А. Л. Гольденвейзер
Теория упругих
тонких оболочек
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ» ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
щ
ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1976

531
Г.63
УДК 531
Теория упругих тонких оболочек, А. Л. Гольденвей-
Гольденвейзер, Главная редакция фнзико-математвческой литературы
изд-ва «Наука», 1976 г., стр. 512.
В книге со всей разумной полнотой и строгостью рассма-
рассматривается линейная статика тонкой упругой однородной изо-
изотропной оболочки. Выводятся общие уравнения теории, обсу-
обсуждаются возможные приближенные методы их решения, иссле-
исследуются краевые задачи, возникающие в процессе приближенного
расчета оболочек.
Проводится качественное исследование свойств напряженно-
деформированного состояния оболочки в зависимости от условий
закрепления ее краев и знака кривизны срединной поверхности.
Большое внимаиие уделено обоснованию теории оболочек, оценке
ее погрешностей и обсуждению путей уточнения.
В приложении излагаются некоторые положения теории
асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений
в частных производных, в том виде, в котором эту теорию удоб-
удобнее всего использовать для расчета оболочек.
НЕ БОЛЕЕ1И КНИГИ В
одни руки и гх в две
ВИВЛИОТЗИГ4
КОЛОХЗА
ОСКОРЩк
Алексей Львович Гольденвейзер
ТЕОРИЯ УПРУГИХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
М., 1976 г., 512 стр. с илл.
Редактор В. А. Брострем
Техн. редактор Н. Я- Мурашова
Корректор О. А. Бутусова
Сдано в набор 19/11 1976 г. Подписано к печати П/Х1 1976 г. Формат
бумаги 70Х1081/., Фнз. печ. л. 32. Усл. печ. л. 44,8. Уч.-изд. л. 45.9.
Тираж 6000 экз. Т-20323. Цена 3 р 22 к. Заказ № 861.
Издательство «Наука>
>атуры
издательство «паука>
Главная редакция физико-математической литера
117071, Москва^ В-71, Ленинский проспект. 15
Отпечатано с матриц Ленинградской типографии Ni 6
в Московской типографии № 7 «Искра революции» Союзполнграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
оо делам издательств, полиграфии и книжкой торговли.
Москва, Трехпрудный пер., 9.
Зак. 01620
20304—149
053 @2)-76
143-76
© Главная редакция
физико-математической литература
издательства «Наука», 1976

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ЧАСТЬ 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
Глава 1. Сведения нз теории поверхностей 12
§ 1. Криволинейные координаты на поверхности и первая квадратичная форма 12
§ 2. Основной триэдр поверхности 14
§ 3. Деривационные формулы Гаусса—Вейнгартена. Уравнения Кодацци—Гаусса 15
§ 4. Вторая квадратичная форма поверхности и индикатриса Дюпена 17
§ 5. Сопряженные линии, линии кривизны, асимптотические линии 19
§ 6. Дифференцирование вектора, заданного на поверхности 21
§ 7. Гауссова кривизна и изгибание поверхностей 22
§ 8. Криволинейные координаты в пространстве 22
Глава 2. Трехмерные уравнения теории упругости. Сведение к двумерным урав-
уравнениям . ... 25
§ 9. Уравнения теории упругости в триортогональной системе координат ... 25
§ 10. Гипотезы теории оболочек 26
§ П. Компоненты деформации трехмерной среды 27
§ 12. Обобщенный закон Гука 29
§ 13. Первое осредненное уравнение равновесия теории упругости 30
§ 14. Второе осредненное уравнение равновесия теории упругости 32
§ 15. Полная двумерная система дифференциальных уравнений теории оболочек 34
§ 16. Напряженно-деформированное состояние упругой среды оболочки .... 35
Глава 3. Статика теории оболочек 37
§ 17. Усилия и моменты 37
§ 18. Векторы внешних сил и внешних моментов 39
§ 19. Уравнения равновесия теории оболочек 40
§ 20. Усилия и моменты на косых сечениях 43
§ 21. Функции напряжения 44
Глава 4. Геометрия теории оболочек 47
§ 22. Векторы упругого перемещения и упругого вращения срединной по-
поверхности 47
§ 23. Компоненты тангенциальной деформации срединной поверхности оболочки 50
§ 24. Компоненты изгибной деформации срединной поверхности 51
§ 25. Производные от векторов упругого перемещения и упругого вращения 52
§ 26. Выражение компонент деформации и углов поворота через перемещения 53
§ 27. Определение перемещений по заданным компонентам деформации. Урав-
Уравнения неразрывности деформаций 54
Глава 5. Уравнения состояния. Общие вопросы 58
§ 28. Уравнения состояния (соотношения упругости) 58
§ 29. Дополнительное уравнение статики и шестое уравнение равновесия .... 60
§ 30. Работа сил трехмерной упругой среды оболочки 61
§ 31. Энергия деформации 64
§ 32. Общие теоремы теории оболочек 67
§ 33. Граничные условия 70
§ 34. Основные уравнения и формулы теории оболочек . • 73
§ 35. Полная система уравнений теории оболочек 74
§ 36. Статико-геометрическая аналогия 75
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 6. Тензорные уравнения теории оболочек 79
§ 37. Тензорная символика 79
§ 38. Тензоры срединной поверхности • 80
§ 39. Тензоры усилий и моментов 80
§ 40. Тензоры деформаций, перемещений и углов поворота 83
§ 41. Статические и геометрические соотношения теории оболочек в скалярной
форме 84
§ 42. Уравнения состояния (соотношения упругости) 85
§ 43. Преобразование тензорных уравнений 86
§ 44. Уравнения общей теории оболочек в произвольной ортогональной системе
координат 91
ч а с т ь и
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК
Глава 7. Безмомеитиая теория 97
§ 1. Основное напряженное состояние 97
§ 2. Безмоментное напряженное состояние 99
§ 3. Чисто моментное напряженное состояние. Безмоментная теория оболочек 101
§ 4. Статические уравнения безмоментной теории 104
§ 5. Геометрические уравнения безмоментной теории 107
§ 6. Головная система уравнений безмоментной теории 108
§ 7. Статическая и геометрическая краевые задачи безмоментной теории .... 109
§ 8. Полная краевая задача безмоментной теории 111.
Глава 8. Теория простого краевого эффекта 113
§ 9. Исходные предположения теории простого краевого эффекта 113
§ 10. Разрешающее уравнение теории простого краевого эффекта 114
§11. Расчетные формулы 116
§ 12. Интегрирование разрешающего уравнения 119
Г л ава 9. Метод расчленения 124
§ 13. Область применимости метода расчленения напряженного состояния ... 124
§ 14. Схема применения метода расчленения 126
§ 15. Краевой эффект вблизи заделанного края 128
§ 16. Краевой эффект вблизи шарнирно опертого края 130
§ 17. Краевой эффект на свободном крае оболочки 131
§ 18. Краевой эффект у внутренней линии искажения напряженного состояния 133
§ 19. Заключительные замечания 135
Глава 10. Пологие оболочки. Напряженные состояния с большой изменяемостью 137
§ 20. Вырождение оболочки в пластинку 137
§ 21. Пологие поверхности и почти плоские системы координат 137
§ 22. Приближенная теории пологих оболочек 141
§ 23. Свойства разрешающих уравнений теория пологих оболочек 144
§ 24. Приближенная теория напряженных состояний с большой изменяемостью 146
Глава 11. Оболочки с асимптотическими линиями искажения 149
§ 25. Обобщенные краевые эффекты 149
§ 26. Свойства простых и вырожденных краевых эффектов 152
§ 27. Обобщение метода расчленения 154
§ 28. Поверхности нулевой гауссовой кривизны 155
§ 29. Приближенные методы расчета цилиндрических оболочек 158
Глава 12. Обзор приближенных методов расчета оболочек 162
§ 30. Границы применимости приближенных методов расчета оболочек .... 162
§ 31. Приближенные методы расчета цилиндрических оболочек 168
§ 32. Область применимости приближенных уравнений В. 3. Власова 172
ч А с т ь ш
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
Глава 13. Методы построения интегралов безмоментиых уравнений 175
§ 1. Общий интеграл полной системы безмоментных уравнений оболочек нулевой
кривизны 175
§ 2. Преобразование безмоментных уравнений сферической оболочки 178
§ 3. Интегрирование уравнений безмоментиой теории сферических оболочек 180

ОГЛАВЛЕНИЕ¦
§ 4. Применение теории аналитических функций комплексного переменного
в безмоментной теории сферических оболочек 183
§ 5. Преобразование безмоментных уравнений оболочки произвольного очер-
очертания 186
§ 6. Безмоментные ураннения оболочек, имеющих форму поверхностей второго
порядка положительной кривизны 188
§ 7. Безмоментные уравнения оболочек, имеющих форму поверхностей второго
порядка отрицательной кривизны 192
§ 8. Применение обобщенных аналитических функций к безмоментной теории
произвольных оболочек положительной кривизны. • 193
Глава 14. Безмоментиые оболочки вращения. Применение тригонометрических
рядов .-.••. '96
§ 9. Поверхности вращения 196
§ 10. Статические и геометрические безмомеитные уравнения оболочек вращения 198
§ 11. Оболочки вращения второго порядка. Параболические оболочки вращения 199
§ 12. Применение тригонометрических рядов в статической безмоментной задаче
оболочек вращения 202
§ 13. Интегральные уравнения равновесия безмомеитиой теории. Применение
. к оболочкам, вращения 204
§ 14. Применение тригонометрических рядов в безмоментной геометрической
задаче оболочек вращения 208
Глава 15. Безмомеитиые оболочки нулевой кривизны 211
§ 15. Постановка краевых задач для безмоментных уравнений 211
§ 16. Граничные задачи безмоментной теори-и оболочек нулевой кривизны ... 212
§ 17. Консольная оболочка нулевой кривизны 213
§ 18. Консольная оболочка нулевой кривизны (продолжение) 215
§ 19. Консольная оболочка нулевой кривизны с косыми краями 216
§ 20. Изгибания поверхностей нулевой кривизны 217
§ 21. Теорема о возможных изгибаниях 219
§ 22. Шарнирно опертая оболочка нулевой кривизны 223
§ 23. Жестко заделанная оболочка нулевой кривизны 225
§ 24. Оболочка нулевой кривизны со свободными краями 226
§ 25. Задачи с дополнительными условия-ми внутри области 227
Глава 16. Выпуклые замкнутые безмомеитиые оболочки. Сосредоточенные воз-
воздействия 230
§ 26. Полюсы комплексной функции иапряжеии-и 230
§ 27. Действие сосредоточенных сил и моментов на полную сферическую обо-
оболочку 237
§ 28. Перемещения полной сферической оболочки под сосредоточенными силами
и моментами 238
§ 29. Действие сосредоточенных сил и моментов на произвольную оболочку по-
положительной кривизны 242
Глава 17. Безмомеитиые купола 245
§ 30. Сферический купол с одним геометрическим и одним статическим гранич-
граничным условием 245
§ 31. Сферический купол с одним геометрическим и одним статическим гранич-
граничным условием (продолжение) 250
§ 32. Обобщения 254
§ 33. Купол с одним геометрическим и одним статическим тангенциальными усло-
условиями. Полная краевая задача 258
§ 34. Сферический купол с двумя геометрическими граничными условиями . . . 259
§ 35. Обобщения 260
Г л а в.а 18. Безмомеитиые оболочки с двумя краями 262
§ 36. Оболочка положительной кривизны со снободными краями 262
§ 37. Оболочка с двумя краями (однотипные граничные условия) 263
§ 38. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными краями 266
§ 39. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными краями (продолжение). . . 269

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ IV
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Глава 19. Итерационные процессы построения интегралов уравнений теории
оболочек 273
§ 1. Краткая запись уравнений теории оболочек 273
§ 2. Безмоментный итерационный процесс 274
§ 3. Чисто моментный итерационный процесс 277
§ 4. Итерационный процесс для основного напряженного состояния 278
§ 5. Главные уравнения безмоментного и чисто моментного итерационных про-
процессов 280
§ 6. Построение частного интеграла 281
§ 7. Оболочки переменной толщины 282
§ 8. Итерационный процесс для простого краевого эффекта 282
§ 9. Уравнения итерационного процесса для простого краевого эффекта .... 285
Глава 20. Итерационные процессы выполнения граничных условий. Купола . . . 289
§ 10. Метод расчленения 289
§ 11. Купол с двумя тангенциальными закреплениями 294
§ 12. Купол с одним жестким тангенциальным закреплением 295
§ 13. Купол с одним нежестким тангенциальным закреплением 298
§ 14. Купол с одним нежестким тангенциальным закреплением (продолжение) 300
§ 15. Купол с косым закреплением 301
§ 16. Купол, не имеющий тангенциальных закреплений 303
Глава 21. Итерационные процессы выполнения граничных условий. Оболочка
с двумя краями 304
§ 17. Оболочка с двумя краями 304
§ 18. Оболочка с двумя краями, закрепленными в обоих тангенциальных направ-
направлениях 305
§ 19. Оболочка положительной кривизны с двумя краями (одно тангенциальное
закрепление) 306
§ 20. Оболочка отрицательной кривизны с двумя краями (одно тангенциальное
закрепление) 307
§ 21. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными краями 309
§ 22. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными краями (случай приложе-
приложения краевых сил) 310
§ 23. Оболочка с изломом срединной поверхности 311
§ 24. Оболочка с изломом срединной поверхности. Краевые задачи 315
§ 25. Оболочка с изломом срединной поверхности. Краевые задачи (продолжение) 318
Глава 22. Зависимость напряженного состояния оболочки от услбвий закрепле-
закрепления ее краев 322
§ 26. Безусловная и условная применимость безмоментной теории 322
§ 27. Физический смысл непротиворечивых значений ноказателей интенсивности 324
§ 28. Асимптотика напряженно-деформированного состояния при безусловной
и условной применимости безмоментной теории 325
§ 29. Случай неустойчивой асимптотики напряженно-деформированного состоя-
состояния оболочки ' 328
§ 30. Зависимость асимптотики напряженно-деформированного состояния обо-
оболочки от нетангенциальных закреплении . 330
ЧАСТЬ V
КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Глава 23. Применение тригонометрических рядов 333
§ 1. Уравнения теории круговых цилиндрических оболочек 333
§ 2. Разрешающее уравнение 335
§ 3. Применение тригонометрических рядов по переменной 6 338
§ 4. Применение тригонометрических рядов по переменной | 342

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Расчет замкнутой круговой цилиндрической оболочки в тригонометрических
рядах по 6 346
§ 6. Расчет открытой круговой цилиндрической оболочки в тригонометрических
рядах по | 347
Глава 24. Замкнутые круговые цилиндрические оболочки 349
§ 7. Свойства корней характеристического уравнения B3.3.6) 349
§ 8. Нулевые корни и их физический смысл 356
§ 9. Анализ напряженного состояния замкнутой цилиндрической оболочки . . . 358
§ 10. Анализ напряженного состояния замкнутой круговой цилиндрической обо-
оболочки (продолжение) 361
§ 11. Приближенные методы построения обобщенного основного напряженного
состояния 364
§ 12. Приближенный метод построения простого краевого эффекта . 370
§ 13. Напряженное состояние с большой изменяемостью 372
§ 14. Приближенные методы расчета замкнутых круговых цилиндрических
оболочек 376
Глава 25. Открытые круговые цилиндрические оболочки 379
§ 15. Свойства корней характеристического уравнения B3.4.9) 379
§ 16. Приближенные методы расчета открытых цилиндрических оболочек .... 383
ЧАСТЬ VI
ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Глава 26. Итерационные процессы интегрирования уравнений теории упругости 388
§ 1. Трехмерные уравнения теории упругости 388
§ 2. Преобразование уравнений теории упругости 390
§ 3. Интегрирование уравнений теории упругости 391
§ 4. Основной итерационный процесс 396
§ 5. Сопоставление с двумерной теорией оболочек 399
§ 6. Вспомогательный итерационный процесс 404
Глава 27. Погрешности теории оболочек 409
§ 7. Нормальная асимптотика напряженно-деформированного состояния. . . 409
§ 8. Асимптотические погрешности гипотез теории оболочек 411
§ 9. Асимптотические погрешности гипотез теории оболочек (продолжение) 415
§ 10. Область применимости итерационной теории оболочек 418
§ 11. Область применимости итерационной теории оболочек (продолжение). . . 421
§ 12. Чисто моментное напряженное состояние 422
§ 13. Обобщенный краевой эффект 423
Глава 28. Теория пограислоя 428
§ 14. Преобразование уравнений теории упругости 428
§ 15. Преобразование уравнений теории упругости (продолжение) 430
§ 16. Построение решений типа (а) и (й) 432
§ 17. Плоский и антиплоский погранслои 435
> 18. Структура полного напряженно-деформированного состояния оболочкв 436
Глава 29. Взаимодействие пограислоя с внутренним напряженным состоянием
оболочки 439
§ 19. Свободный край . 439
§ 20. Жестко заделанный край 446
§ 21. Шарнирно опертый край 451
§ 22. Приведенные граничные условия 457
§ 23. Краевое напряженно-деформированное состояние оболочки 461
§ 24. Решение вспомогательных плоских и антиплоских задач 464
Пр вложение. Асимптотическое интегрирование уравнений в частных произ-
производных 469
§ 1. Простой итерационный процесс 470
§ 2. Интегралы с большой изменяемостью . 471
§ 3. Интегралы с большой изменяемостью для уравнений с малой главной частью 473
§ 4. Интегралы с заданной квазистацнонарной линией 476
. § 5. Интегралы с заданной квазистационар ной линией. Обобщение 477
§ 6. Интегралы, соответствующие r-кратиому семейству характеристик L . . . 478

g ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Интегралы, соответствующие г-кратному семейству характеристик L (про-
(продолжение) . . 481
§ 8. Интегралы, соответствующие r-кратному семейству характеристик N.. . . 482
§ 9. Интегралы, соответствующие г-кратному семейству характеристик Л/ (про-
(продолжение). '.'.'... ' 484
§ 10. Интегралы с- заданной характеристической квазистапионарной линией . . . 485
§ 1,1. Частный интеграл 488
§ 12. Решение краевых задач ,.„ 489
§ 13. Решение краевых задач (продолжение) 493
§ 14. Краевая задача теории оболочек 497
§ 15. Изменяемость напряженно-деформированного состояния оболочки .... 499
§ 16. Зависимость изменяемости иапряжеиио-деформированного состояния обо-
оболочки от изменяемости краевого воздействия 501
Литература- . . . .' ; . . . . 505
Предметный указатель 511

ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге рассматривается линейная статическая задача теории оболочек.
Предполагается, что материал оболочки однороден и изотропен и что o6oj
лочка не имеет подкреплений. В рамках всех этих ограничений автор стре-
стремился рассмотреть задачу с максимальной общностью и с разумной (в книге,
предназначенной для механиков) математической строгостью.
Теорию оболочек, в принципе, можно трактовать как один из разделов
общей теории твердых деформируемых тел, и поэтому, выделяя ее в самостоя-
самостоятельную дисциплину, необходимо с максимальной четкостью выявить спе-
специфические свойства оболочки как объекта исследования, а именно, свойства,
связанные с малостью ее толщины. Этой цели автор старался подчинить все
изложение книги.
Еще одна особенность теории оболочек, определяющая характер изло-
изложения, заключается в ее практической направленности. Это объясняется
как тем, что оболочка весьма широко используется в реальных конструкциях,
так и тем, что значение точных решений возникающих в ней краевых задач
в значительной степени обесценено погрешностями, содержащимися в их
формулировке. Поэтому на первый план здесь выдвигаются приближенные
подходы, и основное внимание уделяется тем свойствам тонкой оболочки,
на которых могут базироваться те или иные упрощения расчета.
С математической точки зрения особенностью книги является широкое
использование асимптотических подходов, что естественно вытекает из вы-
высказанных выше соображений. Кроме того, больший, чем обычно, удельный
вес имеют геометрические аспекты теории. Сильнее, чем в первом издании,
подчеркивается связь теории оболочек с теорией бесконечно малых изгиба-
изгибаний поверхностей.
Второе издание книги радикально отличается от первого. В частности,,
изменены и обозначения, которые теперь выбраны так, чтобы упростить-
запись формул.
Общие уравнения двумерной теории оболочек выводятся в части 1 при
помощи гипотез, которые пока, как и в первом издании, принимаются на
веру. Однако теперь в книгу введен новый раздел (часть VI), в котором
проблема сведения трехмерных краевых задач теории упругости к двумер-
двумерным задачам теории оболочек решается методом асимптотического интегри-
интегрирования. Здесь дается обоснование гипотез теории оболочек, обсуждается
область их применимости, оцениваются связанные с ними погрешности и на-
намечаются пути уточнения.
Все общие уравнения и формулы теории оболочек в частях 1 и VI вы-
выводятся в предположении, что срединная поверхность оболочки отнесена
к линиям кривизны. Эти результаты переносятся на случай произвольной
метрики при помощи тензорного формализма.
Приближенные методы расчета оболочек обсуждаются в части II. Здесь
широко используются различные гипотезы, по поводу которых даются не-
некоторые разъяснения, но вопросы более строгого обоснования принятых упро-
упрощающих предположений перенесены в последующие разделы книги. Теория

ПРЕДИСЛОВИЕ
асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений при изло-
изложении приближенных методов почти не используется (даются только форму-
формулировки некоторых выводов, к которым она приводит). В связи с этим зна-
знание теории асимптотического интегрирования не считается обязательным для
чтения второго издания книги. Эта теория изложена (в новой трактовке)
в приложении.
Больше, чем в первом издании, внимания уделено методам интегриро-
интегрирования так называемых безмоментных уравнений теории оболочек. Этому
зюсвящена часть III.
Новой является во втором издании часть IV. В ней строятся некоторые
итерационные процессы, позволяющие дать обоснование гипотезам, приня-
принятым в части II, но основное внимание уделено исследованию влияния условий
закрепления на характер напряженно-деформированного состояния обо-
оболочки.
Часть V посвящена обстоятельному исследованию круговой цилиндри-
цилиндрической оболочки. Оно представляется автору полезным, так как, во-первых,
именно круговая цилиндрическая оболочка наиболее часто встречается на
практике, а во-вторых, для нее уравнения теории оболочек решаются отно-
относительно легко, и это позволяет более конкретно осмыслить общие свойства
напряженно-деформированного состояния оболочки.
Библиография в книге совершенно не претендует на полноту. В нее,
помимо монографий, включены только те работы, в которых содержится мате-
материал, имеющий прямое отношение к вопросам, разбираемым в книге. Пре-
Преобладание отечественных работ объясняется тем, что они оказали большее
влияние на научные взгляды автора книги.
Формулы всюду нумеруются тремя числами. Первая из них указывает
главы, для которых принята сквозная нумерация, а вторая — параграфы,
которые в каждой части нумеруются заново.
С рукописью этой книги ознакомился академик Арм. ССР С. А. Амбар-
цумян, сделавший ряд весьма ценных замечаний. Автор принял их с большой
признательностью и внес соответствующие исправления. Автор также выра-
выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук
Г. Н. Чернышеву, кандидатам наук М. И. Гусейн-Заде, Е. М. Зверяеву,
Н. Н. Рогачевой, а также О. Н. Смирновой, Л. В. Марковой, В. С. Бойцо-
Бойцовой, Т. С. Федотовой и А. Л. Радовинскому, оказавшим большую помощь
<в работе над книгой.
А. Гольденвейзер

Ч а с т ь 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
В этом разделе книги строятся и обсуждаются общие соотношения дву-
двумерной теории оболочек. Все эти уравнения и формулы выводятся из трех-
трехмерных уравнений теории упругости на основе некоторых гипотез, которые
пока принимаются без какого бы то ни было обоснования.
Используемые здесь гипотезы необычны, хотя в сущности они мало
отличаются от гипотез Кирхгофа—Лява. Автор отдает себе отчет, что его
предположения не обладают такой физической наглядностью, как предпо-
предположения Кирхгофа—Лява, но они имеют и свои преимущества, которые
выявляются в части VI. В ней показано, что соответствующая этим гипотезам
теория заслуживает названия итерационной в том смысле, что ее можно рас-
рассматривать как исходное приближение итерационного процесса интегриро-
интегрирования уравнений теории упругости. При обсуждении и сопоставлении воз-
возможных гипотез теории оболочек автор стремился подчеркнуть, что, если не
принимать в расчет вопросы обоснования и уточнения теории оболочек, то
выбор гипотез не играет существенной роли (конечно, если не выходить за
разумные рамки). Поэтому читатель, питающий вполне объяснимую симпа-
симпатию к гипотезам Кирхгофа—Лява, найдет в книге все вытекающие из них
соотношения.
Оценки ошибок гипотез теории оболочек, в том числе и гипотез Кирх-
Кирхгофа—Лява, обсуждаются в части VI. Это сделано потому, что порядок оши-
ошибок существенно зависит от некоторых свойств искомого напряженно-дефор-
напряженно-деформированного состояния, в особенности от его изменяемости. Обо всем этом
с достаточной определенностью удобно говорить только после изложения
соответствующих понятий.
При выводе общих уравнений и формул теории оболочек использована
векторная символика. Тензорной записи уравнений теории оболочек посвя-
посвящена последняя, глава части I. Автор не пытался при помощи тензорной сим-
символики избежать необходимости выписывать громоздкие соотношения теории
оболочек, так как в последующих разделах книги обсуждаются методы инте-
интегрирования уравнений теории оболочек, а для этого необходимо исходить из
их развернутой записи.
Больше, чем в других книгах, здесь уделено внимание геометрическим
аспектам теории оболочек и особенно выделена роль понятия бесконечно
малых изгибаний. Это необходимо для лучшего понимания материала, из-
изложенного в частях II—IV.

ГЛАВА 1
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1. Криволинейные координаты на поверхности
и первая квадратичная форма
В первой главе, кратко и почти без доказательств, излагаются те сведе-
сведения из теории поверхностей, которые используются в дальнейшем.
Кривую в пространстве трех измерений можно задать векторным урав-
уравнением
г = г@, A.1.1)
где г — радиус-вектор кривой, a t — произвольный параметр.
Равным образом, поверхность в пространстве трех измерений опреде-
определяется векторным уравнением
M = M(alt a2), A.1.2)
где М — радиус-вектор поверхности; alt а2 — произвольные параметры.
Равенством A.1.2) не только определяются геометрические свойства по-
поверхности, но и дается способ задавать точки на ней, так как каждой паре
численных значений параметров (alt a2) соответствует определенная точка
(или точки) на поверхности. Допустим, что параметр а,1 сохраняет постоян-
постоянное значение аг = a10, a а2 изменяется. Тогда уравнение A.1.2) определит
пространственную кривую, лежащую на рассматриваемой поверхности.
Такие линии называются а2-линиями, так как они характеризуются тем, что
на них изменяется только параметр а2. Совокупности всех значений а10,
заключенных в определенном интервале, будет соответствовать семейство
а2-линий. Так же можно ввести и понятие о семействе аглиний (примеры
поверхностей, отнесенных к криволинейной системе координат, приведены
в §§ 10.21, 11.28, 13.6, 13.7, 14.9).
Задав одновременно значения обоих параметров, мы определим на по-
поверхности точку (или. точки),-являющуюся пересечением некоторой о^-линии
с некоторой а2-линией. Таким образом, имеет место полная аналогия между
поверхностью, заданной уравнением A.1.2), и плоскостью, отнесенной к опре-
определенной системе координат, и поэтому про поверхность, заданную уравне-
уравнением A.1.2), говорят, что она отнесена к криволинейной системе координат,
а а±- и а2-линии называют координатными линиями.
Если в уравнении A.1.2) произвести замену независимых параметров по
формулам вида
ai=ai(ai, a2), aj = а'ц(оц, Ог), A-1-3)
то получится уравнение
М' = М' (ai, аг).

§ 1] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ И ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА J3
Оно определяет, разумеется, ту же поверхность, что и уравнение A.1.2),
но криволинейные координаты, к которым отнесена эта поверхность, изме-
изменятся. Однако в частном случае, когда формулы A.1.3) имеют вид
а{ = а( (ai), аг = аг (а2),
геометрическое очертание координатных линий останется прежним, так как
при этом постоянным значением аг и а2 отвечают постоянные значения ai, ai
соответственно.
Введем обозначения
м дм » дМ
1 дах 2 да2
а2
и рассмотрим векторы Мх и М2. Они, очевидно, направлены по касательным
к а^ и а2-линиям соответственно. Обозначим их длины через Аи Аг. Тогда
будем иметь
М\ = А\, N11 = AI, A.1.4)
^.-^ = cosx, A.1.5)
где х — угол между координатными линиями.
Как всегда делается в теории поверхностей, будем предполагать, что
всюду в интересующей нас области
= 0, A.1.6)
т. е. что а^ и а2-линии нигде не касаются друг друга.
Зададим на поверхности две сколь угодно близкие точки (alt a2) и (ax +
+ dau a2 + da2), которые определят некоторое направление, произвольно
ориентированное относительно координатных линий. Тогда главная часть
приращения, которое получит вектор М при переходе от первой точки к«/
второй, будет
dM = Ml dax -\- Ж
Отсюда, пользуясь соотношениями A.1.4) и A.1.5), получим формулу для
квадрата дифференциала длины дуги произвольной линии на поверхности
= ds2 = AI da? + 2AiA2 cos x dai da2 -f Ai dal A.1.7)
Правая часть этого равенства квадратична относительно dalt da2 и назы-
называется первой квадратичной формой поверхности. Она вполне определяется
заданием трех величин Л„ Л2, %, которые здесь будут называться коэффи-
коэффициентами первой квадратичной формы *).
Первая квадратичная форма поверхности определяет ее внутреннюю
геометрию. Под этим подразумевается следующее. Пусть alt a2 выражены
через параметр (J:
оц = аг ф), а2 = а2 ф).
Тогда равенством A.1.2) вектор М будет определяться как функция одного
параметра р. Это значит, что написанные равенства можно рассматривать как
уравнение некоторой кривой у, лежащей на поверхности. Выразив в A.1.7)
дифференциалы dalt da2 через dp, получим формулу для dsv — дифферен-
дифференциала длины дуги у:
*) Строго говоря, коэффициентами первой квадратичной формы называются величины
А\, А\ и Л-[Л 2 cos х. но в теории оболочек удобнее оперировать величинами Ах, Ах и %.

14
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 1
в которой правую часть равенства можно построить, зная только Аи А%, %
и задав уравнения кривой у. Уметь строить дифференциалы длин дуг кривых
на поверхности — это и значит определить внутреннюю геометрию по-
поверхности. ,
Уравнение поверхности A.1.2) при построении dsy непосредственно не
используется. Поэтому, если есть две поверхности с одинаковыми первыми
квадратичными формами, то геометрия на обеих поверхностях будет одина-
одинакова. Показано, что можно строить семейства поверхностей
М = М (аь
a).
A.1.8)
зависящих от непрерывного параметра а, для которых первая квадратичная
форма одинакова, т. е. не зависит от а. Равенство A.1.8) при фиксированном а,
например, при а = О, можно рассматривать как уравнение некоторой по-
поверхности So, а под поверхностями Sa, получающимися при а ф 0, понимать
результат некоторой непрерывной деформации поверхности So. Если, как мы
считаем, первая квадратичная форма не меняется, то при переходе от So
к Sa сохранятся длины линий на поверхностях, а следовательно, не изменятся
и углы между линиями (так как для сколь угодно малых криволинейных тре-
треугольников имеет силу плоская тригонометрия). Такая деформация, т. е.
деформация поверхности, при которой длины нанесенных на ней линий и углы
между ними сохраняются, называется изгибанием. Это понятие играет важ-
важную роль в теории тонких оболочек.
§ 2. Основной триэдр поверхности
Введем единичный вектор нормали к поверхности и обозначим его через».
Он ортогонален векторам Мг и М2 и связан с ними соотношением
п =
мы назовем основными
sin x * s
(знак Х обозначает векторное произведение).
Тройку единичных векторов -г-Мг, -т- М2,
1 2
векторами поверхности A.1.2) и будем говорить, что в совокупности они обра-
образуют основной триэдр поверхности.
В силу условия A.1.6) основные
векторы нигде не лежат в одной пло-
плоскости. Отсюда вытекает, что любой
вектор 5 (а1г а2) может быть пред-
представлен в виде линейной комбинации
трех основных векторов
fs2^- + snn. A.2.1)
Про вектор, представленный
в форме A.2.1), будем говорить, что
он развернут по осям основного три-
триэдра, а скалярные величины sb s2, sn
рнс jt будем называть основными компонен-
компонентами вектора S.
Если криволинейные координаты на поверхности М ортогональны
(%—п/2), то основной триэдр будет состоять из взаимно ортогональных век-
векторов. Тогда slf s2, sn в формуле A.2.1) по смыслу совпадают с проекциями

$3] ФОРМУЛЫ ГАУССА—ВЕЙНГАРТЕНА. УРАВНЕНИЯ КОДАЦЦИ—ГАУССА JCJ.
вектора 5 на оси основного триэдра, а формулы для попарных векторных,
произведений векторов основного триэдра будут иметь вид
Здесь знаки расставлены, исходя из предположения, что основной три
эдр ориентирован так, как показано на рис. 1.
§ 3. Деривационные формулы Гаусса—Вейнгартена.
Уравнения Кодацди—Гаусса
Введем обозначения
и поставим перед собой задачу представить Мц, nt как линейные комбинации,
векторов М1г Мг и п.
Формулу для Жц в теории поверхностей принято записывать так:
Мц = Т\,Мх + Т*цМ2 + Li,n (i, /=1,2). A.3.1
Здесь скалярные коэффициенты при Мг и М2 обозначены при помощи
так называемых символов Кристоффеля, т. е. буквы Г с тремя индексами^
из которых два нижних индекса показывают, по каким переменным дифферен-
дифференцируется М в левой части соответствующего равенства, а верхний индекс
показывает, при какой производной от М стоит данный коэффициент.
Помножая скалярно равенство A.3.1) на и и помня, что вектор и орто-
ортогонален Л1, и М2, получим
Lit = n-Mlt (i, /=1,2). A.3.2).
Эту формулу можно преобразовать и к другому виду, заметив, что
nMt = 0 0 = 1,2).
Дифференцируя это равенство по а,,, получаем
пгМ1-{-пМц = 0 (i = 1,2)
и, следовательно,
Ltl= — nrMi= — ni-Ml. A.3.3)
Величины L{,, определенные формулами A.3.2) или A.3.3), называются
коэффициентами второй квадратичной формы, которая будет обсуждаться
в следующем параграфе.
Символы Кристоффеля могут быть выражены через коэффициенты первой
квадратичной формы Ль Л2 и %. Соответствующие формулы выводятся
в любом курсе теории поверхностей; для случая, когда поверхность отне-
отнесена к ортогональным координатам, они имеют вид
i tt —
дАс
1 »¦ ~ At dai ' i tt — ? da, ' l 4 ~ l ft ~ At da, ' V-o.t)
Здесь и всюду в дальнейшем считается, что индексы могут принимать
значения 1, 2, но не могут быть равны друг другу. Это значит, что если в фор-
формулу входит только один из этих индексов, то ему надо придавать значения 1
и 2, а если в формулу входят оба индекса i, j, то в этой паре индексов надо
придавать две и только две пары значений t = 1, / = 2 и t = 2, / = 1. Такое
правило будет применяться всегда, когда не оговорено противоположное.

Jg СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. Г
Оно, в частности, означает, что всякое равенство, содержащее индексы I, /,
надо рассматривать как двойное.
¦Вектор й, лежит в касательной плоскости, так как л2 = 1, откуда
Таким образом, л,- можно представить в виде линейной комбинации век-
векторов Мi и М2. Соответствующие формулы для случая ортогональных криво-
криволинейных координат записываются так:
n'~ aT~a7~~a~~a~ { '
Их легко проверить, помножая скалярно написанные равенства на Mt и учи-
учитывая A.3.3) и A.1.4).
Нетрудно вывести и соотношения, при помощи которых развертываются
по осям основного триэдра производные первого порядка от основных век-
векторов -г- М, и -т- М2. Для этого надо преобразовать A.3.1) к виду
д I Mi \ Aj Mj Ln g I Mj \ д, jfl. Ltj
В правильности этих формул можно убедиться, выполнив дифференци-
дифференцирование в левых частях равенств и приняв во внимание A.3.1) и A.3.4).
Равенства A.3.1) или A.3.6) вместе с A.3.5) образуют деривационные
формулы Гаусса—Вейнгартена и играют важную роль в теории поверхностей.
Они дают возможность выразить любую производную от вектора М через Мх,
М2 и п. Для этого надо дифференцировать нужное число раз уравне-
уравнения A.3.1), заменяя величины М1и М12, М21, УИ22, пу и п2 через М,, М2
и п при помощи A.3.1) и A.3.5).
Разложим вблизи какой-либо точки а,1 = а10, а2 = а20 радиус-вектор
поверхности в степенной ряд:
м = м°+ж?gi ~ ai° + mi aa ~ a*° + Шх (ctl 7laioJ +
+ Mh {ai ~ aioJ ,("8 ~ "m) + Mh ( ~a"f + • • • A.3.7)
(нуликами сверху отмечается, что значения соответствующих векторов надо
брать при ах = а10 и а2 = а20) и выразим .Mil, М\ъ, . . . через М\, Mi, п.
Так как в деривационные формулы входят только коэффициенты первой и
второй квадратичных форм, то правая часть равенства A.3.7) будет пол-
полностью определяться значениями величин М°, Ml, Ml, »°, A\, A\, L\\,
а. л.Ц....
Отсюда вытекает одна из основных теорем теории поверхностей: коэф-
коэффициенты первой и второй квадратичных форм данной поверхности опре-
определяют эту поверхность с точностью до М", М\, М\, п°, т. е. с точностью
до ее положения в пространстве.
Таким образом, поверхность с точностью до ее положения в простран-
пространстве можно задать шестью величинами: Аи А2, %, Lllt L12, L22. Однако эти
шесть величин нельзя задавать совершенно произвольно, так как тогда
-смешанные производные от М, если их вычислять указанным выше приемом,
не будут, вообще говоря, удовлетворять соотношениям вида
57 ^""lar^»

S 4) ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ J7
В теории поверхностей доказывается, что это несоответствие устраняется,
если коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности подчи-
подчинены трем уравнениям, которые для ортогональных координат имеют вид
д_(±ц\ ¦ 1 д (AfLtf\ c)Ai Lh
да, \ At )'T А, доц \ A( ) da,- A *
A.3.8)
Z-UI22 — L12 i_ г д I 1 дАг \ д / 1 Mi N1
A\A\ ~ -Mi L dat \ Ax da, ) "+" 3a, V А, «a» ) J "
Первые два из них носят название уравнений Кодацци, а последнее —
уравнения Гаусса. Наиболее важным является уравнение Гаусса, к геометри-
геометрическому смыслу которого нам еще придется вернуться.
§ 4. Вторая квадратичная форма поверхности
и индикатриса Дюпена
Обозначим через т единичный вектор касательной к некоторой линии
на поверхности; тогда
dM л. da, . .. йа»
(s — длина дуги рассматриваемой кривой). В теории пространственных кри-
кривых выводится формула Френе
их v
где р — радиус кривизны кривой, v — единичный вектор ее главной нор-
нормали. Поэтому для линии, расположенной на поверхности, получим
Помножим скалярно обе части этого равенства на и и заметим, что n-v =
= cos ф, где ф — угол между нормалью к поверхности и главной нормалью
рассматриваемой кривой. Получим:
Внесем в правую часть этого равенства значения скалярных произве-
произведений п-М.ц по формулам A.3.2) и заменим ds2 его значением в соответ-
соответствии с A.1.7). Тогда мы придем к важному соотношению
cosq> Lu da\ -\- 2LU da, da, -(- La._, da'j ,. . .>
p A\ da\ -t- 2/l,/l.2cosxda, da2 4- A'i da.\*
Числитель правой части этого равенства и есть вторая квадратичная
форма поверхности:
// = Lii da? + 21-12 dai da2 -f L22 da%.
Выберем для некоторой точки поверхности в ее касательной плоскости
направление / и проведем через него нормальную плоскость поверхности.
В пересечении с поверхностью она образует плоскую кривую y[t называемую
нормальным сечением (оно, конечно, будет зависеть от направления /). Кри-
Кривизна нормального сечения поверхности Y/ называется нормальной кривизной
, 2 Д. Л. Гольденвейзер

13
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 1
поверхности в направлении I. Очевидно, что главная нормаль v плоской кри-
кривой yi совпадает с нормалью и поверхности. Поэтому при вычислении нор-
нормальной кривизны 1/R надо в A.4.1) положить ф равным 0 или п. Это дает
следующую формулу для нормальной кривизны поверхности:
A.4.2)
=
R Л? da\ + 2AtA2 cos % d^
A\ da\'
Рис. 2.
R>0
в которой, как это обычно делается в теории поверхностей, перед \/R из двух
возможных знаков поставлен минус. Это значит, что основной триэдр поверх-
поверхности надо строить так, чтобы вектор п был направлен в сторону выпук-
выпуклости тех нормальных сечений поверхности, кривизны которых считаются
положительными (рис. 2).
Принято говорить, что вторая квадратичная форма вместе с первой квад-
квадратичной формой определяют внешнюю геометрию поверхности. Смысл этого
утверждения раскрывается
формулой A.4.2). С ее по-
помощью при заданных Lllt
L12, L22 и Аи А2, х можно
найти нормальные кривизны
поверхности в любом задан-
заданном направлении. Для этого
надо только в A.4.2) соответ-
соответствующим образом выбрать
отношение дифференциалов
da, и da.2.
Выберем на поверхности
некоторую точку Р, построим
в ней касательную плоскость Е и рассечем поверхность плоскостью, па-
параллельной Е и отстоящей от нее на сколько угодно малое расстояние.
В пересечении получится некоторая кривая, которую мы спроектируем на
Е и обозначим буквой S.
Если отнести Е к декартовой системе координат, начало которой на-
находится в точке Р, а оси направлены вдоль векторов Mt и М2, то, сохраняя
в выкладках только бесконечно малые величины самого низкого порядка,
можно показать, что уравнение кривой S будет иметь вид
Изменим подобно кривую S, положив в правой части этого равенства
константу равной =?1. Тогда мы придем к уравнению кривой, носящей наи-
наименование индикатрисы Дюпена.
Индикатриса Дюпена в весьма наглядной форме показывает, как в дан:
ной точке поверхности изменяется кривизна нормального сечения поверх-
поверхности в зависимости от направления этого сечения. Если г|э — угол, который
составляет интересующее нас сечение с аг-линией (рис. 3), то радиус-вектор,
проведенный под углом г|з к оси | из начала координат до пересечения с инди-
индикатрисой Дюпена, равен V~R.
Индикатриса Дюпена в данной точке поверхности может оказаться
а) эллипсом, когда А = LltL22 — Lfa > 0;
б) парой сопряженных гипербол, когда А < 0;
в) парой параллельных прямых, когда А = 0.
В соответствии с этим говорят, что в данной точке поверхность имеет
положительную (при А > 0), отрицательную (при А < 0) или нулевую (при
А = 0) гауссову кривизну (более конкретное содержание этого понятия будет
указано ниже).

$6]
ЛИНИИ КРИВИЗНЫ, АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
19
Типичным примером поверхности, которая всюду имеет положительную
гауссову кривизну, является эллипсоид (индикатриса Дюпена имеет вид
эллипса). Однополостныи гиперболоид является примером поверхности всюду
отрицательной гауссовой кри-
кривизны (индикатриса Дюпена
превращается в пару гипербол).
Цилиндр дает наглядное пред-
представление о поверхности всюду
нулевой гауссовой кривизны
(индикатриса Дюпена вырож-
вырождается в пару параллельных
Рис. 3.
Рис. 4.
прямых). Тор (рис. 4) имеет зону положительной гауссовой кривизны и
зону отрицательной гауссовой кривизны. Эти зоны разделяются двумя
замкнутыми кривыми (одна из них показана на рис. 4), вдоль которых гаус-
гауссова кривизна поверхности равна нулю.
В дальнейшем гауссову кривизну там, где это не может вызвать недора-
недоразумений, мы будем называть просто кривизной поверхности.
§ 5. Сопряженные линии, линии кривизны, асимптотические линии
В каждой точке поверхности, в которой она имеет определенную каса-
касательную плоскость, можно построить кривую второго порядка (или пару
параллельных прямых), являющуюся индикатрисой Дюпена. В связи с этим
в теории поверхностей используются некоторые термины, заимствованные
из аналитической геометрии. Направления сопряженных диаметров индика-
индикатрисы называются сопряженными направлениями на поверхности. Главные
направления индикатрисы называются главными направлениями поверхности.
Наконец, направления асимптот индикатрисы (если они действительны)
называются асимптотическими направлениями поверхности.
Два семейства кривых, касательные к которым в каждой точке поверх-
поверхности сопряжены, образуют сопряженную сеть кривых на поверхности.
Кривые на поверхности, касательные к которым везде совпадают с главными
¦направлениями, называются линиями кривизны.
Кривые, касательные к которым везде совпадают с асимптотическими
направлениями, называются асимптотическими линиями поверхности. Асимп-
Асимптотические линии существуют только в таких точках поверхности, где гаус-
гауссова кривизна не положительна. Через точку, в которой кривизна поверх-
поверхности отрицательна, проходят две асимптотические линии. В точках, где кри-
кривизна поверхности равна нулю, эти две линии сливаются в одну, а в точках,
где кривизна поверхности положительна, они становятся мнимыми. '¦
Отнесем поверхность к криволинейным координатам, в которых аг-
и а2-линии образуют сопряженную сеть. Тогда и индикатриса Дюпена будет

20 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 1
отнесена к сопряженным осям. Это значит, что в левой части равенства A.4.3)
должно пропасть второе слагаемое. Следовательно, для поверхности, отне-
отнесенной к сопряженным криволинейным координатам, L12 = 0.
Поверхность, отнесенная к криволинейным координатам, в которых
<*!- и а2-линии являются линиями кривизны, или коротко, поверхность,
отнесет ai к линиям кривизны, характеризуется тем, что для нее % = л/2,
L12 = 0, так как главные направления поверхности сопряжены и одновре-
одновременно ортогональны.
В теории поверхностей доказывается, что всякую поверхность можно
отнести к линиям кривизны. Координатные линии при этом, вообще говоря,
определятся единственным образом. Исключением является случай, когда
поверхность имеет области с постоянной кривизной. Такие области всегда
представляют собой части сферы, а на сфере любая кривая может рассматри-
рассматриваться как линия кривизны.
Радиусы кривизн нормальных сечений, проведенных вдоль линий кри-
кривизны, мы будем обозначать через Rx и R% и называть главными радиусами
кривизны. Они, как легко убедиться с помощью индикатрисы Дюпена, обла-
обладают экстремальными свойствами, т. е. один из них дает локальный макси-
максимум, а другой — локальный минимум (первый не обязательно будет соответ-
соответствовать наименьшим значениям 1/R).
Считая, что поверхность отнесена к линиям кривизны, и положив
в A.4.2) последовательно а2 = const и а1 = const, получим формулы для
главных кривизн поверхности:
Аналитически не всегда легко бывает найти линии кривизны данной
поверхности, поэтому полезно иметь в виду следующее чисто геометрическое
свойство этих линий: две бесконечно близкие нормали поверхности, проведен-
проведенные через точки одной и той же линии кривизны этой поверхности, не перекре-
перекрещиваются, а пересекаются (пример применения этой теоремы к поверхностям
вращения дан в § 14.9).
В общем случае, когда поверхность отнесена к произвольным криволи-
криволинейным координатам, положив в A.4.2) последовательно а2 =const и а1 =
= const, получим формулы
определяющие нормальные кривизны поверхности в направлениях at- и
аа-линий. Правые части равенств A.5.1) и A.5.2) по форме совпадают, но
величины, входящие в правые части A.5.2), имеют другой смысл, и нормаль-
нормальные кривизны A.5.2) экстремальными свойствами, вообще говоря, не обла-
обладают. В связи с этим для них введены другие обозначения (Rlt R2 — экстре-
экстремальные радиусы нормальных кривизн, a Rllt R22 — произвольные радиусы
нормальной кривизны поверхности в направлении координатных линий;
когда поверхность отнесена к линиям кривизны, Rx = Rlu R2 = R^)-
В дальнейшем в некоторых случаях будет использовано еще одно обозначение
-в- = ~ГГ- A-5.3)
Оно аналогично A.5.2), но R12, представляющее собой меру несопряженности
координатных линий, не имеет такого простого геометрического истолко-
истолкования, как Rllt Ri2.
Пусть поверхность имеет хотя бы одно действительное семейство асим-
асимптотических линий (для этого гауссова кривизна поверхности должна быть

§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА, ЗАДАННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ 21
не положительна). Совместим его с сц-линиями. Тогда в уравнении индика-
индикатрисы Дюпена A.4.3) должен пропасть член с ?2, т. е. будет иметь место
равенство
Lu = 0.
В соответствии с A.5.2) это значит, что Rtl — со, т. е. что нормальная
кривизна поверхности вдоль асимптотических линий равна нулю (кривизна
самой асимптотической линии может быть и отлична от нуля). Это — опре-
определяющее геометрическое свойство асимптотической линии.
В дальнейшем мы часто будем считать, что срединная поверхность обо-
оболочки отнесена к линиям кривизны, так как тогда все формулы максимально
упрощаются. В частности, в этом случае деривационные формулы Гаусса—
Вейнгартена приобретают такой вид:
Л_(М±\ !_ dAt_ _М? _ _Aj_ д I Mf \ 1 дА, М1
da.t\ At ) A, dat A, R, П дац \ А, ) А/ да, At '
„ дп Mi V'5A)
а уравнения Кодацци—Гаусса в линиях кривизны записываются так:
д ( А,- \ 1 dAt
dat \ Rt / *, uu.j ,j gg.
__L_ = !_ Г^_(_L_?jk\. _?_(_!_ .Mi \].
R-iRi /4, A, L da, \ Аг da, / •" da2 \ A, da^ /J *
В несколько более общем случае, когда поверхность отнесена к произ-
произвольной ортогональной системе координат, деривационные формулы Гаусса—
Вейнгартена выражаются равенствами
d / Mi \ 1 dAi ™j Aj Q I Mj \ 1 dA( Mi Ai
Ъщ\~А7)= ~Aj ~daj ~Aj ~~ ~Ril П' "da? \~~Aj) ~ ~A~'Щ ~Aj + Rtj '
дщ - Ru Ac Rtl A, '
а уравнения Кодацци—Гаусса имеют форму
J
_i_f_dL\_l_ J ( Л =
da,- V Ru )~т~ Aj да,- {Ra) Rh да, *
A.5.7)
1 1_ 1 Г д / 1 дА« \ _д_ / 1 дАг \~\
«ii«22 Rb ~ AiA L *ti V Аг даг ) + да., { А2 да., )}'
§ 6. Дифференцирование вектора, заданного на поверхности
Пусть в каждой точке поверхности задан вектор Ь, который разверты-
развертывается по осям подвижного триэдра следующим образом:
4 # A.6.1)
Дифференцируя A.6.1), получим
да( Ах ^ da, А, ^ да{ п "•"" dat\ А,

22 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. t
Производные от векторов подвижного триэдра определяются дерива-
деривационными формулами Гаусса—Вейнгартена, которые, в случае, когда по-
поверхность отнесена к линиям кривизны, имеют вид A.5.4). Воспользовав-
Воспользовавшись этим, можно записать следующие равенства:
J м
At dac \Ai da, AiA,- 6a,- Ri I At '
л_(Л-^И. J__4^b(o)-^i_i_(J_!i*! 4r-)« A6 3)
' \Ai 6a, Л,Л, 6a,- / Л,- \Л,- da^ Ri J
представляющие собой формулы дифференцирования вектора, заданного на
поверхности, в случае, когда последняя отнесена к линиям кривизны.
§ 7. Гауссова кривизна и изгибание поверхностей
Выражения, стоящие в левых частях вторых равенств A.5.5) и A.5.7),
инвариантны относительно замены криволинейных координат. Они назы-
.ваются гауссовой кривизной поверхности и обозначаются через К:
JS 1 1 I ^-11^-22 ^-12 /1 7 П
Легко видеть, что К отличается от дискриминанта индиктрисы Дюпена
А всегда положительным множителем А~2 А^2, и рассмотренные в § 1.4 слу-
случаи А>0, Д<0, Д = 0 отвечают случаям, когда поверхность имеет поло-
положительную, отрицательную и нулевую гауссовы кривизны соответственно.
Теперь можно с новой точки зрения посмотреть на второе из равенств
A.5.5) или A.5.7), т. е. на уравнение Гаусса. Из него вытекает, что К пол-
полностью определяется коэффициентами первой квадратичной формы. Это чрез-
чрезвычайно важное положение возвращает нас к затронутому в § 1.1 понятию
об изгибании поверхностей. Эта деформация характеризуется тем, что пер-
первая квадратичная форма поверхности остается неизменной, и можно теперь
сделать вывод, что при изгибании поверхности остается неизменной также
и ее гауссова кривизна, хотя главные кривизны, конечно, будут меняться.
Одним из простых и вместе с тем чрезвычайно важных следствий этого
положения является то, что из всех поверхностей только поверхности нулевой
гауссовой кривизны могут быть путем изгибания превращены в плоскость,
так как гауссова кривизна плоскости равна, очевидно, нулю (в связи с этим
поверхности нулевой гауссовой кривизны часто называются развертываю-
развертывающимися). Наоборот, никакая часть такой поверхности, как, например,
сфера, не может быть без сморщиваний и разрывов превращена в часть
плоскости.
§ 8. Криволинейные координаты в пространстве
Пусть в трехмерном пространстве дан вектор, зависящий от трех произ-
произвольных параметров
/> />(«„«,). A.8.1)
Тогда, рассматривая Р как радиус-вектор, можно говорить, что каждой
тройке чисел аъ а2, а3 соответствует точка в трехмерном пространстве или
что в трехмерном пространстве определена некоторая система координат.
Положим а3 = aSo = const в A.8.1). Тогда
Р = Р(аи а2, а30) = М (аь а2)
и, следовательно, уравнением а3 = а30 определяется некоторая поверхность,
отнесенная к криволинейной системе координат (ах> аа). Аналогичный смысл
имеют уравнения ах = а10 и а2 = аа0.

$ 81 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ 23
Назовем поверхности а3 = const, а2 = const, а3 = const координатными
поверхностями. Тогда можно говорить, что с помощью равенства A.8.1)
точка в трехмерном пространстве определяется как результат пересечения
трех координатных поверхностей, принадлежащих разным семействам.
Координатные поверхности а2 = const и а3 = const в пересечении дают
пространственную кривую, которую можно назвать о^-линией, так как вдоль
нее изменяется только параметр ах. Аналогично определяются а2- и а3-линии.
Таким образом, можно также говорить, что равенством A.8.1) точка опре-
определяется как результат пересечения трех пространственных кривых, в связи
с чем описываемая система координат называется криволинейной, перемен-
переменные аг, а2, а„ называются параметрами этой координатной системы.
Введем обозначение
Р' = ЖГ (' = 1.2,3).
(В §§ 1.8—2.15 часть индексов принимает, как и раньше, значения 1,2,
но будут встречаться и индексы, принимающие значения 1, 2, 3. Поэтому
мы в §§ 1.8—2.15 будем указывать значения, которые надо придавать ин-
индексам.)
Очевидно, что векторы Р, направлены по касательной к аглиниям,
поэтому координатные линии будут взаимно ортогональны, если выпол-
выполняются равенства
prpf = 0 (i=hi= I, 2, 3), A.8.2)
и в этом случае система координат называется триортогональной.
Здесь и в дальнейшем запись (i Ф j = 1, 2, 3) означает, что индексы i,)
могут принимать значения 1, 2, 3 в любой комбинации, исключая те, в ко-
которых i = /.
Запишем дифференциал вектора Р
dP = />, da, + Рг da, + Ря da*.
Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим формулу для
дифференциала длины дуги в криволинейной системе координат (а1, а2, а3).
Для случая, когда последняя триортогональна, она в силу A.8.2) будет иметь
вид
ds2 = Hl da\ -f- HI da% + Ш dal
Здесь величины Н ъ Н а, Н3, называемые коэффициентами Ламе, определяются
формулами
Я? = /« (i = 1, 2, 3).
Для построения теории оболочек наиболее удобна криволинейная система
координат, в которой равенство A.8.1) имеет вид
Р = Ж (о^ а2) + а8» (а„ а2). A.8.3)
где М (а,, а2) — радиус-вектор некоторой поверхности, которую мы будем
называть исходной и которая отнесена к криволинейным координатам
(а,, а2), а « — единичный вектор нормали исходной поверхности.
Если на исходной поверхности установлены ортогональные криволиней-
криволинейные координаты, то система координат A.8.3), вообще говоря, будет орто-
ортогональна лишь в точках самой исходной поверхности. Рассмотрим в связи
с этим вопрос: как надо выбрать криволинейные координаты на исходной
поверхности, чтобы равенством A.8.3) определялась триортогональная си-
система координат в пространстве.

24 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 1ГЛ. 1
Имеем
Pi = М, (osJt об,) + a3nt (i = 1, 2), Рв = п. A.8.4)
Так как по предположению « — единичный вектор, ортогональный Mit то
и, следовательно,
РгР3 = 0 ' (t = l, 2).
Остается потребовать, чтобы при любых а3 выполнялось равенство
Рх-Р2 = 0. Это приводит к трем требованиям
= 0, М1-«2 + Л12«1 = — 2^ = 0, л1-л2 = 0.
Из первых двух следует, что % = я/2, L12 = 0. Таким образом, криволиней-
криволинейная система координат A.8.3) может быть триортогональной только тогда,
когда на исходной поверхности (а3 = 0) координатными линиями являются
линии кривизны. Это условие не только необходимо, но и достаточно, так как
для поверхности, отнесенной к линиям кривизны, векторы пи n% в силу
A.5.4) пропорциональны векторам Mt и М2 и третье из обсуждаемых требо-
требований также выполняется. Доказанное утверждение представляет собой част-
частный случай теоремы Дюпена, в которой установлено, что координатные линии
произвольной триортогональной системы координат являются линиями кри-
кривизны для координатных поверхностей этой системы.
Выведем формулы для коэффициентов Ламе триортогональной системы
координат A.8.3). Возведя в квадрат обе части каждого из двух'равенств
A.8.4) и учтя равенства A.1.4), A.3.3), A.5.1), A.5.4), получим
(» = 1, 2), /У3=1, A.8.5)
где At и R, не зависят от а3 и представляют собой соответственно коэффи-
коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны исходной-
поверхности.
Из A.8.4) и A.8.5), снова учтя A.5.4), имеем
¦jfT = -jr- (« = 1, 2), ~^-=п. A.8.6)
Дифференцируя первое равенство A.8.5), получим
дН{ dAi д
ctay dat ' 3 да,/
но для множителя при а3 в правой части этого равенства имеют место фор-
формулы A.5.5). Отсюда
(t°hi= 1, 2). A.8.7)
Кроме того, легко видеть, что
dHi Ai <5tf3

ГЛАВА 2
ТРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.
СВЕДЕНИЕ К ДВУМЕРНЫМ УРАВНЕНИЯМ
§ 9. Уравнения теории упругости
в триортогональной системе координат
Отнесем упругую среду, образующую оболочку, к триортогональной
системе координат (а^ а2, а3), описанной в § 1.8, т. е. будем считать, что
Р — радиус-вектор точки трехмерного пространства задается уравне-
уравнением A.8.3), а коэффициенты Ламе Я, подчиняются формулам A.8.5), A.8.7),
A.8.8).
В такой системе координат дифференциальные уравнения теории упру-
упругости для анизотропного тела можно записать так.
Векторное уравнение равновесия:
JL + HiHiH-iq = 0. B.9.1)
- -~
Здесь о(О — вектор упругих напряжений на площадке, нормаль которой
проходит вдоль аглинии, a q — вектор массовых сил. В развернутом виде ff(o
и q будем записывать с помощью формул
(t-1,2,3), B.9.2)
в которых, как и всюду в дальнейшем, векторы Plt Pit P3 выражены через
Ми М2, п в соответствии с A.8.6).
Формулы «деформации ¦— смещения»:
L^K A ±lvMi ... 9
Hi
Щ
i
дщ
dV
Hi
' н3
Pi
~ Hi
dai
¦•«,
dV
Ai
Pi
B.9.3)
1_ dV_ J_,_±_dV_ Pi L dZ. UlLli. — -— M-L
e4 ~ Hi дщ ' Hi "+" Hi da, ' Hi ~ Hi дац ' A, "+" H/ da./ ' Ac
(i=hj=l, 2),
1 dV />3 , 1 dV Pi _ 1 dV dV_ Mi w _ i оч
eu - -Щ -far • -щ + -щ -щ ¦ -щ - -щ ^ -a -f-^ • A. (i - i, i).

26 ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ | ГЛ. 2
Здесь еи и etj — компоненты деформации, V — вектор смещения:
Обобщенный закон Гука
Ее,. = о„ — v (а,.,. + а«) (t * / ^ k = 1, 2, 3),
Ее,, = 2A + v)a(/ (I + j = 1, 2, 3). B"~5'
Здесь ? — модуль Юнга, а v — коэффициент Пуассона.
Под оболочкой постоянной толщины 2h будем подразумевать тело, огра-
ограниченное поверхностями
a3=+fc, a3 = — h. B.9.6)
Исходную поверхность а3 = 0 назовем срединной поверхностью оболочки,
а поверхности a3 = h и а3 = —ft назовем ее лицевыми поверхностями.
Примем, что к лицевым поверхностям B.9.6) приложены силы, векторы
которых, отнесенные к единице поверхности, обозначим через q+ и q~ соот-
соответственно,
Такому загружению отвечают векторные условия на лицевых поверх-
поверхностях
*<••?> |a,=ft = — q+, во» L=-a = tf~. B.9.7)
эквивалентные скалярным условиям
о,-з|а,=±л = :р^ (* = 1.2,3). B.9.8)
§ 10. Гипотезы теории оболочек
В терминах линейной теории упругости определение напряженно-де-
напряженно-деформированного состояния тонкой упругой анизотропной оболочки сводится
к решению трехмерной краевой задачи, состоящей в интегрировании системы
уравнений B.9.1), B.9.3), B.9.5) с учетом условий на лицевых поверхностях
B.9.7) и некоторых граничных условий (вид которых мы пока предрешать не
<5удем) на боковых поверхностях.
Основная проблема общей теории тонких оболочек заключается в при-
приближенном седении сформулированной трехмерной краевой задачи к некоторой
двумерной краевой задаче,Эт;ъ проблема будет подробно рассмотрена в части VI,
а пока, не касаясь связанных с этим математических вопросов, будем решать
ее при помощи некоторых предположений, законность которых подробно
обсуждаться не будет. Наиболее популярны из них предположения, состав-
составляющие так называемую гипотезу Кирхгофа—Лява, которая формулируется
в § 5.28 и более подробно обсуждается в части VI. Однако сейчас будет по-
показано, что проблему сведения можно решить и при помощи несколько из-
измененных гипотез, а именно:
Гипотеза 1 заключается в предположении, что перемещения и не-
некоторые напряжения трехмерной среды, образующей оболочку, меняются
по толщине по определенным законам, а именно
„ (\ j. a" ^ - 7' а" 3<?' п A -)- аМ - S* 4- а" ЗЯ"
" V + ~Ri) ~~W~~h W aH \ ' + ~R, ) — 2ft + h ~2hT
(t^/=l,2), B.10.1)
Ofe = "fe—азЪ (A=l, 2), os=-— w — a8il>, B.10.2)

S И)
КОМПОНЕНТЫ ДЕФОРМАЦИИ ТРЕХМЕРНОЙ СРЕДЫ
27
где величины 7\, S12, S21, Г2, d, Я12, Я21) G2, иъ ы2, ay, Vl v2, t|> — функ-
ции двух переменных а1 и а2, смысл которых выяснится ниже.
Гипотеза 2 заключается в предположении, что некоторые из ра-
равенств, выражающих обобщенный закон Гука, можно заменить более про-
простыми, а именно: вместо
Ееш = 2 A + v) ai3 (i = 1, 2), Ее^ = <т33 — v (<ju -+- cr22)
можно брать равенства
Гипотеза 3 заключается в предположении, что напряжение а33
играет второстепенную роль, вследствие чего в двух следующих равенствах
обобщенного закона Гука
С / \ С л / I \ /О 1 /\ Л\
1~1 0\л === Uii V (CJgo —J— tJoal, С, €aa === tJgo V (CTii —r~ ^33) \^* * U.ftl
o33 можно выразить приближенно формулами
«зз= -Ym + ~2FZ'' m=~
Это значит, что мы заменяем о83 двумя членами его разложения в ряд
Тейлора, т. е. выражаем ст33 формулой
«33 = <*
0 1
и определяем ст33 и о83 так, чтобы выполнялись требования, получающиеся
из B.9.8) при i = 3.
Физический смысл величин, введенных в формулах B.10.5), виден из
рис. 5; т — интенсивность поперечного сжатия; Z' — нормальная равно-
равнодействующая сил, приложенных к лицевым поверхностям оболочки.
§ 11. Компоненты деформации трехмерной среды
Перепишем второе равенство B.10.3)
?езз = — v (o + )
u
а) ¦ B.11.1)
и расшифруем в нем компоненту деформации е33 с помощью формул B.9.3),
B.9.4)

28 ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ |ТЛ. 2
В правой части этого равенства от сс3 зависит только vlt o2, о8, поэтому,
учтя B.10.2), получим
^33 = —^. B.11.2)
Помножив B.11.1) на A 4- щ/Ri) A + a3/R2) и использовав B.11.2)
и B.10.1), будем иметь
Это равенство должно выполняться тождественно по а8. Оно эквивалентно
трем равенствам, вытекающим из требования исчезновения коэффициентов
при аР3, аз, «з. Однако здесь и ниже в подобных случаях мы будем
сохранять только те равенства, которые в дальнейшем не приведут
к противоречию (гипотеза 1 и состоит в предположении о допустимости
таких действий: если бы можно было выполнить все равенства, вытекаю-
вытекающие из принятого закона распределения искомых величин, то это
была бы не гипотеза, а констатация факта существования этого закона).
В данном случае мы ограничимся только коэффициентами при а3', откуда
следует
Обратимся к первому равенству B.10.3). В нем компоненты деформа-
деформации е,3 расшифровываются с помощью B.9.3). Поэтому, учтя A.8.5), можно
написать
Из B.9.4) и B.10.2) вытекает, что V можно представить в виде
у= и + щт—а8г|>«, B.11.5)
где
U=Ul^- + u2^—wn, т = -ъ1Ь.-ъ^. B.11.6)
Поэтому можно написать
_LdV \ dU_ а^дт^ а» д$ а-\ 1\
(п — единичный вектор и поэтому п #-^7 = 0),
Внеся эти результаты в B.11.4) и приравняв нулю коэффициенты при сс§,
получим
(равенство, получающееся приравниванием нулю коэффициента при
отбрасывается).

S 12] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА 29
Обратимся к компонентам деформации е1Ъ е12 и е22. Для них, заменив
в B.9.3) величины Н, и V с помощью A.8.5) и B.11.5), будем иметь
Aj дщ At А( дсц Aj аз Aj дщ Aj ,. . о-.
(* = I, ^),
Aj дщ At А( дсц Aj аз Aj дщ Aj
^ B.11.8)
1
Введем обозначения
__ 1 аг/ жг 1 зи _ Mi
Аг даг Л2 ~т Л2 da2 Лх '
~[ да, А., ' /?, Л2 аа2 Лх ~ Л2 да2 Л, "^~ /?2 Лх За, Л2
(для т даны два выражения, но, как выяснится в дальнейшем, различие между
ними только кажущееся). Тогда внеся B.11.9) в B.11.8) и учтя формулы A.5.4)
для производных от вектора п, будем иметь
(t=
где
_ _1 1_ dm ф Ж2 | 1 !_ dm _ Л!L _
§ 12. Обобщенный закон Гука
Будем теперь преобразовывать упрощенные в соответствии с принятыми
гипотезами равенства обобщенного закона Гука.
Начнем с B.10.4). Эти равенства можно рассматривать как уравнения
относительно ст1Х и ст22, так как ст88 по формуле B.10.5) выражается через
компоненты поверхностной нагрузки. Решая эти уравнения, будем иметь
Помножим обе части этого равенства на (l + -^М ( 1 +$) и примем
во внимание B.10.1) и B.11.10). Получим
B-m)

30 ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ I ГЛ. 2
Возьмем далее второе равенство B.9.5), положив в нем i = 1, / = 2,
и выразим деформацию e(j по формуле B.11.10). Тогда, помножив получен-
полученное равенство на A + a3/#i) A + ot,s/R2) и воспользовавшись B.10.1),
можно написать
521 а
а3 \ _ / S12 а3 ЗЯ12 \ / . а8
Приравняв в B.12.1) и B.12.2) коэффициенты при аз и од\ получим соот-
соответственно две группы формул
B.12.3)
о»
1+V
W _1_ Я И I ?
Яи + "З^Г^21 - 2 + ~Щ Л" - 3A+v) Т-
Во второй из них можно величину г|> выразить с помощью B.11.3), а ве-
величины Tlt 512, S21, Г2 исключить с помощью B.12.3). Тогда, пренебрегая
членами порядка mh по сравнению с членами порядка R,Z', получим
,2), B.12.5)
В части VI показывается, что допускаемые при этом погрешности не вы-
выходят за рамки тех, которые связаны с принятием гипотез § 2.10.
§ 13. Первое осредненное уравнение равновесия теории упругости
Будем теперь преобразовывать векторное уравнение равновесия B.9.1),
B.9.2).
Учитывая формулы A.8.5) и B.10.1), можно написать
и) = Л,- [-^ о31( 1 + -|l)я + -§- т«>] (* * / = 1, 2), B.13.1)
где приняты обозначения
^i^L -в(^- + Н^ (i + l= 1,2). B.13.2)

S 13] ПЕРВОЕ ОСРЕДНЕННОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ 31
Назовем первым осредненным уравнением равновесия теории упругости
результат интегрирования по а3 в промежутке (—h, +h) векторного уравне-
уравнения равновесия теории упругости. Оно записывается так:
+ +
— J а|- (Я2Яз<гA,Маз— j -~ (HxH3ai2))da3—
-h -ft
"~ J Ш; (Я»Я2О<3>)daa + J Я1Я2Я3^г daa =» 0. B.13.3)
J
—й
Учитывая B.13.1), B.13.2), можно написать
= -?- (Л;#('») (t + } = 1, 2), B.13.4)
где
J
—ft
но г<'> и ira<" определены равенствами B.13.2) и не зависят от а3, поэтому,
введя обозначения
J
J(jg) 2) B.13.6)
—А
и выполнив в B.13.5) интегрирование, можно написать
/?"> = /" + N(n = - Tt Щ- - Slt ^ + Ntn (i + j = 1, 2). B.13.7)
Далее имеем
а так как значения а<з) на лицевых поверхностях определяются равен-
равенствами B.9.7), то
J
- B-13'8)
Подставив B.13.4) и B.13.8) в равенство B.13.3), получим первое осред-
ненное уравнение равновесия теории упругости в виде
где

32 ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ?ГЛ. 2
§ 14. Второе осредненное уравнение равновесия
теории упругости
Под вторым осредненным уравнением равновесия теории упругости под-
подразумевается результат векторного умножения уравнения равновесия теории
упругости на а3п и последующего интегрирования по а3 в промежутке
(—h,+h). Оно записывается так:
— J [-^-(Я2ЯзОA)) X <хзй] da3— J
—h —ft
— j [-А-(HiH&w) X а,,/»] das + j" НгН2НЛ(q x a3w)da3 = 0. B.14.1)
Подсчитаем выражения, входящие в левую часть B.14.1). Учитывая
B.13.1), можно написать
) х asn =
(^/=Ь 2).
В этом равенстве под я, подразумевается производная от я, определяемая
формулами A.5.4). Имея это в виду, получим
x
—А
(i + i=\, 2). B.14.2)
Кроме того, интегрируя по частям, будем иметь
j [ 1§7 (HlH*a^ х азЛ] dtt3 = 1Я1Я20<3) X азЯ]±й — J (Я1
А ft
j [ 7 ] J 12() X
—А —ft
B.14.3)
Здесь в силу условия на лицевых поверхностях B.9.7), для первого слагае-
слагаемого правой части можно написать
[Я1Я2аC, х
B.14.4)

! НЕ БОЛЕЕ »И КНИГИ В
\ ОДНИ РУКИ И 2XS ДВЕ ]
§ 14]
ВТОРОЕ ОСРЕДНЕННОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
33
а второе слагаемое расшифровывается так:
-4-h
X n)da3 =
+ft
^гхи)[с
. B.14.5)
В свою очередь, интегралы, входящие в последнее равенство, можно с по-
помощью B.13.6) преобразовать так:
* 0 +i-)A +it)da°=-N' +^r
l, 2).
B 14.6)
Раскрыв смысл mA), m<2) согласно B.13.2) и выполнив векторное пере-
перемножение, напишем
mw х -^- = (—1)' Я/Чи
Введем, кроме того, обозначения
1, 2).
B.14.7)
+Г
J
-g-)(l+-^)da8, B.14.8)
ц^/= 1, 2). B.14.9)
Тогда, подставив все эти результаты в B.14.2), B.14.3), будем иметь
+ (— 1)'
: + /«!. 2),
+h +h
— j [•^-(Я1Я2а{3)) X а3л] da3 -f J H\H2(q X a3n)da3
—л —ft
! НЕ БОЛЕЕ »И КНИГИ В
\ ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ !
3 А.Л.Гольденвейзер
КОЛОХ2А
\
'4

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ i ГЛ. 2
Отсюда следует, что второе осредненное уравнение равновесия теории упру-
упругости B.14.1) можно записать в виде
—N^) + AxAaQ = 0. B.14.10)
Замечание. Второе осредненное уравнение равновесия получается в результате вектор-
векторного иомножения некоторого равенства на я. Поэтому нормальная составляющая его левой
части должна тождественно исчезать. Может показаться, что этому противоречит вид левой
части уравнения B.14.10). Однако можно убедиться, что в ней нормальные составляющие,
содержащиеся в первых двух слагаемых, взаимно уничтожаются с третьим слагаемым. При
проверке этого утверждения надо использовать деривационные формулы A.5.4).
§ 15. Полная двумерная система дифференциальных уравнений
теории оболочек
В §§ 2.10—2.14 были введены в рассмотрение следующие двумерные (за-
(зависящие только от двух переменных а1г а2) величины.
С помощью формул B.10.1) определено восемь величин
Tlt Sn, S,,, Тш, G1( Я21, Ни, Ga. B.15.1)
Формулами B.11.9) определено шесть величин
е^ со, еа, къ Иг, т. B.15.2)
Формулами B.13.6) определены две величины
Nlt Nt. B.15.3)
Кроме того, были использованы вектор U, имеющий компоненты
«!, ua, w, B.15.4)
и вектор т, имеющий компоненты
Ti. Ys- B-15.5)
Всего, таким образом, введена 21 величина B.15.1) — B.15.5). Для них
построены следующие соотношения *).
1) шесть формул B.11.9), с помощью которых величины B.15.2) выра-
выражаются через компоненты векторов U и т, т. е. в конечном итоге через
величины B.15.4) и B.15.5);
2) две формулы B.11.7), с помощью которых B.15.5) выражаются через
B.15.4);
3) восемь формул B.12.3) и B.12.4), связывающих между собой B.15.1)
и B.15.2);
4) первое осредненное векторное уравнение равновесия теории упругости
B.13.9), эквивалентное трем скалярным уравнениям, относительно величин
B.15.1) и B.15.3);
5) второе осредненное векторное уравнение равновесия теории упру-
упругости B.14.10), эквивалентное двум скалярным уравнениям (см. замечание
в § 2.14) относительно величин B.15.1) и B.15.3).
•) Учитывается, что каждое равенство, содержащее индексы I, J, эквивалентно двум.

