Author: Фесик С.П.
Tags: механика деформируемых тел упругость деформация механика справочник сопротивление материалов
Year: 1982
Text
С.П. ФЕСИК
справочник
по
С. П. ФЕСИК, канд. техн, наук
справочник
по
сопротийленхйо
материалов
Издание 2-е, переработанное и дополненное
КИЕВ «БУД1ВЕЛБНИК» 1982
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А, Б, С, ... — опорные реакции
А — амплитуда колебаний;
ан — ударная вязкость при
надрезе образца, удель-
ная, Дж/м2 (кгс X
X см/см2);
В — бимомент, Нм2 (кгс X
X см2 или тс • м2);
D и d — диаметр, см, мм;
Е — модуль продольной уп-
ругости, Па (кгс/см2);
F — площадь поперечного
сечения, м2;
FHT — полезная площадь попе-
речного сечения (за вы-
четом ослабления), м2;
G — модуль сдвига, Па
(кгс/см 2);
h, b — высота и ширина пря-
моугольного сечения, м;
J — осевой момент инерции
сечения, см4;
Jp — полярный момент инер-
ции, см4;
г — радиус инерции сече-
ния, см;
L, I—длина, пролет, м;
М — изгибающий момент,
Нм (кгс см или тс X
X м);
Л4К — крутящий момент, Нм
(кгс • см или тс • м);
N — продольная сила, Н
(кгс, тс);
Р — сосредоточенная сила,
Н (кгс, тс);
РКр — критическая сила, кри-
тическая нагрузка, Н
(кгс, тс);
п — запас прочности;
/1у — запас устойчивости;
Q — нагрузка, поперечная
сила, Н (кгс, тс);
q — нагрузка на единицу
длины или поверхности,
Н/м или Н/м2 (кгс/м
или кгс/м2);
R, г, р — радиус, плечо;
г — коэффициент асиммет-
^мин
рии цикла г —-------•
п ’
.макс
S — статический момент пло-
щади, м3;
Т — время, период, с;
t, S — толщина;
W — момент сопротивления
сечения при изгибе, м3;
Wp — полярный момент со-
противления, м3;
х, у, z — обозначение осей коор-
динат, координаты рас-
сматриваемой точки;
у — относительный сдвиг;
в — относительная продоль-
ная деформация;
вг — относительная попереч-
ная деформация;
в — скорость деформации;
А/ — абсолютная линейная
деформация (мм или см);
0 — угол поворота попереч-
ного сечения при изги-
бе, рад;
А — гибкость стержня;
(1 — коэффициент Пуассона;
о — нормальное напряже-
ние, Па (кгс/см2);
ах, <*2> °з — главные напряжения в
рассматриваемой точке,
при этом Oj > ог2 > о3;
О/ — интенсивность напря-
жений;
[о] — допускаемое нормаль-
ное напряжение;
ов — предел прочности;
от — предел текучести;
оп — предел пропорциональ-
ности;
о_[ — предел выносливости
при изгибе с симметрич-
ным циклом;
о0 — предел выносливости
при изгибе для пуль-
сирующего цикла;
о -t-о
макс । мин „
---------------среднее напря-
жение цикла;
_ макс "мин
оа =---------------амплитуда напря-
жений цикла.
3
Глава 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ
ОСНОВНЫЕ понятия
Сопротивление материалов — наука, занимающаяся вопросами прочности, жест-
кости и устойчивости частей сооружений и машин. Основной объект расчета — стер-
жень (или брус), т. е. твердое тело, поперечные размеры которого малы по сравнению
с длиной. Ось стержня — геометрическое место центров тяжести его поперечных
сечений. Поперечное сечение получается при рассечении стержня плоскостью, пер-
пендикулярной его оси.
Расчет на прочность заключается в определении наименьших размеров элемен-
тов конструкции, исключающих возможность разрушения под действием заданных
нагрузок. Расчеты на жесткость связаны с определением деформаций, исключающих
быстрое разрушение материала, при условии, что под нагрузкой они не превышают
заданных величин. Под устойчивостью подразумевается способность элементов кон-
струкции сохранять свою первоначальную форму равновесия при действии нагрузок.
Изменение размеров и формы тела под действием силовых факторов называется
деформацией *. Деформации связаны с перемещениями точек, линий и плоскостей.
Перемещения по прямой называются линейными, а перемещения, вызванные поворо-
том линий и плоскостей, называются угловыми. Линейная деформация имеет размер-
ность длины, а угловая — размерность угла. Измеренная величина линейной де-
формации на данном участке называется абсолютной деформацией, а отношение аб-
солютной деформации к длине участка — относительной деформацией.
Деформации, полностью исчезающие после снятия нагрузки, называются упру-
гими, а частично остающиеся — пластическими. Соответственно этому свойство ма-
териалов полностью восстанавливать первоначальную форму при снятии нагрузок
называется упругостью, а свойство накапливать остаточные деформации — пластич-
ностью. Если внешние силы, действующие на брус, приводятся к силам, направленным
по его оси, то говорят о растяжении или сжатии. Если внешние силы приводятся к
паре сил, действующих в плоскости, перпендикулярной к оси стержня, то это — кру-
чение. Если внешние силы приводятся к паре сил, действующих в плоскости про-
дольной оси бруса, то брус испытывает изгиб.
Основные допущения, принимаемые в сопротивлении материалов
1. Рассматривается некоторое идеализированное тело, обладающее свойствами
идеальной упругости, изотропии или ортотропии. Изотропными называются однород-
ные тела, у которых физико-механические свойства одинаковы по всем направлениям
(в инженерных расчетах к таким материалам можно отнести сталь, стекло, бетон);
ортотропные — это такие тела, у которых физико-механические свойства одинаковы
для определенных направлений (например, проволока). Анизотропные материалы
(не обладающие свойствами изотропности или ортотропности) в сопротивлении мате-
риалов не рассматриваются.
2. Предполагается, что при действии силы, не превышающей определенной ве-
личины, тело является линешю-деформируемым, т. е. деформации пропорциональны
действующей нагрузке.
* Этот термин в сопротивлении материалов применяется в двух значениях: когда речь
идет об изменении формы тела в целом и при определении количественных изменений, проис-
ходящих во взаимно расположенных частицах тела под нагрузкой.
4
3. В инженерных конструкциях деформации элементов малы по сравнению с их
общими размерами. Допущение о малости деформации позволяет не учитывать их при
рассмотрении условий равновесия.
4. Применяется принцип независимости действия сил, состоящий в том, что
упругую деформацию, вызванную многими силами, действующими одновременно,
можно рассматривать как сумму упругих деформаций от каждой силы в отдельности.
5. Предполагается, что плоские сечения, проведенные в теле до его деформации,
остаются плоскими и при деформации (гипотеза плоских сечений).
Внешние и внутренние силы
Силы, приложенные к телу в результате взаимодействия тел, называют внешни-
ми. Внешние силы бывают объемные — приложенные ко всем внутренним точкам
тела (например, собственный вес, силы инерции), и поверхностные — приложенные
к поверхности тела (например, нагрузка на балке). Поверхностные силы делятся на
сосредоточенные, действующие на весьма малой поверхности (теоретически — в точ-
ке), и распределенные — приложенные непрерывно по длине или на площади. Вели-
чина распределенной нагрузки, приходящаяся на единицу длины или площади, назы-
вается интенсивностью нагрузки.
По времени действия нагрузки бывают постоянные, действующие непрерывно в
течение всего срока службы сооружения, и временные; продолжительность действия
последних ограничена.
По характеру изменения во времени нагрузки делят на статические и динами-
ческие. Первые прикладываются плавно, поэтому ускорениями точек конструкции
и силами инерции, возникающими при движении масс, можно пренебречь. Динами-
ческие нагрузки меняют свою величину в течение короткого промежутка времени и
вызывают значительные ускорения элементов конструкции.
Внутренние силы — результат действия одних частей тела на другие. Они су-
ществуют и при отсутствии внешних силовых воздействий как результат взаимодей-
ствия между частицами тела. Но под действием внешних сил в материале воз-
никают дополнительные внутренние силы, сопровождающие деформацию. Эти силы
и определяются в задачах сопротивления материалов.
Напряжения. Метод сечений
Величина внутренней силы, приходящаяся на единицу площади сечения, назы-
вается напряжением, а равнодействующая внутренних сил — внутренним усилием.
При определении усилий и напряжений в сопротивлении материалов используется
метод сечений (рис. 1.1). Изучаемый элемент мысленно рассекают плоскостью в том
Рис. 1.1.
месте, где хотят определить усилие или напряжение; мысленно отбрасывают одну
часть и записывают условия равновесия оставшейся части. При этом предполагается,
что каждая часть находится в равновесии под действием внешних сил, действующих
5
на эту часть, и внутренних сил как сил взаимодействия между оставшейся и
отброшенной частями. Искомое напряжение или усилие находят из условий равно-
весия. Но не всегда с помощью метода сечений определяются неизвестные силы: в
некоторых случаях необходимо дополнительно рассмотреть деформации изучаемого
сооружения или его частей. Это — случаи статически неопределимых задач.
Отношение внутренней силы ДР, действующей на небольшую площадь ДР сече-
ния, к величине этой площади приближается к некоторому пределу, если эту площадь
уменьшать до бесконечно малых размеров, стягивая контур, ограничивающий ее,
к точке А. Предел этого отношения, определяющий интенсивность внутренних сил,
действующих на данную площадку в рассматриваемой точке А тела, называется на-
пряжением. Напряжения различны не только в разных точках тела, но и в одной
н той же точке по площадкам, наклоненным под разными углами.
Полное напряжение в точке А с координатами (х, у, г) на площадке с нормалью п
определяется по формуле
где ДР — элементарная сила, передающаяся от отброшенной части II тела на рас-
сматриваемую часть I. Размерность напряжения — сила/площадь — Па (кгс/см2).
Нормальное напряжение оп равно проекции рп на нормаль и:
Оп = pncos (рп, п). (1.2)
Касательное напряжение тл равно проекции полного напряжения на плоскость
площадки:
Ъ = Рп sin (р1г, п). (1.3)
УПРУГИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ
Величины Е — модуль упругости первого рода (модуль упругости при растя-
жении), G — модуль упругости при сдвиге (модуль сдвига, модуль упругости второго
рода) и р — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) называют
упругими постоянными или упругими характеристиками материалов. Е и G имеют
размерность напряжения Па (кгс/см2), р, — безразмерный коэффициент.
Постоянные Е, G и р, характеризуют упругие свойства материалов. Они связаны
между собой зависимостью
£=2(l + p)G. (1.4)
Постоянные Е, G и р для различных материалов приведены в табл. 1.1.
Основными характеристиками материалов в пределах пропорциональности яв-
ляются предел пропорциональности оп, предел текучести от и предел прочности ов.
Упругие и механические характеристики материалов определяют эксперимен-
тально путем постановки опытов на растяжение и сжатие образцов, изготовленных
из изучаемого материала. Для этой цели в лабораториях пользуются специальными
машинами, способными деформировать и разрушать образцы. При этом с помощью
точных приборов измеряют деформации образцов. Механические испытания мате-
риалов производят не только для изучения механических свойств материалов (проч-
ности, пластичности, способности к упругим деформациям, способности сопротив-
ляться ударным нагрузкам и т. д.), но и для проверки теоретических выводов (напри-
мер, проверка гипотезы плоских сечений).
Основные методы, эксперимента: 1) определение механических характеристик
материала испытанием образца нз данного материала; 2) непосредственное изучение
напряженно-деформативного состояния элемента (метод лаковых покрытий, рентген);
3) изучение модели с последующим перенесением результатов испытания на действи-
тельную деталь (оптический способ, мембранная аналогия, электроаналогия).
При проведении экспериментов обычно из опыта получают не интересующую
величину, а какую-то другую, связанную с ней определенной зависимостью. Напри-
мер, для определения напряжений из опыта получаем абсолютную деформацию
и, зная модуль упругости материала, по закону Гука находим напряжение
о — Е
I
6
Таблица 1.1. Модули упругости и коэффициент Пуассона некоторых
материалов
Материал Модуль упругости, МПа Коэффициент Пуассона
Е 1 G
Чугун серый, белый (1,15—1,60) Юь 4,5-104 0,23—0,27
Ковкий чугун 1,55-10» — —
Углеродистая сталь (2,0—2,1) • 10» 8,1-10* 0,24—0,28
Легированная сталь 2,1-10» 8,1-104 0,25—0,30
Стальное литье 1,75-10» —
Медь прокатная 1,1 -105 4,0-104 0,31—0,34
Медь холоднотянутая 1,3-10» 4,9-104 —
Медь, литье 0,84-10» — —
Фосфористая бронза катаная 1,15-10» 4,2.104 0,32—0,35
Марганцовистая бронза катаная 1,1-10» 4,0-104 0,35
Алюминиевая бронза литье 1,05-10» 4,2-104 —
Латунь холоднотянутая (0,91—0,99)-10» (3,5—3,7) • 104 0,32—0,42
Корабельная латунь катаная 1,0-10» — 0,36
Алюминий катаный 0,69-10» (2,6—2,7) • 10* 0,32—0,36
Алюминиевая проволока тянутая 0,7-10» — —
Дюралюминий катаный 0,71-10» 2,7-104 —
Цинк катаный 0,84-10» 3,2-104 0,27
Свинец 0,17-10» 0,70-104 0,42
Гранит 0,49-10» —
Известняк 0,42-10» — —
Мр амор 0,56-10» — —
Песчаник 0,18-10» — —
Глинистый свинец непрочный
(Донбасс) 0,12-10» — 1,16
Глинистый свинец средней проч- до 0,10
ности (Донбасс) (0,310—0,333)-10» — до 0,40
Глинистый сланец прочный
(Донбасс) (0,400—0,475) • 10» — —
Глинистый сланец (Гришино):
вдоль напластования 0,19-10» —— —
перпендикуляр но напластова-
НИЮ 0,11*10» — 1
Уголь (Донбасс, Лутугино) 0,062.10» — 0,11
Каменная кладка из:
гранита (0,09—0,1)-10» — —
известия ка 0,06-10» — —
кирпича (0,027—0,030)-10» — —
Бетон при пределе прочности,
кгс/см2;
100 (0,196—0,146). 10» — —.
150 0,214—0,164). 10» — —
200 (0,232—0,182). 10» — —
Дерево вдоль волокон (0,10—0,12)-10» 0,055-104 —
То же, поперек (0,005—0,01)-10» — —
Каучук 0,00008-10» — 0,47
Бакелит (0,02—0,03) • 10» — —
Текстолит (0,06—0,10)-10» — —
Геттинакс (0,10—0,17)-10» — —
Стекло 0,56-10» 2,2-104 0,25
Лед 0,10-10» (0,28—0,3)-104 —
Примечания: 1. Значения Е и ц для камней должны рассматриваться как средние,
от которых возможны значительные отклонения в ту илн другую сторону.
2. Для того чтобы модуль упругости получить в кгс/см2, необходимо величину в МПа
умножить на 10.
7
Таблица 1.2. Типы образцов для испытания на растяжение
Образец Расчетная длина, мм Сечение образца, мм2 Диаметр цилинд- рического образ- ца, мм Символы кратности образца *
Нормальный длинный короткий Пр опор цио на льны й: длинный короткий 100 50 11,з/Г0 5,65 /Fo 78,54 78,54 Произвольное » 10 10 Произвольное » кВ * 10 ^10
* Для обозначения относительного удлинения.
Для испытания на разрыв используют стандартные стальные образцы (рис. 1.2)
круглого или прямоугольного сечения. В стандартном (нормальном) образце отноше-
ние расчетной длины к диаметру поперечного сечения равно 10. Характеристикой раз-
меров образца является отношение _____ = 11,3 (Fo — площадь поперечного сече-
г
ння образца до испытания).
Рис. 1.3.
В тех случаях, когда изготовить нормальный образец по каким-либо причинам
нельзя, пользуются так называемыми пропорциональными образцами, в которых
характеристика размеров такая же, как и в стандартных: 11,3 или 5,65. По
ГОСТ 1497-73* образцы для испытаний на растяжение должны удовлетворять требо-
ваниям, приведенным в табл. 1.2.
Концы образцов имеют утолщения — головки для захватов и участки плавного
перехода размеров от расчетной части до головок. Форма головки зависит от кон-
струкции захватов.
Все многообразие испытательных машин [5, 19, 20] характеризуется наличием
трех основных устройств: создающего усилие (обычно гидравлический пресс с элек-
трическим приводом, реже — механизмы рычажного загружения); силоизмеритель-
ного — для регистрации приложенной нагрузки (манометр со шкалой, приводящей
давление сжимаемой жидкости к усилию в обрезе); опорного приспособления для
установки или закрепления испытуемых образцов. Принципиальная схема машины
для испытания на разрыв показана на рис. 1.3.
8
Диаграммы напряжения
Нагрузка, вызывающая растяжение или сжатие, прикладывается статически
и увеличивается ступенями. При каждом увеличении нагрузки отмечаются абсолют-
ные удлинения образца. График зависимости удлинений от нагрузки называется диа-
/ Р Д/\
граммой растяжения. Обычно строят графики в системе координат о = — ; s = -у ,
\ 11 /
деля усилие на начальную площадь сечения образца, а абсолютное удлинение на
длину рабочей части. Полученный таким путем график называют диаграммой напря-
жений. Последняя определяет условные напряжения и имеет 5 характерных точек
(рис. 1.4; 1.5).
р
1. Предел пропорциональности оп = -гД — наибольшее напряжение, до кеторо-
Ч
го практически сохраняется прямая пропорциональная зависимость между напря-
жениями и деформациями, выражающаяся законом Гука. В пределах пропорциональ-
ности деформации пропорциональны усилиям:
М = аР.
Коэффициент а в пределах пропорциональности — постоянная величина, рав-
на -FF-> м/Н (см/кгс).
сг
Модуль упругости Е также определяют опытным путем при испытании стандарт-
ного образца на растяжение с изменением величины F„, Р, l0, М.
G Pl
По закону Гука можно записать £=— = — • . Тангенс угла наклона каса-
тельной, проведенной к диаграмме напряжений, численно выражает величину мо-
дуля упругости (угол а на рис. 1.5).
р
2. Предел упругости оу = -Д — напряжение, при котором остаточные удлине-
но
ния достигают некоторой малой величины, устанавливаемой техническими условиями
(например 0,001; 0,01% и т. д.). Иногда предел упругости обозначается соответствен-
но допуску o000I; о0>1 и т. д.
р
3. Предел текучести от = — напряжение при текучести материала (деформа-
По
ции растут без заметного увеличения нагрузки). При этом по всему объему испыту-
емого материала происходит частичный разрыв внутренних связей, препятствующих
остаточным сдвигам. Материал полностью не разрушается, но его начальные геомет-
рические размеры изменяются в необратимой форме. На отшлифованной поверхности
образца наблюдаются фигуры текучести — линии сдвигов (открытые проф. В. Д. Чер-
новым). Для различных металлов углы наклона этих линий различны, но лежат в
пределах 40—50°. Часть накопляемой потенциальной энергии необратимо расходует-
ся на частичный разрыв внутренних связей. При испытании на растяжение различают
верхний и ннжний пределы текучести — соответственно наибольшее и наименьшее
из напряжений, при которых возрастает остаточная деформация при почти постоян-
ной величине действующей нагрузки.
9
Таблица 1.3. Ориентировочные пределы прочности некоторых материалов
Материал ов, МПа Материал ов, МПа
Растяжение Стекло 600—1200
Сталь:
Ст. 2 340—420 Базальт 250—320
Ст.З 380—470 Гранит 120—260
Ст. 4 420—520
Ст. 5 500—620 Мрамор 100—180
Ст.6 600—720 Песчаник 70—90
легированная хромистая 800 Известняк:
хромоникель-молибде- новая 1000 ПЛОТНЫЙ 100—150
Латунь 320—600 пористый 20—50
Бронза 200—600 Высокопрочный гипс
Дюралюминий 180—500 (возраст 1 сутки) 20
Сжатие Кирпич 7—30
Чугун серый: Кирпич из шлака 2—10
СЧ 15—32 650 Каменная кладка на
СЧ 21—40 750 растворе 2,5—9
СЧ 24—44 850 Бетон*.
СЧ 38—48 1000
СЧ 32—52 1100 литой 11
СЧ 35—56 1200 мягкий 23
СЧ 38—60 1300 прочный 48
Примечание.
Прочность бетона зависит от его состава, консистенции и возраста
Таблица 1.4. Ориентировочные пределы прочности некоторых пластмасс
Материал Предел прочности, МПа Материал Предел прочности, МПа
на растя- жение на сжатие на растя- жение на сжатие
Винипласт Полиэтилен Бакелит Целлулоид 50 65 20—30 50—70 80—100 Текстолит Геттинакс Бакелизированная фа- нера 85—100 150—170 130 130—250 150—180 115
Таблица 1.5. Ориентировочные пределы прочности на растяжение <тв
для волокон
Волокно ов, МПа Волокно ов, МПа
Хлопок 376 Пенька 450
Шерсть 109 Манильская пенька 477
Шелк-сырец 448 Копра 292
Лен 352 Растительный шелк 355
Джут 287 Рами 287
10
Таблица 1.6. Ориентировочные пределы прочности древесины
Порода леса Предел прочности, МПа
на статический изгиб на скалывание на сжатие вдоль волокон
Сосна 50,0—115,0 6,5—9,5 25,0—62,5
Сосна сибирская 28,6—115,0 — 16,2—50,0
Ель 52,4—101,0 — 31,8—56,5
Пихта кавказская 53,4—107,8 4,5—9,0 28,2—55,0
Кедр сибирский 39,8—70,1 -а—» 25,6—40,8
Лиственница 80,0—125,0 7,7—10,0 41,4—67,0
Береза 60,6—114,4 9,1—15,4 31,5—62,0
Каштан кавказский 60,8—89,1 7,4—10,1 34,3—49,0
Тополь 45,7—89,6 6,5—9,5 38,4—54,7
Ильм дальневосточный 55,7—122,3 — 28,0—56,4
Акация 90,3—151,2 46,5—71,5
Бук кавказский 81,0—148,0 12,3—14,5 43,2—82,0
Ясень украинский 70,0—170,0 -а.а» 37,5—72,5
Дуб 77,0—130,0 — 42,5—65,0
Липа 47.8—83,9 — 25,9—46,3
Некоторые материалы не имеют выраженной площадки текучести. Для них за
условный предел текучести <т02 принимается напряжение, при котором остаточное
удлинение образца достигает &о?=0.2%.
4. С дальнейшим ростом нагрузки материал вновь обретает способность сопротив-
ляться. При максимальном усилии Рмакс начинается полное разрушение внутренних
Рнс. 1.6.
связей материала. При этом пластические
деформации концентрируются в одном
месте, образуя в образце так называемую
Рис. 1.7.
шейку. Напряжение при максимальной нагрузке называется пределом прочности и
обозначается <тв
Р
макс
р •
го
В таблицах 1.3—1.6 приведены ориентировочные величины пределов прочности.
5. Одной из механических характеристик металлов является относительное су-
жение «шейки», выражаемое в процентах:
ф = -° • 100,
где F0 и F — площади поперечного сечения образца до деформации и «шейки». Чем
больше ф, тем более выражены пластические свойства материала.
И
Для окончательного разрушения образца уже не требуется такая большая на-
грузка (так как в «шейке» поперечное сечение значительно меньшее), поэтому разрыв
происходит при нагрузке несколько меньшей Рмакс.
Если сложить разорванные части образца и измерить его удлинение, то обнару-
жится, что оно меньше, чем удлинение на диаграмме. После разрыва упругое удлине-
ние исчезло и осталось только пластическое. Величина этого пластического удлине-
ния является важной характеристикой механических свойств материала.
На рассмотренной диаграмме отмечаются условные напряжения путем деления
соответствующей силы на начальную площадь поперечного сечения образца. Так как
поперечное сечение уменьшается при возрастании нагрузки, то действительные на-
пряжения в материале растут вплоть до его разрушения. Это наглядно видно на диаг-
рамме истинных напряжений (рис. 1.6), на которой по оси ординат откладываются
действительные напряжения в каждый момент времени, полученные делением данно-
го усилия на площадь поперечного сечения образца в данный момент (на рис. 1.6
показаны диаграммы истинных (/) и условных (2) напряжений малоуглеродистой
стали).
За пределами упругости, вплоть до разрушения, полная деформация состоит из
упругой и пластической составляющих. Если довести материал до напряжений, пре-
вышающих предел текучести, и разгрузить его, в нем останутся пластические дефор-
мации. При повторном загружении предел упругости станет выше. Этот процесс
можно повторять, все повышая прочностные свойства материала. Такое изменение
свойств материала, получаемое путем повторных статических загружений, называет-
ся наклепом. При повышении прочности металла путем наклепа теряются его пласти-
ческие свойства (увеличивается хрупкость), поэтому полезным можно считать лишь
небольшой наклеп. На рис. 1.7 изображен общий вид диаграммы напряжений при на-
клепе, где наклонные прямые соответствуют разгрузке и повторным загружениям.
Работа деформации
Прочность материала тем выше, чем больше внутренние силы взаимодействия
частиц. Поэтому величина сопротивления разрыву, отнесенная к единице объема ма-
териала, может служить характеристикой его прочности. В этом смысле предел проч-
ности не является исчерпывающей характеристикой прочностных свойств данного ма-
териала. При разрыве разрушаются взаимосвязи по всей площади сечения, а при
сдвигах, которые сопутствуют всякой остаточной деформации,— только местные
взаимосвязи. На разрушение их затрачивается определенная работа внутренних сил
взаимодействия, которая равна работе внешних сил на перемещениях:
Здесь коэффициент '>'2 — результат статического действия нагрузки, возрастающей
/ 0+ Р\
от 0 до Р в момент ее приложения (среднее значение ——) • В момент разрыва
упругая составляющая деформации мгновенно исчезает. При упругой деформации
работа сил определяется площадью треугольника ОАВ (см. рис. 1.4). Полная работа,
затраченная на деформацию образца и его разрушение,
^^макс^макс’ (1-б)
где т] — коэффициент полноты диаграммы, равный отношению площади всей диаграм-
мы, ограниченной кривой О AM и прямыми ОА, Л4Л'’ и ON, к площади прямоугольни-
ка со сторонами 0Рмакс и Д?макс. При этом надо вычесть работу, определяемую пло-
щадью треугольника MNL. Работа, затрачиваемая иа деформацию и разрушение об-
12
разца, является одной из важнейших характеристик материала, определяющих его
степень хрупкости.
Деформация сжатия протекает подобно растяжению: сначала наблюдаются
упругие деформации, к которым впоследствии, за пределом упругости, присоеди-
няются пластические. Характер деформации и разрушения при сжатии показан на
рис. 1.8: а — для пластических материалов;
б — для хрупких; в— для дерева вдоль воло-
кон иг — для дерева поперек волокон. Испы-
тания на сжатие менее удобны для установле-
ния механических свойств пластических ма-
териалов из-за трудности фиксирования мо-
мента разрушения. Согласно ГОСТ 25503—80
испытанием на сжатие определяют механи-
ческие характеристики только хрупких мате-
риалов. При этом определению подлежит
лишь предел прочности. На рис. 1.9 показаны
диаграммы напряжений при сжатии: а—чу-
гуна, б — дерева. При испытании на сжатие
формы образца и его размеры могут быть раз-
личными (табл. 1.7).
Если материал выдерживают под нагрузкой при постоянном напряжении, то
к упругой деформации, развившейся практически одновременно с нарастанием на-
грузки, со временем прибавляется еще добавочная упругая деформация. При снятии
нагрузки и нулевом напряжении упругая деформация, нараставшая одновременно
Таблица 1.7. Нормальные размеры образцов для испытания иа сжатие
Материал
Размер образца, см
Чугун:
кубик
цилиндр
Камии:
естественные (кубики)
цементные
Бетор
Кирпич (распиленный пополам)
2x2x2 или 3x3x3
d = h = 2
7X7X7
7x7x7
20x20x20 или 30x30x30
12x12x6
с увеличением нагрузки, исчезает одновременно с исчезновением напряжений, а до-
бавочная — медленнее.
Образовавшаяся добавочная упругая деформация при постоянном напряжении,
которая исчезает не сразу после разгрузки, называется упругим последействием
(см. главу 12).
Изменение механических свойств материалов
под влиянием температуры
Механические свойства материалов зависят не только от абсолютной величины
температуры, но и от продолжительности ее действия. Для большинства материалов
при иагреве механические характеристики (<тп, <гт и <тв) уменьшаются с проявлением
пластичности, а при снижении температуры увеличиваются с повышением хрупкости.
При нагреве уменьшается модуль продольной упругости Е, а коэффициент Пуассона
pi — увеличивается. При снижении температуры наблюдается обратное явление.
Но некоторые материалы представляют исключение из этих правил. На рисунке
1.10 показаны графики зависимости механических характеристик углеродистой стали
от температуры.
При нагревании цветных металлов и сплавов из иих их прочность сразу падает и
при температуре, близкой к 600° С, практически теряется. Исключение составляет
13
алюмотермический хром, предел прочности которого с увеличением температуры
увеличивается и при температуре равной 1100° С достигает максимума <тв1100 = 2<тв20.
Характеристики пластичности меди, медных сплавов и магния с ростом темпера-
туры уменьшаются, а алюминия — увеличиваются. При нагреве пластмасс и резины
их предел прочности резко снижается, а при охлаждении эти материалы становятся
очень хрупкими.
Влияние радиоактивного облучения
Радиоактивное облучение по-разному сказывается в различных материалах.
Облучение неорганических материалов по своему влиянию на механические характе-
ристики и характеристики пластичности аналогично понижению температуры: с уве-
личением дозы радиоактивного облучения увеличивается предел прочности и осо-
бенно предел текучести, а характеристики пластичности (6, ф) снижаются.
Облучение пластмасс также приводит к увеличению хрупкости, причем на пре-
дел прочности этих материалов облучение оказывает различное влияние: на некото-
рых пластмассах оно почти ие сказывается (полиэтилен), у других вызывает значи-
тельное понижение (катамен), а в третьих — повышение (селектрон) предела проч-
ности [11].
МЕТОДИКИ РАСЧЕТА
В расчетах на прочность, жесткость и устойчивость ставится требование, чтобы
действительное напряженно-деформированное состояние системы (конструкции, эле-
мента или детали машины) в условиях эксплуатации не соответствовало бы опасному
состоянию. Это достигается введением коэффициентов запаса. Величины коэффициен-
тов запаса зависят прежде всего от степени соответствия принятых предположений
о расчетной схеме действительным условиям работы и должны учитывать возможное
отступление эксплуатационных нагрузок от расчетных, неизбежный разброс в экс-
периментальном определении величин опасных напряжений, неточность принятых
методов расчета, неточность изготовления деталей, степень однородности материала,
класс сооружения, экономию материала и др.
При расчете на сопротивление пластическим деформациям допускаются более
низкие запасы прочности в связи с тем, что образование остаточных деформаций еще
не приводит конструкцию к окончательному разрушению. При расчете на сопротив-
ление хрупкому статическому разрушению запасы прочности повышаются в силу
опасности таких разрушений, из-за неоднородности материала и т. д. При расчете
на усталость запас прочности выбирают в зависимости от достоверности определения
усилий и напряжений, уровня технологии изготовления и т. д. (см. гл. 11).
14
Существует три методики расчета конструкций и деталей машин на силовые воз-
действия: по допускаемым напряжениям, по разрушающим нагрузкам и по предель-
ным состояниям.
Методика расчета по допускаемым напряжениям основана на представлении об
упругой работе материала. Гарантия «допускаемых» условий эксплуатации достига-
ется путем введения одного коэффициента запаса по напряжениям, который должен
учитывать все факторы, изложенные выше (подробнее см. ниже).
В СССР методикой расчета по допускаемым напряжениям пользовались для рас-
чета железобетонных конструкций до 1938 г., металлических и деревянных — до
1955 г.
Методика расчета по разрушающим нагрузкам исходит из учета пластической
стадии работы материалов в отдельных элементах или сечениях конструкции. Рас-
сматривая схему разрушения, определяют нагрузку (так называемую разрушающую),
соответствующую полному исчерпанию несущей способности системы. Условие рас-
чета состоит в том, что эксплуатационная нагрузка должна быть меньше (или рав-
на) разрушающей, деленной на коэффициент запаса прочности. Методика применя-
лась в СССР для расчета железобетонных конструкций с 1938 до 1955 г., каменных —
с 1943 до 1955 г.
Методика расчета по предельным состояниям разработана советскими специа-
листами как дальнейшее развитие идеи расчета по разрушающим нагрузкам. Особен-
ность методики состоит в том, что исходят из некоторого расчетного предельного
состояния, а один коэффициент запаса заменяется системой расчетных коэффициен-
тов: по напряжениям, по нагрузкам и по условиям возведения и эксплуатации кон-
струкции.
Расчет по допускаемым напряжениям
В основе методики расчета по допускаемым напряжениям лежит сравнение рас-
четных напряжений с так называемыми допускаемыми.
Допускаемые напряжения определяются как опасные, деленные на коэффициент
запаса:
М = (1-7)
k k
Для пластических материалов опасное состояние характеризуется появлением
значительных остаточных деформаций и опасным напряжением считается предел
Таблица 1.8. Ориентировочные значения основных допускаемых напряжений
Материал Допускаемое напря- жение, МПа
на растя- джение на сжатие
Чугун серый в от- ливках 28—80 120—150
Сталь ОС и Ст.2 140
Ст.З 160
Ст.З в мостах 140
Сталь углеродистая конструкционная в машиностроении 60- -250
Сталь легированная конструкционная в машиностроении 100—400 и выше
Медь 30- 120
Латунь 70- -140
Бронза 60- -120
Материал Допускаемое напря- жение, МПа
на растя- жение на сжатие
Алюминий 30- -80
Дюралюминий 80- -150
Текстолит 30- -40
Геттинакс 50- -70
Бакелизированная
фанера 40- -50
Сосна вдоль воло-
КОН 7—10 10—12
То же, поперек 1,5—2
Дуб вдоль волокон 9—13 13—15
То же, поперек —— 2—3,5
Каменная кладка До 0,3 0,4—4
Кирпичная До 0,2 0,6—2,5
Бетон 0,2—1,4 2—24
15
текучести. Тогда:
(Ут 'Гт
М=~,[т] = -^. (1.8)
k-£ k}
Для элементов конструкций или деталей машин, выполненных из хрупких мате-
риалов, опасное состояние определяется появлением трещин. За опасное напряжение
принимается предел прочности
М = -Т-. (1-9)
Таблица 1.9. Допускаемые напряжения для углеродистых сталей обыкновенного
качества в горячекатаном состоянии при статической нагрузке
Марка стали (ГОСТ 380-71) Допускаемые напряжения, МПа (кгс/см'), при
растяжении изгибе [пнз] кручении [^кр] срезе [тср] смятии [асм]
Ст.2 115(1150) 140 (1400) 85 (850) 70 (700) 175 (1750)
Ст.З 125(1250) 150 (1500) 95 (950) 75 (750) 190 (1900)
Ст. 4 140(1400) 170 (1700) 105(1050) 85 (850) 210 (2100)
Ст. 5 165 (1650) 200 (2000) 125(1250) 100 1000) 250 (2500)
Ст. 6 195(1950) 230 (2300) 145 (1450) 115(1150) 290 (2900)
При повторно-переменных нагрузках опасное состояние связано с появлением
усталостных трещин, поэтому опасным напряжением считается предел выносливости
(подробнее см. главу 11)
М = (1.Ю)
Величины допускаемых напряжений при растяжении [<т]р и при кручении тон-
костенных стержней [т]к для сталей определяются по формулам (1.8).
Особенности работы элемента или конструкции могут учитываться введением
коэффициентов снижения основных допускаемых напряжений, ориентировочные
значения которых приведены в табл. 1.8.
В машиностроении для определения допускаемых напряжений применяют
следующие основные методы.
1. Дифференцированный — запас прочности находят как произведение коэф-
фициентов, учитывающих качество материала, точность метода расчета, степень от-
ветственности детали и другие факторы, определяющие условия работы детали.
2. Табличный — допускаемые напряжения принимают по действующим нормам
(по таблицам).
Второй метод менее точен, но более прост, поэтому он нашел более широкое при-
менение в практике проектирования, особенно — в проверочных прочностных рас-
четах.
В табл. 1.9 приведены некоторые допускаемые напряжения, принимаемые в ма-
шиностроении.
Методика расчета по предельным состояниям
Сущность методики расчета по предельным состояниям заключается в назначе-
нии таких условий работы конструкции, при которых исключалась бы возможность
наступления расчетного предельного состояния.
Под расчетным предельным состоянием понимают такое состояние конструкции,
при котором она теряет способность сопротивляться внешним воздействиям или пе-
рестает удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям.
Различают две группы расчетных предельных состояний.
Первая группа — по потере несущей способности из-за хрупкого, вязкого или
усталостного разрушения, а также из-за потери устойчивости формы или положения
некоторых элементов нли всей конструкции в целом.
16
Вторая группа — по непригодности к нормальной эксплуатации из-за появления
недопустимых деформаций, осадок, колебаний и т. д., а также из-за образования тре-
щин или чрезмерного их раскрытия.
По первой группе расчетных предельных состояний рассчитывают конструк-
ции всех видов, по второй группе — только те конструкции, чрезмерные деформации
в которых, образование или большое раскрытие трещин могут привести к потери ими
эксплуатационных качеств еще до того, как будет исчерпана их несущая способность.
Нормативные и расчетные нагрузки
Наибольшие нагрузки и воздействия, установленные СНиП II-6-74 [35], которые
могут действовать на конструкцию при ее нормальной эксплуатации, называют нор-
мативными.
Расчетные нагрузки определяют как произведение нормативных на коэффициент
перегрузки п, учитывающий возможные отклонения нагрузок от их нормативных
значений. Например: q — qan.
Нагрузки
Постоянные
Собственный вес конструкций............................. 1,1 (0,9)
Вес стационарного оборудования...................., 1,05
Теплоизоляционные и звукоизоляционные изделия , . 1,2 (0,9)
Усилие предварительного напряжения в конструкции « 1,1 (0,9)
Временные
Нагрузки от веса людей, деталей, ремонтных материа-
лов, заданные технологическим заданием, при:
q < 300 кгс/см2 ................................. 1,4
300 =5 q < 500 кгс/см2 .......................... 1,3
q Js 500 » .......................... 1,2
Собственный вес оборудования....................... 1,2
Вес жидкости.......................... 1,1
Вес сыпучих материалов, заполняющих емкости . . ; . 1,2
Нагрузки от кранов, грузоподъемностью до 5 тс . . . 1,3
То же, 5 тс и более................................ 1,2
Нагрузки от погрузчиков и каров.................... 1,2
Снеговая нагрузка.................................. 1,4
Ветровая нагрузка:
для промышленных зданий и сооружений............... 1,2
для сооружений, при расчетахжоторых ветровая на-
грузка имеет решающее значение................... 1,3
Примечание, Коэффициент в скобках применяется в случае, когда
уменьшение нагрузки вызывает ухудшение работы конструкции.
В зависимости от продолжительности действия нагрузки подразделяют на по-
стоянные и временные. К постоянным относятся собственный вес конструкции, дав-
ление грунта, воздействие предварительного напряжения и т. д. Временные — вес
людей, оборудования, нагрузки от снега, ветра, содержимого емкостей и т. д.
В свою очередь, временные нагрузки, в зависимости от длительности воздействия,
разделяются на длительные (нагрузка на перекрытия складов, зернохранилищ, хо-
лодильников, часть веса снегового покрова и т. д.) и кратковременные (масса ремонт-
ных материалов, часть снеговой нагрузки и веса людей, не включенная в состав дли-
тельных нагрузок, и др.).
К особым нагрузкам относят сейсмические, и взрывные воздействия, нагрузки,
вызываемые неравномерными осадками основания, резкими нарушениями технологи-
ческого процесса и др.
Нормативные значения всех нагрузок приводятся в СНиП Н-6-74 «Нагрузки и
воздействия. Нормы проектирования» [35].
Нагрузки могут действовать на конструкцию в различных сочетаниях. Расчет
производят на самое неблагоприятное сочетание нагрузок. Различают два вида соче-
таний нагрузок: основное и особое. Одновременное действие постоянных, длительных
и кратковременных нагрузок называют основным сочетанием. Особое сочетание на-
грузок состоит из основного сочетания с добавлением одной из особых нагрузок.
17
Таблица 1.10. Расчетные сопротивления
Вид напряженного состояния Классы проч
С38/23 С44/29
Растяжение, сжатие и изгиб R Срез 7?ср Смятие торцевой поверхности (при наличии при- гонки) /?смт Смятие местное в цилиндрических шарнирах при плотном касании /?смм Диаметральное сжатие катков при свободном ка- сании 7?ск 210 (2100) [260] 130 320 (3200) 160 (1600) 8(80) 260 (2600) [300] 150 390 (3900) 200 (2000) 10 (100)
Примечания: 1. В квадратных скобках указаны расчетные сопротивления стали рас
предела текучести.
2. Указанные в табл. 1.10 значения расчетных сопротивлений установлены для толщин
Д = 170 МПа (1700 кгс/см2).
При расчете на основное сочетание нагрузок, включающее только одну (наиболее
существенную) кратковременную нагрузку, последняя учитывается полностью; если
включаются две или более кратковременных нагрузки, то их значения снижаются
умножением на коэффициент сочетаний лс = 0,9.
При расчете конструкций на особые сочетания нагрузок расчетные значения
кратковременных нагрузок умножаются на пс — 0,8. При этом особую нагрузку при-
нимают без снижения.
Нормативные и расчетные сопротивления материалов
В качестве основного параметра, характеризующего прочностные свойства мате-
риалов, нормы проектирования устанавливают нормативное сопротивление материала
7?н, Па (кгс/см2). Величина нормативного сопротивления представляет собой значе-
ние контрольной или браковочной характеристики данного материала, определяемое
соответствующими ГОСТами.
Эта величина определяется путем статистической обработки большого числа
опытных данных. При этом обеспеченность значений нормативных сопротивлений
материалов должна составлять не менее 0,95, т. е. чтобы не менее чем в 95% случаев
материал имел прочность, равную или большую, чем Rw.
За нормативные сопротивления принимаются: для стали — наименьшее контро-
лируемое значение предела текучести или предела прочности; для бетона — кубико-
вая или призменная прочность или предел прочности при осевом растяжении; для
каменных конструкций — средний наиболее вероятный предел прочности при за-
данных физико-механических характеристиках камня и раствора; для дерева и фа-
неры — средние значения пределов прочности с учетом видов напряженного состоя-
ния.
В расчетах принимают так называемые расчетные сопротивления R, Па (кгс/см2),
которые получают путем деления нормативных сопротивлений на соответствующий
коэффициент безопасности по материалу k (k > 1,1): R = RB/k.
Коэффициент k учитывает возможные отклонения сопротивлений материалов
в неблагоприятную сторону. Численные значения этого коэффициента устанавли-
ваются нормами в зависимости от свойств материалов и статистической изменчивости
этих свойств.
В табл. 1.10 приведены расчетные сопротивления для прокатных сталей [36].
Коэффициенты условий работы н коэффициенты надежности
Наступление предельного состояния зависит ие только от значения нагрузок н
прочностных характеристик материалов, но и от условий работы конструкции. Преж-
де всего, это приближенность расчетных предпосылок и расчетных схем, перераспре-
деление внутренних усилий и деформаций, длительность воздействия и многократ-
18
прокатной стали Z?, МПа (кгс/см2)
ности стали
С46/33 С52/40 С60/45 С70/80 С85/75
290 (2900) ГЯ101 340 (3400) 380 (3800) 440 (4400) 530 (5300)
[O1UJ 170 200 230 260 (2600) 310(3100)
430 (4300) 510(5100) 570 (5700) 650 (6500) 800 (8000)
220 (2200) 250 (2500) 290 (2900) 330 (3300) 390 (3900)
11 (ПО) 13(130) 15(150) 18(180) 20 (200)
тяжению для конструкций, эксплуатация которых возможна и после достижения металлом
прокатной стали класса С38/23 до 30 мм; при толщине 31—41 мм R = 190 (1900), при 41—160 мм —
ность повторяемости нагрузки, влияние агрессивности среды и др. Все это учитыва-
ется путем введения коэффициента условий работы т, который диктуется нормами.
Ниже приведены значения коэффициентов условий работы элементов стальных кон-
струкций.
Элементы конструкций т
Сплошные балки и сжатые элементы ферм перекрытий под
залами театров, под трибунами и т. д. при весе перекры-
тий, равном или большем полезной нагрузки.................. 0,9
Сжатые основные элементы (кроме опорных) решетки ферм
покрытий и перекрытий при их гибкости А > 60............... 0,8
Сжатые раскосы пространственных решетчатых конструк-
ций из одиночных уголков, прикрепляемых к поясам одной
полкой:
с помощью сварных швов или двух и более заклепок, по-
ставленных вдоль уголка:
при перекрестной решетке с совмещенными в смежных
гранях узлами....................................... 0,9
при елочной и перекрестной решетке с несовмещенными
в смежных гранях узлами............................. 0,8
с помощью болтов или одной заклепки................... 0,75
Подкрановые балки под краны грузоподъемностью 5 тс и бо-
лее тяжелого и весьма тяжелого режимов работы.............. 0,9
Колонны гражданских зданий и опор водонапорных башен 0,9
Сжатые элементы из одиночных уголков, прикрепляемые од-
ной полкой, за исключением элементов плоских ферм из еди-
ничных уголков ........................................... 0,75
Степень капитальности сооружения и степень опасности последствий наступле-
ния предельных состояний учитывается с помощью коэффициента надежности ka.
Расчет по предельным состояниям
Расчет по первой группе предельных состояний заключается в обеспечении со-
хранения несущей способности конструкции при возможном увеличении нагрузок и
возможном уменьшении прочностных характеристик материалов. Эту идею выражает
расчетная формула
М^сеч, (1.11)
т. е. наибольшее расчетное усилие не должно превышать несущую способность кон-
струкции при самых неблагоприятных условиях. Например, для центрально растя-
19
нутого стержня из однородного материала условие (1.11) имеет вид!
ПН
F т -Ц- m
нт k
пн
или, обозначая суммарную расчетную нагрузку N = 2Л/н/г и —= R, получаем
сокращенную запись
N < FHTRm.
Расчет по второй группе предельных состояний заключается в обеспечении га-
рантии сохранения эксплуатационных качеств конструкций с учетом изменчивости
прочностных и деформативных свойств материалов.
В расчетах по деформациям ставится требование, чтобы теоретическая деформа-
ция (прогиб) f, вычисляемая по нормативным нагрузкам, не превышала своего пре-
дельного значения [/], установленного нормами для данного вида конструкций, исхо-
дя из опыта их эксплуатации. Расчетное условие имеет вид:
(112)
Расчет железобетонных и каменных конструкций по трещиностойкости пресле- j
дует цель исключить образование трещин или их чрезмерное раскрытие с учетом из-
менчивости прочностных характеристик материалов.
Сущность расчета по образованию трещин заключается в том, что наибольшее
усилие, которое испытывает элемент от нормативных или расчетных нагрузок (в за-
висимости от категории требований), не должно превышать усилия NT, которое мо-
жет быть воспринято элементом непосредственно перед образованием трещин в бетоне
при соответствующих коэффициентах безопасности и условий работы, т. е. должно
быть соблюдено условие: № --S NT или N --S NT. ®
Расчет по раскрытию трещин основан на ограничении ширины их раскрытия.
Наибольшая теоретическая ширина раскрытия трещин «т, вычисленная в зависи-
мости от расчетной схемы конструкции, с учетом изменчивости прочностных и де-
формативных характеристик материалов не должна превышать предельной ширины
раскрытия а", установленной нормами на основании опыта эксплуатации железо-
бетонных и каменных конструкций, т. е. должно соблюдаться условие:
ат а”.
Расчетные формулы и нормативные данные к расчету железобетонных и бетонных
конструкций по второй группе расчетных предельных состояний приводятся в СНиП
] 1-21-75 «Бетонные и железобетонные конструкции».
Глава 2
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ
Центральным растяжением, или сжатием бруса называется его деформация,
вызванная действием сил, равных по величине и противоположно направленных по
оси бруса или приводящихся к равнодействующим, направленным по этой оси. j
Внутренние усилия-в поперечных сечениях бруса приводятся к одной равнодей-
ствующей силе /V, направленной по продольной оси бруса и называемой продольной
силой. Продольная сила в данном поперечном сечении равна сумме проекций всех
сил, расположенных по одну сторону от этого сечения, на ось бруса (на нормаль к
сечению). Продольная сила, вызывающая растяжение, направленная от сечения,
считается положительной, а направленная к сечению (сжатие) — отрицательной.
В том случае, когда направление продольной силы заранее неизвестно, ее направляют
от сечения. Если из условия равновесия продольная сила получится со знаком плюс,
брус в данном сечении испытывает растяж_ение, со знаком минус — сжатие.
20
Рис. 2.1.
Наглядное представление о распределении продольных сил по длине стержня
дает эпюра N — график, каждая ордината которого в масштабе равна значению про-
дольной силы в данном сечении.
Пример. Построить эпюру N для стержня, показанного иа рис. 2.1, а. Рг= 80 кН
(8 тс), Р2= 30 кН (3 тс), Р3= 160 кН (16 тс), Р4 = 180 кН (18 тс). Решение. Пользуясь
методом сечеиий, определяем N на различных
Рис. 2.2.
участках.
Для сечения I—I: 2Y = —Рг — Л\ = 0;
Л\ = —Р, = —80 кН (—8 тс) — сжатие.
Для сечения II—II: SF = 0; N2 = — Р4—
— 2Р2= —140 кН (—14 тс) — сжатие.
Для сечения III—III: N3= —Р2—2Р2-[-
4- Р3 = 20 кН (2 тс) — растяжение.
Аналогично в сечении IV—IV; = — Р1 —
— 2Р2+ Р3 — Р4 =—160 кН (—16 тс) — сжатие.
По полученным данным строим эпюру N
(рис. 2.1, б). Построение эпюры N при распреде-
ленной продольной нагрузке показано на при-
мере.
Пример. Построить эпюру N для стержня,
замоиоличенного в массив (рис. 2.2, а) предпола-
гая, что интенсивность сил трения р постоянна
по длине /j. Решение. Из условия равновесия по-
, п Р
лучаем plA = Р; р = — .
Для определения продольной силы в сечеиии I—I рассмотрим равновесие верх-
ней части: ST = ру — N1 = 0; N3 = ру изменяется по линейному закону (относитель-
но у); при у = 0 Np= 0, при у = 1^!= pl3.
Для сечения II—II: (V2= Р. По полученным данным строим эпюру N (рис. 2.2, б).
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
На рис. 2.3, показан брус, испытывающий растяжение. Из условия равновесия
продольную силу в любом сечении представим как равнодействующую внутренних
сил adF, действующих на элементарных площадках (F — площадь поперечного се-
чения бруса). На основании гипотезы плоских сечений все продольные волокна стерж-
ня испытывают одинаковые удлинения или укорочения. Следовательно, при растя-
жении и сжатии нормальные напряжения распределяются равномерно по поперечно-
му сечению стержня: о = const, поэтому
N
N = (jF и о = -р- , (2.1)
Изменение длины стержня при растяжении и сжатии А/ = /]— / называется аб-
солютной линейной деформацией (абсолютное удлинение), а изменение поперечных
21
размеров Аа = сч— a, \Ь~ ЬА— b — абсолютной поперечной деформацией. Относи-
х Д/
тельная продольная деформация е = —у в силу гипотезы плоских сечении иостоянна
по длине.
Растяжение (сжатие) материала в одном направлении сопровождается уменьше-
нием (увеличением) размеров по другим направлениям, перпендикулярным направ-
лению растяжения (сжатия). Следовательно,
Рис. 2.3.
при одноосном действий нагрузки, вы-
зывающей растяжение (сжатие), полу-
чается трехосная линейная дефор-
мация.
Относительная пбперечная дефор-
> Ла
мация вдоль оси ti е„ = --, вдоль оси
У а
' ЛЬ , , п
гег = (при растяжении: е < О,
при сжатии: е' >0).
между продольными и поперечными де-
формациями существует вполне определенная взаимосвязь, выражающаяся для
каждого материала постоянным числом р,, называемым коэффициентом линейной
деформации, или коэффициентом Пуассона. Коэффициент поперечной деформации —
абсолютная величина отношения е' к е:
В однородных изотропных материалах
s
£
Для различных материалов коэффициент р, различен и изменяется в пределах:
0 р< 0,5. р, является важнейшей характеристикой упругих свойств материала.
Для изотропных материалов, упругие свойства которых одинаковы во всех направ-
лениях, упругие постоянные Е и р, полностью характеризуют эти свойства,
коэффициентов р. для различных материалов приве-
дены в табл. 1.1.
Зависимость между напряжениями и деформа-
циями в пределах упругости (закон Гука) при рас-
тяжении и сжатии имеет вид:
о == Ее.
\\\W
111- J---///
г ' р/УООкгс
(2.2)
Значения
400
300
(2.3)
Р2-500К8С
(2.4)
Pt=200K2C
а
Рис. 2.4.
200.
,, N Л1
Имея в виду, что о = -у , а е = —у , закон Гу-
ка можно записать в другом виде:
д/ = Л£,
EF
где EF — жесткость при растяжении и сжатии —
зависит от физических свойств материала, характе-
ризуемых модулем упругости Е, и от геометричес-
ких размеров (Н или кгс).
Если по длине стержня I продольная сила Nx и площадь сечения Д
и изменяются по какому-либо непрерывному закону, то удлинение определяется так;
переменны
Н =
- т
У //- + -//
£
б
(2.5)
о
Для стержня со ступенчатым изменением площади и продольной силы удлине-
ния вычисляют на участках с постоянными F н N и результаты алгебраически сум-
мируют:
V Nik
Ч EPi
(2.6)
где i — номер участка (i = 1, 2, 3, ..., п); п — число участков.
22
Пример. Вычислить приращение длины стального стержня ступенчатого сече-
ния, показанного на рис. 2.4, а, если = 50; 12 = 80; /3 = 40; /4 = 60 см; Е — 2 х
X 10s МПа (2 • 10® кгс/см2) F^ 10 см2; F2 = 20 см2. Решение. Из условия равновесия
нижней отсеченной части находим внутренние силы в сечениях I—I, II—II, III—III:
Nr = Рг = 2 кН (200 кгс); /V, = Рг — Р2 = 2 — 5 = — 3 кН (—300 кгс); Ns=
= Pi — Р2+Рз=2 — 5+7=4 кН (400 кгс).
На рис. 2.4, б показана эпюра N (в кгс). Полное удлинение стержня определяем
как сумму удлинений отдельных участков:
* 1 _ ^41 I 4г I ^Уз I N4t
EFr *“ EFt EFt *“ EF2 ~
_ 1 / 2000 . 0,5 3000 • 0,8 3000 . 0,4 4000.0,6 \ _
“ 2 . 105 . 10® . 10~4 \ 10 - 10 20 + 20 j ~
— — 4 < 10“6 м = — 4 • 10~4 cm.
РАСЧЕТЫ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
Для обеспечения нормальной работы частей машин и сооружений необходимо
обеспечить такие условия их работы, которые исключали бы не только возможность
разрыва, но и образование остаточных деформаций, могущих изменить расчетную
схему машины или сооружения. Это достигается расчетами, заключающимися в на-
значении таких размеров элемента, чтобы он мог надежно и долговечно сопротивлять-
ся заданной нагрузке.
Условие прочности при расчете по допускаемым напряжениям заключается в
требовании, чтобы наибольшее напряжение, возникающее в стержне, не превосходило
допускаемого напряжения.
Формула проверки прочности имеет вид:
IN 1макс
F~
(2.7)
Расчетная формула для подбора сечений полу-
чается из условия прочности (2.7) в предположении,
что действительные напряжения равны допускаемым:
I N I
г, 1 v 1макс
Из формулы (2.7) можно также определить гру-
зоподъемность стержня, т. е. допустимое усилие при
заданных размерах поперечного сечения:
N + F [ст].
При расчете по первому расчетному предельному
имеет вид:
| У К FRm,
(2.10)
откуда требуемая площадь поперечного сечения вычисляется:
. |1У|
Rm '
F
(2.П)
где N — расчетное усилие, равное произведению нормативного усилия на коэффи-
циент перегрузки N = №'и; F — площадь поперечного сечения; R — расчетное со-
противление для данного материала; т — коэффициент условий работы.
Пример. Определить площадь сечений стальных элементов АВ и СВ кронштейна,
показанного на рис. 2.5, если Р = 50 кН (5 тс), [о] = 160 МПа (1600 кгс/см2). Реше-
ние. Вырезая узел В и составляя условие равновесия сил, сходящихся в узле, опре-
деляем усилия N АВ и NCB:
SX = — Nab cos 15° — NCB cos 45° = Oj
23
SV = — P — NAB sin 15° — N CB sin 45° = 0;
NAB = 70,8 кН (7,08 тс); NCB = — 96,6 кН (9,66 тс).
70,8 103 96i6 . 10з
Тогда no (2.8) FAB = )6Q --- = 4,4 cm- Fcb = = 6
Решим тот же пример по методике расчетных предельных состояний.
Пусть заданы: коэффициент перегрузки п = 1,1, коэффициент условий работы
т = 0,9, расчетное сопротивление материала (сталь Ст.З) R = 210 МПа (2100 кгс/см2).
Нормативные усилия получены выше: NAB — 70,8 кН, N^B= —96,6 кН.
Тогда по первому расчетному предельному состоянию расчетные усилия будут:
NАв = 70,8 • 1,1 = 77,88 кН; NCB= —96,6 • 1,1 = 1 106,26 | кН. Требуемая пло-
щадь поперечных сечений стержней по (2.11) равна:
„ 77,88-103 _ 2. F 106,26-Ю3
Fab 210 • 10е - 0,9 4’ СМ ’ С 210-108-0,9 5>6 см •
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
Системы, рассчитать которые нельзя с помощью одних лишь уравнений равнове-
сия, называются статически неопределимыми. Недостающие уравнения составляют-
ся из условий совместности деформаций. Число дополнительных уравнений характе-
ризует степень статической неопределимости системы.
Особенности статически неопределимых систем: распределение внутренних уси-
лий в статически неопределимых системах зависит от соотношений жесткостей эле-
Рис. 2.6.
ментов. С увеличением жесткости данного эле-
мента увеличиваются усилия в этом элементе
и уменьшаются в остальных; в статически не-
определимых системах могут возникать напря-
жения и при отсутствии внешних сил (нагру-
зок и реакций) из-за-неточности изготовления
отдельных элементов, при смещении опорных
закреплений, а также от изменения темпера-
туры.
Пример. Определить усилия в стержнях
статически неопределимой системы, показан-
ной на рис. 2.6, а, представляющей бесконеч-
но жесткий брус, подвешенный на трех стерж-
нях. Крайние элементы стальные, имеющие
одинаковую площадь, средний — медный,
площадь его сечения F2= 3F\; Р = 100 кН;
модули упругости Ес = 2 • 105 МПа; £м =
= 1 • 106 МПа; ?!= 0,8 м; /2= 1,5 м; Zs =
= 1,0 м; а = 1,0 м; b = 0,5 м; с = 0,8 м.
Решение. Пользуясь методом сечеиий, состав-
ляем условия равновесия:
2У = АГ* + Д?2 + — р= 0
или
М1 + М24-М3= 100 кН; (а)
2Л4Л = N2 (а -ф- Ь) — Ра + М3 (а b с) =0
или 1,5Л/2+2,ЗЛ/3= 100 кН. (0
Из двух уравнений равновесия нельзя определить три неизвестные величины
внутренних усилий Mj, /V, и Л'3. Составляем недостающее уравнение, пользуясь гео-
метрическими построениями схемы деформации (рис. 2.6, б):
Л/, — AZ3 __ Л/, — Д/3
а —b -ф- с с
24
Это н есть уравнение совместности деформаций. Учитывая, что по закону Гука
А11 =
имеем:
EcFi
. д/ ЛМз
£мГ2 ’ 3 ECF\ ’
I f ЛУх N3l3 \ = 1 / N,l3 _ N3l3
a ~b b +c \ Ec Ec / c \ 3£M Ec /
Подставляя данные задачи, получаем:
О, 174jVx — 0,625ЛГг + 0,407У2 = 0.
(с)
вызвало растяжение среднего стержня и сжатие крайних. Изменением угла и пренеб-
регаем. Из условий равновесия узла С получаем
SX = — Nt sin а N3 sin и = 0,
т. е. — N3;
SF = N2 + 2Л\ cos и = 0. (a)
В задаче два неизвестных усилия: = N3 и N3— система один раз статически
неопределима. Составляем уравнение совместности деформаций, пользуясь геометри-
ческими построениями схемы деформация (рис. 2.7, б);
А7г = (А — А/2) cos и.
.. * , , /Уд ..
Имея в виду, что 1\11= ~~а р"р н А/2 — -, выражаем уравнение деформации
через неизвестные усилия и N2:
cos aEF Г
IN, \
-7^- cos a.
EF /
Решая совместно уравнения (а) и (&) при данных задачи, получаем:
— — 15 кН (сжатие); N2 = 26 кН.
25
Вычисление напряжений, возникающих в статически неопределимых системах
от изменения температуры, покажем на примере.
Пример. Для бруса (рис. 2.8) определить внутренние усилия и напряжения иа
участках при повышении температуры на А/0 = t\ — t°. Коэффициент линейного рас-
ширения «/. Решение. При нагреве стержень стремится удлиниться и оказывает дав-
ление на заделки, в которых возникнут опорные реакции At и В/, равные по величине
внутренним усилиям на участках. Для определения их составляем уравнение равно-
весия At — Bt= 0.
Из уравнения равновесия лишь следует, что At = В/. Задача статически неопре-
делима. Для составления уравнения совместности деформации мысленно освободим
один конец бруса (рис. 2.8, б). Тогда он свободно удлинится на величину Д?< = щ X
X 3ZAZ°. Под действием внутренней силы Nt, равной по величине опорным реакциям,
брус должен сократиться на такую же величину, так как расстояние между заделками
не может изменяться:
А/Л, = Mt
нли
Nl
4EF
AZ2Z .o,.,0
' &1М >
4
Отсюда N =-------— EFatM°. Температурные напряжения вычисляются:
О
на первом участке ор —-------=----------ЕоцМ°;
/о. N л
на втором участке о)' =---------= — — Еа<Дг.
F 3
Расчет стержней, состоящих из разнородных материалов
Пример. Определить напряжение в бетоне и арматуре железобетонной колонны,
показанной на рис. 2.9, если отношение модуля упругости стали (арматуры) к моду-
лю упругости бетона равно 15. Р = 600 кН (60 тс); h = 30 см; диаметр арматуры
Id = 22 мм. Решение. Проведем сечение I—I, отбросим
Р нижнюю часть колонны и составим условие равновесия
для верхней части:
Рис. 2.9.
£’ + ЛГа4~Л^б = 0
ИЛИ
Р + aafa + <V6 = °- («)
Для определения усилий в арматуре Na и бетоне Nq
одного уравнения статики недостаточно. Задача статичес-
ки неопределима. Составим уравнение совместности де-
формаций. Так как между арматурой и бетоном существу-
ет сцепление, то удлинения арматуры и бетона будут
одинаковы:
AZa = AZg
или
N а1а N qZq
EaFa EqFq
Учитывая, что Za = Zg, получаем равенство относитель-
ных удлинении еа = или —— = -тг- . По условию зада*
/-а
чи Еа= 15£g, тогда оа = 15og. (Ь)
Подставляя (&) в (а), получаем: Р+ 15ag/'a-[- Об^б =
= 0 и находим og= —5,32 МПа (—53,2 кгс/см2); оа =
= —79,8 МПа (—798 кгс/см2).
Напряжения имеют знак минус, так как колонна ра-
ботает на сжатие.
26
РАСЧЕТ ПО РАЗРУШАЮЩИМ НАГРУЗКАМ
Разрушающей называется нагрузка, соответствующая полному исчерпанию не-
сущей способности конструкции. В методике расчета по разрушающим нагрузкам
условие прочности выражает требование, чтобы наибольшая нагрузка на сооружение
не превосходила допускаемой, которая определяется как разрушающая, деленная на
коэффициент запаса прочности k. К расчету принимается наименьшая из разрушаю-
щих нагрузок, соответствующих возможным схемам разрушения
Р <[Р1= .......Рраз . (2.12)
1 макс I* J & v 1
Коэффициент запаса прочности k диктуется нормами.
Для конструкций из пластических материалов разрушающее усилие в элементе
При этом принимается упрощенная диаграмма растяжения — сжатия (диаграмма
Прандтля) (рис. 2.10), Разрушающее усилве в элементе из хрупкого материала опре-
деляется по пределу прочности:
Л/Раз = ^. (2.14)
В статически неопределимой системе (рис. 2.11) появление текучести в одном
элементе еще не приводит к разрушению всей конструкции. Полному исчерпанию
несущей способности всей конструкции соответствует появление текучести по край-
ней мере в двух стержнях. Здесь могут быть три возможные схемы разрушения:
1) текучесть в стержнях BE и CG. При этом разрушающая нагрузка определяется из
условия равновесия 0:
т а
^раз = 20т^з Н
2) текучесть в стержнях AD и CG. Из SAfg = 0 получаем:
pH = От^з (26 — а) — 1« •
Раз Ь — а
3) текучесть в стержнях AD и BE. Из 2Л1С = 0
рш _ 2отД^ + otF2 (2Ь — а)
^Раз ft
Допускаемую нагрузку определяют как наименьшую из трех разрушающих
нагрузок, деленную на коэффициент запаса.
УЧЕТ СОБСТВЕННОГО ВЕСА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
Влияние собственного веса учитывается в тех случаях, когда его величина соиз-
мерима с величинами приложенных нагрузок. При определении продольных сил и
напряжений, при вычислении деформаций н величины потенциальной энергии с уче-
27
том собственного веса последний учитывается как распределенная нагрузка, дей-
ствующая вдоль оси элемента. Интенсивность этой нагрузки равна:
qx = yFK, (2.15)
где у — объемный вес материала (кг/см3); Ех — Площадь поперечного сечения х бруса.
Продольную силу в сечении х от собственного веса определяют
а
Nx=^qxdx, (2.16)
О
а нормальное напряжение в этом сечении
Nx
(2.17)
Fx
Удлинение бруса от собственного веса на участке от х = 0 до х = а:
___ а
Мх= (2.18)
О
Потенциальная энергия деформации, накопленная на этом участке:
а а
^ = J-2W- <2'19)
о
Если брус, кроме собственного веса, нагружен еще сосредоточенными продоль-
ными силами, то напряжения и деформации определяют на основе принципа незави-
симости действия сил отдельно от сосредоточенных сил и
собственного веса и результаты складывают.
Брус постоянного поперечного сечения (рис. 2.12).
Усилие Nx в любом сечении х равно yFx, наибольшее
усилие N = yFl, необходимая площадь поперечного сече-
ния
F = -А • (2.20)
у/
Напряжение в любом сечеиии х
ох = ух; (2.21)
наибольшее напряжение ох = у/;
предельная длина
Удлинение стержня * 2
А/=4-. (2.23)
2Е
Потенциальная энергия деформации бруса
и= (2.24)
6Е
При наличии нагрузки Р усилие Nx = Р + уЕх, напряжение в этом сечении
ах = -у + (2-25)
наибольшее напряжение
Р
°макс = — +
28
необходимая площадь поперечного сечения
F е-эд
и полное удлинение бруса
Ы=~---------7 « (2.27)
Приведенные формулы применяются и для брусьев ступенчато изменяющегося
поперечного сечения (см. пример расчета).
Рис. 2.13. ( Рис. 2.14.
Брус равного сопротивления имеет переменную площадь сечения, подобранную
так, что нормальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны наперед за-
данным (например, допускаемым). Изменение площади поперечного сечения по длине
определяется:
у
Fx = FoeaX, (2.28)
где Fo = ; о— заданные напряжения— [о] или R.
о
Пример. В стержне ступенчатого сечения (рис. 2.13) определить перемещение
сечения I—I и нормальные напряжения у закрепления с учетом собственного веса.
Дано: Е = 2 • 105 МПа; у = 78 кН/м3; Р = 2 кН; F\ = 20 см2; Р2 = Ю см*; а — 2 м;
b = 1 м; с = 0,8 м, d = 0,5 м. Решение. На основании принципа независимости дей-
ствия сил перемещение сечения I—I можно представить как сумму перемещений от
нагрузки и от собственного веса: Л = Др Ае.
Ра 2 • 2 • 107 з
Лр “ EFt — 2 • 105 • 20 • 10е - 1 ’ 10 см:
^G = ^G + ^G>
где Ag — удлинение участка (а + Ь) от собственного веса и веса участка (с + rf)>
Afl — удлинение участка с от собственного веса и веса участка d.
Ло = yF^+d)(a + b) + VF, (» + >) , 10_3 си,
д-0 _ = 0,028 . 10-’ ».
СГ 2 2c.t 2
Тогда
А = (1,0 + 0,252 + 0,028) • 10~3 = 1,28 . 10~3 см.
Пример. Найти закон изменения площади поперечного сечения бруса равного
сопротивления, испытывающего растяжение под действием силы Р и собственного
веса (рис. 2.14, а). Решение. В каждом сечении бруса равного сопротивления
29
напряжения равны заданным [а] или R. Запишем условие равновесия элемента дли-
ной dx (рис. 2.14, б):
dNx — dG = 0.
Перейдем к напряжениям:
[ст] dFx — yFxdx = 0 или .
?х [о]
Интегрируя, получаем
или
Fx=eM + =СоеМ,
где Со = ес.
Постоянную интегрирования определяем из граничного условия!
уО
при X = О Fx = Fo = ; -А = С(,е^Г = с0.
Тогда закон изменения площади сечений получает вид:
Следовательно, в брусе равного сопротивления площади поперечных сечений из-
меняются по логарифмическому закону.
Пример. Определить площади верхнего и нижнего сечений Fo и F/, а также вес
Q устоя из бутовой кладки в форме бруса равного сопротивления сжатию, если Р =
= 300 тс, I = 40 м, [ст] = 10 кгс/см2, объемный вес кладки у = 2,5 кгс/см3, Е = 2 X
X 105 кгс/см2. Решение. Площадь верхнего сечения
„ Р 300000 2
^0 = W = —io~ = 3 м ;
площадь нижнего сечения
Г, = == 30 000 . 2,72 ..400° = 8> ]6 м2.
вес кладки устоя
Q = Ft [ст] — Р = 10 > 8,16 . 101 — 300 000 = 516 тс;
объем кладки
= Q
516
2,5 * 10~3
= 206 м3.
V
Y
РАСЧЕТ ГИБКИХ НИТЕЙ
В каждом сечении нити (рис. 2.15) возникает только растягивающее усилие N,
направленное по касательной к кривой провеса. Принятые обозначения; Н — гори-
зонтальная составляющая натяжения (распор);/f и— расстояние от низшей точки
провеса до опор; L — полная длина нити; I — проекция нити на горизонталь
(пролет); у — провес нити на расстоянии х от низшей точки.
В зависимости от величины провеса различают два случая.
Стрела провеса мала по сравнению с пролетом нити If — | . Принимается до-
\ 5 /
лущение о том, что погонная нагрузка q нити равномерно распределена на длине ее
горизонтальной проекции I.
Изменение температуры нити приводит к изменению ее длины и натяжения.
В нити малого провеса, имеющей длину L, стрелу провеса f (точки подвеса на одном
30
уровне) и натяжение Н, при нагреве на 1Ь натяжение снижается, а стрела провеса
увеличивается. Новое натяжение Hi и новая стрела провеса fi определяются реше-
нием двух уравнений: ,
8/? 8Р
. 1 — ' . ац° -Г.
3/ 31 + ‘
(Hi - Н) I
EF
и
(Здесь а — коэффициент температурного
удлинения). Задачу решают обычно так.
Учитывая, что напряжения до изменения
температуры
Н ql2 yFl2 yl2
F ’ 8Н ~ 8Н ~ 8а ’
первое уравнение записывают в виде
*3 _ 3 / у212 , ( ,2, _
'1 8 \ 24ст2 +at Е/1
= 0 (2.30)
64Е - 1
Отсюда путем последовательных при-
ближений определяется Зная по второму уравнению определяют Hi (см. при-
меры расчета).
При снижении температуры длина нити уменьшается, на’тяжение увеличивает-
ся. Новое натяжение Hi определяется из уравнения: j
~at°EF-Hf------^р- = 0. (2.31)
Начальное натяжение нити Н при заданном допускаемом натяжении [//] опреде-
ляется путем решения уравнения
//3+ № 0, (2.32)
g-начальная (монтажная) стрела провеса — по формуле
- При дополнительной равномерно распределенной нагрузке q' (например, обле-
денение) новая стрела провеса /j и новое натяжение Hi определяются из системы двух
уравнений:
8/1 8Р <Hi + H)l . (q + q')l2 (2 34)
“ЗГ “ ~ЗГ +---------EF---- ’ Hi--------8f~i-- ( }
Стрела провеса велика по сравнению с пролетом . Нагрузка q рассмат-
ривается как равномерно распределенная по длине нити. Нить провисает по цепной
линии:
z/^Ach-^-. (2.35)
<7 Н
Наибольшее натяжение Nmw. = Н + qf. Условие прочности!
N
(2.36)
31
Таблица 2.1. Расчетные формулы
Точки подвеса иа одном уровне
Л = ft = f
Точки подвеса на разных уровнях
- Л =
У =
qx'-
~2Н
н = Ча2 ?&2
2/i 2/2
да2 _ q / I Hh \2
2/Г ~ W I. ~2~ “ ql /
<7&2 q I I Hh \2
2Н ~ 2Н \ 2 + ql /
д ql Hh
А 2 I
^макс = /^ + ^ =
2 V 16/2
(у точек подвеса)
/V
_ х макс ____
^макс J?
N ==. \ ' Нг ~В-
JVM3KC ' “
(у верхней точки подвеса)
.макс
N
1’макс
~~Ё~~
= 2F V1 + 16/2 [ст1
l = i + ^L
31
Если нить с опорами на одном уровне нагружена посредине пролета сосредото-
ченной силой Р, а погонной нагрузкой q можно пренебречь, то наибольшее натяжение
определяется по формуле:
Пример. Стальной провод подвешивается на опорах в одном уровне прн темпера-
туре + 18° С. Пролет I = 50 м; Е = 2 • 105 МПа (2 • 106 кгс/см2); а = 0,0000125;
удельный весу = 0,0076 кгс/см3. Определить начальную стрелу провеса /, учитывая,
что зимой при температуре t = —25° С напряжение в проводе не должно превос-
ходить 1600 кгс/см2. Решение. Снижение температуры t = —43°. Записываем урав-
нение (2.30) при данных задачи, полагая о = [о] = 160 МПа (1600 кгс/см2).
3 / 0,00762 • 50002
8 \ 24 • 16002 +
1,25 • 10“5 43
1600 \
2 • 10е /
50002 /j. —
3 • 0,0076 • 50004
64 2 • 106
/? — 2241/j - 148600 = 0.
32
Отсюда fi = 66,8 см.
Пример. Определить стрелу провеса и натяжение медного провода, если I = 40 м;
Е = 1 • 10® МПа (I • Ю6 кгс/см2); у = 0,008 кгс/см3. Опоры иа одном уровне. Решение.
Провисание провода происходит от его удлинения Д/, вызванного растягивающим
и
усилием п —
т, г, Hl qP
Величина удлинения по закону Гука равна Д/ = -рр — -рр . g, , с другой
8/2
стороны Д/= -gy- (табл. 2.1). Приравнивая правые части, получаем для определе-
ния ft
1 6AEF ’
откуда
1 = 4-1/
q 1
так как -у- = у I.
Подставляя данные задачи, получаем:
. onnn J/ 3 . 4000 . 0,008
f= 2000 у —8. i; 10» “ 4518 см
Тогда натяжение провода
у/2
8[ =
0,0«8 "Г = 34>9 МПа (349 кгс/см2),
8 45,8 ' ' *
Глава 3
НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
В ТОЧКЕ УПРУГОГО ТЕЛА
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ЛИНЕЙНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Напряженным состоянием в точке называют совокупность напряжений, дей-
ствующих по возможным площадкам, проведенным через точку. При центральном
растяжении нли сжатии напряженное состояние всех точек тела одинаковое; это —
однородное напряженное состояние.
