/
Author: Писаренко Г.С. Яковлев А.П. Матвеев В.В.
Tags: справочник технический справочник сопротивление материалов издательство наукова думка
Year: 1975
Text
Г» С. ПИСАРЕНКО,
А. П. ЯКОВЛЕВ,
В. В. МАТВЕЕВ
СПРАВОЧНИК
ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ
МАТЕРИАЛОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«НАУКОВА ДУМКА»
КИЕВ —1975
605(083)
1131
УДК ’>.чо 3/1 | 534 t I 620 17(031)
П сираночнике проведены сведения по основным вопросам курса
сопрогин icHHH материалов д ш высших технических учебных заводе
ний а также данные по результатам расчета достаточно широкого
круга наиболее типичных элементов конструкций.
Предка шачеп для инженеро! различных специальностей, стал
кпвающихся в практической деятельности с расчетами на проч
поегь, и студентов высших технических учебных заведений, может
быть по IC3CH также преподавателям и аспирантам
Рецензент доктор техн паук П М В А Р В А К
Редакция справочников
п
00001 -175
М 221(04)—75
190-74
Издательство «Наукова думка», 1975 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сопротивление материалов является одной из ос-
новных общеобразовательных инженерных дисциплин
и играет существенную роль в формировании инженера
почти любой специальности. Особенно большое значе-
ние сопротивление материалов имеет для механических,
машиностроительных и строительных инженерных спе-
циальностей.
Введение в учебную программу высших технических
учебных заведений новых дисциплин, отражающих со-
временное состояние науки и техники, при ограниченных
сроках обучения привело к существенному сокращению
количества лекционных часов по курсу сопротивления
материалов. Восполнение появившихся в результате это-
го пробелов в знании студентами втузов сопротивления
материалов может быть достшнуто в известной мере за
счет самостоятельного изучения ими необходимых разде-
лов этого важного для будущего инженера курса по
соответствующим учебникам.
В Советском Союзе многократно издавались учебники
по сопротивлению материалов С. П. Тимошенко,
Н. М. Б еляева, В. И. Феодосьева и многие другие. Вместе
с тем имеется большая заинтересованность в справочнике
по сопротивлению материалов, отражающем с достаточ-
ной полнотой современное состояние науки о прочности,
как со стороны большой армии инженеров-производствен-
ников и конструкторов, так и со стороны учащихся и на-
учных работников. К сожалению, такого справочника
ни в нашей стране, ни за рубежом нет, а существующие
краткие справочники по сопротивлению материалов
и строительной механике носят специализированный
характер и подают материал по ряду важнеиших разделов,
базируясь на различных подходах, применяемых в раз-
ных курсах сопротивления материалов. Авторы поста-
вили перед собой цель создать справочник по сопротивле-
нию материалов, который бы обладал достаточной пол-
нотой и универсальностью, отражал современш е состоя-
ние пауки о прочности и основывался на едином подходе
к подаче справочного материала, увязанного с соответ-
ствующим теоретическим курсом. В качестве последнего
был принят учебник Г. С. Писаренко, В. А. Агаревэ,
А. Л. Квитки, В. Г. Попкова, Э. С.Уманского «Сопротив-
ление материалов», изд. 3, Киев, «Вища школа», 1973,
в котором нашел отражение многолетний опыт препода-
вания сопротивления материалов в Киевском политехни-
ческом институте и опыт использования двух предыдущих
3
изданий лого учебника студентами многих высших учеб-
ных заведений нашей Страны.
Перед справочным материалом в виде окончательных
формул. таблиц в графиков в каждой главе кратко изла-
гаются основные теоретические предпосылки. При этом
формулируются исходные гипотезы, соответствующие
правя л а, теоремы и даются важнейшие заключения
и рекомендации. Для облегчения пользования справоч-
ными данными па с. 698 приведен перечень таблиц,
содержащихся в книге.
Мы надеемся, что настоящий справочник будет поле-
зен не только инженерам-конструкторам и производствен-
никам всех специальностей, встречающимся в практиче-
ской деятельности с расчетами на прочность, но будет
с успехом использован также студентами, аспирантами,
преподавателями и научными работниками.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Наука о сопротивлении материалов.
Изучаемые объекты
Сопротивление материалов — наука об инженерных методах
расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов сооружений
п машин.
П рочность — способность конструкции, ее частей и деталей выдер-
живать определенную нагрузку, не разрушаясь.
Жесткость — способность конструкции и ее элементов противо-
стоять внешним нагрузкам в отношении деформации (изменения формы
и размеров). При заданных нагрузках деформации не должны превы-
шать определенных величин, устанавливаемых в соответствии с требо-
ваниями к конструкции.
Устойчивость — способность конструкции и ее элементов сохра-
нять определенную начальную форму упругого равновесия.
Для того чтобы конструкции в целом отвечали требованиям проч-
ности, жесткости и устойчивости, необходимо придать их элементам
наиболее рациональную форму и определить соответствующие раз-
меры.
Сопротивление материалов решает указанные задачи, основываясь
как на теоретических, так и на опытных данных, имеющих в этой
науке одинаково важное значение.
В теоретической части сопротивление материалов базируется
на теоретической механике и математике, а в экспериментальной —
на физике и материаловедении.
Сопротивление материалов является наиболее общей наукой
о прочности машпп и сооружений. Без фундаментального знания
сопротивления материалов немыслимо создание различного рода ма-
шин и механизмов, гражданских и промышленных сооружений, мостов,
линий электропередач и антенн, ангаров, кораблей, самолетов и верто-
летов, турбомашпп и электрических машин, агрегатов атомной энерге-
тики, ракетной и реактивной техники и др.
Сопротивление материалов не исчерпывает всех вопросов механи кп
деформированного тела. Этими вопросами занимаются такие смежные
дисциплины, как строительная механика стержневых систем, теория
упругости и теория пластичности. Однако основная роль при решении
задач на прочность принадлежит сопротивлению материалов.
При всем разнообразии видов конструктивных элементов, встре-
чающихся в сооружениях и машинах, их можно свести к сравнительно
небольшому числу основных форм. Тела, имеющие эти основные формы,
и являются объектами расчета па прочность, жесткость и устойчивость.
Это стержни, пластинки и оболочки, массивные тела.
Стержнем, или брусом, называется тело, у которого один размер
(длина) значительно превышает два других (поперечных) размера
рис. 1). В инженерном деле встречаются стержни с прямолинейной
(рис. 1, а) и криволинейной (рис. 1, б) осями. Как прямые, так и кри-
вые стержни могут быть постоянного (рис. 1, а) или переменного сечения
(рис. 1, «). Примерами прямых стержней являются балки, оси, валы.
Примерами кривых стержней могут служить грузоподъемные крюки,
звг нья цепей и т. п. Стержни со сложным профилем поперечного сече-
ния, у которых толщина стенок значительно меньше габаритных раз-
меров сечения, называются тонкостенными (рис. 1, г).
Оболочка представляет собой тело, ограниченное двумя криво-
линейными поверхностями, расположенными на близком расстоянии
друг от друга, т. е. тело, один размер которого (толщина) ’ значительно
меньше двух других. Геометрическое место точек, равноудаленных от
Рис. 1
Рис. 2
обеих поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью.
По форме срединной поверхности различают оболочки цилиндрические
(рис. 2, а), конические (рис. 2, б), сферические (рис. 2, <?) и др. К обо-
лочкам относятся тонкостенные резервуары, котлы, купола зданий,
обшивки фюзеляжей, крыльев и других частей летательных аппара-
тов, корпуса судов и т. п.
Если срединная поверхность оболочки представляет собой плос-
кость, то такая оболочка называется пластиной (рис. 2, г). Пластины
могут быть круглыми, прямоугольными и иметь другие очертания.
Толщина пластин, как и оболочек, может быть постоянной или пере-
менной. Пластинами являются плоские днища и крышки резервуаров
(рис. 2, Э), перекрытия инженерных сооружений, диски турбомашин
п т. п.
Массивным называется тело, у которого все три размера — ве-
личины одного порядка. Это — фундаменты сооружений, подпорные
стенки и т. п.
В сопротивлении материалов, как правило, задачи решаются про-
стыми математическими методами с привлечением ряда упрощающих
гипотез и использованием данных эксперимента; решения при этом
доводятся до расчетных формул, пригодных для использования в ин-
женерной практике. Основным объектом, рассматриваемым в сопротив-
лении материалов, является прямой стержень.
§ 2. Виды деформаций. Понятия о деформированном
состоянии материала
Реальные тела могут деформироваться, т. е. изменять свои форму
и размеры. Деформации тел происходят вследствие нагружения их
внешними силами или изменения температуры. При деформации тела
его точки, а также мысленно проведенные линки или сечения переме-
щаются в плоскости или в пространстве относительно своего исходного
положения.
При нагружении твердого тела в нем возникают внутренние силы
взаимодействия между частицами, оказывающие противодействие внеш-
ним силам и стремящиеся вернуть частицы тела в положение, которое
они занимали до деформации.
Различают упругие дефор мации, исчезающие после прекращения
действия вызвавших их сил, и пластические, пли остаточные, д(фор-
мации, не исчезающие после снятия нагрузок. В большинстве случаев
для величин деформаций элементов конструкций устанавливают опре-
деленные ограничения.
В сопротивлении материалов изучаются следующие основные виды
деформаций растяжение и сжатие, сдвиг (или срез), кручение, изгиб.
Рассматриваются также более сложные деформации, получающиеся
в результате сочетания нескольких основных видов деформаций.
Растяжение, пли сжатие возникает, например, в случае, когда
к стержню вдоль его осп приложены противоположно направленные
силы (рис. 3). При этом происходит поступательное перемещение
сечений вдоль оси стержня, который
при растяжении удлиняется, а при л р
сжатии укорачивается. Изменение пер- у&г У
воначальной длины стержня I, обозна-
чаемюе ДЛ, называется абсолютным уд-
линением (при растяжении) или абсо-
лютным укорочением (при сжатии).
Отношение абсолютного удлинения
(укорочения) AZ к первоначальной дли- Рис. 3
не I называется средним относитель-
ным удлинением (укорочением) на длине I или средней линейной
относительной дефюрмацией участка и обозначается обычно еср:
Ы
еср — I
Истинное линейное относительное удлинение, или относительная
линейная деформация в точке, определяется как относительная дефор-
мация участка при I -► О
lim .
г-^о t
На растяжение или сжатие работают многие элементы конструк-
ций: стержни ферм, колонны, штоки поршневых машин, стяжные
болты и др.
Сдвиг, или срез, возникает, когда внешние силы смещают два
параллельных плоских сечения стержня одно относительно другого
при неизменном расстоянии между ними (рис. 4). Величина смещения
As называется абсолютным сдвигом. Отношение абсолютного сдвига
ж расстоянию между смещающимися плоскостями (тангенс угла 7)
называется относительным сдвигом. Вследствие малости угла 7 можно
принять
, Дя
Относительный сдвиг является угловой деформацией, характеризующей
перекос элемента.
На сдвиг, или срез, работают, например, заклепки и болты, скреп-
ляющие элементы, которые внешние силы стремятся сдвинуть друг
относительно друга.
Кручение возникает при действии на стержень внешних сил, обра-
зующих момент относительно его оси (рис. 5). Деформация кручения
Рис. 4 .
сопровождается поворотом поперечных сечений стержня друг относи-
тельно друга вокруг его оси. Угол поворота одного сечения стержня
относительно другого, находящегося па расстоянии I, называется
углом закручивания на длине I. Отношение угла закручивания ф к дли-
не I называется относительным углом закручивания
На кручение работают валы, шпиндели токарных и сверлильных
станков и другие детали.
Изгиб (рис. 6) заключается в искривлении осн прямого стержня или
в изменении кривизны кривого стержня. Происходящее при изгибе
перемещение какой-либо точки оси стержня выражается вектором,
начало которого совмещено с первоначальным положением точки,
а конец — с положением той же точки в деформированном стержне.
Рис. 6
В прямых стержнях перемещения точек, направленные перпендику-
лярно к начальному положению оси, называются п рогибами. Обозна-
чим прогибы буквой w, а наибольший прогиб — буквой /. При изгибе
также происходит поворот сечений стержня вокруг осей, лежащих
в плоскостях сечений. Углы поворота сечений относительно своих
начальных положений обозначим буквой ф.
На изгиб работают балки междуэтажных перекрытий, мостов,
оси железнодорожных вагонов, листовые рессоры, валы, зубья шесте-
рен, спицы колес, рычаги и многие другие детали.
Описанные выше простейшие деформации стержня дают пред-
ставление об изменении его формы и размеров в целом, но ничего
не говорят о степени и характере деформированного состояния матери-
ала. Исследования показывают, что деформированное состояние тела,
вообще говоря, является неравномерным п изменяется от точки к точке.
При этом деформированное состояние в точке тела полностью опре-
деляется шестью компонентами деформации: тремя относительными
линейными деформациями ех> Ег и тремя относительными угловыми
деформациями цху, цхг, цуг.
§ 3. Основные гипотезы
Для построения теории сопротивления материалов принимают
ряд гипотез о структуре и свойствах материалов, а также о характере
деформаций.
1. Гипотеза о сплошности материала. Предполагается, что мате-
риал полностью заполняет занимаемый им объем. Атомистическая тео-
рия дискретного строения вещества во внимание не принимается.
2. Гипотеза об однородности и изотропности. Предполагается,
что свойства материала одинаковы во всех точках и в каждой точке —
во всех направлениях. В некоторых случаях предположение об изо-
тропии неприемлемо. Так, анизотропными являются древесина, свой-
ства которой вдоль и поперек волокон существенно различны, а также
армированные материалы.
3. Гипотеза о малости деформаций (гипотеза относительной жест-
кости материала). Предполагается, что деформации малы по сравнению
с размерами деформируемого тела. На этом основании пренебрегают
изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных
частей тела при деформации и уравнения статики составляют для
недеформированного тела. В некоторых случаях от этого принципа
приходится отступать, что оговаривается особо.
4. Гипотеза о совершенной упругости материала. Все тела пред-
полагаются абсолютно упругими. В действительности реальные тела
можно считать упругими только до определенных величин нагрузок,
и это необходимо учитывать, применяя формулы сопротивления мате-
риалов.
5. Гипотеза о линейной зависимости между деформациями и на-
грузками. Предполагается, что для большинства материалов справед-
лив закон Гука, устанавливающий прямо пропорциональную зависи-
мость между деформациями и нагрузками.
Как следствие гипотез о малости деформаций и о линейной зависи-
мости между деформациями и усилиями, при решении большинства
задач сопротивления материалов применим принцип суперпозиции
(принцип независимости действия и сложения сил). Например, усилия
в любом элементе конструкции, вызванные различными факторами
(несколькими силами, температурными воздействиями), равны сумме
усилий, вызванных каждым из этих факторов, и не зависят от порядка
их приложения. Это же справедливо и в отношении деформаций.
6. Гипотеза плоских сечений. Предполагается, что мысленно про-
веденные плоские сечения, перпендикулярные к оси стержня, в про-
цессе его деформирования остаются плоскими и перпендикулярными
к оси.
Эти, а также некоторые другие гипотезы позволяют решать широ-
кий круг задач по расчету на прочность, жесткость и устойчивость.
Результаты -таких расчетов обычно хорошо согласуются с данными
эксперимента.
й
Глава 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Сопротивление стержня различным видам деформаций часто за-
висит не только от его материала и размеров, но также от очертаний
оси, формы поперечных сечений и их расположения относительно
направления действующих нагрузок. Рассмотрим основные геомет-
рические характеристики поперечных сечений стержня, отвлекаясь'
от физических свойств изучаемого объекта. Этими характеристиками
являются: площади поперечных сечений, статические моменты, моменты
инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции.
§ 4. Статический момент площади.
Центр тяжести площади
Рассматривая произвольную фигуру (поперечное сечение стержня),
связанную с системой координат хОу (рис. 7), по аналогии с выраже-
нием для момента силы относительно какой-либо оси можно составить
выражение для момента площади, которое
называется статическим моментом. Так, произ-
ведение элемента площади dF на расстояние у
от оси Ох
dSx = ydF
называется статическим моментом элемента
площади относительно оси Ох. Аналогично
dSy = xdF — статический момент элемента пло-
щади относительно оси Оу. Просуммировав эти
произведения по всей площади, получим статические моменты пло-
щади соответственно относительно осей х и у:
Sx = ydF-, Sy— xdF.
F F
(2.1)
Размерность статического момента — единица длины в кубе (напри-
мер, см?).
Пусть хс и ус — координаты центра тяжести фигуры. Продолжая
аналогию с моментами сил, на основании теоремы о моменте равнодей-
ствующей можно написать следующие выражения:
Sx — Р'Ус'> Sy — Fxg,
где F — площадь фигуры.
Координаты центра тяжести равны
Sy Sx
Ус = Г
(2.2)
(2.3)
10
Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее разби-
вают на простые части (рис. 8), для каждой из которых известна пло-
щадь (Fj) и положение центра тяжести yj. Статические момен-
ты всей фигуры относительно осей Ох и Оу соответственно будут
равны
г=п
$х — + ^2^2 + • • • + FпУп ~ РгУ1<
г=1
>
i=n
Sy -- Fxxr + F2x2 -J- ... -J- Fnxn = 2 Fixi.
i—1
(24)
Из формул (2.3) и (2.4) определяем
координаты центра тяжести сложной фи-
гуры
2i FiXi /* i?/i
Sy 7---1 ... i = i
XC— p ~ i=n ’ Jc F i=n
2 f’i 2 р\
i=i i=i
(2.5) Рис. 8
§ 5. Моменты инерции плоских фигур
Осевым, или экваториальным, моментом
инерции площади фигуры называется интеграл произведений
олементарных площадок на квадраты их расстояний от рассматри-
Рис. 10
ваемой оси. Так, моменты инерции произвольной фигуры (рис. 9)
относительно осей х а у соответственно равны
Jx~^y2dF'. Jv=^x2dF. (2.6)
F F
Пользуясь этими формулами, вычислим моменты инерции для
простейших фигур.
И
Прямоугольник (рис. 10). Учитывая, что элементарная
площадка dF = bdy, найдем
h
2
\ y2dF =
F
Очевидно,
_h
~ 2
Ь№
И'
hb*
12 '
Треугольник (рис. И).
ь
dF ~ (h. — у) dy, момент инерции относительно
h
Учитывая, что b (у) — (h — у),
оси х выразим как
Рис. 12
bhd
12’
dF dF •
Рис. 14
у ~
Круговой сектор (рис. 12). Учитывая, что dF-- pdyrfp
и у — р sin определим момент инерции относительно оси х:
Р г
т С С f „ . „ j j ri Г,n ч sin 23 — sin 2а 1
Jx = J y2dF = P Sin2 cppd'fdp = -g- (p -- a)------1---------- •
F a 6
Пол я p it ы м м о м e н m о м инерции площади фигуры
относительно данной точки (полюса О) называется интеграл произве-
дений элементарных площадок на квадраты их расстояний р от по-
люса (рис. 9):
J = j fdF. (2.7)
F
Если через полюс проведена сисгема взаимно перпендикулярных
осей х, у, то р2 ~ х- 4- у1. Из (2.6) и (2.7) будем иметь
/р=/х+/„. (2.8)
Круг (рис. 13). Учитывая, что dF =-- 2лр с?р, полярный момент
инерции будет: г
(* С 7т-^4
/р = I p2dF = 2п I р3(/р -у- »
F 0
12
илп
Т —
~ "32 ’
Из (2.8) очевидно что для круга
Отметим, что величины осевых и полярных моментов инерции всргда
положительны.
Центробежным моментом инерции назы-
вается интеграл произведений элементарных площадок на их расстоя-
ния от координатных осей х, у.
Jxy= § xydF. (2.9)
F
В зависимости от положения осей центробежный момент инерции
может быть положительным или отрицательным, а также равным
нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен
нулю, называются главными осями инерции. Две взаимно перпендику-
лярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры,
будут ее главными осями. Это следует из того, что в этом случае каж-
дой положительной величине xydF соответствует такая же отрицатель-
ная величина по другую сторону оси симметрии (рис. 14) и их сумма
по всей площади фигуры равна нулю. Главные оси, проходящие через
центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.
Размерность моментов инерции — единица длины в четвертой степени
(например, см4).
§ 6. Моменты инерции сложных сечений
При вычислении моментов инерции сложных сечений последние
обычно разбивают на отдельные простые части, моменты инерции кото-
рых известны. Из основного свойства интеграла суммы следует, что
момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции ее
составных частей. Определим момент инерции сложной фигуры (рис. 15)
относительно оси х, разбив ее на простые части I, II,- III, имеющие
соответственно площади Fv Fn, FIn:
13
или
Jx = + J” + J*11. (2.10)
Заметим, что в случае, когда в сечении имеется отверстие, последнее
удобно считать частью фигуры с отрицательной площадью. Так, мо-
мент инерции относительно оси х сечения, показанного на рис. 16, будет
j _ л гп_Ъ№
Jx JX JX 12 4 ’
§ 7. Моменты инерции относительно параллельных осей
Пусть известны моменты инерции фигуры относительно централь-
ных осей х, у
Jx= y2dF\ Jy= J x2dF-, JXy= J xydF. (2.11)
F F F
Требуется определить моменты инерции относительно осей xlt У1,
параллельных центральным (рис. 17):
JX1 = j JXiyi = J xiyidF. (2.12)
F F F
Координаты любой точки в новой системе xfl^ можно выразить
через координаты в прежней системе хОу так:
Х1 = х b; У1 у -J- а. (2.13)
Так как статические моменты площади относительно центральных
осей равны нулю, формулы (2.12) с учетом (2.13) окончательно могут
быть представлены в виде:
Следовательно: 1) момент инерции относительно любой оси равен
моменту инерции относительно центральной оси, параллельной дан-
ной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между
осями; 2) центробежный момент инерции относительно любой системы
прямоугольных осей равен центробежному моменту инерции относи-
тельно системы центральных осей, параллельных данным, плюс произ-
ведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых
осях. Необходимо отметить, что координаты а, Ь, входящие в формулу
(2.15), следует подставлять с учетом их знака.
§ 8. Зависимость между моментами инерции
при повороте координатных осей
Пусть известны моменты инерции произвольной фигуры относи-
тельно координатных осей х, у (рис. 18):
Jx — [ y2dF; Jy==( x2dF; Jxy = j xydF. (2.16)
F F F
14
Требуется определить моменты инерции относительно осей yv повер-
нутых относительно осей х и у на угол а против часовой стрелки, счи-
тая последний положительным:
= f у2^ JV1 = f ^dF> JXiVt = J x^dF (2-17)
F F F
Координаты произвольной элементарной площадки в новой сис-
теме (xfly-i) могут быть представлены
системы (хОу) следующим образом:
= ОС = ОЕ 4- AD = х cos а у sin а;
уг — ВС — BD — ЕА — у cos а — х sin а.
G
Окончательно находим:
JXi = Jx cos2 а + Jу sin2 а — JXy sin 2а;
= Jy COS2 а-f-Jx sin2 a -f- JXy sin 2a,
через координаты прежней
1
^xiVi — Jxy cos 2a — (Jу
Отметим, что формулы (2.19) и (2.20
любой системы прямоугольных осей, естественно, справедливы для
центральных осей. Складывая почленно (2.19), находим
— Jx) sin 2a. (2.20)
, полученные при повороте
Следовательно, при повороте прямоугольных осей сумма осевых момен-
тов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции от-
носительно начала координат.
При повороте системы осей на угол a = 90° имеем:
dyt — JXllh ~ — Jxy
§ 9. Определение направления главных осей инерции.
Главные моменты инерции
Наибольший практический интерес представляют главные цен-
тральные оси, относительно которых центробежный момент инерции ра-
вен нулю. Обозначим главные центральные оси буквами и, v. Очевидно,
Juv = 0.
Для определения положения главных цен-
тральных осей произвольной несимметричной
фигуры необходимо центральные оси х, у по-
вернуть на такой угол а0 (рис. 19), при котором
центробежный момент инерции относительно
нового положения осой станет равным пулю
JXiyi ~ JUV ~ 0.
Из форм лы (2.20) получим
13
JXiVl Jx'j cos 2ao “ Jy 2~~~ sin 2a° = °*
откуда
lS2a0 = J^x4r. (2.21)
J IJ - Jx
Получаемые из (2.21) два значения угла а0 отличаются друг от
друга на 90" и определяют положение главных осей.Как легко видеть,
меньший из этих углов но абсолютной величине не превышает
4 ’
Обычно пользуются меньшим углом. Проведенную под этим углом
(положительным пли отрицательным) главную ось обычно обозначают
буквой и. Папомним, что отрицательный угол а0 откладывают от оси х
по ходу часовой стрелки.
^>Jy
J„>0
cto<O
с(д>0
Гис. 20
Па рис. 20 приведены некоторые примеры обозначения главных
осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначены
буквами х и у. Значения главных моментов инерции можно получить
из общих формул (2.19), приняв а — а0:
(2.22)
Jод — Jх cos- —[— Jу sin* 2 ctg JXy sin 2ccg,
A = J у cos2 ct0 + Jx sin2 ct0 4- Jxy sin 2ct0.
Сложим и вычтем последние выражения. С учетом (2.21) будем иметь:
Jи Jv — Jx -V Jу\
1
УM Jх>~ (Jx — Jу) cos 2а0 — 2.JХу sin 2ct0 = (Jх — Jу)-----~.
cos za
Q
Решая совместно последние уравнения относительно Ju и Jv, получим
Ju — ~2 + Jу) 4- (Jx — Jу)
Jv — лу [(Лс 4" Jy) (Jx Jу)
1
cos 2я0
1
cos 2ct0
(2.23)
Очевидно, при Jx~>Jy, Ju>Jv
16
Учитывая, в соответствии с (2.21), что
------о— — ± V1 + tg2 2а0 = +
cos 2ct0 ~ । » и —
4 J2
1,7 ху
j +
{Jx-Jy? ’
выражения (2.23) для главных моментов могут быть записаны в виде
Ju = "2" [(Л 4- Jy) ± V'(JX - JyY -f- 4J2J; '
Jv - ~ КЛ 4- Jy) + V(Jx - Jy)2 + 4J^],
(2.24)
причем верхние знаки следует брать при Jx~> Jy и нижние — при
Jx<Jy-
Таким образом, формулы (2.21), (2.23) и (2.24) позволяют опреде-
лить положение главных осей и величину главных центральных мо-
ментов инерции.
Если теперь вместо произвольной начальной системы центральных
осей хОу принять систему главных осей, то формулы перехода к повер-
нутым осям (2.19) и (2.20) упростятся:
J = Ju cos2 а 4- Jv sin2 a;
J ~ Jv cos2 a и sin2
1
Лс1У1 = у (Ju — Jv) sm 2a
(2.25)
(2.26)
Отметим, что главные моменты инерции обладают свойством
экстремальности. В этом легко убедиться, продифференцировав выра-
жения (2.19) по переменной а.
Плоскости, проведенные через ось стержня и главные оси инерции
его поперечного сечения, называются главными плоскостями.
§ 10. Графическое представление моментов инерции.
Понятие о радиусе и эллипсе инерции
Вычисление моментов инерции по (2.23) — (2.26) можно заменить
их графическим определением. При этом принято различать две задачи:
прямую и обратную.
При решении прямой задачи определяются моменты инерции отно-
сительно произвольной центральной системы осей х, у но известным
главным моментам инерции Ju и Jz. Обратная задача состоит в оты-
скании главных моментов инерции но известным моментам инерции
Jx, Jy и JXy относительно произвольной центральной системы осей
х, у.
Прямая задача. Определить моменты инерции Jx, Jy, Jxy
относительно осей х и у (рис. 21, а) по Jv и Jv относительно глав-
ных осей, направленно которых известно. Для определенности поло-
яшм Jи J z.
Выберем прямоугольную систему координат в некоторой геомет-
рической плоскости (рис. 21, б). По оси абсцисс будем откладывать
осевые моменты инерции Joc (Ju, Jv, Jx, Jy u т. д.), а по оси орди-
нат— центробежные J^Q(JXy u T- n-)-
•17
В соответствующем масштабе откладываем вдоль осп абсцисс
отрезки О А и 013, равные главным моментам инерции. Отрезок АВ
1
делим пополам, так что BC=AC~-^(JU — Jv). Из точки С описы-
ваем радиусом СА окружность, называемую кругом инерции. Тогда
для определения момента инерции относительно оси х, проведенной
под углом а к главной оси и, из центра круга проводим под углом
2а луч CDX. Положительные углы откладываем против часовой
стрелки. При этом оказывается, что ордината точки Dx равна центро-
бежному моменту инерции Jxy, а абсцисса — осевому моменту инер-
ции Jx относительно оси х. Чтобы получить значение момента инер-
ции Jv относительно оси у, перпендикулярной к оси х и, следова-
тельно, проведенной под положительным углом £ = а ф- ~ к главной
оси и, проводим из центра круга луч CDy под углом 23 — 2 -|-
4- . Легко видеть, что он является продолжением луча CDX.
Абсцисса точки Dy равна моменту инерции Jy, орчинага KyDy —
центробежному моменту инерции с обратным знаком (—Jxy), что
соответствует центробежному моменту инерции относительно осей,
повернутых на 90. Отметим, что двум взаимно перпендикулярным
осям соответствуют две точки круга (Dx и Dy), лежащие на одном
диаметре.
Проведем из точки Dx ось х, параллельную соошетстнующей
оси на рис. 21, а. Точка М ее пересечения с кругом называется по-
люсом круга инерции (главная точка или фокус круга инерции).
Легко показать, что линия, соединяющая полюс с любой точкой круга,
дает направление оси, представленной на диаграмме данной точкой.
В частности, линия МА дает направление главной оси и. Линия
МВ параллельна главной оси v.
Обратная задача. Известны моменты инерции Jx, Jy, Jxy
площади сечения бруса относительно системы центральных осей х у
(рис, 22, а).'Определить положение главных осей инерции и величину
18
главных моментов инерции. Для определенности построения примем
JХ''> Jу И ^У^-
В геометрической плоскости (рис. 22,6) строим точки Dx и Dv,
соответствующие моментам инерции относительно осей х и у. Абсциссы
этих точек являются осевыми моментами инерции: ОКХ ~ Jx, ОКу —
= Jy\ ординаты — центробежные моменты инерции Jxv, причем
Рис. 23
KXDX = Jxy\ KyDy = — Jxy. Так как обе точки принадлежат одному
диаметру, то соединив их, получим центр круга инерции С, из кото-
рого описываем окружность радиуса
CDx ~ CDV —
пересекающую ось абсцисс в точках А и В. Очевидно, что абсциссы этих
точек (ОА и ОВ) являются искомыми главными моментами инерции
чЛу И J
19
Для определения направления главных осей построим фокуо
круга инерции. С этой целью из точек Dx и Dy проведем линии, соот-
ветственно параллельно указанным осям, до пересечения с кругом
в точке М. Соединив затем фокус с дочками А п В круга, получим
направление главных осей и и v (рис. 22, б). Графическое решение
обратной задачи соответственно для четырех случаев, изображенных
па рис. 20, показано на рис. 23, а, б, в, г.
Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно
представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некото-
рой величины, называемой радиусом инерции:
Jx= j y2dF = Fi2,
F
(2.27)
где ix — радиус инерции относительно оси х.
Йз (2.27) следует, что
Аналогично радиус инерции относительно оси у
(2.29)
Главным центральным осям инерции соответствуют главные
радиусы инерции
(2.30)
Построим па главных центральных осях инерции плоской фигуры
эллипс с полуосями, равными главным радиусам инерции, отклады-
вая при этом вдоль оси и отрезки,
равные гг, а вдоль осп v — отрезки,
равные 1и (рис. 23). Такой эллипс, назы-
ваемый эллипсом инерции, обладает том
замечательным свойством, что радиус
инерции относительно любой централь-
ной оси х определяется как перпенди-
куляр ОА, опущенный из центра
эллипса О на касательную к нему,
параллельную оси х. Для получения
точки касания достаточно провести
параллельно данной осп .г любую хорду.
Точка пересечения эллипса с линией,
соединяющей центр О и середину хор-
ды, является точкой касания. Измерив
отрезок ОА — ix, находим момент инер-
ции по формуле
- F i2.
20
§ И. Моменты сопротивления
Осевым моментом сопротивления называется
.отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию
до наиболее удаленной точки поперечного сечения:
(2.31)
^шах
Размерность моментов сопротивления — единица длины в кубе (мм3,
см3 или м3).
Практическое значение имеют моменты сопротивления относи-
тельно главных центральных осей, которые обычно называются просто
моментами сопротивления.,
1. Для прямоугольника (рис. 10):
^=^2=^’ <2'32>
w«=-^r = iT- <2-33>
2. Для круга (рис. 13):
Wx = Wv = W = -А. = (2.34)
г 4 о/
3. Для трубчатого сечения с внутренним диаметром d и наруж-
ным — D:
Jx n(Di — di) nD3 4 ....
И'« = И'„ = И'=^Т = —^-' = ^.(1-,-), (2.35)
где
« = А. (2.36)
Полярным моментом сопротивления назы-
вается отношение полярного момента инерции к расстоянию от по-
люса до наиболее удаленной точки сечения:
(2.37)
Р Ртах
В качестве полюса принимается центр тяжести поперечного сече-
ния стержня.
1. Для круга (рис. 13)
^=4-=т=^- <2-з8>
2. Для трубчатого сечения
«Z п тс 7?^
= <2-39)
21
f 12. Порядок расчета
При анализе геометрических характеристик плоских фигур любой
сложности важнейшей задачей является определение положения глав-
ных осей и величин главных моментов инерции. Можно рекомендовать
следующий порядок определения положения главных осей и величин
главных центральных моментов инерции сложного профиля, состоя-
щего из простых частей, характеристики которых легко определить.
1. Проводим произвольную прямоугольную систему осей. Разби-
ваем фигуру на простые части и определяем по (2.5) положение ее цен-
тра тяжести.
2. Проводим начальную систему центральных осей х, у таким
образом, чтобы наиболее просто можно было вычислить моменты
инерции частей фигуры относительно этих осей. Для этого определяем
моменты инерции частей фигуры относительно своих центральных
осей, проведенных параллельно осям z, у, используя при этом формулы
перехода к параллельным осям (2.14) и (2.15). Таким образом, полу-
чаем значения Jx, Jy и Jxy.
3. Определяем по (2.21) угол наклона главных центральных осей,
причем ось, проведенную под меньшим углом (положительным или
отрицательным), обозначаем буквой и, а перпендикулярную к ней —
буквой V.
4. По формулам (2.24) определяем значения главных центральных
моментов инерции Ju и Jv.
Пример. Определить положение главных центральных осей
и вычислить главные моменты инерции для поперечного сечения
(рис. 25, а), которое состоит из неравнобокого уголка № 14/9 (ГОСТ
8510—57) и швеллера № 24 (ГОСТ 8240-56).
Рис. 25
Решение. Через центры тяжести Сг и С2 уголка и швеллера
проводим центральные оси хг, уг и а?21 Уг> параллельные их сторонам.
Поскольку х2 — ось симметрии швеллера, она и ось у2 являются его
главными центральными осями. Главная'центральная ось у0 уголка
образует с его центральной осью хг угол а.
Для уголка Fj — 22,2 ел2; JXi = 146 е.н4; = 444 см\
22
= 85,5 aw4; tga = 0,409; a = 22° 15'; координаты центра тяже-
I
F2 = 30,6 сла; J = 2900 см*; J — 208 сл4;
г ’ Х1 ’ V1
центра тяжести хс = 2,42 ел; ус = 12 см.
момент инерции JXo и центробежный момент
J mln
стп xq = 4,58 cm, yc = 2,12 cm.
Для швеллера
Jxy — 0; координаты
Найдем главный
инерции Jx v уголка:
' = = 444 + 446 — 85,5 = 504.5 ел4;
Л-0 Шал. *
' = _х° v° sin 2 (90° - a) = sin 2a =
xiVi 2 '2
504,5 — 85,5 л/сп л
-------:-------- 0,701 = 146,7 см*.
2
Расстояния между центральными осями уголка и швеллера равны:
между осями и х2
12,00 + 2,12 = 14,12 см;
между осями уг и у2
14,00 — 2,42 — 4,58 = 7,00 см.
Определим координаты центра тяжести С всей фигуры в системе
осей ®2> Vi-
22,2 7,00 _п, 22,2 14,12 _ п,
хо ~ 22.2 + 30.6 “ 2'94 “ -22;2 + 30,6 “ 5'94 “•
Центр тяжести С должен лежать на прямой СгС2, что необходимо
проверить на рисунке. Через центр тяжести С проводим центральные
оси xG и ус, параллельные проведенным ранее центральным осям
уголка и швеллера. В системе центральных осей хс, yG координаты
центров тяжести уголка и швеллера равняются:
хс^ ™ 7,00 — 2,94 ж 4,06 см; ус* « 14,12 —- 5,94 »= 8,18 см;
хс^ ~ — 2,94 см; ус* «= 5,94 см.
Вычислим осевые и центробежный моменты инерции всего сечения
в системе произвольных центральных осей хс, ус:
146,0 + 22,2 8,18а + 2900 + 30,6 • 5,94а = 5607,6 ел4;
у 444,0 + 22,2 • 4,Об2 -ф 208,0 + 30,6 • 2,94а = 1282,4 ел4;
jXc ус = 146,7 + 22,2 4,06 8,18 + 30,6 • (—2,94) • (—5,94) =
= 1417,3 см*.
По формуле (2.21) находим угол а0 наклона главных центральных
осей х и у относительно произвольных центральных осей хс и ус:
^хгуг 2 1417 3
tg 4 = = '1282,4 — 5607,6 = - °’66;
VQ XQ ’ >
2a0 « — 33е 20'; a0 « — 16° 40'.
Поскольку угол a0 отрицательный, главная центральная ось и откла-
дывается относительно произвольной центральной оси хс по часовой
стрелке, а поскольку Jx >• Jy„, то ось и является осью, относительно
С V
которой момент инерции будет максимальным.
хс
23
Главные моменты инерции определим по формуле (2.24):
j 5607,1) + 1282,4 + у (5607,6- 1282,4)2 Ш7>32 =
= 3445,0 ± 2585,6 см4;
Ju = Jmax — 6030,6 си4 = 6030,6 10~3 л4;
= ЛпШ = 859-4 СЛ*4 = 859>4 10~3 м4‘
Проверка. Должны удовлетворяться условия
JXq “1“ Vq ~ Ju ~l~ J V И Ju V ~ 0.
В данном случае имеем
JX(J + Jyc = 5607>6 + 1282>4 = 6890,0 = Ju + Jv = 6030,6 +
+ 859,4 = 6890,0 см4;
Геометрические характеристики плоских сечений
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Квадрат У F~h? h ^ = 2/1=2-
н-Л Г - III ж 3 у
Л? Люба ось — h У я нет глав [трал 1ая + ьная
Квад рат п V У - *1 олый F = 1^ — h2 11 хх^ У1 = -^
J % fl X
Люба ось — №
1 +7 d hr
У я цев глав грал ная ьная
24
Jxq Jyc
Juv= ----2----sin 2a° + JxcVC C0S 2a° =
= 56Q7,6— 1282,4 (_0(55) + 1417 3 0)836 =
= —1189,4 + 1184,9 = — 4,5 cm4.
4,5
Относительная ошиока составляет - 100 = 0,4%, что допу-
стимо.
На рис. 25, б показано построение круга инерции для графического
решения этой же задачи.
Геометрические характеристики различных плоских сечений
а также сечений прокатных профилей приведены в табл. 1—8.
Таблица 1
Моменты инерции: осевые Jх, Jy', цептро бежный JXy‘, полярный ,/р и при свободном кручении Моменты сопротивления: осевые Wx, Wy; полярный IVp и при свободном кру- чении WK; т — касательное напряжение Радиусы инерции
h4 h2F h4 h2F ~~ 3 “ 3 ’ JK = 0,14067г* wx = wy = ~, и О WK = 0,208Ь3 Tmax — посередине сторон, в углах -г = 0 h = 0,289/1 Эллипс инерции — круг
j -j = и2 + h2 p 12 тт. Н4 - /? ,У«=^= Ы1 1х ~ 1у = /^¥2 = 0,289/№-|-Ь2 Эллипс инерции — круг
25
Форма
сечения
Тонкостенный
квадрат полый
Любая центральная
ось — главная
Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
А 1 ^1 Н = =
Квадрат полый
с,
W ^7
77/ -Г*
*1
Любая центральная
ось — главная
Квадрат поставлен
на ребро
Любая центральная
ось — главная
F - h2 — а2
F = а2
h
’ Т
h
а — 0,11а
26
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jу', центро- бежный JXy\ полярный Jj и при свободном круче нии ./к Моменты сопротивления: осевые Wx, Wy; полярный IVр и при свободном круче- нии WK; т — касательное напряжение Радиусы инерции 1Л Jx 1х “ И -р- ’
Jx = Jy = ~ НЧ = _ F//2 6 4 wx - Wy = -J НЧ О н 1х~1у~ уъ~ w 0.408Я Эллипс инерции — круг
/г4 - а4 Jx-Jy- 12 - А2 + р = - 12 f /г4 — а4 ^x=lF„= Oh lx — iy = 1 Г № -|- а2 V 12 = 0,289 Vh3 + а2 Эллипс инерции — круг
J -J Jx~Jy ~ 12 - a2F h* “ 12 “48 И'х=И'в = У«5 = h3 = 57 = 0,118а3 = 24 = 0,042/г3 При срезке верхнего и нижнего углов на 1 & = 7= Л Wx достигает 1о максимума Wx ср = = 0,124а3 = 0.044Л3 lx~ iy = 0,289а Эллипс инерции — круг
27
Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Квадрат полый по-
ставлен на ребро
Н
= а = 0,71а
Любая центральная
ось — главная
Прямоугольник
bh
b
Х'= 2
Оси х — х п у— у —
главные централь-
ные
28
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые J х, Jy', центро (лжный Jxy', полярный Jy и при свободном круче- нии JK Моменты сопротивления: осевые Wx, Wy- полярный IVp и при свобод- ном кручении WK; т — каса- тельное напряжение Радиусы инерции <„=/4
J -J = Jx — Jy — J2 ТГХ = Wy = У 2 ai — ь4 1Х — 1у —
IP — /г4 "I / а2 4- Ь2
48 12 а Г 12
_ fl2 + b~ 12 = 0,118 = а 24Н ~ IP _ Ь4 = 0,042 -- = 0,289 V а2 + Ь2 Эллине инерции — круг
_ b/lJ b ~t2~ 12 /ib3 Fb- ~ 12 "12" _ __ w bh2 Flt х (i 6 "у- 6 ~ 6 (Л- = 0,289/г iy = 0.289&
hb3 Fb2
tFh2 XJJl /| .7ЛЧ __ b3h3 b3h3
Ы* б(62 + Л2)-" — s‘n3 a F<b~ sin2 a 48 ~ 24 i bb /><> Jv-=yAb 8 + '<2) h ~b~n JK=rtbi >1 Посередине длинных сторон ттах = Л7К/ТУК; посередине коротких — т = ^шах> в Углах т = °
29
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
п 1 1.5 2 3 4 6 8 10
$ 0,208 0,346 0,493 0,801 1,150 1,789 2,456 3,123
Ч 0,1404 0,2936 0,4572 0,7899 1,1232 1,789 2,456 3,123
С 1,0 0,8588 0,7952 0,7533 0,7447 0,7426 0,7425 0,7425
Прямоуголь полый У НИК F = ВН — bh В х, = 1 2 Я
л X
V/ 1
i ъ
ь л(
в „ - У — льные
Оси х — главные У т и цет у- 1тра
Тонкосте угольник У ниый пр> полый IMO- F = 2& {В + Я) Н Ь< 15 в *1~ 2 В
Т Z22 А
S п С
В '
Оси х главн У — ж и у — у— ае центральные
30
П родолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jу', нентро бежный Jxy; полярный и при свободном круче- нии J к Моменты сопротивления: осевые W Wy\ полярный W и при сво- бодном кручении VVK; ~ — касательное напряжение Радиусы инерции 1 lx “ Г р ’ , 1Л JV lV “ У ~F
h Ь ~ JK = y(n~°’G3)64 г >4 И'к = у(п-0,63) Ь3 = -Л. ь В точках длинных сто- рон, за исключением концов, т ; посере- ди ie коротких сторон Т <).7 425ттах; в углах т -- 0
ВII3 — bh3 Jx~ 12 НВ3 — hb3 12 вн3 — bh? ру v х вн ГТ7 НВ3 - hb3 w«- 60 - 1/ ПДЗ ~ bh3 lx V 12 (ВН—Ы) - 1/ ^B3 — hb3 ly V 12 (BH - bh)
’ н" II II ' ео|fcc йЕ<|ес + + ТТГ ън*/ в А ^ = — 1’ Я- + 1) т77 SB2/,, 11 \ fT.- 3 (3 b +1) ix = 0,289H X -i/зв + я x V в + н iy = 0,289В x -i/зн + в x V н + b
31
Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координат!,I
крайних точек сечения
Прямоугольник
F -= b (Н — 1г)
2
2
Оси X — X и у — у —
главные центральные
Прямоугольник с
круглым отверстием
F = bh — '-~~-
4
= bh (1 — 0,785 ~
\ bh
b
xt - -2-
h
У г - у
Оси х — х и у — у —
главные центральные
Прямоугольпик
с двумя отверстиями
bh—
/ d2\
= ^1-1,57-^-
\ bh)
2
А
2
32
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые J х, Jy; центро- бежный Jxy- полярный Jp и при свободном круче- нии JK Моменты сопротивления: осевые \VX, Wy', полярный Wp и при сво- бодном кручении VVK; t — касательное напряжение Радиусы инерции 1/^ Jx . *х= V ~р-^ • — 1/* г’/— Р F
"Г "-(^7 1х
b2 Wy^-^H-h) - 1/ H2+Hh+h2 _ И 12
-0.2Я9 ]/ H2+Hh+h2
iy 0,289b
1 (bh3 rd*\ Jx "" 4 \1F 16 ) " ту _ 1 (5/г3 T-d3\ _ x^2h 16"/ =’ ix O,2897i X
- -'7(1 -0,59^ 12 \ bh3/ 1 ( hb3 Kd*\ J,J - /Д 3 16 / =- ~ (1-0,59 6 \ bh’ / / d* / 1-0,59^4 х1/ bh
ТТЛ _ 1 1 hb" - 2Ь\ 3 16/ Г 1 —0,785-4^- • bh iy 0,2895 X
-^(1 -0 59 ’ 12 \ bb3 ) hb2 / (I3 \ 4-1-0,59-^ b \ hb' / / 1 — 0,59 -4т 1 / bb
f 1 -0,785-4- 1 bh
Л 12 L -’18/м,+ ix - = 0,289/i у Г d3 / 1-1,18 X oh3 S / / Л °\ S' /1 „ a*\ I :ч1+1М
+ 16-Jr)] a- /J 1 4Р й~ И +1С-^я 1 — 1 57 JELL ’ bh
r hb‘4< , <0 d*\ Г17 ЬЬ~ Л 0,2895 '
Jy~ 12 1)18 hbs) и ~ V ~ / d3 / 1 — j,is-4- xz _ z,';i
“1’187J4”X| hb' 1 w> 1 — 1,37 4l~ f bh
2 ЫЮ
33
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
F = bh — пг2
Ь
Xi = y
h
2
П рямоугольнпк
с полукруглыми
вырезами
Оси X — X И у — У'—
главные центральные
Прямоугольник
повернутый
F — bh
У1 — ~2 (h cos a -J- b sin а)
1
xL — — (Ь cos а — h ain а)
Узкая прямоуголь-
F = И
ная полоса
h
У^~2
34
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jy} центро- бежный JXy*, полярный Jp и при свободном круче* НИИ JK Моменты сопротивления: осевые Wx, Wy} полярный Wp и при свобод- ном кручении WK; т — касательное напряжение Радиусы инерции . 1/ X == V ~p- '> V~J~ l?7 = И -jF
+ — . 1 . 5 ai=! 7 Л 11 ‘ SI-' 77 к ~~1 к ' s. 'L + S ( 1 5 -si . к ™ 1 ~г Че |эт со I i о o' 1 «О || 1 1 -о |<м II =» 'Н'® 7“" 7 к 1 * + II II
г /1.0 Jx = 12 (fe-COS'-а + 4- b2 sin2 а) ^y = ^(^2sin2a + 4- b2 cos2 а) '/xy=||(62-A2) sin 2а bh Wx = т х h2 cos2 а 4- b2 sin2 a X : h cos a 4- b sin a ттг bh Wy = ТС X y 6 h2 sin2 a 4- b2 COS2 a b cos a — h sin a Jx — 1 / h2 cos2 a 4- — 1/ 4~ b2 sin2 a V 12 ~ 1 f h2 cos2 a 4- = 0,289 У 4"&2siii2a jy = 1 f h2 sin2 a 4- = 0,289 У 4- b2 cos2 a
_ 1th2 _ Fh2 Jx ~ "12 “ 12 JXi = -у (a2 + ab 4- b2) wx = X g ix = 0,289Л
2*
35
Форм 1 ((.пени 1 Плошадь сечения F Координаты крайних точек сечс-ши
( лмчетрпчныи дв\- тано ii> прямое 1 оль- ши.о j М __ *^рЦ41 X к С1 р; X ' JO ! Л ы У| Оси х — х и г/ — у — главные центрапьные F - ah -р b (11 — Л) «е н ►- н» 1! II b-| tq о
Дв3 тавр и&. Г :Л у[—м Z;—М . .J ? F = all + -1 26 (с+ q) Ь- \(В-а) В II
Симметриинс ние in прям НИКОВ “ti Ось х — х — центральная е сече- oyi оль- главная F ВII — bh н
36
Продолжение modi I
Моменты инерции осевые Jx, Jу, центро бежный JXy, полярный Jр и при свободном круче НИИ JK Моменты сопротпвдент осевые W\, \Vy, по шр ный Wp и при свободном кручении VV'K - — касательное напряя сине I’ i тусы инерции X F р , 1 ~ ’и ~ » г
aVi . № . I!'. - -- + х ьнт + -Ь1Г - А"> 'гу ьб ' + -^(// - 1>) 1х = |Л/!Ч 6(/р — /г3) ’ 12 [«Л (H—h}\ 'и J ah b' (II - h) 1 12 К ; b{II-h)\
/й-2[вчя-Л) + н- /г1аз + _1(Б4 — a4)j h — hY Л ” 2b Для стандартных дву- тавров 1 а « 6 IT» - -^-[в3 (Я - Л) ч- + МЧ- -X- V-^- f А. У Г F
ВЮ — bld Jx ~ 12 Bll-'—lld Wx ~ ЬЯ 1/ В1Р ~ bhi lx ~ V 12 (BH — bh
I
37
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Симметрия! нио из пря пиков г 2 Ось х — х — центральна; юе сече- иоуголь- J U '! Г - главная F = BH + bh Н
Крестовина У F = lib -p(B — b) h в х^~2 II ^ = ~Г
-Ж "у V А 2j X
Крестовин стенная 0* 1 X а ТО1(К( )- X F — liZ (b — 8) 8 ь - -2- h У^-2
Jj У Т ДТ —""!
38
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jyi центро- бежный Jxy, полярный Jp и при свободном круче- нии JK Моменты сопротивления: осевые Wx, \Vy; полярный Wp и при свабод- ном кручении WKj т — касательное напряжение Радиусы инерции
_ ВН* + bh* Jx~ 12 IV ВН'Л + bhi 67/ . _ 1/ ВН* 4- bh* х Г 12 (ВН 4- bh)
Т Ы1 ‘ 4- {В — 6) /г* irz ЬНЛ+ (В — b)h* kh kl^ II II И =3>
А 12 f hBA 4- (И — h) Ъ* НН n/ hB'+Ul ~h)b>
Jy 12 11 - НВ
Л - ,2 12 1635 + 53 (6~5)] w _ + 53(6-5) х~~ 6й у ьь |ч> II II
39
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Несимметричный двутавр пj ирямо- ГОЛЫ1ПКОВ F - Ъс, + -j- а (й -j- -|- Вс « с | 1 се Cq II l! t
_Д ;'с> X У!=--уХ _ аН2+В^-+Ъ}С' (2H-cf)
rw : -7„.gIL, i х, 1 ‘ 7 Оси х —х главные и и у — у ентральные / >. os II h II 4- । J? tn to II ?
Слммстри» из прямоу У [ный тавр голышков И__ F _- (Д — Ъ) с bh в ~2 , 1 ^2 X - (/j~ с2+ bh" {В — Ь) с bh ?/i =h~~ у^
7 ч X
J1 Ж ।
40
Продолжение тадл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jy, центро бежный J^; полярный Jp и при свободном круче- нии JK Моменты сопротивления: осевые VVX, \V’y; полярный Wp и при сво- бодном кручении Wj.; - — касательное напряжение Радиусы инерции <х-к'4 • -1/ZI гу— Г Р
/х — у (Byt — В Ji3 -j- + Ъу\ - bjft Jy -- /2 ь b>ct + -F a3 (h -ф Лх)] Т7ХВ -—(для верхних волокон) !Г J* ! П , „ (для Ш1ЖППХ н 2/1 волокон) 1 ^=65^+^ + + a3 (h + Лх)] I и li
W
Jx-JXi-yy
J^2 ~ ~[(B~b) c3~{-bh3]
Jy = ~[B*c+& (h—c)]
Т’ г о BhS
Кроме того, ,
где 3 находится из
графика
(для
Уг У,
верхних волокон)
W
Г х Н
В
У1 ’ fl — y'1
(для нижних волокон)
w>—^llpe+
+ Ь3 (Ь — с)]
1
3[(Z7 — b) с bh\
41
форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Несимл чение I ников => Ось х - ральиа 1етричное 13 прямоу а а Й- d л, - х — цен я се го. 7 л I ; X Т- чь- & F = all 4- be _ all2 4- be2 'Jl~ 2 (aH + be) у' = П — yL^ __ a112 + bc (2П ~~ c) 2 (all bc)
Kopi X ЯТ1 А I IOE сеч , J ешю h X F = Bh ~\- -1- 2b (II —h) В Xl~ 2 Bh2 + 2b (H2 — h2) Vl 2 \Bh + 2b(Il -A)J p/ = JI — Vi
, 1 *1
'/////>
х, X, 1 1
У в J
Устой с обратными
стенками
F — BII—L^lh
В_
2
У1 =-
3BH2 — h2 (& + 2а)
ЬВН — ЗА (я -j- Ъ)
у’ II —У1
42
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jy] центробежный поляр- ный J,, и при свободном кручении J(< Моменты сопротивления: осевые Wx, полярный Wf) и при сво- бодном кручении WK; т — касательное напряжение Радиусы инерции <„-/5
Л = 4 ~ btA + О + аУ^) IV = ~ хв У1 (для нижних волоков) W ^ХБ= у' Нг_У1 (для верхних волоков)
+ + S' » _!_ -С 5 1 * 4. • -S |сы >. 1|£<м 1 г । 4 + £ т | * г II + г (для нижних волокон) и\ = А (для верхних волокон) Р7У = _К-Ч1— (H—h) {B—2by 6В и
с " j>! « х 1^ г =»• II -'е dg 11 > ii I - о- t: ~ 11 J__ + 1 с»' а° У1 (для нижних волокон) (для верхних волокон) IK - h 64 — а4 24В Ь — а
43
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Раино О0] ч’ИЙ уголок У X 7 У - 1 (2/г — г) *1 - lit -- _ h2 t (h — t) 2 (2h — t)
1. X x — y' -— i Jt ~ h — xt — h — yt
4 Zzj^ (///// «к.
*2 X/ х;\ мл У У;
Равнобоки Х<(7^5° й уголок У Ж? v -Л" Lx У У - 1 (2h — t) h t — 2c /2 •>; - 1 12/i -- t) /2 ,/2 С-^-2
Hepai JJOi< X по бо Л 1 кий У *1 i. vro- X F -((b-l-k^ - t (h 4- bL) b2 h't ,T1 "'2(6+^) t,-rx^ b2 -4- hx (2b t) 2(b-\-hx) h2 4- bit yi - 2{h +&J = h — г/i = h2 4- bj. (2h — i) 2 (h + M
! / Ц- й J
44
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jy; центро- бежный Jxy; полярный Jp и при свободном круче- нии JK Моменты сопротивления: осевые \Vy; полярный Wp и npii сво- бодном кручении WK; т — касательное напряжение Радиусы инерции
А = Jy = = у (h — ^)3 + + hyf — (h — t) (yi — Z)3] Т t(2h~ 3i) (/i2+ t2) wx^wv = ^- У1 (для левых и HMzKHiix волоков) wx ==Wy=^~ У Ух (для правых и верхних волокон) zmin ~~ 1у2 ~ Г у
6 77г4 _ 5 (fe __ f)4 Jy2 “ 12 — 2/г2У1 (h -4-2/1)_f_ + 2 (h — t) (/i — — i/i) (Vi +0 —' — Myi (h — I)2
Jx = ~ [2^ - -2(c-04 + / t VI -М|Л-2с+-^| J /Н — (h — «)> ~ " 12 ^хв = -^ у (для верхних волокон) W =-1*. хн Уг (для нижипх волокон) 4 F tc” я" II И М-Н ’зЫ
Л - = у R (h — yi )3 + -1- by'i ~ bi (yi~l)3] 1 J у 3. (Ь ~ Xl^ + hr^ — ht (Xj — <)3] bbjih t x’' 4 i'b 4- h^ bb,hhit 4 (Я + ’ r X В у ' (для верхних волокон) W г 1 X II У1 (для нижних волокон) W - Цп хх' (для правых волокон', W = -2^- Ул Xi (для левых волокон) О’ £ сч о <=> II - I нН lys. Sl^1 bi Ь
45
Форма сечения Площадъ сечения F Координаты крайних точек сечения
Z-образное Л, л, „ i сечение F = htr + + 2t {b — tx) 1 |сч J » II £ н*
л л
г, \ 0
Треугольник
1 .
F = ~ bh
Л
, 2 /
?А --= о Л
X _
х> 1^..
ь
У
46
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jyi центро- бежный полярный Jp и при свободном круче- нии JK Моменты сопротивления, осевые Wx, Wy! полярный Wp и при сво- бодном кручении WK; т — касательное напряжение Радиуси инерции 1/" ^х гх-и —!
Т bh? — (b — ty)(h — 2i)3 Wx-
" 12 hij 4- Gib2 (b -» ti) + r + (b — fi)3 _ bh3 —(b —ti) (b —2t)3
6b П^ = i ~ l lV — Г
~ 12 j Jx cos2 a—Jysin2« ht^ 6fb2 (b — tj) + IF
x* ~ cos 2a 7 J У COS2 a —Jx sin2 a + 2f(&-f!)3
6 (2b — fj
t/« — cos 2a
tg-»- Л-Л
_ bl? _ Fl? Jx ~ ~36~ 18 _ bh? _ Fl? JX2 — 12 — 6 bh? _FI? Jxa- 4 2 bh (b2 — x' x.) [V = X H 12 (для нижних волокон) w = УХВ 24 (для верхних волокон) _ bh (62 —*i'*i) п 36xi (для правых волокон) w — bh ^ъг"~х^х^> Wy л “ Збх/ (для левых волокон) h lx — * , r— — 3/2 = 0,2357b 1 1У 7~— X 3/2
Jy~ 36 F (b2 — x^x? ~ 18 _ htxf + zj) Jvt 12 == 36 "J*X1 Ж1) Jp A ~ 12 + xi8 + V b2 — Xj xt ~ = 0,2357 X X /b2 —
Для равностороннего треугольника со сто- роной b и высотой h
т hb2 Fb2 Ju~Jv2 - "48-- 24 ’ h4 I? w =w =№ ип у л 12 Жк = 0,05Ь3 = _ А3 1? 2Jk ^=1/1“ = 0,2046
к”15/3 ~ 25,981 - 3 bi _ b' “ 80 /з ” 46,188
7,5/3 ~ 12,99 ~ h Посередине сторон т1Пах; в \глах т = и
47
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Прямоугольный тре- угольник V^B *з ' ‘ И\ 1 - ; Г/Ал t * <’ П Л лУ х, ' У г'' 1у F — у bh ’ 1 и Zl -- -о- b 2 , -3 ь 1 . У! -3^ 21 ’Л“-з"
48
Иродолжение табл. 7
Моменты инерции: осевые Jх, J у', центро- бежный Jxy; полярный ,/ и при свободном круче- нии J к Моменты coup.>тив.тении: осевые Wx, 1И(/; по.тярный Wp и при сво- бодном кручении И'н; — касательное напряжение Радиусы инерции i -\/~ Jx - гХ — г р > ’.7 ~ V ~р~
Для равнобедренною треугольника с основа- нием Ъ, высотой h и углом при вершине а <15°
— .) 105г»1 nzK --- p- kb1 — O.io.w
__4_ b
В точках длинных сторон вблизи основа- ния т1|)ах; в углах ~ --- 0
bh2 Fh'1 nz / - b — 0 9,3577»
Z. 3(> 18 j Fh<l X2 — ]2 (Г илн 12 (для нижних волокон) 3/2 b
bh3 Fli1 Л-3 4"' ” “3 b*h Fb- _ ‘/y':"36""18 b*h Fb- ~TT ЛГ T l№ TF - ' х в 24 (для верхних волокон) bji У Л 12 (для левых волокон) ty “3/2 = 0,23576»
Jxy ” 72 b№ Jx2y2 24 - b2fl'' J X&y 2 8 j — bb /jj2 1 j,2\ _ bhc2 Jp~ 36 (Л ) - 36 c2 = h2 + b2 T bh , , , , JpA JO (^7 “Г b -) = bhc'1 " ~12 W — ~h_ vn - 24 (для правых волокон)
4в"=“(3''г + »г)
49
Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Трапеция
Г = -^(Ь1 + Ь)Л
_ +2Ь1
У1~ ‘Ць + ьо
2Ь^Ьа
3(6+^
Ось х —- х — цент-
ральная
Для равнобедренной
ним — + Ъо ~ Ь
и' ~ 3bi ~Ь 2fy) h
У1 3 (2&: + Ьо)
b
Для трапеции в виде
сотой h > 46
5С
П родолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jy; центро- бежный JXy', полярный Jp и при свободном круче- нии JK Моменты сопротивления: осевые Wx, Wyi полярный Wp и при сво- бодном кручении WK; — касательное напряжение Радиусы гнерции ! -1/ZZ. гХ “ Г р < i ги г р
Jx ~~ W — h
№ (62 + 466j + bl) X н h* (62 + 466) + б,) 1л 6(6 + 60 х
X 1/ 2 (62 + 466i + 61)
36(6+60 Fh* (62 + 466, + 6,) 18(6 + 6,)2 / ft3 (& 4-361) . _ “ 12 F62 (6 + 36t) 6(6+ bi) г 63(36 + 6Q_ ~ 12 _ F6.2 (36 + 6,) 6 (6 + 61) “ 12(6 + 260 (для нижних волокон) W = ’ X в /12 (62 + 466! +61) 12(26 + 60 (для верхних волокон)
трапеции с верхним основанием 6, и виж- -
Jx~ бЧбб^ + бб^о+б^) WXB — h* (662 + ббД, + 620) h lx~ 6 (2b! -f- 60) X
x }/ 2 (66i 66i60+6q)
36 ( 261 + 60) 11 >4 12 (36, + 260)
- h Ь ~~ Ь1 ~ 48 ‘ 6 — 6, клина с большим основав h & - ь{ ! / 62 + bl
и~24 Ъ2 — 661 нем 6, меньшим — бр вы- lv~ V 24
h (64 — 6?) 7«" 12(6 — bi) — 0,105 (64 + б{) W = = к ь 6(64 —6f) “ 126 (6 — 60 64 + 6* ^0,105 —j—- 6
В точках длинных сторон ближе к широ- кому основанию т Tmax Wu
51
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
llo:ibiii ромб У /Ж. । I 'Zwl-b Wl! Ж 1 £_^.— у: F .... А (аЪ — а^) а b ^^2
Круг ""Г 4* ^1 r r-d2 9 4 0,785(/2 Xj У1 = d ’2 " Г
Ь.ЙЁж У: Любая централ ось — главная _L [ьная
Кольцо 4 D -= Vi -- -- —
1 'И J_ -Ж 4-Wb _ Lt ~ 1 ъЛ -! 1 х К' kD2 - Ж1-*2) ~ ~ 0,783Z>2 (1 — а2) d а~ ~D
Любая центральна,! ось — главная
52
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые J х, Jy, центро- бежный J полярный Jp и при свободном вруче- нии J.,- Моменты сопротивления: осевые Wx, Wy; полярный Wp и при сво- бодном кручении VV’K, т — касательное напряжение Радиусы инерции ix=y
abi — aj^b'i Jx “ 48 ’ a3b — afby аЬ3 — а,Ь'[ W — I / ab — оЛЬ'[
24b a3b — alb. W lx У 24 {ab — ajbt) 1 / aib — ai^i
48 Uy~ 24a у 24 (ab — a1bl)
J - J ~r'di - 'r' - Jx - J U - -gy - T - _ Fd2 _ Fr2 _ 16 " ~T ~ яг 0,05d’ яг 0,785г’ Jp - JK ~ 2JX 2Jy r.rt* r.r1 32 2 ^V,1U яг 1,57r’ 7i(i^ 7X7*^ 4 яг 0,1 d3 яг 0,785г3 -d3 ' ТГ3 W --- W --- й: р к 16 2 яг 0,2d * 1,57г3 Во всех точках пери- метра ттах i - d r Л~ 4 “ 2 Эллипс инерции — круг
_ к (D* — dJ) _ Jx-Jy~ G/j < ж F (D2 -b d2) 16 FD2 - 1G (!+«=) = яг 0.05D4 (1 — a4) к {Dl — d4) ~ 32 ~ nD1 = "32“ (1 “a4) ~ (1 — a4) - Wy - Г. (Г>4 — d4) 32 D яг 0,1£>5 (1 — а’) »'р ~ И’к - __ п (D4 — d4) _ 161) ~ л£)3 “ТГ('-=•)« ж 0,20’ (!—»•) Во всех точках наруж- ной окружности тщах !x — ly - - J- |Ло2-|- d2 - 7Г + a2 Эллипс инерции — круг
53
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Круг с неконцентри- ческим отверстием и /жЖ V! vk । ^z Fj У> F = -^-{t-«4 d “~"D D 2 а2 ^0 j а2 D 1 — а2(1 — 2₽) У1 ~ 2 1 — а2 , _ D 1 — а2 (1 -f- 23) 2“ 1 — а2 й- а ^~D
Круг с круговым вырезом У1 / х 1 C&2R г 5Т
Тоикостенное кольцо S<O,ld yt •ztv KxAl L *' ; т jX>r A Любая центральная ось *— главная 54 F^T&d d = ’/1=2- = ''
ГТродолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jy\ центро- бежный JXy, полярный Jp и при свободном круче- нии JK Моменты сопротивления, осевые Wx, Wy* полярный Wp и при сво- бодном кручении WK; т — касательное напряжение Радиусы инерции К-/4:
, ”в' 1, > Л= —0-а - -io /^) 1 — а2/ г tn 1\ ^=-ёГ(1”а ) itD3 3, X (1— а3) (1—ст4) — Х 1 ~«2 (1 + 23) (для верхних волокон) ]у — кВ* у ,Ух “ 32 Х (1—а2) (1—а4) —16агр2 Х 1 — а2 (1—23) (для нижних волокон) tiy D 'х = -Г X Г 1 + а2 - х1/ -к,ш! Г \1 — а/ ;# = 4^1 + «2
г ~R 4 = 0 ktR* 0,005 0,1 W к На дне 0,2 Д3 ~~ Л2 выреза 0,4 ттах 0,6 0,8 1 1,5
К 1,57 1,56 1,56 1,46 1,22 0,92 0,63 0,38 0,07
А?2 0,64 1,22 1,22 1,23 1,31 1,52 1,91 2,63 7,14
! « а? *1 , « ** |S | , О 1 " II О W «с "оо II ч, Н II & ГО Я о? 1 Я »• I1 а Р- 00 S “ й II К 11 irbd2 wx = Wy = == = д8г2 ж 0,7858й?2 ТУ = w и --^2 = р к 2 = 2д8г2 « l,578d2 Во всех точках пери- метра ттах • _ • d 1Х 1у ~ 2/2 = ~^г х 0,353d /2 Эллипс инерции — круг
55
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Круговое незамкну- тое тонкостенное кольцо d+ о - I/! - —
У х а dj^ х
У о d
Полукруг У х /////г X *2 „ r.d2 Г-г2 * = 1Гт ~ 0,393d2 d 2 d
Х_, z-.di: г X? ,| * ~ [\‘l\2d x 0,288d
Четверть круга
4г - У! -JT ~ 0.424/-
0,785г2 *// - 0,576/
Продолжение табл 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jv; центро- бежный Jxy- полярный Jp и при свободном круче- нии JK Моменты сопротивления: осевые Wx, Wy; полярный Wp и при свободном кручепии WK; - — касательное напряжение Радиусы инерции <„=к^
- r'db3 JK~ 3 ЗУ = (ij.dl')2 к 3red-f-l,85 ~ r.dS2 ~ 3 В точках внутреннего и наружного контуров сечения 3^d 1,8о - 1—.— 1/ тлх (rdo)2 ‘ к
d4 / re 8 \ ~ 9гё/ ~ « 0,00686d’ st 0,11г4 red’ __ nr4 _ Jy = Jxt = 128 = ~8~ ~ _ Fd2 _ Fr2 ~ ~ ~Tt> 4 ~ st 0,0246d4 st 0,393г’ Wx х 0,0324d3 st 0,259г3 (для нижних волокон) Wx 0,0239d3 st 0,191r3 (для верхних волокон) rd3 Т.Г3 ’V»==M = ^“ 0,05d3 st 0,393г3 ix 0,132d d ’у - 4
J к 0,0714г’ 'шах J, x 0,0384г’ «Ш1П J. «0,0549г’ Л2 Уг иг4 Jx = Jv = ~TF~ ~ xi Vi 15 st 0,196г4 4гУ2 = -0-0165г’ J — Xsyt g TF = jy Л2 J/2 -2г! 9к2 .— 64 48 3^ —• 4 ~ st 0,923г3 (для верхних и правых волокон) wv = W„ - хг Уг -т2_3 = ^<9^-64)« я 1,245г3 (для нижних и левых волокон) i. я 0,302г Лтах У , «0,221г УщЗп
57
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Круговой сектор F=^. = ar* S = 2га Ь = — = г sm a 2 rb
,, У\Ь . -у х / V$L 4А7 1 У ' Оси £ — ХИ у *—у_, главные центральные - *а° а~ 180° 2r sin a 3a = 38,2^^ a” , /. 2sina\ "l “T 3a J
b = 2r siu a
Круговой сегмент
F=^-(2a-
— sin 2a)
_ _zl
180°
b
X1 = ~2
b — 2r sin a
\r sin'1 7
- 3 (2a — sin 2a)
/ 4 sin3 a
\ 3 2a — sin 2a
•— COS aj
yi = r (j
4 sin3 a
3 2a — sin 2a
58
Продолжение табл. 1
Моменты инерции' осевые Jx, Jy; центробежный Jxy', полярный Jp и при свобод- ном кручении JK Моменты сопротивления. осевые Wx, Wyi полярный Wp и при свободном кручении — касательное напряжение Радиусы инерции 1 И, 1/ : lx “ V p • i »V “ r p
/А / ( Jх — “о- 1 2а + sm -'а — О \ 32 sin2 а\ _ г3 17Л. = —- X О 32 sin2 a ix = -2 X
/ 1 4- -JP - Xl/ 16 sin2 a
-a 1 9a
9о /
Fr2 / . „ = —— 2а -f- sin 2а — zs , 2 sin a 1 3«-
F 9a2
(для верхних волокон)
32sin?a\ |Гд = J2X-(2a + 1b sin a \ г -\ / . sin 2a 2 V 1" 2a
9а )
JX1 = (2а 4- sin 2а) . o_ 32 sin2 o')
Jy = —- (2а — sin 2а) =. 9a / (для нижних волокон)
= -о- (2а —sin 2а) оа тт. 2a — sin 2a sin a
Jx — — sin 2а 4- 4- 4 COS a sin3 а) — 4 COS a sin3 а\ 2а — sin 2а / T^x= — У1 r X
(для нижних волоков) 2^. "1 (для верхних волокон) 1 Г t . 4 cos a Sin3 a X|/ 1+ 2a-si„2a = T x
[ Jy = ~8 l2a“sin 2а~ i / , 4 cos a sin3 a
ту г I ‘)п r 3 2a — sin 2a
у 8 sin a \
3 COS a sin3 а ) — — sin 2a —
“ 4 V 3Х 4 • з — -у cos a sin3 al
cos a sin ’ а \
~ 2а - sin 2а ) Л-,= 4(2а~
— sin 2а cos 2а)
59
Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
' Юлукольцо
F K(D2-d2)
~D2
0,393£>2 (1 — з2)
d
1)
2 D2 4- Dd 4- rf2
1,1 “Зп D-\-d
2 2) 1 4- а 4- а2 _
3 1 4- а ?
s О.212Л 1+°+-28
1 -}-а
у[ я D 10,288 —
*1 =
D
т
Сектор кольца
F - 7 (Я2 —га) -
- 7«2 (1 — д2)
--------н_
' ’ 18(Г
г
а ~В
2"! — В sin Y
2 Я3 — г3
У1 3 В2 — г2 * 1 * * * Х
sin 7 _
1
2 В sin 7 1 — а3
З’ ' т 1 — а2
, _ Л 2 sin 7
у = В 1 — ------ X
1 \ 3 7
. 1 — а3\
Х 1 — з2/
if 2Н ьш */
!/i ' 3( Х
I 1 — а3 3 '
Х ~ 2 a7 Ctg \
60
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jv, л у* центробежный Jxy; полярный J,, н при свобод- ном кручении JK Моменты сопротивления: осевые VVX, Wy, полярный Wp и при сво- бодном кручении ИЛК; — касательное напряжение Радиусы инерции 1 / ~ ’?/ - —
1 Jx я 0,00686 (Z>4 — d1) — 0,0177D2flf2 (Д — D d - 0.00686ZH — a4 — 9 r/ , 1 — <Л — 2,54a- -r—— 1 4-«/ 7t(Z4 — d4) u ~ 128 T.Z)1 -wCi—4)- ж 0,0246j94 (1 — a4) Wx я 0,00686j93 х (1 — a4) (1 4“ a) ~ — 2,54a2 (1 — a) z4 0,288(1 4-a) — — 0,212a2 (для верхних волокон) Wx x 0,0324jD3 x (1 — a4) (1 4- a) — — 2,54a2 (1 — a) X 1 + a 4- a2 (для нижних волокон) t.LP 64 (1 a4)" ж 0,05D3 (1 — a4) -= /4 iy^ A |Z/J2 4- (/2 ; = 4/1+^
7?‘ — /•’ / ' 8 (2'< + 32 sin2 v\ -f-sin 2; — c-—-i) = 774 i - -8-(l -a4)|2-( + + 9il>2,-^p) ~(1 -Ha2)k-|- 32,sin2 Д +s'"2‘ - J7 •) J?4 — r‘ 8 (27 + 4- sin 2y) -- . Z?4 - у (1—s4) (2^ 4- sin 2'f) 7?4 — r1 7» “ 8 — sin 2y) --- ^^‘(1- a4) (2‘f- i FR2 — sin 27) = -gy (14-«2)x X (2^ — sin 27) ii\=-4- (для верхних волокон) Wx - У1 (для нижних волокон) R3 2~( — sin 27 sin 7 -^2 и” + li ” rclio I x --с" +Л x 3 t< 3 М 3 -2 M “: кэ -X —i X
61
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Секто ного Г- р ТО1 КОЛЬ У1 *1 ’ IKOCTG ца X, . н- * _х F = 2аг& ка° а = Т8(Р = г sin а sin а у. = г а , (. sin а\ ?/. = г И 1 \ а / „ /sin а \ у, = г ’—ЮЗа 1 \ а /
/1 S <3 С 2л
Круг о с лы И ской 5
W у, 2 г>0,
Круг сегмс 11 с ни со с атам зу у J , - г рсзаш I свор 1Ы& ХУ 1И X « « со со 04 со "м; ОО 05 « 2 •§ © • о 3 -S I II 5 II § •Ч ta ' >st -« t". 1! Il CM •- ° •" о .7 11 и Ч'* и и ь. s' H 7 7 fcj <£> "l -« ’ll £ -н р Н о Н И a- h iq N>| Si. W ьэ| Ci. 2. М| Й, ь-а. 1 СО 1 Р Сх. й
а
W 777 7
ъ > 1 1
62
П родолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jy, центробежный полярный Jp и при свобод- ном кручении JK Моменты сопротивления: осевые IV х, Wy> полярный Wp и при свободном кручении WK; т — касательное напряжение Радиусы инерции lx - V ~р~ 5 . ]/" Jy lv = у —
/ Jx = —2" 1 2а 4- sin 2а — 4 sin2 а\ Sr2 Wxx-~-x _ . . п 4 sin2а 2а 4- sin 2а — а ix==~2X Г 2+——“ Х1/ 6 sin2 а J а2
а / Fr2 ( = — 2а sin 2а — 4а \ 4 sin2 а\ . sin а 1 а (для верхних волокон) S^2 Wx « X _ , . „ 4 Sin2а 2а 4- sin 2а а
Sr3 Jy = — (2а — sin 2а) == Fr2 ~ -г- (2а —• sin 2а) 4а sin а COS а а (для нижних волокон) тт. Вг2 2а—sin 2а 1У«~2' sin»’
I d* К г h Л JK == -Т7Г 1 2,6 -г — 1 1 — к 1Ь \ а / = -±-(2,6а-1) W (2,6а —- 1) « 8 (0,3а 4-0,7) В середине плоского среза тшах; в углах — т = 0
1 4* 8 1 HI ' - С =Н a ~ ° 13 ^3 13 -Г W • LQ Ю 13 I ID 05 00 ° 05 8 м 8 Ф °- °- °- ''-L- <N О О О О s 11 11 11 !I Iе0 |<х> и и а и a II II + s s s" < "а ' 4- е '3* а I .5 см « С М СО 41 05 I .S 8 см со -хз 1 И । е» г- £~- ОО а । о сп 05 os со 4~ 8 о о ф о а в 8 о о о о й 11 II II II и я со и is До •— к э> к а || ‘L + !S & ГЧ. Т-. ’ И « я <е и II II II II н 11 О О О О х—J ьо 1о Кэ to СП Ф» СТ СО . . 1 1 1&ч Qi J • | ^**.1 st ₽ц в. ». ^<= п5*!
63
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечеииа
Круг со срезаппыми сегментами с четы- рех сторон . у\?. кс1^ I f=40+ + ~P-J = 0.6946/2 Т1 — lJi — 0,433d
Ж-! -X
в ff
/г, У X/, h ,
Нравплыц угольник 411 TW >1Й ШСС1 ' " rib X F ---= 0,866d2 = 2.598J?2 d У1=У
У /Ц
П рав уГОЛ! X глыи НИК J ЛИ ВОСЬМ -^1 RS pFi 7 Ч II- X F 0,828d~ . 4,828c2 1 d Xi - Ух =
Правильный мною- уголышк с п сторо- нам и У2 У^^ 1 f — — na2 etg a -~ = nr2tg a — наг 2 sin a a p 2 tg at
64
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jy; центробежный JXy, полярный Jp и при сво бодном кручении Jl( г Моменгы сопротивления осевые IV7v, И7?/; полярный \Гр, и при сво- бодном кручении 1V15: — касательное напряжет:'* Радиусы инерции X ' /г’ ’ ’ц = 1' -у-
Jx = Jy = 0,038с/’ П\ = П7у = 0,0.°7</3 ix ---= !у = 0,234с/
Jx — Jи ~ К = 0,5413/?’ = 0,06/’ JK --•= 0,533F ~ 1!\ --- /?’ = 0,625/?:! = = 0,12d3 1Г,, = 0,541В/?3 0,06d’ O,436F у Посередине сторон т|11ПЧ; в углах - т-----0 гх ~ iy — 0,456/? = = 0,263d
Jx = J у ~ _j 1+2/2 ~ б = 0,638/?'--. о,0547/’ d2 П'Л = jvf. 0.690GZ?3 = = -' 0,1095<э Относительно диагонали 1!'7> = 0,638/?’’ - 0,1012с/; Т7К = 0.447F у Поссредппе сторон rma.v 15 >'глах — () Z- = iy -= гУ2 = = 0,257d
па г t j. п л \ = -^-(6/?2 —«2) j = J =-^-(12г2+«2)- X л 2 \ ) — (\1г L аг) <16 v i f 6/?2 — a2 24 • _ 1/12f2 + °2 гх2 У 48 I
5-1186
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек ссченпя
Круговое сечение с одной шпоночной канавкой т. -d2 . F к - bl 4 d -.£
У
7//Л X
* / —*>
Kpyroi с двум канавк х юс я ш амп У сече ПОН( ше очными X rd2 F к-- — 2bl 4 d Xt ~ 2 d !/' ~ 2
Мостов с закр х & ой угле X, У 1 бык НИЯМИ 1 F = bh r.r2 — = bh ( 1 + ~ a ) \ 4 / h r==i: b H* b ,, , , r' :-= — = 2 (*+“> h ’d^-2
Оси ж главнь п z — ж ге ц и у — у — ептральные h a = b
66
Продолженив табл. 1
Моменты 1 порции осевые J х, Jy, центробежный Jxy; полярный / и при свободном неучении JK Моменты сопротивления осевые IV x, IVь; полярный IV,,, и при свободном кручении IVK; — касател; ное напряжение Радиусы инерции x V F , t =1/212 Ч r F
ltd4 bl (d — t)2 x ~ 64 ‘ ’ 4 itd‘ bl (d — i)2 J* ~ 32 4 itd bt (d — t)2 ' * ~ "32 2d w ~ _ bt(d~ 02 “ ~ 16 2d II 4>i
~ Ttd1 bl (d — l\l Jx ~ 64 2 ~ :td4 bl (d — tp ~ 32 ~ 2 Ttd1 bt (d — t)2 ' ~ 32 d r.d3 bt (d — t)2 Ик ~ i6 d -/4
, bh4 (. 3r. \ Jx^~\2 V + It/) Jy~ -^2 П + 0,165a 4- 4- 3ita (0,5 +0,212a)2] bh2 1 3n \ 11+ == -ТГ- 1 + . a 6 \ 16 / hb2 ^-e(1+«)" + + 0,165a* + + 3ita (0,5 +0,212a)2] +' 11 "4
3*
67
с/ чения II !0Щ.1Д1> сечения F Коордннапл крайних точек сечения
Эллипс 5'1 г^х Г 1 л г 1 1 ’ Л ,Л-Л- ; <ь' i— —। У) Оси х — х и у — у — главные центральные [t1 т.аЬ Х1 — Vi ----- а
ИолJэллипс У\ i X } / X ’" "F'T U-‘ ’ л, 1X, I /А i А= — = b 4 У1 = 3Z « ' It У. - ►
68
Продолжение табл 1
Моменты инерции осевые Jx, Jy, центробежный Jxy, полярный п при свободном кручении JK Моменты сопротивления осевые Wx, Wy; полярный Wr, и при свободном крушении WK, т — касательное напряжение Радиусы инерции
- 1 й й Д _ || ^ к '«1.3, _ Л1-, Л 2s ” II ,2 II LQ | '1 00 11 00 « е + — о I е- - I е- 3, е и « 2s s к ~ а к о -О I Y « . Д й д й N'* it 11 L и и * - < < к II 1И = ~ о,785«2^ х 4 rT, nab2 /ч ,.. П7(, — —-— й; О,78л«6- J 4 {7 к ~ 2 По концам малой оси Мк 2Мк '•гпах-п/к- кЬ2а По концам большой оси ^ттах т = а «Г' и" II 1! кэ| о- м| &
Л - ba3 ( 8- g J - ~2Fa ( 8 9д2 ) т.аЬ* Fb2 Jy=Z ~8~ = Т Ч 1 т2 8\ - Ц-8--7>) (для нижних волокон) , 2 / л 8 \ М -8-ite IFI= l-± Зя (для верхних волокон) ттл ла&2 ~ ,У»=-8“=! » 0,392а Ъ2 II « 'Ч—-1 11 ьо|^ ~
69
Форма сечепия 11.ющад1 сечения F Координаты кра: них точек сечения
Четверть эллипса
/? - ~ 4 Х1 ~ Зя b lJ^3^a
Полый эллипс
F — ~ (ab — ахЬ})
Xi = b
Ui~a
а — а{ = b — 6, — S
Оси а? — х и у — у —
главные цеп тральные
«1 - А - „^4
— _ —— d А
а Ь
70
Продолжение табл. 7
Моменты инерции: осевые J х, Jy; центробежный Jxy, полярный Jp и при свободном кручении 7К Моменты сопротивления: осевые Wx, Wy; полярный Wp и при свободном кручении WK; т — касательное напряжение Радиусы инерции
/тс 4 \ Jx~ Ьа3 = \16 9л/ ( 1 4 \ = 4Fa2 — \16 9л2 / Ур=оЬ>(^_^ = Wx , = Лш1п 3 /л2 4\ = 4&а2 L 4 116 9 / (для нижних волокон) И7,, = (для правых волокон) «Г‘ я" II II to. <5- to| » 1 fflj»
Jx=~{a3b-a\b_K) ъ ~ а2 (а 4- 3b) В Jy = j (аЬ3 — й161) ж ~ А Ь2 (Ь 4- За) В Приближенные значс если отношения В : а} i к п~ 4- 1 n a3b — afb] Wx --= -j- « х 4 а к jfl (а 4- ЗЬ) В а Ь3 а । 1Ь “ 4 Ь к ~ Ь (Ь 4~ За) В )'ия J и W приюдны, В ; Ь-, малы ГТ, кЬ'п ,, .. IPK = ~2~ (1 — «4) В конце малой полуоси Л7« хшах ту- ’ к в конце большой полу- ттах ОСИ Т= п При малой толщине можно принять равно- мерное распределение напряжений по сеченик _ ^к Т~ 2FB «Г’ и" II 1!
71
Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Параболический
сегмент
2
F = 4&/i
О
ь
^ = -2
2 ь
2/! = уЛ
Параболический
полусегмент
Л
3 А
11 = 166
' 5 h
Xl =ГбЬ
yl = Th
Круговой треуголь-
ник
F = 0,215г2
xi= У1 — 0,223г
— у' — 0,1Пг
Полое сечение
в виде чечевицы
F = all 4-
4-ctg2 ЬЪ =
= У (Л2 + Ь2) = 4ar&
6 = Л ctg-J
h (. , „ a \
r = T V + Ctg ~2j
xt =
B4-Zi
y^= —
72
П родолжение табл. 1
Моменты инерции: осевые Jx, Jy, центробежный Jxy; полярный Jp и при свободном кручении JK Моменты сопротивления осевые Wx, Wy- полярный Wp и при свободном кручении WK; х — касательное напряжение Радиусы инерции 'х — V Р ' i Jy ‘v“ У ~
г 8 12W х 175 175 , 16 .... 8Fh2 x* 105 35 4, = 7№3= — - hb3 _ Jy~ 30 “ 20 Wx = ~ bh2 х 35 (для нижних волокон) о (для верхних волокон) hb2 ’^=тг 2 , т/З" tx~-^h у у b 1У~ 2/5
, 4 12F/i2 x 175 175 xmin 35 (для нижних волоков) |oo |t> -C cm |lq [I _и
Jx = Jy = 0,00755г4 JXi = 0,003г4 J z=J =0,0181г4 Л8 Уз = 0,0121г4 wr = 0,0097г3 x2min 1 = 0,187r x2mln
Jx = r3S [2a (2 -f- + cos 2a) — 3 sin 2a] — Fr2 = [2a (2 -f- cos 2a) — — 3 sin 2a] Jy = r3S (2a »— sin 2a) — Fr2 = -j— (2a -= sin 2a) 4a TV — х~ Pi "НЛ ^=4- Ж1 «х = г X 24-COS 2a X I / £ 9 / 3 sin 2a F T ~T~ 7 f 1 sin 2a £y = r V “ Г -\[ „ Sin 2a — ng/ 2 r a
73
Форма сечении 1 Рющадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Волнистое железо (волны образованы параболическими дугами) * F 12,56 b- х п X {« /1+ (<+ 1 о \ о / + 1п[-^г + а — В (2Ь 4- 5,2/1) Ь = у /i-4-В г/1= — , h~ 8 - — , Ь 2,6В b' = —i— , b — 2,6В
Стандартный про-
катный швеллер на
ребро
Формулы приближен-
ные, h, см
Волнистое железо
(волны образованы
дугами круга)
У
F = 2В \~ + hx
\ 4
= /г _ _
Ь
xi — 2
/i-4-В
г/!- —
74
Продолжение табл. 1
Моменты инерции осевые J х, Jу; центробежны! ПОЛЯРНЫЙ Jр II ПРИ свободном кручении Jf( Моменты сопротивления: осевые Wx, W’y; полярный Wp и при свободном кручении WK; т — касательное напряжение Радиусы инерции 1 f X 1Х “ 1 -р-: - 1/ Jy
, 12Ю 1 А = — '’•Л- — 5,.У]3) = = <Mi — ь-у'^ = W | > , 3 -з = 105 |6 ~У1 ) + 4- 2,68 (г/? 4- 2/Г)] 1ИХ = —--Уд. h 4* о - |/ ~ 'х V 6 (264-5,2/1) ~ « 1,35 х z — b2y’i Л |/ о (2Л 4-5.2Z1)
+^+и ivx= -~/д 1г 4- о t — ]/" Zl. х V F
л (Л + 5)3 л ~ 162 w х« 81
75
Форма сечения Площадь сечения F Координаты крайних точек сечения
Стандартный про- катный двутавр на ребро У ^1 X | X у| Формулы приближен ные, h, см h г/! = у
Сечение железно- дорожного рельса (формулы прибли- женные) F « 0,238/ia « 0,5h
Сечение любой
формы [28]
Формулы могут быть
использованы только
для ориентировочной
оценки величины мо-
мента инерции и мо-
мента сопротивления
относит (льио цент-
ральной ос и
F — площадь внутри
наружного контура
сечения
h и b — высота и ширина
сечения
s и t — периметр и тол-
щина (для полого сече-
ния)
76
Продолжение табл 1
Моменты инерции осевые Jx, Jy центробежный JXy полярный Jp п при свободном кручении J1( Моменты сопротивления осевые 1/v Wy, ПОТЯрПЫ! Wp И при свободном KPJ ЧОППП WK т - касате п пое напряжение Радиусы инеоцни , 1 % 1/'77 % ' F
_h(h + 2y * ~ 102 01 •->=К4
Jx х 0,032/1’ 11% и О,О64Л3 tx 0,37/г.
Для сплошного сече- ния J ~ 12b Ошибка Для полою сечения г Fh Г . 7~’ьБТ + , F(fr-/z)K + bh J ‘ Ошибка Для (плотного сим- метричного сечения Л2 И -h- 6 ь ~ 15% Для полого снимет рпчиого сечения ,г4['+ + bh J ~ 25?о
и
Таблица 2
Угольники равнобокие (ГОСТ 8509*—57)
Ь— ширина полки;
d — толщина полки;
R — радиус внутреннего закругления;
г—радикс закругления полки;
J —момент инерции;
i—радиус инерции;
Ux — расстояние от центра тяжести
до полки.
Ко про- филя Размеры, мм Площадь профиля, смг Вес 1 пог. м, кГ Справочные величины для осей
ь d R г .V — X X, — xt Vo — Vs. Xi — Xi Vi
К 5 к и > ' Sb? L- ?- . max iv , см mln , CM4 У» min l,, , CM Uo § к
3 3,5 1,2 1,13 0,89 0,40 0,59 0,63 0,75 0,17 0,39 0,81 0,60
2 20 4 1'46 1,15 0,50 0,58 0,78х 0,73 0,22 0,38 1,09 0,64
2.5 25 3 3,5 1,2 1,43 1,12 0,81' 0,75 1,29 0,95 0,34 0,49 1,57 0,73
4 1,86 1,46 1,03 0,74 1.62 0,93 0,44 0,48 2,11 0,76
2,8 28 3 4 1,3 1,62 1,27 1,16 0,85 1.84 1.07 0,48 0,55 2,20 0,80
3,2 32 3 4 4,5 1,5 1,86 2,43 1,46 1.91 1,77 2,26 0,97 0,9Ь 2,80 3,58 1,23 1,21 0,74 0,94 0,63 0,62 3.26 4,39 0,89 0,94
3,6 36 3 4,5 1,5 2,10 1,65 2,56 1,10 4,06 1,39 1,06 0,71 4,64 0,99
4 2,75 2,16 3,29 1,09 5,21 1,38 1,36 0,70 6,24 1,04
4 40 3 4 5 1.7 2,35 3,08 1,85 2,42 3,55 4,58 1,23 1,22 5,63 7,26 1,55 1,53 1,47 1,90 0,79 0,78 6,35 8,53 1,09 1,13
3 2,65 2,08 5,13 1,39 8,13 1,75 2,12 0,89 9,04 1,21
4.5 45 4 5 5 - 1.7 3,48 4,29 2,73 3,37 6,63 8,03 1,38 1,37 10,50 12,70 1,74 1,72 2,74 3,33 0,89 0,88 12,10 15,30 1,26 1,30
2,96 2,32 7,11 1,55 11,3 1,95 2,95 1,00 12,4 1,33
5 50 4 5,5 1.8 3,89 3,05 9,21 1,54 14,6 1,94 3,80 0,99 16,6 1,38
5 4,80 3,77 11,20 1,53 17,8 1,92 4,63 0,98 20,9 1,42
3,5 3,86 3,03 11,6 1,73 18,4 2,18 4,80 1,12 20,3 1,50
5,6 5b 4 b 2 4,38 3,44 13,1 1,73 20,8 2,18 5,41 1,11 23,3 1,52
5 5,41 4,25 16,0 1,72 25,4 2,16 6,59 1,10 29,2 1.57
4 . 4.96 3,90 18,9 1,95 29,9 2,45 . 7,81 1,25 33,1 1,69
6,3 _ 63 5 7 2,3 ' 6,13 lj 4,81 23,1 1,94 36,6 2,44 9,52 1,25 1,24 41,5 1,74
6 7,28 5,72 27,1 1,93 42,0 2,43 11,2 50,0 1,78
4,5 6,20 4,87 29,0 2,16 46,0 2,72 12,0 1,39 51,0 1,88
5 6,86 5,38 31,9 2,16 50,7 2,72 1-3,2 1,39 56,7 1,90
7 70 t, 8.0 2.7 8,15 6,39 37,6 2,15 59,6 2,71 15,5 1,38 68,4 1,94
7 9,42 7,39 43,0 2,14 68,2 2,69 17,8 1,37 80,1 1,99
8 10,70 8,37 48,2 2,13 76,4 2,68 20,0 1,37 91,9 2,02
5 7,39 5,80 39,5 2,31 62,6 2,91 16,4 1,49 69,6 2,02
6 8,78 6,89 46,6 2,30 73,9 2,90 19,3 1,48 83,9 2,06
7.5 75 7 . 9 3 10,10 7,96 53,3 2,29 84,0 2,89 22,1 1,48 98,3 2,10
. 8 11,50 9,02 59,8 2,28 94,9 2,87 24,8 1,47 113,0 2,15
9 12,80 10,10 66,1 2,27 105,0 2,86 27,5 • 1,46 127,0 2,18
5,5 8,63 6,78 52,7 2,47 83,6 3,11 21,8 1,59 93,2 2,17
6 9 o 9,38 7,36 57,0 2,47 90,4 3,11 23,5 1,58 102,0 2,19
8 80 7 о 10,80 8,51 65,3 2,45 104,0 3,09 27,0 1,58 119,0 2,23
so 8 12,30 9,65 73,4 2,44 116,0 3,08 30,3 1,57 137,0 2,27
ео
Раздет ‘,1, мм
Площадь
L} и /- профиля,
Филя ь d R 7 см2
6 10,6
9 90 7 ' 8 10 3,3 12,3 13,9
9 15,6
6,5 12,8
7 13,8
8 15,6
10 ! 100 10 12 4 19,2
12 22,8
14 26,3
16 29,7
f 15 2
И 110 7Г 12 4 17,2
8 19,7
9 22,0
12.0 125 10 12 14 4,6 24,3 28,9
14 33,4
16 37,8
9 24,7
14 140 10 14 4,6 27,3
12 32,5
Продолжение гнабл. 2
Справочные величины для осей
Вес 1 ПОЙ. .11, кГ X - - X Л*о "о - - и.> X. - X,
•» 5? \ s »
й О •X С С
й Е._" Е^ с —
8,33 82,1 2,78 130 3,50 34,о' 1,79 145 2,43
9,64 94,3 2,77 150 3,49 38,9 1,78 169 2.47
10,90 106,0 2,76 168 3,48 43,8 1,77 194 2,51
12,20 118,0 2,75 186 3,46 48,6 1,77 219 2,55
10,1 122 3,09 193 3,88 50,7 1,99 214 2,68
1о:« 131 3,08 207 3,88 54.2 1,98 231 2,71
12,2 147 3,07 233 3,87 60,9 1,98 265 2,75
15,1 179 3,05 284 3,84 74,1 1,96 333 2,83
17,9 209 3,03 331 3,81 86,9 1,95 402 2,91
20,6 237 3,00 375 3,78 99,3 1,94 472 2,99
23,3 264 2,98 416 3,74 112 1,94 542 3,06
11,9 176 3,40 279 4,29 72,7 2,19 308 ^00
13,5 “ПЛТ 3,39 315 4,28 81,8 2,18 ЗлЗ
15,5 294 3,87 467 4,87 122 2,49 516 3,36 3,40
17,:’ 327 3,86 520 4,86 135 2,48 582
19,1 360 3,85 571 4,84 149 2,47 649 3,45
22,7 422 3,82 670 4,82 174 2,46 782 3,53
26,2 482 3,80 764 4,78 2(Х) 2,45 916 3,61
29,6 539 3,78 853 4,75 224 2,44 1051 3,68
19,4 466 4,34 • 739 5,47 192 2,79 818 3,78
21 £ 512 4,33 814 5,46 211 2,78 911 3,82
25,5 602 4,31 957 5.43 248 2,76 1097 3,90
co
10 31,4 24,7 774 4,86 1229 6,25 319 3,19 1356 4,30
11 34,4 27,0 844 4,95 1341 6,24 348 3,18 1494 4,35
12 37,4 29,4 913 4,94 1450 6,23 376 3,17 1633 4,39
16 160 14 16 5,3 43,3 34,0 1046 4,92 1662 6,20 431 3,16 1911 4,47
16 49,1 38,5 1175 4,89 1866 6,17 485 3,14 2191 4,55
18 54,8 43,0 1299 4,87 2061 6,13 537 3,13 2472 4,63
20 60,4 47,4 1419 4,85 2248 6,10 589 3,12 2756 4,70
11 38,8 30,5 1216 5,60 1933 7,06 500 3,59 2128 4,85
18 180 12 lb 42,2 33,1 1317 5,59 2093 * 7,04 540 3,58 2324 4,89
12 47,1 37,0 1823 6,22 2896 7,84 749 3,99 3182 5,37
13 50,9 39,9 1961 6,21 3116 7,83 805 3,98 3452 5,42
14 54,6 42,8 2097 6,20 3333 7,81 861 3,97 3722 5,46
20 200 16 18 6 62,0 48,7 2363 6,17 3755 7,78 970 3,96 4264 5,54
20 76,5 60,1 2871 6,12 4560 7,72 1182 3,93 5355 5,70
25 94,3 74,0 3466 6,06 5494 7,63 1438 3,91 6733 5,89
30 111,5 87,6 4020 6,00 6351 7,55 1688 3,89 8130 6,07
60,4 47,4 2814 6,83 4470 8,60 1159 4,38 4941 5,93
22 220 14 16 21 7 68,6 53,8 3175 6,81 5045 8,58 1306 4,36 5661 6,02
16 78,4 61,5 4717 7,76 7492 9,78 1942 4,98 8286 6,75
18 87,7 68,9 5247 7,73 8337 9,75 2158 4,96 9342 6,83
20 97,0 76,1 5765 7,71 9160 9,72 2370 4,94 10401 6,91
25 250 22 24 8 106,1 83,3 6270 7,69 . Ш- __9^9 2579 4,93 11464 7,00
25 “‘94,0 'W 7.65 11125 9,64 ~2887 "4^1 - 13064 7,11
% 133,1 104,5 7717 7,61 12244 9,59 3190 4,89 14674 7,23
30 142,0 111,4 8177 7,59 12965 9,56 3389 4,89 15753 7,31
В — ширина большей полки;
Ь — ширина меньшей полки;
R — радиус внутреннего закругления;
г — радиус закругления полки;
J — момент инерции;
i -— радиус инерции;
х0, Уо — расстояние от центра
тяжести до полок.
| Л» профиля | Размеры, мм Площадь Профиля, СЛ12 Вес 1 пог. м, кГ Справочные величины для осей
В ь d R Г X — X V— ч Х1 — Х1 111 — У1 и — и Уro iнаьлова оси tg Я
§ к s Ji § г» Л г» 3 Расстоя- ние от центра тяжести Уо, см Л Расстоя- ние от центра тяжести •т0 см in in J,,, CM* “ \ mln £*M
2,5 1,6 25 16 3 3,5 1,2 1,16 0,91 0,70 0,78 0,22 0,44 1,56 0,86 0,43 0,42 0,13 0,34 0,392
3,2 3 3,5 1,2 1,49 1,17 1,52 1,01 0,46 0,55 3,26 1,08 0,82 0,49 0,28 0,43 0,382
2 32 20 4 1,94 1,52 1,93 1,00 0,57 0,54 4,38 1,12 1,12 0,53 0,35 0,43 0,374
4,2 3 4,0 1,3 1,89 1,48 3,06 1,27 0,93 0,70 6,37 1,32 1,58 0,59 0,56 0,54 0 385
т 40 2 <5 4 2,47 1,94 3,93 1,26 1,18 0,69 8,53 1,37 2,15 0,63 0,71 0,54 0,381
ЧЙ ч
4,5 3 1,7 2,14 1,68 4,41 1,43 1,32 0,79 9,02 1,47 2,20 0,64 0,79 0,61 0,382
2,8 45 28 4 5 2,80 2,20 5.68 1,42 1,69 0,78 12,1 1,51 2,98 0,68 1,02 0,60 0.379
5 50 32 3 5,5 1,8 2,42 1,90 6,17 1,60 1,99 0,91 12,4 1,бо\ 3,26 0,72 1,18 0,70 0,403
О 4 3,17 2,49 7,98 1,59 2,56 0,90 16,6 1,65 А 4,42 1,52 0,69 0,401
ТГ 3 3,16 2,48 10,1 1,79 3,30 1,02 20,3 1,80 5,43 1,95 0,79 0,407
1 Тк 36 4 6,0 2,0 3,58 2,81 11,4 1,78 3,70 1,02 23,2 1,82 6,25 0,84 2,19 0,78 0,406
5 4Л1 3,46 13,8 1,77 4Л8 1,01 29,2 1,86 7,91 0,88 2,66 0,78 0,404
4 4,04 3,17 16,3 2,01 5,16 1,13 33,0 2,03 8,51 0,91 3,07 0,87 0,397
6,3 5 4,98 3,91 19,9 2,00 6,26 1,12 41,4 2,08 10,80 0,95 3,73 0,86 0,396
£о 63 40 6 7,0 5,9и 4,63 23,3 1,99 7,28 1,11 49,9 2,12 13,10 0,99 4,36 0,86 0,393
8 7,68 6,03 29,6 1,96 9,15 1,09 66,9 2,20 17.90 1,07 5.58 0,85 0,386
4,5 5 5,07 3,98 25,3 2,23 '8,25 1,28 51,0 2,25 13,6 1,03 4,88 0,98 0,407
7 4,5^ 70 45. 7,5 2.5, ^5.59 . 4,39 27.8 2,23 9,05 1,27 56,7 2,28 15,2 1,05 5.34 0.98 0,406
5 6 8 6,11 4,79 34,8 2,39 12,5 1,43 69,7 2,39 20,8 1,17 7,24 1,09 0,436
7,5 5 75 50 ь 2,7 7,25 9.47 5,69 7,43 40,9 52,4 2,38 2,35 14,6 18,5 1,42 1,40 83,9 112 2,44 2,52 25,2 34,2 1,21 1,29 8,48 10,90 1,08 1,07 0,435 0,430
6,36 4,99 41,6 2,56 12,7 1,41 84,6 2,60 20,8 1,13 7,58 1,0 J 0,387
8 "5 80 50 6 8 2,7 7,55 5,92 49,0 2,55 14,8 1,40 102 2,65 25,2 1,17 8,88 1,08 0.386
5,5 R 7,86 6,17 65,3 2,88 19,7 1,58 132 2,92 32,2 1,26 11,8 1,22 0,384
9 56 g з 8 54 6,70 70,6 2,88 21,2 1,58 145 2,95 35,2 1,28 12,7 1,22 0,384
5?6 УО 8 11,18 8,77 90,9 2,85 27,1 1,56 194 3,04 47,8 1,36 16,3 1,21 0,380
00 си
Продолжение табл. 3
№ профиля Размеры, мм Площадь профиля, см2 Вес 1 nog, м, кГ Справочные величины для осей
В ь d R г X — X V — и Xt — Xj V1 — У! и — и Угол наклона оси tg «
3 3 и § и Расстоя- ние от центра тяжести !/о. см S Расстоя- ние от центра тяжести х0, см § с - Ss mln iu, см
1(1 6 9,59 7,53 98,3 3,20 30,6 1,79 198 3,23 49,9 1,42 18,2 1,38 0,393
« о 100 63 7 10 3,3 11,10 8,70 113,0 3,19 35,0 1,78 232 3,28 58,7 1,46 20,8 1,37 0,392
8 12,60 9,87 127,0 3,18 39,2 1,77 266 3,32 67,6 1,50 23,4 1,36 0,391
10 15,50 12,10 154,0 3,15 47,1 1,75 333 3,40 85,8 1,58 28,3 1,35 0,387
11 6,5 11,4 8,98 142 3,53 45,6 2,00 286 3,55 74,3 1,58 26,9 1,53 0,402
110 70 7,0 10 3,3 12,3 9,64 152 3,52 48,7 1,99 309 3,57 80,3 1,60 28,8 1,53 0,402
/ 8,0 13,9 10,90 172 3,51 54,6 1,98 353 3,61 92,3 1,64 32,3 1,52 0,400
7 14,1 11,0 227 4,01 73,7 2,29 459 4,01 119 1,8 43,4 1,76 0,407
8 16,0 12,5 256 4,00 83,0 2,28 518 4,05 137 1,84 48,8 1,75 0,406
12,5 10 19,7 15,5 312 3,98 100,0 2,26 649 4,14 173 1,92 59,3 1,74 0,404
8 125 80 12 11 3,7 23,4 18,3 365 3,95 117,0 2,24 781 4,22 210 2 69,5 1,72 0,400
14 140 90 8 12 4 18,0 14,1 364 4,49 120 2,58 727 4,49 194 2,03 70,3 1,98 0,411
9 10 22,2 17,5 444 4,47 146 2,56 911 4,58 245 2,12 85.5 1,96 0,409
- — . —*— _ „ — —. —
16 9 22,9 18,0 606 5,15 186 2,85 1221 5,19 300 2,23 110 2,20 0,391
160 100 10 13 4,3 25,3 19,8 667 5,13 204 2,84 1359 5,23 335 2,28 121 2,19 0,390
10 12 30,0 23,6 784 5,11 239 2,82 1634 5,32 405 2,36 142 2,18 0,388
14 34,7 27,3 897 5,08 272 2,80 1910 5,40 477 2,43 162 2,16 0,385
18 180 110 10 14 4 7 28,3 22,2 952 5,80 276 3,12 1933 5,88 444 2,44 165 2,42 0,375
И 12 33,7 26,4 1123 5,77 324 3,10 2324 5,97 537 2,52 194 2,40 0,374
11 34,9 27,4 1449 6,45 446 3,58 2920 6,50 718 Л79 264 2,75 0,392
20 200 19 5 12 14 4,7 37,9 29,7 1568 6,43 482 3,57 3189 6,54 786 2,83 285 2,74 0,392
12,5 14 43,9 34,4 1801 6,41 551 3,54 3726 6,62 922 2,91 327 2,73 0,390
16 49,8 39,1 2026 6,38 617 3,52 4264 6,71 1061 2,99 367 2,72 0,388
12 48,3 37,9 3147 8,07 1032 4,62 6212 7,97 1634 3,53 604 3,54 0,410
25 250 160 16 18 6 63,6 49,9 4091 8,02 1333 4,58 8308 8,14 2200 3,69 781 3,50 0,408
16 18 71,1 55,8 4545 7,99 1475 4,56 9358 8,23 2487 3,77 866 3,49 0,407
20 78,5 61,7 4987 7,97 1613 4,53 10410 8,31 2776 3,85 949 3,48 0,405
со
Швеллеры (ГОСТ 8240 — 56)
h — высота швеллера;
Ъ — ширина полки:
d— голщина стенки,
t — средняя толщина полки;
Н — радиус внутреннего закругле-
ния,
г — радиус закругления полки.