§ 16 НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧКИ 35
В общей сложности получилось 21 двумерное уравнение для определе-
определения 21 двумерной величины. Это значит, что гипотезы, принятые в § 2.10,
достаточны, чтобы свести систему трехмерных дифференциальных уравне-
уравнений теории упругости к системе двумерных уравнений теории оболочек
B.11.9), B.11.7), B.12.3), B.12.4), B.13.9) и B.14.10).
§ 16. Напряженно-деформированное состояние
упругой среды оболочки
Пусть решена некоторая краевая задача двумерной теории оболочек,
т. е. определены величины B.15.1)—B.15.5), удовлетворяющие описанной
в § 2.15 системе двумерных (с независимыми переменными а.г, а2) уравне-
уравнений. Тогда можно приближенно построить все напряжения и перемещения
упругой среды, составляющей оболочку.
Зная величины B.15.1)—B.15.5), по формуле B.11.3) находим функ-
функцию я|). В результате станут известны все члены правых частей равенств
B.10.1), B.10.2), определяющих напряжения а,,, а12, а22 и упругие пере-
перемещения Oj, v2, v3. Для полного определения напряженно-деформированного
состояния остается построить напряжения ai3 и а33. Этого можно достичь
при помощи уравнений равновесия теории упругости.
Векторное уравнение равновесия B.9.1) эквивалентно трем скалярным
уравнениям, которые, учитывая, что Н3 = 1, можно записать следующим
образом:
°« + ЖГа" + HtHfli = ° ° ф' = 1( 2)' BЛ6Л)
а2,
- 0.
Первое из этих равенств эквивалентно двум уравнениям, и в каждом из
них содержится по одному неизвестному а13 и ags. Остальные напряжения
уже построены по формулам B.10.1). Каждое из напряжений а13 и а23 опре-
определяется при помощи одной квадратуры по а3, которую можно эффективно
выполнить, так как зависимость величин <т11( а12, а22, Нг, Н2 от а3 выраже-
выражена явно: это видно из формул A.8.5), B.10.1). Для определения произ-
произвольных функций интегрирования мы имеем условия на лицевых поверх-
поверхностях B.9.7).
Таким же образом, ценой еще одной квадратуры по а3 из второго равен-
равенства B.16.1), считая в нем уже известными и а13, а23) найдем последнее
напряжение а33. Для него произвольная функция интегрирования опре-
определится из условий на лицевых поверхностях B.9.8).
Замечания. 1. Условия на лицевых поверхностях B.9.7), B.9.8) содержат шесть равенств,
а для определения произвольных функций интегрирования, возникающих при вышеописанном
методе построения а,-3» Озз- достаточно только трех. В этом нет противоречия, так как можно
показать, что из каждой пары условий B.9.7), B.9.8) достаточно выполнить только какое-либо
одно. Второе условие каждой пары будет выполняться автоматически, как следствие того, что
удовлетворяется первое осредненное уравнение равновесия.
2. После того как будут определены а,-а, можно по формуле B.13.6) найтн величины Nt,
но они входят в число величин B.15.1)—B.15.5), которые, по предположению, уже найдены
независимо от того, чему равны 0,-3. В этом тоже нет противоречия, так как можно показать,
что, если выполнено второе осредненное уравнение равновесия, то по формуле B.13.6) мы
получим для Ni такое же значение, как и при интегрировании уравнений § 2.15.

36 ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ I ГЛ. 2
Формулы для а13, а23, о33, получающиеся вышеописанным способом,
громоздки, и мы их не приводим. В части VI будет показано, что во всех тех
случаях, когда можно применять двумерную теорию оболочек, а13, а23, <*зз
существенно меньше напряжений ollt а12, а22, и, как правило, достаточно
вычислить только последние. Отметим однако, что принципиально возможно
построить и второстепенные напряжения а13, а23, а33- Поэтому можно счи-
считать, что точное выполнение первого и второго осредненных уравнений равно-
равновесия обеспечивает точное выполнение уравнений равновесия трехмерной тео-
теории упругости. Для этого достаточно условиться, что а13, а23. о33 должны
быть определены из уравнений равновесия B.16.1).
Для понимания дальнейшего надо иметь в виду, что напряженно-де-
напряженно-деформированное состояние оболочки, построенное описанным приближенным
методом, не удовлетворяет (во второстепенных слагаемых) закону парности
касательных напряжений. Это видно из второго равенства B.10.1), в силу
которого а12 ф а81.

ГЛАВА 3
СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ 17. Усилия и моменты
Введем понятие о нормальных сечениях оболочки, проведенных вдоль
некоторых линий у ее срединной поверхности S. Под этим подразумевается
сечение оболочки линейчатой поверхностью, составленной семейством нор-
нормалей к S, построенных в каждой точке у.
Если срединная поверхность S замкнута, то замкнутой будет называться
и соответствующая оболочка; в этом случае можно сказать, что оболочка
разграничивается от остального пространства двумя лицевыми поверхно-
поверхностями: наружной S* и внутренней S', равноотстоящими от S. В более общем
случае, когда S имеет боковые границы, можно считать, что оболочка выде-
выделена из некоторой замкнутей оболочки нормальными сечениями, проведен-
проведенными вдоль кривых уъ у2, . . ., уп. Эти нормальные сечения будут называться
краями оболочки. В реальных конструкциях края оболочки не всегда совпа-
совпадают с нормальными сечениями, но такое различие, ввиду малости h, можно
игнорировать.
Будем считать, что оболочка, как трехмерное тело, отнесена к триорто-
гональной системе координат A.8.3), рассмотрим нормальное сечение, про-
проведенное вдоль линии у и обозначим через о (аг, а2, а3) напряжения, возни-
возникающие в этом сечении.
Тогда вектор отнесенного к длине дуги усилия /?(VI и вектор отнесен-
отнесенного к длине дуги момента Q(v) в соответствующем нормальном сечении обо-
оболочки определяются равенствами
4-ft -t-h
Rwdsy= I ads"yda3, Q(v)dsv= f (о х а3л) ds"y da3, C.17.1)
Л Л
где dsy — дифференциал длины дуги линии у, a ds*v — дифференциал длины
дуги линии 7*. которую описывает на рассматриваемом поперечном сечении
точка, отстоящая на расстоянии а3 от срединной поверхности (рис. 6).
Построим в каждой точке у триэдр, состоящий из трех взаимно перпен-
перпендикулярных единичных векторов s, t, п, где п — вектор нормали срединной
поверхности, s — вектор касательной к кривой у, a t — вектор тангенциаль-
тангенциальной нормали, т. е. вектор, лежащий в касательной плоскости к срединной
поверхности и направленный так, что тройка векторов t, s, n ориентирована
в пространстве так же, как тройка векторов Mlt М2, п. Тогда векторы /?<?>
и Q(v) можно представить в виде
C.17.2)
(вектор Q(y), как видно из C.17.1), не имеет нормальной составляющей).
Когда у совпадает с координатной линией at = const, мы условимся
обозначать векторы усилий и моментов на этих нормальных сечениях через

38
СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. 3
/?<<>, QO соответственно и, развертывая эти векторы по осям основного
триэдра (§ 1.2), будем отмечать их компоненты индексами i. Таким об-
образом *), ,
%% [?,^]. C.17.3)
Знаки перед компонентами усилий и моментов в правых частях этих
формул выбраны, исходя из предположения, что положительные направле-
направления упругих усилий и моментов расположены так, как изображено на рис. 7.
Рис. 6.
Рис. 7.
Покажем теперь, что введенные здесь векторы /?('>, Q(" по смыслу сов-
совпадают с векторами B.13.7) и B.14.9), которым в §§ 2.13, 2.14 были даны та-
такие же обозначения.
Векторы /?(() и Q<" получатся, если в формулах C.17.1) под у подразу-
подразумевать а/-линию. Таким образом,
RU) ds, = j a@ dSjda.3, QU) ds, = j (а@ х as») dsjda3. C.17.4)
-ft
-ft
Для пространства, отнесенного к триортогональной системе коорди-
координат A.8.3),
ds} = Н, da, = А, A + -^-) daf, ds; = dsj |ej=0 = Л, da,,
а <1(п определяется равенством
м
м
IT О21 —Г
/1] /l<f
Подставив эти результаты в C.17.4), получим
>('¦)
Mt
*а—*¦%¦-
Mi
—ft
J
х
-ft
*) Начиная отсюда мы снова не будем указывать значений (', j. Всегда считается, что в от-
отдельности эти индексы могут иметь значения 1, 2, но если они входят в одну формулу, то должно
выполняться условие i ф /.

—h
§ 181 ВЕКТОРЫ ВНЕШНИХ СИЛ И ВНЕШНИХ МОМЕНТОВ 39
Отсюда вытекают равенства
+h ' +h
Т,- Jofl(l + ^)d*3, S,« = Jo/((l + ^)da9,
—h —h
B) C.17.5)
H,t
связывающие усилия и моменты, возникающие на координатных сечениях
оболочки, с напряжениями трехмерной среды.
Третья из этих формул совпадает с B.13.6), остальные формулы легко
получить из B.10.1), интегрируя эти равенства по а8. Отсюда и следует спра-
справедливость обсуждаемого утверждения.
Согласно закону парности касательных напряжений теории упругости
должно выполняться раренство
о*-о*. C.17.6)
В теории оболочек, как уже говорилось, оно нарушается, так как ему про-
противоречит гипотеза 1 (§ 2.10). Если тем не менее считать справедливым
C.17.6), то второе и пятое равенства C.17.5) в развернутом виде можно за-
записать так:
+h
j j a12as da3, S12 = j <r12 da3 + -щ- j a12a3
C.17.7)
+h ¦ +h 4-h +h
Я21 = J <т12а3 da3 + — J o\2al da3, Ни = J ai2a3da3 + -^- J
—h т-h —h —ft
Три интеграла, входящих в эти четыре равенства, можно исключить, и
тогда получится условное уравнение
S21-S12 + 4f-^- = 0. C-17.8)
Ниже мы увидим, что существуют различные варианты теории оболочек.
В некоторых из них уравнение C.17.8) «случайно» выполняется, а в других
оно оказывается нарушенным. К обсуждению связанных с этим вопросов еще
предстоит вернуться.
§ 18. Векторы внешних сил и внешних моментов
Пусть на оболочку действуют внешние силы, которые могут быть при-
приложены к внутренним точкам оболочки (массовые силы) нли к ее лицевым
поверхностям S*, S~. Нанесем на срединной поверхности некоторый замк-
замкнутый контур у и выделим часть оболочки, проведя через у нормаль-
нормальное сечение. Внешние силы, приложенные к этой части оболочки, будут
статически эквивалентны силе /?' и моменту Q', взятому относительно
некоторой точки срединной поверхности, лежащей внутри у.

40 СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 9
Составим выражения
(Sv — площадь части срединной поверхности, охваченной контуром у) и
перейдем к пределу при Sv —> 0. Полученные таким предельным переходом
величины R и Q мы будем называть вектором внешних сил и вектором внеш-
внешних моментов.
Если q+ (аь а2) и ^~ (аь а2) — силы, приложенные соответственно
к внешней и внутренней поверхностям оболочки, a q (а1; а2, а3) — массовые
силы, то
<Г J
—ft
+f" C.18.1)
Q dS = (tf+ x ha) dS+ — far x ha) dS~ + J (q x а3л) dS* das,
где dS, dS+, dS~, dS* — соответственно дифференциалы площади средин-
срединной поверхности, наружной и внутренней поверхностей и поверхности, от-
отстоящей на расстояние а3 от срединной.
В триортогональной системе координат A.8.3) имеем
dS* = ВД dot! dc% = A + ¦%) A + -g
(^) ( |) dS =
Подставив этот результат в C.18.1) и произведя сокращение на
АгА2 da1 da2, получим снова формулы B.13.10) и B.14.8). Отсюда следует,
что вектор внешних сил R и вектор внешних моментов Q по смыслу совпа-
совпадают с теми величинами, которые были обозначены теми же буквами
в §§ 2.13, 2.14.
§ 19. Уравнения равновесия теории оболочек
Первое осредненное уравнение равновесия B.13.9) получено в резуль-
результате интегрирования по толщине оболочки дифференциального уравнения
равновесия теории упругости. Это значит, что, если выделить показанный
на рис. 8 элемент тела оболочки V с помощью поперечных сечений, проведен-
проведенных через стороны сколь угодно малого координатного четырехугольника, то
равенство B.13.9) будет представлять собой условие уравновешенности всех
сил, приложенных к У (в направлении а3 элемент V имеет конечное, хотя
и малое протяжение, а в направлении аг, а2 он сколь угодно мал). Основы-
Основываясь на этом, будем называть первое осредненное уравнение равновесия
теории упругости, т. е. равенство
-4r(A*R{1))~ik{AiRi2)) + AiAiR = 0' (ЗЛ9Л)
силовым уравнением равновесия теории оболочек.
Рассмотрим второе осредненное уравнение равновесия теории оболочек
B.14.10) и перепишем его так:
AlA1Q = 0. C.19.2)

S 191
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Здесь под Q подразумевается следующее выражение:
Й— Q С _i_ ^ai #ia
— «21 ^12 -Г ~р р~ »
C.19.3)
так что C.19.2) получено из B.14.10) прибавлением и вычитанием одной
и той же величины.
Учитывая, что
М,. = А, (- Ti Jjj— S,, ^
х М
,
уУ~ + 5,/л)> C.19.4)
можно второе осредненное уравнение равновесия теории упругости пере-
переписать так:
х Л,-
Х
= 0. C.19.5)
Оно получается в результате векторного умножения на а3п и последующего
интегрирования по толщине уравнения равновесия теории упругости, а сле-
следовательно, выражает условие уравновешенности моментов относительно
тангенциальных осей от всех сил,
приложенных к V (рис. 8). Уравно-
Уравновешенность моментов относительно
оси п уравнение C.19.5), как было
указано, не обеспечивает. Можно по-
показать, что условие отсутствия мо-,
ментов относительно оси п выра-
выражается равенством
й = 0. C.19.5а)
Отсюда следует, что уравнение
Рис. 8.
C.19.6)
получающееся из C.19.5) при Q = 0, выражает уравновешенность моментов
относительно всех осей; оно будет называться моментным уравнением равно-
равновесия теории оболочек.
Таким образом, силовое уравнение равновесия идентично первому осред-
ненному уравнению равновесия (последний термин больше употребляться не
будет), но моментное уравнение равновесия содержит больше требований,
чем второе осредненное уравнение равновесия (в дальнейшем эти понятия будут
различаться).
Векторы /?<'>, Qi(), входящие в C.19.1) и C.19.6), расшифровываются
с помощью формул C.17.3). Их можно рассматривать как векторы интенсив-
интенсивности сил и моментов, приложенных к сторонам сколь, угодно малого коор-
координатного прямоугольника S, выделенного на срединной поверхности обо-
оболочки. Равным образом R и Q, которые в развернутом виде мы будем запи-
записывать так:
О V -* I V " V— Г\ V "li V ^ /о ]Л 7\
1\ = Ai —. \~ Ла -. Lill, W = I \ ; I о —я ' • \0. IZ/. I Г

42 СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 3
можно рассматривать как векторы интенсивности сил и моментов, приложен-
приложенных к поверхности S. Тогда уравнения C.19.1) C.19.5), C.19.6) будут выра-
выражать условия уравновешенности всех сил и всех моментов, действующих на S.
Силовое и моментное уравнение равновесия представляют собой вектор-
векторные равенства. В совокупности они эквивалентны шести скалярным уравне-
уравнениям. Их можно получить, пользуясь формулами A.6.3) для дифференциро-
дифференцирования вектора, развернутого по осям основного триэдра.
Положим в A.6.3) последовательно
b = A,Ra) и Ь=АгЯB). C.19.8)
Тогда, раскрывая #A), R<2\ по формулам C.17.3) можно каждое из вектор-
векторных равенств C.19.8) заменить тремя скалярными
Отсюда с помощью A.6.3) получаем
^r,].. C.19.9)
Равным образом, положив в A.6.3) последовательно
и b =
и заметив, что, в силу C.17.3), каждое из этих векторных равенств эквива-
эквивалентно трем скалярным
получим с помощью A.6.3)
f3.19.10)
Подставив теперь C.19.4), C.19.7), C.19.9), C.19.10) в силовое и момент-
моментное уравнения равновесия C.19.1) и C.19.6), получим шесть искомых скаляр-
скалярных уравнений равновесия для оболочки, средняя поверхность которой от-
отнесена к линиям кривизны:
т АА^ +
-0, C.19.11)

S20]
УСИЛИЯ И МОМЕНТЫ НА КОСЫХ СЕЧЕНИЯХ
43
Векторы R и Q выше были определены формулами B.13.10) и B.14.8),
а здесь для них приняты формулы C.19.7). Поэтому, учтя еще B.9.2), можно
компоненты векторов интенсивности внешних сил и интенсивности внешних
моментов выразить через компоненты вектора массовых сил q и компоненты
векторов сил q+, q~, приложенных к лицевым поверхностям оболочки, сле-
следующим образом:
)
—h
—h
(ЗЛ9Л2)
$
—й
§ 20. Усилия и моменты на косых сечениях
Напряженное состояние оболочки в данной точке срединной поверх-
поверхности задается четырьмя векторами /?A), R<2), Q(l>, Qi2>, которые с помощью
формул C.17.3) в свою очередь задаются десятью усилиями и моментами 7\,
52i, S12, T2, Gu H21, H12, G2, Nlf N2.
Усилия и моменты на косых (не коорди-
координатных) сечениях могут быть выражены
через эти величины. Чтобы вывести соот-
соответствующие формулы, выделим на средин-
срединной поверхности оболочки вблизи интере-
интересующей нас точки бесконечно малый кри-
криволинейный треугольник abc (рис. 9) и
будем считать, что стороны ab и ас обра-
образуются отрезками ах- и а2-линий соот-
соответственно, а сторона be направлена так,
что она составляет с с^-линией угол к.
Обозначим через dslt ds2, dsy длины сто-
сторон ab, ас и be и заменим действие от-
отброшенной части оболочки усилиями и
моментами, приложенными к сторонам выделенного треугольника (на ри-
рисунке векторы моментов не изображены). Из рассуждений, приведенных
в § 3.19, вытекает, что силы, приложенные к сторонам треугольника abc,
должны уравновешивать друг друга (силы, распределенные по площади тре-
треугольника, не надо учитывать, как дающие равнодействующую высшего по-
порядка малости). Таким образом,
Рис. 9.
Учитывая, что
dsk = cos A. dsy, dst — sin A, dsy,

44
СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ЛЛ- 3
можно написать также
/?B) cos X + /?A> sin Jt + /?w = О
или,1 развернув векторы /?<'>, /?<2) и /?<v> по формулам C.17.3), C.17.2),
— Ss — П + й) = ". C.2П.1)
Выполним последовательно скалярное помножение C.20.1) на единич-
единичные векторы s, t, n и заметим, что, как видно из рис. 9,
S--%± = — cos A,, s--^-=slnA,, sb = 0,
Отсюда для усилий S, Т, N на косом сечении получаем такие формулы:
S = G\ — Г2) sin Я, cos Я, — Sn sin2 Я, + S12 cos2 Я,,
Г = — Г, sin2 А.— Г2 cos2 А.—(S12 + Sgl)sin Я, cos A,, C.20.2)
Формулы перехода от моментов на координатных сечениях к моментам,
возникающим на косых сечениях, можно таким же образом вывести из тре-
требования уравновешенности всех моментов, приложенных к сторонам тре-
треугольника abc. Они записываются так:
Н = Я21 sin2 А,— Н1г cos2 A. -f (Gi — G2) sin Я, cos A.,
G = (Ha + H12)sm XcosX—GlSin2^ — G2cos2X. C.20.3)
§ 21. Функции напряжения
Покажем, что в теории оболочек, так же как и в теории упругости,
можно построить функции напряжений, т. е., что десять усилий и моментов
теории оболочек 7\, S21, S12, 7\, Glt Я21, Я12, G2, Л^!, jV2 можно выразить
через некоторые произвольные функции и их производные так, что однород-
однородные уравнения равновесия будут тождественно (при любом выборе этих
функций) удовлетворяться [38, 77].
Замечание. Строго говоря, функции, которые будут здесь введены, надо было бы назвать
функциями усилий и моментов, но для краткости мы используем здесь термин теории упру-
упругости, укоренившийся уже и в теории оболочек.
Легко видеть, что при R = 0 силовое уравнение равновесия C.19.1)
тождественно удовлетворяется, если положить
где L — произвольный вектор.
Заменим в моментном уравнении равновесия C.19.6) A^RM и Л2/?A)
по формулам C.21.1); тогда при Q = 0 оно примет вид
-¦? DQA>)- ? 04xQB)) —? X Af2 + ? X Ж, = 0. C.21.2)

§ 21] ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЯ 45
Этому уравнению можно удовлетворить, положив
AtQ{2> = ^+LxMu A2Qa> = —1?— L x M» C.21.3)
каков бы ни был вектор К.
Таким образом, /?(I), /?B), Qa\ Q<2) оказались выраженными через два
произвольных вектора L и К так, что оба однородных уравнения равновесия
тождественно удовлетворяются. Однако L и К нельзя брать совершенно не-
независимыми друг от друга, потому, что при этом QA> и QB), определенные
равенствами C.21.3), будут в общем случае иметь отличные от нуля нормаль-
нормальные компоненты, что противоречит второму равенству C.17.3). Помножим
поэтому обе части равенств C.21.3) скалярно на п и потребуем, чтобы левые
части обратились в нули.
Тогда, воспользовавшись формулами скалярного умножения A.2.2), по-
получим два скалярных равенства
«L.e + (_lLL.-^-O. C.21.4)
ограничивающие произвол векторов L и К.
Из C.21.1), C.21.3) легко вывести формулы, выражающие усилия и мо-
моменты через векторы функций напряжения L и К. Для этого внесем в C.21.1),
C.21.3) развернутые выражения C.17.3) для /?"', Q"» и будем помножать
полученные равенства на единичные векторы основного триэдра. Получим
ы*-ь-Ъ1-к?;-* C-2L5)
(в силу C.21.4) равенства, получаемые помножением C.21.3) на п, обращаются
в тождества).
Примем, что L и К развертываются по осям основного триэдра следую-
следующим образом:
^^ ^ ^—сп, C.21.6)
где ij?!, г(э2, %, а1г а2, с — произвольные функции, которые будут называться
функциями напряокения.
Отождествим в формулах дифференцирования A.6.3) вектор & с L, т.е.
положим
тогда можно написать

46 СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 1ГЛ. 3
Подставив этот результат в C.21.5), получим формулы, выражающие
усилия через функции напряжения ¦^>1, тр2, %:
' ( > Ж '
A, да,^ AiA, да( W" °i'~ А, да, ^ AtA, да(
т (-1)' д% %
{~ А, да, ~Rj'
C.21.8)
. Таким же образом, отождествив Ь с К в формулах A.6.3), будем иметь
jw_ _ (_^., j_mln — а _?_^ jul л.
dat ~ \ da,i "^ A, da.j u' ' Rt ) А ~*~
Отсюда по. формулам C.21.5) получаем также формулы, связывающие мо-
моменты с функциями напряжения аи а2, с,
С — _JL_^ ^
? ~~ Л, За
JL ^
Л, За, + AtA, dat °'
_ 1 За, 1 3^;
"I* - ~А~, Ж7 ~ ATA; 'даТ '
Кроме того, внеся C.21.7) и C.21.9) в формулы C.21.4), мы получаем
равенства
¦'--зг ¦?¦ + ¦?• <3-21Л°)
которые показывают, что две из шести введенных выше функций напряжения
не являются независимыми.
Исключив в C.21.8) tylt г|>2 с помощью C.21.10), получим формулы
Г — ' д ( ' дс I. °') I I dAi ( I & , а{ \
1 А, да, \Aj да/ "•" R,}^ А{А, dat \ At да( "^ R{ ) '
с 1 3 / 1 дс at \ 1 ^// 1 дс а,\ , t
°'1 * А, да, \ At да{~т~ Rt ) ^ AtA, да( \ А, да, ^ R,) { l> R, '
\ ( \ дс at \ (o «I ¦ 1ч
\ + ) C.21.11)
А, ,да, "*¦ AiA, da, ' R, '
Очевидно, что выражение таким образом усилия и моменты будут удо-
удовлетворять шести однородным скалярным уравнениям равновесия теории
оболочек, какими бы ни были достаточное число раз дифференцируемые функ-
функции напряжения аи а2, с, %. Это значит, что последние играют в теории обо-
оболочек такую же роль, как функции Максвелла—Морера в теории упругости.

ГЛАВА 4
ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ 22. Векторы упругого перемещения
и упругого вращения срединной поверхности
В § 2.11 вектор смещения упругой среды, образующей оболочку, был
формулой B.11.5) представлен в виде
V = U + аат — а3^п, D.22.1)
где векторы U, т и скаляр г|з зависят только от (аъ аг). Положив а3 = О
в D.22.1), убеждаемся, что U представляет собой значение, которое прини-
принимает V на срединной поверхности. Поэтому естественно назвать U вектором
упругого перемещения срединной поверхности. В развернутом виде будем за-
записывать U, так же как в § 2.11, с помощью формулы
U=u1^ + u^~wn D.22.2)
и назовем иь и2 — тангенциальными компонентами упругого смещения
оболочки, a w — нормальной компонентой или прогибом оболочки.
В книге вопросы нелинейной теории оболочек не рассматриваются, и
поэтому всюду будет считаться, что компоненты упругого смещения ии
и2, w и все их производные по (аи а2) настолько малы, что члены, нелиней-
нелинейные относительно этих величин, можно отбрасывать.
Введем далее следующие обозначения для углов поворота, возникающих
в процессе деформации или смещения оболочки (рис. 10):
у, — угол, на который поворачивается вектор Mt в сторону вектора п
в плоскости М,, п\
со, — угол, на который поворачивается вектор Mt в сторону вектора Af>
в касательной плоскости.
Очевидно, что са = <ог + са2 равно изменению угла % между координат-
координатными линиями, аб= (са2 — <fli)/2 можно принять за меру угла поворота
элемента срединной поверхности вокруг нормали от М1 к Af2.
Введем понятие о векторе упругого вращения Г, определив его равен-
равенством
r = T,4L-Ti4s~e». D-22.3)
Вектор Г изображает упругие повороты, имеющие место в срединной
поверхности оболочки. Его направление выбрано так, что положительный
поворот при взгляде с положительной стороны Г будет совершаться против
часовой стрелки *).
*) В [48] было принято прямо противоположное правило знаков для углов поворота.
Вектор упругого вращения там был обозначен через Q. Эта величина по смыслу совпадает
с — Г. Компоненты ?,, ?». 6 вектора Q в [48] имеют тот же смысл, что и здесь.

48
ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
1.ГЛ. 4
Векторы U и Г, конечно, не независимы, так как упругие повороты в сре-
срединной поверхности полностью определяются смещениями, которые она ис-
испытывает. Поэтому можно вывести три скалярных соотношения, связываю-
связывающие V и Г.
Помножая скалярно D.22.3) на Мх, М2 и п, получаем
Т>, = (-1)'Г.^, б = — Тп
Вместе с тем -уц Va» 6 можно выразить и через вектор U.
1Ч Плоскость М. ,п
D.22.4)
Рис. 10.
Пусть М' обозначает вектор деформированной срединной поверхности
М' = М -f U, D.22.5)
откуда
(индексы при М' и U обозначают производные по соответствующим аргу-
аргументам). Помножив это равенство скалярно на п, получим:
M'in = Mrn-\-Utn = Ut-n.
Длина вектора Mi равна А'{, а угол между МJ и п согласно данному выше
определению равен -^ yt. Таким образом,
Mi-n = At sin у.
Но А\ (коэффициенты первой квадратичной формы деформированной средин-
срединной поверхности) отличаются от А, на величину порядка компонент смеще-
смещения, поэтому в линейной теории последнее равенство надо заменить таким:
Таким образом,
D.22.6)

§ 221 ВЕКТОРЫ УПРУГОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И УПРУГОГО ВРАЩЕНИЯ 49
Сопоставляя это равенство с первым из соотношений D.22.4), получим:
-^¦•Я — (—1)'Г.-^- = 0. D.22.7)
Далее имеем:
№j __ М) м{ _ №j ц{ ^ Mj ul rMj
А{ Af A( Aj д{ Af Xt A/
В левой части этих равенств стоит скалярное произведение единичных
векторов, равное косинусу угла между этими векторами. Таким образом
(рис. 10),
ял' ля
В правой части равенств D.22.8) стоит малая величина; поэтому А{
можно заменить на А{. Таким образом,
откуда
" e4K-j4ft-f-H)' D-22-10)
Но последней из формул D.22.4) угол б связан также и с вектором упругого,
вращения. Отсюда легко выводятся равенства
-^-.^ + Г.я=-^—^~Г.я=-1-(»1 + вЧ) = -?- ..D.2.2,11),
Равенства D.22.7), D.22.11) и представляют собой искомые скалярные
соотношения, связывающие U и Г. . .
Формулы D.22.6) повторяют полученные ранее равенства B.11.7). Это
значит, что формально введенные выше величины у( по смыслу совпадают
с упругими углами поворота, которым здесь даны такие же обозначения.
Пользуясь этим, покажем, что вектор т, введенный с помощью второго ра-'
венства B.11.6), можно определить формулой
т = п' — п, D.22.12)
где п' — единичный вектор нормали деформированной поверхности. При-'
няв во внимание, что п и п' — единичные векторы, получим:
тп = пп'— 1 = cos<p— 1,
где ф — угол между нормалями деформированной и недеформированной по-
поверхностей. Этот угол мал, и его косинус может быть заменен единицей, так
что
тп = 0.
Из геометрических соображений (см. рис. 10) получаем также
i?.„'= cos (J1+ ?,)=_sin7, = -*.
Таким образом, получены все скалярные произведения вектора т на
единичные векторы основного триэдра, и можно написать
т = -ъ-^—ъ*?- D-22.13)
4 А. Л. Гольденвейзер

50 ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 4
Требуемое положение доказано, так как D.22.13) совпадает со вторым
равенством B.11.6).
? Согласно D.22.3) имеем
Сопоставляя этот результат с D.22.13), получим формулу
/й = Гхл. D.22.14)
§ 23. Компоненты тангенциальной деформации
срединной поверхности оболочки
В процессе преобразования компонент деформации трехмерной упру-
упругой среды были с помощью формул B.11.9) введены величины
А{ А{ ' Ю Ах А, + А
в1г к», е2 будут в дальнейшем называться компонентами тангенциальной де-
деформации срединной поверхности оболочки.
Покажем, что е1( е2, w полностью определяются приращениями, которые
получают коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверх-
поверхности оболочки в результате ее деформации.
Пусть средииная поверхность оболочки до и после деформации задаются,
соответственно, векторами
М и М' = М + U.
Тогда для недеформированной поверхности
а для деформированной поверхности
ds" = А[' da? -f 2A2A2 cos %' da\ da2 -f A%
где
A'i = (Mi + U if, A[A2 cos % = (Mi + Ui) ¦ (M 2 -f Щ.
Последние формулы в линейном (относительно Ut) приближении можно
переписать так:
или, учитывая D.23.1),
А,' = А] A + 2е,), А[А'ъ cos х' = AiA&. D.23.2)
В обоих частях первого из этих равенств извлекаем квадратные корни
и пользуемся известной формулой приближенного исчисления, тогда, раз-
разрешая полученное уравнение относительно е*, получим
е^-^4!. D.23.3)
Заметим, далее, что
cosx' «= cos (-5 65с) = бх.
где бх — величина, на которую уменьшился угол между координатными ли-
линиями в результате деформации.

$ 241 КОМПОНЕНТЫ ИЗГИБНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 51
Так как 8% — малая величина, то в левой части второго равенства D.23.2)
можно пренебречь различием между А\ и Л,. В результате получим
ю = 6*. D.23.4)
Формулами D.23.3) и D.23.4) устанавливается искомая связь компонент
тангенциальной деформации с изменением коэффициентов первой квадратич-
квадратичной формы срединной поверхности.
§ 24. Компоненты изгибной деформации срединной поверхности
Вторая группа величин, через которые в § 2.11 выразились компоненты
деформации упругой среды, записываются так:
~'~ At At '
*** жж i тт mi *** mi i ft ля (& v4 1 \
"J л» **1 ^2 1 2 1 ^3 1 2
(—S)-
Величины xlt и2, т назовем компонентами изгибной деформации средин-
срединной поверхности. Они связаны с приращениями, которые в процессе дефор-
деформации получают коэффициенты второй квадратичной формы.
Коэффициенты второй квадратичной формы деформированной поверх-
поверхности определяются формулой A.3.3)
L;,= — M',-n,, D.24.2)
в которой М' и п' можно выразить по формулам D.22.5) и D.22.12). Таким
образом,
L\, = — (Мi + Ut) • (я, + т,) (i, /=1,2)
(здесь и ниже запись i, j = 1,2 означает, что допускаются и значения i — j).
Раскроем скобки, отбросим нелинейный член, поделим обе части на А(А/
и воспользуемся последней из формул A.5.4). Получим
L'n = Mj _ я/ Mj^^i LSl.JIl (i, /=-1, 2).
AiAi A{ A/ Ai Af Rf At A/
Поэтому, учитывая формулы A.3.3), D.23.1), D.22.9), D.24.1) и помня, что
для поверхности, отнесенной к линиям кривизны, L12 = 0, Mt-M2 = О,
можно написать
Равенства D.24.3) имеют силу только для случая, когда срединная по-
поверхность отнесена к линиям кривизны. Первое из них показывает, что ком-
компоненты изгибной деформации xlt и2, равно как и ги а, е2, совпадают с теми
компонентами, которые использованы в основопологающей трактовке теории
оболочек [84]. Однако для компоненты т здесь принято другое определение,
предложенное, по-видимому, впервые в {36] и ставшее теперь общепринятым
(для компонент изгибной деформации предлагались и другие определения,
как, например, в [30]). Равенства D.24.3) показывают, что компоненты из-
изгибной деформации связаны с изменениями, которые испытывают в процессе
деформации коэффициенты второй квадратичной формы.

52 ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 4
Из формул D.23.3), D.23.4), D.24.3) следует, что если заданы шесть ком-
компонент деформации г1у е2,(о, и1( и2)т и известны первая и вторая квадратичная
форма недеформированной срединной поверхности, то можно алгебраическим
путем,найти коэффициенты первой и второй квадратичных форм деформиро-
деформированной срединной поверхности. Вместе с тем первая и вторая квадратичная
формы определяют поверхность с точностью до ее положения в пространстве
(см. § 1.3). Это значит, что компоненты тангенциальной деформации вместе
с компонентами изгибной деформации полностью определяют деформацию
срединной поверхности, т. е. шесть величин еь е2, а, иь иа, т составляют
полную систему компонент деформации.
§ 25. Производные от векторов упругого перемещения
и упругого вращения
Формулами D.22.6), D.22.9) и первым равенством D.23.1) определяются
все скалярные произведения векторов Ut на единичные векторы основного
триэдра. Мы имеем
Отсюда следует, что производные от вектора упругих смещений в раз-
развернутом виде записываются так:
Введем вспомогательные векторы КA>, КB) (нижние индексы взяты
в скобки, так как они не обозначают дифференцирования по соответствую-
соответствующим переменным), задав их равенством
и покажем, что эти векторы лежат в касательной плоскости и определяются
только компонентами тангенциальной деформации elt е2, со.
Из D.22.3) получаем
Отсюда, учтя формулы D.22.10), D.22.11), D.25.2), получим требуемый ре-
результат:
У(О _ - Мi , <в М,
А.
Из формул D.24.1) и D.22.9) следует
»'-*'»x-^L. D.25.5)
~АТ Ai ~ л" Ai A; - Ri'
В левых частях этих равенств вектор т можно выразить через вектор Г
с помощью D.22.14). Получим
itii "* / Т(
At A/ At

§ 26] ВЫРАЖЕНИЕ КОМПОНЕНТ ДЕФОРМАЦИИ 53
Заменив здесь л, согласно A.5.4) и выполнив векторное умножение, напишем
Ac At - к 1> А{ ' А, •
Подставим этот результат в D.25.5) и заметим, что согласно D.22.3), D.22.10)
Получим
Введем обозначения
Тогда формулами D.25.6) и D.25.7) определятся все скалярные произведения
векторов Гь Г 2 на единичные векторы основного триэдра, и можно написать
§ 26. Выражение компонент деформации и углов
поворота через перемещения
В предыдущих параграфах были введены углы поворота уг, у2, ®i,
<о2, б, компоненты тангенциальной деформации elf а, е2, компоненты изгиб-
ной деформации xlf x2, т и две дополнительные величины ^ь ?2. Все эти
величины с помощью формул D.25.1), D.25.6), D.25.7), D.22.10), D.22.11),
выражены через скалярные произведения первых производных от векторов
упругого смещения U и упругого вращения Г на единичные векторы основ-
основного триэдра. В свою очередь U и Г выражаются формулами D.22.2) и D.22.3)
через компоненты упругого смещения иг, ы2, w и через углы поворота ylt
у2, б. Пользуясь этим, можно записать формулы, выражающие в скалярной
форме перечисленные величины через перемещения. Для этого надо приме-
применить формулы дифференцирования векторов, заданных на поверхности,
к U к Т. Выкладки здесь совершенно аналогичны тем, которые были опи-
описаны в §3.21. Поэтому, опуская подробности, напишем окончательный
результат.
Из D.25.1) получаем формулы для упругих углов поворота:
m - Jl^L Х—ЁЬ.„ л, _ ( \ дх ut\
Wi ~. At да{ AiA, да,- и" " ~ V Ас да, + R, )'
D.26.1)
и формулы для компонент тангенциальной деформации:
1 dui , 1 dAi w
D.26.2)
Ах да*

54 ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК [Гл. 4
Из D.25.6) вытекают формулы, выражающие компоненты изгибной
деформации через углы поворота,
А{ да( AiAj да, ^>'
А. D.26.3)
т L ilL . !
L ilL _!_ Ц. « 4- -?L
Д/ da,- T /М, 3«? v/ T 2/?,
и формулы для величин Ci, Са
Подставив в D.26.3) выражения для углов поворота и деформации сдвига
согласно D.26.1) и D.26.2), получим формулы, выражающие компоненты
изгибной деформации через перемещения:
,- 3a/
A, da, \ At dai ^ Ri ) A(A, dat \ A,- da,
"*" R, \A( dat AiA, da, Ul)'
§ 27. Определение перемещений по заданным компонентам
деформации. Уравнения неразрывности деформаций
В теории упругости доказывается, что компоненты деформации упругой
среды подчиняются уравнениям неразрывности деформаций Сен-Венана,
которые можно рассматривать как условия интегрируемости в задаче
о построении перемещений по заданным деформациям. Таким же образом
можно получить уравнения неразрывности деформаций и в теории оболочек.
Выше при помощи формул D.25.2) и D.25.8) мы выразили производные
от векторов (/ и Г через компоненты деформации, углы поворота и величины
?i и ?2. Будем теперь рассматривать эти равенства как дифференциальные
уравнения, определяющие векторы U и Г, считая, что нам заданы не только
компоненты деформации, но и все перечисленные скалярные величины.
Тогда условиями интегрируемости систем D.25.2) и D.25.8) будут два век-
векторных равенства
-?г U, — 4- U2 = 0, D.27.1)
Если эти соотношения выполнены, то U и Г можно определить при
помощи формул:
U^jlUi da, + Ut da,], Г = J [I\ da, + Г2 da,], D.27.3)
в которых криволинейные интегралы в односвязной области не зависят
от пути интегрирования. Это значит, что будет обеспечена геометрическая
сплошность деформированной поверхности. Поэтому D.27.1) и D.27.2) можно
назвать уравнениями неразрывности деформаций [36, 38 ].

.$27] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ 55
Обсудим уравнение D.27.1). Заменим в нем Ut через V(<> по формуле
D.25.3). После очевидных преобразований получим
к § к + г х м* ~ Tl х м*= ° D>27<4)
(в дальнейшем мы будем пользоваться только этим уравнением вместо
D.27.1)).
Векторное уравнение D.27.4) эквивалентно трем скалярным равенствам.
Первые два из них можно получить, помножая последовательно обе части
равенства D.27.4) скалярно на Мlt M^. Тогда, используя обозначения
D.25.7), будем иметь:
Эти соотношения можно рассматривать как уравнения, определяющие
величины ?,, которые выше были введены чисто формально. Формулы
D.25.4) показывают, что в выражение У(*> входят только elt е2 и со. Следо-
Следовательно, величины l,i определяются только компонентами тангенциальной
деформации и их производными.
Последнее скалярное соотношение, вытекающее из D.27.4), записы-
записываются так (круглые скобки означают смешанные произведения трех заклю-
заключенных в них векторов):
](Г* Мъ п)—(Гь М» п) = °- D-27-6)
Ниже будет показано, что это соотношение представляет собой тож-
тождество.
Итак, векторное равенство D.27.4) можно рассматривать как уравнение
неразрывности только формально; оно эквивалентно трем уравнениям,
из которых одно является тождеством, а два других связывают введенные
ранее величины ?? с компонентами деформации ги е2, а.
Обратимся к уравнению D.27.2). В нем векторы Г1г Г2, как показывают
формулы D.25.8), выражаются только через компоненты изгибной деформа-
деформации х1( и2, т и величины ?ь ?,, а последние в свою очередь выражаются
через компоненты изгибной деформации еь е2) а формулами D.27.5). Это
значит, что равенство D.27.2) представляет собой векторную запись трех
скалярных уравнений неразрывности деформаций теории оболочек.
Тот факт, что в теории оболочек число уравнений неразрывности дефор-
деформаций оказалось равным трем, очевиден. Уравнения, вытекающие из D.27.2),
можно было бы получить и другим путем, выразив в уравнениях Кодацци—
Гаусса A.3.8) коэффициенты первой и второй квадратичной форм дефор-
деформированной поверхности А{, Ai, %', L'u, L\i, L22 через коэффициенты пер-
первой и второй квадратичной форм недеформированной поверхности A lf
A*, Lllt L22 и компоненты деформации еи а, е2, хь т, >с2. Таким методом
уравнения неразрывности и были впервые получены в [36 3.
Поставленная выше задача определения перемещений решается при
помощи формул D.27.3). Правда, в начале параграфа было сделано предпо-
предположение, что нам известны не только деформации, но и величины d, ?2
и упругие углы поворота <olt (o2, ylt yit 8, однако легко показать, что,
выбрав надлежащим образом последовательность выкладок, мы можем
от этого предположения избавиться. Величины ?i> ?2 следует считать изве-
известными, если заданы компоненты деформации elt e2, со, так как для опре-
определения их даны формулы D.27.5). Следовательно, вектор Г по заданным
компонентам деформации может быть вычислен при помощи второй из формул
D.27.3). Считая известным Г, можно векторы Ult ?/2 выразить по формулам

56 ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 4
D.25.3) через K<i) и КB), а последние зависят только от компонент дефор-
деформации elf е2, к». Пользуясь этим, мы можем вычислить U припомощи первой
формулы D.27.3), и задача построения перемещений по заданным деформа-
деформациям .будет решена. Изложенный подход к ее решению предложен в [78].
В вычислениях дважды встречается интегрирование. Поэтому в оконча-
окончательный результат войдут два произвольных постоянных вектора. Они, оче-
очевидно, представляют собой векторы смещения и вращения срединной поверх-
поверхности оболочки как жесткого целого.
В качестве простейшего примера рассмотрим случай, когда все компо-
компоненты деформации равны нулю, т. е. найдем компоненты смещения срединной
поверхности как жесткого целого.
При ех = е2 = к» = хг = и2 = т == 0 мы имеем
1\ = Г2 = КA) = КB, = 0.
Второе из соотношений D.27.3) при этом дает
Г = Го = const. D.27.7)
Поэтому по формуле D.25.3) имеем:
Ui = Го х М^
Интеграл, определяющий вектор смещения, принимает вид
U = J [Го х (ЛМ«1 + Mtdaj\,
и, выполнив интегрирование, мы придем к известной формуле:
U = Го х М + Uo D.27.8)
Ее можно также записать в виде
Помножая скалярно это равенство на единичные векторы основного
триэдра, получим окончательно
0, М, -^) + Uo-^, w = (M,ro,n) — Uo-n. D.27.9)
Векторные уравнения D.27.1) и D.27.2) можно заменить скалярными,
снова воспользовавшись формулами дифференцирования вектора, заданного
на поверхности. Соответствующие выкладки аналогичны тем, которые опи-
описаны в § 3.19, и не требуют пояснений. Для оболочки, срединная поверхность
которой отнесена к линиям кривизны, эти уравнения имеют вид
J-tA.x)—^i-(x М_-Мл (т — ^1 —
dctf ' *' deli \ • 2/?,- / dttj 1_ \ 2/?^ / J
/х х ч д 1 д 1 D.27.10)
AxAt ( ^- + -нЧ - 4г (AM + 4г (AM = 0.
\ *^2 **1 / игл-^ UfJC/2

§ 27] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ 57
Здесь приведены пять уравнений. Шестое скалярное равенство формально
записывается так:
2R1 ) V 2R2 ) + 2R, 2R2 ~ U"
Оно, как уже говорилось, представляет собой тождество.
Мы будем в дальнейшем условно называть пять скалярных равенств-
D.27.10) или два векторных равенства D.27.1) и D.27.2) уравнениями нераз-
неразрывности деформации, хотя в них, помимо компонент деформации, входит
величина ?,. Ее можно исключить с помощью третьего равенства D.27.10).
Тогда число уравнений неразрывности деформаций сократится до трех.
Они записываются так:
Rt [да, Wi) да, 2 да, \Л' 2 )~ даТ
D.27.11)
д
{ А, [ да, <ЛА> да2 Т ~ да7 И1 2 ) да,
(первое из этих равенств содержит индексы i, j и, следовательно, эквивалентно
двум уравнениям).
Замечание. В интересной работе [181 ] для вывода уравнений неразрывности деформаций
был применен вариационный метод и были получены четыре уравненвя. Они содержат, помимо
Bj, со, 82, х1? т, и2, дополнительные геометрические величины, которые в рамках излагаемой
теории надо положить равными нулю. В результате снова получатся равенства D.27.11).
Такие обобщенные уравнения неразрывности деформаций могут быть получены при построе-
построении некоторых уточненных теорий, в частности теорий, учитывающих поперечные сдвиги.

ГЛАВА 5
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
§ 28. Уравнения состояния (соотношения упругости)
Чисто статические и чисто геометрические уравнения и формулы, рас-
рассмотренные в двух предыдущих главах, связаны между собой уравнениями
состояния, выражающими усилия и моменты через компоненты деформации.
Они были уже выведены раньше и записаны с помощью равенств B.12.3)
и B.12.5). Перепишем их еще раз:
) J ~T~n=v"z''
я - 2EhS
-
П~ 3A+v)
Равенства E.28.1) представляют собой лишь один из возможных вариан-
вариантов уравнений состояния. В литературе по теории оболочек можно найти
и другие варианты тех же формул. Это объясняется тем, что любая двумер-
двумерная теория оболочек опирается на те или иные упрощающие предположения,
характер которых не сказывается на чисто статических и чисто геометриче-
геометрических соотношениях, но отражается на структуре уравнений состояния (вы-
(выкладки, ведущие к последним, обычно также выполняются не точно).
Равенства E.28.1) представляют собой уравнения состояния, соответ-
соответствующие гипотезам § 2.10. Последние сформулированы не совсем обычно,
хотя в сущности мало отличаются от других гипотез теории оболочек. Они
обладают следующими преимуществами.
Теорию оболочек, основанную на гипотезах §2.10, можно рассматривать
как исходное приближение некоторого итерационного процесса интегриро-
интегрирования трехмерных уравнений теории упругости и, кроме того, для определен-
определенного класса (наиболее важных в практическом отношении) задач она дает
максимальную точность. Это утверждение будет обосновано в части VI
книги.
Среди других гипотез, предлагавшихся для построения двумерной теории
оболочек, наибольшей популярностью пользуется гипотеза Кирхгофа—Лява,
которую можно сформулировать так:
(а) прямолинейные волокна оболочки, нормальные к недеформированной
срединной поверхности, остаются прямолинейными и нормальными к дефор-
деформированной срединной поверхности и не меняют своей длины; (б) нормальными
напряжениями а33 можно пренебречь по сравнению с напряжениями а1и
с12 и о22.

§ 28J УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ 59
Эту гипотезу Кирхгоф положил в основу теории изгиба пластинок,
а Ляв с ее помощью получил первую формулировку современной теории
оболочек.
Сравнив гипотезу Кирхгофа—Лява с предлагаемыми здесь гипотезами,
можно отметить, что в последних
A) сохранено предположение о том, что нормальный элемент остается
нормальным; это выражено первым равенством B.10.3),
B) отброшено предположение о неизменности длины нормального
элемента, о чем свидетельствует второе равенство B.10.3),
C) предположение о возможности отбросить а33 заменено предположе-
предположением о возможности выразить его приближенной формулой B.10.5),
D) приняты равенства B.10.1), B.10.2), которыми, как отмечалось
в §2.11, в сущности устанавливается правило отбрасывания некоторых вто-
второстепенных членов (при реализации гипотезы Кирхгофа—Лява отбрасы-
отбрасывания тоже производятся, но они заранее не регламентируются).
Исходя из гипотезы Кирхгофа—Лява и сохраняя в выкладках только
старшие члены, можно вывести такие уравнения состояния:
т 2Eh /ii со Eh
^ = ПГ^(е. + ^е/). sn = St, -= -j^ <o,
r 2Eh* . . „ „ 2Eh* E.28.2)
G' = — 3A-v»)(X' + vx/)« H" = H'i = 3A
В работе [77] была также принята гипотеза Кирхгофа—Лява, но в вы-
выкладках были сохранены все степени а3 до третьей включительно. Это при-
привело к таким уравнениям состояния:
гг 2ЕН . . . 2Eh3
. 2Eh3 ( 1 1 \ / ei \
Eh „ EflS f l l \ («¦ ш \ №. OO 1\
®)\х) E-28-3)
Сравним E.28.1) с E.28.3) и выясним причины расхождений между
этими формулами.
Прежде всего равенства E.28Л) неоднородны. Они содержат слагаемые,
зависящие от интенсивности внешнего сжатия т, которым соответствует
некоторое напряженное состояние, не связанное с деформированием средин-
срединной поверхности. Это является очевидным следствием эффекта Пуассона,
вызванного напряжением а33, и в формулах E.28.3) оно не нашло отраже-
отражения потому, что в рамках гипотезы Кирхгофа—Лява а33 не учитывается.
В выражении длябг в квадратных скобках согласно E.28.1) надо учи-
учитывать выражение
тогда как согласно E.28.3) вместо него надо брать
- ' E-28-3а)
Лишние члены в E.28.1а) появляются как результат учета изменения
длины нормального элемента. В E.28.3а) они исчезают вследствие при-
принятия гипотезы Кирхгофа—Лява. Вместе с тем нет никаких оснований счи-
считать, что первое слагаемое выражения E.28.1а) будет больше второго. Это

60 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ (ГЛ. 5
значит, что формулы E.28.3) нельзя считать до конца последовательными.
К ним ведут выкладки, учитывающие все члены до а3 включительно. Эта
точность не адекватна точности гипотез Кирхгофа—Лява, и в результате
в E.28.3) учитываются члены E.28.3а) того же порядка, как и отброшенные.
В свою очередь в E.28.3) в выражения для Тх, Т2, S21, S12 входят сла-
слагаемые, которых нет в E.28.1), и эти слагаемые при определенных обстоя-
обстоятельствах могут оказаться существенными *). Отсюда следует, что уравнения
состояния E.28.1) формально столь же не последовательны, как и E.28.3).
Однако надо помнить, что формулы E.28.1) предлагаются для определенного
класса задач, а не как универсальные уравнения состояния. В части VI
этот класс задач будет определен и будет показано, что в нем пропущенные
слагаемые не могут оказаться существенными.
Из сказанного можно сделать вывод, что в теории оболочек вид урав-
уравнений состояния в известных пределах зависит от нашего желания и от целей,
которые мы преследуем. Здесь не всегда решающим является даже стремле-
стремление добиться наибольшей точности, так как простейшие варианты уравнений
состояния часто оказываются в этом смысле вполне приемлемыми. Будем
поэтому пока считать равенства E.28.1)—E.28.3) равноценными и присоеди-
присоединим к ним еще один вариант уравнений состояния, предложенный незави-
независимо и одновременно Л. И. Балабухом [13] и В. В. Новожиловым [98]:
т 2Eh < i ч с Eh (, i 2Л т \
(O.ZQA)
При своей, почти предельной простоте он обладает важными свойствами,
которые выявятся впоследствии.
Замечание. Формулы, связывающие усилия и моменты оболочки с компонентами дефор-
деформации ее срединной поверхности, названы здесь уравнениями состояния, так как этот термин
все чаще появляется в зарубежной научной литературе. При этом допускается некоторая
условность: обсуждаемые формулы зависят не только от состояния материала оболочки, ио
также и от свойств, приписываемых самой оболочке в силу принимаемых гипотез.
§ 29. Дополнительное уравнение статики
и шестое уравнение равновесия
Уравнения состояния, в любом варианте, связывают восемь усилий и
моментов Тх, Т2, Sal, S12) Glt #21, H12, G2 с шестью компонентами дефор-
деформации е1( со, е2, х1г т, х2. Поэтому, исключив компоненты деформации,
можно получить два алгебраических равенства для усилий и моментов,
к обсуждению которых мы и переходим.
Одно из упомянутых равенств в некоторых случаях, и в частности в слу-
случаях, когда уравнения состояния имеют вид E.28.3) или E.28.4), записы-
записывается так:
SO | ^21 ^*12 Л /С OQ 1\
Оно совпадает с последним скалярным уравнением равновесия C.19.11),
которое мы будем называть шестым уравнением равновесия, подразумевая
под этим равенство, выражающее условие уравновешенности моментов отно-
относительно оси п.
Выше уже говорилось, что шестое уравнение равновесия не входит
в число статических уравнений в теории оболочек и, вообще говоря, оно
*) Это будет показано в части VI.

$30]
РАБОТА СИЛ ТРЕХМЕРНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ ОБОЛОЧКИ
61
не выполняется. Однако оно может оказаться следствием уравнений состоя-
состояния. Примером, как мы видели, служат уравнения состояния, выражаемые
формулами E.28.3), E.28.4). Пример противоположного характера пред-
представляет собой уравнения состояния, выражаемые формулами E.28.1) и
E.28.2). Из них вместо E.29.1) вытекает уравнение
Sai —512 = 0, E.29.2)
которое отличается от E.29.1) отсутствием членов с Я21 и Я12.
Замечание. Как правило, моменты //21, #12 малы по сравнению с усилиями Sai, S12.
Поэтому нарушение шестого уравнения часто не имеет существенного значения. Напомним
в связв с этим, что речь идет о несоблюдении уравновешенности некоторых воображаемых сил
и моментов, приложенных к воображаемой срединной поверхности, а равновесие трехмерной
среды, образующей оболочку, будет выполняться всегда, когда удовлетворены первые пять
уравнений равновесия C.19.11) и когда должным образом определены напряжения а13, сг23, стзз
(§ 2.16). Вместе с тем возможны и случаи, когда разница между уравнениями E.29.1) и E.29.2)
станет существенной. Поэтому в дальнейшем мы будем иногда различать уравнения состоя-
состояния, удовлетворяющие или противоречащие шестому уравнению равновесия.
Второе равенство, вытекающее из уравнений состояния, будет назы-
называться дополнительным статическим уравнением. К дополнительному ста-
статическому уравнению простейшего вида приводят уравнения состояния
E.28.2) и E.28.4). В этих случаях получаем
Я
21 '
¦Я12 =
E.29.3)
«А
§ 30. Работа сил трехмерной упругой среды оболочки
Вернемся к трехмерным уравнениям теории упругости и будем снова
пользоваться триортогональной системой координат A.8.3).
Выделим нормальными сечениями некоторую конечную часть оболочки
и будем считать, что ей соответствует односвязная или многосвязная область G
изменения параметров (ах, а2), ограниченная контуром (или контурами) g
(рис. 11). Можно считать, что к рассматриваемой
части оболочки приложены внешние силы и
упругие силы, заменяющие отброшенную часть
оболочки. Обозначим через Z работу всех этих
сил на перемещениях трехмерной среды обо-
оболочки. Ее можно представить в виде следую-
следующей суммы:
Z = ZG + Z+ + Z- + Zg. E.30.1)
Здесь ZQ представляют собой работу массовых
сил
Za = J da3 J J q ¦
da2
E.30.2)
Рис. 11.
(q — вектор массовых сил, V— вектор смещений трехмерной упругой среды).
Z+, Z~ представляют собой, соответственно, работу сил, приложенных
к лицевым поверхностям оболочки:
*т^- L I s*i / \ti 1 и \ а** a** i /^ч ^Л ^\
(^± — векторы сил, приложенных к лицевым поверхностям).
Под Zg подразумевается работа упругих сил, развивающихся нз боковых
поверхностях оболочки. Чтобы найти Zg, выделим малый объем тела оболочки

62
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ- ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. 5
двумя сечениями а3 = а30 и а3 = а30 + da30, параллельными срединной
поверхности, двумя поперечными сечениями, проведенными через аг- и
ос2-линии, и поперечным сечением, проведенным через малый участок гра-
границы g. В плоскости а3 = а30 этот объем изобразится в виде криволинейного
треугольника аЪс (рис. 12).
Силы, приложенные к поперечным сечениям, проходящим вдоль ас
и аЪ, будут, соответственно,
~OB)H\da,\da,3 и 0(i)H2doc2da,3.
Поэтому из условия уравновешенности элемента abc следует, что к стороне,
проходящей через cb, будет приложена сила, которая с точностью до беско-
бесконечно малых величин более высокого по-
порядка равна
— О/1) Я,
Отсюда имеем
zs =
J
E.30.4)
В E
Поэтому
(контурный интеграл должен браться вдоль
рис 12. всей границы односвязной или многосвязной
области G, изображенной на рис. 11).
.30.4) величины V, Ях, Я2 определяются формулами B.11.5) и A.8.5).
j
—h
г
J
I —h
+h
j
(Г+h
j
—h
•+*
J
—h
. E.30.5)
Из формул B.9.2) и B.10.1) следует, что
Г'1 At ^' ~Ajr ^F Г' ~Ai "/' -If) — \ ! Ч- -R-

Si 30] РАБОТА СИЛ ТРЕХМЕРНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ ОБОЛОЧКИ
Отсюда, учитывая формулы B.13.2), B.13.6), B.13.7), получаем
+А +*
-A —ft
Поэтому можно написать
(г V1 1 r+h
—h J 1—h
E.30.6)
и, кроме того,
{Г "J»h -j p +h -i
j wB)a3 (l +-^-)da3 Midai— j a<i>a3 (l +^) da3
j
= — (j> [m
В последнем равенстве вектор /я с помощью D.22.14) можно выразить
через вектор упругого вращения Г. Тогда, воспользовавшись формулами,
B.14.9), получим
i».jB«> = Г-<?<*>,
и обсуждаемое равенство примет вид
фот- J atajae (l +-J-)da3 Uidai— J oa)a3 (l +^-)da3 U2doc2 =
= _ ф Г • (Q<aMi dai—С'^Лг rfa2). E.30.7>
Введем обозначения
+h
( -|l ) do3 = iVt. E.30.8>
-A ' ' _h V
Тогда, подставив в E.30.5) выражения E.30.6), E.30.7) и E.30.8), получим,
требуемый результат:
i—RA)A2 da2) + § T-(Qi2)A1 dai— Qll)A2 da2) —
lAi da — N[A2 dak)- E.30.9^
Обратимся к выражению ZQ. В нем также можно раскрыть смысл век~
тора V по формуле B.11.5) и вектора т по формуле D.22.13). Тогда равен-
равенство E.30.2) примет вид
+h
в <•—h
{+A
J
—h
E.30.10>

C4 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 1ГЛ. 5
Равным образом вместо E.30.3) можно написать
- J Jr -{± (д± х hn) (l ± A) (i ± JL
E.30.11)
Подставив в E.30.1) выражения E.30.9), E.30.10) и E.30.11), получим
искомую формулу:
J J и RAXA2 dai da2 —
— J I Г • QAtA2 dax do^ + J J фЯЛ!^ cfccj da2. E.30.12)
Здесь под R и Q подразумеваются векторы внешних поверхностных сил и
•моментов, определяемые формулами B.13.10) и B.14.8), а под Р подразуме-
подразумевается следующее выражение:
—h
§ 31. Энергия деформации
Помножим скалярно .силовое уравнение равновесия C.19.1) на вектор
упругих смещений U, а моментное уравнение равновесия C.19.5) на вектор
упругих вращений Г, проинтегрируем полученные равенства по области G
и вычтем второе из первого. Получим
J | U-RA^A2dalda2 — J J
— [ f ГЧ^Я'2) x M2+A2R^ x iW1]da1rfaa+ f [
aJ _ JoJ
E.31.1)
К первым двум слагаемым правой части равенства E.31.1) применим
¦формулу интегрирования по частям. Если положительное направление

« 31] ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ gg
обхода G взято так, как показано на рис. 13, то эта формула записывается
следующим образом:
ф dat)—^ J (<7g^— Р^ ) d«i <*«*• E.31.2)
Отсюда
J J ?/ • RAХЛ, dax da2 — f f Г ¦ QЛхЛа dax da2 =
G G
— J J [Л2Д<1>• ^x + Л/?'2»• U2\daxdaa + [ f [A,Q(l>-Гх + Лх(?B)-Г,]daxda2 —
о а
— J |"г.[Лх/г<2> X Жз + Лз/го xJW1]da1da2 + j f fir• »ЛХЛ2daxda2. E.31.3)
g a
Преобразуем в правой части этого равенства двойные интегралы, раз-
развернув /?<'>, QO по формулам C.17.3) и раскрыв векторные произведения.
Будем иметь
j J
G
H
G
х M, + A,RM х Mjdebda,— [ \
а
. E.31.4)
В правой части равенства E.31.4) множители, стоящие при тангенциаль-
тангенциальных усилиях Тх, S2l, T2, 512 и моментах Gx, #21, Я12, G2, можно выразить
через компоненты деформации с помощью D.25.1), D.22.4) и D.25.6), мно-
множители, стоящие при перерезывающих усилиях, исчезают в силу D.22.7),
а множитель при величине ?1 выражается через б согласно D.22.4). Преобра-
Преобразуем соответствующим образом правую часть равенства E.31.4) и внесем
полученный результат в E.31.3). Будем иметь
U ¦ RAtA2 dax da2 — J J Г •
+ Я„(т—gg-J + йв] iMi **!**«• E.31.5)
5 А. Л. Гольденвейзер

gg УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ- ОБЩИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. 5
Полученное равенство можно рассматривать как формулировку тео-
теоремы Клапейрона для двумерной теории оболочек, т. е. записать его коротко
так:
E.31.6)
и считать, что L представляет собой работу поверхностных и краевых сил
оболочки и определяется формулой
I = f f U¦ RAiAtda^dxii— J JГ¦ QAxAtdatda2 +
а о
2da2), E.31.7)
a W представляет собой энергию деформации оболочки и определяется фор-
формулой
E.31.8)
Для работы L получилось выражение E.31.7), которое соответствует
обычно принимаемому в теории оболочек предположению, что силы работают
на соответствующих им перемещениях, а моменты — на соответствующих
им углах поворота. Однако это лишь фор мал ь-
'* ный результат, так как построенная здесь
работа L, вообще говоря, не совпадает с ра-
работой Z, которая была получена в § 5.30 при
рассмотрении оболочки как трехмерного те-
тела. Сопоставив E.30.12) с E.31.7), убеж-
убеждаемся, что совпадение этих двух понятий
будет иметь место только в том случае, если
обращается в нуль величина ф, характери-
характеризующая изменение длины нормального эле-
элемента. Таким образом, предположение, что
в теории оболочек работа есть сумма попар-
°4 ных произведений сил на перемещениях и мо-
Рис- '3. ментов на углах поворота, в смысле точности
адекватно предположению о сохранении длины
нормального элемента. Если мы хотим учесть изменение длины нормального
элемента г|з, то E.31.7) надо рассматривать как величину, которую следует
формально отождествить с работой, чтобы можно было считать справедли-
справедливой теорему Клапейрона, выраженную равенством E.31.6).
Замечание. Предлагались и другие определения понятия работы в теории оболочек.
Укажем в качестве примера [179].
Возможность принять E.31.8) в качестве формулы энергии деформации
тоже требует оговорок. Энергия деформации должна исчезать, если отсут-
отсутствует деформация, т. е. если срединная поверхность оболочки смещается
как жесткое целое. Таким свойством W, вообще говоря, не обладает, так как
в правую часть равенства E.31.8) входит член Q6, где б — угол поворота,
а не компонента деформации. Этот недостаток формулы E.31.8) снимается,
когда Q = 0, т. е. когда уравнения состояния удовлетворяют шестому

§ 321 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 57
уравнению равновесия (§5.29). Тогда в равенстве E.31.6), выражающем
теорему Клапейрона, W будет определяться формулой
+ Я21(т —2J-) +Hn(x — ^-)]A1A2da1da2, E.31.9)
свободной от отмеченного выше недостатка.
Легко заметить, что единственные соотношения, связывающие между
собой статические и геометрические величины теории оболочек, т. е. уравне-
уравнения состояния, в настоящем разделе не были использованы. Поэтому можно
считать, что статические величины, с одной стороны, и геометрические, —
с другой, ничем не связаны друг с другом в равенстве E.31.6), и записать
его так:
L12 = 2W12, E.31.10)
где
U 2 1 f f 2 1
U RAiA2 dax daz — Г • QAXA2 dax da2 +
G V
] E.31.11)
1 2 12 1 Д 1 Д 12
S21 -f + S,, -f -
(^)(^jJ E.31.12)
под
11111111
Ть S2l, Sl2, T2, Gx, Я21, Я^, G2 E.31.13)
подразумеваются усилия и моменты некоторого внутреннего напряженного
состояния, соответствующего поверхностным силам и моментам /?, Q, а под
2 222 2222
еь со, е2, jtj, к2, т, i/, Г E.31.14)
— компоненты деформации, вектор перемещений и вектор вращения неко-
некоторого деформированного состояния; причем E.31.13) и E.31.14) ничем не свя-
связаны друг с другом.
§ 32. Общие теоремы теории оболочек
12
Обозначим через / подынтегральное выражение в правой части равен-
равенства E.31.12) и заменим в нем усилия и моменты через компоненты деформа-
деформации с помощью уравнений состояния E.28.4). Получим формулу
12 2Eh Г1 2 1 2 t1 2 2 М 1 —V ' 21
[е^ + ЧЧ + v lee + eeJ Л 2~ Ю@] +
2Eh3
1 2
121
~ v) TTJ' E-32.1)

58 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ- ОБЩИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. 5
12
из которой непосредственно видно, что / симметрично относительно верх-
верхних индексов. Отбросив последние в обеих частях равенства E.32.1), будем
иметь
2veie2
1=1
+ з A-V) [ *? + *22 + Swixa + A — v) т2] . E.32.2)
Покажем, что при любых значениях компонент деформации выпол-
выполняется соотношение
/ ss 0. E.32.3)
Для этого достаточно установить, что справедливы неравенства
е? _(_ е| + 2veie2 3*0, xjf + x| + 2wi«2 S= 0. E.32.4)
Рассмотрим первое из них. Пусть ехе2 < 0 (иначе доказываемое положение
станет очевидно), тогда, учитывая, что v «^ 1/2, можно написать
ejf _|_ el + 2vei82 ^ ef + е2 +
В правой части этого неравенства отрицательно лишь третье слагаемое и
оно не превосходит по модулю наибольшего из первых двух слагаемых.
Поэтому обсуждаемые неравенства, а вместе с тем и соотношения E.32.3)
справедливы. Знак равенства в E.32.3) будет иметь место только в том случае,
когда
ех = е2 = ш = щ = х2 = т = 0, E.32.5)
т. е. когда срединная поверхность, не деформируясь, смещается как жесткое
целое.
Из свойства симметрии / вытекает, что в теории оболочек, так же как
в теории упругости, справедлива теорема взаимности Бетти. Из соотноше-
соотношений E.32.3) вытекает, что в теории оболочек выполняется теорема единствен-
единственности, аналогичная теореме Кирхгофа в теории упругости. Доказательство
обоих утверждений основано на таких же рассуждениях, как в теории упру-
упругости [39]. Остановимся только на теореме единственности.
Краевую задачу теории оболочек можно схематически записать так:
С (М) = с, D (М) = d. E.32.6)
Здесь М — обсуждаемое решение, т. е. совокупность искомых величин
(усилий, моментов, перемещений и т. д.); первое равенство E.32.6) — сим-
символ дифференциальных уравнений теории оболочек, в котором с — правые
части этих уравнений, составленные из известных функций; второе равен-
равенство E.32.6) — символ граничных условий теории оболочек (они могут
быть неоднородными и d обозначает их правые части).
Пусть сформулированная краевая задача имеет два решения Ми М2.
Тогда справедливы равенства
С (Л*,)-с, DTO-rf,
С ТО = с, D (M2) = d.
Будем считать, что не только дифференциальные уравнения теории обо-
оболочек, но и граничные условия линейны, и вычтем друг из друга соответству-
соответствующие равенства E.32.7). Получим
С (М') = 0, D (М1) =0, М' = Мх — М2.