В общем случае напряженное состояние в теле неоднородно, оно различно в раз-
личных точках, и поэтому в любом сечении тела напряжения распределены неравно-
мерно. Для изучения напряженного состояния в точке рассматривается элементарный
параллелепипед dx X dy X dz, вырезанный в окрестности этой точки. 'Ввиду малых
размеров параллелепипеда принимается допущение о том, что по его граням и любым
наклонным сечениям напряжения распределяются равномерно. В зависимости
от того, испытывает ли параллелепипед растяжение (сжатие) в одном, двух или трех
взаимно перпендикулярных направлениях, различают три вида напряженного со-
стояния: линейное, или одноосное (рис. 3.1, а), плоское, или двухосное (рис. 3.1, б),
объемное, или трехосное (рис. 3.1, е).
Наиболее простой случай — линейное напряженное состояние (центральное рас-
тяжение или сжатие).
Полное напряжение на циклонной площадке, нормаль п к которой образует угол
а* * с направлением напряжения ах (рис. 3.2), определяется:
Ра = cos а; (3.1)
* Угол положителен,- если он откладывается от оси х против хода часовой стрелки.
2 2-256
33
нормальная составляющая полного напряжения — нормальное напряжение
оп = ах cos2 а; (3.2)
касательная составляющая полного напряжения — касательное напряжение
I
= — ах sin 2а. (3.3)
Нормальное напряжение считается положительным, если оио направлено в сто-
рону направления вектора внешней нормали п к рассматриваемой площадке (растя-
жение). Касательное напряжение положительно, если вектор внешней нормали для
совмещения с направлением вектора тп должен быть по-
вернут на 90° по ходу часовой стрелки. На рис. 3.2 о„
и тп положительные.
Рис. 3.2.
Напряжения на взаимно перпендикулярных площадках:
®П' = sin2 а; т„, =------------------ sin 2а. (3.4)
Наибольшие и наименьшие касательные напряжения действуют на площадках,
для которых а = 45°, 135°.
W = ± 4" °х‘ (3'5)
мин “
Главные напряжения. Площадки, на которых касательные напряжения равны
нулю, называются главными. Нормальные напряжения, действующие на главных
площадках, достигают экстремальных значений и называются главными нормаль-
ными напряжениями. Они обозначаются Oj, <т2, <*з- Причем ох > о2 > о3. При линей-
ном напряженном состоянии 0,=^ 0; ста = о3 = 0 (см. рис. 3.1, а), при плоском напря-
женном состоянии Oj =/= 0; о2 0; стз — О (см. Рис- 3.1, б) и при объемном напряженном
состоянии 0; о2=Л 0; о3=/= 0 (рис. 3.1). Сумма нормальных напряжений, дей-
ствующих на взаимно перпендикулярных площадках, величина постоянная, равная
сумме главных напряжений
<*П + <*„' = <*1(2,3)- (3-6)
Свойство парности касательных напряжений. Касательные напряжения, дей-
ствующие на двух взаимно перпендикулярных площадках, равны по величине
и противоположны по знаку;
тч = —V* (3-7)
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Плоским называется такое напряженное состояние, при котором напряжения
на любой площадке параллельны одной и той же плоскости (см. рис. 3.1, б). На
рис. 3.3 показаны положительные направления пит. Напряжения на площадке с
нормалью п:
34
нормальное
I 1
о„ = —- (ох + Gy) + —- (ox — ву) cos 2а + т sin 2а;
касательное
Tn = -у (<Ъ — «М sin 2а — хХу cos 2а,
Главные наприжения
а1,2=-х +Off"± 4" К(а* ~ +4т^'
(3.8)
(3.9)
Направления главных напряжений определяются углами aj и а2, составляемыми
нормалями к главным площадкам о осью х:
СХ<' **» СУ у СГд •*“ Gv
tgai=-iy-A; tga2 = ~y-^-. (3.10)
ху lxy
%
При заданных главных напряжениях Of и о2 напряжения на площадке с нормалью
п, составляющей угол а с направлением главного напряжения Of, определяются по
формулам (см. рис. 3.3)
Gn = Of cos- a + o2 sin? a;
Tre = sin2a;
a„ = Gt при a = 0; g„ = о., при a = 90°.
ямакс 1 r пмин 2 r
Напряжения иа площадке и!, перпендикулярной
площадке п:
Gn, = Of sin? a + o2 cos2 a;
СУ ч C7«s > Л
=----------------—— sin 2a.
П/
(3.11) ./г
Рис. 3.3.
(3.12)
Из (3.6) вытекает важное свойство:
On + on, = о£ + о2. (3.6а)
Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках, наклоненных
под углом 45е к главным площадкам. Если главные напряжения Of и о2 имеют одина-
ковый знак, то
тмакс = ± ~у- ПРИ Of > 0 и о2 > 0;
МИН
тмакс = =F-у- при Of < 0 и о2 < 0 (I Of I < I о21).
мин
При разных знаках главных напряжений
Тмакс = ± “у (^ — ff2) При Of > 0 И О2 < 0.
МИИ
Наибольшие и наименьшие касательные наприжения могут быть выражены и
через исходные напряжения „ '
Тмакс ~ ~у j/"(°х ~~ °!/)Л _Г' ^Тэд. (3.13)
мин
2*
35
Чистый сдвиг
В частном случае плоского напряженного состояния, когда на главных площад-
ках действуют одинаковые по величине и противоположные по знаку главные напря-
жения о'1= —о2= а (рис. 3.4), экстремальные касательные напряжения численно
равны главным напряжениям тмакс = ± о, а нормальные напряжения на площадках
мин
с экстремальными напряжениями равны нулю. Такой случай плоского напряженного
состояния называется чистым сдвигом, а площадки, на которых действуют толь-
ко касательные напряжения,— площадками чистого сдвига. При чистом сдвиге пря-
моугольный элемент, выделенный в окрестности некоторой точки, испытывает только
деформацию сдвига, а удлинения его сторон отсутствуют. Обозначенный на рис. 3.4
AS
сдвиг AS называется абсолютным сдвигом. Безразмерная величина —— = tg у я? у
называется относительным сдвигом, или углом сдвига. Главные напряжения при
чистом сдвиге действуют по площадкам, наклоненным под углом 45° к площадкам
сдвига, и равны: Ст!= т; о2= 0; о3= —т, что видно из
построений круга Мора (рис. 3.5).
Закон Гука при сдвиге, выражающий пропорцио-
нальную зависимость между напряжениями и относи-
тельным сдвигом, имеет вид:
т = Су, (3.14)
где 6 — модуль упругости при сдвиге (см. главу 1).
Круги Мора при плоском напряженном состоянии.
1. Заданы главные напряжения о, и о2. На оси о
(рис. 3.6) откладываются в принятом масштабе отрезки
ОЛ = ох и ОВ = ст2. На отрезке АВ как иа диаметре
строится полуокружность. Координаты любой точки Е
этой полуокружности дают величины нормальных и ка-
сательных напряжений оп и т„, действующих на пло-
щадках, нормаль к которой составляет угол а с направ-
лением Oj.
2. Заданы напряжения ох, ау и тхУ (рис. 3.7). Ось х направляют по большему
из двух заданных нормальных напряжений и откладывают на этой оси отрезки OD^=
= ах и OD2— Пу. Из точки Di перпендикулярно откладывается отрезок DtE =
ODt +OD,
Из условия -----2---- находят точку С, делящую отрезок пополам.
Из точки С как из центра описывается окружность радиусом СЕ. Пересечение этой
окружности с осью о дает точки А и В. Тогда отрезок ОА = Oj, а отрезок ОВ = о2.
Угол ECDt= 2а, где а — угол между осью х и нормалью к первой главной площад-
ке. Положительное направление отсчета угла а — против часовой стрелки. Для оп-
ределения напряжений ох,, ву, и ix,y, на площадках, перпендикулярных к площад-
кам действия Од., (jy и гхУ (угол р — 90 -ф- а), нужно угол 2р отложить от радиуса
36
СЕ по ходу часовой стрелки. Тогда отрезок OFt= ах,, отрезок OF2~ и отрезок
MFt= тх^.
Пример. Определить величины главных напряжений и положение главных пло-
щадок при плоском напряженном состоянии: стх= 30 МПа (300 кгс/см2); о« =
— —20 МПа (—200 кгс/см2); тх9 = 30 МПа (300 кгс/см2) (рис. 3.8, а). Решение. Вы-
бираем масштаб и по вышеизложенному пра-
вилу строим круг Мора (рис. 3.8, б). Отрезок
СЮ2— Оу откладываем влево от точки 0,
так как а у < 0. Из построений круга Мора
Л
находим Of — О А = 43 МПа (430 кгс/см2); о3= О В = —33 МПа (—330 кгс/см2);
угол a 25°. Определим также компоненты напряженного состояния ах,, а у,, ax,ljr
для площадки, наклоненной под углом 0 = 60°. Для этого от радиуса СЕ отложим
угол 20 = 120° по часовой стрелке и получим точку М. По чертежу находим ах. —
= OFi~ 18,5 МПа (185 кгс/см2), <лу, = OF2~ —8 МПа (—80 кгс/см2) и ах,у, = MF,~
— —36,8 МПа (—368 кгс/см2).
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Напряженное состояние называется объемным, если ни одно из трех главных
напряжений не равно нулю: Of 0; 0; а3 =£ 0. При этом принято о, > о2 > о3.
Проекции векторов напряжений рх, ру, рг, действующих на площадках, пер-
пендикулярных к осям координат х, у, г, на эти оси называются компонентами напря-
жений и обозначаются: Од. т„„ т '
л ху XZ
хдх°Ухуг (3'15>
Xzx Xzy
Касательные напряжения отмечаются двумя индексами, первый из которых по-
казывает, какой оси параллельно напряжение, второй — какой оси перпендику-
лярна площадка действия напряжения.
Правило знаков для компонентов напряжения. Если направления внешних
нормалей такие как и осей координат, то положительными направлениями компонен-
тов напряжений считаются положительные направления осей координат. Отсюда
следует: нормальные напряжения положительны, если они растягивающие.
На рис. 3.9 все компоненты напряженного состояния -положительны.
По свойству парности касательных напряжений:
Ххд~ Хух> хуг~хгд' хгх~ххг' (3.16)
37
Нормальное напряжение на площадке с нормалью п равно:
оп = ах cos2 (п, х) + ау cos2 (п, у) -f- az cos2 (n, z) 4- 2txj/ cos (n, x) cos (n, y) 4~
+ 2туг cos (n, y) cos (n, z) + 2tZa. cos (n, z) cos (n, x). (3.17)
Проекции вектора полного напряжения, действующего на площадке с нормалью
п, на оси координат:
Хп — ах cos (п, х) + тху cos (и, у) 4- ixz cos (n, z);
Уп = Vcos (ri- + <tycos(ra, у) + тугсо5(п, z); (3.18)
Zn = %zx cos (», X) + 1гу cos (п, у) + ст2 cos (fl, Z).
Полное напряжение на площадке с
нормалью п:
Рп = + ya + Z2. (3>19)
Главные напряжения в рассматривае-
мой точке определяются как корни куби-
ческого уравнения:
CTv — (ах + °У + °г) 0'2 + (ахау + ойог +
+ ^Ху - Jyz - xt) Ov -
- (ОхОУОг + 2 - <УхХ2уг -
— a(/TL — °^Ху) =0. (3.20)
Все три корня этого уравнения всегда действительны. При этом омакс = ох;
омин = о3. Направления главных площадок характеризуются направляющими коси-
нусами — косинусами углов между главной нормалью nv (v = 1, 2, 3 — номер
главного напряжения) и осями координат х, у, г. Направляющие косинусы опреде-
ляют из системы уравнений:
(ох — ov) cos (nv> х) + хху cos (nv, у) тХ2 cos (nv, z) = 0;
тух cos (nv, x) + (ay — ov) cos (nv, у) + Tyz cos (nv, z) = 0;
ти cos (nv, X) 4- т2у cos (nv, y) 4- (az — av) cos (nv, z) = 0;
cos2 (nv, X) 4- cos2 (nv, y) 4- COS2 (nv, z) = 1.
Напряжения, действующие на площадке, равнонаклоненной к трем главным
площадкам (рис. 3.10, а), называются октаэдрическими и определяются по формулам:
_ Of + о2 + СТ3 .
°ОКТ 2 ’
токт = -^^]/СТ1 + ст2 + стЗ— а1ст2 — а1аз— °2°з- (3.22)
• Напряжения на площадках, параллельных одному из главных напряжений,
определяются без учета этого главного напряжения (как при плоском напряженном
состоянии). Максимальное касательное напряжение действует на площадке, Накло-
ненной под углом 45° к максимальному и минимальному из трех главных напряже-
ний, и равно их полуразности:
Остальные два экстремальные касательные напряжения действуют по пло-
щадкам, параллельным Oj или о3 и наклоненным под углом 45ч к остальным двум
38
главным напряжениям;
Преобразование компонентов напряженного состояния при повороте осей коор-
динат. Косинусы углов, крторые составляют новые оси координат х', у', г' с осями
х, у, г, заданы таблицей.
Ось х у г
х' If т1 rtf
У ^2 ^2 ^2
г' 13 т3 п3.
Компоненты напряжения в новых
осях х', у', г' выражаются через компо-
ненты напряжения в осях х, у, г.
°Х' = + оут2 + + 2W4zi?
V = ох% + аут22 + огп22 + 2т^/2т2 + 2хугт2п3 + 2т2Лл2/2;
ff2, = ах123 4- (Jytnl 4- огп| 4- 2xxyl3ma 4- 2xyzm3n3 4- 2xzxnala;
ХХ’У’ = ^xhl2 + 4- 4- (1гт2 4- l3mr) 4- хух (т^ 4- m2nj +
+ bx (глНА«1);
Ту'г' = ак^2^з + оут2т3 4- СУгл2лз + ХХу ^2т3 + hm2) + Тул: (т2П3 + m3n2) +
+ т2х (^2лз + ^зпг);
т2'х' = аА*з + Сут^гз 4- (УгП^з 4- хху (1^ 4- 13тг) +
4- Ууг («г^з 4- ^з«1) + тгх (г1«з + ?з«1)- (3-23)
Инвариантами напряженного состояния называются величины, которые не за-
висят от преобразования координат
Л = CTi + °2 + °з — °х + ау + стг = вХ’ + ву' + аг<;
/2 = ахиу 4- оуст2 4- uzox - - т2^ - г2* = ох,ау, 4- ау,аг, 4- аг,их, —
— тх'у' ~ Ty'z' — Tz'x' = ffi°2 + Стастз + стзст1!
/3 = uxGy(jz 4- 2%хухугягх — Oxx2yz — (JyX2zx — (jzx2y = (Jx.(Jy,(Jz. +
+ 2Vy'Tz/-z'Tz'x' - стх'4г' - Vz’x' - аг^Х'у' = °1ст2°з- (3-24)
Для первого инварианта характерно важное свойство: сумма нормальных на-
пряжений по любым взаимно перпендикулярным площадкам есть величина постоян-
ная, равная сумме главных напряжений.
Формула интенсивности напряжения в точке:
1/ 2 ,
стг = ~2~ ]/ (ах — оу)2 (оу — ог)а 4- (о2 — ох)2 4- 6 (х2ху 4- т?уг 4- т2х) =
2
У
3
/-— Токт'
о
ст3 СТ1°2 °1СТ3 СТ2СТ3
(3-25)
Эллипсоид напряжений. Концы векторов полных напряжений, действующих
на площадках, проведенных через данную точку, образуют геометрическое место
39
точек, лежащих на поверхности эллипсоида:
"л
°?
(3.26)
где Хп, Yn и Zn — проекции вектора полного напряжения, действующего на площад-
ке с нормалью п, на оси х, у, z; Oj, о3 и о3 — главные напряжения в рассматриваемой
точке (рис. 3.10, б).
Частные случаи:
1. Если два главных напряжения равны между собой, то эллипсоид напряжений
превращается в эллипсоид вращения.
2. Если все три главных напряжения одинаковы от- = сг2 = сг3 — о, то эллипсоид
Напряжений превращается в шар. Все оси и все напряжения — главные. Такое на-
пряженное состояние вызывает лишь изменение объема при отсутствии сдвигов.
3. Если одно из главных напряжений равно нулю (плоское наприженное состоя-
ние), эллипсоид вырождается в эллипс напряжений.
4. При линейном напряженном состоянии остается лишь одна ось эллипсоида —
отрезок прямой.
КРУГИ МОРА
Заданы главные напряжения о* > <т2 > ст3. Выбирается система координат оОт.
На оси <т в масштабе откладываются отрезки ОА = ОВ = а2и ОС = а3 (рис. 3.11).
На отрезках СВ, ВА и СА как на диаметрах строятся полуокружности. Координаты
точек полуокружности CEFA дают величины
сп и тп для площадок, перпендикулярных вто-
рой главной площадке; полуокружности СВ —
для площадок, перпендикулярных первой
главной площадке; полуокружности ВА —
для площадок, перпендикулярных третьей
главной площадке. Напряжения ап и т„ для
всех остальных площадок, проходящих через
рассматриваемую точку, определяются коор-
динатами точек, находящимися между этими
тремя полуокружностями. Для отыскания
точки М, координаты которой определяют ап
и хп на площадке, нормаль к которой обра-
зует углы а, Риус осями х, у и г, делается
следующее построение. От перпендикуляров к оси о, поставленных в точках А и С,
откладываются углы а и у. Через полученные точки Е и F проводят дуги радиусами
DE и DXF (см. рис. 3.11). Искомая точка лежит на пересечении этих дуг. Координаты
точки М (ап, хп) — искомые напряжения.
ДЕФОРМАЦИИ
КОМПОНЕНТЫ МАЛОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Обозначим ех, Еу, Ег — относительные линейные деформации элементов, парал-
лельных до деформации осям х, у, z; ухУ, уУг, ухг — относительные сдвиги. Индексы
при у означают оси, которым параллельны элементы, между которыми перекаши-
вается прямой угол. Относительные сдвиги считаются положительными, если прямые
углы между элементами при сдвиге уменьшаются.
Компоненты деформации выражаются через смещения u, V и w точек по осям
координат х, у и z (рис. 3.12, б):
ди до , дш ,
дх у ду дг
до ди dw .до ди dw
Уху ~ ~дх~ + ~ду~ ’ УУг ~ ~ду~ + дг ’ Угх ~~ ~дг~ + ~дх
(3-27)
40
Относительное удлинение в направлении г, составляющем с осями х, у и г углы
а, ₽ и у:
er = ех cos2 а 4- е ,; cos2 Р + ez cos2 у + уху cos acosfJ +
4-y^z cos р cos у 4-угл: cos у cos а. (3.28)
Если заданы два взаимно перпендикулярные направления ту и г2, образующие
с осями х, у, г углы соответственно 04, ръ ух и а2, Р2, у2) то изменение угла между эти-
ми направлениями (в результате деформации) определяется так:
уг>Г2 = 2ех cos 04 cos a2 + 2s# cos Pi cos P2 4- 2ez cos yj cos y2 +
cf- yxy (cos aj cos p2 + cos Px cos a2) y^2 (cos Pj cos y2 + cos yx cos P2) -f-
+ угх (cos yj cos a2 + cos a*cos y2). (3.29)
Три взаимно перпендикулярные направления, между которыми углы при де-
формации не изменяются, называются главными направлениями деформаций в рас-
сматриваемой точке.
Линейные деформации по главным направлениям называются главными де-
формациями и обозначаются ej, е2 и е3; при этом 14 Js е2 Js е3.
Главные деформации sv (v = 1, 2, 3) определяются как корни кубического урав-
нения:
ev — (ех + еу + ez) ev + + &уе,г + ezex-----— (yxg + y^2 + y2x) е,
- ^ехеуъг + -1- ухууу2угх - (еху^ + Еуу2гх + егу^) = 0.
Здесь величины
— ех + ЪУ +
= ехе</ -ф- Еуе.г егех----------— (ухд 4- у^г 4- у2Л);
г 1 9 9 9
А. = ехеуег 4- — ~ ~ ^хУуг 4- ейТ„ + &гУад) = 0
не зависят от преобразования координат и называются инвариантами деформирован-
ного состояния.
Величина
е< = ^- j/"&Х — Сг/)2 4- (Сг/ - ег)2 4- (ег - ех)2 4- {уху 4- Y^z + Yzx) =
/2 r------------------------------------------------
= -3- - ®2)2 4- (еа - е3)3 4- (с3 - (3.30)
О
41
называется интенсивностью деформаций.
Или ег = У2уокт, где уокт = — \ (е2 — е2)1 2 + (е2 — е3)2 -|- (е3 — е^2 назы-
вается октаэдрическим сдвигом и представляет собой угловую деформацию между
направлением октаэдрического касательного напряжения и вектором, равноиакло-
ненным к направлениям главных напряжений. Зависимость между интенсивностью
напряжений и интенсивностью деформаций
ffz=3Gez> (3.31)
где G — модуль сдвига.
Если перемещения точек в каком-либо одном направлении, например в направ-
лении оси г, равны нулю, а перемещения по осям к и у не зависят от координаты г,
то такая деформация называется плоской. Дефор-
мированное состояние в точке плоской деформа-
ции описывается приведенными зависимостями,
в которых соответствующие члены в этом случае
будут равны нулю. Для изучения деформирован-
ного состояния в точке в случае плоской дефор-
мации иногда удобно использовать графический
прием — построение круга Мора (рис. 3.13).
Заданы компоненты плоской деформации ех,
еу и Уху- В прямоугольной системе координат по
оси абсцисс в масштабе откладываются отрезки
ODj = ех, OD2 = Из точки О, по перпендику-
гч г, 1
ляру откладывается отрезок DXE = у уху, а из
D2 — отрезок D2E = — у уху. На прямой EF как
на диаметре строится окружность, пересекающая
ось абсцисс в точках А л В. Тогда отрезки ОА =
= ё!, ОВ = е3 — главные деформации. Направ-
ление главного удлинения дает прямая В£, образующая угол а с осью абсцисс.
В частном случае одноосного растяжения (ех О, = в2 =—р,ех) интенсив-
ность деформации ez = -у (1 + р,) ех, а при чистом сдвиге
(ех = Еу = е2 = ууг = угх = 0, уху #= 0) ez = Уху
У 3
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ. ЗАКОН ГУКА
Компоненты упругой деформации через напряжения выражаются так:
линейные деформации
1 f 1
еж=-^-[Стж —нС^ + стг)]; еу= — [CTj, — р (<jx + <jz)]; ег =
1
= -g-to—p-to + <^)]; (3.32)
угловые деформации
.. . ТУг . Тгя /о
'Ху — q > Vуг~ Q > Угх — Q ’ (3.33)
Относительные линейные деформации по главным направлениям — главные де-
формации:
I 1
е1 =-g-K —н(’2 + <т3)]; е2= — [о2 — и (CTi + сг3)]; ез—
1
= -g I°3 — Р to + <г2)]• (3.34)
42
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА
При упругой деформации объем большинства материалов увеличивается при рас-
тяжении и уменьшается при сжатии. Лишь в частном случае при р, = 0,5 (парафин)
объем прн деформации не изменяется.
В общем случае напряженного состояния относительное изменение объема равно:
© = + ej/ + ег = ef + в2 + е3 = у- к
(3.35)
_ g* + gg + _ gj + q2 + q3 .
где o— 3 — 3
модуль объемной деформации (объемный модуль)
у . Е
А ~ 3 (1 — 2ц)
или
К = А . - 1 ±А. G. (3.36)
и 1
Компоненты нормальных напряжений в выражении через относительное изменение
объема:
0*^. = Х0 -f- 2Gsxj = Х6 -f- 2Ge^;
Иная форма записи:
ох — а = 2G (ех — е); ау — а= 2G (sy — е);
аг — а = 2G (ег—в), (3.38)
где X = тт—:—г-и----ft-:-коэффициент Ляме;
(1+р)(1 —2р)
еХ + eg + 8z
е----------
Компоненты касательных напряжений:
gg ^0 2Gez. (3.37)
Рис. 3.14.
тху ^ху’ Tyz ^^Уг> ^гх (3,39)
В частном случае линейного напряженного состояния объем материала стержня,
подверженного растяжению, можно записать так:
К1 = У[1 + в(1-2И)Ь
где V ~ FI — объем до деформации.
Абсолютное изменение объема AV = Vf— V = Vs (1 — 2|х). Относительное из-
менение объема вычисляется по формуле:
„ AV
е=— = е(1— 2ц). (3.40)
о
Изменения площади поперечного сечения: абсолютное AF = —2p,-grF; относи-
AF о
тельное -р- = —2ц .
Пример. Вычислить уменьшение объема Стального стержня (Е = 2 • 105 МПа),
сжимаемого осевыми силами. Стержень имеет два участка с разными площадями
сечения (рис. 3.14), I = 2 см, Р = 450 кН и |х = 0,3. Решение. Уменьшение объема
на первом участке
Р Р1
= - 4F/ (1 - 2И) ------r (1 - 2|х);
на втором участке
Р21
д^а =-----^-(1~2И);
43
полное уменьшение объема равно
ЗР1
ДИ = ДИ1 + ДИ2 =-------— (1 — 2ц) = — 0,054 см3.
Е
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Работа внешних сил при деформации переходит во внутреннюю потенциальную
энергию. Величина потенциальной энергии при упругой деформации зависит не от
последовательности приложения нагрузок, а от их конечной величины.
Удельная потенциальная энергия деформации (в единице объема) изотропного
тела выражается следующими соотношениями:
а) через компоненты напряжений:
“ — -gg- [Стх + + стг — 2И (ах^У + CTi/CTz + СТг<Ъс) +2(1 + р) (т^ + т^2 + т2х)]
(3.41)
или через главные напряжения:
“ = + ст2 + СТ1 — 2[<(стг<У2-j-о-аст3сгдсг^]; (3.42)
б) через компоненты деформаций:
«= G [ех + 4 + % + 02 + 4 + (ЗЛЗ)
или через главные деформации:
где 0 = ех + гу + е2 == е3 + е2 + е3. •
Удельную потенциальную энергию деформации можно рассматривать как сумму
двух составляющих:
U = Ну -|- Цф,
где uv—энергия, обусловленная изменением объема:
“° = 1 eg*1 + 0:1)2 ’ <3 Л5)
Иф — энергия формоизменения:
Иф —
ЗЕ
(<3[ + Og + Ст3 -- °1°2 --СТ2°3 -- а3°1)-
(3.46)
В частном случае линейного
напряженного состояния
о2
и =-----;
2Е
(1 — 2р.) о2 .
6Ё ’
и. = *_±JL о2
«ф ЗЕ
(3.47)
Потенциальная энергия
при сдвиге
т2
и = или и =
(3.48)
Ujj —
)
Е
44
ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ
В зависимости от условий нагружения материал может находиться в различных
механических состояниях: упругом, пластическом и в состоянии разрушения. Под
предельным подразумевают такое напряженное состояние, при котором происходит
качественное изменение ствойств материала — переход от одного механического
состояния к другому. Для пластических материалов предельным считается напряжен-
ное состояние, соответствующее заметным остаточным деформациям, а.для хрупких —
такое, при котором начинается разрушение материала.
При линейном напряженном состоянии предельное значение единственного в
этом случае главного напряжения может быть непосредственно определено из опыта
(от —для пластических материалов и ов — для хрупких). Поэтому оценка прочности
в этом частном случае проста. В случае сложного напряженного состояния (объем-
ного или плоского) при оценке прочности необходимо учитывать наличие двух или
трех отличных от нуля главных напряжений. При этом опасное состояние материала
зависит не только от величин главных напряжений, но и от соотношений между ними.
Из-за невозможности экспериментального определения критериев опасного состоя-
ния материала при сложном напряженном состоянии пользуются гипотезами, форму-
лирующими условия перехода материала в опасное состояние. На основании таких
гипотез построены теории прочности. Эти теории исходят из предпосылок о том, что
сложное и линейное напряженные состояния считаются эквивалентными (по проч-
ности), если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и
то же число раз одновременно становятся опасными. Поэтому оценка прочности ма-
териала при любом напряженном состоянии основывается на результатах опытов
при простом растяжении (сжатии), и исследуемое напряженное состояние сравнива-
ется с линейным. Для материалов с выраженной пластичностью за опасное (предель-
ное) состояние принимается такое, при котором начинают развиваться остаточные де-
формации. Для материалов, находящихся в хрупком состоянии, опасным считается
такое состояние, которое предшествует началу появления трещин.
Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет
вид:
<тпр<£ или опр < [о], (3.49)
где Опр — расчетное или приведенное напряжение при сложном напряженном со-
стоянии.
Формулы приведенных напряжений устанавливаются теориями прочности в
зависимости от принимаемых гипотез.
Первая теория прочности — теория наибольших нормальных напряжений —
основана на гипотезе о том, что опасное состояние материала наступает тогда, когда
наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает значения,
соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. Приве-
денные напряжения при объемном напряженном состоянии:
oJp = Oi или oj,p = |o3|; (3.50)
V
при плоском напряженном состоянии:
+ 4- -g^)2+4Tt- (3-51)
Первая теория прочности подтверждается опытами только при растяжении хруп-
ких материалов и лишь в тех случаях, когда все три главные напряжения не одно-
значны и различны по величине.
Вторая теория прочности — теория наибольших относительных удлинений ис-
ходит из гипотезы о том, что разрушение связано с величиной наибольших относи-
тельных удлинений. Следовательно, опасное состояние материала наступает тогда,
когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация достигает значе-
ния, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии.
В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:
Опр = CTi — И (о3 + о3); (3.52)
45
при плоском напряженном состоянии!
<£Р=Ц-Н-(°* + ^) +Ц^1Аах-<М2 + 4^,. (3.53)
Вторая теория, как и первая, недостаточно подтверждается опытами, что объяс-
няется неучетом особенностей строения реальных тел. Первая и вторая теории проч-
ности отображают хрупкое разрушение путем отрыва (в первой это связывается с
°макс’ во вт°р°й — с емакс)- Поэтому эти теории рассматриваются лишь как весьма
грубое приближение к действительной картине разрушения.
Третья теория прочности — теория наибольших касательных напряжений. В ос-
нову теории положена гипотеза о том, что два напряженных состояния — сложное и
линейное — эквиваленты в смысле прочности, если наибольшие касательные напря-
жения одинаковы. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:
CTnp=°i — (3-54)
При плоском напряженном состоянии!
°пр =]/Г(°х — Д/)2 + 4т^. (3.55)
Третья теория прочности отображает наступление текучести в материале, а так-
же разрушение путем сдвигов. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими
материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию при условии,
что главные напряжения имеют разные знаки.
Четвертая теория прочности — энергетическая. Она исходит из предпосылки
О том, что количество потенциальной энергии формоизменения, накопленной к мо-
менту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при
сложном напряженном состоянии, так н прн простом растяжении. Приведенные на-
пряжения прн объемном напряженном состоянии!
ffnp = V(<Ч — стз)2 + (ст2 — стз)2 + (<*3 — ст1)2 *! (3-56)
при плоском напряженном состоянии:
Z7 J 7 ?2
+з( ^7^-) +3<, (3.57)
или в частном случае при = 0, полагая стх = ст, а "Сху = Т!
ст,7 = (3.58)
Для частного случая чистого сдвига (ст = 0):
ст$ = тГЗ. (3.59)
Четвертая теория прочности отображает наступление текучести. Она хорошо
подтверждается опытами с пластическими материалами, имеющими одинаковый пре-
дел текучести при растяжении и сжатии.
Теория Мора в отличие от изложенных не содержит критериальной гипотезы и
состоит в установлении определенной зависимости прочностных свойств материала
От вида- его напряженного состояния. За характеристики напряженного состояния
В общем случае принимается наибольшее касательное напряжение и нормальное,
действующее на той площадке, на которой действует это касательное. Условие на-
* Октаэдрические касательные напряжения в общем случае определяются по (3.22)
ИЛИ Токт = -TZ. V(ot — о2)2 + (о2 — о3)г + (сга — oj2, а к началу развития пластических де-
КЗ
V2
формаций при простом растяжении они равны токт = — от. Следовательно, в условии проч-
ности Одр примет вид (3.56). Поэтому четвертую теорию прочности часто называют теорией
октаэдрических касательных напряжений
46
ступления текучести определяется огибающей больших кругов напряжений (Мора)
для предельных напряженных состояний. При этом влияние среднего напряжения
о2 не учитывается. Текучесть наступает тогда, когда большой круг напряжений для
рассматриваемого напряженного состояния коснется этой огибающей (рис. 3.15).
Приведенные напряжения для материалов с одинаковым пределом текучести при рас-
тяжении и сжатии в случае объемного напряженного состояния записываются так!
(3.60)
Опр — °! аод;
при плоском напряженном состоянии:
Для хрупких материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию
условие разрушения определяется по теории Мора огибающей предельных кругов
напряжений, соответствующих разрушению (рнс. 3.15, б). В этом случае приведенные
напряжения при объемном напряженном состоянии:
стпр = — стз-‘ (3.62)
при плоском напряженном состоянии:
стпР = + ау) + V + 4т^’ (3-63)
, °т.сж °в.сж
где о =------- при текучести; о =-------- при разрушении; а и b определяются по
от ов
кругам Мора (см. рис. 3.15).
Теории П. П. Баландина и И. Н. Миролюбова применяются для материалов,
различно сопротивляющихся растяжению и сжатию. Согласно этим теориям условия
разрушения имеют вид: опр = ов.
Эти теории отображают наступление текучести при с = --------- и разрушения
°т.сж
ств
при с= -------. Приведенные напряжения в общем случае напряженного состоя-
ав.сж
ния по теории П. П. Баландина:
j_____£
стпр = —2— (CT]l + ст2 + стз) +
Ь -g- К(1 - с2) (<Д + + о3)2 + 2С [(ох - о2)2 + (оа - о3)2 + (о3 - стх)«]; (3.64)
47
в частном случае плоского напряженного состояния:
стпР = -Ц— (стх + + у V (1 + с2) (°* ~ + 12стад’ (3,65)
По теории И. Н. Миролюбова, соответственно:
| _ £
Стпр ~ —2— 'СТ1 ст2 стз) +
+ уу-~|/ у [(<Ч-°2)24Ч°2-о3)2 + (^-°1)2] (3.66)
И
}А^-Пр)2 + Зт2у. (3.67)
При с= 1 теории П. П. Балан-
дина и И. Н. Миролюбова совпада-
ют с теорией октаэдрических каса-
тельных напряжений.
На основании гипотезы о том,
что разрушение одного и того же
материала может происходить как
путем отрыва, так и путем сдвига
в зависимости от условий его ра-
боты и напряженного состояния,
Н. Н. Давнденковым и Я. Б. Фрид-
маном даны диаграммы механиче-
ского состояния (рис. 3.16), позво-
ляющие установить тип ожидаемо-
го разрушения материала. Диаграмма механического состояния содержит график,
на котором в системе осей ст и т строится прямоугольник, ограничивающий область
прочного состояния для данного материала. При этом приведенные напряжения оп-
ределяются по первой или второй теориям прочности. Напряженное состояние тела
изображается в виде выходящих из начала координат лучей. Вторую половину диаг-
раммы механического состояния представляет график обобщенных кривых деформа-
ции. В зависимости от того, какую предельную линию пересечет луч, соответствую-
щий данному напряженному состоянию, устанавливается характер нарушения проч-
ности (текучесть, разрушение путем отрыва или сдвига). Это дает основание для
выбора наиболее подходящей теории прочности при данном напряженном состоянии.
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
ТОНКОСТЕННЫЕ СОСУДЫ
Рассматривается случай, когда толщина стенок мала по сравнению с размерами
сосуда. Предполагается, что нормальные напряжения на площадках, параллельных
срединной поверхности, пренебрежимо малы. Считается также, что при растяжении
стенок сосуда его форма не изменяется. Изгибные напряжения носят обычно харак-
тер местного возмущения напряженного состояния и имеют существенно заметную
величину лишь вблизи мест закрепления и нагрузки. Вследствие локальности этих
напряжений во многих случаях их в расчет не принимают.
Для сосуда, имеющего форму тела вращения, при симметричном нагружении ме-
ридиальное напряжение стх может быть найдено из условия равновесия части стенки,
отсеченной нормальным круговым сечением, а окружное напряжение ст^ — из урав-
нения Лапласа:
°х । ®у _ ?
t '
(3.68)
48
(3.69)
где q — внутреннее избыточное давление: t — толщина стенки; R± и R2 — главные
радиусы кривизны (рис. 3.17).
Частные случаи. Напряжение в стенках шарового сосуда:
_ Кд
21 '
В цилиндрическом сосуде меридиальное напряжение в два раза больше окружного
Rq Rq
Расчет опорного кольца. Если форма сосуда такова, что сеченне имеет излом
(рис. 3.18), то в месте излома для обеспечения прочности ставится опорное кольцо.
(3.70)
Если сосуд наполнен водой и растягивающее нап-
ряжение в дннще равно р, то сила, сжимающая
опорное кольцо, будет
Р = pt cos aR.
Деля Р на площадь поперечного сечения
кольца, определяем сжимающее напряжение в
нем.
Пример. Определить напряжения в стейке
конического сосуда (рис. 3.19), если толщина
стенки t = 1 см, a = 30°, уровень, воды в сосу-
де h = 1 м. Решение. Для точек круга, парал-
лельного свободной поверхности воды, главные
радиусы кривизны равны: Ry = со, R2= In или
h — У
R2 = —-— tg а. По уравнению Лапласа полу-
COS Qy
уу • R3
чаем Оу— —I------ , где у у — давление воды на
уровне у, у — вес единицы объема воды. Подставляя
,, . у tg а
Оу — y(h — tj) -т--2-.
" ' t cos a
Наибольшее напряжение при у = h/2
Рис. 3.17.
Кг,
получаем
Умакс
_ й2у tga
it cos a *
Рис. 3.18.
Меридиальное напряжение
Y tg a
Л -(ft-y) (h + 2y)
ot cos a
получает наибольшее значение при у = Я/4:
3 JLh2
f cos a
=
ffjcMaKC 16
tga
49
ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ
На рис. 3.20, а показано поперечное сечение толстостенного цилиндра, подвер-
женного внутреннему и наружному р2 давлению; г, и г2 — соответственно внутрен-
ний и наружный радиусы. При равномерно распределенном давлении по длине ци-
линдра, вследствие симметрии относительно его оси, в любой точке с координатой г
имеет место напряженное состояние, представленное на рис. 3.20, б. Касательные
напряжения на всех площадках равны нулю. Главные нормальные напряжения
определяются по формуле Ляме:
радиальное
= 1 ~ _ (P1 ~ г 1Г2 .
г2~г\
окружное
_ piri ~^г2 , (Pi" Р2)^Г2
4+ri H — d)'-2
(3.71)
(3.72)
Рис. 3.20.
Осевое напряжение ст2 постоянно по
всему сечению цилиндра; оно зависит от
продольной силы А7, вызывающей продоль-
ное растяжение или сжатие цилиндра:
N
л (г| — г\)
(3.73)
Рис. 3.21.
(3.74)
Если продольная сила является лишь результатом давления на днище цилиндра
напряжение в осевом направлении определяется:
9 9
_ Р14 — Ргг2
°г~ г2 — г2
'2 Г1
Радиальное перемещение любой точки толстостенного цилиндра может быть
определено по формуле:
_ (Р1Г1~ Р^Н1 —Р-)г (Pi — Ра) ^г(' + Н)_______________yNr
(r2-r2)E + г(^-г2)£ £л(л2-г2)
пли при известных напряжениях
ш = -^ (ст/ — рог — цст?). (3.76)
В этих формулах Е — модуль упругости, ар — коэффициент Пуассона мате-
риала цилиндра.
50
В частном случае при наличии только внутреннего давления формулы (3.71),
(3.72) и (3.75) упрощаются
Piri ( г2 \
= ---------- 1---; (3.77)
Г2~ Г1 \ !
= Н-тг 5 <3-78)
'2 — Г1 \ /
*> = гЛ'1 Л~[(1~>1)г + (1+и)^~1----------------(3J9)
i(r2 — r\) [ r J ь
Распределение радиальных и окружных напряжений по поперечному сечению
цилиндра в этом случае показано на рис. 3.21.
Наиболее напряженные точки расположены у внутренней поверхности
Л I ,2
Г2 ‘ Г1
При Г = максоу = Pi — , максОг — Р1>
Г2~Г1
2г2
При Г = Г2 МШ|О/ = Pi — —, мин<?г — 0.
Г2 — Г1
(3.80)
Расчетные уравнения при действии только внутреннего давления по третьей тео-
рии прочности
м
[о] — 2рх
(3.81)
по энергетической теории формоизменения
[g]
[а]-/3^
(3.82)
Напряжения в составных толстостенных цилиндрах
С целью уменьшения напряжений в опасных точках искусственно создают пред-
варительные напряжения, обратные по знаку рабочим. Это достигается путем насад-
ки двух или нескольких цилиндров друг на друга с натягом (рис. 3.22). Натягом А
называют разность диаметров посадочных поверхностей охватываемого и охватываю-
щего цилиндра. Пои одинаковой длине сопрягаемых ци-
линдров давление между внутренним и наружным цилинд-
рами распределяется по поверхности соприкасания равно-
мерно. Его величина определяется по формуле:
А
__________________________dk_____________
1 / 1 + fe, \ 1 / 1 + k2 \
(3.83)
где dk — диаметр посадочной поверхности; ki = ; k2 =
4 k
— — коэффициенты толстостенное™ для внутреннего
и наружного цилиндров; Ef, и Е2, р2 — модули упругости и коэффициенты Пуас-
сона материала соответственно внутреннего и наружного цилиндров. В частном слу-
чае, когда цилиндры изготовлены из одинакового материала (Ех = Е2 = Е; pi = р2 =
51
— р), формула (3.83) приобретает вид:
1 + 1 -f-
+т_^
(3.84)
При насадке полого цилиндра на сплошной стержень круглого поперечного се-
чения (ki = 0) давление р0 равно:
ЕА (1 — *|)
Pl' = 2dk
(3.85)
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Напряжения, возникающие при нажатии одной части конструкции на другую
в месте их соприкасания, называются контактными. Первоначальное точечное каса-
ние тел, ограниченное криволинейными поверхностями из-за деформации, переходит
в соприкасание по некоторой площадке, имеющей в общем случае эллиптическую фор-
му. Около этой площадки материал испытывает объемное напряженное состояние.
Величина контактных напряжений очень быстро убывает при удалении от площадки
соприкасания. Предпосылки: материалы соприкасающихся тел однородны и изо-
тропны; площадка контакта весьма мала по сравнению с общими размерами поверх-
ностей соприкасающихся тел; нагрузки, приложенные к телам, вызывают в зоне
контакта только упругие деформации, подчиняющиеся закону Гука; силы давления
нормальны к поверхности соприкасания тел; силами трения по площадке контакта
пренебрегают.
Контактная задача определяет: форму и размеры площадки контакта тел после
деформации; величину и распределение давления, оказываемого одним телом на дру-
гое и передаваемого через площадку контакта; величину сближения тел, обуслов-
ленного их деформацией.
Размеры площадки касания определяются полуосями эллипса:
где ______________ ______________________________________
Наибольшее давление между соприкасающимися телами определяется по фор-
муле:
Ро = Пр1гУ/' -yt-irP’ (3'87>
где
1
' папь
Сближение соприкасающихся тел в результате их деформации:
1 3 /"q
а = П“"2“У “T02SftP2’ (3'88)
где
52
Численные значения коэффициентов па, п/} и пр приведены в табл. 3.1.
В формулах (3.86) — (3.88) упругая постоянная соприкасающихся тел
„ 1 - Н? , 1-1*2
0 = ---7=----1---=---- ,
&2
где ц2, Ef и Е2 — коэффициенты Пуассона и модули продольной упругости соот-
ветственно для первого и второго тел. На рис. 3.23 показана схема соприкасающихся
Таблица 3.1. Значения коэффициентов па, п^, пр
В —А В + А па пЬ пр В —А в + А па пь "р
0,0000 1,000 1,0000 1,8270 0,8270 2,443 0,5247 0,7800
0,0466 1,032 0,9696 0,9990 0,8310 2,469 0,5217 0,7764
0,1075 1,076 0,9318 0,9970 0,8350 2,494 0,5186 0,7734
0,1974 1,148 0,8791 0,9921 0,8389 2,521 0,5155 0,7692
, 0,2545 1,198 0,8472 0,9852 0,8428 2,548 0,5124. 0,7657
0,3204 1,262 0,8114 0,9756 0,8468 2,576 0,5093 0,7622
0,3954 1,345 0,7717 0,9633 0,8507 2,605 0,2061 0,7587
0,4795 1,456 0,7218 0,9434 0,8545 2,635 0,5029 0,7547
0,5342 1,540 0,6992 0,9276 0,8584 2,666 0,4996 0,7508
0,5819 1,607 0,6791 •0,9158 0,8623 2,698 0,4963 0,7474
0,6113 1,684 0,6580 0,9025 0,8661 2,731 0,4930 0,7429
0,6521 1,775 0,6359 0,8865 0,8699 2,765 0,4897 0,7386
0,6716 1,826 0,6245 0,8772 0,8737 2,800 0,4863 0,7342
0,6920 1,882 0,6127 0,8673 0,8784 2,837 0,4828 0,7299
0,7126 1,943 0,6006 0,8561 0,8811 2,874 0,4794 0,7257
0,7332 2,011 0,5881 0,8460 0,8849 2,914 0,4759 0,7205
0,7538 2,087 0,5752 0,8333 0,8885 2,954 0,4723 0,7168
0,7579 2,103 0,5726 0,8306 0,8922 2,996 0,4687 0,7123
0,7620 2,119 0,5699 0,8278 0,8958 3,040 0,4650 0,7062
0,7661 2,136 0,5672 0,8264 0,8994 3,085 0,4613 0,7027
0,7702 2,153 0,5646 0,8230 0,9030 3,132 0,2576 0,6983
: 0,7743 2,171 0,5618 0,8197 0,9065 3,181 0,4538 0,6925
0,7784 2,189 0,5591 0,8177 0,9100 3,233 0,4499 0,6873
0,7825 2,207 0,5564 0,8143 0,9134 3,286 0,4460 0,6821
0,7866 2,226 0,5536 0,8117 0,9269 3,526 0,4297 0,6600
0,7907 2,245 0,5508 0,8084 0,9428 3,899 0,4076 0,6297
0,7948 2,265 0,5480 0,8065 0,9458 3,986 0,4029 0,6227
0,7988 2,286 0,5452 0,8026 0,9488 4,079 0,3981 0,6161
0,8029 2,306 0,5423 0,8000 0,9517 4,178 0,3932 0,6089
0,8069 2,328 0,5395 0,7962 0,9574 4,395 0,3830 0,5945
0,8110 2,350 0,5366 0,7937 0,9705 5,091 0,3551 0,5531
0,8150 2,372 0,7899 0,7899 0,9818 6,159 0,3223 0,5038 '
0,8190 2,395 0,5307 0,7874 0,9909 8,062 0,2814 0,4409
0,8230 2,419 0,5277 0,7831 0,9973 12,789 0,2232 0,3503
тел и площадки контакта. Главные кривизны * соприкасающихся тел в точке перво-
начального контакта для первого тела ; fe12 =--’> Для второго тела —<•
Pll Р12
. _ 1 . Ь _ 1
22 п Р22 ’ 21 Р21
Сумма главных кривизн соприкасающихся тел:
Sfe = /ги -J- kl2 -f- fe21 -J- k22.
Кривизна считается положительной, если центр ее находится внутри тела. Главными
кривизнами называются наибольшая и наименьшая кривизны, лежащие в двух взаимно пер-
пендикулярных плоскостях, проходящих через центр кривизны.
53
Таблица 3.2 Некоторые
Схема касания Радиус кривизны В + А В —А В —А В + А
'Фл я ч»? II II С ч1 Г1 0 0
t*' ь-' II II 1 1_ Г1 Г2 0 0
к = п; Г2 — г 2 — оо 1 Г 0 0
> = ri> Г2- г'2 = оо +’.) 1 2га =^0
1 , fj = оо; Г^оа -г(тг + 4-(v+ +<) 1
1 ^тптш .. L г Г ьэ* II II "п II 8 А 8 " 1 2г 1 2г 1
54
случаи контакта тел
Полуоси эллипса площадки касания а, b Наибольшее контактное давление рмакс Сближение тел а
Па=ПЬ= 1; а = й = 30Ру2 V 4 (Г1 + г2) «р= U —6Р(^+^)2 П V (rtr^ 02 ««= !• _1_ 1 /” 9 (Г1 + Гз) 02р2 2 V 2-г±.г2
na = nb= 1; , 3 / ЗвГ1г2Р а = b = 1/ —jr-.— „ К 4 (г2 — гх) Пр= 1; 1 6Р(Г2~ Л ' (г1Г2)2 02 па=!; _1_3 / 902p2(r2-rt) 2 У 2г1г2
На ~ “ 1 > а = b = &rР . »р=1; 1 \ f ер 2 V г202 па= 1; 1 iZ 902р2 2 У 2г
яа=/= 1; пь Ф 1; а = я 1/ 30^Р naV 2(2r2 + rt) 1 , 3 /" 30г/2Р Ь~ПьУ 2 (<+%.) пр ¥=1; па^1’
Яр 3 / ЗР (2ra + rt)2 л V 202г1р2 яа 3 / 902Р2 (2г2 + fl) 2 И 4л1г2
6=1/' 40Prtr2 г л (rx + r2) 1 1/ Р (fi + г2) V ar^r^Ql 2Р Г 1 - Ц? /, 2г, , л1 £х Vn 1 \ 1 — н? + 0,407 + р-^-Х / £-2 / 2г \* X In -р- + 0,407
, -\Г 4вРг V а V-±- г n.rQl —
55
Геометрические параметры А и В определяются по формулам:
4=-^(Sfc + ₽); B=_L(2fc_p),
где ____________________________________________
Р = Х" №н ^ха)2 ~Ь (&21 ^гг)2 ~Ь 2 (£ц fe12) (/г21 — k22) cos 2w;
Рис. 3.24.
Рис. 3.25.
<й — угол между плоскостями кривизны kn и kii (см. рис. 3.23). Эксцентриситет е
контурного эллипса площадки контакта определяется из уравнения:
(3”>
W)=-^-[fc (С)-£(С)], (3.90)
где
П/2 Л/2
k(e) = L(c)= f V1 — с2 sin2 <₽ dtp.
J У 1 — e2 sin2 ф J
о ' т о
Корни уравнения (3.89) можно найти по графику (рис. 3.24). В частном случае
круговой площадки
е = 0; А = В; па — пь= пр = па= 1.
В табл. 3.2 приведены основные случаи касания тел.
В общем случае эллиптической площадки контакта главные напряжения в точ-
ке С, находящейся на некоторой глубине залегания (рис. 3.25), определяются по фор-
мулам: ______
— 2ц 1
1
у2
56
Т
Су = — Ро
+ 2ц 1
2 . 11
5--8(k—L) ;
(3.91)
1
°г — — Ро
Рис. 3.26.
b . z
Здесь v = — ,о = — , р0 — давление в центре площадки касания; k и L — пол-
ные эллиптические интегралы. Система координат выбирается так, чтобы оси х и у
совпадали с полуосями а и b эллиптического контура пло-
щадки касания.
Наибольшие касательные напряжения, тмаксдаО,325ро,
а для частного случая круговой площадки касания (а — bj
тмакС = О,31ро.
Прочность соприкасающихся тел проверяют по наи-
большим расчетным (приведенным) напряжениям.
В табл. 3.3 приведены величины расчетных напряжений, соответствующих III и IV
теориям прочности, в зависимости от соотношений между полуосями эллипса пло-
щадки контакта.
Пример. Определить допускаемую осевую нагрузку [Q], размеры площадки кон-
такта и величину сближения колец в упорном шарикоподшипнике с плоскими коль-
цами (рис. 3.26), если радиус шарика г — 5 мм, число шариков I = 20, материал
шариков и колец — хромистая сталь. Допускаемое давление на площадке контакта
[рмакс] = 3000 МПа (30 000 кгс/см2). Решение. Для заданной схемы касания по
табл. 3.2 находим наибольшее контактное давление
Рмакс
/ 1___
или при 0 = 21—
q PF2
Р3макс = 0-3883--з-
T7 Р
Нагрузку наодий шарик принимаем р = , где 0,8 — коэффициент неравно-
мерности распределения нагрузки на подшипники между отдельными шариками.
РЕ2
Тогда запишем р3и.аке = 0.3883 . Полагая рмакс = [рмакс] = 3000 МПа
Таблица 3.3. Величины расчетных напряжений
ь Л oIV
пр пр
Ро Ро
1-00— круг 0,620 0,620
0,751 0,625 0,617
0,50 > — эллипс 0,649 0,611
0,20 ) 0,646 0,587
0,00 — полоса 0,600 0,557
57
(30000 кгс/см2), получим допускаемую нагрузку на подшипник
_ [Рмаке!8 • _ 30 0003.0,8.20... 0,52 _
“ 0,3883Е? “ 0,3883(2,12. 10е)? - 4,кН (413 кгс),
нагрузка на один шарик составит
W--бДг =°’26 кН <26 кгс>-
Радиус площадки контакта (круг):
а = fe = 1,109 У-^- = 1,109 ъ/ * °’S = 0,02 см.
Упругое сближение шарика с кольцом:
« = 1,231 /(-£)’3— 1.231 |б-)8-бЗ~ = “'“О83 »•
Сближение колец 2а = 0,00166 см.
Глава 4
СДВИГ И КРУЧЕНИЕ
СДВИГ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Определение чистого сдвига, формулы напряжений и деформаций, а также вы-
ражения закона Гука и потенциальной энергии при чистом сдвиге даны в главе 3.
Зависимости, полученные в теории чистого сдвига, могут быть обобщены для тех слу-
чаев, когда в поперечном сечении бруса отсутствуют нормальные напряжения или их
величинами можно пренебречь. Разрушение от сдви-
га принято называть срезом (металл) или скалыва-
нием (дерево, камни).
Касательные напряжения в поперечном сечении
очень коротких брусьев и соединительных элемен-
тов (болты, заклепки), а также в; сварных швах рас-
считываются по условным формулам, основанным на
гипотезе плоских сечений и на гипотезе неизменяе-
мости сечения в своей плоскости. Отсюда следует,
что касательные напряжения распределяются рав-
номерно по сечению:
Р
т = -тг-, Па (кгс/см2), (4.1)
Г
где Р — усилие среза; F — площадь сечения, воспринимающего эту силу.
Относительный сдвиг (угол сдвига) определяется так;/
? = (4.2)
(закон Гука при сдвиге в пределах пропорциональности). Здесь G — модуль сдвига
(см. табл. 1.1). Продольные относительные деформации в направлении диагоналей
квадратов, лежащих в плоскости сдвига (рис. 4.1), являются главными деформация-
миг
= (4-3)
58
Изменение объема при чистом сдвиге отсутствует — деформация сопровождается
только изменением формы. В этом смысле чистый сдвиг является единственным видом
плоского напряженного состояния.
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
На сдвиг рассчитывают некоторые соединительные элементы (заклепки, болты,
врубки, шпонки, сварные швы и др.), которые, вообще говоря, не являются стержня-
ми. Действительная работа этих элементов весьма сложна, и применение теории чис-
того сдвига к их расчету носит условный характер. Условность этих расчетов прежде
всего состоит в том, что при сдвиге (в болтах, заклепках и др.) касательные напря-
жения в сечении распределяются неравномерно и, кроме того, возникают напряжения
смятия и изгиба. Но надежность и простота этих расчетов, основанных на практи-
ческих рекомендациях, обеспечили широкое применение их в практике проектирова-
ния. Условие прочности при срезе имеет вид:
т = — < %Срт или т = -у- < [т 1- (4-4)
Необходимая площадь среза
„ Q „ Q
F = —---- или F = —
Кр™ М
(4.5)
Таблица 4.1. Ориентировочные допускаемые напряжения для прокатного
металла [т], МПа (кгс/см2)
Вид усилия Ст. 5 | Ст. 4, Ст. 3 КП | Ст. 3, Ст. 2, Ст. 1
при основных допускаемых нормальных напряжениях
175—210 (1750—2100) 140—170 .(1400—1700) 120—145 (1200—1450)
Срез Смятие тор- цов 120—150 (1200—1500) 260—315 (2600—3150) 90—110(900—1100) 210—255 (2100—2550) 80—100 (800—1000) 180—220 (1800—2200)
Таблица 4.2. Ориентировочные допускаемые напряжения для стального литья
и чугуна [т], МПа (кгс/см2)
Вид уси- ЛИЯ Сталь Чугун
Л2 Л2 пониженная Л,
при основных допускаемых нормальных напряжениях
180 (1800) 210 (2100) 150 (1500) 180 (1800) 120 (1200) 150 (1500) 100 (1000) 120 (1200)
Срез Местное смятие при касании: плотном свобод- ном А Б 135 (1350) 130 (1300) 700 (7000) 500 (5000) 160 (1600) 150 (1500) 800 (8000) ООО (6000) 115 (1150) ПО (1100) 600 (6000) 400 (4000) 135 (1350) 130 (1300) 700 (7000) 500 (5000) 90 (900) 85 (850) 500 (5000) 335 (3350) 115 (1150) ПО (1100) 600 (6000) 430 (4300) 25 (250) 65 (650) 350 (3500) 250 (2500) 30 (300) 80 (800) 420 (4200) 300 (3000)
Примечание. Смятие при свободном касании А относится к подвижным опорам по-
стоянных сооружений; Б — к подвижным мостам, крановым устройствам.
59
Таблица 4.3. Допускаемые напряжения, МПа (кгс/см2), при расчете
заклепочных и болтовых соединений при действии основных нагрузок
Изделие Вид усилия Ст. 4 Ст. 3 КП Ст. 3 Ст. 2
Заклепки ВоЛТЫ! Моченые (чистые) иеточеные (чер- йые) Срез Смятие Срез Смятие Срез Смятие 140 (1400) 350 (3500) 140(1400) 350 (3500) 140(1400) 350 (3500) От 95 (950) до 140(1400) от 280 (2800) до 320 (3200) 120(1200) 320 (3200) 80 (800) 200 (2000) от 95 (950) до 140 (1400) от 240 (2400) до 280 (2800) 12 (120) 280 (2800) 70 (700) 170 (1700)
Таблица 4.4. Расчетные сопротивления заклепочных соединений
Напряженное состояние и группа соеди- нения Услов- ное обо- значе- ние Расчетные сопротивления, МПа (нгс/см2)
срезу и растяжению Ваклепок нз стали марки смятию соединяемых элементов конструк- ций из стали класса
Ст. 2 09 Г2 С38/23 С44/29 С46/33 С52/40
Срез В 1 озакл 180 (1800) 220 (2200)
£р.6з С } ^чср 160 (1600) —- — —- —- —
Смятие В | г>закл — — 420 (4200) 520 (5200) 580(5800) 680 (6800)
Смятие С ) Растяжение (отрыв головок) ^см 380 (3800)
озакл Рр 120 (1200) 150(1500) — — —
Примечания: 1. К группе В относятся соединения, в которых заклепки поставлены в
отверстия: а) сверленые на проектный диаметр в собранных элементах; б) сверленые на .проек-
тный Диаметр в отдельных элементах и деталях по кондукторам; в) сверленые или продавлен-
ные на меньший диаметр в отдельных деталях с последующим рассверливанием до проектно-
го Диаметра в собранных элементах.
К группе С относятся соединения, в которых заклепки поставлены в продавленные отверстия
иди В отверстия, сверленые без кондуктора в отдельных деталях (без последующего рассверли-
вания) .
2. При применении заклепок с потайными или полупотайными головками значения расчет-
ных сопротивлений срезу и смятию понижаются умножением иа коэффициент 0,8. Работа ука-
занных заклепок на растяжение не допускается.
3. При применении в соединяемых элементах конструкций более толстого проката, чем
указано в приложении I СНиП П-В. 3-72, расчетные сопротивления смятию устанавливаются
а соответствии с указаниями примечания 3 к табл. 2 СНиП П-В. 3-72.
Допускаемая нагрузка, вызывающая срез,
(4.6)
Сдои = М Р-
В этих формулах [т] — допускаемое напряжение при срезе. Оно различно в за-
вйсимости от теории прочности, принимаемой в расчетах, и составляет часть основных
Допускаемых напряжений [о] (при растяжении или сжатии).
По I теории прочности [т] = [а]. По II теории прочности [т] = . Напри-
мер, для стали при и. = 0,3 [т] = (0,75 н- 0,8) [а]; для бетона при ц = 0,16 [т] =
= 0,86 [о] *.
По III [т] = 0,5[о] и по IV (для малоуглеродистых сталей) — [т] = 0,58 [а].
Q — расчетное усилие среза. При расчете по предельным состояниям О = QHn;
лит — соответственно, коэффициент перегрузки и коэффициент условий работы;
&Ор — расчетное сопротивление при срезе.
* 1 и II теории прочности пригодны для многих хрупких материалов, но для бетона мень-
шую погрешность дает I теория прочности.
ее>г'"
Таблица 4.5. Расчетные сопротивления болтовых соединений
Точность болтов Соеди- нения Напряженное состояние и группа Ус- лов- ное обоз - каче- ние Расчетные сопротивления, МПа (кгс/см2)
растяжению и срезу болтов из стали класса смятию соединяемых элементов конструкций из стали класса
4,6 5 ,6 8,8 С38/23 | С44/29 , С46рЗз‘*. С52/40
Повы- Однобол- Растяжение Яр — — 400 (4000) — — — —
шейная - товые н много- Срез В ^ср — — 300 (3000) — — — —
болтовые Смятие В с — — — 380 (3800) 470 (4700) 520 (5200) 610 (6100)
Нормаль- Однобол- Растяжение Rp 170 (1700) 210 (2100) 400 (4000) — — —
ная товые Срез RlP 150 (1500) 170(1700) 300 (3000) — — — —
Смятие R6™ — — — 380 (3800) 470 (4700) 520 (5200) 610 (6100)
Много- болтовые Растяжение Срез «г s’p 170 (1700) 130 (1300) 210 (2100) 150 (1500) 400 (4000) 250 (2500) — — —
Смятие Кем — — — 340 (3400) 420 (4200) 460 (4600)
Грубая Одно- болтовые Растяжение Срез ю а \о о 170(1700) 150 (1500) 210(2100) 170 (1700) — — — — —
Смятие Кем — — — 380 (3800) — — —
Много- Растяжение Яр 170 (1700) 210 (2100) — — — — —
болтовые Срез Яср 130 (1300) 150 (1500) — — — — —
Смятие рб ^см — — — 340 (3400) — — —
Приме ч а н и я: 1. Характеристику группы В болтового соединения см. в примечании к табл. 4.4.2. При применении в соединяемых элает-
с тах конструкций проката более толстого, чем указано в приложении I СНиП П-В. 3-72, расчетные сопротивлении смятию устанавливаются в соответ-
— ствии с указаниями СНиП П-В. 3-72 (примечание 3 к табл. 2).
Допускаемые напряжения и расчетные сопротивления приводятся в таблицах
1.8, 1.9, 4.1—4.5.
Ниже приводятся некоторые примеры практических расчетов на срез. Рассмотре-
ны две методики — по допускаемым напряжениям и по предельным состояниям.
Расчет заклепочных соединений
При действии статических нагрузок предполагается, что усилия, вызывающие
сдвиг каждой из заклепок соединения, одинаковы. Условия прочности на срез при
расчете по допускаемым напряжениям
Р
т =
(4.7)
nd2 ,
—з—
4
гдей — диаметр заклепки; k — число срезов. На рис. 4.2 показано двухсрезное со-
единение. Задаваясь диаметром заклепки, из условия прочности (4.7), определяют их
число:
Рис. 4.2.
(4.8)
п ~
СМП
(4-9)
(4. Ю)
4Р
nd2k [т]
Кроме среза, заклепки испытывают смятие.
Проверка прочности по смятию производится
приближенно: площадь смятия условно принима-
ется равной площади диаметрального отверс-
тия — d8, где 6 — толщина листа, передающего
усилие Р.
Условие прочности на смятие:
Р
°см~ ndS г
откуда необходимое число заклепок равно
Р
П~ dS[oCM] •
К расчету принимается большее из п, определяемое по условию прочности на
срез и смятие. Допускаемые напряжения на смятие заклепок приведены в табл. 4.3.
Ослабленное отверстиями сечение проверяется на разрыв по условию прочности:
а = —л--.. Р [ст], (4.11)
о (о — dn ) 1
где b и 6 — размеры сечения листа; п'— число отверстий в проверяемом сечении.
При расчете заклепочных и болтовых соединений по предельным состояниям
расчетные формулы имеют вид:
расчет заклепок и болтов
на срез:
У
, nd2
nkw —
ср>
(4.12)
иа смятие:
на растяжение заклепок
ndZ8 ~ с’
(отрыв головок):
N
(4.13)
на растяжение болтов:
,закл.
Р '
(4.14)
,6
р>
(4,15)
п~г
N
62
где У — расчетная продольная сила, действующая на соединение; п — число закле-
пок или болтов в соединении; /гср — число рабочих срезов одной заклепки или болта;
d — диаметр отверстия для заклепки или наружный диаметр стержня болта; 2б —
наименьшая суммарная толщина элементов, сминаемых в одном направлении; 7?ср —
расчетное сопротивление срезу заклепок (болтов); /?см — расчетное сопротивление
смятию заклепочных (болтовых) соединений; 7?ракл—расчетное сопротивление
растяжению (отрыву головок) заклепок; 7?р — расчетное сопротивление растяжению
болтов; Fm — площадь сечения болта нетто, определяемая по формуле;
где d3— номинальный средний диаметр резьбы,
d3 = di---—; Н — теоретическая высота резьбы; dj — номинальный внутренний диа-
метр резьбы.
Величины df, d2 и Н принимаются по ГОСТ 9150—59* «Резьба метрическая для
диаметров от 1 до 600 мм. Основные размеры».
Примечания: 1. Для болтов диаметром от 16 до 27 мм: площадь сечения
нетто по ГОСТ 9150-59* соответственно принимается
Диаметр болта, мм 16 18 20 22 24 27
Плошадь нетто, см2 1,60 1,97 2,49 3,08 3,59 4,67
2. Заклепки и болты, работающие одновременно на срез и растяжение, проверя-
ются отдельно на срез и растяжение.
Расчет свврных соединений
Сварной шов при соединении в стык (рис. 4.3, а) рассчитывается по условию проч-
ности на растяжение (сжатие):
о = -т-у [стэ],
(4.16)
где ?ш = b — 1 см — расчетная длина сварного шва; 6 — толщина свариваемых лис-
тов; [стэ] — допускаемое напряжение на растяжение (сжатие) сварного шва (табл. 4.6).
Расчет соединения в стык с косым швом (рис. 4.3, б) производится по нормальным и
этом
касательным напряжениям. При
условия прочности имеют вид:
N sin а . , ,
(4.17)
Рис. 4.3.
та
У cos а
(4.18)
t b
где = —7-----
sin а
на срез шва (см. табл. 4.6).
Расчет валиковых швов — лобовых и фланговых — условно производят на срез
по наклонному сечению (рис. 4.4, б). Условие прочности имеет вид:
1 см — расчетная длина
шва; [тэ] — допускаемое
напряжение
Т~ 0,7б/ш ^[Тэ]’
(4.19)
63
Таблица 4.6. Допускаемые напряжения при сварке, МПа (кгс/см2)
Вид напряжения Ручная сварка электродами с обмасткой Автоматическая сварка
тонкой толстой
Растяжение [цэ] 100 (1000) 130 (1300) 130(1300)
Сжатие [цэ] 110(1100) 145 (1450) 145 (1450)
фез [тэ] 80 (800) 110(1100) 110(1100)
где 1Ш — длина сварного шва. При сварке элементов несимметричных профилей
(рис. 4.5) длины швов с каждой стороны определяются:
г
'а 0,76 [тэ] (а + с) ’
г
с 0,76 [тэ] (а + с)
К
(4.20)
JltfoSoi шо! фланговый шоб
а
Рис. 4.4.
Расчет сварных соединений по методике предельных состояний производится со-
гласно СНиП П-В.3-72 [36] по следующим расчетным формулам.
Таблица 4.7. Расчетные сопротивления
Ёвариые соеди- нении Напряженное состояние Условное обозначение Расчетные
С38/23
Сжатие Растяжение: С 210 (2100)
Встык полуавтоматическая сварка, полу- автоматическая и ручная сварка с физическим контролем качества швов С 210 (2100) [260]
полуавтоматическая и ручная сварка рСВ “р 180 (1800)
Срез рсв ^ср 130 (1300)
Угловые швы Срез рсв 150 (1500)
Примечания: I. В квадратных скобках указаны расчетные сопротивления растяже
предёлй Текучести. 2. Для элементов нз стали разных классов расчетное сопротивление свар
Йа Мёйёе прочной стали. 3. Расчетные сопротивления сварных соединений встык установлены
4, Прй применении в соединяемых элементах проката более толстого, чем указано в прило
ЙЬОт'вётСтвии о расчетными сопротивлениями основного металла (примечание 3 к табл. 2
54
Сварные соединения встык, работающие на растяжение и сжатие (см. рис. 4 3):
-А~</?св, (4.21)
/шо
где — расчетная продольная сила, действующая на соединение; 1Ш—расчетная
длина шва, равная его полной длине в случае вывода концов шва за пределы стыка;
в ином случае расчетная длина принимается меньше, полной длины на 10 мм; 6 — наи-
Рис. 4.5.
меньшая толщина соединяемых элементов; RBB — расчетное сопротивление сварного
стыкового соединения сжатию или растяжению.
Сварные угловые швы, воспринимающие продольные и поперечные силы, рас-
считываются на срез:
N
(4.22)
где /1щ — толщина углового шва; [3 — коэффициент, зависящий от вида сварки. Для
однопроходной автоматической сварки 0=1; для двух- и трехпроходной автомати-
ческой сварки 3 = 0,9; для однопроходной полуавтоматической сварки р=0,85;
сварных соединений
сопротивления сварных соединений, МП.. (к гс/см'), в конструкциях из стали класса
С44/2У С46/33 С52/Ш С60/45 С70/60 С85/75
260 (2600) 290 (2900) 340 (3400) 380 (3800) 440 (4400) 530 (5300)
260 (2600) [300] 220 (2200) 290 (2900) [ЗЮ] 250 (2500) 340 (3400) 380 (3800) 440 (4400) 530 (5300)
150 (1500) 170 (1700) 200 (2000) 230 (2300) 260 (2600) 310 (3100)
180 (1800) 200 (2000) 220 (2200) 240 (2400) 280 (2800) 340 (3400)
нню сварных соединений встык, эксплуатация которых возможна и после достижения металлом
кого сопротивления встык принимается равным расчетному сопротивлению соединения встык
для швов, выполненных двухсторонней сваркой или односторонней с подваркой корня шва.
женин I СНиП П-В. 3-72, расчетные сопротивления сварных соединений устанавливаются в
СНиП П-В.3-72),
3 2-256
65
для двух- п трехпроходноп полуавтоматической сварки = 0,8; для ручной сварки,
а также для многопроходной (более трех) автоматической и полуавтоматической свар-
ки р = 0,7; — расчетная длина шва, равная его полной длине за вычетом 10 мм;
— расчетное сопротивление углового шва.
Расчетные сопротивления приведены в табл. 4.7.
Пример. Рассчитать сварное соединение встык двух полос размером 220 X 10 мм
из стали класса С46/33. Растягивающее усилие = 560 кН (56 тс). Сварка ручная
с визуальным контролем качества швов. Электроды Э50А. Решение. По табл. 4.7 за-
ходим расчетное сопротивление Др® = 250 МПа (2500 кгс/см2).
Вычисляем напряжение в сварном шве:
а = ..°—------— = 266,7 МПа > = 250 МПа.
1 • 10-2(22—1) • 10~2 р
Прямой стык не обеспечивает прочности соединения. Принимаем косой стык с зало-
жением 1 : 2. Тогда расчетная длина шва равна 1Ш = (24 — 1) см и напряжения в шве
ош = 243,5 МПа (2435 кгс/см2), что меньше /?рВ (недонапряжение 2,6%).
Расчет врубок
Расчет деревянных врубок производят на скалывание и смятие. Касательные
напряжения по длине площадки скалывания распределены неравномерно (рис. 4.6).
При проверке прочности врубки по скалыванию сопоставляют средние напряжения,
возникающие по площади /С!, = Ыск от силы Н — N cos а с величиной допускаемых
напряжений (расчетных сопротивлений).
Условие прочности имеет вид:
/7 ///
(:Т] или (4.23)
ГСК Г СК
Средние допускаемые напряжения
(расчетные сопротивления) на скалывание
для лобовых врубок определяются;
[г]СР = -----М__------
1 Щ 0,25 —
’ е
С=^ск/(>+0-25/ск/е).
(4.24)
(Обозначения см. на рис. 4.6). Проверка прочности на смятие по площади упора на-
клонного элемента производится по условию прочности:
М cos а . 'vpac cos а п
bh [°сма! или hh ^сма’
(4,25)
где [<TCM0,J — допускаемое напряжение (7?смя — расчетное сопротивление) древесины
на смятие, зависящее от направления смятия по отношению к волокнам (табл. 4.8).
Км]
сма
. , I 1стсм] Д .о
I. KJw J
(4.26)
Кроме расчета на скалывание и смятие, врубки проверяют на разрыв по сечению
п — k по формулам центрального растяжения или по формулам внецентренного рас-
тяжения, если сила Н смещена от центра тяжести сечения.
Допускаемые напряжения и расчетные сопротивления для дуба можно получить
умножая соответствующие величины табл. 4.8 иа следующие коэффициенты: 1) при
растяжении, сжатии, изгибе и смятии вдоль волокон — 1,3; 2) при сжатии и смятии
поперек волокон — 2,0; 3) при скалывании;—1,3;
Пример. Проверить прочность врубки, показанной на рис. 4.6, если й = Ь — 18;
/iBp = 6; /ск = 60 см; а = 30°; е = 9 см. Решение. Определяем среднее значение рас-
66
четного сопротивления на скалывание (4.24). По табл. 4.8 принимаем для сосны RCK =
= 2,4 МПа (24 кгс/см^).
/?=р =---------------= 0,9 МПа (9 кгс/см2),
1 + 0,25.-у-
Таблица 4.8. Допускаемые напряжения и расчетные сопротивления для
древесины (сосна и >ель)
Вид сопротивления Допускаемые напря- жения Расчетные сопротивления
обозначе- ние Величина, МПа (кгс/см2) Обозначе- ние Величина, МПа (кгс/см2)
Изгиб [СГи] 10 (100) /?Н 13 (130)
Растяжение вдоль волокон [Пр] ' 7 (70) Яр 10(100)
Сжатие и смятие вдоль воло- 1^сж1
КОН [сгсм] 10 (100) RcxRcm 13(130)
Смятие поперек волокон (на длине не менее 10 см) I^cmIso 2,5 (25) Ясм 90
3(30)
Скалывание вдоль волокон:
при изгибе 1тп] 2 (20) Rw 2,4 (24)
во врубках Скалывание поперек волокон [т] 1 (Ю) Яск 1,2—2,4 (12—24)
во врубках Мео 0,5 (5) Яскйо 0,6—1,2 (6—12)
максимального расчетного сопротивления.
Ясм зо ~
Видим, что в 2,7 раза меньше
Определим расчетную силу Н из условия прочности по срезу:
н = WcXk = 18.60.0,9 = 97,2 кН (9720 кгс).
Проверяем прочность на смятие торца наклонного элемента.
Расчетное сопротивление определяем по формуле (4.26), беря RaM из табл. 4.8:
Ясм __ 13 _
----lysin’30° 1+(“Т-------О'0’53
«см 90 / ' '
= 9,2 МПа (92 кгс/см3).
