Н. Н. СТЕПАНОВ
СФЕРИЧЕСКАЯ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ИЗДАНИЕ
BT
О Г И 3
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ЛЕНИНГРАД 1948 МОСКВА

11-5-2
Курс сферической тригонометрии Н. Н. Степа-
Степанова представляет собой учебное пособие длз
студентов: астрономов, геодезистов, топографов,
маркшейдеров; одновременно оно может служить
и целям справочно-прикладного характера.
Сообразнэ с этим расположен материал, раз-
разработаны главы решений сферических треуголь-
треугольников и приведены схемы для вычислительных
работ.
Редактор А. Р. Шульман Техн. редактор К. М. Волчок
Подписано к печати 7/VI 1948 г. 9,75 печ. л. 9,1 уч.-нзд. л. Тираж 25.000 экз.
40 416 тип. зн. в 1 печ. я. М-0СЮ2У. Цена 3 р. 50 коп. Заказ № 3578.
4-я типография шн. Ввг. Соколовой треста •еПолиграфкнига» ОГИЗа
ори Совете Миииотроэ COOP. Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
I. Введение в сферическую тригонометрию. Основные
понятия 7
§ 1. Круги на шаре—7. § 2. Понятие о сферическом
треугольнике — 8. § 3. Измерение углов н сторон сфе-
сферического треугольника—10. § 4. Соотношение между
сторонами сферического треугольника —11. §5. Поляр-
Полярный сферический треугольник и его свойства—12.
§ 6. Соотношение между )глами сферического треуголь-
треугольника—14. § 7. Условия равенства сферических треуголь-
треугольников—15. § 8. Понятие о симметричных сферических
треугольниках—16. § 9. Соотношения между сторонами
н углами сферического треугольника — 19. § 10. Описан-
Описанный около сферического треугольника и вписанный
в него круги — 20. § 11. Вопросы н упражнения—22.
II. Основные формулы сферической тригонометрии .... 23
§ 12. Введение — 23. § 13. Формулы косинуса сто-
стороны— 24. § 14. Формулы синусов — 29. § 15. Формулы
пяти элементов — 32. § 16. Формулы, обратные форму-
формулам косинуса стороны (формулы косинуса угла) —35.
§ 17. Формулы четырех элементов (с котангенсами) — S8.
§ 18. Вопросы и упражнения — 40.
III. Формулы для решения прямоугольных сферических
треугольников 42
§ 19. Введение — 42. § 20. Сферическая теорема Пифа-
Пифагора— 42. § 21. Синус катета в функции гипотенузы и
противолежащего угла—44. § 22. Тангенс катета в функ-
функции гипотенузы и угла, ему прилежащего—45. § 23. Тан-
Тангенс катета в функции другого катета и угла, ему про-
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
тиоолежащего—45. § 24. Косинус гипотенузы в функ-
функции косых углов — 46. § 25. Косинус угла в функции
противолежащей стороны и другого угла—47. § 26. Мне-
Мнемоническое правило Непера — 48. § 27. Связь между
величинами порой и углов прямоугольного сфериче»
ского треугольника — 49, § 28. О высоте сфериче-
сферического треугольника — 50. § 29. Вопросы и упражне-
упражнения— 51.
IV. Решение прямоугольных сферических треугольников . 52
• § 30. Введение —5?. § 31. Решение сферического тре-
треугольника по двум данным катетам—53. § 32. Решение
сферического треугольника по катету и гипотенузе — 54.
§ 33. Решение сферического треугольника по катету
и противолежащему углу—59. § 34. Решение сфе-
сферического треугольника по катету и прилежащему
к нему углу—63. § 35. Решение сферического треуголь-
треугольника по гипотенузе и прилежащему к ней углу — С4.
§ 36. Решение сферического треугольника по двум
углам, отличным от прямого —66. § 37. Вопросы и упраж-
упражнения— 69.
V. Формулы для решения косоугольных сферических тре-
треугольников 71
§ 38. Формулы, выражающие углы сферического тре-
треугольника в функциях его сторон — 71. § 39. Формулы,
выражающие стороны сферического треугольника
в функциях его углов — 75. § 40. Формулы, выражающие
стороны сферического треугольника в функции его
углов и эксцесса — 79. §41. Формулы Деламбра — 83.
§ 42. Формулы «аналогии Непера» — 87. § 43. Фор-
Формулы, определяющие избыток сферического треуголь-
треугольника (эксцесс) — 90. § 44. Определение площади дву-
двуугольника и сферического треугольника — 98. § 45. Во-
Вопросы и упражнения —100.
VI. Решение косоугольных сферических треугольников . . 102
§ 46. Введение—102. § 47. Решение сферического тре-
треугольника по трем сторонам — 102. § 48. Решение тре-
треугольника по трем его углам —104. § 49. Решение сфе-

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
рического треугольника по двум сторонам и углу между
ними —109. §50. Решение сферического треугольника
по двум углам и стороне между ними—115. § 51. Реше-
Решение сферического треугольника по двум сторонам и углу,
лежащему против одной из них—121. § 52. Решение сфе-
сферического треугольника по двум углам и стороне, лежа-
лежащей против одного из них —128. § 53. Общее заклю-
заключение о решении сферических треугольников —133.
§ 54. Вопросы и упражнения —135.
VII. Вычисление сферического треугольника, стороны
которого весьма малы по сравнению с радиусом
сферы 139
§ 55, Теорема Лежандра — 139. §56. Применение теоремы
Лежандра к различным случаям решения сферических
треугольников — 143. § 57. Элементарные сферические
треугольники —147.
VIII. Дифференциальные формулы сферической тригоно-
тригонометрии ... 151
§ 58. Дифференциальные формулы сферической триго-
тригонометрии —151.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый курс сферической тригонометрии написан
мной на основании опыта многолетней работы по этому пред-
предмету в различных специальных школах и имеет целью дать
необходимое пособие для студентов: астрономов, геодези-
геодезистов, топографов, маркшейдеров.
При выводе основных формул сферической тригонометрии
наряду с аналитическими методами приводятся и геометри-
геометрические для развития у учащихся необходимого для их спе-
специальных работ «пространственного мышления».
Параллельно с теорией приводятся разработанные схемы
решения задач по различным методам, вводящие учащихся
в сферу вычислительной техники. Этим схемам придается
большое значение, и учащимся рекомендуется, руководствуясь
ими, решать определенные задачи, относящиеся к пройден-
пройденному отделу курса, обязательно доводя решение задач до
конца и проверяя получаемые результаты контрольными фор-
формулами.
Автор
Ленинград, 1948 г.

I. ВВЕДЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКУЮ ТРИГОНОМЕТРИЮ.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Сферическая тригонометрия имеет своим предметом ре-
решение сферических треугольников, образуемых на поверх-
поверхности шара дугами больших кругов.
§ 1. Круги на шаре. Всякая плоскость К (черт. 1), пе-
пересекаясь с шаром, даст на шаре некоторую окружность
¦ Черт. 1.
радиуса г. Перпендикулярный к плоскости К диаметр шара,
проходя через его центр- О, пересекает шар в двух точках
' М и Mv называемых сферическими центрами круга. Круги,
плоскости которых проходят через центр сферы О, назы-
называются большими, кругами; остальные круги на сфере назы-
называются малыми кругами. Сферические центры М и М1 боль-
большого круга называются его полюсами; большой круг в этом

8
'. ВВЕДЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКУЮ ТРИГОНОМЕТРИЮ
случае называется полярой точек М и Мх. Ясно, что по-
полюса отстоят от соответствующих больших кругов на 90°,
или четверть окружности.
§ 2. Понятие о сферическом треугольнике. Если ка-
какой-нибудь трехгранный угол с вершиной О и с ребрами Оа,
Ор и Оу пересечь сферой, имеющей центром вершину трех-
трехгранного угла, то в пересечении получатся три дуги боль-
больших кругов АВ, АС и ВС, которые на поверхности сферы
составят фигуру, назы-
называемую сферическим тре-
треугольником (черт. 2).
Наоборот, если на
сфере имеется треуголь-
треугольная фигура, составленная
взаимным пересечением
дуг трех больших кру-
кругов, то эту фигуру можно
рассматривать как резуль-
результат пересечения сферы и
трехгранного угла с вер-
вершиной в центре сферы.
Ясно, что если на
сфере задать три точки
А, В и С и через каж-
каждую пару их провести дугу большого круга, то соста-
составится вполне определенный сферический треугольник ABC,
так как через две точки, взятые на сфере, можно
провести только одну дугу большого круга. Поэтому сфе-
сферический треугольник можно определить как часть сфериче-
сферической поверхности, заключенной между тремя пересекающимися
по две дугами больших кругов.
Будем вершины и углы сферического треугольника обо-
обозначать большими буквами латинского алфавита (Л, В, С),
а противоположные им стороны — соответствующими малыми
буквами того же алфавита (а, Ь, с).
Во всяком сферическом треугольнике не может быть двух
сторон, длина которых была бы более половины окружности,
т. е. более 180°, потому ,что при двух сторонах, из которых
каждая больше 180°, сферического треугольника вообще не
получится, так как две эти стороны, не встречая третьей,
Черт. 2.

§ 2. ПОНЯТИЕ О СФЕРИЧЕСКОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Черт. 3.
пересекутся, образовав на сфере фигуру, называемую сфе-
сферическим двухугольником.
Таким образом двухугольником называется фигура на
сфере, образованная двумя пересекающимися полуокружно-
полуокружностями больших кругов (черт. 3).
Если две стороны сферического тре-
треугольника не могут быть больше 180°, то
одна третья сторона может быть и больше
1Ь0\ Но мы в дальнейшем будем рас-
рассматривать только такие сферические тре-
треугольники, которые получаются на сфере от
соединения попарно трех данных точек наи-
наименьшими дугами больших кругов, т. е.
такие треугольники, у которых все стороны
и углы меньше 180°. Такие сферические тре-.
угольники называются эйлеровыми (знамени-
(знаменитый математик Леонард Эйлер, 1707—1783).
Если же дан будет такой сферический треугольник, у ко-
которого какая-либо сторона будет больше 180°, то вместо
него будем рассматривать другой
треугольник, служащий дополнением
дайного до полусферы. Этот послед-
последний треугольник будет эйлеров. Зная
же элементы этого вспомогатель-
вспомогательного треугольника, легко определить
элементы данного.
Так как всякие два большие
круга пересекаются в двух точках,
находящихся на концах одного и
того же диаметра, то ясно, что если
продолжить какие-либо две смежные
стороны сферического треугольника
до второй точки их пересечения, то
эта вторая точка- будет лежать на
одном общем диаметре с первой
точкой (черт. 4).
Этим построением образуется
Черт. 4.
другой сферический треугольник ВСАи который в отношении
первоначального треугольника ABC называется сопряженным
треугольником по стороне а.

10 I. ВВЕДЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКУЮ ТРИГОНОМЕТРИЮ 1
Стороны и углы сопряженного треугольника AtBC легко |
находятся по элементам основного треугольника: ]
— Z.^» сторона а общая, !
= 180°— ?С, сторона АХВь= 180' — с, i
18ОЭ — /В, сторона Att ~ 180°—b. \
§ 3. Измерение углов и сторон сферического тре-
треугольника. Углом между кривыми называют угол между каса-\
тельными к этим кривым в точке пересечения. Поэтому йод
углом А сферического треугольника ABC (черт. 4I) будеШ
понимать угол между касательными AT и АТи проведенными;
к его сторонам АВ и АС в вершине А. Эти касательные
лежат очевидно в плоскостях ABMAV и ACNAt двугранного
угла MAAtN, перпендикулярны к его ребру ААи т. eV ©бра- >
зуют линейный угол этого двугранного угла. В1этом смысле
мы будем говорить, что двугранный угол MAA\N измеряет
сферический угол ТАТЛ. Отсюда угол TATt равен углу
MOM, т. е. сферический угол А измеряется дугой jMN боль-
большого круга, заключенной между его сторонами АВ и АС
(или продолжениями), в отношении которой вершина А угла
есть полюс. J
! Длина стороны сферического треугольника, представляя-
дливу дуги «большого круга, проходящего между двум? его
вершинами, является наикратчайшим расстоянием на сфере
между ними и называется сферическим расстоянием »«ежду
данными точками. "'• '
Измерение сферического расстокния сводится к измерению
углов, что дает возможность в сферической тригонометрии
сравнивать между собой линяй и углы. Всякое сферическое"
расстояние АВ соответствует в качестве дуги большогоокруга,
проходящего через тбМки А и В, центральному углу АОВ,
равному <р ев ?jAMB (черт. 1). Так как у всех больших кру*
говР радиус одйнк tf tot же, то расстояние АВ может быть
намерено непосредственно углом <р, т. е. в градусах.
Кроме градусного измерения сферического расстояния еще
существует ^радиальное, единицей измерения при котором
!) Заметим, что при составлении чертежа бывает выгодно одну
из сторон располагать в плоскости чертежа. Так, на черт. 4 в плос-
плоскости чертежа лежит сторона АВ.

§ 4. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА 11
„пинимается радиус соответствующего круга. Если мы обо-
Тчим длину сферического расстояния между двумя точками
значим длин^сФР чер ф и т0 же расстоян„е
в'р?диально7измерении через /, тО будем иметь такое соот-
соотие:
ношение:
откуда
но
180 X 60 X 60
есть дуга в 1", она с большей точностью может быть при-
«ята равной sin 1", поэтому
& 4 Соотношение между сторонами сферического тре-
треугольника В трехгранном угле О ABC (черт. 2) плоские его
углы измеряются сторонами сферического треугольника, на
которые опираются, а двугранные углы измеряются соответ-
соответствующими углами сферического треугольника. Такая зависи-
"остПежду трехгранным углом И соответствующим ему сфе-
ричГским треугольником позволяет теоремы о трехгранном
?гле распространить и на сферический треугольник.
П Известно, что во всяком трехгранном угле каждый из
плоских углов меньше суммы двух/других плоских углов, те.
АОС<АОВ + ВОС. Ввиду того, что эти плоские углы изме-
измеряются сторонами сферического треугольника, то LAOC==b
/ АОВ = с / ВЪС?=а. Откуда для сферического треуголь-
треугольника имеем: t<a-\-c, т. е. каждая сторона сферического
треугольника менее суммы двух других.
Перенося один из членов неравенства из правой части
в левую, получим вытекающее из это* теоремы Йервое след-
следствие:- Ъ — с < а, т. е. каждая сторона сферического тре-
треугольника больше разности двух других, -
Прибавим к обеим частям неравенства а-\-с>Ь по О,
йолучим о + Н«>2* или, разделив обе части последнего
«еравенства на 2, имеем второе следствие из теоремы

12
1. ВВЕДЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКУЮ ТРИГОНОМЕТРИЮ
— >Ь, т. е. полу периметр Сферического треугол**
ника всегда более каждой из его сторон.
2) Известно, что во всяком трехгранном угле сумма плоских
его углов менее 360°:
?_ АОС-\-1_ ВОС-\- /. ЛОЯ<360°.
Заменяя плоские углы сторонами сферического треуголь-
треугольника, их измеряющими, будем иметь: а-\-Ь4-с<360°, т. е.
сумма сторон сферического треугольника всегда меньше
360°.
§ б. Полярный сферический треугольник и его свой-
свойства* Полярным треугольником для данного сферического
треугольника называется такой сферический треугольник, па
отношению сторон которого вершины данного являются ло-
люсами.
Построим полярный треугольник для данного сферического
треугольника ABC (черт. 5). Из точки А радиусом, рав-
Черт! 5.
ным 90°, проведем на сфере дугу BLClt тогда т6чка-"Л;буд?т
полюсом, для проведенной дуги. Точдо так же цз точки "J3
проведем дугу А^ и из точки, С дугу А^^ Тогда треуголь-
треугольник AiSiQ будет полярный для данного треугольнику ЛВС.
Нетрудно видеть, что вершины построенного, полярного
треугольника суть полюсы для сторон данного 'треуголйФКа.

§ 5. ПОЛЯРНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК И ЕГО СВОЙСТВА 13
Проведем через точки Ви А и Bit С дуги больших кру-
кругов. Тогда, если вершина А является полюсом дуги ВгСь
каждая точка этой дуги отстоит от А на 90°, а потому дуга
большого круга АВ1 будет равна 90° и центральный угол
BtOA, опирающийся на нее, будет прямой.
Таким же образом, рассуждая по отношений вершины С
и дуги AtBit придем к заключению, что угол ВХОС будет
тоже прямей.
Но если прямая ВХО перпендикулярна к двум прямым,
проведенным на плоскости AfiCy, то она будет перпенди-
перпендикулярна и ко всякой третьей линии, проведенной в этой
плоскости через fee основание, т. е. дуга большого круга,
соединяющая вершину полярного треугольника В1 с любой
точкой М, лежащей на стороне основного треугольника АС,
будет равна 90°. Заключение: вершина 5t полярного тре-
треугольника является полюсом для стороны АС основного
треугольника.
Точно так же можно доказать, что две другие вершины
полярного треугольника At и С\ являются полюсами для сто-
сторон начального треугольника ВС и АВ.
Итак: если один сферический треугольник полярен отно-
относительно другого, то и второй будет полярен относительно
первого (т. е. треугольники будут взаимно полярны).
; Теорема. Стороны и углы двух полярных относи-
относительно друг друга треугольников попарно взаимно допол-
дополняют друг друга до 180Р.
Доказательство. Дано, что треугольники ABC и AlBiCi
полярны один относительно другого (черт. 5).
Будем обозначать углы и стороны основного треуголь-
треугольника через А, В, С, а, Ь, с, элементы же построенного для
яего полярного треугольника теми же буквами, только с инде-
индексами Alt Bv Си аи Ьи сх.
а) Докажем, что угол основного сферического треуголь-
треугольника, #|11ример В, сложенный со стороной полярного тре-
треугольника 6 и дает в сумме 180°.
Продолжим дуги больших кругов ВД и ВС на сфере до
пересечения со стороной полярного треугольника А1С1
в точках К и L.
Мы зиаем, что сферический угол измеряется дугою боль-
большого круга, содержащегося между его сторонами, в отно-

Л4 \, ВВЕДЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКУЮ ТРИГОНОМЕТРИЮ
шении которой вершина угла есть полюс, а поэтому угол
В измеряется дугою KL. Поэтому В -f- bt = KL-\- Afi^. Заме-
Заменяя в этом равенстве AtCt через AlK-\-KL-\-LCv а зате»
объединяя слагаемые по порядку по два, получим:
В + Ьх = KL + Л,/С4- KL -j- LC, — Л,L + KCV
Ввиду того, что точка Ct есть полюсдуги ВАГ, наводим,
что KCt = 90°; ввиду того, что точка А /есть полюс дуги BL,
имеем: AXL = 90°.
Итак, 5 + *1 = 90° + 90э=180э.
Точно таким же образом доказывается, что
т. е. сумма угла данного сферического треугольника и соот-
соответствующей стороны полярного треугольника равна 180°.
б) Нетрудно доказать, что сумма угла полярного тре-
треугольника и соответствующей стороны основного равна 1 ?(Р.
Докажем, например, что Bl-\- ft =180°. Угол 5t измеряете»
дугою NS; поэтому Bi -\-b = NS-\-АС; но вместо NS, как
показывает чертеж, можно поставить сумму NC -\- CS, а вместо
АС разность AS—CS, тогда будем иметь:
Вх + Ъ = NC+CS+AS — CS = NC-\-A S = 90°+90° = 180% \
Заметим, что доказанное очевидно и в силу взаимной
полярности треугольников. *
в) Следует заметить: если каждая сторона одного тре-
треугольника меньше 90°, то построенный для него пблйр-
ный треугольник будет находиться вне данного, как вяди«|;
это на черт. 5; е,сли же какие-либо стороны'одного трёуголь-:
ника больше 90°, а другие меньше 90°, то его полярный^
треугольник будет пересекать стороны данного; наконец, есл$
каждая из сторон данного треугольника больше 90°, то efqj
полярный треугольник будет находиться внутри него. **!
Свойствами полярного треугольника мы буде*^ пользо-
пользоваться в дальнейшем при выводе различных ^^ф
ческой тригонометрии.
Понятие о полярном треугольнике введенб в науку
в XVIII веке геометром Снеллиусом.
§ 6. Соотношение между углами сферического тре-
треугольника, а) Для данного сферического треугольника ABC

§ 7. УСЛОВИЯ РАВЕНСТВА СФЕРИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 15
вообразим полярный треугольник А^Сц имеющий стороны
«i, bx, cv По отношению этого полярного треугольника бу-
будем по доказанному (§ 4) иметь:
360°
Переходим теперь от полярного треугольника к данному
по формулам:
^ = 180°—А; ^ = 180° — В; ct = 180э — С.
Получим:
360°>180° —A-fl80° —B + 18O0 —С>0;
360°> 540°— (А -\-В + С);
А-\-В-\- С>180°;
А-\- B-fC<540°.
Соединяя окончательные неравенства в одно, будем иметь:
540° > А + В -\- С > 180°,
т. е. во всяком сферическом треугольнике сумма углоз
всегда меньше 540^ и больше 180'.
Разность между суммою трех углов сферического треуголь-
треугольника и 180° называется сферическим избытком, или эксцес-
эксцессом сферического треугольника. Эксцесс обозначается бук-
буквою & и по только что доказанному всегда положителен.
б) По отношению полярного треугольника имеем: йу-\-
4-*i><V Переходя от полярного треугольника к основному,
будем иметь: 180° — А -\-180° — В>180°—С, откуда имеем:
А-\-В — С<180\
т. е. во всяком сферическом треугольнике сумма двух углов
без третьего всегда меньше 180''.
§ 7. Условия равенства сферических треугольников.
Сферические треугольники на одной и той же сфере равны
при условии, если данные равные части расположены в тре-
треугольниках одинаковым образом и имеют:
а) по равным двум сторонам и углу, заключенному между
ними; - ,

16 I. ВВЕДЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКУЮ
б) по равным стороне и двум углам, к ней прилежащим;
в) по трем равным сторонам;
г) по трем равным углам. * fJ :
Первые три случая равенства сферических треугольников
доказываются так же, как и равенства плоских треугольни-
треугольников в начальной геометрии; что же касается четвертого слу-
случая, то доказательство его производится при помощи по-
построения для данных сферических треугольников, им полярных.
Пусть дан сферический треугольник, имеющий соответ-
соответственно углы А, В, С и стороны а, Ь, с, другой данный
треугольник имеет углы D, Е, F и стороны d, e, f. Данб,
что A = D, В = Е и C=F, требуется доказать, что тре-
треугольники равны.
Для доказательства вообразим для данных треугольников
полярные. Пусть углы их и стороны будут обозначены теми
же буквами, как и элементы данных, только с индексами.
На основании свойств полярных треугольников имеем сле-
следующие соотношения:
Л + а^Ш0, ?> + ??! = 180°,
В ¦+&,= 180°, Е -fe, =180°,
Ввиду того, что A = D, B = E и C = F, находим, что
«i = di, *i = ei, c1=f1.
Отсюда вытекает, что полярные треугольники А^В^С^ и
DjEjFi равны по трем равным сторонам, а поэтому и их
углы равны: Ах = Du В1 = Е1 и Ct = Fv
Но если углы полярных треугольников равны, то сто-
стороны основных сферических треугольников обязательно равны,
так как углы полярного треугольника служат дополнением
до 180° сторон основного сферического треугольника. От-
Отсюда заключаем: стороны основного сферического треуголь-
треугольника равны, а потому, на основании третьего условия ра-
равенства треугольников, и сами треугольники равны.
§ 8. Понятие о симметричных сферических треуголь-
треугольниках. Если от вершин сферического треугольника ABC
проведем диаметры, то они пересекут сферическую поверх-
поверхность в точках Alt Bi и Q (черт. 6). Если соединим эти
точки дугами больших кругов, то получим другой сфери-

§ 8. ПОНЯТИЕ О СИММЕТРИЧНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ
17
ческий треугольник А\ВХСЬ противолежащий первому и
называющийся симметричным треугольником. В более общем
случае мы будем называть симметричными и такие треуголь-
треугольники, соответственные вершины которых хотя и не располо-
расположены на концах общего диаметра, но в подобное положение
могут быть приведены некоторым движением по сфере.
Очевидно, у симметричных треугольников все элементы
равны. Несмотря на это, в общем случае такие треугольники,
Черт. 6.
будучи наложены друг на друга, не могут совпасть своими
элементами вследствие другого порядка их расположения.
С аналогичным случаем приходится встречаться и в пло-
плоской геометрии. Так, прямоугольный треугольник AiB%Ci
и равновеликий ему, но симметрично расположённый отно-
относительно вертикальной оси, треугольник ABC не могут быть
совмещены без вращения, т. е. не выходя из плоскости
чертежа (черт. 6а). Равно не могут быть совмещены и косо-
косоугольные треугольники CBD и DxBxCv Однако, если послед-
последние сделаются равнобедренными, скажем, за счет движения
точек D и Dj, то полученные треугольники могут быть
совмещены без вращения, хотя соответственно обозначенные
точки С и Clt D и Dx и не совпадут.
2 Загс. 3578. Сферическая тригонометрия.