§ 321 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК gg
Таким образом, предположение о множественности решения неоднород-
неоднородной линейной краевой задачи теории оболочек равносильно предположению
о существовании нетривиального решения соответствующей однородной
краевой задачи (краевой задачи, которая получается из первоначальной,
отбрасыванием правых частей в уравнениях и граничных условиях).
Для однородной задачи в равенствах E.31.6), E.31.7) и E.31.9), выра-
выражающих теорему Клапейрона, надо положить равными нулю векторы поверх-
поверхностной силовой и моментной нагрузки. Отсюда, учитывая E.32.2), получим
L = ф U-\R^A1dax — RWA2da2) — fr-[Q^A1da1—QO)A2da2], E.32.8)
2W = J J 1АгА2 dax da2.
Примем, что граничные условия задачи таковы, что из соответствую-
соответствующих им неоднородных граничных условий следует неравенство
ф U-[RMA1da1—R^A2da2--<§>r-[Q<2)A1da1—Q^A2da2)^Q. E.32.9)
Тогда левая часть первого равенства E.32.8) в силу E.32.9) неположительна,
а правая часть этого равенства в силу E.32.3) неотрицательна. Следовательно,
равенство возможно только тогда, когда E.32.3) и E.32.9) из неравенств
превратятся в равенства. Первое из них возможно только при выполнении
равенств E.32.5), которые означают, что срединная поверхность может сме-
смещаться лишь как жесткое целое.
Итак, имеет место следующая
Теорема единственности решения краевой
задачи теории оболочек. Если из однородных граничных условий
вытекает неравенство E.32.9), которое будет называться условием един-
единственности, то решение неоднородной краевой задачи будет единственным
с точностью, быть может, до смещений срединной поверхности как жесткого
целого.
Замечание. Граничные условия задачи могут быть и неоднородными, но при проверке
теоремы единственности, как видно из предыдущего, правые части в граничных условиях
надо отбрасывать.
В теории оболочек теоремы взаимности и единственности не имеют столь
абсолютного характера, как в теории упругости. Условия, обеспечивающие
их выполнение, зависят от принятого варианта уравнений состояния и в неко-
некоторых случаях они могут нарушиться (конечно, в малом). Эти условия заклю-
заключаются в следующем:
A) должно выполняться шестое уравнение равновесия, так как иначе
будет незаконным переход от формулы E.31.8) к E.31.9) и равенство E.31.12)
станет неправильным;
B) выражение вида E.32.1) должно быть симметричным относительно
верхних индексов;
C) выражение вида E.32.2) должно быть не отрицательным.
Уравнения состояния E.28.4) всем этим требованиям удовлетворяют
(в чем нетрудно убедиться непосредственно). Такими же свойствами обладают
и уравнения состояния E.28.3). В противоположность этому уравнения
состояния E.28.1) и E.28.2) не обеспечивают выполнения теоремы существо-
существования и единственности (отсюда, конечно, не следует, что решений не будет
или они станут не единственными; это лишь значит, что теряет силу приве-
приведенное выше доказательство теоремы).

-УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. 5
§ 33. Граничные условия
В теории оболочек граничные условия всегда можно рассматривать как
аналитическое выражение того факта, что каждый край оболочки соединен
с примыкающей к нему конструкцией, которую можно назвать опорой (сво-
(свободный край надо при этом считать примыкающим к опоре нулевой жест-
жесткости). Характер соединения края с опорой можно учесть, наделив послед-
последнюю некоторыми условными свойствами. Например, для шарнирного соеди-
соединения надо считать, что опора не обладает жесткостью по отношению'к пово-
повороту, вокруг оси шарнира.
В реальных конструкциях встречаются опоры, обладающие самыми
разнообразными упругими свойствами. Поэтому, строго говоря, расчет
оболочки должен заключаться в совместном интегрировании дифференциаль-
дифференциальных уравнений оболочки и дифференциальных уравнений опоры (или опор).
Последнюю надо рассматривать как некоторое упругое тело, например, как
криволинейный стержень, и требовать, чтобы выполнялись условия сочле-
сочленения оболочки с опорой. Это связано с большими трудностями, которые
часто обходят, принимая некоторые упрощающие предположения об упру-
упругих свойствах опоры. В частности, если жесткость опоры относительно како-
какого-либо обобщенного перемещения мала по сравнению с жесткостью края
оболочки, то часто жесткость опоры считают равной нулю, а если она доста-
достаточно велика, то ее полагают равной бесконечности. Граничные условия,
соответствующие такому предположению, назовем идеализированными гра-
граничными условиями и пока только их и будем рассматривать (предполагается,
что в одной и той же точке жесткость опоры может быть равной нулю в одном
направлении и равной бесконечности — в другом).
Пусть край оболочки проходит вдоль замкнутой линии ocj = const.
Тогда условие единственности E.32.9) запишется так:
— <p(U-R<l) — Г
Раскрыв здесь подынтегральное выражение с помощью формул C.17.3),
D.22.2) и D.22.3), получим
I G\"i + S21u2 ~\-wN1 — Нпу2 -j- GxYi) Аг da2 ^ 0. - E.33.1)
Здесь изменению а2 в интервале (а21, а22) соответствует полный обход гра-
границы g. Для углов поворота у, имеем формулу D.26.1). В частности,
V А2 да2
Внесем это в E.33.1) и исключим в полученном выражении производную
от w поа2 с помощью интегрирования по частям. Тогда, полагая, что ш, Н21
непрерывны по а2, получим
1 ow я, „ д2г f 1 o//2i л а /К oq о
Если считать, кроме того, что Н21 и w возвращаются к прежним значе-
значениям после обхода контура g (т. е. непрерывны как функции точки g), то в пра-
правой части равенства E.33.3) пропадет первое слагаемое. Поэтому, подставив
E.33.2) в E.33.1) и учтя E.33.3), будем иметь
Т [Т,Щ + (Sn —^-) и, + (N, + J- ^) w + GVl] Л2da, <0. E.33.4)
0Е„

$ 33] ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 71
Пусть рассматриваемый край жестко заделан, т. е. опора такова, что
направление любого обобщенного перемещения можно рассматривать как
направление ее бесконечной жесткости. Тогда, очевидно, необходимые усло-
условия, выражающие такие свойства опоры, будут заключаться в четырех равен-
равенствах
щ — «2 = w = Vi = 0 при аг — а10. E.33.5)
При этом условие единственности E.33.4) выполнится, так как в нем
левая часть обратится в нуль. Это значит, что решение уравнений теории
оболочек, подчиненное граничным условиям E.33.5), будет единственным.
Никаких других граничных требований ставить уже нельзя и условия
E.33.5) надо рассматривать не только как необходимые, но и как достаточные.
Пусть имеет место прямо противоположный случай: в направлении всех
обобщенных перемещений опора имеет нулевую жесткость (свободный
край). Тогда, как может показаться, нужно было бы потребовать выпол-
выполнения таких граничных условий:
7, = Sx = Nt = Gx = О при ах = а10. E.33.6)
Однако при этом условие E.33.4) примет вид
1
и ни из чего не следует, что оно будет выполняться. Попытка преодолеть
это противоречие, добавив к E.33.6) еще одно требование
#21 = 0 при а^ссю, E.33.7)
несостоятельна. Действительно, если выполняются E.33.7), то с помощью
этого равенства условия E.33.6) можно преобразовать к виду
Ту = Su- ^ = N, + ± ^ = G1 = О, E.33.8)
но из структуры условия единственности E.33.4) видно, что для его выполне-
выполнения достаточно четырех равенств E.33.8). Следовательно, нельзя ставить
на краю пять граничных условий E.33.6), E.33.7).
Получающееся противоречие было замечено на самых первых этапах
развития теории оболочек, и чтобы обойти его, принимается, что на свобод-
свободном краю необходимо и достаточно выполнить условия E.33.8). Вообще,
принимается, что при наложении граничных условий надо оперировать
не с истинным, а с приведенными краевыми усилиями, под которыми на краю
°4 = аю. проходящем вдоль линии кривизны, должны пониматься следую-
следующие величины, отмеченные штрихами:
7-1 = 7-,, ^ = S2l-^., N[ = Ni + ±-^, Gi = G,. E.33.9)
С этой точки зрения условия E.33.8) выражают требование отсутствия
приведенных усилий в четырех направлениях нулевой жесткости опоры.
К вопросу о правомерности введения понятия приведенных усилий
мы еще вернемся в части VI (§ 29, 22).
Обобщая результаты, полученные для жесткого и свободного краев,
примем, что в случае идеализированной опоры надо требовать, чтобы на краю
обращались в нуль обобщенные перемещения, соответствующие бесконечной
жесткости опоры, и обобщенные приведенные усилия, соответствующие нуле-
нулевой жесткости. В совокупности в каждой точке края должно быть сфор-
сформулировано четыре таких условия, соответствующих четырем линейно

72 уравнения состояния, общие вопросы [гл. 5
независимым направлениям. Под ними в дальнейшем всегда будут подразу-
подразумеваться три некомпланарных линейных направления и угловое направление
поворота вокруг касательной к краю.
Пример 1. Оболочка имеет замкнутый плоский край, жестко соединен-
соединенный с плоской тонкой диафрагмой (рис. 14). Тогда можно принять, что в обоих
направлениях, лежащих в плоскости диафрагмы, последняя значительно
жестче оболочки, а в направлении, нормальном к диафрагме, и в угловом
направлении диафрагма значительно податливей оболочки. При формули-
формулировке идеализированных граничных условий принимается, что два линей-
линейных направления, лежащих в плоскости диафрагмы, являются направле-
направлениями бесконечной жесткости, а угловое и линейное нормальное направле-
направления являются направлениями нулевой жесткости.
Пример 2. Оболочка присоединена к массивной конструкции с помощью
шарнира. Тогда любые три линейных направления можно принять за напра-
направления бесконечной жесткости, а угловое
направление за направление нулевой
жесткости.
Условие единственности E.33.4) мож-
можно записать и так:
Рис. 14.
E.33.10)
считая, что g—замкнутый контур, образованный краем аг = const, ds —
дифференциал длины дуги g, R' — вектор приведенных усилий
G' = GT — изгибающий момент, у = уг — угол поворота относительно каса-
касательной к g. Таким образом, условие единственности в сущности предста-
представляет собой требование неположительности работы краевых приведенных
обобщенных сил на обобщенных перемещениях, соответствующим четырем,
описанным выше направлениям. Его можно записать в виде E.33.10) и в слу-
случае, когда край произвольно располагается относительно координатных
линий (остается пока открытым только вопрос о том, что подразумевать
в общем случае под приведенными усилиями и моментами). Если на краю
ставятся идеализированные граничные условия, то из физических сообра-
соображений очевидно, что условие единственности E.33.10) будет всегда выпол-
выполняться, так как левая часть этого соотношения обратится в нуль.
Формулы перехода к приведенным усилиям и моментам для случая,
когда край проходит вдоль линии а2 = const, выводятся так же, как E.33.9),
и записываются так:
П =Г2, S'21 = S2l—^, N'2 = N2 — ±-^., G2 = G2. E.33.11)
Рассмотрим теперь общий случай упругой опоры, т. е. опоры, которую нельзя считать
идеализированной. Пусть край проходит вдоль линии ах = а10 (для определенности) и жестко.
соединен с упругим криволинейным стержнем, не слишком жестким и не слишком податливым
по сравнению с оболочкой.
Примем, что перемещения %lt %2, ? и угол закручивания 9 стержня равны соответственно
перемещениям uv u2, w и углу поворота Vi края оболочки
5i = «i. 62 = «2. и" = Е. Vi = e-
Но упругое поведение стержня определяется некоторой системой дифференциальных уравне-
уравнений (скажем, уравнениями Кирхгофа—Клебша), которые связывают |х, |2, ?, 9 с силами и
моментами Рг, Рг, Р3 и М, действующими на стержень. Поэтому Pv Р2> Рз и М можно выра-

5 34] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 73
зить с помощью дифференциальных операций через краевые значения иг, u2, w, yv Если на-
направлении сил Рг, Р3, Ря совмещены с направлением векторов Mi, M%< п, то можно принять,
что
Ps=-^|a,=a10. м=-а: E.33.12)
Левые части этих равенств выражаются через краевые значения ult u2, w, yv Следова-
Следовательно, E.33.12) и представляют собой граничные условия, соответствующие примыканию,
края оболочки к упругому стержню.
Условие единственности E.33.10) в силу E.33.12) будет выполняться. Действительно,
работа сил Рг, Р2, Ря и момента М на обобщенных перемещениях стержня или, что то же, на
обобщённых перемещениях края оболочки должна быть положительной, а краевые обобщен-
обобщенные усилия и моменты в силу E.33.12) будут давать отрицательную работу.
Замечание. Были рассмотрены только однородные граничные условия. Однако можно-
представить себе и случаи, когда граничные условия будут неоднородными. Если речь идет
06 идеализированных граничных условиях, то это произойдет тогда, когда в направлении
нулевой жесткости опоры к краю приложена заданная внешняя сила (момент) или в направле-
направлении бесконечной жесткости опоры краю предварительно придано заданное смещение (угол
поворота). Граничные условия, соответствующие жесткому соединению со стержнем, будут
неоднородными, если через стержень на оболочку передаются заданные силы (моменты) или-
если стержень был предварительно деформирован.
Рассуждения, относящиеся к единственности решения, остаются в силе, так как свобод-
свободные члены в граничных условиях в теореме существования не учитываются.
§ 34. Основные уравнения и формулы теории оболочек
Результаты, полученные в предыдущих разделах, сводятся к следую-
следующему:
Выведены силовое и моментное уравнения равновесия, которым должны
удовлетворять Ра), /*B) — векторы упругих усилий и QA), Q<2> — векторы
упругих моментов (§ 3.19)
E.34.1
и уравнения неразрывности деформаций (§ 4.27)
Г Г0
В них используются обозначения:
Г
Г1 хЛа-.О. E.34.2>
Ж7 gГхЖ,, E.34.3)
причем U и Г — векторы упругого смещения и вращения, связанные тремя
скалярными соотношениями (§ 4.22):
^..й__(_1)'Г.^ = 0,-^.^-^-^-2Г-я = 0. E.34.4>
Доказано, что уравнения равновесия E.34.1) при R = Q = 0 (в случае,,
когда отсутствует поверхностная нагрузка и выполняется шестое уравнение-
равновесия) тождественно удовлетворяются, если /?<•">, QW выразить форму-
формулами (§3.2П

74 уравнения состояния- общие вопросы Сгл. 5
где L и К—произвольные дифференцируемые векторы, удовлетворяющие
равенству (§ 3.21)
Векторы /?'", Q('\ входящие в уравнения равновесия, выражаются
-через внутренние усилия и моменты оболочки формулами (§3.17)
,,^ + G,3l], E.34.7)
а векторы Г,, УA), входящие в уравнения неразрывности деформаций, выра-
выражаются через компоненты деформации следующим образом (§ 4.25):
-о
±tL
At ~ ' At ~r 2 A/
E.34.8)
Векторы {/иГ развертываются по осям основного триэдра по формулам
(§ 4.22)
U^ib^ + b-f—wn, r = v.41~YiJTL-e». E.34.9)
Векторы L и К развертываются по осям основного триэдра по формулам
<§ 3.21)
?=Ъ-7Г-Ъ^-ХЯ. К^а^ + а^-сп. E.34.10)
Этим исчерпываются все чисто статические и чисто геометрические соот-
соотношения теории оболочек. Они связываются друг с другом с помощью урав-
уравнений состояния, которые вследствие приближенности теории оболочек
в известных пределах зависят от нашего произвола. В частности, один из воз-
возможных вариантов уравнений состояния записывается так (§ 5.28):
™ 2Eh . , . со Eh
r 2Eh* . , . „ „
2Eh3 E.34.11)
§ 35. Полная система уравнений теории оболочек
Совокупность уравнений и формул предыдущего параграфа полна в том
•смысле, что из нее различными способами можно составить системы, в кото-
которых число уравнений равно числу неизвестных. В частности, в теории обо-
оболочек можно получить аналог уравнений Ламе теории упругости, т. е.
построить систему из трех уравнений относительно трех компонент сме-
смещения uly u2, w. Для этого надо воспользоваться
а) уравнениями равновесия E.34.1),
б) восемью уравнениями состояния E.34.11),
в) формулами «деформации —j смещения», вытекающими из E.34.8),
E.34.3), E.34.4) и E.34.9).
В скалярной форме уравнения равновесия выражаются шестью равен-
равенствами C.19.И), из которых надо сохранить только первые пять, считая,
что шестое равенство точно или приближенно должно вытекать из уравне-
уравнений состояния. Формулы «деформации — смещения» имеют вид D.26.2),
<4.26.5).

$ 36] СТАТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ 75
В четвертое и пятое уравнения C.19.11) усилия ЛГг и ЛГ2 входят алге-
алгебраически (это свойство сохраняется и в том случае, когда срединная поверх-
поверхность отнесена к произвольной системе координат). Пользуясь этим, можнб
в первых трех уравнениях C.19.11) исключить Nlt N2 и получить три урав-
уравнения относительно усилий и моментов Tlt Т2, S12, S21, Gx, H21, #12, G2,
которые в свою очередь выражаются через компоненты деформации е„ е2,
(о, кг, ка, т с помощью уравнений состояния E.34.11) или какого-либо дру-
другого варианта этих уравнений. Наконец, формулами D.26.2), D.26.5) компо-
компоненты деформации выражаются через перемещения, что и приводит нас к трем
уравнениям равновесия в перемещениях иъ и2, w. Эти уравнения очень
громоздки и в расчетах используются редко. Они, конечно, зависят от того,
какой вариант уравнений состояния был использован при их выводе. Для
общего случая мы не будем приводить эти уравнения. Пример их применения
будет дан в части V при рассмотрении задачи о круговой цилиндрической
оболочке.
Полную систему уравнений в теории оболочек можно получить и дру-
другими способами. Примеры таких систем будут приведены ниже.
§ 36. Статико-геометрическая аналогия
Формулы и уравнения общей теории оболочек можно разбить на три
группы.
К первой группе относятся статические соотношения, т. е.
Aа) уравнения равновесия E.34.1);
A6) формулы E.34.5), связывающие Ri'\ Q<° с векторами L и К',
Пв) скалярные равенства E.34.6), которым должны подчиняться L и /С;
Aг) равенства E.34.7), расшифровывающие смысл векторов Л'1», /?B),
Aд) равенства E.34.10), расшифровывающие смысл векторов L и К-
Ко второй группе относятся геометрические соотношения, т. е. .
Bа) уравнения неразрывности деформаций E.34.2);
B6) формулы E.34.3), связывающие векторы Г*, V{t) с векторами упру»
гого смещения U и упругого вращения Г;
Bв) скалярные равенства E.34.4), которым должны подчиняться УиГ;
Bг) равенства E.34.8), расшифровывающие смысл векторов I\, Vu)',
Bд) равенства E.34.9), расшифровывающие смысл векторов U и Г.
К третьей группе относятся уравнения состояния, один из возможных
вариантов которых представляют равенства E.34.11).
Если не обращать внимания на члены, содержащие векторы R и Q в урав-
уравнениях равновесия, то можно заметить, что статические соотношения Aа)—
Aд), с одной стороны, и геометрические соотношения Bа)—Bд), с другой
стороны, тождественны друг другу по структуре, причем исключение соста-
составляет только последнее равенство E.34.4), которое не имеет статического ана-
аналога. Точнее говоря, эти две группы соотношений переходят друг в друга,
если положить R = Q — 0, т. е. принять, что оболочка не загружена
по поверхности, и установить следующие соответствия между статическими
и геометрическими величинами:
G,—»e/f Я„~-?. E.36.1)

76 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. 5
Таким образом, в теории оболочек существует своеобразная косая сим-
симметрия: растягивающему усилию в направлении одной из линий кривизны
G\) отвечает величина (хг), характеризующая изгиб в направлении другой
линии кривизны и, наоборот, изгибающему моменту, действующему в напра-
направлении одной линии кривизны (G2), отвечает величина (&г), характеризую-
характеризующая растяжение в направлении другой линии кривизны. Перерезывающим уси-
усилиям N I, N 2 при этом соответствуют формально введенные геометрические
величины ?, и ?2.
Обсуждаемое соответствие нельзя назвать полным по следующим npnv
чинам:
A) статические величины Я12 и #21, вообще говоря, различны, но им
соответствует одна и та же геометрическая величина со/2;
B) из E.36.1) легко выводятся соответствия
в которых две, вообще говоря, различные, статические величины отвечают
одной и той же геометрической величине;
C) последнее равенство E.34.4) с точки зрения статико-геометрической
аналогии является «лишним», из него вытекает геометрическая формула
в то время как соответствующая статическая формула для % отсутствует;
D) существуют два статических соотношения, вытекающих из уравне-
уравнений состояния (§ 5.29), и их можно рассматривать как два «лишние» статиче-
статические равенства, связывающие функции напряжения.
Все эти несоответствия пропадут, если будет выбран такой вариант
уравнений состояния, при котором статические соотношения, вытекающие
из уравнений состояния, имеют вид
#21 —#12 = 0, S21-S12 + ^--^- = 0. E.36.4)
Две статические величины, отвечающие геометрической величине со/2,
так же как две статические величины, отвечающие геометрической величине т,
в силу E.36.4) будут равны друг другу и, следовательно, отпадут первые
два несоответствия. Два дополнительных равенства, связывающие функции
напряжения, превратятся в одно, так как второе равенство E.36.4) совпадает
с шестым уравнением равновесия, которое выполняется всегда, каковы бы
ни были функции напряжения (§ 3.21). Единственное дополнительное равен-
равенство для функций напряжения получается после подстановки в первое равен-
равенство E.36.4) выражений C.21.1). Оно имеет вид
E-36-5)
т. е. двойственно «лишнему» геометрическому равенству E.36.3). Это значит,
что отпадают третье и четвертое несоответствия.
Один из примеров уравнений состояния, приводящих к равенствам
E.36.4), представляют собой формулы E.28.4) После некоторых легко про-
проверяемых преобразований эти уравнения состояния можно записать так:
r( = F(ei + ve/), S,7-^- = F{\ -v) f,
' E.36.6)

$36} СТАТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ 77
где
2Eh
р
V*' " ~ 2Eh3 '
Заменим в первых четырех равенствах E.36.6) величины
Т Т С #12 С #21 „ „ <° Ш
'li ' 2i °2i ^—> ^и ^—> fci> fc2> ~2* > *
соответствующими им по статико-геометрической аналогии E.36.1) вели-
величинами
и введем дополнительные условные соответствия
F*—>D', v—»—v. E.36.7)
Тогда первые четыре равенства E.36.6) перейдут в четыре последних равен-
равенства E.36.6), и можно считать, что уравнения состояния E.36.6) также
подчиняются статико-геометрической аналогии, переходя при этом в са-
самих себя.
Можно подобрать и другие уравнения состояния, обеспечивающие такого
рода симметрию.
Разумеется, существуют и такие уравнения состояния, при которых
равенства E.36.4) не будут выполняться, тогда нарушатся и обсуждаемые
здесь свойства общих уравнений теории оболочек, но эти отступления от ста-
статико-геометрической аналогии будут проявляться в членах, играющих вто-
второстепенную роль.
Итак, в теории оболочек выполняется так называемая стати ко-геоме-
ко-геометрическая аналогия [38], которая может быть сформулирована следующим
образом.
Если существует однородное равенство
I = 0, E.36.8)
связывающее усилия, моменты, компоненты деформации, углы поворота и
смещения, то в рамках точности теории оболочек существует двойственное
ему однородное равенство
т = 0, E.36.9)
получающееся из предыдущего, если в нем заменить перечисленные искомые
величины соответствующими им величинами согласно E.36.1), а вместо F,
D' и v подставить —D', —F, —v. Это правило будет выполняться точно,
если уравнения состояния взять, например, в форме E.28.4).
Замечание. Часто уравнения теории оболочек преобразовывают так, что в них пара-
параметры F и D входят не порознь, а составляют вместе одну величину
/га 1
3A —V2) ~ FD' (I— v2J'
При переходе от равенства E.36.8) к равенству E.36.9) эту величину согласно E.36.7)
надо оставить без изменения.
Причины существования статико-геометрической1 аналогии не совсем
ясны (в связи с этим представляют интерес работы [148, 169]), но пути ее при-
применения оказались весьма разнообразными.
1. Она позволяет автоматически удваивать казкдое соотношение теории
оболочек или контролировать уже полученные соотношения и в некоторых
случаях помогает осмыслить те или иные положения теории оболочек.

78 уравнения состояния, общие вопросы [гл. 5
Так, например, заранее не ясно, что однородные уравнения равновесия
допускают введение функций напряжения *), и совершенно очевидно, что
уравнения неразрывности должны тождественно выполняться, если в них
компоненты деформации выразить через перемещения, а с точки зрения ста-
тико-ге©метрической аналогии здесь речь идет об идентичных математиче-
математических утверждениях.
2. Со стати ко-геометрической аналогией связана возможность записать
уравнения теории оболочек в комплексной форме. Для осесимметричных
оболочек вращения она была обнаружена в [162, 163, 1831, а затем в работах
[90, 96—98] было показано, что такой результат может быть достигнут и
для оболочек произвольного очертания. На этом основан хорошо известный
комплексный метод В. В. Новожилова, породивший обширную литературу
[21, 129, 130, 185, 189]. Примеры применения комплексной записи уравне-
уравнений теории оболочек встретятся и в предлагаемой книге, но специально
на комплексном методе мы останавливаться не будем. '
3. Существует тесная связь между теорией бесконечно малых 'изгибаний
поверхностей (§1.1) и так называемой безмоментной теорией оболочек,
также вытекающая из статико-геометрической аналогии.
Под бесконечно малыми изгибаниями можно понимать такую деформа-
деформацию поверхности, при которой в принятых здесь обозначениях выполняются
равенства
е1 = <й = е2 = 0, ?,= ?2 = 0. E.36.10)
Первая группа этих равенств вытекает из формул D.23.3), D.23.4) и из того,
что при изгибаниях первая квадратичная форма поверхности не изменяется.
Вторая группа равенств E.36.10) следует из первой в силу D.27.10).
Согласно статико-геометрической аналогии равенствам E.36.10) двой-
двойственны равенства
G2 = Я21 = Я12 = G, = 0, W2 = Nt = 0,
и можно принять (с оговорками, которые выявятся в части II), что ими
выражаются гипотезы безмоментной теории. В этом и заключается обсу-
обсуждаемая связь между теорией бесконечно малых изгибаний и безмоментной
теорией. Она проявляется в идентичности соответствующих дифференциаль-
дифференциальных уравнений и была использована в работах [18, 19, 134]. Об этом будет
еще говориться и в предлагаемой книге.
4. Показана возможность заменить при помощи статико-геометрической
аналогии одни краевые задачи статики оболочек другими [83, 125, 126,
128—130].
5. Статико-геометрическая аналогия была использована в задачах о дей-
действии на оболочку сосредоточенных сил [99, 186].
6. Она оказалась полезной также и при рассмотрении термоупругих
задач теории оболочек [42, 70, 74, 100].
В заключение рассмотрим с точки зрения статико-геометрической анало-
аналогии предельный случай, когда оболочка превращается в пластинку. Тогда
в уравнениях теории оболочек надо положить Rt — R2 = оо, и оболочки,
как будет показано в § 10.20, распадутся на две самостоятельные системы.
Одна из них представляет собой уравнения изгиба пластинок, а другая —
уравнения обобщенного плоского напряженного состояния, для которых
роль функции Эри играет функция напряжений с. Статико-геометрическая
аналогия в этом случае объясняет хорошо известный факт, что для функции
Эри в плоской задаче и для нормального прогиба в теории изгиба пластинок
получается одинаковое уравнение (бигармоническое).
*) Не всякая система с избыточным числом уравнений допускает построение функций
с такими свойствами.

Г Л А В А 6
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ 37. Тензорная символика
Уравнения и формулы общей теории оболочек в предыдущих главах
были выведены для случая, когда срединная поверхность оболочки отнесена,
к линиям кривизны. Обобщение этих результатов для произвольной косо-
косоугольной системы координат можно получить, используя приемы и символику
тензорного анализа. Приводимые ниже тензорные уравнения и формулы заим-
заимствованы в основном из [41 ]. Предлагались и другие варианты этих соотно-
соотношений, которые можно найти, например, в изданных в СССР работах [77,
107] и в работах зарубежных авторов [165—168].
Все тензоры, которые в дальнейшем понадобятся, будем определять,
задавая их физические компоненты в произвольной ортогональной системе-
координат, и записывать это так:
Здесь Р и Q — двумерные тензоры первого и второго ранга соответственно,,
а индексами в скобках отмечаются их физические составляющие.
Переход к ковариантным и контравариантным компонентам в произ-
произвольной ортогональной системе координат осуществляется по формулам:,
для тензоров первого ранга
р, = №A), л2>B)), (^<i), 4
\А А
для тензоров второго ранга
?
a?qA1) aIa;qA2)\ I a? 44
A'XQi J Q [
2l)
Mi.
а:а; а?
\A2 A?
Здесь под А\ подразумевается величина, которая раньше обозначалась,
через Аи т. е. коэффициент первой квадратичной формы срединной поверх-
поверхности (звездочкой всюду в этой главе отмечаются величины, заимствованные
из предыдущих глав, в тех случаях, когда индексы при этих буквах не имеют
тензорного значения).
Замечание. Физические компоненты тензоров, конечно, нельзя назначать произвольно.
Они должны выбираться так, чтобы ковариантные и контравариантные компоненты, получае-
получаемые вышеизложенным способом, обладали известными свойствами, т. е. вели себя определен-
определенным образом при переходе к новой системе координат. Ниже физические компоненты вводимых
в рассмотрение тензоров будут выписываться без объяснений. Правильность их выбора выте-
вытекает из тензорного характера тех соотношений, в которые они входят.
В дальнейшем всегда считается, что ковариантные и контравариантные-
индексы могут принимать значения 1, 2, и будет применяться правило сум~
мирования по повторяющимся индексам.

?0 ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ГГЛ. 6
§ 38. Тензоры срединной поверхности
Введем три тензора, характеризующие геометрические свойства средин-
срединной поверхности и установленную на ней метрику. Их физические компо-
компоненты зададим так:
2 ^22
Здесь R*u, R]2, R2 имеют тот же смысл, что R1U R12, #22 в § 1-5, т. е.
_L- = Щ, _1_ = _Д., F.38.2)
причем R*u — нормальный радиус кривизны поверхности вдоль аглинии;
R\., — величина, характеризующая степень несопряженности принятой
•системы координат (напомним, что если срединная поверхность отнесена
к линиям кривизны, то Ru = Rt, R12 = 00).
Пользуясь правилом перехода от физических компонент к ковариантным
и контравариантным компонентам (§ 6.37) и учитывая F.38.2), A.3.2), легко
лроверить, что
uti-Ml.M,-%-M., Ъц-Мц.ш-^.ш. F.38.3)
Здесь вместо а, введено более привычное в тензорном анализе обозначение х',
векторы М(, Mtl, n имеют тот же смысл, что и в предыдущих главах (звез-
(звездочки при Ми Mtj не ставятся, так как в данном случае индексы имеют тен-
тензорный смысл).
Величины пц, Ъц, ctl представляют собой, соответственно, метрический
¦тензор срединной поверхности, тензор кривизны и дискриминантный тензор.
Структура формул F.38.3) свидетельствует о том, что величины, стоящие
в правых частях равенств F.38.1), действительно могут служить физическими
компонентами тензоров.
§ 39. Тензоры усилий и моментов
Эти тензоры введем с помощью их физических составляющих следую-
следующим образом:
Тензор тангенциальных усилий
/~. ..
1 <->12
VS2I T;
*№ = Ь „.). F.39.1)
Т{, S*2l, S*2, T\ — тангенциальные усилия (§ 3.17).
Тензор перерезывающих усилий
S(/) = (—#;, -Nl), F.39.2)
N{, N1—перерезывающие усилия (§3.17).

$ 391 ТЕНЗОРЫ УСИЛИЙ И МОМЕНТОВ g|
Тензор моментов
м""= «* г- Ь F-39-3)
G;, Я12) Я;,, G;— моменты (§3.17).
Кроме того, введем первый и второй тензоры функций напряжения соот-
соответственно с помощью равенств
«<„ = с;. °2*). ф(» = №¦ ^). F-39-4)
в которых а,, а2, i|)J, i|)*—функции напряжения (§3.21).
Пользуясь формулами перехода (§ 6.37), можно проверить, что спра-
справедливы следующие равенства:
JL /?<<> = - Т»Мц — S'n. -L Q<<> = о^ЛГ'Лв,
Л, /4,
в которых я, как и раньше, — единичный вектор нормали, a R\<\ Q<p —
векторы усилий и моментов соответственно (§3.17) (у величин, отмеченных
звездочкой, индексы не имеют тензорного значения, и правило суммирования
по повторяющимся индексам не должно применяться в левых частях двух
последних равенств). Равным образом имеют место равенства
L = с?*-щМа — хп, К = (^Ма — gn, F.39.5)
в которых g, % — функции напряжения, совпадающие по смыслу с величи-
величинами с, х, a L и К— векторы функций напряжения (§3.21).
Формулы C.21.5), выражающие усилия и моменты через векторы функ-
функций напряжения, в тензорной записи примут вид
, = —. К.—
Замечание. Утверждение, что некоторое равенство!*), имеющее силу для линий кривизны,
записывается в тензорном виде с помощью равенства (**), здесь и всюду в дальнейшем озна-
означает, что(*) можно получить как частный случай из (**), считая, что срединная поверхность
отнесена к линиям кривизны. Например, равенство, имеющее в линиях кривизны вид
Г* Т\
записывается так:
baSSTa ' = 0. (**)
Действительно, развернув (**), получим равенство
ЬцТ11 + fc127-12 + Ь21ТП + Ь22Т** = 0,
в котором ковариантные компоненты тензора Ъ „ и контравариантные компоненты тензора
можно заменить физическими компонентами этих тензоров. Вместе с тем из формул § 6.37
следует, что
а физические компоненты Та^ и Ьаа определяются формулами F.39.1) и F.38.1), причем в ли-
линиях кривизны >
и мы приходим к равенству (*).
Таким же образом проверяются и другие тензорные равенства (если дано соответствующее
равенство в линиях кривизны), и в дальнейшем они будут даваться без пояснений.
6 А. Л. Гольденвейзер

g2 ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. &
Силовое уравнение равновесия C.19.1) можно записать так:
--^^(VaRa) + R = 0. F.39.7)
Здесь R — вектор внешних поверхностных сил; а — определитель метриче-
метрического тензора (в ортогональной системе координат Ya = ^1^2); Rs опреде-
определяется формулой
Rs = JL /?<s> = T^Ma—Sm. F.39.8)
Равным образом моментное уравнение равновесия C.19.6) выразится
равенством
~~ 71 a?" {V~aCt) + а^"^му + с^Т^п + Q = °' F'39-9)
в котором Q — вектор внешних поверхностных моментов
Q* = ' Q<s) = а^СуаАГМ^ F.39.10)
Для проверки равенств F.39.7) и F.39.9) надо только помнить правило
суммирования по повторяющемуся индексу и учитывать следующие формулы
векторного умножения:
М$х п = а^с^М^, Msx Mt = cstn,
которые для поверхности, отнесенной к линиям кривизны, вырождаются
в формулы A.2.2).
Справедлива следующая формула Фосса—Вейля *):
~7г= ~Т~Т V О = lsa>
Va dx?
где Гр7—символ Кристоффеля (§ 1.3). Отсюда следует, что для любого
вектора Еа, у которого а имеет значение контравар иантного индекса, можно
написать
Va дха
Поэтому силовое и моментные уравнения равновесия, можно, соответственно,
записать так:
F.39.11)
-Q = 0.
Равенства F.39.8), F.39.10), F.39.11) имеют тензорную структуру.
Отсюда следует, что физические составляющие тензоров Т, М, S правильно
определены формулами F.39.1)—F.39.3).
Равным образом из F.39.5), F.39.6) следует правильность выбора физи-
физических составляющих первого и второго тензоров функций напряжения.
*) Каган В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. I, Гостехиздат, 1947, стр. 350.

5 401| ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИЙ , ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И УГЛОВ ПОВОРОТА 33
§ 40. Тензоры деформаций, перемещений
и углов поворота
Эти тензоры можно ввести с помощью их физических компонент сле-
следующим образом.
Тензор тангенциальной деформации
"«/>=„. . Ь F.40.1)
е*, ео\ е* — компоненты тангенциальной деформации (? 4.23) (звездочка
при величине, не имеющей индексов, означает, что эта величина не является
инвариантом).
Тензор изгибной деформации
И(|#) -1 . *'2 **" I. F-40.2,
к\, т", х,— компоненты изгибной деформации (§4.24).
Тензор углов поворота
у\, у2 — углы поворота относительно тангенциальных осей (§ 4.22).
Вспомогательный тензор деформаций
hn = (й. S). F.40.4)
?J, fj — вспомогательные геометрические величины (§§ 4.25, 4.26).
Тензор тангенциальных смещений
°</> — ("ь ), F.40.5)
и*. и\—компоненты тангенциального смещения (§ 4.22).
С помощью введенных величин можно записать следующие выражения
для векторов упругого перемещения U и упругого вращения Г:
U = гРМа — wn. Г = с^аКпМа— б». F.40.6)
Формулы D.25.1), D.25.6), D.25.7), выражающие компоненты деформа-
деформации, углы поворота уи у2 и вспомогательные величины Си ?г через векторы
U и Г, теперь принимают вид
es, = у (U> M, + Ur М,), |1„ = а,6с^Г, • Ма, yt = U,-«,
, dU „ ' дТ \ F:40.7)
где б — угол поворота вокруг нормали.
Тензор ци можно выразить и через вектор т, определяемый, как и
в § 4.22, равенством
т = Г х п = 1аМа;
соответствующая формула записывается так:
list = 4" ("*-< -Mt^-nii- Ms) + Cos &?б.

ТЕНЗОРНЫЬ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. в
Структура формул F.40.7) свидетельствует о правильности выбора физи-
физических компонент тензоров F.40.1)—F.40.5).
Формулу D.25.3), при помощи которой были введены вспомогательные
векторы V{i), КB>, теперь можно записать так:
Vs = Us + Ж5 х Г. F.40.8)
Здесь под Vs понимается тот же вектор, который раньше обозначался K(s).
В предыдущих главах индекс брался в скобки, чтобы подчеркнуть, что он не
обозначает дифференцирования по as, здесь скобки отброшены, так как
из F.40.8) видно, что индекс при V имеет тензорный характер.
Уравнения неразрывности деформаций D.27.2), D.27.4) можно записать
в виде равенств
у а дх
F.40.9)
В них векторы Г3 и К3 выражаются через тензоры [ist, e.t, gs с помощью
формул
Kp = аа\уМа, F.40.10)
вырождающихся при переходе к линиям кривизны соответственно в D.25.8)
и D.25.4).
§ 41. Статические и геометрические соотношения
теории оболочек в скалярной форме
Полученные в §§6.37—6.41 статические и геометрические формулы и
уравнения можно записать и в скалярной форме.
Уравнения равновесия
Varsa - b'JST + Р = 0, Vе -f VcS* - Z = 0,
о (- •
где ps, Z, <7J — компоненты векторов внешних сил и внешних моментов —
определяются равенствами
R = р*Ма — Zn, Q = qaMa. F.41.2)
Уравнения неразрывности деформаций
WVaHa, - b«Sah = о. ^cwc8V,x + cpavas3 = 0,
Формулы «деформации — перемещения, углы поворота»
Формулы «углы поворота — перемещениям
Ks=*\sW—b?va, б- а-^"Ч,о&- F.41.5)
f

§ 421 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ g5
Формулы «усилия, моменты — функции напряжения»
Г1 = Л'ХФз + с'Хх- Mst = cascw (Vaep + ba,g)-cst%,
cp* = Vsg — b«ea. F.41.7)
Соотношения F.41.1)—F.41.7), в которых под Va подразумевается кова-
риантная производная, пока принимаются на веру. Их правильность будет
показана в §6.44, а пока заметим, что F.41.1)—F.41.7) подчиняются ста-
тико-геометрической аналогии. Она в тензорной форме выражается такими
формулами соответствия:
, t 10.41.o)
е*<—>vs> g<—>w> ф««—*K г*—-6-
Это значит, что при
ps = z = q' = О
равенства F.41.1), F.41.6), F.41.7) перейдут соответственно в равенства
F.41.3), F.41.4), F.41.5), если в первой группе равенств статические тензоры
заменить геометрическими тензорами согласно F.41.8) (исключение из этого
правила, так же как и в § 5.36, представляет собой второе равенство F.45.1),
не имеющее статического аналога). При проверке этого утверждения надо
учесть соответствия
Они следуют из первого и третьего соответствий F.41.8), в силу тензорного
равенства
= а1 F.41.9)
справедливость которого легко проверяется непосредственно. Кроме того,
надо помнить, что метрический тензор ast и дискриминантный тензор cst
по отношению к ковариантному дифференцированию ведут себя как кон-
константы *).
§ 42. Уравнения состояния (соотношения упругости)
Эти формулы с помощью тензорной символики записываются так:
Ba& + m^ ( "'
Здесь В, D — величины, зависящие от свойств материала оболочки и
от ее толщины,
В 2Eh n_ 2Eh* Г6 42 21
Е, F, G, Н — тензоры упругости, зависящие от aaP, &ae, cap и v, а т™5 и
/n°* — тензоры неоднородности, зависящие от сил, приложенных к лице-
лицевым поверхностям.
Смысл -тензоров упругости определяется в зависимости от того, как
выбраны уравнения состояния.
*) К а г а н В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. I, Гостехиздат, 1947, стр. 361.

gg ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ- 6
В качестве одного из возможных вариантов можно положить
= т«е = mp« = 0; F423)
Для случая, когда срединная поверхность оболочки отнесена к произ-
произвольной ортогональной системе координат, формулам F.42.3) соответствуют
следующие уравнения состояния:
F-42-4)
Простейший вариант уравнений состояния E.28.2), который часто
используется в тех случаях, когда срединная поверхность оболочки отне-
отнесена к линиям кривизны, не может быть записан в тензорной форме, т. е.
не существует таких уравнений состояния, которые имеют силу для любых
криволинейных координат на срединной поверхности, а для линий кривизны
приводят к формулам E.28.2).
Уравнения состояния E.28.3) имеют тензорный характер. Им соответ-
соответствуют такие тензоры упругости:
- i±
HasaatSi + 2asoVp- ^ (bsaa'p — bV), F.42.5)
Я8'а(! = HaV + 2asos&'p— i±l (asos&'p- a«Va), xap = map = 0,
где Н — средняя кривизна оболочки, т. е. инвариант, определяемый фор-
формулой # = —a^baft.
Уравнения состояния E.28.4) также не обладают тензорными свойствами
(это показано в работе [139]). Таким образом, не существует достаточно
простых тензорных уравнении состояния, обеспечивающих, подобно фор-
формулам Л. И. Балабуха — В. В. Новожилова, выполнение всех общих теорем
теории оболочек (§5.32). Этот вопрос подробно рассмотрен в работе [68].
В ней показано, что в произвольных координатах аналог уравнений состоя-
состояния E.28.4) можно построить, только отказавшись от одного из выявлен-
выявленных в § 5.32 преимуществ этих формул (например, от выполнения принципа
взаимности).
§ 43. Преобразование тензорных уравнений
В качестве примера преобразований тензорных соотношений теории
оболочек выполним здесь некоторые выкладки, результаты квторых нам
понадобятся ниже.
В теории оболочек существует так называемое дополнительное уравнение
статики (§ 5.29). В простейшем варианте оно записывается в виде первого

J 43 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 87
равенства E.29.3). Его мы и примем во всех дальнейших преобразованиях
и запишем в тензорной форме так:
ca3Ma|i = 0. F.43.1)
Это равенство позволяет одну из функций напряжений, вводимых фор-
формулами F.41.6), выразить через другие. Заменим в F.43.1) индексы сумми-
суммирования на s, t и внесем полученный результат во второе равенство F.41.6).
Получим
cstc™ c'P (Vae6 + ba&g) + c^'x = 0. F.43.2)
Выполним свертку дискриминантных тензоров с по повторяющимся
индексам, пользуясь здесь (и всюду ниже) формулой F.41.9). Заметим при
этом, что из F.38.3) следует симметричность тензора Ьа$, в то время как
тензор с0* — обратно симметричен. Поэтому
c"»bati = 0.
Кроме того, справедливо равенство
cstcsl
Учитывая все это, получаем из F.43.2) требуемую формулу
cstcsl == a't = 2.
^e. F.43.3)
Помножим первые два равенства F.41.6) на cptcse, выполним свертки,
учтем, что тензоры а и с при ковариантном дифференцировании ведут себя
как константы (в дальнейшем мы будем этим пользоваться без напоминания),
и запишем полученные результаты, присоединив к ним равенство F.41.7),
" = V* + bpQg + С0Д, F.43.4)
cSPct0Tsl -- Voq>p — c
sp
Этим статическим равенствам по статико-геометрической аналогии двой-
двойственны первые два геометрических равенства F.41.4) и первое геометриче-
геометрическое равенство F.41.5). Кроме того, мы имеем статическое равенство F.43.1)
и двойственное ему второе геометрическое равенство F.41.5). Введем обозна-
обозначение
1/3A —
F.43.5)
помножим все перечисленные геометрические равенства на 2Ehp, а все ста-
статические — на i и сложим их попарно. Получим формулы
Ера = VPV, + Ьм W + cMd, Ам = VA, — capb*d,
F.43.6)
Ар = VPW — b%Va, d = L capVaye,
в которых использованы следующие обозначения: ,
+ icptc,sMsl, Аря = 2Eh9V,Dq + icspctqTs\
Vp = 2Ehpvp + iep, W = 2Ehpw + ig,
Ap = 2EhpXp + tq>p, d = 2Ehpb + i%.

ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК (.ГЛ. в
Введем теперь в рассмотрение уравнения неразрывности деформаций
F.41.3). Исключив во втором из этих равенств величину Ъ,р при помощи треть-
третьего равенства, получим
<?*РЪ<ф„ + срас9CУаУ6вр/, = 0. F.43.8)
Аналогичным образом исключим величину Sa во втором уравнении рав-
равновесия F.41.1), воспользовавшись третьим из этих уравнений. Тогда, счи-
считая, что внешние поверхностные моменты отсутствуют (ср = 0), можно напи-
написать равенство
Его можно переписать в следующем виде:
cpac^b^cs!)ct(lTst + cpacq^a^cptcs(lMa + Z = 0, F.43.9)
в чем 'нетрудно убедиться, выполнив свертку тензоров с и помня, что в силу
F.43.1) тензор Mst симметричен.
Помножив F.43.8) на 2Ehp, a F.43.9) — на i, сложив их и использовав
обозначения F.43.7), получим
сГас^ЬаЬАвд + cpV>VaV6?M + iZ = 0. F.43.10)
Обратимся к уравнениям состояния F.42.1) и будем считать, что пред-
предстоящие выкладки должны быть выполнены на уровне точности, соответству-
соответствующей простейшему варианту этих уравнений, выражаемому формулами
F.42.3). Однако пока мы положим равными нулю лишь тензоры т и т, a F
и Н обратим в нули несколько позже. В промежуточных выкладках тензоры
F и Н будут показывать, величинами какого вида мы пренебрегаем в каждом
конкретном выражении, 'избрав простейший вариант уравнений состояния.
Если при этом в данном выражении содержатся другие слагаемые того же
вида, то будет приниматься, что в рамках принятой точности их также можно
отбросить.
Возьмем уравнения состояния в виде
Г' = В (аюа** + vcsVp) вае + DFs'aVap, F-43.11)
Mst = D (а*ааф + vcsVp) fxap + Dtfs'apBap. F.43.12)
Первое из них заменим следующим равенством, разрешенным относи-
относительно тензора тангенциальной деформации:
2EhsPa = (apsat!t — vcpscqt)Tst + Q^M8'. F.43.13)
Если в формулах F.43.11) и F.43.13) положить F и Q равными нулю,
то правильность перехода от одной из этих формул к другой можно прове-
проверить, подставив, например, F.43.13) в F.43.11) и произведя свертку. Что же
касается тензора Q, то его конкретный смысл для нас несуществен. Этот
тензор также будет положен равным нулю в окончательных результатах,
а пока он будет играть ту же роль, что и F и Н, т. е. будет указывать те сла-
слагаемые, которые можно отбрасывать в рамках принятой точности.
При помощи формул F.43.4) равенство F.43.13) можно привести к такому
виду:
— Ь\еу) + с^ЬЬЛ +
-г- Qw №Sc*(Va% + b^g)-cst%].

$ 431 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 89
Замечание. Если тензор имеет верхние и нижние индексы, а порядок последних для этого
тензора является существенным, то ставятся дополнительные точки, фиксирующие место
индекса. Так, например, символ с? означает, что в обратно симметричном тензоре с нижний
(ковариаитиый) индекс а стоит на первом месте, а верхний (контравариантиый) индекс f5 —•
на втором. Для а и Ь точки не ставятся, так как эти тензоры — симметричны.
В последнем равенстве слагаемые, содержащие тензоры е и %, попарю
подобны в том смысле, что в каждую пару входят одноименные тензоры и
одинаковое число символов ковариантного дифференцирования. Поскольку
в каждую пару подобных слагаемых входит тензор Q, истинный смысл кото-
которого нам не известен, отбросим не только члены с Q, но и подобные им сла-
слагаемые. Получим
2Ehepq = {С4 — vaapa%) VpVag. F.43.14)
Аналогично поступаем с равенством F.43.12). Помножим его на cpt, csqt.
выполним свертку и выразим тензоры еаР, ц,^ по формулам F.41.4),
F.41.5). Получим
D (ср*.с% —vapa«)
= DcptcsqHsta*
В этом равенстве в вышеуказанном смысле подобны друг другу две пары
слагаемых с тензорами оу, б. Положив тензор Н равным нулю и отбросив все
слагаемые, подобные тем, которые содержат тензор Н, будем иметь
i4Mst = D (с?с% — vcfyg) V3Уаш. F.43.15)
Забегая вперед, заметим, что в выражении Vf$aw символы ковариантного
дифференцирования можно поменять местами (к вопросу о замене порядка
ковариантного дифференцирования мы еще вернемся в этом параграфе).
Поэтому в коэффициенте при VpVaw можно заменить а на р\ а р наа и
представить формулу F.43.15) так:
cptcsqMst = — D (cp%} + v?##) VpVat». F.43.16)
Из равенств F.43.14) и F.43.16) очевидным образом составляется ком-
комплексная комбинация
Е„ = — tp (cPX%Va.W + va^V3VaF), F.43.17>
в которой черточка над буквой — символ комплексной сопряженности.
Из первого и четвертого равенств F.43.6) следует, что Ет — симметрич-
симметричный тензор. Поэтому равенство F.43.17) эквивалентно трем равенствам.
В них Epq при помощи F.43.6) можно выразить через Vp, W, и мы получим
систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Sh-o так называемые уравне-
уравнения теории оболочек в комплексных перемещениях, впервые предложенные
в работе [98]. Под комплексными перемещениями в них подразумеваются
величины Vp, W, задаваемые третьим и четвертым равенствами F.43.7).
Из F.43.17) очевидным образом получается следующее важное для
дальнейшего равенство:
= — ipc"V^Vp {cf.cJV^W + va|aJV4V6F}. F.43.18)
Тензор Epq в левой части F.43.18) можно выразить при помощи F.43.10)
через Apq и, учтя F.43.6), написать
iZ, F.43.19)

где
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 1ГЛ.
S = cV^aPV0VDr 1 (?**„ ЫУу,
3 F.43.20)
Будем вычислять величины F.43.20), пользуясь равенством
Vac°%v = 0, F.43.21)
представляющим собой тензорную запись уравнений Кодацци (для поверх-
поверхности, отнесенной к линиям кривизны, эти уравнения выписаны в § 1.3).
Выполнив в правой части третьего равенства F.43.20) свертку по ин-
индексу р и заметив, что по индексам р, q тензор Ьа(,Ъаа симметричен, а тензор
(ро обратно симметричен, получим
S = — сфЬацС%Ь*ё = (Pbarfid = 0. F.43.22)
Далее, в силу F.43.21), имеем
S = c^V/V V— с» (Vp&a3) VnW = VV&epV^. F.43.23)
Равным образом
S = — ср<ЧЛр&Х
Справедливо равенство
{К — гауссова кривизна срединной поверхности), которое легко проверить,
построив в линиях кривизны компоненты тензоров, стоящих в его правой
и левой частях. Поэтому можно написать
F.43.24)
Таким образом, из F.43.19), F.43.20), F.43.21)—F.43.23) следует, что
с"V4.Vp?w = Vqcpa^bafiVpW - awVCVV — iZ. F.43.25)
Обратимся к правой части равенства F.43.17) и введем обозначения
т = cpv3vav3c;!4Xv^, т = (f^ayfflld^^W. F.43.26)
Первое из этих равенств преобразуем так:
Т = cpac^c^ceriVaVpVtlV|Tr = aVVaVpV^lF. F.43.27)
Далее нам надо будет менять порядок ковариантного дифференцирова-
дифференцирования. Оно, вообще говоря, не подчиняется закону переместительности, и фор-
формулы, к которым нам придется прибегать, записываются так *):
(V,,V6— V5V^) S = 0, (V»V4Vt — V^VeVa) S = R^VyS. F.43.28)
Здесь S — произвольный инвариант, а Rap,mn — тензор Римана—Кристоф-
<феля, для которого справедлива следующая формула Бианки:
Rat, mn = Kca&cmn. F.43.29)
•) К а г а и В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. 1, Гостехиздат, 1947.

$ 441 УРАВНЕНИЯ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ д]
Поэтому можно написать
= [(a°*VeV6) (a^V.Vr,) + УаКса\!^у\ W = [AAW + aayVaKVv] W. F.43.30)
Здесь использовано обозначение
am"VmVn = Д.
и под А подразумевается обобщенный оператор Лапласа; в произвольной
ортогональной системе координат он расшифровывается так:
д Ал с
АхА2 \ д^ А-, дс^
Из второго равенства F.43.26) получаем
су
Т =
Применив снова формулы F.43.28), F.43.29), будем иметь
Т = с&с*Ча (V^V3V4 + Kc^c^Vy) W =
Но выражение, взятое в квадратные скобки, равно нулю в силу первой
формулы F.43.28), и следовательно,
Т = aayVaK VVW. F.43.31)
Подставив в левую часть равенства F.43.18) выражение F.43.25) и
преобразовав правую часть F.43.18) при помощи F.43.26), F.43.27), получим
важное для дальнейшего уравнение
cpacqt>VqbafiypW - awV, (KVV) - iZ =
= — tp [AAW + aaTVa (КV4W) — aavVa (KVVW)J. F.43.32)
§ 44. Уравнения общей теории оболочек
в произвольной ортогональной системе координат
Уравнения §§ 6.41—6.43 сохраняют силу при любой системе координат,
установленной на срединной поверхности, так как все они имеют тензорный
характер. В частности, их можно расшифровать для случая, когда средин-
срединная поверхность отнесена к произвольной ортогональной, не сопряженной
системе криволинейных координат. Для этого надо иметь в виду правила
перехода к физическим компонентам § 6.37 и учитывать формулы F.38.1),
F.39.1)—F.39.4 , F.40.1)—F.40.5), F.41.2), с помощью которых были опре-
определены все использованные здесь тензоры. Кроме того, надо пользоваться
формулами ковариантного дифференцирования, которые записываются так:
Vr dL rj т п dL . „л га п ; mn dL . j^n j am . pm г па
d«s d^ dr
\7 t &Ln pa г у r dLnm „a j га Т
vs*^n — ^Ti sn/^a> Уь*-тт — T~^ i sn '-¦am 1 sm^na-
Здесь Гар — символы Кристоффеля, определяемые для произвольной орто-
ортогональной системы координат формулами A.3.4); L — инвариант; La, La —

92
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ГЛ. 6
ковариантный и контравариантный тензоры первого ранга; Z-ap, Z.aB —
контравариантный и ковариантный тензоры второго ранга.
Приняв все это во внимание, получим следующие уравнения и формулы
общей теории оболочек, срединная поверхность которых отнесена к произ-
произвольной ортогональной системе координат (здесь мы возвращаемся к обозна-
обозначениям глав 3—5; индексы i, j не имеют тензорного характера и могут при-
принимать две пары значений i = 1, /' = 2 и i = 2, / = 1; звездочки, употребляв-
употреблявшиеся в §§ 6.37—6.39, теперь не ставятся).
Уравнения равновесия
D •" D D T~ A A | Л^»
F-44Л)
21 ^12 "Г  D Г
«11 Э
Уравнения неразрывности деформаций
F
Формулы «деформации — перемещения, углы поворота"»
_1_ 5»i , 1 dAi w
Bi ~ ~A~i да, ^ ~Щ~, 57 "' ~~ ~Щ'
F.44.3)
AiA,

441 УРАВНЕНИЯ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 93
Формулы «углы поворота—перемещения»
( 1 dw , и,- uj \
\ Ai da,- ' Rn Rij)
Ш< ~ А~ —~ ~A~A~~~d~Llti~b~~7r~' F.44.4)
Формулы «усилия, моменты — функций напряжения»
= — д (— дс -4- al —
A, da \ A, da, "•" Rj
— ( -4- —
A, da, \ A, da, "•" Rjj Rij
Af daf \ A{ dat
C, = -j-?i.+ *?Lat-° F.44.5)
r, 1 QUi 1 ЗЛ; с . . ...
"''"""da" ЛД7 За( ' "•" й?/ "*" [~ ' 1г
Л,
= r_ ui _L Jz L f_L
v ^ Л, dar %\Л,
J^ ^
da. ^ /??,- /?
I / I дс ч< сц
да/
_ \ дс , at ai
~ — ^oT + Rtl ~ Rt, '
Уравнения состояния
2Eh
F-44-6)
(вариант, соответствующий простейшим тензорным уравнениям состояния
F.42.4)).

94 ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 1ГЛ. 6
Соответствия статика-геометрической аналогии
" F.44.7)
<0
В этих формулах использованы обозначения § 1.5, т. е. Rt{ — нормальные
радиусы кривизны поверхности в направлении координатных линий, а /?12 —
величина, характеризующая степень несопряженности координатных линий.
При переходе от произвольных ортогональных координат к линиям кривизны
надо положить
Ru = R,, /?1з = оо .
Тогда приведенные здесь уравнения и формулы перейдут в уравнения и
формулы глав 3, 4, и это служит доказательством правильности тензорных
соотношений § 6.43.

Часть II
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК
Под оболочкой понимается тонкое упругое тело. Поэтому основной'
задачей теории оболочек надо считать создание таких приближенных методов-
анализа, которые существенным образом опираются на малость относительной
толщины оболочки \. Разумеется, в некоторых случаях можно исследовать
оболочку, исходя из уравнений теории упругости и не внося в них никаких
упрощений (такие решения даны для сферы и цилиндра). Однако эти резуль-
результаты надо относить к достижениям теории упругости, хотя и имеющим очевид-
очевидную большую ценность для теории оболочек.
Малость толщины в неявном виде использована уже в части I при фор-
формулировке гипотез теории оболочек (в части VI показано, что все они явля-
являются следствием малости h^). В части II малость А„ используется для форму-
формулировки приближенных методов интегрирования двумерных уравнений-
теорий оболочек. Соответствующие упрощения исходных уравнений произ-
производятся на основе дополнительных предположений, которые, так же как
и в части I, принимаются пока без попыток серьезного обоснования. Однако,
как выяснится в последующих разделах книги, все они отражают асимптоти-
асимптотические (при h# —» 0) свойства напряженно-деформированного состояния
оболочки.
Для теории оболочек характерна поражающая на первый взгляд пестрота
приближенных подходов и кажущаяся противоречивость предположений,,
положенных в их основу. То, что объявлено второстепенным в одной ситуа-
ситуации, может быть признано главным при других обстоятельствах. Так, напри-
например, моменты и перерезывающие усилия, которыми можно пренебречь в без-
моментной теории, превращаются в определяющие статические факторы,
когда речь заходит о напряженных состояниях с большой изменяемостью.
Асимптотический анализ интегралов уравнений теории оболочек вскрывает
причины такой разнородности, но, как бы то ни было, она остро ставит вопрос
об области применимости каждого отдельно взятого приближенного приема
расчета оболочек. В части II он также обсуждается, и для этого вводится
понятие о показателе изменяемости. Оно в теории оболочек в высшей степени
важно, но вместе с тем и крайне расплывчато. Автору представляется, что
такая ситуация отражает сущность рассматриваемой проблемы, и полностью'
устранить возникающую в связи с этим неопределенность, по-видимому,
невозможно. Пусть, например, на замкнутую упругую тонкую сферу дей-
действует «спокойная» (медленно меняющаяся от точки к точке) нагрузка. Тогда
в оболочке возникнет безмоментное напряженное состояние. Столь же ясно,
что если нагрузка станет достаточно «бурной», то напряженное состояние
станет моментным. Однако граница между спокойной и бурной нагрузкой,
конечно, не будет резко очерченной даже для такого сравнительно простого
объекта обсуждения, как тонкая упругая сфера. Здесь в сомнительных
случаях нужен разумный учет всех конкретных обстоятельств. Несмотря
на это, в книге делается попытка придать максимальную определенность.
понятию показателя изменяемости.

ЧАСТЬ П
Формулируются некоторые из утверждений теории асимптотического
интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных,
изложенной в приложении, и показывается, как они связаны с вопросом об
изменяемости.
Наибольшие трудности вызвало изложение такого, казалось бы, ясного
понятия, как безмоментная теория. Читателя, возможно, удивит сложность
избранного здесь подхода, однако, перебрав все более простые трактовки,
автор не нашел среди них ни одной свободной от противоречий или хотя бы
такой, которая не повредила бы правильному пониманию обсуждаемых
вопросов.

ГЛАВА 7
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Основное напряженное состояние
Напряженно-деформированное состояние оболочки часто представляет
собой сумму основного напряженного состояния и краевых эффектов. Первое
из них распространяется на всю оболочку, а вторые имеют местный характер
и локализуются вблизи определенных кривых, которые в дальнейшем будут
называться линиями искажения напряженно-деформированного состояния
или просто линиями искажения (к ним принадлежат края оболочки, линии
излома срединной поверхности или, вообще, линии скачкообразного измене-
изменения исходных данных).
Существуют некоторые условия, при которых напряженно-деформиро-
напряженно-деформированное состояние оболочки заведомо обладает такими свойствами. Эти усло-
условия выявятся ниже, а пока мы постулируем, что они выполняются. Тогда
в качестве приближенного подхода к решению задач теории оболочек может
быть использован метод расчленения напряженно-деформированного состоя-
состояния или, просто, метод расчленения. Его идея заключается в следующем.
Основное напряженное состояние и краевые эффекты по своим свойствам
существенно отличаются друг от друга. Поэтому существенно различны и те
дифференциальные уравнения, которыми приближенно описываются эти
напряженные состояния. На этом базируется основная идея метода расчле-
расчленения: строить на первых этапах расчета основное напряженное состояние
и краевые эффекты раздельно (пользуясь для этого различными вариантами
приближенных дифференциальных уравнений) и вводить их в совместное
рассмотрение только для выполнения граничных условий, так как только эта
операция и обусловливает их взаимодействие. К подробностям реализации
метода расчленения мы вернемся в главе 9 и особенно подробно обсудим их
в части IV, а сейчас обратимся к основному напряженному состоянию и при-
примем (пока без объяснений) следующее
Предположение. При определении основного напряженного со-
состояния в силовых уравнениях равновесия члены с перерезывающими усилиями
N г, Nz играют второстепенную роль.
Отбросим в соответствии с принятым предположением в силовых уравне-
уравнениях равновесия члены с перерезывающими усилиями Nlt N2. Тогда для
оболочки, отнесенной к произвольной ортогональной системе координат,
получим следующую систему приближенных уравнений.
1. Силовые уравнения равновесия F.44.1)
?(№—gfr2 + ^(^S12) + ^S21+^AX1 = 0, G.1.1)
7 А. Л. Гольденвейзер

98
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ , ГГЛ. 7
2. Тангенциальные уравнения состояния F.44.6) (здесь и ниже танген-
тангенциальными называются те уравнения состояния, которые связывают 7\,
S2i. S12, Ta с деформациями)
^ Su=»Sla = T^<B. G.1.4)
3. Формулы «компоненты тангенциальной деформации — перемещения»
F.44.3)
1 ди2 1 дЛ2 w ,,
4. Формулы «компоненты изгибной деформации — перемещения»
F.44.3)
_
Л2
l2
5Г
V Л! во, "Г Rn Rn ) '
j*2_ »i_ N
/?22 /?12 У'
=
да2
7 1+ «'
1 диг 1
~~л7"а7~ "л7л
Ю1"~- л, да,
0J л7а«7 л7л7ааГ ^
6 = X 1мГ 1"*ьГ(/llUl) ~ 5Г (Лг) J'
5. Нетангенциальные уравнения состояния F.44.6) (под этим подразу-
подразумеваются уравнения, связывающие моменты с деформациями)
G.1.7)
n2i~n12~ 3(l+v)T-
6. Моментные уравнения равновесия F.44.1)
и / Л /** \ i f"! /-» , и / Л ZJ \ l uri% U \ Л Л AT Л /*7 1 О\
Лгу * ¦•¦ */ I Нг/ *¦ > t\n * " ^ ' ritf ^* * * "
'^H21 — A1A2Nl = 0. G.1.9)

$ 2] БЕЗМОМЕНТНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 99
(В приближенной теории основного напряженного состояния берутся про-
простейшие уравнения состояния, а шестое уравнение равновесия отбрасы-
отбрасывается.)
В дальнейшем, когда надо подчеркнуть отличие G.1.1)—G.1.9) от неупро-
неупрощенных уравнений F.44.1)—F.44.6), будем называть последние уравнениями
моментной теории оболочек.
§ 2. Безмоментное напряженное состояние
Важное следствие отбрасываний, произведенных в силовых уравнениях
равновесия G.1.1)—G.1.3), заключается в том, что они вместе с дополнитель-
дополнительным равенством
S21 =S12. G.2.1)
вытекающим из G.1.4), образуют самостоятельную подсистему, состоящую
из четырех уравнений с четырьмя неизвестными Тг, S2U Sl2, Тг. Это значит,
что G.1.1)—G.1.3) н G.2.1) определяет некоторую совокупность таких напря-
напряженных состояний (Ти S21, Sl2, T2), которые находятся в равновесии с внеш-
внешними силами Q, состоящими из поверхностной нагрузки (X ъ Х2, Z) и краевых
тангенциальных сил (t, s)
Q = (Х„ Х„ Z, t, s) G.2.2)
(t, s — тангенциальные усилия, возникающие на сечении, проведенном
вдоль края, и выражающиеся через краевые значения Ти S21, S12, Tt
по формулам C.20.2)).
Коэффициенты уравнений G.1.1)—G.1.3) и G.2.1) не зависят от пара-
параметра /г*, под которым здесь подразумевается малое число (по сравнению
с единицей), равное отношению полутолщины оболочки к характерному
радиусу кривизны срединной поверхности. Поэтому при некоторых допол-
дополнительных условиях (таких, например, как требования ограниченности
области, отсутствие линий вырождения типа уравнений и т. п.) решения этих
уравнений имеют относительно h% такой же асимптотический порядок, как
и внешние силы Q. Запишем это так:
(Tlt S21, S12, Тг) = О (Q). G.2.3)
Для каждого из решений G\, S2i, S12> Тг) уравнений G.1.1)—G.1.3),
G.2.1) можно найти соответствующие ему моменты, перерезывающие усилия,
перемещения и деформации, поступая следующим образом.
Для определения elf ©, е2 имеем тангенциальные уравнения состояния
G.1.4). Относительно величин 2Ehsu 2?/ш, 2Ehs2 они образуют алгебраи-
алгебраическую систему уравнений, также не содержащую h^ в коэффициентах. По-
Поэтому справедливо соотношение
2Eh(su со, 82) = O(Q). G.2.4)
Для определения перемещений служат формулы «тангенциальные
деформации—перемещения». Они образуют систему дифференциальных урав-
уравнений относительно иъ иг, w (считается, что elt со, г2 уже определены) и
снова не содержат в коэффициентах параметра Л„.. Поэтому при некоторых
дополнительных условиях (такого же характера, как «и упомянутые выше)
для каждой определенной тройки (е^ со, е2) можно построить тройку (ии
и2, w), имеющую тот же порядок по h^. Сохраняя только такие решения,
будем иметь
2Eh(ult иг, w)=>0(Q). G.2,5>

J00 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ (ГЛ. 7
Для определения xlt т, и2 служат формулы G.1.6). По ним переход от
перемещений к деформациям выполняется прямыми действиями, не завися-
зависящими от h^. Поэтому
2EhGi1, т, *s) = O(Q). G.2.6)
' Далее можно воспользоваться нетангенциальными уравнениями состоя-
состояния, из которых при помощи алгебраических действий находятся моменты.
При этом легко видеть, что
(Gi, Я21, Н12, G2) = О (h\Q). G.2.7)
Наконец, Nlt Nz из уравнений G.1.8), G.1.9) определяются прямыми
действиями, не зависящими от кл. Следовательно,
(Nu N,) = O(hlQ). G.2.8)
Приближенные силовые уравнения равновесия G.1.1)—G.1.3) получены
за счет отбрасывания следующих величин:
(<Ф/ = 1, 2),
Поэтому можно считать, что напряженно-деформированное состояние
Р(б), соответствующее внешним силам Q и построенное описанным способом,
отличается от некоторого «истинного» значения этой величины Р на попра-
поправочное напряженно-деформированное состояние Р', соответствующее внеш-
внешним силам (Xi, Х'2, Z', s', t'). Причем под Х'и Х'2, Z' — компонентами поверх-
поверхностной поправочной нагрузки — надо подразумевать величины G.2.9),
as', И зависят от нашего выбора и можно, в частности, положить s' = f = 0.
Из асимптотического соотношения G.2.8) и формул G.2.9) следует, что
(Xi, X2, Г, 0, 0) = O(fc,2Q). G.2.10)
Но выше было принято, что тангенциальные усилия имеют такой же
порядок, что и внешние силы. Поэтому асимптотическое соотношение G.2.10)
означает, что для решений рассмотренного вида отбрасывание членов с Nlt
N2 приводит к незначительным погрешностям, неограниченно уменьшаю-
уменьшающимся при кл —» 0, т. е. предположение теории основного напряженного
состояния (§ 7.1) при достаточно малом h* можно считать оправданным.
Назовем напряженно-деформированное состояние, удовлетворяющее
асимптотическим соотношениям G.2.3)—G.2.8), безмоментным напряженным
состоянием. Сказанное в предыдущем абзаце означает, что для него остается
справедливым предположение, сформулированное в § 7.1 для основного
напряженного состояния.
Обозначим через аг и ав наибольшие напряжения, порождаемые соот-
соответственно тангенциальным усилием Г и моментом G. Из формул B.10.1)
легко вывести, что
_ Т 3G
(эти формулы, конечно, можно получить и непосредственно).
Отсюда, учитывая G.2.3) и G.2.7), будем иметь асимптотическое соот-
соотношение
aG = O(/yjr), G.2.11)
из которого вытекает, что при достаточно малом h^ безмоментное напряженное
состояние оправдывает свое название в том смысле, что в нем напряжения от
моментов играют второстепенную роль.