Проверяем условие прочности:
Н cos 30°
h h < «СМ 30’
"пр'
97 2 0 866 107
------—’ jg------- = 7,8 МПа (78 кгс/см2), что меньше /?см30.
КРУЧЕНИЕ
КРУТЯЩИЕ МОМЕНТЫ
Деформация кручения вызывается уравновешенной системой пар сил, действую-
щих в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса, вала (рис. 4.7). Внутреннее уси-
лие в данном сечении вала — крутящий момент *. Он определяется по методу сечений
* Момент внешней пары также называют крутящим моментом, не делая в термине раз-
личии между нагрузкой и усилием в сечении. Если внешний момент распределен по длине
вала« то он характеризуется интенсивностью ги (Нм/м или кгс • м/м).
3* 67
и в общем случае равен алгебраической сумме моментов, действующих на вал справа
или слева от проведенного сечения по отношению к оси, перпендикулярной к плоско-
сти поперечного сечения и проходящей через центры изгиба сечений. Центром из-
гиба называется точка поперечного сечения, через которую проходит плоскость дей-
ствия поперечной нагрузки, и эта нагрузка не вызывает кручения. Для сечения с дву-
мя осями симметрии центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения, при одной
оси симметрии — лежит на ней.
Пример. Построить график распределения крутящих моментов по длине вала
(эпюру крутящих моментов), показанного на рис. 4.8, если крутящие моменты на ве-
дущем шкиве Mf= 120; на ведомых шкивах Л43 = 30;Л44= 40 кгс • м; на участке
а = 1 м; т = 50 кгс • м/м. Решение. При установившемся движении (без учета тре-
ния в подшипниках) условие равновесия в любом сечении вала имеет вид: 2Л1*= 0.
Для построения эпюры крутящих моментов определяем Мь на всех участках вала.
При этом пользуемся методом сечений. Мысленно проведем сечение I—I. Отбросим
одну часть, например правую, и запишем условие равновесия оставшейся левой час-
ти 2/Wfe= —тх — M!k = 0. Из условия равновесия M]k = —тх при х — 0 Mlk = 0;
при х = a Mk — —50 кгс м.
Рассматривая аналогично каждое сечение, строим эпюру крутящих моментов.
Знак крутящего момента определяется знаком внешних моментов. Крутящий момент
принято считать положительным, если он действует против часовой стрелки при
условии, что мы смотрим на него со стороны разреза *.
Зависимость крутящих, моментов от заданной мощности. Обычно нагрузка на
вал определяется мощностью машины. Если мощность W задана в кВт, а скорость
вращения вала п — числом оборотов в минуту, то крутящий момент определяется
так:
IV/ / П7 \
Mk = 9736 Нм ^или Мь — §73,(э кгс • м J . (4.27)
Если мощность выражается в лошадиных силах, тогда
Mk = 7162 Нм (или Mk = 716,2-^- кгс > mJ . (4,27а)
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
ПРИ КРУЧЕНИИ ВАЛОВ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
Основные, допущения, принятые в теории кручения круглых валов, выполнен»
ных из однородного, идеально упругого материала:
1) гипотеза плоских сечений — сечения плоские до кручения остаются плоскими
и при кручении;
2) ось вала при кручении не искривляется;
* В кручении знак крутящего момента принципиального значения не имеет. Поэтому
это правило знаков носит условный характер. Важно лишь, чтобы прн расчете данного вала
оно было единым.
68
3) удлинения продольных волокон вала отсутствуют;
4) радиусы поперечных сечений вала при кручении остаются прямыми, повора-
чиваясь на определенный угол;
5) в поперечных сечениях вала возникают только касательные, напряжения.
Таким образом, кручение, можно рассматривать как чистый сдвиг, вызываемый
поворотом одного сечения относительно другого. При этом в поперечных сечениях
возникают касательные напряжения, определяе-
мые по формуле:
(4.28,
1р — [
J р
где Тр — касательное, напряжение в данной точ-
ке рассматриваемого сечения; р — расстояние от
исследуемой точки до оси стержня; Jp— поляр-
ный момент инерции сечения стержня.
Для круглого сечения( для кольца
02$
ттГ)^ /7
Jp = (1 — а4), где а = если D и d —
Рис. 4.9.
соответственно наружный и внутренний диаметры сечения полого вала.
Наибольшие касательные напряжения — у поверхности вала
макс т = . (4-29)
В этой () ормуле ----полярный момент сопротивления круга; Wp ==
л О3
= —ул—(1 —а4) — момент сопротивления кольца *. Подробнее о моментах инерции
10
и моментах сопротивления см. главу 13.
На рис. 4.9 представлены эпюры касательных напряжений в сечениях валов
круглого и трубчатого профилей. По закону парности касательных напряжений в
продольных сечениях вала возникают касательные напряжения, равные т' = ти вы-
числяемые по формуле (4.28). Нормальные напряжения на площадках, наклоненных
под углом а к оси вала,
оа = — т sin 2а. (4.30)
Главные напряжения при кручении
(j1 __ Q — МаКС Т — ——-------- ; Q ? — (J.
IV р
(4.31)
Траектории главных напряжений представляют собой винтовые линии, состав-
ляющие с любой образующей вала угол 45°. Углы закручивания при постоянном на
длине I крутящем моменте Мь определяются по формулам:
для вала сплошного сечения
для полого вала
Mki
GJB
(4.32)
ф = :_________
Ф GJ0(l-a4)
(4.32а)
Если крутящий момент скачкообразно изменяется по длине вала или вал имеет
ступенчатое изменение сечения, то взаимный угол поворота концевых сечений вала
определяется суммированием углов закручивания по участкам, на которых А4<; и JD
* Для вычисления J р и W р сплошных круглых сечений часто пользуются приближенны-
ми формулами, дающими ошибку около 2%: Jp а 0,Id*, W «г 0,2</’f для полого вала — ./р <=
«= 0.1D4 :1 — a4); W а 0,20’ (1 _ а4).
69
ПОСТОЯННЫ!
Ф = (4.33)
G J р
Потенциальная энергия деформации при кручении вычисляется по формулам^
в общем случае при переменных и Jp
при постоянном крутящем моменте и жесткости GJP на длине I:
РАСЧЕТ ВАЛОВ НА КРУЧЕНИЕ
' Условие прочности при кручении имеет вид:
^ймакс ,
тмакс — уГр - ПЬ
где [т] — допускаемые напряжения при кручении.
Диаметр вала из условия прочности определяется по формулам:
для сплошного вала
л 16Mfe
d = 1/ —г-f- ;
Рис. 4.10.
для полого вала
V п [т] (1 — а4)
Допускаемый крутящий момент
лДдоп = М
Условие жесткости вала
Фмакс^1ф]>
(4.36)
(4.37)
(4.38)
(4.39)
(4.40)
где [ф] — допускаемый угол закручивания вала. В машиностроении [ф] принимается
до 2° на 1 м длины вала. Формулы для определения диаметра
сплошного вала
полого вала
32A4teZ
лб [ф]
32ЛД/
nG [ф] (1 — а4)
(4.41)
(4.42)
Из двух найденных значений диаметра вала к расчету принимается большее.
Окончательный диаметр принимается по ГОСТу. Если в таблице нет нужного диа-
метра, принимается ближайший больший диаметр.
Пример. Стальной вал круглого сечения нагружен крутящим моментом Мс —
= 12 000кгс • см (рис. 4.10). Определить диаметр вала и наибольший угол закручи-
вания, если [т] = 120 кгс/см2, G = 7,7 • 105 кгс/см2. Решение. Для определения
диаметра вала необходимо знать наибольший крутящий момент на валу, для чего
надо узнать опорные моменты МА и Вв. По единственному условию равновесия S44 =
= 0 нельзя определить два опорных момента; задача статически неопределима. Урав-
нение равновесия:
Л4Л Мв +Л4С — 0. (а)
70
Дополнительное уравнение можно получить из условия совместности деформа-
ций
раскрывая
GJP
(*)
Фдс ~ ЧСВ’
которое по (4.32), получаем:
п If
= "g77~ или Мв = Ма h *
совместно (а) и (£>), определяем МА = —8000; Мв — 4000 кгс-см.
крутящих моментов, построенная по найденным моментам, показана на
Решая
Эпюра
рис. 4.10. К расчету по формуле (4.37) принимаем больший из моментов d =
J5 / 16 8000 ' . __ „ Л -7П U - Г
— т/ ———— 6,95 см. Принимаем а = 70 мм. Наибольший угол закручивания
у о, 11 • 1 Л\)
в сечении С по (4.32)
8000 -100 . „ 1П_3
~ 7,7 105.0,1 .7<'' = 4’3, 10 РЗД-
РАСЧЕТ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН С МАЛЫМ ШАГОМ ВИТКА
"' Цилиндрические пружины. Малым шагом витка считается шаг h, при котором
угол подъема витка а не превышает 15°. Обозначения (рис. 4.11): R — радиус вин-
товой оси пружины; г — радиус поперечного сечения стержня пружины; п — число
витков. В поперечном сечении стержня пружины возникают касательные напряже-
ния, уравновешивающие поперечную силу Q = Р, и крутящий момент = PR.
Наибольшие напряжения возникают на внутренней поверхности витка и определяют-
ся по формуле:
2PR
т ----- ----
макс
(4.43)
Обычно для пружин с малым шагом витков отно-
шение — мало по сравнению с единицей и им пренеб-
2R
регают. Тогда условие прочности имеет вид:
2PR
пг3
Осадка пружины в общем случае определяется по
формуле
(4.45)
Формулы (4.43) — (4.45) приближенные. Они полу- Рис. 4.11.
чены при допущении, что сечение пружины плоскостью,
проходящей через ее ось, совпадает с поперечными сечениями витков. Более точный
расчет с учетом кривизны витков, изгиба и удлинений стержня пружины ведется по
формулам:
- ь 2PR
Т'макс *1
(4.43а)
, , 4PR3n ' .
= k2 ’45а)
Здесь kj и k2 — поправочные коэффициенты. Оии зависят от отношения радиусов R/r
(табл. 4.9).
Пример. Определить наибольшие касательные напряжения в пружине, показан-
ной на рис. 4.12, и перемещение точки с, если R = 10, т = 1 см; Р = 400 кгс, G =
= 8 • 105 кгс/см2; «1= 8ипа= 12 витков. Решение. Для определения реакций RA
71
Таблица 4.9. Поправочные коэффициенты к± и кг
Коэффициент
3 4 5 6 8 10
1,58 1,40 1,31 1,25 1,18 1,14
&2 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05
и RB составляем условие равновесия
Ra + Rb — P~°- (а)
Задача статически неопределима. Составляем дополнительное уравнение переме-
щений — осадка верхней части пружины и сжатие ее нижней части должны быть оди-
наковы:
1М = 1*н]. (6)
По (4.45) раскрываем условие (6)
4RARsni 4RBR3nt
Лв “ Gr‘ ’ Лн ~ Gr^~
и получаем RAnr= Ren2- (У)
Решая совместно уравнения (а) и (У), получаем:
= 240, RB = 160 кгс.
Наибольшие напряжения (на участке СД)
определяем по (4.43а), находя при этом по
табл. 4.9 коэффициент fef
тмакс = 1>14 = 1740 кгс/см2-
Перемещение точки с [формула (4.45а)]
. . _ 4 • 240 • 103 • 8
=1,05--------g-y-jgr;..р----= 10 см.
Конические пружины. По сравнению с ци-
линдрическими конические пружины более
устойчивы и допускают значительно большие
осадки. Обозначения (рис. 4.13): Rj и R2 —
радиусы верхнего и нижнего витков; текущий
радиус R = /?] + а ; а — текущий
Рис. 4.12. Рис. 4.13. угол; п— число витков; г — радиус прово-
локи, из которой сделана пружина.
Крутящий момент в любом сечении витка пружины = PR. Наибольший кру-
тящий момент в сечении по витку наибольшего радиуса
^^макс
Наибольшие касательные напряжения
т _. (4 46)
1макс л/з ’ '
Полная осадка
х (7?2 + № (4Л71
72
РАСЧЕТ НА КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ
МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Используется идеализированная диаграмма работы материала (рис. 4.14). На
рис. 4.15 показаны эпюры касательных напряжений в сечении вала в упругой
(рис. 4.15,6), упруго-пластической (рис. 4.15, а) и пластической (рис. 4.15, г) стади-
ях работы материала. К расчету принимается предельный момент — крутящий мо-
i Г
о
Zr
Рис. 4.14.
г
мент, соответствующий состоянию, при котором по всему сечению распространяется
зона текучести.
Мпр = -уд- лЛт.
4
Величина = — • Wp = WT называется пластическим моментом сопротив-
ления. Тогда
Мпр = Гттт = IV>T. (4-48)
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ НЕКРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
При кручении стержней некруглого поперечного сечения
чений не применима. Задача значительно усложняется. Ниже
зависимости, полученные методами
теории упругости.
Напряжения и углы закручива-
ния определяют так:
гипотеза плоских се-
приводятся основные
т —
''макс
ли
WU
Mkl
Ф~ GJk
(4.49)
(4.50)
Значения моментов инерции ]к
и моментов сопротивления WU при
кручении, а также наибольшие нап-
ряжения для различных форм сече-
ний приведены в табл. 4.10.
Для сечения прямоугольной
формы (рис. 4.16) при h > b:
Напряжение в точке с
Wk = ahb2; (4.51)
Jk = (4.52)
Ъ=Пмакс- (4.53)
В табл. 4.11 приведены приближенные значения безразмерных коэффициентов
а, Р и у.
73
Таблица 4.10. Данные по кручению .некруглых профилей
форма сечения Jk, см* Wh. cm3 Наибольшие каса- тельные напряжения Mk тмакс ~ y>7
(вад>. _ax эат Jk = 0,140а4 Wk = 0,208a? В серединах сторон _ Mk тмакс - o,2O8a? J в углах т= 0
Круг с лыской Jk~ 16 f’6 ~d~ — 1) ds = —X (2,6-J — 1) \ d J X -y 7 -T 0,3 -1 + 0,7) В середине плоско- го среза т - Mk «акс
эллипс Х>| п . S" A = 16F* n3bh + №) nb2h ^k~ 16 В конце малой полуоси т Mk макс > большой — Ат и1макс т= п
Раб нас. носто' ' треус ..а. "ЮН- (МШК , _ Кз . Jk 80 a IF,, = -g3 - k 2,0 В серединах сторон _ 20AIfe , Т*макс дЗ ’ в углах т — 0
Прв&иьный шести- или босмиугммик Jk = kd2F. Для шестиуголь- ника k= 0,133; для восьмиуголь- ника k — 0,130 Г = k'dF. Для шестиуголь- ника k' = 0,217; для восьмиуголь- ника k' — 0,223 В серединах сторон т - Мь • 1макс k'dp > в углах т = 0
МЦМ. g ^зт Jk “ a — b2> - 12 (&i-M — 0,105 X X(61 + &1) \2babt-b^ &1+&2 — 0,105 - 1 . 2- bi В точках длинных сторон ближе к широкому основа* НИЮ т - Мь- ‘'макс
74
Продолжение табл, 4.10
Форма cent >НИЯ см4 Wсм3 Наибольшие каса- тельные напряжения Тыакс — ~у7~
Помемлт кое сечен тшчее- <е t | =Г ~ + ci II Л II V 5 g S' U г. 6, «1 « к _ а в Н5 ав 2 + 1 И II II . 5 1 8 1 лЬ? 16< (1 — а4) т В конце малой полуоси т - 1макс ’ большой — т ьмакс if т—— . * т При малой тол- щине 6 т Т- 2F6 (равномерно по сечению)
S,
д
Незамкнутое кс бое сечент 1 АлЛ мьце- S«.h 9 Jk = -к- Лгб® й 3 (2лг6)2 В точках внутрен- него и наружного контуров сечения Т'макс блг 4- 1,86 ~ (2лг6)2 Mk
6лг + 1,86
Таблица 4.11. Значения коэффициентов а, р и у
для прямоугольных сечений
h 1,0 Т.2 1,-4 1,6 1.8 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Боль- ше 10
а 0,208 0,219 0,228 0,234 0,240 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
₽ 0,140 0,166 0,187 0,204 0,217 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
V 1,000 — 0,865 0,845 — 0,796 —- 0,753 0,745 0,743 0,743 0,743 0,743
Примечание. Для промежуточных значений допускается линейная интерполяция.
В частном случае при -у 2s 10 (рис. 4.17) в инженерных расчетах * принимают
а 1
а = р = тогда
о
= Jk
О
т
“акс ^2 ’
р hlfiG *
(4,54)
* В приближенных расчетах уже при -т- 4 можно принимать а = Р = -5-.
О о
75
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Стержень считается тонкостенным, если отношение ширины его стенок к их тол-
щине^ >5 — 10. Касательные напряжения линейно распределены по толщине стен-
ки (за исключением небольших участков у коротких сторон). На средней линии т = 0;
на краях — наибольшие.
Задачу о кручении незамкнутых профилей *, которые можно разбить на несколь-
ко узких прямоугольников, решают приближенно (но с достаточной степенью точ-
ности) с использованием формул:
Mkl
Ф==Ж
§
"^макс
ках
При этом момент инерции и момент соп-
ротивления при кручении определяются как
сумма этих величин, взятых для каждого пря-
моугольника,
h = а 4- f (s)]3
О v
При постоянной толщине стенок на участ-
где bi и 6t- — больший и меньший размеры сечения i-ii полосы, из которых состоит тон-
костенный стержень (всего п полос). Коэффициент а введен для более полного учета
особенностей прокатных профилей; он зависит от формы профиля и принимается рав-
ным: для уголков — 1,10; швеллеров — 1,12; тавров — 1,15 и для двутавров — 1,20,
Для сварного двутавра с ребрами жесткости а = 1,5. Если тонкостенный стержень
состоит из прокатных профилей, соединенных не более чем одним рядом заклепок
цли сварным швом по одной кромке, величина J определяется как сумма характе-
ристик, вычисляемых для каждого профиля отдельно по формуле (4.55).
Для сечений в виде части кольца (рис. 4.18) высота прямоугольника принимает-
ся равной длине развернутой осевой линии: b = rtp. Наибольшее напряжение обычно
имеет место в самом широком прямоугольнике (6макс).
Пример. К швеллеру приварен неравнобокий уголок (рис. 4.19). Определить,
во сколько раз увеличится жесткость стержня на кручение и во сколько раз при том
же крутящем моменте снизятся напряжения. Решение. По формуле (4.54) с учетом
(4.55) записываем выражения углов закручивания:
для швеллера
_ 3Mkl
фш~ G№(2b + h) ’
для составного сечения
фс G |3663 -ф- (26)3 К] ’
Увеличение жесткости
фс _ 31) ф- 8/г
фш ~ 2t> + ft
Записываем выражения напряжений:
ЗЛ4/г 3Mft26
Тш ~ 6г (2& + h) ’ Тс - З1)63 + (26)3 h '
Следовательно, после приварки уголка напряжения уменьшаются в отношении
тш _ ЗЬ 8/г
тс ~ 41) 4- 2h
* Имеется в виду свободное кручение. Стесненное кручение см. гл. 9,
76
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ
Принимается допущение о том, что касательные напряжения в сечении постоян-
ны по толщине стенки. Напряжения определяются по формуле
28f
(4.56)
где 6 — толщина стеики в том месте, где определяются напряжения (рис. 4.20); / —
площадь, ограниченная средней линией профиля. Так как произведение тб по длине
Рис. 4.21.
Рис. 4.22.
замкнутого контура не изменяется, что видно из (4.56), то наибольшие напряжения
имеют место на участках с наименьшей толщиной:
Углы закручивания
имакс QfX »
4/°мин
M^l X ds
ф“ ~4pG л
. (4.56а)
(4.57)
где $ — длина замкнутого контура; ds — элемент длины; I — длина элемента, В част-
ном случае, если толщина стенки постоянна по длине замкнутого контура,
Alfe/s
ф“ 4)2G6 ’
(4.58)
Для расчета тонкостенных стержней, имеющих замкнутые профили с углами
(рис. 4.21), можно пользоваться формулами (4.56) — (4.58). Однако следует иметь
в виду, что в углах напряжения будут отличаться от вычисленных по формуле (4.56)
тем больше, чем меньше радиус закругления. При этом на внутренних волокнах
(точка А на рис. 4.21) они будут больше расчетных, а на наружных — меньше.
Пример. Определить напряжения и углы закручивания в тонкостенной трубе,
свернутой из листа (рис. 4.22) в двух вариантах: края листа свободны (рис. 4.22, а)
и края листа склепаны (рис. 4.22, б). Сопоставить напряжения н углы. Решение.
В первом варианте профиль поперечного сечения должен рассматриваться как откры-
тый. Пренебрегая участком профиля в зоне соединения краев внахлестку, по форму-
лам (4.54) получим:
3Mk 3Mkl
Ха ~ ' фа “ GnZ?63- ’
П
Во втором варианте профиль является замкнутым. По формулам (4.56) и (4.58)
находим:
2Mk . 4Mkl
Хб~ 6лО2 ’ фб ОлП36 '
Сопоставляем напряжения и углы поворота:
та _ 3D сра _ 3D2
Тб — 26 1 Фб ~ 4б2
На этом примере хорошо иллюстрируется общее положение: при прочих равных
условиях замкнутый профиль существенно более прочный и еще в большей степени
жесткий, чем такой же незамкнутый. Это видно из полученных соотношений, если
учесть, что в тонкостенных сечениях D > 6.
Глава 5
ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ
Изгиб представляет собой такую деформацию, при которой ось бруса и его про-
дольные волокна изменяют свою кривизну. В случае, когда все действующие на брус
силы, в том числе и опорные реакции, лежат в одной из главных плоскостей бруса и
его ось после деформации также лежит в этой плоскости, изгиб называется плоским.
Частный случай изгиба, при котором в поперечных сечениях бруса главный вектор
внутренних сил равен нулю, а главный момент отличен от нуля, называется чистым
изгибом. В общем случае изгиб называется по-
перечным. Брусья, подвергающиеся изгибу,
обычно называют балками.
При изгибе плоские поперечные сечения
балки наклоняются друг к другу, оставаясь
При этом плоскими и перпендикулярными к
ее искривленной оси. Волокна балки с вы-
пуклой стороны удлиняются, а с вогнутой —
укорачиваются. Предполагается, что отдель-
Рис. 5.2.
Рис. 5.1.
ные волокна не давят друг на друга, следовательно, каждое из них испытывает прос-
тое растяжение или сжатие.
Волокна, которые при искривлении не изменяют своей длины, образуют ней-
тральный слой. Пересечение нейтрального слоя поперечным сечением балки назы-
вается нейтральной осью сечения. Внутренние усилия в данном сечении при изгибе —
изгибающие моменты и поперечные силы — определяются методом сечений из рас-
смотрения равновесия оставленной части бруса. Изгибающим моментом Мх в данном
сечении называется сумма моментов всех внешних сил, находящихся по одну сторону
от сечения, относительно центра тяжести этого сечения. Изгибающий момент счита-
ется положительным, если он изгибает балку выпуклостью вниз (слева от сечения по
часовой стрелке, справа — против).
78
Поперечной силой Qx в данном сечении называется сумма проекций всех внеш-
них сил, находящихся по одну сторону от сечения, на нормаль к оси балки. Попереч-
ная сила считается положительной, если она стремится повернуть вырезанный из
балки бесконечно малый элемент по ходу часовой стрелки. На рис. 5.1 показано Пра-
вило знаков для Мх и Qx. Изгибающий момент, поперечная сила и интенсивность
распределенной нагрузки связаны между собой следующими зависимостями (по
Д. И. Журавскому)
ЗМХ г> . &QX „ /ЦП
~dT = Qx’ ~d^-==-dT = -‘}x-
Эпюры Мх и Qx. Графики изменения по длине балки изгибающих моментов и
поперечных сил во всех поперечных сечениях называются эпюрами внутренних уси-
лий. При построении эпюр Мх и Qx исходят из определений внутренних усилий и пра-
вил их знаков. Общие правила, облегчающие построение эпюр: если на участке бал-
ки нет внешних нагрузок, то эпюры Мх и Qx линейные (причем прямая эпюры Q —
параллельна нулевой линии этой эпюры); если на участке действует равномерно рас-
пределенная нагрузка, то эпюра Мх — нелинейная — квадратная парабола. При этом
в сечениях, где поперечная сила, изменяясь линейно, меняет знак, изгибающий мо-
мент достигает максимума или минимума; точке приложения сосредоточенной силы
на эпюре поперечных сил соответствует «скачок» на величину этой силы, а на эпюре
изгибающих моментов — перелом линии; в точках приложения сосредоточенных мо-
ментов эпюра поперечных сил не меняется, а на эпюре изгибающих моментов наблю-
дается «скачок» на величину сосредоточенного момента.
Пример. Построить эпюры Мх и Qx для балки, представленной на рис. 5.2: Р —
= 10 кН; <7 = 20 —; т = 10 кНм; а= 2 м; b = с = 1м. Решение. Из условий рав-
новесия определяем опорные реакции:
10 . 1 — 20- 2- 1 - 10 4-33 = 0; В= 13-1- кН.
— О
2
2Л4Я= 10 • 4 + 20 • 2 • 2 — ЗЛ — 10 = 0; Л = 36-4-кН,
о
2 1
Проверяем: 2У = — 10 + 36 -----20 . 2 + 13 — = 0.
О о
Для построения эпюр Мх и Qx пользуемся приведенными выше правилами. По-
строим эпюру Qx. На I и III участках, где нет распределенной нагрузки, на эпю-
ре — прямые, параллельные нулевой линии. Пользуясь методами сечений, вычисляем
поперечные силы на этих участках. На II участке эпюра Qx представляет собой На-
клонную прямую, для проведения которой достаточно вычислить величины попереч-
ных сил в сечениях, соответствующих границам этого участка. Беря сечение правее
опоры Л (бесконечно близко к ней) и рассматривая равновесие левой части, получаем
9
Qx = -P + ^=26-=- кН.
О
В сечении на границе II и III участков Qx = —В = —13 Д- кН.
о
Построим эпюру Мх. На I и III участках ее легко построить по точкам. Под силой
Р Мх = 0; на опоре AM — —Р 1 = — 10 кНм; на опоре ВМХ — 0. Сечение на Гра-
нице II и III участков рассматриваем дважды: весьма близко, правее сечения Мх —
*= В » 1 = 13 А кНм, весьма близко, левее Мх— В • 1 — т = 3 -1 кНм. Для по-
3 4
строения эпюры Мх на II участке запишем для любого сечениях (0 < х < 2)1
Л4х=-Р(1 + х) + Лх-
(а)
Изгибающие моменты на границах участка уже вычислены, но они могут быть
проверены, подстановкой в (а) х = 0 и х = 2 м. Соответственно М = —Р • 1 ==
Таблица 5.1. Опорные реакции и эпюры Мх и Qx от различных нагрузо,
Схема балки, эпюры М и Q Опорные реакции Схема балки, эпюры М и Q Опорные реакции
4 V PL \? , L , I А = Р МА = Р1 Ап л ф 2 ^л=Ах я 6 X (2/ -}~
ШЛННЖ ТГТгптг-г^-Л. а, тгштЛ
м Я A = ql № мА— 2
j, шшлшИ Япя^ в а Л а = 4 В = ~А м = Лмакс _ РаЬ ~ 1
Г:"’ ГЛ < 4 = 0 МА = т ' ниш Х<ГЯ с
ml II II III ИГЛ W ррЦ А—В = Р ^макс = Ра
4 Г ' а ь К- пти'? JiiiiiiimZJg ^ГТПтгп^ И A^qb Л4Л = qb X / . ь \ X + 2 V™
ДА? >•>•>» tun рТП-т-^.., , ,, /? А= В = - jL 2 М = макс ql2 “~8~
Рте-Лх» 1 a = -3L 2 лл м4 = -~- л 6
-Т, С "х i Ш-4... 1 fl 8
м <к л=4
/? 4 f & т ""l 1 KnTr<?g. ✓тК Q Со И ьг| в J Гя + 1 " X
J 1 1ГТл-г-^_. Д ШТг-г-^. М л_ я1 А ~ 2 МА = -J- и 'щици^'
g л = В = -^- 2
. = ’ л л- 2 ,, qb МА = -^тг-Х rt о X (Z + 2а)
ттЦ^'д WX
80
Продолжение табл. 5.1
Схема балки,
эпюры М и Q
Опорные
реакции
А =
Схема балки,
эпюры М и Q
Опорные
реакции
т
Т
т А ____________т
е==~Т“
.-^гттТГЕД! Мв = —т
= —10 кНм и М = — Р • 3 + А >2 — <? • 2 = 3 кНм. Для построения парабо-
лы (а) необходимо определить ординату эпюры М хотя бы в одной промежуточной
точке. Для этого выберем точку, которой отвечает поперечная сила, равная нулю.
Продифференцируем по х выражение изгибающего момента на этом участке и при-
равняем его к нулю:
dM
_г==_р + л_^) = о.
Отсюда
_4
3
Я
81
При этом значении х = х0 на параболе — экстремальная точка. Подставляем
в (а) х0= - м:
I 4 V
/ 4 \ 2 4 \~3~ / 7
Ммакс = - 10[1+4-) + 36^-. -----кНм.
По вычисленным значениям Qx и Мх строим эпюры (см. рис. 5.2).
В табл. 5.1 даны опорные реакции и показаны эпюры изгибающих моментов для
некоторых видов балок при различных нагрузках.
Построение эпюр М и Q с помощью ЭВМ
Составляются функции изгибающих моментов М = f (х) и поперечных сил Q =
--- <р (х) по участкам. Участок — часть длины балки между точками приложения со-
средоточенных сил (в том числе и опорных реакций) или сосредоточенных моментов,
а также между началом и концом приложения распределенной нагрузки. Затем со-
ставляется программа вычисления ординат функций М и Q при выбранном шаге по
длине. Величина шага зависит от заданной точности построения эпюр.
нг,1
Рис. 5.3.
Программа
1. Допустим 1 = О
2. Вычислим М = 13'1
3. Идти к 7
4. Вычислим М — 131 — 6 (1 —2)
5. Идти к 7
6. Вычислим М = 131 — 6 (1~ 2) — 1,5 (1 — 4)2
7. Печатаем с 1 знаками М1
8. Храним 25М
9. Вставим 1 = 1 0,5
10. Если 1 — 2 =С 0 идти к 2
11. Если 1 — 4 =С 0 идти к 4
12. Если X— 12 «С 0 идти к 6
13. Кончаем
Исполним I.
Вводим программу,
получаем результат:
X, м М, кНм
0,0 0,0
0,5 6,5
ко 13,0
1,5 19,5
2,0 26,0
2,5 29,5
3,0 33,0
3,5 36,5
4,0 40,0
4,5 43,1
5,0 45,5
5,5 47,1
6,0 48,0
6,5 48,1
7,0 47,5
7,5 46,1
8,0 44,0
8,5 41,1
9,0 37,5
9,5 33,1
10,0 28,0
10,5 22,1
11,0 15,5
11,5 8.1
12,0 0,0
По полученным ординатам строим эпюру изгибающих моментов (см. рис. 5.3).
Пример. С помощью ЭВМ «Наири-К» построить эпюру изгибающих моментов
для балки, показанной на рис. 5.3, при следующих данных: I = 12 м; Р = 6 кН;
q — 3 кНм; а= 2 м; Ь = 2 м; с = 8 м. Решение. По условиям равновесия ойреде-
ляем опорные реакции: А = 13 кН, В = 17 кН. Разбиваем длину балки на три
участка и записываем выражения'изгибающих моментов на этих участках;
“ I участок 0 < х 2 м
: М = А1 = 13Х;
82
II участок 2 м X 4 м
М = ЛХ — Р (X — 2) = 13Х — 6 (X — 2);
III участок 4 м < X < 12 м
Л4 = ЛХ — Р (X — 2) — у fo-~ 4)g- = I3X —6 (X —2) — 1,5 (X — 4)2. (5.2)
Составляем программу на языке автоматического программирования, Принимаем
шаг ДХ = 0,5 м.
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
Предполагается, что плоскость действия изгибающего момента совпадает с плос-
костью симметрии поперечных сечений. Рассматриваются балки, материал которых
подчиняется закону Гука и имеет одинаковые модули упругости при растяжении и
сжатии. Нейтральная ось, проходящая через центр тяжести сечения, отделяет сжа-
тые волокна от растянутых так, что нормальные напряжения в поперечном сечении
балки пропорциональны расстоянию от нейтральной оси. Это следствие гипотезы
плоских сечений, принимаемой в теории изгиба.
Если ось Ох направлена вдоль продольной оси бал-
ки, ось Ог совмещена с нейтральной линией, а ось Оу
перпендикулярна к ней в плоскости поперечного сече-
ния, то нормальные напряжения в волокнах, удаленных
на расстояние у от нейтральной линии, равны:
где Мх— изгибающий момент в данном сечении балки;
Jz — момент инерции поперечного сечения относитель-
но нейтральной оси; у — расстояние от нейтральной оси до уровня волокон, в кото-
рых определяются напряжения.
По ширине сечения на данном уровне нормальные напряжения постоянны. Рас-
пределение нормальных напряжений по высоте сечения характеризуется эпюрой о,
показанной на рис. 5.4. Наибольшие напряжения возникают в точках сечения, наи-
более удаленных от нейтральной оси:
_ мх
макс® I Умака'
Если нейтральная ось является осью симметрии сечения, то
Мх h Мх
ма“са ~ ~ "W
Здесь Wz—момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси
W — г
Wz - h .
(5.3)
(5.4)
Подробнее о моментах инерции и моментах сопротивления см. главу 13.
Если же нейтральная ось, проходящая через центр тяжести, не делит высоту
сечения пополам, то напряжения в крайних волокнах определяются отдельно для
сжатых и растянутых волокон:
__ Мх . — Мх (К щ
макс°4 ’ г ^1макс’ макч°2 т Гамаке1 Р5'5)
j 2 j г
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
Касательные напряжения, возникающие в точках поперечного сечения, удален-
ных от нейтральной оси на расстояние у, а также в слое, параллельном нейтральному
о удалением от него на расстояние у, определяются по формуле Д. И. Журавского
83
где Qx — поперечная сила в данном сечении; S°T — статический момент относительно
нейтральной оси «отсеченной» части сечения, расположенной выше (или ниже) уров-
ня рассматриваемых волокон; .1г— момент инерции сечения относительно нейтраль-
ной оси; b — ширина сечения на уровне рассматриваемых волокон.
Рис. 5.5.
Распределение касательных напряжений по высоте сечения зависит от его
формы.
Прямоугольное сечение. Касательные напряжения изменяются по закону квад-
ратной параболы (5.6). Эпюра т — показана на рис. 5.5а. Наибольшие касательные
напряжения при у — О
т = _?Qx_ (5.6, а)
1макс 2bh '
Двутавровое сечение. В основном попереч-
ную силу воспринимает стенка двутавра.
Наибольшее напряжение при у = О
______ 3 Фх’-’гмакс
макс~ 2 ‘ /Д
где SZMaKG — статический момент полусечения.
Вертикальные касательные напряжения
Рис. 5.6. в полке лишь приближенно могут быть опре-
делены по формуле (5.6), так как допущение
о равномерном распределении т по ширине сечения здесь не оправдывается. Однако
эти напряжения малы и практически не влияют на прочность.
Большой интерес представляют горизонтальные касательные напряжения в пол-
ках двутавра. В предположении, что по толщине полки эти напряжения распределя-
ются равномерно, они могут быть определены по (5.6). При этом статический момент
вычисляется как произведение части площади полки до рассматриваемого волокна
на расстояние от центра тяжести этой площади до нейтральной оси. Эпюры касатель-
ных напряжений приведены на рис. 5.5, б.
Круглое сечение. Принимается допущение, что касательные напряжения на неко-
тором уровне у имеют направления по лучам, исходящим из центра пересечения каса-
тельных, проведенных в точках а и b (рис. 5.6). Напряжение в любой точке с на
уровне у определяется по формуле
QXST
Jzby cos а
(5.7)
84
Предполагается, что вертикальные проекции касательных напряжений равномер-
но распределены по ширине сечения. Эти составляющие определяются по формуле
(5.6). При этом наибольшие напряжения при у = О
Т 4QX
1макс ’
(5.8)
ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
В любой точке с сечения балки по вышеприведенным формулам можно опреде-
лить величины напряжений d и т, действующих в двух взаимно перпендикулярных
площадках (рис. 5.7), из которых одна совпадает с поперечным сечением, а другая
параллельна нейтральному слою. Через точку с перпендикулярно к плоскости Дей-.
Рис. 5.7.
ствия изгибающего момента можно про-
вести две взаимно перпендикулярные
площадки, на которых касательные
напряжения равны нулю. Эти площад-
ки называются главными. Нормальные
Рис. 5.8.
напряжения, действующие на главных площадках, называются главными *; одно из
них будет максимальным, другое — минимальным:
(5-9)
Рис. 5.9.
б, = О
Направления главных напряжений определяются углами и а2, образуемыми
ими с продольной осью балки
ctg
т
^макс
Ctg а2 =
Т
стмин °
(5.Ю)
* Величины главных напряжений и их направления можно определять графически;
пользуясь построением кругов Мора.
85
Угол oti определяет направление <тмакс, а угол а2— амин. Наибольшие касатель-
ные напряжения равны:
°макс °мин ,/—X—:—т-тг /к tn
тмакс = ------2----- = К СТ2 + 4Л (5 1 В
Линии направлений главных напряжений образуют траектории главных напря-
жений. На рис. 5.8 показан общий вид траекторий главных растягивающих (сплош-
ная линия) и главных сжимающих (пунктир) напряжений в простой балке, загру-
женной равномерно распределенной нагрузкой. Траектории главных напряжений
представляют собой две системы ортогональных кривых. На рис. 5.9 приведен об-
щий вид эпюр нормальных, касательных, главных и наибольших касательных на-
пряжений для прямоугольного и двутаврового сечений балок.
ПОДБОР СЕЧЕНИИ И ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ
Расчет по допускаемым напряжениям
При расчете изгибаемых элементов по допускаемым напряжениям исходят из
условия прочности по нормальным напряжениям
М
—^-^[<т], (5.12)
где А1макс — максимальный изгибающий момент; W? — момент сопротивления се-
чения относительно нейтральной оси. Подбор сечений производят по наиболее на-
пряженному сечению, в котором изгибающий момент достигает максимальной вели-
чины. Из условия прочности (5.12) при заданном изгибающем моменте определяется
требуемый момент сопротивления
М
П7г = 1^£., (5.13)
по которому назначаются размеры поперечных сечений балки так, чтобы действитель-
ный момент сопротивления был бы близок к требуемому. В случае прямоугольного
6*
сечения h X b предварительно задаемся отношением т — и, зная требуемый
момент сопротивления, определяем размеры:
3 /”бЛ1 3.
/1 = 1/ ---= 1,821/ —; b = mh.
г т [о] г т [ст]
Для круглого сплошного сечения диаметр определяем так:
3 Г32Ммакс 3/ А1макс
d = I/ ----j2,17 I/ —z—:— *
* л [а] Г [о]
d
Круглое полое сечение при отношении внутреннего диаметра к внешнему а ~ -р-
3 / 32М 3 / М
п -] / uimMaKC on!/ макс
и ~ V л [ст] (1 — а4)" ~ ’ V [ст] (1 — а4) '
Если балка выполняется из прокатного профиля, необходимый номер профиля
подбирается по таблицам сортамента прокатных сталей (см. приложения) в зависи-
мости от требуемого момента сопротивления Wz (5.13).
Формула проверки прочности по касательным напряжениям:
<14. (5Л4)
* Обычно принимают т = 1 -т- -у.
86
Прочность по главным напряжениям проверяют в зависимости от принятой тео-
рии прочности по одной из формул:
о1 = ± /о2 + 4г2 С [ст]; j
о111 — Ио2 + 4т2 (а]; (®-^)
<jIV = |Ат2 + Зт2 С; [о].
Для уточнения отдельных размеров сечения производится про-
верка прочности в отдельных точках. Например, для балок двутав-
рового сечения (рис. 5.10) такая проверка производится в точке 1 по
формуле (5.12), в точке 2 — по главным напряжениям (5.15), в точке
3 — по касательным напряжениям (5.14).
Пример. Построить эпюры М и Q и подобрать двутавровые сече-
ния пролетов трехпролетной шарнирной балки, показанной на
рис. 5.11, если = 6, /2 = 10, /3 — 5 м; b = 1 м; а = с = 2 м; Рг =
= 40, Р2 = 60, Рэ = 20 кН, q = 10 кН/м и [о] = 160 МПа. Решение.
Для определения четырех опорных реакций можно использовать два
уравнения равновесия и дополнительные условия равенства нулю
изгибающих моментов в шарнирах Е и G. Но обычно при расчете мно-
гопролетных шарнирных балок используют прием так называемого
поэтажного рассмотрения балки. Опорные реакции промежуточной
балки Е = G = 40 кН являются нагрузками для левой и правой балок, которые рас-
сматриваются отдельно. Реакции А и В определяются из условий равновесия консоль-
ной балки А — В (см. рис. 5.11):
£ = — 40 • 7 А-В • 6— 40 • 4 — 40 . 2 = 0; В= 86-|- кН;
£ тв = — 6Д + 40 • 4 4- 40 2 — 40 . 1 = 0; А = 33 ™ кН.
О
Рис. 5.11.
Для определения опор-
ных реакций Си D рассмат-
риваем отдельнодвухконсоль-
ную балку С — D‘.
^mc = 40-l—60.2,5 +
+ 5D — 20 • 7 = 0;
D = 50 кН;
£ mo = 40. 6 —С. 5 +
-1-60 2,5 —20 . 2 = 0;
С = 70 кН.
Зная опорные реакции,
строим эпюры и Qx. Эти
эпюры, соответственно —
в кНм и кН,‘ приведены на
рис. 5.11.
Определяем требуемые
моменты сопротивления нз
условия прочности (5.13) н
подбираем сечения по табли-
цам сортамента. Для левой
консольной балки А — В —
— Е:
.. 200 „ т 200 • 103 __ 1П_6 , _
^макс — з кНм, , 160 « jga - — 416,7 10 м 416,7 см «.
87
Принимаем двутавр № 27-а, для которого 1FZ = 407 см3. Перенапряжение составляет
менее 3%, что допустимо.
Для промежуточной балки Е — G;
Ломакс = 8° *Нм- = 500 ’ 10-6 = 500 ™3
принимаем двутавр № 30-а, W2 = 518 см3.
Для правой двухконсольной балки G — С — D:
40 • 103 г
Л1Макс = 40 кНм, Гг = 1бб . f0— = 250 • 10-6 м3 = 250 см3
принимаем двутавр № 22-а, №г = 254 см3.
Расчет по предельным состояниям
Балки рассчитывают на прочность и на устойчивость (первое предельное состоя-
ние), а также по деформациям (второе предельное состояние). Железобетонные балки,
кроме того, рассчитывают на трещиностойкость.
Расчет по прочности состоит в сравнении наибольших нормальных напряжений,
возникающих в крайних волокнах того сечения, где действует наибольший изгибаю-
щий момент от расчетных нагрузок с расчетным сопротивлением. Расчетная формула
имеет вид:
(5.16)
т нт
где М — расчетный изгибающий момент; IV’(1T — момент сопротивления сечения нет-
то, т. е. с учетом ослабления сечения отверстиями (если они есть); R — расчетное со-
противление материала.
Из (5.16) определяется требуемый момент сопротивления
Р7 = —, (5.17)
fiT '
по которому подбирают сечение балки.
Для стальных прокатных балок по таблицам сортамента находят номер проката
(обычно — двутавр или швеллер), момент сопротивления которого равен или близок
к вычисленному по (5.17). Затем проверяют прочность принятого сечения по нор-
мальным напряжениям (5.16).
Прочность стальных прокатных балок по касательным и главным напряжениям
обычно не проверяют — она обеспечивается распределением материала в стандарт-
ном прокатном профиле. Однако в тех случаях, когда в сечении одновременно дей-
ствуют большие изгибающий момент и поперечная сила, такая проверка — обяза-
тельна.
Расчет по жесткости состоит в определении максимального прогиба и в сравне-
нии его с нормативным значением [35]. При этом прогиб вычисляется от действия нор-
мативных нагрузок. Например, прогиб однопролетной балки на двух шарнирных
опорах, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q", равен:
Гмакс 384EJ '
Нормами установлены предельные величины отношений прогибов к пролету
балки fll (так называемый относительный прогиб). Например, при расчете между-
этажных перекрытий для главных балок fll < 1/400, для вспомогательных балок
fll 1/250.
В случае, если есть опасность снижения несущей способности балки из-за поте-
ри устойчивости, в расчетную формулу (5.16) вводится коэффициент tpg, указанный в
прилож. 5 СНиП П-В.3-72. В расчетах на прочность с учетом устойчивости возмож-
ные ослабления сечения не учитываются, т. е. принимается момент сопротивления
1!70р, поэтому расчетная формула имеет вид
~^R. (5,18)
р
88
Расчет балок, воспринимающих статическую нагрузку при закреплениях, га-
рантирующих устойчивость, разрешается вести в предположении полного исчерпа-
ния несущей способности вследствие образования пластических шарниров. При этом
к расчету принимается так называемый пластический момент сопротивления сечения
Ц7П и расчетная формула имеет вид
Пластический момент сопротивления поперечного сечения зависит от материала
и конструкции балки. Например для стальных прокатных двутавров и швеллеров
№n = l,W.
Пример. Подобрать сечение стальной балки двутаврового прокатного профиля
при следующих данных. Пролет I = 4 м, нагрузка — равномерно распределенная:
а) собственный вес балки (ориентировочно) 300 Н/м, б) постоянная нормативная q^ —
= 6000 Н/м, в) временная нормативная <?“ = 8000 Н/м. Коэффициенты перегрузки
для постоянных и временных нагрузок соответственно равны — 1,1; kB= 1,2. Ма-
териал-сталь класса С 38/23 R = 210 МПа (2100 кгс/см2). Допустимый отно-
сительный прогиб f!l = 1/200. Балка однопролетная на двух шарнирных опорах,
сжатый пояс закреплен от потери устойчивости. Решение. Определяем расчетную на-
грузку q = = (6000 + 300) 1,1 + 8000 • 1,2 = 16 530 Н/м. Расчетный
изгибающий момент
.. ql2 16 530.42
М = —=------------------= 33 060 Нм.
О о
Так как нагрузка на балку статическая и обеспечена устойчивость балки, то,
согласно СНиП, ее можно рассчитывать с учетом пластической работы материала.
Из (5.19)
1Г = 060 = 15714 . jo-б м3 = 157 4 смз
х\ «1 L/ * JU
Для прокатных двутавров IFn = 1,2 W2i следовательно, требуемый момент со-
противления равен
= = Ж5 ™3-
По таблицам сортамента прокатной стали ГОСТ 8239-72 (см. Приложение № 1
подбираем двутавр № 18, для которого №г = 143 см3 и 7г= 1290 см4.
Далее производим расчет по жесткости. Максимальный прогиб балки принятого
сечения от действия нормативной нагрузки (собственный вес принятого двутавра ра-
вен 184 Н/м)
. 5<7и/4 5 (6000 + 8000 -ф 184) 44 - 10s
1 ,г. — — 1 8 см.
384£7г 384 • 2 106 10е 1290 • 10~8
Относительный прогиб равен ffl = 1,8/400 —
= 1/222, что меньше 1/200.
СОСТАВНЫЕ СТАЛЬНЫЕ БАЛКИ
Составные балки делают в двух вариан-
тах — клепаные и сварные. В клепаном ва-
рианте элементы балки — вертикальный и
горизонтальные листы, а также поясные угол-
ки соединяются с помощью заклепок
(рис. 5.12). В сварных балках вертикальный
Рис. 5.12.
и горизонтальные листы свариваются элект-.
рической сваркой.
89
Расчет составных балок начинают с определения требуемого момента сопротив-
ления сечения по формуле (5.16). Затем определяют основной размер сечения — его
высоту. В первом приближении можно вычислить оптимальную (по расходу материа-
ла) высоту балки по формуле:
/1опт^1,15/т
где Ь — толщина стенки, которой предварительно задаются: 8—10 мм.
Клепаные балки
Расчет элементов сечения клепаной балки выполняется в такой последователь-
ности.
1. По вычисленной оптимальной высоте балки назначают высоту вертикального
листа (стенки) h, принимая ее на 4—6. см меньше высоты балки *.
2. Принятая толщина вертикального листа проверяется из условия прочности
по касательным напряжениям (5.6, а) в предположении, что поперечная сила воспри-
3Q
нимается только стенкой: b =—. При этом принимается ближайшая толщина
““^Ср
прокатной листовой стали по ГОСТу.ТМинимальная толщина стенки по условию ус-
тойчивости
6мин =
3. Зная требуемый момент сопротивления и высоту вертикального листа, опре-
деляем необходимый момент инерции нетто сечения балки относительно нейтраль-
ной оси
4т = «^макс = [4 + (1 3) см •
Полный момент инерции (брутто) всего сечения, включая и заклепочные отверстия,
принимается:
J6p = (1,12-т-1,18)/ит.
Момент инерции поясов определяется как разность полного момента инерции и мо-
мента инерции стенки:
hh^
Jn=J6p-Jc=J6p—
С другой стороны, момент инерции поясов может быть выражен через их площади.
При этом предполагается, что центр тяжести цояса удалей от нейтральной оси на у ’
4 = 24 . -4- .
Здесь моментом инерции пояса относительно собственной оси пренебрегают.
4. Определяется требуемая площадь сечения одного пояса
р ___
п М ’
по которой и назначаются элементы пояса — уголки и горизонтальные листы.
5. Назначенные размеры сечения балки уточняются проверкой прочности так:
по нормальным напряжениям (в сечении, где действует А4макс)
^4акс^
4т-2
* При назначении высоты сечения балки необходимо руководствоваться рекомендациями
СНиП.
90
где JgT — действительный момент инерции нетто, вычисляемый как разность момента
инерции сечения брутто и моментов инерции заклепочных отверстий; h’— действи-
тельная высота сечения;
по касательным напряжениям (в сечении, соответствующем <2мак0)
О S
чмакс бр макс _ п
• J^b - «СР:
по главным напряжениям — на уровне горизонтальных поясных заклепок в
сечении, где Мх и Qx достаточно велики. Выбрав такое сечение, определяют а и <5
в волокнах, удаленных от нейтральной оси на расстояние у0 (см. рис. 5.12),
„ мхУ(> . _ Q-^бр
А-1Т ’ «W
(Sgp — статический момент площади пояса относительно нейтральной оси). Тогда,
например, по третьей теории прочности
|/о2 + 4т2 </?.
6. Расчет поясных заклепок. Задавшись диаметром заклепок d да 2Ь, шаг гори-
зонтальных поясных заклепок а определяют из условия прочности по срезу
д<
^макс^бр
СМЯТИЮ
/брад^кл
тт *
О чп
чмакс бр
Шаг вертикальных поясных заклепок принимается таким же, как и для гориаоа-
тальных.
Сварные балки
Особенности подбора сечения составной балки в виде двутавра, сваренного из
трех листов, иллюстрируются на следующем примере.
Пример. Подобрать сечение стальной сварной балки (рис. 5.13) при следующих
данных: расчетный изгибающий момент М = 4000 кНм, расчетная поперечная сила
Рис. 5.13.
Q = 1300 кН, материал — сталь Ст.З, R == 210 МПа (2100 кгс/см2), /?ср = 130 МПа
(1300 кгс/см2). Решение. 1. Определяем требуемый момент сопротивления сечений
т М 4000 - 103 . А1ПП.„ „ 1ПП.О ч
^ТР = = 210 , 1О6 = 0,019048 м? = 19 048 см«.
®1
2. Вычисляем оптимальную’высоту балки, предварительно задавшись толщиной вер-
тикального листа b = 1 см:
. i,rl/ Г?Р ... 1/19048- 1СП
hom = 1 15 V = 1 10 у --------j—- = 159 см.
3. Проверяем принятую толщину вертикального листа на прочность по срезу от воз-
действия поперечной силы (без учета работы поясов):
- Аг
Назначаем высоту балки h = 160 см, толщину стенки & = 10 мм.
4. Требуемый момент инерции всего сечения балки равен f
J2 = Wjph/2 = 19 048 • 160/2 = 1 523 840 см1.
Поскольку размеры стенки уже известны, момент инерции поясов можно определить
Ыг3 1 . 1603
Ja = J2 - JCT — Jz--1 523 840 - —~— = 1 182 507 cm3.
С другой стороны, момент инерции поясов относительно нейтральной оси сечения
балки (без учета их моментов инерции относительно собственных осей, которыми мож-
но пренебречь)
2
п = п
откуда требуемая площадь сечения одного пояса
27п 2-1182 507 2
fn = = ------1651----= 92,4 см*.
Назначаем сечение пояса 500 X 20 мм; тогда Fn = 100 см2.
5. Проверяем прочность сечения. Для этого сначала вычислим момент инерции,
момент сопротивления и статический момент площади сечения балки при принятых
размерах
bh3 I . 14R3
J2 = —jy- + 2Fna2 = - + 2 100 • 792 = 1 564 568 см1;
„ „ , ^ст /т ,,, . 156 156 ч
S = Fa Ч-----s;— = 100 79 Ч--------з— • —— = 8017 см3.
2 4 2 4
Нормальные напряжения
М 4000 103 • 103 Q МГ1
о == = -Дд 577ТТ(р— = 204,3 МПа (2°43 кгс/см
недонапряжение составляет 2,7%, что допустимо.
Прочность на срез по наибольшим касательным напряжениям (у опоры)
_ Q ' __
7г& ~
1300 1013 8017
1 564 568 • 1 1012
= 66,6 < 130 МПа.
Прочность обеспечена,
й f 210
Поскольку в данном примере -g— > 100 |/ —стенка балки должна быть
укреплена от потери устойчивости поперечными ребрами жесткости, которые распола-
гаются в опорных сечениях, в местах передачи сосредоточенных нагрузок, а в проме-
жутках — на расстояниях, не превышающих 2h, если h/b > 100, или 2,5/г, если
h/b < 100. Толщина ребер жесткости принимается не менее их ширины
6р>6р/15; (Ьр^В/2),
92
Ребра жесткости, устанавливаемые на опорах, с примыкающими участками стенки
длиной 15& в каждую сторону должны дополнительно проверяться расчетом как
стержни, сжатые опорной реакцией.
6. Расчет сварных швов, соединяющих стенки и пояса, производится на сдвигаю-
щую силу, приходящуюся на единицу длины
У___ Q ‘ Sn
1300 7900
1 564 568
= 6,56 кН/см,
где Sn — статический момент площади пояса относительно нейтральной оси балки
Sn = 100 79 = 7900 см3.
На один угловой шов приходится половина сдвигающей силы Т, т. е.
0,7^“ = ,
откуда требуемая толщина сварного шва равна
, _ Т _ 6,56 • 10’ _
ш “ 2 • 0,7 • ~ ' 2 0,7 • 150 10“ “ СМ’
Назначаем толщину шва, минимально допустимую нормами — 7гш == 4 мм.
Особенности расчета балок из разнородных материалов
Приведенные ниже зависимости применимы для случаев расчета балок, выпол-
ненных из материалов, имеющих различные модули упругости при растяжении и
сжатии (бетон, пластмассы и др.), а также балок, составленных из различных матери-
алов (например, железобетон). Предполагается, что разнородные материалы соеди-
нены так, что обеспечивается их совместная работа. Тогда в пределах упругих де-
формаций применима гипотеза плоских сечений. Нейтральная линия в общем случае
не проходит через центр тяжести сечения. Сечение балок из разнородных материалов
приводится к сечению однородной балки путем перехода к приведенным геометриче-
ским характеристикам сечения и приведенным модулям упругости.
Если F и Е — соответственно площадь сечения и модуль упругости, к которым
приводится все сечение, a Fi и Е; — площади и модули упругости, соответствующие
разнородным материалам, составляющим брус (i = 1, 2, 3 ... п), то приведенная пло-
щадь поперечного сечения бруса равна:
F = V Fi
пр L Е ’
!=1
Зная приведенную площадь, можно определить и другие геометрические характерис-
тики сечения.
Для примера рассмотрим определение напряжений в балке, выполненной из
материала, имеющего модуль упругости при растяжении Е} и при сжатии Е2. Поло-
жение нейтральной оси определяется из условия равенства нулю, приведенного ста-
тического момента сечения, взятого относительно этой оси:
•Snp = E.S. + E2S2 = 0.
Приведенная жесткость сечения может- быть выражена через приведенный модуль
упругости
(^)пр = + Е* ^г) = £пРЛ
где J — момент инерции относительно центральной оси;
£пр — Ei Е* ~J~)
03
или через приведенный момент инерции:
(^)пр = Ei (л + 4г = ^пр (где 4р = А +
Тогда напряжения в растянутой и сжатой зонах определяются:
М
М F*
J спр
°i £
спр
В gjHX формулах у± и у2 — расстояния от нейтральной линии до рассматриваемого
волокна в растянутой и сжатой зонах соответственно.
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
Рассматриваются случаи малых деформаций при совпадении плоскости действия
изгибающих моментов с главной плоскостью бруса. Ось балки прямая до изгиба, при
изгибе, не удлиняясь, искривляется по кривой у = f (х), называемой упругой
линией. Перемещение у центра тяжести сечения по нормали к оси балки назы-
вается прогибом в данном сечении. Наибольший про-
гиб </макс = f называют стрелой прогиба.
Угол, на который поворачивается сечение по отношению
к своему первоначальному положению, называется уг-
лом поворота этого сечения. Угол поворота се-
чения часто определяется как угол между касательной,
проведенной к изогнутой оси балки в этом сечении,
и недеформированной осью балки. Упругая линия по
своему физическому смыслу непрерывная и плавная,
т. е. дифференцируемая во всех точках кривая. Ее пер-
вая производная по х, строго говоря, определяет тан-
генс углов наклона сечения, но так как практически углы поворота малы, то можно
считать
tg0 = 0=-^- .
® Я V *
При деформациях в пределах упругости кривизна упругой линии
1 мх
Рх EJ
(5.20)
. На рис. 5.14 показаны прогиб у и угол поворота 0 сечения х; рх — радиус кри-
визны участка dx оси балки. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
пр$ Малых прогибах и учете лишь деформаций от изгибающего момента (при направ-
лении оси у вверх) будет иметь вид:
d2y
Мх
.. ..-......... = , (5.21)
/р+ШГ
л . / dy \3
В большинстве инженерных задач, из-за малости I——1 по сравнению с еди-
ницей, пользуются приближенным уравнением
EJ^=Mx’ <5'22)
Sje называют основным дифференциальным уравнением изогнутой оси (упругой
) балки.
94
Дифференциальные зависимости для прогибов, углов поворота, изгибающих
моментов, поперечных сил и интенсивности сплошной нагрузки в данном сечении х:
dy _
dx
0/,
EJ = мх = EJ ;
dx х dx2 ’
dMx _ п _ d / d2y \
dx ~ dx \ dx2 :
d2Mx _ dQx _ _ d2 ( d2y \
dx2 dx 4x dx2 у dx2 / •
(5.23|
Правило знаков. Положительными считаются 0 при повороте сечения по ходу
часовой стрелки, у — при прогибе вниз.
Методы определения перемещений в балках
Аналитический метод состоит в непосредственном последовательном интегрирова-
нни дифференциального уравнения изогнутой осн:
EJ& = f Mxdx + C-
EJy = i dx i Mxdx -j- Cx -|- D,
где С и D — постоянные интегрирования, подлежащие определению. Для каждого
участка нагружения записывается свое дифференциальное уравнение изогнутой оси,
двукратное интегрирование которого приводит к
постоянных интегрирования. В общем случае при
п участках нагружения будет 2/г постоянных.
Для их определения используют граничные ус-
ловия, вытекающие из характера закрепления
опорных сечений и из условий плавности и не-
прерывности изогнутой оси балки. Из этих же ус-
ловий следует, что в каждом поперечном сечении
балки, в том числе и на границах участков на-
гружения, значение прогиба и угла поворота бу-
дет единственным. Итак, всегда есть достаточное
число условий для определения постоянных ин-
тегрирования.
При наличии многих участков нагружения
эта задача становится довольно сложной и свя-
необходимости определения двух
Рис. 5.15.
зама с громоздкими вычислениями. Для упрощения задачи используются специ-
альные приемы, позволяющие добиться равенства постоянных интегрирования
на участках и свести задачу к определению лишь двух постоянных. К этим приемам
относятся: 1) интегрирование дифференциальных уравнений изогнутой оси балки
без раскрытия скобок; 2) в выражении изгибающего момента слагаемое от сосредото-
ченной пары т записывается в виде т (х — я)0, где а — абсцисса сечения, в которой
приложена сосредоточенная пара т; 3) равномерно распределенную нагрузку, не
доходящую до сечения, в котором определяется перемещение, продлевают до этого
сечения, а для исключения ее действия на балку прокладывают нагрузку той же ин-
тенсивности, но противоположного направления.
Пример. Определить прогиб по середине консоли (рис. 5.15, я) постоянной жест-
кости EJ. Решение'. Из условий равновесия определяем опорные реакции!
2
о!2
тА ~
4
Начало координат поместим на левом конце консоли, ось х направим вправо-,
ось у — вверх. Запишем и дважды проинтегрируем дифференциальное уравнение
95
изогнутой оси для участка 1 (О < х< -^-1:
qx
EJ У\ — — тд + Rak-^2 ~ ~
EJy\=-^-x + ±x2
ql2 , ql qx2
-1~+-тх—г
__^L + C
6 + 1!
qxi
2Г
(а)
(Ь)
Постоянные интегрирования находим из граничных условий: I —при х = 0;
ух = 0; II — при х = 0; ух= 0. Из уравнений (а) и (6) при условиях I и II определя-
ем: Cj = 0, Dj= 0. Продолжим равномерно распределенную нагрузку до рассматри-
ваемого сечения и приложим такую же нагрузку, но противоположно направленную
/ I I \
(рис. 5.15, б). Тогда на участке 2 l-j- ОС -gj
( 1 Г
„, “ ql2 ql qx2 \ 4 /
Интегрируем не раскрывая скобок:
b \з
р_ Я^х. I Я^ Ях*
----------------~ + —
pj„ _ Я^х , Я1х3 Ях^
EJy2 - - — + ~i2------------------24"
q lx-----
+ ----+ С2;
/ - I V
Ф —"Г/
24 Ь “1“
(в)
(г)
6
Согласно плавности и непрерывности упругой линии балки составляем условия
сопряжения на границе участков III—при Х==~^х У\ = (/2 и IV — при х = у-^= у2.
По условию III получаем С,= С2=0, а по условию IV — Е>г = D.2 — 0. Тогда по (г)
___ ! Г ?/2 / / \2 ?/ / / \3 q / I \i q / I I у
<1 EJ 8 I 2 I ' 12 ( 2 24 I 2 + 24 ( 2 4
2 L \ / \ / \ / \ J .
143 ql*
6144 ’ EJ *
Определение перемещений в балках л^етодом
начальных параметров
Рассматриваются балки постоянного сечения. Универсальное уравнение упругой
линии в выражении через начальные параметры имеет вид:
М О уз
у^уо + &дХ +-^r+^r+f(x), (5.24)
где у0, ©о, Qo и Мо— начальные параметры — соответственно прогиб, угол поворота,
поперечная сила и изгибающий момент в начале координат; /(х) — влияние всех на-
грузок, расположённых правее начального сечения. Уравнение углов поворота по-
лучается путем дифференцирования универсального уравнения упругой линии (5.24):
„ ~ , Мпх . (?ох2 /' (х)
в-в0+ EJ + 2EJ + EJ . (5,25)
98
Таблица 5.2. Начальные параметры при различных схемах загружения
Номер схемы Схема балок е.А0„
1 М 0 Ml ,1 О 94 Ml 0 м
-у- (а2 — а?)
[(—Юа3 +
360 т '
4* За5' — (—10 а? 4-
4- 3af) 4- 15 (2aj —
4И ql* /
— <вг 4* 15 —j— со2 j
' a d
« = -?-; «1 = —г
I 1 i
[(а3 — а,) —
Gm 1 17
„ т 2
-3 —«Л
3
О
О
4 2-256
97
Таблица 5.3. Числовые значения функции влияния <п
а IO-2 (0 а IO-2 (0 а 10—2 СО а IO—2 (0 а 10—2 &
0 10 000 20 8800 40 5200 60 —800 80 —9200
I 9997 21 8677 41 4957 61 —1163 81 —9683
2 9988 22 8548 42 4708 62 — 1532 82 — 10 172
3 9973 23 8413 43 4453 63 — 1897 83 —10 667
4 9952 24 8272 44 4192 64 —2288 84 — 11 168
5 9925 25 8125 45 3925 65 —2675 85 —11 675
6 9892 26 7972 46 3652 66 —3068 86 — 12 188
7 9853 27 7813 47 3373 67 —3467 87 — 12 707
8 9828 28 7648 48 3088 68 —3872 88 — 13 232
9 9757 29 7477 49 2797 69 —4283 89 —13 763
10 9700 30 7300 1 50 ’ 2500 70 —4700 90 —14 300
11 9637 31 7117 - 51 2197 71 —5123 91 —14 843
12 9568 32 6928 52 1888 . 72 —5552 92 —15 392
13 9493 33 6733 53 1573 73 —5987 93 — 15 947
14 9412 34 6532 54 1252 74 —6428 94 — 16 508
15 9325 35 6325 55 925 75 —6875 95 —17 075
16 9232 36 6112 56 592 76 —7328 96 —17 648
17 9133 37 5893 57 253 77 —7787 97 — 18 227
18 9028 38 5668 58- —92 78 —8252 98 —18812
19 8917 39 5437 59 —443 79 —8723 99 —19 403
100 —20 000
а
1
FJ&0= и«10~4
и 6
98
Продолжение табл. 5.3
10~2 to а IO—2 to а ю—2 to а 10~2 to а Ю~2 to
0 — 20 1920 40 3360 60 3840 80 2880
1 99 21 2007 41 3411 61 3830 81 2786
2 199 22 2094 42 3459 62 3817 82 2686
3 299 23 2178 43 3505 63 3800 83 2582
4 399 24 2262 44 3548 64 3779 84 2473
5 499 25 2344 45 3589 65 3754 85 2359
6 598 26 2424 46 3627 66 3725 86 2239
7 697 27 2503 47 3662 67 3692 87 2115
8 795 28 2580 48 3694 68 3656 88 1985
9 893 29 2656 49 3724 69 3615 89 1850
10 990 30 2730 50 3750 70 3570 90 1710
11 1087 31 2802 51 3773 71 3521 91 1564
12 1183 32 2872 52 3794 72 3468 92 1413
13 1278 33 2941 53 3811 73 3410 93 1256
14 1373 34 3007 54 3825 74 3348 94 1094
15 1466 35 3071 55 3836 75 3281 95 926
16 1559 36 3133 56 3844 76 3210 96 753
17 1651 37 3193 57 3848 77 3135 97 573
18 1742 38 3251 58 3849 78 3055 98 388
19 1831 39 3307 59 3846 79 2970 99 197
100 0
|Р
EJ®0 = - 4" “•10-4 “ = "Т
4*
99
Продолжение табл. 5.3
а 10—2 СО а 10—2 Cd а 10—2 СО а IO—2 (0 а 10—2 6)
0 — 20 784 40 2954 60 5904 80 8704
1 2 21 863 41 3079 61 6057 81 8817
2 8 22 939 42 3217 62 6210 82 8927
3 18 23 1030 43 3356 63 6353 83 9032
4 32 24 1119 44 3497 64 6514 84 9133
5 50 25 1211 45 3640 65 6665 85 9230
6 72 26 1306 46 3784 66 6815 86 9322
7 98 27 1405 47 3930 67 6963 87 9409
8 128 28 1507 48 4077 68 7110 88 9491
9 161 29 1611 49 4226 69 7255 89 9568
10 199 30 1719 50 4375 70 7399 90 9639
11 240 31 1830 51 4525 71 7540 91 9704
12 286 32 1943 52 4677 72 7681 92 9758
13 325 33 2060 53 4829 73 7818 93 9817
14 388 34 2178 54 4981 74 7953 94 9865
15 445 35 2300 55 5135 75 8086 95 9905
16 505 36 2424 56 5289 76 8216 96 9939
17 570 37 2551 57 5442 77 8343 97 9965
18 638 38 2679 58 5596 78 8466 98 9984
19 709 39 2811 b 2 _ . _с . 6 59 ЕЛ 5750 э0 = -- 79 <?Z3 24 (С° 8587 (Bj) • 10~ 99 100 4 9996 10 000
100
Продолжение табл. 5.3
a IO"2 0) a 10—2 ft) (^2 a 10—2 (A) W2
1 — 2 34 3795 2179 67 26 026 6963
2 — 8 35 4131 2300 68 27 084 7110
3 3 18 36 4485 2424 69 28 159 7255
4 6 32 37 4858 2551 70 29 260 7399
5 13 50 38 5250 2680 71 30 379 7541
6 22 72 39 5662 2811 72 31 520 7681
7 34 98 40 6094 2944 73 32 683 7818
8 51 128 41 6547 3080 74 33 865 7953
9 73 162 42 7069 3217 75 35 069 8086
10 100 199 43 7510 3356 76 36 293 8216
11 133 241 44 8023 3498 77 37 535 8343
12 173 286 45 8561 3640 78 38 794 8466
13 220 336 46 9115 3784 79 40 073 8587
14 273 388 47 9695 3930 80 41 372 8704
15 336 445 48 10 284 4077 81 42 683 8817
16 407 506 49 10 919 4226 82 44 016 8929
17 487 570 50 11 564 4375 83 45 362 9032
18 577 638 51 12 230 4526 84 46 724 9133
19 679 709 52 12 921 4677 85 48 102 9230
20 790 784 53 13 634 4829 86 49 494 9322
21 914 863 54 14 369 4982 87- 50 898 9409
22 1050 945 55 15 129 5135 88 52 316 9491
23 1198 1031 56 15 912 5289 89 53 745 9568
24 1358 1119 57 16 716 5442 90 55 185 9639
25 1534 1211 58 17 543 5597 91 56 637 9705
26 1723 1306 59 18 396 5750 92 58 096 9758
27 1926 1405 60 19 269 5904 93 59 565 9817
28 2166 1507 61 20 163 6057 94 61 041 9865
29 2378 1612 62 21 085 6210 95 62 524 9905
30 2628 1719 63 22 024 6353 96 64 012 9934
31 2895 1830 64 22 995 6514 97 65 505 9965
32 3177 1944 65 23 983 6665 98 67 002 9986
33 3487 2060 66 24 994 6815 99 68 503 9996
100 70 000 10000
EJ90 =
ql*
360m
<в — (Bj — 15
m
— <»2
10-4
101
Таблица 5,4. Функция f(x) и ее производные при различных случаях
загружения
Виды загружений
Функции и их . п , - тткт ffl , у
.1 - g-, _б J. b Jb
производные _ й . . _с _
, 1 t J Г'б ETI ~Л 6 ' _
q (х — я)4 q (х — й)6
24 120m
f(x) Р(х— а)3 Л4 (х— й)2 <?(х—а)4 6 2 24 1 д(х — й)5 120m
q(x — d)* + 24 q(x — dp 24 +
, q & — d)3
1 ' 120m
q (х — а)3 q (x — a)4
6 24m
Я(х — а)3 q (X — й)1 ,
Г W _ ^х-ар М(х-а) 6 1 24m 1
2 . *? (* ~ ri)3 + 6 q(x— d)a 6 +
q(x — dp + 24m
f(x) — P (x — a) M q(x — a)2 2 q(x — a^ 2 + q (x — й)3
6m q (x — a)3 6m +
, q{x — d)2 1 2 , q( x~ d'p 1 2 +
, q (x — d)
1 6m
—p 0 — q (x — й) — -<7(х — й)4- 4- q (x — d) _ ? (x ~ a)2 2 m q(x—aY 2m 4- q (x — d) + , q(x-dp 1 2m
102
Дальнейшее дифференцирование уравнения (5.25) дает выражения для изгибающих
моментов и поперечных сил:
Мх
_ Л10 QgX f(x)
EJ ~ EJ ~r EJ ’
(5.26)
n _ Qo . TW
“ EJ + EJ
(5.27)
В табл. 5.2 приведены начальные параметры для частных, наиболее часто встре-
чающихся случаев загружения. По данным табл. 5.2 можно определить начальные
параметры и для любого общего случая загружения путем их суммирования по прин-
ципу независимости действия сил. Для вычисле- mt q т
ния 0О числовые значения функции со в завнси- Г~ Пт HI Г~г
мости от положения нагрузки для некоторых схем: л f-4
загружения можно определить по табл. 5.3. Влия- i g д ; g | g I
ние внешних нагрузок и производные этой функ- " IM Н
ции для различных случаев загружения приво- Рис. 5.16.
дятся в табл. 5.4 [31].
Пример. Составить уравнение прогибов, углов поворота, изгибающих моментов
и поперечных сил для балки, показанной на рис. 5.16, если т1~ 10, т.2~ 20 кНм
(2 тем); </=50 кН/м (5 тс/м); а = 1 м. Жесткость балки постоянна по длине. Ре-
шение. Из условия задачи следует, что начальные параметры у0= Мо= 0. Опреде-
лению подлежат 0О и Qo. По табл. 5.2 (строки 1 и 3), пользуясь принципом независи-
мости действия сил, находим:
Elf>° = (1 - 34) + - (&.?, -
где а — относительные абсциссы точек приложения моментов, а также начала и кон-
2 1
ца равномерно распределенной нагрузки: — у; а? = -g - а1? = 0- Тогда при
данных задачи
EJ&0 = — 3,48 кНм2 (— 0,348 тем2); Qo = — — = — 1,67 кН (— 0,167 тс).
3
Определив по табл. 5.4 f (х), f (х), f" (х) н f" (х), окончательно получим уравнения
прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил:
д,. Г, 040 °>5*3 , (х~ О2 5 (X — 2)4 ,
EJyx = - 0.348Х------— + ------+
, 5(х—-З)4 , 15,5 (х — З)3
+ 24 + 18 :
EJ&X = - 0,348 - + (х ~ 1) - ~ 2-)8~ + ;
.. 0,5х 5(х — 2)2 , 5 (х — З)2 . 15,5 (х — 3)
Q. = --~------S(«-2) + S(i-3)+-!|S- .
Графоаналитический метод
Метод позволяет непосредственно вычислить прогиб или угол поворота в опре-
деленной точке без составления уравнения всей линии прогиба. Он основан на ана-
логии между дифференциальным уравнением изогнутой оси балки н уравнением,
103
связывающим в дифференциальной форме изгибающий момент с интенсивностью
внешней нагрузки:
EJiix = Мх-, М"х = qx.
Формулы для определения прогибов и углов поворота имеют вид:
М*
Ух = ; (5.28)
вх^--—, (5.29)
где и Qx — изгибающий момент и поперечная сила в сечении х фиктивной балки
Фиктивная балка — балка, принятая по определенной схеме опорных закреплений
и сопряжения участков, загруженная эпюрой
изгибающих моментов действительной балки.
Схема фиктивной балки выбирается так, что-
бы везде были удовлетворены условия (5.28)
Рис. 5.17.
т
Рис. 5.18.
и (5.29). В табл. 5.5 приведены схемы действительных и соответствующих им фиктив-
ных балок.
Порядок определения прогибов и углов поворота графоаналитическим методом
состоит в следующем: строится эпюра изгибающих моментов действительной балки;
выбирается схема фиктивной балки, соответствующая схеме заданной действитель-
ной балки; фиктивная балка загружается фиктивной нагрузкой — эпюрой изги-
бающих моментов действительной балки; в данном сечении определяются изгибаю-
щий момент Л4* и поперечная сила Q*;.no формулам (5.28) и (5.29) определяются про-
гиб и угол поворота.
Правило знаков. Если эпюры изгибающих моментов как в действительной, так
и фиктивной балках строить со стороны растянутого волокна и фиктивную нагрузку
направлять от оси балки в сторону растянутого волокна, то линия прогибов в задан-
ной балке автоматически совпадает с эпюрой фиктивных моментов в фиктивной балке.