Размеры, мм
К» про- шаль сече- Вес 1 ПОг
финн >! 0 т i R г НИИ» м., кГ
5 50 >7 4,5 7.0 0.0 2,5 6,99 Л42 20,1
6,5 65 40 4.5 7,4 6,0 2.5 8,28 6,5 54.5
8 80 45 4,8 7,4 6 5 2.5 9,91 7.78 I'-.j
10 100 50 4,8 7.5 7,0 3,0 11,7 9,2 187
12 120 54 5.0 7.7 7,5 3,0 13,7 10.8 >13
Таблица 4
J — момент инерция,
ТУ— момент сопротивления;
г — радиус инерции;
S — статический момент полуссче-
пия;
ж0 — расстояние от оси у — у до
наружной грани стенки
Си явочные bcjui'uihj»! д;ш осей Коорди- ната центра тяжести X,, СМ
х — \ ч — г/
£ <1 г v Л» ьх, -м» см* см3 су, •JH
Ю.4 ' 1,54 5 5b 8,41 3,59 1,10 1,35
lb,?' 2,57 10,0 11,9 4,58 1,20 1.40
25, ' > 17 14,8 17,8 5,89 1,34 1.48
47 3 >,99 21,9 25,6 _7Л2 1,48 1,55
52,2 4,78 30,5 34,4 9.01 1.58 1.59
14 140 58 5,0 8,0 8,0 3,0 15,7 12,3 489 1 69,8 5,59 40,7 45,1 10.9 1,70 1 66
14а 140 62 5,0 8,5 8,0 3,0 16,9 13,2 538 76,8 5,65 44,6 56,6 13,0 1,83 1,84
16 160 64 5,0 8,3 8,5 3,5 18,и 14,1 741 92,6 6,42 53,7 62,6 1 3,6 1Л7 1,79
16а 160 68 5,0 8,8 8.5 3,5 19,3 15,1 811 101 6,48 58,5 77,3 16,0 2,00 1,98
18 180 70 5,0 8,7 9,0 3,5 20,5 16,1 1080 120 7,26 69,4 85,6 16,9 2,' 1 1,95
18а 180 74 5,0 9,2 9,0 3,5 21,9 17,2 1180 131 7.3,3 75,2 104 19,7 2,18 2,13
20 200 76 5^ 9,0 9,5 4,0 23,4 18,4 1520 152 8,07 87,8 ИЗ 20,5 2,20 2,07
20а 200 80 5,2 9,6 9,5 4,0 25,0 19,6 1660 166 8.16 95,2 137 24.0 2,34 2,27
22 220 82 5.3 9,6 40,') 4,0 26,7 20,9 2^2 / 193 8,91 111 151 25,4 2,38. 2,24
22а 220 87 __5,3 10.2 кхо 4,0 28,6 22,5 2320 211 9,01 121 186 29,9 2,55 2,47
24 240 90 5,6 10,0 10,5 4,0 3 ),6 24,0 2900 242 9,7, 1 >9 208 31,6 2,60 2,42
24а 240 95 5,6 10,7 10,5 4,0 32,9 25,8 3180 265 9,84 151 254 37,2 2,78 2,67
27 270 95 6,0 10,5 11,0 4,5__ 35,2 Ц27,7 _416О 308 10,9 478_ _ 262 37,3 2,73 2,4 7
30 300 100 6,5 11,0 12,0 5 40,5 31,8 5810 387 12,0 224 327 43,6 2,84 2,52
33 330 105 7,0 11,7 13 5 46,5 36,5 7980 484 13,1 281 410 51,8 2,97 2,59
36 360 НО 7,5 12,6 14 6 53,4 41,9 10820 601 14,2 350 513 61,7 3,10 2,68
40 400 115 8,0 13,5 15 6 61,5 48,3 15220 761 15,7 444 642 73,4 3,23 2,75
00
Таблица 5
Швеллеры (ГОСТ 8240 — 56*)
h — высота швеллера;
Ъ — ширина полки;
d — толщина стенки;
t средняя толщина полки;
R — радиус внутреннего закругле-
ния;
г — радиус закругления полки;
момент инерции;
W-—момент сопротивления;
i— радиус инерции;
S — статический момент полусече-
ния,
а?0 — расстояние от оси у —• у до
наружной грани стенки.
№ про- филя Вес 1 пог. м, кГ Размеры, мм Пло- щадь сече- ния, см2 Справочные величины для осей Коорди- ната центра тяжести х0, СМ
X — X и — у
h ь d t R г Jx, см4 И" & 3 см Sx. см3 Jy’ см4 Л СМ
5 4,84 50 32 4,4 7.0 6 2,5 6,16 22,8 9,10 1,92 5,59 5,61 2,75 0,954 1,16
6,5 5,90 65 36 4.4 7,2 6 2,5 7,51 48,6 15,0 2,54 9,00 8,70 3,68 1,08 1,24
8 7,05 80 40 4,5 7,4 6,5 2,5 8,98 89,4 22,4 3,16 13,3 12,8 4,75 1,19 1,31
10 8,59 100 46 4,5 7,6 7 3 10,9 174 34,8 3,99 20,4 20,4 6,46 1,37 1,44
12 10,4 120 52 4,8 7,8 7,5 3 13,3 304 50,6 4,78 29,6 31,2 8,52 1,53 1,54
14 14а 12,3 13,3 140 140 58 62 4,9 4,9 8,1 8,7 8 8 3 3 15,6 17,0 491 545 70,2 77,8 5,60 5.66J 40,8 45,1 45,4 57,5 11,0 13,3 1,70 1,84 1,67 1,87
16 14.2 160 64 5,0 8,4 8,5 3,5 18,1 747 93,4 6,42 54,1 63,3 13,8 1,87 1,80
16а 15,3 160 68 5,0 9,0 8,5 3,5 19.5 823 103 6,49 59,4 78,8 16,4 2,01 2,00
18 16,3 180 70 5,1 8,7 9 3.5 20,7 1090 121 7,24 69,8 86,0 17,0 2,04 1,94
18а 17,4 180 74 5,1 9,3 9 3,5 22,2 1190 132 7,32 76,1 105 20,0 2,18 2,13
20 18,4 200 76 5,2 9,0 9,5 4 23,4 1520 152 8,07 87,8 ИЗ 20,5 2,20 2,07
20а 19,8 200 80 5,2 9,7 9,5 4 25,2 1670 167 8,15 95,9 139 24,2 2,35 2,28
22 21,0 220 82 5,4 9,5 10 4 26,7 2110 192 8,89 110 151 25,1 2.37 2,21
22а 22,6 220 87 5,4 10,2 10 4 28,8 2330 212 8,99 121 187 30,0 2.55 2,46
24 24,0 240 90 5,6 10,0 10,5 4 30,6 2900 242 9,73 139 208 31,6 2,60 2,42
24а . 25,8 240 95 5,6 10,7 10,5 4 32,9 3180 265 9,84 151 254 37,2 2.78 2,67
27 27,7 270 95 6,0 10,5 И 4,5 35,2 4160 '308 10,9 178 262 37,3 2,73 2,47
30 31,8 300 100 6,5 11,0 12 5 40,5 5810 387 12,0 224 327 43,6 2,84 2,52
33 36,5 330 105 7,0 11,7 13 5 46,5 7980 484 13,1 281 410 51,8 2,97 2,59
36 41,9 360 110 7,5 12,6 14 6 53,4 10820 601 14,2 350 513 61,7 3,10 2,68
40 48,3 400 115 8,0 13,5 15 6 61,5 15220 761 15,7 444 642 73,4 3,23 2.75
60
Таблица 6
Балки двутавровые (ГОСТ 8239 — 56)
h — высота балки;
b — ширина полки;
d — толщина стенки;
t — средняя толщина полки;
R — оадиус внутреннего закругле-
ния;
г — радиус закругления полки;
J — момент инерции.
W —момент сопротивления:
S — статический момент полусече-
ния;
' — радиус инерции.
№ про- фили Размеры, мм Пло- щадь Вес Справочные величины для осей
X— Л V — U
h Г, d -> к НИЯ, ГМ2 ъ.Г Jx г и4 С.М3 см &г> <• „3 см* с.ч3 с.ч
10 100 70 4,5 7,2 7,0 3.0 14,2 11,1 244 4§,8 4,15 28,0 35,3 10,1 1,58
12 120 75 5,0 7,3 7,5 3.0 16,5 13.0 403 Ь7,2 4,94 38,5 43,8 11,7 1,63
14 140 82 5,0 7,5 8,0 3.0 18.9 14.8 632 00,3 5,78 51,5 58.2 14,2 1,75
16 160 90 5,0 7,7 8,5 3,5 21 5 16,9 945 118 6,63 67,0 77.6 17.2 1,90
18 180 95 5,0 8,0 9,0 3,5 23,8 18,7 1330 148 7,47 83,7 94,6 19,9 1,99
18а 180 102 5,0 8.2 9.0 3,5 25,4 19,9 1440 L53J ....ф- __ - 23Д 2,17
20 200 100 5,2 8.2 9,5 4,0 26,4 20.7 1810 181 . г 8,27 102 112 22,4 2,06
20а 200 110 5,2 8,3 9,5 4,0 28,3 22,2 1970 197 8,36 111 148 27,0 2,29
22 220 110 5,3 8,6 10,0 4,0 30.2 23,7 2530 230 9,14 130 155 28.2 2,26
^2а 220 120V 5,3 8,8 10,0 4,0 32,4 25,4 2760 251 9,23 141 203 33,8 2,50
24 240 115 6,6 9,5 10,5 4,0 34,8 27,3 3460 289 9,97 163 198 34,5 2,37
24а 240 125 5,6 9,8 10.5 4,0 37,5 29,4 3800 317 10,1 178 260 41,6 2,63
27 270 125 6,0 9,8 11,0 4,5 40,2 31,5 ”5010 371J 11,2 210 260 41,5 2,54
27а 270 135 6,0 10,2 11.0 4,5 43,2 33,9 5500 407 11,3 229 337 50,0 2,80
30 300 135 6,5 10,2 12,0 5,0 46,5 36,5 7080 472 12,3 268 337 49,9 2,69
30а 300 145 6,5 10,7 12,0 5,0 49,9 39,2 7780 518 12,5 292 436 ъ0,1 2,95
33 330 140 7,0 11,2 13,0 5,0 53,8 42,2 9840 597 13,5 339 419 59,9 2,79
36 360 145 7,5 12,3 14,0 6,0 61,9 48,6 13380 743 14,7 423 516 71,1 2,89
40 400 155 8,0 13,0 15,0 6,0 71,4 56,1 18930 947 16,3 540 666 75,9 3,05
45 450 1Ь0 8,b 14,2 16,0 7,0 83,0 65,2 27450 1220_ 18,2 691' S07 101 3,12
50 500 170 9,3 15- 17,0 7,0 96,9 76,1 39120 1560 20,1 899 1040 123 3,28
55 550 180 10,0 16,5 18,0 7,0 113 88,6 54810 1990 22,0 1150 1350 150 3,46
60 600 190 10,8 17,8 20.0 8,0 131 103,0 75010 2500 23,9 1440 1720 181 3,62
J5X> =^0 11.7 19.2 22,0. 9,0 151 119,0 100840 3100_ 25,8 1790 2170_ _217 3,79
70 700 210 S2.7- ~20,8 24,0 10,0 П4 “Т37ТГ'~ 13^890 3&0 27,7 2220 2730 260 3,96
70а 700 210 15,0 24,0 24,0 10.0 202 158,0 152700 4360 27.5 2550 3240 309 4,01
706 700 210 17,5 28,2 24,0 10.0 234 184,0 175170 501(> 27.4 2940 3910 373 4 09
to
Гч5
Таблица 7
Балки двутавровые (ГОСТ 8239 — 56*)
h — высота балки;
Ь — ширина полки;
d — толщина стенки;
t — средняя толщина полки;
/»’ — радиус внутреннего закругле-
ния;
г — радиус закругления полки;
J — момент инерции,
W — момент сопротивления.
Л’ — статический момент полусече-
ния;
' —радиус инерции.
Л» Вес Размеры. П ло- ща, и Справочные величины для осей
X — л ч — '
про- филя м, кГ /< ь а t R 11ИН, C.U2 ^Х> см' см3 1Х' см г к и JV, см* IV’ V’ -.л,з см
10 9,46 100 55 4,5 7,2 7,0 2,5 120 198 39,7 4,06 23,0 17,9 6,49 1,22
42 11,5 120 64 4,8 7,3 7,5 3,0 14,7 350 58,4 4,88 33,7 27,9 8,72 1,38
14 13.7 140 73 4,9 7.5 8.0 3,0 17,4 572 81,7 5,73 46,8 41,9 11,5 1,55
16 15,9 160 81 5,0 7,8 8,5 3,5 20,2 873 109,0 6,57 62,3 58,6 14,5 1,70
18 18,4 180 90 5,1 8,1 9,0 3,5 23,4 1290 143,0 7.42 81,4 82.6 18,4 1,88
18а J.9JU 180 100 5,1 8,3 9,0 3,5 2i4 __U30 159,0.. _ 7,51 _ 89.iL 114,0 22,8 . 2,12-
20 21,0 200 100 5,2 8,4 9,5 4,0 26,8 1840 184,0 8,28 104,0 115,0 23,1 2,07
20а 22,7 200 110 5,2 8,6 9,5 4,0 28,9 2030 203,0 8,37 114,0 155,0 28,2 2,32
22 24,0 220 110 5,4 8,7 10,0 4,0 30,6 2550 232,0 9,13 131,0 157,0 28,6 2,27
22а 25,8 220 120 5,4 8,9 10,0 4,0 32,8 2790 254,0 9,22 143,0 206,0 34,3 2,50
24 27,3 240 115 5,6 9,5 10,5 4,0 34,8 3460 289,0 9,97 163,0 198,0 34.5 2,37
24а 29,4 240 125 5,6 9,8 10,5 4,0 37,5 3800 317,0 10,10 178,0 260,0 41,6 2,63
27 31,5 270 125 6,0 9,8 11,0 4,5 40,2 5010 371,0 11,20 210,0 260,0 41,5 2,54
27а 33,9^ 270 135 6,0 10,2 11,0 4,5, 4^,2 5500 407,0 11,30 229,0 337,0 50,0 2,80
30 36,5 300 135 6,5 10,2 12,0 5,0 46,5 7080 472,0 12,30 268,0 337,0 49,9 2,69
30а 39,2 300 145 6,5 10,7 12,0 5,0 49,9 7780 51§,0 12,50 292,0 436,0 60,1 2,95
33 42,2 330 140 7,0 11,2 13,0 5,0 53,8 9840 597,0 13,50 339,0 419,0 59,9 2,79
36 48,6 360 145 7,5 12,3 14,0 6,0 61,9 13380 743,0 14,70 423,0 516,0 71,1 2,89
40 56,1 400 155 8,0 13,0 15,0 6,0 71,4 18930 947,0 16,30 540,0 666,0 85,9 3,05
45 65,2 450 160 8,6 14,2 16,0 7,0 83,0 27450 12,20,0 18,20 699,0 807,0 101,0 3,12
50 76,8 500 170 9,5 15,2 17,0 7,0 97,8 39290 1570,0 20,00 905,0 1040,0 122,0 3,26
55 89,8 550 180 10,3 16,5 18,0 7,0 114,0 55150 2000,0 22,00 1150,0 1350,0 150,0 3,44
60 104,0 600 190 11,1 17,8 20,0 8,0 132,0 75450 2510,0 23,90 1450,0 1720,0 181,0 3.60
65 120,0 650 200 12,0 19,2 22,0 9,0 153,0 101400 3120,0 25,80 1800,0 2170,0 217,0 3,77
70 138,0 700 210 13,0 20,8 24,0 10,0 176,0 134600 3840,0 27,70 2230,0 2730,0 260,0 3,94
70а 158,0 700 210 15,0 24,0 24,0 10,0 202,0 152700 4360,0 27,50 2550,0 3240,0 309,0 4,01
706 184,0 700 210 17.5 28.2 24,0 10,0 234,0 175370 5010,0 27,40 2940,0 3910,0 373.0 4.09
CD
Балки двутавровые ш прокоп о л очные (ГОСТ 6183 — 52)
Таблица 8
№ Размеры, мм Площадь Вес Справочные величины для осей
X — Л 1. - и
профиля см2 1 ilOd. м, кГ ^х» Wx, ix- vv.e 1 lV’
смл см3 СМ см3 гм4 ;jw3 см
Палочные п ) о ф и л в
20Б2 200 120 5,0 7,3 26,8 21,0 1890 189 8,41 106 210 35,1 2,80
22 Б 220 130 5,0 6,0 26,0 20,4 2160 196 9,12 111 220 ЗЗЛ 2,91
24 Б 240 140 5,0 6,0 28,2 22,1 2790 233 9,95 131 275 39,2 3,12
24 Б] 241 140 5,0 6,8 30,4 23,9 3120 258 10,1 144 311 44,5 3,20
24 Б 2 242 140,5 5,5 7,0 32,2 25,3 3260 269 10.1 151 324 46.1 3,17
27Б 270 150 5,2 6,4 32,6 25,6 4070 302 11,2 170 360 48,0
27Б! 271,6 150 5,2 7,2 35,0 27,5 4510 332 11,4 186 405 54,0 3,49
27Б2 273,4 150,3 5,5 8,1 38,5 30,2 5070 371 11,5 207 459 61,1 3,45
ЗОБ 300 160 5,5 6,8 37,5 29,4 5750 384 12,4 216 465 58,1 3,52
30Bi 301,8 160 5,5 7,7 40,4 31,7 6410 425 12,6 238 526 65,8 3,61
30Б2 304,4 160,5 6,0 9,0 46,1 36,2 7480 491 12,7 275 621 77,3 3,67
ЗЗБ ЗЗБХ 330 332 170 170 6,0 6,0 7,2 8,2 43,4 46,8 34,1 36,8 7950 8880 482 535 13,5 13,8 272 300 590 672 69,4 79,1 3,69 3,79
36Г> 360 180 6,5 7,8 50,5 39,6 10920 607 14,7 344 759 84,3 3,88
36Бг 362,4 180 6,5 9,0 54,8 43,0 12330 681 15,0 383 876 97,3 4,00
36Б2 362,8 180 6,5 9,2 55,5 43,6 12570 693 15,0 389 895 99,4 4,02
40Б 400 190 7,0 8,5 59,1 46,4 15660 783 16,3 444 973 102 4,06
40Бг 402,6 190 7,0 9,8 64,1 50,3 17650 877 16,6 494 1120 118 4,18
40Б2 404 190 7,0 10,5 66,7 52,4 18730 927 16,8 521 1200 127 4,24
45Б 450 195 7,7 9,4 69,9 54,8 22940 1020 18,1 583 1160 119 4,08
45 Б j 453,2 195 7,7 11,0 76,1 59,7 26120 1150 18,5 653 1360 140 4,23
4о Ь о 454,6 195,3 8,0 11,7 80,2 63,0 27760 1220 18,6 692 1450 149 4,25
50Б 500 205 8,5 10,2 82,6 64,8 32900 1320 20,0 757 1470 143 4,21
50Бг 503,6 205 8,5 12,0 90,0 70,6 37550 1490 20,4 849 1730 168 4,38
50Б2 506,6 205 8,5 13,5 96,1 75,5 41470 1640 20,8 927 1940 189 4,49
55Б 550 220 9,0 11,4 97,6 76,6 47370 1720 22,0 988 2030 184 4,56
55Бг 554 220 9,0 13,4 106 83,5 54080 1950 22,5 1110 2380 216 4,73
55 Б 2 557,2 220,3 9,3 15,0 115 90,4 59940 2150 22,8 1220 2680 243 4,82
60Б 600 235 10,0 12,4 116 90,9 66170 2210 23,9 1270 2690 229 4,82
60Бг 604,4 235 10,0 14,6 126 99,0 75550 2500 24,5 1430 3160 269 5,01
60 Б 2 609,2 235 10,0 17,0 137 108 85930 2820 25,0 1600 3680 313 5,18
65Б 650 250 10,5 14,3 137 107 93240 2870 26,1 1640 3730 298 5,22
65Бх 654,6 250 10,5 16,7 149 117 106280 3250 26,7 1840 4360 348 5,41
65Б2 660,6 250,2 10,7 19,6 165 129 122180 3700 27,2 2090 5120 410 5,58
70Б 700 275 11,0 16,0 161 127 130270 3720 28,4 2120 5550 404 5,86
70Б1 705,6 275 11,0 18,8 177 139 149290 4230 29,1 2390 6520 475 6,07
70Б2 711,6 275,5 11,5 21,8 197 455 171500 4820 29,5 2710 7610 552 6,21
80Б 800 300 12,0 17,0 194 152 201310 5030 32,2 2880 7660 511 6,29
80Bf 806,2 300 12,0 20,1 213 167 231300 5740 33,0 3250 9060 604 6,53
80Б2 813 300,5 12,5 23,5 237 186 266970 6570 33,6 3700 10640 708 6,70
Х> ОЭ П родолжение табл. 8
Справочные величины для осей
№ Размеры, мм Площадь Вес _ _
сечения, 1 пог. м, х х __ < j
профиля . СМ2 КГ Jх, ^Х’ ,Х' ®Х’ Jy W >/’ *У’
h ° СМ4 СМ3 см см3 см4 см3 см
90 Б 900 395 13 5 17,8 232 182 297810 6620 35,8 3810 10200 628 6,63
90Б! 906,8 325 13,5 21,2 254 200 342900 7560 36,7 4310 12150 748 6,91
90Б2 915 325,5 14,0 25,3 286 224 4О1370 8770 37,5 4970 14560 895 7,14
100Б 1000 350 14 5 20,0 279 219 443090 8860 39,8 5100 14320 818 7,16
100Бг 1009 350 14 5 24,5 311 244 522550 10360 41,0 5890 17530 1000 7,51
100Б, 1010 400 15 0 25,0 344 270 595810 11800 41,6 6650 26690 1330 8,81
10011“ 1017 401 16 0 28,5 382 300 676480 13300 42,1 7490 30660 1530 8,96
100Б4 1023,6 402 5 17 5 31,8 424 333 758760 14830 42,3 8360 34600 1720 9,03
ЮОБ5 1031’ 404 19 0 35,5 469 368 851050 16510 42,6 9330 39070 1930 9,12
100Бв 1039 406 21 0 39,5 522 410 956290 18410 42,8 10430 44130 2170 9,19
100Б7 1047,6 408 23 0 43,8 578 454 10703,70 20440 43,0 11620 49680 2440 9,27
Колоппые профили легкие
27Л 275,6 220 6 0 9,2 55,9 43,9 8040 583 12,0 319 1630 148 | 5,40
27Л! 278,4 920 6 0 10,6 62,1 48,7 9220 662 12,2 362 1880 171 5,51
27Л2 281 220,5 6,5 11,9 69,2 54,3 10430 742 12,3 407 2130 193 5,54
ЗЗЛ 336,8 260 7 0 10,6 77,2 60,6 16500 980 14,6 537 3110 239 6,34
ЗЗЛг 340 260 7 0 12,2 85,5 67,1 18800 1110 14,9 607 3580 275 6,47
ЗЗЛ2 343 260,5 7,5 13,7 95,1 74,6 21330 1240 15,0 681 4040 310 6,52
40Л 408 300 8,0 12,5 106 82,'! 33080 1620 17,7 888 5630 375 7,30
40 Л г 412 300 8 0 14,5 118 92,3 33130 1850 18,0 1010 6530 435 7,45
40Л, 415,2 300,8 8,8 16,1 131 1(2 42710 2060 18,1 ИЗО 7310 486 7,48
50Л 508,6 340 9 7 14 5 145 114 69110 2720 21,8 1500 9500 559 8,09
50Л1 513/1 340 ч’7 16 9 161 127 79770 3110 22,2 1710 11070 651 8,28
50Л, 517,6 340,6 1ЛЗ 19,0 179 140 89950 3480 22,4 1910 12520 735 8,37
60Л 608,6 400 11,4 16,7 199 156 135130 4440 26,0 2450 17820 891 9,46
1186
60 л, 613,8 400 11,4 19,3 220 173 154550 5040 26,5 2770 20590 1030 9,68
60Л, 618,6 400,6 12,0 21,7 243 191 173960 5620 26,8 3090 23260 1160 9,79
70 Л 711,6 420 13,0 21,8 270 212 250200 7030 30,4 3880 26930 1280 10,0
70Л, 718,4 420,3 13,3 25,2 301 236 287620 8010 30,9 4410 31200 1490 10,2
70Л2 724,0 421,8 14,8 28,0 335 263 322980 8920 31,0 4940 35040 1660 10,2
Колонные профили тяжелые
20Т 203 200 6 8,8 46,3 36,4 3640 359 8,86 197 1170 117 5,03
20Tj 205,4 200,5 6,5 10,8 52,2 40,9 4180 407 8,95 224 1340 134 5,08
20Т2 208 201 7 11,3 58,4 45,9 4770 459 9,04 253 1530 152 5,12
24Т 249 240 6,5 10,5 65,2 51,2 7810 628 10,9 343 2420 202 6,09
241\ 252 240,5 7 12 73,7 57,8 9010 715 11,1 392 2780 231 6,15
24То 255 241 7,5 13,5 82,2 64,5 10240 803 11,2 442 3150 261 6,19
24Т3 258 241,5 8 15 90,7 71,2 11500 891 11,3 492 3520 292 6,23
ЗОТ 312,4 300 8 13 101 79,2 19060 1220 13,7 666 5850 390 7,61
30Тх 315,4 301 9 14,5 ИЗ 88,8 21540 1370 13,8 749 6590 438 7,64
ЗОТ., 318,4 302 10 16 125 98,3 24070 1510 13,9 833 7350 487 7,66
ЗОТ'з 322,4 303 И 18 141 110 27450 1700 14,0 943 8350 551 7,71
30Т4 326,4 304 12 20 156 122 30930 1900 14,1 1050 9370 616 7,75
40Т 417 400 10 17 174 137 59120 2840 18,4 1540 18140 907 10,2
40Тг 421 401 И 19 195 153 66760 3170 18,5 1730 20420 1020 10,3
40Т, 425 402 12 21 215 169 74570 3510 18,6 1930 22740 ИЗО 10,3
40Т3 429 404 14 23 239 188 8:1220 3880 18,6 2140 25290 1250 10,3
40Т4 433 406 16 25 264 207 92080 4250 18,7 2360 27900 1370 10,3
40Т5 441 406,5 16,5 29 299 235 107940 4900 19,0 2730 32480 1600 10,4
40Т6 449 408 18 33 338 265 125170 5580 19,2 3130 37370 1830 10,5
40Т7 457 410 20 37 380 298 143510 6280 19,4 3550 42530 2070 10,6
40Т8 465 412 22 41 422 331 162610 6990 19,6 3980 47820 2320 10,6
40Т9 475 415 25 46 478 375 188050 7920 19,8 4550 54850 2640 10,7
40Т10 489 400 28 . 53 531 417 215600 8820 20,1 5140 56600 2830 10,3
40Ти 501 403 31 59 594 466 248150 9910 20,4 5820 64460 3200 10,4
40Т12 513 407 35 65 663 521 283730 11060 20,7 6570 73170 3600 10,5
40Т13 527 412 40 72 746 586 328350 12460 21,0 7480 84130 4080 10,6
40Т14 541 417 45 79 831 652 376070 13900 21,3 8440 95770 4590 10,7
Глава 3
ВНЕШНИЕ 11 ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ.
МЕТОД СЕЧЕНИИ.
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛ
§ 13. Классификация внешних сил
Внешними силами, или нагрузками, называются силы взаимодей-
ствия между рассматриваемым элементом конструкции и связанными
с ним телами. Если внешние силы являются результатом непосред-
ственного, контактного взаимодействия данного тела с другими телами,
то они приложены только к точкам поверхности тела в месте кон-
такта и называются поверхностными силами. Поверхностные силы
могут быть непрерывно распределены по всей поверхности тела пли
ее части. Величина нагрузки, приходящаяся па единицу площади, назы-
вается интенсивностью нагрузки, обозначается обычно буквой />и имеет
размерность кГ/см2, кГ/м2 или Т/м2. По ГОСТу 9867—61 в Между-
народной системе единиц физических величин (СИ) единицей силы
является пыогоц (н). Это сила, которая сообщает покоящемуся телу
массой в 1 кг ускорение, равное 1 м/сек2. Размерность ньютона —
кг м/сек2.
ХкГ = Ъ,Ын', 1 и 0,102 кГ.
Единица давления — ньютон на квадратный метр (н/м2). В ипже-
норных расчетах можно принять 1—т-10 J—— = 10—5-.
смй м4 смг
Нагрузка, распределенная по поверхности (рис. 26, а), приводен
пая к главной плоскости (рис. 26, б), т. е. нагрузка, распределенная
по линии, называется погонной нагрузкой, обозначается обычно бук-
вой q и имеет размерность кГ/см, кГ/м или Т/м. Характер изменения q
по длине обычно показывают в виде эпюры (графика) q.
В случае равномерно распределенной нагрузки (рис. 26, а) эпюра
q прямоугольная (рис. 26, б). При действии гидростатического давле-
ния эпюра q треугольная (рис. 26, в).
Рис. 26
Равнодействующая распределенной нагрузки численно равна пло-
щади ее эпюры и приложена в ее центре тяжести. Если нагрузка
распределена на небольшой части поверхности тела, то ее всегда за-
меняют равнодействующей, называемой сосредоточенной силой Р
(кГ или 7’).
98
Встречаются нагрузки, которые могут быть представлены в виде
сосредоточенного момента (пары). Моменты М (кГ см или Т м)
обозначают обычно одним из двух способов (рис. 27, а, б) пли в виде
вектора, перпендикулярного к плоскости действия пары. В отличие
от вектора силы векюр момента изображают в виде двух стрелок или
волнистой линией (рис. 27, в, г). Вектор момента принято считать
правовинтовым.
Силы, не являющиеся результатом контакта двух тел, а прило-
женные к каждой точке объема, занятого телом (собственный вес,
силы инерции), называются объемными или массовыми силами.
Рис. 27
В зависимости от характера приложения сил во времени разли-
чают нагрузки статические и динамические. Нагрузка считается ста-
тической, если она сравнительно медленно и плавно (хотя бы в течение
нескольких секунд) возрастает от нуля до своего конечного значения,
а затем остается неизменной. При этом можно пренебречь уско^ение
ямп деформируемых масс, а следовательно, и силами инерции.
Динамические нагрузки сопровождаются значительными ускоре-
ниями как деформируемого тела, так и взаимодействующих с ним тел.
Возникающими при этом силами инерции пренебречь нельзя. Дина-
мические нагрузки делятся на мгновенно приложенные, ударные о
повто рно- переменные.
Мгновенно приложенная нагрузка возрастает от пуля до макси-
мума в течение долей секунды. Такие нагрузки возникают при воспла-
менении горючей смеси в цилиндре двигателя внутреннего сгорания,
при трогании с места железнодорожного состава.
Ударная нагрузка характерна тем, чго в момент ее приложения
тело, вызывающее нагрузку, обладает определенной кинетической
энергией. Такая нагрузка возникает, например, при забивке свай
с помощью копра, в элементах кузнечного молота.
Поеторно-переменная нагрузка характерна своей непрерывной
периодичностью. Такие нагрузки испытывают при работе штоки, валы,
оси железнодорожных вагонов, колеблющиеся элементы конструк-
ций и др.
§ 14. Внутренние силы. Метод сечений.
Эпюры внутренних сил
Между соседними частицами любого тела (кристаллами, молеку-
лами, атомами) всегда имеются определенные силы взаимодействия,
или внутренние силы, которые стремятся сохранить тело как единое
целое, противодействуя всему, что может изменить взаимное располо-
жение частиц, т. е. деформировать тело.
Внешние силы, наоборот, всегда стремятся вызвать деформацию
тела.
Величина внутренних сил, действующих между двумя какими-
либо частицами, в нагруженном и ненагружеином теле будет различной.
4*
99
В сопротивлении материалов не принимаются во внимание внут-
ренние силы, действующие в ijenai ружейном теле, а рассматриваются
только тс дополнительные внутренние силы, которые появляются
при нагружении юла. 9ы дополнительные внутренние силы взаимо-
действия,' возникающие в результате нагружения, часто называют
мысленно рассекают некоторой
8
Рис. 28
усилиями.
Для выявления виу ipeimux сил, возникающих в теле под нагруз-
кой, в сопротивлении материалов пользуются методом сечений.
Смысл этого метода состоит в том, что нагруженное тело (рис. 28, а)
плоскостью на две части А и В. Для
того чтобы каждая из этих частей
находилась в равновесии под дей-
ствием приложенных к пей внеш-
них нагрузок, необходимо действие
отсеченной части заменить некото-
рой системой внутренних сил в се-
чении. Эти силы и явятся силами
взаимодействия между частями тела
А и В. Внутренние силы, действу-
ющие в сечении со стороны части
А, в соответствии с третьим зако-
ном Ньютона равны по величине
и противоположны по направлению
внутренним силам, действующим
в сечении со стороны части В
(рис. 28, б).
Как всякую систему сил, внут-
ренние силы, распределенные по
сечению, можно привести к одной
точке (например, к центру тяжести
сечения), в результате чего па каж-
главпый вектор и главный момент
доп стороне сечения—получим
внутренних сил в сечении (рис. 28, в). Применительно к стержню
последний обычно рассекают плоскостью, перпендикулярной к осп
(рчс. 29, а). Если главный вектор и главный момент спроектировать
па ось стержня z и главные центральные оси сечения у и
каждой стороне сечения получим шесть внутренних силовых
(рис. 29, б): три силы (N, Qy, Qx) и три момента (М2, Му,
величины называются усилиями и моментами в сечении
х, то на
факторов
Мх)- Эти
стержня.
Рис. 29
Как видно из рисунка, 7V вызывает продольную деформацию стерж-
ня (растяжение или сжатие); Qy и Qx — сдвиг сторон сечения соот-
ветственно в направлении осей у и х\ Mz вызывает кручение стержня;
Му и Мх — изгиб стержня в главных плоскостях xz и у?. Поэтому
для усилий и моментов в сечении приняты следующие названия:
100
N — продольная, или осевая (направленная вдоль оси),
сила;
Qy п Qx— поперечные (реже — перерезывающие') силы;
М2 = Мщ> —крутящий момент;
Му и Мх — изгибающие моменты.
Можно дать следующие определения перечисленным компонентам
внутренних усилий: продольная сила N представляет собой
сумму проекций всех внутренних сил, действующих в сечении, на нор-
маль к сечению (или на ось стержня); поперечные силы Qy
u Qx — это суммы проекций всех внутренних сил в сечении на глав-
ные центральные оси сечения у и х соответственно; к р у т я щ и й
м ом е н т-Мг (или Мкр) — это сумма моментов всех внутренних
сил в сечении относительно оси стержня; изгибающие мо-
мент ы Мх U Му — это суммы моментов всех внутренних сил
в сечении относительно главных центральных осей инерции сечения
х и у соответственно.
Для практического вычисления усилий и моментов в сечении сле-
дует иметь в виду, что: N численно равна алгебраической сумме про-
екций всех внешних сил, действующих на одну из частей (левую или
правую) рассеченного стержня, на ось стержня (на нормаль к сече-
нию); Qy — то же па ось у, Qx — то же па ось х; М численно равен
алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих
на одну из частей (левую пли правую) рассеченного стержня, относи-
тельно оси стержня; Му — то же относительно оси у; Мх — то же от-
носительно осп х.
Таким образом, метод сечений позволяет найти все усилия и мо-
менты в любом сечении стержня при действии любой нагрузки.
Для этого необходимо сделать следующее:
1. Найти главные центральные оси поперечного сечения стержня.
2. Провести мысленно поперечное сечение стержня в том месте, где
нужно найти усилия и моменты.
3. Вычислить усилия ЛГ, Qy, Qx и моменты М , Му, Мх как
алгебраические суммы проекций и моментов внешних сил, действую-
щих на одну из частой (левую или правую по отношению к сечению)
рассеченного стержня, обычно па ту, где проекции и моменты вы-
числяются проще.
Усилия и моменты в разных сечениях одного и того же стержня
в общем случае различны. Графики (диаграммы), показывающие,
как изменяются усилия и моменты при переходе от сечения к сечению,
называются эпюрами усилий и моментов.
При построении эпюр рекомендуется пользоваться следующими
правилами:
1. Ось (базу), на которой строится эпюра, всегда выбирают так,
чтобы она была параллельна оси стержня (или совпадала с ней).
2. Ординаты эпюр, выражающие в выбранном масштабе значение
усилия или момента, откладывают от оси эпюры по перпендикуляру.
3. Эпюры принято штриховать
линиями, перпендикулярными к базе. Мкр>0
Положительные значения усилий или '\\
моментов откладывают вверх от базы, / /Ж ^>^4.
отрицательные — вниз. V/ '/жЖм ИИжС”' V
4. На эпюрах проставляют числа, /Жххум
показывающие величины характерных
ординат, а в поле эпюры в кружочке
ставят знак усилия. Рис. 30
При построении HiKip продольных сил и крутящих моментов
рекомендуется пользоваться следующими правилами в отношении
их знаков.
1. 11 родольная сила N считается положительной, если она вывы-
ьает растяжение, и отрицательной, если вызывает сжатие.
2. 1{рутящии момент Л/ считается положительным, если при
наблюдении с торца вдолг оси рассматриваемой части он действует
но часовой стрелке (рис. 30).
Гис.
Примеры построения эпюр продольных сил показаны на рис. 31,
32, 33 («j = arclg уГр а2 = ап tg yF2; у — объемный вес). Эпюра кру-
тящих моментов для трансмиссионного вала, схема которого приве-
дена на рис. 34, а, показана на рис. 34, 6. Па рис. 34, в покатано на-
правление максимального положительного момента в сечении рас-
сматриваемого вала.
Прежде чем перейти к построй,
нию эпюр поперечных сил и изги-
бающих моментов при изгибе ба-
лок — к разделу сопротивления ма-
териалов, имеющему весьма суще-
ственное значение для понимания поведения илемешов конструкций
под нагрузкой, напомним некоторые исходные основные понятия,
связанные с балками.
§ 15. Балки и их опоры
Балками называют прямолинейные стержни, работающие на из
гиб. Плоским изгибом балки называется такой изгиб балки, при кото-
ром все заданные силы лежат в одной (силовой) плоскости (рис. 35, а),
102
причем эта плоскость совпадает с одной из главных плоскостей балки.
При расчете балку принято заменять ее осью (рис. 35, б), все
нагрузки должны быть приведены к этой оси, а силовая плоскость
будет совпадать с плоскостью чертежа.
Все многообразие существующих опорных устройств балок схе-
матизируется в виде следующих трех основных типов опор.
Рцс. 36
IIIарнирно-подвижная опора (рис. 36, а), в которой может возни
кать только одна составляющая реакции ВА, направленная вдоль
опорного стержня.
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 36, б), в которой могут возни-
кать две составляющие — вертикальная реакция Т?А и горизонтальная
реакция Н А.
Защемление (иначе жесткое защемление или заделка), где могут
быть три составляющие — вертикальная {IIА) и горизонтальная {НА)
реакции и опорный момент МА (рис. 36, в).
Все реакции и моменты считаются приложенными в точке А —
центре тяжести опорного сечения.
а 5 в
Рис. 37
Балка, показанная на рис. 37, а, называется простой пли одна-
пролетной, или двухопорной, а расстояние I между опорами — про-
петом.
Консолью называется балка, защемленная одним концом и не
имеющая других опор (рис. 35, б), или часть балки, свешивающаяся
за опоры (часть ВС па рис. 37, б и части AC п BD на рис. 37, в). Балки,
имеющие свешивающиеся части, называются консольными.
Балка называется статически определимой, если число неизвест-
ных опорных реакций не превышает трех; в противном случае балка
статически неопределима. Балки, изображенные на рис. 35 и 37,
статически определимы, а балка, изображенная на рис. 38, а, назы-
вается иеразреаной и является статически неопределимой, поскольку
имеет пять неизвестных опорных реакций: три — в опоре Л и по од-
4А В С D Е В С
*t ХГ Г"—:—X------------------------------37
a S
Рис. 38
ной — в опорах В и С. Поставив, например, в любых двух сечениях
первого пролета балки шарниры (точки D и Е на рис. 38, б), получим
статически определимую шарнирную балку, ибо каждый такой про-
межуточный шарнир к трем основным уравнениям статики прибавляет
одно дополнительное уравнение, поскольку сумма моментов относи-
тельно центра шарнира от всех сил, расположенных по одну сторону
от пего, равна пулю.
§ 16. Вычисление реакций
Для того чтобы можно было приступить к построению эпюр,
необходимо знать все внешние нагрузки, включая реакции, которые
предварительно должны быть определены.
При определении реакций рекомендуется придерживаться следую-
щей последовательности, которую мы проиллюстрируем па примере
простой балки (рис. 37, а):
1. Обозначив опоры буквами А и В, три неизвестные реакции
/?А, Вд и Н А определим из следующих уравнений равновесия:
• сумма проекций всех сил на ось балки равна нулю
2^ = 0,
откуда находим Н А,
сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира А
равна нулю
2л/л = 0,
откуда находим RB",
сумма моментов всех сил относи!ельно опорного шарнира В
равна нулю
2«в=о,
откуда находим RA.
2. Для контроля можно использовать условие равенства нулю
суммы проекций на вертикаль
2г = о
или условие равенства пулю суммы моментов относительно какой-
либо точки С, отличной от А и В, т. е.
£мс = о.
104
Рис. 39
Рис. 40
Я
Рис. 41
г
Рис. 43
3. Если в результате вычисления какая-либо реакция окажется
отрицательной, то на рисунке необходимо изменить ее направление
на обратное по сравнению с направлением, принятым в начале рас-
чета.
4. Если нагрузки, действующие на балку, перпендикулярны
к оси балки, то НА — 0 и уравнением SZ = 0 не пользуются.
§ 17. Усилия и моменты в сечениях балки
При плоском изгибе вся нагрузка расположена в главной плос-
кости стержня z?/ (рис. 35, а), и поэтому она не дает проекций на ось х
и моментов относительно осей z и у. Следовательно, в любом сечении
балки
Qx —• Мг — Л/Кр — Му — О,
и отличными от нуля будут три величины — N, Qy и Мх, кото-
рые принято обозначать N, Q и М.
^шпишишт
Рис. 44
Эти усилия действуют в сече-
ниях рам и кривых стержней. В бал-
ках же при нагрузке, перпендику-
лярной к оси, равной нулю будет
продольная сила N — 0. Поэтому
в балках приходится иметь дело
с поперечной силой Q и изгибающим
моментом М.
При построении эпюр попереч-
ных сил Q и изгибающих моментов
М принимают следующие правила
знаков:
Поперечная сила Q в сечении положительна, если ее
векторы стремятся вращать части рассеченной балки по часовой
стрелке (рис. 39, а).
Изгибающий момент М в сечении положителен, если
он вызывает сжатие в верхних волокнах балки (рис. 39, а).
Очевидно, поперечные силы п моменты, показанные на рис. 39, б,
имеют отрицательные знаки. Эпюры поперечных сил и изгибающих
моментов для балок, нагруженных по различным типичным схемам,
приведены на рис. 40—44.
§ 18. Дифференциальные зависимости при изгибе балок.
Некоторые особенности эпюр Q и М
Рассмотрим балку с произвольной нагрузкой (рис. 45, а). Между
интенсивностью q распределенной нагрузки, поперечной силой Q
и изгибающим моментом М, действующими в некотором сечении, суще-
ствуют следующие дифференциальные зависимости, которые легко
Рис. 45
в
106
могут быть выведены из условий равновесия элемента, выделенного
из балки (рис. 45, б):
(3.1)
(3.2)
az
(ВМ
В тех случаях, когда па рассмаiриваемом участке лей твует
к Г см
равномерно распределенным момент ппт< псивпостыо т —
(рис. 45, я), формула (3.2) принимает вид
= Q Н- ™ (3.4)
Соотношения (3.1) — (3.4) называются дифференциальными запи-
си иеетмми при изгибе. Они позволяют установить некоторые особен-
ности шюр поперечных сил и изгибающих моментов.
1. На тех участках, где пег распределенном нагрузки, эпюра Q
ограничена прямыми, параллельными базе, а эпюра М, в общем слу-
чае,— наклонными прямыми (рис 46).
2. На тех участках, где к балке нритожена равномерно распреде-
ленная нагрузка, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра
М — квадратичными параболами (рис. 47) При построении эпюры М
на сжатых волокнах выпуклость параболы обращена в сторону, про-
тивоположную направлению действия нагрузки q (рис. 48, «, б).
3. В тех сечениях, где Q = 0, касательная к эпюре М параллельна
оси эпюры (рис. 47, 48).
4. На участках, где @ > О, М
возрастает, т. е. слева направо
положительные ординаты эпюры
М увеличиваются, отрицатель-
ные — уменьшаются (участки /1 С
и BE на рис. 46 и 47) на тех
участках, где Q << О, М jo'.iBaei
(участки С1> ч DB на рис. 46 и
47).
5. В на сечениях, где к
балке приложены сосредоточен-
ные силы: Рис. 48
107
а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении прило-
женных сил (на рис. 46 и 47 эти скачки отмечены жирными линиями
со стрелками);
б) на эпюре М будут переломы (рис. 49), причем острие перелома
направлено против действия силы.
6. В тех сечениях,тде к балке приложены сосредоточенные моменты,
на эпюре Л/ будут скачки на величину этих моментов, на эпюре Q
никаких изменений не будет.
Рис. 49 Рис. 50
7. Если на конце консоли или в концевой опоре приложен сосре-
доточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внеш-
нему моменту (сечения С и В на рис. 50).
8. Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от
эпюры М. Значит, ординаты Q пропорциональны тангенсу угла на-
М,
клопа касательной к эпюре М (на рис. 43 а = р — arctg -у).
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балок с раз-
личным закреплением концов приведены в табл. 9.
§ 19. Построение эпюр для статически определимых рам
Рамами называются системы, состоящие из стержней, соединен-
ных жесткими узлами. Вертикальные стержни рамы принято называть
стой кам и, горизонтальные — ригелями. Жесткость узлов устраняет
возможность взаимного поворота скрепленных в узле стержней, т. е.
в узловой точке углы между их осями при деформации остаются не-
Рис. 51
Ось рамы представляет собой ломаную линию, однако каждый
участок ее можно рассматривать как балку. Поэтому построение
эпюры для рамы сводится к построению эпюр для каждого входящего
в нее стержня как для балки. Однако в отличие от обыкновенных
балок в сечениях стержней рамы, кроме изгибающих моментов М и по-
108
перечных сил Q, обычно действуют еще и продольные силы N. По-
этому для рам необходимо строить эпюры М, Q и N.
Для N и Q сохраняются ранее принятые правила знаков: N >'0,
если продольная сила вызывает растяжение; Q >> 0, если вектор силы
вращает части рассеченной рамы по часовой стрелке.
Для изгибающих моментов специальных правил знаков не уста-
навливают, а при составлении выражений для М принимают по соб-
ственному усмотрению какой-либо момент положительным.
При построении эпюр положительные ординаты N и Q отклады-
вают с внешней стороны, а отрицательные — внутрь контура рамы.
Эпюры М для рам условимся строить на сжатых волокнах. Построе-
нию эпюр должно предшествовать определение неизвестных реакций.
Пример построения эпюр N, Q и М для рамы-консолп, нагружен-
ной но схеме, приведенной на рис. 51, а, показан на рис. 51, б, в, г.
§ 20. Построение эпюр для кривых стержней
В поперечных сечениях плоского кривого бруса могут* действовать,
как и в рамах, три силовых фактора: N, Q и М. В случае, когда ось
кривого стержня очерчена по дуге окружности, положение любого
сечения удобно определять при помощи полярной системы координат,
п тогда продольная и поперечная силы н изгибающий момент будут
функциями угла ср — Аг(<р), (?(ф), Д2(<р).
Рис. 52
Для N и Q остаются ранее принятые правила знаков; эпюры М,
как п в случае рам, строим со стороны сжатых волокон.
Пример построения эпюр N(ср), (Дер) и М(<р) для кривого бруса-
консоли, нагруженного по схеме, приведенной на рис. 52, а, когда
/V (<р) = (cos ср -j- 0,5 sin ср) Р;
Q (ср) =- (sin ср —• 0,5 cos ср) Р;
М (ср) = (1 — cos ср - 0,5 sin ср) Ри
показан на рис. 52, б, в, г.
Если на кривой стержень действует равномерно распределенная
нагрузка, при вычислении N, Q и Л/ полезно иметь в виду следующую
теорему: равнодействующая равномерно распределенной нагрузки, при-
ложенной к дуге любого очертания, равна произведению интенсивности
нагрузки на длину хорды, стягивающей ату дугу, перпендикулярна
этой хорде и проходит через ее середину.
, Эпюры ДГ(ср); (?(ф) и М(ср) для кривого стержня, нагруженного
по схеме, приведенной на рис. 53, а, покашны на рис. 53, б, в, г.
1)3
На участке 0< <р< а ЛГ(ф), <?(<р) и ЛГ(ф) определялись соответ-
ственно по формулам:
Л' (ср) — I\ sin — 2qR sin2 = — qR (1 — cos ;
Q (ср) = Pj cos —- — 2qR sin у cos у = qR sin <p;
M (cp) = Pj — 2qR2 sin2 — qR2 (1 — cos <?),
где равнодействующая распределенной нагрузки q на дуге, соответ-
и
ствующей углу ф, Pt = 2qR sin ~ .
Рис. 53
На участке а < ср 0
Л' (ср) = — Р2 sin (ср —— — 2qR sin ~ sin (ср —
ч . 7. / а) о _ . а / а)
Q (ср) = Р2 COS I ср — — I = 2j]R sin у cos I ср
2qR2 sin
где равнодействующая распределенной нагрузки ./ ил дуге, соответ-
ствующей углу а, Р2 2qR sin ~ .
110
§ 21. Дифференциальные зависимости при изгибе
плоских кривых стержней
Дифференциальные соотношении между q, Q, N и М, которые
могут быть выведены из условий равновесия элемента, выделенного
из произвольно нагруженного кривого стержня (рнс. 54 и 55), имеют
вид
Полагая rdy = ds, эти уравнения
можно записать в виде
dN _Q_
ds г
dM
ds
(3.10)
При выводе указанных зависимостей было предположено, что изги-
бающий момент считается положительным, если он вызывает сжатие
внутренних волокон стержня (волокон, расположенных на вогнутой
стороне), а распределенная нагрузка положительна, если она направ-
лена к центру кривизны стержня. Зависимости (3.5) — (3.10) позво-
ляют проверить правильность составления выражений для JV(q),
0(ф) н М(ф). Выражения для внутренних усилий в кривом стержне
для различных случаев его нагружения приведены в табл. 10 и 11.
111
§ 22. Построение эпюр внутренних сил
для пространственных стержней
В р;.мны.\ сисжмах, осн составляющих стержней которых не
лежат в одной плескости, а также в плоских системах, находящихся
под возденет воем пространственной нагрузки, могут действовать
в сечениях стержней все шесть внутренних силовых факторов: Nt,
Qy, Qx, Mz, My, Mx fpne. 29, б). В этом случае эпюры изгибающих
моментов по-нр'ежнему строят на сжатых волокнах, причем ориентиро-
вать их следует так, чтоны плоскость эпюры совпадала с плоскостью
действия пары того изгибающего момента, для которого она построена.
Знак изгибающего момента вводится произвольно и притом только
в случае необходимости записать соответствующее уравнение.
Рис. 57
Для продольных сил и крутящих моментов сохраняются прежние
правила знаков. Эпюры N и Мкр могут быть ориентированы как
угодно, по их ординаты всегда откладываются по нормали к оси
стержня.
Поперечные силы в сечении считаются положительными, если
их направление совпадает с положительным направлением у и х.
; >2
В качестве иллюстрации приведем для ломаного стержня
(рис. 56, а, б) результаты построения эпюр внутренних силовых фак-
торов (рис. 57).
Рис. 58 Рис. 59.
Эпюры внутренних сил для пространственно нагруженного криво-
линейного стержня (рис. 58), построенные на основании зависимостей
Л/пз (?) = МУ (?) = (pR 4- мл) sin ?’
мкр (ср) = Mz (?) = (PR + МА) cos ср - РД,
при Р — 200 кГ; М А = 2000 кГ см; R = 30 см приведены на рис. 59.
§ 23. Напряжения в сечении
В сечениях нагруженного стержня возникают непрерывно распре-
деленные внутренние усилия (рис. 60, а), равнодействующими кото-
рых являются главный вектор R и главный момент М, приложенные
в центре тяжести сечения. Проекции R и М на главные центральные
оси х, у и ось стержня z дают величины компонентов внутренних уси-
лий N, Qy, Qx, Му, Мх и Mz.
Рассмотрим бесконечно малый элемент площади dF (рис. 60, б)
с произвольными координатами х, у. В силу малости элемента можно
Рис. 60
считать, что внутренние усилия распределены на нем равномерно,
а равнодействующая их dR приложена в центре его тяжести. Следо-
вательно, при приведении этих усилий к центру тяжести элемента dR
будет являться главным вектором силы, а главный момент, очевидно,
будет равен нулю.
113
Проекциями dfi на оси z, у, х будут элементарные силы dN, dQy,
dQx. Разделив зги величины на площадь dF. получим выражения для
внутренних усилии, приходящихся на единицу площади, называемых
напрчжениiwi в точке (у О понеречного течения стержня:
где а — нормальное напряжение, ty, тх— касательные напряжения.
Размерность напряжений — сила, деленная па квадрат длины
{кГ/мм\ кГ/см: и т. д.).
Таким образом, напряжением называется внутренняя сила, отне-
сенная к единице площади в данной точке рассмат риваемого сечения.
Полное напряжение в точке может быть выражено через нормаль-
ное и касательные напряжения:
р = г?=,/’°2 + ’И’Ь <зл2>
Учитывая (3.11), нетрудно установить общие зависимости между
эяжениями а и -,с одной стороны, н компонентами внутренних
ши — с другой:
N = J adF; (3.13)
F
Qv = J xydF’, (3.14)
F
Qx = j TxrfF; (3.15)
F
My-=\xcdF; (3.16)
F
Mx -- J ycdF- (3.17)
F
= Мщ> - - j (y-.x + xzy) dFczdF. (3.18)
F F
где ____________
T _ V(Wj2 . V1ТГ-Т.
” dF F \dF / ' \dF/ ' '4 1
p—'расстояние от центра тяжести сечения до линии действия dQ
(рис. 60, в).
Зависимости (3.13) — (3.18) называются статическими уравне-
ниями. В общем случае расчета, когда закон распределения напряже-
ний по сечению не известен, их применять нельзя. Например, зная
величину изгибающего момента Му в сечении, нельзя найти нормаль-
ные напряжения, пользуясь формулой (3.16). Однако если, пользуясь
темп или иными соображениями, удается установить, как распреде-
ляются по сечению о или х, то тогда по формулам (3.13) — (3.18)
можно найти и сами величины напряжений.
Выводы формул для определения напряжений целесообразно про-
водить по следующей схеме:
114
1. Рассматривается статическая сторона задачи — записываются
те из уравнений (3.13) — (3.18), которые необходимы для вывода.
2. Рассматривается геометрическая сторона задачи — на основа-
нии опытных данных записываются геометрические уравнения, уста-
навливающие зависимость перемещений точек стержня от их поло-
жения в сечении.
3. Рассматривается физическая сторона задачи — на основании
опытных данных записываются уравнения, выражающие зависимость
между напряжениями и деформациями (или перемещениями).
4. Производится синтез, т. е. совместно решаются уравнения,
полученные в п. 1—3, и путем исключения деформаций (или переме-
щений) получаются формулы, выражающие напряжения через усилия
или моменты в сечении.
§ 24. Условия прочности и жесткости
Основной задачей сопротивления материалов является определе-
нно надежных размеров поперечного сечения детали, подверженной
тому или иному силовому, температурному или другому воздействию.
Такие размеры могут быть определены из расчета на прочность, жест-
кость или устойчивость. Основным является расчет на прочность.
Физически очевидно, что материал не в состоянии выдерживать
сколь угодно большие напряжения. Поэтому величины наибольших
напряжении из условия надежности работы детали должны быть
ограничены некоторыми допустимыми значениями. Эти значения на-
зываются допускаемыми напряжениями и обозначаются (о] или [т].
Если известны допускаемые напряжения и имеются формулы,
выражающие напряжения через усилия и моменты в сечении, то нрин
ципиально можно рассчитать на прочность (подобрав необходимые
размеры, при которых напряжение не будет превышать допускаемые)
любую деталь.
На практике встречаются три случая расчета на прочность:
1. По известным нагрузкам требуется для выбранного материала
найти необходимые размеры поперечного сечения детали, обеспечиваю-
щие ее надежную работу (проектировочный расчет).
2. Известны материал и размеры детали. Требуется выяснить,
может ли эта деталь выдержать заданную нагрузку (проверочный
расчет).
3. Известны материал, размеры детали и схема ее нагружения;
требуется найти допустимую величину нагрузки.
В основе всех этих расчетов лежит условие прочности
cmax^-lcl пли ттах 1ХЬ
выражающее тот факт, что наибольшие напряжения — нормальное
касательное или эквивалентное (см. гл. VI), действующие в опас-
ной точке, не должны превышать допускаемого напряжения.
Ана! м'пчно проводится и расчет на жесткость, только вместо
условия прочности используется yr toc.te жп,ыП'Ч’пи, ограничивающее
величину деформаций (или перемощений). Однако даже в том случае,
когда выполнен расчет па жесткость, всегда необходимо проводить
проверочный расчет па прочность и, сели он дает отрицательный
результат, следует принять размеры, полученные из расчета па
прочность.
115
Таблица 9
Опорные реакции, поперечные силы и изгибающие моменты в статически определимых балках
Схема нагружения балки, эпюры Q и М Опорные реакции Поперечная сила Q Изгибающий момент М Координата опасного сечения z0 и максимальный момент М JUmax
-чй- Z м- ч fczj В - ** 1 RB ;^ч Rn = 0 а мв = м0 0 -С z < 1 Q = Q 0<z<Z М = — М 0 —
— © 7?в = 0 мв = мг 4- м2 0 <Sz<Z <2=0 « _ + < У/ + V/ ° « 7 n n , II V/ । V У/’ N II О 7 о V + I « « II (L Ь 1 Мгазх — — {^1 + М2)
- «1Ш|
|
ld~ = хвшл ] = °2 2d ~ = /V 7 > z Э5 0 d — = й 7>z > о
jiu — = xbuijv I = °z ZU7 — = 7>z>0 7 > z > 0
— zw = XBra/v j °z q -j- v xViZ < ZVi II xvi — = хвшк q °z ® ZW < I СЧ о - « + £ V/ I \// ° e ; ” N II \ff 1 \? У * Il о 7 о V/ + « « II o = d 7>z>0
00
с> :сма нагружения ба лни. ап юры Q и М Опорные реакции
А 33; е'Ч, — ”•* /?в = 2р< г=1
и
= । г=1
bx = 1 —
/1 Я Jb
ZZ—L__ мо RB = ql
Продолжение табл 9
Поперечная сила Q Изгибающий момент М Координата опасного сечения г0 и максимальный момент ^тах
ai Z ai 2 “0 —
i ? т»
<2=-£ Р} М = —2 pj (z-~aj) "т.х = -2 Р‘Ь‘
/=1 ’ 1-1
0 z «с z 0 < z < 1 z0 = 1
Q^=~(/z QZ2 М~ 2 ня max 2
6Т1
КЗ
о
Схема нагружения
балки, эпюры
Q и М
Опорные
реакции
Поперечная
сила Q
I
П родолжение тпбл 9
, й 1 о т a S. О з« L /л /Л л /л о /л /Л ? А о /А У 1^1 R 1 '" а м„ ° й-. со| a cci *-*. ьо ft I М ft ^0.1 Координата опасного сечения z0 и максимальный момент Afmax z0 = I пт Яа (> 2 •^max ~ 2 \ 3 z0 = Z М =-9a(i^± 7Wmax 2 \ 3
121
Продолжение табл. 9
Изгибающий момент М Координата опасного сеченин z,_, и максимальный момент М1Пах
0 z 1 zn = 1
М = — —— 12/2 ил max jo
<) z <С / z0 = /
М = — — — -) 3 V3 4/4/ м max 4
4qz(l-z]
Чг p
j M8
0 z -"С I /z2 2 z3\ ~ ~3PJ 0 <C 2 <> I м = -&2-<--] 3 \ 1л ly z0 = I ^max ~ з*
O^z I Q = ~~ O^.z^l M = ^(l-z) z0 = 0 ^max ~ <’
0 < z <c i Q M,-M2 - 1 O^z^l лл .. Ml — M, M = M i — —— z 4 1 мг>м2 Zo = 0; ‘^Юах ~ II M!<ZM2 z° ~ I’ ^max ~
го
Схема нагружения
балки, эпюры
Q и М
Опорные
реакции
^А~ RB~
Mi + м2
I
В — R
НА~- КВ ~ i
Продолжение табл. 9
Поперечная сила Q Изгибающий момент М Координата опасного сечения е„ и максимальный момент Wmav
0 < z < 1 „ М, + ^2 V 1 0^z<l ПЛ ЛГ М1 ~f~ Mt, М = Мг — z с 1—1 н Н-Ч ”. " Il 5? -sa "л ! л v К !> S Н - to**
0<z</ 9 = --° о z а " = -Т2 а z 1 M = ^(l-z) т Z 1 а<^ z0 = а, Мшах = .. 1 — а =М0 —j— 11 а'> 2() = я; ^тах ~ '^о ~i
Ra^Rb^
_ Aft ~Ь M2
I
0<z<i
0 z a
м?
0 <4 z <1 а а <4 z'<4 а 4* Ь м = -^±^2 + Л11 а 4- Ь <4 z <4 1 m==¥l+...m^{i_z} ^max — наибольшее абсолютное значение момента в сечениях С п D
0 <4 z < ° Zq = а
М ^Р^- М =Р- - max i
а <4 z <4 Z
М == р ± (1 — Z) L
II родолжепке 'г<а'>л, 9
Поперечная сила Q Изгибающий момент М Координата опасного сечения z, я максимаTbf-.vn момент
> <; z - С а t) 2 <С <1 a / — а
Q = Р М = Pz М /Р шах
я С - < 1 а а z 1 — i
Ц — 0 М = P'l
1 — а < z < 1 1 — а -< z 1
О = — Р М = Р (1~
1
1 < - 1 0 < z < 1
q= ';- \ — 0 "=’4!(т-Я 4 \ Z 1 , । 1 i i 1 ^max ~
127
Продолжение табл. 9
Изгибающий момент М Координата опасного сечения z0 и максимальный момент Mmax
0 z < а I R > >0
М = о1а2( — \ а в__ Qia so ~ a R <7i
Z а а z . а2 М = 91 — а Ч~ Ь Z2 \ 2а2/ 2 4- Ъ - — Rz м max 2 II R< / R V a \ '<71/ <0 R
z^l z0 = c- -1 ' <?2
М = q2c (Z 4^ — z) X i — z^ M max 2 / , R V - c4- \ <72 /
2<? / l
I Z0 , r- /3 = 0,57742
.. У12 / М = V- - b \ z гЛ T~ p] '^max = ql2 у/з =
= 0,0642<//2
1186
Схема нагружении банки, эпюры 0 п М Опорные i еакиш;
р ____ Ч U + С)
--------ь
в ь
11 родолжение табл 9
Поперечная сила Q Изгибающий момент М Координата опасного сечении гп !; ЧИП < И I НЫИ \|Оч‘Н1
! • < z <С о 0 = да(:>_2-а-- 6 V / > \ a z <7 1 V 31 0 z <Г а V = 9--2 [(з —2 -Л 2 - Н |_\ 1 ] а Z3 1 а* ] а <7 z <; 1 । ! !! ccl го || ~-(а — ["§ 1 1
о <С 2 я Q — да Р с 6 \ а '’ z2 а2 / а z / q = 9е р Ч- « б [ с ., (/ — z)2l " & J 0 z «С а M = ^{L+1^£\ (> \ а а2 / а < 2 1 м =qc^1 ~z) [1 + а — 6 [с (/ ~ 2)2] Г’2 1 II * II ~ + = у- =~ + , 1 . ~ “-в ' а if » 11 _ | -7 ~ я .2.
I
СП
0 z о-
M = Ra • z —
_<h& L _ Л
6 \ a /
a i I
M — RB (I — z)—~
q% (I — z}2 !I — zA
6 V b j
I «><!____
2Ra
z0 = a —
Qi
M = M 4-
JJmax “
II fi<0
z0 = a
^max ~
'M
Qi
* Q\O-1
M = \---------Ra =
b
q ,b"
О z I
ql* I z z4
M = ——----------
12 V I Z4
z0 = 0,63/
Minax = 0,0394g/2
co
Схема нагружения бачки, ниоры О и V Опорные реакции Поперечная сила 0
IIродо гжрние та<'л. 9
Изгпбающпи момент А/ Коорчппата опасного сечения и манепмч чьный момент A/i;)f)K
О < з < / м = ^(4-2т; + С‘Л + 7-7 / -о —• "7 "ra„=4’i!
0<£<Z / Д.17 2° ~ 2 “ 7f
о/2 ( z z2\ M — 2 \ l ГЧ M = j- nia\ у
— ДД/ -i — Л/, (ДЛ7)2 JZo -L Mt 1 2ql2 2
(2 —— = JV
0 + ?>2>7 V + ? >
vj — = хвшя ^d- = if
/ — °z I > z >0 I > z >
IV — = /V о — d
»+/>!>? V 4- 1 > 2
w — = xpuliv 7 w - = iv /_ _
v + I > °z > i (>2^0 1 > z 5s
к и !/
I
Схема нагружения балки, эпюры Q и М Опорные реакции Поперечная сила Q
I z I + a
Q = q (I + a — z)
& Jm qai R-^2l 0 <с 2 <; 1 Q = -^- V 21
к 2 2‘ 1 qa2 I. л»=4-(1 + 1 \
'/ , | g 1 ___ж@ I <: z < l 4- а Q^qtt^a—z
21 + 2-
(м' к? Я /
i
I
Продолжение табл. 9
Изгибающий момент М Координата опасного сечения z0 и максимальный момент Afmax
0 z Д 1 M=q4 Г(1 -4)-- 2 IV /2 ) 1 — —1 ~ /2 J 1 Д z Д 1 + а. М = — ~q (1 + а — z)2 I /<а(1 + /2) z0 = / Л/Г '7я’2 м = — -— Шшах 2 II Z>a(l+/2) _ 1 L а2\ Z° ~ ~2 U " 1^) м -оа2-^2 max 8Z2
II Л II ° А /А А 1 N + 7“ Н"» А гс а + 1 * | » Д N bJ z0 = I .. qa2 M — —• max 2
V -]- I > °2 V ч Ом 1 II И СЗ а I />2]/2а -1^ + ч II t? W eq « н* Zq — al z0 == л I I и H C3 a
У С ХЕШ l]7jb Л u II Z<2/2a
O)
X ьэ
<3 1 см « см 1
И Pz + / Ра 1 + 2а 94 । « | + 741 - N + « CM
V/ । л । v i V/ « + V +
ьэ v * - «*
о И « II \// О, V | у II 1— V/ ~|= N V/
’ + II e II -- + 1
< « II
СМ 1 CM tq
а. + J Ч N + + 1
V/ 1 в ? V V/ 1 хв, + *J |-~ v/ у
ЬЭ V/ II „ II ЬЭ V/ «4 CM N 4-
V/ 11 N v о V/ II м 1 V -
о V/ ~ о су V/ jcM
« + ч II + II
ч о « C*1
О,
II II
05 +
05 'О |см
II II
C5 ||
135
Продолжение табл 9
Поперечная сила Q Изгибающий момент М Координата опасного сечения г0 и максимальны» момент Мтах
0 z С л 0 z а I с>Ь
Q — —P М = — Pz z0 = 1
а -<С 2 1 а < 2 < 1 М ~ Р тах £
« |~О II О М = — Pall — V / II с<6
z() = a
^тах ~
„ (/-и2 Ra q lb 0 z
l,R — Я “•
u-<-)2l 2b J a z
Ws = + f(Z — c (’ = 4 26
+ (Ьг — a1) ~ J
о z
е=р-а
а z а +
Q = — P
I — d z
Q — P
a 0<г<а * (/ — c} 2
2b
z M = — ~ qzz ^ma\ _ ± [ 22 _ 2 [ 0
! a<z< / Ч-
2, 1 -(/- -X2 Z0 fll Ь J
1 2 | = —-|-q[z2 —
- (1 - C)2 -Ц=^] n J
a 0<Z-< « I c 2> b
d ,, „ bd M — P 2 Zo = = l — d
c ac '^max = — Pd
4- c a < z С I — d
II b 2> c
d c M = P ~ (a 4- b — z) z0 — a
< I I — d z I M max = Pd-
M = — P(l — z)
Таблица 10
нагибающий момент М, нормальная N и поперечная Q силы
11 консольном круговом стержне при нагружении в его плоскости
Схема /V Q м
дХ? 1 7м 7/J/4 - Р sin ср -f- -|- Т cos ср Р COS <р — — Г sin ср Мо PR sin <р — — 77? (1 — cos <р)
IP f /\Л zra V Р COS(а — — ?) + 4-Т sin (а — ~ ?) P sin (а — — ср) — — T cos(а — - т) Мо PR [cos (а — — ср) — COS а] — — TR [sin а — — sin (а — ср)]
i О. Sb qR (1—cos ср) qR sin ср qR2 (1 — cos ср)
\ J**? ^<1 ^ftX Ms __Д’ qR sin ср — qP (1 — — COS Ср) — qR2 (ср — sin <р)
fn*const у>\ ^хА * -4 0 0 mRy
138
Таблица И
Изгибающий Л/пз и крутящий Л/кр моменты в консольном
круговом стержне при нагружении, перпендикулярном
его плоскости
Г л a i а 4
МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛА
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
§ 25. Напряжения и деформации при растяжении и сжатии
Напряженное состояние осевого растяжения или сжатия харак-
терно гем, что и.", шести компонентов внутренних усилий только про-
дольная сила /V не равна нулю. Рассмотрим стержень, нагруженный
осевыми силами (рис. 61). Для произвольного сечения п—п статиче-
ская сторона тадачи выражается уравнением
/V — adF. (4.1)
F
Геометрическая сторона задачи определяется гипотезой плоских
сечений (гипотезой Бернулли), основанной на данных экспери-
мента- поперечные сечения стержня, плоские до деформации, оста-
ются плоскими после деформации, перемещаясь поступательно вдоль
оси стержня. Йз этого следует, что все волокна элемента длиной / уд-
линяются на одну и ту же величину А/ и их относительные удлинения
е одинаковы:
Д/
е = у = const. (4.2)
Физическая сторона рассматриваемой задачи определяется анкет-
ном Гука, выражающим линейную зависимость деформаций oj на-
пряжений
а
е = —- , или а = Ег, (4.3)
Е
где Е —• коэффициент пропорциональности, называемый модулем
упругости при растяжении или модулем Юйга. Е имен! размерное!i
из физических
напряжения (кГ/см2, чГ/ммг и т. д.) и является одной
констант материала (см. табл. 12). Учитывая, что Е — const, а согласно
(42), (4.3) и о = Ег- — const, и'з (4.1) находим
N
а =---.
F
(4.4)
140
При растяжении о положительно, при сжатии — отрицательно. Фор-
мула (4.4) справедлива для сечений, достаточно удаленных от мест
приложения сосредоточенных нагрузок. Вблизи приложения нагру-
зок имеет место более сложный закон распределения напряжений.
При определении напряжений при растяжении и сжатии, как
и при других видах деформаций, необходимо пользоваться вытекаю-
щим и т эксперимента положением, носящим название п р и н ц и п а
С е и - В е и а н а: если тело нагружается статически эквивалентной
системой сил, т, е. такими силами, у которых главный вектор и глав-
ный момент одинаковы, и при этом область приложения нагрузок
невелика по сравнению с размерами тела, то в сечениях, достаточно
удаленных от мест приложения сил, напряжения маю зависят от
способа нагружения.
Этот принцип можно проиллюстрировать примером приложения
эквивалентных нагрузок, приведенным на рис. 62. Один н тот же
стержень, закрепленный верхним концом, нагружается на свободном
конце статически эквивалентными нагрузками, равнодействующие
которых выражаются величиной вектора Р. Исследования показывают,
что напряжения в сечении, достаточно удаленном от места приложения
нагрузки, практически оказываются во всех трех случаях одинако-
выми.
Относительная деформация определяется через продольную силу
на основании (4.3) и (4Л) следующей формулой:
Л
“ ЕЕ
(4.5)
а полная деформация стержня длиной / для однородного материала
(Е = const) яри одинаковой по длине силе /V — формулой:
Д/= г1 =
1У1
ЕЕ
(4-6)
Формула (4.6) выражает закон Гука для абсолютных удлинений.
Произведение EF в знаменателе формулы называе!ся жесткостью
поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии) и имеет
ЕЕ
размерность силы, я величина с-.— —-—
называется жеста ,ипьк> стержня при рас-
тяжении (сжатии), ее размерность —
сила, деленная на длину.
В том случае, когда продольная сила
и поперечное сечение стержня по длине
не постоянны (рис. 63), полное удлинение
стержня определяется по формуле
рис. 63
(4.7)
Растяжение и сжатие сопровождаются также изменением попе-
речных размеров стержня (рис. 64, а, б). Абсолютные поперечные
деформации стержня определяются формулами
Да а{ — а',
&Ь — bL — ь.
Относительные поперечные деформации (при растяжении отрица-
тельные, а при сжатии положительные) определяются формулой
, Да _ Д6
£ ” а Ъ '
Между относительной поперечной и относительной продольной
деформациями при простом растяжении и сжатии в пределах примени-
мости закона Гука
постоянное отношение, абсолютная
величина которого называется
коэффициентом Ирассона и
обозначается буквой ц
существует
а
Рис. 64
а
да
5
(4.8)
Коэффициент Пуассона —
безразмерная величина и для
всех изотропных материалов
(см. табл. 12) лежит в пределах И—0,5 (для пробки близко к нулю;
для каучука близко к 0,5, для стали р « 0,3).
Учитывая, что е и в' всегда имеют противоположные знаки, по-
лучим
е' = — ре = — (i-^- .
(4.9)
При расчете стержней, работающих на растяжение или сжатие,
условие прочности следует записывать для опасного сечения, которое
характеризуется максимальным значением Лгшах на эпюре осевых сил
Лг
шах . . ,
атах 1а1'
(4.10)
где [oj —допускаемое напряжение на растяжение [о+| (при расчете
на растяжение) пли допускаемое напряжение на сжатие (о_| (при рас-
чете на сжатие).
По формуле (4.10) могут быть решены задачи трех типов- подбор
размеров поперечного сечения стержня; проверка прочности; опреде-
ление допускаемой нагрузки.
В некоторых случаях стержни рассчитываю! исходя из условия
жесткости
N (z)
ЕЕ (z)
dz< [AZ],
(4.11)
где А/ — изменение размеров детали; [Д/1 — допускаемая величи-
на изменения размеров.
Расчет из условия жесткости всегда должен быть дополнен расче-
том на прочность. Если окажется, что условие прочности не удовлет-
воряется, то размеры стержня должны быть взяты исходя из условия
прочности.
142
§ 26. Испытание материалов на растяжение и сжатие
Испытание на растяжение. Основным видом исследования меха-
нических свойств материалов является испытание на растяжение. Оно
проводится на специальных испытательных машинах, создающих по-
степенно возрастающую нагрузку на испытываемый образец и осуще
ствчяющих в процессе нагружения регистрацию величины действую-
щей на образец силы и его деформации.
Чаще всего применяют цилиндрические образцы (рис. 65, «),
а при испытании листового материала — плоские образцы (рис. 65, б).
Для цилиндрических образцов выдержи-
вают определенное соотношение между
расчетной длиной образца 10 и диаметром
образца <У(). Обычно == 10 <70 (длинный
образец), реже /0 = 5d0 (короткий образец).
Учитывая, что диаметр d0 связан
с площад! ю сечения образца форму-
лой
<'»= У
связь меж (у расчетной длиной /0 и пло-
щадью поперечного сечения образца Fo
можно выразить для длинного образца
зависимостью
Рис. 65
(4-12)
для короткого —
z0 = 5,65 О;.
В качестве основных образцов
применяют цилиндрические образцы
четной 1ЛИНОЙ Zo = 100 мм п \
Па диаграмме имеется ряд
ветствующих различным стадия
при испытании па растяжение
с диаметром d0 = 10 мм> Рас*
мм. Допускается применение
и других пропорциональных
образцов, в которых вы-
держаны соотношения разме-
ров в соответствии с фор-
мулой 04.12).
Диаграмма растяжения.
При испытании материала на
растяжение современные ма-
шины позволяют автоматиче-
ски получить записанный в
определенном масштабе график
зависимости деформации об-
разца от нагрузки, или так
называемую диаграмму растя-
жения. Типичный вид диаг-
раммы растяжения в коорди-
натах Р — А/ для малоугле-
родистой стали приведен на
рис. 66.
характерных участков и точек, соот-
и деформирования образца.
143
Точка А характеризует наибольшую (предельную) нагрузку Рпц,
до которой соблюдается линейная зависимость между нагрузкой и
удлинением образца; точка Н соответствует наибольшей нагрузке Руп,
при которой образец сохраняет упругие свойства, т. е. при разгрузке
еще не наблюдается остаточная деформация точка С соответствует
нагрузке Лг, при которой образец деформируется без возрастания
нагрузки, или, как говорят, материал начинает «течь», образуя на
диаграмме так называемую площадку текучести CD.
г- — —------у После стадии текучести материал снова прпобре-
I 2^ е тает способность увеличивать сопротивление даль-
1----- ------- пешней деформации. Точка Е соответствует мак-
симальной (предельной) нагрузке Ртах, после ко-
Рис. 67 торой начинается местное сужение образца в виде
шейки (рис. 67), в результате чего происходит па-
дение нагрузки. Точка F соответствует нагрузке Р , при кото-
рой образец разрушается.
Пользуясь указанными характерными нагрузками, взятыми из
диаграммы растяжения, и зная площадь сечения испытуемого образца
Fu, определяют основные характеристики прочности материала:
°ии ~ — предел пропорционалъности}
г о
''ул
оуп ~ —-----предел упругости,;
о,
— предел текучести;
Р
шах
°в — —р—
предел прочности, или временное сопротивление;
°к
— напряжение с момент разрыва.
Поскольку при растяжении сечение образца непрерывно меняется,
особенно в период нагружения, характеризуемый участком диаграммы
DEF, значения ов и ок имеют достаточно условный характер. Осо-
бенно условным является напряжение ок, так как начиная с нагрузки
Ртах происходит образование шейки и в момент разрыва сечение образ-
ца в шейке FUJ оказывается существенно меньше начальной площади
сечения образца Fo.
Для материалов, диаграмма растяжения которых не имеет резко
выраженной площадки текучести, предел текучести условно опреде-
ляют как напряжение, при котором остаточная деформация состав-
ляет величину, установленную ГОСТом или техническими условиями.
По ГОСТу 1497 — 61 эта величина остаточной деформации составляет
0,2% измеренной длины образца а условный предел текучести от
обозначается о0 2.
Учитывая, что практически трудно установить начало отклонения
от закона пропорциональности и начало появления первых остаточных
деформаций, вводят также понятие условного предела пропорциональ-
ности п условного предела упругости.
144
Под условным пределом пропорциональности понимают наимень-
шее напряжение, при котором отклонение от линейной зависимости
между напряжением и деформацией достигает некоторой заданной
величины (порядка 0,002%).
Под условным пределом упругости понимают наименьшее напря
желне, при котором остаточная деформация достигает заданной вели-
чины (обычно 0,001% — 0,05%). Условный предел упругости отме-
чается индексом, соответствующим заданной величине остаточной
деформации, например о0>001 и о0 05.
При испытании образцов на растяжение определяют также харак-
теристики пластичности, к которым относится относительное удли-
нение
5 = 100> 0/о
‘о
и относительное сужение
ф = 100, %,
где
4Fn = F0-Fnlfn.
Кроме указанных выше
характеристик механических
свойств материала (прочности и
пластичности), данные о которых
для различных материалов при-'
ведены в Приложении 1, опре-
деляются еще энергетические ха- „
рактеристнки материала. Оказы- 1 nc’
вается, что диаграмма растя-
жения дает информацию и об этих его свойствах. Так, ее площадь
характеризует работу, затраченную на растяжение образца. Ра-
бота. затраченная на растяжение образца до деформации Zi (рис. 68).
равна
X, X,
At = J (Р 4- dP) dl « J Pd\,
о 6
что соответствует площади OABCDMN диаграммы, а работа, затра
ченпая па разрыв образца, определяется площадью всей диаграммы
OABCDEFG.
В пределах упругости работа деформации выражается площадью
заштрихованного треугольника (рис. 69, а) и при удлинении образца
Ы и соответствующей ему силе Р равна
. РЫ
^уп ~ 2 ’
а удельная работа деформации равна
А уп Р &l as
а — —-— —---------= ——
V 2Folo 2
145
и выражается площадью заштрихованного треугольника диаграммы
в координатах о—8 (рис. 69, б).
Диаграмма напряжений. Поскольку диаграмма растяжения ха-
рактеризует не только свойства металла, но и размеры образца, то ее
принято перестраивать в относительных координатах о—8. Такая
диаграмма, построенная на основании диа< раммы растяжения (рис. 66)
и называемая диаграммой напряжений, представлена на рис. 70.
На згой диаграмме точки О, а, Ь, с, d, е f соответствуют точкам О, А,
В, С, D, Е, F первичной диаграммы рост ч w- нця (рис. 66).
Из диаграммы напряжений
(рис. 70) видно, что
. 0 т?
= 7 =
т. е. модуль упругости при растяжении численно равен тангенсу угла
наклона прямолинейного участка диаграммы напряжений к оси
абсцисс. В этом — геометрический смысл модуля упругости при
растяжении.
Заметим, что нисходящий участок ef диаграммы напряжений
(рис. 70) носи г условный характер из-за значительного различия
между сечением шейки и первоначальной площадью сечения образца
В 0,002 £
Рис. 72
Fo, на которую делят соответствующие усилия, взятые из диаграммы
растяжений для получения ординат диаграммы напряжений на
участке е/.
Примерный вид диаграммы напряжений для различных материа-
лов приведен на рис. 71. Кривые 1, 2t 3, 4 соответственно характерн-
ее
зуют механические свойства бронзы (ов = 2470 кГ/см2\ 6 = 36%)'.
углеродистой стали (ов = 3580 кГ/см-, б = 38%); никелевой стали
(<т8 = 7150 кГ/с.м*, б — 54%); марганцовистой стали (ов = 9160 кГ/см2\
б = 30%).
Диаграмма напряжения для чугуна, являющаяся типичной для
хрупкого материала, приведена на рис. 72.
Если относигь усилия, действующие на образец в каждый момент
времени нагружения, к истинному значению поперечного сечения
в соответствующий момент времени, го мы получим дна.рамму истин
пых напряжении (рис. 70, пунктирная линия).
Рис 73
Рис. 74
Испытание на сжатие. Испытание материалов на сжатие произ
водится на специальных прессах или универсальных испытательных
машинах. Для испытания изготовляются образцы в виде цилиндров
небольшой высоты (обычно высота составляет от одного до трех диа
метров) или кубиков. При испытании на сжатие трение, возникающее
между сжимающими плитами испытательной машины и торцами об
разца, оказывает существенное влияние на результаты испытания
и характер разрушения испытуемого образца.
При сжатии цилиндрического образца из малоуглеродистой стали
последний принимает бочкообразную форму (рис. 73). Диаграмма сжа-
тия, полученная дтя зто’о материала, приведена на рис. 74.
Рис. 76
б, к Г/см 2
3000'-
Рис. 77
На рис. 75, а покатан характер разрушения про сжатии образца
из камня при наличии сил трения между плитами машины и торцами
образца. При уменьшении сил трения путем нанесения на торцы слоя
парафина характер разрушения того же образца может быть проил.тю
стрирован рис. 75, б.
147
Вид разрушенного при сжатии чугунного образца показан па
рпс. 76, а соответствующая диаграмма сжатия — на рис. 77.
Диаграммы сжатия при испытании кубика древесины показаны
па рис. 78 (кривая 1 — при сжатии вдоль волокон, кривая 2 — при
сжатии поперек волокон).
§ 27. Концентрация напряжении
Концентрации напряжений. — местное повышение напряжений
в элементах конструкций, обусловленное резкими переходами в попе-
речных сечениях связанными с наличием отверстий, выкружек, кана-
вок, надрезов и т. п., называемых концентраторами, fl а рис. 79 пока
заны графики распределения напряжений в сечении растягиваемой
полосы, ослабленном круглым отверстием (рис. 79, а) и полукруглыми
выкружками (рис. 79, б).
Степень концентрации напряжений характеризуется так называе-
мым коэ/>[шццентом концентрации
С >
max
а —----
%
(4.13)
где огаах — максимальное напряжение в месте концентрации, ап —
номинальное напряжение, определяемое по формуле
где N — нормальная сила в ослабленном сечении, /'min— площадь
тслаблепного сечения, называемая площадью нетто.
Иногда номинальное напряжение определяют но формуле
И-15)
1 бр
где Fc — площадь сплошного сечения (без учета ослабления ее нали-
чием концентратора), или площадь брутто.
При концентраторах, занимающих незначительную часть сечения
148
(например, при малых отверстиях), номинальные напряжения, опре-
деляемые по формулам (4.14) и (4.15), практически будут одинаковыми
При определении максимальных напряже-
нии в зоне концентратора расчетным путем
ко.»{)фициенг концентрации, вычисленный по
(4.13), называется тео решит ским коэффици-
ентом концентрации. Например, в случае ма-
лого круглого отверстия (рис. 79, а) а = 3, а
в случае полукруглых вырезов (рис. 79, б) a ss
«2. В действителен >сти коэффициент концен-
трации реальных элементов конструкций, эф<ф</.
тивный коэффициент концентрации к, опреде-
ляемый экспериментально, оказывается мень
те георешческого (а >• k}. Обычно расчеты на
прочность с учетом концентрации напряжений
проводят на основании знаний величин теорети-
ч(сьих коэффициентов концентрации, значения
коюрых для случая растяжения круглых
стержней с различной формой концентраторов
приведены на рис. 80 и ниже.
Рис. 81
Вид концентра гори напряжений а
Полукруглая выточка при отношении к диаметэу стержня Галтель при отношении радиуса галтели стержня Переход под прямым углом Острая V-обралная выточка Нарезка дюймовая Нарезка меiрическая Отверстие, при отношении диаметра к диаметру стержня от 0,1 до 0,3.3 Риски от резца на поверхности изделия ее радиуса к диаметру отверстия 0,1 0,5 1,0 2.0 0,0625 0,125 0,‘>5 0,5 1,2- 2,0 1,6 1,2 1,1 1,75 1,59 1,20 1,10 2,0 3,0 2,0 2,5 2,о -1,4
Волее полные данные о коэффициентах концентрации приведены
в Приложен пи 2.
Высокая концентрация напряжений особенно опасна для элемен-
тов конструкций, изготовленных из хрупких материалов, так как
при достижении в зоне концентрации напряжений, равных пределу
прочности материала, последний начнет разрушаться. В случае плас-
тичного материала концентрация напряжений менее опасна, пос-
кольку при достижении в воне концентратора напряжения, равного
пределу текучести от, произойдет перераспределение напряжений
но схеме, показанной пунктирными линиями на рис. 81.
§ 28. Допускаемые напряжения
Определив механические свойства материала путем проведения
соответствующих испытаний образцов, можно найти, какие напряже-
ния являются безопасными для работы конструкция, т. е. установить
149
допускаемые напряжения. Очевидно, допускаемое напряжение должно
бить меньше опасного для данного материала напряжения, составляя
некоторую его часть. Примем
(4.16)
где fa)—допускаемое напряжение; а0— опасгое напряжение; п —
коэффициент запаса прочпоспги
Для деталей, изготовленных из пластичных материалов, опасным
напряжением следует считать предел текучести а0 = ст, ИЗ хрупких—
временное сопротивление a(1 = ав.
Выбор коэффициента запаса прочности п, показывающего во
сколько раз допускаемое напряжение меньше опасного, зависит от
состояния материала (хрупкое, пластичное), характера приложения
нагрузки (статическая, динамическая, повторно-переменная), а также
01 таких общих факторов, как неоднородность материала, неточность
в задании внешних нагрузок, приближенность расчетных схем и фор-
мул и т. п.
Величина запаса прочности зависит также от того, какое напряже-
ние мы считаем опасным (а или ав).
Для пластичных материалов при статической нагрузке, когда
«о = %; п - пТ,
запас прочности принимают равным
ит = 1,4 4-1,6.
При статических нагрузках в случае хрупких материалов,
когда с0 = %; п ~
запас прочности принимают равным
Пп = 2,5 4-3,0.
Иногда и для пластичных материалов допускаемые напряжения опре-
деляют но временному сопротивлению, величину которого практи-
чески определить проще. Тогда
Учитывая, что ст — (0,5 -4 0,7) св; пв — 2,4 4- 2,6.
Иногда допускаемые напряжения на растяжение обозначаются
[c+j, а на сжатие —|с_| Хрупкие материалы сопротивляются сжа-
тию лучше, чем растя/кеиию, и для них |с + |<[с_].
При статических нагрузках в случае однородных хрупких мате-
риалов следует учтывагь концепт рацию напряжений и расчет вести
по наибольшим местным напряжениям
a = aa I al.
шах н 11
Ориентировочные значения допускаемых напряжений при статических
нагрузках для различных материалов приведены в табл. 13.
150
Таблица 12
Модули упругости и коэффициенты Пуассона
Наименование материала Моду 41 упру гости Е • 10—6. КГ/' AI2 Моду и, упругости G 10- 6. h/'Д м2 Коэффициент Пуассона в
Чугун серый белый 1,15 —1,6и 4,5 0,23—0,27
Ковкий чугун 1,55 — —
Углеродист ые стали 2,0—2,1 8,0—8,1 0,24—0,28
Легированные стали 2,1—2,2 8,0—8,1 0,25—0,30
Медь прокатанная 1,1 4,0 0,31—0,34
Медь холоднотянутая 1,3 4,9 —
Медь, литье Фосфористая бронза ка- 0,84 —
таная 1,15 4,2 0,32—0,35
Латунь холоднотянутая Корабельная латунь ката 0,91—0,00 3,5—3,7 0,32—0,42
ная Марганцовистая бронза 1,0 0,36
катаная 1,1 4,0 0,35
Алюминий катаный Алюминиевая проволока 0,69 2,6—2,7 0,32—0,36
тян\ тая Алюминиевая бронза, ли- 0,7 — —•
тье 1,05 4.2
Дюралюминий катаный 0.71 2,7
Цинк катаный 0,84 3,2 0,27
Свинец 0,17 0,70 0,42
Л ед 0,1 0,28—0,3 —
Стекло 0,56 2,2 0,25
Гранит 0,49 — —
Известняк 0,42 — —
Мрамор 0,56 —
Песчаник Кладка 0,18 — —
из гранита 0,09—0,1
из известняка 0.06 —
из кирпича Бетон при пределе проч- 0,027—0,030 — —
ности — — 0,16—0,18
100 кГ/см'1 0,146—0,196 —
150 кГ/см? 6,164—0,214
200 «Г/cw2 0,182—0,232 —
Дерево вдоль волокон 0,1 _о,12 0,055
Дерево поперек волоков (',005—0,01 — —
Каучук 0,00608 0,47
Текстолит 0,06—0,1
Гетинакс 0,1—0,17 —
Бакелит 0,02 —0,03 0,36
Висхомлит (ИМ-44) 0,040—0,042 0,37
Целлулоид 0,014—0,028 — 0,33—0.38
151
Т а б jj и ц а 13
Ориентировочные величины основных допускаемых напряжений
на растяжение и сжатие
Пашино ванне ма сериала Допускаемые напряжения, кГ/^мг
и*» тнжен.л- на сжатие
Чугун серый н отливках д80—800 1200—1500
Сталь ОС и Ст. 2 1400 1400
Сталь Ст. 3 1600 1600
Сталь Ст. 3 (в мостах) Сталь углеродистая конструкцией- 1400 1400
пая (в машиностроении) 600—2500 600—2500
Сталь легированная конструкцнов-
пая (в машиностроении) 1000—4000 1000—4000
и выше и выше
Медь 300—1200 300—1200
Латунь 700—1400 700—1400
Брон <а 600—1200 600—1200
Алюминий 300— 800 300— 800
Алюминиевая бронза 800—1200 800—1200
Дюралюминий 800-1500 800—1500
Т екстолит 300— 400 .’>00-400
Гетинакс 500— 700 500—700
Бякелизированная фанера 400— 500 400—500
Сосна вдоль волокон 70—100 100—120
Сосна поперек волокон 15—20
Дуб вдсль волокон 90—1’0 130—150
Дуб поперек волокон — 20—35
Каменная кладка до 3 4—40
Кирпичная кладка до 2 6—25
Бе гоп 1—7 10—90
Глава 5
НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 29. Напряжения в точке.
Главные площадка и главные напряжения
Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела,
появляющегося при нагружении его внешними силами. Дейслвию
внешних сил, стремящихся изменить расположение частиц тела или
вызвать их смещение, препятствуют возникающие при этом в (елт
напряжения.-Они ограничивают это смещение некоторой малой вели-
чиной. В одной и той же точке напряжения в разных направлениях
как правило, будут различными и только в отдельных случаях натру
женпя они могут быть одинаковыми.
Рассматривая напряжение в точке А нагруженного тела, отнесен
пои к малым площадкам (рис. 82), принадлежащим двум разным сто-
ронам сечения 1 — 1, проведенного через эту точку, легко убедиться,
что если иод действием внешних нагрузок площадки стремятся отойти
одна от другой или сблизиться, то между ними возникают соответ-
ственно рас।ягивающие пли сжимающие нормальные напряжения о
если площадки стремятся сдвинуться одна относительно другой, ть
в них возникают касательные нап ряжения т; если же одна площадка
стремится отойти от другой, оставаясь ей параллельной в каком
нибудь произвольном направлении, то в такой площадке одновре-
менно возникают и нормальные о и касательные т напряжения, а их
Р'нультирующей является полное напряжение р, вектор которого
совпадает с этим направлением. Перемещение площадок в этом случае
мо кет быть геометрически разложено на два перемещения, взаимное
удаление и сдвиг.
В общем случае, выделим в окрестности рассматриваемой ь
нагруженном теле точки элементарный обьем материала в вид
бесконечно малого параллелепипеда (рис. 83). Па его гранях влиянш
удаленной части тела должно быть заменено соответствующими
Рис. 83
Ч
напряжениями пли их составляющими (нормальными и касательными
напряжениями), как показано на рисунке.
При изменении ориентации граней выделенного элементарного
133
параллелепипеда напряжения на его гранях также будут изменяться.
Всегда можно найти такую ориентацию элемента, при которой в его
гранях касательные составляющие напряжений будут отсутствовать.
Те площадки, по которым не действуют касательные напряжения,
называются главными площадками. а нормальные напряжения на этих
площадках — главными напряжениями. Можно доказать, что в каж-
дой точке любым образом нагруженного тела всегда имеется по крайней
мере три главные взаимно перпендикулярные площадки, т. е. пло-
щадки, в которых отсутствуют касательные напряжения. Направле-
ния, параллельные главным напряжениям, называются главными
направлениями напряженного состояния в данной точке. Главные
напряжения принято обозначать ог, о2, оч, при этом полагают, что
между указанными напряжениями существует следующее соотношение
(понимая его в алгебраическом смысле).
а
а2 а3-
Напряженное состояние, в котором только одно из главных напря-
жений (любое из трех) не равно нулю а два других равны нулю, назы-
вается одноосным или линейным (рис. 84, а). Если два главных напря-
жения отличны от нуля, а одно равно нулю, то такое напряженное
состояние называется двухосным или плоским (рис. 84.6). Случай на-
пряженного состояния, при котором все три главные напряжения от-
личны от нуля, называется трехосным или объемным (рис. 84, в),
Кроме того, различают однородное напряженное состояние тела,
при котором в каждой точке какого-либо сечения и всех параллельных
ему сечений напряжения одинаковы, и неоднородное напряженное
состояние, при котором в разных точках любого сечения рассматри-
ваемого тела или других параллельных ему сечений напряжтния
различны.
§ 30. Линейное напряженное состояние
С линейным напряженным состоянием мы встречаемся, главным
образом, в стержнях, испытывающих растяжение пли сжатие, хотя
некоторые элементы испытывают линейное напряжение и в стержнях,
подвергающихся изгибу или сложному нагружению.
При растяжении стержня (рис. 85, а) нормальное напряжение
в площадке F определяется формулой
N Р
°~ F “ F *
154
Касательные напряжения в этой площадке равны пулю. В любой
площадке Fa (рис. 85, б), внешняя нормаль к которой па образует
с направлением а угол а, полное напряжение ра равно
Л’ N
ра — ~р— = —р~ cos а ~ а cos а.
Нормальные и касательные напряжения в площадке Fa будут
аа — ра cos а — о cos2 а ; (5.1)
та = Ра s,t) а = у sin 2а. (5.2)
Нормальные напряжения аа поло-
жительны, если они растягивающие;
касательные напряжения та положи-
тельны, если они стремятся повернуть
рассматриваемую часть элемента отно-
сительно любой точки, взятой внутри
ее, по часовой стрелке (аа н та па
рис. 85, б положительны).
Согласно формулам (5.1) и (5.2)
рис. 85, a) = 0; са = с, а при а
при а = 0 (площадка I на
(площадка II) та = аа = ().
2
Следовательно, площадки I и II являются главными; главные
напряжения будут
а, = а; а2 == а3 = 0.
При сжатии gj = а2 = 0; а3 = — а.
Касательные напряжения согласно (5.2) достигают своей наи-
большей величины при а = ф 45° и равны
а
та max = ~2 '
На основании (5.1) и (5.2) легко убедиться, что нормальные
и касательные напряжения в площадке F*, перпендикулярной
к площадке Fa, т. е. в площадке, внешняя нормаль к которой обра-
зует угол р — а ф- 90° с направлением напряжения а, будут
ар = а COS2 Р = а cos2 (а ф 90°) = а sin2 а; (5.3)
о „ а а
Тр = -у sin 2р = sin 2 (а 4- 90°) —--------------sin 2а. (5.4)
§ 31. Плоское напряженное состояние
При плоском напряженном состоянии, когда па элемент по его
двум взаимно перпендикулярным граням действуют напряжения
ai и 02 (рис. 86), нормальные и касательные напряжения, действую-
щие на площадке (а), внешняя нормаль к которой па образует с на-
155
правлением напряжения Oj
формулам
угол а, определяются соответственно по
°а ~ ci C0S‘1 J + а2 s'n' “J
(5.5)
а, — а , . „
-Л--^—" Sin 2а.
(5.6)
Из этих форм\л могут быть получены выражения для определе-
ния нормальных п касательных напряжений в площадке (р), перпен-
дикулярной к площадке (а), т. е. в пло-
щадке, внешняя нормаль к которой обра-
зует угол |з = — (90° — а) с направлением
а; — cq sin2 а -ф- а2 cos2 а;
(5.7)
т3 = — -——sin 2а. (5.8)
Складывая левые и правые части
уравнений (5.5) и (5.7), находим:
а.; 4-с-5 •= а, 4-а2 (5.9)
т. е. сумма нормальных напряжений,
действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам, инва-
риантна но отношению к наклону этих площадок и равна сумме
главных напряжений,
Пз (5.6) и (5.8) следует, что как и при одшюсном напряженном
состоянии, касательные напряжения достигают наибольшей величины
при а — +45°, т. е. по площадкам, наклоненным под углом 45е к глав-
ным площадкам, и равны
т
а
а1 — с2
хшах ~ 2 ’
(5.10)
Сравнивая (5.6) и (5.8), находим, что
t3 = -V (5 11)
Эго равенство выражает закон парности касательных напряжений,
который может быть сформулирован так. если по какой-либо площадке
имеется некоторое касательное напряжение, то по перпендикулярной
к ней площадке непременно будет действовать касательное напряже-
ние, равное по величине и обратное по знаку.
Экстремальными значениями для нормальных напряжений явля-
ются величины главных напряжений.
Па всех наклонных площадках нормальные напряжения имеют
промежуточные между Oj и о2 значения.
Одно и то же напряженное состояние элемента может быть пред-
ставлено главными напряжениями cjj и а2 (элемент ABCD, рис. 86
и 87, а) или напряжениями в наклонных площадках аа, та. а3,
(элементы abed на рис. 86 и 87, б).
В теории напряженного состояния различают две основные за-
дачи.
Прямая задача. По известным в точке главным площадкам
и действующим в них главным напряжениям требуется определить
156
нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным
под заданным углом к главным площадкам, т. е. по напряжениям,
действующим на гранях элемента A13CD (рис. 88), определить напря-
жения в гранях элемента abed.
Обратная задача. По известным нормальным и касатель-
ным напряжениям, действующим в двух взаимно перпендикулярных
площадках, проходящих через данную точку, требуется найти глав-
ные направления и главные напряжения. Иначе говоря, дан элемент
Рис. 88
Рис. 87
abed (рис. 88) с действующими но его Iраням нормальным и касатель-
ным напряжениями; требуется определить положение элемента ABCD,
т. е. угол а(), и найти главные напряжения.
Обе задачи могут решаться как аналитически, так и графически.
§ 32. Прямая задача при плоском напряженном состоянии.
Круг напряжении
Аналитическое решение прямой задачи дается формулами (5.5) —
(5.8).
Графически са, а3, можно определить по известным глав-
Рис. 89
пым напряжениям и с2 (рис. 89, а) с помощью так называемого
круга напряжений (круга Мора), построенного в координатах а, т
157
на отрезке АВ как па диаметре, равном разности главных напря-
жений Gj — с2 (рис. 89,6). Действительно, проведя от центра круга
напряжений (точки С) луч CD под углом 2а до пересечения
с окружностью, мы почучим точку £>а, координаты которой будут
характеризовать соответственно напряжения аа и та:
ОК -- ОС + CD cos 2а -- -—'—^2 -——— cos 2а —
а । а 2 2
= Oj cos2 а + а2 sin2 а — аа;
AiaZ>a = CDas\n 2а = sin 2а = та.
Легко показать, что точка /Л характеризует напряжения
ар, тр в площадке (^), перпендикулярной к площадке а,
--- — — а. -I— q . а. —- а п „
ОК. ОС — СК. = °2 - —2 cos 2а =
3 >3 2 2
— aj sin2 а с2 cos2 а — а?;
1ГЖ = — Т = То.
с Р а Р
Точки Da и Z?p, характеризующие напряжения на двух взаимно
перпендикулярных площадках (а) и (,3), всегда лежат на концах од-
ного диаметра.
Построенный круг Мора полностью описывает напряженное со-
стояние элемента, изображенного па рис. 89, а. Если менять угол a
я пределах от —90° до -J-90 ’, то наклонные площадки (а) и (3) займут
последовательно все возможные положения, а точки Da и ZL. опишут
полный круг. В частности, при a = О, когда грани ef и ет станут
главными площадками и по ним будут действовать те же напряжения,
«гго и в гранях элемента abed, точка Da совпадет с точкой А, а точка
Dp — с точкой В.
Для определения положения полюса па круге напряжений, как
я в случае круга инерции, проведем из точки Da линию, параллельную
<та (в нашем примере горизонталь, рис. 89, 6), до пересечения с окруж-
ностью. Искомый полюс — точка М. Полюс М можно было бы найти,
проведя из точки Dp линию, параллельную напряжению Ор, т. е.
проведя вертикаль. Можно доказать, что линия, соединяющая полюс М
с любой точкой круга, параллельна направлению нормального напряже-
ния на площадке, которой эта точка соответствует. Так, например,
линия МА параллельна главному напряжению (Т1? а линия МВ парал-
лельна главному напряжению о2-
§ 33. Обратная задача при плоском напряженном состоянии
При практических расчетах часто приходится решать обратную
задачу — определять а! и а2 по известным ая, -га, а-3, (рис. 90, а).
Пусть аа >> ар. та >• 0. Очевидно, круг напряжений в координатах
<д, т (рис. 90, б) мы легко построим, зная положение двух диаметрально
Я58
противоположных точек круга Da и координатами которых явля-
ются соответственно аа. та и а^, т^. При этом абсциссы точек пересе-
чения круга с осью а — О А и ОВ — дадут соответствующие величины
главных напряжений а] и а,.
Для определения положения главных площадок найдем полюс
и воспользуемся его свойством. С этой целью из точки Da проведем
линию, параллельную липин действия аа, т. е. горизонталь. Точка М
пересечения этой линии с окружностью и будет полюсом. Соединив
Рис. 90
точку М с точками А и 19, получим направления главных напряже-
ний О] и а2. Положение главных площадок, очевидно, будет перпен-
дикулярно к направлениям главных напряжений. На рис. 90, а вну-
три исходного элемента выделен элемент, ограниченный главными
площадками, на гранях которых показаны главные напряжения Од
и а2. Из рассмотрения круга напряжений можно получить аналитиче-
ские выражения главных напряжений а( и а2 через аа, та, а^,
°1 = у [аа + °? + К(ая — cj2 + ^2] ;
а2 = V [% + — V (’а — %)2 -Г4та] •
Из рис. 90, б следует также, что
~М К. МКъ т
tg а =-- 1 —------zzz— —--------.
АК? OA—UK? °i—
(5.12)
(5.13)
Эта формула и определяет единственное значение угла а0, на
который нужно повернуть нормаль па, чтобы получить направление
алгебраически ббльшего главного напряжения. Заметим, что отри-
цательному значению а соответствуют углы, отложенные по часовой
стрелке, и что если одно из главных напряжений, вычисленное по
формулам (5.12), окажется отрицательным, то напряжения следует
обозначать не с, и а2, а и а3; если же оба главные напряжения
окажутся отрицательными, то они должны быть обозначены о2 и о3.
159
§ 34. Объемное напряженное состояние
Объемное, или трехосное, напряженное состояние в сопротивле-
нии материалов рассматривается редко. Поэтому мы здесь укажем
лишь на некоторые основные моменты теории объемного напряжен-
ного состояния.
