/
Text
ТРЕХМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ КЛАССИЧЕСКАЯ И МИКРОПОЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ. СТАТИКА, ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, ДИНАМИКА. ОСНОВЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ ИЗДАНИЕ Под общей редакцией В.Д.КУПРАДЗЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1976
531 Т66 УДК 531 АВТОР Ы: К У П Р А Д 3 Е В. Д., Г Е Г Е Л И А Т. Г., БАШЕЛЕЙШВИЛИ М. О., БУРЧУЛАДЗЕ Т. В. Трехмерные задачи математической теории упруго- упругости и термоупругости, монография, под общей редак- редакцией В. Д. Купрадзе Книга посвящена подробному анализу математиче- математических основ теории упругости. На современном уровне математической строгости впервые с одинаковой полнотой рассмотрены трехмерные задачи статики, гармонических колебаний и общей динамики линейной теории упругости, термоупругости и моментной упругости. Методом много- многомерных сингулярных интегральных уравнений и син- сингулярных потенциалов, развитым в книге, исследованы общие вопросы теории и получены представления решений в рядах и квадратурах, допускающие эффективную реа- реализацию на ЭВМ. Рис. 2, библиография 540 назв. ®Главная редакция .?_ _- физико-математической литературы @2W6 ^u-ZO издательства «Наука», 1976 с изменениями и дополнениями
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 9 Глава I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ § 1. Напряжения 11 1. Внутренние и внешние силы (И). 2. Массовые и поверхностные силы. Массовый мо- момент A2). 3. Силовые и моментные напряжения A2). § 2. Комлоненты напряжений 14 1. Компоненты тензоров «силового и моментного напряжения A4). 2. Выражение вектора силового напряжения через компоненты (тензора) силового * напряжения ;( 14). 3. Выраже- Выражение вектора моментного напряжения через компоненты (тензора) моментного напряже- напряжения A5). § 3. Смещения и вращения 15 1. Вектор смещения A5). 2. Вектор вращения A6). § 4. Основные уравнения в компонентах напряжения 17 1. Уравнения движения в классической теории A7). 2. Уравнения движения в моментной теории A9). § 5. Закон Гука в классической теории 21 1. Компоненты (тензора) деформации B1). 2. Формулировка закона Гука B2). 3. Изо- Изотропная среда B3). 4. Трансверсально-изотропная среда B4). § 6. Энергия деформации в классической теории 25 1. Закон сохранения энергии B5). 2. Удельная энергия деформации B7). § 7. Энергия деформации и закон Гука в моментной теории 29 1. Закон сохранения энергии B9). 2. Удельная энергия деформации C2). 3. Закон Гука C3). 4. Изотропная среда (с центром симметрии) C3). § 8. Термоупругость. Закон Дюамеля—Неймана 35 1. Деформация с изменением температуры C5). 2. Закон сохранения энергии C5). 3. Закон Дюамеля — Неймана C6). 4. Изотропная среда C7). § 9. Уравнение теплопроводности 38 § 10. Упругие стационарные колебания 39 1. Классическая теория упругости C9). 2. Моментная теория упругости D0). 3. Тео- Теория термоупругости D0). § 11. Аксиоматизация теории 41 1. Классическая теория упругости D2). 2. Моментная теория упругости D4). 3. Тео- Теория термоупругости D6). § 12. Матричная запись основных уравнений 48 1. Классическая теория упругости D9). 2. Моментная теория упругости D9). 3. Тео- Теория термоупругости E0). § 13. Оператор напряжения 50 1. Классическая теория E1). 2. Моментная теория E1). 3. Термоупругость E2). § 14. Постановка основных задач 53 1. Классическая теория E4). 2. Моментная теория E6). 3. Теория термоупругости E7). 4. Задачи для неоднородных сред E8). § 15. Некоторые дополнения и библиографические справки 59 1. О дифференциальных операторах теории упругости E9). 2. О некоторых простран- пространствах функций и поверхностях класса Л, (а) F1). 3. Библиографические справки F4). Глава II ОСНОВНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ § 1. Фундаментальные решения уравнений классической теории упругости 1. Уравнение статики. Матрица Кельвина F5). 2. Уравнение колебания. Матрица Куп- радзе(бб). 3. Основные свойства матрицы Купрадзе F8). § 2. Фундаментальные решения уравнений моментной теории упругости 1. Уравнение колебаний G0). 2. Уравнение статики G2). 1* 65 70
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Фундаментальные решения уравнений термоупругости '. . 73 1. Уравнение колебаний G3). 2. Союзное уравнение G5). 3. Уравнение статики G5). § 4. Сингулярные решения уравнений классической теории упругости ....... 75 1. Уравнение статики G5). 2. Уравнение колебаний G7). § 5. Сингулярные решения уравнений моментной теории упругости 78 1. Уравнение колебаний G8). 2. Уравнение статики G9). § 6. Сингулярные решения уравнений термоупругости 80 1. Уравнение колебаний (80). 2. Уравнение статики (82). § 7. Различные замечания и библиографические справки 83 Задачи . 84 Глава III ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ § 1. Задачи статики в классической теории . 85 1. Формулы Грина (85). 2. Решение вспомогательного уравнения (87). 3. Основная лемма (87). 4. Теоремы единственности (88). 5. Уравнение А (дх) и — рт2м = 0 (90). 6. Неоднородная среда (91). § 2. Задачи установившихся упругих колебаний 91 I. Общее представление регулярйых в D+ решений (91). 2. Разложение регулярных ре- решений (93). 3. Условие излучения в теории упругости (94). 4. Представление решения уравнения колебаний в области D~~ (97). 5. Теоремы единственности для внешних задач (99). 6. Теоремы единственности для "неоднородных сред A02) § 3. Задачи установившихся термоупругих колебаний 103 1. Разложение регулярного решения уравнения термоупругости A03). 2. Формулы Грина A04). 3. Условие термоупругого излучения A05). 4. Теоремы единственности для внешних задач A06). 5. Теоремы единственности в задачах термоупругих псевдоколе- псевдоколебаний A07). § 4. Задачи статики в моментной теории 108 1. Формулы Грина A08). 2. Решение вспомогательного уравнения (НО). 3. Теоремы единственности в задачах статики A10). § 5. Задачи установившихся моментно-упругих колебаний 111 1. Разложение регулярного решения уравнения М (дх, а) ^ = 0A11). 2. Условие излу- излучения A14). 3. Вспомогательные оценки A14). 4. Теоремы единственности A16). § 6. Теоремы единственности в задачах динамики 117 1. Энергетические тождества A17). 2. Теоремы единственности A19). § 7. Некоторые справки и библиографические справки 120 Задачи 122 Глава IV СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Вводные замечания. Специальные классы функций и их свойства 123 1. О сингулярных интегралах и интегральных уравнениях A23). 2. Функции класса G и Z A25). 3. Сингулярное ядро и сингулярный интеграл A27). § 2. Интеграл с ядром со слабой особенностью . 131 1. Элементарные свойства A31). 2. О производных интегралов с ядром, обладающим сла- слабой особенностью A33). § 3. Сингулярные интегралы 136 1. Сингулярные интегралы в классах функций С0» 3. Теорема Жиро A36). 2. Сингулярные интегралы в классах функций Cs» a A39). 3. Интегралы с ядром специальной конструк- конструкции A44). 4. Сингулярные интегралы на многообразиях A46). 5. Сингулярные опера- операторы в пространствах L . Теорема Кальдерона и Зигмунда A52). § 4. Формула перестановки порядка интегрирования в повторных сингулярных инте- интегралах. Композиция сингулярных ядер 156 1. Общая формула перестановки порядка интегрирования в повторных сингулярных интегралах A56). 2. Пример A57). § 5. Регуляризация сингулярных операторов 161 1. Метод Жиро A61). 2. Метод Михлина A63). 3. Регуляризация сингулярных опера- операторов, распространенных на замкнутых поверхностях A65). § 6. Основные теоремы 170 1. Теоремы Нетера A70). и2. Свойства дифференцируемости решений сингулярных инте- интегральных уравнений. Теоремы вложения A72).
ОГЛАВЛЕНИЕ § 7. Сингулярная резольвента. Свойства и применения 178 1. Преобразование ядра A79). 2. Отображение локального оператора на круг A80). 3. Отображение на бесконечную плоскость A81). 4. Локальная регуляризация A82). 5. Оператор глобальной регуляризации A86). 6. Функциональные уравнения резоль- резольвенты. Первая теорема Фредгольма A-87). 7. Вторая теорема Фредгольма A90). 8. Биор- Биортонормирование фундаментальных решений союзных систем A93). 9. Третья теорема Фредгольма A95). § 8. Заключительные замечания 197 Задачи 199 Глава V ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА § 1. Некоторые вспомогательные операторы, формулы и теоремы 200 1. Определение Ш+ (у, 6) и Ш" {у, 6) B00). 2. Определение операторов Q)h, Jf., и -—. Связь между ними B00). 3. Теорема Стокса и ее применения B03). 4. Формула пред- представления решения на S B07). § 2. Граничные свойства для поверхностных интегралов типа потенциала ..... 210 § 3. Потенциалы простого и двойного слоя. Угловые граничные значения 215 § 4. Потенциал двойного слоя с плотностью класса С0* ^ (S) •. 217 § 5. Граничные свойства первых производных потенциала простого слоя 221 § 6. Производные потенциалов простого и двойного слоя с дифференцируемой плот- плотностью 224 § 7. О дифференциальных свойствах потенциалов теории упругости 226 § 8. Теоремы типа Ляпунова—Таубера в теории упругости 227 1. Теоремы Ляпунова—Таубера для гармонического потенциала двойного слоя B27). 2. Теоремы типа Ляпунова—Таубера в теории упругости B28). 3. Одна вспомогательная теорема B30). § 9. Граничные свойства потенциалов третьей и четвертой задач 233 1. Граничные условия третьей и четвертой задач. Приведение к эквивалентному виду B33). 2. Потенциалы третьей и четвертой задач и их свойства B35). 3. Теоремы -типа Ляпунова— Таубера для потенциалов третьей и четвертой задач B37). 4. Формулы Сомилиана для третьей и четвертой граничных задач B39). § 10. Объемные потенциалы 239 1. Определения. Элементарные свойства B39). 2. Вычисление производных второго по* рядка B40). 3. Теорема о распространении функций B43). 4. Объемные потенциалы с дифференцируемыми плотностями B45). 5. Характер интеграла типа объемного потен- потенциала вблизи бесконечно удаленной точки B45). § 11. Библиографические справки 248 Задачи 248 Глава VI ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ (СТАТИКА) § 1. Граничные задачи для неоднородных уравнений 250 § 2. Интегральные уравнения граничных задач ' 251 § 3. Теоремы Фредгольма и теоремы вложения 254 § 4. Теоремы о характеристических числах 259 § 5. Существование решений граничных задач 261 1. Задачи A)+и (II)- B61). 2. Задачи (Ц)+ и (I)- B62). 3. Другой способ доказательства теорем существования для задач (I)- и (П)+ B68). 4. Задачи (Ш)+ и (IV)" B70). 5. За- Задачи (III)-и (IV)+ B71). 6. Задачи (VI)+ и (VI)- B72). 7. Задача (V)+B72). § 6. Вопросы корректности 275 1. Постановка вопроса B75). 2. Первая основная задача статики B77). 3. Вторая основ- основная задача статики B78). § 7. Библиографические справки 279 Задачи 280 Глава VII ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ § 1. Внутренние задачи 281 1. Приведение к интегральным уравнениям B81). 2. Тензоры Грина B83). 3. Формулы представлений B86). 4. Однородные внутренние задачи. Спектр собственных частот B87).
ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Основные теоремы теории колебаний 290 1. Первая теорема Ляпунова—Таубера в теории упругости B90). 2. Свойства собствен- собственных частот и собственных функций B93). 3. Теоремы о простоте полюсов резольвенты B97). 4. Исследование внутренних задач. Условия разрешимости в резонансном случае C02). § 3. Внешние задачи 306 со со 1. Разрешимость для произвольных частот колебания; задачи A)~, (II)" C06). 2. Другие задачи C08). § 4. Некоторые замечания и библиографические справки 310 Задачи 311 Глава VIII СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ § 1. Первая основная задача 313 1. Условия для данных задачи. Основная теорема C13). 2. Приведение к специальному случаю C15). 3. Усредняющее ядро. Свойства средней функции C16). 4. Доказательство существования а (х, i) C19). 5. Преобразование Лапласа. Приведение к эллиптической задаче C21). 6. Единственность, существование, представление и дифференциальные свойства Ъ9 (х, х) C21). 7. Гладкость и0 (х, х) относительно х С П_ C22). 8. Асимпто- Асимптотические по т оценки для и0 (х, х) C23). 9. Некоторые^ простейшие неравенства C25). 10. Асимптотические по т оценки первых производных ° C27). 11. Асимптотические по х оценки вторых производных "° **' Т) C29). 12. Некоторые свойства преобразования ох-ох. Лапласа C30). ЛЗ. Доказательство существования и0 (дс, t) и и (*, t) C31). 14. Вычисле- Вычисление и (х, t) и завершение доказательства основной теоремы C33). § 2. Вторая основная задача 334 1. Постановка я условия для данных задачи. Основная теорема C34). 2. Преобразование Лапласа. Решение эллиптической задачи C35). 3. Гладкость и0 (х, х) относительно х ? ? П^ C36). 4. Асимптотические по х оценки для и0 (х, х) и производных C37). 5. До- Доказательство существования и вычисление решения второй основной задачи C39). § 3. Внешние задачи 340 1. Постановка задач C40). 2. Основная лемма C41). 3. Исследование первой внешней задачи C42). § 4. Заключительные замечания. Библиографические справки 342 Задачи 345 Глава IX МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ § 1. Введение 347 1. Основные уравнения C47). 2. Оператор напряжения C47). 3. Основные задачи C47). 4. Формулы Сомилиана C49). 5. Потенциалы C50). 6. Теорема Ляпунова — Таубера C51). § 2. Исследование задач статики 351 1. Сведение граничных задач к интегральным уравнениям C51). 2. Исследование инте- интегральных уравнений C52). 3. Теоремы существования для задач A)+ и (II)- C55). 4. Теоремы существования для задач (Н)+ и (I)- C56). 5. Теоремы существования для задач (Ш)+ и (IV)- C59). 6. Теоремы существования для задач (III)— и (IV)+ C60). § 3. Задачи колебания 360 1. Сведение задач к интегральным уравнениям C60). 2. Исследование интегральных уравнений C61). 3. Тензоры Грина C61). 4. Внутренние задачи C64). 5. Внешние за- задачи C65). § 4. Задачи динамики 365 1. Постановка и приведение к специальному виду C65). 2. Преобразование Лапласа. Решение эллиптической задачи. Аналитичность решения C66). 3. Асимптотические по г оценки ^в (*, X) и ее производных. Решение динамической задачи C67). § 5. Заключительные замечания и библиографические справки 370 Задачи 371
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 Глава X ТЕОРИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ § 1. Введение 373 § 2. Установившиеся термоупругие колебания 374 1. Союзная система. Свойства фундаментальных решений. Тождества Грина C74). 2. Общее представление регулярных решений однородного уравнения C78). 3. Основ- Основные свойства термоэластопотенциалов C80). 4. Основные граничные задачи. Приведение к интегральным уравнениям C84). 5. Теоремы Фредгольма C85). 6. Внутренние задачи. Спектр собственных частот. Теоремы единственности C86). 7. Изучение интегральных уравнений внешних задач C88). 8. Применения в теории внешних задач. Доказательство теорем существования C92). § 3. Задачи статики и псевдоколебаний 401 1. Задачи статики D01). 2. Псевдоколебания D01). § 4. Динамические задачи термоупругости 405 1. Первая задача. Постановка и приведение к специальному виду D05). 2. Преобразова- Преобразование Лапласа. Решение эллиптической задачи D07). 3^ Гладкость й9 (х, х) относительно If П D08). 4. Асимптотические по т оценки для Uj^^ix, х) [и ее производных D09). 5. Асимптотические оценки по т для сН^) ^х. х) D10). 6. Оценки относительно х производ- производ№)(х, х). Некоторые вспомогательные ^неравенства D14). 7. Завершение решения динамической задачи D17). § 5. Дополнительные замечания. Библиографические справки 41в Задачи 420 Глава XI ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СРЕД, ОГРАНИЧЕННЫХ НЕСКОЛЬКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ § 1. Основные граничные задачи упругого равновесия 422 1. Постановка граничных задач и теоремы единственности D22). 2. Решение граничных задач (I) ± D24). 3. Решение граничных задач (II) ±, (III) i D26). 4. Тензоры Грина для областей, ограниченных несколькими замкнутыми поверхностями D28). § 2. Смешанные задачи статики 430 1. Теоремы существования для смешанных статических задач (IV) i D30). 2. Решение смешанной задачи (V)+ D33). 3. Теоремы существования для статических смешанных задач (VI)+, (VII)+, (V)- D35). § 3. Граничные задачи колебания 437 1. Однородные внутренние задачи колебания. Спектр собственных частот D37). 2. Внеш- @ (О (О ние задачи колебания (I)"", (II)"", (III)"". Приведение к интегральным уравнениям. Основ- уравнениям. Основой со ные теоремы D39). 3. Теоремы существования для внешних задач колебания A)~, (И)""# со со со (III)- D41). 4. Внешние смешанные граничные задачи колебания (IV)-, (V)- D44). § 4. Заключительные замечания 447 Задачи 448 Глава XII ГРАНИЧНО-КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД 1. Основные гранично-контактные задачи 449 2. Интегральные уравнения главной контактной задачи 451 3. Решение гранично-контактных задач статики 457 4. Решение гранично-контактных задач для уравнения установившихся колебаний 465 5. Функциональные уравнения гранично-контактных задач 475 1. Первая задача статики A)+ D75). 2. Вторая задача статики (П)+ D80). 3. Смешан- Смешанная гранично-контактная задача статики D81). 4. Гранично-контактные задачи колеба- колебания D82). 5. Теоремы эквивалентности D84). 6. Гипотеза Коши. Изучение статических задач. Обобщенные решения D89). 7. Изучение динамических задач. Спектр собственных частот. Обобщенные решения D93). 8. Доказательство теорем существования в общем случае D96). 9. Задачи для неограниченной области D98). f 6. Заключительные замечания 498
8 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава XIII РЕШЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ РЯДАХ ФУРЬЕ § 1. Первая и вторая основные задачи теории упругости (статика) 501 1. Теорема о полноте для задачи A)+E01). 2. Первый способ (задача I) E02). 3. Второй способ (задача I) E05). Л. Третий способ (задача I) E06). 5. Теорема о полноте для за- задачи (И)+ E08). 6. Первый способ ^(задачи (И)+ и (II)-) E10). 7. Второй способ (за- (задача II) E12). 8. Третий способ (задача II) E13). § 2. Другие задачи (статика) 514 1. Задачи III и IV E14). 2. Задача (VI) E16). 3. Смешанные задачи [E18). § 3. Гранично-контактные задачи статики и колебания , . 521 1. Гранично-контактные задачи статики E21). 2. Задачи колебания E27). § 4. Граничные задачи термоупругости 528 § 5. Численные примеры 532 § 6. Способ последовательных приближений 538 1. Задачи для однородных сред E38). 2. Гранично-контактные задачи E42). § 7. Заключительные замечания и библиографические справки 544 Задачи . , . , 545 Глава XIV РЕШЕНИЯ В РЯДАХ И КВАДРАТУРАХ § 1. Эффективное решение основных граничных задач классической теории упругости для сферы и сферической полости в неограниченной среде 546 1. Задача A)± E46). 2. Задача (И)± E53). 3. Задача (Ш)± E57). 4. Задача (IV)± E61). § 2. Граничные и некоторые другие задачи для трансверсально-изотропного упругого полупространства и бесконечного слоя 563 1. Вспомогательные формулы E63). 2. Граничные задачи и теоремы единственности для полупространства E67). 3. Решение задачи A)+для полупространства E70). 4. Решение за- задачи (II)+ для полупространства E74). 5. Решение задачи (III)+ для полупространства E78). 6. Задача о действии жесткого штампа на упругое полупространство неродственные за- задачи E81). 7. Эффективное решение задачи о жестком штампе для некоторых конкретных случаев E83). 8. Эффективное решение задачи о трещине для некоторых конкретных слу- случаев E87). 9. Решение задачи (Н)+ для бесконечного слоя E90). § 3. Применение некоторых новых представлений гармонических функций и прин- принципа симметрии для эффективного решения задач теории упругости ....... 595 1. Некоторые гармонические функции, связанные с упругими смещениями E95). 2. Про- Продолжение решений E96). 3. Эффективное решение некоторых трехмерных граничных за- задач E97). § 4. Задачи термоупругости в бесконечных областях, ограниченных системой плоско- плоскостей 599 1. Постановка задач для полупространства F00). 2. Фундаментальные решения и фор- формулы представлений для системы D.3), D.4) F03). 3. Решение задач А и В для системы D.11). Теоремы единственности F06). 4. Решение задач V и VI для полупространства F08). 5. Теоремы о принципе симметрии для системы D.11) F09). 6. Решение некоторых гра- граничных задач для системы D.11) в четверти пространства F10). 7. Решения задач Дирихле, Неймана и смешанной для метагармонического уравнения в четверти пространства F13). 8. Решение задач Дирихле, Неймана и смешанной для неоднородного метагармонического уравнения в четверти пространства F15). 9. Решение задач V, VI и смешанной в четверти пространства для уравнений термоупругости F17). 10. Решение граничных задач для си- системы D.11) в прямоугольном трехграннике (восьмая часть ^пространства) F18). 11. Реше- Решение задач V, VI и смешанных для уравнений термоупругости в области D+ F22). § 5. (Продолжение). Применение интеграла Фурье 623 1. Представления решений уравнений термоупругости F23). 2. Решение задачи I для полупространства F25). 3. Решение задачи II для полупространства ,F27). 4. Другие задачи F30). 5. Теоремы о принципе симметрии для уравнений термоупругости F32). 6. Граничные задачи для четверти пространства F34). 7. Граничные задачи для бесконеч- бесконечного прямоугольного трехгранника F36). Задачи . , .-• в «¦,.**»••«« г » и *•©»*• 637 Литература 638 Основные обозначения # 659 Предметный указатель 661
ПРЕДИСЛОВИЕ В лучших книгах по теории упругости изложение теории трехмерных граничных задач до сих пор ограничивается рассмотрением лишь тел спе- специальной конфигурации (полупространство, сфера, некоторые другие слу- случаи тел вращения и т. д.); при этом наибольшее внимание уделяется вопро- вопросам статики, значительно меньше вопросам колебаний и еще меньше — вопросам общей динамики. Это обстоятельство не случайно; в нем находит отражение исторический ход развития теории упругости, которая в течение всего предшествующего периода была занята главным образом изучением тел частных профилей и интересовалась прежде всего проблемами статиче- статического равновесия. Было бы неверно приписывать такое положение одной лишь важности указанных задач для целей технической теории упругости; истинная при- причина состоит в том, что методы классической теории упругости были недо- недостаточны для построения строгой и достаточно полной общей теории трех- трехмерных граничных задач. В противоположность трехмерным задачам, теория плоской задачи, разрабатываемая главным образом методами классического анализа (теория аналитических функций, теория интегральных уравнений Фредгольма и, позднее, теория одномерных сингулярных интегральных уравнений), полу- получила широкое развитие и нашла совершенное выражение в классическом труде Н. И. Мусхелишвили «Некоторые основные задачи математической теории упругости», первое издание которого вышло в 1933 году. Положение существенно изменилось в настоящее время. Теперь теорию трехмерных задач можно построить различными средствами; укажем две из подобных возможностей. С одной стороны, — это современная теория обобщенных решений дифференциальных уравнений (методы гильбертовых пространств, вариационные методы), с другой, — теория многомерных син- сингулярных потенциалов и сингулярных интегральных уравнений. Первое направление, основанное на идеях современного функциональ- функционального анализа, незнакохмых классической механике, отличается большой общностью, охватывая случай переменных коэффициентов и граничных многообразий общего вида, но благодаря именно этой общности служит прежде всего для доказательства теорем существования неклассических решений, требуя при переходе к классическим решениям дополнительных, иногда существенных, ограничений. Современное изложение этих вопросов достаточно подробно дается в статьях G. F i с h e r a, «Existence Theorems in Elasticity», и «Boundary Value Problems of Elasticity with Unilateral Constraints», Handbuch der Physik, VIa/2, Springer Verlag, 1972 иС. Dafermos, «On the Existence and Asymptotic Stability of Solutions to the Equations of Therinoelasticity>. Arch. Rat. Mech. Anal. 29, 4, 1968. Второе направление, которое опирается на активно развивающуюся в последнее время теорию сингулярных интегралов и интегральных уравне- уравнений, представляет прямое развитие господствующих в классической меха- механике идей теории потенциала и фредгольмовых уравнений и, уступая
10 ПРЕДИСЛОВИЕ первому направлению в общности, позволяет подробно исследовать наиболее важные для теории и приложения случаи, сохраняя при этом ту степень наглядности и эффективности, которые характерны для методов классиче- классической механики сплошных сред. Предлагаемая книга — продукт второго направления. В ней, на совре- современном уровне математической строгости, впервые с одинаковой в принципе полнотой, изложена общая теория трехмерных граничных задач статики, колебаний и общей динамики для линейных уравнений с постоянными и кусочно-постоянными коэффициентами классической теории упругости, термоупругости и моментной теории упругости. Общим вопросам (теоремы существования и единственности, анализ дифференциальных свойств решений, непрерывная зависимость от данных задачи и др.) в книге отводится значительное место, но большое внимание уделяется также вопросам фактического конструирования решений в таком виде, который должен позволить их численную реализацию при весьма общих условиях. С этой целью решения представляются в виде обобщенных рядов Фурье, которые не требуют для своего построения знания собственных функций и собственных чисел каких-либо вспомогательных граничных задач; в некото- некоторых частных случаях найдены новые представления решений в квадратурах. Нам кажется, что приведенные в книге простые конструкции решений и представления с помощью явных обратимых операторов несложных струк- структур, вместе с подробным анализом гладкости решений, при современном состоянии средств вычислительной техники могут служить основой для составления удобных алгоритмов численных расчетов и для оценок прибли- приближений. Книга является переработанным и дополненным изданием монографии тех же авторов, вышедшей в 1968 году в издании Тбилисского универси- университета; она была благожелательно принята читателем и тираж быстро разо- разошелся; первое издание было удостоено Государственной премии Грузин- Грузинской ССР 1971 года. Второе издание подверглось значительным изменениям и дополнениям. Стремясь сделать книгу доступной для широкого круга читателей, авторы перестроили изложение, заново написали почти все главы, упростили ряд локазательств, устранили замеченные опечатки и ошибки. Для пользования книгой необходимо иметь в виду,' что главы разбиты на параграфы, параграфы — на пункты и нумерация формул в каждом параграфе своя, сквозная; номер формулы обозначается двумя числами, поставленными в скобках, например, E.9) обозначает девятую формулу в пятом параграфе; при ссылках на формулы, кроме номера формулы, ука- указывается номер главы, например, (VIII, 3.6) обозначает шестую формулу в третьем параграфе восьмой главы. При ссылках на формулу внутри дан- данной главы указание на номер главы опускается. Подобным же образом, но без скобок, обозначается номер теоремы, леммы, определения и замечания; например, теорема V, 2.10 обозначает теорему десятую во втором параграфе пятой главы. При ссылках внутри данной главы указание на номер главы не делается. Все главы, кроме первой, сопровождаются задачами; некоторые из них могут служить предметом самостоятельных работ исследовательского значения. Список литературы включает названия, которыми авторы располагали при работе над книгой; он не является полным, не претендует на безупреч- безупречность библиографического отбора и не содержит указаний на работы, опу- опубликованные позднее 1972 года. Тбилиси, 1972 р. Авторы
ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ Первая глава носит вводный характер. Здесь приведены основные поня- понятия классической теории упругости, термоупругости и моментной теории упругости. Рассуждения, поясняющие физические основы этих теорий, приведенные в основном в §§ 1—10, не имеют своей целью обосновать с пози- позиции физики основы теории упругости. Они не полны и не претендуют на современность изложения. Цель этих рассуждений — перекинуть мост между теорией упругости как разделом механики и математической теорией упругости и этим облегчить чтение книги механикам, которые еще не при- привыкли к аксиоматическому построению теории упругости, а также помочь математикам, изучавшим математическую теорию упругости, придать неко- некоторым терминам (напряжения, смещения, изотропия и т. д.), формально выступающим в аксиоматической теории, определенный физический смысл. Читатели, не нуждающиеся в этих пояснениях, могут пропустить §§ 1—10, а интересующиеся физическими основами могут ознакомиться с литературой, указанной в § 15. В первой главе сформулированы основные предположения классиче- классической теории упругости, термоупругости и моментной теории упругости сна- сначала в терминах механики, а затем проведена аксиоматизация этих теорий. Классическую теорию упругости, теорию термоупругости и моментную теорию упругости объединим общим названием — теория упругости. В физических основах теории упругости лежит допущение о примени- применимости для некоторых сред, называемых упругими, теории деформаций, напряжений и закона Гука (закона связи между напряжениями и деформа- деформациями). Различное понимание теории деформаций, напряжений и закона Гука порождает различные теории. Так, построена классическая теория упругости для изотропных и анизотропных сред, теория термоупругости, моментная теория упругости и др. § 1. Напряжения 1. Внутренние и внешние силы. Если в рассматриваемой среде отсут- отсутствуют внешние воздействия и среда не деформирована, то все ее части нахо- находятся в механическом равновесии друг с другом. Если же каким-либо воз- воздействием среда выведена из этого естественного состояния, т. е. деформи- деформирована, то первоначальное равновесное расположение молекул меняется, части уже не находятся в механическом равновесии друг с другом. При таком деформированном состоянии в среде возникают силы, которые стремятся вернуть тело к естественному состоянию. Внутренние силы, вызванные изменением расположений молекул, характеризуются молекулярными силами и обладают незначительными ра- радиусами действия по сравнению с расстояниями, рассматриваемыми в теории
12 основные понятия и аксиоматизация [рл# i упругости. Поэтому принято считать, что внутренние силы, действующие на какую-нибудь часть среды со стороны остального тела, действуют только через границу этой части. Силы, действующие из окружающей среды, называются внешними си- силами и делятся на массовые и поверхностные силы. 2. Массовые и поверхностные силы. Массовый момент. Если рассматри- рассматриваемая среда соприкасается с воздействующей на нее внешней средой, то на поверхности соприкосновения возникают «силы близкого действия», на- называемые поверхностными, такой же природы, как и описанные выше. Очевидно, что не всякое внешнее воздействие на рассматриваемую среду можно представить поверхностными силами. Силы тяготения являются при- примером такого воздействия. В теории упругости, кроме поверхностных сил, вводят массовые силы. Предполагают, что воздействие этих сил на элемен- элементарную частицу среды статически эквивалентно силе, приложенной к центру масс частицы, и паре сил. Эти силы и моменты пар предполагаются пропор- пропорциональными массам частиц, на которые они действуют. Их называют мас- массовыми силами и массовыми моментами. Рассмотрим частицу с массой Am. Пусть центр масс частицы находится в точке х. Как было отмечено, воздействие сил, зависящих от масс, можно представить в виде силы, приложенной в центре масс, и пары сил. Обозна- Обозначим вектор этой силы через ЗГ (Am), а момент пары — через *§ (Am). Пред- Предположим, что существуют пределы Дт->0 Ьт которые зависят только от точки х и, в динамическом случае, от времени t Обозначим эти пределы через ЗГ (х, f) и $ (х, t) соответственно, и понятия массовая сила и массовый момент будем употреблять для этих векторов. Из принятого предположения вытекает, что действие сил, зависящих от масс, на частицу AD с массой Am можно представить в виде массовой силы ЗГ (х, t) Am и массового момента 9 (х, t) Am с точностью до беско- бесконечно малых по сравнению с Am. Эти векторы можно представить и так: ЗГ (х, t) р (х) mes (AD), 9 (х, t) р (x) mes (AD), где р — плотность среды, a mes (AD) — объем, занятый частицей AD. Плотность среды определяется как предел отношения Am/mes (AD), когда mes (AD) стремится к нулю таким образом, чтобы AD всегда содер- содержала точку х. В классической теории упругости, в отличие от моментной теории, не учитывают влияния массовых моментов, предполагая, что они равны нулю (9 (х, t) = 0). 3. Силовые и моментные напряжения. Для характеристики внутренних сил в теории упругости вводя! понятие напряжения. Возьмем точку внутри рассматриваемой среды и мысленно проведем через эту точку малую поверх- поверхность. Обозначим выбранную точку и поверхность через х и AS соответ- соответственно. Внутренние силы, вызванные действием части среды, находящейся по одну сторону от поверхности AS, на другую, можно представить в виде сил, приложенных в точках поверхности AS. Направления этих сил зависят от выбранной части. Воздействия друг на друга частей среды, находящихся по разные стороны от поверхности AS, характеризуются равными по величине, но противоположно направленными
Л Ц НАПРЯЖЕНИЯ 13 силами. Чтобы определить, о каких воздействиях идет речь, поступим сле- следующим образом: проведем в точке х нормаль к поверхности AS, выберем на ней определенное положительное направление и будем рассматривать действие той части среды на другую, которая находится с положительной стороны нормали. Предполагается, что действие указанных сил, приложенных к AS, ста- статически эквивалентно действию силы и пары. Обозначим вектор силы через 7\ а момент пары через М, и рассмотрим отношения 7/mes(AS), M/mes(AS). Предполагается также, что пределы этих отношений, когда площадь поверх- поверхности AS—mes (AS) стремится к нулю, существуют. Эти пределы зависят от выбранной точки х и от нормали п. Выбором противоположного направ- направления на п изменяется знак пределов. Выбирая другую нормаль, т. е. рассматривая другую поверхность, проходящую в точке х, получим иную картину, вызванную воздействием уже других частей среды. В соответствии с этим изменяются Т и М и, следовательно, пределы приведенных отноше- отношений. Вместе с тем предполагается, что эти пределы не зависят от формы поверхности AS. Точнее, пределы не изменяются, если их вычислить для другой поверхности, проходящей через ту же точку х, с той же нормалью п. Отметим также, что если рассматривается динамическая картина дефор- деформации, то приведенные пределы будут зависеть и от времени. Введем обо- обозначения = lim —-Г цс») = Hm M mes (AS) > ** ~ ilX11 mes (AS) В силу сказанного выше, т<п> и \i(n\ кроме направления п, зависят также от точки х и времени t. т(п) (х, t) называется вектором силового напряжения, а ^х(/г> (х, t) — вектором моментного напряжения в точке х по направлению п в момент времени t. Заметим, для устранения недоразумений, что векторы т<л> и |х<л> вообще не направлены по п. В классической теории упругости предполагают, что \к{п) = 0. В момент- ной же теории упругости такое предположение не делается. Ввиду того, что в классической теории нет моментных напряжений, вместо термина «силовое напряжение» будем употреблять просто «напряжение». Мы уже встретились с двумя основными различиями между классиче- классической и моментной теорией упругости. В моментной теории, в отличие от клас- классической, вводятся в рассмотрение массовые моменты и моментные напря- напряжения. Отсюда и название этой теории *). Определение напряжений (силового — в классической теории и сило- силового и моментного — в моментной теории) в каждой точке по любому направ- направлению, в каждый момент времени из рассматриваемого промежутка, является одной из основных задач теории упругости. г) В литературе встречаются различные названия для моментной теории упругости. Называют ее асимметричной теорией упругости, теорией Коссера, теорией упругости с враща- вращательными воздействиями |частиц,!теорией упругости микрополярных сред, микрополярной теорией упругости, нелокальной теорией упругости, теорией упругости среды второго класса и т. д. Отметим, что рассматривались различные представления модели сплошной среды, учи- учитывающие моментные напряжения и оправдывающие приведенные названия. Подробнее об этом будет сказано в главе IX, посвященной моментной теории.
14 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ [Рл. I Из принятого предположения вытекает, что поверхностные силы (сило- (силовые и моментные напряжения), действующие на малую поверхность AS с нормалью /г, статически эквивалентны силе т*я> mes (Д5) и моменту \iW mes (AS) с точностью до бесконечно малых высшего порядка по отно- отношению к mes (AS). § 2. Компоненты напряжений 1. Компоненты тензоров г) силового и моментного напряжения. В каж- каждой точке среды можно провести бесконечно много различных направлений и, следовательно, для представления полной картины напряжений в точке приходится знать напряжения (силовые — в классической, и силовые и моментные — в моментной теории упругости) по всем этим направлениям. Однако если известны напряжения в точке по трем взаимно перпенди- перпендикулярным направлениям, то можно вычислить, с некоторой точностью, напряжения в этой точке по любому направлению. Возьмем прямоугольную и прямолинейную систему координат ХгХ2Х3. Обозначим напряжения т<я> и \i{n), когда п совпадает с направлением оси Xi% через т<1) и \i{iK а координаты этих век- торов в системе ХгХ2Х3—через Тц,т/2> тгз и М-д» Мч*2> Мчз соответственно. Рассмотрим матрицу || T{f (х, /)[зхз- Ниже мы покажем, что вектор силового напряжения xw (х, f) по любому напра- направлению п (в точке х в момент времени t) выразится с помощью элементов матрицы IIх// (•*' ^I1* Элементы этой матрицы назы- ^ ваются компонентами силового напряже- 1 ния. Легко доказать, что эти девять скат лярных величин образуют тензор второго ранга, который называют тензором сило- силового напряжения. Таким образом, компо- компоненты силового напряжения суть компо- компоненты тензора напряжения. Совершенно аналогично определяются компоненты моментного напря- напряжения и тензор моментного напряжения. 2. Выражение вектора силового напряжения через компоненты (тен- (тензора) силового напряжения. Пусть х — произвольная точка рассматривае- рассматриваемой среды, а п = (п1у п2, п3) — произвольный единичный вектор, направ- направление которого не совпадает с направлением координатных осей и не про- противоположно им. Проведем через точку х три плоскости, параллельные координатным плоскостям, и рассмотрим малый тетраэдр, образованный этими плоскостями и плоскостью, нормальной к п, проведенной на близком расстоянии от точки х. Обозначим через AS ту грань тетраэдра, которая нормальна к п (рис. 1). Из условий равновесия следует равенство нулю суммы главного век- вектора внешних сил и главного вектора инерционных сил. При вычислении главного вектора внешних сил, действующих на тетра- тетраэдр, следует учесть силовые напряжения, действующие на грани этого тетраэдра, и главный вектор массовых сил, действующих на массу тэтраэдра. *) В этой книге мы не пользуемся тензорным исчислением. Слово «тензор» у нас употреб- употребляется в качестве термина (точнее, в качестве составной части терминов «тензор силового напряжения», «тензор моментного напряжения», «тензор деформации» и т. д.) для обозначе- обозначения некоторых величин. Эти величины действительно образуют тензоры, что дает право на сво- свободное употребление термина «тензор». Рис. К
Л 31 СМЕЩЕНИЯ И ВРАЩЕНИЯ 1 5 Вычислим силовые напряжения, действующие на грани тетраэдра. Площадь грани тетраэдра, перпендикулярной к осиОХг, равна |дг| mes (AS) и, следовательно, силовое напряжение, действующее на тетраэдр через эту грань со етороны внешней по отношению к тетраэдру части среды, равно %i?) (x, t) nt mes (AS) с точностью до малой высшего порядка по сравнению с mes (AS) (см. § 1, п. 3). Силовое напряжение, действующее через грань AS, равно т<Л> (х, t) mes (AS). Главный вектор массовых и инерционных сил, действующих на тетра- тетраэдр, пропорционален массе тетраэдра, и, следовательно, его объему, т. е. является величиной бесконечно малой высшего порядка по сравнению с mes (AS). Сумму всех этих векторов, представляющую главный вектор внешних сил, следует приравнять нулю. Разделив полученное равенство на mes (AS) и перейдя к пределу, при mes (AS) —¦ 0, получим векторное соотношение з которое .в компонентах примет вид тГ (*,*) = ? ru(x9t)nu /=1,2,3. B.1) Если направление п совпадает с направлением какой-нибудь коорди- координатной оси или противоположно ему, то справедливость формул B.1) оче- очевидна. Формулы B.1) дают искомые представления силового напряжения по любому направлению в точке через компоненты тензора силового напря- напряжения в той же точке. Эти соотношения были найдены Коши. Они справед- справедливы как в классической, так и в моментной теории упругости. 3. Выражение вектора моментного напряжения через компоненты (тен- (тензора) моментного напряжения. Вычислим главные моменты внешних и инер- инерционных сил, действующих на тетраэдр и их сумму приравняем нулю. Рас- Рассуждением, аналогичным приведенному в предыдущем пункте, получаем векторное соотношение з которое в компонентах запишется так: з № (х, t) = 2 V4i (x, t) щ (/ = 1,2, 3). B.2) Получены соотношения между моментным напряжением по любому направлению в точке и моментными напряжениями по трем взаимно перпен- перпендикулярным направлениям в той же точке. Заметим, что в классической теории упругости \\а и \х\п) предпола- предполагаются равными нулю и поэтому соотношения B.2) не рассматриваются. § 3. Смещения и вращения 1. Вектор смещения. Предположим, что в начальный момент времени t0 среда находится в состоянии покоя — она не деформирована и к ней не^при- ложены силы. Подвергнем ее деформированию. Для математического описа- описания деформированного состояния введем неподвижную прямоугольную систему осей координат ОХ±Х2Х3. Пусть среда в момент времени tQ зани- занимает область D с границей S, а в момент времени t — область Dt с гра- границей S'.
|б OCHOBHbTF ПОНЯТИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ [Гл J Рассмотрим какую-нибудь точку х = (хх> х2, х3) среды, находящейся в покое (х (Е D = D [} S). При деформации среды точка х меняет положе- положение, т. е. подвергается смещению. Обозначим ее положение в момент вре- времени t через х* = (х{> х{, лф. Разность г) хг — х называется вектором смещения или просто смещением, точнее, значением вектора смещения в точке х в момент t, и обозначается через и (х, f), а его компоненты в выбранной системе — через иг (х, t), и2 (х, *), и3 (х, О- Таким образом, каждой точке х недеформированного состояния среды (х 6 D) в любой момент t из рассматриваемого промежутка времени [t0, ?xl, т. е. каждой паре (х, t) из множества D X [t0, ^1, ставится в соответствие вектор смещения и (ху f) = хг — х. 2. Вектор вращения. Вектором смещения и (х, f) каждой точки х рас- рассматриваемой сплошной среды в любой момент времени t вполне опреде- определяется картина деформации. Но материальную среду естественно предста- представить не как сплошную, представляющую множество математических точек трехмерного евклидова пространства, а как совокупность материальных частиц. Таким представлением мы уже пользовались выше, при введении напряжений и при выводе основных для теории упругости соотношений между напряжениями в точке. Тогда элементарный объем среды мы рас- рассматривали как твердое (жесткое) тело и применяли к нему законы статики. Рассматривая среду с самого начала в виде совокупности математиче- математических точек, заполняющих некоторую область, мы встретились бы с серьез- серьезными затруднениями, например, уже при выводе основных соотношений, на которых основывается теория упругости. По-видимому, когда прихо- приходится пользоваться закономерностями физики, необходимо представлять среду в виде совокупности материальных частиц. С другой стороны, рассмотрение среды как сплошной необходимо, если мы желаем применить методы математического анализа. Эти две концепции обычно согласуются следующим образом: сначала среду рассматривают как совокупность материальных частиц, выводят необходимые соотношения, вытекающие из такого представления, а потом, реализуя идеализацию, т. е. представляя среду как сплошную, применяют аппарат математического анализа. Если среду с самого начала представим как сплошную, то картина дефор- деформации вполне определится вектором смещения. Если же представим ее как совокупность материальных частиц, картина несколько изменится. Рассмотрим произвольную частицу среды. Пусть центр тяжести этой частицы находится в точке х в состоянии покоя. Введем новую систему прямоугольных и прямолинейных осей координат с началом в точке х, жестко закрепленную с рассматриваемой частицей. Оси ноеой системы напра- направим параллельно соответствующим осям неподвижной системы. Частицу будем представлять как твердое (жесткое) тело. Тогда ее дви- движение определяется шестью скалярными величинами, например, смеще- смещением точки х (которое определяется тремя координатами вектора смещения относительно неподвижной системы) и вращением частицы вокруг центра тяжести (которое также определяется тремя скалярными величинами — углами поворота подвижной системы относительно осей координат непо- неподвижной системы, например, углами Эйлера). 1) Точка и соответствующий радиус-вектор обозначаются одним и тем же символом. Таким образом, под х* — х понимается вектор, началом которого является точка х, а концом — точка хг. Следовательно, ** — х = (х\ — xlt х\ — х2, х\ — х3).
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ НАПРЯЖЕНИЯ 17 Среда при деформации в момент времени t займет новое положение относительно неподвижной системы. Точка х займет положение х*. х1 — х = = и (х, t) определяет вектор смещения точки х. Новое положение займет и подвижная система относительно неподвижной. Она поворачивается. Обозначим углы поворота через с^ (я, f)> cd2 (x> t) и са3 (*, 0- (Вектор ю (*, t) = (ayг (х, f), оо2 (х, f), oK (х, t)) будем называть вектором внутрен- внутреннего вращения или просто внутренним вращением точки х в момент вре- времени t. Если теперь представим среду как сплошную, то движение каждой ее точки будет характеризоваться не тремя скалярными величинами (ком- (компонентами вектора смещения), а шестью (компонентами вектора смещения и вектора внутреннего вращения). Такое рассмотрение принято в моментной теории упругости. В класси- классической теории упругости вектор внутреннего вращения не рассматривают как независимый от смещения, а связывают с ним (см. Love [II, Мусхе- лишвили [11, Ландау, Лифшиц [11, Филоненко-Бородич [11 и др.) фор- формулой *) з С0г. = -7>-(rot U)t = — Таким образом, каждая точка среды в моментной теории упругости обладает шестью степенями свободы, а в классической теории упругости — тремя степенями свободы. § 4. Основные уравнения в компонентах напряжения 1. Уравнения движения в классической теории. Выделим из среды про- произвольную часть и обозначим область, занимаемую этой частью, через Q, а ее границу — через Г. Напишем условие равновесия выделенной части. Для этого надо просуммировать внешние силы, действующие на нее, и при- приравнять сумму инерционным силам с обратным знаком. Аналогично сле- следует поступить и с моментами. При подсчете сил в предположениях классической теории упругости следует учесть: 1) Напряжения. В каждой точке у поверхности Г в момент времени t ) р у р р действует напряжение %м (у, f), где п — нормаль к поверхности Г в точке у, внешняя по отношению к Q. Сумма этих сил выражается интегралом еде dY — элемент площади поверхности Г. 2) Массовые силы. В каждой точке х области (или части) Q в момент времени t действует массовая сила вГ (х, t). Сумма этих сил выражается интегралом где dx — элемент объема, р — плотность среды, которую, если не оговорено обратное, будем считать не зависящей от положения точки х и от времени t. х) Хотя тензорным исчислением мы не пользуемся, все-таки употребляем, и очень часто, единичный тензор — символ Кронекера 6ty и так называемый s-тензор—символ Леви-Чивита Ъщ. Ьц = 0, если i ф /, и 8ц = 1, ъць = 1 или е^ = —1, в зависимости от того, образуют ли i, /, k четное или нечетное число перестановок чисел 1, 2, 3; г^к = 0, если по крайней мере два из трех индексов i, /, k равны. 2 В. Д. Купрадзе
18 основные понятия и аксиоматизация 3) Инерционные силы. Если и (х, f) — смещение точки х, то ускорение этой точки в момент времени t равно д2и (х, t)/dt2, а силы инерции, при- приложенные к элементу объема dx, равны Р Сумма этих сил дается интегралом д2и (х, Q Из условий равновесия (равенство нулю суммы главного вектора актив- активных сил и главного вектора инерционных сил.) следует равенство J т<»> (у, t)dr + \ pF (x, t)dx = \p ^ t] dx. D.1) Г Q Q Аналогичный подсчет моментов и условие равновесия (равенство нулю суммы главного момента активных сил и главного момента инерционных сил) дают формулу [у X %™(yJ)dT + Jp* x3T(x,t) dx=\px x дЩ^' ° dx. D.2) Г Q Q Знак «X» между векторами означает их векторное умножение. Векторное равенство D.1) с учетом формул B.1) примет вид з J ^faggj J J ОТ Г 1=1 Q Q и в силу формулы Гаусса—Остроградского перепишется так: Отсюда в силу произвольности Q следует равенство 0. (/=1,2,3), D.3) справедливое в любой точке рассматриваемой среды и в любой момент времени. Подвергнем аналогичному преобразованию равенство D.2). С учетом B.1) оно принимает вид Q It к Применяя формулу Гаусса—Остроградского, получим С U к Q hk
* 4] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ НАПРЯЖЕНИЯ 19 Первый член в левой части обращается в нуль в силу D.3) и, следовательно. 2 U к Отсюда окончательно получаем Равенство D.4) показывает, что компоненты напряжения (в классиче- классической теории) образуют симметричную матрицу (т. е. тензор напряжений симметричен) и, следовательно, независимыми из девяти скалярных вели- величин %ц (х, 0 остаются шесть, которые связаны между собой тремя соотно- шениями D.3). Соотношения D.3) носят название основных уравнений движения (дина- (динамики) классической теории упругости в компонентах напряжения. Если известны компоненты напряжения хц и компоненты смещения ut в каждой точке рассматриваемой среды и в любой момент времени, то в клас- классической теории упругости вполне определено деформированное и напря- напряженное состояние среды. Нахождение этих девяти скалярных величин и является основной задачей классической теории упругости. Напоминаем, что они связаны пока только тремя соотношениями D.3). Предположим, что внешние силы не зависят от времени. Тогда есте- естественно считать смещения и напряжения независимыми от времени и урав- уравнения D.3) принимают вид 2*^L + p5r.(x) = (). D.5, i Уравнения D.5) называют уравнениями равновесия. 2. Уравнения движения в моментной теории. Рассмотрим произволь- произвольную часть среды и напишем условия равновесия этой части. Подсчет сил в предположениях моментной теории производится совер- совершенно таким же образом, как в классической теории и приводит к соотно- соотношению D.3). При подсчете моментов, кроме моментов сил, надо учесть самостоятель- самостоятельные моменты пар. Остановимся на этом более подробно. Обозначим выделенную часть через Q, а границу — через Г. При под- подсчете моментов, действующих на эту часть, следует учесть: 1) момент силовых напряжений: J У X т<*> (у, t) dY\ г 2) м о м е н т н ы е напряжения: г 3) момент массовых сил: J р* х Т (х9 0 dx\ Q 4)маабовые моменты: 2*
20 основные понятия и аксиоматизация грл# j 5) моменты инерционных сил: — J Р* х д*и (х, 6) «с п и н о в ы й» момент, соответствующий внутренним враще- вращениям , t) где ? — специальная динамическая характеристика *) (см. Аэро, Кувшин- ский [1]—[3], Пальмов [11, Nowacki [41 [и др.). Из условий равновесия следует равенство j [У X т<»> (у, t) + ц(»> (у, Щ dY + J [px X Т (х, t) + р^ (х, t)] dx = Преобразуем эту формулу, /-я компонента первого слагаемого левой части, с учетом B.1), B.2) и формулы Гаусса—Остроградского, примет вид J 2 J S [S ( [ 2 В силу этого предыдущая формула перепишется так: J2 Из этого соотношения, в силу произвольности Q, применяя формулу D.3), которая, как уже было отмечено выше, справедлива и в моментной теории, получим 1д^1 S ./) = ^^2^. D-6) Уравнения D.3) и D.6) представляют собой основные уравнения движе- движения моментной теории упругости в компонентах напряжения. Основными уравнениями равновесия моментной теории в компонентах напряжения будут D.5) и 2 °- D-7) х) Здесь ради простоты за элементарный объем принят шар с равномерно распределенными массами (симметричный волчок). В случае несимметричного волчка 9 заменяется тензором момента инерции.
? 5] ЗАКОН ГУКА В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 2J Отметим, что уравнение D.6) в классической теории заменяется уравне- уравнением D.4), выражающим симметричность тензора напряжений. В моментной теории тензоры напряжений асимметричны (отсюда и встречающееся в лите- литературе название — асимметричная теория). § 5. Закон Гука в классической теории 1. Компоненты (тензора) деформации. Все сказанное до сих пор отно- относится к любой сплошной среде, для которой применимы основные законы механики и имеет смысл понятие напряжения. В теории упругости рас- рассматриваются упругие среды. Свойства упругости среды выражаются спе- специальной зависимостью (которая носит название закона Гука) между напря- напряжениями и деформациями, точнее, между величинами, характеризующими напряженное и деформированное состояние среды. Напряженное состояние, как уже отмечалось, характеризуется ком- компонентами напряжения %ц (см. § 2). Введем теперь величины, характеризующие деформированное состоя- состояние. Под деформацией понимается такое изменение положения точек среды, при котором меняются взаимные расстояния между точками. Очевидно, не всякое изменение положения точек среды вызвано деформацией. При жест- жестком перемещении среды, (жесткое поступательное перемещение и жесткий поворот) меняются положения точек среды — точки смещаются, но взаим- взаимные расстояния между ними не изменяются и, следовательно, среда не дефор- деформируется. Возьмем произвольную точку х = (хЛу х2, х3) недеформированной среды (в момент времени t0) и рассмотрим малую окрестность этой точки. Рас- Рассмотрим произвольную точку выделенной окрестности; обозначим ее через х + ?. Вычислим изменение малого вектора ? = (?19 |2, ?3) при деформации. Здесь х является началом этого вектора, а х + | — его концом. Точка х в момент времени t займет положение х + и (х, t)f а точка х -f | — поло- положение х + ? + и (х + 2> t). Таким образом, изменение вектора |, которое обозначим через Д| (#, t) или просто через Д?, вычисляется по формуле Д?(х, t) = u(x + Z, t) — u(x9t). Применяя формулу Тейлора и отбрасывая в виду малости вектора g члены более высокого, чем |?|, порядка малости, получим JUt ул> ч g. E.1) ^ш^шт UXi *' ' / Рассмотрим представление дщ __ 1 / дщ . дщ \ , 1 / ^м; 5w/ \ dXj 2 \ dXj ' dxi J 2 \ 5x/ dxt ) " Величины ~ ~- образуют антисимметричную матрицу. Они суть ком- OXj OXi поненты вектора вихря и и характеризуют малый поворот рассматриваемой части среды как целого. Если введем обозначения 0Л (*,/) = 4- (rot и (х, t))k = 4- V дщ^ ° гкт E,2) ТО 19—2-л- <м>
22 основные понятия и аксиоматизация [Гл# i Назовем О = (ftl9 02, Ф3) вектором жесткого вращения, а #!, 02, Oj — ком~ понентами вектора жесткого вращения. Не следует смешивать вектор жест- жесткого вращения Ф с вектором внутреннего вращения со, рассмотренным нами в моментной теории (см. § 3). Величины образуют симметричную матрицу. Их называют компонентами (тензора) деформации (в точке х в момент t). В этих обозначениях формула E.1) примет вид откуда следует, что деформацию вблизи каждой точки можно рассматри- рассматривать как линейную и однородную функцию координат. Деформированное состояние характеризуется изменениями расстояний между точками. Следовательно, деформированное состояние в любой точке х может быть охарактеризовано изменениями длин (или квадрата длин) всех малых векторов вида |. Будем рассматривать малые смещения. Вектор смещения и его произ- производные по декартовым координатам будем считать настолько малыми, что произведениями этих величин можно пренебречь. Вычислим | g + Д| |2 — | ? |2. Из формулы E.1) получим ^- E-6) Точно так же выражается квадрат длины векторного приращения |Д||а: EJ) Из формул E.6) и E.7) видно, что изменение расстояний между точками и, следовательно, деформированное состояние, характеризуется исключи- исключительно компонентами деформации. Если компоненты деформации равны нулю: eti (x, t) = 0, то малая окрестность точки х находится в таком же состоянии, что и в момент вре- времени ?0 (т. е. в недеформированном состоянии). Можно сказать, что состоя- состояние этой окрестности в момент времени t может отличаться от состояния ее в момент времени t0 только лишь жестким смещением. Если же вц (х, t) = О для всякой точки х рассматриваемой среды, то приведенное заключение справедливо для всей среды. Очевидно, справедливо и обратное утверждение: если в какой-нибудь окрестности точки х расстояние между любыми двумя точками не меняется (т. е. расстояния в моменты времени t0 и t совпадают), то компоненты дефор- деформации равны нулю: e?J- (x, t) = 0. 2. Формулировка закона Гука. Из сказанного в предыдущем пункте ясно, что должна существовать зависимость между компонентами напря- напряжений и соответствующими им компонентами деформации. Закон Гука
5] закон гука в классической теории 23 предполагает самую простую, линейную зависимость между этими величи- величинами. Этот закон математически записывается так: гц(х, *)= Ъст{х, t)eik(x, t), E.8) где с^цг (х, t) — некоторые числа, которые носят название упругих постоян- постоянных. Они постоянны в том смысле, что не зависят от компонент деформации и, следовательно, от компонент напряжения. В этой книге мы будем предполагать (не напоминая об этом каждый раз), что упругие постоянные не зависят от времени. Кроме того, будем рассма- рассматривать случай специальной, но весьма важной зависимости этих постоян- постоянных от положения точки х. Если упругие постоянные не зависят от положения точки в среде, то среду называют однородной (в смысле упругих свойств, но не в смысле рас- распределения масс, с которым она явно не связана). Если же упругие постоян- постоянные меняются от точки к точке, то среда [называется неоднородной. Из симметричности матриц ||тг/|| и \eti\ следует сцш = cijki = cjiik — саы- E.9) Ввиду этого число различных упругих постоянных от восьмидесяти одного сводится к тридцати шести. Ниже мы покажем, что эти постоянные, кроме E.9), удовлетворяют еще условию E.10) в силу которого указанное число уменьшается до двадцати одного. Закон Гука предполагает также, что компоненты деформаций выра- выражаются (линейно и однозначно) через компоненты напряжений, т. е. си- система E.8) однозначно разрешима относительно компонент деформаций eif= T&CtfikTik. E.8') ?, k Формулы E.8) и E.8') содержат предположение об упругости рассматри- рассматриваемой среды; под упругостью понимается свойство среды восстанавливать свою форму после прекращения действия на нее сил. Точнее, упругость — это такое состояние сплошной среды, при котором между напряжениями и деформациями существует взаимно однозначная зависимость, причем нуле- нулевым напряжениям отвечают нулевые деформации. Упругие постоянные определяются экспериментально. О методах опре- определения упругих постоянных можно найти обстоятельные сведения в рабо- работах, указанных в § 15 (см. 15.18), где приведены также таблицы численных значений упругих постоянных для многих материалов. 3. Изотропная среда. Компоненты деформаций и напряжений и по- постоянные, связанные законом Гука, зависят от ориентации осей координат. Если упругие постоянные среды ciflk не зависят от ориентации осей коорди- координат, или, как иногда говорят, упругие свойства среды одинаковы во всех направлениях у то ©реду называют изотропной. Если среда не является изо- изотропной, ее называют анизотропной. Число различных упругих постоянных в изотропной среде сводится к двум. Это нетрудно показать (см., например, Love [I I, Sneddon, Berry [11, Филоненко-Бородич [11, Лехницкий [II), воспользовавшись формулой E.8) и свойствами компонент деформаций и напряжений. Получаются соотношения: = h&ifiik + f* (&ifijk + б^бу,). E.11)
24 основные понятия и аксиоматизация (рл# i Подставляя E.11) в E.8), имеем Т|/ (*,/) = Я6„ S ^ (*,*) + 2|x^7 (х, /). E.12) Постоянные X и \i носят название постоянных Ламе. Они, вообще, зави- зависят от положения точки. Мы будем рассматривать в основном однородные (в смысле упругих свойств) среды и, если обратное не будет оговорено, будем предполагать, что А, и \л не зависят от положения точки х. Формула E.12) выражает закон Гука для изотропной среды. Иногда (см., например, Мусхелишвили [1]) вводят обозначение в(*. *)= 2 ***(*, *) E.13) k и закон Гука записывают в виде tu (x9 t) = UUS (*, t) + 2^ец (х9 t), E.14) или, используя формулы E.4), в виде (*^L iaga) E.15) где и = (Их, н2, и3) — вектор смещения. В закон Гука мы включили также предположение о разрешимости системы E.14) относительно компонент деформации для любых значений компонент напряжений. Это условие, как легко видеть, сводится к условиям (х=^0, ЗА, + 2ц=?0, E.16) при выполнении которых из E.14) получаем e{J(x, Q^-j-^fr, 0t S^(**) E14') Иногда вводят в рассмотрение другие упругие постоянные: модуль упругости Е (который называют также модулем Юнга), коэффициент Пуас- Пуассона а, модуль всестороннего сжатия k, пуассоново число т. Эти числа свя- связаны с постоянными Ламе следующими соотношениями: ) f 4. Трансверсально-изотропная среда. Трансверсально-изотропной назы- называют (см. Love [11) упругую среду, если имеется ось такая, что в любой плоскости, перпендикулярной к этой оси, упругие свойства среды одинаковы по всем направлениям; иначе говоря, все плоскости, перпендикулярные указанной оси, являются плоскостями изотропии. Предположим, что декартова система координат выбрана таким обра- зом, чтобы ось Х3 была направлена перпендикулярно к плоскости изотропии. Тогда упругие постоянные не будут меняться при вращении этой системы вокруг оси Xs. Таким образом, среда обладает трансверсальной изотропией тогда и только тогда, когда существует такая система Х^^Х^ декартовых координат, при вращении котврой вокруг оси Х3, т. е. при преобразовании вида Х{ = Х\ COS ф + *2 Sin ф, ;С2 = Х2СО8ф Л^Пф, Хз = Хз E.18) упругие постоянные не меняются. Здесь ф — произвольный угол.