Обычно поворот касательной к оси заданной балки считают положительным; если
он идет по ходу часовой стрелки, тогда знаки у, 0 и Q* автоматически совпадают.
В графоаналитическом методе фиктивная нагрузка, очерченная по закону из-
гибающих моментов действительной балки, заменяется равнодействующими, численно
равными площадям отдельных частей эпюры и приложенными в центрах тяжести этих
площадей. Обычно эпюры изгибающих моментов имеют сложную конфигурацию.
Тогда при вычислении их площадей эти эпюры раскладывают на простейшие фигу-
ры, площади и положения центров тяжести которых известны. На рис. 5.17 показа-
ны возможные способы разложения основных видов эпюр на простейшие фигуры, а в
табл. 5.6 приведены площади этих фигур и положения центров тяжести.
Пример. Определить прогиб и угол поворота среднего сечения балки, приведен-
ной на рис. 5.18. Жесткость балкн EJ постоянна по длине. Решение. Строим эпюру
104
Таблица 5.5. Схемы фиктивных балок, соответствующих заданным
Балка
Заданная Фиктивная
А В А. В
ул = 0 ув — 0 &А^0 вв^0 /Г ' _Zx_ мФ = 0 М% = 0 Q* 0 Q* =и= 0
л| В уА = 0 у в =£0 0л = О0в=И=О д Iе М* = 0 2И^ 0 Q* = 0 Q* ф 0
с
Ус 0 У а = 0 У в = 0
©с =И= 0 0,, 0 0g о
С А
3-
Ус О У а — О У в — О
0С 0 0^ =И= О 0В Ф о
У в 5^ О
0о¥=О
М* О Л4* — О Л4| = О
Q*^O Q*^O Q*^O
=/= О М* = О Л4* = О Л4* =/= О
Q* =И= О Q* ф О Q* ф О Q* Ф О
Таблица 5.6. Площади эпюр и положения их центров тяжести
Вид эпюры Положение центра тяжести Грузовая площадь о>
105
Продолжение табл. 5.6
Вид эпюры Положение центра тяжести Грузовая площадь m
Прямоугольник 1
<зйт с а = Ь = -£- А со = lh
а Л
‘ i
Квадратная парабола
с вершиной б точке А
2
со = -т- lh
и
Квадратная парабола
с вершиной б точке А
Квадратная парабола
с вершиной в точке А
Кубическая парабола
с вершиной в точке А
Кубическая парабола
в вершиной в точке А
I
п h
A O.57df
1
СО = -г- In
4
а = 0.467Z
b = 0,533/
со = 0,65/А
2 „
О
А
106
изгибающих моментов. По табл. 5.5 принимаем схему фиктивной балки и загружаем
ее эпюрой Мх (см. рис. 5.18). Определяем Л* = — В^= —, Л1^2 и Q^/2 в фиктив-
ной балке. Площадь треугольной эпюры фиктивных моментов
г>Ф _ tnl ml
- ~24 8~ 1Г '
мФ __ . 1__^L.-L-q
М№- 24 2 8 6 "°'
По формулам (5.28) и (5.29) прогиб и угол поворота
среднего сечения будут:
о tnl
У1/2 ~ и; U//2-----12ЁГ *
Наибольшие прогибы и углы поворотов для различ-
ных схем балок и различных загружений приведены в
табл. 5.7.
Пример. Найти прогиб свободного конца балки
постоянной жесткости, показанной на рис. 5.19, а.
Решение. Эпюра изгибающих моментов заданной балки
приведена на рис. 5.19, б, а схема фиктивной балки,
принятая по табл. 5.5 и загруженная эпюрой Мх,— на
рис. 5.19, в. Представляем фиктивную балку в поэтаж-
ной схеме и определяем опорную реакцию S*. При этом
площадь фиктивной нагрузки разбиваем на прямоуголь-
ный треугольник и параболу. Из S/И^ = 0 получаем
. 1 2 1 qa* „ qF 1
вФ ~ 2 ’ 12 3 ’ 2 ’ 2 ~ 24 6 qa 1'
Заменив в фиктивной балке действие пролета АВ
на консоль ВС сосредоточенной силой В*, определяем
изгибающий момент в защемлении-:
Л!Ф = _ВФа+ 1
Прогиб сечения С определяется:
Л4* па
Ус EJ 24EJ (4а“1 ~13 + За3).
Графический способ построения упругой линии
Способ основан на полном совпадении процесса вычисления изгибающих момен-
тов и поперечных сил, с одной стороны, и прогибов и углов поворота — с другой.
Для определения прогибов и углов, поворота необходимо построить действительную
эпюру изгибающих моментов и загрузить ею фиктивную балку. Эпюры изгибающих
моментов и поперечных сил в фиктивной балке представляют собой графики распре-
деления по длине балки прогибов и углов поворота — кратных EJ. Действие рас-
пределенной нагрузки, приложенной к фиктивной балке, заменяется действием со-
средоточенных сил, равных площадям участков эпюры моментов и приложенных
в центрах тяжести этих площадей. Эпюры Л4‘| и строятся графически с помощью
силового и веревочного многоугольников. Фиктивные изгибающие моменты и попе-
речные силы в любом сечении балки определяются:
= тпухН\ Q* = пу^
107
108
Продолжение табл. 5.7
Схема балки и нагрузки Прогиб Угол поворота
9 ^Т1ТПТПтт// ?в 120EV + в = _ 3j7i + Уз в 24EJ
/ t
.а 'в- 120BJ (20 0 д , - (б/2 —
4. „X
i- У а . 1 _ b в -4+Я в 2AEJ ' — Mb +1>2)
Г' .
: gl3b
в 30EJ
ев = -ттат<м’-
— 8lb + 3ft2)
r 11 7 qI3
t 8 lB 192 EJ ®B ~ 96 EJ
У
I tn e\ x ( __ ma (/ -J- ft) ma
a J> 4 r fl’
'« 2EJ ®B~ EJ
У
<о
®в~ EJ
и — площадь эпюры Л1;
хм — абсцисса центра тя-
жести площади эпюры /И
При х = а
mab / а — b \
3EJ / )
109
Продолжение табл. 5.7
Схема балки и нагрузки
Прогиб
Угол поворота
лх, х ,, Г_ L уГ X При к — 0,423/ гп№ f = 0,0642 EJ _ 1 ml2 П₽ИХ~2 У~~.16ЁГ о. ml @А~ 3EJ о. ml @в GEJ
М. х 1 __ 6 ’Л ms __ 1 При х = — , 12 ' 1&EJ тА1 тв1 А 3EJ 6EJ Q тд1 , тв1 л QEJ 3EJ
X L 9\ тй - /Су При х — -~ (тА — тВ> Р ' 1QEJ тА1 т В1 &А 3EJ GEJ тА1 т В1 &в 6EJ 3EJ
110
Продолжение табл. $.7
Схема балки и нагрузки Прогиб Угол поворота
'НН--? П ГТТТ х д Л' (, 0 При х = а f _ 1л 3 И ' 24EJ f 1 j Если а > 0,547/ ^макс = f бУДет на левой стороне И __. 1 н d-- s* '~~ §. й ~ о- «Э л Н «1 11 ф ©
При x = a
II8II1
qc
6EJ
64
+ b) - C2]
$Ж’ .. .
(/ +
+ a) — c2]
п 1 При х = -g- f.... в? /„ ' 48Е7 ’ Z2 - 2 -^Ц (и) — (и) —— иЛ — Чз — “ &Е/ (3t 2fl^
При х — 0,519/ / = 0,00652 -^г- EJ 7 qi3 л 360 EJ с 8 q[3 в 360- EJ
а . yLt^cdjLy А j При х = а ' qasl 4Ш Х X (5~9^-+4-^) % t х - _ -= * 1 % О эт + '-° _ g. СО а ~ ЭТ в см — > « &8 © । „ аз ©
111
Продолжение табл. 5.7
Схема балки и нагрузки Прогиб Угол поворота
У' t=4_^ При x = a 360EJ * X (20P -13-J-') I I I* ] Ф . Ф X Со | .—L х । ® Со 1 со а W 1 ф «Ci а Ф -о 5° i ъ Ъ Зг »® ’' g х '—х
к1 jl ^^<П7тгг-»^ * р " n I При X = -y- 1 (20 E J ®л-0в- 192£7
Квадратная парадом t ГК x При x = -|- f__61 q?_ 1 5760 EJ 0л-®д- 30£/
У' t f*
2-^-J p -JL C Pai // ! 4 3EJ (l + a)’ при x = 0,577/ Pal2 г/макс = ^ = -0.0642-^- а РсЛ ®л= 6£/ © Ра^ ~ 3EJ в'“ 6Г/ х X (21а + За2)
‘М- 3 X c »’=тёг<'|'+3“>; при x= 0,577/ ^кс = / = -°>0321 ^ 12Е7 Ja4 в 0EJ ec~ Zj <“+0
112
Таблица 5.8. Прогибы в сечениях с простой балки от сосредоточенного груза Р
в сечениях х
Значения f
Pi3 lx с '
Прогиб yB = -^rrf —, —
сП х/1
0 0,02 0,04 0,06 | 0,08 0,10 0,12^ 0,14 0,16 0,18 0,20
0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,00
0>2 0 0,077 0,150 0,218 0,282 0,341 0,398 0,447 0,494 0,537 0,575 0,98
0'04 0 0,150 0,295 0,432 0,572 0,678 0,789 0,890 0,984 1,069 1,147 0,96
0,06 0 0,218 0,432 0,635 0,828 1,007 1,172 1,325 1,466 1,594 1,711 0,94
0,08 0 0,282 0,572 0,828 1,084 1,322 1,543 1,647 1,835 1,907 2,263 0,92
0,10 0 0,341 0,678 1,007 1,322 1,620 1,897 2,153 2,389 2,604 2,800 0,90
0Д2 0 0,396 0,789 1,172 1,543 1,897 2,230 2,539 2,822 3,082 3,318 0,88
0,14 0 0,447 0,890 1,325 1,647 1,835 2,153 2,539' 2,899 3,232 3,536 3,812 0,86
0,16 0 0,494 0,984 1,466 2,389 2,822 3,232 3,613 3,962 4,280 0,84
0,18 0 0,537 1,069 1,594 1,907 2,604 3,082 3,636 3,962 4,357 4,717 0,82
0,20 0 0,575 1,147 1,711 2,263 2,800 3,318 3,812 4,280 4,717 5,120 0,80
0,22 0 0,610 1,217 1,816 2,404 2,977 3,531 4,062 4,568 5,043 5,485 0,78
0,24 0 0,642 1,279 1,910 2,529 3,134 3,721 4,286 4,852 5,335 5,812 0,76
0,26 0 0,669 1,334 1,993 2,640 3,273 3,889 4,484 5,093 5,594 6,104 0,74
0,28 0 0,693 1,382 2,065 2,737 3,396 4,037 4,657 5,253 5,822 6,359 0,72
0,30 0 0,714 1,424 2,127 2,820 3,500 4,163 4,806 5,425 6,018 6,580 0,70
0,32 0 0,731 1,458 2,179 2,890 3,590 4,269 4,931 5,571 6,184 6,767 0,68
0,34 0 0,745 1,486 2,221 2,946 3,662 4,356 5,034 5,690 6,320 6,922 0,66
0,36 0 0,755 1,508 2,253 2,993 3,715 4,424 5,115 5,784 6,428 7,045 0,64
0,38 0 0,763 1,523 2,277 3,022 3,758 4,473 5,173 5,823 6,509 7,137 0,62
0,40 0 0,768 1,532 2,291 3,041 3,780 4,504 5,211 5,898 6,562 7,200 0,60
0,42 0 0,769 1,536 2,297 3,049 3,791 4,519 5,229 5,921 6,590 7,234 0,58
0,44 0 0,768 1,534 2,294 3,047 3,788 4,516 5,228 5,921 6,592 7,240 0,56
0,46 0 0,765 1,527 2,284 3,033 3,771 4,497 5,207 5,899 6,571 7,219 0,54
0,48 0 0,758 1,514 2,265 3,009 3,774 4,463 5,169 5,857 6,526 7,172 0,52
0,50 0 0,750 1,497 2,239 2,974 3,700 4,414 5,113 5,795 6,458 7.100 0,50
1,00 0,98 0,96 0.94 | 0,92 | 0,90 0,88 0,86 0,84 0,82 0,80 с/1
х/1
Продолжение табл. 5.8
с/1 х/1
0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40
0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,00
0,02 0,575 0,610 0,642 0,669 0,693 0,714 0,731 0,745 0,755 0,763 0,768 0,98
0,04 1,147 1,217 1,279 1,334 1,382 1,424 1,458 1,486 1,508 1,523 1,532 0,96
0,06 1,711 1,816 1,910 1,993 2,065 2,127 2,179 2,221 2,253 2,277 2,291 0,94
0,08 2,263 2,404 2,529 2,640 2,737 2,820 2,890 2,946 2,993 3,022 3,041 0,92
0,10 2,800 2,977 3,134 3,273 3,396 3,500 3,590 3,662 3,715 3,758 3,780 0,90
0,12 3,318 3,531 3,721 3,889 4,037 4,163 4,269 4,356 4,424 4,473 4,505 0,88
0,14 3,812 4,062 4,286 4,484 4,657 4,806 4,931 5,034 5,115 5,173 5,211 0,86
0,16 4,280 4,568 4,825 5,098 5,253 5,245 5,571 5,690 5,784 5,858 5,898 0,84
0,18 4,717 5,043 5,335 5,594 5,822 6,018 6,184 6,320 6,428 6,509 6,562 0,82
0,20 5,120 5,485 5,812 6,104 6,359 6,580 6,767 6,922 7,045 7,137 7,200 0,80
0,22 5,458 5,889 6,253 6,577 6,862 7,109 7,318 7,492 7,631 7,737 7,809 0,78
0,24 5,812 6,253 6,654 7,012 7,327 7,600 7,834 8,028 8,184 8,303 8,387 0,76
0,26 6,104 6,577 7,012 7,404 7,750 8,052 8,310 8,525 8,699 8,834, 8,929 0,74
0,28 6,359 6,862 7,327 7,750 8,129 8,459 8,743 8,981 9,175 9,326 9,435 0,72
0,30 6,580 7,109 7,600 8,052 8,459 8,820 9,131 9,393 9,608 9,776 9,900 0,70
0,32 6,767 7,318 7,834 8,310 8,743 9,131 9,470 9,757 9,994 10,182 10,322 0,68
0,34 6,922 7,492 8,028 8,525 8,981 9,393 9,757 10,071 10,332 10,540 10,698 0,66
0,36 7,045 7,631 8,184 8,699 9,175 9,608 9,994 10,332 10,617 10,848 11,025 0,64
0,38 7,137 7,737 8,303 8,834 9,326 9,776 10,182 10,540 10,848 11,102 11,300. 0,62
0,40 7,200 7,809 8,387 8,929 9,435 9,900 10,322 10,698 11,025- 11,300 11,520 0,60
0,42 7,234 7,850 8,436 8,987 9,504 9,981 10,416 10,807 . 11,150 11,443 11,684 0,58
113
Продолжение табл. 5.8
с/1 х/1
0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 ' 0,38 0,40
0,44 0,46 0,48 0,50 7,240 7,219 7,172 7,100 7,860 7,841 7,793 7,718 8,451 8,434 8,387 8,309 9,010 9,006 8,950 8,871 9,534 9,526 9,481 9,402 10,020 10,018 9,978 9,900 10,465 10,472 10,437 10,362 10,868 10,884 10,856 10,785 11,225 11,252 11,232 11,167 11,534 11,573 11,564 11,506 11,791 11,845 11,848 11,800 0,56. 0,54 0,52 0,50
0,80 0,78 0,76 0,74 0,72 0,70 0,68- 0,66 0,64 0,62 0,60 с/1
х/1
Продолжение табл. 5.8
с/1 х/1
0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 | 0,52 0,54 | 0,56 | 0,58 0,60
0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,00
0,02 0,768- 0,769 0,768 0,767 0,758 0,750 0,738 0,725 0,709 0,692 0,672 0,98
0,04 1,532 1,536 1,534 1,527 1,514 1,497 1,475 1,448 1,416 1,381 1,341 0,96
0,06 2,291 2,297 2,294 2,284 2,265 2,239 2,206 2,166 2,120 2,066 2,007 0,94
0,08 3,041 3,049 3,046 3,033 3,008 2,974. 2,931' 2,878 2,816 , 2,746 2,668 0,92
0,10 3,780 3,791 3,788 3,771 3,744 3,700 3;646 3,581 3,504 3,417 3,320 0,90
0,12 4,505 4,518 4,516 4,497 4,463 4,414 4,350 4,272 4,182 4,078 3,963 0,88
0,14 5,211 5,229 5,228 5,207 5,169 5,113 5,040 4,955 4,847 4,727 4,594 0,86
0,16 5,898 5,921 5,921 5,899 5,858 5,795 5,714; 5,620 5,497 - 5;363 5,212 0,84
0,18 6,562 6,590 6,592 6,571 6,526 6,458 6,369 6,259 6,130 . 5,981 5,815 0,82
0,20 7,200 7,234 7,240 7,219 7,172 7,100 7,004 6,885 - 6,744 . 6,582 6,400 0,80
0,22 7,809 7,850 7,860 . 7,841. 7,793- 7,718- 7,616 7,489 7,388 ; 7,163 6,966 0,78
0,24 8,387 8,436 8,451 8,434 8,387 8,309 8;202' 8,068 7,907 7,721 7,511 0,76
0,26 8,929 8,987 9,010 9,006 8,950 8,871 8,761 8,621 8,452 . 8,256 8,033 0,74
0,28 9,435 9,504 9,534. 9,526 9,481 9,402 9,290 9,145 8,969 8.764 8,530 0,72
0,30 9,900 9,981 10,020 .10,018 9,978 9,900 9,786 9,638 9,456 9,243 9,000 0,70
0,32 10,322 10,416 10,465 10,472 10,436 10,362 10,248 10,098 9,912 9,698 9,441 0,68
0,34 10,698 10,807 10,868 10,884 10,856 10,785 10,673 10,523- 10,334 10,110 9,852 0,66
0,36 11,025 11,150 11,225 11,252 11,232 11,167 11,059 10,910 10,721 .10,493 10,230 0,64
0,38 11,300 11,443 11,534 11,573 11,564 11,506 11,404. 11,257 1.1,169 10,840 10,573 0,62
0,40 11,520 11,684 11,791 11,845 11,848 11,800 11,704 11,563 11,371 11,148 10,880 0,60
0,42 11,684 11,868 11,995 12,066 12,082 12,046 11,959 11,824 11,642 11,417 11,148 0,58
0,44 11,791 11,995 12,142 12,231 12,263 12,241 12,165 12,039 11,864 11,642 11,377 0,56
0,46 11,845 12,066 12,231 12,340. 12,391 12,383 12,321 12,205 12,039 11,824 11,563 0,54
0,48 11,848 12,082 12,263 12,391 12,460 12,470 12,423 12,321 12.165 11,959 11,704 0,52
0,50 11,800 12,046 12,241 12,383 12,470 12,500 12,470 12,383 12,241 ,12,046 11,800 0,50
0,60 0,58 0,56 0,54 0,52 | 0,50 | 0,48 0,46 0,44 0,42 0,40 с/1
х/1
Продолжение табл. 5.8
с/1 х/1
0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80
0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,00
002 0,672 0,650 0,626 0,601 0,574 0,546 0,516 0,485 0,452 0,418 0,384 0,98
0,04 1,341 1,298 1,251 1,201 1 147 1,090 1,031 0,968 0,903 0,836 0,767 0,96
0,06 2,007 1,943 1,872 1,797 1,716 1,632 1,542 1,448 1,352 1,251 1,148 0,94
0,08 2,668 2,582 2,488 2,388 2,282 2,169 2,050 1,926 1,797 1,664 1,526 0,92
0,10 3,320 3,213 3,097 2,973 2,840 2,740 2,552 2,398 2,238 2,072 1,900 0,90
0,12 3,963 3,836 3,696 3,548 3,391 3,224 3,048 2,864 2,673 2,474 2,269 0,88
0,14 4,594 4,450 4,288 4,116 3,933 3,740 3,536 3,323 3,101 2,870 . 2,633 0,86
0,16 5,212 5,046 4,866 4,671 4,465 4,245 4,014 3,772 3,520 3,260 2,990 0,84
0,18 5,815 5,631 5,430 5,214 4,984 4,739 4,481 4,212 3,931 3,640 . 3,339 0,82
0,20 6,400 6,199 5,979 5,742 5,489 5,220 4,937 4,640 4,332 4,011 3,680 0,80
0,22 6,966 6,748 6,520 6,253 5,978 5,687 5,379 5,056 4,720 4,372 4,011 0,78
0,24 7,511 7,278 7,022 6,747 6,451 6,137 5,806 - 5,459' 5,096 4,720 • 4,332 0.7Q
0,26 8,033 7,746 7,514 7,221 6,906 6,571 6,217 5,846 5,459 5,056 4,640 0,74
114
Продолжение табл. 5.8
с/г х/1
0-,60 0,62 0,64 0^66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80
0,28 8.530 8,269 7,983 7,673 7,340 6,985 6,611 6,-217 5,806 5,379 4,937 0,72
0,30 9,000 8,728 8,428 8,103 7,753 7,380 6,985 6,571 6,137 5,687 5,220 0,70
0,32 9.441 9Д59 8,848 8,508 8.143 7,753 7,340 6,906 6,451 5,978 5,489 0,68
0,34 9; 852 9,561 9,239 8,887 8,508 8,103 7,673 7 221 6,747 6,253 5,742 0,66
0,36 10,230 9,932 9 601 9,239 8,848 8,428 7,983 7,514 7,022 6,510 5,979 0,64
0,38 .„10,673 10,270 9,932 9,561 9.J59 8,728 8,269. 7,741 7,278 6,748 6,199 0,62
0,40 10,880 10,573 10,230 9,852 9,441 9,000. 8,530 8,033 7,511 6,966 6,400 0,60
0,42 1'1,148- 10,840 10,493 10,110 9,693 9,243 8,76, 8,256 7,721 7,163 6,682 0,58
0,44 11.377 11,069 10,721 10,334 9,912 9,456 8,969 8,452 7,907 7,338 6,774 0,56
0,46 11,563 11,257 10,910 10,523 10,.098 9,638 9,145 8,621 8,068 7,489 6,885 0,54
0,48 11,704 11,404 11,059 10,673 10,248 9,786 9,290 8,761 8,202 7,616 7,004 0,52
0,50 11,800 11,506 11.167 10.785 10,362 9,900 9,402 8,871 8,309 7,718 7.100 0,50
0,40 0,38 0,36 0,34 0,32 0,30 0,28 0,26 0,24 0,22 0,20 c/l
х/г
Продолжение табл. 5.8
c/l x/l
0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00
0,00 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,00
0.02 0,384 0,348 0,312 0,274 0,236 0,198 0,159 0,119 0,080 0,040 0 0,98
0,04 0,767 0,696 0,623 0,548 0,472 0,395 0,318 0,239 0,160 0,080 0 0,96
0,06 1,148 1,041 0,932 0,820 0,707 0.592 0,475 0,357 0,239 0,119 0 0,94
0,03 1,526- 1,384 1,239 1,091 0,940 0,787 0,632 0,475 0,318 0,159 0 0,92
0,10 1,900 1,724 1,543 1,359 1,171 0,980 0,787 0,592 0,395 0,198 0 0,90
0,12 2,269 2,059 1,843 1,623 1,398 1,171 0,970 0,707 0,472 0,236 0 0,88
0,14 2,633 2,389 2,139 1383 1,623 1,356 1,091 0,820 0,548 0,274 0 0,86
0,16 2,990 2,713 2,4’29 2,13’9 1,843 1,543 1,239 0,932 0,623 0,312 0 0,84
0,18 3,339 3,030 2,713 2,389 2,059 1,724 1,384! 1,041 0,696 0,348 0 0,82
0,20 3,680 3,339 2,990 2,633 2,269 1.900 1,526 1,148 0,767 0,384 0 0,80
0,22 4,011 3,640 3,260 2,871 2,474 2,072 1,664 1,251 0,836 0,418 0 0,78
0,24 4,332 3,931 3,520 3,101 2,673 2,238 1.797 1,352. 0,903 0,452 0 0,76
0,26 4,640 4,212 3,772 3,323 2,864 2,398 1,926 1.448 0,968 0,485 0 0,74
0,28 4,937 4,481 4,014 3,536 3,048 2,552 2,050 1,542 1,031 0,516 0 0,72
0,30 5,220 4,739 4,245 3,740 3,224 2,700 2,169 1,632 1,090 0,546 0 0,70
0,32 5,489 4,984 4,465 3,933 3,391 2,840 2,282 . 1,716 1,147 0,574 0 0,68
0,34 5,742 5,214 4,671 4,116 3,548 2,973 2,388 1,797 1,201 0,601 0 0,66
0,36 5,797 5,430 4,866 4,288 3,696 3,097 2,488 1,872 1,251 0,626 0 0,64
0,38 6,199 5,630 5,046 4,450 3,836 3,213 2,582 1,943 1,298 0,650 0 0,62
0,40 6,400 5,815 5,212 4,594 3,963 3,320 2.668 2,007 1,341 0,672 0 0,60
0,42 6,582 5,981 5,363 4,727 4,078 3,417 2,746 2,066 1,381 0,692 0 0,58
0,44 6,744 6,130 5,497 4,847 4,182 3,504 2,816 2,120 , 1,416 0,709 0 0,56
0,46 6,885 6,259 5,620 4,951 4,272 3,581. 2,878 2,166 1,448 0,725 0 0,54
0,48 7,004 6,369 5,714 5,040 4,350 3,646 2,931 2,209 1,475 0,738 0 0,52
0,50 7,100 6,456 5,795 5,113 4,414 3,700 2,974 2,239 1,497 0,750 0 0,50
0,20 0,18 0,16 | 0,14 | 0,12 | 0,10 | 0,08 | 0,06 0.04 0,02 0,00
x/l
где т — масштаб длин; п — масштаб фиктивных сил; Н — полюсное расстояние;
у± и Уч— ординаты эпюр Л4* и Q*. Тогда прогибы и углы поворота сечений будут:
_ тгидН _ ntfy
У EJ ’ EJ •
Если полюсное расстояние принять равным
„ EJ
tj — “ в
тп *
то ординаты эпюры прогибов у± будут численно равны прогибам реальной балки.
115
Пример. Для консоли, показанной иа
рис. 5.20, построить эпюры прогибов и углов
поворота, если I = 3 м; т = 20 кН • м (2 тс X
X м); жесткость балки EJ = 3680 кН X
X м2 (368 тс м2). Решение. Эпюру изгибаю-
щих моментов действительной балки разобьем
на 4 части и вычислим площадь каждой час-
ти: coj = со2 = <о3 = со 4 = 0,5 20 = 10 кН х
X м2 (1 кгсм2). Примем масштаб длины: 1 см->
50 см, т. е. т = 50; масштаб сил: 1 см ->
-> 20 кНм2 (2 тем2), т. е. п= 2. Фиктивную
балку загружаем фиктивными силами со. Стро-
им силовой и веревочный многоугольники,
предварительно вычислив полюсное расстоя-
368
нне Н = v—у =- 3,68 см (см. рис. 5.20). Каж-
О • л
Рис. 5.20. дая ордината веревочного многоугольника —
прогиб данного сечения балки. Например,
прогиб конца консоли </макс = 1,1 см, а ®макс=0,11 рад. Строим ступенчатую
пюру поперечных сил фиктивной балки в принятом масштабе. Снесем на эпюру гра-
ницы участков и полученные точки соединим плавной кривой. Это и будет эпюра
углов поворота.
ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ НА ПРОГИБЫ
Обычио для реальных балок > 10. В этих случаях влияние поперечных сил
на прогибы мало и составляет менее 4% • Для коротких балок рг- < 10 j это влияние
увеличивается. Обычно при порядка 4 его'необходимо учитывать. При необходи-
мости учета влияния сдвига иа прогиб дифференциальное уравнение упругой ли-
нии (5.22) заменяется более сложным:
day Мх А d / Qx
dx* EJ dx \ GF
(5.30)
И
Рис. 5.21.
rwQx— поперечная сила в сечении х; 6 — модуль сдвига материала; F — площадь
поперечного сечения балки; k — безразмерный коэффициент, зависящий от формы
поперечного сечения. Для стержня прямоугольного
, 6 , 10
сечения k = для сплошного круглого k =
Э У
для сечения в виде тонкостенной трубы k = 2.
В частном случае для балок постоянного сечения
(5.30) имеет вид:
day _ Мх k dQx
dx* EJ GF ' dx
Если на некотором участке балки приложена
распределенная нагрузка q, то на этом участке
dQx dQx л
—= —q, а на остальных участках----------j— = 0.
tlJC CIX
сосредоточенных сил Pf, Ра, Р3,
номерно распределенную нагрузку, действующую в окрестности е точек приложения
р. Р
этих сил: qt= —Ц q2= _s и т. д. Обычно длины участков ei принимают равными по-
ei ®2
ловине высоты сечения балки.
(5.30а)
В случае действия на балку
., Рп необходимо представить эти силы как рав-
ег
116
Пример. С учетом влияния поперечных снл определить прогибы консольной
балки, загруженной на конце сосредоточенной силой Р (рис. 5.21). Поперечное се-
чение балки постоянно по длине. Решение. Изгибающий момент и поперечная сила
в сечении х
Mx = — P(l — x)\ QX = P.
Записываем дифференциальное уравнение упругой линии (5.30)
d2y P(l — x) d ( Р \
dx2 ~ EJ k dx \ GF ] '
Интегрируя по методу начальных параметров и учитывая граничные условия при
n dy . Qo
х — и « -Qp- , получаем
Р ( 1х2 ха , L Рх
У~ EJ \ 2 6 / + * GF ’
-Наибольший прогиб | х = 11
Pl3 , kPl Pl2 п ,
yl 3EJ + GF 3EJ (l+A')*
Здесь коэффициент А, выражает увеличение прогиба от действия поперечных сил.
Для прямоугольного сечения высотой h
__ А (14- р) fi2
2 ’ I2 ’
1
h
где р. — коэффициент Пуассона материала балки. Пусть i.i = 0,3. Тогда при — = —
дополнительный прогиб оценивается в 0,8, при = i в 3; при в 19%.
t э I 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ
ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ
Непосредственное интегрирование уравнения упругой линии балки переменной
Мг
жесткости возможно лишь в частных случаях, когда —— = f (х) можно запи-
EJ(x) ' ’
сать в виде удобоинтегрируемой функции. Примером такого случая может служить
балка равного сопротивления изгибу (рис. 5.22).
При сосредоточенной силе на конце консоли и
линейном изменении ширины прямоугольного
сечения во всех сечениях нормальные напряже-
ния одинаковы и равны заданным. Момент инер-
ции произвольного сечения относительно нейт-
ральной оси равен:
/(х)= / Л- ,
где J — момент инерции сечения в заделке. Диф-
ференциальное уравнение упругой линии этой
балки имеет вид:
EJy" = Pl.
Последовательное интегрирование дает:
EJQ = Р1х 4- С; EJy = -1- Plx2 + Cx + D.
Из граничных условий № 1, 0 = 0 и х = I, у = 0 определяются постоянные ин-
тегрирования
Р13
С = — Pl2; D=-~
Л
117
и уравнение прогибов имеет вид:
EJy = Р1х* — РРх 4- РР.
Например, наибольший прогиб (на конце консоли) будет:
Р/з
^макс — 2EJ '
Для определения прогибов и углов поворота в балках ступенчато изменяющего'
ся сечеиия методом начальных параметров балка переменного сечения заменяется
эквивалентной балкой постоянной жесткости EJ3 = anEJn, где EJn— жесткость
. EJ3 ,, „
балки на данном участке; ап = -----коэффициент приведения. При этом все на-
E'J п,
грузки изменяются в раз.
План решения задачи: 1) определяются коэффициенты приведения для каждо-
го участка балки; 2) все внешние силы, включая и опорные реакции, действующие
в пределах каждого участка балки, умножаются иа коэффициент ап данного участка;
3) в местах сопряжения участков' прикладываются дополнительные внешние силы
&Mi = (at+1 — az) Mt и AQi = («4+i — Q/I
4) для полученной эквивалентной балки постоянной жесткости EJ записывается
уравнение упругой линии, из которого и определяются прогибы и углы поворота
методом начальных параметров.
Пример. Составить уравнение упругой линии балки., показанной на рис. 5.23, а.
Балка ступенчатого сечения с соотношением жесткостей £Vj : EJ2 : EJ3 = 1:2:3.
Решение. Принимая жесткость эквивалентной балки, равной жесткости среднего
участка EJ3 = EJ2, вычисляем коэффициенты приведения:
n EJ„ , 2
- = 2; “>-£7Г = -з--
соответствующие коэффициенты:
2
я,Р = 2Р; a„P = Р; <и3Р= — Р.
1 >2 з 3
Вычисляем дополнительные внешние силы, для чего предварительно строим эпюры
изгибающих моментов и поперечных сил (рис. 5.23, б, &):
ДЛ41 = (а2 — Oj) 2Ра = — 2Ра;
2
ДМ3 = (a3 — а2) 2Ра — — Ра;
3
Р Р
AQ1 = («2 — 04) — =------- ;
, / Р \ Р
6
Строим эквивалентную балку (рис. 5.23, г) и записываем уравнение ее упругой ли-
нии как для обычной балки:
г, сг , , ЗРх3 2Р(х — а)3 2Ра(х~2аУ Р(х—2а)3
EJy = EJyt> 4- EJQax 4---------------------------------------------------
a--------?
1
Умножаем все силы на
AQa — (аз oc2
2
Р(х — 3а)? 2Ра(х-~ 4а)2 Р(х — 4а)3 2Р(х— 5а)3
6 6 + 36 18
Для нахождения прогибов в определенных точках вычисляются начальные пара-
метры.
Особенность определения перемещений балки переменного сечеиия графе»
аналитическим методом состоит в преобразовании фиктивной нагрузки
118
путем умножения ее иа коэффициент
_ EJ
ап ~ EJn ’
где EJ —жесткость некоторого исходного сечения; EJn— жесткость данного сече-
ния. Вместо балки переменной жесткости рассматривается эквивалентная балка
постоянного сечения. Порядок решения задачи иллюстрируется примером.
Рис. 5.23.
Рис. 5.24.
Пример. Определить прогиб конца консоли ус (рис. 5.24, а). Решение. После по-
строения эпюры изгибающих моментов (рис. 5.24, б) и выбора схемы фиктивной балки
преобразуется фиктивная нагрузка путем умножения ординат эпюры моментов иа
коэффициент
EJ 1
а ~ 2EJ ~ 2 ’
Фиктивная балка постоянной жесткости, загруженная фиктивной нагрузкой,
показана иа рис. 5.24, в. Фиктивный момент в точке С будет:
* , 1 Pl I ( 2 I I \
М* = + w2a2 + со3а3 = -----— ---- + — I +
Pl I 3 , 1 Pl I 2 I 3
4------------1 и------------------------р/з
4 24г2 2 232 16
и прогиб
_ ЗР13
Ус~ EJ ~ 16EJ '
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Статически неопределимыми называют балки, в которых число неизвестных опор-
ных реакций превышает число уравнений равновесия. Такне балки имеют лишние
неизвестные, число которых определяет степень их статической неопределимости.
Они не могут быть рассчитаны с помощью одних лишь уравнений статики. Для их
расчета составляют дополнительные уравнения, выражающие условия совместной
работы балки с ее опорными закреплениями. Число дополнительных уравнений соот-
ветствует степени статической неопределимости балки.
При решении вместо данной статически неопределимой балки рассматривается
основная система — статически определимая балка, полученная из заданной стати-
119
Таблица 5.9. Опорные реакции и опорные моменты
Схема
Схема загружения
Опорные реакции Опорные моменты
Г P Я=т-Р(3-Р) p 7 В = ~2~ aa (3 — a) Pab z, , M 2/2 (l + b)
а । 6
1
a=e(l; b=fil
Д co II 'I oo| w °°| W •5. ~ ql2 8
1 1 1 11 И 1 1 Г
t
A = qa — В B~. 21 1 I -^-(2-a)a 0
ПНШ
й '
1
а = «1
__ qa2 Ma A 21 I В = qa — A
? >11111111
ia. _ Г
Й = й6
>7777'7*1z 7 _ qcb Ma A I I qca Л4Я c2 \
Illi Illi 7
7 2
" I 1 I 4a /
A 64 s=4r?/ 5 — 64
1/2 1/2
L
I 04 |.-O - 2 И 1 CQ 15 qP
L
A 40 ql R 11 7 B=— 120 ql
1 L
120
в однопролетных статически неопределимых балках
балки
ь
Опорные реакции Опорные моменты
~~ л р 62(За + Ь) Я — р а2(Ы + а) D Г /3 1 Ма = — Ра^ Мь — — РЬа1
Л =В =-^- ма = мь = —q~
qa (/ — 0,5а) Ма — Мь А 1 1 да2 , Ma — Mh В = 21 -1 1 Ма = — (3 — 4а + 1,5а2) = —(а-0,75а2)
Л — ^а2 Ма~МЬ А 21 1 qa (/ — 0,5а) Ма — Мь В - 1 4 1 Ма = — (а — 0,75а2) О (3 — 4а + 1,5а2)
_ qcb Ма — Л'1/; А 1 1 qca Ма — Мь В - 1 + 1 Ма = ab2- С^- (2fe — a) ; Mb = - (2а - 6)]
А = В = -^- 4 Ma^=Mb^-~ql2
А = -2— ql 20 Q В ~ ~2Л~ ql м‘ t * - ж
to а» II II ql2 Л4а= “ 30 Mb = -q- b 20
121
Схема
Схема загружения
Опорные реакции
Опорные моменты
А = 0,433?/
Мадратная
парабола
L
В = 0,233?/
?/2
10
Синусоида
9,=дь1п^
A = J[Ма
Л /
R--1L Ма
Л ‘ I
. 3 т
А-——
3 т
В = --Т —
B=h5m (1 __р2)
А = — В
З?/2
л3
Ма = О при р = 0,577
т
Т
гтпМТТП]
/
А = 4°----
В = В° + -^2-
4°, В° — опорные реакции
в простой балке
--^~—EJ
— угол поворота в
простой балке
чески неопределимой путем удаления лишних связей и заменой их лишними неизвест
ными. Задача, какие из связей считать лишними, в каждом случае имеет множество
решений. Из них надо выбрать то, которое приводит наиболее коротким путем к на
хождению лишних неизвестных. В любом случае основная система должна быть ста
тическн определимой и геометрически неизменяемой.
Однопролетные статически неопределимые балки. На примере расчета однопро
летиой статически неопределимой балки рассматривается один из способов раскры
тая статической неопределимости — способ сравнения деформаций.
Пример. Для балки постоянного сечения, приведенной на рис. 5.25, а, подобрать
двутавровое сечение, если задано: Р = 50 кН (5 тс); а=Зм;6=2м;/? = 210 МПа
122
Продолжение табл. 5.9 >
балки
Опорные реакции
Опорные моменты
л = в = 4-
ма =мь = _^
1а
А = В = -^~
л
Ма = Мь =
2qP
л3
Ма = -^(2а-Ь)
. 6таЬ
А =------~
п 6таЬ
В==~~~~Р~
д __ до МЬ
В — в° 4- '^а
Мь =
та
~Р
(а — 2Ь}
при а = -н- Ма = 0; Мь =
О
ма = -^-(2е«-е«>
Мь= -^-(20»-в2)
(2100 кгс/см2). Коэффициент перегрузки я= 1,2. Решение. Составляем уравнения
равновесия:
%у = А +В —Р^о-,
ZmA = — МА 4- Ра — В1 = 0,
Имеем два уравнения с тремя неизвестными — балка один раз статически не-
определима. Одна из неизвестных — А, В или МА — лишняя. За лишнюю неизвестную
примем опорную реакцию В. Отбросив правую опору и заменив ее неизвестной силой
В, получаем основную систему. В результате имеем статически определимую балку,
123
нагруженную заданной силой Р и неизвестной опорной реакцией В (рис. 5.25, б).
Дополнительное уравнение, выражающее условие совместной работы балки и опоры,
будет:
У в = Увр + Увв = 0.
т. е. суммарный прогиб конца консоли от действия заданной нагрузки и от лишней
неизвестной равен нулю, так как в заданной балке на опоре В прогиба иет.
Прогибы удр (рис. 5.25, в) и увв (рис. 5.25, г) можно определить одним из извест-
ных способов (например, графоаналитическим) или воспользоваться формулами (см.
табл. 5.7): ,
Ра2 В13
УвР = ~6ЁГ — ар‘ Увв = — "ЗЁТ *
Тогда условие совместности деформаций балки получает вид:
Ра3 ВР
6EJ (3 1 3EJ ~°‘
Отсюда и определяется искомая опорная реакция В:
В = -Ра- й) = 21,6 кН (2,16 тс).
Лишняя неизвестная определена, следовательно, статическая неопределимость рас-
крыта. Дальнейший расчет ведется как для обычной статически определимой балки.
Эпюры Мх и — соответственно, в тем и тс — показаны на рис. 5.25, д и е. Наи-
больший изгибающий момент под силой Р. Момент сопротивления определяется из
условия прочности по нормальным напряжениям
,r. М п 432 000 -1,2
w —---------- =-----------—' = 247 см3
ТР R 2100 ’
По таблицам сортаментов принимаем двутавр № 22—а(117г= 254 см3). Опорные ре-
акции и опорные моменты в однопролетных статически неопределимых балках для
некоторых случаев загружения приводятся в табл. 5.9.
Миогопролетные неразрезные статически неопределимые балки
Неразрезными многопролетными балками называют статически неопределимые
балки, опирающиеся более чем на две опоры. В таких балках более рационально рас-
пределяются изгибающие моменты по сравнению с разрезными балками. Все опоры
таких балок должны воспринимать как положительные, так и отрицательные опорные
реакции. Одна из опор в неразрезной балке должна быть обязательно шарнирно не-
подвижной для обеспечения неподвижности балки в горизонтальном направлении
и для восприятия горизонтальной реакции. Все остальные опоры должны быть шар-
нирно подвижными. К категории неразрезных балок относятся также и балки с за-
делками на одном или двух концах. Степень статической неопределимости неразрез-
ной балки, у которой все опоры шарнирные, равна числу промежуточных опор.
124
Для расчета неразрезных балок может быть применен способ сравнения дефор-
маций, но этот способ даже для трехпролетных балок становится очень громоздким.
Гораздо проще рассчитывать неразрезные балки, принимая за лишние неизвестные
изгибающие моменты в опорных сечениях. При этом статическая неопределимость
сравнительно просто раскрывается с помощью уравнений трех моментов.
Уравнения трек моментов. Вводятся следующие ограничения: все опоры нераз-
резной балки лежат на одной прямой; балка имеет постоянную жесткость по всей дли-
не; все опоры балки неподатливы в верти-
Рис. 5.26.
Рис. 5.27.
Основную систему выбирают путем введения шарниров в сечения вад промежу-
точными опорами, а также в жесткие заделки, если они есть. Каждый пролет преоб-
разуется в простую балку, свободно лежащую на' двух шарнирных опорах, а вся
иеразрезная балка заменяется рядом таких балок. Чтобы условия работы балки не
изменились, к опорным сечениям однопролетных балок прикладываются моменты,
заменяющие влияние отброшенных частей. Лишними неизвестными задачи и являют-
ся эти опорные моменты. Их число равно степени статической неопределимости балки.
Опорный момент считается положительным, если он изгибает примыкающий к
отрицательным — если
выпуклостью вверх
(рис. 5.26). Опорные моменты опреде-
ляются путем решения системы урав-
нений трех моментов (5.31). Эти урав-
нения получены из условия непрерыв-
ности изогнутой оси многопролетной
опоре пролет выпуклостью вниз,
Рис. 5.2S.
Рис. 5.29.
балки на опорах и выражают зависимость между опорными моментами трех сосед-
них опор. Для любой опоры это условие удовлетворяется, если изогнутые оси двух
смежных пролетов имеют общую касательную на этой опоре, т. е. угол наклона на пра-
вом конце пролета п равен углу наклона на левом конце пролета ft + 1. Для балки,
имеющей постоянную жесткость по длине, уравнение трех моментов имеет вид:
-VA + 2М„ (ln + Z„+1) + Mn+iln+l = - 62?*, (5.31)
где Мп_1, Мп и — моменты на опорах п — 1, п и п + 1; 1пп 1п^ — длины ле-
вого и правого пролетов (рис. 5.27); 2?* — суммарная фиктивная реакция на опоре
п от фиктивной нагрузки, действующей на левом и правом пролетах (рис. 5.28),
равная:
пФ___ пФ । лФ
‘'П — ап + АП-|-1 — 7 Н f j
1п 1п+1
где (1)п и — площади эпюр изгибающих моментов от заданных нагрузок соответ-
ственно в* левом и правом пролетах, рассматриваемых как простые балки на двух
шарнирных опорах; а и b — расстояния от центра тяжести грузовой площади со соот-
ветственно до левой и правой опор. Эти данные для различных случаев загружения
приводятся в табл. 5.6, а фиктивные опорные реакции — в табл. 5.10. Уравнений трех
моментов составляется столько, сколько неизвестных опорных моментов. Опоры и
включенные над ними шарниры рекомендуется нумеровать слева направо так, чтобы
№ 1 имела опора, над которой действует первый статически неопределимый опорный
125
Таблица 5.10. Фиктивные опорные реакции для различных случаев
загружения действительной балки
Схема балки и нагрузки аФ зФ
|Р
АД t/2 1 -1 Р/2 16 P/2 16
|Р
А-ГГ Т ' d 'Ь-й. Ped (1 + d) Ped (l + c)
"" 7 . xil □4
|/> 1Р
ЯД f | (- 2ql С ‘ 1 С Pc (I — c) 2 Pc (I — c) 2
|Р |Р |Р 5 5
^/4 j .. _p/a 32 -——Pl2 32
Ипгшшпши^Я ql9 ql3
L • । 24 24
АЙО t 324 ql 324 qP
13 /3 648 ql 13 /3 648 q
‘ L 1 ‘ ‘J
a tn II ±221 qkd (I* — d^ — qkc (l2 — d2 — k2)
аА" V к да 3/ 31
1 - "т “а - •=•. .
птттг^^ 3 ra 7 /3
A-v- 128 q 384 q
Продолжение табл. 5. 10
Схема балки и нагрузки дф вФ
7 t/f p —^B j/£T 17 73 256 q 35 /3 768 ql
.«сгхзИ! L 360 ql 4-’p
h "А Ц/2_ J/2 jy5 > 192: ql 192 ql
'лЛ^ fj/2^ - ql3 64 ql3 64
Л2М z^q 2880 ql 2880 ql
Ц - - -q d qc2l / 12c2 360 (. I2 -45-^- +40^ <e ® ^ьэ ^”01"’ Co *4^
4ятт Квадрат- мая паренола t ШЙ ql3 20 ql3 20
м, " t w. —3s —ЯГ (2Mt + M2) I 6 (Mi + 2M^l 6
м j л® Ml 3 Ml 6
127
Продолжение табл. 5. 10
Схема балки и нагрузки .4* ' в*
d м
с 4s Md 2 Md 2
момент. Поэтому крайняя левая шарнирная опора нумеруется нулем, а момент Мп,
входящий в первое уравнение, равен нулю или заранее известной величине (например,
опорному моменту консоли). Каждое уравнение трех моментов связывает опорные
моменты двух смежных пролетов и составляется для каждой пары пролетов относи-
тельно опоры, находящейся между этими пролетами (рис, 5.29).
Для составления уравнения трех моментов относительно опоры-защемления
часто заменяют эту опору шарниром и вводят дополнительный пролет (рис. 5.30).
Рис. 5.30.
Этот пролет не нагружен и длина его равна нулю. При защемленном левом конце бал-
ки шарнирная опора в основной системе, заменяющая это защемление, нумеруется
Ms 1, и первое уравнение получается из (5.31), полагая п = 1, Мо = 0 и = 0:
2Л41/1 + М212 = — 6 —3-а- .
2
Если правый конец балки защемлен, то последнее уравнение записывается анало-
гично.
Если моменты инерции сечений, будучи постоянными по длине каждого пролета,
в различных пролетах различны, уравнение трех моментов имеет следующий вид:
z / 1 I \ / / йФ Д Ф \
^«_1#+2М-Г- + -Г±Ч+Л1'Ч-1 -^- = -6 -г- + ~Г±к ‘ (5,32)
Jn \ Jn •'/i-i-l / J/i-|-l \ Jп J/i4-l /
Здесь Jn и — моменты инерции сечений левого и правого (относительно
опоры п) пролетов; остальные обозначения те же.
Порядок расчета неразрезных балок. 1. Над всеми промежуточными опорами
(а также над концевыми, если они — заделки) вводятся шарниры и прикладываются
опорные моменты. 2. Каждый пролет неразрезной балки рассматривается как простая
балка на двух шарнирных опорах, для которой строятся эпюры изгибающих момен-
тов Л4® и поперечных сил от заданной внешней нагрузки, действующей в преде-
лах этого пролета. 3. Вычисляются площади эпюр Л1® (грузовые площади со) н на-
ходятся положения их центров тяжести а и Ь. 4. Составляются уравнения трех мо-
ментов. 5. Решается система уравнений трех моментов и определяются неизвестные
опорные моменты. 6. Определяются опорные реакции заданной неразрезной балки:
Мп ^/1-|-1
М,
Rn=Bon+A°n+l+~
h
п— 1
'П
(5.33)
128
где и — реакции от пролетных нагрузок правой опоры левой балки и левой
опоры правой балки; две другие составляющие — реакции от опорных моментов
(рис. 5.31). Статическая неопределимость раскрыта. Дальнейший расчет — обычен.
7. Определяются изгибающие, моменты и строится их эпюра. Изгибающие моменты
в любом сечении х неразрезной балки определяют по формуле:
,. .-л , Мп Мп—1 , .
/Их = Мх - х - (1п х).
(5.34)
Эпюра изгибающих моментов получается суммированием эпюры опорных моментов
и эпюры моментов в простой балке (пролета) от пролетной нагрузки М°. 8. Опреде-
ляются поперечные силы и строится их
эпюра. Формула для определения попереч-
ной силы в сечении х п-го пролета нераз-
резной балкн:
QX = Q° + AQ. (5.35)
Эпюра поперечных сил получается из эпю-
ры Q° путем суммирования «добавки», учи-
тывающей влияние опорных моментов:
Д<2 =
М-п Мп_ j
I
9. Проверяется правильность решения.
Изогнутая ось неразрезной балки непре-
рывна на опорах, т. е. взаимный угол по-
ворота сечений левее и правее данной опо-
ры равен нулю. Отсюда вытекает условие
для проверки правильности решения зада-
чи: эпюра в пределах двух смежных
пролетов неразрезной балки верна, если
Рис. 5.31.
алгебраическая сумма фиктивных реакций на средней опоре п равна нулю (фиктив-
ной нагрузкой является окончательная эпюра Мх). Таких проверок необходимо произ-
вести столько, сколько раз статически неопределимая балка. Заметим, что равенство
нулю суммы проекций всех сил (нагрузок и опорных реакций) — в данном случае
условие необходимое, но недостаточное.
При наличии многих пролетов может быть рекомендован следующий прием,
упрощающий решение системы уравнений трех моментов (пункт 5).
Для k пролетной балки имеем k — 1 уравнений трех моментов:
-|- /3) 4~ Л4212 =
+ 2Л42 (12 4~ /3) -|- Л43?3 — с2;
+ 2М3 (Z3 + (4) Д- М4/4 = с3;
Mk_3lk_2 + 2Mk_2 \lk_2 + /А_;) + 44ft_1ZA_I = с,;_2;
М/г—2^—1 + + Ik) = с4_(.
04
а2
а3
а/г-2
а/г-1
(а)
Помножим эти уравнения на пока произвольные параметры а и сложим их почленно.
[2 (/4 -j- /2) а4 -|- l2a2j .Vf j -|- [/2а4 —|— 2 (/2 —13) а2 lsa3] Мг 4- 1 - ’
• ‘ + 2 (!k_t + Ik) afe_t] —
— ciai + CA + csa3 + ‘
(b)
5 2-256
129
Подберем множители а так, чтобы коэффициенты при Мп в уравнении (б) обратились
в нуль:
2 (It + Za) + Z2a2 = 0;
l2oti + 2 (Z2 + Za) a2 4- Z3a3 = 0;
Z3k2 + 2 Os + h) аз + — 0; | (c)
hl—2ak—3 + 2 Uk—2 + h— 1) ak—2 + h— lafe— 1 = O’
Получаем систему k — 2 уравнений c k — 1 неизвестными a. Так как число парамет-
ров а на единицу больше числа уравнений, то одним из них можно задаться произ-
вольно. Обычно принимают a4 — 1. Тогда, решая систему (с), находим:
«2 = — 2 /—-+ 1) ; и3 = —2/А-+i'jag—af.
\ *2 / \ *3 / *3
Вообще
____ Л —1 . 1
= - 2 —--------Ь 1 а„_]------------а„_2»
\ 1п /
Вычислив параметры а, записываем уравнение (ft):
k— 1
[Z*_,a*_2 + 2 (Zfe_i + Zfe) «/;._[] Л^/г—i = S Cia‘i'
Отсюда непосредственно находим опорный момент 34ft_j:
k— 1
У ciai
k~~' lk-lak-2 + 2 (lk-l + lk) 0^-1
Определив момент из последнего уравнения системы (а) находим момент
Mk_2, из предпоследнего — момент Mk_3 и т. д. При этом каждый раз приходит-
ся решать одно уравнение с одним неизвестным (см. пример расчета).
Пример расчета неразрезной балки
Подобрать двутавровое сечение четырехпролетной неразрезной балки, показан-
ной на рис. 5.32, а, если !л = 6, Z2 = 10, l3 = 4, /4 = 8 м; с = 2 м; = 3, Р2 — 2 тс,
q = 0,6 тс/м; п — 1,2; Л? = 2100 кгс/см2. Решение. Балка трижды статически неопре-
делима (три промежуточные опоры). Над всеми промежуточными опорами вводим
шарниры и прикладываем неизвестные опорные моменты. Тем самым вместо заданной
статически неопределимой балки рассматриваем четыре простые балки, лежащие
на шарнирных опорах и загруженные, кроме нагрузок в пролете, опорными момен-
тами (пока неизвестными). Записываем уравнения трех моментов для каждых двух
смежных пролетов. Имея в виду, что Ма = Л14= 0, получаем систему трех уравнений;
32/И, 4- 10Л42 = —
lOAlj 4- 28Л42 4- 4М, = — 6/?*;
4Л4а 4- 24Л43 = — .
Строим эпюры изгибающих моментов Л4° и поперечных сил Q° для каждого пролета,
рассматривая его как простую балку, свободно лежащую на двух шарнирных опорах
(рис. 5.32, в, г). Определяем правые части уравнений трех моментов. По табл. 5.10
находим
= в* + 4 = (Z? - с2) 4- 4г = 4-5
vtj Z^r □
130
/?*= S*+ 4= -§--25;
4 = sf-+4* = -^L(z4_C) = J2.
Подставляем полученные данные в уравнения трех моментов и решаем систему урав-
нений:
16Mf +5М2== — 91;
5Л11 + ИЛ12+2Л13 = —75;
Мг + 6Л43 = — 18.
Для решения этой системы
применим прием, рассмотрен-
ный выше. В нашем случае:
= - 6flf = - 6 =
= — 182;
с2 = — = — 6 . 25 =
= — 150;
с3 = — 67$ = — 6 . 12 =
= —72.
Принимаем а4 — 1, тогда
а2 = — 2 1-~ Л = — 3,2;
\ 2 /
! Ц \
а3 = — 2 у- + 1 аа —
\ *3 /
— А а4 = 19,9.
С
Определяем М3 по формуле
(d)
С1Ж1 ~Ь саа2 4~ сзаз
+ 2 (/3 4~ Z4) а.
1134,8
464,8
= — 2,441 тем.
Подставляя Л13 в третье уравнение системы уравнений трех моментов, получаем Л42 =
= —3,351 тем, а подставив Л42 в первое уравнение, находим. Л14 = —4,64 тем.
Проверка решения системы производится путем обратной подстановки корней
Mlt М2 и Л13.
Построение эпюр Мх и Q.t неразрезной балки. Сначала построим эпюру опорных
моментов. Откладывая в масштабе величины опорных моментов Л40 = 0; Л14 =
= —4,64 тем; Л12 = —3,351 тем; М3 = —2,441 тем; Л44 — 0 и соединяя эти ординаты
прямыми (рис. 5.32, д, пунктир), получаем эпюру Л4ОП. Эпюру изгибающих моментов
Мх неразрезной балки получаем суммированием эпюр М° и Л40П (рис. 5.32, д). Ор-
динаты характерных точек этой эпюры определяем по формуле (5.34). В первом про-
лете под силой Pi (х = с = 2 м; = 6 м; Л4° = 4 тем, опорный момент на левой опо-
ре Л40= 0, на правой Л41 = —4,640 тем):
4 64
Мх = 4-------. 2 = 2,453 тем.
5«
131
По середине второго пролета
„ _ 3,351 _ 4,64 _ „
Мх = 7,5 — —jo— • 5---------до— » 5 = 3,504 тем.
В четвертом пролете под силами Р2
.. . - 2,441 -6 о ,рп
Мх = 4----------з---= 2,169 тем;
О
2 441 • 2
Мх = 4— ~ = 3,39 тем.
О
Найдем максимальный изгибающий момент во втором пролете. Для этого запи-
шем выражение изгибающего момента в этом пролете
м _ „ У*- । М2 , Мг(12 — х)
Мх-—х- 2 + х±
или, подставляя данные задачи,
Мх = — 0,Зх2 + 3,13х—4,64,
Продифференцируем это выражение по х и приравняем его нулю:
— О,6хо +3,13 = 0.
Отсюда абсцисса сечения, соответствующего экстремальному моменту, определяется
3,13 _ Ч 09
х° “ ~о7Г ~ 5,22 М-
на. Для построения эпюры Qx
зываемые действием опорных
Подставляя х0 в выражение момента, получаем
= — 0,3 • 5,22а + 3,13 « 5,22 — 4,64 = 3.524 тем.
Ординаты эпюр поперечных сил определяем по (5.35). Эпюра Q° уже построе-
неразрезной балки вычисляем поперечные силы, вы-
моментов:
п
Для
первого
пролета
А«т= - 6
— 4,640
= — 0,77 тс;
для
второго
AQ3
-3,351 + 4,640 .
------IO------=0,13 те;
для
третьего
AQ3
— 2,441 4- 3,351
= 0,23 тс
4
и для четвертого
AQi
2,441 ПТ1 ™
—-— = 0,31 те.
о
Прибавляя AQ к эпюрам Q°, получаем эпюру Qx (рис. 5.32, е). Опорные реакции
заданной неразрезной балки определяются по формуле (5.33). Если эпюра <+ постро-
ена, их также можно определить по «скачку» эпюры на дайной опоре:
где Q” и — ординаты эпюры Qx, взятые бесконечно близко к опоре п, соответствен-
но правее и левее опорного сечения; Ro = 1,23 тс; Rj = 3,13+ 1,77 = 4,9 тс; Да =
= 0,23 + 2,87 = 3,1 тс; 7?3 = 2,31 — 0,23 = 2,08 тс; /?4 = 1,69 тс.
132
Проверка: сумма фиктивных опорных реакций на данной опоре должна быть
равна нулю.
Рассмотрим опору № 1 (рис. 5.33). Фиктивные опорные реакции от фиктивной на*
грузки М° и от опорных моментов определяются по табл. 5.10.
. Р,с — са) 2ЛМ?
вФ = 1 ----L 4- ±^1. = _ 3,95;
Ф , (2Mf + Mg)Za
Л2 — 24 + 6 d’95.
дФ = В? + Af = 0.
Диалогично производится проверка на
опорах 2иЗ. Как видно из эпюры Мх,
наибольшим по абсолютной величине
изгибающим моментом является момент
над опорой 1; по нему и подбирается
сеченне балки.
Определяем требуемый момент сопро-
тивления двутавра: »
М п 464 000 -1,2
^тр - ~ 2100
— 265 см3.
По таблицам сортамента прокат-
ной стали принимаем двутавр № 24,
которому соответствует момент сопро-
тивления — 289 см3.
Пример. Для балки постоянной
жесткости, показанной на рис. 5.34, а,
построить эпюры изгибающих моментов
и поперечных сил. Р = 10 кН (1 тс),
Рис. 5.33.
9=8 кН/м (0,8 тс/м), I = 6 м. Решение. Балка один раз статически неопределима.
Отбросим коисоль и заменим ее влияние на балку моментом /И2 = —20 кНм (—2 тем).
Для удобства составления уравнения трех моментов добавим нулевой пролет — 0,
а в заделку введем шарнир и приложим момент Л4г (рис, 5.34, б). Неизвестным зада-
чи является момент Л4Г Составляем уравнение трех моментов:
Molt + 2ЛД (Zf + Z2) + Л4а/а = - 6 (Bf + 4*)
или, подставляя данные задачи и имея в виду, что = 0, Л40 = 0 (по условию задачи
также В* = 0)
12Л4^ — 12 = — 6А*.
Определяем фиктивную опорную реакцию А^. Для этого строим эпюру изгибающих
моментов от пролетной нагрузки (рис. 5.34, в). Тогда А!§ равна половине
133
Таблица 5.11. Изгибающие моменты, поперечные силы и опорные реакции от
ра-^лицныу нагрузок в равнопролетных неразрезных балках
Условная схема загружения про- летов Моменты, по- перечные си- лы и опорные реакции Вид нагрузки в загруженных пролетах
x-Ofi ±e,5i о. L/2'1/2^ ,1/3.U'j tL/3 L/2 , If tnr | ~
1111 ГПТРП - J К ! "I L
L ' 1 4 \ L if,
1МЦ fc-l г-
-ф / А- ? Ж Сфд Aljj М12 Л'‘В (мин) Д = D °(макс) Q1B (мин) О.О?^2 —0,1257? 0,3757/ 0,257/ —0,6257/ 0,156Р/ —0.188Р/ 0,313Р 1,375Р —0,688Р 0,222?/ 0,111?/ —0,333?/ 0,667? 2,667? —1,333? 0,0487/2 —0,0787/2 0,1727/ 0,6667/ —0,3287/
-f- 1 ~ 2 Zs= А А С ^11 (макс) /И, -, 12макс Мв А = = ^)Л(макс) 0,09б7/2 —0,0637/2 ОЛЗ87/ 0.203Р/ —0,094/5/ 0,406? 0,278?/ 0,222?/ —0,167?/ 0,833? 0,0657/3 —0,0397/2 0,2117/
-ZX- у Л -А. X 1 ~в д' д Н /5 s a 2 S - - сд || СУ з=>~4 и —0,063?/ —0,047Р/ —0,094Р —0,056?/ —0,111?/ —0,167Р —0,0187/2 —0,0397/
О <> II Y 'Д S Я S «5 II щ щ 1 ^255^ ЧОО 11 0,087/2 0,025?/2 —ОД?/2 0,4?/ 1,1?/ —0,6?/ 0,5?/ 0,175Р/ 0,1Р/ —0,15Р/ 0,35? 1,15? —0,65? 0,5Р 0,244Р/ 0Д56Р/ 0,067Р/ 0,067Р/ —0,267Р/ 0,733? 2,267? —1,267? 1,0? 0,0547/2 0,0217? —0,0637/2 ОД887/ 0,5637/ —0,3137/ 0,257/
А рГр р
•Ь-1 ?Д А С J) ^П(макс) ^12(макс) ^21(мин) М22(мин) Л4о £5 А = ^1Л(макс) 0,101?/2 —0,05?/2 —0,05?/2 0,45?/ 0,213?/ —0,075?/ —0,075?/ 0,425? 0,289Р/ 0,244?/ —0,133?/ —0,1 ЗЗР/ —0,133?/ 0,867? 0,0687/2 —0,0327/2 —0,0327/2 0,2197/
134
Продолжение табл. 5.11
Условная схема загружения про- летов Моменты, по- перечные си- лы и опор- ные реакции Вид нагрузки в загруженных пролетах
Л l_f/2. i/2 1 1/2. ЗГА/
ГТ T Г—± A l Lt fo
дг^-тА А В С Л — s s а? а 3 В 3 s 8 S S 5 S’ д щ II 01 5= s: II 0,075с?/2 —0,05с?/“ —О.Обсу/ —0,038Pl 0,175 Pl —0,075P/ —0.075P —0.044Р/ —0.089Р/ 0.2PZ 0,2P/ -- ОДЗЗР/ —0,133P —0,0147/2 0,0527/2 —0,0327/2 —0,0327?
.Л< jX 27kjA Д В с в ‘^Амин) п °(макс) *21В(мин) ^2В(макс) —0,117 ql2 —0,033ql2 l,2ql —0,6177/ 0,5837/ —0.175Р/ —0.05Р/ 1,3P —0.675P 0,625P —0,311 Pl —0.089PI 2,533P —I.311P 1.222P —0,0737/2 —0,0227/2 0,6267? —0,3237? 0,3037?
_Af А/АуА А В С JJ ^В(макс) Q 1В(макс) $2В(мин) —0,0177/2 —0.0677/2 0,0177/ —0,0837/ 0.025Р/ —0,1 Pl 0,025 P —0.125P 0.044Р/ —0.178Р/ 0,0 44P —0,222P 0,0117/a —0,0427/2 0,0117/ —0,0537/
площади эпюры Л4®:
Л 2 = ' 3,6 • 6 = 7,2 тем2.
Z о
Подставив Л| в уравнение трех моментов, находим Д4Г = —26 кНм (—2,6 тем). От-
кладывая под левой опорой момент—2,6 тем, под правой — 2 тем и соединяя эти
ординаты прямой (на рис. 5.34, г, пунк-
тир), получаем эпюру опорных моментов. о ! ЕР Const 2 J Е
Теперь на эпюру опорных моментов «надо- _А~ "7" ~7~ ~5_
жим» параболу ,М° и достроим эпюру в
пределах консоли. Это и будет окончатель-
ная эпюра изгибающих моментов в тм ь>ис- °-35.
(рис. 5.34, г).
Чтобы получить эпюру поперечных сил, сложим эпюры Q” от пролетной нагруз-
ки и от опорных моментов (рис. 5.34, д)
AQ = - 2-°б+ 2’6. = 0,1 тс; Qx = Q° + AQ.
Равнопролетные неразрезные балки. В частном случае, когда /х = 12 = /3 = Z4 = I
и EJ — const по всей длине балки (рис. 5.35), формулы опорных моментов при про-
извольном загружении следующие:
двухпролетная балка
М1 = --|-(В*-А*);
135
Таблица 5.12. Интенсивность эквивалентной равномерно распределенной нагрузки
q3K для определения Л10п
трехпролетная
Mi = - — И (В?+ 4) - В* - Л*];
О
М2 = - — S*- А* + 4 (В* + Af)]f
четырехпролетная
Л41 = - [15 (В* + Af) - 4 (В* _|_ ДФ) + B*+
О
Л42 = --уг[- ВФ-А* + 4(ВФ+A*)-B*-A*j;
Л43 = - [В? + А*- 4 (В* + А*) + 15 (В* + А*)].
Здесь А* и В*— фиктивные опорные реакции, зависящие от пролетных нагрузок
(см. табл. 5.10). Выше приводится табл. 5.11, позволяющая определить максималь-
ные (наибольшие по абсолютной величине положительные) и минимальные (наимень-
шие по абсолютной величине отрицательные) значения пролетных и опорных мо-
ментов, поперечных сил и опорных реакций от различных нагрузок. В индексах при
М первая цифра обозначает пролет, вторая — место приложения груза. В индексах
при Q — цифра обозначает номер пролета, а буква — опору. Если на балку действу-
ет нагрузка, отличающаяся от приведенной в табл. 5.11, ее следует заменить на
эквивалентную равномерно распределенную <?эк (принимается по табл. 5.12).
136
Влияние осадим опор
В неразрезных статически неопределимых балках при неравномерных смеще-
ниях опор возникают дополнительные напряжения. Допускается, что эти напряже-
ния не превышают предела пропорциональности и закон Гука сохраняет силу. Урав-
нение трех моментов при расчете на осадку опор балки:
незагруженной
Мп^1п + 2Мп (ln + /„+1) + Mn+tln+t = - 6EJ (&п>/г - 0,гл+1), (5.36)
загруженной
+ 2Мп (ln + Z^) + =
= -6(B*+A*+1)-6£J(0rii„-
- &п>п_х). (5.37)
Здесь &п п и 0,vi+1 — углы наклона
левого 1п и правого пролетов, возни-
кающие в основной системе от заданного
смещения опор 6 (рис. 5.36). При этом,
ввиду малости углов, их заменяют танген-
сами:
Разность углов наклона пролета слева и справа от опоры составляет угол перелома
на данной опоре <р,г
Таблица 5.13. Коэффициенты к для определения опорных моментов
по формуле (5.38)
Схема балки Опорные моменты При осадке опоры
А в с D Е F
Л в с 4 мв — 1,5000 3,0000 — 1,5000 — —- —
л й с л мв —1,6000 3,6000 —2,400 0,4000 II
мс 0,4000 —2,4000 . 3,6000 —1,6000 —— —•
Мв — 1,6072 3,6429 —2,5714 0,6429 —0,1072 —
л 8 С Л Ё Л4Г 0,4286 —2,5714 4,2857 —2,5714 0,4286 "
ViW MD —0,1072 0,6429 —2,5714 3,6429 — 1,6072 —-
мв — 1,6075 3,6453 —2,5826 0,6882 —0,1721 0,0287
А В С J £ F Мс 0,4306 —2,5836 4,3346 —2,7558 0,6890 —0,1148
MD —0,1148 0,6890 —2,7558 4,3346 —2,5836 0,4306
МЕ 0,0287 —0,1721 0,6882 —2,5826 3,6453 —1,6075
13Z
Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках при осадке опор опреде-
ляются по формуле:
F /
Мп = k Ьп. (5.38)
Коэффициенты k приводятся в табл. 5.13.
НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ НА УПРУГО ПОДАТЛИВЫХ ОПОРАХ
Общий подход к расчету неразрезных балок с помощью уравнений трех момен-
тов распространяется и иа случай расчета балок на упруго податливых опорах. Здесь
вместо уравнений трех опорных моментов рассматриваются уравнения пяти опорных
моментов. Под податливостью опоры понимают осадку этой опоры под 'действием
единичного груза. Податливость n-й опоры обозначается еп и измеряется в см/кгс.
Осадка n-й упруго податливой опоры (прогиб над опорой п) равна: ']
Рис. 5.37.
где V° — давление на n-ю опору в предположении шарниров над опорами. Углы пе-
рекоса пролетов, обусловленные осадкой опор и непосредственно зависящие от на-
грузки, действующей на балку, выражаются:
Ч'я — — (Уп Уп—\У' ^+1----------, I . (^4-1 Угг)-
1п 1п । 1
Дополнительный угол перелома над опорой п, связанный с осадкой опоры (дислока-
ция), равен разности углов перекоса (рис. 5.37):
®п°П — ^«4-1 — — ~j-----(^«4-1 — Уп) т~ (Уп Уп—1)-
1п+1 1п
Для балки, имеющей разную жесткость в разных пролетах, ио постоянную в пре-
делах каждого пролета, из условия неразрывности упругой линии получено уравне-
ние пяти опорных моментов.
^п—2®п,п—2 ^п—1®п,п—1 4" '^п4-1®п,п4-1 + ^ri4-2®rt,n4-2 4~ ®пр
где
(5,40)
й = —д.
п-п 3EJn
0 , = п -
^4-1 , Г еп—1
3^44-1 12п
/ 1
’«(т-
\
grc+l 1.
/2 *
414-1 J
138
... __ ^+1________Г &П ( I ;__________i \ I Е ftj-l ( 1___г I \
п,п+1 6EJn_^t 4г-Н у ln hi—i J ^7-Н \ hi^-l ^п-\-2 J
0 = Е,1+1 •
'~’п,п4-2 / / ’
^г+Ггг+2
0пр = R* + V°_, -^- - У°пгп U- + у-Ц + у° , .
1П у 1П ‘п-j-l у гп+1
Для частного случая равнопролетной балки постоянной жесткости уравнение пяти
опорных моментов упрощается:
М„—2а + Мп—1 (1 — 4а) + Мп (4 6а) 4- Mn+i U — 4а) 4- Л4га4-2а ~
= - -----aZ (уо_1 _ 2VO + Vo+1)( (5,41)
1 tl 1п+1
6EJe
где а = —р—, и„ и — площади эпюр моментов М ° от нагрузок для п и
п 4- 1 пролетов, считая пролеты как простые балки.
НЕРАЗРЕЗНЫЕ РАВНОПРОЛЕТНЫЕ БАЛКИ
С СИММЕТРИЧНЫМИ ВУТАМИ
На рис. 5.38 представлена неразрезная балка с симметричными вутами. Обозиа-
- а __________ J . г ц/
чения: л = —, п = —т—. Уравнение трех моментов для равнопролетных балок с сим-
Z J Q
метричными вутами:
Mn_t + 4рЛ4п 4- Mll+i = (5.42)
Коэффициент р зависит от л и для различных п имеет различные значения (табл. 5.14).
L и R — грузовые члены. Для некоторых видов загружения они приводятся
в табл. 5.15.
Таблица 5.14. Коэффициенты р
X, п
1,0 0,33 0,20 0,10 0,05 0,02
0,5 1,00 0,815 0,768 0,703 0,652 0,600
0,4 1,00 0,792 0,743 0,676 0,656 0,583
0,35 1,00 0,791 0,744 0,680 0,635 0,594
0,30 1,00 0,798 0,752 0,692 0,651 0,616
0,25 1,00 0,810 0,768 0,744 0,677 0,646
0,20 1,00 0,830 0,793 0,746 0,714 0,686
0,15 1,00 0,857 0,826 0,788 0,761 0,738
Пример. Определить опорный момент для двухпролетной балки, показанной
на рис. 5.39, если q — 20 кН/м (2 тс/м); I = 6 м; п = ~ = 0,2; К = -у- — 0,25;
*/о
а = 1,5 м. Решение. Составляем уравнение трех моментов относительно опоры № 1
(Мо = 0, М2 = 0):
L 4” R .
г- j .
'•139
Таблица 5.15. Грузовые члены L и R для некоторых видов загружения
Схема нагрузки Грузовые члены
i a i 6 L = “T^ (1' + a) R=-^~ (1+ b)
г Ip
•Д- f -^4-. I- L- 4
p II £ Qi 1 || m I00 <i II
-4- A
г г JT 5 1 7\ —им II " Qi и и
q- L = R = = 3Pa (/ — a)
,4 gn'1"'/11 IJA H ‘ q L = R = 4
Jqil.LllH— -T r / - L “ 2 Д1 a2 \ 2 / R = qa2l ^1 — _a\2 2 /
, _l/2, , ш i ink № 1 1 i JV 1— ЯГ 7 L = -2-r- qR 64 9 R ~ ~6T
Схема нагрузки Грузовые члены
L = /?= 5|Lx X (3Z — 2a)
L^XjJZO ~ T1 * " 7 L^R =
.^-ггггт'ТК q- '4”
дгтТГТТО l-4(7’“+ + &lb)
др» L qg R^4o{8qa + + 7qb)
L = mal + 2mbl
R = mal + mbl
L — ml
R = 2ml
L =ml(l — За2)
R = — ml (I — 3p2)
Для опоры A
R=—Pal
Для опоры A
R = —
qa'2l
~2~
140
Рис. 5.39.
грузовые члены L н R определяются по табл. 5.15, j.i — 0,768. Тогда Mf —
2 • 6?
8 • 0,768
8р
= —117 кНм (—11,7 тем). Дальнейший расчет обычный.
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛКАХ
Прогибы и углы поворота в статически неопределимых балках определяются
методами, основы которых приведены выше. При этом исследуемый пролет нерДзрез-
ной балки рассматривается как простая балка, свободно лежащая на двух Шарнир-
ных опорах и загруженная, кроме заданной пролетной внешней нагрузки, сосредо-
точенными моментами, приложенными к опорным сечениям этой балки. Величины
опорных моментов равны изгибающим моментам на опорах и берутся из эпюфй Л4г.