S3] ЧИСТО МОМЕНТНОЕ СОСТОЯНИЕ БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ Ю1
Прежде чем идти дальше, поясним смысл высказанных утверждений.
В формулировке каждой краевой задачи теории оболочек содержится
в явном или неявном виде некоторое число параметров. Если, например, надо
рассчитать замкнутую круговую цилиндрическую оболочку, подверженную
действию поверхностной нагрузки, меняющейся по закону sin na1 sin ma2,
то параметрами задачи будут: Л* — относительная полутолщина, г — радиус
оболочки, / — длина облочки, а также числа пит, определяющие характер
внешних воздействий. В связи с этим обратим внимание читателя на то, что
полученные здесь оценки выявляют некоторые свойства, связанные с поведе-
поведением только одного из параметров задачи, а именно, с малостью Л„. Это —
асимптотические свойства, т. е. свойства, проявляющиеся при достаточно
малом h^.. В конкретных задачах значение этого параметра фиксировано,
и как бы оно ни было мало, может случиться, что при выбранных значениях
других параметров задачи асимптотические свойства еще не имеют силы.
Возвратимся к соотношениям G.2.10), G.2.11). Из них следует, что при
достаточно малом А,, безмоментное напряженное состояние обладает следую-
следующими свойствами:
A) оно может быть с известной точностью построено при помощи уравне-
уравнений G.1.1)—G.1.9),
B) в нем напряжения от тангенциальных усилий превышают по абсолют-
абсолютной величине напряжения от моментов.
Если А„. фиксировано, а другие параметры рассматриваемой краевой
задачи ничем не ограничены, то безмоментное напряженное состояние может
утратить оба упомянутых свойства. Условимся в связи с этим говорить, что
безмоментное напряженное состояние не существует, когда для его построения
непригодны уравнения G.1.1)—G.1.9), а если оно существует, но в нем напря-
напряжения от моментов не меньше напряжений от усилий, то такое безмоментное
напряженное состояние назовем выродившимся.
Пример. Фиксируем в описанной выше цилиндрической оболочке пара-
параметры h^, r, п, т, примем, что пят соизмеримы с единицей, и будем менять
параметр /. Тогда можно показать, что при малых /безмоментное напряженное
состояние существует и является невырожденным. При увеличении / (/ > /j)
безмоментное состояние выродится, так как слишком возрастут напряжения
от моментов, но оно еще будет существовать, так как компоненты дополни-
дополнительной нагрузки Xi, X'2, Z' останутся малыми. Дальнейшее возрастание
1A > 1г) поведет к возрастанию Х\, Xi, Z', и безмоментное напряженное
состояние перестанет существовать. Все эти утверждения легко проверить
по формулам, которые выводятся для цилиндрической оболочки в § 13.1.
§ 3. Чисто момеитиое напряженное состояние.
Безмомеитная теория оболочек
При определении перемещений в предыдущем параграфе удерживались
только такие решения уравнений G.1.5), которые удовлетворяют асимпто-
асимптотическому соотношению G.2.5), а последнее в силу G.2.4) равносильно тре-
требованию
(щ, и2, w) = O (е), е = max \su ©, %}. G.3.1)
Вместе с тем очевидно, что уравнения G.1.5) имеют решения, не удовлет-
удовлетворяющие этому соотношению. К ним, например, принадлежат все решения
однородной (при ех = со = е2 = 0) системы G.1.5), так как для них 8 = 0,
a ult u2, w отличны от тождественного нуля. Рассмотрим теперь эти
решения и построим соответствующие им напряженно-деформированные
состояния.

|02 6ЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ {ГЛ.
Для каждого решения (и1г и2, до) однородной системы G.1.5) можно
подсчитать xlt т, и2 по формулам G.1.6). Это требует только выполнения
прямых действий. Поэтому
2Eh(x1, т, щ) = ОBEhU), U = max \ux, иъ w\. G.3.2)
Из нетангенциальных уравнений состояния алгебраически получаем
моменты, а затем из моментных уравнений равновесия прямыми действиями
находим перерезывающие усилия. При этом будут справедливы соотношения
(d, Я2Ь На, (к) = О (HpEhU), (Nu N2) = О (h\2EW). G.3.3)
Все остальные величины, определяющие искомое напряженное состояние,
можно в первом приближении положить равными нулю:
7\ = S21 = Slt = Г2 = 8l = © = е2 = 0. G.3.4)
Тогда уравнения G.1.1)—G.1.9) при
X, = Х2 = Z = 0 G.3.5)
будут удовлетворяться.
Формулы G.3.4) можно при желаний уточнить следующим образом.
Возвратимся к силовым уравнениям равновесия моментной теории, т. е.
возьмем вместо G.1.1)—G.1.3) первые два равенства F.44.1), отбросим в них
свободные члены в силу G.3.5) и будем считать, что N ь N2 известны. Тогда,
использовав дополнительное равенство G.2.1), получим систему из четырех
уравнений для определения Тъ S21, S12, T2, в которой роль свободных
членов играют некоторые выражения, содержащие #!, #2. Так же как это
делалось в § 7.2 при определении перемещений, примем, что эта система
имеет решение, порядок которого равен порядку свободных членов, и сохра-
сохраним только такие решения. Тогда будет справедливо соотношение
(Ти S2l, S12, T2) = O(h«iEhU). G.3.6)
Далее при помощи G.1.4) получаем (алгебраически) компоненты танген-
тангенциальной деформации, для которых оценочное соотношение имеет вид
(еь со', ег) = О (/#/). G.3.7)
Напряженно-деформированное состояние, удовлетворяющее асимптоти-
асимптотическим соотношениям G.3.1)—G.3.3), G.3.6), назовем чисто моментным
напряженным состоянием.
В чисто моментных напряженных состояниях, если их строить при
помощи приближенных уравнений G.1.1)—G.1.9), компоненты тангенциаль-
тангенциальной деформации обращаются в тождественный нуль. Уточнения, которые
можно получить, обратившись к уравнениям моментной теории, приводят
к значениям, удовлетворяющим асимптотической оценке G.3.7), играющей
гакую же роль, как оценка G.2.10). Основываясь на этом, можно утверждать,
что приближенные уравнения G.1.1)—G.1.9) в равной мере применимы
к построению как безмоментных, так и чисто моментных напряженных
состояний.
Из G.3.3) и G.3.6) легко вывести асимптотическое соотношение
аТ = О (h^oo). G.3.8)
Оно по смыслу прямо противоположно соотношению G.2.11) и показы-
показывает, что при достаточно малом h^ чисто моментное напряженное состояние
оправдывает свое название: в нем наибольшие абсолютные значения имеют

§ 3] ЧИСТО МОМЕНТНОЕ СОСТОЯНИЕ. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ 1Q3
напряжения, обусловленные моментами. Вместе с тем при малом, но фикси-
фиксированном h^ свойства, выражаемые соотношениями G.3.7), G.3.8), могут и
не проявиться, т. е. чисто моментное напряженное состояние, так же как
безмоментное, может не существовать или оказаться вырожденным.
Замечание. Чисто моментное напряженное состояние по смыслу совпадает с тем, что
Ляв [84] назвал деформацией без растяжения и сжатия. Поскольку чисто моментное напряжен-
напряженное состояние здесь будет постоянно противопоставляться безмоментным напряженным состоя-
состояниям, автор счел более уместным отразить в названиях состояний те их свойства, в которых
выражено наиболее существенное различие между ними.
При решении уравнений G.1.1)—G.1.9) надо, кроме выполнения некото-
некоторых прямых действий, дважды интегрировать системы дифференциальных
уравнений: при определении тангенциальных усилий интегрируется система
G.1.1)—G.1.3), G.2.1), s при определении перемещений — система G.1.5).
Можно считать, что все производи, содержащиеся в интегралах уравнений
G.1.1)—G.1.3), G.2.1), переходят в безмоментное напряженное состояние,
а все произволы, содержащиеся в интегралах уравнений G.1.5), переходят
в чисто моментное напряженное состояние. Это значит, что основное напря-
напряженное состояние представляет собой сумму безмоментного и чисто момент-
ного напряженных состояний.
Одним из самых распространенных приемов анализа напряженно-
деформированного состояния оболочки является так называемая безмомент-
ная теория. В самых общих чертах ее можно определить как метод, стремя-
стремящийся использовать то обстоятельство, что вдали от линий искажения в обо-
оболочке, как правило, господствует безмоментное напряженное состояние,
т. е. выполняется соотношение G.2.11). Эта предпосылка явно или неявно
принимается во всех трактовках безмоментной теории, но детали метода
у разных авторов выглядят совершенно по-разному. Так, например, иногда
считается, что цель безмоментной теории заключается лишь в определении
тангенциальных усилий и что в ней надо учитывать только уравнения G.1.1)—
G.1.3), G.2.1). В других случаях определение перемещений также включается
в задачу безмоментной теории, и соответственно увеличивается число уравне-
уравнений, с которыми надо оперировать. Можно указать и другие расхож-
расхождения.
В настоящей книге безмоментная теория также занимает видное место
и, избегая путаницы, постараемся достаточно четко определить это понятие
(предлагаемая трактовка, может быть, и не является наилучшей, но она
удобно увязывается с принятым здесь способом изложения).
В некоторых случаях (часто встречающихся в практических задачах)
в процессе применения метода расчленения построение основного напряжен-
напряженного состояния выделяется в совершенно самостоятельную задачу. Это
происходит тогда, когда, не вводя в рассмотрение краевые эффекты, удается
из четырех граничных условий общей теории оболочки выделить два гранич-
граничных условия, которые надо учитывать при интегрировании уравнений G.1.1)—
G.1.9) и которые вместе с этими уравнениями однозначно определяют основ-
основное напряженное состояние. Такие случаи будут здесь разобраны в §§ 9.15—
9.17. Там же приведен и пример противоположного характера. В части IV
при более систематическом рассмотрении метода расчленения будет показано,
что, если построение основного напряженного состояния выделяется в само-
самостоятельную задачу, то в нем господствует безмоментное слагаемое и основное
напряженное состояние будет безмоментным (если оно не вырождается).
Здесь под безмоментной теорией подразумевается один из вариантов
метода расчленения, заключающийся в построении основного напряженного
состояния при помощи интегрирования уравнений G.1.1)—G.1.9) с учетом
двух граничных условий, выделяемых из четырех граничных условий теории

104 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. 7
оболочек по определенному правилу без введения в рассмотрение краевых
эффектов.
По поводу принятого определения полезно сделать ряд замечаний.
1. Не предполагается, что в результате применения безмоментной
теории обязательно должно получиться напряженно-деформированное состоя-
состояние, в котором преобладают напряжения от тангенциальных усилий. В общем
случае это будет так потому, что возможность самостоятельно строить основ-
основное напряженное состояние означает, как уже говорилось, господство без-
моментного напряженного состояния, в котором, как правило, наибольшими
являются напряжения от тангенциальных усилий. Однако возможны и исклю-
исключения, которые будут иметь место, если безмоментное напряженное состояние
выродится.
2. В предлагаемой трактовке цель безмоментного расчета заключается
в построении некоторого основного напряженного состояния, в котором
господствует безмоментное напряженное состояние. Поэтому, вообще говоря,
надо находить не только тангенциальные усилия G\, <S21, S12, Т%) и пере-
перемещения (и1г ыа, w), но также моменты (G1? Н21, Н12, G2) и перерезывающие
усилия (Nlt N2)- Построение (Glt #21, #12, G2, Nlt N2), как мы уже могли
убедиться, достигается прямыми действиями и не связано с дополнительными
принципиальными затруднениями. Вместе с тем оно может дать существенные
поправки, если господствующее безмоментное напряженное состояние выро-
выродилось или близко к вырождению (когда есть уверенность, что вырождение
или близость к ней невозможна, необходимость в вычислении моментов,
конечно, отпадает).
3. Требование, чтобы выделение задачи построения основного напря-
напряженного состояния производилось без связи с краевыми эффектами, нуждается
в дополнительном разъяснении, но здесь, было бы не своевременно на этом
останавливаться. Вопрос станет яснее после общего рассмотрения метода
расчленения в части IV.
Мы будем называть уравнения G.1.1)—G.1.9) уравнениями безмоментной
теории, так как их интегрирование составляет математическую задачу этой
теории. Однако надо помнить, что эти уравнения лежат также в основе и
более общего приближенного подхода, т. е. метода расчленения. Логически
правильней было бы называть G.1.1)—G.1.9) уравнениями основного напря-
напряженного состояния, но упомянутый выше термин прочно вошел в теорию
оболочек, а, кроме того, метод расчленения на практике применяется чаще
всего в том варианте, который здесь назван безмоментной теорией.
§ 4. Статические уравнения безмоментной теории
Силовые уравнения равновесия безмоментной теории G.1.1)—G.1.3)
вместе с дополнительным равенством G.2.1), как уже говорилось, образуют
самостоятельную подсистему. Введя обозначение
Sn = Su = S, G.4.1)
ее можно записать в виде
*? S + ЛИ А = 0, G.4.2)
Эти уравнения мы будем называть статическими уравнениями безмо-
безмоментной теории, или короче, безмоментными статическими уравнениями.

СТАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
105
Найдем характеристики безмоментных статических уравнений G.4.2).
Для этого положим Xt — Х2 = Z = 0, оставим в первых двух уравнениях
только главные (содержащие производные от искомых величин) слагаемые
и заменим в них символы д/да{ на множитель df/da(. Тогда G.4.2) превра-
превратится в систему однородных алгебраических уравнений относительно Ти
S, Г2. Обратив определитель этой системы в нуль, получим дифференциальное
уравнение характеристик системы G.4.2):
Ж. _L ?L
dat A2 doj
1
da, A2
2
0
П ' "' ' "'
Л
и
= 0,
G.4.3)
или в раскрытом виде:
#11 V А2 да?/
R1
Уравнения G.4.2), а следовательно, и уравнение G.4.4), имеют силу
в любой ортогональной системе криволинейных координат. Выберем послед-
последние так, чтобы а2-линии совместились с асимптотическими линиями срединной
поверхности. Тогда в G.4.4) надо положить R22 = оо, и одно из решений этого
уравнения станет очевидным / = / (а^. Как известно из теории дифферен-
дифференциальных уравнений, равенство / = const, где / — нетривиальное решение
уравнения G.4.4), определяет семейство характеристик системы G.4.2).
Это значит, что характеристиками уравнений G.4.2) являются линии а, =
= const, т. е. а2-линии. Следовательно, характеристиками статических
безмоментных уравнений являются асимптотические линии срединной по-
поверхности [109, 116].
На поверхности положительной гауссовой кривизны (К > 0) асимпто-
асимптотические линии мнимы. При К <С 0 существует два действительных семейства
асимптотических линий, а при К = 0 существует одно действительное (двой-
(двойное) семейство асимптотических линий. Отсюда вытекает, что тип стати-
статических безмоментных уравнений зависит от знака гауссовой кривизны сре-
срединной поверхности. Для оболочек положительной кривизны это будет эллип-
эллиптическая система, для оболочек отрицательной кривизны — гиперболическая
и для оболочек нулевой кривизны — параболическая.
Систему G.4.2) в однородном случае, т. е. при Х1 = Хг = Z = 0, можно свести к одному
уравнению, воспользовавшись формулами, связывающими усилия и моменты с функциими
напряжения.
В части I были введены четыре основные функции напряжений а1? а2, с, х и две вспомога-
вспомогательные функции напряжения \plt \p2 (последние называются вспомогательными, так как
даются формулы, при помощи которых -фг. 'Фг можно выразить через Oj, a2, с, х).
Для оболочки, отнесенной к произвольной ортогональной системе координат, согласно
формулам F.44.5) усилия выражаются через ipj, г|J, X следующим образом:
Ах йах
7-1'
S21 =
L
At
#22
Л! daj

JQg БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ 7
Полные (не упрощенные за счет отбрасывания N^, Л?2) однородные уравнения равновесия
будут тождественно удовлетворяться в силу формул G.4.5), каковы бы нн были достаточное
число раз дифференцируемые функции i|)|, i|J, %. Свяжем их равенствами
% , % _ 1 дх Ь Ф2 _ 1 дХ
i  г "р 1 Лп~' ~р • ~р а лиг—' ('.*.о;
¦\22 **12 Л2 ОСЬ2 *М2 *М1 Л1 ^*1
^^+^^^^~"^1^ + A^" + "^)х=0 G<7)
из которых следует, что
/V, = Л', з 0. S21 = Si2 = S.
Это значит, что полные силовые уравнения равновесия F.44.1) обратятся в систему
G.4.2), и последняя будет тождественно удовлетворяться в силу G.4.5)—G.4.7).
Разрешим уравнения G.4.6) относительно iplr t|>2:
* _J_(JL_L
да? /?12 Л, da, /' К \ #22 Л, да-, Rl7 Л, <Эа2
G.4.8)
(ft = -гг—5 gj гауссова кривизна срединнойтповерхности ) . Внеся G.4.8) в 47.4.7),
" 11^22 ^12 /
получим искомое уравнение
J д 1_ / _| |_ д%_ _}¦ 1 дх
rtj-rtg ^^2 Л \ л\22  С*С&1 ^12 ^2
_1__б i_/_i L^. +J L.
Л| <5ах ft \ i?22 A1 да^ R12 Л2
Оно эквивалентно системе G.4.2) в том смысле, что каждому решению уравнения G.4.9)
соответствует решение системы G.4.2), в котором Тг, S, Тг выражаются следующими фор-
формулами:
r(n'LLJ/'LL&, J
LJ-/_L_L-& J LJ2L\
да/ К \ R/i At dat ^ Rtf A/ da, J
I ( I I dX . I 1 ax \ x
К \ A d ^ R A d J "*"
dat К \Ru Aj da, ^ Rt/ At dat J "*" RtJ '
ax \
dat J
s=(_hiJ д i_/j L^L4._L_LiJL
^ ' А, да, К \ Ru Aj da, ^ Rif At da(
йа,- К \ Rjj At aat ^ Rtj A, da., )^K ' Ru
Aф,= 1, 2).
Они получаются, если подставить G.4.8) в G.4.5) и отбросить индекс при S (два выражения
для S отличаются друг от друга, конечно, только по форме).
Замечание- Уравнение G.4.9) имеет смысл только при К Ц= 0, т. е. для оболочек ненуле-
ненулевой гауссовой кривизны.
Ниже выяснится, что при К = 0 безмоментные статические уравнения настолько просты,
что для них вопрос о приведении к одному уравнению не представляет интереса.

§ 5] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
§ 5. Геометрические уравнения безмоментной теории
Под геометрическими уравнениями безмоментной теории или просто
геометрическими безмоментными уравнениями будут подразумеваться ра-
равенства
_ 1 Эй, . I dAj w
E + Л7 U '
)¦?• <7-51>
ди„ . 1 дА2
Е* = А да?
в которых компоненты тангенциальной деформации рассматриваются как
известные величины.
Равенства G.5.1) образуют систему из трех уравнений с тремя неизвест-
неизвестными иlt иг, ши имеют простой геометрический смысл. В однородном случае,
т. е. при б! = ю = е2 = 0, уравнениями G.5.1) определяются такие переме-
перемещения срединной поверхности оболочки, при которых компоненты танген-
тангенциальной деформации обращаются в нуль. При этом, как следует из формул
D.23.3), D.23.4), сохраняется первая квадратичная форма срединной поверх-
поверхности, а следовательно, однородные уравнения G.5.1) определяют перемеще-
перемещения, соответствующие бесконечно малым изгибаниям срединной поверхности
оболочки (§ 1.1).
С геометрической точки зрения однородную (ех = ю = е2 = 0) систему
G.5.1) можно назвать дифференциальными уравнениями изгибаний в пере-
перемещениях (здесь и всюду в дальнейшем бесконечно малые изгибания для
краткости называются просто изгибаниями). Легко вывести и дифференциаль-
дифференциальные уравнения изгибаний в деформациях. Шесть компонент деформаций
гх, &, е2, хь т, х2 удовлетворяют трем уравнениям неразрывности, которые
в произвольной ортогональной системе координат записываются в виде
равенств F.44.2). Положив в них ъ± = ю = е2 = 0, получим искомую си-
систему
п I о * D '
¦U1 2 2
состоящую из трех уравнений с тремя неизвестными кг, х, х2.
Два варианта дифференциальных уравнений изгибаний, т. е. системы
G.5.1) и G.5.2), в известном смысле эквивалентны друг другу. Каждому
решению ии ы2, w системы G.5.1) можно с помощью формул G.1.6) поставить
в соответствие некоторое решение xlt т, к2 системы G.5.2). При этом надо
заметить, что существуют и такие решения G.5.1), которым соответствует
тривиальное решение G.5.2), т. е. хг = т = х2 = 0. Смысл их очевиден: это
будут смещения, определяющие движение срединной поверхности как
жесткого целого, при котором все компоненты деформации обращаются
в нуль. В дальнейшем, так же как это делается в (теории поверхностей,
будем иногда жесткое движение срединной поверхности называть тривиаль-
тривиальным изгибанием.
Пусть, наоборот, известно некоторое решение
х1 = и?) т = т°. к2 = и§ G.5.3)
уравнений изгибаний в деформациях G.5.2).

БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ 7
Тогда, присоединив к G.5.3) равенства ех = со = ех = О, мы будем
знать все шесть компонент деформации. Они заведомо удовлетворяют уравне-
уравнениям неразрывности, и значит, по ним, как показано в § 4.27, можно восста-
восстановить смещения и1з и2, до, являющиеся решениями уравнений G.5.1). Эти
смещения 'определятся с точностью до тривиальных изгибаний, т. е. до жест-
жесткого движения срединной поверхности.
Заметим, что G.5.2) по структуре идентичны статическим безмоментным
уравнениями G.4.2): системы G.5.2) и G.4.2) переходят друг в друга, если
установить такие соответствия:
щ *--» Т2, т-^-> — S, x2^-*7V G.5.4)
Это одно из проявлений статико-геометрической аналогии, о котором уже
говорилось в § 5.36.
Из G.5.4) следует, что между статическими безмоментными уравнениями
G.4.2) и геометрическими безмоментными уравнениями G.5.1) существует
тесная связь. Пусть известно решение однородных уравнений G.4.2). Тогда
с помощью G.5.4) можно найти соответствующее ему решение уравнений
G.5.2), а следовательно, и решение уравнений G.5.1). Очевидным образом
устанавливается и обратное соответствие. Это значит, что уровень трудности
решения статических безмоментных уравнений G.4.2) и геометрических
безмоментных уравнений G.5.1) одинаков. Более того, можно утверждать,
что всякий метод решения одной из этих систем может быть использован
и как метод решения другой системы.
Характеристики дифференциальных уравнений G.5.1) можно найти
так же, как это делалось для уравнений G.4.2). В результате вместо G.4.3)
получим равенство, в левой части которого стоит транспонированный опре-
определитель. Это значит, что характеристики геометрических безмоментных
уравнений также совпадают с асимптотическими линиями срединной поверх-
поверхности, а следовательно, эта система будет эллиптической Для оболочек
положительной кривизны, гиперболической для оболочек отрицательной
кривизны и параболической для оболочек нулевой кривизны.
§ 6. Головная система уравнений безмоментной теории
Головной системой уравнений безмоментной теории или, короче, голов-
головной системой безмоментных уравнений будет называться совокупность ра-
равенств, состоящих из равенства G.4.2) и двух следующих групп равенств:
[_ди±, 1 дЛд
A doL Ал A cioL
62 - Т2да^ + Л,Л2 ва, Ы1 /?22 ' (ЛЬ'^
ш ~ Агдаг \ Л, У "Г Аг даЛ Аг ) ^ Rlt '
Кроме G.4.2), G.6.1), G.6.2), в уравнения безмоментной теории входят
равенства G.1.6)—G.1.9), которые можно рассматривать как дополнитель-
дополнительные. Из них прямыми действиями определяются не содержащиеся в головной
системе неизвестные хь т, х2, Glf H12, Я21, G2, Nlt N2.
Головную безмоментную систему легко свести к трем уравнениям относи-
относительно ии и 2, w. Выразив в G.6.1) компоненты деформации через перемеще-

§ 7] СТАТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ]Qg
ния при помощи G.6.2) и внеся этот результат в G.4.2), получим следующие
головные безмоментные уравнения в перемещениях:
I д Г 1 IdAfH dAiU,\ , i I \
Л, da, L AiAj \ da,- "+" da, ) KRi^ R,J
да,-
¦+" «/y- Л,- да,- "T" i?f/ Л,- да,- J ^ 2Eh л' - u
(i + j =1,2), G.6.3)
/ll\l/ дЛ2Ы1 , дЛ]Ы2 \ / 1 ¦ 2v I \
V R,. + «J ЛХЛ2 l да, ' <Эа2 J U,2 + Я,«, + «I /
Уравнения G.6.3) представляют собой результат суперпозиции стати-
статических и геометрических безмоментных уравнений *). Отсюда следует, что
характеристики G.6.3), так же как характеристики G.4.2) и G.5.1), сов-
совпадают с асимптотическими линиями срединной поверхности, но в головной
системе безмоментных уравнений однократному семейству асимптотических
линий (семейству, существующему на поверхности отрицательной кривизны)
соответствуют двухкратные характеристики, а двухкратному семейству
асимптотических линий (семейству, существующему на поверхности нулевой
кривизны) соответствуют четырехкратные характеристики.
§ 7. Статическая и геометрическая краевые задачи
безмоментной теории
Вернемся к формуле E.31.5), выражающей теорему Клапейрона в теории
оболочек. В ней под
Я<". <?«>, 7\, Sjt, Gt, Hjt, Nit Q (i*/ = l, 2) G.7.1)
подразумеваются статические неизвестные теории оболочек (Rw, Q(i) опре-
определяются формулами C.17.3); для Q в линиях кривизны справедлива формула
C.19.3)), а под
U, Г, е„ <о, щ, т (i = l, 2) G.7.2)
подразумеваются геометрические неизвестные теории оболочек.
При выводе E.31.5), как уже говорилось, не используются уравнения
состояния, связывающие между собой G.7.1) и G.7.2). Поэтому каждую из
этих двух групп величин можно в E.31.5) выбрать независимо друг от друга.
Надо только требовать, чтобы величины G.7.1) удовлетворяли уравнениям
равновесия, а величины G.7.2)—формулам «деформации — смещения». В ча-
частности, в E.31.5) можно положить
G1 = Ha = Hu = Gt = N1 = N,=:0, 521=5U = 5, G.7.3)
О = КД- YA = Q. G.7 А)
Л1 Л
*) Ниже выяснится, что иногда удобно рассматривать головную безмоментную систему
как единую, не обращая внимания на возможность расчленить ее на статические и геометри-
геометрические уравнения.

[JO БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ (ГЛ. 7
При этом моментные уравнения равновесия F.44.1) тождественно выпол-
выполнятся, а силовые уравнения равновесия F.44.1) превратятся в статические
безмоментные уравнения. Кроме того, в силу C.19.3) и G.7.3) мы будем иметь
Q(» = Q = 0 A = 1, 2), G.7.5)
поэтому, подставив G.7.3)—G.7.5) в E.31.5), получим равенство
J j U-RA^da,. da2+$>U- [/#2)Л, dati — Ril)A2 da2] =
о
= \\ 17>, + Sa + 7>2] AtAt da, da,. Г7.7.6)
G
в котором через R\l) обозначена составляющая вектора /?"', лежащая в каса-
касательной плоскости срединной поверхности,
а под G и g, так же как в E.31.5), подразумеваются соответственно область
изменения параметров (а1( а2), отвечающая рассматриваемой оболочке, и
контур (или контуры), ограничивающий эту область.
В G.7.6) криволинейный интеграл выражает, очевидно, работу танген-
тангенциальных краевых сил на соответствующих им перемещениях. Его, можно
преобразовать к виду
ф U-[R(t2)Ai da,— RpAtdob] = ф (P,V, + PnVn) ds, G.7.7)
где Ph Pn — проекции краевых сил на два взаимно ортогональные танген-
тангенциальные направления /, п, а Vh Vn — проекции краевых смещений на те же
направления, ds—'дифференциал длины дуги контура.
Рассмотрим две краевые задачи.
Статическая безмоментная краевая задача. Под этим подразумевается
построение в области G решения статических безмоментных уравнений G.4.2),
для которого на контуре g краевая сила Я, в заданном тангенциальном напра-
направлении I принимает заданные значения.
Геометрическая безмоментная краевая задача. Под этим подразумевается
построение в области G такого решения геометрических безмоментных уравне-
уравнений G.5.1), для которого на контуре g краевое перемещение Vn в заданном
тангенциальном направлении п принимает заданное значение.
Из равенства G.7.7) следует, что статическая безмоментная задача и
геометрическая безмоментная задача взаимно сопряжены, т. е. справедливы
следующие теоремы.
Теорема 1. Если однородная геометрическая безмоментная задача имеет
нетривиальное решение и\К), «?*¦>, а»<*->, то статическая безмоментная задача
может иметь решение только тогда, когда выполняется интегральное ра-
равенство
j j U{X) ¦ RAi A2 dan da2 + (j) P{V\X) ds = 0. G.7.8)
о g
Теорема 2. Если однородная статическая безмоментная задача имеет
нетривиальное решение Т[м, 5(!1), Т^\ то геометрическая безмоментная
задача может иметь решение только тогда, когда выполняется интегральное
равенство
ф
ds=\ \\Тг'г1А-Тй &2 + S(x}w\AiA2daiua2. G.7.9)
V

$ 8] ПОЛНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ J][
Доказательство. Примем, что существует нетривиальное решение одно-
однородной геометрической безмоментной задачи, и будем считать, что геометри-
геометрические неизвестные в G.7.6) соответствуют этому решению. Для последнего
8t = (о = е2 = 0 (в области G) и Vn = О (на контуре g).
Подставив это в G.7.6) и учтя G.7.7), получим равенство G.7.8). Анало-
Аналогично, если под статическими неизвестными в G.7.6) понимается нетривиаль-
нетривиальное решение однородной статической безмоментной задачи, то в G.7.6) надо
положить
R — О (в области G), Р( = 0 (на контуре g),
что и приведет к равенству G.7.9).
Возможны случаи, когда однородная геометрическая безмоментная
задача имеет несколько линейно независимых решений. Тогда будет суще-
существовать столько же различных необходимых условий G.7.8). Равным образом
и условие G.7.9), вообще говоря, будет не единственным.
Если поставлено геометрическое граничное условие, выражающее
отсутствие перемещений в некотором направлении р в каждой точке края, то
будем говорить, что оболочка имеет закрепление в направлении р. Кроме
того, будем говорить, что решение статической безмоментной теории порож-
порождается поверхностными и краевыми силами, первые из которых определяются
свободными членами уравнений равновесия, а вторые — свободными членами
граничного условия. Тогда теореме 1 можно дать простое физическое толко-
толкование. Если в геометрической безмоментной задаче закрепление в направлении
п не препятствует изгибанию (v) срединной поверхности, то статическая
безмоментная задача, в которой на краю задается тангенциальное усилие
в направлении I, ортогональном п, может иметь решение только тогда, когда
равна нулю работа сил, порождающих это решение, на перемещениях изги-
изгибания (v).
§ 8. Полная краевая задача безмоментной теории
В § 5.33 введено понятие об идеализированных .граничных условиях.
В однородном случае они выражают либо требование отсутствия краевого
смещения в заданном линейном или угловом направлении, либо — требова-
требование обращения в нуль краевых приведенных сил и моментов определенного
направления. В некоторых случаях направления, для которых формулиру-
формулируются идеализированные граничные условия, можно разделить на танген-
тангенциальные и нетангенциальные. Под первыми подразумеваются линейные
направления, параллельные касательной плоскости, а под вторыми — линей-
линейное направление нормали и направление угла поворота. Тогда будем говорить,
что идеализированные граничные условия разделяются на тангенциальные
и нетангенциальные. В дальнейшем выяснится, что возможность такого
разделения оказывает существенное влияние на характер напряженного
состояния оболочки. Примеры разбиения граничных условий на танген-
тангенциальные и нетангенциальные приводятся в §§ 9.15—9.17.
Под полной краевой задачей безмоментной теории или полной безмомент-
безмоментной краевой задачей будет подразумеваться задача интегрирования головных
уравнений безмоментной теории с выполнением двух тангенциальных гра-
граничных условий в каждой точке края (или краев) оболочки. Всегда будет
предполагаться, что эти граничные условия таковы, что в однородном случае
из них следует обращение в нуль правой части равенства G.7.7), т. е. выпол-
выполнение равенства
$iVi + PaVJds = O. G.8.1)

Ц2 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. ^
Для этой краевой задачи остается в силе (с оговоркой, о которой будет
сказано ниже) теорема единственности, доказанная в § 5.32. Чтобы показать
это, рассмотрим, как и там, соответствующую однородную краевую задачу.
Для нее надо считать, что R = 0, и принять, что выполняется равенство
{7.8.1). Поэтому G.7.6) примет вид
и
Sa> -f 7>2) ЛИ* d«! dat = 0.
в"
Но здесь выражение, взятое в скобки, в силу формул G.6.1) всюду в области G
неотрицательно (§ 5.32), и следовательно, должны выполняться равенства
et = (о = е2 = 0.
Отсюда вытекает, что решение полной безмоментной краевой задачи един-
единственно с точностью, быть может, до перемещений, удовлетворяющих выпи-
выписанным равенствам, т. е. с точностью до перемещений, соответствующих
изгибаниям срединной поверхности.
Сравнив этот результат с общей теоремой единственности (§ 5.32),
отметим следующие черты различия.
A) Для головных безмоментных уравнений единственность обеспечи-
обеспечивается не четырьмя, а двумя граничными условиями (тангенциальными).
Последние должны отвечать требованию G.8.1), которое можно называть
условием единственности полной безмоментной краевой задачи.
B) Роль смещений срединной поверхности как жесткого целого играют
теперь смещения, соответствующие изгибаниям.
Замечание 1. Произволы, содержащиеся в решении полной краевой задачи безмоментной
теории, могут и исчезнуть. Это будет тогда, когда ее тангенциальные геометрические граничные
условия не допускают изгибаний срединной поверхности.
Замечание 2. Если в каждой точке края ставится одно тангенциальное статическое гра-
граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальная краевая сила />; имела
заданное значение, и одно геометрическое граничное условие, заключающееся в требовании,
чтобы тангенциальное смещение Vn имело заданное значение, то полная безмоментная задача,
в сущности, представляет собой соединение статической безмоментной задачи и геометриче-
геометрической безмоментной задачи. Действительно, в этом случае можно сначала иайти 71,, S, Т2,
интегрируя статические безмоментные уравнения совместно со статическим граничным" усло-
условием, а затем выразить (алгебраически) гг, ш, е2 через Тг, S, Т2, при помощи уравнений состоя-
состояний, и, наконец, найти перемещения uI, u2, а;, интегрируя геометрические безмоментные
уравнения совместно с геометрическим граничным условием. Вместе с тем, легко указать на
случаи, когда такое разделение станет невозможным. Это будет, например, в том случае, когда
оба граничных условия — геометрические. Тогда целесообразно говорить о полной краевой
Задаче безмоментной теории, не расчленяя ее на статическую и геометрическую задачи.

ГЛА В А 8
ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
§ 9. Исходные предположения теории простого
краевого эффекта
Кроме основного напряженного состояния, о котором шла речь в преды-
предыдущих параграфах, в оболочке, как уже говорилось, могут возникать краевые
эффекты, т. е. местные напряженные состояния, локализующиеся вблизи
некоторых линий у, названных в § 7.1 линиями искажения напряженного
состояния (более подробно о них будет сказано в § 9.14).
Здесь будет рассматриваться простой краевой эффект, под которым под-
подразумевается местное напряженное состояние, проявляющееся вблизи не-
неасимптотической линии искажения у (это значит, что у нигде не проходит
вдоль асимптотических линий срединной поверхности и ни в одной точке
не касается их; другими словами, нормальная кривизна поверхности в на-
направлении неасимптотической линии искажения нигде не должна обращаться
в нуль).
Условимся считать, что срединная поверхность оболочки отнесена
к некоторой ортогональной системе криволинейных координат, в которой
рассматриваемая линия искажения у проходит вдоль одной из линий at =
= const. Предполагается, что для конкретно указанной линии искажения
такую систему можно построить, но она может быть сопряженной только
в том случае, когда у совпадает с линией кривизны. Поэтому при выводе
теории простого краевого эффекта мы будем считать, что оболочка отнесена
к общей ортогональной системе координат, и исходить из системы уравнений,
выведенной в § 6.44.
Приближенную теорию простого краевого эффекта можно построить
на основе следующих предположений.
Предположение 1. Простой краевой эффект — быстро затухающее на-
напряженное состояние, поэтому связанные с ним искомые величины (усилия,
моменты, перемещения, компоненты деформации и т. д.) существенно увели-
увеличиваются при дифференцировании в направлении нормали к у, т. е. по пере-
переменной aj. Дифференцирование по а2> если и приводит к увеличению искомых
функций, то не к такому значительному, как дифференцирование по аг.
Предположение 2. Наибольшим из тангенциальных усилий является
усилие Тг (рис. 15), возникающее в сечениях, ортогональных к линии иска-
искажения у; величины Тъ S21, S12 существенно меньше и подчиняются соотно-
соотношениям
|7,|. ' (8.9.1)
да.
dS21
да.
dSl2
да.
Предположение 3. Моменты играют существенную роль; главным явля-
является Gx — изгибающий момент в сечениях, параллельных линии искажения
у (рис. 15). Изгибающий момент G2 связан с Gx равенством
G^vGi, (8.9.2)
8 А. Л. Гольденвейзер

114
ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
[ГЛ. 8
а крутящие моменты #21, Я12 играют второстепенную роль, подчиняясь
соотношениям
I ЗГГ 1 I а г» |
^ | G11. (8.9.3)
Предположение 4. Из перерезывающих усилий главным является усилие
Nlt действующее в сечениях, параллельных у (рис. 15), и справедливо соот-
соотношение
1 -\»г ¦
*\К\- (8.9.4)
Предположение 5. Деформация срединной поверхности имеет в основном
изгибный характер, и ее главными компонентами являются величины хи
х, х2; они связаны между собой соотношениями
дх
(8.9.5)
показывающими, что наибольшую
роль играет хх.
Предположение 6. Растяжения
(сжатия) и сдвиги срединной по-
поверхности относительно малы. Из
трех величин е1( w, е2, характери-
характеризующих эту деформацию, наиболь-
наибольшие значения имеет е2, а осталь-
остальные связаны с ней соотношениями
Рис. 15.
— ve,
| e21
da>
(8.9.6)
(8.9.7)
Предположение 7. Точки срединной поверхности смещаются в основном
по нормали к срединной поверхности, и справедливы соотношения
*|w|. (8-9.8)
Предположение 8. В первом и втором уравнениях равновесия F.44.1)
слагаемые, содержащие перерезывающие усилия Nlt N2, играют второстепен-
второстепенную роль.
Всегда считается, что простой краевой эффект не связан с поверхностной
нагрузкой, а вызывается некоторыми воздействиями, распределенными вдоль
линии искажения напряженного состояния. Поэтому его надо строить, исходя
из однородных уравнений теории оболочек, т. е. полагать XX = X2 = Z =
= Y1 = У2 = 0.
§ 10. Разрешающее уравнение теории простого
краевого эффекта
. Выпишем без каких бы то ни было отбрасываний те из общих уравнений
§ 6.44, которые здесь будут нужны.
а) Третье уравнение равновесия
Т Q _!_ Q Т 1
1 1 1 i J12 I ' 2 I '
Ri

10] РАЗРЕШАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
б) Пятое уравнение равновесия
1 д (л г,-\. !_^Г7 ' д (А И \ * dAl И — Л/ —
в) Формулы «.деформации—перемещения»
_J__du^, 1_ dAg_ w_
2 ~ Аг a«s "•" AtAs А*! "х Я22 '
1 Лх a«t \ i4t a«! "•" i?u /?!J "•" A±A2 da2 \ A2 da2 "•" R2.2 R1S
.11 1 Г а ,я .
г) Уравнения состояния
Будем упрощать выписанные равенства, оставляя в каждом из них
только те слагаемые, которые являются главными в силу предположений
предыдущего параграфа. В частности, всегда будет учитываться предположе-
предположение 1, означающее, что производная по ах от любой искомой величины суще-
существенно больше ее первообразной.
Из (8.9.1) и (8.9.4) следует, что третье уравнение равновесия можно
записать так:
ё- + ^а!^> = 0- (8Л0Л>
Из (8.9.2) и (8.9.3) вытекает, что пятое уравнение равновесия можно
! взять в виде
А^^(ЛА)-М^0. (8.10.2)
Формулы «деформации—перемещения» при помощи (8.9.8) упрощаются
следующим образом:
Наконец, в соответствии с (8.9.5) и (8.9.6), получаем следующие уравне-
уравнения состояния:
ОРЬЗ
(?!=— з(Г-*)х*' ^ = 25/18,. (8.10.4)
Приближенные уравнения (8.10.1)—(8.10.4) образуют систему из шести
уравнений относительно шести неизвестных
Т2) G1; #!, Hl e2, м;, (8.10.5)
определение которых составляет самостоятельную задачу. Отметим, что
величины (8.10.5) можно назвать главными неизвестными теории простого
краевого эффекта: из предположений, принятых, в § 8.9, вытекает, что Т2 —
наибольшее из тангенциальных усилий, Gj — наибольший из моментов,
Nt ¦— наибольшее из перерезывающих усилий, кг и е2 — наибольшие из
изгибных и тангенциальных деформаций, aw — наибольшее из перемещений:
В качестве проявления эффекта Пуассона, в простом краевом эффекте момент
Gx и тангенциальная деформация е2 вызывают появление момента G2 и
деформации еи которые можно дополнительно определить по формулам
(8.9.2) и (8.9.6).

ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА [ГЛ. 8
Система (8.10.1)—(8.10.4) легко сводится к одному уравнению относи-
относительно w. Для этого из (8.10.1), (8.10.2) надо исключить перерезывающее
усилие Л^х и выразить в полученном равенстве изгибающий момент Glt
а также нормальное усилие Т2 через прогиб w при помощи (8.10.3) и (8.10.4).
Это приводит к следующему уравнению:
Рассмотрим тождество
й будем считать, что в нем W — одна из искомых величин теории оболочек
(усилие, момент, перемещение и т. п.), а Р — один из коэффициентов этих
уравнений. Тогда в рамках точности, с которой выводилось уравнение (8.10.6),
в правой части обсуждаемого тождества можно пренебречь вторым слагаемым
по сравнению с первым и написать
~(PW)=P^-. (8.10.7)
Таким образом, из предположения 1, в частности, следует, что при
Построении простого краевого эффекта коэффициенты уравнений теории
оболочек в первом приближении надо рассматривать как постоянные по аг
величины. Конечно, это будет неверно, если в рассматриваемой области
(вблизи у)
дР ~ '"' (8.10.8)
Поэтому всегда считается, что вблизи той линии, у которой простой
краевой эффект строится при помощи предлагаемого приближенного метода,
кривизны и метрика срединной поверхности оболочки не слишком быстро
изменяются по аг.
Из (8.10.7) вытекает, что в уравнении (8.10.6) коэффициенты Аи А2
можно выносить за знак дифференцирования, т. е. брать (8.10.6) в виде
Это уравнение мы назовем разрешающим уравнением теории простого
краевого эффекта.
Замечание. Термин «краевой эффект» введен Лявом [84 ]. Он совпадает по смыслу с при-
принятым здесь термином «простой краевой эффект», введенным в [48]. Дополнительным сло-
словом «простой» подчеркивается, что существуют и обобщенные краевые эффекты, понятие о ко-
которых будет введено в § 11.25. (А. Ляв ограничился рассмотрением оболочек вращения,
в которых обобщенные краевые эффекты возникнуть не могут.)
Приближенные подходы исследования напряженно-деформированного состояния, назван-
названного здесь простым краевым эффектом, обсуждались в общей постановке в работах [48, 108,
135, 146, 147]. Кроме того, применительно к круговым цилиндрическим оболочкам этот вопрос
рассмотрен в [178].
§11. Расчетные формулы
Разрешающее уравнение (8.10.9) составлено относительно нормального
прогиба w. Через него остальные величины; определяющие простой краевой
эффект, можно выразить при помощи прямых действий.
Рассмотрим первое и второе уравнения равновесия F.44.1). Согласно
предположению 8 (§ 8.9) в них можно отбросить члены с перерезывающими
усилиями, а это значит, что они перейдут в безмоментные уравнения G.4.1),

S 11J РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
G.4.2). Последние можно преобразовать, выразив в них тангенциальные
усилия через перемещения. Эти действия уже выполнялись и привели к пер-
первому равенству G.6.3). В теории простого краевого эффекта два вытекающих
из него уравнения можно значительно упростить при помощи соотношений
(8.9.8) и (8.10.7). Тогда, положив Хг = Х2 = 0, получим
2 Л| da? + Я^ "Л7 da, ~~ '
Помножим оба уравнения на А г и проинтегрируем их по аи рассматри-
рассматривая коэффициенты как постоянные. Будем иметь
1 диг / 1 . v \ I ди, 2 /о 11 1 ч
Здесь и в последующих выкладках этого параграфа отброшены произ-
произвольные функции интегрирования. Ниже выяснится, что произволы, которые
содержит w как интеграл разрешающего уравнения, достаточны для решения
нужных краевых задач. Сохранять произволы интегрирования было бы и
неправильно по причинам, которые изложены в § 8.12.
Заменив в правых частях (8.11.1) w через его четвертую производную при
помощи разрешающего уравнения (8.10.9) и вновь выполнив интегрирование
по alf можно написать
„ - (J-Л- v \ УЩ2 1 д*ш
Щ~ \Ru "^Ли У 3A -v2) А\ да\ '
_ 2 h*Rh I SHb (8.11.2)
 7?l23(l-v2) A\ да% ¦
Компоненты деформации при известных перемещениях ии ы2» w П°Д*
считываются при помощи формул G.1.5), G.1.6). Учитывая снова соотноше-
соотношения (8.9.8) и (8.10.7), сохраняя только главные члены и выполнив некоторые
преобразования, вытекающие из (8.11.1), получим
I диг w v w
At oaj Kn л; ^82
_ 1 дА2 1 dw . 1 д 1 dw _ 1 д 1 dw
г ~ Л,Л3 da, Л7йа, ~*~ ~аТ даг ~А^ даг ' ~ Л2 йаг Аг да,
(в выражении для х2 из осторожности оставлена вторая производная по а2:
двухкратное дифференцирование по а2 в отличие от однократного может
в некоторых случаях привести к достаточно большому увеличению).
Для подсчета тангенциальных усилий и моментов имеются уравнения
состояния G.1.4), G.1.7), из которых при помощи (8.11.3) получаем
2Eh3 I d2a; r r 2Eh3
^ vGv
2?/i3 I d I dai
3d

ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА [ГЛ. 8
Напомним, что равенства (8.11.4) —приближенные. Поэтому обращение
в нуль величин 7\, S21, S12 не надо понимать буквально. Оно только обозна-
обозначает, что взаимно сократились главные слагаемые в соответствующих выра-
выражениях. Это объясняется тем, что был принят такой путь вычислений, при
котором все четыре величины 7\, S21, 512, 72 должны недифференциально
выражаться через w, а согласно (8.9.1) четвертая из них по модулю суще-
существенно превышает остальные. Построив выкладки иначе, можно уточнить
результат и получить для 7\, S21, S12 ненулевые значения. Для этого мы
примем
Дополнительное предположение. В простом краевом эффекте в формулах
F.44.5), выражающих тангенциальные усилия через функции напряжений,
можно оставить только члены, содержащие функцию с.
Отсюда следует, что, сохраняя в F.44.5) только главные члены, мы
получим
j, __ _1 д 1 дс . 1 dAt дс j, __ 1 дгс
* Аг да., Аг даг А\А2 да^ дах' s А\ йа2 '
„ _„ 1 д 1 дс
21 12 Аг да2 А-у да.1
Поэтому, учитывая (8.11.4), будем иметь
2Ehw
*22
- Заменив здесь w через его четвертую производную при помощи разрешаю-
разрешающего уравнения (8.10.9) и выполнив двухкратное интегрирование, можно
написать
2?fts RM d*w
°~ 3A — v2) "Tf да\ '
Отсюда по формулам (8.11.5) и получим требуемый результат:
- 2Eh3 /1 д 1 д 1 дЛ2 д \ R22 о*т
1 "~ 3 (I — v2) \ Аг даг А2 даг ' '
(8.11.5)
5,
А\ да\ '
2Eh3 I д R2U d*w
3A—v2) Аг даг А\ да.\ '
Если линия искажения, около которой строится простой краевой эффект,
совпадает с линией кривизны, то /?12 = оо и второе равенство (8.11.2) даст
ы2 = 0. Этот результат тоже нетрудно исправить. Второе равенство (8.11.1)
можно уточнить, написав
1 du8 2ш _ 1 + v о 2ft2 1 д RM д3ш
Ах dat "¦" R12 Eh 2i 3A — v) Аг даг А\ да\ '
Отсюда при /?12 = оо следует
2ft2 A^ _й_ Rt2 d*w_
V*~ 3 A — v) Аг даг ~Aj 6tef '
Остается определить перерезывающие усилия. Для этого можно восполь-
воспользоваться четвертым и пятым уравнениями равновесия F.44.1), которые после
элементарных преобразований и отбрасываний второстепенных членов дадут
д, 2?ft3 1 дЧ) д, 2Eh3 I о 1 u-w
"I— 3A—V») Л^ daf ' П*~ 3A—v8)l

$ 12J ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ
§ 12. Интегрирование разрешающего уравнения
При интегрировании разрешающего уравнения (8.10.9) будут сохранены
те предположения, которые принимались при его выводе, т.е. Аг и /?22
будут рассматриваться как константы не зависящие от аг. Тогда (8.10.9)
обращается в обыкновенное линейное уравнение с постоянными коэффи-
коэффициентами и интегрируется без труда. Решение его можно искать в виде
w — С (а2) ef (а*> <«>-«io>.
Подставим это выражение в разрешающее уравнение и сократим на
экспоненциальный множитель. Тогда для определения функции / получится
уравнение
1 fi 3A-у')
Чтобы оно не приводило к противоречивому результату, т. е. чтобы / не
зависело от аи учтем, что в предлагаемой теории простого краевого эффекта
коэффициенты рассматриваются как константы по alf и положим в получен-
полученном уравнении
А\ = А\ (ф) = А\ |а,=о„,» #22 = #22 («г) = #22 |а,=а„
(ниже всюду в приближенной теории простого краевого эффекта вместо
коэффициентов берутся их значения при аг = а10, » это отмечается точкой
сверху).
Тогда для f получатся четыре значения, которые можно записать так:
Здесь g (a2) и константу k с принятой точностью можно определить
равенствами
(8.12.2)
В последнем из них Я, — константа, равная некоторому среднему
значению величины К-п на интересующем нас участке контура а1 = а10.
Общий интеграл разрешающего уравнения (8.10.9) запишется теперь так:
w = Сг (а2) ek <г+'> <«!-«.•) г -\- Сг (ctj,) ek A~'> <«>-«») е +
+ С3(аг) e-ft (г+'>'«•-«»•) 2 + С4 (аг) е-* d-"'«--«••) г.
В правой части этой формулы первые два слагаемых быстро затухают
при удалении от линии ах = а10 в область ах <С а10, а два последних слагае-
слагаемых быстро затухают при удалении от линии а1 = а10 в область ах >а10.
Физический смысл этого очевиден: первые два слагаемых соответствуют крае-
краевому эффекту в области а1 =^ а10, и только при таких значениях at их нам и
придется вычислять впоследствии; последние два слагаемых дают краевой
эффект в области ах $г а10 — их придется вычислять только при ах ^ а10.
Отсюда вытекает, что погрешность, которую мы допускаем, заменяя Аг
и /?22 через А\, /?22, будет невелика (конечно, если \АХ и Ri2 не слишком
быстро изменяются по ocj вблизи ах = а10), так как нас практически будут
интересовать только значения аи близкие к а10.
Итак, будем считать, что при at «ё а10

ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА [ГЛ. 8
а при аг Ssa10
w = Cs (a2) е~к <i+i) (ai-«>«) e -f C4 (a2) e~* <'-'> (on-on») e.
Эти выражения соответствующей заменой произвольных функций интегриро-
интегрирования можно преобразовать к действительной форме, и тогда получатся такие
формулы (г|I? г|J, г|K, г|э4— произвольные функции а2):
при а1 fi^ a10
2Ehw = [% cos fe («! — a10) g + г|J sin fe («j — a10) g] ek («.-«..) e,
при «i ^ a10
— a10) ^ -f % sin fe (ax — a10) g]e~k (a>-a>«>s.
Подставим эти выражения в расчетные формулы § 8.11, заменим всюду
коэффициенты их контурными значениями и введем обозначения
3A —V2)'
с0 = cos fe К — a10) g, s0 = sin fe («! — a10) g,
^ = g* («,-«..) «> g»- = e-k (a,-a,.)
Получим:
при ax 4
L 4" K^T (^- + r?1) [№ — ^) со + (*i + ^2) so]
2Ehu2 = — /2~4 ^^ K% —^2) со + (% + %) so]
f= -j- y=
i—ад со + (ь+ад «о! st%
( • • >
T2 = \- (a|5iCo + ^asb) af, (8.12.4)
s21 = su = pL 4- ^r ^- j^ № - ад со + № + ад so]
Gx = ^- G2 = — -g- -
v ^2

§ 12) ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ
При Kj 5г «10
= — J= А ]ГЩ^ (-г!- + ¦?-) 1(Ь + %) со — (Ь — %)so]
2Ehu2 = V2 4 —^- № + г|>4) со — (ife — ф4) so]
-f-
^ №~^4) Со + (^3 + ^4) So]
(8.12.5>
Цг|>з + 1|ч) Со — A|>з — %) So] aJ
Gi = ~ G2 = -?¦ -i- (^4co —
Я21 = Я12 =- -j^ -?- -i- ^-
Ni=— pL. 4 —L- [(a|3s + г|L) со' — ('фз — %) So]
При выполнении граничных условий нам будут нужны значения, которые-
принимают усилия, моменты, перемещения и углы поворота краевых эффек-
эффектов на кривой а1 = al0. Соответствующие формулы можно получить из
(8.12.4), (8.12.5), положив в них аг — al0, т. е. считая, согласно (8.12.3),
что с0 = 1, s0 = О, <!Г+ = &~ = 1 (при этом, чтобы отличить краевой эффект в
области «л >а10 от краевого эффекта в области о^а^, мы при подстановке-
будем в первом случае писать аг = а1в — 0, а во втором аг = a1Q + 0)>
Получим:
при «! = а10 — 0
2Ehu, = - FT -L -^2. ft _ W,
A/ _±J. ^1-^2 A/ _ ^ 1
iVl i^n 6 ^'3/2 > 'V2 Ь2 ¦•
(8.12.6)

jj22 ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА ||ГЛ. 8
при «! = сс10 + О
2Нш, = VI 4" ¦*?
12
4
4 у
—— -^
А,А9, дах
4>з с_с_ • г1 д t3 + ^4 (8
' д
В формулах настоящего параграфа k есть безразмерная величина,
значения которой для тонкой оболочки, вообще говоря, велики по сравнению
•с единицей. Отсюда вытекает, что при некоторых дополнительных условиях,
-о которых будет сказано ниже, в полученном решении выполняются все
предположения, положенные в § 8.9 в основу теории простого краевого эф-
эффекта. Все искомые величины выражаются через функции
e±k @,-0,0) g Sin k (ocj — a10) g, e±k «*<-<*.•>«cos k («j — ocio) g.
Отсюда следут справедливость предположения 1 (о быстром затухании
простого краевого эффекта). В справедливости остальных предположений
§ 8.9 легко убедиться при помощи формул (8.12.4) и (8.12.5), позволяющих
сравнивать порядки искомых величин простого краевого эффекта по степеням
'большого параметра k, входящего в их выражения.
Напомним, что в §8.11 при выводе расчетных формул произволы, свя-
связанные с интегрированием по ос^ отбрасывались. Их нельзя было сохранять
потому, что в соответствующих решениях, как можно проверить, предположе-
предположения § 8.9 не выполняются.
Итак, предположения приближенной теории простого краевого эффекта
(§ 8.9) можно считать оправданными, если параметр k достаточно велик и
-если остальные величины, входящие в (8.12.4), (8.12.5), после приведения
к безразмерной форме соизмеримы с единицей. Однако два последних условия
могут и не выполняться. Это случится тогда, когда на рассматриваемой линии
¦искажения Ri.2 приближается к нулю или бесконечности.
Для практических применений особенно важен случай, когда на линии
искажения (всюду или на некоторых ее частях) R22 обращается в бесконеч-
бесконечность или имеет весьма большие абсолютные значения. К решению соответ-
соответствующих задач изложенную приближенную теорию простого краевого
эффекта применять нельзя. В § 8.9 было оговорено, что линия искажения
•простого краевого эффекта должна быть неасимптотической. Этим исключается

§ 12) ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ 123
случай обращения Rh в бесконечность (хотя бы даже в одной точке). Однако
из сказанного выше следует, что недопустимы и «почти асимптотические»
линии искажения (линии, вдоль которых нормальный радиус кривизны
поверхности где-нибудь слишком велик по абсолютной величине). В дальней-
дальнейшем для краткости мы будем по-прежнему говорить о неасимптотических
линиях искажения, считая, что они нигде не должны быть и «почти асимптоти-
асимптотическими».
В этой главе теория простого краевого эффекта изложена в самом гру-
грубом приближении. Ниже, в § 19.8, приводятся общие соображения о воз-
возможности улучшить этот результат при помощи итерационного процесса.
Кроме того, более точные варианты теории простого краевого эффекта можно
найти в работах [49, 130, 184).

ГЛАВА 9
МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ
§ 13. Область применимости метода расчленения
напряженного состояния
При интегрировании дифференциальных уравнений теории оболочек
в каждой точке края надо выполнять четыре граничных условия (§ 5.33).
Для этого недостаточно произволов, содержащихся в решениях дифферен-
дифференциальных уравнений безмоментной теории. Они представляют собой супер-
суперпозицию двух систем (статических и геометрических безмоментных уравне-
уравнений), каждая из которых эквивалентна уравнению второго порядка (§§ 7.4,
7.5). Поэтому, вообще говоря, при интегрировании безмоментных уравнений
в каждой точке края удается выполнить лишь два граничных условия.
Естественно искать выход из этого затруднения, используя произвольные
функции i^ (ос2), -ф2 (а2) или г|з3 (а2), т|з4 (аг). входящие в формулы (8.12.4),
(8.12.5) теории простого краевого эффекта. На этой идее и основан метод
расчленения напряженно-деформированного состояния, о котором уже
говорилось в § 7.1.
Идея применения приема, который мы называем методом расчленения,
используется в теории оболочек очень давно и восходит к работам Лява [84].
В более общей форме она высказана в [41 ] и положена в основу изложения
в [48]. Существенную роль метод расчленения играет и в книге [185].
Простейшие примеры, показывающие, что метод расчленения действи-
действительно позволяет выполнить (хотя и приближенно) все граничные условия
теории оболочек, будут приведены в §§ 9.15—9.18. В части IV это доказыва-
доказывается для широкого класса задач. Вместе с тем можно привести и примеры
противоположного характера. Поэтому, прежде чем идти дальше, сформули-
сформулируем некоторые предварительные требования, без выполнения которых воп-
вопрос о применении метода расчленения ставиться не будет.
Первое требование заключается в том, что все края ободочки должны
быть неасимптотическими. Оно вытекает из следующих соображений.
Во-первых, если край оболочки (будем считать, что он совмещен с ли-
линией ocj = ос1О) в некоторой точке проходит вдоль асимптотической линии
срединной поверхности, то в этой точке обращается в нуль нормальная
кривизна в направлении линии аг = ос1О, т. е. R'22 — °°> а в этом случае
теряет силу приближенная теория простого краевого эффекта, построенная
в главе 8.
Во-вторых, асимптотические линии срединной поверхности совпадают
с характеристиками уравнений безмоментной теории (§§ 7.4, 7.5). Поэтому,
когда край касается асимптотической линии (или проходит вдоль нее),
граничные задачи для этих уравнений надо ставить особым образом.
Ниже выяснится, что существуют оболочки такого очертания, при
котором решения безмоментных уравнений становятся неограниченными.
В этом случае будем говорить, что срединная поверхность оболочки — особая.

S 13] . ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА РАСЧЛЕНЕНИЯ 125
Второе требование применимости метода расчленения заключается в том,
что срединная поверхность оболочки должна быть не особой и в достаточной
степени отличаться от нее. Это требование, конечно, сформулировано
нечетко. Остается неясным, по каким геометрическим признакам можно
отличить особую поверхность от неособой и какой мерой можно охаракте-
охарактеризовать близость между ними. В общем виде эти вопросы в книге не рас-
рассматриваются, но в конкретных случаях мы к ним еще будем возвращаться.
Забегая вперед, укажем, что к оболочкам с особыми срединными поверхно-
поверхностями относятся:
(а) цилиндрические оболочки, содержащие бесконечно удаленные точки;
(б) оболочки, содержащие острие (в частности, конические оболочки,
содержащие вершину);
(в) оболочки, срединная поверхность которых касается плоскости
вдоль замкнутой кривой (в частности, тор);
(г) оболочки с плоской срединной поверхностью, т. е. тонкие пластинки.
Приведенный список не претендует на полноту и охватывает только
оболочки, особые свойства которых выявились в расчетной практике.
Поскольку нельзя допускать близости срединных поверхностей к осо-
особым поверхностям, из второго требования вытекает, что метод расчленения
не должен применяться к длинным цилиндрическим оболочкам, к усеченным
коническим оболочкам, край которых близко подходит к вершине конуса,
и к пологим оболочкам, срединная поверхность которых в каком-то смысле
близка к плоскости.
Третье требование применимости метода расчленения заключается в том,
что основное напряженное состояние не должно иметь большой изменяемости,
т. е. соответствующие ему усилия, моменты деформации и перемещения, взя-
взятые в отдельности, должны в близких точках иметь не слишком сильно раз-
.личающиеся значения.
Понятие изменяемости первостепенно важно в теории оболочек, и оно
будет более подробно обсуждено ниже (§ 12.30 и Приложение § П. 15). Пока,
чтобы не прерывать изложения, мы ограничимся некоторыми предваритель-
предварительными разъяснениями.
Рассмотрим функцию
f(ait 0C2) = A sin nax sin тщ (А, п, т—константы). (9.13.1)
Ее изменяемость, т. е. скорость, с которой меняются значения функции при
переходе от точки к точке, очевидно, будет тем больше, чем большие значе-
значения имеют параметры пит. Можно сказать и более определенно: значениями
пит определяются изменяемости функции f по переменным аг и а2 соответ-
соответственно. Отсюда следует, что можно говорить о частной изменяемости функ-
функции, т. е. о ее изменяемости по каждой из независимых переменных в отдель-
отдельности (при этом под общей изменяемостью функции подразумевается наиболь-
наибольшая из частных измеияемостей). Формулы
-J— = пА cos raocj sin ma2, ~- = mA sin паг cos mx%
показывают, что если изменяемость функции по некоторой переменной (ocj)
характеризуется достаточно большим числом (я) и если f = О (А), то
dflda-i = nO (А). Выражая это свойство функций с большой изменяемостью,
будем для краткости говорить, что такие функции существенно увеличи-
увеличиваются при каждом дифференцировании по рассматриваемой переменной.
Рассмотренный пример, конечно, предельно упрощен, но в § 12.30 будет
показано, что существует весьма широкий класс функций, обладающих
такими же свойствами, и говоря о функциях с большой изменяемостью,
можно пока считать, что их моделью является функция (9.13.1), откуда,

126 МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ > [ГЛ. 9
в частности, вытекает, что важнейшее свойство функции с большой изменяе-
изменяемостью заключается в том, что она существенно увеличивается при каждом
дифференцировании по рассматриваемой независимой переменной.
Внимательный читатель, конечно, заметил, что в теории простого крае-
краевого эффекта понятие о функциях с большой изменяемостью уже было исполь-
использовано. Все искомые величины простого краевого эффекта быстро меняются
(затухают) по аг и имеют заведомо меньшую изменяемость по ос2. Это свой-
свойство было введено в теорию как предположение, на основе которого получи-
получились решения, действительно обладающие таким свойством.
Возвратимся к обсуждению третьего требования применимости метода
расчленения. В § 7.2 было введено понятие о компонентах поправочной
нагрузки Х^, Х'2, Z', определяемых формулами G.2.9), и считалось, что
погрешность безмоментной теории тем больше, чем больше Х\, Х\, Z' по
сравнению с истинными компонентами нагрузки.
Полагая, что перемещения основного напряженного состояния
известны, можно подсчитать Х[, Х^, Z', последовательно применяя формулы
G.1.6)—G.1.9). Ими предусматривается многократное дифференцирование
перемещений. А именно, перемещения дифференцируются при подсчете упру-
упругих углов поворота yt, <о„ б, углы поворота дифференцируются при подсчете
компонент изгибной деформации хи т, х2, затем моменты, линейно выра-
выражаемые через xlf т, х2, дифференцируются при подсчете перерезывающих
усилий Nlt N2, а последние дифференцируются при подсчете компонент
дополнительной нагрузки Х[, Х'%, Z'. Таким образом, в общей сложности
перемещения дифференцируются четырежды.
Компоненты дополнительной нагрузки, вообще говоря, будут малы
потому, что, как показано в § 7.2, в процессе вычислений появится множи-
множитель вида О (Л2), но четырехкратное дифференцирование может уравнове-
уравновесить влияние этого множителя или даже оказаться сильнее его. Так слу-
случится тогда, когда основное напряженное состояние имеет большую изме-
изменяемость, так как в этом случае при каждом дифференцировании абсолют-
абсолютное значения искомых величин будут существенно увеличиваться. Это
поведет к возрастанию погрешностей уравнений безмоментной теории, а зна-
значит, и метода расчленения.
§ 14. Схема применения метода расчленения
Пусть расчету подлежит я-связная оболочка, край которой g состоит
из п замкнутых кривых g = g! + g2 + • • • + gn- Во всех точках каждой
из них задаются по четыре граничных условия. Примем, что это — идеали-
идеализированные граничные условия (§ 5.33) и что их можно разделить на танген-
тангенциальные и нетангенциальные (§7.8). Тогда схема расчета методом расчлене-
расчленения будет состоять в следующем.
Интегрируем дифференциальные уравнения безмоментной теории, учи-
учитывая только тангенциальные граничные условия, и строим, таким образом,
основное напряженное состояние. Допустим, что такой расчет возможен и
что он выполнен (условия существования решения краевых задач безмо-
безмоментной теории и методы фактического получения этих решений рассматри-
рассматриваются в части III). В нетангенциальных граничных условиях, которые при
этом не учитываются, будут допущены невязки. Чтобы устранить их, при-
прибавляем к решению уравнений безмоментной теории простой краевой эффект.
В нем содержатся произвольные функции а|з1( г|з2 или ty3, 1|з4, которые можно
использовать для ликвидации невязок в нетангенциальных граничных усло-
условиях (при этом, конечно, появятся вторичные невязки в тангенциальных гра-
граничных условиях, но в части IV будет показано, что они существенно меньше
первоначальных невязок).

$ 14] СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА РАСЧЛЕНЕНИЯ 127
Пусть на замкнутом контуре gk, являющемся частью края (имеется
в виду многосвязная оболочка), допущены невязки в нетангенциальных
граничных условиях. Тогда gk можно принять за одну из линий искаженна
напряженного состояния, построить вблизи нее простой краевой эффект и,,
воспользовавшись содержащимися в нем двумя произвольными функциями,,
устранить невязки в нетангенциальных граничных условиях на краю gk.
Так как простой краевой эффект быстро затухает, то эта операция практи-
практически не окажет влияния на напряженное состояние вблизи остальных зам-
замкнутых участков края оболочки, и значит, ликвидацию невязок в нетанген-
нетангенциальных граничных условиях можно выполнять самостоятельно для каж-
каждого замкнутого участка края (конечно, если края не слишком близки друг
к другу). Воспользовавшись этим, можно вблизи каждого замкнутого уча-
участка края gk строить свою криволинейную систему координат так, чтобы;
в ней контур gk задавался уравнением а.1 = а10. Тогда для краевых зна-
значений усилий, моментов, перемещений и углов поворота можно воспользо-
воспользоваться формулами (8.12.6), если внутренним точкам оболочки соответствует
ai ^ аю. или формулами (8.12.7) — в противоположном случае.
Замечание. Подчеркнем, что раздельное рассмотрение упругих явлений на каждой зам-
замкнутой части границы основано на свойстве быстрого затухания простого краевого эффекта,
и только прн операциях, с напряженным состоянием такого рода, оно и применимо. При по-
построении основного напряженного состояния граничные условия, конечно, надо вынолнять
одновременно на всех участках края.
Таким образом, в общем случае целесообразно строить, во-первых»,
такую общую координатную систему, которая удобна для определения основ-
основного напряженного состояния, и, во-вторых, такие локальные системы коор-
координат (вблизи каждого замкнутого участка края), которые удобны для опре-
определения простых краевых эффектов.
Заметим, что при решении уравнений безмоментной теории невязки мо-
могут получаться не только на краях, но и внутри области интегрирования-
Это будет происходить тогда, когда на некоторой линии g^ оказываются
негладкими условия задачи. Примером могут служить случаи, когда на g^
терпят скачки компоненты внешней нагрузки или модули материала, когда
вдоль gm оболочка усилена элементом жесткости пренебрежимо малой,
ширины, и когда на §„. срединная поверхность имеет излом или скачкооб-
скачкообразно меняются ее кривизны.
В таких задачах решение уравнений безмоментной теории нельзя под-
подчинить на g,,. всем требованиям непрерывности, вытекающим из физических
соображений (так же как нельзя выполнить все граничные условия на краях).
Так, например, если срединная поверхность оболочки гладкая, а компоненты-
внешней нагрузки имеют скачки на линии аг = а* = const, то надо требо-
требовать, чтобы при переходе через эту линию остались непрерывными величины
Т'\, Si, N'u Gu u\, и2, w, yi
(штрихом, как и в § 5.33, отмечены приведенные усилия).
Однако при решении безмоментных уравнений можно требовать, чтобы
оказались непрерывными только четыре из этих величин, а четыре остальные
величины будут претерпевать скачки. Избавиться от этих невязок можно
также при помощи метода расчленения. Для этого при интегрировании урав-
уравнений безмоментной теории, кроме тангенциальных граничных условий»,
принимаются во внимание еще тангенциальные условия непрерывности.
на линии g^, т. е. требования непрерывности для величин
Г. S', ии и,
(Т, S — тангенциальные усилия на сечении, проведенном вдоль gj*

128 МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ [ГЛ. 9
При этом получатся невязки в нетангенциальных условиях непрерыв-
непрерывности, т. е. при переходе через g^ приращения
8N', вС, 8w, 67 (9.14.1)
•будут отличны от нуля. Чтобы ликвидировать эти невязки, принимаем g^
за линию искажения напряженного состояния, строим, если надо, вблизи нее
новую криволинейную систему координат так, чтобы в ней линия g^. зада-
задавалась уравнением аг = ос*, и вводим в рассмотрение простые краевые
эффекты по обе стороны от линии ах = а*. Один из них определяется форму-
формулами (8.12.4), (8.12.6) и содержит произвольные функции if>1( if>2, другой —
определяется формулами (8.12.5), (8.12.7) и содержит произвольные функ-
функции -фз» tyt- Распоряжаясь этими четырьмя функциями, можно ликвидиро-
ликвидировать невязки (9.14.1).
Замечание. Может случиться, что две линии искажения пересекаются (например, если
линия, по которой оболочка снабжена усилением, доходит до края). Сама диния искажения
шшет иметь излом (например, края с углами), и каждый гладкий ее кусок' рассматривается
как самостоятельная линия искажения.
В этих случаях раздельное устранение невязок на разных линиях искажения, строго
говоря, недопустимо. Однако в практических расчетах оно часто применяется. При этом надо
¦отдавать себе отчет, что картина напряженного состояния в угловой точке будет, вообще
говоря, совершенно неправильной.
Таким образом, под линиями искажения напряженного состояния надо
понимать:
(а) края оболочки;
(б) линии излома срединной поверхности или скачкообразного измене-
изменения ее кривизн;
(в) линии скачкообразного изменения жесткостей оболочки (в частности
линий, по которым она снабжена усилениями);
(г) линии разрыва внешней поверхностной нагрузки или (не всегда)
«е производных.
В настоящем параграфе описаны схемы применения метода расчлене-
расчленения, предусматривающие существование линий искажения типов (а) и (г).
Не вызывают затруднений и задачи с линией искажения типа (в). Сложнее
оказываются случаи, когда надо учитывать линию искажения (б) (оболочка
•с изломом срединной поверхности). Они обсуждаются в части IV.
Выполнение всех требований § 9.13 не только означает возможность
применить метод расчленения как приближенный прием расчета, но позво-
позволяет также сделать выводы относительно характера напряженного состоя-
состояния оболочки. В этом случае в оболочке будет господствовать основное на-
лряженное состояние (что оправдывает его название), но вблизи каждой из
перечисленных линий оно будет искажено добавлением простых краевых
эффектов, быстро затухающих при удалении от них.
Замечание. Обычно вдалн от линий искажений напряженное состояние оказывается
безмоментным. Это объясняется тем, что оно выгодней чисто моментного напряженного состоя-
состояния и, как правило, оболочки конструируются так, чтобы последнее было «подавлено» (что
.достигается должным закреплением краев). Однако возможны случаи, когда н вдали от линий
искажения будет преобладать чисто моментное напряженное состояние. Примеры будут пока-
показаны в части IV.
§ 15. Краевой эффект вблизи заделанного края
При расчете оболочек методом расчленения мы всегда будем исходить
из равенства
Р = Р(осн) + /гсР(кр) (9.15.1)
в котором k имеет тот же смысл, что н в § 8.12, с — произвольное целое число,

§ 15] КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ ВБЛИЗИ ЗАДЕЛАННОГО КРАЯ J29
а каждый из символов Р, Р<Осн), P^v) означает некоторое напряженное со-
состояние оболочки, т. е. совокупность усилий, моментов, перемещений и т. д.,
причем под Р понимается полное напряженное состояние, а под Р<осн) и
ЛкР) — основное напряженное состояние и простой краевой эффект. Таким
образом, равенство (9.15.1) означает, что, например,
Т\ = Т\ (оси) + ?С^1 (кр) у 71 = 71 (осн) + ^71 (кр) и Т. Д.
Напомним, что простой краевой эффект строится как решение однород-
однородных уравнений, поэтому все составляющие его величины можно подобно
изменять. Соответственно этому в равенство (9.15.1) и введен постоянный
множитель kP. В нем целое число с будет впоследствии выбираться в зави-
зависимости от условий задачи.
Пусть оболочка имеет жестко заделанный край, совпадающий с линией
а,1 = а10 — 0 (это значит, что внутренним точкам оболочки соответствует
«1 < аю)- Тогда на нем надо выполнить четыре условия (§ 5.33)
u;=0, «2 = °. of = 0, 7- = 0 (9.15.2)
(здесь снова точка сверху означает переход к краевому значению рассма-
рассматриваемой величины).
Первые два из условий (9.15.2) — тангенциальные, а два других —
нетангенциальные.
Расшифруем (9.15.2), воспользовавшись равенствами (9.15.1) и (8.12.6):
2Ehu[ = 2Ehu\ (осн) + -у-_- УЩ> (^ + ~^) (* — Ь) = О,
(осн) у (
2Еки2 = 2Еки2 (осн) — V2 lkc-1 ^-2- № — Ь) = О,
2Ehw" = 2Ehw(OCII) + k%. = О,
2Ehy\ = 2Ehy\ (OCH) — ~^~ ™ (*i + Ь) = 0.
' V R22
Примем, что в этих равенствах
2ЕЛ(и1(осн„ (осн), Ш(оен). 7*1 (осн)) = О (fe°) , (9.15.3)
положим с = 0 и оставим во всех равенствах только слагаемые, содержащие
множителем наивысшую для этого равенства степень k (здесь и во всех рас-
рассматриваемых ниже примерах задачи решаются в самом грубом приближе-
приближении; в части IV будет показано, что эти результаты можно, в случае необхо-
необходимости, уточнять при помощи итераций). Получим тангенциальные гранич-
граничные условия
= 0 (9.15.4)
и нетангенциальные граничные условия
2?W@CH> + *1 = 0, ф, + Ь = 0- - (9.15.5)
Этот результат вполне соответствует схеме, описанной в § 9.14. Полу-
Получены приближенные граничные условия (9.15.4), которым должно подчи-
подчиняться основное напряженное состояние; ими оказались тангенциальные
граничные условия, и в рамках принятой точности в них не вошли величины,
9 А. Л. Гольденвейзер

J3Q МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ ГГЛ. 9
связанные с простым краевым эффектом. Для определения произвольных
функций простого краевого эффекта служат нетангенциальные граничные
условия (9.15.5), а это значит, что г^, г?>2, подбираются так, чтобы была
устранена невязка в граничных условиях.
Нетрудно 'видеть, что число с в рассматриваемой задаче определяется единственным
образом. Равенство с = О обеспечивает выполнение двух важных требований:
A) для основного напряженного состояния получилось два граничных условия, что соот-
соответствует порядку дифференциальных уравнений безмоментной теории;
B) для определения произвольных функций \f>j, if>2 простого краевого эффекта получи-
получилась непротиворечивая неоднородная система уравнений.
При с =j= О по меньшей мере одно из этих требований будет нарушено: если с > 0, то
после отбрасывания второстепенных членов в левой части первого уравнения (9.15.5) про-
пропадет первое слагаемое и решение системы (9.15.5) станет тривиальным: ifij = \f>2 = 0, а если
с<С 0, то в первом уравнении (9.15.5) исчезнет второе слагаемое левой части и основное напря-
напряженное состояние надо будет подчинить трем граничным условиям
2?7ш((Осн) = 0, 2Ehti2 (осп) = 0, 2?W(Och) = 0.
Во всех примерах §§ 9.16—9.18 число с также определяется единственным образом,
но проверка этого утверждения будет опускаться.
Вернемся к условиям (9.15.4), (9.15.5) и примем, что существует основ-
основное напряженное состояние, удовлетворяющее условиям (9.15.4), и что оно
нам известно. Тогда, решая систему (9.15.5), получим
ifi = — ¦фг = — 2Ehw\oca).
Отсюда для расчетных (дающих наибольшие напряжения) усилий и
моментов простого краевого эффекта будем иметь по формулам (8.12.3),
(8.12.4)
1 2 (кр) = г: ¦ (Со — So) о и .
*22 (9.15.6)
Г ! Г h 2?W(och) , , . ср+
G: (кр) = — G2 (KP) =__j7f=_(co + So) «To .
В рассмотренной задаче, так же как в задачах, которым посвящены
§§ 9.16—9.18, построение основного напряженного состояния в исходном
приближении выполняется самостоятельно (не требует каких бы то ни было
операций с краевым эффектом). Оно достигается интегрированием уравне-
уравнений безмоментной теории с учетом тангенциальных граничных условий
(9.15.4). Это значит, что в данном случае применима безмоментная теория,
которая позволяет с известной точностью описать напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное состояние обол зчки вдали от краев (§ 7.3).
§ 16. Краевой эффект вблизи шарнирно опертого края
Пусть оболочка имеет шарнирно опертый край, задаваемый уравнением
ai — аю — 0- Тогда на нем должны выполняться (§ 5.33) тангенциальные
граничные условия
Т\ = 0, и" = 0
и нетангенциальные граничные условия
да- = 0, G; = 0
(при расчете методом расчленения напряженного состояния в граничных
условиях не надо заменять истинные усилия приведенными, так как и в без-
безмоментной теории, и в приближенной теории простого краевого эффекта
крутящие моменты Я21 и Я12 считаются пренебрежимо малыми).