Рассмотрим случай объемного напряженного состояния (рис. 91),
когда но граням выбранного кубика действуют все три главных на-
пряжения
а1 > ¥=
Рис. 91 Рнс. 92
Очевидно, в площадке /. параллельной а(, нормальные и касательные
напряжения нс будут зависеть от а юлько от напряжений а2 и с,
и во всех подобных площадках будут характеризоваться кругом на-
пряжений Iq с диаметром а2—а3 (рис. 92). В площадке 11, парал-
лельной а2, нормальные и касательные напряжения будут характери-
зоваться кругом напряжений с диаметром а!—а3 и, наконец, в
площадке 111, параллельной напряжению а3, нормальные и касатель-
ные напряжения будут характеризоваться кругом напряжений £1П с
диаметром Cj—с2.
Во всех указанных площадках метод определения са, та и а3, т3
не будет отличаться от рассмотренного выше метода решения прямой
задачи для плоского напряженного состояния.
Можно доказать, что если провести площадку, не параллельную
ни одному пз главных напряжений, то нормальное аи и касательное тя
напряжении в этой площадке могут быть• определены по формулам
аа = «i cos2 04 4- <т2 cos2 4* аз cos2 аз?
________________________________2 (5.14)
та = у COS2 atj + а2 COS2 а2 + аз cos2 аз — °а ’
где а1( а2, а3—углы, которые образует нормаль к рассматриваемой
площадке с направлениями аъ а2, а3.
. Доказывается также, что точка тп), характеризующая
напряженное сосюяние в произвольно наклоненной площадке, будет
всегда лежать в заштрихованной области (рис. 92) или на границе ее.
если площадка параллельна одному из главных напряжений.
Из рассмотрения кругов напряжений (рис. 92) видно, что ттах,
характеризуемое точкой D па окружности Лц и действующее в пло-
щадке, параллельной главному напряжению а2, наклоненной к напря-
160
жепиям и а3 под углом а = 45°, равно радиусу большого круга.
Следовательно, при объемном напряженном состоянии
т =
max 2
(5.15)
В случае площадки, внешняя нормаль к которой образует с на-
правлениями аг, а2 и а3 одинаковые углы а, — а2 = а., = а, назы-
ваемой октаэдрической площадкой (поскольку она параллельна грани
октаэдра, который может быть образован из куба), когда
cos2 аг -ф cos2 ot2 + cos2 аз = 1;
2 1
COS2 а = -„
и
формулы (5.14) примут вид
— gi "Ь ст2 4~ стз .
окт з °ср’
(5.16)
2 2
°2 ~Г с3 — с1а2 — с2а3 — а3°1 ~
*= 4~ /(°1 ~ с2)2 + (с2 — сз)2 + (®з — ai)2 • (5.17)
О
Касательное напряжение, определенное по формуле (5.17), назы-
вается октаэдрическим. Октаэдрическое нормальное напряжение пред-
ставляет собой как бы среднее напряжение для данного трехосного
напряженного состояния.
При оценке прочности материала в условиях сложного напряжен-
ного состояния часто используется некоторая фиктивная величина
напряжения называемая интенсивностью напряжения и связанная
с т0 зависимостью
_ 3
/2 Т°кт
§ 35. Деформации при объемном напряженном состоянии.
Обобщенный закон Гука
Базируясь на гипотезе о том, что материал следует закону Гука,
а деформации малы, можно получить зависимости между напряжени-
ями и деформациями в общем случае объемного напряженного состоя-
ния. При этом будем исходить из зависимостей (4.3) и (4.9), получен-
ных ранее для линейного напряженного состояния.
Рассмотрим деформацию прямоугольного параллелепипеда раз-
мерами aXb\c (рпс. 93, а) под действием главных напряжений ап
a,, a:? (полагаем, что все они положительны) по трем его граням,
параллельных соответственно ребрам а, Ь, с.
Удлинения ребер соответственно будут А«, АЬ. Ас, а относитель-
ные деформации в главных направлениях
Ас
с
а ’ £ ‘2 Ъ
(5.18)
6 :> и''б
161
Каж ц>е из этих относительных удлинений есть результат дей-
ствия всех трех напряжений oj, с2 и а3. При этом, например,
£i г= £i + £i + £i > (5.19)
где согласно (4.3) и (4.9)
Учитывая (5.20), можно зшисать (5.19) в виде:
£i = -J- - - -у-1>1 -- Р (°2 -Г с,)]. (5.21)
Аналогично могут быть записаны и выражения для и е3 как
/ (ах, с2, а3). В результате обобщенный аакон Гука для изотропного
материала выразится следующими соотношениями:
1 Г . , )
£i — ~£~ — р (с2 + аз)];
1
£2= -£-lc2“P(^l 'F ®з)]5 >
1
[аЗ-~ Р (С1 + С2)]-
Л )
(5.22)
Заметим, что сжимающие напряжения следует в формулы (5.22)
подставлять со знаком «минус». Очевидно, в случае плоского напря-
женного состояния, в частности при о2 = 0, обобщенный закон Гука
(5.22) будет иметь вид
О = -g-(ai —Р^з);
£2 “ д- (ai + сз);
J_ (а3 —fXGj).
162
Закон Гука справедлив не только для главных деформаций,
но и для вычисления относительных деформаций по любым трем в'а-
имно перпендикулярным направлениям, поскольку при малых дефор-
мациях влиянием сдвига на линейную деформацию и^-за его малости
можно пренебречь. Поэтому относительные удлинения в направления
действия напряжений оа, (рис. 93, б) равны:
1 1
— Р%); £3’-= -д-(а3 —роа).
Объемная деформация tv, представляющая собой относительное
изменение объема v^ — abc, после приложения к нему напряжений
ci> а2« аз определяется с точностью величин второго порядка мало-
сти формулой
• —-—2 — ci -|- £г + £з (5.23)
' о
или через напряжения с учетом (5.22) формулой
- "Т~ (°1 + + сз)- (5.24)
В частности, при равномерном всестороннем сжатии, когда (ц =
= ° 2 = 33 = ~ Р>
(5-25)
Величина К называется модулем объемной деформации. Нз (5.24)
видно, что при деформации тела, материал которого имеет коэффициент
Пуассона ц = 0,5 (например, резина), объем тела не меняется.
§ 36. Потенциальная энергия деформации
Потенциальной энергией деформации называется энергия, кото-
рая накапливается в теле при его упругой деформации. Когда под
действием внешней статической нагрузки тело деформируется, точки
приложения внешних сил перемещаются и потенциальная энергия
нагрузки убывает на величину, которая численно равна работе, совер-
шенной внешними силами. Энергия, потерянная внешними силами,
не исчезает, а превращается, в основном, в потенциальную анергию
(b'l/iop нации тела (незначительной частью энергии, рассеиваемой
в процессе деформации, главным образом, в виде тепла, при этом пре-
небрегают).
Приращение потенциальной очерти U деформируемого тела
равно уменьшению потенциальной энергии нагрузки Un и численно
равно работе Ар> совершенной внешними силами, т. с.
U = Ар. (5.26)
"1 аким образом, потенциальная энергия деформации численно равна
эабете внешних сил, затраченной при упругой деформации тела.
о*
163
В случае простого растяжения (рис. 94)
удельная потенциальная энергия
U Р&1 ае
U v 2FI 2 ’
(5.27)
Рис. 94
где v — объем тела; F — площадь поперечного сече-
ния.
а
Учитывая, что е = —, получим
Z1
а2
и = (5.28)
В случае объемного напряженного состояния,
когда потенциальная энергия деформации опреде-
ляется суммарной работой главных напряжений а1э
а2, о.з на соответствующих перемещениях е,, е2, ез
(рис. 95), на основании (5.28) удельная потенциаль-
ная энергия выражается формулой
G1 £ т G л £ о (J «Еп
« = -у! + + -у2
Воспользовавшись обобщенным законом Гука, можем исключить
деформации. Получим
и = ~2Ё~ !ai + °2 + ®з~ 2[л(а!С2 -J- а2а3 + а3а;)]. (5.29)
При деформации упругого тела (рис. 95)
изменяется, вообще говоря, не только его объем,
но и форма (например, кубик превращается
в параллелепипед). Поэтому полную удельную
потенциальную энергию деформации и можно
представить в виде двух слагаемых:
и — uv Мф,
где uv— удельная потенциальная анергия изме-
нения объема;
«ф — удельная потенциальная энергия изме-
нения формы.
Можно показать, что
1 — 2р. .
uv = -^Е (°i + а2 4 с )2;
Рис. 95
(5.30)
1 + Р f 2 . 2 . 2 , , . . ,
«ф = + ®2 + ®3 —(®1«2 + °253 + 3:.°1 )1 =
= уу К°1 — ®г)2 + (°2 — ®з)2 4- (аз — CTi)2J- (5.31)
Глава 6
КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ
§ 37. Основные теории прочности
Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка проч-
ности детали по известному напряженному состоянию, т. е. но извест-
ным главным напряжениям в точках зела. Наиболее просто эта задача
решается при простых видах деформации, в частности при одноосном
напряженном состоянии, так как в этом случае значения предельных
(опасных) напряжений легко установить экспериментально. Напом-
ним, что опасным напряжением для пластичных материалов является
предел текучести, а для хрупких — временное сопротивление.
Таким образом, условие прочности при одноосном напряженном
состоянии (рис. 96, «) принимает вид
<Н < 1°+]; ]. (6.1)
где [о+] и [с_]—допускаемые напряжения соответственно при
растяжении и сжатии.
В случае сложного напряженного состояния, когда два пли все
три главных напряжения оп о2, о3 не равны нулю (рис. 96, б), пре-
дельное (опасное) состояние для одного и того же материала может
иметь место прп различных предельных значениях главных напряже-
ний в зависимости от соотношения между ними. Поэтому эксперимен-
тальная проверка опасного состояния из-за бесчисленного множества
возможных соотношений между од, о2> о3 и трудности осуществления
экспериментов практически исключается.
Другой пузь решения поставленной >адачп заключается в выборе
прчтерия прочности (критерия предельного напряженно-деформи-
рованного состояния). Для этого вводится гипотеза о преимуществен-
Рис. 96
Рис. 97
ном влиянии на прочность материала того или иного фактора. При
этом предусматривался возможность проверки выбранного критерия
прочности сопоставлением данного сложного напряженного состояния
с простым, например с одноосным растяжением (рис. 97, а, б), и уста-
новления такого эквивалентного напряжения, которое в обоих слу-
165
чаях даст одинаковый коэффициент запаса прочности. Под по-
следним в общем случае напряженного состояния понимают число п,
показывающее, во сколько раз нужно одновременно увеличить все
компоненты напряженного состояния (olt о2, °з)» чтобы оно стало пре-
дельным:
ООО
пар а2~ па2; а3 — па3.
Выбранные таким образом гипотезы называют механическими
теориями прочности. Ниже рассмотрены основные критерии (теории
прочности).
Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория
прочности). Предполагается, что опасное состояние тела, находяще-
гося в условиях сложного напряженного состояния, определяется
уровнем наибольшего нормального напряжения
о •»
Ci=a+
или т ) (6.2)
I аз1 а-- J
Условие прочности с коэффициентом запаса п имеет вид
Эта теория подтверждается на практике только для весьма хруп-
ких и достаточно однородных материалов (стекло, гипс, некоторые
виды керамики).
Критерий наибольших относительных линейных деформаций
(вторая теория прочности). За критерий предельного состояния при-
нимают наибольшую по абсолютной величине линейную деформацию,
т. е. условие разрушения:
I £max I = £°- <6-4)
Условие прочности имеет вид:
г°
£max = £г [£] — • (6.5)
Учитывая, что [е] = -Ш- , а также, что
£1 -jy-fci — Н(®2+ ®з)1»
условие прочности (6.5) можно представить в виде: 7
— р. (а2 + с3) < [а]. (6.6)
Как видно из (6.6), с допускаемым напряжением нужно сравнивать
166
не то или иное главное напряжение, а их комбинацию. Эквивалентное
напряжение в этом случае будет равно
сэкв И — °1 “ Н (°2 + аз)« (6.7)
Эта теория имела довольно широкое распространение, по опытное
подтверждение получила только для весьма хрупких материалов.
Критерий наибольших касательных напряжений (третья теория
прочности). Предполагается, что опасное состояние нагруженного
тела определяется уровнем максимального касательного напряжения.
Условия разрушения и прочности соответственно имеют вид:
ттах ~ т°’ (6.8)
• т0
ттах = • (6.9)
Так как
условие прочности (6.9) для главных напряжений запишется так:
ai-- -3<hL (6.Ю)
а эквивалентное напряжение по третьей теории прочности опреде-
лится формулой
аэкв Ш = С1 ~~ аз- (6.11)
Эта теория дает хорошие результаты для материалов, одинаково
сопротивляющихся растяжению и сжатию. Недостатком третьей тео-
рии является то, что она не учитывает среднего по величине главного
напряжения о2, которое оказывает определенное, хотя в большинстве
случаев и незначительное, влияние на прочность материала. Считая
предельным состоянием для пластичных материалов предел текуче-
сти, условие (6.8) можно представить в виде
01 —а3=ат. (6.12),
Это условие удовлетворительно описывает начало пластической
деформации разупрочпяющпхея материалов, для которых характерна
ее локализация.
Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (чет-
вертая теория прочности). Предполагается, что опасное (предельное)
состояние нагруженного тела определяется предельной величиной
накопленной удельной энергии формоизменения. Последнюю можно
определить при простом растяжении в момент начала текучести
мф max мф пф. т (6.13)
Условие прочности будет
ыф max Гмф1" (6.14)
Полагая, что материал следует закону Гука вплоть до наступле-
ния предельного состояния, на основании (5.31) при простом растя-
жении в момент начала текучести (ах = ат; а2 = а3 = 0) имеем;
1 4- Р .2
"ф. Т
167
Условие (6.13) после подстановки (5.31) п зпачеипя т пз
последнего равенства примет вид
+ ®2 + а3 — (°1°2 + °2а3 4* аЗа1) = аТ’
ИЛИ
]/"у 1(% — ®2)2 + («2 — °з)2 + (°3 — °1)2] = °Г
(6.15)
Условие прочности (6.14) будет иметь вид
]/ у [(«! - *2)2 + (®2 - *з)2 + (°3 - °1)2] - = [5]. (6.16)
Эквивалентное (расчетное) напряжение по четвертой теории
прочности определится формулой
°экв IV = К01 ” °2)2 + “ G'i)2 + (а-3 ~ (6,17)
Расчетное уравнение четвертой теории прочности можно полу-
чить исходя из критерия постоянства октаэдрических касательных
напряжений
токт max РоктЬ
Такая трактовка освобождает рассматриваемую теорию прочности
от ограничений, связанных с областью применимом и закона Гука,
и дает возможность установить не только начало пластической дефор-
мации, но и начало разрушения.
Четвертая теория прочности применима для пластичных материа-
лов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.
Критерий Кулона —Мора. Этот критерии основан па предположе-
нии, что прочность материала в общем случае напряженного состоя-
ния зависит, главным образом, от вели-
чины и знака наибольшего од и наимень-
шего о3 главных напряжений (погреш-
ность, связанная с тем, что не учитывается
о2, обычно не превышает 12—15%). Исходя
из этого предположения, любое напряжен-
ное состояние можно представить одним
кругом Мора, построенным па главных
напряжениях од и од.
Если при данных од и од нарушается
прочность материала, то круг, построен-
ный на этих напряжениях, называется предс иным. Меняя соотно-
шение между од и од, получим для данного материала семейство пре-
дельных окружностей (рис. 98). Огибающую AHCDE семейства
предельных кругов можно с достаточной степенью точности заменить
прямыми, касательными к кругам Мора, построенным для растяже-
ния, с диаметром, равным временному сонротивчепню при растя-
жении ов, и для сжатия — с диаметром, равным временному сопротив-
лению материала при сжатии ов с.к (рис. 99).
Очевидно рис. 99 может быть перестроен в масштабе допускае-
168
мых напряжений (рис. 100). Диаметр круга для растяжения равен
CJ с
г । п г । в С/К
[а. -— а для сжатия — [с ] =---------.
п L п
Из рассмотрения подобия треугольников О1О2а и находим
условие прочности
»:.<!» + ). (6.18)
La —J
Рис. 99
Эквивалентное напряжение по рассмотренной теории Мора
’и<в.м=’1--рд-’з- <6Л9>
Теория прочности Кулона — Мора позволяет установить сопротив-
ление разрушению материалов, обладающих разным сопротивлением
растяжению и сжатию (хрупких материалов). Опа имеет сущест-
венное преимущество перед первой и второй теориями, которые на
практике еще иногда применяются.
Следует подчеркнуть, что хрупкое или пластичное состояние мате-
риала определяется не только его свойствами, но и видом напряжен-
ного состояния, температурой и скоростью нагружения. Как показы-
вают опыты, пластичные материалы при определенных условиях
нагружения и температуре ведут себя как хрупкие, а хрупкие матери-
алы, при определенных напряженных состояниях, могут вести себя
как пластичные.
§ 38. Понятие о некоторых новых теориях прочности
Условие перехода материала в предельное состояние можно выра-
зить в виде некоторого уравнения
Г(аъ ®2, аз) = 0, (6.20)
которое может быть представлено предельной поверхностью в трех*
мерном пространстве, где по осям декартовой системы координат от-
кладываются главные напряжения.
Так, предельная поверхность, соответствующая условию появле-
ния массовых пластических деформаций, по теории удельной потен-
циальной энергии формоизменения (6.15) имеет вид
(®1 — а2)2 + (а, — а3)2 + (а3 — а t)a — 2s* = 0. (6.21)
Предельная поверхность (6.21) представляет собой круговой цилиндр
с осью равпопаклоненной к координатным осяхм (рис. 101, а), п ра-
1/ 2
дпусом Г — у у V
169
Для плоского напряженного состояния, когда одно из главных
напряжений равно нулю, условие (6.21) дает эллиптическую предель-
вписанной в цилиндр. Критерию
Рис. 101
цую кривую (рис. 101, б).
Критерию наибольших касательных напряжений соответствует
предельная поверхность в виде правильной шестигранной призмы,
наибольших нормальных напряжений
соответствует куб с ребрами, равными
ои. Заметим, что все точки, распо-
ложенные внутри области, ограни-
ченной предельной поверхностью,
соответствуют напряженным состоя-
ниям с коэффициентом запаса
прочности а напряженные
состояния, представленные точками,
лежащими вне области, ограничен-
ной предельной поверхностью, име-
ют коэффициент запаса прочности
п < 1.
Новейшие теории и основывают-
ся на выборе различных вариантов
предельной поверхности, при которой можно наиболее полно
особенности сопротивления данного класса материалов в
формы
учесть
условиях сложного напряженного состояния.
Критерий прочности Ягна — Бужинского. Предельная поверх-
ность (6.20) принимается в виде полинома второй степени, симмет-
ричного ко всем трем главным напряжениям,
(<И — ®2)2 + («2 — Сз)2 + (°1 — °з)2 + а (а1 + С2 + °з)2 +
-j- Ь (аА -J- с2 а3) — с, (6.22)
где
6[тР — 2[о+] 6[г]Ч[0]-[а+]) . .гр
При этом [а+], [а_], [т] определяются из опыта для данного мате-
риала при испытании соответственно па одноосное растяжение,
сжатие и чистый сдвиг.
Очевидно, теория прочности Ягна—Бужинского позволяет учесть
пе только различие в сопротивлении материала растяжению и сжатию,
но также и сопротивление сдвигу.
Критерий прочности Писаренко—Лебедева. К числу новых теорий
следует отнести теорию, предложенную Г. С. Писаренко и А. А. Лебе-
девым [14], которая основана на предположении о том, что наступление
предельного состояния обусловлено способностью материала оказы-
вать сопротивление как касательным, так и нормальным напряжениям.
Критерий прочности предлагается искать в вцде инвариантных к на-
пряженному состоянию функций касательных напряжений, например
октаэдрических касательных напряжений, и максимального нормаль-
ного напряжения.
При этом критерий прочности может быть записан в виде
ТОКТ + Wl = l (6-23)
Выражая константы т1 и т.2 через предельные напряжения при
одноосном растяжении ао+ и сжатии (в частности, через св
и ав сж), условие (6.23) приводим к виду
170
пли, переходя к интепспвпосгп напряжении, к виду
7-"г "I" (1 7') "1 (6.24)
о
Для материала, находящегося в пластичном состоянии, когда
=+= Х---1, выражение (6.24) преобразуется в критерий проч-
ности, соответствующий теории формоизменения; для хрупких
материалов, когда X = 0, выражение (6.24) преобразуется в первую
теорию прочности. При 0 < X <11, что соответствует большинству
реальных конструкционных материалов, предельная поверхность по
уравнению (6.24) будет представлять собой равионаклоненпую к глав-
ным осям фигуру, в которую вписана шестигранная пирамида, соот-
ветствующая теории Кулона—Мора, и выражаемая формулой (6.19).
Теория, представленная критерием (6.24), хорошо согласуется
с данными эксперимента для широкого класса достаточно однородных
конструкционных материалов.
Для материалов, обладающих существенной структурной неодно-
родностью (отдельные виды металлокерамики, графиты, пенопласты,
каменное литье и т. и.), предложено условие
xIi-)-(l-z)cM1“J-- (6.25)
। де J — ——-j../3 — параметр напряженного состояния, А—параметр
сг
структуры материала, среднестатистическое значение которого для
} казанного класса материалов составляет 0,7—0,8.
Уточненное значение параметра А можно определить, используя
данные испытаний на кручение:
’ л
1 — X
1де cf — —i ; тк — предельное напряжение при кручении.
тк
Критерий прочности Фридман^. Этот критерий базируется на рас-
смотрении диаграмм механического состояния, которые строят исходя
из того, что, в зависимости от типа напряженного состояния, материалы
могут разрушаться от растягивающих напряжений (путем отрыва)
п от касательных напряжений (путем среза). Соответственно этому
различают две характеристики прочности — сопротивление отрыву
5ОГ, представляющее собой величину нормальных напряжений на
поверхности разрушения в первом случае, и сопротивление '. резу /
представляющее собой величину касательных напряжений во втором
случае. Обе характеристики прочности 50Т и / не зависят от типа
напряженного состояния. Кривые деформации также не зависят от
напряженного состояния.
Нарушение прочности путем отрыва описывается второй теорией
прочности
аа::в П = *1 ~ I1 (с2 + *з) ^от> (6-26)
а нарушение прочности второго вида — третьей теорией прочности
171
Диаграмма механического состояния состоит пз двух диаграмм
(рис. 102) — диаграммы в координатах ттах, %кв н = 50Т и
диаграммы ттах, утах. На диаграмму наносят предельные линии,
соответствующие пределу текучести при сдвиге тт, сопротивлению
срезу «к и сопротивлению отрыву 50т. Отклонение линии сопротив-
ления отрыву вправо выше предела текучести соответствует возрас-
танию сопротивления отрыву с появлением остаточных деформаций.
Для характеристики типа
напряженного состояния вводится
коэффициент мягкости
хтах
а —-------
аэкв II
Различные напряженные состоя-
ния изображаются па диаграмме
лучами, тангенсы углов наклона
которых равны а.
При всестороннем растяжении
(ai = а2 — аз)
п луч совпадает с осью абсцисс. При простом растяжении (ах = а;
а2 = а3 = 0) имеем
т — I а гт = с; ct 0,5.
max 2 экв И ’
При простом сжатии (а1 = <з2 = 0; а3 = — а)
а __ 1
чпах ~ ~2 ’ аэкв II “ а 2Т •
Принимая у = 0,25, находим а — 2.
Рассматривая лучи, отвечающие различным типам напряженного
состояния материала, можем приближенно установить вид разруше-
ния и выбрать, следовательно, подходящую теорию прочности.
Из рассмотрения на диаграмме луча 1 видим, что он раньше всего
пересекает линию сопротивления отрыву. Следовательно, материал
разрушится путем отрыва без предшествующей пластической дефор-
мации. Луч 2 пересекает сначала линию текучести, а затем линию
сопротивления отрыву. Следовательно, при данном напряженном
состоянии разрушению путем отрыва предшествует пластическая
деформация. Для напряженного состояния, характеризуемого лучом 3,
разрушение происходит после пластической деформации путем среза.
В случае, когда луч сначала пересекает линию сопротивления
отрыву, следует пользоваться теорией Калона—Мора, первой или
второй теорией прочности. Если же сначала пересекается линия пре-
дела текучести, то расчет прочности должен производиться по третьей
или четвертой теории прочности.
Таким образом, диаграммы механического состояния, с известным
приближением, отражают тип разрушения в зависимости от вида на-
пряжен кого состояния.
Заметим, что лучи, изображающие напряженное состояние, явля-
ются прямыми лишь до достижения предела текучести.
В заключение настоящей главы приведем в виде таблицы сводку
рассмотренных и других теорий прочности, встречающихся в сопро-
тивлении материалов (см. табл. 14).
172
Таблица 14
Критерии предельного состояния изотропных материалов (при статическом нагружении)
сгЭкВ—эквивалентное напряжение; о2, г3— главные напряжения; гь г2, es — главные относительные деформации,
/1 \
определяемые по обобщенному закону Гука; стср — среднее напряжение, / -- (ст + с2 + аз) 1J CTi — интенсивность на-
пряжения (1/4- Kai ~ °г)2 + (=2 — =з)2 + (°3 — ~ предельные для данного материала па-
\ Г 2 г 4-
„ ао
пряжения соответственно при одноосном растяжении, одноосном сжатии и чистом сдвиге; X == —— ; ср =
+ — С°
с0 со
= -----; ? =------•
го то
Критерий Выражение для эквива- лентного напряжения аэкв Геометрическая интерпретация критерия в пространстве напряжений Примечания
Критерий наи- больших поомалъ- ных напряжений (Галилея — Лейб- ница, называют также Клсбша— Репкина) а = а, экв 1 или %кв = аз Куб с центром, смещенным относительно начала коорди- нат в сторону гидростатиче- ского сжатия Удовлетворительно описывает пре- дельное состояние весьма хрупких достаточно однородных материалов, таких, как стекло, гипс, некоторые виды керамики
Критерий наи- больших линей- ных деформаций (Мариотта—Грас гофа, называют также Сеп-Вепана) С9КВ = С1 — ^2+ °3) Равносторонний косоуголь- ный параллелепипед с осью симметрии, равнонаклоиен- пой к координатным осям Ввиду малой достоверности в рас- четной практике в настоящее время почти пе применяется
173
ИродолjKPiti'f табл 14
Критерий i Бырая-ение для эквива- лентного напряжения °экв Геометрическая интерпретация критерия в пространстве напряжений Примечания
Критерий наи- больших каса- тельных напря- жений (Кулона) аэкв = а1 — аз Правильная шестигранная призма, равпопаклонепная к координатным осям Удовлетворительно описывает пре- дельное состояние пластичных мало- упрочпяющихся материалов (отпу- щенные стали), для которых харак- терна локализация пластических де- формаций
Критерий окта- эдрических каса- тельных напряже- ний или удельной энергии формоиз- менения (Губера— Мпзеса—Генки) %KB = tfi Круговой цилиндр, описан- ный вокруг призмы, интер- претирующей критерий мак- симальных касательных на- пряжении Хорошо описывает предельное со- стояние широкого класса пластичных материалов (медь, никель, алюминий, углеродистые и хромоникелевые стали и т. п.)
Критерий Куло на—Мора Зэкв = 31 ~ 7“3Я Шестигранная равнснакло- непная к координатным осям пирамида Применяется для установления пре- дельного состояния достаточно одно- родных материалов, по разному со- противляющихся растяжению и сжа- тию
Критерий Ягна — Буживского аЭКВ аср 4- — pi- с« L /2 , X -(-j-w-sjx X (с1а2 4~ а2а3 4“ с1аз) ] Равнопаклонеиная к главным осям поверхность вращения. Однозначной геометрической интерпретации не имеет Применяется в тех же случаях, что и критерий Кулона — Мора. При — а0 совпадает с критерием окта- эдрических касательных напряжений
Критерий Балан- дина аэкв = 3 (1 - V =Ср + 2 4 — со Параболоид вращения, рав- попаклопснный к коорди- натным осям Является частным случаем критерия Ягна—Бужинского / /~ -ь — \ 1 1 / ао а0 ] 1при ТО- 1/ 3 1
Критерий Бот- кина — Миролю- бова сэкв = 3(1 X) сСр 4- 4~ лу (1 4~ сг Круговой конус, равно- наклоненный к координат- ным осям Применяется в тех же случаях, что и критерий Кулона — Мора. При ао" — ао совпадает с критерием окта- эдрических касательных напряжений
Критерий Друк- кера — Прагера аэкв = (! 4- /7.) — _ -L 1+/Z ср ' + U V-J < Двуполостным параболоид вращения, равнонаклоненньш к координатным осям Удовлетворительно описывает пре- дельное состояние сравнительно пла- стичных материалов, для которых X >0,3
ITродолжение табл. 14
Cft Крите, >ии Выражение для 9квива- тенгного напряжения Геометрическая интерпретация критерия в пространстве напряжений Примечания
Критерий С. Д. Волкова 2 2 Gg -f- G^ — (G|GV -f- -j- + ®4®i) “h + ₽ ( 2 + X<Jcp) + j c> стч -r ) Предельная поверхность не исследована Критерий получен на основе анализа модели микроскопически неоднород- ной среды в предположении, что критическое касательное напряжение в плоскости скольжения зависит от нормального напряжения этой плоскости и от среднего напряжения. Xs, р, К, С — константы материала, определяемые из опытов при различ- ных напряженных состояниях, напри- мер при одноосном растяжении, одно- осном сжатии, чистом сдвиге и двух- осном равномерном растяжении
Критерий Писа- ренко — Лебедева %KB — + (1 — ^) <n Коническая поверхность, описанная вокруг пирамиды Кулопа — Мора. В сечении октаэдрической плоско- стью — равносторонний кри- волинейный треугольник Хорошо описывает предельное со- стояние широкого класса достаточно однородных конструкционных мате- риалов. При с* = %" преобразуется в критерий октаэдрических касатель- ных напряжений. В случае, когда 4 ао (весьма хрупкие материалы), результаты вычислепий практически совпадают с данными расчета по кри- терию наибольших нормальных на- пряжений
Критерий Писа- ренко—Лебедева оэкв = Хаг + 1— 3°СР Предельная поверхность рав- нонаклонепа к координат- ным осям. В сечении окта- эдрической плоскостью — равносторонний криволиней- ный треугольник Хорошо описывает предельное состоя- ние неоднородных материалов (хруп- кие металлокерамические композиции, графит, хрупкие термореактивпые пластмассы, различные горные породы, пенопласты и т. п.). Среднестатисти- ческое значение параметра А для ука- занных материалов составляет 0,7—0,8
Критерий В. А. Кузьменко 1 °ЭКВ — а ai> где 2(1-9)4-93(3- -2^) 4-1,33 (1- а - ~29)(1-9)а 2(1-9)4-92(3-’ _29)4-с(1- — 2?)(1 —9)24~ 4-х?2 (1-29) а1°2 4“ а2а3 + аЗа1 . Х — 2,2.2 ’ °1 4" °2 4~ а3 _ , £1 4~ £2 4~ £3 1 £il + 1 е2144 ез1 Предельная поверхность при 9 = 0,5 — круговой цилиндр, соответствующий критерию удельной энергии формоизменения. При измене- нии 9 цилиндр деформируется Предельное состояние считается ре- зультатом развития докритического значения деформаций сдвига, связы- ваемых с пластическим течением, и деформаций растяжения, связываемых с образованием и раскрытием трещин в деформируемом материале. Критерий хорошо описывает пре- дельное состояние материалов, плас- тичность которых значительно зависит от условий деформирования. Параметр состояния 9 изменяется от 0 (хрупкое состояние) до 1 (пластичное состояние)
Глава 7
РАСТЯЖЕНИЕ II СЖАТИЕ
§ 39. Расчет стержней на растяжение (сжатие)
с учетом собственного веса
Напряжение в любом сечении стержня постоянного сечения под
действием внешней растягивающей силы (рис. 103, а) с учетом соб-
ственного веса может быть определено па основе гипотезы плоских
сечений по формуле
здесь
N (z) = Р '(Fz,
где F — площадь сечения; -( — удельный вес.
Очевидно,
1^(г) 1шах = р + ^;
W^lmax P + 1FI Р , ,
‘max =----р----- = —у— = -J- + 11.
Условие прочности будет
Р
‘max = р 4" [°]
или
При Р — 0
‘max ~
а условие прочности принимает вид
< [а].
178
Отсюда предельная длина, при которой стержень не должен разру-
шаться от действия собственного веса,
I = ±1
пр >
а критическая длина, при которой стержень будет разрушаться от
собственного веса,
I = .
кр
Перемещение любого сечения, находящегося па расстоянии z от
свободного конца стержня, к которому приложена внешняя сила Р
(рис. 103, а), определяется по формуле
Z Z
Перемещение нижнего конца стержня, очевидно, будет равно
полному удлинению стержня и определится формулой
X(2),.0=« = -gr+-g-
Учитывая, что вес стержня Q — ylF, получим
^ZL + _£L
ЕЕ 2EF
(7.4)
Эпюры осевых
рис. 103, б, в, г.
сил, напряжений и перемещений показаны на
§ 40. Стержень равного сопротивления растяжению (сжатию).
Ступенчатый стержень
Стержнем равного сопротивления растяжению (сжатию) назы-
вается такой стержень, в каждом поперечном сечении которого
напряжения одинаковы и равны допускаемому.
Площадь поперечного сечения такого стержня
(рис. 104) изменяется по закону
F(z) = FoeR, (7.5)
где Fo — -7-5-минимальное сечение стержня
в месте приложения нагрузки; 7 — удельный
вес; z — текущая координата; е — основание
натуральных логарифмов.
Наибольшая площадь сечения
it
F _ F е [о] = _Р_ е и
шах ^°е га1 е
Рис. 104
(7.6)
179
Вес стсржпя Q определяется пз условия Р -р Q — [a] Fmax, от-
куда Q = [a] Fmax — Р, илп с учетом (7.6) Q = Р (е —1).
Относительное укорочение стержня равного сопротивления
[°]
сжатию г = ,
lit
а абсолютное укорочение
///////>7//////7-Л
Тг е
\гт —
ы = а = -Щ-1.
tL
(7.7)
6
6
Рис. 105
Стержень равного сопротивления действию
осевых сил является оптимальным с точки зрения
рационального использования материала, что суще-
ственно в случае большой длины стержня.
Ступенчатый стержень состоит из отдельных
участков (ступеней) с постоянной площадью попе-
речного сечения в пределах каждого участка. Он
занимает промежуточное положение между стерж-
нем постоянного поперечного сечения и стержнем
равного сопротивления
Сечепие любого n-го участка при длинах уча-
стков llt l2,l3..•••» Im 11 сечениях соответ-
ственно Flt F2, F3, ... > Fn, ... > Fm (рис. 105) мо-
жет быть определено по формуле
Р [ajn 1
Если длины всех участков одинаковы:
/1 — ^2 — ^3 — ‘ ‘
(7.8)
(7.9)
где т— число ступенек в стержне; I — длина стержня.
§41. Статически неопределимые конструкции
Статически неопределимыми называются конструкции, в эле-
ментах которых усилия не могут быть определены из уравнений
статики. Кроме уравнений статики при решении статически неопре-
делимых задач необходимо использовать также уравнения, учитываю-
щие деформации элементов конструкций.
Все статически неопределимые конструкции имеют так называе-
мые лишние связи в виде закреплений, стержней или других элементов.
Лишними такие связи называются потому, что они не являются необ-
ходимыми для обеспечения равновесия конструкции и ее геометриче-
ской неизменяемости, а обусловливаются требованиями к прочности
и жесткости конструкции. Число лишних неизвестных, или степень
статической неопределимости системы, устанавливается разностью
180
между числом неизвестных, подлежащих определению, и числом
уравнений статики.
При одной лишней неизвестной система называется один раз или
однажды статически неопределимой, при двух — дважды статически
неопределимой и т. д. Конструкции, показанные на рис. 106, а, б,
г, <9, е, являются однажды статически неопределимыми, а конструкция,
приведенная на рис. 106, в,— дважды статически неопределимая.
Решение статически неопределимых задач проводят в четыре
этапа.
1. Статическая сторона задачи. Составляют урав-
нения равновесия отсеченных элементов конструкции, содержащие
неизвестные усилия.
2. Геометрическая сторона задачи. Устанавли-
вают связь между деформациями отдельных элементов конструкции,
исходя из условий совместности деформаций. Полученные уравнения
называются уравнениями совместности деформаций.
3. Физическая сторона задачи. В уравнениях
совместности выражают деформации элементов конструкций на основа-
нии закона Гука через действующие в них неизвестные усилия.
4. С и н т е з. Решают совместно полученные уравнения относи-
тельно искомых неизвестных усилий.
Ниже приведен пример расчета один раз статически неопредели-
мой трехстержпевой системы-подвески (рис. 107, а).
1. Статическая сторона задачи (рис. 107, б)
2 ~ s'n а — К, sip а = 0; (7.10)
2 У 2V1 Л’2 cos а 4- N3 cos а — Р = 0. (7.11)
Из (7.10) находим:
= N2\
(7.12)
181
из (7.11) находим:
ЛГТ + 2ЛС cos а = Р. (7.13)
2. Геометрическая сторона задачи (рис. 107, в)
Д/3 — AZ3 cos а. (7.14)
3. Физическая сторона задачи
Рис. 107
4. Синтез. Подставляя (7.15) в (7.14), получим
_7УЛ_
ef2
Nik
EFX
cos a.
(7.16)
Решая совместно (7.16) и (7.13), находим
Р .
1 4-2 —cos2 a
г.
Р — COS а
£1
Н 2 — cos2 а
(7.17)
где
EFt EF2
к ' С'2~ к ‘
Усилия Nx и АС оказались зависящими от соотношения жесткостей
стержней. Поэтому при проектировочном расчете вычислить их можно,
задавшись некоторым отношением жесткостей стержней. В этом одна
из особенностей расчета статически неопределимых стержневых систем.
182
§ 42. Расчет гибких нитей
Гибкой нитью называется стержень, способный сопротивляться
только растяжению. Из шести компонентов внутренних сил для гиб-
кой нити только осевая сила не равна нулю.
К гибким нптям относят провода электрических и телеграфных
сетей, цепи висячих мостов, тросы канатных дорог и т. п. Точки под-
веса гибких питей могут находиться как на одном, так и на разпых
уровнях (рис. 108, а, б).
Основной нагрузкой гибкой
нити из материала с удельным
весом у и с площадью попереч-
ного сечения F является собст-
венный вес провода с интенсивно-
стью ?п — ^F. Однако нагрузка
в гибкой нити может создаваться
не только собственным весом
провода, но также некоторыми
другими факторами, например
давлением ветра, весом льда при
обледенении проводов. Эти на-
грузки также предполагаются рав-
номерно распределенными по
длине нити. Интенсивности этих
нагрузок обозначим соответствен-
но </в и q4.
Толщина корки льда в зави-
симости от климатического райо-
на принимается равной 0,5—
2,5 см.
Давление ветра в горизонтальной плоскости будет
или
qB = pd
<7В ^а<7ск^»
(7.18)
где р — давление; d — диаметр провода с учетом его увеличения
за счет обледенения; k = 1,2 — аэродинамический коэффициент;
а = 0,85 — коэффициент неравномерности ветра; <?ск — скорость на-
пора. Выражая последнюю через скорость ветра в метрах в секунду,
a d — в метрах, найдем интенсивность ветровой нагрузки:
— 636 • 10~Md [кГ/м].
(7.19)
Суммарная интенсивность нагрузки на гибкую нить может быть
определена по формуле
Я = У % + ?л)2 + 4
(7.20)
Плоскость действия суммарной нагрузки, совпадающая с плос-
костью провисания нити, не будет вертикальной.
Гибкая нить относится к классу однажды статически неопредели-
мых систем.
183
Приведем основные формулы, применяемые при расчете гибкой
нити в общем случае, когда точки подвеса нити находятся на разных
уровнях (рис. 109, «).
Обычно распределенную нагрузку q, действующую на провод,
заменяют статически экви вален той нагрузкой у, распределенной
вдоль пролета длиной I:
Полагая нить идеально гибкой, можно считать растягивающие
усилия в любом сечении нити касательными к кривой провисания нити.
В точках закрепления А и В усилия, девствующие в нити, равны реак-
циям опор ТА и Тв. Представляя реакции опор в виде горизонтальных
(Н) и вертикальных (/?) составляющих, из рассмотрения статической
стороны задачи найдем-
22 = -Лл+Яв = 0;
2 У = - Лл - Rb + ql = 0;
£ Ms= - + Ra I - = 0.
откуда
(7.21)
вл = -^-+н~1 (7.22)
«г (7.23)
184
Из рассмотрения равновесия части нити (рпс. 109, б) находим
2 z = - II + Tz (z) = 0;
2 Y = - Ra + 93 4- Ту (z) = о,
откуда
TAz) = н-
(7.24)
Ту (z) = n*L + q[l.__zy
(7.25)
IT — горизонтальная составляющая усилия, одинаковая во всех сече-
ниях, называется натяжением нити.
Суммарное растягивающее усилие в любом сечении нити
Пг) = |Л7>) + Г>)- У /Г+ |tf ~ +^2_zy|2 (7.26)
и максимально при z = 0, т. е.
Н^ + ^+И^. (7.27)
Для пологих нитей (длина которых по кривой провисания мало,
нс более чем на 10%, отличается от длины пролета) разница между
Лпах 11 Н невелика. Поэтому с достаточной для практики точностью
расчет нити на прочность ведут по величине натяжения II.
Уравнение кривой провисания нити найдем, приравняв на осно-
вании совершенной гибкости нити изгибающий момент нулю:
I
М (z) = Raz -Цу-^-^0,
откуда с учетом (7.22) получим
__( । \ од.
У ~ \2Н + I / 211 ’ (7,28)
т. е. кривая провисания нити имеет аналитическое выражение
параболы.
Заметим, что если задачу решать точно, считая нагрузку распре
деленной равномерно по длине нити, а не по пролету, то кривая про
впеаппя будет цепной линией. Правая часть уравнения (7.28) является
первым членом разложения уравнения цепной линии в рядМаклорепа
по степеням z. Использование приближенной формулы (7.28) на прак-
тике даст вполне удовлетворительные результаты.
Положение нижней точки подвешенной нити, координаты которой
обозначены z = а, у — f (рис. 110, а), определим, приравняв нулю
производную правой части уравнения (7.28):
dy _ gl , У* _ п
dz 211 + I II ’
185
откуда
1 . Uh
г^^-т + ~- (7-29)
Подставив (7.29) в (7.28), найдем наибольшее провисание нити
qi2 , ню , h
8Н
(7.30)
Рис. 110
Z
Различают три характерных случая расположения низшей точки
кривой провисания нити.
1. Низшая точка кривой провисания находится в пределах про-
лета, т. е. a <Z I (рис. 110, а). Согласно (7.29) это будет иметь место,
когда
«<<• (7.31)
2. Низшая точка кривой провисания находится вне пролета,
т. е. а >> I (рис. 110, б). Это будет при условии
(7.32)
3. Низшая точка кривой провисания совпадает с нижней точкой
подвеса, т. е. а = I (рис. 110, ?). Для этого случая необходимо, чтобы
""Дг- (7-33>
Во всех трех случаях координаты а и /' низшей точки определя-
ются по формулам (7.29) и (7.30).
Установим зависимость между натяжением II и стрелой прови-
сания /. Подставляя в (7.28) z = ~2 и + / (рис. 111), найдем
(7.34)
186
яли
И =
gl*
8f •
(7.35)
Натяжение нити, выраженное через наибольшее провисание най-
дем из решения квадратного уравнения (7.30) относительно Н:
и=[г - 4 ± w —*>]
Если низшая точка кривой провисания находится в пределах пролета,
то перед корнем берется знак «минус», если вне пролета — знак
«плюс».
Рассматривая геометрическую сторону задачи, установим связь
между длиной подвешенной нити S, пролетом /и величиной провиса-
ния /. Длину элемента нити, учитывая малое провисание, можно выра-
зить следующей зависимостью:
1
Г1 а \21 2
dz
\ UZ / J
(7.36)
Подставляя производную от выражения (7.28) в (7.36) и инте-
грируя по всей длине, найдем
или, учитывая (7.35),
O-Z+ 8 /2 -4--^-
/ + ТТ4' 21 *
(7.37)
(7.38)'
Удлинение подвешенной нити от растяжения равно
Д5=5_£=(+^5 + ^._£,
(7.39)
где L—длина пеподвошепной нити.
Из рассмотрения физической стороны задачи устанавливают зави-
симости изменения длины нити от растягивающего усилия и от изме-
нения температуры.
Принимая для пологих нитей за расчетное растягивающее усилие
натяжение Н и заменяя длину нити расстоянием между точками под-
веса Zlt найдем удлинение нити по формуле
де Hl
н EF £Fcos₽’
(7.40)
Температурное удлинение нити определяется формулой
- aZ, (z - t0) - (« - t0), (7.40а)
187
где a—коэффициент линейного расширения материала нити; 1п—
температура в момент подвешивания нити; t — температура, для
которой проводится расчет нити.
Суммарное изменение исходной длины нити
+ + (7.«)
Приравнивая правые части
и ту же величину удлинения
(7.39) и (7.41), выражающие
подвешенной нити, найдем:
одну
?2Z3 №Hl al
' 24/Z2 ' 21 EE cos 3 cos
(7.42)
Совместное рассмотрение уравнений (7.35) и (7.42) позволяет
определить натяжение нити Н и стрелу ее провисания /. Опреде-
лив II, по формуле (7.27) можно найти Гшах, а зная последнее,—
проверить прочность по формуле
Т
шах
Е~
или с учетом (7.35)
ql2
G ’—
SfF
(7.43)
(7.44)
Введя понятие удельной нагрузки
q_
F
получим условие прочности (7.44) в виде
8/
(7.45)
Заметим, что при расчете электрических проводов сечение провода F
определяется из электрических соотношений, а затем выполняется
проверочный расчет но формуле (7.45).
Большой практический интерес представляет частный случай
расчета нити, когда точки подвеса находятся на одном уровне, т. е,
при
cos р = cos 0=1; h = 0; RA~RB = Jht
Как и в общем случае, останутся в силе формулы (7.34) и (7.35), а урав-
нение совместности деформаций (7.42) примет вид
о2/3 HI
L=l + 2ьн2 ~ ~ЁЕ ~а1^~ го)- (7.46)
' На практике часто приходится учитывать влияние на напряжение
и стрелу провисания нити изменений температуры и нагрузки. Пусть
188
а —
требуется определить изменение напряжения в стрелы провисания
в состоянии п, характеризуемом параметрами /п. qn, fn, Нп~
qnl2
= , по сравнению с первоначальным состоянием т в момент
о//г
подвеса нити, характеризуемом параметрами tmy
Решение поставленной задачи может быть получено, если
зить длину L нити для состояний т и п в соответствии с
_ w2
8/m
выра-
(7.46):
L = l +
a2 I3
Чпг
Hml
EF
al (On ^o)>
24772
77 Tgl
EF
(tn — t0).
Приравняв правые части этих уравнений и введя замену,
Ч™ __ у . _ у . а — J1™ . _ 77п
— Im, у I"’ am — р > an — р >
окончательно получим
°П~
о. 2 — Qm 2 । аЕ ^т tn)-
24 a^
24а2
Til
(7.47)
Зависимость (7.47) иногда
Опа может быть представлена
называют уравнением состояния
в виде
нити.
%
am
а (tn tm)
M£ = o.
24
(7.48)
2
или, учитывая, что
___ 1ml . 7n^2
°m — -Tpi , “n------57— »
o/m ojn
в виде
8 {tn tm) 64 Efm ]fn
3 7n*4 n
64 E ~
(7.49)
При различных уровнях точек подвеса уравнение состояния
нити соответственно примет вид
। 3 „j2 3 ___1
т *" 8 cos 3 64
___ 3 7т^4 __ А
64 Е cos р
(7.50)
189
Кубическое уравнение (7.49) пли (7.50) относительно /п удобно
решать графически. Так, записав его в виде — afn — Ь— 0 или
/п = afn 4- Ь, где а и Ъ — известные числа, строят графики
У ~ fn и У ^а!п+Ь.
Абсцисса точки пересечения получаемой при этом кубической
параболы с прямой линией п дает значение искомого провисания /п
(рис. 112).
При расчете нити на прочность необходимо учитывать случаи
наиболее неблагоприятных сочетаний ветра
и обледенения, вызывающих максимальные
напряжения в пей.
Из уравнения состояния (7.47) следует,
что в случае малых пролетов при I -> 0
°п — ат аЕ (tm tn),
т. е. изменение напряжений зависит главным
образом от изменений температуры.
В случае больших пролетов при I -*• оо
получим
Рис. 112
— П
°п — ~— схп>
1т
т. е. напряжение в основном зависит от нагрузки.
Критической длиной нити ZKp называется такая длина, при кото-
рой напряжение в нити одинаково в обоих опасных состояниях (как
при наибольшей нагрузке — состояние п, так и при наинизшей тем-
пературе— состояние /п), т. е. когда
— °гп — [с1-
(7.51)
Полагая, что tn соответствует температуре обледенения (обычно
£об = — 5° С), при которой 7n = 7max, a tm соответствует наинизшей
температуре zmin, при которой на нить действует только собствен-
ный вес 1, т. е. ут = найдем критическую длину нити ZKp из
(7.48) с учетом (7.51):
Z = [а]
кр I J
24а (t0Q *min)
2 2
4max
Сопоставляя расчетный пролет I с критическим /кр, можно убе-
диться, чго при I <Z 1Кр наибольшие напряжения будут при наиболее
низкой температуре, а в случае I > ZKp наибольшие напряжения f
нити будут при наибольших нагрузках.
Глава 8
СДВИГ
§ 43. Сдвиг. Расчет на срез
Деформация сдвига характерна тем, что из шести составляющих
главного вектора силы R и главного момента М отлична от нуля
только одна поперечная сила Q (или Qx), а все остальные равны
нулю.
Примером сдвига или среза может служить деформация полосы
при резке ее ножницами (рис. ИЗ, а, б). Практически деформацию
сдвига в чистом виде получить трудно, так как она обычно сопровож-
дается другими деформациями, и чаще всего деформацией изгиба.
При нагрузке по схеме, показанной па рисунке, на участке Ьс,
очевидно, поперечная сила
(8.1)
а связь между касательными напряжениями т и поперечной силой
будет
xdF = Q.
F
(8.2)
Принимая касательные напряжения т по площади поперечного
сечения F распределенными равномерно (рис. 114), на основании
(8.2) найдем
или, учитывая (8.1),
Рис. ИЗ Рис. 114
Допущение о равномерности распределения касательных напря-
жений по сечению является весьма условным, поскольку в силу за-
кона парности касательные напряжения у верхней и нижней граней
19t
равны нулю. Однако принятое допущение широко используется на
практике при расчете болтов, заклепочных и сварных соединений,
шпонок и т. п.
§ 44. Чистый сдвиг
Случай плоского напряженного состояния, когда по четырем
граням выделенного элемента действуют только касательные напря-
жения (рис. 115), называется чистым сдвигом. Найдем величину глав-
5
Рис. 115
ных напряжений применительно к схеме нагружения, приведенной
на рис. 115, а. Для этого, имея в виду, что в данном случае аа =
= = 0; ха = —т; — т, строим круг напряжений (рис. 115, б),
из которого следует, что
= — ®з = "• (8-4)
Средние напряжения в главных площадках, совпадающих с фасад-
пой гранью, п2 = 0. Главные площадки наклонены к граням элемента
под углом 45°. Под действием касательных напряжений элемент
abed, имевший форму квадрата со стороной а, превратится в ромб
Рис. 116
Рис. 117
a'b'c'd'. Деформация чистого сдвига заключается в изменении пря-
мых углов. Представляя для наглядности элемент, находящийся
в условиях чистого сдвига, закрепленным по одной из граней (рис. 116),
найдем
192
Учитывая малость угла, можем принять Ig 7 ~ 'f, тогда относи-
тельный сдвиг
As
(8.5)
Зависимость между нагрузкой и деформацией при сдвиге видна
из диаграммы сдвига (рис. 117), которая может быть получена по-
добно диаграмме напряжений при испытаниях на растяжение.
Очевидно, в пределах линейной зависимости между 7 и х справед-
ливо соотношение
7 = ~ или х (?7, (8.6)
где G — коэффициент пропорциональности, который пазыгается
модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода
и имеет размерность кПсм2 (или кГ/мм2). Формулы (8.6) выражают
закон Гука при сдвиге, записанный в относительных координатах.
Из рис. 116 видно, что удлинение AZ диагонали AC — I — а]/2 равно:
AZ = СС, cos ~ ССг cos 45° = ,
2) /2
а относительное линейное удлинение диагонали (в направлении aj
___AZ____As____ 7
= ~Т=2а = '2
пли, учитывая (8.6),
х
(8.7)
Применяя обобщенный закон Гука к чистому сдвигу (рис. 116)
находим £ = si = "J И (8.8)
Из сопоставления правых частей равенств (8.7) и (8.8) получаем т? G-2(l + rf' (8'9)
1 1 При = - — G (0,375 -т- 0,4) Е.
Используя (8.5), выразим абсолютный сдвиг As через Q ~ F~:
х Qa
т. с.
As =
Qa
ЛЁ'
(8.10)
! 5 1186
1 193
Формула (8.10) выражает закон Гука при сдвиге в абсолютных еди-
ницах.
Потенциальная энергия dej'>o рмации при сдвиге определяется
формулой
IT _ _ Q2a .
2 ’ 2GF
Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге
где V — объем элемента.
Главные напряжения при чистом сдвиге (рис. 115, а) равны:
Oj — т; с, -- 0; с3 == — 1.
Условия прочности при чистом сдвиге запишутся;
по первой теории прочности
-<[-]; (8.12)
по второй теории прочности
CJ — I3].
Подставляя значения главных напряжений, находим
т<-ТГ7Г:= (8ЛЗ)
Для металлов [л = 0,25—0,42, поэтому [т] = (0,7 -н 0,8) [а].
По третьей теории прочности
а1 — аз [з] •
Отсюда
Т < - [Т] (8.14)
п допускаемое напряжение
[г] 0,5 [а].
По четвертой теории прочности
Следовательно,
И
]з]
/з
~ ”,е 1з].
194
Отметим, что при расчетах детален пз пластичных материалов
(болты, заклепки, шпонки и т. п.) наиболее подходящей является
последняя формула.
§ 45. Некоторые примеры расчета на срез
Расчет болтовых и заклепочных соединений. При расчете болтов
на срез (рис. 118, а) условно принимают распределение внешних сил,
Рис. 118
действующих на болт, и касательных напряжений в сечении среза
соответствующим схеме, приведенной на рис. 118, б.
Условие прочности болта на срез может быть записано в виде
хтах
или, учитывая, что Q — P (рис. 118, в), a F ~ —г~в
\Р
Tmax = TjT М-
Отсюда определим диаметр болта
‘4Z^T <8Л5>
При расчете болтовых или заклепочных соединений следует учи-
тывать, что нагрузка, приложенная к элементам соединения, помимо
среза вызывает I'M.'utiue контактирующих поверхностей. Под смятием
понимают пластическую деформацию, возникающую на поверхности
контакта.
Расчет па смятие проводят приближенно, поскольку закон распре-
деления давления по поверхности контакта в точности не известен.
Обычно принимают нелинейный закон распределения давления
7*
195
(рис. 119, а), считай, что давление пропорционально проекции dF1
площадки dF цилиндрической поверхности иа диаметральную плос-
кое! ь
___dF
~ db\
Рис. 119
Максимальное напряжение смятия для цилиндрической поверхности
равно
- Р - Р
СМ р' *
х см
где FCM — Bd — площадь проекции поверхности контакта на диамет •
ральную плоскость (рис. 119, б).
Условие прочности на смятие имеет вид:
= (8-16)
Допускаемые напряжения на смятие устанавливаются опытным
путем и принимаются равными
1>см1 = (2-2,5)[а_].
На основании (8.16) можно определить необходимый диаметр
болта:
Из двух диаметров, найденных по формулам (8.15) и (8.17), следует
взять больший, округлив его до стандартного значения.
Так как болты и заклепки ослабляют соединяемые листы, послед-
ние проверяют на разрыв в наиболее ослабленных сечениях. В случае
одного болта условие прочности будет иметь вид
° ^ш1п г (6 - d) < 1 а+1’
где Ъ — ширина листа.
196
Рассмотрим заклепочное соединение, заклейки которого испыты-
вают двойной срез (рис. 120).
Полагая, что растягивающая сила Л7 равномерно распределена
между заклепками, найдем, задавшись диаметром заклепок d и толщи-
ной листа 6, число заклепок i из условия прочности на срез
Расчет сварных соединений. На срез принято (также условно)
рассчитывать и некоторые сварные соединения. Наиболее распростра-
нены соединения в стык и соединения с помощью угловых или валико-
а
5
Рис. 121
вых швов. Соединения в стык применяются, когда соединяемые листы
находятся в одной плоскости. При толщине листов б < 8 мм кромки
листов не обрабатываются (рис. 121, а); при б = 8ч-20 мм кромки
листов скашиваются и сварка производится с одной стороны. При этом
получается V-образный шов (рис. 121, б), при 8 20 мм кромки ска-
шиваются с двух сторон. Получается X’образный шов (рис. 121, в).
Расчет таких швов проводится на разрыв. Расчетную толщину шва
принимают равной толщине листа 8 (наплавы не учитываются).
Соединения с помощью угловых швов применяют в случаях,
когда соединяемые листы параллельны пин перпендикулярны. К ним
Рис. 122 Рис. 123
относятся соединения внахлестку, с накладками и тавровые. Если
направление шва перпендикулярно к действующему усилию, то шов
называется лобовым. Швы, параллельные усилию, называются флан-
говыми или боковыми. Применяются также косые швы (рис. 122),
направленные под некоторым углом к действующей силе. 11а рис. 123
197
показано соединение листов внахлестку лобовыми швами, на рис. 124 —
соединение с накладками, приваренными фланговыми швами, на
рис. 125 — чавровое соединение.
Обычно при расчетах сварных швов наплывы не учитывают,
а считают, что в разрезе угловой шов имеет форму прямоугольного
равнобедренного Tpeyi о тьника (ряс. 126, а, б).
Рис. 124 Рис. 125 Рис. 126
Расчетная площадь сечения шва длиной I составит
F —. ml — (), 1Ъ1,
Расчет швов, как и заклепок, условно ведется в предположении рав-
номерного распределения напряжений по сечению шва. Некоторые
значения допускаемых напряжен и й при расчете сварных соединений
конструкций, изготовленных из (л. 3, приведены в табл. 15.
Расчет лобового шва. Учитывая, что сопротивление стали срезу
ниже, чем сопротивление растяжению, составляющей нормальных
напряжений в лобовом шве пренебрегают и расчет швов производят
условно на срез, предполагая, что касательные напряжения равно-
мерно распределены ио площади сечения A BCD (рис. 126). При рас-
чете лобовых швов соединения внахлестку учитывают оба шва — верх-
ний и нижний. Их общая площадь
F — 2ml = 2 • 0,752 1,4В/.
Условие прочности запишется в виде
Р Р
F 1,4BZ
Расчетная длина торцевого шва Zp определится формулой
I ^-Р-
₽ 1.4В [гэ] •
Расчетная длина шва Zp в связи с непроваром в пачале и в конце шва
обычно принимается па 10 лм« меньше действительной I;
Zp = Z — 10 леи.
Расчет фланговых швов. Фланговые швы наиболее распространены
на практике. Они менее жестки, чем лобовые, из-за большей протя-
198
жониости металла в направлении действия силы. Фланговые швы
всегда ставятся парами. Они работают на срез в биссекторных сечениях
(рис. 127). Площадь среза двух швов
F = 2 • 0,7В (Z — 10 мм) = 1,4В (Z — 10 мм).
Условие прочности па срез:
Р Р
F 1,46 (/ — 10 мм) Тэ*’
Длина шва определяется формулой
I =
+ ,0“-
Расчет врубок. К числу соединений, прочность которых опреде-
ляется в основном из условия среза, относятся .врубки, используемые
для соединения деревянных элементов конструкций (рис. 128). Древе-
сина является анизотропным материалом, его механические свойства
зависят от направления силовых воздействий относительно ориента-
ции волокон.
Так, для сосны предел прочности вдоль волокон равен 400 кГ/см-,
поперек волокон — 50 кПслг', для дуба соответственно 500 кГ/см2
и 150 л77'.и-. Вследствие разливной сопротивляемости древесины
вдоль и поперек волокон прп.Х'
напряжения для различных па
А кв-
Рис. 128
тывает скалывание вдоль вол
проекции силы N
днтся принимать разные допускаемые
равнений действия сил.
Некоторые данные о допускае-
мых напряжениях для сосны и дуба
приведены в табл. 16.
В качестве примера рассмотрим
расчет соединения стропильной ноги
со стропильной затяжкой (рис. 128).
Угол между осями стропильной
ноги и затяжки обозначим а, а силу,
действующую вдоль стропильной
ноги, — N. ('очелие стропильной
ноги F - lib. Колец затяжки испы-
ткон под действием горизонтальной
A^-- A'cos а.
199
Длину ласти затяжки ж, выступающей за врубку, определим из
условия
Art - м
'max FCK Ьх ’
откуда
Fck=
ск [т]
а
7Vt __ N cos а
Х>Т[^~ &[т] •
Необходимая площадь смятия врубки
ijcmJ
Глубина врубки
N} _ N cos а
Таблица 15
Допускаемые напряжения для сварных соединении, кГ/c.v2
Вид деформации Обозначение Ручная ( юрка (электро iij с гонкой обмазкой) Aino ч<1 п'ческая и ny in in снарка (а । к гро ifj с то с।< । обмазкой)
Растяжение 1 1000 1000
Сжатие 1100 1450
Срез IS] 800 1100
Таблица 16
Допускаемые напряжения для древесины
Вид де Формации Обозна- чение Дои ускаемое напряжение, л Г/' и2 Д1Я
СОС1П 1 дуба
Растяжение 1^ + 1 100 130
Сжатие вдоль волокон и смятие торца |з_] 120 150
Смятие во врубках вдоль волокон 1асм1 80 110
Смятие перпендикулярно к волокнам (на длине более 10 см) [’cmL 2 24 48
200
Продолжение табл 16
Вид деформации Обозна- чение Допускаемое напряжение, кГ/c..t2, для
сосны дуба
Скалывание во врубках вдоль волокон м 5—10 8—14
Скалывание локон во врубках поперек во- hk 6 8
Изгиб 2 [’nJ 120 150
Скалывание при изгибе kJ 20 28
Примечание. При смятии (или скачивании) под углом а к направле-
нию волокон допускаемое напряжение имеет промежуточное значение между
[асм-1 11 [jcmJ * 11111 М 11 Гт-1к 11 может быть определено по условной формуле
2’ Т
Г jcm-I
[Зсм!
1’c.mJ j
2
»1п’ а
Глава 9
КРУЧЕНИЕ
§ 46. Напряжения и деформации при кручении
Напряженное состояние кручения характеризуется наличием
в стержне единственного внутреннего силового фактора — крутящего
момента Мг — (рис. 129), т. е. момента, действующего в плос-
кости поперечного сечения стержни (остальные компоненты внутренних
сил равны нулю):
Qx--^Qy = N = 0; Мх - Му -- 0.
Стержень, работающий на кручение, называется валом. Экспери-
ментально установлено, что при кручении вала длиной I двумя крутя-
щими моментами Мк, приложенными по концам вала, последний
будет закручиваться, т. е. одни сечения вала будут поворачиваться
относительно других, в то время как длина вала останется неизменной.
Рассматривая кручение вала, нагруженного по схеме, приведенной
на рис. 13'1, легко заметить, что угол поворота ф любого сечения,
находящегося па расстоянии z от места задел-
ки вала, будет тем больше, чем больше z и кру-
тящий момент Л/ . Если закручивать вал
вплоть до его разрушения и представить
зависимость ф =. /(Л/к) графически, то полу-
чим диаграмму кручнии, вид которой для
пластичного материала приведен на рис. 131.
11а этой диаграмме, как и па диаграмме растя-
жения, можно заметить ряд характерных учас-
тков и точек (1,2,3): Л/пц — величина крутя-
щего момента, до которой сохраняется линей-
ная зависимость между ф и Л/к; Л/т — мо-
началу текучести; 37 в — величина крутящего
момента, вызывающего разрушение. Обычно интересуются значениями
202
моментов п деформациями, соответствующими линейному участку
диаграммы кручения, для которого справедлив закон Гука.
Крутящий момент в некотором сечении вала, являющийся равно-
действующим моментом касательных напряжений т , действующих
в элементарных площадках dF, расположенных па расстоянии р от
центра сечения, можно выразить уравнением
(9.1)
МкР J
F
Рис. 132
Характер распределения касательных напряжений тр по сечению
устанавливается из геометрической картины деформации вала при
кручении, представленной на рис. 132. Опыт показывает, что рас-
стояния между сечениями скручиваемого вала
нс меняются, а продольные линии предвари-
тельно нанесенной сетки принимают винтовой
характер. При этом прямые углы сетки иска-
жаются, как и в случае чистого сдвига. По-
следнее обстоятельство является свидетель-
ством того, что выделенный элементарный
объем любого слоя материала вала находится
в условиях чистого сдвига. Вследствие того,
что радиусы, проведенные в торце сечения,
остаются прямыми, нижележащие слои по
мере приближения к центру испытывают мень-
шую деформацию сдвига. Согласно экспери-
ментальным данным сечения, плоские до де-
формации вала, остаются плоскими к после;
деформации, поворачиваясь одно относитель-
но другого на некоторый угол гр. В этом
смысл гипотезы плоских сечений, на основа-
нии коюрой строится элементарная теория
кручения стержней.
Для наружного слоя выделенного эле-
ментарного участка вала длиной dz (рис. 133)
Рис. 133
соотношения, полученные ранее применительно
т. е.
будут справедливы
к чистому сдвигу,
tg 7 7
Ъ' Ь rd<?
ab' dz
203
Величина —относительны?} угол накручивания, имеет размер-
az
ность с.и~1 и обозначается обычно 0.
Связь между относительным сдвигом и относительным углом
закручивания примет вид
у — 0г. (9.2)
Выражая сдвш 7 в наружных волокнах вала через .напряжения,
в соответствии с законом Гука при сдвиге найдем связь между каса-
тельными напряжениями в крайних волокнах тг и относительным
углом закручивания 0
тг = СОг. (9.3)
Учитывая, что радиусы сечений остаются прямыми, можно по анало-
гии с (9.3) установить связь между касательными напряжениями
в сечении стержня нй расстоянии р от центра сечения и относительным
углом закручивания
тр = GOp. (9.4)
Подставляя (9.4) в (9.1), найдем
F
Отсюда получим формулу для определения относительного угла за-
кручивания вала
где GJp — жесткость поперечного сечения стержня при кручении,
имеет размерность кГсм2.
Полный угол закручивания вала длиной I равен
f МКР
I П Т
dz = 0Z
GJp
(9.6)
где GJp/l—жесткость вала при кручении, имеет размерность кГсм
(размерность момента).
Подставив значение 0 из (9.5) в (9.4), определим касательное
напряжение т в любой точке сечения стержня
^кр?
(9.7)
Максимальное касательное напряжение, очевидно, будет
lmax
кр
7Р
204
или
__ Л/кр
max ту
р
(9.8)
---полярный момепт сопротивления (см. (2.38)).
Для сплошного круглого вала диаметром d полярный момепт
сопротивления определяется формулой (2.38) и
где W
16Л/
— кр
•max
(9.9)
Для трубчатого круглого вала W определяется по (2,39) и
кр
max
-D' (1 — а4) ’
(9.10)
d
где а = —р---отношение внутреннего диаметра вала к наружному
Условие прочности при кручении вала записывается в виде
__^Л<р
Tmax “
Р
(9.11)
Отсюда момент сопротивления вала при кручении должен быть
Л/кр
>-----«Р
тр^ [т|
(9.12)
На основании (9.9) диаметр круглого сплошного вала определим
из условия
16Л/ „
кр
(9.13)
а па основании
заданном а — из
(9.10) наружный диаметр трубчатого вала при
условия
!6Л7
‘ * кр
(9.14)
Если крутящий момепт выразить через мощность /V, л. с.
и число оборотов в минуту п, то получим
М = 71620 —, кГсм,
кр л
(9.15)
D
d
и формула (9.13) примет вид
N
(9.16)
205
а формула (9.14) запишется так:
(9.17)
Если мощность А’ задана в киловаттах (1 л. с. = 0,736 кет), крутя-
щий момент может быть выражен формулой
,. 716'Д' А А _
V, -=-------------— = 97360-------- кГсм.
к5’ и, 730 П п
(9.18)
Помимо расчета на прочность, валы рассчитывают также и па жест-
кость, ограничивая относительные углы закручивания некоторой
допускаемой величиной [0]:
°тах ~ < [°Ь (9.19)
1>
откуда полярный момент инерции, обеспечивающий допускаемую
жесткость, определится формулой
Отсюда диаметр сплошного круглого вала должен быть
а наружный диаметр D трубчатого вала при заданном а
4 л------тут,------
D 1/ ________нр _ . (9.22)
У к(1— а4)£[0]
Поскольку в поперечных сечениях вала действуют касательные
напряжения, распределенные согласно (9.7) по линейному закону
(рис. 134, а), то, в силу закона парности касательных напряжений,
и в диаметральных сечениях вала должны возникать касательные
напряжения, равные но величине, но обратные но знаку (рис. 134, б).
206.
По площадкам, расположенным под углом 45° к сечениям, в кото-
рых действуют максимальные касательные напряжения, действуют
главные нормальные напряжения, равные по величине касательным
напряжениям в данной точке сечения, как показано на рис. 1.35.
В связи с этим характер разрушения (сдвиг или отрыв) вала при кру-
чении будет зависеть от способности материала сопротивляться дей-
ствию касательных или нормальных напряжений. Так, при кручении
Рис. 135
деревянных валов с продольным
расположением волокон послед-
ние будут разрушаться от каса-
тельных напряжений, действую-
щих вдоль волокон (трещины
продольные) (рис. 136). При кру-
чении ч^пнных валов разруше-
ние наступит под действием нор-
мальных растягивающих напря-
жений, максимальное значение
которых имеет место в сечениях,
идущих по винтовой линии и пересекающих образующие под углом
45°, как показано на рис. 137.
Рис. 136
§ 47. Кручение стержней некруглого сечения
При кручении стержней искруглого сечения (прямоугольных, тре-
угольных, эллиптических и др.) гипотеза плоских сечений неприме-
нима. Точные расчеты на кручение таких стержне]') могут быть полу-
чены методами теории упругости. Окончательные формулы для опре-
деления максимальных касательных напряжений тт , относительного
угла закручивания 0 и полного угла
В этих формулах JK и 17к — неко- Рис. 138
торые геометрические характери-
стики, которые условно называют моментом инерции и моментом со-
противления при кручении и размерность которых соответственно
см1 и см3 (см. табл, 1).
207
Распределение касательных напряжений по прямоугольному сече-
нию стержня приведено на рис. 138. Наибольшие напряжения возни-
кают в наружных слоях посредине длинной стороны сечения (точки С
и D). Определяются они но формуле (9.23). где
Т7К = а/гб2
(9.26)
(Л — длинная сторона; Ъ — короткая сторона прямоугольного се-
чения).
Напряжения посредине короткой стороны (в точках А и В) могут
быть выражены через ттах:
т = гтах. (9.27)
Относительный угол закручивания определится по формуле (9.24),
где выражение для момента инерции при кручении </ будет
4 =
(9.28)
h
Коэффициенты а, р
и 7» зависящие от отношения
, приведены
ниже
1 1.5 1,75 2,0 2,5 3,0
0,208 0,231 0,239 0,246 0,256 0,267
0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263
1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753
4,0 6,0 8,0 10
0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
0,745 0,743 0,742 0,742 0,743
Условия прочности и жесткости при расчете па кручение стержня
прямоугольного сечения соответственно имеют вид:
— ^КР Tma.x - ahf)2 (9.29)
М 0 _ ,ф <[0]. - (9.30)
тах
При кручении стержней, сечения которых представляют собой
равнобедренную трапецию, приближенные значения тшах ц 0 могуг
быть получены путем определения указанных величин для стержня
208
с сечением эквивалентного прямоугольника, который строится по
схеме, приведенной на рис. 139.
При кручении стержня сложного замкнутого сечения, состоящего
из прямоугольные элементов (рис. 140), момент инерции равен
(9.31)
Рис. 139
Рис. 140
где п — 1, 2, 3, ... — номера составных простых чащ ей рассматри-
ваемого сечения.
Так как угол закручивания для всего сечения и для каждой его
части один и тот же
Мкр,
м„п
.КР2
‘%
<ч<
то крутящие моменты,
будут пропорциональны
восп р и н и маемые
их жесткости:
каждой
частью сечения,
К|>
к.
к.
M M ——
кр2 шкр
Соответственно наибольшее касательное напряжение в каждом и-м
элементе сечения
кр
== Л/ п
кр
Очевидно,
будет
Л/
'Р'П
ТК.
1'п
мкр I 4
1ИК
к/г
М /
кр I КП
Ук \
к \ к.
где
Для стержня
max j
Л/..п / \
кр / I
W /
кп /шах
Мкр
^к
(9.32)
^К
/ кп \
I W /
\ кп /max
эллиптического сечения (рис. 141)
(9.33)
М
0 к
к
к
к
ТУ
‘•к 16 >
(9.34)
209
где b и h соответственно размеры малой и большой осей эллипса.
Наибольшие касательные напряжения ттах возникают в наруж-
ных точках сечения, лежащих на малых полуосях, и определяются
по формуле
_ Л/кр _16Мкр
max Kb2h ’
Напряжения в наружных точках, лежащих на больших
равны
(9.35)
полуосях,
max
т
h
где т = у
Условный момент инерции эллипса при кручении
Рис. 142
При кручении замкнутых тонкостенных профилен (рис. 142),
в которых стенка настолько тонка, что касательные напряжения по ее
толщине можно считать одинаковыми, равными напряжениям посре-
дине толщины стенки и направленными по касательной к срединной
линии стенки, касательные напряжения можно определять по фор-
муле Бредта:
М
л кр
т =-----—
2со5
где со — площадь, охватываемая средней линией тонкостенного сече-
ния; 6 — толщина стопки.
Если толщина стенки профиля по контуру будет неодинакова,
то максимальное касательное напряжение в тонкостенном замкнутом
стержне определится формулой
^кр
maX ^5min
(9.38)
Относительный угол закручивания тонкостенного стержня
с неодинаковой толщиной стенки определится формулой
^кр
(9.39)
6 =
где $ — длина замкнутого контура.
210
Полный угол закручивания стержня длинен I будет
? 4 G’(i)2 6
(9.40)
Формула (9.39) может быть записана в виде
где
При постоянной толщине стенки по контуру формула (9.39)
примет вид
4Gw26
В частности, для круглой тонкостенной
трубы с радиусом срединной линии R при
о = const
Согласно (9.37) и (9.41)
МКР
т ” 2-.R4
(9.41)
Рис. 14?)
При кручении тонкостенных стержней открытого профили
(швеллер, двутавр, уголок) (рис. 143) можно воспользоваться теорией
расчета на кручение стержней прямоугольного сечения. В этом слу-
чае профиль разбивают на прямоугольные элементы, толщина h кото-
рых значительно меньше их длины Ь, Согласно данным, приведенным
Jl 1
па стр. 208, -т- > 10, а = 3 = — .
о 3
Тогда для составного профиля на основании (9.31)
4(9Л2)
где т] — некоторый поправочный коэффициент, учитывающий схемати-
зацию, связанную с заменой реального профиля прямоугольниками.
Ниже приведены значения коэффициентов ц для типичных профилей:
для уголкового сечения ц-- 1,00;
для двутаврового сечения ц == 1,20;
для таврового сечения ц = 1,15;
для швеллерного сечения ц = 1,12.
В тонкостенных открытых профилях длину контура принято
обозначать через $, а толщину — через б. При этом формула (9.42)
примет вид
•Z^4S8n’n. <««)
п
211
Максимальные касательные
филе определяются по формуле
напряжения г незамкнутом про-
где
__ '^кр‘ ^пах
xmax г
§ 48. Расчет винтовых пружин
(9.44)
мысленно
Рис. 145
—г Цилиндрические винтовые пружины. Прпближеп-
ные формулы для определения напряжений, возппкаю-
—*• щпх в винтовой пружине с малым шагом при ее растяже-
нии или сжатии (рис. 144), могут быть получены из рас-
Рис. 144 смотрения внутренних усилий, действующих в сечении
витка (рис. 145), заменяющих влияние
шейной нижней части растягиваемой пружины. Под
действием поперечной силы Q — Р и крутящего
момента, равного произведению растягивающего
усилия на средний радиус R пружины Л/кр — PR,
в сечении витка возникают две группы касательных
напряжений: напряжения от среза, которые условно
примем распределенными равномерно и равными
, _ _ ЬР_
х ~ F ~ nd2’
и напряжения от кручения, максимальное значение
которых
„ = Мкр _ 16Р7?
Tmax ’
где d — диаметр поперечного сечения проволоки пружины.
Характер распределения напряжений V и т", действующих в се-
чении витка, показан соответственно на рис. 146, а и 146, б. Пз кар-
тины распределения напряжений следует, что в наружных волокнах
витка, расположенных со стороны осп пружины (точка Л), напряже-
ния т' и т^ах совпадают по направлению. Поэтому максимальные
напряжения в пружине будут
_ , , ' _ 4Р 16Р7?
'"max — т -f- ттах --
16Р/?Л , d \
или
max
При расчете пружин большого среднего радиуса R
d - <
волоки, когда у-— << 1, максимальное напряжение
4п
степенью точности можно определить по формуле
_ iC>PR
'max — nd* ’
(9.45)
из тонкой про-
с достаточной
(9.4G)
212
На практике при расчете пружин в формулу (9.46) вводят попра-
вочный коэффициент k, учитывающий как влияние перерезывающей
силы, так и некоторые другие факторы (изгиб стержня пружины, про-
дольные деформации и т. п.). В этом случае формула (9.46) примет вид
(9.46а)
Tinax * ц? * •
Рис. 146
Значение поправочного коэффициента k зависит от отношения
пружины R к радиусу витка г и определяется по формуле
k - 4m~ 1 . °»615
4m — 4 m ’
радиуса
(9.47)
R
где т = — .
r
Значения коэффициента
k для различных соотношений
„ R
приведены ниже:
А 3 4 5 6 7 8 9 10
г
k 1,58 1,40 1,31 1,25 1,21 1,18 1,16 1,14
Удлинение (или псадка при сжатии) пружины определяется по формуле
. 64Р7?3п
' GdT
где п — число витков пружины.
При расчете пружин на прочность в случае статической нагрузки
допускаемые напряжения на срез следует выбирать в зависимости от
диаметра проволоки, из которой изготовлена пружина. Для закален-
ной пружинной стали при диаметре проволоки cl — 6 мм [т] =
= 50 кГ/мм^ при d = 10 мм [т] = 40 кГ1мм\ при d — 12 мм [т] =
= 35 кГ/ммг\ для хромоникелевой стали при d — 12 16 мм [т| ==
= 70 кПмм1, для фосфористой бронзы с С, = 4,4 105 кГ/см2 при
d — 16 мм [т] = 13 кПммг,
В случае изменяющихся нагрузок указанные значения [т] должны
быть уменьшены примерно па 30%, а при непрерывной работе пру-
жины в условиях переменных нагрузок — на 60%.
Часто при расчете амортизационных пружин (пружин для смягче-
ния резких толчков) за основу берут кинетическую энергию Т, кото-
рую должна поглощать пружина (рессора) при эксплуатации.
213
При таком (энергетическом) подходе объем пружины при задан-
ном допускаемом напряжении (т] определяется по формуле
г. 4СГ
№ '
Конструируя пружину по найденному объему, следует выбрать
ее размеры /?, d и и с таким расчетом, чтобы при проверке осадки пру-
жины Л не было закрытия зазоров между витками.
Конические винтовые пружины. На практике приходится встре-
чаться с коническими пружинами (в виде усеченного конуса). Если
/?i п /?2 — соответственно минимальный и максимальный радиусы
концевых витков пружины, то максимальное касательное напряжение
может быть определено по формуле (9.45) или (9.46) после замены
радиуса R величиной большего радиуса /?2:
16РТ?2
ттах : _ Г1р
Осадка конической пружины определяется но формуле
(Я, +п>}.
§ 49. Концентрация напряжении при кручении
Максимальное напряжение в зоне концентраторов (надрезов,
выточек, отверстий, резьбы и т. п.) при кручении можно найти по фор-
муле
ттах ' атче
где тн — поминальное напряжение, вычисляемое методами сопро-
тивления материалов, в частности, для круглого вала радиуса г по
формуле
, _Л/кР .
41 J Г'
J v
az — коэффициент, показывающий, во сколько раз в месте концептра-
апряжение. Коэффициент а. опреде-
ляется методами теории упругости
или экспериментально на упругих
моделях и обычно называется тео-
ретическим коэффициентом кон-
центрации.
На рис. 147 приведены графики
зависимости Лдя различ-
ных соотношений (рис. 148).
Для случая кручения трубчатых
тонкостенных валов с малыми попе-
речными отверстиями (рис. 149, л)
коэффициент концентрации около
отверстия равен четырем.
Действительно, выделив вокруг
отверстия I л а ви ы.мп площадками,
по граням которых будут действо-
вать нормальные напряжения а = т
214
(по площадкам ab п cd — растягивающие, а по площадкам ad и
Ьс — сжимающие), некоторый элемент (рис. 149, б) и представив
картину напряжений у отверстия от растягивающих напряжений
Рис. 149
Рис. 1-48
(рис. 150, а) и от сжимающих напряжении (рис. 150, б), раздельно
находим в точках т (см. § 27)
стах ~ За -4- g — 4а;
в точках п cmin :;" ~ с — За — 4s-
Поскольку _____ ~^кр сн — с ' г - w rr р
то a 4 max н
Таким образом, в цнн а — 4. рассматриваемом случае коэффициент концентра-
215
Глава 10
UvFllB
§ 50. Нормальные напряжения при плоском изгибе
Расчетные формулы для определения нормальных напряжений
при изгибе обычно выводят из рассмотрения плоского чистого из-
гиба (рис. 151, а).
Чистый изгиб характерен тем, что из шести компонентов внут-
ренних усилий только Мх не равен нулю, а
N - Qx = Qy - 0; Му = Мг = 0.
Условие равновесия, связы-
вающее напряжения и внутренние
усилия н поперечном сечении
балки (рис. 151, б) (опускаем
индекс х у момента), будет иметь
вид
J zydF - М. (10.1)
F
Геометрическая сторона за-
дачи вытекает из рассмотрения
картины деформации той же
балки (рис. 152).
Наблюдая за деформацией сетки, предварительно нанесенной на
балку (рис. 152, а), легко заметить (рве. 152, б), что нродо'льпые линии
сетки при чистом изгибе искривляются по дуге окружности, контуры
поперечных сечений остаются плоскими кривыми, пересекая продоль-
ные линии под прямыми углами. Это свидетельствует о том, что при
чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими и, поворачиваясь,
становятся нормальными к изогнутой оси балки.
216
В сжатой области (сверху) волокна укорачиваются, а в зоне рас-
тяжения удлиняются. Зона растяжения и зона сжатия в сечении балки
разделяются нейтральным слоем с радиусом кривизны р. Длина ней-
трального слоя при изгибе остается неизменной.
Относительное удлинение некоторого волокна, находящегося па
расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 153, а), при чистом изгибе
найдем из рассмотрения деформации
а 5
Рис. 153
Подставив (10.2) в физическое уравнение (закон Гука)
е = 4- ’ <10-3>
Cj
1
выразим нормальное напряжение а через кривизну —:
а = -у- у. (10.4)
Далее подставив (10.4) в (10.1), получим
а подставив (10.5) в (10.4), найдем формулу для определения нормаль-
ного напряжения в любом слое сечения балки на расстоянии у от
оси х‘
а
(10.6)
Пз анализа формулы (10.6), называемой формулой Навье, следует,
что изменение напряжений по высоте сечения подчиняется линейному
закону; напряжения максимальны в слоях с координатой а ми-
нимальны (равны нулю) при у = 0, т. е. в нейтральном слое.
217
Подставляя с из (10.6) в условие N — j zdF — 0, найдем, что
F
ydF — Sx — 0. Отсюда следует, что нейтральная линия сечения
F
(ось г) проходит через центр тяжести сечения.
В случае прямоугольного сечения балки с высотой h
amax
^max
J x
(10.7Х
м
где Wx = ------— = ,х называется моментом сопротивления сечения
Утах _
2
при изгибе (см. § И).
Рыс. 154
Очевидно, для любого сечения, имеющего горизонтальную ось
симметрии (рис. 154), возможен единственный момент сопротивления
при изгибе в плоскости ?/з, определяемый по формуле
Рис. 155
Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии (рис. 155),
следует различать два момента сопротивления
II' -------— и W' ,
Утях Утях
218
Эпюра нормальных напряжений о в последнем случае не будет
симметричной, как для сечений с горизонтальной осью симметрии,
а будет иметь вид, пикантный па рис. 155 и 15(5.
Формулы для определения нормальных напряжений, полученные
пз рассмотрения чистого изгиба, оказываются с достаточной степенью
точности пригодными для определения
нормальных напряжений в общем
случае изгиба, когда (> не равно нулю.
§ 51. Касательные напряжения
при изгибе
В общем случае поперечного изгиба
(рис. 157, «), когда в сечениях стержня,
кроме изгибающего момента М, дей-
ствует также поперечная сила ф,
в сечении балки возникают не только
нормальные о, но и касательные напря-
жения т, равнодействующая которых
равна Q.
Вывод формулы для определения
касательных напряжений в сечении ochoj
ференциал иной зависимости между мом
и законе парности касательных паиряже;
Рис. 156
tan па методе сечений, диф-
игом и поперечной силой
। и й.
Рис. 157
Рассматривая условия равновесия элемента А 1т1т2А2 (рис. 157, а,
б, в, д'), выделенного сечениями А 1D1, А2В2 и mlt т2 из балки, нагру-
женной сосредоточенной силой Р (рис. 157, а), найдем:
Л7! + Г - Л2,
(10.8)
219
где
T^x'bdr, (10.9)
р ' 1 / г М
N}_-_\a'dF^ I - dF = —- 5Х (у); (10.10)
J J JA JX
F F
N2 = f v"dF = C (.‘^+-M) 71 dF = -+dM. sx (y). (10.11)
J J J x JX
F F
Подставляя (10.9) — (10.11) в (10.8) и учитывая закон парности
касательных напряжений, получим формулу Журавского для опреде-
ления касательных напряжений при поперечном изгибе балки про-
извольного сечения
QSX (у)
х b(u)Jx'
(10.12)
где Sx(y) — статический момент относительно нейтральной линии
той части площади F(y), которая расположена ниже или выше рас-
сматриваемого слоя материала на расстоянии у от нейтрального слоя
балки; Ь(у) — ширина сечения в рассматриваемом слое материала.
Характер изменения касательных напряжений по высоте балки в об-
щем случае зависит от формы сечения балки.
Поскольку в рассматриваемом сечении Q и Jx постоянны (а в слу-
чае прямоугольного сечения и ширина b постоянна), то, как видно из
формулы (10.12), закон изменения касательных напряжений в сечении
будет определяться законом изменения статического момента Sx(y).
В частности, рассматривая статический момент площади
(рис. 157, г), находим
. bh2 I 4 и2
S(y) = F (у) т = — ^1 - -А_
(10.13)
г. е. статический момент по
ческому закону. Очевидно,
изменяются и касательные
У ~ 0:
высоте сечения изменяется но параболи-
по такому же закону по высоте балки
напряжения, достигая максимума ври
______@^тах
ттах “ bjx
о
, bh3 ^~2~F '
Ь 12
(10.14)
где F = bh — площадь сечения балки.
В наиболее удаленных от нейтральной линии точках в наруж-
ных волокнах {/ = i -g- и т = 0.
Эпюра касательных напряжений для прямоугольного сечения
220
балки, построенная на основании
приведена на рис. 158. При атом
формулы (10.12) с учетом (10.13),
(10.15)
Рис. 158
Рис. 159
Из формулы (10.15) видно, что максимальные касательные
напряжения в стержне прямоугольного сечения, действующие
в нейтрально.м слое, отличаются от средних напряжений, которые
г г Q
могли быть получены по формуле т — , в полтора раза, т. о
'стах = 1’5тср- (10Л6)
Для круглого сечения (рис. 159) формула Журавского для верти-
кальной составляющей полного касательного напряжения может быть
записана в виде
/ г/2
г ~ 1 д2~
(10.17)
Закон изменения г по высоте и в данном случае оказывается пара-
болическим. В наиболее удаленных от нейтральной линии точках
А (при у — +/Й т==0. Наибольшее касательное напряжение будет
в точках нейтральной линии (при у — 0):
т — — 1 33 -
max з kR2 - F
Эпюра т для круглого поперечного сечения, построенная па осно-
вании формулы (10.17), приведена на рис. 159.
Формулу для выражения максимальных касательных напряже-
ний применительно к поперечному сечению любой формы по аналогии
с (10.14) можно в общем виде представить так:
W = (10.18)
где k — коэффициент, зависящий от формы сечения. Так, например,
для прямоугольника к — 1,5, для круга k — 1,33.
221
Эпюры нормальных и касательных напряжений, построенные
соответственно на основании формул Навье и Журавского для дву-
тавровой балки Ау 12 (Jx — 403 слР; *$тах= 38,5 сл<3) при М ==
— 200 кГм и Q — 1 т, приведены на рис. 1G0. Наблюдаемые па эпюре т
перепады объясняются резким
изменением ширины балки при
переходе от полки к стенке.
Рис. 160
§ 52. Расчет на прочность
при изгибе
При изгибе балки в общем
случае, когда Л/ =/= 0 и (2 =/= 0
(рис. 161, а), из-за неравно-
мерности распределения нор-
мальных и касательных на-
пряжений отдельные элементы
материала находятся в усло-
виях различного напряженного состояния (рис. 161, б). При этом
только наружные волокна (элементы 1, 2, 12, 13, 14) находятся в усло-
виях линейного напряженного состояния (растяжения или сжатия),
все остальные выделенные по высоте балки элементы (3—11) нахо-
дятся в условиях плоского напряженного состояния, причем элементы
222
(6, 7, 8) нейтрального слоя находятся в условиях чистого сдвига.
Характерно, что при деформации изгиба максимальные значения нор-
мальных и касательных напряжений оказываются в разных точках
сечения. В точках, где а максимально (наружные волокна балки),
т == о, и, наоборот, там, где - максимально (нейтральный слой), а — 0.
Таким образом, логично рассматривать два условия прочности,
относящиеся к различным точкам балки:
а) по нормальным напряжениям
стах
^тах
W
[а],
(10.19)
б) по касательным напряжениям
ттах
*?тах^тах _ ,
—Ъ1—
(Ю.20)
Обычно из условия прочности по нормальным напряжениям
(10.19) определяют размеры балки принятой формы поперечного
сечения
тлг \ ^тах
(10.21)
а потом проверяют, удовлетворяет ли выбранное сечение балки усло-
вию прочности но касательным напряжениям (10.20).
Однако такой подход к расчету балок, особенно балок с опти-
мальной формой сечения, обеспечивающей минимальный вес и необхо-
димую прочность (двутавровые, тавровые, швеллерные и другие про-
фили), еще не гарантирует прочность балки. Во многих случаях в се
чениях балок имеются точки, в которых одновременно действуют
большие нормальные напряжения (мало отличающиеся от максималь-
ных) п большие касательные напряжения.
В частности, такое сочетание а и т имеет место при изгибе двутавро-
вой балки в зоне перехода полки в стенку (рис. 160). В таких случаях
возникает необходимость проверки балки па прочность по главным
напряжениям.
В общем случае плоского напряженного состояния, испытывае-
мого элементом материала балки (например, элемент 5 па рис. 161, б),
па который действуют аа = а, определяемое по формуле Навье, та =
— т3 == т, определяемое по формуле Журавского, и при — 0, глав-
ные напряжения находят по формулам (см. § 33):
si=4[a+v<a2+4'2j;
а2 -- 0;
• аз = ~ ^с2 + 4т21'
(10.22)
Зная главные напряжения, можно по различным теориям проч-
ности выразить эквивалентные напряжения, которые не должны пре-
вышать допускаемые.
223
Таким образом, условия прочности по различным теориям могут
быть представлены в виде (см. § 37)
сэкв I = у а2 + 4г21 < 1°1;
(10.23)
°экв П = о,35а + 0,65 ]/а2 + 4т2 [а] (при р. = 0,3); (10.24)
аэкв III = + 4т2 М; (10.25)
аэкв IV = /а2 + 3т2 [а]; (10.26)
»зкв + (10.27)
где
т —
h±l
При проверке прочности балок по главным напряжениям часто
возникает необходимость знать не только величины главных напря-
жений в той или иной точке, но и их направления.
В частности, это необходимо при конструировании железобетон-
ных балок, в которых арматуру следует располагать таким образом,
чтобы она сопротивлялась действию растягивающих напряжений.
В любой балке можно построить ли-
нию, касательная к которой в каж-
дой точке будет характеризовать
направление главных напряжений.
Такая кривая называется траекто-
рией главки г нпир.чмениИ. Траекто-
рии главных напряжений зависят от
вида нагрузки и условия закреп-
ления балки.
Очевидно, через каждую точку
балки проходят две траектории
главных напряжений, соответственно
о1 и о3, пересекающиеся между
t-обой под прямым углом. В железо-
бетонных балках обычно стремятся
располагать арматуру в направлении
траектории главных растягивающих
напряжений (рис. 162).
Рис. 162
§ 53. Концентрация напряжений при изгибе
При изгибе, как и в случае растяжения пли кручения, в местах
резкого изменения размеров или формы поперечного сечения возни-
кает концентрация напряжений. При статических нагрузках концен-
трация напряжений в деталях, изготовленных из пластичных материа-
лов, не является опасной благодаря перераспределению напряжений
в зоне концентрации ла счет текучести материала. В случае хрупких
материалов, когда не приходится рассчитывать па перераспределение
224
напряжении и ограничение максимальных напряжении пределом теку-
чести, концентрацию напряжений следует учитывать и при статиче-
ских нагрузках. Допускаемые максимальные напряжения в зоне кон-
центратора не должны достигать временного сопротивления материала,
являющегося в данном случае предельным.
Влияние концентрации, возникающей в месте резкого изменения
диаметра вала (рис. 163, а), мо-
жет быть учтено введением неко-
торого коэффициента концентра-
ции а:
стах ~ ас и '
Р1
где a(J — — , найденное для вала
с диаметром, равным меньшему
диаметру рассматриваемого вала
(рис. 163, б) при отсутствии
концентратора.
Значения коэффициента кон-
центрации а для различных со-
D
отношении диаметров и ра-
диусов закруглений в галтели г,
найденные методами теории vnpy-
D n D ‘ , г
ГОСТИ ДЛЯ = 3 И —Г- — 1,5,
и d
д
Рис. 163
приведены в виде графика а = (рис. 164).
Максимальные напряжения в зоне концентратора в пластине
с двусторонней выточкой гиперболической формы при чистом изгибе
в плоскости пластины (рис. 165) могут быть определены по следующей
формуле, полученной методами теории упругости:
8 51186
225
где
ЗМ *
а„ — -т?» (° — толщина пластины).
На рис. 166 приведен график зависимости smax от отношения
На рис. 167 даны зависимости теоретического коэффициента
Рис. 166
концентрации а для различных отношений ширины пластины Н
1 о
к ее ширине п в месте выточки радиуса р от отношения у .
Па рис. 168 даны графики распределения напряжений в зоне
концентратора в виде эллиптического отв'-рстич в широкой пластине
при чистом изгибе в ее плоскости для случая, когда — = 25. Но мере
226
удаления от дна выточки, а также в направлении вдолл оси у напря-
жения быстро убывают. Штриховой линией показано распределение
напряжении, вычисленных по элементарной теории изгиба путем
учена ослабления сечения отверстием.
Наибольшее напряжение, возникающее у дна выточки, можно
определить по формуле
<Jmax = l3n(l + Vt-)’
где
%
JW7
2о6'!
(Ь — толщина пластины).
Зависимость ат от отношения — графиче-
ски представлена па рис. 169.
Для круглого отверстия стах = 2а. При
Р 00 атах -* а'
В случае глубокой круговой выточки на
теле вращения (рис. 170) наибольшее папря-
Рис. 169
женпе при изгибе возникает у дна выточ-
ки, где материал находится в условиях объемного напряженного
состояния. На рис. 170 показано распределение всех трех главных
напряжений (at, a? и a3), а на рис. 171 дано распределение напряжений
а, и с2 у дна выточки в зависимости от
Сечение х=0
Рис. 170
отношения — при различных коэффи-
циентах Пуассона.
В случае мелких выточек на деталях
вращения величина коэффициента концент-
рации зависит, главным образом, от отно-
шения радиуса закругления г к диаметру
выточки. На рис. 172 приведен график за-
, ( г \
впспмостп a = для этого случая.
Весьма распространенными концент-
раторами в работающих яа изгиб дета-
лях машин являются различного рода
поперечные отверстия. Концентрация
в этом случае зависит от отношения
диаметра поперечного отверстия d к диа-
метру детали D, в которой это отверстие
сделано. Зависимость коэффициента кон-
d
центрации а от приведена в виде
графика на рис. 173.
В заключение заметим, что при изгибе
возможна не только концентрация нор-
мальных напряжений, но и концентрация
касательных напряжений в местах резких переходов, в частности
в сечении 1 — 1 двутавровой балки (рис. 174, а, б). Однако
вследствие закруглении в местах перехода стенки в полку копцепт-
8*
227
рация напряжений снижается и вместо эпюры, показанной на
рис. 174 б, имеет место эпюра, показанная на рис. 174, в.
Рис. 171
§ 54. Дифференциальное
уравнение изогнутой осп
балки (упругой липин)
В инженерной практике при-
ходится проводить расчет балок
при изгибе не только па проч-
ность, но и на жесткость, или др-
формативность.
Деформативность балки в дапном сечении характеризуется про-
гибом ш и углом поворота 0. Информацию о и> и 0 как функциях коор-
динатной оси, совпадающей с осью балки, можно получить, зная
уравнение изогнутой оси балки (упругой липин).
Упругой линией называется плоская кривая, форму которой при-
нимает ось балки при плоском изгибе. На рис. 175 и 176 упругие
линии изображены тонкими линиями.
228
Уравнение упругой линии легко получить, зная выражение кри-
визны через изгибающий момент M(z) в данном сечении и изгибную
жесткость EJ поперечного сечения балки (см. § 50)
Рис. 177
и выражение кривизны через координаты точки в данном сечении
w и z, известное из курса высшей математики:
d2w
(10.29)
Имея в виду знаки для М и - в зависимости от действия моментов
и расположения координатных осей (рис. 177), можно приравнять
правые части выражений (10.28) и (10.29), приняв в обоих случаях
229
знак «плюс». Тогда точное уравнение изогнутой оси балки получим
в виде
d2w
d£ М (г)
(10.30)
В связи с малостью деформации балки (^П1ах = (0,01 —0,001) I и
(dw\2
Ощах^!0) в формуле (10.30) можпо превебречь членом I — I « О2.
Тогда дифференциальное уравнение (10.30) можпо переписать
в виде
d2w __М (z)
~d^~ " ~EJ~
(10.31)
Это и есть то исходное (приближенное) диффе ренци алъное уравнение
изогнутой оси балки, решая которое можпо получить уравнение
упругой линии w — f (z) и уравнение угла поворота 0 = ’ = /х (z).
Проинтегрировав уравнение (10.31) первый раз, пайдем
dw
~dz
dz 4- Ct.
(10.32)
Проинтегрировав второй раз, получим
( Г М (z}
w(z)—\dz\ dz + ClZ + С2,
(10.33)
где Ci и С2 — постоянные интегрирования, которые должны быть
найдены из граничных условий (условий па концах балки).
Если балка имеет на конце заделку (рис. 178), то прогиб
п угол поворота в ней равны пулю:
wB — 0; Ов = 0.
Для балки на двух шарнирных опорах (рос. 176) равны пулю
прогибы на этих опорах:
W?A = 0; WB = 0.
Учитывая дифференциальную
моментом М (z) и распределенной
зависимость между изгибающим
нагрузкой (см. § 18)
d2M (z)
dz2
выражение упругой линии (10.31) можпо записать в виде:
d2w (z)
dz2
(10.34)
230
В этой форме дифференциальное уравнение применяют обычно при
расчете балок на упругом основании, а также при рассмотрении коле-
баний балок.
Для иллюстрации нахождения уравнений упругой линии w —
= /(z) и угла поворота 0 = /(z), а также определения максимальных
прогибов trmax и углов 0тах (представляющих наибольший практиче-
ский интерес) путем интегрирова-
ния дифференциального уравнения
(10.31) рассмотрим несколько при-
меров.
Для консоли постоянного попе-
речного сечения при действии сосре-
доточенной силы Р на свободном
конце (рис. 178) изгибающий момент
на расстоянии z от конца будет
М (z) = — Pz,
а дифференциальное уравнение изо-
гнутой осп консоли (10.31) примет
вид
d*w
~ dz* = “ ~ЁТ -
После двукратного пптегрирования будем иметь
= ~ 'От+C1Z+6’8*
Ci и С2 определим из граничных условий:
при z = I w = 0;
при z — I 0=0.
Из второго условия получим
__ Р1*
из первого условия получим
Г - р13
°2 3EJ •
Уравнения прогиба и угла поворота следующие:
РР Г z / Z VI
*<2> = -ыН2-3т + (-Ш! <10-35)
0(г) = (10.36)
231
Максимальные значения w и 0 имеют место на свободном конце
балки в точке А:
Р13
wmax Ja 3EJ ’ (10.37)
®тах
~2EJ *
(10.38)
Отрицательное значение f Л свидетельствует о том, что прогиб направ-
Рис. 179
лен в сторону, противоположную
положительному направлению оси w,
положительное значение 6 показы-
вает, что поворот сечения происхо-
дит против часовой стрелки.
В случае изгиба балки, шар-
нирно опертой по концам и несущей
равномерно распределенную нагрузку
q (рис. 179), выражение изгибаю-
щего момента будет
,, , х №
а дифференциальное уравнение
изогнутой оси балки (10.31) примет
вид
d2w _ 1 / ql qz2 \
dz2~~EJ~\~2~Z 2~ '
Проинтегрировав дважды, получим
О <z} — — Ql z2 — —— z3 -4- •
( ‘ ~ dz ~ ЬЕJ fiEJ +C1’
al
W (z) = “ 2477 + Ciz + C*
Граничные условия следующие:
при z = 0 w = 0;
при z = I w — Q.
Из первого условия находим w (0) ~С2 = 0;
из второго условия имеем
г — qli
C1 ‘2AEJ •
Подставив значения Сг и С2 в выражения для w(z) и 6 (z),
получим уравнение упругой линии и уравнение угла поворота
W (Z)
[1 _ 2UT+ Ш3] •
2AEJ [ \l ) J J ’
О (z) = -
ql3
2iEJ
1 —
(10.39)
232
Максимальное значение прогиба будет посредине пролета
_ /==_____5_ ql\
“’max ' 384 Ej '
(10.40)
Максимальные значения угла поворота будут на опорах
0(О) = ОА-
QZ3
2AEJ ;
(10.41)
Уравнения изогнутой оси балки, значения максимальных проги-
бов и углов поворота опорных сечений для различных схем нагруже-
ния простейших балок приведены в табл. 20.
При определении перемещений отдельных сечений балки в ряде
случаев удобно использовать графоаналитический метод, основанный
на аналогии между дифференциальным уравнением упругой линии
(10.31) и дифференциальной зависимостью (3.3). связывающей изгибаю-
щий момент и интенсивность распределенной нагрузки. Указанная
аналогия позволяет вычисление
прогиба
w по
известному
М (z)
EJ
вести так же, как определение М (z) по q (z). Ордиьата эпюры
М (z), деленная на EJ, рассматривается как некоторая фиктивная
нагрузка
?ф (z) =
М (z)
EJ ’
О
В этом случае искомые прогиб u?(z) и угол поворота 0(z) опреде-
ляются соответственно как изгибающий момент M$(z) и поперечная
сила (?ф(г) в сечении z фиктивной (взаимной) балки от фиктивной
нагрузки, равной эпюре M(z) действительной балки
(10.42)
Фиктивная (взаимная) балка имеет длину участков, равную длине
участков действительной балки, а опоры выбирают таким образом,
чтобы удовлетворить условиям деформации действительной балки.
Сочетания опорных закреплений действительной и фиктивной балок
приведены в табл. 17.
Последовательность определения деформаций следующая. Строит-
ся эпюра изгибающего момента действительной балки; выбирается
соответствующая схема фиктивной балки; фиктивная балка нагру-
жается эпюрой изгибающего момента действительной балки; в выбран-
ном сечении фиктивной балки определяются фиктивные изгибающий
момент Мф(г) и поперечная сила Сф(г) 11 по формулам (10.42) вычисля-
ются значения прогиба и угла поворота в выбранном сечении*.
• Приведенный выше графоаналитический метод, или метод Мора, основан-
ный на идентичности дифференциальных уравнений, не является единственно
возможным. Недавно были сформулированы и другие аналогии, позволяющие
заменить нахождение силовых и деформационных факторов в одном (заданном)
стержне нахождением деформационных и силовых факторов в другом (фиктив-
ном, взаимном) стержне (см. Дополнение, стр. 610).
233
При вычислении M$(z) и Сф(?) с случае сложной конфигурации
эшоры изгибающего момента действительной балки, представляющей
фиктивную нагрузку, ее разбивают па отдельные простейшие фигуры
(см., например, рис. 240), площади и положения центров тяжести
которых известны (табл. 23).
§ 55. Определение перемещений в балках по методу
начальных параметров
Определение перемещений методом непосредственного интегриро-
вания дифференциального уравнения упругой линии в случае балок
с большим числом участков, каждый из которых характеризуется
своим выражением изгибающего момента, сопряжено со значитель-
ными трудностями, связанными с определением произвольных постоян-
ных интегрирования. При интегрировании дифференциальных урав-
нений для п участков приходится иметь дело с двойным числом посто-
янных интегрирования. Добавив к двум основным условиям на кон-
цах балки 2(п—1) условий непрерывного и плавного сопряжения всех
участков упругой линии, можно составить 2п уравнений для опреде-
ления этих произвольных постоянных.
Задача становится весьма трудоемкой уже при трех участках.
Технику определения постоянных интшрировавия можно существенно
упростить, сведя ее к отысканию всего двух неизвестных — прогиба
и угла поворота в выбранном начале координат. Этот метод, называе-
мый методом начальных параметров, основан па следующих исходных
положениях:
1. Начало координат выбирают в крайней левой точке рассматри-
ваемой балки и оно является общим для всех участков.
2. Выражение для изгибающего момента составляют путем
вычисления моментов сил, расположенных слева от рассматриваемого
сечения, взятого на расстоянии z от начала координат.
3. При включении в уравнения внешнего сосредоточенного мо-
мента М, приложенного на некотором расстоянии а от начала коорди-
нат, его умножают на множитель (z—а)(), равный единице.
4. В случае обрыва распределенной нагрузки (например, в сече-
нии z = d, рис. 180, б) ее продлевают до копна рассматриваемого
участка, а для восстановления фактически действующей па балку
нагрузки вводят компенсирующую нагрузку обратного направления
(экстраполированную дополнительную нагрузку и нагрузку, ее ком-
пенсирующую, припято показывать пунктиром).
5. Интегрирование уравнений на всех участках производят без
раскрытия скобок.
