per esempio, per r = 1 la 7, pud essere la eurva di contatto di
due о pih superficie dello spazio 8t, eurva da contare due volte;,
allora il numero dei punti indipendenti di essa, vicini ad un punto*
P, non ё pih r == 1, bens! s == 2.
Da questo chiarimento risulta anche 1’esigenza a cui si deve
soddistare per colmare la lacuna che rimane nella nostra dimostra-
zione del teorema tondamentale generate per p, > 0, passando-
dalla propriety riconosciuta in piccolo alia propriety in grande, di.
cui si ё detto sopra. '
Si consider! la Vr dello definita come intersezione di » falde
ipersuperflciali, che rispondono alle curve di -1®| = |0 4- D| do-
tate di m punti doppi (costituenti il pih ampio sistema continuo
cui appartengono le E spezzate in una eurva C dell’ordine di (7#.
e in una D dell’ordine di De): le dette » falde non debbono toccarsi
' tutte lungo la Vr о in un punto generic© P di essa. Vuol dire che non.
pub aversi un ramo lineare di eurva uscente da P che abbia un con-
tatto d’ordine finite s 1) colie fade suddette e non eon V,; in altri
termini: ве un tai ramo ha A < s 4- 1 (> 0) punti successivi comuni
' eon V,, avrh comune con questa variety anche fl successive punto
(A J- 1)— mo.
Owero, ritomando dalla V, alia nostra superficie T, oecorre
moBtrare-che per ogni eurva 0» infinitamente vicina a Ca nell’intomo
del prim.’ordine, esiete una serie di curve infinitamente vicine С^Сг....
negli intorni d’ordine successive 1, 2, 3 serie regolare, (cioh
asBimilabite ad un ramo lineare). La (7X fa parte di una eurva spez-
zata Ж = Ox + A vicina a Ct 4- De.; la Ot faih parte di una eurva
BucceBBiva O'» -f- D», e cosi via.
Per assolvere I’esigeuza cosi posta, e quindi completare la di-
SUPBRTICIE IRKEGObARI В SISTEMI CONTINUI DI CURVE, ECC. 333
" mostrazione generale del teorema foudamentale si affaeeia assai
aemplicemente un'idea (*): poichb su J* soho date due curve infinite-
men to vicine non equivalent!, Oa в Сг, 1’operazione Сг~ C9 appli-
•cate successivamente ad una eurva, p. es. а O1} varte a definire
la serie delle curve successive C2CS —о quella dei sistemi lineari
-da essa determinati. Qui giuoca, e dir veto, un’intuizlone ardita,
ciob viene assunto che « possa operarsi sulla superficie >, per somma
e sottrazione di curve, anche quando si tratti di curve inflnite-
mente vicine ». Si vuole gi-astiA&ae queste intuizione.
Prendiamo le mosse da un questione in qualche modo analoga,
che si riferisce alle curve, Se, sopra una eurva £ di genere p > 0,
si oonsiderano due gruppi di p punti, & e. disequivalenti, I’ope-
razione + &'— G applicate successivamente a partire da G conduce
ad una serie (generalmente) illimitata di gruppi .
' в, G', G"\, G", '
che rispondono agli omologhi di G nelle potenze di una trasforna-
zione di prima specie T della variete di lacobi F, relativa ad £.
Percib la serie dei gruppi successivi, G‘, G"...., non cessa di essere
definite (®) quando G‘ diventi infinitamente vicino a ff: m questo
caso la trasformazione T diventa una trasformazione infinitesima
generatrice del gruppo continuo della F, secondo S, Lib, e definisee
una serie analitica *, traiettoria del gruppo di Jacobi di £.
Per passare di qui alia considerazione delle curve infinitamente
vicine sopra una superficie, conviene giustificare anzitutto il prin-
ciple di spezzamento per la eurva infinitamente vicina ad una
Co + 2>0l che abbia’ (come nella costruzione indicate innanzi)
w == 0jb9 punti doppi vicini ai punti comuni a O4 e Д>; si tratte
dunque di mostrare che tele eurva ft una Ox + formate di due
parti riBpettivamente vicine a <7e e Da.
A tel uopo si pub supporre che Go e D„ siano curve normal! non
special! appartenenti a spazi di dimensions assai elevate rispetto
al loro genere: a questo caso si pud in veto ridursi mercb una trasfor-
mazione della superficie data B. Allora й facile verificare che, nello
spazio di JF, le curve, irridueibili В di ordine JT e genere U, che costi-
tuiscono la famiglia definita dalle C -f- J) spezzate, formano una va-
riate avente una carta dimensione J8, entro.cui si ha una variete
(4 La parte ohe segue 6 atata laeciata incomplete dall’Autore e quindi le
argamenteriom ivi svelte piesentano пшпегове lactme; tuttavia si й ritenuto
opportune riporterla регЛй contiene idee che ferae, opportunamente coznpletete,
potranno fomire Io spunto per una aietemazione della teoria. (Kota dei revisori).
(®| Mel eeneo precise delle condizioni difterenziali ohe definiscono i punti
infinitamente vicini. Cfr. ENBiquBe-CtaeiNi, Laetoni, L. IV, vol. II.
334 . Л . СЛРХТОЬО MONO .
-di dimensione Л — m costituita dalle В = JE (spezzate) eon wi punti
doppi comprendenti la famiglia delle 0 4* D, per modo ehe' lo spez-
zamento delle В nello spazio di В (non diciamo sulla superficie)
dipenda proprio da ж eondizioni indipendenti, e non da meno.
Per dimoatrarlo, si proietti la eurva spezzata Ce 4- D9 con ж
punti doppi (comuni a C, e De) da un convenient» spazio lineare
sopra una retta multipla 27-pla (ridueibile)con 2N + 2 П— 2 punti
critic!.
Questa retta ЛГ-pla si pud ritenere come una riemanniana ad
N fogli, che — per una certa seelta di cappi, presi in un dato
ordine e per una opportune nomenclatuxa dei rami -— si lascia de-
' finite da un sistema di trasposizioni sui rami, simile a quella che ri-
sponde al teorema di Luroth-Clebsch (*); cosi (essendo », я e v,
q i caratteri rispettivamente di Ce e Pe) si avranno:
1) anzitutto 2 я— 2 cappi a ciascuno dei quali risponde un
numero pari di trasposizioni simili (12) (12).... ((« — !)»), ((»—!)»);
2) poi ж cappi (che vanno agli m punti critici -apparent! im-
magini dei punti comuni a Co e a ciascuno dei quali risponde
il prodotto di due trasposizioni
’ ‘ (n(»+D)-(»(»+.i)) =1 ;
3) e infine 2v 4- 2g — 2 cappi a ciascuno dei quali risponde un
numero pari di trasposizioni simili
((» + 1)(« + 2)) , ((» 4- !)(» 4- 2)) —
((»4-* —1)(»4-*)), ((»4-v — l)(»4-v)) .
Ora, pel teorema d’esistenza (8), si pud far variare per continuity
la retta multipla cosi definita, staccando i due punti di diramazione
che. confluiscono in uno dei punti critici apparent!. Appare quindi
che la curva spezzata В = <70,4- -Do, nello spazio di >, d suscettibile
di variare in una. certa variety* oo® "F di curve irriducibili B, ed entro
a questa si trova una variety oo»-» V di curve spezzate con m, punti
Г doppi,’ per modo che le curve infinitamente vicine alia Ct 4- Д»
con m punti doppi costituiscono precisamente l’intorno lineare di
questo elemento-curva su V.
Infine dunque si ё dimostrato il lemma fondamentale:. «ogni
curva В con m punti doppi, infioitamente vicini a <70 4~ Д> (nello
spazio di J1) appartiene ad una serie (regolare) co* di curve spezzate
che comprende la <70 4- Be, -e percib deve ritenersi -effettivamense
(*) Cfr. Ekmqubs-Chisiki, Lezioni, L. V, Cap. I, § 3, vol. Ill, pag. 26; Cap. Ill
s 33, vol. Ill, pag. 350-376.
- (•) Cfr. Емзивтаз-Снхвхнх, bezioni, L. V, Cap. Ill, J 33 1. a.
SUPERVICIB IRRBGOMRI В SISTEMI CONTINUI DI CURVE, ECC. 335-
spezzata in due curve improprie <7X e Dx rispettivamente dell’ordine
di <7e ® vicine a queste curve ».
U Iemma fondamentale cosi stabilito signifies che «la eurva
infinitamente vicina a Ca che fa parte di una curva viema a C# + he .
con m punti doppi, quale si й imparato a costruire sopra la super-
ficie P, dipende soltanto da C, e non dalla seelta di una Do, che in
Infiniti inodi diversi pud associarsi ad essa, entro no sistema rege-
late jD| ».
Su questa base vogliamo rieonoscere che successivamente alia
detta eurva Clt si ha ancora, nell’intorno di 2° ordine di Ca, una
curva' C*, e poi una curva <7, esc.
Sia lecito qui parlare di curve infinitamente vicine, ehe si presu-
mono definite da eondizioni differenziali allo stesso modo dei punti
sopra una curva, come di curve proprie-, riservanfioci di giustifieare ....
pih avanti i’uso che facciamo di questo linguaggio.
. Sulla superficie >, che contiene i sistemi lineari ) 0] e |D| con-
siderati innanzi, si costruisca un sistema lineare normalmente grande
p| di un certo genere P; per modo che | C\ e |H| seghino sopra una
X generics, ed anche sopra ogni L (irriducibile) dotata di un punto
doppio, serie complete d’ordine inferior® a P (*). Oonsideriamo in
|£| un fascio generico di curve X, avente un certo gruppo Г di
punti base: diciamo anzitutto che «le curve infinitamente vicine
disequivalenti fia e segano sulle L del fascio,- gruppi disequi-
valenti ».
.• Questa affermazione eonsegue da,cid che f<7e| sega su ogni X
una serie completa: cosi — essendo M = CL > OJ — tante sono le
curve equivalent! infinitamente vicine a Oe quanti. sono su L i gruppi
equivalent! a C^L vicini ad esso; e se ^segasse su una L un grup-
po equivalents a C^L, dovrebbe pure essere Cx equivalents a <7e.
Ora si possono modificare lievemente e precisare le nostre as-
sunzioni, assumendo ehe O0 appartenga, entro |O}-, ad un sistema
regolare di dimensione r==p-f-n — л-4-l" sicchft la curva stessa
sia individuata da r punti base semplici che formino un sottogrup-
po A di Г (e similmente, ove occorra, che |X>e| sia pure di dimen-
sione r’ = pa 4- v — q 1 siechS la curva Be rest! individuata
imponendo r' punti base semplici che formino un sottogruppo В dello
stesso Г). Allora nel gruppo base P.del fascio delle L si sceglieranno
fuori di ’A e B, altri P—Ж punti (ridueibili ad un solo punto da
contare P—M volte), formanti un certo gruppo S, che sommati al •
gruppo di Ж punti sezioni di. <7, con L daranno su questa un grup-
po & di P punti, non speciale, e sommati al gruppo sezione di (7Ж,
daranno similmente un gruppo di P punti 0lt infinitamente vicino
(i) Cfr. Cap: iv, f io.
336
CAFITObO KONO
e disequivalente a G. ba corrispondenza -fra G e Gt (trasformazione
inflnitesima del gruppo della variety di Jacobi di Z) genera sulla Z
del fascio una serie analitica t di gruppi di P punti, cui appartiene un
gruppo Gt inflnitamente vicino a G nell’intemo di 2° ordine di G,
-eiob successive a Gt. Al variare di Z nel suo fascio, fl gruppo Gt, che
riesce determinate algebricamente e razionalmente (x), descriverb.
sulla superficie P una curva O, inflnitamente vicina alia Ce, nel suo
intorno di 2° ordine, e successiva alia cui saranno da aggiun-
gere le curve inflnitesime, eon esse non connesse, che circondano i
punti del gruppo A. .
Per giustificare I’asserzione fatta, che al variare di Z nel fascio '
Gt generi una curva Ct vicina a Ot e dello stesso ordine, occorre
riconosoere che il luogo di Gt, definite a meno di curve irriducibili
Z del fascio, non contiene qualcuno dei punti del suo gruppo base
Г fuori di A, e percip che sopra una Z quatunque del nostro fascio
(scelto in modo gefierico entro (Z|)-fl gruppo di punti Gt ’(vicino
a G nell’intemo di 2° ordine) non pub essere speciale.
A tai uopo osserviamo che:
1) sopra una curva Z, di genere P, il gruppo Gt non pub es-
sere speciale senza che siano special! anche i gruppi G & G-й imperocchb
un gruppo inflnitamente vicino ad un gruppo non speciale b certo
non speciale’;
2) poichb il gruppo di M punti ZCe (tolto A) non appartiene
ad una serie lineare di dimensione > 0, sommando ad esso un gruppo
generic© di P — X punti (il gruppo S) si ottiene un gruppo non Spe-
ciale (’): per avere un gruppo di P punti speciale bisogna assog-
gettare S ad «ив condizione, e almeno ad' ип’аЛга ««deiowe-con-
viene assoggettare la scelta di 8 sopra Z affinehb ahche il gruppo
G = 8 + tC, sia speciale; cost dunque la scelta di un gruppo
P di P—X punti di Z che, sommato a ZCe e a ZO„ dia luogo a
•due gruppi special! G e Gt, imports almeno. dwe condizioni a cui 8
•deve soddisfare. , * . .
Oid posto riprendiamo la costruzione precedentemente dise-
gnata di un fascio di curve Z in |Z|: si assumerb. anzitutto una par-
ticblare curva Z di |Zj (irriducibile di genere P) e su questa un
gruppo di r punti imposti come punti base a | <7|, e poi un gruppo
8 di P — X punti da aggiungere a_quelli del gruppo ZOe (da cui
•b tolto A) e infine, sulla medesima Z, un gruppo Г della serie carat-
(*) b’espressiene differenziale ehe deflniaoe il. вг, da cui pub rieavarsi questa
di tawasi oaloolata da Chiswi. Cfr. Enbiqvbs-Cbisi», Leziont, Ь. VI, Cap. II,
| 28, vol. IV, pag. М3.
(s). C’6' qui una semplice conseguenza del teorema di Riemann-Boch.. Cfr.
p. es. Esbiqvbs-Cihsini, Ztziotti. L. V, -Cap. I, vol. III.
SUMSBIICIE IRRBGObAKI И SISTBMI COHTINVI DI CUSVB, ECC. 337
^teristiea д%~г di X, contenente Se il gruppo di P punti <7 = S 4-
4- hC, deve essere speciale su E e deve avere, sulla stessa curva,
un gruppo vicino — 8 4- XCx pure specials, bisogna che la scelta
del gruppo 8 soddisfi, come abbiam dette, ad almeno due condi-
zioni; e se,-inveee, le analoghe condizioni debbono essere soddi-
sfatte sopra una eurva L del fascio che ha per gruppo base Г, dispo-
nendosi qui di un parametro, bisognerft, tqttavia ehe la scelta di В e
quindi quella di Г soddisfi sopra X ad una condizione almeno, e cosi
avremo, un fascio di X ehe non b scelte in modo generieo entro |X|.
. In tai guisa resta provato Passerte: il gruppo Gt costruito, come
innanzi, sulla X di un fascio generieo di |X [ descrive una eurva vicina
a Ct dello stesso ordine (non passante per qualcuno dei punti base
del Г). IS giova awertdre ehe il nostro ragionamento non cade in
difetto per la cireostanza ehe entro un fascio di X si abbiano, in ge-
neral®, curve (irriducibili) di genere eflettivo F— 1, dotate di un
punto doppio X; imperocchb b lecito ritenere codeste curve di genere
virtuale P (assumendo il punto doppio X come virtualmente inesi-
stente). Vuol dire che un gruppo S' di (F— 1) 4- 1 punti sopra una
X siffatta dovr& ritenersi non speciale ove non appartenga ad una serie
lineare oo1 ehe abbia una coppia neutra XxX, in corrispondenza ad
X. Oosi, anche in questo caso, la speciality di & e Gt porta due con-
dizioni almeno cui la scelta del gruppo 8 deve soddisfare.
Kel diseorso precedente si parla delle curve Cx C,.... inflnita-
mente vicine a Xe, come se fossero curve proprie. Per giuatificare
I’uso di questo linguaggio, conviene mostrare che le dette curve
possono veramente deflnirsi mediante un paasaggio al limite di curve
proprie. Oib accade anzitutto per la curva Cx inflnitamente vicina
a Oe neU’intomo del prim’ordine: giacchb abbiam veduto che Ct
fa parte della curva riducibile vicina a Co entro un fascio limite
per Л = 0 di Ce 4- Da 4- PE (|U| = 10 4~ -X|) che ha come punti
base gli m punti del gruppo A ben vero ehe la curva di questo
fascio d, per Л + 0, irriducibile e tende alia <7# 4" Pel ma, secondo il
lemma fondamentale stabilito innanzi, per Л infinitesimo questa
curva aequista m punti base ,e si spezza .in Cx-j- J)t: vuol dire che
la aerie analitica t oo1 dei gruppi di punti determinate da ff e
sails X del noininato fascio, non dipende affatto dalla scelta di X».
о del sistema |X>] che si У-associate a | <71.
Ora si pud costruire una curva propria la cui variazione definisce
<7S, considerando sopra una X generica del dette fascio:
1) il gruppo & sezione di Ct cui si aggiungono i punti di J.;
2) il gruppo G' coBtituito (oltre che da J.) dai punti di Xo 4-
4- X, 4- PE vicini a quelli di 6;
3) il gruppo di P punti &*, ehe risponde a &*, nella trasfor-
mazione (&&') della variety di Jacobi di X.
ZHiiQVis 3P. - ^-ui>erfi.el4 aigebrtelte. ' . 2®
338
CAPITObO KONO
Il luogo descritto da &*, al variare di L nel fascio, vale- appunto
a deflnire la curva Cs suocessiva a О e C4
A dir vero, flnchb Л * 0, il detto luogo b una curva irriducibile
che tende a una curva pih ampia di C?o, ciob a Ca 4- Д>;‘infatti un
punto di Ca 4 4 1®, vicino a <7e, col variare di L nel fascio, d
suscettibile di soambiarei con un punto .vicino a Do, siechb la curva
ehe vien definita dal variabile sate, generata dalla somma di
S' ft di ш <?' analog» definite rispetto а Д e vicino a questa !>„ e
la somma G” 4 <?" descrivete, una curva secante sulle & gruppi
della serie lineare segata da = j(J 4 D|, о (a priori) un mul-
tiple di questa serie, il cui limite — per Л = 0 — b <7e 4 Д/ f1).
Ma,.sopra L, i gruppi G G' (?’ appartengono ad una serie anali-
tica oo1 di gruppi di P punti che — per A -> 0 — quando essi diven-
tano infinitamente vicini, dipende soltanto da Ca e <4 e non da Dn ©
da (1>|, e percib v%te veramente a deflnire, nell’intorno di 2° ordine
di С», la curva C^/parte irriducibile di IS» per Л -> 0, di cui volevasi
stabilire 1’esistenza.
Abbiamo costruite su V una curva O, vicina a. Ct e suocessiva
ad essa, neH’intorno di 2° ordine di Oe, la quale fa parte di una
JE, == <7» 4 Z>» spezzata, del sistema lineare jjg|- — \O 4 P]- ’
.Similmente, a partite da С», si eostruiri una successiva curva <7ar
vicina a <7e nell’intorno di 3° ordine ecc. Cosi viene assolta I’esigenza
dimostrativa dichiarata innanzi, ciob riesce stabilito che vicino alia
Д> = ca 4 Д> spezzata, vi sono, successivamente in tutti gl’intorni
d’ordine finite, curve del sistema == |(7 4D| spezzate, fот-
manti una serie regolare (assimilabile ad un ramo lineare di curva) -T
e quindi risulta dimostrato in generale' il teorema fondamentale-
Sopra una superficie di genere geometric© p, 3: 0 e di’ genere
numerico ₽«<₽», ogni sistema lineare regolare non speciale di curve
irriducibili |<7j b contenute in un sistema continue -{(7 J- che sega su
una 0 la eerie caratteristica coinpleta e percib riesce formate da
oo« (g = p,— pa) sistemi lineari distinti. Quindi: Vimgolaritd geo-
metrica d’una superficie eguaglia sempre Virregolaritd numerica:
g—p«—pa-
E (§ 2) sopra una superficie di irregolaritd g ogni сипа C, coi ca-
ratteri n, я e i, she sia aritmeticaniente effettiva, ciob tale ehe
- pe4.« — я + 1 — i>. 0,
appartiene ad una serie continue -oo® di curve disiguwalenti.
•f1) La grastifioazione dell’aeeerto si riduoe a questo: ei abbiano su una curva
h di genere P due gruppi di P punti ff e G, e ancora altri due G' e G' tabjjhe-
G + Q =_в' 4 e si costruiscano i gruppi -G* = 6' 4- ](?' — ©| e G’ == G’ 4-
4- \9 - G], allora S' + = S' + S' - 8 46. '
SOTBEFICIE IRREGOLARI В SISTBMI COHTINUI DI CURVB, BCC. 330
6. Storia della teoria dei sistemi continui.
ha .teoria dei sistemi continui di curve appartenenti alle super-
ficie irregolari ha un signifieato fondamentale, non soltanto per lo
studio’ algebrico-geometrico delle superficie, si anche per la dottrina
(traseendente) degli integral! semplici (di differenziali total!) ehe ad
esse appartengono, valendo a ricollegare questi due aspetti diversi
della scienza delle superficie. Pertanto, mettendoci dal punto di
vista generale che risponde alia sua genes!, vogliamo approfondire
la comprensione della teoria general© di • questi sistemi continui
offrenddne una prospettiva storica, dove si veda pure fl signifieato •
degli error! per cui la teoria stessa ft dovuta passare: cosa tan to pitu
essenziale se si ritenga che lo sviluppo della teoria non abbia ancora
toccato ad una sistemazione deflnitiva.
.La memoria di Gastelxuovo-Ekbiqves del 1900 «Sopra alcune
question! fondamentali nella teoria delle superficie algebriche » (*},
mentre da una parte conchiudeva fruttuosamente una serie di sforzi,
dfbll’altra poneva problemi miovi, come quello della determinazione
delle superficie coi plurigeneri null! (e quindi della superficie di ge-
nere p„ == 0 e di genere numerico negative). Per approfondire tali
problemi e in generale per far progredire la conoseenza delle super-
ficie, anche in rapporto alia teoria trascendente della scuola francese,
si presentava come istrumento lo studio dei sistemi continui di curve
disequivalenti. . .
La eonsiderazione generale di sistemi siftatti risale ad una Kota
G. Нтгмвйнт del 1893 (s): 1’autore dimostra che il possesso di un
tale sistema di curve porta 1’esistenza di integral! semplici di prima
specie (integral! di Heard di difterenziali total!) annessi alia super-
ficie. Su questa Kota richiamava I’attenzione dei colleghi O. Segue
e poco dopo 1’argomento diventava di studio per la scuola geo-
metriea italiana. Gift nel 1896 Eneiqueb vi portava -un contribute
indiretto (’) mostrando ehe « sopra una superficie una serie razio-
nale di curve ft sempre contenuta in un sistema lineare ».
Kel 1899 Enbiques ihizia lo studio geometrieo delle superficie
eontenenti sistemi continui { di curve disequivalenti (*), stabilendo
ehe esse ' sono irregolari. L’autore mostra che il sistema aggiunte
(*) Annali di Matentatica, t. VI, s. II, pag. 165.
(*) 'Sur une propriiti d’une classe de surfaces algibrigues. (Comptes rend.ua,
1883)'. - ‘ ‘ ,
(a) Un'o^servazione relativa, alia rappreeentazione parametrica delle curve al-
gebriche. Hendic. Circolo mat. di Palermo, 1895.
(4) Una propriety delle serie continue di curve appartenenti ad una superficie.
algebrica regolare. Rendio. Circolo mat. di Palermo, 1899.
340
CAPITOLO NONO
ad -an sistema lineare | (7| contenuto in f(J}- non pud segare sopra
una '(J la serie canonica completa. Avendo egli comunicato, prima
della pubblieazione, fl risultato 'al Castblwovp, questi gli rispon-
deva offrendo una seconds dimostrazione del teorema, ove si fa
vedere che la serie caratteristica di | O| ё necessariamente defieiente.
E nella Sbta da lui pubblicata Enriques, riporta, dope la propria,.
la dimostrazione del Oollega. * • '
Successivamente (nel .1901) Enbiques stesso — avendo di mira
di riconoscere il legame fra le superficie irregolari geometricamente
definite (p0 — > 0) e quelle che posseggono integral! semplici di
prima specie — dimostrava che «le superficie possedenti f integral!
semplici di prima specie con 2g period!, contengono sistemi continui
di curve disequivalenti (*) ».
D’altra parte Oastelnuovo riusciva a fiimostrare che « una su-
perficie di genere 0 e p« •.< 0, contenente un sistema continuo
di ’ curve disequivalenti, possiede di conseguenza anche un fascio
irrazionale di curve» (§ 11). Bra una propriety il eui signifteato di-
pendeva da ulterior! eventual! progress! della teoria, e Оайтеютоуо
si limitava a comunicarla ad Bkbiques, che la renders. pubblica
pih tardi (1904), quando potiA dedume che « ogni superficie eon
p, « 0 e p, < 0 possiede sempre un tai fascio irrazionale ».
Jhattanto, nel 1902, F. Sevebi, da poco laureate neU’Univer-
site. di Torino, per Consiglio del suo maestro O, Segbe, veniva
come assistente alia cattedra di geometria dell’University di
, Bologna, avora tenuta. dall’ Enriques, allo scope di entrare in
pih stretta relazione coi cultori della teoria delle superficie. Bnbi-
ques attirava subito 1’attenzione dei giovane geometra suli’argo-
mento dei sistemi continui, e in ispecie gli suggeriva - lo studio di
una particolare famiglia di superficie contenente sistemi sifiatti,
ciod delle superficie che rappresentano le coppie 'di punti di' una
eurva, alle quali Sevebi dedicava appunto un lavoro, pubblicato
nel 1903 (*).
bo studio delle superficie rappresentative delle eoppie di punti
d’una eurva ofEriva esempi appropriati ad illuminate question! d’or-
dine generate: ivi, in particolare, Severi incontrava il problem»
della base, che pih tardi costituirh oggetto di qualcuno dei pih im-
{*) Sur les лгг/ooes algdbriguea admetiant du integrates de diffdrentidlee totals#
de prdmiire ea-piee. Annates de Toulouse (3), 3, pag. 77,
(s) Salle einperfieie cht rappreeentano le ooppie di punti di una eurva algebrica.
Atti della B. Aocadexaia di Torino, Gennaio 1003.
Convien dire che, indipendentement® dal Smat, anche M. Da Fbancbsis
pubhlieava, nel frattempo, uno studio.Sulla variety eo2 delle coppia di punti di
due curve a di una eurva algebrica. Rendic. Circolo mat. di Palermo, 1903.
SUPERFICIE IRRBGOX.ARI В SXSTEMX COSTINUI DI CURVE, BOG. 341
portanti suoi studi. Frattanto esso dava oeoasione all’introduzione
del concetto pit; esteso della serie caratteristica.
L’idea era in germe .nella dimostrazione ohe abbiam, detto:
CASTEiaroovo. aveva comunicato ad Enbiques, circa la deflcienza
della serie caratteristica di un | O| contenuto in un di curve
disequivalenti, perch'd ivi si vede la.serie defieiente di ]0| ampliarsi
col limite della serie caratteristica di un sistema lineare infinita-
mente vicino. Ma pih preeisamente Слетжлптоуо rilevava in ma-
miera esplicita questo concetto riferendosi alle superficie (iperellit-
tiche) che rappresentano le coppie di punti di una eurva I di genere
2; su tali' superficie si ha un sistema continuo di curve 0 di genere
due, che ё del grado due e contiene entro di её le immagini delle
serie di coppie di punti di h con un punto fisso: orbene una eurva
C di tale sistema ё isolate, sicchft шанса il sistema lineare che do-
vrebbe segare su di essa la serie caratteristica, la quale (per essere
jr=le la ’eurva canonica d’ordine zero) sarebbe la canonica;
ma sulla detta C la yj stessa viene segata dalle curve di^ infinita-
mente vicine.
Il Oasteentjovo avendo comunicato queste osservazione al
Bevesi, questi fu tratto a' svilupparla in general e, awertendo anzi-
tutto che la serie caratteristica di una C pub essere definita, indi-
peudentemente daU’esistenza di un sistema lineare pih ampio che
contenga <7, come diffierenza
(C + D)O— DC,
dove | D | sia un sistema lineare ausiliario qualsiasi (tale che | C + D |
seghi su <7 una serie complete). Infatti queste serie differenza ё in-
dipendente dalla scelta del sistema ausiliario |JD| (*). Come si vede
с’ё qui 1’interpretazione geometrica о funzionale del procedimento
eon cui EsBiqtXBS aveva gift definite fl grado virtuale della eurva
C, riguardando appunto \C\ come diSerenza di due sistemi lineari
di curve.
definite in tel guisa la serie caratteristica di una eurva <7, in-’
dipendentemente daU’esistenza di un pih ampio, sistema lineare
| <71, non vi ё difficolth a rioonoscere ohe « se О appartiene comunque
ad un sistema continue 10}, le curve di questo infinitamente vicine
a <7 segano su di essa gruppi della serie caratteristica». E quindi
la dimostrazione dei teoremi di Enriques, che аорта abbiamo ri-
cordato, si riduceva all*espressione@pih semplice.
. Fino da quando si era riconosciuto che il possesso di un sistema
continuo di curve disequivalenti porta la taegolarite della super-
(X) Ssvbbi, Oaeervazioni eui sistemi continui di curve appartenenti ad una au-
perficie edg^riea, Atti della B. Acc&demia di Torino, Febbraio, 1904.
342'
• СЛМТОЬО NONO
ficie (>ж < рг), si affacciava naturalmente la richiesta di invertire,
il teorema, stabilendo dunque che il poase-sso di sistemi continui
aiflatti oostituisce la propriety caratteristica delle superficie irregolari.
Anzi tale richiesta asaumeva una forma pih preeisa: infatti dei geo-
metri che solo per forza di esempi si ©fane staccatt dall’ipotesi impli-
citamente ammesea da Жжение circa Fintegrite dplla serie caratte-
ristica dei sistemi lineari eompleti, dovevano domandarsi se non.
sarebbe inveee completa la serie caratteristica di un pih ampio siste-
ma. continue. Ma il punto era di trovare un mezzo per discutere la
questions; a tai uopo occorreva infatti un criterio che permettesse in'
qualche modo di contare le condizioni di spezzamento di una curva
contenuta in un sistema lineare. Bkeiqtjbs (1904) trovb un criterio
siffatto nel prinpifio di degenmigione о Ai spe&amwtio: se una curva
irriducibile C, variando con continuity, venga a spezzarsi in due com-
ponent!, queste dovranno avere in comune almeno un punto di eon-
nessione, ehe non'sia limite di un punto doppio variabile di C.
Sotto 1’aspetto topologico с’й qui una verity evidente: ретсЬё
inlorza della continuity la riemanniana di C, ehe ft connessa, deve
rimanere connessa in ogni passaggio al limite, eonducente ad una
C epezzata (»).
Coll’aiuto del principio di spezzamento Enbiques credette di
poter dimostrare che «i sistemi continui eompleti hanno la serie
caratteristica completa » (8) e cosi che un sistema lineare regolare
non speciale.(di caratteri n e я), sopra una superficie d’irregolarith
,4 е?»— P«> appartiene ad un sistema continue di dimensione
pg 4- n — я + 1, composto dunque di oo’ sistemi lineari disequiva-
lenti. Egli ft rieorso a tai uopo alia rappresentazione della superficie
sopra un piano multiplo che. — ai fini della dimostrazione stessa —
non ё »й»йо essenziale, tantochft il ragionamento ai pub ripetere
in maniera sostanzialmente identic» sopra la superficie medesima,
come ha osservato Sevbbi (’). ' , . (*)
(*) Solo di recente b etata segnalata un’oeservazione di Ковтижа che precorre
i al detto principio. Nella memoria Cleier die reductiblen algtsbraisahtn. Citroen (Acta
Mathematioa, 1896), questi, avendo evolto 1» teoria delle serie di gruppi di punti
(eegnate da sistemi lineari di curve о superficie) sopra una curva epezzata, piana
о gobba, awerte che per le curve gobbe (!) la teoria non. rientra in quella relative
alle curve irriducibili, se le component! non abbiano almeno un punto comune.
Д principio di spezzamento, anziohft da un punto di vista topologico, pub
anche essere stabilito per via algebrico-geometrica. Cfr. p. es., Еггаивстз-Сягапи,
. Libro V, cap. 1П, § 36, vol. Ill, pag. 405.
(’) Sulla proprieid caratteristica delle superficie algebriche irregolari. Rendic.
Acc. di Bologna, dicembre 1904.
(’) Irttomo alia costrvsione fiei sistemi eompleti non lineari. Rendic. Circqlo mat,
di Palermo, 1905.
SUPERFICIE IRREGOLARI В SISTEMI CONTINUI 'DI CURVE, BCC. 343
Conviene dlr subito ehe il ragionamepto di Enriques conteneva
an errpre, oqme viene sptegato negli sviluppi del f в: I’autore non
si era acoorto del punto eritico ehe qui s’ineontra в равна, senza
aocorgersene, da una propriety dififerenziale ad una propriety inte-
grate. ba difficoith, ossia 1’insufficienza del principio di spezzamento
per ?, > 0, h stata anche illustaata nel detto § .6 rilevando che il
veto significato di. codesto principio consist© in cid ehe «lo spezza-
mento della eurva di un sistema lineare | C -f- D | in due curve del-
Tordine di 0 e di D con m punti eomuni importa (non pih di)
tn condizioni »; inveee per p, > 0, occorre riconoscere che queste
condizioni sono, in generale, soltanto m — p„. Dimostrare -che questo
accade per le curve inflnitamente vicine ad una curva spezzata C -f- D
del nostro -sistema lineare signifies appunto stabffire una propriety
•difterenziale ehe non si ё autorizzati a premiere in un sense integrate.
La deduzione riesee giusta soltanto per p, = 0 (e < 0), nel qual
-caso invero non fa d’ubpo aflatto di ricorrere alia considerazione
-della serie caratteristica.
Ma Гегготе о la lacuna del ragionamento di Enriques non fu
awertito, per quindici anni, dai geometri, tantoette bisogna arri-
vare al 1921 per trovare la critica formulate da Severi; e a questa
epoca il teorema fondamentale, conoemente 1’esistenza di serie
<»• di curve dteequivalenti, era state dimostrato, per altra via, con
procedimento trascendente da Рошсанй (1910) (*). Nel 1904 fl
ragionamento di Enbiques pareva convalidato anche daU’espbsi-
zione che ne faceva lo stesso Sevebi, conservandone — come ab-
' biamo accennato — lo schema essenziale (s).
E pertanto il teorema,. cosi accettato dai geometri, diveniva il
punto di partenza di important! sviluppi.
. ' Questi procedono essenzialmente in due direzioni:
1) Enriques-si attacoa anzitutto alia claesificazione delle
-superficie di genere p, — 0, e pih tardi ai problem! pih general! di
classificaziohe delle superficie, ehe coefituiranno Targomento dei
due capitoli seguenti .X e XI. Fortunatamente questi sviluppi si
(*) H. РОиголвй, Sur les oourbes trades sar les surfaces algibrigues. Armales
da 1’Ecole Normale Sup., pag. 3 (27).
(*) Cfr. la oitata manoria: Intomo alia costruzione dei sistemi eompleti non
lineari she appartengono ad una superficie irregolan, Rendic. del CircolO mat. di
Palermo, 1905.
Piii tardi neUa Nota Nuoui contr-Bruti aUa teoria dei sistemi continui di curve
appartenenti ad una superficie algebrioa (Rendie. Lineei, 2 e 10 aprile 1916),' al n. 1,
Szvbbi riesponeva la dimoetraaione di Enbkjubs, riprendendo anzi la forma ori-
ginale (rappresentazione della superficie eul .piano multiple).
344
CAJPITObO NONO
basano о si possono basare per la maggiot parte sul teoiema fonda-
mentale ristretto. - . .
Cib ё ohiaro a priori per il Cap. X relative alle superficie di ge-
nere pt = 0, ma vale anche per i risultati sulle superficie di genere
numerico p« < 0, che esponiamo nel Cap. XI, dove tuttavia occorre _
' modificare in qualche punto le dimostrazioni. ®anno eccezione i
teoremi concfernenti le superficie con рл — 0 e p, = 1: che codeste
superficie non possono avere Ja curva canoniia d’ordine zero, e
che posseggono sempre un fascio di curve ellittiche.
2) Oasteljotovo e Seveei si volgevano invece a sviluppare
le conseguenze del teorema fondamentale in ordine 'alia teoria tra-
scendente: dove si trattava di precisare dal punto di vista quanti-
tative il legame che il detto teorema poneva in luce fra le .superficie
irregolari e. quelle possedenti integral! semplici di prima specie.
Tn proposito abbiamp,’gih accennato al primo tentative da noi fatto
per invertire I’osservazione di Humbert, ciofe al teorema che le su-
perficie possedenti g integral! semplici di prima specie eon 2g period!
contengono sistemi continui di curve disequivalenti e quindi sono
irregolari. Questo- teorema assumerebbe il pih vasto signifieato ove
la teoria trascendente di Picard, permettesse a priori di oonoscere ehe
fl'numero dei detti integral! di prima specie, annessi ad una super-
ficie qualunque, ё sempre eguale alia mett del numero de! period!.
Tn mancanza di cib, gii> prima della STota d’BHBiqnES « Sulla
propriety caratteristica.... », Seveei aveva investigate in altro modo
la question© delle superficie possedenti integral! semplici di prima
specie, dimostrando che « il possesso di integral! di seconda .specie (e
percib di prima) porta che la serie caratteristica di un sistema li-
neare complete' sia deficient© e quindi anche che la superficie sia
irregolare » (*). Sebbene questa dimostrazione valga a stabilire un
fatto fondamentale e eontenga un’analisi interessante relative alle
singolaritA sulla curva polare dell’integrate, non sembra che essa
possa venir completata fino a trovare il numero degli integral! di
prima specie in funzione deU’irregolarith, senza 1’aggiunta di qualche
i element© essenziale (). '
Invece la considerazione dei sistemi continui di oo8 curve dise-
(*) SvUe superficie algebriche che posseggono integraH di Picard deBa 2* specie.
Kendic. Lincei, 1904« Cfr. Maib* Annalen, 1905.
(a) L’analia della questione conduce Sbveri ad un risultato
fra i numeri degli integrals di Picard della prima e della seconds specie appartenenti
ad una superficie irregolare. АЛЫ В. Aooad. Torino, 1905. Al medesimo risultato
giungeva, ool eno procedimento, Pioabb (Comptes, rendus, 1905): Cfr. il 2V<w*4
di Pxoabd e Вхмажг, П, pag. 417.
SUPERFICIE IRREGOLARI E SISTBMI CONTINUI DI CURVE, BCC. ’ 345
quivalenti permette a Oastelwovo (») e a.SEVEBi («), indipendente-
mente 1’uno dall’altro, di precisare sotto I’aspetto quantitative I’os-
servazione di Нтавивт, - dimostrando ehe a le superficie irregolari,
di irregolarith g = p, —₽., posseggono proprio g integral! semplici
di prima specie, eon 2g period! s. La dimostrazione di questo teorema
capital©, cui non arrive la considerazione dell’equazione м-пеата
di Fuchs adoperata da Ficabd, si vedrh poi svolta per altra via da
Ропгсавй, nella memoria citata, in cui ritrova, come. abbiam detto,
anche 1’esistenza di sistemi continui con oo» curve disequivalenti.
Per la dimostrazione del teorema sugli integral! di cui si ё detto
innanzi, _ Castelnttovo introduce 1’importante concetto di quella
che egli ha chiamato la varietd di Picard annessa ad una superficie
irregolare (cfr. § 3). Questa noziorie permette in generale di costruire
il sistema continue definite da una curva 0, a partire da un altro
qualunque 'sistema continue appartenente alla'-’enperfieie. Bn-
biqtjes ha osservato che la costruzione si pud precisare, in base al •
teorema di Biemann-Boch, traendone che «un sistema lineare di
'curve di caratteri n, я ed *, aritmeticamente effettiva, ciob tale che
Pa + я — я -f- 1 — i 0, appartiene sempre ad una serie oo’ di
sistemi lineari disequivalenti» (cfr. § 2). L’osservazione fu dall’au-
tore comunicata al Sevebi, e poichb questi era riuscito proprio allora-
a semplificare notevolmente la dimostrazione del teorema di Riem arm-
Roeh, a lui lasciava 1’Bnbiques di pubblicarla (’).
Veniamo ora alia eritica che ha scoperto il punto debole nella-
dimostrazione del teorema di Enriques su! sistemi eontinqi, Abbiam
detto che questa ё stata mossa dal '^evebi nel 1921. Si trova in una
serie di Mote « Sulla teoria degli integral! semplici di prima specie
appartenenti ad una superficie algebrica » (*), in cui viene esposta,
semplificandola in qualche. punto, la dimostrazione di Ронгодвй.
del 1910, comprendente insieme 1’esistenza dei sistemi continui e
degli integral! d! prima specie (•). L’autore osserva che (grasde a-
Ропгоаей) almeno la parte essenziale del teorema' (il teorema fon-
damentale come ё enunciate qui nel | - fi) resta salvo. Pih tardi si*
riprenderanno i tentative per estendere questo teorema dimostrando
(») Sugli integredi semplici appartenenti ad una, superficie irregolare. Bendio.
Lincei, Maggio-Giugno, 1905.
(*) Il teorema d'Abel тйе superficie algebriohe. АппаИ di Mat., agosto, 1905.
(*) ^Sbvbbi, Sul teorema di ^iemann-Soch e suUe serie continue di curve appar-
tenenti ad una superficie algebrica. B. Aooad. Torino, 1905.
(*) Bendic. lAnoei, 1821.
(5) La danostraaione di РошолмА, ulteriormente semplifioata da Ьюидаи,
viene esposta da O. Zabiski, Algebraic Surfaces (Berlino, Springer, 1935). Cfr. VII,
4, 5 (pag. 128, 133). . '
346
СЛИТОЮ NONO
.come sia sempre completa la serie caratteristica di un sistema conti-
nuo complete qualsiasi; ma di cib pih avanti (§ 7).
Ensiqubs, in pih Note del 1936-1937, su le «Curve infinita-
mente vicine sopra una superficie algebrica » f1) e su « La propriety
•caratteristica delle superficie algebriche irregolari e le curve infini-
tamente vicine » (*) ha tentato di colmare la lacuna segnalata nella
dimostrazione del teorema fondamentale, cereando di provare ohe
ad una eurva C (quando la serie caratteristica di C abbia la deflcienza
g = sono infinitamente vicine, non solo oo« curve dise-
quivalenti neH’intorno del prim’prdine, si anche curve successive
•a- queste neU’intorno del secondo. ordine ecc. L’idea fondamentale di
tale dimostrazione (che gift, appare nolle « Lezioni » di Ekbiques e
Campedelli), consiste in cib che « sopra una variety abeliana si de-
finisce, con Ътв, una trasformazione infinitesima generatrice di un
gruppo oo1, a partire da due punti infinitamente vicini ».
Epsi, in particolari, nella variety di Jacobi costituita dai gruppi
di p punti di una eurva del genere p, si riesee a definire una serie
•oo1 analitica di element! (gruppi di punti) .a partire da due gruppi ’
'infinitamente vicini. Questa costruzione si estende ai sistemi continui
-di curve disequivalenti su una superficie, quando si presupponga
1’esistenza di un sistema 1 cui element! formino la variety (abeliana)
-di Picard, be considerazioni sviluppate da Ekbiques mirano a giu-
stificare tale costruzione, passando da curve infinitamente vicine
neU’intorno del prim’ordine a curve nelTintomo di secondo ordine e
cosi via, indipendentemente dal detto presupposto; anzi collo seopo
-di pervenire cosi a giustificarlo. Il punto di partenza fe dunque che,
vicino ad una eurva jpezzata О 4- D, vi sono, nell’intorno del primo
•ordine, curve C + D spezzate in due component!, una dell’ordine
-di C e un’altra dell’ordine di D, aventi lo stesso numero m di punti
comuni. Qui, avverte 1’autore, conviene anzitutto giustificare 1’ap-
plicaziqne implicita che si fa del principle di spezzamento nell’in-
finiteaimo; ma cib non offire difficolth, in quanto b dato rioonoscere
*che, uscendo dalla superficie, si pud costruire, nello spazio, una serie
-di curve spezzate che contiene C 4- D e C -j- D.
Giustiflcata cosi la realty dello spezzamento per le curve infinita-
mente vicine, e quindi Fesistenza effettiva di una C disequivalente
infinitamente vicina alia C, la _costruzione di Enbiques porge una
serie di operazioni su 0 -f- e C 4- P, che viene a dipendere soltanto
•da О e C, e conduce appunto a prolungare nei successive intorni
•di <7 la serie di curve definita dalla 0.
(4 Bendie. Linoei, aprite 1036 e Bendie. Seminario Matematico della B. Uni-
versity di Homa, 1936. -
(B). Rendic. Lincei, ottobre 1937. • . .
SCBERFICIB IRREGOLARI В SISTBMI OONTINTTI DI CURVE,. ECC,. 347
In occasion© della Kota del 1937, questa dimostrazione fa con-
testata da B. Segre.