Для некоторых типов статически неопределимых балок формулы прогибов приведены
в табл. 5.16.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
ПО РАЗРУШАЮЩИМ НАГРУЗКАМ
При расчете балок по наибольшим напряжениям опасным считается такое со»
стояние, когда наибольшие нормальные напряжения в наиболее напряженном сече-
нии балки достигают предела текучести, а для хрупких материалов — предела проч-
ности. Но при этом грузоподъемность балки
еще не исчерпана, так как во всех других во-
локнах этого сечения, а также в других~сече-
ниях балки напряжения меньше опасного.
При дальнейшем увеличении нагрузки на бал-
ку эпюра напряжений в опасном сечении из-
меняется, проходя упругую и упруго-пласти-
ческую стадии. И лишь когда по всему сече-
нию напряжения будут равны пределу теку-
чести, грузоподъемность сечения будет пол-
ностью исчерпана. Такое сечеиие, в котором
все волокна испытывают текучесть, называет-
ся пластическим шарниром (или шарниром
пластичности). Образование одного пластичес-
кого шарнира понижает степень статической
неопределимости балки на единицу, но еще
не исчерпывает грузоподъемность всей кон-
струкции. Полному исчерпанию грузоподъем-
ности балки соответствует образование не-
скольких пластических шарниров, превращаю-
щих балку (или ее часть) в геометрически
изменяемую систему.
В расчетах по разрушающим нагрузкам
принимается гипотеза об идеальной упруго-
пластической работе материала: до предела
Рис. 5.40.
И1
Таблица 5.16. Наибольшие прогибы однопролетных статически
неопределимых балок
Схема балки
Схема нагрузки
При х = а
_ Ра№ (За 4- 4&)
У~ 12PEJ
При х — а
Ра3№
f зз; . _
3PEJ
^ = 0.00933^-
при х = 0,553/
7Р/3
^-768ЁТПРИХ = О>5/
qft
Унзм = 185£/ ПРИ х = °>579/
У = ^ЁГ при X==O’5Z
У - Р1&
i/макс 192£7
при х = 0,5/
V -
»макс 384£7
при х = 0,5/
7ql*
,ако ~ 3840Е7
при х = 0,5/
у - f/макс 327,8Р/ у - qli f/макс 764Я/
-^ГТП;СШ при х — 0,598/ при х = 0,525/
У~ 349EJ ПРИ X"°’5Z <//* У ~ ~768£/ ПрИ Х =
у - »мако 419PV и - г/мако 764EJ
йиПТт-гт-г^ при х = 0,553/ при х = 0,475/
S-M о/1 У — -Лг>с ПРИ х = 426, бЯ/ У== 7Q8EJ ПРИ Х-°’51
<i /пр1
//макс == 27 EI
2 /
при X = -у- к
142'
текучести напряжения следуют закону Гука, площадка текучести безгранична (см.
рис. 2.10).
Пример. Определить разрушающую нагрузку для балки, показанной на
рис. 5.40, a. = 1г = I, EJ = const по длине всей балки. Решение. С помощью урав-
нения трех-моментов находим опорный момент Mf — —Pt и строим эпюру изги-
бающих моментов (рис. 5.40, б). Наиболее напряженное сечение — k — под силой Р.
В нем ожидается появление первой текучести в крайних волокнах. Из условия
13
lV'(jr = Л4макс ^1макс^
находим значение силы, прн которой это произойдет!
_ 64Гот
*1макс J3/ ‘
Эпюры нормальных напряжений при Р = Р1м;, кс в сечениях k и 1 показаны на
рис. 5.50, в. С увеличением силы пластические зоны распространяются вглубь сече-
ния (рис. 5.40, г), что приводит к появлению пластического шарнира в этом сечении
(рис. 5.40, д). Балка превращается в статически определимую с шарниром в сечении
k. Но грузоподъемность балки еще не исчерпана. При дальнейшем возрастании на-
грузки увеличивается момент над средней опорой и при Р = /’гмакс в этом сеченик
образуется пластический шарнир. Теперь грузоподъемность конструкции полностью
исчерпана, она превращается в геометрически изменяемую систему. Схема балки и
эпюры моментов и напряжений в пластических шарнирах показаны на рис. 5.40, е,
ж. Разрушающая нагрузка определяется из равенства изгибающих моментов в двух
наиболее напряженных сечениях /Ги 1.J
^2 макс3 3 jp -
----4---= — Мр =-у ГР°т.
где Wp = 2SMaKC—для симметричных относительно нейтральной оси сечений; Wp =
~ ^сж“Ь ^рас — для несимметричных сечений. Отсюда
_ 6Грот
'2 макс /
Разрушающая нагрузка, определенная из условия предельной грузоподъемное»
ти Р2 макс, больше, чем при расчете по допускаемым напряжениям:
_ ^2 макс 39 Wp
С макс 32 ' W
n Wp ..
Отношение зависит от формы сечения. Например, для прямоугольных сечении
Гр 3 15
-^-== у и тогда с г» -у; для двутавра 1,16, грузоподъемность увеличи-
вается на 38%.
БАЛКИ РАВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Очертание балки равного сопротивления определяется из условия, что во всех
сечениях напряжения одинаковы и равны заданным;
Л4
°макс — эд? — Const,
где М и W — изгибающий момент и момент сопротивления. Обозначим Го — момент
сопротивления сечения с наибольшим изгибающим моментом Л4макс, тогда Г# =
143
Таблица 5.17. Статически определимые балки равного сопротивления изгибу
Форма балки Поперечное сечение Очертание про- дольного профи- ля Формулы для определе- ния размеров сечения
Груз Р приложен на конце консоли
1 Р , Прямоугольники одинаковой шири- а) верхнее очертание — ь-У-тт-* 1
* д х г, 0
% -£z| ны b и перемен- ной высоты hx прямая ли- ния, ниж- нее — квад- ратная пара- бола б) квадратная парабола t, &Рх h*~ bkb Прогиб конца консо- ли 8Р13 ' ~ bEh3-
"С?
1 \\w\\\ww I -^1 и А, b С Прямоугольники одинаковой высо- ты h и перемен- ной ширины Ьх Прямая линия h- 6Pl №kb ' h - 6Рг x, h2kb QPl3 bEh3 ’
_ 1 L
р ь, Подобные прямо- угольники высо- той hx и шириной Ьх, отношение сторон bx; hx= а Кубическая парабола > QPx hx ~ akb ’ bx = ahx,
х
J)'
h-i/ Gpl ;
Г akb ’ b = ah
L
Нагрузка q равномерно распределена по длине балки
^Прямоугольники
одинаковой ши-
рины Ь и перемен-
ной высоты hx
Прямая линия
Прямоугольники
одинаковой высо-
ты h и перемен-
ной ширины Ьх
Квадратная па-
рабола
, Зух'2
bx~~lkb№ ’
kbh2 '
Прогиб конца консо-
ли
1 bEh3-
144
Продолжение табл. 5.17
Форма балки
Поперечное сеченые Очертание про- дольного профи- ля Формулы для определе- ния размеров сечения
Подобные прямо- угольники высо- той hx и шириной Ьх, отношение сторон bx: hx = = а Полукубичес- кая парабола akbl ’ bx = ahx, г akb b — ah
Прямоугольники одинаковой шири- ны b и перемен- ной высоты hx Верхнее очер- тание — эл- липс —i! p j I ',2 \~2~/ % -I -— = 1; 3ql 4bkb h= 1/ V 4bkb Наибольший прогиб . _ 3qF ' IGbEh3
М
- макс ,
= у—j—. Момент сопротивления любого сечения х можно записать:
Ммакс '
Г (х) =
(5.43)
~ Размеры тех сечений, в которых изгибающий момент близок к нулю, подбирают-
ся из условия прочности по касательным напряжениям. Формулы для определения
размеров сечений некоторых типов статически определимых балок равного сопротив-
ления приводятся в табл. 5.17.
Обратная задача теории сооружений
Если заданная схема балки статически неопределима, то оптимальные размеры
ее сечений определяются решением так называемой обратной задачи. Оптимальное
(в смысле затраты материала или стоимости) распределение внутренних усилий оп-
ределяется путем отыскания минимума целевой функции (в общем случае — функ-
ционала) параметров сечения от лишних неизвестных при наложении определенных
ограничений (например, когда учитываются конструктивные требования). При этом
понятие расчетной схемы заменяется более общим понятием множества систем с за-
данным очертанием осей (по А. И. Виноградову). Наивыгоднейшая система нахо-
дится из этого множества как удовлетворяющая одновременно условиям оптималь-
ности и конструктивным требованиям. Принципиальная схема обратной задачи в ее
общей постановке (в применении к балке с одной лишней связью) состоит в следую-
щем. Объем материала балки записывается в виде:
i
V = j Fxdx.
о
145
Площадь сечения Fx можно выразить из условия прочности:
Мх
отв
(5.44)
W
где со = -р-
ядровый радиус; О —положительная величина заданных напряжений
(допускаемое напряжение или расчетное сопротивление). Тогда объем балки будет
(5.45)
Выбирая основную систему по методу сил, момент в любом сечении можно записать;
Afx = Мр Л41х.
Подставив Мх в (5.45), получаем функцию объема
I __
v = 1 Г (Л4р + M^i) dx
о J о * \ >
о
Эта функция описывает объемы множества балок заданного очертания. Минимизи-
руя целевую функцию (5.46), можно определить лишнее неизвестное хх, соответству-
ющее наивыгоднейшему распределению усилий.
Обратной задаче посвящена довольно обширная литература, критический анализ
которой можно найти в работах [9, 29].
БАЛКИ, ЛЕЖАЩИЕ НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Расчет балки на упругом основании — статически неопределимая задача, так
как уравнения статики позволяют найти лишь суммарную реакцию основания, а
закон распределения реакции по длине балки остается неизвестным.
Расчетная схема балки и метод расчета зависят от принимаемой гипотезы, свя-
зывающей величины реакций с просадкой основания *. Здесь рассматривается расчет
Рис. 5.41.
балок на упругом основании с применением
гипотезы о пропорциональной зависимости
между реакцией и осадкой основания. Эта
Рис. 5.42.
гипотеза относительно свойств грунта была в 1801 г. предложена Н. И. Фуссом и
в 1867 г. применена Винклером к балкам на упругом основании. Согласно гипотезе
Фусса — Винклера, реакция упругого основания в каждой точке пропорциональна
прогибу:
<7о = ~^> (5.47)
где k = kab; qg— изменяющаяся по длине балки интенсивность реакции упругого
основания, тс/м; у — просадка основания, м; b — ширина постели балки; kg—по-
стоянный для данного основания коэффициент, характеризующий его жесткость,
так называемый коэффициент постели. Он равен реактивной силе, приходящейся на
* Согласно гипотезе М. М. Филоненко-Бородича двухмерное упругое основание состоит
из отдельных пружин, опирающихся на абсолютно жесткое основание и соединенных поверху
нерастяжимой нитью с постоянной горизонтальной составляющей натяжения. Имеются и дру-
гие модели упругого основания, предложенные П. Л. Пастернаком, В. 3. Власовым и др. Ши-
рокое распространение получили гипотезы, рассматривающие упругое основание как изотроп-
ную упругую полуплоскость илн полупространство.
146
единицу длины балки и возникающей со стороны основания при прогибе балки на
единицу. Этот коэффициент определяется из опытов и имеет размерность кгс/см3.
Ниже приводятся ориентировочные значения коэффициентов k0 для некоторых осно-
ваний..
Материал основания
Песок свеженасыпаниый, глина мокрая, размягченная
Песок слежавшийся, гравий насыпной, глина влажная
Песок и гравий плотно слежавшиеся, щебень, глина
малой влажности ..................................
Грунт песчано-глинистый, искусственно уплотненный,
Глина твердая.................................. . .
Известняк, песчаник, мерзлота ........ . . <
Твердая скала
Кирпич
Бутовая кладка . .
Бетон и железобетон ............................
k0, кгс/см^
0,1—0,5
0,5—5
5—10
10—20
20—100
100—1500
400—500
500—600
800—1500
' Итак, согласно гипотезе Фусса — Винклера, со стороны основания на балку
действует сплошная распределенная нагрузка, интенсивность которой пропорцио-
нальна прогибам балки (рис. 5.41). Моделью винклеровского основания могут слу-
жить пружины одинаковой жесткости, опирающиеся на абсолютно жесткое основа-
ние и действующие независимо одна от другой (рис. 5.42).
" Согласно гипотезе Фусса — Винклера основание оседает лишь в тех точках,
которые находятся под балкой, и остается совершенно недеформируемым рядом с
балкой. Кроме того, предполагается, что реакция основания возникает и в тех мес-
тах, где балка поднимается над основанием. Следовательно, гипотеза Фусса — Винк-
лера недостаточно верно отражает работу упругого основания и иногда не подтвер-
ждается опытом. Но из-за удобства и простоты она широко применяется на практике
и в тех случаях, когда характеристики грунтов достаточно изучены, дает хорошее
подтверждение опытом. Ниже рассматривается расчет балок постоянной жесткости,
лежащих на упругом основании, удовлетворяющем гипотезе Фусса — Винклера.
В общем случае дифференциальное уравнение изгиба балки, лежащей на винклеров-
ском основании, имеет вид:
^ + *’ = тег’ <5«>
где EJ — жесткость балки;
P = _L-
р V 4EJ ’ м ’
q — приложенная к балке заданная распределенная нагрузка. Считается положи
тельной, если она направлена вверх.
Расчет бесконечно длинной балки, лежащей
на сплошном упругом основании,
загруженной одной сосредоточенной силой
Балка считается бесконечно длинной, если расстояние от края нагрузки до бли-
жайшего ее конца более 1,5-^-. Упругая линия бесконечно длинной балки симметрична
относительно точки приложения груза Р, поэтому рассматривается одна половина
балки с началом координат в точке приложения груза. Предполагается, что упругое
основание оказывает одинаковое сопротивление как сжатию, так и растяжению
(рис. 5.43). В этом случае дифференциальное уравнение изгиба имеет вид:
g- + w = °,
(5.49)
а его интеграл
у = Ае$х sin Рх 4" Ве^х cos рх -f- Се~$х sin Рх ф- De~$x cos рх. (5.50)
147
После определения произвольных постоянных А, В, С и D из граничных условий
задачи получены следующие расчетные уравнения: ' '* *' "* “
У ----------- н; 1
8&>EJ Ь
л Р
° 4(За£7 Пз’
р С5’5»
Q = —-у Па>
где т| = е (cos (5хЦ-sin fix); t]j = в (cos [Зх— sinpx); т]2 = е cos fix; r]3 =
= е~0*sin|3x—гиперболо-тригонометрические функции, которые для обычно при-
меняемых значений аргумента [Jx могут быть
определены по табл. 5.18.
По (5.51) строятся эпюры для правой поло-
вины балки. Эпюры у и М — симметричны, а
эпюра Q — кососимметрична относительно нача-
ла координат. Общий вид эпюр и положение их
нулевых точек показаны на рис. 5.44.
При действии на бесконечно длинную бал-
ку нескольких сосредоточенных сил Plt Р2, ...
Is
|р г
Рис. 5.43.
..., Рп поступают так. В даннуюточку k, в которой определяется yk, <dk, Mk или Qki
прикладывают единичную силу_Р = 1 и от действия этой силы находят значения
искомого фактора yk, 0fe, Mk, Qk в точках, расположенных под силами Plt Р?1, ...
..., Рп. Тогда искомый фактор yk, 0fe, Mk или Qk будет равен алгебраической сум-
ме произведений сил на соответствующие единичные значения под этими силами:
п
yk = РtUik + р‘Ahk + * • * + РпУп/г = 5] PiVik\
Г=1
аналогично
п п п
= s P&ik\ = £ PiMlk- Qk = £ P&k.
1=1 1=1 i= 1
Если какой-нибудь участок балки от х, до х2 загружен сплошной равномерно распре-
деленной нагрузкой интенсивностью q, то перемещения и усилия в любой точке А
определяются:
.% = <?W 0fe = ?«•©; Л4а = <1(йл1; Qk = qaQ,
где <йу, сое, о>м, Oq— площади участков (от xt до х2) (эпюр yk , 0^, Мк и Qk, построен-
ных от действия единичной силы Р — 1, приложенной в точке k).
Пример. Определить изгибающий момент в рельсе Р-65 под грузом Р6 при ста-
тическом загружении тепловозом ТЭ-3. Коэффициент податливости основании k =
= 300 кгс/см2, жесткость рельса EJ = 2 X 106 X 3573 кгс • см?, Р — 10,5 тс. Схема
148
ОСООрОФИр ООСпСЛСПСПЦК^СдСл СИ СПСЛ_*\4»- Ol-t»*-*^**-^-^**** CnWjWJWW WpO QO WWtO to to to tOJO WJO * мй-м***-шрОм©ррррр©в©
00*4 01 СЛ4к CO'^ To ~ obbs Ъ1 CH^S*»- co to">—OO G©"^ “4 0 Ql** Goto — О^ЮСО 40 G1 * W IO — О CO 00*4 О CH WM *-I'ocO 00 “Ч Ъм<5СЯ**'М «©’»-• obco «£*.“4 О СП ** Wto I-* о
а а а я a a a
Таблица 5.18. Функции!),
Cl Cl Q> OQiOClOTOlOCnQiCnCri Ql CH Ql „^„Qi £*• 4^ ** -i*- >4-* W WWWWWWWWUWCriN tO_IOJO JO JO Ю b3JO toJOj-* - —>—►-‘— — ►—►—►—>—00000000000
QOS Q O1 о IC — о О 03 4 Ф 41 * -4 C4tsJ — Q © CON 4 (НСЯ — CJ tG — ООО ® 4 Clin* WM — ”O C ® 40 СЛ * w w to^-o <O 004 О СЛ yi* w to ►— o'o СО-Ч^ЧООСЛ^СОЮ»—*©
oo о — to *> ‘ 2J *4 go
WCXONJ to О Ql
Продолжение табл. 5.18
П Из ’h н» Рх
6.9 0,00141 0,00058 0,00024 0,00082 6,9
7,0 0,00129 0,00060 0,00009 0 00069 7,0
9/4Л 0,00120 0,00060 0,00000 0,00060 7,069
загружения показана на рис. 5.45.
300
4 • 2 - 10е • 3573
_1_____1
100 см
Решение. К точке приложения груза Рв прикладываем единичную силу р = 1 и от
действия этой силы находим моменты во всех точках, к которым приложены сосредо-
Таблица 5.19, Данные для построения эпюры М
Точка X, см ] 0* ] ’ll 1 Р, тс ] М, тем
6 0 0 1,0000 10,5 2,625
5 210 2,1 —0,1675 10,5 —0,440
7 417 4,17 0,0052 10,5 0,0137
4 420 4,20 0,0057 10,5 0,0150
8 627 6,27 0,0019 10,5 0,0000
9 837 8,37 0,0000 10,5 0,0000
3 860 8,60 10,5 —.
2 1070 10,70 10,5 —
10 1277 12,77 10,5
1 1280 12,80 __ 10,5 —.
11 1487 14,87 — 10,5 —
12 1697 16,97 — 10,5 —
точенные силы. Выбираем начало координат в точке 6 и по (5.51), полагая Р= I,
с помощью табл. 5.18 производим вычисления. Результаты этих вычислений сведены
в табл. 5.19.
р р р
Р Р Р
Р
р р ,р
' ~ 3
210 210
5 5
2/0 210
7Р
2/0 \ 2/0 \ №
J , X
1Z
1
3
3
W
Ю 1!
ЖЦ - •
Рис. 5.45.
Моменты от грузов, приложенных иа расстояниях свыше 8 м, малы и ими можно
пренебречь. Искомый момент в сечении под грузом Рв равен сумме моментов, вызыва-
емых всеми грузами:
Л46 — ЯМс = 2,2187 тем.
Наибольшие нормальные напряжения в рельсе, обусловленные изгибающим момен-
том, будут:
М 2,2187 • 105
амакС = -уГ = 363 = 610 КГС/СМ2.
Балки конечной длины на упругом основании
Теория расчета балок на упругом основании с применением гипотезы Фусса —
Винклера подробно разработана академиком А. Н. Крыловым, применившим метод
начальных параметров. Преимущество этого метода состоит в том, что для любого
вида нагрузки и любого способа закрепления концов балки уравнение изогнутой оси
балки на упругом основании содержит только четыре начальных параметра, которы-
ми являются прогиб у0, угол поворота 0О, изгибающий момент Л40 и поперечная сила
Qo в каком-либо поперечном сечении балки, принимаемом за начало координат. Для
балки конечной длины, лежащей на упругом винклеровском основании, уравнение
150
Таблица 5.20. Начальные параметры к расчету балок на упругом основании
Схема балки 0O Л1, Qo
r-^/77 + 02 + 4DtD[_a -^r-m —7 k Cf-DM 03 В[А[_а + 4CtDi__a 0 0
К* I f_ '•>> t) * DtBt - Cl
p P0 ClBl-a — DlAl-a Pp fySj-a-CiA^ k D&-Cl 0 0
7^ I k Cf — DM
_£j TTTl11111 Di (Bt_a — Bt_b) — q — (^l—a — Cl—b) Cl 1 ~ J 1 cf | 1 1 T Si S a; О 1 0 0
1 b ZA
t • 6 • к Cj- DM k Dtbi-Cl
<-~y77 02 ~ 4DzC;_a 4-B^z_a 03 4CZCZ_U 4- At_aAi 0 0
/ЖЛ
k BtCi — DiAi k m DtAi - BZCZ
у ' <! 0 1 4PzOz_a + BzBz_n k Bfii-AtDi Pa 4CzPz_a 4~ Bl—aAl k D/Ai — Bfii 0 0
fmjrri 07 WZ2 Dt (A^-A^)- q — Bl (Dj-a — Dj-b) k Bfii-AtDt Cl (Al—a — Al—b) ~ qfi — Al (Ci—a Ct-b) k D/Ai — CM 0 0
402 BlBl-a — AtCt-a
--L----------------------
k . Д2 + 4BZPZ
402 4PzCz_a + AiB[_a
----!-т-------------------
k A] + 4BZPZ
40 p Bfii-a-AiDt_a 402 ‘iDM—a 4- Afil_a 0 0
k Al + 4В/Р/ k P Al + 4BZPZ
q 4BZ (Dz_a-Pz_i) + + A(At_a — Дг_й) Al (D^-D^)- 40 D[ (Ai—a A(—a) 0 0
k Al 4- IBMi k Al 4- 4BZPZ
151
Продолжение табл. 5.20
Схема балки Уо 00 M„ Qo
МХШ -\/77 о 4f}3 DiA-a — Bfil_a a 4DZCZ_O + BiAt_a
, a r k 4Dj + ВГ
_ О'
" / .
< DlBl-a ~ ^iDl-g
k wj + B2t
---Г~Х
k
iDdC^- Ct_b) +
+ в (Al—a — &l—b)
4D2 + B2
40^ +BiB,^
4D2 + Bf
BiA^-C^)-
q —Di (Ai_a — Ai—b
₽ 4D2 + Bz2
0 4P3 r Cfil—a — DiBi__a 0 B^a-AiC^
a _ -—. k ' AiDt-Bfii AiDi-CiBi
P a * z 0 4P2 n ClDl—a ~ D£l—a 0 n B£t_a — AiD.__a
k AiDt - BLCt Г AiDi-B£t
|^Т1ТПТО^ L 0 _Й_ x k Cl (A/_^— Л;_ь + + 4Di (Dt_a — Dt_b) AiDt - B,Ci 0 X 4P X 4Bi (Dt_a — Dz_b) + + Л Al—a ' ^l—b) X AiDt - B£i
Схема балки ?/o ®o Л1„ Qa
0 0 ... CtCt-a-DiBt-a CiBt^-BiC,^
a i ^77-
lih BiDi-Ci [Jill o ' BiDt-C}
___P ClDl—a ~ DlCi_a
P ' BtDi - C2t
CiC^ - BtD^
BiDi-C]
Cl Al—a ~ Al—b +
q v, +4£>i (Di—a— Di—ty
4₽2 X В^-С2
4Ci (£>z_a-D;_b) +
+ B^A^- At_b)
BiDt-Cj
152
Таблица 5.21. Функции А, В, С, D и их производные к расчету
балок на упругом основании
Функции Производные
1 2 3 4
Ах ~^DX -^2СХ -4₽3Вх -4₽М,
Вх Мх -4|32/\ -4Р3С* -4№
сх Мх -4₽3£>х -4р46х
Dx ВСХ ?>*вх
упругой линии имеет следующий вид:
1 4В2 46
У=У0Ах + ~- @eBx + -^-M0Cx + -^-QaDx+f(x), (5.52)
р к k
где у0, @0, Мд и Qg — начальные параметры (табл. 5.20); Ах = ch (Зя cos (Зх; Вх =
= — (ch |3х sin М -ф- sh (Зя cos ₽x), Cx = — sh |3x sin |3x, Dx = — (ch [Jx • sin px —
Р '
w 0.5L I
. I ...............
— sh [3x cos |3x) — гиперболо-тригонометрические функции (табл. 5.21); f (x) — влия-
ние заданных нагрузок, действующих на балку
(табл. 5.22).
Начальные параметры для некоторых схем
закрепления балок при любом типе загружения
даны в табл. 5.23. Для определения начальных
параметров в случае сложного закрепления поль-
зуются принципом независимости действия сил.
Пример. Для деревянной балки, лежащей на
упругом основании (рис. 5.46), записать уравне-
ния прогибов, изгибающих моментов и попереч-
ных сил, если I = 4 м, q = 2 тс/м, Р — 4 тс,
Е = 105 кгс/см2, поперечное сечение балки b X h = 20 X 20 см2, коэффициент пос-
тели основания kg= 4 кгс/см3. Решение. Определяем k и |3:
Рис. 5.46.
k = kgb = 4 • 20 = 80 кгс/см2;
о - i/_l_ y/~ 80,12
P V 4EJ V 4 • 106 204
Пользуясь табл. 5.20, запишем начальные параметры:
______|3 р CiBo,3l — D[Ao,3l , q ^0,51) O),51) Ci
У°~ k Cl-DtBt k 1 C^-DtBt
Л p2 n C^O.31 — ^0,3/ , q?) Bl (Cl — Co 5/) Cl (Bl Bq,51)
k Cj-DtBt k Cj-DiBi
Подставив данные задачи, получим:
0
Уд = —0,2355 см; —— 0,0119 см,
1531
Таблица 5.22. Функции f (х) и их производные
Вид нагрузки
Функции
k. г НИ1 -V
ь
1 -
/(*) 4р2 г k тсх~а PD k ‘ II участок 1~(Ах-а — !); III участок qk (Ах_и AX_J тг q Г/ ч 1 II участок —г~ (х — а) д ; J k Р X—а ’ III участок -Д— (х — а) — J km к ’ Г ( * vi+
Г W 4Р3 « k mBX~a 4В2 .?-Г рс k тт 4Р п II участок qDx_a; III участок q (Dx__a — Dx_b) К II участок (1 — Ах_а); III участок (Ах_ь— Ах_0) — . 4Р? Р k Ux~b
4P* „ —tnAx_a 4(P k PBx~a
r w 16P5 k mD*-a 4P* k P^x—a
a
4В2 II участок —— <?сх—а’ 4R2 III участок k q (Сх_а - Сх_ь) тт 4(?₽ II участок —Dx—a> III участок (Dx_a Dx_b) 4- km Cx—b
4R3 II участок —£— qBx_а‘ К 4R3 III участок £ 9(8x_q Вх_ь) 4q^2 r II участок Cx_a; III участок (Cx_a С^-ь) -J- 4- 4р2? R 1 k B*~b
Таблица 5.23. Начальные параметры в выражении через f (х)
для общего случая загружения
№ п. л. Тип закрепления концов балки Начальные параметры
1 „ _ Р^(0-^Ю . м =0 у*~ 4Р3(С1-ВА) ’ ° СГ(0-₽В/ПО . 0 0
X 'WWsk'X
4P(Ci-.BA)
2 О г^тПТГ ,, 1_ . W) + В/Г(0 . м = 0 Уо ~ 4^2 B}Ci — AiDt ’ ° 1 . ^Clfl + Alr(i) . Q 0
W4A.W X .wm
°0 40 А^-CiB/ ’ ku
3 б>,хГПТ u 1 в^'(0-М//(0 - M =0 й P + 4BID1 ’ ’ + Q 0 Aj+ABiDi
X 4\WJ^
4 £ (ХтГТПТГгт^ + Уо = о P 4Df + В? n k ^1Dlf + Blf"(r> M -0 Qa^ 4£3‘ 4D2 + B2 ’
. X _ VsVx^i^tx'
5 0 ,-иг-тТП 1 I Tts. # @ _ РС/7(О-^Г(О , ~0 AiDt-Bfit ’ У° n _ A ALIAlMAL . м - о У° ~ 4pa AtDt - CiBi ’ 0 ~ U
ъ Л , wwwj
6 АтГП ТГЪ'.И M „ k (l)-Dlf' (0 u -o n k WW-WtHl) . Q __0
$ шад . л
156
Теперь запишем уравнение прогибов по (5.52)
I
I участок 0 + х +, — ।
у = — 0,2355 Ах— 0,01 19Ва — ~ (1 — Лл)>
J 2
У = - О,2355ЛЛ - 0,0119BZ - -L (Лх_0>5/ - Лх);
У - ~ 0,2355Лд;—0,0119BZ----(Лл_0,5; - Ах) - -^L PDx_^lt
Для получения уравнения изгибающих моментов дважды продифференцируем
уравнение прогибов и умножим на EJ, используя данные табл. 5.21:
Мх = EJif- = 4^EJ 0.2355С, + 0,0119DX + -L (Сг_0>5/ - Cx) - -t Bx_0t7l
Уравнение поперечной силы получим, продифференцировав выражение изгибающего
момента:
Qx = 4^EJ [o,2355Bz + 0,0119С, + А (^-о,5/ ~ Вх) - ~ ^4-0,7/
” г&
Для построения эпюр Мх и Qx можно вычислить
эти величины, давая значения х через определенные
интервалы.
Бесконечно жесткая балка на упругом основании
Если длина балки со свободными концами I
«С 1 >2/Р, то искривлением оси балки можно пренеб-
речь, и тогда эпюру осадок можно представить пря-
мой. Если такая балка нагружена только силами
ври отсутствии наперед заданных деформаций, на-
пряжения по подошве основания могут быть вычисле-
ны по формуле внецентренного сжатия. Эпюру на-
пряжений можно построить по напряжению в центре
2Р
тяжести подошвы о0= —р- и уклону эпюры tg а =
(
___La—— ——•.
Рис. 5.47,
Ф
ОТ I igi-iio arf
До (рис. 5.47). Умножая в
Ед
каждой точке напряжения на ширину балки, получаем эпюру реакции упругого
основания </, а затем обычным путем определяем изгибающие моменты и поперечные
силы.
Глава 6
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЗАГРУЖЕНИЯ
К сложному сопротивлению относятся те виды деформаций, при которых в по-
перечных сечениях бруса одновременно возникает не менее двух внутренних урцлий.
Исключение составляет прямой поперечный изгиб, так как расчеты на прочность и
жесткость в большинстве случаев ведутся только по изгибающему моменту без учета
поперечных сил.
157
В общем случае действия внешних сил в любом поперечном сечении бруса могут
возникать шесть компонентов внутренних усилий Nx, Qy, Qz, Мх, Му, Мг. На
рис. 6.1 показано поперечное сечение бруса, подверженного°общему случаю загру-
жения. Оси оу и ог— главные центральные оси сечения, ось ох — продольная ось
бруса,
Рассмотрим алгебраические суммы проекций на оси х, у, г и моменты относи-
тельно этих осей всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматри-
ваемого сечения. Проекция на ось х равна продоль-
ной силе Nх, вызывающей равномерное растяжение
или сжатие; проекции на оси у и z равны поперечным
силам соответственно Qy и Q,; момент относительно
оси х равен крутящему моменту Мх, а моменты от-
носительно осей// и z — соответственно изгибающим
моментам Му и Mz. Продольная сила Nx и изгибаю-
щие моменты Му и Мг уравновешиваются нормаль-
ными напряжениями в сечении, а крутящий момент
Мх и поперечные силы Qy и Qz — касательными.
Полные нормальные напряжения в точке сечения с
координатами у и z равны:
Л/ ,Муг Mzy
°^Т + — +-1Г
(6.1)
Суммарные касательные напряжения от двух поперечных сил Qy и Qz, а также от
крутящего момента Мх получают путем их геометрического суммирования. Особен-
ности построения эпюр внутренних усилий рассмотрим на примере.
Пример. Построить эпюры внутренних усилий для стержня с ломаной осью
(рие. 6.2) при таких данных: = 5 кН (0,5 тс); Р2=8 кН (0,8 тс); Р3 = 10 кН (1 тс);
а 6 6
4= 0,4 м; Z2= 0,5 м; 13= 0,3 м. Решение. На каждом из участков назначаем оси'коор-
дннат. Для построения эпюры продольных сил рассекаем поочередно каждый учас-
ток бруса плоскостью, нормальной к его оси, и проектируем все силы, взятые по од-
ну сторону от сечения на нормаль к сечению. Продольная сила в данном сечении счи-
тается положительной, если она вызывает растяжение — направлена от сечения.
Эпюра N показана на рис. 6.2, б. Эпюры моментов и поперечных сил для каждого
участка строятся, как для плоского бруса *. При этом рассматриваемый участок мыс-
ленно располагается так, чтобы взор был направлен в начало координат с положи-
тельной стороны оси ог (при построении эпюр Мг и Qy) или оси оу (при построении
*
Правило знаков для Л1 и Q см. а главе 5.
158
эпюр Й4У и Qz). Строим эпюру изгибающих моментов Жг. На участке, fl — b изгиб
относительно оси г вызывает только сила Р2- Эпюра имеет вид треугольника. В точке
b участка ab изгибающий момент относительно оси г равен:
Мъга = = 8 • 0,4 = 3,2 кНм (0,32 тем).
Здесь первый верхний индекс означает точку, через которую проведено сечение, а
оба верхних индекса вместе определяют участок, для которого находится изгибаю-
щий момент относительно данной оси (индекс внизу).
' Для участка Ьс имеем;
Mzc = Р^х = 5 • 0,4 = 2 кНм (0,2 тем);
Мсгь = Pj/x + Р3/2 = 5-0,4+10-0,5=7 кНм (0,7 тем).
Для участка cd\
Мс? = Рг1А = 8 • 0,4 = 3,2 кНм (0,32 тем);
Л1* = P2ZX + P3Z3 = 8 • 0,4 + 10 • 0,3 = 6,2 кНм (0,62 тем).
По этим данным строятся эпюры со стороны растянутого волокна (рис. 6.2, в). Анало-
гично построена эпюра Му (рис. 6.2, г). Эпюра крутящих моментов Мх (рис. 6.2, й)
строится по следующим вычислениям. На участке ab крутящий момент равен нулю;
на участке Ьс Мс* = Р21х= 3,2 кНм (0,32 тем) и на участке cd М*с~ Р++ Ра/8 =
= 7 кНм (0,7 тем).
Взяв суммы проекций на оси у и г всех сил, действующих на отсеченную часть,
получаем данные для построения эпюр Qy и Qz (рис. 6.2, е, ж).
КОСОЙ ИЗГИБ
Случай изгиба, при котором плоскость действия суммарного изгибающего мо-
мента в сечении не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции бруса, назы-
вается косым изгибом. Различают плоский и пространственный косые изгибы. Плос-
кий характеризуется тем, что все внешние силы и моменты действуют в одной плос-
кости, проходящей через центр изгиба. При этом упругая линия бруса — плоская
кривая. Пространственный косой изгиб вызывается внешними силами и моментами,
Рис. 6.3.
не лежащими в одной плоскости. Упругая линия бруса в этом случае представляет
собой пространственную кривую.
Плоский косой изгиб удобно рассматривать как одновременный изгиб в двух
главных плоскостях.
Нормальное напряжениев точке с (у, г) по принципу независимос-
ти действия сил определяется суммой напряжений, обусловленных моментами Мц и
Мг (рис. 6.3)
Муг , Мгу [ у г \ '
о = —/—j---------- или о = МI ~ sin а + -у- cos а i , (6.2)
•ly Jz • \Jz Jy I
15Э
где Ms= М cos а; М2= М sin а; 7V и Jz — главные центральные моменты инерции
сечения.
Нейтральная линия — прямая, проходящая через центр тяжести
сечения, не перпендикулярная плоскости суммарного изгибающего момента. Урав-
нение нейтральной линии получается из (6.2), полагая а = О,
У z
— sin а-j-—cos а = 0, (6.3)
•'г 'У
а ее положение определяется по формуле
tg₽ = —-y^tga, (6.4)
J 2
где Р — угол, образуемый нейтральной линией с главной центральной осью сечения
оу (см. рис. 6.3, б).
Расчетные формулы. Касательные напряжения при косом изгибе
могут быть определены как геометрическая сумма составляющих, обусловленных по-
перечными силами Qy и Qz. Но обычно касательные напряжений в инженерных рас-
четах на косой изгиб не учитываются — в опасных точках они либо равны нулю либо
весьма невелики.
Проверка прочности производится по наибольшим нормальным напряжениям,
которые возникают в опасном сечении в наиболее удаленных от нейтральной оси
точках.
Условие прочности имеет вид
Му . Alz г ,
+ (65)
При разных допускаемых напряжениях на растяжение и сжатие прочность прове-
ряют отдельно для растянутой и сжатой зон. Подбор сечений производится из усло-
вия прочности (6.5):
гу = -^г(^ + шг)
или
М
Wy =-----(cos а + k sin а), (6.6)
М
Wu
тле k =---- зависит от формы поперечного сечения бруса. Для прямоугольника
h
k = —, для прокатных двутавров /г=^8, для прокатных швеллеров k & 6,5.
b
Прогибы при косом изгибе. Так как косой изгиб — сочетание двух простых из-
гибов в главных плоскостях инерции, то прогибы в этих плоскостях определяются,
как и в случае поперечного изгиба. По принципу независимости действия сил суммар-
ный прогиб определяется как геометрическая сумма:
f-^y+fl
Направление суммарного прогиба перпендикулярно нулевой линии. Плоскость про-
гибов не совпадает с плоскостью действия внешних нагрузок.
Пространственный косой изгиб
Расчет на прочность ведется так же, как и в случае плоского косого изгиба. Ос-
ложняется лишь нахождение опасного сечения из-за того, что составляющие Му и Мг
суммарного изгибающего момента могут достигать наибольших значений в различных
сечениях. Обычно выполняют расчет на прочность для двух сечений с макс Му и
макс Mz. При пространственном косом изгибе изогнутая ось балки представляет со-
бой пространственную кривую. Направление суммарного прогиба в каждом сечении
определяется так:
tg <Р = ~ • (6.7)
12
160
/ Пример. Подобрать сечение двутавровой балки, показанной на рис. 6.4, и опре-
делить максимальный ее прогиб, если I = 3 м; q = 5 кНм (500 кгс/м); Р = 2 кН
(200) кгс; а = 30°; [<г] = 160 МПа (1600 кгс/см2.). Решение. Наибольшие изгибающие
моменты возникают в заделке:
ql2
Му = —-----(-Pcosal =27,7 кНм (2770 кгсм);
Мг = Р sin а,1 — 3 кНм (300 кгсм).
Для определения требуемого номера двутавра пользуются формулой подбора сечений
(6.6). При этом предварительно задаются k = Из таблиц, сортамента видно, что
IV 2
для средних номеров двутавра k находится в пределах от
6 до 8. Зададимся k — 8. Тогда
10-6
Гг'= ~шГ(27,7' 103 + 8‘ 3 ’ 1Q3) =
= 323 . 10—° м3 = 323 см3.
По сортаменту принимаем двутавр № 24а, имеющий
317
Wy = 317 см3; Гг = 41,6 см3; k =--------= 7,6.
41,6
Проверяем прочность по (6.5).
27,7 • 108 , 3. 108 л длгг кгс \
о = —4==------р = 159,4 МПа 1594 —.
317 41,6 ( см2 I
Максимальный прогиб — на свободном конце консоли.
, 1 I ql* , РЕ cos а \
~ EJy ( 8 + 3 ] ~ 0,876 СМ
в плоскости хоу
, 1 Pl3 sin а ,
fy gj 1,73 см;
суммарный прогиб
1,94 см-
Направление суммарного прогиба по отношению к оси оу
tg 'F = А_ = 1,975; W = 63° 10'.
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
Рассматриваются только брусья большой жесткости, при расчете которых на
изгиб с продольной силой применим принцип независимости действия сил, т. е. влия-
нием деформации на величину изгибающих моментов можно пренебречь. Расчет на
прочность ведется только по нормальным напряжениям, обусловленным действием
продольной силы М и изгибающих моментов Му и Мг, действующих в главных плос-
костях бруса (рис. 6.5). Опасное сечение находят по эпюрам N, Му и Мг как сечение,
в котором эти внутренние усилия одновременно достигают максимума. Если наиболь-
шие значения этих усилий соответствуют разным сечениям, то опасное сечение на-
ходится из нескольких, как соответствующее наиболее невыгодному сочетанию из-
гибающих моментов и продольной силы. Суммарное нормальное напряжение в любой
точке (с координатами у и г) данного сечения определяется по формуле
N । МУг I М?У
j-, г ~г т
F J у J г
(6.8)
Правило знаков — общепринятое. На рис. 6.5 показан общий вид эпюр нормальных
напряжений, соответствующих каждому внутреннему усилию, а также суммарная
6 2-256
161
эпюра напряжений. Уравнение нулевой линии получается из (6.8) при условии а~
= 0. Нулевая линия — прямая, не проходящая через начало координат; ее положе-
ние определяется угловым коэффициентом
tg В = , —
gp Мг' Jy
или отрезками, отсекаемыми ею на главных центральных осях у и z:
у N у N
а,~ — г,---; а,, = — г--- .
г у Му ’ у г Мг
(6.9)
(6.10)
Здесь 1У = ]/" -А. ; iz = ]/" -А-
— главные радиусы инерции сечения. Наи-
напряжения возникают в точках,
наиболее удален-
большие по абсолютной величине
<?
Рис. 6.5.
ных от нейтральной оси. Для этих
точек и ведут расчеты на прочность.
Для бруса с сечением, имеющим две
оси симметрии и точки, максималь-
но удаленные одновременно от обе-
их главных осей (например, прямо-
угольник, двутавр и др.), опасной
при пластическом материале будет
угловая точка, в которой знаки
напряжений, обусловленных каж-
дым из усилий (N, Му, Мг), сов-
падают. Условие прочности в этом
случае имеет вид:
Му
Wy
Мг
<[О].
(6.11)
Брусья из хрупкого материала при
сжимающей продольной силе рас-
считываются по двум угловым теч-
кам с наибольшими растягивающи-
ми и наибольшими сжимающими
напряжениями.
Подбс.р сечений производится вначале без учета продольной силы по формулам:
для брусьев круглого поперечного сечения
= (6.12)
для брусьев прямоугольного или двутаврового сечения
/ ур \
^у = [му +
1
[о]
(6.13)
Wy п Wy h
Отношением задаются. Для прямоугольника для двутавра это от-
W 2 1т 2 О
ношение колеблется в пределах от 5 до 15. Номер двутавра находят путем последова-
тельных приближений. После определения размеров сечения производится оконча-
тельная проверка с учетом влияния продольной силы и, при необходимости, коррек-
тируются размеры. В случае, если прогибы балки велики по сравнению с размерами
сечения, то необходимо учитывать дополнительный изгиб от продольной силы. Если
fy и /г — соответственно прогибы в главных плоскостях хоу и хог, то полные изги-
бающие моменты с учетом поправки от влияния продольных сил будут:
и Mz-]-Nfy.
Для определения прогибов следует учитывать как изгибающие моменты, так и про-
дольные силы. В этом случае принцип независимости действия сил неприменим, Бр-
лее полно этот вопрос рассматривается в главе 8. -
162
ВНЕЦЕНТРЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
Если продольная сила действует внецентренно и параллельно продольной оси
бруса, то брус испытывает внецентренное сжатие или растяжение.
Расстояние е от продольной силы до оси бруса называется эксцентриси-
тетом. Пусть точка пересечения продольной силы с поперечным сечением — по-
люс силы — имеет координаты ур и гр в системе координат главных центральных
осей. Приведя силу к оси бруса, можно представить внецентренное сжатие (растя-
жение) как сочетание центрального сжатия (растяжения) и чистого косого изгиба
(рис. 6.6), вызванного изгибающими моментами Л4У = Nzp и Мг = Nyp.
Нормальное напряжение в произвольной точке сечения с координатами у и г
где ig и 1г
прочности
— радиусы инерции сечения относительно главных осей оу и ог. Условие
имеет вид:
N миг _|_
F ± Jy ±
гн.т Jy
(6.15)
где FHT — площадь поперечного сечения «нетто» (за вычетом ослабления). Нейтраль-
ная линия определяется уравнением прямой:
, , УрУо I Zp2o п /С 1СЧ
1 + -fl- + ,2 ~ “ °’ (6-16)
2 У
где у0 и г0— координаты точек нейтральной линии.'Отрезки на осях оу а ог — ау и
аг, отсекаемые нейтральной линией, вычисляются:
•2 «2
= аг = —(6.17)
Ур гр
Направление осей у иг принимаем таким, чтобы полюс силы был в первом квад-
ранте; тогда в (6.14) ур и гр всегда положительные, а координаты у и г принимаются со
своими знаками. Полюс силы и нейтральная линия всегда расположены по разные
стороны от центра тяжести сечения. С приближением полюса силы к центру тяжести
нейтральная линия удаляется от него и наоборот. Если полюс силы перемещать по
некоторой прямой, то нейтральная линия будет вращаться вокруг некоторой точки.
Касательные, проведенные к контуру сечения параллельно нейтральной линии, дают
на контуре две точки, в которых возникают наибольшие растягивающие и сжимаю-
щие напряжения.
Частный случай: полюс силы находится на одной из главных осей се-
чения. Нейтральная линия перпендикулярна этой оси. При этом внецентренное дей-
ствие продольной силы приводится к центральному растяжению (сжатию) и попереч-
ному изгибу (рис. 6.7). Напряжения в крайних точках симметричного сечения опре-
6*
163
деляются:
N Ne
F - W
(6.18)
где W — момент сопротивления сечения относительно оси, перпендикулярной плос-
кости изгиба. Формула (6.18) для прямоугольного сечения с размерами b X h имеет
рис. 6.8. Ес ли Допускаемое напряжение на изгиб
[о]и значительно отличается от допускае-
мых напряжений на растяжение [о]р и сжатие Меж, то проверка прочности произво-
дится^по формулам:
при внецентренном
растяжении
N
F нт
Ми
МР
Ми;
(6.21)
при внецентренном
сжатии
N
F нт
Ми , jW
Меж W
(6.22)
о =
м
Для материалов, не одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, проверка
прочности производится по наибольшим напряжениям для растянутой и сжатой зон
отдельно.
При конструировании внецентренно сжатых стержней из материалов, плохо со-
противляющихся растяжению (камень, бетон и др.), растягивающие напряжения
ограничиваются или вообще не допускаются. Уменьшение растянутой зоны может
быть достигнуто путем ограничения величины эксцентриситета е. Из рис. 6.7 и фор-
мулы (6.19) следует, что растягивающие напряжения в сечении будут отсутствовать
при условии, если
_ h
(6.23)
В случае, если это условие не может быть выполнено, а материал не способен сопро-
тивляться растяжению, расчет ведется в предположении, что работает лишь та часть
поперечного сечеиия, которая испытывает сжатие. Длина этой части сечения опреде-
ляется по формуле
е-з(4-с).
(6.24)
Общий вид эпюры напряжений показан на рис. 6.7. Наибольшие сжимающие напря-
жения у края сечения, как это вытекает из (6.19) при условии (6.23), определяются
2.V
макс о =---------, (6.25)
cb
Пример. Определить допускаемое значение силы Р, действующей внецентренно
на короткую стойку двутаврового сечения № 30, если Р = 140 МПа (1400 кгс/см2)
(рис. 6.8). Решение. Геометрические характеристики сечения выписываем из таблицы
164
сортамента: h — 30 см; b = 13,5 см; F = 46,5см2, Jy= 7080см4; Jz — 337см4; Wy —
= 472 см3; Wz= 49,9 см3; iy = 12,3 см; 12 = 2,69 см. Координаты полюса силы А:
у =. 6,75 см; zp= 15 см. Внутренние усилия постоянны по длине стойки и равны:
jV ==—Р; Му= Ргр; Мг= Рур. Эпюры нормальных напряжений, обусловленных
всеми внутренними усилиями, показаны на рис. 6.8. Как видно, опасной точкой яв-
ляется точка А, так как в ней — наибольшие сжимающие напряжения. Записываем
условие прочности по нормальным напряжениям (6.14):
Р Р . 15 Р. 6,75 ......
~ ~46Д-------472-----Т9У-^14О°;
0,188Р < 1400,
откуда допускаемое значение силы Р определяется
1400
[Р] sj-----= 7450 кгс или 74,5 кН.
L J 0,188
Ядро сечения
Практически важным является вопрос, какой эксцентриситет при выбранном
типе сечения можно допустить, чтобы в поперечных сечениях бруса не возникали
напряжения разных знаков. Этот вопрос разрешается путем построения ядра
сечения.
Ядром сечения называется область, очерченная вокруг центра тяжести
и характерная тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой области,
вызывает во всех точках поперечного сечения напря-
жения одного знака. Для построения ядра сечения
используются свойства нейтральной линии, приве-
Рис. 6.9.
Рис. 6.10.
возможные положения касательных к контуру сечения и, предполагая, что они
представляют собой нейтральные линии, найти соответствующие граничные точки
ядра сечения, а затем очертить само ядро, соединив полученные точки прямыми.
Координаты точки, лежащей на границе ядра сечения и соответствующей данному
положению нейтральной линии, определяются:
I2 I2
= = (6‘26)
иу иг
где ау и аг — отрезки на осях у и г, отсекаемые нейтральной линией — касательной
к контуру.
Пример. Построить ядро сечения для тавра, показанного на рис. 6.9, если d =
= 200 см; b — 100 см; t = 50 см. Площадь сечения F — 15 • 103 см3. Решение. Вы-
бираем систему координат — главные оси инерции у и г с началом в центре тяжести
сечения (точка с).
L' Главные моменты инерции:
Jy = 25 • 1003- см4; /г = 275 503- см4;
квадраты радиусов инерции:
,2 25 1003 , ,2 275 • 503 ООПЙ ,
1 — — 1667 см2 г. = -—=—-г- = 2298 см2.
у 15 • 10® г 15 • 103
165
Задаемся положениями нейтральной линии по касательной к контуру и находим
точки границ ядра сечения.
ГН ейтральная линия I—I. Линия отсекает отрезки на осях коорди-
нат: ciy = оо; а2= —50 см;
координаты соответствующей точки границы ядра сечения находим по формулам
(6.26):
Ki
2298 1667
------= 0; г, =
оо----50
— 33,3 см.
По полученным координатам отмечаем точку 7 (0; 33,3).
Нейтральная линия II—II. Отрезки на осях координат: ау =
= 100 см; аг --- со;
координаты точки 2:
2298
у„ =--------= — 22,98 см; z„ = 0.
100 2
Нейтральная линия III — III. Отрезки на осях координат: ау =
ЮО? „ „
= 100 см; аг = = 133,3 см;
координаты точки 3:
2298 „ 1667
и» ----------- — 22,98 см; г., =----= — 12,5 см.
Ул 100 3 133,3
Г Нейтральная линия IV— IV. > Отрезки на осях координат: ай =
= со; аг — 100 см;
< координаты точки 4\
XbfST
1/4 = 0; Ч = —= — 16,67 см.
Остальные точки границ ядра сечения располагаются симметрично. Соединяя их пря-
мыми, получаем контур ядра сечения (см. рис. 6.9). Формы и размеры ядра для не-
которых сечений показаны на рис. 6.10 (а — прямоугольник; б — круг; в — равно-
сторонний треугольник)?
ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ КРУЧЕНИЯ И ИЗГИБА
Изгиб с кручением представляет собой такой частный случай сложного сопро-
тивления, когда брус находится под действием изгибающего и крутящего моментов.
В отличие от рассмотренных выше случаев сложного сопротивления при кручении
с изгибом напряженное состояние в опасных точках нельзя рассматривать как одно-
осное. Касательными напряжениями, обусловленными крутящим моментом, пренеб-
речь нельзя. В опасных точках бруса имеет место плоское напряженное состояние,
и расчет на прочность должен выполняться с применением теорий прочности.
Расчет бруса круглого сечения
Суммарный изгибающий момент MR определяется как геометрическая сумма
двух изгибающих моментов Му и М-,
Ми = ум*+м2. (6.27)
Построив эпюры суммарных изгибающих моментов Л1и и крутящих моментов Мк,
находим опасное сечение как соответствующее наибольшим значениям Ми и Мк.
По принятой теории прочности определяют приведенный момент Л4Пр в опасном се-
чении, по которому и ведут расчет. Условие прочности имеет вид
опр = < [о], (6.28)
166
(6.29)
327ИПр
(6.30)
nd3
где W = 32 * — осевой момент сопротивления круглого сечения. Диаметр сплош-
ного вала определяется по формуле
V Л [о]
для полого вала наружный диаметр равен
D ~ V Л [о] (1 — а*)
d
где а = d — внутренний диаметр.
Формулы приведенных напряжений и моментов по основным (для данного слу-
чая) теориям прочности даны в следующей таблице. В этой таблице ст и т — нормаль-
ное и касательное напряжения в поперечном сечении; н. — коэффициент Пуассона;
k = — для пластических материалов; k — — для хрупких.
Теория прочности Приведенные напряжения <7 др Приведенные моменты Мпр
Наибольших нормальных напряжений 0,5ст + 0,5 /ст2 + 4т2 0,5Ми + 0,5 ]/м2и + м2
Наибольших удлинений X Уст2 + 4т2 X У М2И + м2к
Наибольших касательных напряжений У ст2 + 4т2 У М2К + м2
Наибольшей потенциаль- ной энергии формоизмене- ния У ст2 + Зт2 У м2и + 0,75Л12
Теория Мора (1 — k) ст + k У о2 + 4т2 (l-k)M„ + k X X У М2п + Л42
Брусья некрупного сечения'
Суммарный изгибающий момент и поперечная сила в сечении раскладываются на
составляющие по главным осям сечения: Му, Мг, Qy, Qz. По соответствующим форму-
лам определяются нормальные напряжения от каждого изгибающего момента и каса-
тельные напряжения от каждой поперечной силы и крутящего момента. Для точек
сечения, в которых напряжения от каждого внутреннего усилия наибольшие, опре-
деляются алгебраические суммы нормальных напряжений и геометрические суммы
касательных. По полученным напряжениям определяются приведенные напряжения
Опр по одной из теорий прочности. Расчет ведется по условию прочности, которое в
общем виде записывается:
опр^[о]. (6.31)
Пример. Определить диаметр вала ременной передачи (рис. 6.11) по третьей тео-
рии прочности. Данные; я = 200 см; b = 400 см; с = 200 см; е = 150 см; D±= 320 см;
167
D2 = 400 см; Da = 440 см. Скорость вращения вала п = 500 об/мин, мощности на шки-
вах Nt = 40, N2 = 90, Ny = 50 л. с., [о] = 50 МПа ^500 j . Решение. Приводим
силы натяжения ремней Т и t к оси вала. Получаем: для 1 шкива сила Ti + й и кру-
D2
тящий момент Л4К = (Тг — /х) ; для 2 шкива Г9 + /2 и = (Т2 — /2) > Для
*88,к 6J9/<e 19J5KS !5в5кг
д
Рис. 6.11.
3 шкива Т3 -Нз и МКз = (r3 — /3) ~ . Вычис-
ляем вращающие моменты, передаваемые каж-
Ni 40
дым шкивом: Л1К1=7162—=7162эдд-==573 Нм
90
(5730 кгс • см); М„ = 7162 -5x77 = 1290 Нм
оии
(12 900 кгс • см); М — 7162 -ggp- = 716 Нм (7160 кгс • см). По найденным значени-
ям строим эпюру крутящих моментов (см. рис. 6.11, б). Определяем натяжения вет-
вей ремня Т и t на каждом шкиве, учитывая, что Т = 2t:
tx = = ?_||? = з,58 мН (358 кгс); 7\ = 2/t = 7,16 кН (716 кгс); 7\ +
-н. = 10,74 кН’(1074 кгс);
2Мь, 2 . 1290
12 = -д— = — = 6,45 кН (645 кгс); Т2 = 2/2 = 12,9 кН (1290 кгс), Т2 +
+ /2= 111,35 кН (1935 кгс);
ta = = "о-7"- — 3,25 кН (325 кгс); Тя = 2/3 = 6,5 кН (650 кгс), Та -J- ta =
= 9,75 (975 кгс).
'Вал испытывает кручение от действия крутящих моментов Мк , Л4К и Л4Ка, из-
гиб в вертикальной плоскости силами (?i+ /Jcos 30° = 9,32 кН (932 кгс) и(7’3 +
4- /3) = 9,75 кН (975 кгс) и изгиб в горизонтальной плоскости силами (Т± + /х) X
+ sin 30°= 5,39 кН (539 кгс) и T2-\-'J2= 19,35 кН (1935 кгс) (см. рис. 6.11, в). Строим
эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (см.-
рис. 6.11, г, д). При построении этих эпюр вал рассматривается как балка на шарнир-
ных опорах. Опасным сечением является сечение Е, для которого приведенный момент
по III теории прочности равен
Л4Пр= ]/ + Л4^ = 3,6 кНм (36000 кгс см).
168
Тогда диаметр вала
9,04 см.
32Л1пр 3 / 32-36 000
л [ст] ~ У 3,14 • 500
Принимаем d = 9 см.
Пример. Определить расчетные напряжения по III теории прочности для бруса
круглого поперечного сечения диаметром d — 2 см, который подвергается действию
растягивающей силы Р = 6,28 кН (628 кгс) и кру-
тящего момента Л4К= 42,7 нм (427 кгссм) (рис. 6.12).
Решение. Нормальные напряжения одинаковы во
всех сечениях и равны
Р 4 • 628
°- F ~ 3,14 • 22 -
Наибольшие касательные
сечения
_ Мк _ 16 > 472 _
Т" “ 3,14 «2® “
200 кгс/см? (20 МПа),
напряжения по контуру
300 кгс/см2 (30 МПа).
Опасными будут все точки, лежащие у контура сечения. Расчетные напряжения по
III теории прочности в этих точках будут:
орав = = )/2002 + 4 . 300? = 633 кгс/см2 (63,3 МПа).
Глава 7
КРИВЫЕ БРУСЬЯ БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ
ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
- Рассматриваются брусья большой кривизны, криволинейная ось которых пред-
ставляет плоскую кривую; поперечные сечения симметричны и их оси симметрии ле-
жат в плоскости кривизны бруса, а все внешние нагрузки действуют в этой же плос-
кости *. К брусьям большой кривизны условно принято относить брусья, для которых
< 5, где р — радиус кривизны оси бруса; h — размер поперечного сечения бруса
в направлении радиуса. При указанных условиях все внут-
ренние усилия в произвольном сечении кривого бруса при-
водятся к трем компонентам: изгибающему моменту, дейст-
вующему в плоскости кривизны, продольной силе, направ-
ленной по касательной к оси бруса, и поперечной силе,
направленной по оси симметрии сечения.
Условия равновесия участка кривого бруса (рис. 7.1):
Рис. 7.1.
где q и t — интенсивности радиальной и касательной распределенных нагрузок;
q — считается положительной, если направлена к центру кривизны, a t — если вра-
* Для брусьев малой кривизны (p/h > 5) с достаточной точностью справедливы ос-
новные зависимости для прямого бруса.
169
щает элемент вокруг центра кривизны по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент
принято считать положительным, если он увеличивает кривизну оси бруса, а про-
дольную силу,— если она вызывает растяжение. Знак поперечной силы устанавли-
вается из соотношения (7.1). Для изучения распределения внутренних усилий по дли-
не кривого бруса строят эпюры М, N и Q. Эпюры строят с помощью метода сечений
аналогично тому, как это делается для брусьев с прямолинейной ломаной осью. Для
контроля построения эпюр могут быть использованы зависимости (7.1).
Рис. 7.2.
Пример. Построить эпюры М, N и Q для бруса, показанного на рис. 7.2. Ось
бруса очерчена по дуге окружности. Решение. Положение сечения удобно определять
полярными координатами р и ф. Общие выражения изгибающего момента, продоль-
ной и поперечной силы в текущем сечении k (р; ф) будут:
Mk = Рр sin ф; Nk=P sin ф; Q* = Р cos ф.
Дзвдя ф значения через определенные интервалы (например, через 30°), вычисляем
величины М, N и Q в этих сечениях. В выбранном масштабе откладываем ординаты
и соединяем их плавными кривыми (см. рис. 7.2, б, в, г).
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ
ПЛОСКОГО КРИВОГО БРУСА (М 0, N = 0, Q = 0 )
К
Рис. 7.3.
(7.2)
Предполагается, что: 1) сечения плоские и нормальные к оси бруса до деформа-
ции остаются плоскими и нормальными к оси бруса и после деформации; 2) продоль-
ные волокна бруса, изгибаясь, не оказывают давления друг на друга. Формула нор-
У мальных напряжений, уравновешивающих изги-
бающий момент:
_М — Му
° “ Fe (г + у) ~ SR 1
Обозначения к (7.2) и рис. 7.3: р — радиус кри-
визны оси бруса; г — радиус кривизны нейтраль-
ного слоя; R — радиус кривизны произвольного
волокна; у — расстояние от нейтрального слоя
до исследуемого волокна; Rt и R2— радиусы со-
ответственно наружных и внутренних волокон
бруса; С — центр тяжести сечения; К — ось
кривизны; е = р — г — расстояние от центра тя-
жести сечения до нейтральной оси; S — Fe —
статический момент площади всего поперечного
сечения относительно нейтральной оси.
Если ось симметрии у направлена от центра кривизны, то формула (7.2) дает не
только величину, но и знак напряжения. В кривом брусе нейтральная ось не прохо-
дит через центр тяжести сечения, а располагается между центром тяжести и центром
кривизны (см. рис. 7.3. — ось аоЬ). Радиус кривизны нейтрального слоя для любого
сечения зависит только от формы сечения и в общем случае определяется выражением
F
т~ Г *
J р
F
(7.3)
170
Таблица 7.1. Радиус кривизны нейтрального слоя для сечений
различной формы
г —
2 1
ф-ln
”1 f<2
•т
Продолжение табл. 7.1
Форма сечения
Радиус кривизны нейтрального слоя
bthj, +
bi In + Ь3 1П
A3
____+ ^2^2_______
&1 ln_^r+62 ln"§"
_______bihi -|- biht -|- bji3_
61In-^ + ^ln-^ + ^ln^
Ag A3 A4
______bjbi -ф 2&2^2_
Мп-М- + 2^10^^
Ag А1 —
Вычислять г необходимо с большой .точностью так как в формулу (7.2) входит раз*
ность двух численно близких величин R и р. Значения радиуса кривизны нейтраль-
ного слоя для некоторых форм сечений приведены в табл. 7.1. Для наиболее распро-
страненных форм поперечных сечений кривых брусьев е можно определить по табли-
цам; вообще е = kp.
В табл. 7.2 приводятся значения коэффициента k в зависимости от отношения
р/д, где а — расстояние от центра тяжести до крайних волокон внутренней кривизны.
Величина е для кривых брусьев небольшой кривизны, поперечные сечения кото-
рых имеют две оси симметрии по Н. Н. Давиденкову [6], может быть определена при-
ближенно *: е — , где J — момент инерции сечения относительно центральной
оси, параллельной нейтральной линии; р — радиус кривизны оси бруса в исследуе-
мом сечении.
Нормальные напряжения по высоте поперечного сечения изменяются по закону
гиперболы (см. рис. 7.3). Наибольшие напряжения обычно возникают по внутренней
кривизне бруса **:
_ М (R2—г) .
в F«a(p-r) ’
напряжения по наружной кривизне:
~ Н Ftfi(p-r) ‘
* Эту формулу с меньшей, но достаточной для целей практики точностью можно исполь-
зовать и для сечений с одной осью симметрии.
*.* В частных случаях, когда центр тяжести сечения расположен очень близко к внут-
ренней кривизне бруса, возможно ( аи | > ] ав /.
(7.4)
(7.5)
172
Таблица 7.2. Значение коэффициента к (I == к р)
р
а
1,2 0,224 0,305
1,4 0,151 0,204
1,6 0,108 0,149
1,8 0,084 0,112
2,0 0,069 0,090
2,2 0,058 0,077
2,4 0,049 0,065
2,6 0,042 0,055
2,8 ’ 0,036 0,047
3,0 0,030 0,041
3,5 0,022 0,028
4,0 0,016 0,021
6,0 0,0070 0,0093
8,0 0,0039 0,0052
10,0 0,0025 0,0033
£
а
1,2 0,336 0,352
1,4 0,229 0,243
1,6 0,168 0,179
1,8 0,128 0,138
2,0 0,102 0,110
2,2 0,084 0,092
2,4 0,071 0,078
2,6 0,061 0,067
12,8 0,053 0,058
3,0 0,046 0,050
3,5 0,033 0,037
4,0 0,024 0,028
6,0 0,011 0,012
8,0 0,0060 0,0060
10,0 0,003§ 0,0039
Продолжение табл. 7.2
р.
~а
1,2
1,4
1,6
1,8
2,4
2,6
t«
3,5
4,0
6,0
8,0
10,0
Q.36
0,25 J
0,186
0,144
0,116
0,096
0,082
0,070
0,060
0,052
0,038
0,029
0,013
0.OO6Q
0,0039
0.418
0,299
0,229
0,183
0,149
0,125
0,106
0,091
0,079
0,069
0,052
0,040
0,018
0,010
0,0065
6i
е
1,2 0,409 0,408
1,4 0,292 0,285
1,6 0,224 0,208
1,8 0,178 0,160
2,0 0,144 0,127
2,2 0,12Q 0,104
2,4 ш 0,088
2,6 0,07?
|,8 0,077 0,067
з,о 0,067 0,058
0,0® 0,041
0,038 0,030
0,018 0,010 0,0065 0,013
ю'о Q,0076 0,0048
Продолжение табл. 7.2
# 1 . , 61 , 1
1
р а * i <4
, 'St W-! '
"4k J
1,2 0,453 0,269
1,4 0,319 0,182
1.6 0,236 0,134
1,8 0,183 0,104
2,0 0,147 0,083
2,2 0,122 0,068
2,4 0,104 0,057
2,6 0,090 0,049
2,8 0,078 0,043
3,0 0,067 0,038
3,5 0,048 0,028
4,0 0,036 0,020
6,0 0,016 0,0087
8,0 0,0089 0,0049
10,0 0,0057 0,0031
Таблица 7.3. Значения коэффициентов Лв и кп
4 —X к p d 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,®
ar ar a w 1,60 0,73 1,36 0,82 1,26 0,86 1,17 0,91 1,12 0,93 1,09 0,95 1,0$ 0,9*6
p ft 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,®
*4 i 1,53 1,29 1,21 1,12 1,09 1,06 1,05
1 1—fir 0,75 0,82 0.86 0,92 0,95 0,97 0,98
В предварительных расчетах кривых брусьев прямоугольного и круглого сечений
можно пользоваться формулами:
М , М
Ов-----1г/ ; °и — , (7.в)
nds
круга W =------, для прямоуголь*
32
(табл. 7,3), Приближенно для сече»
где 1F—осевой момент сопротивления. Для
Ь№
ника IF ------; «в и кн — коэффициенты
6
ний прямоугольной формы при — > 1
Р
feB =---------- ? (7.7)
6—— — ,3
h
175
для круглых сечений при > 1
п
s~T~l
feB= -
8Т~4
(7.8)
Для сложных форм поперечных сечений радиус кривизны нейтрального слоя мо-
жет быть определен приближенно путем замены интегрирования по (7.3) числен-
ным суммированием. При этом вычерчивают в масштабе сечение и разбивают его ли-
Рис. 7.4.
ниями, параллельными нейтральной оси, на достаточное число полосок (рис. 7.4).
Площади отдельных полосок и их радиусы кривизны измеряются в масштабе черте-
жа, тогда
24F<
t=l
у AF; ‘
Zi Ri
=i
где i — номер полоски (I — 1, 2, 3, .... п); п — число полосок.
Пример. Найти радиус кривизны нейтрального слоя для кривого бруса треуголь-
ного поперечного сечения (рис. 7.5) приданных: Rt~ 15 см; р = 9 см; Rs— 6 см;
Ъ = 15 см; h = 9 см. Решение. По точной формуле (см. табл. 7.1)
h 9
' “ „( Ъ «. л" “ J'S 15 Л “ 8,838
R2 ) \ 9 6 )
е= р — г = 9 — 8,536 = 0,464 см;
9
— = 3; k = 0,052;
3
Р
по табл, 7.2 для -----=
а
e=fep = 0,052 • 9 = 0,468;
Таблица 7.4. Приближенный расчет
ДР;, ДР; Я; ДР;, Я; ДР; ДР;, Я, ДР; Я;
СМ СМ СМ
8,7 6,3 1,3810 5,7 9,3 0,6140 2,7 12,3 0,2195
8,1 6,9 1,1739 5,1 9,9 0,5152 2,1 12,9 0,1628
7,5 7,5 1,0000 4,5 10,5 0,4286 1,5 13,5 0,1111
6,9 8,1 0,8519 3,9 11,1 0,3514 0,9 14,1 0,0638
6,3 8,7 0,7241 3,3 11,7 0,2821 0,3 14,6 0,0205
176
по формуле Н. Н. Давиденкова
Ь№
J 36 Лг 92
2 ~ "F- =-П---' = То— = Т5 п = 0,0 см;
Fp bhp 18р 18-9
приближенно: разбиваем треугольник на 15 полосок высотой 0,6 мм каждая, как
AF/
показано на рис. 7.5. Вычисляем AF,, Ri н •. Расчет ведем в табличной форме
(табл. 7.4).
п
---6Z*a — 8,544 cmj е = 0,456 см.
7,У
у AF,
Z Ri
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ ПЛОСКОГО КРИВОГО БРУСА
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ (М =£ О, N =£ О, Q ф 0)
Нормальные напряжения в поперечном сечении кривого бруса равны алгебраи-
ческой сумме нормальных напряжений, обусловленных М и Nt
Му . W
а==0^ + а*: - — SR
где S — статический момент сечения относительно
нейтральной осн; R — радиус кривизны исследуе-
мого волокна. Условие прочности по нормальным
напряжениям:
макс о + [о]. (7-10)
Касательные напряжения в сечениях кривого бру-
са распределяются примерно также, как в попереч-
ном сечении прямого бруса при его изгибе, поэтому
их можно определять по формуле Журавского (5.6),
а условие прочности по касательным напряжениям
записывается:
т
макс
QMaKCs
bJ
(7.Н)
Пример. Построить эпюру нормальных напря-
жений в опасном сечении крюка, показанного на
рис. 7.6, а, при следующих данных; Р = 150 кН
(15 тс), Rt = 25 см, R2 = 10 см, Ьг — 5 см, Ь2 — 10 см.
Решение. Вычислим некоторые величины, необхо-
димые для ~
_ bi ~Ь Ь2
~ 2
положение
решения задачи. Площадь сечения F =
5+10
h — -------
(7-9)
F
Рис. 7.6.
центра
—2— 15= 112,5 см2. Находим
тяжести трапеции, разбив ее на
hb2 ( h ) hbA ( 2h
: F
два
треугольника:
R*
— 16,66 см.
р F
3
= 15,62 см.
Радиус кривизны нейтрального слоя находим по формуле (см. табл. 7.1);
г __ .___________________b. (fii + b2)__
21 Ш-М. 1П^.(&2_&1)
177
Опасным будет сечение А —В, так как там изгибающий момент М — —Рр и про-
дольная сила N = Р имеют наибольшие значения. Напряжения в крайних точках
опасного сечения определяем по формуле (7.9) с учетом (7.4) и (7.5).
°л - +41= 133-3 мПа (1333 кгс/см2)’
г/\2 VP Г) [
<т д = - ~ + -4- = — 67 МПа (— 670 кгс/см2).
Л FRi (р —г) F
По вычисленным данным строим эпюру о (рис. 7.6, б).
ДЕФОРМАЦИИ КРИВЫХ СТЕРЖНЕЙ
Потенциальная энергия деформированного кривого бруса в общем
случае плоского изгиба (М =f= 0, N Ф 0, Q 4* 0) имеет выражение
f M4s , f N*ds , f MNds , t C Q2ds
“ J 2EFep + J 2EF + J EFp + k J 2GF
s s s s
(7-12)
где M, N и Q — текущие значения внутренних усилий, которые в формулу (7.12)
вносятся со своими знаками; k — коэффициент, зависящий от формы поперечного
сечения. Для прямоугольного сечения k = 1,2; для круглого k яй 1,1; для двутавра
fe = -р— (F — площадь сече-
" ст
ния двутавра; FCT — площадь
стенки двутавра), Е и G — со-
ответственно модули продоль-
ной упругости и сдвига.
В формуле (7.12) интег-
рирование распространяется
на всю длину бруса. Если по-
дынтегральные функции име-
S
Рис.
ют разрывы на длине s, то интегрирование ведется по участкам и соответствующий
член формулы (7.12) будет представлен как сумма интегралов на участках.
Вычисление перемещений. Для плоского кривого бруса большой кривизны ли-
нейные и угловые перемещения определяются по формуле Мора:
С MMds , С NNds , Г (MN + NM) ds , t f QQds
J EFep EF EFp GF
S S S s
(7.13)
где M, N и Q — текущие значения внутренних усилий от заданной нагрузки; М, N
и Q — то же, от единичной обобщенной силы, приложенной в точке, перемещение ко-
торой определяется в направлении искомого перемещения. Линейному перемещению
соответствует единичная сосредоточенная сила, угловому — единичная пара. Инте-
грирование в (7.13) распространяется на всю длину бруса. Если интегралы берутся по
участкам, то полной длине бруса соответствует сумма интегралов. Для кривых бру-
сьев малой кривизны (р > 5/i) перемещения можно определять без учета кривизны:
А =
MMds
EI
(7-И)
S
где 1 — момент инерции сечения относительно центральной оси, параллельной ней-
тральному слою. Если перемещение, вычисленное по (7.13) или (7.14), окажется отри-
цательным, то это значит, что оно направлено в сторону, противоположную принято-
му направлению единичной обобщенной силы. В табл. 7.5 приводятся значения инте-
гралов, часто встречающихся при определении перемещений по формулам (7.13) и
(7.14). Табл. 7.6 содержит наибольшие перемещения и наибольшие изгибающие мо-
менты для некоторых 'кривых брусьев.
178
Таблица 7.5. Интегралы, часто встречающиеся при определении
перемещений в кривых брусьях
Интеграл Определенный интеграл в пределах от 0 до
а я; Л Л
| sin фЙф 1 — cos а 0,293 1 2
I COS фЙф sin а 0,707 1 0
| sin2 фс/ф 1 . „ , а ,-Г — 4 sin 2а + 2 0,143 0,785 1,571
j COS2 фс/ф 4 sm2a-Hy- 0,643 0,785 1,571
j sin2 ф COS ф</ф sin® а 3 0,118 0,333 0
j COS2 ф sin ф(1ф 1 — cos3 а 3 0,216 0,333 0,667
j sin 2фс/ф 1 cos 2а 2 2 1 1 0
j cos 2фйф 1 • о -к- sin 2а £i 1 2 0 0
§ sin ф cos фйф §in20i 2 0,25 0,5 0
| Ф sin фйф sin а — a cos а 0,152 1 3,141
J ф COS фс/ф cos а + a cos а — 1 0,262 0,571 —2
J Ф sin2 фйф (а2 — a sin 2а) 1- (cos 2а — 1) 0,0933 0,868 2,47
| ф COS2 фб/ф -i- (а2 + a sin 2а) -j-
+ 4- (cos 2а — 1) О 0,226 0,368 2,47
J Ф$!п 2фс/<р $п 2% « cos 2я.