При таком подходе выражение изгибающего момента па любом
участке представлено через все силовые факторы, действующие слева
от рассматриваемого сечения, включая изгибающий момент M<t и по-
перечную силу ()0, действующие в сечении, совпадающем с началом
координат. Величины Мо и (?0 так же, как и прогиб и угол поворота
0О в начале координат, называются начальными параметрами. Изги-
бающий момент для балки, показанной па рис. 180, а, при выборе
начала координат в точке Я на расстоянии z (в четвертом участке
балки) будет-
М (z) = Л/о+ + М (z - а)” + Р (з - &) + ’
234
где
n ^d — Qc
к tg p — c .
После подстановки изгибающего момента в дифференциальное
уравнение (10.31), двукратного его интегрирования и определения
постоянных интегрирования, которыми оказываются начальные
параметры
-- 0 о и 6*2 — ^0’
уравнения 0 (z) = /х (z) и w(z) = f(z) в самом общем виде могут
быть записаны так:
+ ,с <^£>1 _ £ да ‘^1 + 2 к -
(10.43)
235
<1 Г 22 (z_а}2
w (z) = wn 4- 0oz + -gj- ^0 “2Г + 7 , W —2!-*"
+^+2^+2^-^^+
+ 2^_2^]. (10.44)
Полученное уравнение (10.44) обычно называют универсальным
уравнением упругой линии, имея в виду, что оно может быть приме-
нено при любых расчетных схемах балок.
В уравнения (10.43) и (10.44) подставляют нагрузки, расположен-
ные слева от рассматриваемого сечения; знаки слагаемых определя-
ются знаком соответствующих силовых факторов. Итак, определение
перемещений по методу начальных параметров в конечном итоге сво-
дится к определению величин начальных параметров Q„, Мо, 0О и о>0.
При этом статические начальные параметры Q(, и Мо находятся из
условия равновесия балки, геометрические начальные параметры 0О
и ш0 определяются из условий на опорах. Для определения начальных
параметров и М(1 могут быть использованы данные табл. 9, а для
определения параметров 0О и а>0 — данные табл. 20.
Воспользуемся полученным универсальным уравнением для
определения прогибов консоли (рис. 181, а, б) в точках z = а и z = 2а.
Уравнение упругой линии на участке, где приложена нагрузка </,
будет иметь вид
Рис. 181
Из условия равновесия балки
находим
Со = На ~ Qa-
Гак как начало координат совпа-
дает с заделкой, то геометрические
начальные параметры — прогиб и
угол поворота в начале координат—
равны нулю:
w0 = 0; 60 = 0-
Уравнение прогибов на первом
участке АС будет
qa2 z2 qaz* qzA ]
------~3i--------4Г|-
1
~ЁТ[ 2 2!
При z = а
qaA
236
Уравнение прогиба па втором участке СВ будет
' qa1 zJ ,
' ~Т ~21 + Ч°
г3
3!
г .
-«74Г + ’
(z — а)4
~4Г“
Положив z
2а, получим для прогиба свободного копна
7<?а4
U'B~ ~ 2AEJ *
Определив прогибы и углы поворота, можно проверить жесткость
балки или подобрать ее сечения из условия жесткости:
wmax = / [/]•
Допускаемые величины прогибов f/] устанавливаются из условий
эксплуатации или экспериментальных данных.
В случае расчета перемещений для балок с промежуточным шар-
ниром универсальные уравнения (10.43) и (10.44) должны быть запи
саны в виде:
где а — угол, на который отличаются углы поворота стержней, при-
мыкающих к промежуточному шарниру, т. е.
9 (е)л + а= 9 (е)Пр-
где 0 (е)пр — угол поворота правого стержня в точке S (рис. 180);
6 (е)л — угол поворота левого стержня в том же шарнире S.
Слагаемые с сомножителем (z — у) < 0 при расчете не учитываются.
237
Взаимный угол наклона а является дополнительной непзвес'шоп
величиной в уравнениях (10.45) и (10.46). Как и начальные параметры
w0 и О,,, угол а определяется из условий на опорах. В зависимости от
расчетной схемы балки возможны два основных случая составления
опорных условий.
1. Угол а может быть определен из условия равенства нулю про-
гиба на правой опоре (рис. 182).
2. Угол а определяется совместно с 0О из условия равенства пулю
прогибов на опорах В и С (рис. 183) путем решения системы двух
алгебраических уравнений.
§ 56. Расчет балок переменного сечения
на прочность и жесткость
Ступенчатые стержни. При расчете на прочность ступенчатого
стержня, изготовленного из пластичного материала, условие проч-
ности будет иметь вид
Рис. 184
d~w M (z).
Для стержня из хрупкого
материала следует учитывать кон-
центрацию напряжений в местах
сопряжения двух сечений разного
диаметра. В этом случае условие
прочности должно записываться
в виде
Л7 г ,
сшах аав а
(10.48)
где а — теоретический коэффи-
циент концентрации напряжений
(см. Приложение 2). В обеих фор-
мулах W — момент сопротивле-
ния ослабленного сечения.
При определении деформации
ступенчатой балки (рис. 184, а)
необходимо записать дифферен-
циальное уравнение изогнутой
оси балки для каждой из ступе-
ней, изгибные жесткости попереч-
ных сечений которых соответствен-
но равны EJX; EJ2\ EJ.3;.,
d2w M (z) d2w M (z)
dz? = ~ЁТ^ ; df =z KJ.,
(10.49)
Заменим ступенчатую балку эквивалентной балкой постоянного
сечения с моментом инерции Jo, равным моменту инерции одного из
участков балки, например второго </0 — Умножив числитель и
знаменатель правой части дифференциального уравнения (10.49)
для произвольного участка п на </0, получим
d-iv М (z) _ М (z) Л, _ -V (z) ,, r„
t/z2 EJn Jo ~ EJt Jn EJ3 i'n’ ’
238
где 3„ —
на рис.
Jq____
J и
184, J.
коэффициент приведения. В примере, приведенном
: J2 ; J.{ — 1 : 3 ; 2 и pj = 3; °2 = 4 5 Нз ~ -ту •
Так как изгибающий момент является линейной функцией нагруз-
ки, то для каждой части бдлки вместо умножения на коэффициент
приведения изгибающего момента можно умножить на этот коэффи-
циент все внешние нагрузки данной части вместе с внутренними усили-
ями Q и М в местах сопряжения различных ступеней (рис. 184, б, в).
Соединив отдельные части друг с другом и просуммировав внутренние
усилия на стыке, мы получим балку постоянного сечения с изгибной
жесткостью EJ0, нагруженную приведенными внешними нагрузками
(т. е. нагрузками, измененными в .раз). При этом в местах сопря-
жений будут наблюдаться скачки поперечных сил и изгибающих мо-
ментов, соответственно равные
^Qi — Q1 (^2 Pi)i — (?2 (Рз Рг)»
М2(рз-₽2).
В местах стыка частей балки надо приложить дополнительные
сосредоточенные силы и сосредоточенные моменты, определяемые при-
веденными формулами.
Полученная таким образом эквивалентная балка (рис. 184, г)
будет иметь упругую линию, полностью совпадающую с упругой
линией заданной ступенчатой балки (рис. 184, а).
Перемещения такой балки можно определить, интегрируя дпффе
ренцпальпое уравнение.
^пр
dz2 EJ,}
(10.51)
где Л7пр — момент приведенных внешних нагрузок и дополнительных
нагрузок А(? и AM, определяемый, как и в обычной балке, нагружен-
ной по схеме рис. 184, г. Для определения w и 0 можно воспользо-
ваться также универсальными уравнениями (10.43) и (10.44) метода
начальных параметров, рассматривая приведенную балку, как балку
постоянного сечения с изгибной жесткостью поперечного сечения EJn.
Балки с непрерывно меняющимся по длине сечением. Если раз-
меры сечения стержня непрерывно изменяются по длине, то формулы,
полученные на основании гипотезы плоских поперечных сечений,
становятся неверными, как и сама гипотеза. Однако, как показывают
результаты расчета методами теории упругости, в jom случае, когда
угол наклона образующей поверхности стержня к его оси не превы-
шает 15—20°, распределение нормальных напряжений по высоте се-
чения можно принимать линейпым. Тогда, естественно, можем ис-
пользовать обычное условие прочности и дифференциальное уравне-
ние упругой линии
Gmax ~
d2w _ М (z)
dz2 EJ (z)
(10.52)
(10.53)
239
Погрешности при вычислении касательных напряжений по фор-
муле Журавского
QS (у)
b (z) J (z)
(10.54)
в данном случае будут большими, чем при вычислении нормальных
напряжений по формуле Павье:
М (z) у
•/(z)
(10.55)
Формул \ (К .53). выражающую дифференциальное уравнение
изгиба балки переменного сечения, можно записать в виде;
d2w _ -^Пр (z)
dz2 EJU
(10.56)
где Мпр (z) =
J о
J(z)
М (z) — приведенный изгибающий момент, смысл
которого отличен от Л7пр, входящего в формулу (10.51); Jo — момент
инерции какого-либо сечения, обычно наибольший или наименьший.
Балка, момент сопротивления которой меняется пропорционально
изгибающему момепту от внешних нагрузок, называется балкой рав-
ного сопротивлвния изгибу. Рассчитывается такая балка по формуле
W (z) =
(10.57)
В балке равного сопротивления изгибу максимальные напряже-
ния в любом сечении одинаковы и равны допускаемым [о]. Примером
балки равного сопротивления может служить консоль с постоянной
шириной Ь и переменной высотой h(z) (рис. 185), определяемой из фор-
мулы (10.57). Тогда
Следовательно, высота балки меняется по
*• 11С l®'В 9 параболическому закону, достигая максиму-
ма в месте закрепления
Поскольку согласно (10.58) вместе приложения силы (z = 0) h (0) ==0,
то высота концевого сечения определяется из условия среза:
ттах
3 Р 3 Р
2 F 2 bh М’
240
откуда
Валки параболического очертании (весьма выгодные с точки
зрения экономии материала) из за сложности изготовления применя-
ются весьма редко. На практике часто применяют балки равного
по-
ши-
соп роти влепи я изгибу, имеющие
стояниую высоту h и переменную
рину b(z) (рис. 186).
Закон изменения ширины b (z)
дем из (10.57). Тогда
пай-
|Г _ь ы ___________________
(i |=| - 21=|
откуда получаем л и небную зависи-
мость
«ШШШЮТПШШ®
Рис. 187
Рис. 186
‘ЛР
b(z) = № [о] 2-
При z — ~
Максимальный прогиб такой балки равного сопротивления щзгпбу
определяется па основании (10.56). Но известным Jo, J (z) и их
отношен ию
Л) _ 5р _ /
J (z) ~ b (z) 2z
241
можно найти приведенный момент
лМг) -
м (Z) ,
7(2) '°
Рл _Л_
2 7(2)
Р/
4
Подставляя Л?пр в (10.56), полечим
d2w Pl
dz2 4Р70
Интегрируя эго уравнение дважды, находим
dw 1 ( Pl
— = ow = e77(T
1 I Ph2 \
TH- Ar“ + ^2 + c2 •
ZS*/ Q \ О J
Постоянные интегрирования Cr и C2 определяются из условий
Отсюда
Р/\
8 ’
Рис. 188
Отсюда видно, чю максимальный прогиб
балки равного coripoi и влепи я е.;,гвбу в полто-
ра раза больше прогиба балки постоянного
сечения с изгибной жеп копью Л7:.
Приведенная теория е достаточной степе-
нью приближения может был использована
при расчете рессор (рис. 187, a, е, г).
При этом ширину концевых сечений
балки определяют из ус юаня среза
(см. рис. 188, а, б).
р Р j
ттах = ~р~ < f'>-
откуда
Р
h I-J
242
Формулы для определения размеров поперечного сечения и макси-
мального прогиба балок равного сопротивления приведены в табл. 18.
В табт. 19 даны уравнения упру гой линии и углов поворота попереч-
ных сечений консольной балки переменной высоты для некоторых
случаев ее нагружения.
§ 57. Расчет на азгиб с учетом сил инерции'
Действие сил инерции следует учитывать при расчете элементов
конструкций, испытывающих большие ускорения. Примером может
Рис. 189
служить спарник АВ (рис. 189), соединяющий две оси, одна из кото-
рых (О,) является ведущей. Любой элемент длины спарника, описы-
вающий окружность радиуса г с угловой скоростью со, испытывает
центростремительное ускорение со2г. Интенсивность возникающей по
длине спарника распределенной нагрузки будет:
где F — площадь поперечного сечения спарника; 7 — удельный вес
материала; g — ускорение силы тяжести.
Наиболее опасным положением спарника будет крайнее нижнее
положение А1В1, при котором нагрузки от сил инерции <?и и от соб*
ственпого веса qG суммируются:
+ ?с = ~~ + —) •
Рассматривая спарник как балку па двух шарнирных опорах,
найдем максимальный изгибающий момент
м _ ^max^2 _ 7^2 1. , w2/^
шах" 8 “ 8 \ g /
п наибольшее напряжение
лиах F yl2
В7 “ W 8 \
(Л2Г
ё
Силы инерции необходимо учитывать также при расчете шатуна
поршневой машины (рис. 190). Шатун испытывает инерционную рав-
номерно распределенную нагрузку, меняющуюся по линейному за-
к шу, как показано на рисунке. Максимальная интенсивность нагрузки
2 43
будет в точке А, когда кривошип составляет с шатуном угол, рав-
ный 90J,
7^ 2
<7тах = — " г>
где г — радикс кривошипа.
Максимальный изгибающий момент в шатуне (при рассмотрении
его как шарнирно опертой балки), как известно, будет на расстоянии
I
—— от точки В:
/з
^пах/2
max
9/3 ’
а максимальное напряжение
М
______ 2 2 max
атах рр
Подставляя значение <7тах> найдем
9тах^2 F^l2to2r
Q — _ —!———.
тах 9/31Г'
§ 58. Касательные напряжения при изгибе балок
тонкостенного профиля. Центр изгиба
Формула Журавского даеи верные результаты в случаях, когда
ширина балки (сечения тп на рпс. 191) достаточно мала по срав-
нению с высотой h.
В сечениях полок тонкостенного профиля (рис. 191, в, е, д)
напряжения т, параллельные усилию Q, настолько малы, что ими
Рис. 191
можно пренебречь. Ио в этих полках возникают касательные напря-
жения тп, перпендикулярные усилию Q. Учитывая малую толщину
полки i, можно считать, что касательные напряжения тп по толщине
полки распределены равномерно. Тогда их величина определится по
формуле
OS (,т)
Л
(10.59)
244
найденной из рассмотрения условия равновесия части полки двутавро-
вого сечения длиной dz (рис. 192), где статический момент
(10.60)
Из сопоставления формул (10.59) и (10.60) видно, что закон распреде-
ления касательных напряжений по ширине полки определяется зако-
ном изменения статического момента
5 (z), т. е. тп распределяются по линей-
ному закону.
Эпюры касательных напряжений,
построенные для двутаврового сечения
i\? 20 при Q = 10 000 кГ, приведены на
рис. 193.
Касательные напряжения в полках
тонкостенных профилей существенно влия-
ют на характер напряженного состояния
стержня и вид его деформации.
Если сечение имеет две оси
симметрии и силовая плоскость про-
ходит через одну из них (рис. 194, а),
то в сечении возникают равнодей-
ствующие усилия в стенке Гот
и в полке Тц (рис. 194, б). В силу
симметрии полок усилия Та вза-
имно уравновешиваются на каждой
полке.
Иначе обстоит дело, если глав-
ная центральная орь, перпендику-
лярная к нейтральной линии, не яв-
ляется осью симметрии (рис. 195, а).
Касательные напряжения в стенке
и полках приводятся соответственно
к усилиям Тст и 7’п (рис. 195, б).
При этом вертикальными касательными напряжениями в полках
пренебрегают. Поперечная сила
О = Т .
V * ст
При этом она не проходит через центр тяжести, а будучи равнодей-
ствующей силы Гст и двух сил Гп, создающих пару, смещена на
245
некоторое расстояние хс (рис. 195, б) п пересекает нейтральную
линию в точке С.
Смещение хс можно определить пз условия
^мл = е(^4-4)-7'п(й-О = о,
Рис. 194 Рис. 195
откуда
(Ю.61)
V
Учитывая, что
Ь—хй Ь—х„
* „ f , С QS (х) ,
Т ~. t \ т dx ~~ \ ¥~-— dx —
J п J Л
—(х0—d) —(х0—d)
Ь—хй
Jt и
—fa-d)
формулу (10.61) можем записать в окончательном виде;
_ t (1г — t)2 (b — d)2 d
ХС ~ 7J 2 •
Смещение равнодействующей относительно центра тяжести сече-
ния на расстояние xG 4- хц, как это следует из схемы, приведенной
на рис. 196, а, приводит к тому, что внешняя нагрузка Р, действую-
щая в плоскости zy. вызывает в сечении балки не только переменный
по длине изгибающий момент M(z) — Pz, но также крутящий момент
(рис. 196, б) М — P(xt) -j- гс) за счеч смещенности поперечной силы
Q — Р (являющейся равнодействующей усилий 7’ст и Тпу Вследствие
этого балка будет нс только изгибаться, но и скручиваться (рис. 196,е).
Для предотвращения скручивания на практике используют сим-
246
метричные сечения из двух швеллеров или выносят точку приложения
нагрузки из главной плоскости так, чтобы она проходила через точку С
(рис. 196, г).
В этом случае участок балки длиной z полностью уравновесится
силами Р, Q (z) — Р и моментом Л/ (z) — Pz и кручения не будет. По-
этому точку С называют центром иагиба или центром жесткости
Рис. 196
Центры изгиба всех сечений балки расположены на прямой, которая
называется осью жесткости балки (рис. 196, б). Очевидно, для стерж-
ней с двойной симметрией ось жесткости балки совпадает с осью, на
которой размещены центры тяжести сечений.
§ 59. О расчете балок на упругом основании
При рассмотрении балки на сплошном упругом основании
(рис. 197) предполагается, что реакция основания в каждой точке про*
порциональна упругому прогибу w в этой точке.
Обозначив коэффициент пропорциональности, имеющий размер-
Рис. 197
и/’
пость , буквой а, получим, что интенсивность реакции осно-
вания равна аи>.
Таким образом, при заданной внешней распределенной нагрузке
q{z) полная распределенная нагрузка, действующая па балку, будет
Р (г) = Я (») — (г).
(10.62)
247
Расчет балок на упругом основании представляет собой статиче-
ски неопределимую задачу. Интенсивность реакции основания связана
с деформацией балки, поэтому при решении задач сначала необходимо
найти упругую линию балки. Дифференциальное уравнение изогну-
той оси балки согласно (10.34) можно записать в виде
d4iv (z) 1 . „
-^4------- -gy l<7 (z) — aw (z)]. (10.63)
Если распределенная нагрузка отсутствует, g(z)=O (рис. 198),
уравнение (10.63) примет вид
Выберем начало координат на левом конце рассматриваехмого
участка, где начальными параметрами будут: w0, 60> Л/о и (?о- Введя
обозначение
L =
bEJ
а
(L имеет размерность длины) и заменив независимую переменную z
безразмерной абсциссой
уравнение (10.64) перепишем в виде
d*W I / п
—_ + 4M; = 0.
Общее решение этого уравнения:
w = С4е’ cos ъ + С2е’ sin 6 -f* Сзе~; cos * + С4е~’ sin (10.65)
Взяв соответствующие производные от (10.65), выразим через
них Q, М и 6:
— ОZL = Схе'- (cos 6 — sin i) + С2е: (cos 5 + sin ;) —
— (cos $ + sin £) + (cos ; — sin ;); (10.66)
d2w M (z)L2 n < . , „ .
— —-yj— = —Z (C4e’ sin t — v2e’ cos ; — C?e ’ sin ; +
+ C4e“$cos$); (10.67)
О (z\T3 c
• — = —2 [Cie~ (cos £ + sin ;) — Cfe: (cos 5 — sin 6) —
— ’(cos£ — sin$) — C4e 5 (cos ? — sin $)]. (10.68)
248
Положив в (10.65)—(10.68) £ = 0, получим выражения для
начальных параметров:
= Ci 4* С3;
£0о = Ct + С2 — С3 4- б’4;
= -(- 2С2 4- 2С4) EJ-
L3Q0 = — (2Ci — 2С2 — 2<?3 - 2С4) EJ.
Решив систему этих четырех линейных уравнений относительно
постоянных интегрирования, получим выражение последних через
начальные параметры в виде:
2 4 + \EJ т YEJ '
р ___Щз Е0о E^Q) _
сз- 2'~"T + 8Z7',
£90 L*Q.
4 4 4А7 "Г 8EJ ’
Подставив выражение постоянных интегрирования в (10.65) —
(10.68), найдем
w (г) = (=) + £!)0Г2 (S) + (;) + Y, (5);
» W = V1 («) + 'ф у2 (5) + у, (';) - yt (5);
M (z) = M0Y1 ($) 4- LQoY2 (?) - aI7W()Y, (?) - а£30оУ4 (6);
Q (z) = <?o^i (?) - «Lw^Y., (?) - а£*0оУ3 (?) - ~ М0У4 (£),
где Ух, У2, У3, У4 — функции A. H. Крылова*;
У1 (£) = ch £ cos £ == ~ (e$ 4" e~5 cos
Y2 (£) = (ch ? sin£ 4- sh $ cosS) =
1 C £ С C
=[(e‘4-e ) sin ? 4-(e’— e~’) cos $];
Y-л (*) = sh C sin $ = у (e; — e~^) sin ;
У i (?) — ^ (ch $ sin £ — sh £ cos z) =
= [(eX + e~e) sinS — (e; — e~?) cos$].
* Значения этих функций приведены в Приложении 4. Более подробные
таблицы имеются в [К 15].
249
При дифференцировании функций Крылова имеют место следующие
важные зависимости:
LYr = - 4У4; Ly'2 = У4; £У3' = У2; LYi = У8.
В общем случае (рис.
сосредоточенный момент
199). когда на отрезке Oz действует
в точке с абсциссой сосредоточенная
сила Pi в точке с абсциссой bi
и равномерно распределенная на-
грузка qc на участке от z — с до
z = d, общие уравнения для и>, О, Q
и М будут иметь вид:
1 ( / 7 \ / 7 \
+ 7УЧ+М°£2У3Ш+ <?,)2?У1Ы+
+ Z? У^ (z-^\-
\ L /
О (z) — 60Ki (-{) +
-L | 4- М0ВУ2 1~} + Q.L^Y, (-* ) -
Z5«У \ / \ Zu /
(10.69)
W.Y, ) + L £ MiY, + & £ PiY, +
Zj \ JLi / *\ Zu /
+ 13 S r4(Z“£^)]) ; (10-70)
М (z) - M.Y. г-- + q.ly2 4 “ «£2«’оК3 4 -aL V4 4 +
\ L, / \ Lt / \ Lt J \ Lt /
(z—Г^) +
Q (2) = СоГ, (4)- aLw^Y^ (т ) - ( 7 ) - ^Г- У4т V
\ Lt / \ Li / \ Л-t J Lt \ Li /
+ i J ft [г, (тт2) “ Гг (н~)] • <10-72)
Таким образом, при известных начальных параметрах га0, 6и, Мо
и (Jo величины w(z), 0 (z), М (z) и Q (z) могут быть определены
в любом сечении с координатой г по формулам (10.69) — (10.72).
Начальные параметры в каждом конкретном случае могут быть
определены из условий на концах балки. Эти условия для различных
случаев закрепления балки при совмещении начала координат с левым
ее концом представлены ниже.
250
Условия на ь •онцах балки Левый конец 0 = 0) Правый конец (Z = ')
Левый конец Правый конец ч 1, к г м Q
Свободен Свободен — М Ou — Qi
Свободен Оперт — — .-И(, 0 — Mi
Свободен Заделан — — Оо 0 0 —
Оперт Оперт 0 — Л7(, — 0 — Mt —
Оперт Заделан 0 — — о 0 — ——
Заделан Заделан 0 0 — — 0 0 — —
Ml ii Qi — соответственно внешние сосредоточенные момент и сила
на правой опоре.
При выборе начала координат на левом конце однопролетпой
балки два начальных параметра всегда известны. Для определения
двух других параметров необходимо решить систему двух алгебраиче-
ских уравнений, составленную пз условий закрепления правого конца
балки.
§ 60. Изгиб балок, материал которых
не следует закону Гука
Диаграммы растяжения и сжатия для материалов, не следующих
закону Гука (чугун, камень и др.), показывают, что напряжения
растут медленнее деформаций и отставание роста напряжений от де-
формаций значительнее при растяжении, чем при сжатии (рис. 200).
В этом случае нейтральная линия не проходит через центр тяжести
поперечного сечения, а смещается в сторону центра кривизны оси
балки (рис. 201). По известному радиусу кривизны нейтрального
слоя р на основании гипотезы плоских сечений относительное удлине-
Рис. 200
Рис. 201
ппе волокна, находящегося па расстоянии у от нейтрального слоя,
как и прежде, определяется известной формулой
£=у. (Ю.73)
Поэтому прежде всего следует найтп положеппо п радиус кри-
визны нейтрального слоя.
251
Рассмотрим балку прямоугольного сечения из материала, не сле-
дующего закону Гука (рис. 202). Учитывая, что для многих материалов
зависимости.е == /(о) при растяжении и сжатии могут быть представ-
лены в виде
(10.74)
где fe fcCJK. п и т—величины, характе-
ризующие физические свойства мате-
риала, положение нейтрального слоя
можно определить из условий
М = 0
пли
/11 Л2
°,Л- J аспЛ) = °:
о о
(10.75)
/(2
f ac-A<ydy]~ М’ (10.76)
о о
На основании (10.74) и (10.73)
1 1
— /gp V = / 7 V .
°р ~ \ / \ V / ’ °сж
(10.77)
Подставляя (10.77) в (10.75) и (10.76) и интегрируя, соответственно
получим
1 1
(10.78)
(10.79)
Учитывая, что -f- h2 = h, из последних двух уравнений найдем
р, ht и й2э а затем по формулам (10.77) — напряжения ар и аС}к.
Можно решить и обратную задачу: определить наибольший
допускаемый изгибающий момент по допускаемым напряжениям
растяжения |а(|| или сжатия (ас?к|. При этом, пользуясь формулами
(10.77), определяют напряжения в крайних волокнах
1
(стр)тах а<
<асда)тах — °2 —
й2 \ т
^отР )
(10.80)
252
На основании (10,80) выражения (10.78) и (10.79) можно предста-
вить в виде
п
т
т + 1
C1h(
с2/г2 — 0;
(10.81)
+ ',0-82>
Кроме того, из уравнения (10.80) следует, чго
h2
<Лж
(10.83)
Пользуясь соотношением (10.81) — (10.83) и учитывая, что
h2 — h, можпо по известному [ар] или [acv,.l определить поло-
жение нейтральной оси и допускаемое значение изгибающего мо
мента [Л7].
В случае, когда материал сле-
дует закону Гука, но модули уп-
ругости при растяжении и сжа-
тии Ест неодинаковы (обычно
Ес?к>£’р), эпюра нормальных па
пряжений будет иметь вид, приве-
денный па рис. 203, а максималь-
ные напряжения при известном
действующем изгибающем моменте
М для стержня прямоугольного се-
чения будут определяться по фор-
мулам
(10.84)
В случае, когда напряжения определяются через относительные
деформации в крайних волокнах, найденные с помощью тензомет-
ров, формулы (10.84) лучше представить в виде
3717 !
°Р~ bh'2 I1
есж
ЕР
стсж
ЗМ /
bh‘> \
-I-
4,
Е
еж
(10.85)
253
Т а б л п ц а 17
Схемы действительных и соответствующих им фиктивных балок
254
Таблица 18
255
сл Таблица 19
У равнения упругой линии и угла поворота поперечных сечений консольной балки переменной высоты
1 L п 4~ ~
h2 — h{)-----------
а 4-
Схема балки и нагрузки Уравнение упругой линии Уравнение угла поворота
;< б I Z i / "" с ~ **“ АЛ, [ |П о + з + 2(а +2)+ 2Z? ('-2’--2г] PIS [ 2z 4- a 21 + al EJ^ [2(a4-z)2 2L2 J
р штитл |2а1плд_, (« 4-2) [In (а + Z) — 1] — л_ j j \ (Z 1 Аа Л — а2 ?£2 <Z z) 4- (а 4- z) In L — a.2 1 1 1 \ ) 2 \ d “4” / | Г L 2EJif [n a + : — 2a( — —4- \ a 4- z L j + <,G(a+n2 2bJ]
9 5-ЦЯВ
257
Таблица 20
Уравнения упругой линии, максимальные прогибы и углы поворота концевых и опорных сечений
статически определимых балок постоянного поперечного сечения
Схема балки Уравнение упругой линии w (z) и максимальный прогиб f Угол поворота 9
w JJ z Wz 2EJ V 2£JnpH!-° д М.1 0==^г при z = 0
BV- 1 Ч
Mt М2 | | -z 0<z < а w2 = ((Л/1 + Мг} (l ~ Z)t -М^а~ г)8 - -JW2(«+b-2)8j а z а 4- Ъ ^=--^[(^ + ^2) (а+Ъ~*)*] а 4- & < z << Z (Мг4-Ма)/«/4 х\а 1BJ — 1* >/ в=4-[(Л/14-Л/2)!^ *— М^а — М2 (® 4" ^)J при з = 0
j •
II
О = z Hdu
[в(<? + о) — «о1ЯГ — •? (еЯГ + )]
V
V
9*
259
Продолжение табл. 20
Схема балки
Уравнение упругой линии w (z)
и максимальный прогиб/
Угол поворота б
______L {। __3 1.__
~ 6EJ V " b /
РЪ3 а — z ,
6EJ V Ь + 2)
wz
РЪА ll — z
~йЁТ\ь
РЬ*
2EJ
при 2=0
_ РЬ'Л / I \
= Wv Т/
pv
KEJ
при z — О
Z
6EJ
при z=0
О = г ndn = 6
rfb
О ~ г ndn
Г#9
sib
= 9
м
О = z HdD — = /
4- — S — И — — (?)
7>г >о
7 _
л_Ч" q
IIIIII
Ь Alt
Продолжение табл. 20
ьо
Схема балки Уравнение упругой линии w (z) и максимальный прогиб f Угол поворота в
^7 ТГГГГт-т--т-^_Е z 1 _ р 0<z< 1 f X (Л. Л c Z е Z4 W^~ 120Я.Д11 15 1 +5 Z4 Z^ / t 11 n f = - 120 • -ЁТ ПРИ2 = ° 6 = ПРИ Z = ° о A J
w(z)
О <С 2<С а
Мб 5 а । а3
120AJ Г \5 ь I + I?
Z ( Z6
Т + “я2/3
е = ^г(6-8т+34'
при z = О
/—-^(5-5
при z = О
263
П родолжение табл. 20
J’ys
Схема балки Уравнение упругой линии w (z) и максимальный прогиб f Угол поворота 6
fab 1 V и 0 z «С / /4 Г w MOEJ 5 (3<?x Н- q2) f -Ь Z4 Z5 1 + fyi -jr + (?2 — <7i) js-J llpt -J- 4^o , _ 1~ WEJ “ °РИг-0 ’= liEJ1 ‘° npB 2 = 0
• <z</ ( \ 19 Z q z2 1 zS W(Z) UEJ (2 / 3 Z2 + /3 ) M. I2 I w= WEJ "PH2=2 ,17 „/2 t = — 0,0642 -i2L при z = 0,4227 EJ ° = -w-npn2=0 ®= 6EJ П₽И 2 = '
1—Z И(1п
ГЯ9 .
fW B
v= z adu
___= 0
I / fiv H
Q = Z lldn
^--=9
7°/V
I = z ndn . _}_ = g
1ZH
0 = z ndn (-'C^
I
ГЯУ. \
) °
V = 2
г“7
zl
zf/V
ю
CO
OJ
L = Z udu (-^- -S-
T) V
zl
2»
7.f^I
si
sz
Z
— e-
г»
. = (г) m
zf^V
^=.Hdu г?и?4-
1 ZW + IV
— ~(zw + l/vz)|^~
z J z/
= (2)/П
Продолжение табл. 20
Схема балки Уравнение упругой линии w (z) и максимальный прогиб / Угол поворота 6
IV IP . Z 0<2<Z/2 , . РР Lz . Z3 \ W ~ 4SEJ Г Z 4 I3 ] РГА г f 48EJ при 2 2 Р12 16£/пРИ2-0 А Р12 « = Тл „ , при Z — 1
, ’t
1
iQEJ г
РЪа
ЬЕЛ
{а Ч- 2Ь) =
Pl2 I b Ь3\
GEJ Z3 /
при z = 0
Ра
О - - (Z2 — а2)
6£JZ ' '
при Z — I
267
Продолжение табл. 20
оо
Схема балки
Уравнение упругой линии w (z)
и максимальный прогиб f
Угол поворота О
I* 1
1.ИИН1
ga2Z / а \2
= ~ \ — 21)
при z = О
<?я3/
1AEJ
z‘ (z — a)4
~a?l aT/
w(z) =
qa'Al I a a1 \
“’ =-------24£TV‘-7~ + 3-/rJ d’,B2 = “
W = “ (7 T-10 V + 34)
o/4
/ = —' 0,00652 при z = 0,5193/
n - fl _ g2
12EJ \ 2/2 /
при Z — I
7?*3
ЖЁГ пря s="°
8ql'A
-^7-ггт- нри z = I
№)EJ
С
Продолжение табл. 20
Схема балки
Уравнение упругой линии w (z) и максимальный прогиб / Угол поворота в
в £ Т II 1 еч а« I 5 & Ч *- 1 - о й со _ w Сч £ Y1 1 § г Is | ел Ч й ос J О Л ~1й о Л Н 51 » 1 " I д + N 1 h Ч, JS w - <" а 215 ib i V - - Г ~“1 ’ ± ». А •г|» ' II »1** ° 1 а» «> II 11 + | SR л м w| i h гЬ р “Т i Т' СС *» 1 d ° 11 $ 0 ~.| й +
о <;2 "С а ( qab2l Г/ b2\ z .n z3 ] W(z) ~ ггрг-тгг Ц 10 ~ 3 "7Г 10 — ЗоОЛ/ [\ I1 J a al2 J а z 1 . qab2l [7 b2 \ z w 360Я7 [А10 3 I2 ) а ~~ fl- ^лп о Ь2\ ' Z^EJ \10 3 I2 J при 2=0
10 28 I 3(z~a)6
10 aZ2 + 3 b3al
_ ^abZl b n b2\
W~ 360EJ I20 Z 13 I2 / при z~a
дьч
33QEJ
^20-15^ + 3-^-)
при z = I
61 gZ4 I
5760 EJ ПрИ 2 “ 2
ь = ~жёТ dp’2=«
л <?z3
,= жТ пр»2 = »
0<z<Z/2
. al4 {5 z z8 2 ze \
W^~"~2AEJ‘\8 ' -Г*" I8 +T ’ T"/
. gZ4 I
t i20EJ ПрИ Z“ 2
A 5 л
в = -192 -£ГПРИг = 0
. 5 qls
’ = 192 W ПР"г = *
Продолжение табл. 20
to
to
Схема балки
Уравнение упругой линии w (z)
и максимальный прогиб /
Угол поворота ')
Pal2 / z z3 \
U?(Z/ = 6AV” \7 1?)
I 2 I ~|— d
Pal2 Г z z” (I 4- л) (2 — Z)3
"бЛУ [Г /7 4 -^6
Pal2
,/;тлх ~ 0,0642——— при z = 0,578/
I L1 <Л Л Г I
Ра2
w —-----7- а) ари z = I а
PaL
HEJ
ирп з = 0
’ = -мТ 2 = /
Ра
Ы?7
{21 + За)
при z — I -+- а
q=.J^L
2EJ
при z = а
fl Pnl
b:=~^EJ
при z = а + I
Pa (a -l• /)
9 ° 2Ej
при z = 0
Pa2
бЁГ<3' + 2“)
при z — О и 2 = Z -f- 2«
, Pal2 I
,==~wT 3 = <i + ?
0 C 2 < I
w (z) =
qa2p
\2EJ
23
73
i + °
w (z) —
2
7
аа1Гг I
w — ~^Ь~Г ПРИ 2 — V
MEJ 2
wmax = 0,0321 при z = O.577Z
w —
qa*
2/tEJ
(4Z -J- 3e)
при z == I -f~ O'
co
co
Ра(а-\-Г)
О ==---—т— при z = 2а 4- I
п п
8 = - ~№Т nt»*=!
е =
1ш
(а + 1)
при z — I 4- а
Продолжение табл. 20
Схема балки Уравнение упругой линии w (z) и максимальный прогиб / Угол поворота 6
-Л S || 7 । <1 К ~с> Л I t* 'S 44 /л Ч , , Л J© , 0 м “I « J А 7 /Л 7 - «1 « 1 //\ 1+4- *"• + ’ 1 м **| № 6 = 2AEJ V t2 ' при z= 0 , Я13 (л । а2\
ШШШПИП “ 24£V V ! I2 )
J ф? 1 , а2 . , . а3\/ a z \ . Н4-^- + тш1 + Т~Т/ + 4+4Ч)] ?/4 /г: 40 а2\ 1 W ~ 38AEJ \5 12 I2 / ПрИ Z 2 да4 /„ . . 1 13\ , . 2iET\3 + ia а3)п₽и2=' + » при Z =1 0 = --^!М4—+4—-1) 24£V \ Is + I2 ) при z — 1 + а
-f-1 = г ndn
is-az^.=e
s® / s/®
I 4- v — z ndn
_zL__9\ r3'? =-
z® I ) db °
v — 2 ndn /--------— j ~^r----— 0
L® I / zlb
0 = z ndn
ГЯ^7,
ilb
= 0
-l + o = 20dn =
7 \ 8» S ) tlb
-j- 7 = г и o = z ndn
»>2 >0
и h 111ПТП
Глава 11
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Под сложным сопротивлением подразумевают различные комбипа-
цип простых напряженных состояний (растяжения, сжатия, сдвига,
кручения, изгиба). В общем случае нагружения бруса (рис. 204, а)
Рис. 204
в его поперечных сечениях действуют
шесть компонентов внутренних усилий
(TV (\, Qv, Мх, Му, Мкр) (рис. 204,6),
связанные с четырьмя простыми деформа-
циями стержня: растяжением пли сжа-
тием, сдвигом, крхчением и изгибом.
На основании гипотезы о независимом
действии сил напряженное состояние
жесткого стержня определяют путем сум-
мирования .напряженных состояний, вы-
званных каждым видом простого нагруже-
ния в отдельности.
Аналогично деформации (перемеще-
ния) могут быть определены путем сло-
жения деформаций (перемещений), вы-
званных каждым компонентом нагрузки
в отдельности.
Принцип суммирования действия сил,
или принцип суперпозиции, применим во
всех случаях, когда деформации малы,
а материал подчиняется закону Гука. Па
практике редко встречаются случаи, ког-
да в стержне возникают все шесть ком-
понентов внутренних усилий, обычно приходится иметь дело с раз-
личными их комбинациями.
§ 61. Сложный и косой изгиб
Сложный, или неплоский, изгиб вызывается внешними силами,
действующими в разных плоскостях, проходящих через ось балки
(рис. 205, а). Изогнутая ось балки в этом случае не является пло-
ской кривой.
Если все нагрузки, вызывающие изгиб, действуют в одной пло-
скости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей, то изгиб
называется косым (рис. 206, а).
Обычно сложный или косой изгиб приводят к двум плоским
изгибам, для чего нагрузки, действующие в произвольных продоль-
ных плоскостях, раскладывают на составляющие, лежащие в главных
плоскостях zy и zx (рис. 205,6, 206,6). При этом в сечении возни-
кает четыре компонента внутренних усилий: Qx, Qy, Мх и Му.
276
Напряжения в точках любого сечения, расположенных в первом
квадранте системы координат ху (рис. 207, а), при одновременном
действии Мх и Му определяются формулой
Мху t МуХ
JX J у
(11.1)
Применяя эту формулу в общем случае, следует учитывать знаки
при координатах х и у
Рис. 205
Рис. 206
277
При косом изгибе (рис. 208) имеют место зависимости
Мх = М cos а;)
„ • (и.2)
Му — М sin а, J '
где М •— изгибающий момепт в данном сечении в силовой плоскости
рр (рис. 207, б).
Формула (11,1) может быть записана в виде
(И.З)
Уравнение нейтральной линии получим из (11.1), приняв а = 0:
Мху0 Мух0
а — -у---Ь = U.
J X J у
(11.4)
Уравнение (11.4) является уравнением прямой линии, проходящей
через начало координат. Положение нейтральной линии определяется
тангенсом угла ее наклона р (рис. 207, б) к главной оси х:
tg0=
Му J X
МХ J у
(11.5)
Строя векторную диаграмму моментов (рис. 208), определяют
)гол а наклона силовой плоскости рр (плоскости действия момента)
tga =
Му
мх
(11.6)
Тогда угол наклона нейтральной линии (11.5) может быть представ»
лен формулой
tgP =
tga,
(И.7)
V
278
из которой видно, что в общем случае сложного изгиба, когда
Jx =И= Jy> нейтральная линия не перпендикулярна к силовой линии.
Поскольку при косом изгибе отношение Му к Мх, характери-
зуемое tg а (11.6), постоянно по всей длине стержня, угол наклона
нейтральной линии р также постоянен, т. е. упругая линия распо-
ложена в одной плоскости п—’П (рис. 208), называемой плоскостью
изгиба.
Проверка прочности при сложном напряженном состоянии осу-
ществляется на основании данных о наибольшем суммарном напря-
жении. Очевидно, при сложном изгибе атах будут в точках, наи-
более удаленных от нейтральной линии (точки А и В на рис. 209).
Рис. 209
В данном случае в точке А возникают наибольшие растягивающие'
напряжения, в точке В — наибольшие сжимающие напряжения.
Условия прочности будут иметь вид:
(11.8)-
(11.9).
В случае косого изгиба (рис. 207, б)
в виде:
условия прочности запишутся
(XfiSma ур cos а\
°тах = °В = ^тах \ 7 । j / fa+l>
\ J у J х /
[xD sin a yD cos а\
°min = "d ~ ^тах ( 7 । j I 1°—Ь
\ •> у J X /
(11.10)
(11.11)
В частности, для прямоугольного сечения, когда
J у
хв
хв Ув Vd
279
формулы (11.10) и (11.11) могут быть представлены так:
. /sin a cos а\
omax ~ аВ ~ Мmax jy у I
_ _ .. /sin а cos
°min -• — '«max I jy^ + "уГ
(11.12)
(11.13)
Определение
производят мечодом
изгиба
размеров сечения в случае пеплоского
подбора, задаваясь различными отношениями
моментов сопротивлений. Касательные на-
пряжения могут быть определены по фор-
муле Журавского
_ Qy$x.
QxSy
J yh.
Перемещения определяются по принципу
независимости действия сил. Если w — про-
гиб в направлении главной осп у, и — прогиб
в направлении главной оси х (рис. 210), то
дифференциальные уравнения изгиба в пло-
скостях yOz и xOz будут иметь вид
Величина полного
получена геометрическим суммированием
костях по формуле
r, T d2w .. „. d2v „ ... . ..
EJx — Mx : EJу — My. (11.14)
Уравнения (11.14) решают любым известным
способом как для
прогиба в любом
простого изгиоа.
сечении балки может быть
прогибов в разных плос-
(11.15)
§ 62. Изгиб с растяжением
Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) имеет место
при: продольно-поперечном действии нагрузок; впецентреппом растя-
жении (сжатии).
Сложный изгиб с растяжением (сжатием) прямого бруса. В об-
щем случае (рис. 211, а), когда на брус действуют продольные
и поперечные силы, пересекающие ось бруса, в сечении возникают
усилия Мх, Му, Qx, Qy, а также продольное усилие в направлении
оси z — N2 (рис. 211,6). Нормальные напряжения в произвольной
точке при этом определяются формулой
А'г
° ~ F
М.
Му
J ц
Полагая напряженное состояние в опасной точке линейным (прене-
брегаем при этом касательными напряжениями), условие прочности
запишем в обычном виде
(11.16)
° max
(11.17)
280
Для сечения с двойной симметрией формула (11.16) примет вид
Д' , Му
°± - /г 1 1 wy ‘
В случае изгиба в плоскости zy
N , Мх
(11 18)
Эти формулы применяются также при
рам и арок малой кривизны.
расчете* на прочность плоских
Внецептреппое растяжение (сжатие)
прямого бруса. Ядро сечения. На прак-
тике часто изгиб сочетается с растяженп
ем (сжатием), что обусловлено внецептрсн
пым приложением нагрузки, параллельной
оси стержня, когда равнодействующая
Р не совпадает с осью балки (рис.
212). Обозначим координаты точки при
ложения равнодействующей хр и ур,
а расстояние этой точки до осп z, называемое
эксцентриситетом, — е. Внутренние усилия
в любом сечении равны:
N — Р', М у = Рхр, Мх— PyPt
а напряжения в произвольной точке сечения
определяются формулой
или
Рис. 212
(11.20)
Эту формулу можно выразить также
черв! радиусы инерции
хр ур
1 + —х + ~ У
1и г* /
2 р
Р
° г
(11.21)
281
Уравнение нейтральной линии а = 0 находим из (И.21):
(11.22)
Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях у и х (рис. 213),
найдем из (11.22), положив ж0 = 0, г/0 = О,
(11.23)
Из (11.23) следует, что нейтральная
линия пересекает координатные
осн в точках, принадлежащих квад-
ранту, противоположному тому, в ко-
тором находится точка приложения
силы Р.
Условия прочности для точек
с наибольшими растягивающими и
наибольшими сжимающими пап ряже-
ниями (соответственно точек А п В
ла рис. 213) можно записать в виде:
[°+1;
ха +
, Ур
+ ~2~ У А
t
(11.24)
Р ( хр У р \
crnin = аВ = I1------~ХР-----72-Ув]<^~1- (П-25)
\ У 1х /
Эпюры напряжений а2 приведены па рис. 213.
Для стержня прямоугольного сечения условие прочности удобно
представить следующим образом:
Р Мх
cmax-- F -t- Wx
(11.26)
Формулы (11.24) — (11.26) справедливы и в случае, когда сила Р
является сжимающей, при условии, что пет опасности потери устой-
чивости.
Расстояние нейтральной линии от центра тяжести и величины
зон сечепия, испытывающих растягивающие и сжимающие усилия,
зависят от эксцентриситета е. Очевидно, одна из зон может отсут-
ствовать (при растяжении — зона сжатия, при сжатии — зона растя-
жения), а нейтральная линия пе будет пересекать сечение.
Представляет большой практический интерес, особенно при вне-
центрениом сжатии колонн из материалов, плохо сопротивляющихся
растяжению (например, кирпичной кладки), зпать то максимальное
значение эксцентриситета, при котором в сечении не будут возни-
кать напряжения растяжения, т. е. нейтральная линия будет каса-
тельной к сечению.
282
Область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой прило-
жение силы Р вызывает во всех точках попе речного сечения напряжения
одного знака, называется ядром сечения. Для определения ядра
сечения необходимо задаваться различными положениями нейтраль-
ной линии, проводя ее касательно к контуру и нигде не пересекая
его (рис. 214), и вычислять координаты соответствующих точек при-
ложения силы по следующим, вытекающим из (11.23), формулам:
Вычисленные таким образом
точки и определят коптур ядра сечения.
Рис. 214
При повороте нейтральной линии относительно некоторой
неподвижной точки контура сечения, например точки А, точка при-
ложения силы перемещается вдоль некоторой прямой, например
2—3.
Для построения ядра сечения какой-либо фигуры, например
прямоугольника (рис. 215), необходимо рассмотреть ряд положений
нейтральной липии, совпадающих со сторонами сечения. Совместив
нейтральную линию со стороной CD (положение 1—1), получим:
у„= -у ; х = оо ; тогда на основании (11.27)
где
,8 Л _ ЛЬ3 bb? h2
1х~ р ~ i2bh ~ 12 ’ 1У~ ~ ~ i2bh ~ 12 *
Таким образом, мы определим координату точки 1 ядра сечения.
Совмещая положение нейтральной липии со стороной AD (положение
2—2), аналогично получим
h
j/H = со ; = - у
283
а координатами точки 2 ядра будут
уР = 0;
Задаваясь соответствующими положениями нейтральной линии 3—3
и 4—4, по аналогии определим координаты точек ядра 3 и 4.
В табл. 21 приведены форма и размеры ядра сечения для раз-
тичных сечений брусьев
§ 63. Изгиб с кручением
Круглый вал. Совместное действие изгиба и кручения является
наиболее характерным случаем нагружения валов. В этом напряжен-
ном состоянии имеют место пять компонентов внутренних усилий:
•Л^кр — М Му', Мх\ Qy и Qx.
При расчете валов сначала строят эпюры изгибающих моментов
Мх и Му, результирующего момента М а также крутящих мо.мен-
Рис. 21G
284
тов Л/ п устанавливают опасное сечение (рис. 216, я, б, в, г, д').
Результирующий изгибающий момент определяют по формуле
м = м2_ + м2.
(11.28)
По известным М и Л7К[1 " опасном сечении определяют макси-
мальные нормальные и касательные напряжения в опасных точках
сечения (рис. 217) по формулам:
- М °max ~ ~ \/ Л/2 + м2 Г х 1 у W (11.29)
ттах 1И, ‘ (11.30)
Главные напряжения в наиболее опасной точке (точка В на рис. 218)
будут (см. § 52)
С1 = у (а + V °2 + 4т2); «2=0; а3 = ~ (а — Кс2 + 4т2). (11.31)
Для проверки прочности элемента, выделенного у опасной точки,
следует воспользоваться одной из формул соответствующей теории
прочности:
1 __ 77? 1 -4- /7? z_——___
»экв м = -у22 ’ 4 Ц- < [а]; (11.32)
%кв (V = 1/:’ t 'Л-.г < fa), (11.33)
где
т - -12±L
К i
Формула (11.32) пригодна при m < 1 для хрупких материалов и при
т — 1 для пластичных материалов.
Подставляя в формулы (11.32) и (11.33) выражения для напря-
жений и учитывая, что Wp — 2W, получим
“skb =-fy- [—-------УМх+ М» +
+ Ц-2 рх<р 4- Л/«+ Л/„] «1’1; (11.34)
TV - -фМ* < [а]. (11.35)
Вторые сомножители в этих формулах представляют собой приведен-
ные моменты 3/пр, действие которых эквивалентно совместному
285
действию моментов Мх, Му и Л7кр в соответствии с принятыми
теориями прочности
мпрм = Ц^]/Л< + М*+Ц-2|/‘<р+< + Л/’; (11.36)
Мпр IV =K°’7SM«P +<+«£ = ]/+ М‘ (Н-37)
Аналогично для других теорий прочности получим:
мчр 1 = 4 [VX+<+ VX+< + <>]; (Н-38)
Мпр II = 0.35 ]Ли*4-М2 4- 0,65 У М*х + М*у+ M*KV (11.39)
(при [л = 0,3);
Mnpin = /< + W“+M’p. (11.40)
Условия прочности (11.34) и (11.35)
можно 'выразить одной формулой
Мпп
a9KB = -ЯГ* < Н-
Отсюда
Мпп
Ж (11.42)
L°J
диаметр вала определим из условия:
ззмпр
п[а]
(11.43)
Приведенные формулы полностью при-
менимы и при расчете валов кольцевого
сечения.
Брус прямоугольного сечения. При
нагружении бруса прямоугольного сече-
ния системой сил Pt и Р2 (рис. 219, а),
вызывающих в сечении моменты Мх, Му
и Мкр> расчет проводят по следующей
р схеме. Внешние силы раскладывают на
^ис’ составляющие, приводя их к оси вала.
Для нахождения опасного сечения строят
эпюры Мх, Му и Л/кр (рис. 219,6). Установив по эпюрам опасное
сечение 1—1, расположенное левее точки приложения силы Р2, нахо-
дят опасную точку в нем, для чего строят эпюры напряжений от
всех силовых факторов (рис. 220, а, б, в, г, д, е):
аг(Мху, ^{МУУ, 4z(Qxy, zyt(Qyy т (MRp).
286
Эпюра t (Мкр) для длинной стороны контура имеет максимум,
который обозначим ттах (7Икр). Наибольшую ординату эпюры т(Мкр)
на короткой стороне обозначим т^пах (Мкр). Эти напряжения можно
рассчитать по известным формулам кручения брусьев прямоуголь-
ного сечения (см. § 47):
тгаах (^кр) XL "N
^кр .
ahb2 ’
^max (^кр) ~М "К 7тта\
В данном случае атах от изгиба не совпадают с ттах от круче-
ния, поэтому для выявления самой опасной точки приходится рас-
сматривать сочетание напряжений в нескольких точках. Обычно
бывает достаточно трех точек: одной из угловых (Л или С) и точек
посредине длинной (точки L или N) и короткой (точки М или К)
сторон прямоугольника. Так, для точек С, L, К будем иметь:
С — Мх 1 < И- с Wx + Wy (11.44)
т — МКР л_ 3 Qx . L~ ahb2 2 bh ’ (11.45)
т * Л/ь-р , 3 Qy ~ 2 bh (11.46)
287
Обычно касательные напряжения от поперечных сил Qx п Qy
малы и ими можно пренебречь
Эквивалентные напряжения в точках L п К согласно IV теории
прочности и теории Кулона—Мора равны:
в точке L
(11.48)
в точке К
1 ГТ.м V /* м V
°экв IV ~ V ^а|;
(11.50)
Таким образом, наиболее опасная точка определяется только
в результате вычисления эквивалентных напряжений во всех трех
точках (С, L и К) по формулам (11.44), (1 1.47) — (11.50). При этом
в каждом конкретном случае положение наиболее опасной точки
зависит от соотношения моментов Мх, М,, и
Общий случай действия сил на брус. Если в сечении стержня
действуют осевая сила N изгибающие моменты в славных плоско-
стях Мх и Му, а также крутягций момент М^, то условие прочно-
сти, например по IV теории прочности, в точке К (рис. 220, а)
будет
(11.51)
аналогично в точке L
(11.52)
288
Табл и ц а 21
Форма и размеры ядра сечения
Поперечное сечение:
ядро сечения
(заштриховано)
IV кадра ।
Размеры ядра сечения
h
h
^2 — Уч — g »
гш 1 и = 0.0589Л
11рямоугольиик
b h
х2 = у: у2 = ^-;
bh
mhl в VlsTh*
Равнобедренный
треугольник
b h h.
X1 = у ; -ll = 12 ’ У'2 = 6 •
Ядро подобно
поперечному сечению
/ 3
При h = b (равносторонний треуголь
ник)
ь /з.
10
5 1 isr.
289
Продолжение табл, 21
Поперечное сечение:
ядро сечения
(заштриховано)
Размеры ядра сечения
Полый прямоугольник
Ядро — ромб
ВОСЬ М И 5 ГОЛ Ь EJ11 к
। h Ь‘л — b'i
= 6 b ’
। Ыгл—byh'i
IJ1 = К h (bh—byh^ '
При 1г — b и ht — bt (полый квадрат)
0,0589л[| +(-£)
'ш1п”«,225еЛ.
Если восьмиугольник полый (радиусы
описанных окружностей: наружной— К2,
внутренней — К1г толщина стенки равна
0,924 (Я, —/?!)), то
•т1„=0,225вЯф + (-^-)
Ядро — восьмиугольник
D
Круг
Ядро — круг
290
Продолжение табл. 21
Поперечное сечение:
ядро сечения
(заштриховано)
Размеры ядра сечения
Полый круг
Ядро — круг
Тонкостенная труба
D
4
Ядро — Kpj г
10*
Глава 12
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УПРУГИХ СИСТЕМАХ.
ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
§ 64. Обобщенные силы и перемещения
Встречающиеся в задачах сопротивления материалов и строи-
тельной механики внепшие нагрузки весьма разнообразны и обычно
представляют собой группу сил. Работу группы постоянных сил
можно представить в виде произведения двух величин
А = РДр,
(12.1)
в котором множитель Р зависит только от сил группы и называется
обобщенной силой, а Др зависит от перемещений и называется
обобщенным перемещением.
Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую
нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, распре-
деленные нагрузки), которая способна совершать работу па соответ-
ствующем обобщенном перемещении.
Так, рассматривая работу системы сил, действующих на стер-
жень (рис. 221), будем иметь
А = РДг - РД2 = Р (Aj - Д2) = РДр,
где Р — обобщенная сила; Др = Д)— Д2 = Д/ — обобщенное переме-
щение.
Работа системы сил (рис. 222)
А = Р ЛЛ14- Р • BBl = Р (ОА + OB) d'f = Pad* = Mdy.
Здесь обобщенной силой является момепт М = Ра, а соответствую-
щим обобщенным перемещением — угол поворота (.'о.
292
Для системы сил (рис. 223) обобщенной силой является момент М,
а обобщенным перемещением — изменение угла а между элементами
АВ и CD, т, е.
Др = ofcp! -ф d<?2-
Обычно принято обозначать обобщенные перемещения (как
линейные, так и угловые) буквами Д и S с соответствующими двой-
ными индексами. Первый индекс указывает точку и направление
перемещения, второй — силовой фактор, вызвавший это перемещение.
Например, Дрр означает перемещение точки приложения силы Р по
направлению ее действия, вызванное той же силой Р (рис. 224, а),
Дмм— перемещение точки приложения момен-
та М в направлении действия момента, выз-
ванное этим моментом (рис. 224, б).
Для обозначения полного перемещения,
вызванного несколькими силовыми факто-
рами, при Д сохраняют только первый ин-
декс. Так, полный прогиб и угол поворота
конца балки (рис. 225) соответственно выра-
зятся формулами:
Рис. 223
др — дрр + др«Э 4” Дрдп
ДМ = ДЛ/Р + ^MQ + ДММ •
(12.2)
Перемещения, вызванные единичной силой (Р = 1) или единич-
ным моментом (М = 1), принято обозначать буквой S и называть
удельным перемещением. Если единичная сила Р = 1 вызвала пере-
мещение Sp, то полное перемещение
Рис. 225
Рис. 224
Отсюда размерность удельного перемещения
размерность обобщенного перемещения
J ~ размерность обобщенной силы
(12.4)
Если силовые факторы, действующие па систему, обозначить
соответственно Хг, Х2, Х2 и т. д. (рис. 226), то перемещения по
направлению каждого из них можно выразить формулами
Дх = Д|р -р Х1&Ц + ^2^12 + ^ХЗ?
Д2 — &2Р 4" ^1^21 + %2^22 4" ^3^23’ (12.5)
Д3 = ДЗР 4" + ^2^32 4" ^3533»
293
где
== Ац ; ХЛ12 = Д12; Х3&13=Д13; ,.,
Xi^mi = ^шг-
Размерность перемещений &mt можно установить, умножив
последнее равенство па Хт. При этом выражение ХтХ^,,ц — ХтД,щ
имеет размерность работы (к Г см), откуда получим
ГХ | _ кГ СЛ
Рис. 226
Например, в формуле (12.5) размерность
кГ см ' кГ см 1
*5гз1 = [XJ [Х3] = кГ кГ см '
§ 65. Работа внешних сил
Из рассмотрения картины деформации упругого элемента
(рис. 227, а) в пределах закона Гука, представленной в координатах:
обобщенная сила Р — обобщенное перемещение Д (рис. 227,6), сле-
дует, что приращение силы dP вызывает бесконечно малое переме-
щение dA. Работа внешних сил при этом, если пренебречь беско-
нечно малыми второго порядка, равна
dA~ (P + dP) dA w Pdb.
294
Полная работа, совершенная статически приложенной обобщен-
ной силой Р, вызвавшей обобщенное перемещение Д — РЪрр, вы-
ражается формулой
р Р
С f f W2
А— \ Pdk — \ Pd (РЪрр) = PbppdP
до о
Р2 Д2 рд
2 2& РР £
(12.6)
Таким образом, действительная работа при статическом действии
обобщенной силы на упругую систему равна половине произведения
окончательного значения силы на оконча-
тельное значение соответствующего пере-
мещения.
При действии на упругую систему
нескольких обобщенных сил Рх, Р2, . . . ,
Pi (рис. 228) работа деформации равна
полусумме произведений окончательных
значений обобщенных сил на соответст-
вующие окончательные суммарные обоб-
щенные перемещения
4 = Pibi (12.7)
Рис. 228
и не зависит от порядка нагружения
системы.
§ 66. Работа внутренних сил
При упругой деформации в элементах
деформируемого тела развиваются внутренние
силы — силы упругого сопротивления (рис. 229).
Dili силы также совершают работу. Поскольку
направления ,\пр\гих сил (показаны пункти-
ром) противоположны перемещениям (па
которых они совершают работу), вызываемым
внешними силами' (показаны сплошными
линиями), то работа внутренних сил всегда
отрицательна.
Работа внутренних сил N, Q и Л/, воз-
\mf
нпкающих в элементе стержня длиной ds (рис. 229), совершаемая
осевой силой N на перемещении
A (ds) =
Nds
ЕЕ ‘
моментом М на перемещении
, М ds
Л^~ЁТ
293
и поперечной силой Q па перемещении
Qds
lds — k~GF (12.8)
может быть выражена формулой
2EJ 2HF 2GE' '
Интегрируя (12.9) в пределах каждого стержня и суммируя резуль-
таты по всем стержням системы, получим формулу для работы
внутренних сил в случае плоского изгиба
С M2ds V1 f N*ds
J ~2EJ J >EF
о 0
Q2ds
2GF
(12.10)
Заметим, что выражение (12.8) получено из условия
где
Pl С 't&ds
dwo = — 4 xydsdF = — dF -
w ) 2 ) 2G
F F
2GJ - \ &2 dF 11 2GF ’
ky — F j —---------коэффициент, зависящий от формы сечения.
А F
В частности, для прямоугольного сечения b х h:
Р Ы,. / ~bh* с _bh2K
F — bh, Jx — -j^r-, Sx — -g- |^1 h2j'
h/2
a (* [. 4y2 \
kV = 2h J [ jdV = 1 ’2'
6
32
для круглого сечения к == ; для прокатных профилей приближенно
F
к=—~, где Л’ —площадь стенки; F—полная площадь сечения.
С
296
Для чистого сдвига, когда
,ТТ7 1 f j 1с’л Q2ds
dWQ = — у \ ^dsdF = — у xF^ds =----------------2 = ~~7gf'
F
В том случае, когда в стержне действует крутящий момент
Л/кр, при котором элементарный участок стержня закручивается на
угол
. _ J/Kpdj?
где GJK — жесткость поперечного сече
ния стержня при кручении, элемен-
тарная работа внутренних сил за счет
кручения равна
^p=-|v?=
2G,7K
а полная работа внутренних сил в стержне длиной I будет:
W = — С —
кр \ 2
(12.11)
В общем случае (рис. 230), когда в сечении стержня действуют
все шесть силовых факторов (TV, Qx, Qy, Мх, Му, Mz — Л/кр), работа
внутренних сил (сил упругости) будет определяться по формуле:
р M2ds р M2ds pM2ds
iy ___ I x ______ l у __ кр _
J 2EJX J 2EJy J 2G/K
s s я
J 2EF J kx 2GF )ft“2CF' (' -12>
S Я s
Формула (12.12) справедлива и для стержней малой кривизны.
§ 67. Применение начала возможных перемещений
к упругим системам
Применительно к упругим системам начало возможных переме-
щений можно сформулировать так: если система находится в равно-
весии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ внешних
297
и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях точек
системы равна нулю
2 PAim "Ь Wim —
(12.13)
чина и направление внешних и
ными. Поэтому при вычислении
а
где Pi—внешние силы; Д$т—возможные перемещения точек при-
ложения этих сил; У1 Р iAim — работа внешних сил: №\т—работа
внутренних сил.
В процессе совершения системой возможного перемещения велп-
впутренних сил остаются цеизмен-
работ следует брать не половину,
а полную величину произведения
соответствующих сил п перемещений.
Учитывая малость деформаций
и их линейную зависимость о г
нагрузок, в качестве возможных
перемещений можно принимать
упругие перемещения, вызванные лю-
бым видом нагрузки и происходя-
щие без нарушения связей. Работа
внешних и внутренних сил па воз-
можных перемещениях называется
возможной или виртуальной работой.
Рассмотрим два состояния пло-
ской системы, находящейся в рав-
новесии: состояние а, при котором
система деформируется обобщенной
силой Ра (рис. 231, а), и состояние b системы, деформируемой силой
Рь (рис. 231, б).
Перемещения состояния Ъ могут рассматриваться как возможные
для состояния а и, наоборот, перемещения состояния а являются
возможными для состояния Ь.
Поэтому работа Лаь сил состояния а па перемещениях состояния
ДаЬ
б
Рис. 231
Ь и работа АЬа состояния Ь на перемещениях состояния а соответст-
венно равны
АаЬ — Pa^ab’i
^ba — PfAba-
(12.14)
(12.15)
298
Работа внутренних сил состояния а (рис. 232, а — штриховые
линии) на перемещениях, вызванных нагрузкой состояния b (рис.
232, а, б), может быть найдена из рассмотрения работы внутренних
сил при деформировании элемента стержня длиной ds (рис. 233).
Ниже приведена схема определения работы внутренних сил.
Внешнее усилие, действующее на элемент (рис. 232, б) Деформация элемента (рис. 233) Работа внутренней силы состояния а на перемещениях состояния Ь Работа внутренней силы состояния а в системе стержней
Nb (Ads)b = — Na {&ds)b = м ’ NaNbds , EF
_ Nbds ~ ~EF~ _ NaNbds ~ EF $
Qb (7ds)b = ~Qa (lds)b = >1 1 3 ’• QvQt'ds GF
_ Qbds GF г, QaQbds ~ GF
Mb (d<?)b = — Ma (dy)b = и 1 ' MaMbds EJ
Mbds MaMbds
~~ EJ EJ
возможной работы внутренних
Таким образом, полное значение
сил стержневой системы будет
VI С С XaNbds
/ > ) EJ 2J ] EF
QaQbds
GF
(12.16)
299
Подставляя (12.14) и (12.16) в (12.13), получим общее выражение
начала возможных перемещений для плоской упругой стержневой
системы
\ПРЛ С MaMbd< Г NaNbds
2 Pa*ab ~ [2-1J ~ёг-+2j J ~ёр~ +
> 3
(12Л7)
S
Если в качестве возможных принять действительные перемеще-
ния Дц, вызванные заданной нагрузкой Ра, то выражение (12.17)
примет вид
2 2
с <г
,~2 ,
Р Qads I
+Ег^Н=01 (12,18)
8
ИЛИ
2 2
+ Sj‘^]=°- (,2Л9)
S
Таким образом,
4 + Ж = 0, (12.20)
где
А = '2 (12.21)
представляет собой действительную работу внешних сил в процессе
статической деформации, а
представляет собой работу внутренних сил в процессе статической
деформации.
Из уравнения (12.20) следует, что действительные значения
работы внешних и внутренних сил равны по величине и противо-
положны по знаку.
300
§ 68. Теоремы о взаимности работ и перемещений
Рассмотрим упругую систему в двух состояниях: в состоянии 1
(рис. 234, а) и в состояшш 2 (рис. 234, б). На основании принципа
возможных перемещений для первого состояния получим
Так как выражения для работ внутренних сил в обеих формулах
одинаковы, то из (12.23) и (12.24) выводим равенство
Рг Д12 — Р2 Д21. (12.25)
Формула (12.25) выражает теорему о взаимности работ (теорему
Бетти): возможная работа внешних (или внутренних) сил состояния 1
на перемещениях состояния 2 равна возможной работе внешних (или
внутренних) сил состояния 2 на перемещениях состояния 1.
В частном случае, когда Р1==1; Р2 == 1 (рис. 235), на основании
(12.15) получим соотношение
&12 = &2i, (12.26)
выражающее теорему о взаимности перемещений (теорему Максвелла):
перемещение точки приложения первой единичной силы по ее направле-
нию, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению
точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызван-
ному действием первой единичной силы.
§ 69. Общие формулы для определения перемещений.
Метод Мора
Общие формулы для определения перемещений легко получить,
пользуясь началом возможных перемещений, если в качестве вспо-
могательного состояния принять систему, нагруженную в точке,
301
перемещение которой_ вас интересует, соответствующей единичной
обобщенной силой = 1, которая должна совершать работу на
возможном перемещении, каким, является интересующее нас переме-
щение Д^р под действием внешних нагрузок.
Обозначив хсилия. вызванные системой внешних сил 'ьР
(рис. 236, а), через М Р, Nр, Qp. а усилия, вызванные единичной
силой — 1 (рис. 236, б), — через Mi, Qi, начало возможных
перемещений для вспомогательного состояния (принимая в качестве
возможного действительное перемещение) можно записать в виде
1
y^\\£MiMpds £NiNpds
iP 2j [J EJ F J ~EF
s s
(12.27)
Рис. 236
Очевидно, в самом общем случае, при наличии всех шести ком-
понентов внутренних сил, формулу (12.27) можно записать в виде
С \М*Мр М\М“р М^МХ^
AiP==2jJ |_~ё7Г+-Ё7Г+ GJK
S
+ кх + ку +
2V,.2V
~ЁЁ
(12.28)
Формула (12.28) является наиболее общей и применима также для
расчета стержней малой кривизны. Определение перемещений по
формулам (12.27) и (12.28) называют способом Мора или способом
перемножения эпюр.
В большинстве случаев при определении перемещений в балках,
рамах и арках по методу Мора в формуле (12.27) можно пренебречь
влиянием продольных деформаций и сдвига, учитывая лишь переме-
щения, которые вызываются изгибом. Тогда формула (12.27) для
плоской системы может быть записана следующим образом:
8
(12.29)
302
При пространственном нагружении формула Мора принимает вид
Г Г Sl^Mpds Р MVMypds Г M^M^dsl
LJ EJx + J EJy + j GJ„ J
(12.30)
При расчете шарнирных ферм, образованных из прямых стерж-
ней, в формуле Мора сохраняется член, содержащий лишь продоль-
ную силу:
Формула (12.31) носит название формулы. Максвелла.
Порядок определения перемещений но методу Мора.
1. Ст(х.игся вспомогательная система и нагружается единичной
нагрузкой в точке где требхется определить перемещение. При
определении линейных перемещений в заданном направлении прикла-
дывается единичная сила при определении угловых перемещений —
единичный .момент.
2. Для каждого участка системы выписываются выражения сило-
вых факторов в произвольном сечении заданной (Л7Р, NР, Qp)
и вспомогательной (М^, N[, <Д) систем
3. Вычисляются по всем участкам системы интегралы Мора. При
расчете плоских балок, рам и арок используется формула (12.29),
при расчете ферм — формула (12.31).
4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак,
то это значит, что его направление совпадает с направлением еди-
ничной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действитель-
ное перемещение противоположно направлению единичной силы.
В табл. 22 приведены выражения интеграла Мора для наиболее
распространенных случаев сочетания эпюр Л/, и Мр при изгибе.
§ 70. Перемещения, вызванные изменением температуры
Предположим, что элемент стержня ds нагрет внизу до темпера-
Рис. 237
туры гн и наверху — до ?в (рис. 237, а, б), а также, что по высоте
сечения температура изменяется по линейному закону. Тогда удли-
нения верхних и нижних волокон рассматриваемого элемента равпы:
Дв (ds) — ds:
^H(ds) — atHds,
где a — коэффициент линейного температурного расширения.
(12.32)
303
Удлинение по оси неравномерно нагретого элемента и взаимный
угол поворота его крайних сечений высотой h равны:
/ Л \ ,
(Да«)/ = а------------ds\
(12.33)
AH(d.<?)-An(d.?)
(dcp), = ------т------- = а
ds.
(12.34)'
h
Для определения перемещения любой точки К системы в любом
направлении i — i, вызванного разностью температур, выбираем
вспомогательную систему и нагружаем ее соответствующей обобщен-
ной единичной нагрузкой Xi = 1 (рис. 237, в). Принимая интересую-
щее нас перемещение за возможное, запишем в соответствии
с (12.27) формулу возможных перемещений применительно к рас-
сматриваемому случаю:
= S j Mi + S У <12-35)
8 $
Учитывая (12.33) и (12.34), получим
=S jNi* *в ds+S ,Vi7 httt (12-зб)
I /
Формула (12.36) применима п для расчета брусьев малой кривизны.
В фермах, где действуют только продольные усилия, темпера-
турные перемещения определяются по формуле
Дц = Nia.il,
(12.37)
“Ь гв
где t =
температура по оси стержня.
§ 71. Вычисление интеграла Мора
по способу Верещагина
Интеграл Мора M{Mpdz для случая, когда эпюра от заданной
нагрузки имеет произвольное, а от единичной — прямолинейное
очертание (рис. 238), оказалось удобным определять графо аналити-
ческим способом, предложенным А. И. Верещагиным.
Примем следующие обозначайся: Q — площадь эпюры М р от внеш-
ней нагрузки; С — центр тяжести эпюры; Л/с— ордината эпюры от
единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мр.
304
Очевидно,
Л/pdz — dQ
(дифференциал площади эпюры);
l\Ii — zl» а;
Общая формула перемещений для систем, состоящих из прямо-
линейных элементов
С MiМpdz
= 2j J EJ ’
I
запишется в виде:
Д1Р
(12.38)
Это и есть формула Верещагина. Вычисление по этой формуле
производится по участкам, на каждом из которых прямолинейная
эпюра должна быть без переломов (рис. 239).
В т,х случаях, когда обе эпюры (Mi и Мр) прямолинейны,
можно умножать площадь одной из них па ординату другой эпюры,
расположенную под центром тяжести первой. Сложная эпюра Мр
может быть разбита на простые фигуры (рис. 240), для каждой из
которых легко определить координату центра тяжести. При этом
площадь каждой фигуры умножают па ординату единичной эпюры под
305
ее центром тяжести, обозначаемую через rlk (вместо Формула
Верещагина в этом случае примет вид
ДгР ~~
EJ
(12.39)
В табл. 23 приведены площади и координаты центров тяжести
некоторых элементарных фигур.
При учете1 кручения в соответствующий член общей формулы
(12.38) будет входить жесткость па кручение GJ 1С Если эпюры Мр
в Мх противоположны по знаку, то результат их умножения имеет
знак минус.
Общая формула Верещагина применима и при расчете стержней
переменного сечения. В этом случае интеграл Мора записывается
в виде:
где J (z)— момент инерции площади произвольного сечения; .
момент инерции определенного (характерного) сечения.
Назовем величину
Л/Пр = м р
.! (z)
приведенным изгибающим моментом в текущем сечении. Теперь
интеграл Мора может быть записан в виде
‘-SJ'
dz,
EJ„
а формула Верешашна—
~ 2j EJ.
(12.40)
где йпр — площадь эпюры Л/Пр; MG— ордината единичной эпюры
под центром тяжести приведенной эпюры.
§ 72. Потенциальная энергия деформации
В соответствии с законом сохранения .энергии работа внешних
сил при деформировании упругой системы не пропадает, а трансфор-
мируется в потенциальную энергию деформации, которая может
проявиться в виде работы, совершаемой внутренними силами при
306
разгрузке. Так, при частичной разгрузке (рис. 241) балка, несколько
выпрямляясь и приподнимая оставшую часть груза, совершает опре-
деленнмо работу.
Пренебрегая при статическом нагружении кинетической • энер-
гией, а также потерями энергии на внутреннее трение, изменение
температуры, магнитные и электрические явления, имеющие место
при деформации, можно утверждать, что уменьшение потенциальной
энергии груза равно изменению потенциальной энергии деформации,
накопленной упругой конструкцией, т. е.
U^Up,
где U — приращение потенциальной энергии деформации; Up —
уменьшение потенциальной энергии груза.
Уменьшение потенциальной энергии
груза численно равно действительной
работе внешних сил при нагружении тела.
Следовательно, потенциальная энергия
деформации численно равна работе внеш-
них сил при нагружении системы или
работе внутренних сил, совершенной
в процессе разгрузки. Согласно (12.12),
потенциальная энергия деформации в об-
щем случае может быть определена фор-
мулой
и = л —
1 С Mxd"
8
M2ds
Рис. 241
8 K
N*ds J_ f Qxds if, Qyds
EF + 2 J x GF + 2 J У GF '
t s
(12.41)
Поскольку потенциальная энер-
гия деформации является квадра-
тичной функцией обобщенных сил
(или обобщенных перемещений), она
всегда положительна.
§ 73. Теорема Кастильяно.
Теорема Лагранжа
ной силой P. llepe-
Рассмотрим упругую систему
(рис. 242), статически нагруженную
произвольной нагрузкой Q и некоторой обобщен
мощение точки приложения силы Р по ее направлению и от ее дей-
ствия будет Арр, а перемещение той же точки под действием сил
Q будет ApQ. При полном перемещении рассматриваемой точки,
равном Ду, = Арр-j-ApQ, потенциальная энергия упругой системы
выразится формулой
U — ~2 Р^рр + Р&рц -|- Uqq,
307
где Uqq—энергия, накопленная в результате деформации системы
только силами Q, численно равная работе сил Q на вызванных ими
перемещениях.
Так как Арр = РЪрр, то вышеприведенную формулу можно запи-
сать в виде
У-уР’арр+Мро + Рад. (12.42)
Продифференцировав это выражение по силе Р, полечим
' др ~ РЪрр -f- &pQ — &рр + Ард = Др.
Таким образом,
дР (12.4э)
' Перемещение точки приложения обобщенной силы по нап равлению
ее действия равно частной производной от потенциальной энергии по
этой силе. В этом состоит теорема Кастильяно.
Заметим, что вторая производная от потенциальной энергии по
силе (обобщенной) согласно формуле (12.42) равна:
Л2ТТ д& р
<1244>
и имеет существенно положительную величину.
Для плоской стержневой системы формула (12.41) примет вид
Р М2 (s) ds Р № (.<?) ds Р , (Р (.?) ds
J 2EJ~~ + J 2EF + J 2GF
s s s
(12.45)
где М (s), N(s), Q ($) — усилия в сечении стержня.
Применяя правило дифференцирования по параметру, находим
. __ dU Р М (s) ds дМ (s) , Р N (.?) ds dN (.?)
р ~ ~дР~ ~ J EJ~ дР + J EF дР +
S 8
+ J4£^.?y), (12.4в)
S
или, пренебрегая влиянием па величину перемещений осевых
и поперечных сил, будем иметь
_ Г М (s) ds дМ ($)
~ J EJ ' $Р
8
Если при определении перемещений точки по условию задачи
нет соответствующей обобщенной силы, ее вводят в виде фиктивной.
308
Составленное выражение для потенциальной энергии деформации
дифференцируется по этой силе, после чего опа приравнивается нулю.
Если представить потенциальную энергию деформации как
квадратичную функцию независимых перемещений Др Д2, .. . , Дп,
то оказывается, что частная производная от потенциальной энергии
по любому перемещению равна силе, действующей по направлению
перемещения, т. е.
В этом состоит теорема Лагранжа.
§ 74. Теорема о минимуме потенциальной энергии
Заменим в статически неопределимой системе (рис. 243, aft лишние
связи соответствующими реакциями Х1г Х2, Х3... (рис. 24.3, б), которые
будем рассматривать как независи-
мые друг от друга внешние нагруз-
ки, и вычислим по методу Кастильяно
соответствующие перемещения Др
Д,, Д3, . ..
Зная заранее, что указанные
перемещения равны нулю, мы имеем
право записать
д - dU - о Рис. 243
3 дХ., ~~ ' ' ” ’
где U — U (Хх, Х2, Хя, ... , Р)—полная потенциальная энергии
деформации системы.
Легко убедиться, что равенства
дЦ
дХх
0;
-^- = 0-
дХ,
(12.49)
= Q ...
эх. ’
выражают условия экстремума функции U. Нетрудно видеть, что
этот экстремум является минимумом. Доказательством последнего слу-
жит положительный знак вторых производных, которые, согласно
(12.44), выражают перемещения 8г1, 822, 833, ... , являющиеся сущест
венно положительными величинами:
дЮ _ д2Ц _ дю _.
дХ; ~ 11 ’ дХ2 ~ 22’ дх\
Таким образом, в статически неопределимых системах лишние
неизвестные усилия принимают такие значения, при которых потен-
циальная энергия деформации имеет наименьшее. значение (теорема
Менабреа). Эта теорема известна также как теорема о наимень-
шей работе, так как вместо потенциальной энергии можно говорить
о численно равной ей работе внешних сил. Из нее следует, что при
добавлении в упругую систему каких-либо связей потенциальная
энергия системы всегда уменьшается.
309
Таблица 22
Выражения интеграла Мора \ MiMpdz для различных сочетании эпюр Mi и Мр(1 — основание площади эпюры)
X. ЭПЮра \ч ЛЛ Эпюра \ МР \ Ml*
_м *
-М
1/г/г/ ~hhl 3 1 h (hi 4- 2Я2) / .L h ( Ji., - hr) l 1/г/1(1 + a)l
~hhl о g- h (2hi 4- h2) I ±.h(h2-2hi)l ~hh(i+^)l
1 А. I ~2 (/ч 4- М й* g- (^i 4“ 2/i2) -g- [/?j (2h} 4- h2) 4~ 4- h2 (2h2 4* Sj)] I -g-1/ij (h.> — 2hi) 4' h>2 (^^-2 ^((14-^! 4- -j- (1 4~ ct) h>\ ht"
311
- 09 1 « + I a + 'J 1 1 (sl + Й + l)Wy TV у (l+’a?) hhl 1
I-*?4 •« . !СЧ lx—> i^e 1 -e |C4 у h (h2 — ht) I
— h (hi + 3fe2) I 1 1 lug 4* «rfT co -si . |CM 1 *—1 1 у h(h} + h2)l
4- hhl 4 Zl m-r 1 1 _ у hhl
i-s; । ' hhl p 1УЧ^г <> i
312
IS см 1 — (5 — a — a2) hhl t + '1 '-я- IB ла' i + + -i<= + 7
'-e Cl l-ci -132 |<Г Un CM -c '-sf •< + < 7 дг -Teo
CM + 1-cT CQ -Ъ ! / (^g + i^g) V у + — . + I45 ‘ CM -< 4- -jo
i2 i - - h (h<> -j- ~h) i b
/W-~- ~ 6 1 — hhl 3 h (hx + h2 4- 4- 4/i) l
313
Таблица 23
Площади и координаты центров тяжести некоторых элементарных
фигур
^пюра М Площадь 2 Координаты центра тяжести
ZC I - zc
«-f-u I <21 1-2сД lh "Г oq |eo
1LJ1 Zc * ж 2 ШЗ l-Zc , + h2) 2 h\ + ^2 , 3 (/ij 4- h2j A2 4- 2hj 3 (Л, 4- h2)
_a । b Illttb lh 2 a 4- I ~T~ b 4-1 3
w __ _ z' l-zc ж
Квадратичная
парабола
Zc , i
lh
3
4-/
314
Продолжение табл. 23
Эпюра М Площадь 2 Координаты центра тяжести
гС !-гс
Кубическая парабола ~-==UJJWty- _ zc __ (~zc - ~~ ~1 ы lh 4 1'
П оловива квадрг ной парабол! 1ТИЧ- 1 р 1№ 1' 1'
К вадра! iiapaf /Л ичная ола ы т“ 1 21 р
Zc _ _ l-Zc : Г
Квадратичная
парабола
^-и2+
—|— За (а —j— /)]
_ 1 ЬаЧ + &z/*+ 3/J .
Zc ~ 4 За2/ 4- За/2 4- /3 ’
/ 6а2/ 4- 4а/2 4- Z3
z — 2С = 4Г За2/ 4- За/2 4- /3 ‘
Глава 13
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
§ 75. Основные этапы расчета статически
неопределимых систем
Статически неопределимыми называются системы, силовые фак-
торы в элементах которых не могут быть определены только из
уравнений равновесия твердого тела, В таких системах имеется
больше связей, чем это необходимо для равновесия. Таким образом,
Рис. 244
m
5
Рис. 245
часть связей в этом смысле является как бы лишней, а соответ-
ствующие усилия являются лишними неизвестными. По числу лишних
связей или лишних неизвестных усилий
устанавливают степень статической неопре-
делимости системы.'
На рис. 244, а приведена статически
определимая система, а на рис. 244,6 — один
раз статически неопределимая. На рис. 245, а
показана дважды статически неопределимая
балка, полученная пз статически определи-
мой системы (рис. 245, б) в результате уста-
новки двух шарнирных опор в точках
В и С. На рис. 246 показана дважды стати-
чески неопределимая плоская рама.
Статическая неопределимость может быть
результатом не только введения дополни-
тельных связей, по также и условием образования системы. Приме-
ром может служить рама (рис. 247, а), в которой реакции опор
Ra, На, Вв легко определяются из условий равновесия, но послед-
ние не позволяют найти все силовые факторы в ее элементах. Раз-
резав раму па две части и рассматривая равновесие одной из них
Рпс. 246
316
(рис. 247, б), мы устанавливаем, что эта рама представляет собой
систему шесть раз статически неопределимую, так как каждый
замкнутый (бесшарнирпый) контур является три раза статиче-
ски неопределимым.
Установка шарнира па осп стержня (рис. 248, а) (одиночный
шарнир) обращает в нуль изгибающий момент в этом сечении и,
следовательно, снижает степень статической неопределимости на
единицу. Шарнир, включенный в узел (общий шарнир), где схо-
дятся п стержней (см., например, рис. 248, б, в), снижает сте-
пень статической неопределимости на п — 1 так как заменяет
Рис. 248
собой столько же одиночных шарниров (рис. 248, г). Степень ста-
тической неопределимости плоских систем (s) может быть определена
по формуле
$ —'Зк — ш, (13.1)
где к— число замкнутых контуров, ш — число шарниров в пересчете
на одиночные. Основание (земля) рассматривается как стержень
бесконечной жесткости (EJ = оо).
При расчете статически неопределимых систем можно в качестве
неизвестных принимать как силы или силовые факторы, так и пере-
мещения или деформационные факторы. В первом случае имеем так
называемый метод сил, во втором — метод перемещений.
Расчет по методу сил проводят в такой последовательности.
1. Устанавливают степень статической неопределимости.
2. Путем удаления лишних связей заменяют исходную систему
статически определимой, называемой основной системой. Таких систем
317
можпо построить несколько, соблюдая при этом условие их геомет-
рической неизменяемости.
3. Основную систему нагружают заданными внешними силами
и лишними неизвестными усилиями, заменяющими действие удален-
ных связей, в результате чего получают оквивалеитную систему
4. Для обеспечения эквивалентности исходной и основной систем
неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформации
основной системы не отличались от деформации исходной статически
неопределимой системы. Для этого перемещения точек приложения
липших неизвестных по направлению их
действия приравнивают пулю. Из полу-
ченных таким образом уравнений опреде-
ляют значения липших неизвестных усп-
Рис. 249 Рис. 250
лий. Определение перемещений соответствующих точек можно
производить любым способом, однако лучше использовать при этом
наиболее общий метод Мора или способ Верещагина.
5. После установления значений лишних неизвестных усилий
производят определение реакций и построение эпюр внутренних
усилий, подбор сечений и проверку прочности обычным способом.
Рассмотрим пример расчета статически неопределимой системы
(рис. 249, а). Приняв реакцию опоры В за лишнюю неизвестную ЛГ(,
получим основную систему в виде консоли, нагрузив которую рас-
пределенной нагрузкой q и усилием Хг, придем к эквивалентной
системе (рис. 249,6). Дополнительным уравнением перемещений
будет равенство нулю прогиба в точке В:
Д1==0. (13.2)
Полный прогиб Д] можно представить как сумму прогибов от внеш-
ней нагрузки (рис. 249, в)
~ 8EJ
(13.3)
и от неизвестной реакции (рис. 249, г)
д — 1
11 ~ 3EJ
(13.4)
318
Уравнение (13.2) можем записать в виде
Ai — &1р + Ап — О,
или
_J7£_.+ *1£1 = 0.
HEJ ?>EJ
Отсюда находим искомую реакцию
ql.
Из уравнения статики легко найти остальные
обычным способом построить эпюры Q и М, как
это показано на рио. 250.
В табл. 24 приведены расчетные формулы
для определения опорных реакций, поперечной
силы Q, изгибающего момента Л/ и перемещений
для основных случаев нагружения стати-
чески неопределимых одпопролетных балок,
а в табл. 25 — для случаев смещения опор
и неравномерного нагрева балок.
§ 76. Канонические уравнения метода сил
Дополнительные уравнения перемещений,
выражающие равенство нулю перемещений по
направлениям лишних неизвестных, удобно
составлять в так' называемой канонический форме,
т. е. но он ре деленной закономерности. Покажем
это на примере решения простейшей статиче-
ски неопределимой системы (рис. 251, а).
Выберем в качестве основной системы кон-
соль; в качестве эквивалентной системы полу-
чим консоль, нагруженную внешней силой Р
и лшнней-неязвестпой А', (рш- 251,6). Допол-
нительное уравнение перемещений, выражающее
равенство нулю перемещения точки 11 от сил
Р и zY|, будет
А, =Д(7< АД) =(). (13.7)
Па основании принципа независимости дей-
ствия сил запишем
(13.5)
(13.6)
реакции, а затем
е
А] =Д1р4-Д11, (13.8)
Рис. 251
где Д1Р—перемещение от заданной нагрузки Р
(рис. 251,в); Ди — перемещение от силы Х{. Обозначив перемещение
от АД = 1 но ее направлению через Sn (рис. 251, б1), получим
Уравнение перемещений (13.8) примет вид
— 0.
(13.9)
319
Это каноническая форма уравнения перемещений для один раз ста-
тически неопределимой системы. Из формулы (13.9) имеем
* = —V (П|0)
Для системы, имеющей две лишние связи (рис. 252), канониче-
ские уравнения будут иметь вид
Аналогично могут быть написаны в канонической форме, урав-
нения перемещений для любой и раз статически неопределимой
системы
4* ^12^2 4" W.3 4“
+ 51пА> 4~ =
^21-^1 4* ^22-^2 4" &23^3 4- • • • 4- ^2п^п 4- Д2Р — О»
(13.12)
6ni^i 4- 4- 4- 4- &Ш)А t) 4- ДпР — 0.
Рис. 253
Перемещения Д;р и 5^-, входящие в канонические уравнения,
следует определять по методу Мора или способу Верещагина. При
расчете рам и балок, для которых отношение высоты стержня к его
длине, как правило, меньше 0,1, в общей формуле Мора ограничи-
ваются сохранением интегралов, учитывающих лишь изгибающие
моменты. При этом прикладывают к основной системе единичные
нагрузки ЛГ] = 1, Х2 = 1, ... , Хп = ], а также внешние нагрузки
320
и строят соответствующие эпюры моментов, как это показано приме-
нительно к трижды статически неопределимой системе (рис. 253) на
рис. 254. Ординаты эпюр изгибающих моментов от заданной нагрузки
Р (состояние Р) и каждой единичной силы Хг = 1 (состояние 2),
ЛГ2 = 1 (состояние 2) и т. д. обозначим соответственно через Мр,
Mi, М2, ..., Мп. На основании (12.29) находим
(* М, Mpds С М2Мyds f МпМ pds
^lP = J EJ 5 Д2Р = J ej 5 • • 4 ДПР = J eJ
s s s
(13.13)
Рис. 254
Удельные перемещения, имеющие одинаковые индексы (главные
коэффициенты канонических уравнений), определяют по формулам
__ С M^M^ds ? С M2M2ds, , s _ С МпМnds
11 “ J EJ ; 22 “ J EJ ’ •• • ’ пп ~ J "~Ё7 •
6 S 8
(13.14)
Удельные перемещения, имеющие разные индексы (побочные
коэффициенты), определяют по формулам
Л С M^Mods f AEM?ds s f MtM^ds
"'«“J —Tij-' Ъл = }—ЁГ~-
6 s s
(13.15)
Эти перемещения могут быть положительными или отрицательными,
а также равными нулю.
На основапии теоремы о взаимности перемещений
=
Для систем, состоящих из прямолинейных элементов, вычисле-
ния перемещений удобно производить по способу Верещагина.
Например, для статически неопределимой системы (рис. 251, а)
имеем (см. рис. 251, в, г, д, е):
ЮРМСР
Д1Р~ EJ ’ Blt “ EJ ’
РР „т 5 ,
top — —- 5 Мр — -х~ /;
1 8 Gp 6
2 ’ Сг д'
И 5 1186
321
Следовательно,
л __А ?J-. >___________
1Р “ 48 ’ EJ ' 11 “ 3EJ *
Из формулы (13.10) находим
Если учитывать влияние разности температур, то порядок расчета
сохранится прежним, а свободные члены канонических уравнений
при этом будут представлять собой перемещения в основной системе
не только от заданной нагрузки, но и от изменения температуры:
г + • • • 4~ + Д1Р 4- Д^ == 0;
(13.16)
+ §Г)Л2 + • • • + ^ппХп + ДпР + ДгЯ ~ °*
где Д{< — перемещение в основной системе по направлению силы
вызванное разностью температур.
После определения коэффициентов 5^ и свободных членов Д^р и
Др решаем систему канонических уравнений (13.16) и находим лиш-
ние неизвестные Х\, Х2, , Хп. Далее обычным способом строим
эпюры внутренних сил (TV, Q и М). Построения удобно производить
методом суммирования по схеме
М = MtXx 4- М2Х2 4- • • 4- Мр-
Q — QiXr 4- Q2X2 4- -4- Qp>
n = n1x1 + n2x2 + :.+np.
(13.17)
Отметим, что вид канонических уравнений остается неизменным
при любом возможном варианте основной системы, изменяется лишь
смысл лишних неизвестных и геометрический смысл перемещений.
В табл. 26, 27, 28 приведены расчетные формулы для определе-
ния изгибающего момента в характерных сечениях некоторых видов
статически неопределимых рам для простейших случаев их нагру-
жения.
§ 77. Многоопорные неразрезные балки.
Уравнение трех моментов
Не раз резными называются балки, лежащие более чем на двух
опорах (см., например, рис. 255, а). Число лишних связей в нераз-
резной балке, а следовательно, и лишних реакций равно числу про-
межуточных опор. Иногда крайняя опора выполняется в виде
защемления. В этом случае степень статической цеопределимостп
балки увеличивается на единицу.
При выборе основной системы за лишние связи целесообразно
принимать не ироме,неточные опоры и лишние неизвестные реакции
322
в них (рис. 255,6), что привело бы к излишне громоздким вычис-
лениям при определении лишних неизвестных, а изгибающие моменты
в опорных сечениях. В этом случае, очевидно, основной системой
будет система однопролетных балок, соединенных па опорах шарни-
рами. Тогда эквивалентная система при расчете по методу сил будет
представлять собой ряд простых шарпирно-опертых балок, нагру-
женных заданной пагру.зкой и неизвестными изгибающими моментами
по концам (рис. 256):
ЛЛ = Т,; Л/2 = Х2; ... ; Mn+1 = Хп+1 ...
Дополнительное уравнение перемещений для каждой промежу-
Рис. 255
Рпс. 256
точной опоры должно выражать условие равенства нулю взаимного
угла поворота опорных сечений смежных балок. Поскольку
каждая из двух опорных балок основной си
стемы под действием внешних нагрузок в про-
лете и концевых моментов деформируется
независимо от другой, то торцы двух смежных
балок, примыкающих к одной опоре, например н-й
(рпс. 257), могут поворачиваться па некоторый
угол Д™в и Д"рав. Так как в исходной статически
неопределимой неразрезной балке каждая пара
таких сечений представляет собой одно сечение,
то из условий сплошности их взаимный угол пово- Рис. 257
рота должен быть равен нулю. Отсюда для каждой
промежуточной опоры
дп-Д^ев + Д^рав = о.
(13.18)
Так как основная система состоит из отдельных, не связанных
между собой однопролетных балок, то при раскрытии условия (13.18)
11*
323
достаточно рассмотреть примыкающие к п-и опоре два пролета 1п
и Тогда условие (13.18), записанное в канонической форме,
будет иметь вид
Sn, n-1 Xn-i + \mXn + 6п, п+1 Х п+1 + ДпР = °- ( 1 3.19)
Рис. 258
В соответствии с построениями, приве-
денными на рис. 258, а, б, в, г,
Рис. 259
== JL . . 1 . _2_ _1-----
EJn 2 3 EJn+i
, 2
2 3
ln . Wl .
‘AEJ n AEJ
(13.22)
5 __ 1 ^n+l , 1 _ n+1
"•"+1 ~£Vn+1 ' 2 ' ’ 3- 4EJM
(13 23)
Подставляя (13.20) — (13.23) в (13.19), получим
*n-1
^n I I ^+1 \ I V
—---1- ZA n < — I- —-| + Лп+1
\J” 7 n+1 /
^n+1
^n+l
6 ( ®n<ln -J- (1)n + l^n+l ’
\ Jnln Jn+^n+l
(13.24)
324
Заменив обозначение лпгпппх неизвестных Xi на Mi, получим урав-
нение трех моментов
При расчете иеразреьпых балок составляют столько уравнений
трех моментов, сколько имеется промежуточных опор. Решив полу-
ченную систему уравнений, определяют лишние неизвестные моменты
Mi на опорах. Зная конпевые моменты эквивалентной системы, все
дальнейшие расчеты выполняют обычным методом, как пгп расчете
любой статически определимой системы.
Для балок постоянного сечения (J const) уравнение трех
моментов (13.25) упрощается:
^п~^п + Уп Р 4- 4Zn-'-^n+l —
1 \г-р1
(13.26)
Уравнения трех моментов для второй п предпоследней опор пераз-
резной балки, очевидно, будут содержать только два момента.
Уравнения трех моментов используются п при расчете неразрез-
тюй балки, один конец которой жестко заделал. В этом слугчае
составляют уравнение трех моментов также для защемленного конца,
ставя там как бы промежуточную опору, п в сторону заделки вводят
фиктивный пролет. Если заделан левый копей балки, в уравнении
ipex моментов должны быть положены равными нулю Мn_t, 1п,
а член 6 —будет отсутствовать. Если не все опоры неразрезной бал-
ки находятся па одном уровне., а имеет место смещение некоторых
опор, то в балке могут возникнуть значительные начальные напря-
жения. Эти напряжения зависят от разницы в уровнях опор и жест-
кости балки, увеличиваясь пропорционально указанным величинам.
Влияние смешения опор па пати яжештость неразрезной балки
ми,кет быть оценена следующим образом. Пусть имеет место картина
смещения опор, приведенная па рис. 259. Углы поворота левого
п правого пролетов относительно опоры н будут
—L1
о — —
1 —
' ч м
.'>бол поворота считаем положительным, если сечение поворачивается
in' часовой стрелке. Очевидно, взаимный угол поворота торцевых
сечений па опоре ч
— ®n-pl
(13.27)
325
Теперь капопическое уравпеппе при расчете па смещение опор,
в котором роль Дпр играет примет вид
+ s„. .V„4., +«»-» (13.?8>
В случае балки постоянной жесткости, с учетом (13,21)—(13.23)
и (13.27), уравнение трех моментов (13.28) окончательно можем запи-
сать в виде
Мп—+ 2МП (1п 4- /n+.j) + — — QEJ (9n^_j — 0п).
(13.29)
Если, кроме смещений опор действуют внешние нагрузки, в правой
части уравнения (13.29) должны быть сохранены члены, содержа-
щиеся в правой: части уравнения (13.26).
§ 78. Расчет статически неопределимых
криволинейных стержней
При расчете статически неопределимых упругих систем, содер-
жащих криволинейные стержни, так же, как и прп расчете любых
статически неопределимых систем, рекомендуется пользоваться кано-
ническими уравнениями метода сил. Однако в этом случае переме-
щения, входящие в канонические уравнения, следует вычислять не
по способу Верещагина, а но методу Мора.
В качестве примера рассмотрим круговое гольпо постоянного
поперечного сечения, растягиваемое двумя равными и противопо-
ложно направленными сичамп Р (рис. 260, а). Эта система, как
и всякий замкнутый контур, является трижды статически пеопре-
Рпс. 260
делимой. Выберем основную систему, разрезав колыщ по сечению А2
(рис. 260, б). Из условия симметрии следует, что поперечная сила
в этом сечении Х2=0. Разрезав кольцо по диаметру Л, — Л2
(рис. 260, в), из условий равновесия отсеченной части находим зпа-
р
чение нормальной силы Неизвестный изгибающий момент
Xj найдем из рассмотрения эквивалентной системы (рис. 260, г).
Каноническое уравнение перемещений, выражающее условие
равенства нулю взаимного угла поворота граней в сечении Л2, будет
(13.30)
328
где
М! М р ds
~EJ
(13.31)
» ?MxMxds
8,1 = J ~EJ—
(13.32)
При этом Mp и Mr согласно рис. 261, а, б могут быть выражены
формулами:
.. гл т.
Мр —--------у 0 — cos ср) 10 < у
21/, = — 1.
Подставляя выражения для Мр
в (13.31) и (13.32), получим;
К
2
Л _/. f W(l-cos?)^
~ 4 J 2К7----------
О
2PR*ln \
= -М’2~1г
1’пс. 261
5п
Rd? _ 2~R
EJ ~ EJ
Теперь уравнение (13.30) может быть переписано так:
2rJ? 2PR2
EJ A1 + EJ \2
- 1 = 0,
откуда
2PR2 у — 1
X, =-------—Л---------L = — 0,182PR.
2.
(13.33)
Таким образом, изгибающий момент в сечсшш А
МЛ-^0,182РЛ
и направлен в сторону, противоположную принятой ранее.
327
Изгибающий момент в произвольном сечении можно выразить
формулой
Л/ (?) = — (1 — cos (?) 4- MAi
максимальный момент
«'ш.х“«8 = -0.318РЯ.
Поперечная сила в любом сечении выражается формулой Q (?) =
Рис. 262
= 0,5Р sin ?; осевая сила N (?)-- О,ЬР cos ? На рис. 262 приведены
эпюры М, Q п N.
В табл. 29 приведены расчетные формулы для определения уси-
лий и перемощений в различных случаях нагружения кольца.
§ 79. Определение перемещений в статически
неопределимых системах
После определения значений лишних неизвестных усилий
и построения эпюр перемещения в статически неопределимых систе-
мах можно найти обычными способами. При этом в каждом конкрет-
ном случае следует исполыовать тот .метод, который наиболее просто
приводит к результату Например, прогибы и углы поворота сечений
статически неопределимых балок, несущих сложную нагрузку, реко-
мендуется определять по методу начальных параметров. Метод Мора,
являющийся универсальным, обычно используют при определении
перемещений в балках, рамах и фермах.
Используя формулу Мора
С Л/рПр ds Vi f NiNp ds
iP ~ L J EJ 2.J J ~EF
s s
\ ч P QiQi) ds
\ k — (13.34)
J G/<
следует рассматривать окончательные эпюры .1/ Л7, Q от силовых
факторов статически неопределимой системы, а также эпюры ЛЦ,
JNi, Qi от единичного силового фактора, соответствующего искомому
перемещению. При этом для установления эпюр ЛЦ, Ni и Qi целесо-
328
образно единичную нагрузку прикладывать к основной статически
о и ре де;,' и мой системе.
В качестве примера вычислим в.мпмные перемещения точек
/1] — А. н /?, — /<> соответственно в горн оцтальпом и вертикальном
Рис. 262
направлениях для статически неопределимой системы, представляю-
щей собой одноконтурную раму, под действием сил Р, приложенных
но схеме, приведенной па. рис. 263, я. Прежде всего определим лиш-
ние неизвестные этой трижды статически неопределимой системы.
Выберем основную систему, разрезав одну из стоек по оси симметрии
(рис. 263,6). Вследствие симметрии nai рузкп в месте разреза попе-
речная сила Х2 ~ 0. Из рассмотрения условий; равновесия половины
рамы (рис. 263, в) находим
Р
2Х.Л — Р; X-t=-~
. liiiuHJiii неизвестный момент У, определиicn из следующего кано-
нического уравнения:
°п-^| 4“ ^tP ~ (13.35)
Здесь — перемещение в направлении юйствия усилия Х{ от
Р
сил Р и Х 3 —’ ~у .
329
Для определения перемещений Д1р и Su строим соответствую-
щие эпюры (рис. 263, ?, д) и, пользуясь способом Верещагина,
находим
_^СЛ71Л/рЛ 2 Р121 Р121
Л1Р " J 7й ~ ТЁТр
S
X\\MAMAds 2Ц . 2/2
~ej~'==~ej\+'ej;'
S
Подставив (13,36) и (13.37) в (13.35), имеем:
(13.36)
(13.37)
~ f— 4- X 1 — О-
D72 Г / х-|“Х
£!l
4^1 L \л л/J
При 1г = l2 = I и Jl — J2 ~ J
Х1==и-
Р1
16 •
На рис. 263,е, ж, з построены эпюры М, Q и N для рассмотрен-
ной рамы.
Для определения взаимного перемещения точек Аг — А2 в гори-
зонтальном направлении прикладываем к осповпой системе в этих
Рис. 264
точках единичные силы (264,6) Xi = 1. Перемножая эпюру 37р,
которую удобпее представить в виде, показанном на рпс. 264, а, па
эпюру М$. находим (при 1г — l2 — I и -= J2 = /).
(* MtMpds ] ( pi% i (
да>-а2 = = 2j J Г7 ~EJ \ 16" ' T +
PF I _ ? PF l\_ PF
4. _ . 4 у - 64£J •
Чтобы определить взаимное вертикальное перемещение точек Д] — В2,
прикладываем к основной системе в этих точках единичные силы
Xk — 1 (рис. 264, в). Перемножая эпюры Мр и находим
Л Л Vf^J7pds ! I рр t
йВ1-В2 ~ к ~ J pj ~ EJ \ 16 2
Pl* / 9 I* Pl Л_ 5 Р/3
16 ' 6 ' + 8 ’ 16 / 192 ’ EJ
В случае действия на статически неопределимую систему темпе-
ратуры к перемещениям основной системы, нагруженной найденными
лишними неизвестными, следует добавить температурные перемеще-
ния. При этом формула (13.34) с учетом (12.36) прижмет вид
где Mt, Nt, Qi — эпюры от лишних неизвестных, обусловленных
изменением температуры.
В табл. 24. 25, 29 приведены выражения для перемещений
в статически неопределимых однопролетных балках и кольце для
различных случаев их нагружения.
§ 80. О расчете пространственных рамных систем
Как известно, в самом общем случае в сечении стержня действуют
шесть внутренних силовых факторов: Л7г, Qx, Qy> Мх, Му и Mz.
Для неподвижного закрепления,
Л сечения нужно наложить шесть связей
усилия в которых могут быть найдены
Рис. 263 Рис. 266
Количество связей в пространственной системе, превышающее
,\ казанное число, дает степень статической неопределимости. Так,
пространственная рама, показанная па рис. 265, а, является системой,
шесть раз статически неопределимой, так как из уравнений равно-
весия можно определить лишь реакции одной жесткой опоры. Один
из вариантов основной системы вышеуказанной рамы приведен на
рпс. 265, б. Для определения шести неизвестных усилий необходимо
решить шесть канонических уравнений обычного вида.
331
Пространственная рама, показанная на рис. 266, а, является
системой 24 раза статически неопределимой. Основная система
(рис. 266,6) содержит четыре разреза, в каждом из которых имеем
шесть неизвестных усилий.
В конструкциях встречаются плоские рамы, подверженные дей-
ствию пространственных натрузок. В плоских рамах, нагруженных
перпендикулярно к их плоскости (рис. 267, а), силовые факторы,
характеризующие работу рамы в ее же плоскости, равны пулю. Сле-
довательно, из шести неизвестных (рис 267, >) три равны нулю,
т. е. А4 — А6 = А6 = 0 (рис. 267 в). Это обстоятельство упрощает
расчет плоских рам.
При расчетах плоских рам нространс!венные нагрузки расклады-
вают на составляющие, действующие в плоскости рамы и перпенди-
кулярно к ней, щ используя принцип независимости действия сил.