Tuttavia Enriques (ribattendo le obiezioni- del Segre) conce-
deva volentieri la preferenza ad un’altra dimostrazione basata
semplicemente sul principio di continuity, che veniva proposta dal
Segre stesso, salvo a discutere del suo buon fondamento: di questo
interessante tentative e degli sviluppi che esso ha ricevuto da parte
di altri geometri, discorriamo espressamente nel segueute § 7.
Soltanto dope il fallimento del tentative anzidetto abbiamo ri-
preso, corn’d natural©, la dimostrazione criticata, ohe — con qualche
precisazione e chiarimento — si e esposta nel precedent©. § 5.
7. %Su diversi tentatihd di dimostrazione e d’estensione del teorema
fondamentale.
. La ditnostrazione del teorema fondamentale, che esprime la
propriety caratteristica delle superficie irregolari, b stata raggiunta
in generale (per p, 0) mediante una considerazione di inflnitesimi
ohe suppliers ad un. calcolo diflerenziale non eseguito. Considerazioni
di tai natura, anche restando nel oampo dell’analisi algebrica, sono
d’ordine delicato e sollevano la diffidenza dei matematici che non
hanno con esse sufficient© familiarity, о quanto meno lasciano I’im-
pressione che. si sia introdotto qualche elemento intuitive, in con-
trasto colie esigenze del rigorc, logico.
Questa impression© era tanto pih epiegabile di front© a qualche
passaggio un po’ rapido о meno giustificato delle Note citate: la
eui esposizione (*) si S ripreea qui cercando di precisare e chiarire i
punti pih delicati. Per tali motivi appariva e pub appanrp ancora
desiderabile di foraire altre dimostrazidni del teorema medesimo,
ohe s’impongano a tutti, senza dubbi.ed esitazioni. '
Abbiamo gih detto che una dimostrazione eiffatta, coll’uso degli
integral! appartenenti alia superficie, 6 stata data dal роигоакй
(1910), ed oggi si pub vedere, per esempio, nell’esposizione, sempli-
ficata del Levsobetz, riferita da Zariski. Ma, nell’ambito. della
4eoria algebrico-geometrica, merits specials menziohe il tentative
che abbiamo accennato essere state intrapreso da B. Segbe (*)..
L’idea direttiva di questo autore si pub esprimere come segue.
Si consider!il sistema lineare = j О + I>] che 'contiene la eurva
spezzata = Ca+ JDS, dotata di ж punti doppi ch© formand il
gruppo CJDvi e s’impongano alle curve B, vicine ad Bt,
(!) In ispecie eeguendo la via indicate, nelle Note del 1938.
' (*) Un teorema fondamentale deUa geotnetria, eulle superficie algebriche e il prin-
oipio di epexeamenfo. Annali di Mat., 1938.
348
СЛРГГОЬО NONO
punti doppi (vicini ad_m — p, punti del'dette gruppo); si vuol di-
mostrare che le curve J® cosi definite sono necessariamente spezzate
in una curva deU’ordine di Co e in una eurva dell’ordine di I>e: e a
tai uopo conviene ridurre all’assurdo I’ipotesi che le dette S siano -
irriducibili. Pereio si costauisea su una S eon «— p, punt£ doppi
assegnati, la .serie caratteristica jf del sistema contmuo resa
completa, e si passi al limite per .E -> Д>; la serie p ha la dimension©
' 3p».+ («— я) + (у —g) + 1 ,
ma, ai limite, essa appare ridursi alia serie y, + formats coi gruppi
delle serie caratteristiche di Oa e di J9B (rese complete) cui si aggiun-
gano pg punti fissi del gruppo CeD0 (i nuovi punti doppi aequistati
dallfe J®e spezzata); orbene la dimensione della serie limite ff, -f- fe
2#c + (n — M + (*— el,
di una unitfe inferior© a quella di д I
L’autore affermava ehe questa diminuzione della dimensione di
una serie fe assurda, contrastando al principio di continuity. Ma Es-
Biqras, avendo fatto per conto suo un tentative analog© (nel caso
pih semplice p, *= 1), si era arrestato di front© ad un imbarazzante
paradosao, edesponeva quindi la djfficoltfe ineontrata (*). Si consider!,
nel piano, il sistema delle curve Ca d'ordine 8 con 16 punti doppi;
fra queste Ce vi sono le curve spezzate in due quartiche <7* + Ctf
che hanno eomuni 15 punti j.M limiti dei punti doppi di
e un altro sedioesimo punto O. Ora sopra una €t variabile, la serie
canonica д — gf9 fe segaW dalle quintiche <J, per i 16 punti doppi;
al limite per 08 -» Ct + .<7* la detta serie canonica si riduce alia s&de
composta dei gruppi delle due serie canoniche gl su C* e su Co
che viene segata dalle Ct per .... !,„ aventi di conseguenza fl
punto fisso comune <?; cosi sembra ehe al limite la serie д anzidetta
si riduca ad una serie di dimensione inferior©. Навое U dubbio ch©
la eonservazione della dimensione, che pareva conseguire dal prin-
ciple di continuity, si trovi in difetto!
Й merito del Bbge® di avere ehiarito la difflcoltfe, spiegando il
paradosao. II principio di coneervazione della dimensione d’una
serie lineare consegue veramente da una esigenza di continuity
che, epiegata in maniera eeplicita, risulta irrefutabile; ma quando
si cerca il limite della serie g, per O', -* 4* Os, bisogna considerate,
non soltanto cib che diviene la detta д mentre una 0» aggiunta a
0g tende ad dna 0s generic» per .... bensi anche fl limite di
I1) Еявиви, Salla proprieta carttuenetiaa delle «uper)?cie al^ebricfee irre^oler».,
Rendio. Linoei, Giogno, 1938.
SUPBKFICIB IRREGOLARI E SISTEMI CONTINUI DI CURVE, ECO. 349
‘essa in corrispondenza act -una variazione per cui (7, e CjJendano
insieme a due curve degeneri contenenti come parte <7* (o O<), dove
i gruppi sezioni'di Ct e Oa diventano indeterminati. In altre parole:
1’esempio paradosaale mette in luce 1’esigenza che nel passaggio al
limite della serie g si tenga cento dell’intero limits!
B. Segre spiega bene il valor© di questa esigenza coll’esempio
di un’iperbole ehe, variando, si riduca, al limite,- alia coppia dei
suoi asintoti: la gi segata sull’iperbole dalle rette per il centre, si
riduce al punto fisso ehe ft il centre, ma anche alle due simmetrie
rispetto al centre stesso ehe si hanno sugli asintoti. In modo simile,
nell’esempio di Bkriqtjes, tenuto conto ehe le curve 0e passanti per
Ai... A14 su C* non passano di conseguenza per .0, il limite della
Я ~ sia viene date da due serie di dimensione 6 che si ottengono as-
sociando gruppi di 'Ct e di <74: per dire soltanto di una di queste serie,
essa si costruisce assoeiando ai gruppi canonici di C4 i gruppi di
una su <?*, che non ha pih il punto fisso O, ma si definisce ponendo
Яа ~ Яе Ч" so.
• Spiegato cosi 1’imbarazzante paradosao, B. Segre riconoseeva
nella propria dimostrazione del teorema fondamentale una lacuna,
-e si accingeva a colmarla colla ricerea di un criterio atto a deter-
miner© fl limite dell’intersezione di due curve, che, variando su
una superficie, vengano ad acquistare una parte comune. A questo
criterio infinitesimale egli accennava in una Kota « Bur un Шёогёше
fondamental de g4om6trie sur les surfaces alg6briques » del 9 gen-
naio 1939 (*), cui si accompagnava un’altra Kota di SmiqvM (*)
che con piacere salutava il successo del Collega.
Prattanto B. Segre lascia va I'Italia e non oonsta ehe sia uscita
fino ad .ora una sua pubblicazione pih diffusa sull’argomento.
Successivamente il Skveri in una memoria dell’Accademia d’I-
talia (*), office una revision© critics dell’intera teoria dei sistemi
continui di curve sopra le superficie algebriche. Disgraziatamente
questa esposizione d affietta. da alcuni errori che, in parte, sono stati
segnalati da - Bwbiqu» in una Kota « Bui sistemi continui di curve
appartenenti ad una superficie algebrica в, e ehe qui occorre ripren-
dere in esame.
Per soddisfare all’esigenza dimostrativa che si riferisce al ra-
gionamento del Segre, come si й spiegato innanzi, fl Severi
riprende da questi — in una forma alquanto modifieata — un
(x) (Jomptes-nndua, 9 Janvier 1039.
<*) Svr la propriiti earaatiHstiq'ue <ke ewfacM algibt^vee irreg-u№res, Coiaptes-
rendue, 3 Janvier 1939.
(’) Za teoria generate dei mste-mi coMiwai di eurse sopra ana superficie algebrica.
Memorie dell’Aoeademia d’Italia, vol. XIX, 1941
350
САМТОЬО NONO
lemma di geometria differenziale, da cui dovrebbe risultare che
la serie caratteristica j del sistema continue» (resa completa
passando al limite per В -* E9 ~ Ce 4- J-Ли avrebbe necessariamente
come punti fissi i pa punti P_del gruppo CaDe -che non. sono limit!
degli ж — p, punti doppi di E,. e cib in qualunque modo_ sia fatto
fl passaggio al limite, anche quando le curve secant! su E la g ten-
dano a contenere come parte Ja 0,, di guisa che il Mm g risulti inde-
terminate. П lemma' di Segre-Severi che permetterebbe di dedurre
questa conclusione, esprime una propriety di geometaia differenziale,
per cui i detti punti P sarebbero limit! di punti appartenenti a gruppi
della serie - &. Questa propriety differenziale discenderebbe a sua-
volta da quella, ricouosciuta da Enriques nella dimostrazione ori-
ginals del teorema fondamentale, che «le curve infinitamente vicine
alia segano su di essa, la serie caratteristica completa »; in tai
guisa sarebbe colmata la lacuna nella dimostrazione di quel teorema-
Qra Bnbiqubs, che’ gift aveva trovato qualche difficplta, a rico-
struire il criterio inmiitesinude del Segre sulle indicazioni fomi-
tegli dall’A., non riusci -a comprendere questo passaggio e percib
dichiarb il detto lemma «osouro e non eonvincente »(x). Ma credette
che s£potesse tuttavia riuscire allo scope facendo' segare la serie g
sulla E variabile da curve che si mantengono irriducibili nel passaggio
al limite di cui й questione. ..
In cib egli s’ingannava e Sevebi ha giustamente denunziato il.
suo errore (’). Senonehd il rieonosoimento di questo getta un dubbio-
su tutta la dimostrazione proposta da Segbe-e Sevebi. Non si
tratta soltanto di oorreggere il lemma denunciato nella Memoria
di. Sevebi, come ha fatto FA. stesso (’) in seguito ad un esempio
di Bompiani; ma piuttosto di chiedersi se una propriety differenziale
quale viene espressa nel lemma anzidette valga veramente ad.
escludere che il litaite di g possa dare origine su C9 ad una serie
senza punti fissi. Ohi approfondisca 1’analisi della questione si per-
suaderik agevolmente ehe questo dubbio non pud .essere eliminate,
anzi che с’й qui- ana radicals insufficienza del lemma, ciob che « que-
sto lemma di Begre-Severi non. risponde allo scopo per cui viene in-
trodotto ». Non' insistiamo su cib, avendo ragione di .ritenere che
il Sevebi stesso abbia ormai riconosciuto Finsufficienza del suo-
(x) Coxnmentarii Mathemetici Helvetic!: entrata in redazione il 20Marzo 1942-
(’) Intomo ai eistemi continui di curve edpra una superficie algebrica. Common-
tarii Mathematic» Helvetic» (30 Novembre 1942). A questo articolo la direzione dei
Combtientari non consent! ad Enbiqwss di riapondere, e percib questi non pot&
allora nS riconoscere il proprio errore, n6 dichiarare gli errori in cui, da parte sua^
il suo critico era eaduto.
(3) Nota preeentata alia R. Acc. d’Italia, 18 Gennaio 1942.
StrreRWOIB IRREGOLABI В SISTBMI CONTINUI DI CURVE, ЖСС. 351
"ragionamento. Ad ogni modo conviene avere accennato qui ad una
idea, che — se non oggi —- potrebbe avere domani un’appllca-
zione fnittuosa.
Abbiamo accennato che il Sevebi (e prima di lui B. Segbe) ha
tentato di eatendere il teorema fondamentale sulle superficie lire*
* golari, stabilendo che, sopra una superficie qualsiasi « la serie ca-
ratterietica di un sistema continue irriducibile senza punti multipli
(comunque speciale' о sovrabbondante) ё sempre completa ».
Comunque oggi 1’A. ha riconosciuto, traverse eeempii, che il ri-
sultato' pih esteso ehe aveva-in vista patisoe qualche eccezione (‘).
Ma si restringa quanto occorre la seelta dei sistemi continui di
curve irriducibili in guisa ehe la propriety sussista per ipotesi:
e sia dunque |<7}- un sistema continue oo*» ehe.abbia su una C
la serie caratteristica completa di dimensione d; conviene precisare
diverse circostanze che possono presentarsi..
.11 sistema {0} conterrh un’infinity di sistemi lineari di curve
disequivalenti, se d + 1 superi la dimensione del sistema lineare
complete | C [, clod se questo sistema di dimensione
r = po +. « — я + 1 — i + ® (con ® 0)
abbia la serie caratteristica deficiente, di deficienza •
3—e . - (« = Р,—P»)-
Ora giova distinguere i casi elementari abnormi, ehe, colle loro
eombinazioni, danno luogo a tutti i casi possibili. A priori pud ac-
cadere:
1) che il sistema- |C| sia regolare e speciale d’indice di spe-
ciality i:
Q <i <pe,
colle notazioni precedent!:
=г 8 === 01
2) che | C | sia non speciale e sovrabbondante, di sovrabbon-
danza ш > 0, mentre la sua serie caratteristica abbia la deficienza
massima q — p, — po: i = 0, в — 0.
3) che [ 01 sia non speciale e sovrabbondante di sovrabbon-
danza co = e, per avere serie caratteristica di deficienza 4—в:
i = 0, 6 > 0,
I1) Ed anche patisoe eccezione I'uniaitd del sistema continue cui appartiene
una curva irriducibile, che Г A. aveva creduto di dimostrare colle considerazioni
evolte a fine di pag. 378 e al prinoipio di pag. 379 nella memoria su La teoria gene-
rate ecc., del 1941.
352
CAPITObO NONO
Nel caso 1) (ammesso possibile) la dimension© di | (J| vale
r = +- » — я+ 1 — i,
e quella di { C}> 6 r + q, quindi il' sistema continuo Й formato di oo’
sistemi lineari (in generate) colto stesso indioe di speciality i. _
Jfel caso 2) la dimension© di |<7| essendo r — pa + n— я -f-
+ l-|-o), quella.di risulta ancora r -+ g, quindi {<7J- d formate
di oo® sistemi lineari cotta medesima sovrabbondansa.
Ma nel caso 3), la dimensione di 101 essendo r — pa + n — я +
+- 1 + e, quella di risulta r +- g— s, e non si pud dire-a priori
se, per esempio, 0 sia formate di oo’ sistemi lineari regolari aventi.
generalmente la dimensione r — s, fra cui si trovi il | C| sovrabbondante
di dimensione r, owero da una serie co’-8 di sistemi lineari tutti cotta
medesima sowabbondanssa a> — s.
Abbiamo cosi nompiato soltanto i due easi estremi fra quelli
che uell’ipotesi 3) appariscono a priori possibili. La possibility ef-
fettiva che si presentino queste diverse ipotesi, e in particolare la
prima (che un'errors assai riposto aveva condotto a negate) 6 stata
riconosciuta nella citata Nota critic» di Enriqurs (x), ove trovasi
approfondito Jo studio dell’esempio che qui viene brevemente ac-
cennato. •
. Si consider! la superficie rigata J*s del 6° ordine che ha una retta
tripla e una retta doppia: la J’s ha il genere geometrico p, = 0, il
genere numerico pa = — p — — 2 e rirregolarity g == 2. ' -
Sopra E, il gist ema j0| delle sezioni piane ё sovrabbondante
di eovrabbondanza s = 1, avendo il grado.» = 5, il genere я == 2,
e la dimensione t = pa +- » — я + 1 + e == 3, mentre la defteienza
-della serie caratteristiea ё q — e — 1.
Il sistema lineare 10| ё contenuto in un sistema continuo { 0}
di dimensione 4, e si pub vedere che questo ё formato non gift, di
oo* sistemi lineari oo*, bens! di oo* sistemi lineari regolari oo*, fra
cui si trova fl- detto |0j di dimensione 3. Per verificare tale'asset-’
zione si воштегУ al sistema |O| una coppia di generatrici a b e
1 тегсё il sistema lineare cosi' ottenute (che ё oo*) si costruirh una su-
perficie d’ordine 9, rigata normale’nello spazio Sai di eui la 14
appare come, proiezione da una coppia di generatrici incident! a' b'.
La >, ha un punto doppio О nel punto d’merocio di a' e b', ma non
possiede una linea doppia; percib non vi sono per essa infinite coppie
di generatrici incident!, e cosi gli oo* sistemi lineari costituenti
ciob i sistemi segati su E, dagli iperpiani per una coppia di genera-
triei, sono, in generate, di dimensione 2, ; c. d. d.
(x) Oommeatarii Mathematics Helvetic!, 20 Marzo 1842.
SUPBREICIE IRREGOLARI E SISTEMI CONTINUI DI CURVE, ECO. 353
D’altaa parte si pud indicare su J?*, un sistema continuo |Z|-
formato di oo1 sistemi lineari sovrabbondariti, tutti di dimensione
3 (=24-1): tale b il sistema continuo segato dagli iperpiani pas-
santi per il punto doppio О e per una generatriee della rigata. E
conviene awertire che questo esempio deve ritenersi rientrare nel
caso 3), e non nel caso 2), perchb la serie caratteristica di {Z|-, Й una
serie non speciale gj.
Ossmasione. - Gli co1 sistemi lineari ]Z| formanti |Z^, sono
— sulla' rigata J’s — i residni. delle generatrici rispetto al sistema
lineare oo6
j Z 4“ a 4” — A'—- B"| s
che ha due punti base, A e B, rispettivamente su a e b, i quali co-
stituiscono una coppia neutra per il sistema
- 10 4- a 4- b |. '
Ora, se si cambiano a e b in altre_dae_generatrici a e F, la coppia
A В non sartk pih neutra per ] C 4- a 4- b e quindi la sottrazione
di una generatrice da_ questi sistemi lineari condurrik ad oo’ sistemi
lineari |Z| ==.|® + a + ^ — A— jB|.
I due sistemi, |Z| formato di oo1 sistemi lineari ed {Z^ formato
di oo* sistemi lineari, sono distinti, ciofe ^Z| 4-{Z} b riducibile
in due variety oo4 come sistema di curve, ed invece dovrik ritenersi
irriducibile come variety oo’ di sistemi lineari |Z| che contiene entro
di sfe la variety co1 degli | Z |. Si esprime questa circostanza dicendo
che il detto sistema |Z|. b esorbitawte. Il fenomeno della esorbitanza
(di un sistema lineare о di una serie continua di sistemi lineari)
b state ossdrvato da Bosenblatt e Аьважезе e poi da Sevebi (’).
Altri esempi di sistemi esorbitanti sono data dal sistema delle
sezioni piane d’un cono, affatto generate, d’ordine « > 3.
Per n = 3 il sistema lineare oo» delle sezioni piane b contenuto
nella serie degli oo1 sistemi lineari (oo’) format! dalle .terne di gene-
ratrici del cono, cui va sommato 1’intomo del vertice.
Per и = 4 il sistema lineare oo* delle sezioni plane del соло b
contenuto nella serie degli oo» sistemi lineari (oo1) format! dalle
quateme di generatrici del cono, cui va sommato 1’intorno del
vertice. ' r ,• .
Per » 5 il sistema lineare oo’ delle sezioni piane del cono b
contenuto nella serie degli oo" sistemi lineari (oo®) format! dai
gruppi di n generatrici del cono. cui si sommi sempre 1’intorno del
vertice.
С1) contributi ecc. Lincei, 1916.
Enbiquzs 3?. ~ Superficie a.10 ebriche.
23
354
СЛИТОГО NONO
8< П eistema paracanonico. ,
- • Secondo il teorema fondamentale (§ 4) e la condizione humerica
del § 2, il sistema canonico | JK71 dli una superficie f, di genere name-
rico pe > 0 e di genere geometrico p, > P«, sarfe sempre contenuto
in ttn sistema continuo 00» (# == p, — pa) di sistemi' lineari distinti,.
di dimensione •
r 2: p, -f- pW — 1 —p® -f- 1 *= pa
Si ё creduto di poter precisare la dimensione di questo sistema-
paracanonioo ]K\, determinando la deficienza della serie caratte-
ristica del sistema canonico j К (, almeno nell’ipotesi che le сипе-
canoniche pure sieno irriducibili, «_ senza punti multipli, di genere
Vю > 1 (*). t . - ’ . " '
La detta deficient sarebbe g = ps— pa e quindi il sisteina para-
eanonico (ammcttendo cha abbia su una К la serie' caratteristica
completa) avrebbe la dimensione 2p„— p„— 1. Ma la deduzione fe
erronea (*) siccome si riconosce riprendendo il ragionamento del-
1*A. e mettendo in luce un’obiezione d’ordine delicate che viene ad
infirmarlo.
A tai uopo si assuma sulla superficie J’ un sistema lineare rego-
lare e non speciale ] C |, di grado » e genere я,.й cui aggiunto | O' | =
= I <7 + -K-j' avrft la dimension©
pa + Я----1
e segherfi su una C una serie canonica deficient©, di dimensione-
я—1— g. ‘ .
Indicando con G == OK fl ‘gruppo di 2я — 2 — » punti eomuni
ad una <7 e ad una IT, si vuol calcolare fl numero delle condizioni
che il G offre alle curve di | U' | che debbono contenerlo. В per cib
si assume che le O’ contenenti G seghino su C la serie caratteristica.
i di |O| resa completa, ossia la serie caratteristica g di J,C}-, segata.
sulla detta О dalle 0 (in generale disequivalenti) ad essa infinita-
mente vicine. T/assunzione si vorrebbe giustificare dicendo che,. fra
le curve^ residue di una C rispetto a H7'|, vi sarebbe almeno una
curva К vicina a K, sicchfe C + e -C -j- Я determinerebbero un
- (ж) Emaq-cms, Dee eawbee paracarwniques appartenant 4 «ns surface <Agi~
irr^guliere. Soe. Royals des• Sciences de X*i&ge (19 Ottobre, 1939).
(’) Ears che cada eoetanzialmente nel medesimo errors anche la dimostrazione
dello stesso teorema che viene ofierta da Sssvrat nella citata memoria su La teoria
generate. dei eieiemi continui ecc, del 1841.
SXJMBVICIE IRREGObARI E SISTEMI COKTINTTI DI CURVE, BCC. 355
fascio ф curve O' per G, passanti per un gruppo di g arbitrariamente
dato. , 1
М» qui appunto sta 1‘errorel Se i sistemi lineari paracanonici
hanno una dimensione inferiore a quella, p„ — 1, del sistema ca-
nonico |i|,_un sisteina paracanonioo |JC] vicino a К non_ possiede
' una eurva К vicina ad una К qualsiasi: il limite di un & un si-
stema lineare minore, contenuto in quest’ultimo.
Abbiamo spiegato Ferrore che infirma il ragionamento prece-
dents, da cui seguirebbe la deficienza delta serie canonica di |Ж|
essere g = p, — pa. Ora si pud vedere da effettivi esempi che la
conelueione stessa ё lungi daU’essere verificata. Anzi sembra pro-
ЪаЪИв che «sopra una superficie d’irregolaritfi Р,—pa > 1,
(p„ 2 0) con curve canoniche К irriducibili, senza punti multipli,
gli oo® sistemi lineari paracanonici siano, in generate, regolari
e quindi il sistema continuo {K} sia oo*»: la serie caratteristica- di
|K[, (almeno se questo sistema non ё esorbitante) avrebbe quindi
la deftcienza 1.
Vediamo come cib si verifichi per la suparficie rappresentativa
delle coppie di punti d’una quartica X di genere j = 3.
Questa superficie P ha il genere geometrico pe = 3 e il genere
numerico pa О (’) :• le curve canoniche di P sono date dalla serie
delle coppie di punti di I estratte dalle quateme delle g\ special!,
e percid sono oo’; inveee le curve paracanoniche sono date dalle
serie di ooppie di punti estratte dalle quateme delle non speciali,
e percid formano un sistema continuo oo’, eostituito di oo’ curve
disequivalenti, entro cui si trova it sistema sovrabbondante | K|.
Si pub verificare facilmente che i sistemi paracanonici JX'I
sono, in generale, di dimensione pa = 0 e non > 0; altrimenti la
serie caratteristica p? di su una X (di genere p(1) — 7) avrebbe
la dimensione - -
' . - ® 2 3,
mentre una curva di genere superiore a 4, non iperellittica, quale
ё la Ж, non pud contenere una jJ. ’
Cib che si ё dimostrato per la superficie rappresentativa delle
coppie di punti d’una quartica L di genere f = 3, sembra estendersi
alle superficie F rappresentative delle coppie di punti d’una curva
I di genere g = 4, 6....
Per f = 4, la L venendo realizzata da una sestica di 8,,le curve
canoniche К di P saranno date dalle rigate intersezioni della ebn-
gruenza delle corde di I coi complessi lineari di -Ss e percid si avrb
___________ ?» = «;
(*) Cfr. F. Sisvbbi, Sttlle superficie che rappreeentano fe ooppie di punti di una
curva algebrica. Atti R. Ace. di Torino, 25 Gennaio 1903.-
CAPITOLO NONO
366
invece si avranno curve paracanoniche X di > in corrispondenza
alle serie delle coppie di punti di X estratte dalle sue gi non speciali.
Se, come. crediamo,_si verifichi che alle gl dijma gj non speciale ri-
spondono le curve К d’un sistema lineare |K| complete, il sistema
continue paraeanonico {Ж}- di J? avrh la-dimensione
p, — p, — ?« + pe = 4 + 2 =* 6
contenendo in её oo* sistemi lineari regolari di dimensione
*pf& ss= 2.
Pert il sistema canonico _oo5 non sart contenuto in codesto si-
stema paracanonico total© ma dovrt essere e»orbitante, perchfe
la rigata delle corde di h che appartengono ad un complesso lineare
speciale под pud essere limite di una rigata le cui generatrici con-
giungano le coppie dpuna gj (non speciale) della L stessa.
Anche per g — la X essendo realizzata in S* da una curva
d’ordine 8 (base di una rete di quadriche) sembra che la superficie
1*, rappresentativa delle coppie di punti di I>, possegga un sistema
paracanonico format© di oo* = oo* sistemi lineari regolari di
dimensione
: Pa = 5 (pt = 10), , •
se si verifichi che le gl estratte da g, non speciali formino un sistema
(non lineare) contenuto in un sistema lineare oo® complete.
Gli esempi citati, di cui occorre approfondire lo studio, sugge-
riscono divers! problemi intomo alle superficie .irregolari, in ispeeie
«se il sistema paracanonico. -{K}- di una superficie eon S: 0 e
Pt > Pa, abbia la dimension© p„ e consti, in generale, di si-
stemi lineari regolari oo’« .
Ma almeno il caso in cui il genere lineare assoluto pW = ’l, e
quindi le curve canoniche, per > 2, sono ridueibili, componendosi
colle curve ellittiche d’un fascio, dft> luogo ad una eccezione.'
In questo caso si ha da fare con superficie > di irregolaritS, g = p„—
— Pa, possedenti un fascio di curve ellittiche di genere g; infatti
si pud provare che il sistema continuo <7}, a cui appartiene una qua-
lunque curva C, sega sulle fc (componenti delle curve canoniche Ж)
una serie di gruppi equivalent!: se cosi non fosse si troverebbe oltre
il fascio |&| un secondo fascio ellittico di curve e si dedurrebbe che
le fc sono curve di modulo costante e ehe p* = — 1 (cfr. Cap. X).
Cid posto, se p* > 0, le curve canoniche di V si comporranno di
p,-r 1 >2— 1 curve fc, formant! entro il fascio una serie non Spe-
ciale: i sistemi paracanonici saranno dunque eguatmente di dimen-
sione pt — 1, dando luogo ad un sistema continuo sovrabbondante
di dimensione
2 p„ — p„ — 1 .
SUPEBTICIB IRRBGObARI В SISTBMI COKTINU1 DI CURVE, BCC. 357
‘ Invece, per pa — 0, il sistema canonico |Ж'[ вагй> il sistema. li-
neare co”»-1 format© dalle 2q — 2 = 2рё — 2 curve dei gruppi
canonici entro il fascio | , ed i sistemi lineari paracanonici avranno
la dimensione p„ —2, dando luogo ad un sistema continuo ’-{X}- di
. dimensione . '
2p„ —p„—2.
Osservazione. - Qui conviene aggiungere che per p<« == 1 e
pa — 0, non si presents Ц caso di superficie irregolari (di genere.
p, =1) con curva canonica pura d’ordine zero, Infatti per una
superficie X1 di genere p, — 1 co» eurva canonica d’ordine zero, non
si-pub avere pa == 0 f1). Giacchfi un sistema lineare |<7|- = |C'l
di genere я e grado » = 2w — 2, sopra la JP, darebbe luogo ad una
serie oontinua 6b1 di sistemi lineari di dimensione л— 1, e uno di
questi diversi da | C | e non contenente | C |, dovrebbe segare sopra
una О una eerie non speciale di grado 2 я — 2 e di dimensione я — 1,
9. Digression® eulle' variety abeliane.
Dices! variety abeliana (di rango 1) a q dimensioni, Fs, una
variety (algebrica) ehe ammette una rappresentazione parametrica
.mediante funzioni (abeliane, cio6) 2q volte periodiche di q variabili
indipendenti. rappresentazione univoca nel prismatoide dei periodix
se queste funzioni, come si suppone, non sono degeneri, la F, am-
mette un gruppo oo» di trasformazioni permutabili semplicemente
transitive, senza eecezione: vuol dire che dati due punti (semplici)
qualunque -<i V„ esiste una trasformazione birazionale di V, che
muta il- primo punto nel secondo. Il pih sempliee esempio di variety
abeliana ft la variety dei gruppi di ₽(== q) punti, G„-, di una eurva
О di genere p, ossia la varietd, di Jacobi corrispondente alia curva (*).
Questa Vg ammette un gruppo misto semplicemente transitive
di trasformazioni birazionali in aft stessa che viene generate dalle
oo» trasformazioni involutorie di seconda specie definite dalle g%„
appartenenti. alia curva e dalle co”- trasformazioni permutabili di
prima specie, eostituenti un gruppo continuo T„, definite come pro-
dotti di un numero pari di trasformazioni di seconda specie. La
detta variety di Jacobi, F„, contiene una varietd eccezionale, Fs_Ir
corrispondente alia serie dei gruppi &» speciali sopra la curva;
tale viene trasformata in una Ve_M di dimensione p— 3 dalle
(x) Cfr, J&biqvbs, Intomo alle superficie algebriche di genere lineare ph) « 1.
Rendio. Accadetnia^Bologna, В dioembre 1908 (n. 1).
(’) Cfr., p. es., EMBiqVBS-CHxsisri, Lezioni, Ыэго .VI,- cap. Ill, | 38. vol. IV,
pag. 223.
САРИОЬО NONO
358
trasformazioni di prima о di seconda specie, per esempio dalla in-
' voluzione fra gruppi Q* definita su C da" una g?, (*).
Quando fra i p integral! indipendenti di prima specie deUa eurva
C di genere p ve ne sono g. <*p (Hnearmente indipendenti) riducibili
eon 2g period!, entro la F„ di Jacobi che corrisponde alia eurva si
trova una schtera oo’.~“ di varietft abeliane F_, costituenti un sistema
. d’imprimitivitft per il Г„, ciascuna annhettente un gruppo algebrico
<xfl semplicemente transitive di trasformazioni birazionali in sft ed
anche, per il teorema di Pioard-Poincarft, una schiera analogs oo’
di varietft abelianc Fs_e (*).
Farietd abeliane Ve di questo tipo, contenufe imprimitivamente
entro una V, di Jacobi, sono le varietA di Picard annesse a super-
fleie algebriche irregolari (8): infatti, sopra una superficie P irregotare,
di irregolaritft g, le curve disequivalenti di un ‘sistema continuo
oo’ segano, sopra una, eurva di genere p (>g) una serie formata
di ©o’ gruppi di punti' disequivalenti о di oo® serie lineari, che costi-
tuisce appunto una varietft abeliana F„ entro la Fs di Jacebi cor-
. rispondente alia eurva.
La precedent© osservazione 6 di portata generate perchft si di-
moetra ma eon proeedimenti .trascendenti, che ogni , varietft
abeliana (di range 1) ft una varietft di Picard annessa ad una qual-
ehe superficie algebrica irregolare; di modo che si puft subito enun-
ciate il teorema di Torblli: Esistono sempre- varietA jacobiano oon-
tenenti imprimitvoamenie and data varietd abeliana.
;Se perft non si- vuole far ricorso al risultato, ottenuto per via
traseendente, di CASTELWOvo-EwniQUBB, si possono svolgere le
" considerazioni seguenti che portano ad un teorema meno precise
di quello di Товеььг, ma sufficients per i suooessivi sviluppi della
nostra esposizione.
Ponendoci dal punto di vista geometrico pih generate.definiremo
'oome variety abeliana a g dimensioni V,, una F* che possegga un
gruppo ©o’ Г di trasformazioni birazionali in si, semplicemente tran-
sitivo senza-ecoezione, 'tale dunque che esista una trasformazione non
degenere di Г in cui si corrispondono due punti (semplici) gualuncpte
di F«. . ''
p) Cfr. Enbiqubs-Chisini, Ijez&mi, Libro VI, cap. II, § 27 (vol. IV, pag. 143).
(a) Cfr. p. es., Enbiqvbs-Chisinx, .Lenioni, Libro VI. Interpretarione geome-
. triea 'di Caetelnuovo. Cap. Ill, 4, 38 (vol. IV, pag. 234).
.(’) Cfr. В. Товвьы, SiAlt serie еЛдеЬгйЛе semplicemente infinite di gruppi di
’ punti appartenenti a tma ama algebrica. Rend. Giro. Mat. di Palermo, t. XXXVII,
1914 (| П, n. 11'. '
(4) Cfr. G. CASTBbN&ovo - F. Enbiqub®, Sw lee int^gralee mwiplee..... Aim.
de l’4cole normale’ sup., e. 3, t. XXIH„ 1906,
SUPERFICIE IRRBGObAai Я SISTEMI CONTINUI-DI CURVE, ECC. 369
La proprietA del gruppo Г, di essere semplicemente transitivo
senza ecoezione sulla F„ porta di conseguenza che: non esiete snOa,
Fg nlcnn sistema lineare di dimensione > 0 di varietd F,_x, cAe sia
trasformato traneitivamente in 8Й stesso da oor {r > 0) trasformazioni
di Г. In altre parole: una varietA FB_X su Ve, la quale non sia tra-
sformata in sB stessa da uh sottograppo continue del Г, non pub
essere trasformata dal J* nelle varietA di un sistema lineare | FB_X|.
, Si abbia, sulla varietA abeliana Fa, un sistema lineare IFB_X|
di varietA (irridueibili), di dimensione r > 0, che sia trasformato
transitivamente in аё stesso.da un sottograppo oo' (algebrico) del
Г. Si pub rappresentare il | тетей uno spazio lineare 8r, in
cui vien date un gruppo continuo transitivo oor di omografie. Ora,
entro questo gruppo, si troverA un sottograppo continuo Г’, di
dimensione 1, che laacia invariata una retta л di ST, permutan-.
done i punti in bo1 modi-. Quindi si avrA nel Г di Fe un sottograppo
I\ di dimensione Л, che seanabia fra loro in oo1 modi le varietA FB_X
di un fascio lineare entroj FB_X| e porta un junto generico -di una
FB_X nei punti di una F* formata da оог F»_x appartenenti alle
FB_X del detto fascio. Ma in questo fascio с’ё (almeno) una FB_X
invariante per il Гк (che risponde ad un punto unite sulla retta
units a di ST) e quindi la F» dovrA contenere una F»_x invariante
per il A: associando due punti di questa F»_x si avranno non una,
ma oo1 trasformazioni del A e cosi si contraddice al supposto ohe il
Г di FB sia semplicemente transitive senza eccezioni,
Dunque sulla FB non si hanno sistemi lineari | FB_X | invariant!
per.un sottograppo continuo di trasformazioni del Г, ma si possono
avere. | FB-X | invariant! per un gruppo finite, sottograppo del Г
.stesso. - , .
Ora, sopra la FB si pud seegliere una varietA Fg_x, a q— 1 di-
mension!, che non sia trasformata in se stessa da alcuna trasfor-
mazione (non identica) del gruppo Г. Infatti, essendo la F„ proiet-
tivamente realizzata in un convenient® spazio 8,, una sezione iper-
piana generica di essa non verrA certo mutata in её da alcuua tra-
sformazione del Г. .
Cid posto la serie oo« delle trasformate della detta FB_X, dieiamo
^FB_XJ, costituirA un ente algebrico ideniaco al gruppo Г e percib
anche alia varietA FB. In generale nella detta serie potrA trovarsi
un numero finite s di Fa_x equivalent! a quella da cui siamo partiti..
•Quindi aegando le F«_x della detta serie con una eurva algebrica
generica tracciata su F«, si otterrA una serie comprendente oo®
gruppi di punti disequivalenti, che si lascia rappreaentare con una
varietA abeliana Wa (contenuta nella varietA di Picard della data
F,), la quale, per s = 1, riesce identica -alia schiera •{ Fa_x^ e alia
stessa Fg. Inveoe se s > 1 la schiera indicata, e la Fe, vengono rap-
360
САРИОЬО NONO
presea bate sopra la W, multipla seconder il numero s, giacchft ad
s У«_1 equivalent! risponderd. un solo punto di TTe. Biferendoci a
questo secondo caso,- e > 1, fra la W, e la V„ si avry dunque una.
corrispondenza (1, s), per efEetto della quale viene deflnita su Pe
una involuzione d’ordine s, I', invariant© per le trasformazioni di
Г e percid priva di punti doppi, il cui luogo darebbe origine ad ec-
cezione per la semplice transitivity' di Г.
In con elusions: una varietA abeliana Ve si pub sempre rappresen-
tare sopra un’-alirS varietA abeliana, W8, semplice o' multipla веша
punti di diramazione, che sia contenuta imprimitivamente nella varietA
di Jacobi wrrispondente ad una curva di genere g).
Viceversa: ogni varietA V, irridueibile, che si lasci rappresentare
sopra una varietA abeliana Wtl semplice о multipla senza punti di
diramazione, contenuta imprimitivamente in una varietA di Jacobi,
й essa stessa una variefA abeliana.
Per dimostrare qdesto teorema si consider! la corrispondenza
(s, s), in cui ad tux gruppo (А, В dell’involuzione I' risponde un
alteo gruppo di punti coniugati {A', B'corrispondenza deflnita
dalla trasformazione del gruppo abeliano di Ж, che porta uno nel-
1’altro i punti omologhi di essa: A e A'. Si tratta di dimestore che
codesta corrispondenza («, s) si seinde in s trasformazioni birazionali,
e cosi, per esempio, che il punto A' dipende da A, non solo algebri-
camente, ma anche univocamente, e quindi razionalmente. A’ tai
fine faremo variare per continuity il punto A su V, descrivendo un
ciclo chiuso y, e riconosceremo che A' si muove pure, per continuity,
descrivendo del pari un citelo .chiuso e percid non pud scambiarsi
p. es. eon B', ma deve tomare immancabilmente in A'.
Se il eiclo descritto da А ё un ciclo у nolle, la nostra asserzione
ё owia, poichb esso non pud contenere entro di вё alcun punto di
diramazione della corrispondenza (s, s), essendo 1’involuzione I,
priva di punti doppi. Ma la сова si pud provafe anche per un ciclo
у non nullo, sopra Io spazio riemanniano ehe risponde'alia variety
Ve. В la prova risulta da un’esigenza di- continuity, ove si tenga
conto ehe la corrispondenza (A A') fra il eiclo у e fl cammino y'
descritto senza ambiguity dal punto omologo А* ё suscettibile di
variare eon continuity flno a ridursi all’identity ove si faecia va-
riare A' flno.a coincidere con A, e al limite il cammino y' supposto
aperto, non pub ridursi ad un cammino chiuso, i punti coniugati
nell’involuzione I, restando sempre distinti.
Bisulta cosi ©he la variety 7e possiede un gruppo semplicemente
transitivo di traafonnazioni birazionali in. вё, essendovi appunto
una trasformazione di essa che porta un punto A in un altro punto
A'. .In particolare vi вагУ una trasformazione birazionale ehe porta
un punto A in un punto В eoniugato ad esso nell’involuzione I,,
SUPERFICIE IRREOObARI В SISTEMI CONTINUI DI CURVE, ECC. 361
e cosi la detta, involuzione sate generate da un gruppo finite di s-
trasformazioni: ,G,. .
Ora delle trasformazioni bitezionali (J- -A') che abbiamo trovato
su Fe (e ehe rispondono alle trasformazioni permutabili della varietA
s-pla IF,) non si pud dire, a priori, che sono permutabili. Siccome
esse trasform.au о in sftl’involuzione generata dal gruppo G„, i cui
gruppi di punti rispondono ai punti della W,, si pud dire soltanto
che la trasformata di una di esse, IT, per mezzo di un'ultra 2*,
T HI~l = IT ' .
V
differisce da IT per una trasformazione ciclica Q del в»:
IT' = ЖЭ.
Pete la Q deve restare immutata quando la T varia nel gruppo
continuo Г che contiene 1’identitA, e percid
Q = 1.
Si deduce dunque che la V, possiede un gruppo oo“ semplice-
mente transitive di trasformazioni permutabili in sft, ossia ё una
varietA abeliana. • ‘ '
Xota. - Ъа, teoria trasoendente deHe variety abeliane F, ri-
sulta dai classici lavori di Jacobi, Biemajvn - e poi di Ропгоавй,
Picas» per le superficie (iperellittiche). — caso g = 2 — lo studio
ft state approfondito da G. Humbeht e poi anche ddHa scuola Ita-
lian». . • . ,
10. Segues il genere delle varietA abeliane..
. Vogliamo completare le cose dette intorno alle varietA abeliane,
valutandone -il genere (geometrico, principals).
Incomineeremo dalle varietA di Jacobi, dimostrando ehe: La
varietA di Jacobi, F„ == J„, corrispondente a una curva 'di genere
p, ha il genere uno. '
Proveremo che sulla J, delle g-ple di punti di una eurva 0 di
genere. p (g p) la varietA X delle f-ple tolte dai singoli gruppi di
una contenuta nella serie canonica di 0, ft una varietA cano-
nica. Si prenda dapprima g = 2 (?^-2). Sulla superficie JB' delle
coppie (non ordinate) dei punti della curva €, si avranno-co* curve
Ж irriducibili e birazfonalmente identiche Ла <7, ognuna delle quali
riBjPonde alia serie delle coppie con un punto fisso; siechft.Ie Ж co-
stituiseono,- salla superficie, un sistema Д’indice due.
Prendiamo una contenuta nella serie canonica ’di <7 e sia
X la curva immagine delle eoppie tolte da codesta serie co1; deter-
362 . CAPITOW NONO '
miniamo le intersezioni di Ж eon una curva- Ж. A tai uopo si consi-
der! la X ehe risponde alia serie delle' coppie con un punto fisso
A (panto generico di C) e sia
А, AIt At ....
il gruppo della gl,_a che contiene A. I punti corrfepondenti alle
coppie
' . . (A A)(A Ax) .... (A А 9)
appartengono alia Ж e ne costituiscono un gruppo canonico, e d’altra
parte tutti questi punti, all’infuori del primo (A A), appartengono •
anche alia K. .Ora il gruppo di questi punti, comuni a К ed Af, 6
residue della serie caratteristica di M .rispetto alia- sua serie cano-
nica.. Infatti si consider!, accanto alia X, la curva X' rappresen-
tativa delle coppie di C che hanno comune un altro punto B: le
M e IP s’intersecano nel punto omologo alia coppia (A B), e questo
tende al punto (A A) quando В si avvicini -infinitamente ad A,
sicehd (A A) costituirh un gruppo della serie caratteristica sulla
curva -Ж. Ora, poichfe la К sega sopra ogni curva del sistema X
un gruppo residuo,della serie caratteristica, per il terzo criteria 3,’equi-
valenza (cfr. Cap. Ill, § 13) la Ж stessa sar& una eurva canonica
della J„ " ' - e. d. d.
Dopo aver cosi dimostfato il nostro teorema per g = 2, io dimo-
strerenio per q — 3 e cosi successivamente per- indusrione completa.
Infatti, supposto veto il teorema per la variety dei gruppi di g— 1 .
punti di C (g < p) si rieonosee vero anche per la J, delle g-ple.
A tai uopo si consider! sulla Js'la serie delle oo* variety JSfe_x, .