18
i. ёведение в сферическую тригонометрию
Все вышесказанное имеет место и для сферических тре-
треугольников, в отношении которых рассмотренный случай
плоской геометрии можно Считать частным случаем симметрии
относительно бесконечно удаленной точки.
В силу приведенных соображений симметричные сфери-
сферические равнобедренные треугольники могут быть совмещены
на, ?фере. Пользуясь этим, докажем, что данный сфериче-
сферический треугольник ABC и ему симметричный А1В1С1 равно-
равновелики по площади.
Для доказательства вообразим малый круг, проходящий
через точки ABC, и пусть Р есть центр этого круга.
в, с, с до д
Соединив точку Р дугами больших кругов с точками А, В и С,
получим равные дуги АР, ВР и PC.
Проведем через точку Р диаметр, он в пересечении со
сферой даст противоположную точку Pv которую соединим
дугами больших кругов с точками Аф^. Очевидно, что
в силу равенства центральных вертикальных углов АР = А1Р1\
ВР = В1Р1 и СР «= C^PV Ввиду же того, что АР = ВР = СР,
то и AJ3^ вя Bjpj = QPj и, следовательно, точка Рх есть
центр малого круга, проходящего через вершины треуголь-
треугольника AiByCv
Сферические треугольники ABC и А1В1С1 разбились на
равнобедренные симметричные треугольники, которые при
наложении друг на друга вследствие своей равнобедренности
совпадут, и площади их поэтому будут равны. Вследствие
этого:

§ 9. соотношения Между сторонами и углами трвугольника 19
Сложив найденные равенства почленно, получим, что
площадь ДЛВС равновелика площади ДЛ^С^ (равно-
(равновелика, а не равна, потому что равные симметричные тре-
треугольники, на которые разбились основные треугольники,
неодинаково в них расположены).
§ 9. Соотношения между сторонами и углами сфери-
сферического треугольника, а) Если в сферическом треуголь-
треугольнике две стороны уежду собою равны, то равны и углы,
противолежащие или
Положим, что а =
= с. Требуется до-
доказать, что А = С
(черт. 7).
Соединим вершину
В дугой ' большого
круга с серединой К
стороны АС. Тогда
в треугольниках АВК
и ВКС сторона ВК
общая, АК*=КС по
построению, АВввВС Черт 7.
по условию. Треуголь-
Треугольники АВК и ВКС имеют равные, но расположенные в дру-
другом порядке стороны, т. е. они будут симметричны, поэтому
угол А равняется углу С.
б) В сферическом треугольнике против равных углов
лежат равные стороны.
Дано А = С; доказать, что а = с.
Эту теорему доказываем при помощи полярного тре-
треугольника. Если А —С, то 18j°—а1 = 180°—сг; a1==c1.
В полярном треугольнике, имеющем равные стороны ах = си
противоположные углы будут равны, т. е. А1=С1. Пере-
Переходя от этого равенства к основному треугольнику, будем
иметь: 180° — а = 180°—с, откуда а = с.
в) Во всяком сферическом треугольнике против боль-
большего угла лежит и большая сторона (черт. 8).
Пусть В>С, надо доказать, что Ь*>с.
Проведем из вершины В дугу большого круга под уг-
углом С к стороне а. Тогда треугольник КВС б>дет равно-
равнобедренный с равными сторонами ВК и КС.
2*

1. ВВЕДЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКУЮ ТРИГОНОМЕТРИИ
Из треугольника АВК имеем АВ<АК-{-ВКх но fi/C>=~ КС,
поэтому ЛЯ <АК-\-КС, т. е. AB<ACt т. е. Ь>с.
г) 5 сферическом
треугольнике против
большей стороны лежит
и больший угол.
Дано Ь > с; доказать:
В>С.
Эту теорему доказы-
доказываем при помощи поляр-
полярного треугольника. Если
в основном треугольнике
Черт. 8. b > с, то в полярном тре-
треугольнике 180°—5, >
180° — Си или iB1<C1. На основании предшествующей тео-
теоремы имеем в полярном треугольнике: Ь1<.с1 или, перехоля к
основному, будем иметь: 180°—В< 180°—С, откуда В>С.
§ 10. Описанный око-
около сферического тре-
треугольника и вписанный
в него круги, а) Вписан-
Вписанный круг. Разделим углы
А и В сферического тре-
треугольника ABC дугами
больших кругов АО и ВО
пополам (черт. 9). Из
точки О пересечения этих
дуг проведем дуги боль-
больших кругов OK, OL и ОМ
перпендикулярно к сторо-
сторонам треугольника. Тогда
треугольники АМО и
АКО, имея углы при
общей вершине А равные,
сторону АО общую и
углы л и М равные, как прямые, будут симметричные. По-
Поэтому МО = КО. Точно так же найдем из симметричности
треугольников КОВ и OBL, что KO=sOL.
Поэтому, если проведем из точки О окружность ради-
радиусом ОМ, то она коснется всех трех сторон треугольника.
Черт. 9.

§ 10, ОПИСАННЫЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА КРУГ
Соединим теперь центр описанного круга О с третьей вер-
вершиной С, получим два симметричные треугольника МОС
и OLC, из которых видим, что j^OCM = ?_ OCL:
Назовем дугу большого круга, делящую угол пополам,
биссектрисой угла. . .
Тогда делаем заключение:
Биссектрисы трех углов сферического треугольника
пересекаются в центре малого круга, вписанного в тре-
треугольник.
6) Описанный круг (черт.
iO). Разделим в треуголь-
треугольнике ABC пополам ВС и АВ
и из точек деления К и L
проведем дуги больших кру-
кругов под прямыми углами к сто-
сторонам. Получим точку пере-
пересечения этих"дуг О, соединим
точку О с вершинами А, В,
С дугами больших кругов ОА,
О В и ОС. Докажем, что эти
дуги равны.
Треугольники АОК и КОВ
имеют сторону КО общей,
стороны KB и КА равными
и углы при общей вершине
прямые. Следовательно, треугольники АКО и КВО симме-
симметричны. Стороны их АО и ОВ, как лежащие против равных
углов, будут равны.
Точно так же из рассмотрения двух симметричных тре-
треугольников BOL и LOC выведем, что ВО = ОС. Отсюда
делаем заключение, что АО = OB = Od т. е. если из
точки О, как центра, опишем радиусом, равным АО, окруж-
окружность, то она' пройдет через- все три ае|цднь1 треуголь-
треугольника. * ' ' *" '•
' Если^ теперь центр описанного круга О соединим со
серединой стороны АС дугою большого круга ОМ, то по-
получим два симметричных треугольника АОМ и МОС. Сле-
Следовательно, углы при точке М будут равны между собою,
т. е. прямые.
Отсюда делаем заключение:
Черт. 10:

22 !. ВВЕДВНИВ 8 СФЕРИЧЕСКУЮ ТРИГОНОМЕТРИЮ
Три больших круга, проведенные через середины сторон
сферического треугольника к ним перпендикулярно {ме-
{медианы сферического треугольника), пересекаются в центре
малого круга, описанного около сферического треугольника,
§11. Вопросы и упражнения.
1. Что такое сферический угол и как ои измеряется?
2. Что такое сферическое расстояние между двумя точками
на сфере? Градусное и лине иное его измерение. Как выражается
длниа малого круга?
а) Выразить в линейной мере сферическое расстояние, изме-
измеренное в градусах: <pi = 79°47'8"; ф. = 1 \Ь°ШЛЪ".
(Отв. /1в 1.39257,
/2 = 2.01027).
б) Выразить в градусной мере сферическое расстояние, изме-
измеренное в единицах радиуса: /t =* 0,58430, /2 ¦» 2.42602.
(Отш. ч>1 = 33028'41/if
139°0'2")
в) Как велика дуга большого круга земного шара, радиус ко-
которого 6370 км, на которую опирается угол в?
«! = 42°54'50", ва = Ш'в'Зб".
{Отв. /х = 4776.3 км,
1г = 17 804,6 км.)
г) Длина дуги большого круга земного шара равна 1км; как
велик опирающийся на нее центральный угол? /i = 3562 км, U=*
= 7 932.4 км. (Отв. ч = 32°2' 18*,
71°21'54")
д) Определить в лииейной мере длииу параллели земного шара,
содержащей а градусов и проходящей через точку, находящуюся
под широтой <р. а => 42J15'7", ср = 37э24'10". (Отв. / = 3 733,7 км.)
3. Может ли сферический треугольиик быть задай следующими
элементами, и если не может, то почему?
а) А = 58°35', В => 71°?8', С = 82°ЗГ.
б)А=* 38°21', В= 50'15', С= 75°12.',
в) А = 172 15'. В - 150 30', С = 87°20/,
г) в = 115°12', «-45° 8', с= 65°45',
д)я = 115°30', «=130°20', с = 114°10'.
4. Что такое полярный треугольник, основные свойства его,
какое практическое значение введения его в науку?
5. В чем заключается различие между понятиями: равные и
симметричные треугольники?

II. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ
ТРИГОНОМЕТРИИ
§ 12. Введение. Основными формулами сферической три-
тригонометрии называются соотношения,. связывающие четыре
или пять элементов сферического треугольника, т. е. дающие
возможность по трем или четырем данным его элементам
определять четвертый или пятый.
Так как все^о элементов в треугольнике шесть, то число
основных формул, связывающих четыре элемента, равно
числу возможных сочетаний из шести элементов по четыре,
т. е. пятнадцать:
С4_ 6-5-4.3
Ввиду того, что вывод основных формул мы будем ба-
базировать не только на аналитическом, но и на графическом
методе, считаем необходимым напомнить здесь основные
положения-теории проекций.
1) Алгебраическая сумма проекций на какую-либо ось
несомкнутого прямолинейного многоугольника равняется
проекции на эту же ось его замыкающей.
Как следствие отсюда вытекает:
Алгебраическая сумма проекций сторон замкнутого
прямолинейного многоугольника, расположенного как угодно
в пространстве, на какую-либо ось будет равна нулю.
2) Ортогональная проекция отрезка прямой на ка-
какую-либо ось равняется длине проектируемого отрезка,
умноженной на косинус угла, образуемого осью проекций
с этим отрезком.
Как следствие отсюда вытекает:
3) Проекция отрезка, перпендикулярного к оси проек-
проекции, равна нулю.

24
н. основные формулы сферической тригонометрии
§ 18. Формулы косинуса стороны. Эти формулы из-
известны обычно под названием формул Альбатегния (матема-
(математик, живший во второй половине X века).
Так называются формулы, выражающие зависимость
между тремя сторонами сферического треугольника и одним
из его углов.
Читается формула так:
Косинус одной стороны сферического треугольника
равняется произведению косинусов двух других его сто-
Черт. И. v
рон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус
угла между ними.
а) Вывод формулы, основанной на теории проекций.
Пусть ABC—данный сферический треугольник (черт., 11).
Соединим вершины треугольника ABC с центром сферы О.
Опустим из вершины В перпендикуляры на плоскость боль-
большого круга, проходящего через две другие вершины тре-
треугольника А и С, и на радиусы, соединяющие центр хфертя
|:|таиилершинами. Пусть эти перпендикуляры будут BD,
•fuun рп с°единяя подошвы этих перпендикуляров пря?
мыми си и FD, получим ломаную линию OEDF и ее замы-
замывающую uf. Спроектируем полученную ломаную линию на
ось проекций, совпадающую с направлением ее замыкающей.

§ 13. формулы косинуса стороны 25
Тогда будем иметь следующее соотношение:
пр. OFe-np. О? + пр. ?/)-+-пр. DF, (а)
Рассмотрим значение каждого из элементов, входящего
в это соотношение.
OF, как показывает чертеж, равняется cos о; проекция OF
на ось OF тоже будет cos о, пр. DF = 0, так как
DE J_ OF.
На основании теоремы стереометрии «о трех перпенди-
перпендикулярах» очевидно, что прямая OF, лежащая в плоскости
большого круга АСО и перпендикулярная к наклонной к нему
BF, будет перпендикулярна и к проекции этой наклонной FD.
Чтобы найти пр. ED, заметим, что, на основании теоремы
о трех перпендикулярах, DE перпендикулярна к ОЕ, откуда
угол BED есть линейный угол двугранного угла, измеряю-
измеряющего сферический угол А. Принимая во внимание, что угол
EKD между ED и осью проектирования равен 90° — Ь,
получим, что
пр. ED^ED cos(9O° — b) = ED sin b;
ED = BE cos A; BE == sine,
поэтому
пр. ED= sin b sin с cos A.
Для проекции ЕО последовательно имеем:
пр. ЕО = ЕО cos b; пр. ЕО = cos с; пр. ЕО = cos b cos с.
Теперь, подставляя полученные значения в соотношение
($, имеем:
cos a as» cos b cos C-j- sin b sin с cos A. A)
При 'помощи аналогичных построений можно вывести
остальные две формулы для сторон b и с:
cos b p=» cos с cos a -j- sin с sin a cos B,
cos с «p=» cos a cos b -f- sin о sin ft cos C.
Последние две формулы легко получаются из первой при
помощи способа круговой перестановки букв (черт. 12). Вто-

26
II. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
рую формулу получаем, заменяя в ней букву а на bt b на с, с
на а и Л на Б. Затем третью формулу получаем, заменяя
во второй формуле снова о на Ь\ Ь на с,с на а и В на С.
б) Второй способ вывода
формулы.
Имеем сферический тре-
треугольник ABC, вершины ко-
которого соединяем с цент-
центром О (черт. 13).
Предположим, что сто-
стороны сферического тре-
треугольника b и с каждая
порознь меньше 90°. Про-
Проведем из точки А касатель-
касательные к сторонам сфериче-
сферического треугольника АВ и
Черт. 12. АС, одна из них будет ле-
лежать в плоскости АОС, а
другая — в плоскости АОВ; в силу наложенного ограничения
эти касательные пересекут продолженные радиусы ОВ и ОС
в точках М и М.ч Соединяем точку М с N.
Черт. 13.
На основании теоремы плоской тригонометрии: «квадрат
стороны треугольника равняется сумме квадратов двух дру-
других сторон без удвоенного произведения этих сторон на коси-

§ 13. ФОРМУЛЫ КОСИНУСА СТОРОНЫ 27
нус угла между ними», мы из треугольника MAN имеем:
MN* = AN* -J- AM*—2AN ¦ AM cos A.
Из треугольника OMN имеем:
MN* = ОМ* -f ON3 — 20М • ON cos a,
Из сравнения этих двух равенств вытекает:
Л№ -f /Ш9 — 2AN • ЛМ cos Л =
= O/W»-f GAP —2O/W • CWcos я,
откуда
2ОЖ • CWcos a =»ОЛ|а-5- 0№ — А№— АЛР-\-
+ 2AN- АМсоьА.
Из прямоугольного треугольника ОМА видим, что
ОМ*—АМ*=*ОА*.
Из прямоугольного треугольника ONA видим, что
от—an*=oa*.
После соответствующих подстановок получаем:
2-ОМ- ON cos a = 20 А* + 2AN • AM cos A,
ОМ • ONcos а = О A* -j- AN • AM cos A.
Разделив обе части последнего равенства на произведение
ОМ- ON, получим:
Из чертежа видно, что
ОА . „ОА AN . . AM
m = cosb;"m = Cosc; m = smb;
Делая замену отношений щ:, щ,, щ, и щ| полученными
тригонометрическими функциями, получим окончательно:
cos о = cos b cos с -f- sin ft sin с cos A.
Обобщим теперь выведенную формулу для случая, когда
какая-либо из сторон b и с больше 90°, или каждая из них
болыне 90*
болыне 90*.

28
П. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
Предположим сначала, что Ь > 90, с < 90° (черт* 14).
Продолжим стороны сферического треугольника b и а до
их пересечения в точ-
JI ке Cv тогда получим
сферический треуголь-
треугольник BACit у которого
сторона с < 90° и сто-
сторона A80° — $)<90°,
а значит, на основании
выведенной формулы
мы можем написать:
Черт. 14.
cos A80° — а) = cos A80° — b) cos c -f
-f- sin A80° — b) sin с cos A80° — A),
~ cos a — — cos * cos с — sin * sin с cos Л,
cosa= cos^cosc-J-sio^sinccos A.
Теперь предположим, что ?>90° и с>90° (черт. 15).
Продолжим стороны
сферического тре-
треугольника с и b до
их пересечения в точке
Ai, тогда в сфериче-
сферическом треугольнике сто-
стороны A80°—*)<90°
и A80° —с)< 90°, по-
поэтому на основании
предшествующей фор-
формулы пишем:
cos а ?== cos A80° —
Ш'-с
Черт. 15.
*) cos A80° — с) -f-
-f sin A80° — b) sin(l80° — c) cos Av
но At** Ар поэтому имеем:
cosa =5 cos * cos с -f- sin b sin с cos A.
Формула косинуса стороны, как видно, заключает четыре
элемента сферического треугольника, из которых три лежат
рядом, з один ртдельно.

§ 14. формулы синусов 29
§ 14. Формулы синусов. Эти формулы выражают зави-
зависимость между двумя сторонами сферического треугольника
и двумя противоположными углами.
Синусы, сторон сферическом треугольника пропорцио-
пропорциональны синусам противолежащих им углов.
а) Вывод формулы на основании теорем о проекциях.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника BDE и BDF
(черт. 11). Принимая их общую сторону как замыкающую
двух ломаных линий, будем проектировать эти ломаные ли-
линии на ось проекций, совпадающую с замыкающей: Имеем:
пр. BD = пр. BE + пр. ED; пр. BD=> пр. BF-\~ пр. FD,
откуда
пр. BE + пр. ЕО = пр. fiF-j-пр. FD.
Проекция BE на ось BD равна BE cos DBE; BE, как по*
казывает чертеж, есть sine; ^.DBE равен 90°—А; поэтому
пр. SZ?= sin с cos (90°— A) = $iacsiaA. (b)
Проекция ED на ось BD равна нулю, потому что ко-
косинус угла между ними равен нулю.
Проекция BF на ось BD равна BFcosРВЕ; BF«»sin о;
i/FBE = 90°—С; поэтому пр. BF — sin a cos (90° — С) =
= sin a sin С.
Проекция DF на ось BD равна нулю, так как угол
между ними 90°.
Подставляя полученные значения в равенство (Ь), имеем
откуда
Точно
sin
получаем:
*
так же можно
sin a
slab m
с sin A =
sina
sine
доказать
sin A
• sin a sin
sin A
dnC'
, что
sin b
sine """
e,
sin В
sin С
Из приведенных нами- трех формул синусов мы можем
принять только две за независимые, так как третье отношение

30 II. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
есть их очевидное следствие. Все эти формулы можно на-
написать еще так:
sin a sine . sin 6 sine
sin A == sin С' sin В sin С '
откуда имеем:
sin д _sin6 sine _ .„.
шГЗ — slnlj ^ sin С ' K '
т. е.: в сферическом треугольнике отношение синуса сто-
стороны к синусу противолежащего угла равно постоянной
величине.
б) Вывод формулы синусов из основных формул коси-
косинуса стороны:
cos а = cos ft cos с -J- sin ft sin с cos A,
cos ft = cos a cos с -j- sin a sin с cos B.
Мы видим, что в эти формулы входят элементы а, ft,
А и В, зависимость между которыми надо найти, но, кроме
этих элементов, еще входит с, который нам не нужен.
Отсюда вытекает, что задача вывода формулы синусов сво-
сводится к исключению этого элемента с.
Перенесем первый член правой части каждого равенства
в левую часть и возведем после этого обе части каждого
в квадрат:
cosa — cos b cos с = sin b sin с cos A,
cos b — cos a cos с = sin a sin с со» В,
cos8 a -f- cos9 b cos8 с — 2 cos a cos b cos с = sin8 b sin8 с cos8 A,
cos8 b -J- cos8 a cos8 с — 2 cos a cos b cos с — sin8 a sin8 с cos8 B.
Вычитаем почленно из первого равенства второе:
cos9 а — cos8 b -j- cos8 b cos2 с — cos8 acos8 с =
= sin8 b sin8 с cos8 A — sin8 a sin8 с cos9 Я.
Вынося общие множители за скобки, получаем:
cos9 a A — cos8 с) — cos8 b A — cos8 с) =
= sin8 с (sin9 b cos2 Л — sin2 a cos2 B)

4 14. формулы Синусов 31
или
cos9 a sin9 с — cos8 b sin9 с ==
= sin9 c(sin9* cosM — sin9a cos8 B).
Сокращаем обе части равенства на sin2 с:
cos9 a — cos9 b я sin9 Ъ cos9 A — sin9 a cos9 В.
Заменяем в этом равенстве косинусы через синусы:
A — sin9 a) — A — sin9 b) =
= sin9 b A — sin9 A) — sin9 a A — sin9 B),
1 — sin» a — 1 + sin9* _
¦» sin9 b — sin9 b sin9 A — sin9 a -f sin9 a sin9 5.
После сокращений получаем:
sin9a sin*В—sin3 b sin9 Л == 0; sin8 a sin*Я = sin2 * sin9/!,
tin* a tin» Л
sin1 ft s!n*J3 '
Извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства:
sin а tin A
sin b sin В '
Двойного знака при извлечении корня писать не надо,
так как по условию мы рассматриваем в данном случае
только такие сферические треугольники, у которых каждая
из сторон меньше 90°.
в) Формулу синусов из формулы косинуса стороны можно
вывести иначе:
cos a = cos b cos с -\- sin b sin с cos Л.
Решаем это уравнение относительно А:
cos a — cos b cos с
Обе части этого равенства возведем в квадрат:
•> . cos'a — 2 cos a cos ft cos с -4- cos1 ft cos» с
C0S A" ; .sin» ft sin» с

32 11. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
и вычтем каждую часть из единицы:
, о м slnsftsin2c — cos2a + 2cosacosftcosc—cos2*cos2c
1со8»А. i
Разделим обе части равенства на sin2 а и введем вместо си-
синусов в числителе второй части равенства косинусы
s'nM A—cos* 6)A—cos2c)—cos2 a+2 cos a cos ft cos с—cos2ftcos2c
sin2 a ¦ sin2 a sin1 ft sin2 с
Раскроем скобки и сделаем сокращения:
sin2 Л
sin2a ;
1- cos2ft— cos2c-|-cos2ftcos2<:—co82a+2cosacosftcosc—cos26cos2c
~~ sin2 a sin2 ft sin2T~ '
sin2 Л 1 — cos2 a — cos2 ft — cos2 с+ 2 cos a cos ft cos с
tf n2 a sin2 a sin2 b sin2 с *
Выражение, стоящее в правой части равенства, симме-
симметрично относительно элементов а, Ь, с и не изменит своей
величины от круговой перестановки букв. Очевидно, если
мы произведем такие же вычисления для S1" . и s'.n,~-, no-
sin* 6 sin'с
лучим в правой части то же выражение; поэтому
sin» Л sin2 В sin". С
Откуда имеем:
sin2 a
sin Л
sin a
sin1*
sin В
sin *
sin^c
sin С
sine
Формула синусов иногда формулируется иначе: произве-
произведение синуса стороны на синус прилежащего угла рав-
равняется произведению синусов противолежащих им эле-
элементов. В такой формулировке она преимущественно
используется в астрономии,
§ 15. Формулы пяти элементов. Эти формулы связы-
связывают между собою пять элементов сферического треуголь-
треугольника: три стороны и два угла или три угла и две стороны.
а) Вывод формулы на основании теорем 6 проекциях.
Для вывода этой формулы рассматриваем в четырехуголь-

§ 15. формулы пяти элементов 33
нике DEOF (черт. 11) сторону DP как замыкающую.
Тогда, на основании первой теоремы о проекциях, будем
иметь:
пр. DF = np. FO-\-np. ОЕ-\-щ> ED.
Принимая за ось проекций замыкающий отрезок DF,
будем иметь:
пр. DF= sin a cos С,
пр. FO = cos a cos 90° = 0,
пр. ОЕ = cos с cos (90°—6) = cos с sin ft,
пр. ED = sin c cos A cos A80° — b) s=s — sin с cos b cos Л.
Окончательно после подстановки имеем:
sin a cos С = sin й cos с — cos b sin с cos Л, ?C)
т. е. синус Стороны, умноженный на косинус угла приле-
прилежащего, равен синусу другой стороны, ограничивающей
этот угол, на косинус третьей
стороны минус косинус стороны,
ограничивающей угол, умноженный
на произведение синуса третьей
стороны и косинуса угла, противо-
противолежащего первой стороне.
, Эта формула называется иначе
формулой синуса стороны на коси-
косинус угла.
Таких формул, очевидно, будет
шесть, так как число сочетаний из
шести элементов, взятых по два,
шесть.
Их легко все написать, если в выведенной формуле
сделать круговую перестановку букв (черт. 16), а затем,
написав формулу для другого прилежащего угла, вновь сде-
сделать круговую перестановку букв.
- sin b cds A = sin с cos a — cos с sin a cos В,
sin с cos В = sin a cos b — cos a sin b cos C,
sin a cos В = sin с cos b — cos с sin* cos A,
sin b cos С в sin a cos с — cos a sin с cos B,
sin с cos Asa sin b cos a — cos b sin a cos C.
3 ?Kut. №78. Сферическая тригонометрия.