Л б] ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 25 В этом случае число различных упругих постоянных (см. Love [11, Лехницкий [11, Sneddon, Berry [11 и др.) равно пяти и закон Гука при- принимает вид ти = сге1г + с2е22 + с3е33, Т22 = ^2^11 ~Г ^1^22 ~Г Т23 = Т13 = Tf9 7" ( E.19; Мы не будем останавливаться более подробно на изучении трансвер- сально-изотропных сред. К этому вопросу мы вернемся в конце книги. Отметим здесь только следующее. Соотношения E.19), как алгебраическая система уравнений для компонент деформации, должны быть разрешимы относительно этих компонент для любых Хц. Это условие налагает некоторые ограничения на постоянные Численные значения постоянных для многих сред вычислены экспери- экспериментально (см. Huntington [II, Лехницкий [11). Вместо термина «трансверсально-изотропная среда» употребляют также термин «гексагональная система», так как в этом случае среда обладает гексагональной упругой симметрией. § 6. Энергия деформации в классической теории 1. Закон сохранения энергии. Пусть упругая среда [в момент вре- времени t0 находится в естественном состоянии и занимает в системе Х1Х2Х3 область D с границей S. Рассмотрим состояние среды в момент времени t (t > to)9 когда она внешними воздействиями выведена из состояния покоя и находится в деформированном состоянии. Вычислим работу, произведенную силами, вызвавшими деформации от момента t0 до t. Такими силами в классической теории упругости являются внешние напряжения и массовые силы. В этой теории не учитываются влия- влияния тепловых источников и предполагается, что процесс деформации проте- протекает настолько медленно, что в каждый момент времени в теле устанавли- устанавливается термодинамическое равновесие, причем процесс протекает изотер- изотермически. Обозначим через Ж (t) работу, производимую внешними напряжениями и массовыми силами в промежутке времени (t0, t), а через &31 (t) — эту же работу в промежутке времени (t, t + df). Вычислим сначала d0? (t). Точка среды, занимающая в состоянии покоя положение х, в момент времени t займет положение х + и (х, f), а в момент времени t + dt — поло- положение х + и (х, t + dt). Следовательно, смещение точки х за промежуток времени dt будет и (х, t + dt) — и (х, t)> которое с точностью до бесконечно малых высшего порядка но отношению к dt можно представить в виде dt Выделим малую часть поверхности S вокруг точки у ? S и обозначим ее через dS. Внешние напряжения, действующие на площадку dS, можно
26 основные понятия и аксиоматизация [Гл. I представить (см. п. 3, § 1) в виде т(л> (#, t) dS, где п = (пг, п2, п3) — орт внешней нормали поверхности «S в точке у. Таким образом, работа внешних напряжений, действующих на площадку dS в промежутке времени (/, t + df), будет равна а вся работа, производимая внешними напряжениями, выразится интегралом S i Аналогично вычисляется работа, совершаемая массовыми силами SF за промежуток (t, t + df): D i Следовательно (см. B.1)), S i.j D i Отсюда, применяя формулу Гаусса—Остроградского, получим D t9j С помощью формулы D.3) и обозначения первый интеграл в правой части формулы F.1) примет вид dE(k) (t)/dt. ?(k> (t) есть кинетическая энергия среды в момент времени t. Кинетическая энергия частицы с массой dm = р dx в момент времени t равна -^ pv2 (x, t) dx, где v (%, t) — скорость частицы в момент времени t, т. е. v (x, t) = = ди (ху t)ldt. Сумма всех этих величин и есть кинетическая энергия среды. Из F.2) следует, что кинетическая энергия не зависит от деформиро- деформированного состояния в данный момент времени. Изучим теперь второе слагаемое в правой части формулы F.1). Преоб* разуем выражение ' * ' dt. Очевидно, с точностью до бесконечно малых высшего порядка по отношению к dt это выражение можно представить в виде дЩ (*, 0 dt _ but (x, t + dt) __ дщ (x, t) = d дщ (x, t) ^ dxf dt dxj dxj dXf * Таким образом, где elf—компоненты деформации (см. E.4)).
А 6] ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 27 Из F.1), F.2), F.4) следует d®, = dEik) + J ^ тн deu dx- F-5) D t,/ Предположим теперь, что рассматриваемая среда изотропная, с упру- упругими постоянными Ламе X и |х. Введем функцию Е (*, t) = А ( ? е« (х, О)' + Ц S */* (х, *). F.6) Она представляет собой квадратичную форму относительно компонент деформации, и в силу закона Гука (см. E.14)) дЕ дЕ V4 дец а - Из F.5) и F.7) следует, что d® = dE{k) + dE{p\ F.8) где ()@ \(х, f)dx, F.9) Интегрируя F.8) от t0 до t и принимая во внимание, что ?(к) (^0) = ?^> (f) 0, получим F.10) (t) представляет потенциальную энергию деформации тела в момент времени t. Она, в отличие от кинетической энергии ?(k> (f), существенно зависит от деформированного состояния и представляет собой работу, кото- которую должны совершить внешние напряжения и массовые силы, чтобы вызвать данное деформированное состояние. Формула F.10) выражает закон сохранения энергии: работа всех сил, вызвавших деформированное состояние, численно равна сумме кинетиче- кинетической энергии среды и потенциальной энергии деформации. Формула F.10) справедлива и для анизотропной среды. Рассмотрим произвольную (не обязательно изотропную) упругую среду и введем в рас- рассмотрение функцию Я (*,. 0 = у . S стеи (х, t) еы (х, /), F.6') где СцЫ — упругие постоянные, определенные законом Гука (см. E.8)). В силу формул E.10), E.8) и предположения, что СцЫ не зависят от вре- времени, получим дЕ VI дЕ __ VI дец /(* 7П "Ш~ ~~ LJ °^ывы ~ Т/" "W ~" Zj Т/г ~дГ' ( * ' k,l ' i, j Отсюда, если введем функцию F.9), в которой Е (х, t) определена на основании F.6'), получим формулу F.10). 2. Удельная энергия деформации. Из F.9) видно, что? (х, t) представ- представляет собой потенциальную энергию, рассчитанную на единицу объема (в точке х в момент времени t). Ее называют удельной энергией деформации {классической теории). Таким образом, удельная энергия деформации для произвольной ани- анизотропной среды выражается формулой F.6'), а для изотропной среды —
28 основные понятия и аксиоматизация [Гл. I формулой F.6). Применяя формулы E.19), из F.6') можно вычислить удель- удельную энергию деформации для трансверсально-изотропных сред и для дру- других частных случаев анизотропии. Выражение для удельной энергии деформации было получено приме- применением закона Гука и пока не обоснованного предположения E.10). Однако оно может быть получено и без применения закона Гука и предположе- предположения E.10). Временно отвлечемся от того, что мы знаем об удельной энергии дефор- деформации и обозначим через Е (ху t) работу деформирования или, что то же самое, потенциальную энергию деформации, рассчитанную на единицу объема в точке х в момент L Это надо понимать в том смысле, что рас- рассматривается среда, находящаяся в состоянии покоя в момент времени /Ot и берется малая часть dD с центром тяжести в точке х. Вычисляется потен- потенциальная энергия деформации этой части в момент t. Предел отношения энергии к mes (dD), когда mes (dD) стремится к нулю, и есть Е (х, t). Напомним, что кинетическая энергия не используется при вычислении работы, производимой деформацией. Будем называть Е удельной энергией деформации; изменение Е в про- промежутке времени (t, t + dt) обозначим через dE. Из F.5) следует, что dE (х, t) = 2 **/ (х, t) deu (x9 t). F.11) Величины ец вполне характеризуют деформированное состояние среды* и потенциальная энергия, зависящая также исключительно от деформиро- деформированного состояния, должна являться функцией этих величин. По этой при- причине вместо Е (х, t) и Е будем писать иногда Е (etj) (x, t) и Е (еИ) соответ- соответственно. Разложим Е (ец) по степеням ец вблизи состояния покоя (ец = 0) в отбросим члены выше второго порядка относительно ец (рассматриваются малые деформации). Будем иметь Е (еИ) = Со + 2 сиеа + ^ . ? {с,/*Л/*«, F.12) где с0, Сцу cijkl — постоянные или, точнее, величины, не зависящие от ком- компонент деформации и, следовательно, от компонент напряжений, но, вообще говоря, зависящие от положения точки в среде. Ввиду того, что тензор деформации симметричен ец = eib произведе- произведение е^-е^ не меняется при перестановке индексов в каждой из пар (/, /) и (k, /). Кроме того, это произведение не меняется и при перестановке самих этих пар. Поэтому без ограничения общности можно считать, что коэффициенты Сц и djki удовлетворяют этим же условиям, т. е. Сц = Сц, СцЫ = СпЫ = СШк = Ст. F.13) Из соотношения F.11) следует, что щг=х"- <6Л4> Таким образом, частная производная функции Е по какой-либо из ком- компонент деформации есть одноименная компонента напряжения. Производную Е по компонентам деформации можно вычислить, исполь- используя выражение F.12). Будем иметь дЕ . у* -Щ7 = СИ + jbfijkfiki-
Л 7| ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ЗАКОН ГУКА В МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ 29 Следовательно, Заметим, что в разложении F.12) с0 = О, так как из условия ец = О следует равенство Е = 0 (в начальный момент t = t0 среда находится в неде- формированном состоянии). Кроме того, если отсутствуют деформации, то отсутствуют и напряжения, т. е., если все e{j = 0, то и все т^ = 0. В силу этого из предыдущей формулы заключаем, что Сц = 0. Следовательно, 1 ^ " - " F.15) = 4 2 и для компонент напряжения получим *//= 2 *'/***• F.16) Соотношения F.16), устанавливающие связь между компонентами напря- напряжений и деформаций, выражают закон Гука для любой упругой среды в рам- рамках классической теории: деформации среды пропорциональны приложенным напряжениям, точнее, деформации суть линейные комбинации напряжений. Следует отметить, что упругие постоянные cifkl удовлетворяют условиям E.10)* (см. F.13)), которые выше были приняты как предположения. Приведенные рассуждения можно рассматривать как физические сооб- соображения, обосновывающие закон Гука. Из F.15) и F.16) можно получить другие представления удельной энергии деформации, например, Е = Щхцеф F.17) откуда Можно показать, что постоянные cijkl образуют тензор четвертого порядка. Из физического смысла следует, что удельная энергия деформации пред- представляет собой положительно определенную квадратичную форму шести независимых величин ец. Это условие налагает на упругие постоянные неко- некоторые ограничения. В случае изотропной среды эти ограничения сводятся к следующему: IX > 0, 3^ + 2(x>0. F.19) Хотя экспериментально показано (см. по этому поводу Мусхелиш- вили [13, Ландау, Лифшиц [1], Love [II, Grammel [11, Huntington [1] и др.), что X > 0, |л > 0, однако мы подчиним эти постоянные более слабым ограничением F.19). Отметим, что из F.19) следует E.16). § 7. Энергия деформации и закон Гука в моментной теории 1. Закон сохранения энергии. Пусть в начальный момент t = t0 среда находится в недеформированном состоянии. Рассмотрим последую- последующее деформированное состояние в момент времени t и вычислим работу внешних воздействий, вызвавших его. Такими воздействиями в моментной
30 основные понятия и аксиоматизация грл# | теории являются внешние силовые и моментные напряжения и массовые силы и моменты. Появление моментных напряжений и массовых моментов было связано с появлением внутренних вращений. Поэтому естественно предположить, что указанные моменты совершают работу только на внутренних враще- вращениях, а силовые напряжения и массовые силы — только на смещениях. Обозначим через 52 (t) работу, производимую всеми указанными силами и моментами за промежуток времени (t0, t), а через dffl, (t) — работу, совер- совершенную за промежуток (t, t + dt). Вычислим d@t (t). Работа, произво- производимая силовыми напряжениями и массовыми силами, была вычислена в § 6 (правая часть равенства F.1)). Вычислим работу, производимую моментными напряжениями. Рассмотрим точку среды, которая в состоянии покоя (в момент времени t0) занимает положение х. В моментной теории упругости (см. § 3) каждая точка х обладает шестью степенями свободы и ее состояние в момент времени t характеризуется вектором смещения и (х, t) и вектором внутреннего вращения со (х, t). Приращение вектора вра- вращения за промежуток времени (t, t -f- dt) обозначим через dco (х, t): d(x>(x, t) = (dco^x, t), d(o2(x, t), d@3(x, /)) = co(x, t-\-dt) — (d(x, t). Это приращение, с точностью до бесконечно малых высшего порядка па сравнению с dt, представится в виде да) (х, 0 dt dt. Работа, производимая внешними моментными напряжениями, действующими на площадке dS за промежуток времени (/, t + dt), равна где п — единичная нормаль поверхности S в точке у, внешняя по отноше- отношению к области D, занимаемой средой, а у — точка, находящаяся в центре тяжести площадки dS. Применяя формулу B.2), легко вычислить работу, производимую внеш- внешними моментными напряжениями, действующими на 5 за промежуток (t, t + dt). Будем иметь S ,l или, после применения формулы Гаусса—Остроградского, f dt J 2 Работа, производимая массовыми моментами, действующими на D за промежуток времени (tf t + dt), равна 2 D i Следовательно, для мощности ddlldt имеем
Л 7| ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ЗАКОН ГУКА В МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ 31 Преобразуем первый интеграл в правой части G.1) с помощью D.3), а третий интеграл — с помощью D.6). Получим Введем обозначение: ^J2[(^ilJ(^|^J] G.2) 2 D i Тогда dt dt b t. / Воспользовавшись формулой F.3) и формулами *°ffi° Л = со, (х, * + Л) — со, (х, 0 = Ad* (x, О, i(x% t) ,, dtoj (x, t + dt) __ d(Oj(x, t) __ - fleat- (*, Q справедливыми с точностью до бесконечно малых высшего порядка по отног шению к dt, подынтегральному выражению можно придать следующий вид; S (у* it + (i,, d(o/t-) J dx9 G.4) где Величинам u?i можно придать более удобный вид (см. E.3), E.4)), % = «/, + S e*/i (**—<*>*), G.6) где eft — компоненты деформации в классической теории, а ^ — компо- компоненты жесткого вращения (см. § 5, п. 1). Назовем величины ufi компонентами деформации в моментной теории, а со,, — компонентами кручения—изгиба. Из G.3) и G.4) следует, что где D i9 j ?(k) (f) есть кинетическая энергия среды. Она не зависит от состояния деформации в рассматриваемый момент времени t. Следовательно, dEik> есть приращение кинетической энергии за промежуток времени (tt t + dt). d?(p> зависит только от состояния деформации. В самом деле, если среда из естественного состояния покоя выведена любым деформированием
32 основные понятия и аксиоматизация [Гл. I (в смысле моментной теории) и потом (в момент времени t) перешла в новое со стояние покоя, то ?<k> (t) = 0, и, следовательно, &$, = dE^K Таким образом, d?(p> есть работа деформации за промежуток (t, t + dt) или d?(p) = ?(р) (t + dt) — ?(p> (t)9 где ?<р> (?) есть работа, которую должны совершить внешние воздействия (силовые и моментные напряжения, массовые силы и моменты), чтобы вызвать деформированное состояние, соответствующее моменту времени t. Таким образом, формулой G.7) выражен закон сохранения энергии: мощность равна сумме скоростей изменения кинетической и потенциальной энергии. 2. Удельная энергия деформации. Теперь легко получить выражение для удельной энергии деформации в моментной теории. Обозначим ее через Е (х, t) и определим как работу деформирования или, что то же самое, как потенциальную энергию деформации, рассчитанную на единицу объема в точке х в момент времени / (см. § 6, п. 2). Пусть dE (x, t) — приращение Е за промежуток времени (t, t + dt); тогда из G.8) получим dE = 2 (т/7 dua + V>n da»)* G.9) Разложим Е по степеням ulf и (oif вблизи состояния покоя {иц = 0, ю17 = 0) и отбросим в разложении члены, содержащие иц и оо?/ в степенях выше вто- второй (рассматриваются малые деформации). Будем иметь Е = Со + ^CijUij + S C\fuii + 4- Ц CijikUijUik + S C<d(d + S ciU® GЛ0) Изучим разложение G.10). Так как при и(/=0 и cot/==0 величина Едолжна равняться нулю, с0 = 0. Из G.9) имеем Х !* G11) Частные производные от ?" по ^^ и со?/- можно вычислить и из представле- представления G.10). Вычисляя из G.10) эти производные и учитывая G.11), получим Vu = <%i j-iS clfiktoik + 4- S cUfyG)^ + -^- S c'ikifUik* G.12') z fe,/ ^ г. k z i9k Если отсутствуют деформации, т. е. если иц = со/; = 0, то должны отсут- отсутствовать и напряжения, т. е. должны выполняться равенства xif = (х?/ = 0. Учитывая эти условия, из G.12) и G.12') получим сц = Cq = 0. Таким образом, удельная энергия деформации (см. G.10)) примет вид Е — у S (CijikUifulk-\- c'ijik(Oij(oik +c"ijikuij(oik). G.13) Рассмотрим среду, обладающую центром симметрии. Такая среда обла- обладает свойством инвариантности упругих постоянных при замене направле- направлений осей координат на противоположные. Легко видеть, что при такой
Л 7] ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ЗАКОН ГУКА В МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ 33 замене координат величины uti не меняются, а величины сог/- меняют знак на противоположный. В дальнейшем, не оговаривая этого, всегда будем считать, что среда обладает центром симметрии. Заменяя направление осей координат на противоположное, из G.13) получаем cifki = 0 и, окончательно, Е=Т S (CijlkUijUik + C'ijik<dij(i)ik)* G.13') Z i, /, hk 3. Закон Гука. Так как произведения ици1к и со^со^ не меняются при перестановке пар индексов (/, /) и (I, k), без ограничения общности можно считать, что = c'tktf. G.14) Теперь соотношения G.12) и G.12') примут вид Tt-/= ^CijikUik, 11ц = ^c'ijik(oik. GЛ5) Равенства G.15) выражают закон Гука в моментной теории. Отметим, что соотношения G.15) должны быть разрешимыми относи- относительно компонент деформации и^и компонент кручения—изгиба cot/-. Это усло- условие налагает на упругие постоянные ctj-lk и Cqik определенные ограничения. Подробнее об этом для изотропной среды будет сказано в следующем пункте. Упругие постоянные определяются из эксперимента. В этом направ- направлении в моментной теории пока еще мало что известно. 4. Изотропная среда (с центром симметрии). Если среда изотропная, то обычными приемами можно показать (см. Аэро, Кувшинский [2], Паль- мов [1], Nowacki [81), что закон Гука G.15) принимает вид % = Х8а ? "kk + О* — а) и// + 0* + а) иф G.16) k »U = 8б<7 S <*kk + (» + Р) *>U + iP — P) ®/|. GЛ6') Здесь а, р, о, 8, X, ц — упругие постоянные. Таким образом, изотропная среда с центром симметрии характери- характеризуется шестью упругими постоянными. Выясним теперь, каким условиям должны удовлетворять упругие по- постоянные, чтобы соотношения G.16) и G.16') были разрешимы относительно иц и o)t7. Складывая хш из G.16) получим Если ЗА, + 2\х ф 0, то отсюда можно найти ?и«. Подставляя значение в выражение для тш получим Если а ф 0 и [л ф 0, то а^ можно найти из выражения для тг/. Окончательно получаем соотношения 3 В. Д. Купрадве
34 основные понятия и аксиоматизация Р) И-// ~ (° — и, аналогично, справедливые при Удельная энергия деформации в этом случае примет вид 2Е = X 2 и«И// + (М- + «) S. "//«// + (fx —а) ? " / / f . G.18) +• (у + Р) + (» —Р) G-19> Таким образом, Е представляет собой квадратичную форму восемнадцати величин иц и cot/. Из физического смысла Е следует, что эта форма должна быть положительно определенной (Е есть работа, затраченная силовыми и моментными напряжениями и массовыми силами и массовыми моментами для перехода среды в данное деформированное состояние из состояния покоя, рассчитанная на единицу объема). Это условие налагает на упругие постоян- постоянные некоторые ограничения. Перенумеруем величины utj и со/у в удобной для нас форме: Тогда выражение для 2Е запишется в виде 2Е = (К + 2ц) g? + 2^,62 + 2Xg,b + (Я + 2jx) g + (8 + 2») it + 2eg4?5 + 28g4g6 + (8 + 2o) Й + 2еЬ6б + (e + 2o) |62 + 2 (у — a) g16gi7 + (u + P) g?e + 2 (» — + (ii + a) fl7 + (y + P) g?8. Необходимое и достаточное условие положительной определенности этой формы заключается в положительности всех главных миноров матрицы ГГ1 НОГ! on-
§8] ТЕРМОУПРУГОСТЬ. ЗАКОН ДЮАМЕЛЯ—НЕЙМАНА 35 здесь I = Х + 2\х X X X X Н = 111 = \i — a 0 0 — a 0 + a О 0 u + 0 о — 0 О о — IV = V = + a 0 fx — a 0 0 u + p 0 о — р -^-a 0 jx+a 0 0 d —p 0 t)+ p Условие положительности главных миноров сводится к следующему: [л>0, ЗЯ + 2ц,>0, а>0, и>0, 3s + 2u>0, р>0. G.20) Таким образом, условия G.20) являются необходимыми и достаточными условиями положительной определенности квадратичной формы G.19). Условия G.20) мы будем считать всегда выполненными. Заметим, что из G.20) следует G.18). Применяя формулы G.5), G.6), закону Гука (см. G.16), G.16')) можно придать более удобный вид: § 8. Термоупругость. Закон Дюамеля—Неймана 1. Деформация с изменением температуры. В предыдущих рассуждениях не учитывалась температура среды. Рассуждения велись так, будто темпе- температура одна и та же во всех ее точках и не меняется при деформации. В дей- действительности же деформация среды сопровождается изменением темпера- температуры и, наоборот: изменение температуры среды сопровождается ее дефор- деформацией, вызванной тепловыми расширениями. Если, например, действие каких-нибудь тепловых источников изменяет температуру среды, даже при отсутствии внешних напряжений и массовых сил, происходит деформация. Будем считать, что в момент времени t0 среда находится в состоянии покоя и температура равна То, а в момент t, под воздействием массовых и поверхностных сил и тепловых источников, перешла в деформированное состояние с температурой Т. Т — абсолютная температура. Она зависит от положения точки и от времени. Если мы хотим более полно охарактеризовать деформированное состоя- состояние среды, то надо учесть и те изменения в деформированном состоянии, которые возникли в результате изменения температуры 6 = Т — То. 2. Закон сохранения энергии. Обозначим через s?(t) работу деформа- деформации, т. е. работу, производимую внешними воздействиями для достижения данного деформированного состояния среды в момент времени t. Тогда зФ (t) будет работой внутренних сил напряжений за промежуток времени (t0, f). Пусть ds4- (f) — работа деформации за промежуток (t, t + dt)9 а Q (t) и dQ (t) — теплота, поглощенная средой за промежуток (/0, t) и (tt t + dl). соответственно.
36 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ грл \ Закон сохранения энергии (первый принцип термодинамики) можно записать в виде; d& = ds4> + dQ, (8.1) где <% @ — внутренняя энергия среды в момент времени t, a d<S прира- приращение внутренней энергии & в интервале (t, t + dt). Примем те же предположения относительно точности вычислений, что и в классической теории упругости. Работа деформации (см. F.5)) вычисляется по формуле =\ >, TUdeudx и, следовательно, = f D deu dx He вводя новых обозначений, предположим, что все величины, рас- рассматриваемые в этом пункте, рассчитаны на единицу объема. Тогда фор- формула (8.2) запишется в виде dS = S rif deu + dQ. (8.3) Величину dQ с помощью второго принципа термодинамики можно пред- представить в виде dQ = Td?*, (8.4) где ?? — энтропия среды, рассчитанная на единицу объема. Таким образом dS = S xu deu + T d&>. (8.5) Если введем свободную энергию (рассчитанную на единицу объема), опреде- определяемую равенством то из (8.5) получим dE = S т17 deti—&>dT. (8.6) t, / 3. Закон Дюамеля—Неймана. Применим теперь прием из п. 2 § 6.Роль удельной энергии деформации здесь выполняет Е — свободная энергия, рассчитанная на единицу объема. Очевидно, что если пренебречь температур- температурными влияниями, то свободная энергия ?, введенная в этом параграфе, совпадает с величиной ? из § 6. Здесь состояние среды описывается механическими характеристиками вц (компоненты деформации) и тепловой характеристикой Т (абсолютная тем- температура). В соответствии с этим свободную энергию Е будем считать функ- функцией этих величин. Ниже всегда будем предполагать, что изменение температуры 0 мало по сравнению с Го. Разложим Е в окрестности естественного состояния покоя (вц = 0, 0 = 0). Будем иметь Е (еф 0) = с0 + eft + S спец + ± Г S omeaekl + 2 ? сцеф + с2021. hi Liii*kti iti J (8,7)
§ 3] ТЕРМОУПРУГОСТЬ. ЗАКОН ДЮАМЕЛЯ-НЕЙМАНА 37 Остальные члены в разложении отброшены в силу малости etj и G. с0 = = Е (О, 0), и так как при etj = 0 и 0 = 0 среда находится в естественном состоянии покоя, заключаем, что с0 = 0. Очевидно, и из (8.6) следует Из (8.8) и (8.7) следуют равенства 0)==0( Cf/e|Let(/. (8.9) В последнем соотношении величины дЕ/де^ и xt/- вычислены для естествен- ного состояния покоя. Поэтому %ц = 0, и, следовательно, ct/- = 0. В силу симметричности тензора е(]- произведение Вцвм не меняется при перестановке индексов i и /, k и /. Это произведение не меняется также при перестановке пар (i, /) и (&, /). Поэтому без ограничения общности можно считать, что коэффициенты в (8.7) Сц и СцЫ удовлетворяют условиям CU = C/ *» CUkl == Cjikl = Cijlk = %f/' (8-1 0) Вычислим частную производную по ец от ? из (8.7) и из (8.8), и сравним их. Получим равенства **/ =2 ci!kleki + dfi. (8.11) Полученные соотношения, устанавливающие линейную зависимость между компонентами деформации, температурой и компонентами напряжения, носят название закона Дюамеля—Неймана, Очевидно, если пренебречь влиянием температуры, закон Дюамеля—Неймана обратится в закон Гука классической теории для произвольной анизотропной среды. 4. Изотропная среда. Если среда изотропна, то (ср. с F.6) и с E.12)) выражение для свободной энергии запишется в виде (см., например, No- wacki [1]—[6], Коваленко [II) а закон Дюамеля—Неймана в виде ) (8.12) Здесь Я и \i — постоянные Ламе, а у и m определяются формулами ? = B|х + ЗХ) а, /я = — cJT0, где а — коэффициент линейного теплового расширения, а се — удельная теплоемкость при постоянной деформации е = \еИ\ (см. Nowacki [1]—[6], Melan, Parkus [13, Лебедев [11). Соотношение (8.12), в тех же предположениях относительно упругих постоянных, что и в классической теории (см. E.16)), можно разрешить относительно компонент деформации. Получим (ср. с E.14')) ут
38 основные понятия и аксиоматизация [Гл. I Если в выражение (8.12) внесем выражения компонент деформации через компоненты смещения, то будем иметь , t)-yQ(x, <)) + !*( **?;° + дЩЦ\ °). (8Л2') § 9. Уравнение теплопроводности Когда температура в различных точках среды различна, происходит естественный перенос тепла, называемый теплопроводностью, от мест с высо- высокой температурой к местам с более низкой температурой. Перенос тепла в среде имеет атомно-молекулярный характер и происходит без макроскопи- макроскопических движений. Предположим, что рассматриваемая среда однородная и изотропная, и, кроме того, справедливы предположения о малости приращения G = = Т — То и скорости изменения температуры. Предположим выполненными также условия, при которых применим закон Дюамеля—Неймана. Уравнение теплопроводности запишется (см. Carslaw [I], Carslaw, Jaeger [1], Nowacki [3]) в виде: 1 "~W — k где Т — абсолютная температура среды, §Р — энтропия, рассчитанная на единицу объема, q — количество тепла, производимое в единице объема за единицу времени, k — коэффициент теплопроводности. Выразим энтропию через основные механические и тепловые характе- характеристики среды — компоненты деформации и температуру. Согласно Biot [1 ] это соотношение имеет вид ~~ «+-?-. (9.2) где ^eit — объемное расширение, у — коэффициент, определенный в п. 4 §8; i б — удельная теплоемкость единицы объема. Подставив (9.2) в (9.1), получим Пользуясь равенством Т = То + 9 и малостью 0, предыдущее уравнение можно записать в виде 2C29 1 ае VI два 1 п ,q оч i l i где к = klb называется коэффициентом температуропроводности; Уравнение (9.3) представляет собой уравнение теплопроводности. В ком- компонентах смещения оно запишется в следующем виде: где Д — оператор Лапласа.
С УПРУГИЕ СТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 39 Постоянные и, т], у определяются экспериментально (см. литературу в § 15). Будем предполагать, что они удовлетворяют неравенствам . YAl>0, x>0. (9.5) Условие (9.5) выполняется для всех физических сред (см. Carslaw [11, Лан- Ландау, Лифшиц [21). § 10. Упругие стационарные колебания В дальнейшем всегда, если не оговаривается обратное, будем считать, что рассматриваемые упругие среды изотропны и однородны по отношению к упругим свойствам и обладают центром симметрии в моментной теории. Кроме того, постоянные, участвующие в рассматриваемых ниже формулах, предположим не зависящими от времени. 1. Классическая теория упругости. В этой теории основные уравнения движения даются формулами D.3). Компоненты напряжений связаны с ком- компонентами деформаций и смещений законом Гука E.12) или E.15). Пусть внешние воздействия (массовые и поверхностные силы) суть периодические функции времени. Примем для определенности, что функ- функция #", участвующая в уравнениях движения D.3), имеет вид ЗГ(х, t) = Sr^ (x)cosco/-f <F<2> (x)sinco/, A0.1) где со, называемая частотой колебания, — некоторое действительное число, и что аналогично представимы внешние напряжения. Тогда естественно предположить, что компоненты смещений и, следовательно, деформаций и напряжений, будут зависеть от времени таким же образом, т. е. 42) щ (х, /) = u\l) (х) cos со/ + *42) (х) sin со/, еЬ1 (х, /) = е{ц (х) cos со/ + $? (х) sin со/, nf (jc, /) = т1/} (jc) cos со/ + tif (x) sin со/. Подставляя A0.1) и A0.2) в D.3) и E.15), получаем > 1 о / 1, Zr, A0.2) A0.3) A0.3') Введем комплексные величины т*/ (х) = tIV (x) + h(k)> (x), A0.4) где/ — мнимая единица; тогда A0.3) и A0.3') можно записать в виде „ (х) = A0.6) Уравнения A0.5) и A0.6) представляют собой основные соотношения ста- стационарных колебаний классической теории упругости.
40 основные понятия и аксиоматизация грл i 2. Моментная теория упругости. Уравнения движения в моментной тео- теории даются формулами D.3) и D.6). Компоненты силовых и моментных напряжений связаны с компонентами деформации и кручения—изгиба, а также с компонентами смещения и вращения законом Гука G.16), G.16') или G.21), G.2Г). Предположим, что внешние воздействия (массовые силы и массовые моменты, внешние силовые и моментные напряжения) — периодические функции времени, а именно, массовая сила У в D.3) представлена в виде A0.1), а массовый момент в D.6) —в виде 9(х, t) = 9{l) (x)cosco/ + ^B> (x)sin©f. A0.7) Будем считать, что аналогично представимы и внешние напряжения. Тогда естественно предположить, что компоненты смещения и враще- вращения и, следовательно, компоненты деформации и кручения—изгиба, а также компоненты силовых и моментных напряжений, зависят от времени анало- аналогично, т. е. щ (х, /) = u\l) (x) cos со/ + и(*2) (х) sin ©/, со, (х9 /) = ©J1} (x) cos cot + ©*2) (х) sin ©/, iHj (x, /) = и\У (х) cos со/ + *4/} (х) sin со/, щ} (X, /) = ©^ (X) COS О)/ + ©(f2) (X) Sin СО/, %ц (х, /) = т^ (х) cos ©/ + T^f (x) sin со/, jai7 (x, /) = jxW (x) cos ©/ + [42) (х) sin со/. Подставив A0.1), A0.7) и A0.8) в D.3), D.6), G.21) и G.2Г), получим совершенно так же, как в предыдущем пункте уравнение A0.5), следующее соотношение: A0.8) 2 % + 2 WiKx) + pS, (дс) + /со2©/ (дс) = 0 A0.9) i i\ k и уравнения G.21), G.2Г), в которых щ (х) = и{,1) (х) + mf} (х), (oj (х) = ©(/> (х) + Ц2) У, (х) = <Г<-!) (х) + i^2) (х), У, (х) = ф" (х) + »(/2) (х), (ШЛО) %kj (Х) = TiV (х) + п$ (x)f |*л/ (x) = |xiV W ^ 3. Теория термоупругости. Состояние среды здесь определяется уравне- уравнением D.3) и уравнением теплопроводности (9.3) или (9.4). Величины, уча- участвующие в этих соотношениях, связаны законом Дюамеля—Неймана (8.12), (8.12'). Предположим, что внешние воздействия (массовые силы, внешние напря- напряжения и тепловые источники) периодически зависят от времени. Массовые силы определяются соотношением A0.1). Аналогично представляются внеш- внешние напряжения и источник тепла в (9.3): Q (х, /) = QA) (x) cos со/ + QB) (x) sin со/. A0.11) Тогда естественно предположить справедливость представлений A0.2) и 6 (х, /) = б*1) (х) cos со/ + 6B) (х) sin ©/. A0.12) В принятых предположениях справедливы соотношения A0.5), тепловое уравнение Л0 + — Э + кот] div и = — — Q, A0.13)
§ Ц] АКСИОМАТИЗАЦИЯ ТЕОРИИ 41 и соотношение Дюамеля—Неймана (8.12'). В этих формулах 6 (х) = 6A) (х) + Ю<2> (х)9 Q (х) = QO> (х) + *Q<2> (х) A0.14) и приняты обозначения A0.4). § 11. Аксиоматизация теории Ниже применяются следующие обозначения: R — множество действи- действительных чисел; Z — множество комплексных чисел; %Г = [t0, tx\ = = \t (E R\ t0 ^ t ^ /x}; ?3 — трехмерное евклидово пространство; х = = (xlf x2, x8) = (**), у = (i/x, t/2, f/g) = (yt), . . . —точки пространства ?3; D — область из Es с кусочно-гладкой границей S; D = D [} S. Заданием упругой среды с математической точки зрения можно назы- называть задание области, занимаемой средой в некоторый момент времени t0 и постоянных величин: плотности р и постоянных Ламе А, и [А в классической теории упругости; постоянных р, X, \i, а, ^, 8, о, р — в моментной теории упругости; р, К9 р,, у, х, г) — в термоупругости. В связи с этим, среду и область, занимаемую средой, будем обозначать одной и той же буквой D. Если необходимо подчеркнуть, что среда D характеризуется постоянными р, Я, |i (рассматривается классическая теория), то для ее обозначения будем употреблять запись D (р, К, \i). Аналогичный смысл имеют записи D (р, 1, |а, а, <!/, 6, о, Р), D (р, Я,, [I, y, и> г]). Эти постоянные должны удовлетворять некоторым соотношениям вида G.20). Основной целью теории является определение состояния упругой среды, т. е. определение компонент вектора смещения, компонент деформации и напряжения — в классической теории упругости; этих же величин и тем- температуры — в теории термоупругости; компонент вектора смещения и вра- вращения, компонент деформации и кручения—изгиба, компонент силового и моментного напряжений — в моментной теории упругости; все эти величины являются действительными функциями, зависящими от положения точки в среде и от момента времени из сегмента 0~. Иными словами, все эти вели- величины — действительные функции, областью определения которых служит множество D X <7~. Высказывание «ср есть действительная функция, определенная на мно- множестве «5^» заменим краткой записью ср: s& —* R\ теперь очевиден смысл записи ф : зФ —> Z — «ср есть комплекснозначная функция, определенная на множестве s&». Таким образом, и( : D X Т —> /?, хИ : D X Т -— /?, Э : D X Т —^ R и т. д., где иь %ц и 0 — компоненты смещений, напряжений и приращение температуры соответственно, участвующие, например, в формулах (8.12) или (9.4); ut : D —> Z, т<7 : D —»Z, где и( и %ц определены соотношениями A0.4). Для построения математической теории упругости необходимо ограни- ограничить рассматриваемые функции некоторыми требованиями гладкости. При- Приведенные выше выводы основных соотношений (уравнения движения, закон Гука и т. д.) справедливы только при соблюдении некоторых условий глад- гладкости рассматриваемых функций. До сих пор на эти функции не накладыва- накладывались какие-либо ограничения. Рассуждения носили формальный характер или, как иногда говорят, требовалось все, что было нужно для справедли- справедливости применяемых выкладок. Цель такого рассмотрения, как отмечалось выше, — выработать некоторые соображения, которые позволят сформули- сформулировать аксиоматическую теорию вопроса. Именно этим займемся в настоя- настоящем параграфе.
42 основные понятия и аксиоматизация [Гл I Введем некоторые классы функций, необходимые в дальнейшем; напри- например, классы функций, определенные на различных множествах евклидова пространства произвольного измерения. Пусть ср — функция, определенная в области Q m-мерного евклидова пространства Ет. 11.1. Определение, ф принадлежит классу С0 (Q), если <р непре- непрерывна в Q; ф принадлежит классу Ck (Q), где k — целое положительное число, если в каждой точке х области Q существуют все частные производ- производные функции ф по декартовым координатам точки х до порядка k включи- включительно, и эти производные непрерывны в Q. Если ф принадлежит классу Ck (Q), k — произвольное неотрицательное целое число, то будем писать, что ф ? Ck (Q). 11.2. Определе ни е. Функция ф непрерывно продолжима в точке у ? dQ из Q, где через dQ обозначена граница множества Q, если суще- существует конечный предел lim ф (х). Пусть 2 — произвольное подмножество границы dQ. 11.3. Определение, ф 6 Ck (Q U 2), если ф ? Ck (Q) и, кроме того, ф и все ее производные по декартовым координатам до порядка k вклю- включительно, непрерывно продолжимы в каждой точке множества 2. Таким образом, например, Ф 6 Ck (Q) означает, что ф ? Ck (Q) и ф и все ее производные до порядка k включительно непрерывно продолжимы в каждой точке границы Q. Легко доказывается следующее предложение: 11.4. Теорема. Если ф ? С0 (Q), то функция tp, определенная на множестве Я равенствами г|) (у) = ф (у), если у ? Q; г|э (у) = lim ф (х), если у 6 dQ, непрерывна на множестве Q. 11.5. Определение. Если ф — вектор или матрица, определен- определенная в Q, то ф g Ck (Q) [ф 6 Ck (п)] означает, что каждая ее компонента принадлежит классу Ck (Q) [Ck (QK. 1. Классическая теория упругости. Введем следующие определения или аксиомы: 11.6. Упругая среда есть область D трехмерного евклидова простран- пространства и набор чисел р, к и [л, удовлетворяющих условиям: р>0, jx>0, 3X + 2jx>0; A1.1) р называется плотностью среды, а X и \х — постоянными Ламе. 11.7. Упруго-динамическое состояние среды D (р, X, \i) в промежутке времени <7~ = [^0, ^3, соответствующее массовой силе &~, есть пара [а, %\3 удовлетворяющая условиям: n A1.2) / л с j* i / dtif , dtif \ /i i o\ = Ми UIVU-\-\i i-^ 1- - ' \ 9 (ll.o) где У = (STlf &~2, ^3) и и = (их, w2» w3) — действительные векторы, ат = = 11 Tt/ |зхз — действительная матрица, (?Г\ : D X <Т —> /?, и{: D X &~ —» R,
§ 11] АКСИОМАТИЗАЦИЯ ТЕОРИИ 43 %ц : D X дг —* У?); г/ называется вектором смещения, а и, — компонентой (вектора) смещения; т — тензором напряжения, а т(/—компонентой (тен- (тензора) напряжения. Соотношение A1.2) называется уравнением упруго-динамического со- состояния, а соотношение A1.3) —законом Гука. На языке предыдущих параграфов содержание определений A1.6) и A1.7) можно изложить так. Рассматривается изотропная и однородная (по отношению к упругим свойствам) среда с постоянными Ламе X и (ы. Плот- Плотность масс этой среды, обозначаемая через р, предполагается постоянной. Предполагается также положительная определенность удельной энергии деформации (см. F.19)). Компоненты напряжений считаются непрерывно дифференцируемыми как по декартовым координатам точки среды, так и по времени, а компоненты смещений — дважды непрерывно дифференци- дифференцируемыми по тем же переменным (предположение I из 11.7). Предполагаются также применимыми уравнения движения D.3) (предположение II из 11.7) и закон Гука E.15) (предположение III из 11.7). Подставляя A1.3) в A1.2), получим соотношение \i Аи{ -f- (X -}- |л) -х— div и - которое называется уравнением динамики (классической теории) или, точнее, уравнением упруго-динамического состояния среды D (р, X, (х), соответ- соответствующего массовой силе #", в компонентах смещения. Это соотношение можно записать в векторной форме: <П-4> здесь Au = (Ault Au2, Аи3), Ащ-. Y \dxj ' dx2 ' dx3 ) 11.8. Упруго-статическое состояние среды D (p, Я,, ja), соответствующее массовой силе @~\ есть пара [и, т1, удовлетворяющая условиям: A1.5) A1.6) где^Г = (^"lf ^2, ^3) им = (их, «2» ^з) —действительные векторы, а т = = IITt/ Цзхз — действительная матрица C~{ : D —» /?, и{ : D —> /?, xf/ : D —> /?); и — вектор смещения, т — тензор напряжения. Соотношение A1.5) назы- называется уравнением упруго-статического состояния, а A1.6) — законом Гука. Подставляя A1.6) в A1.5), получим уравнение статики (классической теории) или, точнее, уравнение упруго-статического! состояния среды D (р, Х9 pt), соответствующего массовой силе ff~ в компонентах смещения |лЛи + (А, + ц) grad divw + p5r = Q. A1,7)
44 основные понятия и аксиоматизация [Гл. I Определения 11.6 и 11.8 означают, что рассматривается ситуация, описанная в 11.6 и 11.7, с той разницей, что внешние воздействия, а также смещения и напряжения, не меняются во всем рассматриваемом промежутке времени. 11.9. Упруго-колебательное состояние среды D (р, A,, jli), соответствую- соответствующее массовой силе &~9 есть пара [и, т1, удовлетворяющая условиям: A1.8) III) т,у = Utj divu + ii(^- + ^L 1.9) где $Г = ({Г19 II Ц и м = (ulf и 2 1 2 з) ( = II Ti/ Цзхз — комплексная матрица й и3) — комплексные векторы, ат = : D —> Z, иь : D —> Z, тг7 : D —» Z); й II / 7 © — произвольное действительное число, называемое частотой колебания. Определения 11.6 и 11.9 представляют собой аксиоматическое изложение основ стационарных колебаний, рассмотренных в § 10. Соотношение A1.8) называется уравнением упруго-колебательного состояния, а A1.9) — законом Гука. Подставляя A1.9) в A1.8), получаем уравнение колебания или, точнее,, уравнение упруго-колебательного состояния среды D (р, X, \х) в компонен- компонентах смещения, соответствующего массовой силе $Г и частоте колебания со: + (X + v)grad div" + P°>2и + P@~ = °- (ИЛ0) 2. Моментная теория упругости, В этой теории: 11.10. Упругая среда есть область D трехмерного евклидова пространства и набор чисел р, X, fx, a, <^, s, u, P, удовлетворяющих условиям: Р>0, |i>0, ЗХ + 2^>0, ^ГЕ>0, а>0, е>0, 3 A1.11) 11.11. Упруго-динамическое состояние среды D (р, 9t, fx, а, ^7, г, и, |3) в промежутке времени ^= [?0, ^1, соответствующее массовой силе^ и мас- массовому моменту ^, есть четверка [и, со, т, ц|, удовлетворяющая условиям: I) w, П A1.12) III) xa = -g- + (I* ~ «) -g- ~ A1.13) где = (ff-ly &-it &-3), 9 = (^XJ »„ S?s), u = («i, u,, и3), и = (шlr (o2, co3) — действительные векторы, a т = ||тг/ Цзхз и ц = | ц.г/ Цзхз — дей- действительные матрицы, определенные на множестве D х 3" Ф~и 9lt ut, (at>
Л Hj АКСИОМАТИЗАЦИЯ ТЕОРИИ 45 Tij9 \iij : D x &~ —* /?); и = (u() называется вектором смещения, со = (cot) — вектором вращения, т = || х^ || — тензором силового напряжения, а \х = = I V^i II — тензором моментного напряжения. Соотношения A1.12) и A1.12') называются уравнениями упруго-динами- упруго-динамического состояния, а A1.13) и A1.13') — законом Гука. Приведенные аксиомы определяют однородную и изотропную среду с центром симметрии и ее динамическое состояние с точки зрения моментной теории (ср. с D.3), D.6), G.21), G.21')). Подставляя A1.13) и A1.13') в A1.12) и A1.12'), получаем уравнение динамики (моментной теории) или уравнение упруго-динамического состоя- состояния среды D (р, к, (д>, а, </, 8, о, р) в компонентах смещения и вращения, соответствующих массовой силе 5*" и массовому моменту <S\ (fx + а) Аи + (к + [г — а) grad div> + 2аrot со + рЗГ = р-0-, A1.14) (и+ Р) Асо + (е + и — Р) grad divco + 2аrot и — 4асо + р^ = ? ~. A1.14') 11.12. Упруго-статическое состояние среды D (p, k, ja, а, ^/, 8, и, Р), соответствующее массовой силе ^ и массовому моменту ^, есть четверка [и, и), т, [д>], удовлетворяющая условиям: I) и, соб C2(D) П &ф); т, (хб С1^); A1.15) III) ти-«>„ 2^ + (^ + «)^- + (р-а)^ где ^ = (iFt), ^ = (^г), а = (иь), со = (сог) — действительные векторы, а яг = || %ц ||зхз, ^ = II ^i/ Цзхз — действительные матрицы (&ь $ь иь со,, %ц, \хч : D —> R), Соотношения A1.15) и A1.15') называются уравнениями упруго-статического состояния, а A1.16) и A1.16') — законом Гука. и = (и(), со = (сог), т = || %ц || и ц = |] [iij || называются соответственно вектором сме- смещения, вектором вращения, тензором силового напряжения и тензором моментного напряжения. Подставляя A1.16) и A1.16') в A1.15) и A1.15'), получаем уравнение статики или уравнение упруго-статического состояния среды D (р, Я, \ху а, ^, е, о, Р), соответствующего массовой силе SF и массовому моменту (S\ (|х + а) Аи + (к + (л — а) grad div а + 2а rot со + р#~ = 0, A1.17) Р) А® + (е + и —Р)grad divco + 2аrot а — 4асо + р^ = 0. A1.17') Упруго-статическое состояние получается фактически из упруго-дина- упруго-динамического состояния, если предположим, что массовая сила и массовый мо- момент, а также смещения, вращения и напряжения (силовые и моментные) не зависят от времени в рассматриваемом промежутке.
46 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ [РЛ- | 11.13. У пру го-колебательное состояние среды D (р, Я, ц, а, <?, е, о, P), соответствующее массовой силе $Г и массовому моменту %, есть четверка [и, со, т, ц], удовлетворяющая условиям: I) и, со 6 С2 (D) П С1 (D); т, [х 6 С1 (D); A1.18) И) 2 а*,- = 0; A1.18') A1.19) где 5^" == (#";)> ^ = (^), ^ == (и{)9 со = (cot) — комплексные векторы, а т = II т*7 Цзхз, [А = ipif Цзхз — комплексные матрицы (ЗГiy 9i9 ut, (oi9 %fj, jjif/ : D —» Z); a — произвольное действительное число, называемое частотой колебания. Соотношения A1.18) и A1.18') называются уравнениями упруго-колеба- упруго-колебательного состояния, а A1.19), A1.19') — законом Гука. Подставляя A1.19), A1.19') в A1.18) и A1.18'), получаем уравнение колебания или уравнение упруго-колебательного состояния среды D (р, Я, [I, a, ^7, 8, и, Р), соответствующего массовой силе &~, массовому моменту *3 и частоте колебания а: (\к + а) Аи + (^ + \х — a) grad div и + 2а rot со + ра2и + р^" = 0, A1.20) (D + р) Асо + (е + о — Р) grad divco + 2аrot и — 4асо + ^со + р^ = 0. A1.20') Аксиомы 11.10 и 11.13 определяют ситуацию, описанную в п. 2, § 10. 3. Теория термоупругости. В этой теории: 11.14. Термоупругая среда есть область D трехмерного евклидова про- пространства и набор чисел р, X, \i> у, г], к, удовлетворяющих условиям Р>0, (i>0, ЗЛ + 2^>0, 7/T,>0f x>0. A1.21) 11.15. Термоупруго-динамическое состояние среды D (р, X, \х, у, т], х) в промежутке времени <Э~ = [^0, ^iL соответствующее массовой силе ф* и тепловому источнику Q, есть тройка [и, т, 9], удовлетворяющая следую- следующим условиям: A1.22) А0—TW-^*™« + -^Q = b (И-22') (^ g) A1.22")
К Ц] АКСИОМАТИЗАЦИЯ ТЕОРИИ 47 где Q и 0 — действительные скалярные функции, & ='(&mi) и и = (а,) — действительные векторные функции, а х = || xty ||зхз — действительная матрич- матричная функция, определенные на множестве Назовем 0 температурой среды, а = (щ) — вектором смещения, т = = || %ц || — тензором напряжения. Соотношения A1.22) и A1.22') называются уравнениями термоупруго- динамического состояния, а A1.22") — законом Дюамеля—Неймана. Подставляя A1.22") в A1.22), получим [I Аи -f- (A,-f- (i) grad diva — ygradO-f- piF= р-^тг» A1.23) Соотношения A1.23) и A1.22') представляют уравнение динамики (тео- (теории термоупругости) или уравнение термоупруго-динамического состояния среды D (р, Я, fi, у, xi, и)» соответствующего массовой силе @~ и тепловому источнику Q. 11.16. 4Тер моу пру го-статическое состояние среды D (р, Я, jx, у, т|, х), соответствующее массовой силе 2Г и тепловому источнику Q, есть тройка [и, т, 01, удовлетворяющая условиям: A1.24) A1.24') A1.25) где Q и 0 — действительные скалярные функции, #" = {З7j) и и = (ut) — действительные векторные функции, ат — || тг/ Цзхз — действительная матрич- матричная функция (yi9 Q, ui9 %ij, 0 : D —* /?). Подставляя A1.25) в A1.24), получаем ц Аи + (А, + ^i) grad div и — у grad 0 + p#~ = 0. A1.26) Соотношения A1.26) и A1.24') называются уравнением статики (теории термоупругости) или уравнением термоупруго-статического состояния среды D (р, X, \х, у, т), х) в компонентах смещения, соответствующего массовой силе SF и тепловому источнику Q. 11.17. Термоупруго-колебательное состояние среды D (р, Я, jx, y9 т], х), соответствующее массовой силе ST и тепловому источнику Q есть тройкг [w, т, 0], удовлетворяющая условиям: A1.27) п> 4-Q = 0. A1.27') A1.28)
48 основные понятия и аксиоматизация [Гл. I где Q и 6 — комплексные скалярные функции, SF = (@~д и и = (и{) — комплексные векторные функции, а т = || хц ||3хз — комплексная матричная функция (&*i9 Q, ui9 т/;-, 9 : D —* Z); со — произвольное действительное число, называемое частотой колебания, и — вектор смещения, |т?/||— тен- тензор напряжения, 9— температура. Соотношения A1.27) и A1.27') называются уравнением термоупруго-коле- термоупруго-колебательного состояния, а A1.28) — законом Дюамеля—Неймана. Подставляя A1.28) в A1.27), получаем li Аи + (Я + [л) grad div и — ygrad 9 + рсо2и + р^ = 0. A1.29) Соотношения A1.29) и A1.27') называются уравнением колебания или, точнее, уравнением (в компонентах смещения) термоупруго-колебательного состояния среды D (р, к9 \i, у, tj, x), соответствующего массовой силе У9 тепловому источнику Q и частоте колебания со. § 12. Матричная запись основных уравнений Для краткости удобно пользоваться матричной записью основных урав- уравнений. С этой целью примем следующие соглашения. Всякий /э-мерный век- вектор v = (vu . . ., vp) будем рассматривать как одностолбцевую матрицу Ivf II Произведение матрицы а = [| atj ||mXp размера т хр на матрицу Ъ = — II btj \\pxn размера р хп определяется как матрица с = || cif \\mxn размера т хп, где Ctf = 2a«A/- A2.1) к В частности, произведение матрицы размера т хр на р-мерный вектор будет m-мерным вектором av = A2.2) В дальнейшем потребуется ввести матричные дифференциальные опера- операторы. Матричный дифференциальный оператор является матрицей, элементы которой суть дифференциальные операторы. Если aik — дифференциальный оператор, a bki — функция, на которую можно воздействовать оператором aiky то под aikbkj будем понимать функцию, полученную воздействием диффе- дифференциального оператора aik на функцию Ъщ. Таким образом, если а = || aik \\тХр — матричный дифференциальный оператор, а Ъ = \ Ъц \р^п — матричная функция, то ab будет матричной функцией с — | Сц \\тжп, где функции Сц определены формулой A2.1). Bj частности, если а = || пц ||тХр — матричный дифференциальный оператор, a v = (vl9 . . ., vp) — векторная функция, то av будет векторной функцией, определенной из A2.2). Если а = || а,ц \пър — матричная функция, а Ъ = || Ъц \р^п — матричный дифференциальный оператор, то аЪ будет матричным дифференциальным оператором с = || ci} \\mxn, где Сц определены формулой A2.1) и aik в A2.1) представляют, фактически, коэффициенты дифференциальных операторов blk.