рассчитывают системы отдетыю для каждой и/ нагрузок, действую-
щих в разных плоскостях.
В качестве примера приведем расчет ш, меюду сил рамы, пока-
Рис. 268
занной па рис. 267, а. Из соображений
симметрии выберем основную систему
в виде, приведенном на рис. 268. Этот
вариант удобнее, чем приведенный на
рис. 267, в, так как крутящий момент
Х2 и поперечная сила Х3, т. е. косо-
симметричные силовые факторы, оказы-
ваются равными нулю. Неизвестный
изгибающий момент легко опреде-
лить и; канонического уравнения
опАг-|- А1(, = 0. (13.39)
Для определения перемещений и бп строим эпюры изгибаю-
щих и крутящих моментов для /?-го (рис. 269, а) и единичною А\ — 1
(рис. 269,6) состояний. Эпюры крутящих момешов показаны
штриховыми линиями.
Пренебрегая влиянием осевых и поперечных сил, формулы Мора
для определения перемещений запишем в виде
. v С ds , V С ds ( у С ЧЛрds
- L J Ё1~~ + J EJT~ + J
8 S S
(13.40)
» _ v f Л/л‘Л/л1 л V f d'
11 2j J EJX H J EJj
ft s
Г м21л/г, *
.1 c4
s
(13.41)
332
Учитывая, что
перемещения Д1Р
единичные эпюры ограничены прямыми линиями,
и о,, можем определять но способу Верещагина
Л‘р~' ' EJ,
qij
8
. _L . 11. .1.2_____
3 2
<//'i
2417
ql,
Z2 . 1 • 2=
8
В
EJ,
GJ
Рис. 269
EJ,
^2 \
^1 )
EJ,
MIIIIIIMOllllllll
Ej, 1 GJ
1 n
На основании (13.39) найдем
X
&tP —
SH 24
1 4. 6 . Л
2?./1 /2
1 + 2'C4 ' ~
qli
24 ’
8
2
M
©
Рис. 270
где
EJ,
____ h
1_r“ GJK ' к
Окончательные эпюры M, Мкр и Q приведены па рис. 270.
333
Таблица 24
Опорные реакция, поперечные силы, изгибающие моменты и перемещения в статически неопределимых
однопоопетных балках
Схема нагружения
балки. Эпюры Q л М
Опорные реакции,- поперечная сила Q,- изгибающий
момент координата опасного сечения zo.
максимальный момент Л/тах
Уравнения упругой линии w (z), угол
поворота 6 концевого сечения, максимальный
прогиб / (при постоянном EJ)
335
П родолжение табл. 24
со
ст>
Схема нагружения
балки. Эпюры Q и М
Опорные реакции, поперечная сила Q,
изгибающий момент М, координата опасного
сечения z0, максимальный момент МП1ах
Уравнения упругой линии w (z), угол
поворота 0 концевого сечения, максимальный
прогиб / (при постоянном EJ)
0<
2
5 11 3
= «Я = Г6^ =
О < Z 1/2
« = гвР: м = тв₽2
1/2 z С I
И / I 1
м = р 4-1
16 \2 11
z0 =Z ^max = 16^*^
w (z) =
Pl9 Л z z3 'j
SUIT" v ~ b 73"/
<3 Z <C I
Pl?
/ = — 0,0093 —jjrj- при z — 0,447/
a Pl2 n
6 = — тлтугу при z = О
IP I? I
W = -768KTnpHZ = T
при а — наибольшее значение
Л/таХ = 0,174/^
при а — 0,423/ наибольшее значение
М'' = — 0Д93Р/
Pl'3 Г^д Л, z Z3 \
ww~ $EJ V 1 V /
-> д22 1
— ° —7ч— I
при а = 0,586/ наибольший прогиб
при z = b
f = _ 0,0098
Pi2 I а- а2-
ЛЁТ \~Ё Ё
при 2 = 0
Продолжение табл. 24
Схема нагружения
балки. Эпюры Q и М
Опорные реакции, поперечная сила Q,
изгибающий момент М, координата опасного
сечения ?о, максимальный момент Мтах
Уравнения упругой линии w (2), угол
поворота 0 концевого сечения,
максимальный прогиб / (при постоянном EJ)
Ч Ч 1
Лв= -8-<7/; Л/s- g-g/2
Q = (А
\ *
z \ , г . ('> t z \
-j, Al-qlz\^ 2 ‘
_ I A/max — <?Z2
3 , 9
г° ~ ~8~ Апах ~ |28
_ 9Z4 {.) z4______n z3 ,
48AV V /4 Р I j
П|М 2 = °.421(
л/3
’“-4&EJ- "ри я = 0
Ra~ plB л1В —
O^z^l/2
<7/4
/ = -WsE7 nP"2-0’5'
os
«о
3
z0 — 0,415/ ^max ~ 64^"
о
II родолженис табл. 24
со
Схема нагружения
балки. Эпюра Q и М
Опорные реакции, поперечная сила Q,
изгибающий момент М, координата опасного
сечения z0, максимальный момент Мтах
Уравнения упругой линии w(z), угол
поворота 9 концевого сечения, максимальный
прогиб ! (при постоянном £J)
1 2 1 .
~ ~ qi' мв ~ yg
/ = -7йЕ7 n1”' = = °'w'
ql< I
w = — ,, г при z = лу
426, V>EJ F 2
z0 — l -Л^тах —
Z(;=Q,^7l Mmax =
qi2
15
ql2
ra — ^1'> пв 40ql'' MB~y2Qql‘
О z I
л 1 М1 z 1 г2 \
J~ql (40'" / + 2 ’ /2 ) ’
qiz ____2 J_ Z2 \
2 \2О 3 ’ Z2 )
7
z0 — I Мтах — J20 с^2
^•=0,329/ = g
/ = — -7 О,? / при г = 0,4021
)!.( fOlhj
ql* I
* MR *
ra ~ ra^-1~ ; rb — rb-1~
*
0R
““"AvRwEJ n,,n E = T
Параметры co знаком * соответствуют
статически определимой балке на двух
опорах (см. рисунок)
Продолжение табл 24
Схема нагружения
балки. Эпюры Q и М
Опорные реакции, поперечная сила Q,
изгибающий момент М, координата опасного
сечения zoi максимальный момент Л/тах
Уравнения упругой липин w (z), угол
поворота 0 концевого сечения, максимальный
прогиб /(при постоянном EJ)
Ra — 6^0 -р~ ' "7Г ’
MA^Ma~(2a~by, Мв = М^(2Ъ-а}
0<г<п
. _,_ ab _. ab / b z\
Q = — 6М0 ; М = Мо ^2 — ~а — Ь — J
а <С z < /
<? = -6М0^-; Л7=М„^Ц2_±_
_ в 2 л.
I ' ab /
zQ = 0 ^/max =
1'^ Г
z < а
„ Mnbzz Л, a b az \
3 eju \ 7 1. 21^)
1 ( ь\
"max <> °) ПРП г = J ~ I
"’тах«°) ПРИ z
£
3
/
V
ч
V/
о
м
S
&
£3
5
343
CO
Ifрододженае табл.
Схема нагружения
балки. Упюры Q и Л/
Опорные реакции, поперечная сила (Л изгибающий
момент М, координата опасного сечения г0,
максимальный момент Л/тах
Уравнения упругой липин w !?>, угол
поворота f) концевого сечения, максимальный
прогиб / (ПРИ постоянном £.J)
_ рЪ~ (За 4- Ь) . __ а-(3,6 -4- а) .
Л2 0“
МД = Ра-~-, Мп=.РЬ~г
0 z а
п „ b'z (За -4- b) (р^а + Ь
Р \ al
а с
од_;Лг<31, + °>; j/—±” 2
/•* Р L
Z2(z-<?) _ (]
62 а
СИ
Продолжение табл. 24
Схема нагружения
балки. Эпюры Q и М
Опорные реакции, поперечная сила Q, изгибающий
момент М, координата опасного сечения zOi
максимальный момент Мтах
Уравнения упругой линии w (z)i угол
поворота 9 концевого сечения, максимальный
прогиб / (при постоянном EJ)
Ra = Rb = £L- MA = Me = ^ql>
Iql*
1/2
'6840EJ
I
npn z = —
Q^ql
zo — 0’ zo L -^max ;^max gg
— M
2 max
qi2
32
Мая нагрузка
2EJ * * '>EJ * »
Л/л = -^(26л-6б); МВ = -^(2ОЙ-ОЛ)
*р\ , (^А + мв)1-
” = и\г} +—WK7--------
I
при z = ~
Параметры со знаком * соответствуют
статически определимой балке на дв>х
опорах (см. рисунок)
Таблица 25
00 Расчетные формулы, учитывающие смещение опор и изменение температуры в статически неопределимых
балках (при постоянном / 7)
Схема балки
Опорные реакции, поперечная сила Q
пзгниающий момент М, координата опасного
сечения гР i величина максимального момента Мтах
Уравнение упругом линии и ,г«. >го..
попорота 0 концевого сечения н "акепма.ллий
прогиб /
О < 2 < /
/п { > > Z , ')
/ = --- /о при 2 = 0
О — . ИР’Г 2 = 0
. , а ; 6'. 2 2‘ . 2‘ 'i
w (Z) = — 0О \ - ; — " •+• ~7ту
/ — — 0,’030 , I при г = 0,422/
О = — 0(, при 2 = О
О = -у 0;/ при z = I
у.
IIродолжение тайл. 25
Схема балки
Опорные реакции,- поперечная сила Q
и изгибающий момент М, координата опасного
сечения z0 и величина максимального момента Мтах
Уравнение упругой линии w (?), угол
поворота S концевого сечения и максимальный
прогиб /
По высоте сечения
балки температура из-
меняется линейно
» ZaAtEj SaAlEj
0 < z < /
3aAtEJ . ?aMEJ
' 2hl ’ ’1 ~ 2hT~
0 z I
aAt/21 z z2 , z3
w (z) ~ ~ 2 J2 + "p
, aktl2 I
/= wupx
0 = при z — 0
4/t
, __] _ .<aAtEJ
2° - 1 *Umax ~ ----7/,--
(a — коэффициент линейного темпера-
турного расширения мате риала
балки;
At — разность температур верхнего и
нижнего волокон балки)
По высоте сечения
балки температура
изменяется линейно
/?, =Лй = 0; Л/Л = .1Л0=2^
ll
О z i
a^tE.J
Q — 0; Id — —---~ const
а
0<2< I
w(z) = 0
(а —коэффициент линейного темпера-
турного расширения материала
балки;
At — разность температур верхнего
и нижнего волокон балки)
Таблица 26
Изгибающие моменты в Г-образной раме
Схема нагрузки
п эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
Ригель и стойка
шарнирно оперты <
351
Продолжение табл. 26
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момепт М
в характерных сечениях
в <з«
Л/ ____ > ^2 /
Горизонталь ное смеще-
ние опоры С
мв = 3^~Т5
*-> nl“
Вертикальное смещение
опоры С
Вертикальное смещение
опоры А
Значения 717 те же, что и при верти-
кальном смещении опоры С, но с обрат-
ными знаками
Г / / />2 \
Л/ =3Ц* i + Л_ аД,
и ин \ I* ]
а — коэффициент
линейного температур-
ного расширения
352
Продолжение табл. 26
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
Ригель шарнирно оперт,
стойка защемлена
п = 4 -J- ЗА’
Г ’ 2 1
МА = а (2 — За) — — (1 — а) (За — 1) Л/
Л/ =3(1 -а) (За-1)—; а = А
и n h
12 5-1IP6
353
ПРодолжение табл. 26
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий М0]иент М
в характерных сечениях
„ t|2-W. Мв = ^
А 1кП в кп
Горизонтальное
смещение опоры С
Мв=^-^г
Вертикальное
смещение опоры С
МА = 6
Ylb
Вертикальное
смещение опоры А
Значения М те же, что и при верти-
кальном смещении опоры С, но с обрат-
ными знаками
Поворот опоры А
па угол 0
«Л = 12(1+й^0
Мв = (;£42 6
nt
354
Продолжение табл. 26
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
Нагрев на Аг
а — коэффициент
линейного темпера-
турного расширения
Л/-' = е^г(3 + т + 7г)“д'
МВ =6 ^2(3+2-7г)
° nh\ Za j
Ригель и стойка защемлены
n = 1 + к
р; Мв = — Р
Л 2п D п
Мс = [(2-а)к 4-2(1
1)
Мр — ааР — аМр — (1 — а) Мс; а = —
n/r ql2 ql2
МА = : мв = V7T-
А 24п 8 \2.п
Мс - (2 4- 3 Zc)
12*
355
Продолжение табл. 26
Схема нагрузки
н эпйрь М
Изгибающий момент М
в характерных сеченияк
Л/л = [1+«(1+24))^Р
” II
° 2n h
МА = [а (2 — За) — М
Мв = (1-а)(За-1)^
Л/с = (1-а)(За-1)^; а = |
356
Продолжение табл. 26
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент Л/
в характерных сечениях
Вертикальное
смещение опоры С
Вертикальное
смещение опоры А
Значения М те же, что и при верти-
кальном смещении опоры С, по с обрат-
ными знаками
МА= (3+ 44)^16
= 2^ в
Нагрев на At
А
3EJ2
nh
I 1 h2 \
(2 + т+щН
aAt
а — коэффициент
линейного темпе-
ратурного расширения
357
Таблица 27
Изгибающие моменты в И-образнон раме
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент Л7
в характерных сечениях
Стойки
шарнирно
оперты
п = 3 + 2к
358
П родолжение табл. 27
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
Мв = Mc = ±-hP
л/с = [1 + (£_2>^]±р
Л/р = (1-«)(Р& + Л/в)
” 2п
м 3(1 + (^-а^]м
G 2п
M,i = (2 + /t)^
jW<, = (6+5/()^-
359
Продолжение табл. 27
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
Ч/ _ у _
Л1в-А1с--й&
V - 17 __^J2a^t
37В ~ -----7йГ~
а — коэффициент
линейного температур-
ного расширения
Стойки
защемлены
П] = 2 -f- к п2 = 1 -|- (эк
МС =
MD^
2а — }
2п2
ааР
2а—}
2п2
ааР
ааР
ааР
360
Продолжение табл. 27
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
L «1 П2 J I2
D~ L“+——]~
t „42(3- 2°> зн-./ЬР
С L ni п2 J 12
J2(3 — 2а) , 3(1— а)21 <?Z2
в =а — -и —~— -ту-;
L ^2 J
М = М =
Л и 12«i
М н = Д/р — ——
в С Ort;
V 2+3/С 72
2 max - 24n, ql
Ч k
Мв-Uc^^hP
361
Продолжение табл. 27
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
3(1 —я) fc
я2
, 01 U + * (1 + « D
+--------г;--------i~2p
М _____ ГЗ (1 — а) к а (1—a)fcj а
В ~ L n2 nl J 2
n I «2
а [1 + а (1 + к)]\ а п
«1 J 2
,, [з (1 — а) к а (1 — а)/с! а
мс = [------------------------J У
Ь
а~~ h
362
Продолжение табл. 27
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
/* + 3,1+ кк\ qh2
A~\(inl Ф п2
М _/1+^ 3 + к\
D \ n2 6/гх / 4
^А
AfB
Нагрев на Дг
Нагреб At
8 + 3/с
ni
qh2
Io"
= MD =
= М
_ qh2
c = Ж?
_ 3(1 + k)EJ,
A ~ 11D ~ k^h ~
t| j ЗЕ J 2 Ct St
b> cnth
— коэффициент
.1 li'ieiinoro температур-
ного расширения
363
Таблица 28
Изгибающие моменты в замкнутой раме
к — -р— ; р = ~ = 1 4* Р 4" 6/с; т = (2 4- к) 4—(3 4~ 2к)
J I I J О ft
Схема нагрузки
Изгибающие моменты в узлах рамы
(положительные моменты вызывают растяжение
с внутренней стороны рамы)
w и + , 1-2оЛ Pl
МК с = — а (1 — а) —-- 4---
° ' \ кт — п ) 2
,, . 1'Л 4- 2к ,
PZ.
2 ;
1 — 2а\ Р1
п /2
МА, D = a а la (t 4- fc) — (2 + fr)] 4-
1 ) Ph
+ -[14-3M2-a)]jT
MB, C = a {— fa (fc+ p)+ p] ±
1 ) Ph
± - C’^k 4- p)[ —
n J 2
364
Продолжение табл. 28
Схема нагрузки
Изгибающие моменты в узлах рамы
(положительные моменты вызывают растяжение
с внутренней стороны рамы)
м__м __
MA~MD-^2Tn
мв = мс = — ^-
в с 12
+ ?>Р
кт
а-
|ИШИИ|
мв — мс = —
ql*
12
3(1 ^-а)И дР
~ n J 12
мв.с
“2 [~/^Г~ 2я) (2Л + Зр) i
ч
+ -.(1 — а)2
— п '
^L-
12 ’
365
Продолжение табл. 28
Схема нагрузки
Изгибающие моменты в узлах рамы
(положительные моменты вызывают растяжение
с внутренней стороны рамы)
мЛ, D = «’ Р [-££- (3 - 2а) (2fc + 3) ±
, з ,2]
±-1-а -ГГ
n ' J 12
, , 2 ГЗ — 2а
3(1- «)21 9Z> . а
Х n J 12 ’ I
/3 + А: l+4fcW»
МА. D = “ ± ——) ~
2И _ + 3р , 2к + р\ qh2
В, С Qm — п ) 4
М л — Mq — MD —
+ I2 ql2 Т т
1+Г- -1Гпри/‘ = /«
366
Продолжение табл. 28
Схема нагрузки
Изгибающие мсъменты в узлах рамы
(положительные моменты вызывают растяжение
с внутренней стороны рамы)
м —
A, D “ I т + п / 2
в> с \ кт п / 2
Р 4- 2к
М л Г) — — Р I —I '
Л> и \ кт
. 1\М
± — V
n / Z
М
2
367
Усилия и перемещения при нагружении кольца в его плоскости
Л'. Q, М — нормальная и поперечная силы и пзгп-
показаны положительные направления для усилии,
растаппя угла ср); бх, бу — изменения диаметра кольца
личепию диаметра); Е — модуль упругости материала;
368
Таблица 29
бающий момент в сечении кольца, определяемом углом ср (на рисунке
действующих на впереди лежащее сечение кольца в направлении воз-
и направлении осей х и у (положительное значение соответствует уве-
Ь\ J — площадь и момент инерции сечения кольца.
м S
0 — Ер
— „ ЛЧ „ РНЛ
₽- PR (о,3183 — у sin ср) вх = _ 0,137 Л J PR3 By = 0,149
ГС
2
PR (0,3183 cos <р -р sin ср — 0,8183)
гс
~2
со
Ьх = -0,1366-^
£jj
PH3
By - 0,1488
PR (0,1817 4 0,3183 cos ср)
369
Схема N Q
12Р .л 0 <Г ср <4 а 0 ср а
Р IP
< Р (0,3183 sin2 a cos ср 4' Р (COS ср —
Ifcf ад
4- sin <?) — 0,3183 sin2 а sin ср)
а ср тс а ср тс
Р • 0,3183 sin2 a cos ср — Р • 03183 sin2 а sin ср
0<ср <а 0 <4ср а
Р [0,3183 cos ср (sin2 3 — Р [0,3183 sin ср (sin2 а —
1Р 1Р — sin2 а)] — sin2 р)]
JZoc
а<?< Р «<т< Р
Р [0,3183 cos ср (sin2 [1 — Р [0,3183 sin ср (sin2 а —
Pf IP — sin2 а) 4- Sin ср] — sin2 Р) 4- COS ср]
Р ср тс р <4 ср <471
Р [0,3183 cos ср (sin2 р — Р [0,3183 sin ср (sin2 а —
<— Sin2 а)] ^-sin2P)]
370
Продолжение табл. 29
м 6
ср а
PR [0,3183 (a sin а 4- COS а -|-
-J- sin2 а COS <р — 1) —
sin а 4- sin ср]
а ср <4
PR [0,3183 (а sin а 4*
4- COS а 4- sin2 а COS ср — 1)]
PR2 Г 1
= (sin2 a 4-2) 4-
£ J [_ z
4-0,6366 (a sin a 4-COS a — 1)—
— 2 sin aj
PR* Г 1
By = ~ -J- (sin a COS a 4*
4- a) 4- 0,6366 (a sin a 4-
4- COS a — 1) — sin a
О <р а
PR [0,3183 (Р sin $ 4- cos p —
— a sin а — COS а — sin2 a COS ср 4~
4- sin2 p cos cp) ~ sin fi 4- sin a]
a <?<£
PR [0,3183 (p sin p 4- cos p —
— a sin a — COS a — sin2 a COS cp 4*
4- sin2 p cos <p) — sin p 4- sin cp]
P < <p <7t
РЯ [0,3183 (p sin p 4-cos p~
— a sin a 4- COS a — sin2 a cos cp 4-
4- sin2 p cos cp)]
PR* Г 1
A = ~Yj - I 2 (sin2 a + sin2 P) 4-
4- 0,6366 (p sin p 4- cos p —
— a sin a — COS a) 4- 1 — 2 sin p]
PIP* Г 1
5У =^7' I у (sin 3 cos P 4-
4- p — sin a COS a — a) 4-
4- 0,6366 (P sin p 4- cos p —
— a sin a — COS a) 4-
4- sin a — sin p]
371
Схема л Q
0 -С у «С а Р [0,3183 (а — — sin а COS а) — 1] COS ср а ср тс Р 0,3183 (а — — sin а cos а) cos ср 0 cp <i а Р [0,3183 (sin а COS а — — а) 4- 1] sin ср а ср тс Р • 0,3183 (sin а • COS а — — а) sin ср
V /V р ( л /Р w\ А \ р 0<ср< а Р 2 sin ct т 0 <р а Р 5—:— sin а 2 Sin а т
<У=А/ /р \р
0 <С ср п М 222L 0,6366 cos ср 0'г М 0,6366 sin <р
vC Ун 1
372
Продолжение табл. 29
м 8
0 <С 4 а PR [0,3183 (sin а — а СО> а 4- 4- a cos <р — sin a cos a cos ip) — — cos cp 4- cos aj a cp л PR 0,3183 (sin a — a cos a 4- 4- a co^ cp — sin a cos a cos cp) PR3 Г Bx = —- 0,6366 (sin a — cj L 1 • 1 — a cos a) 4- (sin a cos a — a) ’ PR3 Г By = -- - 0,6366 (sin a — Zit/ 1 — a cos a) 4" COS a 4- 4- ~ sin2 a —
0 «4 v a PR 1 cos cp 1 \ 2 \ sin a a / Радиальное перемещение точки приложения силы от центра PR3 [ 1 /а ,
при 3/(+) max np № cp = 0, 2a, 4a, . .. _pr( 1 1\ 2EJ [ sin2 а \ sin 2а \ + 4 ) 2 Al a J
2 \ sin a a / и cp = a, 3a, . .. —PR[i , \ = — t:— — — ctg a 1 2 \a 6 / Радиальное перемещение в точ- ках <р = 0, 2a, 4a, ... (к центру) PR3 ( 2 1 a cos a
iEJ \ a sin a 1 Sin2 a )
л/0 °<'r< T 0,6366 cos cp —~ j J < ? < г I 1 ' 0,6366 cos tp ; у И li II 0 ©
373
Схема N Q
0 <с <р м 0,6366 sin а cos ср 0 Т < ” ~В~ 0,6366 sin а sin с? R
Р = 2qR sin а 0 <s <р <Г а /1 — qR К- sin3 а COS ср + \от 0< Ср < а f 1 qR тг- sin3 а sin ср — \3к *
[Р + sin а sin cpj а ср г. Sin а COS ср j
( d/*' 2\оА а <С <? < к
Зр /1 D/1 . з • qR 1 Sin3 а Sin ср — •— sin ср cos ср^
— 7# 1 3^ sin3 а cos ? + + sin2
374
Продолжение табл. 29
д/ 6
0 «С ? а M R2 Ъх = -1U_£L (0,6366а — sin a)
Мо [0,3183 (2 cos sin а 4- а) -1]
а <4 ? <4 71 M R2 Sy — —(0,6366a 4~ COS a — 1) Hi J
Мо [0,3183 (2 cos ср sin а 4- ct)]
0 ф <С а
* 2qR* [1 sin a t sin2 a
М (0) — qR2 £sin ct sin ср - 6x EJ [4 2 + 2
1 — sin3 а (1 — cos cp) O7Z sin3 a 1 / a
12 к \4 ~1Da 1
а «4 cp <4 r- . 3 . t 1 . , Y| 4- sin a cos a 4- — a sin2 a 1
M (0) 4- qR2 4- sin3 ct (1 — cos cp) — O7t 2(7 Z?4 [ 1 t Sin2 a
У EJ LU 4
1 1 2 (sin2 ct 4- sin2 cp) a sin a sin2 a COS a
4 12
M (0) = qR2 [4 + 4 S'n2 а 4- COS a 1 /a sin2 a , 6" Д 2 “r
. 1 I . 1 , 3 . a \"l
4 sm а — ct sin*5 ct
1 v. \ 2 4- --г sin a COS a 4- — Sin a 4 4 /J
sin3 ct 3 . a \ I
3 4 4/J
375
Схема N Q
0<C cp < a — qR [sin a sin cp 4" 4- (1 + cos a) cos epl — 0 < cp < a
Р — 2gR sin ct — N (л) cos cp — qR [sin a coscp —
6 <p a 5 л — qR (1 4* cos a) — — N (r.) cos cp — (14- COS a) sin cp] — 4- N (л) sin cp a -С ср < л
&7Пуу 2V(Z)==_^L(1:„ — sin a 4~ “ COS a) qR sin cp 4- N (л) sin cp
TH <v\ 0 < cp a , — qR Sin2 cp O< cp < « qR sin <p cos
a^>J a -C cp < r. — a a < ср < л — a
н н у — qR • sin a • sin cp qR sin a cos cp
376
Продолжейие табл. 29
м в
у
О ср а
qR2 j^sin а sin ср 4-(1 + COS a) COS ср — 5x = _-^(2-- + x EJ \Z тс . 2 sin a 3 rfin a
1 1 (z — a -j- sin а) 4- 7€ J + , -2~ TC cos a , a cos a\
4- Л7 (к) R cos cp 2 +-^~)
a cp тс 0 < a я
Г 1 1 qR2 COS cp (sin a — a) 4- [_ 7€ J , _ qH> I. 2«
4- /V (тс) • 7? • cos <p , 2 sin a a sin J |
4- — -/ cos a 1 * 2 I
O< cp a . qR^ Г Sin3 a ‘x-_£rL-s"”' 3 +
M (0)— ^-2sin2cp 1 4“ — {a 4- 3 sin d- COS a 4*
a < cp <4 — a 4- 2a sin2 d) j
M (0) — qR2 ^sin a • sin cp — by Гrfin2 a —
1 . 2 \ 2 Sin2 a 1 У EJ [ sin2 a • cos a
и (0) = ,«’[! (л + 3 \ — a sin a — 3 2 cos a 2 ~ sin a 3 >’ 3 + 2
4- a sin2 a 4~ y sin a COS a) — 1 — -- (2a sin2 a 4~ 3 sin a X
1 sin2 a] 1 2 * X COS a 4- «)
Гл а в а 14
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ КРИВЫХ БРУСЬЕВ
§ 81. Определение напряжений в брусьях
большой кривизны
К кривым брусьям относятся грузоподъемные крюки, проушины,
звенья цепей, ободы шкивов и колес, арки и т. и. Осп этих брусьев
являются плоскими кривыми. В поперечных сечениях плоского кри-
вого бруса в общем случае действуют три внутренних силовых фак-
тора М, Q и N, правило определения которых такое же, как и в
брусьях с прямой осью. Дифференциальные зависимости между М,
Q и q были приведены в § 21.
Представляют большой практический интерес кривые брусья,
имеющие продольную плоскость симметрии (рис. 271, а, б), в кото-
рой обычно действуют внешние нагрузки.
Распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях
кривых брусьев иное, чем в брусьях с прямой осью. Это различие
при прочих равных условиях тем больше, чем больше кривизна бру-
са, характеризуемая отношением высоты поперечного сечения h
кривого стержня к радиусу кривизны R его оси. В связи с этим
378
от напряжений,
кривизны; при
. , . h 1
принято различать ирусъя малой кривизны, у которых -г-<, и
XI U
z II 1
брусья большой кривизны, у которых — .
п 5
При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения
с достаточной степенью точности можно определять по формуле Навье
(10.6), выведенной для балок с прямой осью. Максимальные напря-
жения, подсчитанные по формуле Навье для бруса прямоугольного
сечения с отношением
вычисленных по формулам
h 1 „ h
Д =io-"a 3’5%; П|”' Д = 5
Рассмотрим
I h 1 \
5) (Р"«-
слоя неизвестен
h 1
= отличаются па 2%
1{ 15
для бруса большой
-4 ~ из 7%.
э
случай чистого изгиба бруса большой кривизны
271). Предполагаем, что радиус гн
и не
нейтрального
совпадает с радиусом Н оси стержня.
Рис. 272.
При выводе формулы для определения нормальных напряжений
в брусе большой кривизны исходят из тех же гипотез, что и при
выводе формулы Навье, т. е. пользуются гипотезой плоских сечений
и гипотезой о том, что продольные волокна материала не давят
друг на дргуа. Выбираем направление осей сечения х и у, как пока-
зано на рис. 271 (при этом ось х считается совпадающей с нейтраль-
ной линией, положение которой пока не известно). Направление у
к центру. кривизны принято за положительное.
Рассмотрим статическую сторону задачи и напишем условие равно-
весия применительно к элементу бруса (рис. 272, а), оставшемуся
379
после удаления отсеченных частей. Для нашего случая, когда и сече-
нии действует один силовой фактор Мх, будем иметь
j a dF = 0;
р
су dF = М,
(14.1)
(14.2)
В силу симметрии
Му — ex dF — 0.
F
Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Относительное удли-
нение произвольно выделенного элементарного участка АВ, находя-
щегося па расстоянии у от нейтральной линии (рис. 272,6) и полу-
чившего в результате деформации удлинение уД rf'-p, равно:
у Д dcp
(гн — У) d? ’
(14.3)
где (rn — у) d<?— длина элемента до деформации.
Из рассмотрения физической стороны задачи, определяемой зако-
ном Гука
а = Ег = . (14.4)
гн — У
условие (14.1) перепишем в виде
а dF = f = 0.
- у
F
Так как
dy
то
(14.5)
Из (14.2) находим
С Е & dv \ у2 dF ,
\ cydF ~ —у—1- \ ------= М.
J rf? J Лг - у
F Е
(14.6)
380
Так как
ir*-y
i y~db' f /2+ ?„У~ г„У [7 rnH \^tt
i ---= i ------.-— dF = — I v----dF —
J 'n - У J, \ гн~ УI
.-Jsdr + r,, jjt^-=-^ + O.
F F "
или
\ = _ (_е) р == ер
Г-~у
(14.7)
можем представить (14.6) так:
Ц^еР = М.
d<t
Отсюда
Е Д d<? __ М
d<? eF ’
(14.8)
где е — расстояние от нейтральной
площадь поперечного сечения.
липни до центра тяжести; F —
Рис. 273
Подставив (14.8) в (14.4), найдем формулу для определения нор-
мальных напряжений при изгибе
или Ми а = -^7~ ч > (14.9) eb (гИ — у) v 7 а = — ...^.У (14 до) Sx (гн — У)
381
где М—изгибающий момепт в сечении; Sx — статический момент
площади сечения кривого бруса относительно нейтральной линии.
Из анализа (14.9) или (14.10) видно, что нормальные напряжения
по высоте распределяются по гиперболическому закону (рис. 273,6).
Абсолютные величины напряжений в крайних волокнах сечепия
бруса согласно (14.9) определятся по формулам
_ Mht . _ Mh2
01 FeR! ’ °2 FeR.2 ’
(14.11)
где 7?t и R2 — соответственно радиусы кривизны внутренних и внеш-
них волокон кривого бруса; и h2 — расстояния от нейтральной
линии до этих волокон. Знак напряжения определяется по направ-
лению изгибающего момента в сечении.
Формулы (14.9)—(14.11) могут быть использованы, если известна
входящая в эти формулы величина е или радиус нейтрального слоя
гн, поскольку
е = Я-гн,
(14.12)
где R— радиус слоя, в котором расположены центры тяжести сече-
ний бруса. Радиус гп определим из уравнения (14.5).
Произведя замену переменных: г = гн — у или у = гн — г, пере-
пишем уравнение (14.5) в следующем виде:
I ydF
1Г-~У
или
Отсюда
(14.13)
Так как для прямоугольного сечения F = bh (h — высота сечения;
Ъ— ширина сечения); dF — bdr, формула (14.13) может быть записа-
на в виде
bh
In ~2 2,303 1g А’
Ri Ri
(14.14)
Воспользовавшись рядом
Л + Л 1 + А
. Я, , + 2 , +2Я
In — == In-г — In-—
,_А
2 27?
Hi . 1Щ2 + 1Щ4 4-
R L1 + з \2Rj + 5 \2RJ +
382
будем иметь
е = R — гц — R
R
1 + ±/лГ+1Ш4 + ...
ф 3 \2RJ 5 \2Д/
В первом приближении
1 \ ~ h*
~ ! / h \2 ~ 12Л’
1 । А _ /
3 \2RJ J
Во втором приближении
/г2 Г. , 4 / h VI
е =-------- 1 -т----I — I I
127? [ 15 \22?/ J
(14.15)
(14.16)
На основании (14.13) аналогичным путем можно получить выра-
жение для е в случае других форм поперечного сечения. В табл. 30
приведены радиусы кривизны ги нейтрального слоя для сечений
различной формы. Из (14.12) по известным гп могут быть опреде-
лены и величины е. Для некоторых форм поперечного сечения е
молено определить по табл. 31.
§ 82. Расчет на прочность
Условие прочности для стержня малой кривизны, когда в его
сечении действуют изгибающий момент и нормальная сила (рпс. 273, а)
имеет вид
М N
*тах = Ту + у<Н> (14.17)
где F — площадь сечения; W — момент сопротивления сечения (см.
§ И).
Для стержня большой кривизны на основании (14.9) условие
прочности будет
Л/у 7V 1
сттях = Др—7-----\ 4" [аЬ (14.18)
max ре — у) F 1 1 ’
При этом нужно рассматривать точки сечепия, в которых сум-
марные напряжения от изгиба и растяжения будут наибольшими
(рпс. 273,6, в, г). Для этих точек в формулу (14.18) следует под-
бавлять у = hi пли у — h2 и соответственно гп — у = Rx или
— У = R2-
383
Если брус большой кривизны изготовлен из материала, для
которого допускаемые напряжения па растяжение [а+] и сжатие [а_]
различны (некоторые чугуны, пластмассы и др.), то условия проч-
ности должны выполняться для крайних точек сечения как в растя-
нутой, так и в сжатой области.
§ 83. Определение перемещений
Для определения перемещений в стержнях любой кривизны
удобно пользоваться методом Мора (§ 69).
В стержнях малой кривизны можно пренебречь продольной
деформацией и деформацией сдвига и в случае плоского изгиба
пользоваться формулой Мора в виде
—
Л/р ds
EJ
(14.19)
При плоском изгибе бруса большой кривизны деформация эле-
мента от действия усилий Мр и 1NP состоит из удлинения Д (ds)
отрезка ds оси и относительного поворота dO сечений, ограничива-
ющих элемент (рис. 274, а, б). Взаимный угол поворота сечений
— d01, вызванный изгибающим моментом, можно определить из
(14.8), где |SX; = S,
dO j =
M p dy
ES
M p ds
ESR0 '
Угол поворота сечений,
неодинаковой длины волокон
вызванный осевыми силами вследствие
элемента (рис. 274,6), равен
d02
Полный угол поворота составляет
N р ds
dO = dOj 4- d62 =
М р ds
~Ё$1Г0 +
NP ds
EFR0 *
(14.20)
Удлинение элемента в результате действия осевых сил
Д’р ds
384
Удлинение, вызванное поворотом сечения па угол ddit
Мр ds Мр ds
^(ds)2^eddl = -^-e = -^-.
Полное удлинение осевого волокна
Nnds Mr, ds
A (ds) = A (ds\ 4- Д (ds)2 = . (14.21)
Рис. 274
Подставляя (14.20) и (14.21) в формулу возможных перемещений,
находим общую формулу для определения перемещений бруса боль-
шой кривизны
С\М,Мр
NiMp+MiNp A\NP
ЁЁН0 ~~EF~
QiQpl
-g/ps. (14.22)
Обычно па практике пренебрегают влиянием поперечной силы,
г. результате чего последнее слагаемое в (14.22) отсутствует.
В табл. 32, 33 приведены выражения для определения переме-
щений свободного конца консольного кругового стержня постоянного
поперечного сечения при различных схемах его нагружения, а в
|.н">.[. 34 — значения определенных интегралов, часто встречающихся
при определении перемещений в кривых стержнях.
Г. ' 1186
385
Таблица 30
Радиус кривизны нейтрального слоя гн для сечений
различной формы
Сечение
(С — центр тяжести)
Прямоугольник
Трапеция
fe(b2 + &i)
— ^2Д1
h
1П § “ “ &2)]
b2h2 ф- bxhj
Ь, In % + t, In
Л2
b2h2 +
b2 In 4- br In
/to *11
386
Продолжение табл. 80
Сечение
(С — центр тяжести)
н
^1^1 4~ ^2^2 4~ ^3^3
In 4- Ь.г In 4- b3 In
£11 £12 **3
h
9 I ^2 ^2
2[т ’"s;
Треугольник
______h
2[1-^1пй
L ^2
1 3*
387
Продолжение табл. 30
Сечение
(С — центр тяжести)
_ _________d2________
П ~ 4 (22? — V42?а — d2)
|/4Л2 —d24- /42?2 —D2
ГН 4
____________D2 — d2__________
~ 4 (/42?2 —J2 — /42?2 — D2)
_ __________d2________
И 4 (22? — /4/?2 — <22)
Т а б лица 31
Значение коэффициента k в формуле е — kR
Сечение
R
а
k
1,2
Прямоугольник
1,6
1,8
2,0
2,2
2,6
а = R — 2?! = ~
3,0
3,5
4,0
6,0
8,0
10,0
0,305
0,204
0,149
0,112
0,090
0,077
0,065
0,055
0,047
0,041
0,028
0,021
0,0093
0,0052
0,0033
388
Продолжение табл. 31
Сечение R а k
Двутавр
а)
&i = 6Ь2; &з — 4Ь2;
^2 3&2» Л3 ““ ^2*
а = R — Rt = 2,34Ь2
б)
&1 = ьз = 362; /ц = h3 = b2;
h2 = 462;
а = И — --= ЗЬ2
1,2 0,418
1,4 0,299
1,6 0,229
1,8 0,183
2,0 0,149
2,2 0,125
2,4 0,106
2,6 0,091
2,8 0,079
3,0 0,069
3,5 0,052
4,0 0,040
6,0 0,018
8,0 0,010
10,0 0,0065
1,2 0,409
1,4 0,292
1,6 0,224
1,8 0,178
2,0 0,144
2,2 0,120
2,4 0,103
2,6 0,089
2,8 0,077
3,0 0,067
3,5 0,049
4,0 0,038
6,0 0,018
8,0 0,010
10,0 0,0065
1,2 0,408
1,4 0,285
1,6 0,208
1,8 0,160
2,0 0,127
2,2 0,104
2,4 0,088
2,6 0,077
2,8 0,067
3,0 0,058
3,5 0,041
4,0 0,030
6,0 0,013
8,0 0,0076
10,0 0,0048
389
П родолжение табл. 31
Сечение н а к
В) ь,- ^1 — *3 — а = 1 S л 1 II "° л 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,5 4,0 6,0 8,0 10,0 0,453 0,319 0,236 0,183 0,147 0,122 0,104 0,090 0,078 0,067 0,048 0,036 0,016 0,0089 0,0057
с I У 1 рапеция Ьгг j X 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,5 4,0 6,0 8,0 10,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,5 4,0 6,0 8,0 10,0 0,336 0,229 0,168 0,128 0,102 0,084 0,071 0,061 0,053 0,046 0,033 0,024 0,011 0,0060 0,0039 0,352 0,243 0,179 0,138 0,110 0,092 0,078 0,067 0,058 0,050 0,037 0,028 0,012 0,0060 0,0039
п У ь, 1 к cj » Ч; Чс
а) 61 = б) а = || ь, 1 Н * J X* |О5 Й 'I —' II II СМ '— -si п II &5 -Л 1 5) г 2» 0,46
390
Продолжение табл. 31
Сечение R а k
Треугольник, у которого
3
h~ — b и а = R — R. =
о 1
Круг
У
1,2 0,361
1,4 0,251
1,6 0,186
1,8 0,144
2,0 0,116
2,2 0,096
2,4 0,082
2,6 0,070
2,8 0,060
3,0 0,052
3,5 0,038
4,0 0,029
6,0 0,013
8,0 0,0060
10,0 0,0039
1,2 0,224
1,4 0,151
1,6 0,108
1,8 0,084
2,0 0,069
2,2 0,058
2,4 0,049
2,6 0,042
2,8 0,036
3,0 0,030
3,5 0,022
4,0 0,016
6,0 0,0070
8,0 0,0039
10,0 0,0025
Кольцевое сечение
D — 2d и а = — = d
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,5
4,0
6,0
8,0
10,0
0,269
0,182
0,134
0,104
0,083
0,068
0,057
0,049
0,043
0,038
0,028
0,020
0,0087
0,0049
0,0031
391
Таблица 32
Перемещения свободного конца консольного кругового стержня постоянного сечения при нагружении
в его плоскости (о>, р, 0 — вертикальное, горизонтальное и угловое перемещения соответственно)
Схема W 0
\Г у п2 Г — Мо(1 —cosa) + Д«/ L „ / a sin 2а\ + ₽й(.2-— )- (1 — COS а)2] TR 2 ] R2 Г EJ ~М° — sin ~ _РД<кгр^ + 4- TR а — 2 sin а + [Mtfi+PR (1 — cos а)— — TR (а — sin а)]
у /3 R2 Г — Мо (sin а — а cos а) 4~ EJ £ /1 3 \ + PR ( а + *2"а cos 2а -qSin 2а j— / з — TR I COS а COS 2а — \ 4 1 1 \1 г.- а sin 2а — I 2 4 /J R2 Г —- — ЛГ0(а sin а — 14- cos а)— — PR cos а cos 2а — \ 4 1 • о 1^1 , ГС а Sin 2а 4- 2 4 / 4- TR ^а а cos 2а 4~ з 4~ sin 2а — 2 sin а ) 1Моа 4- PR (sin а — — a COS а) — TR (а sin а —• — 1 4- cos а)]
J q^const^- w у qR* (1 — cos a)2 EJ 2
q^const^^, // / <*/•' —-C_ l¥ И qR* la , sin 2a\ -pr7 Hr + ® COS a — sin a — 1 EJ \ & 4 }
m*const 3\ IV V mR3 . ~7гг (Sin a — a COS a) EJ '
qR4 ! 3 sin 2a\ £V\2“ 2s,n“+ 4 ) qR3, . . — (a — sin a)
qR4 [a2 . sin2a\ E7|^--asm«+ -j-j a2\ -тгу 1 — COS a — AJ \ 2 j
mR3. -vr— (1 — COS a — a sin a) EJ mR2 a2 ~EJ~ У
Таблица 33
CO
co
Перемещения свободного конца консольного кругового стержня постоянного сечения при нагружении
в перпендикулярной плоскости (X — отношение жесткостей сечения при изгибе EJ и кручении GJK)
Схема Перемещение, перпендикулярное К ПЛОСКОСТИ v:v Угол поворота вокруг оси v Угол поворота вокруг оси w
w p V рпЧ14-зх х— 1 . _ М 2 ’ 1 ”4 -sin2“ — 2Х sin a j PR2h~l . _ , 1 + Х £71,—s,n2’^r 1 — X sin aj рл2Г*-< . в , £/[-2~Sin “ + т 4-^(1 — COS a)J
/ Ф'*’ e-* Л10Д2/Х— 1 . _ , 14-Х . EJ ( 4 S‘n2“+ 2 “ •— X sin -ЁТ(— «+— МqR X — 1 . 2 ~ЁТ ’ ~2~ sin a
M0R X —1 . , _ . — sm a Й~Г(* + 1)(1 — cos a) — ej L —• — - (1 — cos 2a) — 4 — Xa sin a]
395
Таблица 34
Значения определенных интегралов, часто встречающихся
при определении перемещении в кривых стержнях
Интеграл Пределы интегрирования
ОТ О ДО « Л ОТ 0 до V 4 _ к от 0 до — ОТ (' ДО г-
sin <р> d'f 1 — COS a 0,293 1 2
j* cos <р> d'f sin a 0,707 1 0
§ sin2 ср с/ср 1 . n a — Sin 2a + -£ 0,143 0,785 1,571
J cos2 cp df 1 . o , a -7- sin 2a -4- — 4 2 0,643 0,785 1,571
§ sin2 cos cp df sin3 a ~3~ 0,118 0,333 0
§ cos2 cp sin cp df 1 — COS3 a 3 0,216 0,333 0,667
§ sin 2cp df 1 COS 2a 2 2 1 2 1 0
J cos 2cp df 1 • 0 sin 2a £ 2 0 0
§ sin cp cos cp df sin2 a “T" 0,25 0,5 0
§ cp sin f d'f sin a — a COS a 0,152 1 3,141
§ cp cos cp d'f COS a 4~ a sin a — 1 0,262 0,571 —2
§ cp sin2 cp d'f 1 — (a2 — a sin 2a) — 1 g- (COS 2a — 1) 0,0833 0,868 2,47
j* cp cos2 cp d'f ~ (a2 a sin 2a) -f- + у (cos 2a—1) 0,226 0,368 2,47
У cp sin 2cp d'f sin 2a a COS 2a 0,25 0,785 -1,571
4 2
§ f cos 2cp d'f (COS 2a — 1)4- 0,143 -0,5 0
a sin 2a + 2
J sin (a — <p) sin cp d'f Sin a a COS a 0,076 0,5 1,571
2 2
J COS (a — cp) sin cp d'f a sin a 2 0,278 0,785 0
396
Глава 15
РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ
И ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
§ 84. Толстостенный цилиндр, подверженный
внутреннему и наружному давлению
Цилиндр считается толстостенным, если толщина его стенки
больше одной десятой его среднего радиуса. Рассмотрим толстостен-
ный цилиндр, находящийся под действием внутреннего (рх) п наруж-
ного (р2) давлений (рис. 275); г} и г2 — соответст-
венно внутренний и наружный радиусы цилиндра.
Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагрузок
напряжения и деформации в цилиндре будут так-
же симметричны относительно его оси.
Двумя сечениями, перпендикулярными осп
цилиндра, выделим кольцо единичной длины
(рис. 275). Из этого кольца вырежем элемент abdc
(рис. 276, а) двумя плоскостями, проходящими че-
рез ось цилиндра и образующими между собой угол
</0, и двумя цилиндрическими поверхностями ра-
диусами г и г-j-dr (рис. 276,6). По граням этого
элемента будут действовать радиальные аг и тан-
i социальные а0 напряжения, заменяющие воздей-
ствие отброшенной части цилиндра и удовлетво-
ряющие условиям равновесия элемента. Очевидно,
3(J и аг будут главными напряжениями.
Определение °r = t (Plt Р2, г) и а0 = (р1? рг, г)
начнем с рассмотрения статической стороны задачи
и составим уравнения статики в соответствии с
принятой системой координат (рис. 276, в); рис 275
2Х = О; 2У = О-
Рис. 276
Благодаря симметрии элемента второе условие удовлетворяется
юждественно, а первое после подстановки выражений для усилий
примет вид
2^ ЙГ = ~^<згг dO -f- (а;- + d<jr) (г -|- dr) dti — 2 dr sin = 0,
397
Принимая sin и оторасывая величины второго порядка
6л Z
малости, получим
(15.1)
dffj" I А
Это уравнение содержит два неизвестных напряжения ад и а .
Для их определения необходимо рассмотреть геометрическую и физи-
ческую стороны задачи, что позволит представить уравнение (15.1) в
перемещениях.
Обозначим радиальное перемещение цилиндрической поверхности
радиуса г через и (рис. 276, г); тогда перемещение цилиндрической
поверхности радиуса г dr будет и 4- du. Относительное удлинение
элемента длиной dr выразится формулой
__
£r dr ’
Относительное удлинение в тангенциальном (окружном) направ-
лении будет равно:
(15.2)
(г Ц- и) — rdf)___ и
£° ~ г dO г
Рассматривая физическую сторону задачи, представим зависимости
между напряжениями и деформациями в соответствии с обобщен-
ным законом Гука применительно к плоскому напряженному состоя-
нию в следующем виде:
Е ,
°г = Г=Т5(£г + 11£е):
А
Е
4 _ „2 (ее +
X
се
(15.3)
Учитывая (15.2) и (15.3), получим
Е (du и\
°r ~ 1 — р.2 \dr г / ’
- Е Zu du\
°0-1 — ц2 \ г dr] '
Подставив (15.4) в (15.1), получим дифференциальное уравнение
в перемещениях
d2u 1 du u _ о
dr2 ‘ г dr г2
(15.4)
(15.5)
Записав это уравнение в виде
d R d (цг)‘| _
dr [ г dr J
после двукратного его интегрирования найдем общее решение:
и = (\г 4- С2 у, (15.6)
где Сг и С2 — постоянные интегрирования, определяемые из гранич-
ных условий. В пашем случае такими граничными условиями будут:
(°Л=П = —Pl и (аЛ=га = —Pi'
398
Подставив (15.6) в (15.4), найдем
~ 1 __ уР1 + Р-) Ci --J;
1 =’= р- 4. r2 J
°0 ~ гтгр[о + Р-) Ci -Ь С2] ’
Подставляя граничные условия в (15.7), получим
-а = г-^-о Г(1 + р-) Ci - 1-=^с2];
1 *— Р- L rx J
-Р, = гЛз +1*’с> - С’1 •
1 — Р- L Г2 J
(15.7)
(15.8)
Решив совместно эти уравнения, найдем
значения постоянных Су и С2 в (15.6)—(15.8), найдем
формулы для определения радиального перемещения и
(формулы Ляме):
— u. riPi—г2р2 ] । п ггг2 (Pi Д2) 1
Подставив
окончательные
и напряжений
и = 2 r 4 ‘ 2 2 ’ у» (1й.У)
Ь Г2 — Ti & Г2 — Г! г
Api — r2p2 rir\ (Pl — р2) !
°Г = —--------2--------2-----—у (15Л°)
Г2 — Г1 Ч — Г1 Г
r[pi — r2p2 гУ2 (Pi — р2) j
*0 = —2--------- + — -2---------- • <15Л1)
7*2 ~ 7-j 7*0--- T’i Г
Сложив (15.10) и (15.11), убеждаемся, что
аГ 4“ а0 ~ const,
< к довательпо,
IX. ч
ег = ---(ar J- а&) = const,
। <*. поперечные сечения цилиндра при деформации остаются пло-
< 1.ИМИ. Формулы (15.9)—(15.11) праведлпвы для бесконечно длин-
ши о цилиндра и годятся для использования в сечениях цилиндра,
,ни |аточно удаленных от днищ, если таковые имеются.
При наличии осевых нагрузок N, действующих на цилиндр,
и частности при наличии днищ, в его стенках возникают осевые
напряжения
399
При этом в (15.9) появляется слагаемое
* а £
Ди = —[1 ~ г,
(15.13)
а напряжения аг и а0 не изменяются.
В частном случае, когда отсутствует наружное давление (р2 = 0, рг = р), формулы для определения напряжений и перемещений в
толстостенном цилиндре 2 f'l °C ' 2 2 Г., — Z-j С0 2 2 Г2 — Г1 можно ; 1-^ \ г2) , 2 V Г2 записать в 1 ) виде 2 2 (15.14) (15.15)
_ 1 — Р- U~ Е ’ Г1Р TV2P 1 (15.16)
?2 ~ О Г 1 Е 2 2 Г2 — Г1 г
При этом
(а’’)тах ~ (аг)г=г! ~ Р’
(cfi)max (ао)г=Г! ।_________£2 Р<
где
?2
Радиальное перемещение внутренней поверхности, т. е. увели-
чение внутреннего радиуса, равно:
г ( ] I k2 \
(«)Г=Г1 = -J- + р. (15.18)
Для наружной поверхности цилиндра имеем:
Рис. 277
Ыг=Г2=0;
9Ь2
= (15.19)
г 9 k-
К=г2=^ (15>20)
Эпюры напряжений для рассмат-
риваемого случая при к — — = 0,5
Г 2
приведены на рис. 277, а. Напряже-
ния вдоль радиуса изменяются по
гиперболическому закону. Опасные
точки (точки наибольших напряже-
ний) находятся на внутренней по-
верхности цилиндра при r = rt.
Пз анализа (15.17) следует, что
при г2 -► оо и к 0
(а»-)г=Г1 = —р; (^)Г=Г1 = р-
Используя, предположим, третью теорию прочности, имеем
сэкв Ш — ai — сз < [°]-
(15.21)
400
В рассматриваемом предельном случае (к 0)
ci ~ ("o)r-_r1 Pi J3 у! Р
условие прочности (15.21) примет вид
2р<[о],
откуда
Таким образом, цилиндр с весьма толстой стенкой не допускает
внутреннего давления, большего определенной величины, т. е. уве-
личение толщины стенки цилиндра не всегда является эффективным
способом увеличения прочности.
Рассмотрим частный случай, когда отсутствует внутреннее дав-
ление (рх^0, р2 = р). Формулы (15.9)—(15.11) примут вид
1 — р ГгР 1 ;1 грР, р 1 , И 5 "1
Ы- — Е г2 — Е ^2 Г1 Г ’
— '1
- (|- 4- (15 24)
а0 — 2 2 1 Г., — Г1 \ Г Г2 ) Р-
Как видно из (15.23) и (15.24), оба напряжения в этом случае
сжимающие, причем | с&.|> | зг|. На внутренней поверхности
(=, )г=г, = °'
2
(ao)r=ri = 1 /с2
, ч 2
(1<)Г=Г1 - Е j _ Д2
(15.25)
(15.26)
(15.27)
Па наружной поверхности цилиндра
(зг)г=Г2 = —р;
1 1 к2
(15.28)
f \ — Г2 Р + /l'2 )
(U)f=r2 — Е I | _ д.2 Р-
(15.29)
Эпюры напряжений сг и с0 при к = — = 0,5 приведены на
Г2
рис. 277,6. Наибольшее по абсолютной величине напряжение с0 ока-
зывается па внутренней поверхности цилиндра; эти точки и являются
опасными. Положив в формуле (15.22) = 0 п г = г2, получим вели-
чину перемещения наружной поверхности для сплошного цилиндра:
(«)г=!Гг=-ф(1-р). (15.30)
В табл. 35 приведены расчетные формулы для толстостенных
цилиндров при различных схемах нагружения.
401
§ 85. Распет составных цилиндров
С целью получения более равномерного распределения напряже-
ний по толщине стенки и разгрузки впутрешшх слоев за счет луч-
шего использования наружных, цилиндры делают составными путем
одевания с натягом одного цилиндра на другой (обычно с помощью
горячей посадки). В таких цилиндрах величина допускаемого внут-
реннего давления может быть значительно больше, чем в цельном
цилиндре, что используется при изготовлении орудийных стволов.
При посадке одного цилиндра па другой с натягом окружные
напряжения во внутреннем цилиндре являются сжимающими, а в
наружном — растягивающими. Эпюра напряжений, возникающих после
посадки, представлена на рис. 278, а.
Под действием внутреннего давления в таком составном цилиндре
возникают напряжения, определяемые по формулам (15.14) и (15.15)
как для цельного цилиндра и характеризуемые эпюрами, показан-
ными на рис. 278,6. Просуммировав эпюры напряжений, приведен-
ные на рис. 278, а и рис. 278, б, мы получим действительную эпюру
(рис. 278, в), имеющую место в составном цилиндре при внутреннем
давлении.
Из суммарной эпюры видно, что напряжения в стенке составного
цилиндра распределены более равномерно, чем в сплошной стенке
(эпюра показана пунктиром), поэтому в составных цилиндрах имеет
место более рациональное использование материала, чем в сплошных
цилиндрах.
При расчете составных цилиндров основным является установле-
ние величины давления рс на поверхности их контакта при заданном
натяге 3, представляющем собой разность между наружным диамет-
ром внутреннего цилиндра / и внутренним диаметром наружного
цилиндра 11 (рис. 279). Очевидно, уменьшение наружного радиуса
внутреннего цилиндра Uj и увеличение внутреннего радиуса наруж-
ного цилиндра ид равны половине натяга:
1 ui I + I мп 1 ~ ‘ (15.31)
Учитывая, что 8 весьма мал по сравнению с радиусом поверх-
ности контакта, будем считать, что r2i = гш — гс (гс— радиус по-
верхности контакта составного цилиндра).
Контактное давление рс будет наружным для внутреннего ци-
линдра и внутренним для наружного цилиндра.
402
Обозначим
Радиальное перемещение контактной поверхности внутреннего
цилиндра определяем по формуле (15.29):
Рис. 279
Подставляя абсолютные значения этих перемещений в (15.31),
имеем
fc (1 + \ , гс /1 + к\ \ s
р I . ,2 !А1 I Рс “Ь "р~ \ 7 Гг 9-2 I Ре ~2 >
\1 — ki / ь2 \1 — к2 / *
откуда, решив
Рс
уравнение относительно рс, находим
8
ГС f1 + \ . ГС Z1 + к2 ,
Р \ >2 Р1 I • р \ , 2
\1 --- \1 --------------------- «2
(15.34)
Если составляющие цилиндры изготовлены из одного материала,
формула упрощается и принимает вид
₽с 2гс 0 + fcJ) (1 _ ,4) 4. (1 + А.Э (1 _
По найденному значению Рс — /(б) определяют начальные напря-
жения во внутреннем (формулы (15.23), (15.24)) и наружном (фор-
мулы (15.14), (15.15)) цилиндрах. Формулы (15.34) и (15.35) справед-
ливы, если напряжения по превышают предела пропорциональности.
При появлении при посадке пластических деформаций фактические
усилия рс будут меньше расчетных.
403
§ 86. Температурные напряжения в толстостенных цилиндрах
В случае неравномерного нагрева толстостенных цилиндров в них
развиваются температурные напряжения. При расчете температурных
напряжений полученные ранее уравнение равновесия (15.1) и геомет-
рические соотношения (15.2) и (15.3) останутся без изменений, а фи-
зические зависимости будут несколько иными.
Обозначив через t (г) повышение температуры, зависящее от
текущего радиуса г, и через а — коэффициент линейного расширения,
а также, приняв значения модуля Е и коэффициента Пуассона а
соответствующими средней температуре стенки, запишем обобщен-
ный закон Гука в виде
= £- («г — + at № = const;
1
Ег = £г(Ог — '^г- Р-ао) + at (г); >
1
£° = Ё (°0 ~ ~ + at
(15.36)
Решив эти уравнения относительно напряжений, получим
°z = (1 ре) ц —~2р) К1 — Ег + Fr + ^Е0 — С1 + И) at (г)]; (15.37)
аг = (1 _j_ р.)Ц К1 ~ £>’+ ;Х£ь + —(1 + Ю at (г)]; (15.38)
о0 = Ц ,^(^1 — 2р.) К1 ~ + 1Л£’’ + — (1 + !х) at (г)]. (15.39)
Имея в виду, что
rfw и . . - /Л,
Zr = J-r п е0 = у> (15-4°)
после подстановки в уравнение (15.1) выражений (15.38) и (15.39)
найдем
d2u 1 du и 1 4- ;л dt (г) _ ,
ёё + ~ё 'Тг~^ = —г~ЁГ •
Зная закон изменения температуры t — / (г), пз уравнения (15.41)
можно определить перемещение.
Переписав (15.41) в виде
d Г 1 d (ur)l __ 1 -]- it dt (г)
dr [ r dr J 1 — [Л dr *
после двукратного интегрирования этого уравнения получим
Y
и==У ’ j at (г) г drCjr + y. (15.42)
Постоянные интегрирования (\ и С2 определим пз условий для
аг на внутренней п наружной поверхности цилиндра
(=г)г=г< - 0; («г)г=г, = 0. (15.43)
404
Внеся (15.40) и (15.42) в (15.38), будем иметь
Е Г
1 4- Р L
1 + Р
1 — Р
т
if / . j . С j
• -к- \ at (г) г dr 4- --------—
г2 J 1 — 2р
rt
Сг . р
г2 ' 1 — 2р
Подставив это выражение в (15.43) и решив полученную при этом
систему двух уравнений относительно постоянных интегрирования,
найдем
Г2
1 — Iх г2 — rt J
1'1
2
1 4- р ri
С2 = 7j------- • -2--2 \ at (г) Г dr.
После подстановки (15.40) в (15.37)—(15.39) с учетом (15.42) и най
денных значений Сг и С2 получим
г I 2 2 ’2
£ [ 1 С г ~ Г1 С 1
°Г = - [— 42 J (f) r dr + J al r ’ (15/i4)
Tj ' n
r \ 2 2 ГЛ
e Г i C r ~ ri c
°9 = 1-------- -у \ at (r) r dr 4- -2-\ at (r) r dr — at (r); (15.45)
1 — P L r J (r2 — ri) r2 J
rt Г1
Г2
— I 2 I (r) r dr 4- (1 - p) e2 - at (r) . (15.46)
1 — P lr2 — J J
Fl
Неизвестная величина ez, входящая в последнюю формулу, в слу-
чае свободного расширения цилиндра может быть найдена из условия
отсутствия в поперечном сечении цилиндра продольной силы:
или
j czr dr df — 0
0 rt
(15.47)
r2
0.
Подставляя в последнее равенство выражение для а2 (15.46), найдем
г2
е2 — -j--------\ at (г) г dr.
г 2 — d
С учетом полученного выражения ег формула (15.46) примет вид
Г2
/ 2 С
--------- -Т,-----, \ at (/•) г dr — at (г)
1 ~ Р \Г2 — Г! J
Г1
(15.48)
405
Вычислить интеграл at (г) г dr и определить напряжения воз-
П
можно, если известен закон изменения температуры г (г) по толщине
стенки.
При линейном законе изменения температуры
= (15.49)
Г2 - Г1
где Т = ti —t2, ii и i2 — температура на внутренней
поверхностях цилиндра соответственно.
Подставив (15.49) в (15.44), (15.45) и (15.48), после
ния найдем
= ЕаТ [ _ А __ ( _ Г2~
°Г~ 3(1 — |х)(г2 — Г1) г2 \ г2) г2_
и наружной
иптегрирова-
(15.50)
__________ЕаТ
°2~ 3(1 — ц)(г2 —ri)
(15.51)
(15.52)
Напряжения у внутренней поверхности
^=Г1 = °!
ЕаТ
цилиндра при r = rt
будут
т=г. 3(1-!л)(г2-г1)
У наружной поверхности при г = г2
(ог)г=Г2 = 0;
ЕаТ
г^г2- 3(1-|Х) (Г?-Г.)
(15.53)
(15.54)
ЗЛ2-------2-----2
Рис. 280
ы
Эпюры распределения температурных напряжений по толщине
стенки цилиндра с отношением к — --- — 0,5 при р. = 0,3 приведены
гг
на рис. 280, а.
406
В случае логарифмического закона изменения температуры в стенке
толстостенного цилиндра
t (г) = —— In . (15.55)
In Г
После подстановки (15.55) в (15.44), (15.45), (15.48) и выполнения
интегрирования формулы для определения напряжений аг, а0 и а2
соответственно будут иметь вид
аг
с6
ЕаТ
2(1 — [л) In
1п — 4-
In-^-
ЕаТ
2(1 — а) In
Г1
ЕаТ
2(1 — и) 1п-^
In
(15.56)
(15.57)
(15.58)
1 _ 2 In
г
У внутренней поверхности цилиндра при г — i\ напряжения
(ao)r=ri
Ео-Т Г 2г22
Г 1-----5---J 1П —
2(l-(i)ln-b[ rj-rj г,
У наружной поверхности при г = г2
(аг) = 0:
\wr/r=r2
(15.59)
(»г),._Г1=0;
.аб) r=r2 (az)r=r2 r
2ri ,
2 2 П
r% — Г1
(15.60)
Эпюры распределения температурных напряжений по толщине
стенки цилиндра с отношением к = — = 0,5 при р. = 0,3 в случае
Г2
изменения температуры по логарифмическому закону представлены
на рис 280, б.
Вблизи торцов цилиндра напряжения, определяемые с помощью
приведенных формул, могут иметь место лишь в том случае, если
торцы будут нагружены поверхностной нагрузкой, изменяющейся в
соответствии с формулой для а2.
§ 87. Расчет вращающихся дисков
Вращающийся диск обычно испытывает растяжение под дейст-
вием центробежных сил, являющихся для него основной нагрузкой,
а также изгиб. При неравномерно.м нагреве в нем могут возникнуть
и температурные напряжения. Обычно нагрузка и температурное
ноле симметричны относительно оси диска, вследствие чего напря-
жение является функцией расстояния от оси вращения.
Рассматривая тонкий плоский диск постоянной толщины h,
можно считать, что напряжения по его толщине распределены равно-
407
мерпо, а напряжения, параллельные оси диска, отсутствуют (я2=0).
Таким образом, задача определения напряжений в диске сводится к
так называемой плоской задаче теории упругости, а именно к задаче
о плоском напряженном состоянии.
Если диск, удельная масса материала которого равна , вра-
щается с угловой скоростью и, то массовые силы, действующие на
выделенный элемент диска (рис. 281, а), могут быть представлены
равнодействующей (рис. 281, б), лежащей в срединной плоскости
элемента и равной
dmw2r = -—hr <79 dr ш2г.
Рис. 281
Запишем условие равновесия элемента, спроектировав все силы па
ось х:
Г Чг + 3r ~ — ш2г2 = °' (15.61)
Геометрические и физические уравнения при расчете дисков
такие же, как и в задаче Ляме ((15.2)—(15.4)). Поэтому дифферен-
циальное уравнение (15.61) в перемещениях с учетом (15.4) примет
d2u 1 du и dr2 г dr г2 • 1 “ • 7 <»2г (15.62)
Е g“r‘
Переписав (15.62) в виде d Г 1 d (ur)l 1 — р2 7 2 dr [ г dr J Eg и проинтегрировав его последовательно дважды, найдем — , С2 1 — р2 2 4 U = С1Г 4- — оТТ- • — W2r3. 1 ' г 8Е g (15.63)
Подставив (15.63) в (15.4) будем ar _ Ci 4- г2 иметь .1 8 g (15.64)
Г 6*2 а0 — г2 L±il|X. SL ыгг2 8 g (15.65)
где G = г~— 1 — р 1 „ Я С2= — гп—с2- 1 + Р (15.66)
408
Постоянные С± п С2 (следовательно, С\ и С2) определяются пз гра-
ничных условий. Для диска с центральным отверстием в общем слу-
чае имеем следующие условия на внутреннем (г = гх) и внешнем
(г — г2) контурах:
(ar)f=rl
Gr)r= Г2 '"г/
В соответствии с (15.64) эти условия дают два уравнения:
ar, — + £2_ 2 0 3 -1- и. 8 ~g • ''>2Гр
°г2 = с1 + С2 з д 7 2 2
2 8 g
Решая совместно эту систему двух уравнений, находим:
2 2 Г2 Г1 _ , . 3 + 1Л 7 w2( 2 1 2). (ХЪ.ЬТ)
2 2~Г2 2 2 СГ1 । Г2 — О Г2 ~ Г г
2 2 2 2 Г2О Гуг2 3 4- |1 7 ,,2_2_2 (15.68)
^2 2 2 ^Г2 2 2 иГ1 Г 2. Г1 Г 2 Г1 8 g 1
В случае, когда аг = 0 и а = 0,
(15.69)
г 8 4- Д 7 2" 8 ’ g 2 2 2 (15.70)
Подставив последние значения
Сг и С2 в (15.64) и (15.65), получим
2
а.
ХГ • • (02
8 g
.2
.2
(15.71)
rLr‘.
(15.72)
Обозначив
= к;
?2 Р’ 8 ’ g
=- т.
можем записать:
сг = с 1 4- к2 1------------2-
2
(15.74)
со = с
409
Напряжение аг положительно и достигает наибольшей величины
при р — У к = 1/ — :
F Г2
(ar)max = c(l-fc)2. (15.75)
Напряжение а0 также положительно при всех значениях р и
достигает максимума при р = к:
(ao)max = c[2 + (l-m)fe2b (15.76)
Из сопоставления (15.75) и (15.76) следует, что всегда имеет место
неравенство (ao)max Xar)max- Поэтому условие прочности должно
быть записано (например, по IV теории) в следующем виде:
"эк, IV = (’Эта, = о [2 + (1 - и) < [а]. <15.77)
В случае хрупкого материала следует пользоваться теорией Ку-
лона—Мора, которая при а3 =а2 = 0 приводит к той же формуле
(15.77).
Формулы для определения напряжений в сплошном диске (rt=0)
на основании (15.64) и (15.65) будут иметь вид
-о 3 ' J" р* *Y 2 2. ar = Ci • -j- <о2г2; о g „ 1 + Зр. 7 , , °о = 8 • g • (15.78) (15.79)
Если внешняя вует, т. е. аГ2 = 0, нагрузка на наружном контуре (г = г2) то согласно (15.78) находим 3 р- 7 2 2 G = —• -у • О g отсутст- (15.80)
Подставив (15.80) в (15.78) и (15.79), будем иметь аг = с(1 — р2); (15.81)
а0 = с(1 — тр2). (15.82)
Оба напряжения положительны и увеличиваются с приближением
к центру диска. В центре диска при р = 0
Чш = (’е)тах = с = Ц2" ' 7 (15'83>
Согласно (15.3) радиальное перемещение
и = е0 • г. (15.84)
Так как
1 /
£6 = (а6 — !^г),
и = -£г(а0 —!^г)- (15.85)
410
Для определения перемещения на наружном контуре диска в фор-
мулу (15.85) необходимо подставить значения г = о0 = а02; аг=аг^
В случае неравномерного пагрева диска к напряжениям, вызван-
ным центробежными силами и контурными нагрузками (если таковые
имеются), следует прибавить температурные напряжения. Темпера-
турные напряжения определяются так же, как и в толстостенном
цилиндре, поэтому уравнение равновесия (15.61) при w = 0 будет
совпадать с уравнением (15.1):
d~r , Л
г Тг + ~ = °-
(15.86)
Относительные деформации с учетом температурного расширения
определяются следующими выражениями:
Zr = ~E + at
Е° = 4" — at
(15.87)
Решая совместно эти уравнения относительно напряжений, найдем
Е
qr= , —„гРг + ^е —С1 +.а) at (г)];
Е
= 1—^2 1£0 + ^£Г — (1 + Iх) at (Hl-
Учитывая (15.2) и (15.3), получим
Е Idu , и .. . . , J
’г = —2[5; + rT-(1+!M«<wj;
Е Г и du 1
= [у + ^-(1 + |*) «<(')]•
(15.88)
(15.89)
При линейном изменении температуры вдоль радиуса диска
t (г) = Т -------— последние выражения принимают вид
Г2 Г1
Е I du U _ 7* I па\
аг=---------§ + ---------(1 1~ Iх) --------5 (15.90)
1 — [Л2 [dr 7* ' 7*2 — 7*1 J '
Е Гм, du Г— 7*[1
а0 — 1------2------h !х -----(1 Iх) ----------- • (15.91)
1 ---- 'г L 7* dr 1 Т-0 -- 7*j J
Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона р. полагаем постоян-
ными, не зависящими от температуры, и равными их значениям при
средней температуре диска.
411
Подставляя (15.90) и (15.91) в уравнение равновесия (15.86), будем
иметь
d2u 1 du и 1 + и- ~
—— _--------------- — -----al.
dr- г dr г2 г2 —»
(15.92)
Записав это уравнение в виде
d Г 1 d (ur)j _ 1 4- р
dr [ г dr J г.у — г{ ’
после двойного интегрирования получим выражение для перемещения
и = Вуг + 4- ,у,1 + и г °Тг2. (15.93)
г 3(г2 — гх)
Подставив (15.93) в (15.90) и (15.91), для напряжений найдем
(15.94)
(15.95)
где
Постоянные и В2 могут быть определены из граничных условий
при т = Гр (аг)г=Г1 = cri = 0 и при т = т2; (зг)г==Г2 = 0.
Напряжения от! центробежных сил и температурные напряжения
следует просуммировать. В случае линейного изменения температуры
вдоль радиуса, сложив правые части выражений (15.64) и (15.94),
а также (15.65) и (15.95), будем иметь
«г=В+£
3 4~ р-
8
0)2/.2
g
т
— .7-7---------: аЕг',
3 (r2 — rj
1 4- 3>Л
8
_7_
g
с0 = D — -^2
2 Т
о>2г2 — -----------аЕг,
3 r2 — Tj
где D = Cj 4- Ei, L = С2-\- В2 — новые постоянные, которые надле-
жит определить из граничных условий.
412
Расчетные формулы для толстостенных цилиндров
Таблица 35
Схема нагружения.
Эпюры напряжений
Главные напряжения в точках
цилиндрической поверхности □
радиуса г
Радиальное перемещение точек
цилиндрической поверхности
радиуса г
Главные напряжения в опасной
точке; эквивалентное напряжение
для опасной точки ft = —)
\ Гг )
Цилиндр ПОД
действием внут-
реннего давления р
= 0 — открытый цилиндр
Pf'\
а, = —---г, — закрытый
То — Tj цилиндр
Открытый цилиндр
2 г
Р?1
и = 77~2--2? (1 — Р-) ' +
Ь (Л> — О) L
2
+ (1-Н0у]
Закрытый цилиндр
Р?\ Г т2
« = 777^--27 (1—2a)r+(14-pj-
Мт2 —Ti)L г.
'J 1 — Р2
=0 —открытый цилиндр
2 = Ч-7~. Р—закрытый
1 цилиндр
Дэкв III — ।
сэквЛ1 Ь f<- 1
VW
Цилиндр НОД
действием наруж-
ного давления р
а2 = 0 — открытый цилиндр
р-;
аг =---о---2 — закрытый
Л> — тх цилиндр
Открытый цилиндр
РГ2 Г
Закрытый цилиндр
2 г
о) L
U =
2р.) г
с । .— ~р 0
0 — открытый
цилиндр
р
----г-,—закрытый
1 цилиндр
и 1 — р-
_ 2р
°экв III j д.2
— 2р г 5 +
jokbM 1 —Л-2 |а_
Схема нагружения. Главные напряжения в точках
Эпюры напряжений цилиндрической поверхности ।
радиуса г
___
Цилиндр под действием внутрен- него pt и наруж- ного р2 давлений ?1Р1 ~ 4Р-2 СГ — 2 2 Гу {Pl ~ р2) j Ч 2 г2 г2 ~ >1 Г г\Р\ — г2рг , °0 — ' 2 2’1 Л, — г/1 (Pl~ Р-2) 1 + 2 2 г2 Г2 — Г1
Продолжение табл. 33
Радиальное перемещение точек
цилиндрической поверхности
радиуса г
Главные напряжения в опасной
точке; эквивалентное напряжение
для опасной точки а = --------
\ Гг /
Открытый цилиндр
1 — -J. ОР1 — Е2Р2
U —----L-----5---5—
Е г» —
г\г\ (Р1 — Р2) 1
Закрытый цилиндр
1-4-2|х riPi — Г2Р> ,
« = 2-----— г +
L г2 — Г1
1 + U ^>2 (р, — р2) I
fe2Pl — Р-2
l—k2
Глава 16
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК
§ 88. Расчет тонкостенных оболочек
по безмоментной теории
К тонким оболочкам могут быть отпосетш цистерны, водонапор-
ные резервуары, воздушные и газовые балоны, купола зданий,
герметические перегородки в самолетах и судах, аппараты химиче-
ского машиностроения, части корпусов турбин и реактивных двига-
телей и т. п.
Рассмотрим элемент оболочки, показанный па рис. 282, а, б.
В общем случае в сечениях, которыми выделен элемент, будут дей-
ствовать погонные (отнесенные к единице длины сечения) усилия
(рис. 282, а) и моменты (рис. 282, б): нормальные усилия и JV2;
касательные (сдвигающие) усилия 6", и S2, поперечные силы и Q2',
изгибающие моменты МА и М2\ крутящие моменты М1кр п М2кр.
Учет всех перечисленных силовых факторов при расчете оболо-
чек приводит к весьма сложным исходным дифференциальным урав-
нениям, решение которых даже для простых случаев сопряжено
с большими математическими трудностями. Во многих случаях исход-
ные уравнения могут быть существенно упрощены. Этого можно
достичь исходя из самого характера задачи. Во-первых, если обо-
лочка представляет собой тело вращения и нагрузка симметрична
относительно оси оболочки, то задача называется осесимметричной
и в этом случае во всех сечениях, образованных плоскостями, прохо-
дящими через ось симметрии, и ортогональных им сечениях имеют
место равенства
кр = М2 кр = ^ = ^ = 0; Q( = 0 (или Q2 = 0).
Во-вторых, если по впду оболочки, характеру пагрузки и закрепле-
ний можпо по тем или иным соображениям прийти к выводу, что
какие-либо усилия пли моменты всюду малы по сравнению с осталь-
415
пымп усилиями или моментами, то принимают допущение, что эти
усилия и моменты равны пулю. Например, часто полагают, что
м. = Л/2 = М{ КР = м2 кр = 0; Cl = Qt = 0,
и в результате приходят к так называемой безмоментной теории
оболочек.
В частности, безмоментной теорией оболочек пользуются при
определении напряжений в резервуаре (рис. 283), представляющем
собой осесимметричную оболочку. Будем считать, что меридиональ-
ные сечения срединной поверхности оболочки образуют плавные кри-
вые, а толщина оболочки h является малой по сравнению с радиу-
сами кривизны. Тогда в случае закрепления краев резервуара таким
Рис. 283
образом, что па них могут действовать только усилия, касательные
к меридиональным кривым, можно считать, что оболочка находится
в безмомептпом напряженном состоянии.
Резервуар, показанный на рис. 283, заполненный (полностью пли
частично) газом, жидкостью пли сыпучим веществом, в котором
давление одинаково во всех точках плоскости, перпендикулярной к
оси резервуара, представляет собой оболочку, находящуюся не только
в безмомептпом, но и в осесимметричном напряженном состоянии.
Выделим из рассматриваемой оболочки прямоугольный криволи-
нейный элемент A13CD, проведя два близких осевых сечения и два
ортогональных к ним и к поверхности оболочки сечения. Обозначим
длины граней элемента через dst и ds2 (рис. 284). В гранях элемента
соответственно будут действовать растягивающие усилия (в случае
внутреннего давления) N2 dsr и Лгх ds2. Здесь и N2 соответственно
нормальные усилия, приходящиеся на единицу длины контура эле-
мента,
. Л; N2 — zm»h, (16.1)
где zt — окружное (шпротное пли кольцевое) нормальное напряжение,
направленное по касательной к окружности радиуса pt = px; —
меридиональное нормальное напряжение, направленное по касательной
к меридиану с радиусом р7П = р2.
Рассмотрим условие равновесия элемента, спроектировав па нормаль
OOi (рпс. 284) внутренние усилия, действующие по контуру элемента,
416
а также давление р, действующее па выделенный элемент площадью
dsk ds2:
2Nrds2 sin + N2dsl sin + (N2 + dN2) dsx sin — pdsrds^(\
‘-‘Л £ ~
Учитывая малость углов dqr и dy2 и пренебрегая величинами
второго порядка малости, находим
Учитывая также (16.1) и то, что Р/== рх и рт = р2,
(16.2) получим
2L = 2.
р/ рт h
па основании
(16.3)
Уравнение (16.3) называется уравнением Лапласа. Для определе-
ния двух неизвестных at и ат одного уравнения Лапласа недоста-
точно. Второе уравнение легко можно получить из рассмотрения
условий равновесия нижней части оболочки радпуса г, отсеченной
конической поверхностью (рис. 285):
N2 cos а • 2кг — ръг2 — — <2р = О»
где Qm — вес жидкости или сыпучего тела, находящейся в рассмат»
рпваемой части резервуара; — собственный вес рассматриваемой
части резервуара.
Рис. 285
Рис. 286
Отсюда потопное усилие в рассмаiрпваемом сечении стенки будет
(16.4)
Знж А'.-, меридиональное нормальное напряжение з,п согласно (16. Ц
определим из цормулы
О I- о
(1^.5)
2h cos a 2~/7i COS а
Так как задача определения напряжений в стейках резервуара
решалась в предположении, что напряжения но толщине стенки рас-
пределены равномерно, не было необходимости рассматривать геомет-
рическую и физическую стороны задачи, т. е. в принятой постановке
задача о расчете тонкостенных сосудов оказалась статически опре-
делимой.
14 6-1186 417
Нормальные напряжения а; и ат, действующие в площадках,
где отсутствуют касательные напряжения, очевидно, являются глав-
ными. Что касается третьего главного напряжения, направленного
по нормали к поверхности оболочки, то оно на внутренней поверх-
ности равно р, а на наружной — пулю (при внутреннем давлении).
Поскольку в тонкостенных оболочках и а2 — а„, значительно
больше р, последним по сравнению с о и ат пренебрегают, т. е. а3
полагают равным нулю.
Следовательно, будем полагать, что материал оболочки находится
в плоском напряженном состоянии. Поэтому при расчете на проч-
ность в зависимости от состояния материала следует пользоваться
соответствующей теорией прочности. Так, по IV теории прочности
условие прочности будет иметь вид
°экв IV == + cm — < [с]• (16.6)
Ниже приведены расчетные формулы для резервуаров различных
4 орм.
Сферический баллон заполнен газом, давление которого
разно р. Подставляя в (16.3) значения р!П = р/ — 1Г, ст = at — а,
найдем
2 — = —
7? h ’
или
а==с1=а2 = д?- (16.7)
Условия прочности по первой, третьей и четвертой теориям проч-
ности приводятся к виду
°окв IV = — < I3] 2h " 1 J (16.8)
Ц и л и н д р и ч е с к равно р (рис. 286). пй баллон заполнен газом, давление которого
В этом случае pt = R', Pm 00 •
Из (16.3) находим Ч = /J? h • (16.9)
Напряжение ат в стенке баллона, отдаленной от его торцов, опре-
делим по формуле (16.5) (положив (?}К = = 0; а = 0):
(16.10)
или
1
агп — ~2~ at-
Сферический резервуар (рис. 287) паполпеп жидкостью
(или сыпучим телом) с плотностью 7. В этом случае
р( _ рш = /?; г — R sin <р; II = R (cos ср — cos Р);
р — -(Н = iR (cos ср — cos £).
418
Пз уравнения Лапласа находим
+ ст = = J' (COS ср — COS Р). (16.11)
Воспользовавшись формулой (16.5), в которой
<?Ж = tvABC - t V -"с <ЗЛ - »с) = Т Я»(1 - «* «• (2 +
О о
4-cos ср), (16.12)
Рис. 287
положив в пей = 0 и а = 90° — ср, пайдем
7Л2 Г1 + cos о 4- cos2 <р cos 31
°т~ h [ 3 (1 + cos ср) 2 J
(16.13)
Затем из (16.11) определим
•у/?2 Г 2cos2 ср 4- 2cos ср — 1 cos pl
/Г [ 3(1 4-cos ср) 2 ]'
Максимальное напряжение будет в топке С, где ср = О,
(16.14)
_ 7Z?2 (1 — cos Р)
а”»тах ~ aGnax
(16.15)
Па краю оболочки, при <р = 0
От(Р) = -о< ‘
2 — cos Р — cos2 3
1 4- cos
(16.16)
Сферический купол радиуса R и с толщиной стенки h
и сготовлен из материала с плотностью у (рис. 288). Вес единицы
площади оболочки q = 7/1. Нормальная составляющая
qn = q cos <р = 7/1 cos ср
играет роль давления, приложенного к поверхности, и в уравнении
Лапласа (16.3) следует полагать р =—qn, а в уравнении (16.5) р—0.
Учитывая, что р/ = pm = R, из уравнения Лапласа находим
°т 4- °* = = — "(Я cos ср. (16.17)
I I*
419
Используя формулу (16.5), в которой
Ср qSЛ(... ihSA(./; - -г-. (1 - cos ?),
Т. 0.
Ср г.. 2;.1А7Г';(1 — cos^);
г = R sin ср; а — 90° — ср; р ~ О,
а также учитывая, что в сечении АВ вес части АСВ вызывает сжа-
тие, найдем
Тогда из уравнения ,(16.17) имеем
„ 1 — cos ср — cos2 ср
с/ = уТ?----—-А--------— . (16.19)
> ' 1 + COS ср
Меридиональные напряжения всюду сжимающие и возрастают
по мере удаления от вершины купола к краю. Кольцевые напряже-
ния в верхней части купола отрицательные (сжимающие); при
ср — 51° 50' онп обращаются в нуль, а про ср)> 51° 50' становятся
растягивающими. Приведенные результаты верны, если устройство
купола таково, что в пелг могут возникать только реакции, направ-
ленные по касательной к меридиональной кривой.
§ 89. Распорные кольца в оболочках
Если в некотором сечении АА] оболочки (рис. 289) имеется пере-
лом, то касательные к меридиональной кривой слева и справа от
точки А образуют между собой угол 1803 — (otj - а2). Погонные уси-
лия, вызванные меридиональными напряжениями с/Н1 и а,П2 (рис. 290)
в сечениях ВВА и СС}, бесконечно близких к AAt (образованных
коническими поверхностями ОГВВХ и О2ССХ, нормальными к средин-
ной поверхности оболочки), будут равны с)П1/г, и где hs и h:i —
толщина частей"! оболочки 7 и 2.
Рпс. 290
Пз условия равновесия кольца ВВ^С^ имеем:
cos aj 2кг — cos а2 2кг,
или
COS 04 = ^ni»fl2 COS а2-
420
Таким образом, проекции этих усилий па ось оболочки взаимно урав-
новешиваются. В то же время сумма проекций указанных усилий на
плоскость ААХ (рис. 291) дает погонное радиальное усилие
<7 = атЛ sin ctj 4- атгЬ2 sin а2,
(16.20)
которое можно рассматривать как местную нагрузку, сжимающую
оболочку и могущую вызвать в оболочке значительный изгиб.
Чтобы уменьшить изгиб, в резервуарах часто устанавливают
кольца жесткости, пли распорные кольца (рис. 292), которые и вос-
принимают на себя радиальные усилия q по схеме, приведенной
па рис. 293. В кольце возникают только сжимающие напряжения,
и условие прочности для кольца будет иметь вид
(16.21)
1 к
где RK — радиус срединной поверхности кольца; FK — площадь по-
перечного сечения кольца; q—погонная нагрузка, действующая на
кольцо, определяемая по формуле (16.20).
Иногда вместо распорного кольца в месте излома создают мест-
ное утолщение оболочки, загибая края днища резервуара внутрь
оболочки, или, например так, как показано па рис. 294.
В табл. 36 приведены расчетные формулы для определения на-
пряжений и перемещений в тонкостенных оболочках.
421
Таблица 36
Расчетные формулы для определения напряжений и перемещений
в тонкостенных оболочках
р— давление; q — погонная нагрузка; ат и ц— меридиональное и
окружное нормальные напряжения (положительные при растяжении);
h—толщина оболочки; R— радиус срединной поверхности в попе-
речном сечении оболочки; Е, р., 7М — соответственно модуль упру-
гости, коэффициент Пуассона и удельный вес материала оболочки;
w—перемещение в направлении нормали к поверхности (направление
от оси или центра оболочки считается положительным); 7 — удель-
ный вес жидкости.
Схема
Формулы
Сферическая оболочка.
Равномерное внутрен-
нее давление
Сферическая оболочка,
полностью заполненная
жидкостью и опертая
по кольцу радиуса
R sin а0-
7f7T
Внутреннее давление р = *(R (1 — cos а)
cos а
422
Продолжение табл. 36
Схема
Сферический резер-
вуар, наполненный
жидкостью. Кромки
свободно оперты
Формулы
Внутреннее давление р = у/? (cos ср — cos Р)
_ у/?2 [ 1 4- COS Ср -f- cos2cp cos pl
Qm h [ 3(1+ cos ср) 2 J
_ у/?2 Г—1 + 2 cos ср + 2 cos2 ср cos pl
h [ 3(1 + cos cp) 2 J
при cp = 0
у 7?2 1 — cos p
/г~ 2 “ amax
при cp = p
_ _ у 7?2 2 — cos P — cos2 p
am — — h 6(l+cosp)
Изменение радиуса круга на контуре
_ у/?2 sin р (1 + и) (2 — cos я — cos2 я)
Eh 6(1 + cos я)
Сферический купол под
действием собственного
веса. Кромки свободно
оперты
7М^ „ 1 — cos — cos2 ср
----------; а* = V п. -
1 + COS Ср 1 м 1 + cos Ср
а/ — 0 при ср — 51° 50'
а/ < 0 при О <С я 51° 50'
а/ > 0 при я >-51° 50'
Сферический купол.
Равномерное нормаль-
ное давление. Кромки
шарнирно оперты па
упругое кольцо. Мате-
риалы оболочки и коль-
ца одинаковы
Вдали от краев при II 107г
_ pR
°m~at~2h
Напряжения в опорном кольце
к
pR2 sin я
2
cos я — 0,39
VBh '
Il sin я
F + 0,397г V Rh
где F — площадь сечения опорного кольца
t
423
Продолжение табл. 36
Схема
Формулы
Длшшая цилиндриче-
ская оболочка с дни-
щами. Равномерное
внутреннее давление
Вдали от краев
_____ pH ______pH _
°т~ 2h ' °t= ~h = C'nax
Цилиндр, заполненный
жидкостью. Верхние
края свободно оперты
'•НН '{(II — х) Н
°т ~ ~ЙГ’ Qt~ h
2R
Длинная коническая
оболочка. Равномерное
внутреннее давление
Вдали от краев
pxtga рх tg я
a,n = ~2h~ 1 °' = ~1Г
Зря2 1g2 а
W== 4hE
424
Продолжение табл. 36
Схема
Формулы
Коническая оболочка
под действием собст-
венного веса. Края
свободно оперты
Вдали от краев
7м ’ х 7м ’ х • sin“а
& 771. ! 1 $ t ' 1
2 cos a cos а
Радиальное перемещение края (х — I)
•V /2 / \
Д = -g- tg a I sin2 а — — I
При sin а = j/* ~ Д = О
Коническая оболочка,
полностью наполненная
жидкостью. Края сво-
бодно оперты
2h cos а
fa? tg а I Я —
ЗуЯ2 tg а 3 „
уН2 tg а Н
•шах 4^ cos а 2
Изменение радиуса круга на контуре
д-----
г 6л£ cos а
425
Продолжение табл. 36
Схема
Формулы
Цилиндрическая обо-
лочка с коническим
днищем, заполненная
жидкостью
Напряжения в днище
_ 7 tg я / 2 \
т ~ 2h cos Д Я + 11 к з Х)Х
Qt = V^.{H + H }
h cos а к '
Пк
Если Н >• — , то
arnmax = 7^-— (Я + при X = Н,
/7к
Если II < — , то
+ ПР“
-' = ^1, + нк>
Если II >> II то
v tg а Н -ф- Н
а/*пах = 4Л cos я + Пк)2 при х = ~
Если II < Нк, то
7 tg я „ ,, гг
°гтах ~ h гоч я к при х ~
Цилиндрическая обо-
лочка со сферическим
днищем, заполненная
жидкостью
Напряжения в днище
arn = ^|#+ Яс-х +
х (3/? — а?)1
3(2/^ — ж)]
7-ff
ammax = + ^С) ПРИ Х = 0
»< = ^г[я + яс-*
х ('3R — х)1
“ 3 (211 — z)J
ahnax = ^Я + ЯС> ПРИ ж = 0
Для полусферического днища (Нс = R)
yR
awmax ~ a<max ~ 2h ПрИ х
426
Продолжение табл. 36
Схема
Торовая оболочка. Рав-
номерное внутреннее
давление
Формулы
_pR 2а R sin ср
2h а R sin ср
pR (2а — R) и
arnmax “ 2/г(а —Л) ПрИ ? ~2
_ _pR
1 2h
W = [if ~ C0S ?]
Значения ат и а/ достаточно точны при
Глава 17
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ
СОСТОЯНИЯМ
§ 90. Основные понятия о предельном состоянии
Приведенные выше методики расчета на прочность стержней,
балок и конструкций были основаны на оценке прочности материала
в опасной точке, т. е. проводился расчет по допускаемым напряже-
ниям. Опасным, или предельным, состоянием конструкции считалось
такое ее состояние, при котором наибольшее местное напряжение
достигало опасной величины — предела текучести (для пластичного
материала) или временного сопротивления (для хрупкого материала).
Состояние всей остальной массы материала во внимание не прини-
малось.
В то же время при неравномерном распределении напряжений,
например при изгибе, кручении, в статически неопределимых кон-
струкциях, изготовленных из пластичных материалов, появление
местных напряжений, равных пределу текучести, в большинстве слу-
чаев не является опасным для всей конструкции в целом.
В связи с этим возникла необходимость в новом подходе к оценке
прочности конструкций по ее предельному состоянию.
Под предельным состоянием конст рукции понимают такое ее со-
стояние, при котором она теряет способность сопротивляться внеш-
ним воздействиям или перестает удовлетворять предъявляемым к ней
эксплуатационным требованиям.
Различают три вида предельных состояний: а) по несущей спо-
собности (прочности, устойчивости и усталости. При достижении
этого состояния конструкция теряет способность сопротивляться
внешним воздействиям или получает такие остаточные изменения,
при которых опа перестает удовлетворять предъявляемым к ней
эксплуатационным требованиям; б) по развитию чрезмерных дефор-
маций от статических или динамических нагрузок, при которых в
конструкции, сохраняющей прочность и устойчивость, появляются
необратимые деформации или колебания чрезмерной! амплитуды, так
что конструкция перестает удовлетворять предъявляемым к ней
эксплуатационным требованиям; в) по образованию и развитию тре-
щины, когда в конструкция, сохраняющей прочность и устойчивость,
появляются крупные трещины, вследствие чего дальнейшая эксплуа-
тация конструкции становится невозможной (потеря требуемой водо-
непроницаемости, опасность коррозии из-за повреждения отделочного
слоя и т. и.).
Методы расчетов по предельным состояниям широко применяются
при проектировании строительных конструкций и позволяют вскрыть
резервы прочности, не используемые при расчетах по допускаемым
напряжениям, и уменьшить вес конструкции.
Ниже рассмотрены некоторые примеры расчета по предельным
нагрузкам конструкций, изготовленных из пластичных материалов,
имеющих площадку текучести па диаграммах растяжения, сжатия
и чистого сдвига. С целью упрощения расчетов эти диаграммы
(рис. 295) схематизируются таким образом, что участок прямой, выра-
428
жающий закон Гука, непосредственно переходит в горизонтальную
прямую без плавною перехода (рис. 2:6). Этим самым принимается
равенство между пределами пропорциональности и текучести. Длина
горизонтального участка диаграммы не ограничивается, т. е. материал
считается идеально пластичным, не упрочняющимся. Такая диаграмма
носит название диаграммы И рандтля.
Замена реальных диаграмм схематизированной диаграммой Прапд-
тля приемлема для материалов типа алюминия и вполне допустима
для материалов, имеющих диаграммы с ограниченной длиной пло-
щадки текучести (рис. 297).
Предельное состояние конструкции, определяемое значительной
пластической деформацией, наступит в начале упрочнения материала
и предельная нагрузка может- быть вычислена но пределу текучести.
Для сложного напряженного состояния существуют различные
теории перехода материала в пластичное состояние. Наиболее просто
расчеты выполняются при использовании теории пластичности Сен-
Вепана, согласно которой пластичное состояние материала при слож-
ном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшие
касательные напряжения достигают предельного значения — предела
текучести при сдвиге
ттах тт- (17.1)
Исходя из изложенных выше положений, рассмотрим некоторые
характерные случаи расчета по предельному состоянию.
§ 91. Расчеты при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии напряжения распределяются равно
мерно по площади поперечного сечения стержня. Поэтому расчеты
на прочность статически определи-
мых систем по допускаемому напря-
жению и по предельному состоянию
дают один и тот же результат.
В случае статически неопределимых
систем результаты расчетов будут
различны. Это легко показать на
примере расчета на растяжение трех-
стсржневой подвески (рис. 298), на-
груженной силой Р. Площади попе-
речных сечений стержней одинаковы;
материал пластичный с пределом те-
кучести ст.
При расчете рассматриваемой однажды статически неопределимой
системы по допускаемому напряжению, согласно данным § 41, при
— F2 — F
АГ -- . .
1 14 2 cos3 а ’
(17.2)
Лг2 = Л'з
cos2 а
1 4* 2 cos3 а
(17.3)
Очевидно, всегда ЛГ1 > Л’2 = .V3, т. е. большее усилие возникает
в среднем оержне. Следовательно, в среднем стержне будет и наи-
большее напряжение, равное
1 Р
%iax " F ~ i _j_ 2 COS3 a p • (17-4)
Запас прочности при этом будет равен:
СТТ 14-2 COS3 а .. _ _.
пт = ---- = ^~р--------(17.5)
При расчете рассматриваемой подвески по предельному состоянию
усилие в среднем стержне при появлении в нем пластической дефор-
мации будет
7V)T = F %. (17.6)
При этом согласно (17.2) внешняя нагрузка
Р1Т = (1 4- 2 cos3 а) /%, (17.7)
а усилия в крайних стержнях рассматриваемой системы, превратив-
шейся в статически определимую систему, будут
Несущая способность конструкции выдержать нагрузку
будет исчерпана, когда напряжения в крайних стержнях достигнут
предела текучести, а соответствую пая этому моменту нагрузка со-
гласно (17.8) будет равна:
Откуда
N2 = N3 = FaT
^up ^"т
2 COS a
Pnp = (1 + 2 COS a) /%.
(17.9)
Запас прочности при расчете по предельному состоянию
Рпр (! + 2 с05 “) /?ат
"пр ~ р ~ р
(17.10)
Из сопоставления (17.5) и (17.10) видно, что «др^^т- Например,
"пр
при a — 30° отношение —2 = 1,19. Таким образом, расчет по пре-
дельному состоянию позволил выявить скрытый запас прочности
конструкции.
430
§ 92. Расчет прп кручении
При кручении стержней сплошного круглого сечения касатель-
ные напряжения в упругой области на расстоянии р от центра сече-
ния (рис. 299) определяются по формуле (§ 46)
Рис. 299 Рис. 300
(17.11)
(17.12)
Опасное состояние стержня при расчете на кручение по допус-
каемым напряжениям определяется появлением пластических дефор-
маций в крайних волокнах, ко!да крутящий момент
= (17.13)
Прп этом стержень сохранит способность воспринимать возрастающий
крутящий момент вследствие роста напряжений до уровня предела
текучести тт (рис. 300) в точках, лежащих ближе к центру сечения
(рис. 301, а).
При расчете по предельному состоянию, при котором пласти-
ческие деформации распределены по всему сечению (рис. 301, 6),
крутящий момент равен (рис. 301, <?)
491
Величина
77 tf3
12
Wp (пл)
(17.16)
на..гываегся пластическим моментом сопротивления при кручении. Тогда
«„“’.Л» <1717)
Отношение предельного момента Л/пр к моменту Л/т, определяе-
мому но формуле (17.13), будет
Рис. 302
^пр р (пл) _ я<73 16 4
177 "Т- 12 • ~-(р ' ’
или
"«р-4", -
Танов скрытый • запас прочности скру-
чиваемого круглого стерший, который об-
наруживается при переходе от расчета по
допускаемым напряжениям к расчету но
предельному состоянию.
В случае статически неопределимой
системы, приведшии-й на рис. 302, а, 6, в
пому
состоянию
запас прочности при расчете по предель-
оказывается в 1,78 раза больше запаса прочнос-
ти, получаемого при расчете по допускаемым напряжениям.
§ 93. Расчет при изгибе
При изгибе нормальные напряжения по высоте сечения распре-
делены неравномерно (рис. 303, а) и на расстоянии у от центральной
линии определяются по формуле Навье (10.6)
Рис. 303
Максимальные напряжения на краю сечения
°шах ~ ’
432
где W — момент сопротивления при изгибе, который, например,
для балки прямоугольного сечения шириной b и высотой h равен*
6 •
Опасная величина изгибающего момента при расчете по допускае-
мым напряжениям будет (если пределы текучести при растяжении
и сжатии одинаковы)
Мт -= gtIV. (17.18)
При этом балка способна воспринимать возрастающий изгибающий
момент. По мере увеличения и.зтибающего момента по сравнению
с, Л/т пластическое состояние материала распространяется в направ-
лении нейтральной осп (рис. 303,б) вплоть до полного исчерпания
несущей способности балки. Предельное состояние наступит тогда,
когда текучесть распространится по всему поперечному сечению
(рис. 303, в), после чего дальнейшая деформация балки будет происхо-
дить без увеличения изгибающего момента В рассматриваемом попе-
речном сечении образуется так называемый пластический шарнир,
который передает изгибающий момент, равный предельному изги-
бающему моменту, определяемому для сечения, симметричного отно-
сительно нейтральной осп, но формуле
2 f (17.19)
F F/2
где S’max — статический момент площади половины поперечного сече-
ния относительно нейтральной оси.
Величину 25шах принято называть пластическим моментом сопро-
тивления и обозначать П7пп. Тогда
л/вд = от'Гпл- (17.20)
Отношение
характеризует степень увеличения запаса прочности балки при пере-
ходе к расчету по предельным нагрузкам. В случае балки прямо-
угольного сечения
bh?
W bh?
Т
Для двутавровых прокатных балок в среднем = 1,18.
В табл. 37 сведены расчетные формулы для определения пласти-
ческих моментов сопротивления для некоторых сечений балок.
433
Таблица 37
Пластические моменты сопротивления для некоторых
сечений балок
ГКПЛ = (2 - /2) « 0,0977^2;
Жпл « 2,26Т7Х
434
Иродолжение табл. 37
Сечение
Пластические моменты сопротивления
1 — а3
РГ„Л = 2S,-, а (1,14 -4- 1,18) W,
Глава 18
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
§ 94. Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие
В системе, находящейся в деформированном состоянии, равно-
весие между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними
силами упругости может быть не только устойчивым, но и неустой-
чивым.
Упругое равновесие устойчиво, если деформированное тело при
любом малом отклонении от состояния равновесия стремится возвра-
титься к первоначальному состоянию и возвращается к нему после
прекращения внешнего воздействия, нарушившего первоначальное
равновесное состояние. Упругое равновесие неустойчиво, если де-
формированное тело, будучи выведено из пего каким-либо воздейст-
вием, продолжает деформироваться в направлении вызванного
отклонения и после прекращения воздействия в исходное состо-
яние не возвращается. Между этими двумя состояниями равнове-
сия находится переходное состояние, называемое критическим. При
критическом состоянии деформированное тело находится в безраз-
личном равновесии: оно может сохранять первоначально приданную
ему форму, по может и потерять ее от самого незначительного
воздействия.
Устойчивость формы равновесия деформированного тела зависит
от величины приложенной к нему нагрузки. Нагрузка, превышение
которой вызывает потерю устойчивости пер-
Р>Ркр воначальпой формы тела, называется крити-
I ческой нагрузкой и обозначается через Р^. ..
Па рис. 304, а, б, в показаны возможные
|\ случаи деформирования стержня в завпеи-
I \ мости от сжимающей нагрузки: при Р <
I <б ^К[) — форма равновесия остается устой'
। / чивой (рпс. 304, а); при Р = Р— состояние
I / безразличного равновесия, когда стержень
может занимать одно из трех показанных
с СПЛОШНОЙ И ПуНКТИрНЫ.'.Ш ЛИНИЯМИ ноложе-
6 ний (рис. 304, б); при стержень те-
ряет устойчивость, выпучивается, т. с. пря-
молинейная форма равновесия перестает быть
устойчивой (рис. 304, в).
Достижение нагрузками -критических значений равносильно раз-
рушению конструкции, так как пехстойчивая форма равновесия
неминуемо будет утрачена, что практически связано с неограничен-
ным ростом деформаций и напряжений. Разрушение обычно происхо-
дит внезапно от изгиба и при малых значениях сжимающих напря-
жений, когда прочность элемента па сжатие еще далеко не исчерпана.
Для обеспечения определенного запаса устойчивости необходимо,
чтобы удовлетворялось условие
Р < И,
(18.1)
436
где Р— действующая нагрузка; [Р] — допускаемая нагрузка, которая
про коэффициенте запаса устойчивости равна:
[Р] = _f_«L .
(18.2)
Таким образом, при расчете упругих систем (в частности, таких
типичных систем, какими являются сжатые стержни) на устойчи-
вость прежде всего необходимо уметь определять величину крити-
ческой силы Р„п.
Ир
Ниже мы рассмотрим основные формулы
для определения критических нагрузок при
сжатии длинного тонкого стержня или при
1ак называемом продольном изгибе.
§ 95. Формула Эйлера для определения
критической нагрузки сжатого стержня
Предполагая, что критическая сила Ркр
не вызывает в стержне напряжений, превы-
шающих предел пропорциональности, и что
имеют место только малые отклонения от
прямолинейной формы, значение критической
силы для сжатого стержня длиной I,
закрепленного по схеме, приведенной на
рис. 305, а, можно определить из следующего
к риближенною дифференциального уравнения
изогнутой оси балки (§ 54);
р ] d2w (z)
^min —t-q—
, dzi
Рис. 305
(18.3)
= M (z),
где — наименьший момент инерции сечения стержня (при
потере устойчивости прогиб произойдет перпендикулярно к оси
наименьшей жесткости); М (z) — изгибающий момент, равный
М (z) = — Pw.
(18.4)
Подставив (18.4) в (18.3), полхчим
^min -= °
пли
-^ + F» = 0, (18.5)
где
Р
кг = ~р1---• (18-6)
^min
437
Решением полученного одпородпого дифференциального уравне-
ния (18.5) будет
w == A sin kz 4- В cos kz,
где А и В — постоянные интегрирования — определяются из гранич-
ных условий. В частности, для случая шарнирного закрепления кон-
цов сжатого стержня (рис. 305, а), граничные условия будут:
W (z) |г=0 = 0; гг(з)|г=/ = 0.
Из первого граничного условия следует, что В = 0, поэтому
w (z) — A sin kz. (18.7)
Из второго условия получаем
A sin kl = 0.
Так как
А 0,
то
sin kl = 0. (18.8)
Корень этого уравнения kl может иметь бесконечное число значений:
0, г., 2я, .... птс, т. е.
kl = пл,
где п — произвольное целое число.
Очевидно, первый корень kl = 0 должен быть отброшен, так как
он не соответствует исходным данным задачи. Таким образом,
к212 = п2т2. (18.9)
Учитывая (18.6) и (18.9), находим искомое критическое значение
усилия Р
n2rA EJmin
=(18.10)
Это выражение впервые было получено Эйлером и называется фор-
мулой Эйлера.
Наименьшее значение критической силы Р*р> получаемое при
п = 1 и kl = л, равно:
-Г 2 Р 1
П- (18-И)
Уравнение изогнутой линии при малых деформациях согласно
(18.7) имеет вид
w(z) = A sin -у.
488
Значение А характеризуется величиной максимального прогиба
. • ~nz л
“’max ~ f> когДа sin ~ = * • Следовательно,
, TJIZ
w = f s\n -у.
(18.12)
Максимум w (z) имеет место при таком значении z, для которого
4^=0.
az
т. е.
dw mt nr.z п
= у cos — = 0,
dz ' I I
или
™IZ
cos — = U.
Наименьшее
it
пулю, равно — ,
значение аргумента, при котором косинус
откуда
следовательно,
nr.z п
~Т==~2>
I
Z~ 2п '
равен
(18.13)
306). Если
значение
посредине
Из (18.12) или (18.13) следует, что п рав-
но числу полуволн синусоиды, уметающихся
на длине изогнутого стержня (рис.