4 2 0,25 0,785 —
£ Ф cos 2фйф 4- (cos 2а — 1) + 4 & 0,143 —0,5 0
179
Таблица 7.6. Наибольшие изгибающие моменты и перемещения
в кривых брусьях
Вид кривого бруса ^макс Перемещение Д
В /\1Р f ' л[ \ МА = Рр Вертикальное перемещение сече- Рр3 ния В; А — 0,785 ; Горизонтальное перемещение сече- Рра ния В: А — 0,5
Л1А ==Рр Горизонтальное перемещение сече- - Р(>3 ния В: А = 0,356 £ j
И V МА = 2Рр Вертикальное перемещение сече- Рр3 ния В: А — 0,471
с в\- Л1с = Рр Горизонтальное перемещение сече- Рр3 ния В: А — 1,571
J. р Ч 7 М— МА = р (р + 1) Сближение концевых сечений: a = -J- + PX x(4Z2+vp2'+2Zp)]
я лДЛх9 ’ ^' Т’ МА = 2Рр Сближение концевых сечений: Рр3 А = 9,42 LJ
ъ> «<-1 (<О 1 тг Ча IV/ t> Л4д = 0,318Рр Л4В — — 0,182Рр Изменение диаметра: вертикаль- Рр3 ного А — 0,149 ; горизон- Рр3 тального А 0,137
180
Пример. Определить горизонтальное перемещение точки В оси кривого бруса,
Р
показанного на рис. 7.7, если = 1. Сечение бруса — прямоугольник h X b;k =
== 1, 2; G = 0,4£. Третьим слагаемым в фомуле (7.13) можно пренебречь. Решение.
Записываем выражения М, N и G от заданной внешней нагрузки для текущего сече-
ния кривого бруса:
М = — Рр sin <р; N = Р sin <р; Q — P cos ф.
Загружаем брус единичной силой Р = 1 (см. рис. 7.7, б), прикладывая ее горизон-
тально в точку В (в направлении искомого перемещения). Записываем выражения
усилий в единичном грузовом состоянии:
М = — р sin ф; W = sin ф; Q = cos ф.
Подставляем найденные выражения внутренних усилий в формулу (7.13), имея в ви-
ду, что ds = рйф; интегрируя по всей длине бруса, определяем искомое перемещение:
л
(" Рр sin фр sin фрйф
J EFep
о
Р sin ф sin фрйф
EF
+ 1,2 X
л
С Р cos ф cos фрйф Рр2л . Ррл , ЗРрл _ згРр / р , , ,
0,4£F - 2EFe + 2EF + ~2EF~ ~ ~2EF~ + 1 +
о '
Значения определенных интегралов взяты по табл. 7.5. При -у = 1 е = 0,0897h,
ph h
тогда — = — = "q Qgg?'7t~ ~ НД4. Подставляя полученное отношение в выражение
перемещения, окончательно получаем:
A = ^-(H,14 + 1+3) =7,57-^-.
2сг ' Ег
Глава 8
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ.
ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ
КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА
Прямолинейный центрально сжатый стержень при определенной величине наг-
рузки может оказаться в опасном (критическом) состоянии безразличного равновесия.
При этом прямолинейная форма оси стержня будет неустойчива, и стержень может
выпучиться. Нагрузка, при которой прямолинейная форма перестает быть формой
устойчивого равновесия, называется критической.
При критической нагрузке стержень переходит к новой криволинейной форме
равновесия, что связано с появлением качественно новых деформаций. Сжимающая
сила вызывает дополнительно изгибающие моменты, линейная зависимость между
нагрузками и деформациями нарушается; наблюдается сильное нарастание прогибов
при малом увеличении сжимающей силы. Это явление называется продольным изги-
бом. Переход в критическое состояние, как правило, сопровождается потерей несу-
щей;способности стержня и называется потерей устойчивости. Для обеспечения
устойчивости заданного деформированного состояния в конструкциях и сооруже-
ниях допускаются нагрузки, составляющие лишь часть критических. Отношение
критической нагрузки к ее допускаемой величине называется коэффициентом запаса
181
устойчивости:
Пу = -^~. (8.1)
Коэффициент Пу зависит от материала стержня. Его рекомендуемые величины нахо-
дятся в пределах: для стальных стоек 1,5—3; для деревянных 2,5—3,5; для чугунных
4,5—5,5. При достаточном соответствии расчетной схемы реальной конструкции и при
более точных методах расчета можно принимать меньшие значения рекомендуемых
величин коэффициента запаса устойчивости.
Таблица 8.1. Значения коэффициентов т), т]* и р
Номер схемы и in IV V VI VII
Схема Р Р । А" Р лл fZSF р» а 1* к Р щ /^7 Р 1Г /Л/
Т] и Т]' л2 л2 —— = = 2,467 2 л2 = = 9,869 1 18,5 л2 = = 9,869 1 18,9 20,187 0,699 52,5 20,187 0,699 29,6 4л2 = = 39,478 0,5 74,6
4 = 2,467 2 7,84
Допускаемая нагрузка при расчетах на устойчивость не должна превышать зна-
Р
*• кр
«V
чения
(8.2)
Р <
Ниже приводятся формулы для определения критических (эйлеровых) сил цен-
трально сжатых стержней. Эти формулы справедливы лишь при статических нагруз-
ках, вызывающих сжимающие напряжения ниже предела пропорциональности ма-
териала стержня оп. Применимость этих формул определяется условием
^кр __ лаЕ
°кр ~р~ V
(8-3)
где окр— критическое напряжение; F — площадь поперечного сечения; Е — модуль
ц/
продольной упругости материала; Л = -------— приведенная гибкость стержня при
1МИН
продольном изгибе; /мин— наименьший радиус инерции поперечного сечения; р —
коэффициент приведенной длины (табл. 8.1); I — длина стержня. Условию (8.3) экви-
валентно условие % %Кр.
В общем случае сжатого монолитного стержня критическая сила определяется
г, £^МИИ л ^МИН /о лч
= = (8-4>
где 7МИН — наименьший из главных центральных моментов инерции сечения; I —
/ л \2
полная длина стержня;= I — I — коэффициент критической нагрузки. Коэффициен-
182
ТЫЛ и р зависят от способа закрепления торцовых и промежуточных сечеиий стержня,
характера его нагружения продольными силами, закона изменения сечения стержня
по длине и др.
ОДНОПРОЛЕТНЫЕ СТОЙКИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
Р,
Для однопролетных стоек постоянного сечения, нагруженных продольными си-
лами, приложенными к их торцовым сечениям, коэффициент т| зависит только от ус-
ловий закрепления концов стержня. Значения коэффициентов т| и р, для различных
схем закрепления приводятся в табл. 8.1.
Пример. Найти критическую силу для стального стержня (Е = 2 • 10а МПа или
2 • 10е кгс/см2) сплошного сечения прямоугольной формы 6х 1 см2. Длина стержня
I — 2 м. Закрепление концов стержня по схеме III (см. табл. 8.1). Решение.
По табл. 8.1 находим т| — 9,87. Наименьший момент инерции сечения /мин =
6 • I3
= |2 " — 0,5 см4.
_ М7.2-1О‘ИО;-О,»-11Г?..247(, н (М7
а критическое напряжение
Ркр 2470 . 104 . , „гт , 2Т
<т„п = —?---------------=4,1 МПа (41 кгс/см2).
г о
Если на стойку действуют продольные силы, равномерно распреде-
ленные по длине (например, собственный вес), критическую нагрузку определяют
по формуле
(<70кр==П'-^Г> (8.5)
где q — интенсивность продольных сил, равномерно распределенных по длине стой-
ки; Т|'— коэффициент критической нагрузки (см. табл. 8.1) [13], [14].
Рис. 8.1.
Таблица 8.2. Значения коэффициента т, для консольных стоек
ь 1 : Л
0 0,1 0,2 0,5 1,0 2.0 5,0 10 1 20 | 50 100
0 2,467 2,714 2,961 3,701 4,935 7,402 14,80 27,14 51,82 125,8 249,2
0,1 2,467 2,714 2,960 3,698 4,930 7,377 14,68 26,66 49,86 111.6 176,3
0,2 2,467 2,710 2,953 3,679 4,880 7,207 13,78 23,19 36,33 50,96 56,48
0,3 2,467 2,703 2,936 3,622 4,712 6,769 11,70 16,82 21,37 24,89 26,14
0,4 2,467 2,688 2,904 3,525 4,470 6,074 9,187 11,57 13,29 14,52 14,97
0,5 2,467 2,665 2,856 3,384 4,136 5,268 7,060 8,210 8,963 9,488 9,675
0,6 2,467 2,635 2,793 3,211 3,759 4,497 5,504 6,048 6,434 6,674 6,764
0,7 2,467 2,599 2,715 3,020 3,385 3,830 4,376 4,660 4,834 4,952 4,993
0,8 2,467 2,557 2,636 2,821 3,040 3,280 3,551 3,685 3,765 3,818 3,836
0,9 2,467 2,513 2,551 2,641 2,734 2,832 2,936 2,986 3,015 3,033 3,040
1,0 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467 2.467 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467
Пример. Стальной цилиндрический вертикальный стержень закреплен по схе-
ме I, диаметр стержня 2 см. Определить предельно допустимую длину стержня из
условия его устойчивости под действием собственного веса. Решение. Из формулы
(8.5) получаем:
_ 3 А'^мин _ | Х* 7,84 » 2 « 108» 3,14 » 24 » 4 » 103 _
1~У ------q---~ у 3,14.22.7,8.64 '
Если определять предельную длину только по прочности, то она в 320 раз боль-
ше (2560 м).
Для консольной стойки, нагруженной двумя силами (рис. 8.1), одна из которых
Pi приложена в торце, а другая Ра — в промежуточном сечении, критическая
183
нагрузка определяется!
р Т
(^+Рг)кр = П-7Г-Н- (М
Р2 Ь
Коэффициенты критической нагрузки г) в зависимости от отношении -р- н — при-
ведены в табл. 8.2.
Если действуют несколько продольных сил Pi, Р2, Р2, .... Рп> приложенных на
расстояниях bi, b2, Ь3, ..., Ьп от нижнего конца стержня, то приближенно
bZ2 b2n n2EJKm
Р1-^г + Р^+ +Рп-%-= ....41*
(8.7)
Таблица 8.3. Значения коэффициента т] при одновременном действии
сосредоточенных и распределенных нагрузок
Ql р. Стойка I Стойка III Стойка IV <7/ Рэ Стойка I Стойка III Стойка IV
0 2,47 9,87 9,87 2,00 0,96 0 —0,81
0,25 2,28 8,64 8,70 3,00 0,15 —4,94 —5,91
0,50 2,08 7,40 7,85 3,18 0 —9,87 —
0,75 — 6,17 6,09 4,00 —0,69 —14,80 -11,50
1,00 1,72 4,94 4,75 5,00 —1,50 — —17,37
1,92 — —• 0 1
Пример. Найти критическую нагрузку для вертикальной колонны, к верхнему
торцу которой приложена сила Рх, а на средине — Р2= ЗРт. Длина колонны — I;
жесткость поперечного сечения в направлении наибольшей гибкости — EJ. Решение.
b Р2
Для нашего случая у = 0,5; у- = 3. По табл. 8.2 путем интерполирования нахо-
дим т] = 5,865. Тогда по (8.6)
+ Р2)Кр= 5,865-^-.
Для сравнения воспользуемся приближенной формулой (8.7). Для нее
,2 >.2
"1______. °2 _ _1_
/а - ’ /2 ~ 4
Тогда
Pi - 1+ЗР1-|- =
a‘2EJ
4? '
откуда Р1кр = 1,41 -у ; Р2кр = 4,23 ; (Рг-ф Р2)кр = 5,64 -у . Прибли-
женная формула (8.7) дает погрешность по сравнению с точным решением около 4%.
В случае одновременного действия на стойку сосредоточенных и равномерно рас-
пределенных продольных сжимающих сил критическая сила равна:
Ркр = П
FI
^Ммнн
/2
(8.8)
В табл. 8.3 приводятся значения коэффициента
«у/
табл. 8.1) в зависимости от отношения -р- , где
' э
Т] для стоек I, III и IV схем (см.
Рэ— эйлерово значение сосредото-
ченной силы Р.
Для стоек схемы I:
_ п;2^7мнн
Рэ 4JT-
=2,467
^мин
(2
184
Таблица 8.4. Значения коэффициентов Т] и ц дли стоек с промежуточной
опорой и одним шарнирно опертым концом
р
I
Номер стойки 1 Коэффициент ^2 J G
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
I 0 М- 2,467 2,00 2,832 1,87 3,283 1,73 3,845 1,60 4,551 1,47 5,438 1,35 6,511 1,23 7,726 1,13 8,874 1,06 9,637 1,01 9,870 1,00
И о м- 9,870 1,00 11,33 0,933 13,11 0,868 15,25 0,804 17,72 0,746 20,19 0,699 21,88 0,672 22,14 0,668 21,40 0,679 20,55 0,693 20,19 0,699
III Т) И 20,19 0,699 23,23 0,652 27,06 0,604 31,75 0,558 36,80 0,518 39,48 0,500 36,80 0,518 31,75 0,558 27,06 0,604 23,23 0,652 20,19 0,699
IV о м- 39,48 0,500 45,27 0,467 51,97 0,486 58,16 0,412 58,84 0,410 51,12 0,439 41,68 0,487 33,96 0,539 28,09 0,593 23,63 0,646 20,19 0,699
Таблица 8.5. Значения коэффициентов г) и ц для стоек с промежуточной
опорой и одним заделанным концом
Р VW &
F* It 4k 4 _ ъ
г j -1 , Г L
Номер стойки Коэффициент га s г
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Г) 2,467 2,883 3,414 4,105 5,021 6,260 7,990 10,39 13,59 17,24 20,19
I м- 2,00 1,85 1,70 1,55 1,40 1,26 1,11 0,975 0,852 0,757 0,699
л 9,870 11,53 13,65 16,37 19,90 24,42 29,82 35,10 38,41 39,40 39,49
II м- 1,00 0,925 0,850 0,776 0,704 0,636. 0,575 0,530 0,507 0,501 0,500
Г) 20,19 23,63 28,09 33,96 41,68 51,12 58,84 58,16 51,97 45,27 39,48
ш и 0,699 0,646 0,593 0,539 0,487 0,439 0,410 0,412 0,436 0,467 0,500
Т) 39,48 46,13 54,45 64,56 75,22 80,76 75,22 64,56 54,45 46,13 . 39,48
IV м- 0,500 0,463 0,426 0,391 0,362 0,350 0,362 0,391 0,426 0,463 0,500
183
Для стоек III и IV схем!
п п2^^мин п ^миа
Гэ— —У,О/ /3
Отрицательные значения коэффициента г| в табл. 8.3 соответствуют случаям боль-
ших величин ql, когда потеря устойчивости происходит даже при растягивающей
силе Р.
СТОЙКИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ОПОРАМИ
В этом случае величина критической силы вычисляется по формуле (8.4). При
этом I —длина всей стойки, значения коэффициентов т] и р для различных схем за-
крепления стержней и различного числа пролетов приводятся в табл. 8.4 — 8.6.
Эти таблицы составлены для случаев, когда все связи, наложенные иа стойку, абсо-
л®гно жесткие [14], [42].
ОДНОПРОЛЕТНЫЕ СТОЙКИ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Консольная двухступенчатая стойка (рис. 8.2)
о Eh
Ркр = П —
(8.9)
Значения коэффициента т| приведены в табл. 8.7. Оба момента инерции Jf и <7.2 берут-
ся относительно осей, перпендикулярных плоскости изгиба стоек (рис. 8.2). ..
Двухступенчатая стойка с шарнирно опертыми концами, нагруженная
двумя продольными силами (рис. 8.3)
р 7
^1 + ^)кр = П-^. (8.10)
Значения коэффициента »] приводятся в табл. 8.8.
Симметричная трехступенчатая стойка с шарнирно
опертыми концами (рис. 8.4)
Критическая сила определяется по формуле (8.9), значения коэффициента л
даны в табл. 8.9.
Одиопролетные стойки с непрерывным изменением
поперечного сечения
Критическая сила для конической консольной стойки (рис. 8.5) может быть вы-
числена по формуле (8.8). Коэффициенты т| в зависимости от отношения момента инер-
ции верхнего торца стойки Ji к моменту инерции нижнего торца J2 приведены в табл.
8.10. Систематическое исследование стоек переменного сечения см. в [14], [34], [42].
186
Таблица 8.6. Значения коэффициента т| для стойки с шарнирно
опертыми концами и двумя промежуточными опорами
1 1, -.1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 j,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 20,19 23,63 28,09 33,95 41,68 51,12 58,83 58,16 51,97 45,27 39,48 24,92 29,42 35,61 43,98 54,91 65,92 67,77 60,68 52,43 45,27 31,54 37,91 46,90 59,23 73,51 78,75 70,90 60,72 51,97 41,20 50,75 64,42 81,27 87,52 78,75 67,75 58,16 56,07 71,17 85,58 81,27 73,51 65,92 58,83 80,75 71,17 64,42 59,23 54,92 51,12 Р 56,07 50,75 46,90 43,98 41,68 41,20 37,91 35,61 33,95 31,54 29,43 28,09 24,92 23,63 20,19
1——2—! Uj ,
Таблица 8.7. Значения коэффициента т) для двухступенчатой консольной стойки
к . 1 J2 - Ji Ji
0 | 0,1 0,2 0,5 1,0 2,0 5,0 10 20 | 50 100
0 2,467 2,243 2,056 1,645 1,234 0,8225 0,4111 0,2243 0,1175 0,04837 0,02465
0,1 2,467 2,285 2,126 1,761 1,367 0,9440 0,4894 0,2714 0,1436 0,05947 0,03010
0,2 2,467 2,325 2,197 1,881 1,520 1,093 0,5919 0,3350 0,1793 0,07486 0,03798
0,3 2,467 2,363 2,262 2,013 1,692 1,277 0,7293 0,4237 0,2302 0,09709 0,04944
0,4 2,467 2,396 2,327 2,141 1,879 1,499 0,9174 0,5498 0,3064 0,1309 0,06697
0,5 7,467 2,423 2,379 2,256 2,068 1,756 1,178 0,7462 0,4268 0,1860 0,09580
0.6 2,467 2,444 3,420 2,350 2,235 2,025 1,531 1,052 0,6330 0,2848 0,1482
0,7 2,467 2,457 2,446 2,415 2,356 2,256 1,950 1,530 1,018 0,4880 0,2588
0,8 2,467 2,464 2,461 2,453 2,440 2,402 2,297 2,106 1,730 0,9991 0,5592
0,9 2,467 2,467 2,466 2,465 2,465 2,459 2,446 2,424 2,374 2,189 1,746
1,0 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467
Таблица 8.8. Значения
коэффициента т] в формуле (8.10)
для двухступенчатой стойки
с шарнирно опертыми концами
J 2 Jt P, + Рг p,
1,00 1,25 1,50 1,75 2,00
1,00 9,87 10,9 11,9 12,6 13,0
1,25 8,79 9,77 10,5 11,2 11,8
1,50 7,87 8,79 9,49 10,1 10,7
1,75 7,09 8,01 8,62 9,13 9,77
2,00 6,42 7,33 7,87 8,46 8,40
Таблица 8.9. Коэффициент
ц для трехступенчатой стойки
2 Zs; Z
0,2 0,4 0,6 | 0,8
0,01 0,153 0,270 0,598 2,257
0,10 1,467 2,401 4,498 8,590
0,20 2,796 4,222 6,694 9,330
0,40 5,089 6,680 8,512 9,675
0,60 6,978 8,187 9,240 9,780
0,80 8,550 9,177 9,632 9,840
^37
Т а б л и ца 8.10. Значения коэффициента т) для конической стойки
с защемленным концом
У, У. 0,1 0,2 о,з 0,4 0,5 0,6
ч 1,203 1,505 1,710 1,870 2,002 2,117
1 '<4 Ji 7? 0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0
ч 2,218 2,308 2,391 2,467 3,025 3,400
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ
ЗА ПРЕДЕЛАМИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Условие применимости формул для определения критических нагрузок по
Л. Эйлеру может быть записано в виде
(8J1)
где Акр — гибкость, при которой критические напряжения равны пределу пропорцио-
нальности. Значения XkD для некоторых материалов приведены в табл. 8.11.
Таблица 8.11. Значения А„„
Материал Модуль упругости £, МПа (кг/мм2) Предел пропорцио- нальности <тп, МПа (кг/мм2) Минимальная гибкость -*-кр
Сталь; Ст.З 105
НЛ2 — — 90
малоуглеродистая 2,2-105 (22 000) 260 (26) 91
хромомолибденовая 2,2-105 (22 000) 700 (70) 55
Дюралюминий 0,7-105 (7000) 270 (27) 51
Сосна 0,1 -105 (1000) 26 (2,6) 61
Для стоек постоянного сечения, у которых А < Акр, критическая сила определя-
ется по следующей эмпирической формуле, предложенной Ф. С. Ясинским [50]:
= (8.12)
а критическое напряжение
окр = а — ЬК, (8.12а)
где F -5- площадь поперечного сечения стойки; а и b — числовые коэффициенты, име-
ющие размерность напряжения. Эти формулы применяются для стоек, гибкость кото-
рых находится в пределах At < А < Акр, где Ai — гибкость стоек, для которых крити-
ческое напряжение равно пределу текучести
_ (2 (У-р
= —ь— ‘
188
Таблица 8.12. Значения коэффициентов а, Ь, МПа (кгс/см2),
и гибкостей 1нр и
Материал а Ь ^нр Ч
Сталь: углеродистая Ст.З, <тв 380 (3800) от = 240 (2400) 310 (3100) 1,14(11,4) 105 61,4
углеродистая ав 480 (4800) от = 310 (3100) 469 (4690) 2,618 (26,175) 100 60
кремнистая, ов — 520 (5200) от = 360 (3600) 589 (5890) 3,8175 (38,175) 100 60
хромомол ибденова я 1000(10 000) 5,4 (54) 55 —
Дюралюминий 380 (3800) 2,185 (21,85) 50 —
Дерево (сосна) 40 (400) 0,203 (2,03) 59 ——
Коэффициенты а и Ь, а также гибкости X, и Хкр приводятся в табл. 8.12. Для доста-
точно коротких и толстых стоек X < окр = пт расчет на устойчивость заменяется
расчетом на прочность. Для конструкционных и легированных сталей, при отсутствии
данных о величине коэффициентов а и Ь, они могут
быть вычислены по формулам:
°т^ко
а== Чр-*1
, _ РТ-- °п
^кр
где ^-кр определяется по (8.11), а принимается рис §.6.
равной 15—25.
Формула Ф. Я. Ясинского для чугуна выражает квадратную зависимость кри-
тической силы от гибкости:
t.jvl
Ркр = F (7760 — 120Л + 0,53V). (8.14)
На рис. 8.6 схематически показан полный график зависимости критического на-
пряжения от гибкости для стали Ст.З. Для гибкостей от 0 до 40—50 стержень на-
столько короткий, что практически разрушается от потери прочности и критическим
напряжением можно считать предел текучести. При гибкости от 40—50 до 100 стер-
жень теряет устойчивость, деформируясь в упруго-пластической области — прямая
Ясинского (см. рис. 8.6). Если гибкость больше 100, критические напряжения опре-
деляются по формуле Эйлера, выражающей гиперболическую зависимость напряже-
ний от гибкости.
РАСЧЕТ НА СЖАТИЕ С УЧЕТОМ УСТОЙЧИВОСТИ
В расчетах металлических и деревянных стержней, работающих на сжатие, ис-
пользуется условие устойчивости
N
О = —<[о]у, (8.15)
Г
где N — продольная сжимающая сила; [а]у — допускаемое напряжение при расчете
на устойчивость.
[о]у = [<г]сж • Ф, (8.16)
где <р — коэффициент понижения допускаемого напряжения на сжатие, учитываю-
щий запас устойчивости (табл. 8.13).
189
Расчетная формула имеет вид
^бР <р[а] ’
(8.17)
Так как в (8.17) два неизвестных — Гбр и ф, то подбор сечений ведут путем последо.
вательных приближений (см. пример расчета).
Пример. Подобрать диаметр деревянной стойки круглого сечения, жестко за-
щемленной на нижнем конце и шарнирно закрепленной на нерхнем. Длина стойки
Таблица 8.13. Значения коэффициента ф в зависимости от гибкости А,
для различных материалов
Гиб- кость % Сталь Чугун Дерево независи- мо от породы Бетон
Ст.0, Ст,2, Ст.З. Ст.4 Ст. 5 НЛ-1 НЛ-2 СЧ 15—30, СЧ 15—18, СЧ 15—36, СЧ 41—40 СЧ 21—44, СЧ 28—48 тяже- лый лег- кий
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
10 0,99 0,98 0,98 0,97 0,95 0,99 1,00 1,00
20 0,97 0,95 0,95 0,91 0,87 0,97 0,96 0,96
30 0,95 0,93 0,93 0,81 0,75 0,92 0,90 0,86
40 0,92 0,90 0,90 0,69 0,60 0,87 0,84 0,73
50 0,89 0,84 0,83 0,57 0,43 0,80 0,76 0,68
60 0,86 0,80 0,78 0,44 0,32 0,71 0,70 0,59
70 0,81 0,74 0,71 0,34 0,23 0,61 0,63 0,52
80 0,75 0,66 0,63 0,26 0,18 0,49 0,57 0,46
90 0,69 0,59 0,54 0,20 0,14 0,38 0,51 —
100 0,60 0,50 0,45 0,16 0,12 0,31 0,45 —
ПО 0,52 0,43 0,39 — — 0,26 — —
120 0,45 0,38 0,33 — — 0,22 — —
130 0,40 0,32 0,29 — — 0,18 — —
140 0,36 0,28 0,26 — — 0,15 — —-
150 0,32 0,27 0,23 — — 0,14 —-. —
160 0,29 0,24 0,21 — 0,12 — —
170 0,26 0,21 0,19 — — 0,11 — —
180 0,23 0,19 0,17 — — 0,10 —-. —
ЮО 0,21 0,17 0,15 — — — — —-.
200 0,19 0,16 0,14 — —“ — — —
1= 4 м. Стойка сжимается продольной силой N = 60 кН (6 тс). Допускаемые напря-
жения [о] = 10 МПа (100 кгс/см2). Решение. В первом приближении задаемся ф =
== 0,5. По формуле (8.17) вычисляем требуемую площадь сечения: F — =
60 000- 104 i/'4F
= Q 5 . ю , |q6 = 120 см2, что соответствует диаметру d = у — = 1,128
= 12,4 см и минимальному радиусу инерции г'мип = — 3,1 см. Вычисляем
ц/ 0,7 • 400
гибкость стойки А. = ---= 5—j------= 90,3. По табл. 8.13 путем интерполяции
ЧЙИН 15 ’ 1
находим коэффициент снижения основных допускаемых напряжений, соответствую-
щий данной гибкости ф — 0,378. Он значительно отличается от принятого.
Во втором приближении зададимся ф = 0,43, что примерно равно среднему ариф-
метическому значению между принятым и полученным в первом приближении. Тогда,
60 000 • 104
требуемая площадь сечения равна: F = см2 и тРе^УемЫ1а Диа’
метр d = 13j32 см. Принимаем диаметр d = 13,3 см. Этому диаметру соответствует
190
минимальный радиус инерции iMHH= d/4 = 3,325 см. Гибкость стойки X = —~ =
84,2, а соответствующий ей коэффициент <р = 0,446 (см. табл. 8.13).
60 000 / кгс \
Проверяем напряжения: о = ——————j- = 9,7 МПа 97 g- . Недонапря-
U,44u • иУ • 1(J \ /
жение составляет 3%, что допустимо.
Пример. Для стойки с одним защемленным и другим свободным концом подо-
брать сечение прокатного двутавра по ГОСТ 8239—72, если длина стойки I— 1,5 м,
сжимающая сила N = 500 кН (50 тс), допускаемое напряжение на сжатие [а] =
= 160 МПа (1600 кгс/см2). Решение. Для подбора сечения пользуемся формулой (8.17).
Зададимся ср = 0,5. Тогда необходимая площадь поперечного сечения будет:
500 103 • 104
0,5 160 106
= 62,5 см2.
По таблицам сортамента находим двутавр № 36; выписываем данные: F = 61,9 см1,
г. , 2 • 150
/, .н ' 2,89 см. Вычисляем гибкость стойки Л. = • 2 89 " = ^^,8. По табл. 8.13
для к = 103,8 путем линейной интерполяции находим ср = 0,57.
Расчетное напряжение для принятого сечения будет:
N
= ---?г
epF
500 • 103 • 10*
0,57 • 61,9
= 141,7 МПа
(1417 кгс/см2), что на 11% меньше допускаемых напряжений.
Примем двутавр № 30а. Его площадь сечения равна 49,9 см2, а минимальный
радиус инерции — 2,95 см. При таком сечении гибкость стойки составляет:
_ 2 150
2,95
101,7. Тогда по табл. 8.13 ср = 0,59.
Напряжение ----=—лО о~ = 1698 кгс/см2, что на 6 % выше допускаемого.
U, ОУ • 4У,У
В пределах заданного сортамента при данных условиях задачи большего прибли-
жения получить нельзя. Остается назначить двутавр № 36.
устойчивость плоской ФОРМЫ ИЗГИБА
Рассматривается балка, одна из главных плоскостей которой мала по сравнению
с другой. Изгибая такую балку в плоскости наибольшей жесткости, можно достиг-
нуть предела, когда плоская форма изгиба перестает быть единственной формой рав-
новесия и может возникнуть новая изгибио-крутильная форма равновесия. В этом
случае ось балки искривляется по линии двоякой кривизны. Вместо плоского из-
гиба создается изгиб, сопровождаемый кручением; в результате прочность балки
резко снижается. Детальное исследование этого вопроса можно найти в работах [341,
[42] и др.
В табл. 8.14 даны выражения критических нагрузок для полосы (балка с узким
прямоугольным сечением) при различных схемах загружения, где I — длина балки;
EJ — наименьшая жесткость при изгибе; G7K — жесткость при кручении; от =
— ^EJGJk- (3 — коэффициент, зависящий от отношения —(табл. 8.15).
Для двутавровых балок потеря устойчивости плоской формы изгиба связана с
депланацией поперечных сечений. Величина крутящего момента и депланация рече-
ний переменны по длине балки: налицо — стесненное кручение. Исследование этого
вопроса см. в [10].
хДля двутавровой балки критическая нагрузка определяется по формуле
г, Л
^кр ~1‘Г т' (8.18)
191
Таблица 8.14. Критические нагрузки
Схема балки и нагрузки
Критическая нагрузка
Стержень изгибается парами
сил М, приложенными по кон-
цам. Концы балок могут свобод-
но поворачиваться относительно
осей г и у
.. п
Нагрузка та же, но концы бал-
ки защемлены (торцовые сечения
относительно вертикальных осей
поворачиваться не могут)
.. ил
мкр = —m
Стержень с одним закрепленным концом нагружен сосредоточен- ной силой на свободном конце. Точка приложения нагрузки от- стоит от оси стержня на рас- стоянии а л р П 4,013 / РкР = /2 [п aEJ \ 1 /
Стержень нагружен сосредото- ченной силой посредине. Закреп- ления шарнирные. Точка прило- жения нагрузки отстоит от оси стержня на расстоянии а р - „ 16,93 / Ркр — 12 — 3,48— E.j'j
Закрепления шарнирные. На- грузка приложена на расстоянии с от ближайшей опоры на оси стержня
^кр = [2 т
с Г
Стержень закреплен, как и в предыдущем случае. Нагрузка, действующая на него, равномер- но распределена по длине 1 1 ШТ U t ннн L (<7/)кР = р т
Стержень, заделанный концами,
нагружен посредине сосредото-
ченной силой. Точка приложе-
ния нагрузки находится на оси
стержня
п _ 26,6
^кр [2 т
Стержень, заделанный одним
концом, нагружен равномерно
распределенной нагрузкой
. 12,85
«р = —р т
пг = yEJGJx
192
Таблица 8.15. Значения коэффициента Р
G/K 1 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05
Р 16,93 17,15 17,82 19,04 21,01 24,10 29,11 37,88 56,00 111,6
Таблица 8.16. Коэффициенты т] к формуле (8.18)
а П, И2 Из а П1
0,1 31,6 86,4 143,0 16 5,08 18,3 30,5
1,0 9,76 31,9 53,0 20 — 18,1 30,1
2,0 8,03 25,6 42,6 32 — 17,9 29,4
4,0 6,73 21,8 36,3 50 17,5 29,0
6,0 6,19 20,3 33,8 70 — 17,4 28,8
8,0 5,87 19,6 32,6 90 4,04 17,2 28,6
12,0 5,36 18,8 31,5 100 4,04 17,2 28,6
б
Рис. 8.7.
Здесь rj—коэффициент, определяемый по табл. (8.16) в зависимости от а =
GJK /I V
~gj~ у ’ 41 Для консоли с силой иа конце; т)2 для балки на двух шарнирных опорах
с силой посредине; т)3 — для балки на двух шарнирных опорах с равномерно распре-
деленной нагрузкой.
Пример. Поперечное сечение балки, показанной на рис. 8.7,— двутавр № 60.
Проверить прочность балки и устойчивость плоской формы изгиба при следующих
данных: I = 6 м; q — 100 кН/м (10 тс/м); [ст] = 160 МПа
(1600 кгс/см2), коэффициент запаса на устойчивость и
прочность ky = 1,7. Решение. Пользуясь таблицей сор-
тамента, составим чертеж поперечного сечения балки
(см, рис. 8.7,6); ft = 60 см; &= 17,6 см; 6!= 1,3 см;
fti = 55,6 см; б2= 2,2 см; №г = 2800 см3; Jy = 1700 см1;
— момент инерции при кручении — подсчитываем по
формуле
Л я* -у S7163 = (ftj6? + 2^) = 160 см1.
Проверка на прочность:
Л4макс = -у_ = 450 кНм (45 • 10б кгссм);
_________ /макс
стмакс —
450 Л.1 У . 160 7 МПа (1607 JIS')
2800 . 10~6 \ см2 /
Проверка на устойчивость:
«р = -^-Vejgjk.
Для стали принимаем: Е = 2,1 • 10бМПа (2,1 • 10е кг/см2), у = 2 (1 + р) = 2,6.
Тогда
... 4 1/ur EJ« Е 1/1700-160 Е г>пл
О/Окр “ /а У EJ 2,6 “П У 2,6 ~Л ' 324‘
7 2-256
193
Коэффициент т] находим по табл. 8.16. Для этого вычислим
GJK I I \2 160 / 600 \2_
а~ EJ “2,6- 1700 \ 60 ) ’ '
Интерполируя между а — 2 и а = 4, находим т)з = 37,5. Критическая нагрузка
(9/)кр =» 324т] = 324 ’ 3?,63 2,10в '°f' = 708 кН <70 800 кгс>-
Критические напряжения
а = -^кс = = 708 ' 103 ‘ 6 - = 190 МПа (1900 кгс/см2).
кр 8WZ 8 • 2800 • 10~6
При заданном коэффициенте запаса устойчивости допускаемое напряжение должно
быть:
[о] = = 112 МПа (1120 кгс/см2).
Яу * , •
Следовательно, для обеспечения устойчивости балки необходимо принять коэффи-
циент понижения основного допускаемого напряжения:
Му 112 п_
г [О] 160
Для обеспечения безаварийной работы балки необходимо или уменьшить нагрузку
до q'= 100 • 0,7 = 70 кН/м (7 тс/м) или, если это конструктивно возможно, поста-
вить поперечные связи, препятствующие боковому выпучиванию.
ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ, ПРОДОЛЬНОГО СЖАТИЯ
И КРИВИЗНЫ БРУСА НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ
Поперечная сила, возникающая при изгибе, оказывает малое влияние
на величину критической силы. Например, для стержня, шарнирно закрепленного
с двух сторон (см. табл. 8.1), критическая нагрузка с учетом влияния поперечной си-
лы равна:
л2£/мнн 1
^p= р ЙЛ2£4ин ’ (8Л9)
ф GF/2
где k — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения. Для прямоуголь-
ника k — 1,5; для круга — 1,33. В формуле (8.19) влияние поперечной силы учиты-
вается поправочным членом в знаменателе, который для сплошных стальных стерж-
ней составляет -Jq- = общей величины критической силы. Однако в составных
стержнях поперечная сила оказывает существенное влияние на величину критиче-
ской силы.
Продольное сжатие оказывает ничтожное влияние на величину кри-
тической силы и его можно не учитывать.
Влияние внецентренного приложения сжимающей силы
и начальной кривизны стержня
При сжатии гибкого стержня с эксцентриситетом в пределах упругих деформаций
наблюдается сложная нелинейная зависимость между напряжениями и сжимающей
силой. Величина эксцентриситета е влияет на быстроту нарастания деформаций: чем
больше начальный эксцентриситет, тем быстрее нарастают прогибы при увеличении
сжимающей силы Р (рис. 8.8).
Рассмотрим стержень, шарнирно закрепленный на концах. Если сжимающие си-
лы приложены на концах с эксцентриситетом е, прогиб посредине стержня прибли-
194
женио равен:
= е1зес~7Г
2 '
(8.20)
где п=у
Если сжимающая сила Р стремится к эйлеровой критической силе til -» л, про-
гиб быстро возрастает. Если до загружения стержень имел начальное искривление,
которое приближенно можно считать синусоидой с одной полуволной и амплитудой
/в, то при действии продоль-
ной силы Р дополнительный
прогиб посредине будет:
f„ ’ Р
fl = р _-р • <8-21)
~2 «Р
В этом случае прогиб также
неопределенно возрастает, ес-
ли сжимающая сила прибли-
жается к критическому зна-
чению.
Пример. Шарнирно за-
крепленная по концам стойка
длиной I = 4 м сжимается
силой Р = 200 кН (20 тс)
(рис. 8.9). Стойка выполнена
Из двутавра № 30, [о] = 160 МПа (1600 кгс/см2) и имеет начальное искривление из
плоскости наименьшей жесткости /0 = 1,5 см. Проверить устойчивость и прочность
стойки. Решение. Для двутавра № 30 из таблиц сортамента выписываем: F = 46,5 см2;
jy = 337 см1; iy = 2,69 см; Wy = 49,9 см3. Допускаемая нагрузка на стержень Рдоп =
= Ф [о] F.
, I 400
Для отыскания ф определяем гибкость А = — = -ggg- = 148,7. По табл. 8.13,
интерполируя, для X = 148,7 находим ф — 0,324. Тогда Раоп~ 0,324 • 160 • 10е X
X 10~4 • 46,5 = 241 кН > 200 кН; следовательно, устойчиность стойки обеспече-
на. Проверяем прочность. Критическая сила равна (8.4):
„ 3,142«2,1 105»337 • 10е. IO"8 ._й „ ,.„спп
Ркр = —------1--------------------= 436 кН (43 600 кг « с).
Дополнительный прогиб, связанный с начальным искривлением, определяем по (8.21)
, 1,5 . 10~2 .200 000
436000 — 200000 0,013 м 1,3
2
Суммарный наибольший прогиб стойки равен:
У — fo + f i = 1>5 + 1,3 = 2,8 см.
~2
Напряжение в крайних сжатых волокнах стойки от сжимающей силы Р и изгибающе-
го момента Ру будет:
200 000
а =---------------------------------х
46,5 • 10* 49,9 . 10~6
Следовательно, прочность стойки обеспечена.
200 000.2,8 . 10~2 мгг .
_ — 155 МПа < [о].
РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ
Критическая сила для сжатых составных стержней зависит как от геометриче-
ских размеров ветвей, так и от размеров и системы решетки (или планок), связываю-
щей отдельные ветви н обеспечивающей их совместную работу. Существенно, что эта
7*
195
критическая еила, вследствие деформативности решетки, меньше, чем вычисленная по
формуле Эйлера для сплошных стоек. Для составных стержней критическая еила
определяется по формуле
р ^2EJ
к₽ ’
(8.22)
Здесь коэффициент р зависит от схемы решетки и сечений ее элементов. Для основных
типов решеток, показанных на рис. 8.10, в табл. 8.17 приведены формулы для опре-
деления коэффициента р, в которых J — момент инерции поперечного сечения без
соединительных элементов относительно
оси наименьшей жесткости; и Fp — пло-
щади поперечных сечений диагоналей и
распорок; /р — момент инерции распорки
при изгибе в плоскости решетки; /в—мо-
мент инерции поперечного сечения одной
ветви в плоскости решетки; <р — угол между распоркой и диагональю; а — длина
панели; b — расстояние между осями ветвей (см. рис. 8.10); п— числовой коэффи-
Рк1,аа
циент. Для прямоугольной формы поперечного сечения п = 1,2, а = 2n?EJ *
Пример. Определить критическую силу при изгибе в плоскости ху для составной
стойки длиной I = 15 м, шарнирно закрепленной по концам. Стойка состоит нэ двух
швеллеров № 36 (рис. 8.11), соединенных двумя решетками по схеме рис. 8.10, а.
Диагонали и распорки из равнобоких уголков № 7, угол <р = 60°. Решение. По таб-
лицам сортамента находим нужные характеристики сечений швеллера и уголка. Оп-
ределяем:
Jz = 2 (513 + 53,4 . 15,18s) = 25 626 см4;
F = 106,8 см2; F^ — Fp — 6,2 см2; b = 30,36 см; а = b tg 60° = 52,6 см.
Для данной схемы решетки коэффициент р определяется (см. табл. 8.17):
n2EJz /______________________________________1___________b \ _
Z2 у FgE sin <р cos2 "г" aFpE J
1 . 3,142 • 2,1 < 10е 25 626 / 1
|/ ' ' 15002 \6,2.2,1 . 10е • sin 60° cos 60° +
52.<1.632'.32,1.10<) = + Ы38= ITT® = 1,46.
Критическая сила по формуле (8.22)
3,14а • 2,1 . Ю5 . 10е • 25 626 • 10~8
(1,46 • 15)2 • 10?
Критическое напряжение
= 1100 кН (110 000 кгс).
^кр 1 100 000 , „ , 2
о„п = —тг— =---------------г = ЮЗ МПа = 1030 кгс/см8
кр F 106,8 • 10-4
не превышает предела пропорциональности.
196
Таблица 8.17. Формулы для определения коэффициента ц
Стойка по
рис. 8.10
Формула
а
n2EJ / 1_________b \
Z2 FgE sin ср cos2 ср 'aFvE )
бив
Н =
Е12РД sin ср cos2 ср
л2ЕЕ
При числе панелей не менее 6, без учета влияния поперечной силы
При учете влияния поперечной силы в распорке
При значительных расстояниях между распорками или очень гиб-
ких вертикальных элементах (ветвях) стойки
1 / __-1--u ______с. 1
т /2 \24EJp' 24EJB t—arbFpG)
Примечание. На рие 8.10, д показаны поперечные сечения сквозных стержней.
Для сравнения полученных результатов вычислим эйлерову критическую силу
(полагая стойку сплошного поперечного сечения, имеющего F = 106,8 см2; J? =
= 25 626 см4):
„ 3,142.2,1 . 105 « 10е . 25 626 . 10-8 ч
Рэ ------------------1---------------------------- 2360 (238 000 кгс).
Как видим, неучет деформативности решетки в данном примере приводит к завыше-
нию критической силы более чем в 2 раза.
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
Изгиб стержня под действием поперечной нагрузки с учетом влияния продоль-
ных сил называется продольно-поперечным. Расчетгибких-стержней, испытывающих
сжатие или растяжение с изгибом, производится по деформированной схеме. За счет
деформации стержня возникают прогибы, поэтому продольная сила будет вызывать
изгибающие моменты. Эти изгибающие моменты могут быть весьма значительными и
пренебрегать ими нельзя. Влияние продольных сил особенно велико, если их абсо-
лютная величина имеет один порядок с величиной критической силы, вызывающей
потерю устойчивости. При продольно-поперечном изгибе принцип независимости
Действия сил неприменим из-за нелинейной зависимости между прогибами и про-
дольной силой.
Сжатие с поперечным изгибом
Для балки постоянного сечения, сжатой сосредоточенными силами, приложенны-
ми на концах, и произвольной поперечной нагрузкой, уравнение упругой линии имеет
вид (в выражении через начальные параметры)
У = Уо + y'okx + Уо (* — cos kx) + Уо (kx — sin kx) + f (*), (8.23)
197
где у0, у0, у0 и Uq — начальные параметры — прогиб и его производные в начале
координат; k = -уу ; /V — продольная сила; EJ — жесткость при изгибе;
f (х) — функция влияния поперечных нагрузок, приложенных в пролете. Функция
влияния и ее производные для основных видов поперечных нагрузок приводятся в
табл. 8.18. В табл. 8.19 и 8.20 даны выражения начальных параметров для различных
схем закрепления и некоторых случаев загружения продольными и поперечными на-
грузками. При определении начальных параметров в случае нескольких поперечных
нагрузок можно пользоваться принципом независимости действия сил.
Пример. Написать уравнения прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил
для балки, показанной на рис. 8.12. Сечение балки состоит из двух швеллеров № 16
I = 10 м, Р = 50 кН (5 тс), q = 3 кН/м (0,3 тс/м), N = 216,5 кН (21,65 тс). Решение.
Уравнение упругой линии (8.23) для заданной балки, имея в виду данные табл. 8.19,
р получает вид:
I1 И ft_______у = kxy0 + i/q (kx — sin kx) + f (x). (a)
'Y _ 0,51 I .....0,51
|~* t .." """ Вычисляем коэффициент
Рис. 8.12. k = 1/ JL = ]/ . 21 650 Z _ 25 . 10“4 —
V EJ V 2 • 10е • 1732 - Ш см *
Начальные параметры определяем из выражений, взятых из табл. 8.20 для данного
случая опирания и загружения балки. Подставляя в эти выражения данные задачи,
получаем
_ 5308,462 . ш 7933,462
У°~ kN ’ 1 * * У°~ kN
Подставляя </' и у' в (а), получим уравнение прогибов:
„ 5308,462 , 7933,462 , q Г(х—500)’
у =---х--х + —{kK ~sln kx> ~ W —=~
2
. cos k (х — 500) — cos kx] Р (х — 700) , Р . , .
+-----------------------------------Sin k (х - 700).
Уравнение изгибающего момента:
М = EJy" = 4- (7933,462 sin kx +
Я [
а )
H—— [cos kx — cos k (x — 500)] — P sin k (x — 700) 1.
k j
Уравнение поперечной силы:
Q = = 7933,462 cos kx + — [sin k (x — 500) — sin kx] — P cos kx (x — 700).
Растяжение с поперечным изгибом
При постоянной растягивающей продольной силе /V и произвольной поперечной
нагрузке уравнение прогибов имеет вид:
1/= f/o + !Ф* + ~-(chkx— 1)+(shfcx — fex)4-/(x). (8.24)
Обозначения, принятые в (8.24), даны выше.
Функции влияния f (х) и их производные даны в табл. 8.21, выражения началь-
ных параметров для различных случаев закрепления и различных типов нагрузки
в табл. 8.22 и 8.23.
198
Таблица 8.18. Функции влияния и их производные
Функция Тип нагрузки
IP J - тгтi Ш.
a „ 1 - Gt i' 1
t
/ W tn tn . , ^ — ^cosk(x — a) P(X —a) + P + Nk Si" k ~ a) II участок _£^~a)2 , _g_ „ 2Л; 1 W 1 — cos k (x — a)]; III участок Q_ Г (* ~ b'>~ _ (x~ a)a ь 2V[ 2 2 . cos k (x — b) cos k(x — a)l 1 v ]
Г (*) ~ sin k (x — a) P P — V + jy-cosfe<x —a) III участок sin k (x— b) — sin k (x — a)] k J
Г (*) tnk2 , z cos k (x — a) P —k sin k (x — a) III участок [cos k (x — a) — 14 — cos k(x — &)]
Г' W tnh^ sin k(x — a) pffi sin k (x — a) III участок k [sin k (x — b) — N — sin k (x — a)]
199
Таблица 8.19. Начальные параметры для любого вида нагрузки, выраженной
через f (х)
Тип закрепления
концов балки
Начальные параметры
у0 = о;
f" (/) (kl — sin kl) f(l) .
Уо ~ k3lsinkl kl ”
1/0=0
y° k2 sin kl
Уо = О
[/(Q —7' (Q]( 1—cos kl) _ r (Q.
kl cos kl — sin kl k
y'o = 0;
= z/' (0-/(0
У(> kl cos kl — sin kl
</o = O;
Уо =0;
A sin kl ___ f" (I)
ksEJ cos kl k2 cos kl
A
У° ~ k2EJ
Таблица 8.20. Начальные параметры к расчету стержней на сжатие с
поперечным изгибом
Схема балки и нагрузки
т / cos akl
N у sin kl
tn cos akl
N sin kl
P / sin akl \
Nk sin kl J
P si n akl
Nk sin kl
200
Продолжение табл. 8.20.
Схема балки и нагрузки г/0
q Г/ a2kl
cos akl
sin kl
cos pfe?
sin kl
q / cos akl
k2N | sin kl
cos pfeZ \
sin kl 1
(kl sin akl 4-
4- cos akl — 1) X
m X (1 — cos kl)
N kl cos kl — sin kl +
m (kl sin akl 4-cosafeZ—1)
N (kl cos kl — sin kl)
4- sin akl
P (kl (a — 1 +
+ cos akl) —
sinafeZ] X (1 —coskl)
kN (kl cos kl —sin kl)
— (1 — cos akl)
0
P [kl (a — I + cos kl) —
— sin akl)
kN (kl cos kl — sin kl)
r H
q ZT 1 — cos kl
k2N || kl cos kl — sin kl
x -------------ak2l2 +
+ kl sin akl + cos akl^ —
— (akl — sin akl) —
1 — cos kl
kl cos kl — sin kl
0
+ kl sin fhkl + cos pfej —
— (PfeZ — sin PfeZ)11
k2N Л
a2fc2Z2
2 —
ak2l2
4- cos akl 4-
4- kl sin kl
kl cos kl —
— sin kl
4- cos PfeZ 4-
_______4- feZ sin pfeZ
kl cos feZ —
— sin kl ,
201
Продолжение табл. 8.20
Схема балки и нагрузки
"0
т cos akl
N cos kl
0
sin akl
cos kl
P
k3EJ
IIIII
Я
Nk~
akl tg kl —
cos fikl
cos kl
Функция
q (Р/ — a/)
k3EJ
Таблица 8.21. Функции влияния f (x) и их производные
Тип нагрузки
f W _ Л 4- N г 4- т ch fe (х — а) N Р{х — а) Р N kN X sh fe (х — a) II участок: Я{х~ а)2 , Я Г1 _ 2N 1 feW 11 — ch fe (х — a); III участок: Я (х — &)а , 2 ch fe (х — b) — . (х — a)2 — ch fe (х — a) -2 --!• ]
Г W mk . , , j —гт— sh fe (х — а> N Р Р ь N ,VChftX X (х — а) HI участок: sh fe (x — b) — sh fe (x — a)' + fe
202
Продолжение табл. 8.21
Функция
Тип нагрузки
г и
mk , , ,
-дГ" ch k (X — а)
р
----k sh k (х — а)
III участок:
[ch k (x — b) — ch k (x —
— a)]
~й~ sh k (x — a)
k2 ch k (x — a)
III участок:
k [sh k (x — b) —
— sh k (x — a)]
Таблица 8.22. Начальные параметры для любого типа нагрузки, выраженные
через f (х)
Схема закрепления балки Начальные параметры
N A1 t у ^o = 0; 0 _ ^(sh^Z-^-^J uo — k2l sh kl . 1 I = 0; 0 - Г® N 0 k sh kl
Уо = О;
@о = О;
М sh feZ],
0 k2 (k ch kl — sh feZ)
AZ [f (I) (Ch feZ — 1) — k2f (I) ch kl}
0 ~ k (sh kl — kl ch kl)
4/o = O;
0o = O;
N ^kshkl + r{l}
M°= ~ dTw
Qo — ^У
203
Таблица 8.23. Начальные параметры при расчете стержней на растяжение с
поперечным изгибом
Схема балки и на
грузки
m Л/ 0 £ ch akl sh feZ 1 \ kl J 0 , ch akl — mk—г-7-7— sh kl
?
z
p У p I sh akl \
^oll _ t 0 N sh kl }
Q q [/ch akl a2feZ \
TfT ± £ Nk I sh kl 2 /
0 *-
/ch PfeZ P2feZ\
z [ sh kl 2 )
sh akl
sh kl
ch akl — ch $kl
sh kl
Схема балки и на-
грузки
kl ch akl — sh kl
kl ch kl — sh kl
ch akl — ch kl
sh kl — kl ch kl
a sh feZ — sh akl
kl ch kl — sh kl
— akl ch kl —
, — sh akl
sh kl — kl ch kl
q_
k
N
fe
, ,, a2feZ . .,
ch akl----------— s" ™
kl ch kl — sh feZ
feZ
ch pfeZ — p2 sh kl
feZ ch kl — sh feZ
a2fe2Zs , ,,
—2------- ch kl —
— ch akl
sh kl — kl ch kl
p2fe2Z2
2 X
ch feZ — ch pfe/
Xsh kl — kl ch kl
0
0
Л/ 0 0 ch afeZ — m —Г-7Т- ch kl 0
я c 0 0 P !u- । sh afeZ\ J— th kl -[ r-;— k \ ch kl ) P
204
Продолжение табл. 8.23
Схема балки и на-
грузки
Уо ео
<?О
----гг th kl —
k£
ch kl /
ch P&/\"
ch kl у
q (PZ — a/)
Приближенное решение
Приближенность заключается в допущении, что дополнительные прогибы, воз-
никающие от действия продольных сил, изменяются по длине балки по закону сину-
са. Полный прогиб, вызванный действием поперечных и продольных сил, определя-
ется по формуле
У°
У =----—рГ > (8.25)
' э
где у° — прогиб от поперечной нагрузки; Рэ= '"^2) ’ — критическая сила (по Эйле-
ру), при вычислении которой момент инерции сечения J принимается относительно
главной оси, перпендикулярной к плоскости действия поперечной нагрузки.
В знаменателе формулы знак плюс соответствует растягивающей продольной
силе (М > 0) *, минус — сжимающей (Д' < 0).
Эта формула дает удовлетворительные результаты, если кривая прогибов от по-
перечных нагрузок однозначна. Для брусьев с обоими шарнирными закреплениями
(р = 1) формула точнее, чем при других видах закрепления. Формула (8.25) вообще
N
имеет смысл при ~г~ > —1.
г э
Зная прогибы, можно определить изгибающий момент от продольной силы. Если
обозначить Л4° изгибающий момент от поперечной нагрузки, то суммарный изгибаю-
щий момент в произвольном сечении можно записать:
М = Ма + Ny.
Наибольшие по абсолютной величине напряжения вычисляются по формуле
N , М° , Ny
п “------J-------J----£_
макси F ~ W ~ W
(8.26)
(8.27)
При продольно-поперечном изгибе расчет следует вести по предельным нагрузкам.
Расчетная формула для брусьев из пластичных материалов имеет вид:
../1 . пу° 1 \ , пМ° . „
пЛ| р + • гМ П От’ (8,28)
\ 1 + 'рГ/
где п — требуемый коэффициент запаса прочности; ат— предел текучести материала.
Пример. Определить коэффициент запаса прочности для стержня (рис. 8.13)
трубчатого сечения: I = 5 м; Р = 5 кН (0,5 тс), N = 60 кН (6 тс), d = 8 см; Ь =
= 10 см; от= 240 МПа (2400 кгс/см2); Е = 2 105 МПа (2 • 10® кгс/см2). Решение.
Наибольшие сжимающие напряжения в опасном сечении определяем по (8.27). Для
* При растягивающей продольной силе суммарный прогиб уменьшается.
205
этого вычислим необходимые геометрические характеристики сечения:
р = JL (£)2 _ rf2) = (Ю8 — 88) = 28,3 см8;
J да 0,05 (D4 — dl) = 0,05 (10* — 84) = 295 см4;
__ 27 2 • 295 __ „
w = ~ = ~То— = 59 см -
Определяем максимальный прогиб от поперечной нагрузки и величину эйлеровой си-
лы:
у0 = =----------500--............г = 0,022 м (2,2 см);
48£7 48 2 • 105 • 295 • 10е • 10~8
л8£7 3,148 • 2 • 105 • 10е • 295 ,пп ___
“ (р7)2 1 . 52 . 108 — 2/34 кН (23 400 кгс).
Р3
Рис. 8.13.
1 . 5s • 108
Суммарный прогиб
1 Р
' э
Максимальный изгибающий момент от попереч-
ной нагрузки
5000 « 5 6250 Нм (62 500 кгсм)
2 2
------— = 2,973 см,
.-----600
23 400
Л4° = -^- - - л
4 4
Подставляя полученные значения в формулу (8.27), получаем:
„ 6000 , 62 500 . 6000 - 2,973
0 = 28 3 --------59---1------50-----== 573 кгс/см8 или 157,3 МПа.
Коэффициент запаса прочности находим из (8.28). Подставляя численные значения,
получаем уравнение
106,5гаа — 1897л + 2400 = 0,
откуда находим п± = 1,4; п2 = 16,4.
Значение п2 — 16,4 следует отбросить, так как оно близко к п =
«Д' "
ром -р— = 1, а напряжение неограниченно возрастает.
—
Следовательно, коэффициент запаса прочности п = 1,4.
3,85, при кото-
Глава 9
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Тонкостенными называются стержни цилиндрической или призматической фор-
мы, у которых длина, средний размер поперечного сечения и толщина стенки являют-
ся величинами разных порядков. Расчетную схему тонкостенного стержня принято
изображать в виде срединной поверхности с поперечным сечением, очерченным ли-
ниями,'проведен ними посредине толщин стенок. В зависимости\)т очертания контура
сечения различают два типа тонкостенных стержней: с закрытым профилем
(рис. 9.1, а) и открытым (рис. 9.1, б). Главная особенность тонкостенных стержней
состоит в том, что в общем случае их нагружения гипотеза плоских сечений не при-
менима. В этом случае поперечные сечения тонкостенного стержня, плоские до при-
ложения нагрузки, перестают быть плоскими в процессе деформации. Это явление
называется депланацией сечений.
306
В тонкостенных стержнях закрытого профиля депланация сравнительно невели-
ка, поэтому для расчета таких стержней с достаточной степенью точности можно при*-
менять формулы, полученные для обычных, нетонкостенных стержней (см. главу 4).
Исключение составляют стержни вытянутого замкнутого профиля.
Различают две категории открытых профилей: недепланирующие, стенки кото-
рых образуют пучок и при кручении профиль остается плоским; депланирующие —
стенки не образуют пучка и депланация сечений при кручении значительна. Расчет
таких стержней основан на специальной теории, разра-
ботанной В. 3. Власовым [10]. . .
Свободным (чистым) кручением
тонкостенных стержней называется такой вид круче-
ния, при котором депланация всех поперечных сечений
стержня одинакова. При этом элементы стержня прак-
тически не испытывают изгиба: в поперечных сечениях
возникают лишь касательные напряжения, а нормаль-
ные отсутствуют (о свободном кручении тонкостенных
стержней см. в главе 4).
Стесненным кручением называют та-
кой случай, когда депланация сечений стеснена депла-
национными связями или самим способом приложения
Рис. 9.1.
крутящих моментов, а потому в разных поперечных
сечениях различна. В этом случае расчет ведется по теории В. 3. Власова, основан-
ной на двух гипотезах:
деформации сдвига срединной поверхности стержня равны нулю;
контур поперечного сечения считается недеформируемым, т. е. проекция попе-
речного сечения на плоскость, перпендикулярную к оси стержня, при стесненно^ кру-
чении сохраняет постоянные размеры и формы. Таким образом, деформацию тонко-
стенного стержня можно представить как совокупность поворотов поперечных Тече-
ний на определенный угол вокруг центра изгиба * (о центре изгиба см. в главе 13).
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ СТЕСНЕННОМ КРУЧЕНИИ
ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Рассмотрим стержень двутаврового профиля, жестко защемленный одним кон-
дом, к свободному концу которого приложен крутящий момент (рис. 9.2). Сече|ие
в заделке остается плоским, а все остальные сечения депланируют, причем депД(1На-
ция увеличивается к свободному концу стержня и в сечении, где приложен круфЙДЬй
момент, будет наибольшей.
Представив крутящий момент как пару
вертикальных сил Т, видим, что под действием
этих сил происходит также изгиб полок в сво-
их плоскостях, и в полках возникают нормаль-
ные напряжения ою, по которым можно опре-
делить четыре равные силы N&, образующие
Рис. 9.2. Рис. 9.3.
самоуравновешешгую систему внутренних сил aadF (рис. 9.2, б). Совокупность двух
таких пар, ;<но направленных, лежащих в параллельных плоскостях,
называется бпизроА. Величина бипары оценивается бимомеу^ом В. Понятие бймс-
мента аналогично понятию изгибающего момента, но здесь вместо «плеча», на которое
* В частном случае, когда вектор внешних нагрузок проходит через центр изгиба» втвр-
жень испытывает только один изгиб. _
Таблица 9.1. Начальные параметры к расчету тонкост енных стержней
Схема балки и наг-
рузки
%
®0
Mek / 1 ch akl \
GJK \ kl sh kl j
Pe / sh akl \
GJK \ sh kl j
m [/ a2kl ch akl\
ftG77 |A“2 ~&kT )
/ P2ftZ chpftZV
\ 2 sh kl J
Me
I
— aPe
ml
~2
(a2 — p2)
Схема балки и
нагрузки
,, ch akl
Me —7-—-
ch kl
о о
о
0
shaft!
ch kl
— Pe
,,.. ,, ch akl
a kl th kl------, -r
ch kl
- (pftz th ki -
ch kl
.. ftZchaftZ—sh kl
— Me —— ----————
sh kl — kl ch kl
— Mek X
ch kl — ch akl
X sh kl — kl ch ftZ
a sh kl — ch akl
sh kl — kl ch kl
Pe X
a kl ch kl — sh akl
sh kl — kl ch kl
0 0
0 0
0 0
-—m($l — al)
208
Продолжение табл. 9.1
Схема балки и на-
грузки
“О
—— sh kl — ch a.kl
sh kl — kl ch kl
P2feZ I, hi и ahi
-J-g— sh feZ — ch pfeZ
sh kl — kl ch feZ
chfeZ —
2
— ch akl
sh kl — kl ch feZ
— ch fezp
sh kl — kl ch feZ
Таблица 9.2. Функция влияния f (x) и ее производные
Вид нагрузки
О
Их) ^-[1- GJK 1 —- ch fe (х — aZ)] 11 участок
tn fe2 (x — aZ)2 [ ‘
№GJn
— ch fe (x — aZ) + 1
Pe [fe (x — aZ) — III участок
kGJK tn fe2(x —aZ)2 _ 2
— sh fe (x — aZ)] k2GJK
— ch fe (x — aZ) — fe2 (x — PZ)2 , 2 + —f- ch fe (x — pZ) j
Г (х) Mefe U L , A Pe 1 — ch fe (x — III участок -Лт- [fe (PZ - aZ) -
. «Д1 К • \JLlf (jj K — aZ)] fVVJV K — sh fe (x — aZ) + sh fe (x — — POJ
209
Продолжение табл. 9.2
Вид нагрузки
Функции
Г Ю
Mek2 . , ,
-qjT ch*(x“
— al)
Pek 1. I. / /X
yn— sh k (x — a.1)
'JJk
III участок
[chfe(x-₽0-
— ch k (x — aZ)J
Таблица 9.3. Начальные параметры для любой нагрузки, выраженной через / (х)
Схема закрепления балки
Начальные параметры
I
37? 77
kl — sh kl
sh kl
©o = o;
o' HO /"(0
®0-------1------k^r
B0 = 0;
M«o = --W [й2Н0-Г(0]
Во
Л1К
ко
k
GJK
k
0o = O; ©0=0;
f" (I) (kl — sh kl) -rk2f (I) sh kl
kl ch kl — shkl ’
. fe2/(0 ch kl + f (I) (I — ch kl)
kl ch kl — shkl *
Во
0o = o; ©0 = °;
GJK . kf (/)(!-ch (/)(feZ-shJQ.
k* 1 2(1 — ch kl) kl sh kl ’
M --Gf (I) sh kl + f (I) (I — ch kl)
ко 2(1— ch kl) + kl shkl
0o = O; ©'o = O;
GJK
= Г(0
MKok
GJK
shkl 5
Л^к0 — ^Л1к
210
умножается элементарная сила a^dF, входит секториальная координата со (см. гла-
ву 13). Секториальные нормальные напряжения в поперечном сечении равны
= —£0"<н (9.1)
и изменяются по закону секториальных площадей со, а по длине стержня — пропор-
ционально 0". Система секториальных нормальных напряжений — самоуравновеше-
на, т. е. удовлетворяются условия
j rtaxdF = 0; j oaydF = 0; j nadF = 0. (9.2)
F F F
Кроме этого, в рассматриваемом сечении возникают две системы касательных
напряжений: т0 — напряжения, обусловленные свободным кручением (определяются
по формулам главы 4), и тм — возникающие в связи с поперечным изгибом полок
(рис. 9.3).
Секториальные касательные напряжения в поперечном сечении стержня изме-
няются по закону секториального статического момента Sffl:
T<B = £0,"Sffl. (9.3)
Система касательных напряжений Tffl статически эквивалентна изгибно-крутящему мо-
ментум
Ma) = -EJ(0@'", (9.4)
где Ja— секториальиый момент инерции; EJa— секториальная жесткость. Изгибно-
крутящий момент и момент чистого кручения Мо — Q'GJK уравновешивают внешний
крутящий момент
Мк = Мо + Л4Ш. (9.5)
Дифференциальное уравнение углов закручивания
тонкостенного стержня открытого профиля при стесненном кручении:
£Jffl0IV — GJK0n + tn = 0
ИЛИ
0IV — fe20n =-----(9.6)
/ EJ& >• v
, / GJK dMK
где k = 1/ ; m —-------------интенсивность моментов внешних скручи-
вающих пар. Решение дифференциального уравнения, выраженное по методу началь-
ных параметров:
В„ М,,
0 = 0О -J--— sh kx + -Г гД (1 — ch kx) + 7r, (kx — sh kx) + f (x), (9.7)
К IjJ к fZkjJ к
где 0O, 0O, Ba и AfK_—начальные параметры: угол закручивания, относительный
угол закручивания, бимомент и общий крутящий момент в начале отсчета. Началь-
ные параметры для различных способов закрепления и схем загружения приводятся
в табл. 9.1, 9.3; f (х) — функция влияния силовых и деформационных факторов, при-
ложенных в пролете (табл. 9.2).
РАСЧЕТ ПО БИМОМЕНТАМ
Расчет тонкостенных стержней открытого профиля часто строят исходя из би-
моментов
В = j otodF = — EJ^Q"-. (9.8)
F
211
При этом дифференциальное уравнение (9.6) записывают в виде
В" — Л2В = т. (9.9)
Две постоянные интегрирования, входящие в общее решение, определяют из
граничных условий, зависящих от депланационных свойств концевых сечений стерж-
ня: при свободной депланации В = 0; при отсутствии депланации В'= Мк. Уравне-
ния бимоментов в гиперболических функциях и эпюры В для ряда случаев приведены
в табл. 9.4. После определения В находят изгибно-крутящий момент
dB
М(Л==~йх~ <9-10)
и момент свободного кручения
М0 = Мк — Ма. (9.11)
Нормальные напряжения, обусловленные бимоментом, определяются по формуле
а секториальный момент сопротивления. Полное нормальное напря-
где го> „
(Омаке
жение в сечении х открытого профиля в точке средней линии с дуговой координатой
s определяется по формуле
N Миг . Мгу Вы
F Jy + Jz ’ (914>
где первые три слагаемые соответствуют гипотезе плоских сечений и определяются
как для растяжения (сжатия) с изгибом по обычным формулам сопротивления мате-
риалов для стержня массивного сечения, четвертое слагаемое — от стесненного кру-
чения— определяется цо (9.12). Правило знаков для всех усилий показано на
рис. 9.4. Наблюдатель смотрит в положительном направлении оси стержня х на впе-
реди лежащее сечение. Бимомент считается положительным, если при положитель-
ной се напряжение ои получается отрицательным (сжатие).
Секториальные касательные напряжения определяются через изгибно-крутящий
момент:
М 30т
Т0> j к
J<o°
где 3^— секториальный статический момент отсеченной части сечения, заключен-
ной между начальной точкой контура, для которой = 0, и рассматриваемой точкой;
б — толщина стенки на уровне рассматриваемой точки.
Пример. Записать уравнения угла закручивания, момента свободного кручения,
бимомента и изгибно-крутящего момента для тонкостенного стержня, показанного
на рис. 9.5. Данные: I = 6 м; е = 0,1 м; k = 0,004 — ; kl = 2,4; Р = 10 кН (1 тс);
(9-15)
212
213
q = 10 кН/м (1 тс/м); М = 10 кН.м (1 тс.м). Решение. Находим начальные параметры-
По табл. 9.1
Ре I
®о = - 07П“р
shapfeh Mek I I
sh kl / GJK \ kl
ch ankl
sh kl
qe ( aqkl
~ kGJK \ 2~
ch aqkl \ / pfe/
sh kl / \ 2
ch $kl
sh kl
Me n ml , 2 a2\
----aPPe-----2~ (“«-₽ )•
Подставляя данные задачи, получаем:
©' = — ; Мк = — 2073,3 Нм (— 20 733 кгс • см).
и GJ к к»
Зная начальные параметры, записываем уравнение угла закручивания для IV
участка:
_ 6361 20 733 , Ре . _ . 1 он _1_
0 =-----77Г7— sh kx----— (kx — sh kx) + [fe (x — 1,2) — sh k (x — 1,2)] +
MjJ к k\jJ к kUJ
fe2(x—1,2)2 ... ... fe2(x —3,6)2
—5—2-----'--ch fe (x — 1,2)-5__---->-
+ chfe(x—3,6) -f
Me
^-[l-chfe(x-4,8)].
Момент чистого кручения получим, дифференцируя 0 по х и умножая на GJK'
Л40 = -^-G/K= 6361 ch kx — 20 733(1 — ch kx) + Pe (1 — ch fe (x— 1,2)] +
+ — [fe (x — 1,2) — sh fe (x— 1,2) — fe (x — 3,6) 4- shfe(x— 3,6)] —
— Mek sh fe (x — 4,8).
1
Беря первую производную от момента чистого кручения по х и умножая ее на — ,
получаем уравнение бимомента:
D 6361 20 733 . , Ре ,
В = — sh fex----------;---sh kx 4-----— sh fe (x — 1,2) —
fe fe fe
m
---— [ch fe (x — 3,6) — ch fe (x — 1,2)] + Me ch fe (x — 4,8),
fe
Дифференцируя В по x, находим изгибно-крутящий момент:
Л1И = 6361 ch kx — 20 733 ch kx + Pe ch fe X
tn
X(x — 1,2)------[sh fe (x — 3,6) — sh fe (x — 1,2)] + Mek sh fe (x — 4,8),
fe
Зная внутренние усилия и построив эпюру главных секториальных координат, по
формулам (9.12), (9.15) можно определить напряжения.
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
При центральном сжатии тонкостенного стержня открытого профиля дифферен-
циальное уравнение искривления его оси, полученное В. 3. Власовым [10], имеет
вид:
Ej£N + Pl + агР&‘ = 0.
(9-16)
214
Дифференциальные уравнения устойчивости в случае постоянной сжимающей си-
лы Р\
EJU^+P^ +(а{,-еу)Р0'' = О; (9.17)
EJZ^v + РЦ" - {аг - ег) Р&" = 0; (9.18)
£40IV+ 0" [Р (г2 + 2^г + 20^) - GJK] +
+ (ау — еу) РЕ," — (аг — е2) Pt]" = 0, (9.19)
где EJy, EJ2, EJaw GJK — жесткости стержня соот-
ветственно в главных плоскостях, секториальная и
крутильная; s и t] (рис. 9.6) —дополнительные пе-
ремещения (прогибы) в направлениях осей у и г, воз-
никающие вследствие потери устойчивости плоской
формы изгиба при продольном сжатии; 0 — угол
закручивания сечения; ау, аг — координаты центра
изгиба сечения; еу, е2 — координаты полюса силы в
главных центральных осях;
,’ = -^7^+
f>‘ = J + -277 J!>'dF-а- = - “
F F
= -277 J l/'dr + "277 J yz4F -а^^7~аУ'
F F
Частные случаи
1. Сечение несимметричное. Сжимающая сила Р приложена на линии центров
изгиба {ву— ау\ ег = аг). Критическая сила определяется как наименьшая из трех:
где
2.
. р и2Е7г # р р _______________ n2EJy
Г1 — Гу — , г, — —
Р г2
Г <л
(9.20)
р3 =
Сечение имеет дв<
+ -Йаг+-7>-а'-^
(9.21)
, _ GJK
a i^r2 "г f2
оси симметрии. Сила приложена на оси симметрии (еу — 0).
2 _ уJ г
F
Pr = pz;
F
Р
г
3. Сечение несимметричное. Сила приложена в центре тяжести сечения (еу — ег =
= 0). Критическая сила определяется из уравнения:
4 + ЛР + Л2Р2 + А3Р* = 0, (9,23)
где _ _
4 = — ггР2Р уР м; = г2 (РгРу + РгРш + РуРа)>
Az = ~ г2 (Рш + Рг + Ру) + а2уРг + &У-, Л3 = г2.
218
Таблица 9.5. Коэффициенты а и Ь к формулам (9.27) и (9.28)
Схема балки и на- грузки а b
(82,1^-94^) EJy /3 (8000EJa + 810/2GJK) X EJu X /
Г (59,7^+43,8^)- EJy (2910EJffl + 295/2GJK) X
/» y EJy X Ze
(363,8^+ 183,40й) EJy (86 600EJM + 4200Z2GJK) X
II11 И 1 * ~Гс _ 4 Z? x EJy X /6
р EJ„ (20 900E/w+ 101,2Z2G7K) X
^0,41 1~- ' Z (199,4^ + 52,8^) la ЕЛ, X /
F.J „ (648 000EZffl +15 910 /2G JK) X
ъ min £ i (1307^ + 56,6^) py EJy X /6
а Г g 4 n i (594^-53,83^)-^- (114 800E7ffl + 2820/2GJK) X EJy X
Примечание. В табл. 9.5 dy— ордината линии приложения нагрузки над центром
изгиба. Если нагрузка приложена выше центров изгиба, то расстояние dy — отрицательно.
4. Сечение имеет одну ось симметрии. Сила приложена в центре тяжести сечения
(еу= ег = 0):
Р1 = Рг, P-i>Pz,
аг
•г-Р^ + 4РгРа^-
р —____
2 2(г2-$
(О
(9.24)
5. Сечение имеет две оси симметрии. Сила приложена в центре тяжести сечения
(еу= ez=0). Критической силой является наименьшая из трех: Ру, Рг или Ра.
6. Общий случай несимметричного сечения или несимметричного загружения.
Критическая сила определяется путем решения кубического уравнения (как наи-
меньший из его корней):
4^ = 0. (9.25)
216
Наименьший корень
Г» ^0
РКр = з—..... = , (9.26)
V + ЗДдЛ3 — ЗЛоД^Да
где
Ай = ~ г2РУР2Р
Д1 = г*РуРа + ггРгРш + РуРг (г* + 2^г + 20^);
Да — — г2Ры — Ру (f2 + 2Ргег Д- 2^уёу — d2) — Рг (г* Д- 20гег Д- 2$уву —
Д3 = г? Д- 2р^ + 20А - d2y - d2-,
dy = cty — &y\ d2 = пг —
Для тонкостенных стержней, загруженных поперечной нагрузкой, при расчете
на устойчивость плоской формы изгиба пользуются следующими соотношениями:
если поперечное сечение имеет одну ось симметрии:
^кр-^кр-^О; (9-27)
если сечение имеет две оси симметрии и нагрузка приложена в центре тяжести,
критическая сила равна
Ркр = Vb. (9.28)
Коэффициенты а и Ь, входящие в выражения (9.27) и (9.28), для различных случаев
закрепления и нагружения приводятся в табл. 9.5.