-irriducibili e birazionalmente identiche, ognuna delle quali rappre-
senta le g-ple con un punto fisso: questa serie d d’indice g. Sia Жа_х
la variety delle g-ple tolte dai singoli gruppi' di una g££, contenuta
nella serie canonica di C, e determiniamo 1’intersezione della Жа_х
' colla Me_t. Sia gjji, la serie residua del punto A rispetto alia serie
ponsiderata. Aggiungendo ai-gruppi di g— 1 punti estratti dai
gruppi della д%£* il punto fisso A, si ottiene una variety Ж„_,
•che ё comune alia rispondente al punto A e alia M,_x immagine
-della gljl*. 'Ora se, sulla alia Же_, sommiamo la variety
delle (g — l)-ple aventi il punto fisso A (ciob la variety dei gruppi
di g punti, dei quali fa parte due volte il punto A) si otterrt, una va-
riety cawomca (impura) della JfM; .e cib per il teorema ipotetica-
mente assunto come base della nostra induzione, perchb la detta
variech risponde alia serie dei gruppi di g — 1 punti estratti dai sin-
goli gruppi della serie
; «Л+Л - -
serie col punto fisso. A, contenuta nella serie canonica di C.
• — SUPBREICIB IRREGOLARI E SISTEMI CONTINUI 01 CURVE, ECC. 368
Dunque la sega sulla Jf,_s una variety residua di una -va-
rieti canonica* rispetto alia quindi per il terzo criterio di
equivalenza (che facilmente si estende dai caso delle curve a quello
delle variety a qualsiasi dimensione) basteiA prorate che la
•costituisce una variety del sistema earatteristico della Ж^. Bd
invero la Ж^ relative al punto Assort e la relativa al punto
Asso B, hanno in comune la variety delle g-ple eon i due punti
dssi A e B, e quando_B tende ad A, la Л£'_г diviene infinitamente
vicina alia Жв^ e la Me_s tende appunto alia Me_s.
. Cosi essendo stabilito il teorema enunciate, si faccia p == g;
avremo: s«Be varietA di Jacobi <7„, rappresentativa dei gruppi di p
punti di una curva di genere p, la varietd delle p-ple speciali
4 una variety canonica (a. priori impura). Ma essa ё precisamente una
varietA eccezionale, che si lascia trasformare in una variety di di-
mensione p— 2 sulla variety, birazionalmente identica alia J„,
xappresentativa dei gruppi di p punti disequivalenti della curva C
•di gener^ p. Si ottiene d’altronde questa trasformazione usufruendo
•della corrispondenza involutoria che intercede, su C, fra i gruppi
di p punti reaidui di una fif, . . .
Pertanto me segue che la varietA di Jacobi J, ha il genere uno.
Il teorema stabilito per le variety di Jacobi J„ = F„ si estende
ora, facilmente, alle variety abeliane piit general!, e basteri, indi-
carne in breve la dimostrazione. Anzitutto, riferendoci ad una Fe
sempliee contenuta imprimitivamente in una F, (g < p), questa
Va fart, parte di una sehiera di variety della stessa dimensione, schiera
•d’indice uno; e quindi la variety canonical (impura) della V„ segherft
su ciascuna di tali F, una variety canonica. In secondo luogo il
teorema-si estende ancora al caso. di una F„ che venga rappresentata
•sopra una variety multipla, contenuta in F„, senza variety di
diramazione* (cfr. f 9). Infatti la trasformazione (1, s) che fa passare
da W,, a Fe muta la variety canonica di in una variety canonica
•di F, (•). . •
In conclusione possiamo enunciate che: Be varietd abeliane
F, (g ;> 1) sono sempre di genere uno, в con varietd canonica pura
d’ordine zero.
Notizia. - La valutazione del genere delle variety di Jacobi
F„ e in generale delle varietS, abeliane, riesce immediate sotto
• I’aspetto trascendente, poichS si costruisce subito un integrate
p-plo di prima specie anneseo a Fs. La dimostrazione geometric» del
(s) Teorema di Pamlev^-Castelnuovo stabilito per q = I in Enbiqubs-Chi-
eiHi, Lezioni. Libro V, cap. I, J 9 (vol. Ill, pag. 72). Per q = 2 cfr. il Cap. V, § 7
di questo" trattato. Il teorema si estende senza difficolta per tutti i valori di q.
364
СЛР1Т01Л NONO
teorema oiie abbiamo sopra esposte, e stata data dal Sevebj in una
Kota del 1911 (* *)•
Un’altra' dimostrazione geometrica dello stesso teorema 6 state
indicate da B. Sbgbe (e) e consists nel mostrare che le serie lineari
contenute in una serie (ft* sopra una eurva C di genere p, hanno
per immagini sulla corrispondente varietA di Jacobi, le variete
di un sistema lineare, il cui sistema caratteristico, sommato
aU’intersezione coll’immagme della variete dei . gruppi special!,
costituisce il sistema eanonico su una Ts_x. Ci limiteremo a spiegare-
la cosa nel caso pih semplice p = 2, avrertendo che 1’estensione
del ragionamento per p > 2 riesce invero xneno semplice di quanto
si potrebbe desiderare.
Coneideriamo dunque una eurva C di genere p '*= 2, e sopra-
di essa una serie lineare generica g^: le contenute in questa serie
danno luogo, sopra la stgterficie di Jacobi Fa, alle curve В di una
rete, priva di curve foriaamentali, che avranno un’intersezione va-
riabile J. colla eurva eeeezionale Fx immagine della g% ea,noiae» di
V, о тт punto base В = Ув nel punto trasformato di essa merefe-
1’involuzione definite dalla dette gl. Le curve canoniehe К di Ft
sono definite, a priori, sulla superficie, dalla propriety di segare su
una generica В gruppi residui della serie caratteristica di- |X], au-
mentata dalla intersezione A della В colla eurva eeeezionale Fx о del
punto base В (trasformato della Fx).
Si tratta dunque di dimostrare ’ che la serie A -f- В + gJ su
una В й contenute (totalinente) nella serie canonica pf. E la test
deriva in sostanza dalla interpretazione geometrica della for-
mula di Zeuthen che lega le due serie canoniche delle curve C e
В in corrispondenza (2, 3) (’).
Cosi dunque la rete delle curve В su Vtf о meglio su ufta trasfor-
mata di questa sen» curve eccezionali, risulta essere di genere
я — 5, di grado effettivo 6 e di grado virtuale » =» 8, (®2я — 2>,
avendo due punti base semplici, eon serie caratteristica canonica.
Il possesso di una tai rete |Lj, senza-curve fondamentali proprie,
porta appunto che la V, sia una superficie ' di genere p, = 1 eon
eurva canonica d’ordine zero, . . o. d. d.
P-) S<uUe ewperfloie e variety algebriche irregolari di genere geometrica тЛ>.
. R. Ace. Lineei, 1911. . •
(a) Determinari/ane di certi gruppi orroarianti di dee о piii eerie lineari. Bendio.
Cireolo Mat. Palermo, 1932.
(*) Questo peasaggio riesee assai semplice (per p = 2) ove s’introduca la eurva
— ausiliaria M che rappresenta le coppie di punti di h oomplemantari rispetto ad
una gl, eontemita nella g|.
' SUPBRFICIR IRRSGOLARI В SISTEMI CONTINUI DI CURVE, ECO. 365
11. Fascio irrazumale sopra le superficie di genere geometric» npllo.
»
Balia circostanza che una varietft abeliana F» di dimensione
q ;> 2 ha il genere geometrico eguale ad uno, si deduce che « ogni
superficie F non eeeezionale appartenente' ad una varietA abeliana
V,, ha il genere geometrico p, > 0
Per f = 2 la cosa ft evident®, la F coincidendo con Fs. Per pro,
vare in generate il teorema occorre osservare che- per 3 > 2 «la
F su Ve fa parte di un sistema continuo di superficie analoghe, di
dimensione q — 2 almeno'
Infatti, applicftndo alia F le сю» trasformazioni 'del gruppo Г
della F, si avranno, in generale, co® superficie analogue ad fa
eceezione il caso in cui la F ammetta una serie continua di trasfor-
mazioni in sft; ma, in ogni modo (per la semplice transitivity del
gruppo Г) le trasformazioni della F saranno al pih oo®, e quindi si
avranno almeno oo®-* superficie' trasformate di F.
Cib posto la propriety di F di essere di genere .geometrico non
nullo (coma’abbiamo enunciate) ft una conseguenza della propriety
generate che< Sopra una variety F, di dimensione 3, la quale abbia
il genere geometrico P > 0, ogni superficie F che appartenga ad
una schiera continua di dimensione q— 2 almeno, ha il genere p, > 0.
Dimostriamo questa proposizione riferendoci dapprima al caso
3 = 3, e poi al caso q — 4, ecc.
Supposto q = 3, la superficie canonica che esiste per ipotesi
sulla F, (anche se costituita da una sola superficie d’ordine zero)
interseca la F lungo una eurva che appartiene al sistema residue
della serie del sistema caratteristico di F rispetto al suo sistema .за-'
nonico (*); ,cift basta per provare, 1’esistenza di quest’ultimo, oioft
che il genere di F vale p„ > 0.
8e 3,== 4, le superficie F, che sono almeno oo*, si possono distri-
baxre in almeno oo1 sistemi continui semplicemente infiniti, che dan
•luogo dunque ad una serie oo1 almeno di varietft Fa; ora, per'essere
il genere di F< maggior <1д zero, una variety canonica di F* segherft
.gu ciascuna delle suddette F, superficie speciali, residue-del sistema
caratteristico di Fa, rispetto al sistema eanonico, e quindi eodeste
Fa saranno di genere P > 0. Da cift segue che le co1- superficie che
le costitpiscono sono pure di genere p, > 0.
Con procedimento analogo, passando da q a q +%1, si prova
la cosa per una variety Vv di dimensione qualunque.
Il teorema stabilito che le superficie appartenenti ad una variety
abeliana sono di genere p, > 0, ci permette ora di precisare, per le
(i) Cft. viii, § a.
Звв " . CAPITOIX? NONO ’ ' ’ г '
superficie ai genere pB = O, la propriety eaiatteristica delle super-
ficie-taegolari». dimostrando- fehi: -Ze eujw/icfe Ai fiwtere. p, «= 0,
trrejolart, pdegeggono un /вво»о irrassionale Ж genere —rpa =.p di curve..
Vicewge; ogni tuperficie itregolare Ж genere p« = 0, che роеаедда
«л fascio irrational® di genere p (> 0), i щьа superficie ifregblare Ж
genere wamerico — pL ' '
" Sia' V una superfieie irregolare e — senza fare per era alcuna»
ipotesi circa i valori dei suoi caratteri —jri consider! sopra di essa
’ ш sfeteina continuo sempMcemente infinite di curve sf&}, "d’indiee
i>2, che possiamo supporre semplice, eipA tale ehe le * carve <7
passanti per un punto generieo della'superficie. non abbiano di;con-
seguenza a comune altri punti.’ . . - /
. 'Si indichi con ‘ • .-• ;
C{ = SO ' j- ; .. .* '
la Curva ebmpm. dellecurve di ^O|._the fiefiono-Ж йп^ийй fiSlla
superficie .F. •• ’ /у?..
. \Si josscito presentare tire easi; ; 7' . ' '
; d):Де. oo* curve O(. йдо' tutte e^valentC-SfB^? '•
dette Pj si dtatribuiseoitoMin '«St
Infiniti di curve equiyalenti; . . s•' ??'>J
. o) le C/aono tutte diaequivaienti'ia tore,.-owe» ЦашдЛ'Ж
e»e riesce equivalente ad та numero finite»,я, .1, Ш eurrev._ \.-л
Or»-_proveremp ehe 'nA odse 'a.)' ,
fraioro, 'cwb le ввгй :fC|- i^contenn^ sfstenta'-M&iri. t
A tai uopo basta provare che-le co1 curve P segano таа'serie- -
. di gruppi eqnivalenti sopra una qualsiasi'eurva Ж traeciata,sopra
J?,’"® invocase, per esempio, il prime priterio d’e^uivalenza. Invero---
. ?J&..propriety aflerjnata,.pet„.la-ee»S.8egafti‘j’&aЖ: feHva
'fia 'un note ^.сеЙЙНЬ -fi’equivalenza.M'Severi-C^eteli.wyo-'reliWp- •
"'alia sege -oo1 ’di .gruppi,di punti'appartenepti ad 'una eurva'o»
_• " In -tecondo luogfi provereino johe »ei casgb^ si'^tS &>&rv,in sbpra '
la sitpct-fieic V «» ’fascio irrasionale' dl ... ... .
♦ Infatti si faeda mubvera su > Un .punto'A per.,mQdo^lie le curve .
• Ct useenti da esso si mantengano^eqifivaleiiti f siccome 'la- isondizibhe
impost» ё algebrfca, il- punto A deecriverb, una. curva algebrica Ж,
ed й еЫаго che le curve К cosi defMte su-’>, -non.-pdiendo segarsi
a due a due, dovranno formare un fascio. (privo ® punti' base eenr-
piici per la superficie). Supponendo, per sempIicitA di ДайоиЬ, che
le К siano irriducibili (cM altrimenti basterebbe '’'фпЬШгаге al
Cl Cfr. Ш, 13. Vedi pure Enrxqvbs-Cbisxni, riesiowi. Libro V, вар. W, f 42
(vol. Ill, pag. 4S3).
SUrEBEICIE XBREGOI.ARI E SISTEMI COUTINUI DI CURVE, «30. 367
'posto delle Ж le- loro 'componenti irriducibili), ’ dtaostreremo о»
che il.fasoio (Д) ft.irrazionAe. -, ‘ • • / . . ’ '.
Invero, la: stessa ©oneMerazione fatta innanzi mostra'che le
curve €7 dLi •{ <7| debbono eegare, sopra типа qualunque Ж, ob* gruppi
di punti equivalent!. Quindi, per fl secOndo criterio d’eguvwiler^ia (J)r
le 0 saranno equivalent! a /neao di curve del fascio (Ж), ciob >— de-
Bignando con Се C, due curve quaftiansi di ^CJ}- — si avrfe -
< ’ . / . . ' (7-1- SK.^ 'Ов+ ЖЖ, . . .
dove. le due sommatorie S ё S' contengono emo stesso nuinero di
addendi. Hi conseguenza, se le curve C non sono tutte equivalent!,. ,
il fascio (Ж) non pub essere lineare, chb altrimenti sonunandb e sot-
, traendo uno stesso numero di curve К si passferebbe da una C ad
una equivalente. " ’
‘A questo ragK®amento,: fondaW ‘eta. secondo",criterio d’equiva^
lenza,'*si pub "toubvere -unWiczldfae,. riefl’ipot-esi'che fl fascio.- (Ж>
.wntenga delle .-Curve вреЫйе, Coupe ; • '*
Л-,-s-i:Ж.::Жк’-'1-%eЖ»-;
.вЦвскЬ’ аЦрга<potreb&..averri,-.per esempiq> . " • .. ’ . '
’ - < rn-; - \ \ a., U.( b; . •- f., - ; ' .
Ma ,fl;4ut>W-Ae.qui.-si sollevaiviene.^ipunato'-flffia.-consid^a-
',zi<®.e-<jpp 1,ё;,ёдахе. (>e-<_C.::app»tengbB.o adsxm n»desflno._.sistema
«мжйпио .{О}..в al гайаге di 0tt tos ;;{<?} le ©Omponoti ДЛеЖ spez-
zate, essendo in цшиего. ЙтМ^.тйпавгойрЛие?-1® qui* ridueendo-
per couttuuiM.la <7,.alia,О, г1втйШ>есе®аШвмаяЛе ‘m, -t--.-- - - - •
..^,^&1аву-трдаёа1о®-п<;‘й»а/.Ж!-»1 proYa'suMto,.ehe.. йеу’евМеге-Д
.genere ЛвЯ№ .igup^fieie-1. .Bappresentando infatti le .curve-di
i.punti.di una-jcurya--Д,1е 'ооУшгте О». deflniBcono -sulla
i stessa un^ serie yi cbe si pub -сомШегате come una variety flop-
.plamente. inftaita, -sempliee о inuMapla, con^puta nella variety di
• .Jacobi che conisponde sttla curva. L, rappresentando1 le serie lineari
-disequivabffliii della L stese.a< ' • > . .
. . La discussion precedents conduce a riconoscere che, per una-
‘ superficie J1 di genere pt = 0, irregolare, ogni serie | d’indice i,
~ eostituita di' curve non equivalenti, che si scelga sopra di essa, d&
luogo аГеавО’ b), siechb si taoy< sulla superficie un fascio .irrarionale
..di ейгтё-Ж.' . у -
(Ч.да. in, -13.-.
352
/МО
Kel caso 1)
-chv
golari di gem
nale - di -genere
precedente.
. <#'/e di (K) eguaglia il genere nu-
,-pa- PerchA, se fosse p < — pa,
- ‘ Jl^aivalenza, si riuscirebbe a costruire
. j," a equivalent!, secanti su ciascuna К
jf si, e quindi (awerandosi il caso b)3 un
/ .curve; ma il possesso di due fasci irra-
f' porterebbe che questa superficie debba
/ Pt > Q: la cosa appare evident® se i due
J jrve unisecantisi (x); mentre il caso che le
seghino in un certo numero e > 1 di punti,
Are la > sopra una superficie multipla (s-pla)
f' .rve unisecantisi, donde risulta, a fortiori (®),
' .i la proprieth caratteristica delle superficie irre-
p, =J>,’ che imports .11 possesso di un fascio. irrazio-
p =;’—p„s viene dimostrata, secondo 1’enunciato
Fotiaia. - II teorema ehe conceme 1’esistenza di un fascio irra-
zionale sopra le superficie irregolari di genere p„ — О, b state enun-
ciate da Enbiqttes, come conseguenza della propriety caratteri-
stica delle superficie irregolari, e cib nella sua eitata nota dei Bendic.
dell’Accademia di Bologna nel 1904. Invero, fine dal 1900 il OAsiBb-
rroovo aveva avuto luogo di osservare e comunicare al collega che
-« dall’esistenza di un sistema continue di curve disequivalenti sopra
una superficie di genere p, — 0, si deduce 1’esistenza di un fascio
irrazionale ».. Questa propriety, che 1’Exbiqkes richiama ’nella sua
Kota ricordandone I’autore, era giustificata per via' trascendente,
come segue.
Sia |<J}- un sistema continuo oo1 di curve non equivalent!, sopra
la superficie F di genere — 0. Allora, come fu rilevato per la
prima volta da G. Нимвввг f1), si costruiscono su F. degli integral!
semplici (di differenziali totali) di prima specie, sommando i valori
ehe gli integral! abeliani di prima specie pertinent! alia serie
assumono in corrispondenza alle i (> 1) curve О uscenti da uno
stesso punto' A di F. E questi integral! semplici Ix It.... saranno ne-
-cessarianiente' funzioni 1’uno dell’altoo, altrimenti — come 6. state
(4 Infatti si ottieno una curve canonica di V sommando alle curve di (M)
che passano per i punti di un gruppo canonico di им К le curve di (K) che^pas.
sano per i punti di un gruppo canonico di una M.
(’) Cfr. V. 7.
(’) Comptes rendus, 1893; Journal del Math., s. 4, t. X, 1894.
SUMSRI’ICie IRREGOLARI В SISTEMI COKTINUI DI CURVE, ECC. 369
*.
indicate da Noethbb, (*) — sijiedurrebbe 1’esistenza di un integrate
doppio di prima specie, e quindi > 0.
Cid posto il Castelnttovo osserva che le linee I — cost, saranno
composte colle curve algebriche d’un fascio irrazionale ehe vengano
definite facendo muovere A sopra la superficie in guisa che le i
curve <7 uscenti da uh punto' descrivano gruppi di curve equiva-
lenti- Questo ragionamento, specie nella forma che assume traverse
le considerazioni della Kota di Oastelwovo « Sugli integral!- sem-
plici appartenenti ad una superficie irregolare » (a), в state tradotto
in quello geometrico che sopra si 6 esposto, da 1*. Sevebi’ (’).
12. Note sulle superficie di irregolaritfi uno.
In vista <i pc-ssibili applfearioni conviene rilevare che le consi-
derazioni svolte nel precedente paragrafo conducono anche a carat-
terizzare le superficie di irregolarite, # == p, — = I, per le quali
sussiste il teorema: Le superficie P di irregolantd, q — 1 posseggono
un fascio ellittieo di curve (di genere я^. 0). Sopra di esse ogni sistema'
continuo di curve si ottiene da un sistema lineare sommandovi la dif-
fer ensa di due curve del detto fascio.
Osserviamo ehe la variety di Picard, di P ё una eurva ellittica.
Si assuma ora sopra P un qualsiasi sistema oo* di curve disequi-
valenti, ^(7}-, d’indice v > 1: per ogni punto P di P passeranno
v curve C, e, ‘ al variare di P, si qtterranno co® gruppi di v curve;
quindi, a par tire da uno particolare di ’ questi punti, P = P, vi
saranno oo* punti P per cui passa un gruppo di v curve C equiva-
lente -al gruppo delle eurve_passanti per P. Il luogo di questi punti
P sari una curva К per P, e tutte le К analoghe formeranno su
P un fascio ellittico di curve (X). Stabilita in tai guisa la prima parte
del teorema, per dimostrare la seconda, basterib awertire che le
curve C del sistema continuo •{C’}- segheranno su ogni К gruppi
equivalent!, e di conseguenza (per il secondo criterio d’equivalenza)
due (7, non equivalent!,. differiranno fra loro soltanto per la diffe-
renza di due K. '
. (*) defter die, totalen algebraiechen differentidlauedT&oke. Math. Annalen, Bd. 29,
1887. Confr. Pioabb et Simabt, op. c.t vol. I, Cap. V, | 16.
(’) B. Aoo. Linoei, 21 Maggio, 4 e 18 Giugho, 1905. Cfr. Memorie seelte, pag. 473
e segg. (v. in iepecie il n. 10, pag. 490).
(’) Sulle eufierfiaie e varietd algebriehe irregolari di genere geometrico nullo.
Bendic. Linoei, в. V, vol. XX, 1911.
Bnrrives E. - Suterfi.ete alaebrlrite.
24
САМТОЬО NOWO
368
Si riconosee quindi -che il genere di (X) .eguaglia fl genere nu-
merico mutato di segno: p ==— p„. Perchb, se fosse p < — p„,
in forza del second© criterio d’equivalenza, si riuscirebbe a costruire
su Ж una serie di curve-non equivalent!, secant! su ciascuna Ж
gruppi di punti non equivalent!, e quindi (awerandosi il caso b)2 un
secondo fascio irrazionale di curve; ma il possess© di due fasci irra-
tional! su Ж, (Ж) e (M), porterebbe che questa superficie debba
avere fl genere geometrico p„ > 0: la сова appare evidente se i due
fasci sono formata di curve unisecantisi (*); mentre il caso che le
•curve dei due fasci si seghino in un certo numero s > 1 di punti,
-conduce a rappresentare la F sopra una superficie multipla (e-pla)
•con due fasci di curve unisecantisi, donde risulta, a fortiori (s),
che il suo genere p, > 0.
In conclusion© la propriety caratteristica delle superficie irre-
golari di genere pe — ty? che importa il possesso di un fascio, irrazio-
nale di -genere p p„, viene dimostrata, secondo 1’enunciato
precedent©.
Notizia. - Il teorema che concern© 1’esistenza di un fascio irra-
zionale sopra le superficie irregolari di genere p„ — 0, й state enun-
ciate da Ekbiques, come conseguenza della propriety caratteri-
stica delle superficie irregolari, e cib nella sua citata nota dei Bendic.
delTAccademia di Bologna nel 1904. Invero, flno dal 1900 il Oastei»-
wuovo aveva avuto luogo di'osservare e comunicare al collega che
-« daU’esistenza di un sistema "continue di curve disequivalenti sopra
una superficie di genere p, — 0, si deduce 1’esistenza di un fascio
irrazionale ».. Questa propriety, che 1’Eneiques richiama nella sua
Nota ricordandone 1’autore, era giustificata per via trascendente,
come segue.
Sia un sistema continuo oo1 di curve non equivalent!, sopra
la superficie - Ж di genere- = 0.. Allora, come fu rilevato per la
prima volta da G. .Humbeet f1), si costruiscono su Ж degli integral!
semplici (di diflerenziali total!) di prima specie, sommando i valori
•che gli integral! abelian! di prima specie pertinent! alia serie
assumono in .corrispondenza alle i (> 1) carve C uscenti da uno
stesso punto A di Ж. E questi integral! semplici J,!,.... saranno ne-
cessariamente funzioni 1’uno dell’altro, altrimenti — come 6 state
C1) Infatti si ottiene una curve canonica di F sommando alle curve di (M)
che passano per i punti di un gruppo eanonico di una К le curve di (K) ch.O'pas-
aano per i punti di un gruppo eanonico di una M.
m cfr. v, 7.
(’) Comptes rendus, 1893; Journal del Math., a. 4, t. X, 1894.
SUPERFICIE IRREGOLARI В SISTEMI COKTINUI DI CURVE, ECC. 369
indicate da Noether (*) — si^dedurrebbe 1’esistenza di un integrate
doppio di prima» specie, e quindi p„ > 0.
• Oib posto il Oabtelwvovo osserva che le linee I = cost, saranno
composta colie curve algebriche d’un. fascio irrazionale che vengano
definite facendo muovere A sopra la superficie in guisa che le i
curve C uscenti da uh punto desorivano gruppi di curve equiva-
lent!.. Questo ragionamento, specie nella forma che assume traverse
le considerazioni della Nota di Castelnvovo «Sugli integral! sem-
plici appartenenti ad una superficie irregolare » (*), 6 state tradotto
in quello geometrico che sopra si ё esposto, da F. Seveei (’).
12. Nota suite superficie di irregolaritd uno.
In vista di pcssibili applieazioni conviene rilevare che le consi-
derazioni svolte nel prece’dente paragrafo conducono anche a carat-
terizzare le superficie di irregolaritfi g = pe~pa = l, per le quali
sussiste il teorema: he superficie J* di irregolanta 1 posseggono
un fascio ellittico di mi (di genere O'). Sopra di esse ogni sistema
continuo di curve si ottiene da un sistema lineare sommandovi la ctif-
ferenza di due curve del detto fascio.
Osserviamo che la varietA di Picard di P 6 una eurva ellittica.'
Si assuma ora sopra F un qualsiasi sistema oo1 di curve disequi-
valenti, d’indice v >1: per ogni punto P di F passeranno
v curve C, e, "al variare di P, si otterranno oo* gruppi di v curve;
quindi, a partire da uno particolare di' questi punti, P = P, vi
saranno oo1 punti P per cui passa un gruppo di v curve О equiva-
lents .al gruppo delle eurve_passanti per P. П luOgo di questi punti
P sarA una eurva К per P, e tutte le Ж analoghe formeranno su
P un fascio ellittico di curve (Ж). Stability in tai guisa la prima parte
del teorema, per dimostrare la seconds, basterA awertire che le
curve C del sistema continue segheranno su ogni Ж gruppi
equivalent!, e di conseguenza (per il secondo criterio d’equivalenza)
due C, non equivalent!, difieriranno fra loro soltanto per la difie-
renza di due K.
• . (x) Cleter die totalen algebraiscJien differentiataitetiriicke. Math. Annalen, Bd. 29,
'1887. Confr. Picard et Simabt, op. c., vol. I, Cap. V, | IS.
(!) B. Acc. Lincei, 21 Maggio, 4 0 18 Giugno, 1906. Cfr. Memorie seelie, pag. 473
e segg. (v. in iepeoie il n. 10, pag. 490).
(’) Suite superficie e varietA algebriche irregolari di genere geometrico nullo.
Rendic. Lincei, s. V, vol. XX, 1911.
Si
Esbicves F. - Superficie algebriche.
3 "Н
Oapitolo X.
LE SUPEBBICIE DI GENEBB GEOMETBICO NULLO '
1. Introduaaone.
La propriety caratteristiea delle superficie irregolari di genere
p, == 0, che abbiamo stabilito nei §| 4 e 11'del precedents eapitolo,
permette, come vedremo, di caratterizzare — in modo complete*
— le superficie di genere p, = 0, e — in particolare — di assegnare,
mediante 1’annullamento dei plurigeneri, le condizioni necessarie
e sufficient! che deflniscono la famiglia delle superficie rigate.
.. Lo sviluppo delle nostre deduzioni proceder& nell'ordine se-
guente.
Anzitutto tratteremo delle superficie che contengono sistemi di
curve di genere я e di grade n > 2я— 2, dimostrando che esse sono-
trasformabili.in rigate, razionali о irrazionali; il caso razionale ri-
sponde (corn’s note) alia regolaritd. della superficie.
In secondo luogo esporremo un lemma concernente le curve
spezzate di un fascio irrazionale, che ci permetterfi di precisare in
una forma pih sempliee il secondo criterio d’equivalenza quale oc-
corre adoperare'negli sviluppi che seguono.
Di qui trarremb intanto che le superficie di' genere p, = -0 e
p« < — 1 sono senz’altro riferibili a rigate, di genere pa == — p.
Bestano quindi a studiare le superficie coi generi p, = 0 e p, = — 1,
le quali danno luogo a:
- 1) superficie trasformabili in rigate ellittiohe, e
2) superficie contenenti un fascio ellittico di curve di genere
я 1.
Tratteremo separatamente i due east che si presentano, per
я > 1 e л =. 1, dimostrando che, nell’uno e nell’altro, la super-
fieie contiene un secondo fascio linear® di curve ellittiche, birazio-
nalmente identiche.
Inline approfondiremo lo studio della famiglia delle superficie
(вИИиЛв) definite dalle anzidette propriety, ne assegneremo la co-
372 . САВГГОЬО DBCIMO ' . '
sbruzione, ле valuteremo i plurigeneri e riconosceremo che esse am-
mettono un gruppo ellittico, aemplicemente infinito, di trasforma-
zioni birazionali in se stesse, ecc. Termineremo il capitolq caratte-
rizzando le superficie coi plurigeneri nulli e quelle eoi plurigeneri
eguali -a zero о ad uno.
2. Le superficie coatenenti un sistema di curve di genere я e di grado
n > 2as —2.
Sia' T una superficie la quale contenga un sistema lineare di
curve | C |s co’ almeno, irriducibile per cui я >2л—2. Le curve O',
C* ecc., successive aggiunte a | <7|, segheranno le (7 in un numero
decrescente’ di punti:
2л—2, 4л—4 — n, вл—6 — 2n....
e percib formeranno,una serie limitata; in altri termini, 1’opera-
zione delFaggiunzione, a partire dal sistema lineare I (7|, dovrft,
estinguersi dopo un numero finite di passaggi, dando luogo ad un
ultimo sistema aggiunto, | <7‘ [, di dimensione S: 0, che non possiede
pih alcuna eurva aggiunta’, d’ordine >; 0.
Conosciamo gift un caso in cui 1’aggiunzione si estingue in sif-
fatta guisa: 6 il caso delle superficie regolari di genere p„ = pe=0,'
con bigenere P — 0, in cui fe note che la superficie P risulta razio-
nale (»). Se si .prescinde da questo caso, conviene esaminare 1’ipo-
tesi che la superficie su cui si trova il nostro sistema 101 sia irre-
golare, di genere p, = 0 e p, = — p — 1, e percib contenga un
fascio irrazionale, di genere p, di curve K. Se le X sono di genere
g = 0, la j? risulta senz’altro trasformabile in’ una rigata di genere
p (’). Qccorre esaminare e ridurre all’assurdo l’ipotesi che il genere
'delle sia invece f S 1. E gioverh distinguere i due casi: •
1) V > 1 .
2) p =’l.
Primo caso: p > 1.
Si designi con s il nutnerp delle intersezioni delle C colle X, e
si osservi che le C + pK—pK, dan luogo ad una schiera ooB di si-
stemi lineari distinti secanti suite К serie equivalent!; da cib segue
8 > 1.
Ora, siccome le curve canoniche (virtual!) di F segano le K, di
genere in 2g—2 punti, le C' segheranno le stesse К in »-f-2g—
(!) Teorema di Caetelmiovo cfr. Cap. V, § 4.
(’) Teorema di Enriques cfr. p. ев. Ewbcquhs-Cowobio, L« euperfioie ra-
zionali, Libro II, cap. I, § 4-8 (pag. 253).
ЬЛ SUPERTICIE DI GBHBRB GEOMETEICO .NVbbO 373
— 2 punti, le C le segheranno in «4-2 (2e—2) punti, e cosi via.
- Infine le curve dell’ultimo sistema aggiuntoi | <7* | segheranno le X in
un numero di punjii che sar4, a fortiori, m > 2. Ma questa eonclusione"
apparisee subito assurda, se le C* sono irridueibili, perchi, posse-
dendo esse una involuzione irrazionale yj, di genere p, segata dalle'
X, dovranno avere il genere (effettivo e ^irtuale) maggiore о uguale
a m(p — 1) 4- 1 > p, e quindi possedere un sistema aggiunto di di-
mensione > 0. . '
ba conclusion© (che ё una rtduzione all’assurdo della ipotesi da
cui siamo partiti) si estende al caso in cui la C* sia formata di curve
ridueibili, poichd in ogni modo. una component© di Ci dovrS. segare
le X in almeno 2 punti: questa affermazione consegue dall’osser-
Vare che le C{ appartengono ad una serie continua di curve dise-
quivalenti, che si ottiene eommando ad esse' la differenza di due
' curve del fascio (X): X — X.
Secondo oaso: p == 1. .
Si proceda come nel caso precedent©: a partire dal sistema | C |
coi caratteri л ed. n > 2л— 2, si arriverh ad un ultimo sistema ag--
giunto | C{|, costituito di curve seeanti le К in 2 punti; ma qui
pare che il sistema aggiunto a С* possa effettivamente mancare, se
il genere (effettivo e virtuale) di 0* sia eguale ad 1, come quello del
fascio. delle X. Регё la nostra ipotesi porta che le curve C* supposte
irridueibili (o le component! di esse) appartengano ad una schiera
ellittica, 'oo1, di curve ellittiche disequivalenti; e siccome le curve
di questa schiera non possono formare un secondo fascio irrazionale
(diverse da | X |), cosi- dobbiamo ammettere.che le curve С* + X — X
diano luogo ad un sistema continuo di curve di grado »^1-
’ Ma di qui si trae che la superficie. X deve possedere oo1 curve
razionali e quindi deve essere rifertbile ad una rigata ellittica, in
contraddizione colic nostre ipotesi. Infatti, se v = 1, la schiera el-
littica oo1 di curve C* unisecantisi contend oo1 coppie di curve equi-
valent!, e (per fl teorema di Lfiroth) C1) i 'loro punti d’intersezione
genereranno su X oo1 curve razionali. Se sia invece v > -1, le curve
di C{ (irridueibili) eon v-^-1 punti fiss\ daran luogo ad una schiera
oo1 .di curve ellittiche unisecantisi, sicchft si ricade nel caso prece-
dent©. • - . .
Cosi rimane stabilito il teorema fondamentale:
Ze superficie contenenti un sistema lineare irriduoibile., oo2 al-
meno, di genere я в grado n > 2л—2, sona trasformabiU in rigate,
razionali о irrazionaln.
Cfr. Еквгвивв-Сгаают, Lezioni. Libro П, cap. I, § 3 (vol. I, pag. 189) e
labro V, cap. I, | 7 (vol. -TH, pag- 48).
374
СЛМТОЬО DBCIMO
E da cid, come abbiamo annunciate nel § 9 del Cap. IV, segue
che: /
he superficie appartenenti alia famiglia delle rigate sono le sole
' superficie contenenti infinite curve eccezionali-, в tutte le superficie,'
fuori di questa famiglia, possono trasformarei in superficie prive di
. curve eccezionali.
Quanto al teorema fondamentale, conviene aggiungere che esso
sussiste nelle condizioni pih ampie, qualunque sia la dimensions del
sistema | C | fra i cui caratteri interoedala diseguaglianza n > 2л— 2,
purcte le C stesse non contengono come componenti delle- curve ec-
cezionali.
Per dimostrarlo si osservi che il carattere a(C) — »—(2л—2)
ё un carattere additive dei sistemi linear! a cui si riferisce, e percib
non pud essere positivo per la somma di. dae sistemi senza essere
positive per qualcuno.»degli addendi. Cost basterft dimostiare che:
, Apportions certo^alla famiglia delle rigate qualunque superficie
I' m oui si trovi una curoa.C, irriducibile e non eccezionale, di genere
я в grade n > 2л — 2 .
Infatti il multiple. della detta curva C secondo un numero s
abbastanza grande аШ il genere e il grado
Я, 9Я -j~ —— -x - П — s -f- 1 , n, — 8ЯП ;
e quindi avr& la dimension©
r pa + n, — л, + 1 > 0 , •
costituendo un sistema irriducibile (per n > 0) per cui
.n, > 2л, — 2 .
В si awerta esplicitamente che cid che si 4 dettp vale anche per
л == 0, plrcM, essendo esduso che C sia curva ecceziouale e quindi
che sia n — — 1, sari
я 2» 0;
cd invero, nel caso • n — 0 che solo oceorre esaminare, il multiple
|«O|, per s assai grande, risulterft aempre ccmposto colic curve
razionali d’un fascio, donde segue che la F ё trasformabile in una
rigata.
Sotizia. - П teoroma che le superficie su cui I’aggiunzione si
estingue, e percib quelle che contengono sistemi lineari coi caratteri
лея per cui n > 2л— 2, appartengdno alia famiglia delle rigate,
costituiBce il risultato fondamentale della Memoria di Cabtbiwcfovo-
' Ekbiqu®8, « Sopra aloune question! fondamentali nella teoria delle
superficie algebriche », pubblicata negli Annali di Matematica, 1901.
ЬА SUPERFICIE DI GENERE GBOMBTBICO NULLO
375
La dimostrazione originate di questo teorema non faoeva uso
della propriety delle superficie irregolari di genere p„ 0, di eonte-
nere un fascio irrazionaie di Ciirve (propriety scoperta, come si &
detto, nel 1904). In luogo -di questa interveniva una diseguaglianza
che deriva dal confronto delTespressione noetheriana dell’invariante
di Zeuthen-Segre col teorema di Biemann-Boch. Aocenniamo in
breve al concetto di questo ragionamento dimostrativo.
Be (sopra una superficie > che deve essere di genere ря = 0),
a partire da un sistema lineare \C\, 1’aggiunzione si. estingue, per-
venendosi ad un ultimo sistema aggiuhto il genere di questo
sistema dovrft essere л <—P« =?== p-
Supponiamo, per seinplieita, che. | C*-1 sia irriducibile, oo1 alme-
no; dssigaando con » il suo grado, avremo che 1’invariante di
Zeuthen-Segre della superficie vale
d— я,— 4я«—12p—pW 4- 9, (p = — p«) О
mentre il -teorema di Biemann-Ebch ci dh la sua dimensions
r S; » - я + 1 — p .
Bi qui si deduce
5л + r lip + — 8 -f- Й St 11 p+ P(t) — 8 .
Quindi una discussion© appropriata, in cui oeeorre dietinguere
I’ipotesi p<x) 1 da quella p^ > 1, conduce a trovare sopra la •
superficie:
1) о un sistema lineare di curve di genere л e di duuensione
r S: 3 л — 5 ,
onde risulta che la superficie й rarionale о riferibile ad una rigata
di genere яс (’);
2) ovrero un sistema lineare di curve spezzate in curve ra-
zionali, onde risulta egualmente che la superficie ё riferibile ad una
rigata. ' . \ .
Questo cenno dft appena un’idea della via seguita: occorre poi
un’aualisi assai minuta, in rapporto a diverse (bircostanze compli-
catriai, e un esame special© dei casi in cui p < 3.
La dimostrazione notevolmente pih semplice del nostro teorema
fondamentale, basata snl fascio irrarionale appartenente ad una
f1) Qui designs, il genere lineare relative della superficie.
(’) Questa ё una conseguenza del ragionamento adoperato da Enriques
- neHa Note Svila massima dimensione dei eietemi lineari di curve di data genere op-
‘partenenti ad Wna superficie efigebrica, Atti Aoo. di Torino, 1894.
376 СЛИТОГО DBCIMO
superficie irregolare di genere pa = 0, ё stata disegnata nelle я Le-
zioni» di Emqto-Oameedbiii (*) pabblicate dai Rendiconti del
Seminario Matematico di Вота (ИМ). Codesta dimostrazione ё
stata qui sviluppata in una forma pih .semplice, evitando di fare
appello, come ivi si faceva, al teorema di Oastelnuovo-Enriques
sui piani doppi che hanno i plurigeneti nulli. Supplisce a cid la con-
siderazione elementare adoperata innanzi, che una serie oo* di coppie
di elementi equivalent!, sopra un ente ellittico oo1, ё una gl e percid
ё sicuramente razionale.
Diremo infine che I’estensione del teorema fondamentale al caso
di una sola curva, non eccezionale, di genere я 0) e grado
д > 2л—2, ё stata messa in .luce da Ь. Самрвввыд nella Note
«Interne alle superficie algebriche su cti esirtono curve di genere n
e di grado n > 2л—2» (Rendic. Ifincei, 1933s), e 1’A. stesso ha
riievate come 1’uso explicit©, di tale propriety valga a semplifioare
in pih punti la nostfa teoria. - .
Sota. — Merita speciale rilievo anche la proposizione di cui ci
siamo serviti per dimostrare il teorema fondamentale di questo pa-
ragrafo. Le superficie su cui Vaggiunzione si estingue appartengono
alia famiglia dette rigate.
.. В pei^tento, richiamando gli sviluppi dati in fine del § 1 del
Cap. VI, potremo affermare che: Le superficie non appartenenti alia
famiglia dette rigate, e percid ridueibili'a'un modello senza curve ec-
cezionali, hanno il genere lineare assoluto
. • pM 1.
Nel Cap. VI, § 1, si era riconosciuto soltanto che per 0,
estinguendosi I’aggiunzione, dovrebbero essere tutti i plurigeneri
== 0; qui si vede di pih che la superficie dovr6bbe essere riferibile
ad una rigata (in contraddizione coll’ipotesi della eliminabilith delle
curve eccezionali).
3. Lemma suJtte curve ridueibili di un fascio.
In vista' degli sviluppi che seguono occorre precisare quale sia
la valenza di una'curva comunque spezzata, appartenente ad un
fascio razionale o. irrazionale, ai fini del compute delle curve dotate
di punto doppio, il cui numero figura nell’espressione deU’invariante
di Zeuthen-Segre (Cap. V, § 2,3). Ci riferiremo,.per semplicith, a super-
ficie senza curve eccezionali, non appartenenti dunque alia famiglia
delle rigate, e dimostreremo che: In ordine al compute deU’invariante
(!) Cfr. .Cap. in.
ЬЛ SUPERFICIE DI GBKERB GEOMETRICO NULLO
377.
di Zeuthen-Segre- relative ad una - superficie' Ле ровведда «я fascio
| C |, ragionale b irragionale, di carve di genere re > 0, irriducibili,
privo di punti base, 'ogni curva spezzata del fascio ba la valenza > (L
Di -eonseguenaa il numero, 3 p 4, delle curve del fascio* dotate
di punto doppio 'deve ritonersi sempre > 0. Se 3 — 0 о J = 0,
il fascio non pub contenere alowna curva spezzata, tranne curve ellit-
tiebe multiple (di grado zero}, nel caso Ле le curve del fascio siano el-
littiche (я KSS 1). - '
Per giustiflcare questo asserzioni, conviene richiamare la for-
mula di Godeaux che (Cap. V, § 2) abbiamo detto esprimere la
:valenza di una particolare curva G del fascio, la quale sia comun-
que spezzata in parti multiple. Designamo con b la valenza di una.
particolare G == G ehe supporremo spezzata in component! nxultiple
di genere glf дг....:
C — + •••
incontrantisi fra loro in
8л* = 8*8*
punti. Si avrh:
’13> Ж—l)(2e<--2) + &**(«» + ** — 1),
il segno > riferendosi a possibili complicazioni, per esempio al
caso in cui qualcuoa delle component! 6, possegga un punto doppio,
о a quello in cui aleuni dei punti di connessione eomuni a due fra.
le component!. 8* e 8*, vengano a coincidere in un punto comune
ad r > 2 component! (x). .
Osserviamo che; essendo la superficie priva di ’curve eccezio-
nali, si ha, per- ogni Л,
Su == 8*8( 2gj— 2 ;
(x) La diseguaglianza ё > 0 S stata riconosciuta da CASTELNUOVO-EKBiqtrae.
(Annali di Mat., 1901) nel easo piti semplice in cui la C sia spezzata in una curva
Lriducibile multiple 8t di genere Ql e in un’altra component» semplice 6* che la
incontri in slt — f)iOs (> 0) punti. "La formula generate sopra scritta viene pOrtaF
estendendo il ragionamento usato in quel easo, da L. Gohbaux, S-ur le cofcul de
I'invariant de 2еиЛвЯ’$едгв. (M&n. de la Soo. des Sciences de iiainart, 1920) e-
poi anche da L. Слмтвпвьы, Sul compute AelPinvariants, di Zeuthen-Segre; Ancora
sul compute ecsc. Lincei, 1934, Quest’altimo autore ne ha tratto la dimostrazione
che d i.O e piii preeisamente pud aversi й — 0 solo quando il fascio (O') sia di
genere n = 1 e la C sia una curva ellittica multipla di genere g.= 1:
J = (t + l)(2g — 2) = 0 .
Й la propriety enunciate nel nostro lemma che figura pure nelle Lezioni di
Еммчтаз-Слмжвевьи (Sem. Mat. di Roma, 1934) e che ora riceve un* dimo-
strazione notevolmente pih semplice dbvuta ad А. Увлвгсявттл.
САМТОЬО DSCIMO
378
quindi __
<5 2* Sstsltf — 1) -f- + t» 1) ;
di pih^oiehfe per i ё «и i: О ,
&»(«* + «»— 1) - 1) + 1) + Ж* 2> '
&&»(£*— 1) 4~ — 1) •
Si ha dunque
J 2> 1) + ЖЛ, — 1) + Ss^K — 1).