, I
л — 1, то z = -^ , и максимальное
прогиба u?max = / имеет место
< юржня. Это соответствует основному случаю, показанному на рис.
ЗпЗ.б, когда после потери стержнем устойчивости при минимальном
значении критической силы на его изогнутой оси умещается
только одна полуволна синусоиды.
§ 96. Влияние условий закрепления концов стержня
па величину критической силы
Влияние условий закрепления концов стержней на величину
критической силы легко выяснить путем сопоставления вида изогну-
той оси стержня при различных случаях закрепления с формой
и «>гнутой оси в основном случае, т. е. при шарнирном закреплении
обоих концов стержня.
Стержень длиной I с одним жестко закрепленным, а другим сво-
бодным концом (рис. 307, а). При потере устойчивости стержень нахо-
439
дится в таком же состоянии, как и половина стержня длиной L = 21
с шарнирно закрепленными концами (рис. 307,6). Это значит, что в
рассматриваемом случае
тгр/ г2 F /
pl 'b*'min ^*,1П1П
кр“ (2/)2 “ 4/2
(18.14)
При этом изогнутая ось стержня (рис. 307, а) имеет вид половины
Стержень длиной I с двумя жестко закрепленными концами
(рис. 308). При потере устойчивости средняя часть стержня будет
х .. г I
иметь такую же форму, как и стержень длиной L = — с шарнирно
закрепленными концами, т. е.
к д,ут1п__4 д7тт
2
В этом случае образуется две полуволны: средняя, длиной L = 4г,
2
и две крайних половинки полуволны, длиной ~ . Значит, п = 2.
Стержень, длиной I с одним жестко закрепленным концом,
а другим1 шарнирно опертым (рис. 309). После потери устойчивости
440
правая часть стержня СВ будет иметь вид полуволны синусоиды.
Из сравнения рис. 309 и рпс. 307,6 находим, что участок СВ имеет
длину L = 0,7/, а следовательно,
-2 f j ,
<1816>
Из сопоставления (18.11) и (18.14) — (18.15) следует, что в общем
случае указанные формулы могут быть представлены в виде
712
ркр=-ТЖ-’ <1817)
где vZ = /пр — приведенная длина стержня; I — фактическая длина
стержня; — коэффициент приведения длины.
При шарнирном закреплении обоих концов стержня v = 1; если
один конец стержпя жестко закреплен, а другой свободен, v = 2;
. 1
если оба конца жестко закреплены, —лу » еслп один конец жестко
закреплен, а второй шарнирный оперт, v = 0,7.
Приведенные случаи закрепления концов стержпя па практике
в чистом виде встречаются редко. Наиболее распространены случаи
закрепления, когда один конец стержня жестко заделан, а другой
\пруго оперт или когда оба копца упруго закреплены.
Рассматривая первый из указанных случаев (рис. 310), легко
заметить, что после потери устойчивости упруго опертый конец пере-
мещается в вертикальном направлении па величину /в, при этом
возникает упругая реакция 7?в, пропорциональная отклонению fB
и равная
7?в = с /в,
1 де с — коэффициент жесткости опоры В.
Дифференциальное уравнение упругой линии при этом будет
иметь вид
(18.18)
ИЛИ
= (18.19)
az c,Jinin
। де
Переписав уравнение (18.19) в виде
+ /С2 w = k2 fij /! _ + А2 z, (18.20)
аг \ 1 кр / *кр
441
находим его решение:
ф = С sin kz + D cos kz + fB fl---z'j + —£— /B z (18 21)
\ ”кр / * кр
Постоянные интегрирования и критическую нагрузку определим
и.з граничных условий:
при z =О
w(0) = iz?A=0, (18.22)
^2) = 0 (0) = 0; (18.23)
при Z = I
= WD = 1В. (18.24)
Из (18.22) находим
\ кр /
Для использования (18.23) вычислим производную (18.21):
= кС г.пч kz — kD sin kz -I- —--/g,
Jz PKp
откуда при z — 0 получаем
kc + ~p—/в ~ °’
KP
или
Подставив полученные значения С и Л в (18.21),
W (г) = ~~kk~ fB sin kz ~ /в f1-
ft/Kp \ L кр
+ /в f1---р-- + ~р^~ z-
\ кр / кр
найдем
zj cos kz +
(18.25)
Используем грапичпое условие (18.24). Положив в (18.25) z= Z, найдем
w (Z) = — /д sin kl — fB 11----------11 cos kl +
*кр \ кр /
+ /в f1----p---- + ~p------/в 1 = /в*
\ кр / кр
442
пли
~— sin kl — (1------— П cos kl = 0,
кРкр I Рщ> /
откуда
/ P '
tg kl = kl 1----------
6 \ cl ,
(18.26)
Если из этого уравнения найти наименьшее значение к, то тем самым
будет найдено наименьшее значение критической нагрузки
^KP = ^£Vmln.
Рассмотрим два предельных случая. Положив с = 0, находим
tg kl — оо; kl = ~ ,
т. е. приходим к расчетной схеме, когда один (левый) копец жестко
заделан, а другой (правый) свободен (рис. 307, а). Величина крити
ческой силы в этом случае определяется формулой (18.14).
Положив с=оо, из (18.26) находим tgkl = kl; kl = и вели-
чину критической силы (18.16), которая соответствует случаю, когда
один конец стержня жестко заделан, а другой шарпирпо оперт (рис.
309).
Следовательно, изменение коэффициента упругости с от нуля до
бесконечности может быть учтено коэффициентом приведения v, кото-
рый при этом будет изменяться в пределах от 2 до 0,7.
Значения коэффициента приведения длины v, а также коэффи-
циента устойчивости -г] = к212 для центрально сжатых стержней
постоянного и переменного поперечных сечений для различных слу-
чаев их нагружения и закрепления приведены в табл. 38. В табл. 39
лапы значения критических нагрузок для полосы и некоторых дву-
тавровых балок.
§ 97. О потере устойчивости при напряжениях,
превышающих предел пропорциональности материала
Формула Эйлера была получена из дифференциального уравнения
хпругой линии, поэтому ею можно пользоваться лишь в случае,
если справедлив закон Гука, т. е. пока критическое напряжение,
возникшее в сжатом стержне при критической нагрузке Р^р, Tie пре-
вышает предела пропорциональности
°кр 2Р агш
Представив критическое напряжение в виде
Ркр 7:2 in ~2 Е
°кр ~ ~F~ ~ F (^)2 ~ М V ’
443
- - — папмепьтппи главный радиус
площади селения стержня (§ 10), пли
_-2Е
°кр- х2 ’
инерции
(18.27)
где
Х = ----- (18.28)
lmln
— безразмерная величина, называемая гибкостью стержня, из (18.27)
видим, что критическое напряжение зависит только от модуля упру-
гости Е и гибкости X.
Построив график зависимости а = / (X) (рис. 311) — гиперболу
Эйлера, — можно убедиться, что для
данного материала (с известным мо-
дулем Е) формула (18.27) справед-
лива, начиная с определенного зна-
чения гибкости, которое может быть
найдено пз условия
-2Е
в " — с
кр х2 П1Г
Определим предельную гибкость
Хпрсд, ниже которой формулой
(18.27) пользоваться нельзя:
Так, например, для стали марки Ст. 3, модуль упругости которой
Е = 2 106 кГ/см2, апц 2000 кГ/см2,
1/’*ГЁ 1/3,142 2 106 ...
Х < Хпред У апп У 2000 ~ 10°’
т. е. формулой Эйлера (18.27) можно пользоваться на участке гипер-
болы, показанной на рпс. 311 сплошной линией, при гибкости X
не менее 100.
Однако, как показывает опыт, и на участке, где X < Хп , при
напряжениях в стержне, больших апц, при которых формула Эйлера
дает завышенные значения критических напряжений (участок гипер-
болы Эйлера, показанный на рис. 311 пунктиром), стержень может
потерять устойчивость. В этом случае значение критического напряже-
ния может быть вычислено согласно опытным данным Ф. С. Ясин-
ского для различных материалов по эмпирической формуле
акр = а - &Х. (18.29)
Для яугупа пользуются квадратичной зависимостью
акр ~ а — + с^2, (18.30)
444
Значения постоянных коэффициентов а,
материалов приведены ниже.
Ь и с для некоторых
Mai с риал 'пред а ь С
Ст. 2, Ст. 3 100 3100 11,4 —
Ст. 5 100 4640 32,6 —
Сталь 40 90 3210 11,6 <—
Кремнистая сталь 100 5890 38,2 —
Дерево (сосна) 110 293 1,94
Чугун 80 7760 120 0,53
При некоторых значениях гибкости Хо величина акр, вычисленная
по формулам (18.29) пли (18.30), становится равной продельному
напряжению ujni сжатии, т. е. для пластичных материалов
для хрупких материалов
акр V
акр = аВ-
Стержни, у которых Х<Х0, называют стержнями малой гибкости
и рассчитывают только на прочность. Для стали марки Ст. 3, наирп-
'|<‘Р, прп 40<Х<100 график зависимости cKp = f(X), полученный на
•сновании формулы (18.29), представляет собой наклонную прямую
s |/ (рис. 311), а часть графика Л'б1 прп 0 < X < 40 может рассматри-
ваться как горизонтальная линия.
Таким образом, график а = f (X) для стали марки Ст. 3 состоит
из трех участков: горизонтального участка NS, соответствующего
1;1| = ат; наклонного участка SM прп 40<Х<100 и гиперболы Ян
и'ра при Х>100 (правое точки М).
§ 98. Расчет сжатых стержней па устойчивость
при помощи коэффициентов уменьшения
основного допускаемого напряжения
Центрально сжатые стержни с малой гибкостью (X < Хо) сохра
'шют несущую способность при условии, что критические иапряже
чя не превышают опасного напряжения, т. е. что
акр<ао.
1 де для хрупких материалов а0 = ав, для пластичных материалов
„ = ат. Несущая способность стержней малой гибкости определяется
прочностью материала.
В случае стержней с большой гибкостью опасным состоянием
«ледует считать момент возникновения в сжатом стержне напряже-
ний, равных акр. Поэтому для обеспечения работоспособности стержня
необходимо выполнение следующего условия устойчивости:
(18.31)
445
где [ст]у — допускаемое напряжение на устойчивость, определяемое
□о формуле
Здесь пу — коэффициент запаса устойчивости, который из-за возмож-
ной эксцентричности приложения нагрузки, искривления стержня
и неоднородности материала принимается всегда несколько больше
основного коэффициента запаса прочности (ну>-п0). Для стали
«у = 1,8-j-3,0; для чугуна пу = 5,0ч- 5,5; для дерева пу = 2,8 ч-3,2.
Чем больше гибкость, тем меньшим принимают пу.
На практике при расчете на устойчивость принято пользоваться
не допускаемым напряжением на устойчивость [а]у, а допускаемым
напряжением на сжатие [а_] с соответствующим поправочным коэф-
фициентом ср, значение которого может быть установлено из отно-
шения
Отсюда
или [а1у = <? [а_], (18.32)
где ср = Jk. (18.33) % Пу
Здесь ср— коэффициент уменьшения допускаемого напряжения на
сжатие, или коэффициент условного допускаемого напряжения.
В табл. 40 приведены значения ср для различных гибкостей.
Таким образом, учитывая (18.32), расчетную формулу на устой-
чивость (18.31) теперь можем переписать в виде
amax < [°]у = V 1
или
N г 1
а = —--------< ср [а_].
Гбрутто
(18.34)
Различают два вида расчета на устойчивость: поверочный и проек-
тировочный.
При поверочном расчете исходят из известных размеров и формы
поперечного сечения стержня и прежде всего определяют наименьший
446
, площадь F, вычисляют минимальный
осевой момент инсрппп JinIn
радиус инерции
— 1/ *^mln
zmln г F ’
а также гибкость
lmin
Затем, зная гибкость, находят по таблице коэффициент ср, определяют
допускаемое напряжение на устойчивость
Му = <p[s_J,
Р
сравнивают действительное напряжение а = — с допускаемым
** брутто
напряжением па устойчивость [а]у и выясняют, удовлетворяется
ли условие
Ну
При проектировочном расчете исходят из условия
а = (18.35)
тг брутто
Необходимое сечение определяется формулой
^брутто *= [а_] • (18 -Sty
Кроме искомой площади Гбрутт0 в последнем соотношении неизвест-
ным является также коэффициент ср. Поэтому при подборе сечения
приходится пользоваться методом последовательных приближений,
варьируя величину коэффициента ср. Обычно при первой попытке
принимают ср, = 0,5-т-0,6. При принятом ср, по формуле (18.36) опре-
деляют F6pyTT0 и подбирают соответствующее сечение. Зная сечение
и определив Jmin, imln и X, устанавливают фактическое значение
коэффициента ср/. Если ср/ значительно отличается от ср,, то и напря-
жение будет отличаться от допускаемого Тогда следует повторить
расчет, т. е. предпринять вторичную попытку, приняв среднее по
величине значение между коэффициентами ср, и ср/:
e
?2- 2 •
В результате второй попытки устанавливают ср2'. Если требуется
третья попытка, то расчет повторяют при
_?2 + ?2'
?з- —
и т. д. Обычно на практике удается обойтись двумя-тремя попыт-
ками.
447
§ 99. Выбор материала и рациональной формы
поперечных сечении сжатых стержней
Для стержней большой -гибкости (X > Хпред), когда окр<оПц,
модуль упругости Е является едипствепной характеристикой, опре-
деляющей сопротивляемость стержня потере устойчивости. Тогда,
очевидно, для стальных стержней, работающих на сжатие, у которых
практически Е меняется мало, нецелесообразно применять сталь
повышенной прочности. Что касается формы поперечного сечения, то
рациональной будет такая форма, при которой при определенной
площади величина наименьшего радиуса инерции imln является
наибольшей.
Введем безразмерную характеристику.
‘mln
VF ’
которую назовем удельным радиусом инерции. О рациональности того
пли иного сечения можно судить на основании данных, приведенных
ниже.
Сечение I
Трубчатое /а — = 0,95 — 0,8
\ “нар ,
Трубчатое (а = 0,7 — 0,8)
У толковое
Двутавровое
Швеллерное
Квадратное
Круглое
Прямоугольное (/i = 2Ь)
2,25—1,64
1,2 —1,0
0,5 -0,3
0,41—0,27
0,41-0,29
0,289
0,283
0,204
Анализ приведенных данных
Рис. 312
всех направлениях, т. е. чтобы гл
возможности одинаковыми.
показывает, что наиболее рацио-
нальными явл яются трубчатые
сечения, столь же рациональны
коробчатые тонкостенные сечения.
Наименее рациональными являют-
ся сплошные прямоугольные сече-
ния.
При проектировании стерж-
ней, несущая способность кото-
рых определяется сопротивлением
потере устойчивости, следует
стремиться к тому, чтобы стер-
жень был равпоустойчивым во
пвные моменты инерции были по
§ 100. Продольно-поперечный изгиб
Изгиб стержня называется продольно-поперечным, если в его
поперечных сечениях возникают изгибающие моменты как от про*
дольных, так и от поперечных нагрузок (рис. 312).
448
Вычисление полного изгибающего момента Мп в поперечных
сечениях производят с учетом прогибов оси стержня:
Mn(z) | = | M(z) | + | Su'a(z) j,
(18.37)
где 3/(z)— изгибающий момепт от действия поперечной нагрузки;
Sivn(z) — изгибающий момент от действия oceBOii нагрузки 5. Определе-
ние величины полного изгибающего момента Л7п(г) осложняется тем,
что в этом случае нельзя пользоваться принципом независимости
действия сил.
Рассмотрим приближенный метод определения изгибающего
момента /1/n(z). Он основан па допущении, что изогнутая ось балки при
поперечной нагрузке принимает форму синусоиды, т. е.
tv (z) « t sin ~.
(18.38)
При наличии продольной силы также приближенно принимают, .что
ipd(z) ft Znsin—.
(18.39)
Такое допущение позволяет получать достаточную точность для
шарнирно опертой балки при действии поперечных нагрузок, направ-
ленных в одну сторону, особенно, если деформация балки оказы-
( l\ t
нается симметричной относительно ее средины, где wnl —1==/^
Дифференциальные уравнения упругой линии при поперечном
н продольно-поперечном изгибе соответственно запишем так:
d2 tv(z '> М (z)
dz2 EJ ’
(18.40)
rf2»’n(2) M(z} <4,(2)
dz2 ~ ~EJ EJ
(18.41)
Исключив из уравнений (18.40) и (18.41) М (z) и учтя допущения
(I8.38) и (18.39), будем иметь
A
dz2 \Sin ’ I /
~EJ
/(J sin — .
I.r> 5 1186
449
После дифференцирования получим
Обозначив
Л = <18.42)
-2 F 1
= (18.43)
пз уравнения (18.42) найдем выражение для прогиба посредине про-
лета балки при продольно-поперечном изгибе
/
(18.44)
1
Формула (18.44) дает удовлетворительные результаты, когда сжи-
мающая сила S не превышает (),8Р^.р. Предполагая, что изгибающие
моменты пропорциональны прогибам, в соответствии с (18.44) можно
получить простую приближенную формулу для определения изги-
бающего момента при продольно-поперечном изгибе в виде
М
-------S'-
(18.45)
Тогда величина максимальных напряжений в сечении стержня опре-
делится формулой
= /
стах р
(Л/ )
' попах
17
(18.46)
пли с учетом (18.45) формулой
°тах
(18.47)
Из формулы следует, что принцип независимости действия сил
здесь не имеет моста.
В табл. 41 приведены уравнения изгибающего момента и упру-
гой линии для некоторых случаев продольно-поперечного изгиба
балок постоянного поперечного сечения.
450
Т а и л п ц а 38
Коэффициенты v и т для определения критической нагрузки центрально сжатых стержней
„ л2 EJ EJ
по формуле Рк[) -= Т -2- =^72-
Е Схема стержни и его нагружения Коэффициент приведения длины ? Коэффициент устойчивости i)
1 1 9,8696
0,699 20,199
3 А 1 1-—J—-4 2 2,4674
/( я р J 1 i 1 9,8696
с Схема стержня н его нагружения Коэффициент приведения длины *
5 S Р z 2
6 а _£*£ 1 < J 0.5
7 р Р f~v, h 0,699
Продолжение табл. 88
Коэ ьфиннент устойчивости ц
2,4674
39,4784
20,199
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
.a_____
‘—M* i
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0.8
0,9
w
V a I
2 1,87 1,73 1,6 1,47 1,35 1,23 1,13 1,06 1,01 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 ' 0,8 0.9 2,4674 2,832 3,283 3,845 4,551 5,438 6,511 7,726 8,874 9,637
a -i
2 1,85 1,7 1,55 1,4 1,26 1,11 0,975 0,852 0.757 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 2,467 2,883 3,414 4,105 5,021 6,26 7,99 10,39 13,59 17,24
с
Е
£
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
рг/р,
0 1
0,25 0,95
0,5 0,91
0,75 0,89
1 0,87
2 0.82
В общем случае при
^кр (^*1 "Ь Р'^кр
П родолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости
р*/р,
0 0,25 0,5 0,75 1 2 9,8696 10,93 11,92 12,46 13,04 14.68
0,773
0,858
16,5
13,41
ОТ Е Схема стержня Коэффициент
е’ и его нагружения приведения длины -»
£
Ркр ~ + ^кр
Продолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости г;
а 1 Р2 р.
о- 0,1 0,2 0.-5
0 2,467 2,714 2,961 3,701
0,1 2,467 2,714 2,960 3,698
0,2 2,467 2,710 2,953 3,679
0,3 2,467 2,703 2,936 3,622
0,4 2,467 2,688 2,904 3,525
0,5 2,467 2,665 2,856 3,384
0,6 2,467 2,635 2,793 3,211
0,7 2,467 2,599 2,715 3,020
0,8 2,467 2,557 2,636 2,821
0,9 2,467 2,513 2,551 2,641
1,0 2,467 2,467 2,467 2,467
а Р.
2 5
0 4,935 7,402 14,80 27,14
0,1 4,930 7,377 14,68 26,66
0,2 4,880 7,207 13,78 23,19
0,3 4,712 6,769 11,70 16,82
0,4 4,470 6,074 9,187 11,57
0,5 4,136 5,268 7,060 8,210
0,6 3,759 4,497 5,504 6,048
0,7 3,385 3,830 4,376 4,660
0,8 3,040 3,280 3,551 3,685
0,9 2,734 2,832 2,936 2,986
1,0 2,467 2,467 2,467 2,467
В общем случае
00
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины
15
Я ~Р 2Р ЖЗР
1 5 L 3 '7 3,
1
3,952
^кр
0,725
Продолжение табл. 38
!
18 I ^Kp кр h 0,434 52,5
19 I pK. = W^. 1,122 7,839
20 —J ^кр ~ ^\:p 0,723 18,9
21 US СЯ CO q f ' ^*кр ~ ^^кр T9 0,577 29,64
Схема стержня
ч его нагружения
П родолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости ч
73.65
31,47
20,49
I
sC-
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины »
Продолжеиие табл. 38
Коэффициент устойчивости rt
Для п — ql
п
0 9,87
0,25 8,62
0,50 7,40
0,75 6,08
1,0 4.77
2,0 — 0.66
3,0 — 4,94
4,0 — 9,87
5,0 —14,80
(Три больших значениях п коэффициент г; может
оказаться отрицательным и для устойчивости
равновесия стержня к цему должна быть приложена
растягивающая сила Р
При п — q г2 F 7
п
0 2,47
0,25 2.28
0,50 2,08
0,75 1,91
1.0 1,72
2,0 0,96
2,0 0,15
4,0 —0,69
5,0 —1,56
Од. примечание к схеме 28
J, : J а : /
0.2 0,4 0,6 0,8 1
0,01 0,153 0,27 0,598 2,26 -2
0,1 1.47 2,40 4,50 8,59 -2
0,2 2,81» 4,22 6,69 »• » »•) -2
0,4 5,09 6,68 8,51 9,67 -2
0,6 6,98 8.19 9,24 9,78 К2
0,8 8,55 9,18 9,63 9,84 К*
1,0 Л" тс2 Л2 К Л2
□ Схема стержня Коэффициент
Е и его нагружения приведения длины v
Продолжение табл. 38
Коэ Ьфициепт устойчивости ?]
Ц : J а : <
0.-2 0.4 0.6 0.8 1.0
0,01 0,614 1,08 2,39 8,48 4л2
0,1 5,87 9,48 15,5 17,1 4л2
0,2 11,1 16,3 20,5 21,1 4л2
0,4 20,2 24,9 26,3 27,5 4л2
0,6 27,7 30,6 31,1 32,5 4л2
0,8 34,0 35,3 35,4 36,4 4л2
1.0 4л2 4л2 4л2 4л2 4л2
Приближенно
1
ка
sin -у
Некоторые конкретные значения т;:
a ‘ i
0 0*1 0*2 0*5 1*0
0 2,467 2,243 2,056 1,645 1,234
0,1 2,467 2,285 2,126 1,761 1,367
0,2 2,467 2,325 2,197 1,881 1,52
0,3 2,467 2,363 2,262 2,013 1,692
0,4 2,467 2,396 2,327 2,141 1,879
0,5 2,467 2,423 2,379 2,256 2,068
0,6 2,467 2,444 2,420 2,350 2,235
0,7 2,467 2,457 2,446 2,415 2,356
0,8 2,467 2,464 2,461 2,453 2,440
0,9 2,467 2,467 2,466 2,465 2,465
1,0 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467
J, —/
J
2.0 5.0 to 20 50 100
0,8225 0.411 0,2243 0,1175 0,0484 0,0247
0,944 0,4894 0,2714 0,1436 0,0595 0,0301
1,09.3 0,5919 0,3350 0,1793 0,0749 0,038
1,277 0,7293 0,4237 0,2302 0,0971 0,0494
l,49f 0,9174 0,5498 0,3064 0,1309 0,067
1,756 1,178 0,7462 0,4268 0,1860 0,0958
2,025 1,531 1,052 0,633 0,2848 0,1482
2,256 1,950 1,530 1,018 0,488 0,2588
2,402 2,297 2,106 . 1,730 0,9991 0,5592
2,459 2,446 2,424 2,374 2,189 1,746
2,467 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467
EJ I /
Ркр = т( . Приближенно ») = 2,467 : 11 —
У2 — J\ 4Z {I — Я1)2^ {л Ъ ^2 ®г)*А
~ ~ A J2 i'2 I"
(. ^n' J n—1 an—1)2\1
... N------------------------ ------ I
\ Jn—1 1 'J
Продолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости у
J Число участков с различными моментами инерции
2 3 4 5 10
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 5,2 9,88 14,0 17,4 20,5 6,32 10,9 14,6 17,8 20,5 6,48 11,1 14,7 17,8 20,5 7,32 11,2 14,76 17,9 20,5 7,4 11,2 14,8 18,0 20,5
<Л J jJiicjio участков с различными моментами инерции
- 3
0,2 18,1 21,8 22,8
0,4 31,2 34,2 34,3
0,6 41,0 42,4 42,4
0,8 49,4 49,5 49,5
1,0 54,8 54,8 54,8
36
Момент инерции сечения изменяется вдоль осм
по закону
J(z) = Jo (а + bz)n
1 1 - * п
1 2 3 4
0 3,67 0,25
0,1 4,67 3,59 3,21 3,12
0,2 5,41 4,73 4,52 4,41
0,4 6,78 6,39 6,28 6,24
0,6 7,78 7,70 7,64 7,64
0,8 8,85 8,83 8,8.'! 8,83
1,0 7С2 л2 л2 — 2
п = 1 — сплошной стержень прямоугольного попереч-
ного сечения постоянной высоты; ширина сечения
меняется по линейному закону
п — 2 — пирамидальный стержень, составленный из
четырех угловых поясов, соединенных решеткой (или
обшитых тонкими листами)
п — 3 —- стержень прямоугольного сечения постоянной
ширины, когда высота сечения меняется по линей-
ному закону
п = 4 — сплошной пирамидальный (конический)
стержень
00
С e Схема стержня и его нагружения Коэффициепт приведения длины »
37 J Jr р .А "™11 , t . гр —
— —
38 1 . ‘7 . J,y. р —
Продолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости
Момент инерции сечения изменяется вдоль оси по
закону J (z'i — Jn (a 4- bz)n_____________________
* J1 к
~J~ 0,5 i 1,5 2 ..
0 5,78 1,0 __ —
04 7,86 6,48 5,78 5,4 5,01 4,81
0,2 7,97 7,01 6,58 6,37 6,14 6,02
0,4 8,31 7,87 7,69 7,61 7,52 7,48
0,6 8,76 8,61 8,54 8,51 8,5 8,47
0,8 9,3 : ,27 9,25 '..',24 ' ,22. 9,23
1,0 It2 7C2 тс2 тс2 7t2 л2
Момент инерции сечения изменяется вдоль оси но
закону .7 \z'i = J ; (а 4- bz}n
J* ~Г И
1 i 2 1 1 1 4
0,1 14,39 13,7 13,3
0,2 20,35 18,93 18,49 18,23
0,4 26,16 25,54 25,34 25,23
0,6 31,03 30,79 30,71 30,68
0,8 35,42 35,35 35,33 3,5,32
1,0 4тс2 4х2 4к2 4ла
Момент инерции сечения крайних участков изме-
няется вдоль оси по закону J (z) = (а bz)n__________
* Ji ~Г а : 1 м
0 • (Д2 | 0,4 О.к о.-ь
0 5,78 7,04 8,35 9,36 9,8 1
1,0 1,56 2,78 6,25 9,59 2
0,01 5,87 7,11 8,4 9,4 9,8 1
3,45 4,73 6,58 8,61 9,71 2
2,55 3,65 5,42 7,99 9,63 3
2,15 3,13 4,84 7,53 9,56 4
0,1 6,48 7,58 8,63 9,46 9,82 1
5,4 6,67 8,08 9,25 9 79 2
5,01 6,32 7,84 9,14 9,77 3
4,81 6,11 7,68 9,1 9.77 4
0,2 7,01 7,99 8,9 9,73 9,82 1
6,37 7,49 8,61 9,44 9,81 2
5,14 7,31 8,49 9,39 9,81 3
6,02 7,2 8,42 9,38 9,8 4
0,4 7,87 8,59 9,19 9,7 9,85 1
7,61 8,42 9,15 9,63 9,84 2
7,52 8,38 9,1 9,62 9,84 3
7,48 8,33 9,1 9,62 9,84 4
0,6 8,61 9,12 9,55 9,76 9,85 1
8,51 9,04 9,48 9,74 9,85 2
8,5 9,02 9,46 9,74 9,85 3
8,47 9,01 9,45 9,74 9,85 4
0,8 9,27 9,53 9,69 9,82 9,86 1
9,24 9,5 9,69 9,82 9,86 2 ’
9,23 9,5 9,69 9,81 9,86 3
9,23 9,49 9,69 9,81 9,86 4
о
с с % Схема стержня и его нагружения Коэффициент приведения длины v
J J,
40 -
Продолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости ц
Момент инерции сечения крайних участков изме-
няется вдоль оси но закону J (z) - = Л (а + bzr
а ‘ 1
п
J 0 0,2 0.4 о.о 0,8
0,2 20,36 22,36' 23,42 25,55 29,0 1
18,94 22,25 22,91 24,29 27 67 2
18,48 20,88 22,64 23,96 27,24 3
18,23 20,71 22,49 23,8 27,03 4
0,4 26,16 27,8 28,96 30,2 33,08 1
25,54 27,35 28,52 29,69 32,59 2
25,32 27,2 28,4 29,52 32,44 3
25,23 27,13 28,33 29,46 32.35 4
0,6 31,04 32,2 32,92 33,8 35,8 1
30,79 32,02 32,77 33,63 35,64 2
30,72 31,96 32,72 33,56 35,6 3
30,68 31,94 32,69 33,54 35,56 4
0,8 35,4 36,0 36,36 36,84 37,84 1
35,35 35,97 36,34 36,8 37,81 2
35,33 35,96 36,32 36,8 37.8 3
35,32 35,96 36,32 36,78 37,8 4
41 ,'кхт^. — — “
42 1 — 2 Q = Q<, —— = (т 1 \ /Кр —
Момент инерции сечения изменяется вдоль оси по Л \ п закону J (z) — J 1—-— 1
Ti 0 t 2
7,83.9 5,78 3,67
Момент инерции сечения изменяется вдоль оси но // — закону J (z] J —-—1
Т1 0 1 2 Л
'G 16,1 13 9,87 6,59
Момент инерции сечения изменяется вдоль оси по h — z\n закону J (z) — J 1—-— 1
п т
2 3 4 :>
0 1 2 3 4 27,3 23,1 18,9 14,7 10,2 41,3 36,1 30,9 25,7 20,2 52,1 45,8 39,5 33,0 63,6
Tfродолжение табл. 88
44
Схема стержня
и его нагружения
Коэфиинпен’!
приведения длины v
Коэффициент
устойчивости ч
J . a Р.е (I — а)
При т = -г—----------- и и — —-----------
‘ А (/ — а) Pi а
р _____г~2 ^Лт11п
K>J “ (ха)2
При Рг = Р2 = Р и — — J
Р ~"EJ /
«Р (>,)2 — *1 /?
а Т •V а ~Т
0 0,699 0 20,19
0,1 0,652 0,1 23,23
0,2 0,604 0,2 27,06
0,3 0,558 0,3 31,75
0,4 0,518 0,4 36,8
0,5 0,500 0,5 39,48
0,6 0,518 0,6 36,8
0,7 0,558 0,7 31,75
0,8 0,604 0,8 27,04
0,9 0,652 0,9 23,23
1,0 0,699 1,0 20,19
472
ITродолжепие табл. 88
Схема стержня и его нагружения Коэффициент Коэффициент приведения длины v устойчивости <}
15 J.a P.,(l~a) При tn — - II Я as. к 1 J, (/ — a) Pi a 7t2 T ! p b'i' (ча)2
При РА = Р2 — Р и = J2 == J
р _ EJ _ EJ
кп (v/V ~ 71 I2
a I a l
0 0,699 0 20,19
0,1 0,646 0,1 23,63
0,2 0,593 0,2 28,09
0,3 0,539 0,3 33,96
0,4 0,487 0,4 41,68
0,5 0,439 0,5 51,12
0,6 0,4 i 0,6 58,84
0,7 0,412 0,7 58,92
0,8 0,436 0,8 51,97
0,9 0,467 0,9 45,27
1,0 0,500 1,0 39,48
473
ITродолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ 1]
При т = 7-^-г и п =
— а) Рга
При Р1=Р2 = Р и J1==J2 = J
р — _ J±L
«Р (W)2 “Т‘ I2
а А) а Т •»1
•0 0,5 0 39,48
Од 0,463 0,1 46,13
0,2 0,426 0,2 54,45
0,3 0,391 0,3 64,56
0,4 0,362 0,4 75,22
0,5 0,35 0,5 80,76
0,6 0,362 0,6 75,22
0,7 0,391 0,7 64,56
0,8 0,426 0,8 54,45
0,9 0,463 0,9 46,13
1,0 0,5 1,0 39,48
474
Продолжение табл. 38
Схема стержни и его нагружении Коэффициент приведения длины * Коэффициент УСТОЙЧИВОСТИ 7)
47 it 2 При т — -— 1 Ji(Z —д) Р2(1 — а) п п -- Р} а
-2 Г 1
кр “ ('*а)2
При Р^Р2 = Р И Ji = J2 = J
d _ "2 EJ ..EJ
КР (W)2 ~ 1 I2
а а
1 м ~г
0 1,0 0 9,87
од 0,933 0,1 11,83
0,2 0,868 0,2 13,11
0,3 0,804 0,3 15,26
0,4 0,746 0,4 17,72
0,5 0,699 0,5 20,19
0,6 0,672 0,6 21,88
0,7 0,668 0,7 22,14
0,8 0,679 0,8 21,4
0,9 0,693 0,9 20,55
1,0 0,699 1,0 20,19
475
П родолженив табл. 38
Схема стержня
п его нагружения
Коэффициент
цлпи’денип длины '>
Коэффициент
тстойчивостн г.
а Т а Г
0 1.0 0 9,87
0,1 0,925 0,1 11,53
0,2 0,85 0.2 13,65
0,3 0,776 0,3 16,37
0,4 0,704 0,4 19 9
0,5 0,636 0,5 24,42
0,6 0,575 0,6 29,82
0,7 0,53 0,7 35,1
0,8 0,507 0,8 38,41
0,9 0,501 0,9 39,4
1,0 0,5 1,0 39,48
476 .
Продолжение табл. 38
п его нагружент
Коэффициент
приведения длпи.,1 v
Коэффициент
устойчивости 7]
_ г. A^tnin
KI’ “ (WJ2
Значения > находят и.,
графиков, построенных
чтя схемы 47
477
Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины »
Коэффициент
устойчивости 1)
52
1Г 370/,
При т — -;,
J ! 10
-2 /
Р — " J
кр~ (^о)2
53
При т — у
7-2 FJ .
р _____ J</rmn
HP ”
Значения v находятся'из
графиков, построенных
для схемы 48
54
J1 fo
Р _^2^тт
HP (,Z0)2
L-'.-iJ
478
Продолжение табл. 38
479
Продолжение табл. 88
Схема стержня Коэффициент j Коэффициент
и его нагружения приведения длины » устойчивости ц
480
Tfpoch.iweuue табл. 38
Схема стержни
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины *
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ 7]
16 5 1186
481
Uродолжение табл. 38
Схема стержня
п его нагружения
Коэффициент
приведения диины *
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ
63
482
П родолжение табл, 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины »
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ 7]
64
0,5 < у < 2
Некоторые конкретные
данные
2,4424 < т] < 39,48
0,7 у < оо
Некоторые конкретные
данные
Q В ft ' $ щ
0 < t! < 20,14
sxl s.2l
mi ~ EJ' т2 ~ EJ
ГI
an - (S1 4- s2) EJ
483
Продолжение табл. 38
Ко;):,.лл||11 лент
прчвелеппн длины *
66
Коэффициент
устойчивости тг
0,5 < V < 1
Конкретные значения v
MOI ут быть взяты из
графика, построенного
для схемы 5‘J
I’cjiii — т2 — т —
si.
— . ТО
Л J
U,8696 < т( < 39,48
484
Продолжение табл. 38
68
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
Коэффициент
устойчивости 7)
0,5 v 1
Некоторые конкретные
данные
9,8696 < т) < 39,48
69
0,7<v<2
Некоторые конкретные
данные
Г1 г2 I3
(si 4" $г) EJ
2,4424 < т] < 20,14
485
ITродолжение табл. 38
Схема стержня и его нагружения Коэффициент приведения длины * Коэффициент устойчивости т;
70 т,=т; т2 =л= со , р F i J л т.=п*оо; т2--т р ">“ ~Ю~’ S~> 1 ,П2~ EJ 0,5 < м < 0,7 Конкретные значения м могут быть взяты из графика, построенного для схемы 54 п= Г'^1* ($1 ,s2) EJ *** 20,14 < т] <39,48
71 т,=т;п=0,т.‘оо^ о Г Л т’ ]|F т, = со, п-0; т.-т р 1 t 7&>? ! 1 <2 Некоторые конкретные данные
486
Продолжение табл. 38
Схема стержня Коэ })фициент Коэффициент
и его нагружения приведения длины v УСТОЙЧИВОСТИ
72 у 1 й т^0;п-оо;т.=т р ;' 'Ж~ 0,7 < ч < 1 Конкретные значения v могут быть взяты из графика, построенного для схемы 52 с учетом, $! 1 что тх = ; w2 = $2 = ~Ё7~' п — г1 г2 (6'l + s2) EJ ♦ * * * * 9,8696 < -г) < 20,14
73 З’л? т,=т; п=0; т2=0 р 1 7 4 т^0;_п=0;т^т 2 v 00 Некоторые конкретные данные
4'2^ W2 ~ EJ ’ п = Г'Г^ ($1 -f- s2) EJ • • ♦ * * * * 0 2 4 6 8т
74 1
т^т^О р Необходима также про
L верка устойчивости по формуле
_ si 1 mi EJ ’ Р = 1 кр г. -f- г2 * * * 9,8696
т'2==~ЁТ За расчетное принима- ют наименьшее значе-
ние Ркр
487
Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ
76
(г — коэффициент жест-
кости упруго-переме-
щающейся опоры)
При числе пролетов
п — 2 значения v могут
быть взяты из гра-
фика, построенного для
схемы 69.
При п = 3
г — коэффициент же-
сткости упруго-пере-
мещающейся опоры
rZ3
С~~ EJ
488
П родолжение табл. 38
Схема стержня и его нагружения Коэффициент приведения длины * Коэффициент УСТОЙЧИВОСТИ V)
77 При числе пролетов п = 2
г — коэффициент же-
сткости упруго-пере-
мещающейся опоры
489
П родолжение табл. ЗЯ
Схема стержня и его нагружения Коэффициент приведения длины v Коэффициент УСТОЙЧИВОСТИ V)
78 Р. . . Значения v могут быть взяты из графика, по- строенного для схе- мы 52. При этом т — si —
Л , Ж 2EJ (s — коэффициент же- сткости упруго-повора- яивающейся опоры)
79 Значения v могут быть взяты из графика, по- строенного для схе- мы 54. При этом т = .<?/
7”7 77Я «т?
“ 2EJ (s — коэффициент же» сткости упруго-пово- рачивающейся опоры)
* J и Ji — наибольший и наименьший моменты инерции поперечного сечения
соответственно.
* * Предполагается, что имеется несколько учасгков одинаковой длины,
причём разности между моментами инерции соседних участков одинаковы.
* ** ri и г2 — коэффициенты жесткости левой и правой уцруго-пере.мещаю-
щпхся опор.
* *** s, и s2 — коэффициенты жесткости левой и правой упруго-поворачи-
вающихся опор.
* **** с _ к0ЭффИпиент жесткости упругого основания (коэффициент
постели), равный отношению реакции основания к его осадке.
490
Таблица 39
Критические нагрузки для полосы и некоторых двутавровых балок*
Типы опор:
В горизонтальной и
вертикальной плоско-
стях — заделка
В горизонтальной
плоскости шарнир,
в вертикальной — за-
делка
В горизонтальной
плоскости заделка,
в вертикальной —
шарнир
В горизонтальной
плоскости шарнир,
в вертикальной —
направляющие
В горизонтальной и
вертикальной плоско-
стях — шарниры
Схема Критическая нагрузка
При потере устойчивости плоскость дей-
ствия пары сохраняет неизменную ориента-
цию в системе подвижных осей, жестко
связанных с перемещающимся торцовым се-
чением
Р
кр
4,013
при <7=0
4,0135
^кр ~ /2
Если высота консольной полосы меняется
п / z
по закону7 h — Лэ у 1-----, где Ло — высота
полосы у основания; z — текущая координата
вдоль полосы, то
mS п | 1 | 1,333 1 2 I 4
Ркр “ /2 2,4 I 2,81 I 3,21 | 3,61
* S = GJK , где EJ — наименьшая жесткость при и<гибе
GJ — жесткость при кручении.
491
Продолжение табл. 39
Схема
Критическая нагрузка
Р == —
КР J2
Коэффициент к берется из таблицы.
„ /2 2GJK
При этом х = "~D~ • где & — жест-
кость одной из полок двутавра при изгибе
в ее плоскости
х I 0,1 | 1 | 2 I 3 | 4 | 6 | 10 | 24 | 40
к I 44,3] 15,7] 12,2| 10,7| 9,7б| 8,69] 7,58] 6,19] 5,64
При х>40 к = !—j—-у
С1--ft)
_ 5,565
ркр — /2
(70
12,855
= Z2
Л
Если высота консольной полосы меняется
п / г
по закону h — h0 у 1 — у , где Ьо — высота
полосы у основания, z— текущая коорди-
ната вдоль полосы, то (д2)кр = -у
п I 1 I 1,333 12 14
т I 9,6 | 10,4 | 11,2 I 12,8
qnl 26,55
~ /кр = ~Р~
q0 — в корне
492
77родолжение табл.. 39
Схема
Критическая нагрузк;.
где /г—uucoia балки D—;ке<;1hociь одной
из полок двутавра при п и обе в ее нлоско-
С1 и
EJ + (-J..
27}
Ннжннн знак определяе! критическое зна-
чение момента, направленного нротпво-
иоло-кно показанному на схеме
а : /| 0,05 [ 0,1 I о,15 I О,:? | 0,25
~\ 111,6 156,о Г рлйЩ'Т'.'7ГГ|^27Т
а : 0 0 3 I i »zt | о,45 j 145
Т]'2ц7ГрТ>.и4 | i7,s'; |~тТ|Лблц
р,
16,93
~W~
493
Продолжение табл. 39
Схема
Критическая нагрузка
р
КР /2
При х = —тт— где h—высота балки,
h* D '
D — жесткость одной из полок двутавра при
изгибе в ее плоскости, значения к будут
х | 0,4 | 4 I 8 I 16 | 32 I 64 | 1601 400
к | 86,4) 31,о| 25,6| 21,8| 19.6J 18,3| 17,5| 17,2
(?Z)KP
28,313
(^)кр /2
/2 2GJK
При х = -r-z- —— , где h — высота балки,
пг D
D — жесткость одной из полок двутавра
при изгибе в ее плоскости, значения к
будут
х I 0,4 I 4 | 8 | 16 | 32 I 64 11281400
к ] 143 | 53 |'42^6| 36,3| 32,б|Жб| 29/il 28,6
Если при опрокидывании нагрузка остается
параллельной первоначальному направле-
нию, то
EJ
^^кр ~ /^2
(ТГ2 —62)2
Если при опрокидывании нагрузка остается
направленной к исходному центру кривизны,
то
/ ™ *2 EJ
^^кр
2—02
AQ4
П родолжение табл. 39
Схема Критическая нагрузка
- =L-\W op м = кр 1
44,53
КР /2
Р =
КР /2
При х = -р- - к , где h — высота балки;
D — жесткость одной из полок двутавра при
изгибе в ее плоскости, значения к будут
х | 0,4 I 4 | 8 | 16 I 32 I 64 I 128 I 320
к I 268 I 88,8|"ад 50,2| 40,2| 34,1| 30,7| 28,4
кр ~ /2
а : I1 0,1 I 0,2 I 0,3 I 0,4 I 0,5
к 1117 | 53,2| 35,2| 28,51 26,7
48,63
Р
49.3
Продолжение табл. 39
Схема Вригпческап нагрузка
i ~ ‘ 1 I. 2 " 1 Л j O_L %4 kS ]2~ I2 2С7к При х = — ——-, где h — высота балки, /г2 L) D — жесткость одной из полок двутавра при изгибе в се плоскости, значения к будут х 1 0,4 I 4 1 8 1 16 I 32 I 96 I 128 1400 к I 488 1 161 j 119 | 91,3| 73,о| 58,о| 55,8| 51,2
'A _’”>9,6S
б/Ищ, ~ pt
496
Продолжение табл. 39
Продолжение табл. 39
Схема
Критическая нагрузка
Р = ——
КР /2
а -.11 0,1 | 0,2 I 0,3 | 0,4 | 0,5 I 0,6 I 0,7 | 0,8 | 0,9
к 1145 I 67,6| 47,1| 40,7, 41,в| 50,5, 75,0| 150 | 630
(?')кр =
86,4S
/2
Вертикальные перемещения опорных сече-
ний невозможны:
Р = ——
КР /2
а : I I 0,1 I 0,2 I 0,3 I 0,4 I 0,5
к I 393 1114 I 63,1| 47,2] 43,2
498
Продолжение табл. 39
Схема
/
1 J -к
Критическая нагрузка
Вертикальные перемещения опорных сече-
ний предполагаются невозможными
. _ 98,7S
\<Р /2
Р
Кр /2
. : /| 0,1 I 0,2 I 0,3 I 0,4 I 0,5 I 0,6 I 0,7 I 0,8 I 0,9
“|ЖТ18 | 67^|ЗД 50,2| 57,7| 82,2|ТбТ| 621
, л 120.6S
(?Z>kp = —72—
499
Коэффициенты условного допускаемого напряягеяия на сжатие ®
Материал г и г
0 10 20 30 40 50 60 70 so
Сталь
Ст. 0 Ст. 2 Ст. 3 Ст. 4 1,00 0.99 0,97 0,95 0,92 0,89 0,86 0,81 0,75
Ст. 5 НЛ-1 1,0 0,98 0,95 0,92 0,89 0,86 0,82 0,76 0,70
НЛ-2 (15ХСНД) 1,00 1,00 0,98 0,95 0,93 0,90 0,83 0,78 0,71 0,63
СПК 0,97 0,95 0,91 0,87 0,83 0,79 0,72 0,65
Чугун 1,00
СЧ 12-28 СЧ 15-18 СЧ 15-30 СЧ 15-32 СЧ 15-36 СЧ 18-36 0,97 0,91 0,81 0,69 0,57 0,44 0,34 0,26
СЧ 21-40 СЧ 21-44 СЧ 24-44 СЧ 28-48 1,00 0,95 0,87 0,75 0,60 0,43 0,32 0,23 0,18
Алюминиевый
сплав
АМг 1,00 0,973 0,945 0,917 0,87 0,77 0,685 0,603 0,53
АМгб 1,00 0,973 0,946 0,89 0,77 0,64 0,542 0,458 0 387
АВТ1 1,00 0,996 0,992 0,90 0,78 0,66 0,557 0/63 0,387
Д16Т 1,00 0,999 0,998 0,835 0,70 0,568 0,455 0,353 0 269
Каменные и армокаменные элементы 1,00 0,99 0,96 0,91 0,85 0,78 0,72 0,65 0.58
Железобетон 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,83 0,73 0,64
Бетон тяжелый 1,00 1,00 0,96 0,90 0,84 0,76 0,70 0,63 0,57
Бетон легкий 1,00 1,00 0,95 0,86 0,73 0,68 0,59 0,52 0,46
Дерево (сосна, ель) 1,00 0,99 0,97 0,93 0,87 0,80 0,71 0,61 0,49
500
Та б л и ц a 40
КОСТЬ X
90 100 110 120 130 140 150 16С 170 180 190 200
0,69 0,60 0,52 0,45 0,40 0,36 0,32 0,29 0,26 0,23 0,21 0,19
0,62 0,51 0,43 0,38 0,32 0,28 0,26 0,24 0,21 0,19 0,17 0,16
0,54 0,45 0,39 0,33 0,29 0,26 0,23 0,21 0,19 0,17 0,15 0,14
0,55 0,43 0,35 0,30 0,26 0,23 0,21 0,19 0,17 0,15 0,14 0,13
0,20 0,16 — — —
0,14 0,12 — — — — — — — — — —
0,465 0,415 0,365 0,327 0,296 0,265 0,235
0,322 0,28 0,243 0,213 0,183 0,162 0,148
0,312 0,252 0,21 0,175 0,15 0,129 0,113
0,212 0,172 0,142 0,119 0,101 0,087 0,076 — — — — —
0,53 0,48 0,43 0,38 0,35 0,32 0,29 — — — — —
0,57 0,52 — — — —— .— —.
0,51 0,45 — — — '— —• — — —
— — — — — — — 1— — — —
0,38 0,31 0,25 0,22 0,18 0,16 0,14 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08
501
50 2
Таблица 41
Уравнения изгибающего момента M(z) и упругой линии w(z) для некоторых случаев продольно-поперечного
изгиба балок постоянного поперечного сечения
Схема балки
и ее нагружения
М(2)
W (Z)
,,, , Р fsh kb , ,
= -г-— sh kz —
к |_sh kl
P ( sh kb (
“’(Z) = -E7^l7h«-Sllte-|.1
— e (a) sh к (z — a)
— e (a) [sh к (z — a) — k(z — a)]
,. , . P sh kb , ,
M (a) = —----------— sh ka
к sh kl
e (a) = 0 при z < a
e (a) = 1 при z > a
. . P / sh kb / aV 1
w(a) = -р-тт: 1 -т-77 sh ka — 11-r h
EJk6 [. sh kl \ I )
,, . „ ., [ ch kh , ,
M (z) = M —------------sh kz —
|_ sh kl
— e (a) ch к (z — a)
ch kb , ,
M (a) — M ——— sh ka
sh к I
e {a) = 0 при z <C«
e(a) — 1 при z> a
w (z)
M
EJk*
ch kb , , z
—sh kz-T
sh kl I
— e (a) [ch к (z — a) — 1]
EJk*
Г ch kh
[ sh kl
sh «a----r
M(z) = -^
1.нивйЯ
2
ch к (2 — ~ j
ch/c-i
М (z) =
Р sh kz
к ch kl
2
M (z) = —j—rr ch к {I — z)
ch kl
EJk*
1
cn к I z--
q
EJk*
1
ch к
Схема балки и ее, нагружения М (z)
|V/ <7 1гнП1тн| z L-i—* ' М (1) = --А --- {1 — ch kl — kl sh AZ) k~ ch kl
I
Продолжение табл. /7
w (Z)
о
, kl
shT
kl
2
№ lz f z \
Г Sin kb . .
М (z) = —.—г-г- sin kz —
к L sinZcZ
— е (a) sin к (z — а)^|
,. . ч Р sin kb . .
М (а) = —;----.—— sin ка
к sin kl
е (а) = 0 при z < а
е (а) = 1 при z>> а
л,Г cos kb
M(z) = M\ . -.
I sin kl
sin kz —
— e (a) cos к (z — a)
,, ,, cos kb . ,
M. (a) = M —:—— sin ka
sin kl
e (a) — 0 при z a
<? (a) — 1 при z>> a
I
, 4 p I sin kb . , | / a \ ,
w (2) = Sw “ s,n h ------------------------------i “ +
-j- <? (a) [sin к (z — a) — к (z
, ч P J sm kb . , , [.
w (a) = n t 1-—tt sin Aa 4- 1 —
EJk^ [ sin kl \
, . Ml cos kb . , , z
W (z) = "JTTTT-1----—ГГ sia kz + --------
EJkz I sin kl I
— e (a) [1 — cos к (z — a
, ч M Г cos kb . , , a
w (a) — —ПТ^Г---:—ГГ sin ka + T
EJk- I sin kl I
Схема балки
и ее нагружения \
И (2)=-^-
[cos kl — cos kb .
------—П-----Sl
sin kl
— cos kz -j- 1
Продолжение табл. 41
w (Z)
,, , ?| cos kl — cos kb
л',(г)=т4—srw—
sin kz —
— cos kz + cos к (z — a)
M(z\- q ( SiDb
1 ' ~ fc2 \ sin kl I )
, 1 sin kl
Гтах ПРИ z = T arc cos “fcj-’
Схема балки и ее нагружения M (z)
n9 w p 1 £ z — „ P sin kz M (z) — — ' к cos kl
ч w V I ; z M M (z) — cos A- (2 — z) cos kl
М U) = >2 (1 — cos Id —
к1 cos kl
— kl sin kl)
Продолжение табл. 41
w(z)
N*
ЩЦ.,НН1л.
L I /'
m(Z)=42-
A4
J kl
— cos к I z----~r cos ~
Глава 19
УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 101. Классификация механических колебаний
Все колебательные процессы, с которыми приходится встречаться
в физике и технике, можно классифицировать в соответствии с зако-
ном, по которому некоторая величина, характеризующая колебатель-
ный процесс, изменяется во времени. Такую классификацию можно
назвать кинематической в широком смысле этого слова. Колебания
могут быть периодическими и чепе риодическими. Кроме того, имеется
широкий промежуточный класс так называемых почти периодических
колебаний.
Периодические колебания описываются периодической функцией,
значение которой повторяется через определенный отрезок времени Т,
называемый периодом колебаний, т. е.
/G + n = /(f)
при любом значении переменной t.
Непериодическими называются функции, не удовлетворяющие
этому условию.
Почти периодические функции определяются условием
1/гП -М)~Л («)'<е
при любом I, где -г и е — определенные постоянные величины. Оче-
видно, что если е очень
Рис. 313
но (19.1), только знак
(плюс).
мало по сравнению со средним значением
модуля функции fi (i) за время t, то поч-
ти периодическая функция будет близка
к периодической, в которой т будет почти
периодом.
К’ наиболее распространенным перио-
дическим колебаниям относятся гармони-
ческие, или синусоидальные, колебания.
Непериодические колебания гораздо
разнообразнее периодических. Такие коле-
бания чаще всего являются затухающими
(рис. 313, а) или нарастающими (рис. 313, б)
синусоидальными колебаниями. Затухаю-
щие колебания математически могут быть
представлены выражением
х — А~cos (wz -Н ?), (19.1)
где А, <р, би со — постоянные величины;
t — время.
Нарастающие гармонические колеба-
ния математически описываются аналогии^
при 6$ должен быть заменен на обратный
510
Строго говоря, название» затухающие гармонические (или сину-
соидальные) колебания не совсем логично, так как гармонические
колебания не могут затухать. Тем не менее на практике этим назва-
нием пользуются.
Классификация колебательных процессов по внешним признакам
не является достаточной, а потому она должна быть дополнена клас-
сификацией колебаний по основным физическим призна-
кам рассматриваемых колебательных систем.
При исследовании колебательных движений упру-
гих систем важно звать, какое число независимых пара-
метров определяет положение системы в каждый данный
момент времени. Число таких параметров называется чис-
лом степеней свободы.
В простейших случаях положение системы может
быть определено одной величиной. Такие системы назы-
ваются системами с одной степенью свободы. Колебатель-
ная система, состоящая из груза Q, подвешенного на
пружине (рис. 314), будучи устроена так, что возможны
только вертикальные перемещения груза, является систе-
мой с одной степенью свободы. Ее положение в любой
момент времени может быть определено одним пара
метром — перемещением по вертикали. Рис. 314
Примером системы с двумя степенями свободы может
служить невесомая балка, несущая две массы (рис. 315). Здесь неза-
висимыми параметрами, определяющими положение системы в любой
момент времени, могут служить перемещения масс ту и т2 относи-
тельно положения равновесия. Увеличивая число сосредоточенных
масс колеблющейся балки, переходим в пределе к балке с распреде-
ленной по всей длине массой—колебательной системе (рис. 316,
с бесконечным числом степеней свободы.
Классификация механических колебаний
/п/ тг может быть проведена и по другим признакам
В частности, принято различать следующие
четыре типа колебаний: собственные колебания,
г вынужденные колебания, параметрические колеба-
Нис. olo пия и автоколебания.
Собственными ^или свободными) называются
колебания, возникающие в изолированной системе вследствие внешнего
возбуждения («толчков»), вызывающего у точек системы начальные
отклонения от положения равновесия, и продолжающиеся затем благо-
даря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие.
Необходимая энергия, обеспечивающая проносе колебаний, поступает
извне в начальный момент возбуждения колебаний. Период колебаний
Рис. 316
Рис. 317
(время одного полного колебания) пли частота колебаний (величина,
обратная периоду) зависит от самой системы. Частота колебаний явля-
ется вполне определенной для данной системы и называется собственной
частотой колебаний системы. Собственные колебания из-за потерь энер-
гии в системе практически всегда являются затухающими, хотя при
анализе собственных колебаний потерями энергии часто пренебрегают.
511
Вынужденными называются колебания упругой системы, происхо-
дящие при действии на систему (в течение всего процесса колебаний)
заданных внешних периодически изменяющихся возмущающих сил. Ха-
рактер колебательного процесса при этом определяется пе только
свойствами системы, но существенно зависит также от внешней силы.
Примером вынужденных колебаний могут служить поперечные коле-
бания балки (рис. 317), вызываемые неуравновешенной массой ротора
установленного па ней работающего электромотора.
Вынужденные колебания происходят с частотой возмущающей
силы и поддерживаются за счет непрерывного поступления энергии
извне. При совпадении частоты возмущающих сил с частотой собст-
венных колебаний системы наступает явление резонанса, характерное
резким возрастанием амплитуды вынужденных колебаний, представ-
ляющим опасность для работы рассматриваемой механической коле-
бательной системы.
Параметрическими называются колебания упругой системы, в про-
цессе которых периодически меняются физические параметры системы—
величины, характеризующие массу или жесткость системы. При этом
внешние силы не влияют непосредственно на колебательное движе-
ние, а изменяют физические параметры системы. Примером парамет-
рических колебаний могут служить поперечные колебания массы па
вращающемся стержне некруглого сечения, имеющем разный эква-
ториальный момент инерции относительно взаимно перпендикуляр-
ных осей.
Автоколебаниями, или самоколеба ниями, упругой системы назы-
ваются незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними
силами, характер воздействия которых onределяепгея самим колеба-
тельным процессом.
Автоколебания возникают в системе в отсутствие внешних перио-
дических воздействий. Характер колебаний определяется исключи-
тельно устройством системы. Источник энергии, покрывающий потери
энергии в системе в процессе ее колебаний, составляет неотъемлемую
часть системы. Таким образом, автоколебания отличаются от собст-
венных колебаний, являющихся затухающими, тем, что они пе зату-
хают. С другой стороны, автоколебания отличаются от вынужденных
п параметрических колебаний, вызываемых внешними силами, харак-
тер действия которых в обоих случаях задан, тем, что они являются
самовозбуждающимисч, так как процесс колебаний здесь управляется
самими колебаниями.
Примером автоколебаний может служить вибрация частей само-
лета (флаттер), когда источником дополнительной энергии, поддер-
живающей колебания системы, является энергия воздушного потока,
а также трепетание флага па ветру.
Классификацию колебаний принято также проводить по виду
деформаций упругих элементов конструкции. В частности, примени-
тельно к стержневым системам различают продольные, поперечные и
крутильные колебания.
При продольных колебаниях перемещения всех точек упругого
стержня паправлены вдоль оси стержня. При этом имеет место дефор-
мация удлинения или укорочения стержня, т. е. продольные коле-
бания можно называть колебаниями растяжения — сжатия.
При поперечных (изгибных) колебаниях основные компоненты пере-
мещений (прогибы) направлены перпендикулярно оси стержня.
При крутильных колебаниях имеют место переменные деформации
кручения. Возможны также изгибпо-крутильныо колебания, т. е.
колебания, при которых одновременно имеют место переменный изгиб
и кручение.
512
§ 102. Свободные колебания систем
с одной степенью свободы
Простейшей колебательной системой с одной стопрпыо свободы
может служить груз, подвешенный на вертикально расположенной
пружине (рис. 318).
Дифференциальное уравнение колебаний груза
Q получим, взяв сумму проекций всех сил (вклю-
чая силы инерции согласно принципу Даламбера)
на вертикальную ось, в виде
Отсюда
Q -ф сх — ----aj = 0.
— х 4- сх = 0,
g
пли
Рис. 318
х -ф w2z — 0,
(19.2)
где х— вертикальное перемещение груза от поло-
•• <Г-х
женин статического равновесия; х — ; t — время; с —жесткость
пружины; g— ускорение силы тяжести; w—угловая частота собст-
венных колебаний
' В ; (19’3)
0 ст
?ст = —---удлинение пружины при статическом действии груза Q.
Решением уравнения (19.2) будет
х — A cos tot -ф В sin tot, (19.4)
где Л и В — постоянные интегрирования, зависящие от начальных
условий.
Если заданы начальная координата груза х0 и начальная скорость
v0 = х при t ~ 0, то из (19.4) определим
А = х0-В=^. (19.5)
СО
Полагая
хп = a sin а и — = a cos а, (19.6)
и о
решение (19.4) можно представить в виде
х — a sin («г -ф а),
где а — амплитуда колебаний, определяемая формулой
Величина соГ -ф а называется фазой, колебаний, а .величина а — сдвигом
фазы. На основании (19.G) а может быть определено нз условия
17 5-118G
513
Угловая частота колебаний (число колебаний, совершаемое в
течение 2к сек) на основании (19.3) будет
со =
g
&СТ
(19.7)
или
УС
—
т
Q
где m = -|---масса подвешенного груза.
Зная круговую частоту, можно определить период колебаний
/^ = 2./И.
(1) ' g 'с
Число колебаний в секунду, т. е. секундная частота, выражае-
мая в герцах, определится формулой
' / 2г
(19.8)
(19.9)
При колебаниях груза, подвешенного на конце пружины, пред-
ставляющей собой стержень длиной I с жесткостью поперечного
сечения па растяжение EF и жесткостью
EF
С I ’
собственная частота колебаний согласно (19.7) определится формулой
Имея в виду, что
(19,10)
(19.11)
Из формул (19.10) и (19.11) видпо, что частота соб-
'///'///£ ственных колебаний системы при неизменной массе
возрастает с увеличением жесткости и уменьшается
с увеличением массы при неизменной жесткости.
Отношение частот собственных колебаний грузов,
прикрепленных к концам двух разных стержней,
обратно пропорционально корню квадратному из
। отношения статических удлинений стержней.
Примером системы с одной степенью свободы
L. | может служить также колебательная система, со-
стоящая из массивного диска, прикрепленного к
к , ^>4/w нижнему концу жестко закрепленного верхним коп-
цом вала (рис. 319). Если к диску в его плоскости
приложить и внезапно удалить пару сил, то воз-
Рис. 319 никнут свободные колебания кручения вала вместе
с диском. Обозначим крутильную жесткость вала
(крутящий момент, вызывающий закручивание вала па один радиан)
через с:
Gr-cF
Z • 32 ’
(19.12)
514
где G — модуль упругости при сдвиге; d— диаметр вала; I — длина
нала.
Воспользовавшись принципом Даламбера (инерцией массы стержня
пренебрегаем), получим дифференциальное уравнение крутильных
колебании диска, приравняв крутящий момент cv, действующий
в валу при его закручивании на угол ср, моменту сил инерции массы
лиска:
(19.13)
где J — момент инерции диска относительно оси стержня, перпенди-
кулярной плоскости диска.
Для диска постоянной толщины h, наготовленного из материала
с удельным весом 7, получим
_ __ QD2
32g ~ 8g ’
(19.44)
где D — дпаметр диска; Q — вес диска.
Для диска переменной толщины h (р)
0/2
2-
J = у j h (р) 7р3 rfp.
(19.15)
Обозначив
(19.16)
уравнение (19.13) перепишем в виде
(19.17)
Общее решение этого уравнения будет
= A cos (at 4- В sin <аг.
(19.18)
Период колебаний рассматриваемой' системы
(19.19)
Для стержня постоянного диаметра d с учетом (19.12) имеем:
(19.20)
а секундная частота колебаний
' Т 2- Г ‘ШГ
(19.21)
В табл. 42 приведены собственные частоты колебаний систем
с одной степенью свободы.
515
§ 103. Вынужденные колебания систем
с одной степенью свободы при гармоническом возбуждении
Уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью
свободы (рис. 318) получим, если в (19.2) кроме сил инерции х
и сил упругости, действующих на груз Q, учтем влияние периоди-
ческой возмущающей силы Р cos pt:
--- х 4- сх = Р cos pt. g (19.22)
Обозначив
Cg 2 77““’ (1-9.23)
Pgcos pt = q cos pt, (19.24)
где р— угловая частота возмущающей силы, приведем уравнение
(19.22) к виду
"х + (D3a? = q cos pt.
(19.25)
При р малом по сравнению с w членом х можно пренебречь и счи-
тать, что имеет место только статическая деформация, максимальное
значение которой
Тст ю2•
(19.26)
Для определения динамической деформации необходимо решить
уравнение (19.25). Решение уравнения (19.25) будет состоять из суммы
общего решения однородного уравнения (при q cos pt = 0)
г = Л cos Mt -ф В sin toi (19.27)
и частного решения уравнения (19.25)
х = С • cos pt. (19.28)
Подставив (19.28) в (19.25), найдем
С — 2 ?....-2. (19.29)
и2 — рг
Тогда общее решение уравнения (19.25) будет '
х = Л cos Mt 4- В sin Mt - 2 cos Р1- (19.30)
Первые два слагаемых правой! части (19.30) характеризуют свобод-
ные колебания, которые обычно быстро затухают; последнее характе-
ризует вынужденные установившиеся колебания с угловой частотой р
периодом 7’j— ~ пли / = eyj и амплитудой С —% Ампли-
туда вынужденных колебаний существенно зависит от соотношения
516
собственной о) и вынужденной р частот колебании и может быть
охарактеризована так называемым коэффициентом нарастания колеба-
ний или коэффициентом динамического усиления
С = q . _q_ = = 1
Хст <1)“ — Д2 • W2 (02 _ р2 р*
О)2
или
(19.32)
где
Как видно из (19.31), при малом отношении
— В 1 и С -» г__. Когда же частота вы-
0) ст
нуждеппых колебаний р -> со, т. е. — 1, то
(О
Г -> оо. Когда р = со, имеет место состояние
резонанса. Соответствующая частота возму-
щающей силы р = ркр при этом называется
критической. График зависимости |j3| — / j >
приведенный на рис. 320 и представляющий
собой так называемую амплитудную кривую
тудно-частотную характеристику, позволяет
дение колебательной системы в зависимости
свободных со и вынужденных р колебаний.
резонанса, пли ампли-
проанализировать пове-
ет соотношения частот
§ 104. Свободные колебания системы с одной степенью
свободы с учетом сопротивления, пропорционального скорости
Уравнение свободных колебаний системы с одной степенью сво-
боды (рис. 321, а) с учетом сопротивления, пропорционального ско-
Рпс. 321
Обозначим
2
“1 =
рости движения колеблющегося
груза, получим из рассмотрения
условии его динамического равно-
весия:
Q —- х — ах = Q + сх,
или
х -J- 2пх 4~ w2» = 0, (19.33)
где а — коэффициент пропорцио-
нальности; ах — сила сопротивле-
ния.
В уравнении (19.33)
со2= ; 2п = ^. (19.34)
2— п2. (19.35)
517
Решение уравнения (19.33) будет
х — е~nl (Л sin «Д + В cos (0|f), (19.36)
где е — 2,718.
Период затухающих колебаний рассматриваемой системы
где п — коэффициент, характеризующий демпфирующую способность
колебательной системы. Из (19.36) видно, что из-за множителя <~п1
амплитуда колебаний с течением времени уменьшается — колебания
затухают. Постоянные интегрирования А и В в решении (19.36) опре-
деляются из начальных условий. Так, полагая, что при t — О х = х0;
х = xQ, находим '
j
В = х0; А — — (х0 жг0).
«г
В этом случае решение.(19.36) может быть представлено в виде
х — e~nt — sin w.z -1- х,, I cos w.Z 4- — sin w<« . (19.38)
\ /J
В частном случае, когда А = 0, т. е. когда
У° I Q
ОД COj
уравнение (19.38) примет вид
t?/
X — Х^е СОЯ ОД/.
Графически это уравнение представлено на рис. 321,6. Уменьшение
амплитуды следует геометрической прогрессии. Действительно, при
t = 0; t = Т\ t = 2Т и т. д. амплитуды соответственно имеют значения:
а0 = а?0; — х^е~пТ-г а2 — х~^п1 и т. д.
ао__ а1 __ _ ___ ______gllT
а1 а2 ak+l
откуда
1п-^- = ]пДгГ = пТ — Ъ. (19.39)
«А+1
Величина б называется логарифмическим декрементом колебаний и
обычно является основной характеристикой затухания колебаний, или
характеристикой демпфирующих свойств колебательной системы.
Методы определения характеристик демпфирования колебательных
систем и данные по демпфирующим свойствам конструкционных
материалов приведены в [И].
§ 105. Вынужденные колебания систем с одной степенью
свободы с учетом сопротивления, пропорционального скорости
Согласно данным предыдущих параграфов дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний системы, приведенной на рис. 321, а,
при действии внешней возмущающей силы Р sin pt должно быть запи-
сано в окончательном виде:
х 2пх 4- <£>2х — q sin pt, (19.40)
518
где, как и рай ее,
__
Q ’ 7 Q ’
(19.41)
Общее решение уравнения (19.40) будет состоять из суммы решения
однородного уравнения (19.33)
х -- с п/ (Л sin -J- В cos со,;),
где <>, ~ /со2— /?.2, п частного решения уравнения (19.40)
х - К sin pt L cos nt (19.42)
После подстановки (19 42) в (19.40) найдем
Г’=______Q О"2 — Р2}___. г______________2ЧРп но/'п
р,Г2 — />2)2 4- 4р2/?2 ’ (<'>2 — р2)2-;-4р2П2 ’ ’*
Тогда общее решение уравнения (19.40) будет иметь вид
х = е~'и (Л sin 4- Z? cos <o2i) —
2pqn , q (to2 — р‘2)
----Т2-----2x2 ~7~2 2 C0S Р1 + -----2^2 / 2 •> Я1П Р*' ( 19.44)
(о2— р2)2-г4р2я2 (">- — р2)-4р2?г2 v '
Поскольку со временем свободные колебания, характеризуемые
членом, содержащим множитель е~п[, затухают, то при установив-
шихся колебаниях вынужденные колебания системы будут характе-
ризоваться последними двумя членами правой части решения (19.44),
пропорциональными q. Период незатухающих колебаний будет
Если ввести следующую замену: -—2 2-?- 01 sin а; (19.45) (со2 — /ш)2-р 4р2/?2 4 ' <7 (<’>2 — р2) 2V2 . / ., 2 - 01 cos 7, (19.46) pa-—р2)2 4р-/г2 ' 2
io решение для вынужденных колебаний может быть представлено
в виде
ж = 01 (cos я sin pt — sin a cos pi) = 01 sin (pt — a), (19.47)
। ш амплитуда 01 и угол сдвига фаз п па основании (19.45) и (19.46)
шределяются соответственно формулами:
01 - ...1 -________; (19.48)
/(со2 -— р2)2---4р2/з2
Р а гол а оудет положительным и меньшим , т. е.
ту-. При w<p получим ~ 2 <^г., т. с. вынужденные коле-
2 2
5'9
бания отстают от возмущающей силы больше, чем па . При р—а>;
tg а = со, т. е, колебательная система занимает свое среднее положение
в тот момент, когда возмущающая сила имеет максимальное значение.
Имея в виду, что
находим
д ^gPQ = р
и2 Qcg с ст’
(19.50)
(19.51)
где Вст — деформация пружины при статическом приложении ампли-
тудного значения возмущающей силы.
Учитывая (19.51), выражение для амплитуды вынужденных коле»
баним 91 (19.48) можем представить в виде
где 7 = —- — коэффициент, зависящий от демпфирующей способности
колебательной системы.
При 1\ > Т 91 -> Вст; при Tt -> Т 91 -> оо.
Коэффициент нарастания амплитуды 3 в рассматриваемом случае
равен:
или, с учетом (19.52),
(19.53)
г , Р }
Амплитудные резонансные кривые p = /il — )ДЛЯ различных зна-
чений 7 показаны па рис. 322, а график, выражающий зависимость
a = /2l —L приведен на рис. 323.
520
§106. Критическая скорость вращения вала
а
Рис .
Число оборотов, при котором вращающиеся валы, попадая в резо-
нанс, становятся динамически неустойчивыми, в результате чего могут
возникнуть недопустимо большие колебания, называется критическим.
Можно показать, что таким критическим числом оборотов вала явля-
ется число оборотов в секунду, соответствующее собственной частоте
его поперечных колебаний.
Рассмотрим вращение диска, насаженного на вал (рис. 324, а).
Центр тяжести диска С практически всегда не совпадает с осью
вращения на некоторую величину е. Центробежная сила, действую-
щая на вал при вращении диска весом Q с
угловой скоростью р, будет j
Т = ^Р2 («> + *)»
где w — прогиб вала в месте посадки диска.
Реакция вала в месте приложения силы Т
Р — CW,
где с — его изгибная жесткость. В случае постоял-^
кого сечения жесткостью EJ, при размеще-^
пни диска посредине шарнирно опертого вала
48ЯУ
с ~ р. •
Из условия равновесия очевидно, что Р — Т. Ио,
и Р их выражения, найдем:
-у- (w -Ц е) р2 — cw
или
е
д’
324
вместо Т
(19.54)
Имея в виду, что собственная частота поперечных колебаний вала
о>2 = , (19.55)
уравнение (19.54) можно представить так:
w = . (19.56)
___1
Р2
Из (19.56) следует, что критическая скорость, при которой w -> оо,
будет
Ьф=»=)/'^. <19-57)
При Ркр>-Ш центр тяжести диска будет располагаться между линией,
। оединяющей опоры, и искривленной осью вала (рис. 324,6), и урав-
нение для определения прогиба запишется так:
Q . . о
— (w — е) р2 = его,
521
откуда
w -------= —е—2. (19.58)
1 —
д2(? д2
Из (19.58) следует, что с увеличением р прогиб w -> с, т. с. при очень
больших скоростях центр тяжести диска достигает линии, соеди-
няющей опоры, п изогнутый вал вращается вокруг центра тяжести
диска С.
§ 107. Свободные колебания упругих систем
с несколькими степенями свободы
При рассмотрении колебаний упругих систем с несколькими сте-
пенями свободы дифференциальны!! уравнения движения во многих
случаях можно получить, как и в случае системы с одной степенью
Рис. 325
свободы, пользуясь принципом Даламбера. Так, для системы с двумя
степенями свободы, показанной на рис. 325, а, состоящей из двух
масс тх и т2 и двух пружин с жесткостями сг и с2, положив, что
массы .могут перемещаться при отсутствии трения только в горизон-
тальном направлении вдоль осп х, а также обозначив перемещение
массы и т2 соответственно через х{ н х2, будем иметь, что па
массу т1 действуют силы натяжения пружин — qrq и с2 (х2— жД,
а также сила инерции — 7т?1х1. Уравнение движения массы ттгх будет
—с1х1 -ф с2 (х2 — а?х) — т?7 хггх = 0,
или
трх} -ф с1.г1 — с2 (ж2 — зД = 0. (19.59)
Схема сил, действующих на i-io массу, в общем случае показана на
рис. 325, б.
Па массу т2, кроме силы инерции, действует только сила натя-
жения второй пружины — с2 (z2 — xL) и уравнением ее движения будет
7712Х2 + С2 -- ^1) — 0- (19.60)
Уравнения движения (19.59) и (19.60) можно было бы получить
несколько иным способом. Действительно, можно считать, что име-
ются две связанные между собой пружины (рис. 325, в), которые под-
вергаются действию сил инерции — т1х1 и — т2х2, приложенных в точ-
ках 1 и 2. Тогда первая пружина нагружается силой—7тг1ж1—т2х2,
а вторая — силой — т2х2. Перемещение первой массы при атом будет
равно удлинению первой пружппы:
t Xi ftl-yJU-y
**=——•
а перемещение второй массы
т2х2 —трхА—т2х2 т2х2
622
Преобразовав последние уравнения, получим систему дифференциал: •
пых уравнении, эквивалентных (19.59) и (19.60):
х1с1 -ф т1х1 -J- т2х2 — О,
(19.61)
•Г2С1С2 + С2 (т1Х1 + ^2Ж2) 4" С1т-2Х2 ~ 0- (19.62)
Наиболее общим способом составления дифференциальных урав-
нений является известный п.з теоретической механики способ, осно-
ванный на применении уравнений Лагранжа второго рода, которые
при отсутствии сил сопротивления п внешних возмущающих сил
имеют вид
±[ЭТ\ ()Т ди
dt \дх J ~ ’
(19.63)
(i = 1, 2, 3, . . . , л),
। де Т и U — соответственно кинетическая и потенциальная эпсргия
системы.
Применительно к системе, приведенной на рис. 325, а, будем
иметь
•2 2
т<хг т2х2
Т =-----1--— :
2^2’
дТ дт
------------------ т.х,; —г- — т.2х2',
дх,------дх2
^ = 0;^- = 0;
(ЦдТ\
=m1xf,
dU
дх^
= ClXl --- C2 (Ж2 -- Xl)>
dU ' X
Уравнение (19.63) примет вид
пцху ф-— с2(х2 — а?1) = 0;1
( (19.64)
т2х2 4- с2 (х2 — яд) = 0. J
Уравнения, полученные п.з уравнений Лагранжа, оказались полностью
совпадающими с таковыми, полученными на основании принципа
(аламбера. Такое совпадение имеет место всегда.
Решение уравнений (19.64) ищем в виде:
хг = ).j sin (wZ 4- а)?
х2 = Х2 sin (wz 4- а),
(19.65)
। и* а» и а--постоянные, которые должны быть выбраны так,
"обы удовлетворялись уравнения (19.(>4). Подставив решения (19.65)
1 уравнения (19.61), найдем
4 (ci 4- с, — mpn2) — к2с2 = 0;
—XiC2 4- l2 (с2 — /n2w2) = 0.
(19.66)
523
В этих уравнениях неизвестными являются Xj, Х2 и «. Частоту to
определим из (19.66), полагая, что Xj =/= 0 и Х2 =/= 0. Это возможно
тогда, когда определитель однородной системы относительно Xi и Х2
будет равен нулю:
ci + с2 ~ т1ш2 —с2 I _ 0
—с2 с2 — m2w* 2 * * I
или
(04_(сНа?4_а) М2хМ=0.
\ Wj т2) тгт2
Отсюда
Соответственно могут быть определены две собственные частоты:
/1 pi 4- с?
2 \ тх
/1 pi + с2
2 \ mi
(19.67)
Двухчастотный колебательный процесс в соответствии с (19.67)
можно записать так:
Xi = Xif Sin («р + ax) 4- Xi2 sin (w2f + a2);
®2 = X21 Sin (<op -J- ott) 4- X22 Sin (<a2t 4- a2).
(19.68)
Первый индекс при X показывает номер координаты, а второй — номер
слагаемого в строке, или номер частоты. Из (19.66) имеем
Х2 _ С1 + с2 — . Х2 _ с2
с2 М с2 — т2ы2
или в соответствии с принятой индексацией
I 2
у _ Х21 _ ci + с2 —
Х.21 — у— — --------;
Л П С2
7 __ ^22 _ С2
Л22 1 2 '
Л12 с2 — т2ш2
Тогда уравнения (19.68) могут быть записаны так:
a;i = X1iSin(Wif4-ot1)4-Xi2sin(w2z4-a2); | *(19 69)
XZ — ^21^11 sin (Ml^ 4“ ai) 4“ ^22^12 S * 7’n (W2Z + «г)’ I
Значения Хц, Х12, и а2 определятся из начальных условий. Так,
например, полагая при t — 0
^i (0) = 0; (0) — 0;
Xi (0) = 0; х2 (0) = р0,
из (19.69) найдем
Xn sin cti 4- Х12 sin a2 = 0;
7.21Xn sin 4- 7.22X12 sin a2 — 0;
^11^1 ^ns ct। 4~ X^2to2 cos ct2 — Oj
^21^11wl COS 4“ ^-22^12w2 COS a2 — v0'
524
Отсюда, поскольку top w2, У.2] и У22 известны, найдем
А. 1 1 . 1 _ 1’о 1
а1 — а2 — U> Л11 — ~Г 7 у— ’ К12 — у ________________у •
'-21 - '"22 W2 ''22 Л21
Подбирая начальные условия так, чтобы Х12 было равно нулю, полу-
чим одночастотные колебания, описываемые одной гармоникой:
= Xn sin aj;
з'гг = sin (wt* + ai)-
Колебания, описываемые одной гармоникой, называются первыми нор-
мальными колебаниями.
Очевидно, при условиях, когда Хп = 0, колебания будут проис-
ходить по второй форме. Вторые нормальные колебания будут опи-
сываться формулами
^12 = ^12 sin + а2);
х22 = X.22Xi2 sin (co2t ~}- <*2).
Число нормальных форм колебаний и равное ему число собствен-
ных частот совпадают с .числом степеней свободы колебательной
системы.
В табл. 42 приведены собственные частоты колебаний систем
с двумя степенями свободы.
(Г
Рис. 326 Рис. 327
Характерными колебательпыми системами со многими степенями
свободы являются упругие валы с насаженными на них дисками
(рис. 326, а). Рассмотрим крутильные колебания такого вала.
Пусть J\, J2, J3, . . . , Jn — моменты инерции масс дисков отно-
сительно оси вала; срг, <р2, <р3, ... , — углы поворота дисков при
колебаниях; clt с2, с3, ... , сп—жесткости при кручении различных
\ частков вала:
где Jp—полярный момент инерции площади ссчепия вала; 1{— дли-
на соответствующего участка.
Тогда величины крутящих моментов, возникающих в сечениях
р.: (личных участков вала при взаимном повороте дисков, соответст-
1.1ЧШ0 будут q (?!—ср2); с2(ср2 — <р3) и т. д. (рис. 326, б). Кинетическую
н потенциальную энергии системы с п степенями свободы (пренебрег
525
гая моментом иперцпи массы вращающегося вала по сравнению с мо-
ментами инерции дисков) можно представить в виде
i=n ,2
т - V Ji'fi •
г (19.70)
гдо
Л/кр1 = ci (П - ¥i+l)-
Подставляя (19.70) в уравнения Лагранжа (19.G3), получим сле-
дующую систему дифференциальных уравнений свободных крутиль-
ных колебаний вала с п степенями свободы:
Л?1 + С1 (?! — ?г) = °;
J2?2 4“ С2 (?2 ?з) С1(?1 ¥2) =
Л?з + сз (?з — ?т) — с2 (?2 — ¥з) = °; j. (19.71)
Jn- 1ТП—1 + СП—1 (?П—1 ?п) СП—2 (?П—2 —1) — 0; |
Jп'тп — сп—1 (?n—i ' 'rn) — 0. )
Суммируя эти уравнения, будем иметь
j 1?1 4~ J2?2 4- ’• 4" Jп^п = 0,
откуда
J1? 1 4“ 2?2 4“ • ’ 4~ JП'тП = const,
т. е. момент количества движения системы вокруг оси вала при
свободных колебаниях остается постоянным. Обычно момент коли-
чества движения принимают равным нулю и тем самым исключают
из рассмотрения любое вращение вала как твердого тела и рассмат-
ривают только колебательное движение, вызываемое скручиванием
вала. •
Решение уравнений (19.71) ищем в виде
ср! = Хх cos (он а);
ср2 = Х2 cos (coz -ф а);
?п ~ cos + а).
(19.72)
Подставляя (19.72) в (19.71), будем иметь:
— сх (Хх — Х2) = 0;
J2^2w2 4- С1 (^1 - ^2) - С2 0'2 - \i) —
(19.73)
j4- Сп— 1 (^-п — 1 ^-п) —
Исключая из этих уравнений Хх, Х2, .... Хп, получим уравнение
частоты.
526
Так, в случае трех дисков (рис. 327) система уравнений (19.73)
примет вид
— сх (Хх — Х2) = 0; I
J2X2(o2 + q (Xi - Х2) - е2 (Х2 - Х3) - 0; (19.74)
JзМ2 С2 0'2 \з) “О’ J
Сложив эти уравнения, получим
J 01 И- J0'2 "Г J3^'3 = 0. (19.74а)
Из первого и третьего уравнений системы (19.74) найдем
(19.75)
Подставив (19.75) в (19.74а), получим
+ (А + А + А) — О-
(19.76)
два корня
Подставив
Решая это уравнение относительно w2, можно получить
2 2
tOi п w2> соответствующие двум главным видам колеоанпй.
затем Hj и «2 в уравнение (19.75), получим отношения амплитуд ~
/2
К , ”
и -5— для двух главных видов колеоанпй и тем самым установим
состояние системы во время колебаний. Указанные два вида колеоа-
нпй для трехмассовой колебательной системы представлены на рис. 327
диаграммами I и II соответственно для одноузловой и двухузловой форм
колебаний.
В качестве другого примера системы со многими степенями
свободы рассмотрим поперечные колебания упругой балки, несущей
ряд сосредоточенных точечных масс
(рис. 328). Прогибы в местах приложе- т,rrs /д7
ния масстг, т2, .... тп могут быть Д ” °* 1!''®1 ' j
выражены через силы инерции в следу- Т'’ -
ющем каноническом виде: р п9й
M’l — ' - • • •
W2 = —m1w1b2l — w2U’2o22 — • • — mnwnl2n,
(19.77)
— mlWidni -------т2^2^>П2 ---- '—
где (см. § 69)
I
0
(индексы ik при б выражают перемещения в направлении г, вы тай-
ные единичной силон, действующей в направлении/Д Ah (г), Л7у,(/)—
изгибающие моменты, вызванные соответственна едпнкшымц силами
Д = — пци>1 = 1; Ph = — mkWh = 1.
527
Коэффициенты удобно определять по формуле Верещагина
(§ 71):
V QiMk
где 2 — площадь эпюры Afj (или ее части); — ордината эпюры
М^, расположенная против центра тяжести площади эпюры 2.
/Для системы с одной степенью свободы па основании (19.77) бу-
дСхМ иметь уравнение с одним неизвестным
и\ — —
Это уравнение эквивалентно известному уравнению
mw -ф cw = О,
поскольку
1
Для системы с двумя степенями свободы неизвестные функции
прогиба wr и w2 согласно (19.77) выразятся так:
— zz22w2o12;
W2 — '—^1^1^21 — m2w2§22’
В общем случае при решении уравнений (19.77) функцию прогиба
следует искать в виде
wi ~ 'f-i sin (со£ а).
(19.78)
Подставляя (19.78) в (19.77), найдем
>1 (т1о11со2 -1)4- X2m2S12co2 -ф • • • -ф \птпЪ1П<а2 = 0;
-ф Х2 (m2322co2 — 1) -ф • • • + У.птпЪ2Пы2 = 0;
+ X2w23n2to2 -ф • • • -ф \п (mnSnnto2 — 1) = 0.
(19.79)
При наличии колебаний амплитуда не обращается в пуль,
если определитель, составленный из коэффициентов системы уравне-
ний (19.79) при /д, равен нулю:
m1S11to2—1 /т?2512(о2........... тпЪ1Пш2
т 1'>21<о-' т2о22со2— 1 . . . тпЪ2Г1ш2 =0 (19 80)
т2Ъп2>л2............. mnSnnco2 — 1
Написав этот определитель в развернутом виде, будем иметь
1 —* а^2 а2(о4 — а3(о6 -ф • • • -ф (—1)п апш2п = 0, (19.81)
где — коэффициенты при различных степенях угловой частоты со.
Из (19.81) можно найти выражения для частот <ох, а>2, ..., <_•>„
(coi > со2 > • • • > wn).
528
Общее решение системы уравнений (19.79) будет
Wi = >.4 sin (wx« 4- 04) Xi2 sin (w2« -I- a2) --}-••• + sin (w/t« otn),
пли
wi = ^11 sin (W1* ~r ai) -|- >12 sin (<JM + a2> -I---+ hn sin (wn« |- an);
u>2 — ^21 sin (cOj^t CtjJ ^-22 sin (tl>2Z + + • • • + ~^2n S’H (tO;lZ J- an)>
wn — sin (tOji -|- 04) -J- ^п2 sin (co2z a2) -j- • • • Xnn sin (<£nt an)-
В частном случае системы с двумя степенями свободы уравнепи
(19.79) и (19.80) будут иметь вид
Aj (/7?l611w2 — 1) -j- ).2ш2812ю2 = 0;
X1m1S21co2 -j- X2 (Tn2o22w2 — 1) ~ 0;
—1 m2612to2 I
тх821(и2 m2o22tn2 — 1 |
или
“4 (sn&22 — ^12) — ад2 (811m1 + 822m2) 4-1 = 0.
Решив последнее уравнение, получим выражения для частот 04 и о>2:
/1 L .я m2J
2(5п8и-4о4 11+
4" (Ч1 + &22~) —4(^11^22 — ^l,)2 ’
/1 R !_
_________2(8„822 -й)"<2 L 11-1 2г'т'
- /к + »22 - 4 («„5,, - s 12)2421 •
§ 108. Продольные и крутильные колебания стержней
При продольных колебаниях стержня все его частицы дви-
жутся параллельно оси. При выводе дифференциального уравнения
продольных колебаний стержня рассмотрим
условие динамического равновесия участка
стержня длиной dz (рис. 329, а), ограничен-
ного сечениями а и Ь. Обозначив перемеще-
ние сечения а через и, а сечения b — через
. ди .
u-\- — dz, найдем усилия, действующие в се-
OZ
чсниях а и b ^пмея в виду, что относитель-
ди\
ное удлинение г = — :
OZJ
Na = -EFa/_-.
\_dz dz \ dzj J
529
Сила инерции стержня in н длин элемепта стержня длиной dz при общей массе с 1 будет „ т д2и , Р = • (Jz
Тогда, пользу; равновесия элемен' icb принципом Даламбера, условие динамического га стержня запишем в виде Nb - Na =
пли & (ди\ 7 т d2u EF д- hr «г = ~г Ч7Т dz- dz \dz] I dt2
Сократив па <7 ставим дпфференц) в виде m z и заменив на p (плотность материала), пред- иальпое уравнение продольных колебаний стержня „д2и д2и = (19-82>
л- Е Ооозначив — Р — а2, уравнение (19.82) запишем так; <?2,< 2^ /ЛГ> О-М dt2 ~а dz2' (19.8о)
Решение урав нения (19.33), следуя методу Фурье, ищем в виде и = ZT, (19.84)
где 2 = Л(2); Г = /2(0. •
Продифферспц ировав уравнение (19.84) по z и t, получаем 02и <Г2Т д2и d2Z -“ = Z~-. = (19.85) dt2 dt2 dz- dz2
Подставив (19.85) в (19.83), имеем r.d2T 2rd2Z 2-dP = aT7?’
пли 1 d2T a2 d2Z T ' dt2~ Z ’ dz2'
Приравнивая i и Toil же постоят второго порядка: травую и левую части последнего уравнения к одной топ величине ш2, получим два обычных уравнения d2T = _Ш2Т; (19.86) У = -~z. (19.87) dZ2 а2
Частными решени; ими этих уравнении соответственно будут Т — cos wZ; sin о4; (19.88) „ со . со Z — cos — z; sm — z. a a
530
Для получения общего решения уравнения (19.86), составленного
из частных решении (19.88), необходимо учитывать граничные усло-
вия стержня. Так, если оба конца свободны, то должны удовлетво-
ряться следующие условия:
=0; =0. (19.89)
Подстановкой решении (19.88) в (19.86) и (19.87) убеждаемся, что
решение sin z уравнения (19.87) следует исключить, как не соот-
ветствующее первому условию (19.89).
Для обеспечения второго условия (19.89) необходимо, чтобы вы-
полнялось равенство
sin ~ 1 = 0. (19.90)
Полученное уравнение частоты будет удовлетворено при
где i = l, 2, 3...
Частоту основного тона колебаний будем иметь црц i — Г.
(19-91)
Cootbotctbj ющпй период колебании
'|9-92)
<*»! Т £>
Форма мою вида колебаний показана на рис. 329,6 кривой 1,
для которой
Z] — С1 cos —— = cos —г .
1 а I
Форма второго вида колебании, для которого
ы2/ о г, „ 2nz
— — 2п и Z., — Сз cos ——
а /
приведена на рис. 329, б (кривая II).
Общий вид частного решения уравнения (19.83) при г-й форме
колебаний будет
и cos — Mi cos ——|- Bi sin —— I. (19.93)
Наложением подобных частных решений любое продольное коле-
бание стержня можно представить в виде
ir.z / ir.at . i~at\
и /. COS 1/1; cos — [-/?; sin—— , (19.94)
"J I \ I I /
! ”, 3...
где произвольные постоянные At и Bi должны выбираться из началь-
ных условий.
531
Например, пусть при t = 0 (и)/г_0 = / (2): (w')/=0 = Л (z). Тогда
из (19.94) при г = О находим
i — оо
/ (2) = 2 A i cos ;
1=1
г = «j
, , х V гт:а о i7tz
fl (2) = * I ~г ^jcos —,
i — i
откуда, используя метод Фурье, найдем
л 2 С ., , inz ,
Ai — ~ \ / (z) cos — dz>
о
Bi
I
2 С # / \ .7
-Г— \ Л (z) cos — dz.
17t CL I
0
Крутильные колебания стержня (например, цилиндрического)
легко охарактеризовать посредством вычерчивания волнистой линии
Рис. 330
относительный угол закручивания
па развернутой поверхности
стержня (рис. 330, а). Обозначим
угол закручивания сечения, на-
ходящегося па расстоянии z, отно-
сительно неподвижного сечения
через ср, а угол закручивания се-
чения с координатой z -f- dz —
(9 ср
через ср -|- dz (рис. 330, б). Тогда
„ , <?<р
элемента длиной dz будет ~, а
крутящие моменты (см. § 46) в сечениях стержня с крутильной жест-
костью GJp, ограничивающих элементарную его длину dz слева и
справа, соответственно будут:
GJ
• dtp
pd~z
и
GJ l^-L^dz}
GJp[d~z + d?dZ)
Приравнивая равнодействующую этих крутящих моментов моменту
52<р
инерции вращения элемента длиной dz, равному р Jp dz, где р —*
плотность материала, получим дифференциальное уравнение кру-
тильных колебаний стержня
_ д2ср д2а
или после сокращения на
Обозначая — через
виде
Jp и dz‘.
G dz2 Р dt2 ‘
а2, уравнение (19.95)
zz2^?
dt2 dz2'
(19.95)
можно представить в
(49.96)
532
Решение уравнения такого вида рассмотрено выше для 'случая про
дольных колебаний стержня.
В табл. 43 приведены частотные уравнения и собственные формы
продольных и крутильных колебаиий стержней при различных гра-
ничных условиях.
§ 109. Поперечные колебания призматических стержней
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня
получим из рассмотрения условий динамического равновесия эле-
мента dz (рис. 331), выделенного из произвольно закрепленного
стержня.
Проектируя все силы, действующие
(включая в соответствии с принципом
Даламбера силы инерции) на верти-
кальную ось w,будем иметь
Q-qi dz -Q-dSLdz=O,
откуда
= (19.97)
где Q — поперечная сила; q^ — интен-
сивность сил инерции массы
d2w
(19.98)
на рассматриваемый элемент
Рис. 331
(F—площадь поперечного сечения; р— плотность материала; w —
поперечное перемещение; t — время).
Подставив (19.98) в (19.97) найдем уравнение поступательного
движения элемента колеблющегося стержня:
Для получения уравнения вращательного движения элемента
стержня в плоскости wz сложим угол поворота сечения 0, вы-
званный изгибом, с углом сдвига 7, обусловленным действием
поперечной силы:
^=0+7. (19.100)
В силу известной связи между изгибающим моментом М и
углом поворота 0 (§ 54)
M = (19.101)
и между поперечной силой Q и углом сдвига 7 для принятой в на-
шем случае системы координат (§ 66)
Q—~ k^FG (19.102)
(к — коэффициент, учитывающий формусечения стержня) выражение
для Q в соответствии с (19.100)—(19.102) может быть представлено
так:
(19.103)
533
Так как ,момент инерции вращения массы рассматриваемого эле-
мента равен
2 7 52(Ц 2 ,
у ат — -77-5 \ у2о db dz = [id —5 dz,
dt2 J 1 di2
уравнение вращательного движения элемента на основании прпнци
па Даламбера может быть записано в виде
д М о»2 О
Qdz-~ dz = -?J~dz
dz ‘ dt2
или после сокращения па (Уз и подстановки (19.101) — следующим
образом:
irJdw Тд2° А
kGF 0 4. _ о J— = 0.
\dz / dz2, dt-
Продпфферепцпровав это уравнение по z, получим
/52W С'ОЕ рЛ0 -7 1930 -О
kGb I -уь — д / 4~ "а—772 — и.
\ dz1 dz] dzi dz dt2
Подставив (19.103) в (19.99), будем иметь
d2w r (d‘2w d0\ n
p/* — kGl hrv —• 3- ~ °-
dt2 \dz2 dz]
(19.104)
(19.105)
Исключив из (19.104) и (19.105) угол 0, получим дифференциальное
уравнение свободных поперечных колебаний стержня
„ 54ге / Е\ diw d-w p2J diw .p
Если пренебречь силами инерции вращения элемента и влиянием
па прогиб поперечной силы, уравнение (19.106) можно представить
в виде
г d4w d2w
(19.107)
Простейшим периодическим решением уравнения (19.107) является
так называемое главное колебание, в котором функция прогиба колеб-
лющегося стержня изменяется с течением времени по гармониче-
скому закону
w — ср (z) sin (со/ -ф- а). (19.108)
Функция ср (z), устанавливающая закон распределения макси-
мальных отклонений точек оси стержня, называется формой главного
колебания пли собственной (формой.
Для получения уравнений собственных форм подставим (19.108)
в (19.107) и после сокращения па sin (со/ф а) получим
= (19.109)
azi
где
EJ
(19.110)
Общее решение уравнепи;! (19.109) имеет вид
ср (z) A cos kz -J- IJ siii kz ф C ch kz ф- D sLl kz, (19.111)
пли, будучи выражено черо функции Крылова, значения которых
приведены в Приложении 3, записывается так:
ср (z) = CjS {kz) -ф ('ф1 (kz) -ф С-Р (kz) -ф Ср (kz).
534
Здесь А, В, С, D (или Сх, С2, С-л, С4)— постоянные интегриро-
вания, определяемые из j словно закрепления стержня. Так, напри-
мер, для шарнирно-закрепленного стержня (рис. 332) условия па
концах будут:
при с — 0 ср (0) = 0; ср" (0) = 0;
при z _ I ср (/) = 0; 9" (Z) = 0.
Исходя из этих условии и из (19.111), будем иметь
А 4- С = 0; В sin kl 4- D sh kl = 0;
—A 4- C = 0; — В sin kl 4- D sh kl = 0,
откуда
A = C = D = 0,
В sin kl = 0.
Но так как В =/= 0, следовательно, sin kl — 0. Из полученного частот-
ного у равнения находим
kxl = in
(i = 1, 2, 3, . . .).
Из равенства
4 _ PFwi _ mwi
EJ ~ EJ
определим собственную круговую .частоту
период __
г = =
со4 сп г EJ
и частоту колебаний, гц,
Уравнение собственных форм коле-
баний стержня будет
ср, (z) = В sin . (19.114)
Первые три собственные формы коле-
баний балки на двух опорах показаны
на рис. 332.
Общее решение дифференциального
уравнения (19.107) применительно к рас-
сматриваемой балке па двух опорах мо-
жет быть записано в виде
w («,
Г) =
(сц cos со it 4- sin tojl) sin
ins
"Г
(19.115)
где сц и должны быть подобраны из начальных условий (при t—0).
Частотные уравнения и их корни, а также уравнения собственны!
форм поперечных колебаний стержней при различных закреплениях
их концов приведены в табл. 44. Корни частотных уравнений ноне-
535
речных колебаний стержней на упругих опорах приведены в табл. 45;
стержней с сосредоточенными массами — в табл. 46. В табл. 47
приведены значения некоторых интегралов, встречающихся при рас-
четах поперечных колебаний стержней.
Если колеблющийся стержень испытывает действие продольной
сжимающей силы N, то дифференциальное уравнение упругой линии
имеет вид
EJ~=M(z) — Nw.
dz£ '
После двойного дифференцирования и замены согласно принципу
Даламбера = — pF получим дифференциальное уравнение
свободных поперечных колебаний стержня
„ <Э4и> . лг d2w d2w „
Собственная форма колебаний определится в этом случае выражением
где
(z) — A cos k±z В sin kYz 4- С ch k2z 4- D sh k2z,
Величина к определяется по формуле (19.110).
Выражения для собственных частот поперечных колебаний стерж-
ней, нагруженных продольными силами, приведены в табл. 48.
§ 110. Закон сохранения энергии при колебаниях
Q
Рис. 333
В
попью
Из принципа сохранения энергии при колебаниях вытекает, что
сумма кинетической и потенциальной энергии колебательной механи-
ческой системы в любой момент времени остается постоян-
ной (энергетическими потерями пренебрегаем), т. е.
Т 4- U = const. (19.116)
частности, применительно к системе с одной сте-
свободы (рис. 333), для которой
71 = — ж25
2g
СХ^
уравнение (19.116) примет вид
О * 9 ст2
4-у = const, (19.117)
где с — жесткость пружины.
536
Правая часть уравнения (19.117) зависит от начальных условий.
Полагая, например, что при t — 0 перемещение (^)z=q = ^о> а началь-
ная скорость (x)z=0 = %0 — 0, будем иметь
Q -2 . сх2 СХ0
— х ,
2g 2 2
(19.118)
т. е. при колебаниях сумма кинетической п потенциальной энергий
остается равной начальной энергии деформации пружины, растянутой
на величину х0.
Из анализа уравнения (19.118) видно, что в момент, когда колеб-
лющийся груз находится в среднем положении (х = 0), энергия
системы определяется кинетической энергией
2 2
<?Лпах
2g 2 •
(19.119)
Уравнение (19.119) может быть использовано для определения
частоты колебаний. Действительно, положив
х — х0 cos сщ; imax •=
после подстановки зпачепия х и яП)ах в (19.119) будем иметь
QW2 _ «"о
~2g — 2
откуда
2
ш = Q
и
“ = = ' (19Л20>
что совпадает с полученной рапсе формулой (19.3).
Заметим, что, исходя пл уравнения (19.117), выражающего за’коп
сохранения энергии при колебаниях, легко получить дифференциаль-
ное уравнение движения колеблющегося груза. Для этого достаточно
уравнение (19.117) продифференцировать по времени t и произвести
соответствующее сокращение.
§ 111. Некоторые приближенные методы определения
собственных частот колебаний упругих систем
Способ Реплея. Частота колебаний определяется из рассмотре-
ния баланса энергии системы при определенных допущениях относи-
тельно деформирования колебательной упругой системы. В частности,
для учета массы пружины в колебательной системе с одной степенью
свободы (рис. 333) делается допущение, что масса пружины мала но
сравнению с массой подвешенного груза Q, форма колебаний не
зависит существенно от массы пружины и с достаточной точностью
можно принять, что перемощение любого ее поперечного сечения па
расстоянии т( от закрепленного конца такое же, как если бы пружина
была невесомой, и равно -- (/—длина пружины).
537
При весе единицы длины пружины q, кинетическая энергия эле-
мента пружины длиной г/т; будет
а полная кинетическая энергия г<сей пружины выразится пите;[(алом
I
т — ( lIlL _ Л
п J 2g \ I ' dt) r ‘ 2g 'dt) З’’
о
Это значение кинетической энергии пружины следует прибавить
к кинетической энергии груза
т = о ЛМ2
2g\dt) •
Тогда полная кинетическая энергия будет
— 1 ldx\2 In л. (1L
2g [dt) [Q + 3
r = TQ+Tn
Выражение потенциальной энергии останется прежним:
Теперь условие сохранения энергии колеблющейся системы может
быть представлено в виде
1 /, ql \ сх2 _ схо
2g[dt) V 1 Т/ Н Т “ 2 •
Сравнивая это уравнение с (19.118), находим, что для оценки
влияния массы пружины па частоту собственных колебаний нужно
к весу груза прибавить одну треть веса пружины. Таким образом,
круговая частота определяется формулой
со= 1/—(19.121)
И Q + |
1’ассмо:>>им колебания
(рис. .‘>34). Следхя методу
Рис. 334
груза, расположенного посредине балки
Рейлея, полагаем, что вес балки ql мал
сравнительно с грузом Q и что кривая про-
гиба балки при колебаниях имеет такую
же форму, как и кривая статического про-
гиба. Обозначив через / перемещение гру-
за Q при колебаниях, получим выражение
поперечного перемещения любого элемента
балки длиной dz и весом qdz, находяще-
гося па расстоянии z от опоры (стр. 266):
инетпческая энергия самой балки
1/2
т -9 Я \ 1С11 ?>zl2 ~ 4с3У
6 2g J \dt F )
о
3zl2 — 4z3
(19.122)
17 ?L fe?
dZ “ 35 ’ 2g [dt) ‘
538
Квиетическая энергия груза
Q Л/ Л 2
2g \dt)
Полная кинетическая энергия системы будет
7’ = Тг 4- Т- =
2g \dtj
(19.123)
Пользуясь известным
деЬор.мацпп изгиба
выражением для потенциальной энергии
С M2dz
J 2EJ ’
а также упитывая, что
М = EJ
d2w
dz2
где для рассматриваемого случая согласно (19.122)
d2w___ 24
7I2 ~ ~ "р >
найдем:
£7 = 2
Z/2
£ EJ 12\ Д2 24EJ jn
о
Условие сохранения энергии при колебаниях теперь примет вид
n-i 1Z 1
т.п Q±35q ДА2 . 24EJ ,2
Т -4-U =-------- -у- Н----гт— /2 — const.
1 2g \dtj Е ’
Продифференцировав последнее уравнение по времени t, после сокра-
щения получим
d2/ 48EJ
dt2 + Е
(19.124)
или введя понятие приведенного прогиба 5пр,
17
Q + ^pi
8 =------—---- Е
п₽ 48/JJ
(19.125)
дифференциальное уравнение колебаний груза па балке с учетом
массы последней (19.124) окончательно можно представить в виде
dt2
-ьД-/ = о.
Jnp
539
Отсюда круговая частота колебаний груза согласно (19.120) опреде-
лится формулой
ш = ]/ . (19.126)
' ° пр
Из (19.125) следует, что для учета массы балки при определении
частоты собственных колебаний груза, расположенного посредине
17
балки, достаточно к весу последнего прибавить ~ 0,48.3 веса балки.
п 17 /
Величина ~ q — называется приведенной массой балки.
• <5 g
Используем- метод Рейлея для определения частоты поперечных
колебаний стержня с сосредоточенными массами (рис. 328). В атом
случае предполагается, что кинетическая энергия системы опреде-
ляется только поступательным перемещением масс, а потенциальная
энергия обусловлена только изгибом стержня. Полагая, что все массы
колеблются синфазно с одинаковой частотой, перемещение сечения
балки с абцпссой z в функции времени можем описать синусоидаль-
ным законом
ср (z, t) — w (z) sin («я Ч- а)>
где w (z) — функция, определяющая форму колебаний.
Скорость перемещения оси балки будет
<?ср (z, t)
v (z, t) — — --= tow (z) cos (tot + a),
Максимальное значение кинетической энергии п масс равно
г—п
т = у X
г=1
(19.127)
где wi — амплитудное значение прогиба в месте г-й сосредоточенной
массы.