Л 12] МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ 49 Уточнения и обобщения приведенных определений последуют ниже, в ходе рассуждений. 1. Классическая теория упругости. Введем матричный дифференциаль- дифференциальный оператор Л(д*) = |Л,,(д,)||зхз, где Тогда уравнение (см. A1.4)) упруго-динамического состояния среды D (р, Я, fi), соответствующего массовой силе & = (@~i), в компонентах сме- смещения или уравнение динамики запишется следующим образом: р-Ц-, A2.3) а уравнение статики (см. A1.7)) — в виде А(дх)и +р&~ = 0. A2.4) Уравнение упруго-колебательного состояния (см. A1.10)) среды D (р, X, \х), соответствующего массовой силе ST = (ЗГt) и частоте колебаний о, или урав- уравнение колебания, примет вид А (дх) и + рсо2и + рТ = 0. A2.5) В формуле A2.3) предполагается (см. A1.7)), что &~f: D х 0~ —* /?, щ : D х Т —+ Rf и, кроме того, и ? С2 (D х Т) [\ С1 Щ х Т). В формуле A2.4) предполагается (см. 11.8) 9~t : D -» /?, щ : D -¦ /? и а 6 С2 (?>) П П С1 (D), a в формуле A2.5) — Sri, : D —> Z, щ : D -* Z и w 6 С2 (D) f| П С1 (D) (см. 11.9). Удобно также ввести оператор Л {дХУ со) = || Л^- (дх, со) ||3хз, Л,7 (ах, со) = Аа (дх) + б,/Рсо2 = 8if (|хД + рсо2) + (X + ^) ^-. A2.6) Тогда уравнение A2.5) примет вид Л,у(^,со)а + р^ = 0. A2.5') 2. Моментная теория упругости. Введем матричный дифференциальный оператор М = М(дх) = \\Ма(дхЦ6х6 A2.7) и представим его в виде где > = I Mi/} (дх) Цзхз (k = 1, 2, 3, 4), (dj = (|i + a) OijA + (A, -|- \x — a) ¦ Mff (dx) = M[?} (dj = — 2a 4 В. Д. Купрадзе A2.8)
50 основные понятия и аксиоматизация мрл i Тогда уравнение упруго-динамического состояния (см. A1.14), A1.14')) среды D (р, A,, fx, а, е/, е, и, Р), соответствующего массовой силе &~ = E^-) и мас- массовому моменту ^ = (j§t) в компонентах смещения, или уравнение динамики, запишется в виде r^% A2.9) где % = (Ui) п Ж = (Ж() — шестикомпонентные векторы, причем %ь = ut при i = 1, 2, 3 и % = со^з при г = 4, 5, 6; Ж{ = ^ при * = 1, 2, 3 и ^ = ^_3 при i = 4, 5, 6; г — диагональная матрица размера 6 хб: г = II гц Цехе, причем Гц = 0 при i ф /, ги = р при i = 1, 2, 3 и ти = ^/ при 1 = 4, 5, 6. ^ и Ж иногда будем записывать в виде % = (а, со), Ж = (З2",^). Уравнение статики (см. A1.17), A1.17')) той же среды запишется в виде 0, A2.10) а уравнение колебания (с частотой колебания а) — в виде 2ги = 0. A2.11) В формуле A2.9) (см. A1.11)) % : D х Г — /?, ^г:О х Т -> /?; в формуле A2.10) (см. A1.12)) % : D — /?, 5»?: D — /?, а в формуле A2.11) (см. A1.13)) ?^,: : D —» Z, 5^f : D —> Z и а — произвольное действительное число. Если введем обозначение М (дХУ о) = || М^- (дх, а) ||бХб, Мг7 (ал, а) = Mt7 (dx) + 8ца2гф то A2.11) примет вид 0. A2.1 Г) 3. Теория термоупругости. Введем матричный дифференциальный опе- оператор В (дх, со) = || Ви(дх,п) !|4Х4, A2.12) где ?fe/ (Зх, со) = Akj (дХ9 со) при / = 1, 2, 3; 5Л4 (дХ9 со) = —у ^ при fe - 1, 2, 3; В4/ (д„ со) = /сот] ^-, при / = 1, 2, 3; ?44 (д„ со) = А + -^-. Тогда уравнение термоупруго-колебательного состояния (см. A1.27'), A1.29)) среды D (р, к, \iy у, г\, х), соответствующего массовой силе ЯГ == = (^",), тепловому источнику Q и частоте колебаний со в компонентах смеще- смещения, или уравнение колебания, запишется в виде <o)U + 3№ = 0, A2.13) где U = (Ui) и Ж — (Жг) — четырехкомпонентные векторы, причем U\ = = щ при / = 1, 2, 3; с74 = 9, Жь = р$Г( при / = 1, 2, 3 и <2^4 = ^- Q. При со = 0 A2.13) обращается в уравнение статики (теории термоупру- термоупругости). § 13. Оператор напряжения 1. Классическая теория. Рассмотрим упругую среду D (p, A,, fx). Пусть х = (х19 х2у х3) — точка среды, а п (х) = (п1 (х), п2 (х)9 п3 (х)) — произ- произвольный единичный вектор. Для вычисления напряжения в точке х по на- направлению п (х) в момент времени / была получена формула B.1). Подставив
* 13] ОПЕРАТОР НАПРЯЖЕНИЯ 51 в B.1) выражения компонент напряжений через компоненты смещений (за- (закон Гука), получим что можно записать и так: T(»)(jc,0 = ^(x)divtt(^/) + 2^^^ + |i[n(x)Xrota(x,/)]f A3.1) причем _J_ an (x) ~ Z i Введем матричный дифференциальный оператор T(dXfn(xj)^\\Tif(dx,n(x))l где Ти(дХ9 п(х)) = Ut (х)-щ + ,шу (x)-J- + |*в?У з^.. A3.2) Тогда т^ = Т(дХУп(х))щ A3.3) 71 E^, п (х)) будем называть оператором напряжения (классической теории упругости). Мы встретимся также с оператором напряжения более общего вида; X обозначим его через Т (дх, п)9 назовем оператором обобщенного напряжения и определим формулой K I A3.4) Очевидно, Т = Т9 т. е. оператор напряжения получается из оператора обоб- обобщенного напряжения, если положим и = [г. Оператор Т при % = \л (X + |i) (X + Sjj,) обозначим через Л9 и назовем оператором псевдонапряжения. X Иногда применяют векторную форму записи для выражений Ти и Jfu; -+- 2(ы) dw . (Я, + | ]. A3.6) 2. Моментная теория. Рассмотрим упругую среду D (р, Я, |ы, а, ^/, е, о, р). Силовое напряжение %in) (x, 0 и моментное напряжение \х(п) (х, t) в точке х по направлению я (х) в момент времени / вычисляются по формулам
52 основные понятия и аксиоматизация грл> I B.1) и B.2), которые в силу закона Гука (см. G.21), G.2Г)) принимают вид 2 A3.7) ] A3.7') Введем матричный дифференциальный оператор Г = Г (dx, n (x)) -1| Tt, (dx, n где Г(й) (дх, п (х)) = || 71*' (дх, п (х))||зхз, ТУ (дх, п (х)) = Ял, (^) -J- + (ц — a) nj (х) -^ + (ц + а) бG - Т{ц (дх, п (х)) = — 2а S гит (х), Т{$ (дх, п(х)) = О, A3.9) дх, Tfl (д„ n (x)) = em (x) -±- + (u—p) Л/ (x) -|- + (u + p) S тогда т<") (x, t) = Г") (а„ я (х)) и + ГB1 (а„ я (х)) со, A3.10) A3.11) (/=1,2,3), A3.12) ^n)(x, t) = [Т (дХУ п (х)) #],+з (/ = 1, 2, 3). A3.13) Здесь ^ = (Ui) — шестикомпонентный вектор, причем % = щ при i = 1, 2, 3 и Йс = ®«_8 ПРИ i = 4» 5» 6- Т будем называть оператором напряжения (моментной теории уп- упругости). 3. Термоупругость. Рассмотрим термоупругую среду D (р, А,, \ху у, т), х). Напряжение среды в точке х в момент времени ? вычисляется по фор- формуле B.1). Применяя закон Дюамеля—Неймана (см. (8.12')), получим т<«>(%, t) = T(dx, n(x))u(x) — yn(x)Q9 A3.14) где Т — оператор напряжений классической теории, и — вектор смещения, а 0 — температура. Рассмотрим матричный дифференциальный оператор Р(дх, п(х)) = \\Ра(дх, n(x))hx4, A3.15) определенный формулой Ри(дх,п(х)) = ТИ(дх, п(х)), при U / = 1, 2, 3, 1 16 Pt, (дх, п (х)) = — уп{ (х), при i = 1, 2, 3. / 1 " Тогда соотношение A3.14) примет вид H*)(x9t) = P(dx,n(x))U, A3.17) где U = (Ui)<— четырехкомпонентный вектор, причем Ut = щ при i = 1, 2, 3 и (/4 = 8.
Л 14] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ 53 § 14. Постановка основных задач Как уже отмечалось выше, основной задачей теории упругости является определение упругого (динамического, статического или колебательного) состояния среды в классической и моментной теории упругости и термоупру- термоупругого (динамического, статического или колебательного) состояния — в тео- теории термоупругости. Если, например, известно упруго-динамическое состояние среды D (р, A,, \i), соответствующее массовой силе !F9 т. ё. (см. п. 1, § 11), если известны вектор смещения и = (ut) и тензор напряжения т = || тц |, опреде- определенные в § 11, то можно вычислить деформации по формулам E.4) и тем самым определить деформированное и напряженное состояние среды. Но для опре- определения упруго-динамического состояния, соответствующего массовой силе &~> т. е. для определения пары [и, т] на множестве D х ^~, достаточно знать смещение и на этом множестве. Тогда компоненты напряжений определяются из A1.3). Аналогично обстоит дело и при рассмотрении других состояний. Все сказанное справедливо, когда речь идет об одном-единственном, каким-либо образом определенном состоянии. Но состояние среды, напри- например, упруго-динамическое, соответствующее массовой силе #~, не опреде- определяется единственным образом. В §§ 1—10 было рассмотрено деформированное состояние среды, созда- создаваемое внешними воздействиями. В классической теории упругости под внеш- внешним воздействием понимаются массовые силы и внешние напряжения, кото- которые задаются независимо друг от друга; в моментной теории внешними воз- воздействиями считаются, кроме массовых сил и моментов, внешние силовые и моментные напряжения, и для определения единственно возможного дефор- деформированного состояния необходимо задать все эти величины. Кроме того, при выводе основных соотношений мы исходим из опреде- определенного первоначального состояния. Предполагалось, хотя легко освобо- освободиться от этого ограничения, что в начальный момент среда находится в со- состоянии покоя. Если бы мы исходили из*другого начального состояния, то по- получили бы другую картину деформированного состояния. Таким образом, для единственности упругого состояния необходимо задавать и начальное состояние. Формулируя аксиомы упругих (термоупругих) состояний, мы не при» нимаем во внимание внешние поверхностные воздействия, испытываемые изучаемой средой через свою границу. Мы не учитываем также механиче- механического состояния среды до интересующего нас момента времени, хотя от этого явно зависит ее динамическое состояние. Поэтому, естественно, упругие состояния, описываемые введенными аксиомами, определены неоднозначно. Этому соответствует тот факт, что общие решения дифференциальных уравне- уравнений упругих состояний содержат произвольные функции. Между тем, в реальных условиях всякое упругое (термоупругое) состоя- состояние реализуется вполне однозначно или обладает физически допустимой многозначностью. Реализуемые в действительности упругие состояния суть те частные (конкретные) состояния, которые отбираются из всей совокупности упругих состояний, описываемых аксиомами, по дополнительному требова- требованию, состоящему в удовлетворении определенных граничных и начальных условий. Кроме этого, выбранное состояние должно обладать свойством непрерыв- непрерывной зависимости от граничных и начальных данных (см. гл. VI, § 6). Дело в том, что эти данные берутся из наблюдений с помощью тех или иных изме- измерений и поэтому всегда отличаются от точных значений. Следовательно, конкретное состояние, которое найдено с помощью указанных приближенных данных, будет иметь практическую ценность, если оно «в той же мере»
54 основные понятия и аксиоматизация грл i отличается от истинного состояния, в какой «мере» данные отличаются от своих точных значений. Это свойство называется свойством непрерывной зависимости от данных задачи. Таким образом, если доказано существование и единственность состоя- состояния, удовлетворяющего аксиомам, граничным и начальным условиям, и не- непрерывно зависящего от данных задачи, то можно надеяться, что построено математическое описание физически реализуемого упругого состояния. Поста- Поставленная так задача называется корректной х). После этого имеет смысл поставить весьма важную задачу о фактическом Конструировании этого состояния в том или ином смысле; например, получе- получение его приближенного числового значения с помощью практически осущест- осуществимых вычислений (например, на базе ЭВМ). Доказательству существования, единственности, непрерывной зависи- зависимости от данных и фактическому конструированию упругого (термоупругого) состояния посвящается настоящая книга. 14.1.Определение. Функцию ф, определенную в области D, будем называть регулярной, если ф (Е С2 (D) и ф ? С1 (D). Таким образом, регулярная функция в области D имеет в этой области непрерывные вторые производные, а сама функция и все первые производные непрерывно продолжимы в каждой граничной точке области D. Матрицу (вектор) назовем регулярной, если все ее элементы (компоненты) регулярны. В дальнейшем мы исследуем упругие и термоупругие состояния как ограниченных, так и неограниченных сред. Более того, при исследовании задач определения упругого (термсчупругого) состояния среды D часто при- приходится вводить в рассмотрение вспомогательную задачу для среды, допол- дополняющей D до всего пространства. В связи с этим, удобно ввести следующие обозначения: конечную область, ограниченную кусочно-гладкой поверх- поверхностью S, будем обозначать через D+, а дополнение множества D+ = D+|J5 до всего пространства обозначим через D". Таким образом, Орт нормали поверхности S в точке х (х? 5), внешней по отношению к D+, обозначим через п (х). Через п будет обозначен этот орт в точке у ? S. Таким образом, п = п (у). 14.2. Определение. Функцию ф, определенную в области D, будем называть финитной в этой области, если замыкание множества тех то- точек х б D, где ф (х) ф О, лежит в D [\х 6 D | ф (х) Ф 0| с D ]. 14.3. Определение. Если функция ф, определенная в D+ (D~), непрерывно продолжима в точке у ? S, то через ф+ (у) или |ф (у)\+ [ф~ (у) или {ф (у)}~] будем обозначать предел = lim ф(х) [ф-(у) = {ф(у)Г = lim 1. Классическая теория. В классической теории упругости ставится три основных типа задач определения упругого состояния: динамические, статические и колебательные. Эти типы задач в корне отличаются друг от друга и требуют различных подходов к их исследованию. 1) В задачах математической физики нередко встречаются некорректно поставленные задачи. (Интерес к таким задачам возрос в последние годы (см. Тихонов [1 ], Лаврентьев [1,2] и др.)- С некорректно поставленными задачами приходится иметь дело и в этой книге. Отметим, что при исследовании этих задач существенно применяются решения некоторых специально построенных корректных задач.
5 141 постановка основных задач 55 Каждый из трех типов содержит шесть основных задач. Первая основная задача динамики: найти упруго- динамическое состояние [и, т] среды D+ (р, A,, \i) [D~ (p, X, \i) ] в проме- промежутке времени W~ = [t0, tx ], соответствующее массовой силе Ф", по гранич- граничному условию v\y,t)eSxr:u+(y,t) = f(y,t) [u-(y,t) = f(y9t)] A4.1) .и по начальным условиям д% Ц A4.2) Здесь SF = (&~()9 f = (ft)9 ф = (ф?) и if = (грЛ) — заданные векторы Для краткости будем обозначать эту задачу через A)+ [(I)" 3 и называть ее первой внутренней [внешней ] задачей динамики. Вторая основная задача динамики формулируется совершенно так же, как первая; заменяется только граничное условие A4.1) следующим: V(y, 06 SxT : \Т(ду, n)u(y))+ = f(y, t)[\T(dy, n) u(y)\-= f(yy /)]. A4.3) Обозначим эту задачу через (Н)+ [(II)" ] и назовем ее второй внутренней [внешней ] задачей динамики. Третья и четвертая основные задачи отличаются от предыдущих граничными условиями. В третьей внутренней и внешнейJ) задаче (за- (задача (Ш±) V (У* t)?SxT: \u(y, t) n}± = g(y, t)9 A4.4) \Т(дю п)и(у, t) — n[nT(dy, n)u(y, t)]\± = h(y91). A4.4') Вчетвертой внутренней и внешней (задача (IV)±) задаче \f(y,t)eSx Т\ \ A4.5) ). A4.5') Здесь g — скалярная, a h = (ht) — векторная функция g : S х &~ —* R, h(: S хТ -> /?. Граничными условиями отличаются от остальных пятая и шестая задачи (задачи (У)± и (VI)±). Пятую задачу будем называть также основной смешанной задачей. В этом случае граница среды представлена в виде объединения четырех непересекаю- 4 щихся множеств2) 5 = []Sk и на Sk задается граничное условие /г-й задачи. fei 1) Если в предложении участвуют двойной знак =? или ^,то это предложение следует понимать как сокращенную запись двух предложений: одно — когда (в этом предложении двойной знак заменяется верхним знаком, и второе — когда нижним. 2) Не исключается случай, когда одно или два из этих множеств—пустое множество. Если, например, S2 = S2 = S4 == 0, то 5 = Sj и пятая задача сводится к первой.
56 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ грл \ В качестве граничного условия шестой задачи примем усло- условия вида V (У, t)e S х 2Г: \Т(ду, п)и(у, t) + o(y9 t)u(y,'t)}+ = f(y9 t), 1 б [\Т(ду, n)u(y9 t) — a(y9 t)u(y9 t)}- = f(y, t)]9 J где a = | oi} ||зхз — вещественная непрерывная матрица, заданная на S х Т> все главные миноры которой положительны. Во всех этих задачах началь- начальные условия одинаковы и означают задание в начальный момент времени t = t0 смещения среды и скорости изменения смещений. В первой задаче на границе заданы смещения, во второй — внешние напряжения. В третьей задаче на границе задаются нормальная составляю- составляющая смещения и касательные составляющие внешних напряжений, в четвер- четвертой, наоборот, на границе задаются нормальная составляющая напряжения и касательные составляющие смещения. В пятой задаче граница среды раз- разделена на четыре части, на одной части задаются смещения, на другой — нап- напряжения, на третьей — нормальная составляющая смещения и касательные составляющие напряжения, на четвертой — нормальная составляющая напряжения и касательные составляющие смещения. Наконец, в шестой задаче на границе задается специальная комбинация смещений и напряжений. Можно привести много практических задач, когда реализуются ситуации, описываемые приведенными задачами. Можно доказать (это следует из приведенных ниже рассуждений), что поставленные выше задачи эквивалентны следующим задачам: Первая основная внутренняя [внешняя] задача динамики A)+ [A)~ ]: найти регулярное решение уравнений динамики A2.3) или A1.4) по гранич- граничному условию A4.1) и по начальным условиям A4.2). Аналогично формулируется вторая (П)±, третья (II 1)±, четвертая (IV)*, пятая (V)± и шестая (VI)± граничные задачи динамики. Основные задачи статики и колебания формулируются так же, но без начальных условий. Например, первая задача статики (задача ,A)*) форму- формулируется так: найти упруго-статическое состояние [и, т] среды D+ (р, X, |л), соответствующее массовой силе ^, по граничному условию здесь ИГ = (@~i) и / = (fi) — заданные векторы: ft : S —> R, SF{ : D± —* /?. Эта задача эквивалентна следующей: найти регулярное решение уравнения статики A2.4) или A1.7) по граничному условию A4.1). Приведенные выше задачи при отсутствии массовых сил {$Г = 0), с ну- нулевыми граничными и начальными условиями в задачах динамики и с нуле- нулевыми граничными условиями в задачах статики и колебания, будем называть однородными задачами. Принятую нами нумерацию сохраним и для однород- однородных задач, снабдив соответствующий номер нижним индексом 0. Например, (П)о*~ будет обозначать вторую (на границе равны нулю напряжения) внут- внутреннюю однородную задачу. Аналогично, для задач установившихся колебаний с частотой со будем пользоваться той же нумерацией, но с буквой со над номером', например, (IV)o будет обозначать четвертую внутреннюю однородную задачу колебания. 2. Моментная теория. В моментной теории, так же как и в классиче- классической, ставятся задачи трех основных типов: динамики, статики и колебания. В каждом из них шестнадцать задач1), соответствующих рассмотренным выше х) Подробнее об этих задачах будет сказано в главе IX.
л 14] постановка основных задач 57 первым четырем задачам классической теории. Эти задачи формулируются* как в классической теории. Приведем формулировку четырех типичных задач, которые будут подробно исследованы в этой книге. Задачи динамики. Найти упруго-динамическое состояние [и9 со, т, \х] среды D± (р, Я, [а, а„ <^, 8, и, Р) в промежутке времени &~ = [t0, ti\9 соответствующее массовой силе ST и массовому моменту 2? по начальным условиям ух ? D±: и (х, tQ) = ф (х), со (х, t0) = h (x), | J и по граничным условиям у (у, t) ? S х &~: и±(у, t) = f(y, t), co±(t/, t) — g(y9 t) A4.8) в случае первой задачи (задача (I)*1); {ТМ (ду> п) и (у, t) + Г<2> фу, п) со (у9 A4.9) в случае второй задачи (задача (П)±); и±(у, t) = f(y, t), j7lD) (ду9 п)(о(у, t)\± = g(y, t) A4.10) в случае третьей задачи (задача = f(y9 t)9 \ТЫ(ду9 n)u(y,t) + TW(dy9 n)a(y9 t)\± = g(y9 t) в случае четвертой задачи (задача (IV)±). В этих задачах 9~ = (Tt)9 <3 = (9t)9 f = (ft), g = (gt)9 Ф = (ф,), Л = (h()9 гр = (%), x = (Xi) — трехкомпонентные векторы: iFl9 S, : D± x Х^-Л; Л, ft: S xf- /?; Ф„ Я,, tf<f x<: D± — R. Таким образом, задачи динамики заключаются в отыскании упругого динамического состояния среды в некотором промежутке времени, если изве- известны: массовые силы и моменты, смещения и вращения и скорости их измене- изменения в начальный момент времени и, кроме того, заданы на границе смещения и вращения — в первой задаче, силовые и моментные напряжения — во второй задаче, смещения и моментные напряжения — в третьей задаче и вра- вращения и силовые напряжения — в четвертой задаче. Эти задачи эквивалентны следующим: Найти регулярное решение % = (а, со) уравнения динамики A2.9) по на- начальным условиям A4.7), и по одному из условий A4.8)—A4.11). Аналогично ставятся задачи статики и колебания. Например, в первой вадаче статики (задача A)*) ищется упруго-статическое состояние, если на границе S заданы смещения и вращения. 3. Теория термоупругости. Здесь задачи также делятся на три основ- основных типа, хотя задачи статики, как это будет разъяснено в главе X, не пред* ставляют самостоятельного интереса. Приведем формулировку некоторых задач термоупругого колебания. Найти термоупруго-колебательное состояние [и, т, 0] среды D± (р, Х9, й» Y» ТЬ х)> соответствующее массовой силе ЗГ и тепловому источнику Q по граничным условиям: u± = f9 Q± = g A4.9'> со в случае первой задачи (задача (II*1); \P(de,n)U\± = f, {§Y=g A4.10')
58 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ [Гл. I в случае второй задачи (задача (И)*); , ( (дв\± A4.110 ¦в случае третьей задачи (задача \Р(ду, n)U\± = f, 8± = g . A4.12) (О в случае четвертой задачи (задача (IV)±). Эти задачи можно привести к следующим, эквивалентным задачам. Найти регулярное решение U = (и, 9) уравнения A2.13) по граничному условию A4.9') — для первой задачи, A4.10') — для второй задачи, A4.1 Г) — для третьей задачи, A4.12) — для четвертой задачи. 4. Задачи для неоднородных сред. В этой книге в основном рассматриваются однород- однородные (в смысле упругих свойств) среды. Рас- Рассмотрение неоднородных сред связано с серьезными осложнениями. Эти осложнения примерно такого характера, как при переходе от уравнений с постоянными коэффициентами к уравнениям , с переменными коэффициен- коэффициентами. Но трудности изучения задач для неоднородных сред этим не исчерпываются. В задачах механики важно получить не только то, «что получается», а необходимо также всем основным понятиям и условиям, встречающимся в исследовании (условия раз- разрешимости, единственности, эллиптичности и т. д.), придать определенный механический смысл. Это связано с дополнительными серьезными трудностями. Именно эти причины вынудили нас отказаться от рассмотрения общей теории неоднородных, а также анизотропных сред. Вместе с тем, как мы увидим в главе XII, посвященной гранично-контакт- гранично-контактным задачам, можно исследовать один специальный, но весьма важный для практики случай неоднородности. Пусть Sk — замкнутая поверхность, a Df — конечная часть пространства Е3, ограниченная этой поверхностью (k = 1,2, 3). Предположим, что Dt cz Df, Df a Df, и введем обозначения Dx = Df\Dt D2 = Df\Df, D = D, (J D2. Пусть однородная изотропная среда с постоянными Ламе Xf и \ij занимает область Df; j = 1,2. Таким образом, область D занята неоднородной средой, состоящей из кусков, занимающих области Dt и D2. S2 — поверхность раз- раздела этих кусков, aSj и53 представляют собой «обыкновенные» границы рас- рассматриваемого неоднородного тела (рис. 2). Мы будем рассматривать граничные задачи, когда на поверхностях S1 и S3 задаются любые из указанных выше граничных условий, а на S2 заданы условия контакта, выражающие заданный скачок смещений и напряжений при переходе через точки поверхности S2. В частности, особый интерес с ме- механической точки зрения представляет тот случай, когда эти скачки равны нулю, т. е. когда смещения и напряжения остаются непрерывными. Таким образом, задачи статики классической теории будут формулироваться так: Рис. 2.
Л 15] НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 59 Найти регулярное решение уравнений A4.8) в D, удовлетворяющее кон- контактному условию \/у ? S2: limu(x) — \\ти(х) = /(*/), A4.13) Dt =э х -> у <=S2 D2=ix -* у &S2 lim Т(д„п)и(х)— lim Г(дх, п)и(х) = <р(у) A4.14) и одному из приведенных выше граничных условий на поверхностях Sx и S2. Эти задачи, в зависимости от вида граничных условий на 5Х и 52, будем назы- называть ( и соответственно обозначать) первой, второй, третьей, четвертой, пятой и шестой задачами. / и ф в A4.13) и A4.14) — заданные векторы на S2. Если на Sj и S2 заданы различные условия из числа упомянутых выше, будем иметь смешанные задачи. Выделим особо тот случай, когда 5j «стягивается» в точку, а 53 «расши- «расширяется» до бесконечности, точнее, когда неоднородная среда занимает все пространство Е3 и состоит из двух однородных частей, одна из которых зани- занимает область Df, а другая — область D~ = E^\(Df [) S2). В таком случае граничное условие на 5j отсутствует ввиду отсутствия самой Sx; граничное условие на SB заменяется условием на бесконечности, а условия контакта на S2 сохраняются в прежнем виде. Эту задачу будем называть главной контакт- контактной задачей. Мы рассмотрели случай, когда исследуемая упругая среда составлена из двух различных упругих кусков («двухкомпонентное» тело). Нетрудно видеть, что аналогичные гранично-контактные задачи могут быть поставлены и для «многокомпонентных» упругих сред (см. гл. XIII, § 3). § 15. Некоторые дополнения и библиографические справки I. О дифференциальных операторах теории упругости. Основные задачи теории упругости были сформулированы в предыдущем параграфе, как задачи теории дифференциальных уравнений в частных производных. Естественно выяснить место, занимаемое этими задачами в общей теории дифференциальных уравнений. Выясним, какому типу уравнений, например, по классификации Петров- Петровского (см. 15.17), относятся основные уравнения, точнее, .системы уравнений теории упругости. Уравнения статики и колебания классической теории (системы A2.4) и A2.5)), моментной теории (системы A2.10) и A2.11)) и теории термоупру- термоупругости (система A2.13)) суть уравнения эллиптического типа. В этом легко убедиться, вычислив определитель характеристической матрицы; например, для уравнений статики (и колебания) моментной теории упругости, характеристическая матрица имеет вид где x(I)=«xiviu хD)=Шзхз, б-(ь, ъ, а х!7 = 0» + «) S*/!2 + (Я + |*—а) Ып til = (о + Р) 8*,? + (е det X (I) = (I* + аJ (Я. + 2|i) (о + РJ (е + 2и) | g |12, и, следовательно, det % (?) ф 0, если | =/= 0 (см. G.20)).
60 основные понятия и аксиоматизация [Рл# I Сложнее обстоит дело с уравнениями динамики. Они не принадлежат, строго говоря, ни к одному из типов по классификации Петровского. Например, характеристическое уравнение для уравнения динамики класси- классической теории имеет вид Следовательно, два овала (см. Петровский [11) из этой поверхности совпадают, и поэтому уравнение динамики классической теории можно рассматривать лишь как предельный случай гиперболических систем. Для уравнений динамики моментной теории появляются две пары совпа- совпадающих овалов, а уравнения динамики термоупругости не принадлежат ни к одному из классических типов. Отметим, что согласно современной классификации (см. Bers, John, Schechter) уравнения статики A2.4), A2.10) относятся к строго эллиптическим системам, а уравнения колебания A2.5) и A2.11) — суть эллиптические системы. Операторы А (дх), А (дх, со), М (дх) и М (дХ9 со) самосопряженные, а В (дХ9 со) не является самосопряженным. Построим оператор В* (дХ9 ©)» сопряженный с В (дХ9 со). В* (дХ9 со) определяется равенством [В (дх, со) U) °Vdx = JU • [В* (дх, со)V] dx, D справедливым для любых финитных четырехкомпонентных векторов U = (Ui), V = (Vt) в области D из класса С2 (D). Здесь знак «°» между векторами означает скалярное произведение, т. е. Ф«/, где ф = (фг) и / = (f'i) — /п-мерные векторы, определяется равенством Ф°/==2фЛ« Чтобы избежать недоразумений, отметим, что в книге часто i применяется произведение векторов, например, ф* и /, обозначаемое симво- символом ф/ (без каких-либо знаков между ними), определяемое равенством ф/ = = /ф = S/t-фь очевидно, при действительных / и ф ф°/ = ф/. Легко проверить равенства 4 D k, /==1 = [ ^ V*Bli (dx, ©) Vfdx =\U B* (dx, o) V dx9 Dk,j=l D где B*kj (дх, со) = Bkf (ax, со), Blf (дх, со) = 7 ^-, B*k4(dx, со) = im-g^, B44 (дх, со) = A —^-; k> j = lf 2, 3. Для наших целей удобно пользоваться не сопряженной матрицей а матрицей В\ которую будем называть союзной и определять так: В (дх, со) = 1 B'kj (дх, со)||4Х4, Bkj (дх, со) = Bkj (дХУ со), В4/ (дх, со) = у -^-, Bk4 (дх, со) = — шц -^—, 544 {дХ9 со) = А + -^-.
Я J51 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 61 2. О некоторых пространствах функций и поверхностях класса JIk (a). Для того чтобы поставленные выше задачи теории упругости имели регуляр- регулярные решения, необходимо подчинить краевые условия (граничные данные в задачах статики и колебания и граничные и начальные условия в задачах динамики) некоторым ограничениям, иными словами, выбирать их из опре- определенных классов функций. Иногда требуется иметь решение с гладкостью более высокого порядка, чем регулярность. В этих случаях следует выбирать данные из классов достаточно гладких функций. Для выяснения некоторых вопросов, например, о корректности задач, удобно в рассматриваемых классах функций вводить метрику — расстояние между элементами (функциями) или норму элемента. Таким образом, вво- вводятся в рассмотрение различные нормированные пространства функций. При исследовании задач, поставленных в предыдущем параграфе, в этой книге применяется в основном метод сингулярных интегральных уравнений. Вопросы существования решения задач и установления свойств гладкости решений приводятся к соответствующим вопросам для сингулярных интег- интегральных уравнений, распространенных по поверхностям, являющимся гра- границами рассматриваемых упругих сред. Кроме того, решения задач будут выражаться интегралами типа потенциала, распространенными в основном по этим поверхностям. Свойства решений сингулярных интегральных уравнений, а также интег- интегралов типа потенциала, существенно зависят от свойств поверхностей. Приведем в этом пункте определения основных пространств функций и классов поверхностей, с которыми будем иметь дело в дальнейшем. Предложение «ср принадлежит классу С0* а (D)» (записывается символом <р ? С°\а (D)) означает при ограниченной области D, что для любых х и х' из D выполняется неравенство где с — положительное постоянное число, выбранное для ф и не зависящее от х и х' из D, 0 < а ^ 1 и Если жеО — неограниченная область, то запись ср ? С°>а (D) означает, что указанное выше неравенство выполняется для любых хих'изО, подчи- подчиненных ограничению | х — х' | ^ 1. Очевидно, если <p?C°'a(D), a > 0, то ср равномерно непрерывна в области D. 15.1. Определение. фбС0'0 (D), если <р равномерно непрерывна в области D. ___ Таким образом, С0- ° (D) = С0 (D), где С0 (D) — класс функций, опре- определенный в предыдущем параграфе. Приведем следующее простое предложение. 15.2. Теорема. Если ф ? С0- a (D), a > 0, то функция ф непрерывно продолжима в каждой точке поверхности S, и функция г|э, определенная на D равенствами я|) (jc) = ф(*)> если х 6 D, и гр (у) = lim ф (х)9 если у 6 S, удов- D летворяет неравенству I ^ (х) — ц(х') для любых х, х'ёО. 15.3. Определение. ф? Ckia (D), где k — произвольное целое положительное число, иО^а^ 1, если ф имеет все производные по декар-
62 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ [Рл# J товым координатам до порядка к включительно, эти производные равномерно непрерывны в области D и все производные порядка k принадлежат классу С0- а (D). _ Очевидно, Ск*° (D) = Ск (D), Заметим также, что в литературе иногда класс Ск>а (D) обозначается через Ск*а (D). Совершенно аналогично определяются классы Ск (D) и Ск*а (D) и в том случае, когда DczEm, где т — произвольное натуральное число. 15.3'. Определение. Пространство Ск (D) есть линейное норми- нормированное пространство, элементами которого служат элементы множества Ck (D)\ сумма элементов и произведение элемента на число определяется формулой (Ф + <р') (х) = ф (х) + <р' (х), (сф) (х) = сер (х), а норма элемента — формулой |(D, /г) == 7 , SUp X €= D Суммирование совершается по всевозможным целым неотрицательным pl9 p% и р3» ГДе Р = Pi + Р2 + Рз- 15.3".Определ ение. Пространство Ck*a (D) есть линейное норми- нормированное пространство с элементами из множества Cfe- a (D) с нормой а) = ||Ф||иэ, *)+ max sup [x — x' Пространство С0-а (D) называют пространством Гёльдера (см. Мусхе- лишвили [21) и иногда обозначают через На. 15.4. О п р е д е л_е ние. Матрица ф == || ф/; ||тХр принадлежит классу Сй (D) [Cfe- a (D), C^ (D) ], если ф|/ 6 Ск (D) [Ф„ 6 Cfe*« (D), Ф/:/ Cfr (D)! для любых i = 1, . . ., т и / = 1, . . ., р. Пусть п = (пг, п2, п3) — произвольный ненулевой вектор, б — произ- произвольное положительное число, а х с Е3. Обозначим через Ц (х, п, 6) круг- круглый цилиндр в ?3, имеющий высоту 26, осью которого служит я, центром сим- симметрии — точка х и радиус основания равен 6. Через Ш (х, 6) обозначим шар с центром в точке х и радиуса б. Следова- Следовательно, ZZ7(x, 6) = \y?Es\\x — y\<6\. Границу этого шара обозначим через С (х> б), следовательно, С(х, 6) = 15.5. Определение. Поверхность S принадлежит классу Лк (а), где k — произвольное натуральное число, и О^а^ 1, если существует такое положительное число dt что каждой точке z? S можно поставить в со- i i ответствие некоторую ортонормальную систему векторов v (г) = iyx (г), i i V2 B)> Va (z))> i — 1» 2, 3, таким образом, чтобы часть S, заключенная внутри з цилиндра Ц (г, v (г), d), которую обозначим через S (г, d), не имела общих точек с основаниями этого цилиндра и допускала представление вида
Л J5] НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 63 в системе (z), где (г) — система координат в Е3 с началом в точке 2, соответ- 1 2 - 3 ствующая базису v (г), v B), v B); glf ?2, |3 — координаты точки лс ? S в этой системе и при этом 7*€С*.«(т(г, d)), Здесь т B, d) — проекция S (г, d) на плоскость g3 = 0. Плоскость |3 == 0 в дальнейшем обозначим через т (г); % (г) — касательная плоскость з поверхности S в точке 2, a v B) — нормаль к этой поверхности в точке 2. Поверхность класса Лх @) называют гладкой поверхностью, поверхность класса Лх (оь), а > 0 —поверхностью Ляпунова и поверхность Л2 @) — по- поверхностью с непрерывной кривизной. Нетрудно показать, что JIk (а)аЛк ф), если а > р, и Лк (а)^с: Лп (Р), если /г > п и а, р — любые числа. Если S 6 Лк @) для любого натурального k, то будем писать S 6 «#<» и назовем поверхность S бесконечно-дифференцируемой. Нам нужно будет также рассмотреть поверхности с краем. Пусть 5 — двумерное, связное, ограниченное многообразие с краем (вообще не компакт- компактное). Такую поверхность S мы будем называть разомкнутой поверхностью. Включение S 6 Лк (а) определяется так же, как в определении 15.5, но все условия определения, указанные в 15.5, должны выполняться для точек мно- множества 5, где S — замыкание множества S в пространстве Е3. По определению, поверхность S кусочно-гладкая класса Лк (а), если 5 можно разбить на конечное число частей простыми гладкими кривыми так, чтобы каждая из этих частей принадлежала классу Лк (а). Таким образом, поверхность 5 будет кусочно-гладкой поверхностью* если ее можно разделить на конечное число гладких частей гладкими про- простыми линиями. Поверхность куба, а также поверхность круглого конечного цилиндра, очевидно, замкнутые кусочно-гладкие поверхности. Более того, эти поверх- поверхности принадлежат классу Лж кусочно. 15.6. Определение. Пусть S ? Лг @). f — функция, определен- определенная на 5; х 6 S B, d), a glf ?а, |3 — координаты точки х в системе (z). Опре- Определим на т B, d) функцию fz следующим образом: f2 (|ь |2) = / (х). По определению, f?Ck'$(S), если для всякой точки zfSy h e Ck> » (т B, d)). / = || f4 \пхр е Ck> » (S), если fif 6 Ck- * E) для всякого i = 1, . . ., m\ / = 1, . . ., p. В множестве Ck* 3 E) можно ввести сумму элементов и произведение элемента на число; тогда Ck*|3 (S) обратится в линейное множество. В этом множестве можно ввести понятие нормы. Она вводится так же, как при опре- определении пространства Ck>a (D), но вместо производных по декартовым коор- координатам берутся производные в смысле определения V. 1.1—V.1.3 или V.1.12. Полученное таким образом пространство обозначается тем же символом Ck'$ (S), а норма элемента / в этом пространстве — через ||/||(S, *,р). Справедлива следующая 15.7. Теорема. Если функция f, определенная на S, класса Лх @), удовлетворяет для любых ху у 6 S неравенству где с = const > 0, а = const, 0 < а < 1, то f 6 С0»а E).
64 OCHOBHbTF ПОНЯТИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ Поверхность S разделяет две области в Е3. Одна из них ограничена, дру- другая неограничена. Обозначим эти области соответственно через D+ и D". Таким образом, Е3 = D+ U 5 (J D'. Пусть п (у) = (п1 (у), п2 (у), п3 (у)) — орт нормали поверхности S в точке у, внешней по отношению к области D+. Доказывается следующая теорема (см. Гюнтер [11). 15.8. Теорема. Если S ? JIk (a), k ^ 1, то п 6 Ck~l* а (S). 3. Библиографические справки. 15.9. Достаточно подробный обзор результатов, полученных в класси- классической теории упругости до 1927 года, приводится в книге Love [11. Некоторые из последующих результатов, полученных до 1958 года, вошли в обзор Goodier, Hodge [11. Ценные литературные указания содер- содержатся в книгах: Sokolnikoff [1J, Grioli [11, Solomon [11, Лурье [21, Teodo- rescu [5], Kecs, Teodorescu [11. Обзор работ советских ученых дается в статьях: Шапиро- [11, Шер- ман [3], Купрадзе [9, 13], Мусхелишвили, Черный [1]. 15.10. Обзор результатов по моментной теории упругости имеется в книгах: Grioli [11, Nowacki [21, в работах Koiter [43, Пальмов [13 и др. 15.11. Обзор результатов по термоупругости содержится в книгах: Love [13, Лебедев [1], Timoshenco, Goodier [1], Melan, Parkus [11, No- Nowacki [1, 31 и др., а также в обзорной статье Шачнев [11. 15.12. Физические основы классической теории упругости рассматри- рассматриваются в книгах: Love [11, Папкович [11, Green, Zerna [11, Kittel [11, Седов [1, 21, Ландау, Лифшиц [11 и др. 15.13. Физические основы моментной теории рассматриваются в рабо- работах: Voigt [I], Cosserat E., Cosserat F. [1], Аэро, Кувшинский [1, 2, 31, Пальмов [II, Nowacki [81 и др. Ом. также библиографию к главе IX. 15.14. С физическими основами теории термоупругости можно позна- познакомиться в книгах: Nowacki [1, 31, Ландау, Лифшиц [13 и др. 15.15. В этой книге не рассматривается плоская задача теории упру- упругости; с ней читатель может познакомиться в книге Мусхелишвили [11. Обзор литературы по плоской задаче см. также Мусхелишвили [1, 33, Векуа И., Мусхелишвили [13 и др. 15.16. Задачи колебания упругих сред изучались многими авторами. Обзор старых работ по этим вопросам — см. в книге Love [13 и некоторые последующие — в обзоре Goodier, Hodge [1]. Граничные задачи стационар- стационарных колебаний изучались в работах: Love [I], Weyl [1], Купрадзе [8, 133; в них содержатся необходимые литературные указания. По динамическим задачам классической теории упругости см. Франк, Мизес [11, гл. 12 (написана С. Л. Соболевым) и библиографию к восьмой главе настоящей книги. 15.17. Теории общих систем уравнений в частных производных и об- общим дифференциальным операторам в частных производных посвящены многочисленные работы. Отметим следующие (в основном обзорные): Пет- Петровский [1, 31, Гельфанд, Петровский, Шилов [11, Вишик, Мышкис, Олей- ник [11, Бицадзе [13, Hormander [11, Agmon, Douglis, Nirenberg [11, Ed- Edwards [11. 15.18. Большое число работ посвящено определению упругих постоян- постоянных. Обстоятельные сведения по этому вопросу содержатся в работах: Born, Huang fl], Grammel 111, Kittel [11, Huntington [11, Timoshenko, Woinow- ski-Krieger 111.
ГЛАВА II ОСНОВНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ Из первой главы читатель знает, что предстоит рассмотреть большое число граничных, гранично-контактных и других задач для широкого класса систем линейных уравнений в частных производных второго порядка. Для решения этих задач мы применяем методы потенциалов и теории интеграль- интегральных уравнений. Потенциалы строятся, как обычно, с помощью фундаментальных или других сингулярных решений соответствующих дифференциальных урав- уравнений. Несмотря на то, что рассматриваемые дифференциальные уравнения принадлежат различным каноническим типам, а некоторые не принадлежат ни одному из классических типов, во всех случаях основную роль будут играть фундаментальные и другие сингулярные решения уравнений эллипти- эллиптического типа; характерной особенностью таких решений является наличие точечной сингулярности вида | х р1, где | л: | = У^х\ + х\ + х\, и простой механический смысл: в классической теории упругости, в момёнтной теории и в термоупругости они выражают соответственно смещения, смещения и вра- вращения, смещения и температуру в бесконечной среде, возникающие под воз- воздействием сосредоточенных в начале координат единичных сил, сил и момен- моментов, сил и источников тепла, соответственно. В этой главе будут построены явные выражения указанных решений и исследованы основные свойства. § 1. Фундаментальные решения уравнений классической теории упругости 1. Уравнение статики. Матрица Кельвина. Пусть изотропная упругая среда заполняет пространство ?3ив точке х — О действует сосредоточенная сила величиной в две единицы, направленная по оси х*, / = 1, 2, 3; тогда смещение точки х = (х19 х2, х3), П (х) = (Г1; (х)> Г2/ (х), Г3/ (х))9 вызван- вызванное указанной силой, вычисляется (см. Love [1 ], гл. VIII) по формуле rkf(x)=X'8kj\x\-1 + [i'xkxj\x\-b k, / = 1, 2, 3, A.1) где (К + 2|г)Г\ |х' = (X + И) [4я[г (X + 2ц)Г A.2) и X и ja — постоянные Ламе. Для нас важен не только физический смысл векторов П (х), но и то, что они представляют решения уравнения статики (I, 12.4) при отсутствии объем- объемных сил, в каждой точке пространства Е3, кроме начала координат. В этом можно убедиться непосредственным вычислением. 5 В. Д. Купрадзе
66 ОСНОВНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ [Рл Ц В самом деле, если A.1) перепишем в виде 6fc, д2\ х\ 2л{^ I х | uXfeOXj и заметим, что А * Г\ All ? для k-YL компоненты вектора А (дх) П (х) получим S Аы (дх) Ги (х) = fiA (к^птг — ^' -Щт-) + (Я- + |х) 4- div П (х) = 0. Введем матрицу Г (х) = || ГЛ, (х) Цзхз =«Г1 (х)9 ГЧх)у Г3 (х) || A.4) и назовем ее матрицей фундаментальных решений Кельвина (см. Love [1], гл. VIII). Матрица Г (х) симметричная и каждый столбец ее, а также строка, удов- удовлетворяют уравнению статики при отсутствии объемных сил, в произвольной точке х 6 ?з> кроме начала координат. Таким образом х), А(дх)Г(х) = 0, хфО. A.5) 2. Уравнение колебания. Матрица Купрадзе. Матрица фундаментальных решений однородного уравнения колебания A, 12.5') А(дх, со)и = 0 A.6) имеет вид Г(*. со) = ||Г*,(х, со) Цзхз, Г*/ (X, со) - 2j V6^a^ + Pt-dx^dxj) \Г\ 1 = 1 где i — мнимая единица, kx n k2 — неотрицательные числа, определенные равенствами k\ = pco2(?t + 2ЦГ1. k\ = pcoV, A.8) щ = б2/ Bя[х)~1, fr = (—lI (гярсо2)-1. A.9) Пусть П (х, со) = (Г1; (ху со), Г2/ (х, со), Г3/ (х, со)), / = 1, 2, 3. Вектор Г1 (х, со) удовлетворяет A.6), Агра / = 1, 2, 3, в каждой точке пространства ?3> кроме начала координат. В самом деле, учитывая формулы . д , , 2\ Т- / ч О ' ^2 еХР (^1 1Х1) ,._,.' 1 d exp (ik,\ х I) divr/(*, «) =^71+2^^7-ui' для fe-й компоненты вектора А (дХ9 со) П (х, со), получаем з S Аы (дх, со) Г// (х, со) = fx (A + kl) Yki (х, со) + (X + ц) -^— div Г; (х, со) = 0. 1) В формуле A.5) 0 в правой части обозначает матрицу размера 3X3 с нулевыми эле- элементами.
§ 1J ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 57 Г (х, со) будем называть матрицей Купрадзе. Каждый столбец этой матрицы^ а также каждая строка, являются решением уравнений A.6) при х =ф= 0. Приведем один простой способ построения указанной матрицы. Перво- Первоначальный ее вывод приведен в работе Купрадзе [7]. Вычисляя в определителе det А (дх, со) алгебраическое дополнение эле- элемента Aki (дх, со), получим T^^B^} + kl)' (U0) Подставляя в A.6) вместо и матрицу f(dx, со)||зхзФ, A.11) где ф — скалярная функция, и учитывая, что 3 3 S Аи Фх> <*>) s?u (дх, со) ф = S Аы (дХ9 со) st>n {дх, со) ф = = 6fc/det Л (а„ со) Ф = 8kf\i2 (X + 2[х) (Д + ki) (Д + kl)\ для определения функции ф получим уравнение Так как все элементы матрицы \si>ki (дх, со)|| содержат множитель (А + Щ ф, достаточно найти функцию которая удовлетворяет уравнению Мы ищем такое конкретное решение последнего уравнения, у которого частные производные второго порядка имеют изолированную особенность вида | х I; если такое решение существует, оно должно удовлетворять усло- условиям Г1 я|х\Г Отсюда Можно проверить, что функция яр удовлетворяет указанным выше ус- условиям. Учитывая A.10) и подставляя найденное значение (Д -f- ki) ф = = 1jli2(X + 2jut) ]~x if? в A.11), получим матрицу и (х, со), которая совпадает с матрицей Купрадзе. При определении функции i|) мы подразумевали, что &? ф kl: t& — kl = = (X + fi) pco2 [\x (X + 2ix)T~l. Отсюда в силу (I, 5.16) условие kl = $ эквивалентно условию со = 0. Этот случай был рассмотрен выше. Но, если допустим формально, что &2 —> k\ = k , то соответствующее частное решение можно получить из выражения if путем предельного перехода; при этом <ф = exp (ik | х
68 ОСНОВНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ грл JJ 3. Основные свойства матрицы Купрадзе. В пункте 2 мы уже доказали одно основное свойство матрицы Г (х, со), которое заключается в следующем: 1.1. Теорема. Каждый столбец и каждая строка матрицы Г (х, со) являются решением уравнения A.6) во всех точках х ? ?3» кроме начала ко- координат. 1.2. Т е о р е м а. При любом х 6 E3f—со < со < оо, справедлива оценка |Гл/(х, (o)\^c(Kii)\x\-\ К /=1, 2, 3, где с (Я, р>) — положительное число, зависящее только от A,, fj>. Доказательство. Учитывая формулу exp (tfe; 1 * |) exp(ifr|*|) Fц (tog |*| — 1) , *^*у f 3A — Fц \ из A.7) имеем AЛ2) Применяя теорему о среднем значении, получаем оценку |A — i*,-|x|)exp(ifti|x|)— l|^*?|jc|2f /=1, 2, A.13) в силу которой из A.12) следует соотношение I TkJ (х, со) | ^ FХ Формула A.7) теряет смысл при в) = 0. Обозначим , со) = Г (*, со) — Г (л:), A.14) где Г (х) — матрица Кельвина A.4). 1.3. Теорема. Для всех х ? Е3у — оо < со < оо, справедлива оценка где с (X, \i) — положительное число. Учитывая A.12), A.1) и A.14), имеем 2 VL Г exp(te.|*|)l , со) = ^jKja, ^Ui^ Pl ?R?L ' • +3 Uli Jj.0-15) Применяя теорему о среднем значении, имеем \(l—ikt\x\)exp(iki\x\)—l ?-й|*|а|^|А,|3|*|% A.16) и из A.15) непосредственно следует ^ ] A-17)
Я I] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ gg 1.4. Теорема. Для х ? ^з\ч{°} В самом деле, из A.17) при со—>0 имеем Г^- (х, со) —¦ 0. 1.5. Теорема. Для всех х 6 Е39 — оо < со < оо, справедлива оценка j (*, <*>) t и р=1, 2, 3, с (Я, fi) — положительное число. Из A.15) следует (х, со) Г у I — Р/ 3A—^/I«|)e — I щх. 2 - (A? | x |3 3A- «, | х |) exp («, I x |) ** | x |2 - (A? | x \х\3 — <ft, | x |) exp (tfe, | x |) — I a: I2 1 Q Т 3 A — ikt | х |) exp (ikt \x\) ~ k] \ х |2 — ik3t \ x f — 3 ^-р ^ J. A.18) Учитывая A.13), A.16), а также оценки | exp (ikt \х\) — 1 — iki | х | ^ U\ \ x |2, из A.18) получим dtkj (x, со) Из теоремы 1.5 следует 1.6. Теорема. Для х hm dxv • "^7 f ^ ' т^—, dxD , /, р = 1, 2, 3. A.19) A.20) Аналогично доказывается также следующая 1.7. Теорема. Вторые производные элементов матрицы Г (х, со) по декартовым координатам точки х имеют в окрестности начала изолиро- изолированную особенность вида \ х I.
70 ОСНОВНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ грл J| § 2. Фундаментальные решения уравнений моментной теории упругости 1. Уравнение колебаний. Однородное уравнение установившихся коле- колебаний моментной теории упругости (см. (I, 12.11)) имеет вид M(dxt a)U = 09 B.1) где М(д„ c) = \Mki{dx, o)\^ = \MMZ MM2\ B.2) причем 1 = 6Л/ (|i + а) (Д + о?) + (X + (х — а) / з о=1 Aftf = б», (о + Р) (А + oi) + (е + » — Р) 2 per2 2 ^сг2 — 4а ?^ (и, со) — шестикомпонентный вектор, а — частота колебаний, ekjp — 9 9? символ Леви-Чивита; G\ ^ 0, а 02 может принимать любое действительное значение. Обозначим алгебраическое дополнение элемента Mkf(dx, a) (fe, / = 1.6I) в определителе det M E^, а), через Jlkj (dXJ а). После элементарных, хотя и громоздких вычислений, для элементов Jtki (дх, о) матрицы получим A) ^/ =(Хо х 2аа0 х» в и ч/ 2 4) X (А + *?> (А + ^) (А + ^) (А 4а2 + а) (и х) Символ /= 1,6 означает: /. = 1, 2, . . ., 6.
С 2] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 71 где 1 — 4а /Г| г з и &1 удовлетворяют условиям 4а2 B.6) Легко заметить, что Ж (дх, а), (как и М (дХУ о)) является самосопряженным оператором, т. е. Ж (dXJ a) = [Ж (—дх, о)]', где штрих означает операцию транспонирования (строк-столбцов). Подставляя в B.1) вместо % матрицу %=\Ж(дк, о)]' Ф = Г ,, "Г Ф. B.7, где ф — искомая скалярная функция, получим det М (дх, а) ф = а0 (А + k\) (А + й?) (Д + Щ* (Д + &IJ Ф == 0. В B.7) каждый элемент содержит множитель а0 (А + Щ (А + fei) Ф, поэтому достаточно найти именно функцию "ф = а% (Д + Щ) (А + fel) Ф- Очевидно, для ее определения имеем уравнение (А + k\) (A + kl) (А + Щ) (А + k\) -ф = 0. Для того чтобы матрица решений B.7) оказалась фундаментальной, мы должны найти такое решение последнего уравнения, частные производные шестого порядка которого имеют особенности лишь вида | х \~х. Такое реше- решение, если оно существует, должно удовлетворять условиям (Д + *?+,) (А + k\+2) (A + k2l+s) ц = Bп \х\Г1 exp (ikt \х\), I = ТГ1, «5 = /Cj, ^26 = «2» ^7 == ^3* Рассматривая эти соотношения как систему уравнений относительно if, Ая|), ДАг|) и ДДАгр найдем 4 Ф = S At Bя | jc I) ехр № | х |), B.8) где Л, = (&?+1 _ к*) (%+2 - k*)-1 (k2M - k*)-K B.9) Соотношение B.8) позволяет легко проверить, что г|? удовлетворяет всем поставленным выше условиям. Выражение_для -ф (см. B.8)) мы получили в предположении, что постоян- постоянные Ы\ (I = 1,4) отличны друг от друга. В нашем случае, принимая <J/o2 — — 4a > 0, из B.5) и B.6) получаем kl > 0, / = ITT, Если <^a2 — 4a < 0, то, учитьфчя значения kl и k\ о а2 ~2 I J* I 4(Х'2 2йз. 4= а, + а2+ и формулу B.5), будем иметь ^ > 0, ki > 0, й| < 0 и Ы\ < 0.
72 ОСНОВНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. II Случаи, когда некоторые из k\ равны друг другу, нужно рассмотреть отдельно, путем предельного перехода в выражении для tf. В дальнейшем необходимо, чтобы kl =/= kl. Это неравенство, как легко видеть из выражений для kl и М, всегда выполняется. Кроме того, мы пред- предполагаем <^а2 — 4а =f= 0. Принимая во внимание, что (А + kl) (A + kl) ср = а^1у? и учитывая значение г|), из B.7), если учесть еще B.3) и B.4), получим матрицу фундамен- фундаментальных решений U (х, а), которую обозначим через Ч? (х, а). Таким образом, ш1х О> = (ж. а) (х, а)|зхз, /=Т74, 4 3 1=1 р= ¦-4а) ' k) 1=1 B.10) 2.1. Теорема. Каждый столбец матрицы W (х, а), рассматриваемый как вектор, удовлетворяет системе B.1) во всех точках пространства E3f кроме начала координат. Справедливость этой теоремы очевидна из приведенных выше рассужде- рассуждений. Можно ее получить также из B.10) непосредственным вычислением. Доказанные в п. 3 § 1 теоремы относительно матрицы Купрадзе, с неко- некоторыми изменениями остаются в силе и для матрицы W (х, о). Доказательство предоставляется читателю. 2. Уравнение статики. В этом случае а = 0 и из B.5) и B.6) следует 4а Ш=- 4ац BЛ1) Введем обозначения 4а \V. J (ц + а) B.12)
§ 3] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ 73- Учитывая B.11) и B.12), из B.10), в результате элементарных вычисле- вычислений, для матрицы фундаментальных решений статики моментной теории упругости получаем следующее выражение: хрш * " ехр( 1*1 Ц( 1 а2 Г (Х+ц)|*| , Р + и exp(-ojx|)-l 1 2n\idxkdxj\. 2(А,+ 2ц) ~ 4ц |х| J' д 1 — exp (—а4 | х \ °/лр Ш~р \х~\ 0^1 1 a2 гехр(-о3|х|)~ехр(—а4 | л: |) exp (—а4 | дс |) ~ 1 8я ддслдху L «U| |il*l 1 -I B.13). 2.2. Теорема. Матрица^ (х) удовлетворяет однородному уравнению статики моментной теории упругости в каждой точке пространства Е3, кроме начала координат. Из вида B.13) легко заключить, что в окрестности | х | = оо имеем 1 (х) = О (| х Г1), ?$ (х) = W$ (х) = О (| х Г2), | с) = и {\ х | )у /г, / = 1, z, о. j Из сравнения B.10) и B.13) замечаем, что сингулярные части матриц (я, а) и W (х) одинаковы и определяются формулами 1 , I * П 4я Г*' (ц + а) (X + 2ц) I * П (ц + а) (X + 2ц) -Р V/ § 3. Фундаментальные решения уравнений термоупругости 1. Уравнение колебаний. Для уравнения термоупругости (I, 12.13) — B(dx,w)U=0, C.1) где U — четырехкомпонентный вектор, имеем det В (дх, ®) = ц2 (К + 2|i) (А + Х$ (А + Ц) (А + ^)8 C.2) и Т + T+2JT + *»• Л1Л2 — — fti, лз=—, Здесь постоянная fef определена из A.8).