Introduciamo la eurva
. 0* = 6.4-9.'+'-
e indichiamo eon g e v i suoi' caratteri virtual!. L’espressione a
secondo membra della disuguaglianza precedent», uguaglia il nu-
mero delle intersezioni jirtuali C*(0—0*); jaertanto il teorema
sarft dimostrato se fartuno vedere che C*(0 — 0*) 0, ossia se
ridurrenao all’assurdo l’ipotesi
C*(0~ c^ — i 0) .
Notando che 0*0 — 0*0 = 0^ l’ipotesi adottata porterebbe
v 0*0* «= » > 0 ;
quindi la eurva rO* individuerebbe un sisteina lineare |r<7*| di
dimensione dr che, per r abbastanza grande risulterebbe
<2* ра4-гЧ-тгр— Uf —r_|_ 1=!?i + Q_.-|(2g—2—i)4-l,
ossia inflnita del second'ordine al tendere di r all’infinito. . _
D’altra parte la eurva rO individua un sistema lineare |rC|,
composto con le curve del fascio; la sua dimensione DT i data,
per r abbastanza grande, da DT — r—p, ove p fe il genere del
fascio; ossia 6 inflnita del prim’ordine, al tendere di r all’infinito,
Ma 6 chiaro che il sistema |rC*| fe contenuto parzialmente nel
sistema jr<7(, fe quindi ehe 4T <,Dr. L’ipotesi da cui siamo partiti
fe dunque assurda. ‘ _
Bisulta inoltre che pub essere 6 = 0 solo se Ss№~ 0 , e cib b
possibile solo se 0* fe formata da una sola component® fl, в ae
•0 • 9=z 2g — 2 = 0 oseia se g = 1.
4. Superficie di genere 0 con pa < — 1.
Sia T una superficie di genere geometrico p, = 0 e di genere
numerico negative pa =—p<—1. Sappiamo (Cap. IX, 111) ehe essa
ъа supsawiaiB di gbnerk gbombtrico kuiw 379
cleve contenere un fascio di genere p di curve K, aventi il genere
я 0. Proviamo che dev’essere я == 0 e percid la V riferibile ad
una rigata di genere p, riducendo all’assurdo l’ipotesi я >-0.
Si assuma dunque come ipotesi che sia я > 0 e quindi la >
(non riferibile a rigata) possa ridursi ad una superficie senza curve
eccezionali; il suo genere lineare assoluto sarft (§ 2, Kota)
1. '
Scriviamo ora la formula che <tt 1’invariante di Zeuthen-Segre di JF
in relazione al fascio irrazionale Ж. Avremo (Cap. V, | 2) '
Л — 4+ 4(p—1)(л—1) = 12p„ — pW -|_ fi
e quindi, per я > 0,
zl iS 13 — 12p — pW .
Ma da cid segue, per p > 1, zl < 0 che 6 in contradizione col lemma
del nostro § 3.
Si conclude dunque я = 0. Cosi: Ze 8«рвг/й»е di genere pt = 0
e pa = — p < — 1, воле riferibili a rigate Ai genere p.
5. Superficie JF eon p а = 0 e 5ЙЯ . 1, poseedenti un fascio elttt-
tico Л curve К di genere я > Is lemma I,
L’analisi delle superficie di generi p, = 0 e pa — — p = — 1
porta ad esaminare superficie JF che posseggono un fascio dliffico
di curve К di genere я 1; e contiene distinguere i due casi che si -
presentano possibili, quando la ' f non appartenga alia famiglia -
delle rigate ,cio6:
' я > 1 e я = 1.
Discutiamo qui il caso я > 1. .
Anzitutto. si osservi che la. nostra superficie S’, che possiamo '
assumere senza curve eccezionali, ha il genere lineare assoluto
= 1. Infatti, calcolando I’invariante di Zeuthen-Segre per il
fascio ellittico (K) f1) si trova-
I = Л — 4 -f- — 1)(я— 1) == A — 4. = — 12 — pW-f- 9,
eicchft, essendo zl 5: 0, si deduce pW 1, e quindi (§ 2, Kota)
p^ 1.
Giova anche notare che per il nostro fascio (Ж) -si ha di conse-
guenza
J « 0, (*)
(*) Cfr. V, 2 e 3.
380
САР1ТОШ dboimo
e pereid (§ 3) il fascio stesso (format© di curve di genere maggiore
di uno) non contiene alcuna curva К dotata di punto doppio, о
comunque spezzata. ' '
Cid posto procediamo a stabilire una serie di lemmi che ci con-
durranno poi ad uii teorema definitive
IiEMMA I. - La superficie F possiede almeno una curva ellittica
parabicanonica, secant» le curve К del fascio in gruppi della serie bi-
canonica e similmente una curva ellittica para-i-canonica,
per i > 2. •. ’
Infatti si consider! il sistema lineare |JC"[, secondo aggiunto ad
una curva К del nostro fascio. Essendo = 1, e le curve canoniche
virtual! segando le К in gruppi di. 2л—2 punti, il genere delle K'
vale -
я* = tn -f- 1 -f- 2л — 2 — 1 = 3л — 2
e quindi la dimensioned!! | К* | ё
r ;> —p + я'—1 ss ---------- 4 j
cio& almeno uguale a quella della serie bicanonica di IL Ora., se la
serie segata dal |Ж' | su К non ё completa, per un gruppo di essa
passa almeno un fascio di Ж’, e si deduce 1’esistenza di una curva
k' spezzata neUa'JT e in una curva bicanonica, che ё di genere
. 3p« — 2=1:
quests costituisce una curva ellittica irriducibile, оттого una curva
compost* di curve ellittiche senza punti comuhi.
Eel caso -che l-Ж' | seghi su К la serie bicanonica completa, si
consider! il sistema continue |Z*[ (secondo paraggiunto), formate
da oo1 sistemi linear!, che si ottengono a .partire da un particolare
\K" |, aggiungendovi la differenza di due curve del fascio K.
Notiamo che tutti i sistemi linear! formant! segherarmo-
sopra una К la medesima serie bicanonica, e similmente riusciranno
sempre .equivalent! i gruppi segati da due curve comunque' diee-
quivalenti diun sistema paraggiunto (d’ordine 1, 2, 3,
Segue -di qui che si avranno (almeno) oo1 curve di passanti
per un medesimo gruppo bicanonico di Ж, e quindi si avr& una curva
di questo sistema spezzata in una Z e m una residua curva parabi*
canonical quest’ultima, come la curva bicanonica virtual®, вагй»
di genere
— 2^ ssss X
e percid sar& costituita da una о pib curve ellittiche irriducibili
senza punti comuni.
ЬА SWBRinCI® DI GBNB8B GBOMBTRICO N'UILO 381
In mod» perfettamente analogo si dimostra cosi ehe il sistema
paraggiunto d’ordine i = 3, 4...., di dimenaione (2« —1)® —
—• 2г, contiene (almeno) oo1 cttrve passanti per un gruppo della
serie t-canonica scelto su una X, e percib anche una curva spezzata
nella-K e in una curva para-i-canonica ellittica о format» di curve
ellittiche irriducibili, senza punti comuni.
‘ Ma non si pud affermare ehe tutte queste curve ellittiche, per
esempio la curva parabicanonica e la paratricanonica siano formate
da component! irriducibili distinte: poichfe - tutte potrebbero ridurai
.ad una .curva paracanonica multipla, ciod ad una curva ellittica' fl
cui or dine (numero delle intersezioni colie K) valga, 2w — 2.
<6. Lemma Hs disegno della dimostrazione.
• Sopra la superficie V .(di genet! p„ = 0 e = — 1, con un fascio
ai curve di genere w > 1) esistono almeno due curve ellittiche, non
formate dalle stesso convponenti, i «» multipli coetituisoono due curve
porrapluricanoniche, seeanti le Ж in gruppi di punti equivalent!.
Abbiamo gB- costruito una curva parabicanonica (o anche una
parapluricanonica d’ordine superiore), diciamo C, che fe una' curva
di genere uno, formata di component! irriducibili, semplici о mul-
tiple, senza punticomum. Vediamo oradicostruireunasecondacurva,
P, dello stesso ordine tx — 4, che non sia parabicanonica, ma seghi
su ogni Ж una serie non bicanonica, il cui multiple secondo s sia
la serie 2s-canonica, segata dalla curva sC.
Pih precisamente; nel caso in cui il genere я delle Ж sia pari,
avendo dunque il divisor® s == 2, ci proponiamo di coatruire una
•curva ellittica P che, pur avendo Io stesso ordine 4л — 4 di C,
seghi su ogni Ж iin gruppo, non bicanonico, bensi appartenente ad
una serie semiquadricanonica di quests curva. Ed a eid riusciremo
nel caso pih semplice quando vengano soddisfatte le seguenti due
ipotesi sempliftcative che discnteramo nei paragrafi suceessivi: I) su
ogni curva Ж si pud determinate razionalmente una serie j semi-
bicanonica (ma non canonical; 'П) entro la predetta g si pub de-
terminate razionalmente un gruppo.
In quests ipotesi potremo anzitutto determinate razionalmente
eu una К una serie • semibicanonica д = (diversa dalla se-
rie canonica g = g*-^) e quindi determinare in questa un grup-
pb e cosi costruire un sistema lineare di curve abba^
stanza ampio, che seghi su ogni Ж la relativa serie p. Quindi il
sistema lineare |£'j, aggiunto ad |E|, seghert, su ciascuna Ж la
serie semiquadricanonica g + g. Confrontando ora 12h' | e 12E' |
(| А?|. secondo aggiunto di una X), in ordine al secondo criterio
d’equivalenza (qui precisatb col .lemma del | 3), riconosceremo che
382
сайтом dbcimo
essi differiscono soltanto per un certo numero r di curve .... Жг
del fascio (Ж), da contare due volte: .
12£'| = [2Ж* + 2(ЖХ + Жг) I,
e ne dedurremo che il sistema-1L' — (Ж, + .... + Kr) | ha gli stessi
caratteri (grado, genere e quindi dimensione virtuale-Зя—4) di
|Ж"|. Percid esso dA luogo ad un sistema continuo di dimensione
Зя — 3 (di una unitft superiore a quella della serie segata su una
£), da cui 6 possibile staccare una K: la-curva residua fe la D se-
miparaquadricanonica ehe ci proponevamo di coetruire: C e D sono
certo disequivalenti, e non sono memmeno paraequivalenti, inentre
2(7 e 2D sono paraequivalenti. . - .
Qualora non si awerino le ipotesi II e 1 dette innanzi, il ragio-
namento si ripete nvutatis mutan&is in questo senso:
1) Quando cada I’ipotesi II (sussistendo la I), in luogo di.
una ff, serie semibicanonfca (non canonica), si costniirA su Ж una
serie у multipla della detta g secondo un numero dispart i per cui la
detta ipotesi eia soddisfatta. Quindi al posto del sistema |Z( о
meglio del suo aggiunto (Z'|, di cui si fe discorso innanzi, si riuscirA
a coetruire un sistema lineare- |Mche seghi su ogni Ж la serie y.
Allora il confronto di |2Af| e di |2.й?[ .(dove |Ж*| designa Io i-rntf
aggiunto di una Ж) ci’ farA riconosoere che il prime sistema, dimi-
nuito di un certo пишете di curve Ж».... Kr del fascio (Ж) confute
due volte, riesce paraequivalente al secondo. Da cjfe si deduce che
il sistema |M— (Xt -|- .... + Ж,)| ha gli stessi caratteri di (Ж‘| $
e quindi (§ 6) che appartiene ad un sistema continue in cui si trova
una curva spezzata in una Ж e in una residua curva_ellittica D.
ba D ha il medesimo ordine della C = |Ж*—Ж| ma le due-
curve non sono equivalent! nfe paraequivalenti, bensi hanno doppi
paraequivalenti, che segano snlle Ж gruppi equivalent!.
2) In difetto dell’ipotesi I, si passerA dalla superficie Ж ad
una Ж* cogli stessi caratteri, rappresentata sulla Ж m-pla (» > 1}
senza curva. di diramazione, in* modo che I’ipotesi semplifLcativa
/(non verifteata per Ж) si aweri per Ж*. Si costruirA quindi su Ж*
una curva ellittiea D (d’ordine 4л — 4 о 4(2л —2)) semiparapluri-
canonica, a cui risponderA solla Ж una curva D parimehte ellittiea,
(d’ordine m (4я—4), owero m (2л—2)). Questa curva D non fe-
paraequivalente alia carvd parapluricanoniea C del medesimo or-
dine (ciofe alia parabicanonica 0 — |ЖГ — Ж| che si costruisce su
Ж secondo il § 6); ma.i doppi 2D e 2(J sono paraequivalenti, segando
guile Ж gruppi equivalent!. •
Nel caso in cui л sia un numero dispart, indieando con e un suo
divisore prime (dispart), ci proponiamo di coetruire su Ж una curva
ЬА ЗиУВКЭТЫВ И GBNJSRB GEOMETRICO ииил 383
ellittica D d’ordine 4л:— 4, che seghi su ogni Д un gruppo, non bi-
canonico, appartenente ad una serie e-ma parte delle serie s-bica-
nonica. Ed a cib riusciremo nel caso pih semplice in cui vengano
soddiefabte due ipotesi I e II, analoghe a quelle ehe si presentano
nel prime easo di я pari ed s = 2.
Invero, essendo data su ogni К secondo tali ipotesi una gene non
speciale g s-ma parte deJia serie s-canonica, e in qaesta ra,-
zionalmente un gruppo di punti, si costruird un sistema lineare di
curve abbastanza ampio , che seghi sn ciaseuna К la detta serie
g. Quindi il sistema aggiunto |£'| (d’ordine 4л—4) seghert. sulla
Ж la serie »-ma parte della serie «-bicanonica f 4- g. E si riconoscer&
che | «171 differisce da |sK*| ((K'| secondo aggiunto di una X)
per un certo numero r di curve .... Жг del fascio (Л) da contare
« volte:
]si'| — |«IJ + + <— 4- Ж)|.
In conseguenza di questa relazione, il sistema |I'— (Д4 .... 4-
4-.Kr)| атгй> i caratteri (grado, genere e dimensions 3л—4) di
j K* | e sari> contenuto in un sistema continuo oo8’-’, cui appartiene
una curva spezzata in К e in una D: quest’ulttaia b una curva di
genere 1 e grado 0, il cui e-plo riesce paraequivalente alia curva
s-pla della parabicanonica C.
Ma, come nel prime caso (л pari ed s = 2) cohverrd esaminare
in qual modo il ragionamento si modifichi ove non si verifichino le -
ipotesi I e II, sopra accennate.
1) Quando non si aweri I’ipotesi II, in luogo di una g, d’ordine
2л— 2, diverse dalla serie canonica g, ma «-ma parte della eerie
«-canonica, si prenderik in considerazione su К una serie « (2л—
— 2)J — (л~2)р, d’ordine л(2л—2), non pluricanonica, che di-
pende razionalmente dalla g supposta data,, second© I’ipotesi I;
della quale У si riuscirik a determinate un gruppo. In' tai guisa si
costrnirb, in luogo di ,|I| о meglio di |I'|,-un ’sistema.lineare |M| .
ehe seghi su ciaseuna К la relativa serie J. Quindi si proverb che •
|«M{ = |«K4-s(K14- ....-4-^)| '
e percid
1Ж-4Л.4-....4--OI
ha gli stessi caratteri di e contiene una curva spezzata in
ana Ke in una residua eurva ellittica D: la J) ha lo stesso ordine.
л(2л—2) della curva рага-л-eanonica 0 — |Ж* — J£|, ma le due
curve.non sono equivalent! пё paraequivalenti; soltanto i multipli-
di esse,- sO e aJD, costituiseono curve para-«-canoniche? secanti
sulle Ж gruppi equivalent!.
384 CAPITOM DECIMO * ' ' ,
2) Se poi non si aweri l’ipotesi I, si.riuscirt ad ogni modo a
costruire razionalmente su К non una, ma un gruppo di tn > 1
.serie f (о У). e si otterrS, quindi una superfieie JF*, cogli stessi carat-
teri di T, rappresentata sopra la J1 ?»-pla senza eurva di diramazione;
.sulla quale >* le curve ellittiche K*, corrispondenti alle K, con'ten-
gono ciascuna una determinata serie g (Р !”)• Quindi (essendo veri-
flcata per JF* l’ipotesi I) si riuseirt a costruire su J* una eurva el-
littica D*, parte aliquots d’una eurva parapluricanonica, cui ri-
spondert su V la cercata eurva ellittica D,
Abbiamo spiegato, in tai guisa, il disegno generale, della dimo-
strazione del nostro lemma IIsvolgiamo ora, nei suoi particolari,
„questa dimostrazione, distinguendo i due casi che si presentano:
я pari ed s’ — 2, re dispart ed s suo divisore primo (diverse da 2).
7. Primo cases il genezp л delle curve К sia pari.
Ricordiamo anzitutto che la biseziqne di una serie lineare fS-”
con re > re, sopra-una eurva di genere re, conduce a 31’ serie sempre
distinte (x). . .
In particolare la serie doppia della serie canonica sopra una K,
ciofe la serie bicanonica dart luogo a 2s» serie mert, una delle
•quali ё la serie canonica g = f;;Ja e le altre sono 2“' — 1 serie semi-
bicanoniche g — gi~*3, distinte dalla g e distinte fra loro, che qui
prendiamo a considerate. Siccome la K, variando nel suo fascio,
rimane irriducibile e non acquista mai punti doppi, 1® dette serie g
' .non vengono mai a coincidere; tuttavia esse potranno. scambiarsi
fra loro, per una cireolazione della eurva К nel proprio fascio (irra-
zionale) e converrt supporre in general© ehe sopra una К si possa
definire razionalmente —non una serie — ma un gruppo di m(S: 1)
•serie g = g*t-\ distinte fra loro.
Qui, come abbiamo annunciato/introdurremo due ipotesi sem-
. plifleative, che saranno poi giustificate relativamente. alle conse-
• guenze che se ne deducono.
Ipotesi I. - Che sia m = 1, cioft che per ogni К sia date
determinare unxvocamente, e percib razionalmente. una serie g semi-
bicanonica (e non canonica).
•Ipotesi II. - Che in una serie g che si assume come razio-
nalmente data, si possa determinare univocamente, e percid ra-
zionalmente, un gruppo, che, al variare di К su 3?, dart luogo ad una
I1) Cfr. p. es. Embijscts-Chisikt, Lezioni, Libro V, cap. Ill, § 35 (vol. Ill,
- pag. 394). Cfr. anche Libro VI, cap. Ill, | 34 (vol. TV, pag. 199).
L*. SUPERFICIE DI GENERE GEOMETRIC® NULbO
385
eurva X secante 1© К in gruppi semibicanomci di g. Questa seconda
ipotesi potrebbe sembrare evidente, poichb la conoscenza della
serie g su K, conduce in generate a trasfonnare la К in una Ж8г_а
dello spazio S',_a proiettivamente definita, su cui gli iperpiani se-
gano la serie g, e cosi questa serie viene data linearmente, in guisa
che un iperpiano di vale a staecarne un gruppo. Ma a priori
non ft detto ehe una serie f = gr~s razionalmente data su К possa
venire linearmente definita in modo univoco. Giacctte fra le infinite
curve immagini della serie g, fra loro proiettive, la scelta di
una Я8<_а particolare, quale si riesce a determinare univocamente
quando si parta da un gruppo della g stessa, dipenderh in general©
da qualche irrazionalith numerica che convert^ aggiungere al campo
-di razionalitfi dato~con К e eon g, s tali irrazionalith daranno poi
— al variare di К — irrazionalith algebriche f1).
In base allo ipotesi I e IT si eostruisca intanto, sulla К una eurva 1
X che seghi sopra ciascuna К del nostro fascio ellittico tin gruppo
di 2л — 2 punti della serie semibicanonica f (che si 6 assunta come
data). Le curve X' aggiunte ad L eegheranno suite X gruppi di una
serie semiquadrteanoniea, g + g, diverse dalla bicanonica e forme-
ranno un sistema lineare |X'| che potrh ritenersi ampio quanto, si
vuole, sommandovi — ove occorra — un certo numero di curve
Ж. Ora si confront! il sistema lineare |2X'| а |2K"| (doppio del se- ’
condo aggiunto ad una K). Siccome i due sistemi segano su ogni
К gruppi equivalent^ per il secondo criterio d’equivalenza, preci- .
sato dal lemma del § 3, essi dovranno differire soltanto per curve
del fascio (K). Ma sopra questo fascio ellittico la differenza di due
gruppi di elements (il primo dei quali assai grande) riuscirh equi-
valents ad un gruppo di element! da prendere positivamente, sicchd
ai potrh scrivere
[2X'| = |2K’+kx-}-K,+
Distinguiamo due casi che si presentano a priori possibili, ciod
che il numero delle Кх Kt.... sia un numero pari, 2r, owero che sia
un numero’ dispari 2r 4- 1. * 6
(*) Per chiarire la diffl-coltb. si consider! una quartica piana Kt definita come
inviluppo di una serie oo1 d’indice 2 di coniche quadritangenti Ka; bu K* reeta
costdefinita razionalmente la ff* delle quaterne di punti fii contatto, che perb non
6 definita linearmente merci un determinate sistema lineare oo1 di ooniche con- 4
punti base. Aetrattamente Ja pub ritenerei come una eurva razionale rappre-
eentabile sopra una retta; ma per determinare la rappresentazione occorre dare un
punto della detta. eurva razionale, che impoi-ta 1’aggiunta di una irrazionalitb.
quadratica. (Teorema di Noether, cfr, Еявипм-Свшип, Lexioni. Libro V, cap. Ill,
§ 32 (vol. Ill, pag. 341). - '
B«1№ F. - Sufertcie algebriche.
25
I
386 . CAMTOW DBCIMO
Bel prime caso, facendo variare il gruppo delle carve ....
entro la serie lineare gf'-1 che esso determina nel fascio ellittico si
pud fare in mod© che il gruppo stesso si riduca ad un gruppo contato
due volte:
4™ 22^> 4“ .... 4“ 2JSS,
(Л?! ==
Bel secondo caso si pud.ridurre fl gruppo suddetto ad un altro
di r + 1 curve, fra cui r curve eontate due volte:
2ЖХ + 2KS + .... + 2K, + K..
Quindi si dovta avere
[21?— ZK" — 2(K + Ki+ .... + Ж,)| = iH'o'i;
e percid i caratteri (я e л = 0) di Ke si eeprimono mediant© quelli
(genere g e grado v) della curva virtuale
+..•• +гг)
il cui doppio equivale а Жо.
Si avta dunque
n = 4v = 0
я — 2g 4- v—1 — 2g—1,
e per conseguenza я deve essere dispart. Essendosi supposto я pari,
il secondo caso esaininato come possibile non pub presentarsi e si
avta
|2Z'—2(Xx+.... + Xr)| = [2K'|.
Ora il sistema lineare [2J?—2(Xt 4- .... 4-jff,)| ammette due
meta disequivalenti: ' .
[Х'-(Жх +....+
e
Pertanto il primo sistema avta gli stesai caratteri, genere e grado,
del secondo, che aono:
. 4як — 4 + я 1 — 1 — 5я — t
e
2 • (4я — 4) = Зя — 8 .
La sua dimenaione sata dunque
Зя — 4 ,
che t> la" dimenaione della serie completa da esso segata su una K,
Per conseguenza un gruppo di Зя— 4 punti di quests serie, appar-
terta ad oo1 curve del sistema continue, {L'— (Kt 4- .... +
LA SUPERFICIE DI GENERE GEOMETRICO NULLO 387
formate da oo1 sistemi lineari disequivalenti ,e vi sarft almeno ana
curva di questo sistema continue, spezzata in una X e in una curva
residua JO: il genere di D risulta eguale a quello di G = \K’ — ЛГ|,
cioft eguale ad «по. E >— come si richiedeva — la curva ellittica D,
dello stesso ordine della parabicanonica C, non ft equivalents (bensi
semiequivatente) ad essa e percid eseenztaJmen-te da quella,
cioft contiene certo una qualche componente (ellittica) distinta.
Ma conviene discutere le ipotesi I e П ehe figurano come presup-
posto della precedents deduzione. Oominciamo dalla
Discwsione deU'ipotesi II.
L’ipoteri II, verileata per я — 2 (*), non ё pih vera a rigore per
i valori superior! del nuinero pari я (л == 4, 6 Ma, se non si pud,
in generale, staccare su К un gruppo G della g о della serie semibica-
nonica g + g (che si ottiene dalla g supposta data .razionalmente)
dimostriamo tuttavia che si riesce a determinate un gruppo formato
da i — я — 1 gruppi G (i dispari), il quale appartiene ad una serie
— diciamo g — iff —г non pluricanonica, ma met! della serie 2i-
canonica. Quindi si potr& costruire su > una curva Л£ che seghi ogni
К in un gruppo della eorrispondente g, e operand© su |M| come
prima si operava su |Z| о meglio su |I'\, eiod stacc^ndo un certo
nuinero di curve X, si otterrft, una curva D, semipara-2i-canonica
ellittica (essenzialmente distinta dalla iC) il cui doppio ft parae'qui-
valente alia curva bicanonica C contata i volte.
Dunque il nostro ragionamento fondato sull’ipotesi H si ripete
con lievi modificazioni (soetituendo la serie g a g о a g + g), ove si
dimbltri quello che sopra ё enunciate: potersi determinate un grup-
po formato da i = я— 1 (numero dispari). gruppi G di g (e quindi
linearmente f). A tale seopo si consider! nello spazio S,_s la famiglia
di tutte le curve proiettive fra loro, che sono immagini della
serie semibicanonica g = data su X. E si cerchi di costruire
due quadriche Q e Q', о un fascio di quadriche, in eodesto spazio,
che sia (proiettivamente) covariante di allora tester!, de-
terminate come covariante del fascio lo i-gono, eon i = я — 1,
autoconiugato comune a Q e Q’, le eui facce eegheranno su
я—1 gruppi della g.
La costruzione del fascio anzidette di Q e Q' si fa univocamente
e percift razionalmente a partite dalla Ж su cui ft data g: cift appare
subito ove non appartenga ad alcana quadrica di &_s, perchft
la minima serie doppia della serie g, che ft una serie bicanonica
(x) In questo caeo la eerie g si riduoe ad un* soppia. uniea, che percib 4 data
coll* J.
388
САМТОЬО DECIMO
(completa о no) segata su Ks,_3 dalle quadriehe del suo spazio,
viene definita linearmente sulla relativa eurva bicanonica
dello S3,„< (pur essa linearmente data), mediante gli iperpiani d’un
sistema lineare a ben determinate dalla eurva Oosi un fascio
di quadriche dello Sr-t riesce determinate razionalmente in funzione
di g, da un fascio d’iperpiani dello S3,_« scelto in a imponendo
il passaggio per un conveniente gruppo di punti, dello $3„_4,
fissati indip sndentemente dalla ossia da una serie
contenuta nella bicanonica (e pih precisamente nella minima
serie doppia. di g).
- Ma se -la appartehga ad co' quadriche di Sr_3 (r 1) il
ragionamento jirecedente cade in difetto, perchb ad un gruppo della
serie minima doppia di f, definite come sezione d’un iperpiano di a
sulla K,,_4> non risponde pih una quadrica dello S^t bensi un si-
steina lineare ooT+l di quadriehe; e similmente ad un sistema lineare
oo* cli iperpiani dello^a,-/ scelto in «, risponde un sistema lineare
oqt+4+i {Ц quadriehe dello , seeante su Ж,_3 una serie di dimen-
sione minore Tuttavia, facendo
t — in — 4 — 2 = 3 л — 6 ;
si avte nello un 'sistema lineare di quadriehe j Q |, di 2 unite
inferiore al sistema tetale: ora c’b una schiera armonica associata (x)
a | <? | di quadriehe inviluppo, che definisce un г-gono (« — л—1)
coniugato e quindi un gruppo di i gruppi di g c. d. d.
Discussions dell’ipotesi I.
~ Giustificata l’ipotesi II (almeno nel senso che se essa non sia
verifleata per la serie g, lo sate per >) vediamo ora come sigiustifichi
relativamente anche l’ipotesi I, in questo senso che — se essa non si
aweri per la nostra superficie J? — si awerete per una J** cogli
stessi caratteri rappresentata sulla X contata m (> 1) volte,- senza
eurva di diramazione, siceM sate date costruire su X*- una eurva
ellittica !>*, cui rispondete su X una D semiparapluricanonica.
Bengasi che sopra ciascilna Я di f sia date segare univoca-
mente non una serie semibicanonica g, ma un gruppo di m (> 1)
serie g siflatte, seambiabili fra loro per una eircolazione di К nel
(i) Date in шхо epazio lineare .a quante si vogliano dimensioni una quadxica-
,luogo una quadrica inviluppo nJ — 0, c*6 (secondo Bavtagukx e Ro-
sajstbs) un invariante lineare simultaneo di esse, I’armonfeaante oj, ohe col suo an-
nullamento definisce la relazione di armonia fra una quadrica luogo e il sistema
lineare associate di quadriehe inviluppo. Cfr. EsBiqtws-CHisisri, Lezioni. Libro III
cap. I, j 9 (vol. I, pag. 81).
ЬА ‘SUPERFICIE DI GENERE OBOMETRICO NU1LO 389
'fascio (К). B, per semplicite di discorso, si supponga л > 2 e quindi
л S: 4, e si accetti in rapporto ad ognuna di queste g l’ipotesi II
ohe, in funzionb razionale di essa, possa costruirsene una immagine
lineare, ciob si riesca a definire una eurva dello scelta fra
le infinite curve proiettive corrispondenti.
La variete algebrica oo1 ehe ha per elementi le nostre serie g
suite К (associate a queste stesse X) si pub ritenere astrattamente
come una serie oo127 di spazi contenuta in uno spazio di pih
dimensioni S„. Siccome due fra le m serie g su una К non vengono
mai a coincidere, la detta serie, S, contiene una involuzione ellittica
7™ di spazi, senza elementi doppi, e percib e essa stessa ellittica.
Ora in - ciaseuno spazio $„_a di S si pub costruire (per ipotesi)
«ла 'eurva X* = ^_3, immagine della g omologa scelta sulla
relativa K: il luogo delle curve X* (birazionalmente identiche
alle K) sate una-superficie J1*, rappresentata sulla X m-pla (priva
di eurva di diramazione) in guisa che ad ogni К di X rispondete
su::F* un gruppo di ж curve К*, sempre distinte fra loro.' Sulla'
J1* le curve X*, birazionalmente identiche alle K. formano un
fascio ellittico (X*). ' ,
Й facile vedere che la superficie 2”* ha, come X, il genere numerico
Р» ~ — 1 e il genere lineare pto = 1, d’aceordo colla formula che
dfi I’invariante di Zeuthen-Segre di X* in relazione al fascio ellit-
tico delle K, prive di punti doppi,. ‘
Cib posto si pub dire per la X* quel che — nell’ipotesi I — si
diceva per la X, giacchb sulla J1*, per ogni. eurva K* (di genere л), .
6 data una serie semibicanonica g, razionalmente e linearmente
definita dagli iperpiani. di 8Я. Si deduce che la J"* contiene una eurva
semiparabicanonica ellittica D*, cui rispondete su J1 una eurva D,
egualmente ellittica, semipara-2w»-canonica.
Osservassionei — Kel discorso che precede si b esclusa l’ipotesi'
я = 2, in cui, tuttavia, il discorso stesso potrebbe ripetersi eon qual-
che modifleazione. Ma basti per questo- caso awertire che, se 1 e X
sono di genere л = 2, su ciascuna di esse viene determinate il grupp о
dei 6 punti doppi della gl, sempre distinti fra loro, ehe -— al variare
di^-H — descriveranno una eurva ellittica semiparasesticanonica
* ' • ,x
8. ‘Secondo cases il genere я delle curve К sia dispart.
Designeremo con s un numero primo (dispart) divieore di я,
e considereremo su una Iff qual.siasi una fra le serie non special! g =
— Ям °be si ottengono dalla diyisione per s della serie e-canonica.
Introduciamoj . prowisoriamente, due ipotesi semplificative ana-
loghe alle I в II del paragrafo precedent®.
390 CAPITOLO DECIMO
Ipotesi I: che si ровна determinare univocamente, ciob razional-
mente, sulla К variabile del fascio (K) una aerie f.
Ipotesi II: ehe, data razionalmente sopra ogni К una g, si possa
determinare razionalmente gruppo, che cosi venga definito uni-
vocamente al variare di К in (Ж)-, in altre parole ehe la g, data ra-
zionalmente, possa definirsi linearmente (dando luogo ad una
K,-, in S„). ' '
In base a queste ipotesi Bi pub costruire su Ж una curva I ehe
seghi ciaseuna К in un gruppo di f; ed 111, che ё definito a meno di
addendi eguali а K, eostituirft un sistema lineare ampio quanto si-
vuole.
Indichiamo con j JS' | il sistema lineare, d’ordine 4я— 4 aggiunto
di (i|, e eon |H" | il secondo aggiunto ad una iff, che ё del medesimo
ordine.
Oonfrontiamo, risp^tto al solito criterio d’equivalenza, i due si-
stemi | sL' | e | sK'.| /essi differiranno per un certo numero di curve
del fascio (K) da sommare al sistema meno ampio | Л' |; anzi ё
lecito assumere che la curva sommanda a questo sistema minor® sia
formata da un certo numero ‘di curve s-ple
sKj, SjK,, .... sKT
ed eventualmente anche da una curva i-pla, del detto fascio,
dove t < s:
|s£'| = |sK' + e(Kx + .... + KT) 4- tK„\.
Ma- si prova che . •
t — 0,
perchb la curva virtual©
0- = IL' — K- Д41
dovrebbe avere un genere q intero, mentre il genere di tK„ (di grado
0) vale „
tx — 14- 1 — sq — 3 4* 1
sicchb
. 4(л—1) =s(e —1):
questa relazione non pub sussistere con q intero, perchS s (divisore
primo di я) ё prime con a — 1 e con t.
‘Si avrft dunque
|si'| — [sJf* 4~ з(Жх 4* 4“ •S"r)|
e
|sZ'— 3(Xx4- .... + -= |«K’| .
391
ЬА SUPERFICIE DI GBNBRB GEOMETRICO NUbbO
Quindi
,|i'~ (Kr +.... + Kr)| e’ |K«|
avranno i medesimi caratteri (grado 8л—8 e genere бл—4) e
percid la stessa dimensione virtuale 3л—4, che ё la dimensione
della serie da essi segata su una K. Si deduce che, nel sistema con-
tinuo oo*’~a|Z'—(Kx .... -j- .К,)}, vi ё una curva spezzata in
una К e in una residua curva D, che (come la parabicanonica C =
— | K." — К |) sard. ellittica, d’ordine 4л — 4; e la sD, come la sC,
sar& una curva para-2s-canonica, le due curve segando le К in gruppi
(2e-canonici) equivalent!. _ -
Quando non si avremo le ipotesi П e I il ragionamento prec-
dente pud tuttavia ripetersi con qualche modidcazione.
Se non si aweri Vipotesi II, сюё non si possa determinare uni-
vocamente un gruppo della serie non speciale ft — s-иа parte
•della serie s-canonica, che si suppone razionalmente data secondo
1’ipotesi I, convent, considerate su X, al posto della serie non spe-
ciale g, e-ma parte della serie 8-canonica, la serie
f = (2л — 2)ft— (л — 2) ft
di cui si_definisce razionalmente un gruppo prendendo la somma dei
gruppi (?»-» di g che hanno come (л— 2)-plo un punto di un gruppo
(canonico) <?»,_» di g e staccandone poi il (?s,_a contato л — 2 volte:
ё essenziale notare che la ft, il cui e-plo ё una serie' ел-canonica, non
ё una 'serie л-canonica, регсЬё altrimenti dalle' relazioni
(2л — 2)f— (я— 2)g = ng
ossia ", * . •
(2л — 2)f = (2л — 2)g
eg = sg,
essendo 2л— 2 ed s numeri. primi fra loro, si ricaverebbe .
9 — 9 C1) •
Ora, al posto di | L | о meglio di | L' |, costruiremo un sistema
lineare |M|, abbastanza ampio, che seghi sopra'ciaseuna Ж. la serie
ft (coBtruita in funzione della g ehe si suppone razionalmente data).
Oonfrontiamo |rff| col sistema lineare |«K*| multiple di [_E?|,
(i) Basta riaolvere I’equazione d’analiei indeterminate. (2л — 2)я — ау => 1;
ai dedurrit quindi
[(2л— 2> — ej/jft ~ [(Зя — 2)® —
392
САМТОЬО DECIMO
LA SUPERFICIE DI GBNBRB GEOMBTRICO NVIXO
393
л-mo aggiunto ad una E; designando eon Ko, .... Er curve par-
ticolari del fascio (JC), avremo
|»Jtf | = |8-K* -f- b(JEj. -f- .... + Kr) 4* tKo|,
dove i = О e percib
|of| = (л» + »(ж1+ .... 4-к,)Ь ’
Di qui si deduce che il sistema lineare
|jtf_ (Kt +.... + Kr)|
ha gli stessi caratteri — grado, genere e dimensions virtual e —
di |.jK? [ e percib appartiene ad un sistema continuo Ja cui dimenaione
supers di 1 quella della |erie f, entro cui si troverA dunque una curva
spezzata in una К e iwa residua curva ellittica D, d’ordine л(2я —
__2),’il cui multiplo^secondo s costituira, una curva para-ejr-cano-
nica.
Infine discutiamo cid che pud farsi se per la superficie non si
avveri Vipotesi It vuol dire che sopra una -curva К variabile non ci
fe datO determinate razionalmente w»a serie non specials g, fra quelle
fl cui s-plo costituisee la serie e-canoniea, ma soltanto .un gruppo
di «(>!) serie scambiabili fra loro per una circolazione di К
nel fascio (K). Come gift abttam visto nel prime caso (re pari ed « = 2)
conviene allora passare dalla superficie > ad una J"*, cogli stessi
caratteri, rappresentata sulla ’JP »»-pla senza curva di diramazione,
per la quale >♦ si verifichi 1’ipotesi II. Quindi si costruirt su E*
una curva ellittica JD*, d’un certo ordine (2re—- 2), о piu in generale
л(2ге—2), a cui risponderib su E una D, d’ordine wre(2re—2) pari-
mente ellittica: e la D, s-ma parte di una curva para-sm«-eanonioar
conterrfi certo qualche componente distinta da quelle di una 0
para-wwr-canonica, costruita su E secondo il § 5.
9. Lemma .Ш.
Sopra vma superficie E, di generi ря = 0 « ?« = — 1, possedente
«» fascio ellittico di curve di genere я > 1, si abbia una curva E, la
quale seghi le К in gruppi di punti equivalent a quelli segati da una
curva para-i-canonica C', se, a presoindere da eventuali componenti
oomuni colla C, la E non ha punti' comuni colla C, essa d come la C
una curva para-i-canonica ellittica.
Si" confrontino la E e la C in ordine al secondo criterio d’equi-
valenza (qui precisato col lemma del § 3): esse earanno curve equi-
valenti a menu della differenza — Et di due curve del fascio (E) r
- ‘ \E\ =‘|O+ Ki — E.|.
Quindi la E &nii, lo stesso genere. uno e lo stesso .grado zero
della С e sarfi, com’essa, una curva para-i-canonica.
10. Conclusione: le superficie E posseggono anche un fascio lineare
di curve ellittiche.
I lemmi I, II e III, stabiliti nfei precedent! para graft ci condu-
cono ora ad un teorema che conchiude I’analisi delle nostre su-
perficie E.
Le superficie E, di genere p, — 0 -e pa — — 1,- aventi un fascio
ellittico di curve К di genere n > 1, posseggono altresi un fascio li-
neare, senza punti base, di curve ellittiche.
Invero si costruiscano su E (lemma II) due curve ellittiche para-
i-canoniehe C e D, secanti le К in gruppi equivalent! di n = i(2re — 2)
punti. Su ciascuna К le dette curve determinano una serie lineare
д„, la quale possiedera un certo numero
m 2л 2re — 2
di gruppi dotati d’un punto doppio, all’infuori di quelli che pos-
sono essere assorbiti dai gruppi sezioni di C e di D. Il luogo dei detti
gruppi &„ d una curva E ehe ha (rispetto alle K) lo stesso ordine mn
delle mC e m'D, e; sega le К secondo gruppi equivalent! alle. sezioni
di codeste curve; inoltre, .al variare di К nel fascio (K),. non pub
mai accadere che un gruppo &я venga a coincidere col gruppo sezione
di C, perchfi cid importerebbe 1’esistenza di punti doppi per i’invo-
luzione ellittica segata dalle К su una componente ellittica della
detta C. Quindi la curva E ha zero intersezioni colla mC, e di con-
seguenza ё anch’essa una curva para-wi-canomea come Ja tnC & mD.
0i6 oosto si rappresenti la E su una rigata ellittica n-pla, Ф,
in modo ehe alle К rispondano le generatrici, ognuna delle quail
rappresenti la g* definite, come sopra, dalle sezioni di С e А Ьа Ф
si potrh realizzare come rigata di un certo spazio Sr, su cui si abbiano
due direttrici minime rispondenti a <7 e Z), appartenenti a due spazi
complementari e yt, di s e r — s — 1 dimension!; per esempio
si pub riferire Ф ad un cono il cui vertice risponda a C e di cui A
sia una sezione iperpiana. E sulla Ф е! avrb una curva ellittica E,
non avente punti comuni con e ys. Ora le co1 omografie dello 8r
che hanno come spazi di punti uniti e ys, trasformeranno 1‘im-
magine di E in un sistema razionale oo1 di curve ellittiche di grado
0, e percib in un fascio lineare di curve ellittiche, senza punti basej
394 CAPITOLO DECIMO , '
*
a questo fascio della Ф n-pla risponderfi. similmente su X un fascio
lineare di curve ellittiche C, senza punti base, di cui in tai guisa
viene provata I’esistenza, c. d. d.
Коп ё escluso ehe le <7 Bieno ridueibili: in ogni caso le loro com-
ponent! variabili irriducibili formeranno un faacio lineare, ehe tor-
niamo a inMcare con |<7|.
Aggiungasi che il calcolo dell’invariante di Zeuthen-Segre per
questo fascio lineare irriducibile | C |, ci d& •
<5 — 4 = 12p„ — pW 4- 9 = — 4,
e quindi d — 0: vuol dire che le curve ellittiche C, che variando in
|C| non acquistano mai un punto doppio, hanno tutte lo stesso
modulo, cioft sono birazionalmente identiche.
11. Superficie di genera p, = в e pa = — 1 con un fascio ellittico
di curve di genere л = 1.
П teorema che afferma I’esistenza di un fascio lineare di curve
ellittiche sopra le superficie con p„ = 0 e p, == — 1 possedenti un
fascio ellittico di curve К di genere я > 1, si estende ora alle su-
perficie P coi medesimi caratteri (p, = 0, 2>« = — 1 e p^ = 1)
che posseggono un fascio ellittico di curve К di genere я = 1.
. Giova partire dall’osservazione che, per essere 1’invariante di
Zeuthen-Segre
zj :— 4 = 12p, — ph) 9 — 4,
deve aversi
A =» 0;
e quindi le K-ellittiche, che variando in (K) non acquistano mai un
punto doppio, sono fra loro birazionalmente identiclie.
Si trasformi la >, su cui le К siano realizzate proiettivamente
come curve d’ordine m, in una superficie d’un conveniente iperspazio,
che torniamo a chiamare P, in guisa che le К diventino curve el-
littiche normali Km, dello stesso ordine я» appartenenti ciaseuna
ad uno spazio ogni К della primitiva У sarA, in generate, proie-
zione della corrispondente Ora due curve ellittiche normali
collo stesso modulo, saranno fra loro proiettive in un certo numero
» di modi divers!: sarfi precisamente ® = 2»a se le dette curve sono
di modulo generate, ed invfece n == 4тп’ о risp.та — 6m3, se esse sono
armoniche о equianarmoniche. Cosi fra le due suddette viene
definito razionalmente 1’insieme Fn di та omografie iperspaziali;
tenendo fissa una delle due K„ e sopra di essa un punto P, resta
quindi deflnita una curva C che passa per P ed incontra 1’altra £»
' ia‘superficie di genere GEOMETRICO NULLO 396
variabile negli n punti corrispondenti a I3 rispetto alle » omografie
del Г„. .
Sembra, a prima vista, ehe •— le K„ essendo fra loro identiche •—
le suddette omografie si mantengano sempre dietinte fra loro e fac-
ciano corrispondere ad un punto P, fissato come sopra, n punti pure
distant!; cosi la curva O, contenendo un’involuzione ellittica y£,
priva di punti doppi, risulterebbe senz’altro ellittica e, al variare
di P, ci darebbe un fascio lineare |C| di curve ellittiche, direttrici
del fascio ellittico.
Queste curve potranno essere ridueibili; in tai caso torneremo
a indicare eon C le loro component! irriducibili, che sono ancora
ellittiche senza punti eomuni, e torneremo pure a indicare con n
il numero delle loro -intersezioni colie Ж = Жт. Avremo cosi, sopra
la superficie d’irregplarith p, — P« — 1, possedente il fascio ellittico
di curve ellittiche (Ж), un altro fascio [ C | di curve ellittiche diret-
trici delle K, fascio necessariamente razionale (*).