Положительные корни уравнений (9.27) н (9.28) соответствуют приложению на-
грузки по вертикали вниз, а отрицательные — вверх.
Приведенные выше зависимости справедливы в тех случаях, когда напряжения
в балке не превышают предела пропорциональности.
Глава 10
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Отличительной особенностью статического приложения нагрузок является их
постепенное возрастание от нулевых до своих конечных значений при приложении
к упругой системе. Статические нагрузки вызывают медленное нарастание
деформаций, и отдельные элементы конструкции перемещаются с незначительными
ускорениями. При этом сохраняется равновесие между внешними н внутренними
силами в любой момент действия статической нагрузки.
Динамические нагрузки характеризуются большой скоростью их при-
ложения, в результате чего элементы, подвергающиеся действию таких нагрузок,
получают значительные ускорения, влиянием которых на напряженно-деформиро-
ваниое состояние пренебрегать нельзя. Динамические напряжения изменяют сам про-
цесс деформирования? в этом случае поведение материала оказывается отличным от
поведения при статических напряжениях.
Внешняя динамическая нагрузка не уравновешивается внутренними силами и
реакциями связей. Внешние и внутренние силы при динамическом характере прило-
жения нагрузки могут быть связаны уравнениями равновесия с использованием прин-
ципа Даламбера. Присоединив к внешним и внутренним силам силы инерции, можно
в любой момент времени рассматривать движущуюся систему как находящуюся в со-
стоянии равновесия.
Сила инерции элементарного объема тела равна произведению массы на ускоре-
ние центра тяжести этого объема, а ее направление обратно направлению ускорения.
217
НАПРЯЖЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ,
ДВИЖУЩИХСЯ С УСКОРЕНИЕМ
Поступательное движение стержня
Стержень переменного сечення (рис. 10.1) равноускоренно движется вверх под
действием силы Р, постоянной по времени. К нижнему торцу стержня подвешен
груз Q. Ускорение а определяется из уравнения:
(Ю.1)
Р
Рис. 10.1.
где у — масса единицы объема материала; g — гравитационное ускорение; F — пло-
щадь поперечного сечения на расстоянии г от нижнего торца. Нормальное напряже-
ние в поперечном сечении г
а=(1+— )(т- + 4- Г (10.2)
' ^l\F F oJ J
Для стержня постоянного поперечного сечения при z = I
/ й \ / Q \
°маКс = (’+ у) (7- +Т/) = /гД°ст. (10'2а)
В приведенных формулах величина
1+у = *д (Ю.З)
называется динамическим коэффициентом; ост—напряжение при
статическом действии силы.
Пример. Масса шахтной клети Q = 40 кН (4 т), длина каната
I = 200 м, его погонная масса q = 18 Н/м (1,8 кг/м). В начале подъе-
клети а = 2 м/с1 2. Определить натяжение каната. Решение. Наиболь-
шее статическое натяжение каната (у верхнего конца):
Рст == Q + ql = 40 000 + 18 - 200 = 43,6 кН (4360 кгс).
Динамический коэффициент
<гд=1 + у =1+977-= 1 + 0.206 = 1,206.
Динамическое натяжение при начале подъема
Рд = Рстйд = 43,6 • 1,206 = 52,6 кН (5260 кгс).
ма j
Вращающиеся стержневые системы
К расчету принимается инерционная нагрузка, направленная в сторону, проти-
воположную ускорению. Интенсивность распределенной инерционной нагрузки
1 ~~ g
Q
Сосредоточенные массы — дают усилия
g
Qu-R
g
(Ю.4)
(10.5)
где co — угловая скорость вращения; R — расстояние от оси вращения.
Примеры. 1. Брус постоянного поперечного сечения площадью F, шарнирно
закрепленный в точках А и В (рис. 10.2), вращается с постоянной угловой скорос-
тью ®. Интенсивность равномерно распределенной инерционной нагрузки — i. Эпюра
218
изгибающих моментов от этой нагрузки показана на рис.
бающий момент
_ y&FRl*
”“акс 8g ’
наибольшее напряжение
М
"'макс
°макс ’
10.2. Максимальный изги-
(10.6)
(Ю.7)
где IF — осевой момент сопротивления поперечного сечения бруса.
Наибольшие растягивающие напряжения в сечениях С и D стержней СА и DB:
со2/? /п , -о.
°макс = W + 1F *)>
где F'— площадь поперечного сечения стержней СА или DB; Q — масса стержня
АВ- Q = Fyl.
2. Тонкое кольцо радиусом 7? вращается с постоянной угловой скоростью (а
относительно оси, проходящей через центр кольца (рис. 10.3). Растягивающие сила
и напряжение в поперечном сечении кольца:
усо2/-'/?2 q „
—=4-^ (,0-8>
б б
Удлинение радиуса кольца
= (10 до)
где q — масса единицы длины кольца; v = со/? — окружная скорость точек кольца.
Для данного материала напряжения в кольце (табл. 10.1) зависят только от ско-
рости V.
Таблица 10.1. Напряжение в стальном кольце при у = 7,86 г/см3
(7,86 • 104 в/м3)
v, м/с 30 60 90 120 150 180 240 300
о, МПа (кг/см2) 7,5 (75) 30 (300) 66,5 (665) 120 (1200) 185 (1850) 265 (2650) 475 (4750) 75» (7500)
3. Тонкое кольцо радиуса 7? вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг
оси, совпадающей с диаметром (рис. 10.4). Опасными сечениями являются сечения А
и В. В этих сечениях растягивающая сила, изгибающий момент и нормальные напря-
жения равны!
N .
/vMaKc g i
(10.11)
219
уы2 FR*
“'^макс • (10.12)
Чмкс_ (10 13.
макс F ‘ W '
4. Напряжения в спарнике. Опасным будет такое положение
спарника (рис. 10.5), при котором а — ± 90°. При этом силы инерции по направле-
нию совпадают с собственным весом спарника. Суммарная интенсивность нагрузки
уВ
q = </+ i, где q'= yF — погонная масса спарника; i — —^-а2г — погонная сила
инерции.
Рис. 10.6.
Рис. 10.5.
Спарник АВ рассматривается как простая балка, нагруженная равномерно рас-
пределенной нагрузкой q. Наибольший изгибающий момент в среднем сечении спар-
ника
+ (10.14)
наибольшее нормальное напряжение
_ ^макс _ yFl2 / (О2Г
амакс — — 8Г v g
5. Напряжения в шатуне. Предполагается, что в опасном положе-
нии, когда шатун перпендикулярен к кривошипу (рис. 10.6), ускорения пропорцио-
нальны расстоянию х от центра В. Предполагается также, что масса шатуна равно-
мерно распределена по длине его оси. В силу этих допущений приближенно опреде-
ляется интенсивность распределенной нагрузки, изменяющейся по треугольнику
(см. рис. 10.6),
(10.15)
ym2V/?x
в*
1
где V — объем шатуна. Наибольший изгибающий момент в сечении х = ~
= 0,577 I от точки В:
.. О пел Y^VRl
Ч.акс=-°>064 -g —
и наибольшее нормальное напряжение:
М
_ 'маке
г 8
(10.16)
°макс
(10.17)
ВРАЩАЮЩИЙСЯ диск постоянной толщины
Рассматривается осесимметричное растяжение — сжатие однородного диска,
вращающегося около своей оси с угловой скоростью со. Допущения: 1) предполагает-
ся равномерное распределение напряжений по нормали к срединной плоскости дис-
220
ка; 2) предполагается, что напряжения в плоскостях, параллельных срединной плос-
кости, отсутствуют. При этих допущениях обеспечивается практически достаточная
точность, если отношение наружного диаметра диска к его толщине больше 4 [39],
Для сплошного диска с наружным радиусом 7? (рис. 10.7) окружное и радиальное
напряжения в точках, лежащих на расстоянии г от оси вращения, равны:
З + Н 7м2 / г> _ 1 + Зр, \
8 £ Г З + н }'
(г = 2+р.^ (л,_„
Эпюры напряжений <тв и аг показаны
на рис. 10.7. Наибольшие напряжения
на оси диска при г = 0
°в = • -у- Я- (Ю.20)
Удлинение радиуса
. п уш2/?3 (1 — и)
= I----4^F • <10'21)
Для диска с отверстием, у которо-
го R — наружный радиус, а 7?0 — ра-
диус отверстия (рис. 10.8), окружное
Рис. 10.7.
(10.18)
и радиальное напряжения в точке на расстоянии г от центра определяются по фор-
мулам:
= + (10-22)
Стг = 2+М_._^(^ + ^__^1_Г2^ (10.23)
На рис. 10.8 показаны эпюры напряжений <т@ и <уг. Окружное напряжение достигает
максимума на внутреннем крае диска (г = 7?0):
о = А+и
^макс 4
усо27?2 Л 1 —- ц #0 \
g 3 + и ‘ R* J
Максимальное радиальное напряжение при г= '|/г/?7?0:
= 3 + ц усо2/?2 Л _ /?„ V
макс 8 g \ R
(10.24)
(10.25)
При очень малом отверстии на контуре этого отверстия окружное напряжение .в два
раза больше( чем для сплошного диска:
_ усо2 3 + ц
-----R 4 *
(10.26)
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Колебания или вибрации систем вызываются различными периодическими нли
внезапно приложенными силами, действующими как самостоятельно, так и в сочета-
нии с другими факторами (статическими и температурными). В некоторых Случаях
вибрационная нагрузка сама по себе может достигать угрожающих размеров, особен-
но при возникновении резонансных или других неустойчивых состояний.
221
Факторами, снижающими колебательные деформации, являются естественное
демпфирование вследствие внутреннего трення в материале и узлах конструкций или
внешнего трения от взаимодействия с внешней средой, а также искусственное демпфи-
рование и успокоение колебаний за счет применения различных устройств.
Свободные незатухающие колебания
Упругая система, выведенная силой из положения равновесия, после прекраще-
ния действия силы будет совершать свободные или собственные колебания. Простей-
шей линейной * механической моделью колебательной системы с одной степенью сво-
боды ** является масса т, соединенная с пружиной (рис. 10.9, а).
Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы
ту" + су = 0, (10.27)
где с — коэффициент жесткости пружины. Движение массы представляет собой гар-
моническое колебание
у = A sin (ы/ + ф)1 (10.28)
где у — координата движения — отклонение массы от положения статического рав-
новесия; А — амплитуда колебания; — начальная фаза; t — время, отсчитывае-
мое от начала колебания; со — частота собст-
венных колебаний. График этого колебания
показан на рис. 10.9, б.
Продолжительность полного цикла назы-
вается периодом колебания:
Т = -^,с.
со
Частота собственных колебаний определяется
по формуле
Рис. 10.9.
(10.29)
to
рад
с
(10.30)
Для балок, лишенных массы, при сосредоточенной массе груза можно пользоваться
формулой
со = 1/, (10.31)
V У<я
т&
где уст = ---статическое перемещение сосредоточенной массы под действием си-
лы тяжести.
Для систем, совершающих угловые колебания,
(10.32)
где J — момент инерции груза относительно оси вращения. В этом случае коэффи-
циент жесткости вычисляется как момент статически приложенной пары, способной
вызвать угол поворота, равный единице.
Количество колебаний в 1 мин "
60 300
п — = г—
1/ст
(10.33)
где усл, — измеряется в сантиметрах.
Амплитуда характеризует размах колебаний и определяет максимальное откло-
нение!
(10.34)
где у о и t>o — начальные отклонения и скорость массы при t — 0.
* Линейкой называется система о линейной зависимостью между силой и отклонением
нли скоростью. '
** Числом степеней свободы называется количество независимых геометрических коор-
динат, определяющих положение всех масс системы в любой момент времени. , J
222
Таблица 10.2. Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Упругая система Вид колебаний т или J с «« T
/77 , / ПУ Продольные: точечная масса на пружине точечная масса на упругом стерж- не т С с т 2nl/i
_ т Z4 т EF EF
ц 1 1 ml
^ч Крутильные — вра- щающаяся масса на валу J GJP 1 GJP Л F Gjp
| а э-р
Jp-полярный момент инерции сечения бала
Изгибные: балка с точеч- ной массой т 48EJ Is 48EJ ml3 n Г mfl 2 V lEJ
балка с точечной массой _ 110EJ 110EV 2л X
Я /77? ЯЗ ' ill ~ I3 ~ ml3 x i/ mfi x V №
/ \ \ то же т 192EJ /з 192EJ ml3 n 1 Г ml3 4 V ЗЁТ
» т 8EJ I3 3EJ ml3 2nl/Z^ Г ЗЕ/
балка с равномер- но распределен- ной массой — — 1OQEJ ml3 л ^~5~ K X 1/ _r£. V EJ
(т) ( то же — — _ 240E7 ml3 2л
sa —-““«ч. Г балка с равномер- 500EJ » X
А i J но распределен- ной массой ml3
7 консоль с равно- мерно распреде- ленной массой — — 12EJ ml3
S23
Начальная фаза определяется по формуле
Ф = arctg - . (10.35)
Наибольшая полная деформация системы равна
/ Л \
Уд=Уст + Л = Уст 1 + -^] = £д{/ст- (10.36)
д
Величина &д = 1 4------называется динамическим коэффициентом. Здесь уст —най-
мет
большее статическое отклонение массы.
Для упругих линейных систем напряжения, возникающие при свободных коле-
баниях, определяются
<7д = &дОст. (10.37)
В табл. 10.2 приведены жесткости, собственные частоты и периоды колебаний
для некоторых схем линейных систем с одной степенью свободы.
Свободные затухающие колебания
Дифференциальное уравнение свободных колебаний при наличии источников
рассеяния (поглощения) энергии, порождающих силу сопротивления, пропорцио-
нальную скорости (R = —аг/'), имеет вид:
ту” 4- ау' + су = 0 (10.38)
или
у" + 2пу' + <л*у = 0, (10.39)
где а — коэффициент пропорциональности
, jr между силой сопротивления и скоростью.
_ I-*--*“4 Решение уравнения (10.39) при п < со —
I \ ---_______ затухающие колебания
О I—I \ -4-Д- -- у = Ae~nt sin (/со2 — пЧ + ф), (10.40)
•чН VjL—"где п—коэффициент затухания колебаний,
зависящий от вязких свойств системы,
у п = ^г- <10-41)
Рис. 10.10. Обычно п <4 со (кроме случаев наличия спе-
циальных демпферов).
График затухающих колебаний представлен на рис. 10.10, где огибающая кри-
вой затухающих колебаний выражается произведением Ae~nt.
Амплитуда колебаний А и начальная фаза ф определяются из начальных
условий:
А = ]/^ + -“<10-42*
(10.43)
, у9 ]/ со2 — п2
Ф = arctg ;-----------
п0 -ф- пу0
Круговая частота колебаний У со2 — и2 в большинстве случаев весьма близка к соб-
ственной частоте со. Хотя затухающие колебания — непериодический процесс, ве-
личину
2л ________2л
~ уш2 — П2 СО
принято называть периодом колебаний. Отношение любых двух последовательных
амплитуд — величина постоянная, равная
(10.44)
Al
(10,45)
224
Темп затухания собственных колебаний характеризуется величиной
0 = пТ = In епТ, (10.46)
называемой логарифмическим декрементом колебаний. При сильном демпфировании
(п > со) движение приобретает резко апериодический характер.
Вынужденные колебания линейной системы
при сопротивлении, пропорциональном скорости
Если колебания линейной системы вызываются силой, действующей по какому-
либо закону, то они называются вынужденными.
Рассматривается частный случай действия гармонической возмущающей силы:
Р = Н sin &t, (10.47)
где Н — постоянная амплитуда силы; 0 — частота возмущающей силы; t.— текущее
время. Тогда дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид
Рнс. 10.11.
у" + 2пу' + to2y =--------sin 0t, (10.48)
а его интеграл при малом сопротивле-
нии (п < to)
у = /4e~^sin (]Л(о? — ri4 + ф) +
+ 4Bsin(0^ + X). (10.49)
Рис. 10.12.
Здесь первое слагаемое представляет собой затухающие свободные колебания. Для
установившегося процесса их можно не учитывать. Второе слагаемое описывает вы-
нужденные колебания. Частота вынужденных колебаний 0 равна частоте возмуща-
ющей силы. 4В — амплитуда вынужденных колебаний:
д --------.......^=.— = t/Hp, (10.50)
tn/(to2 — 0«) + 402n2 v
где уа — перемещение системы от статического приложения наибольшей величины
возмущающей силы Рмакс = //; Р — коэффициент нарастания колебаний:
р _______________1______________
-i/r 02 \2 4п202 ’ (10.51)
V v ~ “Zyd "i
Графики зависимости Р от отношения частот-^-для некоторых — показаны на
рис. 10.11; /. — начальная фаза вынужденных колебаний.
Динамический коэффициент
^д=1+4!1-Р- (Ю.52)
t/s
где Уз — перемещение от статического действия силы s (s — колеблющийся груз).
Из графика на рис. 10.11 видно, что в том случае, когда частота вынужденных
колебаний приближается к частоте собственных колебаний 0 to, динамический ко-
эффициент безгранично растет (при 0 = to kR оо). Такое явление называется ре-
зонансом. В реальных условиях, при учете затухания, в момент резонанса динами-
8 2-256
225
ческий коэффициент не будет равен бесконечности, но он достигает очень больших
значений. Поэтому резонанс весьма опасен для сооружений и его нельзя допускать.
Для избежания резонанса изменяются частота возмущающей силы 0 и масса упругой
системы, от которой зависит собственная частота со.
В тех случаях, когда масса упругой системы значительна по сравнению с массой
колеблющегося груза s, частота собственных колебаний с учетом массы упругой сис-
темы может быть определена приближенно по формуле
(10.31а)
где у'— деформация, вызванная статическим приложением груза s + kQ', Q — мас-
са системы; k — коэффициент приведения, принимаемый: при растяжении k = -i- f
17
при изгибе простой балки k = .
Пример. Определить наибольшие напряжения в стальной балке двутаврового
сечения № 16 (./z = 873 см4, Wz = 109 см3), показанной на рис. 10.12. Пролет балки
I = 3 м. На груз s = 3 кН (300 кгс), приложенный на конце, действует возмущающая
сила Р = Н sin Qt, Н = 1 кН (100 кгс), 0 = 15—. Массой балки Q пренебречь. Ре-
шение. Для определения частоты собственных колебаний по табл. 10.2 находим массу
колеблющегося груза:
s
т — —
g
3000 олл Н ’ с /л эля кг ’ с2
——— = 306----------- 0,306----------
9,81 м I см
тогда
д/ 3 ‘ 2 • 10е • 873
V 0,306 .3003
/635 = 25,1 1/с.
Динамический коэффициент без учета затухания колебаний равен
= - 0Г" = — 152— = 1>57'
ш2 1 253
Изгибающий момент в заделке
Л1д= 3000 • 3+ 1000 - 3 • 1,57 = 13,71 кН • м (137 100 кгс -см),
а наибольшие напряжения
°макс = = 137 ^9 108 = 126 МПа (1260 КГС/См2)-
РАСЧЕТЫ НА УДАРНЫЕ НАГРУЗКИ
Ударной называют нагрузку, прикладываемую в весьма короткий промежуток
времени (падение одного тела на другое, быстрое изменение давления между телами
и др.). При ударе в упругих системах возникают колебания, при которых напряжения
и деформации могут достичь опасных значений. Точное решение задачи о напряжениях
н деформациях ввиду сложности явления удара затруднительно, так как физи-
ческие условия работы упругой системы при ударе отличны и сложнее, чем при ста-
тическом действии силы.
В инженерных задачах получили широкое распространение приближенные при-
емы расчета, основанные на следующих предпосылках.
1. Деформации стержня от ударяющего груза распространяются по всей длине,
подчиняются закону Гука и подобны деформациям, возникающим от статического
приложения того же груза. В силу этой предпосылки связь между динамическими
силами и перемещениями остается такой же, как и прн статической нагрузке.
226
2. Предполагается, что ударяющее о стержень тело является абсолютно жестким
и с момента прикосновения к стержню остается связанным с ним во время всего даль-
нейшего движения.
Изучение напряжений и деформаций при ударе основано иа использовании за-
кона сохранения энергии. При этом предполагается, что кинетическая энергия па-
дающего груза Т полностью превращается в потенциальную энергию деформации
стержня ид и кинетическую энергию его движения Ti
Т=«д+7\. (10.53)
Если масса стержня мала по сравнению с массой ударяющего груза, то величиной Т%
пренебрегают и тогда
Г=пд. (10 53а)
В зависимости от направления удара по отношению к оси стержня и характера
происходящих деформаций различают продольный (растягивающий или сжимаю-
щий), поперечный (или изгибающий) и крутильный удары.
Продольный удар
Груз Р падает с высоты h и ударяется о стержень, вызывая в нем сжатие
(рнс. 10.13, а) или растяжение (рис. 10.13, б). Скорость падения груза в момент удара
без учета сопротивления среды, например воздуха, определяется по формуле v =
= У2g/i, откуда h = -х— . Следовательно, всякий удар со скоростью v можно приве-
сти к свободному падению с высоты h и наоборот.
Удлинение (укорочение) стержня находится по (10.54).
Приравнивая работу силы * потенциальной энергии дефор-
мации стержня
ЕРб*
P(h + 8p) = -^
получить:
легко
бД -- 6СТ
или
бД -- бСТ
(10.54)
2/1
бет
'ст
л L L °
где о,- e — удлинение (укорочение) стержня, вызванное статическим деистви-
ем груза Р. Величину в скобках, показывающую, во сколько раз динамическая де-
формация больше статическойй называют динамическим коэффициентом удара
или _________
(10.55)
Так как по закону Гука напряжения пропорциональны деформациям, то можно за-
писать
од=£дост, (10.56)
где — напряжения, вызванные статическим приложением силы Р. Величина на-
пряжений при ударе зависит ие только от площади поперечного сечения стержня F
(как при статическом приложении нагрузки), но и отего длины. Чем больше длина I,
тем напряжения при ударе будут меньшими.
' * По теореме динамики изменение кинетической энергии равно работе силы Р : Т =
8*
227
Частные случаи
1. При мгновенном приложении нагрузки (ft = v = 0) напряжения и деформа,
ции вдвое больше, чем при статическом нагружении:
“ 2^ Од == е==
2. В случае большой высоты падения ft ёст (или большой скорости удара) еди-
ницей в подкоренном выражении (10.55) можно пренебречь. Тогда
2ft
Ts-- ИЛИ Кд
Ост
ГТ - 2ft Ц2
При очень больших величинах-^—= т-»—
корнями в выражениях (10.57):
= 1+ V
' gvcT
можно пренебречь единицей и перед
(10.57)
(10.58)
‘«-У<-У^г-
Для стержней е ослаблением (рис. 10.14) динамический коэффициент в Yn раз
больше, чем для стержня постоянного сечения. В этом смысле оказывается более вы-
годным уменьшение площади сечения по всей длине стержня.
Если масса стержня, испытывающего удар, не мала по сравне-
нию с массой ударяющего тела, то она может быть учтена путем
уменьшения в предыдущих формулах 6СТ на коэффициент
(kQ \
1 —— 1. Выражение динамического коэффициента в этом слу-
чае имеет вид
Рис. 10.14.
— 1
2h
(10.59)
где Q — масса стержня; Р — масса ударяющего тела; k — коэф-
фициент приведения (сМ. 10.31а). Учет массы ударяемого тела при-
водит к уменьшению динамического коэффициента, т. е. к снижению эффекта удара.
Пример. Груз Р = 2 кН (200 кгс) падает с высоты ft == 1 м на вертикальный де-
ревянный столб длиной I — 5 м. Нижний конец столба закреплен. Поперечное сечение
столба — круг, d — 30 см, F — 707 см2, Е = 10 000 МПа (100 000 кгс/см2). Определить
наибольшее сжимающее напряжение в столбе. Решение. Находим
я Р1 2000 • 5 • 104 п ,__6 ч
= ~ 10 000.707-10^-°’14 ~ 10 " (0'0014
Так как 6СТ < ft, динамический коэффициент находим по (10.58)
2ft
6QT
2 4 100 = 378.
0,0014
Тогда
ёд = 8ст/г д = 0,0014 378 = 0,53 см;
2000 * 104
ад = сгст . /гд = 7Q7- • 378 == 10,7 МПа (107 кгс/см2).
Для учета влияния массы столба вычислим ее величину (при у = 6 кН/м8):
Q = Fly = 707 . 10~4 • 5 I 6000 = 2120 Н (212 кг).
Тогда динамический коэффициент с учетом массы:
2 4 100 ' Орр.
(1, ™ \ 1
I 3 2Q0 /
228
6д = 0,0014 • 300 = 0,42 см;
о. =-----2000 t 3()0 = МПа кгс/сма).
Д 707 10~4
Наибольшее усилие в столбе прн ударе
Ммакс = адР = 8,5 • 10е . 707 • 10~4 = 600 кН (60 тс).
Изгибающий удар
Рассматривается простая балка, свободно лежащая на двух шарнирных опорах
(рис. 10.15). Балка изгибается под действием груза Р, падающего с высоты h. Из ра-
венства работы массы падающего груза и потенциальной энергии получено выраже-
ние динамического прогиба
2h
6СТ
Эта формула полностью совпадает с формулой (10.54)
продольного удара, значит, и выражение динамичес-
кого коэффициента будет тем же:
6д -- 6СТ
21г
бет
(10.60)
Рис. 10.15.
где
ВИЯ
(10.61)
6СТ — стрела прогиба балки, вычисленная в предположении статического дейст-
груза Р. I
s РР
°ст ~ 48EJ
Динамическое давление груза на балку Ра = Pk„. Наибольший изгибающий мо-
Р1
мент посредине балки Л1Д = —р/Д- Наибольшее напряжение <тд = <гст/гд.
Так же, как и при продольном ударе, внезапное приложений нагрузки на балку
вызывает 6Д = 2бст; <тд = 2<гст. При h > 6СТ динамический коэффициент определя-
ется по формулам (10.57), (10.58). Если масса балки Q не мала сравнительно с массой
груза Р, то в приведенных формулах 6СТ умножается иа поправочный множитель 1 +
। 17Q
-„ёв~ 1 и Ф°РмУла динамического коэффициента получает вид:
uOz
^д — 1 +
(10.62)
у2
Если груз падает не на средину балки, то прогиб 6СТ определяется в точке падения
груза. Поправочный множитель при учете массы балки в этом случае будет
Я Q
I р •
1+ 105
I2
аЬ
где а и b — расстояния от силы Р до левой и правой опор. Для консольной балки,
если груз падает на конец консоли, тоже применимы все приведенные выше формулы,
но в этом случае 6СТ = и поправочный множитель при учете массы балки
<j£ J
, , 33Q
равен 1 + .
Пример. Балка пролетом I = 3 м, свободно лежащая на двух шарнирных опорах
подвергается удару грузом Р — 450 Н (45 кгс), падающим с высоты h== 30 см на сре-
дину пролета. Подобрать двутавровое сечение балки, если [о] = 200 МПа
229
(2000 кгс/см2). Решение. Задача решается путем последовательных приближений. Если
взять двутавры № 10 и № 20, то даже самый грубый подсчет показывает, что дву-
тавр № 10 слишком мал, а № 20 — велик. Возьмем двутавр № 16 и выполним полный
подсчет. Для этого номера по таблицам сортамента J2 = 873 см4, Wz — 109 см3.
Тогда
s р/3 450 • З3- 10а п]. ,._3 .
6ст“ 48£7 “ 48 • 2 • 106 • 10е ’ 873 “ 0,14 ’ ° м (°>014 см)>
k _ 1/= 1/ 2-30 = )/4280 -- 64,8;
V 6СТ V 0,014 г
6Д= 0,014 • 64,8 = 0,91 см;
Л4д = /гд = 45°4' 3 • 64,8 = 21 900 Нм (219 000 кгс см);
ад = = —21 900 = 201 МПа (2010 кгс/см8),
д Ю9 10~6
Крутильный удар
Имеет место при резком снижении угловой скорости со вала с маховиком
(рис. 10.16). Например, задача может быть поставлена так: определить динамический
крутящий момент и динамическое напряжение, возникающие в сечении вала при уда-
ре, вызванном внезапной остановкой его левого конца А (см. рис. 10.16). Маховое
колесо В будет вращаться до тех пор, пока вся кинетическая энергия его не обратится
в потенциальную энергию динамического закручива-
Q иия вала на длине I.
С! Из рассмотрения закона сохранения энергии
Т = «д или
—а
Рис. 10.16. 2 21
Получены следующие зависимости:
динамический угол закручивания вала
т/ Jmlco2 .
= V ~GJT ’
динамический крутящий момент
.. GJP
-----<рд;
максимальное динамическое напряжение
(10.63)
(10.64)
(10.65)
где Jm — момент инерции массы маховика; Jp — полярный момент инерции сечения
вала.
Для определения угла закручивания при разности угловых скоростей со — сод
(со и tOf — угловые скорости до и после торможения) в формулу (10.63) вместо со2 сле-
дует ввести со2 — (О|.
Пример. Стальной вал (G = 8,1 • 104 МПа или 8,1 • 105 кгс/см2) диаметром d =
= 10 см и длиной 1= 2 м вращается со скоростью п = 120 об/мин. На вал насажен
маховик массой Q = 2 кН (200 кг) и диаметром D = 2R = 1 м (см. рис. 10.16). Оп-
ределить напряжения в сечении вала при резком торможении его левого конца А до
скорости п/2. Решение. Вычисляем момент инерции массы маховика:
, 1 Q D2 1-2000-0,5® ла , /со=4л;'
(В1 = 2„
230
Момент инерции сечения вала равен
_ nd4 _ 3,14 • 104 _
р~ 32 ~ 32 ~
981 см4.
Динамический угол закручивания по (10.63) фд = 0,087.
Динамический крутящий момент
,. GJр 8,1 « 104 • 106 -981 _ „ _ _ ,, _ ,с .
Мл = —р- фд -----------g—jog-------- 0,087 = 34 565 Нм (345 650 кгс • см)
и наибольшие напряжения
16Л4д 16-34 565 . „
Тд= = 3,4 - б, = 176,1 МПа (1761 кгс/см >-
При быстро протекающей деформации при ударе возникает вязкое или хрупкое
разрушение. Для хладноломких материалов важнейшим фактором возможности хруп-
кого разрушения является снижение температуры. Критическая температура хруп-
кости приравнивается резкому уменьшению ударной вязкости или некоторому ус-
ловному ее снижению (обычно 40%). Температурный запас вязкости определяется
по формуле
где — температура условий службы материала. Во избежайие хрупкого разруше-
ния требуется, чтобы 0 < пт < 1.
ИСПЫТАНИЯ НА УДАР
При ударном действии нагрузки механические характеристики материала, под-
верженного удару, могут отличаться от характеристик, определяемых эксперимен-
тально при статическом нагружении. Для выявления способности материала воспри-
нимать динамические нагрузки и его склон-
ности к хрупкому разрушению производят ис-
пытания на удар. Наибольшее распространение
получили ударные испытания надрезанных
образцов на изгиб (ударная проба). Надрез
облегчает переход материала в хрупкое с,'сто-
Рис. 10.18.
Рис. 10.17.
яние. Поскольку при ударе трудно измерить действующие силы, сопротивляемость
материала удару определяют величиной работы, затрачиваемой на его разрушение.
Ударная проба осуществляется на маятниковых копрах. Испытуемый образец
располагается, как балка, лежащая на двух опорах. Удар наносится посредине, стро-
го против надреза на образце с противоположной стороны. Форма образцов и условия
испытаний должны быть строго стандартными для обеспечения сравнимости результа-
тов испытания. На рис. 10.17 показан эскиз стандартного образца для ударных испы-
таний. Закон подобия образцов с надрезом не соблюдается.
! Цель испытания заключается в определении удельной ударной вязкости, являю-
щейся мерой сопротивления удару
А , „
ак = -р- , кгм/см ,
231
Таблица 10.3. Ударная вязкость для некоторых сталей
Характеристика ста- ли и химический состав Термическая обработка
Отжиг Закалка и отпуск
ов, МПа (кгс/ммг) ак, кгм/см2 ов, МПа (кгс/ммг) ак,кгм/смг
Углеродистые ста- ли С < 0,15 С = 0,15—0,20 С = 0,20—0,30 С = 0,30—0,40 С = 0,40—0,50 С = 0,50—0,60 С = 0,60—0,70 С > 0,70 350—450 (35—45) 400—500 (40—50) 500—600 (50—60) 600—700 (60—70) 700-800 (70—80) 800—900 (80—90) 850—950 (85—95) > 950 (> 95) >25 >22 >20 >16 >12 >10 >8 >6 360—500 (36—50) 450—650 (45—65) 550—750 (55—75) 700—850 (70—85) 800—950 (80—95) 900—1050 (90—105) >1000 (>100) >1050 (>105) >25 >20 >15 >12 >9 >5 >3 >2
где А — работа, расходуемая для разрушения стандартного образца ударной на-
грузкой; F — площадь поперечного сечения образца в месте надреза.
В табл. 10.3 приведены ударные вязкости строительных сталей.
Схема маятникового копра приведена на рис. 10.18. Маятник 1 отводится на угол
а и крепится защелкой. После отброса защелки маятник падает, разрушая образец 2,
и по инерции отклоняется на угол ₽. Углы а и ₽ отсчитываются по положению стрел-
ки на шкале 3. Работа излома определяется по формуле
А = Q (Н — h) =Qr (cos р — cos а), кгм,
где Q — масса маятника; г — расстояние от центра тяжести маятника до его оси ка-
чания; Н, К, а и р — соответственно высота подъема маятника н его углы отклонения.
Глава 11
ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ
НАПРЯЖЕНИЯХ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Под действием переменных во времени, или циклических, напряжений элементы
конструкций или детали машин могут разрушаться при нагрузках, меньших тех, ко-
торые опасны при постоянных напряжениях. При этом разрушение начинается с по-
явления в наиболее напряженном месте мнкротрещин. При определенной величине
переменных напряжений микротрещины прогрессируют, распространяясь на некото-
рую область поперечного сечения.
Свойство материалов разрушаться после многократного воздействия перемен-
ных напряжений называется усталостью, а их свойство выдерживать, не разрушаясь,
многократное воздействие переменных напряжений — выносливостью.
Напряжения изменяются во времени циклически; каждый цикл — это замкнутая
однократная смена напряжений, получивших непрерывный ряд значений.
Различают три вида циклических напряжений. На рис. 11.1 показан характер
зависимости переменных напряжений от времени. Симметричный цикл (рис. 11.1, а)
знакопеременных напряжений характеризуется тем, что наибольшие и наименьшие
напряжения одинаковы по величине и противоположны по знаку оиакс = — смнн-
График, показанный на рис. 11.1, б, соответствует пульсирующему циклу. При
этом одно из напряжений равно нулю.
232
Третий вид циклических напряжений (рис. 11.1, в) называется асимметричным
циклом.
Основными характеристиками цикла напряжений являются омаК0 и амин, а так-
же среднее напряжение цикла
о -4- <т
макс мин
ат — к
цикла
(11.2)
и амплитуда напряжений
О’ — О’
макс мин
Оа— 2
Среднее напряжение цикла мо-
жет быть положительным, отри-
цательным или равным нулю, а
амплитуда цикла всегда положи-
тельная величина. Из (11.1) и
(11.2) следует:
°макс = fJm +
® мин ®т ®а'
Для характеристики степени
трии цикла
(П-1)
(П-3)
О’
мин
О’
макс
При симметричном цикле г — —1, при пульсирующем —г = 0. Коэффициент
асимметрии, как индекс, приписывается к величинам, соответствующим симметрич-
ному (—1) и пульсирующему (0) циклам *.
ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ
Рис. 11.2.
симметричный цикл является наиболее опасным.
Не любые переменные по величине напряжения вызывают усталостное разруше-
ние. Такое разрушение наступает в результате того, что переменные напряжения
превосходят свое критическое значение — предел выносливости (предел усталости).
Пределом выносливости оу нли хг называется наибольшее по абсолютной вели-
чине напряжение, которое не вызывает усталостного разрушения при неограниченно
большом числе циклов. Тех-
нические условия задают ко-
нечное число циклов /V (на-
пример 106, 107 10е), которое
должен воспринимать матери-
ал не разрушаясь. Прн этом
считается, что, если материал
не разрушился при этом числе
циклов, он не разрушится и
при любом числе. При сим-
метричном цикле предел вы-
носливости ц—1 наименьший
по сравнению с другими ви-
дами циклов, и в этом смысле
Для определения предела выносливости существует несколько стандартных ис-
пытаний **. Поданным испытаний строится кривая выносливости. Наибольшее рас-
пространение получило испытание чистым изгибом при вращении образца. Целью
Я Циклы называют подобными, если они имеют одинаковый коэффициент асимметрии.
** .По ГОСТ 2860-65.
233
испытания является определение для данного цикла предела выносливости. Схема
машины для такого испытания показана на рис. 11.2.
Стандартный образец (рис. 11.3) испытывает чистый изгиб. Он вращается мото-
ром, поэтому каждое его волокно при повороте на 180° попеременно испытывает то
растяжение, то сжатие. Для испытания изготовляют 6—10 одинаковых образцов.
Первый образец нагружается так, чтобы максимальное напряжение омакс мало отли-
чалось от предела прочности при статическом растяжении. После сравнительно не"
большого числа циклов образец разрушается. На график (рис. 11.4) наносится
точка, отвечающая разрушению первого образца. Второй образец при том же значе-
ся на график и получаемые точки соединяются плавной кривой, называемой кривой
выносливости (см. рис. 11.4). Если эту кривую продолжить влево, то она на оси нап-
ряжений отсечет отрезок, равный пределу прочности. Для большинства материалов
кривые выносливости асимптотически приближаются к горизонтальной прямой, па-
раллельной оси /V. Ордината этой асимптоты и есть предел выносливости. Обычно
вместо асимптоты проводится горизонтальная касательная (на рис. 11.4 пунктирная
линия), параллельная оси V.
Существует еще понятие предела ограниченной выносливости — наибольшее
напряжение, которое может выдержать материал без усталостного разрушения при
заданном числе циклов N’, соответствующем сроку службы детали (на рис. 11.4 ор-
дината при V').
Экспериментально доказано, что образцы из черных металлов, не разрушившиеся
после нескольких миллионов циклов, могут практически выдерживать неограничен-
ное число циклов. Это число циклов называется базовым и принимается для опре-
деления предела выносливости.
Цветные металлы и сплавы, как правило, не обнаруживают предела выносливос-
ти — кривые выносливости не имеют горизонтальной асимптоты. Поэтому в данном
случае определяется так называемый условный предел выносливости как наибольшее
напряжение, которое может выдержать материал при базовом числе циклов /Уб =
= (20 -г- 50) 107, т. е. в 20—50 раз больше,чем для стали.
ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ВЕЛИЧИНУ
ПРЕДЕЛА ВЫНОСЛИВОСТИ
Вид деформации
На основании многочисленных опытов установлены следующие приближенные
зависимости между пределом выносливости при симметричном цикле изгиба о—1 и
пределами выносливости при других видах деформации. При центральном растя-
жении — сжатии
0’Ll = (0,7 -г- 0,9) о_,; (11.4)
при кручении
<1 = (0,5-ь 0,58) о_р (11.5)
Из этих зависимостей следует, что при неоднородном напряженном состоянии
предел выносливости всегда выше, чем при однородном.
234
Для приближенной оценки пределов выносливости сталей при асимметричных
циклах по известному пределу прочности <тв можно использовать следующие эмпи-
рические зависимости:
п_! = 0,4ств; = 0,7п_1 = 0,28пв; т£д = 0,22пв.
Влияние асимметрии цикла.
Диаграммы предельных напряжений
Зависимость предела выносливости от характеристики цикла представляется
диаграммами предельных напряжений, которые строятся по результатам опытных
данных для каждого материала. При построении диаграммы предельных напряжений
для данной марки материала достаточно знать две величины: предельное напряжение
при статической нагрузке (от или ов) и предел выносливости при симметричном цик-
ле. Эти напряжения должны относиться к однотип-
ным испытаниям.
Рассмотрим построение диаграммы предельных
напряжений (рис. 11.5) по ограниченному числу опы-
тов для трех-четырех значений г.
Предельным циклом принято назы-
вать такой, у которого максимальное напряжение
равно пределу выносливости.
По оси абсцисс откладывают значение среднего
от, а по оси ординат— амплитудного оа напряже-
ний предельного цикла. Каждая пара напряжения
от и <та, определяющая предельный цикл, изобра-
жается точкой. Предельным циклам, соответствую-
щим различным коэффициентам асимметрии цикла г, соответствуют различные
точки, которые в общем случае располагаются на плавной кривой АВ, представляю-
щей диаграмму предельных напряжений (см. рис. 11.5). Точка В (<та = 0) соответ-
ствует предельному напряжению для данного материала при постоянной нагрузке
(<гт или пв), а точка A (ffm = 0) соответствует пределу выносливости при симметричном
цикле (<т_1). Для определения предела выносливости при заданном г необходимо из
начала координат провести луч OD под углом а
tga =
°макс °мин 1 — г
°макс + °мин 1 + г
Искомая величина предела выносливости равна сумме координат точки D пересече-
ния этого луча с кривой
= о-макс = + ED = вгт + ога.
Подобным образом можно определить предельные напряжения для любого цикла,
О’
например, для пульсирующего (г = 0), у которого <тмин = 0, а оа = о,п = - .
Для этого из начала координат проводят прямую под углом 45® I tg а — -^2- = 1) до
пересечения с кривой в точке F. Ордината этой точки равна предельному амплитуд-
ному напряжению, а абсцисса — предельному среднему напряжению этого цикла.
Предельное максимальное напряжение пульсирующего цикла равно сумме ко-
ординат точки F
°мако ° а
Если среднее напряжение предельного цикла отрицательно (вт < 0), то для
определения предела выносливости надо брать модуль абсциссы
ar ~ I °мии I “ ~ I ат | +
Все точки, лежащие на одном луче (OD), соответствуют подобным циклам. Только
точка D характеризует предельный цикл, а все остальные точки, расположенные
235
внутри области О AD В (например, точка С), представляют безопасные циклы напря-
жений в смысле появления трещин усталости, так как в этом случае
°макс = ат < аГ’
Для пластических материалов опасным является не только усталостное разру-
шение, но и возникновение пластических деформаций. Поэтому максимальные на-
пряжения циклов не должны превышать не только предела выносливости, но и преде-
ла текучести
°макс = + °а = Ст-
Точки, удовлетворяющие этому условию, располагаются на прямой ХЪ, отсекающей
на осях координат отрезки, равные <тт (рис. 11.6).
Итак, диаграмма предельных напряжений для пластических материалов состоит
из участка кривой AN (линия предельных циклов по усталостной прочности) и отрез-
ка прямой NL (линия предельных циклов по статической прочности). На этой
диаграмме для точек кривой ЯЛ,'омзкс = ог <
< ffT; для точки Nar= от; для точек прямой
< о> (см. рис. 11.6).
Рис. 11.6.
Рис. 11.7.
Часто иа практике пользуются схематизированными диаграммами предельных
напряжений. Наибольшее распространение получили схематизированные диаграммы
предельных напряжений, построенные по результатам трех серий испытаний образ-
цов; при симметричном цикле о_, (точка Л), при пульсирующем цикле о0 (точка С)
и при статическом разрыве от— точка D (рис. 11.7). Соединяя точки А и С прямой
и проводя из D прямую под углом 45°, получаем приближенную диаграмму предель-
ных напряжений.
Уравнение прямой АВ имеет вид
o_j = , (11.5а)
где от и оа —среднее и амплитудное напряжение для произвольной точки /С;
о_,— O,5ffo
Р “ О,5о0
Влияние концентрации напряжений
Явление резкого увеличения местных напряжений вблизи мест приложения со-
средоточенных сил, вблизи выточек, у краев отверстий, в местах резкого изменения
формы тела, у надрезов и трещин называется концентрацией напряже-
ний. Например, при сжатии стержня, показанного на рис. 11.8, напряжения в се-
jo р
чениях 1—1 и II II можно определить по обычным формулам =-р- , Ог ~~s~’
Г 1 i 2
В сеченни III—III напряжения распределены неравномерно, возрастая к краям
стержня и убывая к середине. Максимальное напряжение в этом сечении выражается
так:
° макс — аоГ
Величина а называется коэффициентом концентрации. В общем случае
°макс „.о,
а = —-—, (11,о)
236
где ст — номинальное напряжение, вычисляемое по обычным формулам без учета
эффекта концентрации. Коэффициент концентрации определяется либо при помощи
методов теории упругости, либо экспериментально. Экспериментальное изучение
концентрации напряжений основано на исследовании траекторий напряжений вбли-
зи отверстий. Здесь наибольшее распространение получили оптический метод и метод
лаковых покрытий (подробно см. в [6], [21]).
Рис. 11.8. Рис. 11.9. Рис. 11.10.
Так, в теории упругости получено решение для растянутой пластинки
(рис. 11.9), ослабленной круглым отверстием, для случая 13 > Юг. Напряжения ох
в ослабленном сечении k — k определяются по формуле
<’>=1(2 + -?г+3-Я' <"-7»
где о — среднее напряжение в сечении, достаточно удаленном от места ослабления;
у — расстояние от центра отверстия до точки, в которой определяется напряжение.
При у = г ох = омакс = Зо, а = 3.
Напряжения в вертикальном сечении
ст / Зг4 г2 \ „
= ------х2”1. (П.8)
О’
При х = г = — о; при х = 2г оу = .
Ниже приведены значения коэффициента концентрации а для различных значе-
ний отношения диаметра отверстия к ширине пластинки.
2г/В 2г/В = 0 2г/В=0,\ 2г/В = 0,2 2г/В = 0,3 2г/В = 0,4 2г/В = 0,5
а 3,0 3,03 3,14 3,36 3,74 4,32
Точное решение для широкой пластинки с эллиптическим отверстием (рис. 11.10)
°макс 0^14-2 j, (11.9)
где а и Ь—полуоси эллипса. Очевидно, что наибольшую опасность представляют
тонкие поперечные прорези.
237
При чистом изгибе полосы, ослабленной двумя симметричными выточками, име-
ющими гиперболическое очертание (рис. 11.11), коэффициент концентрации находит-
ся по формуле
где а — ширина полосы в месте ослабления; г — радиус кривизны в глубине выточ-
ки. Этой же формулой можно пользоваться и для выточек другого очертания, напри-
мер показанных на рис. 11.12. Гра-
фик изменения а при различных от-
ношениях -^-показан на рис. 11.13.
Если выточка имеет острый угол,
местные напряжения резко возрас-
тают.
Теоретически в точках, соответствующих вершине острого угла, напряжения
равны бесконечности. Практически же за счет пластических деформаций они конеч-
ны, но достигают очень больших значений. Для ослабления явления концентрации
напряжений острые выточки заменяют плавными.
Ниже приведены коэффициенты концентрации для круглых образцов в зависи-
мости от вида деформаций и концентратора напряжений.
Коэффициент концентрации а
Изгиб и растяжение
Фактор концентрации напряжений
Круговая выточка на валу при отношении (рис. 11,14),
равном;
6, 1 ж
О 5
1,0 .. . .......................................
2,0.................е...........................
Галтель при отношении (см. рис. 11.14), равном:
0,0625 . . , , ,
о,125............................................
0,25............................................
0,5.............................................
Переход под прямым углом.........................
Острая Р-образная выточка .........................
Резьба дюймовая ....
Резьба метрическая ...............................
Отверстия при отношении диаметра отверстия к поперечно-
му размеру сечения от 0,1 до 0,33 ..........
2,0
1,6
1,2
1,1
1,75
1,50
1,20
1,10
2,0
3,0
2,0
2,5
2,0
238
Кручение
Галтель при отношении -j- (см. рис. 11.14), равном:
0,02 1,8
0,10..................................................... 1,2
0,20...................................................... 1,1
Шпоночные канавки................... ............... 1,6—2,0
Местные напряжения сильно снижают предел выносливости. При этом коэффи-
циент концентрации сильно зависит не только от формы выточки, но и от материала
образца, его размеров и коэффициента асимметрии цикла. Поэтому, кроме рассмо-
тренного выше теоретического коэффициента концентрации а, вводится так называе-
мый эффективный коэффициент концентрации k, который равен отношению
предела выносливости гладкого образца при симметричном цикле a_j к пределу вы-
носливости того же образца, но с надрезами а_1А
fe = —(Н.П)
°-1А
Между теоретическим а и эффективным коэффи-
циентами концентрации существует следующая
приближенная зависимость:
fe=l + <?(a— 1), (11.12)
где q — коэффициент чувствительности материа-
ла к концентрации напряжений. Чем выше меха-
нические свойства стали, тем больше коэффи-
циент чувствительности. Для высокопрочных
сталей q 1; это значит, что fe да а. Для кон-
струкционных сталей q = 0,6 ч- 0,8, для углеро-
дистых сталей q снижается до 0,5; для чугуна
<7=0.
На рис. 11.15 приведены графики значений q
в зависимости от предела прочности ов материала
и теоретического коэффициента концентрации а
(без учета влияния размеров детали).
Влияние абсолютных размеров детали
Как показали опыты, предел выносливости данного материала для образцов
больших размеров всегда меньше, чем для малых. Влияние на усталостную прочность
абсолютных размеров сечения
детали оценивается масштабным коэффициентом е
(еа или ех), равным
°
где (o_j)d — предел выносливости при сим-
метричном цикле для детали с поперечным
размером d; (o_|)do— то же, для геометри-
чески подобного рассчитываемой- детали ла-
бораторного образца с поперечным размером
d0. Принимается d0 = 6 ч- 12 мм. При этом
считается, что состояние поверхности детали
Рис. 11.16.
(11.13)
и образца одинаково.
Масштабный коэффициент зависит от материала, качества поверхностной обра-
ботки деталии наличия у детали источников концентрации напряжений.
На рис. 1.16 представлен график определения масштабных коэффициентов е.
Можно принятьва=ех. Кривая 1 соответствует мягким углеродистым сталям с преде-
лом прочноти ов = 40 -г- 500 МПа (40 ч- 50 кгс/мм2), кривая 2 —высокопрочным'
легированным сталям сов= 1200 ч- 1400 МПа (120 ч- 140 кгс/мм2).
Для промежуточных значений предела прочности масштабный коэффициент мож-
но определить путем интерполяции.
, 239
Влияние чистоты обработки поверхности и внешней среды
на предел выносливости металлов
При грубой обработке поверхности поверхностные дефекты снижают предел вы-
носливости материала. На предел выносливости влияет также и технологический про-
цесс механической обработки. Влияние качества обработки поверхности детали учи-
тывается коэффициентом поверхностной чувствитель-
ности еп, равным отношению предела выносливости при
симметричном цикле для образца с заданным состоя-
нием поверхности к пределу выносливости такого же
образца с тщательно полированной поверхностью. На
рис. 11.17 представлены графики коэффициента еп в за-
висимости от предела прочности стали. На этом графи-
ке: 1 — зеркальное полирование; 2 — грубое полирова-
ние; 3 — тонкое шлифование или тонкая обточка; 4 —
грубое шлифование или грубая обточка; 5 — испытание
в пресной воде при наличии концентрации напряже-
ний; 6— испытание в пресной воде при отсутствии концентрации или в морской воде
при наличии концентрации; 7 — испытание в морской воде при отсутствии концент-
рации .
Детали из высокопрочных сталей требуют особо тщательной обработки. Цвет-
ные металлы и чугун мало чувствительны к качеству обработки поверхности.
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
Прочность при переменных напряжениях оценивается величиной фактического
коэффициента запаса п путем сравнения его с допускаемым значением [л]. Условие
прочности имеет вид:
п > [л], (1114)
Коэффициенты запаса можно определить приближенно с помощью схематизирован-
ной диаграммы предельных напряжений, например показанной на рис. 11.7. Сначала
определяется коэффициент запаса для лабораторного образца d0 = 6-~ 12 мм в пред-
положении, что с изменением нагрузки рабочий цикл, для которого определяется ко-
эффициент запаса, остается подобным соответствующему предельному циклу.
По известным значениям амплитудного и среднего напряжений определяется
угол а
tga = -^. (11.15)
Из начала координат диаграммы (см. рис. 11.7) проводят луч 0—1 под углом а. Те-
кущая точка М (ца; от) на прямой характеризует рабочий цикл, а точка N (поа;
пат) — предельное значение этого же цикла. Коэффициент запаса равен отношению
отрезков . Если точка N находится в пределах прямой АВ, рост напряжений
цикла вызывает усталостное разрушение. При этом (11.5а) принимает вид
0-1 = $пгот + п,оа,
откуда коэффициент запаса по отношению к усталостному разрушению (для лабора-
торного образца) равен
о_
(11.16)
Пг ==“5---i---
Для получения коэффициента запаса реальной детали необходимо учесть влияние
концентрации напряжений, масштабный фактор и качество обработки поверхности.
В практических расчетах поправочные коэффициенты относят только к перемен-
ной части цикла напряжений — амплитуде цикла <уа (та). Расчетная формула для
определения коэффициента запаса для детали имеет вид: /
0_1
п ------------------------
о , а
Р°"г + °а
*71*
(И.17)
240
Если луч 0—1 пересекает прямую BD, рост напряжений цикла связан с опаснос-
тью развития больших пластических деформаций. Коэффициент запаса по отношению
к пределу текучести в этом случае вычисляется
Of
(11.18)
«т — ------•
°а Т От
При расчете определяют оба коэффициента запаса — по усталости и текучести — и
руководствуются меньшим из них.
Приведенные зависимости относятся к случаю одноосного напряженного состоя-
ния (растяжение, сжатие, чистый сдвиг, чистый изгиб, а также пренебрегая ка-
Рис. 11.18.
сательными напряжениями — поперечный изгиб). При чистом сдвиге в этих зависи-
мостях о заменяется на т.
В случае плоского или объемного напряженного состояния вопрос оценки уста-
лостной прочности значительно усложняется. В практических расчетах коэффициент
запаса при плоском напряженном состоянии можно определять по формуле
(11.19)
Пг = ---/—.....:
V п2а +
где па и пТ — коэффициенты запаса, определяемые по формуле (11.17) в предполо-
жении, что действуют соответственно только нормальные о или только касательные
напряжения т.
В некоторых простейших случаях возможно непосредственное определение кон-
структивных размеров деталей по допускаемым напряжениям для данного коэффи-
циента запаса и заданного соотношения амплитуды напряжения к среднему напря-
жению. При этом допускаемое напряжение по усталостному разрушению определя-
ется по формулам:
1 + —
От
£п^т ав
1 + —
't/п
t^ta —1
бгЛт тв
Допускаемые напряжения по расчету на текучесть:
г 1 ОТ , 1 Тт
1^] = —; KJ = — .
Пример. Определить коэффициент запаса усталостной
(11.20)
т-1
пг
Пример. Определить коэффициент запаса усталостной прочности для поршнево-
го трубчатого пальца, нагружаемого силой Р, изменяющейся в пределах от Рмакс =
= 60 кН (6000 кгс) до Рмин = —20 кН (-2000 кгс) (рис. 11.18, а); а = 30, b = 50,
[ffrl =
о
J
9 2-256
241
D = 30, d = 16 мм. Механические характеристики материала пальца: оф = 800МПа
(8000 кгс/см2), <тв = 1000, = 500, о0 = 750 МПа. Наружная поверхность пальца
тщательно отполирована (еп = 1); масштабный коэффициент е = 0,9; эффективный
коэффициент концентрации напряжений k = 1,1. Решение. Изгибающий момент в
расчетном сечении пальца
м=-4- 44г+4-) ~ -4 • 4" 4-= 1,375 •1о-2р (Нм)
ill I At “I “ *
(эпюра М показана на рис. 11.18, б).
Момент сопротивления сечения
Наибольшие и наименьшие значения изгибающего момента и соответствующих ему
нормальных напряжений:
Л1„я„г = 1,375 Т» = 1,375 • IO”2 • 60000 = 825 Нм (8250 кгс . см);
макс • макс ' * ' **
^макс 825 • 106 „„„
амакс = ----де-- =-----2~48---= 333 МПа (333° КГ/СМ
Л!мии = 1,375 • 10-2 Рмин = 1,375 • 10-2 (— 20000) = — 275 Нм (—2750 кгс • см);
^мин 275 » 10е . „ мт , 2\
%ин = —=-------------2Д8------= - 111 МПа (— 1110 кгс/см2).
Амплитудное и среднее напряжения рабочего цикла:
МаКС МИН 333 ““ ( 111) ОСО ЛХГГ /ОООЛ I 9\
ва =--------g--------=---------g-----— = 222 МПа (2220 кгс/см2);
°макс + °мин 333-ф- (—111) ... мгт '/..io / 21
(Тщ --------=111 МПа (1110 кгс/см2).
Вычисляем предельные значения амплитудного и среднего напряжений для пульса-
ционного цикла
°а0 = = 375 МПа (3750 кгс/см2).
Строим диаграмму предельных напряжений по известным значениям о_|, с'а и от
(рис. 11.18, в).
Из начала координат диаграммы проводим луч О — N под углом а, определяе-
мым равенством
1 Од
tga=—£-
гпЬг-2’4* »“68"-
k 222
епе — 111
Считаем, что рабочий и предельный циклы подобны. Точка М с координатами напря-
жений рабочего цикла:
, ' ь
<та = ста---= 272 МПа (2720 кгс/см2); cm = 111 МПа (1110 кгс/см2)
6П
и точка N с координатами предельных напряжений пгса = 435 МПа (4350 кгс/см2),
пгот = 178,5 МПа (1785 кгс/см2) этого же цикла лежат на одной прямой ON. Коэф-
фициент запаса определяется как отношение амплитуд, взятых по графику,
_ 435 „
Пг~ 272 “ ,6‘
242
То же значение пг получается по формуле (11.17)
500
1 J
0,33. 111 + -T7V
о_, — 0,5ой
где о,33 = р =------о^Г“ =
-----=1,6,
• 222
500 — 375
375
ДОЛГОВЕЧНОСТЬ
Если из условий эксплуатации .детали заранее известно, что деталь за все время
эксплуатации должна воспринять число циклов N меньшее, чем предельное Nnp, а
также в тех случаях, когда сопротивление разрушению зависит от времени t (проч-
ность при повышенных температурах), более рационально вести расчет на долговеч-
ность. Запасом долговечности называется отношение предельного числа циклов .Vnp
или предельного времени /пр к числу циклов N или времени t, соответствующих об-
щему ресурсу использования детали:
nR=—^~, или = (11.22)
Задача сводится к определению приведенных напряжений <т9К и числа циклов А/эк,
по которым устанавливаются запасы прочности и долговечности.
При переменных напряжениях кривая выносливости позволяет решить вопрос
долговечности образца, так как абсциссы точек этой кривой определяют долговеч-
ность образца при соответствующих значениях максимального напряжения цикла.
Глава 12
РАСЧЕТЫ ПРИ УЧЕТЕ ПОЛЗУЧЕСТИ МАТЕРИАЛОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Явление медленной текучести материала под действием постоянных по величине
усилий или напряжений называется ползучестью, или крипом.
Чем выше температура, тем быстрее нарастает деформация ползучести.
Ползучесть металлов представляет собой необратимую деформацию и рассма-
тривается как медленная текучесть.
В результате нарастания пластических деформаций ползучести могут изменяться
величины и даже распределение напряжений. Такой процесс изменения напряжений
во времени в результате нарастания пластической деформации называется релак-
сацией напряжений. Этот процесс наиболее явно выражается в случае,
если полная деформация растянутого стержня не изменяется во времени, поэтому
пластическая деформация увеличивается за счет снижения упругой.
Кривые ползучести и релаксации
На рис. 12.1 показана кривая ползучести — график зависимости полных дефор-
маций от времени при испытании на одноосное растяжение при постоянных нагруз-
ке и температуре *.
По оси абсцисс откладывается время, по оси ординат— относительное удлине-
ние е. При нагружении нагретый стержень получает мгновенную деформацию,
* Такой вид кривой характерен для растяжения стальных образцов при небольших
температурах (400—500° С) и напряжениях (50 — 100 МПа).
9* 243
весьма быстро возрастающую от нуля до некоторой величины (отрезок ОД). В дальней-
шем, после прекращения роста нагрузки, полная деформация образца будет с течением
времени увеличиваться по закону, изображенному линией ABCD. Любая точка этой
кривой показывает (в масштабе) величину полной деформации е за данный промежу-
ток времени. Процесс ползучести можно
разделить на три периода.
Первый (переходный) пе-
риод ползучести — участок АВ — харак-
теризуется убыванием скорости деформа-
ции. Во втором периоде, часто на-
зываемом периодом квазивязкого течения
(участок ВС), процесс ползучести протека-
ет с практически постоянной во времени
скоростью, которая зависит от напряже-
ния и температуры. Третий пери-
од— разрушение, которое может быть либо «хрупким (в точке С), либо «вязким».
«Вязкое» разрушение характеризуется ускоренным нарастанием ползучести (участок
CD) и образованием шейки в образце.
График зависимости напряжений от времени называется кривой релак-
сации.
На рис. 12.2 показан общий вид кривой релаксации для случая, когда полная
деформация растянутого стержня во времени не изменяется (е = const) и начальное
напряжение не превосходит предела пропорциональности материала: ст0 ип. Процесс
релаксации напряжений характеризуется быстрым падением напряжений в первый
период.
ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Существуют четыре основные теории ползучести, которые в описании этого про-
цесса исходят из различных гипотез [30], [39].
Теория течения [15] основана на предположении существования посто-
янной зависимости между скоростью пластической деформации епл, напряжением и
временем. Наиболее простая зависимость имеет вид:
е — Епл + Еупр — оп В (t) 4—-g- • -
где е — скорость полной деформации;
п — постоянная для данного материала
при определенной температуре (n > 1);
В (0 — функция времени:
B(t)= -Д-Й (t).
Графики функций В (t) и Й (/) по-
казаны на рис. 12.3.
(12.1)
0,6
0,6
0,4
02
О 2 4 6- в Ю t'
Рис. 12.4.
Для углеродистых сталей постоянные п приводятся в табл. 12.1.
Уравнение теории течения (12.1) справедливо при не слишком малых скоростях
ползучести и при медленно изменяющихся напряжениях, достаточно больших в на-
чале процесса.
Дифференциальное уравнение релаксации
о"В(0 + -^ = °
(12.2)
и его решение
а
где р = —— ;
ао
р = [1+(„-1)Гр-1 ,
С = Ес%~1 й (0;
(12.3)
(12.3а)
244
Таблица 12.1. Основные характеристики ползучести некоторых сталей
Химический состав, % Термическая обработка (тем- пература, град С) Температура испытания, град С Постоянная п
Углеродистые стали
О.15С; 0,50Мп; 0,23Si; 0,032S; 0,025Р Отжиг 844 427 6,24
То же То же 538 3,04
В » 593 3,18
» в 649 3,03
0,43С; 0,68Мп; 0,20Si; 0,033S; 0,035Р Отжиг 844 427 6,01
То же То же 538 4,07
» В 649 1,66
Хромомолибденовая сталь ЭИ10
0,28С; 0,24Si; 0,58Мп; 1,55Сг; 0,38Мо; 0,16Va; 0,12N1 Закалка 900 (масло), отпуск 650 450 2,99
То же То же 500 1,83
» В 550 2,06
<j0 — напряжение в момент t = 0. Кривые релаксации для некоторых значений п
приведены на рис. 12.4.
Теория старения [27]. В этой теории принята гипотеза о существовании
постоянной зависимости между пластической деформацией, напряжением и временем
Ф (епл, 0 = 0. (12.4)
В наиболее простом случае при степенной зависимости н подобии кривых ползу-
чести уравнение ползучести имеет вид:
е = (() + — , (12.5)
где е — полная деформация; Q (/) — функция времени, определяемая с помощью
кривых ползучести. Уравнение (12.5) пригодно только при постоянной или слабо из-
меняющейся нагрузке. К теории старения относят также уравнение Н. М. Беляева [6]
t
е = -|г- + о J о'1-1 В (t) dt. (12.6)
о
245
Зависимость напряжения от времени при постоянной деформации по Н. М. Бе-
ляеву имеет вид:
Р = (1 + W
Уравнение релаксации в теории старения
~ , (12.8)
откуда следует
f = • (12.9)
Р
В теории упрочнения предполагается существование постоянной
зависимости между пластической деформацией епл, скоростью пластической дефор-
мации епл и напряжением <т [28]
Ф (епл, епл, = О-
Теория наследственности основана на использовании теории уп-
ругого последействия Больцмана — Вольтера [16].
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
Основные особенности расчета при учете ползучести материалов показаны в сле-
дующем примере расчета.
Пример. Определить, с каким напряжением должны быть затянуты шпильки
фланцевого соединения паропровода (рис. 12.5) в начале эксплуатации для того, что-
бы плотность соединения была обеспечена в течение года. Давление пара р = 10 МПа
(100 атм), температура 0 =
= 500° С. Внутренние диаметры:
паропровода Ьо = 150 мм, про-
кладки = 167 мм, число шпи-
лек z = 12 (резьба МЗО), мате-
риал шпилек — хромомолибде-
новая сталь ЭИ10. Предполагает-
ся, что фланцы и прокладки ие-
деформируемы, а деформация
шпилек в процессе эксплуата-
ции постоянна. Решение. По
табл. 12.1 для стали ЭИ10 при
температуре 500° С находим п = 1,83. График функции Q (/) представлен на рис. 12.6.
Модуль продольной упругости для этой стали при 0 = 500° С, Е = 1,8 • 105 МПа
(1,8 • 10е кгс/см2). Для обеспечения плотности соединения прокладка должна быть
сжата некоторой силой Рп. Обозначим силу, разъединяющую фланцы, Р, а силу за-
тяжки шпилек — Рш.
Тогда
лО?
Р = р —(а) Рш = оР1г, (Ь)
где а — напряжение в шпильке; У7! — площадь поперечного сечения шпильки по
внутреннему диаметру. Из условия равновесия имеем
Рщ — Р "Т" Рп
(с)
Напряжение в поперечном сечении шпильки в течение времени уменьшается, и плот-
ность соединения снижается. Поэтому через некоторое время после начала эксплуа-
тации паропровода может возникнуть пропаривание фланцевого соединения. Будем
предполагать, что пропаривание начнется в момент, когда сила, сжимающая про-
кладку, станет равной нулю, т. е. когда сила затяжки шпилек станет равной силе,
разъединяющей фланцы.
246
Приравнивая правые части выражений (а) и (Ь), получаем величину напряжения
в шпильке, при котором начинается пропаривание фланцев,
pziD'i
ff= 4FTz
Подставляя в эту формулу численные значения, получаем о = 36,8 МПа (368 кгс/см2).
Найдем теперь такую величину начального напряжения о0, при которой за 1 год
(8760 ч) напряжение снизилось бы до величины <т = 36,8 МПа. Для этого воспользу-
емся уравнением (12.7) теории старения
Учитывая
Р = (! + «;') п-
соотношения (12.3а), получаем:
vn — avn~1 — 1=0
или
1
v — а
v'1-l =
где
1
v = —
Р
(<0
£о
о
а = пЕвп 1 й (t).
(е)
Для решения уравнения (d) необходимо знать численное значение а и, следова-
тельно, значение функции й (/) при t = 8760 ч (1 год).
График функции й (/) (см. рис. 12.6) построен по результатам обработки кривых
простого последействия до t = 800 ч. Из графика следует, что при t > 200 ч зависи-
мость й (0 от t является линейной. Учитывая, что при t = 200 ч Й (/) = 0,485 X
X 10~9 (см2/кг)п, а при t — 700 ч Q (/) = 0,735 • 10~9 (см2/кг)п, имеем следующее
уравнение при t > 200 ч:
Й (0 = 0,485 • IO-9 + 0,735 ' 10 9 ~^0’— '10 (t — 200)
<>Uv
ИЛИ
Й (/) = 0,485 • 10~9 + 0,5 • 10~12 (t — 200).
Полагая в этом уравнении t = 8760 ч, получаем
й (<) = 4,77 10“9 (см2/кгс)п.
Тогда по (е) а = 2,09. Уравнение (d) решаем графически: строим на миллиметровой
бумаге график функции (рис. 12.7), а на кальке в том же масштабе — график
функции —(равнобокая гипербола) (рис. 12.8). Накладываем кальку на миллиме-
тровку, как это показано на рис. 12.7 штриховой линией. Ось ординат на кальке
должна совпадать с вертикальной линией, проведенной на расстоянии а от начала
координат (см. рис. 12.7). Корень уравнения (d) равен, в выбранном масштабе, абс-
циссе точки пересечения наложенных кривых. В рассматриваемом случае v = 2,55,
и, следовательно, согласно (е):
2,55 = , а п0=93,7 МПа или 937 кгс/см2.
ООО
Таким образом, для обеспечения плотности соединения в течение года шпильки
в начале эксплуатации паропровода должны быть затянуты с напряжением сг0 =
= 93,7 МПа (937 кгс/см2).
247
Глава 13
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И СЕКТОРИАЛЬНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИИ
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА
ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Выражения
Sy = у zdF *; Sz = У ydF
F F
(13-1)
называются статическими моментами площади относительно осей у и г (рис. 13.1) и
измеряются в см3.
Если положение центра тяжести сечения определено с (ус\ zc), то статические мо-
менты вычисляются по формулам
Sy — Fzc\ Sz = Fy0,
где F — площадь сечения.
При сложной форме сечения:
Sy ~ $г = f tUi'
1=1 i=l
(13,1а)
Статические моменты относительно осей, прохо-
дящих через центр тяжести (центральные оси),
равны нулю. На рис. 13.1 S = 0; Sz< = 0.
Координаты центра тяжести фигуры по отношению к выбранным осям у и г
определяются:
п п
где ft — площадь i-й части фигуры (i = 1,2,3..n); yi и Z; — координаты ее цент-
ра тяжести.
Пример. Определить положение центра тяжести плоской фигуры, показанной
на рис. 13.2 (размеры даны в см). Решение. Разобьем сложную фигуру на простые
* Интегрирование распространяется на всю площадь.
248
(прямоугольники 1, 2, 3), положения центров тяжести которых известны. Выбираем
произвольную пару осей у и г. Для простоты вычислений оси направляем параллельно
осям симметрии отдельных прямоугольников, начало координат совмещаем с центром
тяжести одной из фигур. По формулам (13.2) определяем координаты центра тяжести
фигуры:
_ 2 • 10.7 + 6 (— 7) • 2
г°~ 2*10 + 2.12 + 2.6 — 1 см;
_ 2 • 6 • 2 + 2 . 10 (— 4)
Ус~ 2 10 +2 . 12 + 2 • 6 “ 1 СМ‘
Графический способ отыскания центра тяжести состоит в следующем:
сложное сечение разбивают иа простые, положения центров тяжести которых извест-
ны; в центрах тяжести этих частей сечения прикладывают векторы, параллельные
одной из координатных осей, по величине — пропорциональные площадям (рис. 13.3);
для этой системы векторов строят веревочный многоугольник и через точку пересече-
ния его крайних лучей проводят линию действия равнодействующей векторов; по-
ворачивают все векторы на 90° и аналогично строят другой веревочный многоуголь-
ник и находят направление равнодействующей. Центр тяжести сложной фигуры оп-
ределяется как точка пересечения направлений этих равнодействующих.
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
Осевыми моментами инерции площади называются выражения следующего вида:
F F
Интеграл вида
Jyz = § yzdF (13,4)
F
называется центробежным моментом инерции площади относительно осей у и г.
Полярный момент инерции
= J P4F (13.5) F 4
(обозначения в формулах (13.3) — (13.5) см. на рис. 13.4).
Осевые и полярный моменты инерции связаны зависимостью
10 2-256 /Р=^ + /г. (13.6) 249
Моменты инерции измеряются в см4.
Определение моментов инерции для элементарной площадки не распространяет-
ся на конечную площадь, но, применяя к интегралам (13.3) теорему о среднем, можно
записать: Jy = z® F и Jz — y2pF или, обозначая zcp = iy и уср = 1г:
Jy = ty’, Jz=i2zF, (13.7)
где iu и iz — радиусы инерции площади относительно осей у и г (размерность в см)
Зависимости между моментами ин
преобразования координат (рис. 13.4).
1. При параллельном переносе осей координат:
(13.8)
ерции в случае
Jyz—Jyczc~^~Fab’ (13.9)
где J „ , J- , J , , J — соответствующие
Pc
моменты инерции относительно централь-
ных осей (начало координат в центре тя-
жести площади), параллельных осям у иг:
а и b — расстояние между осями у и ус, z и zc; с0 — расстояние между началом коор-
динат системы уог и Уссгс.
2. При повороте осей на угол а:
Jy = Jy cos3 а Jг sin3 a — Jzy sin 2а;
7г = Jy s'112 а + J г cos2 а + Jzy sin 2а;
Л/1?1 = sin 2« + Jyzcos 2а,
(13.10)
где J., , J и J, , — моменты инерции относительно осей t/j nzj, повернутых на угол
а против часовой стрелки по отношению к осям у и z. Сумма осевых моментов инерции
при повороте осей не меняется:
J^i + ~ Jу + Jz- (13.11)
Моменты инерции (центробежные моменты инерции) площади сложной формы
определяются как сумма моментов инерции (центробежных моментов инерции) со-
ставляющих площадок (рис. 13.5). При этом используются формулы перехода к па-
раллельным осям (13.9):
п п п
Jy = X J УI + f 1аЬ J 2 — 5л Jyz — S J A'jZ; + (13.12)
i=l /=1 i=n
1, 2, 3, ..., п); п— число площадок, на которые разби-
,7 — моменты инерции и центробежный момент инер-
zi *1*1
где i — номер площадки (i =
вается вся площадь; J„ и J.
vi
ции данной (t'-й) площадки относительно осей yi и zit проходящих через центр тяжести
250
этой площадки и параллель-
ных осям у, г; fi — площадь
t-й площадки; су и — коор-
динаты центра тяжести г-й
площадки в системе коорди-
нат уог.
Графический спо-
соб определения
моментов инерции
площадей сложной
формы.
Рассматриваемое сечение,
вычерченное в определенном
масштабе, разбивается на пло-
щадки, моменты инерции ко-
торых известны. В центре тя-
жести каждой площадки при-
кладывается вектор в направлении, параллельном данной оси, по величине рав-
ный площади данной части сечения. Строится веревочный многоугольник и вы-
числяется площадь (и) фигуры, ограниченной веревочным многоугольником, продол-
жениями крайних его лучей и осью, относительно которой определяется момент
инерции (рис. 13.6). Момент ииерцни определяется
Jу = 2аНп?т,
где Н — полюсное расстояние в силовом многоугольнике; п — масштаб длин; т —
масштаб сил.
ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный мо-
мент площади сечения равен нулю, называются главными осями инер-
ции, а моменты инерции относительно этих осей называются главными мо-
ментами инерции. Главные моменты инерции имеют экстремальные значе-
ния: один из них /макс> Другой /мин и определяются по формуле
Атс.мин = ± 4" . (13-13)
где Jy, J? и Jy? — осевые и центробежный моменты инерции относительно произ-
вольно взятых осей у и г. Знак плюс принимается при вычислении /макс, минус —
при вычислении
г мин
Из (13.11) следует
Смаке +Аши + h = const. (13.14)
Положение главных осей относительно произвольно взятых определяется углом к0;
tg а0 =----т^т------ или tg 2“о ==---' • (13-15)
•/у~'/мин Jy — Jz
Главные оси обычно обозначают: ось максимального момента — и, минимально-
го— V. Положительному tg'a9 соответствует поворот осей по ходу часовой стрелки.
Круги инерции
По аналогии с плоским напряженным состоянием (см. главу 3) для определения
моментов инерции при повороте осей можно пользоваться графическим способом —
построением кругов Мора, которые в этом случае называются кругами инерции.
Круг инерции представляет собой геометрическое место точек, координаты ко-
торых в осях построения определяют осевые и центробежные моменты инерции пло-
щади относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, проводимых через
данную точку.