$ 17] КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ НА СВОБОДНОМ КРАЕ ОБОЛОЧКИ J3J
Воспользовавшись формулами (9.15.1) и (8.12.6), напишем все четыре
граничных условия в развернутом виде:
т\ = т;(осн) + -±= ^= (-J—^a.)^^ (ь—ь) = о,
2Ehu2 = 2?/ш2,осн, — V2 lti~xV-^ (Чя — *a) = О,
l2kC~ 2
2?/ш/ = 2Ehw\0CH) + &Ч1 =0, Gj = Gi @CH) ^—1|% = 0.
Примем, что
(Т'цося), 2?Au"i,och), 2?ta/@CH)) = О (/г°). (9.16.1)
Тогда можно считать, что
GicocH) = О (к'4), • (9.16.2)
так как для подсчета Gx нужно воспользоваться формулой G.1.7), в которую
по сравнению с формулами G.1.4) входит лишний множитель h", а согласно
(8.12.2) он имеет вид О (к~*).
Учтем это, положим снова с = 0 и оставим в граничных условиях только
главные члены. Получим тангенциальные граничные условия
Т\ (осн) = 0. М2(осн) = 0,
которые надо выполнять при интегрировании уравнений безмоментной
теории, и нетангенциальные граничные условия
2?W<och) + i|>i = 0, -фг = 0,
из которых определятся произвольные функции простого краевого эффекта.
Остается написать расчетные формулы, подставив в (8.12.4) полученные
значения if^, ij;2,
2(кр)= r-2, оАь Gl(Kp)= v 2(KP)=-^FI!T^) '
§ 17. Краевой эффект на свободном крае оболочки
Пусть край ах = а10 свободен и к нему не прикладываются краевые
силы. Тогда (§ 5.33) надо выполнять следующие тангенциальные гранич-
граничные условия:
Г; = 0, S-u = 0 (9.17.1)
и нетангенциальные граничные условия
W; = 0, Gi = 0. (9.17.2)
Эти равенства расшифровываются так:
А\
(9.1/.
j2?C—2 , ,c—1
Gi = Gi (осн) -^- ^ = 0, N1 = ЛГ, @CH) — -^ —g^ (ф| — i|>i) = 0.
Принимая, что
(Ti (.сн), 5и (осн)) = О (ft0), (ATi @СН), Gi (осн)) = О (k~4), (9.17.4)
9'
i»

132 МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ [ГЛ. 9
заключаем, что в данном случае надо положить с = —2. В результате,
оставив лишь старшие члены, будем иметь тангенциальные условия для
основного напряженного состояния
Т'цосп) = 0, Si, (OCH) = 0 (9.17.5)
и нетангенциальные граничные условия для определения произвольных
функций простого краевого эффекта
k*G\ (осн) —1|>2 = 0, ife — % = 0.
«22
Теперь можно было бы выписать выражения для Т2(Кр), Gi (Kp) и Сг(Кр),
но в данном случае это практически не нужно. Для свободного края в фор-
формуле (9.15.1) пришлось положить с — —2, в то время как у заделанного и
шарнирно опертого краев получилось с = 0. Это значит, что относительная
интенсивность простого краевого эффекта вблизи свободного края весьма мала
и практически строить здесь простой краевой эффект не нужно.
Пусть теперь к свободному краю приложены распределенные силы или
моменты. Тогда граничные условия (9.17.1), (9.17.2) станут неоднородными.
Если краевые силы — тангенциальны, т. е. их направления параллельны
касательной плоскости, то свободные члены появятся только в равенствах
(9.17.1). Это приведет только к тому, что вместо (9.17.5) получатся танген-
тангенциальные граничные условия
Т\ (осн) = Tt, Si (осн) = 5.,
в которых Т1,, S,. — заданные функции переменной ос2.
Наоборот, случай, когда края загружены моментами или силами, нор-
нормальными к срединной поверхности, требует особого рассмотрения.
Пусть тангенциальные граничные условия (9.17.1) остаются прежними,
а нетангенциальные граничные условия (9.17.2) принимают вид
где N^ — заданная функция переменной ос2, определяющая краевые нормаль-
нормальные силы, приложенные к оболочке.
Примем дополнительно, что оболочка не загружена по поверхности и что
N, = О (*•).
В этом случае полагаем с — 1. Тогда третье и четвертое равенства
(9.17.3) в первом приближении дадут
Ф* = 0. У5-й$гЪ—*0 = 1** (9-17.6)
Равным образом из первых двух равенств (9.17.3) получается
П + 71
/О 17 7^
( ]
В (9.17.7) функции oj?! и г|з2 можно исключить при помощи (9.17.6).
Тогда тангенциальные граничные условия для основного напряженного
состояния примут такой вид:

18]
КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ У ВНУТРЕННЕЙ ЛИНИИ ИСКАЖЕНИЯ
133
Теперь остается только выписать расчетные усилия и моменты. Из
(9.17.6) и (8.12.4) для расчетных усилий и моментов получаем
i/" j l^2~ /
Тч (Кр) = —— У R22 ^*Со®о '  (кр) = "^Г (кр) =
J
Замечание. Здесь, как и в других примерах, принимается, что существует основное напря-
напряженное состояние, удовлетворяющее тангенциальным граничным условиям. Вместе с тем
в части III будет показано, что нельзя, вообще говоря, требовать, чтобы во всех краевых точ-
точках оболочки решения уравнений безмоментной теории удовлетворяли двум тангенциальным
статическим граничным условиям. Поэтому рассмотренный пример имеет смысл только тогда,
когда, помимо а, = а1П, оболочка имеет по меньшей мере еще одни, достаточно жестко закреп-
закрепленный край.
Так, например, если речь идет о консольной оболочке, то надо соединить результаты,
полученные для жестко заделанного и для свободного краев. Это значит, что основное напря-
напряженное состояние следует подчинить условиям (9.15.4) на одном крае и условиям (9.17.5)
иа другом, что, как будет показано в части III, всегда возможно (краевые эффекты строятся,
как мы знаем, на каждом краю совершенно независимо).
Рассмотренная задача представляет собой случай, когда безмоментную
теорию (в смысле § 7.3) надо считать неприменимой. Граничные условия,
необходимые для определения основного напряженного состояния, здесь
удается сформулировать только в результате введения в рассмотрение про-
простого краевого эффекта: он необходим для того, чтобы можно было написать
равенства (9.17.7), и для того, чтобы исключить из них произвольные функ-
функции i]5x, я|з2. В части IV такие примеры подвергаются более общему рассмо-
рассмотрению, и для них вводится понятие об условной применимости безмомент-
безмоментной теории.
§ 18. Краевой эффект у внутренней линии искажения
напряженного состояния
Пусть на некоторой линии g' компоненты внешней нагрузки терпят
разрыв первого рода. Будем считать, что g' рассекает область интегрирова-
интегрирования G (вообще говоря, многосвязную) на две подобласти G+ и G", как пока-
показано на рис. 16, а. (Если это
неверно, то контур g' можно
должным образом продол-
продолжить, как показано пункти-
пунктиром на рис. 16, б, и считать,
что на продолженной части g1 ~^ ¦ о1 %>^ ^JZ /0 гг- Е*
разрывы обращаются в нуль.)
В таком случае искомое на-
напряженное состояние Р в об-
областях G+ и G~ можно строить
раздельно, снабжая соответ-
соответствующие искомые величины
дополнительными индексами
«+» и «—». При этом на ли-
линии g' должны быть выпол-
выполнены условия сопряжения
(они по смыслу совпадают с условиями непрерывности § 9.14). Послед-
Последние для случая, когда g1 задается уравнением ах
Рис. 16.
когда g1 задается уравнением ах = ai, имеют вид
1 = 11'
N N
(9.18.1)
= Glt w —
w, уг= Yi-
Решение задачи будем снова искать в виде (9.15.1), полагая, что это ра-
равенство справедливо и в G+ и в С. Далее, можно считать, что областям G*
! НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ В ]
t ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ 1

134 МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ [ГЛ. 9
и G" отвечают неравенства ах ^ а10 и ах =^ а10 соответственно и что в них
имеют место простые краевые эффекты, определяемые для G+ формулами
(8.12.5), а для G~ — формулами (8.12.4).
Учитывая это, раскроем (9.18.1) при помощи (9.15.1), (8.12.6), (8.12.7)
и напишем ,
г + (
г, („он) + 7^ 1/^( ^7 "^г )<*,=<*,„(ap2—iW:=
D'
«2
01=0! о
?•
соси, -у^ —^-у^- - &и (ос„,
2EhtUoCK) +-j~ к^У^(~ + ^А(Ь-Ь) = (9.18.2)
-~
+• / Й . / k
Nl (оен) — T^ —T372- (*2 — <pl) = -Vl (оен) —jT=" —Г372- (Я|53 + 1|М),
i4 ^(9.18.3)
«22
+ —
2Ehw[0CH) -f /j>i = 2Ehw'@CH) + /г>
Отсюда, предполагая по-прежнему, что основное напряженное состоя-
состояние удовлетворяет соотношениям (9.15.3), (9.17.4), заключаем, что, вообще
говоря, можно положить с = 0. Тогда в первом приближении получатся тан-
тангенциальные условия сопряжения
+ -+ - + - + -
Т\ (оен) = Т\ (оен), "J21 (оен) = О21 (оен), U\ (оен) = Ml (оен), 42 (оен) == U2 (оен),
(9.18.4)
которые относятся к основному напряженному состоянию, и нетангенциаль-
нетангенциальные условия сопряжения
+ Ь, $
Из последних можно определить произвольные функции простого крае-
краевого эффекта, возникающего по обе стороны от линии g',
-. +.
*l>i = — 'фз = Ehdw, i|32 = -ф4 = 0, бю = а\осн) — w(oca).

§ 19] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 135
Аналогичным образом решается задача и в случае, когда вдоль линии g'
оболочка имеет дополнительное усиление. Пусть, например, вдоль g' обо-
оболочка контактирует с конструкцией, которая препятствует нормальным сме-
смещениям оболочки, но не стесняет свободу смещений во всех других линейных
и угловых направлениях. Тогда вместо условий сопряжения (9.18.1) надо
написать
+ —+-+- + — + —
Тх = 7\, Sx = Sx, их = иъ и2 = и2, Gx = G1(
+ - + -
w = О, w — О, Yi = Yi-
Равенства (9.18.2) сохранятся. Из равенств (9.18.3) останутся без изменения
второе и четвертое, а вместо первого и третьего равенства надо написать
2Ehw'(OCH) + &4i = 0, 2Ehw'(OCH) + к%ч = 0.
Учитывая это, можно положить с = 0, и тогда в первом приближении
для основного напряженного состояния вновь получатся тангенциальные
условия сопряжения (9.18.4), а уравнения для произвольных функций про-
простого краевого эффекта примут вид
^2— ^1 = ^3 + ^4. — ^2 = ^4-
Отсюда
ih = — 2Ehw'(OCH), % = —2?to('ocH), ^2 = —%==—Eh[w'i0CH) f w'{0Ch)}.
§ 19. Заключительные замечания
В разобранных примерах применение метода расчленения базировалось
на формуле (9.15.1), выражающей главную идею метода: представление пол-
полного напряженного состояния в виде суммы основного напряженного состоя-
состояния и простых краевых эффектов. В ходе рассуждений принимались допол-
дополнительные предположения (9.15.3), (9.16.1), (9.17.4), определяющие асимпто-
асимптотику краевых значений усилий, перемещений и углов поворота основного
напряженного состояния. Можно принять, что перечисленные величины
имеют такой же порядок и во всей рассматриваемой области, т. е. что
G\, Su, 2Ehuh 2?/ш)(осн) = 0(/г°). (9.19.1)
Действительно, во всех рассмотренных примерах приближенное построе-
построение величин (9.19.1) свелось к решению краевых задач, в которых ни уравне-
уравнения, ни граничные условия не зависят от малого параметра h, а следова-
следовательно, и от большого параметра k (множитель 2Eh считается включенным
в состав искомых величин), а случаи, когда полная краевая задача не имеет
ограниченных решений, исключены из рассмотрения (в таких оболочках
срединная поверхность считается особой).
Из (9.19.1) вытекает, что напряжения ат от тангенциальных усилий
имеют порядок
°т = Ж = ° <А)' <9Л9-2)
а для напряжений от моментов, исходя из формулы (9.16.2), получим
afi = |- = O(/l«) (9.19.3)
(считается, что изменяемость основного напряженного состояния не слиш-
слишком велика и не учитывается возможность увеличения искомых величии
при дифференцировании). Таким образом, во всех разобранных примерах

J36 МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ [ГЛ. 9
вдали от краев напряженное состояние безмоментно. Для определения про-
произвольных функций простого краевого эффекта были получены уравнения,
не зависящие от параметра k. Это значит, что для г|эх, а|J можно написать
оценку
№, г|>2) = О(П
из которой при помощи формул (8.12.4) легко получить оценку усилий и мо-
моментов простого краевого эффекта. Учитывая, что k = О (к~1/г), получаем
для наибольшего из усилий (Г2) и наибольшего из моментов (GJ
а следовательно, в простом краевом эффекте
*г =-&-= О (Л), aG = -g-=O(/t-1). (9.19.4)
Итак, в формуле (9.15.1) величины Р(Осн) (основное напряженное состоя-
состояние) и Р(Кр) (простой краевой эффект), взятые в отдельности, эквивалентны
друг другу в том смысле, что дают напряжения одинакового порядка. Однако
при составлении полного напряженного состояния краевой эффект, согласно
(9.15.1), множится на kc, а это значит, что числом с определяется относитель-
относительный порядок вклада простого краевого эффекта в полное напряженное состоя-
состояние оболочки. Если с = 0, то дополнительные краевые напряжения будут
соизмеримы с основными. Такая картина в рассматриваемых случаях имеет
место вблизи заделанного края. Если с <С_ О, то вклад краевого эффекта будет
ничтожным, так как k в тонкой оболочке весьма велико. Примером служит
свободный край. Наконец, при с ^> О краевые напряжения будут значи-
значительно больше основных. Соответствующих примеров мы пока не имели,
но они, как выяснится в части IV, возможны. В частности, весьма большие
дополнительные напряжения могут появиться в оболочке вблизи линии
излома ее срединной поверхности. Этот случай рассматривается в части IV.
В противоположность этому разрыв нагрузки вдоль некоторой линии вызы-
вызывает, как было показано в § 9.18, дополнительные напряжения такого же
• порядка, как и основные (с = 0).
Разумеется, различие между основным напряженным состоянием и про-
простым краевым эффектом заключается не только в том, что они могут давать
напряженные состояния различных порядков. Простой краевой эффект,
как уже говорилось,— местное, быстро затухающее напряженное состояние,
а кроме того, как видно из оценок (9.19.4), связанные с ним напряжения,
вообще говоря, имеют смешанную природу, т. е. обусловливаются в равной
мере усилиями и моментами, в то время как основное напряженное состоя-
состояние в большинстве случаев безмоментно.
Остановимся несколько подробнее на структуре напряжений, соответ-
соответствующих простым краевым эффектом. Все связанные с ним величины быстро
затухают, поэтому при качественных рассуждениях можно исходить не из
формул (8.12.4), определяющих простой краевой эффект в окрестности линии
возмущения, а из формул (8.12.6), задающих его только на самой этой линии.
Формулы (8.12.6) показывают, что главное тангенциальное усилиг Т2 и
главный момент Gx пропорциональны соответственно произвольным функ-
функциям -фх и г|J. Таким образом, простой краевой эффект имеет черты сходства
с дополнительными напряженными состояниями, возникающими вблизи
отверстий как в пластинке, растягиваемой в своей плоскости, так и в пла-
пластинке, подвергаемой изгибу. Первое из этих дополнительных напряженных
состояний связано с функцией г|?х и дает в освном нормальные усилия на сече-
сечениях, ортогональных к линии возмущения. Второе связано с функцией i|J
и дает в основном изгибающие моменты на сечениях, параллельных линии
возмущения.

ГЛАВА 10
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ
§ 20. Вырождение оболочки в пластинку
Одним из условий применимости метода расчленения является требо-
требование, чтобы срединная поверхность оболочки в достаточной мере отлича-
отличалась от плоскости, т. е. чтобы оболочка не вырождалась в пластинку и не
превращалась в пологую оболочку (§ 9.13). Плоскость в терминологии § 9.13
отнесена к особым поверхностям (особым с точки зрения возможности приме-
применения безмоментной теории или метода расчленения) по совершенно ясным
причинам. Если срединная поверхность есть плоскость, то
Яи = Яц = Ям = оо, A0.20.1)
и третье безмоментное уравнение равновесия G.1.3) потеряет всякий смысл.
Возвратившись вновь к общим уравнениям теории оболочек F.44.1)—
F.44.6) и подставив в них. A0.20.1), мы получим, как легко проверить,
уравнения, которые распадаются на две подсистемы. В первую подсистему
входят:
(а) первое, второе и шестое уравнения равновесия F.44.1);
(б) тангенциальные уравнения состояния F.44.6);
(в) формулы «тангенциальные деформации — перемещения» F.44.3).
Эта группа соотношений образует уравнения теории обобщенного на-
напряженного состояния.
Во вторую подсистему входят:
(а) третье, четвертое и пятое уравнения равновесия F.44.1);
(б) нетангенциальные уравнения состояния F.44.6);
(в) формулы «изгибные деформации — перемещения» F.44.3), F.44.4).
Эта группа соотношений образует уравнения теории изгиба пластинки.
Как в случае обобщенного плоского напряженного состояния, так и
в случае изгиба пластинки получаются уравнения для плоского упругого
тела, срединная поверхность которого отнесена к произвольной ортогональ-
ортогональной криволинейной системе координат. Мы не будем обсуждать эти уравне-
уравнения, считая их известными из курсов теории упругости.
§ 21. Пологие поверхности и почти плоские
системы координат
Обратимся к пологим оболочкам, т. е. к оболочкам, срединная поверх-
поверхность которых в некотором смысле мало отличается от плоскости. Тогда
описанное выше противоречие формально устраняется, но можно ожидать,
что в этом случае применение безмоментной теории приведет к далеким
от истины результатам. Вместе с тем именно пологие оболочки особенно

J38 ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. СОСТОЯНИЯ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ [ГЛ. 10
интересны с точки зрения практических применений, и поэтому целесообразно
обсудить возможность приближенных подходов к исследованию их напряжен-
напряженно-деформированного состояния.
Начнем с обсуждения координатных систем, которые можно построить
на пологой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы А 1(
А 2 в любой системе криволинейных координат, построенной на плоскости,
удовлетворяют уравнению Гаусса A.5.7), которое в рассматриваемом случае
можно записать так:
да, \ А, да, ) + да, \ Аг да,
а = -=г-= 52 гауссова кривизна.
Назовем почти плоской такую систему криволинейных координат на по-
поверхности (при К ф 0), для которой вместо написанного равенства будет спра-
справедливо соотношение
A0.21.1)
На произвольной поверхности S такую систему, разумеется, построить
нельзя, но если S полога, т. е. все ее точки близки к плоскости Р, то при неко-
некоторых дополнительных условиях (их смысл выявляется в рассматриваемых
ниже примерах) на S можно построить почти плоскую криволинейную си-
систему координат, прибегнув, например, к такому приему. Установить на Р
какую-либо криволинейную систему координат аь а2, а затем «снести» ее
на поверхность S, т. е. считать, что, если некоторая пара значений (а^ а2)
задает на плоскости Р некоторую точку т, то на поверхности S эти же зна-
значения определяют точку т', проекцией которой является т.
Пример 1. Почти декартова система координат на пологой поверхности.
Пусть в декартовой системе координат рассматриваемая поверхность S
задана уравнением
z = f(x, у).
Примем, что на плоскости хОу ей соответствует некоторая область s из-
изменения х, у с характерным размером /. Тогда декартовы координаты (х, у)
можно снести на поверхность S, введя обозначения
х у
а, = —, а2 == -j-
и задав радиус-вектор М так:
М = laJx-\-laJy + f(lalt 1а,Iг A0.21.2)
(ix, i9, iz — орты декартовой системы координат).
Коэффициенты первой квадратичной формы для поверхности A0.21.2)
подсчитываются по формулам A.1.4), A.1.5):
,ln

S21i ПОЛОГИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПОЧТИ ПЛОСКИЕ КООРДИНАТЫ J39
Отсюда следует, что на поверхности S обсуждаемая система координат
не ортогональна, но если выполняется условие
тах|/1(/2|«1, A0.21.3)
то значения cos % будут малы, и ее можно рассматривать как почти орто-
ортогональную. В рамках той же точности формулы для коэффициентов первой
квадратичной формы можно записать так:
Л1 = Л2 = /. A0.21.4)
Для коэффициентов второй квадратичной формы имеем формулы A.3.2).
Выполним выкладки
_ М, X М.г _ — fiix — hi у + iz
П ~ АхАг sin % ~ I/*! +/2 + /2 '
м =р^1 м _ f *f j м =p^Li
' -М П- дХ*- г - А* »- ду''
дхду
Отсюда видно, что на поверхности S рассматриваемые криволинейные
координаты образуют несопряженную сеть (L12 в общем случае будет такого
же порядка, что и Lu, L22). Поэтому для подсчета нормальных кривизн
поверхности S надо воспользоваться формулами A.5.2), A.5.3), которые дают
1 L^ дх*
«и ~ А\
1 L^
«22 - ¦ ?.
1
ду*
дхду
А-
/!-
и!'
1-й J
«12 ЛЛ т/A+/?)A+^)-1/-1 + /2 + /2 •
Будем считать, что требование A0.21.3) выполнено, пренебрежем малой
неортогональностью выбранной системы координат и заменим последние
формулы приближенными равенствами
— - — — (IU.Z1.O;
J_J^L_ J_ Л.
«п ~ Э* ' Ru ~дхду' R22 ~ ду* '
Тогда сильное неравенство A0.21.1) превратится в требование
\
1.
дх* ду* \ дхду
Отсюда видно, что если к A0.21.3) присоединить требования
1 (i, / = 1,2), A0.21.6)
дх1 дх>

140
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. СОСТОЯНИЯ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ [ГЛ. 10
то сильное неравенство A0.21.1) выполнится, а если, кроме того, требовать,
чтобы
дх'дх'дх*
< 1 (/, /, k = 1, 2),
то будут выполняться и более жесткие условия
дК
дК
A0.21.7)
A0.21.8)
Криволинейную систему координат, определяемую равенством A0.21.2),
мы назовем почти декартовой.
Пример 2. Почти полярная система координат на пологой части сферы.
Отнесем сферу к географической системе координат, в которой положе-
положение точки задается полярным углом 8 и долготой <р (рис. 17). Тогда, обозна-
обозначив через г радиус сферы, можно задать ее векторным равенством
М = г sin 8 cos ф/г + r sin 9 sin <р/„ -f- r cos 8/?.
Считая, что роль параметров (аг, а2) здесь играют соответственно (8, ф),
получим по формулам A.1.4), A.1.5)
М, = г cos 8 cos ф/, + r cos fl sin ф'у — r sin ^'z.
Л12 = — r sin 8 sin ф4 -f ^ sin 8 cos <piv,
Подставив эти результаты в A0.21.1) и заметив, что для сферы
22 = Г' #12 = °°i ПОЛУЧИМ
Это значит, что для того, чтобы выполнялось сильное неравенство
A0.21.1), 8 должно быть мало, т. е. срединная поверхность должна уме-
умещаться в малой окрестности полюса географической системы координат.
В этом случае можно положить sin 8 = 8,
и коэффициенты первой квадратичной фор-
формы будут выражаться так:
А, = г, Аг = rO, cos % = 0.
Поэтому, введя обозначение гв = р,
можно написать
откуда
х
A0.21.9)
Рве. 17.
. и мы приходим к формуле дифференциала
длины дуги для плоскости, отнесенной
к полярной системе координат р, ф. От-
¦ сюда следует, что на пологой части сферы,
примыкающей к полюсу географической системы координат, можно по-
построить описанную выше координатную систему, которую мы будем называть
почти полярной. По своим свойствам она мало отличается от полярных коор-
координат на плоскости, т. е. является разновидностью почти плоских систем.
Для почти полярной системы координат на сфере соблюдается не только
A0.21.1), но и сильные неравенства A0.21.8), так как К иг — константы.

S 22] ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК J4J
Не останавливаясь на подробностях, заметим, что .почти полярную сис-
систему координат можно построить на пологой части произвольной поверх-
поверхности вращения, примыкающей к полюсу географической системы коорди-
координат. При этом для того, чтобы выполнялись соотношения A0.21.8), надо
только требовать, чтобы были достаточно малы первые три производные
от функции, задающей меридиан оболочки.
Замечание. На пологой поверхности можно построить и такую систему координат, кото-
которая не удовлетворяет сильному неравенству A0.21.1). Примером может служить географиче-
географическая система координат на сфере, если под пологой частью сферы будет подразумеваться
малая окрестность какой-либо точки, расположенной у экватора, так как там sin 9 мало отли-
отличается от единицы.
В дальнейшем всегда, когда речь идет о пологой оболочке, будет предпо-
предполагаться, что на ней установлена почти плоская система координат, и, сле-
следовательно, выполняются сильные неравенства A0.21.8).
§ 22. Приближенная теория пологих оболочек
В основу приближенного расчета пологих оболочек мы положим два
следующих предположения.
Предположение 1. В первых двух уравнениях равновесия, выражаемых
первым равенством F.44.1), можно отбросить члены, содержащие перере-
перерезывающие усилия N ъ N2.
Предположение 2. В первых двух уравнениях неразрывности деформа-
деформаций, выражаемых первым равенством F.44.2), можно отбросить члены, со-
содержащие величины ?х, ?2.
Первую из этих гипотез можно подкрепить такими рассуждениями.
Рассмотрим подъемистую оболочку с неособой срединной поверхностью
(§ 9.13) и неасимптотическими краями. Ее приближенный расчет, вообще
говоря, можно выполнить методом расчленения (§ 9.13) (исключение пред-
представляет случай, когда основное напряженное состояние имеет слишком
большую изменяемость; к нему мы еще вернемся). Эго равносильно приня-
принятию предположения 1, так как и в теории основного напряженного состояния
(§ 7.1), и в приближенной теории простого краевого эффекта (§ 8.9) в пер-
первых двух уравнениях равновесия перерезывающие усилия Nи N\ отбрасы-
отбрасываются. В случае, когда оболочка вырождается в пластинку, предположение 1
превращается в тривиальное утверждение, так как коэффициенты при Nu
N, в первых двух уравнениях равновесия при этом обращаются в нуль.
Но пологая оболочка занимает промежуточное положение между подъеми-
подъемистой оболочкой и пластинкой, поэтому естественно ожидать, что предполо-
предположение 1, имеющее силу для крайних случаев, останется правильным и для
промежуточного случая.
Предположение 2 двойственно предположению 1 в смысле статико-
геометрической аналогии. Его можно подкрепить рассуждениями такого же
рода, но на этом мы останавливаться не будем.
Поскольку наша задача заключается в приближенном исследовании
пологих оболочек, будем пользоваться простейшим вариантом теории обо-
оболочки и, в частности, будем считать законным комплексное уравнение
F.43.32), выведенное без каких бы то ни было отбрасываний, выходящих
за рамки точности такой теории. Это уравнение можно существенно' упро-
упростить, если считать, как мы условились выше, что на срединной поверх-
поверхности пологой оболочки установлена почти плоская система координат.
Тогда будет обеспечено выполнение сильных неравенств A0.21.8), а это, как
легко убедиться, означает, что в уравнении F.43.32) члены, содержащие
гауссову кривизну К, играют второстепенную роль. Отбросив эти члены и
перейдя от тензорной символики к простой по формулам главы 6, получим

142 пологие оболочки, состояния с большой изменяемостью [гл. 10
основное комплексное равенство приближенной теории пологих оболочек
(в произвольной ортогональной системе координат)
_1_ М AJ *L + A \
АхАг \ даг Ах Rta да^, ~ да„ Я1
w да2 ^ даг Аг Rn да?}
= ipAAW—iZ. A0.22.1)
В нем содержится единственное комплексное неизвестное W, имеющее сле-
следующий смысл:
W = $>2Ehw + ic, A0.22 2)
р-—_^=^, A0.22.3)
^3A— v2)
а под А подразумевается обобщенный оператор Лапласа
д - х { д ( А* д \ | д ( А! д v\ H0 22 4V
Л~" АхАг \дах\ А, да, ) ^ да2 \ Аг dajj' (lU.zz.^
Комплексное уравнение A0.22.1) эквивалентно двум действительным
уравнениям, содержащим нормальный прогиб w и функцию напряжений с.
Эта система получится, если потребовать, чтобы в обсуждаемом уравнении
обращались в нуль в отдельности действительная часть и коэффициент
при мнимой части. Будем иметь
^О. A0.22.5)
Здесь в дополнение к A0.22.4) использовано обозначение
1 / д А2 I д__ , _а I
~ АъАг \ д^ At Ri!s aat "•" да2 ~R
д 1 / д А2 Iд , аIд
_dL_J <L^ П0226)
A R da /
5a, ^l2 da2 ' da2 A2 Rn
(индекс R напоминает, что оператор существенно зависит от радиусов кри-
кривизны оболочки).
Равенство A0.22.1) или, что то же, равенства A0.22.5) будут называться
разрешающими уравнениями теории пологих оболочек. Каждая пара функ-
функций w, с, представляющая собой решение этих уравнений, определяет неко-
некоторое напряженно-деформированное состояние оболочки. Последнее можно
построить при помощи прямых действий, к описанию которых мы переходим.
В § 6.43 было показано, что в рамках точности простейшего варианта
теории оболочек справедливы тензорные равенства F.43.14) и F.43.15).
Первое из них показывает, что в формулах «тангенциальные усилия — функ-
функции напряжения» должны быть оставлены только слагаемые, содержащие Ее-
личину g, соответствующую в обычных (не тензорных) обозначениях функ-
функции напряжения с. Это значит, что в теории оболочек, основанной на простей-
простейшем варианте уравнений состояния, вместо первых двух равенств F.44.5)
надо брать формулы
• - А,- да,- А, да,- + а]а. да{ да, <1 + * ~ 1' *>- ^
s ^ „ 1 _ д*с 1 дАх дс , 1 дА2 дс
¦i^^it- АгАш да1даг + А2Аз даа ди, ~Г Аха1 аа, да2 '

§ 22] ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ДОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК {43
Равным образом из F.43.15) вытекает, что третье и четвертое равенства
F.44.3), учитывая F.44.4), надо заменить формулами
К'~ At дач Ас дас ^ А& daf да, ^ f 1 - ^ *>>
, ' , . ,. , A0.22.8)
1 d*w 1 дА-i dw 1 дА2 dw v '
T "^7 ^ "^~
Ими и формулами A0.22.7) тангенциальные усилия и компоненты изгиб-
ной деформации, а вместе с последними и моменты, выражаются через с
и w. Перерезывающие усилия после этого можно найти при помощи уравне-
уравнений равновесия и, наконец, при помощи первых двух равенств F.44.6)
определяются компоненты тангенциальной деформации.
Равенства A0.22.7), A0.22.8) вместе с уравнениями состояния можно
назвать расчетными формулами теории пологих оболочек. Ими приближенно
определяется напряженно-деформированное состояние. Остались неизвест-
неизвестными только тангенциальные смещения иг, и2, но, так как все компоненты
деформации уже получены, перемещения можно строить, например, так,
как описано в § 4.27.
Есть и другой путь построения перемещений пологой оболочки. Поскольку Bj, со, s2 —
известны, можно рассматривать равенства G.5.1) как систему дифференциальных уравнений
относительно их, и2, w.
Третью из этих величин надо также считать известной, так как она определяется при
интегрировании разрешающего уравнения. Поэтому, сохранив два из трех равенств G.5.1),
мы будем иметь уравнения для определения иг, иг. При их решении произволы надо выбирать
так, чтобы выполнилось отброшенное равенство G.5.1).
Просмотрев еще раз выкладки § 6.43, можно убедиться, что при выводе
равенства F.43.32) не были использованы ни первые два уравнения равно-
равновесия, выражаемые первым равенством F.44.1), ни первые два уравнения
неразрывности деформаций, выражаемые первым равенством F.44.2).
Покажем теперь, что если правильны предположения 1 и 2 и если отсутствуют
внешние поверхностные тангенциальные силы, т. е.
Xt = Х2 = 0, A0.22.9)
то эти уравнения приближенно выполняются в силу формул A0.22.7) и
A0.22.8), каковы бы ни были в них достаточное число раз дифференцируе-
дифференцируемые функции с, w. Для рассматриваемых уравнений равновесия это выте-
вытекает из следующих равенств, которые легко проверить при помощи A0.22.7):
= \ д ( х дАЛ \ д ( х дАг \ 1 1 дс
[ даг V Л, дах ) ^ да2 \ Аг да2 )\ Ах да,, '
' д дА д дА A0.22.10)
дсц (/il1 г) ~да~; 1 * + да (Л^' ^
да, ^ ~
д I \ дАх\\ \ дс
Г д I 1 дАг \ , д I \ дАх\\
L даг \ Аг дах ) "•" да2 \ Л2 да2 )\
Левые части их совпадают с левыми частями первого равенства F.44.1),
если в последних отбросить члены с Nh а правые части будут малы,
если срединная поверхность пологой оболочки отнесена к почти плоской
системе координат и вследствие этого выполняется сильное неравенство
A0.21.1).

144 пологие оболочки, состояния с большой изменяемостью [гл. ю
Уравнения неразрывности деформаций двойственны уравнениям равно-
равновесия, поэтому, повторив вышеприведенные рассуждения и выкладки, можно
убедиться, что первые два уравнения неразрывности деформаций прибли-
приближенно удовлетворяются в силу допущения 2 и формул A0.22.8).
Замечания. 1. Требование A0.22.9) обязательно для излагаемого варианта теории поло-
пологих оболочек. Оио имеет силу лишь в случае, когда внешняя поверхностная нагрузка нор-
нормальна к срединной поверхности оболочки. Обобщение иа случай X,- ф 0 не сложно, но мы не
будем иа этом останавливаться.
2. Возможность отбрасывать в выражении для компонент изгибиой деформации танген-
тангенциальные перемещения, а в выражении для тангенциальных усилий — функции а, Ь часто
принимается как самостоятельные предположения теории пологих оболочек. Вышеизложен-
Вышеизложенные результаты показывают, что эти отбрасывания надо рассматривать как действия, логи-
логически вытекающие из свойств упрощенной теории оболочек. Если в какой-либо задаче воз-
возникнет необходимость удержать такие члены, то это значит, что для иее нельзя пользоваться
упрощенной теорией оболочек и надо с большой осторожностью подойти к выбору уравне-
уравнений состояния.
Изложенная здесь трактовка приближенной теории пологих оболочек
предлагается, по-видимому, впервые, хотя получившиеся разрешающие
уравнения и расчетные формулы известны очень давно. Историю создания
теории пологих оболочек надо, по-видимому, начинать с тридцатых годов,
когда в работах [86, 142, 143] были высказаны важные идеи применительно
к задачам устойчивости. Уравнения и формулы современной теории поло-
пологих оболочек, в частности и те, которые приведены здесь, выводились в ра-
работах [30, 31, 87, 121, 161].
§ 23. Свойства разрешающих уравнений теории пологих оболочек
Структуре разрешающих уравнений теории пологих оболочек можно
дать простую физическую интерпретацию. Отбросив в A0.22.5) члены,
содержащие оператор AR, получаем два самостоятельных уравнения. Одно
из них имеет вид
и совпадает с уравнением, которому подчиняется нормальный прогиб w
в теории изгиба пластинок. Второе уравнение имеет вид
ААс = 0
и совпадает с уравнением, которому подчиняется функция Эри в теории
обобщенных плоских напряженных состояний.
Отбрасывание членов с операторами ДА также приводит к двум само-
самостоятельным уравнениям
Длс+г = 0, Ддау = 0. A0.23.1)
Если оболочка отнесена к криволинейным координатам, удовлетворяю-
удовлетворяющим сильному неравенству A0.21.1), и если Х1 = Х2 = 0, то первое из
этих уравнений будет приближенно эквивалентно статическим уравнениям
безмоментной теории (§ 7.4), а второе — геометрическим уравнениям без-
моментной теории (§ 7.5).
Действительно, положим Х1 — Х2 = 0 в безмоментных статических
уравнениях G.4.2), будем считать, что S21 = 512 = S, и выразим 7\, S21,
512. Т2 по формулам A0.22.7) через функцию напряжений с. Тогда первые
два уравнения G.4.2) можно отбросить, так как они приближенно удовлет-
удовлетворяются, а третье уравнение G.4.2) превратится в первое равенство
A0.23.1). Далее, геометрические уравнения безмоментной теории выражают
требования
6l = со = еа = 0 A0.23.2)

§ 23] РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК {45
и в определенном смысле (см. § 7.5) они эквивалентны системе G.5.2), в кото-
которой в силу A0.23.2) можно считать
Поэтому, выразив х,, т, и2 по формулам A0.22.8), мы приближенно вы-
выполним первые два уравнения G.5.2), а оставшееся уравнение сведется ко
второму равенству A0.23.1).
Таким образом, в разрешающих уравнениях A0.22.5) операторы ДД
отражают влияние теории изгиба пластинки и теории обобщенного плоского
напряженного состояния, а операторы Дл отражают влияние безмоментной
теории.
Порядок и тип системы A0.22.5) определяют операторы ДД, так как
они содержат старшие производные. Это значит, что система A0.22.5) —
эллиптическая и при ее интегрировании можно выполнять в каждой точке
границы области по четыре условия (столько, сколько учитывается гранич-
граничных условий в теории изгиба пластинок и в теории обобщенного напряжен-
напряженного состояния в совокупности). Таким образом, описанные в § 10.22 преобра-
преобразования не повели к потере интегралов, необходимых для решения краевых
задач теории пологих оболочек.
Напомним, что разрешающие уравнения теории пологих оболочек, будь
это действительная система A0.22.5) или комплексное уравнение A0.22.1),
составлены в предположении, что оболочка отнесена к почти плоской системе
координат, в которой коэффициенты первой квадратичной формы Аи А г
должны удовлетворять сильному неравенству A0.21.1). В § 10.21 были по-
построены две такие системы: почти декартова система координат, удобная для
исследования пологих оболочек с прямоугольным планом, и почти полярная
система координат, удобная для исследования пологих оболочек с круговым
планом. Ими и ограничивается список почти плоских систем, применявшихся
до сих пор. Поэтому можно условно говорить о двух вариантах теории поло-
пологих оболочек. В первом из них используется почти декартова система коорди-
координат и в равенствах A0.22.4), A0.22.6), а также в расчетных формулах
A0.22.7), A0.22.8) надоЛ^ Л2, /?„, R12, R22 брать по формулам A0.21.4),
A0.21.5). Во втором варианте используется почти полярная система коорди-
координат, а А1у Л 2 берутся по формулам A0.21.9).
Методы интегрирования уравнений теории пологих оболочек весьма
разнообразны. Этому вопросу посвящена обширная литература, и мы на нем
не будем останавливаться.
В заключение заметим, что равенства A0.22.1) или A0.22.5) с некоторыми
оговорками, которые выявятся ниже, можно рассматривать и как разрешаю-
разрешающие уравнения теории оболочек нулевой кривизны (в частности, цилиндри-
цилиндрических и конических оболочек), независимо от того, пологи они или нет
[80, 81, 86, 92, 120]. Чтобы убедиться в этом, достаточно просмотреть еще
раз рассуждения § 10.22. Они показывают, что для вывода равенств A0.22.1)
и A0.22.5) достаточно предполагать, что в оболочке
(а) срединная поверхность должна быть не особой,
(б) линии возмущения и, в частности, края должны быть неасимпто-
неасимптотическими,
(в) на всей срединной поверхности может быть установлена криволиней-
криволинейная система координат, отвечающая сильному неравенству A0.21.1).
Но при К = 0 последнее условие становится тривиальным: ему удов-
удовлетворяет любая система координат, следовательно, остаются два первых
требования. Первое из них означает, в частности, что цилиндрическая обо-
оболочка, к которой можно применять уравнение'A0.22.1) или A0.22.5), не
10 А. Л. Гольденвейзер

J46 ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. СОСТОЯНИЯ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ [ГЛ. 10
должна быть слишком длинной, а для конической оболочки нельзя допу-
допускать большой близости точек срединной поверхности к вершине конуса.
Второе требование означает, например, что цилиндрическая оболочка
должна быть замкнута, так как прямолинейные края открытой оболочки
являются асимптотическими линиями искажения. Ниже, в разделах, посвя-
посвященных цилиндрическим оболочкам, выясняется, что первое требование
является необходимым: для длинных цилиндрических оболочек уравнения
A0.22.1) или A0.22.5) могут дать ошибочные результаты. Будет установлено
также, что второе требование самостоятельного значения не имеет и сводится
к первому. Так, например, открытую цилиндрическую оболочку можно
рассчитывать при помощи обсуждаемых уравнений, пока эта оболочка ко-
короткая.
§ 24. Приближенная теория напряженных состояний
с большой изменяемостью
Обратимся к случаю, когда нарушается третье условие применимости
метода расчленения (§ 9.13), т. е. к случаю, когда искомое напряженное
состояние имеет большую изменяемость, и покажем, что для приближенного
исследования таких напряженных состояний снова остаются в силе разре-
разрешающие уравнения A0.22.1) или A0.22.5) и расчетные формулы A0.22.7),
A0.22.8), какова бы ни была подъемистость оболочки.
На непологой поверхности, вообще говоря, нельзя установить почти
плоскую систему координат, а следовательно, неравенство A0.21.1) теряет
силу. Тем не менее отбрасывание в уравнении F.43.32) слагаемых, содержа-
содержащих гауссову кривизну К, остается законным, так как речь идет о напряжен-
напряженном состоянии с большой изменяемостью, в котором искомые величины уве-
увеличиваются по модулю при дифференцировании. Отсюда следует, что в пра-
правой части равенства F.43.32) второе и третье слагаемые в скобках малы по
сравнению с первым, а в левой части F.43.32) первое слагаемое превышает
второе. Конечно, последняя часть высказанного утверждения основана на
предположении, что | V | не может существенно превышать | W\. При помощи
простых, но кропотливых рассуждений, на которых мы не будем останавли-
останавливаться, можно убедиться в справедливости этого предположения. Более
того, выясняется, что | W\ существенно больше, чем | V\.
Далее, следует убедиться, будут ли удовлетворяться неиспользованные
при выводе F.43.32) первое и второе уравнения равновесия, а также первое
и второе уравнения неразрывности деформаций. Для этого, не останавли-
останавливаясь на подробностях, которые можно найти, например, в [50], примем,
что предположения 1, 2, сформулированные в § 10.22 для пологих оболочек,,
остаются правильными и для приближенного исследования напряженных
состояний с большой изменяемостью, и будем считать, что выполняются
равенства A0.22.9). Тогда вопрос о выполнении первых двух уравнений
равновесия сведется к рассмотрению равенств A0.22.10). Они получены в ре-
результате применения формул A0.22.7). Следовательно, выражения, стоящие
в правых частях равенств и содержащие только первые производные от с,
получились в результате взаимного сокращения слагаемых, содержащих
третьи производные от с. Это значит, что правые части A0.22.10) надо счи-
считать приближенно равными нулю. Отсюда вытекает, что расчетные формулы
A0.22.7) не противоречат первым двум уравнениям равновесия. Так же дока-
доказывается двойственное по статико-геометрической аналогии утверждение,
что расчетные фомулы A0.22.8) не противоречат первым двум уравнениям,
неразрывности деформаций.
Итак, разрешающими уравнениями A0.22.1) или A0.22.5) и расчетными
формулами A0.22.7), A0.22.8) можно пользоваться также и при расчете

S 241 НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ 147
оболочек любой подъемистости, если в них возникает напряженное состоя-
состояние с большой изменяемостью.
Равенства A0.22.5) были первоначально выведены как уравнения поло-
пологих оболочек, и их часто называют разрешающими уравнениями теории
пологих оболочек, независимо от того, для каких целей они предназначены.
Такая терминология не способствует правильному пониманию сущности воп-
вопроса. Мы будем называть уравнения A0.22.5) в разных случаях по-разному,
в частности, они будут здесь называться и разрешающими уравнениями тео-
теории напряженных состояний с большой изменяемостью. Остановимся на
специфике этих теорий.
Особенность расчета пологих оболочек заключается в том, что на средин-
срединной поверхности надо выбирать криволинейные координаты так, чтобы
выполнялось сильное неравенство A0.21.1).
Особенность теории напряженных состояний с большой изменяемостью
заключается в том, что при ее построении было использовано свойство боль-
большой изменяемости того напряженного состояния, которое мы собираемся
находить. Это свойство можно использовать и при интегрировании A0.22.5).
В § 8.10 было показано, что при построении простого краевого эффекта
(обладающего большой изменяемостью по ах) в первом приближении допу-
допустимо пренебречь переменностью коэффициентов по at. Равным образом,
если речь идет о напряженных состояниях с большой изменяемостью по обеим
переменным, то коэффициенты уравнений A0.22.5) можно в первом прибли-
приближении рассматривать как константы по ах, а2. С другой стороны, когда
строятся напряженные состояния с большой изменяемостью, надо следить,
чтобы интегралы уравнений A0.22.5) действительно обладали этим свой-
свойством, а интегралы, не имеющие большой изменяемости, надо отбрасывать
(либо ставить заново вопрос об их законности).
Последнее утверждение можно пояснить следующими рассуждениями.
Уравнения A0.22.5) сохраняют силу и в теории простого краевого эффекта.
Тогда в них надо положить Z = 0, а в формулах для ДиДяв первом прибли-
приближении можно отбросить все производные от искомых величин, кроме стар-
старших производных по а х- В результате получим систему
1 д*с 2Eh3 I d*w _ n
AlR22 да\ 3A-v») A\ да\ '
A\R22 да\ +
Она в рамках той же точности приводится к одному уравнению
1 dsw . 3A — v2) _1_ а4ш _ 0
которое, в частности, имеет такие решения:
Во («a), Bi(a2)ai, 62(^2) a?, B3(a2)ai
(В,- — произвольные функции). Однако эти решения незаконны, так как
они не обладают большой изменяемостью по а-,. От них можно избавиться,
отбросив символический множитель -тг -^ ¦ В результате мы вновь придем
к разрешающему уравнению теории простого краевого эффекта (8.10.9).
Уравнения A0.22.5), как уже говорилось, можно использовать и при
расчете цилиндрических оболочек. Особенность такого истолкования этих
Ю*

148 пологие оболочки, состояния с большой изменяемостью [гл. ю
уравнений заключается в требовании, чтобы цилиндрическая оболочка не
была слишком длинной.
В заключение отметим, что все обсуждаемые здесь факторы могут уси-
усиливать друг друга. Например, напряженно-деформированное состояние
пологой оболочки может иметь большую изменяемость. Тогда уравнения
A0.22.5) будут «вдвойне справедливы», т. е. точность их повысится. Если
изменяемость не мала, то эти уравнения можно применять и к не слишком
пологим оболочкам. Если оболочка не слишком подъемиста, то A0.22.5)
будут иметь силу и в том случае, когда большая изменяемость не очень
сильно выражена. Равным образом надо учитывать, что срединная поверх-
поверхность оболочки может иметь малую гауссову кривизну (например, в почти
цилиндрической бочкообразной оболочке). Для такой оболочки требования
к пологости и к изменяемости напряженного состояния также смягчаются
11571.

ГЛАВА 11
ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ
ИСКАЖЕНИЯ
§ 25. Обобщенные краевые эффекты
Под простым краевым эффектом подразумевается (§ 8.9) местное напря-
напряженное состояние, возникающее вблизи неасимптотической линии иска-
искажения. Требование, чтобы линия искажения была неасимптотической, т. е.
нигде не касалась асимптотических линий срединной поверхности, оказалось
существенным с математической точки зрения, так как разрешающее уравне-
уравнение простого краевого эффекта (8.10.9) теряет силу в тех точках, где R2z
обращается в бесконечность. Введем теперь понятие об обобщенном краевом
эффекте, под которым будем подразумевать напряженное состояние, локали-
локализованное вблизи асимптотической линии искажения, т. е. вблизи контура,
всюду совпадающего с одной из асимптотических линий срединной поверх-
поверхности [48].
Предполагается, что обобщенный краевой эффект затухает при уда-
удалении от линии искажения, следовательно, по соответствующей переменной
он имеет большую изменяемость. Поэтому примем, что обобщенные краевые
эффекты можно изучать при помощи приближенной теории напряженных
состояний с большой изменяемостью, т. е. исходя из однородного разрешаю-
разрешающего уравнения A0.22.1)—A0.22.4). Перепишем его еще раз в развернутом
виде:
I / д А2 д д At д \ \ / д А2 dW д Аг dW \
АХА2 \ дах Ах дах ' да2 А2 да2 / АХА2 \ даг Аг даг ' да2 А2 да2 )
1 dW д| № .
i 1/3A—у2) 1 Г д Л2 1
V № АгА2 L дах Ах R
at + да2 R12 даг
=0'
Замечание. Строго говоря, для вывода уравнения A1.25.1) было использовано свойство
быстрой изменяемости по обеим координатам. Поэтому высказанное предположение надо
было бы обосновать, но мы не будем на этом останавливаться и сошлемся на тот факт, что оно
выдержало проверку в применении к теории простого краевого эффекта (§ 10.24).
Обсуждение обобщенных краевых эффектов мы начнем со случая,
когда кривизна срединной поверхности отрицательна, и выберем криволи-
криволинейные координаты так, чтобы то семейство асимптотических линий, к кото-
которому принадлежит интересующий нас контур, совпало с линиями осх = const.
При этом будет справедливо равенство #22 = оо (так как нормальная
кривизна поверхности вдоль асимптотической линии равна нулю по опреде-

150 оболочки с асимптотическими линиями искажения [гл. и
лению). Вместе с тем гауссова кривизна поверхности выражается форму-
формулой A.7.1), из которой следует, что если одна из координатных линий сов-
совмещена с асимптотической линией, то Ri2 и R12 обращаются в бесконечность
только тогда, когда /С = 0. Итак, для оболочек отрицательной кривизны
можно принять
#22 = оо, R12 ф оо.
При таком выборе параметров аи а2 комплексная функция W для иско-
искомого напряженного состояния должна существенно увеличиваться при ди-
ференцировании по av Что касается дифференцирования по а2, то оно либо
вовсе не должно увеличивать абсолютные значения W, либо должно приво-
приводить к менее значительному увеличению, чем дифференцирование по аг.
Поэтому, так же как это делалось в § 8.10, все величины, кроме искомых,
можно рассматривать как не зависящие от аг. Учитывая все это и отбрасы-
отбрасывая в уравнении A1.25.1) все члены, кроме главных, получим:
1 ачг .-./3(i-v2) i / а ^_ j а_\ air_e0
А* да\ ' h* А1А2 \ За2 #12 #12 5а2 / да1 '
или после однократного интегрирования по аг:
L.*+*z.-JL) W = Q. A1.25.2)
..j -..j - °°2 "-12 2 "а2 /
Это соотношение и является разрешающим уравнением обобщенного краевого
эффекта в оболочке отрицательной кривизны.
Перейдем к обобщенному краевому эффекту в оболочке нулевой кри-
кривизны. Чтобы удобнее было сопоставлять получаемые результаты с теми,
которые приводятся в литературе, сделаем предположение, что срединная
поверхность отнесена к линиям кривизны таким образом, что в бесконечность
обращается главный радиус кривизны Rt. Это значит, что теперь асимпто-
асимптотическими будут «j-линии, а линия искажения будет задаваться уравнением
а2 = а,0. Поэтому при упрощении уравнения A1.25.1) можно пользоваться
тем, что W будет существенно увеличиваться при дифференцировании по а2
и сохранять порядок своей величины или увеличиваться не столь значительно
при дифференцировании по ах. Следовательно, все функции, кроме W,
можно считать не зависящими от а2. Кроме того,
Учитывая все это, легко найти в уравнении A1.25.1) главные члены и,
отбросив все остальные, написать разрешающее уравнение обобщенных крае-
краевых эффектов в оболочке нулевой кривизны. Оно имеет вид
) 1 д Л2 1 0W
-1/3A
У
да,
Обобщенный краевой эффект в оболочке отрицательной кривизны мало
изучен, и в дальнейшем о разрешающем уравнении A1.25.2) будут высказы-
высказываться лишь некоторые общие соображения. Разрешающее уравнение
A1.25.3) обобщенного краевого эффекта в оболочке нулевой кривизны мы
рассмотрим более детально.
Будем считать, что комплексная величина W, удовлетворяющая уравне-
уравнению A1.25.3), известна (а следовательно, известны нормальный прогиб w
и функция напряжений с), и выразим через них усилия и моменты оболочки.
Для этого можно исходить из расчетных формул A0.22.7), A0.22.8) теории
напряженных состояний с большой изменяемостью. Учитывая, что в рас-
рассматриваемом случае дифференцирование искомых функций по а2 приводит

S 25] ОБОБЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ ]5J
к более существенному увеличению, чем дифференцирование по ах, их
можно упростить еще больше и записать так:
__ _1 д 1 dw . 1 дАх dw _ I дЧ>
Ki - ах да, -j;-щ; + АхА\ -5^^' ** ~ ~д да*'
т== 1 JL »*Lf (Ц.25.4)
т —_L_E!i т — —L_^ \
1 ~ А\ да\ ' 2 ~ А да, А,
А\ да\ ' 2 Ai dai At dai ^ AXA\ da2 ^«2 '
о о . 1 о 1 дс
21"~ 1г ~ л7 "аа7 Гл7 ^«Г
(вторые производные по ах не считаются малыми по сравнению с первыми
производными по а2).
Из этих формул вытекает, между прочим, что обобщенный краевой
эффект в оболочке нулевой кривизны обладает свойствами, выражаемыми
сильными неравенствами:
7\»Т2, х,»х*. A1.25.5)
Рассмотрим теперь соотношения упругости F.44.6). Учитывая A1.25.5),
их можно упростить и записать так:
2Eh3
3A-v«) A\ до% *
н — w — a i аш
л 2i - я„ - з A + v) —^ ^ A^ dai . A1.25.7)
Из равенств A1.25.6) вытекает, что
ех = —-Ь-> ©. A1.25.8)
Вместе с тем компоненты тангенциальной деформации связаны с перемеще-
перемещениями формулами G.1.5), которые при Rtl = оо и /?22 = R2 имеют вид
1 дих 1 дА, 1 ди2 I дА2 w
(Н.25.9)
" л, аа
Здесь в выражения для е2 и со входят слагаемые, заведомо большие, чем
любое слагаемое в выражении для elf так как
А\ <L_ ( Jh_ W _J_ ±tL 1 ди2
A2 да2 К Л, / " Л, да, ' Л2 да2 " At
*'
A2 да2 *
Это не будет противоречить соотношениям A1.25.9) только в том слу-
случае, если в правых частях последних двух формул A1.25.9) взаимно уничто-
уничтожатся главные члены. Отсюда вытекает, что в рамках той точности, с кото-

152 оболочки с асимптотическими линиями искажения [гл. и
рой строится теория обобщенного краевого эффекта, вместо второй и третьей
из этих формул надо написать равенства
1 ди^ i__ ал, ш_ _ „
Л да "г" АХА да! х R
Л2 да2
А2 да2 \ Л,
(П.25.10)
которые при приближенных вычислениях означают, что в левых частях про-
происходит взаимное уничтожение главных членов.
В соотношениях A1.25.10) величину w надо считать известной, и мы
получаем два уравнения для определения иг и ы2.
Остается определить перерезывающие усилия. Для этого могут быть
использованы моментные уравнения равновесия G.1.8), G.1.9). Порядок
величин, входящих в левые части этих равенств, можно установить с помощью
формул A1.25.7). Пользуясь этим и оставляя только главные члены, получим
П*~ А1 да, Л2 да2 + АгА, да, <Ul °2'' П* ~ A, ~da^'
Отсюда после простых преобразований приходим к окончательным фор-
формулам:
3(l-v2) A1 da, A2
§ 26. Свойства простых и вырожденных
краевых эффектов
Представим комплексное разрешающее уравнение обобщенного крае-
краевого эффекта в оболочке нулевой кривизны A1.25.3) в виде системы двух дей-
действительных уравнений. Для этого надо раскрыть смысл комплексной пе-
переменной W и приравнять нулю в отдельности действительную часть и коэф-
коэффициент при мнимой части в полученном уравнении. Это приведет нас к си-
системе
1 а л2 1 дс 2еи.3 1 а4© „
АХА2 ~dali~Aj~R2' ~да~^ ~ 3 A — v2) ~Ж &4 ~ '
A1.26.1)
1 а Л, 1 дт , 1 1 а4с _
Л Л ^fv Л D s^sv I О J* tf л 4- ^ Л. )
jA2 OWj Ax K2 OUj ZCn A* QqQ
в которой, как и раньше, все коэффициенты можно рассматривать как ве-
величины, независящие от а2. Пользуясь этим, легко исключить неизвестное с
и получить одно уравнение относительно w. Продифференцируем первое ра-
равенство A1.26.1) четыре раза по а2 и разделим на А\. Получим уравнение
1 а л. 1 а / д*с
_ Q
3A-v2) A\ da*
в котором с легко исключается при помощи второго равенства A1.26.1),
и после очевидных преобразований будем иметь искомое уравнение
^fr + ^V^H. <1L26-2>
где
г / \ _ ' д А2 I д А% д А2 1 dw /11 9fi Ч\
4 Щ ~ ~A^aJ ^Г X ~Rl да- ~А~ да-^^-д^- (И "*>•*'

§ 26 J СВОЙСТВА ПРОСТЫХ И ВЫРОЖДЕННЫХ КРАЕВЫХ ЭФФЕКТОВ J53-
Так же можно преобразовать и разрешающее уравнение A1.25.2) обоб-
обобщенного краевого эффекта в оболочке отрицательной кривизны. Оно приво-
приводится к следующей действительной системе двух уравнений:
1 / д с 1 дс \ 2Eh3 I d3w _ „
+ ) ^ -Ц ~ и'
L_^!? —n (ll.26.4)
Исключим отсюда неизвестное с учитывая, что все коэффициенты урав-
уравнений можно рассматривать как функции одного а2. Продифференцировав
первое равенство три раза по ах и разделив его на А\, получим уравнение
1 / _д 1_ 1 д_ \ д3^ _ 2Eh3 J_ dhv- _ „
А\А2 \ да2 /?и + Ж7 да2 ) ^ 3 A -v«) A\ да\ ~ '
в котором третью производную от с по ах легко выразить из второго равен-
равенства A1.26.4). Это позволяет после очевидных преобразований записать
искомое уравнение так:
1 Л> з A -у2) г ( , _ 0 П1 2fi ^
где
Т (Ш\ - ' ( д 1 , ' д \ А* ( д W 4- ' dW \ (\ 1 26 6^
Сравним теперь уравнения A1.26.2) и A1.26.5) с разрешающим уравне-
уравнением (8.10.9) простого краевого эффекта. Во всех трех уравнениях в левых
частях стоят по два слагаемых, из которых второе имеет большой коэффи-
коэффициент, пропорциональный /Г2. Для того, чтобы уравнения выполнялись,
величины
должны быть равны по модулю соответственно
П. /<22
Здесь L2 и L4 — операторы второго и четвертого порядков, определяе-
определяемые формулами A1.26.3) и A1.26.6), но, отвлекаясь пока от этого обстоя-
обстоятельства, будем рассматривать L4 и L2 как множители при до, значения кото-
которых соизмеримы с /г°. Тогда можно утверждать, что решение уравнения
A1.26.2) должно увеличиваться при дифференцировании по а2, а решения
уравнений A1.26.5) и (8.10.9) должны увеличиваться при дифференцирова-
дифференцировании по ах. В A1.26.2) считается, что линией искажения является a2=const,
а в A1.26.5) и (8.10.9) считается, что линией искажения является
ах = const, поэтому во всех случаях речь идет о большой изменяемости в на-
направлении, перпендикулярном к линии искажения. Однако здесь есть и важ-
важное различие: увеличение одинакового порядка в простом краевом эффекте
должно достигаться в результате четырехкратного дифференцирования,
а в обобщенном краевом эффекте — в результате восьмикратного или шести-
шестикратного дифференцирования соответственно. Отсюда заключаем, что быст-
быстрее всех затухает простой краевой эффект, следующим по быстроте затуха-
затухания идет обобщенный краевой эффект в оболочке отрицательной кривизны и,
наконец, обобщенный краевой эффект в оболочке нулевой кривизны.

154 оболочки с асимптотическими линиями искажения [гл. и
Вернемся теперь к структуре величин A1.26.8). В простом краевом эф-
эффекте она пропорциональна w. Отсюда следует, что быстрота затухания про-
простого краевого эффекта стабильна, не зависит от характера изменения w
вдоль линии искажения (по переменной а2). В обобщенных краевых эффектах
вместо w мы имеем дифференциальные выражения A1.26.3) или A1.26.6).
Их абсолютные значения могут существенно зависеть от закона изменения w
по аг или а2, т. е. вдоль линии искажения. Поэтому быстрота затухания
-обобщенных краевых эффектов нестабильна; она существенно связана с из-
изменяемостью искомых функций вдоль линии искажения. Если w увеличи-
увеличивается при дифференцировании по а2 или аг, т. е. имеет большую изменяемость
вдоль линии искажения, то увеличится и быстрота затухания обобщенного
краевого эффекта. Наоборот, если w таково, что приближенно выпол-
выполняется уравнение
?4(ш) = 0 A1.26.9)
или уравнение
L1(a») = 0, A1.26.10)
то быстрота затухания обобщенного краевого эффекта уменьшится, а если
точность выполнения уравнений A1.26.9) или A1.26.10) станет достаточно
большой, то может случиться, что затухания вообще не будет. В этом случае
краевой эффект утеряет свое основное свойство, и мы будем его называть
вырожденным.
Уравнения и формулы §§ 11.25, 11.26, не имеют силы для вырожден-
вырожденного краевого эффекта, так как под этим подразумевается напряженное со-
состояние, изменяемость которого мала по обеим переменным, и для него ста-
становится неоправданным предположение о возможности исходить из разре-
разрешающего уравнения напряженных состояний с большой изменяемостью.
Отметим в заключение, что все рассуждения и выводы этого параграфа
имеют качественный и несколько расплывчатый характер. Более определен-
определенное описание обсужденных здесь свойств краевых эффектов можно найти
в § 12.30.
§ 27. Обобщение метода расчленения
Вернемся снова к разрешающим уравнениям краевых эффектов (8.10.9),
A1.26.2), A1.26.5) и заметим, что по переменным, соответствующим движе-
движению по перпендикуляру к линии искажения, порядки этих уравнений раз-
различны.
Для простого краевого эффекта, т. е. для уравнения (8.10.9), порядок
равен четырем, и на примерах, разобранных в §§ 9.15—9.17, было пока-
показано, что за счет простого краевого эффекта можно устранить невязки в двух
граничных условиях.
Для обобщенных краевых эффектов, т. е. для уравнений A1.26.2) и
A1.26.5), эти порядки равны шести и восьми соответственно. Поэтому по
аналогии заключаем, что за счет обобщенных краевых эффектов можно устра-
устранить невязки в трех граничных условиях для оболочки отрицательной кри-
кривизны и в четырех граничных условиях для оболочки нулевой кривизны.
Это полностью согласовывается с числом граничных условий, которые
можно выполнить при решении уравнений безмоментной теории. Если край
неасимптотический, то решение безмоментных уравнений можно подчинить
двум условиям, а невязку в двух оставшихся условиях ликвидировать за счет
простого краевого эффекта. Если край проходит вдоль асимптотической ли-
линии на поверхности отрицательной кривизны, то эта линия является одно-
однократной характеристикой как для статических, так и для геометрических
7равнений безмоментной теории (§§ 7.4, 7.5), и значит, она есть двухкратная

5 28] ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ J55
характеристика полной системы безмоментных уравнений. На двух таких
краях при решении полной краевой задачи безмоментной теории можно
ставить только по одному граничному условию, но за счет обобщенного кра-
краевого эффекта можно ликвидировать невязки в трех оставшихся уравнениях.
Наконец, если край проходит вдоль асимптотической линии на поверхности
нулевой кривизны, то это будет двухкратная характеристика и статических,
и геометрических уравнений безмоментной теории. В рамках последней на
таких краях вообще нельзя ставить граничных условий. Невязки получатся
во всех четырех граничных условиях, и их надо ликвидировать за счет обоб-"
щенного краевого эффекта.
Таким образом, метод расчленения напряженного состояния формально
можно трактовать шире, чем это делается в § 9.13, включив в область его
применимости и случаи, когда линии искажения проходят вдоль асимптоти-
асимптотических линий срединной поверхности (при этом все условия применимости
метода расчленения § 9.13, кроме первого, останутся в силе). О; :..iko инте-
интегрирование разрешающих уравнений A1.26.2) и A1.26.5) не так элементарно,
как интегрирование уравнения (8.10.9), что снижает эффективность таких
видоизменений метода расчленения.
Тем не менее этот приближенный метод удалось применить к расчету
оболочек отрицательной кривизны [111, 187]. Для оболочек нулевой кри-
кривизны произволы основного напряженного состояния не могут быть исполь-
использованы для выполнения граничных условий на асимптотических краях, и
метод расчленения сводится к предположению о возможности составить на-
напряженно-деформированное состояние оболочки из обобщенных и простых
краевых эффектов. В §§ 11.29, 12.32 мы увидим, что методы В. 3. Власова
и В. В. Новожилова можно трактовать как некоторые видоизменения такого
варианта метода расчленения (в них дополнительно предполагается, что
можно игнорировать простые краевые эффекты).
§ 28. Поверхности нулевой гауссовой кривизны
Обращаясь к изложению приближенных методов расчета цилиндричес-
цилиндрических оболочек, начнем с рассмотрения некоторых геометрических вопросов.
Выберем в пространстве систему ортогональных декартовых коорди-
координат х, у, г. Тогда произвольный цилиндр с образующими, параллельными
оси х (рис. 18), может быть задан в криволинейных координатах тремя ска-
скалярными уравнениями:
или одним векторным уравнением:
М = ajx + у (а2) iy + 2 (eg t2 A1.28.1)
(?t. iy, iz — орты выбранной системы де-
декартовых координат).
Функции у (а2) и г (а2) должны быть
выбраны так, чтобы уравнениями
у = у (об,) 2 = z (о,) A1.28.2) Рис. 18.
задавался контур поперечного сечения цилиндра (направляющая кривая).
В этой системе криволинейных координат о^-линиями будут образующие
цилиндра, а а2-линиями — поперечные сечения цилиндра.
Положение произвольной точки цилиндра М задается значениями па-
параметров ах и а2. Параметр аг равен расстоянию от поперечного сечения,
лежащего в плоскости х = 0, до поперечного сечения, содержащего точку М.
Параметром а2 определяется положение точки М на направляющей кривой.