34 11. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
б) Вывод формулы синуса стороны, умноженного Ни
косинус угла, из формулы косинуса стороны:
cos a = cos b cos с -j- sin b sin с cos A,
cos ft = cos a cos с -J- sin a sin с cos B.
Во второе равенство вставим значение cos а из первого
равенства, для чего умножим обе части верхнего равенства
на cos с и сложим с нижним:
cos b -f- cos a cos с = cos a cos с -j- cos * cos8c -{-
-f- sin a sin с cos В + sin * sin с cos с cos A,
cos ft = cos b cos8 с + sin a sin с cos B-f-sin ft sin с cos с cos Д.
Откуда имеем:
cos b A — cos* c) = sin a sin с cos В-\- sin ft sin с cos с cos Л.
Сокращая обе части равенства на sin с получаем:
cos ft sin с => sin a cos В -\- sin ft cos c cos Л.
Переписывая иначе, получаем окончательно:
sin a cos В — cos ft sin с—sin b cos с Cos A.
в) Формулы, выражающие зависимость между тремя уг-
углами и двумя сторонами сферического треугольника, можно
получить из только что выведенных формул, пользуясь
«соотношением между сторонами сферического треугольника
и противолежащими углами:
sin a cos В = cos "ft sine — cos 6 sin ft cos/l,
sin a sin b sin с
sin A sin В sin С
Из соединения этих двух соотношений Пишем:
т sin Л cos В — т cos ft sin С—т sin В cose cos A.
Откуда окончательно:
sin С cos b = sin A cos В -f- cos A sin В cose. D)
Очевидно таких формул будет шесть и написать их можно,
аналогично формулам C), путем круговой перестановки,

§ i6. формулы косинуса угла <J5
На словах это соотношение между пятью элементами
сферического треугольника можно формулировать так: синус
угла, умноженный на косинус прилежащей стороны, рав-
равняется синусу другого угла, прилежащего к той же сто-
стороне, умноженному на косинус третьего-угла, плюс (об-
(обратно) косинус прилежащего угла, умноженный на синус
третьего угла и на косинус стороны, противолежащей
первому углу.
Эта формула называется формулой синуса угла на коси-
косинус стороны.
г) Вывод формулы синуса угла на косинус стороны при
помощи введения полярного треугольника.
Положим, что мы имеем для данного сферического
треугольника полярный треугольник, имеющий углы Ах В, Ct
и стороны й^Сц тогда для этого полярного треугольника,
применяя формулу синуса стороны на косинус угла, имеем:
sinflj cosBt = sinct cosftj —cos^ Aabi'cosAi.
От полярного треугольника перейдем теперь к основному,
принимая во внимание соотношения:
а,+ ,4 = 180°; Bt-\-b = 180°; Cl-fC= 180°;
*!-|-S = 180o; ^!-f-a= 180°;
sin A80° — A) cos A80° — b) = sin A80d — C) cos A80°—B) —
— cosA80°—C) sinA80°—B) cosA80°—a)
или
— sin Л cos d= — sin С cos В -^ cos С sin В cos a.
Меняя знаки у всех членов равенства на обратные,
окончательно получаем:
sin A cos b = sin С сое В -j- cos С sin В cos a.
§ 16. Формулы, обратные формулам косинуса сто-
роны (формулы косинуса угла). Эти формулы опреде*.
ляют зависимость между тремя углами и одной стороной.
а) Вывод формулы при помощи полярного треугольника.
Построим полярный треугольник для данного треуголь-
треугольника и по отношению к нему напишем:
cos «1 *= cos^j cos Cj -f- sin bx sin ct cos Av
3*

36 Й. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
Переходя к данному сферическому треугольнику, будем
иметь:
cos A80°—A) =»cos A80°—В) cos A80° — С) -f
-fsinA80°— В) sin A80 — С) cosA80° — а).
Посла приведения тригонометрических функций подучаем:
— cos .4 = cosfi cos С—sinfi sin C cos a
или
cos A = -=- cos В cos C-j- sin В sin С cose. E)
Очевидно, тем же путем или круговой перестановкой получим:
cos В = — cos С cos A -f- sin С sin A cos b,
tOS С ess — COS .4 COS fi -f" Sin A Sin fi COS C.
В сферической треугольнике косинус угла равняется
отрицательному произведению косинусов прочих двух углов,
сложенному с произведением синусов тех же углов на
косинус стороны, противолежащей первому углу.
б) Вывод формулы косинуса угла из формулы косинуса
стороны без помощи полярного треугольника (непосредствен-
(непосредственный).
Имеем систему равенств A):
cos а =г cos* cos с -}- sin b sine cos A,
COS Ь ssas COS a COS С -j- Sin a Sin С COS, B,
cos с = cos a cos b -j- sin a sin b cos C.
Значение cose из третьего равенства подставим в первые два:
cos ass cos b (cos a cos й -J- siR # sin * cos О +
-j- sin b sin с cos Л, (I)
cos b sas cos a (cos; a cos ft-f* sine sin* cosC)-}-
-j- sin a sin с cos fi. . (II)
Из равенства (I) получаем:
=ео58й cos a-j- sin asin й cos b cos С +sln b slnccosA,
cpsa(l — cos3 b) = (sin a cpsft cosC-^slac cos A) sln^,
cos a sin8 b «a» (sin a cosft cosC-j-''»* cos Л) sin b,
cos a -si|i ? да sin « cos 6 cos C-\- sin с cog A (III)

§ 16. ФОРМУЛЫ КОСИНУСА УГЛА 37
Точно так же получим из равенства (II):
cos b sin а = sin b cos a cos C-f- sin с cos В. (IV)
На основании соотношений т~тг = п—s — -r^r? =" ю, вста-
sin A sin о sin С
вляеч в предшествующие формулы (III) и (IV) вместо:
sin а = от sin Л; sin Ь =? от sin В; slnc==/« sin С*;
получим:
от cos а sin В es= m sin Л cos & cos C-f- от sin С cos Л,
от cos * sin A = от sin В cos а cos C-|-от sin С cos В.
Сокращая на от, получаем:
cos a sin В = cos* sin Л cosC-J-slnC cos Л,
cos * sin A = cos a sin В cos С -f- sin С cos B.
Значение cos* из второго равенства подставляем в первое
равенство:
cos a sin В cot С 4- sin С cos В
Й5-Я '
cos a sin В =в cos а slri В cos9#C-j- sin С cos С cos В -f-
-J-S'n? cos Л,
cos a sin В A — cos9 С) — sin С cos С cos В -|- sin С cos Л,
cos a slnfi sin9C=sslnC cos С cos В -J- sin С cos Л.
Сокращаем обе части равенства на sin С:
cos a sin В sin С = cos В cos C+ cos Л.
Откуда получаем окончательно:
cos Л =а — cos В cos С -J- sin В sin С cos a.
в) Полученные формулы показывают, что стороны сфе-
сферического треугольника могут быть* определены по трем
его углам:
cos Л 4- cos J5 cos С
C0Sac= sing sin С '
cos Д 4- cos С cos Л -
COSb= Лп С Ип А •
созС+со*Л cos В
C0SC= , sin Л sin Д '

38 II. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
Отсюда следует подтверждение, что с тремя данными
углами существует только один сферический треугольник.
§ 17. Формулы четырех элементов (с котангенсами).
Эти формулы связывают между собой две стороны сфери-
сферического треугольника, угол между ними и один из прилежа-
прилежащих углов. Эти формулы иногда называются формулами
с котангенсами.
а) Вывод на основе формулы пяти элементов и соотно-
соотношения между сторонами сферического треугольника и проти-
противолежащими им углами:
sin Ь cos A = cos a sine—-sina cose cos В,
sin Ь sin A = sin a sin В.
Разделив почленно эти два равенства, получим:
nc ctga cose cos
sin 2) sin В
. . sine ctg a cose cos В
ctg A -
или
ctg Л sin 5 = sin с ctg я — cose cosS,
или окончательно:
sine ctg я — sin В ctg A = cos с cos 5. F)
Таких формул будет шесть. Для того чтобы легче запом-
запомнить эти формулы, существует мнемоническое правило,
предложенное шотландским матема-
математиком Непером. Обращает внимание,
что формула связывает четыре эле-
элемента треугольника, лежащих рядом
АсВа; из них всегда — два угла и
две. стороны; один угол всегда
крайний, другой внутренний и од-
одна сторона крайняя, другая внут-
внутренняя.
Непер предложил формулу читать
так: разность между произведением
синуса средней стороны на котан-
котангенс крайней стороны и синуса сред-
него угла на котангенс крайнего угла равна произведению
косинусов средних элементов (черт. 17).

§ 17. ФОРМУЛЫ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ (С КОТАНГЕНСАМИ) 39
Рассматривая чертеж, видим, что кроме имеющейся ком-
комбинации АсВа, можно получить еще пять различных комби-
комбинаций из элементов двух углов и двух сторон, расположен-
расположенных рядом между собою:
ВаСЬ, СЬАс, аСЬА, ЬАсВ, сВаС,
из которых по правилу Непера получим пять следующих
формул:
sin a ctgb— sin С ctg В «cos а созС,
slab ctgc — sin A ctg С = cos ? cos Л,
sin b ctga — sin С ctg A = cos b cos C,
sin с ctg b — sin A ctg В ¦= cos с cos A,
sina ctgc—sinB ctgC=cosa! cosS.
Легко видеть, что первые две формулы получаются из
формулы F) и последние две из формулы sin b ctg a —
— sin С ctg A = cos b cos С при помощи круговой перестановки
букв.
б) Вывод формулы с котангенсами на основании фор-
формулы косинуса стороны:
cos a = cos b cos с -f- sin b sine созЛ,
cos с = cos a cos b -j- sin a sin Ь cos C.
Формула четырех элементов должна связывать две сто-
стороны, угол между ними и один из прилегающих углов:
а, Ь, С, А.
В написанные две формулы входят все эти элементы,
лишним является с, который и надо исключить.
Обе части второго -равенства умножим на cosb, получаем:
cos b cos с = cos о cos9^ 4- sin*a sin b cos b cos С
Возьмем формулу B):
sine _ sina . sina sin С
~ifnCr~UnT ' smc
Умножив обе части последнего равенства на произведение

4U П. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
slui cos А, получим:
sin* sine cos A == sin a sin* sin С clgA.
Если теперь найденные значения для cos* cose и для
sin * sin с cos Л подставить в формулу A), то получим:
cos а = cos a cos2*-{-sins sin* cos* cosC-j-
-|-sina sin & sin С ctgA,
cosa(l—cosa*) = sina sin* cos* cosC-f-
+ sin a sin b sin С ctg A.
Сократив обе части равенства на sin 6, имеем:
cos a sin * = sin a cosb cos C-f- sin a sin С ctg Л.
Разделив обе части равенства на sin а, получим оконча-
окончательно:
sinb ctg а — sfnC ctg A =» cos* cos С.
в) Эту формулу, выражающую зависимость между че-
четырьмя элементами сферического треугольника, можно напи-
написать в таком виде. Разделив обе части формулы на произве-
произведение .cos* cos С, получим:
sin Ь ctg a sin С ctg A
cos Ь cos С cos Ь cos С
ctg a I ctg Л 1
ctg b cos С ctg С cos b
= 1,
= 1.
Итак: В сферическом треугольнике отношение котан-
котангенсов двух сторон, разделенное на косинус угла, заклю-
заключенного между ними, минус отношение котангенсов двух
углов, взятых в обратном порядке, разделенное на коси-
косинус стороны между вершинами этих углов, равно единице.
§ 18. Вопросы и упражнения.
1. Подсчитайте, сколько основных формул сферической тригоно-
тригонометрии, связывающих четыре элемента треугольиика; разделите их
на две группы, из которых каждая группа формул может быть
выведена при помощи полярного треугольника из другой группы
формул.
2. Перечислите элемеиты сферического треугольника, которые
могут входить в формулы, связывающие между собою три стороны

§ 18. ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ 41
и одни из углов. Сколько таких формул можно написать? Напи-
Напишите их.
3. Перечислите элементы сферического треугольника,'которые
могут входить в формулы, связывающие две стороны с двумя
противолежащими углами. Сколько таких формул можно написать?
Напишите их.
4. Перечислите элементы сферического треугольника, которые
могут входить в различные формулы, связывающие две стороны,
угол между ними и угол, противолежащий одной из них. Сколько
таких формул? Напишите их.
5. Перечислите элементы сферического треугольника, входя-
входящие в разные формулы, выражающие зависимость между одной
из сторон и тремя углами. Сколько таких формул? Напишите их.
6. Из общего количества формул, связывающих четыре эле-
элемента треугольника, сколько независимых формул? Обоснуйте
доказательством свой ответ.
7. Сколько формул, связывающих пять элементов треуголь-
треугольника? Напишите их.
8. Возможен ли сферический треугольник при следующих зна-
значениях его элементов:
а=35в30'23", Ь = 38°57'12",
а = 41°15', Ъ = 20°18',
а = 2й°32'32", Ь = 68°12'58",
А = 25°26'17", В = 64°9'41",
>4 = 43°2'6'г, Я = 47°37'21",
Л=35°12', Б = 46°18/,
с = 80°14/41", Л = 17э20'52",
С = 100WI6", а = 21С27'36".
9. Приняв в основу данную вам формулу косинуса угла, выве-
выведите формулу косинуса стороны при помощи полярного треуголь*
иика.

Ш. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
СФЕРИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
§ 19. Введение. Сферический треугольник определяется
по трем данным его элементам; в прямоугольном сфериче-
сферическом треугольнике один элемент (прямой угол) известен,
следовательно для его определения необходимо должны быть
даны еще два элемента, по которым и будет
отыскиваться какой-либо третий элемент.
Таким образом, в формулу решения прямо-
прямоугольного сферического треугольника дол-
должны входить три элемента: два данных и
один искомый.
Число всевозможных случаев нахожде-
нахождения неизвестного элемента по двум данным,
L очевидно, будет равно числу сочетаний из
' пяти элементов (а, Ь, с, В, С) по три:
у->я 5 • 4 • 3 , п
Всех случаев решения прямоугольных
Черт. 18. сферических треугольников будет десять, а
именно (черт. 18):
abc, abB, abC, асВ, асС, аВС, ЬсВ, ЬсС, ЬВС, сВС.
Таким образом, нам нужно найти десять формул для
решения прямоугольных сферических треугольников.
§ 20. Сферическая теорема Пифагора. Косинус гипо-
гипотенузы равен произведению косинусов его катетов.
а) Вывод формулы непосредственный.
Пусть АВС есть прямоугольный сферический треуголь-
треугольник с прямым углом А. Трехгранный угол, плоским* и ли-

§ 20. СФЕРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ПИФАГОРА, 43
нейными углами которого измеряются элементы данного
сферического треугольника, будет ОАВС (черт. 19).
Возьмем на ребре ОВ трехгранного угла ОАВС какую-
либо точку Р и проведем через эту точку Плоскость PTS,
перпендикулярную к ребру ОВ. Получим тетраэдр SOPT,
причем ребро тетраэдра ST будет тоже перпендикулярно
к плоскости АОВ, как линия пересечения двух перпендику-
перпендикулярных к этой плоскости плоскостей (плоскость OST пер-
перпендикулярна к плоскости АОВ вследствие того, что угол А
дан прямым). Вследствие этого плоские [треугольники STP
и STO имеют прямые углы
при общей вершине Т. Из соот-
соотношения сторон в этих прямо-
прямоугольных треугольниках имеем:
ОР ОР
cosc;
Подставляя эти отношения в
тождество:
ОР ОТ ОР
получим окончательный резуль-
результат:
cos a = cos Ь cos с. G)
б) Вывод сферической формулы Пифагора из основной
формулы косинуса стороны.
Возьмем ту формулу косинуса стороны, которая содер-
содержит угол А:
cos a з= cos b cos с -f- sin ft sin с cos A.
В прямоугольном треугольнике А = 90°, cos.4 = 0; поэтому
cos a sb cos b cos c.'
Эта формула показывает, что в прямоугольном сферической
треугольнике число сторон, больших 90°, всегда четное,
а меньших — нечетное. В самом деле, для того чтобы суще-

44 III. ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ствовало соотношение cos a =<=¦ cos Ь cos с, необходимо при
наличности знака -J- в первой части равенства, чтобы были
одинаковые знаки у обоих множителей во второй части,
т. е. или каждая из трех сторон треугольника меньше 90°,
или две из них больше 90°; при наличности же в первой
части внака —, во второй части один из множителей будет
обязательно отрицателен, что показывает необходимость
иметь две стороны больше 90°, а одну меньше 90°.
§ 21. Синус катета в функции гипотенузы и противо-
противолежащего угла. Синус каждого из катетов равен синусу
гипотенузы, умноженному на синус противолежащего
угла.
а) Для иепосредствеииого вывода формулы воспользуемся
черт. 19:
5 Т SP S Т
s= sin В; -^ = sin a; -^ = sin b.
Если
сделать
или
затем в тождестве:
ST
ST.
sp"" so ;
SP
SO
соответствующие подстановки, го
sin В =
sin 6 =
_. sin Ь
" sin a
= sina
sin Б.
(8)
б) Эта же формула получается как частный случай из
основных соотношений между сторонами сферического тре-
треугольника и противолежащими им углами:
sin Л sin a #
UtTF ШТ'
sin Л sing
sin С sine '
где для прямоугольного треугольника, очевидно, следует
положить А = 90°, sin Л = 1, т. е.:

§ 23. ТАНГЕНС КАТЕТА 45
§ 22. Тангенс катета в функции гипотенузы и угла,
ему прилежащего- Тангенс каждого катета равен произ'
ведению тангенса гипотенузы на косинус угла, ему при-
прилежащего.
а) Вывод формулы непосредственный.
Руководствуясь черт. 19, имеем такие соотношения:
РТ РЯ РТ
%=*\gc; -Jg—iga; -g—cotA
Напишем тождество:
РТ_ PS РТ
РО ~~Ш~Р1>>
откуда
= tga cosB. (9)
б) Вывод формулы из основной формулы.
Берем основные формулы синуса стороны на косинус
прилежащего угла:
sin b cos Л = sin с cos a —cose sin a cosB,
sine cosA=sinft cos a—cos b sin a cos С
Принимая во внимание, что для прямоугольного треуголь-
треугольника cos А = 0, имеем следующие соотношения:
sine co8a = sina cose cos#,
sin b cos a = sin a cos ? cos C.
Разделив обе части первого равенства на произведение,
sin a cos с, а второго — на произведение cos b sin a, получим:
tgc ctga=s=cosB, tg.c=s=tga cos5,
tg b ctg a = cos C, igb = tg a сое С
§ 23. Тангенс катета в функции другого катета я
угла, ему противолежащего. Тангенс одного из катетов
равен произведению синуса другого катета на тангенс
противолежащего угла.
а) Вывод непосредственный. '
Из тетраэдра SOPT (черт. 19) имеем:

4U ill. формулы прямоугольных Треугольников
Напишем тождество:
TS ТР TS
ТО~ ТО ТР '
откуда
tgft = sinc tgB. (Ю)
б) Вывод формулы из основной формулы. „
Напишем такие формулы с котангенсами, в которых
угол А входит во вторую часть формул:
ctg ft sin с = ctg В sin A 4- cos A cos с,
ctg с sin ft == ctg С sin A -\- cos A cos ft.
Полагая A = 90°, sin A » 1, cos A = 0, получим:
ctg ft sin с = ctg B, tgft = sinc tgB,
ctg с sin ft = ctg C, tg с == sin ft tg С
в) Эти формулы показывают, что в прямоугольном сфери-
сферическом треугольнике катет и противолежащий ему угол на-
находятся всегда в одной четверти, т. е. если ft ^90°, то и
5^90°; точно так же: если с^90°, то и С^90°. Это
заключение вытекает из того условия, по которому мы рас-
рассматриваем сферические треугольники только те, у которых
стороны и углы меньше 180°. Поэтому sin ft и sine постоянно
положительны, а отсюда для существования предыдущих
соотношений необходимо, чтобы tgb и tgB, а также tgc
и tgC имели одинаковые знаки.
§ 24. Косинус гипотенузы в функции косых углов.
Произведение котангенсов углов, прилежащих к гипоте-
гипотенузе, равно косинусу гипотенузы.
а) Вывод на основании формул прямоугольного сфериче-
сферического треугольника.
Возьмем предшествующие формулы:
tgft = sinc tgB,
tgc = sin ft tgC
Перемножим их почленно:
tgb tgc = sinc sinb tgB tgC,
откуда

§ 25. койинус Угла 4?
Но ha основании равенства cos ft cos c=* cos а (сфериче-
(сферическая формула Пифагора) имеем окончательно:
cosa==ctgB ctgC. A1)
б) Вывод формулы из основной формулы.
Возьмем основную формулу косинуса угла:
cos 4=з= — cos В cosC-J-sinB sin С cos a,
но совД = 0, поэтому имеем:
cos В Cos С =й sin В sin С cos а.
Разделив обе части равенства на произведение sin В sin С,
получим окончательно!;
cosa=*ctgB ctgC.
§ 25. Косинус угла в функции противолежащей сто*
роны и другого угла. Косинус одного из углов равен
произведению косинуса противолежащей стороны на синус
другого угла.
а) Вывод из формул прямоугольного сферического тре-
треугольника.
Возьмем формулы, связывающие в сферическом треуголь-
треугольнике катет, гипотенузу и прилежащий к катету угол:
tgc = tga cos В,
tg b = tg a cos C,
откуда
n tgc sine cos a __ sin с cos a
tg a ~T- cos с sin a sin a cos с
*
На основании предшествующих формул имеем:
sine
sin a
cos я
ccs с
a Sin С,
= cos Ы
Делая соответствующие подстановки, будем иметь оконча-
окончательно: .
cosB=~ sin С cos*. : A2)

48 til. ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Точно так же из формулы: tg?==»tga cos С получим:
cos С = sin5 cose.
6) Вывод из основной формулы.
Возьмем формулы косинусов углов В и С:
cos В =» — cos Л cosC-f-sin/1 sin С cos b,
tosC=s — cos Л cos В-j-sin Л sin В cose.
Полагая со8Л = 0, sin Л = l, будем иметь:
cos В = sin С cos b,
cos С = sin В cos с
§ 26. Мнемоническое правило Непера. Перепишем вы-
выведенные формулы для решения прямоугольных сферических
треугольников, опуская те из них, которые выражают повто-
повторение одного и того же случая.
cos a = cos b cos с,
slab ss sin a sin В,
cosB = ctga tgc, очевидное следствие (9)
sin с в» tg b ctg В, очевидное следствие A0;
cosaswctgB ctg С,
cos В = cos b sin С.
Сделаем так, чтобы в левых частях написанных равенств
везде были косинусы, для чего везде вместо катетов введем
дополнительные им дуги до 90°:
Cos а =; sin (90е—*) sin (90° — с),
О 0^(90'— ?) = sin a sin В,
cos В = ctg a ctg (90°—с),
^ cos a = ctg В ctg С,
cos В = sin (90° — b) s}nC.
Рассматривая эти формулы, замечаем, что в девой части
везде стоят косинусы, а в правой части —: произведения или
синусов, или котангенсов.

§ 27. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ СТОРОН И УГЛОВ 49
Не пер предложил следующее правило, дающее возмож-
возможность легко написать все формулы для решения прямоуголь-
прямоугольных сферических треугольников (черт. 18).
Если три части треугольника лежат рядом, то косинус
средней части равняется произведению котангенсов край-
крайних частей; если же части лежат не рядом, то косинус
отдельно лежащей части равен произведению синусов ча~
стей, лежащих рядом, причем катеты должны быть заме-
заменены их дополнениями до 90° и прямой угол не должен
считаться отделяющей частью, т. е. катеты считаются
лежащими рядом.
§ 27. Связь между величинами сторон и углов пряно-
угольного сферического треугольника.
а) Для связи гипотенузы и катетов имеется сферическая
формула Пифагора: cos a = cos b cose.
1) Положим, что каждый из катетов Меньше 90°, тогда cos b
и cos с положительны, а значит и cos а положителен и а < 90°.
2) Если каждый из катетов больше 90°, то cosb и cose
оба отрицательны, а поэтому cos а положителен и а < 90°.
3) Если один из катетов больше 90э, а другой меньше
90", то один косинус катета будет положителен, а другой
отрицателен, поэтому cos а будет отрицателен и а > 90 .
Для удобства высказываний условимся называть два эле-
элемента треугольника однородными, если оба больше или
меньше 90°, и разнородными в том случае, когда один из
них больше, а другой меньше 90°. При таком условии имеем
следующее соотношение между величинами катетов и гипоте-
гипотенузы сферического треугольника:
если катеты прямоугольного сферического треугольника
однородны, гипотенуза меньше 90"; если же катеты разно-
разнородны, гипотенуза больше 90°.
б) Для связи гипотенузы с прилежащими к ней углами
имеется формула cosfl = ctgB ctgC. Применим к этой фор-
формуле такие же рассуждения, как и к предшествующей фор-
формуле cos a = cos b cos с; будем иметь следующее соотношение
между гипотенузой и прилежащими к ней углами:
если прилежащие к гипотенузе углы однородны, то гипо-
гипотенуза меньше 90°; если же эти углы разнородны, то гипо-
гипотенуза больше 90е*.
4 Зак. №78. Сферическая тригонометрия.

50
III. ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
в) Для связи одного катета и двух косвенных углов имеем
соотношение: cos В = cos b sin С; sin С постоянно в этой фор-
формуле положителен вне зависимости от того, тупой или острый
угол С, поэтому знак cos В будет такой же, какой и у cos b.
Отсюда вытекает, что любой катет сферического треуголь-
треугольника и противоположный ему угол всегда однородны.
г) Выведенные соотношения между величинами сторон
и углов прямоугольного сферического треугольника помогут
в дальнейшем, при опреде-
определении элементов прямоуголь-
прямоугольного треугольника по их си-
синусам, выбрать, какое из
двух значений элементов
является действительным.
§ 28. О высоте сфери-
сферического треугольника.
а) Высотою сферического
треугольника называется
дуга большого круга, про-
проведенная через вершину
треугольника перпенди-
перпендикулярно противоположной
стороне (черт. 20).
Из прямоугольных сферических треугольников ABD и BCD
имеем:
sin hb = sin с sin A = sin a sin С,
т. е. синус высоты сферического треугольника равняется
синусу боковой стороны, умноженному на синус угяъ, про-
противолежащего высоте и примыкающего к этой стороне.
6) Из этой формулы между прочим видно, что соответ-
соответственные высоты двух взаимнополярных треугольников или рав-
равны, или дополняют друг друга до 180°. В самом деле, напишем
формулу высоты sin hbl = sin c^ sin Ax = sin at sin Cj полярного
треугольника, построенного для данного. Выражая элементы
правой части этой формулы через элементы основного тре-
треугольника, будем иметь:
sinbl = sinA80° — a) sin A80°— С) «. sin a sin С,
т. е.
Черт. 20.