10*
251
Для построения круга инерции (рис. 13.7) по
оси абсцисс в масштабе откладывают осевые момен-
ты инерции. Jy и J2. Из точки D по перпендикуляру
откладывают отрезок-DE = Jyz. Точка С (центр кру-
га) определяется отрезком ОС = . Радиу-
сом СЕ описывается окружность, которая пересека-
ет ось абсцисс в точках А и В. Отрезки О А = JMaKQ
и ОВ = 7,,ин в принятом масштабе определяют глав-
ные моменты инерции. Положение главных осей
определяется углом а0, образованным осью и лу-
чом BE. Если заданы главные моменты инерции и
требуется определить осевые и центробежный момен-
ты инерции относительно осей, повернутых на угол а к главным осям, то круг инер-
ции строится на отрезке ЛВ, как на диаметре. Направляя из точки С луч под углом
2а, получают точку Е, координаты которой и определяют в масштабе, искомые осевые
и центробежный моменты инерции: 0D = Jy, OF = JZ,DE = Jyz (см. рис. 13.7).
Эллипс инерции
По эллипсу инерции может быть определен радиус инерции площади относи-
тельно любых осей, проходящих через центр эллипса. Зная радиусы инерции, можно
определить и моменты инерции (13.7). Эллипс инерции описывается уравнением
У2 , г2
/2 ‘ i2
lv lu
где у иг — координаты эллипса; iu и iv — главные радиусы инерции площади сече-
ния, которые определяются по главным моментам инерции:
макс
Т > —
•^мин
F
Эллипс инерции строится на главных осях площади сечения,
как показано на рис. 13.8.
Для определения по эллипсу инерции момента инерции
относительно какой-либо оси, например у^, проведенной через
центр эллипса, проводят касательную к эллипсу параллельно
данной оси. Расстояние между касательной и данной осью в
масштабе дает величину радиуса инерции относительно дан-
ной оси i . Зная радиус инерции, по формулам (13.7) опреде-
ляется искомый момент инерции. Центробежный момент
инерции относительно взаимно перпендикулярных осей у иг
определяется
7w = i&aF, (13.16)
где а — расстояние от точки касания до оси г (см. рис. 13.8).
Моментом сопротивления сечения относительно данной оси на-
зывается отношение момента инерции, взятого относительно этой оси, к расстоянию
от оси до наиболее удаленного волокна:
wy=-^—-, Wz = -^—.
гмакс ^макс
Полярным моментом сопротивления сечения называется отношение
— Jp
Wp------------------------------о
гмакс
Моменты сопротивления измеряются в единицах длины, взятых в третьей степени,
Геометрические характеристики некоторых форм сечений приведены в таблицах при-
ложения 1.
(13.17)
(13.18)
252
Пример определения геометрических характеристик
сложного сечения
Определить положение главных центральных осей и величины главных цент-
ральных моментов инерции сечения, состоящего из швеллера № 22а и равнобокого
уголка 100 X 100 X 10 мм, приведенного на рис. 13.9. Решение. Из таблиц сорта-
мента выписываем размеры, площадь, моменты инерции и координаты центра тяжести
каждого элемента. Для швеллера: Гш = 28,8 см2; г0 = 2,46 см; Jz = 2330 см4;
Jy — 187 см4. Для уголка: Fy = 19,2 см2; уа = 2,83 см; 7макс = 284 см4; /мии =
=*74,1 см4; J, = = 179 см4.
Z2 Уъ
Рис. 13.10.
Для определения положения центра тяжести сложного сечения в качестве вело-
могательных выбираем центральные оси уг и г, швеллера. Относительно этих осей
статические моменты сечения швеллера равны нулю и вычисление координат центра
тяжести сечения упрощается.
Статические моменты сечения относительно осей zt и уг вычисляем по (13.1а)
5г = 19,2(11 —2,83) = 157 см3;
Syt = 19,2 (2,83 + 2,46) = 102 см3.
По (13.2) находим координаты центра тяжести составного сечения относительно
осей гт и уг:
Sti 157 , 07 syt 102 „
и. =----1— =------ = 3,27 см ге =-------1- = —- = 2,13 см,
Ус F 48 F 48
где 48 см2 — площадь всего составного сечения.
Для определения осевых и центробежного моментов инерции сечения относитель-
но центральных осей гс и ус пользуемся формулами перехода (13.12). Для швеллера
а, = гс = —2,13 см; Ь^ = у0 = —3,27 см. Для уголка: а2 = 3,16 см; Ь2 = 4,9 см.
Осевые моменты инерции относительно оси гс:
для швеллера
Л1) = ]г = 2330 + 3,272 • 28,8 = 2638 см4;
*С 1
для уголка
У<2> = J, + 62 F,. = 179 4- 4,92 • 19,2 = 640 см4;
Zc *2 * Z У 1
для всего сечения
Jz = у(’> + 42> = 2638 + 640 = 3278 см4.
° гс гс
Осевые моменты инерции относительно оси ус'.
для швеллера
Л1’ =Jy- + a\FUi= 187 + 2,132 • 28,8 = 318 см4;
Ус 1
для уголка
/<2’ = Jy + <&Fy = 179 4- 3,162 . 19,2 = 371 см4;
У 0 2
253
для всего сечения
Jyc = /О) + = 318 + 371 = 689 см*.
Определяем центробежный момент инерции относительно осей zCt усъ
для швеллера
4^ = а1Ь1Рш = (—2,13) . (—3,27) » 28,8 = 200,6 см*;
для уголка
r(2) j 1 „ h с макс Jмии , , п
= J^2 + а^РУ =-----------2-------=
284__74 |
= 2 ’ + 3,16 . 4,9 • 19,2 = 402,2 см*;
для всего сечения
= 200,6 + 402,2 = 602,8 см*.
Пользуясь (13.15), определяем положение главных центральных осей инерции
сечения:
to 2 • 602’8 л лм.
g2“° “ 689 — 3278 °’466,
2а,) = —25°; aw = — 12° 30', а.ои = 102° 30'.
Вычисляем главные центральные моменты инерции (13.13):
'макс = Ju = -3278 + 689 + Ц- /(3278-689)»+ 4 (602,8/ =3411 см*;
•'мин = JV = -32-78^689----i-/(3278-689)2+ 4.602,8)2 = 555 см4.
Графическое определение главных моментов инерции и Положение главных
осей — построение круга Мора — производим по правилу, изложенному выше. По-
строение круга Мора показано на рис. 13.10.
СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИИ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
В расчетах тонкостенных стержней открытого профиля дополнительно к рассмо-
тренным выше геометрическим характеристикам сечений используются геометрические
характеристики в секторнальной системе координат, специально предназначенной
для теории тонкостенных стержней.
Ниже приводятся основные секториальные характеристики сечений и пример их
вычисления.
Секториальная координата. Секторнальной координатой (секторнальной пло-
щадью) данной точки М называется удвоенная площадь сектора, ограниченного
участком средней линии тонкостенного профиля и двумя радиусами-векторами, сое-
диняющими концы участка с центром отсчета (рис. 13.11)
(13.19)
где г — радиус-вектор; s — длина дуги М0М. Центр отсчета — точку В — называют
полюсом секторнальной координаты, а точку Л40 — начальной нулевой точкой от-
счета; прямую ВМй—начальным радиусом, а прямую ВМ — подвижным радиусом.
Главным векториальным полюсом считается центр изгиба сечения.
254
Секториальная координата считается положительной, если при переходе от на-
чальной точки Л10 к рассматриваемой точке М подвижный радиус вращается отно-
сительно полюса В против хода часовой стрелки при направлении продольной оси
стержня (ох) в сторону наблюдателя.
гЕсли профиль представляет собой сложную линию (рис-. 13.12), то для опреде-
ления секториальной координаты точки М (радиус пересекает контур) необходимо
сначала переместить подвижной радиус до точки М' (касательно к контуру), а затем
от этой точки перейти к точке М. Секториальная координата точки М с началом от-
счета в точке Мо вычисляется как алгебраическая сумма секториальной координаты
точки М' с началом отсчета в точке Af0 и точки М с началом отсчета в точке М'. Сек-
ториальная координата равна алгебраической сумме двух удвоенных площадей (за-
штрихованы на рис. 13.12).
Для наглядности изменения секториальных координат точек профиля строят
эпюры секториальных координат.
Секториальнын статический момент площади тонкостенного сечения определя-
ется выражением
5Ш = j" codF. (13.20)
F
Если толщина Течения 6 постоянна на отдельных участках, то
п
SB = S «А, (13.20а)
i=i
где й/ — площадь эпюры секториальных координат на данном (i-м) участке.
Секториальнын статический момент может быть как положительным, таки отри-
цательным в зависимости от выбора начальной точки отсчета. Можно выбрать началь-
ную точку отсчета Л!о так, что SM обратится в нуль. Такую точку называют главной
нулевой точкой отсчета секториальных координат, или главной секториальной точ-
кой. Условие для определения координаты главной нулевой секториальной точки:
соо = -^-, (13.21)
Г
где SM — секториальный статический момент при произвольной нулевой точке от-
счета Mj. Этому условию может удовлетворять не одна, а несколько точек, но глав-
ной секториальной нулевой точкой будет точка, наиболее близко расположенная от
центра изгиба Л.
Выражения вида
sa,y = f azdF Iсм51; swz = j ®ydF I cm5 [ (13 22)
F F
часто называют секториально-линейными статическими
моментами. В формулах (13.22) у и г — координаты точек средней линии тон-
костенного сечения в системе центральных осей. Секториально-линейные статические
моменты удобно находить перемножением по правилу Верещагина эпюры со на эпю-
ру соответствующих линейных координат у или z.
255
Секториальный момент инерции, или бимомент инерции, имеет размерность дли-
ны в шестой степени и определяется "
7и = У ®W’ (13.23)
F
Ja — всегда положительная величина.
Секториальный момент инерции составного сечения равен сумме секториальных
моментов инерции отдельных элементов относительно своих центров изгиба плюс
дробь, в числителе которой — сумма произведений осевых моментов инерции этих
элементов, взятых попарно, на квадраты расстояний между их центрами изгиба, а в
знаменателе — осевой момент инерции всего сечения относительно его оси симметрии
(пример см. ниже).
Секториальный момент инерции принято определять путем перемножения по
правилу Верещагина эпюры и на эпюру соб. Секториальный момент инерции, взятый
относительно центра изгиба и главной нулевой секториальной точки, называется
главным секториальный моментом инерции.
Ниже приводятся формулы для определения координат центра изгиба и сектори-
альиых моментов инерции для часто встречающихся составных профилей:
для рис. 13.13, а:
еА =
для рис. 13.13, б:
для рис. 13.13, в:
271г/ J 2JlyJ2yc2 , J & .
Jy С’ Jy 6 ’
J\z
, _ Л/зЛ2 .
“ “ J г ’
z J г
где Jw, J2y, Jlz — осевые моменты инерции частей 1, 2, ... относительно осей у, г,
/1Ш, J2(0 — бимоменты инерции относительно собственных центров изгиба.
Секториальный момент сопротивления (или бимомент сопротивления) сечения
определяется как отношение векториального момента инерции к секториальной коор-
динате крайней точки
га=А|см41- (13-24)
ЦЕНТР ИЗГИБА
Линия, параллельная оси стержни, замечательна тем, что силы, действующие в
любой плоскости, проходящей через эту линию, не вызывают кручения, называется
осью центров изгиба. Точка пересечения оси центров изгиба с плоскостью
сечеиия называется центром изгиба. В поперечном сечении бруса центр
изгиба можно рассматривать как точку, через которую должна проходить попереч-
ная сила, чтобы изгиб не сопровождался кручением.
Центр изгиба определяется как точка пересечения равнодействующих касатель-
ных усилий изгиба, соответствующих поперечным силам, действующим в двух глав-
ных плоскостях.
В двоякосимметричиых сечениях центр изгиба совпадает с центром тяжести. При
одной оси симметрии центр изгиба лежит иа этой оси, но не совпадает с центром тя-
жести. Центр изгиба профиля-пучка совпадает с центром пучка.
Если в тонкостенном профиле полюс секториальных координат совместить с цент-
ром изгиба, то секториально-линейные статические моменты обратятся в нуль.
Координаты центра изгиба в системе главных центральных осей определяются:
е Q
Уа=^~> гА = -г~> <13-25)
J у Jz
256
где Saz и — секториалыно-линейные статические моменты относительно произ-
вольного полюса; Ja и .!г — главные моменты инерции сечения. При произвольном
полюсе секториальных координат В (ув; гв):
S S
Уа~ У в Л- " “ гв Н 7~~ ' ^3-25а)
J у J г
Для сплошных незамкнутых тонкостенных сечений с одной осью симметрии, ко-
торые можно разложить на составные элементы с осями симметрии, совмещенными с
осью симметрии всего сечения, центр изгиба можно определять аналогично опреде-
лению центра параллельных сил. Для этого моменты инерции отдельных элементов
Jj, J2...Jn представляются в виде взаимно перпендикулярных векторов, прохо-
дящих через центры изгиба соответствующих элементов. Тогда линия направления
равнодействующего вектора пересечет ось симметрии всего сечения в центре изгиба
этого сечения.
ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Для швеллера (рис. 13.14, а) определить секториальные характеристики и поло-
жение центра изгиба,
Решение. 1. Главная центральная ось ог является осью симметрии, поэтому
центр изгиба лежит на этой оси: уА = 0. Для определения другой Координаты гА возь-
мем вспомогательный полюс в точке В и построим эпюру секториальных координат
h h
ав. Для точек k верхней полки: (гв + г); у =---нижней полки: <лв =
h It
—-----%- (zB + г); у = -g-, где гв г С: b — гв. Эпюра <вв показана на
рис. 13.14, б.
2. Для определения координаты центра изгиба
вычислим главный момент инерции
, <*3 , / h \2 h2 (dh + 6Ы)
Jz = — + 2bt (-g-j =----------12------j
построим эпюру ординат у — точек средних линий сечения (рис. 13.14, в);
перемножая по Верещагину эпюры ав и у, находим секториально-линейный ста-
тический момент
с Гл- b bh h , п b2h2t
= J aydF = -~2------------2“’ T * 2=----------4~ ’
F
Координата центра изгиба
SoB2 bW
гА~гв + J2 — гВ ’
Найдем расстояние от стенки швеллера до центра изгиба. Обозначим его еА = гА —
— zBi Подставляя значения, получим
5b2t ь
еА~ dh + 6bt ~ . dh
2+~SbT
Отсюда следует, что центр изгиба швеллера расположен на оси симметрии и удален
от стенки на расстояние, не превышающее половины длины полки.
3. Определим положение главной секториальной нулевой точки М& Сектори-
s®
альиая координата точки Возьмем произвольно нулевую точку Mf,
например в точке пересечения средних линий стенки и верхней полки. Построим эпю-
ру (Oj (рис. 14, г). При полюсе в центре изгиба Л секториальные координаты точек
257
Рис. 13.14.
Для определения секторнальной координаты главной секторнальной нулевой
точки Л!о по формуле (13.21) сначала вычислим секториальный статический момент
по (13.20, а)
S&=i-^~b + d-LeAhh + i±e^b-
Тогда
1 / bh
2 2
eAh] Ь = hBA
heA [bt
\ 2 / 1
hd + 2Ы =“2
Найденная секториальная координата <о0 соответствует трем точкам: одной точке Л40,
расположенной иа пересечении оси симметрии ог со средней линией стенки, и двум
другим, расположенным на средних линиях полок на расстоянии гв + г = еА от сред-
ней линии стенки. Главной секторнальной нулевой точкой является точка Л40 как
ближайшая к центру изгиба.
4. Строим эпюру главных векториальных координат <ол (полюс в центре изгиба
А, нулевая точка Ма) (рнс. 13.14, д). Главные секториальные координаты точек на
258
средней линии стенки ®л = еАу, нижней точки — иА = еА------к- (гв + г), верх-
£ л>
I h h . ,
ней полки — (Од = — ~2~еА------В ' г) •
5. Для определения секториальиого момента инерции сечения умножим по пра-
вилу Верещагина эпюру сол саму на себя:
, heA h 2 h .. ..±_ 1 2
2 2 2 " 3 * 2 2 eAeA 2 " 3 '
b~eA> -----2----/T ~^b~eA> =
, , 6/M ,4 t>wt o 4
'e a (1 + ) + ""~ ~ 3c^) •
секториальных статических моментов отсеченной части
heA
2
+ 2^
dhs
~ 12
6. Построение эпюры
профиля (рис. 13.14, е)
Для стенки:
оОТС I
ш = J
Ротс
ь—гв
QOTC
д6)
еА
y(2B4- z) dz =
0СОТС __
5<й —
h
при у = ± -у
Для нижней полки:
dC д h
= -/-{hz-^)-±-tb(f>-2eA)-,
t &
h2eAd ьы
4
co тс_
b<a — —
^(Ь-2ел);
hbt
-4— (b — 2ед).
Ь-гв
qOTC
Z
= -2“ ieA(b~гв — г)
li h
~TeA — “2"(Zb 4-z) dz =
^q^-(2B + z)2];
при
при
2 = b-zB s°Tc=°;
-____2 S0TC btb
г — ZB
„ сОТС
z = eA — zB 5Ш
при
Для верхней полки:
-4 {Ь-2еА)‘,
(6-^)2 м
-------------ht,
4
сОТС
Ь1В Г ь
J t [ 2 2
Z
A- teA (b - гв -г) + A t [й2 - {2В + г)®];
h (гв + z) dz =
при
при
г=&—гв СС = °;
сОТС__
z — — zs —
при
2==е г 5отс
л 23 “макс
4 ~ (Ь — 2ел);
(6-ел)а
4
м.
259
Приложен и е 1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ — СЖАТИИ И ИЗГИБЕ
Таблица 1. Сплошные сечения
Квадрат
F — a2',Jy — J г
а4 _ а4 _ a2F ,
72 ’ Jy’ ~ 3 ~ 3 ’
/у 2 л-
Jpo = 4- ; = Л- : iy = iz = -7=- = °>289а
6 у 6 1/12
Квадрат на ребро
F = а2;/г = а/Г; Jy = Jz = wy = 0,118а%
При срезке верхнего и нижнего углов W'y увеличива»
ется. Наибольший момент сопротивления при срезке
углов
h
l^cp = 0,124ft3 при b — -jg-
Прямоугольник
. . bh3 hb3 , bh3 ,
“ bh-, J у - ; J г - —& ; J у - -у- ; Jz =
ft3ft , , , ft2ft2 , „ T d* sin a .
; Jyz -Jy - 48“>
t M l IV/ bfl2 IV/ &a/l .
= T2~ + h Wy-= = ~6~ ’
iy = 0,289ft; iz = 0,289ft
Прямоугольник, повернутый на угол а
F = bh; гв = zH = (ft cos а + ft sin а);
J у = (ft2 cos2 а + ft2 sin2 a);
_ bh ft2 cos2 a--& sin2 a ,
y 6 h cos а 4- ft sin a ’
iu = 0,289 Yft2 cos2 а 4- fta sin2 а
260
Продолжение табл. I
Узкая прямоугольная полоса
, а 4- b . tlh2
F = tl- 20 = —T--Jy== —
Jу = (a2 4- ab 4- b2)
О
Симметричный двутавр, составленный-из прямоуголь-
ников
t F = ah 4- b (Н — h);
Jz = 4-JT (H~
b a№
~h)-,
a3h b2
Несимметричный двутавр, составленный из прямо-
угольников
F — Ьсъ + a (hH 4- М'+ Вси} Ьг~ b — а; В± = В — ai
аН2 4" В-^ 4~ Ь$св (2/f " Св)
гн= 2 (а// _л +
Jy = 4" - Bihl + - Mb)
Равнобокий уголок
Zb =
F = t(2h — t);
h2+ht + t2 h + t~2c
2 (2Й— t) 6&s 45° ’Zh“ /2~
Г / t \31
2с4 — 2 (с — 4)4 4- t [h — 2с 4- -у
где с = 2ц cos 45°
S61
Продолжениетабл. 1
Неравнобокий уголок
F = t (b + ftj = t (h + &i); y0 = * 1
— i'i (Zo — 03 *l ; Jz=-^-[t(b — y0)3 + htft — bi (y0 —
-0s]:
bbifchjt __ bbihhit
Jyz = --^(b^.hi) ^h + bj
Треугольник
1 2 1
F^-^-hb; — a = —(&a —J>e);
Z о о
r _ ftft3 , . „ _
Jy ~ ~зГ : y IF; Jy “ T"
’ , _ hb(b2-babc) h[b\ + b}}
- 36 ’ - 12 1
bh (h2 + Ь2а-{- babc +
Jpo = __ ;
JPA = 4“ (3^2 + b3a + ьясу, r,H -
(для нижних волокон);
bh2
Wyg= —2^~~ (для верхних волокон);
iy = 0,2357ft
Прямоугольный треугольник
pl.. h 2 b .
F = — bh’, zH ----- — ; гв = — ft; == — ,
, 2 6ft3 b3h . b2h2 .
b^~Tb’ Jz = ~3G~' Jy*~---------72“’
6ft3 b3h _ b*h2 .
Jy ~ 12 - Jz' - 12 « Jy'z' 24 ’
A/i
Jp0- -S- (ft2 +62) = - r«e c2 =h2 + bi>
u OU OU
1 bfl n hbc2 № bh2
JPA-~3Q-^-h2^~T2~ ’ ^h = -12-
(для нижних волокон)
bh2
WyB = ~2^~ (для верхних волокон);
iy = 0,2357ft
262
Продолжение табл. I
Трапеция
^4-0.+ 3(k++t А;
2Ьн + &8 ь. , Л3 + 4Мв + bl)
в 3(6Н + М « 36(bH + M
_ ft3 (b„ + 3bB) ' . h(3ba + bB)
12 >Jy"~ 12
/1 ]/"2 (bl + 4&H&B 4- feg)
ly== 6 (/?n +
Правильный многоугольник с n сторонами
Г 1 2 4 П а а
'7 = -T»»!»‘s« R = Tiisr-'r = w^
....-...—..-........ -...........................-"Wj
Круг
F = «; 0,785d2; Jy = Jz == Jy, = *gn
& 0,05d4; JPq = 2Jy = Wy = IF, - W^, »
= 5=0,Id3; iy^i2= 4“
----------------------------------------------
Кольцо
„ ttD2 d ,
(1 — a2); —1
Jy—Jz— J^L (1 - ai)^ 0,05D4 (1 - a4)!
Wy = (1 - a4) 0,ID3 (1 - a4);
O£i
iy = 4 = У 1 + a'2
Тонкое кольцо (t D)
F = nDl's Jy=^Jt =
№у = №г = я» o,7853£>2/;
ly = j., = 0,353D
263
Продолжение табл. I
?/2_
У
J'
Полукруг
F 0,392da;
О
zH=0,2122d; zB = 0,2878d; Jy = 0,00686d4;
/2 = /9' = -gp = 0,025d4;
Wya = 0,2587г3; №Уп = 0,1908r3
Сечение бревна, стесанного сверху и снизу
h = 0,866d; Jg=0,039d4; Wg = 0,088d3;
ig = 0,223d
Эллипс
„ л , , nab3 , па3Ь
F^^ab- h = h =
™ _ nab2 na2b . b
32 ’ 32 ’ l° ~ TS
a
iz^~
Сечение железнодорожного рельса (формулы прибли-
женные)
F« 0,238ft3; zH=s 0,5ft; Jy 0,032ft4;
Wy^s 0,064ft3; iy = 0,37ft
Сечения стандартных прокатных профилей (формулы
приближенные):
™ _ (71-4-2)3
двутавр Wgf=i ——д-р— ;
_ (^ + 5)»
швеллер wy
264
Таблица 2. Сортамент прокатной стали
Уголки равнобокие (по ГОСТ 8509—72*)
Ла профиля Размеры, мм Площадь профи- ля, см2 Вес 1 м, кг Справочные величнвнг для осей
X — X Хо — Уо — Уо S и г?
ь d J х, см4 я и •»U ^хомакс» см4 *хомакс’ см ^С/еМИН’ см4 ^(/0МИН» см о ч
2 20 3 1,13 0,89 0,40 0,59 0,63 0,75 0,17 0,39 0,81 0,60
4 1,46 0,15 0,50 0,58 0,78 0,73 0,22 0,38 1,09 0,64
2,5 25 3 1,43 1.12 0,81 0,75 1,29 0,95 0,34 0,49 1,57 0,73
4 1,86 1,46 1,03 0,74 1,62 0,93 0,44 0,48 2,11 0,76
2,8 28 з 1,62 1,27 1,16 0,85 1,84 1,07 0,48 0,55 2,20 0,80
3,2 32 3 1,86 1,46 1,77 0,97 2,80 1,23 0,74 0,63 3,26 0,89
4 2,43 1,91 2,26 0,96 3,58 1,21 0,94 0,62 4,39 0,94
3,0 36 3 2,10 1,65 2,56 1,10 4,06 1,39 1,06 0,71 4,64 0,99
4 2,75 2,16 3,29 1,09 5,21 1,38 1,36 0,70 6,24 1,04
4 40 3 2,35 1,85 3,55 1,23 5,63 1,55 1,47 0,79 6,35 1,09
4 3,08 2,42 4,58 1,22 7,26 1,53 1,90 0,78 8,53 1,13
5 3,79 2,97 5,53 1,20 8,75 1,54 2,30 0,79 10,73 1,17
4,5 45 3 2,65 2,08 5,13 1,39 8,13 1,75 2,12 0,89 9,04 1,21
4 3,48 2,73 6,63 1,38 10,5 1.74 2,74 0,89 12,1 1,26
5 4,29 3,37 8,03 1,37 12,7 1,72 3,33 0,88 15,3 1,30
5 50 3 2,96 2,32 7,11 1,55 11,3 1,95 2,95 1,00 12,4 1,33
4 3,89 3,05 9,21 1,54 14,6 1,94 3,80 0,99 16,6 1,38
5 4,30 3,77 11,2 1,53 17,8 1,92 4,63 0,98 20,9 1,42
5,6 56 4 4,38 3,44 13,1 1,73 20,8 2,18 5,41 1,11 23,3 1,52
э 5,41 4,25 16,0 1,72 25,4 2,16 6,59 1,10 29,2 1,57
6,3 63 4 4,96 3,90 18,9 1,95 29,9 2,45 7,81 1,25 33,1 1,69
5 6,13 4,81 23,1 1,94 36,6 2,44 9,52 1,25 41,5 1,74
6 7,28 5,72 27,1 1,93 42,9 2,43 11,2 1,24 50,0 1,78
7 70 4,5 6,20 4,87 29,0 2,16 46,0 2,72 12,0 1,39 51,0 1,88
5 6,86 5,38 31,9 2,16 50,7 2,72 13,2 1,39 56,7 1,90
6 8,15 6,39 37,6 2,15 59,6 2,71 15,5 1,38 68,4 1,94
7 9,42 7,39 43,0 2,14 68,2 2,69 17,8 1,37 80,1 1,99
8 10,7 8,37 48,21 2,13 76,4 2,68 20,0 1,37 91,9 2,02
265
Продолжение табл. 2
№ профиля Размеры, мм Площадь профи- ля, см2 Вес 1 м, кг Справочные величины для осей
X — X Xq — Xq Уо —Уо xt — xt В о N
ь d S о S и Jh о GJ >?2 *хомакс» см см4 '//„МИИ- СМ 3 н
7,5 75 5 7,39 5,80 39,5 2,31 62,6 2,91 16,4 1,49 69,6 2,02
6 8,78 6,89 46,6 2,30 73,9 2,90 ' 19,3 1,48 83,9 2,06
7 10,1 7,96 53,3 2,29 84,6 2,89 22,1 - 1,48 98,3 2,10
8 11,5 9,02 59,8 2,28 94,6 2,87 24,8 1,47 113 2,15
9 12,8 10,1 66,1 2,27 105 2,86 27,5 1,46 127 2,18
8 80 5,5 8,63 6,78 52,7 2,47 83,6 3,11 21,8 1,59 93,2 2,17
6 9,38 7,36 57,0 2,47 90,4 3,11 23,5 1,58 102 2,19
7 10,8 8,51 65,3 2,45 104 3,09 27,0 1,58 119 2,23
8 12,3 9,65 73,4 2,44 116 3,08 30,3 1,57 137 2,27
9 90 6 10,6 8,83 82,1 2,78 130 3,50 34,0 1,79 145 2,43
7 12,3 9,64 94,3 2,77 150 3,49 38,9 1,78 169 2,47
8 13,9 10,9 106 2,76 168 3,48 43,8 1,77 194 2,51
9 15,6 15,2 118 2,75 186 3,46 48,6 1,77 219 2,55
10 100 6,5 12,8 10,1 122 3,09 193 3,88 50,7 1,99 214 2,68
7 13,8 10,8 131 3,08 207 3,88 54,2 1,98 231 2,71
8 15,6 12,2 147 3,07 233 3,87 60,9 1,98 265 2,75
10 19,2 15,1 179 3,05 284 3,84 74,1 1,96 333 2,83
12 22,8 17,9 209 3,03 331 3,81 86,9 1,95 402 2,91
14 26,3 20,6 237 3,00 375 3,78 99,3 1,94 472 2,99
16 29,7 23,3 264 2,98 416 3,74 112 1,94 542 3,06
11 ПО 7 15,2 11,9 176 3,40 279 4,29 72,7 2,19 308 2,96
8 17,2 13,5 198 3,39 315 4,28 81,8 2,18 353 3,00
i2,5 25 8 19,7 15,5 294 3,87 467 4,87 122 2,49 516 3,36
9 22,0 17,3 327 3,86 520 4,86 135 2,48 582 3,40
10 24,3 19,1 360 3,85 571 4,84 149 2,47 649 3,45
12 28,9 22,7 422 3,82 670 4,82 174 2,46 782 3,53
14 33,4 26,2 482 3,80 764 4,78 200 2,45 916 3,61
16 37,8 29,6 539 3,78 853 4,75 224 2,44 1051 3,68
14 140 9 24,7 1'9,4 466 4,34 739 5,47 192 2,79 818 3,78
10 27,3 21,5 512 4,33 814 5,46 211 2,78 911 3,82
12 32,5 25,5 602 4,31 957 5,43 248 2,76 1097 3,90
16 160 10 31,4 24,7 774 4,96 1229 6,25 319 3,19 1356 4,30
11 34,4 27,0 844 4,95 1341 6,24 348 3,18 1494 4,35
12 37,4 29,4 913 4,94 1450 6,23 376 3,17 1633 4,39
14 43,3 34,0 1046 4,92 1622 6,20 431 3,16 1911 4,47
16 49,1 38,5 1175 4,89 1866 6,17 485 3,14 2191 4,55
18 54,8 43,0 1299 4,87 2061 6,13 537 3,13 2472 4,63
20 60,4 47,4 1419 4,85 2248 6,10 589 3,12 2756 4,70
18 180 11 38,8 30,5 1216 5,60 1933 7,06 500 3,59 2128 4,85
12 42,2 33,1 1317 5,59 2093 7,04 540 3,58 2324 4,89
20 200 12 47,1 37,0 1823 6,22 2896 7,84 749 3,99 3182 5,37
13 50,9 39,9 1961 6,21 3116 7,83 805 3,98 3452 5,42
14 54,6 42,8 2097 6,20 3333 7,81 861 3,97 3722 5,46
16 62,0 48,7 2363 6,17 3755 7,78 780 3,96 4264 5,54
20 76,5 60,1 2871 6,12 4560 7,72 1182 3,93 5355 5,70
25 94,3 74,0 3466 6,06 5494 7,63 1438 3,91 6733 5,89
30 115,5 87,6 4020 6,00 6351 7,55 1688 3,89 8130 6,07
266
Продолжение табл. 2
№ профиля Размеры, мм Площадь профи- ля, ем2 Вес 1 м, кр Справочные величины для осей
X — X ^0 “ ^0 Уч ~ Уа *1 — Х1 S и
ь d ’з ИО ,Х3 Самаке» см1. гхомакс’ см S3 S S о* Я о см 3
22 220 14 ; 60,4 47,4 2814 6,83 4470 8,60 1150 4,38 4941 5,93
16 68,6 53,8 3175 6,81 5045 8,58 1306 4,36 5661 6,02
25 250 16 78,4 61,5 4717 7,76 7492 9,78 1942 4,98 8286 6,75
18 87,7 68,9 5247 7,73 8337 9,75 ' 2158 4,96 9342 6,83
20 97,0 76,1 5765 7,71 9160 9,72 2370 4,94 10 401 6,91
22 106,1 83,3 6270 7,69 9961 9,69 2579 4,93 11464 7,00
25 119,7 94,0 7006 7,65 11 125 9,64 2887 4,91 13 064 7,11
28 133,1 104,5 7717 7,61 12 244 9,59 3190 4,89 14 674 7,23
30 142,0 111,4 8177 7,59 12 965 9,56 3389 4,89 15 753 7,31
Уголки неравнобокие (по
ГОСТ 8510—72*)
№ профиля Размеры, мм Площадь профиля, см3 Вес 1 м, кг Справочные величины для осей
X — X У — У Xt — xt У1 — У1
В b d S и ц , S 1 о Jh S и S и Jx , CM1 Расстояние от центра тяжести | СМ 1 S о § S а» Расстояние от центра тяжести хе, см
2,5/1,6 25 16 3 1,16 0,91 0,70 0,78 0,22 0,44 ‘ 1,56 0,86 0,43 0,42
3,2/2 32 20 3 1,49 1,17 1,52 1,01 0,46 0,55 3,?6 1,08 0,82 0,49
4 1,94 1,52 1,93 1,00 0,57 0,54 4,38 1,12 1.12 0,53
4/2,5 40 25 3 1,89 1,48 3,06 1,2.7 0,93 0,70 6,37 1,32 1,58 0,59
4 2,47 1,94 3,93 1,26 1,18 0,69 8,53 1.37 2,15 0,63
4,5/2,8 45 28 3 2,14 1,68 4,41 1,43 1,32 0,79 9,02 1,47 2,20 0,64
4 2,80 2,20 5,68 1,42 1,69 0,78 12,1 1,51 2,98 0,68
5/3,2 50 32 3 2,42 1,90 6,17 1,60 1,99 0,91 12,4 1,60 3,26 0,72
4 3,17 2,49 7,98 1,59 2,56 0,90 16,6 1,65 4,42 0,76
5,6/3,6 56 36 4 3,58 2,81 11,4 1.78 3,70 1,02 23,2 1,82 6,25 0,84
5 4,41 3,46 13,8 1,77 4,48 1,01 29,2 1,86 7,91 0,88
267
Продолжение табл. 2
1 № профиля Размеры, мм I Площадь профиля, см* 1 . Вес 1 м, кг Справочные величины для осей
X — X У — У хл — xi У1 — У1
В b d Jx, см* § S О =s> s о Р асстояиие от центра тяжести Уч, ™ МИН’ см4 Расстояние от центра тяжести Хав СМ
6,3/4,0 63 40 4 4,04 3,17 16,3 2,01 5,16 1,13 33,0 2,03 8,51 0,91
5 4,98 3,91 19,9 2,00 6,26 1,12 41,4 2,08 10,8 0,95
6 5,90 4,63 23,3 1,99 7,28 1,11 49,9 2,12 13,1 0,99
8 7,68 6,03 29,6 1,96 9,15 1,09 66,9 2,20 17,9 1,07
7/4,5 70 45 5 5,59 4,39 27,8- 2,23 9,05 1,27 56,7 2,28 15,2 1,05
7,5/5 75 50 5 6,11 4,79 34,8 2,39 12,5 1,43 69,7 2,39 20,8 1,17
6 7,25 5,69 40,9 2,38 14,6 1,42 83,9 2,44 25,2 1,21
8 9,47 7,43 52,4 2,35 18,5 1,40 112 2,52 34,2 1,29
8/5 80 50 5 6,36 4,99 41,6 2,56 '12,7 1,41 84,6 2,6 20,8 1,13
6 7,55 5,92 49,0 2,55 14,8 1,40 102 2.65 25,2 1,17
9/5,6 90 56 5,5 7,86 6,17 65,3 2,88 19,7 1,58 132 2,92 32,2 1,26
6 8,54 6,70 70,6 2,88 21,2 1,58 145 2,95 35,2 1,28
8 11,18 8,77 90,9 2,85 27,1 1,56 194 3,04 47,8 1,36
10/6,3 100 63 6 9,59 7,53 98,3 3,2 30,6 1,79 198 3,23 49,9 1,42
7 ПЛ 8,70 113 3,19 35,0 1,79 232 3,28 58,7 1,46
8 12,6 9,87 127 3,18 39,2 1,77 266 3,32 67,6 1,50
10 15,5 12,1 154 3,15 47,1 1,75 333 3,40 85,8 1,58
11/7 ПО 70 6,5 11,4 8,98 142 3,53 45,6 2 286 3,55 74,3 1,58
8 13,9 10,0 172 3,51 54,6 1,98 353 3,61 92,3 1,64
12,5/8 125 80 7 14,1 И 227 4,01 73,7 2,29 452 4,01 119 1,8
8 16 12,5 256 4 83,0 2,28 518 4,05 137 1,84
10 19,7 15,5 312 3,98 100 2,26 649 4,14 173 1,92
12 23,4 18,3 365 3,95 1 117 2,24 781 4,22 210 2
14/9 140 90 8 18 14,1 364 4,49 120 2,58 727 4,49 194 2,03
10 22,2 17,5 444 4,47 146 2,56 911 4,58 245 2,12
16/10 160 100 9 22,9 18 606 5,15 186 2,85 1221 5,19 300 2,23
10 25,3 19,8 667 5,13 204 2,84 1359 5,23 335 2,28
12 30 23,6 784 5,11 239 2,82 1634 5,32 405 2,36
14 34,7 27,3 897 5,08 272 2,8 1910 5,40 477 2,43
18/11 180 110 10 28,3 22,2 952 5,8 276 3,12 1933 5,88 444 2,44
12 33,7 26,4 1123 5,77 324 3,1 2324 . 5,97 537 2,52
20/12,5 200 125 11 34,9 27,4 1449 6,45 446 3,58 2920 6,5 718 2,79
12 37,9 29,7 1568 6,43 482 3,57 3189 6,54 786 2,83
14 43,9 34,4 1801 6,41 551 3,54 3726 6,62 922 2,91
16 49,8 39,1 2026 6,38 617 3,52 4264 6,71 1061 2,99
25/16 250 165 12 48,3 37,9 3147 8,07 1032 4,62 6212 7,97 1634 3,53
16 63,6 49,9 4091 8,02 1333 4,58 8308 8,14 2200 3,69
18 -71,1 55,8 4545 7,99 1475 4,56 9358 8,23 2487 3,77
20 78,5 61,7 4987 7,97 1613 4,53 10 410 8,31 2776 3,85
268
Продолжение табл. 2
Балки двутавровые (по ГОСТ 8239—72*)
ю
12
14
ю
18
18а
20
20а
22
22а
24
24а
27
27а
30
30а
33
36
40
45
50
55
60
9,46
11,5
13,7
15
18,4
19,9
21,0
22,7
24,0
25,8
27,3
29,4
31,5
33,9
36,5
39,2
42,2
48,6
57,0
66,5
78,5
96,2
108,0
Размеры, мм Площадь сечения, см2 Справочные величины для осей
h ь d t X — А У — У
и н W*. см8 § Jk s и R V) jy, Л S и Ьл S и
100 55 4,5 7,2 12,0 198 39,7 4,06 23,0 17,9 6,49 1,22
120 64 4,8 7,3 14,7 350 58,4 4,88 33,7 27,9 8,72 1,38
140 73 4,9 7,5 17,4 572 81,7 5,73 46,8 41,9 11,5 1,55
160 81 5,0 7,8 20,2 873 109 6,57 62,3 58,6 14,5 1,70
180 90 5,1 8.1 23,4 1290 143 7,42 81,4 82,6 18,4 1,88
180 100 5,1 8,3 25,4 1430 159 7,51 89,8 114 22,8 2,12
200 100 5,2 8,4 26,8 1840 184 8,28 104 115 23,1 2,07
200 110 5^2 8,6 28,9 2030 203 8,37 114 155 28,2 2.32
220 ПО 5,4 8,7 30,6 2550 232 9,13 131 157 28,6 2,27
220 120 5,4 8,9 32,8 2790 254 9,22 143 206 34,3 2,50
240 115 5,6 9,5 34,8 3460 289 9,97 163 198 34,5 2,37
240 125 5,6 9,8 37,5 3800 317 10,1 1^8 260 41,6 2,63
270 125 6,0 9,8 40,2 5010 371 11,2 210 260 41,5 2,54
270 135 6,0 10,2 43,2 5500 407 11,3 229 337 50,0 2,80
300 135 6,5 10,2 46,5 7080 472 12,3 268 337 49,9 2,69
300 145 6,5 10,7 49,9 7780 518 12,5 292 436 60,1 2,95
330 140 7,0 11,2 53,8 9840 597 13,5 339 419 59,9 2,76
360 145 7,5 12,3 61.9 13 380 743 14,7 423 516 71,1 2,89
400 155 8,3 13,0 72,6 19 062 953 16,2 545 667 86,1 3,03
450 160 9,0 14,2 84,7 27 696 1231 18,1 708 808 101,0 3,00
500 170 10,0 15,2 100 39 727 1589 19,9 919 1043 123,0 3,23
550 180 11,0 16,5 118 55 962 2035 21,8 1181 1356 151,0 3,39
600 190 12,0 17,8 138 75 806 2560 23,6 1491 1725 182,0 3,54
Продолжение табл. 2
269
Продолжение табл. 2
№ профиля Размеры, мм Площадь сече- ния, см2 Вес 1 м, кр Справочные величины для осей
h. 6 d t X — X У —У
§ S о Н В* S о о со 1 Jy, СМ* Wy, см’ § J3J
24Б 240 140 5,0 6,0 28,2 22,1 2790 233 9,95 131 275 39,2 3,12
24Б. 241 140 5,0 6,8 30,4 23,9 3120 258 10,1 144 311 44,5 3,20
24Б2 242 140,5 7,0 32,2 25,3 3260 269 10,1 151 324 46,1 3,17
27Б 270 150 5,2 6,4 32,6 25,6 4070 302 11,2 170 360 48,0 3,33
27Б, 271,6 150 5,2 7,2 35,0 27,5 4510 332 11,4 186 405 54,0 3,40
27Б2 273,4 150,3 5,5 8,1 38,5 30,2 5070 371 11,5 207 459 61,1 3,45
ЗОБ 300 160 5,5 6,8 37,5 29,4 5750 384 12,4 216 465 58,1 3,52
ЗОБ. 301,8 160 5,5 7,7 40,4 31,7 6410 425 12,6 238 526 65,8 3,61
зоб2 304,4 160,5 6,0 9,0 46,1 36,2 7480 491 12,7 275 621 77,3 3,67
ЗЗБ 330 170 6,0 7,2 43,4 34,1 7950 482 13,5 272 590 69,4 3,69
ЗЗБ. 332 170 6,0 ' 8,2 46,8 36,8 8880 535 13,8 300 672 79,1 3,79
36Б 360 180 6,5 7,8 50,5 39,6 10 920 607 14,7 344 759 84,3 3,88
36Б. 362,4 180 6,5 9,0 54,8 43,0 12 330 681 15,0 383 876 97,3 4,00
36Б2 362,8 180 6,5 9,2 55,5 43,6 12 570 693 15,0 389 895 99,4 4,02
40Б 400 190 7,0 8,5 59,1 46,4 15 660 783 16,3 444 973 102 4,06
4 ОБ, 402,6 190 7,0 9,8 64,1 50,3 17 650 877 16,6 494 1120 118 4,18
40Ба 404 190 7,0 10,5 66,7 52,4 18 730 927 16,8 521 1200 127 4,24
45Б 450 195 7,7 9,4 69,9 54,8 22 940 1020 18,1 583 1160 119 4,08
45Б, 453,2 195 7,7 11,0 76,1 59,7 26 120 1150 18,5 653 1360 140 4,23
45Б? 454,6 195,3 8,0 11,7 80,2 63,0 27 760 1220 18,6 692 1450 149 4,25
50Б 500 205 8,5 10,2 82,6 64,8 32 900 1320 20,0 757 1470 143 4,21
50Б. 503,6 205 8,5 12,0 90,0 70,6 37 550 1490 20,4 849 1730 168 4,38
50Б2 506,6 205 8,5 13,5 96,1 75,5 41 470 1640 20,8 927 1940 189 4,49
55Б 550 220 9,0 11,4 97,6 76,6 47 370 1720 22,0 988 2030 184 4,56
55Б, 554 220 9,0 13,4 106 83,5 54 080 1950 22,5 1110 2380 216 4,73
55Б2 557,2 220,3 9,3 15,0 115 90,4 59 940 2150 22,8 1220 2680 243 4,82
60Б 600 235 10,0 12,4 116 90,9 66 170 2210 23,9 1270 2690 229 4,82
60Б, 604,4 235 10,0 17,0 137 108 85 930 2820 25,0 1600 3680 313 5,18
60Б2 609,2 235 10,0 17,0 137 108 85 930 2820 25,0 1600 3680 313 5,18
65Б 650 250 10,5 14,3 137 107 93 240 2870 26,1 1640 3730 298 5,22
65Б, 654,8 250 10,5 16,7 149 117 106 280 3250 26,7 1840 4360 348 5,41
65Б2 660,6 250,2 10,7 19,6 165 129 122 180 3700 27,2 2090 5120 410 5,58
70Б 700 275 11,0 16,0 161 127 130 270 3720 28,4 2120 5550 404 5,86
70Б, 705,6 275 11,0 18,8 177 139 149 290 4230 29,1 2390 6520 475 6,07
70Б2 711,6 275,5 11,5 21,8 197 155 171 500 4820 29,5 2710 7610 552 6,21
270
Продолжение табл. 2
Ns профиля Размеры, мм - Площадь сече- ния, см8 Вес 1 м, кг Справочные величины для осей
h Ь d 1 X — х У — У
•9 3 3 и ч 3 о * Ъ jy, СМ4 § а» Ж Sh
80Б 800 300 12,0 17,0 194 152 201 310 5030 32,2 2880 7660 511 6,29
80Б, 806,2 300 12,0 20,1 213 167 231 300 5740 33,0 3250 9060 604 6,53
80Б2 813 300,5 12,5 23,5 237 186 266 970 6570 33,6 3700 10 640 708 6,70
90Б 900 325 13,5 17,8 232 182 297 810 6620 35,8 3810 10 200 628 6,63
90Б, 906,8 325 13,5 21,2 254 200 342 900 7560 36,7 4310 12 150 748 6,91
90Б2 915 325,5 14,0 25,3 286 224 401 370 8770 37,5 4970 14 560 895 7,14
100Б 1000 350 14,5 20,0 279 219 443 090 8860 39,8 5100 14 320 818 7,16
100Б, 1009 350 14,5 24,5 311 244 522 550 10 360 41,0 5890 17 530 1000 7,51
100Бг 1010 400 15,0 25,0 344 270 595 810 11 800 41,6 6650 26 690 1330 8,81
100Б, 1017 401 16,0 28,5 382 300 676 480 13 300 42,1 7490 30 660 1530 8,96
100Б4 1023,6 402,5 17,5 31,8 424 333 758 760 14 830 42,3 8360 34 600 1720 9,03
100Бб 1031 404 19,0 35,5 469 368 851 050 16 510 42,6 9330 39 070 1930 9,12
100Б, 1039 406 21,0 39,5 522 410 956290 18410 42,8 10 430 44 130 2170 9,19
100Б, 1047,6 408 23,0 43,8 578 454 1 070 370 20 440 43,0 11 620 49 680 2440 9,27
Колонные профили легкие
27Л 275,6 220 6,0 9,2 55,9 43,9 8040 583 12,0 319 1630 148 5,40
27 Л, 278,4 220 6,0 10,6 62,1 48,7 9220 622 12,2 362 1880 171 5,51
27Л2 281 220,5 6,5 11,9 69,'2 54,3 10 430 742 12,3 407 2130 193 5,54
ззл 336,8 260 7,0 10,6 77,2 60,6 16 500 980 14,6 537 3110 239 6,34
ззл, 340 260 7,0 12,2 85,5 67,1 18 800 1110 14,9 607 3580 275 6,47
34 343 260,5 7,5 13,7 95,1 74,6 21 330 1240 15,0 681 4040 310 6,52
40Л 408 300 8,0 12,5 106 82,9 33 080 1620 17,7 888 5630 375 7,30
40Л, 412 300 8,0 14,5 118 92,3 38 130 1850 18,0 1010 6530 435 7,45
40Л2 415,2 300,8 8,8 16,1 131 102 42 710 2060 18,1 ИЗО 7310 486 7,48
50Л 508,6 340 9,7 14,5 145 114 69 ПО 2720 21,8 1500 9500 559 8,09
50Л, 513,4 340 9,7 16,9 161 127 79 770 3110 32,2 1710 11 070 651 8,28
50 Л 2 517,6 340,6 10,3 19,0 179 140 89 950 3480 22,4 1910 12 520 735 8,37
60Л 608,6 400 11,4 16,7 199 156 135 130 4440 26,0 2450 17 820 891 9,46
60Л, 613,8 400 11,4 19,3 220 173 154 550 5040 26,5 2770 20 590 1030 9,68
60Л2 618,6 400,6 12,0 21,7 243 191 173 960 5620 26,8 3090 23 260 1160 9,79
70Л 711,6 420 13,0 21,8 270 212 250 200 7030 30,4 3880 26 930 1280 10,0
70Л, 718,4 420,3 13,3 25,2 301 236 287 620 8010 30,9 4410 31 200 1490 10,2
70Л2 724,0 421,8 14,8 28,0 335 263 322 980 8920 31,0 4940 35 040 1660 10,2
Колонные профили тяжелые
20Т 203 200 6 8,8 46,3 36,4
20Т, 205,4 200,5 6,5 10,0 52,2 40,9
20Т2 208 201 7 11,3 58,4 45,9
3640
4180
4770
359
407
459
8,86
8,95
9,04
197
224
253
1170
1340
1530
117
134
152
5,03
5,08
5,12
271
Продолжение табл, 2
| № профиля Размеры, мм Площадь сече- ния, см2 Вес 1 м, кг I Справочные величины для осей
ft Ь d t X — X У — У
g ц еиэ ,х41 см СО 8 о * со и иэ
24Т 249 240 6,5 10,5 65,2 51,2 7810 628 10,9 343 2420 202 6,09
24Т. 252 240,5 7 12 73,7 57,8 9010 715 11,1 392 2780 231 6,15
24Т2 255 241 7,5 13,5 82,2 64,5 10 240 803 11,2 442 3150 261 6,19
24Т3 258 241,5 3 15 90,7 71,2 11 500 891 11,3 492 3520 292 6,23
зот 312,4 300 8 13 101 79,2 19 060 1220 13,7 666 5850 390 7,61
зот, 315,4 301 9 14,5 113 88,8 21 540 1370 13,8 749 6590 438 7,64
зот2 318,4 302 10 16 125 98,3 24 070 1510 13,9 833 7350 487 7,66
ЗОТ3 322,4 303 11 18 141 ПО 27 450 1700 14,0 943 8350 551 7,71
зот4 326,4 304 12 20 156 122 30 930 1900 14,1 1050 9370 616 7,75
40Т 417 400 10 17 174 137 59 120 2840 18,4 1540 18 140 907 10,2
4 ОТ, 421 401 11 19 195 153 66 760 3170 18,5 1730 20 420 1020 10,3
40Та 425 402 12 21 215 169 74 570 3510 18,5 1930 22 740 ИЗО 10,3
40Т3 429 404 14 23 239 188 83 220 3880 18,6 2140 25 290 1250 10,3
ТОТ, 433 406 16 25 264 207 92 080 4250 18,7 2360 27 900 1370 10,3
40Т„ 441 406,5 16,5 29 299 235 107 940 4900 19,0 2730 32 480 1600 10,4
40Т„ 449 408 18 33 338 265 125 170 5580 19,2 3130 37 370 1830 10,5
40Т, 457 410 20 37 380 298 143 510 6280 19,4 3550 42 530 2070 10,6
4ОТв 465 412 22 41 422 331 162 610 6990 19,6 3980 47 820 2320 10,6
40Т„ 475 415 25 46 478 375 188 050 7920 19,8 4550 54 850 2640 10,7
40Т1о 489 400 28 53 531 417 215 600 8820 20,1 5140 56 600 2830 10,3
40Т„ 501 403 31 59 594 466 248 150 9910 20,4 5820 64 460 3200 10,4
4ОТ1а 513 407 35 65 663 521 283 730 11 060 20,7 6570 73 170 3600 10,5
40Т,3 527 412 40 72 746 586 328 350 12 460 21,0 7480 84 130 4080 10,6
4 ОТ " 541 417 45 79 831 652 376 070 13 900 21,3 8440 95 770 4590 10,7
Продолжение табл, 2
Швеллеры (по ГОСТ 8240—72*)
№ профиля Вес 1 м, кг Размеры, мм Площадь сече- ния, см2 Справочные величины для осей
ft Ь d t х — X У — у 3,
2 о Ц Я и £ h § о £ Ъ S и § ь 2 и
5 4,84 50 32 4,4 7,0 6,16 22,8 9,10 1,92 5,59 5,61 2,75 0,954 1,16
6,5 5,90 65 36 4,4 7,2 7,51 48,6 15,0 2,54 9,00 8,70 3,68 1,08 1,24
8 7,05 80 40 4,5 7,4 8,98 89,4 22,4 3,16 13,3 12,8 4,75 1,19 1,31
10 8,59 100 46 4,5 7,6 10,9 174 34,8 3,99 20,4 20,4 6,46 1,37 1,44
12 10,4 120 52 4,8 7,8 13,3 304 50,6 4,78 29,6 31,2 8,52 1,53 1,54
14 12,3 140 58 4,9 8,1 15,6 491 70,2 5,60 40,8 45,4 11,0 1,70 1,67
272
Продолжение табл. 2
№ профиля Вес 1 м, кг Размеры, мм Площадь сече- ния, см2 Справочные величины для осей
h b d t X — X У — У 5 е
S О 3 *?• S и >5 s * со 5 Si 3 и
14а 13,3 140 62 4,9 8,7 17,0 545 77,8 5,66 45,1 57,5 13,3 1,84 1,87
16 14,2 160 64 5,0 8,4 18,1 747 93,4 6,42 54,1 63,3 13,8 1.87 1,8
16а 15,3 160 68 5,0 9,0 19,5 823 103 6,49 59,4 79,9 16,4 2,01 2,0
18 16,3 180 70 5,1 8,7 20,7 1090 121 7,24 69,8 86,0 17,0 2,04 1,9
18а 17,4 180 74 5,1 9,3 22,2 1190 132 7,32 76,1 105 20,0 2,18 2,1
20 18,4 200 76 5,2 9,0 23,4 1520 152 8,07 87,8 из 20,5 2,20 2.0
20а 19,8 200 80 5,2 9,7 25,2 1670 167 8,15 95,9 139 24,2 2,35 2,21
22 21,0 220 82 5,4 9,5 26,7 2110 192 8,89 ПО 151 25,1 2,37 2.2
22а 22,6 220 87 5,4 10,2 28,8 2330 212 8,99 121 187 30,0 2,55 8,46
24 24,0 240 90 5,6 10,0 30,6 2900 242 9,73 139 208 31,6 2,60 2,42
24а 25,8 240 95 5,6 10,7 32,9 3180 265 9,84 151 254 37,2 2,78 2,67
27 27,7 270 95 6,0 10,5 35,2 4160 308 10,9 178 262 37,3 2,73 2.47
30 31,8 300 100 6,5 11,0 40,5 5810 387 12,0 224 327 43,6 2,84 2,52
33 36,5 330 105 7,0 11,7 46,5 7980 484 13,1 281 410 51,8 2,97 2,59
36 41,9 360 110 7,5 12,6 53,4 10 820 601 14,2 350 513 61,7 3,10 2,68
40 48,3 400 115 8,0 13,5 61,5 15 220 761 15,7 444 642 73,4 3,23 2,75
Приложение 2
СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ
В измерениях всех механических величин есть три основные единицы, через
Которые выражаются все прочие,— производные единицы.
До 1961 года в расчетах на прочность применялись три системы измерений,
которые, в зависимости от основных единиц, назывались: МКС (метр — кило-
грамм— секунда); СГС (сантиметр-—грамм-—секунда); МКГСС или техническая
(метр — килограмм — сила — секунда).
В системах МКС и СГС основными являются единицы длины (L), массы (М)
и времени (Т), а в системе МКГСС — единицы длины (L), силы (F) и времени (Т).
Важнейшие внесистемные механические единицы — масса (тонна), сила (тон-
на-сила), работа и энергия (джоуль, ватт-.час), мощность (лошадиная сила,
ватт), давление — техническое напряжение (кг/см2).
В 1961 г. Совет Министров СССР утвердил Международную систему единиц
измерения СИ (система интернациональная) для предпочтительного применения
во всех отраслях техники и промышленности и при преподавании (ГОСТ 9867-61),
Механические единицы измерения системы СИ
Наименование величин Единица измерения Сокращенное обозначение
русское латинское
Длина Основные единицы метр М Т
Масса килограмм кг kg
Время секунда с S
Плоский угол | Дополнительные единицы радиан рад rad
Телесный угол | стерадиан стер str
273
Продолжение табл.
Наименование величин Единица измерения Сокращенное обозначение русское | латинское
П роивводные единицы
Площадь квадратный метр м2 т2
Объем кубический метр м3 т3
Статический момент и мо- то же М3 т3
мент сопротивления, плос-
кого сечения
Момент инерции плоского метр в четвертой степени м4 т4
сечения
Плотность килограмм на кубический кг/м3 kg/m3
метр
Скорость метр в секунду м/с m/s
Угловая скорость радиан в секунду рад/с rad/s
Ускорение метр на секунду в квадрате м/с2 m/s2
Угловое ускорение радиан на секунду в квадра- рад/с2 rad/s2
те
Сила ньютон Н N
Момент силы ньютон-метр Н-м N-m
Напряжение (механиче- паскаль (Н/м2) Па Pa
ское давление)
Работа, энергия джоуль Дж J
Мощность ватт Вт W
Удельный вес ньютон на кубический метр . Н/м3 N/m3
Момент инерции (динами- килограмм-метр в квадрате кг • м2 kg m2
ческий)
Частота герц Гц Hz
Кратные и дольные единицы измерения образуются умножением основной или
производной единицы на десять в положительной или отрицательной степени.
Наименование кратных и дольных единиц образуется путем прибавления при-
ставок к наименованиям исходных единиц.
Наиболее употребительные приставки
Приставка Сокращенное обозначение Множитель Приставка Сокращенное обозначение Множитель
Mera М 10е Деци Д IO-1
Кило к 103 Сайта С 10-2
Гекто г ю2 Милли и 10-3
Дека да 10х Микро мк 10-6
Не допускается применение двух приставок к простому наименованию единицы
например мегакнлоньютон. Нельзя применять приставки к наименованиям таких’
единиц, которые обозначают кратную или дольную единицу, например к тонне, к
центнеру.
274
Единицы измерения физических величин в разных системах
Величина Единица и ее обозначение Соотношение единиц
по действующим СНиП в системе СИ
Сила, нагрузка, вес килограмм-сила (кгс) тонна-сила (тс) НЬЮТОН (Н) килоньютон(кН) 1 кгс = 9,8 Н да да 10 Н 1 тсда 10 000 Н
Линейная нагрузка, позерхностная на- грузка килограмм-сила на метр (кгс/м), тонна-сила на метр (тс/с), килограмм-сила на квадратный метр (кгс/м2), тонна-сила на квадратный метр (тс/м2) ньютон на метр (Н/м), килоньютон на метр (кН/м), ньютон на квад- ратный метр (Н/м2), килоньютон на квадратный метр (кН/м2) 1 кгс/м да 10 Н/м 1 тс/м да 10 кН/м 1 кгс/м2 да 10 Н/м2 1 тс/м2 да 10 кН/м2
Напряжение, дав- ление, модуль упру- гости килограмм-сила на квадратный милли- метр (кгс/мм2), килограмм-сила на квадратный санти- метр (кгс/см2), тонна-сила иа ' квадратный метр (тс/м2) паскаль (Па) (Ша да 0,1 милли- метра водного столба), мегапаскаль (МПа) 1 кгс/мм2 да да 107 Па — 10 МПа 1 кгс/см2 да да 10» Па = — 0,1 МПа 1 тс/м2 да 10е Па — = 1 МПа
Момент силы килограмм-сила- метр (кгс-м), тонна-сила-метр (тс-м) ньютон-метр (Н-м), килоньютон-метр (кН м) 1 кгс-м да 10 Н-м 1 тс-мда 10 кН-м
В настоящем справочнике принята международная система единиц измерения
(СИ). Наряду с СИ используется (обычно в скобках) и система, которая была рекомен-
дована СНиПом для расчета строительных конструкций и в настоящее время еще
иногда применяется. В этой системе масса имеет размерность кг, т; сила — кгс, тс;
момент силы — кгс • м, кгс—см, тс—м; линейная нагрузка — кгс/м, кгс/см, тс/и;
поверхностная нагрузка, давление, напряжение в материале и модуль упругости —
кгс/см2, кгс/мм2 или тс/м2.
Здесь отождествляются по размерности напряжение в материале и поверхност-
ная нагрузка; не учитывается изменение ускорения свободного падения в зависимос-
ти от географических координат данного района.
В ближайшем будущем предусматривается окончательный переход на единицы
измерений СИ.
275
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Анурьев В. И. Справочник конструктора-машиностроителя. М. : Машино-
строение, 1979, т. 1.— 728 с; т. 2,— 560 с.
2. Арутюнян Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести. М. : Гостехиздат,
1953.— 280 с.
3. Байков В. Н., Сигалов Э. Е. Железобетонные конструкции. М. : Строийздат,
1976.— 364 с.
4. Безухов И. И. Теория сопротивления материалов. М. : Изд-во Воен.-арт.
акад., 1959, ч. 1.— 360; ч. 2,— 324 с.
5. Беляев Н. М. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. М. : Гос-
техиздат, 1952.— 336 с.
6. Беляев И. М. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1976.— 608 с.
7. Бернштейн С. А. Сопротивление материалов. М. : Изд-во акад. БТМВ,
1955.— 630 с.
8. Биргер М. А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести.—
Механика и машиностроение. М. : Изд-во АН СССР, 1965, № 2, с. 15—20.
9. Виноградов А. И., Дорошенко О. П. Исследования оптимальных систем.—
Прикл. механика. Киев : Изд-во АН УССР, 1967, т. 3, вып. 12, с. 1—9.
10. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. М : Физматгиз, 1959.— 566 с.
11. Влияние облучения на материалы и элементы электронных схем: Пер. с
англ. / Под ред. В. Н. Быкова, С. П. Соловьева. М. : Атомиздат, 1977.— 160 с.
12. Глушков Г. С., Синдеев В. А. Курс сопротивления материалов. М. : Высш,
школа, 1965.— 768 с.
13. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М. : Высш, школа,
1975.— 742 с.
14. Динник А. Н. Устойчивость упругих систем.— Избр. тр. М. : Изд-во
АН УССР, 1956, т. 3, с. 5—70.
15. Ильюшин А. А. Пластичность. М. : Изд-во АН СССР, 1963.— 376 с.
16. Даманов Л. М. Теория ползучести. М. : Физматгиз, I960.— 324 с.
17. Лейтес С. Д. Устойчивость сжатых стальных стержней. М. : Стройиздат,
1954,— 260 с.
18. Металлические конструкции / Под общ. ред. Е. И. Белеия. М. : Стройиздат,
1976.— 380 с.
19. Металлы. Методы механических и технологических испытаний. М. : Строй-
издат, 1970.— 303 с.
20. Методы испытания, контроля и исследования машиностроительных мате-
риалов. М. : Машиностроение, 1974.— 200 с.
21. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М. : Изд-во иностр, лит.,
1954,— 120 с.
22. Некоторые вопросы усталостной прочности стали / Под ред. Н. Н. Дави-
денкова. М. : Машгиз, 1953, с. 1—40.
23. Никифоров С. Н. Сопротивление материалов. М. : Высш, школа, 1966.—
360 с.
24. Пашков П. О. Пластичность и разрушение металлов. М. : Судпромгиз,
1950.- 280 с.
25. Писаренко Г. С. Сопротивление материалов. Киев : Вища школа, 1977.—
665 с.
276
26. Проектирование и испытание конструкций. Л. : Изд-во Ленингр. ВИА
им. Можайского, 1970.— 180 с.
27. Работное Ю, Н. Ползучесть элементов конструкций. М. : Наука, 1966.—
270 с.
28. Работное Ю. Н. Сопротивление материалов. М. : Физматгиз, 1962.— 420 с.
29. Радциг Ю. А. Статически неопределимые фермы наименьшего веса. Казань :
Изд. Каз. ун-та, 1969.— 260 с.
30. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. М. : Стройиздат, 1968.— 310 с.
31. Рудицын М. Н. Справочное пособие по сопротивлению материалов. Минск :
Вышэйш. школа, 1970.— 628 с.
32. Руководство по проектированию клееных и деревянных конструкций. М. :
Стройиздат, 1977.— 80 с.
33. Смирнов А. Ф. Сопротивление материалов. М. : Трансжелдориздат, 1961.—
540 с.
34. Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М. : Трансжелдор-
издат, 1958.— 216 с.
35. СНиП II-6-74. Нагрузки и воздействия. Нормы проектирования. М. : Строй-
издат, 1976.— 60 с.
36. СНиП П-В. 3-72. Стальные конструкции. Нормы проектирования. М. :
Стройиздат, 1974.— 70 с.
37. СНиП П-А. 10-71. Строительные конструкции и основания. М. : Стройиздат,
1972.— 60 с.
38. Справочник конструктора. Стальные конструкции. / Под общ. ред.
Н. П. Мельникова. М. : Стройиздат, 1973.— 760 с.
39. Справочник металлиста. / Под ред. А. Г. Рихштадта, В. А. Брострема. М. :
Машиностроение, 1976, т. 2.— 530 с.
40. Справочник проектировщика. Металлические конструкции / Под ред.
Н. П. Мельникова М. : Стройиздат, 1980.— 776 с.
41. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. М. : Физматгиз, 1960, ч. 1.—
379 с.; ч. 2.— 406 с.
42. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М. : Гостехиздат, 1955.—
182 с.
43. Тихомиров Е. И. Курс сопротивления материалов. М. : Изд. ГИТТЛ, 1934.—
480 с.
44. Улицкий И. И. Железобетонные конструкции. Киев : Буд1вельник, 1972.—
992 с.
45. Урбан И. В. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций. М. :
Стройиздат, 1955.— 74 с.
46. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М. 1 Наука, 1974.— 552 с.
47. Филоненко-Бородич М. М. Курс сопротивления материалов. М. 1 Гостехиз-
дат, 1962, ч. 1.— 644 с.; 1966, ч. 2,— 539 с.
48. Фридман Я- Б. Механические свойства металлов. М. : Оборонгиз, 1952.—
410 с.
49. Шапошников Н. А. Механические испытания материалов. М. : Машгиз,
1954.— 290 с.
50. Ясинский Ф. С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней. М. ’
Гостехиздат, 1952.— 54 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Принятые обозначения . . ........................................... 3
Гла ва I. Общие сведения. Механические характеристики материалов .... 4
Основные понятия ........................................... 4
Упругие и механические характеристики материалов.............. 6
Методики расчета . ...................................... . 14
Расчет по допускаемым напряжениям ............................ 15
Методика расчета по предельным состояниям.................... 16
Глава 2. Растяжение и сжатие ..................................... 20
Внутренние усилия ........................................ . 20
Напряжения и деформации ...................................... 21
Расчеты на растяжение и сжатие ............................. 23
Статически неопределимые системы при растяжении и сжатии .... 24
Расчет по разрушающим нагрузкам ............................. 27
Учет собственного веса при растяжении и сжатии........... . 27
Расчет гибких нитей ..................................... , 30
Глава 3. Напряженное и деформированное состояние в точке упругого тела Зз
Нап ряженное состояние ........................................ 33
Основные понятия. Линейное напряженное состояние............. 33
Плоское напряженное состояние ............................... 34
Объемное напряженное состояние .............................. 37
Круги Мора ..................... ............................. 40
Деформации ....................................................... 40
Компоненты малой деформации .................................. 40
Зависимости между напряжениями и деформациями в пределах упру-
гости. Закон Гука .......................................... 42
Относительное изменение объема ......... ................... 43
Потенциальная энергия упругой деформации ..................... 44
Теории прочности ....................................... 45
Прикладные задачи ............................................... 48
Тонкостенные сосуды .......................................... 48
Тонкостенные цилиндры ........................................ 50
Контактные напряжения ................................. . 52
Глава 4. Сдвиг и кручение ....................................... 58
Сдвиг .......................................................... 58
Основные положения .......................................... 58
Расчеты на прочность ........................................ 59
Кручение ....................................................... 67
Крутящие моменты ............................................. 67
Напряжения и деформации при кручении валов круглого сечения ... 68
Расчет валов на кручение ..................................... 70
Расчет винтовых пружин с малым шагом витка.................... 71
Расчет на кручение круглых стержней методом предельного равновесия 73
278
Кручение стержней некруглого поперечного сечения . . ............... 73
Кручение тонкостенных стержней открытого профиля................ ' 7g
Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля ....... 77
Глава 5. Плоский поперечный изгиб прямых брусьев ..................... 78
Основные понятия. Внутренние усилия ............................. 78
Нормальные напряжения при изгибе ............................... 83
Касательные напряжения при изгибе ............................. 83
Главные напряжения при изгибе ................................... 85
Подбор сечений и проверка прочности при изгибе.................. 86
Составные стальные балки ........................................ 89
Перемещения при изгибе ..................................... . 94
Влияние поперечных сил на прогибы ............................... Цб
Определение перемещений в балках переменной жесткости............ Ц?
Статически неопределимые балки ................................. пд
Неразрезные балки на упруго податливых опорах .................. 138
Неразрезные равнопролетные балки с симметричными вутами .... 139
Перемещения в статически неопределимых балках................... 141
Расчет статически неопределимых балок по разрушающим нагрузкам 141
Балки равного сопротивления ................................... 143
Балки, лежащие на сплошном упругом основании................... 146
Г л а в а 6. Сложное сопротивление .................................. 15?
Внутренние усилия в общем случае загружения .......... 157
Косой изгиб .................................................. 159
Совместное действие изгиба и продольной силы.................... 161
Внецентренное -действие продольной силы ........................ 163
Одновременное действие кручения и изгиба........................ 166
Глава 7. Кривые брусья большой кривизны............................... 169
Основные предпосылки .......................................... 169
Напряжения при чистом изгибе плоского кривого бруса............. 170
Напряжения при изгибе плоского кривого бруса в общем случае . . . 177
Деформации кривых стержней ..................................... 178
Г л а в а 8. Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб........... 181
Критическая нагрузка ........................................... 181
Однопролетные стойки постоянного сечения........................ 183
Стойки постоянного сечения с промежуточными опорами.............. 186
Однопролетные стойки переменного сечения...................... 186
Определение критической силы за пределами пропорциональности 188
Расчет на сжатие с учетом устойчивости . ........................ 189
Устойчивость плоской формы изгиба.............................. 191
Влияние поперечной силы, продольного сжатия и кривизны бруса на ве-
личину критической силы ..................................... . 194
Расчет составных стержней на продольный изгиб ................... 195
Продольно-поперечный изгиб ...................................... 197
Глава 9. Тонскостенные стержни ....................................... 206
Основные понятия .............................................. 206
Напряжения при стесненном кручении тонкостенного стержня открыто-
го профиля .................................................. 207
Расчет по бимоментам ........................................... 211
Устойчивость тонкостенных стержней ............................. 214
Глава 10. Прочность при динамической нагрузке ........................ 217
Основные положения .................. ....... ............... 217
Напряжения в элементах конструкций, движущихся с ускорением 218
Вращающийся диск постоянной толщины ......................... 220
Колебания упругих систем с одной степенью свободы............ 221
Расчеты на ударные нагрузки ............................... 226
Испытания на удар ....................................... 231
279
Главд 11. Прочность материалов при переменных напряжениях......... 232
Основные понятия ..................................... 232
Предел выносливости ............................... . 233
Факторы, влияющие на величину предела выносливости ...... 234
Расчеты на прочность при переменных напряжениях ........ 240
Долговечность .......................................... 243
Глава 12. Расчеты при учете ползучести материалов .......... 243
Определения. Общие сведения ............................ 243
Теории ползучести ....................................... 244
Расчеты с учетом ползучести ................... 246
Глава 13. Геометрические и секториальные характеристики сечений . . . 248
Геометрические характеристики плоских сечений ............. 248
Статические моменты. Определение положения центра тяжести плоской
фигуры ........................................... 248
Моменты инерции ....................................... 249
Главные оси и главные моменты инерции .............. 251
Секториальные характеристики сечений ................ ........ 254
Основные определения. Формулы для вычисления секториальных ха-
рактеристик ............................................ 254
Центр, изгиба ......;................................... 256
Пример определения секториальных характеристик . ........ 257
Приложение 1. Геометрические характеристики при растяжении — сжа-
тии и изгибе ................................................ 260
Приложение 2. Системы единиц измерения ....................... 273
Список литературы ........................ 276
Фесик С. П.
Ф44 Справочник по сопротивлению материалов.— 2-е изд., пере-
раб. и доп.— К. : Буд1вельник, 1982.— 280 с., ил.— Библиогр.:
с. 276—277.
В справочнике изложены основные сведения по всем вопросам сопротивления ма-
териалов в аспекте задач Инженера-строителя. Расчетные формулы даны, без выво-
дов, ио с необходимыми пояснениями, облегчающими их практическое применение.
Значительное место отведено графикам справочным и расчетным таблицам, иллю-
стрированным примерами расчета. Нормативные материалы приведены по состоянию
на 01.12.81. Предназначается Для инженеров-строителей, проектировщиков, а также
может быть полезным студентам и аспирантам строительных специальностей.
ф 3202000000—05? g8 82
М203(04)—82
30.121я2
30.121 я2
Ф44
УДК 539.3/6(031)
Справочник по сопротивлению материалов / Фесик С. П.— 2-е изд., перераб.
и доп.— Киев : Буд1вельник, 1982.—280 с.
В справочнике изложены основные сведения по всем вопросам сопротивления
материалов в аспекте задач инженера-строителя. Расчетные формулы даны без вы-
водов, но с необходимыми пояснениями, облегчающими их практическое применение.
Значительное место отведено графикам, справочным и расчетным таблицам, иллюст-
рационным примерам расчета.
2-е издание переработано в связи с новыми нормативными материалами.
Нормативные материалы приведены по состоянию на 01.12.81.
Справочник предназначается для инженеров-строителей, проектировщиков,
а также может быть полезным студентам и аспирантам строительных специальностей.
Табл. 91. Ил. 216. Библиогр.: 50 назв.
Рецензенты д-р техн, наук А. С. Сахаров, инж. Р. Б. Файенберг
Редакция литературы по строительным конструкциям, деталям и изделиям
Зав. редакцией инж. А. А. Петрова
Степан Прокофьевич Фесик, канд. техн, наук,
СПРАВОЧНИК ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
Издание 2-е, переработанное и дополненное
Редактор В. Н. Пархоменко
Обложка художника Б. М. Бойко
Художественный редактор Н. Г. Аникина
Технический редактор О. Г. Шульженко
Корректоры Т. Ю. Серга, Г. Я. Грухаль
Информ, бланк № 1765.
Сдано в набор 04.01.82. Подписано в печать 20.07.82. БФ 03880. Формат 60x90*/,,. Бумага типо«
графская №2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 17,5 Усл. кр.-отт. 17,81.
Уч.-изд. л. 18,91. Тираж 64000 экз. Изд. № 51. Заказ № 2—256. Цена 1 р. 10 к.
Издательство «Буд1вельник». 252053 Киев-53, Обсерваторная, 25
Головное предприятие республиканского производственного объединения «Полиграфкнига».
252057 Киев, Довженко, 3
© Издательство «Буд1вельник», 1970
3202000000—059 © Издательство «Буд1вельник», 1982,
М203(04)—82 ‘ с изменениями и дополнениями