156
ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ ИСКАЖЕНИЯ
[ГЛ. 11
В частности, под <х2 можно подразумевать и длину дуги направляющей кри-
кривой A1.28.2), отсчитываемой от некоторой начальной образующей до
точки М.
Произвольный конус, вершина которого совпадает с началом декарто-
декартовой системы координат х, у, z (рис. 19), может быть задан тремя скалярными
уравнениями
х = <Xj cos 0, у = аг sin 0 sin a2, z = at sin 0 cosas
или одним векторным уравнением
М = a, cos 0/, -(- 0^ sin 6 sin ajv -\- a, sin 0 cos a2i2,
A1.28.3)
где 0=0 (a2)— функция, зависящая от геометрического очертания конуса.
Заметив, что при этом
х2 + У2 + ^ = «ь -|- =
A1.28.4)
легко выявить геометрический смысл принятой системы криволинейных коор-
координат. В ней с^-линиями (линиями a2=const) будут сечения конуса плоско-
плоскостями, проходящими через ось х, т, е. образующие конуса, а <хг-линиями
(линиями ax=const) будут кривые, по ко-
которым конус пересекается с семейством
сфер, задаваемых первым равенством
A1.28.4). Таким образом, <х2-линии на ко-
конусе в общем случае оказываются неплос-
неплоскими. Исключение представляет только
круговой конус F = const).
В круговом конусе ось х является осью
симметрии конуса, 9 равно половине угла
раствора конуса, ах-линии остаются по-
прежнему образующими, а <х2-линии пре-
превращаются в поперечные сечения, т. е.
в сечения конуса плоскостями, ортого-
ортогональными оси х (рис. 19).
Произвольная точка М на конусе задается значениями параметров ах
и а2, причем аг равно расстоянию от точки М до вершины конуса, а параметр
а2 определяет положение точки М на а2-линии.
Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы. В соответствии
с A1.28.1) и A1.28.3) имеем:
для цилиндра
м, = ix, мг = у' (eg /,+*' К) fc
для конуса
Мj = cos Qix 4- sin Э sin аг1у -\- sin 0 cos ajz,
Мг = — aft' sin Qix -[- o^ (9' cos 9 sin аг -\- sin 9 cos a2) iy -\-
4 «j. @' cos 0 cos a2 — sin 9 sin a2) iz.
Отсюда:
для цилиндра
для конуса
9'2,
A1 A~ ~

$ 28] ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ J57
По формулам главы 1 можно вычислить и коэффициенты второй квадра-
квадратичной формы цилиндра и конуса. Получим:
для цилиндра
т п т от— У'г" — г'У" .
La = 0, Lft = U, LM - Vy,.i + z,2 .
для конуса
г п г _п т — «1 (cos 9 sin2 0 + 29'2 cos2 9 — 9" sin 9)
Следовательно, цилиндр и конус векторными уравнениями A1.28.1)
и A1.28.3) задаются в линиях кривизны, так как в обоих случаях система
криволинейных координат ортогональна (cos % = 0) и сопряжена (L12 = 0).
Кроме того, так как Ln = 0, то можно утверждать, что о^-линии, т. е. обра-
образующие цилиндра и конуса, являются асимптотическими линиями.
Главные радиусы кривизны для поверхностей, отнесенных к линиям кри-
кривизны, подсчитываются по формулам A.5.1), поэтому
для цилиндра
_!__0 1 = у'г"-г'у" 1
A/р — кривизна направляющей кривой);
для конуса
_1_ _ _ 1 _ cos 9 sin2 9 + 29>а cos» 9 — У sin 9
Гауссова кривизна К для обоих видов рассматриваемых поверхностей
будет во всех точках равна нулю.
Кроме цилиндров и конусов, к поверхностям нулевой кривизны принад-
принадлежат так называемые поверхности касательных, представляющие собой
геометрическое место касательных к произвольной пространственной кри-
кривой *). Цилиндром, конусом и поверхностями касательных исчерпываются
все поверхности нулевой кривизны, которые называются также торсами
и развертывающимися поверхностями (последнее название связано с тем, что
эти поверхности и только они могут быть с помощью непрерывных конечных
изгибаний «развернуты» до совпадения с плоскостью). Отнесем произвольную
поверхность нулевой кривизны к линиям кривизны (a1} a2) и найдем, какой
вид при этом будут принимать коэффициенты первой квадратичной формы
и главные радиусы кривизны.
Если, как мы предполагаем, кривизна рассматриваемой поверхности
равна нулю, то одна из величин Rt или #а должна обратиться в бесконеч-
бесконечность. Пусть (как в цилиндре и конусе) /?х = оо. Тогда уравнения Кодацци—
Гаусса A.5.5) примут вид
да, \ R2 ) ~ U> Я8 да
_д_ I _1_ дАг \ ,Л_ ( _i_ Mi \ = О (И .28.5)
йа, \ Аг даг ) ' йа2 \ Л2 5а2 / *
Второе из них показывает, что А х зависит только от аг. Следовательно,
дифференциал длины дуги ах-линии можно записать так:
dst = Л, (a,
. *) К а г а н В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. 1, Гостехиздат, 1947.

J58 ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ ИСКАЖЕНИЯ [ГЛ. II
Функция Аг (ах) зависит от выбора параметра alt и, если за последний
принять длину дуги ocj-линии, т. е. положить al = sb то вновь (как для ци-
цилиндра и конуса) мы получим
При таком значении Аг третье равенство A1.28.5) дает
А2 = АО» (оа) + «i^!) («2). A1-28.6)
а первое равенство A1.28.5) показывает, что
R2 = #<0) (ац) 4- auRp (ова). A1.28.7)
Таким образом, если соответствующим подбором параметра аг коэффи-
коэффициент А, первой квадратичной формы поверхности нулевой кривизны обращен
в единицу, то второй коэффициент этой квадратичной формы А2 и отлич-
отличный от бесконечности главный радиус кривизны R2 будут линейно зави-
зависеть от а.
В частных случаях Af^ и А^ могут обращаться в нуль (не одновре-
одновременно). При этом, как было показано выше, для цилиндра
а для конуса
§ 29. Приближенные методы расчета
цилиндрических оболочек
В § 11.26 было установлено, что обобщенный краевой эффект в оболочке
нулевой кривизны может при некоторых обстоятельствах выродиться.
При этом он утеряет свойство быстро затухать при удалении от породившей
его асимптотической линии возмущения, и вследствие этого станут незакон-
незаконными уравнения и формулы §§ 11.25, 11.26. В связи с этим мы изложим здесь
еще один приближенный метод расчета цилиндрических оболочек, который,
как выяснится ниже, сохраняет силу и в случае, когда в оболочке возникает
вырожденный обобщенный краевой эффект.
Выпишем дифференциальные уравнения цилиндрической оболочки.
Они получаются из уравнений произвольной оболочки, отнесенной к линиям
кривизны, если в последней положить
Л] = 1, Аа = В, Ri = Rii = oo, Ra = R A1.29.1)
и считать, что величины В и R зависят только от а2.
Запишем получающиеся при этом уравнения, введя в них дополнительные
условные множители /ь /2, /8J4 (они будут использованы ниже, а пока надо
считать, что ]г = }2 = /3 = /4 = 1).
(а) Уравнения равновесия F.44.1)
дТг 1 dSlt у п 1 дТ2 dS2r
да., + ~Т д(ц z~u- 'з da,

S 29] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 159"
(б) уравнения неразрывности деформаций F.44.2)
д*2 LJl__n — — I- —(г— i —\— ?1 -О
даг В дсц и> В д(ц д^ \ И 2R ) R ~ *
/з daj 2 8 fcI+tl~ U> dotj В да* 2 "Г"fea ~~U>
(в) уравнения состояния F.44.6)
= 71! — UvTt, 2EhE2 = ДГ, — vTit
ЕЫ = A + v) Sgl = A + v) Slg, A1.29.4)
3A
Эти уравнения мы будем упрощать, основываясь на следующих пред-
предположениях, представляющих собой несущественно видоизмененные гипо-
гипотезы, сформулированные В. 3. Власовым [26, 27].
Предположение 1. Справедливы сильные неравенства
Тг^Т2, к^щ, A1.29.5)
в силу которых в уравнениях состояния можно отбросить Т2 и кг по сравне-
сравнению с 7\ и к2, соответственно.
Предположение 2. Справедливы сильные неравенства
5„»-^-, т»-йг, A1.29.6)
в силу которых в шестом уравнении равновесия можно пренебречь слагае-
слагаемым H12/R по сравнению с S21, а во втором уравнении неразрывности де-
деформаций — слагаемым со/2# по сравнению с т.
Предположение 3. В четвертом уравнении равновесия можно отбросить
слагаемое, содержащее Я21, а в четвертом уравнении неразрывности дефор-
деформаций — слагаемое, содержащее со.
Предположение 4. В третьем уравнении равновесия можно отбросить сла-
слагаемое с Nlt а в третьем уравнении неразрывности — слагаемое с ?2-
Нетрудно проверить, что предположения 1, 2, 3, 4 соответственно экви-
эквивалентны утверждению, что в уравнениях A1.29.2)—A1.29.4) можно поло-
положить
/i = 0, yi==0, /з = 0, п = 0. A1.29.7)
Будем преобразовывать систему A1.29.2)—A1.29.4), A1.29.7). В ней
девять неизвестных Ти S2l, Slg, elt со, еа, ?,i, ?2. «i можно выразить через
произвольную функцию t таким образом, что будут тождественно удовлетво-
удовлетворяться: первое и шестое уравнения равновесия, первые три уравнения со-
состояния и последние три уравнения неразрывности деформаций. Соответ-

J5Q ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ ИСКАЖЕНИЯ (ГЛ. 11
¦ствующие формулы, которые легко проверить непосредственной подстанов-
подстановкой, имеют вид:
k = -lf-!~, (П.29.8)
JL
Оставшиеся неизвестные х2, т, Gb G2, #21, #12, JVj, N2, T2 можно вы-
выразить через другую произвольную функцию т так, что будут тождественно
удовлетворяться первое уравнение неразрывности, последние четыре урав-
уравнения состояния, третье, четвертое и пятое уравнения равновесия. Соот-
Соответствующие формулы аналогичны A1.29.8) и имеют вид
/t2 v дт сft2 I dm
J~ 3A—v2) S За,1 г~ 3A— v2) В dot '
д. h? I д I dm j, ft8 R д 1 д 1 dm . py
*~ 3A — v2)T 'да^'в"дщу a ~ 3A —v2) Т~дщ~В~ Sa7 ~B ~da^ "*"
Остается выполнить только второе уравнение равновесия и второе урав-
уравнение неразрывности деформаций. Подставляя в них неизвестные величины по
формулам A1.29.8) и A1.29.9), получим систему уравнений для определения
функций t и т. Ее можно записать в виде
да2
A1.29.10)
где использовано обозначение
Назовем A1.29.10), A1.29.11) разрешающими уравнениями теории
В. 3. Власова. Соответствующими им расчетными формулами являются
равенства A1.29.8), A1.29.9). Отметим, что метод В. 3. Власова отличается
от всех изложенных выше приближенных подходов тем, что в нем во втором
уравнении равновесия учитывается усилие N2, а во втором уравнении нераз-
неразрывности деформаций учитывается величина ?i- Как выяснится ниже, об-
областью рациональной применимости метода В. 3. Власова являются доста-
достаточно длинные цилиндрические оболочки (для этого случая он и был предло-
предложен его автором). Для таких оболочек, как уже говорилось, теряют силу пред-
предположения 1, 2 теории пологих оболочек (§ 10.22), т. е. становятся непра-
неправильными утверждения, что можно отбрасывать Nt, N2 в первых двух урав-
уравнениях равновесия, а Zi, ?2 — в первых двух уравнениях неразрывности

29) ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
деформаций. Таким образом, в теории цилиндрических оболочек уравнения
A1.29.10), A1.29.11) и уравнения A0.22.5) естественным образом дополняют
друг друга. Первыми целесообразно пользоваться для длинных цилиндри-
цилиндрических оболочек, а вторыми—для коротких. Более обоснованное обсужде-
обсуждение сформулированных здесь предположений В. 3. Власова, а также свойств
уравнений A1.29.10) будет проведено в следующей главе, а также (для кру-
круговых цилиндрических оболочек) в части V. В этих разделах такие понятия,
как короткая и длинная цилиндрическая оболочка, получают более четкое
определение.
В. В. Новожилов назвал предложенный В. 3. Власовым метод полу-
безмоментной теорией, подчеркивая этим, что в нем сохраняется только часть
моментов, а именно, моменты G2, действующие по поперечным сечениям обо-
оболочки.
Если исследованию подлежит цилиндрическая панель (не слишком длин-
длинная и не слишком короткая цилиндрическая оболочка), то можно восполь-
воспользоваться приближенным методом В. В. Новожилова, который назвал его
упрощенной теорией цилиндрических пластин [92, 120]. Эта теория представ-
представляет собой дальнейшее упрощение теории В. 3. Власова и может быть полу-
получена, если к сформулированным выше гипотезам присоединить следующие
дополнительные предположения.
Дополнительное предположение 1. Во втором уравнении неразрывности
деформаций A1.29.3) можно отбросить слагаемое, содержащее ?х.
Дополнительное предположение 2. Во втором уравнении равновесия
A1.29.2) можно отбросить слагаемое, содержащее N 2.
Дополнительное предположение 3. При дифференцировании по перемен-
переменной а2 во всех уравнениях коэффициенты можно рассматривать как кон-
константы.
Легко проследить, что дополнительные предположения 1 и 2 эквива-
эквивалентны отбрасыванию второго слагаемого в правой части формулы A1.29.11),
задающей вид оператора М. Учитывая дополнительное предположение 3,
этот оператор можно записать так:
M(F) = -?-^. A1.29.12)
Эта формула вместе с равенствами A1.29.10) и определяет систему раз-
разрешающих уравнений метода В. В. Новожилова. Возможна и другая интер-
интерпретация: формулы, и уравнения этого метода эквивалентны соотноше-
соотношениям приближенной теории -невыродившегося обобщенного краевого эф-
эффекта, изложенной в § 11.25. На обосновании этого утверждения мы оста-
останавливаться не будем.
11 А. Л. Гольленгейзер

ГЛАВА 12
ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК
§ 30. Границы применимости приближенных методов
расчета оболочек
Основным приближенным приемом исследования напряженно-деформи-
напряженно-деформированного состояния оболочки можно считать метод расчленения (§§ 9.13—
9.19), во многих случаях вырождающийся в безмоментную теорию (§ 7.3).
На нем, в сущности, базируется большинство практических приемов расчета
оболочек, хотя термин «метод расчленения» обычно и не употребляется.
Вместе с тем, метод расчленения не универсален, так как его применимость
обусловлена целым рядом требований (§9.13). Поэтому, обращаясь к обзору
приближенных методов расчета оболочек, будем поступать так: перебирать
ситуации, не позволяющие применить метод расчленения, и обсуждать воз-
возможность заменить его в этом случае каким-либо другим приближенным ме-
методом, основанным на особенностях разбираемой ситуации.
Одно из условий применимости метода расчленения заключается в тре-
требовании, чтобы изменяемость искомого напряженного состояния была не
слишком велика. С него мы и начнем намеченное обсуждение.
Рассмотрим4 равенство
Ф = ц>(аи аъ)екИа1>а1\ A2.30.1)
в котором k — большая константа, а ф и / — функции, имеющие «среднюю»
изменяемость, т. е. такие, что модули их производных не слишком малы
и не слишком велики по сравнению с модулем соответствующей первообраз-
первообразной функции (напомним, что, как говорилось в § 9.13, об изменяемости функ-
функций можно судить, сопоставляя абсолютные значения самой функции и ее
производных).
; Продифференцируем A2.30.1) по некоторому направлению у и, учитывая
свойства величин k, f, ф, напишем
Отсюда следует, что в общем случае дифференцирование функции вида
A2.30.1) сводится, грубо говоря, к помножению ее на величину порядка
О (k). Исключение представляет случай, когда точно или приближенно вы-
выполняется равенство
|?~0. , . A2.30.2)
Основываясь на этом, будем говорить, что функции вида A2.30.1) при больших
k имеют большую однородную изменяемость, и заметим, что могут существо-
существовать направления, в которых изменяемость функции Ф становится значи-

$.30] ¦ ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОЙ
тельно меньше. Такие квазистационарные направления проходят вдоль ли-
линий уровня функции /. Им соответствует переменное у, для которого выпол-
выполняется равенство A2.30.2).
В качестве числовой характеристики изменяемости функции Ф можно
принять константу k. Она определит порядок отношения абсолютных вели-
величин, производных от Ф, к модулю самой функции Ф во всех точках, где k,
f, ф имеют оговоренные выше свойства. Однако в теории оболочек удобнее
пользоваться для этого показателем изменяемости, т. е. числом t, определяе-
определяемым формулой
k = h~\ A2.30.3)
где h^ — безразмерная полутолщина оболочки, равная отношению полу-
полутолщины к характерному радиусу кривизны оболочки. Смысл / можно по-
пояснить на следующем примере. Если h^ — 0,001, а / = 1/3, то изменяемость
функции вида A2.30.1) будет такой, что при каждом дифференцировании в на-
направлении, отличном от квазистационарного, функции Ф будут приобретать
множитель порядка /цг1/3, т. е., грубо говоря, увеличиваться на порядок
(в 10 раз).
Изменяемость функции в квазистационарном направлении надо харак-
характеризовать другим числом, а именно, если приближенное равенство A2.30.2)
означает, что
~ду
то изменяемость Ф можно охарактеризовать константой k! = khat или числом
t', которое можно ввести при помощи формулы
В дальнейшем, в тех случаях, когда надо подчеркнуть существование ква-
квазистационарных направлений, мы будем называть t общим показателем'
изменяемости, at' — частным показателем изменяемости (f < t).
Формулой вида A2.30.1), при тех ограничениях, которые были нало-
наложены на k, f, ф, охватывается широкий, но далеко не всеобъемлющий класс
функций. Последние могут, в частности, быть неоднородными по изменяе-
изменяемости. Вместе с тем, практически любую функцию, определяющую внешние
воздействия (кроме сосредоточенных), и вызванное ими напряженно-дефор-
напряженно-деформированное состояние можно, с достаточной точностью, аппроксимировать
при помощи сумм, составленных из выражений вида A2.30.1). Это следует
хотя бы из того, что, положив в A2.30.1)
ф = с, k = ip, f = a1a1-\-a2<x2 (с, р, af, a2 = const, i = V— 1),
мы получим общий член комплексного тригонометрического ряда, и, следова-
следовательно, даже в частном случае обсуждаемую сумму можно рассматривать
как отрезок ряда Фурье, способного аппроксимировать функции весьма
общего вида.
В дальнейших рассуждениях мы ограничимся случаем, когда внешние
воздействия, вызывающие рассматриваемое напряженно-деформированное
состояние, задаются одной величиной В (имеют одну, отличную от нуля ком-
компоненту), которая представляет собой функцию вида A2.30.1). В линейной
теории оболочек это ограничение несущественно: если В есть функция более
общего вида, то ее можно аппроксимировать некоторой суммой функций
вида Ф и каждый член этой суммы рассмотреть отдельно. Так же можно по-
поступить и в случае, если отличны от нуля не одна, а несколько компонент
внешних воздействий. . , ¦
11*

J64 ОВЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК 1гЛ. 12
Итак, зададим В следующим образом:
В = фвк7, A2.30.4)
будем считать, что ф и / определены в некоторой двумерной области (если
это, например, компонента поверхностной нагрузки) или на некоторой линии
(если это, например, краевая сила), под к будем понимать фиксированную
константу и назовем число 9, удовлетворяющее равенству
к = h~\
показателем изменяемости внешних воздействий. В приложении (§§ П. 12,
П. 13) показано, что если внешнее воздействие имеет вид A2.30.4), то поро-
порожденное им напряженно-деформированное состояние оболочки, вообще го-
говоря, имеет вид
R ь s
Р = Е Л» Рр = <V*p4 A2.30.5)
р=0
т. е. составляется как сумма некоторого числа напряженных состояний Рр,
s
каждая компонента которых Рр задается функцией вида A2.30.1), причем
при фиксированном р число k9 и функция /р имеет одинаковый смысл для
Ь S
всех компонент Рр (они отличаются друг от друга смыслом функций фр).
Показано также (§ П. 16), что, если показатель изменяемости 9 удовле-
удовлетворяет соотношениям
п . {1/3 при К ф 0,
9<6'= ,. К „ . A2.30.6)
{ 1/4 при К = 0 v '
(К — гауссова кривизна срединной поверхности), то четыре слагаемых суммы
A2.30.5), которые мы для определенности обозначим через Рд (ц = 1,2, 3, 4),
можно с некоторой степенью приближения найти, исходя из безмоментных
уравнений. Это значит, что Рд соответствуют основному напряженному со-
состоянию. Остальные члены суммы A2.30.5) соответствуют (в случае, когда все
края — неасимптотические) простым краевым эффектам. Таким образом, не-
неравенство A2.30.6) представляет собой условие, которому должен отвечать'
показатель изменяемости внешнего воздействия, чтобы можно было приме-
применять метод расчленения в его простейшем виде.
Для существования простых краевых эффектов требование A2.30.6)
не является необходимым. Его можно заменить менее сильным, не завися-
зависящим от знака кривизны, требованием, выражаемым неравенством
Заметив это, рассмотрим случай, когда показатель изменяемости внеш-
внешнего воздействия заключен в пределах
13**°' A2-30-7>
При таком значении 9 все члены суммы A2.30.5), кроме первых четырех,
будут по-прежнему соответствовать простым краевым эффектам. Напряженно-
деформированные состояния Рц (|а = 1, 2, 3, 4) можно при этом рассматри-
рассматривать как некоторое обобщение основных напряженных состояний. Чтобы
пояснить смысл этого утверждения, заметим следующее. Если компоненты
напряженно-деформированного состояния Рр определяются вторым равен-
равенством A2.30.5) и в нем &р — большое число, то при приближенном определе-

§ 301 ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ
s
нии Рр надо функцию /р определить с повышенной точностью, так как она
содержит большой множитель и входит в показатель степени. Поэтому
высказанное выше утверждение, что при выполнении A2.30.6) можно при-
приближенно построить Рд исходя из безмоментных уравнений, означает, что
этих уравнений достаточно для точного определения fp и приближенного
s
построения фр. Если же вместо A2.30.6) станут справедливы неравенства
A2.30.7), то, как показано в приложении, безмоментные уравнения позво-
позволят определить fp лишь приближенно и будут совсем недостаточны для пост-
построения фр. Таким образом, под обобщенным основным напряженным состоя-
состоянием подразумевается такое напряженное состояние, для которого безмомент-
безмоментные уравнения продолжают управлять качественными свойствами (позво-
(позволяют приближенно определить /р), но уже недостаточны для количественного
s
анализа (не позволяют строить фр).
Итак, в случае, когда показатель изменяемости Э заключен в пределах
A2.30.7), можно применить еще один вариант метода расчленения (кроме
указанного в § 11.27). Он заключается в том, что полное напряженно-дефор-
напряженно-деформированное состояние оболочки ищется в виде суммы обобщенного основного
напряженного состояния и краевых эффектов (последние также могут быть
обобщенными). Обобщенное основное напряженное состояние, как мы ви-
видели, нельзя строить при помощи безмоментных уравнений, но вопроса о том,
чем должны быть заменены эти уравнения, мы разбирать не будем. В § 24.11
показан пример применения обобщенного метода расчленения к расчету
круговых цилиндрических оболочек.
Неравенства A2.30.6) и A2.30.7), как условия применимости простого
или обобщенного методов расчленения, удобны для практического исполь-
использования, так как в них в — показатель изменяемости внешних воздействий —
есть число, которое можно считать известным из условий задачи. Надо, од-
однако, помнить, что мы существенно опирались на предположение об одно-
однородной изменяемости внешних воздействий. Как правило, в конкретных
задачах это будет не так, поэтому прежде чем применять критерии A2.30.6)
и A2.30.7), надо в общем случае разложить внешние воздействия на однород-
однородные (по изменяемости) слагаемые, т. е., например, в случае, когда оболочка
деформируется под действием нормальной поверхностной нагрузки, задавае-
задаваемой компонентой Z, эту величину надо представить в виде
00
а затем расчленить в правой части сумму на три слагаемых
<2)
r=p,+l
таким образом, чтобы к Z(U относились все слагаемые, в которых Э < 9\
а к Z<2> относились все слагаемые, в которых О' <С Э <С 1/2. При этом метод
расчленения и обобщенный метод расчленения будут пригодны для прибли-
приближенного исследования напряженно-деформированных состояний, вызван-
вызванных воздействиями ZA> и ZB) соответственно. Для исследования результата
воздействия Z в целом методом расчленения можно воспользоваться только
тогда, когда ZA) достаточно хорошо аппроксимирует Z; практически это часто
можно установить и не прибегая к разложению внешних воздействий.

Jg§ ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК [ГЛ.12
Если вместо A2.30.6) или A2.30.7) выполняется неравенство
1/2,
то и метод расчленения, и обобщенный метод расчленения станут непригод-
непригодными. В этом случае все члены суммы A2.30.5) будут соответствовать напря-
напряженным состояниям с большой изменяемостью (§ П. 14). Приближенное ре-
решение таких задач можно выполнять, исходя из теории напряженных со-
состояний с большой изменяемостью (§ 10.24).
Итак, по признаку изменяемости внешних воздействий возможны три
приближенных подхода к расчету оболочек: метод расчленения, имеющий
силу при 6 < 6', обобщенный метод расчленения, имеющий силу при 6' <
<С 6 < 1/2, и теория напряженных состояний с большой изменяемостью,
имеющая силу при 0 ;з= 1/2. Надо, однако, заметить, что выделение обобщен-
обобщенного метода расчленения связано с формальными математическими соображе-
соображениями и не является обязательным. Обобщенный метод расчленения можно
рассматривать как частное проявление, теории напряженных состояний
с большой изменяемостью, так как последняя базируется лишь на предпо-
предположении о достаточно большой изменяемости искомого напряженно-дефор-
напряженно-деформированного состояния, а обобщенное основное напряженное состояние
и краевые эффекты этим свойством обладают. Встав на такую точку зрения,
можно считать, что альтернативой метода расчленения по признаку изменяе-
изменяемости является теория напряженных состояний с большой изменяемостью,
но область применимости последней надо определить неравенством
1/4 при К = 0.
Если край (или другая линия искажения) проходит вдоль асимптоти-
асимптотической линии срединной поверхности и 6 < 1/2, то вместо обсужденных выше
методов расчленения надо прибегнуть к методу расчленения, описанному
в § 11.27 и основанному на использовании обобщенных краевых эффектов.
Не имея в виду обсудить все связанные с этим детали, отметим некоторые
обстоятельства, важные при оперировании с обобщенными краевыми эф-
эффектами.
Для определения понятия функции с большой изменяемостью было вве-
введено представление A2.30.1), в котором под k подразумевалась большая
положительная константа. Оно играет важную роль и ниже во всех рассу-
рассуждениях, относящихся к учету влияния большой изменяемости. Поэтому
важно отметить, что формулой A2.30.1) задается широкий класс функций,
поскольку в ней / и <р почти произвольны (ограничены только требованием
«средней изменяемости».). В приложении показана справедливость утвер-
утверждения, выраженного равенствами A2.30.5). Оно означает, что решения
граничных задач, характерных для статической теории оболочек, могут быть
приближенно представлены в виде суммы конечного числа слагаемых вида
A2.30.1). Поэтому можно считать, что понятие функции, имеющей большую
изменяемость, определено с достаточной для интересующих нас задач общ-
общностью.
Значительно труднее ввести определение функций с весьма малой изме-
изменяемостью, с которыми приходится часто иметь дело в теории обобщенных крае-
краевых эффектов. Для этой цели неприемлем, казалось бы, естественный подход:
сохранить представление B0.30.1), но считать, что в нем k весьма мало. Дело
в том, что под функцией с малой изменяемостью надо подразумевать такую
функцию, производные которой по модулю малы по сравнению с ней самой,
а A2.30.1) при малых k таким свойством, вообще, не обладает. Можно пока-
показать (но на этом мы останавливаться не будем), что достаточно общих для

f 30] ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ 167
задач теории оболочек представлений функций с весьма малой изменяе-
изменяемостью и не существует. Поэтому в дальнейшем показатель изменяемости t
будет, как правило, считаться неотрицательным, а в тех случаях, когда при-
придется вводить в рассуждения отрицательный показатель изменяемости, будет
считаться, что это понятие в каждом конкретном случае некоторым образом
уточнено. Это легко сделать для. круговой цилиндрической оболочки, как
будет видно в части V, но для оболочек более сложной формы это сопряжено
с трудностями, на которых мы не будем останавливаться.
Изменяемость обобщенных краевых эффектов имеет свои характерные
черты, качественное описание которых было дано в § 11.26. Количественно
они выражаются формулой
<=-Tqrr. A2.30.8)
в которой t — общий показатель изменяемости, f — показатель изменяе-
изменяемости в квазистационарном направлении, as — удвоенная кратность асим-
асимптотических линий срединной поверхности, проходящих в рассматриваемом
квазистационарном направлении. Равенство A2.30.8) доказывается в § П.10
Приложения при рассмотрении свойств интегралов с заданной характери-
характеристической квазистационарной линией, которыми и определяются обобщенные
краевые эффекты. Оно верно не только для обобщенных краевых эффектов
в оболочках нулевой кривизны (когда надо полагать s = 2) и в оболочках
отрицательной кривизны (когда надо полагать s = 1), но и для простых
краевых эффектов. В последнем случае квазистационарное направление не
проходит вдоль асимптотических линий и надо положить s = 0, что ведет
к уже известному результату: t = 1/2 при любом Г.
Из формулы A2.30.8) видно, что при f = 0, когда изменяемость в квази-
квазистационарном направлении не велика (но и не слишком мала), получаем t =
= 1/4 для оболочки нулевой кривизны и t = 1/3 для оболочки отрицательной
кривизны, в то время как для простого краевого эффекта t — 1/2. Это вполне
согласуется с качественными выводами § 11.26. Из A2.30.8) видно также,
что только при s = 0, т. е. в простом краевом эффекте, общий показатель
изменяемости t не зависит от ?. В обобщенных краевых эффектах t возрастает
вместе с f и при f = 1/2 общий показатель изменяемости t для всех (простых
и обобщенных) краевых эффектов получается одинаковым: t = t' = 1/2,
а при дальнейшем возрастании t понятие о краевых эффектах, как мы знаем,
теряет смысл.
Значительно более сложными являются случаи, когда линии искажения
не проходят вдоль асимптотических линий срединной поверхности оболочки,
а касаются их в отдельных точках. Они встречаются, например, в таких прак-
практически важных задачах, как расчет оболочек неположительной кривизны
с отверстиями. По-видимому, не случайно задача о цилиндрической оболочке
с отверстием получила приемлемое аналитическое решение только в случае,
когда отверстие мало [80].
Разнообразные и трудные проблемы возникают в случаях, когда оболочка
имеет особую или близкую к особой срединную поверхность (§ 9.13). При этом
снова будет нарушено одно из условий применимости метода расчленения,
а единого альтернативного приближенного подхода, по-видимому, не су-
существует. Можно ожидать, что они будут разными, когда различны причины,
по которым срединная поверхность должна считаться особой.
Одним из примеров особых поверхностей является плоскость. Если обо-
оболочка вырождается в пластину, то метод расчленения следует заменить рас-
расчетом по теории изгиба пластинки или по теории обобщенного плоского на-
напряженного состояния. Если оболочка делается пологой, то на смену методу
расчленения приходит приближенная теория пологих оболочек.

168 ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 12}
Совсем иные подходы требуются при расчете торообразной оболочки,
срединная поверхность которой также относится к особым (§ 9.13). Этому
вопросу посвящена обширная литература (см., например, [69, 98, 118, 123,
124, 130, 131, 141, 154]). Мы на нем останавливаться не имеем возможности.
Наконец, особыми или близкими к особым могут быть цилиндрические
оболочки, если их длина достаточно велика. Такие оболочки первостепенно
важны для практических применений, и поэтому мы посвятим им весь сле-
следующий параграф.
§ 31. Приближенные методы расчета
цилиндрических оболочек
Приближенные методы исследования напряженно-деформированного
состояния цилиндрической оболочки мы будем обсуждать, исходя из урав-
уравнений A1.29.10), A1.29.11) и расчетных формул A1.29.8), A1.29.9). Примем
для простоты, что компоненты внешней нагрузки Xlt X2, Z обращаются
в тождественные нули, перепишем A1.29.10), A1.29.11) еще раз:
L
m = -L — A-.JLJ-JL_L_iL J__iL_L i_
В д<х2 В да.г В даг В д<х2 "•" BR da3 В да2
и обсудим физический смысл этих уравнений.
При определенных обстоятельствах, которые выявятся ниже, слагае-
слагаемые, содержащие оператор М, можно отбросить, т. е. заменить A2.31.1)
приближенными равенствами
-^- = 0, ^г = 0. A2.31.2)
Общее решение этих уравнений, очевидно, составляется из двух следую-
следующих решений:
t = to + a1tu m = 0; A2.31.3)
/ = О, т = то-{-а1т1, A2.31.4)
в которых t0, tu т0, тх — произвольные функции независимой переменной
ос2. Тангенциальные усилия, соответствующие A2.31.3), и компоненты из-
гибной деформации, соответствующие A2.31.4), подсчитываются по форму-
формулам A1.29.8), A1.29.9). Положив в них Xv = Х2 = Z ее 0, получим
Т = — Ж- _ JL ^о_4- ai ^i
1 ~ В да? В да2 > В да2 '
dt ' A2.31.5)
п р, 1 din I dttiQ . ctj ^^i
В да, В да2 В да2 A2.31.6)
2?/гт = -^~ = пги 2?/гк, = 0.
Формулы A2.31.5) определяют точное решение однородных статичес-
статических безмоментных уравнений G.4.2), а формулы A2.31.6) определяют точное
решение геометрических безмоментных уравнений G.5.2). В этом можно
убедиться непосредственной подстановкой, при которой надо, конечно, при-
принимать во внимание геометрические свойства цилиндрических оболочек, выра-

§ 31] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
жаемые формулами A1.29.1). Таким образом, вырождение системы A2.31.1)
в A2.31.2) соответствует переходу к уравнениям безмоментной теории, так
как решения A2.31.5), A2.31.6) дают и безмоментное, и чисто моментное на-
напряженные состояния, а из комбинации последних и составляется любое
решение безмоментных уравнений (§ 7.3). Аналогичные свойства были от-
отмечены и при обсуждении уравнений A0.22.5). Вырождение их в уравне-
уравнения A0.23.1) соответствует переходу к уравнениям безмоментной теории.
Однако надо иметь в виду существенную подробность: соответствие A0.23.1}
с уравнениями безмоментной теории — приближенное, в то время как урав-
уравнения A2.31.2) точно эквивалентны уравнениям безмоментной теории.
Выясним условия, при которых решения системы A2.31.2) приближенно-
удовлетворяют исходным уравнениям A2.31.1). Пусть
t = f + f, m = m' + m"
и f, m' представляют собой решение вида A2.31.3). Тогда для поправок t",
т" получится следующая система уравнений:
f| 0, Щ- + М(П= — М(П A2.31.7)
и ответ на поставленный вопрос будет положительным, если среди решений
системы A2.31.7) найдутся такие, в которых /", т" по абсолютным значениям
существенно меньше модулей t', m' соответственно. Постулируя, что t"',.
т" действительно обладают такими свойствами, заменим нулем правую часть-
второго равенства A2.31.7) и заметим, что согласно A2.31.1) оператор М не
содержит производных по а,. Следовательно, считая, что f определяется
первым равенством A2.31.3), где *0, tx есть функции ос2, получаем
Поэтому частный интеграл второго уравнения A2.31.7) можно взять
в виде
и нетрудно убедиться, что ему будет соответствовать следующий частный инте-
интеграл первого уравнения A2.31.7):
A2.31.8)
* ~ 3A—v2)
Далее, очевидным образом можно построить итерационный процесс.
Однако мы не будет входить в его детали и примем грубое предположение, что
погрешности, допускаемые при переходе к системе A2.31.2), можно оценить,
сравнивая правые части равенства A2.31.8) и первого равенства A2.31.3).
В результате условия применимости уравнений A2.31.2) запишутся так:
A2.31.9>
И.Ч*
513A—
рвЛ1Л1
hH*
413A— va)pe
рвЛШ
Здесь под / подразумевается длина оболочки (разность между наиболь-
наибольшим и наименьшим значениями at в рассматриваемой области), а постоянный
множитель р6 введен для того, чтобы сделать безразмерными левые и правые
части неравенств (под р можно, например, подразумевать средний радиус
кривизны поперечного сечения).
Такие же неравенства получатся, если вместо A2.31.3) взять решение
A2.31.4).
Примем, что уравнения A2.31.1) сохраняют силу для любых напряженно-
деформированных состояний, показатель изменяемости которых меньше

J70 ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 12
1/2 (в §§24.7, 24.11 это будет доказано для круговой цилиндрической обо-
оболочки). Тогда можно утверждать, что неравенства A2.31.9) определяют
область применимости безмоментных уравнений в зависимости от длины
цилиндрической оболочки. Они показывают, что в цилиндрических оболочках
погрешности безмоментных уравнений растут не только при увеличении из-
изменяемости (как и должно быть в соответствии с общими результатами
§ 12.30), но также и при увеличении длины оболочки. Последнее обстоя-
обстоятельство объясняется тем, что длинный цилиндр надо рассматривать как осо-
особую срединную поверхность (§ 9.13).
Влияние длины / отражено в неравенствах A2.31.9) явно: обсуждае-
обсуждаемые погрешности растут пропорционально четвертой степени /. Влияние из-
изменяемости по а2 выявляется в структуре правых частей неравенств A2.31.9).
В них в знаменателях содержится дважды повторенный оператор М, который
определяется третьим равенством A2.31.1) и содержит четырехкратное диф-
дифференцирование по а2. Это значит, что если изменяемость функций t0 (а2),
/х (а2) характеризовать величиной
Г
П =
t
(oнaJ^aзьIвaeтcя мерой изменяемости и более подробно обсуждается в § П.13),
то можно условно принять, что
1
р«ММ
рвММ
A2.31.10)
Таким образом, для цилиндрических оболочек погрешность безмомент-
безмоментных уравнений пропорциональна квадрату толщины, четвертой степени длины
и восьмой степени меры изменяемости искомого напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного состояния.
Замечание. Если относительная длина цилиндрической оболочки соизмерима с единицей,
то из сказанного следует, что погрешность безмоментных уравнений будет оцениваться фор-
формулой
Обозначив через 9 показатель изменяемоств искомого напряженно-деформированного состоя-
состояния в поперечном направлении, получим п = Л~". Следовательно,
Отсюда вытекает, что область применимости безмоментных уравнений по изменяемости
Ограничена требованием 9<jV4. вполне согласующимся с неравенством A2.30.6)
Приведем примеры определения области применимости безмоментных
уравнений при помощи неравенств A2.31.9). Ограничимся вторым из них
и примем, что в нем знак сильного неравенства означает требование, чтобы
правая часть была в 10 раз больше левой части. Получим
10
413A—v2)
* (t0)
A2.31.11)
где
* — р » *~~р' *~р4
Считая, что цилиндрическая оболочка имеет круговое поперечное се-
сечение, положим
В = R == р — const, tx = a0cos paa

$31] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
и будем понимать под а2 центральный угол, задающий положение точки на
направляющем круге. Тогда в соответствии с третьим равенством A2.31.1)
получаем
а следовательно, при достаточно большом р в A2.31.11) можно положить
п = р.
Пусть h^ = 0,01 и мера изменяемости функции t0 равна единице. Тогда
из A2.31.11) для максимально допустимой относительной длины оболочки
будем иметь
. 4/413A-у)'
*~ V 10@.01)а
10 @,01 )а
Это значит, что для обеспечения точности, грубо говоря, равной 10% при
расчете по безмоментным уравнениям, нельзя допускать, чтобы длина ци-
цилиндрической оболочки была больше восьми диаметров.
Положив в A2.31.11) /ц = 0,01, 4 = 4, получим п — р «=* 2. Это зна-
значит, что безмоментные уравнения, даже для относительно короткой цилин-
цилиндрической оболочки (представляющей собой в плане прямоугольник 2 : 1),
могут применяться лишь при малой мере изменяемости искомого напряженно-
деформированного состояния. Для обеспечения ориентировочной точности
в 10% надо требовать, чтобы р =s? 2, т. е. при использовании тригонометри-
тригонометрических рядов по а2 можно вычислять гармоники не выше второй.
По поводу рассмотренного примера полезно сделать ряд замечаний.
Цилиндрическая оболочка представляет собой один из самых плохих
объектов для применения безмоментных уравнений, так как, во-первых, ци-
цилиндрическая оболочка имеет нулевую кривизну и для нее ограничение по
изменяемости, выраженное неравенством A2.30.6), оказывается наиболее
сильным; во-вторых, при увеличении длины срединная поверхность цилин-
цилиндрической оболочки становится «почти особой».
Замена средней части равенств A2.31.11) величиной п~3, конечно, очень
грубый прием, тем более, что, как выяснилось, число р оказывается неболь-
небольшим. Для оболочек некругового очертания надо среднюю часть равенств
A2.31.11) оценивать более точно, используя конкретные условия задачи.
Это позволит учесть влияние переменности радиуса кривизны R на область
применимости безмоментных уравнений (вычисления, на которых мы не оста-
останавливаемся, показывают, что для некруговых цилиндрических оболочек
эта область делается еще более узкой).
Наконец, обратим внимание на то, что в настоящем параграфе речь все
время шла о применимости безмоментных уравнений, т. е. о применимости
метода расчленения, но не о безмоментности искомого напряженного состоя-
состояния. Безмоментные уравнения, как уже говорилось, определяют основное
напряженное состояние, т. е. некоторую линейную комбинацию безмомент-
ного и чисто моментного напряженных состояний, и для того, чтобы в ней
господствовало безмоментное напряженное состояние, должны выполняться
дополнительные требования. Они связаны со способом закрепления краев
и будут обсуждаться в части IV. Кроме того, безмоментное напряженное
состояние может выродиться (§ 7.2), и в цилиндрической оболочке это про-
происходит раньше, чем оказывается исчерпанной область применимости метода
расчленения. В этом случае основное напряженное состояние не будет без-
безмоментным при любом способе закрепления краев.

|72 ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК 1ГЛ. 12
§ 32. Область применимости приближенных уравнений
В. 3. Власова
Возвратимся к общему случаю и покажем, что плохая применимость
безмоментных уравнений к расчету цилиндрических оболочек является пра-
правилом, допускающим важные исключения. Для этого будем искать такие
решения безмоментных уравнений A2.31.2), которые точно удовлетворяют
уравнениям A2.31.1). Такие решения, если они есть, должны, помимо
A2.31.2), удовлетворять уравнениям
M(t) = 0, М(т) = 0, A2.32.1)
в которых оператор М, согласно A2.31.1), содержит дифференцирования
только по а2. Подставив сюда t и т по формулам A2.31.3), мы обратим второе
равенство A2.32.1) в тождество, а первое из этих равенств даст два обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнения
М(/о) = 0, М(^) = 0 A2.32.2)
для определения величин t0, tx, как функций переменной а2. Отсюда получаем
решение
'* = ScJ(o.) № = 0, 1),
s=l
в котором Csk — константы, а / (а2) — линейно независимые решения одного
из уравнений A2.32.2).
Так же, исходя из формул A2.31.4), будем иметь
4 s
Щ = IiDskm(a,) (k = 0, 1).
Окончательно получаем следующие решения:
4 S 4 S 4 6 4 S
t = Ij Cs 4 К) + «i S Cs xt (a2), m = ? DsOm (a2) -f ax ? D^m (a2),
S=l S=l S=l 5=1
)
точно удовлетворяющие как уравнениям A2.31.1), так и безмоментным урав-
нениям~{42.31.2). Они и только они обладают искомым свойством, т. е. опре-
определяют напряженно-деформированные состояния оболочки, удовлетворяющие
безмоментным уравнениям при любых / и п.
Эти решения мы более подробно обсуждать не будем. Можно показать,
что ими описываются случаи, когда оболочка работает как балка или как
арка. Таким образом, можно сказать, что в структуре системы A2.31.1) отра-
отражено родство цилиндрической оболочки с балкой и аркой.
Разумеется, среди решений уравнений A2.31.1) содержатся и такие,
при построении которых надо учитывать как члены с оператором d2/da'i,
так и члены с оператором М, на равных основаниях. Это будут, очевидно,
решения, соответствующие обобщенным краевым эффектам (§§ 11.25, 11.26),
в том числе и вырожденным. Наконец, существуют и такие интегралы урав-
уравнений теории цилиндрических оболочек, которые при помощи приближенной
системы A2.31.1) нельзя строить даже в самом грубом приближении. Не имея
возможности войти в детали этого вопроса, мы сформулируем только оконча-
окончательные результаты. Они получат подтверждение в части V при рассмотре-
рассмотрении круговой цилиндрической оболочки.
Исходя из уравнений A2.31.1), можно с той или иной степенью точности
строить:
(а) основное напряженное состояние,
(б) обобщенное основное напряженное состояние,

S 32l ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИЙ В. 3. ВЛАСОВА 173
(в) обобщенный краевой эффект вблизи линии у, проходящей вдоль
прямолинейной образующей цилиндра. '
В то же время уравнения A2.31.1) могут привести к ошибкам даже
в главных членах, если применять их к построению напряженных состояний
с большой изменяемостью или краевого эффекта вблизи линии у, не проходя-
проходящей вдоль образующей.
Таким образом, областью применимости уравнений A2.31.1), а вместе
с тем и метода В. 3. Власова является расчет цилиндрических оболочек при
условии, что в них не играют существенной роли напряженные состояния
с большой изменяемостью и что по тем или иным причинам не возникает необ-
необходимости обследовать краевой эффект вблизи поперечных краев оболочки.
Таким образом, метод В. 3. Власова можно трактовать как приближенный
прием, заключающийся в использовании обобщенного метода расчленения
и в дополнительном предположении о возможности пренебречь простым кра-
краевым эффектом.

Ч а с т ь III
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
Этот раздел посвящен рассмотрению краевых задач безмоментной тео-
теории. Под последними подразумевается интегрирование дифференциальных
уравнений безмоментной теории с учетом так называемых идеализированных
тангенциальных- граничных условий, т. е. равенств, определяющих краевые
значения либо усилий, либо перемещений, лежащих в касательной плоскости.
Излагаются методы эффективного построения этих решений и много
внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют
и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально.
Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна:
она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с вы-
выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) че-
четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако
при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина ста-
становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегриро-
интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и парабо-
параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи
безмоментной теории: это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа
Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией.
К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи
безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. На-
Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического
уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому,
что теоремы существования и единственности для краевых задач безмомент-
безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда
решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о прин-
принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотре-
рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше
«странностей» краевых задач безмоментной теории свидетельствует об опре-
определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния
оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV.
Физически ясно, что, если мы хотим, чтобы напряженное состояние
оболочки было безмоментным, то надо так закрепить края, чтобы исключить
бесконечно малые изгибания ее срединной поверхности. Высказанное утвер-
утверждение иногда называют гипотезой В. В. Новодворского. В части IV предпри-
предпринята попытка положить эту гипотезу в основу формулировки условий суще-
существования краевых задач безмоментной теории. Они сформулированы в виде
гипотетической теоремы о возможных изгибаниях, которая вкратце заклю-
заключается в том, что, если при данном способе защемления краев изгибания
срединной поверхности возможны, то решение краевой задачи безмоментной
теории будет существовать только тогда, когда внешние силовые воздей-
воздействия не совершают работы на перемещениях этих изгибаний. Выяснилось,
что теорема о возможных изгибаниях должна быть обусловлена целым рядом
дополнительных предположений, полного списка которых получить не уда-
удалось. Тем не менее в части III постоянно проводятся сопоставления получае-
получаемых там теорем существования с теоремой о возможных изгибаниях. Это позво-
позволяет обнаружить те обстоятельства, которые исключают возможность по-
построения решения краевых задач безмоментной теории, а следовательно, как
уже говорилось, являются причиной некоторого искажения свойств напря-
напряженно-деформированного состояния оболочки.

ГЛАВА 13
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ 1. Общий интеграл полной системы безмоментных
уравнений оболочек нулевой кривизны
Примем, что срединная поверхность оболочки есть произвольная по-
поверхность нулевой кривизны (цилиндр, конус или поверхность касательных),
и отнесем ее к линиям кривизны (alt a2), как изложено в § 11.28. Тогда будут
справедливы формулы
4=1, ?u = tfi,-°o, R» = R, A3.1.1)
и внеся их в G.4.2), G.5.1) и G.1.4), получим следующую головную систему
уравнений безмоментной теории оболочек нулевой кривизны:
а) статические уравнения
? ?^ -О,
A3.1.2)
б) геометрические уравнения:
<?mx 1 dut . д ( и2 \ 1 ди2 | 1
в) тангенциальные уравнения состояния
Пользуясь уравнениями пп. б) и в), геометрические уравнения можно
записать так:
r r . А д ( щ \ _ \ дих 1 +v о
A3.1.3)
1 ди2 1 дА 1
pp дифференциальных уравнений безмоментной оболочки
нулевой кривизны не представляет труда и может быть выполнено в общем
виде.

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 13
Перепишем в другом порядке статические уравнения A3.1.2), придав им
такой вид:
и представим тангенциальные усилия так:
Г1 = Г}Ч) + Г}6), S = SD) + Si6), T2 = 7Т° + 7f\ A3.1.5)
где (Т\ч), SD), Дч)) — частный интеграл неоднородных уравнений A3.1.4),
а (Т\б), SF), Т{б)) — общий интеграл соответствующей однородной системы.
Обе группы введенных величин легко находятся с помощью квадратур.
А именно, величины с индексом (ч) можно записать так:
о, [ a,
A3.1.6)
a,
_L I \ Л- -A- IU7\ Al yS\ Ar,. Г1Ч> D7
a.
причем нижний предел интегрирования а1 есть функция переменной а2,
которую надо считать фиксированной, но зависящей от нашего выбора.
Для величин с индексом (б) получим:
= 0, A3.1.7)
где /j = /j (а2), /2 = /2 (а2) — произвольные функции интегрирования.
Функции /г и /2 удобно заменить другими, положив
/i (кг) = ^2,1^ (а2), /г (аг) = ^2,1^ (а2)>
где Л2,1 = Л2|а1=а1.
Тогда вместо A3.1.7) будем иметь:
"' 2 2
jiF) 1_ Г д / Л2<\ Л ^2,1 ^(б) ^2,1 . jiF) q /»о I о\
Ql v 2 / 2
В этих формулах произвольные функции t=t(a2) и п = п(а2) имеют
простой физический смысл. Они представляют собой значения, которые
принимают SF) и Т\б) на линии аг = аг. Считая известными 7\, S, Т2 и
вводя в рассмотрение равенства A3.1.3) в том порядке, в котором они за-
записаны, легко при помощи квадратур записать решения этих уравнений.
Представим компоненты перемещения в виде трех слагаемых:
и = ыр) -)- м(б> -)- и\ыК и2 = ui4) -|- ы^б) -(- икы\ w = ш(чЧ-ш*б)-(-ш(м), A3.1.9)

§1] ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ УРАВНЕНИЙ ОБОЛОЧЕК НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 177
где (u[q\ «2Ч). и><"°) и (и\6), Цб\ w<6)) — частные интегралы неоднородной
системы A3.1.3), отвечающие (Т\ц\ S<4\ 7p>) и (Т\б\ S<6>, Г|б>) соответственно,
а (и{м), и2м), а>(м))— общий интеграл однородной системы A3.1.3).
Внося в правые части уравнений A3.1.3) вместо тангенциальных усилий
последовательно (Цч\ S<4>, 7]ч>) и (Т[б\ S<6>, Л,б>), получим:
о,
a, 2 a,
1 ^ it fw '
2 , J 2?й "ai 2?Л
и равным образом
(г}
(Нижний предел интегрирования а2 в формулах A3.1.10) и A3.1.11) также
есть функция а2, которую можно выбрать произвольно.)
Наконец, положив в правых частях уравнений A3.1.3) тангенциальные
усилия 7\, S и Т3 равными нулю и выполнив интегрирование, мы получим
иГ = Ф, (a2), aiM) = — Л2 J -— ^ da, + Л2ф2 (оя),
A3.1.12)
]
где срг (а2), ф2 (а2) — произвольные функции.
12 Д. Л. Гольденвейзер

178 ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 13
Пусть при «j = аг величины А 2, и[м> и и|м) принимают следующие зна-
значения:
А2 = Л2,2, "iM) = Ф1 (ofc) = I (а2), «Г' = А2,2 Ф2 («г) = т] («г)-
Тогда, выразив в A3.1.12) функции фх (а2), ф2 (а2) через | (а2), т] (а2),
мы получим формулы, связывающие перемещения и(,м), и?м), ш(м) произ-
произвольной точки оболочки нулевой кривизны с теми значениями, которые при-
принимают тангенциальные перемещения и\ы), и|м> на краю:
а,
«Г = 5, «2М)=— Л2
A3.1.13)
а,
и<м» _ 1 д . ? 1 di , 1 а / а2
Замечание. В формулах A3.1.10) и A3.1.11) величина Eh ие вынесена из-под знака инте-
интеграла, так как можно считать, что Е, h, v переменны. В связи с этим отметим, что если речь
идет о системе уравнений моментной теории оболочек, то методы ее интегрирования будут
существенно зависеть от того, постоянны или переменны Е, h, v. Например, система уравне-
уравнений момеитной теории круговой цилиндрической оболочки при постоянных Е, h, v ие будет
иметь переменных коэффициентов, что существенно упрощает ее решение. Однако, если речь
идет о безмоментиых уравнениях, то переменность Е, h, v с точки зрения методов интегриро-
интегрирования становится не очень существенной.
§ 2. Преобразование безмоментных уравнений
сферической оболочки
Рассмотрим сферическую оболочку и отнесем ее срединную поверхность
к географической системе координат F, ф), описанной в § 10.21. Тогда
в векторной форме ее уравнение запишется так:
М = г sin 6 cos ф ix -f- r sin G sin q>iy -f- г cos 6/г
(ix, iy, lz — орты декартовой системы координат, изображенной на рис. 17).
Сделаем замену независимых переменных:
ai = lntg-|-. сс2 = Ф. A3.2.1)
При этом будут иметь место следующие формулы:
W A3.2.2)
и векторное уравнение сферы примет вид
. A3.2.3)
Замена переменных A3.2.1) не изменяет координатных линий (§ 1.1),
и следовательно, на сфере, заданной уравнением A3.2.3), о^-линиями будут
меридианы, а а2-линиями — параллели географической системы координат,
изображенной на рис. 17. Подсчитаем коэффициенты первой квадратичной
формы сферы A3.2.3)
V cos, = ^-.^- = 0. A3.2.4)

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ J79
Таким образом, в криволинейных координатах (аи а2) имеем:
(такая система координат называется изотермической).
Приступим к преобразованию статических безмоментных уравнений
G.4.2). На сфере любая кривая есть линия кривизны (§ 1.5), и следовательно,
в этих уравнениях можно положить /?п = Rlt R2i = R2, Ru = °°- Кроме
того, мы имеем R1 = ^2 = г и Л, = А2 — А. Поэтому G.4.2) можно пере-
переписать так:
Tt + Тг + rZ = 0.
Выразим Т\ и Тг через функцию Т при помощи формул
7\= —71 — -?-, Г,= Г —4"- A3.2.5)
Тогда третье уравнение равновесия обратится в тождество, а первые
два примут вид
4
2
да^ ' a оа2 V 2 /
Помножив каждое из этих равенств на Л/г2 и положив
г=^-7\ s = ^-S, A3.2.6)
получим для определения t и s следующую систему уравнений:
dt . ds _l 'А* у А* dz _п
~~ ион +5a7"t'~^-Al T5a7~ '
dt ds As у A* dZ _- A3.2.7)
5a2 + 5a7+ г* Лг~~ 2г ЙОа ~ U'
Приведение статических безмоментных уравнений сферической обо-
оболочки к виду A3.2.7) и составляло цель описанных преобразований. Для
оболочки, отнесенной к географическим координатам A3.2.3) согласно A3.2.4),
надо под А подразумевать величину
ch a,
Замечание. Для того чтобы безмоментные уравнения сферической оболочки приводились
к виду A3.2.7) при помощи подстановок A3.2,5) и A3.2.6), нет необходимости пользоваться
географической системой координат. Достаточно потребовать, чтобы срединная поверхность
оболочки была отнесена к изотермической системе координат (А1=А2и%= я/2). В связи
с этим полезно иметь в виду следующую теорему теории поверхностей: на любой поверхности
существует бесчисленное множество изотермических систем координат, причем все оии полу-
получаются из какой-либо одной при помощи преобразования независимых переменных:
li = li («l. «а). 1а = 1а (<*i. <Ч). .
12*

|gO ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1ГЛ. 13
удовлетворяющего условиям
(конечно, при этом А будет иметь другой смысл).
Обратимся к преобразованию геометрических уравнений безмоментной
теории сферической оболочки. В общем случае они записываются в виде
равенств G.5.1). Положим в них Ах = А2 = А, /?12 = со, Rn = /?12 = г
и составим разность первого и третьего из этих уравнений. Присоединив
к полученному соотношению второе равенство G.5.1), получим систему, не
содержащую ш:
А da, "+" А2' da2  A daa ~ А2 da, "» ~ Bl Б2*
Эти уравнения при помощи подстановок
после простых преобразований приводятся к виду
Легко убедиться, что уравнения A3.2.9) и подстановка A3.2.8) остаются
в силе для сферической оболочки, срединная поверхность которой отнесена
к любой изотермической системе координат.
§ 3. Интегрирование уравнений безмоментной теории
сферических оболочек
Безмоментные дифференциальные уравнения сферической оболочки,
срединная поверхность которой отнесена к изотермической системе коорди-
координат, сведена в § 13.2 к уравнениям A3.2.7) и A3.2.9). Каждому интегралу t,
s уравнений A3.2.7) соответствуют тангенциальные усилия, вычисляемые
по формулам A3.2.5), A3.2.6), последним можно придать следующий вид:
Tj= — -дг-t 2~> Тл = -д?-г 2~, S21 = S12 = —jp s. A3.3.1)
Каждому интегралу уравнений A3.2.9) соответствуют тангенциальные сме-
смещения оболочки, вычисляемые по формулам:
«i-?. «а = ^- A3.3.2)
Нормальное перемещение w при известных ult ы2 можно найти без
интегрирования при помощи первого или третьего уравнения G.5.1). При
Аг = Аг = А и Ru = R22 = г оии дают
г диг . г дА г ди, . г дА /io о ъ\
В дальнейшем для определенности будем предполагать, что сфера
отнесена к изотермическим географическим координатам A3.2.3). Тогда
A =rcha1 и формулы A3.3.1) примут вид
7\ = — fchX — Ц-, T^tctfat — -^-, Su = S11 = sch2a1, A3.3.4)

§ 3] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
а формулы A3.3.2) запишутся так:
Тангенциальные усилия и компоненты перемещения безмоментной
сферической оболочки, как и для оболочки нулевой кривизны, представим
в виде A3.1.5), A3.1.9).
Соответственно этому и функции t, s, р, q, через которые выражаются
усилия и перемещения безмоментной оболочки, также удобно представить
в виде
t = tl4l + tl6), s = sl4) + ^\ Р = Р(ч) + Р(б> + Р(М)- <? = <7<4) + <7(б) + ?(м).
причем #ч>, s<4> — частный интеграл уравнений A3.2.7); р<">, ^ч» — част-
частный интеграл уравнений
где
r<4)-vr{4)), ш(Ч) = i^- SD>;
)> s<6) — общий интеграл однородных уравнений
dt ds n
_ часТньш интеграл уравнений
dt ds n dt ds _ .
lk
где
A3.3.8)
~ "~ Eh
/?<M), 9<M) — общий интеграл уравнений
Задача определения ^<ч>, s<4>, так же как идентичная ей с математиче-
математической точки зрения задача определения р(ц\ фч), легко приводится к построе-
построению частного интеграла уравнения Пуассона. Этому вопросу посвящена
обширная литература, и, основываясь на этом, мы будем считать, что #ч),
s<4\ /?<">, <7(ч) известны.
Определение ^<б) и sF) сводится к интегрированию уравнений A3.3.6).
Эта система по форме совпадает с условиями Коши—Римана, которым
должны подчиняться действительная часть и коэффициент при мнимой части
аналитической функции комплексного переменного. Отсюда следует, что
/<б> _j_ /s<6> = ф G), A3.3.10)
где 7 = «1 + i«2 — комплексное переменное, а ф (у) — аналитическая функ-
функция этого аргумента.
Функция ф (у) в дальнейшем будет называться комплексной функцией
напряжений, так как через нее выражаются тангенциальные усилия Т\6),
SF) и Т?б> безмоментной сферической оболочки, не загруженной в рассма-

Jg2 ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 13
триваемой области изменения (alt a2) поверхностной нагрузкой. Соответст-
ствующие формулы мы получим, отбросив в A3.3.4) члены, содержащие Z,
и выразив t и s по формуле A3.3.10):
Т\б) = — ch^
7f' = ch2at Re {Ф (у)\ = -L ch2at [Ф (у) + ф(у)], A3.3.11)
SF) = ch'a, Im
Здесь и ниже Re и Im — символы действительной части и коэффициента
при мнимой части от выражений, заключенных в фигурные скобки, а ф (у)—
величина, сопряженная с ф (у), т. е.
Формулами A3.3.11), если считать в них ф произвольной аналитической
функцией, определяются все напряженные состояния незагруженной без-
моментной сферической оболочки.
Система A3.3.9), определяющая р<м) и <7(м). также представляет собой
условия Коши—Римана, следовательно,
p(M) + i<7(M)=/(Y), A3.3.12)
где / (у) — аналитическая функция.
Функцию / (у) мы будем называть комплексной функцией перемещений;
ею определяются тангенциальные смещения безмоментной сферической
оболочки, так как, пользуясь A3.3.12) и A3.3.5), можно написать:
^(?)Ь 4 bImtf<Y)} 03.3.13)
Этими соотношениями, если считать в них f произвольной аналитиче-
аналитической функцией, определяются все бесконечно малые изгибания сферы.
Остается рассмотреть методы определения частного интеграла уравне-
уравнений A3.3.7), т. е. методы построения функций /?(б), фб). Преобразуем эти
уравнения, выразив их правые части через функцию ф (у) с помощью фор-
формул A3.3.8) и A3.3.11):
Задача заключается в построении частного интеграла полученной
системы в предположении, что ф есть произвольная аналитическая функция
своего аргумента. Помножим второе из этих уравнений на i, сложим с пер-
первым уравнением и введем обозначение k = р + iq. Получим:
A3-зл4)

§4] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 183
Но а1 -f- г«г = V> ai — гаг = У> поэтому, рассматривая у и у как
независимые переменные, можно написать:
о _ _ду_ д ду д _ д д д _ . /_5 : _д_\
~дсй ~"дщ ~ду + d«7 ~^ ~ "Зу"*" ~^' ~да^~1\ду ~^)'
Вместе с тем
ch2a, = — (е'
6
tel + 2 +
. д
е-гс,
= 2 —
¦>--}-
В силу этого A3.3-14) принимает вид
Это уравнение интегрируется элементарно, и для определения /?1б),
мы получаем следующую формулу:
^"()^] + е(у). A3.3.16)
Здесь через е (у) обозначена произвольная функция интегрирования.
Под /?<б), 9<б) понимается некоторый определенный частный интеграл урав-
уравнения A3.3.14), поэтому и под е (у) надо подразумевать некоторую, вполне
определенную функцию, выбор которой зависит от нас (ниже выяснится,
что этим можно воспользоваться для выполнения условий однозначности
перемещений).
Замечание. Величины ?, A, v в A3.3.16) можно считать и переменными (см. замечание
в § 13.1). В этом случае при интегрировании их надо рассматривать как функции у и у-
Таким образом, общий интеграл безмоментных уравнений сферической
оболочки содержит две произвольные аналитические функции комплексного
переменного: комплексную функцию напряжений ф (у) и комплексную функ-
функцию перемещений f (у). Этот результат был получен в работе [37].
§ 4. Применение теории аналитических функций
комплексного переменного в безмоментной теории
сферических оболочек
Будем считать, что безмоментная сферическая оболочка находится
под воздействием такой поверхностной и краевой нагрузок, что возника-
возникающие в ней тангенциальные усилия и перемещения будут непрерывными
функциями точки срединной поверхности всюду, за исключением полюсов
географической системы координат *). Тогда, очевидно, можно принять, что
такими же свойствами обладают и величины, отмеченные индексом (ч),
так как выбор частного интеграла зависит от нашего произвола. Следова-
Следовательно, требования непрерывности надо накладывать и на величины Т[б\
S( \ 7^б), и[б) + и[ч\ ы|6) + ы|ч). Основываясь на этом, уточним условия,
которым удовлетворяют комплексные функции напряжений и перемещений.
*) Полюсы являются особыми точками географической системы координат. Поэтому
поведение усилий и перемещений в этих точках будет рассмотрено особо.

184 ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 13
Пусть сфера, составляющая срединную поверхность оболочки, задается
векторным уравнением A3.2.3). Тогда можно принять, что всем точкам
сферы соответствует в плоскости комплексного переменного у бесконечная
полоса
Прямым а2 = я и а2 = —я соответствует один и тот же меридиан
сферы. Поэтому / (у) и ф (у) должны быть периодическими функциями.
Обходя связанные с этим дополнительные трудности, рационально ввести
следующую замену комплексного переменного:
| _|_ it] = ? = еУ = е«« (cosaa -f i sina,). A3.4.1)
Тогда все точки сферы будут находиться во взаимно однозначном соот-
соответствии со всеми точками плоскости комплексного переменного ?, и если
положить
ФAп?)=ар(?), /(In ?) = ?(?),
то на ар (?), g (?) достаточно наложить условия однозначности (эти функции
также будут называться комплексными функциями напряжений и пере-
перемещений, соответственно).
В дальнейшем в качестве независимого переменного мы всегда будем
пользоваться величиной ?. Установим, в каком соответствии находятся
точки сферы с точками плоскости ?. Параллелям и меридианам географиче-
географической системы координат на сфере, т. е. линиям аг = const и <х2 = const,
соответствуют на плоскости ? концентрические окружности | С | = const
и полупрямые arg ? = const. Комплексное переменное ? обращается в нуль
при аг = —ею, откуда, согласно A3.2.3), следует, что точке ? = О соот-
соответствует верхний полюс географической системы координат, т. е. точка
х — у — О, г = г. При ах = +°° мы получим на плоскости ? бесконечно
удаленную точку ? = оо, которой отвечает на сфере нижний полюс х =
= у = 0, г = —г. Единичный круг |?| ^ 1 соответствует верхней поло-
половине сферы, а внешняя часть этого круга |?|!Э= 1 соответствует нижней
части сферы.
Для Т[б\ S<6), Г<б) имеем формулы A3.3.11). Заметив, что
перепишем их так:
)=—г (к + 2 + -i
= ^ (К + 2 + i) Re № (?)}. A3.4.2)
1 'к
Отсюда вытекает, что во всякой точке, кроме ? = 0 и ? = оо *), вели-
величины Т[б\ Si6) и Т!,б> будут непрерывны и однозначны тогда и только тогда,
когда комплексная функция напряжений аналитична. В полюсах географиче-
географической системы координат, т. е. при ? = 0 и ?=оо, эти величины будут
удовлетворять условиям ограниченности лишь при дополнительном требо-
*)Там, где это не может вызвать недоразумения, мы не будем делать различия между
точками плоскости ? н соответствующими им точками сферы.

§ 4] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ J35
вании, что ф (?) имеет в этих точках нули по меньшей мере второго порядка,.
т. е. что if (?) вблизи ? = О может быть представлена разложением
Ф@ = ^ + 03? + .... A3.4.3)
а вблизи ? = оо — разложением
-^-+-^- + ... A3-4.4)
Рассмотрим теперь формулу A3.3.16), которой определяются величины
р<б>, qFK Заменив здесь у на ? по формуле A3.4.1), приняв, что Е, h и v
постоянны, и переменив знак у i, получим:
4||^] A3.4.5)
где
H(Z)=7(lnZ).
Линии, вдоль которых надо, вычислять криволинейные интегралы,
можно выбирать произвольно, и мы будем считать, что они нигде не выходят
за пределы той области G, где i|) (?) обладает сформулированными выше
свойствами. Тогда подынтегральные функции будут всюду (за исключением,
быть может, границ области) аналитичными. Следовательно, если область
односвязна, то по теореме Коши все интегралы в формуле A3.4.5) будут
аналитическими функциями. Если G — многосвязная область, то эти инте-
интегралы будут, вообще говоря, неоднозначны. Но мы условимся, что Н (?)
всегда будет выбираться так, чтобы р(б) — i<7F) оставалось однозначной
функцией.
Компоненты тангенциального перемещения ы1( и2 выражаются через
р(б)> ^(б> ПрИ помощи формул A3.3.5). Учитывая A3.4.1), их можно пред-
представить в виде
„(б) = A JlSLo<6) A3.4.6)
г 1+ffi Г г г 1+к
(корни надо понимать в арифметическом смысле).
Отсюда видно, что всюду, за исключением точек ? = 0 и ? = оо, усло-
условия ограниченности и[б), и[б) эквивалентны условиям ограниченности р{б),
<7<б), и, как показывает формула A3.4.5), они выполняются (разумеется,
при надлежащем выборе Н) в силу аналитичности i|) (?). При С = 0 и ? =
= сю интегралы, входящие в A3.4.5), остаются конечными, что легко про-
проверить, так как вблизи ? = 0, ? = сю для гр (?) справедливы разложения
A3.4.3), A3.4.4). Это значит, что и<б), и^б) в силу A3.4.6) остаются конеч-
конечными и при ? = 0, ? = оо, а следовательно, однозначными и ограничен-
ограниченными должны быть также функции н<м), ы<м>. Последние определяются
формулами, аналогичными A3.4.6), которые в комплексной форме запи-
записываются так:
Ы(м, + iur = _H_J^L(p(M, + ;,,<„>) = !_ -^-g@. A3.4.7)
?
Это соотношение показывает, что во всех внутренних точках срединной
поверхности оболочки, за исключением, быть может, ? = 0 и ? = оо, ком-
комплексная функция перемещений g (?) должна быть аналитической, а в точках
? = 0 и ? = сю она может иметь полюс, но не выше первого порядка.

186 ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1ГЛ. 13
§ 5. Преобразование безмоментных уравнений оболочки
произвольного очертания
Силовые уравнения равновесия моментной теории записываются
в виде векторного равенства C.19.1), которое мы перепишем здесь так:
— ^|- (Л,/?'2') — ^|- (Ла/?A)) Н- ЛИ2 sin ^/? = 0, A3.5.1)
где согласно C.17.3) и C.19.7)
Здесь % — угол между координатными линиями, которые теперь мы не будем
считать взаимно ортогональными.
Положив в A3.5.1)
Д/, = N2 = О, Sn = S12 = 5,
мы перейдем от точных уравнений к безмоментным и, следовательно, полу-
получим такую векторную запись статических уравнений безмоментной теории:
0. A3.5.3)
Выполним дифференцирование, помножим обе части полученного ра-
равенства на п и учтем, что
Мгп = М2п = 0, Mun=Ln, Mi2-n = L12, М22-п = Ьм.
Будем иметь
A- Li2T2 + 2L125 -f -к- LUTX — АгА2 sin %Z = 0. A3.5.4)
В теории поверхностей доказывается, что на произвольной поверхности
можно установить изотермически сопряженную систему координат, т. е.
систему, в которой коэффициенты второй квадратичной формы удовлетво-
удовлетворяют равенствам
bn=±L22, L13 = 0 A3.5.5)
(в первом из них знак должен совпадать со знаком гауссовой кривизны
поверхности).
Примем, что выбраны изотермически сопряженные координаты, т. е.
что выполняются равенства A3.5.5). Тогда скалярное уравнение A3.5.4)
будет тождественно удовлетворяться, если положить
 Т Т \ ^'^2 sln X 7 "Я Т -г Т I "!"¦% sln X 7 /1о С R\
—7— 1 2— ' -\ о? л> ~Т~ ' 1~ + ' i о/ ~ С' (.^O.O.DJ
Имеют место деривационные формулы A.3.1). Пользуясь ими, а также
формулами A3.5.6), можно векторное уравнение A3.5.3) привести к виду
д (SM + TM)(±TM sM) + x;M + xiM=o, A3.5.7)

§ 5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК J87
где
: (i^/=l, 2).
Векторное равенство A3.5.7) эквивалентно двум скалярным уравнениям,
соответствующим проекциям на направления векторов Ми Мг. Они с по-
помощью деривационных формул A.3.6) могут быть записаны так:
где
fli-^rh + Ib. fl2= —2Г21!, bi = + r!i+r222, Ь2 = —2ГЬ. A3.5.9)
Уравнение A3.5.4), соответствующее проекции на направление п, выше
уже было использовано.
Обращаясь к геометрическим уравнениям безмоментной теории, рас-
рассмотрим вектор упругого смещения
Введем обозначение
UMt = и* = At (ui + cos %щ) (i ф } = 1, 2).
Тогда будут справедливы следующие очевидные тождества:
да1 д«2 a* i ааИ A3510)
Раскроем их правые части, считая, что срединная поверхность оболочки
отнесена к изотермически сопряженным координатам, и имея в виду формулы
+ f/a • Ali = ЛИ* (-f- sin X + -^f^- cos X
(они представляют собой обобщение формул B.11.9), на случай косоуголь-
косоугольных координат), а также равенства
М u + М22 = + a1Ml + bjAl2, 2Л112 = — агМх — ЬгМг, A3.5.11)
вытекающие из A3.5.5), A.3.1) и A3.5.9).
Учитывая все это, получим из A3.5.10) требуемые уравнения
A3.5.12)
где
\ Кг = — Л!Л2(-|-51П5С + ^±i cos Х) .
A3.5.13)

188 ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1.ГЛ. 13
§ 6. Безмоментные уравнения оболочек,
имеющих форму поверхностей второго порядка
положительной кривизны
К поверхности второго порядка положительной кривизны относятся:
эллипсоид, двухполостный гиперболоид и эллиптический параболоид.
В декартовых координатах эти поверхности можно задать следующими урав-
уравнениями:
~^з + "р- + тг = 1 (эллипсоид) A3.6.1а)
хг tfi г2
-^а" + -fs ^ = — 1 (двухполостный гиперболоид), A3.6.16)
~т + ~fa 2г =0 (эллиптический параболоид). A3.6.1в)
В криволинейных координатах они задаются векторными уравнениями:
эллипсоид A3.6.1а)
м=а isft1'+b S; 1»—° tha^> Aз-б-2а>
двухполостный гиперболоид A3.6.16)
эллиптический параболоид A3.6.1в)
М = ае°" cosog/* + ъ^х sin аЛ + \ ^а^г, A3.6.2в)
где /,, 1У, I, — орты декартовой системы координат, к которой отнесены
поверхности уравнениями A3.6.1).
Из A3.6.2) вытекает, что при ax = const координата г сохраняет по-
постоянное значение, а при a2 = const постоянным остается отношение у/х.
Это значит, что линии а1 = const и a2 = const образуют на поверхности
второго порядка такую же координатную сетку, какую дают параллели и
меридианы географической системы координат на сфере (рис. 20). Мы будем
поэтому говорить, что поверхности второго порядка векторными уравне-
уравнениями A3.6.2) отнесены к географической системе координат.
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхностей вто-
второго порядка, отнесенных к географической системе координат, выписаны
в табл. 1 (коэффициент L12 во всех случаях равен нулю). Из нее видно,
что географическая система координат на поверхности второго порядка
не ортогональна. Исключение представляют поверхности вращения второго
порядка (случай а = Ь).
Векторы A3.6.2), как нетрудно проверить, удовлетворяют двум равен-
равенствам
A3.6.3)
в которых под |х надо подразумевать следующую функцию:
а) для эллипсоида ц = спаа1,
б) для двух полостного гиперболоида (i = sh2a1, A3.6.4)
в) для эллиптического параболоида ц = е~2а».