§ 29. ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ Ы
а это может быть только в том случае, есяи hb = hbi или
если йь = 180° — hbl.
в) Напишем формулы для высот hb и А„:
sin Ab = sinc sin А,
sinA0 = sin# sin С.
Умножим обе части первого равенства на sin Ь и обе
части второго равенства на sin а:
sinb sin/zb= sin Z> sine sin<4,
sin a sinA0 = sina sin b sin С
Ввиду того, что sin с sin А = sin a sin С, приходим к заклю-
заключению, что правые части равенств равны. Поэтому
sin b sinA6 = sina sin/z0, A3)
т. е. во всяком сферическом треугольнике произведение
синуса стороны на косинус соответственной высоты есть
величина постоянная.
§ 29. Вопросы и упражнения.
1. Пользуясь правилом Непера, написать формулы, связываю-
связывающие следующие элементы прямоугольного сферического треуголь-
треугольника:
а, В С; с, а, В; а, Ь, с\ Ь, с, В; с, а, С; С, В, с.
2. Сферический треугольник, в котором одна из сторон рав-
равняется 90°, называется прямостороииим сферическим треугольником.
Вывести с помощью полярного треугольника все десять формул
для решения прямостороииих сферических треугольников*
3. Вывести, базируясь иа формулах для решения прямоуголь-
прямоугольных сферических треугольников, основную формулу сферической
тригонометрии косинуса стороны.
4. Основываясь иа существующей связи между величинами
углов и сторон прямоугольного сферического треугольника, сказать,
возможен ли прямоугольный сферический треугольник, имеющий
элементы:
а = 15(Р 20'; Ь = 110° 15'; с = 13 У> 4Q';
а = 71° 24"' 30"; * = 140° 52' 40"; с = 114° 15' 54";
Ъ = 33° 7' 37"; ? = 60° 22'25"; С = 36° 10' 38".
5. Вычислить высоту сферического треугольника кк, имеющего
а=* 16°6', 22", с==61°33'4". А = 15°38'7", С= 121° 19' 47". Прове-
Проверить верность данных величии.
4*

IV. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
§ 80. Введение. Ввиду того, что для решения прямо-
прямоугольных сферических треугольников необходимо, кроме
прямого угла, знать какие-либо еще два элемента, при реше-
решении их могут встретиться следующие шесть случаев. Решить
треугольник: 1) по двум катетам, 2) по гипотенузе и катету,
3) катету и противолежащему углу, 4) катету и прилежа-
прилежащему углу, 5) гипотенузе и прилежащему углу, 6) по двум
углам.
Для нахождения неизвестных элементов треугольника по
его данным полезно сделать сначала чертеж сферического
треугольника, отметить на нем данные элементы и, пользуясь
правилом Непера, написать формулу, связывающую отыски-
отыскиваемый элемент с данными. При этом, чтобы избегнуть оши-
ошибок от лишних вычислений, надлежит искомые величины
определять только через данные. Для того чтобы меньше
пользоваться таблицами и облегчить работу, следует разра-
разработать схему вычислений, которая улучшает технику вычис-
вычисления и дает возможность другому лицу легко разобраться
в работе. Решение прямоугольных сферических треугольни-
треугольников надлежит контролировать с помощью формулы, связы-
связывающей все три вычисленные элемента. Для этих контроль-
контрольных вычислений логарифмы будут уже определены при вычи-
вычислении искомых величин.
Полезно также заметить тем, которые еще недостаточно
хорошо усвоили технику работы с логарифмами, что но ло-
логарифмам можно вычислять не только положительное коли-
количество, но и абсолютную величину отрицательного количества,
причем должно отмечать логарифмы отрицательных чисел
особыми значками, обыкновенно буквою п. Если при сло-
сложении таких логарифмов отрицательных множителей или

§ 31. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО КАТЕТАМ
делителей будет четное количество, то окончательный
результат будет положительный, в случае же нечетного их
количества — отрицательный.
§ 31. Решение сферического треугольника по двум
данным катетам (черт. 21). Дано: Ъ, /."Найти: а, В, С.
По правилу Непера, пишем необходимые для решения
треугольника формулы:
для определения a: cos a = sin (90° —- b) sin (90° — с),
для определения В: cos (90°—с) = ctg В ctg (90° —ft),
для определения С: cos (90°—b) = ctg С ctg (90° — с).
Отсюда формулами для решения тре-
треугольника будут:
cos а еэ cos b cose;
sin b = ctg Ctg с,
Искомые величины определяются
по косинусу и тангенсу, поэтому за-
задача всегда возможна и притом имеет Ь
одно решение. ч 2|
Для контроля вычислений берем '
формулу, связывающую вычисленные три элемента:
cos a == ctg В ctg С.
Схема вычислений
Дано: 6=150°52'40",
с = 114°15'54".
1) lg cos Ь
4) lgcosc
7) lgcosa
(?) а
9,94116л
9,61379 л
2)
5) comp lg sin с
9,55495
6) lg tg с
3) comp lg sin Ь
9)lgtgC
15) С
8) lgtgfi
14) В
0.34603 л
9.74653я
0.04018
9.78 671 я
0.31231
0.65 834 n

54 IV. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Контроль вычислений
0.21 329
9.34166
10) lg ctgB = O — lgtgB
11) lg ctgC = 0 —lgtgC
12) lg cos a
9.55495
§ 32. Решение сферического треугольника по катеху
и гипотенузе.
Дано: а, Ъ. Найти: с, В, С.
а) Руководствуясь правилом Непера, имеем:
для определения с: cos а = sin (90°— b) sin (90° -—с),
cos a = cos b cos с;
для определения В: cos (90°—*) = sin?sin a.
sinb = sin 5 sin a;
для определения С: cos С = ctg a ctg (90° — b),
cos С и» ctg a tg ft.
Отсюда неизвестные элементы определяются следующими
формулами:
sin Ь
cosC=i§-r- on)
Для стороны с из формулы (I) получится одно решение.
Для угла В из формулы (II) получатся две величины:
одна < 90°, а другая > 90°. Из двух решений надо выбрать
такое, чтобы В и Ь находились в одной четверти (см. § 27).
Для угла С из формулы (III) получится одно решение.
Теперь посмотрим, при всех ли значениях гипотенузы и
катета сферический треугольник возможен.
Для того чтобы сферический треугольник был возможен,
необходимо, чтобы cose, sin В и cos С [в формулах (I),
(И), (III)J были меньше единицы, а для этого необходимо
и достаточно, чтобы гипотенуза а заключалась по величине
между катетом и дополнением его до 180°.

§ 32. РЕШЕНИЕ ПО КАТЕТУ И ГИПОТЕНУЗЕ
_ sin Ь
55
В* самом деле, из формулы 81п? = щ^ видим, что тре-
бов4ние sin В < 1 ведет к требованию, чтобы sin b < sin а,
а также чтобы sin A80° — ft)<sina; обе части неравенства
числа положительные, так как b и а меньше 180°. Для того
чтобы эти неравенства существовали, необходимо должно
быть: при а < 90°, Ь<а< 180° — Ь, а при а>90°, Ь>а>
>180°— Ь.
Заметим, что при этом же условии cos с и cos С постоянно
будут меньше единицы.
Контрольной формулой для вычислений будет служить
формула, связывающая все три вычисленные элемента с,
В и С.
По правилу Непера будем иметь:
cos С = sin В sin (90° — с); cos С = sin В cose.
Схема вычислений
Дано: а = 80ЧК25",
Ь = 47°38'36".
1) lgcosa
4) comp lg cos Ь
7) lgcosc
13) с
9.23 937 5) lg sin b
0.17 150 2) comp lg sin a
9.41 087
75°4'30"
6) !g tg ft
3) comp lg tg a
8) lg sin В
14) В
9) lg cos С
15) С
0.04012
9.24 601
9.28613
78151'25//
Контроль вычислений
10) lgsinB
11) lgcosc
12) lg cos С
9.S7 526
9.41 087
9.28613
9.86 862
0.00664
9.87 526
48°37'11"

56 IV. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ /
Как известно, для углов, близких к 90°, синус, 'а для
углов, близких к 0°, косинус изменяются очень медленно.
Поэтому изменяются очень медленно и их логарифмы. Так,
при изменении угла от 80 до 90° мантисса логарифма синуса
меняется только на 0,006.
В этих случаях определение элементов сферического тре-
треугольника будет неточным. Для повышения точности выгод-
выгоднее употреблять другие формулы, дающие возможность
определять неизвестные элементы по их тангенсам.
Из прямолинейной тригонометрии знаем:
с
На основании сферической формулы Пифагора G) имеем:
cos с == —-^. Делая подстановку в предшествующую фор-
формулу, получаем:
cos b — cos a
cos* -(-cos a
/¦
о . b + a . b-
-2 sin —7j— sin —
0 b + a
2 cos —I— cos
b—a
Радикал берется со знаком -4-. так как tg-^ будет вели-
величиной постоянно положительной ввиду того, что с постоянно
меньше 180°.
Для определения угла В берем такое соотношение:
; — COS В
В этой формуле меняем В на 90°-+-В\ получим:

..,§ 32. РЕШЕНИЕ ПО КАТЕТУ И ГИПОТЕНУЗЕ 57
Выражая sinS через "—-^ [см. § 21, формулу (8)],
получим:
sin ft
sin a — sin b
- . a+b a — b
2 sin —^— cos —s—
a-\-b . a — b '
i . CL "г" О
:D5° + 4)=±l/ lOLl.
f '8—o~
Так как В по величине должно находиться в одной
четверти с Ь^ то постоянно можно выяснить, будет ли
45° ^—к- больше или меньше 90°, а отсюда узнать и знак
перед радикалом.
Для определения угла С берем формулу.
С __ fl
2 ~~ V 1
+cosC
teft
В эту формулу вместо cos С подставляем отношение -~^
[см. § 22, формулу (9)]:
, С _Afxga-Xgb у/
¦ 2 ~~ V tga + tgb у
sin asin b
lS о V (n/.j.tn* I/ sine slnft'
; + ¦
cos a cosi
sin a cos f>— sin b cos д
sin a cos b + sin 6 cos a'
/~sin(a — 6) ""
^Т = У sin(a + fe)- ;
Так как 0<^<C *W> то радикал берется cq. знаком -j-.

IV. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Схема вычислений
Дано: а - 86°42'40",
b ~ 75°43'20".
1) a+b, 162°26'
2) ^4^-, 81°13'
3) a — 6;
5°29'40"
5) Htgt+i
7) Igtg
а — Ь
9)
10)
11)
21)
0.81104
8.98314
9.79418
9.89709
38°16'27",5
76°32'55"
18) lgsin(a — b)
19)complgsln(a + *)
6)
8)
13)
14)
15)
16)
17)
Igtg
comp lg tg
*lg.gD5°
Igtg D5°
45
a + b_
a — b
2
+1)
+4)
в
T
в
0.81104
1.01 686
1.82780
0.91 390
83°2'53"
38°2'53"
76°5'46"
20)
21)
22)
23)
Igtg-f
9.28 017
9.74974
9.80043
9.90022
38°28'30"
75°57'
Контроль вычислений
24) Ig cos С
25) Ig sin В
26) lgcosc
27) lg cos С
9.35 373 (взято по логарифму)
9.98708
9.36665
9.35373 (получено сложением)

§ 33. РЕШЕНИЕ ПО КАТЕТУ И ПРОТИВОЛЕЖАЩЕМУ УГЛУ 59
§ 33. Решение сферического треугольника до катету
и противолежащему углу.
Дано: Ь, В. Найти: а, с, С.
а) По правилу Непера получаем:
для определения a: cos (90° — b) == sin В sin a,
sin b = sin В sin a;
для определения с: cos (90° — с) = ctg В ctg (90° — b),
sinc = ctgBlgb;
для определения С: cos В = sin (90°— b) sin C,
cos В = cos b sin C.
Отсюда неизвестные элементы определяются следующими
формулами:
Si
Для контроля берем формулу, связывающую определяемые
элементы.
По правилу Непера, имеем:
cos (90° — е) = sin a sin С;
sin с = sin a sin С.
Для возможности сферического треугольника необходимо,
чтобы sin a, sine и sin С были положительны и меньше еди-
единицы. Для этого необходи-
необходимо, чтобы b и В оба были
¦одновременно или больше
90°, или оба меньше 90° и ве-
величина В заключалась бы ме-
жду b и 90°. В самом деле,
для того чтобы sin a < 1,
надо, чтобы sin ^ был мень- Черт. 2?.
ше sin В, или, так как 6 и ?
должны находиться в одной четверти (см. § 23), то при
b < 90° должно быть неравенство b < В < 90°, а при b > 90°
должно быть неравенство 90°<В>^.
Если задача возможна, то получается два решения, что,
прямо видно из черт. 22.

pO IV. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Имеется два прямоугольных сферических треугольника,
имеющих длинные катет b и противолежащий угол В. Гео-
Геометрически этот второй треугольник получим, если продол-
продолжим стороны данного сферического треугольника с и а до
пересечения в точке Bv Угол Bt будет равен углу В, про-
противолежащий ему катет общий с данным треугольником.
Схема вычислений
Дано: Ь ¦¦
В.
:38°27'50п,
*56°0'34//.
1) lgslnft
4) comp tg sin В
7)
13)
M)
Ig sin a
a,
9.79380
0.08138
9.87518
48°36'30"
131°23'30«
2)
5)
8)
15)
16)
comp lg tg В
lg sin с
9.90004
9.82883
9.72887
32°23'15"
147°36'45"
6)
lg cos В
3) comp lg cos b
9)
17)
18)
lg sin С
9.74 745
0.10 624
985 369
45°33'37"
134°26'23"
Контроль вычислений
10) lgslna
11) lgsinC
12) igslnc
9.87518
9.85369
9.72887
б) Искомые элементы в этой задаче можно определить
и по тангенсам. Для определения а напишем такое соот-
соотношение:
-f-sin a

§ 33. РЕШЕНИЕ ПО КАТЕТУ И ПРОТИВОЛЕЖАЩЕМУ УГЛУ 61
но sin о =-^4 [см. § 21. формулу (8)], поэтому:
tgD5 +-2J=== |/ sin ft ——у einB — shift
sin В
2 sin —ъ— cos —_—
~ B+ft . B —ft '
2 cos -?- sin ——
Для определения с напишем такое соотношение:
+sinc
cos(90° + c) ~~ ~ ? 1 —sinс
но sin с = 4!4г [см. § 23, формулу A0)], поэтому:
^ h /Т
г
tgs
/
sin В . sin ft
cos В cos ft -i_-i_/~ sin Д cos ft + sin ft cos Д
sin В sin ft ~—V sin В cos ft — sin ft cos В *
cosВ ~~ cos*
A8)
Для определения С пишем соотношение:
но s1nC=~|- [см. § 26, формулу A2)], поэтому:
/\ , cosB
С\ , I/ ^ cos ft /* cos ft + cos В
j ± I/ t cosB д—У cosft-cos'B
tg D5 + yj= ±

62
tV. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГблЬНИкОВ
-*/.
2cos-
B^b-B
~
cos-
¦2 sin
sin
b — B
ctg
B
A9)
Перед каждым из радикалов нужно взять -f- или — в за"
висимости от того, будет ли определяемая при посредстве его
величина: 45°-{--к". ^>°Л"о и ^°~4*"о" меньше или боль-
ше 90°.
Заметим, что в A7), A8) и A9) под радикалами будут
стоять положительные количества в силу условий возможности.
Схема вычислений
Дано: Ь = 38°27'50",
В = 50°0'34".
1J?-И
2)
В
94°28'24"
3) B—b
47°14'12"
4)
B—b
17°32'44"
8°46'22"
Вычисление а
Вычисление С
5) Igtg-
n
7\ ЛПП1П 1СГ tor
9) 21gtgD5°-f-
10) IgtgD5° 4
H) 45° H
12)
13)
14)
2
—
2
h
b
I")
5")
f
a
T
a2
0.03394
0.81 157
0.84551
0.42275
69°18'15"
24°18'15"
48°36'30"
131e23f30*
6)
8)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Igctg-
lgctg-
2lgtgD5°-
lgtgD5°-
45°
2
~T~
fT)
+ T
с
2
Cs
9.96 606
jO.81 157
0.77 763
0.38881
67°46/48"
22°46/48"
45°33'37//
134°26'23"

§ 34. РЕШЕНИЕ ПО КАТЕТУ И ПРИЛЕЖАЩЕМУ К НЕМУ УГЛУ 63
Вычисление с
9.99 868
согар lg sin (В — Ь) 0.52 077
451 + T
с_
2
32°23'16"
147°36'44"
Контроль вычислен»:
0.51945
0.25972
lg sin c"
lgsino
lgsinC
9.72886 (получано по логарифму)
9.87 518
9.85368
lg sin с 9.72 886 (получено сложением)
§ 34. Решение сферического треугольника по катету
и прилежащему к вену углу.
Дано: ft, С. Найти: а, с, В.
По правилу Ненера, имеем следующие соотношения:
для определения a: cos С = ctg (90° — b)dga,
для определения с: cos (90° — ft) = ctg (90° — с) ctg С,
sin ft ==tgcctgC;
для определения В: cos 5 = sin (90°—ft) sin С,
cos В =я» cos ft sin C,
откуда получаем для определения неизвестных элементов
следующие три формулы;
.„ „ tg Ь /J4
^а=:^о7Г' A)
tgc*=sinfttgC, (II)
cos В = cos ft sin С. (III)

64
IV. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Элементы а и с определяются по тангенсам и имеют
поэтому по одному значению. Угол В определяется по ко-
косинусу и тоже поэтому имеет одно значение; что же ка-
касается знака косинуса В, то он имеет такой же знак, какой
имеет косинус Ь. Поэтому приходим к заключению, что
треугольник постоянно возможен и задача имеет одно решение.
Для контроля вычислений берем формулу, связывающую
искомые элементы:
cosS = ctgatgc = i|^.
Схема вычислений
Дано: * = 37°52'9",
С = 45 34'35".
1) lgtgft 9.89077
0.15 493
4) comp lg cos С
7) lg tg a
13) a
0.04570
48°0/32"
3) lg cos *
6) lg sin С
9) lgeosB
15) В
2) lg sin b
5) lgtgC
8) lg !g с
14) с
9.89730
9.85381.
9.78 807
0.00 874
9.79 681
32°3'38"
9.75 Ц1
55°40'57"
Контроль вычислений.
Ю)
lgtgc
comp lg tg a
12)
9.79681
9.95430
9.75111
§ 35. Решение сферического треугольника по гипотеиузе
и прилежащему к ней углу.
Дано: а, С. Найти: b, cf В.
Базируясь на правиле Непера, напишем формулы:
для определения Ь: • cosC = ctgactg(93°—b),
cosC= dgatgb;
для определения с: cos (90° — с) = sin a sin С,.
sin с = sin a sin С;
для определения В: cos a =» ctg В ctg С.

§ 35. РЕШЕНИЕ ПО ГИПОТЕНУЗЕ И УГЛУ
65
Итак, для решения треугольника имеем три формулы:
lg b e \g a cos С, (I)
sin с — sin a sin С, (II)
ctgfi<=cosatgC. (Ill)
Для контроля вычислений имеем формулу:
cos (90э—с) = ctg fi ctg (90°— b), sin с = ctg В tg b.
Формула (II) определяет с по синусу; величину для с
из двух ее значений выбирают такую, чтобы она была в одной
четверти с С. Формулы (I) и (III) определяют Ь и В по
тангенсам к поэтому дают для них по одному значению;
эти два элемента b и В постоянно должны -находиться
в одной четверти. Такий образом, треугольник всегда воз-
возможен и имеет одно решение.
Сторона с определяется по синусу; в случае, когда с
близка к 90°, по этой формуле ока определяется неточно.
В этом случае бызает йыгоднее определять с по тангенсу,
для чегр хначалл вычисляют угол В, а датем уже с по
формуле:' , ¦ '. " "
tg с = tg a cos В.
Дано: а =? iiO'46'20",
С=153°58'28".
4) lgsin
Схема вычислений
7) lg sin с
с
9 № #81
9.64 224
2) lgtg a
5; lg cos С
9.61305
3j lg cos a
6) lgtg С
9) lg ctg В
В
8) lgtg ft
9.54 98l«
9.68 867 л
0,42 101 n
9,95356n
0.37457
9.23 848
80°10'31"
Контроль вычислений
10)lgctg В
И) Igtg b
12) lg"sin с
9.23848
0.37457
9.61305
5 Йак. 3S7S.

66 IV. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
% 36. -Решение сферического треугольника но двум
углам, отличным от прямого.
Дано: В, С. Найти: Ь, с, а.
а) Пользуясь правилом Непера, имеем:
для определения b: cos В « sin (90°—b) sin С,
cos В = cos b sin С;
для определения с: cos С = sin (90°—c)sin3,
cos С = cos с sin 2?;
для определения а: cos a = ctg В ctg С.
Отсюда получаем для решения треугольника следующие
три формулы:
iSC (I)
:
Контрольной формулой вычислений будет служить сфе-
сферическая формула Пифагора:
cos a =¦ cos b cos с.
Решение будет иметь одно значение,, так .как все эле-
элементы треугольника определяются по косинусам.
Треугольник возможен тогда, когда сумма данных углов
будет заключаться между 90° и 270°, а разность их между
— 90° и -J-909.
В самом деле: вообразим для данного сферического
прямоугольного треугольника пеяярный, у него будут сто-
стороны: 90°, 180°—В и 180° — С.
Зная, что сумма сторон сферического треугольника должна
быть меньше 360° и каждая из них меньше суммы двух
других, имеем четыре следующих неравенства:
1) 450° — (В 4- Q < 360°, 90° < В + С;
2) 90° < 360° — (В-)-С), 270">В+С;
3) 180е — В<270° — С, — 90°<В — С;
4) 180°— С < 270° — В, 90°>В — С.

§ 36, РЕШЕНИЕ Ли ДВУМ УГЛАМ, ОТЛИЧНЫМ ОТ ПРЯМОГО <$7
Соединяя первое неравенство со вторым, а третье —
с четвертым, получим:
— 909<В —С<90°.
9.23207
0.35776
Схема вычислений
Дано: В<= 80°10'32",
C«J54°58<28/f.
lgctg В
lgctg С
lgcos a
9.23849 lgcos
О.ЗПЗЗп complgsin С
9.54982n lgcos b
ИО-46'22"
9.58983
67°6'S3"
1g cos С1
compigiinZ?
" lgcos с
9.95357л
0.00 642
95999/1
155 46'50»
Контроль вычислений
lgcos ftl 9.53983
9.f
lgcosa| 9.54982л
б) Искомые элементы треугольника можно определить и
через тангёнсъ». '
Для определения а возьмём формулу из прямолинейной
тригонометрии:
Г— cos a
а .. /Г
>2 = У Г
но
ввиду этого имеем:
/
H/
б!я д<in С — cot ^ cos С
. , c^s В cos С г sin В sin С + cos В cos С
sine sin С
5*

tv. Решение прямоугольных треугольников
Для определения b пишем формулу тангенса половинной
дуги: t
HO
1+cosft '
25'
Тогда имеем:
Y"
cos (90° — С
^, «№(90° — С) + cos Я
- /"tg (^ + 45е)
Таким же способом выведем:
B1)
Заметим, что мнимых решений не будет, так как коли-
количества, стоящие под знаком радикалов, положительны. Это
вытекает из условий возможности самого треугольника:
90° <
270°, — 90° < В—С<90°.
Схема вычислений
Дано: В=102°1'47",
С=15Ч9'29".
1)
ф
4) В — С
117О51'16"
6)
¦+
7) С—В
13»55;38" 3) Щ^ '•
8<Л2'18" уС-В
43°6'9" 2
88°6'9"
2°6'9"

§ 37. ВОПРОСЫ И УПРА/КНЁНР-. 69
Вычисление 6 . В ы ч и ел в н и л с
13)
И)
15)
16)
Igtg
.47 978 17) ig-tg(^~+45°)
9.39439 12) lgtg(Si^'
0.87417 18)
0.43,09 19)'
69°55;i9ff -20)
!39°50'38" 21)
-45
8.52020
9.39439
7.91459
8.95 730
5°10'45"
10°2Г30"
Вы численне a
22)
lg~r-соя (В + С)
23) coraplgcosCS —С)
24)
25)
26)
27)
21gtg|
9.66 953
1.17923
0.84 876
0.42438
138 45'0"
Контроль вычислений
lg cos b
ig cos с
lg cos a
9.87613rt (взято по логарифму)
9.88326
9.99287
9.87 613n (получено сложением)
§ 37. Вопросы и упражнения.
1. Составьте схемы вычислений для каждого случая решении
прямоугольного сферического треугольника.
2. Исследуйте, прн какнх данных сферический прямоугольный
треугольник возможен в каждом отдельном случае решения и
сколько при эгом получается реикний.

70 IV. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
8. Решите сферические прямоугольные треугольники по сле-
следующим данным:
Ь = 48°54'54", От»,
с «а 12°16'42". Я = 79П2Э'44",
С=16С6'22".
Ь=*5\°2'48", Отв. а =» 52°5'54",
fi=,80°14'41". с «= 12°16'42",
в = 5бо15'42", От». 6 = 48-27'21",
С=41О6'6". с = 33°7'37",
В = 64°9'41".
о = вО°22'25", От$. 6 = 53°49'22",
с sb 33°7'37". С = Зв^' 12",
с «= 31°19'47", Одав. а = 44°44'18",
fi а- 52^'54". 6 = 33°44'18»i
С = 4,7°37'21".
В ш 77°43'18", Ore. а = 80°14'41",
С = 52°5'54^. Ь = 74°21 '53",
с-=51°2'48".