Максимальная потенциальная энергия деформации балки
2 J \ dz2- /
0
(19.128)
Приравнивая правые части уравнений (19.127) и (19.128) и решая
полученное уравнение относительно со2, найдем
i = n
i=t
(19.129)
540
В случае непрерывно распределенной массы формула Рейлея для
приближенного определения квадрата круговой частоты (19.129) при-
мет вид
I
/ 7 9 \ 2
\ EJ (~ ) dz
J \ rlZ~]
о2 = 2---------------, (19.130)
niw2 dz
6
где
g
Если действительная форма колебаний w(z) известна, формула (19.129)
дает точное значение частоты. Обычно функция прогиба w(z) заранее
но известна ц ею, следуя методу Рейлея, приходится задаваться.
Способ Ритца является дальнейшим развитием способа Рейлея.
В уравнение упругой линии колеблющейся системы вводятся неко-
торые параметры, величина которых подбирается таким образом,
чтобы частота основного топа была минимальной. Так, например, при
поперечных колебаниях стержня функция прогиба выбирается в виде
ряда
w(z) = ayu?! (z) a2ic2 (z) -ф . .. , (19.131)
каждый член которого должен удовлетворять граничным условиям,
а коэффициенты ряда at, а2, а.л, ... должны выбираться из условия
минимума частоты:
---------=0. (19.132)
mw2 dz
0
Продифференцировав это выражение и разделив результат на
J ты2 dz, с учетом (19.130) получим
о
ЛсЛ 2 J , п
-г-ё —со гтw I dz — 0.
dz2
(19.133'1
Таких уравнений будет столько, сколько членов в ряде (19.131). По-
лученная система уравнений однородна относительно коэффициентов
^1’ ^2* «3> . • . , ^71*
Приравняв определитель этой системы пулю, получим частотное
уравнение. Этот метод позволяет найтл не только низшую частоту
собственных колебаний, но и значения высших частот, хотя и с
менынсй точностью.
541
Способ Бубнова—Галеркпна. Применим этот способ при реше-
нии, например, задачи о поперечных колебаниях стержня перемен-
ною сечения, описываемых дифференциальным уравнением
/
й, “ °- <19ЛМ)
Решение этого уравнения можно найти с помощью подстановки
w ~ Z (z) • Г(0,
используя которую получим дифференциальное уравнение для опре-
деления функции прогиба Z(z):
c/z Г d2Z~\
ЛУ(с)" — nw2Z = 0. (19.135)
</Z2 (/z2J
Согласно способу Бубнова—Галеркпна действительная кривая про-
гиба, выражаемая функцией Z(z), заменяется некоторой приближен-
ной функцией ф(з), удовлетворяющей граничным условиям задачи.
Функция ф (z) должна быть ортогональна исходному дифференциаль-
ному оператору. (’ этой целью образуем интеграл
I
С* f (JГ /7( 7*1 1
J W [EJ " dz2 J ~ dz = °‘ (19.136)
' о
Отсюда, в частности, может быть получена формула Рейлея
I
У [^(2)ф"(г)]"ф(2)^
со2 = -5----}. (19.137)
шф2 (z) dz
О
Если представить ф (z) в виде ряда
Ф (z) = а1ф1 (г) + а2ф2 (z) ф- • • • (19.138)
и рассмотреть каждое пз слагаемых ф{ (z) как возможное перемеще-
ние, то вместо (19.136) получим соотношение, выражающее равенство
нулю виртуальной работы:
i
У {[EJ (г) ф" (г)]" — шсо2ф (г)} фд (z) dz = 0. (19.139)
в
Таких равенств можно записать столько, сколько слагаемых имеет
принятое для ф (г) выражение (19.138).
Каждое пз уравнений (19.139) однородно и содержит неизвестные
коэффициенты «1( а2, аа, ... в первой степени. Приравняв нулю опре-
делитель системы уравнений (19.139), получим частотное уравнение,
пз которого может быть определена угловая частота собственных
колебаний.
542
Таблица 42
Собственные частоты колебаний систем с одной и двумя
степенями свободы
т—масса груза; с —жесткость упругого элемента; I — длина стерж-
ня; G—модуль упругости при сдвиге; EF — жесткость поперечного
сечения стержня при растяжении; GJ,,— жесткость поперечного сече-
ния стержня мри кручении; EJ—жесткость поперечного сечения
стержня при изгибе
Схема колебательной
системы
Число
степе-
ней
свобо-
ды
Собственная частота /, гц
543
Продолжение табл. 42
Схема колебательной системы Число степе- ней свобо- ды Собственная частота /, гц
т< с тг
J — момент инерции массы диска
относительно оси стержня
J,
со!»
,_ 1 1 f GJр (Н~ А)
' ~ 2к Г IJX J.2
Jx, Ji— моменты инерции масс дисков
/ _1_ 1/ 3£АЛ
' 2г.аЬ V т (aj2 -|- bJx)
при Jx — J2 = J
1 I Г ДЕЛ
2~ab V т
при J х = J2 = J и а — Ъ = ~
1
544
П родолжение табл. 42
Число
Схема колебательной системы степе- ней свобо- ды Собственная частота /, гц
,____I I Г ЗЕЛ
r.ab V та ('За -f- 4Ь)
, I
при а — b = —
I 8 .’> 1186
545
Иродолжение табл. 42
Схема колебательно системы Число степе- ней свобо- да Собственная частота /, гц
Cf mf с3 т2 с2 - 1 л Г 1 | (с} 4- ся с2 4- сЛ 'М =2к V 2 Н 'т, ' 1 т, ) Т
-р 1/ j £1+£? q. сг+сз^ 4с1с2+^1^+с2сз] т V \ m-t т2 / /n1m2 J - 1 1 / 1 17Л±_5 , ^2 + Сз\ 2л |- 2 [\ ту т2 /
т \/ 1 с»±с= _ Sl+£»V + 4.jL] V \ т1 т2 1 ^lra2j при с} — с2 = с и ту = т2 = т
546
Продолжение табл. 42
Схема колебательно;
систем ьт
Число
степе-
ней
свобо-
ды
Собственная частота /, гц
J|, J, — моменты инерции масс дисков
относительно оси вала
npil Cj = с2 = с и —
2
-1/fci+c3 , ^г+сзГ /с1с2+с1с3+с2с3 I
И V-7T+—J-4----------Тр-г—1 =
__ 1 1 f 1 Г [С1 4“ с3 | С2 4" Сз\ 2Г
2л F 2 I \ J, J.7 I +
-г 1 / /С1 + С3 С2 + С 3^1 , / С'А 1
т V -------------—) + W
А> А — моменты инерции массы дис-
ков относительно оси вала
ПрИ С^ СИ J J — J 2 J
18*
547
Продолжение табл. 42
Схема колебательной системы Число степе- ней свобо- ды Собственная частота / , гц
у, А 'й 2 f _ 1 1/" 1 17 с1 1 с2 , <-1 -Г '1>2 ~ 2r. V 2 Нл + /Л A f -Г
' 4 J 1 и 2 j ' j । 2 у J
т /Лл)7й+а)]2+/,£7} Jj, J2, J3 — моменты инерции масс дис- ков относительно оси вала при сг = с2 = с и = J2 — J'3 = J 1 ~lf'2c T c '1,2 = 2r. V J
fl 2=<Г V or----?---ри+5г2—
2л r 2(on 822—812)m2[ mi
F j/" (^11+^22—"2) 4(8n822—812) —-21
» \ fit j» '' j J
8^—прогиб оси балки в сечении i от
единичной силы, приложенной в
сечении k-,
§ik=
548
Таблица 43
Частотные уравнения и собственные формы продольных и крутильных колебании стержней постоянного
сечения
Схема закрепления стержня Частотное уравнение Корни частотного уравнения * Собственная фор- ма колебаний
p£G 1 sin kl — 0 kjl = in i = 2, 3, ... ср (z) = C cos kz
f pEG I * cos kl = 0 kil = ~ (2f — 1) i = l, 2, 3, ... cp (z) — C sin kz
/ P'G I I . 1 sin kl — 0 kil — in. *=1,2» 3, ... cp (z) = C sin kz
ся
ся >
Схема закрепления стержня Частотное уравнение
kl tgkl = ~ — тт й Cl При продольных колебаниях а — ; _ cl при крутильных колебаниях а = —- , (jjp где F и Jp — площадь и полярный момент инерции поперечного сечения стержня; с — жесткость опоры относительно про- дольных или крутильных перемещений
m3 pEFGJp П tg kl — a kl п г f>Fl При продольных колебаниях а = ; при крутильных колебаниях а = , где т — масса груза; 3 — момент инерции массы груза относительно оси стержня; F — площадь сечения; Jp — полярный мо- мент инерции сечения стержня
t J
Продолжение табл. 43
Корни частотного уравнения *
Собственная фор-
ма колебаний
ср (z) = С sin kz
'Асимптота
—\-npu ^1=т-
ср (z) = C cos kz
Схема закрепления
стержня
Частотное уравнение
Продольные колебания
/ £ \2 “I Д;
— IjtgfcZ — (тех 4-m2) — = 0;
крутильные колебания
/ ь \2 "1 ь
v2 -V- -1 tg*z-(Ji + J2)-7- = O,
ХР^р/ J Р^р
mt, т2 — массы грузов; Jlt J2 — моменты
инерции массы грузов относительно оси
стержня; F — площадь сечения; Jp — по-
лярный момент инерции сечения стержня
лебаний.
* Собственные частоты определяют по формуле
Ri
Гя а' где “
Продолжение табл. 43
Корни частотного уравнения *
Собственная фор-
ма колебания
? (*) =
= С I cos kz —-
к sin kz
?Jp
Е
— для продольных и а =
1Л G
|/ — для крутильных ко-
Таблица 44
Частотные уравнения и собственные формы поперечных
колебаний стержней постоянного сечения
Схема закрепле- ния стержня Частотное уравнение Корни частот- ного уравне- ния * Собственная форма колебаний
i hil
1 0
pFEJ 2 3 4,730 7,853 <p (z) = (ch kl—cos kl)x
cos kl ch ZcZ = 1 4 10,996 X (sh kz 4- sin kz) —
1 5 14 137 — (sh kl — sin kl) x
X (ch kz -j- cos kz)
i y(2Z-l)
1 3,142
pFEJ 2 6,283
sin kl = 0 3 9,425 cp (z) = sin kz
. . 1 -4 4 12 566
i ire
1 4,730
Ъ PFEJ у 2 7,853 cp (z)=(sh kl—sin kl) X
''' / Г cos kl ch kl—1 3 10,996 X (ch kz — cos kz) —
ч <—1 4 14,137 — (ch kl — cos kl) X
i X (sh kz — sin kz)
1 1,875
а_ 2 4,694 cp (z)=(sh kl-}-sm kl)x
1. 7 . cos kl ch kl=—1 3 4 7,855 10,996 X (ch kz — cos kz) — — (ch kl 4- cos kl)x
i y(2i—1) X (sh kz — sin kz)
1 3,927
2 7,069 cp (z)=(sh fcZ-f-sin kl) X
1 ~‘zf7 tg ZcZ = th kl 3 4 10,210 13,352 X (ch kz — cos kz) — —(ch kl 4- cos kl) x
i -J(4Z+1) X (sh kz — sin kz)
1 0
pFEJ 2 3 3,927 7 069 ? (z)=(ch ZcZ+cos kl) X
, 7 J? tg kl = th kl 4 10,210 X (sh kz 4- sin kz) — — (sh kl 4- sin kl) X
Г*' Э lo,oo2 4i—3 X (ch kz -J- cos kz)
i 4 *
* Собственные частоты определяют по формуле F = * ,у 1/7
.о 1 2л!> V dF 2л г т
где т =« fF. г
553
Таблица 45
Корни частотных уравнений поперечных колебании
стержней постоянного сечения на упругих опорах •'
к2]/" FJ
2л V m'
. (ki)2
* Собственные частоты определяют ио формуле J
где т = pF.
V pF
554
Продолжение табл. 45
Схема закрепления стержня
График для определения
коэффициентов hl
pFEJ О,
I
— Асимптота 1 jipu kt= 7,0685^
О Ю 20 &
pFEJ
‘”^71
555
Таблица 48
Корни частотных уравнений поперечных колебаний
стержней постоянного сечения с сосредоточенными
массами т*
Схема стержня
График для определения
коэффициентов М
pFU т
Wl/ к/
2г. V fF
Собственные частоты определяют по формуле / -
Таблица 47
Значения некоторых интегралов, встречающихся при расчетах
поперечных колебании стержней (cpj — i-я собственная форма
колебаний)
Схема закрепления стержня i 0 1 if 2 я т j i dx 0 l l j (<f>^ )2 dx 0 l l3 J )2 dx 0
1 0,6366 0,5 4,9343 48,705
2 0 0,5 19,739 779,28
О .) 0,2122 0,5 44,413 3945,1
4 0 0,5 78,955 12468
5 0,1273 0,5 123,37 30440
1 0,8115 1,03,59 12,775 518,52
± _ -У 2 0 0,9981 45,977 3797,1
t к 3 0,3637 1,0000 98,920 14619
4 0 1,0000 171,58 39940
5 0,2314 1,0000 264,01 89138
1 0,6147 0,4996 5,5724 118,80
2 —0,0586 0,5010 21,451 1250,40
3 0,2364 0,5000 47,017 5433,0
4 —0,0310 0,5000 82,462 15892
5 0,1464 0,5000 127,79 36998
1 1,0667 1,8556 8,6299 22,933
ь 2 0,4252 0,9639 20,176 467,97
к 3 0,2549 1,0014 77,763 3808,5
4 0,1819 1,0000 152,83 14619
5 0,1415 1,0000 205,52 39940
557
Таблица 48
Собственные частоты поперечных колебаний стержней постоянного
сечения нагруженных продольными силами
Схема стержня
Собственная частота колебаний
I
0,562 у/EJ_ / qPX
Z2 Г pF \'8Ej)
. 1/ _u Nl*
h 2 Z2 Г pF V -г ИтРЕЛ
Глава 20
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ДЕЙСТВИЮ
ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 112. Явление усталости материалов
Рис. 335
Усталостью материалов (в частности, металлов) называется явле-
ние разрушения при многократном повторении нагружений. Способ-
ность материалов сопротивляться разрушению при повторно-перемен-
ных напряжениях называется выносливостью
материала.
Усталостное разрушение наблюдается
нри наличии одной из следующих особен
ностей нагружения:
1) при многократном нагружении одно-
го знака, например, периодически изме-
няющегося от нуля до максимума (рис
335, а);
2) при многократном нагружении, пе*
риодически изменяющемся не только по
величине, но и по знаку (знакопеременное
нагружение), когда на выносливость мате-
риала одновременно оказывают влияние и
повторность и переменность нагружения.
При этом различают симметричное нагру-
жение (рис. 335, б) и несимметричное
(рис. 335, в, е).
, Для разрушения от усталости недо-
статочно переменности напряжений. Не-
обходимо также, чтобы напряжения имели
определенную величину. Максимальное на-
пряжение, при котором материал способен
сопротивляться, не разрушаясь, при любом
произвольно большом числе повторений нагружений, называется
пределом выносливости или пределом усталости.
Усталостный излом металла имеет
характерный вид (рис. 336). На нем
обычно можно наблюдать две зоны:
одна из пих (А) — гладкая, притертая,
образовавшаяся вследствие постепен-
ного развития трещины; другая (В) —
крупнозернистая, образовавшаяся при
окончательном изломе ослабленного
развившейся усталостной трещиной
сечения детали. Зона В у хрупких ма
териалов имеет крупнокристалличе
ское, а у вязких — волокнистое строе
ние.
Механизм образования трещин при
повторно-переменном напряжении весь-
ма сложен и не может считаться пол-
Рис. 336.
559
ностыо изученным. Из несомненных положений теории усталости
можно отметить следующие:
1) процессы, происходящие в материале при повторно-переменном
нагружении, носят резко выраженный местный характер;
2) решающее влияние на явление усталости до образования пер-
вой трещины оказывают касательные напряжения, вызывающие пла-
стические сдвиги и разрушение путем среза. Развитие усталостных
трещин ускоряется при наличии растягивающих напряжений и у
пластичных, и, в особенности, у хрупких материалов (типа чугуна),
в которых появление трещин отрыва значительно повышает чувстви-
тельность к растягивающим напряжениям.
Предел выносливости определяют экспериментально на соответ-
ствующих испытательных машинах путем испытания партии образцов
из данного материала в количестве не менее 6—12 штук. Предел
выносливости зависит от многих факторов, в том числе от формы и
Рис. 337
а
размера образца или детали,способа ее обработки, состояния поверх-
ности, вида напряженного состояния (растяжение — сжатие, кручение,
изгиб), закона изменения нагрузки во времени при испытании, темпе-
ратуры и т. и.
В большинстве случаев переменные напряжения, вызывающие
разрушение от усталости, представляют собой функцию времени
а = / (I) с периодом, равным Т. Совокупность всех значений напряжений
за один период называется циклом напряжений (рис. 337, а). На вели-
чину предела усталости оказывают влияние максимальные (ртах) и
минимальные (pmin) напряжения цикла. Основной характеристикой
цикла является коэффициент, асимметрии цикла
г=^п. (20.1)
Лпах
Различают также среднее напряжение цикла (рис. 337, б)
рс = ^-+^" (20.2)
п амплитуду цикла
Лпах Pmin /ол о\
Ра s------о-----• (20>3)
560
Среднее напряжение цикла может быть как положительным, так
и отрицательным; амплитуда цикла определяется абсолютной вели-
чиной (без учета знака).
В соответствии с (20.2) и (20.3), очевидно,
Ртах ~ Pc Ра’’ ^min ~ Рс Ра’
Наиболее опасным является так называемый симметричный цикл
(когда Pmax = -Pmin и рс = °)’ ПРП втором
Pmi п ,
Г ~ •' . - — —*1.
Ртах
Предел усталости при симметричном цикле обозначается через р_£.
При пульсирующем цикле, когда pmin = 0,
Ртах
а предел выносливости обозначают через р0. При постоянной нагруз-
ке, когда pmax Pmin Р'
В самом общем случае при коэффициенте асимметрии г предел
усталости обозначают через рг. В частном случае, например, при
г — —0,5 предел усталости обозначают р_0 5. Циклы, имеющие оди-
наковые характеристики г, называют подобными. Характеристика цикла,
или коэффициент асимметрии, может меняться от —оо до 4*00 (см-
Табл. 49).
Следует иметь в виду, что в случаях, когда речь идет об уста-
лости при растяжении — сжатии или изгибе, вместо обозначений р&,
рс, Ро> Ртах* Pmin и т- Д- необходимо использовать обозначения
соответственно аа, ас, а0, amax, ат!п и т. д., а в случае рассмотрения
сопротивления материалов действию повторно-переменных касатель-
ных напряжений (при циклическом кручении) следует применять
обозначения та, тс, т0, ттах, гт)п и т. д.
§ ИЗ. Методы определения предела выносливости.
Диаграммы усталости
При испытании материала на выносливость чаще всего исполь-
зуют гладкие цилиндрические образцы диаметром 7—10 мм.
В зависимости от вида действующих в образце повторно-пере-
менных напряжений (растяжения — сжатия, переменного изгиба,
переменного кручения), а также характеристики цикла (коэффициен-
та асимметрии г) значения предела выносливости будут различными.
Поэтому, ставя перед собой цель получения предела выносливости
материала, следует заранее указать, при каком виде деформации
(изгибе, кручении и т. п.), а также при каком характере изменения
напряжений за цикл, т. е. при каком значении г, требуется опреде-
лить предел выносливости.
В соответствии с поставленной задачей выбирают испытательную
мниину. Для испытания на усталость при изгибе применяют машины
561
(рис. 338), в которых циклические симметричные напряжения в испы-
туемом образце возникают за счет вращения образца, нагруженного
укрепленным на конце с помощью шарикового подшипника грузом.
Число оборотов в минуту таких машин обычно составляет около 3000
(50 гц). Современные усталостные машины,
в частности машины с магнитострикцион-
ными вибраторами для испытания при
растяжении <— сжатии, позволяют произво-
дить испытания при частотах порядка
10000—20000 гц.
При испытании партии образцов с
целью определения предела выносливости
Рис. 338 необходимо обеспечивать в отдельных
образцах различные напряжения для выяв-
ления закономерности изменения числа циклов до разрушения при
тех или иных уровнях напряжений.
Обработка получаемых экспериментальных данных осуществляется
путем построения кривых усталости, часто называемых кривыми Вел-
лера (рис. 339).
Рис. 340
Кривая усталости строится по точкам в координатах: максимальное
напряжение цикла ртах (атах или ттах)— число циклов до разру-
шения N. Каждой точке соответствует один разрушившийся образец,
проработавший N циклов с заданным ртах.
По мере снижения напряжения образцы выдерживают до разру-
шения все большее число циклов, а кривая усталости Ртах = / (N)
как бы приближается к некоторой асимптоте, параллельной оси
абсцисс N. Число циклов, при котором кривая усталости практи-
чески начинает совпадать с асимптотой, может быть принято за базу
испытания на усталость, т. е. за такое число циклов, превышение
которого при данном напряжении практически не должно приводить
к разрушению образца. Таким образом, базой испытания на выносли-
вость называется наибольшее число повторно-переменных нагружений,
существенное превышение которого не должно приводить к усталостным
разрушениям испытуемого образца при данном напряжении.
Для черных металлов (сталь, чугун и т. п.) в инженерной прак-
тике за базу испытания принимают 10 млн. циклов; для цветных
металлов (медь, алюминий и т. п.) —база испытания в 5—10 раз
больше, чем для черных металлов.
В некоторых случаях, особенно для цветных металлов, кривая
усталости в координатах N, р медленно стремится к асимптоте, по-
этому базу испытапия приходится выбирать значительно ббльшей.
В таких случаях вообще трудно говорить об истинном, так называемом
физическом пределе усталости, поскольку таковой практически отсут-
ствует. Говорят об условном пределе усталости, понимая под ним
562
максимальное напряжение, при котором не происходит разрушение
при осуществлении определенного наперед заданного числа циклов,
принимаемого за базу испытания.
Кроме построения первичных диаграмм усталости, в координатах N,
ашах ПРИ растяжении — сжатии и изгибе или в координатах N, ттах
при кручении эти диаграммы строят также в полулогарифмических
координатах Ig N, amax (рис. 340) или 1g N, ттат. В этом случае пре-
дел усталости будет характеризоваться ординатой горизонтального
участка кривой усталости.
Как показывают многочисленные испытания на усталость, для
некоторых материалов можно заметить следующие соотношения между
пределами выносливости при симметричном цикле, полученными при
изгибе кручении и растяжении — сжатии на гладких
образцах. Для стали а^_1 = 0,7аи1; для чугуна а^_* = 0,65а^, т—1 =
= 0,8а^_1; для сталей и легких сплавов = 0,55а®г. Замечено так-
же, что для стали существуют следующие соотношения указанных
пределов выносливости с временным сопротивлением при растяжении:
= 0,28ав; = 0,4ав; = 0,22а в. Для цветных металлов
= (0,24-0,5) св.
Диаграмма предельных напряжений. Для характеристики сопро-
тивляемости материала повторно-переменным напряжениям при раз-
личной асимметрии цикла строится так называемая диаграмма пре-
дельных напряжений (рис. 341) в координатах °тах> атщ— °с (диа-
грамма Смита).
Ординаты кривой С АВ диаграммы соответствуют значениям пре-
делов усталости (максимальным значениям напряжения) при различ-
ной асимметрии цикла, которые берутся из первичных диаграмм
усталости.
Тангенс угла наклона луча, проведенного из начала координат
до пересечения с предельной кривой САВ и образующего угол 8
с осью абсцисс ас, будет:
. □ _ атах__ ^атах _ 2
°с атах “Ь °min 1 +
(20.4)
563
Диаграммы предельных напряжений обычно ограничивают в верх-
ней части пределом прочности или пределом текучести материала.
Примерный вид диаграммы предельных напряжений, ограниченной
пределом текучести тт, для случая циклического кручения, приве-
ден па рис. 342.
Диаграммы предельных напряжений можно строить также в коор-
динатах аа — ас (диаграмма Хейя). В этом случае (рис. 343) тангенс
угла р, образованного лучом, проведенным из начала координат,
с предельной кривой будет выражаться так:
ста cmax amin 1 —г
ас amax 4" amin 4" г
(20.5)
Для оценки сопротивляемости
напряжениям при сложном напря-
женном состоянии, например при
совместном действии циклического
изгиба и кручения, используют
соответствующие усталостные ма-
матерпала повторно-переменным
шины, позволяющие получать интересующее нас напряженное со-
стояние.
На рис. 344 приведены результаты экспериментов с гладкими
образцами при различном сочетании переменных нормальных (с) и
касательных (т) напряжений при симметричном цикле. Через a_r
и T—J обозначены пределы выносливости соответственно только при
изгибе и только при кручении, а са и та — предельные амплитуды
при одновременном действии изгиба и кручения. Экспериментальные
данные группируются около кривой, которая с достаточной степенью
точности может быть аппроксимирована для конструкционных сталей
дугой круга (рис. 344, кривая 7), описываемой уравнением
/ q \2 / х
1 — 1 -f- — =1. (20.6)
\а-1/ Х'С—1/
Для высокопрочных сталей и чугунов экспериментальные данные
располагаются ближе к эллиптическим дугам (рис. 344, кривая 2).
В случае симметричного цикла с соблюдением синхронности и
спнфазности напряжений условие прочности в амплитудах главных
напряжений в соответствии с третьей теорией прочности запишется
так:
(°1)а - (°з)а = (20.7)
а по четвертой теории прочности — в виде:
К’1)а - (=»)а!2 + К’а). ~ (’з)а12 + 1(’з)а - (’1)а12 = 2<,. (20.8)
564
При сложном папряженпом состоянии, характеризуемом совмест-
ным действием циклического изгиба и кручения, условие прочности
(20.8), с учетом соотношения а—1 « у/ГЗт_1 будет иметь вид
(20.9)
Это условие совпадает с выражением (20.6), вытекающим из экспери-
ментальных данных.
§ 114. Влияние на предел выносливости материала
конструктивно-технологических факторов
Влияние концентрации напряжений. Наибольшее влияние на
предел выносливости оказывает концентрация напряжений, степень
которой характеризуется теоретическим коэффициентом концентрации
а (см. § 27). Как показывают опыты, предел усталости образцов с кон-
центраторами напряжений р_1к оказывается больше вычисленного
через теоретический коэффициент концентрации а, т. е.
Поэтому наряду с теоретическим коэффициентом концентрации вве-
дено понятие эффективного, или действительного, коэффициента кон-
центрации к. Эти коэффициенты обозначены так: для нормальных
напряжений
для касательных напряжений
где а_1 и t_j — пределы выносливости, полученные при действии
циклических нормальных и касательных напряжений на гладких
образцах; сг_1к и т_1к — пределы выносливости образцов с концентра-
торами напряжений.
Практически оказалось удобнее определять эффективный коэффи-
циент концентрации через так называемый коэффициент чувстви-
тельности материала к концентрации напряжений
k— 1
Q —-----р > (20.10)
который зависит от материала, а также от коэффициентов уф, кф,
а3 — при нормальных напряжениях или уф, кф, а,— при касательных.
Для определения коэффициента чувствительности q в литературе
имеются графики (рис. 345). Зная q, а также теоретический коэффи-
циент концентрации напряжения а, можно определить согласно
(20.10) эффективный коэффициент концентрации к по формуле
к — 1 + q (а — 1).
(20.11)
565
Для материала, чувствительного к концентрации напряжения,
когда 1, к -> а. Для материала, не чувствительного к концен-
трации напряжения, когда q -> 0, к -> 1.
Влияние концентрации напряжений при сложном напряженном
состоянии оценивается на основе испытания образцов с концентра-
торами и получения соответствующих диаграмм (рис. 346), которые
аналогично диаграммам, приведенным для гладких образцов (рис. 344),
описываются эллиптической зависимостью
где T_iK — пределы усталости при симметричном цикле для
образцов с концентраторами только при изгибе и только при круче-
нии соответственно; сак, так— амплитудные значения напряжений
при одновременном синхронном и синфазном изменении напряжений
при сложном напряженном состоянии и различных сочетаниях пере-
менных нормальных и касательных напряжений.
Влияние размеров (масштабный фактор). Эксперименты пока-
зывают, что с увеличением размеров образца предел выносливости
падает. Это снижение обычно учитывается с помощью некоторого
коэффициента, обозначаемого, например, применительно к нормаль-
ным напряжениям так:
е = , (20.13)
3 (O-l)do
где (a_j)d0 предел выносливости гладкого лабораторного образца
диаметром rf0 = 7-r-10 мм; (а_x)d — предел выносливости рассматри-
ваемой детали диаметром d>d0. Поскольку (a_i)d < (о_i)d0> то, оче-
видно, коэффициент влияния абсолютных размеров го«<1.
При наличии концентратора влияние масштаба оценивается так
же, как и для гладких образцов с помощью коэффициента е^:
Еак
—1кЬ
(0-1kU
(20.14)
где (a„1K)d и —пределы выносливости детали и лаборатор-
ного образца соответственно. На рис. 347 приведены кривые зависи-
566
мости e = /(rf). Здесь кривая 1 соответствует детали из углеродистой
стали без концентратора, кривая 2 — детали из легированной стали
(gb = 100 ч-120 кГ/мм?) при отсутствии концентратора и из углеро-
дистой стали при наличии концентратора; кривая 3 соответствует
детали из легированной стали при наличии концентратора; кривая 4—
для любой стали при весьма большой концентрации напряжений
(например, при концентраторе типа надреза).
Снижение предела усталости
с увеличением размеров особенно
сильно выражено у неоднородных
материалов. Так, например, с уве-
личением размера образца из се-
рого чугуна с 5 —f—10 мм до 50 мм
снижение св и i может достиг-
нуть 60 ч-70%. Для углеродистой
стали увеличение диаметра образ-
ца с 7 мм до 150 мм приводит к
снижению предела выносливости
примерно на 45%.
Кроме эффективного коэффи-
циента концентрации (Л0)й для
образца вводят понятие эффектив*
наго коэффициента концентрации напряжений для детали (Л0)д, упи-
тывающего одновременно и размеры и концентрацию:
( "’Д - (»-!„)/
(20.15)
Если (Ло)^ определяется на образцах достаточно большого диа-
метра (когда* дальнейшее увеличение диаметра мало влияет на (&0)d),
то
Рис. 348 Рис. 349
Влияние концентраторов напряжения существенно зависит от вида
напряженного состояния. При циклическом кручении, например, коэф-
фициент концентрации оказывается более низким, чем при изгибе
при той же форме концентратора. Это видно, в частности, из рис. 348
и 349, на которых приведены значения эффективных коэффициентов
567
концентрации для ступенчатых валов с галтелью соответственно для
изгиба и кручения. Соотношение между к. и /с, может быть пред-
ставлено формулой
к, = 1 + 0,6(4:, —1).
На рис. 350 приведены графики, характеризующие эффективные
коэффициенты концентрации при растяжении — сжатии. Из графи-
ков (рис. 348 и 350) видно, что значе-
Рис. 350
ния эффективных коэффициентов при
растяжении — сжатии несколько пре-
вышают таковые при изгибе. Более
полные данные о коэффициентах кон-
центрации и чувствительности к кон-
центрации напряжений приведены в
Приложении 2.
Влияние состояния поверхности.
Па предел выносливости существенное
влияние оказывает состояние поверх-
ности детали или образца. Это объяс-
няется тем, что на поверхности почти
всегда имеют место дефекты, связанные
с качеством ее механической обработ-
ки, а также с коррозией под влиянием
окружающей среды. Поэтому усталост-
с поверхности, а плохое
ные трещины, как правило, начинаются
качество последней приводит к снижению
предела усталости.
Влияние качества механической обработки поверхности па вынос-
ливость можно оцепить некоторым коэффициентом ++ 1, который
равен отношению предела выносливости испытуемого образца с опре-
деленной обработкой поверхности к пределу выносливости тщательно
Рис. 351 Рис. 352
отполированного образца. Па рис. 351 приведена зависимость коэф-
фициента р от предела прочности для различных видов обработки
поверхности стальных образцов. Кривая 1 соответствует полирован-
ным образцам; кривая 2— шлифованным; кривая 3—образцам с тон-
кой обточкой; кривая 4 — образцам с грубой обточкой; кривая 5 — с
наличием окалины. Из графика видно, что при грубой обточке пре-
дел выносливости снижается па 40%, а при наличии окалины — на 70%.
Влияние коррозии в процессе испытания на предел выносливости
при ротационном изгибе показано в виде графиков на рис. 352, где
по оси ординат отложено значение коэффициента
_а-1
к ’
568
выражающего отношение предела выносливости корродированного
образца к пределу выносливости колированного образца а_1( апо
оси абсцисс — временное сопротивление материала исследуемых образ-
цов. Кривая 1 характеризует влияние коррозии в пресной воде при
наличии концентраторов напряжений: кривая 2 — в пресной воде при
отсутствии концентраторов и в морской воде при наличии концентра-
ции; кривая 3 — в морской воде при отсутствии концентрации.
Влияние пауз. На предел выносливости имеют влияние паузы
(перерывы нагружения). Иногда за счет пауз число циклов до разру-
шения увеличивается на 15—20%. Увеличение числа циклов тем
больше, чем чаще паузы и чем они длительнее (последний фактор
влияет слабее).
Влияние перегрузок (нагрузок, больших предела выносливости)
па величину предела выносливости зависит от характера перегрузок.
При малых перегрузках до определенного числа циклов усталостная
прочность повышается, при больших перегрузках после определен-
ного числа циклов — понижается.
Влияние тренировки. Если создавать в образце напряжения не-
много ниже предела выносливости, а затем постепенно их увеличи-
вать, то сопротивление усталости материала может быть су ществепно
повышено. Это явление, называемое тренировкой материала, широко
используется в технике. Особого эффекта можно достигнуть при
постепенном увеличении перегрузки. При этом упрочнение можно
получить при сравнительно кратковременных тренировках (порядка
50 000 циклов), но при сильных перегрузках.
Влияние температуры. Применительно к обычным конструкцион-
ным материалам повышение температуры приводит к снижению пре-
дела выносливости, а снижение температуры — к повышению выносли-
вости как гладкпх образцов, так и образцов с концентраторами.
Для стали при температуре выше 300° С с ее повышением на
каждые 100° С предел усталости падает на 15—20%. Однако для
некоторых сталей с повышением температуры от 20 до 300° С наблю-
дается некоторое повышение предела усталости. Это повышение,
по-видимому, связано с физико-химическими процессами, протекаю-
щими в материале под одновременным воздействием температуры
и циклических напряжений. Влияние концентрации напряжений на
выносливость, как правило, с повышением температуры уменьшается.
При понижении температуры от 20 до —190° С предел выносли-
вости у некоторых сталей увеличивается более чем вдвое, хотя удар-
ная вязкость при этом существенно падает.
§ 115. Расчет на прочность при повторно-переменных
нагрузках
При простых видах деформации детали, работающей при сим-
метричном цикле, например при циклическом растяжении — сжатии
пли изгибе п фактически действующем знакопеременном напряже-
нии аа, запас прочности можно определить по формуле
° а
а
где (a_jK)d 1— предел выносливости детали при растяжении-сжатии
пли изгибе, который может быть определен по проделу выносливости
лабораторных полированных образцов с учетом эффективного
коэффициента концентрации (Z?a)d, масштабного фактора еа, состояния
569
поверхности и среды, характеризуемых, соответственно, коэффициен-
тами 3 п 3 , по формуле:
/_ \ ; (g—l)d
1 -tK>i '
В случае сложного напряженного состояния согласно (20.9)
(°—1к)й
или согласно (20.6)
2
2
ха
2
ста
о | 9
(‘-1^ (^1K)ad
Тогда, имея в виду, что
= 1.
(20.17)
2
а
и
„ (T-l«)d
п_ ----------
а
на основании (20.17) будем иметь
j_ 2. । 1
„2 ~ 2 + 2
п П,
откуда запас прочности при сложном напряженном состоянии опре-
делится формулой
«а* Пх
П ~ 1/2 , 2
(20.18)
В случае определения запаса прочности при асимметричном цикле
и любом виде циклического нагружения (изгиб, растяжение сжа-
тие, кручение) можно исходить из
схематизированной диаграммы пре-
дельных напряжений для гладких
образцов (рис. 353), представив ее
в виде прямой, проходящей через
точки ‘
в—1 и
имеет
А и
сто
2 ’
вид
ашах
или
стшах
где Фо коэффициент чувствительности
цикла равен:
|.g — 2а-1 ~ ао
go
сто>
с координатами О,
уравнение которой
g0 —1 ст—1
°0
2
2а_л —а о\
-УГ-)
% = а-1 +
= о-i + (1 - фо) ас, (20.19)
материала к асимметрии
(20.20)
В
+ И
570
При действии касательных напряжений уравнение предельной
кривой максимальных напряжений по аналогии с (20.19) будет иметь
вид
xmaX = T-l + (1-(K) V
(20.21)
Значения коэффициентов и <рт для
ионным сопротивлением приведены ниже:
сталей с различным вре-
ав, кГ/ммг Ф?
35—55 0 0
52—75 0,05 0
70—100 0,1 0,05
100—120 0,2 0,10
120—140 0,25 0,15
Предельная амплитуда напряжений для гладкого образца на
основании (20.19) может быть выражена формулой
oa = <Jmax —°с = Vc-
Предельпая амплитуда напряжений для детали (aaK)d будет
(аак)й
°а _ а-1 — Ус
(ка)д (Аа)д
(20.22)
Рис. 354 Рис. 355
а уравнение кривой предельных напряжений для детали (рис. 354)
может быть записано в виде
(amax)d = (°ак)<2 + °с = 1 ~ (^)д] С°‘ (20,23)
Для определения запаса прочности детали, напряжение в которой
на диаграмме предельных напряжений (рис. 355) характеризуется
точкой М с координатами аа, ас, необходимо найти координаты
точки N, находящейся на пересечении луча, выходящего из начала
координат, с кривой предельных напряжений для детали. Координаты
571
точки N определятся из совместного рассмотрения уравнений кривой
(линии) AN предельных напряжений для детали
, а , Г 1
(’max. Щ = ’о (20.24)
и уравнения луча
’max = = 183 «'с. (20.25)
где штрихами обозначены текущие координаты.
Ордината точкп N, лежащей на пересечении прямых AN и ON,
будет одна и та же, т. е.
('•’max, « = amax>
или
откуда находим абсциссу точки N:
----р —
«)д НГ
а.
а-1 %
«)датах '"’с «)д
Учитывая, что са = атах — ас, получим
, а-1 ас
% =
— °.
(20.26)
Подставляя это значение а'
«пах) ясРез ««• получим
в (20.25) и обозначая эту ординату
а—i3max
Таким образом, окончательное выражение для запаса прочности
запишется так:
п __ «к)д _ст—1
атах «)даа V3ac
Аналогично при кручении
При сложном сопротивлении и несимметричном цикле запас проч-
ности может быть определен ио формуле
м = —------,
(20.27)
(20.28)
где п, и п. находят, соответственно, по формулам (20.27) и (20.28).
Выбор запаса прочности при расчетах на действие повторно-
переменных напряжений зависит от точности определения усилий
и напряжений, от однородности материала, качества обработки детали
572
it других факторов. При повышенной точности определения папря.
жсний (в частности, с использованием тензометрировапия), однород-
ном материале и качественной обработке принимают запас прочности
п — 1,3 -т- 1,4.
Для обычной точности определения усилий и умеренной одно-
родности материала п — 1,4 -1,7. При пониженной точности опре-
деления усилий и напряжений, а также при пониженной однород-
ности материала п — 1,7 -=-3,0.
Остановимся па порядке проектировочного расчета на выносли-
вость, например, штока поршневого двигателя, когда даны нагрузки,
действующие на проектируемую деталь (/•>rnax п Pmin); задан мате-
риал, т. е. известны ав, ат, а_1, фа; известна технология обработки
детали; известен тип концентратора (предположим, задан диаметр
поперечного отверстия в детали 6) и требуется определить размеры
детали. При решении поставленной задачи прежде всего устанавли-
вают опасное сечение детали, которым, очевидно, будет сечение в
месте концентратора. Так как соотношения диаметра отверстия кон-
центратора и диаметра самой детали неизвестны, следует задаться
теоретическим коэффициентом концентрации % и для данного мате-
риала по известному (ав) из графика (рис. 345) при Данном ав опре-
делить коэффициент чувствительности материала к концентрации
напряжений qa, а затем по формуле
пайти значение эффективного коэффициента концентрации. Из гра-
фика (рис. 351) находят значение коэффициента р, характеризующего
качество обработки поверхности. Задавшись коэффициентом е, учиты-
вающим размеры, определяют эффективный коэффициент концентра-
ции детали
Затем, задавшись коэффициентом запаса прочности nQ, по формуле
а, а_.F
Yl — — - -—1
(^а) даа '7асс . ^max ^*min . , ^max ^min
(Мд-------2------+ ----------2-----
находят площадь поперечного сечения детали
и Г Р ________ Р . Р Д-Р
е, а /. * max min . . 4 max ~ min
Р = —, L -------2-----+ -------2----.
и ее диаметр
По окончании расчета необходимо проверить правильность выбран-
ного коэффициента г по графику (рис. 347) при известном теперь
диаметре детали d. В случае резкого расхождения полученного зна-
чения е с принятым ранее расчет необходимо уточнить.
В случае проверочного расчета известны форма и размеры детали
(предположим, речь идет о круглом ступенчатом стержне, подвержен-
ном осевой повторно-переменной нагрузке с заданной асимметрией
цикла); заданы максимальный диаметр d и радиус закругления г
в месте сопряжения разных диаметров вала; известен материал детали
573
(ав, cT, 5_t) и качество ее механической обработки Требуется опре-
делить допускаемое усилие, которое может воспринимать деталь.
Решать поставленную задачу следует в таком порядке:
1. Установить теоретический коэффициент концентрации аа, поль-
зуясь, например, графиком, приведенным на рис. 350.
2. По графику (рис. 345) найти коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений qg.
3. Определить эффективный коэффициент концентрации
(Md = 1 + ^ (%-!)•
4. По графику (рис. 347) найти коэффициент влияния абсолютных
размеров е.
5. По графику (рис. 351) определить коэффициент р, учитывающий
качество обработки поверхности.
6. Найти эффективный коэффициент концентрации напряжений
для детали
(Мд ер •
7. Задаться коэффициентом запаса прочности па.
8. Определить амплитуду напряжений, исходя из формулы
_ 0-1 .
(Мд °а + 'Мс ’
1
°а "Г ас
(Мд + Vt-
а
Обычно для некачественных сталей = 0, тогда
a =
а ММд
9. Определить допускаемое амплитудное усилие
р =Р . , = М_.
а mln 8 i
10. Найти среднее усилие
1 4- г
Р —Р - T.L
с М—г'
11. Определить максимальное и минимальное усилия цикла
Р = Р -I- Р :
max 1 а ~ с’
р ____ р . -
min max
Наконец, рассмотрим порядок определения запаса прочности
для вращающегося круглого трубчатого вала с поперечным от-
верстием для смазки 8, испытывающего переменный изгиб при
симметричном цикле с заданным ^тах — совместно с пере-
менным круяением с ^Kpmax при известной асимметрии цикла г.
574
Известен наружный D и внутренний d диаметры вала, материал вала
(ав, ат, а_1, х), а также качество механической обработки поверх-
ности вала.
Задачу следует решать в таком порядке;
1. Определить номинальные напряжения в вале от изгиба и кру-
чения (§ 46, 50):
М
1 max
’max ~ ’
G = а . а = 0:
a max’ °с ’
М
______ кр max
Xmax — wp
Т — 9*<г
min 9 max
xmax Tmin
Xa'" 2
Tmax xmin
xc - 2
2. Определить коэффициент концентрации при изгибе при изве-
стном (рис. 173).
3. Определить по графику (рис. 345) при найденном % и извест-
ном ав коэффициент чувствительности к концентрации напряжений </0
и найти эффективный коэффициент концентрации при изгибе
= 1 + ~ !)•
4. Выбрав по графику (рис. 347) е, а по графику (рис. 351) — р,
определить эффективный коэффициент концентрации для детали
(‘•)д4
5. Определить запас прочности при изгибе по формуле
п а-г - а~г -
° (Мдаа + ФЛ (*а)д «а
(так как для рассматриваемого случая ас = 0).
6. Установить коэффициент концентрации при кручении ат
а также, приняв qx к qa, определить эффективный коэффициент кон-
центрации при кручении
&т = 1+?-
Приняв те же значения е и [3, что и при изгибе, найти эффек-
тивный коэффициент концентрации для детали при кручении
кх
(Мд = 7(Г •
575
7. Определить запас прочности при кручении
T-i
•п - 11
т (^)д та + Фхтс
8. Вычислить общий коэффициент запаса прочности
П°ПХ
Таблица 49
Характеристики циклов повторно-переменного нагруженця
Наименование цикла Pmax: pmin Pmax+Pmin Рс= 2 Ртах-Pmin Ра- 2 Pmin г Ртах
Пс ютоянный положи- тельный £ t_ T’max ~ Pmin^^ И Ъ ъ || В '*4 II 5 53 ° V * ° II г = +1
Несимметричный положительный Р /sj\ ч i—^4— ° о Л Л « с 5 S а. а. 1 о о л О 05 . г*
Пульсирующий положительный Р S S и и Н V О о Рс 2 ^тах Рц 2 ^паах г = 0
Несимметричный Pvj|\A <=> о Л V и я g а а. а. о о Л i' О Л Ci. SJ. —1<г<0
576
П родолжение табл. 49
Наименование цикла Ртах! Pmin Pmax+Pmiii 'е 2 ртах~*Ртт Ра» 2 1 min Ртах
Симметр iP ичны <3 й t S 1 О 1 V 11 i И гГ S? с? II II Ъ о . S го и г = —1
• 4
Песимметр! 1ЧНЫЙ t С ° о £ A V - S .5 V ~£ сГ « о с V + с? с? — оо<^г<^—1
\ / л1\ \ Z \
Пульсирующп отрицательны / й й Q "5 В В —• йэ 3 И А II 1 j Рппп 1 2 1 ^min 1 Г = 00
Несимметричный отрицательный И i 1 О. V V СО —< в в SL Q. Рс<° Ра 0 н-1 <г<4- со
1
Постоянный отрицательный \? t /;тах Anin<''0 Ртах ~ Pmin = Рс<° Ра = ° /• = +1
19 5-1186
577
Глава 21
РАСЧЕТ НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ
§ 116. Расчет на удар при осевом действии нагрузки
Влияние ударного действия нагрузки на величину деформации
или напряжения принято оценивать коэффициентом динамичности
= Л (21.1)
СТ
где ост— деформация упругого элемента (рис. 356, и), при статиче-
ском приложении нагрузки Q (при постепенном увеличении нагрузки
от пуля до ее конечного значения); S —де-
формация (рис. 356,6) при ударном приложе-
нии нагрузки (предположим, при падении
груза Q с высоты //).
Динамическая деформация может быть
выражена через статическую формулой
Вд = * Лт
По аналогии установим связь между дина-
мическим п статическим напряжениями:
= = (21.2)
Чтобы воспользоваться формулой (21.2),
необходимо знать коэффициент динамичности
При определении коэффициента динамичности исходят из допу-
щения, что связь между усилиями и деформациями сохраняется оди-
наковой как при статической РСТ, так и при динамической Р нагруз-
ках, т. е.
EF
где с — —---жесткость стержня.
Вывод формулы для определения коэффициента динамичности
базируется на законе сохранения энергии. Изменение потенциальной
энергии положения груза Т при его падении с высоты II и прохож-
дении пути II -ф 6Д будет
T = Q(H + \).
(21.3)
578
Потенциальная энергия деформации стержня, накопленная при
ударе, может быть выражена формулой
1
На основании закона сохранения энергии запишем
или
с5д
-J = Q(77 4-\). (21.5)
Имея в виду, что 8СТ = / , уравнение (21.5) можно представить так:
S1~2SCT B«-2SCT Н^.
Отсюда определим неизвестную динамическую деформацию
Вд = 5ст ± + 2ВСТ7/-
Удерживая в соответствии с физическим смыслом задачи знак плюс,
последнюю формулу можем представить в виде
5д=5Ст(>+ У' + Я- (21.6)
\ UCT'
Таким образом, в соответствии с (21.2) находим выражение коэф-
фициента динамичности: ______
кд = 1 + 1/1 + (21.7)
°ст
Если учесть, что Н — (у — скорость падающего груза в начале
удара), получим
*д = 1 +
(21.8)
m 277 Тп „ Qv2
Так как *—= т?—, где То = QH у—кинетическая энергия па-
°ст и СТ
4
дающего груза к моменту соударения; Uст = — (>8СТ — потенциаль-
ная энергия деформации стержня при статическом приложении на-
грузки Q, коэффициент динамичности можно также выразить формулой:
Г т
ЛД = 1 + У (21-9)
г СТ
При Н = 0 к^ — 2. Поскольку, как правило, Н > 8СТ, то в йыраже-
нпи для Лд можно пренебречь единицей по сравнению со вторым
слагаемым. Тщда получим
/-цтг -ж Г т
лд-1 + 1/ ~ =1 + ]/ г- = 1 + У Г' (21ло>
д г 0ст ст 17 ст
19*
579
Динамическое напряженно при ударе согласно (21.2)
’я“,'Лг=”от(1 + 1/ 1+*-)«£ +Т/20ЯВ (21)1)
\ г Орт/ г т lb
Динамическая нагрузка при ударе
₽a=v=vOTF=<?(1 + Ki+F)- <2i-i2)
• ' °СТ'
Из анализа формулы (21.11) видно, что при равномерном распреде-
лении напряжений по длине стержня, т. е. когда стержень имеет
постоянное сечение, величина динамических напряжений зависит не
только от площади поперечного сечения стержня F, как это имеет
место при действии статической нагрузки в статически определимых
системах, но и от его длины I и модуля упругости материала Е. При
этом, чем больше объем материала, подвергаемого удару упругого
стержня, тем меньше возникающие в нем динамические напряжения.
С другой стороны, снижение напряжений при ударе в стержне
с выточкой может быть достигнуто путем уменьшения объема упру-
Рис. 357
того элемента за счет уменьшения площади утол-
щенной части и увеличения тем самым деформа-
тпвности стержня. Этой же цели можно достиг-
нуть, взяв материал с более низким модулем
упругости; выравняв площади поперечного сече-
ния по длине стержня; увеличив длину стержня;
а также путем включения буферных пружин.
Учет массы стержня, испытывающего удар,
может быть осуществлен в предположении, что
после смятия и снижения скорости груза на
первом этапе от v до у1э равной скорости дви-
жения верхнего сечения стержня в начале второго
этапа удара, скорость нижележащих сечений умень-
шается по лилейному закону, падая до пуля
в нижнем сечении (рис. 357), т. е. скорость в
любом сечении стержня па расстоянии х от
нижнего конца будет
v (х) = у .
Соответствующая кинетическая энергия элементарною участка
стержня длиной dx в рассматриваемом сечении будет
2
У1
2 , 1Fl
xi dx =
О
а полная кинетическая энергия ударяемого стержня может быть
выражена формулой
с 2g Z2
О
или
Qc
/Т» _ V _____
с~ 3 "2g ’
где Qc — -(Fl — собственный вес ударяемого стержня.
580
Выразим потерю энергии на смятие материала в месте соударе-
ния груза и стержня в течение первого этапа удара (когда скорость
изменяется от v = V2gH до ух) формулой
q 21. .
2g \2g
3 • 2g) ~ 2g
(21.13)
Эту же потерю энергии можно выразить так:
4Г = Тг + Т S(0 - р>’’ = % + "* (‘ + §)]•(21-14)
Приравняв правые части формул (21.13) и (21.14) и решив получен-
ное уравнение относительно vlt найдем
(21.15)
Таким образом, кинетическая энергия, которая при ударе переходит
в энергию деформации ударяемого стержня, будет
T = Qvi, 1 ^cyi_ Qp2
2g + 3 ’ 2g ~ / 1 ’
2g V 3 Q /
Подставив в (21.9) вместо То полученное значение
коэффициент динамичности формулой
яг-
1 + »
м ст
(21.16)
Т, выразим
пли
! , Q»\
8 ф 3 (
Учитывая,'что — Н\ HQ = То, а также, обозначив ~ = р, фор-
мулу (21.17) перепишем в виде
(21.17)
Q<
*д = !
1 +
Го
(21.18)
”1
v
+ 3 Q
Q
Максимальное напряжение при ударе определится формулой
пли
°д ^даот аст
1 н-----
ист
Го
°д аст
и-
2EFII
3 Q ,
1
581
Значения коэффициента, учитывающего массу ударяемого эле*
мента, для некоторых частных случаев приведены в табл. 50.
§ 117. Напряжение при скручивающем ударе
В случае ударного кручения, осуществляемого, предположим, по
‘1ГП ----------------------------------- динамические напря-
определятся
схеме, приведенной' на рис. 358, максимальные
жения
вале
по фор-
дтах
^ДТсттах>
(21.19)
ст
max
211
5ст
(21.20)
в
R=W.
GJP ’
мко QR
WP ~ wP
Здесь Н — высота падения груза; Q — вес падающего груза; R—’
радиус кривошипа; Z — длина вала, /р> WP — полярные момент
инерции и момент сопротивления сечения вала.
Динамические напряжения, возникающие в вале при резком
торможении быстро вращающегося маховика (рис. 359), имеющего
запас кинетической энергии 70>
можно найти, также исходя из за-
кона сохранения энергии
ТО = С7Д, (21.21)
где £7Д — потенциальная энергия
деформации вала при ударном кру-
чении.
Имея в виду, что
Рис. 359
1 Л/ко в!
U —— М ср = ------>
ии 2 кр- Д?Д 2Gjp
и учитывая, что
х = Мкр-Д
дтах WP
или
.. TTZ nd3
кр. д ТДтах ? 16 ТДтах *
можно записать
Т" n2d3l х* IF
j-j Дтах Дтах
ил ~ WGJP 2~ 4G ’
(21.22)
(21.23)
582
Подставив (21.23) в (21.21) и решив полученное уравнение отно-
сительно искомого максимального динамического напряжения, получим
дтах
(21.24)
где кинетическая энергия маховика весом Q, вращающегося с угло-
вой скоростью <о, определится формулой
Г / 7 \2
QD2
8g
Т
1 о
(D — диаметр маховика).
§ 118. Расчет на удар при изгибе
Максимальные динамические напряжения при ударном изгибе
могут быть определены по формуле
Од max ^Д сттах'
где
1+г
(/ст — статический прогиб в месте удара, зависящий
жения и условий опирания).
В случае удара посредине балки с
пзгпбпой жесткостью сечения EJ
(рис. 3G0) получим
- 9J—
'ст ~ 48£J ’ acTmax W 417 ’
от схемы нагру-
а максимальные динамические
жения в этом случае будут
аДтах Д СТтах
г ‘ J-
Обозначив QH — То, будем
QZ /
а = — 1 4
Дтах 417\ 4
папря-
иметь
<№TnEJ
Q4' .
(21.25)
Условие прочности в этом случае запишется так:
. , !)67 J<J
(21.26)
где
(гсд — запас прочности с учетом динамической нагрузки,
текучести материала балки).
ат — предел
583
Учесть массу ударяемой балки можно, применив методику, рас-
смотренную при продольном ударе. Будем полагать, что в конце
первого этапа удара скорость балки в месте падения груза равна vv
Кинетическая энергия груза, очевидно, будет равна . Предполо-
жим также, что при ударе и при статическом приложении нагрузки
(в нашем случае посредине пролета балки) изогнутая ось балки
(в нашем случае посредине пролета балки) изогнутая ось
может быть описана одним и тем же уравнением
w = -~ (3l2z 4z3),
где / = /oft — стрела прогиба балки.
Обозначив величину максимального прогиба посредине балки
через u?max, величину прогиба в сечении на расстоянии z от левого
конца балки определим по формуле
w = (3/22 _ 4z3),
а скорость движения этого сечения из выражения
dw ^wmax 1 /Q,a .
= л = -гг р<зг2-4г)-
Кинетическая энергия элемента балки dz, находящегося на рас-
стоянии z от левого конца балки, будет
,т v^Fdz iF\dwmgi* i I2
= - 2J- = L (3P, — 4z»> j tfz,
а кинетическая энергия всей балки определится формулой
•‘i 2g\rsr) i> “‘-if, 2i\TdT! •
0
Поскольку в конце первого этапа удара скорость посредине балки
равна vlt т. е.
^wmax
~7Г =Р1’
то кинетическая энергия балки в начале второго этапа удара будет
<21эт>
Выразив потерю энергии на смятие в месте удара за первый
этап в виде
\Т — = _2_ [у2 _ v2 (1 1Z . (21.28)
2g \ 2g ' 35 2g V11 2g L \ ' 35 Q /] ’ ( >
584
или
дг = ^ f (0-^ =
<? п । 2
= У — 2Wj 4- V!
Л ,17 ^1
V+35’ Q /J ’
(21.29)
а затем, приравняв правые части уравнений (21.28) и (21.29) и решив
полученное уравнение относительно vlt найдем
v
17 1F/'
35’ Q
(21.30)
Кинетическая энергия системы (балка — груз), которая должна
трансформироваться в энергию деформации балки при ударе, опре-
делится формулой
Ф1 17 fFl 2 Qv* 1
~ 2g ' 35 2g V1~ 2g 17 fFZ'
1 ' 35 ~Q
(21.31)
Обозначив
формулу (21.31) можем переписать в виде
гг_________^0______
“ ! , 17 tFl •
1 + 35 V
(21.32)
Максимальное динамическое напряжение согласно формуле (21.25)
после замены в ней Тп на Т определится так:
а
Дтах
96rFj\
+ Q2Z3 /’
пли с учетом (21.32)
°дтах Дасттах 4 ТУ
9QT0EJ
O2l3 (1 J- — .
Ч 1 \ +35 Q ,
(21.33)
Т -пп- <2у2
где
*д = 1 +
96T0FJ
02J3 (1 I 1Z . 7^7
V V + 35 Q ,
(21.34)
585
Таблица 50
Значения коэффициента а, учитывающего массу ударяемого
элемента в формуле коэффициента динамичности
= 1 + |/"1 + ®ст(ц-« . =1 + ]/"1 + (1 + «. W
Н — высота падения ударяющего тела; v — скорость ударяющего тела
в момент начала удара; &ст— деформация ударяемого упругого эле-
мента при статическом приложении силы, равной весу ударяющего
тела; ? = гДе ^эл—вес Ударяемого элемента, Q — вес ударяю-
щего тела; g— ускорение силы тяжести
67
336
586
П родолжение табл. 50
Схема упругого элемента
и характер его нагружения
2 -j- 4т) — т)2 — 64 Зт;4
1054 (1 — г()2
8 Ч- V* (140 4~ 231т, 4- 99-rj2)
420 (1 43 4
105 — 105т( 4- 354 — 24
1404
24 — 24т; — 44 4~ 84 — 4
3\4 (5^ — 4 — 4)2
3 4->1-4
1404 (1 — 42
£
15
И
15
Глава 22
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
§ 119. Основные понятия и формулы для определения
контактных напряжений и деформаций
новных задач о контактных
Напряжения и деформации, возникающие при взаимном нажатии
двух соприкасающихся тел, называются контактными. Материал
в месте контакта, не имея возможности
свободно деформироваться, находится
в объемном напряженном состоянии
(рис. 361). Контактные напряжения
имеют чисто местный характер и весьма
быстро уменьшаются по мере удаления
от места соприкосновения. Контактным
напряжениям следует уделять сущест-
\ венное внимание при расчете на проч-
\ность таких деталей, как шариковые
ш роликовые подшипники, зубчатые
колеса, колеса подвижного состава,
рельсы и т. п.
\ Впервые правильное решение ос-
напряжениях и деформациях было про-
ведено методами теории упругости в 1881—1882 гг. Г. Герцем.
Ниже приведены некоторые формулы для определения контакт-
ных напряжений и деформаций, полученные при следующих пред-
положениях:
1) напряжения в зоне контакта не превышают предела упругости;
2) площадки контакта малы по сравне-
нию с поверхностями соприкасающихся
тел;
3) силы давления, распределенные по
поверхности контакта, нормальны к этой
поверхности.
Сжатие шаров. Радиус круговой пло-
щадки а (рис. 362), образующейся в месте
контакта при взаимном нажатии силой Р
двух шаров с радиусами и Л2 и моду-
лями упругости материала соответственно
Ег и Е2, определяется по формуле
Нормальные (сжимающие) напряжения на площадке контакта
распределены по полусфере. Наибольшее напряжение, имеющее место
588
в центре площадки контакта, может быть определено по формуле
аз = -| °max l = -t5
р
па2
«• »-»2 i-»2
Zll Zl2
— 0,388 4Р------------------------
(^i + Д2)2
(Д1 + Д2)2
Н21 д!
(22.2)
Два других главных напряжения в центре площадкп равны:
а1 = а2 = — 0,8 | атах |.
Благодаря объемному напряженному состоянию материала
в центре площадки контакта, при котором все три сжимающие
Рис. 363 Рис. 364
напряжения практически одинаковы, материал здесь может выдер-
живать без появления остаточных деформации весьма большие дав-
ления, составляющие, например, согласно четвертой теории прочно-
сти величину атах =/5ат- Для стали, у которой спц = 10000 кГ]см2,
атах Достигает 50 000 кГ/см2.
Наиболее опасная точка в зоне контакта расположена на оси z,
на глубине, равной примерно половине радиуса площадки касания.
Главные напряжения в этой точке равны:
ai = а2 = — 0,18атах; а3 = -0,8атах, (22.3)
где атах определяется по формуле (22.2).
Наибольшее касательное напряжение в опасной точке
= 11-^3 = 0,310^. (22.4)
Максимальные напряжения, возникающие в площадке при дав-
лении шара па вогнутую сферическую поверхность с радиусом Т?2
(рис. 363), получим по формуле (22.2), заменив в ней знак при 7?2
на обратный:
3 /
ашах = 0,388 у/
El Ez2
4Р------
(Д1 + Д2)2
(Д2-Д1)3
(22.5)
589
При давлении шара радиусом Rt = Л на плоскость (рис. 364),
напряжения определим по формуле (22.5), приняв в пей R2 = 00:
1 / е[е2 1
атах = °>388 у (£j + £з)2 *
(22.6)
Сжатие цилиндров. При взаимном сжатии равномерно распреде-
ленной нагрузкой q двух цилиндров, соприкасающихся параллель-
ными образующими (рис. 365), ширина прямоугольной площадки
контакта определяется по формуле
Наибольшее напряжение, действующее в топках оси площадки каса-
ния, определяется формулой
= 1.27 f = 0.418 /2,^.
(22.8)
R\ + z?2
Ri R,
Опасная точка в зоне контакта находится па осп z па глубине,
равной 0,46. Главные напряжения в этой точке имеют следующие
значения:
°1 — 0Д80°тах;
а,2 ~ 0>288атах:
а3 = -0,780атах.
Максимальное касательное напряжение в опасной точке
тшах 0,3атах-
(22.9)
(22.10)
590
Изменив в формуле (22.8) знак при Т?2 на обратный, получим напря-
жение в случае давления цилиндра на вогнутую цилиндрическую
поверхность
^1 ^2
+ ^2
^2
/?2
(22.11)
При взаимном давлении цилиндра радиусом Rx = R и плоскости,
приняв в (22.8) /?2 = оо, найдем
»ш„= 0.418 /
^2
#1 + ^2
(22.12)
Приведенные выше формулы получены при коэффициенте Пуас-
сона р. = 0,3. Однако в практических расчетах они пригодны и при
других значениях р.
В общем случае контакта двух тел из одинакового материала,
сжимаемых силой Р в направлении осп z (рис. 366) и касающихся по
плоскости АВ, при радиусах кривизны первого тела р! и р/; второго
тола р2 и р2' (полагаем, что р, р/ р2 р-/) полуоси образующейся
эллиптической площадки контакта определяются формулами:
(22.13)
(22.14)
где р. — коэффициент Пуассона.
Ниже приведены значения коэффициентов а и Р как функций
вспомогательного угла ф, вычисляемого по формуле
где ср — угол между главными плоскостями кривизны тел, в которых
лежат радиусы pj и р2. Знаки в формуле (22.15) выбираются так,
чтобы cos ф был положительным.
591
ф” а ф0 а ₽
20 3,778 0,408 60 1,486 0,717
30 2,731 0,493 65 1,378 0,759
35 2,397 0,530 70 1,284 0,802
40 2,136 0,567 75 1,202 0,846
45 1,926 0,604 80 1,128 0,893
50 1,754 0,641 85 1,061 0,944
55 1,611 0,678 90 1,000 1,000
Наибольшее напряжение в центре площадки контакта
„ Г Р
°тах = Г
шах r.ab
(22.16)
Наиболее опасная точка расположена на оси z па некоторой глубине,
Ъ
зависящей от отношения —.
а
Максимальное касательное напряжение не зависит от указанного
отношения и равно
Tmax — 0»32<Jmax.
(22.17)
Как следует из приведенных формул, контактные напряжения
зависят от упругих свойств материала и не являются линейной
функцией нагрузки, так что темп их роста отстает от темпа увеличе-
ния сжимающей нагрузки. Это объясняется тем, что с увеличением
нагрузки увеличиваются и размеры площадки контакта. В табл. 51
приведены расчетные формулы для определения параметров коптакза
двух тел (коэффициентов А и В уравнения эллипса касания, раз
мера площадки контакта, наибольшего контактного напряжения
°шах й взаимного сближения Д). Для упрощения вычислений по при-
веденным формулам в табл. 52 даны значения входящих в них коэф-
фициентов па, пь, пр, ns в зависимости от отношения А п Д.
§ 120. Проверка прочности
при контактных напряжениях
Проверку прочности при контактных напряжениях следует произ-
водить по третьей или четвертой теории прочности:
°9КВ ill ~ ci ~ сз < [°]-
°экв IV -
1(01 ~ °2)2 + (°2 ~ °з)2 + (Сз ~ 01)2 W-
592
Подставив в эти формулы ах, с2, а3, выраженные через сшах в центре
площадки контакта, запишем условия прочности в виде
сэкв mcmax
(22.18)
откуда
°max т М Мкопт’
гДе Мконт = -77----допускаемое напряжение для наибольшего напря-
жения в месте контакта. Значения коэффициента т в зависимости от
„ .. b
соотношения полуосей эллиптическом площадки — приведены ниже.
ь °ЭКВ III %кв IV
т s= т “
а °max атах
1 (круг) 0,620 0,620
0,75 0,625 0,617
0,50 0,649 0,611
0,25 0,646 0,587
0 (полоса) 0,600 0,557
Можно рекомендовать следующий порядок расчета на прочность
элементов конструкции в местах контакта:
1. Определить главные радиусы кривизны контактирующих тел
Pi» Pi’, р2> Рг*- а также угол ф между их главными плоскостями
кривизны.
2. Вычислить по формулам (22.13) и (22.14) с учетом (22.15)
размеры полуосей эллиптической площадки контакта.
3. По формуле (22.16) определить атах, а в случае круглой
и прямоугольной площадок контакта по формуле (22.2) или (22.8)
соответственно, не определяя размеров площадки.
4. Расчет па прочность можно производить по формуле (22.18),
находя значения т по вышеприведенной таблице. При этом рекомен-
дуется исходить ш четвертой теории прочности.
5. Для роликовых и шариковых подшипников [с]к0Пт=
— 35000-т-50000 «Р/сл12; для рельсовой стали — 8000 н- 10000 кГ/см2.
В табл. 53 приведены наибольшие допускаемые давления
на площадке контакта при первоначальном контакте по линии
(т = 0,557) и статическом нагружении. В случае первоначального
контакта в точке значение [о]конт следует увеличить в 1,3 4-1,4
раза.
593
Расчетные формулы для определения параметров контакта двух тел
Схема касания Коэфф н уравнения каса А шснты эллипса НИЯ И Размеры площадки контакта
Два сфериче-
ских тела
Д1 + Д2 +
27?^ Т?2 22?1 R2
а = b — 0,9086 х
Шар и сфери-
ческое углуб-
ление
^2 Ri
2RX R2
^2 Hi
2Rr R2
E2 7?i
a = b — 0,9086 x
Если Ег = E2 = E
^1^2
594
Таблица 51
Наибольшее напряжение. ’тах
Сближение соприкасающихся тел, Л
0,8255 х
и == р.2 = 0,3, то
0,388 РЕ2
1,231
Rj 4~ ^2
7?1 Т?2
max т = 1 amax;
max а, — 0,133а
1 ’ Ш<1л
0,5784 X
0,8255 X
max si = 0,133а v
' llldX
595
Схема касания Коэффициенты уравнения эллипса касания
А В
Сферическое тело и плос- кость 1 1
2R 2R
----------------------------------..j
Размеры площадки контакта
а = Ь — 0,9086 х
Сферическое
тело и цилиндр
1
27?!
-
Ж+ а = l,145na X
+4-) Т?2/ 1 / п /?i Т?2 /1 — Их 1 — Х ]/ Р 2R2 + rA Ег 1 Е2 ) Ъ — 1,145«ь X
1/ П Т?х/?2 /1-Р-!8 , 1-^' Х V Р 27?2 + 7?Д £х 1 Е2 ) Если Ег = Е2 = В а- 1 897» V Р Д‘ Яг а-1,)5Лпау Е 2R2 + Rt 1 р Pt r2 &-l,397nby Е 27?2_|_/?i
596
Продолжение табл. 51
Наибольшее напряжение, <?max Сближение соприкасающихся тел, А
и |4 = [4 = 0,8, то
1
max т g сщах’
max <st = 0,133amax
и j = р.2 = 0,3, то
0,243/гр X
О,977пд
1/ (JL\2 2R* +
Y \E } RJli
597
Схема касания Коэффициенты уравнения эллипса касания A j В Размеры площадки контакта
Сферическое тело и цилипд- 2 \ 7?1 1 'l Я2/ 1 27?! а = l,145na X
ричсскии лоб Pl же- z 1/ Р Д1 1'-^ , 1-|Д^ х |/ pzr2-r1[ Е1 ] Е2 ) Ъ = 1,145/гь X
^7//
д / /?х т?2 М — и! * — и£\ 2/?2 — 7?х \ Ег Е% / Если El — Ei = E 3 Г р рп а = 1,397па 1/ 2„- J & Z/io /1| . _, oQ7 1/ JL b — l,397nb у E 2^ — ^
яа>
Сферическое 1 ( 1 1 П; + +43) a — 1,145па X
гели и к вой жел (шарико подшит Р руги- 00 вый 1ИК) rxjzz Я8 2 \7?! 1 \ ~Кг) 63 „ II Ci Ci . CQ f- г 2 4 ' 1 4 + 11 '+ Jk£ x ’+ ’!« * П , <N - , = । « | e w 1 3 J S । Щ см |cf ы , || .
3 / A
a — l,oJiHa B/2II * +
1/
6-l,oJ7/i0 I/ 2 1 . J_ г -r2+ r3
598
ITродолжение табл. 51
Наибольшее напряжение, стах Сближение соприкасающихся тел, Д
0,365«р X 0,655«д X
3 Г ^п2-пЛ2 1/ „-А Г [ Е± + Е2 ) и глг == [л2 = 0,3, то 3 / 2 . 2,2 х 1 / „а 2Л,-В, '-К <-ИЛ V RxR2 \ Е1 1 Е2 /
0,245«р1/ РЕ2 Г X ^2 / °.977»д}/(£)
0,б55пд X
ц [ij = [л2 = 0,3, то
1 /" /2 1 1 V
0,245«рУ +
2
599
1
Схема касания
Коэффициенты уравнения эллипса касания
А В
Размеры площадки контакта
а = l,145na X
Роликовый
подшипник
1 — Н 1 — ^2
+
i______1_
я4
b = 1,145пь X
1-Н
Е,
_1___1_
Я3 Я4
Если Ег ~ Е2 = Е
а = 1,397па~^/
/ А Е
1 1 1 1 я4
b = i,397nb'^// / Z. Е
1 -|0? + + ^|о: 1 т?4
>00
Продолжение табл. 51
Наибольшее напряжение, аюах Сближение соприкасающихся тел, Д
0,365«р X 0,655пд X
X ty | + + + 7 -з| * to “ “ -₽ 1 . м м — 1 tC X 1 । 1 « , + ,.-+ I О zi. 'Г 1 ч -Г С4 Ом
и fij = jig = 0,3, то
0,245пр х 0,977пд X
3/ /1 1 1 1V У,р(л.Ъ;Ъ, J X tq| 1э йз| ~ + Ю 1 + Sol со 1 Sol >- IU 1
601
Схема касания Коэффициенты уравнения эллипса касания А | В Размеры площадки контакта
Цилиндры со
взаимно пер-
пендикуляр-
ными осями
1
2Я2
1
2/?х
а ~ l,145na X
b = l,145nb X
1 Гр П, ". I
V Я2 + Я, \ Ег Ег !
Если Ег = Е2 — Е/
а = 1,397па]/
Р 7?i /?2
Е + Rt
3/ b — 1,397пь 1/ г Р /?1 Т?2
Е Л2 + /?1
При
3 Г PR
а = Ь = 1,109 1/
Г Е
602
Продолжение табл. 51
603
Схема касания Коэффициенты уравнения эллипса касания A j В Размеры площадки контакта
Полуширина полоски контакта
Цилиндры
с параллель-
ными осями
Ъ = 1,128 х
,/я Я,Я, p-lh , 1-1^
V / я, + яД я, + я, /
При
Ь = 0,798 X
Если Ех = Ег — Е
1,522 1/^ Т L& п.^ -j- /t2
При
Ь = 1,076 1/4г- г IE
604
Продолжение табл. 51
Наибольшее напряжение, атах
Сближение соприкасающихся тел, Д
0,5642 X
4- ^2
р В2
1 . 2 . 2
1 1 ~ , 1 ~ ^2
"Х~ + е2
2Р
гЛ
Г1 -нД
1п
+ 0,407^ +
о /
1 Р-2 /. 27?2 а Л \1
+ -£Г(1П-Т+°’407)]
пг = П2 = В
0,798
-5^-[(in ^- + 0,407') X
tzI L\ о /
2 2
/1 — н 1 — |Л8\ |
Ц Еу + Е2 Л
11 Pi — 14 — 0,3, то
0,418
I f РЕ Ру + /?2
Г I /?! Я2
0,5796-Дг( In
IE \
+ 0,814
/»| — /?2 — 7?
1 / ре
°,591 У
0,5796 In
4/?2
&
0,814
605
Схема касания Коэффициенты уравнения эллипса касания Размеры площадки контакта
А В
Цилиндр и цилиндриче- ская впадина с параллель- ными осями 1 / 1 2 \ /?, 1 nJ Полуширина полоски контакта 6 = 1,128 х
-1 / Р 7?, /?2 /1 — , 1 — |4\
хч У 1. Н2 — Ну \ Еу 1 Е2 } Если Еу — Е2 — Е
b 1 522 1/ ?
& — 1,5^ lE Ri_Ri
Цил1 и пл 1НДР оскость 1 — 1 27? Полуширина полоски контакта b = 1,131 X 1 Г PH Л — Hi . 1— х V 1 \ Еу 1 Es / Если Еу = Е2 = Е 1 Г PR Ь = 1,526 1/ 4^- Г L&
Два тела, огра- ниченные криволиней- ными поверх- ностями и соприкасав- шиеся до де- формации в одной точке Большая полуось эллипса 3 Г 2 . 2. •j / з М — н ,1 — р-2\ р ’-Д/ 2U, + е, ; у,£ Малая полуось эллипса . т/з/1-^ , i-Z Р 2 ( El I Ег ) Р — нагрузка. Е — модуль упруго- сти; р. — коэффициент Пуассона; 1 и 2 — индексы, соответствующие первому и второму телам; — сумма главных кривизн поверхно- стей соприкасающихся тел в месте первоначального контакта
606
Продолжение табл. 51
Наибольшее напряжение, атах Сближение соприкасающихся тел* Д
0,5642
и [лх — [л2 = 0,3, то
РЕ /?2 — R.
I /7, 7?2
1,82 ~(1- In b)
4Д
Уменьшение размера диаметра ци-
линдра между двумя сжимающими
его гранями (с учетом контактных
и общих деформаций цилиндра)
Р / 47?\
Д£) = 1,159-Д- 0,41 + !п^
\ о /
1
«дуХ
607
Таблица 52
Численные значения коэффициентов па, пь, пр, пд
А В па пь Пр
1,0000 1,000 1,0000 1,0000 1,0000
0,9623 1,013 0,9873 0,9999 0,9999
0,9240 1,027 0,9742 0,9997 0,9997
0,8852 1,042 0,9606 0,9992 0,9992
0,8459 1,058 0,9465 0,9985 0,9985
0,8059 1,076 0,9318 0,9974 0,9974
0,7652 1,095 0,9165 0,9960 0,9960
0,7238 1,117 0,9005 0,9942 0,9942
0,6816 1,141 0,8837 0,9919 0'9919
0,6384 0,5942 1,168 1,198 0,8660 0,8472 0,9890 0,9853 0,9889 0,9852
0,5489 1,233 0,8271 0,9805 0,9804
0,5022 1,274 0,8056 0,9746 0'9744
0,4540 1,322 0,7822 0,9669 0^9667
0,4040 1,381 0,7565 0,9571 0,9566
0,3518 1,456 0,7278 0,9440 0,9432
0,3410 1,473 0,7216 0,9409 0^9400
0,3301 1,491 0,7152 0,9376 0,9366
0,3191 1,511 0,7086 0'9340 0,9329
0,3080 1,532 0,7019 0,93- 0,9290
0,2967 1,554 0,6949 0,9262-’- 0,9248
0,2853 1,578 0,6876 0,9219 0,9203
0,2738 1,603 0,6801 0,9172 0,9155
0,2620 1,631 0,6723 0,9121 0,9102
0,2501 1,660 0,6642 0,9067 0,9045
0,2380 1,693 0,6557 0,9008 0,8983
0,2257 1,729 0,6468 0,8944 0,8916
0,2132 1,768 0,6374 0,8873 0,8841
0,2004 1,812 0,6276 0,8766 0,8759
0,1873 1,861 0,6171 0,8710 0,8668
0,1739 1,916 0,6059 0,8614 0,8566
0,1603 1,979 0,5938 0,8507 0,8451
0,1462 2,053 0,5808 0,8386 0,8320
0,1317 2,141 0,5665 0,8246 0,8168
0,1166 2,248 0,5505 0,8082 0,7990
0,1010 2,381 0,5325 0,7887 0,7775
0,09287 2,463 0,5224 0,7774 0,7650
0,08456 2,557 0,5114 0,7647 0,7509
0,07600 2,669 0,4993 0,7504 0,7349
0,06715 2,805 0,4858 0,7338 0,7163
0,05797 2,975 0,4704 О',7144 0,6943
0,04838 3,199 0,4524 0,6909 0,6675
0,04639 3,253 0,4484 0,6856 0^6613
0,04439 3,311 0,4442 0,6799 0,6549
0,04237 3,373 0,4398 0,6740 0,6481
0,04032 3,441 0,4352 0,6678 0,6409
0,03823 3,514 0,4304 0,6612 0,6333
808
Продолжение табл. 52
А В пь tip «д
0,03613 3,594 0,4253 0,6542 0,6251
0,03400 3,683 0,4199 0,6467 0,6164
0,03183 3,781 0,4142 0,6387 0,6071
0,02962 3,890 0,4080 0,6300 0,5970
0,02737 4,014 0,4014 0,6206 0,5860
0,02508 4,156 0,3942 0,6104 0,5741
0,02273 4,320 0,3864 0,5990 0,5608
0,02033 4,515 0,3777 0,5864 0,5460
0,01787 4,750 0,3680 0,5721 0,5292
0,01533 5,046 0,3568 0,5555 0,5096
0,01269 5,432 0,3436 0,5358 0,4864
0,009934 5,976 0,3273 0,5112 0,4574
0,007018 6,837 0,3058 0,4783 0,4186
0,003850 8,609 0,2722 0,4267 0,3579
Таблица 53
Допускаемые да^елия на площадке контакта при первоначальном
контакте по линии и статическом нагружении
Марка металла Временное сопротивле- ние, кГ/ммг Твердость по Бринелю Допускаемое максимальное давление на площадке контакта 1а1конт> кГ/слс2
Сталь 30 48—60 180 8500—10500
40 57—70 200 10000—13500
50 63—80 230 10500—14000
50Г 65-85 240 11000—14500
15Х 62—75 240 10500—16000
20Х 70—85 240 12000—14500
15ХФ 160—180 240 13500—16000
ШХ15 •—• 38000
Чугун СЧ21-40 96 180—207 8000—9000
СЧ24-44 100 187—217 9000—10000
СЧ28-48 110 170—241 10000—11000
СЧ32-52 120 170—241 11000—12000
СЧ35-56 130 197—255 12000—13000
СЧ38-60 140 197—255 13000—14000
20 fe-11%
603
Дополнение
ДЕВЯТЬ НОВЫХ АНАЛОГИЙ В СОПРОТИВЛЕНИИ
МАТЕРИАЛОВ
В работах [30,31] предложены девять новых аналогий, базирую-
щихся па идентичности дифференциальных уравнений в задачах
нахождения для стержней продольных сил и продольных перемеще-
ний при осевом растяжении — сжатии, угловых деформаций и угло-
вых перемещений при кручении, угловых деформаций и сдвиговых
линейных перемещений при сдвиге, обобщенных поперечных сил
и изгибающих моментов, углов поворота и прогибов при изгибе.
Ниже формулируются эти аналогии.
А п а л о г и я 1. Задачи нахождения продольных сил и перемеще-
ний при осевом растяжении — сжатии стержня эквивалентны задачам
нахождения обобщенных поперечных сил и изгибающих моментов при
изгибе взаимной балки. Условия эквивалентности и взаимности
таковы:
п (х) -—?(*); (Д.1)
EF (х) *
N (х) (Д.2)
ЕЕ (х) 4
и (х) ц £ М (х). (Д-З)
Здесь п (х) — интенсивность распределенной продольной нагрузки;
q(x)— интенсивность распределенной поперечной нагрузки; N (х)—
продольная сила; EF (х)—жесткость при растяжении — сжатии;
Q* (г) — обобщенная поперечная сила, Q* (х) ~ Q (х) т (х); и (х) ~
продольное перемещение; М (х) — изгибающий момент; т (х) — интен-
сивность распределенной моментной нагрузки.
А п а л о г и я 2. Задачи нахождения продольных усилий и переме-
щений при осевом растяжении—. сжатии стержня эквивалентны зада-
чам нахождения углов поворота и прогибов при изгибе взаимной балки.
Условия эквивалентности и взаимности таковы:
II U) _ М (х) (Д-4)
EF (х) " EJ (х)
N (х) _ £ а (х); (Д-5)
EF (х) 4
и (х) * w (х). (Д.6)
Здесь EJ (х)—жесткость при изгибе; а (х)—угол поворота; w (х)—
прогиб.
610
Аналогия 3. Задачй нахождения угловых деформаций и линей-
ных сдвиговых перемещений при сепарированном сдвиге стержня экви-
валентны задачам нахождения продольных сил и продольных перемеще-
ний при растяжении — сжатии взаимного стержня. Условия эквива-
лентности и взаимности таковы:
<7 (г) к ; п (х)
GF (х) EF (х) ’
7 (ж)
N (х)
~EF (х)
v (х) £ и (х).
(Д.7)
(Д8)
(Д.9)
Здесь GF (а?)— жесткость при сдвиге; к — коэффициент, характери-
зующий неравномерность распределения касательных напряжений по
высоте сечения; 7 (а;)— относительный сдвиг (угловая деформация):
v(x')— сдвиговое линейное перемещение.
Аналогия 4. Задачи нахождения угловых деформаций и линей-
ных сдвиговых перемещений при сепарированном сдвиге стержня экви-
валентны задачам нахождения угловых деформаций и угловых переме-
гцений при кручении взаимного стержня. Условия эквивалентности
и взаимности описываются формулами:
q (х) к ., тк (а?)
GF (х) GJK (х) ;
7 (ж) £ 0 (х);
v (х) <? (ж).
(Д.Ю)
(Д.11)
(Д.12)
Здесь тк (х)—интенсивность распределенной крутящей нагрузки:
GJK(a;)—жесткость при кручении; 0 (х)—угловая деформация (отно-
сительный угол закручивания); (ж) —• угловое перемещение (угол
закручивания).
А па лог и я 5. Задачи нахождения крутящих моментов и углов
закручивания при кручении стержня эквивалентны задачам нахождения
обобщенных поперечных сил и изгибающих моментов при изгибе взаим-
ной балки. Условия взаимности и эквивалентности таковы:
тк(ж) - —9 (*); (Д.13)
GJK (z) “
Мк (ж) GJK{x) 4 : Q* (ху, (Д.14)
<р(а?) ; М (х). (Д.15)
Здесь Мк (х) крутящий момент.
2С* 611
Аналогия 6. Задачи нахождения продольных сил и переме-
щений при растяжении—< сжатии стержня эквивалентны задачам
нахождения крутящих моментов и углов закручивания при кручении
взаимного стержня. Условия взаимности и эквивалентности таковы:
п (ж) _ тк (*)
ЕЕ (х) *• GJK (ж) ;
N(x) ^к(ж)
ЕЕ(х) *’ GJK (х) :
«(ж) 2 ? (х)-
(Д.16)
(Д-17)
(Д 18)
Аналогия 7. Задачи нахождения угловых деформаций и линей-
ных сдвиговых перемещений при сепарированном сдвиге стержня экви-
валентны задачам нахождения обобщенных поперечных сил и изгибаю-
щих моментов при изгибе взаимной и взаимности таковы: балки. Условия эквивалентности
-^r-fc£<7* И; (Д19)
у (ж) ц - М (ж); (Д.20)
7 с*); - Q* (х). (Д.21)
Аналогия 8. Задачи нахождения угловых деформаций и линей-
ных сдвиговых перемещений при сепарированном сдвиге стержня экви-
валентны задачам нахождения углов поворота и прогибов взаимной балки.
Условия взаимности и эквивалентности выражаются формулами:
9(*) I.-+ GE М (ж) ~ЕГ’ (Д-22)
v{x) $ w(x)‘, (Д.23)
% 7(^)2 а (ж). (Д.24)
Аналогия 9. Задачи нахождения крутящих моментов и углов
закручивания при кручении эквивалентны задачам нахождения углов
поворота и прогибов взаимной балки при изгибе. Условия взаимности
и эквивалентности таковы:
тк(г) М (х)
GJK (ж) EJ (ж)
Мк (ж)
GJK(x)
а (ж);
? (я) О) (ж).
(Д-25)
(Д.26)
(Д 27)
612
Проиллюстрируем некоторые аналогии примерами, взятыми из
указанных статей.
Пример 1. Тяжелый призматический стержень находится под
действием силы тяжести, представляющей собой осевую равномерно
распределенную нагрузку интенсивностью п (х) = yF (рис. 367, а).
Здесь F — площадь поперечного сечения; у — объемный вес. Покажем
для этого случая применение аналогии 1. В заданном стержне гра-
ничные условия таковы: при ж = О и=0 и при х = I и *= 0. В соот-
ветствии с (Д.З) взаимный стержень должен быть выбран так, чтобы
Рис. 367
изгибающие мо.менты по концам равнялись пулю. Этому условию
удовлетворяет балка на двух опорах (рис. 367, б). В соответствии
Fy т
с (Д.1) фиктивная нагрузка для этой балки q (х) —-------- ------- ,
hr h
где Е— модуль упругости. Теперь достаточно для этой взаимной
(фиктивной) балки построить от фиктивной нагрузки две эпюры:
поперечных сил (рис. 367, в) и изгибающих моментов (рис. 367, г).
Первая эпюра в соответствии с (Д.2) представляет эпюру продольных
N (х)
сил, вторая — эпюру продольных перемещении.
Пример 2. Тяжелый призматический брус закреплен у верх-
него конца (рис. 368, а) и находится под действием собственного
веса. Покажем и па этом примере применение аналогии 1. Граничные
условия здесь таковы: при х = 0 /V — 0 при х = 1 и—0. В этом
случае взаимная балка должна быть выбрана так, чтобы поперечная
сила на одном конце и изгибающий момент на другом равнялись
нулю. Соответствующая балка показана на рис. 368,6. Эпюра Q (х)
N (х)
(рис. 368, в) соответствует эпюре , а эпюра М (х) (рис. 368, г)
Ее
соответствует эпюре и (х).
При м е р 3. Для стержня, показанного на рис. 369, а, применим
шалогию 2. В соответствии с (Д.6) граничные условия во взаимной
балке должны быть таковы, чтобы по концам прогибы равнялись
нулю. Этим условиям удовлетворяет балка, показанная на рис. 369, б.
613
7 М
В соответствии с (Д.4) ~ представляет собой момоптпую
нагрузку, а потому эпюры Q(x) (рис. 369, в) п М (х) (рис. 369, г) от
этой нагрузки будут эпюрами углов наклона и прогибов, которые
N (х)
в свою очередь являются эпюрами - п и(х).
Пример 4. Защемленный с двух концов круглый вал закру-
Рис. 368
Рис, 369
чивается равномерно распределенными крутящими моментами интен-
сивностью тк (рис. 370, а). Покажем на этом примере приложение
аналогии 5. Граничные условия в заданном стержне таковы: при
х = 0 ср = О и при х = 1 =0. В соответствии с (Д.15) во взаимном
стержне па концах изгибающие моменты должны равняться нулю.
Взаимная балка показана на рис. 370, б. Фиктивная нагрузка
614
ствует
m (x)
-G4
В соответствии с (Д.14) и (Д.15) эпюра Q(x") соответ-
Л/к (х)
"к
(рис. 370, в), а эпюра М (х) — эпюре углов закручива-
ния ср (х) (рис. 370, г).
Пример 5. Ступенчатый вал (рис. 371, а) закручивается двумя
сосредоточенными моментами. Взаимная балка постоянного попереч-
Рис. 370
Рис. 371
q&) =
ного сечения, по продольным размерам и схеме нагружения соответ-
ствующая исходному валу, но с приведенными значениями длин,
т. е. с различным масштабом приведенных участков, показана на
рис. 371,6. Здесь Jp и Jp— полярные моменты инерции сечений
вала слева п справа. Теперь для решения задачи осталось построить
две эпюры Q и Л/ (рис. 371, в, г).
Подобным образом могут быть применены для решения задач
и другие аналогии. Приведенные аналогии значительно расширяют
возможности эффективного использования материала справочника. Ряд
данных, относящихся к одному виду папряжепно-деформированного
состояния стержня, может быть с помощью аналогий использован
ори рассмотрении других видов деформаций.
615
Физики-механические свойства материалов
(для ориентировочных расчетов)
ав ♦— предел прочности при растяжении (для дерева — вдоль волокон);
а0 —предел прочности при сжатии (для дерева — вдоль волокон);
°и -предел прочности при изгибе;
тв —предел прочности при кручении;
тср —предел прочности при срезе (для дерева —вдоль волокон);
апц — предел пропорциональности при растяжении;
ат —предел текучести при растяжении;
Материал Предел прочности, кГ/мм* Предел текучести, пропор- циональности, кГ/лш* Предел выносливо- сти, кГ/мм?
Углеродистые
обыкновенного
ГОСТ 380—60
Ст. 1
Ст. 2
Ст. 3
Ст. 4
Ст. 5
Ст. 6
ГОСТ 5520 — 62
15К
20К
ав = 32 — 40 ат = 18 ю ММ сч 1 1 1 СМ СО 00 и 7 II 7 7 7 1 О Р о
ав = 32 — 40 ат = 19 — 22 со см со ’Ч С4- 1 1 1 см t^oo 7 'll II ft К н 7 1 1 1 о р о
ав = 38 — 47 ат = 21 — 24 о м м 7 77 СМ Г-О 7 1! II а -и w 7 f 1 1 о р
св = 42 — 52 ст = 24 — 26 а__х = 19 — 25
ав = 50 — 62 ат = 26 — 28 Q a a j I i 5“ и и 7 S3 м 7] w. W ГС ОО О to
Зв = 60 — 72 ат = 30 — 31 19 —25 <з_1 = 25 — 34 т_j = 15 — 20
специального
аВ = 38 ат = 21 -23 г—
ав = 41 от = 23 -25 •—
616
Приложение 1
°о,1 —условный предел текучести при растяжении (деформация 0,1%);
ат с —предел текучести при сжатии;
ст и — предел текучести при изгибе;
°—ip — предел выносливости при растяжении;
а—1 —предел выносливости при изгибе;
— предел выносливости при кручении.
Относи- тельное удлинение (относи- те чьное iy/кение), о/ /0 Твердость по Бри- нолю, к Г/л mi 2 Ударная вязкость, кГ’л|/с.ч2 Модуль упругости £(О). х 10—4 кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, е/с.и3 Коэффициент линейного расширения. xioe—Ц- град
стали
качеств а***
28 110 — — — — —
26 116 — — — — —
21—23 131 7—10 — — — '—>
19—21 143 6—8 — — — — '—,
15—17 170 •— — — — —
— 11 а з н а 1 ч е п и я — — — —
23 —- 7-8 — — — ——
22 6—7 — — —
617
Материал Предел прочности, кГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносливости, кГ/мм2
ГОСТ 6713 — 53
С?. 3 мост. М16С Q Q СС 03 II II Се со Оо Оо q н|| II io кэ сс 'ft' 4 .<
ГОСТ 1414 — 54
А12 А40Г св = 42 — 57 св = 60 - 75 *—• е—।
качествен
ГОСТ 1050 — 60 10 а =34 — 42 в ат = 21 Q el Q 1 i 1 А II II II ОО О» ГО 1 1 1 ГО ГО СЛ j
20 ав = 42 — 50 от — 25 Q a q | 1 1 ~ II II II 0^3 to >-». ГО ЬЛ. СО LO С5
30 ав = 50 — 60 От = 30 а_1р= 17-21 0 =20—27 Т-! =11—14
40 ав = 58 - 70 "т = 34 о_1р = 18 — 24 а_! = 23 — 32 = 14 — 19
45 ав = 61 — 75 % = 36 Q a q I 1 1 1 1-» "О II II 11 СП СП СО 1 1 1 ГО СО ГО о Л» СП
50 ав == 64 — 80 ат = 38 СО Ю Т-Ч (N СО О НФ II II II О. гч *-< 7 О
60 Св = 69 — 90 от = 41 Q а q I ’ll II "|| I—. со оо оо >-*• го 1 1 1 го со го to оо оо
ЗОГ ав = 55 — 70 ат = 32 а-! = 22—32
60Г ав=71 ст = 42 а—1р = 25 -— 32 J
618
Продолжение приложения 1
Относи тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри нелю, кГ/мм? Ударная ВЯЗКОСТЬ, кГл1/сл1г Модуль упругости Е (О), х10—4 кГ/ммг Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см3 Коэффициент линейного расширения, xl0f град
22 (50) 7—10
22 (50) 7—10 — — — e—t
22 (36) 160 2,02 — — 11,9—14,2
14 (20) 207 — — — •—
я ы с***
31 (55) — — 1,90 — 7,83 11,6—14,6
25 (55) — — 2,02 — 7,82 11,1—14,4
21 (50) — 8 — 7,82 12,6—15,6
19 (45) — 6 2,135 — 7,81 12,4—14,6
16 (40) — 5 2,04 — 7,81 11,6—14,7
14 (40) — 4 2,20 — 7,81 12,0—14,1
12(35) — — 2,08 — 7,80 11,1—14,6
20 (45) 8 2,17 — 7,81
И (35) i / —’ 2,109 7,81 11,6—14,6
619
Материал
Предел
прочности,
кГ/мм*
Предел
текучести,
пропор-
циональности,
кГ/мм2
Предел
выносливости,
кГ/мм*
Легированные
гост W 15ХСНД -65 <зв = 64 — 66 <?т — 39 — 42 —< о II II 7 7 о р
ГОСТ 4543 20Х — 61 ав = 72 -85 ат =• 40 — 65 0^ = 31 - -38
--1 = 17- -23
40Х %-73 — 105 от = 65 — 90 xF eq - II II'll 777 1 D H 0 — 34 — 48 — 26
45Х св^85 — 105 ст — 70 — 95 a—1 = 40 -50
ЗОХМ % 74 — 100 °т — 54 — 85 co co co II II II 7 7 7 1 0 p 0 -41
40ХН ав=100 — 145 0 = 80 — 130 °-lp = 31 — 42
0_1 = 46 — 60
12ХНЗА ав = 95- -140 ат= 70- -110 a_ 1 = 42 — 64
= 22 -30
20ХНЗА ав = 95- -145 От = 85 - - 110 a—1 = 43 — 65
x_x = 24 -31
40ХНМА ав=110 — 170 от = 85 - - 160 c_i — 50 — 70
= 27 — 38
ЗОХГСА ов=110 — 170 ст - 85 - - 150 — 48 -70
= 28 — 40
Нержавеющие жаро
ГОСТ 5682 — 61
1X13 (ЭЖ1)
ав = 61
ат = 41
37
620
Цродолжение приложении 1
Относи- тельное удлинение (относи* тельное сужение), % Твердость по Бри- нелю, кГ/мм2 Ударная вязкость, кГ.и/см1 Модуль ynjryroChi х 10—4 кГ/мм.2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см2 Коэффициент линейного расширения, град
стали***
18—21 — 7,11 — — —
— — — 2,07 —• 7,74 11,3
— — — 2,185 (0,808) — 7,85 13,4—14,8
9(45) 187—219 5 2,109 (0,8015) — 7,82 12,8
— — — 2,130 — _ 7’82 12,3—14,4
— — — 2,040 — 7,82 11,8
— — — — — — *--
— — — 2,040 (0,815) — 7,85 11,0-14,5
— — — 2,040 — 7,85 11,7
— — 1,980 (0,830) — 7,85 11,0
прочные стали
22 (60) — Г 2,2 >— 7,75 10,1-12,25
621
Материал Предел прочности, кГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносли- вости, кГ/мм2
2X13 (ЭЖ2) (закал- ка с 1000—1020° С на воздухе, отпуск при 720—750° С) = ™ 4 = 52 <J_i = 37
1Х17Н2 (ЭИ268) (за- калка с 1030° С, от- пуск при 680° С) % = 06 ат = 77 с_1 = 49
1Х18Н9Т (ЭЯ1Т) 4 = 58 4 = 24 а-1 =20 — 24 т_1 = 13,5
Х12Н22ТЭМР (ЭИ696М, ЭПЗЗ) (прокатка,старение 730° С, 16 ч 4- 4-630° С, 16 ч) ГОСТ 5632—31 4 = 135 4 = 104 Же фостойкие и жаро
Х20Н77Т2ЮР (ЭИ437Б) (аустени- тизация при 1080° С) с охлажде- нием на воздухе, старение при 750° С, 16 ч) ав = 92 — 109 4 = 66
ЖС6К (закалка с 1210—1220° С с ох- лаждением на воз- духе, отжиг при 950° С, 2 ч) ав = 100 — 107 4 = 88 — 94
Тугоплавкие
Вольфрам (пслсгпро-
ванный*****)
Сплавы вольфрама
W — 15Мо*****
уу___2Njj*****
W — 3,6Та*****
% = Ю,7
% =17,5
4 = 23,4
4 = 35
622
Продолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- нолю, кГ/мм2 Ударная вязкость, к Гм/см2 Моду 1). упругости Ь’ (G), х 10—* кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см3 Коэффициент линейного расширения, Х10' —Ц- грао
21(65) — 6—17 2,2 7,75 10,1
17(59) — — 2,0 — 7,75 10,3
70 (80) — 28 2,0 — • 7,9 16,6—18,6
20 (46) — '— — — — —
прочные сплавы
11—24 (10—21) ’— 3,5 2,0 — 8,2 12,7
1,5—7 (8-16) — — — — — —
металлы
49 (76) — h—- 4,2(1,5) 0,3 19,3 4,45
27 (78) —1 ~ — — —
9 (25) — — — 1 1
15(8) —‘ — — — —
623
Предел прочности, кГ/мм3 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносливо- сти, кГ/ммг
Материал
Молибден ’в = 78 ат = 7б г-ч
Сплавы молибдена
ом Л 20° С RM-1 \ % = 80 ат = 68 —
(1800° С «в “10 —-»
20° С а =75 —
ЬМ’2 (1800° С % = 9 —
. ( 20° С Св = 43 — 60 —
ВМ-3 {
11800°С св = 12 — 13,5 —
Ниобий % = 77 от = 60 —
Сплавы ниобия
ВН-2 / 20 С ав = 75 От = 70 —
(1500° С % = 8-Ю
ВН-3 J 2О’С св = 75 —80 — —
11500°С ов=12,5 — —
ВН-4 ( С % = 81 ат = 73 —
(1500 С ав=17
Серый
ГОСТ 1412-54
СЧ 12-28
СЧ 15-32
СЧ 18-36
% = 12
а. =50
а„=28
°в= 15
а — 65
% = 32
гв==24
ав = 18
ас = 70
аи = 36
«-Ip = 3,5
с_х = 9,0
624
Продолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- нелю, кГ/мм2 Ударная вязкость, кГм/см2 Модуль упругости Е (G) X 10~4 кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, й/см3 Коэффициент линейного расширения, х10‘ -А— град
20 —— — 3,3 (1,22) 0,31 10,2 5,6
10 — — 3,3 - 10,3 1 1»
45 — — 1,85 — — —
10 (30) — 0,2 3,33 — — —
18 — — 1,85 — — —
2,8 (0,7— 40) 40-50 (6,5) — — 3,25 — — —
20—25 (25—35) — 37 1,06 (0,88) 0,39 8,57 7,1
18—28 — 27 1,06 — 8,66 6,25
16—20 30
(40—70) 40—43
16 (33) — 5—7 — — — —
24 (30) — — — — — —
чугун
— 143—229 — 0,8-1,5 (0,45) 0,23—0,27 6,8—7,1 10—12
— 163—229 — 0,8-1,5 (0,45) 0,23—0,27 6,8-7,1 10—12
— 170—229 — 0,8-1,5 (0,45) 0,23—0,27 7,0—7,2 10—12
625
Материал Предел прочности, кГ/ммг Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм* Предел выносливо- сти, кГ/мм*
СЧ 21-40 СЧ 24-44 СЧ 28-48 СЧ 32-52 СЧ 35-56 СЧ 38-60 Белый чугун ГОСТ 2176-43 Х28 Х34 я я я яяя а я я я а я я я а я я я а я я я <1 я я я а я я я а да дога о д о о вдов вдов гадов с д о с одоа II || II II II II II II II II II II II II II II || II II II II II II II II II II II II II 1 СЛ СО > о слсл ооо js a w ел № со Ч? ел кэ о со л. о го to 4s to to | | j CT> О О 00 О О О СЛ M Q N СЛ 00 О 00 О Cs О ОО О СЛ - СП ND ООО °т = 0,75ав ст = 0,75% ат = 0,75ав ат = 0,85ав ат = 0,85ав ат = 0,85ав Й5 , .° я я % L L I Г1 I iQ | Г Г | Г iQ | Г iQ ill 1 и и и и о и 5i и и и и у и и 5i "ii O Jr* —j i-»> J''1 Ct' Д , <-д , <-л СП » СЛ СЛ О N Cl ООО а сп сл сл г а5
ои = 50
626
Продолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- нелю, кГ/ммг Ударная ВЯЗКОСТЬ, кГм/см2 Модуль упругости E(G), X10—4 кГ/льи2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, g/cAt3 Коэффициент линейного расширения хЮ" — ?]>ад
— 180—207 0,9 0,85 (0,45) 0,23—0,27 7,2—7,3 10—12
— f 187—217 0,9 1,1 (0,48) 0,23—0,27 7,25—7.4 10—12
1,0—1,2 170—241 1,0 1,2 (0,52) 0,23—0,27 7,3—7,4 10—12
1,0—1,2 187—255 1,0 1,3 (0,56) 0,23—0,27 7,3—7,4 10—12
1,1—1,3 197—269 1,1 1,45 (0,64) 0,23—0,27 7,3-7,4 10—12
1,2—1,4 207—269 1,0 1,6 (0,7) 0,23—0,27 7,4—7,6 10—12
— 300—700 0,1-0,5 1,6—1,8 — 7,5 + 0,2 8+2
чугун
— 220—270 — — — —
— 250—320 — — — —
627
Материал Предел прочности, кГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносливо- сти, кГ/мм?