6] УРАВНЕНИЯ ОБОЛОЧЕК ВТОРОГО ПОРЯДКА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ J89
Сравним A3.6.3) с A3.5.11), взяв в последних равенствах верхние знаки
(речь идет о поверхностях положительной кривизны). Эти две пары вектор-
векторных равенств совпадут, если положить
_ д!пц « д In ц,
п1~ да, * Ol ЩГ
. _ сIпц
A3.6.5)
Отсюда, в частности, следует, что на поверхностях вращения второго
порядка географические координаты образуют изотермически сопряженную
сеть.
z
6)
Внесем A3.6.5) в статические уравнения безмоментной теории A3.5.8)
и возьмем в первом из них верхний знак. Тогда после очевидных преобра-
преобразований эти уравнения примут вид
dt
6s
dt
Os
_1_
A3.6.6)
где
Ц H
A3.6.7)
Связь тангенциальных усилий с величинами ?, s выражается формулами
Tt = -^-vt %^-sinx, Г1==—•
-?-5lnx,
2] = S12 = S = |us,
A3.6.8)
которые следуют из A3.5.6), A3.6.7) и из равенства A.5.2).
Геометрические уравнения безмоментной теории A3.5.12), A3.5.13),
взятые с верхними знаками, при помощи A3.6.5) преобразовываются к виду
A3.6.9)

190
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. 13
a.
о
¦B-
X
ичны
ft
3
рой
8
со
S
э2
О
03
О.
С
3
"га =
ч •!¦
га §
олои
та
о.
с
«3
§
ч
ч
m
«
о
| пербол
отннй rv
о
пол
ш
е?
п
ПСО1
ч
с;
8
.5
(Л
СМ
\~
i
О
О
[
П~
?-Г
о
та
С
(Л
?
О
U
та
О
xi
О
8~
та
•S
i
О1
с
ел
-Cl
+
та
'COS
s"
та
Xi
81
О
U
-Cl
с?
см
г sin
ч.
«
ba cos3 (
64
8
С
t
8"
СЛ
К
о
Ъ
о.
сч
+
1 sin
"а
Xi
и
8"
COS
8*
-С»
см
1
о
(Л
S
64
(Л
84
х:
о
8~
СО
|
(Л
о
О
8*
.S
ел
1-4
в
5
?
xi
и
-Cl
1
1
•—•
(А
О
и
$
— abc
abc
8
см
-Cl
1
8"
CM
?
"s
о
та
-Cl
9*
JS
ел
С
8"
x:
и
%
h
в
-5
8
3=
С
"сд
та
1
8"
та
Xi
^С)
'а
8"
j3
— abc
1
+
I'
^cos
-а
СМ
S
(Л
«Г
coss
с?
с
'«а
та
х:
о
ъ
х:
S
Г"
га
с
ел
i
ъ
ей
"а
г?
Xi
и
Л"

§ 6] УРАВНЕНИЯ ОБОЛОЧЕК ВТОРОГО ПОРЯДКА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ \§\
Здесь
p=fiMi, q = \iu*. A3.6.10)
Связь между перемещениями ult u2 и величинами р, q выражается фор-
формулами
A3.6.11)
Таким образом, показано, что статические и геометрические уравнения
безмоментной теории оболочек, имеющих форму поверхностей второго
порядка, приводятся к виду A3.6.6) и A3.6.9) соответственно. Они анало-
аналогичны преобразованным уравнениям A3.2.7) и A3.2.9) безмоментной теории
сферической оболочки, и, следовательно, показана возможность применить
методы теории функций комплексного переменного и к расчету безмоментной
оболочки, очерченной по любой поверхности второго порядка положительной
кривизны [29, 43]. Не останавливаясь на подробностях, сформулируем свя-
связанные с этим обобщения результатов § 13.4.
Если срединная поверхность безмоментной оболочки представляет собой
эллипсоид, двухполостный гиперболоид или эллиптический параболоид
A3.6.1) и если оболочка не загружена поверхностной нагрузкой, то ее на-
напряженное состояние определяется комплексной функцией напряжения:
причем г|з (?) должна быть аналитической функцией комплексного перемен-
переменного ? = ea<+ia* в рассматриваемой области G и должна иметь нули по
меньшей мере второго порядка в точках ? = 0 и ? = оо, если эти точки
принадлежат области G*).
Тангенциальные усилия незагруженной по поверхности оболочки вида
A3.6.1) выражаются через действительную часть t и коэффициент при мни-
мнимой части s комплексной функции напряжений а|) (?) при помощи формул
A3.6.8), в которых под ц надо подразумевать функцию A3.6.4) и положить
Z = 0.
Для оболочек, срединная поверхность которых задается радиусом-
вектором A3.6.2), с помощью методов теории функций комплексного пере-
переменного решается и однородная геометрическая задача: все бесконечно малые
изгибания такой оболочки определяются комплексной функцией переме-
перемещений
Здесь под g (?) подразумевается функция, которая должна быть аналитиче-
аналитической всюду в интересующей нас области, за исключением точек ? = 0 и
? = оо; в этих точках функция g (?) может иметь полюс, но ие выше первого
порядка.
Тангенциальные смещения срединной поверхности оболочки выра-
выражаются через действительную часть р и коэффициент при мнимой части q
функции перемещений формулами A3.6.11), в которых под уь надо подразу-
подразумевать функцию A3.6.4).
*) Исключение представляет оболочка, имеющая форму эллиптического параболоида.
Для нее точка ? = оо соответствует бесконечно удаленной параллели географической системы
координат, и поэтому на функцию i|5 (Q надо в точке ? = оо накладывать требования, соответ-
соответствующие условиям работы оболочки на бесконечности.

|92 ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ (.ГЛ. 13
§ 7. Безмоментные уравнения оболочек,
имеющих форму поверхностей второго порядка
отрицательной кривизны
Рассмотрим поверхности второго порядка отрицательной кривизны.
В декартовых координатах они задаются так:
однополостный гиперболоид
гиперболический параболоид
а в географических координатах так:
однополостный гиперболоид
Jn = о. ix -\- о iy -J- ctg &iiz, A3.7.1 а)
Гиперболический параболоид
В обоих случаях выполняются два векторных равенства
„ д\пц м д\т\\х м
даг да* A3.7.2)
2 „ д\пу, м Э1щи „
в которых под ц. надо подразумевать следующую функцию:
а) для однополостного гиперболоида ja = cos2oc1, .
Aо. / .о)
б) для гиперболического параболоида ц — еак
Формулы A3.7.2) переходят в A3.5.11), если в последних взять нижние
знаки. Это значит, что на поверхностях второго порядка географическая
система координат образует изотермически сопряженную сеть и в том слу-
случае, когда гауссова кривизна отрицательна.
Уравнения безмоментной теории для оболочек, срединная поверхность
которых задается формулами A3.7.1), можно преобразовать по такой же
схеме, как и в предыдущем параграфе (теперь в уравнениях § 13.5) надо
брать нижние знаки). А именно, статические уравнения A3.5.8) в силу
A3.6.5) принимают вид
dt _ds_ , J_ v» _ л dt л. ds ' Y* — 0
t = — Г, s =
A3.7.4)
а геометрические уравнения A3.5.12), A3.5.13) можно записать так:
A3.7.5)
Я =

$8]
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
193
Тангенциальные усилия выражаются формулами
а для тангенциальных перемещений сохраняются формулы A3.6.11).
Уравнения A3.7.4) и A3.7.5) представляют собой системы гиперболиче-
гиперболического типа, как и должно быть для оболочек отрицательной кривизны
(§§ 7.4, 7.5). В однородном случае (при X* = Х\ = 0) система A3.7.4)
приводится к уравнению колебания струны [29, 43]
да* ~ да2 '
и его решение можно записать при помощи формул Даламбера
/ = /(«, _}_og-f g(a, — <Ц), s = /(а, — Og) -j- s (а, 4- <h)
В табл. 2 для справок приводятся коэффициенты первой и второй ква-
квадратичной формы (кроме Llit который равен нулю) для поверхностей вто-
второго порядка отрицательной кривизны, задаваемых уравнениями A3.7.1).
Таблица 2
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм
А,
AjA,cosx
La
Однополостный гиперболоид
V sin2 а, (а2 cos2 а, 4- Ьг sin2 а2) 4- с2
cos2 а,
Va2 sin2a2 4-&2cos202
cosaj
(Д2 t9) sinai sinaacosaa
cos3 a,
COS Ct-j ^
4- c2(a2 sin2a2 + 6acos2a2)]~1/2
4- c2 (a2 sin2 a2 4- 62cos2 a2)J"~1/2
Гиперболический
V a2 ch2 a, 4- b2
V 2 2
ate2"-
* (a2 sh2 a2 4- b2
abe2"'
a' (a2 sh2 оц 4- 62
параболоид
sh2 a, 4- *
2 2
sh Oj ch a,
ch2a,L-
ch2 a2) 4-
a2bl
§ 8. Применение обобщенных аналитических функций
к безмоментной теории произвольных оболочек
положительной кривизны
Для произвольных оболочек положительной кривизны общий интеграл
безмоментных статических уравнений можно выразить через так называемые
обобщенные аналитические функции. Это показано в работах [18, 19],
результаты которых пересказываются в настоящем параграфе.
13 А. Л. Гольденвейзер

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 13
Рассмотрим два комплексных уравнения
-??-*= О,
A3.8.1)
A3.8.2)
Здесь черточка сверху обозначает переход к сопряженной величине,
у = <xt + ta2 — независимое комплексное переменное, W = Wt + iW2 —
искомая комплексная функция, /, т, п', п" — заданные комплексные функ-
функции (/ = 1г + i/2 и аналогично для т, п', п"), д- = -^— -|_ i'-^г- •
Функции W, удовлетворяющие однородному (при п' = 0) уравнению
A3.8.1) или однородному (при п" = 0) уравнению A3.8.2), называются
обобщенными аналитическими функциями. В цитированных работах пока-
показано, что по своим свойствам они аналогичны обычным аналитическим функ-
функциям (для обобщенных аналитических функций построены аналоги фор-
формулы Коши, рядов Тейлора и Лорана и т. д.).
Развернув уравнения A3.8.1) и A3.8.2), потребовав, чтобы в них обра-
обращались в нуль действительная и мнимая части, и положив
получим вместо A3.8.1)
ТЕГ # + + +
' A3.8.3)
+
«2 = 0,
— Ьг,
а вместо A3.8.2) будем иметь
Систему A3.8.3) можно отождествить со статическими уравнениями
безмоментной теории A3.5.8), взяв в последних верхние знаки и положив
w^s, w^ — t «; = x;, «; = x;.
Равным образом, система A3.8.4) становится тождественной геометри-
геометрическим уравнениям безмоментной теории A3.5.12), если в последней взяты
верхние знаки и принято, что
Отсюда вытекает, что решение однородных уравнений безмоментной
теории для произвольных оболочек положительной кривизны, отнесенных
к изотермическим сопряженным координатам, можно выразить через обоб-
обобщенные аналитические функции.
В § 13.6 было показано, что, если срединная поверхность оболочки
есть поверхность второго порядка положительной кривизны, то нет необ-
необходимости пользоваться обобщенными аналитическими функциями, так как
решение безмоментных уравнений можно выразить и через обычные анали-
аналитические функции. Этот результат не может быть улучшен. В [19] показано,
что такими свойствами обладают только поверхности второго порядка поло-
положительной кривизны.

§ 8] ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 195
Надо заметить, что в [19] поверхности второго порядка отнесены к ли-
линиям кривизны, в то время как в [43 ] они задаются в географической системе
координат. Покажем, что в этом нет противоречия.
Возможность выразить через обычные аналитические функции решения
безмоментных уравнений основана на том, что последние удается отожде-
отождествить с уравнениями Коши—Римана, т. е. в однородном случае привести
к виду A3.3.6). Но, как известно, эти уравнения инвариантны относительно
преобразования независимых переменных
аг = аг (ix, gg), а2 = а2 (?ь ?2), A3.8.5)
если в нем аъ а2 как функции glt |г в свою очередь удовлетворяют условиям
Коши— Римана
cfai да2 даг д«г /П8п
Преобразование A3.8.5), A3.8.6) сохраняет и изотермическую сопря-
сопряженную сеть. Чтобы доказать это, примем, что
Mu-n = M& п, М12-п = 0. A3.8.7)
Эти равенства, в которых, как обычно, нижние индексы обозначают
дифференцирование по а1г а2, показывают, что (аи а2) являются параме-
параметрами изотермически сопряженной сети. Обозначив через М'ц производные
от вектора М по %t, ?/, можно написать
ял> ля да, да, . „• / даг да, да, да, \ . ,- да, да, ,
A3.8.8)
(точками обозначены слагаемые, пропорциональные векторам Мг, М2)-
Составим выражения Mtj-n, примем во внимание, что слагаемые, обо-
обозначенные точками в A3.8.8), обратятся в нули, и преобразуем полученные
выражения с помощью A3.8.6) и A3.8.7). Будем иметь равенства
= Ми-п =
которыми и доказывается требуемое утверждение.
Таким образом, если для оболочки, очерченной по поверхности S и отне-
отнесенной к некоторой изотермически сопряженной системе координат (аг,
а2), однородные уравнения безмоментной теории приводятся к условиям
Коши—Римана, то при замене переменных, также удовлетворяющей усло-
условиям Коши—Римана, сохранится и изотермическая сопряженность коорди-
координат на S, и вид преобразованных безмоментных уравнений.
На поверхности второго порядка (и только на ней) к бесчисленному
множеству изотермически сопряженных сетей принадлежит и сеть линий
кривизны, поэтому результаты § 13.6 находятся в полном согласии с резуль-
результатами работы [19]. Для поверхностей вращения параллели и меридианы
географической системы координат, как будет показано в § 14.9, совпадают
с линиями кривизны, но на произвольных поверхностях второго порядка
линии кривизны имеют весьма сложное очертание. Поэтому для практиче-
практических целей, вероятно, более удобна та форма безмоментной теории оболочек,
имеющих форму поверхностей второго порядка, которая изложена в § 13.6,
хотя использованные в § 13.6 координаты, вообще говоря, не ортогональны.
Заканчивая изложение общих методов интегрирования уравнений без-
безмоментной теории, упомянем работу [109]. В ней показано, что эти уравне-
уравнения можно решить при помощи квадратур для случая, когда одно из семейств
асимптотических линий срединной поверхности совпадает с семейством
геодезических линий.
13*

ГЛАВА 14
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ. ПРИМЕНЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
§ 9. Поверхности вращения
В декартовых координатах поверхность вращения можно задать тремя
скалярными уравнениями
x = rsinq>, y = rcos<p, z — z, A4.9.1)
эквивалентными одному векторному уравнению
М = г sin q>ix + r cos yiy + ziz. A4.9.2)
В этих равенствах z и ф представляют собой параметры криволинейной
системы координат, а под г подразумевается некоторая функция
r = r{z). A4.9.3)
Так как из A4.9.1) вытекает, что х2 + у2 = г2, то г представляет собой
радиус поперечного (ортогонального оси вращения г) сечения. Равенствами
A4.9.1) или, что то же, равенством A4.9.2) поверхность вращения отнесена
к географической системе координат (см. рис. 21). Линии z = const образуют
систему параллелей, совпадающую с поперечными сечениями поверхности,
а линии ф = const образуют систему меридианов, получающуюся пересече-
пересечением поверхности плоскостями х/у = tg ф = const, проходящими через
ось г. Равенство A4.9.3) представляет собой уравнение меридиана в декарто-
декартовой плоскости (г, г), изображенной на рис. 21.
Считая, что нижние индексы 1 и 2 при М обозначают дифференциро-
дифференцирование по г и ф соответственно, получим
Mt = r' sin ф/ж -f r' cos yiy -f i2, M2 = r cos yix—r sin ф/„ ( r' = ~- \.
A4.9.4)
Отсюда
Ai = У Ml = УI + r'2, A2 = У Ml = r, AxA2cosx = Mi-M2 = 0.
A4.9.5)
Третье их этих равенств показывает, что параллели и меридианы гео-
географической системы координат ортогональны на любой поверхности вра-
вращения.
Вторые производные от М записываются так:
Ми = г* sin ф/х 4- г" cos ф/у, Ml2 = г' cos yix — г' sin ф/г
Жаа = — /"Sin ф/ж — г COS ф/^,

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
197
а для единичного вектора нормали п получаем
Atx х At2
АА ~
: (sin ф/х + cos ф/„— г'/г).
A4.9.6)
Отсюда по формулам A.3.2) имеем следующие выражения для коэффи-
коэффициентов второй квадратичной формы:
A4.9.7)
Среднее из этих равенств означает, что меридианы и параллели геогра-
географической системы на любой поверхности вращения не только ортогональны,
но и сопряжены, т. е. они являются линиями кривизны. Это можно было
12
Рис. 21.
Рис. 22
предугадать и из геометрических соображений. Вдоль любой параллели
нормали поверхности вращения образуют конус с вершиной на оси враще-
вращения (см. рис.. 22). Следовательно, эти нормали не перекрещиваются, а пере-
пересекаются, что является признаком линий кривизны (§ 1.5). По этому же
признаку линиями кривизны являются и меридианы: они представляют собой
плоские кривые, нормали которых совпадают с нормалями к поверхности,
а, следовательно, вдоль меридиана последние также не перекрещиваются,
а пересекаются.
При помощи A4.9.5) и A4.9.7) получаем для радиусов кривизны поверх-
поверхности вращения такие формулы:
1 _ 1 Lv i"
¦»
A + г'2K'2
I
1
A4.9.8)
из которых видно, что R± — это радиус кривизны меридиана, a R2, как
нетрудно проверить, равно расстоянию по нормали от поверхности до оси
вращения. Знаки в формулах для Ru R2, принятые в § 1.4, в данном случае
означают, что радиус кривизны Rt считается положительным, если в пло-
плоскости (г, г), изображенной на рис. 21, выпуклость меридиана направлена
наружу.
Замечание. В принятой системе координат роли at- и а2-линий играют меридианы и
параллели соответственно. Меридиан — это нормальное сечение поверхности, поэтому в дан-
данном случае первый главный радиус кривизны поверхности совпадает с радиусом кривизны
о^-линнн. Вообще же такого совпадения не будет. Примером является второй главный раднус
кривизны поверхности /?2; он не равен радиусу кривизны аг-лииии, т. е. величине г.

198
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
1ГЛ. 14
§ 10. Статические и геометрические безмомеитиые
уравнения оболочек вращения
Положив в уравнениях G.4.2)
<*! == г, аг = ф, Аг = У 1 -+- г'2, Л2 = г,
1 г- _±__0 * '
A4.10.1)
/•К 1 + <-'2
запишем статические безмоментные уравнения оболочек вращения сле-
следующим образом:
~5— (тТЛ -4-1/1 -4- г'2 -д т'Та -Х- ту\ -4- г'2 X-i = 0,
OZ OW
-^ (rS) + VTT7* ^- + r'S + r VT+7*x2 = о, A4. ю.2)
A+Л'2K/2 М-Г-
Третье уравнение этой системы будет удовлетворяться, если положить,
* 1
Z, Т2
и рассматривать t как новую неизвестную величину.
Подставим A4.10.3) в A4.10.2) и заменим S через s по формуле
S =»-?•• A4.10.4)
Тогда после очевидных преобразований получим относительно t n s систему
уравнений
dt . ds
dt . 1 ds . v.
A4.10.5)
в которой
X =-
/•A+ /•'')
A4.10.6)
Геометрические безмоментные уравнения G.5.1) для оболочек вращения
в силу формул A4.10.1) можно записать так:
1 ди± г"
L ^ |
Г
¦ w = е2,
A4.10.7)
/• йф ' J/ 1 _)_ г'2 дг \ г J
Здесь из первых двух равенств можно исключить ш. В результате,
после очевидных преобразований, получим равенство
4 ^И!) + ^ ^ = A + ^'2) «1 + "-8*

§11] ОБОЛОЧКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ J99
которое вместе с третьим равенством A4.10.7) составляет систему двух
уравнений относительно ии иг. Ее можно записать в виде
A4.10.8)
В § 7.5 было показано, что между статическими и геометрическими
уравнениями безмоментной теории в общем случае существует тесная связь,
вытекающая из статико-геометрической аналогии. В предыдущей главе мы
уже встречались с ее проявлениями, которые выражались в следующем:
A) для оболочки нулевой кривизны как геометрические, так и стати-
статические безмоментные уравнения удалось решить квадратурами;
B) для оболочек имеющих форму поверхностей второго порядка, обе
системы привелись к уравнениям Коши—Римана или к уравнению колеба-
колебания струны;
C) для произвольных оболочек положительной кривизны решения и
статических, и геометрических безмоментных уравнений выражаются через
обобщенные аналитические функции.
Для оболочек вращения эту связь можно выразить более просто и кон-
конкретно: статические и геометрические безмоментные уравнения становятся
тождественными друг другу в силу следующих соотношений двойственности:
A4.10.9)
§ 11. Оболочки вращения второго порядка.
Параболические оболочки вращения
Если уравнение меридиана A4.9.3) имеет вид
г = Уаг1 + bz + с (а, Ь, с— константы), A4.11.1)
то мы будем иметь поверхность вращения второго порядка.
В этом случае
, 2дг + Ь » 4ос — Ьг
2r ' ~~ ir» '
Сопоставив последнее из этих равенств с формулами A4.9.8), заклю-
заключаем, что, если
Аас—62<0, A4.11.2)
т. е. если г" <; 0, то гауссова кривизна поверхности будет положительной
(при а >> 0 это будет двуполостный гиперболоид, при а <3 0 — эллипсоид,
при а = 0 — параболоид), а если
Аас—&2>0, A4.11.3)
т. е., если г" j> 0, то гауссова кривизна поверхности будет отрицательна
(однополостный гиперболоид).
Пусть выполняется неравенство A4.11.2), тогда, введя обозначение
Ч-snrzs. A4.11.4)

200 БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. 14
можно преобразовать уравнения A4.10.5) к виду
x+r*i+4(М+к+х*"°' ^-bS-srtte) + xs = о.
Отсюда следует, что если ввести замену независимого переменного а —
= а (г) так, чтобы выполнялось равенство
то статические безмоментные уравнения превратятся в неоднородные урав-
уравнения Коши—Римана
+<М> + КЖ-0, ^-^.(М) + хг-О, A4.11.6)
т. е. мы вновь придем к результату, полученному уже в § 13.6.
В уравнении A4.11.5) легко выполнить квадратуру. Выразив в нем г
через z по формуле A4.11.1), получим:
при а ф 0 (для двух полостного гиперболоида и эллипсоида)
1 . 2аг-\-Ь— 1^6*—4ас ... .. _.
а=Т1П 2с- ' - ¦ "zr—^T ' A4.11.7)
при а = 0 (для параболоида)
a = ^ln|&z + c|. A4.11.8)
Если вместо A4.11.2) выполняется неравенство A4.11.3), то, введя
обозначение
М= . 4 .,, A4.11.9)
4ac — b2' v '
можно привести уравнения A4.10.5) к виду
Это значит, что при помощи подстановки вида A4.11.5) мы, как и
в § 13.7, получим неоднородные уравнения колебания струны
В этом случае для однополостного гиперболоида результат интегриро-
интегрирования уравнения A4.11.5) записывается так:
п. = ятг\р A4.11.10)
Положим теперь, что уравнение меридиана A4.9.3) имеет вид
г ~"kz* (A,, jx — положительные константы, (г Ф 1), A4.11.11)
т. е. что меридиан представляет собой параболу произвольной степени.
При ц <С 1 она имеет горизонтальную (параллельную оси г) касательную
в начале координат, а при ц > 1 касательная в начале координат будет
вертикальной (рис. 23). Это значит, что знак гауссовой кривизны поверх-

$ 11]
ОБОЛОЧКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
201
ности противоположен знаку числа |л—1 (исключенному из рассмотрения
случаю ц, = 1 соответствует круговой конус; он обсуждался в (§ 13.1).
Подставим A4.11.11) в статические безмоментные уравнения A4.10.5)
и заметим, что имеет место легко проверяемая формула
dz
дг
Получим
ж
A4.11.12)
Эти равенства можно рассматривать как уравнения относительно вели-
величин t и Bx~2tls). Тогда в них переменными будут только коэффициенты при
производных по 2, и положив
а = 1п2, A4.11.13)
мы придем к следующей системе уравнений с постоянными коэффициентами:
A4.11.14)
Изложенное здесь преобразование статических безмоментных уравне-
уравнений для оболочек вращения вида A4.11.5) предложено в [28], где выведены
и уравнения вида A4.10.5).
Рис. 23
При помощи соотношений двойственности A4.10.9) результаты этого
параграфа можно без труда перенести со статических на геометрические
безмоментные уравнения. Окончательные формулировки сводятся к сле-
следующему.
Для оболочек вращения второго порядка с меридианом A4.11.1)
геометрические безмоментные уравнения приводятся к виду
A4.11.15)

202 БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ 1ГЛ. 14
Здесь надо брать верхние знаки, если выполняется неравенство A4.11.2),
т. е. для оболочек положительной кривизны, и нижний знак, если выпол-
выполняется неравенство A4.11.3), т. е. для оболочек отрицательной кривизны;
новое независимое переменное а выражается через г по формуле A4.11.7)
для двухполостного гиперболоида и эллипсоида, по формуле A4.11.8) для
параболоида и по формуле A4.11.10) для однополостного гиперболоида;
константы К+ и К_ определяются формулой A4.11.4) или A4.11.9) соответ-
соответственно.
Если меридиан оболочки задается уравнением A4.11.11), то геометриче-
геометрические безмоментные уравнения можно привести к виду
К* (?) +
Ш
(¦?¦) + W ^~2
т. е. превратить их в уравнения с постоянными коэффициентами относительно
величин и2/г и гх~^ У\ + г1гиг. В уравнениях A4.11.16) независимое
переменное а связана с z формулой A4.11.13).
§ 12. Применение тригонометрических рядов
в статической безмоментной задаче
оболочек вращения
Коэффициенты дифференциальных уравнений теории оболочек враще-
вращения не зависят от ц>. Это позволяет в общем случае, т. е. при любом очерта-
очертании меридиана, искать решение при помощи тригонометрических рядов.
Применим этот метод к интегрированию статических безмоментных урав-
уравнений.
Примем для конкретности, что уравнения приведены к форме A4.10.5),
и допустим, что компоненты поверхностной нагрузки имеют вид
X-i (z, ф) = аг (z) cos пф, Xs (z, ф) = а^ (z) sin nq>, Z (г, ф) = с (z) cos «ф,
откуда в силу A4.10.6)
X* = хг (z) cos пф, X* = хг (z) sin пц>. A4.12.1)
Заметив это, зададим решение уравнений A4.10.5) в виде
t (z, ф) = т (г) cos пф, s (z, q>) = a (z) sin ntp. A4.12.2)
Тогда, подставив A4.12.1), A4.12.2) в A4.10.5) и сократив первое урав-
уравнение на cos пф, а второе на sin mp, получим для определения т, а систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
+n(T + * 0 пт + %0, A4.12.3)
в которой звездочка при п поставлена для удобства дальнейшего изложения;
пока надо считать, что пч = п.
Равным образом, если
¦Xi (z, ф) = Ox (z) sin «ф, Xs (z, ф) = q2 (z) cos пф, Z (z, ц>) = с (z) sin rup,

S 1J] ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 203
т. е. если
X* = хг (г) sin Пф, Хг = ^2 (z) cos mp, A4.12.4)
то, положив
t (г, ф) = т (z) sin Пф, s (z, ф) = a (z) cos nq>, A4,12.5)
получим для т, а снова систему A4.12.3), в которой теперь нужно считать
В общем случае, т.е. при произвольной поверхностной нагрузке, можно
положить
со
*1 =* ТГ + У! (*1" COS Пф + Xln Sin Пф),
Xf — -f + ^ (xL cos пф -1- ;&, sin
n=l
(принимается, что компоненты поверхностной нагрузки удовлетворяют
условиям Дирихле).
Тогда, задав решение уравнений A4.10.5) в виде
сведем задачу к определению двух последовательностей пар искомых функ-
функций (t'n, s'n) и (fn, s^). Пара функций (t'a, s'^ удовлетворяет системе A4.12.3),
в которой надо положить
Т = t'n, a = Sn, Хг = Х\п, Х% = Х2п, «* = П,
а пара функций (^, si) удовлетворяет системе A4.12.3), в которой надо
положить
Т = t'n, О = O"|i, *i = Х\а, Х2 = Хгл, tlt = П.
Итак, для весьма общего случая интегрирование статических безмомент-
ных уравнений, приведенных к виду A4.10.5), сводится к решению урав-
уравнений A4.12.3), к обсуждению которых мы и обратимся.
Уравнения A4.12.3) образуют систему обыкновенных линейных диффе-
дифференциальных уравнений, эквивалентную одному уравнению второго по-
порядка с переменными коэффициентами, зависящими от формы меридиана.
В некоторых частных случаях она допускает упрощения. Для оболочек
вращения второго порядка система A4.10.5) приводится к уравнениям
типа Коши—Римана или к уравнениям колебания струны; для оболочек
вращения с меридианом, имеющим вид параболы A4.11.11), система A4.10.5)
приводится к уравнениям с постоянными коэффициентами (§ 14.11). Во
всех этих случаях можно, очевидным образом, избавиться от переменных
коэффициентов и в уравнениях A4.12.3). Для этого надо, например, исхо-
исходить не из системы A4.10.5), а из уравнений вида A4.11.6) или A4.11.14).
Более подробно на общем обсуждении уравнений A4.12.3) мы останав-
останавливаться не будем, покажем только, что при л,=0и п^. = ±1 они инте-
интегрируются элементарно при любой форме меридиана (в практических зада-
задачах наиболее важны случаи, когда внешние силы либо остаются постоян-
постоянными по ф, либо меняются по закону cos <p или sin ф, т. е. именно случаи
«» = 0, % = 1).

204 БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ [.ГЛ. М
§ 13. Интегральные уравнения равновесия
безмоментной теории. Применение к оболочкам вращения
Прежде чем переходить к подробному обсуждению утверждения, выска-
высказанного в конце § 14.12, выведем интегральные уравнения равновесия без-
безмоментной теории.
Статические уравнения безмоментной теории записываются в виде
векторного равенства A3.5.3). Помножим обе его части на dax da% и проин-
проинтегрируем по области G, занятой оболочкой. Получим, считая, что sin % = 1,
т. е. что система координат ортогональна,
Также помножив обе части равенства A3.5.3) векторно на М da1 da,
и вновь проинтегрировав по области G, будем иметь
> 17 + х' * ~ Zn) х м
Левые части полученных равенств можно преобразовать, применив
к ним формулу интегрирования по частям E.31.2). Тогда после несложных
преобразований получим (g — контур области G)
A4.13.1)
A4.13.2)
Равенства A4.13.1), A4.13.2) и представляют собой векторные инте-
интегральные уравнения равновесия безмоментной теории. Первое из них выра-
выражает уравновешенность сил, а второе — уравновешенность моментов (отно-
(относительно начала декартовой системы координат). К ним мы еще вернемся,
а пока применим их для случая, когда G соответствует части поверхности
вращения, заключенной между двумя параллелями географической системы
координат, и для одной из параллелей фиксируем г, положив г = г0, а для
другой оставим г произвольным. В этом случае в A4.13.1), A4.13.2) надо
отождествить аи аг с z, q> соответственно, под М, Мг, Мг подразумевать

$ 13] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 205
выражения A4.9.2) и A4.9.4), двойные интегралы в A4.13.1), A4.13.2)
надо заменить двукратными (по z от z0 до z и по ф от —п до +п), а в кон-
контурных интегралах надо считать, что dax = 0, и заменить их разностью
двух однократных интегралов (по ф от —я до +я), считая, что в первом
из них z произвольно, а во втором z = z0. Проделав все это и перейдя от
векторов к проекциям (на ix, iv, iz), получим шесть скалярных интегральных
уравнений равновесия
+ я
Г ( — -^-Тхйпф—Scos
+
+я +я
— \ ~г гdy-\- С9 = RB, \ ( — f г~г7\cosф-f- zSsini
J Л1 J v Al
-я —я
A4.13.3)
4-я 4-я
\ ( r z ~r 7\ sin ф -f- zS cos ф ) r dф -f- D2 = Q2, ~ \ Sr2 dф -f- D3 = Q3.
—я —я
Здесь приняты следующие обозначения:
+я г
Ri = \ \ (-^f—Xi sin ф + ХоСОвф -г- sin ф ) г у 1 + г'2 dq> dz,
J J \ Ах A-i i
—я г0
4-я 2
R = \ ^(---ХхСОЗф—Х2ЗШф j- COS ф ) Г У 1 + г'2 Йф dz,
J J \ А1 А\ I
—я
Л -Т
J
—я
+я
О, =т f | [<r'z — г)Хл cos ф — zl/1 + г'2X,sin ф—(z + rr') Z со8ф]г ^ф dz,
—яг,
4-я 2
J J
—яг,
+я г
J J
—it г„
+я г
J \
—я г„
+ (z -j- rr') Z'sin ф] г йф dz,
+Я г
= I I X2r2 V\ + r'2 d<$ dz, A4.13.4)
J J
+я
—я
4-я
1
C9 =
¦•3
—я

206 БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. 14
-Г
J
+„ A4.13.4)
ф)гос(ф, D3= j
(дополнительный индекс «0» обозначает, что надо брать значение соответ-
соответствующей величины при г = г0).
Физический смысл величин R{ и Q,- очевиден: это, соответственно, проек-
проекции (на tx, iy, iz) равнодействующей и главного момента поверхностных
сил, приложенных к рассматриваемой части оболочки. Что касается Ct
и Dit то, как видно из определяющих их формул, это константы, завися-
зависящие от Т10, 5о, т. е. от краевых (на г = г0) значений тангенциальных
усилий. Так как Т10, So зависят от нашего выбора, то С, и D, нужно рас-
рассматривать как произвольные константы.
Пусть компоненты поверхностной нагрузки и тангенциальные усилия
заданы тригонометрическими рядами
+ S (Хы cos mp + Х\п
A4.13.5)
?i (Tin cos nq> -f- Tln sin ггф),
oo
S (^2n COS ftф + TJnSin /2ф), A4.13.6)
^+ 2(
Здесь X'tj, X"ih Z'k, Z"k — известные функции переменной г, a Tlh Тч,
S'k, S'k — искомые величины.
Подставим A4.13.5) в первые шесть формул A4.13.4), заметим, что в них
величины г, г', z не зависят от ф, учтем свойство ортогональности триго-
тригонометрических функций и используем известные формулы для вычисления
коэффициентов Фурье. Получим
A4.13.7)
с, г. 1Х г
*Н Tofe^-^-TTb^K1 +r"dr'
г
/?з=л J (X'w + r'Zu)rdz,

$ Ui ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 207
П J( ~ Fff^1 + ^ + F& ЯУ^П^А. (Н.13.7)
2о
зог2 УТ+У2 dz,
выражающие величины #,, Q? (i = 1, 2, 3) через известные функции г,
а именно, через коэффициенты при 1, sin ф и cos ф в разложениях A4.13.5).
Коэффициенты при cos Лф и sin Пф в правые части A4.13.7) не входят,
вследствие того, что соответствующие им нагрузки являются самоуравно-
самоуравновешенными.
Равным образом, подставив A4.13.6) в левые части интегральных урав-
уравнений равновесия A4.13.3), будем иметь равенства
У* +r A4.13.8)
nr (- ~f== Гц + zSi) + Di = Qx,
которые можно рассматривать как алгебраические уравнения относительно
шести неизвестных
7Ъ, 55, TU, Ти, Si, 5i, A4.13.9)
т. е. относительно коэффициентов при 1, cos ф, sin ф в разложениях Tt
и S. Величины Tva, SI определяются из третьего и шестого уравнений
A4.13.8), для определения 7п, Si имеем первое и пятое уравнения, а для
определения Т'и Si, —второе и четвертое уравнения.
Для построения Т'ц, Т'%и Т-п. можно воспользоваться третьим безмомент-
ным уравнением равновесия A4.10.2). Подставив в него A4.13.5), A4.13.6)
и приравняв коэффициенты при 1, cos ф и sin ф, получим три уравнения,
определяющие эти величины.
В конечном итоге величины A4.13.9), равно как и T'w, T'2\, Т^и выра-
выразятся через 6 произвольных констант С{, D, и через интегралы, стоящие
в правых частях равенств A4.13.7), а это и значит, что решения системы
A4.12.3) при л' = 0 и я* = ±1 достигаются при помощи квадратур. Дру-
Другими словами, если статические безмоментные уравнения решаются в триго-
тригонометрических рядах, то нет необходимости интегрировать те уравнения,
которые получаются для коэффициентов при 1, cos ф, sin ф (хотя это сделать
и нетрудно). Эгн коэффициенты можно построить элементарно, выделяя
часть оболочки между двумя параллелями географических координат и
требуя, чтобы приложенные к ней внешние и внутренние силы находились
в равновесии, т. е. воспользовавшись методом сечений.

208 БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ 1ГЛ. М
§ 14. Применение тригонометрических рядов
в безмоментной геометрической задаче
оболочек вращения
Геометрические безмоментные уравнения, конечно, тоже можно инте-
интегрировать при помощи тригонометрических рядов. Возьмем для определен-
определенности эти уравнения в виде A4.10.8) н будем считать, что их правые части
разложены в ряды следующим образом:
г у\ + г'2 со = -у- + 2j (<°п cos «ф + (й'п sin пф),
"^ A4.14.1)
Т, 8, 4~ 8« = —^ f- 2j (8л COS Пф 4~ 8п Sin Пф).
rr 1 п=1
Тогда решение уравнений A4.10.8) можно задать в виде
«2 16 V
"Г1 A4.14.2)
У 4- г'2 «1 = -%- + S Ob cos «Ф + Tin sin П(Р)-
Для определения коэффициентов разложения A4.14.2) получится си-
система, аналогичная системе A4.12.3):
г* Л-+ nj] = b, —n*% ^s--^- = d, A4.14.3)
в которой под (?, т), п„.) надо подразумевать либо A„, г)„, п), либо A^,, т]п, —п).
Все сказанное относительно A4.12.3) относится и к системе A4.14.3):
она составляется из уравнений с переменными коэффициентами, но для
поверхности вращения второго порядка и для случая, когда меридиан пред-
представляет собой параболу вида A4.11.11), система A4.14.3) приводится к урав-
уравнениям с постоянными коэффициентами. При п = 0 и я, = ±1 решение
системы A4.14.1) можно выразить через квадратуры.
Чтобы доказать справедливость последнего утверждения, рассмотрим
смещения поверхности вращения как жесткого целого и назовем эти сме-
смещения жесткими. Для произвольной поверхности жесткие смещения выра-
выражаются равенством D.27.8).
Перепишем его:
U = roxM-\-Uo A4.14.4)
и зададим постоянные векторы Uo, Го следующим образом:
Uo = аА 4- aJu + a3iz, Го = ft A + Vtf + Ms, A4.14.5)
считая, что at, bt — произвольные константы.
Вектор смещения U развертывается по осям подвижного триэдра при
помощи равенства D.22.2).
Поэтому считая, что выбрана ортогональная система координат, можно
написать
Выразив в правых частях этих равенств М, Mlt Af2, п, Uo н Го при
помощи A4.9.2), A4.9.4), A4.9.6) и A4.14.5) и давая i значения 1, 2,

? 14] БЕЗМОМЕНТНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 209
получим
"х = j/т+т* (r'z ~r) sin ф + утт?-* (r'z ~r) cos ф +
sin <р + __*_ /со5Ф+-^=-, (Н.14.6)
и2 = bxr'z cos ф 4- Kr'z sin ф — 63'"''" + aisln Ф + aicos Ф-
¦ Таким образом, при жестком смещении поверхности вращения вели-
величины ии и2, а, следовательно, и величины и2/г и У 1 -f-г'2 и, выражаются
как сумма величин, меняющихся по ф по закону 1, sin ф или cos ф и зави-
зависящих в общей сложности от шести произвольных констант. Вместе с тем,
очевидно, что жесткие перемещения являются решениями однородных (при
е, = е2 = со = 0) геометрических безмоментных уравнений. Отсюда сле-
следует, что, если Ej = е2 = со = 0, то в решении геометрических безмо-
безмоментных уравнений вида A4.14.2) коэффициенты при 1, cos ф и sin ф соот-
соответствуют смещениям срединной поверхности как жесткого целого. Но
в обыкновенных линейных дифференциальных уравнениях переход от реше-
решения однородных уравнений к решению неоднородных уравнений совер-
совершается элементарно (например, методом вариации постоянных). Поэтому
и из решения A4.14.6) можно элементарно получить решение неоднородных
геометрических безмоментных уравнений, если имеют силу разложения
A4.14.1) и в них отличны от нуля только коэффициенты при 1, cos ф и sin ф.
Это и будут те решения уравнений A4.14.3), которые можно элементарно
получить при п^ = 0 и п, = ±1. Другими словами, при решении гео-
геометрических безмоментных уравнений в тригонометрических рядах нет
необходимости интегрировать те уравнения, которые получаются для коэф-
коэффициентов при 1, cos ф, sin ф. Эти величины в однородном случае (при гг ~
= е2 = со = 0) соответствуют жестким смещениям срединной поверхности
и могут быть получены элементарно, а в неоднородном случае решение можно
получить методом вариации постоянных.
Заключая главу, отметим, что разложением в тригонометрические
ряды можно воспользоваться не только в безмоментной, но и в моментной
теории оболочек вращения. При этом в моментных уравнениях также отде-
отделится поперечная переменная, и для каждого отдельно взятого члена раз-
разложения получится система дифференциальных уравнений без частных
производных. На соответствующих конкретных подробностях мы останав-
останавливаться не будем. Им посвящена обширная литература (ограничиваясь
лишь монографиями, укажем работы [35, 62, 81, 98, 124, 136]).
Для упомянутых выше систем обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений не удалось найти достаточно простых общих точных методов решения
(в качестве исключения можно привести сферическую оболочку [40, 90,
110, 114, 149, 190], для которой общий интеграл однородных моментных
уравнений, соответствующий п-ыу члену разложения, удалось выразить
через элементарные функции и присоединенные функции Лежандра ком-
комплексного индекса).
Более общие результаты в теории оболочек вращения получены при
помощи асимптотических подходов. Обыкновенные дифференциальные урав-
уравнения, получаемые после отделения поперечной переменной, содержат в каче-
качестве параметров относительную толщину оболочки h^ и число п, равное
номеру рассматриваемого члена разложения в тригонометрические ряды
по ф. Соответственно, существует и два основных пути применения асимпто-
асимптотических методов в теории оболочек вращения.
Первый из таких подходов основывается на малости параметра h.%.
Он заключается в разложении решения по положительным степеням п^
14 А. Л. Гольденвейзер

210 БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. К
и принес наибольшее количество эффективных решений. Первые его при-
применения были даны в работах [137, 162, 163, 183]. Этот метод нашел отра-
отражения и во всех книгах, посвященных теории оболочек вращения. Особенно
последовательно и полно использована малость h^ в монографии [81 ].
Обсуждаемый асимптотический подход, в сущности, эквивалентен методу
расчленения, хотя это обстоятельство и не всегда бросается в глаза при
чтении литературы по теории оболочек вращения. Дело в том, что в ней
обсуждаются преимущественно случаи п — 0, п = 1, когда основное напря-
напряженное состояние строится элементарно, а, следовательно, асимптотический
метод используется лишь для построения (более точного, чем в главе 8) про^
стого краевого эффекта. Если п ^ 2, но не слишком велико, то в процессе
применения обсуждаемого варианта асимптотического метода построение
основного напряженного состояния и построение простого краевого эффекта
превращается в почти самостоятельные задачи, и черты сходства с методом
расчленения проявляются более отчетливо.
Второй путь применения асимптотического метода в теории оболочек
вращения может быть избран в случаях, когда п становится настолько
большим, что искомое решение можно раскладывать по отрицательным
степеням п. О нем будет подробнее сказано в приложении, а пока заметим,
что такой подход является альтернативой метода расчленения, точность
которого падает с возрастанием п (§ 12.30).

Г Л А В А 15 . :
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
§ 15. Постановка краевых задач
для безмоментных уравнений
Обращаясь к рассмотрению краевых задач, которые надо решать при
интегрировании уравнений безмоментной теории, начнем с обсуждения поста-
постановки вопроса.
В § 5.33 было показано, что в общей теории оболочек в каждой точке,
края надо выполнять по четыре граничных условия, выражающие упругие
свойства элементов, к которым примыкает край. Кроме того, может возник-
возникнуть необходимость выполнить на тех или иных внутренних линиях обо-
оболочки дополнительные требования, называемые условиями сопряжения.
Последние появляются, когда оболочка контактирует вдоль некоторой линии
с каким-либо упругим телом (оболочкой, усиливающим ребром и т. д.)
или когда вдоль внутренней линии g' претерпевают скачок величины
Хъ Xit Z, Яш Rlit R22, h, E, v, A5.15.1)
задающие поверхностную нагрузку, геометрию оболочки и упругие свойства
ее материала.
Пример условий сопряжения для случая, когда терпят скачки компо-
компоненты внешней нагрузки, а линия скачка g' совпадает с <хх = const, пред-
представляют собой равенства (9.18.1). Они выражают требования непрерывности,
четырех обобщенных усилий и четырех обобщенных перемещений и, так же
как граничные условия, могут быть разбиты на две группы. К первой группе
мы отнесем первые четыре равенства (9.18.1), заключающиеся в требовании
непрерывности тангенциальных усилий и тангенциальных перемещений,
и назовем их условиями тангенциальной непрерывности. Вторую группу
составят условия не тангенциальной непрерывности, выражаемые четырьмя
последними равенствами (9.18.1).
Переход от общей теории оболочек к безмоментной теории сопровож-
сопровождается понижением порядка уравнений. Поэтому необходимо условиться,
какие краевые задачи должны ставиться для безмоментных уравнений,
чтобы их решение представляло определенный физический интерес. Напра-
Напрашивающийся ответ на этот вопрос заключается в том, что безмоментные
уравнения надо интегрировать с учетом таких граничных условий и таких
условий сопряжения, которые связаны с тангенциальными (параллельными'
касательной плоскости) направлениями, т. е. что в безмоментиой теории,
должны быть сохранены только тангенциальные граничные условия и усло-
условия тангенциальной непрерывности. Эта точка зрения и будет принята в на-
настоящем разделе книги. Она оправдана результатами, полученными в части II.
Во всех рассмотренных там примерах оказалось, что решение сформулиро-
сформулированной таким образом безмоментной краевой задачи определяет в первом
приближении напряженно-деформированное состояние оболочки с точностью;
14*

212 БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ [ГЛ. 15
до простых краевых эффектов, т. е. с точностью до локальных напряженных
состояний, вызванных краями или другими линиями возмущения.
Таким образом, нам предстоит рассматривать краевые задачи, совпа-
совпадающие по смыслу с полной краевой задачей (§ 7.8), с.дополнительным пред-
предположением, что достаточно выполнять только требования тангенциальной
непрерывности.
Замечание. Принятая постановка краевых задач безмоментной теории неуниверсальна,
так как могут встретиться случаи, когда невыполнимо разбиение граничных условий и условий
непрерывности на тангенциальные и нетангенциальные. Для граничных условий это может
произойти, например, в случае, когда направление бесконечной жесткости опоры расположено
косо, т. е. составляет с нормалью угол, отличный от нуля и я/2. Для условий непрерывности
это произойдет тогда, когда они ставятся на линии излома срединной поверхности. Такие
случаи мы исключим из рассмотрения в настоящем разделе книги и вернемся к ним в части IV.
Ограничим, кроме того, класс полных безмоментных краевых задач,
подлежащих рассмотрению в этой части книги, введя следующие
Дополнительные предположения.
1. Срединная поверхность оболочки всюду имеет определенную каса-
касательную плоскость, не содержит бесконечно удаленных точек, не касается
плоскости вдоль замкнутой кривой и не имеет частей, совпадающих с пло-
плоскостью.
2. Все края оболочки — неасимпто^.ические, т. е. нигде не проходят
вдоль асимптотических линий и не касаются их.
3. Внешние силы, кривизны срединной поверхности и граничные усло-
условия достаточно гладки (понятие о гладкости граничных условий будет разъ-
разъяснено ниже).
Замечание. Нетрудно видеть, что требования, сформулированные в п. 1, сводятся к тому,
что срединная поверхность должна быть иеособой, в том смысле, как это понимается в § 9.13.
В дальнейшем речь идет только об идеализированных граничных усло-
условиях, и они будут подразделяться на геометрические и статические. Под
геометрическими граничными условиями подразумеваются требования, чтобы
краевые перемещения или углы поворота в некотором направлении, опре-
определенном в каждой точке края, имели заданное значение (в однородном слу-
случае равное нулю). Аналогичный смысл имеют статические граничные усло-
условия, в которых вместо перемещений и углов поворота задаются усилия и
моменты.
§ 16. Граничные задачи безмоментной теории оболочек
нулевой кривизны
В § 13.1 построены общие интегралы безмоментных уравнений произ-
произвольных оболочек нулевой кривизны. В них тангенциальные усилия и пере-
перемещения записываются с помощью равенств
Т. = 7<-> + 7(б>, S = S<4> + .S<6>, T, = 7Y>
, и.2= м<
ч>
в которых величины, отмеченные верхним индексом (ч), определены един-
единственным образом при помощи формул A3.1.6), A3.1.10), величины, отме-
отмеченные верхним индексом (б), выражаются формулами A3.1.8), A3.1.11),
т. е. зависят от двух произвольных функций t (а2), п (а2), а величины,
отмеченные верхним индексом (м), выражаются формулами A3.1.13), т. е.
зависят от двух других функций 1 (а2), ц (а2).
Для определения произвольных функций t (а2), п (а2), | (а2) и t] (а2)
надо использовать граничные условия. В настоящей главе мы рассмотрим

$ 17]
КОНСОЛЬНАЯ ОБОЛОЧКА
213
эту задачу в предположении, что граничные условия ставятся на двух краях
оболочки Yi и у2, не имеющих общих точек, и что учитываются только тан-
тангенциальные условия.
Часто будет приниматься, что уравнения краев имеют вид
а2 = а12 (а11( а12— константы),
A5.16.2)
т. е. что края проходят вдоль координатных а2-линий, как это обычно бывает
в практических задачах. В этом случае для краткости Yi, Y2 будут называться
поперечными краями оболочки (для произвольного цилиндра и для круго-
кругового конуса а2-линии представляют собой сечения поверхностей плоскостью,
ортогональной оси вращения).
§ 17. Консольная оболочка нулевой кривизны
Под консольной будет подразумеваться такая оболочка, у которой один
край (для конкретности — Yi) свободен, а другой (y2) жестко заделан.
В § 5.33 были рассмотрены граничные условия на свободном и на заде-
заделанном краях. Для-случая, когда они проходят вдоль линии а1 = const,
эти условия соответственно записы-
записываются так:
Т[ = 7, = О,
N[ = N, + -4--
1 о
да.2
= 0, и2 — 0, w = 0, Yi = 0-
Рис. 24.
Первые два из каждой группы представляют собой тангенциальные
граничные условия. Поэтому, если края консольной оболочки совпадают
с поперечными сечениями, то тангенциальные граничные условия можно
брать в виде
7\ = 0, S = 0 (при «! = а^,
л л / ч A5.17.1)
иг = 0, и2 = 0 (при а, = а12). ;
Здесь принято, что моменты Н21 относительно малы и приведенные
усилия Т[ и Sn заменены истинными усилиями Т\, S21, кроме того, в силу
равенства G.4.1) отброшены нижние индексы при S.
В общем случае, когда края ylt y2 не совпадают с поперечными сече-
сечениями, тангенциальные граничные условия можно записать в виде равенств
= 0 (на
и = 0, v = 0 (на у2),
A5.17.2)
в которых Ту, Sy — нормальное и сдвигающее тангенциальные усилия
в сечении, проведенном вдоль линии Yi, au, v — тангенциальные переме-
перемещения, направленные по тангенциальной нормали и по касательной к ли-
линии у2 (см. рис. 24).
Таким образом, для консольной оболочки надо рассмотреть полную
краевую задачу безмоментной теории, в которой тангенциальные граничные
условия имеют вид A5.17.1) или A5.17.2).

214 БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ [ГЛ. 15
В этом параграфе будем считать, чтоуь Тг представляют собой попереч-
поперечные сечения, т. е. что граничные условия имеют вид A5.17.1). Их можно
выполнить, приняв, что
u2 = u|-), w = да<ч>, A5.17.3)
определив правые части этих равенств при помощи формул A3.1.6) и A3.1.10)
и считая, что в последних а1 = аХ1, аг = а12, т. е. что в A3.1.6) интегриро-
интегрирование ведется от свободного края, а в A3.1.10) от заделанного. При этом
как в A3.1.6), так и в A3.1.10) все интегралы обратятся в нуль и условия
A5.17.1) выполнятся.
Итак, если считать, кто в A3.1.6) и A3.1.10) нижние пределы инте-
интегрирования at, а2 постоянны, то величины, отмеченные верхним значком (ч),
составляют решение полной краевой задачи безмоментной теории для загру-
загруженной поверхностной нагрузкой консольной оболочки нулевой кривизны,
у которой край а1 = а2 жестко заделан, а край аг = аг свободен и не загру-
загружен краевыми силами.
В частности, перейдя от произвольной поверхности нулевой кривизны
к цилиндру, т. е. положив Аг = Л2 (а2), R = R (а2) в A3.1.6) и A3.1.10),
получим следующее решение полной краевой задачи безмоментной теории
для консольной цилиндрической оболочки произвольного очертания:
= - J da, J -L -<L [-J- ? (RZ) - Х2] da, - j ^ da,
«11
a,
""а, «, A5.17.4)
a
1 д
f '
Eh
а,
(это решение остается в силе и в случае, когда Е, h, v меняются по аи а2).
Для произвольной консольной оболочки нулевой кривизны решение
определяют формулы A5.17.3), A3.1.6), A3.1.10), и нетрудно убедиться,
что оно — единственное. Действительно, из A5.16.1), A3.1.8), A3.1.11)
и A3.1.13) следует, что обсуждаемое решение получается при следующем
выборе произвольных функций безмоментной теории оболочек нулевой
кривизны:
= 0.
Вместе с тем ни одну из этих функций нельзя считать отличной от тож-
тождественного нуля, так как из A3.1.8) и A3.1.11) вытекает, что при этом нару"
шится по меньшей мере одно из условий A5.17.1).

§ 18] КОНСОЛЬНАЯ ОБОЛОЧКА 215
Из единственности решения A5.Г7.3), A3.1.6), A3.1.10) следует, что
если речь идет об открытой (имеющей прямолинейные края а2 = const)
оболочке (рис. 25), то для выполнения граничных условий на ее прямоли-
прямолинейных краях а2 = const у нас нет произволов и эти
условия могут выполниться только случайно. Поэтому
формулы A5.17.3), A3.1.6), A3.1.10) мы будем тракто-
трактовать как решение замкнутой (не имеющей прямолиней-
прямолинейных краев) оболочки и заметим, что полная безмомент- /^n. у//ф
ная краевая задача для открытой оболочки нулевой кри- [/ \,/<уг
визны, вообще говоря, не имеет решения. Этого можно
было ожидать заранее, так как прямолинейные образую- 25-
щие цилиндра являются асимптотическими линиями, т. е.
совпадают с характеристиками уравнений безмоментной теории (§§7.4, 7.5).
Аналогично ведут себя и нецилиндрические оболочки нулевой кривизны.
§ 18. Консольная оболочка нулевой кривизны
(продолжение)
Будем считать, как и в § 15.17, что расчету подлежит консольная обо-
оболочка нулевой кривизны с поперечными краями аг = allt аг = а12, но
теперь будет предполагаться, что поверхностная нагрузка отсутствует,
а к свободному краю (at = аи) приложены тангенциальные силы Т* (а2)
и S*21 (а2). Тогда тангенциальные граничные условия примут вид
Ti = Т*л i (аг), S = S* («г) при а = ац( A5.18.1)
иг=о, «2 = 0 при а1 = а12, A5.18.2)
а величины с верхним значком (ч) (частный интеграл) обратятся в нуль,
так как предполагается, что поверхностная нагрузка отсутствует, т. е.
Хг = Х2 = Z = 0.
Заметив это, можно получить решение соответствующей полной задачи
безмоментной теории, положив
и считая, что в формулах A3.1.8), A3.1.11) нижние пределы интегрирования
выбираются так же, как в § 15.17 (ах = а1Ъ а2 — а12).
Из A3.1.11) следует, что граничные условия A5.18.2) на жестко заде-
заделанном крае выполнятся при любых t (a2) и п. (а2), а для того, чтобы выпол-
выполнились граничные условия A5.18.1) на свободном крае, надо положить
t = S? (о,). A5.18.4)
Итак, решение рассматриваемой задачи получено. В общем случае
оно определяется формулами A5.18.3), A3.1.8), A3.1.11), а например, для
произвольной цилиндрической оболочки, когда А2 — А2 (a2), R = R (а2),
его можно записать так:
«1
~ я I At , .\ С л Т. .
A5.18.5)

216
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
[ГЛ. 15
u2 = щ =
пг
«1 «!
Аз J Al да, J S
1
2Eh A,
Формулы A5.18.5) так же, как и более общие формулы A3.1.8), A3.1.11),
дают единственное решение рассматриваемой задачи. Действительно, от-
отброшенные в равенствах A5.18.3) величины с индексом (м) нельзя считать
отличными от нуля, так как тогда, согласно A3.1.13), надо положить отлич-
отличными от нуля {• (а2) и ц (а2), а это поведет к нарушению по меньшей мере
одного из условий A5.18.2).
Отсюда вытекает, что A5.18.5), так же как A3.1.8) и A3.1.11), надо
рассматривать как решение для замкнутой оболочки, так как в нем отсут-
отсутствуют произволы для выполнения граничных условий на прямолинейных
краях а2 = const.
Таким образом, если считать, что в A3.1.8) и A3.1.11) нижние пределы
интегрирования не зависят от а2, то определяемые ими величины,
отмеченные верхним значком (б), составляют решение полной краевой
задачи безмоментной теории для консольной оболочки, у которой попереч-
поперечное сечение аг = ах заделано, а поперечное сечение ах = а2 свободно и загру-
загружено краевыми силами. Функции п, t в этом случае связаны с краевыми си-
силами 7^.1, Si формулами A5.18.4).
§ 19. Консольная оболочка нулевой кривизны
с косыми краями
Если края консольной оболочки расположены произвольно, то надо
выполнить граничные условия A5.17.2), подразумевая в них под 7^, Sy
усилия на косых (по отношению к принятой системе координат) сечениях,
т. е. величины, которые можно выразить через Tlt S2l, S12, T2 при помощи
формулы C.20.2). Равным образом перемещения и, v, отнесенные к направ-
направлению косого сечения, можно выразить через перемещения ult иг, отнесен-
отнесенные к координатным направлениям. Тогда граничные условия A5.17.2)
запишутся так:
— Ту = Tj sin2 Я, + 2S sin Я, cos Я, + 72 cos2 Я, = 0 (на yj,
Sy = 71! sin Я, cos Я, -f- S (cos2 Я, — sin2 X) — T2 sin X cos Я, = 0 (на yj,
и — щ sin \i -\~ «2 cos ц = 0, v = — Uj cos \i -\- u2 sin fi = 0 (на у2). A5.19.2)
A5.19.1)
Здесь Я, — угол между о^-линией и краем Yi (см. рис. 9), а \л — угол
между а2-линией и краем у2. Кроме того, принято во внимание, что в без-
моментных уравнениях S21 = S12 = S.
Разрешив равенства A5.19.1) относительно Ти S, получим
cosU T s = S^Tt (на Yi), A5.19.3)
*» С1Т1 i H VIA/» \ /
sin2 X '*' sin Я 2
равным образом равенства A5.19.2) дают
иг = 0, и2 = 0 (на y2)-
A5.19.4)

§ 20] ИЗГИБАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 217
Примем, что кривые Yi и у2 задаются уравнениями ах = а1Х (а2) и
ai = ai2 (аг). и будем считать, что в формулах A3.1.6) и A3.1.10), опреде-
определяющих величины с верхними индексами (ч), а также в формулах A3.1.8)
и A3.1.11), определяющих величины с верхними индексами (б), нижние
пределы интегрирования выбраны так: а1 = аг1 (а2), а2 = а12 (а2). Тогда,
при ах = аХ1 (а2), т. е. на краю ylt будут справедливы равенства
Т[ч) = 0, SD) = 0, Т\б) = л (а2), SF) = * (о2).
Равным образом при аг = а12 (а2), т. е. на краю у2, будут справедливы'
равенства
«<ч) = и\б) = 0, 4Ч) = 46) = 0.
Учитывая, кроме того, что Г2б) = 0, заключаем, что граничные усло-
условия A5.19.3) и A5.19.4) можно выполнить, положив
Тх = Т[ч) + Т[б), ..., и, = и\ч) + «S6), ... A5.19.5).
и выбрав в формулах A3.1.8) функции п (а2), ? (а2) так:
1=а„. A5.19.6)
Решение полной краевой задачи безмоментной теории для консольной
оболочки с косыми краями построено..Оно единственно. Это следует из того,
что величины, отмеченные индексом (м), которые отброшены в A5.19.5),
не могут быть отличны от нуля, так как они не удовлетворяют усло-
условиям A5.19.4).
Полученное решение, вообще говоря, теряет смысл, если sin Я. обращается
в нуль где-либо в интересующей нас области изменения а2, т. е. если край ух
касается прямолинейных образующих или проходит вдоль них. Это объяс-
объясняется тем, что прямолинейные образующие поверхности нулевой кривизны
являются характеристиками безмоментных уравнений.
§ 20. Изгибания поверхностей нулевой кривизны
Величины u|M>, u<M>, йу<м>, введенные в § 13.1, удовлетворяют однородным-,
геометрическим уравнениям безмоментной теории, а следовательно, пред-
представляют собой перемещения, которые испытывает поверхность нулевой
кривизны при изгибаниях (§7.5). Таким образом, формулы A3.1.13), опре-
определяющие ыС,м>, и^\ до(м), задают при произвольных ? (а2) и г\ (а2) переме-
перемещения всех изгибаний, которые может иметь поверхность нулевой кривизны.
В дальнейшем будет важно знать, может ли срединная поверхность
оболочки иметь изгибания, если смещения точек ее края (или краев) должны
подчиняться некоторым тангенциальным геометрическим граничным усло-
условиям. Если такие изгибания невозможны, то будем говорить, что соответ-
соответствующие граничные условия обеспечивают жесткость срединной поверх-
поверхности.
Обсудим, при каких обстоятельствах станет жесткой поверхность нуле-
нулевой кривизны. Пусть геометрические граничные условия имеют вид
иг sin fi -f и2 cos ц = 0, A5.20.1)
т. е. представляют собой требования обращения в нуль краевого перемеще-
перемещения, образующего угол ц с а2-линиями (рис. 26), причем fx может быть и
функцией точек контура.