\
l
\
v. формулы для решения косоугольных
Сферических треугольников
§ 88. Формулы, выражающие углы сферического тре-
треугольника 4 функциях его сторон, а) Возьмем основную
формулу сферического треугольника косинуса стороны:
cos a = cos b cos с -j- sin b sin с cos A,
из нее получим:
. cos a—«cos ft cos с
COS A ет sin ft sin с ~'
откуда, подставляя полученное значение для cos Л в формулу:
имеем:
sin А 1./***" ^ sln c~cos Д+cos b cos с - /~cos (ft—с)—cosa __
2 в Г 2 sin ft sin с ~~V 2 sin ft sin с ~~
л/2 sin
2sin —. -' sin - -
2 " 2
2 sin b sin с
Обозначим сумму сторон треугольника через 2р:
Отсюда
o-f b~c = 2(p — с); a — b-{-c — 2(p—
b-\-c—a — 2{p — a).
Принимая во внимание эти обозначения, имеем:
„!„ Л — ¦- /~sin (p—ft) sin (p—cj
sin ft sin с

72 v. юрмулы косоугольных треугольников
Тем же путем или круговой перестановкой получим:
? _ i/ sin(p-c)s\n(p-a)
T "~ V sin с sin a
Эти формулу, позволяющие определять углр сфериче-
сферического треугольника по синусу, если даны его стороны, при-
применяются тогда, когда определяемый угол заметно уда-
удаляемся от 180°. , ,
Если же вычисляемый угол по своей величине прибли-
приближается к 180°, применяются формулы, выражающие углы
при посредстве косинуса.
Возьмем формулу:
cosy-
Подставляя вместо cos А его значение, полученное из основ-
основной формулы косинуса стороны, получим:
2 — ^/
sitt^sinc+cos д—cosЬcose i/~cogд~cos(H~g)_
2 sin-ft sin с ^ r 2slnftslnc ~
. ft+c-fa . ЬЛ-с—а
Sin ' jj — Sin —j
^ sin ft sin с f «in ft sin с
Принимая прежние обозначения, получим:
cos
А
2
В
2
С
sinjf sin (p — а)
sin ? sin с
slnj» sin (jt> — ft)
sin с sin a
sinjf sin(jt» — c)
sin a s:n~b
B3)

§ 38. УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА В ФУНКЦИЯХ ЕГО СТОРОН 73
Разделив почленно формулы синуса половинного угла на
формул» косинуса половинного угла, получим:
, Л' 1/r4nip-b)sia(p — с)
4J 2 У tlnpslu(p-a)
¦„ в _ -./~sia(P — g)s1n (p — а)
tg-2-— У
slap sin (p — e)
B4)
Последние формулы, определяющие углы треугольника
по тангенсам, возможно применять во всех случаях.
Так как определяемый угол должен по условию быть
меньше 180°, то тангенс половины этого угла будет постоянно
положительной величиной, а поэтому перед радикалами везде
берется только один знак -J-.
Ввиду того, что под корнем все множители являются по-
положительными величинами, то мнимости не будет, В самом
деле: 1) а+^-Н < 360°,/><180°; 2) a+b>c, a-\-b-\-c>2c,
2/?>2с,' р>с, р — с>0. Точно так же можно убедиться,
что /7—в>0 и р — *>0.
Формулы эти относятся к так называемым формулам вто-
второго порядка, в отличие от формул, содержащих целые
элементы треугольника, которые называются формулами пер-
первого порядка.
Если приходится в треугольнике определять все три угла,
то полезно бывает, в целях сокращения вычислительных работ,
формулы тангенса половинного угла преобразовать следую-
следующим образом.
Умножив числитель и знаменатель подкоренного количе-
количества в формуле B4а) на sin(/>—а), в формуле B4Ь) на
sin(р — Ь) и в формуле B4с) на sin (p — с), получим:
— a)«ln(p — b)iin(p — с)
2 "~ sin (p — а) У stop
В 1 -, /~sln (p—a) sin (p — b) sin (jp — c)
T^ — Ь)У Ш
Шр
~sln {p — a) sin (p — b) sin (p — c)
sin/>

74 V. ФОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Обозначая общий множитель через М, получим:
i А м t Д М , С М
tg a)> tg2 »lfl(р — ft)' g2
ft)' g2 sin(p — c)'
Коэффициент М имеет геометрическое значение; он
представляет собою тангенс радиуса окружности, впи-
вписанной в данный сферический треугольник.
Обратимся к черт. 9; принимая во внимание сделанные
на чертеже обозначения, имеем:
Вычитая почленно из последнего равенства каждое ра-
равенство из первых трех, будем иметь: z = p — а, х=р—Ь,
у — р — с. Возьмем треугольник OAK. На Основании пра-
правила Непера получим:
sinar==ctg(90° — r)ctg-^-, sin(p — a) = tgrctg-|-,
откуда
?__
— a) "
Сравнивая полученное равенство с ранее выведенной фор-
формулой tg -к-= -г—,—^—l , видим, что множитель М равен tg г,
где г есть радиус вписанного круга в данный сферический
треугольник.
б) Обратим здесь внимание на интересные соотношения
между элементами сферического треугольника, вытекающие
как следствие из только что приведенных формул:
cos-
1 ~ V sjn fr sin с

§ 39. СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА В ФУНКЦИЯХ ЕГО УГЛОВ 75
Перемножим почленно эти формулы:
«Jn А ™с А
slnTc0SY
откуда
А ™с А ^- Sl" А — ч /~sinP sin (Р—Д) 8>n <P- b)*in ( Р—с)
Tc0SY ~Т~ г ?
sin Л _ 2 Vslnj»sln(p — a)sln(p — fr)sin(p — с)
sin a sin а sin b sin с •
Так как вторая часть равенства симметрична относительно
сторон а, Ь, с, то подтверждается еще раз, что
sin Л sinfl sin С
sin a sin Ь sin с '
Возьмем формулы:
A л/$\п(р — b)sln(p —с)
n(p-^a) ¦*
. В _ /"sin(p — c)sin(j> — a)
s 2 V
— b) •
Перемножив эти формулы почленно, получим:
Точно так же можно получить:
. В . С
t С Л sin (р-6)
S 2 l«.2
Эти соотношения, будучи логарифмическими, могут служить
контрольными формулами при вычислении треугольников.
§ 39. Формулы, выражающие стороны сферического
треугольника в функциях его углов, а) Возьмем основную
формулу сферической тригонометрии, выражающую соотно-
соотношение между тремя углами треугольника и одной из его
сторон:
ео? А — — cos В cps С =? sin В sin Ccosa,

76 V. ФОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
откуда получаем:
cos А + cos В cos С
Cos a"" sin В sin С Г •
Придадим этой формуле логарифмический вид, для чего
напишем вспомогательную формулу плоской тригонометрии:
откуда после подстановки имеем:
. а ., /"sit
sinT = j/-
"sin fisin С— cos A — со» Д cos С
i/ ~ cos<^"+ О—cos~^ _ i/~— [cos(Д + С) + СО8ЛУ
r 2 sin В sin С ~ V 2 sin fi sin С
-/¦
B+C+A B+C-A
¦ 2cos —r 2^ cos -——
2 sin В sin~C ~~
Обозначая о через Я, видим, что
Делая соответствующие подстановки в предшествующую фор-
формулу, получим: :
_____
Точно так же получим:
— cos P cos (Я — В)
tin С sin Л '
„,„ с ,/-— cos Р cos (Р— С)
ът 2 V sin A sin В '
Эти формулы выгодно применять при сторонах треугольника,
достаточно далеких от 180°. При сторонах же треугольника,
близких к 180°, выгодно определять их по формуле коси-
косинуса половинной стороны.

§ 39. СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА В ФУНКЦИЯХ ЕГО УГЛОВ 77
^-Возьмем формулу плоской тригонометрии:
cos
i=Vx-
4-cos a
cos
— i/"sin В sin С-j-cos A 4- PQf, В cos С
- у - 2 sin «sin С
, _. 1 /"cos Д-f cos(B—C)
7 r ~2s!p?sin
с F ~^~
cos
A-B+C
3
2 sin В sin С
откуга, вводя соответствующие обозначения, получим:
COS -rr-
cos (P—В) cos (P —- C)
sin В sin С
cos
b _ л /cos (P-> C) cos (P — A)
2 Г slnCsin/l
cos У
—B)
sin Л sin В
я _ /" ^cosPcos(P—T4
2 Г со8(Р—В)со»(Р —
Разделив почленно формулы синуса половинной стороны на
формулы косинуса половинной стороны, получим:
B9)
Последние формулы можно применять всегда вне зави-
зависимости от величины определяемых сторон треугольника.
Перед радикалами этих формул берется знак -f- на том
основании, что первая часть их всегда положительна, так как
каждая сторона сферического' треугольника менее 186° и,
следовательно, половина ее меньше 90°. '
?! Мнимости при вычислении по этим формулам не будет,
так как все множители, входящие под радикалы/ положи-
-В)
cos(P— C)cos(P — A) '¦
~~— CosP cos (P — Cf~
cos (P — „

78 V. ФЙРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕ^ГбЛЬНИКОВ
тельны. Действительно, из соотношения 540>Л-|-5-(-С>180о
(см. § 6) имеем: 270°>^ + \ + С>90°, 270°>Я>90°.
Отсюда выводим, что cos Р постоянно отрицателен, а поэтому
множитель под радикалом — cos P постоянно положителен.
Р — А, Р — В, Р — С—величины меньше 90°. Возьмем со-
соотношение В-\-С — Д<180° (см. § в), B-f-C-f Д<180°+2Л,
В+^ + А
Иногда формулы тангенф половинной стороны изобра-
изображают в другом виде, более Удобном для вычислений.
Помножим числитель м знаменатель подкоренных коли-
количеств первой формулы на cos(P— А), второй —на cos(P—В)
и третьей—на со${Р—С):
— cos Я
cos (P — A) cos {P—B) cos (P—Cf
•J- cos (P~ 5) /c^^
А) cos ^_
— cos В
•—Л,>со8(Р— ^)jcps(P — C)
Обозначая общий множитель через /С:
I
C9)
будем иметь:
— cosP
cos (P— A) cos <P—В) cos (ft*-С)
1
— В),
., (б) Вывод формулы тангенса половинной еадроны лри
помощи полярного треугольника. \
Вообразим для .данного сферическогр треугольника поляр-
полярный со сторонами а,, blt су и углами Аи Я„ Cv

§ 40. стороны в функций углов и эксцесса 7§
Для этого полярного треугольника по формулам B2) и
B3) имеем:
Принимаем во внимание, что
Л! = 180°—а, ^«90°-|.;
Mi + bi + сх __ 180°— Л-f 180°—В + 180° — С __
Pi1** 2 2
270° — А + „ ~{~С-=.27(?—Р;
рх _ в1 = 270° — Р —180° -f- /1 = 90° — (Р — А) ;
Р1_й1==90°—(Р —S),
рх —Cl = 90° —(Я —С).
Подставляя эти выражения в формул» sin -^ и cos J-, полу-
полуа\±* tf
чим:
G0SV ~~*Ъ)—У sin (\Ф -В) sin A8@° - С)
откуда имеем:
cos .=. ^ ,Л_-л-»-в)<*Е
sin В sin С
Деля. почленно вторую формулу « на первую, получаем
окончательно:
.а __¦,/" —cosPcos(P—Д)
g2 Г со»<Я-г-В)соз(Р—С) *
§ 40. Формулы, выражающие стороны сферического
треугольнтса в функции его углов и эксцесса. Напишем

80 V. ФОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
формулы второго порядка, выражающие стороны треуголь-
треугольника в функции его углов: > '
sin -i — 1f/|[
sm 2 V rinBsinC
a _¦'¦/" c
sin В sin С '
Выразим величины P, P— A, P—B\ P — C в функции
углов его и эксцесса. Пользуясь тем,1 что Аг{- В -\- С—180°= $,
где $ есть эксцесс треугольника, получим:
P_fi = 90°—(в —|); Р —С = 90^ —(С—|).
_ ¦ ¦ • . . а а
Эти величины подставляем в выражения для sin -=- и сое ^
получаем: '"
sinBsinC
stnBsiiTC *
Разделив эти формулы одну на другую почлеинв, получим:
2 . JK s
sin(B-|)sin(c-|)
Точно так же выведем, что
C3)
tg-
/;

§ 40. Стороны в функции углов и эксцесса §1
При применении этих формул мнимости не получится,
так как все множители, стоящие под корнем, постоянно поло-
положительны. В самом деле: 1) Возьмем соотношение 540 > А 4-
+ В4-, С > 180° (см. §6), 360°> А + 5 +С—180°>О4,
180°> § >0. Ввиду последнего неравенства sin4 постоянно
положителен. 2) Возьмем соотношение В-\-С—А<180°
(см. § в):
В -j- C-f А < 180° + 2Л, В -f С -f- А — 180°< 2Л,
|<Д, Л —1>0,
т. 4. количество Л — ^ постоянно положительно и меньше
180°; поэтому sin (А—^-) постоянно положителен.
Если приходится вычислять все углы треугольника, то
формулы выгодно для сокращения вычислительной работы
преобразовать следующим образом.
Помножим числитель и знаменатель подкоренного коли-
количества в формуле для tg-|- на sinfA — yj, в формуле для
.tg-^- на sin [В — &\ и в формуле для tg~- на sin [С — |],
тогда получим:
2 Jf sin (*-1) sin (Vf) sin (q- 8
6 Зак. 8678. Сферическая тригоыоыехрия.

82 v. формулы косоугольных трёугольникой
Обозначив общий множитель в этих последних формулах
через N, получим:
—¦§),
где
Эти формулы легко запоминаются и очень точно определяют
искомые величины. «
Интересно, что множитель N имеет геометрическое зна-
значение.
Возьмем сферический треугольник ABC, из середин его
сторон проведем к ним перпендикуляры, в пересечении ко-
которых получится центр описанного около треугольника круга
(черт. 10).
Как видно из чертежа:
А=у+г, (а)
В = х + *, (Ь)
Вычитая из равенства (d) почленно равенство (а), равен-
равенство (Ь) и равенство (с), получим:
х = 90° +1 — А = 90°—(А — |-),
~С = 90° —(С—|).

§ 41. ФОРМУЛЫ ДЕЛАМВРА 8$
Из треугольника BOL по правилу Непера получим:
cos х ш. ctg tf ctg(90° — f), cos [9О°-(Л—f )]= ctg tf tg j,
81п(л —|) = ctg/?tg|, tg|=»tg/?sin(,4 —|-).
Сравнивая эту формулу с ранее выведенной:
приходим к заключению, что
т. е. коэффициент N представляет собой величину тангенса
радиуса круга, описанного около данного сферического
треугольника.
§ 41. Формулы Деламбра. Они представляют зависи-
зависимость между шестью элементами сферического треугольника
и решают две задачи: решить треугольник по стороне и
двум прилежащим к ней углам и решить треугольник по
двум сторонам и заключенному между ними углу.
Эти формулы второго порядка:
C5)
sin
sin
cos
A + B
2 ~
А— В
2
A + B
2 "*
cos -
cos
. a
sin -
—ft

с
2
— b
2
slni
cos -
COS
2
с
T
cos
COS
sin
С
2'
С
2 '
С
2 '
C6)
C7)
sin—l— r
.co,d.75»__f_rin|.. C8)
sin^r 1

84 V. ФОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Заметим, что в каждое из этих четырех уравнений входят
или три синуса, или три косинуса.
Для доказательства формул Деламбра напишем следую-
следующую формулу плоской тригонометрии:
sind±* e sin Д. cos |_ ± cos Д.sJn Я
Из системы равенств B2) и B3):
sin — = -i/"sin^— fe)s'n(p — с)" CQS Д_ __ 1/'sinpsin(p —a).
2 г sin fr sin с ' 2 V sin 6 sin с '
sin
а) В _ /~sinp sin (p —'ft).
' COST-F sin с sin a ¦'•
(p—a) sin (p-ft) С _ 4/~s\np$in{p — c)
sin a sin » ~ ' C0S 2" " V ' sin a sin b '
Вносим эти выражения в формулу sin ~" ; получим:
.in d±i^
¦ sin (p — b)-/~xtap sin (p —7) _,_ sin (p ^- a)-/~sinp sin (p — c)
sine r sin a sin b sin с V sin a sinb
Замечая, что
_ С
~~ C0!> 2 '
sin a sin 6 ~~ C0!> 2
нкееы:
йл{р—Ь)±9\п[р-а) С
^7 cos-j
Рассмотрим это равенство сначала с верхним знаком, а потом
с нижним; заменяя сумму синусов произведениями, получим

§ 41. ФОРМУЛЫ Д8ЛЛМБ"А 85
сначала первую формулу:
С
72 sin 2 • ¦ cos Г^-
С
. 2 n . с a — b
= —. 2 sin-д- cos „-- —
sin с 2 2
COS
2sin|
. A
sin —
С
2
cos
+ i
9
— ^,
С
2
3- °
sin 4
я -
DS
COS-
a-
COS—7
-b
2 sin
sin
с
2"
1
?
9 '
Вторую формулу Деламбра получим аналогичным п}'тем, рас-
рассматривая то же самое равенство со знаком—:
. а—Ъ
¦ А-В _%ХП~Т~ С
sin - c cos 2 . .., 5
sin y
Третья и четвертая формулы выводятся на основе равенства:
А±В А В . А , В
COS -у- = COS^COS-2 Й=8'П 2"Si" J
при помощи таких же преобразований, как и при выводе
двух первых формул, но можно их вывести и иначе.
Применим первую формулу Деламбра к полярному тре-
треугольнику, построенному для данного; будем иметь:

V. ФОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Переходя к элементам данного сферического треугольника,
получаем:
.~»0"—Л — 180° + В
180э— я + 1?0 —«. 2
ЯП д аш -—я ;, COS ¦
cos-
180° —С
или после упрощения получаем четвертую формулу Деламбра:
А-В
гт\с
.? + *.
COS-
sin-
COS-
А —В
sin
sin-
sin у
2 С
T~Sin *
Наконец, применим вторую формулу Деламбра к треуголь-
треугольнику, сопряженному с данным по стороне b (черт. 23), т. е.
заменим с на 180° — с, С
на 180°— С, а на 180° — а
и Л на 180° — А, оставляя
неизменными В и Ь.
180°—А — В
Sin-
Черт. 23.
sin
-cos
180° —С
sin ¦
После упрощения получим третью формулу Деламбра:
А + В
cos —y~ i
, с
При условии, что каждый из элементов сферического
треугольника меньше 1Ь0°, можно вывести из уравнений
Деламбра так называемое свойство однородности сфериче-
сферического треугольника, заключающееся в том, что если
0 то и Л4

, § 42. формулы „аналогии непера" 87
Для вывода этого свойства возьмем третье уравнение
Деламбра:
А4-В сов^Г Г
cos ^±5 = §-sin?-.
cos ^
В этом уравнении sin -* и cos 4- всегда положительны; сле-
следовательно, для того чтобы существовало равенство, необ-
необходимо, чтббы косинус полусуммы сторон и косинус полу-
полусуммы углов имели одинаковые знаки, т. е. если ¦ "*" ^90°,
то и ^Ц^^-90°, или если а-\- *^180°, то и
§ 42. Формулы «аналогии Непера», а) Эти формулы
выводятся непосредственно из формул Деламбра и употреб-
употребляются, между прочим, при решении сферических треуголь-
треугольников, когда даны две стороны и угол между ними и когда
даны два угла и прилежащая к ним сторона.
Разделив почленно первую формулу Деламбра на третью
и вторую на четвертую, получим первые две пропорции
Непера;
ClC C9)
D0)
Делением четвертой формулы на третью и второй на пер-
первую получим остальные две аналогии Непера:
tg-
tg-
— В
2
cos
sin
sin
2
a + b
2
a — b
2
—2~
ctg|
ctg|

88 v. Формулы косоугольных треугольников
Методом круговой перестановки букв получаются такие
же пропорции Непера для других сочетаний сторон я углов
треугольника, например:
апв-с
, Ъ — с , 2 .а
и т. д.
Мы видим, что аналогии Непера представляют соотноше-
соотношение между пятью элементами сферического треугольника,
тогда как в уравнениях Деламбра их входит шесть.
б) Разделив последние две формулы аналогии Непера
одна на другую почленно, получим так называемую прове-
роодую формулу Гаусса, служащую для контроля вычисле-
вычислений, производимых по формулам Деламбра и аналогиям
Непера:
D3)
Интересно, что эту проверочную формулу Гаусса можно
получить как следствие преобразования простой пропорции
в треугольнике синусов сторон синусам противолежащих им
углов:
sin a sin А
sin Ь sin В '
На основании производной пропорции: сумма двух кле-
кленов первого отношения так относится к их разности,
как сумма членов второго отношения к их разности,
имеем:
sin а + sin Ь sin A -\- sin В
sin а — sin & sin A — sin В '
откуда
2 sin «+j cos
j cos fJZL
2cos*-+-*sin

§ 42. ФОРМУЛЫ „АНАЛОГИИ НЕПЕРА* 89
Отсюда имеем окончательно:
в) Непосредственный вывод аналогий Непера (без пере-
перехода от формул Деламбра).
Воспользуемся соотношением плоской тригонометрии:
. Л , -В
С С
Умножаем вторую часть этого равенства на tg-=-ctg-~-,
отчего, конечно, оно не нарушится:
2 1-tgftgf 2
Но мы знаем [см. § 38, система формул B6)], что
-¦ tzAt?C -sia(p~b)
g2lg2~ lp
slnp ' I?2.g2~ slnp
Поэтому, делая соответствующие подстановки, получим:
sin (p — b) , sln'p —
iff^+R_ " sinp t hi
i
Sfnp
_ . 2p — a — b a—Ъ
dn{p-b)+tin{p-a) . С 2s.n 2 , C0S~2~ ¦ С
sin/? — sin (o — c) "ь-f— с Чр — с vg2
' v/ "; 2 sin — cos -J-——

90 V. »ОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Но 2р**а-\-Ь-\-с, поэтому имеем:
c<»a— С
—первую пропорцию Непера.
Также получим вторую аналогию Непера из соотношения:
Остальные две аналогии Непера выводим из первых двух
при помощи полярных треугольников.
Так, первая пропорция Непера по отношению к поляр-
полярному треугольнику, построенному для данного сферического
треугольника, напишется так:
Переходя к данному сферическому треугольнику, получим:
180°—/1 — 180° +В
C0S
. 180P—?+_180°_—*ra_ 2 . 180°—с
соз ^
л—в
СО8 ¦
cos
— третья пропорция Непера.
Точно так же из второй аналогии Непера при помощи
полярного треугольника получим четвертую аналогию Непера.
§ 43. Формулы, определяющие избыток сферического
треугольника (эксцесс), а) Формулы избытка сферического
треугольника в функции его стороны. Эти формулы выве-
выведены Каньоли.

§ 43. ФОРМУЛЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ИЗБЫТОК ТРЕУГОЛЬНИКА 91
Возьмем две формулы для синуса половины стороны,
выраженной в функции его углов и эксцессов (см. § 40):
¦1ВТ-Г Wslng
sin-?- =
2 ~~ r sin Л sin С
Перемножим почленно эти два равенства:
«In ? sin 1
вш 2 5Ш 2
J
У
2 2 sin С г »1пЛвтВ '
0
а так как радикал в этом равенстве, согласно формуле C2),
р&вен cos 4-, то имеем:
откуда
, а . Ь
sin # = sin С. D4)
COS-j
Это — первая формула Каньоли.
При помощи метода круговой перестановки букв полу-
получаем еще два решения для sin -5:
. sin -^ sin -я-
sJnfi-r»—±—_* sin A,
Slny
_ iln -я- sin •=•
sjn*= л l sing.
sin j

92 V. ФОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ -
. Заменяя в первой из этих формул sin С через
о«.!„ С С 2 Ys\nps\n(p — я sin р — *) sin (в — о
л оШ-гГ COS -?r ==3 '¦¦'¦ '—* 'I"¦ ¦ * — . f.— ¦¦ ¦ v i i
2 2 sin asm* '
получаем:
sin -$ = 4n — t\n b ? yslnPsin(P — a)sia P — b sin (p — c)
2 '2 2 с.,яв.6 ft
cos -я- 4 sin 7j- cos -«¦ sin — cos -Д-
или окончательно:
, g Vsinpsin(p — a) sin /> — ft)sfn(p— о ,._.
2— « Ъ с ' '
2cos-k-cos -g-cos-g"
Это — вторая формула Каньоли.
б) Формула, определяющая эксцесс сферического тре-
треугольника по тангенсу. Эта формула впервые выведена
Люилье.
Напишем формулы Деламбра, в которые входят синус
и косинус полусуммы двух углов:
. А-\-В C0S-T~ с
lnT 008
COS у
а + Ь
А+В C0S ~2~ . С
C0ST
При помощи эксцесса сферического треугольника исклю-
исключим из этих уравнений полусумму углов, зная, что
А-\-В-\-С— 180° = g, A~{-B = \S0°~{-§ — С

§ 43. ФОРМУЛЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ИЗБЫ OK ТРЕУГОЛЬНИКА 93
Будем иметь
cos
a — b
С0|т
а+Ь
~Т~ _,_ С
COS
с SinT-
Перенося функции углов в левую, а функции сторон
в правую часть равенств, получим пропорции в таком виде:
С—& а—Ь
cos—^ cos-y
sin
С-%
ccs-
С
сову.
cos j
cos-
Составим из'этих пропорций производные:
С — g С
cos—2~^ —cos"
cos
с
а — Ь с
cos—^ cosj
с
"Os~
cos
sin
C — $
—2"^-
e + ft с
cos—jj cos у
COS
Заметим, что полученные формулы для каких угодно
аргументов х и у могут быть преобразованы в следующий
вид: ; .......
cos л: — cos.y
cosv „ х+.у х—у
¦ "* .2 cos i.jiL ccs —а-=^
2sin
cos
*¦+.
sinx + sinj,
2 *

94 v. формулы косоугольных треугольников
Преобразовываем полученные пропорции:
Или, замечая, что
, a-\-b — c = 2(p—с), а—
*ж2(р—b),
получим:
(С $\ Ь Р —
i — с
2 '
Перемножая оба равенства почленно, получаем:
откуда окончательно получаем формулу Люилье:
Знак перед корнем берется -f-, так как *¦ всегда
меньше 90°.
В самом деле:
540o>A4-fl-t-C>180°,
90Q> J
в) Формула, определяющая эксцесс сферического тре-
треугольника в зависимости от двух сторон и угла между ними.

§ 43. формулы, определяющие избыток треугольника 95
Напишем формулы тангенса половины стороны сфери-
сферического треугольника:
sin (в — -IA sin (с — &\
V sin(J|)sm(c-|)'
Перемножив почленно эти равенства, получим:
а Ь slnT sinf
7 ёТ
(C—|J
slnfC—^J sin С cos 4r — cos С sin •-
1
slnCctgS— cosC.
sin С ctg-| — cos С
откуда получаем:
Для того чтобы сделать эту формулу логарифмической,
вводят вспомогательный угол, положив
Тогда имеем окончательно:
г) Определение эксцесса сферического треугольника
с малыми сторонами.

96 . V. ФОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
. Часто при геодезических работах приходится вычислять
эксцесс сферических треугольников, стороны которых весьма
малы по сравнению с радиусом земного шара. В градусной
величине стороны таких треугольников будут выражаться
только минутами, в некоторых случаях даже секундам»,
а сам сферический треугольник будет очень близок к пло-
плоскому треугольнику. В таком треугольнике на практике
измеряются все три угла, но получить эксцесс простым
вычитанием из суммы углов 180° нельзя, потому что ошибки
в измерении углов сплошь да рядом превышают величину
самого эксцесса. Вычисление же в этой случае эксцесса по
выведенным выше формулам приводит к необходимости
оперировать с весьма малыми дугами, подыскание для ко-
которых тригонометрических величин весьма хлопотливо и не
ведет к надежному результату.
Возьмем формулу Каньоли:
г" b
B этой формуле a, b и с выражают угловые величины сто-
сторон треугольника. Допустим, что линейные величины этих
сторон будут соответственно равны а, {3 и f-
Тогда имеем (см. § 3):
asinl" = ?, ft sin Г = ^-, csinl" = ?; •
а ¦ В Г
sin« = ?-, sinft—jt, sine=i-
или
sin| = ^, sinl^i, cos-J = l.
Делая теперь подстановку полученных величин в формулу
Каньоли, получим:
%
О (Р
По малости $ можем написать sin -S. = -^ sin 1". Тогда полу-
получим:
f Sinl":

§ 43. ФОРМУЛЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ИЗБЫТОК ТРЕУГОЛЬНИКА 97
Эта формула обычно применяется в геодезии для вычи-
вычисления сферических избытков треугольников тригонометри-
тригонометрических сетей, но только вместо R берется выражение для
большой полуоси земного сфероида с поправкой за широту.
В последней формуле можно заменить р через а : :
выражением-, взятым из формулы:
1
« Sin Л ,., ;
Тогда для S будем иметь такую формулу:
«„ a"- sin В sin С V ,.Q,
Ш =/?2sin^sinF • DJ)
Первая формула применяется тогда, когда в треуголь-
треугольнике известны две стороны и угол между ними, а вторая —
тогда, когда даны три угла и одна сторона. Так ьак вели-
величины сферического избытка в рассматриваемых треуголь-
треугольниках очень малы, то пользуясь выведенными приближен-
приближенными формулами, получаем достаточно точный результат.
• Для прямоугольного сферического треугольника, в кото-
котором даны гипотенуза а и один из прилежащих углов В,
формулу эксцесса можно представить в другой форме.
Возьмем формулу Каньоли:
. а . с
. sin -у sin
|л
sin |
Вследствие малых величин $ и сторон треугольника а,
b и с можно написать:
1 V sin 1" = | a" sin \" i с" sin I" sin В,
§" = i-aV sin I" sin В.
Из этого равенства исключим с", для чего по правилу Не-
Непера напишем:
cos В = tg с tg a, tg с = cos В cig a, с" sin \" = a sin 1" cos B.
7 Зак. 8578. Сферическая тригонометрия.