74 ОСНОВНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. II Алгебраическое дополнение элемента Bkj (дх, со) в детерминанте det В (дх, со), которое обозначим через 3Skl (дх, со), равно , со) = (х2 (Я + 2ц) A — 6*4) A — б/4) (-^ (А + Я,?) (Д + *!) (Д + А|) — 4- —8^w, 6*4) тг— (Д ¦ С/Л, + ц* (Я + 2ц) б*46,4 (Д + ft!) (А + ЦТ; к, / = 1, 4. C.4) Подставляя в C.1) вместо (У матрицу |;ф, C.5) где ф — скалярная функция, а штрих означает операцию транспонирования получим 4 S 5«(^, <о)&ц(дх, a>)(p = 8kidetB(dx, со)ф = = |Л2 (X + 2\i) 8kf (A + Я?) (Д + Я|) (Д + ^зJ Ф = 0, k, / = 1, 4, и для функции яр = [х2 (X + 2fx) (Д + XI) ф имеем уравнение (Д + М)(Д + М)(Д + М)ф = О. Из тех же соображений, что и выше, функцию гр (х) выбираем в виде з exp (iXj | х |) —о о о о * \& 1^1 (\ .^__ \ ^ 1 I V I /-4—I "™~~ // \ /-I—2 ~~~" If I ' где ^4 = Хи Х5 = Х2, и, помня, что $щ (дху со) содержит множитель (Д + XI), после внесения значения гр (х) в C.5), получим матрицу фундаментальных решений уравнения C.1): Ф(*. СО) = [| Ф^ (ЛГ, @ 4Х4, C.6) где 9 со)= 1 !, C.7) 2я (X, 4- 2м-) (Л| — X2) S Р; = < 2* аз-л* C.8)
? 4] СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 75 Легко проверить, что каждый вектор-столбец в фундаментальной матрице Ф (х, со) имеет единственную особенность в точке х = 0, и притом порядка не более | х I. Кроме того, из C.6) непосредственным вычислением доказывается 3.1. Теорема. Каждый столбец матрицы Ф (х, со) удовлетворяет системе C.1) всюду в пространстве Е3, кроме начала координат. Заметим, что матрица Ф (х, со) несимметрична и ее строки, рассматри- рассматриваемые как векторы, не удовлетворяют уравнению C.1). Матрицу Ф (х, со) мы получили в предположении Х\ Ф А|. Случай Х{ = AJ следует рассмотреть отдельно, примейяя предельный переход в C.6) (см. задачу 5). 2. Союзное уравнение. Обозначим через Ф* (лс, со) = || Ф?/ (jc, со) ||4Х4 матрицу, полученную из матрицы Ф (х, со) перестановкой строк и столбцов и заменой х на —х; будем иметь = Ф/л(—х, со), ft, / = 171. C.9) Прямым вычислением доказывается 3.2. Теорема. Каждый столбец матрицы Ф* (х, со), рассматривае- рассматриваемый как вектор, удовлетворяет союзному уравнению В* (дХу со) и = О (Blj (дху со) = B,k (—дх, со)) во всех точках пространства Е3, кроме начала координат. 3. Уравнение статики. Из матриц Ф (я, <») и Ф* (х, со) при со —» О получаем ф (х) = || <Dfc/ (х) ||4Х4, Ф* (х) = || Oli (х) ||4Х4, C.10) где Щ] (х) - A —М A — 0/4) ГЛ/ (х) + 4jx(^ + 2fX) |7| +-2JT Г71Э а ГЛ/ (а:) определяется формулой A.1). Легко проверяются следующие теоремы: 3.3. Теорема. Матрицы Ф (х) и Ф* (х) соответственно удовлетво- удовлетворяют однородному уравнению статики (см. A, 11.24) и AЭ 11.24')) и союзному уравнению для всех х 6 ?3\{0}- 3.4. Теорема. Элементы матриц Ф (х> со) — Ф (х) и Ф* {х, со) — — Ф* (х) в точке х = 0 ограничены, а первые производные имеют изолирован- изолированные особенности вида \ х |~г. (В 3.5. Теорема. Вторые производные элементов Ф^ (х, со) = == Фл/ (х, со) — Ф*7 (х), Ф^/ (х, со) = ф;, (х, со) — Ф1/ (х) (ft, / = 1, 2, 3), Ф44 (х, со) = Ф44 (х, со) в окрестности точки х = 0 имеют особенность вида О 9 |х р1, а вторые производные элементов ФЛ4 и Ф4/ (&, / = 1,2, 3) — ограни- ограничены. § 4. Сингулярные решения уравнений классической теории упругости 1. Уравнение статики. С помощью фундаментальных решений можно образовать новые сингулярные решения тех же уравнений, играющие боль- большую роль в теории граничных задач. Введем матрицу Т (дХ9 п (х)) Г (х) = [|(Т (дх> п (х)) Г (x))kJ ||зхз, D.1)
76 ОСНОВНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ [Рл Ц где Т (дх, п (х)) и Г (х) — матрицы, определенные выражениями (I, 13.2) и A.4) соответственно, а п (х) — произвольный единичный вектор. Спра- Справедлива 4.1. Теорема. Каждый столбец матрицы \Т(дю п(у))Т(у—х)Г = \Т(дХ9 п(х))Г(х — у)]* относительно точки х удовлетворяет однородному уравнению статики А(дх)и = 0 D.2) всюду в Е3, кроме точки х = у. В самом деле, з \Т{ду> п (у)) Г (у—x)]'kf'— ? Тц(дУ9 п {у))Тш{у—х) i=i и {А (дх) [Т {ду> п (у)) Г (у — x)Y)kf = S Ар (дх) Ти (д„ п (у)) Г1р (у — х)= 3 3 = S ТцФд* п (У)) 2 Akp(dx)Ylp{y — x) = 0, i=i р=1 так как Г (х — у) симметрична и удовлетворяет уравнению D.2) всюду в Е3$ кроме точки у (см. 1.15). Рассмотрим теперь матрицу Т (дх, п (х))Г (х) = 1 \Т (дХ9 п (х)) Г {x)kl ||зкз, D.3) где Т — матрица, определенная из (I, 13.4). Совершенно так же, как 4.1, доказывается 4.2. Теорема. Столбцы матрицы —х)] {дру п(у))Г(у удовлетворяют уравнению D.2) для всех х 6 4.3. Теорема. Для всякой точки х 6 Е3 справедлива, оценка т (дх, п (х)) Г (x))hi | < с (К р., н)\х Г2, D.4) где с (%, р>, х) не зависит от х. Справедливость этого утверждения следует из равенства = [(хр' — рХ') 6ki — 3 (ix + х) р' ^ 2 щ (х) i^ /=! где W и у* — постоянные, определенные из A.2).
* 4] СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОбТИ 77 Воспользовавшись тождеством 3 3 ж ^ f%, (X) Xj ж 1 X iXj S ~1^г = 2 Xw(d" я (X))TZ?> D)- где Лы(дху п (х)) = щ (х)-^- — nk{x)-^> *, / = 1 э 2, 3, D.7) можно D.5) переписать в виде 6 3 о 2 Этим представлением мы воспользуемся впоследствии (см. V, § 4). В § I главы V будут подробно рассмотрены также свойства матрицы Л (дх, п (х)) = || Mki (дху п (х))Цвхз. D.9) к Матрица Т (дх, п (х)) Г {х) при к = рр' (X') обращается в матрицу J? (дх9 п (х)) Г (х) согласно (I, 13.6). Таким образом, з 6.. ^--1 п, (х) х, (Jf{dx, п {х))Г(х))ц- ^ 2j -Т7|И + ;=1 2. Уравнение колебаний. Рассмотрим матрицу Т (дХ9 п (х)) Г (х, со) = 1 (г (дх$ п (х)) Г (х, ©)jft/ Цзхз, DЛ1) где Г (х, ю) — матрица Купрадзе. Нетрудно проверить равенство . 3 (т (дх> п (х)) Г (х, co))ki = -?} V щ (х) ^г 1x1 exp (ikf \x\) н 2 3 д3 р=1 где рр определяется из A.9), Учитывая тождество
78 основные сингулярные решения [Гл# где Жщ (дх, п (х)) определена из D.7), можно D.12) переписать в виде (дХ9 п (х)) Г (х, ©))л/ = -? ^ щ (х) ^ еХр(|^|Х|) + 1=\ 2я * ежр№|х|) a exp №|«|I d*j |х| ' v 7 dxk \x\ J ' + (и +1) 2 •*« (д« я W) гч (х- ю)- DЛЗ> Ввиду симметричности матрицы Г (х, ю) и перестановочности операто- операторе ров Акр (дх, <о) и Тп (ду9 п (у)), совершенно так же, как теорема 4.1, дока- доказывается 4.4. Теорема. Матрица [т (дуу п (у)) Г(у — х, со)] - || [т {дуу п (у)) Г (у—х9 ю)]*/|зхз. D.14) удовлетворяет уравнен ию А(дх, ©)и(х) = 0 D.15) в каждой точке х б |^} Перепишем D.12) в следующем виде: (Т (дх> п (х)) Г (х, со)),,- = (т (дХ9 п (х)) Г (х))ц + (г (д» п (х)) Г (дс, со)),,, D.16) где (Т (дх, п (х)) Г (х, со)),7 и Г (х, со) определяются из D.5) и A.14). Из D.16) на основании теоремы 1.6 следует 4.5. Теорема. Для всех х 6 2? lim Т (дХ9 п (х)) Г (*, со) = Т (дХ9 п (х)) Г (х) и в окрестности нуля справедлива оценка | (т (дХ9 п (х)) Г (х, <о))л/1 < const | х |-2. § 5. Сингулярные решения уравнений моментной теории упругости 1. Уравнение колебаний. Прилагая оператор Т (дг, п (х)) (см. I, 13.8) к фундаментальной матрице решений уравнений моментной теории (см. B.10)), получим T(dx,n(x))W(x,o) = ^ (TWY где , , Л VI a/ exp (t*.'I*I)
л 5] сингулярные решения моментной теории упругости 79 = 2ц х, п (х)) ?р,} (х, а) 0=1 1=1 р, 2 4 з 1 1л „ я , а) ex и i 1 о Ч E.2) 1=1 Для матрицы \Т (ду, п (у)) У(у-х9 о)]' = || [Т (дУ9 п (у)) W (у—х, a)]i, ||6X6 E.3> справедлива 5.1. Теорема. Каждый столбец матрицы E.3) удовлетворяет урав- уравнению B.1) для всех х ? Е3\\у]. Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.1. 2. Уравнение статики. При а —¦ 0 элементы матрицы E.1) упрощаются и принимают вид = 2ц кр (дх, п (х)) ЧДО (х) + 1 г г \ д м ат 1 . 1 « д г = 2ц Г s: l t 1 J' х, п (x)) 0=1 з 1 1 — exp (— q4 | л: | T p ^ #i Гг^ Ч>"D) ^^ О- "Ь^ д exP (—g3 I x 1) , dn (x) \ exp ) E.4).
80 основные сингулярные решения [рл ц Имеет место 5.2. Теорема. Каждый столбец матрицы [Т{д9, п (у)) W (у—х)Г = ЦТ(д99 п(у)) W (у — x)U/|bx6 E.5) удовлетворяет однородному уравнению статики моментной теории для всех хеЕ3\\у\. Учитывая, что для матрицы справедливы теоремы, аналогичные теоремам § 1, заключаем, что сингуляр- сингулярные части матриц Т (дд9 п (у)) ? (у — х, а) и Т (ду, п (*/))? (у — х) совпа- совпадают и имеют вид [Т(дв, п (у)) Ч (у-х, o)ftV ЖШ I^TTJ- IT (дУ9 п (у)) V (y—x, a)W = 0A), [T(dy,n(y))W(y—х,а)Щ> = 0A), > E-6) IT (dyi n (y)) W(y—x, a)]lky = l Г »i 2я Ltf + w) (s-f2i>) 3 v(s-+-o —p) JD=1 где О обозначает ограниченную при х —* у величину. Этим представлением мы воспользуемся в дальнейшем (см. гл. IX). § 6. Сингулярные решения уравнений термоупругости 1. Уравнение колебаний. Введем матрицы # (дх, п (х), со) = || Фkf (дХ9 п (х), со) ||4Х4, F.1) U (дх, п (х), со) = || Uki (дх, п (х), со) ||4Х4, F.2) Q (дх, п (х)) = || Qkf (дХ9 п (х)) ||4Х4, F.3) где &\i (дх, п (x)t со) = A — 8k4) A — б/4)| бь/ix '. / ч 4- Xnk (х) •=—\- риг* (х) ^-1 — V t/#* \л/ с/л. с/л. / \ 1 к/ — icoTN/4 A — 8ki) nk (x) — 6M6/4, F.4)
51 СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ 81 я (х), (о) = A — 8ki) A — б/4) пй (х) ?. nk (х) + 6 -, F.5) = A— бм)A— б/4) F.6) и вычислим произведение матриц ^, ^ и Q на матрицу Ф* (х, оо), определен- определенную выражением C.9). Имеем & (дх, п (х), со) Ф* (х, со) = || (& {dXf n (x)t со) Ф* (х, со))/г/||4х4, F.7) п (х), со) Ф* (х, со)),у = 2 1A — 6^) A — б/4) -^8/г/ а^Г + 3 2 1 ^^/ (дх, п (х)) — 2\iat V JCkp (dXf п (х)) д^дх + р со2% (х) щ -^ — — tmfij* A — 6*4) Р/ - Р«Л1* (х) + 2^ 2 JTfep (dx> /г (х)) ^ - — У&н A — б/4) Р/ -^ — , F.8) (дХ9 П (X), СО) Ф* (X, СО) = || (А (дХ9 П (X), СО) Ф* (X, ©))Л/ |4Х4, F.9) _б,4)A— б/4) L? L (х)) — 2ца/ х, п (х)) А _ (х) + 2fi (д Г з б/4) Р/ V ! 1р=\ 9 п (х)) J- J 6 В. Д. Купрадзе
82 основные сингулярные решения [рл j] Q (дх, П (X)) Ф* (X, СО) = || (Q FХ, П (X)) Ф* (X, (й)к, |4Х4, F.11) (Q (дх, п (х)) Ф* (х, ©))*/ = A - б*4) Ф*ц (х, со) + 3 Составим матрицы [# (д„, /г (у), со) Ф*0/—х, со)]' = |[# (д„, /I (у), со) Ф*(*/ — а:, со)]^у ||4ж4, F.13) У), со) Ф* (y — xt со)]' = |j[^(^, n (у), со) Ф'(у — х, co)]kf\\4x4> F.14) a,, п (у)) Ф\у — ху со)]' =|[Q (dyt n (у)) Ф*(у — х, (ojhihxb F.15) и докажем теорему: 6.1. Теорема. Каждый столбец матриц [& (ду9 п (у), со) Ф* {у — - х, со) Г, № (ду, п {у)у со) Ф* {у — х, со) Г и [Q (ду9 п (у)) Ф* (у - — х, со) Г, рассматриваемый как вектор, удовлетворяет уравнению C.1) # лю- любой точке х? Е3\{у\. Действительно, (В (дХ9 со) \& {дуу п(у)\ (о)Ф*(у — х, ю)]')л/ = 4 = 2 Вм (дх, со) [# (^, /г (у), со) Ф* (у — х% ©)]'„ = 4 = S в*< (а^ ©) # ip (ду> п (У)> <»)ф*р1 (У — х> ©) = 4 4 = S ^ * (^, я (у).») 2 Дм (а„ ю) ф,р (х—у,(о)=о. р=1 I 1=1 Здесь мы воспользовались равенствами (см. теорему 3.1 и C.9)) 4 5 5*1 (а*> «) ф*р (х — г/, ю) = 0; i,p=l,4, г=1 Фр/ (У — *, ю) = Фгр (х —г/, со). Совершенно аналогично доказывается теорема и для матриц [&(ду,п(у),<о)Ф*(у — х,<л)]г и №(д„,п(у))Ф*(у —*.©)]'. 2. Уравнение статики. Из формул F.7), F.9) и F.11), переходя к пре- пределу при ю —¦ 0, получим Ф (дх, П (X)) Ф* (X) = || (Ф (дх, П (X)) Ф* (X))kl ||4Х4, F.16) 6 (дх, П (X)) Ф* (X) = || (Й (дх, П (X) Ф* (*))*/|4Х4, F.17) Q (дх, П (X)) Ф* (X) = || (Q (Зл Л (ДГ)) Ф* (JC))*/ ||4Х4,' F.18) где (Ф (д„ п (х)) Ф* (x))ki = A - 8М) A — б/4) (Т (дх, п (х)) Г (*))*/ + "•" 4я(ХЧ2ц) dx 2я |*|' * ' '
с у] РАЗЛИЧНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СПРАВКИ (A (dXf п (х)) ф* (*))„• = A — s,4) A - б/4) (г (дх, п (х)) г (x))kj - 4л (А, 4- 2ц) ал (*) дху "*" 2я ал (х) | х Г (Q (а„ п (х)) Ф* (x))k, = A — б,4) ф;7 (х) — ЛЛ1-^) a aijci . 6fe46M a i 2|ы) дп(х) дх. ~^~ 2я дп(х) \х\* (Т (дх, п (х)) Г (x))ki (к, j = 1, 2, 3) получается из D.8), если к = \i. Соста- Составим; как и выше, матрицы \& (ду, п (у)) Ф* (у — х)] = ||\Ф (ду, п(у))Ф* (y — x)hihxb С6-22) [& (ду, п (у)) Ф* (у — х)] = || \й (ду, п (у)) Ф* (y — x)]kf ||4x4, F.23) [Q (ду, П (у)) Ф* (у — X)] = || [Q (в,, П (У)) Ф* (У — *)Ь/||4Х4, F.24) и докажем теорему 6.2. Теорема. Каждый столбец матриц [&(др п (у))Ф* (у — х)]\ Ш (ду, п (у)) Ф* {у — х) У и [Q(dy, n (у)) Ф* (у — х) ]', рассматриваемый как вектор, удовлетворяет однородному уравнению статики (см. (I, 11.24) и (I, 11.24')) для всех х? Es\{y\. Эта теорема получается из теоремы 6.1 при со = 0. § 7. Различные замечания и библиографические справки В современной теории дифференциальных уравнений фундаментальные решения рассматриваются как линейные непрерывные функционалы, опре- определенные на некотором множестве основных функций и удовлетворяющие неоднородному дифференциальному уравнению с правой частью, равной функции Дирака. Такая точка зрения позволяет применить к рассматривае- рассматриваемому уравнению преобразование Фурье и привести построение преобразова- преобразования Фурье от фундаментального решения к алгебраической задаче (к реше- решению системы алгебраических уравнений), которая в случае дифференциаль- дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами разрешима всегда (см. Hormander [1]); после этого обратное преобразование Фурье восстанавли- восстанавливает искомое фундаментальное решение. Конечно, построенные выше фундаментальные решения могли быть получены таким путем. Не пользуясь, однако, в нашем изложении теорией и аппаратом обобщен- обобщенных функций, мы избрали другой, более элементарный путь, который к тому же в интересующих нас случаях приводит к цели быстрее, минуя вычисления, связанные с обратным преобразованием Фурье. Фундаментальные и другие сингулярные решения выражены в явном виде и в элементарных функциях; этот факт имеет нем*аловажное значение. Если бы мы ограничили свою задачу построением теории разрешимости задач, поставленных в главе I, можно было обойтись одними теоремами о существовании фундаментальных решений и об их основных свойствах. Но наряду с теорией разрешимости важной задачей является разработка методов вычисления решений; для достижения этой цели явные и элементар- элементарные выражения основных сингулярных решений служат существенным инструментом: эти решения весьма просто порождают полные совокуп- совокупности частных решений, которые позволяют выразить явно приближенные значения искомых решений различных задач (см. гл. XIII); вместе с тем,,
34 основные сингулярные решения [рл# ц явные выражения основных сингулярных решений придают методу потен- потенциалов и сингулярных интегральных уравнений особую наглядность. Создание теории сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши, принявшей к настоящему времени в некотором смысле завершенный вид, в основном в работах тбилисской школы, активно способствовало раз- развитию метода потенциалов и интегральных уравнений в теории плоских задач математической физики. По этим вопросам читатель может найти исчер- исчерпывающие сведения в монографиях: Бицадзе [1, 2], Векуа И. [1J, Векуа Н. [1], Гахов [11, Купрадзе [7, 9, 13], Лурье [1, 2], Михлин [1], Мусхе- лишвили [1, 3], Хведелидзе [1]. С другой стороны, развитие теории многомерных сингулярных интеграль- интегральных уравнений сыграло исключительную роль для перенесения методов фундаментальных решений в теорию пространственных задач и для значи- значительного расширения рамок исследования. Сингулярные решения систематически применялись в работах В. Д. Ку- Купрадзе в теории граничных задач установившихся упругих и электромагнит- электромагнитных колебаний (Купрадзе [7, 8, 13 J). Явные выражения фундаментальных решений уравнений моментной теории упругости и термоупругости получены другим путем в работах: Nowacki [1,3, 81, Купрадзе и Бурчуладзе [31, Доманьский, Пискорек til и др. Матрица сингулярных решений D.10) встречается в работах: Lauri- cella [1], Weyl [1], Шерман [13, Купрадзе [73, Башелейшвили [11, мат- матрица D.1) — в работах Купрадзе [8, 13], Гегелиа [6, 131, Башелейшвили [31, Бурчуладзе [11 и др. Полезные сведения о фундаментальных решениях сообщаются в книгах: John [11, Miranda [11, Bers, John, Schechter [11, Hormander [11 и др. Особо следует отметить две знаменитые старые работы: Fredholm [13 и Levi [11. ЗАДАЧИ 1. Для матрицы Ч? (х, а) (см. B.10)) доказать теоремы, аналогичные теоремам'1.2—1.6. 2. Найти фундаментальную матрицу для уравнения B.1) в том случае, когда о/о2—4а= 0. 3. Применением преобразования Фурье найти матрицу ^? (х, о) (NowacKi [8]). 4. Применением преобразования Фурье найти фундаментальную матрицу для уравне- уравнения C.1). 5. Найти фундаментальную матрицу для уравнения C.1) в том случае, когда Щ = Щ = -.5-,.+,. 6. Построить сингулярную матрицу E.1) для уравнения B.1), когда о/а2 — 4а = 0. 7. Построить сингулярные матрицы F.7), F.9) и F.11) для уравнения C.1), когда 8. Из фундаментального решения уравнения динамики изотропного упругого тела (см. Love [1], гл. XIII, формула C6)) в том случае, когда %(х)=етх, получить матрицу Купрадзе (см. A.7)) (Чичинадзе [1]).
ГЛАВА ТТТ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ В этой главе доказаны теоремы единственности для основных граничрых и начально-граничных задач классической теории упругости, микрополяр- микрополярной упругости и термоупругости. Рассматриваются задачи для внутренних и внешних (бесконечных) областей в случае статики, гармонических колеба- колебаний и общей динамики. Доказательства основываются на применении классического принципа энергии и его обобщении. § 1. Задачи статики в классической теории 1. Формулы Грина. Если / = (flt /2, . . ., fm) и <р = (фх, q>2, . . ., <pm) — вещественные или комплексные векторы, то произведение /хр = ср/ будет т обозначать билинейную форму /ф — 2 fk4>k- _k=\ _ 1.1. Теорема. Если и ? С1 (D+) П С2 (D+), v 6 С1 (D+) и А (дх)и абсолютно интегрируемо в D+, a S ? Лг (а), а ^ 0, то \ [vA(dx)u + E(v, u)]dx=\v+\T(dy9 n)u\+d,S. A.1) D+ S Здесь А (дх) и Т (dyi n) — операторы, определенные в I, § 12, п. 1 и I, § 13, п. 1, а Доказательство. Легко проверяется тождество з/з где (см. (I, 5.15)) В условиях теоремы интеграл по D+ от левой части A.3) существует. С другой стороны, при этих условиях к интегралу J 2li 5F \ 2j vptpq(u)) dx D+ q p применима формула Гаусса—Остроградского (см. Kellog [1]); поэтому \[vA {дх) и + Е (v, и)] dx = j J ^ ( 2 vpxpq (и) \ пУ dyS
86 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [Гл> JJJ Но (см. (I, 2.1) и (I, 13.3)) и теорема доказана. Здесь и в дальнейшем за положительное направление нормали на S оринято направление, внешнее по отношению к области D+. 1.2. Замечание. Доказательство применимости формулы Гаусса— Остроградского в условиях теоремы 1.1 носит неэлементарный характер {см. Kellog [1]). Доказательство упрощается, если условие S ? Л1 (а) заменить на S 6 Л2 @). В этом случае, построив вписанные параллельные поверхности и применив для них формулу A.1), очевидным предельным переходом полу- получаем доказательство теоремы (см. Соболев [2], Смирнов [2]). Наконец, если требование интегрируемости Л (dx) unoD+ заменим требованием и? С2 (D+), оставив без изменения другие условия теоремы, или даже несколько ослабив требование, налагаемое на S, доказательство еще более упрощается. В таком виде оно приводится в большинстве книг по анализу и теории потенциала (см., например, Михлин [81, Miranda [1]). Выражение для Е (v, и) A.2) перепишем в следующем виде: РФЯ JLI \1 / dVp dl)q \ / дпр dtLq \ y-i *v ' 3 ZmA \ dxp dxq ) \ dxp dxq J ' v • / P * Я Очевидно, ?(t>, u) = E(u, v). A.5) В частности, если p= Ъ (черта сверху указывает на комплексно-сопряжен- комплексно-сопряженную величину), то РФЯ Р, Я Если и — действительный вектор и является вектором упругого смещения, то Е (и, и) совпадает с удельной энергией деформации, введенной в I, § 6, пп. 1 и 2. Пусть и есть регулярное действительное решение в области D+ уравнения статики А (дх) и (х) = 0 (тогда, очевидно, Аи абсолютно инте- интегрируемо в D+) и v = и; тогда A.1) примет вид \Е(и, u)dx= f u+\Tu\+dS. A.7) d* s Формулы A.1) и A.7) будем называть формулами Грина в области D+. Для бесконечной области D~ справедлива 1.3. Теорема. Если S G Лх (а), а ^ 0 и и является регулярным действительным решением уравнения А (дх) и = 0 в области D", удовлетво- удовлетворяющим в окрестности \х \ = оо условию / /1\ 1 и, 1 О Q /1 Q\ то \Е(и, u)dx = —\tr\Tu\-dS. A.9)
г ji ЗАДАЧИ СТАТИКИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 87 Для доказательства применим формулу Грина A.7) к конечной области DR = D~ П Ш (О, R), где R > О — достаточно большое число; согласно принятому условию относительно положительной нормали на S теперь положительная нормаль к границе DR — внутренняя; поэтому получаем f E(u, u)dx=— \w\Tu\-dS— J uTudS. A.10) DR S C(O.R) В силу A.8) интеграл, распространенный на С (О, /?), при R —> оо стре- стремится к нулю. Поэтому предел правой, а следовательно, и предел левой части существуют и равны друг другу. Теорема доказана. 1.4. Замечание. Формулы A.7) и A.9) остаются в силе, когда S есть объединение конечного числа замкнутых, ограниченны*, непересека- непересекающихся кусочно-гладких поверхностей Sk9 k = 1, . . ., m, класса Лг (а). 1.5. Замечание. Если введем обобщенную билинейную форму ? / х V4 / dvp дир , /л , ч dvp где x — произвольное действительное число, то формулы A.1), A.7), A.9) к к остаются справедливыми при замене Е (у, и) и Т (дуу п) на Е (v, и) и Т (dv, n) соответственно. 2. Решение вспомогательного уравнения. Для исследования единствен- единственности решения задач статики необходимо построить все действительные реше- решения уравнения Е (а, и) = 0 из класса С2 (Ев). Это уравнение в силу A.6) эквивалентно системе уравнений «. ^ + $ = 0. Р + Я. т?-"ё- = 0. Р, .= 1,2,3. A.11) Общее решение системы A.11), и, следовательно, уравнения Е (и, и) = 0, как нетрудно убедиться, имеет вид и(х)=[ахх]-+-Ь, A.12) где а и Ь — произвольные действительные постоянные трехкомпонентные векторы. Очевидно, вектор жесткого смещения A.12) удовлетворяет равенствам ухеЕ3:А(дх)и(х) = 0, Т(дху п(х))и(х) = 0. Легко проверяется также, что если вектор жесткого смещения A.12) удовлетворяет условию A.8), то он тождественно равен нулю. 3. Основная лемма. Регулярное решение и однородных задач (I)*, (И)*, ...» (VII*1, в случае бесконечной области, удовлетворяющее условию A.8), есть решение уравнения Е (и, и) = 0 класса С2. Покажем сначала, что во всех однородных задачах, кроме (VII*1, произ- произведение иТи на граничной поверхности S обращается в нуль, а в задаче * равняется — иои = —^ovqupuq. Для задач A)*, A1)*, (Vl^ — это Р Q Р, Q )* (V)± очевидно. Для задач (III)*, (IV)*, (V)±—вытекает из тождеств иТи = и\Ти — п (Ти)п\ + ип (Ти)п = (и — пип) Ти + ип (Ти)п. Обращаясь теперь к формулам A.7) и A.9) и учитывая неотрицательность и непрерывность формы Е {и, и), получаем Е (и, и) = 0 и лемма доказана.
88 теоремы единственности [рл in 4. Теоремы единственности. Имеют место следующие теоремы: 1.6. Теорема. Задачи (I)+, (IV)+, (VI)+ допускают не более одного регулярного решения, 1.7. Теорема. Любые два регулярных решения задачи (П)+ могут отличаться лишь аддитивным вектором жесткого смещения A.12). 1.8. Теорема. Задача AП)+ допускает не более одного регулярного решения, если S не является поверхностью вращения] если S — поверхность вращения, отличная от сферы, любые два регулярных решения могут отли- отличаться аддитивным вектором вида и(х) = со[ах(х — х°I A.13) где с0 — произвольное действительное число, а — орт оси вращения, х° = = (л^, х\, х%) — произвольная точка на оси вращения; если S — сфера с цен- центром в точке *°, то два регулярных решения могут отличаться лишь векто- вектором вида u(x)=^ck[8kx(x — x% A.14) k где bk =F1?, б2?, 63k), ck — произвольные действительные числа. 1.9. Теорема. Задача (V)+ допускает не более одного регулярного решения, если выполнено по крайней мере одно из следующих условий: 1) mes Sx ф О, 2) mes S4 Ф 0, 3) mes Sx = mes S4 = 0 и S не является поверхностью вращения. Если mes Sx = mes S4 = 0 и S есть поверхность вращения, то имеет место ситуация, описанная в теореме A.8). 1.10. Теорема. Задачи (I)", (П)~, . . ., (VI)", допускают не более одного регулярного решения, удовлетворяющего условию A.8). Доказательство 1.6—1.10. Пусть и' и и" — произвольные регу- регулярные решения какой-либо из указанных выше задач, в случае бесконечной области удовлетворяющие условию A.8). Тогда разность и = и' — и" есть регулярное решение соответствующих однородных задач и согласно основ- основной лемме представляется в виде A.12). В случае бесконечной области и (х) удовлетворяет условию A.8) и согласно п. 2, и = 0 в области ?>"". Это доказывает теорему 1.10. Для задачи A)+ имеем и+ = 0, следовательно, а = b = 0 и ух ? D+: u = Q. Для задачи (IVL" имеем (и — пип)+ = 0, {Tu)t = 0; из первого условия следует а = b == 0 и отсюда V* 6 D+: и = 0. Для задачи (VI)+ имеем \Ти -\- сш}+ = 0; так как Ти = 0 и а — поло- положительно определенная матрица, то и+ = 0 и ух ? D+: и = 0. Это дока- доказывает теорему 1.6. Теорема 1.7 непосредственно вытекает из основной леммы. Докажем теперь теорему 1.8. Так как решение имеет вид A.12), по- постоянные векторы а и b должны быть выбраны так, чтобы выполнялись гра- граничные условия третьей задачи Ы+ = 0, {Т(ду, п)и\+ — п{(Т(ду, п)и)п\+ = 0. Второе из этих условий выполняется для произвольных а и b (см. п. 2). Следовательно, а и b должны быть подчинены условию VyeS:n(y)([axy\ + b) = 0. A.15) Пусть условие A.15) выполнено и векторы а и b одновременно не равны нулю; тогда а Ф 0, так как в противном случае из A.15) следует п (у) b = 0, что может иметь место лишь в том случае, если 5 есть плоскость или цилиндр, простирающийся в бесконечность. Исключая этот случай как не соответ- соответствующий рассматриваемому, представим вектор b в виде суммы b = с + d,
§ 1] ЗАДАЧИ СТАТИКИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ gg где с — параллелен, ad — перпендикулярен к вектору а. Тогда найдется вектор х° = (х°1У х%9 *§), такой, что d = —[а X х°]. Поэтому всякое решение однородной задачи (Ш)+ представится в виде х°)] + с9 A.16) где векторы а и с удовлетворяют условию )] + с) = 0. A.17) Введем ортогональную систему координат (|) с началом в точке х* и с направлением оси |2 вдоль вектора а; ?а и 13 выбираются в перпендикуляр- перпендикулярной плоскости произвольно. Тогда условие A.17) принимает вид е(у)п(у)=09 A.18) где е (у) = (\с\, — \a\(\Zi |ah2), Tjlf т]2, ц3 — координаты точки у в новой системе. Если Ф (тIэ т]2, т]3) = 0 есть уравнение поверхности 5 в системе (?), то из условия A.18) вытекает равенство \ю\ дФ дФ . дФ л .л 1Л. Если с Ф 0, то из A.19) получим Ф (%, Л2. %) = .где F — произвольная дифференцируемая функция. Но это могло иметь место в том случае, если бы 5 была бесконечным цилиндром. Отсюда следует с = 0, и тогда из A.19) получаем Ф(т)ь 42, Лз) = F(T|b тй + тй) = О; A.20> но это значит, что S есть поверхность вращения с осью вращения |1в Исклю- Исключая и этот случай, получаем а = Ь = 0 и первое утверждение теоремы до- доказано. Рассмотрим теперь тот случай, когда S есть поверхность вращения. В этом случае всякое решение однородной задачи (Ш)+ дается формулой и(х)=[ах (х — х0)), A.21) где х° — точка, лежащая на оси вращения. Легко проверить, что и (х)у заданный равенством A.21), действительно есть решение однородной за- задачи (Ш)+. Заметим еще, что если S — поверхность вращения, отличная от сферы и и (х) = [ах(х — х°) ], v (х) = [Ьх(х — х°) ] — два решения, то v = сои, где с0 — действительное число. Этим доказано второе утверждение теоремы. Отсюда следует и третье утверждение и, следовательно, теорема доказана. Наконец, теорема 1.9 непосредственно следует из предыдущих. Естественно поставить вопрос, насколько необходимы те ограничения, которые выше были приняты для получения теорем единственности. Не будем здесь обсуждать, можно ли отказаться от требования регулярности; сделаем лишь одно замечание относительно поведения на бесконечности, которое показывает, что принятые выше условия «близки» к необходимым. Выше
90 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [рл JJJ было доказано, что задача (I)" имеет единственное решение, удовлетворяющее условию A.8). Изменим эти условия «слегка», заменив их следующими: *, /=1,2,3, A.22) где несколько ослаблено первое и усилено второе из условий A.8). При этом теорема единственности нарушается. Пусть 5 есть сфера радиуса R, с цен- центром в начале. Легко убедиться, что вектор и = (ии и29 ив), где 1 9 о п ооч удовлетворяет условиям A.22), есть регулярное в D~ решение и обращается в нуль на S, не будучи тождественным нулем. 5. Уравнение А (дх) и — рт2» = 0. Почти без всяких изменений при- приведенные выше доказательства теорем единственности остаются в силе для уравнения ди — рх2и = Ъ, A.24) где т = а + /©, а > 0, р > 0 — плотность среды; это уравнение встречается в качестве важного вспомогательного средства в задачах динамики (см. гл. VIII). В отличие от уравнения статики, решение уравнения A.24), вообще говоря, есть комплексный вектор и это обстоятельство должно быть учтено при применении техники доказательства, используемого выше. Ограничимся рассмотрением задач (I) и (II), которые встречаются в задачах динамики. 1.11. Теорема. Задачи A)+ и (И)+ для уравнения A.24) допускают не более одного регулярного решения. Для доказательства, очевидно, достаточно показать, что соответству- соответствующие однородные задачи имеют лишь тривиальные решения. Пусть и — ре- решение однородной задачи и и — комплексно-сопряженный вектор. Тогда из A.1) будем иметь рт2 J \u\2dx+ J E(u, u)dx=0. ^Отделяя вещественную и мнимую части и учитывая вещественность Е(и, и) (см. A.6)), получим 9(о2 — (о2) j \u\2dx+ J Е(п, u)dx=0, 2ipaco I \u\2dx = 0; D+ D+ D+ отсюда для a > 0 и произвольного со ? ( —о°, °°) имеем и (х) = 0, л: ? D+. 1.12. Теорема. Задачи (I)" н (II)" <9ля уравнения A.24) допускают не более одного регулярного решения, удовлетворяющего условию A.8). Пусть ы# и w"—два различных решения. К разности и = и1 —и/' в области DR = D~ [\ Ш (О, /?) применим формулу A.1), полагая v = и; получим и)] dx=— J uTu dS. C(O,R)
Л 2] ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЯ 91 Перейдя к пределу при R —* оо, в силу A.8) получим , u)]dx = 0; отсюда, как и выше, следует ух ? D~: и = 0. 6. Неоднородная среда. Для гранично-контактных задач статики в не- неоднородных средах (см. I, § 14, п. 4) справедливы следующие теоремы: 1.13. Теорема. Первая и четвертая задачи для неоднородной среды в области D = Dx [} D2 допускают не более одного регулярного решения. 1.14. Теорема. Два регулярных решения второй задачи для неод- неоднородного тела в области D могут отличаться лишь вектором жесткого смещения. 1.15. Теорема. Задача (Ш)+, когда среда не есть тело вращения, в области D+ допускает не более одного регулярного решения', когда же среда есть тело вращения, отличное от шарового кольца, решение определяется с точностью до аддитивного вектора вида A.13). Если среда есть шаровое кольцо, то решение определено с точностью до аддитивного вектора вида A.14). Пусть теперь 53 (см. I, § 14, п. 4) расширяется до бесконечности; тогда D2=E3\Dt, и мы имеем задачи для бесконечной неоднородной области с ка- каверной. Для таких задач верна 1.16. Теорема. Задачи (I)", (II)", (III)", (IV)" допускают не более одного решения, удовлетворяющего условию A.8). Наконец, для главной контактной задачи (см. I, § 14, п. 4), т. е. когда бесконечная неоднородная среда состоит из внешней бесконечной области и внутренней области без каверны, справедлива та же теорема 1.16. Доказательство этих теорем основано на двукратном применении формул Грина A.1) соответственно в областях Dx и D2, с учетом гранично-контакт- гранично-контактных условий. Аналогично исследуются задачи со смешанными краевыми условиями. В этом случае теоремы единственности сохраняются без изменений, если хотя бы на одной из границ, внутренней или внешней, заданы смещения. Некоторые изменения потребуются в случае, когда на границе смещения не задаются. § 2. Задачи установившихся упругих колебаний 1. Общее представление регулярных в D+ решений. Пусть и и v — регулярные в D+ векторы и А (дх) и, А (дх) v — абсолютно интегрируемы в D+. Тогда из A.1) и A.5) непосредственно следует [vA(dx, со)и — иА(дх, «>)v\dx= J \vT(dy, n)u — uT(dy, n)v\*dyS. B.1) o s В области D+\UI (z, e), где z ? D+ и & — достаточно малое положительное число, применим тождество B.1), в котором примем v (х) = Г' (х — г, 0), где Г'' (jc — г, со) есть /-й столбец матрицы фундаментальных решений (см. II» § 1) уравнения колебаний А (дх, со) и = \1 Да + (К + [I) grad div и + рсо2а = 0. B.2)
92 теоремы единственности [Гл jjj Принимая во внимание равенства (см. Купрадзе и др. [1]) lim j Г7(х— 2, со) А (дх, co)udx = J Г7 (х — 2, со)Л(д*, &)udx9 lim J Tf (У — г, (д)Т(ду, n)u{y)dyS^^ 8-*° С B, 8) lim [ и(у)Т (дю n)Tf (y—z, со) dyS = 2W/ (z), S-*° C(l 8) получим 2&y (z) = — Г7 (х — 2, со) Л (дх, со) м (х) йдс + — и+ (у) Т (dQ, п) Г7 {у — 2, со)] dJS. B.3) Если, в частности, и — регулярное в D+ решение неоднородного уравнения А (дХ9 со) и + Ф = 0, где Ф б С E+)9 то из B.3) будем иметь J Р{х — -\и+ (у) [Т {дю п) Г7" {у — 2, со)] dySy B.4) или, в матричной записи, 2и(*)= J Г(х —2, ш)Ф(х)Л+ [Г(у — 2, со){Г(^, n)^(r/)}+dvS — - J {T (ду9 п) T(y — z, со) Г а+ (у) dyS\ B.5) и, наконец, если Ф (х) = 0, то 2w(z) = j Г (у — z, со) {Т (д„п) u(y)}+d,S — -\\Т{ду% n)T(y—z, со)}'и+ (y)dgS. B.6) S Таким образом, доказана 2.1. Теорема. Регулярное в D+ решение неоднородного уравнения колебаний представляется выражением B.5) и решение однородного урав- уравнения — выражением B.6). 2.2. Замечание. Очевидно, если г ? D", в левой части равенства B.6) будем иметь нуль и, следовательно, справедливо равенство 8(z)u(z)= \г(у — 2, <о)\Т(ду, n)u(y)\+dyS — - \ \Т(ду, п) Г (у —г, со)Г и+ (у) d?% 2 D+ U О", B.7) где ( 2, 2 6 D+9
§ 2] ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ 93 2.3. Замечание. Если в равенстве ( 2.7) перейдем к пределу при (о —¦ 0, то получим формулу общих представлений для регулярных в Ь+ решений уравнения статики: 8 (г) и (z) = J Г(y—z) \Т(ду, п)и (у)\+ dvS — (дуу n)r(y — z)Yu+(y)d,S% zeD+[)D~. B.9) — \\Т 2.4. Теорема. Регулярное решение однородного уравнения B.2) имеет непрерывные частные производные любого порядка в произвольной точке, не принадлежащей S. Доказательство в том случае, когда z ? D+ следует из B.6), а в случае z 6 D' из той же формулы, написанной для области D~ [\ Ш (О, R), где R > О достаточно большое, так, чтобы S с Ш (О, R) и г 6 Ш (О, #). 2. Разложение регулярных решений. Имеет место следующая 2.5. Теорема. Регулярное решение и = (ии и2, и3) однородного урав- уравнения колебаний B.2) представляется в виде суммы u = u(t» + uisK B.10) где и{р) и w(s) — регулярные векторы, удовлетворяющие условиям (A + ^)w^)==0, rota<p> = 0, B.11) (А + k§) u^ = 0, div a<s> = 0, B,12) причем Доказательство. Пусть и — дважды дифференцируемая функ- функция в некоторой области D а Е3 и 1 B.13) Тогда w<p> + m(s) = и. Пусть и есть регулярное решение уравнения колеба- колебаний B.2). Теорема будет доказана, если покажем, что = 0, B.14) =0, B.15) (A-t-??)diva=0. B.16) Согласно теореме 2.4 к уравнению B.2) можно применить операцию div; тогда, учитывая тождество div grad = А, получим (А + k\) div и = 0. Аналогично, операция rot с учетом тождества rot grad = 0, приводит к урав- уравнению (А + Щ rot и = 0. Наконец, применив к обеим частям уравнения B.2) оператор (А + k\) и учитывая B.16), которое уже доказано, получим B.14). Итак, регулярное в D решение уравнения колебаний B.2) представляется в виде суммы без- безвихревого (потенциального) и соленоидального векторов, которые в D удо- удовлетворяют уравнению Гельмгольца (Д + ?2)о=0, B.17) для k = kt и k = k2 соответственно.
94 теоремы единственности [рл# л] 3. Условие излучения в теории упругости. Введем 2.6. Определение. Регулярное в D" решение и = (ut, и2, и3) однородного уравнения колебаний B.2) удовлетворяет условию излучения, если для и(р) и a<s>, заданных равенствами B.13), выполняются условия Нти<*>(*)=0, B.18) Hm R \^-^--ik^P) (x)] = 0, B.19) lima*5* (x) = 0, B.20) Шл R [ ди1Ц(х) — iW* (*)] = 0, B.21) где R — длина радиус-вектора точки х = (хг, х2, х3); производная по R есть частная производная по сферической координате R точки х, или, что то же самое, производная по направлению радиус-вектора, и стремление к пределу равномерное относительно х, 2.7. Теорема. Если регулярное решение и уравнения колебаний B.2) удовлетворяет условию излучения, то dxk ~—dR dxk duis) (x) _ du{s)(x) dR dxk ~ dR -dx^+U(R ^ k-l>2>6- B-26) Доказательство. Вектор, w(p> (x), определенный формулой B.13), есть решение уравнения Гельмгольца B.17) при k = kx и удовлетво- удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда B.18), B.19) (см. Sommerfeld [11 и Купрадзе [7]). Поэтому, вне сферы С (О, р), содержащей внутри поверх- поверхность 5, uip) можно представить формулой Грина 1 Г / eikllx~y* duSp) (a) & Jk^x—y] \ u(pUx)=-r- \ [-. ; r-^ u^p) (if)-^ 1 г- ]d,S. B.24) v ; 4л J V | x — у | dp w dp | x — у | / « v ; C(O, p) Действительно, опишем вокруг точки х сферу радиусом г, настолько большим, чтобы С (О, р) а Ш (х, г) и в области Ш(х, г)\Ш (О, р) представим и^р) с помощью формулы Грина 1 Г / eikt^x~y} duSp) (у) d eik^x~y* \ ^'"я J 1 \х — у\ dp U '^ dp \x — yl) u ' C(O,p) С (х, г) Интеграл по С (х, г) перепишем в виде 431 J \ Г \~д? l 1UP ) + UP (У) Г2 } ( С(х,г) Этот интеграл при г —> оо стремится к нулю ,на основании условия излучения B.18), B.19), и окончательно имеем B.24). Дифференцируя B.24), получаем duSp) (х) _ 1 Г dvjr.y) dr С(О,р)
§ 2] задачи установившихся упругих колебаний 95 где мы обозначили г = | х — у | и v (г, у) = — —^ —и<р>(у)———. Но — — dv _l V* д° ( дг д^ \ так как точка # находится на С (О, р), где р — конечно. Следовательно, B.25) можно переписать в виде С<О,р) если учесть очевидные равенства -^~- = О G?"), -д~ = О (^R"), и B.22) доказано. Совершенно аналогично доказывается B.23). С помощью равенств из B.24) получаем = О (R-1), B.26) ), B.27) и, аналогично, (jc) = О (i?), B.28) — f^s> (х) = О (/?-•). B.29) Сформулируем полученный результат. 2.8. Теорема. Для регулярного в D~ решения однородного урав- уравнения колебаний B.2), удовлетворяющего условию излучения B.18)—B.21), имеют место асимптотические равенства B.26)—B.29). 2.9. Теорема. Если и = uip) + u(s) — регулярное в D~ решение урав- уравнения B.2), удовлетворяющее условию излучения B.26)—B.29), то Т (дх, п (х)) иУ» (х) — ikx (к + 2(г) им (х) = О (R~2)9 B.30) Т(дх, п(х))и^ (х) — ik2ixu^s) (x) = O(R~2). B.31) Доказательство. Пусть х лежит на сфере С (О, R) и Ro — орт радиус-вектора х. Учитывая условия rot и^р) = 0 и div u{s) = 0 и используя соотноше- соотношения B.22), B.23), B.26)—B.29), получим B.32) ), B.33) ikx (RQuW) = О (R~\ B.34) rota<s> — ik2[R0xuW] = O(R-2). B.35)
96 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [Гл. III Действительно, из того, что div u{s) = О и из оценки B.23) имеем k Аналогично, из условия rot u{p) = 0 и оценки B.22) следует B.37) Умножим скалярно вектор Ro на (—^ ik2uisn и используем оценки B.36), B.29); тогда получим B.32). Умножим векторно Ro на (-^ ikiuSpA и используем B.37) и B.27); тогда получим B.33). /ди{р) \ Наконец, скалярное умножение векторов Ro и 1-^ ikxuSp)u в силу, B.22), дает B.34) = div "(Р) —ikl Векторное умножение Ro на (-^ ^2w(s)j, в силу B.23), дает B.35) — (к2№0 X */<*>] = Согласно формуле (I, 13.1), в силу B.11) и B.12), имеем Ти^ (х) = 2fx i^- + №o div u<p\ B.38) (x) = 2fx-^ + (х [/?о X rot и<*>|. B.39) Учитывая B.34) и B.27), получим TuW (х) = 1]xikxuS^ Используя формулу Ro (RouM) = и,™ + [Ro X [Ro X иЩ\9 вытекающую из векторного тождества \а х [Ь х с]] = ft (ас) — с (аЬ), B АО) и принимая во внимание B.33), будем иметь ТиМ (х) — ikx (К + 2ц) ^(/?) (х) = О (R~2). Таким же путем из B.39), учитывая B.29) и B.35), получим Ти^ (х) = 2ixik2u^ (х) + A [^о х [Ro x ^(s) |] tfea + 0 (iT2). Применяя B.40) и учитывая B.32), получим 7VS> (х) — *7e2fxw<s> (jc) = О (R~2), и теорема доказана.
* 2] ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ 97 2.10. Теорема. Для потенциальной и соленоидальной составляю- составляющих регулярного решения уравнения колебаний B.2), удовлетворяющего условию излучения, имеют место оценки = О (R~3). B.41) Доказательство. Из B.32), B.33) и B.26), B.28) следует х [Ro X и<">]] + и<*>(#0и(8)) = O(R~3). Применяя здесь формулу двойного векторного произведения B.40), получим (<><>) = О (R~3). Аналогично, из оценки X [Ro X и^рЦ] -f- a(p) (Rou(s)) = 0 (R~3) следует (u(p)u(s)) = 0 (R~3), и теорема доказана. Заметим теперь, что условия, аналогичные B.26)—B.31), имеют место для каждого столбца матриц Г<"> (х — у, со) и Г(8> (х — у, со), где Т(р) и Г<5> обозначают потенциальную и соленоидальную части матрицы фундамен- фундаментальных решений Г (л: — у, со) соответственно. Действительно, из равенств B.13) могут быть получены соотношения У* ) • 2зт рсо2 || dxk dx,- \х — у | |зхз' B.42) ГE'(х — у, о>) = -^-1 и отсюда прямым вычислением — оценки Г1р)(х-у, ^^^-^^Цх^-Цзхз^^ + О^-2), B.43) |^pi + 0(^), B.44) — y, ю) = О(?-•), B.45) ; —г/, со) —tfe2(j-r(s'(x —г/, со) = О(^-2), B.46) [7?в X Г(р) (х — у, со)] = О (/Г2), B.47) (/?0Г(8) (х — у, со)) = О (Я~2). B.48) Из B.32) и B.33). на основании B.43) и B.44) получаем 3), B.49) 3). B.50) Отметим, что в формулах B.47)—B.50) под произведением (скалярным или векторным) вектора на матрицу понимается соответствующее произведение на вектор-столбец матрицы. 4. Представление решения уравнения колебаний в области D~. Оценки, полученные в предыдущем пункте, позволяют найти представление регуляр- регулярных в ?)~ решений, удовлетворяющих условию излучения B.26)—B.29). 7 В. Д. Купрадзе
gg теоремы единственности [рл jjj Пусть и = (и1э м2, и3) — такое решение. Применив формулу B.6), в области Ш (О, R) П D' будем иметь (z — y,(o)\T(dy,n)u(y)\-dyS + + J \Т (ду, п) Г (у —2, <u)\'u-{y)dyS+ J Г (г —у, со) Т (ды% п)и(у) S C(O,R) - J {T{dyjn)T{y — z^)Yu{y)dyS. B.51) C(O,R) Представим и (у) и Г (х — у, со) в виде и (у) = и{р) (у) + a(s)(f/), Г (г — у, со) = Г(р) (г —у, со) + r(s)(z — t/, со) и внесем в B.51). Интеграл по С (О, R) перепишем в следующем виде: J {Г(г — у, со)Га — [Т(ду,п)Г(у — z,<u)Yu\djS = С (О, R) = [ {Г(р) (г-у, оо) [Г«(р) — ikx (Я + 2ц) ы(р)] + С (О, Л) + r(s)B-t/, e) [Tuis) —ik&u™] - — и{р) [TTlp)(y—г, со) — ^1(Х, + 2ц)Г(р)B — у, ©)] — _«(s)[rr<s)(y—г, (о) — ik2nTis)(y—z, ю)] +Г<Р) [Tu{s) —ik2lnu(s)] + -uis)[TT(p)(y — г, со) — ^(Я + 2|*)Г<Р)@—z, о)]+ + 1-[^(Я + 2ц) — &#] [ы(р)Г(8)(г—у, ©) — M(s)r(p)(z — t/, Принимая во внимание оценки B.30), B.31), B.43)—B.46), ( 2.49), B.50) и переходя к пределу в B.51) при R —» оо, найдем, что интеграл по С (О, R) обращается в нуль. Поэтому Ъх (z) = - j Г(г — у, со) [Ти (у)Г d? + )' [Г (^, n)Y(y — z, со)]' м" (у) d,S. B.52) Этому представлению можно придать вид (см. замечание 2.2) б (z) и B) = - j Г (г — у, со) [Ти (у)Г djS + + j [T (d^, и) Г (у — г, со)]' «Г (у) d,JS, B.53) S который объемлет случай г 6 ?>+ U О". 2.11. Следствие. Регулярное во всем пространстве Е3 решение однородного уравнения колебаний, удовлетворяющее условию излучения, есть тождественный нуль. В указанных условиях в формуле B.6) за S можно принять сферу С (х9 R). Переходя к пределу при R —> оо и принимая во внимание условия на бесконечности, получаем и = 0. 2.12. Следствие. Регулярное в D+ U D" решение однородного уравнения колебаний, удовлетворяющее условию излучения и контактному условию вдоль S и+ = *Г, \Т (д„ п) и (х/)}+ = {Г (ду, п) и (уч- (учесть тождественный нуль.