Ma al discorso iatto per dimostrare che le C sono di genere uno,
ei pub muovere un’obiezione che cade soltanto di fronte: ad un esame
approfondito, in cui si tenga conto che trattiamo di superficie di
genere pa — — 1. Infatti non b escliiso a priori ehe le omografie
. intercedenti fra due Жт variabili vengano a degenerate, e cosi —
aupponendo per esempio n = 6 — che si abbia un fascio di sestiche
. Жe, normal!, in 8t, entro a cui si trovino sestiche degeneri in cubiche
piane doppie Xf; allora rra una Ж* generica e la Жг intercederanno,
non pih 36, ma 18 omografie degeneri, che portano fra le due curve
altrettante corrispondenze [1, 2]. •
A priori non b nemmeno escluso che fra le d’un fascio ellit-
tico, fra loro generalmente proiettive, vi siano delle curve dotate
di cuspide о spezzate, in pih parti semplici о multiple; ma questo
caso non pub incontrarsi sulla nostra superficie di genere p« = — 1,
(e pte == 1) dove abbiamo visto che il .numero delle Km dotate di
punto doppio deve essere , -
J = 13. 4-'12p„ — pW = 0.
Essendo pa = —’1, si tratta dunque di rimuovere soltanto Гес-
cezione in cui il fascio (Кж) contenga delle curve ellittiche multiple
che, 'in ordine all’invariants di Zeuthen Segre, hanno la valenza
zero nel compute di 4 (cfr. § S). '
• A tai. uopo si osservi ehe, in rapporto ai due fasci (К) e | C |, la
nostra superficie P si pub rappresentare sopra un cilindro cubico
®-plo, Ф, dove le C rispondano alle sezioni piane normal! о di Ф
e le К alle rette sue generatrici: si avrb, su Ф una curva di dirama-
(») Cfr. cap. IX, § 11.
3»e
CAWTOW DECIMO
zione formata di un certo numero di sezioni piane о rispondenti a>
curve multiple € = sO, e (eventualmente) anche da un certo nu-
mero di generatrici k, rispondenti a К degeneri in curve ellittiche
multiple К — rKr. .Se pa = — 1, e quindi (per le K) A = 0, il ci-
lindro multiplo Ф offre la rappresentazione d’una J’, ehe pud sup-
porsi priva di singolarith, su cui una C, e una Жг s’incontrano in
~ punti (punti semplici della superficie), che rispondono al punto
Л. = ck di Ф: invero se qualcuno, A', fra i detti punti intersezione
di C, e Kr, fosse doppio о multiplo per >, la eurva degenere limite
di una К sarebbe, non gift (come si 6 supposto) rKT, bensi rKr
abmentata dell’intorno di A', siechfe (§ 3) ne seguirebbe A > 0.
Ma ora si dlmostra all’opposto che, se al punto A del cilindro n-plo
Ф risponda un punto della superficie IF, questo deve essere un punto
singolare -(doppio о multiplo) di F, sicchfe l’ipotesi di una К degenere
in rKT viene ridotta alpfrasurdo. Invero si consider! un piano a,.
obliquo alle generatrici'di Ф, che passi per A, e un piano variabile
a che non passi per A ma tenda ad a. ba sezione di Ф col piano a
ё una eurva multipla I, n-pla, su cui si hanno due punti di dirama-
zione Ax e At intersezioni di e e &. Sopra la riemaniana della I mul-
tipla si descriva un- cammino ehiuso v che avvolga Ax e A„ il quale-
pud ritenersi somma di due cappi elementari awolgenti A, e A,.
Al primo cappio risponde una sostituzione sui rami equivalent©,
al prodotto di ‘
(a-D у
trasposizioni, e al secondo una sostituzione equivalent© a -
,(r-l)±
trasposizioni. Quindi al cammino ehiuso y, ehe al limite.— per
a -> a — diventa un cappio awolgente A, risponde una sostitu-
zione formata di almeno и trasposizioni: vuol dire- che la eurva L-
omologa alia I non pud avert punti semplici in corrispondenza ad A,
i giacchfe nel caso pih sfavorevole questa eurva darebbe luogo ad un
ramo d’ordine n, cui risponderebbe sulla riemanniana I-ad n fogli,
una sostituzione ,sui rami formata da n — 1 trasposizioni! .
Concludiamo pertanto:
Xe superficie F di generi p„ = 0 e p„ — — 1, possedewti ®u /ascio-
ellittico di curve ellittiche K, possiedono altresi «« fascio lineare di-
curve ellittiche C, direttrloi delle K.
Жota. - Mel ragionamento svolto innanzi si d fatto uso del fe-
condo concetto delife singolaritS. delle curve esposto da О. Сншдаг
ЬА SUBBRFICIB DI GENERE GEOMETRIC® NUIiO 397
nella Memoria «be singolaritt di un ramo, superlineare di eurva
piana definite mediante un prodotto . di sostituzioni » (J).
Giova rilevare esplicitamente che, se si lascia cadere l’ipotesi
— — 1, si hanno di fatto superficie possedenti un fascio ellittico
•di curve ellittiche K, cui appartengono curve spezzate: dieiamo su-
perficie f per cui ?< Й 0 e p, = pt+ 1, oontenenti un fascio lineare
di curve C, direttrici di (K), di genere я > 1. Be alle superficie con
== 0 e p„ ——1 studiate nei precedent! paragrafl diamo il name di
eUittiche (per un motivo che verr& esposto pih avanti) queste nuove
-Ж che presentano con esse alcune notevoli analogie, potranno de-
nominarei paraellittiche. ba principale analogia ё ehe suite super-
ficie paraellittiche, come suite ellittiche con p„ == — 1, si hanno
due fasci di curve birazionalmente identiche-. «я fascio ellittico di curve
ellittiche (K) e w fascio lineare di curve, che qui non sono ellit-
tiche ma di genere n > 1. Perd, mentre le superficie ellittiche am-
mettono — come vedremo — un gruppo oo1 di trasformazioni bi-
razionali in аё stesse, questa propriety non sussiste per le superficie
paraellittiche.. ' ’ '
Ci limitiamo qui a indicate due esempi di superficie paraellittiche,
costruite a partire da un cilindro eubico multiplo /(ary) = 0:
1) •. u* = (g — а)(г — b)(m — c)(ns — d) y> (cry)
/(®y) == 0 (pa s= 3, pa — 4);
у = 0 rappresenta un cilindro. quadrico parallelo ad /, che sega
/ ==4) in в generatrici'di diramazione, da aggiungere alle 4 cubiche
di diramazione
/ g '= a , '-г == b , g = с , st = d ;
2) . ' ' •• «8 == (z— a)(z— b)(z— c) y> (ary)
f(®y) == 0 (y, = 0, = 1) ; ,
== ©design* un cilindro oubico che ha con / un contralto tripun to
lungo tre generatrici,' e lo tocca secondo un’altra generatiice fc
segandolo ulteriormente in una generatrice fc': la eurva di dirama- •
zione del cilindro triplo f consta dunque delle tre cubiche
z = d , t = i, я — c ,
e delle due generatrici
fc e t'. .
Infine, segnaliamo ai giovani ricercatori questo interessante oggetto '
(x) Atti del R. Istitato Veneto di Seienza, Letters ed Arti, t. XXX, parte Sa,
1921. Questa raemoria posteriors alia pubblioazione del secondo volume delle Le-
iioni di EnebJUBS-Chisini, reca alia teoria ivi avolta un ulteriore contribute im-
portante. • ' . —
398
САГ1Т01О DECIMO
di studio: determinarc e olassifioare tutte le ’superficie paraellittiche;
e rimandiamo alle Note a pag. 123 e 134 delle « Lezioni » di Екш-
qcts-Самревеьы nei Bendiconti del Seminario Matematico della
B. University di Boma (1934): dalle quail il lettore potry raccogliere
qualche osservazione e suggestione utile.
12. Superficie ellittiche.
Biassumiamo i risultati ottenuti nei precedent! paragrafi: Ogni
superficie irregolare 1? di genere р„ — 0 che non, appartenga alia fa-
miglia delle rigate (razionali о meno) ha Л genere wuanerico pa = — 1
e contiene un fascio ellittico (K) di curve di genere st Й: 1, в un fascio
lineare di curve ellittiche | C |; quindi essa pud rappresentarsi sopra
un eiUndro cubic» Ф muUiplo secondo il numero ® == OK, con una.
curva di Airamaxione cosfituita di sezioni piano, normali а Ф.
Viceversa un dlin&pb cubioo vt-plo Ф, con curva di diramazione
costituita di sezioni piane normali (fissate in guisa da soddisfare
alle condizioni d’esistenza di una superficie V irriducibile), non
rappresenta sempre una superficie di genere p, = 0, perchfe le im-
magini delle sezioni piane di Ф possono essere curve ellittiche ridu-
cibili le cui' componenti costituiscono un fascio (0), non lineare,
di genere g 1.
Qui appare che le nostre superficie, con p, = 0 e pa = — 1,
non riferibili a rigate, rientrano in una famiglia pi& generate di su-
perfioie F, con pa — — 1, che posseggono un fascio ellittico di curve
К di genere л > 1 e un fascio di genere g 0 di curve ellittiche Ot
per le quali fi' il genere geometric» sard p, == g.
Invero i'esistenza dei due fasci (<7) e (Ж) che caratterizzano le
dette 1* pih general!, essendo pa = — 1, porta ehe I’irregolarity di
J* sia
e quindi
t e + i
ma, d’altra parte, le curve canoniche di, 1?, formate di curve Of
debbono segare ogni Ж in gruppi della compost! con 1’involu-
zione di genere g segata da (C), priva di punti doppi (*),• e percib
debbono appartenere alia serie eanonica ggjj, entro il fascio (0).
Besulterfe dunque:
- p, g
e pertanto
f1) Teorema di Pamlev6-Caetehiuovo. Cfr. Ei»iev®s-CHzeiwx, hesioni, Libre V,
cap. I, § 9 (vol. HI, pag,. 72).
ЬА SUPERFICIE DI GENERE GBOMETBICO NULbO
39»
Le superficie P pih general!, caratterizzate — come sopra d detto
— dall’avere il genere numerico p. = — 1 & dal possedere due fasci
(Ж) e (C) di curve irriducibili, ciofi
' 1) un fascio ellittico di curve К di un. certo genere я 0
(per cui dall ’essere p„ = — 1 segue J = 0);
2) e un fascio di genere p„ di curve ellittiche <7, secantisi in
» « CK 1 punti, si diranno superficie ellittiche: e, pih precisa-
mente superficie ellittiche proprie quelle, per я > 1, che non sono
riferibili a rigate, e improprie quelle, per я — 0, che si riducono a
rigate di -genere 1. ’
Il detto some « ellittiche » deriva da una rappresentazione para-
metrica delle superficie nominate che 6 in rapporto col gruppo oo1
delle loro trasformazioni in s& di cui discorriamo pih avanti, e che 4
state indicata da P. Раютетй (* *).
Per riguardo a quest® rappresentazione parametrica il numero
n =s CK riceve il nome di determinante della superficie.
. La rappresentazione parametrica sopra aocennata si traduce
nella seguente propriety geometrical Ogni superficie ellittica К
ammette un gruppo ellittico co1 di trasformazioni MrazionaU in se
stessa, che ha come traiettorie le curve del fascio (C).
Dimostriamo il teorema, facendo vedere che esiste una trasfor-
mazione birazionale di К — che lascia invariate tutte le curve C —
in cui si corrispondono due punti Po e P' arbitrariamente scelti
sopra una di tali curve, O«.
Invero si consider! un’altra curva C dello stesso fascio (<7) e
su di essa si scelga un punto P. Se le O, fra loro birazionalmente
identiche, sono curve ellittiche di modulo generale, vi sono — com’&
note —’ due trasformazioni di Ca in O, ehe mutano Pe in P t(‘); e
tra queste trasformazioni una sola (a) (razionalmente determinata)
fa corrispondere i gruppi sezioni delle curve K„. che formano su
ciascuna una involuzione ellittica yj. Pertanto, essendo data su
C, la trasformazione di prima specie (P„ P'), viene anche determi-
nata razionalmente con essa una trasformazione di prima specie
della O, in cui ad un punto P risponderfi un punto P', per modo che
la (PP') si ridurrS, alia (P<P») quando la О si riduea a. Ce.
La dimostrazione si estende senza difficoltt. ai casi in cui le G
sieno curve ellittiche armoniche о equianarmoniche.
(*) P. PiiNzevi, iepows eur la tMorie analt/ticfae dee Equations differe»tieUes.'
(Paris, Hermann, 1897).
(*) Cfr." p. ee. KsiaiQUES-CmsiKi, Lesiotii. hibro V, cap. Ill, f 27 (vol. Ill,
pag. 262).
(’) Cfr. ЕшичтхЕВ-Снхвип, 1. о., cap. IV, | 39 (vol. Ill, pag. 446).
400
САЙТОМ DECIMO
.Giova anche osservare che la propriety stabilita per le super-
ficie ellittiche ё caratteristica:
Ogni superficie P Ле ammetta un gruppo ellittico co1 Г di trasfor-
mationi biraxionali in se stessa, й una, swfierficie ellittica, di genere
numerico p. — — 1, propria о impropria, possedente un fascio ellit-
tico di сигов Ж di genere 0) e un fascio di genere p, di curve el-
littiche О.
Infatti la > dovrb. possedere in. prime luogo un fascio (0), di un
certo genere q 0, formato dalle traiettorie del _ gruppo Г, ehe
saranno curve ellittiche identiche'allo stesso gruppo Г. Ma, in se-
condo luogo, si costruira su J* un fascio ellittico «),. colla costru-
zione seguente: si consider! sopra P una curva (irriducibile) L e la
serie ellittica oo1 {£}• costituita dalle sue trasformate шегеё le tra-
sformazioni del gruppo T; le curve L della detta serie saranno certo
disequivalenti, dovendo segare su una Ж gruppi di punti dise-
quivalenti, che si. corHspondono in una trasformazione di prima
.specie; perb fra i gruj>pi di curve L uscenti da un punto P variabile
sopra P, ve ne saranno oo* fra lofo equivalent!: .cib significa che vi
ё su P un fascio ellittico di curve su cui le Z della serie -{Z}- segano
gruppi equivalent!. (Ofr. Oap. IX, § 11).
Dopo avere costruiti in tai guisa su P i due fasci (О) e (Ж), si
determinano agevolmente i caratteri della superficie. Anzitutto
il caleolo dell’invariante di Zeuthen-Segre per .(X) ci d&
A = 13 — 12pe — p<*> 2> 0
e_. quindi • ' -
Р» — 1 . ' . (₽<*> > 1).
D’altra parte la presenza di un fascio ellittico (Ж) e d’un fascio
(O') di genere g, porta che (esista su P una serie di oo₽+i curve dise-
quivalenti, e quindi che sia)
pt—pa 2i e'+ i
V> Q-
Infine una considerazione gift, fatta innanzi vale a stabilire ehe
le curve canoniche di P — che per g > -0 sono formate con 2g— 2
curve 0 — debbono dare entro il fascio (C) una serie contenuta nella
aerie canonica g*~*s; dal confronto segue
Osservazione. — Da cib che abbiamo detto si deduce che sopra
una superficie ellittica P di determinante и > 1 si ha una involu-
tions, In, formata dai gruppi di n punti eomuni alle С e К, Ле viene
ЬА SUPERriCIB DX GOBI GBOMETRXCO НОТЛО 401
generate da un gruppo abeliano Г„ Ai trasformazioni birazionali
(permutabili), precisamente dalle trasformazioni del gruppo Г della
superficie ehe lasciano ferine le О e le K. Se i gruppi di punti della
I„ si assumono come element! (punti) di una nuova superficie /,
si ottiene una superficie' ellittica di determinante 1, sopra la quale
la JF viene rappresentata in modo multiple, secondo «; quando sia
p, = 0, questa superficie ellittica impropria si riduce ad una ri-
gata ellittica, e se si vuole ad un cilindro cubic© f(ary) = 0.
Qui giova rilevare che le superficie ellittiche f di determinants 1
si definiscono in generate come rappresentative fiella varietA oo»
-delle coppie di punti appartenenti ad una eurva ellittica C tad una
curva К di genere я (^ 0).
A partire da queste superficie, mediante 1’introduzione di irra-
tionality algebriche atte a risolvere il gruppo abeliane Г„, si potranno
costruire le superficie ellittiche di determinante » > 1. A tai uopo
si pub dire, a priori, che occorreranno un solo radicals owero due
radicali non sovrapposti, secondo che il dette gruppo Гп sia dclico
owero abeliana a base due. JE^erchb il Г„, ehe ё un gruppo' finite
di trasformazioni in вё di una curva ellittica C, non pud avere una
base > 2 (x). Kel paragrafo seguente, limitandoci in particolare
all’ipotesi p„ == 0, e poi ancora, pih precisamente, nel § 16, spi.eghia-
mo il senso di .questa costruzione, che vale a stabffire I’esistenza
delle superficie ellittiche, e le condizioni che vi si riferiscono.
13. Costruzione delle superficie ellittiche di genere p, = 0.
Per costruire le superficie ellittiche (proprie) JP di genere p„ =s= 0,
aventi un qualsiasi determinant© n > 1, prendiaino le mosse dal
cilindro cubic© ftgry) — 0, che realizza — pome si ё detto — la su-
perfieie ellittica (impropria) di genere p, = 0 e di determinante 1.
Mediante i due fasci di curve irriducibili | С | e (K), che la earat-
terizzano, la superficie JP si lascerh rappresentare sopra un cilindro
u-plo f, con curva di diramazione composta di un certo numero di
sezioni piane normali c, per modo che le К abbiano come immagini
le generatrici к del cilindro, e le C (traiettorie del gruppo oo1 di
trasformazioni della V) rispondano -alle sezioni piane normali c
dello stesso cilindro. ba curva di diramazione del cilindro n-plo
sarh costituita da un certo numero di curve c, cui risponderanno
curve multiple del tipo C = sC„
" J1) Cfr. Енвисж-Сишя!, Lezioni. Libro V, cap. Ill, | 28 (vol. Ill, pag. 271)
e cap. IV, f 39 (vol. Ill, pag. 446-451).
B«4jru !F. - Sunerfleie algebriche.
S6
402
CAPITOW DBOIMO
Quindi la rappresentazione della supesficie ellittica J1 sul ci-
lindro n-plo / deve soddiefare alle seguenti condizioni:
1) che la eurva К definita da una ft »-p!a sia irriducibile e
contenga una involuzione del tipo ciclico owero abeliano (pro-
priainente detto) a base 2;
2) che le curve C corrispondenti alle sezioni piane normal!
о di f, curve л-ple senza punti di diramazione, siano generalmente
irridueibili.
Osserviamo invero che, se questa condizione 2) non sia soddi-
sfatta, la superficie V, rappresentata dal cilindro n-plo, non sar&
pih una superficie (ellittica) di determinant© », ma avrA un deter-
minant© < n, e riuscirh, in generale, di genere p, > 0. Cosi accade,
per esempio, per la superficie
J «« = (g— ^)(«— &)(«— e)(z — d) («^)
I ' / ' /(®y) =0
che 6 una superficie irriducibile > rappresentata sul cilindro doppio,
con eurva di diramazione composta dalle sezioni piane г = a,
z = Ь, й — d, g — e.
Infatti ad una sezione normale generiea c:
z ™ c (o = cost.)
risponde sulla detta J* .una coppia di curve ellittiche distinte
w = ±y'fc— a)(e— >)(« — d)(c— ej %
siechb le curve C irridueibili che compongono le immagini delle c
formano ora un fascib (non pib lineare, ma ellittico) di curve uni-
secanti left; e pertanto fl genere geometric© di P vale:
' ‘ P. = I-
Qui conviene richiamare i eriteri perchb una eurva ellittica w-pla,
senza punti di diramazione, sia irriducibile (*). Vi sono due east
poasibili: il caso ciclico e il caso abeliano (base 2). Kel. primo caso
la eurva л-pla si costruisce, a partire p. es. da una cubica /(®^) — 0,
estraendo su di essa un radical© л-mo ehe porta sopra un polinpmio
^ = °’ г ««==^W)
I /И0 = о;
affinchb Ja eurva multipla non abbia punti di diramazione, bisogna
che i punti eritici
* SSS 0 } fjp =SS 0 9
(х) Cfr. EimiQWES-CHisiisi, Xeastoni, bibro V, cap. IV, f 39 (vol. Ill, 446).
LA SUPERFICIE DI SBNEHE GBOMETRICO HULLO 408
siano apparenti, e percib ohe la <p presa p. es. d’ordine », abbia tre
contatti n-punti con /. Quindi \4rridueibilit&> della detta eurva mul-
tipla dipende da' cib che «la serie a eui appartiene la terna dei
punti critici apparent! sia diversa dalla serie segata bu / dalle rette
del piano ».
Kel caso abeliano (in cui » = pg) la costruzione della eurva
w-pla richiede I’estrazione. di due radical! d’indice p e j non sovrap-
posti, portanti rispettivamente su due polinomi <p(xy) e che
ё lecito supporre d’ordine peg: affinchfe la eurva multipla non. abbia
punti di diramazione, bisogna che le curve <p e у abbiano con f
tre punti di contatto rispettivamente d’ordine p— 1 e g—1, i
quali formano cosi due terne di punti critici apparent!; I’irriduci-
bilith della detta eurva multipla importa che le dette terne non
appartengono .alia gJ segata su f dalle rette del piano, ed inoltre che
esse soddisfino ad una certa condizione di dissomiglianza.
Sviluppiamo la costruzione indicate, nel caao ciclico, che s’incontra
in particolare quando il determinants я sia un numero primo. Ab-
biamo dunque che sopra la superficie j? I’involuzione I„ eostituita
dai gruppi CK, viene generata da un gruppo ciclico di trasfbrma-
zioni Г„, d’ordine n.
A partire dab cilindro cubieo n-plo .
= 0, '
fissiamo le sezioni piane normali di diramazione
z = , • z = at, .... я = at ;
gli » punti del gruppo Ga che risponde ad un punto generico di f
potranno darsi mediante i valori di un radicale
« = У(я—(«—a,)''’.... (g— atf*- <p(xy),
soddisfacendo alle condizioni Seguenti:
1) Per gli esponenti rs < n si avr&
-f- rs .... -f- r* sb 0 (mod. л),
altrimenti nascerebbe sulle generatrici del cilindro / un punto di
diramazione all’infinito.
2) Se ё il massimo comune divisor® di » ed rif sicehfr
» = Л*в4, r< = feie<.
nella espreasione di « appare il fattore
a,)’4 = —«j)e<,
dove et ё una radice fe4-ma dell'anitA
404
слмтоьо dboimo
Oosi sulla generatrice »-pla del cilindre /, il punto
z ==
ё un punto di diramazione a cui corriepon.de sulla К omologa un
gruppo-€?„ (della g„ segata dalle O) costttuito da Л( gruppi di st
punti coincident!. In altre parole, il punto « = a< ё per la fc multipla
•un punto di diramaeione d’ordine s«, eon
»
« $ ~~~~ *
e ei ha quindi
(s —1) = 2»+ 2я — 2
(eommatoria estesa ai valori di s = 8Х, st.... e<) designando я 1)
il genere delle K. .
3) Oiaecuno dej/numeri s<(» = 1, 2, .... t) ё un dmsore del mi-
nimo comune multiple dei rimanenti.
Questa propriety risulta in generate dal carattere abeliano del
Гя. Matti, sulla retta multipla k, non essendovi diramazioni al-
I’inflnito, il prodotto delle sostituzioni cicliche sui rami della fun-
zione algebrica in ordine ai punti di diramazione e«, equi-
vale all’identiti:
Sf.... Ss Si = 1
eiochB, per eaempio,
Si-1 — St.... S8 Ss,
ossia
SJ»-1;== St .... Ss Ss .
Ma la sostituzione Sf* ё ciclica di 'periodo st mentre il prodotto
St.... St St ё ciclico con’ periodo divisore del minimo comune mul-
tiple di s„ Sa,...., St 0), avendosi . •
. s;».... sj» s;» == (st.... ss s,)’«* "**== i.
4) Poichh il cilindro n-plo f non possiede generatrici di dira-
mazione, il polinomio y(asy) che figura sotto il radicate, nell’espres-
sione di «, deve rappresentare un cilindro avente con f un contatto
«-punto lungo ogni generatrice comune. E регсЬё le curve C rap-
presentate dalle a = cost, siano irriducibili, bfeognery che fl gruppo
delle generatrici critiche apparent!, non sia equivalente ad un mul-
-tiplo delle terne di generatrici sezioni dei piani
ot® -|- fy -|- у = 0.
(X) Cfr. p. es. L. Biawchi, Lezioni auUa teoria dei gruppi di aostituzioni e deUe
equazioni tdgebriche aecondo Galois (Ив», 1900), cap. XU, J 30.
ЬА SUPBWICIB DI GBWBBB GBOMBTRICO NULLO . 406
Potremo anzi prendere p di ordine ®, in guisa che y = 0 toechi
/ = 0 lungo tre generatrici (non giacenti in' un piano) con contatto
и-punto. Invero si riconosce facilmente che, faeendo variare tp
eon continuity, la superficie J? si conserva birazionalmente identica
a se steesa, conservandosi le curve С e К rappreeentate rispetti-
vamente dalle sezioni piane я = cost, e dalle generatrici di /. Quindi,
se si assume al posto del cilindro g> un cilindro у d’ordine «Л, con
Ж > 1, potremo soetituire a y(ary} un polinomio spezzata in un fat-
tore semplice <p d’ordine n e in un fattore »-plo eon d’ordi-
ne Л — 1: .
V = VW
cosi risultery
« == y(®y) • (*— ®x)'x.... (« — at)r*,
da cui.— cambiando « in — si ottiene appunto 1’espressione ehe
volevasi stabilire.
• In eoneiusione: come Про delle euperfieie ellittiche di detmninante
n, apparienenti al caeo oioUoo, si ha la superficie
J и =%/(»— a)n.... Й— at)Ti- <p(ary)
I . /W) — о / . '
dove gU esponenti rt soddisfano aUe eondieioni dette innanzi в <p(arjf) = 0
e un cilindro d’ordine n-Ле tocca f, con contatto-n-punto, secondo tre
generatrici non appartenenti ad un piano.
ba costruzione delle superficie P, a partire da un cilindro cubico
n-plo f(nnf) = 0, si ripete con poche modificazioni nel caso in cui fl'
gruppo sia abeliano (a base 2). ВепопсЬё, in luogo di un solo radicale,
ei avranno ora nAl’espressione di и due radicali non sovrapposti.
Bon c’indugeremo su queeta costruzione, che pih avanti (§16)
Bviluppiamo, riferendoci alia famiglia delle superficie P per cui le
X come le C siano curve' ellittiche. Qui basti awertire che ancora,
come nel. caso ciclico, si avr& I’eguaglianza
1).^ 2« —2«—2 ,
e sempre ciascuno dei numeri et dovrd divider в il minimo comune
multiple ‘ dei rimanenti. . - ’
14. Superficie coi plurigeneri nuHis earatterizzazione delle rigate.
Abbiamo dimoetrato che «lesuperficieirregolari di generegeome-
trico p№ = 0, non appartenenti alia famiglia delle rigate, sono super-
ficie ellittiche, di genere numerico pa ==—1». Vogliamo ora determi-
nate i plurigeneri di queste superficie ellittiche e verificare che codesti
406
CAMTOLO DBOIMO
caratteri non possono essere tutti nulli, cdme accade per le rigate
(razionali о no). In tai guisa, ricordando le condizioni di razionalite
di Oastelnuovo, date dall’annullamento del genere numerico e del
bigenere (Cap.* VI, § 4): pe = Pa = 0, la famiglia delle rigate verr&
definita daU’annullamento dei plurigeneri, e pihprecisamente dal se-
guente teorema: Condizione necessaria e sufficients perchb una super-
fioie sia riferibile ad. una rigata b ehe si avmuUino per essa ll qvadri-
• genere в й seetigenere'.
Pi — Pt = 0 .
Oonsideriamo Tina superficie (propriamente) ellittica P, di genere
p, » О e di determinants » 2, rappresentata sul cijindro cubico
»-plo /(®y) = 0, nel modo innanzi definite,, in rapporto ai due fasci
caratteristici di essa (К) e | C |. Si pud determinare la eurva canonica
virtuale di F sommanyto alia trasformata della eurva canonica del
cilindro f la corrispondente della eurva di diramazione data su questo
cilindro multiplo (cfr. Cap. V, § 7).
Ora la eurva canonica virtuale di / si ottiene sottraendo il si-
stema lineare 2c, costituito da due sezioni piane normal! al cilindro,
dal suo .sistema aggiunto, che consta delle tre rette sezioni col piano.
all’infinito; e poich.6 queste rette sono immagini di curve eccezionali,
sopra la >, ai avrik soltanto da sommare alia trasformata della eurva
di diramazione la eurva virtuale — 3(7 che risponde a — 2c. Per-
tanto, designando con z — at le component! della eurva di dirama-
zione a ciascuna delle quali risponde una eurva multipla C = stCs,
!a eurva canonica pura di F verte data da
2> _ 20 = S(s — 1)C, — 20.' .
Essendo le curve 0 omologhe alle c, irridueibili, si vede taste
che la sottrazione indicate dalla formula precedents non 6 possibile, •
e cosi si conferma che I’anzidetta irriducibilitS porta che il genere
di F .sia p, = 0.
Infatti il sistema lineare (D(, definite dalla P — £(s—1)0,,
ha la dimensione as = 0 e percib non pub contenere entro di вё il
sistema |.O| e tanto meno |2O|. Per giustificare queste asserzione
.si awerta che la eurva P essendo formate di component! ellittiche»
di grado 0 dovrit definire a priori un sistema lineare compost© colie
curve del fascio |O| e con component! parti aliquote di tali eurve:
|1D| = 12?(s — l)0s| = |scO -|- Sh,C,\.
Di qui si rieava ' ’
| ®C | = | Sk,0, |,
con ' ' ,
0 'ft, <'»—1,
LA SUPKRFICIB DI GKNBRE GBOMBTRIOO NTTLLO 407
‘ ed 6 chiaro ehe una tale relazione non pub sussistere per as > 0
(essendo le О %еп»т№Ъя irridueibili) perchb si conteaddirebbe al
prmcipio di speexamento, in quanto una eurva variabile di. (C) (ir-
riducibile e percib connesea) verrebbe a degenerare in- parti C, non
connesse fra loro. ' •
Ora dalla formula scritta innanzi passiamo all’espreseione delle
curve pluricanoniche e quindi al calcolo .dei plurigeneri di J*.
In generate le curve m-canoniehe saranno date da
—!)(/,— 2тС| = ]m(t— 2)0— т£С,\,
dove la sommatoria si estende ai diversi valori di s che corrispon-
dono alle t curve multiple del fascio | О | :
8 = 8j , 8^ .... , 8j .
Se si designa con ж = P„ — 1 la dimensione del sistema ®-
canonico complete, questo sistema si comporrfc di' ® curve C (ir-
riducibili) variabili e di component! fisse O„ ciascuna da contare
un certo numero di volte
ч A < 8.
. Avremo dunque
|®(f— 2)0— mSC.\ = |»C 4-
con О Л < в, la sommatoria essendo estesa ai valori
8 8j , 8g , .... , 8g
e ai c.orrispondenti valori di
A =s Jtj_ , At, ...., Л,.
Ora dalla precedents relazione, essendo вС„ = C, si rieava
| (w(t— 2) — ®)O| j:
m f. ft
vuol dire ohe le frazioni -—X— equivalgono a numeri interi:
в+a^g,
8 е .
ciaseuno di questi interi (j = ^i •••..? 6») esprimendo il valore per
eccesso della frazione , owero fl massimo inter©
8
Г» 4- 8 —11
I 8 J
. J— S 1
contenuto m —.
* x s
*08 - CAPITOLO DECIMO
In conclueione avremo
® = m(l — 2) — Z[g...+Л—Л],
e quindi il pburigenere d’ordine ж(й: 2). й data dalla formula'
Pm = 1 + m(t— 2)— ,
dove si dovTft prendere P„ — 0 quando la sua espressione risulti
negativa.
Facciamo qui m — 2, tenendo conto che — per s = s„ et,e,
— si ha sempre
82: 2;
avremo
e quindi il bigenere vale:
Pt = t—3.
Ora, per t > 3, si ha certo F, > 0 e percid anche F* > 0, F« > О
ecc. Se inveee Ps = 0, essendo esclusa I’ipotesi 2 = 2 che porta ad
una P riferibile a rigata, si avr&
t — 3.
Ma, designando con n il determinante di F, si ha Feguaglianza
£»(s— 1) = 2» 4- 2я— 2 ,
da cui (per essere », 2, 1)
ossia
1.
Per t — 3 si avrft, dunque
Poniamo ehe i numeri (interi e poeitivi) slt s?, e8 siano in ordine
non decrescente:
40»
XA SWERFICIB DI GENERB GEOMETRICO NULLO
la precedent® diseguaglianza ci dft>
' 81 = 2 , 8, = 3 , 8a S: 6
oppure
81 — 2 8a 8a 4 ,
owero
* - 8a 3 , 8a 2™ 8g *> 3 ,
o inline ' ‘
8. 8, > 81 Й: 4.
Nel primo e nel secondo caso:
pi'+- 2] „ fsg 4* 2] fe» 4* 21 - •
I 4 L 8» I - 8a J
e quindi
JP8 = 0,
mentre nel terzo e quarto caso:
pi 4- 21 pa 4- 21 _ p8 4- 21
I «1 J . L 8, J I Sa J ’
e
P, = 1.
Inveee, calcolando il quadrigenere
P4 = S— Я2-±-2|,
I 8 I
avremo:
nel primo e terzo easo
" _ Pt = 0,
nel secondo caso
JPa = 1
e nel quarto
P< = 2.
E per il .sestigenere
’ ' P. = 7_z[2-±^j
si troverA:
nel primo e terzo caso
Pt = 1,
nel secondo caso
Pe = 0
e nel quarto
Pe == 2.
410 CAPITOtO DECIMO
Per il nostro scopo ё siifficiente rilevare che quando P, = P4 = 0
(primo e terzo caso della discussione precedente) risulta
P. S> 1.
In conclusion® per una superficie ellittica, non riferibile a rigata,
uno almeno dei due plurigeneri P4 о P, sar& diverso da zero:
P*+ Pe2> 1/ ' . . c. d. d.
Oseervazione. - Le condizioni perche una superficie sia riferibile
ad una rigata si poseono anche esprimere awnuttando il genere d’or-
dine 12:
P„ = 0.
Infatti per le superficie ellittiche, aventi il P4 1 о il P, 1,
risulta certo
, z Pis >1.
Giova anche rilevhre che si avr&
PM = 1
per le superficie ellittiche (con curva canonica virtuale d’ordine zero)
possedenti un fascio ellittico di curve К ellittiche, ed inveee
Pi» > 1
per le superficie ellittiche possedenti un fascio ellittico di curve К
di genere я > 1, le cui curve canoniche virtual! segano le Ж in 2n — 2
punti.
Invero la differenza fra le due specie di superficie P consists in
cib ehe:
nel caso delle К di genere я == 1 si ha I’eguaglianza
2n — ——n
s .
•ciod ‘ -
1) . 2 == Л7—,
8
mentre nel easo delle Ж di genere я > 1 suesiste la
2n + 2я— 2 =
che porta la diseguagtianssa\
3) - t-2 >pA.
Ohe nel caso 1) si abbia .
P18 = 1
c non P„ > 1, risulta subito, non soltanto dalla formula.del P18,
XA ВЙРЕВПОТВ Ш GBNERB GEOMETRICO NULEO 411
si anche daH’osservare che sulla superficie P possedente due fasci
di curve ellittiche non possono aversi curve pluricanoniche (pure)
d’ordine > 0. .. ' .
Dimostriamo ora che, se sussiste la diseguaglianza 2), si ha ne-
ceBsariamente
P„>1
e non. Pj, — 1. Questa dimoetrazione non. fe una semplice deduzione
dalla formula del Pu, ma esige altresi che si tenga conto di una
condizione d’esistenza delle superficie ellittiche (attinente al carat-
tere abeliano del gruppo P„) gift, awertita nel § 13, eiofe che « cia-
eeuno dei numeri inten deve dividers il minimo comune multiple
dei rimanenti » f1).
Scriviamo la formula . '
P„ = lUt — 23— , .
e discutiaxno i casi ehe possono presentarai per t > 4, per t = 4
e per t = 3.
Per t > 4 eiofe t 6, si ha
e pereife fe certo
<; 24 ,
P-я 12e — 47 2» 12 (t — 4) -f- 1 > 1.
Per t — 4 il valore minimo del P14:
P„ = 12(t—4) 4-1 == 1 ,
(I) Cosi appunto la diseguaglianza Fa > 1 viene stabiliia nel J 16 delle Le-
zioni di Ежввдижв-Слмгжпяа.ы (Seminario mat. di Roma, 1934). Ma nella Note
originate di EMBiqxtBS, SvUa tdaeeifloaxione deUe superficie algebriche eco. (Rendic.
Lincei, febbraio 1914) la cosa non b chjarita, per modo che fe natarale ritenere
trattarei di una semplice deduzione dalla formula generate che dfe, il Pa. Ora questa
'deduzione sarebbe erronea, come ha osservato H. Gbkkrbt nel suo Bericht Die
Klassifioation- der algebraisohen Flaechen (dahresbericht der MathematisChe Ve-
reinigung, 1931); invero, facendo, .per esezapio s = 2, e, = e3 = S, si trova Pu = 1.
Percife il Gbpeebt propone di considerate il al posto del PM. Ma in realty
per le superficie ellittiche con curve pluricanoniche d’ordine > 0 si ha gia Pa > 1.
П caso di. eccezione segnalato non rieponde ad un’effettiva superficie ellittica,
perchfe il 2 non fe divisor® del 5!
412
CAPITOW DECIMO
si raggiunge soltanto quando tutti-e quattro 4 named st siano eguali
a 2: ~ .
»<== s, = s3 = st = 2
eicchd sussieta 1’eguaglianza 1), perchS solo in questo caso sarb
per ciaseuno di essi
fertilise;
' L «« J
se inveee uno di codesti numeri supera 2, come 6 richiesto dalla
diseguaglianza 2), per esempio se ' *
s* <2 3,
si ha ...
e quindi /
- \3. ' - •
Sia infine t == 3, e si scrivano tutte le soluzioni intere della di-
seguaglianza
soddiefacenti alia condizione che ciaseuno degli в,- divida il comune
multiplo dei rimanenti. Si avri
= 2, = 4 , ss — 8,
SXS 2 8S == 5 , sa = 10 ,
sx = 2 , 6, 8S 8g ,
si = 3 , Sg 3 , 8, >3,
. sx > 4 , Sj sx, sa S: s2 .
In tutti questi casi si ha
<12
P„>1,
15. Nota etorica. ,
c. d. d.
ba classificazione delle superficie -irregolari di genere p, = О
(pa < 0), la-dimostrazione che quelle che non siano riferibili a ri-
gate sono superficie ellittiche, contenenti uh fascio ellittico di curve
bASU'BBRFIOIB DI GBNBRE GBOMBTRICO NULbO 413
‘ammettenti un gruppo сю1 di trasformazioni in se stesse, infine
Ж di genere s^lewi secondo fascio linetae 'di curve ellittiche C,
la caratterizzazione delle rigate coH’annullamento del quadrigenere
c del sestigenere, costituiscono i’oggetto -della memoria di 3?. Es- .
siquss «Suite superficie algebriche di genere geometrico zero »,
pubblicata nei Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, del
1906. Tuttavia (a prescindere da qualche imprecisione minore) la
dimostrazione di questi risultati lasciava una lacuna, per quel che
si riferisce al lemma U dei §f 6, 7, 8; giacchb 1’esistenza di una se-
cond» eurva ellittica essenzialmente distinta dalla parabicanonica
<7, veniva inferita semplicemente- 'da cib che le - curve del sistema '
4-K"'b secondo paraggiunto ad una K, passanti per un gruppo bi-
canonico di questa, debbono formare un sistema oo1 d’indice > 1:
infatti non C eseluso che le curve spezzate di codesto sistema che
contengono come parte la detta K, si riducano -ad una sola da con-
tarsi pih volte.
Per colmare questa lacuna lo stesso autore ha escogitato il ra-
gionamento che si appoggia sulla costruzione. di .curve secanti le
Ж in gruppi della serie semiquadrieanonica o, in generale, parte
aliquota di un multiplo della serie canonica. Questo procedimento
C state esposto da lui in una Kota dell’Accademia dei Lincei, del
1930 (*) e quindi da RKBiqnES-CAMPEDEbbi, neJle «Lezioni sulla
classificazione delle superficie algebriche particolarmente di genere
Zero». (Seminario matematico di Roma, 1934).
Ma anche nella nuova dimostrazione rimane uh punto debole .
-d’ordine delicate, perchb non 6 lecito ritenere a priori, come si fi
prowisoriamente coll’ipoteai II dei §§ 6, 7 e 8, che,‘essendo data о -
aggiunta al campo di razionalitfi. di una eurva Ж, una serie lineare,
si possa determinarne 'razionalmente «n gruppo. Eortunatamente
-ci ё riuseito di superare la difficoltft riconoscendo che l’ipotesi П
ё verifleata per qualche multiplo della serie suddetta, in guisa da
giustificare il procedimento’costruttivo di curve parapluricanoniche
-essenzialmente distinte.
Dobbiamo ancora aggiungere un rilievo concemente il caso in
-cui le nostre superficie posseggano un fascio ellittico di curve Ж
ellittiche (birazionalmente identiche); per essere rigorosa la costru-
zione delle traiettorie <7, о meglio la dimostrazione che anch’esse
-sono ellittiche, si deve escludere 'il dubbio ohe talune fra codeste Ж
possano degenerare in curve multiple (dimostrazione che, per
po =— 1, non possono aversi superficie paraellittiche): questa
(x) Enbiqxtes, Sopra le superficie algebriche trasfonnabili in rigate. (Luglio,
1830).
414
CAPITOLO DECIMO
precisazione — ehe si basa sull’analisi della singolaritSt nascente
dall’ineroeio <31 due curve di diramazione (Ohisini) trovasi nelle
« Lezioni » di ENRiQUES-CAMPEDEiabi del 1934 (§ 12).
Infine per <jnel che eoncerne la costruzione effettiva delle su-
perficie ellittiche, la Memoria originale di Enriques del 1908 con-
templava soltanto il caso ciclico. I primi esempi relativi al caso abe-
liano (a base due) sono stati messi in luce da G. Bagneb.au M. De
Franchjs nel loro studio « Sopra le superficie algebriche che danno
le coordinate del punto generico esprimibili eon funzioni mero-
morfe quadruplamente periodiche di due parametri» (J).
Infine, la costruzione generale di tutte le superficie eUittiche
(che si riconduce alia risoluzione di equazioni abeliane con gruppo-
a base due) 6 stata sviluppata da O. Chisini nelle Note su «Le
superficie ellittiche il cui determinante й un numero composto »
del 1921 («). . .
16. Superficie con curve pluricanoniche d’ordine zeros tipi con
curve ellittiche Ж -di modulo generale.
Nel § 14, e in particolare neU’Osservazione che lo chiude, ab-
biamo dimostrato che:
Le superficie propriamente ellittiche di generi p, = 0 e p. ==* *— 1,
si distinguono dalle rigate per mere il 12-genere. .
Pa >0, .
<wwicM ' ' .
?u == 0.
PHt, precisgmente le superficie ellittiche con p„ = 0 e pa =— 1
dmvno luogo a due fawnglie:
1) superficie' con curva oanonica virtuale d’ordine zero, oaratte-
riezate dal possesso di u« fascio ellittico di curve Ж di genere rt — 1;
2) superficie con curva oanonica virtuale d’ordine 2я—2, Oho
contengono un fascio ellittico di curve К di'genere n > 1.
•' Le prime ($u cui ogni sistema lineare pure di genere p ha' il
grado n = 2p — 2) hanno il '
Ж» = 1,
(x) R. Aocademia dei Lincei, 1807-t.
(*) R. Accademia dei Lincei, 1921a.
ЬА SXtPERFIClB DI GENERIS GBOMETRICO NXJIXO ' 415
mentre le seconds (per cui n < 2p — 2) posseggono sistemi lineari di
dimenaione r > 0 di curve plurieanonioe (di genere pW = 1) ed
hanno il - •'
Ora vogliamo stringere piii da vieino la classificazione delle
superficie 1) per cui Pit — 1, mostrando che esse danno luogo a
pochi tipi ben detenninati, di cui possiamo scrivere le equazioni.
Biferiamoci alle superficie ellittiche J* della famiglia. 1); eonviene
distinguere i casi in cui:
Le curve «Ritlicke К (fra loro birazionalmente identiche) hanno
modulo generate, owero le X sono armoniche, о sono equianarmoniche.
Incominciamo qui dal caso generate: proveremo che la super-
ficie JF ha il determinants n = 3 (caso ciclico) oppure n — 4 (caso
abeliano).
A tai uopo oecorre considerare 1’involuzione g* segata sopra una
curva ellittica К dalle traiettorie C. Questa involuzione & generata
da un gruppo abeliano Гп ё, per essere razionale (anzicM di genere 1),
dovrh contenere' qualche trasformazione involutoria I di seconda
specie (fl). Ora, se il gruppo Гя non si riduee al A eostituito da una
I e dall’identite (siccome i prodotti di due I sono trasformazioni я
di prima specie) il jT„ dovrfc contenere tante trasformazioni я quante
I, diciamo m delle une e delle altre: » = 2m. Pih precisamente le
я permutabili con una I saranno involutorie, e quindi il gruppo
abeliano Л, generate dalle dette n ed I sar& il P4 diedrico formato da
due involuzioni I, una involuzione я e I’identitfe.