218 БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ [ГЛ. 15
Примем, что на краю у поставлено два условия вида A5.20.1), т.е.
должны выполняться равенства
u\w) sin ц' + *4М> cos ц' = 0, и\ы) sin ц" + и{2ы) cos ц ' = 0 A5.20.2)
и будем считать, что край у охватывает поперечное сечение оболочки, т. е.
задается уравнением а1 — а1 (а2), в котором
A5.20.3)
и интервалу (а21, а22) соответствует полный обход поперечного сечения.
Если \i' Ф \i" во всех точках y> то A5.20.2) эквивалентны равенствам
и[ы) = 0, uia) = 0, A5.20.4)
а из A3.1.13) видно, что им можно удовлетворить, только положив % (а2) =
= ц (а2) = 0 во всем интервале A5.20.3), т. е. для всех точек поперечного
сечения поверхности. Одновременно A3.1.13) показывают, что при ? = tj = O
все перемещения тождественно исчезают. Это
значит, что два геометрических граничных
условия вида A5.20.1) или, что тоже, вида
A5.20.4), поставленные на краю y. охваты-
охватывающем поперечное сечение поверхности ну-
нулевой кривизны, обеспечивают ее жесткость,
т. е. обращают в тождественный нуль все
перемещения, соответствующие изгибаниям
этой поверхности.
Рассмотрим теперь случай, когда в общей сложности ставятся два гео-
геометрических граничных условия и одно из них задается на охватывающем
поперечное сечение контуре Yi, а другое на таком же контуре Y2 (если гео-
геометрических условий больше, чем два, или если они оба ставятся на одном
краю, то, как показал разобранный выше случай, жесткость срединной
поверхности будет обеспечена). Тогда, положив для простоты, что Yi и у2—
поперечные сечения, задаваемые уравнениями аг — ах и аг = a2, получим
из A3.1ЛЗ)
cos u, = 0,
A5.20.5)
J
I sin ц2 + т| cos ц2 = 0
lf р,2 — углы, определяющие направления нулевых перемещений на YiH Y2
соответственно). Эти равенства образуют относительно ?, т) систему обыкно-
обыкновенных линейных однородных дифференциальных (по а2) уравнений, кото-
которые надо интегрировать, требуя, чтобы | и rj возвращались к первоначаль-
первоначальному значению после обхода замкнутой поверхности. Но система A5.20.5),
вообще говоря, не имеет нетривиального (не нулевого) решения, удовлетво-
удовлетворяющего таким требованиям. Это следует из того, что она сводится к одно-
однородному линейному уравнению первого порядка и ее общий интеграл опре-
определяется равенствами
I = сф (а2), т) = сф (а2),
•в которых можно распоряжаться только константой с.
Итак, два геометрических граничных условия, поставленные на разных
•охватывающих краях Yi, Тг> вообще говоря, делают поверхность жесткой.
Однако возможны и исключения, к которым принадлежит случай, когда
геометрические граничные условия имеют вид
ых = 0 (на Yi и на Y2)-

§ 21] ТЕОРЕМА О ВОЗМОЖНЫХ ИЗГИБАНИЯХ 219
При этом в уравнениях A5.20.5) надо положить цг = ц2 — 0, и полу-
полученная система будет иметь решение | = const, ц = 0. Оно соответствует
тривиальному изгибанию, заключающемуся в движении оболочки как
жесткого целого (для цилиндра и кругового конуса это будет движение
в направлении оси х).
Пусть для некоторой оболочки (не обязательно нулевой кривизны)
поставлена полная краевая задача безмоментной теории, заключающаяся
в том, что на каждом краю сформулированы по два идеализированных тан-
тангенциальных граничных условия, среди которых, вообще говоря, будет
находиться и некоторое число геометрических условий. Тогда можно ввести
важное для дальнейшего понятие о возможных изгибаниях, подразумевая
под этим такие изгибания срединной поверхности, которые удовлетворяют
всем однородным тангенциальным геометрическим граничным условиям
данной полной краевой задачи безмоментной теории. В число тангенциаль-
тангенциальных граничных условий задачи могут и не входить геометрические гранич-
граничные условия. Тогда возможными надо считать все изгибания, которые имеет
срединная поверхность оболочки, когда ее края ничем не стеснены. В даль-
дальнейшем выяснится, что с прочностной точки зрения наиболее выгодны (они
Чаще всего и применяются на практике) те оболочки, в которых тангенциаль-
тангенциальные геометрические граничные условия обеспечивают жесткость срединной
поверхности, т. е. не допускают каких бы то ни было ее изгибаний. В таких
случаях будем говорить, что возможные изгибания равны нулю.
Поясним понятие о возможных изгибаниях на примере консольной
оболочки нулевой кривизны. Если края такой оболочки проходят вдоль
поперечных сечений, то для полной краевой задачи тангенциальные гранич-
граничные условия формулируются в виде четырех равенств A5.17.1), из которых
к геометрическим граничным условиям относятся два последних равенства.
Они совпадают с граничными условиями A5.20.4) и, как было показано
выше, обеспечивают жесткость срединной поверхности. Это значит, что
для консольной оболочки нулевой кривизны возможные изгибания равны
нулю.
§ 21. Теорема о возможных изгибаниях
Для широкого класса случаев справедлива следующая
Теорема о возможных изгибаниях. Полная безмоментная краевая задача,
отвечающая дополнительным предположениям (§ 15.15), имеет решение,
удовлетворяющее тангенциальным условиям непрерывности, тогда и только
тогда, когда соответствующие ей заданные внешние силы не совершают
работы на перемещениях U всех возможных изгибаний срединной поверх-
поверхности, и это решение единственно с точностью до U [61 ].
Сформулированную теорему мы доказывать не будем, приняв ее как
условное утверждение, правильность которого будет проверяться по мере
получения конкретных результатов. А пока ограничимся обсуждением
условий теоремы.
Легко показать, что, если полная безмоментная краевая задача имеет
решение, то в нем будут присутствовать элементы произвола, соответ-
соответствующие возможным изгибаниям срединной поверхности. Перемещениям
любого изгибания соответствуют нулевые компоненты тангенциальной
деформации, а значит, в силу формул G.1.4), и нулевые тангенциальные
усилия. Поэтому перемещения возможного изгибания заведомо удовлетво-
удовлетворяют однородным безмоментным статическим уравнениям и однородным
статическим тангенциальным условиям. Кроме того, они по определению
удовлетворяют однородным безмоментным геометрическим уравнениям и
однородным геометрическим тангенциальным условиям. Таким образом,

220 БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ [ГЛ 15
возможные изгибания удовлетворяют всем уравнениям и граничным условиям
полной однородной граничной задачи безмоментной теории, и соответствую-
соответствующие перемещения всегда можно прибавить к решению этой задачи.
В практических применениях, как правило, приходится иметь дело с оболочками, в кото-
которых тангенциальные геометрические условия обеспечивают жесткость срединной поверхности,
т. е. исключают ее изгибания (в противном случае оболочка станет иевыгодиой в прочностном
отношении; этот физически понятный факт подтвердится в части IV). Тогда возможные изгиба-
изгибания надо считать равными нулю, а это значит, что любая внешняя нагрузка будет удовлетво-
удовлетворять условию нулевой работы и теорема о возможных изгибаниях превратится в теорему суще-
существования и единственности решения полной безмоментной краевой задачи при любой, доста-
достаточно гладкой, нагрузке.
Необходимость основного требования теоремы, т. е. условия нулевой
работы, вытекает из равенства G.7.6). В нем под U можно подразумевать
любой вектор смещений, а под е1( со, е2 — соответствующие ему компоненты
тангенциальной деформации. Примем поэтому, что U определяет поле сме-
смещений некоторого возможного изгибания рассматриваемой задачи. Тогда
в равенстве G.7.6) надо положить гг = со = е, = 0, и оно примет вид
JJ
=0. A5.21.1)
Здесь в левой части первое слагаемое выражает работу всех (тангенциальных
и нормальных) поверхностных сил. Во втором слагаемом под R\l) подразу-
подразумевается тангенциальная проекция вектора R(i), и оно 'выражает работу
тангенциальных краевых сил. При произвольном U на краю будут совер-
совершать работу как заданные внешние силы, так и силы реакции опоры. Однако
вектор U задает возможные изгибания и должен удовлетворять геометри-
геометрическим граничным условиям, т. е. он не имеет составляющей в тех направ-
направлениях, где могут возникнуть реактивные силы. Это значит, что равен-
равенство A5.21.1) представляет собой именно то условие нулевой работы всех
заданных внешних сил, которое входит в формулировку теоремы, и необ-
необходимость его становится очевидной.
Дополнительные предположения, сформулированные в § 15.15, также
необходимы.
Края оболочки должны быть неасимптотическими. Это следует из рас-
рассмотрения консольной оболочки нулевой кривизны. В такой оболочке тан-
тангенциальные граничные условия обеспечивают жесткость срединной по-
поверхности (§ 15.20), и по теореме о возможных изгибаниях решение полной
безмоментной краевой задачи должно было бы существовать при любой,
достаточно гладкой, нагрузке. Однако в § 15.17 показано, что это решение
можно построить только тогда, когда оболочка не имеет продольных краев,
которые в данном случае проходят вдоль асимптотических линий. Более
того, результаты § 15.19 показывают, что нельзя допускать даже касания
края оболочки с асимптотической линией срединной поверхности.
На примере консольной оболочки нулевой кривизны можно убедиться
и в необходимости требования гладкости величин A5.11.1). Решение соот-
соответствующей полной безмоментной краевой задачи определяется форму-
формулами A5.17.3), A3.1.6), A3.1.10), в которых все операции по переменной аа
заключаются только в дифференцировании. Поэтому усилия и перемеще-
перемещения A5.17.3), A3.1.6), A3.1.10) будут, вообще говоря, непрерывными только
тогда, когда величины A5.15.1) достаточно гладки как функции точек попе-
поперечного сечения оболочки (для замкнутой оболочки по переменной а2 должны
выполняться не только условия гладкости, но и условия возврата, т. е.
требования, чтобы рассматриваемая величина вместе с некоторым числом
ее производных вернулась к прежним значениям после обхода поперечного
сечения). А именно, для того чтобы выполнились тангенциальные условия

$ 21] ТЕОРЕМА О ВОЗМОЖНЫХ ИЗГИБАНИЯХ 221
непрерывности (§ 15.15), т. е. были непрерывны величины S, Т2, иъ и2,
надо, чтобы величины A5.15.1) вместе со своими производными по а2 до
порядков
d3z axt a2x2 зе ah
да% ' даг ' да$ ' да2 ' !fo^
включительно были непрерывны как функции точек поперечного сечения.
Конечно, в некоторых случаях, когда скачки взаимно погашаются, это
требование можно смягчить.
По переменной ах в формулах A3.1.6), A3.1.10) выполняются только
операции интегрирования, и нетрудно проследить, что условия танген-
тангенциального сопряжения на линии ах = const, т. е. требования непрерывности
величин S, Ти ии и2 по аи будут выполняться даже в том случае, когда
скачки по ах имеют сами величины A5.15.1).
Итак, полная краевая задача безмоментнои теории для консольной
оболочки нулевой кривизны имеет единственное решение A5.17.3), A3.1.6),
A3.1.10), как и должно быть, так как возможные изгибания в данном слу-
случае равны нулю. Однако это решение законно (удовлетворяет условиям
тангенциальной непрерывности) только тогда, когда величины A5.15.1)
подчинены определенным требованиям гладкости (значительно более жестким
по а2, нежели по ах).
Замечание. Повышенные требования гладкости по а2, так же как невозможность учесть
граничные условия на продольных краях, для оболочки нулевой кривизны связаны с тем, что
для нее линии а2 = const совпадают с характеристиками уравнений безмоментнои теории.
Требование гладкости граничных условий, включенное в дополнитель-
дополнительные предположения (§ 15.15), также необходимо. Если в какой-либо точке
края оболочки меняется смысл граничного условия или терпит скачок функ-
функция, входящая в формулировку граничного условия, и через эту точку
проходит действительная характеристика безмоментных уравнений у, то
на у, вообще говоря, произойдет нарушение условий тангенциальной непре-
непрерывности. Это, видно из результатов решения полной краевой задачи для
консольной цилиндрической оболочки, загруженной на свободном крае:
усилия и перемещения в данном случае определяются формулами A5.18.5),
имеющими силу только тогда, когда в правых частях условий A5.18.4)
функции Т\ 1 и Si достаточно гладки. Другие примеры читатель найдет
в § 15.25.
Общий интеграл безмоментных уравнений оболочек нулевой кривизны
определяется формулами A3.1.6), A3.1.8), A3.1.9), A3.1.10), A3.1.11),
A3.1.13). При этом в формулах A3.1.6), A3.1.10) компоненты поверхностной
нагрузки Хг, Х2, Z неоднократно интегрируются по ах. Отсюда следует,
что усилия и перемещения безмоментнои теории будут при некоторых обсто-
обстоятельствах неограниченно возрастать, даже если Xly X2, Z остаются всюду
ограниченными. Рассмотрим, например, случай, когда Хи Х2, Z постоянны
поа1; и проследим по формулам A3.1.6), как ведут себя усилия T[4\S<4), Т|ч).
Если оболочка — цилиндрическая, т. е. если (§ 10.28)
А2 = AT (aj), R, = RB0) (а2),
то, выполнив вычисления по формулам A3.1.6), получим
г(ч) (gt — О!J 1 д 1 д Г 1 д (ЫО)
S<4> = (а, - а,) j^-ф- ? (*J°>Z) -X2 J, 7f" —

222
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
[ГЛ. 15
Отсюда видно, что в цилиндрической оболочке усилия Т\ч\ 5(t° при
постоянной по длине поверхностной нагрузке неограниченно возрастают
с ростом <*!, т. е. с увеличением длины оболочки. Легко проверить, что
такими же свойствами обладает и оболочка нулевой кривизны, имеющая
форму произвольной поверхности касательных, для которой (§ 10.28)
А2 = 4°> + Араь, Я2 - Ri°> + /#>
Если оболочка — коническая, т. е. если
то вычисления по формулам A3.1.6) дают
A 4"
"-K-flfa
Эти формулы показывают, что в конической оболочке при нагрузке,
не меняющейся вдоль образующей, усилия Т\ч\ SD) возрастают как при
ttj —» сх>, т. е. при увеличении длины оболочки, так и при ctj —» 0, т. е. при
\а
Рис. 27.
Рис. 28.
приближении к вершине конуса. Отсюда следует необходимость дополни-
дополнительных предположений об отсутствии бесконечно удаленных точек средин-
срединной поверхности и о существовании определенной касательной плоскости.
Недопустимо, конечно, и существование участков, на которых средин-
срединная поверхность превращается в плоскость, так как при этом Rlt — Rl2 =
— Rzz — °° и третье силовое уравнение безмоментной теории становится
бессмысленным.
Остается пояснить, с чем связано дополнительное предположение об
отсутствии касания срединной поверхности с плоскостью вдоль замкнутой
кривой. Для этого рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой
представляет собой полный круговой тор (на рис. 27 показан его меридиан).
Цилиндром аа он рассекается на две части: А — поверхность неотрицатель-
неотрицательной кривизны и В — поверхность неположительной кривизны. Пусть осе-
симметричная внешняя поверхностная нагрузка приложена как к части А,
так и к части В, так, как это показано на рисунке. В целом нагрузка стати-
статически уравновешена, но в отдельности для А и В ее равнодействующая дает
ненулевую проекцию на вертикальную ось. Для полной краевой задачи
безмоментной теории все условия обсуждаемой теоремы выполнены; в теории
поверхностей доказано, что тор жёсток (см., например, [19]), т. е. он может

§22] ШАРНИРНО ОПЕРТАЯ ОБОЛОЧКА 223
лишь двигаться как жесткое целое, а на таких смещениях самоуравновешен-
самоуравновешенная нагрузка, приложенная к тору, не будет совершать работу. Тем не менее
физически ясно, что решение полной краевой задачи безмоментной теории
в этом случае невозможно. Отбросим часть В и заменим ее действие танген-
тангенциальными усилиями, приложенными к части А на сечениях, разделяющих
эти части; тогда равновесие окажется невозможным, так как тангенциальные
усилия не дают составляющей на вертикальную ось.
Подобные рассуждения можно провести и для любой другой замкнутой,
оболочки, срединная поверхность которой касается плоскости вдоль замк-
замкнутой кривой (примером может служить оболочка вращения, [меридиан
которой изображен на рис. 28). Отсюда и следует недопустимость касания,
срединной поверхности с плоскостью вдоль замкнутой кривой.
§ 22. Шарнирно опертая оболочка нулевой кривизны
Возвращаясь к рассмотрению краевых задач безмоментной теории обо-
оболочек нулевой кривизны, примем теперь, что оболочка ограничена кри-
кривыми Yii Уз, совпадающими с поперечными краями A5.16.2), и что на них
осуществлено шарнирное опирание. Тогда тангенциальные граничные усло-
условия можно записать в виде равенств (§5.33)
Ti = T\.i, ы2 = 0 (нрио1=оц), A5 22 1>
Т\= Г1.2, И2 = 0 (При OCi =0Cl2),
в которых предполагается, что а12 >ап и что к краям ylt y2 приложены
заданные силы 77, i и 77,2.
Решение полной краевой задачи безмоментной теории, соответствующей,
условиям A5.22.1), зададим в форме A5.16.1), будем считать, что в форму-
формулах A3.1.6), A3.1.8), A3.1.10), A3.1.13) нижние пределы интегрирования'
выбраны обычным образом (а^ = allt a2 = ala), и начнем с выполнения
статических условий.
Подставим в первое и третье равенства A5.22.1) выражения A5.16.1).
и расшифруем Т[ч) и Т[б) по формулам A3.1.6) и A3.1.8). Получим
-'1.1' д
0!ц L J
A5.22.2>
Здесь
n2- 2
Л A \ Л Л I
Л2, l — Л2 |osi=au> -^2, 2 — /1а [osi=o!12-
Равенства A5.22.2) позволяют найти сначала п (<х2), а затем и t (а2)>
причем для определения последней получается простейшее дифференциаль-
дифференциальное (по а2) уравнение, которое можно записать так:
p= f^-dGd. A5.22.3)
J A

6ЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
[ГЛ. 15
"Отсюда, воспользовавшись первым равенством A5.22.2), будем иметь
а,
t = -L J [ Аг. 2 (Т'и 2 + Т[?2) + Аг, iK i] A2 da2 + Ci (d = const, cm = const).
A5.22.4)
Обратимся к тангенциальным геометрическим условиям, выраженным
вторым и четвертым равенствами A5.22.1). Введя обозначение
«2."\ =')|а,=сс„>
•подставив выражения A5.16.1) во второе и четвертое равенства A5.22.1)
и расшифровав ы?ч\ ы<2б>, ы^м) по формулам A3.1.10), A3.1.11), A3.1.13),
лолучим для определения произвольных функций \ (а2), т) (а2) уравнения
?) ^+"^гл (а2)=~ "':)l ~ "'•>ь "(а2) = 0> A52'5)
в которых
da, da,
2EhA2 f Al
Л2. i л \ da,!
Здесь снова надо выполнять интегрирование по а2, и функция \ будет
определена с точностью до двух констант (Съ содержащейся в t, и С2)
появляющейся при определении 1).
Как и раньше, полученные результаты следует рассматривать как
решение безмоментных уравнений для замкнутой оболочки нулевой
кривизны, и значит, надо выполнять условия возврата (по сс2).
Пусть величины X,, Х2, Z, E, h, v достаточно гладки для того, чтобы
частный интеграл, отмеченный значком (ч), удовлетворял условиям возврата.
Тогда надо потребовать, чтобы и t (a2) удовлетворяло условию возврата,
иначе, как видно из A3.1.8), будет иметь скачок сдвигающее усилие S.
Выполнить это условие с помощью константы Сг, входящей в t (a2), нельзя,
так как константа сама удовлетворяет условию возврата. Отсюда, учиты-
учитывая A5.22.4), заключаем, что полученное решение для замкнутой оболочки
имеет силу только тогда, когда выполняется равенство
а12
j [А3. 2 (П. 2 + ТТг) + К хТ'и i] dcco = 0
A5.22.6)
(пределы интегрирования соответствуют обходу поперечного сечения обо-
оболочки).
Условие A5.22.6) имеет простой физический смысл. Усилия, отмечен-
отмеченные индексом (ч), для любой конечной части оболочки должны, очевидно,

S 23] ЖЕСТКО ЗАДЕЛАННАЯ ОБОЛОЧКА 225
находиться в равновесии с поверхностными силами Xlt Х2, Z. Так как на
свободном конце оболочки Г<ч) = 0, то величина
равна проекции равнодействующей всех поверхностных сил, приложенных
к оболочке, на направление оси х декартовой системы координат (см. рис. 18,
§ 11.28). Отсюда следует, что A5.22.6) представляет собой условие уравно-
уравновешенности в том же направлении всех сил (поверхностных и краевых),
приложенных к оболочке. Это условие, конечно, необходимо для существо-
существования решения, так как реакции шарнирных опор не могут воспринять
продольных сил.
Если выполнено условие A5.22.6) и если исходные данные задачи, т. е.
величины Xlt X2, Z, E, h, v, T\j, 71,2, представляют собой достаточно глад-
гладкие функции точек поперечного сечения оболочки, то усилия и перемещения,
отмеченные индексом (б), определяются формулами A3.1.8), A3.1.11), так же
как достаточно гладкие функции точе^ поперечного контура, и будут зави-
зависеть от константы С1. Последнюю надо выбрать так, чтобы при интегриро-
интегрировании первого равенства A5.22.5) для функции Ъ. (а2) выполнились условия
возврата (иначе ии как функция точек поперечного сечения, будет иметь
скачок). Константа С2, получающаяся при интегрировании первого равен-
равенства A5.22.5), останется неопределенной. Это естественно, так как шарнир-
шарнирная опора не препятствует смещению оболочки как жесткого целого в на-
направлении оси х декартовой системы координат.
Тангенциальные геометрические граничные условия рассмотренной
полной краевой задачи, как было показано в § 15.20, допускают изгибание
срединной поверхности (тривиальное изгибание, сводящееся к продольному
жесткому смещению), и полученные результаты полностью соответствуют
теореме о возможных изгибаниях. Условие разрешимости A5.22.6) сводится
к требованию обращения в нуль работы внешних сил на жестких продоль-
продольных смещениях, а решение определяется с точностью до этих смещений.
§ 23. Жестко заделанная оболочка нулевой кривизны
Пусть оба поперечных края ylt y2 оболочки нулевой кривизны жестко
заделаны. Тогда тангенциальные граничные условия будут записываться
так (§ 5.33):
ы1=0, ы2=0 (при ос,=аи и при а, = а12). A5.23.1)
Решение полной краевой задачи и в этом случае будем искать в виде
A5.16.1). При этом удобно считать, что в формулах A3.1.10), A3.1.11),
A3.1.13), определяющих перемещения, интегрирование ведется от одного
из заделанных краев, т. е. положить, например, а2 = а12. Что же касается
формул A3.1.6), A3.1.8), определяющих тангенциальные усилия, то в них
в данном случае выбор предела интегрирования а2 не имеет значения.
Граничные условия A5.23.1) на краю <хг — а12 выполнятся, если, в фор-
формулах A3.1.13) положить
15 А. Л. Гольденвейзер

226
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
[ГЛ. 15
Для определения t (a2), n (а2) надо использовать граничные усло-
условия A5.23.1) при аг = сс21. Они приводят к равенствам
2Eh
«11
— J ~2?/Г
«12
a,
a,2
где
которые образуют систему двух обыкновенных дифференциальных (по а2)
уравнений с двумя неизвестными t и п. При интегрировании этой системы
(в общем случае это будут линейные дифференциальные уравнения с пере-
переменными коэффициентами) надо учитывать условия возврата. Легко пока-
показать, что такое решение (единственное) существует при любых, достаточно
гладких, нагрузках. Это вполне согласуется с теоремой о возможных пере-
перемещениях, которая превращается, в данном случае, в теорему существования
и единственности, так как геометрические тангенциальные граничные усло-
условия обеспечивают жесткость оболочки (§ 15.20).
По аналогичной схеме решается и задача для оболочки, один край ко-
которой шарнирно оперт, а другой — свободен. На этом мы не будем оста-
останавливаться.
§ 24. Оболочка нулевой кривизны
со свободными краями
Пусть оба поперечных края оболочки нулевой кривизны свободны и
к ним приложены краевые силы Т^д, S\, Т\п_, Si соответственно. Тогда
тангенциальные граничные условия запишутся так:
Ti = fUu S = S] (при я, =oni), A5.24.1)
Г, = — Т\,2, S = S*2 (при «! = a12). A5.24.2)
Все эти четыре равенства, вообще говоря, невозможно выполнить в рам-
рамках решения полной краевой задачи безмоментнои теории, так как в общем

$25] ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ 227
интеграле A5.16.1), A3.1.6)—A3.1.8), A3.1.10), A3.1.11), A3.1.13) безмо-
ментных уравнений в выражение для тангенциальных усилий входят только
две произвольные функции п (а2) и t (a2), содержащиеся в величинах с ин-
индексом (б). Две другие произвольные функции | (а2) и т) (а2) нельзя исполь-
использовать потому, что они входят лишь в величины с индексами (м), которые
не содержатся в выражениях для тангенциальных усилий.
Будем выполнять только условия A5.24.1). Они совпадают с усло-
условиями A5.18.1). Поэтому можно воспользоваться результатами §§ 15.17,
15.18 и записать тангенциальные усилия, удовлетворяющие условиям A5.24.1),
при помощи первых трех равенств A5.16.1), считая, что величины
с индексами (ч) и (б) определяются равенствами A3.1.6), A3.1.10) и A3.1.8),
A3.1.11), в которых принято al = all, и что функции п (а2) и t (сс2)
выбраны так:
п (ог) = Т\, I, <(сс2) = 5*. A5.24.3)
Подставив соответствующие выражения в граничные условия A5.24.2),
получим два равенства
а,,
а,
а
1
Ч8. 2
а.
г; 2 = 0, A5.24.4)
•¦2i 2
«1! г,
В них, как и раньше, А2<1, А2<2 — значения коэффициента А2 на соответ-
соответствующих краях оболочки.
Равенства A5.24.4), очевидно, представляют собой необходимые и
достаточные условия существования решения рассматриваемой полной
краевой задачи безмоментной теории. Если поверхностные и краевые силы
удовлетворяют равенствам A5.24.4), то тангенциальные усилия будут одно-
однозначно определены формулами A5.16.1), A3.1.6) и A3.1.8). Перемещения
при этом не будут однозначными, так как можно считать, что ии ы2, w оп-
определяются тремя последними равенствами A5.16.1), в которых и\м), и[м),
w(K) надо брать по формулам A3.1.13), а последние содержат две произволь-
произвольные функции | (сс2), т) (а2).
Условия A5.24.4) по смыслу совпадают с требованиями, чтобы внешние
поверхностные силы (Хь Х2, Z) и внешние краевые силы (Т|,ь T\i2, Si, S2)
не совершали работы на всех таких перемещениях срединной поверхности,
которые соответствуют ее изгибаниям (на доказательстве мы не останавли-
останавливаемся, его можно найти в работе [60]). Такое же утверждение остается
верным и для произвольных оболочек положительной кривизны (см. § 18.36).
§ 25. Задачи с дополнительными условиями
внутри области
Пусть расчету подлежит замкнутая цилиндрическая оболочка, жестко
заделанная по обоим поперечным краям аг = аи а1 = а2 и имеющая раз-
разрез вдоль части одного из поперечных сечений (рис. 29). Покажем, что
15*

228
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
ГГЛ. 15
соответствующая полная краевая задача безмоментной теории не имеет
¦ решения.
Расчленим оболочку на три части, как изображено пунктирными линиями
на рис. 29, и будем решать полные краевые задачи безмоментной теории
в отдельности для каждой из полученных оболочек. Части 1 я 2 представ-
представляют собой консольные оболочки, а часть 3 — оболочку, жестко заделанную
Рис. 29.
Рис. 30.
по обоим краям. Соответствующие полные краевые задачи рассмртрены
в §§ 15.17, 15.23. Каждая из них при любой, достаточно гладкой, нагрузке
имеет решение и притом единственное. Это значит, что в пределах каждой,
отдельно взятой части безмоментная теория не может дать никакого другого
напряженно-деформированного состояния, кроме найденного вышеописан-
вышеописанным способом. Вместе с тем, для оболочки в целом это решение, во-
вообще говоря, непригодно: на линиях, по которым
оболочка мысленно рассекалась на части (пунк-
(пунктир на рис. 29), мы не можем выполнять какие-
либо требования, и в обсуждаемом решении не
будет обеспечено выполнение условия танген-
тангенциальной непрерывности.
Полная краевая задача безмоментной теории
в этом случае не решается потому, что условие,
появившееся внутри области, негладко (§ 15.15):
на разрезе надо ставить условие отсутствия уси-
усилий, а на продолжении разреза должны выпол-
выполняться обычные условия тангенциальной непре-
непрерывности. Таким образом, здесь нарушается одно
из условий теоремы о возможных изгибаниях.
Замечание. Добавление промежуточного условия само по себе не ведет к невозможности
решать краевую задачу. Например, если в консольной цилиндрической оболочке на некотором
промежуточном поперечном сечении закрепить все точки от тангенциальных перемещений,
то появится дополнительное условие тангенциальной непрерывности и решение полной краевой
задачи будет существовать, в чем читатель легко убедится сам.
Нетрудно привести и пример противоположного характера, когда про-
промежуточного условия нет, но решение полной краевой задачи безомомент-
ной теории не существует, так как граничные условия негладки. Пусть
цилиндрическая оболочка жестко заделана по всему периметру на одном из
краев, а на другом краю — частично заделана, частично свободна (рис. 30).
Тогда исследование можно свести к задаче для консольной оболочки / и
к задаче для заделанной на обоих концах оболочки 2. Их решениями, един-
единственным образом, определяется напряженно-деформированное состояние
в зонах 1 и 2, но для оболочки в целом результат будет снова непригоден,
Рис. 31.

$ 25] ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ 229
так как в нем, вообще говоря, не выполняются условия тангенциальной
непрерывности по прямолинейной образующей.
При исследовании оболочек с отверстиями можно поступить так же,
как и в задаче об оболочке с разрезом. Снова получаются три самостоятель-
самостоятельные задачи, как видно из схемы, изображенной на рис. 31. В данном случае
края консольных оболочек / и 2 не совпадают с поперечными сечениями
цилиндра, т. е. получается задача, разобранная в § 15.19. Она, вообще говоря,
не имеет решения, так как в точках а, Ь происходит касание края с прямо-
прямолинейными образующими. Кроме того, в тех исключительных случаях,
когда такие решения существуют, полученное напряженное состояние,
вообще говоря, не будет удовлетворять условиям стыка на линиях разрезов.

ГЛАВА 16
ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ.
СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
§ 26. Полюсы комплексной функции напряжений
Пусть срединная поверхность оболочки представляет собой полную
(замкнутую) сферу и поверхностная нагрузка отсутствует (X1 = X2 = Z =
= 0). Из теоремы единственности (§5.32) вытекает, что для такой оболочки
моментные уравнения будут иметь лишь тривиальные (нулевые) решения.
Это утверждение остается верным (хотя и не таким очевидным) и для безмо-
ментных статических уравнений. Действительно, решение последних в рас-
рассматриваемом случае определяется комплексной функцией напряжения г|? (С),
которая (§ 13.4) должна быть аналитической во всей плоскости ? и иметь
нули в точках С = 0, С = °°- По теореме Лиувилля она тождественно рав-
равняется нулю, что согласно формулам A3.4.2) и означает обращение в нуль
напряженного состояния оболочки.
Вместе с тем не представляет труда построить отличную от нуля ком-
комплексную функцию напряжений \|з (С), обладающую перечисленными выше
свойствами всюду, кроме некоторой точки С = Со. в которой для \р (С) до-
допускается полюс. Примером служит функция
R
г=0 vs
Она определяет безмоментное напряженное состояние полной сфери-
сферической оболочки для случая, когда поверхностная нагрузка равна нулю
в любой области, не содержащей точки С = Со- Поэтому естественно считать,
что полюс функции напряжений \|з (С) при С = Со (Со =? 0> Со Ф °°) соот-
соответствует приложению в данной точке некоторого сосредоточенного силового
воздействия. Равным образом естественно, принять, что полюсу функции
С~2г|з (С) в точке С = 0 и полюсу функции С2^ (С) в точке С = °° отвечают
сосредоточенные силовые воздействия, приложенные, соответственно, в точ-
точках С = 0 и С = ©о.
Рассмотрим очевидное равенство
lim Г -.—^-тг- -—-1 —-, = "° „,, (с = const).
Оно показывает, что, если два полюса порядка п, расположенных в точ-
точках Со и Со. бесконечно сближаются, а их коэффициенты различаются только
знаком и возрастают как (С^ — Со^1. то в пределе получается полюс порядка
п + 1. Это значит, что сосредоточенные воздействия, соответствующие
полюсам более высокого порядка, можно рассматривать как результат слия-
слияния равных и противоположно направленных неограниченно возрастающих

S 26]
ПОЛЮСЫ КОМПЛЕКСНОЙ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
231
сосредоточенных воздействий, которые отвечают полюсам более низкого
порядка.
Пример. Пусть некоторому полюсу соответствует тангенциальная
сосредоточенная сила р. Сближая pup' ортогонально р (рис. 32, а), полу-
получим момент Н, ось которого совпадает с нормалью срединной поверхности.
а)
6)
Рис. 32.
Сближая р и р' вдоль направления р, получим нормальную сосредоточенную;
силу q (рис. 32, б). В обоих случаях по мере сближения р и р' надо безгра-
безгранично увеличивать интенсивность р. Таким образом, в безмоментной тео-
теории Н и q надо рассматривать как сосре-
сосредоточенные силовые воздействия более высо-
высокого (на единицу) порядка, нежели р.
Равным образом легко сообразить, что,
сближая силы q и q', мы получим момент т
относительно оси, лежащей в касательной
плоскости (рис. 33); такой же момент полу-
получится и при сближении Н с Н'. Ниже все
эти рассуждения будут подтверждены вы-
выкладками.
При сближении сосредоточенных момен-
моментов могут получаться уже и самоуравнове-
самоуравновешенные сосредоточенные воздействия, кото-
которые естественно назвать полимоментами.
Поэтому под сосредоточенным силовым воз-
воздействием, соответствующим полюсу про-
произвольного порядка, в безмоментной теории
сферических оболочек надо понимать некоторую сумму сосредоточенных
факторов, включающую, кроме сил и моментов, также и полимоменты.
Если задан полюс комплексной функции напряжений г|э (?), то можно
подсчитать интенсивность несамоуравновешенной части соответствующего
сосредоточенного воздействия, т. е. найти входящие в него силу и момент,
при помощи интегральных уравнений равновесия. В § 14.13 они были полу-
получены для произвольной оболочки. Перепишем их в виде равенств
/?, A6.26.1)
Рис. 33.

232 ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 16
и будем применять 'их к статическим безмоментным уравнениям сфериче-
сферической оболочки. Считая, что последняя имеет зоны, свободные от поверхност-
поверхностной нагрузки, выберем в A6.26.1), A6.26.2) контур интегрирования g так,
чтобы он целиком находился внутри незагруженной зоны. Тогда в контур-
контурных интегралах тангенциальные усилия Tlt T2, S будут, согласно A3.3.4),
выражаться через t и s так:
T1= — tch2al, T2 = tch2alt S = sch2a1,
и интегральные уравнения равновесия приведутся к виду
Irn i^ (t -f is) ch2ax (Mt -f- iM2) {dax + tda2) j = /?,
.. A6.26.3)
Im IJ (t + is) [chX (Mt + iM2) x M] {dax + idaA = Q.
\s . j
Но в точках, где отсутствует поверхностная нагрузка, и, в частности, на
кривой g должны выполняться однородные уравнения A3.2.7). Следова-
Следовательно,
^ _|_ is = фG). A6.26.4)
Кроме того, мы имеем
dy. A6.26.5)
Рассмотрим векторные множители, входящие в подынтегральные выра-
выражения A6.26.3). По формуле A3.2.3) получим
сЬ'сМЖ, + Ш.) = — rshv^ + fVchv^—rtx. A6.26.6)
Помножив обе части этого равенства векторно на М и выполнив очевидные
действия, получим
ch2ax (Ж, + Ш2) X М = — ir'shyt, — r2chyiy — irH,. A6.26.7)
Внесем A6.26.4)—A6.26.7) в формулы A6.26.3). Тогда, приравняв
в обеих частях каждого из полученных равенств коэффициенты при одина-
одинаковых ортах, мы придем к следующим скалярным соотношениям:
Rt = — r Im I [ ф (y) sh у dy\ , Rv = r Im ft ф (у) ch v dy\»
u I W I
Rz = — rim fj (p(y)dy\,
U • )
, Q^-rMmfj
Qz — — г Im) i ф (y) dy \,
1 i I
которые удобно, сгруппировав по два, записать в виде трех комплексных
равенств:

§ 26] ПОЛЮСЫ КОМПЛЕКСНОЙ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ 233
Наконец, заменив независимое комплексное переменное у через ? по фор-
формуле A3.4.1), получим для сферической оболочки, отнесенной к изотерми-
изотермической географической системе координат:
—r ' — — -j-J
Ry / Q
y
,
A6.26.8)
Эти равенства можно назвать интегральными уравнениями равновесия
в комплексной форме.
Пусть в некоторой окрестности точки ? = 0 функция ?,~\ (?) всюду
аналитична, за исключением ? = 0, где она имеет полюс. Тогда при доста-
достаточно малом р в круге | ?| «^ р функцию г|з (?) можно представить в виде
¦ф (?) == а|H (Q _|- а& + а0 + a-i?~' + ""У a«S". A6.26.9)
где 2Г2г|H (С) — аналитическая функция при | ?| «S р-
Будем выяснять, какие силы и моменты входят в состав сосредоточен-
сосредоточенных воздействий, соответствующих отдельным слагаемым правой части
этого равенства.
Слагаемое г|)§ (?) удовлетворяет всем условиям, сформулированным
в § 13.4, и не будет давать каких бы то ни было сосредоточенных воздействий.
Для исследования других слагаемых правой части A6.26.9) будем подстав-
подставлять их в интегральные уравнения равновесия, считая, что интегрирование
надо производить по окружности |?| = р. Тогда вычисление интегра-
интегралов A6.26.8) для каждого отдельно взятого члена разложения A6.26.9)
может быть выполнено при помощи известной формулы теории функций
комплексного переменного
? 9-р j* с ¦ *р f 0 при рф — 1,
ф ?р d? = 2ш res ?р = ^ ' A6.26 10)
J Bni при /7 = — 1,
в которой ф обозначает интегрирование по любому замкнутому контуру,
окружающему точку ? = 0 (в частности, по окружности |?| — р).
Имея в виду A6.26.10) и положив в формулах A6.26.8)
г|з (?) = а& + а0 + а_?~х, A6.26.11)
получим:
A6.26.12)
Слагаемые, объединенные в A6.26.9) знаком суммы, после подстановки
в интегральные уравнения равновесия A6.26.8) дают
Их — Ry = ^г = Qx = Qy = Qz = 0.
Таким образом, в правой части формулы A6.26.9) первое слагаемое
в точке Z, = 0 вообще не дает никаких сосредоточенных силовых воздей-
воздействий, три следующих слагаемых дают силовые воздействия, в состав которых
входят сила и момент, а слагаемые вида ап1? при п «^ —2 дают статиче-
статически самоуравновешенные сосредоточенные силовые воздействия.

234
ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
(ГЛ. 16
Формулами A6.26.12) сосредоточенная сила и момент выражаются через
заданные коэффициенты alt а/и а_х главной части ряда Лорана функции
?~2Ф (?*• Разрешив эти равенства относительно а1( а0, а_и получим фор-
формулы
а, =
1
2я
i I Rx , Qy
2я
ЯУ
2я
Ru
A6.26.13)
Я..
позволяющие по заданным сосредоточенной силе и моменту в точке ? = О
найти три первых коэффициента ряда Лорана функции г|э (?).
В интегральных уравнениях рав-
равновесия под Qx, Qy, Qz подразумева-
подразумеваются компоненты вектора того момента,
который дает внешние воздействия от-
относительно начала координат: Если в со-
состав внешнего воздействия входит со-
сосредоточенный момент с компонентами
Qx, Q°y, Q2 и сосредоточенная сила
с компонентами Rx, Ry, Rz, то можно
написать формулы
Qx^Qx + Q'x, Qy = Q°yQ+l,
В них звездочкой отмечены компонен-
компоненты вектора момента, который дает со-
сосредоточенная сила {Rx, Ry, Rz) относи-
относительно начала декартовой системы ко-
координат. Нетрудно видеть (рис. 34), что
Рис. 34. Qx = rRy, Qy = — rRx, Ql = 0.
Воспользовавшись этим, перепишем формулы A6.26.13) так:
1
2я
¦*->.-
а, =
1
2я
2RX
i
2я
¦^ , A6.26.14)
0-1= —
2лг
+
2лг
Из них вытекает, что: 1) если в точке С = 0 (верхний полюс географи-
географической системы координат) приложена сосредоточенная сила, лежащая
в касательной плоскости, то этому соответствует полюс первого порядка
функции t,~h\> (?); 2) если в точке ? = 0 приложена нормальная сосредото-
сосредоточенная сила и сосредоточенный момент, вектор которого направлен по
нормали, то этому соответствует полюс второго порядка 'функции S^ (?);
3) если в точке ? = 0 приложен сосредоточенный момент, вектор которого

§ 26] ПОЛЮСЫ КОМПЛЕКСНОЙ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ 235
лежит в касательной плоскости, то этому соответствует полюс третьего по-
порядка функции ?~2г|) (?).
Эти результаты полностью подтверждают общие рассуждения, приве-
приведенные в начале настоящего параграфа. Дополнительно выяснилось, что
в сферической оболочке простейшему силовому воздействию — тангециаль-
ной сосредоточенной силе — соответствует простейшая особенность ком-
комплексной функции напряжения — полюс первого порядка. Учитывая это,
назовем тангенциальной сосредоточенной силой такое сосредоточенное воз-
воздействие, которое статически эквивалентно этой силе и соответствует наи-
наименьшей из всех возможных особенностей комплексной функции напряжения.
Можно показать (на чем мы не будем останавливаться), что такое формаль-
формальное определение, во-первых, остается в силе не только для сферической обо-
оболочки, но и для любой оболочки положительной кривизны, и во-вторых,
оно по смыслу совпадает с обычным представлением о сосредоточенной силе
как о пределе, к которому стремится равномерно распределенная нагрузка
лри беспредельном уменьшении области ее приложения и беспредельном
увеличении ее интенсивности.
Случай, когда функция ?2г|5 (?) имеет полюс в точке ? = сю, исследуется
точно так же. Пусть вблизи ? = оо функция ф (?) может быть представлена
в виде
1
П=2
A6.26.15)
где ?афСо (?) — функция, аналитическая вблизи ? = оо. Тогда слагаемое
ярсо (?) не будет давать никаких сосредоточенных факторов; слагаемые, объ-
объединенные знаком суммы, дадут статически уравновешенные сосредоточен-
сосредоточенные воздействия, а слагаемые b^, b0, Ь_11>~Л будут соответствовать действию
на оболочку сосредоточенной силы и момента. Компоненты этой силы и
момента определяются формулами:
- = 2я&0, A6.26.16)
обратив которые, получим соотношения
b° = 1зГ\~~7 1~^
Я* <М , i ( Ry , Qx
Здесь также компоненты момента составляются из двух слагаемых:
из которых первые соответствуют сосредоточенному моменту, а вторые —
tomv моменту, который дает сосредоточенная сила (Rx, Ry, Rz) относительно
начала координат. Для Q'x, Q"y, Q* мы имеем формулы (см. рис. 34)

236 ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ 1.ГЛ. 1й
Поэтому вместо A6.26.17) можно написать
A6.26.18)
b-*==-w[—rL + -7-)+-w\-r- +—)-
Рассмотрим теперь случай, когда комплексная функция напряжения
имеет полюс в произвольной точке ? = ?0 (?0 отлично от нуля и бесконеч-
бесконечности). Пусть в некоторой односвязной достаточно малой области G', содер-
содержащей точку ? = ?0, функция -ф (?) имеет вид
Первое слагаемое правой части, под которым подразумевается аналити-
аналитическая часть функции г|э (?), будет в малой окрестности точки ? = Со давать
напряженное состояние, отвечающее случаю, когда область G' свободна от
внешних поверхностных сил. Три последних слагаемых соответствуют загру-
жению оболочки в точке ? = ?„ сосредоточенной силой и моментом. Чтобы
убедиться в этом, воспользуемся интегральными уравнениями равнове-
равновесия A6.26.8) и подсчитаем с их помощью Rx, Ry, Rz, Qx, Qu, Qz, положив
.1, />\ ^1 ^2 ^3
T (.У — f f If- f \2 If Г 43 -
i — ЬО Ib — to) Vfe — tui
ЬО Ib — to)
Получающиеся при этом интегралы подсчитываются при помощи из-
известной формулы для п-й производной аналитической функции комплекс-
комплексного переменного
г(п) ,г > _ п\ г f (?) dj
Используя ее, получим без труда
Rx ,- Qx _ _ Г^о-1 r , ^c2 зс31
L Ч) to ьо J
Ео ьо
I + 1 с _2Сз , _ЗС;
feo to to
Эти соотношения можно разрешить относительно Съ С2 и С3, и тогда
они примут вид
» = —" ~ЪГ [~Т l ~k) + 1ST ( J «"J'
-Ш-(-г * -^-J (Со 4- Со) 4- тг V,— г—

i 27] СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА СФЕРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ 237
§ 27. Действие сосредоточенных сил и моментов
на полную сферическую оболочку
Пусть к замкнутой сферической оболочке в точках ? = 0 и ? = ?0
и только в них приложены сосредоточенные силы и моменты. Примем пока,
что ?„ Ф оо, и будем искать соответствующую комплексную функцию напря-
напряжений ф (?). Эта функция должна быть аналитической во всей плоскости ?,
за исключением точек ? = 0и? = ?0. В общем случае функция ф (?) имеет
полюс третьего порядка при ? = ?0, а функция ?-аф (?) имеет полюс третьего
порядка при ? = 0.Кроме того, должно быть выполнено условие, что ?гг|> (?)—
аналитическая функция при ? = оо. Всем этим требованиям удовлетворяет
функция вида
A6.27.1)
в которой Съ С2, С3 — произвольные комплексные константы. Последними
можно распорядиться так, чтобы компоненты сосредоточенной силы Rx,
Ry, Rz и сосредоточенного момента Qx, Qy, Qz имели заданное значение.
Так как в правой части равенства A6.27.1) первое слагаемое вблизи ? = ?0—
аналитическая функция, то формула A6.27.1) представляет собой частный
случай A6.26.19). Следовательно, константы С1( С2, С3 определяются фор-
формулами A6.26.21).
Поставленная задача решена (в вычисления не вошли сила и момент,
приложенные в точке ? = 0; это происходит потому, что они должны удов-
удовлетворять условиям уравновешенности оболочки в целом, из которых и
определяются единственным образом).
Замечание. Первое слагаемое в правой части равенства A6.27.1) введено для того, чтобы
^^ (?) не имела полюса при ? = оо. Если имеется в виду случай, когда ? = оо ие входит в рас-
рассматриваемую область, то это слагаемое можно отбросить.
Не представляет труда обобщить полученный результат на случай,
когда оболочка загружена сосредоточенными силами и моментами в п + 1
точках ? = ?р (?р ф оо, р = 1, 2, . . ., п) и ? = 0. Комплексная функция
напряжений, соответствующая этому случаю, имеет вид
/1С 97^
р=1
где СР1, Cpjj, Cp3 — комплексные константы. Эти константы для каждого р
в отдельности вычисляются по заданным компонентам силы и момента,
приложенных в точке ? = ?р при помощи формул A6.26.21).
Формула A6.27.2) составлена в предположении, что в верхнем полюсе
географической системы координат, т. е. в точке ? = 0, оболочка, вообще
говоря, будет испытывать действие силы и момента. Однако A6.27.2) остается
в силе и в случае, когда точка ? = 0 не загружена. Для этого надо только
выбирать силы и моменты, приложенные в точках ? = ?р, так, чтобы они
были в совокупности уравновешены. При этом в точке ? = 0 сосредоточен-
сосредоточенные силы и моменты будут отсутствовать. Более существенно принятое выше
предположение, что ни одна из точек приложения сосредоточенных сил и
моментов не совпадает с нижним полюсом географической системы коор-
координат (?р = оо). Поэтому задачу о построении комплексной функции напря-
напряжения для случая, когда сосредоточенная нагрузка действует в точке ? = оо,
надо рассмотреть отдельно.
Пусть сосредоточенные силы и моменты, действующие на замкнутую
сферическую оболочку, приложены только в точках ? = 0 и ? = оо. Тогда

238 ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. IS
искомая комплексная функция напряжений, очевидно, может быть задана
в виде
1ИО = я,е-Мо + ^-. A6.27.3)
Она уже была исследована в § 16.26, и, пользуясь этим, комплексные кон-
константы a lf а0, аг при заданных силах и моментах можно подсчитать по
формулам A6.26.13) или A6.26.18).
§ 28. Перемещения полной сферической оболочки
под сосредоточенными силами и моментами
Рассмотрим изгибания сферы. Если последняя замкнута, то они задаются
комплексной функцией перемещений g (?), которая должна быть аналити-
аналитической во всей плоскости ?, за исключением точек ? = 0, ? = оо; в них
для g (?) можно допустить полюсы не выше первого порядка (§ 13.4). Па
теореме Лиувилля все функции, обладающие такими свойствами, задаются
равенством
в котором Въ Вп, В_, — произвольные комплексные константы.
Таким образом, все изгибания полной сферы зависят от трех комплекс-
комплексных, или, что то же, от шести действительных констант. Это будут так назы-
называемые тривиальные изгибания, т. е. смещения сферы как жесткого целого,
что легко проверить прямыми вычислениями при помощи формул D.27.9).
Отсюда следует хорошо известное утверждение о жесткости (неизгибае-
(неизгибаемости) полной сферы. Оно является частным случаем классической теоремы
Гаусса о жесткости овалоида (произвольной достаточно гладкой замкнутой
поверхности всюду положительной кривизны).
В силу статико-геометрической аналогии из теоремы о жесткости ова-
овалоида следует теорема единственности решения статических безмоментных
уравнений для любой оболочки, имеющей форму полного овалоида. Дей-
Действительно, рассмотрим уравнения изгибаний в деформациях G.5.2). Для
полного овалоида они могут иметь только тривиальное решение хг = х2 =
= т = О (иначе овалоид был бы не жестким). Из статико-геометрической
аналогии следует, что для полного овалоида однородные статические безмо-
ментные уравнения G.4.2) также имеют лишь тривиальное решение.
Обратимся теперь к определению по безмоментной теории перемещений,
возникающих в полной сферической оболочке при действии на нее сосре-
сосредоточенных сил. В § 13.4 при постоянных Е, h, v выведено равенство A3.4.5),
при помощи которого можно определить искомые перемещения по форму-
формулам A3.3.5).
В A3.4.5) под ф (?) надо подразумевать комплексную функцию напря-
напряжений, соответствующую действию на оболочку заданной системы сосредо-
сосредоточенных сил и моментов (§§ 16.26, 16.27). Задача, таким образом, сводится
к такому подбору аналитической функции Н (?), при котором р(б) + iqi6>
будет на всей плоскости ? однозначной функцией точек срединной поверх-
поверхности.
Покажем, как это может быть сделано, считая для простоты записи,
что сосредоточенные силы и моменты приложены только в двух точках ? = О
и ? = Со (обобщения очевидны).
В силу принятых предположений ip (?) будет регулярной функцией во
всей плоскости комплексного переменного ?, за исключением точек ? = О
и ? = ?о, причем при ? = оо она должна иметь нуль по меньшей мере вто-
второго порядка (случай ?0 = оо будет рассматриваться особо). Заметив это,

§ 28] ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 239
проведем в плоскости комплексного переменного ? замкнутый несамопере-
секающийся контур g, не проходящий через точки ? = 0и? = ?0и охва-
охватывающий конечную односвязную область G. Возможны четыре случая:
1) обе точки ? = 0 и ? = ?о попадут в область G, 2) в область G попадет только
точка ? = 0, 3) в область G попадает только точка ? = ?0, 4) в область G
точки ? = 0 и ? = ?„ не попадут. В четвертом случае в формуле A3.4.5)
под интегралами будут стоять функции, регулярные во всей области G.
В первом случае эти подынтегральные функции будут регулярными в об-
области G', которая дополняет G до полной плоскости *). Следовательно, по
теореме Коши после обхода такого рода замкнутого контура интегралы
в формуле A3.4.5) не получат приращений. Во втором и третьем случаях
обход по замкнутому контуру приведет к тому, что интегралы получат при-
приращения. Введем поэтому следующие обозначения:
= А,
=Лг, A6.28.1)
где дополнительными индексами «О» и «?„» отмечены интегралы, берущиеся
по замкнутому контуру (в положительном направлении), окружающему
точки ? = 0 и ? = ?0 соответственно. Здесь использованы равенства вида
Они вытекают из того, что, обходя точку ? = 0 в положительном направле-
направлении, мы одновременно обходим и точку ? = ?0 в отрицательном направлении.
Формулу A3.4.5) теперь можно заменить равенством (индекс «б» в ле-
левой части опущен)
в котором под р0—iq0 подразумевается однозначная функция. Отсюда ясно,
что однозначность функции р—iq будет достигнута, если положить
н(I) = сИ1±^-[А.?~ + 4 + 4-^J-2irln fz^« A6-28>2)
и тогда, учитывая A6.28.1), получим
06.28.3)
Случай ?0 = оо соотношением A6.28.3) не охватывается, и мы рассмотрим
его отдельно. На этом более конкретном случае удобно исследовать поведе-
поведение перемещений вблизи точки приложения сосредоточенных сил и моментов.
Пусть в верхнем полюсе географической системы координат к замкнутой
сферической оболочке приложены сосредоточенная сила с компонентами Rx,
*} Напомним, что ip (°°) = Ч> \ро) = 0.

240 ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 16
Ry> Rz и сосредоточенный момент с компонентами Q%, Q°, Q°» а в нижнем
полюсе возникает уравновешивающая реакция. Тогда комплексную функцию
напряжений надо брать в виде A6.27.3), а входящие в это соотношение ком-
комплексные константы вычислять по формулам A6.26.13). Это дает
Вычислим для этой комплексной функции напряжений интегралы,
входящие в правую часть равенства A3.4.5):
Отсюда
Следовательно, приращение, которое получит функция р<б)—/<7<б1 после
обхода по замкнутому контуру точки С = 0, согласно A3.4.5) будет (ин-
(индексы «б» вновь опускаются)
Отсюда вытекает, что требование однозначности функции р—iq будет
выполнено, если взять Я (?) в виде

§ 28] ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 241
Внося полученные результаты в A3.4.5), мы придем к следующей фор-
формуле:
¦~2/? 0°
Й-'Й)-^}. A6-28.4)
Из A6.28.3) и A6.28.4) следует, что в точке приложения сосредоточенных
сил и моментов функция р—iq неограниченно возрастает. Для случая A6.28.4)
это видно непосредственно, а для случая A6.28.3) такой же вывод получается,
если в эти формулы внести выражения A6.27.1). Переход от р, q к танген-
тангенциальным перемещениям выполняется при помощи формул A3.3.5). Учиты-
Учитывая это и проведя принципиально простое, но кропотливое исследование,
в детали которого мы не будем входить, можно прийти к следующему вы-
выводу: если к безмоментной сферической оболочке в точке ? = ?0 приложены:
(а) сосредоточенные моменты, векторы которых лежат в касательной пло-
плоскости (при ?„ = 0 это будут моменты с компонентами Q°, Q^); б) сосредото-
сосредоточенная сила и момент, векторы которых ортогональны к срединной поверх-
поверхности; (в) сосредоточенные силы, лежащие в касательной плоскости, — то
перемещения ии и2 в точке ? = ?0 неограниченно возрастают соответственно
как (С— ?о). (С — С) или In (? — So)-
Вернемся еще раз к формуле A6.28.4). Вместе с A3.3.5) она определяет
перемещения замкнутой сферической оболочки.
Для Н (?) в правой части A3.4.5) было найдено выражение A6.28.2),
обеспечивающее однозначность перемещений. Однако это не единственное
выражение Н (?), обладающее таким свойством: к правой части равенства
A6.28.2) можно добавить слагаемое Нп (?), где
(аг ¦— произвольные комплексные константы).
Таким образом, для замкнутой сферической оболочки, подверженной
действию сосредоточенных сил и моментов, перемещения в рамках безмомент-
безмоментной теории определяются не единственным образом, а лишь с точностью
до перемещений, соответствующих комплексной функции перемеще-
перемещений A6.28.5).
В связи с этим отметим, не останавливаясь на подробностях, что кон-
константы, входящие в правую часть равенства A6.28.5), нельзя подобрать
так, чтобы в точке ? = ?0 перемещения стали конечными.
Функция A6.28.5) обладает всеми свойствами комплексной функции
перемещений всюду, кроме ? = ?0. Это значит, что Нп (?) при помощи A3.3.5)
16 А. Л. Гольденвейзер

242 ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ ВЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. U
определяет перемещения, соответствующие изгибаниям полной сферы с «вы-
«выколотой» (удаленной) точкой ? = ?0. В теории поверхностей доказывается,
что овалоид (и в частности сфера) с выколотой точкой не обладает жесткостью,
т. е. допускает изгибания. Соответствующие им перемещения и задаются
функцией Нп (?).
Результаты §§ 16.27, 16.28 можно рассматривать как решение полной
краевой задачи безмоментной теории, в которой искомые функции должны
быть построены во всей плоскости комплексного переменного ?, за исклю-
исключением точек приложения сосредоточенных воздействий. В этих точках для
искомых функций допускаются полюсы, а роль граничных условий играют
требования, чтобы они имели определенный вид. С точки зрения теоремы
о возможных изгибаниях мы имеем дело с задачей, в которой жесткость
оболочки не обеспечена: возможными в данном случае являются упомянутые
изгибания полной сферы с выколотыми точками. Поэтому тот факт, что в ре-
решение вошла неопределенная функция A6.28.5), находится в полном соот-
соответствии с теоремой о возможных изгибаниях.
§ 29. Действие сосредоточенных сил и моментов
на произвольную оболочку положительной кривизны
В § 16.27 изложен метод решения статической задачи безмоментной
теории для полной сферической оболочки, загруженной произвольной
системой сосредоточенных сил и моментов. Он легко переносится и на случай,
когда срединная поверхность оболочки представляет собой поверхность
второго порядка положительной кривизны.
Пусть срединная поверхность задается одним из трех векторных урав-
уравнений A3.6.2). Тогда решение однородных статических безмоментных урав-
уравнений, как было показано в § 13.6, выражается через аналитическую функ-
функцию г|э (?). Точкам полного эллипсоида, двухполостного гиперболоида или
эллиптического параболоида соответствует вся плоскость комплексного
переменного ?. Полюсы комплексной функции напряжения имеют такой же
смысл, что и для сферы: в точке ? = ?0 (?0 отлично от нуля и бесконечности)
полюс не выше третьего порядка соответствует сосредоточенным силам и
моментам, а полюсы выше третьего порядка дают сосредоточенные воздей-
воздействия более сложной структуры; в точках ? = 0 и ? = оо такой же смысл
имеют полюсы функций ?-2:ф (?) и ?2я|) (?) соответственно. Интенсивность
и направление силы и момента, входящих в состав сосредоточенного силового
воздействия, можно определить с помощью комплексных интегральных
уравнений равновесия. Для оболочек второго порядка они выводятся так же,
как для сферы, при помощи равенств A6.26.1), A6.26.2). Опуская подроб-
подробности, приведем эти уравнения:
а) для эллипсоида A3.6.2а)
A6.29.1а)
б) для двухполостного гиперболоида A3.6.26)
A6.29.16)

$ 29] СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ПРОИЗВОЛЬНУЮ ОБОЛОЧКУ 243
в) для эллиптического параболоида A3.6.2в)
A6.29.1b)
Этими равенствами обобщаются формулы A6.26.8).
Таким образом, для оболочек второго порядка полностью сохраняется
описанный в § 16.27 метод подбора комплексной функции напряжений ф (С),
соответствующей действию на оболочку произвольной системы сосредото-
сосредоточенных сил и моментов. Формула A6.27.2) остается в силе, но в ней при опре-
определении констант Ср/ надо вместо A6.26.8) пользоваться формулами A6.29.1),
Перенос этих результатов на произвольные оболочки положительной
кривизны связан с более существенными трудностями, которые можно
преодолевать, например, при помощи теории обобщенных аналитических
функций. В книге [19] показано, что можно построить обобщенные аналити-
аналитические функции, являющиеся аналогом аналитических функций вида (?—С*)*,
где 5* — произвольная комплексная константа, a k — целое, положи-
положительное или отрицательное число. Отсюда следует, что можно построить
и аналог функции вида A6.27.2), с помощью которого при соответствующем
подборе констант Ср1 и должна решиться задача о действии произвольной
системы сосредоточенных сил и моментов на оболочку, имеющую форму
замкнутого овалоида. Однако в дальнейшие подробности мы не можем вда-
вдаваться, так как пока еще не дано эффективных примеров приложения теории
обобщенных аналитических фудкций к решению задач безмоментной теории.
Заканчивая главу о сосредоточенных воздействиях, обсудим, в какой
мере полученные результаты можно считать правильными, если учесть, что
они получены по безмоментной теории. Физически ясно, что вблизи точки
приложения сосредоточенной нагрузки соответствующее напряженно-де-
напряженно-деформированное состояние имеет большую изменяемость (и расчет по безмо-
безмоментной теории не вызывает доверия), но при удалении от этой точки изме-
изменяемость делается малой (и можно надеяться, что безмоментная теория станет
достаточно точной). Для сферической оболочки это можно подкрепить и
математически. Комплексная функция напряжений, соо ветствующая при-
приложению сосредоточенных сил в точке ? = ?о> имеет вид
Поэтому
@
Вместе с тем, как уже говорилось, отношение модуля производной
к модулю первообразной функции может служить мерой изменяемости,
а следовательно, для г|э (?) последняя действительно весьма велика вблизи
Z = to и быстро убывает при удалении от этой точки.
В работе [133] показано, что, если сосредоточенные нагрузки действуют
на оболочку положительной кривизны, то, так же как и при действии распре-
распределенных сил, соответствующее напряженно-деформированное состояние
состоит из основного напряженного состояния, определяемого описанным
выше способом, на которое вблизи точки приложения нагрузки накладывается
локальный краевой эффект, быстро убывающий при удалении от этой точки
в любом направлении. Таким образом, изложенные в этой главе результаты
надо считать приближенно правильными в достаточном удалении от точки
16*

244 ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 16
приложения сосредоточенных воздействий. В какой-то мере это утверждение
остается правильным и для оболочек нулевой или отрицательной кривизны,
но в таких оболочках явление осложняется тем обстоятельством, что ло-
локальный краевой эффект значительно медленней затухает вдоль асимпто-
асимптотических линий срединной поверхности, т. е. вдоль характеристики безмо-
ментных уравнений (по этому поводу некоторые соображения можно найти
в [119]).
Поправки, которые вносит локальный краевой эффект в окрестности
точки приложения нагрузки, имеют не только количественный, но и каче-
качественный характер. Он меняет порядок особенностей функций, определяющих
перемещения, усилия и моменты оболочки. А именно, за счет локального
краевого эффекта происходит снижение порядка особенностей. Для общего
случая порядок особенностей в перемещениях, усилиях и моментах оболочки
под сосредоточенными воздействиями разобран в работе 1132]. Для сфери-
сферической оболочки этот вопрос обсуждался в статье [40]. Там же задача дей-
действия на сферическую оболочку произвольной системы сосредоточенных сил
и моментов решена по моментнои теории точно (в замкнутой форме).

ГЛАВА 17
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
§ 30. Сферический купол с одним геометрическим
и одним статическим граничным условием
Рассмотрим сферический купол, т. е. оболочку, срединная поверхность
которой есть сферический сегмент, и будем считать, что на краю должны
выполняться одно статическое и одно геометрическое тангенциальное гра-
граничное условие (край примыкает к опоре, имеющей весьма малую жесткость
в одном тангенциальном направлении и весьма большую жесткость в другом).
Точнее говоря, будут обсуждаться сферические купола с граничными усло-
условиями двух видов:
а) граничные условия, выражающие тот факт, что опора не восприни-
воспринимает реакций в направлении касательной к краевому контуру и исключает
перемещения в тангенциальном направлении, нормальном к краевому
контуру;
б) граничные условия, выражающие тот факт, что опора не восприни-
воспринимает реакций в тангенциальном направлении, нормальном к краевому
контуру, и исключает перемещения в направлении касательной к краевому
контуру.
Если для определенности считать, что полюс географической системы
координат совмещен с вершиной купола, то тангенциальные граничные
условия будут в первом случае заключаться в требованиях:
приа,=а10 S==Q, ut = 0, A7.30.1)
а во втором случае — в требованиях:
при ах = а10 7\ = 0, и, = 0. A7.30.2)
В рассматриваемых случаях полная краевая задача безмоментной теории
сводится к последовательному решению статической и геометрической
задач безмоментной теории (§7.7). Статическая задача, рассмотрением
которой мы пока и ограничимся, заключается в определении тангенциаль-
тангенциальных усилий Tlt S, Т2 из безмоментных уравнений равновесия с учетом ста-
статического граничного условия. Оно для случаев A7.30.1) и A7.30.2) запи-
записывается соответственно так:
5|в1-о1. = 0, A7.30.3)
Ti |a,=a,0 = 0. A7.30.4)
Задача 1. Найти тангенциальные усилия в сферическом куполе, если
он загружен произвольной сосредоточенной силой и моментом в верхнем
полюсе географической системы координат и соединен по краю ах = ос1О
с опорой, не воспринимающей реакций, направленных по касательной к краю
(на рис. 35 изображена рассматриваемая сферическая оболочка, отнесенная

246
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
(ГЛ. 17
к географической системе координат; опора схематически показана в виде
абсолютно жесткого заштрихованного основания, с которым оболочка
соединена бесчисленным множеством стерженьков, расположенных по
касательной к меридианам).
По предположению распределенная поверхностная нагрузка отсутствует.
Поэтому искомое напряженное состояние определяется некоторой комплекс-
комплексной функцией напряжения i|>.(?), которую надо построить в области G,
соответствующей срединной поверхности оболочки. На контуре области G
функция ij> (?) должна удовлетворять граничному условию, вытекающему
из A7.30.3), а в точке приложения сосредоточенной нагрузки ? = 0 функция
?-аф (?) должна иметь заданную особен-
особенность.
Край ах = а10 охватывает область G,
которая представляет собой круг
В нем и надо построить i|) (?).
Усилия связаны с комплексной функ-
функцией напряжения формулами A3.4.2). По-
Поэтому на окружности |?| = р0 должно вы-
выполняться граничное условие
= 0. A7.30.5)
Ему удовлетворяет функция вида
f-).. A7.30.6)
рис 35 где ^Pi (?) — любая функция, определенная
в области ? =^р0- В самом деле, при | ?| = р0
комплексное переменное ? может быть представлено в виде ? = роб'Р, отсюда
а следовательно,
и доказываемое утверждение становится очевидным.
Чтобы комплексная функция напряжения i|> (?) соответствовала случаю,
когда к оболочке в точке ? = 0 и только в ней приложены сосредоточенные
сила и момент, положим
% (?) = ?i? + go + g_i?-\ A7.30.7)
считая, что glt g0, g_! — комплексные константы, которые предстоит опре-
определить. Тогда
Пользуясь этим, введем обозначения
и запишем функцию i|) (?) так:
r-0 A7.30.8)

30]
СФЕРИЧЕСКИЙ КУПОЛ ПРИ СМЕШАННЫХ УСЛОВИЯХ
247
Таким образом, по форме г|) (?) не отличается от комплексной функции
напряжения A6.27.3), решающей задачу о замкнутой оболочке, загружен-
загруженной сосредоточенными силами и моментами в противоположных полюсах
географической системы координат. Поэтому в A7.30.8) константы аг, aOf
д_! надо определить формулами A6.26.13). Однако из A7.30.8) вытекает,
что константы alt a0, а_г должны удовлетворять двум равенствам
Im \ао\ = 0,
= a_i.
A7.30.9)
Это значит, что предложенным способом поставленная задача не всегда
может быть решена. Надо требовать, чтобы действующая на оболочку сосре-
сосредоточенная нагрузка удовлетворяла условиям, вытекающим из A7.30.9)
и из формул A6.26.14), связывающих константы аи а0, а_г с компонентами
сосредоточенной силы и момента. Эти условия записываются так:
но, согласно A3.2.1), р^ = е2а*
купола), и эти равенства можно преобразовать к виду
tg2 -у- (Эо — половина угла раствора
(".золе)
Условия A7.30.10) не связаны с выбранным методом решения задачи.
Из физических соображений ясно, что они необходимы для решения постав-
поставленной задачи. Чтобы показать это, вернемся к схеме закрепления оболочки,
показанной на рис. 35. На ней все
условные стерженьки при продолжении
пересекаются в одной точке О на оси
г декартовой системы координат. Сле-
Следовательно, рассматриваемая безмо-
ментная оболочка является механизмом
с тремя степенями свободы. Она не мо-
может находиться в равновесии, если при-
приложенная к ней нагрузка дает отлич-
отличные от нуля моменты относительно осей,
проходящих через точку О. Нетрудно
проверить, что A7.30.10) и выражают
это требование.
Для сосредоточенного нагружения,
удовлетворяющего условиям A7.30.10),
комплексная функция напряжения, решающая задачу 1, определяется фор-
формулами A7.30.6)—A7.30.8), в которых комплексные константы аг, а0, а_х
находятся по формулам A6.26.14).
Задача 2. Найти тангенциальные усилия в сферическом куполе, загру-
загруженном в вершине произвольной сосредоточенной нагрузкой и соединенном
по краю с опорой, не воспринимающей реакций, направленных по танген-
тангенциальной нормали (на рнс. 36 изображен такой купол, отнесенный к гео-
географической системе координат; закрепление края также условно показано
при помощи стерженьков).
Здесь, как и в задаче 1, комплексная функция напряжения i|) (?) должна
быть определена в области |?| «^ р0. Граничное условие A7.30.4) означает,
что при |?| = р0 надо требовать выполнения равенства
Re №@1 = 0.
Рис. 36.

248 ' БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА . [ГЛ- 11
Ему удовлетворяет функция вида
*@=*i@-*iD): A7.30.11)
пользуясь этим, остальные выкладки можно построить по схеме задачи 1.
Положим
t. = gi?-r-go + g-ir\ A7.30.12)
тогда
1^-)=gi^- + go + g-1^-.
Отсюда
где
= -р" (Pogi — g-i), flo = go — go, a-i = — (pogi — g-i), A7.30.13)
Константы flj, a0, a_1 также не являются независимыми. Они связаны
соотношениями
Re {ао\ — 0, poai = — а_ь
из которых в силу A6.26.14) вытекают три условия существования решения
поставленной задачи:
A7.30.14)
Физический смысл этих условий также очевиден. В схеме закрепления
края, изображенной на рис. 36, все стерженьки (предполагается, что их бес-
бесчисленное множество) лежат в плоскости, перпендикулярной оси г. Они не
препятствуют смещениям оболочки как жесткого целого в направлении оси г
и повороту около осей р и q, лежащих в плоскости края (рис. 36). Поэтому
внешняя нагрузка не должна иметь составляющей Rz и не должна давать
моментов относительно осей р и q. Эти условия и выражают равен-
равенства A7.30.14).
Для нагрузки, удовлетворяющей требованиям A7.30.14), задача 2 ре-
решается комплексной функцией напряжений A7.30.11)—A7.30.13), в которой
константы alt a0, a_x надо выбирать по формулам A6.26.14).
Задача 3. Найти тангенциальные усилия в сферическом куполе, если он
загружен сосредоточенной нагрузкой в г произвольных точках ? = t,k (k =
= 1, 2, . . ., г) и соединен по краю ах = а10 с опорой, не воспринимающей
реакций в направлении касательной к краевому контуру.
Здесь, как и в задаче 1, расчет сводится к построению комплексной функ-
функции напряжения i|) (?), которую надо определить в области | ?| «^ р„.
Условие на контуре |?1 = Ро будет выражаться равенством A7.30.5).
Поэтому комплексную функцию напряжения мы снова зададим в виде
A7.30.6). В результате требуемое граничное условие будет выполнено
при любом выборе i)^ (?), и останется только назначить эти функции так,
чтобы г|) (?) имела заданные особенности в точках ? = ?^. Для этого

§ 3Q] СФЕРИЧЕСКИЙ КУПОЛ ПРИ СМЕШАННЫХ УСЛОВИЯХ
положим:
Отсюда
_l_ X ' I *ЯЬ _l_ C2& I
6=1
Эта функция во всей плоскости комплексного переменного ? имеет по-
полюсы только в точках
? = 0, ? = оо, ? = ?*, ?=f,
из которых точки, соответствующие второму и четвертому равенствам, не-
непредставляют интереса, так как они лежат вне области |?|=??ро (предпо-
(предполагается, что | ?я| < р0, следовательно, | р§^^* | >Ро)- Вблизи точки ? = ?*.
функция яр (?) имеет вид
(¦фо — функция, регулярная в окрестности С = ?*)• Поэтому по заданным
компонентам сосредоточенной нагрузки можно подсчитать константы Clft,
^2*. Сза при помощи формул A6.26.21). Вместе с тем, вблизи точки ? = 0
функция \|з (?) может быть представлена так:
^* \ ья ¦ с,» fee / ?Tf L bfe
(¦ф0 (?) — функция, регулярная в окрестности ? = 0).
Из последнего равенства вытекает, что при сделанном выборе ^1 (?)
сосредоточенные силы возникают не только в заданных точках ? = ?ft, но
и в вершине купола. Следовательно, надо освободить точку ? = 0 от нагрузки.
Это можно сделать, наложив на полученное решение задачи 1. Если бы по-
последняя допускала решения при произвольных значениях силы и момента, то
их можно было бы подобрать так, чтобы точка ? = 0 оказалась свободной от
нагрузки; однако, как мы видели выше, в общем случае этого сделать нельзя.
Если заданные сосредоточенные нагрузки, приложенные в точках ? = ?ft,
дают отличный от нуля момент относительно осей, проходящих через точку О
(см. рис. 35), то сосредоточенные нагрузки в точке ? = 0 полностью уничто-
уничтожить нельзя. В последнем случае можно считать, что построенная функция
напряжения определяет тангенциальные усилия оболочки, в которой в точке
? = 0 могут возникать силовые или моментные реакции. Они и дадут ту силу
и момент, которые не могут дать реакции края оболочки. Если сосредоточен-
сосредоточенные силовые воздействия в точках ? = ?* дают не нулевой момент относи-
относительно точки О (рис. 35), то в точке ? = 0 возникнут реакции, уравновеши-
уравновешивающие этот момент, а если последний равен нулю, то в точке ? = 0 сосре-
сосредоточенные воздействия не возникнут.
Замечание. Представляется естественным интерпретировать решение задачи 3 как расчет
оболочки, дополнительно закрепленной в точке ? = 0 (вследствие чего там и возникает реак-
реакция). Однако такое представление весьма условно, так как по безмоментной теории под сосре-
сосредоточенными силами перемещения обращаются в бесконечность (§ 16.28).

250
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
|ГЛ. 17
Решение задачи 3 можно рассматривать как функцию Грииа для обо-
оболочки, закрепленной так, как показано на рис. 35. Выполнив обычным образом
интегрирование, можно получить решение на любую нагрузку, как распреде-
распределенную по поверхности, так и приложенную вдоль некоторой линии.
Очевидным образом можно построить и решение безмоментных уравнений
для случая, когда оболочка загружена сосредоточенной нагрузкой в произ-
произвольной точке и закреплена так, как показано на рис. 36.
§ 31. Сферический купол с одним геометрическим
и одним статическим граничным условием (продолжение)
Пусть рассмотрению подлежит сферический купол, на краю at = а10
которого надо выполнить одно геометрическое тангенциальное граничное
условие
0 A7.31.1)
A7.31.2)
и одно статическое тангенциальное граничное условие
7\ sin na2 + S cos na^ = 0.
В этих равенствах п — произвольное целое положительное или отри-
отрицательное число, а а2, как и в § 13.2, — долгота рассматриваемой точки.
Граничные условия A7.31.1), A7.31.2) соответствуют опоре, которую
схематически можно представить себе как абсолютно жесткое основание,
соединенное в каждой точке края с оболоч-
оболочкой при помощи стерженьков, лежащих в ка-
касательной плоскости и наклоненных под
углом па2 к меридиану (схема закрепления
показана на рис. 37, где из бесчисленного
множества стерженьков показан только
один). Равенствами A7.31.1) и A7.31.2) об-
обобщаются граничные условия A7.30.1) и
A7.30.2): так, например, A7.30.1) получается
из A7.31.1) и A7.31.2) при п = 0.
Рассмотрим безмоментную статическую
задачу, соответствующую принятому виду
закрепления края и заключающуюся в опре-
делении усилий на загруженной по поверх-
ности сферической оболочке с учетом гра-
граничного условия A7.31.2). В этом соотноше-
соотношении усилия 7\ и S можно выразить через функции t и s при помощи формул
A3.3.4), в которых надо положить Z = 0. Тогда A7.31.2) после простых пре-
преобразований примет вид
37.
— t sin na2 + s cos гаа„ = 0.
A7.31.3)
Здесь h s — действительная часть и коэффициент при мнимой части
комплексной функции напряжения i|) (?). Эту функцию, как и в § 17.30,
надо определить в круге ? < р0 = ?*>• так, чтобы на окружности | ?| = р0
выполнялось соотношение A7.31.3). В круге | ?|<р0 функция i|) (?) должна
быть аналитической, а в точке ? = 0 иметь нуль по меньшей мере второго
порядка (§ 13.4).
Имеет место тождество
-lm {?-'"ф (?)} = lm {e-«.a> (cos na2 — i sin naa) (t + is)} =
= e~na' (— t sin na3 -f- s cos na2).

§31] СФЕРИЧЕСКИЙ КУПОЛ ПРИ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ 251
Оно показывает, что i|> (?) будет удовлетворять граничному условию A7.31.3),
если при ах = а10 выполняется равенство
Im{S-^(Ql=0. A7.31.4)
Поэтому, как нетрудно проверить, i|) (?) можно выбрать так:
t@ = AQtr + V [ Д?- (-|- + |
где ЛА, Bft — действительные константы, am — целое положительное число.
При этом i|) (?) в круге | ? | < р0 будет удовлетворять требованиям, предъ-
предъявляемым к комплексным функциям напряжения (§ 13.4), всюду, за исклю-
исключением, быть может, точки ? = 0, где надо выполнить условие аналитичности
функции t'bty (?). Этого можно достичь, только подчинив в равенстве A7.31.2)
число п неравенству п 5з 2 (конечно, исключается тривиальная возможность
положить все Ак и Bk равными нулю). При таком п цель будет достигнута,
если в A7.31.5) положить т = п — 2. В результате получим формулу
^"(-^--^-)]- . A7.31.6)
Она и решает рассматриваемую безмоментную статическую задачу для
случая, когда отсутствуют поверхностные силы (в том числе и сосредоточен-
сосредоточенные). Это значит, что однородная безмоментная статическая задача, соответ-
соответствующая условию A7.31.2), при п~^2 имеет нетривиальное решение, зави-
зависящее от 2я — 3 действительных констант Л„, Ak, Bk (k = 1, 2, . . .
.... п — 2). Можно показать (на этом мы не будем останавливаться), что при
рассматриваемых условиях формула A7.31.6) дает самое общее выражение
комплексной функции напряжения и что множители при Ak и Bk линейно
независимы.
Обратимся к безмоментной геометрической задаче, соответствующей
граничному условию A7.31.1) и заключающейся в построении таких изгиба-
изгибаний сферы, которые совместны с закреплением, изображенным на рис. 37 (по-
(показан только один из бесчисленного множества воображаемых стерженьков).
Справедливы формулы A3.3.5), при помощи которых граничное соот-
соотношение A7.31.1) может быть преобразовано к виду
pcosna2 — <7 sin паг = 0. A7.31.7)
где рад — действительная часть и коэффициент при мнимой части ком-
комплексной функции перемещений g (?,). Эту функцию надо определить в круге
I ?1 < Ро = е<х"> так, чтобы на окружности | ?| = р0 выполнялось граничное
соотношение A7.31.7). При | ?| <С Ро функция g (?) должна быть аналитична
всюду, кроме точки ? = 0, а в последней она может иметь полюс не выше
первого порядка (§ 13.4).
Обсуждаемая задача эквивалентна задаче об определении функции
?"? (?)> удовлетворяющей при ? = р0 условию
= 0,
в чем легко убедиться, раскрыв выражение, стоящее в левой части только что
написанного равенства. Отсюда, повторив рассуждения, которые привели
к формуле A7.31.5), получим:

252 БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА [ГЛ. 17
Действительные константы, входящие в правую часть этого равенства,
надо подобрать так, чтобы при ? = 0 порядок полюса g (?) (если он есть)
был не выше первого. Этого можно достичь (не полагая все Ak, Вк равными
нулю) только при п «^ 2. Для таких п, положив в A7.31.8) в верхнем пределе
суммирования т — 1 — п, получим общее выражение для комплексной
функции перемещений
[ D й D 4г) } 2).
Ро fJ
^ L \ Ро
Отсюда вытекает, что однородная геометрическая задача, соответствую-
соответствующая граничному условию A7.31.1), при п^2 имеет толь