98 V. ФОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Подставив найденную величину с" sin 1" в предыдущую
формулу эксцесса, получим:
. V «- -5 a9 sin 1" sin 5 cos В = а2 sin 2S sin 1".
Если же взять линейную величину гипотенузы, получим:
;,. E0)
§ 44. Определение площади двуугольника и сфериче-
сферического треугольника. Определение площади двуугольника.
Положим, что АВАХС — сферический двуугольник, обра-
образованный двумя дугами больших кругов, проходящих
через один и тот же диаметр ААХ (черт. 24). Угол Л, со-
составленный этими двумя полуокружностями, называется углом
двуугольника. Очевидно, поверхность 5 двуугольника будет
составлять такую же часть от всей поверхности шара, какую
угол Л составляет от 360°, т. е.
Площадь двуугольника равна площади большого круга
сферы, умноженно/t на отношение угла двуугольника
и прямо и у углу.

I 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ДВУУГОЛЬНИКА 99
Последняя формула нужна будет при выводе площади
сферического треугольника.
Положим, что имеем сферический треугольник ABC
(черт. 25) и нужно найти его площадь. Для этого построим
для каждого угла данного сферического треугольника соответ-
соответствующий ему двуугольник; так, для угла Л двуугольник
ABFC, для угла В двуугольник BADC и, наконец, для угла С
лвуугольник САСуВ. На основании формулы площади дву-
двуугольника напишем:
В каждую из левых частей равенств входят два сферических
треугольника, составляющие один треугольник. Сложив все
три равенства по частям, получим:
ABC-\-ACD-\- ЛВС-f CBF-\- ABCJrABC1 =
В левой части вместо треугольника АВС1 поставгм рав-
равновеликий-ему симметричный треугольник CDF; нолучим:
В левой части равенства последние четыре члена в сумме,
как видно из чертежа, образуют поверхность полушара 2тс/<?,
поэтому предыдущее равенство перепишется так:
2ABC + 2*/?з «= |^ (Л -f В -f С),
2АВС = к/У»
площ. АВС=-
7*

100 V. ФОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Площадь сферического треугольника равняется площади
большого круга, умноженной на отношение эксцесса к 180°.
щр - 180X60X60 '
но 1зохбох'<о есть длина дуги в ОДНУ секУндУ при радиусе,
равном единице, которую можем с достаточным приближением
считать равной sin 1"; тогда ABC = R* X 8" X sin I).
Из последнего выражения для площади сферического
треугольника видно, что если брать разные сферические
треугольники на одном и том же шаре,, то поверхности их
будут относиться, как сферические избытки, и тот из них
будет больше, у которого сферический избыток больше.
При равных сферических избытках треугольники на одном
и том же шаре равновелики.
Если известна плащадь сферического треугольника, то
легко нзйти величину избытка его. Из последней формулы
имеем:
*>//__ &АВС
Я2 X sin 1" '
E2)
т. е. избыток сферического треугольника равен площади
треугольника, разделенной на произведение квадрата
радиуса и sin 1". .
§45. Вопросы и упражнения.
1. Написать все девять формул, выражающих углы сферического
треугольника в функции его сторон. В каких случаях выгодно при
вычислениях иметь каждую из этих формул? Исследовать формулы
в отношении знака, перед радикалом и их мнимости.
2. Вывести формулу радиуса круга, вписанного в данный сфе-
сферический треугольник; формулу tg ¦=- выразить в функции этого
радиуса и одной из сторон треуюльника.
Если положить /? = ], то выйдет:
1. е. при радиусе сферы, равном единице, позерхность сфери-
сферического треугольника равна его сферическому избишку.'

§ 45. ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ 101
3. Вывести непосредственным методом все девять формул,
выражающих стороны треугольника в функции его углов. Исследо-
Исследовать формулы. Взяв формулу tg -д- за исходную, вывести методом
л
полярного треугольника формулу tg у.
4. Вывести формулы, выражающие сторон.: сферического тре-
треугольника в функции его углов и эксцесса. Кач выражается радиус
круга, описанного около сферического треугольника?
5. Вывести третью и четвертую формулы Деламбра (см. § 41)
непосредственным методом (без помощи полярного треугольника).
в. Вывести проверочную формулу Гаусса.
7. Какие элементы сферического треугольника необходимо
иметь для того, чтобы определить его площадь?
& В чем заключаются формулы Каньоли и Люилье, и когда
они применяются?

VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
§ 46. Введение. Для того чтобы найти все возможные
случаи решения косоугольных треугольников, надо иметь
в виду, что сферический треугольник вполне определяется,
если из шести его элементов даны три. Поэтому общее
число различных случаев решения треугольников будет
равно числу возможных сочетаний из шести элементов по
три:
Вот они; abc, abA, abB, abC, асА, асВ, асС, аАВ, аАС,
аВС, ЬсА, ЬсВ, ЬсС, ЬАВ, ЬАС, ЬВС, сАВ, сАС, сВС, ABC.
Из этих двадцати случаев решения треугольников неко-
некоторые имеют один и тот же геометрический смысл. Отбра-
Отбрасывая повторные, найдем следующие шесть основных слу-
случаев.
Решить сферический треугольник:
1) по трем сторонам а, Ь, с\
2) по трем углам Л, В, С;
3) по двум сторонам и углу между ними а, Ь, С;
4) по двум углам и стороне между ними А, В, Ь;
5) по двум сторонам и углу, противолежащему одной из
них а, Ь, В;
6) по двум углам и стороне, противолежащей одному из
них А, В, д.
§ 47. Решение сферического треугольника по трем
стороаам. Дано: а, Ь, с. Найти: 4, В, С.

§ 47. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТРЕМ СТОРОНАМ 103
Вычисление производится по формулам B4):
**4 м
2 tm(p — a) '
В __ M
2 sin(p— b) '
С M
s 2 sin(p —с) '
где
м /~sin (p—a)sin (p — b) sin(p — с)
Что же касается проверки вычислений, то для этой цели
может служить формула:
коюрая получается почленным перемножением предыдущих
формул.
Для проверки же вычислений можно найти эксцесс сфе-
сферического треугольника по формуле Люилье:
1 — С
Для возможности задачи необходимо, чтобы синусы, вхо-
входящие под радикал, были больше нуля, для чего должны
быть выполнены неравенства:/?< 180°, р — а> 0°, р-~&>0°,
р— с>0°, или a-f6 + c<360°, c-\-b>a, a-\-c>b,
a~\-b^>ct т. е. для возможности задачи необходимо только
соблюдение тех условий, которые вообще должны суще-
существовать во взаимных отношениях сторон каждого сфериче-
сферического треугольника.
Задача допускает одно вполне определенное решение,
так как искомые элементы определяются посредством тан-
Л Д С
г?нсов определяемых аргументов-у , -к и -я-,¦ меньших 90°,

104
VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ 11'Е}ТОЛЬНИКОВ
Схема вычислений
Дано: а =
6«вЦ7°28'19"
с« 78°4?'23"
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Ю)
П)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
P
p — a
p-b
p—c
V
2
p — a
2
p-b
2
p — c

lg sin (p — a)
lg sin (p — b)
lg sin (p — c)
comp lgslnp
21gAf
te M
sslnp
igtg4
Ig'g^
¦glgf
M
sin о
25642'26"
128°21'13"
10°52'54"
49^3848''
64°10'36".5
335 45 S
5°26'27"
24°49/24''
9.96 663
9.27-595
9.88 199
010558
9.23016
9.61 508
9.72066
9.64845
0.33 912
9.73309
9.72066
Рассматривая данные величины, видим,
что задание удовлетворяет условиям
возможности сферического треугольни-
треугольника, а поэтому решение задачи возможно.
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
3D
32.
33)
34)
35)
36)
A
2
В
2
С
2
A
В
С
V
igtg^-
igP-a
&
2 lg tg -SL
4
*•*
$
4
s
OO-5CQ ОСГ/
65°23'29"
28°24'26"
47359/12"
130M6'58"
56e48'52"
235°35'2"
55°35'2"
031522
982755
8.97 885
9.66518
8.78 680
9 39340
13D53'45".5
55°35'2"
§ 48. Решение сферического треугольника по трем
его углам. Дано: А, В, С. Найти: а,'Ь, с.
Задачу можно решить при помощи полярного треуголь-
треугольника и тем свести ее к предшестнукмцему случаю. В-поляр-

§ 48.. решение треугольника по трем его углам
105
ном треугольнике, если углы А, В, С искомого треугольника
даны, стороны будут известны: ai = l80o — A, ftj = 1800 —
— В, Cj = 180° — С. Углы полярного треугольника Аи Ви Сг
вычисляем по формулам решения первого случая и затем
получаем стороны искомого: я=180° — Л, &авГ80°—В,,
с =180° — С,.
Решим задачу непосредственным определением искомых
элементов, для чего воспользуемся формулами, определяю-
определяющими стороны в функциях углов. Работу можно вести:
1) либо пользуясь системой формул:
—Д),
—Я),
— С),'
C0)
где
К'-
У cos(P—A)
— cos Я
cos(P — B)cos(P — С)'
Контрольную для вычислений формулу получим простым
почленным перемножением формул C0):
tg -J tg * tg -^ == К9 cos (P — A) cos (Р — В) cos (P — C).
— cosP
Подставляя вместо /<"8 выражения
получим контрольную формулу:
cos{P-A)cos(P-B)cos(P-C)'
2) либо пользуясь системой формул:
y «= N$\n[C
C4)

106 VI, РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
где
sin-
Л/ =
Контрольную для вычислений формулу получим, пере-
перемножая почленно формулы второй системы:
tg y *« Тtg Т = ^ SJn (Л - т) sin (B ~ "*¦) sin (C ~ f) •
Подставляя вместо Л/2 его значение
sJn2
sin (a - |) sin (в -1) sin (с-1) '
получим контрольную для этого случая формулу:
При решении задачи получается одно определенное ре-
решение.
Задача возможна будет, если данные ее отвечают следую-
следующим условиям:
1) каждый данный угол должен быть меньше 180°;
2) сумма углов треугольника должна находиться Между
180° и 540";
3) избыток сферического треугольника $ должен быть
больше нуля и меньше 360°;
4) сумма двух углов без третьего должна быть меньше 180°
или, что то же, разность между каждым углом и поло-
половиною избытка сферического треугольника должна быть
больше 0°,

§ 48. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТРЕМ ЕГО УГЛА.М
Схема вычислений
а) По первой системе формул.
Дано: А « 47° 59' 12"
В» 130° 46' 58"
С= 56° 48' 52"
1)
2)
3)
4)
5;
2Р
Р
Р—А
Р—В
Р—С
2d5°
117°
Ь9°
— 12°
60°
35'
47'
48'
59'
58'
2"
31"
19"
27"
39"
6)
7)
8)
9)
10)
И)
12)
lg( — COSP)
complgcos(P— А)
complgcos(P—6)
comp lg cos (P—C)
21gAT
igK(-cosP)
9.66 863
0.46 191
0.01125
0.31 412
0.45593
0.22796
9.89659
13)
14)
15)
16) igtf(-cosP)
9.76 605
0.21 670
9.91 384
9.89659
17)
21) i
2 i
30° 15' 50".5
58° 44' У"
39° 2Г 13"
18) a
20) b
22) с
60° 3i' 41"
117J 28' 18"
78° 42' 26"
6) По второй системе формул.
Используем данные из предшествующей задачи, т. е,
А = 47° 59' 12"
Q ~ 56е 48' 52"

108
VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
1)
2)
S)
4)
5)
6)
E
1
A —
B —
c~~
$
2
к
f
?35°35'2"
55°35'2"
27°47'31"
2O°11'41»
19°Г21"
13)
12)
7)
8)
9)
10)
П)
lgiVsin|
ig/V
Igslnf
com -Igsin^ —|-]
comp Ig sin (В — yj
comp lg sin f С —^ J
2igAT
9.89 66У
0.22 796
9.66 8«3
0.46 191
0.01126
0.31 412
0.45593
H)
15)
16)
Ig'g
Igtgj
Ig'g-j
17)
9.7G605
0.21 670
9.91 384
9.8Э 659
18)
19)
20)
21)
22)
23)
a
2
*
2"
с
T
a
b
с
5 j°44'9"
39°2Г13"
60°ЗГ41"
117°28'18"
78'42'26"
Если требуется вычислить не все три стороны, а только
одну, то вычисление иногда ведут и по нелогарифмической
формуле:
, cos В + cos A cos С V .
cos0= .' , —— = — .
sin A sin В К
Вычисление ведется по такой схеме:
lg cos A
Jg cos С
1)
3)
5) lg cos И cos С
2) IgifrA
4) lgslnC
6) lg sin A sin С
OgAT)
V) IgcosB
8) cos А с os.C
9) cos В
10) r
11)
12) j
13) Igcosi
14) b

§ 49. 'решении по двум сторонам и углу 10У
§ 49. Решение сферического треугольника яо двум
сторонам и углу между ними.
Дано: а, д, С. Найти А, В, с.
Решить вадачу можно двумя методами: 1) самым про-
простым — по формулам Непера и 2) методом введения вспомо-
вспомогательного угла в основную формулу сферической тригоно-
тригонометрии.
I. Первый метод решения
задач и
Вбзьмем аналогии Непера и из них определим: .
а — Ъ
ttTA + B__ ,С СО8
s 2 ~ s 2 а + Ь '
cos^
Применяя эти формулы, вычислим —i— = т, —г,— — л;
складывая и вычитая почленно эти равенства, получим иско-
искомые углы:
А = т 4- л,
В = т — л.
Правильность вычисления углов контролируется при по-
помощи формулы Гаусса:
t d~~B ~t a~-b '
2 2
Длл определения стороны с возьмем две другие аналогии

116
vi. Решение косоугольных треугольников
Непера и из каждой из них Определим tg 4 :
<g
a + b
cos
ЦВ
с
2
•g-
cos-
a — b
А —В
2
s!n'
sin
A —If
Гарантией правильности вычисления с служит получение
одного и того же логарифма tg-|-, вычисленного по-двум
формулам.
Из всех этих формул получа-
получаются действительные и вполне
определенные значения для иско-
искомых величин в предположении, ко-
конечно, что данные величины заклю-
заключаются между 0° и 180°. В этом
также легко убедиться и геометри-
геометрически (черт. 26). Если даны две
стороны и угол между ними, то
¦•"-. --' для построения треугольника не-
Черт. 26. обходимо только провести через
точки Л и С, не лежащие на кон-
концах диаметра, дугу большого круга, которую, как известно,
через эти точки можно провести только одну.
Схема вычислений
Дано: а = 4С°28'36"
Ъ:
С:
110°18'32"
56°4Э'54"
1) а
2) Ь_
3) а + Ь
5) а — Ь
а + Ь
4)
2
а — Ь
40°28'36"
П0°18'32"
15Э°47'8"
— 69°49'56"
75Г23'34"
— 34°54'58"
28°20'27"
8Э°34'58"
— 47°38'22"
32°56'31"
128°13'1?"

10)
§ 49. Решение fio Двум .сторйнам й
С_
а — Ь
lgcos
a + b
12) сотр. Ig Сое —?
14)
15)
16)
24)
26)
lg<g
А + В
0.26812 9)
9.91381 И)
Igsin
а — Ъ
0.59827 13) сотр. lg sin
0.78 020 17)
I
! 9.84387ч 18)
Iglg
А —В
s
Jgcos —
А —В
28) сотр. lg cos ^-~
30)
igtg-5"
0.62407л 19)
0.58400 25)
9.21390 27)
!g«g-
Igsin
А + В
0.17148 29) сотр. Igsin
А — В
9.96938 31)
32)
33)
с_
2
lii
0.26812
9.75 762п
0.0142?
0.04007 л
0.58400
0.62 407я
9.84387л
9.99 410 .
0.13141л
9.96 938
42°58'55"
85°57'50"
II. Второй метод решения
(Метод введения вспомогательного угла)
Возьмем основную, формулу косинуса стороны:
cos с = cos a cos b -j- sin a sin b cos C.
Сделаем эту формулу логарифмической. Во второй ее
части вынесем за скобку cos а, получим:
cos с =» cos a (cos b -j- sfn b tg a cos C).
Теперь положим, что
tg a cos С = tg «p,

112 vi. решение косоугольных треугольников
тогда формула примет вид:
cos с — cos a (cos b \tg cp sin ft) =»
cos а (сов 6 соз у -f sin ^ в»Д у) cos a cosF — tp) ,....
cos tp ~~ cos tp • v /
Итак, имея две формулы (I) и (II), легко определить с.
Точно таким же образом получим и формулы для опре-
определения углов из основной формулы сферической тригоно-
тригонометрии четырех элементов:
sin b ctg a — sin С ctg А = cos b cos С.
Откудя имеем:_
ctg A sin С = sin * ctg a — cos b cos С.
Но мы положили, что tg a cos С ~ tg cp, откуда ctg a =
=» cos С ctg <p. Подставляя вместо ctg а его значение cos С ctg cp,
формулу перепишем так:
ctg A sine =
~= sin * cos С ctg cp — cos ft cos С = cos С (sin ft ctg cp — cos b) =
cojC (sin b соз у — cos 6 sin tp) cosCsinF — tp)
sin tp ~ sin tp '
rfg 1_cosCsinF — у) _ smjb — ч)
sin <f sin С tgCsln?.'
sin F — tp)
Формул (I) и (Ш) вполне достаточно для того, чтобы
определить А.
Для того чтобы определить В, составляем формулу
четырех элементов:
ctg В sin С = ctg ft sin a — cos я cos С.

§ 49. РЕШЕНИЕ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ 113
Полагаем, что
ctg b = cos С ctg ф, tgt}* = cosC/gft. (IV)
ctg B e!n С =
cos С sin a ctg <|i — cos a cos С — cos С (sin a ctg ф — cos a) =?
cos С (sin a cos ф — cos a sin ф) cos С sin (a — ф)
sin i/ sin ф '
откуда получаем окончательно:
(V)
sin (a—
Применяя формулы (IV) и (V), определяем угол В.
Проверкою в вычисле-
вычислениях может служить соотно-
соотношение:
sin а sin b _ _ sine'
sin A sin В sin С'
Интересно здесь отметить,
что введение вспомогатель-
вспомогательного угла равносильно раз-
разложению вычисляемого тре-
треугольника ABC на два прямо-
прямоугольных треугольника ду-
дугою большого круга BDt
проведенного через вер-
вершину треугольника В перпендикулярно к противоположной
стороне АС (черт. 27).
Обозначим отрезок стороны треугольника DC через <р,
тогда DA будет равна b — ср.
Из прямоугольного треугольника CBD имеем:
Черт. 27.
или
cos С = ctg a tg cp
tgcp = cos Ctg a.
Мы получили прямо из прямоугольного сферического
треугольника CBD формулу (I).
8 3»те. 1878. Сферическая тригояоиетрвя.

114 ri. решение косоугольных треугольников
Теперь рассмотрим прямоугольный сферический тре-
треугольник ABD; из него на основании сферической формулы
Пифагора имеем:
cos с = cos (b — ср) cos BD;
cos BD определяем из прямоугольного сферического треуголь-
треугольника DBC:
cos a = cos ср cos BD, cos BD = .
T COS ?
Подставляя найденное значение cos BD в'предшествующую
формулу, получим формулу (II):
cns г — cos д cos (ft—у)
cos c — cos ?
Наконец, из прямоугольного сферического треугольника
ABD имеем:
sin (b — ср) = ctg Д tg BD,
и из прямоугольного сферического треугольника CBD имеем:
sin cp = ctg Ctg BD.
Определим tg BD из последнего соотношения и вставим
полученное значение в первую формулу:
tgBD-.
Sltl if
Откуда получаем:
Итак, из прямоугольных сферических треугольников полу-
получили и формулу (III).

§ 50. Решение по двум углам и стороне
Схема вычислений
Дано: а = S&lbW
115
С«=52°14'16"
1)
3)
4)
5)
6)
2)
7)
8)
9)
10)
")
12)
13)
14)
15)
lgtga
lg со* С
Igtg?
f
b — t
lg cos a
lgcosF — <p)
сотр. lg cos <j>
lg cos с
с
lg sin <j>
igtg с
сотр.
lg sin F — ?)
Igtg ^
A
9.89673
9.78 702
9.68375
25°46'16"
49°23/52"
9.89503
9.81345
0.04550
9.75398
55°25'20"
9.63826
ail 091
0.11962
9.86879
36°28'25"
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
igtg ь
lg cos С
lgtg +
ф
а — ф
lg sin ф
igtg с
сотр.
1сг sin (п ' Ф^
Igtg В
в
0.59718
9.78702
0.36420
66~37' 13"
—28°22'7"
9,96279
0.11091
0.32318П
0.39 688п
111°50'59"
Контроль вычислений
26)
27)
32)
28)
29)
33)
lg sin a
сотр. lg sin Л
S
lg sin Ь
com p. lg sin В
2
9.79177
0.22589
0.01766
9.98 528
0.03238
0.01 766
30)
31)
34)
Igsin
comp
с
. lg sin С
S
9.91559
0.10207
0.01766
§ 50. Решение сферического треугольника по двум
углам и стороне между ними.
Дано: А, В, с. Найти: а,Ь,С.
8*

116 VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Эту задачу можно решить тремя методами: I) методом
введения полярного треугольника; II) по формулам аналогий
Непера; III) с помощью введения вспомогательного угла.
I. Первый метод решения задачи
Г Эту задачу- можем решить при помощи полярного тре-
треугольника.
Если в треугольнике даны А, В, с, то в его полярном
треугольнике будут известны а1 = 180°—A, ft, = 180° — В
и CjssieO0 — с. Решая полярный треугольник по схемам,
разработанным в предыдущем параграфе, получим Аи Ви ct.
Переходя же теперь от полярного треугольника к дан-
данному, будем иметь искомые элементы а=з180°—Аи Ь =
=.180 — Ви С =180°—cv-
II. Второй метод решения задачи
Для того чтобы решить задачу непосредственно, возьмем
следующие формулы из аналогий Непера:
А — В
а + Ь с COS 2
g 2 -tg2c+
а—6
—
Из них находим:(
а-\-Ь а — 6
Складывая и вычитая полученные равенства будем иметь;
а = т -\- п, Ь == т — п.