я 2] ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ 99 Доказательство следует из формулы B.6), написанной для точки z ? D+, и формулы B.53), написанной для точки z ? D+. Составив разность и учи- учитывая направление нормалей, в силу контактных условий получим и (z) = О, z€D+. Рассуждение незначительно изменяется в том случае, когда г ? D~\ вывод остается в силе и в этом случае. Сделаем еще одно замечание, имеющее значение для физического ис- истолкования полученных оценок. Пусть точка х лежит на сфере С (О, R). Согласно B.26) и^р\х) убывает на бесконечности как О (i?), а ее касатель- касательная составляющая, равная [Ro X и^р) (#)], согласно B.33) убывает при этом как О (#~2). Для соленоидального вектора a(s> (х), который согласно B.28) убывает как О (i?), наоборот, нормальная составляющая, в соответствии с B.32), убывает как О (R~2). Это показывает, что на далеких расстояниях и^р) (х) направлен перпендикулярно к фронту распространения волны, a u^s) (x) лежит в касательной к фронту плоскости, т. е. первый выражает продольные колебания, а второй — поперечные. Аналогично можно истолковать все другие оценки; например, соотношения B.41) показывают, что и^ и u{s) асимптотически почти перпендикулярны и т. д. 5. Теоремы единственности для внешних задач. Докажем теорему. 2.13. Теорема. Регулярное в D~ решение однородного уравнения ко- колебаний А (дх, со) и = 0, удовлетворяющее условию излучения и на границе S одному из однородных условий: 1) \и\- = 0, 2) \Ти\- = 0, 3) \ип\- = 0, \Ти — п(пТи)\- = 0, 4) \и — л(/ш)}- = 0, \пТи\~=:0, 5) {и}- = 0 на Sl9 {Tu\~ = 0 на S2, |ия}- = 0, \Ти — п(пТи)}~ = 0 на S3, \u — n(nu)\- = 09 (пТи)" = О на 54, где 5 = 5Х U 52 U S3 U S4, 6) \Ти + ои}- = 0, где а = аг + ш2, а2 < 0, есть тождественный нуль. Доказательство. Применим формулу B.1) к решению и и ком- комплексно-сопряженному вектору и в области Ш (О, R) fl D~. Объемные инте- интегралы обратятся в нуль и в задачах I, И, III, IV, V исчезнут также интегралы на S вследствие граничных условий, а в задаче VI будем иметь \иТи—ПТиУA^ = 21 \o2(y)\u(y)\2dyS. B.54) Преобразуем интеграл по С (О, R) следующим образом: [ {uTu — uTu)dyS=* I {u{p)[Tu(p) + ik1(X-\-2ii)l{p)] + €@,R) C(O,R) + u{p) [ТЪ{8) + ik2liZ{s)] + u{s) [Tu{p) + ikx (X + 2ц) и{р)] + uis) Tu{s) — ik2iiuis)] — Z{s) [TuiP) — ikx (X + 2p) uip)] - Z{s)[Tu{s)—ik2liu{s)]} dljS — 2ikl(k + 2VL) f [u^ C(O R) -2ik2li J U(s) |2d^ — 2i [k2ix + k±(X + 2|i)] J Re (u{p)~uis}) dyS. C{O,R) C(O,R) C(O, R) J C(O,R) 7*
100 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [Рл Ц{ Перейдя к пределу при R —> оо и используя формулы B.30), B.31), B.41), вместе с условием излучения, получим в задачах I, II, III, IV, V 2ikx (к + 2\л) lim J | и<"> |2 dyS + 2ik2[i lim f | u^ \2dyS = 0, *•*« C(O,R) #-»oo C(OtR) а в задаче VI ( \u(p)fdyS+2ik2ii lim [ |a<s>|2^ — О, R) Я-»со С (О, R) С ( и, следовательно, во всех случаях имеем lim J \u(p)\2dS = 0, lim J |a(s)|2rfS = 0. B.55) #-»°° С (O R) i?->0° @(OR) J J С (O, R) i?->0° @(O,R) Доказательство теоремы заканчивается с помощью леммы, которую мы назовем основной и здесь докажем. 2.14. Основная лемма. Регулярное в D~~ решение уравнения Аи + k2u = 0, k2 > 0, удовлетворяющее условию излучения и условию lim J -*00 с (о, lim J \u(x)\2dj(S = Q, B.56) есть тождественный нуль. Пусть г, Ф, ф — сферические координаты точки х с началом в D+. Из ре- регулярности и условия излучения для и (г, #, ф) следует, что ее ряд Фурье по полной системе сферических функций должен иметь вид оо п и (г, #, ф) = 2 2 ТТ Я"+1/2 (kr) **" (C0S *) ^")cos тф + 6^"'sln тф)' B>57) где #i_(&r) —функция Ганкеля первого рода с индексом га + — (см. Ватсон [1 ] и Гобсон [11). В самом деле, записав ряд Фурье в обычной форме оо п и (г, #, ф) = ? S Pn (cos #) (а^ (г) cos тф + р?} (г) sin тф) B.57') а=0 т=0 и допустив, что условиям:, которым удовлетворяет сумма ряда, удовлетво- удовлетворяют все слагаемые в отдельности, приходим к ряду B.57). Это можно также показать вполне строго, и это будет сделано ниже; теперь же продолжим доказательство леммы. Из полноты и свойств ортогональности сферических функций вытекает, согласно теореме Парсеваля, 2л Л со п | ги (г, *, ф) f sin ft d$ йф = J) ^ Я а« )УГ' H*Un (kr) Г + /2=0 m=0 B,58) а из условия B.56) следует S S {\a n=0 m=Q
с 2] ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ JQ1 и для каждого фиксированного п lim a™ V~r H%/2 (kr) = 0, lim b%] V? H%/2{kr) = О, B.59) r->co r-»oo С другой стороны, из асимптотической формулы Hr— B-60) ясно, что B.59) может иметь место лишь при пт} = 6^} = 0, и основная лемма доказана. Можно показать (см. Векуа И. [11 и Rellich [1]), что лемма остается в силе и в следующей формулировке: регулярное в D~ решение уравнения Аи + k2u = 0, k2 > 0, удовлетворяющее условию B.56), есть тождествен- тождественный нуль. Основная лемма и указанное выше ее доказательство встречаются впервые в краткой заметке В. Д. Купрадзе [1 ]; в этой заметке нет доказа- доказательства того, что B.57) действительно есть ряд Фурье для и (х), это было показано позже рядом авторов (см. Freudenthal [1 ], Векуа И. [1 ], Купрадзе [4], Смирнов [2]). Приведем одно из доказательств. В области D" П Ш_ (О, R), при достаточно большом R, применим фор- формулу Грина к решению и (г, #, ср) и регулярным в D~ решениям v™ (г, #, ф) = -U НЩШ (kr) Р™ (cos О) cos тФ, V г (г, ф, Ф) = -±r H(nlll/2 (kr) P™ (cos #) sin mq>. B.61) V г Будем иметь о= Пой» 4* С {О, R) — и (R, #, ф) ^щ- dS. B.62) Из B,60) легко находим, что для больших R Поэтому в силу условия излучения при /? —> оо из B.62) получаем j так как при этом сумма и первое слагаемое в B.62) не изменяются, имеем 1 С (O*R)
102 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [Рл Внеся сюда значения Vm] из B.61), получаем B.63) где 2л л О О (я __ f 2, m = О\ коэффициент Фурье ряда B.57'). чеви Но из B.63) очевидно, что a?° (R) = a^0 "+^2_ , и, аналогично, и идентичность рядов B.57) и B.57') доказана. Из обращения и (х) в нуль в окрестности ) х\ = оо,*по свойству аналитич- аналитичности, с помощью аналитического продолжения нахоДим и (х) = 0, ух g D~. Теперь доказательство теоремы 2.13 получается из оценок B.55), кото- которые согласно основной лемме дают 6. Теоремы единственности для неоднородных сред. Пусть неоднородная среда составлена из двух тел, граничащих вдоль замкнутой поверхности S2 (см. I, § 14, п. 4), причем внешняя среда простирается в бесконечность, а вну- внутренняя (заключенная внутри конечной области, ограниченной поверх- поверхностью S2) содержит каверну с границей St. Назовем так составленное тело D = Dx U D2. 2.15. Теорема. Решения однородных гранично-контактных задач для области D, с граничным условием на Su совпадающим с одним из указан- указанных выше шести однородных условий, удовлетворяющие условию излученияг есть тождественный нуль. Рассмотрим, для примера, первую задачу. В области между 5Х и 52, с одной стороны, и в области Ш (О, R) fl D2, при R — достаточно большом, с другой, применим формулу B.1) к векторам и и и. Составляя сумму, принимая во внимание направления нормалей и одно- однородные контактные условия на 52, вместе с условием на Sl9 после перехода к пределу при R —* сю, так же, как в п. 5, найдем и (х) = 0, х 6 D2. Отсюда в силу условий на S2 находим u+(z) = 0, [Til)(dZin(z))u(z)]+ = 01 z?S2. Представив и (х) в области между 5Х и 52, т. е. в области Dly формулой Сомилиана B.6), будем иметь u(x) = j \ril)(x — y,<»)T{l)u(y)dyS, xeDv B.64) Рассматривая интеграл B.64) как решение первой однородной внешней задачи в области вне Sb на основании теоремы 2.13 можем записать: s. следовательно, согласно B.64) имеем w (х) = 0, л* 6 Dl9 и теорема доказана. Для других задач доказательство аналогичное.
К 3] ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕРМОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ JQ3 § 3. Задачи установившихся термоупругих колебаний 1. Разложение регулярного решения уравнения термоупругости. Пусть U — (и, м4), где и = (их> иг, и3) — вектор упругого смещения, а «4 — тем- температура,— есть регулярное решение однородного уравнения установив- установившихся термоупругих колебаний. Это уравнение, как мы видели в I, § 12, п. 3, имеет следующий вид: А (дх) и—у grad а4 + рсо2 и = О, Да4 + — и4 -)- /сот) div и = 0. 3.1. Теорема. Регулярное решение уравнения C.1) допускает в об- области регулярности представление U = (ц, и4) = (и{1) + ^B), ^4)» C.2) г5^ w = wA) + wB) w (Д + Х\) (А + Л|) и{1) = 0, rot а(|) = 0, C.3) а постоянные А|, Я|, Я| определяются из равенств 2л 2 Ш рСО2 рСО2 f Так же как в § 2, п. 1 можно показать, что регулярное решение урав- уравнения C.1) в области регулярности бесконечно дифференцируемо. Из C.1) имеем и _ + И gra(j jjy w _j—У_^ gra(j M pco2 to pco2 pco2 to pco2 pea2 Пусть ) = - ¦—Iй- grad div u. + -^r grad u4, C.7) I тогда rotwA) = 0, divaB) = 0. C.9) Из C.8), учитывая значение AJ, получаем (Д + Xl) u{2) = 0. C.10) Из формулы C.9) имеем (X + 2[л) ДиA) + рсоУ ° — у grad ы4 = 0, C.11) (Я + 2^i) Д div u(l) + pco2 div аA) — v Аа4 = 0. C.12) Если значение —-^Авд—^-и. C.13)
104 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ грл из уравнения (ЗЛ) внесем в C.12), то получим >|)а4 = 0. C.14) Из C.13) и C.14) будем иметь (Д + Я?)(Д + Л1)<ИуиA)=0. C.15) С другой стороны, выполнив операцию (А + Я?) (Д + Ц) над h<*>, определенной формулой C.7), и учитывая C.15) и C.14), получим оконча- окончательно (Д + А,?) (Д + Я22) и{1) = 0. C.16) Формулы C.9), C.10), C.14), C.16) доказывают теорему. 3.2. Теорема. Регулярное решение уравнения C.1) допускает в об- области регулярности представление вида C.17) где Vil) = (i>A\ vj, V{2) = (v™, vd, УC) = (t;<3\ 0), C.18) 0, C.19) rot v{l) = 0, rot v{2) = 0, div v{3) = 0. C.20) Доказательство. Пусть В силу C.16) отсюда следует (Д + Л2)уA)=0, (Д + Я|)оB>=0 C.22) и, кроме того, причем и4 есть решение скалярного уравнения того же вида, которому удовлетворяет вектор ыA); поэтому, по аналогии, и4 = О} + ^4, C.23) где к2 — кх л,,— л2 ^324) (Д + Я2) о4 = 0, (Д + А|) v4 = 0. Теперь ясно, что если примем v{3) = wB), все утверждения теоремы будут соблюдены в силу C.22), C.23), C.21), C.24), C.9). Этот результат можно получить непосредственно из общего представле- представления регулярного решения уравнения термоупругих установившихся колеба- колебаний (см. X, § 2, п. 2), так как матрица фундаментальных решений системы C.1) (см. II, § 3) сама удовлетворяет условию теоремы 3.2. • 2. Формулы Грина. Пусть U = (и, и4) — регулярный четырехмерный вектор, решение уравнения C,1) и U=(u, u&) — комплексно-сопряженный вектор.
§ 3] ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕРМОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ДО5 Очевидно, что А (дх) и — 7 6га(* ^4 4- Р«2и = 0, ] Дп4—^ы4_шЛ(Цуп = 0 J <3'25) Имеем 3 и grad = 2"^" &&*> ~ и* div "• Пользуясь тождеством (см. A.1)) [иА(дх)и + Е(и, u)]dx = \u+\Tu\+dS = \u+\Tu\+ S и применяя теорему Гаусса—Остроградского, получим j [и (А (дх) и — у grad u4) -+- Е (и, и) — уи4 div и] dx = = \и+\Ти — упиЛ+ dS. C.26) Внесем значение Ди4 из C.25) в тождество I (и4 Да4 + grad и4 grad a4) dx = \ щ -~- dS; тогда будем иметь — у ^u4dlvudx = ^j- ^u^dx+ ^ J grad щ grad щ dx — Сравнивая C.26) и C.27), получаем , C.28) где PU = Ти — yntit (см. I, § 13, п. 3). Перейдя к комплексно-сопряженному выражению в C.28), составив разность и приняв во внимание, что Е (и, и) = Е (и, и), будем иметь f I grad а412 dx = f [uPU + -X-u^ — uPU + -Д-а4 ^) dS. C.29) 3 icot] 3. Условие термоупругого излучения. Теоремы единственности во внеш- внешних задачах термоупругих колебаний могут быть доказаны при наложении на решения некоторых условий на бесконечности, аналогичных (но не иден- идентичных) условиям, которые были в § 2, п. 3 введены для решения уравнения упругих колебаний. Величины А|, Ц — решения уравнения C.6) при у Ф 0, являются (см. гл. X, § 3, п. 2), комплексными числами. Выберем значения Хг и &а таким
106 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ грл (JJ образом, чтобы обеспечить положительность их мнимой части, т. е. будем считать I1 = *i + $i, Я2 = а2 + Ф2, Pi>0, P2>0. C.30) 3.3. Определение. Регулярное в D~ решение однородного уравне- уравнения термоупругих колебаний C.1) удовлетворяет условию излучения, если для иA>, иB>, и4> заданных равенствами C.7), C.8), выполняются условия = 0(R-'), k= 1,2,3, где R — длина радиус-вектора точки х, производная по R — производная по направлению радиус-вектора и стремление к пределу — равномерное относительно направления R. Согласно теореме 2.9 условие для иB) можно переписать в следующем виде (см. § 2, п. 3): Ти{2) — ш 1/"р|шB) = о (R~l). C.32) Заметим, что из явных выражений матрицы фундаментальных решений уравнения термоупругости (см. гл. II), на основании теоремы 3.2 без труда усматривается, что условия C.31) (и даже более сильные) удовлетворяются каждым вектор-столбцом указанной матрицы. В главе X (§ 2, п. 2) будут построены формулы общих представлений регулярных решений в области D+ и D~ уравнения термоупругости; в случае бесконечной области D~ существенную роль будут играть условия термоупру- термоупругого излучения, подобно тому как это имело место при получении общих представлений регулярных решений уравнения упругих колебаний (см. § 2). 4. Теоремы единственности для внешних задач. 3.4. Теорема. Регулярное в D~ решение однородного уравнения тер- термоупругих колебаний C.1), удовлетворяющее условию термоупругого излуче- излучения и одному из следующих граничных условий на S: = 0, 2) 3) \и\~ = 0, [^-} = 0, 4) есть тождественный нуль. Доказательство. В области Ш (О, R) П D~ для достаточно боль- большого R применим тождество C.29); учитывая условие на бесконечности C.31), C.32), можем писать i 111 (О, . + J С (О, R)
§ 3] ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕРМОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ \QJ Приняв во внимание граничные условия, указанные в теореме, будем иметь для всех задач J C(O,R) C(O,R) Так как ТаB) + ш V^ppt w<2> = о (i?"), после перехода к пределу при R —» со, получим R^C(OtR) откуда lim J \um?dyS + -l- J|grada4|2d* = 0, f |wB)|2d^S = 0, \\gradutfdx = O. C.33) Первое из равенств C.33), вместе с уравнением (А + Ц) мB) = О, согласно основной лемме 2.14 дает иB) = 0. Второе из равенств C.33) пока- показывает, что щ = const. Но из поведения на бесконечности эта постоянная равна нулю, и, следовательно, и4 = 0» x?D~. Наконец, из C.7), C.13) следует и^ = Оив результате U = (иA) + аB>, и4) = 0. Теорема доказана. 3.5. Замечание. Мы рассмотрели теоремы единственности для внеш- внешних задач установившихся термоупругих (и упругих) колебаний. Для внутренних задач колебаний, вообще говоря, теоремы единственности не имеют места и нарушаются за счет появления частот собственных коле- колебаний. Этого вопроса мы коснемся в главах VII, IX, X. 5. Теоремы единственности в задачах термоупругих псевдоколебаний. Применяемая выше техника доказательства теорем единственности в об- области D~ остается в силе не только в D", но и в D+, если вместо уравнения установившихся колебаний рассматривается следующее уравнение: А (дх) и — у grad а4 — рт2а = 0, C.34) где т = а + ш, а > 0. Это уравнение играет важную вспомогательную роль при изучении динамических задач термоупругости. Поэтому остано- остановимся на нужных в главе X теоремах единственности. 3.6. Теорема. Первая, вторая, третья и четвертая граничные за- задачи для однородного уравнения C.34) допускают в области D+ не более одного регулярного решения. Пусть U = (и, иА) — решение одной из названных однородных задач и U = (и, м4) комплексно-сопряженный вектор. Тогда, аналогично формуле C.28), устанавливается тождество ±»'i?}dS- <3-35>
108 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ^ря JJJ Благодаря однородности граничных условий интегралы по 5 во всех случаях равны нулю. Отделяя вещественную и мнимую части в C.35) и поль- пользуясь свойством Е (и, и) A.6), получим J |р (а2_со2) | и Р + Е {и, и) + JL | а4|2 + i -JL- | grad а4 |2} dx =. 0, C.36) J {2расо | и |2 + -2- -pJL-1 grad u412} d* = 0. C.37) D+ Если о) = 0, то из C.36) получаем U = (и, a4) = 0 в D+\ если же со =f= 0, то из C.37) и = 0, а а4 = const, и из C.34) U = (а, а4) = 0 в D+. Это же дока- доказательство остается в силе для задач в области D~, если решения удовлетво- удовлетворяют асимптотическим условиям 1,2, k= 1,2,3, 1,2,3. C.38) Можно легко убедиться, что фундаментальные решения уравнения C.34) удовлетворяют на бесконечности более сильным, чем C.38), условиям (см. гл. X, § 2, п. 2). Можно получить ряд интересных теорем единственности о термоупругих установившихся колебаниях неоднородных сред того же характера, как в случае упругих колебаний (см. § 2, п. 6). Доказательство предоставляем читателю. § 4. Задачи статики в моментной теории 1. Формулы Грина. Пусть % = (и, со) и %' = (и\ со') — шестикомпо- нентные векторы и и = (и19 и2, и3), со = (со1у со2, со3), и' = (и\у щ, а^)> со' =t (cox, cog, cog) определены в замкнутой области Z)+. Предположим, что граница S области D_+ принадлежит классу Л1 (а), а ^ 0, %? С2 (D+) f| П С1 (D+), ^' G C1(D+) и М (дх) % абсолютно интегрируемо в области D+.M(dx) — оператор, определенный из (I, 12.7) и (I, 12.8). В принятых допущениях, аналогично теореме 1.1, доказывается тож- тождество Грина x= j \<U'T<U\+dS9 DЛ) где Т — оператор моментного напряжения (I, 13.8), +
§41 ЗАДАЧИ СТАТИКИ В МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ 109 3s Zj дх( dxj ' " Zl I dxf dcok ^ д(д,- Zj dxf Справедливость этого тождества есть следствие теоремы Гаусса—Остро- Гаусса—Остроградского и легко проверяемого тождества <U'M (дх) <U + E (<U\ %L) = div R% где Rf = + ), a xt/ и \xif определяются из (I, 11.13) и (I, 11.13') соответственно. Заметим, что в формуле D.1) % и %' можно считать как действительными, так и комплексными векторами. Если, например, %' = %у то D.2) примет вид Zj dxk ' i, i dxf Z dxk О/ 2_~ VI ч з и Zj dcok dxk D.3) Если % — действительный вектор, то Е (%у %) совпадает с удельной энергией деформации (см. (I, 7.19)), при условии, что ui} и со0 определены из (I, 7.5) в (I, 7.19). Мы будем пользоваться формулой D.1) в том частном случае, когда % является регулярным в области D+ решением уравнения М (дх) % = 0; (в этом случае, очевидно, М% абсолютно интегрируемо в D+), %' = % и S 6 Лг (а). В этих предположениях D.1) принимает вид IS. D.4) D+ Формулы D.1) и D.4) будем называть формулами Грина. Построим формулу Грина для области D". Предположим, что S ? ? Лг (а), а ^> 0, % есть регулярное решение уравнения М% = 0в области D~ и %' = %. Пусть, кроме того, в окрестности | х \ = оо соблюдаются условия щ(х) = О(\х\-1)9 е>, = о(\хП9 /=1,2,3, _ Л л у 1-14 W — Тогда J = - \%- \TU\~dS. D.5) D.6) Для доказательства применим формулу Грина D.1) в области D^ = D~(] П Я/ {О, R), где Л — достаточно большое положительное число. Условия
НО ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [Рл JJ] применимости этой формулы в DR выполнены (М% — абсолютно интегри- интегрируемо в DR для любого R). Имеем j E(U, U)dx = - J Vr \TUYdS — J 4T%dS: D.7) DR S С (О* R) В силу D.5) интеграл, распространенный по С (О, R), стремится к нулю, когда R —> оо. Пределы правой и, следовательно, левой части существуют и равны друг другу. Теорема доказана. 2. Решение вспомогательного уравнения. Найдем все действительные решения уравнения Е (%% %) = 0 класса С2 (Е3). В силу D.3) рассматривае- рассматриваемое уравнение эквивалентно следующей системе уравнений: и* — п дщ л- dui 2 к V dUk — п dXj ' dxi 3 отсюда Общее решение этой системы в указанном классе и, следовательно общее решение уравнения Е (^, %) = 0, дается формулой М = (и,<о), и = [ахх] + Ь, со = а, D.8) где а и b — произвольные действительные постоянные трехкомпонентные векторы. 3. Теоремы единственности в задачах статики. Докажем следующие теоремы: 4.1. Теорема. Задачи A)+ и (Ш)+ имеют не более одного решения. 4.2. Теорема. Любые два решения задачи (П)+ могут отличаться аддитивным вектором жесткого смещения (жесткий поворот и жесткое поступательное перемещение), т. е. выражением вида D.8). 4.3. Теорема. Любые два решения задачи (IV)+ могут отличаться жестким поступательным перемещением, т. е. выражением вида % = (и, со), где и = b и со = 0, b — произвольный постоянный вектор. 4.4. Теорема. Задачи A)~, (П)~, (Ш)~, (IV)" допускают не более одного решения, удовлетворяющего условиям D.5). Доказательство теорем 4.1—4.4. Пусть %' к%"— произволь- произвольные решения любой из перечисленных выше задач и удовлетворяют усло- условиям D.5) в случае внешних задач. Тогда % = %'—%" будет решением соответствующей однородной задачи, т. е. будет регулярным вектором, удовлетворяющим уравнению М% = 0 и во внешних задачах — условиям D.5). Кроме того, во всех слу- случаях \% (У) Т фю п) % (у)\± = и± (у) {7W (д„ п) и {у) + ГB) {ду, п) со (у)}± +
§5] ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ МОМЕНТНО-УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ 111 Применяя к % формулу Грина (D.1) или D.6)), получим соотношение Е (%, %) = 0. Следовательно, % представится формулой D.8). Если % соответствует задаче A)+, то должно выполняться условие %+ = 0, т. е. и+ = 0 и со+ =0. Это условие в силу D.8) дает % = 0 в D+. Для задачи (Ш)+ должны выполняться условия и+ = 0 и (ТD>со)+ = 0. Отсюда в силу D.8) следует % = 0 в области D+. Теорема 4.1 доказана. Для доказательства теоремы 4.2 достаточно заметить, что %у определен- определенное формулой D.8), является решением однородной задачи (П)+. Это прямо следует из соотношений = Ot T(dXfn(x))U(x) = 0, где % — вектор вида D.8), которые легко проверить. В случае задачи (IV)+ должны выполняться условия со+ = 0 и ( + ГB)со)+ = 0. Отсюда в силу D.8) заключаем а = 0. Теорема 4.3 доказана. Доказательство теоремы 4.4 следует непосредственно из D.5) и D.8). § 5. Задачи установившихся моментно-упругих колебаний 1. Разложение регулярного решения уравнения М (дх, а) % = 0. Сначала докажем теорему. 5.1. Теорема. Если % = (и, со) ? С2 (D) и удовлетворяет в D урав- уравнению М (дХ9 о) % = 0, то % е О (D). Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.4 и опирается на представление регулярного решения уравнения М (дх, о) % = 0 формулой Сомилиана, подобной представлению B.6) и выводимой так же, как эта последняя. 5.2. Теорема. Если % = (и, со) ? С4 (D) и М (дх, о) % = 0, то (/=1,2,3), и= /==1 где -*!) (A + *?) (A + *» w' ©B) = i« (A ^ m (A +fe|) w> E.1) ы удовлетворяют следующим условиям: (Д + /г2)ы<1) = 0, rotM<1> = 0; (Д+ *l)©A) = 0, rotco<1) = 0; (Д + kl) u<2> = 0, divM<2> = 0; (Д +/fe|) ю<2> = 0, div to*2) = 0; 0, divu<3> = 0; (Д+ yfe2)©C> = 0, div©<3> = 0, E.2;
112 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [Гл# |Ц при ^7a2_4a 4a2 + ат и 4- jj т (ц + а) (Р + и) э 1,2 • «4 — pa2 ©7 a2 — 4a 1 ц + a p 4- и " E.3) Доказательство. Сначала покажем справедливость равенства з ы= S и(/)- Имеем — k\) (A + fef) (A + Ш + (k\ — kl) (A + fejf) (A -f kl) J a = Аналогично доказывается равенство со = 2 со(^. Заметим, что для 1 доказательства равенств и = $j a(^ и со = 2 w171 мы не пользовались формулами E.2), E.3); следовательно, для произвольных векторов и и со класса С4 (О)-разложения a = XI ^(/), fi> = S ^^^ справедливы для любых *i, ^2, *з, М, удовлетворяющих условию kf Ф k), при i ф /, /, / = 1, 2, 3, 4. Однако для регулярного решения уравнения М (дх, о) % = 0 это ограниче- ние для постоянных &!, / = 1, 2, 3, 4 отпадает. Действительно, можно проверить, что м</>, со^>, / == 1, 2, 3, определен- определенные из формул E.1)—E.3), могут быть записаны в следующем виде: = p-grad diva, соП) = grad divco, Р) (^я2 — af) (А + fe§) rot (о B) _ /7() = _ 2aaf (^ — ^J) /7C) — (d + P) (fe? - gf) (A + fe|) rot Q) C) __ qi + q)(fef-- aj) (A+ fe|) rot и ~ 2aaf(^^) » ' - 2aai(*8*|) и при этом согласно E.3) kl Ф kl и a = M(i> + ^B) + ^C), о) = со^> + соB) 4- Покажем теперь справедливость равенств E.2). Очевидно, для и и со имеем (fx ~f- a) At^ + (Я + |ы — a) grad div и + 2a rot со + Р<*2^ = О, E.4Х) (и + Р) Асо 4 (е + и — р) grad div со 4 2<* rot и 4 (<^<72 — 4а) со = 0. E.4^)
? 5] ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ МОМЕНТНО-УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ Рассматривая операцию rot от обеих частей равенства E.4Х), вследствие тождества rot grad = 0, получим А + irrV)rot« + jr^rrot rot • = Аналогично из E.42) rot «+^hrot rot«- °- Снова рассматривая операцию rot от обеих частей равенств E.5!) и E.52), и пользуясь тождеством rot rot rot = —Arot, получим 0, E.6х) Внеся сюда значения rot rot и и rot rot со из E.52) и E.5!), получим Wa>+ , ^У ^ft, Arotco = два тождественных равенства для rot и и rot <o. Перепишем, например, первое в следующем виде: — 4a . 4a2 \ A , pa2 Vo* — 4a в силу E.3) его можно записать еще в виде (А + Щ (А + k\) rot и = 0, E.70 и аналогично (А + ?§) (А + k\) rot co = 0. E.7,) Эти равенства будут играть вспомогательную роль при доказательстве равенства E.2). С помощью тождества grad div = А + rot rot придадим E.4Х) следу- следующий вид: (X + 2[л) Да + (к -f- fi—а) rot rot а + 2а rot <a + р<т2а = 0; отсюда (Д + *?) а = - *•++-" rot rot и - -j|L. rot с, EД) и аналогично из E.42) 8+°~Р ^tH. E.82) Рассматривая операцию расходимости от этих равенств и учитывая то- тождество div rot = 0, будем иметь = 0, E.90 = 0# E.92) 8 В. Д. Кудрадзе
ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ грд Ш Из E.9i) следует, что div мB> = div иC) = 0, а из E.92) — div = div co<3> = 0. Из E.7X) следует равенство rot Ф"> = 0, а из E.72) — ра- равенство rot CD*1* = 0. Для завершения доказательства остается показать, что (Д + k\) (Д + Щ (Д + ki) и = 0, E.100 (Д + Щ (Д + Щ (Д + Щ со = 0. E.102) Первое получается из E.8х) с помощью операции (Д + Щ (Д + /ф, если при этом учесть E.7х) и E.72). Аналогично, из E.82), E.7Х), E.72) получается и второе равенство E.102). Теорема доказана. 2. Условие излучения. Пусть % (и, со) ? СB> (D~) и удовлетворяет уравнению М (дХУ о) % = 0 в области D". 5.3. Определение. % удовлетворяет условию излучения, если в окрестности \ х \ = оо ) = оA), /=1,2,3, (x) = о = 0 где u,W и со('> — векторы, определенные в теореме 5.2. Повторив рассуждения, которые применялись для доказательства теоремы 2.8, получим следующую теорему: 5.4. Теорема. Если % (и, со) есть регулярное в D~ решение уравнения М (дХ9 о) % = О и удовлетворяет условию излучения, то UU) (х) = О (R-1), ©</) (х) = О (R'1), /=1,2, 3; ) Г\ ( ТУ—2\ E.11) E.12) 3. Вспомогательные оценки. Докажем лемму. 5.5. Лемма» Регулярное в D~ решение уравнения М (дху о) % = О, удовлетворяющее условию излучения, в окрестности \ х \ = оо удовлетворяет условиям E.13) EЛ4,) E.142) (пЩх) ы<3) (х)) -f (»-+- Р) (ш<2>(х) ©<3) (х)) = О (| х р3), E.15)
* 5| ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ МОМЕНТНО-УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ Ц5 еде -A) « ра2 дB) с ра2 *C) о рст2 „„_„_. „„_„„_. м_м-^. ^i6) ? 0=1,2,3; </=l,. ..,6. = 6W (8 + 2u) fta, Л^2; = 6W (u + P) *4, Л^ = (t) p = 4,5,6; ^7= 1,. ..,6. Доказательство этой леммы получается повторением рассуждений, которыми мы пользовались при доказательстве теорем 2.7, 2.8, 2.9, 2.10; несколько новой является оценка E.15). Приведем ее доказательство. Учитывая тождество 2а rot co<3> (x) = (м- + a) (k\ — а\) и<3> (*), которое нетрудно проверить, например, исходя из двух видов для и^(х) и соC>(лг), которые мы выше получили, и воспользовавшись асимптотическим равенством #0 х со<3> (х) = _ JL rot cot3) (х) + 0 (/Г2), которое следует из -^ /fts<o<3> = О (Л), в результате векторного умножения на орт Ro радиус-вектора R, получим 1J^ ^^ ). E.17) Умножим это равенство векторно на а<2) (*) и применим формулу B.40); тогда будем иметь х) (tfo"<2) W) = 25Гз [(» + Р) А1— — (<^ff2 — 4а)] (и<2> (ж) X Но #0ыB) (х) = О (/?) и, следовательно, = 2^-з [(и + Р) Щ - (Jo* — 4а)] («B) (х) х 5W(J)) + О (Я E.18) Аналогично получается равенство Ro (со<2> (х) ^Щс)) = ^ [(ц + а) ^ — ра2] E«5)(х) X и<2> (х)) + О (Я). E.19) Из E.18) и E.19) следует ^ (л;)) +(о + Р)(©B)(*) «C) (л:))] = ¦ X (о<3> (х)) 4- О (Я-3). E.20)
Цб ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [Гл. Ш Но, как нетрудно убедиться, g — {Jtf — 4a)] + ^±1 [(I* + <*>)% — рст21 = 0, и из E.20) вытекает E.15). 4. Теоремы единственности. Докажем теперь основную теорему этого параграфа. 5.6. Теорема. Регулярные и удовлетворяющие условиям излучения решения однородных задач A)~, (И)", (Ш)~, (IV)" для установившихся момент- но-упругих колебаний тождественно равны нулю. Доказательство. Пусть р — положительное число, выбранное таким образом, чтобы D+ а Ш (О, р), а % — регулярное решение одной из указанных выше задач, которое удовлетворяет условию излучения. Оче- Очевидно, что % также будет решением соответствующей однородной задачи, удовлетворяющим условиям E.11) и E.12)^_в которых kf заменены на —k}. Рассмотрим % и % в области Ш (О, p)\D+ и запишем две формулы Грина: одну для % и % и другую для % и % и составим их разность. Объемные ин- интегралы исчезнут и будем иметь J [%- (TUT—U- (TUr) ds = J тти—Ити) ds. = J тти— С(О.р) В случае задачи A)~: %~ ¦= %~ =0; в случае задачи (П)~: (Т%)~ = = (Т%)~ = 0 и, следовательно, интеграл в левой части предыдущего.равен- предыдущего.равенства в обоих случаях обратится в нуль. Этот интеграл обращается в нуль и в случае задач (III)" и (IV)". В самом деле, В задаче (Ш)~: и~ =п~ = 0и (ТD)ю)~ = (ГD)ю)~= 0, а в задаче (IV)~J ©- = ©- = 0 и (ТA)и + ТB)соГ = (Т^п + Г<2)«)- = 0. Таким образом, во всех случаях J (UT%—UT%)dS = 0. E.21) С(О. р) Преобразуем подынтегральное выражение: Далее, где Л<*> определяются из E.16). Отсюда в сияу E.13) и E.11) следует ра- равенство
Л gi ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ Ц7 следовательно, Ъ + (p~3). E.22) /'k Учитывая E.14Х) и E.142), из E.22) получаем Ш%— UTU = 2/ Re (S fyHAWWh + %B>А<3>%<3> + %C)А<2>%B>\ +0 (р). Но Re(??<2>4<3>%<3> +1?C)Л<2>%<2>) = Re и поэтому Отсюда в силу E.15) получим (е + 2о) Аг21 ©(» |2 + (о + р) *з I «C> |2] + О (р-З). Подставляя полученную оценку в E.21), и приняв во внимание (I, 7.20) и E.3), будем иметь lim f \u<k>\2dS = 0, lim f |cG<*>|2dS = 0, k= 1,2,3; p->oo J p->oo J 6 (СЬ р) С @, p) и, наконец, согласно основной лемме 2.14 получаем доказательство теоремы. § 6. Теоремы единственности в задачах динамики 1. Энергетические тождества. В этом параграфе доказываются теоремы единственности для внутренних и внешних задач динамики классической упругости, термоупругости и моментной упругости. Доказательство опирается на энергетические соображения, связанные с законом сохранения энергии, приведенные в I, §§ 6—8. Преобразуем формулы Грина A.1), C.26) и D.1), в которых теперь будем считать соответственно и9 U = (и, а4) и % = (и9 со) действительными и зависящими, кроме точки х9 еще от времени t. Пусть в A.1) и (ху t) есть решение однородного динамического уравне- уравнения упругости, соответствующего A, 11.4), a v = -^-. В силу очевидных тождеств JL
118 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ (Гл. III A.1) переписывается в следующем виде D+ F.D или где J W ?(/г) = [ -|- ~ dx — кинетическая и ?<"> = -i- f Е (и, и) dx — + D+ D+ потенциальная энергия движения. Подобным же образом поступаем в отношении тождества D.1). Пусть % = {и, со) есть решение однородного динамического уравнения моментной теории, соответствующего (I, 11.14), (I, 11.14'). Положим % = -fir и воспользуемся тождествами ди д< JlJl 2 dt dt 2 d/ а | аса | "о"~я7 Т dt I ~дГ • тогда D.1) примет вид р I ди Y\~ D+ Y\~dt д(д 2 , 1 dx = J {^Y 9 F.2) = J Щ~У ! TUV dS, или где |) Для получения уравнения энергии термоупругости будем исходить из интегрального тождества J \v(Au — D+ iv, и) — yu^divv] dx= j \v\+\PU}+dS, S F.3) в котором v = (vl9 v2, v3) и U = (а, м4) — произвольные регулярные век- векторы. Это тождество выводится совершенно аналогично C.26). Пусть U = = (и, а4) есть решение однородного динамического уравнения термоупру- термоупругости, соответствующего (I, 11.23), (I, 11.22), a v = -^-. В силу тождеств ди |2
С g] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ Ц9 <6.3) примет следующий вид: — 11-|- \-?г\ -\-Е(и, u)\dx — у Г Ui-^rdivu dx = |{"gjr} \PU\+dS. F.4) d+ d+ s Преобразуем интеграл —у \ и4-^- div и dx; так как Д^4 = ^--§^ + D+ , то "|rW D+ ' D+ 2y]x J d* l 4l ' t] D+ D+ S Подставив в F.4), приходим к искомой энергетической формуле D+ D+ В левой части этого равенства, кроме производных по времени кинети- кинетической и потенциальной энергии, присутствуют еще производная функции тепловой энергии ~- | | иА\2 dx и функция диссипации — j | grad a4 |2 dx D+ D+ (см. Nowacki [8]). 6.1. Замечание. Формулы F.1), F.2), F.5) остаются в силе в об- области D", если решение удовлетворяет условиям, достаточным для обращения в нуль при R —* со поверхностных интегралов по С (О, R). 2. Теоремы единственности. Теперь нетрудно показать, что однородные задачи, т. е. задачи с нулевыми начальными данными и нулевыми граничными значениями для искомой функции, при отсутствии объемных сил имеют только тривиальное решение. Для конечной области имеют место следующие теоремы: 6.2. Теорема. Единственным регулярным решением однородных динамических задач I, II, III, IV, V классической упругости является тож- тождественный нуль. Действительно, во всех задачах правая часть формулы F.1) обращается в нуль и, следовательно, а так как в начальный момент эта постоянная равна нулю, она остается нулем для всех значений t и -J~ = О, Е (и, и) == 0; отсюда, очевидно, и = 0. 6.3. Теорема. Единственным регулярным решением основных одно- однородных задач динамических уравнений термоупругости является тождествен- тождественный нуль.
120 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ Ц*л JJ] Действительно, для всех основных задач термоупругости правая часть формулы F.5) обращается в нуль; поэтому и, следовательно, интеграл Я уменьшается со временем либо остается постоянным и равным нулю. Но так как подынтегральное выражение неотрицательно и равно нулю в начальный' момент, должно равняться нулю каждое из слагаемых; отсюда следует и = 0, а4 = 0. 6.4. Теорема. Единственным регулярным решением однородных задач динамики моментной упругости I, II, III, IV является тождествен- тождественный нуль. Как нетрудно видеть, во всех случаях правая часть формулы F.2) обращается в нуль и, следовательно, : = const. Так как в начальный момент эта постоянная равна нулю, она не изменится ди со временем и _ dt = 0, ^- =0, ?(%, %) = 0; отсюда % = (и,со) = 0. 6.5. Замечание. Если выполнены условия, указанные в замеча- замечании 6.1, то теоремы 6.3—6.5 остаются в силе и в бесконечной области D~* § 7. Некоторые справки и библиографические справки Теоремы единственности играют особо важную роль для математического изучения задач физики и механики: без исследования единственности (или неединственности) решения математической задачи нельзя утверждать, что полученное решение действительно описывает исследуемое физическое состояние. Кроме того, мы увидим, что интересующие нас задачи классической теории упругости, микрополярной упругости и термоупругости приводят - к определенным системам линейных сингулярных интегральных уравнений и для этих систем остается в силе классическая теория интегральных урав- уравнений Фредгольма второго рода. Благодаря этому, из теорем единственности мы получим также теоремы существования. Условия, при которых реализуются доказанные выше теоремы един- единственности, являются достаточными, но не необходимыми, хотя, вообще говоря, близки к последним (см. пример в п. 4). Важно то, что во всех слу- случаях принятые достаточные условия выполняются для решений в тех клас- классах, в которых они строятся. Разыскание необходимых условий представляет известный интерес, однако является трудной задачей, требующей точного учета многих факторов, от которых зависит решение задачи. Важные результаты, полученные в последнее время по этим вопросам, можно найти в книге Кнопса и Пейна (Knops, Payne [11). Существует несколько методов доказательства теорем единственности теории упругости. Важнейшими следует признать доказательства, основан- основанные на принципе энергии, и доказательства, полученные с помощью прин- принципа аналитического продолжения. Мы пользуемся первым методом. Второй
§ 7] НЕКОТОРЫЕ СПРАВКИ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 121 метод, с помощью которого пока удалось доказать теоремы единственности только для статических задач, основан на теоремах Дафина (Duffin [I]) об аналитическом продолжении регулярных решений уравнения А (дх) и = ® через плоскую часть границы и их можно найти в указанной выше книге Knops, Payne [13. Теоремы об аналитическом продолжении решений несколько более общих уравнений (уравнения колебаний, уравнения термоупругости), независимо от Дафина, и другим путем, были получены сначала Обола- швили (см. XIV, § 3) и затем Купрадзе и Бурчуладзе (см. XIV, §§ 4, 5). Теоремы единственности статики и динамики для многих задач класси- классической теории упругости были доказаны в работах Неймана (Neumann [1J), Кирхгофа (Kirchhoff [1]), Е.иФ. Коссера (E.Cosserat,F.Cosserat [1]), Альманзи (Almansi [11). Новейшие результаты, показывающие, что в ряде случаев можно «смягчить» классические признаки и указать условия, необходимые и доста- достаточные, содержатся в книге Knops, Payne [13. К сожалению, в этой книге совершенно не затрагиваются важные вопросы единственности для уравне- уравнений колебаний упругости, микрополярной упругости и термоупругости; в нашем изложении этим вопросам уделяется значительное место. Соответ- Соответствующие результаты принадлежат авторам, а также Напетваридзе [61 и Чичинадзе [13. В истории теорем единственности для задач колебаний большую роль сыграл так называемый «принцип излучения» или «условие излучения», сформулированное Зоммерфельдом в 1912 году э работах об уравнениях Гельмгольца (см. Sommerfeld [11). Доказательство принципа излучения для уравнения Гельмгольца было указано в 1933 году В. Д. Купрадзе [11. Позже условие излучения и теоремы единственности для названного уравнения стали предметом работ многих авторов (Magnus [13, Freudenthal [11, Векуа И. [1, 31, Rellich [11, Аваза- швили [13, Мецхваришвили [13 и др.), а для задач теории упругости усло- условия излучения рассматривались в работах Купрадзе [31 и Бакаляева [11. При этом в работах Векуа И. [11 и Rellich [11 единственность устанавли- устанавливается в более общих условиях, чем условия Зоммерфельда. В этих работах рассматриваются граничные задачи в бесконечных областях, граница которых лежит целиком в конечной части пространства. Теоремы единственности для бесконечных областей с границей, простира- простирающейся в бесконечность, оказались труднее, и для таких областей до сих пор получены лишь частные результаты. Приведем здесь три теоремы такого рода для полупространства х3 ^ 0 из книги Knops, Payne [13. 7.1. Теорема. Пусть uil)(x) и иB)(х)—два регулярных в полу- пространстве х3 ^ 0 решения уравнений статики А (дх) и = 0, принима- принимающие на граничной плоскости х3 = 0 равные значения. Если выполнены условия А . О А . 1 /А /Т 1 \ Т+^Т и т^ + ~> И*0 G-1) lim | х Г | и*11 (х) — и?' (х) | = 0, 1=1,2,3, G,2) то и^(х) = и<2Цх), x?D (D = \х\хг^0\). При этом условие G.1) является необходимым, 7.2. Теорема. Если Ти{1Цх) и Tui2)(x) (m. е. два различных поля напряжений) имеют равные значения на границе х3 = 0 и выполнены условия I G,3) lim |тае(*)| = 0, а,р=1,2 г
122 теоремы единственности [Гл. Ш и условия то ТФ> (х) = 7V2> (х), x?D; D = при этом у смещения определяются с точностью до жесткого движения тела; условие G.4) является необходимым. 7.3. Теорема. Если на граничной плоскости х3 = 0 выполнены условия ] M ]= 0, 1=1,2 условия К'ДО-и^-О; [тзз(ыи)(у))-Тзз(ыB)(У))]=0, » = 1,2 а «а бесконечности условие lim | л: Г11 aj" (х) — *42> (х) | = О, и, кроме того, то в полупространстве х3 ^ 0 поле напряжений Т (и^1)(х) — иB)(х)) тождественно равно нулю, а смещения отличаются друг от друга лишь жестким движением; условие G.5) является необходимым. Очевидно, теорема 7.3 относится соответственно к задачам III и IV. ЗАДАЧИ 1. Доказать теорему единственности для динамической задачи теории упругости с гра- граничными условием Ти + а (у) и (задача VI), где а (у) — заданная на S матрица класса Гель дер а. Указание: см. теорему 6.2. к 2. Исследовать единственность решения основных задач с обобщенной энергией Е (v, и) к и обобщенным напряжением Т (ду, п) и. Указание: см. замечание 1.5. 3. Доказать теоремы единственности для неоднородной области с конечным числом включений, когда на граничных поверхностях задаются различные граничные условия (сме- (смешанная задача). Рассмотреть случаи статики и установившихся колебаний. Указание: см. § 1, п. 6. 4. Исследовать единственность решения основных гранично-контактных задач для урав- уравнения установившихся термоупругих колебаний. 5. Доказать теоремы единственности для основных гранично-контактных задач уравне- уравнения установившихся колебаний моментной теории упругости. 6. Исследовать единственность решения граничных задач установившихся термоупру- термоупругих колебаний, с одним из следующих краевых условий: 1) заданы PU\ —^—{- h (у) и4> 2) заданы и и -~^- + h (у) щ, 3) заданы PU + g (у) U, -^- + /ш4, 4) заданы PU + е (у) -^-, а4, где h (у) — скалярная функция, g (у) — матрица 3X3, и е (у) — трехкомпонентный вектор. 7. Доказать теоремы единственности в неоднородной области D = Dt[]D2 (см. § 1 п. 6) для различных динамических задач. 8. Сформулировать задачи, аналогичные задачам III и IV классической теории (см. I, § 14 п. 1) для уравнения термоупругих колебаний, и доказать теоремы единственности. 9. Сформулировать задачи, аналогичные задачам III и IV классической теории (см. I, § 14 п. 1) для уравнения установившихся колебаний моментной упругости, и доказать для них теоремы единственности. 10. Распространить результаты предыдущих задач на задачи с обобщенной энергией и обобщенным напряжением.
ГЛАВА IV СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В последующих главах будут широко использоваться сингулярные интегралы, распространенные по поверхностям, представляющим границу упругой среды, а также по областям трехмерного пространства, занятого самой средой. Существенно будет применяться также теория интегральных уравнений, содержащих эти интегралы. Настоящая глава посвящается этим вопросам. Здесь исследуются основ- основные свойства сингулярных операторов в различных функциональных про- пространствах; приводятся (без подробных доказательств) теоремы типа теорем Фредгольма и Нетера и устанавливаются свойства дифференцируемости ре- решений сингулярных интегральных уравнений; получены теоремы вложения и т. д. В § 7 развита теория сингулярной резольвенты и заново доказаны теоремы Фредгольма для интегральных уравнений первой и второй гранич- граничных задач классической теории упругости. § 1. Вводные замечания. Специальные классы функций и их свойства 1. О сингулярных интегралах и интегральных уравнениях. Укажем в этом параграфе некоторые из тех сингулярных интегралов и интегральных уравнений, которые встречаются при исследовании основных задач, постав- поставленных в первой главе. Пусть 5 — замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая конеч- конечную область D+. D~ = E3\D+. В главе III было доказано, что любое регулярное решение уравнения А(дх)и + &~ = 0 A.1) дается формулой 2и(х) = \т(г — х)Р(г)Aг+1т(у—х)\Т{ду,п)и{у)\+dJS— D+ S \ . A.2) Здесь А — матричный дифференциальный оператор, определенный фор- формулой (I, 12.1); Г — матрица Кельвина (см. гл. II); Т — оператор напряже- напряжения (см. (I, 13.2)); п — орт нормали поверхности S в точке у, внешней по отношению к D+.
124 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (Гл# IV Из A.2) заключаем, что ^\т(г—x)T{z)dz A.3) 2 /За- /Заявляется решением уравнения A.1). Таким образом, если уравнение A.1) имеет регулярное решение, то F, определенная формулой A.3), является частным решением этого уравнения. Но мы априори не знаем, существует или нет регулярное решение уравне- уравнения A.1) и, следовательно, нельзя утверждать, что F, определенная из A-.3), представляет решение уравнения A.1). Нахождение частного решения уравнения A.1) важно, так как подста- подстановкой и = v + F решение этого уравнения приводится к решению более простого, однородного уравнения А (дх) v = 0. Таким образом, нужно доказать, что F из A.3) является решением урав- уравнения A.1); для этого необходимо вычислить вторые производные от F по декартовым координатам точки х. Решение этой задачи в свою очередь тре- требует исследования интеграла A.4) D+ z — x\-Hzm — xm)(zr — xr)(zk — xk)(zf — x,) — 3[6kf(zm — r — Xr) + 6/m (Zk — Xk) (Zr — Xr) + 6/r (Zk — Xk) (Zm — Xm) + brk(zm—xm)(zi — xf)] I z — x Г6 + z_x|-з(&mA. + 8rk8mi)\; A.5) й/ и \i' — постоянные, определенные из (II, 1.2). Из A.5) видно, что ядро интеграла A.4) допускает оценку О (| z — х |"8). Следовательно, этот интеграл не существует в обычном несобственном смысле. Ниже будет показано существование этого интеграла в смысле главного зна- значения. Таким образом, поставленная задача приводит к изучению сингуляр- сингулярного интеграла A.4). Заметим, что второе и третье слагаемые в правой части формулы A.2) принадлежат классу С00 (?>+). Поэтому характер гладкости решения урав- уравнения A.1) определяется, по существу, характером гладкости интеграла A.3), и, таким образом, сводится к исследованию свойства дифференцируе- мости сингулярного интеграла A.5). Если речь идет не об уравнении A.1), а об уравнении колебания А(дХ9 (о)н + #~ = 0, A.6) то задача нахождения одного частного решения этого уравнения приводит к изучению сингулярного интеграла J где Г (х, со) — матрица Купрадзе. Ядро интеграла A.7) допускает оценку О (| z — х |~*3), и при изучении уравнений A.6) мы приходим к сингулярным интегралам. Заметим, что совершенно так же обстоит дело при нахождении частных решений неоднородных уравнений моментной теории упругости и термо- термоупругости.
§ I) СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И ИХ СВОЙСТВА 125 Пусть первая внутренняя задача классической теории упругости имеет решение и. Тогда и представляется в виде A.2), где вместо и+ следует подста- подставить f. Таким образом, третье слагаемое в правой части формулы A.2) при- примет вид w (х) = 117- (дд, п) Г (y—x)\'f(y) dyS. A.8) При вычислении граничных значений функции и, представленной формулой A.2), приходится вычислять граничные значения интеграла w (х), в выражение которого входит значение интеграла A.8) в граничной точке z? S. Но ядро интеграла A.8) обладает (см. гл. II) особенностью вида \у— х |~2. Следовательно, интеграл A.8) не существует в обычном несобственном смысле, если х ? S. Ниже будет показано, что при некоторых условиях, наложенных на 5 и /, интеграл A.8) существует в смысле главного значения при х 6 S. Не приводя здесь все сингулярные интегралы, с которыми будем иметь дело в последующих главах, заметим, что речь будет идти о сингулярных интегралах, распространенных на области D+ и D~ и сингулярных интегра- интегралах, распространенных по поверхности 5, а также об интегральных урав- уравнениях, содержащих эти интегралы. Нужно будет установить свойства дифференцируемости указанных интегралов и решений сингулярных инте- интегральных уравнений, показать справедливость для этих уравнений общих теорем типа теорем Фредгольма и Нетера. Изучению этих вопросов посвящена настоящая глава. 2. Функции класса О и Z. Введем некоторые специальные классы функ- функций, которые встретятся в дальнейшем в качестве ядер сингулярных ин- интегралов. Пусть А и В — ограниченные множества из ?3> а k (x, у) — функция, определенная относительно х на А и относительно у на В. Точнее, функция k определена на произведении А х В, кроме, быть может, диагонали этого произведения. 1.1. Определение. Функция k принадлежит классу G (т), 0 ^ < т < +оо на Л хВ, если k непрерывна на Л хВ, кроме, быть может, точек типа х = у, и существует положительная постоянная с такая, что V (х9 у)е А х В \k 1.2. Определение. Функция k принадлежит классу Gx (m, а), О < а ^ 1, если k ? G (т) и для всех х\ хп ^ А и у ? В справедлива оценка \k(x\y) — k(*", у)| ^с|х' — х"|*[р„(*', х")]-т-«, где с = const, a у — х'\, \у—х"\\> Функция k принадлежит классу G2 (т, Р), 0 <iP ^ 1, если &? G (т) и для всех х?А и у\ yf'^B справедлива оценка |k(х, у') — k(х, у")\^с\у' — у"р[рх(*/', /)Г Функция k принадлежит классу G (т, а, Р), если k?Gt (m, а) и G2(m, P). Отметим некоторые свойства функций этих классов. 1.3. Теорема. Если k? Gt (m, a) [G3 (m, P), G (m, a, p) 1 на A X B, SlA и SiES, rno fc?Gi (я*, a) [G2 (m, p), G (m, a, P)l на Аг X Bv
126 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (Гл. IV 1.4. Теорема. Если k^Gx (m, а) Ю2 (т9 р) 1 на А х В и расстояние между множествами А и В — положительное число, то ke С°*а (А) ike c°'*(B)i 1.5. Теорема. Если т' > /п, а' <з а, р' <; р, то Gr (m, а) с Gx(m', а'), G2(m, Р) с G2(m', P'), G(m, а, р) с G(m', а\ р'). 1.6. Теорема. ?слм «а АхВ К е Gx (ть ах) [G2 (тъ рх), G (тъ аъ рх)], *2 € Gx{m2> a2)[G2(m2, p2), G(m2, a2, р2)], то на Ах В, kx±k2e G1 (т, a) [G2(т, р), G (т, а, Р)], где a = min)a1, a2}, p = min {Plf p2), m — max \тъ т2\, а k^k^Gx^ + m^ a)[G2(m1 + m29 P), G^ + zr^, a, P)]. 1.7. Определение. Пусть к (х, у) =|| fe?/ (x, (/) ||рх^. Тогда keGt(m, а) [G2(m, P), G (m, а, р)] на Л X В, если fet,6Gi(/n, a) [G2 (m, p), G (/n, a, P)] на A x B; i = 1, . . ., p\ j = 1, . . ., q. 1.8. Теорема. Производные т-го порядка, т > 0, до декартовым координатам точки х матрицы k (х, у) = Г (х — у) [Г (х — у, ca), W (х — у), W (х — у, а), Ф (х, со), Ф (я, со)] (см. гл. II) принадлежат классу G (т+ 1,1,1) на D X D, где D — произвольная конечная область из Е3. 1.9. Теорема. Если S6 Лх (а), то матрица fe, определенная равенст- равенством k (х, у) = [Т (дд, п)Т (у — х) П IT (ду, п)Т (у — х, со) Г, [Т (ду, п) X xW(y -J)l', IT (ду, п)Ч (у — х, а)]', [Р (ду, п)Ф(у - х, со) Г, [R (дуу п) Ф (у — х, со) Г} (см. гл. II), принадлежит классу G B, 1, а) на S X S. 1.9'. Теорема. Если S6«tfi (a), то матрица k (х, у) = Г (д., я) х X Г (у - х) - Г (дх, v)T(y- х) [Т(ду, п)Ч?(у-х)-Т (дху v) W {у- — х) ] принадлежит классу G B — а, а, а) на S X S. Здесь п — орт нор- нормали поверхности S в точке у, а v — в точке х. Доказательства этих предложений читатель может найти в работах Giraud [Пи Гегелиа [3], [101, [12]. Пусть D — некоторая область из Е3 и k —функция, определенная на произведении D X Е3. 1.10. Определение. fe62(m, s, а) в области D, где s — целое неотрицательное число, т > 0, 0 <а < 1, если выполнены следующие условия: 1) для всякого *?D, ye E3\\0\, t > 0: k(x, ty) = t-^k(x,y); 2) k (x, у) и все ее производные по декартовым координатам точки у, как функции от х% принадлежат классу Cs*a (D) при любом #?С@, 1). Матрица k = || kif ||рх<? принадлежит классу Z (m, s, а), если kue е Z (m, s, а) при i = 1, . . ., р\ j == 1, . . ., q. 1.11. Теорема. Матрицы Г и V (определенные в гл. II) принадле- принадлежат классу Z A, оо, 1) в любой области DczE3, а производные порядка s этих матриц по декартовым координатам точки у принадлежат классу Z (s + 1, оо, 1) в D. Если k (х, у) = ! ср., (х) Тн{ц) ||зхз, где <рц? О* (D), то ke Z A, s, a).
§ 1] СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И ИХ СВОЙСТВА 127 Заметим, что матрицы Г (х, со), W (х9 о) и Ф (#, со), а также их производ- производные, не принадлежат классу Z. Эти матрицы не удовлетворяют первому условию определения 1.10. 1.12. Теорема. Если k?Z (m, 0, а) в области D, то о (jc, у) = = k (х9 х — #), принадлежит классу Gx (m, а) на D X D. В самом деле, о(х, у) = k(х, Х~~У ), <х—у)|х —УГ6С(О, 1), при х, y?D. Далее, - Г ' l—L\.b(x' х'~ ~у Отсюда, учитывая неравенства - II*' —у| —К —у|1 '-у|т | —у д^ —у - \х'-хГ\ * Ру(х',Х»)> получим требуемую оценку. 1.13. Замечание* Классы G и Z могут быть введены и для функций, определенных на подмножествах евклидова пространства любого измерения. Соответствующие поправки в определениях очевидны. 3. Сингулярное ядро и сингулярный интеграл. Пусть D — ограничен- ограниченная область из ?3э a k — функция, принадлежащая классу G C) на D X D. Тогда интеграл 'k(x,y)dy A.9) не существует вообще в обычном несобственном смысле, т. е. не существует предел lim j k(x9y)dy, A.10) 8->0 D\oQ (x) не зависящий от формы ае (х), где ае (х) — произвольная область диаметра 8, содержащая точку х. Рассмотрим один простой пример. Пусть Ь (У 11\ =?= (y 11 \ Iy —— 11 \ I Y ——— It I"" (\ I I \ Очевидно, keGC) на E3 X E3.