Dunque la nostra superficie > con un fascio di curve ellittiche К
di modulo generate sard di determinants n == 2 о n = 4, в la relativa
g* definita sopra una К apparterrd ad uno dei due tipi seguenti:
a) n = 2, ffi = ffl,
b) n = 4, gi =₽= gl abeliana в diedrica, generata da due tvasfor-
magioni di seconda specie permutabili, il cui 'prodotto i una di
prima serie.
Bel primo caso si pud assumere come Про della superficie V di
detarminante л == 2, quello che ё definito dalle equaeioni:
J « = Vtz— ах)(г— at)(ss — a3)(e—
I • / (®y) = 0 ,
dove f ё un cilindro eubieo e p un cilindro quadrico che ha con esso
un contatto bipunto lungo tee generatrici, non giacenti in un piano.
Kel secondo caso si tratta di costruire, nel piano (« z), la curva
416
CAPITOLO DBCIMO
ellittica К contenente una gl diedriea, a partire dalla corrispon-
. dente rappresentazione sopra la retta quadrupla ft (v, — 0).
Questa costruzione si pud spiegare in rapporto alia teoria gene-
rale delle equazioni abeliane (x), owero riferendosi pih specialmente
alle nozioni die concernbno le curve ellittiche (’), come qui faremo.
Osserviamo che la nostra g} diedriea (su K) possiede 8 punti
doppi ehe si distribuiscono in due..quateme: una quatema di punti.
doppi della prima costituita da due coppie di punti coniugati
della seconda
-A-i e Bi ,
ed una quatema di punti doppi della seconda gl costituita da due
coppie della prima
ДД e Я1Ж-
Quindi la retta quadplpla ft avri 4 punti di diramazione (doppi):
, . tide,
' e il campo di razionalitt. della К si potrS. definite ponendo
« = V tp • (я— а)(«г— b) ± Vy • (a— d)(z— e),
(con <p e у costanti rigpetto а я ed «) in guisa che ai due punti di
diramazione a eb rispondano le coppie di punti doppi А» efi:Bt,
e ai punti d ed в rispondano le coppie di punti doppi Лг P, e Bi Et.
Che, effettivamente, 1’equazione sopra scritta rappresenti la К
‘ ellittica rispondente alia nostra ft quadrupla, si prova da cid c^e la
curva rappresentata possiede una gl con 8 punti doppi, e d’altronde
— liberando 1’equazione stessa dai radical! — si ha un’equazione
‘di 4° grado in z ed «, che ё di 2° grado in «, e definisce una quartica
avente un punto doppio nel punto all’infinito dell’asse z ed un altro
punto' doppio inflnitamente vicino. Aggiungasi ehe le due trasfor-
mazioni di' seconds specie, eiofe le gl dotate ciaseuna di 4 punti
doppi, da cui ё formata la gl diedriea, si lasciano rappresentare
’ mediante equazioni
У • (g—as)(z—•») —у (я—e)(g—d)
«
_ У (я—в) —у • (z—л)(г —&)
V,
f1) Cfr. p. es. L. В1ЛЖЖ1, op. cit., cep. IV, f 78.
(’) Cfr. Езямжгая-Снишх, £ег*от. Libro V, cap. IV, § 39 (vol. III).
ЬА. SWBMTCIB DI GENERE GEOMETRICO NVI.IO
417
come risulta dall’identity,: '
yj,(g — a)(g — Э) _ у . (g — i)(g — e) =
д/у • (g— a)(g — ft) + -%/у ' (я — — e)
== л/у * O’— aHg—— д/у * Й—d)(«— e) .
Pertanto le equazioni della superfioie ellittioa V di determinante
•a = 4, am К di modulo generate, si potranno ridurre al tipo‘.
f « = y'(g3Z"aj(g'Z_l)". у(жу) + д/(й — gj(iZ_"e) . y(a^)
. I ' f (anf) — 0, .
dove f й un cilindro cubico e у e у sono due cilindri quadrici che
toccano / secondo due terne di generatriei, non giacenti in un piano
e non equivalent!.
17. Segue: Caso armonico.
Hel caso armonico oltre alia e alia gl del caso generate, si
potrft avere sopra la curva ellittica К una gl cicliea о abeliana, i
cui gruppi di « punti siano trasformati in её da una trasformazione
singolare del quart’ordine. Infatti le curve ellittiche armoniche pos-
seggono, oltre le trasformazioni ordinarie di prima e seconda specie,
я ed I, due serie continue oo1 di trasformazioni singolari del 4°
ordine, co e t, le quattro specie di trasformazioni essendo legate fra
loro dalle relazioni seguenti p): .
дао — U>i
л! = I,
ЯТ ~ Tj
я2
O)ta) — I
ItI = я
т,т = I
1я = 11
Ia> — т
ТШ — я
Oil = T
It = (o
oat — <ax
т1Г '== Ш
шт = л
ТЯ — T! •
Si possono claseificare i varii tipi di fl cicliea о abeliana apparte-
nenti ad una curva ellittica armonica K, partendo dali’osservazione
che, se il relative gruppo Г„ hon ё generate da sole trasformazioni
ordinarie (corrispondenti a К di modulo generate), esso dovr&
contenere un eottogruppo invariante I\ generate da una trasfor-
mazione singolare шот. Ora questo P* di luogo ad una gl con due
punti quadruple J. e В e a una coppia di punti doppi Dx e Dt (for-
mant! un gruppo della fj), la quale conduce a rappresentare la К
sopra una retta quadrupla fc (« = 0) con due punti di diramazione
quadruple: z=aez==6, eun punto di diramazione doppio: g — d.
(*) Cfr. p. es. feirsi<jVES-CHrs»i, Lenioni, bibro V, cap. Ill, § 27 (vol. Ill,
pag. 280). • - .
Emuwbs F. - SuserjUte aloetrtohe. 2T
418 ! ' САЙТОМ DKCIMO
Se la д* non 6 esaurita dalla detta gl (clod se n > 4), il gruppo Г„
dovri contenere le trasformazioni che rispondono alle proiettivitft,
della retta quadrupla trasfdrmantt in sd il punto d e pernratanti
i due punti J. e В: e queste trasformazioni generano un Гй abeliano,
formato da 4 trasformazioni singolari del 4° ordine, due to e due r,
da 2 involuzioni di seconda specie I, e da 2 trasformazioni я di prima.
specie: una involuzione yj e I’identitA.
In eonclusione la non generata da sole trasformazioni ordinarie,
sulla eurva ellittica armonica X, apparterrft. ad uno dei due tipi se-
gment!:
a) n = 4, gi ciclica generata da una trasformazione singolare
del 4° ordine: ш о v; e
&) n = 8, ffj generata da un gruppo. abeliano jTs contenente 4
trasformazioni singolari cicliche del 4° ordine (due to e due r) e 4
trasformazioni ordinarie:fdue I e due я, (cioft una yl e FidentitA).
Kel primo caso la jgZ ellittica rappresentata sulla Л quadrupla,
coi punti di diramazione a, b e d, si realizza nel piano (« «) scrivendo,
per esempio:
u = y/tp- (a — a)(z — b)(z — d)‘
con p costante (rispetto a я ed u). /
L’equazione scritta risponde ad una certa scelta delle sostitu-
zioni sui rami della funzione algebrica «(«), in rapporto alle curve
di diramazione « == a, b, d; se invece si assumqno le sostituzioni
inverse avremo il. tipo simile ma birazionalmente distinto:
.« = —&)*(«—d)’. .
Quindi le superficie ellittiche armonidhe di determinants n — 4,
caso ciclico, possono ridursi al tipo rappresentata dalle eguaaioni:
1Ie { и = y'fz '—Га)(е~ b){z — d)*
I /(w) = 0 ,
* о ad un tipo simile:, dove f Jun cilindro cubieo e p un cilindro del
• quarto ordine tbecante / con contatto quadripunto lungo tre gene-
ratrici, non giacenti in un piano. I tipi simili che diversificano, come
si ё detto, per la scelta delle sostituzioni siii rami di u, pur es-
sendo birazionalmente distinti, hanno perd i medesimi caratteri.
Kel caso propriamente abeliano possiamo ancora realizzare nel
piano (w) un tipo della cum ellittica Ж, che contenga una g* con
due gruppi costituiti ciaseuno di due punti quadruple e un gruppo
costituito di quattro punti doppi: per cid si tratta di costruire una
ЬА SCTPERFIOIS DI GKNBRB GBOMETRICO NUKLO 419
retta 8-pla con tee punti di diramazione
• gs = a } z = b } m = d
in modo che ai primi due risponda una sostituzione sui rami ciclica
del 4° ordine, mentre'al terzo risponda una semplice sostituzione
di periodo 2.
Questa costruzione si eftettua secondo i prineipii general! della
teoria delle equation! abeliane (* *), e d’altronde la formula’che cosi
si ottiene si giustifica a posteriori (’) riconoscendo le sostituzioni
sui rami che corrispondono ai punti di diramazione, di eui si ё detto
innanzi.
Dieiamo che la eurva К pud ridursi'al tipo rappresentato dalle
equazioni ’
« = д/(г— b)(e— d) • 95 + «)(« —
о ad un tipo simile (che ne differisce per una diversa scelta delle
sostituzioni anzidette): dove si designano eon у e у delle costanti
(rispetto ad « e «).
Per giustificare I’asserto, si distmguano gli 8 rami di « con due
indiei:
«11 «1! «13 «14
«si ««s «м «м,
facendo corrispondere il primo indice ai due- valori + V e — V,
del radicale quadratic© che entra nell’espreasione di w, e il secondo
ai quattro valori 4- V~ *V7 — V*7 — «V del radicale del 4° ordine.
Al punto di diramazione g = « risponderfi la sostituzione sui
rami . •
$. = («и «» «и «м)(«и «» «» «»<)•
В al punto 0 — b risponderfi egualmente una sostituzione ciclica
del 4° ordine, eiofe la
St = («ц «,* Uu «„)(«!, «*1 «14 «as) •
Invece al punto я = d risponderfi la sostituzione a periodo 2:
Sa = («11 «21)(«И «»)(«!« «и)(«и «>*)•
Si ottengono cosi tre sostituzioni che, per moltiplicazione, ge-
nerano un gruppo abeliano d’ordine 8, avente la struttura del nostro
Г* sopra indicate.
(x) C&. p. ев., L. Bianchi, Lexioni euBa teoria dai gntppi di soeittuaioni e delle
eqttagioni algebr-hshe eeaondo Qaloia. ("Pisa,, 1900) cap. Ill, f 30.
(*) Cfr. О. Сниот, Ле ewperAste вШЙсЛе il eui determinants ё wn numero com-
poeto. Bendin. Lincei, s. V, vol. XXX, 1921,.
420
САЙТОМ) DBCIMO
Si aggiuuga che le sostituzioni anzidette soddisfano alia con-
dizione d’esistenza (J) della funzione algebrica «(«), (non diramata
nel punto g = .oo), ciob che
SaS»Sa = l-,
appunto in vista di tale condizione si b dovuto attribuire 1’esponente
3 (anzichb 1) • al termine « — b che ftgura sotto il radicale del 4°
ordine. ’
In tai guisa la funzione w(z) realizza la richiesta curva ellittica
Ж eon й abeliana, e he porge anzi il Про, sebbene possa aversi anche
un altro Про simile, irriducibile per trasformazioni birazionali,
quale ft dato da
w = — aj(z — 6)’ • <p 4- V'fi—«)(«—d) • у (’):
altri tipi che appareqhemente si presentano, si riducono a quelli
qui indicati, eon. sempfici scambi dei nomi delle curve di diramazione.
Conviene aggiungere che le due sostituzioni sui rami della «
‘ nell’intorno dei punti di diramazione » = a e « = Hi estendono in
trasformazioni birazionali, dello .stesso ordine 4, fra i punti della
curva К la cui equazione . •
0(z«) = 0
ei ottiene eliminando i radical! ehe ftgurano nell’espressione di w;
e analogamente si dica per la sostituzione di periodo 2 relativa al
punto g == d.
Infatti si pub provare, per.esempio, ehe «u 6 funzione razionale
di e di z; oib segue dal considerate le due equazioni soddisfatte
• per un medesimo valore di z:
6(wz) = 0, 0(w'z) == 0
e la loro resultants
i?(m')=0: ’
questa, insieme alia 6(«z) = 0, definisce «'(««), come funzione ra-
zionale. (*)
(*) Cfr. p. es., ENBxqvws-CHisrsri, ieariont. Libro V, cap. IV, f 38 (vol. III,-
pag. 429).
(’) Dal punto di vista proiettivo la curva К rappresentativa. della funzione
u(z) avri: in oorriepondenza al punto di diramazione я = a una tangente (paral-
lels aU’aee u) con due oontatti quadripunti, e in oorriepondenza a z = i un tacnodo
in cui si toccano due rami lineari con contatto quadripunto (che cost imports
dwe punti quadrupli della ?J), infine corriapondentemente a z == A una tangente
quadruple, con quattro oontatti semplici.
ЬА BueBRFICIB DI GBNBRB GEOMETRICO HULLO
421
< Ora possiamo scrivere le eguMssioni di una superficie ellittica, Про
armonieo, di determinants n == 8:
n f « = + V’is— >)(«"—d) • у(жу),
‘ I /(W) = 0
dove "f rapjiresenta un cilindro cubico e <p e у possono supporsi due
qilindri, 1’uno del 2° e 1’altro del 4° ordine, il primo tangente ad f
secondo 3 generatrici e il secondo tangente ad esso con contatto
quadripunto secondo altre 3 generatrici. Perchfe la superficie -F
risulti proprio di determinants « = 8 (irridueibilitfti delle curve <7
che rispondono su di essa a z = cost.) converrft supports ehe le
due terne di generatrici di contatto di/ eye di/ ey non giaeciano
in piani, sicehd per я — cost, risultino irriducibili le due curve
« = у Sy)", . /(®y) == 0
ed
« == —Ж® —-d) , /(®y) — 0 ,
e ancora che le due curve
и — — «) (z — ft)*. ed • « y'fz—1)(z —"dj -*y(W>
siano birazionalmente .distinte (*): eid importa che la. terna gt g*
delle generatrici di contatto quadripunto di у con / sia dissimile
d&ila, terna g* g't delle generatrici -di contatto di у ed /, eiob oon-
tata due volte, costituisea una sestina non equivalente a quella
che si ottiene sommando alia yj g'3 g’t tre generatrici di /che giaeciano >
in un piano. t - •
18; Caso equixutnwmico.
Nel caso equianarmonico, se la curva ellittica К contiene una
gl ehe non sia generata da semplici trasformazioni ordinarie (n —
= 2, 4), essa dovrft venir generata <ia un gruppo -Гп di trasforma-
zioni, ciclico о abeliano (a base due), che contenga qualche trasfor-
mazione singolare del 3° о del 6° ordine. Infatti le curve ellittiche
equianarmoniche posseggono, oltre le trasformazioni ordinarie di
prima e di seconda specie, я ed I, due serie continue oo1 di trasfor-
mazioni singolari cicliche del 3° ordine, to e r, e altre due serie di
trasformazioni singolari cicliche del 6° ordine, deg (4). E le trasfor-
f1) Cfr. Enkioves-Chibini, iezioni, Libro V, cap. IV, | 33 (vol. 1П, pag. 452).
(’) EjnasiQVBS-CHXSX», Zezioni. Eibro V, cap. Ill, J 27 (vol. Ill, pag. 280-83).
422
САВ1ТОГ.О DBCIMO
mazioni dei vari tipi sono legate fra loro idalle seguenti relazioni:
яа Z&Z ata == T W =s= X la 3= === Q Q0 = Л;
от sss tl Tit = = Ш = & at s=s X ,Jt== e a
лХ S= It asx Л al =s= Ш шХ =s a tI = g ei = T .
71-CO == Oh == X паз ==: 7Z аш == g оз = I Im = er
== 61 BiQ = ш = I Iq tq = a ag 3= Л
Ora per la g„ abeliana non generate da trasformazioni ordinarie
sulla <ww К eguianarmonica, saranno possibili tre east:
e) « = 3, gl oiolica generate da una trasformazione singolare
del 3° ordine, a) or; -
B) » = 6,, gl cicliea, generate da una trasformazione 'singolare
del 6° ordine, <f о q',
c) n — 9, gl abeliana (a base due) il cui gruppo contiene tre
trasformazioni singolari eicliche del 3° ordine, fra loro permutabili,
dieiamo coa>iW», altre tre trasformazioni cicliche c. s. т = co*,
тг — al, ed inline tre trasformazioni ordinarie di prima
specie я, л*, л’ = 1.
Questa classifieazione pud essere facilmente giustificata a partire
dall’osservazione che il gruppo deve contenere un sottogruppo
cielieo invariante J’s, generate da una trasformazione singolare co
о r. Siccome il J’s genera una gl cicliea con tre punti tripli, siamo con-
dotti ad esaminare le trasformazioni di К che rispondono alle pro-
iettivite mutant! in sft una retta tripla del tipo '
v,* = (g—a)(g—b)(g—ff) •;
le дидИ sono:
- 1) le involuzibni, p. es. (ab)(dd), che danno come doppio
un punto della terna (abd) e ehe scambiano fra loro gli altri due
punti; e
2) le proiettivite cicliche (eW) о (аЛ).
Ora I’aggiunta al Г, di una trasformazione del tipo 1) riesce ad
ampliare il Р» stesso in un Д ciclico (con un punto sestuplo, due
punti tripli e tre punti doppi) che non й contenuto in un gruppo
abeliano pih ampio; mentre I’aggiunta di una trasformazione (ей)
del tipo 2) porta ad un Г, abeliano, contenente tre trasformazioni
singolari del terz’ordine, il quale non Й a sua volta contenuto in un
gruppo abeliano pih ampio.
Possiamo costruire facilmente le curve equianarmonjche К che
rispondono alle anzidette gl abeliane, per
: « = 3,6,9,
e quindi le corrispondenti superficie ellittiche..
ЬЛ StrPERFICIB DI GENERE GEOMETRICO NVbLO 423
Avremo come tipo delle superficie ellittiche equianarmoniche di
determinante n ==. 3 (easo ciclieo) le superficie:
jjj | w = д/(г — — <p(a?y)
“ I . W) = 0,
dove f 6 un cilindro cubico e у un altro cilindro dello stesso ordine,
ehe tocchi / con. contatto tripunto secondo tre generatrici non. gia-
centi in un piano.
® avremo come tipo delle superficie ellittiofie equianarmoniche di
determinante n — 6 (caso ciclico) le superficie:
. J » = у'й— a^>—>)’&—• Ж* y(a^)
I. /(®y) == 0 ,
dove f designs un cilindro cubico e у un alfro oifindro del 6° ordine
che tocca f con. contatto sestipunto, secondo tre generatrici non ap-
partenenti ad un piano.
' . >el caso propriamente abeliano, in cui si tratta delle superficie
ellittiche equianarmoniche > di determinante n = 9, si pud riuscire
alia costruzione di un tipo della >, in modo analogo a qpello tenuto
pel caso armonico (n == 8).
A tai uopo occorre costruire la eurva ellittica equianarmonica
JL del piano (««) che viene rappresentata sopra una retta multipla
d’ordine 9 (u — 0), immagine della nostra gl abeliana, generata da
due trasformazioni singolari del 3° ordine, fra loro permutabili.
Come tipo si potrt, aseumere la eurva ' .
и ~ ^(e — a)*(tt — d) <p + -^Z(z — b)(z— d)* • у
con <p e у costanti.
Per dimostrare che la «(z) cosi deflnita rispon.de effettivamente
ad una curva ellittica equianarmonica contenente la sopra indicata
gl abeliana, convert^ calcolare le sostituzioni sui rami della « in
. ordine ai punti di diramazione .
' ' g = a , g = b, g — d.
A tai uopo si designeranno i rami con due indici, il'primo dei
quali aasumeiA i valori 1, 2, 3 in relazione ai valori del primo ra-
dicals cubico
y, «v; .-v (.-«t)
che figura пеИ’евргеввтопе di «(«), mentre il secondo assumerft si-
milmente tre valori in rapporto a quelli del secondo radicate cubico.
424 • CAMJObO DBOIMO,
Avrenlo, in ordine ai tre punti di diramazione, le sostituzioni se- •
guenti: . .
per g = a ' . ' .
per
= Ki «»««)(«»» «аз«»»); ' . ~
g == b
St = («XX «XX «x»)(W.i «.» «m)(«si Wjs)
. e per g = d _ . _, '
8л = («XX «3» «м)(«ц «XX «мМ®1» «И «31) .
La terza sostituzione ft 1’inversa del prodotto dalle altre dixe, di " -
guisa ehe viene soddisfatta la condizione d’esistenza della ret£a
multipla « = 0, non diramata nel punto all’infinito e-=^ oo (*):
1 w. = i. ,
'Quindi si ricdnosee/Ste le dette sostituzioni gefiftrancr ' '
аЬеНЛао J1,, che'd&’luogo’ad una ftg^attnehte а1ШаЬа^‘йрЖ' <
una eurva ellittiea equianarrnonica. ' i '•»< '
’Gori si ft condotti a dimostrare; che 1»sup'erfieie eXiticfe'^egiiAnar'- !'
< monicke di determivuvnte n — 9 ‘(еаао'аЬеИапОУ'&йЛо <. •/’
Ше / W = у'й —в)а(в—d) ’ ф (®y) —
'* I ' ’ 'f{»g) .= 0
dove / e шх cilindro cubico e -g> егчр. possono supper» delipari dfcdn.,
ctibici oeculanti 'f second© due terne di generatrici non equivalents,
ehe non giaceiano in uno stesso piano. ' 1 :
19. Biassunto. ’ . . • ’ ~
Possiamo, riassumere- 1’analisi delle superficie eBitttOh#f<M genertr • ’•
p/== 0 con eurva canonica virtuale d’ordine zero, enunciifciido fl se- .
- guente teorema: ' - ' . "• -
Ze Miper/tofc /Alittiehe di ffimen"p, s==’O -e -
**'-ъапеп4оа virtuale d’ordine tm, ee№a<tter&gate Sal rsaiare 'del S=-.it- *
cioft le superficie con p, = -^ 1 posaedenti un fascio вШоДацй. '
ellittiche Кеш secondo faedo lineare di curve еЩНасЬе -C, si dir
'•Mribuisieono' in sette fainiglie di determin^nte 4 =*?>,. 9, 9,
«рргёйлййй Ля Uno- dei tipi' d’equagioni
ovvero вл un tipo емпЛе. . ' *==<-,» *
I tipi I, e Z#.(mp. #po ciolico e tipo abeliano) rispondono. a cu^ve
• ellittiche C di modulo generate-, IIa e IIt (tipo dclioo e tipo abeUano}
(*) Cfr. EurBtQTnis-eenawxi L&ioni. Libro V? fcap, TV, > 38 (vol. Ill, pag? OB).
' ЬА DI GSNBRB GBOMBTBICO КПП» 425
a* curve C armoniche, ed infine III» e III» a, un tipo ciclico con G
egwianarmoniohe e III, а цп tipo egptianarmonico abeUemo.
- lie superficie ellittiche predette si distinguono anche, fino ad un
certo punto, mediante i valori dei plurigeneri inferiori al Plt, cal-
' colabili colla formula del § 14. Le superficie I» e I» - (determinante
2 e 4) hanno -i caratteri: ' ' -..
• Л = 1> Pe. =.1>> . Pi» = 1 ;
le superficie ditipo armonico JI» e 1J» (determinante 4 e’8) hanno:
. • • - ' (P> » 6)P* =,! , Р». — 0., , Ph == 1 ;
’ ed infine le superficie del tipo equiftnanndnico III» (determinante 3)
, hanno . • , ' s •
— . i , , Pg = 0 , Pg = 1 , P* — 1 , . Рд — 1,.
’’ mtotre Je III» e III» (determinante в e' 9) hanno --
" ' 7 Л P»-,?» в7 Рв{=><1» P4== X,' ,,Pi?=p'.
s . . •..*?'-;fie «upCrficie.;e]ttrttt61ie__con сшМ’’<яй^®4са virtuale
... 7. dlpiiftd.bero.'giM'dssejS'ate'df ^terQ'txES -nelsuo'-stufed-kulle super-
si--pieseBWo. eoittB^S^eoieri 'superficie
вЙШ- ihvMiri©ni';-i®^fe la super-
•, ;,'fi<fte,M-iJa^phi.cheop«d8pond^aId WaeuW»'d<^enere^ genere due),
. sen» send -State inibnttaWda e M. De
;,5йашсвзЮ'..пеИа-membria del 190-7' -« Sopra - le. euperfiefe algebriche
?'':>’-Ае'’'кййдА1е.;С0огвпа4е del punto generieo 'esprnnibffit-con ftmzioni
\;3tnefpm&fe''qtiadrdpifcnente'periddieh’e'di due pariutodtri » p).
•; .’’-I detti autori.icdprofio. che tafi -sdperficie-daeno'luogo a un nu-
:-,^rp.^itp7^'W^-®"^ese°a® a ЫМяЛсЬг&:Й&«^®^ВАопе le rappre-
у cW'-rt^pndbno... aUe nostre
'- 7pegu»Sni tipiefie.' ' "ч'*'. Г’"1"* 'у*-1*'"'7
dopo di
JLdr0»-.anAddSwiwss e'Swjritt -hanno' ritroVato m-aitro modo co- •
* ' destoWiialtato, Sempre partendo dalla гарргеай'ЛЛбпв- parametric»
>7; defie,,bd|tre>>upeAde.mediainte'‘funzioMi ipercHttiehe-(8).
W - coiesfa2'ci senibra -particola#mente notevole il
cbiMettd 'di-'costruireda superficie’iperellittiea о. abeliana propria,
chine superficie ellittica multipla priva di curve di diramazione, cal--'
• colandone i-'caratteri ehe valgono a definirla (pa — — 1» p» = 1,
' (i) Jftendio. bineei, s. V, vol. XVI, 1997г.
' (*:) >. -BnbiCWBs e S'. SevBBl, Intorno Ле saperficie" iper^Uuiche irregolari. .
- BetuMp. bincei, в. V, voj. XVII, 1908x (cfr. degli stassi autdri-ibidem, vol. XVI,
. • ISOIj). sur ieeeurfacee h^pereUgptigues. Aeta Mathem., t. 32 e 33 (1909).
" Vedtmsi in ispeoie i Jf SB e 67. . .. ’ • . , _ . .
428
CAPITOLO DECIMO
P* = 1 secondo un teorema di Picard-Enritjues). Per esempio, ri-
ferendoci alia superficie ellittica pifi semplice, del tipo I„, si avr&
una Д, d’un certo ordine «in Ss, possedente una superficie biag-
giunta e si otterrfl» una superficie iperellittic^ propria (pe = — 1,
a ____________________________
p0 = 1) estraendo la д/^гв_8 sopra la
ba presents trattazione del problem», ciod la classiflcazione al-
gebrica delle nostre superficie ellittiche (ehe, nella parte costruttiva,
utilizza il citato lavoro di O. Crasrai), ha formato oggetto di una
hTota di.EimiQ'UES «Sulle superficie ellittiche di genere zero» (*)
del 1934, e si trova poi esposta nelle’«Lezioni» di Ejtoiqtjes-
Самрепши del Seminario Matematico di Воша (1934).
(*) Hendio. X.moei# в. VI, vol. XfX, 18 febbraio 1934.
Сарггоьо XL
OLASSIFIOAJZIOKE GENEBALE DELLE SUPERFICIE
1. Introduzione.
. Il lettore che' abbia seguito gli sviluppi di questo trattato, se
— come spesso accade fra i matematici — porta amore soprattutto
.alle verity general!, pud aveme ritratto 1’impressione che 1’autore
abbia date troppo posto ad esempi e casi particolari, laseiandosi in
qualche mode guidare dal sentimento di curiosity del naturalista
che raccoglie in un museo i pih diversi tipi di- animali о di piante
o di mineral!. • , .
Ma come il museo riesce a dare un’idea della ricchezza di forme
della vita e conduce quindi a problem! generali della biologia, anche
la raccolta di esempi, in questo campd delle matematiche, assume
un significato essenziale sotto 1’aspetto euristico о storioo-eostrut-
tivo della soienza. Possiamo illustrarne il valore ripetendo le parole
con cui G. CASiEiaroovo rendeva conto dei nostri sforzi, fatti in
comune, per dissipare le oscurita che incontravamo agl’inizi della
teoria delle superficie (*). ~
«Avevamo costruitoj in senso astratto s’intends, ‘ un gran nu-
mero di modelli di superficie del nostro spazio о di spazi superior!;
e questi modelli avevamo- distribuito, per dir cosi, in due vetrine.
Una conteneva le superficie regolari per le quali tutto procedeva
come nel migliore dei mondi possibili; 1’analogia permetteva di
trasportare ad esse le propriety pih salienti delle curve-piane. Ma
quando cercavamo di verificare queste propriety sulle superficie
dell’altra vetrina, le irregolari, cominciavano i guai, e si presenta-
vano eccezioni d’ogni specie. Alla fine lo studio assiduo dei nostri
modelli ci aveva condotto a divinare alcune propriety che dovevano
sufesistere, con modificazioni opportune, per le superficie di ambedue
(x) La gtometria algebriea • la acuoja itof,iana. .Conferenza tenuta al Congreeso
latemazionale dei Matematiei, Bologna, aettembre 1928.
428
CAPITOLO UNDBCIMO
le vetrine; mettevamo poi a cimento queste propriety colla costru-
zione ’di nuovi modelli. Se resistevano alia prova ne cercavamo, ul-
tima fase, la giustificazione logica ».
Ma ora possiamo dire di pih: le determinazioni di particolari
famiglie о classi di superfibie su cui oi siamo indugiati, non danno
semplici esempi, il cui significato si lasei superare nel process© in-
duttivo della scienza; poiche esse si rawicihano 4n una sintesi che
.riesce. a cib che pub dirsi scopo principal© di questa teoria algebrico-
geometriea; ciob alia classificazione generate delle superficie alge-
briche.
A. tale proposito conviene notare che la geometria algebrica ft,
in sostanza, un’aritmetica superior©, dove il criterio stesso “della
generality ha soltanto un significato relative. C’b qui un’osservazione
assai profonda, che risale al Pobceuet e al Noetheb: da un punto
di vista puramente logic? non pub dirsi, per esempio, che la fa-
miglia delle superficie пвп riferibili a rigate sia pih ampia di quella
delle rigate. Be si procede a clasBificare le superficie (dello spazio or-
dinario о di un iperepazio) secondo il loro ordine n, si presenta come
pih generale il caso di superficie non riferibili a rigate le cui sezioni.
iperpiane sono di genere я con
n S 2л— 2;
ma se inveee si procede a classificare le superficie secondo il genere-
л delle loro sezioni iperpiane, apparirh pih generale il caso.in cui
1’ordine
n > 2л— 2 ,
ciob il caso che risponde a superficie riferibili a rigate.
Da cib che si b detto non vogliamo trarre conclusioni paradossali-
Ma se continueremo a ritenere lo studio delle superficie non appar-
tenenti alia 'famiglia delle rigate come generate di quello delle
rigate, questo giudizio, piuttosto ehe un’affermazione di fatto, sarit
un giudizio di valore, in cui si soppesano — per cosi dire —: i problem!
che si riferiscono all’uno e all’altro tipo, la ricchezza di casi cui danno
luogo, la possibility di subordinate 1’una all’altra “famiglia da punti.
di vista pih significativi. Da cib conviene trarre questo insegnamento r
che ogni famiglia о classe di superficie, la quale -present! caratteri
propri che la distinguono dalle rimanenti, uostituisce un oggetto di
studio altrettanto degno di essere perseguito, e che la definizione
di una tale famiglia in ordine a caratteri interi invariant! import»,
spesso un interesse d’ordine generale. Per esempio la definizione
della famiglia delle rigate mediante I’annullamento del quadrige-
nere e del sestigenere costituisce, non tanto un risultato particolare
interessante codesta famiglia, quanto un teorema significative della
CIASSiriCAZXONE ОВМВНАЬВ DBLLB 8СГ«а»1СХВ , 42»
teoria generate; che c’insegna I’esistenza di curve canoniche о plu-
rieanoniche (d’ordine S: 0) sopra qualsiasi superficie non riferibile
a rigata. -
La nostra classificazione, raccogliendo in una sintesi i risultati
delle analisi precedent!, riesce a distinguere 4 famiglie di superficie,
che hanno propriety essenzialmente diverse e che si definiscono col
valore del Plt e subordinatamente — del p<l>. Sono:
A) le rigate (esistenza di sistemi lineari di genere я e grado
w > 2я—2, infinite curve eccezipnali'non eliminabili, ed anche
— come vedremo — serie continue di trasformazioni birazionali
non formanti un gruppo di dimensione finita); - •
B) te superficie (prive di curve eccezionali) eon curve pluri-
canoniche d’ordine zero (sistemi lineari puri di grado n — 2я — 2);
C) te superficie (n < 2л—2 per я > 1) aventi curve cano-
niche о pluricanoniche composte colie curve ellittiche d’un fascio
(pW = 1); ’
B) te superficie (n < 2л— 2) con pW > 1, che danno luogo
a superficie canoniche о -pluricanoniche porgenti un modello le cui
propriety -proiettive rispecchiano le propriety in variant! ve della
clasae di superficie. -
Ognuna di queste famiglie costituisce un oggetto di studio in-
teressante di per sd, ma fl rilievo delle propriety caratteristiche ehe
la distinguono dalle altre ha, come abbiam detto, un valore in or-
dine alia teoria generale.
Ora, perehd la classificazione assuma il-suo proprio significato,
conviene estendere alle superficie di genere p„ > 0 alcune osser-
vazioni fatte per il caso p, — 0; e per questo scopo giova anzitutto
approfondire lo studio delle superficie che - ammettono una serie
continua di trasformazioni birazionali in se stesseC ’ . •
2. Superficie che ammettono una serie continua di trasformazioni
birazionali in se stesses casi ehe condncono alle rigate.
Sappiamo che le superficie riferibili a rigate posseggono serie
continue di trasformazioni birazionali in se stesse; in particolare
sopra una superficie razionale, owero sul piano, si conoscono f1)
i tipi di gruppi continui di trasformazioni cremoniane, e d’altra parte
si hanno pure serie continue di trasforihazioni, come sono le quadra-
tiche, che non generano per moltiplicazione gruppi continui di di-
mension! finite. E serie simili si possono anche riconoscere sopra una
superficie rigata di genere p > 0; dove. tuttavia si avranno serie
I1) Еквдтя», 1893. Cfr. Ekbiqvbs-Chxsxki, Lexioni. Libro V/ cap. II, J 28
‘(vol. Ill, pag.-200).
430 CAPIS0L0 UNDECIMO
di trasformazioni operanti sulla superficie in* modo non transitivo,
se sia p > 1.
Con qualche restrizione aggiuntiva, le osservazioni precedent!
si invertono, ciofi il possess© di un’infinit& continua di trasformazioni
birazionali permette di caratterizzare la famiglia delle rigate. Cid
pud tarsi da quattro punti di vista:
1) appartiene alia famiglia delle rigate. ogni superficie che pds-
segga un gruppo rarionale oo1 di trasforinazioni in ей.
2) appartiene alia famiglia Mie rigate ogni superficie che pos-
segga un gruppo continue (algebrico о trascendente) di trasformarioni
in ей, che lasci transitivamente (x) • invariato un sistema lineare,
IZj/oo1 almeno, di curve.
3. ) appartiene alia famiglia Mie rigate ogni superficie T che
possegga un gruppo continue di trasformazioni in sd, di dimension»
r > 2, che open intranritivamente sui punti di IP, ovvero di Aimen-
sione r 3 che operi transitivamente su di essa.
4) "appartiene alia famiglia delle rigate ogni superficie ehe pos-
segga una serie continue, di trasformazioni in sd, non generante un
gruppo di dimension© Anita.
И teorema I) diseende direttamente dal teorema di Noether-
. Enriques (1898) (s) concernente Is superficie con un fascio di genere
p 0 di curve razionali; perchd le traiettorie del gruppo razionale
oo1 formano. appunto un fascio di curve razionali. Ma convien dire
che il risultato di cui si tratta d state conseguito da P. РаютеуА
prima che Bwbiqties avesse esteso al caso p > 0 il teorema dato da
Koetheb, per p = 0: infatti la- circostanza ehe le curve razionali
C d’un fascio "sono traiettorie d’un gruppo oo1 permette, agevol-
mente, di costruire una curva direttrice unisecante le C, merefe
cui le C stesse si trasformano razionalmente in rette.
Il teorema 2) enuncia, in sostanza, che « una superficie trasfor-
mata in s6 da un gruppo continue di omografle, ,6 razionale о rife-
ribile a rigata », e sotto questa forma proiettiva fu dato con qualche
restrizione, da Ekbiqubs (1893), ed ha ricevuto la pih completa
dimostrazione da Faso (1896, 96, 97) (’).
Tuttavia convien© porgere una nuova dimostrazione del teorema
_ stesso, che contempli anche il caso di un gruppo Г per cui resti
invariato un sistema lineare |Z| (oo* almeno) appartenente ad una
(x) S’inteade che peemuti in inflniti modi gli element* (curve) di |£|.
(*) Cfc. p. ев. Cowosto, Le razionali. labro II, cap. I, Й 4, B, S
(pag. 245, 280, 282).
(’) Cfr. Confobto, Le superficie razioruAi. Op. cit. Libro II, cap, II, § 37 (pa-
ging 498).
CbASSIFIOAZIONB GEMBAbB ПИ1ЛЕ SUPERFICIE <31
involuzione, e fl caso di un Г che lasci invariato un fascio lineare
ji[; anzi la dimostrazione ehe proponiamo^ ricondurrt. il teorema
generate proprio a quesfultimo caso.
Prendiamo le mosse dall’osservazione (di Picakd) che «un gruppo
continue di trasformazioni birazionali di una superficie algebrica
in её ё sempre eontenuto in un gruppo сопЫпмо algebrioo » (’).
Se la superficie V ammette un gruppo _ continue algebrico di
trasformazioni in её, che lasci invariato transitivamente un fascio
lineare di curve | JC | si pub supporre che le curve X sieno permutate
da Г secondo un gruppo oo1, poichfi altrimenti basterebbe porre al
posto di Г il sottogruppo delle sue trasformazioni che lascm ferme
una pwero due particolari curve Z. -
Cid posto conven'd, distinguere le seguenti ipotesi:
л) il gruppo Г ё oo1; allora le sue traiettorie, ammettendo
00» trasformazioni in её, sono curve К (a priori razionali b ellit-
tiche) (“) su cui le h' segano un’involuzione razionale invariante e
percib sono razionali (’): segue ehe la J* ft riferibile ad una rigata.
b) il gruppo Г ё oo1 almeno, ed opera transitivamente sui punti
della superficie. Allora le curve del fascio \L\, trasformate in sb
da oo1 trasformazioni del Г, sono razionali о ellittiche. ' '
Se sono razionali la X* si lascia trasformate in una rigata. Se in-
vece le L sono ellittiche, si consider! la serie oo1 ellittica che ё
costituita dalle trasformate di una curva D, scelta in modo affatto
generale, sopra la JF: per ogni punto P di / vi ё un certo numero t
di curve fi di e P t suscettibile di variare sopra una curva К
in modo che i gruppi di iD useenti da esso risultino equivalent!;
percid le К cosi definite debbono formare un fascio ellittico (K),
senza punti base (*).
Quindi, fra le trasformazioni del nostro jTpermutanti gli element!
(curve) di (X) vi saranno oo1 trasformazioni, formanti un sottogruppo
Г', che avranno come traiettorie le K, A priori, per il teorema di
Schwabz, queste К risulterebbero razionali о ellittiche; ma il se-
(*) Invero le condizioni регсЫ una superficie f venga trasformata in её da.
trasformazioni birazionali di un dato ordine, sono algebriohe, e quindi valgono a
definite un gruppo algebrico, continue о misto. In quest» seconda ipotesi il gruppo
misib contiene entro di её un gruppo continue.
(s) Teorema di Schwabs®. Cfr. Ежвтивв-Свгвхмх, Latent. Libro V, cap. Ill,
j 31 (vol. Ill, pag. 300).
(•) be curve ohe anunettono infinite trasformazioni in вё ohe lasoino invariata
una ff1, si riduoono merci un multiple di quest» serie a curve (di un certo spazio}
con. infinite trasformazioni proiettiva e percib sono razionali. Cfr. p. as. EKRiqmss-
Chisihi, op. oit. Libro V, oap. III.
(*) Cfr. Cap. IX, 12.
432
САИТОЬО UNDECIMO
condo caso si esclude, osservando che le trasformazioni di Г' deb-
bono lasciare invariata la serie lineare gj segata su una К dalle
I di |X|. Si deduce che lafft riferibile ad una rigata, c. d. d.
Dopo avere cosi stabilito il teor. 2) pel easo in cui il sistema li-
neare | L |, invariante pel gruppo Г, sia un fascio, 6 facile estendere
la dimostrazione al caso in cui \L\ sia un sistema lineare, <x>r, con
r> 1. Infatti le trasformazioni di Г (ehe pub supporsi gruppo con-
. tinuo algebrico) operano sugli element! (curve) di \I\ come omografie
'•di un Sr, formanti del pari un gruppo algebrico Г' e saranno pure
algebrici i sottogruppi di dimensione > 1 formati da tutte le tra-
sformazioni di P'_permutabili eon una data <a. Ora un sottogruppo
siffatto, diciamo Г', lascia fermi gli stessi punti unit! di a> e quindi
anche una retta unita, non tutta costituita di punti uniti: alia quale
corrisponde un fascio lineare di curve I, transitivamente invariante
per Г'. Si ricade cosi n^l easo trattato innanzi.
П teorema 3) (*) si^Bmostra come segue. .
Bengasi dapprima'che 11 gruppo Г, oor, delle trasformazioni di
> operi intransitivamente sulla superficie, vale a 'dire trasfonni in
sfe le curve C d’un fascio sopra di essa. Se il Г fe (come pud supporsi)
un gruppo algebrico ooT con r > 2, si otterrb un suo sottogruppo
algebrico oo1, J1', imponendo alle trasformazioni di Г di lasciar fermi
r—1 punti generic! di .F: diciamo O, O'....
Ora 11 gruppo V — serie algebrica oo1 di element! con infinite
trasformazioni in sfe — sarft>, a priori, razionale о ellittico. Ma non
pub essere ellittico perchfe contiene una serie pi invariante, d’un
certo ordine n > 1, che risponde alia serie dei punti di F inflnita-
mente vicini ad O. Dunque fe razionale e (confonne al. teor. 1) la
F fe riferibile ad una rigata.
A dir veto 11 ragionamento precedente darebbe luogo ad un’ec-
cezione se le trasformazioni di Г' lasciassero fermi tutti i punti di F
inflnitamente vicini ad О; ma in tai caso si ripeterh Io stesso discorso
per riguardo all’intornb successive di un punto Ox vicino ad О nel-
1’intorno del prim’ordine, • e similmente — ove occorra — per il
. primo intorno di un punto O, vicino ad 0 nell’intorno d’ordine a,
che non sia tutto costituito di punti uniti pel Г’.
In modo analog© si dimostra il secondo caso del teorema) dove
si ha un gruppo algebrico Г, oo3 almeno, che opera transitivamente
sui punti di F. Biferendoci afl’ipotesi pih semplice, in cui il Г abbia
la dimensione 3, si otterrb un sottogruppo algebrico oo1, T', im-
ponendo alle trasformazioni di Г di lasciar fermo un punto 0, e
f1) Ofr. CASTZbKVOVo-ENiiiQVBe, Sur 1м surfaces algibriques admettant un
groups contimu de transformations birationeUea en eUes-m&mes. (Comptes rendus,
Paris, 29 Luglio 1896).
Ob*rfsi»ICAZIONB GBWBRAbB ВВЬЬВ BVPBRWCIB 433
— come, nel easo precedent© — si riconoscert, che il Г’ё un gruppo
razionale.
Se inveee il Г abbia una dimensione r > 3, si otterrh similniente
un suo sottogruppo Г', razionale oo1, imponendo alle trasformazioni
di jT di lasciar fermo un punto О di T, e poi ancora un punto Olf
inflnitamente vicino ad О ecc.
Einalmente dimostriamo fl teorema 4) ehe risponde ad una que-
stion© pih riposta, sollevata da Б. Picas® (*).
Se la superficie J* ammette una serie continua Г— poniamo
oo1 — di trasformazioni in вё, che non generi un gruppo (di dimen-
sione'finita), vuol dire che i prodotti delle trasformazioni di F, prese
r ad r, costituiranno in generale le trasformazioni di una serie oor,
Tr, dove г ё suscettibile di diventare grande ad arbitrio. Quindi le
trasformazioni di Г, muteranno una curva 0, scelta nel modo pih
generale su J*, nelle curve Cr di un sistema continuo {CQ di dimen-
sione r. Se la eurva G appartiene ad un sistema lineare privo. di
punti base, di genere w e grado », il sarh formato di sistemi
lineari 10r | dello stesso genere e grado, aventi un certo numero di
punti base di molteplieith i (i = 1, 2 e fl grado e il genere vir-
tual! di un |<7,| saranno dati rispettivamente da
Nr = n 27Л8
e ’
Пг = n + xhfirzJJ
Pertanto si avrft 1 '
™ л—- -J-* Sh^ , •
Ma, siccome il grado Nr di (che a priori ё r— 1) eresce
con r quanto si vuole, si potrh •seegliere r in modo che sia
Shi > (2я — л)8
e quindi ___ •
Shi > л/Shl > 2я—n . . '
Cosi appare che la superficie P possiede curve di genere Hr e
di grado №T > 227,—2 e percid (’) ё riferibile ad una rigata,
c. d. d.