§ 50. РЕШЕНИЕ ПО ДВУМ УГЛАМ И СТОРОНЕ
Схема вычислений
Дано: А = 59°32'16"
В = 77°18'20"
с = 34°29'34"
117
6) lgtg y
8) lg cos ~~-
11) сотр.
A+B
lgcos—^^—
14) lg tg *-+--
16) S
a + b
9.49 1W7
9.99 476
0.43 442
2)A
3) А— В
5)
А—В
9.92115
9.19 393 л
9)
A—B
9.11513/1 12) сотр.
18)
20) a
21) b
22) lgtg
A+B
24)lgcosi+A
26) сотр.
lgcos
a — b
28) lgtg y
39°49'37"
-2О57Ч"
lgsin
A+B
a-r-b
36°52'33" 13) lgtg ^t
42'46'41"
0.40 287
9.88 535
0.00 058
17) Б
23) lgtg
27) comp
lgsin
a — b
0.28 880
30) ~
32) С
29) lgtg ^
27°13'2"
54°26'4"
17°14'47"
126°50'36"
—17°45'4"
e8°25'8"
8°53'2"
9.49 197
9.18 874 л
0.03 155
8.71226 л
0.40287-
9.11513 л
9.19 398 л
9.80651
1.28831 п
0.28 880

118 VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Контролем правильности вычислений при определении
сторон а и b служит формула Гаусса:
а — Ъ ~~ . А —В\
Для определения угла С возьмем остальные две аналогии
Непера:
а — Ь
cos
, А—В. а+Ь
1к —2—sm —5—
. а—Ь
sin —=—
Контролем правильности вычислений при определении
угла С служит получение одного и того же логарифма для
tg -д- ,• вычисленного по двум приведенным формулам.
При решении задачи всегда получаются действительные
и вполне определенные значения для искомых элементов
при условии, конечно, чтобы величина каждого из данных
элементов заключалась между 0° и 180°. Задача всегда воз-
возможна и допускает только одно решение. В последнем
также легко убедиться и геометрически: имея данные А, В, с,
возможно построить только один вполне определенный
сферический треугольник.
III. Третий метод решения задачи
Возьмем основную формулу сферической тригонометрии,
определяющую косинус угла:
С9? С ¦=> — cos A cos В -f- sin A sin В cos с,

§ 50. РЕШЕНИЕ ПО ДВУМ УГЛАМ И СТОРОНЕ
119
и приведем ее к логарифмическому виду, для чего вынесем
в, правой части ее cos А за скобку, получим:
cos С == cos A (sin В tg A cos с — cos В).
Положим, что
тогда
tg Л cose =ctg<p, I
cos С =» cos A (sin В ctg <p — cos fi) =
= --°- - (sin В cos <y — cos В sin <p) =
cos Л sin (В— '¦?)
sin f
С»)
Формул (I) и (II) вполне достаточно, чтобы определить
угол С.
В этой формуле вспомогательная величина <р имеет гео-
геометрическое значение, именно, если из вершины сфериче-
сферического треугольника В (черт. 28) опустим высоту на сторону С А
(проведем дугу большого круга
через вершину В перпендикулярно
к С А), то угол, образуемый этой
высотой со стороной с, и будет «р.
В самом деле, из прямоуголь-
прямоугольного сферического треугольника
ABD, на основании правила Не-
Непера, можно написать:
cos с = ctg A ctg<p;
откуда
cos ctg A — ctg<p,
т. е. получится формула (I). Из того же треугольника
имеем: ^
cos A = cos BD sin <p.
Из треугольника CBD пишем:
cos С ~ cos /?D sin (Я —-f)

120 VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Решив совместно эти два уравнения, получим:
Это есть формула (II).
Итак, и в этом случае, вводя вспомогательный угол, мы
решаем сферический треугольник разбивкою его на два пря-
прямоугольных сферических треугольника.
Методом введения вспомогательного угла выгодно бывает
решать задачу, когда требуется определить в треугольнике
только один элемент.
Этим методом можно вычислить и стороны треуголь-
треугольника а и Ь. Для этого возьмем формулы четырех элементов
(см. § 17):
sin с ctg b = cos A cos с -j- sin A ctg B,
sin с ctg a = cos В cos с -j- sin В ctg A.
Как видим,* каждое из этих уравнений представляет собою
уравнение с одним неизвестным элементом, поэтому для их
решения нужно только их преобразовать в логарифмический
вид:
sin с ctg b = sin A (cos с ctg A -j- ctg В).
Положим cos с ctg A = ct^ ty (III), тогда будем иметь:
sin с ctg b = sin A (ctg ф + ctg B)
или
Формул (III) и (IV) вполне достаточно для того, чтобы
вычислить сторону Ь.
Для вычисления стороны с соответственно получаем фор-
формулы:
cos с ctg В = ctg В, (V)
sinBsiniei^
ь sin A sin О sin с

§ 51. РЕШЕНИЕ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ
Схема" вычислений
Данные прежние: А •¦
121
1)
3)
4)
5)
6)
И)
13)
15)
16)
18)
lg cos с
lgtg Л
lg Ctg tp
<p
lg cos с
igctg Л
lgctg^
В = 77°18
с = 34°29
9.91 603
0.23 051
0.14 654
35°30'42"
41°47'38"
9.91 603
9.76 949
9.68 552
64°8'16"
141°26'36"
'20"
'34"
2)
7)
8)
.9)
10)
14)
19)
20)
17)
12)
21)
22)
lg cos A
lg sin(B — cp)
сотр. lg sin tp
lg cos С
С
lg sin A
lg sin (B + 4»)
сотр. lg sin В
сотр. lg sin <|"
сотр. lg sin с
lg ctg b
b
9.70 498
9.82 377
0.23 592
9.76 467
54°26'
9.93 548
9.79 469
0.01 075
0.04 584
0.24 695
0.03 371
42°46'41"
Контроль вычислений
lg sin b
сотр. lg sin В
E
9.83 197
0.01 075
9.84 272
lg sin с
сотр. lg sin С
9.75 305
0.08 967
9.84 272
§ 51. Решение сферического треугольника по двум
сторонам и углу, лежащему против одной из них.
Дано: а, Ь, А. Найти: С, В, с.
Эту задачу решим двумя методами: I) применением фор-
формул аналогий Непера и II) разложением данного сфериче-
сферического треугольника на два прямоугольных сферических тре-
треугольника

122 VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
I. Первый метод решения задачи
Прежде всего определяем но формуле синусов угол В:
, а 1 л Sin 6
sin В = sin А ^-
sin a
Другой же угол С и сторона с определяются по форму-
формулам, вытекающим из аналогий Непера:
а — Ь
. С , A+BC0S ~2~
1Ь о — ь 9
cos —-?-
~F"^
cos -2
sin —2—
Контролем вычислений служит получение одних и тех
же величин для С и для с, вычисленных по два раза по
двум различным формулам. Кроме того, можно предвари-
предварительно проверить правильность вычисления угла В посред-
посредством формулы Гаусса:
При определении угла В но формуле синусов может встре-
встретиться три случая: a) slnfl> I, в этом случае, конечно, за-

§ 51. РЕШЕНИЕ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ 123
дача невозможна; б) sin 5=1, в этом случае искомый тре-
треугольник будет прямоугольный, и задача имеет одно решение;
в) sin?< 1, в этом случае для угла В найдутся два значе-
значения : одно меньшее 90°, а другое большее 90°, и задача будет
иметь два решения.'
Кроме этого, на основании теоремы: во всяком сфериче-
сферическом треугольнике против больщей стороны лежит и больший
угол, и обратно, заключаем, что искомый угол должен удо-
удовлетворять еще дополнительному условию, чтобы разности
А—В и а — Ъ имели одинаковые знаки. Если это условие
не выполнено, то сферический треугольник невозможен, если
же оно выполнено одним или двумя полученными значениями
для угла В, то получится одно или два решения треуголь-
треугольника. В самом деле, при каждом определенном значении
для угла В, удовлетворяющем предыдущему условию, мы
по формулам Непера как для угла С, так и для стороны
с получим единственные и вполне определенные значения.
Так как разности А— В и а — Ъ имеют одинаковые знаки
и существует, кроме того, соотношение: если Д —j- i3 ^ 180°,
то и а-\-Ь^Ш° (см. § 41), то имеем: 0°<tgy < 90°;
0°< tg-j < 90° или С< 1SO\ c<180°. Отсюда ясно, что
С с
определяя угол С и сторону с по тангенсу -к- и -^, мы
получим для каждого значения В определенные величины.
Что задача имеет два решения видно и геометрически:
если из точки С, взятой на шаровой поверхности, радиусом,
равным а, опишем окружность, то последняя может пересечь
некоторую дугу большого круга АК в двух точках В и В';
если же теперь через вершину С и три точки А, В к В'
проведем дуги больших кругов, то этим образуем два сфе-
сферических треугольника ABC и АВ'С, имеющие одни я те же
данные а, Ь, А. Дуга окружности радиуса а может только
коснуться дуги А К', в этом случае будет построен только
один треугольник, и он будет прямоугольный. Наконец, дуга
окружности радиуса а может совсем не пересечь окруж-
окружности АК; в этом случае задача невозможна, аналитически
эту невозможность видим из того, что получаем
sin В> 1.

124 VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Схема вычислений
Дано: а = 57°41'13"
Ь = 76°34'42"
А = 40°23'28"
1) lgsinft
2) Ig sin A
3) сотр. Ig sin a
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Ig sin В
в\
a + b
a — b
a + b
2
a-~b_
2
9.98 797
9.81 158
0.07 307
9.87 262
48°13'40"
131°46'20"
134°15'55"
¦ 18°53'29"
67°7'57".5
• 9°26'44".5
11) A + i
12) A-i
13)
14)
15)
16)
2
A— B{
18)
/\ ~™ j
88°37'8"
— 7°50'12"
ФГ18'34"
— 3°55'6"
172°9'48"
— 91°22'52"
86C4'54"
— 45°41'26"
19) Ввиду того, что а —- ? < 0, А —
оба решения задачи возможны.
, Л —
Контроль вычислений
угла В
26)
9.21 060л
20) Jgtg^L^i 9.98 953
21) lgig Д~6 | 9.22 107л
А Л- R.
1.16 434
28)
0.38 541/1
41)
23)
21)
25)
29)
Igtg
>8i8
lg«g
A_
с
A
У
-Bt
2
Lt~
-B,
~2~'
9.21
8.83
0.37
0.01
0.38
060л
555л
495
046л'
541 n

38)
30)
32)
34) сотр.
36)
40)
52)
42)
44) сотр.
46)
48)
50) сотр.
51)
§ 51. РЕШЕНИЕ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ 125
Вычисление угла С
0.41504 39) Igtg— 0.41504
Igctg
Igsin-
lg sin-
lg ctg:
2
a — b
2
a + b
Igtg
1.16 434n 31)
9.21 515я 33)
lg соз
a — b
a + b
0.03 555 35) сотр. lgcos-^-J
9.98 953я 37)
9.24023 41)
Вычислениестороны с
0.23063 53)
Igsin
Ig sin ¦
А+'В,
Igtg
a — b
2
A+B%
lg sin •
Igtgf
9.84 419 43) lgcos
1.16 536n 45) сотр. Ig cos
9.22108я47) Ig (g
9.99 898 49) lgcos
0.14 535я 51) сотр. Igcos-
A+Bt
a + b
2
A+Bt
9.36 541 55)
0.01 047
9.994O
0.41 050
8.83566
9.24023
0.23063
9.85465
0.00 102
0.37 490
8.83 461
0.15 581
9.36 541
58) d
69) C,
68°57'56"
9Я51'48".5
137°55'52"
19°43'37"
60>T
62) cj
59°32'39"
13°3'34"
26°7'8"

12E vi. Решение косоугольных треугольников
II. Второй метод решения задачи
Решим эту же задачу при помощи разложения данного
сферического треугольника на два прямоугольных сфериче-
сферических треугольника (черт. 29). Опустим из вершины С
треугольника высоту CD на его основание АВ или АВХ.
Обозначим угол между стороной Ь и высотой через <р; тогда
в зависимости, с каким ~из квух треугольников (АСВ или
ACBt) будем иметь дело, угол между этой высотой и другой
стороной а будет иметь величину или С—% или <р —С.
Отрезок стороны АВ треугольника от вершины А до по-
подошвы высоты обозначим через т; тогда отрезок от вер-
вершины В или В1 до подошвы высоты будет обозначаться
или с — т, или т — с. Высоту треугольника обозначим
через h.
Вспомогательные величины т, <р и h определяются следую-
следующими формулами, взятыми из соответствующих прямоугольных
треугольников:
Правильность вычислений m, h и <? можно проверить
формулами: cos b = cos tn cos h и sin a sin ?= sin A sfnm.

51. РЕШЕНИЕ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И
12?
После определения величии т, h и <р искомые элементы
треугольника определяются по формулам:
4)
. б)со.(С-?)
Контрольной формулой вычисления В, С к с может слу-
служить соотношение:
sin b sin С =» sin с sin В.
Схема вычислений
Данные прежние:
А
76°34'42"
40°23'28"
Вычисление т
1) lgcos.4
4) lgtgft
8) lgtgm
9) т
9.88175
0.62227
0.50402
72»36'13"
Вычисление h
2) lg sin Л
5) lgsinfr
11) lgshift
12) A
9.81158
9.98797
9.79955
39°4'20"
Контроль вычисления h и т
6) lgcosfr
10) lg cos m
13) Igcos/t
14) Igcos*
9.36570
9.47564
9.89006
9.36570
Вычисление 9
Контроль вычисления
3)
7) сотр. lg cos ft
15) lgtg9
16) 4
0.07018
0.63 43Э
0.70448
78°4945"
18) sin h
17) sin<f
21) S
9.79955 19) sin Л
9.99169 20) sin m
9.79124 22)
9.81158
9.97966
9.79124
Вычисление В
23) lgslnft
26) сотр. lgslna
29) lgslnB
30) Bt
31) B,
9.79 955
0.07 307
9.87262
48°13'40"
131°46'20"
24)
27)
32)
33)
34) C,
35) C2
Вычисление С
\gigh
comp.lgtga
lgcos(C — <
T
— 9)
9.90949
0.80106
9.71055
137°55'62"
19°43'37"

128 vt. решение косоугольных треугольников
Вычисление с
28)
25)
6)
37)
38)
39)
Ig cos a
сотр. lg cos h
Ig cos (с — т)
с — т
C-i
9.72793
0.10995
9.83 793
46°29'5"
119°5'18"
26°7'8"
Контроль вычислений В, С к с
44) Ъ_
40) lg sin b
42) Ig sin Ci
46) lg dn ct
48) Igslnji
50) S
9.81406
9.82 609
9.94145
9.87 262
9.81 407
45)
9.51 629
9.98 797 41) lgsinft
43) lg sin C,
47)
49)
51)
9.98 797
9.52 832
9.64367
9.87262
9.51629
§ 52. Решение сферического треугольника по двум
углам и стороне, лежащей против одного из них.
Дано: А, В, а, Найти: С, Ь, с.
Задачу можно решить тремя методами: I) посредством
полярного треугольника, II) методом непосредственного вычис-
вычисления при помощи аналогий Непера и III) посредством раз-
разложения данного сферического треугольника на два прямо-
прямоугольных.
I. Первый метод решения
Построим для данного сферического треугольника поляр-
полярный. Если в данном треугольнике даны элементы А, В, а,
то в полярном треугольнике будут известны: ^ = 180° — Л,
^ = 180°—В, ^j = 180° — а, т. е. задача будет по отно-
отношению полярного треугольника сведена к предыдущему
случаю.
Решая полярный треугольник по схемам, разработанным
в предыдущем параграфе, получим в общем случае по
два значения для Ви Си ct; в соответствии с этим будем

§ 52. Решение по двУм углам и стороне
129
иметь и по два значения для элементов основного треуголь*
пика 0=180° — ^, с = 180° — С1, Ь =
II. Второй метод решения
Сторона b определяется из формулы: sin b «=
sin В sin a
sin Л
если lgsin?<0, то Ъ вполне определяется и имеет значения:
одно меньше 90°, другое больше 90°. Для того чтобькубе-
диться, подходят ли эти значения Ь для вычисляемого тре-
треугольника, следует рассмотреть разности А— В и а — Ь,
они должны иметь одина-
одинаковые знаки. В соответ-
соответствии с этим'для Ъ могут
быть приняты два значе-
значения, одно значение и ни
одного значения. В зави-
зависимости от этого и эле-
элементы Сие могут]иметь
по два значения. ^Что
задача может иметь два
решения, объясняется и
графически.
Построив данный угол
S (черт. 30) и отложив
от его вершины сторону а, получим вершину С. Получив вы-
вычислением два значения для Ь, опишем радиусами, равными им,
окружности, которые в пересечении с другой стороной угла В
дадут точки А и Av Итак, двум решениям задачи соответ-
соответствуют два сферических треугольника ABC и AtBC.
Прежде всего определяем по формуле синусов Ь\
sin В sin a
Черт. 30.
Sin A :
sin Л
Правильность вычисления проверяется формулой:
t л + д t
2
tg
А— В
tg
а —В •
Затем, угол С и сторона с, как и в предыдущем случае,
9 За.к. S57S. Сферическая тригонометрии.

130 VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОб
определяются по аналогиям Непера:
COS
.sin
2
a — b
. a + b
Sin —я
COS
A+B
, 2 — ls 2 Л-Я'
COS-y-
. A+B
2 * 2 л й'
sin о
Гарантией правильности вычислений Сие служит полу-
получение для каждого из этих элементов по два одинаковых
значения, вычисленных по двум различным формулам.
Схема вычислений
Дано: А = 60°57'ЗЗЙГ
Я=72°40'32"
а = 57°17'28"
Ю)
И)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
1)
2)
3) сошр,
4)
5)
6)
7)
8)
9)
lg sin В
lg sin a
lg sin A
lg sin b
Ьг
b%
A + B
А —В
A + B
2
9.97984
9.92502
0.05835
9.96321
66°44'47"
113->15'13"
ШоЗв'б"
—11°32'59"
66°49'2".5
A—a
2
a — &i
7±Ьг
2
a + b2
a-bt
*^2~
a~b3
2
— 5°51'29".5
124°2'15"
— 9 27'19"
2°1'7".5
— 4°43'39".5
170°32'41"
— 55°57'45"
85°16'20".5
-27°58'52".5

§ 52. решение по двум у^лам и
Контроль вычислений
19) Igtg^i^ 0.36 831 21)
20) \gtg tZlh 8.91752 22)
23) Т" 9.28 583 21«
43) lgtg% 0.66167 44) lgtg-
Ш
A -B
0.27 467
9.01116
25) comp.lgcos
28) lgcos ^=
A
31)
А + В
Igctg—i—
37) lg cos
40) comp.lgcos
45)
Igtg
Q.
• 47)
27)
32)
35) сотр. lg cos
42)
49)
lgcos—
A — B
9.28583
0 66 166
1.08 397
9.94 601
9.63169
9.99 852
26) сотр. lg. sin fL+Ь
29)
34)
38)
lg sin -
Igctg:
Igsin
•fi
а —
0.32 866 41) сотр. lg sin ¦
9.95 886 46)
0.67 989
1.08 249
9.59 513
48)
30)
33)
Igtg
Igsin
a —
2
A+B
Л—
0.00 227 36) сотр. lg sin ^
9.87 207
42°17'25" ^
84°34'50" C2
9*
0.27 467 39)
50)
77°42'20" у
155°24'40" c.
Igtg
а — b
0.00 148
9.67 134ra
0.98884ra
8.91 603ra
0.05399
9.95 886
0.67 989
9.72 533га
?96 344
0.99112га
8.91 751га
36°40'50"
73°21'40"
ся
9.87 207
78>11'45"
156°23'30"

VI. РЕШбНИЁ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
III. Третий метод решения
Опустим из вершины сферического треугольника С
(черт. 30) высоту и введем обозначения, указанные на чер-
чертеже. Вспомогательные величины <р> т и Л определяются
формулами, полученными из прямоугольного треугольника
BDC:
1) tgт = tga cos В, 2) sin h «= sin a sin 5,
cigfi
3)
cos a'
Искомые величины С, a, b определяются формулами, полу-
полученными из прямоугольного сферического треугольника:
4) sin (С—
cos Л _. , , sin A
— 5) sin* = ;
cos A "J -""—sin A'
6) sin (с — т) = ctg A tg h.
Схема вычислений
Данные прежние: А = бО^ЗЗ"
В = 72ЧС32"
а=57°17/28"
Вычисление т
Вычисление /г Контроль
вычисления тик
1) \giga
2)
5) lgtg/и
7)
да
0.19 233 3) lgslna
9.47 390 4) Igslnfi
9.66 623 6) lgslnA
24°52/35" 8) A
9.92 502 9) lgcosa
9.97 984 10) lgcosA
П) lgcosm
9.90486
l2)
9.73 269
9.77 498
9 95771
9.73.269
Вычисление
13)
lg ctg В
Контроль вычисления
24) сотр. lg cos a
15)
16)
9.49 406 17) lgsln/w
0.26 731 18) Igslnb
9.76137 19)
9.62393 20) lg sin A
9.97984 21)lgsln»
9.60377 22)
9.70 485
9.69 892
9.60377

§ 53. ОБЩЕЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ О РЕШЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 133
Вычисление Ь
23)
24)
25)"
26)
27)
lg sin h
сотр. lg sin A
lg sin b
9.90485
0.05835
28)
29)
Вычисление с
0.12987
9.74448
Igctgi4
9.96320 30) lgsln(c—m)
66°44'47"
(«
113П5МЗ"
lg cos A
сотр. lg cos ft
35)
36)
37) lgsln(C-<p)
38) (С —<p)i
39)
31)
32)
33)
34)
Вычисление С
9.68613
0.22502
(с — т)г
т4-(с-
9.87435
48°29'5"
73°21'40"
9.91115
40) С,.
41)С3 =
: 84='34'52"
= 155°24'40"
125°24'54"
Контроль вычислений Ь, с, С.
9.98142
9.97 984
42) lg sin &
43)lgsln С
44) ?
9.96320 45) lgsln с
9.99 806 46) lgsln В
9.96126 47)
9.96126
§ 53. Общее заключение о решении сферических тре-
треугольников. Искомые элементы сферического треугольника
определяются через различные тригонометрические функции.
а) Когда искомый элемент определяется через синус, то
решение возможно только тогда, когда этот синус не превы-
превышает по абсолютной величине единицу. В этом случае решений
бывает два, так как положительному синусу отвечают две
величины: одна меньшая 90°, а другая, являющаяся дополне-
дополнением этой величины до 180°.
б) Если искомый элемент определяется по косинусу, то
для возможности решения необходимо, чтобы этот косинус
находился в пределах от -\-\ до —1. В случае возможности
решения оно будет единственным, так как положительному
и отрицательному косинусу в первой и во второй четверти
соответствуют по одному вполне определенному аргументу.
в) Когда неизвестный элемент определяется тангенсом или
котангенсом, то решение всегда возможно, так как эти
функции принимают значения от -f-оо до — оо. Вместе
с тем, в этом случае решение будет только одно, так как

134 VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
при отрицательном или положительном значении тангенса и ко-
котангенса последним соответствует только по одному аргументу.
Прежде чем приступить к вычислению треугольника, необ-
необходимо проверить, удовлетворяют ли данные величины необ-
необходимым условиям существования треугольника. По мере же
получения искомых величин необходимо каждый раз убеж-
убеждаться в том, что эти полученные величины вместе с дан-
данными удовлетворяют всем свойствам сферического треуголь-
треугольника. Те из полученных решений, которые не будут выпол-
выполнять свойства сферического треугольника, должны быть
отброшены.
Напомним условия, необходимые для существования вся-
всякого сферического треугольника.
1) Сумма углов сферического треугольника должна быть
больше 180°.
2) Сумма двух углов без третьего должна быть мень-
меньше 180°.
3) Если сумма двух углов больше, равна, меньше 180°,
то и сумма двух противоположных им сторон должна быть
больше, равна, меньше 180°.
4) Сумма трех сторон треугольника меньше 360°.
5) Сумма двух сторон должна быть больше третьей.
6) Если разность двух сторон больше, равна, меньше 0,
то и разность двух противоположных им углов больше, рав-
равна, меньше 0.
Может случиться, что по данной формуле получим два
решения, но ни одно из них не будет пригодно для иско-
искомого треугольника, т. е. в данном случае задача будет не-
невозможна. Рассмотрим, например, такую задачу: решить сфе-
сферический треугольник по двум сторонам а = 49°, Ь = 81°
и углу /4=151°. Находим угол В по формуле:
, _ . , sin Ь
Sin В = sin A-
lg sin b
сотр. lg sin a
Igsin A
lgslnB
sin a'
9.99462
0.12 222
9.68557
9.80241
чаем
Ввиду того, что lgslnB<0, решение возможно, и для В полу-
1 два значения: В\ = 39°2<? и В% = 140°47'. Но ни одно решение

§ 54. ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
135
непригодно. По заданию мы имеем, что a-f&< 180°, а поэтому
необходимо должны требовать, чтобы A -f- В < 180°. Полученные
значения для Ву и В» этому неравенству не удовлетворяют.
54. Вопросы и упражнения.
1. Перечислите все различные случаи решения косоугольных
треугольников.
2. Напишите для каждого случая формулы, необходимые для
определения искомых элементов треугольника*.
3. В чем заключается метод решения сферических треугольни-
треугольников посредством полярных треугольников?Перечислите случаи реше-
решения сферических треугольников, к которым этот метод применим.
4. В чем заключается сущность метода решения треугольников
посредством введения вспомогательного угла? Поясните этот метод
на примере. В чем заключается геометрическое значение вводимых
в формулу при этом методе вспомогательных элементов?
5. Составьте схемы непосредственного вычисления искомых эле-
элементов сферического треугольника для каждого случая его решения.
6. Исследуйте каждый случай решения в направлении опреде-
определения условий, возможных для вычисления значений искомых вели-
величии, количества их и пригодности для решения задачи.
Решите сферический треугольник по следующим данным:
а
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18
5°22' 1"
17°35' 7"
35°30' 23"
50° 2' 53"
а
15°38' 7"
22°35'52"
40° 9' 20"
4° 6' 43"
а
6°ЗУ54"
29° 6' 11"
40° 0' 10"
52° 5'54"
' -
Данные ¦
Ь
56° 15'42"
44° 44'18"
38° 57'12"
58° 40'13"
Ь
16° 6' 22"
40° 9'20"
56° 52'23"
50° 2'53"
Ь
36' 10' 38"
56° 15' 42"
50° 10'30"
66° 6' 4"
с
60°22'25"
56°52' 23"
56°15'42"
74^53' 17"
С
80' 2'18"
129°57' 7"
115°5019"
118°26'56"
А
8°40' 9"
21°34'29"
121°36'20"
56°52'23 "
1 '
4° 3' 17"
16°32'20"
13° 2' 6"
52' 5' 54"
А
50' 2' 53"
20°35'37"
36'Ю' 38"
44' 58"
В
50° 2'53"
38'57' 12"
4245' 14"
5б°52' 23"
Ответы
В
38°57' 12"
41°32' 39"
47°37' 21"
61°33' 4"
В
52° 5'54"
36°10'38"
50° 2' 53"
58°40'13"
С
123° 7'37"
132=22'39"
34°15' 3"
76° 0' 32"
С
138° 54'54"
127° 54' 6"
102° 16'42"
9.°25'л2"
с
20' 15' 35"
56° 52' 23"
79° 29'44"
52' 5'54"
с
40' 9'20"
77° 43'18"
40° 0'10"
68° 12'58"

136
VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
19. Определить кратчайшее расстояние между двумя точками
А и В земной поверхности, зная их широту и долготу.
Даны широты двух точек: <pi = 29°9'12", ф2=я47°51/24".
Даны долготы этих же точек: X] = 6Э33'48", Х2 = 52°0'18".
Примем земную поверхность за шаровую с радиусом, рав-
равным 6267 км.
Пусть А и В будут две точки на сферической поверхности,
кратчайшее расстояние между которыми надо определить (черт. 31).
п Задача сводится к опре-
' делению длины большого
круга между точками А
и В.
На чертеже РР^ ось
земного шара, KBL —
экватор, PK.L — мери-
меридиан Гринич,'от которого
отсчитываются долготы.
Долгота точки А будет
измеряться двугранным
углом между мериди-
меридианом Гринич и" мериди-
меридианом, проходящим через
данную точку. Если дол-
долгота точки А = Xlf a
точки В = Xs, to в сфе-
сферическом треугольнике
АРВ угол при вершине
Р будет равен: Х2—Xt-
Широта точки А
представляет угол» обра-
образованный радиусом АО
с плоскостью экватора; этот угол измеряется по меридиану ду-
дугою СА. Широта точки В измеряется дугой меридиана DB. Если
широта точки А = <pi. а широта точки В = <р2, то в сферическом
треугольнике АРВ сторона РА = 90° — <pt, сторона РВ = ЭО3 — <р2
Обозначая искомое расстояние через d, определяем его при
помощи формулы Альбатегиия;
cos d ¦» cos (90° — <fi) cos (90° — <ps) +
+ sin (90° — <p,) sin (90° — <p2) cos (Xt ~ Xj),
cos d = «in <pi sin <ft + cos <fi cos <p2 cos (X2—Xj). E3)
С помощью введения вспомогательного угла придадим этой
формуле логарифмический вид:
cos d м «In <р2 [sin <pi + cos <pj ctg <pa cos (X2 — Xj)].
Пусть ctg <p2 cos (Хг — Xt) = tg 9; (I)
тогда получим:
Черт. 31.
cos d = sin ъ (sin ?1 + cos cp, tg 0) =
COS "