128 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Введем сферические координаты У\ = xi + r sin # cos ф, г = | х — t/1, #2 = *2 + г sin # sin ф, 0 ^ # ^ я, Уз = *з + г cos О, 0 < ф < 2я, dy = r2 sin и вычислим интеграл AЛ2) Ш (х,6)\ве(х) где б и 8 — произвольные положительные числа, причем е < б; ае область из Е3, содержащая точку х и ограниченная поверхностями 1) г = а1е, О 00^ 2) г = аг8, 3) А-==а38, ^ 4) /• = а4е, я <: ф ^ 2я, — ^ О ^ я; alf а2, а3, а4 — произвольные положительные числа, не превосходящие единицу. Имеем J (*2 — У*)(хз — Уз)\х — y\'*dy = \ In 3 Пусть теперь л; — произвольная точка области D. Возьмем б настолько малым, чтобы Ш (х, S)cfl, Тогда (х2 — У2)(х3 — у3)\х — у e (х) = J (х2 — у2)(х3 — Уз)\х — D\UI(x,6) Из этого равенства видно, что предел A.10), когда k определено из A.11), зависит от произвольных постоянных al9 a2, a3 и а4, т. е. от формы области а8 (х). Таким образом, интеграл A.9) не существует ни в одной точке области D в обычном несобственном смысле. Если в приведенных рассуждениях примем ах = а2 = а3 = а4> т« в, если а8 (х) = ZZ/ (а:, е), то Следовательно, интеграл A.9) для fe, определенного равенством A.11), существует в смысле главного значения в каждой точке области D и вычис- вычисляется по формуле J (*2 — Уг)(х3—у3)\х — y\'bdy= \ (х2 — у2)(х3 — у3)\х — у\-Ыу, D D\UIixf6) где б выбрана таким образом, чтобе Ш (х, 8)<?D.
§ IJ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И ИХ СВОЙСТВА 129 1.14. Теорема. Если tF^C0-a (D), 0 < а <: 1, то существует в смысле главного значения интеграл в каждой точке области D и вычисляется с помощью обычных несобственных интегралов по формуле ' D\IlI(x,6) где k (x, у) = Г (х — у) [Г (х — у, to), W (x — у), ? (х — у, о), Ф (х — у, а) ]. Доказательство этой теоремы содержится в работе Гегелиа [2]. Интеграл, определенный в смысле главного значения, будем называть син- сингулярным интегралом. Если k?G C) на D XD и интеграл A.9) не сущест- существует в обычном несобственном смысле Римана, но является равномерно сходящимся сингулярным интегралом в области D, то k будем называть сингулярным ядром. Если же fe? G (/га), где 0 < т < 3, то k будем называть ядром со слабой особенностью. Таким образом, fe, определенное равенством A.11), — сингулярное ядро. Сингулярным ядром является также °(х,у)— dXidXf , где k — любая матрица, участвующая в 1.14. Пусть kt Z C, s, а) в области D, s ^> 0, а ^ 0. Тогда D \Z s-»0 \Ш (x9 6) Ш (х9 Ь)\Ш (х, е) Переходя к сферическим координатам, для второго слагаемого в правой части предыдущего равенства получим 6 limlnT \k(x> ТГ^т)^ Здесь dyS — элемент площади сферы С (х, 1); б > 0 выбрано таким образом, чтобы Ш(х, 8) с D, а 0 < 8 < 8. Для существования указанного предела необходимо и достаточно, чтобы С(х* Таким образом, мы доказали следующее предложение: 1.15. Теорема. Функция k класса Z C, .s, а) является сингулярным ядром тогда и только тогда, когда выполнено условие A.13). При выполнении этого условия — y)dy= J О\Ш(х9 г б) еде 6 — произвольное положительное число, подчиненное условию Ш (х, б) с Если задана функция k класса Z C, s, а), то теорема 1.15 дает простой способ для проверки, является или нет k сингулярным ядром. При этом часто оказывается полезной следующая теорема: 9 В. Д. Купралзе
130 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГлЛУ 1.16. Теорема. Если k? Z B, 1, а) в области D, а > 0, то —щ— (/=1,2,3), сингулярные ядра класса Z C, 0, а). Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы Эйлера об одно- однородных функциях (см., например, Фихтенгольц [13, стр. 454). , Из теоремы 1.16 непосредственно следует, например, теорема 1.14. 1.17. Теорема. Если k^Z C, 0, 0) в области D, а > 0, фб С0- а (D) и выполнено условие A.13) в каждой точке x?D, то существует в каждой точке х ?D сингулярный интеграл \ D Доказательство легко следует из 1.15 и из равенства xtx — y)y {у)dy = q>(х) lim j k(x, x — y)dy + 6^° ?>\ЯМ*.6) , 6) Рассмотрим теперь произвольную функцию k класса G C) на А X В. Пусть х ? Л П В. Введем сферические координаты точки у с полюсом в точке х (см. A.12)). Предположим, что существует предел \im\x — y\3k(x, y) = f{x, О, ф). г->0 Здесь, при вычислении предела, #ифне меняются. Иными словами, рассмат- рассматривается луч, идущий от точки х и проходящий через у и допускается су- существование предела, когда у —> х^ по этому лучу. Введем обозначения: 6° (*,!/) = /(*, #,Ф)| У Г, k (х, у) — ?° (*, y) = h (x, у). Если k? G C, а, Р), 0 < а < 1, 0 < |3 <з 1, то можно утверждать, что h?G C — р, а, р), a k^Z C, 0, а). Таким образом, k представляется в виде k{x,y) = k»(x,x — y) + h(x9y). A.14) где k°eZ C, 0, а) и h?G C — р, а, р), 0 < а, р < 1. Следовательно, k будет сингулярным ядром, если k° удовлетворяет условию A.13). Мы будем иметь дело в основном с ядрами, представимыми в виде A.14). Покажем, например, что имеет место 1.18. Теорема. Матрицы — у, ср) д*Ф(х — у, со) д2? (х — у, а) — сингулярные матрицы, представимые в виде A.14). В самом деле, Г (х, со) представится в виде (см. гл. II) 0(х, о)), A.15) где Г (х) — матрица Кельвина, а Г° (х, со) обладает всеми производными по декартовым координатам точки х в ?3\|0}> причем производные второго порядка имеют изолированную особенность вида | х \~1. Аналогичные представления справедливы и для Y и Ф.
§ 2] ИНТЕГРАЛ С ЯДРОМ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ 131 1.19. Замечание. Сингулярный интеграл и сингулярное ядро могут быть определены, с очевидными изменениями в формулировках, и для мно- множеств евклидова пространства любого измерения т. Для наших целей пред- представляют интерес т = 3 и т = 2. § 2. Интеграл с ядром со слабой особенностью 1. Элементарные свойства. Отметим некоторые свойства интегралов с ядром, обладающим слабой особенностью. Пусть А и В — ограниченные области из Ет, a k — функция, определен- определенная на Л х В. 2.1. Теорема. Если k?G (г) на А X В, где т > г, и ф — суммируемая функция на В, то интеграл /С(ф)(*)= \k(x,y)<p(y)dy B.1) существует почти для всех х^А, и является суммируемым на А. Доказательство следует из существования интеграла \k(x,y)\dx А и из теоремы Фубини (см., например, Смирнов [3], § 68). 2.2. Теорема. Если k?G (г) на А X В, О < г < /я, р > тП^г , то К (ф) (х) существует для всех х?А и К (ф)?С° (Л). Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены. Тогда .0, б-» 0, равномерно относительно *?Л. Это предложение непосредственно следует из неравенства J \k{x, y)y{y)\dy^\\ \k{x, y)\P' dyV/P' \ \ где рг = р (р — I). Теперь легко оценить интегралы Л= 1 \k(x*,y)<p(y)\dy9 J2= J \k(x",y)cp(y)\dy, Ш(х'< 6)ПВ Ш{х\Ь)[\В где *', х"?А | х1 — х" | < 6/2. Кроме того, В\Ш ( J В\Ш (х, 6) когда | х' — л:" | —> 0, и из неравенства следует доказательство теоремы 2.2. 2.3. Теорема. Если k?G (г) на А х В, г < т и ф??р (В), р > \у то К (Ф)е^ (Л), где q = р B - -^-).
132 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Доказательство. Очевидно, Я 2т—г \ т т—г р—1 I t? I v 1 ]\ I "^ I гп I и\ \Р i Р Bт—г) I гг) A f\ \2т—f \ ь ( y t/\ I P I rv уЛ> у У I \ I м' у УI Г I I т VC//I I *^ V > с// I Применив к правой части неравенство Гёльдера с показателями р Bт — г) р Bт — г) р т ' т — г ' р— 1* получим а 2т—г \ т I k (х, у) \-ЦГ | Ф (у) \р dy \р v™-') Следовательно, С F9m-r p т-г Г» Л 2СТ-Г )\К(<р)(х)\ т йх^сРЫР т )dx)\k(x,y)\ m \q>(y)\Pdy = А А В А В р im—r) Г Г* 2т ) r) Г Г* )\4iy)\*dy)\k(x, ......... У)\т dx, В А где св — положительная постоянная, зависящая только от р, а Теперь в силу неравенства г Bт — г)<Ст2, имеем Г 2т—г 2т—г )\К{ч>){х)( т dx^cPl<tC~- B.2) А Из B.2) следует доказательство теоремы. 2.4. Теорема. Если k?G (г) на А X В, г < т, то оператор /С, определенный равенством B.1), переводит пространство Lp (В) (р > 1) в LQ (A), q = рB—— \и является линейным ограниченным оператором. Из 2.3 имеем где Отсюда и следует доказательство теоремы 2.4. 2.5. Теорема. Если k?G (г) на А X В, г < т, р > ™_ , то опе- оператор К переводит пространство Lo (В) в Loo (А) и является линейным ограниченным оператором. Доказательство следует из неравенства Гёльдера.
§ 2] ИНТЕГРАЛ С ЯДРОМ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ 133 2.6. Теорема. Если k^Gi (г, а) на А X В, О < г < тЛ а > О, ф? Ьр (В), J4 <р < +со, то К (ф), определенный формулой B.1), при- т — г надлежит классу С0»7 (Л), где {{т — г) р — т \ а> —р—г Если фб Ln (В), то К (ф)€ С°<у (Л), где у = rnin {m — г, а}. Доказательство. Пусть х\ х"^.А, h=\ х' — х" \. Тогда /С(ф)(х') — /С(ф)(х")= S Л. /г=1 где /1== f k(x', y)y(y)dy, /2 = — j k(x\ y)(p(y)dyt Ш{г2Н)(]В Ul(x\2h)()B № (*', У) — * (^, У)] Ф (У) dy. B\U1 (x'92h) Оценим эти интегралы. Очевидно, что Ш ( X J \x' — y\-">'dyY ',-2Л)ПВ J где p = [{m — r) p — m\ p г. Аналогично оцениваются У2 и У3- Теорема доказана. 2. О производных интегралов с ядром, обладающим слабой особен- особенностью. Докажем следующую теорему. 2.7. Теорема. Если k?G (г) на А X В, г < т — 1, ^- 6 G (г + 1) яа Л X Б и фб С0 (В), то в каждой точке х? А, существует производная ~^- ОХ; Доказательство. Обозначим через /б функцию, определенную на [О, +оо), следующим образом: /б (t) = 0, если t? [0, б]; I6(t) == 1, если f? [26, + со), I6(t) имеет производные любого порядка на @, +со) к О « /б @ < 1 на @, +оо). Рассмотрим функцию k^, определенную на Л X В равенством и интеграл Очевидно, существует производная ^ в каждой точке #6 А и
134 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Легко усмотреть, что при б —> О выражения \К6(Ч>)(х) — (X) стремятся к нулю равномерно относительно х?А. Отсюда (см., например, Фихтенгольц [2 ]) следует доказательство теоремы. Если в 2.7 г > т — 1, то формула B.3) не имеет места. Для исследова- исследования этих случаев нам понадобится одно вспомогательное предложение. Пусть || аы (х) \\mxm — матрица, определенная в Ету все главные миноры которой положительны. Кроме того, aki и их частные производные по xf непрерывны в Ет (k, i = 1, . . ., m, 1 < / <: т). Обозначим через N (х, б) эллипсоид, определенный как множество тех точек у?Ет, для которых т 2 аы (х) (xk — yk) (x, — yt) < б2, k, i = \ через v (x, б) — его границу, а чераз Nf (х, б) — ортогональную проекцию множества N (х, б) на гиперплоскость Xj = 0. Здесь б — произвольное поло- положительное число. Границу v (x, б) можно разделить на две части таким обра- образом, чтобы уравнение каждой из этих частей записывалось в виде B.4) где yd) = (у19 . . ., У;_1У 0, у}+1у . . ., ут)? N}. (x9 б). Рассмотрим некоторую точку у = (у19 . . ., ут) из v (х, б) и точку лежащую на v (x + Ax/t б) с координатами Уах,- = (#i, • • ., У/-1, У/ + Д#/, J//+1, • • ., Ут), где Дху = @, ..., О, Дх/, 0, ..., (на /-м месте стоит число Дх7). у6 (х, уи)) обладает производными по xf9 и lim Ml = ^б(^ Уи)) =1+0 (б). B.5) Если ач = const, i, j = 1, . . ., m, то roax y; = 1. 2.8. Теорема. Пусть k? G (г) на A X B> -^; 6 G (rr) на A X B, где г и r' — произвольные действительные числа; х?А и N (х, б)^В для не- некоторого б > 0. Тогда существует Уб^*' у*. Она непрерывна на Nt (xy б) и справедливо равенство д с и , г dk (x, у) . B\N (х, б) B\N (x, б) - J k{xty)^JLdyi, B.6) v(x, б) где dyi = cos (n (у), xf)dyv(x, 6), ^ (y) — °Pm нормали многообразия v (x, б) в точке y? v (x, б), внешней по отношению N (x, 6), a d^/v (x, б) — элемент площади поверхности v (х, б) в точке у.
§ 2] ИНТЕГРАЛ С ЯДРОМ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ 135 Доказательство. Имеем -g|- J k(x, y)dy= lim -д^- J [k(x-\-Axf9 y) — k(x, y)]dy — 1 B\N (x, 6) \Xj->Q 1 B\N (Xi 6) — lim --г— Г k(x-\- Axit r\)dr\~\- 1 MM (x, Axff 6) ' "B) («• **/• 6) где BT\N(x + te,, 8)), „ 8))\(B\N(x, 6)). Далее, Л1™л-Щ ... i k(x+&x,.y)dy- (xf Ax.t 6) = lim -E- J "" J dxf N. (x, 6) где Аналогично вычисляется предел интеграла, распространенного на ЛД2) (х9 Ад:/, б). Если примем во внимание, что dy^!) = dyi, когда интегри- интегрирование совершается на части v (х, б), являющейся границей N^v, и dy^ = = —dyi9 когда интегрирование совершается по остальной части, то из пре- предыдущих формул непосредственно следует 2.8. Докажем теперь теорему (см. Михлин [II). 2.9. Теорема. Если ke Z (т — 1, 1, 0) в области D, ср? С0*06 (Z?), 0 < а <« 1, то существуют все частные производные первого порядка по де- декартовым координатам точки х в области D интеграла . x—y)q>(y)dy, °Xf о — ф(х) \ k(х, х — у)(у; — х-)d9S; /=1 т. B.7) С (х. 1) Доказательство. Пусть *6 D и Ш (х9 б) 6 D. Тогда в силу 2.8 имеем JL Г k(x9 x — y)y{y)dy= Г дк{Хдх.~~~У)У D\UI (х9 #) D\W (x, 6) k(x, x — У) \1 __ \ cP(y)dgC(x% 6). ,6) У
136 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл, IV Если #6 С (х, б), то k(x, x—y) = |Х ?/1 dyC(x9 8) = 8«*-ЫуС(х, 1 Следовательно, J С (x. 6) = J k(x, x — С (*, 1) = ф (x) \ k (x, x—y) {yj — xj) dyC (x, 1). C(x,l) Далее, dk(xt x — и) л t. / \ д * , ч =дк(х9 х — у) щ-к(х, х — у), где ду& (х, х — у) — производная функции k (х, х — у) по Xj, вычисленная по первому аргументу, т. е. значение производной —я 2' при z = х — у, djk (х, х — у)^ Z (т — 1, 0, 0) и, следовательно, является ядром со слабой особенностью, а ^— k (x, x — у) в силу A.16) удовлетворяет условию A.13) и является сингулярным. Теорема доказана. § 3. Сингулярные интегралы 1. Сингулярные интегралы в классах функций С0' Р. Теорема Жиро. Пусть D — конечная область из Ет (т > 2), ограниченная замкнутой поверхностью S, aS0 — Другая замкнутая т — 1-мерная поверхность, ле- лежащая в D (SodD) и ограничивающая область DoczD. Обозначим через р расстояние между множествами S и 50. Очевидно, р > 0. 3.1. Теорема (Жиро). Если fe? Z (m, 0, а) в области D, 0 < а < 1 и ф6С°- Р (D), где 0 < р < а, то К (фNС0' е (Do), где (*, x — y)q>{y)dy C.1) и интеграл в C.1) определен в смысле главного значения. Доказательство. Выше было доказано, что К (ф) (х) сущест- существует для всех х €?>о- Если хб?>о> то /С (ф) (х) можно представить в виде К (Ф) (х) = Кг (Ф) (х) + /Ся (Ф) (я), C.2) где /Ci(<p)(x)= J*(x, х— D f = q>(x) J fe(x, x—y)dy>
§ 31 сингулярные интегралы 137 Рассмотрим сначала Кг (ф). Пусть х', x"(zDOt г = \х' —х"\ <-|-« Имеем Кг (Ф) (*') — Кг (Ф) <**) = Jj h (*', *Г). C.4) где Jt(x\ х?)= \ [k{x\ x' — y)—k{x\ x" — y)][q>(y)—q>(x")]dy + D\UI(x',p) — Ф (X*)] \ k (X', X' — у) dy, D\I?I(x', p) J — ( й (х", х" — у) [ф (у) Ш (*', 2г) J k{x',x' — \Ш (» 2) J Ш (х', р)\Ш (ж», 2г) У4(х', х") = f [fe(дс', х' — у) — /г(хГ, х" — г/)][Ф(у) — <р(д*)]dy. Ш(л:',р)\Ш(ж',2г) Оценим эти интегралы. Имеем (см. 1.12) \}г(х', x")\^c\x'—x"Y- J 1р„(х', х") D\U1 (X'.p) Отсюда | Л (л/, л") | <: с \ х' — х" |Э, |Л(^. x*)l^c J \y — x'^dy + c \ \у Ш (*',2г) Ш (х', 2г) ^с [ [у—x'\*-mdy =c\x' — х*|Э, Ш (ж', 2г) |/а(л/, Л 1 = 0, J [р,(х', х")\-"-«\у—х"рdy. )\Ш('2) Если у? Ш (х'г р)\Ш (х', 2г), то 2р9 (д:', л;") > | д:' — у | и \*Г — у\^2\х'—у\. Поэтому |/4(л:', ^)|<с|^'— х"|а J \x' — y\V-m-*dy^с\х' — х"\К Ш (Xе9 р)\Ш {х'9 2г) Подставляя эти оценки в C.4), получим I Кг (Ф) {х') — Кг (Ф) (*") I *S с | х'— х" \К C.5)
138 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Оценим теперь разность /С2 (ф) (х') — /С2 (ф) (хя). Имеем К, (Ф) (х') — К2 (Ф) (Xя) = Л (х', х") + J, (х', х"), где /i(*'. х") = [ф(л:') — фЮ1 \k{x', x' — y)dy, J2(x', дг") = ф(х") J [?(*', x'—y)—k{x", x" — y)]dy. D Jt (x', x") = [ф (x') — ф (*")] J * (X', X' — */) dy. D\Ul(x', p) Поэтому |Л(^, x")\^:c\x' — x"\\ J2 (x', x") = ф (дГ) Г f k (*', x' — y)dy— [ = ф D\m\x"9 p) J где I3(x\ Л== D\IlT(x' Ш (*% о Ш (х\ о гегралы: р+\х'—х | ¦ J 1 ?Р) )\Ш 1 D\h k(x Д. :', х' — k(x", , р) IP, (л Q 1 Х' J y) — k(xf\ x" — y)]dy9 x" — y)dy> x"—y)dy. Аналогично получается оценка | /3 (x\ x") \ <j с | x' — x" p. Подставляя эти оценки в C.6) и принимая во внимание, что ф ограни- ограничена на 5, получим | К2 (Ф) (^') — К2 (Ф) (Л | ^ с | х' — х" р. C.7) Из C.7), C.5) и C.2) следует доказательство теоремы 3.1.Совершенно так же доказываются несколько более общие теоремы. 3.2. Теорема. Если fe? Z (m, 0, а) в области Do, 0 < а <г 19 Ф е С0' ° (D) и «ф 6 С0* а (Do X D), где 0 < р < а, то интеграл ф(х, у)^(х, x—y)q>(y)dy принадлежит классу С0*® (Do). Если, в частности, -ф (х, у) == ^x (x)'ty2 (у), то в теореме 3.2 требование -фбС0'" можно заменить требованием г[?6 С°*р.
§ 3] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 139 Отметим одно следствие указанных теорем, когда k не зависит от х. Этим следствием мы будем часто пользоваться в дальнейшем. 3.3. Теорема. Пусть k — функция, определенная на ?тч\|0[ и имеющая в этом множестве все производные любого порядка. Предположим, кроме того, что k (ty) = t~mk (у) для всех у? Ет> t > 0 и J С (О, 1) Если гре С°'а (Do), q>eC°'a(D), DoczD, то интеграл /С.(Ф)(*)= принадлежит классу C°'a(D0). 3.4. Теорема. Пусть (см. 1.14) k(x, y) = k°(x, x — y) — h(x, у), где k°?Z (т, О, а) в области Do, 0<а < 1, h?G (т — а, а, а) на Do X D и Ф6 С0-* (D) 0 < р < а. Тогда интеграл /С(Ф)(*)= jk(x, y)y{y)dy C.8) принадлежит классу С°* (o) Справедлива и более общая теорема (см. Giraud [1], Гегелиа [10], [12]). 3.5. Теорема. Если k?G (/я, а, а) на Do XD, 0 <а< 1, фб C°-P(D), € < р < а и k является сингулярным ядром, то К (ф), определенная фор- мулой C.8), принадлежит классу C°'p(D0). 2. Сингулярные интегралы в классах функций С*- а. Пусть D — конеч- конечная область из Ету ограниченная кусочно-гладкой поверхностью S, a So — также кусочно-гладкая поверхность, лежащая в области D и ограничиваю- ограничивающая область Do. Таким образом, DoaD. Рассмотрим сингулярное ядро k класса Z (m, s, а) в области Do. Тогда J k(x9 x — y)dyS = Q, C.9) С (х, 1) и сингулярный интеграл C.1) существует вВ„ при некоторых ограниче- ограничениях, наложенных на ф. Пусть т = 2; рассмотрим функцию & ( х, .х ~~ у,), определенную на Do X С @, 1). Разложим эту функцию в ряд Фурье: ( ттт) - S [G-{Х)У*Ш /г=1 2 /г=1 Здесь (jTjJ (^Slnn*; aoo = в силу C.9).
140 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Теперь, при некоторых ограничениях, наложенных на k и <р, интеграл C.1) можно записать в виде п, j Аналогично можно поступить в случае произвольного т. В самом деле, разложим k (xf *~ у Л по т-мерным сферическим функциям где Ynj есть /-я сферическая функция порядка /г. Подставляя C.11) в C.1), получим ряд вида (ЗЛО). Функции Ynf> определенные на С @, 1), продолжим на Ет\{ 0 \ сле- следующим образом: Очевидно, что Уя/, определенная таким образом на ?т\.{0|, удовлетворяет условиям Ущ Фс) = t-mYa, (х), при любом t > 0 и х6 ?»,\{0};) 3 12) , 1)). | Теперь интеграл (ЗЛО) можно переписать в виде Рассмотрим функцию У, определенную на?ш\{0}и удовлетворяющую условиям C.12). Предположим, кроме того, что С @, 1) и изучим сингулярный.интеграл о J Y(x)dxS = 0, C.14) Полученные результаты можно распространить на ряд C.13) или, что то же самое, на интеграл C.1). Рассмотрим интеграл несколько более общего вида, чем C.14). (x — y)H(x, y)dy, C.15) где Н — функция, определенная на Do x D. 3.6. Теорема. Если Н, -^-, ~ принадлежат классу С°*а (Do x D)9 0 < а, то в области D 0 существует -^~, t/ ояа принадлежит классу С0'fi (/? 0)> где р — произвольное число из интервала @, а).
§ 3] сингулярные интегралы 141 Доказательст во. Пусть *6 Do и б > 0 выбрано так, чтобы Ш (х, 8)aD. Тогда в силу теоремы 2.8 справедлива формула JL j Y(x — y)H(x, y)dy = J ±:[Y(x — y)H(x9 y)]dy- 1 D\m {x, 6) d\ui {xf б) ' — j Y(x—y)H(x, y)dyi, С (x, 6) где dyf = n, (y) dyC (x, б), п (у) = (пг (у), . . ., nm (у)) — орт нормали сферы С (х, 6) в точке у, внешней по отношению Ш (х, б). Следовательно, ±- \ Y(x-y)H(x, y)dy= J Y{x-y)dHlx'y)dy- 1 D\lll (x, 6) п\Ш {x, 6) _ J dY%~y) V (x, y)dy— J Y(x — y)H (x, y) dyf. D\IU (x, 5) 7 С (x, 6) С помощью формулы Гаусса—Остр о граде ко го второй интеграл в правой части можно преобразовать следующим образом: _ J «^„„.„4,- J у *-»«%**,- D\UI {x9 6) О\Ш (х, б) ^JY(x — y)H(x9y)dyi+ J Y(x—y)H(x, у)dyK S С (х, б) где dyj при у 6 S определяется формулой dyj = Лу (у) dyS, /iy (у) = == (ni (У)» • • •» пт (У)) — орт нормали поверхности S в точке у. Таким об- образом, J Y (x — y) H (x, y)dy — — | Y (x — у) Н (x, y) dyf ¦ fj\m (xt 6) S D\III (x9 6) Переходя в этой формуле к пределу, когда б —* 0, в силу 3.2 получим J Y(x — y)H(x, y)dyi. C.16) Теперь из теоремы 3.2 следует справедливость теоремы 3.6. Заметим, что в приведенных выше формулах под Н (х, у) при у? S по- понимается предел lim H (х9 г), т. е. Я+ (х, у). D=>z->y(=S Из (ЗЛ6) и из теоремы 3.1 следует 3.7. Теорема. Если Н (х, у) = Нг (х)-Н2 (у) и Нъ ^ принад- дН k лежат классу С0'а (Do)9 а Н2, -*ф принадлежат классу С0*а (D), 0 < а < 1, /по существует в области Do ^- и принадлежит классу С0*а (Do).
142 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Пусть jl9 . . ., /s — последовательность целых чисел, заключенных между 1 и т A <: jk < m, k = 1, 2, . . ., s). Введем обозначения [Я (х, y)]W = -?~[Н (х, у)]*-" + -?-№ (х, k = 1, ..., s; [H(x, y)]W = Я (х, у). (ЗЛ7) Если Я (л:, у) = ф (л:), то Методом математической индукции можно доказать, что а*Д(х, у) , дкН(х, у) дкН(х,у) + + + , . dkH(x, у) dkH(x, у) . dx,Y ¦ -^ikjyik дУпдУ12дх1Удх1к- , .... дН(х,„) , .._ ¦ дУ\дх1---дх1дУ1 ' х, у) , . . а*я (х, у) ¦ ^Я(х, t/) ¦ #> # . аЖл:, у) ^ • • • dyidxidy; " ' дхдУ• •'дУ Введем следующий термин: HW удовлетворяет какому-нибудь условию, если все производные, входящие в его выражение, удовлетворяют этому условию. Теперь очевиден, например, смысл записи С0- «(Do х D). 3.8. Теорема. Если функции Н, ЯШ, . . ., #fs1 принадлежат классу С°а (Do X D), то существуют частные производные dxh ' • • • ' дхи..-дхи в области Do, которые принадлежат классу С0- & (Do), где О < Р < а. Кроме того, У— = Г К (дс — у) [Я (дс, у)][« Лг/ — *±1 Г» ,ft_f+i Ду, Ду. (К (х—у) [Я (х, у)]''-21) dt/7'-^. C.18) Доказательство легко следует из предыдущей теоремы. 3.9. Следствие. Если Не С5' а (Do X D), 0 < а <? 1, то Y, опре- определенная из C.15), принадлежит классу Cs' ^ ф0), где 0 < р < а. 3.10. Сл едств и е. Если Н (х, у) = Ях (д:)-Я2 (^), НгеО>а (?H), Я26 Cs*а (D), 0 < а < 1, то Y, определенная формулой C.15), принадлежит классу Oa(D0).
§ 3] сингулярные интегралы 143 3.11. Следствие. Если дф ds(p ф"^7 принадлежат классу С°*а (D), 0 <а < 1, то существуют частные производ- производные dSx? a*,, • ' • - где *F — функция, определенная формулой C.14). Эти производные принад- принадлежат классу С°'а (Do) и 3.12. Следствие. Если q>6 Cs* а (?>), 0 <а < 1, то W, определен- определенная из C.14), принадлежит классу О а (Do)- 3.13. Замечание. Приведенные предложения 3.6—3.12 справед- справедливы и в том случае, когда область интегрирования D неограничена (см. Ге- гелиа [2]) или D = Ет (этот случай содержит предыдущий), но тогда на Н и ф надо наложить некоторые ограничения на бесконечности. Справедлива следующая 3.14. Теорема. Если ф' дхГ • * * *» дх, . . . дх. принадлежат классу Lp (Em)f\COi(X (D), то . . . дх. принадлежат классу C°'a (Do), еде X(x)= (интеграл определен в смысле главного значения). Кроме того, при k < s, дх 1 =[у(х~у) А Н ¦ ¦ ¦ dx'k J ду>г Е dy. C.20) Доказательство этой теоремы содержится в работе Гегелиа [2]. 3.15. Теорема. Если k — сингулярное ядро класса Z (га, s, а) в об- ласти Do, s — целое неотрицательное число, а — произвольное действитель- действительное неотрицательное число, не превосходящее единицу, ц>^С$* 0 (D),0 <p < а, то интеграл C.1) принадлежит классу CSi & (Do). Доказательство этой теоремы можно получить методом, указанным в начале этого параграфа, или несколько изменив рассуждения в доказа- доказательстве теоремы 3.1. Совершенно так же получается и более общая теорема.
144 СИНГУЛЯРНЫР ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV 3.16. Теорема. Если k — сингулярное ядро класса Z (m> s, а) в об- ш Do, 0 < s, 0 <а <¦ 1, Н принадлежит классу О* а (Do X D), то иляпный интегпал k(x, x — y)H(x, у) dy C.21) ласти Do. сингулярный интеграл принадлежит классу О 3(D0) для произвольного |3? @, а). 3. Интегралы с ядром специальной конструкции. Рассмотрим интеграл J [а(х) — а (у)] k (х, х — у) <р (у) dy, C.22) D где а — функция, определенная в D. Справедлива следующая 3.17. Теорема. Если k — сингулярное ядро класса Z (m, s, а) в об- области ?>0, 0 < s, 0 < а < 1, аб Cs* ^ (?>), фб Cr- ^ (D), 0 < |3 < а, то инте- интеграл C.22) принадлежит классу Cr+l'$ (Do) для любого г = 0, 1, . . ., s — 1. Доказательство этой теоремы основывается на следующих леммах. Пусть х, y(zDy х Ф у9 a lxg — вектор у — х. Введем обозначение а (у) —а (х) да (х) х \У*\ д1 ' У* C.23) О, х=у. 3.18. Теорема. Если а? С1^ (D), 0 < р < 1, то со 6 С0- '* (D X D). В самом деле, справедлива формула 1 \У — а (х) __ Г да (х + t (у — х)) ,, _ VI щ — xt f из которой, при х Ф у, получим m 1 1=1 О Очевидно, со (х, у) —> 0, когда у —* х. Кроме того, ®(*. /) —со (л;, г/") = У\—*1 С[ da(x + t(y'-x)) il(f J L~ ^ '-x| J L О Г y't — xt y"j- где у' = (f/t'), у" = {y"i) —точки области D. Из этой формулы следует оценка:
§ 3] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 145 Отсюда, рассматривая отдельно два случая, \у" — х\ ^ | у' — х | и \ у" — х | > | у' — х\9 получаем оценку ю(х, у') — со(х, /) = 0(|у' —/р). Покажем теперь, что со (*', у) — о) (л:", г/) = О (| л:' — *" |Р). Пусть | х' — у | < 2 | *' — х" |; тогда \ х" — г/1 <з 3 |х' — х" | и из C.24) получим оценки: \ у) = О(\х' — y\Z) = O(\x' — Если | х' — у | > 2 | х' — х" |, то | х" — у \ > \ х' — х" |, и будем иметь где . /." ^ — f \da{x"+t{y-x»)) да (х«) 1 „ ал* ,у)—] [ Wi ^—J аи о Очевидно, а*(*', У) — а«(**, У) = О (|а:' следовательно, Предложение 3.18 доказано. 3.19. Теорема. Если а? Сь |J) (D), то функция определенная на D х Ет, является сингулярным ядром класса Z (m, О, Р). Доказательство этой теоремы элементарно. Заметим только, что ® (*> У) = — ®(*» —^/)» откуда следует равенство J С(х, 1) Рассуждением, аналогичным примененному при доказательстве пред- предложения 3.6 из C.22) и C.21), можно получить (см. Гегелиа [10 3) доказа- доказательство теоремы 3.13. Справедлива и более общая 3.20. Теорема. Если k — сингулярное ядро класса Z (m, s, а) в об- пасти Do, s > 0, 0<а<1, а? Cs- а (Do X D), фб Сг^ (D), E < а, то , у) — а(х, x)]k(x, x — y)q>{y)dy C.25) принадлежит классу С7' р (Do) йля любого г = 0, 1, ..., s — 1. 10 В. Д. Купрадзе
146 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV 3.21. Определение. Пусть k (х> у)—функция, определенная для всех пар точек (х, у), где x?D0 и y?D, кроме, быть может, пар вида (х, х)> и не- непрерывна на указанном множестве. Предположим, кроме того, что она обла- обладает следующим свойством: для любой функции ф класса Cr> p (D) интеграл ]k(x9 y)q>{y)dy D принадлежит классу Сг+г>& (Do) при любом г = О, 1, . . ., s— 1. Такую функцию k мы будем называть ядром класса R (s, Р) на Do X D. Из теоремы 3.20 следует, например, что, если k?Z (m, s, а) в Do, и аеО а (Do X D), то п(х, у) = [а(х, у) — а(х, x)]k(x, x — у) принадлежит классу R (s, р) на Do X D при любом |3 < а. 4. Сингулярные интегралы на многообразиях. Как было отмечено выше, при исследовании граничных задач, поставленных в главе I, встречаются сингулярные интегралы, распространенные на двумерных многообразиях, лежащих в Е3. Изучим эти интегралы. Пусть S — замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая конеч- конечную область D+. Обозначим через п (х), где хб S, орт нормали поверхности S в точке х, внешней по отношению к D+. Пусть d — положительное число, вы- выбранное для этой поверхности, в определении 1,15.5. В 1,15.5 через S (г, d) была обозначена часть S, заключенная внутри цилиндра Ц (г, v3 (z), d). Рассмотрим множество \S(z, d/4)\zeS]. Это множество покрывает S и в силу компактности множества S из этого по- покрытия можно выбрать конечное покрытие S. Пусть это есть множество U(S) = {s(z, d/4) , . . ., S (I d/4)}. C.26) Рассмотрим функцию ky принадлежащую классу G B) на S X 5. Таким образом, k непрерывна в каждой точке (х, у), где х? S, y? S, х Ф у и k(x, y) = O(\x — y\-*). Назовем k сингулярным ядром, если интеграл J k(x, y)dyS S\S(x, 8) стремится к конечному пределу, когда е —> 0, равномерно относительно х? S. Из этого определения легко получается следующее предложение: 3.22. Если k — сингулярное ядро класса G B) на S X S и cpg C°'a (S), 0 < а, то в каждой точке х 6 S существует сингулярный интеграл К (Ф) (х)= \k (х, у) Ф (у) dyS = Urn f k (*, у) ф (у) dyS. C.27) S e^° S\SU, e) Справедлива следующая теорема (ср. с теоремой 3.5): 3.23. Теорема (Жиро). Если 8^Лг (a), k — сингулярное ядро класса G B, а, а) на S X S, фб С0» р (S), 0 < |3 < а < \,jno сингулярный интеграл C.27) принадлежит классу С0' р (S). Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены. Покажем, что для любых х' и х" из S
§ 3] сингулярные интегралы 147 Очевидно, не нарушая общности, можно считать, что | *'¦—х*\ <-т-. Пусть #'6 S ( z, -^-Л для некоторого z? S. Тогда х"? S (z, -^-V Имеем где /х (х) = J k (х, */) ф (у) d^S, /2 (х) = \ k (х, у) SB, rf) S\SB, d) /2 (*') — ^2 (*") оценивается элементарно, так как расстояние от точек х' и х" до множества интегрирования 5\S (г, d) — не меньше d/4. Рассмотрим теперь /, (л:). Введем новую систему декартовых коорди- координат — систему (г) (см. определение 1,15.5). Координаты точек х и у в си- системе (z) обозначим соответственно через %lf |2, |3 и Ль Лг» Лз- Пусть т (z) — касательная плоскость поверхности S в точке г; т (г, d) — проекция точек множества S (г, d) на плоскость т (z), параллельная п (г); ? = (?lf |2, 0), т| = (Tjlf Tj2, 0). Очевидно, т (г, d) — круг плоскости т (г) с центром в точке г и радиуса d; ?, ц?т (z). Отметим следующее простое предложение: 3.24. Если S6«/7r(a), г — произвольное натуральное число, то 02? б С'*« (х (г, d))9 где Теперь для 1г имеем где ф (т]) = ф (у) при y?S (z9 d), k (|, n) = fe (x, у) при х, y?S (z, d), dyS = в2 (t|) dt], dr] = dr]1dr]2. Легко показать, что k (|, г)) принадлежит классу G B, a, a) на т 'z, d) X X т (z, d), и требуемая оценка для /х следует из теорем 3.24, 3.5 и из нера- неравенства — т||, C.30) где с — некоторая постоянная. 3.25. Теорема. Если S^JIt (a), 0 < а <з 1 и k — одна из матриц, являющаяся сингулярным решением, построенным в главе II, то k принад- принадлежит классу G B, а, а) на S X S. Доказательство. Рассмотрим сначала матрицу k (x, у) = = Т (дх, п (х)) Г (х — у). Имеем 6 (xH)(xy) X =1 где Д 1 2 fx (X + 2ц) 2 (А, + 2ц) 3 ( 4я ¦]. J_ Г (А + Зц)х Л + Ц 1 Сз 2д L 2ц(Х + 2ц) 2(А+2ц) J* 10*
148 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Очевидно, | kki (х, у)\ < с \ х — у | и, следовательно, fe? G B). Покажем теперь, что \k(x'9 y)—k(x", у) \ < с \ х' — х"\а [ру (х', х") для любых х'9 х", y?S. Рассмотрим слагаемое u)= nk {x) {Xj ~ т) У) 7=J[— Имеем y) ______ y)- ______ Учитывая неравенство (см. 1,15.8) | nk (x') — nk {х) | ^ с | х — х |а, легко получить требуемую оценку. Аналогично оцениваются и другие сла- слагаемые. Докажем теперь, что k (х, у) = Т (дх, п (х)) Г (х — у) является сингу- сингулярным ядром, т. е. существует предел интеграла J k(xiy)df/S9 S\S (x, 6) когда б —> О, равномерно относительно x?S. Легко показать справедливость неравенства з i=i в силу которого остается показать существование предела интеграла f Alfe (*) (XI -~ Щ) — Щ (X) (Xk — Ук) А О S\S (Xi 6) когда 8-^0, равномерно относительно #? S. Для этого в свою очередь до- достаточно показать, что интеграл f nk (х) (xi — yi) — щ (х) (xk — yk) d? ,3 22) SB, d)\S(x, б) стремится к конечному пределу равномерно относительно x?S(z,-^j, когда б —> 0. Пусть х, у? S (г, d). Рассмотрим систему (г). Формулы преобразования координат будут иметь вид 3 3 au(z)lh yt = zt + 5j ^УB)Л/* C.33) Таким образом, Xi — У( = S a?/ (z) E/ — Л/) = «a (z) (ii — %) + art B) (Ь — Л2) + + a »B) [V. Ei, У — Тг (%, Л,)] = [aa (z) + a,3 (г) а?г(а|^2)] (Ь — %) +
К 3] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 149 где (?х, ?2, 0) — точка, лежащая на отрезке, соединяющем точки (?ь Ёг, 0) и (ТЬ. Лг. 0)- Отсюда Х{ — У1 = Рд B, X) (Ь — %) + Р/2 (Z, X) (Ь — Т)г) + ^iz (*, У), где Ри B, х) = аа (г) + оя (г) ^(a|'S2) , ) х) = аг2 B) + а„ (z) Следовательно, 2 2 Xj — Vi _ /=1 а: — г/ |з "Г | дс — ^ |9 • У0-0*' где hiz (х, у)\х — йГ36 G B — а). Совершенно так же можно показать, что I* — У\-6 = \ У ^/B,^)(Ь — Л|)F/ — Л/I~~ + ^«(^У), C.35) где feo6 G C — a), a af/ — некоторые функции, удовлетворяющие условию, что квадратичная форма a^Utf — положительно определенная. Таким образом, 2 J U~!/|3^ J (d) M 4- J fv , w« wt Л' * d) /j a*/ (*> *) Ut — rjf) A/ — Л/) U /=l J + j h(xyy)dyS, C.36) где ftgG B — а). Из этой формулы непосредственно следует требуемая рав- равномерная сходимость интеграла C.32). Теорема доказана для k (х, у) = Т (дх, п (х)) Г (х — у). Аналогично доказывается теорема для матриц [Т (дд, п) Г (х — у) 1\ Т (дю п) Г (х — у, со), Т (дху п (х)) Т (х — у) и других. Теперь из теорем 3.23 и 3.25 следует 3.26. Теорема. Если Sk:JI1 (a), 0 < a <: 1, k есть любая из мат- матриц, перечисленных в теореме 3.25, а фб С0-C (S), 0 < C < а, то сингуляр- сингулярный интеграл C.27) существует в каждой точке х? S и является функцией класса С0- & (S). 3.27. Замечание. При доказательстве сходимости интеграла C.32) приходится доказывать существование предела Ит | &°E> S-
150 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV где % (|, б) есть ортогональная проекция множества S (х, б) на плоскость т (г), х (g, б) не является кругом, но легко показать (см. Гегелиа [10]), что lim [ #>(?,? —т|)А|=Нт f k°(l, l— ц) йц. Здесь fe° (g, | — т]) есть ядро первого интеграла, стоящего в правой ча- части равенства C.36). Применяя представления вида C.34)—C.36) и предыдущие теоремы этого параграфа, можно обобщить теорему 3.26. 3.28. Теорема. Если S^JIS (а), где s — произвольное неотрицатель- неотрицательное целое число, а а6 @, 13; k есть любая из матриц, являющаяся сингуляр- сингулярным решением, построенным в главе II, ср? С5' |3E), 0 < |3 < а, то сингу- сингулярный интеграл C.27) принадлежит классу О P (S) и \\К (<p)||(s# s,,3) ^ |||| ||P||(, .P) Заметим, что теоремы 3.24—3.28 с очевидными изменениями в форму- формулировках сохраняют силу (см. Гегелиа [12]) и для разомкнутой поверхности. 3.29. Замечание. Из доказательства теоремы 3.25 видно, что k принадлежит классу G B, а, а) и, кроме того, для любого г6 S на т (г, d) X X т (г, d) справедливо представление К F, Л) = "г & I — Л) + vz (Е, т|), C.37) где w2G Z B, 0, а) на т (z, d), a yz6 G B — а, а, а). Здесь &2 (g, tj) = fe (д:, t/), при х, у ? S (z, d). * 3.30. Определение. fe6GB,a,a), если fee G B, а, а), и допускает представление C.37). В дальнейшем нам понадобятся в основном функции класса G B, а, а). При изучении сингулярных интегралов с ядром из класса G B, а, а) часто применяется следующий прием. Пусть требуется установить определен- определенное свойство интеграла C.27) для точек, лежащих на S (z, б), где z6 S и б < d. Тогда естественно представить К (ф) в виде суммы К (Ф) (х) = J А (х, у) Ф (у) rf^S + J ? (х, у) Ф (у) dfi. C.38) S(z, rf) S\S(z,d) Второе слагаемое в правой части легко изучается, так как при х? S (z, б) оно не содержит сингулярности. Для изучения первого слагаемого проще всего (а иногда необходимо) перейти на плоскость % (z), с помощью замены переменных. Таким образом, будем иметь J k(x,y)q>(y)dyS= j ftz(S,Ti)e2(Ti)<p(Ti)*|- C.39) S(z, d) x{Zid) Формула C.39) пока имеет формальный характер. Для установления этого равенства сначала следует определить сингулярный интеграл, стоящий в правой части, и потом показать справедливость равенства C.39). Это можно сделать следующим образом: По определению, J k (x, у) ф (у) dy = lim f k (x, у) <р (у) dyS = S(z,d) s^0S(d)\S() 2l, e) где т2 (I, e) — ортогональная проекция множества S (x, e) на плоскость х (z).
* 3] сингулярные интегралы 151 Если теперь интеграл, стоящий в правой части равенства C.39), опре- определим формулой J К g, ц) в2 (TJ) Ф (г\) dx\ = lim J kz gf r\) в2(yi) Ф (tj) dt|, C.40) X B, uf) 8">° XB, rf)\Tz (|, 8) то уже приведенное рассуждение доказывает равенство C.39). Заметим, что сингулярный интеграл, стоящий в левой части равенства C.40)^распространен на часть евклидова пространства. На таких множествах сингулярный интеграл мы определили не формулой C.40), а равенством J kz g, г)) в2 (т|) ф (л) di\ = lim J kz g, т|) 62 (т|) Ф (т|) dr). C.41) x(z,d) 8">0 т B, d)\lU (I, e) Здесь символ J снабжен значком * для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет об определении сингулярного интеграла в смысле главного зна- значения. Таким образом, мы получили два определения сингулярного интеграла. Определение формулой C.40) возникло из совершенно естественного опреде- определения сингулярного интеграла, распространенного на многообразиях, а определение формулой C.41) — вполне естественное для интегралов, рас- распространенных на областях евклидова пространства. Установим связь между этими интегралами. Это необходимо, если мы хотим перенести результаты, полученные для интегралов, распространенных на областях, на интегралы, распространенные на многообразиях. Введем на плоскости т (х) полярные координаты с началом в точке х. Пусть хг — точка границы множества S (х, е), а 5е — ^е проекция на плос- плоскость т (х). Пусть полярные координаты точки |8 есть 8 и Ф. Обозначим угол между прямой, проходящей через точки х и ?8 и плоскостью т (г), сим- символом a g, #). Легко показать, что cos a g, О) = —, ^ ^—^-, {«з (В + (ni (I)cos * + п2 (D sin #J}1/2 где п (х) — орт внешней нормали, а пг (?), п2 (I) и пг (|) — координаты вектора п (х) в системе (г). Заметим, что если S^JI1(a)9 то cos a g9 d) удовлетворяет условию С°-а (т (г, d)), равномерно относительно #? [0, 2я1. Теперь легко написать уравнение границы множества т2 g, 8) в указан- указанной полярной системе. Имеем r = ecosag, О). С помощью этой формулы легко установить требуемую связь. 3.31. Теорема. Если S? Лх (a), k — сингулярное ядро класса G B, а, а) и фб C°-a(S), mo существуют интегралы C.40) а C.41) в каждой точке х? S (z9 d), и справедливо равенство G J ^(?,т]H2(г1)Ф(г]^т1 = -0г(Юсог©Ф< tB# - 1, C.42)
152 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV где <*г (I) = \»2 A> #) In cos а (|, ft) <sM>, C.43) a uz — функция, определенная из C.37). Подробное доказательство этой теоремы читатель может найти в работах Михлина [11 и Гегелиа [103. 5. Сингулярные операторы в пространствах Lp. Теорема Кальдерона и Зигмунда. Рассмотрим сначала сингулярные операторы в пространствах Lp (Ет), р > 1. Если фб Lp (Em)9 то \<p(x)\rdx\l/P. А. Кальдерон и А. Зигмунд (см. Calderon, Zygmund [1]) доказали сле- следующую теорему о сингулярных операторах. 3.32. Теорема. Если k — сингулярное ядро класса Z (т, 0, а) на Ет9 и J \k(x9x — у)\р' dyS^c, —г Н = 1, р>1 C.44) для любого х? Ет9 то сингулярный интеграл К (ф) (х) = I k(x9 х — yL>{y)dy является линейным ограниченным оператором, переводящим Lp (Em) в себя. Таким образом, если ф? Lp (Em)9 то, в условиях теоремы C.32), сущест- существует К (ф) (х) почти для всех х?Ет9 К (фN Lp (Em) и C.45) где с не зависит от ф. Нам понадобятся свойства сингулярных операторов в пространствах Lp (S), где 5 — замкнутая поверхность Ляпунова в Е3 (точнее, поверхность класса Лг (а)). Введем сначала пространство Lp (S). Рассмотрим покрытие C.26) поверхности S и обозначим, ради простоты, через S/ множество 5 (z, d). Пусть Ег (х)у . . ., Ек (х) — функции, определен- определенные на S и удовлетворяющие следующим условиям: 1) ?,eC°'a(S); 2) Et(x)^0, xeS; 3) f Et(x) = \9 xeS: 4) [хе8\Е,(х)ф0] =SfaS(z, d/2). Предположим, кроме того, что если S,nSf Ф 0, то найдется такой ин- индекс /, что SiflSjCiSi. 3.33. Определение. Систему функций \Et\, удовлетворяющую условиям 1)—4), будем называть разложением единицы на 5. Легко доказать существование разложения единицы. Более того, си- система {?,-} может быть построена эффективно. Справедливо и более общее предложение (см. Гегелиа [lOJ).
§ 3] сингулярные интегралы 153 3.34. Теорема. Если S^Jln (а), то существует на S разложение единицы \Е(\9 где каждая функция Е, принадлежит классу О-а(«$). Пусть ф — функция, определенная на 5. Тогда ??-<р равно нулю вне S,. Определим на т, функцию ?,ф равенством где %t = т (z, d). 3.35. Определение. Определим интеграл от ф на 5 равенством J Ф (х) d*S = ? J Е. (I) Ф а норму в пространстве Lp (S) — равенством /р i Здесь через в,: обозначена в2 (см. C.28)) при z = z. 3.36. Теорема. Если S^J11 (а), &—сингулярное ядро класса G B, а, а) на S X S, q>? Lp E), р > 1, то сингулярный интеграл C.27) существует почти для всех х? S и с не зависит от ф. Доказательство. Имеем к is is где \Ei\ — разложение единицы (см. 3.33). Очевидно, что j Е, (х) | К (Ф) (х) \pdxS = \ Et (x) | К (ф) (х) |р dxSt S с* где Sf — носитель функции Е^ Кроме того, К (ф) (х) = J] J k (х, у) Е, (у) Ф (у) dyS. Отсюда, в силу неравенства Гёльдера, j Е, (х)\К (ф) (х) |" dxS ^ с ^ J Et (х) | Ю (Ф) (дс) |" dxS, где = J * (x, у) ?,- (у) Ф (г/) dyS = J fe (х, у) Я/ (у) Ф S о*
154 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Если х(Е Sj, то Ю (ер) (х) ={«/(§, т)) Е, (»]) ф (л) в,- (л) dr) + J и,- A, т)) ?,• (rj) Ф (т]) 6, (rtf А), / где My и у;- обозначают и2 и v7 при z—z. Требуемая оценка для первого интеграла получится из теоремы Каль- дерона и Зигмунда, а для второго интеграла соответствующая оценка полу- получается элементарно, так как v}^G B —а, а, а). Заметим, что теорема 3.36 справедлива и для разомкнутой поверхности S. Нам понадобится несколько более общее пространство, нежели опреде- определенное выше пространство Lp (S). Приведем определение этого пространства. Рассмотрим множества всех векторов вида ф = (ф1, . . . ,фт), где ф,- — определенная на 5 комплекснозначная функция класса Lp (S), р > 1, i = 1, . . ., т. Пусть Ф (х) • -ф (х) = ? ф, |) (х) = (Хф + где г|) = (я]?!, . . ., t|)m), а 1 и т — комплексные числа. Введем норму Обозначим через L{vm) (S) полученное таким образом линейное норми- нормированное пространство. Легко показать, что всякий линейный функционал F над пространством Lpm) (S) представится в виде F(9) = где -ф = (г^!, . . ., -фт) — некоторый элемент пространства L)?* E), где Рассмотрим линейный сингулярный оператор вида Л (ф) (х) = а (х) ф (х) + | Р (х, г/) ф (у) dyS, C.46) где а (х) = || aif (х) ||тХт — матрица, определенная на «S, а р (х, у) = = II Р*/ (^» У) llmxm — матрица сингулярных ядер класса G B, а, а), а > 0. Интеграл, участвующий в C.46), определен в смысле главного значения. В силу теоремы 3.36 Л является линейным ограниченным оператором, пере- переводящим Lpm) (S) в себя. Найдем оператор Л, сопряженный с оператором Л. По определению, Л есть линейный ограниченный оператор, переводящий L(D^) (S) в себя, такой, что J А (ф) (х) о Ф (х) dxS = J ф (х) о Л (ф) (х) при любых фб L^m) (S) и фе U71* E).
§ 3] сингулярные интегралы 155 Имеем, h(x)oa \dxS J где а* и P* — матрицы, полученные соответственно из а и р, путем транспо- транспонирования и заменой элементов на комплексно-сопряженные. Можно показать (см. об этом более подробно в следующем параграфе), что в предыдущей формуле можно переставить порядок интегрирования. Тогда получим J Г <p(x)dxS. Отсюда следует, что А (Н>) (х) = а* (х) ф (*) + J P* (у, х) ф (у) dyS. C.47) Очевидно, приведенное рассуждение не изменится, если под Lpm) (S) будем подразумевать пространство вещественных векторов (над полем ве- вещественных чисел) с нормой, определенной той же формулой. Рассмотрим сингулярный оператор /С, определенный формулой C.27). Докажем одно предложение, которым часто будем пользоваться впослед- впоследствии. 3.37. Теорема. Если S — поверхность Ляпунова, &? G B) на S X S и оператор /С, определенный из C.27), является ограниченным опера- оператором из Lp (S) в Lp (S), р > U то оператор Ка является вполне непрерыв- непрерывным из LL, (S) в Lt E), где Ка (Ф) (х) = J [a (x) — а (у)] k (х, у) Ф (у) dyS C.48) <и а — произвольная непрерывная функция на S. Доказательство. Очевидно, Ка является ограниченным опера- оператором из Lv (S) в Lp (S). В самом деле, где | а | ^ АЛ Докажем теперь, что Ка является вполне непрерывным из Lp (S) в Lp (S). Предположим сначала, что а^С0Л (S); тогда очевидно, что Ка является вполне непрерывным из Lp (S) в Lp (S). Пусть \ап\ — последовательность функции, сходящаяся равномерно к а, и ап?С°>1 (S) при п = 1, 2, . . .. Тогда, очевидно, || Кпп -— Ка \\ —* 0 при п —» оо и, следовательно, Ки является вполне непрерывным оператором из Lp (S) в Lp (S). В доказательстве были использованы две простые теоремы. Первая за- заключается в следующем. Если S — поверхность Ляпунова и К 6 G (г) на S X 5, где г < 2, то оператор К, определенный равенством C.27), является вполне непрерывным из LP (S) в Lp (S). Вторая теорема такова. Если КЛя — вполже непрерывный оператор из Lp (S) в Lp (S) при п = 1, 2, % . ., и | Кап — Ка I —+ —*• 0, когда п —> оо, то Ка— также вполне непрерывный из Lp (S) в Lp (S).