3. Superficie ellittiehe e iperellittiche.
L’analisi del precedent© paragrafo ci permette ora di «determinare
tutte le superficie P, non riferibili a rigate, che ammettono un gruppo
continuo di trasformazioni in se stesse ».
(г) Слкгаыптото-Ешиеотв, Sopra aJAun® fondamentali ntlla teoria
ieUe euperfioie algebriAe. Annali di Mat., 1901 (n. 19), . .
(«) Cfr. Cap. X, § ,2.
Ehkiqvbs У, - Su-ptrflcle algebriche.
28
434
САВИОЬО UNDECIMO
Anzitutto si pud supporre ehe questo gruppo Г (non contenuto
in un gruppo pih ampio) sia algebrieo-, quindi il gruppo darA luogo-
a uno dei casi seguenti:
1) Г opera- intransitivamente sui punti della superficie XT
ed d allora (§ 2) un gruppo oo1 ellittico che muta in sd le curve ellit-
tiche О d’un fascio, avente un certo genere q 0;
2) owero Г 6 un gruppo oo® di trasformazioni, che opera tran-
. sitivamente sui punti di J*.
Irmo оаво. — Kel primo caso la superficie X ehe ammette un gruppo
algebrieo сю* di trasformazioni birazionali i una superficie eUittica,
ed ha genere numerico p„ — — 1, il genere geometric® p„ = g, e il
genere lineare p<1! — 1.
Infatti le oo1 trasformazioni di Г portano Tina curva X, scelta
in modo generale su nelle oo1 curve, di una serie ellittica
per ogni punto P vi sari, un certo numero t di curve I e ? potrl-
muoversi in J? sopra pria curva X in modo ehe il gruppo delle i X
.suddette si mantenga equivalent© a se stesso; quindi le curve К
formeranno su JF un fascio ellittico (X), suite curve del quale le X
segano gruppi equivalent!:'per questo motivo le curve X sono es-
senzialmente distinte dalle C, traiettorie del X.
Ora la superficie X, ehe contiene un fascio di genere p di curve
0 ellittiche e un fascio ellittico di curve К (di genere > 0) 4 ellittica
(Cap.. X, § 12) ё possiede i caratteri anzidetti, ehe si lasciano fa-
cilmente valutare.
A tale scope si ealcoli il numero J delle curve di (X) dotate di
punto’ doppio e si esprima per mezto dell’in variant© di Zeuthen-
Segre. Poich4 (X) un fascio ellittico si trover!,
‘ * d —4 = 12p„ — pW + 9.
E poichft le curve di (X) sono trasformate 1’una nell’altra dalle
trasformazioni di Г ehe non ne lasciano ferma alcuna:
Zl = 0 ;
quindi
12 p„— 4- 13 = 0 ,
pa жяй -— 1 , pto 1 .
Infine, se g — 0 segue p, = 0, e se g > 0 i gruppi della
entro il fascio (<7) costituirarmo le curve eanoniche di X (Cap. X,.
| 12); percid sari,, in ogni caso
p„ = -
Nota. - Il pih semplice esempio di superficie ellittiche di genere
Pn > ’0 4 quello delle superficie X di determinant© 1, rappresentative
delle eoppie di punti di una curva ellittica e di una curva digenere
CLAfeSIFICAZIONS GSSKill DELbB SUPERFICIE ’ 435
p,, le quali ei lasciano d’altra parte rappresentare sopra tm cilindro
cubico’multiple Ф (cfr.'Cap. X, § 13). Le superficie ellittiche di genere
p, > 0 e di det'erminante л > 1 si pogsono costruire partendo dalla
JF di determinante 1 multipla, о anche da un oflindro cubico mul-
tiple. In^ostanza si ripetono con poche modifiche le considerazioni
evolte pel caso p, = 0.
Apparepertanto che.le superficie ellittiche per pt>0 Aavwio luogo
ad infinite fmniglie corrispondenti ai -seguenti caratteri inter i, fl.no ad
un certo punto indipendenti:
a) il genere geometric® p„, genere del fascio di curve ellittiche
(2); . ' .
. b) il determinante n, numero delle intersezioni di una curva К
con una curva del fascio ellittico (<7) (costituito dalle curve diret-
trici delle X); .
c) il' numero delle curve ellittiche multiple (K = sK,) che ap-
partengono al fascio (K) e i relativi ordini di mplteplicit& (s<): come
per p, = 0 si pud mettere in relazione questi numeri coi plurigeneri
.della superficie C). . -
d) il genere я delle curve del.fascio ellittico (0): (J)
Secondo caso. — Dopo aver esaurito la discussione del caso 1),
esaminiamo ora il caso 2), ove si tratta delle superficie che ammet-
tono un gruppo continue, oo’, Г di trasformazioni in sfe.
Anzitutto rileviamo che, ove le trasformazioni di Г non siano
tutte permutabili fra loro, quelle trasformazioni che sono permuta-
bffi con. una data formeranno un sottogruppo algebrieo oo1 di P,
e quindi si sarh ricondotti a particolarizzazioni del caso 1).
Pertanto si pud supporre che il Г sia un gruppo ’ oo’, transitive
su P, costituito da trasformazioni permutabili. TSd ancora ft lecito
aggiungere ehe esso sia transitivo sen» ecoezw * sopra la super-
ficie JF priva di curve eecezionali: altrimenti si ayrebbe su IP almeno
un punto unito О о una curva unita % e, fissando un punto vibino
ad О owero un punto della curva %, si btterrebbe entro Г un sotto-
gruppo algebrieo oo1 con un punto unito, onde la J* potrebbe tra-
sformarsi in una rigata (§2),
Inflne d agevole riconoscere che il nostro Г opera in modo sent-
plicemente transitivo_ sui punti della’ >, ciofe che non pud averai .un
(x) Qui si presentano interessanti problem! claesificatori: per eaempip «de-
terminate le superficie ellittiche oorrispondenti ai primi valori di a ». Per я == 2,
pr = 0, oitiamo la Memoria di L. Сллсгашагхх, IntomC- alle superficie eUittiche-
con un fascio di curve di genere due. Rendic. Seminario Mat. di Padova, 1935.
436 • ’ САВИКИ» T7KMCIM0 • '
huinero finito да > 1 di trasformazioni di Ain cni ad un punto Л
corrfsponda un medesimo punto A' della superficie. Invero'questa
ipotesi si riduce all’assurdo come segue.
Ammesso che l’ipotesi sia verifieata, si consideri, accanto alia
JF, la" superficie .J” (ehe oflre la rappresentazione. paran^irica &&
gruppo P secondo 8. Lxa) i cui punti rispondono, senza' eccezione, .
agli elementi (trasformazioni) di Г-, le trasformazioni di. Г.. operand© .
_ le Wee sulle altre per moliaplicazione, fl A opererft sir A’ in modo sem-
plicemente transitivo: la X' ё dunque una superficie iperellittici,- cioi
. ' Abeliana (Gap. IX,J 9). D’altrondevifefra J’edJF'una comspdndenza
- . (1, ft) in cui ai punti 'di X rispondono su X' i gruppi d’una inVolu-
zione Ie; e cosi la X' ё rappresentata sulla X n-pla senza punti di
diramazione. Segue di 'qui che 1’inyoluzione I» га generate da . '
un gruppo finite abeliano di trasformazioni del A, invariante
'per le oo*",trasformazioni del Asteeo; e pertanto-afle ®'ta^sfbrma-' 5
zioni del A -ehe-fanno p^rrispondere' due gruppi dell’mwluzioneA*, ' •
risponderSb'una sola'.•fesfonttazione diAin cui si ebrrisppndon»”i. -
punti. omologhi A ed A', confer©. l’ipotesi, da cui sian'biparrith.’ohe - • '
avessero » trasfbrmaztaii delA.'pottantiTA-ta'A'.-';
.In conclusion®-, pbssiam dire che le swperfieie X, non rifenbiUA'
rigate, efts amwwifcmo «л jp-uppd a>r «И trasformazioni biraztonaU . -p
, • .(caso Й) sono snperfioie iperellittich.e с!оё variete a due .'dimensioni. -
e№tmt, secondo la definizione del Cap. JX,9. , :---- -л.. rk.j
• ‘ ’ 13® queste- ейреЛшО abbiamo- gift vatatato fl genere - 4Gap..IX, ; . Ц
§ 10) che ё ‘‘ ? ‘,5ч
<;- .р,.==Д, . "'I
ed- ft ager ole .trovare gfl altri caratteri. ' ' .. 5i
Anzitutto la s«pwj®cie iperetiitti» X' (priva di' curve'eccezib- ‘ A
паМ).йр» pud possedere e»ve-oanonic^e -X' d’oriine' s> O.‘l
Infatti fl gruppp <x>* dette trasforinazioai, di-
la K, non porterebbe'pih 1 punti di'ёвЖЖ altri р&Й.'веЙа'Л^е- "
fide, ayendosi.cosi un’eccezione alia transitivity del’It: <Jm"giova \ .. -'-J
anche awertire che, a priori, la М йта Jpuft possedere jbist&nft ' J.'
eanonico di dimensione pe’--'l >' 0, pfereh&,' questd !,ristema! Ипвйге • • ;’1
- essendo trwformato'in- её dalle, trftsfqrmazioni''del' A,*la Xhtetea 7'5
resulterebhe riducibile ad una'rigatti (f Й).' .. ’ " " - ' : 7
Xha, la superficie 1* possedendo .una ctirva canonica d’ordine " . >
zero, il sub genere Имкп' (assoluto)-'saarft'-' ''' •' "7< .
- . pH) -=1.* ’ ,
' -Besta da valtttame fl genere numerico pe. A tai ubpo converrft
dimostrare che rirregolaritA di J1 vale -
ч 2 === 3^® === 2, -' -
siceM ‘ ~ . • - ;• -
=s —— 1 ,
. CbASBiriCAzios® СШШИ'Вки SOTSRMCIB ' . 437
Cominciaino dal dimostrarft ehe «la varietft di Jacobi F„, cor-
rispondente ad upa eurva C di genere p che appare subito avere una
irregolarvtd 0, ha preeiaamente 1’irregolaritft p в non euperiore,
cioft che nop pub averai in Vt, -una -serie oor eon т > p di varietft
disequivalenti». • • • - , - ' - - *' .
Questa propoaizipne consegue dal terzo; criterio d’equivalenza
(Cap. Ill, f 13) che dalle superficie ei eatende agevolrnehte .alle Varietft
a pih .dimensioni. In base a querto criterio ft leeito atfermare Ae due
varietft F,_x. appartenenti alia F,.,.chn sieno disequivalenti, dovranno
segare Fs_» disequivalenti’ sopra lache. risponde аДа serie dei
gruppi di p punti di C con un punto fisso J.t, e quindi'ancora F,_»-
disequivalenti sulla F„_t ehe risponde ai gruppi di p punti di C
con due punti fissi rij e ri, ecc. • ; .
' Pertanto si dimostrerft la proposizione enunciate ove si riconosca
che-la.-F^rispondwite,alia, serie dei.gruppi -punti;di_(J.»n p—-2
punti eioft-. la superficie ^appresentativa.' delle
coppie. di punti .-della ..eurva -Д 4» .geqWtF» ,l»fproprio*l>Tegolaritft'
p-i-pon x-л ib’n- X<-'.
- - :>эег <#» jbas,t> oss ware да» ‘eerip.p?-*jdi fpafiw
su tale--superfirie,-dft luogo sopra la ad/q11A.9eri.fr я?*., di gruppi’^i
.sieeM-,<;ha .0^0-- x
. » S .!> . c. d. d;
-Ша volta stabflita la .proposizione sulla irregolaritft dr рп»: va-
riety .di Jacobi FB, si deduce 'dhe « una Varietft abeliana a j dimen-
sioni, Fe, ^ontenuta^impi>initivanisaite, neD.a varietft . di Jacobi
Й ttaaformata m'sft' da'uh sdttogruppo" Йо’' del'’'gruppo
©o« della , ha pure 1’irregolaritA a'».. Г * ' • ' -
.'BandF,<afle - F«- dj.lun4..f<id®aj.©9?j/ di' ’T* fti?®-®?.
q,.e basterft dimostrare che non pub'essere >*q.' ’ ’ ’*- ’•
invero,.;se una FB contiene.una siffatta Fe, sicchft fl gruppo Г»
defle.-po* "tasttiniaziohi'' pehnu-tabitt idaUa’-'F, contenga-.- un<.-eotte-
gruppo.’algebrico Р„’ро< che ’teasforini'iireft ie varietft Fs* diJtma
e^tera.-oo»-* d^mprimitivitfts Д Ts.;eonterrft altresi unqqttogrtjppo
algebrico Г^я, W~s, che lascierft -ihvariate le F»_8 di ima schiera
, .- . . ' . ! ; '’C-
.Ora, se una delle anzidette F, entro V, possiede un sistema con-
tinue oor di Fa_i disequivalenti, queste, mediante le. oo®-« trasfor-
'(*) Questo teorema (gB. entmoiato in Cap, IX, f 8) derive, come si ft deftfe, dall'in-
t®pj»t«®on.e geometric* di ш teorema di Рхо*во-Вохгёий relative’ *gli integral!
abeUani -nduoibili sopra una cwva, interpretazioxie' -doveta- a GaeTBXiroovb.
Cfr, Еюачивв-Ошвип, Xitgioni. I», VI. Cap. Ш. f 88 (vol. IV, pag. 237-241).
438
CAPITOLO tTKDBOIaiO
mazioni del Ps_e, genereranno un sistema” continuo di dimensione
r p — j di У,-1 disequivalenti, sicChfe si avrb
r + P — «
Dunque: la У„ contenuta in У,, ha I’irregolaritA g e non > g.
In particolare per g — 2, una У, abeliana,. ossia una superficie ..
iperellittica J1 ehe appartenga imprimitivamente ad ида У, di
Jacobi (p > 2), essendo trasformata in вё transitivamente. da oo*
trasformazioni del-relative A» I’irregolarith ’.
; • Pt — ря ~ 2 - ' • • •. •
e quindi • ' ' - - • - • \
* ' P, =-l. . . ; '
2la (Cap. X, § V) qujdunquesuperficie iperellittica J?’ si pud sempre
ridjnre ad upa tai® X semplice о multipla,. contenuta fanprimitiva».
mente in V,,e se -si ha una V'multipla secondo un certo-numero
» > 1, questa ё, in ogni caso, priva.di curva di diramazione;1 per-
tanto si pub valutare il genere numerico di V'- adoprando la formula
di Sever! che legai generi numerici pe == ‘1 e p' dette- due'Super-
flcie J* e >’ in corrispondenza (1,- «): (Cap. v, § 28};--manfetaMlO--la
curva .di diramazione della JF multipla, codesta formula si scrive
24(p;+1) =24»(P.+1), ' -< '
e d& quindi < - . . • . - - - ;
—1,. • •
In conclusibne «we euperficie iperellittica ta i caratteri ' •
P& йпх X’,- P^) !=s= I , Pa Я5= 1 - ' ' .
Inoltre, possedendo soltanto una curva canonica d’ordine zero
i suoi plv,rigvn,wi tarawno tvM eguali''ad"»no.
<• Caratterizzazione delle euperficie ellittiche e iperfhtttehp' sne-
diiuate i valori del generi. /- ’ . ,
I valori. dei generi {pafpef pu>, P«), ehe abbiamo trovato appfcr-
tenere alle superficie ellittiche e iperellittiche, permettono recaproca-.
mente di fiefinire queste superficie (non riferibili a rigate) e quindi
-I’intera famiglia delle superficie' possedenti un gruppo continuo di
trasformazioni birazionali in se stesse. ' ’ ' ' '
. Dimostriamo dapprima che «we iupvficie J’ coi g'eneri
Pa »---1 , p, > 1 , p<n » 1', :
i una auperfieie еПШеа: '' . . . v
CLASSinCAZIOKB GENBRAbB ОВШ SVyERBICIE . ' 439
Infatti le со’»-1. curve canoniche di Ж saranno composte coll©
curve ellittiche Ж. d’un fascio (£), aventie un certo genere g; e a
priori le co’ (g = p, — pa) curve- X disequivalenti d’un sistema com-
plete oo’, costruito su Ж, segheranno suite Ж oo’ gruppi equivalent!
ovvero appartenenti ad una serie format» di oo1 serie lineari: nel
primo easo te L di }• ai ottengono 1’una dall’altra per somma e
sottrazione di curve Ж di (Ж) e si.deduce
» = t — Pe + it
nel secondo easo fl sistema {Jb} viene forinato da oo1 sistemi continui
oo’-1, ciascuno dei quali si deduce da una sua curva sommando e
sottraendo curve Ж di (Ж), sicchC
•e == p> » .....
e oltrC’ (Ж) — come pih volte abbiamo fatte innanzi — si costruisce
‘ su Ж un secondo fascio irrazionate, ellittico, di curve direttrici delle
Ж. Di coneeguebza- la superifcie Ж' rfeulte essere' ellittica (Cap. X,
i is). ;...
• Ora vediamo che proprio si awera questo secondo caso e non
..fl primo. ' . '
. . ' A ttft 'ubpp; calcqliamo 1’invariante di :2feuthen-Segre della Ж
in-Ordine al fascio di curve ellittiche Ж: si avrtr
' 4 — 4 == 12 p„ — + 9 = — 4,. :
e percid • , . • '
.., Л == 0 j ~ .
onde si true che le Ж ‘©Дда/поп hcquistando mai punti doppi,
sono ft» loro birazionalmente idenltehe; in (Ж)-si trovCrh un certo
numero di Curve ellittiche multiple collo stesso’modulo'
js—A . .. ... ........ i . Л^Ж1 J..’.'. .”.>4-^..’ ..4.
dove .> . - =
.. S t >1-.
'' 0Й posto, il procedimento spte^ato^nel | 11 del Oap. X (pel
caso d’un fascio di genere g = 1)’ permette di coetruire .un fascio
(a priori razionale о ellittico) di curve direttrici C, di genere я > g,
senza punti base. Sdpra una O le curve canoniche di Ж segheranno,
la serie' canonica (in generate non completa)..'Siccome le Ж
segano su una C un’involuzione di genere' g, che ha"per punti
лгрИ le intersezioni Colle Kt, te curve canoniche 'di Ж saranno for-
mate dai gruppi della entro il fascio (Ж) di genere g, cui si
. sommino le curve (s* — 1)Ж4. В da cib risulta il genere di Ж
₽» —*e . ... °- d. d.
440 . ' ' capitoio undbcimo
Anche per = 0 e p„=—1, pW*=l, come-per p, >1 e pto = l,
la superficie > risulta ellittica (Cap. X,. § 12) salvo che essa pud
essere ellittica impropria, riducendosi ad una rigata ellittica (P^ =
= 0) C). . ' .
Ma il caso p, =1 d& luogo ad una eccezipne: le superficie i cui
generi valgono ' ”
2>e =---1 s Pa = 1 i = l'f
si distribuiscono in due famiglie: - .
1) superficie con curva canonica ellittica d’ordine maggiore
di zero; - •
2) superficie eon curva canonica pura d’ordine zero.
be superficie della prima famiglia sono ellittiche, clod ammettono-
un gruppo ellittico oo1 di trasformazioni in s6, mentre le superficie
della seconda famiglia sojy> iperellittiche, e non in generale ellit-
tiche : vuol dire che esse/hmmettono un gruppo abeliano oo’, Г, di
trasformazioni in её, ma soltanto per moduli particolari esiste in-P.
un’ sottogruppo algebrieo (ellittico) oo1.
Per giustificare cib che si й detto, intorno ai casi 1) e 2), conviene
stabilize un
- Lemma sulla superficie Si irregolaritd g = 2 :* « una superficie P
di irregolaritfib j«p,— pa = 2, non contenente un'fascio di genere
due di curve, si lascia rappresentare sopra una superficie ipereffittica
Ф, semplice о multipla ».
Per dimostrare questo lemma si consider! su > un sistema con-
tinue (semplice) formato di oo« curve disequivalenti, e si ri-
tengano gli element! (curve) di {<?}• come « punti » di una superficie
Ф: la quale (come variety di Picard della P) sar& una superficie ipe-
rellittica. Pra le superficie J e Ф intercederA una corrispondenza, in
cui ai punti di JP (ossia ai sistemi oo1 di curve C passanti per essi)
risponderanno le curve L di un sistema oo’ sopra J1. Diciamo
che le ехз’ L su Ф non possono essere tra loro equivalent!. Altrimenti
le oo1 О di passanti per un punto О di J1 segherebbero sopra
s un’altra € — C gruppi equivalent! e, per il terzo ciiterio d’equiva-
' lenza (Cap. П1, § 13), risulterebbero fra loro equivalent!.
Per giustificare I’asserto conviene considerate sulla superfieiq
P la serie dei gruppi di punti G- sezioni di una particulars 0 = G}
- non passante per O, colie oo1 C per 0; se .si designa con i 1’indice di
codesta serie, si avranno i gruppi <? aventi comune un punto P
di C e i gruppi G aventi a comune un altro punto P'. della stessa
curva; e in virtti di un criterio di Sevebi-Castelnuovo (’), occorre
t1) (Ж X, 14. e .
(’) Cfr. Enbisvsb-Csisini, "Lezioni. Libro V, cap. IV, 5 42 (vol. Ill, pag, 483)'
CbASSIFICAZIONB GBNKRALB DBIXB SUMSOUCIB ' 441
e basta dimoetrare_ ehe i due insiemi di gruppi*#, P (#) e P' (#),
cosi definiti sulla C sono equivalent! A tai Uopo si consider! su Ф
la curva X che risponde al punto О (o meglio_alla serie 0 (O) delle C
per О ) e il punto A ehe risponde alia curva O: se, come supponiamo,
le oo1 L per A sono equivalent! su Ф, esse eegheranno su L gruppi
di punti equivalent! e cosbin ispecie saranno equivalent!, sopra la
detta curva, i gruppi sezioni delle due £ — diciamo £P e £i> — cor-
rispondenti ai punti P e P' di Ж Ma — ritornando alia superficie
P — cib significa che i due gruppi di curve 0 per О e P e per О e P'
seeanti su C i gruppi di punti P{&) e P'(#), sono equivalent! entro
la serie delle 0 per О e cosi fanno parte di una serie razionale oo1
di gruppi di curve C-, ricordando che una serie razionale di'gruppi
di punti sopra una curva b sempre costitxdta di gruppi equivalent! (x),
si deduce che P(G) e P'fJPfi sezioni di О con codesti gruppi di O,
sono equivalent! sopra la delta C.
Ora, avendo dimostrato che le oo® curve X di Ф (corrispondenti
ai punti di P) non possono essere' tutte equivalent!, dobbiamo an-
cora esaminare I’ipotesi ehe ogni X di |X| faccia parte di una serie
oo* di curve X equivalent!, e riconoscere che, in tale ipotesi, la su-
perficie P contiene un fascio di genere due. Invero nella detta ipotesi
si troverft su P un fascio di curve К ai cui punti rispondono curve £
equivalent!, e si pub stabilire che le C di una. serie 0(0), passanti
per un punto qualunque 0 della superficie, e quindi tutte le O, se-
ganp su ша К gruppi equivalent!: a tai uopo basta ripetere il ragio-
namento fatto innanzi, mostrando che sono equivalent! (entro la-
serie 0(0)) i gruppi di curve coinuni a- 0(0) 0(P) e 0(0) G(P'), e
quindi sono anche' equivalent!, sulla curva Ж, i gruppi di punti
J?(#) e P'(&) sezioni della К nolle О di 0(0).
In tai guisa si verifies che le oo* curve 0 di T, fra loro disequi-
valenti, segano su ogni ЛС gruppi’ equivalent!; quindi il sistema con-
tinue oo*| O}- si costruisce a partire da un sistema lineare | С |, о
da una curva O, sommando e sottraendo curve X del fascio (Ж):
fl quale risulta percid di genere (e^2e quindi) p,—+pa — 2.
Cosi ё giustifieato 1’enunciato Ретта.
Ora si pub aggiungere che: le superficie d’irregolaritd j =2, con
pg > 0,- contenenti un fascio di genere due di curve (di genere я > 0)
hanno il pa 0.
Infatti se sia data una superficie P, di genere numerico p„ = — 1,
la quale contenga un fascio- di genere due di curve X, dimostriamo
che si h& per essa: pe > 1.
(x) ;Cfr. Ekbiqtobs-Chisini, Sezioni, labro V, cap. I, §. IOt Note (vol. Ill,
pag. 78). - '
442
САМТОЬО VNDBCIMO .
Calcolando 1’invariante di Zeuthen-Segre-in relazione al fascio
(X), si trova
d — 4 + 8(w — 1) = 12pa— p<*> + 9 = — 3 — p<*>
e quindi . •
y(i) = 1, 4=0, я = 1 ;
percib le curve ellittiche del fascio (K) risultanp fra loro birazional-
mente identiche. Allora (come in Cap. X, § 11) si pud costruire un
iascio (che a priori sarebbe razionale о ellittico e risulterS, poi ellittico)
di curve O, senza punti base, direttrici delle K: quindi (*) le curve
canoniche di J* saranno composte coi gruppi canonici delle X di
(X) ed eventualmente anche da parti fisse (in modo pih precise da
(s — 1) C, dove sC. = C sia una curva multipla s-pla del fascio (0));
si deduce .
p, 2 c. d. d.
. ?
In base al lemma salle superficie d’irregolaritSb j 2, e aU’og-
servazione che le superficie con 2 = 2 contenenti un fascio di ge-
nere due hanno il p, 2, e quindi p« > 0, possiamo dire ehe, una
superficie J* con pa == —1 e p, — 1 si lascia rappresentare .sopra
una superficie iperellittica Ф, semplice о multipla, ehe avr& una
certa curva di diramazione _D. Alla P risponde su V la curva cano-
nica; percid, se il genere lineare di > vale p<*> — 1, si awererit uno
dei due casi seguenti, che ci riporteranno ai casi 1) e 2) menzionati
innanzi:
1) la D ё una curva. ellittica d’ordine maggiore di zero, owero
2) la Z> ё una curva d’ordine zero.
1) JSTel primo caso le oo’ trasformazioni -in вё della superficie
iperellittica Ф, appartenenti al gruppo continuo Г, mutanq la D
(di grado zero) nelle curve d’un fascio, e ciaseuna D di questo (o
ciaseuna componente irriducibile della Л) ё invariante per .un sotto-
gruppo ellittico oo1 del Г. Segue di qui che la superficie Ф multipla
ammette un gruppo ellittico oo* di trasformazioni, ossia ё una su-
perficie ellittica, c. d. d. ' •
2) Se inveee sopra la superficie multipla Ф (private, di curve ee-
cezionali) non vi ё eurva di diramazione, la J* ё, come la Ф, una su-
perficie abeliana, ossia iperellittica (Cap. IX, § 9); e si awera dun-
que il easo 2).
Si possono distinguere i due casi 1) e 2) osservando che,.nel caso
1) (per essere p, = 1 e non p„ >. 1) alle curve ellittiche del fascio
(D) di Ф, о meglio alle loro component! irriducibili, rispondono su
(*) C&. I’oeeervazione al § 8 del Cap. IX.
CLASSIFICAZIONE GENERALE DELLE SUPERFICIE • 443
P le curve X d’un fascio ellittico di curve ellittiche, in cui il numero
delle curve dotate di punto doppio vale J ==* 0.
Pertanto in questo fascio (Ж)’, formato di curve birazionalmente
identiche, vi sarft tutt’al pih un certo numero di eurve multiple
Dt da contare ciaseuna s( (>1) volte, e la particolare curva D
che costituisce la curva di diramazione della Ф multipla sarfc com-
posta di un certo numero r di codeste curve:
Z> S{St—1)J5< .
Segue di qui che nel fascio (K) sopra P la curva canonica, ri-
spondente alia i>, & "
Quindi, se r > 1, si avr& su P un sistema bicanonico di dimensione
Sir —1: - '
. . |r<+ ,
aventi -come component! fisse le curve che rispondono alle Dt di
molteplicith s( > 2, contate st—2 volte; e, in ogni caso, ove sia
r = 1, si avrSk su > tai sistema quadricanonieo oo1 almeno, di cui
le component! variabili -sono coppie di curve X, formanti una entro
il (X) ellittico. ' ' ‘
In conclusione, nel caso 1), la superficie ellittica P (?« = — 1,
p, = 1, p(1) «= 1) ha il quadrigenere
P*>1, ...
mentre la superficie iperellittica (cogli stessi p, = — 1, p, = 1 e
pW = i( ma con curva canonica d’ordine zero) avri tutti i pluri-
generi eguali ad uno e, in particolare il guu<jH£<mere:
’ pt == i.
Eiassumiamo i risultati ottenuti:
he superficie. non riferitM a rigate (JR, -f- Рв > 0 о P№ _> 0),
Ле ammettono un gruppo continuo di trasfonnasioni birazionali in
её stesse, sono oarvUeriaate ghbalmente dai valori dei generi:
P® == —1 , рСЬ saswI j
esse sono sentpre о superficie ellittiche (con un gruppo oo1) e' p, >’l
ovvero p„ — 1 в P't, > 1; о superficie iperellittiche (con -un gruppo
co2) se
_ ‘Pg -SSS J?* SXS X.
444
CAFITOLO OTtDBCIMOi
1' Ohe le euperficie ipereliitiche non siano in generate anche ellit-
tiche, ciob ehe il loro gruppo oo* non' oontenga generalmente alcun
sottogruppo oo1 algebrieo (ellittico), si pub<vedere riferendosi alia,
superficie di Jacobi che risponde ad una curva C di genere due (su-
perficie j? rappresentativa delle eoppie-di punti di С), о similmente
alle involution! abeliane sopra > о alle J multiple senza curva di
• diramatione. ' - - ’
La j? iperellittiea cosi costruita non contiene curve ellittiche,
ove la 0 non oontenga una involuzione ellittica yj, d’un certo ordine:
n > 1, owero degeneri in una coppia di curve ellittiche; nel caso
particolare in cui la detta JF oontenga una curva ellittica 0, questa
sari portata dalle trasformazioni del gruppo Г di '> nelle curve.
- d’un fascio ellittico (0) e (d’accordo col teorema sugli integrate
ridueibili di Picard-Pqincar6, interpretato geometricamente da 0A-
stemtcfovo) vi sari su un secondo' fascio ellittico . (K) pure di
curve ellittiche: le-quali jr'oostruiscono come direttrici del fascio (C>
nel modo indicato nel f'll del Cap. X. Pertanto la P si potri rite-
nere in due. modi diversi come superficie-ellittica, ammettendo due
gruppi ellittica oo1 di trasformazioni, sottogruppi del Г oo*, che hanno
come traiettorie le О e le K. Infine aggiungiamo che la detta P,
due volte ellittica, di determinant© я > 1 (ove le C e le К si seghmo
in я punti), si lascia rappresentare .sopra la particolare superficie
iperellittiea (e due-volte ellittica di determinant© uno) ehe ё la su-
perftcie di Jacobi corrispondente alia curva di genere due degenere in
due curve ellittiche, superficie da prendersi come multipla secondo .n..
Oeservazione. - Le condition! con cui abbiamo definite' la fa-
miglia delle superficie ellittiche ed iperellittiche (pa — — 1. p(1) = 1)
contengono qualcosa di sovrabbondante:
la condizione — 1. ё con&egu&nza della p„ — — 1,
Dimostreremo cib, per le superficie ellittiche con p, qualunque,
nel | 8; qui I’affermazione verrS. giustificata .per quanto concern©
le superficie 'col p, = 1, ciob essenzialmente pel caso iperellittico.
. Partiamo dalla conclusion© acquisita innanti che: «le super-
fioie V coi generi pa «= -— 1 e p, = 1 si lasciano rappresentare sopra
una superficie iperellittiea Ф, semplice о multipla ». Se si ha una Ф
multipla,'vi sari su- quests una curva di diramazione D di genere
pW eguale al genere lineare di JF, e si tratta di accertare che dal-
i’ipotesi pd> > 1' segue - '
pe > 0. ’ 4
Dimostriamo -la cosa nell’ipotesi pih semplice in cui la curva di
diramazione J) della Ф sia una curva semplice, di genere g = p'x),
dotata di- un certo numero d di nodi e di un certo numero r di cu-
CbASBIFICAZXONB GBNKRAI® ИШ SUPERFICIE 445
spidi, caso a cui si riferisce la formula di Sever! che lega i generi
numeric! pi e p« delle due superficie Ф ed У in corrispondenza (1, »)
(efir. Cap. V, | 8). La detta formula ci d&
24= (p„ + 1) 2> 24» (pi + 1) + 6 (?— 1) —2r , (“)
•dove
pi = —1, e > 1,
чйоё
• 24(pa+ l)^ 6(g — 1) — 2?..
Ma, sopra la superficie iperellittiea Ф la fi appartiene almeno'
ad un - sistema oo8, e possiede una serie caratteristica (segata dalle
curve infinitamente vicine) di grado .
2<5-h 3r 2(g 4-d +T—1) .
Pertanto si avr&
' - T^2(g-1).„
e
24(pe + 1) > 0 ,
eioft
p« :> 0 . c. d. d.
Biassumendo: Le superficie coi generi
pa = — 1 e pf ?= 1
Лаппо il genere lineare ' .
^(1) = 1
e, dove posseggono una curva canonica d’ordine zero (cii che accade
per P* = 1) sono superficie iper ellittiche.
Xotisna. - L’analisi delle superficie, non riferibili & rigate, che
ammettono un gruppo continue di trasformazioni in se stesse, s’ini-
'(x) Per completare la dimostrazione occorre dunque estendere questa formula
al oaso in cui la detta curva’ di diramazione sia oomunque bomposta di1 parti
multiple.
Che in tai guisa si pervenga al riaultato enunciato siamo aoeertati a priori
da una ooneiderazione (che ripoe» in parte aulla teoria degli integral! eemplici di
prima specie appartenenti ad una superficie), quale ci viene gentilmente oomuni-
oata da G. Слваихлгсгото. Ed 6 che, per le superficie irregolari non rifeibfli a rigate,
deeignando con 11’invariante di Zeuthen-Segre, si ha -
Z + 4 = 13 + 12pa —i 0 .
Infatti per pe < 0 (cioS pa ~ — Ц sega®
₽W=1. -
(*) Il caso in cui vale la diseguaglianza risponde aU’ipotesi in cui si abbiano
su D dei punti fondamentali per la corrispondenza (1, n).
CAPITOLO UNDBCIMO
zia collo studio. delle superficie iperellittiche*fatto da PicAbd sotto
1’aspetto traseendente (*).
Una brillante applicazione degli integral! semplici di differenziali
total! che egli stesso ha introdotto nella scienza, conduce 1’autore a
caratterizzare le superficie, della specie indicate, che posseggono un
gruppo oo® di trasformazioni permutabili, тегсё:
1) I’esistenza di due integrali semplici di prima specie;
2) I’esistenza di un integrate doppio di prima specie (che,.
secondo Ойеввси e Коетиев,- mol dire p„ ==-l);
3) e la mancanza di una eurva canonica (pura) d’ordine mag-
giore di zero. - . *
La condizione 3) (che fl Picabd, ha awertito ma, ingannato da-
un errore di Koetheb, riteneva superflua) porta 1’invertibiliti. dei
due integrali semplici’ e quindi la rappresentazione parametriea
della superficie con funzipni (iperellittiche) quattro volte periodiche
di due variabili indipendenti. .
Da questo risultato Еяваджв (®) ha tratto la caratterizzazione
delle superficie iperellittiche mediante i ’valori dei generi pa = — 1,
P,=P. = 1.
Pih tardi Sevebi (®) ha trafiotto la dimostrazione del teorema-
di Picard in forma geometrica, deducendo direttamente I’esistenza
del gruppo oo® di trasformazioni dalle condizioni pB = -— 1, p-t = 1
e eurva canonica ‘d’ordine zero, come anche qui si й fatto.
. Il caso delle superficie con un gruppo ellittico oo1, gib incontrato
da Picabd, viene esaurito, sotto 1’aspetto traseendente, daU’analisi
di Ршшй (®) ehe definisce le superficie ellittiche mediante una-
rappresentazione parametrica eon funzioni ellittiche d’un parametro
e algebriche d’un altro, e riesce quindi a claseificare tutte le super-
ficie, non riferibili a rigate, possedenti un gruppo continuo di tra-
sformazioni in. её. La traduzione geometrica di questo risultato e la
classificazione dell’intera famiglia di superficie mediante i valori dei.
generi, ё stata conseguita da Enriques nella citata Memoria del
1906 (').
(*) E. Picamd, .Memoirs sur ta Marie des jonctiona algiMquee de deux variables
ind&pendantee. Journal de Math&natiques, 1889. (Cap. Ill)' C-®*< h ’*• del TraitA
di Pioabo e Simabt, Parigi 1906.
(®) Sullg superficie algebriche Ле ammettono un gruppo continue di traaforma~
eioni birazionali in se stesse. ’ Kendie. Ciroolo Mat. di Palermo, 1903,
(®) Stdle superficie algebriche che ammettono un gruppo continuo permutabile
a due parametri di trasformazioni birazionali. Atti Istituto Veneto, 1908.
(*) В. РапилтА, bepons swr la tMorie^ anedgtigue des equations difiirentieUes..
Stoceolma, 1893 (pag, 270). ’ ’
(4) <S«He superficie сЛдЛгЬЛе she ammettono un gruppo continuo eee. 1. c. In
parte gib nella precedent® Memoria, pubblioata egualmente nei Bendiconti del
Ciroolo Mat. di Palermo: SuBe superficie di genere zero (1903).
. CbASSiTICAZIOK» SBNERAbE DBbLB SUPERFICIE ' 44T
5. Superficie coi generi p, = 1 e pW = .
I risultati Btabiliti nei precedent! paragrafi ci permettono ora di
claseificare le superficie di genere geometrico p„ — 1, aventi il ge-
nere lineare p{1) == .1. Queste superficie si possono distribuire in
tre famiglie:
1) Superficie regolari di genere pa — p, = 1 con curva ca-
nonica d’ordine zero (caratterizzate dal valore del bigenere Р» = 1),
che danno luogo a infinite classi di superficie (con 19 moduli) a se-
zioni iperpiane canoniche di genere я, d’ordine n = 2л—2, nello
spazio Sr(x = 2, 3 ...,) (Ofr. Cap. VII, §2). . .
2) Superficie iperellittiche coi generi p„ = — 1 e p,'= 1, pos-
sedenti del pari una curva canonica d’ordine zero (caratterizzate
dal valore del quadrigenere — 1), ehe danno luogo ancora ad infi-
nite' classi di superficie normali a curve sezioni canoniche di.ge-
nere я, d’ordine л = 2л —2 nello spazio (queste classi di-
pendendo, come diremo, da tre moduli).
3) Superficie possedenti un fascio (razionale о ellittico) di
curve ellittiche: questa propriety appartiene alle superficie 1) e
2) soltanto per valori particolari dei loro moduli.
Per dimostrare che «le tre famiglie di superficie 1), 2), 3) esau-
risoono le superficie aventi i generi p, — 1 e pW'= 1» conviene in
parte richiamare osservazioni gi& fatte innanzi in questo trattato,
in parte riconoscere alcuni fatti non ancora'osservati. Si-tratta delle
proposizioni feeguenti:
a) le superficie di genere geonietrico p„ — 1 hanno il genere
numerico
p.^~ 1,
cio6 ' " '
Pa = 1 O pa = О О ря = — 1 ;
b) le superficie (regolari) per cui p„ == p„ = 1 con curva ca-
nonica d’ordine zero, sono definite dal valore del bigenere J?» = 1
(Cap. VH, § 2); inveee ie superficie di questa famiglia che hanno'il
genere lineare pW <= 1, e posseggono una curva canonica (pura)
d’ordine maggiore di zero, avendo il P, > 1, conterranno anche
un fascio (lineare) di curve ellittiche, bicanoniche о component!
delle bicanoniche;
c) le superficie per cui p„ — 1, con curva canonica d’ordine
zero hanno il genere numerico pe = 1 owero pa = — 1 (Cap. IX,
§ 8) e, se pe = — 1 hanno pure il genere lineare p^ — 1, e sono
448 . САЙТОМ VNDBOIMO .
superficie iperellittiche о superficie ellittiche, con un fascio di curve
ellittiche, secondochb Pt = l о >1 (§ 4);
d) le superficie per cui p„ == 1, p. = 0 e pW « 1 (che per la
b) debbono eontenere una eurva canonica d’ordine maggiore di
zero) posseggono un fascio ellittico di curve paracanoniche, ed han-
no quindi il bigenere Ps > 1. '
Fra queste proposizioni la b) e o) richiamano conoscenze gift,
acquisite, percib bastert. dimostrare le a) & Л) che portano qualcosa
di nuovo. ’ ' . •
La prop, a) essendo gift, stabilita per le superficie ellittiche e
iperellittiche, basterh dimostrarla nelFipotesiche la superficie F (di
genere p, == 1) non possegga un gruppo continuo di trasformazioni
in sb (pih avanti, § 7, questa proposizione apparirh come caso par-
ticolare d’un teorema pih generate per eui il genere numerico delle
euperficie non riferibili/a rigate vale sempre 1).
Sia V una superficte’ di genere p, — 1, che non ammetta un gruppo
continuo di trasformazioni, e sia g —₽» — ?<. la sua irregolarith,:
ai vuol ridurre all’assurdo l’ipotesi
g > 2,
•ciob • • .
pe < —1.
A tai uopo, assumendo g > 2, si consider! la variety di Picard V,
corrispondente ad un sistema continuo oo® di curve C disequivalenti,
preso sulla nostra JP. Come abbiamo veduto (Cap. IX, § 11), ove la
JF non contenga un fascio irrazionale di curve K, una serie oo1 di
curve C di {(?} conduce a costruire una-superficie, semplice о mul-
tipla, identica ad JF entro la detta V,. Anzi, in vista di mostrare ehe
> g, si pub ritenere che si abbia in Ve una superficie semplice
identica ad V-. giacchb nel caso di una superficie multipla, richia-
mando l’oeser®a««me del § 4, si vede che ее-questa superficie aminette
un gruppo continue di trasformazioni in sb, mentre la JP non pos-
siede un tai gruppo, il genere numerico della J* risulta pe > 0, e
di conseguenza per la V medesima, p, q.
Ordunque si abbia in una superficie identica ad F (che tor-
niamo .a indicate con V) la quale non ammetta un gruppo continuo
di trasformazioni in sb; mediante le oo® trasformazioni della V,
la nostra 1? viene trasformata in una serie oo® di superficie analoghe,
dieiamo Per semplicita supponiamo dapprima g = 3. Siccome
la Fe == P, ha il genere geometrico uno, il sistema lineare oo’ ca-
ratteristico di F, segato sopra una JF dalle superficie infinitamente
vicine, sarb, costituito di curve special! (residue dell’intersezione
colla variety canonica di Pa e, quindi, canoniehe), sicchb risulterh
per la > • -
. ' P>3.
CI.ASSIFIOAZIONB GZNZRAbK ОВЫ.Ж 8ХГЯИ®1С1В *4©
•»' Il ragionamento si estende al caso f > 3. In questo caso si assu-
merA entro la serie una serie oo’-® di superficie >, che costituisce
una varied V,^, e si supporrA in generate ehe tale varietA sia con-
tenuta in un sistema lineare | У,_! | di dimension© r (grande quanto
si vuole); quindi si oostruirA il sistema continuo oo,+a ge-
nerate da | Fe_i| mediants le oo” trasformazioni della Fe. Questo
sistema continuo ha un sistema lineare caratteristico oo,+«-1 di
varietA speciali о canoniche, segato sopra una dalle varietA
infinitamente vicine: percib le dette F,_i hanno il genere
P S r + J.
Ora si valuti 1’infinitA delle F,_t di { che contengono una
V: vi sono oo® J*, e oott« contenenti ciascuna cso’-’J1, sieehb
la dimensione del sistema {E} risulta (nell’ipotesi pih sfavorevole):
r -j- 2f — 3 — ж = g
dove a> indica I’infinitA del sistema delle' T%_t contenenti una >:
a> = r -f- g — 3. Segue di qui che il sistema caratteristico di {
in una Vt sega sopra una J1 in essa contenuta, un sistema lineare
(speciale о eanonico) la cui dimensione ё almeno:
r + q— 1 — (a—1) == 3.
E pertanto si deduce che il genere di J? vale
P, 4.
In conclusion© abbiamo dimostrato che una superficie T di
genere p, < 3, che non contenga un fascio irrazionale di curve,
non pub avere I’irregolaritA
9. > 2 ;
in particolare una Ж di genere pa = 1 avrA il genere numerico’
— 1.
ba conclusion© si estende all’ipotesi che la P contenga un fascio.
irrazionale .di curve (O'), perchfe il compute dell’invariante di Zeu-
then-Segre dA, in rapporto a questo fascio,
Zl —4 2: 12pa —pW + 9,
12(po+ l)-pW <; 0, _ -
р„й:—1
e per = 1, pW skss 1.
П teorema d) si dimostra come segue.
Si consider! sopra J1 un sistema lineare (irriducibile) • | C |, di un
certo genere я.
’ Il suo sistema aggiunto |C'| avrA la dimensione
ptt + я — 1 — я — 1,
Enriques -I*. - Superficie algebriche.