§ 54. ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
137
Формул (I) и (II) достаточно, чтобы заначу решить., d будет
выражено в угловых единицах. Если необходимо определить длину
расстояния в частях радиуса, то пользуются формулой:
х = И • d" sin 1". где lg sin 1" = 4.68 557 —10.
1)
2)
3)
5)
6)
lgcos(X,—\t)
" lg ctg <ps
igtge
e
45°26'30"
9.84611
9.95 662
9.84611
7)
4) lg sin <p»
8) lgsin(?1 + 9)
9) сотр. lg созв
2°2<
13)
H)
15)
16)
17)
1'46"
lgd"
lg/?
lg sin 1"
lg*
X
10)
П)
12)
5.18117
3.80396
4.68557—10
3.67067
4678.1 км
lg cos d
d
d"
57°34'8"
9.87009
9.92 636
0.07 355
9.87000
42°9'25"
151765"
20. Найти кратчайшее расстояние от Берлина (Новая обсерва-
обсерватория: X = 13°23'44", <в = 52°30'17") до Парижа (Национальная
обсерватория: Х = 2°20'15", <р = 48°50'11").
Отв. 878.3 км.
21. Определить объем наклонного параллелепипеда в функции
трех смежных ребер и углов, об
разуемых ими.
Положим, что ребро 0М=т-
ON=n и OK**k (черт. 32).
Пусть вершина О будет центром
шаровой поверхности радиуса,
равного единице, тогда ребра ОМ,
ON и ОК в пересечении со сфе-
сферой дадут вершины сферическо- п,
го треугольника ABC, сторонами и
которого будут измеряться углы,
образованные попарно взятыми
ребрами.
Объем параллелепипеда V
равняется площади OMLK, умно-
умноженной на высоту NH.
Ч.
Черт. 32.
Пл. OMLK= ОМ ¦ OK-sia M0K= mk sin Ь.
Высота NH =ON sin N0H= n sin BD, где BD есть высота
сферического треугольника; sin BD =» sin ВС sin BCD = sin "a sin С
Поэтому МН = n sin a sin С. Откуда
V = mnk sin a sin b sin G (a)

138
VI. РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Вместо sin С в эту формулу подставим его значение, выра-
выраженное в функции сторон:
. „ . . С С
«ПС-2ЯП тсовт
., /"s
У
"sin {р—a) sin (р—Ь)., /"sin/> sin(/>- с)
Щ^Г У =
a sin
_ 2 Vsinp sin (р — a) sin (р — Ь) sin Q — с)
~ sin а sin & "
Подставляя в формулу (а) вместо sin С найденное для него
значение, имеем окончательно:
V = 2 mnk] у sin p sin (р — я) sin (/? — &) sin (/»— с). E4)
Ал
Черт. 34.
22. Вывести формулу биссектрисы угла сферического тре-
треугольника.
Биссектрисой угла сферического треугольника называется дуга
большого круга, проходящая через вершину угла и делящая его
пополам (черт. 33).
На чертеже AD биссектриса угла.
Отв. ctg 1.-—
2 cos у sin & sin с
E5)
23. Вывести формулу медианы сферического треугольника.
Медианой сферического треугольника называется отрезок дуги
большого круга, соединяющий вершину треугольника с серединой
противоположной стороны (черт. 34).
На чертеже та—медиана сферического треугольника.
п cos Ь -f- cos с ....
Отв. cos та = ¦ . E6)
2cos|

VII. ВЫЧИСЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА,
СТОРОНЫ КОТОРОГО ВЕСЬМА МАЛЫ ПО СРАВНЕНИЮ
С РАДИУСОМ СФЕРЫ
§ 55. Теорема Лежандра. Сферический треугольник
с малыми относительно радиуса шара сторонами можно
с достаточным приближением вычислять как плоский, имею-
имеющий по величине те же стороны, а углы, равные углам
сферического треугольника, каждый из которых уменьшен
на треть эксцесса.
В
Черт. 35.
Обозначим через А, В и С углы и через a, b и с сто-
стороны сферического треугольника на шаре радиуса R; полу-
полуда _j_ ?_i_ с т,
периметр —г„ обозначим через р. Если радиус шара при-
примем равным единице, при каковом условии выводились все
формулы сферической тригонометрии, то элементы нашего
треугольника будут: А, В, С, -„•, -g, -^-, и полупериметр
будет ^.

140 VII. ВЫЧИСЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Построим по трем сторонам сферического треуголь-
треугольника ABC плоский треугольник А'В'С и посмотрим, на-
насколько плоские углы А', В', С отличаются от сфериче-
сферических А, В, С (черт. 35).
Для упрощения вывода формулы сначала предположим,
что радиус сферы равен единице, а в конце наших вычисли-
вычислительных выкладок введем в формулу R, отличный от еди-
единицы. Метод вывода формулы возьмем такой, "при котором
возможно воспользоваться для непосредственного перехода
от формул сферической тригонометрии к формулам плоской
тригонометрии.
Напишем синус и косинус половинных углов для данного
сферического и плоского треугольников:
4
°»4-V'
Известно, что
А А' А А' АЛ'
sin 2-iA- = sin Ц- cos 4- — cos 4 sin ~.
Подставим в последнюю формулу предыдущие значения си-
синусов и косинусов половинных углов, тогда получим:
V)sin(p — c)
«с sin» sin с
stn Л — А' f^aXp^-V)sin(p — c)p(p — a)
Ш 2 У " «с sin» sin с
1/~(p—b)(P—c)stop8ln(p—a)_ fp jp—a) (p — b)(p—cj
У bctinbsinc ~У , bcsinbsinc
(/> — ») sin О — сГ 1/~
(р-ц^-с) У
ё1пр1Щр~^а)
p(p~a)
Обозначая площадь плоского треугольника через
будем иметь:
sin .,, — .._
s
p — a) {p — b)(p
[л/ sin(p-
Гще\* Р-
-у т~
-c),
—b) sln(p-
b p —
sin (p — a;
p — a
-c)
с
1
j ¦

§ 55. ТЕОРЕМА ЛЁЖАНДРА 141
Вследствие того, что стороны треугольников малы по
сравнению с радиусом шара, синусы их можно разложить
в ряды и ограничиться небольшим числом членов разложения.
sin л: разлагается в ряд следующим образом:
Разделив обе части этого равенства на х и извлекая из
них квадратный корень, имеем:
i
%\пх Г л», х* (. х*,х*
Воспользовавшись формулой разложения по биному
Ньютона и отбрасывая в этом разложении величины четвер-
четвертого порядка, получим:
6/ 2X6~8X6
Примем это во внимание и подставим в уравнение, опреде-
ляющее sin4=41, вместо l/"^, l/H^',
и т. д. приближенные их значения:
sin^-'-
bell-:-.)" -xi1 12
12A 12)~- 12 12 ^ 144
12 | Г 12" _
,-сУ ¦ (p-bfjp-c?
12 "Г 144
Подставляя полученные значения в предшествующую фор-
формулу и отбрасывая члены четвертого порядка, получим:

142 Vll. ВЫЧИСЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО Т+ЕУГОЛЬЙИкА
ИЛИ
р« _ (р - ь? - (р — с? + (р - а)« -
=¦ Bp—b) b -j-Bp—a—c) (c—a)=(a-\-c)b-\-b ic—a) = 2bc.
Итак, имеем:
sin A — A' _ S2frc . sinAndl_A
/I — Д'
Заменяя по малости sin —«— дугою и вводя теперь
во вторую часть равенства радиус /?, который раньше нами
при выводе формулы был намеренно опущен для упрощения
вывода:
или
А— А'= S
точно так же получим:
" ~~ З^з sin 1'"
с с1
~3/?ssinl""
Сложив последние три равенства почленно, получим:
но-
Л-f B + C=180°+S, Л'+S' -]-С'=.180о.
На основании этого, имеем:

§ 5б. применение теоремы лежлнДра
Поэтому
A~A'
В —В'
С —С
V
~~ 3 '
&"
= -у,
Ф11
© -
~~ 3 '
А'
В'
С
~А
о
= С
&"
BIT
з •
Отсюда вытекает заключение, что если имеется сфери-
сферический треугольник и плоский со сторонами сферического,
то у последнего каждый угол будет меньше соответству-
соответствующего угла сферического треугольника на одну треть из-
избытка. Поэтому, вместо вычисления сферического треуголь-
треугольника с малыми относительно радиуса сферы сторонами,
можно вычислять плоский треугольник, имеющий стороны
по величине такие же, как и стороны сферического, а углы,
равные углам сферического, уменьшенным на одну треть
эксцесса. Конечно, при этом необходимо иметь в виду сте-
степень приближения полученных результатов. Заметим, что
применение формулы Лежандра для треугольников со сторо-
сторонами до 200 км на сфере земной поверхности дает точность
вычисления углов до 0,01".
Если сферический треугольник на земной поверхности
' имеет стороны, не превышающие по длине 7 км, то избы-
избыток его совершенно не принимается во внимание, так как
его значение не превышает 0,01".
§ 56. Применение теоремы Лежандра к различным
случаям решения сферических треугольников.
1) Даны три стороны сферического треугольника: a, b с,
А'
-Вычислим углы А', В' и С' по формулам: tg-я =*
И площадь S> =
тогда избыток сферического треугольника $" =
после чего получаем углы А, В и С сферического треуголь-
треугольника по формулам:

144 Vlt. ВЫЧИСЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
2) Даны: сторона а и два прилежащих угла В к С.
Площадь плоского треугольника А'В'С будет вычи-
, о, а! sin В' sin С D
сляться по формуле S —YsinfB' + С'Т' ВвидУ того> чт0
С
углы плоского треугольника В' и С неизвестны, прини-
принимаем приближенно, что S' = ^-s" ^"„., поэтому эксцесс
в данном случае будет определяться формулой:
ра* sin.fi sin С
Зная эксцесс $, найдем угол:
А = A80° — g) —
Углы плоского треугольника будут определены: Л' =
-Л—f-..B'-Я—§-.
Таким образом, задача сводится к решению плоского
треугольника по двум углам А', В' и стороне а.
3) Даны две стороны а, Ь и угол, заключенный между
ними, С.
Площадь плоского треугольника У *=а sл . Ввиду
неизвестности угла С берем площадь $г приближенно:
1 S
S = -^abiinC. Принимая во внимание, что С = С — -^бг »
мы видим, что это сделать можем, так как от замены sin С'
через sin С происходит ошибка порядка /?-2. Поэтому $
t m ab sin С
вычисляем по формуле: g ==2Ri \ \"у после чег0 опРеДе"
ляем угол плоского треугольника С' = С —-f-. Плоский
О
треугольник, имея стороны a, b и угол С, вполне опре-
определен, решая его, получим с, А' и В'; углы сферического
треугольника А и В определяются по формулам: А = A' -j-
+ -§, В-В' + |-
4) Даны стороны a, b и угол Л.
Для вычисления площади плоского треугольника А'В'С
имеем формулу: 5' = у a?sin C"=-g-a?sin (Л' + В'); ставя
в этой формуле sin (Л + В) вместо sinD'-f-S'), делаем допу-

§ 56. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЕЖАНДРА 145
стимую1 погрешность порядка -^ ; получим S'=4 ab $щ{А-\-В).
Для этой, формулы угол В вычисляем rip приближенней фор!-;
муле: sin В == — sin А, что считаем возможным потому, "что;!
угол В вычисляется здесь исключительно для определения
эксцесса.'% ОЙределяртся пофориулй: $ = ^^y^'ljfetff.,,
чего получаем Д =Л—--?¦ и тем сводим задачу к вычи-
вычислению плоского треугольника Д'В'С по элементам a, ft, A';
находим сторону с и углы В' и С, затем углы сфериче-
сферического треугольника В и С
5) Даны два угла А и Д и сторона а.
Площадь плоского треугольника определяем по прибли-
приближенной формуле:
Найдем: A' ==A — -% , B* = B 1- и задачу сведем к реше-
решению падсгкого треугольника по его элементам Л', В' и q^
Схема вычисления сферического треугольника с малыми ; '
' ;."",>(¦.... . СТОрОНаМИ • ' ''.': 10 г." 3- (;i
Предположим, нто сферический треугмьучк -д?р на поверх^
ности земного сфероида его элементами: а =89245 А[, & ж 145248 Jf
и С = 72°31'4$"-1» ?ср=59°45'. -'; ¦ '°'
Есл» сферический треугольник, как в данном; сяунае). заиимает ;
небольшую часть. поверхности сфероида, то ее можно привить за
часть поверхчоетн тара, радиус которого равен среднему геометри-
геометрическому из <радяусов кривизны главных сечейяЙ-в средней точке
рассматриваемой части поверхности сферрида. ,Г1р иссдедованиям i
проф.Груннер<га#ср= 1ЛИМ где М есть радиус кривизны мери-'.
д»анй >» точке с широтою, среднею из дейрот трех вершин тре-'
угольника, • а. N—радиус кривизны вертикала в' ?ои же точке1/
¦ - ¦ i . afrsln С
Формулу' i для; вычисления эксцесса: § = 'г/зв s-n i п для земного
сфероида пре^авим несколько иначе: обозначая -^г-р, = у" и под-
подставляя MN л|мё<:то № будем иметь:
Заа. 8ST8. Сферическая тригонометрия.

146
VII. ВЫЧИСЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
p p
.Для ~ и -j-= составлены таблицы по широте различными авто-
авторами; например, таблицы Шарнгорста для сфероида Бесселя, Вит-
ковского — для сфероида Кларка, Кремлякова — для сфероида
Вальбека.
¦Обозначим 4* тго- через к. получим: g=:* aft sin С
Вследствие малой величины g вычисление его производим при
помощи четырехзначных логарифмических таблиц.
Из таблиц Шарнгорста для широты 58°45' получаем:
1) lg тт 8.5695
8.5087
4.3855
4) lgAr 11.4027
Вычисление углов плоского треугольника производим по формуле
Мольвейде:
€)
7)
в)
9)
10)
11) С
12)
14)
15)
lge
lg*
lgsinC
V
-c-f
С
T
ft —в
1.4027
4.9506
5.1621.
9.9795
1.4949
3*.12
72Э31'47".О6
36°15'53".53
107°28'12".94ч
56 003
234493
16)
17)
Ig (ft — a)
с
18)comp.lg(e-t-ft)
19) Н
20)
21)
22)
23)
24)
25) А
26) 1А
27) В
'tg —g-
—тг—
B' + A'
2
В'
А'
С
'+& + С
SS В "т* ^Вн
о
4.7482113
0.1345232 '
4.6298 701
9.5126046
18П1'56".35
55О44'6".47
74°46'2".82
35°42'102
72°31'74".06
180° -
,35°42'1F16
71°46'3".86

*
§ 57. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЙФЕРЙЧЕвКЙЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 14?
§ 57. Элементарные сферические треугольники. Эле-
Элементарными сферическими треугольниками называются такие,
в которых элементы являются малыми величинами.
Такие треугольники встречаются двух типов: 1) треуголь-
треугольники, в которых все три стороны — величины малые; такие
треугольники, как мы видели в предшествующем параграфе,
решаются как плоские и 2) треугольники, в которых угол С
и противолежащая ему сторона АВ являются элементами
малыми. Такие треугольники ре-
решать как плоские, конечно, Нельзя,
однако к решению их могут
быть применены приближенные'
упрощенные формулы, сильно
облегчающие вычисления и даю-
дающие достаточно точный результат.
Условимся малый угол и ма-
малую сторону треугольника считать
величинами первого порядка.
Разобьем данный сфериче-
сферический треугольник на два эле-
ментарных прямоугольных тре-
треугольника, опуская из вершины В на сторону АС перпен-
перпендикуляр BD; получим два треугольника: ABD со сторо-
• нами с, bt и о и треугольник BDC со сторонами о, Ь% и а
(.черт. 36).
Треугольник ABD, имеющий три стороны малые, решаем
как плоский, употребляя следующие формулы:
AD =з ftt = с cos A,
BD => о *= с sin A,
в
Черт. 36.
К решению же второго треугольника ВВС применим сле-
следующие упрощенные формулы:
а) В элементарном прямоугольном треугольнике гипоте-
гипотенуза равна с точностью до членов первого порядка большому
катету. Возьмем формулу прямоугольного треугольника:
10*

148 VII. ВЫЧНбЛДОИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Отнимая or обеих частей равенства и прибавляя к ним по
, получим:
tff я (cos С— 1),
tg a(cps C-+-1),
Делим почленно эти равенства:
cos С— 1
2 "
Так как угол С мал по заданию, то cos С близок к еди-
единице и катет Ьа мадо отличается от гипотенузы а; поэтому
можно sin (dj—а) запенить через (Ьг—а) и i(^|)
через sin 2a; после такой замены получим:
Чтобы волучить Ьъ—я в секундах дуги, правую часть
равенства надо разделять на sin Г:
(ftf-^- sinV '
выражая tg9-g- через -r- sin91", получим:
(в — Ь^"=тЦ- sin \" slu 2a,
т. е. гипотенуза a равна катету Ь± с точностью до членов
первого порядка.
б) Из тога же элементарного треугольника DBC имеем:
sin <г = sin a sin С.
Ввиду малости з и С можно sin a заменить щрез в и
sin С через С:
о «в С sin a.

§ 57. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 149
Заменяя а через величину катета Ь2, получаем с то» же
точностью
Пользуясь выведенными формулами для двух элементар-
элементарных прямоугольных сферических треугольников, получим
легко формулы для решения элементарных сферических, тре-
треугольников общего случая:
Ь —« «ев С CQ6 А,
a = csin.4 = Csin a*=Csin?2.
Для вычисления избытка сферического треугольника получим
следующую приближенную формулу.
—180°.
Обозначая внешний угол треугольника ABC через
имеем:
откуда $=С — (90э—В); в этой формуле 90°—в, заме-
заменим следующим образом:
cos Bi«» cos ft2 stn C,
sin (90"~ SJ в cos ?, sin С
Ввиду того, что, как показывает формула, Вг отличается от
90° на малую величину порядка Си можно заменить синусы
малых углов самими углами:
90° — Bi =
Поэтому
= 2Csin8-|. E8)
Заменяя С через с -щ-^-, получим вторую приближенную
формулу для вычисления избытка элементарного сфериче-
сферического треугольника:
E9)

150
VII. ВЫЧИСЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Заметим, что полученные формулы для вычисления из-
избытка сферического треугольника ABC служат точными
формулами для получения избытка треугольника BDC; от-
отсюда следует заключение, что, пренебрегая в выведенных
приближенных формулах эксцесса величинами второго по«
рядка, мы пренебрегаем избытком элементарного сфериче-
сферического треугольника ABD.
Схема вычислений
Дано: С = 4'
с = 3'
А = 40°
Перпендикуляр
Сторона а
' BD.
I) Ige
4) lg sin A
7) IgBD
BD
2.25527 8) IgBD
9.F0807 9) lgC
2.06334 10) Ig sin a
П5'7 П) a
2.06334
2.38021
Эксцесс $
Сторона b
2) Igc 2.25527
6) lgcos/1 9.88 425
968 313 J2)lg(*-e) 2.13 952
9*68313 13) b- a 137". 2
28W21" 14) b 28°51'38".9
Контроль вычислений
15) Ig2C
16J1gsin|-
17)
2.68 124
8.79 198
3)
5)
18)
lgc
1.47322
19) Igg"
2.25527
9.80807
9.40988
1.17322
20) g" = 29
21) B=18OP + $ — (Л-f Q = 139°56'29".7

VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ
ТРИГОНОМЕТРИИ
§ 58. Дифференциальные формулы сферической три-
тригонометрии. Эти формулы рассматривают зависимость между
малыми изменениями величин различных элементов сфери-
сферических треугольников. Эти формулы достаточно просто
выводятся путем дифференцирования основных формул, выве-
выведенные для сферического треугольника.
а) Возьмем основную формулу сферической тригонометрии
Альбатегния:
cos а = cos b cos с -\- sin b sin c cos A.
Продифференцировав обе части формулы, получим:
— sin a da = — sin b cos c db — sin с cos b dc -\-
4- cos b sin с cos Adb-\- cos с sin b cos A dc —
— sin b sin e sin A dA *= — (sin b cos с — cos b sin с cos A) db —
— (sin с cos b — cos с sin b cos A) dc — sin b sifl с sin A dA.
Зная; что.
sin b cos с — cos b sin с cos A = sin a cos C,
sin с cos 6 — cos с sin 6 соз Л == sin a cos B,
будем иметь:
sin ada = sin a cosCdb -\- sin a cos В dc -j- sin 6 sin с sin Л dA.
Разделим обе части полученного равенства на sin a:
sine

152 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Заменяя в последнем равенстве Щ через |2* получаем
окончательно;
da = cos С db-\-cos В dc — sin с sin В dA. F0)
При помощи метода круговой перестановки букв напишем
еще две дифферендаальные формулы:
db = cos A dc -j~ cos C da -f sin a sin CdB,
dc = cos В da -\- cos A db -f- sin b sin AdC.
°СН0ВНую форм^лУ сферической тригоно-
cos A = — cos В cos C-j- sin В sta С cos a
и продифференцируем ее:
— sin Ad A =
= sin В cos CdB -f sin С cos В rfC -f cos В sin С cos a dB -{-
-f- cos С sin В cos a </C—sin a sin 23 sin С da =
= (sin В cos С -f cos В sin С cos a) dB -f
+ (sin С cos Я -f cos С sin В cos a) dC— sinasin i3 sin Cda.
Принимая во внимание, что
sin В cos С -f- cos 2? sin С cos a = sin A cos c,
sin С cos В -\- cos С sin В cos a = sin /4 cos ?,
получим:
— sin AdA = sin Л cos с 4B-\- sin Л cos^dC—
— sin a sin 23 sin С da.
Разделив оба члена равенства на — sin А, получим:
л л sin я sin 2? sin Су „ ,„
Ша. da^-cos cdB~ cosbdC.
iliM^sliTe" т0 ПОЛУЧИМ окончательно:
rf/4 = sin b sin С Ai—cos b dC—cosr dB,
rf23 = sincsin /4d*—coscd4 — cosadC, F1)
dC = sia a Sin 5 dc— cos a d23 — cos b dA,

§ 58. дифференциальные формулы тригонометрии 153
Формулы (S1) можно получить переходом к полярному
треугольнику из формул F0). При этом преобразовании
только надо принять во внимание, что на основании зави-
зависимости между элементами взанмнополярных треугольников:
и т. д.; положительному приращэнию элементов одного
треугольника соответствует ^отрицательное приращение эле-
элементов полярного треуголь-
треугольника, и наоборот.
в) Для того чтобы по-
получить зависимость между
изменениями четырех эле-
элементов треугольника а, Д, А
и В, дифференцируем фор-
формулу:
sin A sin Ъ s= sib В sin a,
cos A sin ЬМА -\-
-¦{- cos Ь sin A db =
= cos a sin В da. F2) Черт. 37.
{_ г) Часто встречается случай, когда две стороны в сфери-
сферическом треугольнике остаются неизменными в то время,
когда все остальные элементы треугольника взаимно могут
изменяться.
Полагаем, например, что а и b являются величинами
постоянными. Тогда из системы формул F0) получим част-
частные случаи их:
F3)
dc==rsna*nCdB = -tgAsincdBt
cjsA & I
dc = sin b sin AdC=- sin a sin BdC. )
Применим только что выведенные формулы к определе-
определению зависимости между изменениями зенитного расстояния
и часового угла светила (черт. 37). Для этого рассмотрим

154 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ФОРМУЛЫ ТРИГбНОМЕТРиИ
на небесном своде (который при астрономических вычисле-
вычислениях принимают за поверхность шара с бесконечно большим
радиусом^ сферический треугольник с вершинами: полюса Р,
зенита Z и светила а. Углы этого треугольника будут: угол
при полюсе t, часовой угол светила; при точке зенита угол
будет равен дополнению азимута до 180°, т. е. 180°—а:
угол при точке о называется параллактическим, обозначим
его буквой q. Стороны, противоположные углам, будут:
зенитное расстояние светила, полярное расстояние его, ра-
равное дополнению до 90° склонения светила 8, и, наконец,
дополнение до 90° широты места ср. Таким образом, эле-
элементами сферического треугольника будут:
Углы:/, 180°— а, д.
Стороны: г, 90°—». 90э —у.
Из этрх элементов двг стороны 90°—ср и 90°—о оста-
остаются неизменными при видимом суточном движении светил
на небесной сфере, остальные элементы изменяются.
Поэтому в данном случае применим формулу:
dc = sin a sin В sin С.
Эта формула в применении к рассматриваемому сфери-
сферическому треугольнику напишетсл так:
de = sin (90° — ?) sin a dt,
dz = cos e sin a dt. F4)
Эта формул! часто применяется в сферической астро-
астрономии.

огиз
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
«ГОСТЕХИЗДАТ>
Москва, Орликов пер., 3
ВЫШЛИ В СВЕТ:
А. Ф. Бермант. Курс аналитического анализа
Г. И. Берыан и А. Ф. Бермант. Сборник задач по
кур-су математического ih»h»mm ,Trinn
стр. 404, цена 11 p. J gD>
i А. Попов. Курс начертательной геометоии
стр. 460. цена 17 р. 50 к. Р '
аВ.НемыцкийиВ.В. Степанов Основные вопросы
качественной теории дифференциальных
уравнений, стр. 448 цена 19 р. 50 к *ЦНальных
1 у
Книги продаются в книжных магазинах кт>гмч-
книготорговых организаций, а ташё мсыл-SI? »." " Других
платежом без задатка. высылаются каложенным
Заказы шлите по адресу:
Москва, центр, Куйбышевский проезд, м 8,
КОГИЗ .Книга —почтой'.