156 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Доказательство этих теорем можно найти, например, в книгах: Люстер- ник, Соболев [11 или Канторович, Акилов [11. Из теорем 3.36 и 3.37 следует 3.38. Теорема. Если S? Лг (а), а > 0, k — сингулярное ядро класса G B, а, а), а6 С E), то оператор C.48) является вполне непрерывным из Lt (S) в Lp (S). § 4. Формула перестановки порядка интегрирования в повторных сингулярных интегралах. Композиция сингулярных ядер !. Общая формула перестановки порядка интегрирования в повторных сингулярных интегралах. Справедлива следующая 4.1. Теорема. Если Sg Лг (а), и и v — сингулярные ядра класса G B, р, у) на S X 5, ф6 С0-6 E X 5 X 5), а, р, у, б > 0, то для любогохt S \и(х, y)dys\v(y9 z)y(x, у, z)dzS = — O(x)y(xf x, x) + + | d? | и (xt у) v (y9 z) ф (х9 у, z) dyS, D.1) где f f f f ф (#) = d-,S I w (jc, y) v (y9 z) dyS — \ и (xt y) d^S I v (y, z) dzS. с ' <? 5 s Доказательство этой теоремы ведется по следующей схеме, указанной Жиро. Имеем (*)= J u(x,y)djS\v(y9 г)ц>(х,у, = j и (х, у) duS J v (у, z) [ф (jc, y,z) — q> (x, у, y)\ d,S + + ju(x9 y)lq>(x, у, у)— <p(x, x, x)]dyS ^v(y, z)dzS + + Ф (x, x, x) j и (x, y)djs\v (y9 z) (x) = J dzS J и(x, y)v(y, z) ф(x, y9 z)dyS = = j d2S J a U, y) v (y9 z) fф (x9 y9 z) — ф {x9 y9 y)) ?\{x> y)Vf(x9 y, y) — y(x9x9 x)]v(y9 + Ф(x9 x, x) I dzS J и(хч y)v(y9 z)dgS. Очевидно, что v (r/, z) [ф (x9 y9 z) — ф (jc, y9 у)} и и (х9 у) [ф (х, ^, у) — — Ф (x, ^, x)l принадлежат классу G B — т|, tj, ц), где т] = min {a, p, у, S|. Теперь D.1) следует из того факта, что можно переставить порядок интегри-
§ 4] ФОРМУЛА ПЕРЕСТАНОВКИ ПОРЯДКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ 157 рования в повторных интегралах, один из которых регулярный, а другой — сингулярный. Можно доказать и следующее предложение: 4.2. Если S^JI1(a)i и {х, у) и v (х9 у) — сингулярные ядра класса G B, р, у) (у, р > 0) и фб Lv (S) (р > 1), то почти для всех х? S справед- справедливо равенство + J Ф (г) dJS | и (х, у) v(у, z) dyS. D.2) Доказательство. Множество функций класса С0»6 (S) (б > 0) всюду плотно в Lp (S), Поэтому можно подобрать такую последовательность {ф„|, которая сходится к ф по норме пространства Lp (S) и почти для всех #? S. Кроме того, ф„? С0' 6 E) при п = 1, 2, . . .. По доказанному, формула D.1) справедлива для фп (п = 1, 2, . . .). Теперь доказательство получится предельным переходом в равенстве D.2), написанном для ср„. Можно получить для Ф более удобное выражение, а именно, J u(xiy)v(y,z)dyS. D.3, J d) S(x, Заметим, что эти теоремы справедливы, если 56 Ет. В этом случае они несколько обобщают результат Трикоми (Tricomi [1, 2 3 и Михлин [1]). Теоремы 4.1 и 4.2 справедливы также, если S есть m-мерное ляпуновское многообразие. 2. Пример. Рассмотрим теперь один достаточно общий пример ядер и и о, и вычислим функцию Ф, соответствующую их композиции. Пусть 3 и (х, у) = [h (х, у)]'3 S и, (х, у) (xf — уь), 3 v(x, у) = [h (х, у)Т3 S vt (х9 у) (xt — у()9 D.4) где 3 ft2 (х, у) = 2 Ki (x> У) (х* — Уд (Xf — yi)y uh vh h(j (t, / = 1, 2, 3) — заданные на S X S функции класса С°-а, S — замкнутая поверхность класса Л1 (a), x = (х,:), у = (yt). Кроме того, все главные миноры матрицы || hif Цзхз положительны на S X S. Пусть z?S и рассмотрим локальную систему координат B), Преобразуя функции и<1> (х, у) = [h" (х, у)]-3 2 «il) (х) (xt - yt), , у)}'3 i v^(x, y)(Xi-yt), l hll) (x, y) = 1/ t Г I. /=1 ap (x) = m (x, x), v(tl > (x) == o/ (x, x), lift (x) = /i?/ (x, x),
158 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV с псшощью C.33) получим «<*> (х, у) = [ЯA) (х, у)]'3 2 и',1'(г, ж) (Ь 1=1 Р<»> (х, у) = [ft(i> (х, y)]~s ? ^' (z, х) it -%), где , *) = S u(>1)(x)aif(z)t v\l) (z9 x) = i — r\t)(t, — Можно доказать, что для любых х и у из S B, d) справедливо неравенство 2 — Ч<) F/ — Л/)Е** IЕ — Ч|2, D.5) где 2, л-) = ? = A1; ?U, 0), ti = (%, Ц2, 0), „ х | о РУг Къ) и(^) t<? y\ _J_ а |g = ^2 (?) — уравнение части S B, d) в системе B). Пусть точки х и г/ лежат на S B, d) и пусть F 4. /=1 г, х) = z, x), «,/-1.2). Рассмотрим функции ui2)(x, y)= , у)] определенные на S (г, d) x S B, d). Теперь легко показать, что 2 ф B) = — lim \ di) \ V ^:2) B, 2) 6 , х Г B, rf) T(z,k) i «<а> (г. , ?a *^ fe 8) 6l6/]3 2 it 5a D.6) 3/2 3
§ 4] ФОРМУЛА ПЕРЕСТАНОВКИ ПОРЯДКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ 159 где Т (г, X) — множество тех точек ц (г\и ц2) гиперплоскости т B), для ко- которых 2 Введем новые координаты на плоскости % (г). Пусть Ь = 2*</(*)?/> D.8) где 1^, 12 — координаты точки | = (|lf E2) в новом базисе, a at/. B) выбраны таким образом, чтобы выполнялось равенство i ^(г,г)Ы,= Ъ?. D.9) i, /=1 1=1 Выбор постоянных а.ц (г) указанным условием возможен в силу D.5). Теперь Очевидно, что 2 2 2 М/Ч*. z)fo — Л*)A/ — Л/)= S (Si —Л*J. D.10) где %, Лз — координаты точки х\ = (т|1э г\2) в новом базисе. Легко вычислить якобиан преобразования D.8). Будем иметь ^ (?l. Ei) D Ы > П2) ]/"det I hf) B, г) | ' ' ^ В самом деле, PEvy =det 11^BI1. D.12) Далее, ^ г, г) Ь?, = i S t ^ (г, 2) ( Д а« B) Й ) (|; а;/ B) й) = 2/2 2/2 S ( S и в силу D.9) 2 где 6fe/ — символ Кронекера. Из этого равенства следует, что ?f D.13) где значок * при || aif || означает операцию транспонирования матрицы, а Е — единичная матрица. Следовательно, Отсюда в силу D.12) следует D.11). Очевидно, также, что [ D.14) где «?} (z) = 2 и™ B, г) аы (г), «48) B) = 2 № (z, z) aki B).
160 СИНГУЛЯРНЫ? ИНТЕГРАЛЫ V ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (Гл. IV Областью Т (г, к) будет множество тех точек (tjJ), для которых Обозначим эту сферу через Cv Из D.7)—D.14) следует, что 2 X Введем обозначения Легко усмотреть, что Jif (X) = 0, если i ф / и Уа (Я,) = Jи (%) (i, / = 1, 2). Следовательно, ф(г) == ^ . '; ' / lim Ju (X), D.15) Предел функции J1X (к), когда А, —^ 0, вычислен у Жиро (см. Giraud [1], стр. 321): lim Ju (X) = я^ [ 2П D") ], DЛ6) где Г (/) — гамма-функция Эйлера. Докажем теперь, что ?u<3)(z)t,<.3>(z)= S Я»,(г)«Р>(г,г)ор(г,2), D.17) где Hif (z) есть отношение алгебраического дополнения элемента hq* (г) в детерминанте det | hffl B, г)|| к самому детерминанту. В самом деле, S «13>(г)«13) (г) = S l 2 2 = S *42) B, z) ^2) B, z) 2 afei B) a« B). fe. /==1 i=i Теперь для доказательства D.17) достаточно показать, что Но это равенство легко получается из D.13). В силу D.15)—D.17) окончательно получаем
§ 5] регуляризация сингулярных операторов 161 Заметим, что приведенное рассуждение не изменится, если S есть т- мерное многообразие в Ет+1, а в выражении для и и v (см. D.4)) число 3 заменено на т, а 2 — на т — 1. В заключение этого параграфа сделаем следующее замечание. Теорема 4.1 остается справедливой, если ф = (ф1э . . ., ф„), и = | Ф ||^ /=1, v = [ v1* ||? /==ь где и**, v*l и Ц){ (i, j = 1, . . ., га) удовлетворяют тем же условиям, что и н, v и ф в теореме 4.1. В этом случае под uv и скр понимаются обычные произве- произведения матрицы на матрицу и матрицы на вектор. Ф = ||Ф*/1 вычисляется формулой D.3). Подробное доказательство приведенных формул, а также их обобщения имеются в работе Гегелиа [7]. § 5. Регуляризация сингулярных операторов 1. Метод Жиро. Пусть S — замкнутая поверхность Ляпунова °а (S), a k — сингулярное ядро класса G* B, а, а) на S X S (см. определение 3.30). Рассмотрим оператор К (ф) (х) = а (х) Ф (х) + J k (xt у) Ф (у) dyS, и поставим следующую задачу: найти оператор К' (ф) (х) = а' (х) ф (х) + J к9 (х, у) ф (у) d?, удовлетворяющий условию К' (К (ф)) (х) = а (х) Ф (х) + J h (x, у) Ф (у) d^S, где а Ф 0 на S, /i? G (г) на 5 X 5, а г < 2. Оператор К', удовлетворяющий этим условиям, называют регуляриза- тором оператора К. Из формулы перестановки ясно, что если ядро k' — регулярное, то опе- оператор К' не будет регуляризатором. Следовательно, к! должно быть сингу- сингулярным ядром. Кроме того, при решении поставленной задачи нам придется исследовать композицию К'К и применить формулу перестановки порядка ин- интегрирования в повторных сингулярных интегралах, полученную в преды- предыдущем параграфе. Для проведения указанного рассуждения необходимо, чтобы а' и kr удовлетворяли некоторым условиям гладкости. Потребуем, чтобы а' е С0'а (S), afe'eG* B, а, а) на S X S. Именно так ставит задачу регуляризации Ж- Жиро (см. Giraud [1]). Применяя формулу перестановки для композиции операторов К и К\ получим К' (К (Ф)) (х) = \а' (х) а (х) + Ф (х)] <р (х) + + J Г а'(*)*(*, *) + *'(*, г)а(г)+\#(х, y)k(y, z) djs\ cp(z)d2S9 E.1) где ф — функция, полученная из формулы D.1), если положим в этой фор- формуле v и и соответственно k и kr и изменим знак полученнбго. выражения. 11 В. Д. Купрадзе
162 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Из E.1) видно, что поставленная задача регуляризации будет решена, если о! и k' выбраны так, чтобы а'(х)а(х) + Ф(х)фО, xQS, E.2) a'(x)k(x9 z)+k'(x, z)a{z) + \k'{x,y)k{y> z)dyS = O(\x — z\r) на S X S, E.3) где г < 2. Заметим, что в одномерном случае, т. е. когда 5 — кривая на комплекс- комплексной плоскости, х, у, z — точки этой плоскости, dyS = dyr а k (x9 y) = b (х) [л (у — х)]-1 + h (х, у), где h — регулярное ядро, задача регуляризации решается элементарно (см. Мусхелишвили [2 3). В самом деле, пусть тогда условие E.2) примет вид а [a'(x)b(x) + b' где г < 1. В этом случае а'(х)а(х) + Ь'(х)Ь(х)фО9 x?S, 1 [a'(x)b(x) + b'(x)a(x)][n(z — х)Г1 = О(\х — z|-'), j ( * ' f J и поэтому j k' (х, у)k(у, z)duS = \k' (х, у)h(y,z)dyS = O(\x — 2r|-0. E.5) Условие E.4) эквивалентно условию а' (х) b (х) + Ь' (х) а (х) = 0. Если потребуем, чтобы а2(х) — Ь2(х)ф0, xeS, E.6) то можно брать, например, а' = а и Ь' == —Ь. Таким образом, в одномерном случае, если выполнено условие E.6), регуляризатором оператора К является К\ при а' = а и Ь' = —Ь. В двумерном случае задача регуляризации оказывается гораздо сложнее. В этом случае, вообще, не выполняется условие E.5) и это затрудняет реше- решение поставленной задачи. Кроме того, дополнительные трудности вызывает и то обстоятельство, что не всегда удается выразить Ф в явном виде. Перейдем к изучению нашей основной двумерной задачи. Очевидно, а' и k' зависят от а и сингулярной части ядра k и не зависят от его регуляр- регулярной части. Пусть \Si) и \Si) —два покрытия поверхности S типа П (S) (см. C.26)). Предположим, что замыкание множества SI содержится в St (S'iCzSi). Введем обозначения. Пусть при z = z a, F) = a, F), в, (g) = вг (|), ©,© = ©,(©, Щ (|, Л) = U2 (I, T]), V{ (|, T|) = Vz (I, T|), k{ (|, T]) = kz (g, Г)), ? f E.7) Ut (Ф) (I) = [at (I) — St (l) со, ©] Ф (I) + J в, (g) a, (g, § — tj) Ф (n) dt|f где ©2, Лг, 1/г, и2 и в2 определены из C.28), C.37) и C.43).
§ 5] регуляризация сингулярных операторов 163 Ut (ф) (?) определен для | ? *ь где т, — ортогональная проекция мно- i жества St на плоскость т (г). Пусть нам удалось построить функцию а\ на т,- и сингулярное ядро щ на %i х Т; таким образом, чтобы при |, ??<•: a! (I) [сц (l) — @c (I) со, (?)] + Ф* (?) ^ 0, E.8) О(Ц — СГГХ E.9) t где Tj — ортогональная проекция множества SI на плоскость т (z), г < 2, ф* — функция, участвующая в формуле перестановки порядка интегри- интегрирования в случае ядер в; (?) ut (?, ? — т]) и wt- (g, g — т|) при сингулярных интегралах, определенных формулой C.41). Теперь легко доказать, что оператор К' является регуляризатором опе- оператора К, если положим k' (х, у) = 2 j^U*) и* (^ У) [©*' Здесь \Et (х)\ — разбиение единицы, а\ (х) = a;- (g), a)'L(x) = со/ (g), ?,- (х) = ?;• (I), М/ {х, у) = и? (|, | — т|) при х, у с Sif a cot- — функция, определенная так же, как со,, но для &;-. В этом методе не указываются условия, при выполнении которых можно построить регуляризатор. Иначе говоря, не выясняется, при каких пред- предположениях относительно а и k можно строить а[ и и[ по условиям E.8) и E.9). Ж. Жиро (см. Giraud [1]) строит такие функции для оператора /С, когда ядро есть функция вида D.4). Для матричных сингулярных операторов, встречающихся в первой и второй основных задачах теории упругости, такие функции (матрицы) построил В. Д. Купрадзе (см. об этом подробнее в § 7). От указанного недостатка свободен метод регуляризации С. Г. Михлина. Этот метод применим для интегралов, распространенных на Ет при любом т > 0. Нам необходим случай т = 2; поэтому рассмотрим задачу регуля- регуляризации сингулярных интегралов, распространенных на Е2. 2. Метод Михлина. В этом параграфе изучим вопрос регуляризации сингулярных интегралов, распространенных на двумерном евклидовом про- пространстве ?2. Предположим, что и — сингулярное ядро класса Z B, 0, а), а > 0 на Е2, а? С0- а (?2), и рассмотрим оператор и(х, х — у) <р (у) dy + В (<р) (х), E.10) где В — вполне непрерывный оператор из Lp (Е2) в Lp (?2)» /? > 1. Инте- Интеграл определен в смысле главного значения j и(х9 х — у) 4(y)dy = Mm J и(х9 х—y)q>(y)dy. E.11> Ег е->° Ег\Ш (х, 8) Поставим следующую задачу регуляризации. Найти оператор А' (Ф) (х) = а' (х)<р(*) + J W (х, x — y)<p(y)dy-\-B' Е%
J64 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV (где функции а', и' и оператор В1 удовлетворяют тем же условиям, которым удовлетворяли а, и и В соответственно) по условию где Во — вполне непрерывный оператор из Lh (?2) в Lp (?2). Приступая к решению этой задачи, рассмотрим функцию определенную на ?2 X С (О, 1), которую назовем характеристикой опера- оператора А. Здесь Ф — аргумент точки х~у —д < ф^: я. Разложим характеристику в ряд Фурье X (*,*)= S а*(*)***. E.13) fl= ОО Очевидно, а0 = а (см. A.13)). Рассмотрим функцию <*(*,«) = 2 fl«W6/n*, E.14) П=—СХ> где 2T при п=^ ° и а*° = а° = а> E.15) и назовем ее символом оператора А. Понятие символа, введенное С. Г. Михлиным (см. Михлин [13), как мы убедимся ниже, играет весьма важную роль в теории сингулярных инте- интегральных операторов. Предположим, что на Е2 X С @, 1) т1|а(*,Ф)|>0, E.16) и рассмотрим функцию а' (х, д) = [а (х, О)]. Разложим а' в ряд Фурье и составим функцию S Х'(х,Ъ)= S an(x)ein*> E.17) где ап = — .', а , при пФ О ао = ао = а . Пусть ы''(я, х — у) = \х — у\~2[% (х, Щ — а! (х)]. E.18) Легко доказать, что и' — сингулярное ядро класса Z B, 0, а) на Е2 и а' ? С0' а (?2) (см. об этом более подробно в § 6). Рассмотрим стереографическую проекцию Е2 на единичную сферу. Пусть стереографическая проекция точки x(z E2 есть точка I указанной сферы. Теперь, каждой функции ?, определенной на ?2, можно поставить в соот- соответствие функцию Wc, определенную на сфере формулой Тс (I) = W (х). 5.1. Теорема (Михлин). Если выполняется условие E.16) и ос (?, #) непрерывна относительно I на сфере, равномерно по Ф ? (—я, я), то оператор А', в котором а' и и' определены равенствами E.17) и E.18), для любого вполне непрерывного В' является регуляризатором оператора А в простран- пространстве Lp (?2).
§ 5] регуляризация сингулярных операторов 165 Доказательство этой теоремы основывается на теореме о композиции сингулярных интегралов (см. Михлин [1]), которая гласит, что композиция сингулярных интегралов соответствует произведение их символов. Теперь, так как символы операторов А и А' взаимно обратны, их композиции соот- соответствует символ, тождественно равный единице. Но оператор, обладающий этим свойством, имеет вид ср + Во (ф), где Во— вполне непрерывный опе- оператор. Рассмотрим операторы Аи (Ф) (х) = ац (х) ф (х) + ] uif (х, х — у) <р (у) dy + Вц (<р) (х), E.19) я? где ?, /== 1, . . ., т\ aif€ С0* а {Е2)\ uij — сингулярное ядро класса Z B, 0, а), а > 0, Bi} — вполне непрерывный оператор из Lp (Е2) в Lp (Е2), р > I. Пусть А = || Ац \\mxm, Я = || пц Hmxrn, " = || Щ\ ||mXm, В = || В/у ||mXm, Л (Ф) (х) = а (х) ф (х) + J а (х, x — y)y(y)dy + B (Ф) (х) и а (х, #) = |at/ (х, #) llmxm, где аг/. (х, О) — символ оператора Aif. Совершенно так же, как 5.1, доказывается следующая теорема (см. Ми- Михлин [1]). 5.2. Теорема. Если inf|det(i(x, #)|>0, ас (?, Ф) непрерывно относительно I равномерно по О, то существует сингу- сингулярный оператор А*', обладающий теми же свойствами, что и Af и компози- композиция А1 А, в пространстве L(pm) (E2) представится в виде где Е = || &i} ||тХт, В — вполне непрерывный оператор из Ь(от) (Е2) в Ьрт) 3. Регуляризация сингулярных операторов, распространенных на замк- замкнутых поверхностях. Пусть S — замкнутая поверхность Ляпунова (ком- (компактное многообразие), а?С°* а (S)f k—сингулярное ядро класса G* B, a, a)f а > 0. Рассмотрим сингулярный оператор, определенный в п. 1, и поставим следующую задачу регуляризации. Найти сингулярный оператор К' таким образом, чтобы где В о — вполне непрерывный оператор из Lp (S) в Lp E), р > 1. Приведем решение этой задачи сначала только схематически. Здесь нам приходится повторять рассуждения Ж. Жиро (см. п. 1) в несколько изменен- измененной форме. Примем в этом параграфе без изменения все обозначения из п. 1. Продолжим al9 ®i и со^ на всем пространстве Е2 (Е2 = % (z)), & ut — на Е2 X Е2 таким образом, чтобы оператор Uif определенный формулой * Ut (ф) (I) = [а, (|) + ®, (I) Щ (I)] Ф (|) + J в, (Н) и, (I, I — п) ф (Ц) di\, E.21, Е% допускал регуляризатор вида U\ (Ф) © = at © Ф (I) + j щ E, ? — -л) Ф (ri) d% \ (Ф) © = at © Ф (I) + j щ E, ? — -л) Ф
]56 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ# IV т. е. оператор U\ (ф) (I) = а\ (I) [ас (I) + в, (?) со; (?)] Ф (| J "t: F, I — Л) ,- (л) со, (ti)]} Ф (tj) dr\ = где В/ — вполне непрерывный оператор из Lp (?) в Lp (Е2), р > 1. Рассмотрим разбиение единицы на 5 — \Е(\ (см. определение C.33)). Определим Et на xt- равенством Et (|) = ?"?- (jc), а на т (z)\rf- — равенством ?, (Е) = 0. Пусть а' (х) = -S [fli W + col (х)] Et (х), E.22) *' (^ У) = S [©Г1 (У) 1/?7^УЖЫ *; (х, у)}, E.23) Докажем, что оператор /С" из п. 1, в котором а' и &' определены из E.22) и E.23), является регуляризатором оператора /С. В самом деле, композицию К'К можно представить в виде где В (ф) (х) = J] J[aJ (х) + соI (х)] J S ^ (а:, у) = ai (g, ? — л) при (х, у) 6 S; X St\ к] (х, у) = 0 при (х, у) 6 (S? X S)\(S, X S^ coj (x) = coj F) при x^Sf, (Df(x) = 0 при e,w = e,;(S) при xes,, e,(x) = o ii ; (х, уN Г1 х) — УЩу)) k (х, у) , г)VEt{y)El(z)<p(г)d,S + [a,(x) ; (x)] j о, (х, у) КЩуУф (У) ^ + J и (х, у) 2^U dfi J* 71 (Ф) (х) = s X »? W] ?t (x) a (x) Ф (x) + [a; (x) dy5 + I VEt(x)Et(y) в (у) kt (x, у) а (у) Ф (у) dyS + + J УЩх) k'i (x, у) 6Г' (y) dyS\k (y, z) ?Ei{y)Ei(z) Ф (z) dyS j г/) = и,- (g, I — ц), vt (x, y) = vt (l, ц) при (x, y) € S(- x S,; u,(x, y) = o,(x,y) = 0 при ( v, = vz при z = z.
§ 5] Регуляризация сингулярных операторов 167 Нетрудно установить, что В (ср) — вполне непрерывный оператор из Lp (S) в Lp (S). Это непосредственно следует из теоремы 3.38. Покажем, что Т (ф) представим в виде q> + В° (ф), где В0 — вполне непрерывный оператор из Lp (S) в Lp (S). В самом деле, т (ф) (х) = 2 + 2 { / ^ ^ Iе' <*!') VT^tf) - e, (go X и, (IS |< — лО + \V~EM) — УТЛГ)] [а, (тH + +»« (ло ©< (noi «*«'. e—ло) Ф| (ло rfn'+ где ф,- (r]f) = ф (у), если т]1'6 т* и ф^ (т|0 = 0, если г]1'^ т (г)\тг; if есть орто- ортогональная проекция точки у на плоскость т (г). Аналогичный смысл имеют обозначения ц>( (?*), (ot- (|*) и т. д. В интегралах вместо -Б2 можно писать i t т (г), т. е. касательную плоскость поверхности S в точке г. Из этого равенства (см. теоремы 3.37, 3.38) следует требуемое представ- представление оператора Т. Укажем теперь достаточные условия, при выполнении которых приве- приведенные выше схематические рассуждения можно считать обоснованными. Пусть S ?Лг (а), а > 0 и х? S. Обозначим через tx единичный касатель- касательный вектор поверхности S в точке х, а через Тх (S) — множество всех таких векторов. Объединение множеств Тх (S) при х? S .обозначим через Т (S). Таким образом, Т (S) = [} TX(S). В Т (S) известным образом вводится топология, и оно становится косым произведением. Базисным пространством этого произведения служит S, а слоем — Тх (S). В дальнейшем нам придется иметь дело с функциями вида Q (x, tx), определенными для всякого x?S и tx?T (S). Пусть где h (tx) — непрерывная функция, отображающая Т (S) в 5, с помощью которой каждому tx^T (S) поставлена в соответствие начальная точка х. Скажем, что Q (x, tx) обладает определенным свойством на Т (S), если этим свойством обладает Q* (tx) на Т (S). Рассмотрим оператор К, определенный в п. 1, где а? С0- а E) и k — син- сингулярное ядро класса G* B, а, а). Таким образом, k допускает представление вида C.37). При | = z (координаты точки z — в системе (г), очевидно, — О, 0, 0). Имеем ( ) = hi "г (г, У. где единичный вектор т)| tjI* с началом в точке z обозначен через tz.
168 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл, IV Назовем характеристикой оператора К функцию ,tz) = a{z) + uz(zjz), E.24) определенную на S X Т E). Зафиксируем точку z на 5, и на плоскости т (z) введем полярные коор- координаты с началом в точке z. Обозначим через # полярный угол, соответствую- соответствующий вектору tz, $6 (—я, я]. Тогда % (z, tz) можно рассматривать как функ- функцию Ф, определенную на (—я, я]. Разложим эту функцию в ряд Фурье %(z,tz) = S an(z)e^9 E.25) где в силу сингулярности k, а0 = а. Введем другую функцию, определенную на S X Т (S) равенством o(z,tz)= S an(z)ein\ E.26) n(z)ein\ П=—СХ> где а*п определен из E.15). Назовем a (z, tz) символом оператора К. Легко показать, что в ограничениях, наложенных на К (К6 G* B, а, а)), ряды E.25) и E.26) сходятся абсолютно и % и а — непрерывные функции на Т E). 5.3. Определение. Назовем К оператором нормального типа, если inf \o(z,tj\>0. T(S) Докажем теперь теорему, из которой легко следует решение поставлен- поставленной задачи регуляризации. 5.4. Теорема. Если S — замкнутая поверхность Ляпунова, k — сингулярное ядро класса G* B, а, а), а? С°«а E) и оператор К—нормального типа, то оператор Ut (см. E.7)) можно продолжить на т (zt) таким образом, чтобы оператор, полученный продолжением, удовлетворял условиям теоремы Михлина (см. 5.1). Доказательство. Покажем сначала, что оператор U\ можно про- продолжить так, чтобы его символ at (g, t%) удовлетворял условию inf|a,(E,*5)|>0. E.27) Пусть б — произвольное положительное число, не превосходящее d/2. Рассмотрим множество | S (z, 6) | z? S\, и выберем из этого множества ко- конечное покрытие поверхности S. Пусть \S (z, б)} —такое покрытие. Введем обозначения Si = S[z, б), Ti==T\z1 б), ut = ult.m. г i ii— круг в касательной плоскости х (z). i I Продолжим at (?) из %t на т (z) следующим образом. Пусть ?€ т (z)\t?. Обозначим через | точку из тм являющуюся зеркальным отражением точки ? относительно границы т,. Определим at (?) формулой at (?) = at (Q. Анало- Аналогично продолжим функции Oj, (и{ и ut. Например, (^ )h Г, E-28) где g — точка, являющаяся зеркальным отражением точки Z относительно i i границы %i9 а ц — произвольная точка плоскости т (z), не совпадающая с z.
§ 51 регуляризация сингулярных операторов 169 Легко показать, что вг(?) и cot (?) принадлежат классу С°*а и, кроме того, О, (go =1иш/ (go = 0, если ?' = г. Предположим, что функции, участвующие в формуле E.21), продолжены указанным выше способом. Характеристикой %t (?, Ф) = %( (g, ^ этого оператора будет Ъ F. '*) = а* О + в, (|) щ © + 0, (|) щ (gf **). Следовательно, x* (?> ^) = % (г, fA при g = г и поэтому аг (g, /у = = о lzy U\ при | = 2. Теперь в силу непрерывности а,- и а и нормальности оператора К можно выбрать положительное число б таким образом, чтобы б < d/2 и для любого /. Но inf |cr;(g, t?\ = inf |а<(§, Первая часть теоремы доказана. Легко доказывается и вторая часть теоремы. Из этой теоремы непосредственно следует основная теорема о регуля- регуляризации. 5.5. Теорема. Если S 6 Лг (а), а > 0, adC0-a (S), k — сингуляр- сингулярное ядро класса G* B, а, а) и оператор К, определенный в п. 1, — нормаль- нормального типа, то поставленная выше задача регуляризации разрешима в про- пространстве Lp (S) для любого р > 1. Пусть теперь а = || ац ||mxm, k = || kif ||mXm, где ачеС°- а (S), k4 — син- сингулярное ядро класса G* B, а, а) на S X S; ?, / == 1, . . ., /п. Обозначим через 5^у и oi} характеристику и символ оператора и (Ф) W = аи (х) ф (х) + j fe,y (x, s соответственно. Рассмотрим оператор К (Ф) (х) = а (X) Ф (х) + J & (х, у) ф (г/) d^S, E.29) где ф = (ф1э . . ., фт). Характеристикой и символом этого оператора на- назовем матрицы х = II %ц \\ткт и о = || Оц \тхт соответственно. 5.6. Теорема. Если S^,JI1 (а), а > 0, а?С°>а (S), кц — сингуляр- сингулярное ядро класса G* B, а, а) и inf|det(j|>0, E.30) то оператор E.29) допускает регуляризацию в пространстве L{Dm) (S), для любого р > 1. Доказательство этой теоремы не отличается от доказательства тео- теоремы 5.5. Оператор E.29) называют оператором нормального типа, если выпол- выполняется условие E.30).
170 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV § 6. Основные теоремы 1. Теоремы Нетера. Пусть К— сингулярный оператор, определенный из E.29). Из теоремы 5.6 следуют некоторые теоремы, которые понадобятся в дальнейшем. Ниже будем считать, не упоминая об этом каждый раз, что оператор К удовлетворяет условиям теоремы 5.6. Таким образом, будем считать, что 5 — поверхность Ляпунова, а?С°*а (S), &? G* B, а, а) и является сингуляр- сингулярным, а оператор К — нормального типа. Справедливы следующие теоремы. 6.1. Теорема. Уравнения К (ф) = 0 и К* (ф) = 0 имеют конечное число линейно независимых решений в пространстве Lpm) (S) для любого р > 1, т. е. подпространства Lffi (S) и L{p% (S) пространства Lpm) (S), являющиеся пространствами нулей операторов К и К* соответственно, имеют конечную размерность. Обозначим число линейно независимых векторов из Lpm) (S), удовлет- удовлетворяющих уравнению К (ф) = 0, через v, а число линейно независимых реше- решений сопряженного уравнения /С* (ф) = 0 — через v*. Таким образом, v = dim Ь{$ (S), v* = dim l}?h E), р'1 + р' = 1. 6.2. Определение. Число к = v — v* называется индексом опе- оператора К и обозначается через ind /С. 6.3. Теорема. Оператор К нормально разрешим, т. е. для разреши- разрешимости уравнения К (ф) = f в пространстве Lpm) (S), где /? Lpm) (S), необ- необходимо и достаточно, чтобы 4 где {ty*} — полная система линейно независимых решений уравнения К* (Ф) = = 0 (в пространстве l}^ (S)), а 6.4. Теорема, ind К = —ind К\ где К' — регуляризатор опера- оператора К. 6.5. Следствие. Индекс оператора К не зависит от его вполне не- непрерывной части, т. е. ind К = ind (К + В), где В — вполне непрерывный оператор из Lpm) (S) в Lpm) (S). Рассмотрим оператор К% (Ф) (х) = а (х) Ф (х) + X J k (х, у) ф (у) dД где X — комплексное число, а 5, a, k и ф — те же самые, что и выше. 6.6. Теорема. Пусть Х1 и Х2 — две точки комплексной плоскости, L — непрерывная кривая этой плоскости, соединяющая точки Хг и Х2- ^сли Ki —оператор нормального типа для любого X?L, то ind Kxt = ind Кк. 6.7. Следствие. Если L—непрерывная кривая комплексной плоско- плоскости, соединяющая начало координат с точкой Хо и оператор К—нормального типа для любого Х?Ь, то
§ 6] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 171 6.8. Следствие. Если К — нормального типа и символ а — косо- симметричная матрица, то ind К = 0. Приведем краткие доказательства этих теорем. Более общие теоремы, а также подробные доказательства, имеются в книге Михлина [1 ]. Докажем теорему 6.1. Пусть К — нормального типа, тогда и К* — нор- нормального типа. Это следует из вида /С*, полученного в §3 (см. C.47)). Оче- Очевидно, = |deta*|>8>0. Далее, в силу теоремы 5.6 существует регуляризатор К' оператора К, т. е. К1 (К (ф)) = Ф + В (ф), где В — вполне непрерывный оператор из L{pm) (S) в Lpm) (S). Отсюда следует, что всякое решение уравнения К (ф) = = 0 является решением уравнения ф + В (ф) = 0. Но это уравнение имеет конечное число линейно независимых решений. Теорема для К доказана. Приведенное доказательство годится и для/С*, так как и К* является опера- оператором нормального типа. Заметим, что в силу доказанной теоремы v и v* — (конечные) целые числа, и их разность, вполне определенная, также целое число. Доказательство теоремы 6.3 ничем не отличается от доказательства соот- соответствующей теоремы в случае одномерных интегралов, приведенной в книге Мусхелишвили [2] (стр. 210—223). Докажем теорему 6.4. Пусть К — оператор нормального типа. Тогда существует регуляризатор К (см. теорему 5.6). Таким образом, К'К — опе- оператор типа Фредгольма. Отсюда следует, что уравнения = О и (/С'/С)*(Ф) = О имеют одинаковое число линейно независимых решений. Обозначим это число через [г. Пусть число линейно независимых решений уравнения К' (ф) = 0 и /С'*(ф) = 0, соответственно, v' и v'*. Обозначим линейно независимые реше- -ия уравнения К (ф) = 0 через q>lf ..., фу, а уравнения К' (ф) = 0 — через {, . . ., ф;,'. Тогда, если К' (К (ф)) = 0, то ния Ф1 V К (Ф) =]S с/ф). F.1) где Cj — некоторые постоянные. В силу предыдущей теоремы для разреши- разрешимости уравнения F.1) необходимо и достаточно, чтобы = 0; t = l,...,vf F.2) У с, f ф'. Ы\ S где |ф/}? — полная система линейно независимых решений уравнения /(* (ф) = 0. Пусть г — ранг матрицы | тъ? ||, где ты — интеграл, участвующий в F.2). Если рассмотрим F.2) как систему относительно cf-9 то убедимся, что v' — г постоянных остаются произвольными. Теперь легко подсчитать число линейно независимых решений уравнения К' (К (ф)) = 0. Имеем ц = V + V' — Г. Кроме того, (К'К)* = К*К'* и, следовательно, /С* является регуляриза- тором оператора/С'*. Повторяя приведенное выше рассуждение для этих опе- операторов, долечим \х = v*+ v*' —г. Отсюда v — v* = —(v' —v'*). Теорема 6.4 доказаны- Докажем теперь теорему 6.5. Пусть К — оператор нормального типа, тогда существует его регуляризатор К', но К' является регуляризатором и
172 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV для К + В. Это следует из того, что К'В — вполне непрерывна, как компо- композиция ограниченного и вполне непрерывного оператора. Следовательно, из 6.4 получаем ind К = — ind К и ind (К + В) = — ind /С. Из приведенного рассуждения получаем следующее предложение. Если К — нормального типа и Л — произвольный линейный ограничен- ограниченный оператор из Lpm) (S) в Lpm) (S), удовлетворяющий неравенству 1Л||^ ^Itf'IT1. то ind (K + A) = ind К. Теперь из этого предложения получается доказательство теоремы 6.6. В самом деле, пусть Хо?_ L: тогда в силу нормальности К, можно найти такую окрестность А^о точки Хо на комплексной плоскости, что при Х? Д^ Теперь из предыдущего предположения следует, что ind Кк = ind Кх при А, € Дя,0. Рассмотрим множество ]Aa,,U.? l- Выберем из этого множества конеч- конечное покрытие L. Теперь очевидно окончание доказательства теоремы 6.6. Из 6.6 следует, что в условиях 6.7 ind Кх0 = ind /Со. Но /С© (ф) = аф, и в силу нормальности Ко det а Ф 0. Поэтому Ко (ф) ==¦ = 0 имеет только тривиальное решение ф = 0. Тривиальное решение имеет также уравнение /Со (ф) = 0. Следовательно, ind /Со = 0 6.7 доказана. Аналогично доказывается следствие 6.8. 2. Свойства дифференцируемости решений сингулярных интегральных уравнений. Теоремы вложения. Рассмотрим интегральное уравнение где К — оператор, определенный равенством E.29). В этом параграфе доказывается, что если аи f удовлетворяют некоторым условиям гладкости, a k — сингулярное, достаточно гладкое ядро, то вся- всякое решение ф уравнения К (ф) = f класса Ь(рт) (S) удовлетворяет соответ- соответствующим условиям гладкости. Такое предложение легко получается, если оператор К обратим. 6.9. Определение. Оператор К принадлежит классу G* B, а, а), если S^Jl1(a), a^COa(S) и k — сингулярное ядро класса G* B, а, а). 6.10. Теорема. Если S^JI1 (а), К — обратимый оператор класса G* B, а, а) на S X S в пространстве Lpm) (S), р > 1, 1 ^ а > 0, и обрат- обратный оператор К также принадлежит классу G* B, а, а), то всякое решение класса Lpm) (S) уравнения К (q>) = /, еде f? С0' 3 (S), 0 < р < а, принадле- принадлежит классу С0- ® (S). Доказательство этой теоремы следует из теоремы Жиро (см. теорему 3.23), и из равенства ф = К'1 (/). Заметим, что предложение «если ф? Lpm) (S), то ф? COt r' (S)» понимается следующим образом: ф класса Lpm) (S) эквивалентна, в смысле Lpm) (S)f некоторой функции ф', которая принадлежит классу С0»|3 (S).
§ 6] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 173 Рассмотрим интегральный оператор Бицадзе, /С(Ф) (х) = ±\в (х, у) Ф (у) d?, где B = \bij\^XA\ bij = bji, i, /=1,2,3,4, 632 = &4i, 642 = &13, ^43 = ^21» bi2 (*, У) = [л3 {у) (У2 — х2) — п2 (у) (уз — х3)] \х — у |, *ia (*. У) = [% (У) (й> — *а) — "з (У) (Л — *i)] I * — у Г3, Ьи (х, у) = \п2 (у) (yt — хг) — пх (у) (у2 — х2)] \х — у |, Для оператора К справедливо равенство К = К'1 (см. Бицадзе [21, а также Гегелиа [101) и из 6.10 следует 6.11. Т ео р ем а. Если Se^x(a)9 feC°>$ E), Р<а<1, а К — интегральный оператор Бицадзе (см. Бицадзе [2 ]), то всякое решение урав- уравнения К (ф) = f класса L{pm) (S), р > 1, принадлежит классу С0' ** (S). В общем случае, т. е. когда не предполагается обратимость оператора /(, дело обстоит сложнее, но нужные нам свойства решений все же можно полу- получить с помощью результатов предыдущего параграфа. Роль обратного опе- оператора в этих рассуждениях будет играть регуляризатор, обладающий некоторым «хорошим» свойством. Очевидно, если К' — регуляризатор опе- оператора К, то регуляризатором этого оператора является также К' + В, где В — произвольный вполне непрерывный оператор. Решение интересую- интересующей нас задачи зависит фактически от возможности выбора достаточно глад- гладкого оператора В, или, точнее, от возможности выбора достаточно гладкого регуляризатора. 6.12. Теорема. Если Sg Лг (а), К — оператор класса G* B, а, а) на S и является оператором нормального типа, a f^C0^ (S), 0 < р <а ^ ^ 1, то всякое решение уравнения К (ф) = / класса L{pm) (S), р > 1, при- принадлежит классу С0» Р (S). Доказательство этой теоремы основывается на следующем соображении. Допустим, что существует регуляризатор К' класса G* B, а, а) оператора К в пространстве Lpm) (S), и К' (К (Ф)) (х) = ф (х) + J h (х, у) Ф (у) dyS, F.3, где h?GB—а, а, а) на S X S. Тогда теорема 6.12 является простым следствием теорем 2.3, 2.5, 2.6, 3.23. В самом деле, всякое решение ф уравне- уравнения К (ф) = /, очевидно, является решением уравнения Ф (х) + J h (х9 у) Ф (у) dyS = К* (/) (х), F.4) правая часть которого в силу теоремы 3.23 принадлежит классу С0» ** (S). Теперь из 2.3 следует, что если (p^Lpm)(S) и удовлетворяет F.4), то Фе 4т) E), где Применяя опять теорему 2.3, заключаем, что ФЕ^Г> (S)» где
174 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Повторяя это рассуждение п раз, заключаем, что ф? L\m) (S), где Так как qn —» оо, когда п —> оо, то из теоремы 2.5 заключаем, что ф ? ? L^) (S), а теперь из 2.6 следует, что ср? С0' 3 E). Таким образом, теорема 6.12 доказана. Теперь покажем, что в условиях теоремы 6.12 можно подобрать регуля- ризатор К' таким образом, чтобы К'К допускала представление вида F.3). Доказательство приводим для т = 1. Доказательство в общем случае фактически не отличается от случая т = 1. Заметим, что если выполнены условия теоремы 6.12, то будут выпол- выполнены и условия теоремы 5.5. Поэтому рассуждения, приведенные в п. 3 § 5, справедливы. Покажем, что регуляризатор /С', построенный в п. 3 § 5, удовлетворяет требуемым условиям, т. е. К' принадлежит классу G* B, а, а) и К' К представима б виде F.3). Рассмотрим оператор Ui9 определенный формулой E.21), в которой аь ©г-, (Ьь и ядро и( продолжены способом, примененным при доказательстве теоремы 5.4. Легко усмотреть, что характеристика этого оператора X (?, О) = х (Е, h) = а( (?) + в, © щ (I) + в, (?) и? (|, О), и все его производные по О непрерывны на т (z) х С, где С = [0, 2я I. Более i того, эти производные и сама функция % (?, #) принадлежат классу С0* а (т (г)) по переменному |, равномерно относительно #6 С. Покажем, что символ оператора Ui9 который обозначим через ot (|, О), и все его производные по $ непрерывны на т (z) x С. Кроме того, эти функ- i ции принадлежат классу С0» а (х (г)) по переменному |, равномерно относи- относительно $ ? С. Пусть ) = а, (I) + в, (I) со/: (|) + в, (I) S К © cos м# +13„ (Е) sin n.0), F.5) где 2л 2я а„ (Е) = -^ J щ (Е, *) cos n# d*f ря (S) = 4" J а^ (l> d) sin J о о Интегрированием по частям легко получить оценки I Рп (Г)—р„ (Г) I < csn- * | г—г |«, где s — произвольное натуральное число, a cs — постоянная, не завися- зависящая от п. Символ оператора Ut выражается формулой а, (I, д) = а, (I) + в, (I) (о,- (I) + 2яв, A) § (а„ (?) cos nO + рл © sin n#) п^. F.6) 1 Теперь в силу хорошо известной связи между порядком убывания коэф- коэффициентов Фурье и свойством дифференцируемое™ самой функции (см. Бари
§ 6] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 175 [11, Lorentz [11 или Зигмунд [11, [21), заключаем, что al (g, d) обладает требуемыми свойствами. Этими же свойствами обладает и [а< (|, О)]'1, так как inf |a,(g,*)|>0. |et B), tf€=0 Отсюда в силу тех же теорем заключаем, что характеристика %1 (?, О) i регуляризатора К' удовлетворяет условию С°>a (т, (г)), равномерно относи- относительно #? С Изучим теперь композицию К'К. Легко заметить, что принадлежит классу G \2 ~, -|-, -^Л. Это следует из того факта, что Et (UE( — разложение единицы на 5) принадлежит классу С°'аE). Кроме того, УЕй(х)Ей{у)щ(х9 yNGB, 1L9 VEi(x)E1{y)vi(x9 y)eoB — a>iL, Здесь речь идет о регуляризаторе, построенном в предыдущем параграфе, и все обозначения, принятые в п. 3 § 5, сохранены. Применим формулу перестановки порядка интегрирования для инте- интегралов в выражении В (ф). Можно показать (см. подробно об этом Гегелиа [12]), что )= I B(xf где В — ядро класса G [2— -^-, qp qp) на S X S. Изучим теперь оператор Г. Для этого достаточно изучить выражение Et (I) [at (I) + St (I) co, + \ Ut (I, I — Ц) йц \ 6,; (T|) И, (Tl, Л — О Ф< + f (a; AN,A) a,(g, I—ti) + t»,(S,6 — лЦа ). F.7) К оставшейся части оператора Т можно применить рассуждения, при- приведенные выше для В.
176 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV Композицию Щ Ui (ф) можно представить в виде U\ (Ut (Ф)) © = Ф| © + В? (ф) ©, F,8) где — вполне непрерывный оператор. Для наших целей достаточно показать, i i что ядро Bi?G B — а, а, а) на т (г, d) х т B, d). Докажем, что это действительно так. С этой целью найдем явное выра- выражение для Bt. В выражение оператора В{ входит интеграл ( щ (g, \ — л) [а, (п) — а, (|) + в, (л) o>t- (т|) — 8, (g) ©f (g)] Ф (r\)dr]f ядро которого обладает требуемым свойством. Кроме указанного интеграла, вполне непрерывную часть может дать только повторный интеграл в формуле F.7) * * / (Ф) (I) = J u't (|, I—ti) dr\ \ в, ft) щ (Л, TJ — С) ф (Q dg. х© хО Применяя здесь формулу перестановки порядка интегрирования, будем иметь * * / (ф) (I) = — ф (S) Ф| © + | ф (О * J «I (Б, S—ч) @<- (ч) "<• (ч, ч— х© xQ Представим внутренний интеграл в следующем виде: J и'{A,1—Ч)в?(ч)и,(л х© где i) Т, (I, С) = j щ (I, | — т]) [в, (т,) ад (л, л — 0 — ©/ © Ш (t Ч — О] <*Ч- х© Докажем, что со, — чисто сингулярное ядро, аТ, — регулярное. Пусть это так. Тогда -Ф©Ф*©+ J х© вместе со слагаемым * a'i (I) [at (I) + в, (I) о>{ ©J ф (|) + J {a; © в, (g) m a, 4—4) + x© + «', (g, g—4) [a* © + ©t © ®«©ll Ф (Ч) dr\
* gi ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 177 даст тождественный оператор, а J ?,(!, Qq>(QdZ войдет как слагаемое в выражение оператора Bt. Докажем, что со,- — чисто сингулярное ядро. Очевидно, щ (?, I — S) = в,- (?) J и\ (|, т) ис A, g—С—т) Л, и требуемое представление для юг вытекает из легко проверяемого равенства щA, x)ut(l,t(l — О — T)dT = rm J Ui{l,x)ui{l,l—С Остается изучить Y.-. Для наших целей достаточно показать, что Ч?\- при- i i надлежит классу G B — y> 7> У) на т B» ^) х т B> ^)» г^е V — произвольное число из интервала @, а). Доказательство этого факта требует довольно гро- громоздких вычислений, выполненных в работах Гегелиа [121, [131. Подводя итог приведенным рассуждениям, можно утверждать, что тео- теорема 6.12 справедлива, если C <а/4. Полученное неестественное ограниче- ограничение р < а/4 вызвано тем, что функции Еь (х), участвующие в разложении еди- единицы на 5, принадлежат классу С°*а (S). Тогда для V^t (x) можно утвер- утверждать только, что (см. Мусхелишвили [2]) она принадлежит классу C°»a/4(S). Отсюда в свою очередь следуют условия вида - ±, f ,-) на S X S, являющиеся причиной указанного ограничения. Теорема 6.12 будет полностью доказана, если докажем, что всякое решение класса L{vm) (S) уравнения /Сф = f, при выполнении условий тео- теоремы, будет принадлежать классу С0-C (S (г, d/З)) для любого z^S. Пусть z — произвольная точка поверхности 5. Рассмотрим такое ко- конечное покрытие USt поверхности S, в состав которого входит S (z, d/2) =\ = Sx. Выбираем теперь разложение единицы UEt таким образом, чтобы оно удовлетворяло всем требованиям и, кроме того, Е{ (х) = 1 при x?S (z, d/З). Теперь очевидно, что, например, функции принадлежат классу G B — а, а, а) на S (г, d/З) Х 5 (г, dfS). Теорема 6.12 доказана. Доказанные выше теоремы могут быть обобщены. Из теоремы 3.28 и из формулы обращения Бицадзе (см. Бицадзе [21, а также Гегелиа [10]) непо- непосредственно следует теорема, обобщающая 6.11. 6.13. Теорема. Если S^JIr+1 (a), 0 < а <з 1, /6 Cr> 3(S), а К — интегральный оператор Бицадзе, то всякое решение уравнения К (ф) = f класса Ll>4) (S), p > 1, принадлежит классу Сг* а (S), |3 <a. Рассмотрим теперь общий сингулярный оператор, определенный фор- формулой E.29). 6.14. Предположим, что S?Jlr(a), 0 <a <? 1, agCr»sE) и /? €Cr^ (S), где 0 < р <a, k — сингулярное ядро класса G* B, а, а). Пусть, кроме того, ядро k по первому аргументу принадлежит классу Cr*ua (S (г, б)) равномерно относительно второго на S\S (z, 26) при любом б ? @, d/2); 12 В. Д. Купрадзе
178 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [рл# JY uz?Z B, г, а) и vze R (г, а) (см. C.37)), A.10) и C.21)) на т (г, d) для любого 6.15. Теорема. Если выполняются условия 6.14 и К — оператор нормального типа, то всякое решение уравнения К (ф) = / класса Lpm) (S), р > 1, принадлежит классу Cr- P (S). ?с./ш, я/?бШ? того, /С — обратим, то Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и теоремы 6.12. Оператор К'> построенный в п. 3 § 5, и в этом случае обладает нужными свойствами, но при доказательствах надо воспользоваться теоремами из п. 2 § 3. 6.16. Предположим, что S?JIr(a), 0 <<х <Л; а?С° (S) flC-3 ($о)> /6 Lp E)ПСГ' Р (So), р > 1, Р<а, k — сингулярное ядро на S X S класса G* B, а, а); ядро k по первому аргументу принадлежит классу Сг» а (So), ыг? 2 B, г, а) и uz6 R (г, а) на т (z, d) для любого zg 50, So = S (z0, б). 6.17. Теорема. Если оператор К — нормального типа и выполняются условия 6.16, то всякое решение уравнения К (<р) = f класса Lpm) (S) принад- принадлежит классу С* Р E (z0, б')), где б' — произвольное число из интерва- интервала @, б). § 7. Сингулярная резольвента. Свойства и применения Теоремы, полученные в § 6 для нормальных операторов с сингулярными ядрами общего вида из класса G B, а, а), в применении к конкретным опера- операторам теории упругости, могут быть дополнены и уточнены. Можно, напри- например, получить явное (приближенное) выражение регуляризующего оператора, перейти от теорем Нетера к теоремам Фредгольма, детально исследовать роль параметра, получить аналитическое представление решения сингуляр- сингулярного интегрального уравнения, доказать свойства ортогональности и биорто- биортогональности решений. Эти результаты можно получить также из изложен- изложенной выше общей теории, но для этих целей полезно ввести понятие син- сингулярной резольвенты, как решения некоторых функциональных урав- уравнений, изучение которых, подобно классической теории, приводит к основ- основным теоремам Фредгольма. Эти вопросы рассматриваются в настоящем параграфе (более подробно см. Giraud [1, 2] и Купрадзе [131). Как было показано (см. теорему 3.25, замечание 3.29 и определение 3.30), ядра сингулярных операторов теории упругости являются сингулярными ядрами (в смысле теоремы 1.15) и принадлежат классу G B, а, а). Для конкретности мы остановимся на изучении ядра k (xt y) = T (дх, п (х)) Т(х — у), G.1) и, без умаления общности, можем ограничиться рассмотрением оператора К (Ф) (х) = Ф (х) — х J k (х, у) Ф (у) dfi, G.2) являющегося типичным для рассматриваемых в книге задач (к — параметр).