29
448 CAFITOLO VNDEOIMO
superficie iperellittiche о superficie ellittiche, con un fascio di curve
ellittiche, secondochft P< = 1 о P4 >1 (§ 4);
d) le superficie per cui pB == 1, p. = 0 e p<1} = 1 (che'per la
J) debbono contenere una curva canonica 'd’ordine maggiore di
zero) posseggono un fascio ellittico di curve paracanonfche, ed han-
no quindi il bigenere J?s > 1.
Fra queste proposizioni la ft) e e) richiamano conoseenze gift,
acquieite, percid basterh dimostrare le a) e d) che portano qualcosa
•di nuovo. - ‘ -
La prop, a) essendo gih etabilita per le superficie ellittiche e
iperellittiche, basterh dimostrarla nell’ipotesiehe la superficie f (di
genere p„ — 1) non possegga un gruppo continue di trasformazioni
in ей (pih avanti, | 7, questa proposizione apparirh come caso par-
ticolare d’un teorema pih generale per cui il genere numerico delle
superficie non riferibjli a rigate vale sempre pe S: —• 1).
Sia J* una superficie di genere p, = 1, che non ammetta un gruppo
continue 'di trasformazioni, e sia q = pt— pe la sua irregolarith:
si vuol ridurre all’assurdo 1’ipotesi
a > 2>
с!ой ’
<— 1. •
A tai uopo, assumendo g > 2, si consider! la variety di Picard V,
corrispondente ad un sistema continue oo’ di curve О disequivalenti,
preso sulla nostra J?. Come abbiamo veduto (Cap. IX, § 11), ove Ja
_F non eontenga un fascio irrazionale di curve K, una serie oo1 di
curve C di ^(J}- conduce a costruire una-superficie, semplice о mul-
tipla, identica ad F entro la detta V,. Anzi, in vista di mostrare ehe
Р» > a, si pnb ritenere che si ahbia in F? -una superficie semplice
identica ad V: giaccM nel caso di una superficie' multipla, richia-
mando Yaa&ervazwM del § 4, si vede ehe se -questa superficie aminette
un gruppo continue di trasformazioni in ad, mentre la J* non poa-
siede un tai gruppo, il genere numerico della JF risulta pa S: 0, e
di eonaeguenza per la > medesima, p„ > q. .
Ordunque si abbia in F< una superficie identica ad F (che tor-
niamo a indicate con JF) la quale non ammetta un gruppo continue
di trasformazioni in *ай; mediant© le oo® trasformazioni della Fs
la nostra > viene trasformata in una serie oo’ di superficie analoghe,
dieiamo Per semplicith eupponiamo dapprima q = 3. Siccome
la F, = F8 ha -il genere geoxnetrico uno, il sistema lineare oo« ca-
ratteristico di F, segato sopra una > dalle superficie infinitamente
vicine, sarh costituito di curve speciali (residue dell’intersezione
colla variety canonica di Fs e, quindi, canoniche), sicchft risulterh
per la JF . ' .
p.^3.
CIASSIKICAZIONB GENERATE DKI.bE SVMIWICIB 440
»- Il ragionamento si estende al caso g > 3. In questo caso si assu-
шегй entro la serie una serie co’-’ di superficie P, che costituisce
una variety Fa_i, e si supporrh in generale che tale variety sia con-
tenuta in un sistema lineare | Fe_t | di dimenaione r (grande quanto
si vuole); quindi si costruird. il sistema continue oo,+’ ^F,_i}- ge-
nerate da |Fa_t| mediante le 00» trasformazioni della Fa. Questo
sistema continue ha un sistema lineare caratteristico oor+»-1 di
variety speciali о canoniche, aegato sopra una Fa~i dalle varieth
inflnitamente vicine: percid le dette Уа_х hanno il genere
JP > r + g.
Ora si valuti I’infinite delle Fa._x di Уа_г| ehe contengono una
J1: vi sono oo’j?, e ооГ+« Fa_t contenenti eiascuna 00’-’ jP, sicchfe
la dimenaione del sistema {J*} risulta (nell’ipotesi pih sfavorevole):
r 4- 2g — 3—=4
dove x indica 1’infinite del sistema delle Fa_t contenenti una J1:
as = r .4- g — 3. Segue di qui che il sistema caratteristico di
in una F, sega sopra una > in essa contenuta, un sistema lineare
(Speciale о canonic©) la cui dimenaione й almeno:
r 4~ 3 — 1 — — 1) == 3.
E pertanto si deduce che il genere di V vale
Р» 4.
In conclusion© abbiamo dimostrato che una superficie V di
genere p, < 3, che non oontenga un fascio irrazionale di curve,
non pud avere I’irregolaritS.
3 > 2;
in particolare una T di genere p, = 1 avrh il genere numerico
pa 2> — 1.
’ La conclusion© si estende all’ipotesi che la X1 oontenga un fascio.
irrazionale di curve (C), perchfe il compute dell’invariante di Zeu-
then-Segre d&, in rapportb a- questo fascio,
4 — 4 12pa— pW 4- 9 ,
12(pe 4- 1) — 0 ,
f „ => — 1
e per pa = 1, pW == 1.
Il teorema Л) si. dimostra come segue.
Si consider! sopra F un sistema lineare (irriducibile) • | <7|, di un
certo genere я. .
' Il suo sistema aggiunto | O’ | avrh la dimension©
4* я — 1 — ft —-1,
Enriques - Superficie algebriche>
29
450
CAPITOLO ТПГО8СГМ0
e segherA, sopra una C una serie , di defieienza uno, contenuta nel-
la serie canonica. Inoltre й detto }C'j sar& contenuto in una serie
oo1 di sistemi lineari paraggiunti \C'\, secanti egualmente su C
una serie Pertanto vi sarA una eurva paracanonica ellittica
definita come differenza
C'-C,
e le curve paraeanoniche analogue Z. formeranno su J6 7 un fascio
ellittico: aggiungasi che ogni eurva 2X apparterrA quindi ad un si-
stema lineare oo1 (almeno) ,e percid Р» > 1, e. d. d.
Osservanione. - Un esempio di superficie avente i generi p„ = 0,
p» = 1, p<>> = 1, e possedente un fascio ellittico di curve ellittiche,
A date dalle pih semplici superficie paraellittiche, che abbiamo in-
contrato nel § 11 del Cap. X.
Pud essere interessante di studiare e elaesifleare le superficie
con p„ = 0 e p, = J./ aventi il genere lineare pW = 1( о anche
SSS 2....
' I risultati conseguiti si lasciano riassumere dicendo: Ze super-
ficie, non rifenbili a rigate (P19 > 0), cAe posseggono una eurva ca-
nonical о plurioanoniea d’ordine zero (e quindi sistemi lineari senza
punti base di genere я e grado n — 2я — 2) sono definite dalla oon-
dizione
Р» e 1,
cAe porta
pft) = 1
e dd luogo alle seguenti fawngliet
1) pe ~ 0 e p, — 0, superficie regolari con eurva bicanonica
d’ordine zero (P2 = 1), rappresentate dalla superficie del в» ordine
ohe passa doppiamente per gli spigoli d’un tetraedro (Cap. VII, § 1);
2) p„ — 0 в p„ == — 1, superficie ellittica dei tipi I„ Is П„ П*.
(Cap. X, S§ 16-19);
3) p„ = 1 « p, = 1 (P, = 1),. superficie regolari eoi generi uno
(Cap. VII, § 2);
4) ps — 1 e pa — — 1 (Р4 s= 1) superficie iperellittiche (|§ 4
e 6 di questo capitolo).
6, Note sulla teoria geometrica delle superficie iperellittiche.
Fra le famiglie di superficie col Pa == 1, contrasaegnate coi nn. 1)
2) 3) 4) alia fine del precedente paragrafo, conviene diatinguere: da
una parte le superficie di genere pB — 1, che sono le 3) e 4) (p, = 1,
OLASSIFICAZIOSB GBKSBAbB DBbLB SUPBRFICIB - 461
pa == 1 e pa — — 1) e dalTaltra le superficie di genere p„ = О
(regolari con J*s = 1, owero ellittiche) che sono le 1) e 2). Queste
ultime. eostituiecono un numero finite di famiglie a ciascuna delle
quali appartiene un certo numero di moduli: precisamente: 10.
moduli alle 1), 2 moduli о 1 modulo alle 2). Invece le superficie
3) e 4) danno luogo a infinite famiglie distinte dai valori di (almeno)
un carattere aritmetico, a ciascuna delle quali appartiene un certo
numero' di moduli.
Gid ehe qui si asserisce ё state dimostrato per le superficie eon
tutti i generi uno (le 3)) nel Cap. XII, § 2; ma sussiste anche per le
superficie iperellittiche 4), come occorre qui spiegare.
La classificazione delle superficie iperellittiche risulta anzitutto,
sotto 1’aspetto trascendente, dalla rappresentazione parametrica di
esse xnediante funzioni 4 volte periodiche di due variabili indipen-
denti (*). I periodi normal! primitivi di esse si possono ridurre alia
tavola
1 0 g *
° 4 4
dove <3 fe un carattere intero (il cosidetto dixisore delle corrispondenti
superficie). Ora per d == 1 si ha la superficie tipo, che fe la superficie
di Jacobi, rappresentativa della variety delle coppie di punti
della eurva di genere dm; invece per <3 > 1 si ha una Pj multipla
secondo 6 senza eurva di diramazione, owero un’involuzione d’or-
dine d sulla stessa superficie JFf.
La classificazione delle superficie iperellittiche cosi ottenuta ha
un signifieato algebricb-geometrico, e si pone quindi il problema
di giustificarla sotto questo aspetto. Dieiamo in breve a quale or-
dini di considerazioni si venga condotti in tai guisa.
Anzitutto si possono determinare i caratteri della superficie
di Jacobi Ж, г ..
Р» = 1 > Р. = -1
е eurva canonica d’ordine zero (quindi P, = 1). Cid si ottiene fap-
presentando la J?^ sopra la superficie doppia di Kummer, del 4°
ordine con 16 punti doppi, come si 6 vista nel § 8 del Cap. V (s).
i Questa rappresentazione si basa sulla conoscenza delle trasfowna-
zioni (involutorie) di 2a specie della variety delle coppie di punti
della eurva C di genere due, quali si ottengono associandole cop-
(*) Cfr. p. es. EsrMjtnBS-Ceiswi, Lezivni. Libro VI, cap. Ill, J 39 (vol. IV,
peg. 242). ~ '
(a).Cfr. anche Емвгчим-Сишпяг, Lesson». L. V. Cap. HI, } 40 (Vol. IV
pag. 24). , .
452 CAPIJOLO TTNDECIMO
pie residue Tuna alTaltra rispetto ad una. grj presa su O: un’invo-
luzione cosi deflnita ё birazionalmente identica ad una superficie
di Kummer, del 4° ordine, avente 16 punti doppi che corrispon-
dono alle 16 coppie di punti della C provenienti dalla bisezione
della
Ora sulla superficie di Jacobi i prodotti delle dette involuzioni
I danno luogo alle trasformazioni di un gruppo continuo abeliano
Г', e vi sono trasformazioni cieliche del Г che generano gruppi finiti
<?s in esso contenuti: un tale (sia p. es. un Gt ciclico) dh luogo su
ad una involuzione Is d’ordine i, priva di punti doppi, cui ri-
sponde in generate una superficie iperellittica Ft diversa dalla JP,.
Si ottengono cosi le superficie iperellittiche di divisore 3 > 1. E
si pud vedere che esse possono anche prodursi a partire dalla F,
multipla secondo <5, senza eurva di diramazione; a tale soopo oceorre
riconoscere che coi gruppi di un’invbluzione It, si pud costruire
una involuzione d’ortpAe superiors, diciamo rd, che riesca birazio-
nalmente identica alia J1,. '
, In cid che si ё detto viene esposto il disegno di una teoria geo-
metrica, delle s-wperfieie iperellittiohe, basata sullo studio delle tra-
sformazioni cicliche appartenenti al gruppo Г della superficie di
Jacobi un tale studio si present» come una estensione»dello
studio delle involuzioni cicliche suite curve ellittiche, che si trova
svituppato nelle «Lezioni» di Enbiqttes-Chisiki (*).
Ma la considerazione delle superficie iperellittiche sotto 1’aspetto
geometrico ci mette di ftonte anche ad attri problem! interessanti.
Invero noi abbiamo dimostrato (Cap. IX, § 0) che una variety
abeliana Fe si pud ritenere identica ad una variety semplice о mul-
tipla contenuta imprimitivamente entro la variety dj Jacobi F, che
risponde ad’ una curva di genere p > j; ma non sussiete in generate
che possa prendersi sempre p = g, perch® il numero-dei moduli da
cui dipende la F„ ё maggiore di quello, 3g—3, delle curve di ge-
nere g (’). Ora la teoria traseendente ci mostra che le superficie
iperellittiche (con un dato divisore) dipendono da tre moduli, e percid
si riducono tutte al tipo della superficie di Jacobi semplice о
multipla, e, in quest’ultimo caso, anche ad involuzioni (prive di
punti doppi) sopra la F,.
La eosa si pud riconoscere sotto 1’aspetto geometrico, nel modo
che brevemente aceenniamo. Sopra una superficie iperellittica F
(per cui p. — — 1) una curva di genere я appartiene, in general©,
ad un sistema lineare di dimensione я — 2, in cui sari contenuto
(») bibro V, oap. Ill, Й 27-28 (vol. Ш, pagg. 251-298).
(’) Cfr. EWBiorrBS-Cjnsna, Zewon». bibro V, oap. Ill, | 33 (vol. Ill, pag. 355)
e Libro VI, oap. Ill, j 35 (vol. IV, pag. 216).
CbASSIFICAZIONE GBNERAbE ПЕЫЛ SUPERFICIE _ 463
un numero finite di curve C, dotate di n — 2 punti doppi, e percid
di genere due. ,
- Мегеё le trasformazioni di .prima specie della Д- appartenenti
al gruppo Г, si otterrfi quindi su F un sistema continuo .oo’ ^0
di curve di genere due, fra loro birazionalmente identiche, i cui
tre moduli forniranno i moduli della F. Ora una C di codesto sistema
ё invariante per ana trasformazione (involutoria) di seconda
specie (’) della F, che subordina sulla C la sua pj; quindi il gruppo Г
ё birazionalmente identieo, sia alia superficie F (eoncepita come
luogo di punti) sia al sistema ^C}- ritenuto come variety oo’ di ele-
ment! (curve C). Segue di qui che la F riesce birazionalmente iden-
tica alia serie oo’ dei gruppi di punti segati dalle curve di •{(?}• sopra
una C particolare: se i gruppi di questa serie sono tutti disequiva-
lenti la F risulta identica alia superficie di Jacobi che risponde alia
detta C-, se~ inveee per ogni gruppo della detta serie vi ё un certo
numero d di gruppi equivalent!, la superficie iperellittica F risulta
birazionalmente identica ad гига involuzione It Л ordine Й sopra la
superficie Ai Jacobi.
И teorema stabilito assume ’ un significato geometrico interes-
sante in relazione a diverse costruzioni ehe- possono darsi delle
superficie iperellittiche. Invero sp pud costruire una superficie ipe-
rellittica a partire dalla variety di Jacobi corrispondente. ad una
curva 0» di genere p. Quando su questa C, si trovino due integrali
abelian! ridueibili a 4 period! (secondo 1’interpretazione geometrica
del teorema di Picard-Poinear4 dovuta a Castelnuovo) (’) la re-
lativa variety di Jacobi Ув conterrh un sottogruppo algebrico'oo*
del gruppo Г delle trasformazioni di primq specie, e si avr&> quindi
una variety abeliana (cioe una superficie iperellittica) contenuta
imprimitivamente in F„. Il teorema precedent® ci dice ehe le super-
ficie iperellittiche costruite in tai guisa si possono anche ritrovare
come superficie di Jacobi semplici о multiple, ovvero come involu-
zioni sulle superficie di Jacobi, corrispondenti alia curva di genere
p — 2.
Giova illustrate questa propriety riferendosi al easo. pih sem-
plice in cui si tratti delle superficie iperellittiche contenute impri-
mitivamente entro la' variety di Jacobi che risponde ad una
curva Ca di genere tre. Qui il gruppo Г delle trasformazioni di
t1) Riferendosi alia rappresentazione parametric» del gruppo Г una traefor-
mazione di second» specie si puls fare rispondere a quella in cui una n di Г ei muta
nell’inverea 3t~K Й facile persuaders» che, anche nel easo in cui la curva О di ge-
nere due possegga traeformazioni singolari in eh, non vi possono essere pih traefor-
mazioni di 2* specie di S' ehe la laeoino invariate.
(’) Cfr. Eubiqubs-Chisiki, Lexioni. Libro VI, cap. Ill, J 38 (vol. IV, pag. 234).
САРХТОЬО' UNDBCIMO
464
prima specie della F3, conterte due sottoferuppi algebrici comple-
menter!: un Г* oo* che dfi luogo ad uha schiera d’imprimitivite
costituite da oo* superficie iperellittiche J1», e un Д oo1 che di luogo
ad' una schiera d’imprimitavite costituite da oo* curve ellittiche
<7n le e le Cx incontrandosi in un certo numero di punti. Ed й
agevole dimoBtrare ehe ciascuna Ct 6 una trasformate unirazionale
della C3, <rio& corrieponde ad una involuzione ellittica yj (di un certo
ordine л) appartenente alia Ct.
Pertanto si- potte costruire una superficie iperellittiea >s, con-
tenuta imprimitivamente in una variete di Jacobi Vt, a partire da
una curva C, di genere tre, cui appartenga una involuzione ellittica
yj; a tel uopo baetete costruire la (7, che risponde ad una cubica
К multipla secondo il numero », sulla quale si assumano ad arbitrio
4 punti di diramazione colie relative sostituzioni fra i rami (*). Si
notete che le С» contenenti una yj ellittica dipenderanno da 4 mo-
"duli: 1’invariante assqluto della К e le distance di 3 punti di dira-
mazione del rimanente, sulla stessa curva ellittica K.
Tolto 1’invariante absolute di K, che risponde a quello delle (Tj
sulla Fs, restano 3 moduli appartenenti alle superficie complemen-
ter! fs.
Aggiungasi che la F, di Jacobi costruita innanzi conterte, in
generate, una involuzione costituite dai gruppi di ’punti sezioni
delle X'x e delle Cxt la variete Fa rappresentativa di codesti gruppi,
che ё trasformate unirazionale della Fs, sate la variete di Jacobi
di una curva di genere 3 degenere in una curva ellittica e in una curva
di genere due; cosi dunque (d’accordo col teorema sopra esposto),
le superficie iperellittiche H1*, che formano un sistema d’imprimiti-
vite per il gruppo delle trasformazioni di prima specie della Fs,
risultano birazionalmente identiche ad una involuzione su una delle
analoghe Ea, che 6 la superficie di Jacobi corrispondente alia pre-
dette curva - di genere -due.
I cenni dati innanzi bastino a segnalare I’interesse, la bellezza
e la ricchezza delle propriete, che appartengono alle superficie ipe-
rellittiche.
Aggiungeremo soltanto che lo studio delle involuzioni irregolari
iperellittiche sopra una superficie iperellittiea Ж (e in ispecie sulla
superficie di Jacobi si prolunga naturalmente in quello di altre
involuzioni irregolari ellittiche о regolari coi generi uno, che possono
appartenere alia JF e conducono a superficie cui spetta ancora una
(!) Cfr. il teorema d’esistanza per le curve multiple in Еиицвм-Сивпа,
Ltnwni. Idbro V, cap. IV, § 38 (vol. Ill, pag. 427).
CbASSIMCAZION® GBMBRALB DKLbB STOKBMCIB
465
rappresentazione parametrica eon funzioni iperellittiche Ai rang®
r > 1 0).
be involuzioni irregolari ellittiche (che appartengono ad J* con
moduli particolari) danno luogo alle superficie ellittiche con pa =—1,
p, = О e Ри == 1, possedenti una curva canonica virtuale d’ordine
zero, come gift si ё accennato nei §§ 18-19 del Cap. X.
Le involuzioni regolari d’ordine 2 appartenenti ad una superficie
iperellittiea di divisore 1 conducono in generate a superficie
(iperellittiche in senso esteeo) di range r = 2, e precisamente: per
<5 = 1 alle superficie di Kummer del 4° ordine con 16 punti doppi
(Cap. V, § 8); e per § > 1 ad una serie di superficie analoghe d’ordine
л — 2л— 2 a sezioni iperpiane canoniche di genere л nello spazio
(л = 4, 5, 6, dotate di 16 punti doppi. Ma per moduli par-
ticolari si presentano pure sopra una J* involueioni regolari singolari,
le quali vengono generate da un gruppo finite di trasformazioni bi-
razionali della detta J1; e in base a questa generazione (dimostrata
da Bkbiqxxes-Sevebi) sono state classificate nella loro integritft
dalle memorie gift citate, che vicendevolmente si completano, di
Esbiqtoes e Sevebi (*) e di Baghheba e De Шажзнпз (•).
Infine ricorderemo che questo ordine di considerazioni si estende,
•dalle superficie iperellittiche alle superficie regolari con tutti i generi
uno, suite quali 6 dato pure di trovare involuzioni regolari dello
stesso genere p, = 1 (o con p, — 0 e bigenere P, — 1), che vengono
generate da un gruppo finite di trasformazioni birazionali. In pro-
posito baeterft menzionare i lavori interessanti della scuola belga,
e particolarmente di GodeaxtX.
7. Classificazione generate delle superficie algebriche (*).
Siamo ora in grado di raccogliere in una sintesi i risultati prin-
cipal! della teoria delle superficie, esponendo una classificazione ge-
nerale delle superficie algebriche, secondo il valore del dodici-ge-
nere jPIM: nel seguite questa classificazione potrft stringers! pih da
vicino, come vedremo nei §| 8 e 9.
(x) Dove ad ogni punto della euperfleie rispondono r punti entro il prismatoids
dei periodi.
(!) AUmoire sur lea surfaces hyperettyptiques. AotaMathemat., t. 32 e 33 (1908).
(•) Le superfioio alyebriohs le quali ammettono tma rappresentazione parametrica
mediant» funzioni ipmUittiohe di due argomenti. Memorie della Soe. It. d. Science
(detta dei XL), 1908.
(*) Cfr. Esbiqvbs, SoUa tdassifioazione <fe& euperfioie alge/briche in particolare
di genera linear» — 1. Bendic. Ace. Lincei, Febbraio 1914.
САР1Т01Ю VUDBCIMO
4Вв
Distinguiamo le superficie algebriche secondo i valori del Plt •!
e — subordinatamente — del genere lineare (assoluto) ₽<». i
- Avremo quatt/ro grandi famiglne di superficie'. j
A) per JPJS = 0 fe superficie riferibili a rigate (razionali о mono) j. j
B) per Plt = 1 le superficie con eurva canonica, effettiva о i
virtuale, d’ordine него-, . ’
C) per JPM > 1 в == 1 fe superficie che contengono sistemi ?
lineari infiniti di curve canoniche о pluricanoniche composts colic 1
curve ellittiche d’un fascio-, .
D) per Plt > 1 e •><*’ > 1, le superficie ohe ammettono come I
modello proiettivo superficie canoniche о pluricanoniche. ,
Conviene richiamare e spiegare le propriety fondamentali e co- j
ratteristiche che distinguono queste quattro famiglie di superficie: j
A) P1!t = 0. Superfine riferibili a rigate (razionali о no): pos- J
seggono sistemi lineari,4i curve di genere я e grado n > 2л—2, J
curve eccezionali in numero infinite non eliminabili, gruppi razio- '
nail oo1 di trasformazioni e serie continue di trasformazioni bl-
razionali in её non formant! gruppo. Si dividono in
A') superficie razionali (regolari) caratterizzate dalle condizioni
рл ж P* sss 0,
e
A') rigate irrazionali, per cui
p. <0;
le rigate di genere p — — p« > 1 sono caratterizzate (come vedremo
nel § 8) dalla semplice condizione
pe < — 1,
mentre le rigate di genere p — 1 si distinguono dalle superficie pro-
priamente ellittiche con pe == — 1 per avere Pt — Pt — Pn — 0).
B) pu = 1, pw == 1 (p, — 1). Superficie possedenti una
eurva canonica о pluricanonica d’ordine zero. Per ogni sistema sen-
za punti base di genere я e grado n, sopra la superficie privata di
curve eccezionali, si ha -
n == 2 л — 2 ,
sicchft si ottengono, in generale, come immagini proiettive di questo
tipo, superficie У» a sezioni piane о iperpiane di genere я d’ordine
» = 2л—2, in uno spazio ad r = я, л—1 о я—2 dimensioni
(i tre valori di r rispondendo ai tre cast: pa — ря — 1, pa — p, — O,
e p«.= — 1). • ’
Le superficie Р„ della famiglia B) si dividono in due categorie:
Вг) superficie a sezioni (piane о iperpiane) canoniche, che hanno
il genere geometric© p, == 1 e il genere numerico pe — 1 owero
- OLASSIFICAZIONB GBNKgAbZ DBbLB SUPBRB4CIE 467
p. = — 1, ciofe superficie regolari con tutti i generi uno (Cap. VII,
§ 2) e superficie,iperellittiche;
B") superficie le cui sezioni sono curve non canoniche ma rap-
presentative di serie lineari ehe provengono dalla division© per s
della serie e-canonica (e == 2, 3, 4, 6).
Queste sono le superficie regolari di genere p, = p, = 0 e P, = 1
(P, = 0) riducibili alia sestica F, ehe passa doppiamente per gli
spigoli d’un tetraedro (Cap. VII, § 1) e le superficie ellittiche con
pa = — 1 e p, = 0 contenenti un fascio lineare di curve ellittiche,
che abbiamo distinti in sette tipi Ie It II„ IIb IH„ Шь 1Нв nei §§
16-19 del Cap. X.
Fra le superficie B' e le B* intercede questa difierenza: che,
mentre le B* danno luogo ad un numero finite di tipi, le B’ danno
luogo a un numero infinite di famiglie di superficie, dipendenti
(almeno) da un carattere intero, suscpttibilc di assumere infiniti
valori.
Cib & state dimostrato per le superficie regolari con tutti i generi
uno nel § 2 del Cap. VII; (dove si 6 pur visto che ad' ogni famiglia
appartengono 19 moduli); ma ё pur veto per le superficie iperellit-
tiche, dove, accanto alia superficie di Jacobi corrispondente aUa
- eurva di genere due, vi sono le infinite altre che rispondono ad in-'
voluzioni d’ordine & su Д owero a multiple secondo <5, senza
eurva di diramazione: ogni classe essendo definita entro la rispettiva
• famiglia da 3 moduli (cfr. § 6).
Invece le superficie B’) danno luogo, come si ё detto, a un numero
finito, e precisamente ad 8 famiglie, nettamente caratterizzate e 4
contenenti: la prima (superficie regolari) 10 moduli (Cap. VII, §1)
e le altre '(ellittiche) 2: moduli (le I. Jb) о 1 modulo (le rimanenti
del tipo armonico о equianarmonico).
Aggiungasi che le superficie B') contengono . sempre fasci di
curve ellittiche e percib si rawicinano alle superficie C), in confront»
alle B*) ehe non contengono in generate simili fasci.
0) Pu > 1 e pW = i. Superficie possedenti un fascio (razio-
nale о irrazionale) di curve ellittiche X, component! di curve cano-
niehe о pluricanoniche. Insieme alle B") queste superficie formano
la vasta famiglia delle superficie Ae contengono fascio di eww
ellittiche.
Queste superficie 'si lasciano classificare, come abbiam visto nel'
caso regolare (Cap. VII, § 4), secondo alcuni caratteri interi, cioftr
1) il genere numerico pe;
2) il determinante n, ciob 1’ordine del pih piccolo gruppo di
punti che pud determinarsi razionalmente su una' Ж;
458
САЙТОМ vndecimo
3) il. numero delle curve del fascio che si riducono ad una curva
multipla; cui si aggiunge nel caso irregolare
4) il genere q del fascio che vale, in generale (Osservazione,
Cap. IX, | 8)
e = Ve—v» -
(pe > 0)
e, inveee,
§ = ₽»---Pa-----1
nel caso in cui la superficie contenga oltre (X) un secondo fascio el-
littico di curve, caso che porta == — 1 e conduce alle superficie
ellittiche.
Per le superficie C) regolari abbiamo riconosciuto che le infinite
famiglie di esse, dipendenti dai caratteri sopra indicati si lasciano
distingaere mediante4 valori dei plurigeneri (Cap. VII, § 4).
Questi risultati sembrano, in gran parte, estendersi anche alle
superficie irregolari-. p„ <p». Ad ogni modo vi fe qui un oggetto di
studio, che segnaliamo all’attenzione dei giovani cultori della geo-
metria.
I>) Px, > 1, pw > i.' Queste superficie, che debbonsi rite-
nere costjtuenti il easo pi& generate, a differenza delle precedent!
A) B) e <7) danno luogo, per dati valori dei caratteri p«, p,, pw,
ad un numero finite di famiglie, ciaseuna delle quali contiene un
sistema continuo di classi, dipendenti da un certo numero di para-
metri о moduli. Infatti alle superficie D) risponde un tipo di super-
flcie canonica о pluricanonica, il cui ordine fe p(1) — 1 о risp. un
multiple di p<*> — 1, la quale offre un modello proiettivo delle su-
' perfieie stesse, riguardate di fronts alle trasformazioni birazionali:
la classificazione delle superficie di un date ordine, con alcuni ca-
ratteri dati, non pufe condurre ehe ad un numero finite di tipi aritme-
ticamente distinti.
Abbiamo gife> avuto occasione di studiare il problema generate
della classificazione delie superficie con pW > 1 nel caso regolare
(Oap. VIII). Le considerazioni avolte si estendono, in gran .parte,
. al caso in cui si lasci cadere I’ipotesi po = p,; in ogni modo vi fe
qui un oggetto di ricerca per gli studiosi. Й degno di nota che quando
si precede a costruire le superficie canoniche о pluricanoniche con
dati pf e p<*> s’incontrino di solito superficie regolari e solo in via
d’eceezione appaia la possibility di superficie irregolari; cosi riescono
. regolari le superficie canoniche per 4, che si costruiscono nei
primi casi p<x> = S, fi, 7...., (Oap. VIII), e similmente sembra ri-
sultino necessariamente regolari anche le superficie tricanoniche
per p(t} = 2 e le bicanoniche per p<’> == 3 che si costruiscono in
CbASSWICAZIONB GSNMtAbB ВЕ1ЛЕ SVVBEnCIB 4»
b - *
corrispondenza ad un p„ > 0, secondo il procedimento dei || 14-20
del Oap. ТШ.р).
Qui conviene aggiungere che in forza di una diseguagtianza di
cui discorriamo nel seguente paragrafo, le superficie D) (eon p<« > 1)
hanno tutte il genere numerico: po 2i 0.
• S. Superficie di genere numerico negative.
ba classificazione che abbiamo esposta nel precedent® paragrafo
pub essere stretta piti da vicino sulla base di una diseguaglianza fra
I’irregolarith e il genere geometrico, che flno ad oggi non si b riu-
eciti a dimoatrare in modo algebrico-geometrico, e che pereib oe-
corre attingere alia teoria traseendente (cfr. Notizia, psg. 483).
Sussiste il teorema: Per ogni superficie Ai genere p, e irregolaritfi
g—p,— p„, ehe non contenga un fascio irrational» Ai curve, si ha
р,>2(з—2)
ossia.
p, < 2pe + 4 .
Dunque: se p, 5: 2po -J- 4, la superficie oontiene un fascio irrationals
Ai curve (C).
ba precedente diseguaglianza b certo soddisfatta se il genere
numerico
pa< —1 (p, 2:0).
Pertanto si pub aflermare che le superficie > di genere numerico
pa < — 1 contengono un fascio irrazionale (0): fascio di genere
p > 0 formato di curve C di un certo genere я. Ma si riconosce age-
volinente oho я 0 e quindi Ха P si pud trasformare in una rigata
(di genere p — — pa). _ . .
A tai uopo ragionia&io per assurdo: se я > 0, la P si pub ri-
durre ad una superficie priva di curve eccezionali, di genere lineare
assoluto pW 5 1; quindi — calcolando il suo invariante di Zeuthen-
Segre in relazione a (C) — si trova (come nel Oap. X, | 4)
zj — 4 = 12pa—pdi 9, •
ri 2: 0
Pa2—1 ! . ' • -
(i) Considerazioni che si completano coi ieoremi eugli integrali semplici ap-
partenenti ad una superficie conducono in generale ad afiermare ehe le euperficie,
il cui sistema canonico non i compost® con le curve di un fassio, di irregola-
riA g > 3 col pa > 0 hanno il genere lineare pt1! 6 -f- 4; se inveee q = 2 e
2>a > 0, allora pW S 3 ?« + < ' '
Percid resterehbero da esaminare soltanto le superficie di ixregolarith 9=1
possedenti un fascio ellittico di curve (Comunicazione gentilrnente fattaci da G.
CAsnoarwovo, Novembre 1942).
4в0
САЙТОМ» UNDECXM0
Ooncludiamo dunque ehe й superficie fii’genere numerico p, < — 1
sono tutte riferibili a rigate (di genere p ==—pa)t nel teorema (Cap.
X, | 4) ehe aesegna a tai uopo le condizioni pa = — p e ?, = 0, la
condizione p, = 0 ё superflua, risultando come eonaeguenza dal-
1’altra.
Paceiamo p„ — — 1. Se la superficie P ha il genere geometric»
pe > 1,
• la diseguaglianza
P. > 2p, 4- 4
ё ancora soddisfatta e quindi la P possiede un fascio irrazionale
di curve О (di genere я > 0). Ma, in relazione a questo fascio si
trova 1’invariante di Zeuthen-Segre
J —4 = 12p«—pW 4-9
zdP« = — 1 , ri 1> 0
e quindi '
’ рП) sa* 1.
Cosi la condizione pw — 1, che — in aggiunta allp p„ — — 1
e p, > 1 — caratterizza le superficie ellittiche' (Cap. XX, § 4) ё una
conseguenza delle altre due condizioni. E, siccome per p, = 0 e
p„ — — 1 si ha ancora p<*> = 1 e-la J risulta una superficie ellittica
(propria о impropria), possiamo enunciate che: le superficie di genere
numerico pa = — 1 e di genere geometrico p, * 1 sono eUittiehe (su-
perficie ellitticbe proprie о rigate di genere uno).
Infine- esaminiamo il caso:
p„ = — 1, p, » 1. “
In questo caso abbiamo veduto (Cap. X, § 4) ehe la P ё iperel-
littica (con P4 = 1) owero si pud ridurre ad una superficie ipe-
rellittica Ф, multipla con curva di diramazione ellittica ed allora ё,
, essa stessa, una superficie ellittica (con P* >1).
Cosi possiamo completare i teoremi stabiliti nel § 4 del Cap. X,
; nel sense gifi ivi annunciate dicendo che:
Le superficie ellittiche ed iperellittiche sono • earatteri№ate global-
mente dalla condizione
pa = — 1 - . •
(congiunta a quelle che escludono le superficie ellittiche improprie,
'riferibili a rigate: P« 4- = О, о P1S = 0).
Ze superficie iperellittiche (che solo per moduli partieolari sono
anche — in doppio modo — ellittiche) vengono distinte dalle eUitUche
dalle condizioni - -
рв = P* = 1 ‘
(anzichft
= 1, P« > 1).
CLASSIFICAZIONE GENERAL® ’ ВВЬЬВ SUPERFICIE
461
Si possono riassumere i risultati ottenuti enunciando il teorema:
Le superfioie di genere numerico negative (po < 0) sono :
1) riferibili a rigate (irrazionali) .
2) owero superfioie ellittiche- о iperellittiche (in quest’ultimo
caso: ря = 1).
Od anche:
Il genere numerico negativo vale a definire Vintera -famiglia ""delle
superficie, non razionali, ohe ammettono w gruppo continue di tra-
sformazioni birazionali.
jtfotizia. — La diseguaglianza fondamentale p, < 2p„ -f- 4, per
le superficie che non. contengono un fascio irrazionale di curve,
deriva —• come si 6 detto — da considerazioni d’ordine trascendente.
Premettiamo Ле il genere p„ di una superficie P ё il numero degli
integral! doppi di prima specie, linearmente indipendenti, che ap-
partengono ad J?, e d’altra parte che I’irregolaritS, g ё il numero
degli integral! semplici di prima specie della medesima 1* *, e ricor-
diamo che Nobtheb ha rUevato come si possa «costruire un in-
tegrate doppio di prima specie a partire da due integral! semplici
che non siano funzioni 1’uno dell’altro ».
Ora il fatto che la superficie F possegga due integral! semplici,
!te!t, funzioni 1’uno dell’altro, signifies che la V contiene un fascio
irrazionale di curve algebriche O, su cui I, e Xs si mantengono co-
stanti.
' Questa osservazione si ё presentata per la prima volta a Oa-
siBbWOVO, nei riguardi delle superficie di genere pe — Q (cfr. Cap.
IX, § в); pih tardi (1905), per le superficie di genere p„ qualun-
que, a Db Еважтшв f1), Оавтвыгооуо (’) ed Bneiques (’) i quali
hanno scorto qui il mezzo di studio appropriate per classificare le
superficie di genere p. < 0. , ‘
La relazione fra il genere p, e 1’irregolarith g, о fra il pr e il p„,
•ftatata precisata e dimostrata nel mode pih semplice da САВГвмгаото
colla diseguaglianza anzidetta
p, -< 2pa 4- 4 ,
valida per le superficie T che non contengono un fascio irrazionale
di curve. Frattanto, sulla base di codesta relazione, De Fbanohis
P) Sulle euperfieie <ЛдЛг1Ле- le guali contengono <an fascio irrazionale di oume,
Rendio. Circrolo Mat. di Palermo (25 Aprils 1005).
(*) S-utte eivperfioie aventi il genere aritmetiao negativo. Jb.t 14 Maggio 1005 j
(Memorie eoelte, XXVII, pag. 501). ' |
(•) Sulle euperficie algebrialte che ammettono un gruppo conlimto di traeforma-
sioni eoe. (Ibid., 14.Maggio 1905).
J
402
CAPITObO UNDBCIMO
enuneiava che le V di genere pe < — 1 posseggono un fascio irra-
zionale di curve (*) mentre Оавтеютото ed Bhbiqueb — faeendo
uso di un ragionamento gi& adoperato nell’ipotesi рв — 0 (Cap. X,
| 4) — riconoscevano che codeste superficie sono riferibili a rigate,
Ai genere p = — pa (> 1).
Inline Bkmques approfondiva 1’analisi delle superficie per cui
— — 1, riuscendo a rioonoscere ehe esse sono superficie ellittiche
о iperellittiche. ‘
Gli sviluppi di cui si 6 discorso hanno avuto un seguito negli
important! lavori di A. Вовеивпатт (*) e A. Oomessath (’) che por-
tano la classificazione delle superficie per cui
Pt 2p* -j- 4.
Gift ЕоветвьАжг (1913) riconosee che esse possono ridursi a
pochi tipi. Oomessatti (1919 e 1923) riprende Fanalisi di Oasiel-
roovo trattando il j^dblema pih generale di « determinare i leg^ni.
in termini finiti che passano tra pih funzioni di due variabili quando ,
i loro mutui Jacobian! soddisfino a un numero sufficiente di etpta-
zioni lineari omogenee a coefficient! costanti». v s
Di qui trae, in particolare, la classificazione' delle superficie al-
gebriche per cui !
P.> %P.+ 4,
dimostrando che esse appartengono ai seguenti tipi:
1) rigate di genere p >1; , '
2) superficie ellittiche eon pe > 1 e pa — — 1;
3) superficie rappresentative delle eoppie di punti di due curve
. di genere 2 e я: р» — &r, p« — я— 2; ’ 1
4) particolari superficie di genere lineare pW — 1 col pe 0.
Anche di questi brillanti risultati, come della diseguaglianza di
Oastewttovo, ё desiderabile si riesea a dare una dimostrazione al- “
.gebrico-geometrica.
(ж) Aggitmgasi che Db ЖвАКСша (preoieando та risultato anteriore, del 1004)
stabilises ohe « ogni -piano doppio irregotare poneiede кп fascio ellittico о iperellittico
di оатв».
(») Sw Zee aurfeoee irr^nliArM eoo. Bendfc. CSroolo Mat. di РаМетшо, 1013.
(•) Kendic. Acc. Linoei, 1918. e Interna <Ле stiperficie algebricfie irregolari вес.
Itandic. Ciroolo Mat. di Palermo, t. XI»VI, 1922.
CbASSllTIOAZIOSB ОВМВАЬЯ ОВЫЯ SOTBBFICIB
48S
9. Riaseonto della classificazione precisata. -
I teoremi esposti sulle superficie di genere numerico negative,
valgono a Btringere pih da vicino la classificazione generale delle
superficie, in particolare ported© che per ><«•’> 1 deve essere p„ > 0.
Questa deduzione ha un signifieato d’ordine generale: per le
superficie D (Pis > 1, ?(I1 > 1), essendo p„ la 0, si ottiene un si-
sterna bicanonico di dimensione Pt — 1 — p„ -f- — 1, e quindi
— per pW > 3 — riesce P,— 1 > 3. Cosi, a prescindere da un dubbio
ehe deve essere criticamCnte esaminato (*) circa la riducibUith delle
curve bicanoniche, le superficie per cui pW > 3 ammettono come
modello proiettivo una superficie bicanonica (ehe, in casi particolari,.
potrS, essere multipla).
Bd appare quindi 1’interesse speeiale di possedere una classifi-
cazione completa delle superficie per cui pW — 2 e pW == 3, eui si
riferiscono gli studi da noi esposti nei §| 14-20 del Cap. УШ; tanto
pih se avvenga di trovare che per tali superficie (a prescindere forse
da qualche ecoezione) si aweri a posteriori l’ipotesi ddla regolaritft,
che nei nostri studi ё stata ammessa a priori (»).
Biaseumiamo i risultati pih precisi conseguiti nella ctassifica-
zione generale delle superficie algebriche, valendoci anche di qual-
qhe formula il cui signifieato й state spiegato innanzi, nel § 7.
PM = о; rigate n > 2л—2,
curve eccezionali non eli-
minabili, schiera conti-
nua di trasformazioni
non formanti gruppo.
Rb = 1: eurva
- canonica vir- '
tuale d’ord. 0,
n == 2л— 2 ’
_(p(i) — j)
p* = 0 superficie razionali (pa -== Р» = 0)
®e = — 1 rigate ellittiehe (p„ = — 1,
P* = p, == 0) -
pa < — 1 rigate di genere' p — —p, > 1.
p« = 1, infinite famiglie-di superficie (pa —
, - = P* 35= .1) ? ....... ....
p« = — 1, infinite famiglie di superficie ipe-
rellittiche di divisore 6 = 1, 2, ....
(Pa e =~ 1> Ps == Pi — 1).
p, = 0
’p<. — 0, superficie del 6° ordine passanti
doppiamente per gli spigoli d’un te-
traedro (p« — P, — 0, P, == 1).
po = — 1, superficie ellittiche 1ЛI» IIa lit.
(P8 = 0,1, P4 == 0,1,
Р» = 0,1, P* = 0,1).'
f1) Come si 6 fatto per le superficie regolari nei fg 18-20 del cap. IV.
(’) C&. la nota a pte di pagina in fins al § 7 di questo Capitolo.
464
> 1
<» < 2я— 2)
CAPITOLO VNDBCIMO
pe = — j, Buperftcie ellittiche con un fascio
di genere di curve ellittiche
(pa — — 1, P* * 1).
pa S: 0, superficie le cui curve canoniche e
pluiicanoniche sono composte colie cur-
' ve ellittiche d’un fascio di genere
Pt — P«: dipendono da pih caratteri in-
ter! arbitrarii.
p„ > 0, superficie che ammettono un mo-
dello proiettive canonico (p„ > 3) о
bicanonico (p<l> > 3) ecc.: un numero
finito di tipi per un dato valore del
p(i).
. A questo pupto ci sia consentito fermarci un istante, come in
im’ascensione,41pina si ama sostare sul picco conseguito e di 14
contemplare lo spettaoolo della Batura ehe- si offre alia vista.
Oinquant’anni or sono s’iniziava in Italia lo studio di queste
teorie, appena abbozzate dal genio di un precursor© (Max Koetheb.) ;
allora, Beherzando sulle difficolth e le eccezioni ehe s’incontravano
da ogni parte, si soleva dire che, mentre le curve algebriche (gih
•composte in una teoria armonica) sono create da Dio, le superficie
inveee sono opera del Demonio.
Ora si palesa inveee che piacque a Dio di creare per le superficie
un ordine di armonie pih riposte ove rifulge una meravigliosa bel-
lezza, e ch’Ei voile in esse —• dioiamo eol Poeta —
del creator suo apirito
pih vasta orma stainpar.
Da ricchezza delle propriety e la bellezza, Jungamente nascosta,
che qui si palesano, non debbono costituire ragione di vano orgoglio
per la scuola geometrica italiana о per i matematici stranieri che
hanno collaborate a scoprirle, ma piuttosto debbono suscitare un
•sense di reverenza per quell’ordine meraviglioso degli enti matema-
tici, che il pensiero trova innanzi а й e quasi raceoglie, al pari delle
specie viventi, ’dalla Batura Madre; e cosi alimentare Ja fede dei
giovani ricercatori che dietro alle difficolth, alle ecbezioni, alle ap-
parent! incongruenze, e’h reataiente in questo mondo di enti, una
divina armonia, che gli sforzi concord! degli studios! riusciranno
sempre meglio a mettere in luce.