ГОСТ 1215—59 Ферритный Ковкий
КЧ 30-6 О О со со Л II II Д S ffl OOP О «ГН СМ II II II О в р р и о Q а о 1 1 1 I н н в II II II »-» to
КЧ 33-8 ю СО СО •sr' СО LO со Л II II со £ со о и р со со см СМ со II II II Р О = о Р Р О о а , = 8 —1р а_1 =х 13 = 12
КЧ 35-10 *2 Г- LO ю со А II II CD s со OOP см 'S’ 'S’ см см со II II II t/4 еУ"* 00 'S’ СО II II II 7 и
КЧ 37-12 Перлитный rl Q Q я д со II II V оо ел со -q 00 —4 СО ю ш см см со II II II еГ со 'S’ со II JI II т 7 7 1 о р и
КЧ 45-6 %>45 —
КЧ 50-4 Л II и Я S я С> О р Г* о см см со 'S’ II II II о S р р о о —’ 00 СО II II II 7J '
КЧ 56-4 ав > 56
КЧ 60-3 ав>60 »" —
КЧ 63-2 ГОСТ 7293—54 . ав>63 — Чугун с таро
ВЧ 45-0 ав= 45- 50 ас= 150 — 160 аи= 65- 75 ?в = 45— 50 ат = 35 - 40 a_t = 18 — 20
ВЧ 50-1,5 ав = 50— 60 со = 170 — 180 а„ = 90 — 100 тв= 50— 55 ат = 40 — 50 а_1 = 20 — 22 >t_j = 17 — 21
628
Продолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- нелю, кГ/мм- Ударная ВЯЗКОСТЬ, ьТл/сл* Модуль упругости E(G), х 10—‘ кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см3 Коэффициена линейного расширения, Х108 --1— град
чугун
>6(7) С 163 1,2 1,55 (О’,63) 0,23 7,2 10,5
>8(9) < 149 1,3 1,6 (0,64) 0,25 7,21 10,3
> 10(11) <149 1,4 1,66 (0,65) 0,27 7,22 10,2
>12 (13) < 149 1,6 1,98 (0,73) 0,36 7,24 10
-
>6 < 241 *— — — — I—
>4(3,5) <241 0,8 1,74 (0,68) 0,28 7,3 10
>4 < 269 — — — — —
>3 <269 — — — —
>2 < 269 — — — — —
ВИДНЫМ I рафитом
0,4-1,4 207—269 0,5—1,5 1,3—1,6 (0,7) — 7-7,5 10,6—11,4
1,5—3,0 207—255 1,5-3 1,3 (0,775) '— 7—7,5 10,6—11,4
629
Материал Предел прочности, кГ/мм1 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносливо- сти, кГ/ммг
вч 60-2 % = 60— 70 ас = 200 — 210 = 105 — 110 тв= 60— 75 ат — 42 — 55 СО со сч я-i 1 1 j j
вч 45-5 1Л с Л ш о > см 1 1 1 1 LT о о Xf 00 СО S? и 7 и и ® о S ш о и и Р ат = 32 — 42 a__i = 18 — 20
вч 40-10 Q Q Q SOW II II II О О v!S ООО 1 1 1 ьо ьо сл О О сл от = 30 — 40 а__1 = 25 — 28 т_х = 19,8
Цветные
ГОСТ 4784—65
АМцМ
АМг2М
АМг2П (
АМгб
АМгбМ
Д1 (О)
ДШ(3 и ЕС)
Алюминиевые сплавы
ав = 13 от = 5 °-1 = 5*
тср = 8
% = 19 ат = 8 = 12*
тср = 12,5
ав = 25 ат = 21 = 12,5*
гср = 15
% = 32 ат = 17 —
% = 30 a,f = 15 —
% = 21 ат = И а-1 = 7,5*
% = 41 ст = 25 б-1 = 12,5*
т = 27
ср
% = 22 % = И —
°в = 46 ат = 30 —
630
Продолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- пелю, кГ/мм2 Ударная вязкость, кГм/см2 Модуль упругости Е (G), X 10—4 кГ/ММ2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см3 Коэффициент линейного расширения, град
2—3 255—285 1,5—3 1,8 (0,8) t •— 7—7,5 10,6—11,4
5—10 173—207 2,5—8 1,3 (0,7) — 7—7,5 10,6—11,4
10—20 156—179 5—7 1,6 (0,75) — 7—7,5 10,6—11,4
металлы
деформируемые
23 (70) 30 — 0,71 (0,27) 0,3 2,73 24
23 (64) 45 — 0,71 (0,27) 0,3 2,67 23,8
6 60 — 0,71 (0,27) 0,3 2,67 23,8
24 — — 0,7 — 2,64 24,7
18 — — 0,71 (0,27) 0,3 2,64 24,7
18 (58) 45 — 0,71 (0,27) 0,31 2,8 22,9
15 (30) 115 3 0,71 (0,27) 0,31 2,8 22,9
15 (50) 50 1 0,71 0,31 2,8 22
105 — 0,71 0,31 2,8 22
* •
631
Материал Предел прочности, кГ/мм2 11 редел текучести, пропор- циональности. кГ/ммг Предел выносливо- сти, кГ/мм2
Д16, Д16П плакированные листы Св = 44 а.г = 29
(3 и полу- ЕС) ЛЗ и ЕС) % =52 ст-38 а__г = 14*
фаб- рика- (О) тср = 21 — 30 % = 22 Ст= 10 а_1= 9*
ты 1(СЗ) св = Ст = 23
плакированные листы (3 п ИС) % = 46 ст = 41 —
профили (3 и ИС) % =42-50 =т = 40 — 44 1—
АК4-1 св = 43 ст = 28 а_х = 13**
ВД17 СВ =49 ст = 33 С—i = 16,5*
Алюминиевые
ГОСТ 2685—63 АЛ! литой в землю св тср II II С Ст= 17 °—1 = 5,6*
термообработка Т5 % гср = 26 = 22 ст = 22 c-i = 5,6*
термообработка Т7 % = 22 Ст = 18 >—
литой в кокиль (термообработка Т5) % тср II II ГО со ю о Ст =-. 26 c-i = 6,5*
АЛ2
литой в землю % тср = 18 = 13 ст = 8 с-1 = 5,5**
литой в металли- ческую форму % = 22 ст = 9 ~-1 == 7**
литой под давле- нием св = 22 % =12
АЛЗ
литой в землю св = 17 ст ~ —
термообработка Т5 % = 20 Ст =17 —
литой в металли- ческую форму % = 22 0т =12 —
термообработка Т5 % = 27 =22
632
П родслжение приложения, 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- иелю, кГУ-мм2 Ударная вязкость, кГм/см2 Модуль упругости Ь (G), х (О—4 кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см3 Коэффициент линейного расширения, хю'_~ град
18 (30) 105 — )
И (15) 131 —
18(30) 42 — J, 0,71 (0,27) 0,31 2,78 22,7
13(15) — —
6 —
7 — — J
13 (26) 120 — 0,72 (0,27) 0,33 2,8 19,6—24,8
20 115 — 0,71 (0,27) 0,31 2,75 23,6—26,9
сплав ы лите И И Ы (>
1,0 80 —
0,5 100 0,3 , 0,72 (0,27) 0,33 2,75 22,3—24,4
1,2 90 — s
0,5 120 —
6 50 —
5 55 0,8 0,7—0,72 0,33 2,65 21,1—23,3
(0,27)
1,8 — —
2 70 —
3 75 — 0,7—0,72 0,33 2,7 22—24
4 70 0,22 j (0,27)
3 { 80 о,15
63.'
Материал Предел прочности, кГ/ммг Предел текучести, пропор- циональности,- кГ/мм* Предел выносливо- СТ1Ц кГ/мм?
АЛ8 (термообра- ботка Т4) литой в землю литой в металли- ческую форму лл9„ литой в землю (термообработка Т4) литой в землю (термообработка Тб) литой в металличе- скую форму (тер- мообработка Тб) АЛИ (термообра- ботка Т2) АЛ13 литой в землю литой в металли- ческую форму АЛ15В литой в землю термообработка Т5 литой в металли- ческую форму термообработка Т5 АЛЮ (литой в землю) термообработка Т4 термообработка Т5 ав тср % ав тср св тср ав % ав тср св % % ав % св % = 30 = 23 = 33 = 20 = 15 = 24 = 12 = 23 = 22 = 17 = 14 = 20 = 15 = 20 = 18 = 22 = 32 = 37 °т ат ат ат ат ат ат ст ат II II Illi II II II 1 II II II II 1-С — со н»> М мь КС О СЛ f I i 1 Г f И II Jill 1 И И .1 1 II 1 II •<] •<] О СЛ * * * 'c_n tn * * * !
ВТ1 ОТ4 % св = 61 = 70 — 85 ат ст = 47 = 55 — 65 Титан и его = 26
634
П родолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение),- U' •0 Твердость по Бри- нелю, кГ/мм? Ударная ВЯЗКОСТЬ, кГм/с-м2 Модуль упругости Е (G),- х 10—* кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/сл13 Коэффициент линейного расширения, xlO’-J— град
12 75 1
!. 0,7—0,72 0,33 2,55 24,5—25,6
15 80 — (0,27)
6 55 —
2 75 , 0,7—0,72 0,33 2,66 23—24,5
(0,27)
5 70 —
2 80 — — — 2,94 24,4
3 65 0,5
1 0,7—0,72 0,33 2,6 20
5 70 — 1 (0,27)
.— 70 —
— 80 — 0,7—0,72 0,33 2,7 22—24
0,5 70 — (0,27)
0,5 85 — 4
9 90 .— 1 0,7—0,72 0,33 2,78 19,5—21,9
5 100 •— J (0,27)
сплавы >7 1,121 (0,411) 0,32 4,5 8
20—30 (> 45) 150—180
10—40 (25-55) 229—302 3,5—6,5 1,1 (0,4) — — 1,2 4,55 8—9,8
635
Материал Предел прочности, гГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/jWAt2 Предел выносливо- сти, кГ/мм2
ВТ8 Св = 105—118 а,г = 95 — 110 с_1 = 50
тсР = 65-70 апц ~ 75 • 8а
ВТЗ-1 ав = 95—120 д,г =85—110 а_г = 48
тср> 65 апп = 7°- 85
ВТ14 дв =95 — 120 ст = 85 —ПО —
Медные
Лату
ГОСТ 1019—47
Л68
мягкая % = 32 со,| — 9Л а_ г = 12
Ъ = 20
твердая % =66 °о,1 = 32 = 15
ЛА77-2
мягкая ов =40 дт = 14 —
твердая °в = 65 — —
ЛМц 58-2
мягкая ов =40 ст — 15,6 —
твердая % = ™ — —
ЛС 59-1
мягкая св =40 % = 14 —
тср = 26
твердая св = 65 ст = 45 G—1 = 16
ЛК 80-3
мягкая % =зо ст ==20 —
твердая % =60 —'
636
Продолжение приложения ]
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- нелю, кГ/мм* Ударная вязкость» кГм/смг Модуль упругости £ (G), х 10—4 кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см3 Коэффициент линейного расширения, х10« —Ц- драд
9—15 (30-55) 310—350 3—6 1,1 (0,425) о.з 4,48 8,3—9,1
10—16 (25—40) — 3—6 1,15(0,43) 0,3 8,6 4,5
6-10 (25—35) 255—388 2,5—5 1,15 — 4,52 8—8,7
сплавы ни
55(70) 55 17 1,1 — 8,6 19
3 150 — 1,15 — — —
55 60 20 1,05 8,6 18,3
12 170 — — — — —
40 85 12 1,0 8,4 21,2
10 175 — — — — —
45 (44) 90 2,6—5 1,05 (0,35) — 8,5 20,6
16 140 — — — — —-
58 100 12 0,98 8,5 17
4 180 — — — —• —
637
Материал
Предел
прочности,
пГ/мм?
Предел
текучести,
пропор-
циональности,
кГ/мм2
Предел
выносливо-
сти, кГ/мм2
Бронзы
Бр. 0-10 св = 25 —*
Бр. ОЦ8-4 Бр. ОЦС 6-6-3 ГОСТ 613—65 % = 20 лг — 4 — 5 *—
литье в землю ав = 15 ст =П я—
литье в кокиль Бр. ОФ 10-1 ав гср 00 сч тч СМ II II ат = 8-10 спц “
литье в землю св = 20 — 30 a Q И н Я 11 1 00 (й* 1 со —
литье в кокиль ГОСТ 493 — 54 Бр. А5 % тср ю со 1 LO ЧЛ см со II II Ст =20 апц = 13~ 14 Бронзы
литье в кокиль °В = 28 ат = 7
мягкая деформи- ИЛ7ОКТЯ СТ % = 38 Ст = 16 —
ууиМЛл твердая деформи- руемая Бр. АМц 9-2 св = 80 ат =50 апп = 48 а_, = 13,4**
литье в кокиль ав = 40 сч S II II ь с и о '—
мягкая деформи- руемая ав = 40 ст =30 —
твердая деформи- руемая ав = 60 ат =50 = 21****
Бр. АЖМц 10-3-1,5 ав = 56 ат =21
литье в кокиль ТС{ , = 38 %ц = 17
мягкая деформи- руемая % = 61 е =19 т —
твердая деформи- руемая % = 60 — 70 а-1 = 28****
638
Продолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение). % Твердость по Бри- нелю, кГ/лш2 Ударная вязкость, кГм/см2 Модуль упругости Е (G), X10—4 кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см3 Коэффициент линейного расширения, xiO'-J— град
оловянные
и 4 80 75 '— 3 '— — —
6 60 — ч 8,82 17,1—18,2
4 (6—10) 60 2—3 0,9 — — —
3(3) 80—100 0,6 0,754 — 8,58 17—22
7—10 (10) 90—120 0,9 1,03 — 8,76 17
алюминиевые
55 (48) 65 16 —. — <— — «
65 (70) 60 11 1 — 8,2 15,6
4 200 — 1,1 — — —
20 (25— 27) 90—120 7 0,92 — — —
25 110—130 — 1,05 — — —
4-5 (55) 160—180 — —’ — 7,6 17—20
22 (25— 27) 130 6-8 1 — — —
32 (55) 125—140 — 1,05 — — —
9—12 160—200 — .— — 7,55 16—20
639
Материал' Предел прочности, кГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносливо- сти, кГ/мм2
Бр. АЖС 7-1,5-1,5 Бр. АЖ9-4 литье в кокиль мягкая деформи- руемая твердая деформи- руемая ГОСТ 493-54 Бр. КМцЗ-1 мягкое состояние твердое состояние МА1 листы прутки МАЗ полосы прутки ВМ65-1 прутки прутки (ИС) полосы профили поковки штамповки о ю г* II ‘Q- ю ю О Ю ® Ю Ю Ю хГ СО О '=!’ 00 Ю « Ф sf - N т т 40 т coco « тч сч сч со 40 со со со со и II II II II п II II II II II II II II 11 II II II II II О, Сч Q вэ д со оз д са Идди ш о д т и о со со а д о t> t> и U U О О Р Р и р и и и р и и и и о о я СЧ СЧ 1- 1 I л [ 8 2 Я 2 й 2 2 н н и и и и и п и и п и ini и и и и II ь С Е- д Ь Е- Е- f, Ь Е- t>t> t> О t? t? а 1 = 21 **** с_i = 18,5**** Бронза а_1 = 11—16 овне сплавы с-i = 7,5** G-i = 7,5** а-* = 15**
640
Иродолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- нслю, кГ/мм2 Ударная вязкость, кГм/см2 Модуль упругости E(G), Х10~« кГ/ммг Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см2 Коэффициент линейного расширения, xt0‘ -J— г^ад
18 — — — — <— —
10—20 120—140 6,3 1,12
(25—30)
40 (33) 110 8 1,12 , 0,49 7,5 16,2—17,1
5 160—200 — 1,16
кремнисг пая
25—45 70—90 J13—17 1.04 8,4 15,8—20
5—10 170—190
дефор м и р у е n ы е
8 45 0,5 0,4
4(6) 45 0,6 0,4 }о,34 1,76 22,3—32
15(23) 1 0,43
|о,34 1,8 . 26,1—31,2
12 60 0,43
9 (24) 60 — )
9 (24) — 0,9
10 (25) — — > 0,43 0,34 1,8 20,9—22,6
10 —
12 »—
14 55 — )
1 bl 135
6Л1
Материал Предел прочности, кГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносливо- сти, кГ/мм2
МЛ6 литой % Маги =11 и е в ы й сплав а—1 = 8,5**
термообработка Т4 ХЛ 1Л ч-i СЧ II II а о аз р о ат = 10 ] = 9,5**
термообработка Тб LQ СО СЧ II II р"' еГ о, = 14 а_1 = 8,5**
Свинец Тср = 16 °В =1.5 — ат =0,5 — 1 a_j = 0,42***
ГОСТ 3778 — 65 Цинк ГОСТ 3640 — 47 — 1,8 (дефор- мированный и О) ав =6,4 ат =1.0
Никель ав =40 — 55 ат = 6 — 20 —
ГОСТ 849 — 56 (мягкое состояние) ав = 50 — 100 (мягкое состояние) ат = 28 — 90
Мельхиор МНЖМц 30-0,8-1 (МН 70-30) ГОСТ 492 — 52 мягкое состояние (твердое состояние) ав = 35 — 45 (твердое состояние) ат = 14
твердое состояние ав — 55 — 65 ат = 54 —
Нейзильбер МНЦ 15- 20 ГОСТ 492 — 52 мягкое состояние ов = 40 — 45 ат = 14 а-! = 12 — 14
твердое состояние ав = 60 — 72 ат = 59 .—
Монель НМЖМц 28-2,5-1,5 ГОСТ 492 — 52 мягкое состояние ав = 50 — 60 ат = 20 = 17
твердое состояние ав = 70 — 85 ат = 65 - 75 а__! = 26
642
П родолженце приложения, 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- нелю, кГ/мм2 Ударная вязкость, кГм/см2 Модуль упругости Е (G), X10*-4 кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см3 Коэффициент линейного расширения, хЮ' -1— град
литейный
1,5 (2,5) 55 0,2 (0,16)
5(12) 60 0,3 0,42 (0,165) 0,33 • 1,81 26,1—27,7
1(3) 80 0,15 (0,165) 0,33
35—50 (90—100) (литой) 60—70 (Дефор- мирован- ный) 20 (50) 3,8—4 (литой) 20 20,6—2,3 (О) 0,15—0,18 0,53 —1 11,34 7,133 28 39,7
30—50 (мягкое состоя- ние) 2—15 (твердое состоя- ние) 90—120 (О) 125—220 (нагарто- ванпый) — 1,8—22,7 (0,73) — 8,9 13,3—16,3
40—50 3-5 70 190 — j 1,54 — 8,9 16
40—50 2-3 70 160 — j 1,26 — 8,7 16,6
30—50 (65) 3-5(50) 110—140 140—220 II J 1,82 — 8,8 14—15
643
Материал
Предел прочности, кГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносливо- сти, кГ/мм2
Пластические
Стеклопласты ГОСТ 10087 — 62, ГОСТ 10292 — 62, ГОСТ 2910— 67, ГОСТ 10316 — 62 на основе ткани св = 26 — 40 а = 10 —30 апц = 12,2—26 ^=1 = 0,22 — 0,25 ав
°и = 13 — 15
па основе нитей, % = 30- -50 = о,25 — 0,28
ориентированных % = 23- -46 %
в двух взаимнопер- а = 40 — -42
пепдикулярных на- правлениях и
Текстолиты (на ос- % = 4,5- -И % = 7 - 8 = 0,25 — 0,3
нове хлопчатобу- а = 12 — -25 %
мажных тканей) ГОСТ 5 — 52, с О II = 7,5- -16 °—1р = 2
ГОСТ 2910 — 67, ГОСТ 5385 — 50 = 9 — 10
Древесные пластики °в = 14- -30 — = 0,25 — 0,3
ГОСТ 8697 — 58 °C = 12- -18,5 в
°и = 16,5 — 28
Гетппакс (на основе % = 6 — 10 — °-1р = 5,8
сульфатной бумаги) а = 4 — 14 ^=1 = 0.2 — 0,3
ГОСТ 2718 — 66 п а II Г О
Фибра (па основе °в = 5 — 7 — = 0,2 — 0,3
специальных сор- О- = 8 — 14 ав
тов бумаги) с _ g 9,5
ГОСТ 6910 — 54 ° II
Волокниты (наполни- °в = 3 — 13 — = 0,25 — 0,3
тели: = 10- -15 °в
хлопковые очесы, С = 4 — 13
асбоволокпо, стек- ловолокно) и
644
Продолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- нелю, кГ/мм2 Ударная вязкость, кГм/см 2 Модуль упругости Е (G), х 10—4 кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес. г/см3 Коэффициент линейного расширения, Х10в—1—- гт’си)
массы
— 27—38 0,5-^5,25 0,18—0,22 (0,035—0,04) 0,035— 0,622 1,4—1,85 0,45—8,3
— 28—52 0,5—5,25 0,24—0,35 0,035— 0,622 1,7—1,9 0,45—8,3
— 30 0,35 0,04—0,1 (0,25) — 1,3—1,45 3,3—4,1
— 18—20 0,17—0,8 0,12—0,34 — 1.2—1,4 —
— 25—30 (8—20) х X IO'2 0,1—0,18 (0,008— 0,025) — 1,3—1,4 20
— 10 — (0,07) — 1,1—1,25 —
— 18—35 (15—65)х х 10—2 1 0.05—0,118 — 1,35-1,9 —
645
Материал Предел прочности, кГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносливо- сти, кГ/мм2
Т ермореактивпые пресспорошки (на- полнители: древесная мука, кварцевая мука, слюда) ГОСТ 5689 — 66, ГОСТ 9359 — 66 ав = 2,5 — 6,9 зс = 7-30 ап = 4,5 — 10 — = 0,3 — 0,4 °в
Органическое стекло (па основе полиме- ров и сополимеров метакриловой кис- лоты) ГОСТ 10667 — 65, ГОСТ 9784 — 61 Q Q Q £ О S3 II II II СЮ СП 1 н IC Q О ОО 1=1 = 0,1 —0,16 °в
Термопласты линейные полимеры с различной сте- пенью кристаллиза- ции неармпрованпые Фторлоп-4 (фторо- пласт-4) ГОСТ 10007 — 62 Капрон А, Б, В Полиамидная смола 68 ГОСТ 10589 — 63 СО 2 | | . СЧ » -г- LQ । । 4, Sri to i i i 7 °? СЧ СЧ О о о 0*00 О -<Н СЧ 1 1 о.о* о 2 а е.’ а L' t' II И II 1 II II II II II II II || И II И и S сэ о s с: о ss m о э о s оо о о о ооооо ООО — 1=1 = 0,15 — 0,2 °в
646
Продолжение приложения I
Относи* тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость но Бри- нелю, кГ/мм2 Ударная ВЯЗКОСТЬ, кГм/см2 Модуль упругости К ;G), X 10— 4 кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см3 Коэффициент линейного расширения, Х10« —Ц_ град
— 10—60 0,03—0,8 — — 1,3—2,7 (0,22-7) X10
2,5—23,2 12—25 (4—33) X X ю~2 0,027—0,041 — 1,18—1,2 46—120
3—16 0,0015—0,007 — 0,92—2,1 —
1,5—14 — (0,16— —2,2) х X 10~2 0,00037— 0,002 (0,00015— 0,00019) — 0,02—0,6 (3,5—7,8) X Х10
300—350 3—6 — 0,0047— 0,0085 — 2,19—2,35 (8—25) X 10
150—200 10—12 1,5—1,6 0,0144 (0,0045— 0,0048) — 1,1—1,14 (6—15) X Ю
100 10—15 —- 0,012 — 1,11 (10-12) х Ю
647
Материал Предел прочности, кГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносливо- сти, кГ/мм2
Винипласт ГОСТ 9639 — 61 Q Q Q д Л w II li II QO 00 £- Lit ГО ° 05 — —
Полиэтилен высокой плотности (низкого давления) in sji СО । । 7 см 00 1 СМ СМ СМ II II II nos ООО — —
Полистирол блочный ГОСТ 9440 — 60 О ю- СО 05 II II II поп ООО — —
Др\ гие
Лед — — —
Каучук натуральный ав= 1,6 —3,8 — —
Стекло ГОСТ 10135 — 62 Q Q Q S о и II II II сл g w ьл. 1 СО СП М — —
Базальт ас = 25 — 30 — —
Гранит % = 0,3 ас = 12 — 26 - --
Известняк Сс = 5,0 — 15 — —
Посланник 1О см 1 ^1 II о» — —
Мрамор ас= 10 —18 — —
Кладка из гранита, известняка, кир- пича аи = 0,02 — 0,05 ас = 0,25 — 0,9 — —
Бетон ас = 0,5 — 4,8 — —
648
Продолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- нелю, кГ/мм2 Ударная вязкость, кГм/см2 Модуль упругости к (G), х 10—> кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/сл13 Коэффициент линейного расширения, хЮ» —— грао
10—100 13—16 0.5—0,8 0,03—0,04 0,354 1,3—1,4 (6—7)Х10
250—900 4,5—5,8 — 0,005—0,008 — 0,94—0,96
0,4—0,7 14—15 0,16—0,2 0,012—0,032 *—• 1,05—1,1 60
материалы
— — — 0,1 (0,25— 0,03) — — 50,7
600—700 — — (0,6—1)х Х10“4 0,47 0,91 (1,8-2,8) X X ю2
— — 0,015— 0,025 0,48—0,85 (0,022— 0,032) 0,18—0,32 2,2—8 0,5—15
— — — — — 2,7—3,3 —
— — — 0,49 — 2,5—2,8 —
— — — 0,42 — 1,8-2,6 —
— — — 0,18 — 2,1—2,8 —
— — — 0,56 — 2,5—2,8 —
— — j 0,09—0,1 0,06 0,027—0.03 — — | 4—7
— — — 0,146—0,232 0,16—0,18 — 10—14
049
Материал Преде,ч прочности, кГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, к Г/мм2 Предел выносливо- сти, кГ/мм2
Сосна обыкновенная (15% влажности) Ю О Г* го СО ** чг со о 1111 —1 Г- СО см СО СМ СС СО <73 s? [Г О II II II II д о а & е> е> о %ц^,1 °ПЦ = 3’}
Ель обыкновенная (15% влажности) ав = 10,7—12,2 ас = 3,85—4,23 аи = 7,74—7,22 тсо = 0>52-0,67 up апц = 5,6 %ц = 2,7 —
Береза обыкновенная (15% влажности) Св = 16,1 — 21 Сс = 4,37—5,33 зп = 9,67—10,84 т =0,85—1,33 UH = ЗЛ —
Тополь (15?о влаж- ности) ав = 8,69 ас = 3,47 — 6,09 Тго =0,54-0,71 ир — —
Акация (15% влаж- ности) LO СХ со Ч. со II Т IM n Q S Сь о о и> о — —
Бук кавказский (15% влажности) « aQ o£1 aQ II || И II со со о «= Ц ’со Н-к °пц ~ °пц ~ 2’9 —
Ясень (15% влажно- сти) Q Q Q £5 о о II 11 II II — о оэ сл fill *-*• СЛ co Хл 5» ОО СП Ci =ПЦ = М =и = 2-7
650
Продолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Брн- нелю, к Г/мм2 Ударная вязкость, кГм/см2 Модул, упругости E(G). X 10—4 кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см2 Коэффициент линейного расширения. хЮ' —*— а рас*
— 1,99—2,7 ),18—0,23 0,102—0,145 (0,0055) 0,49 4,48—0,54 Вдоль воло- кон 3,7; поперек волокон 63,6
— 1,82—2,52 0,18—0,19 0,11 (0,0055) 0,44 0,46 Вдоль воло- кон 5,4; поперек волокон 34,1
— 2,98—3,92 0,41—0,54 0,15—0,184 (0,0065) 0,41 0,64—0,73 Вдоль во- локон 2—5
•— 1,73-2,5 0,19 0,13 (0,0055) — 0,46 Вдоль во- локон 2—5
•— 6,19—8,81 0,92 0,09—0,16 (0,0045— —0,0065) — 0,75—0,81 Вдоль во- локон 2—5
— 3,79—5,71 0,39 0,127 (0,0065) 0,58 0,68 Вдоль воло- кон 2—5
— 5,34—7,32 0,3—0,43 0,124—0,15 (0,0065) 0,43 0,66—0,71 Вдоль ВОЛО кон 2—5
651
Материал Предел прочности, кГ/мм2 Предел текучести, пропор- циональности, кГ/мм2 Предел выносливости, кГ/мм2
Дуб (15% влажно- сти) С» Q Q s о се II II II II ' to сл ос cc 'ic ' сл ос 1 00 сл <э> см с< II II g £ о о —
Липа сти) (15% влажно- св = 11,58 с, = 3,98 % = 7,8 теп = 0,73—0,8 1П ST см II II =1 Д' д с и о —
Ольха сти) (15% влажно- Q Q Q 'о д о - н, II II II а 3 w с ос СЛ — —
Клеи сти) (15% влажно- % = 5,2 си = 10,53 т =1,13—1,29 ер ! —
* Предел выносливости получен на базе 5x10’ циклов.
** Предел выносливости получен на базе 2x10’ циклов.
*** Предел выносливости получен на базе 10’ циклов.
»»»* ** *** * ***** Предел выносливости получен на базе 10е циклов.
***** ав> относительное удлинение и относительное сужение приведены для
Состояние материала: О — отожженный; 3 — свежезакаленный; ЕС — естественно
Термообработка: Т2 — отжиг; Т4 — закалка; Т5 — закалка и кратковременное
Т7 — закалка и стабилизирующий отпуск.
652
Продолжение приложения 1
Относи- тельное удлинение (относи- тельное сужение), % Твердость по Бри- нелю, кГ/мм2 Ударная вязкость, кГм/см2 Модуль упругости b’(G), х 10—4 кГ/мм2 Коэффи- циент Пуассона Удельный вес, г/см2 Коэффициент линейного расширения, Х10" град
— 4,63—6,53 0,46 0,073—0,151 (0,0065) 0,43 0,76 Вдоль волокон 4,9: поперек волокон 54,4
— 1,56—2,34 0,28 0,09 (0,0045) — 0,51 Вдоль волокон 5,4; поперек волокон 44,1
— 2,48—3,67 0,25 0,132 (0,0055) — 0,53 Вдоль волокон 2-5
— 5,06—6,9 0,37 0,118(0,0055) — 0,7 Вдоль волокон 2-5
температуры 1650° С.
состаренный; ИС — искусственно состаренный.
(неполное) искусственное старение; Тб — закалка и полное искусственное старение;
653
Приложение 2
Коэффициенты концентрации и чувствительности к концентрации напряжении
Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений ₽
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
Валы, оси с галте-
лями
При d = 30 — 50 мм и
4 = 2
а
При d ~ 30 — 50 мм и = 2
d
Растяжение —
сжатие
cf
1,6
1,2
О Q2 (ft rjd
fi
1,8
1,4
1,0
О 0,2 0,4 0,6 r/d
Для стали
1 — <тв = 120 кГ!мм~
2 — ав = 80 кГ/мм2
3 — ав = 40 кГ/мм2
Для стали
°в, кГ/мм1 Г <7
40 0,2—0,5 0,27—0,32
80 0,2—0,5 0,59—0,05
120 0,2—0,5 0,82—0,93
2. Валы, оси с галте- При d ~ 30 — 50 мм и
лями 4-
a 0,1 az аз ria.
Изгиб
Для стали
1 — ав — 120 кГ/мм~
2 — — 100 кГ/мм2
3 — % — 80 кГ/мм2
4 — св = 40—60 кГ/мм2
Продолжение приложения 2
U/U 5ДГ Схема нагружения элемента конструкции или детали Теоретический коэффициент концентрации напряжений а. Эффективный коэффициент концентрации напряжений ? Коэффициент чувствительности к концентрации напряжений 3-1 9 а— 1
D d Г ав кГ/ММ2
< 50 80 > 100
1,05 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 1,70 1,48 1,28 1,20 1,16 1,88 1,57 1,33 1,23 1,20 2,05 1,63 1,36 1,25 1,22
1Д 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 2,00 1,64 1,37 1,27 1,20 2,24 1,70 1,42 1,31 1,24 2,47 1,75 1,45 1,34 1,27
1,25 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 2,12 1,81 1,47 1,35 1,30 2,68 1,97 1,54 1,40 1,32 3,10 2,10 1,60 1,43 1,34
1,5 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 2,42 1,91 1,53 1,38 1,33 2,06 1,61 1,44 1,36 2,20 1,67 1,48 1,38
Валы, оси с галте-
лями
Кручение
Для чугуна
при d = 12 мм = 1,15
при d — 50 мм 3 = 1.25
При d = 30 — 50 мм
Для сталей при = 1,4
Q OJr/4
и 4 = 2
d
1 — ств — 120 кГ/мм1
2 — % — 60 кГ/мл?
3 — св = 40 кГ!мм:
Прп ™<1,4 ^ = 1+ч(8 — 1)
Продолжение приложения 2
со
„в Схема нагружения элемента конструкции Теоретический коэффициент Эффективный коэффициент Коэффициент чувствительное™ к концентрации напряжений
Е или детали концентрации напряжений а концентрации напряжений 3 3 — 1 9 = —1
Значения м находятся из гра-
фика
При d — 30 — 50 мм и = 2
0 Cd 0.2 0,5 r/d
D При = 2 для сталей
°в, кГ/мм2 d о
50 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15 0,7 0,65 0,63 0,6 0,57 0,5
120 0,025 0,05 0,075 ОД 0,125 0,15 0,82 0,8 0,8 • 0,77 0,77 0,76
1 —1 св = 120 кГ/мм2-
2 — ав = 50 кГ/мм2
При -у-<2
Значения v находятся из гра-
фика
Для сталей
D d г Т ав, кГ/ММ2
< 50 80 > 100
0,02 1,24 1,29 1,33
0,05 1,15 1,18 1,20
1,05 0,10 1,08 1,10 1,12
0,15 1,06 1,08 1,09
0,20 1,05 1,06 1,07
Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
П родолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений Р
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
Для сталей
D св , кГ/мм-
d d < 50 80 > 100
1,1 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 1,40 1,25 1,12 1,09 1 ,()(i 1,52 1,28 1,16 1,12 1,08 1,62 1,30 1,18 1,14 1,10
0,02 1,64 1,73 1,80
0,05 1,40 1,45 1,48
1,25 0,10 1,20 1,27 1,32
0,15 1,15 1,20 1,24
0,20 1,09 1.13 1,16
0,02 1,76 1,97 2,14
0,05 1,48 1,56 1,62
1,5 0,10 1,24 1,32 1,38
0,15 1,19 1,25 1,29
0,20 1,10 1,18 1,24
I
Валы, оси с выточ-
ками
Схема определения ис-
ходной величины а пока-
зана пунктиром
Валы, оси с выточ-
ками
Схема определения иско-
мой величины а показана
пунктиром
Для чугуна — 1,1 — 1,4
Для сплава МЛ4 I — 0,1 —
— 0,121 — 1,4 — 1,8
Для сплавов МД2, МАЗ. МА5 —
1,7 — 2
Для сплавов АЛ5, АЛ7, АЛ8,
АЛ9 —1,3 —1,8
Для сплавов Д16, АК2, АК8 —
1,6 —1,8
Для сталей Р находят пз таб-
лицы, приведенной для схемы 5
Для сплава МЛ4 0,1—
—0,12 j — 0,4 — 0,8
Для сплавов МА2, МАЗ,
М А5 — 07 — 1
Для сплавов АЛ5, АЛ7,
АЛ8, АЛО — 0,3 — 0,8
Для сплавов Д16, АК2,
АК8—0,6 —0,8
Для стали
при d = 30 — 50 лл1 и -- — 1
г
0 О,1. 0,2 0,3 r/d
1 — <?в = 100 кГ/мм?
2 — % = 50 кГ/ммг
Для сталей при
50 к Г/мм~
t d
0,5 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,6 0,69 0,74 0,75 0,75
п/п
Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений ₽
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
При ~ 4= 1
₽v = l + 4?-l)
Значения v находятся
графика
из
Некоторые значения
t т d ав, кГ/ММг
s 50 80 > 100
0,02 1,77 2,02 2,22
Л 0,05 1,72 1,87 1,98
м»О 0,10 1,59 1,69 1,77
0,15 1,45 1,53 1,59
0,20 1,37 1,41 1,45
t г Г ч
0,02 0,5
0,05 0,59
1,0 0,10 0,72
0,15 0,74
0,20 0,75
0,02 0,45
0,05 0,57
2,0 0,10 0,72
0,15 0,72
0,20 0,74
Для сталей при % =
= 80 кГ/л1Л12
Г т ~т в
0,5 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,78 0,83 0,84 0,84 0,85
о
сз
со
1,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 1,85 1,80 1,65 1,50 1,45 2,12 1,96 1,76 1,58 1,48 2,35 2,10 1,85 1,65 1,50 1.0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,66 0,71 0,84 0,85 0,86
2,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 1,92 1,86 1,70 1,54 1,48 2,21 2,03 1,82 1,63 1,52 2,46 2,19 1,92 1,70 1,54 2,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,59 0,69 0,84. 0,85 0,87
Для сталей при >>100 кГ/мм-
/ т d ч
0,5 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,9 0,93 0,94 0,95 0,95
1,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,8 0,82 0,94 0,94 0,94
2,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,71 0,8 0,93 0,94 0,94
ст>
* № п/п 1 Схема нагружения элемента конструкции или детали Теоретический коэффициент концентрации напряжений а
Продолжение приложения
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений 3
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
Для серого чугуна при св —
Для сплавов id = 8 л.и;
~ = 1,25— 1,5)
d /
МЛ4 — 0,4 — 1
МА2, МАЗ, МА5 —0,7 —1
АЛ5, АЛ7, АЛ8, АЛ9—
0 — 0,3
Д16, АК2. АК8 — 0,5 — 1
Значения ч находятся из
графика
Валы, оси с выточ-
ками
Схема определения иско»
мой величины а показана
пунктиром
Круиеппе
Для сплавов = 8 мм D _ ~d~ ~
= 1,25 — 1,5)
МЛ4 — 1,4 — 2 МА2, МАЗ, МА5 —1,7—2 АЛ5, АЛ7, АЛ8, АЛ9 — 1 —1,3 Д16. АК2, АК8 —1,5 —2
Для сталей Для сталей
°L . кГ/ммг при <jb< 50 кГ/мм*
? d < 50 SO > 100
0,02 0,05 1,40 1,43 1,61 1,52 1,73 1,60 t r 1 d </
0,5 0,10 0,15 0,20 1,36 1,27 1,22 1,42 1,32 1,25 1,46 1,36 1,27 1,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,64 0.74 0,81 0,91 1,00
1,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 1,51 1,48 1,39 1,30 1.27 1,67 1,58 1,47 1,35 1,29 1,81 1,66 1,51 1,39 1,30
0,02 0,49
2,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 1,56 1,51 1,42 1.33 1.29 1,73 1,62 1,50 1,38 1,30 1,87 1,71 1,56 1,42 1,32 2,0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,72 0,76 0,77 0.96
U/Ц бд> Схема нагружения элемента конструкции пли детали Теоретический коэффициент концентрации напряжений а
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений 3
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
г 1 ~7Г
при св — 80 кГ/мм2
1,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,8-4 0,89 0,98 1,06 1,07
2,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,47 0,73 0,91 0,91 1,00
при ав 100 кГ/мм‘
1,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 1,01 1,02 1,06 1,14 1,15
Валы, оси с выточ-
ками
При (1 = 8 мм: —г
а,
= 1,02—1,6
г = 0,05 мм: -
а
t
— ~ 4 — 4,5; а —
г
Изгиб
Валы, оси с попе-
речными круглыми
отверстиями
2,0
При 4- — од — о;
d
а
Изгиб
2,0
0,02 0,76
0,05 0,84
0,10 1,00
0,15 1,00
0,20 1,07
- — Для сплавов МЛ4 —1,8 —4,3 Для сплавов МЛ4—0,2 —0,8
= 0,006: МА2, МАЗ, МА5 — 1,9 — 2,5 МА2, МАЗ, МА5 —0,25 — — 0,26
АЛ5, АЛ7, АЛ8, АЛЯ — 1 — 1,4
4.5 — 6 Д16, АК2, АК8 —1,1 —2,6 АЛ5, АЛ7, АЛ8, АЛУ — — 0 — 0,07
Д16, ЛК2, АК8 —0,03 —
— 0,27
33
Для сталей
Для сталей — 0,7 — 1,0
с: E Схема нагружения элемента конструкции н.п» детали Теоретический коэффициент концентрации напряжений а
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений 3
Коэффициент чувстви гельности
к концентрации напряжений
1 — ~ = 0,05 — 0,1
а
2 — --- = 0,15 — 0,25 (d = 30 —
а
50 ж.и)
Некоторые числовые значения
3 приведены в таблице
ап, к Г/ммг
d •>0 | 60 «О too
0,05 _0,1 1,90 1,95 2,05 2,15
0.15—0,25 1,74 1,77 1,86 1,95
Для серого чугуна с св =
, а
= 20 кГ/мм- и при -j- =
= 0,1 — 0,15
Валы, оси с попе-
речным круглым
отверстием
Кручение
Прп других величинах св сле-
дует применять поправочный
коэффициент £, который нахо-
дится с помощью нижепривс- ।
денного графика ‘
Верхняя граница соответствует
высоколегированным чугунам,
нижняя — малолегированным
чугунам
Для сталей при d — 30 — 50 мм
л -“- = 0,05—0,25
а
Некоторые числовые значения [?,
соответствующие графику, при-
ведены в таблице
°?
с 1 Ks п/п Схема нагружения элемента конструкции или детали Теоретический коэффициент концентрации напряжений а
I
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент' концентрации напряжений р Коэффициент чувствительности к концентрации напряжений 3 — 1
д ан> *Г/ммг
d 50 | 60 80 1 100
0,05— 1,75 1 1,78 1,83 1,92
—0,25 |
Для серого чугуна с —
— 22 кГ/'мм~ и при — 0,1
Валы, оси с одной
и двумя шпоночны-
ми канавками
Изгиб
Для расчетов; при одной шпо-
ночной капавке
bt(d_tr
11 ~ 32 2d
при двух шпоночных канавках
IF - Г--Р ht^~ f)2
11 ~ 32 d
где Wjj — момент сопротивле-
ния ссчсппя при изгпбе.
Для сталей
кГ/мм2
50 1,5
60 1,6
70 1,72
80 1,8
90 1.9
100 2,0
О'.
to № п/п Схема нагружения элемента конструкции или летали Теоретический коэффициент концентрации напряжений а
Кручение
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент концентрации напряжений 0 Коэффициент чувствительност1 к концентрации напряжений 0-1 ^—1
Для расчетов: при одной шпо- ночной канавке W bt (d — 1)2 ,{ ~ 16 2d при двух шпоночных канавках r.d3 bt (d — t)2 Wk~ IT 7—~ ’ K 16 d где TF — момент сопротивле- ния сечения при кручении. Для сталей
ав, кГ/мм2 3
50 60 70 80 90 100 1,4 1,5 1,6 1.7 1,8 1,9
и.
Валы, оси со шли-
цевыми (зубчаты-
ми) участками
Изгиб
СР
Для сталей при/ расчетах в слу-
чае прямобочных шлицев мо-
мент сопротивления сечения
определяют по формуле
где d — внутренний диаметр;
$—поправочный коэффициент,
равный:
для легкой серии 1,09 —1,16;
для средней серии —1,14 —
1,27;
для тяжелой серии — 1,14 —
1,39
Меньшие значения 6 соответ-
ствуют большим d
Для эвольвентпых шлицевых
соединений Wn определятся
как для сплошного круглого
сечения с диаметром, равным
диаметру делительной окруж-
ности
С Е £ Схема нагружения элемента конструкции или детали Теоретически)'! коэффициент концентрации напряжений а
Кручение Для прямобоких шлицев
a = 2,5 — 3,2
Для ЭВОЛЬВСПТНЫХ ШЛИ’ цев
a = 1,2 —1,5
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент концентрации напряжений 3 Коэффициент чувствите. и,ногти к концентрации напряжений п _ 3 - ! 9 а — 1
Для прямобоких ШЛИ- цев —0,5 —1,2 Для эвольвентных шли- цев —- 0,8 — 3,0
св> },Г/мм2 3
Прямоуголь- ные шлицы (ГОСТ 1139— 53) лвольвентные ШЛИцЫ (ГОСТ 6033— 51)
/.о 50 60 70 80 90 100 120 1,35 1,45 1,55 1,60 1,65 1,70 1,72 1,75 1,35 1,45 1,55 1,60 1,65 1,70 1,72 1,75
к Г/мм
Прямоуголь- ные шлицы (ГОСТ 1139 — 53) Эвольвептные шлицы (ГОСТ 6033 — '0
40 50 60 70 80 90 100 120 2,10 2,25 2,35 2,45 2,55 2,65 2,70 2,80 1,40 1,43 1,46 1,49 1,52 1,55 1,58 1,60
Ко • ЯР
Момент сопротивления сечения с прямобокими шлицами мри кручении JF = 2П’ к и Для эвольвентпых шлицевых соединений определяется как для сплошного круглого сечеппя с диаметром, равным диаметру делительной окруж- ности
I
12. ! Некоррелированные | При количестве зубьев ! шестерни аволь- з—-2G-.-8J । веитвого профиля ’ с у глом а — ДО’’ при нагрузке, при- ; ложенпой к верши- а j 1 JL.\ I I не зуба Т । 1 2,2 —F ! 1...1J J ’ IQ J,S 2fl S/L | у — 1 Д- q (i — 1) Для сталей J' j— R IT
3
9 I № П/П Схема нагруя£ения элемента конструкции или детали Теоретический коэффициент концентрации напряжений а
1 = 0,124 — 0,222 т 2 — -^- = 0,124 — 0,11 т 3--^- = 0,258 — 0,36 т 4 — = 0,305 — 0,317 т — 0,55 т 6 — о,495 — 0,6 т Здесь: s — толщина осно- вания зуба в опасном се- чении. 1>—плечо дейст- вия изгибающей силы. т — модуль зацепления; rt — радиус закругления вершины зуба инстру- мента
Продолжение приложения 2 у
Эффективный коэффициент концентрации напряжений р Коэффициент чувствительности к концентрации напряжений а — 1
Для чугуна — 1,2 — 1,3 1 — = 0,8 °в „ °т 2 - = 0,7 % ст 3 — — = 0,6 % 4 = о,55 5 — -^2-==0,4 — 0,5 °в
13.
Болтовые соедине-
ния при растяже-
нии — сжатии для
d = 12 м.ч
14.
Прямоугольная
ступенчатая полоса
Растяжение — сжа-
тие
Для сталей
°в> кГ/мм* ₽
метрическая резьба дюймовая резьба
40 60 80 100 3,0 3,9 4,8 5,2 2,2 2,9 3,5 3,8
р = l-j-g(o —1) Значения q могут быть взяты из графика, при- веденного для схемы 12
П родолжение приложения 2
3. 1 As п/п Схема нагружения элемента конструкции или детали Теоретический коэффициент концентрации напряжений а Эффективный коэффициент концентрации напряжений Коэффициент чувствительности к концентрации напряжений 3-1 « = —5
15. Прямоугольная ступенчатая полоса <У ГТ} 1—] ‘ - '•р j Д 1 ?=14-?(а-1) Значения q могут быть взяты из графика, приве- денного для схемы 12
^пл 1 LL i
-4-J
tm < (—i-h—
О Пй
Изгиб
16. Прямоугольная пластина с отвер- с г и ем d В а Для сталей Для сталей
d ~В ав, кГ/ММ*
0 0,1 0,2 о,з 0,4 0,5 Для сплавов = 40 лл»; d — 2,5 3,0 3,03 3,14 3,36 3,74 4,32 МА2, МАЗ, Л 1 — 6 мм; тс.
100
60 so
I 0,4 0,39 0,36 0,34 0,29 0,24 0,53 0,48 0,47 0,44 0,4 0,35 0,29
Г « 0 о,1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,3 0,3 0,28 0,25 0 22 0,18 0,1 —
Растяжение — сжа- тие 0 4А5, ДЮ, тщинс h -
0 50 70 90 1Ю б^хГ/М!'7 АК2, АК8 при В = -1,5 — 5 лл1 1,2 —1,8
17.
Прямоугольная
пластина с отвер-
стием
Для сталей
I Для со.i<iню. М.\2, МАЗ, МА5, Д16, АК2. AG8 при
I d 1 — 6 Il --- 1,5 — 5 мм
i !.>'• — 2.5 J 1,3 —1,8
Некоторые значения q при
B/h = 3 и -4~ = ОД — 0,9
Для стали с св =
= G0 кГ/ммг — 0,37 — 1,46;
<?в = 80 кГ/мм!1 — 0,5 — 2
св — 100 кГ/мм? — 0,63 —•
— 2,5
li = 40 jut;
0,2 —1,3
18.
? = ! + ?(« — 1)
Прямох сольная
пластина с боко-
выми вырезами
Растяжение — сжа-
тие
I
О 0,2 ОЛ 0,6 г/Ь
Значения q могут быть
взяты из графика, приве-
денного для схемы 12
Продолжение приложения 2
00
о
Схема пл гружен ия
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений £
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
а — 1
19.
20.
Прямоугольная 3 = 1 -}- q (ct — 1)
пластина с боко- выми вырезами (О’ Изгиб !~г • ’zb 0 0.2 0,4 0,5 rjЪ
Прямоугольная пластина с боко- выми вырезами Для сплавов МА2, МАЗ, МА5, Д16, АК2, АК8 при В ~ г — 16 мм; h — 0,5 мм
12 мм;
Значения q могут быть
взяты из графика, приве-
денного для схемы 12
21.
2 1,5 — 2 0,5 — 1
Д Ц /
Л/ f м
i 1 1
Изгиб
Полоса с односто- ронним или с двух- сторонним надрезом Для сплавов МА2, МАЗ, МА5 при г = 0,02 — 0,05 мм‘, = 3 — 15;
60*
Растяжение — сжа-
тие или изгиб
4 — 7
| Профиль с я.\одя-
j щим углом
I Изгиб
I
23.
Элемент конструк-
ции с входящим
углом
Изгиб
1,2
0,03 — 0,07
Для сталей
1 — легированная
(Св ~ кГ/мм2)
2 — углеродистая
(3В = 30 - 70 ггГ/л.«2)
Для стали с св —
— 90 кГ/мм2
0,1 —0,3 I 0,33—0,47
Для стали с ав =
= 50 и- 70 кГ/мм2
0.1 — 0,6 | 0,2 — 0,35
Для яугуиа с =в = 29 кГ/мм2
Приложение 3
Функции Крылова S , Т, U, V
1
61 (Az) <=^ — (ch kz + cos Az);
T (kz) ~ ~ (sh kz 4- sin Az);
U (kz) — — (ch Az — cos Az);
F (Az) ~ (sh kz sin Az),
причем
5'(Az) — AF (Az); S" (kz) = A2t7 (kz)-, S'" (kz) = k*T (kz);
T'(kz) ~ kS (kz); T" (kz) = k^V (kz); T"'(kz) = WU (kz);
U' (kz) = kT (kz); U" (kz) == k-S (kz); U'" (kz) = k?V (kz);
V (kz) = kU (kz); V" (kz) = k-T (kz); V" (kz) = k*S (kz)
llz 8 (M T ^2) U (kz) V (kz)
0,00 1,00000 0,00000 0,00000 0,00000
0,01 1,00000 0,01000 0,00005 0,00000
0,02 1,00000 0,02000 0,00020 0,00000
0,03 1,00000 0,03000 0,00045 0,00000
0,04 1,00000 0,04000 0,00080 0,00001
0,05 1,00000 0,05000 0,00125 0,00002
0,06 1,00000 0,06000 0,00180 0,00004
0,07 1,00000 0,07000 0,00245 0,00006
0,08 1,00000 0,08000 0,00320 0,00009
0,09 1,00000 0,09000 0,00405 0,00012
0,10 1,00000 0,10000 0,00500 0,00017
0,11 1,00001 0,11000 0,00605 0,00022
0,12 1,00001 0,12000 0,00720 0,00029
0,13 1,00001 0,13000 0,00845 0,00037
0,14 1,00002 0,14000 0,00980 0,00046
0,15 1,00002 0,15000 0,01125 0,00056
0,16 1,00003 0,16000 0,01280 0,00068
0,17 1,00003 0,17000 0,01445 0,00082
0,18 1,00004 0,18000 0,01620 0,00097
0,19 1,00005 0,19000 0,01805 0,00115
0,20 1,00007 0,20000 0,02000 0,00134
0,21 1,00008 0,21000 0,02205 0,00155
0,22 1,00010 0,22000 0,02420 0,00178
0,23 1,00012 0,23000 0,02645 0,00203
0,24 1,00014 0,24000 0,02880 0,00231
0,25 1,00016 0,25000 0,03125 0,00261
0,26 1,00019 0,26001 0,03380 0,00293
0,27 1,00022 0,27001 0,03645 0,00328
0,28 1,00026 0,28001 (>,03920 0,00366
0,29 1,00029 0,29001 0,04205 0,00407
682
П родолжение приложения 3
kz S (/ez) Т (kz) и (kz) V (kz)
0,30 1,000." 4 0,30002 0,04500 0,00450
0,31 1,00038 0,31002 0,04805 0,00497
0,32 1,00041 0,32003 0,05120 0,00546
0,2,3 1,01 >019 0,2,3002, 0,05445 0,00599
0,34 1,00055 0,2,4004 0,05780 0,00655
0,35 1,000(125 0,2,5004 0,06125 0,00715
0,36 1,00070 0,36005 0,06480 0,00778
0,37 1,00078 0,37006 0,06845 0,00844
0,38 1,0(Х)86 0,118006 0,07220 0,00915
0,39 1,00096 0,2,9007 0,07605 0,00989
0,40 1,00106 0,40008 0,08000 0,01067
0,41 1,00117 0,41009 0,08405 0,01149
0,42 1,00129 0,42011 0,08820 0,01235
0,43 1,00142 0,43012 0,09245 0,01325
0,44 1,00156 0,44014 0,09681 0,01420
0,45 1,00171 0,45015 0,10126 0,01519
0,46 1,00186 0,46017 0,10581 0,01625
0,47 1 ,(Ю203 0,47019 0,11047 0,01731
0,48 1,00221 0,48021 0,11522 0,01844
0,49 1,00240 0,49023 0,12007 0,01961
0,50 1,00260 0,50026 0,12502 0,02084
0,51 1,00280 0,51029 0,13007 0,02211
0,52 1,00304 0,52031 0,13522 0,02341
0,53 1,00329 0,52,024 0,14048 0,02481
0,54 1,00354 0,54038 0,14583 0,02624
0,55 1,002,81 0,55012 0,15129 0,02772»
0,56 1,00410 0,56016 0,15684 0,02927
0,57 1,00440 0,57050 0,16250 0,0302.7
0,58 1,00471 0,58054 0,16825 0,03253
0,59 1,00505 0,59060 0,17411 0,03424
0,60 1,00510 0.60074 0,18006 0,03601
0,61 1,00577 0,61070 0,18612 0,03784
0,62 1,00616 о,6?(>76 0,19228 0,03973
0,63 1,00656 0,62,082 О,19852> 0,04169
0,64 1,00699 0 6 |О89 0,20189 0.04369
0,65 1,00742 0,05097 0,21136 0,04578
0,66 1,00790 0,66101 0,21791 0,04793
0,67 1,00,82.0 0,671 12 0,22458 0,05013
0,68 1,00891 0,6.8121 0,23134 0,05248
0,69 1,00945 0,6912,0 0,23820 0,05477
0,70 1,01000 0,70110 0,24516 0,05718
0,71 1,01059 0,71150 0,25223 0,05967
0,72 1,01120 0,72161 0,25939 0,06223
0,73. 1,01 182, 0,72,173 0,26666 0,06486
0,74 1,01249 < >,71185 0.27402, 0,06756
0,75 1,012,18 0,75198 0,28119 0,07021
0,76 1,012,90 0,76211 0,289’06 O.O72>!9
Лродолжение приложения 3
kl S (Л 2) Г (kz) U (kz) V (kz)
0,77 1,01465 0,77226 0,29674 0,07612
0,78 1,01542 0,78240 0,30451 0,07913
0,79 1,01623 0,79256 0,31238 0,08228
0,80 1,01707 0,80273 0,32036 0,08538
0,81 1,01794 0,81290 0,32844 0,08862
0,82 1,01884 0,82309 0,33662 0,09194
0,83 1,01978 0,83328 0,34490 0,09535
0,84 1,02075 0,84348 0,35329 0,09885
0,85 1,02175 0,85380 0,36177 0,10242
0,86 1,02280 0,86392 0,37036 0,10608
0,87 1,02388 0,87415 0,37905 0,10983
0,88 1,02500 0,88440 0,38785 0,11366
0,89 1,02615 0,89465 0,39674 0,11758
0,90 1,02735 0,90492 0,40573 0,12159
0,91 1,02858 0,91520 0,41483 0,12570
0,92 1,02986 0,92549 0,42404 0,12990
0,93 1,03118 0,93082 0,43335 0,13418
0,94 1,03254 0,94612 0,44275 0,13856
0,95 1,03395 0,95645 0,45227 0,14303
0,96 1,03540 0,96679 0,46188 0,14761
0,97 1,03690 0,97716 0,47161 0,15297
0,98 1,03845 0,98753 0.48143 0,15704
0,99 1,04005 0,99793 0,49136 0,16190
1,00 1,04169 1,00833 0,50139 0,16687
1,01 1,04338 1,01876 0,51152 0,17193
1,02 1,04513 1,02920 0,52176 0,17710
1,03 1,04693 1,03953 0,53211 0,18237
1,04 1,04878 1,05014 0,54256 0,18774
1,05 1,05068 1,06064 0,55311 0,19322
1,06 1,05264 1,07116 0,56377 0,19880
1,07 1,05466 1,08169 0,57454 0,20449
1,08 1,05673 1,09225 0,58540 0,21029
1,09 1,05887 1,10283 0,59638 0,21620
1,10 1,06106 1,11343 0,60746 0,22222
1,11 1,06333 1,12405 0,61865 0,22835
1,12 1,06562 1,13469 0,62995 0,23460
1,13 1,06800 1,14536 0,64134 0,24095
1,14 1,07044 1,15605 0,65285 0,24742
1,15 1,07295 1,16677 0,66446 0,25401
1,16 1,07552 1,17750 0,67619 0,26071
1,17 1,07816 1,18828 0,68801 0,26753
1,18 1,08087 1,19908 0,69995 0,27447
1,19 1,08365 1,20990 0,71200 0,28153
1,20 1,08651 1,22075 0,72415 0,28871
1,21 1,08934 1,23163 0,73641 0,29601
1,22 1,09243 1,24254 0,74878 0,30344
68'4
П родолжение приложения 3
kz S (kz) Т (kz) U (kz) V (kz)
1,23 1,09550 1,25348 0,76196 0,31099
1,24 1,09865 1,26444 0,77385 0,31867
1,25 1,10187 1,27545 0,78658 0,32647
1,26 1,10518 1,28648 0,79936 0,33439
1,27 1,10856 1,29750 0,81228 0,34245
1,28 1,11203 1,30866 0,82531 0,35064
1,29 1,11557 1,31980 0,83845 0,35896
1,30 1,11920 1,33097 0,85163 0,36741
1,31 1,12292 1,34218 0,86507 0,37600
1,32 1,12673 1,35343 0,87855 0,38471
1,33 1,13062 1,36471 0,89214 0,39357
1,34 1,13460 1,37604 0,90585 0,40256
1,35 1,13867 1,38740 0,91966 0,41169
1,36 1,14283 1,39881 0,93336 0,42096
1,37 1,14709 1,41026 0,94764 0,43035
1,38 1,15144 1,42175 0,96180 0,43991
1,39 1,15588 1,43329 0,97607 0,44959
1,40 1,16043 1,44487 0,99047 0,45933
1,41 1,16507 1,45655 1,00497 0,46941
1,42 1,16982 1,46817 1,01959 0,47952
1,43 1,17466 1,47990 1,03434 0,48980
1,44 1,17961 1,49167 1,04920 0,50021
1,45 1,18467 1,50349 1,06417 0,51078
1,46 1,18984 1,51537 1,07926 0,52149
1,47 1,19510 1,52728 1,09448 0,53237
1,48 1,20048 1,53926 1,10981 0,54339
1,49 1,20597 1,55130 1,12526 0,55456
1,50 1,21157 1,56338 1,14083 0,56590
1,51 1,21729 1,57553 1,15653 0,57738
1,52 1,22312 1,58773 1,17235 0,58903
1,53 1,22907 1,59999 1,18828 0,60083
1,54 1,23514 1,61231 1,20435 0,61279
1,55 1,24132 1,62469 1,22053 0,62492
1,56 1,24769 1,63714 1,23679 0,63720
1,57 1,25407 1,64965 1,25327 0,64965
1,58 1,26063 1 ,(>6222 1,26983 0,66226
1,59 1,2(57 32 1,67486 1,28652 0,67504
1,60 1,2741:; 1, (18757 1,30333 0,68800
1,61 1,28108 1,70034 1,32027 0,70112
1,62 1,28815 1,71.319 1,33734 0,71441
1,63 1,29536 1,72608 1,35453 0,72786
1,64 1,30271 1,73910 1,37186 0,74149
1,65 1,.31019 1,75216 1,38932 0,75530
1,66 1,31782 1,76530 1,40690 0.76928
1,67 1,32558 1,77852 1,42462 0,78344
1,68 1,33348 1,79181 1,44248 0,79778
1,69 1,34154 1,80519 1,46046 0,81229
68г
ITродолжение приложения 3
kz S (hz) T(ftz) U (kz) V(kz)
1,70 1,34974 1,81864 1,47858 0,82699
1,71 1,35808 1,83219 1,49683 0,84186
1,72 1,36657 1,84581 1,53523 0,85692
1,73 1,37522 1,85952 1,53375 0,87216
1,74 1,38401 1,87331 1,55242 0,88759
1,75 1,39297 1,88820 1,57122 0,90321
1,76 1,40208 1,90117 1,59016 0,91903
1,77 1,41135 1,91524 1,60924 0,93502
1,78 1,42078 1,92940 1,62846 0,95120
1,79 1,43038 1,94366 1,64783 0'96759
1,80 1,44013 1,95801 1,66734 0,98416
1,81 1,45006 1,97246 1,68699 1,00093
1,82 1,46015 1,98697 1,70679 1,02191
1,83 1,47042 2,00166 1,72673 1,03507
1,84 1,48086 2,01642 1,74682 1,05244
1,85 1,49147 2,03128 1,76706 1',07001
1,86 1,50225 2,04625 1,78745 1,08778
1,87 1,51322 2,06133 1,80798 1,10576
1,88 1,52437 2,07652 1,82868 1,12394
1,89 1,53570 2,09182 1,84952 1,14233
1,90 1,54722 2,10723 1,87051 1,16093
1,91 1,55892 2,12276 1,89166 1,17974
1 92 1,57081 2,13841 1,91297 1,19877
1,93 1,58290 2,15418 1,9;’>4 43 1,21800
1,94 1,59518 2,17006 1,95(505 1'23745
1,95 1,61265 2,18608 1,97783 1',25713
1,96 1,62032 2,20222 1,99977 1,27701
/ 1,97 1,63319 2,21849 2,02187 1,29712
* 1,98 1,64626 2,23489 2,04415 1,31745
1,99 1,65954 2,25142 2,06707 1Д3800
2,00 1,67302 2,26808 2,08918 1,35878
2,01 1,68671 2,28337 2,11193 1,37828
2,02 1,70062 2,30181 2,13487 1,40102
2,03 1,71474 2,31889 2,15797 1,42249
2,04 1,72907 2,33611 2,18125 1,44418
2,05 1.7'4.162 2,35347 2,20470 1,46611
2,06 1,75840 2,37098 2,22832 1,48827
2,07 1,77360 2,38864 2,25212 1,51068
2,03 1,78861 2,40645 2,27609 1,53332
2,09 1,89405 2,42441 2,30024 1,55620
2,10 1,81973 2,44253 2,32458 1,57933
2,11 1,83565 2,46081 2,34910 1,60269
2,12 1,85179 2,47925 2,37380 1,62630
2,13 1,86817 2,49785 2,39868 1,65017
2,14 1,88479 2,51661 2,42375 1 ,(>7428
2,15 1,90165 2,53554 2,44902 1 ,(>9865
2,16 1,91876 2,55464 2.47447 1,72327
IIродолжение приложения 8
kz S (kz) Г (kz) U (kz) V (kz)
2,17 1,93612 2,57392 2,50011 1,74813
2,18 1,95373 2,59337 2,52594 1,77326
2,19 1,97158 2,61300 2,55198 1,79865
2,20 1,98970 2,63208 2,57820 1,81431
2,21 2,00807 2,65279 2,60464 1,85022
2,22 2,02671 2,67296 2,63126 1,87640
2,23 2,04560 2,69332 2,65810 1,90285
2,24 2,06476 2,71388 2,68513 1,92956
2,25 2,08420 2,73,462 2,71237 1,95655
2,26 2,103.90 2,75556 2,73982 1,98381
2,27 2,12387 2,77670 2,76748 2,01135
2,28 2,14412 2,79801 2,79536 2,03916
2,29 2,16465 2,81958 2,82345 2,06725
2,30 2,18547 2,81133 2,85175 2,09563
2,31 2,20657 2,86329 2,88027 2,12429
2,32 2,22795 2,88546 2,90902 2,15324
2,33 2,24961 2,90785 2,93798 2,18247
2,34 2,27161 2,93,045 2,96717 2,21200
2,35 2,29388 2,95328 2,99659 2,24182
2,36 2,31645 2,97631 3,02624 2,27193
2,37 2,33932 2,99962 3,05612 2,30234
2,38 2,36250 3,02312 3,08624 2,33306
2,39 2,38598 3,04686 3,11658 2,36406
2,40 2,40978 3,07081 3,14717 2,39539
2,41 2 43389 3,09506 3,17800 2,42700
2,42 2,45832 3,11952 3,20907 2,45895
2,43 2,48307 3,14423 3,24039 2,49119
2,44 2,50814 3,16919 3,27196 2,52375
2,45 2,53354 3,19439 3,30378 2,55664
2,46 2,56927 3,21986 3,33585 2,58983
2,47 2,5853.5 3,24558 3,36817 2,6233,5
2,48 2,61174 3,27156 3,40076 2,65720
2,49 2,63818 3,29781 3,43360 2,69136
2,50' 2,66557 3,32433 3,46672 2,72587
2,51 2,69300 3,35113 3,50010 2,76070
2,52 2,72079 3,37820 3,53374 2,79581
2,53 2,74893, 3,40555 3,56765 2,83137
2,54 2,77742 3,43318 3,60175 2,86722
2,55 2,80627 3,46110 3,63.632 2,90312
2,56 2,83,549 3,48931 3,67107 2,939'j5
2,57 2,86507 3,51780 3,70061 2,97683
2,58 2,89502 3,54660 3,74144 3,01408
2,59 2,92535 3,57571 3,77705 3,05167
2,60 2,95606 3,60511 3,81295 3,08962
2,61 2,98714 3,63183 3,81915 3,12793
2,62 8,01862 3,66486 3,88565 3(1 Gu(i’)
П родолжение приложения 3
кг S (kz) Г (kz) U (kz) V (kz)
2,63 3,05047 3,69521 3,92235 3,20564
2,64 3,08273 3,72587 3,95955 3,24505
2'65 3,11538 3,75186 3,99696 3,28483
2,66 3,14843 3,78818 4,03469 3,32499
2,67 3,18188 3,81984 4,07273 3,36552
2,68 3,21755 3,85182 4,11108 3,40645
2,69 3,25001 3,88415 4,14926 3,44775
2,70 3,28470 3,91682 4,18877 3,48944
2,71 3,31980 3,94985 4,22810 3,53152
2,72 3,35533 3,92321 4,26717 3,57401
2,73 3'39128 4,01695 4,30777 3,61688
2,74 3,42767 4,05105 4,34811 3,66017
2,75 3,46449 4,08550 4,38879 3,70384
2,76 3,50175 4,12034 4,42982 3,74794
2,77 3^53945 4,15554 4,47120 3,79244
2'78 3,57760 4,19112 4,51293 3,83736
2,79 3,61619 4,22709 4,55503 3,88271
2,80 3,65525 4,26345 4,59748 3,92847
2,81 3',69476 4,30020 4,64030 3,97465
2*82 3,73493 4,33735 4,68330 4,02127
2,83 3,77520 4,37490 4,72705 4,06832
2,84 3,81612 4,41285 4,77098 4,11582
2',85 3,85751 4,45122 4,81530 4,16375
2,86 3'89940 4,49001 5,86000 4,21212
2,87 3,94176 4,52921 4,90510 4,26095
2,88 3,98461 4,56884 4,95059 4,31028
2,89 4,02796 4,60891 4,99648 4,35996
2,90 4,07181 4,64940 5,04277 4,41016
2,91 4,11617 4,69034 5,08947 4,46082
2,92 4',16103 4,73173 5,13658 4,51195
2'93 4,20640 4,77357 5,18410 4,56355
2,94 4,25230 4,81586 5,23206 4,61563
2,95 4,29875 4,85862 5,28042 4,66820
2,96 4,34567 4,90181 5,32923 4,72124
2,97 4,39315 4,94553 5,37846 4,77478
2,98 4,44117 4,98970 5,42814 4,82881
2,99 4,48972 5,03435 5,47825 4,88335
3,00 4,53883 5,07949 5,52883 4,95838
3,01 4>88.')0 5,12513 5,57985 4,99392
3'02 4,63872 5,17127 5,63133 5,04998
3,03 4,68950 5,21791 5,68327 5,10655
з;о4 4,74085 0,26556 5,73569 5,16364
3,05 4,79277 5,31272 5,78858 5,22126
3,06 4,84527 5,36090 5,84195 5,27942
3'07 4,89836 5,40963 5,89580 5,33810
3,08 4,95204 5,45888 5,95014 5,39734
3,09 5^00631 5,50868 6,00498 5,45711
688
Продолжение приложения 8
hz S (hz) Т (kz) U (kz) V (hz)
3,10 5,06118 5,55901 6,06032 5,51744
3,11 5,11666 5,60990 6,11616 5,57832
3,12 5,17275 5,66135 6,17252 5,63976
3,13 5,22931 5,71336 6,22936 5,70177
ЗД4 5,28678 5,76594 6,28678 5,76435
3’15 5,34475 5,81910 6,34471 5,82751
ЗД6 5,40316 5,87284 6,40317 5,89125
3,17 5,46257 5,92717 6,46217 5,95657
3,18 5,52245 5,98209 6,52171 6,02049
3,19 5,58298 6,03762 6,58182 6,08601
3,20 5,64418 6,09375 6,64247 6,15213
3,21 5,70603 6,15050 6,70369 6,21885
3^2 5,76855 6,20787 6,76349 6,28621
3^23 5,83161 6,26588 6,82800 6,35417
3,24 5,89564 6,32451 6,89080 6,42277
3,25 5,96021 6,38379 6,95381 6,49199
3> (>,02535 6,44372 7,01848 6,56185
3,27 6,09145 6,50431 7,08322 6,63236
3,28 6,15813 6,56555 7,14857 6,70352
3,29 6,22552 6,62747 7,21454 6,77533
3,30 6,29364 6,69006 7,28112 6,84782
3,31 6,36248 6,75334 7,34833 6,92095
з;з2 6,43206 6,81732 7,41619 6,99478
3,33 6,50238 6,88199 7,48460 7,06928
3,34 6,57345 6,94737 7,55383 7,14448
з;з5 6,64527 7,01346 7,62363 7,22036
3,36 6,71786 7,08027 7,69410 7,29696
з:з7 6,79121 7,14782 7,76524 7,37425
3,38 6,86531 7,21610 7,83706 7,45226
3,39 6,94026 7,28513 7,90957 7,53099
3,40 7,01597 7,35491 7,98277 7,61045
3,41 7,09247 7,42546 8,05666 7,69065
3^42 7,16978 7,49676 8,13028 7,77159
3,43 7,24790 7,56885 8,20661 7,85326
3^44 7,32685 7,64172 8,28266 7,93573
3,45 7,40662 7,71539 8,35945 8,01893
3,46 7,48723 7,78986 8,38697 8,10291
3,47 7,51858 7,86514 8,51535 8,18768
3,48 7,65099 7,94124 8,59427 8,27322
3,49 7,73415 8,01816 8,67407 8,35956
3,50 7,81818 8,09592 8,75464 8,44671
3,51 7,903,09 8,17453 8,83599 8,53466
3,52 7,98888 8,25398 8,91813 8,62343
3,53 8,07556 8,33431 9,00107 8,71302
3,54 8,16315 8,41550 9,08482 8,80346
3,55 8,25164 8,49717 9,16938 8,89472
3,56 8,34104 8,58054 9,25478 8,98685
689
Продолжение приложения 3
kz S (kz) T (kz) U (kz) V (kz)
3,57 8,43137 8,61440 9,34100 9,07982
3,58 8,52264 8,74917 9,42807 9,17367
3,59 8,61485 8,83485 9,51599 9,26838
3,60 8,70801 8,92147 9,60477 9,36399
3,61 8,80213 9,00902 9,69442 9,46048
3,62 8,89772 9,09751 9,78495 9,55788
3,63 8,99330 9,18696 9,87637 9,65618
3,64 9,09035 9,27738 9,96870 9,75541
3,65 9,18845 9,36878 10,06193 9,85557
3,66 9,28747 9,46116 10,15608 9,95666
3,67 9,38754 9,55453 10,25115 10,05869
3,68 9,48864 9,64891 10,34717 10,16168
3,69 9,59077 9,74430 10,44414 10,26564
3,70 9,68159 9,84072 10,54206 10,37057
3,71 9,79819 9,93819 10,64095 10,47648
3,72 9,90349 10,03670 10,74082 10,58339
3,73 10,00986 10,13626 10,84169 10,69130
3,74 10,11732 10,23690 10,94355 10,80023
3,75 10,22587 10,33861 11,04643 10,91017
3,76 10,33552 10,44141 11,15033 11,02116
3,77 10,44630 10,54533 11,25526 11,13318
3,78 10,55819 10,65034 11,36124 11,24627
3,79 10,67123 10,75649 11,46878 11,36041
3,80 10,78540 10,87377 11,57638 11,47564
3,81 10,90074 10,97221 11,68555 11,59195
3,82 11,01725 11,08180 11,79582 11,70935
3,83 11,13493 11,19255 11,90719 11,82786
3,84 11,25380 11,30449 12,01969 11,94750
3,85 11,37389 11,41763 12,13329 12,06826
3,86 11,49518 11,53198 12,24803 12,19017
3,87 11,61769 11,64754 12,36393 12,31322
3,88 11,74145 11,76434 12,48099 12,43745
3,89 11,86646 11,88238 12,59922 12,56285
3,90 11,99271 12,00166 12,71864 12,68944
3,91 12,12024 12,12224 12,83926 12,81723
3,92 12,24905 12,24407 12,96109 12,94623
3,93 12,37917 12,36722 13,08415 13,07645
3,94 12,51059 12,49167 13,20844 13,20797
3,95 12,64332. 12,61744 13,33398 13,34063
3,96 12,77740 12,74453 13,46079 13,47460
3,97 12,91283 12,87299 13,58888 13,60966
3,98 12,04960 13,00280 13,71825 13,74637
3,99 12,18775 13,13398 13,84893 13,88421
4,00 13,32730 13,26656 13,98094 14,02366
4,01 13,46823 13,40053 14,11427 14,16384
4,02 13,61057 13,53593 14,24895 14,30565
690
Продолжение п риложения 3
hz S (hz) т (hz) U (hz) V (hz)
4,03 1:1,754:15 13,67275 14,38500 14,44882
4,04 1:1,89955 13,81102 14,52242 14,59335
4,05 14,04622 13),95074 14,66122 14,73228
4,06 14,194:15 14,09195 14,80144 14,88658
4,07 14,34395 14,23464 14,94306 15,03530
4,08 14,49506 14,37883 15,08613 15,18545
4,09 14,64767 14,52455 15,23065 15,33703
4,10 14,80180 14,67179 15,37663 15,43007
4,11 14,95747 14,82058 15,57408 15,64456
4,12 15,11470 14,97095 15,67304 15,80055
4,13 15,27350 15,12288 15,82351 15,96304
4,14 15,43386 15,27641 15,97551 16,11703
4,15 15,59533 15,43157 16,12905 16,27755
4,16 15,75942 15,58835 16,28415 16,43962
4,17 15,92464 15,74676 . 16,44082 16,60324
4,18 16,09150 15,90648 16,59909 16,76844
4.19 16,26001 16,06860 16,75896 16,93522
4,20 16,43020 16,23204 16,92046 17,10363
4,21 16,60208 16,3.9721 17,083.60 17,27121
4,22 16,77568 16,56409 17,24841 17,44530
4,2:1 16,95099 16,73272 17,41490 17,61862
4,24 ч 17,12806 16,90312 17,58307 17,79360
4,25 17,30687 17,07529 17,75297 17,97028
4.26 17,48746 17,24926 17,92458 18,14867
4,27 17,66985 17,42505 18,09795 18.32878
4,28 17,85405 17,60266 18,27309 18,51064
4,29 18,04008 17,78214 18,45002 18,69425
4,30 18,22794 17,96367 18,62874 18,87964
4,31 18,41767 18,14670 18,80929 19,06683
4,32 18,60928 18,32,183 18,99168 19,25583
4,33 18,80280 18,51889 19,17594 19,44667
4,34 18,99823 18.70790 19,36207 19,63935
4,35 19,19558 18,89887 19,55010 19,83392
4,36 19,39491 19,09182 19,74005 20,03037
4.37 19,59620 19,28677 19,93194 20,22872
4,7'8 19,79949 19,487.7 4 20,12579 20,42901
4,39 20,00179 19,682/7 20,32162 20,63121
4,40 20.21212 19,88385 20,51945 20,83545
4,41 20,42150 20,08701 20,71931 21,04164
4,42 20,67'296 20,29229 20,92120 21,24985
4,43 20,84651 20,49968 21,12516 21,46007
4,44 21,06217 20,70922 21,33120 21,67235
4,45 21,27996 20,92093 21,53935 21,88670
4,46 21 49991 21,13 48:: 21,71963 22,10315
4,47 21,72204 21,35094 21,96236 22,32170
4,48 21,94635 21,.46927 22,17665 22,54240
4,49 27,17288 21,78587 22,39345 '.’2,7652
(«91
Продолжение приложения 3
kz S (kz) Т (kz) U (fez) V (kz)
4,50 22,40166 22,01274 22,61246 22,99027
4,51 22,63270 22,23791 22,83371 23,21750
4,52 22,86602 22,46540 23,05722 23,44695
4,53 23,10165 22,69524 23,28303 23,67865
4,54 23,33965 22,92744 23,51114 23,91962
4,55 , 23,57990 23,16204 23,74159 24,14888
4,5(5 23,82259 23,39905 23,97439 24,38796
4,57 24,06766 23,63850 24,20957 24,62888
4,58 24,31766 23,88041 24,44916 24,87166
4,59 24,56510 24,12481 24,68719 25,11733
. 4,60 24,81752 24,37172 24,92967 25,36541
4,61 25,07242 24,62117 25,17463 25,61593
4,62 25,32984 24,87318 25,42210 25,86892
4,63 25,58980 25,12777 25,67210 26,12438
4,64 25,85233 25,38498 25,92467 26,38236
4,65 26,11746 25,64483 26,14981 26,64288
4,66 26,38520 25,90734 26,43757 26,90597
4,67 26,65559 26,17254 26,69797 27,17164
4,68 26,92865 26,44046 26,96103 27,43994
4,69 27,20440 26,71113 27,22678 27,71087
4,70 27,48287 26,98456 27,49526 27,98448
4,71 27,76410 27,26079 27,76799 28,26079
4,72 28,04810 27,53985 28,04045 28,53982
4,73 28,33490 27,82177 28,31729 28,82160
4,74 28,62454 28,106555 28,59693 29,10618
4,75 28,91704 28,39327 28,87944 29,39356
4,76 29,21242 28,68490 29,16483 29,68378
4,77 29,51072 28,97852 29,45314 29,97686
4,78 29,81197 29,27513 29,74440 30,27285
4,79 30,11619 29,57477 30,03855 30,57176
4,80 30,42341 29,87746 30,33591 30,87363
4,81 30,73367 30,18325 30,73367 31,17849
4,82 31,04699 30,49215 30,93959 31,48637
4,83 31,36340 30,80420 31,24607 31,79729
4,84 31,68295 31,11943 31,55569 32,11130
4,85 32,00565 31,43787 31,86847 32,42842
4,86 32,33153 31,75955 32,18445 32,74868
4,87 32,66063 32,08450 32,53670 33,07212
4,88 32,99298 32,41277 32,82615 33,39876
4,89 33,32862 32,74438 33,15194 33,72865
4,90 33,66756 33,07936 33,48105 34,06181
4,91 34,00976 33,41774 33,81353 34,39828
4,92 34,35554 33,79570 34,14942 34,73810
4,93 34,70464 34,10486 34,48879 35,08128
4,94 35,05718 34,45367 34,83153 35,42788
4,95 35,41320 34,80602 35,17782 35,77792
4,96 35,77275 35,16195 35,52765 36,13145
692
Продолжение приложения 3
fez S (fez) Г (fez) и (kz) Vz (fez)
4,97 3(5,13585 35,52149 35,88107 36,48849
4,98 36,50253 35,88467 36,23810 36,84908
4,99 36,87284 36,25155 36,59878 37,21326
5,0 37,24680 36,62214 36,96314 37,58106
5Д 41,19599 40,54105 40,81801 41,46636
5,2 45,55370 44,87495 45,08518 45,75840
5,3 50,36263 49,66682 49,80826 50,49909
5,4 55,67008 54,96409 55,03539 55,73685
5,5 61,52834 60,81919 60,81967 61,52473
5,6 67,99531 67,29004 66,21974 67,92131
5,7 75,13504 74,44067 74,30033 74,99136
5,8 83,01840 82,34183 82,13288 82,80633
5,9 91,72379 91,07172 90,79631 91,44562
6,0 101,33790 100,71687 100,37773 100,99629
6,1 111,95664 111,37280 110,97337 111,55491
6,2 123,68604 123,19521 122,68950 123,22830
2п 134,37338 133,87245 13.3,37338 133,87245
6,3 136,64336 136,15092 135,64350 136,13411
6,4 150,96826 150,46912 149,97508 150,35257
6,5 166,77508 166,39259 165,79749 166,17747
6,6 184,24925 183,92922 183,29902 183,61768
6,7 203,55895 203,30357 202,64457 202,89872
6,8 224,89590 224,70860 224,02740 224,21449
6,9 248,47679 248,35764 247,66106 247,77920
7,0 274,53547 274,48655 273,78157 273,82956
7,1 303,33425 303,28381 302,6.4970 302,62707
7,2 .’,35,1(1205 335,254.'J4 334,55370 334,46067
7,3 370,33819 .‘’>70,50003 369,81211 369,64954
7,4 409,21553 409,44531 408,77698 408,54660
7,5 152,1 Моб 452,92446 451,73742 451,54146
7,6 199,67173 500,03281 499,42347 499,06489
7,7 552,1*’-38 4 552,58097 552,01042 551,58780
7,8 610,17737 610,64966 610,12361 609,65112
5 ~2 " 643,99272 644,49252 643,99272 643,49252
7,9 671,29767 674,81986 674,34367 673,82102
8,0 745,1 (',68.'. 715,72.409 745,31233 744,74473
8,1 823,49532 823 95189 823,73886 823,28200
8,2 9|о,()0807 9(0,70787 910,40722 909,76714
8,3 101'5,75247 1006,11912 1006,18385 1005,51695
8,4 1111,30710 1112,18393 1112,02639 1111,33933
8,5 1'.-28 „39125 1229,09140 1228,99326 1228,29291
8,6 L157,57558 1 .’>58,28 J05 1358,25430 1357,54765
8,7 1зоо,:<>:’.77 1501,05950 1501,10242 1500,39658
8,8 16. >8,1. >о 4 9 1658,853.42 1658,96658 1658,26859
8,9 1832,56070 1833,42607 1833,42614 1832,74284
6УЗ
Продолжение приложения 3
hz S (kz) т (hz) U (kz) V (kz)
9,0 2025,31545 2025,97701 2026,22658 2025,56489
9,1 2238,34934 2238,98270 2239,29706 2238,66360
9,2 2473,79487 2474,39373 2474,76971 2474,17079
9,3 2734,00871 2734,56071 2735,00094 2734,44255
9,4 3021,59536 3022,10755 3022,59505 3022,08297
Зх 3097,41192 3097,91193 3098,41197 3097,91193
9,5 3339,43314 3339,89411 3340,43031 3359,96926
9,6 3690,70306 3691,11321 3691,68775 3691,27754
' 9,7 4078,92063 4079,26590 4079,88299 4079,53766
9,8 4508,47103 4508,25298 4508,90146 4508,61946
9,9 4982,14802 4982,35202 4983,03721 4982,32136
10,0 5596,19606 5506,34442 5507,03599 5506,88844
Приложение 4
Функции Крылова для расчета балок постоянного сечения
на упругом основании
С /1 J ? 3 Л
0 1 0 О 0
0,010 1,0000 0,01000 0,00005 0,00000
0,020 1,0000 0,02000 0,00020 0,00000
0,05 1,0000 0,0500 0,0013 0,00002
0,10 1,0000 0,1000 0,0050 0,0002
0,20 0,9997 0,2000 0,0200 0,0014
0,30 0,9987 0,2999 0,0450 0,0045
0,40 0,9957 0,3997 0,0800 0,0107
0,50 0,9895 0,4990 0,1249 0,0208
0,60 0,9784 0,5974 0,1798 0,0360
0,70 0,9600 0,6944 0,2444 0,0571
0,80 0,9318 0,7891 0,3186 0,0852
0,90 0,8931 0,8804 0,4021 0,1211
1,00 0,8337 0,9668 0,4945 0,1659
1,10 0,7568 1,0465 0,5952 0,2203
1,20 0,6561 1,1173 0,7035 0,2852
1,30 0,5272 1,1767 0,8183 0,3612
1,40 0,3656 1,2217 0,9383 0,4490
1,50 0,1664 1,2486 1,0620 0,5490
л/2 0,0000 1,2546 1,1507 0,6273
1,60 —0,0753 1,2535 1,1873 0,6615
1,70 —0,3644 1,2322 1,3118 0,7863
1,80 —0,7060 1,1789 1,4326 0,9237
1,90 —1,1049 1,0888 1,5464 1,0727
2,00 —1,5656 0,9558 1,6490 1,2325
2,10 —2,0923 0,7735 1,7359 1,4020
2,20 —2,6882 0,5351 1,8018 1,5791
2,30 —3,3562 0,2335 1,8408 1,7614
694
Продолжеиие приложения 4
£ Ji Л J,
2,40 —4,0976 —0,1386 1,8461 1,9461
2,50 —4,9128 —0,5885 1,8105 2,1293
2,60 —5,8003 —1,1236 1,7256 2,3065
2,70 —6,7565 —1,7509 1,5827 2,4725
2,80 —7,7759 —2,4770 1,3721 2,6208
2,90 —8,8471 —3,3079 1,0838 2,7443
3,00 —9,9669 —4,2485 0,7069 2,8346
3,10 —11,1119 —5,3023 0,2303 2,8823
3,20 —12,2656 —6,4711 —0,3574 2,8769
3,30 —13,4048 —7,7549 —1,0678 2,8068
3,40 —14,5008 —9,1507 —1,9121 2,6589
, 3,50 —15,5198 —10,6525 —2,9014 2,4195
3,60 —16,4218 —12,2508 —4,0459 2,0735
3,70 — 17,1622 —13,9315 -5,3514 1,6049
3,80 —17,6875 —15,6761 —6,8343 0,9969
3,90 —17,9387 — 17,4599 —8,4909 0,2321
4,00 —17,8498 — 19,2524 —10,3265 —0,7073
4,10 —17,3472 —21,0160 —12,3404 —1,8392
4,20 —16,3505 —22,0755 —14,5274 —3,1812
4,30 —14,7722 —24,2669 —16,8773 —4,7501
4,40 —12,5180 —25,6373 —19,3743 —6,5615
4,50 —9,4890 —26,7447 —21,9959 —8,6290
4,60 —5,5791 —27,5057 —24,7117 —10,9638
4,70 —0,6812 —27,8274 —27,4823 —13,5732
4,80 5,3164 —27,6052 —30,2589 —16,4604
4,90 12,5239 —26,7239 —32,9814 —19,6232
5,00 21,0504 —25,0565 —35,5775 —23,0525
5,10 30,9997 —22,4661 —37,9619 —26,7317
5,20 42,4661 —18,8057 —40,0350 —30,6346
5,30 55,5317 —13,9201 —41,6826 —34,7246
5,40 70,2637 —7,6440 —42,7727 —38,9524
5,50 86,7044 —0,1901 —43,1593 —43,2557
5,60 1(14,8(587 9,7544 —42,6775 —47,5558
5,70 124,7352 21,2199 —41,1454 —51,7563
5,80 146,2418 34,7564 —38,3640 —55,7429
5,90 169,2837 50,5203 —34,1198 —59,0363
6,00 196,1881 70,6079 —27,4846 —62,7889
6,10 221,8019 91,4992 —19,4005 —65,1503
6,20 245,5231 112,5249 —10,2356 —66,4981
2п 2(17,7468 133,8725 0 —66,9362
6,30 272,2487 138,4120 2,2886 —66,9175
6,50 324,7861 198,1637 35,7713 —63,3105
7,00 413,3762 386,8072 180,1191 —13,2842
7,50 313,3700 580,6710 423,9858 133,6506
5/2тс 0 643,9927 643,9926 321,9964
8,00 —216,8647 628,8779 737,3101 422,8713
8,50 —1479,3701 241,4136 981,0984 860,3917
9,00 —3691,4815 —1010,8800 834,8607 1340,3007
Зге —6195,8239 —3097,9120 0 1548,9560
9,50 —6660,9594 —3581,4756 —25i>,!):>59
10,0 -9240,8733 —7616,1462 —2995,7095 812,30 ’.0
ЛИТЕРАТУРА
1. Ананьев И. В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих си-
стем. ОГИЗ — Гостехиздат, М., 1946.
2. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет на прочность дета-
лей машин. Справочное пособие. «Машиностроение», М., 1966.
3, Варвак II. М, Варвак А. П. Пять новых аналогий в сопротивлении матери-
алов.— Проблемы прочности, 1972, 1.
4. Варвак II. М., Варвак А. П. Четыре новые аналогии в сопротивлении мате-
риалов.— Проблемы прочности, 1972, 10.
5. Иванов В. Ф., Никитин Г. В. Справочник по строительной механике, т. ls
Изд-во КУБУЧ. Л., 1933.
6. Любошиц М. И., Ицкович Г. М. Справочник по сопротивлению материалов,
«Вышэйшая школа», Минск, 1969.
7. Материалы в машиностроении, т. 1. Цветные металлы и сплавы. «Маши-
ностроение», М., 1967.
8. Материалы в машиностроении, т. 2. Конструкционная сталь. «Машино-
строение», М., 1967.
9. Материалы в машиностроении, т. 3. Специальные стали и сплавы. «Маши-
ностроение», М., 19и8.
10. Материалы в машиностроении, т. 4. Чугун. «Машиностроение», М., 1969,
И. Материалы в машиностроении, т. 5. Неметаллические материалы. «Маши-
ностроение», М., 1969,
12. Михайлов-Михеев II. Б. Справочник по металлическим материалам турби-
но- и моторостроения. Маня из, М.—Л., 1961,
13. Писаренко Г. С., Яковлев А. II., Матвеев В. В. Вибропоглощающие свойства
конструкционных материалов. Справочник. «Паукова думка», К., 1971.
14. Писаренко Г. С. и др. Сопротивление материалов. Гостехиздат УССР К.,-
1963.
15. Писаренко Г. С. и др. Курс сопротивления материалов. Изд-во АН УССР,
К., 1964.
16т Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Сопротивление материалов деформирова-
нию и разрушению при сложном напряженном состоянии, «Наукова дум-
ка», К., 1969.
17. Прочность. Устойчивость. Колебания, т. 1. Под редакцией И. А, Биргера
и Я. Г. Пановко. «Машиностроение», М., 1968.
18. Прочность. Устойчивость. Колебания, т. 2. Под редакцией И,- А,- Биргера
и Я. Г. Пановко. «Машиностроение», М., 1968.
19. Прочность. Устойчивость. Колебания, т. 3. Под редакцией И. А,; Биргера
и Я. Г. Пановко. «Машиностроение», М., 1968.
20. Рудицын М. Н., Артемов П. Я., Любошиц М. И. Справочное пособие по
сопротивлению материалов. Госиздат БССР, Минск, 1958.
21. Рудицын М. IL, Артемов П. Я., Любошиц М. И. Справочное пособие по
сопротивлению материалов. «Вышэйшая школа», Минск, 1970.
22. Сервисен С. В., Ногаев В. П,, Шнейдерович Р. М. Несущая способность
и расчеты деталей машин на прочность. Машгиз, М., 1963.
23. Справочник по технической механике. Под редакцией академика
А. Н. Динпика. ОГИЗ, М.— Л., 1949.
24. Справочник по строительной механике корабля. Под редакцией академика
К). А. Шиманского, т. 2. Л., 1958.
25. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зда-
ний и сооружений. Под редакцией А. А. Уманского. Гос. изд-во литера-
туры по строительству, архитектуре и строительным материалам. М., 1960,
26. Справочник машиностроителя, т. 6. Под редакцией Э. А. Сателя. «Маши-
ностроение», М.. 1964.
27. Справочник машиностроителя, т. 3. Под редакцией академика АН УССР
С. В. Серенсепа. Машгиз. М., 1963.
28. Технический справочник железнодорожника, т. 2. Технические расчеты,
Гострансжелдориздат. М., 1Р50.
29. Трогиенко В. Т. Усталость и неупругость металлов. «Наукова думка»,-
К., 1971.
30: Фесик С. П. Справочник по сопротивлению материалов. «Буд1вельник»,
К., 1970.
31. Химушин Ф. Ф. Жаропрочные стали и сплавы, «Металлургия», М., 1969.
696
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
Таблица 1. Геометрические характеристики плоских сечений 24
Таблица 2. Угольники равнобокие (ГОСТ 8509 — 57) .... 78
Таблица 3. Угольники неравнобокпе (ГОСТ 8510 — 57) ... 82
Таблица 4. Швеллеры (ГОСТ 8240 — 56).....................86
Таблица 5. Швеллеры (ГОСТ 8240 — 56*)................... 88
Таблица 6. Балки двутавровые (ГОСТ 8239 — 56)........... 90
Таблица 7. Балки двутавровые (ГОСТ 8239 — 56*) ..... 92
Таблица 8. Балки двутавровые широкополочные
(ГОСТ 6183 —52)......................................... 94
Таблица 9. Опорные реакции, поперечные силы и изгиба-
ющие моменты в статически определимых
балках..................................................116
Таблица 10. Изгибающий момент М, нормальная У и попе-
речная Q силы в консольном круговом стержне
при нагружении в его плоскости..........................138
Таблица И. Изгибающий Миз и крутящий Л4кр моменты в
консольном круговом стержне при нагружении,
перпендикулярном его плоскости..........................139
Таблица 12. Модули упругости и коэффициенты Пуассона . . 151
Таблица 13. Ориентировочные величины основных допуска-
емых напряжений на растяжение и сжатпе . . . 152
Таблица14. Критерии предельного состояния изотропных
материалов (при статическом нагружении) . . . 173
Таблица 15. Допускаемые напряжения для сварных соедине-
ний ....................................................200
Таблица 16. Допускаемы!' напряжения для древесины . . . 200
Таблица 17. Схемы действительных и соответствующих им
фиктивных балок ....................................... 254
Таблица 18. Балки равного сопротивления изгибу...............255
Таблица 19. Уравнения \np\ioii линии и угла поворота по-
перечных сечений консольной балки переменной
высоты..................................................256
Таблица 20. Уравнения упругой линии, максимальные про-
гибы и углы поворота концевых и опорных се-
чений статически определимых балок постоян-
ного поперечного сечения .............................. 258
Таблица 21. Форма и размеры ядра сечения.....................289
Таблица 22. Выражения интеграла Мора M^Mpdi для раз-
личных сочетаний эпюр ,Пг- и ,Пр........................310
Таблица 23. Площади и координа!ы центров тяжести неко-
торых элемешарных фпкр..................................314
697
Таблица 24. Опорные реакции, поперечные сплы, изгибающие
моменты и перемещения в статически неопреде-
лимых однопролетпых балках.............................334
Таблица 25. Расчетные формулы, учитывающие смещение
опор и изменение температуры в статически не-
определимых балках (при постоянном EJ) . . . 348
Т а б л и ц а 26. Изгибающие моменты в Г-обрааяой раме.351
Таблица 27. Изгибающие моменты в П-образпой раме .... 358
Таблица 28. Изгибающие моменты в замкнутой раме .... 364
Таблица 29. Усилия и перемещения при нагружении кольца
в его плоскости .................'368
Т а б л и ц а 30. Радиус кривизны нейтрального слоя гн для сече-
ний различной формы....................................386
Таблица 31. Значение коэффициента к в формуле e — kR . . 388
Таблица 32. Перемещения свободного конца консольного
кругового стержня постоянного сечения при на-
гружении в его плоскости...............................392
Таблица 33. Перемещения свободного конца копсольного кру-
гового стержня постоянного сечения при нагру-
жении в перпендикулярной плоскости.....................394
Г а б л и ц а 34. Значения определенных интегралов, часто встре-
чающихся при определении перемещений в кри-
вых стержнях .... .................396
Т а б л и ц а 35. Расчетные формулы для толстостенных цилинд-
ров ................................................. 413
Таблица 36. Расчетные формулы для определения напряже-
ний и перемещений в тонкостенных оболочках 422
Таблица 37. Пластические моменты сопротивления для неко-
торых сечений балок .... 434
Г а б л п ц а 38. Коэффициенты м и щ для определения критиче-
ской нагрузки центрально сжатых стержней цо
t^EJ EJ
формуле Ркр = = .................451
Табл и ца 39. Критические нагрузки для полосы и некоторых
двутавровых балок......................................491
Таблица 40. Коэффициенты условного допускаемого напря-
жения на сжатие ср.....................................500
Г а б л и ц а 41. Уравнения изгибающего момента Л4(г) и упругой
линии ю(г) для некоторых случаев продольно -
поперечного изгиба балок постоянного попереч-
ного сечения ..........................................502
Таблица 42. Собственные частоты колебаний систем с одной
и двумя степенями свободы..........................543
Г а блиц а 43. Частотные уравнения и собственные формы про-
дольных и крутильных колебаний стержней по-
стоянного сечения......................................549
Таблица 44. Частотные уравнения и собственные формы по-
перечных колебаний стержней постоянного се-
чения .................................................553
Т а б л и ц а 45. Корпи частотных уравнений поперечных колеба-
ний стержней постоянного сечения на упругих
опорах.................................................554
Т а б л и ца 46. Корпи частотных уравнений поперечных колеба-
ний стержней постоянного сечения с сосредото-
ченными массами т .............. 556
698
Таблица 47. Значения некоторых интегралов, встречающихся
при расчетах поперечных колебаний стержней
(с?; — i-я собственная форма колебаний)................557
Таблица 48. Собственные частоты поперечных колебаний
стержней постоянного сечения, нагруженных
продольными силами ........................................568
Т а б л п ц а 49. Характеристики циклов повторно-переменного
нагружения.............................................576
Таблица 50. Значения коэффициента а, учитывающею массу
ударяемого элемента в формуле коэффициента
динамичности...............................................586
Таблица 51. Расчетные формулы для определения параметров
контакта двух тел .....................................594
Таблица 52. Численные значения коэффициентов па, np,tis 608
Таблица 53. Допускаемые давления на площадке контакта
при первоначальном контакте ни лилии и ста-
тическом нагружении....................................... 609
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............................................. 3
Глава 1. Введение .......................................... 5
§ 1. Наука о сопротивлении материалов. Изучаемые
объекты .................................... ..... 5
§ 2. Виды деформаций. Понятия о деформированном
состоянии материала ............................... 7
§ 3. Основные гипотезы....................... 9
Глава 2. Геометрические характеристики плоских сечений 10
§ 4. Статический момент площади. Центр тяжести пло-
щади ................................................ 10
§ 5. Моменты инерции плоских фигур.......... И
§ 6. Моменты инерции сложных сечений....... 13
§ 7. Моменты инерции относительно параллельных осей 14
§ 8. Зависимость между моментами инерции при пово-
роте координатных осей............................ 14
§ 9. Определение направления главных осей инерции.
Главные моменты инерции........................... 15
§ 10. Графическое представление моментов инерции.
Понятие о радиусе и эллипсе инерции ........... 17
§11. Моменты сопротивления......................... 21
§12. Порядок расчета.......................... . 22
Глава 3. Внешние и внутренние силы. Метод сечений.
Эпюры внутренних сил................................. 98
§ 13. Классификация внешних сил..................... 98
§ 14. Внутренние силы. Метод сечений. Эпюры внутрен-
них сил......................................... 99
§ 15. Балки и их опоры..............................102
§ 16. Вычисление реакций ...........................104
§ 17. Усилия и моменты в сечениях балки.............106
§ 18. Дифференциальные зависимости при изгибе балок.
Некоторые особенности эпюр Q и М .................106
§ 19. Построение эпюр для статически определимых рам 108
§ 20. Построение эпюр для кривых стержней...........109
§ 21. Дифференциальные зависимости при изгибе плос-
ких кривых стержней . ............................111
§ 22. Построение эпюр внутренних сил для простран-
ственных стержней ........................i . . . . 112
§ 23. Напряжения в сечении , ........................ИЗ
§ 24. Условия прочности и жесткости.................115
700
Глава 4. Механические характеристики материала при
растяжении и сжатии..........................140
§ 25. Напряжения и деформации при растяжении и сжа-
тии ...............................................140
§ 26 Испытание материалов на растяжение и сжатие . 143
§ 27. Концентрация напряжений..................148
§ 28. Допускаемые напряжения...................149
Глава 5. Напряженное и деформированное состояние . . 153
§ 29. Напряжения в точке. Главные площадки и глав-
ные напряжения.................................153
§ 30. Линейное напряженное состояние...........154
§ 31. Плоское напряженное состояние............155
§ 32. Прямая задача при плоском напряженном состоя-
нии. Круг напряжений...............................157
§ 33. Обратная задача при плоском напряженном состоя-
нии ...............................................158
§ 34. Объемное напряженное состояние...............160
§ 35. Деформации при объемном напряженном состоя
нпи. Обобщенный закон Гука ...................161
§ 36. Потенциальная энергия деформации.............163
Глава 6. Критерии прочности............................165
§ 37. Основные теории прочности....................165
§ 38. Понятие о некоторых новых теориях прочности. . 169
Глава 7. Растяжение и сжатие...........................178
§ 39. Расчет стержней на растяжение (сжатие) с учетом
собственного веса..................................178
§ 40. Стержень равного сопротивления растяжению
(сжатию). Ступенчатый стержень.....................179
§ 41. Статически неопределимые конструкции.......180
§ 42. Расчет гибких нитей..........................183
Глава 8. Сдвиг.......................................... 191
§ 43. Сдвиг. Расчет на срез........................191
§ 44. Чистый сдвиг.................................192
§ 45. Некоторые примеры расчета на срез............195
Глава 9. Кручение.........................................202
§ 46. Напряжения и деформации при кручении .... 202
§ 47. Кручение стержней некруглого сечения ........207
§ 48. Расчет винтовых пружин . . ..... 212
§ 49. Концентрация напряжений при кручении.......214
Глава 10. Изгиб ..........................................216
§ 50. Нормальные напряжения при плоском изгибе . . 216
§ 51. Касательные напряжения при изгибе............219
§ 52. Расчет па прочность при изгибе...............222
§ 53. Концентрация напряжений при изгибе ..........224
§ 54. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
(упругой линии) .................................. 228
§ 55, Определение перемещений в балках по методу
начальных параметров.............................234
701
§ 56. Расчет балок переменного сечения па прочность
п жесткость.......................................238
£ 37. Расчет на изгиб с учетом сил инерции........243
§ 58. Касательные напряжения при изгибе балок тонко-
стенного профиля. Центр изгиба ...................244
§ 59. О расчете балок на упругом основании........247
§ 60. Изгиб балок, материал которых не следует закону
Гука..............................................251
Глава И. Сложное сопротивление........................276
§ 61. Сложный и косой изгиб.......................276
§ 62. Изгиб с растяжением ........................280
§ 63. Изгиб с кручением...........................284
Глав) 12. Общие теоремы об упругих системах. Общие
методы определения перемещений ..........................292
§ 61. Обобщенные силы и перемещения...............292
§ 65. Работа внешних сил ,........................294
§ 66. Работа внутренних сил.......................295
§ 67. Применение начала возможных перемещений
к упругим системам................................297
§ 68. Теоремы о взаимности работ и перемещений . . . 301
§ 69. Общие формулы для определения перемещений.
Метод Мора .......................................301
§ 70. 1 [еремещения, вызванные изменением температуры . 303
§ 71. Вычисление интеграла Мора ио способу Вереща-
гина .............................................304
§ 72. Потенциальная энергия деформации............306
§ 73. Теорема Кастильяно. Теорема Лагранжа........307
§ 71. Теорема о минимуме потенциальной энергии . . . 309
Глава 13. Статически неопределимые системы...............316
§ 75. Основные этапы расчета статически неопредели-
мых систем........................................318
§ 76. Канонические уравнения метода сил...........319
§ 77. Многоопорпые неразрезные балки. Уравнение трех
моментов .........................................322
§ 78. Расчет статически неопределимых криволинейных
стержней .........................................326
§ 79. Определение перемещений в статически неопреде-
лимых системах....................................328
§ 80. О расчете пространственных рамных систем . . . 331
Г лава 14. Расчет плоских кривых брусьев.................378
§ 81. Определение напряжений в брусьях большой кри-
визны 378
§ 82. Расчет на прочность.....................383
§ 83. Определение перемещений.................384
Глава 15. Расчет толстостенных цилиндров и вращающихся
дисков................................................397
§ 84. Толстостенный цилиндр, подверженный внутрен-
нему и наружному давлению 397
§ 85. Расч! составных цилиндров ................402
702
§ 86. Температурные напряжения в толстостенных ци-
линдрах ............................................404
§ 87. Расчет вращающихся дисков..................407
Глава 16. Расчет тонкостенных оболочек...................415
§ 88. Расчет тонкостенных оболочек по безмоментпой
теории...........................................415
§ 89. Распорные кольца в оболочках............ 420
Глава 17. Расчет конструкций по предельным состояниям . 428
§ 90. Основные понятия о предельном состоянии .... 428
§ 91. Расчеты при растяжении и сжатии*»...........429
§ 92. Расчет при кручении.............................. 431
§ 93. Расчет при изгибе...........................432
Глава 18. Устойчивость сжатых стержней . . V.............436
§ 94. Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие . . 436
§ 95. Формула Эйлера для определения критической
нагрузки сжатого стержня........................... 437
§ 96. Влияние условий закрепления концов стержня ла
величину "критической силы..........................439
§ 97. О потере устойчивости при напряжениях, превы-
шающих предел пропорциональности материала . 443
§ 98. Расчет сжатых стержней на устойчивость при
помощи коэффициентов уменьшения основного
допускаемого напряжения.............................445
§ 99. Выбор материала и рациональной формы попереч-
ных сечений сжатых стержней.........................448
§ 100. Продольно-поперечный изгиб ................448
Глава 19. Упругие колебания....................................510
§ 101. Классификация механических колебаний.......510
§102. Свободные колебания систем с одной стспепыо
свободы.............................................513
§103. Вынужденные колебания систем с одной степенью
свободы при гармоническом возбуждении..............516
§104 Свободные колебания системы с одной cieiieni.io
свободы с учетом сопротивления, iipoHopmioiia.ii.
него скорости.......................................517
§105. Вынужденные колебания систем с одной сiеиенью
свободы с учетом сопротивления, npoiiopiiuoiia.'iк-
ного скорости.......................................518
§ 106. Критическая скорость вращения вала...............521
§ 107. Свободные колебания упругих систем с несколь-
кими степенями свободы '............................522
§ 108 Продольные и крутильные колебания стержней . . 529
§ 109. Поперечные колебания призматических стержней 533
§ 110. Закон сохранения энергии при колебаниях .... 536
§ 111. Некоторые приближенные методы определении
собственных частот колебаний упругих систем . . 537
Глава 20. Сопротивление материалов действию повторно-
переменных напряжений ...........................531*
§ 112. Явление усталости материалов....................550
§113. Методы определения пределл выносливое!и. Диа-
граммы усталости . .................................661
703
§114. Влияние на предел выносливости материала кон-
структивно-технологических факторов...............565
§115. Расчет на прочность при повторно-переменных
нагрузках.........................................569
Глава 21. Расчет на ударную нагрузку......................578
§116. Расчет на удар при осевом действии нагрузки . . 578
§117. Напряжение при скручивающем ударе...........582
§118. Расчет на удар при изгибе..................583
Глава 22. Контактные напряжения...........................588
§ 119. Основные понятия и формулы для определения
контактных напряжений и деформаций................588
§ 120. Проверка прочности при контактных напряжениях 592
Дополнение. Девять новых аналогий в сопротивлении мате-
риалов ...................................................610
Приложения ...............................................616
1. Физико-механические свойства материалов . . . 616
2. Коэффициенты концентраций и чувствительности
к концентрации напряжений......................654
3. Функции Крылова 8, Т, U, V...................682
4. Функции Крылова для расчета балок постоянного
сечения на упругом основании ..................694
Литература................................................696
Перечень таблиц...........................................698
Ппсаренко Георгий Степанович
Яковлев Анатолий Петрович
Матвеев Валентин Владимирович
СПРАВОЧНИК ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
Редактор Е. А. Воронъко. Художественный редактор В. М. Тепляков. Оформле-
ние художника В. Ф. Ковальского. Технический редактор Б. М, Кричевская.
Корректоры Л. М. Тигценко, А. И. Разбицкая.
Сдано в набор 28.1 1974 г. Подписано к печати 8.IV 1975 г. БФ 00999. Зак. 5-118G.
Изд. № 328. Тираж 76 000. Бумага машинно-мелованная для книг в переплете
№ 7, бумага №'2 для книг в переплете № 5. Формат 84xl08,/ss- Условно-печ.
листов 36,96. Учетно-изд. листов 33,3. Цена 2 руб. в переплете № 7 и 1 руб.
80 коп. в переплете № 5.
Издательство «Паукова думка», Киев, Репина, 3.
Отпечатано с матриц Книжной фабрики им. М. В. Фрунзе республиканского про-
изводственного объединения «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР, Харьков,
Донец-Захаржрвская, 6’8 на Харьковской книжной фабрике «Коммунист» респу-
бликанского производственно’о сбьсаинення «Полиграджнига» I оскомизлата
УССР, Харьков \ 1 .Чисты а Ы-