§7] СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 179 1. Преобразование ядра. Главная (сингулярная) часть k (x, у) дается матрицей (см. C.31)) и (х, х — у) = || uki (х, х — у) Цзхз, G.3) G.4) }(х,х — у) = -х——^\nk(x)r^—^r — ni(x)^=^T{y 2л Пусть z ? 5 — произвольная точка на 5 и (z) — местная система коор- координат с началом в z. Пусть 8 < d и х, у ? S (z, e)czS B, d). Согласно C.34) можно записать я*/ (х* х — у)= . * |2 X X (z- x) (h - ^i) - «/ W S P« <г- *) E/ - Л,) O(\x — у Г2). G.5) Здесь (J-j, |2, |3) и (Л1» Л2» Лз) — координаты точек х и у в местной системе B); пусть еще | = EХ, |2, 0), т] = (Ли.'Пг» 0)- Очевидно, тт^т = sin *. G-6> и для малых 8 оеA), |а/3(г) где символ о8 A) обозначает величину, стремящуюся к нулю вместе с е. Теперь G.5) перепишется в виде № — <*ki(z)nf (x)\cos (*) nk(x) — a, O(|jc — y\a~2), G.7) Введем обозначения At B, *) = a2/ (г) /гх (л:) — au (z) n2 (x), ' B?- (г, x) = a3/ (z)nx (x)—au(z)n3(x), Ct (г, x) = аы (z) n2 (x) — a2/ B) n3 (x) G.8) 0 Аг cos О + A2 sin О Bx cos * + 52 sin О gf *) = /| — >4i cos A — Л2 sin 0 0 d cos * + C8sin Bxcosfl — i52sin'& — Cjcosd —C2sin* 0 G.9) Тогда для и (х, х — у), при х, y?S B, e), будем иметь G.10) 12*
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл# IV 2. Отображение локального оператора на круг. Пусть б < е, S (z, 8) с: (г, е). Рассмотрим локальный оператор x?S(z9e)9 G.11) S B, 6) и отобразим его на круг Ш (г, б), лежащий в касательной плоскости т (z). Пусть при ортогональном проектировании Ф (х) = Ф2 F), й (х, у) Ф ((/) dS = k2 (|, л) Ф. (Л) ©2 (Л) dri, где Для достаточно малого б имеем, по определению, \ )\ \ 2. 6) e/-*°SB, 6)\S(X. 8') = Hm f 8'^°Ш( б)\ 8') где if/ (z, б) — проекция S (г, б), а тг (g, s') — ортогональная проекция S (х, е') на т (г). Выше (см. п. 4 § 3) было показано, что границей множества т2 (g, s') является кривая г = 8' cos a (?,#), G.13) где cos ос Сё Ф) = {4 п (х) — орт внешней нормали в точке х? S (г, б), а дх (?), /г2 (|), координаты вектора п (х) в системе (г). Очевидно, lim f kz (|, Ti) ф2 (л)в2 (л) dn = Hm f kz (g, тО Ф2 (т|)вгСп) в'->0д/( б)\х2E, 8') е'^0Ш( Ь)\Ш(Ь ') J Первый интеграл справа существует в смысле главного значения, второй вычисляется следующим образом (см. п. 4 § 3): lim J *2(Ь.т0 •'"^ШЧ* е')\тг<?, в') 8' f е'-»0 Й'-4.О J О г где , A) = - J [& F, 0) + o8 A)] In cos a (i,«) d*. G-14)
г yi СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 181 Теперь ясно, что искомое отображение локального оператора К2 (ф) (х) на круг Ш (z, б) имеет следующий вид: [Е — хе,©а>г(?)]Ф,E) — * J Я/B, б) G.15) где сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения, а В (ф) — вполне непрерывный оператор. 3. Отображение на бесконечную плоскость. Распространим опера- оператор G.15) на плоскость Е2 с помощью преобразования u1 = -7=Bl==, и2= г 6Еа =. G.16) При таком преобразовании круг с центром в точке g, радиуса у> переходит в замкнутую область тг (и, у), ограниченную алгебраической кривой четвер- четвертого порядка г = у + О (v2), G.17) 1Л4 cos* #-j-2? sindcosdjCsin2# " где л — (б2 + и\ + и\) [(б2 + и»* + ufu|] ' (б- 4- и? 4- «D2 [(б2 4- и2J 4- "i«2l B6Ч«1Т^ (?Л8) (б2 4- «f 4- «D3 [(б2 + "!J и w = (и1у м2), © = (v 1, о2) — точки, соответствующие точкам ? (|lf |a), Рассматривая отношение первых квадратичных форм преобразуемых областей, находим 1:ш |М—О|» _ 1 ,71Q ?? | g _ г] |2 ~ л cos2 О 4- 25 sin ^ cos # + С sin2 # * ^ #1*' Поэтому f foF» ^) +°еО) | J —и —л I2 Я/B, 6) f ( J |U —0| ?2\т2(а, v) \ A cos2 # + 2В cos ¦» sin § + С sinafl + °eA) j dy. G-*9 ) («, о) + 5, (l) = g2 (i, *) + о8 A), ег (о) = ег (г)),
J82 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [рл jy Но lim | Qdv=\\m J Qdv+lim [ Qdv, G.21) v-*° ?a\T2(tt' Y) V-*0 Е2\Ш(и< y) V^° Ш (и,- Y)\tz(«* Y) здесь Q—подынтегральная функция в формуле G.19'). Первый интеграл справа существует в смысле главного значения, вто- второй вычисляется следующим образом: lim J Qdv = V-*0 ш (и, \)\xz(u, Y) 2я = lim\ I—-— f-— z v z v Фг v x О г X ( ¦ 1- Oo (I)\ dv = \ A (v) cos2 ф + 25 (u) sin ^ cos 0 + С (v) sin2 Ф v / == — Рг (u) ®z (u) Zz iu) Фг (u)j G.22) где о x U ! (и) cos2ф -}- 25 sin ф cos ^ -j- С sin2 О • Теперь ясно, что искомое отображение оператора G.15) на плоскость Ег имеет вид [Е — х92 (и) (ш2 (и) + ^2 (а) р2 (а))] фг (и) — (и, 0)+оеA)]8г@)ЕЛ0) ., -;¦ где интеграл имеет смысл главного значения, а В (ф) (и) — вполне непрерыв- непрерывный оператор. Таким образом, для регуляризации локального оператора G.11) доста- достаточно выполнить регуляризацию оператора G.24). 4. Локальная регуляризация. Характеристика оператора G.24) (см. п. 2 § 5) равна Рг(и))] —*{ ^ + Ое A))} G.25)
? 73 СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 183 На основании G.13), G.14), G.12), G.18), G.20), G.23) можно убедиться, что lim К («) + ?г (и) рг (и)] = 0, limЭг(v)b(v)=l, lim о,A) = 0, е-» 0 е-»0 е-»-0 lim (A cos2ft + 2В sin ft cos ft + С sin2ft) = 1, 8->0 Следовательно, выбирая 8 > 0 достаточно малым, можно характеристику X (и, ft) сделать сколь угодно близкой матрице ?—xg2(g, ft), G.26) т. е. символ (см. п. 2, § 5), соответствующий характеристике Е — щг (g, ft), будет сколь угодно мало отличаться от символа оператора G.24). Теперь заметим, что, как было показано в п. 2 § 5, по заданной характе- характеристике находится соответствующий символ; а именно, в случае одного опе- оператора, из коэффициентов Фурье характеристики символ (точнее, его коэф- коэффициенты Фурье) получается по формуле E.14); отсюда ясно, что и наоборот, имея символ оператора, по формуле E.13) восстанавливаем характеристику и, следовательно, оператор с точностью до аддитивного вполне непрерывного оператора. В случае матричного оператора вида А = || Aif\\, заданного формулой E.20), символом называется матрица, составленная из символов aif (g, ft) операторов Aif, т. е. a (g, ft) = || oi} (g, ft) ||. Поэтому, когда задана характе- характеристика оператора А, символ a (g, ft) строится как указано выше, а из сим- символа, наоборот, может быть восстановлен оператор Л. Согласно теореме 5.2, если inf| det a (g, ft) |> 0, существует символ а (?, ft) = || at] (?, ft)|| регуля- ризующего оператора А', такой, что откуда det a k, где а*/ (|, ft) — алгебраическое дополнение элемента of{ (I, ft) в определи- определителе det а (|, ft). Из сказанного ясно, что для построения регуляризующего локального оператора необходимо показать, что det о (g, ft) Ф 0, и затем по формуле G.27) восстановить один из таких операторов. Выписывая символ, соответствующий характеристике Е — xg2 (g, ft), где матрица gz (g, ft) задана формулой G.9), и пользуясь с этой целью фор- формулами E.14), получим для элементов матрицы a (g, ft): а„Й,О)=1, i= 1,2,3, *12& *)= — 2пШ[А1(г, |)cosft + Л2(z, g)sinft], <Ъ(?. 0) = —аи(|, ft), ^1з F, ft) = — 2яЫ [Вх B, g) cos ft + B2 (z, I) sin ft], <ЪЙ, ^) = -ст13(?, ft), в» F. *) = — 2mx/[Cx(z, ?)cosft + C2(z, i) sm ft],
184 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл# ]"У Отсюда находим det а (?, Ф) = 1 — 4я2х2/2 (Я?2 + jx?2 + v?2), где М*> 8 = ^B, I) cos # + Л2(г, ?)sind, 2B:, |)sln*t vM(z, 0 = Cx(z Из свойств поверхности Ляпунова следует причем limco^z, |) = 0, k=l, 2, 3. e->0 Выражая направляющие косинусы at]- (z) через углы Эйлера, найдем Поэтому det а (?, #) = 1 — 4я2х2/2 A + v (г, g)), где Таким образом, выбрав 8 достаточно малым, можно добиться, чтобы корни уравнения 1 _ 4я2х2/2 A + v (z, I)) = 0, G.29) равные были сколь угодно близки к значениям Итак, для значений^, отличных от корней уравнения G.29), которые расположены сколь угодно близко от точек G.30), может быть построен символ а (|, #) регуляризующего оператора А1 по формуле G.27) и затем восстановлен регуляризующий оператор. Таким путем получим Л' = а & х) Ф F) + х J -j^%$- Ф (Ч) rfri + Б (Ф) ©, G.31)
§ 7] СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 185 где аи (g, х) = 4- {1 — 2я2х? [С? (z, Q + С\ (г, g)]}, 2fc(?, х) = -^-{1—2л2х? [B\{z, Ъ) + В\{гу g)]}, азз (I, х) = -i- {1 — 2я2х? [Л2 (г, g) + At (г, g)]}, 5i2 = аа = X (BlCl + В2С2)' ^13 = ^3i == — "|- (^A + Л2С2), и ftz (g, 0) — однозначно определенная матрица, которая также находится явно (см. Купрадзе [13]). Найдем еще значения х, для которых det a (g, x) = 0. Пользуясь ма- малостью 8, достаточно найти корни уравнения det о! (г, х) = 0. Это уравнение имеет следующий вид: ( + sin2 d + sin4 О) +AB + sin2*) —1 =0. Решая его, находим т 1 г A + sing.O) ± У\ +2 sin* ft —3 sin4# Ai—1) А2,з— 2 sin4 Ь ' Все три корня вещественны и положительны. Вещественность A2t3 следует из неравенства 1 + 2 sin2 Ф > 3 sin4 О, а положительность — из неравенства 1 + sin2 # > j/^1 + 2 sin2 Ф — 3 sin4 #. Кроме того, из нера- неравенства ±]/"l +2 sin2 О — 3sin4# ^2 sin4О вытекает, что минимальные абсолютные значения корней Д2 и Д3 не меньше единицы, максимальные же значения достигаются при # = Ои равны беско- бесконечности. Соответствующие корням ?Д1>2,3 значения х равны На комплексной плоскости х, вдоль вещественной оси, проведем разрезы (± -q-t» ± °°)» и назовем плоскость с разрезами ГГ. Точки xlt2, x3l4, >^5,6t а также точки х = =±= у- плоскости П' не принадлежат. Теперь можно составить на плоскости П' оператор А" (Ф) (g) = {a (g, х)}-1 Л' (Ф) G) = ф © + + ^ J («Г1 тт=^р- ф (ч) dr> + ^ ^ х^"х в (ф) ©• который вместе с оператором Л' является локальным регуляризатором. Из определения символа ясно, что символ оператора А'\ назовем его o/f (g, #), равен
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Составляя композицию А" А (ср) (?), учитывая, что символ композиции равен произведению символов компонент и, согласно формуле перестановки D.1), равен Е + х2Ф (?, к), где Ф (?, к) определяется из формулы D.3), и принимая во внимание, что по условию получим ? +х2 Ф (?,*)== {а (|,х)Г. G.32) Ввиду того, что на плоскости IT detla&x)}-1^ О, будем иметь det(? + x2(D(l, x))=f 0, xell', G.32') Очевидно, преобразования, обратные тем, которые привели к оператору А"', порождают оператор, заданный на 5 (z, 6), и регуляризующий оператор G.11). Обозначим этот оператор следующим образом: Нг (Ф) (х) = ф (х) + х J hz (х, у) ф {у) dyS, G.33) S B, 6) где ft2 (х, у)—сингулярное ядро (Купрадзе [13]). 5. Оператор глобальной регуляризации. Пусть Ski k= I, 2, . . ., п, есть область на 5, состоящая из точек х, отстоящих от точки zk на расстоянии \х—г*|<6, F<d). Выбрав п достаточно большим,* можно добиться, чтобы S = п = U Sk и любая точка #? S была внутренней по крайней мере для одной из областей Sk и SkczS (z*, d). Построим для каждой из областей Sk локальный регуляризатор с ядром h^(x, у). На множестве SX^ матрицу hzk (*> У) определим так, чтобы как функция х — она была ограничена, а как функция у — удовлетворяла условию Гёльдера. Пусть F,(x) = [62 — \zk — x\*]\ xeSkt Fk(x) = 09 xeS\Sk. G.34) Очевидно, Fk (x), k = 1, . . ., я, непрерывна и непрерывно дифферен- дифференцируема для всех х? S. Так как любая х? S является внутренней точкой по крайней мере одной из Sk, k = 1, . . ., м, то t Положим Ш = -^f-> A: = 1, 2, .... п. G.34') Очевидно, S/*W=1. G-35) Введем матрицу h{x,y)=t lk(x)h2k{x,y), G.36) которая определена на всей поверхности S. Покажем, что именно она будет
* 7] СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 187 служить ядром глобального регуляризатора для оператора К (ф) (х) = = ф (х)— х f k (х, у) ф (у) dyS. В самом деле, если х? Si9 то из G.34), G.34') в силу G.35) имеем если же x^StflSj, то hj (х, у) = hj (х, у), и G.36) запишем в виде h (х, у) = ^S h (*) [h2k (х9 у)—fizi (jc, у)} + /у (*, у), . откуда в силу G.34), G.34') снова имеем h (х, у) = hzi (x9 у), и наше утверждение доказано. 6. Функциональные уравнения резольвенты. Первая теорема Фред- гол ьм а. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение с оператором G.2) К (ф) (х) = Ф (х) — х J k (jc, у) Ф (у) dyS = f (x) G.37) s и запишем его в следующем виде: (Е — х/Со)Ф = /, G.38) где ? — единичный оператор, а /Соф = s Пусть s есть регуляризатор уравнения G.37). Запишем регуляризатор в виде Н(Ф) = (? + иЯ0)ф, G-39) где #0Ф = J ft (х, у; х) ф (у) dg St s Предполагается х^П'. Во всех задачах теории упругости это условие выполнено; более того, в этих задачах х = 1 или х = —1, и в принятых нами предположениях относительно К и (х, исключенные значения х (см. G.3Г)) отличны от±1. Рассмотрим композицию НК (ф) (х). Согласно свойствам регуляризатора получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода [Е + х2Ф (х, х)] Ф (х) + х J F (х, у; х) <р (у) dy S = X (х), G,40) где F(x% у; x) = ft(x, у; х) —*(х, у) —х Jft(x, g; x)?(?, у)^5, G.41) s -X (х) = / W + к j Л (х, г/; к) j (У) dyS. G.41')
Jgg СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл# JV Пусть х? П' и отлично от полюсов резольвенты уравнения Фредгольма G.40). Решение его представим в виде Ф (х) = [Е + х2Ф (х, х)]/ (х) + х J #! (*, у; к) / (у) d^S, G.42) s где резольвента Фредгольма Nt (х, у; х) равна Л^1(х,г/;х)=[? + х2Ф(х, х)]-*А(х, у;к) + О(\х— */|«-2), а>0. G.43) В силу теоремы 3.26 срб С°-а (S), когда /6 С0-« E) и 5с=Л, (а). Мы еще не можем утверждать, что G.42) есть решение исходного уравнения G.37). Выразим решение уравнения G.37) в виде Ф (х) « ф(*) — х J К (*, у; — х) ф (у) rf^S, G.44) где ft' (д:? г/; —х) есть матрица, полученная из матрицы h (x, у; —х) переста- перестановкой строк-столбцов. Подставляя это решение в G.37) и используя теорему о перестановке сингулярных интегралов, будем иметь \Е — х*ЧГ (х; х)]$(х) — х J jft'(*, У\ — х) + *(дс, у) — — х J*(x, Qft'(?, у; — n)dls\^{y)dyS = f(x)> G.44') где согласно D.3) Ч(х\ x) = lim [( ( kx(xy I)ft'(Б, у; — xJ^sld^S, G.45) е->о i \s d* e) J где ki(x, Q = u(x, x — l) = —ki(x, I). Покажем, что V(x; к) = — Ф(х, х). G.46) Из G.45) имеем f h(l, y; s ixJ 8) = — lim \dgS [ ft(*. g; — + lim J d? \ [h (x, I; — x) ^(g, r/) — — h (g, y; — x) ^ (x, g)I4gS = — Ф (x, - x). Отсюда вследствие симметричности матрицы сГ1 (х, к) и в силу G.32) полу- получаем G.46). Теперь покажем, что ядро уравнения G.44') фредгольмово; для этого перепишем это ядро в виде у; —x) + kx(x, у) —к \kx{x, g)ft'(g, у; —X)dlS + O(\x — y\*-\ G.47)
iR 7j СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 189 и сравним с ядром G.41), в котором х заменим на —х, и ядро перепишем в виде F(x, у\ — х) = Л(х, у; — х)— kx{xy у) + к \h(x, ?; — х) X X kx (|, у) dtS + О (| х — у |«-2). G.48) Учитывая свойство кососимметричности G.45) и G.3), а также вид ядра h (x, |; х), которые позволяют показать, что замечаем: главные части ядер G.47) и G.48) получены друг из друга транс- транспозицией строк-столбцов, и так как G.48) — фредгольмово по условию, та- таким будет и ядро G.47). Этим доказано, что уравнение G.44') является урав- уравнением Фредгольма второго рода г' (х, у; — х) + k (x, у) — — х k(x, ?)ft'(g, У> —K)diS\ty(y)dl/S = f(x). G.49) s J Пусть х отлично от полюсов резольвенты этого уравнения; тогда его ре- решение выразится в виде ф (х) = [Е + х2Ф (х, х)]-1 / (х) + х J R (х, у; х) [Е + х2Ф (у, к)]'1 f {у) dyS, G.50) где R (х, у; х) — резольвента Фредгольма. Внося это значение -ф (х) в G.44) и вновь пользуясь формулой переста- перестановки сингулярных интегралов, получаем <р (х) = [Е + х2Ф (х, х)]-1 / (х) — х J К (х, у; — х) (Е + х2Ф (у, х)) + S или, обозначив ЛМ*. У; к) = —К{х, у; —к)[Е + *?Ф(у, х)]-1 +О(|х — у|«-2), G.51) будем иметь окончательно J . G.52) x J Таким образом, показано, что сингулярное уравнение G.37) имеет реше- решение в классе Гёльдера и, следовательно, оно (решение) должно совпадать с найденным выше решением G.42) уравнения Фредгольма G.40). Подставим значение q> (x) из G.52) в уравнение G.37) и примем во вни- внимание равенство G.46); тогда будем иметь N%(x9 у; K) — k{x, у)[Е + к2Ф(у, х)] — — х j у; K)dlS = 0. G,53)
190 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл# IV Если в равенстве G.42) вместо f (x) подставим равное ему выражение Ф (*) — х \ k (х9 у) ф (у) dgS, s то, на основании формулы перестановки, получим ЛМ*. У> х) —[? + х2Ф(х, к)]-1***, у)— х J Nx(x9 Е; x)A(g, y)dsS. G.54) Таким образом: а) если уравнение G.37) имеет решение в классе С°*а (S), то для х?ГГ и отличных от полюсов некоторой мероморфной функции, это решение пред- представится формулой G.42); б) для х ? ГГ и отличных от точек некоторого дискретного множества, уравнение G.37) действительно имеет решение в классе C°*a(S); оно един- единственно и представимо формулой G.52). Следовательно, для х ? ГГ и отличных от точек некоторого дискретного множества, решение существует, единственно, принадлежит классу С0'а (S) и представляется двумя формулами, G.42) и G.52). Отсюда ввиду произвольности f (x) находим Nx{xyy\ и) = N2(x, у; к) тождественно относительно дс, у и для указанных выше значений х. В силу мероморфности Nx и N2 из этого следует совпадение полюсов этих функций. Обозначим N = NX = N2 и тогда G.53) и G.54) примут вид N(x, у; n) — k(x, у)[Е + к2Ф(у, х)р — х J*(x, ?)#(?, у; x)^S = 0, G.55) , у; х)— [? + х2Ф(#, х)Г^(х, у) —х J^(x, g; x)A(|f r/)^S = O. G.56) Мы получили теорему, аналогичную первой теореме Фредгольма: существует сингулярная резольвента N (х, у; х), мероморфная функция параметра хE1Г, удовлетворяющая функциональным уравнениям G.55) а G.56) и такая, что для к ^П' и отличных от полюсов N (х, у; х), уравнение G.37) имеет решение, единственное и представимое формулой = f? + х2Ф (х, х)]-1 / (х) + х J # (х, ?; х) / (?) d^S. G.57) 7. Вторая теорема Фредгольма. Пусть х = х0 есть полюс резольвенты и р оо , у; х)= S fl(a)U, у)(х —xo)-a+ S ^@) (х, у)(х — х0У5. G.58) 0 Покажем, что матрицы В<а) — непрерывные функции, а матрицы в точке х = у имеют полюс второго порядка.
§7] СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 191 Рассмотрим уравнение (? — (— % где G.59) (х) = Ptf>y = f Pi4) (x, у; х) ф (у) й?, {oO)q= \P (x, у; У, х)= , у; Р@)(х, у; х) = Р(х, у; х); Р(х, у; х) = [? + х2Ф(х, х)Г^(х, у; х), Х(х) = [Е + х2Ф (х, х)]-1^^); G.60) Решение уравнения G.40) представляется в виде ч ц)(х) = ty(x)-\- 2 (—к)п F(on~l) ty (л:), G.61) где я|; есть решение уравнения G.59). Действительно, внеся G.61) в G.40) и учитывая G.59), G.60), убеждаемся в справедливости сказанного. Выразив *ф (х) через X (х) и учитывая G.60), найдем ,*/;*) + Если t7 > 1 выбран так, чтобы FW(x, у; х) был непрерывным (что всегда возможно), то Р (х, у\ х) будет непрерывной функцией х я у и мероморфной функцией х?П'. Сравнивая это выражение с G.57), найдем у; х) = [? + х2Ф(д;, х)]/!^, у; х) + Р(х9 у; к). Первое слагаемое справа — голоморфная функция переменной х в пло- плоскости П/ второе, как уже сказано, — мероморфная функция переменной х. Поэтому в разложении, N (х, у; х) в ряд Лорана, отрицательные степени (х — х0) могут войти только от второго слагаемого и, следовательно, В{а)(х, у) — непрерывные функции х и у вместе с Р (х, у; к). Положительные степени (х— х0) возникают от первого слагаемого и, следовательно, Ат(х, у) имеют сингулярность матрицы h(x9y\ x) в точке х = у, что нужно было показать. Внесем разложение G.58) в G.55) и G.56), и сравним коэффициенты при степенях (х — хо)~р, (х — хо)х-р; получим = 09 G.62) — щ J _ J (x, y) — x0 J k (x9 l) В"» (g, y) d^ = 0, = 09 G.63) G.64) =0. G.65)
192 сингулярные интегралы и интегральные уравнения [Гл. IV Равенство G.64), в котором у будем рассматривать как параметр, есть однородное уравнение, соответствующее уравнению G.37) для к = и0, Ф (х) — х0 J k (х, I) Ф © d6S = 0. G.66) Следовательно, согласно G.64) уравнение G.66) удовлетворяется ка- каждым из трех вектор-столбцов, составляющих матрицу ВМ (х, у). Назовем эти векторы-столбцы Bip) (jc, у), k = 1, 2, 3. Так как ?<*» (ху у) отлична от k тождественного нуля, то хотя бы один из В^рК k = 1, 2, 3 не есть тождест- тождественный нуль. Но уравнение G.66), как приводимое к уравнению Фред- гольма, допускает лишь конечное число линейно независимых решений Ф*1) (х), фB)(х), . . ., ф(г> (х) и его произвольное решение, в частности, k В{р) (х, у) для любого у, представляется в виде В{р) (х, у) = S U (У) Ф7 (х), G.67) где $>{ (у) — определенные непрерывные функции (скаляры). Уравнение G.62) перепишем следующим образом: Вру (х, y) — K0Jk'&, у)В(рУ(х, g)deS = O, k=l9 2, 3; G.68) k где В(рУ (х, у) — транспонированная матрица В{р) (х, у) и В^р)' (х, у) — k-я вектор-строка в матрице В^р) (х, у). Считая х за параметр, видим, что G.68) есть союзное уравнение по отношению к G.66) G.69) Ф (У) — *о J k' A> У) Ф (I) dtS = 0. Пусть ty<l) (у), . . ., t|)<r*) (у) — линейно независимые решения уравне- уравнения G.69); конечность г^ вытекает из тех же соображений, что и конечность г. Поэтому, В{рУ (х, y)=%^i(x)ipf(y)i G.70) где (pi (x) — определенные непрерывные скалярные функции. Проектируя G.67) на ось xs, s = 1,2, 3, будем иметь Blp)(x, */)=? UL k s но, по определению, Ыр) (х, у) = В[ру (х, у) и, следовательно, В{рУ (х, у)=Ъ <р1(х)Ф(У), 1=1 где ipi == (\j){, ij)|, ij)|), / = 1 ... г. Подставив эти значения в G.68) и bog- пользовавшись линейной независимостью ф.{ (х), получим ) о J(E, У) ^©^ 0, /=1,..., г. Отсюда ясно, что G.71) Проектируя G.70) на ось хл, fe = 1, 2, 3, будем иметь ipy Bipy(xt у)=
СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 193 В (x, y)=Zj tyk (у) Ф7 (x), G.72) где <p' (x) есть r^ линейно независимых векторов фУ (X) = (ф{, ф2, фз)> / = 1, . . ., Г*. Подставив G.72) в уравнение G.66), и учитывая линейную независимость функции i|?? (г/), найдем ф'(х) — Kojk (х, ?) фу (I) d*S = О, / = 1, ..., гШ9 следовательно, г > г#, и, окончательно, из G.71), г = г^. Этим доказана вто- вторая теорема Фредгольма для сингулярного уравнения G.37). 8. Биортонормирование фундаментальных решений союзных систем. Из функциональных уравнений резольвенты вытекает следующее уравнение: у; v)dY]S = v^\N(xi у; k) — N{x, у; v) х)#(х, у; v), G.73) в котором х и v — параметры. Это функциональное уравнение аналогично известному из классической теории интегральных уравнений функциональ- функциональному уравнению Гурса—Хейвуда (см. Goursat [11, Heywood, Frechet [1]). Для одного сингулярного уравнения оно получено Жиро (см. Giraud [1]), для уравнений теории упругости его вывод приводится в книге Купрад- зе [13]. Обозначим N (х9 у\ х) = у (х, у\ х) + А (а:, у; х), G.74) где Р CD у(х, у; х)= Л Б(а)(х, у) (к—хо)"а, А(х, у; х) = Пусть х — х0 = и, v — х0 = v. Внеся эти выражения в G.73) и сравнивая коэффициенты слагаемых, содержащих переменные иио отрицательных степенях, получим (х- —v) JY(x, л; x)y(t], ^ v)dTls = v(x, у; х) — y(*, у; v). G.75) В результате сравнения членов с положительными степенями перемен- переменных и и v, находим , л; х)Л(т|, у; v)dnS = (x —v)-1^^ y;x) — Л(х, у; v)] + vA(x, у; v)O((/, v)[? + v2O(r/, v)] + к% у; v); G.76) при сравнении членов с неотрицательными степенями переменной и, находим J А (х, т); х) у (л, у; v) dnS = хФ (х, к) [Е + х2Ф (xf x)] у (х9 у; v), G.77) 13 В. Д. Купрадзе
194 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (рл# fV и, наконец, сравнение остальных членов дает у(х, г); х)Л(г), у; v)dr)S = y(x, у; v)vO(y, v)[? + v2(P(y, v)]. G.78) ;¦ Из G.76) следует, что А (х, у\ к) есть резольвента ядра А (х, у; 0). В са- самом деле, полагая в G.76) v = 0, видим, что это соотношение обращается в G.56), т. е. в уравнение резольвенты. При к = 0 из G.56) имеем # (*, у; 0) = k (x, у), или * {х, У) = У (х> У\ 0) + А (х, у; 0). G.79) Далее, полагая в G.77) х = 0 и в G.78) v = 0, получим \А(х9 л; 0)y(Л, У; v)dY]S=\y(xi у; к)А(г\, у; 0)^ = 0; G.80) отсюда для х = 0, v = 0 имеем \А{х, л; 0O(г), у; 0)d^S=\y(x9 ц; О)Л(т], у; 0)^5 = 0. G.81) До сих пор предполагалось, что р (порядок полюса) — призвольное натуральное число. В случае р — 1 имеет место 7.1. Теорема. Если {q/ (x)}rk=i, {tyk {х))гк==\ есть полная система линейно независимых решений союзных однородных сингулярных интеграль- интегральных уравнений и к = х0 есть простой полюс резольвенты, то всегда можно считать выполненными условия ^ [^ G.82) Доказательство. Для р = 1 имеем B(i){Xy у) = —щУ{х, у; 0), G.83) и согласно G.64) можем писать у(х, у\ 0) — х0 J k(x, Qy(l, y\ 0)dsS = 0. Внесем сюда значение k (x, у) из G.79), и используем свойство орто- ортогональности G.81); тогда получим у(х, у; 0) — щ \у{х, g; 0O(|, у; 0)^S = 0. G.84) Подставив сюда значение 7 (х, у\ 0) из G.83), будем иметь или, в проекциях 3 &V У) + S J 5SA) (х, |) В^(|, у) d%S = 0. G.85) Но согласно G-67) Поэтому после внесения этого выражения в G.85) и сравнения коэффициен- коэффициентов при линейно независимых элементах, получаем G.82).
я 7] СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 195 Эти равенства выражают свойство биортонормируемости фундаменталь- фундаментальных решений союзных систем, соответствующих простому полюсу резоль- резольвенты. 9. Третья теорема Фредгольма. Пусть х = х0 есть полюс резольвенты. Справедлива следующая 7.2. Теорема. Необходимым и достаточным условием разрешимости неоднородного сингулярного уравнения G.37) служит соблюдение условий J г|>' (х) f(x)dS = O, / = 1,2 г, G.86) где [tyf (x)Yf=\ — полная система линейно независимых решений союзной однородной системы уравнений G.69). Доказательство. Необходимость получается из G.37) умноже- умножением на г|)'" (х) и интегрированием по 5. Достаточность доказывается следующим образом. Пусть со (х) и а (х) — решения уравнений у; 0)(*(y)dyS = f(x), G.87) о(х) — х0\а (х9 у\ 0) о (у) dyS = / (*); G.88) s тогда = со (х) + a(x) — f (х) G.89) удовлетворяет уравнению G.37). Действительно, согласно G.79) уравнение G.37) принимает вид Ф (*) — *о J {V (*> У* °) + А <*• У* °I Ф (У) dyS = f (*)'• ^7-9°) подставив сюда G.89) и приняв во внимание G.87) и G.88), получаем J у (х, ущ 0) [а (у) — f {у)) dJS + | А (х, у; 0) [со (у) — f (у)} dyS = 0. G.91) Заменим в G.87) и G.88) х на у и у на |; умножим первое на А (х, у\ 0) d^S и второе на у (х, #; 0) d^S слева и интегрируем по 5. Выполнив допустимые здесь перестановки интегралов и приняв во внимание формулы ортогональности, найдем, что ср (х) действительно удовлетворяет уравнению G.37).Таким образом, задача сводится к решению уравнений G.87) и G.88). Уравнение G.88) есть уравнение с сингулярным ядром А (х% у\ 0), и его ре- резольвентой, согласно G.76), является А (х, у\ х); поэтому х=х0 не является характеристическим числом для уравнения G.88), и его решение находится по первой теореме Фредгольма, уже доказанной выше. Что же касается решения со (х), то оно может быть построено лишь в том случае, если f (x) удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Это следует из того, что уравнение G.87) есть уравнение Фредгольма с непрерыв- непрерывным ядром у (х, у; 0), и из соотношения G.75) видно, что его резольвентой служит у (х, у\ х). Следовательно, х = х0, как полюс резольвенты, есть ха- характеристическое число уравнения G.87) и по третьей теореме Фредгольма для разрешимости этого уравнения достаточно выполнения условий \ = Q, i=l, 2,..., /, G.92) 13*
196 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. IV где {hl {y))\=\ — полная система линейно независимых решений союзного однородного уравнения h (у) — х0 J у' (g, у; 0) h (?) rfgS = 0. G.93) Покажем, что / = г и система [h1 (у)}\=\ совпадает с полной системой фундаментальных решений уравнения G.69), союзного с G.37). Для этого обратимся к уравнению G.62) и используя G.79), перепишем его в виде у\ 0) + АF, у\ Из формулы ортогональности которая выводится так же, как формулы G.81), следует BiP) (*, у) — щ\ В{р) (х, В 7 A, у; 0) dfi = 0 s или В{рУ(х, у)—щ1у'& у; 0)В{РУ (х, 6)dgS=- и в проекциях В{р)'(х, у) —Но|тF. У\ 0)В(рУ(х, Но согласно G.70) где {ф7 (y)}i — полная система линейно независимых решений союзного G.37) уравнения G.69). Таким образом, эта система является решением урав- уравнения G.93) и, следовательно, / > г. С другой стороны, уравнение G.93) имеет столько же линейно незави- независимых решений, сколько имеется таких решений у однородного уравнения, соответствующего уравнению G.87). Если бы это число было больше г, то тогда, вследствие того, что однородное уравнение, соответствующее уравне- уравнению G.88), имеет лишь тривиальное решение, исходное однородное уравне- уравнение G.66) имело бы больше, чем г, линейно независимых решений, что не верно и, следовательно, / = г. Отсюда ясно, что достаточные для разреши- разрешимости G.87) условия имеют вид J г; и, следовательно, они же являются условиями, достаточными для разреши- разрешимости сингулярного интегрального уравнения G.37).
я g] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ \QJ § 8. Заключительные замечания Теория одномерных сингулярных интегральных уравнений разработана почти с такой же полнотой, как теория интегральных уравнений Фредгольма. Она изложена в книге Мусхелишвили [2], где имеются также подробные би- библиографические справки по этим вопросам. Многомерным называют сингулярное интегральное уравнение, если раз- размерность т множества интегрирования не меньше двух (т > 2). Размерность множества интегрирования в теории Фредгольма не играет существенной роли, в то время как для сингулярных уравнений она весьма существенна. Выше были отмечены некоторые причины этого обстоятельства. Существует единственное одномерное сингулярное ядро — ядро Коши. Все остальные одномерные сингулярные ядра сводятся к этому ядру. Су- Существуют различные классы двумерных и, тем более, многомерных сингуляр- сингулярных ядер. Указанное обстоятельство значительно осложняет изучение мно- многомерного случая по сравнению с одномерным. Изучение сингулярных интегралов с ядром Коши и уравнений с такими интегралами можно связать с хорошо разработанной теорией функций ком- комплексного переменного. В многомерных случаях аналогичные связи не эффективны. Теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений можно по- построить с помощью формулы перестановки порядка интегрирования, не при- применяя теорию функций комплексного переменного. Формулы перестановки многомерных интегралов гораздо сложнее, и, кроме того, ядро, полученное после перестановки со (х, z) = J и (х; у) v (y9 z) dyS (см. D.1), для ф (х, у, г) — ц)(Ху г)), в отличие от одномерного случая, не всегда регулярно, в чем легко убедиться. Это обстоятельство вызывает сущест- существенные затруднения при решении задачи регуляризации. Кроме того, отсюда видно, что, вообще, итерированное ядро не лучше итерируемых, и метод итерации здесь не применим. Трудность заключается и в том, что не всегда удается получить для Ф (см. D.1), D.3)) удобное выражение. Важной задачей теории сингулярных интегральных уравнений является нахождение индекса уравнения (см. определение 6.2). Это—задача топологии. Рассмотрим одномерный сингулярный интегральный оператор К (Ф) (t) = A(t) Ф (t) + -Ш- J -^г Л + h (Ф) (/), * где А = || Ац ||mXm, В = || В(;\\тхт, ф = (фъ . . ., фт), a h — вполне не- непрерывный оператор. Оператор К называют оператором нормального типа, если det (А (/) + В (*)) ф 0, det (A (t) — В (t)) ФО, t?S. С помощью функции det [(А + В)~1 (А — В)] естественным образом опре- определяется отображение множества S на единичную окружность с центром в начале координат. Степень этого отображения и есть индекс оператора /С. Это предложение есть теорема Нетера—Мусхелишвили. Она допускает обоб- обобщение и на многомерный случай. Рассмотрим, ради простоты, оператор /(, определенный формулой E.29). Обозначим через tx единичный касательный вектор поверхности S в точке х, а через Тх (S) — множество всех таких векторов. Пусть T(S)= [}TX(S)\ в Т (S) известным образом вводится топология, и оно становится трехмерным
198 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ грл jy ориентируемым многообразием — пространством касательных векторов. Сим- Символ оператора К, точнее, о (h (tx), tx), определенный в п. 3 § 5, определяет отображение пространства касательных векторов на пространство неособен- неособенных матриц размерности га х т. Неособенных потому, что рассматриваются операторы нормального типа, т. е. det а Ф 0. Пространство неособенных матриц размерности га х т, естественно, отображается на Bга — 1)-мерную единичную сферу. Таким образом, с помощью символа определяется отобра- отображение пространства Т (S) на Bга — 1)-мерную сферу. Степень этого отобра- отображения и есть индекс оператора /С. Эта весьма важная теорема, полученная применением современных средств топологии, доказана в различных предположениях рядом авторов. См. по этому поводу работы: Михлин [1],Вольперт [1 ], Atiyah, Singer [13, Seeley [1], Bojarski [1], Берикашвили [1] и др. В одномерном случае имеется простая формула для вычисления индекса (см. Мусхелишвили [2] или Векуа Н. [1]): x = J- Гдп, det (А-8I 2я L ё det (Л + В) Js9 где символ [ Is означает приращение выражения, заключенного в скобках, при обходе S один раз в положительном направлении. В многомерном случае такой простой формулы пока не существует. Индексы операторов, которые встретятся нам в этой книге, вычисляются с помощью теорем 6.6—6.8. Эти теоремы имеются в работах: Giraud [2], Михлин [1], Вольперт [1] и др. Рассмотрение операторов, не обладающих свойством нормальности, ока- оказывается весьма трудной задачей. По этим вопросам интересующемуся чи- читателю советуем обратиться к работе Бицадзе [2]. Интерес к теории многомерных сингулярных интегральных уравнений вызван не только задачами теории упругости. Эта теория находит многочис- многочисленные применения в задачах гидроаэромеханики, теории крыла самолета, теоретической физики, геофизики и др. Кроме того, она имеет и самостоя- самостоятельное теоретическое значение, связывая многие разделы современной математики. Следует отметить, что во многих случаях задачи математической физики можно привести к уравнениям Фредгольма, но гораздо естественнее они приводятся к сингулярным интегральным уравнениям, исследование ко- которых проще, чем исследование соответствующих уравнений Фредгольма. Некоторые задачи с помощью сингулярных интегральных уравнений ре- решаются в явном виде — в квадратурах. В некоторых случаях задачи мате- математической физики приводятся к уравнениям Фредгольма, но полное иссле- исследование этих уравнений не удается (см., например, Weyl [2 3 и замечания в Шерман [3] и др.). Вместе с этим упомянутые задачи могут быть исследо- исследованы достаточно просто и строго с помощью сингулярных интегральных уравнений. Первые работы по многомерным сингулярным интегральным уравне- уравнениям принадлежат Трикоми и Жиро (см. Tricomi [1, 2], Giraud [I ]). Эти ра- работы были упомянуты выше. Жиро изучил эту теорию для ядер вида D.4) и применил к исследова- исследованию граничных задач общего линейного эллиптического уравнения в част- частных производных второго порядка. Для общих ядер рассуждения Жиро не обоснованы и требуют уточнения. Обобщениям и уточнениям исследования Жиро посвящены работы Геге- лиа [3, 7, 9, 123. В частности, задача регуляризации у Жиро для ядер вида D.4) решается методом, указанным в п. 1 § 5, совершенно строго, но в общем случае этот метод не проходит и требует изменений, приведенных в п. 2 § 5.
задачи 199 Это сделано в работе Гегелиа [9]. Метод регуляризации, указанный в п. 2 § 5, опирается на теорему Михлина о регуляризации сингулярных опера- операторов, распространенных по всему евклидову пространству. Михлин ввел понятие символа, который сыграл важную роль в этой теории. Все основные теоремы, в частности, теорема об индексе, формули- формулируются в терминах символа. С помощью символа вводится понятие нормаль- нормальности оператора и доказывается, что всякий такой оператор допускает ре- регуляризацию. Для операторов классической теории упругости, термоупругости и мо- ментиой упругости оказалось возможным построить теорию регуляризации и доказать основные теоремы Фредгольма более элементарно, на базе иссле- исследования так называемых функциональных уравнений резольвенты; такое исследование было начато в работе Giraud [1, 2], продолжено и дополнено в книге Купрадзе [13]; эти результаты изложены в § 7 настоящей главы. В применениях важно знать, имеют ли рассматриваемые уравнения глад- гладкие (дифференцируемые до определенного порядка) решения. Эти вопросы подробно исследованы в работах Гегелиа [2, 6, 10, 11, 13] и Капанадзе [1, 2, 3]. Двумерные сингулярные интегральные операторы встречаются в теории обобщенных аналитических функций, принадлежащей И. Н. Векуа (см. Векуа [2]). Эти операторы исследованы в работах Векуа И. [2] и Ман- джавидзе [1 ] и др. Особо следует отметить цикл работ Кальдерона и Зигмунда (см. Cal- deron, Zygmund [1 ]—[4]), где сингулярные операторы исследуются в весьма общих предположениях. Именно эти работы и работы Михлина вызвали в последнее время бурное развитие этой теории и связанных с ней вопросов. Читатель, интересующийся новыми результатами по указанным воп- вопросам, может ознакомиться с работами Бицадзе [1 ] и сборниками: Псев- Псевдодифференциальные операторы, Москва, 1967; Singular Integrals, Pro- Proceedings of symposia in pure Mathematics; vol. 10, AMS Providence, 1968, а также с литературой, цитированной в этих изданиях. В рамках этой книги невозможно изложить теорию многомерных син- сингулярных интегральных уравнений более подробно и указать все направле- направления ее развития. При изложении мы имели в виду применения этой теории в задачах упругости, термоупругости и моментной упругости, но и эта скром- скромная задача потребовала рассмотрения почти всех основных вопросов общей теории. Надеемся, что теория, изложенная выше, найдет дальнейшее при- применение и в других задачах математической физики. ЗАДАЧИ 1. Изучить сингулярные интегральные уравнения, распространенные на многообра- многообразиях с краями, и получить формулы вычисления индекса для таких интегральных операторов. 2. Справедливы ли теоремы Фредгольма для сингулярных уравнений смешанных задач (см. п. 7 § 5, гл. VI) классической теории упругости? 3. Исследовать задачу 2 для моментной теории упругости. 4. Развить теорию резольвенты и с ее помощью доказать теоремы Фредгольма для урав- уравнений третьей и четвертой статических (колебательных) задач классической теории. 5. Развить теорию резольвенты и с ее помощью доказать справедливость теоремы. Фред- Фредгольма для уравнений всех шестнадцати основных задач (см. гл. IX) моментной теории упру- упругости. 6. Распространить теорию сингулярных интегралов и интегральных уравнений, изло- изложенную в §§ 1—6, на случай неограниченного многообразия. 7. Исследовать сингулярные интегральные уравнения контактных задач (см. гл. хп, § 6). 8. С помощью теории резольвенты установить свойства дифференцируемости решений сингулярных интегральных уравнений и доказать теоремы вложения. 9. Решить в явном виде сингулярные интегральные уравнения моментной теории упру- упругости, соответствующие статистическим задачам в случае шара (см. Натрошвили еории упр] [1, 2, 6]).
ГЛАВА V ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА В этой главе будут исследованы граничные свойства потенциалов, пред- представляющих решения граничных и гранично-контактных задач теории упру- упругости, в частности граничные свойства производных указанных потенциалов произвольного порядка. § 1. Некоторые вспомогательные операторы, формулы и теоремы 1. Определение Ш+ (у, б) и Ш~ (у, 6). Пусть 5—замкнутая или разом- разомкнутая поверхность класса Лх (а), у — точка поверхности, п = (nlf n2t n3) — орт положительной нормали поверхности 5 в точке у и d — положительная постоянная, участвующая в определении класса Л1 (а). Рассмотрим шар Ш (у, б), где б — положительное число. Если у не лежит на границе поверх- поверхности 5 (граничной точки не существует, если 5 замкнута) и б — достаточно малое число, то Ш (у> б) поверхностью S разделится на две части. Часть Ш (у, б), находящуюся со стороны положительной нормали п, обозначим через Ш~ {у, б), а Ш (у, б) \ (Ш~ (у, б) [} S) обозначим через Ш+ (у, б). Если S — замкнутая поверхность, ограничивающая область D+, то в силу принятого раньше соглашения, положительной считается внешняя нормаль. Таким образом, в этом случае Ш+ (у, б) = Ш (у, б) П D\ ЯГ (у, 8) = Ш (у, б) n D-f где D~ = E3\(D+ U S). Назовем Ш+ (у, б) внутренней б-окрестностью точки у относительно S (независимо от того, 5 замкнута или нет), а Ш~ (у, б) — внешней б-окрест- ностью точки у относительно 5. Иногда, если это не вызывает недоразуме- недоразумения, вместо «внутренняя б-окрестность точки у относительно S» будем го- говорить «внутренняя б-окрестность точки у», или, еще короче, «внутренняя окрестность точки у». 2. Определение операторов 2Dk, Mkj и dS . Связь между ними. Пусть / — функция, определенная в Ш+ (у, б) [Ш~(у, б)] и принадлежащая классу С1 (Ш+ (у, б)) [С1 (Ш~ (у, б))]. Тогда существует предел df(y)\+ _ v df(x) r(df(y)\- „ lim д ) - " d ' [\ д ) -n-iy*>* dxk
К I] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ 201 Введем обозначения (см. Гюнтер [11) где Ш\+ = lim ^ aV(«r «)—4г-Я*^-. *-1.2.3. Символом S)k (дИ, п) f~ {у) обозначим выражение 3>ь1д n)f-(u)~ (дПу) \~ nJ дПу)\~ П2> где V дп (у) ) я/- {у9 6) э х^у jU k dxk Пусть ф — функция, определенная на S; предположим, что существует в Д/+ (у, б) функция /, принадлежащая классу С1 (Ш+ (у, б)) и удовлетворяю- удовлетворяющая условию Ф(У) = Г(У). Тогда, по определению, 2>k О*, п) Ф {у) = фк (дд9 п) Г (у), k = 1, 2, 3, A.3) где й>* (<Э9, /г) /+ (у) определен из A.1). Если существует в Ш~ (у, б) функция f, принадлежащая С1 (Ш~ (у, 6)) и удовлетворяющая условию то тем же символом SDk (dyj n) ф (у) обозначим ?Dk (dg, п) /" (у). Таким образом, по определению, = ®k(dy, п)Г(у). A.4) Кроме операторов 3)k, мы будем применять некоторые другие операторы, представляющие определенные комбинации операторов ?Dk (ду9 п). Пусть /+ (у) и f~ {у) — определенные выше функции; введем обозначения: у, (^)(^)- *./-1.2,3. где (см. (II, 4.7) и A.2)) *Ы Фв, я) = я, -^ nk -щ- = д,^ (а„ п) — nk3>, (dg, п). A.6)
202 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА [Гл. V Аналогично положим или , я) Ф (У) = Jlki ФУ, n)f+(y) „ п)Г(у), A.7) A.8) где в A.7) ф (у) — функция, определенная на 5 и удовлетворяющая усло- условию ф (у) = Г (У), a feC1 (Ш+ (у, б)). Аналогично определяется смысл равенства A.8). Из A.6) следует з ФкФр п)<р(у)= S п,Жк1(ди, n)q>(y). A.9) Теперь, придавая в A.6) k и / значения 1, 2 и 3, выпишем следующие опе- операторы: д д б ш П) = Г13 (ду, п) = Легко заметить, что операторы ds, A.10) ^—рг удовлетворяют условиям = 0. Из определения операторов 3bk (ду, п), Mkj (ду, п) и 3 3 A.11) вытекает A.12) n), *,/=!. 2, 3, где 8j;7r — символ Леви-Чивита. Рассмотрим антисимметричный матричный оператор (дК, п(х)) = х. я(х))||зхз, A.13) Мщ (дх, п (х)) определен из A.6), п (х) — произвольный единичный вектор, х — произвольная точка в Е3. Если и — регулярный вектор, то выраже- выражение Л (дх, п (х)) и имеет смысл при любом х? Е3 и, как нетрудно проверить, ди (дх, дп п (х) div и-\-[п (х) х rot и]. A.14) Учитывая A.12), последнее выражение в проекциях можно переписать в виде n(x))u)k A.15)
§ J] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ 203 и на основании A.14) обобщенному вектору напряжения (см. A.13.5)) можно придать вид Т(дх, п(х))и=~Т (дХ9 п(х))и + (х + fx)Ж(дх, п(х))и, A.16) где 71 (дХ9 п{х)) и = (к + 2fi) n(x) div и —р[п(х) х rota]. A.17) Справедлива следующая (см. Гюнтер [1], стр. 24—26). 1.1. Теорема. Если S — поверхность Ляпунова и ф? С1 E), то для любого yd S существует функция f указанного выше {см. A.1) и A.3)) вида, определенная неединственным образом; 2Dk (дуу п) ф (у) и Жщ (ду, п) ф (у) (k, j = 1, 2, 3) не зависят от выбора f и Фи (ду, п) Ф 6 С (S), Mkj (дуу л) ф 6 С (S). 3. Теорема Стокса и ее применения. Пусть ф и гр принадлежат классу С1 (S). Тогда для любого у 6 5 справедливы формулы , п)у(у), J Выпишем известные из дифференциальной геометрии формулы (см. Гюнтер [1]) = 2Di(dy, n)nk= = cos (Qyfe) cos (LpXy) t cos (Q^fe) cos (C^/) h AЛУ) где /?! и iR2 — радиусы кривизны главных сечений, имеющих на поверх- поверхности 5 направления Lx и L2. Для средней кривизны из A.19) следует К {у) = S Д>/ (ду, п) щ = -±- + -i-. A -20) 1.2. Т е о р е м а (Стоке). ?слы S — поверхность Ляпунова (замкну- (замкнутая или разомкнутая) и <р? С1 E), то *- где L — контур поверхности 5. Если поверхность замкнутая, то правая часть обращается в нуль. Доказательство теоремы можно найти, например, в книге Гюнтер [1]. Учитывая A.12), теорему Стокса для замкнутой поверхности класса Лх (а) можно записать в следующем виде: = 0, k, / = 1, 2, 3. A.21) На основании A.9), A.18), A.21) для замкнутой поверхности Б^Л2 @) можно получить равенство \ Dtidy, nL>(y)dS = lniK(yL>(y)dSi *=1, 2, 3. A.22) Докажем следующие теоремы:
204 теория потенциала [рл у 1.3. Теорема. Если и и v принадлежат классу С1 (S) и S — замкну- замкнутая поверхность Ляпунова, то \[иЛ(ду9 n)v — vM(dy, n)u]dS = J ? Лп{д99 n)(upt)dS = 6. A.23) Действительно, иЛ(ду, n)v — vJ[(dy, n)u= ? \щЛн(дф n)vf — и{Мч(ду, n)uf] = 3 3 = S [Ur?fi(dg, п)и{ + и,Лп(ду, п)и/\= S Лп(ду, n)(ufv{) и теорема 1.3 следует из теоремы Стокса. 1.4. Теорема. Если и^С1 (S) и S — замкнутая поверхность Ля- Ляпунова, то у, п)[щ{у)Тш{у — x)]dyS = 0, k=\, 2, 3, xEE39 A.24) где rjk(y — х) определяется формулой (II, 1,1); когда x?S, интеграл по- нимается в смысле главного значения. Доказательство. Когда точка х не лежит на S, т. е. когда xgD+ или x?D~, функция и, (у) Tjk(y — х) удовлетворяет условиям теоремы Стокса и справедливость формулы A.24) вытекает из предыдущей теоремы. Пусть теперь х — точка поверхности S. Поместим в ней начало местной системы координат (х)9 введенную в главе I, § 15. Формулы преобразования имеют вид где ть, ti2, % — координаты точки у в системе (х). Кроме того, 3 3 S aki (х) аа (х) = 2 aik (х) at, (x) = бЛ/, 4 = 1 1 = 1 3 3 S ?а(х) а/3(х), ak2(x)= S 5 /а (дс) а/2 (х), аЛз W =nk(x)9 k = 1, 2, 3. Из A.25), учитывая A.26), получаем з Л* = S <*;* (*) (У/ — ^/). A-27) i з п,(у)= Sa/ftW/it(ti). A.28) Обозначим через Z(f боковую поверхность области Ц (х9 п (x)t8){]D+, где Ц (х, п (х), б) — круглый цилиндр, определенный в главе I (см. I, п. 2 § 15). Таким образом, U,t— цилиндрическая поверхность, которая целиком находится внутри области D+. Выберем б так, чтобы 26 < d, где d — постоян- постоянная, участвующая в определении поверхности Ляпунова. К основанию ци- цилиндра Ц (х, п (х), б) в D+ прикрепим полушар с центром в точке @, 0, —6), радиусом б. Поверхность пол у шара обозначим через С$".
§ 1] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ 205 Пусть L (б)—контур разомкнутой поверхности S\5 (х, б), где 5 (х, б) — кусок поверхности 5, вырезанный из 5 цилиндром Ц (х, п (л:), б). Применяя к разомкнутой поверхности 5\S (х, б) теорему Стокса, на осно- основании A.12) видим, что для завершения доказательства теоремы в случае х? S достаточно доказать, что lim J 6-»0LF — x)dyl = 0, k=l, 2, 3, /, 1=1 Следовательно, справедливость равенства A.24) будет установлена, если будет доказано, что lim J ui(y)Tik(y — x)dyl = 0, i, /, k% /=l, 2, 3, A.29) Так как L (б) является контуром и для разомкнутой поверхности tt, то имеем Lib) —х)йу1 = J LF) J Займемся сначала вычислением интегралов J ds,(y) "A k, 1, l-l, 2, 3. Но на U,t На основании A.26) и A.28) имеем dTjk (У — х) _ yj dTfk (л) где ir Sfk , . ,q,r=\ б COS ф, ТJ = б Sin ф, п2 (л) = — sin ф, ar/ /fc ¦ = (82pcoscp — 6lpsin< Т)а — t, A.32) A.33) где Ф (Tilf тJ) — уравнение куска S (х, 6) в системе (х).
206 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА [Гл. V Принимая во внимание A.31)—A.33), после элементарных вычисле- вычислений, получим (</) 2/2 ¦< 2я р=1 0 А/6,-, 4- ^2 (ф) F 4- V б2 4- ^2 (Ф)) Г с/, г=1 F^cos ф + $2а sin ф) (б1г cos ф + К sin ф) X slnq>) /б2 4- 'Ф2 F - 62 t (ф) (бг<у COS ф 4- 62g Sin ф) (ф) . A.34) В точках Сб" имеем цг = б cos ф sin 6, т]2 = 6 sin ф sin 0, % = — б + в cos 9, /гг (т]) = — cos ф sin 6, д2 (т]) = — sin ф sin В, пц (у\) = — cos 9, зх, d^S = б2 sin 9 <29 йф, |т)| ==26sln~,. = б {^- [sin 9 (в1р sin cos 5- [cos 9 (81Рcos Ф + б2^ sin Ф) — 8Вр sin 9] Гм} d9 dVf A.35) t • (!*36) Учитывая A-34) и A.36) и пользуясь свойством поверхности Ляпунова A.37) получим Г дГ,к(у-х) d с <С1б«->0, при б —0, Итак, мы доказали г (у) 1, 2, 3, A.38) A.39)
§ I] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ 207 Оценим интегралы по L (б) в правой части A.30). Так как и^С1 (S), имеем \Щ{У) — Щ(х)\<А\у — х\9 * = 1, 2, 3, кроме того, |Г,*(у — x)\<j^T{> *, /=1,2,3. В силу последних формул J [ui(y) — ul(x))rik(y-x)dyl ^c J Л' = 2яс6—0, приб —0, A.40) LF) L*<<» где Z/ (б) — окружность радиуса б (проекция L (б) на касательную пло- плоскость). Учитывая теперь A.38) и A.40) из A.30) получим A.29) и теорема 1.4 доказана полностью. Формулу A.24) можно переписать в виде J \[Лфт п)Г(у — х)]'и{у)-Г(у — х)Ж(ду, n)u(y)\dyS = 0, x?EB, A.41) где з \Ж(дуу п)Г(у — х)П,= 2 *пФу A.42) Так как A.41) имеет место для любых А/ и [г', подставляя в это соотношение ^' = 1, ц/ = 0, получим J [Ж (ди, п) lvSrr и (у) + jJ— Ж (ду, п) и {у)] dyS = 0, х 6 ?„ A.43) S где Е — единичная матрица. С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые применялись при доказательстве теоремы 1.4, легко доказать и следующую теорему: 1.5. Теорема. Если и^С1 (S) и Б^Лг (а), 0 < а ^ 1, то т п)Г(у — х, &)]'и{у) — Г(у — х9 <й)Мфу, п)и(у)\ dyS=0, х? Ев, A.44) еде Г (у — х, со) — матрица Купрадзе (см. (II, 1.7)), а у, п)Г(у — x9a>)yki = -(K + v.')JIkt{dy9 п) ^^~х^ + 3 2 vv 0= 1 /=1 4. Формула представления решения при лг(Е S. В главе 111 мы получили формулы общих представлений решения уравнений классической теории упругости, термоупругости и моментной упругости, когда точка х ле- лежит в D+ или D~. Здесь получим эти представления для л:? S, ограничиваясь для простоты классическим случаем.
208 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА [Гл. V 1.6. Теорема. Если 5 6 Лг (а), 0 < а «^ 1 и и является регулярным решением уравнения A1,4.2), то — х)Т(ду, п)и(у)—[т(дд, п)Г(у — х)\ и , x e S, A.45) где Г (у — л:) — матрица Кельвина, Т (ду9 п) и (у) — обобщенный вектор напряжения (I, 13, 5), 7Xk) [Т(ду, я)Г(у-х)Гц--^Д)|у_!. а интеграл понимается в смысле главного значения. Доказательство опирается на результаты предыдущего пункта. Пусть x?S. Рассмотрим местную систему координат (х). Применим формулу Со- милиана A11/2.9) к области, которая ограничена замкнутой поверхностью [5\S (x, S)] U U,t\jCt- Так как точка х находится вне рассматриваемой области, то имеем | {г {у — х) Т (д„ п)и(у) — [т (<59, п)Г(у-х)] и (у)} d,S = {Т(у — х)Т(д99 п)иц) — [т(ду9 п)Г{у — t A.47) Очевидно, при б —¦ О J r(y — x)T(dg,n)u{y)dyS и в силу A.37) J T{y—x)T{dgin)u{y)dyS <c0 J ]."пГГ = 4яс1' —1/5)—О, - 2ясоб In (V2 + 1) [У\ + (|J + |] - О Таким образом, lim J Г {у—х) Т (дд, п)и(у) dvS = 0. A.48) Для вычисления второго интеграла в A.47) рассмотрим тождество , п)Г(у—х)\ u(y)d?= J [Тф„, п)Г(у—х)\ \и{у) — J [т(д„ п)Г(у~xjJrfeSaW. A.49) ? t
§11 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ 209 Первый интеграл в правой части оценивается так же, как выше, и в пре- пределе равен нулю. Повторяя рассуждения предыдущего пункта, получим Jim J t JL- где Е — единичная матрица. Учитывая A.25), A.26) и A.28), будем иметь з 2 п* (Л) дп(у) \у — х\ и используя A.33) и A.35), найдем |2я ——T \у — х\ Отсюда вытекает, в частности, известная формула ' = — lim ( L.^— (y) \y — x\ ^4-Ti— дп(у)\у — <2ксв5«. . A.50) Итак, мы получили lim J [Т(ду, n)Y(y—x)]duS = E. e*44 Перейдя к пределу при б —> 0 в A.49), и учитывая предыдущие формулы, будем иметь lim J [т(д„ п)Г(у — х)] u{y)dyS = u(x). + A.51) Наконец, приняв во внимание A.48) и A.51), получаем доказательство теоремы 1.6. Учитывая A11,2.9) и A.45), можем написать т(ду, п)и{у)У — [Т{ди, п)Т(у — *)]'(и Г 2, о, xeD-. Совершенно аналогично доказывается формула A.52) A.53) A.54) где t] (х) = 0 при x?D+, r\ (х) = 1 при *6 S и т\ (х) = 2, при x?D~. И В. Д. Купрадзе
210 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА [Рл у Формулы A.52) и A.54) остаются справедливыми для уравнений уста- установившихся колебаний классической теории упругости, термоупругости и для моментной теории, если вместо Г (х — у) рассматривается соответствую- соответствующая фундаментальная матрица. § 2. Граничные свойства для поверхностных интегралов типа потенциала Пусть 5 — замкнутая или разомкнутая гладкая поверхность в ?3» z — точка поверхности, a v — орт положительной нормали к поверхности S в точке 2. Рассмотрим круглый конус с вершиной в точке г, осью вращения ко- которого служит прямая, проходящая по v. Предположим, что плоский угол при вершине этого конуса а < л. Введем следующие обозначения: через К (z, а) обозначим часть Е3, заключенную внутри указанного конуса, Q+(z, а, 6) = /С (z, а)ПЯГ(г, б), Q'(z9 а, 6) = /C(z, а)ПДГ(г, 6). м ). I где Ш+ (z, б) [Ш (z, б)] внутренняя (внешняя) б-окрестность точки г от- относительно S (см. § 1, п. 1). Пусть G (S) — некоторая окрестность поверхности 5, т. е. область из Е3, содержащая 5. Предположим, что F — функция, определенная в G (S)\S. 2.1. Определение. Угловым граничным значением функции F в точке zg «S изнутри (извне) назовем предел lim F(x) f lim F(x)]9 ,6)э^г IQ- (z,a, &) =э x->z J Q+ B, a, 6) если он существует для любого а из интервала @, я), и не зависит от а. Угловое граничное значение в точке z?S изнутри (извне) обозначается через F+ (z) или \F (z)}+, [F~ (z) или \F (г)}-]. Очевидно, если F непрерывно продолжима в точке г? 5 изнутри (извне), то существует угловое граничное значение этой функции в точке z изнутри (извне). Обратное предложение не верно, в чем можно убедиться на примере. Предположим, что функция k удовлетворяет следующим условиям: 1) k^Gx B, у) на D+xS [D~xS] для некоторого у > 0 (см. определе- определение IV, 1.2); 2) существует угловое граничное значение F+ (z) [F~ (z)] интеграла F(x)= J>(*. y)duS. s где z? 5; 3) существует сингулярный интеграл F(z)=\k(z, y)dyS s в смысле главного значения (см. гл. IV, § 1, п. 3). 2.2. Теорема. Если S — гладкая поверхность, соблюдены условия 1) —3), фб L (S) и z является точкой Лебега для ср, то для любого а 6 @, я) \im {\k(x, y)<p(y)dyS— f k(z, y)<p(y)dvS\=\F+(z) — № 3\8(г.г) I S\S U.4
5 2] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ДЛЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 211 еде e==|x_z| и xeQ+(z, a, 8){xeQ-(z, а9 &)}. Доказательство. Пусть условия теоремы 2.2 выполнены. Из 2) и 3) следует, что если \х — 2| = е, jc6Q+B, a, 8)[xeQ'(z9 а, б)], то hml\k(x, y)dyS- f k(z, y)dys) = F+(z) — F(z), **0 б(х, y)dyS— f k(z, y)dyS] = F- (z) — F (z)]. S\S(..e, J J Следовательно, для доказательства теоремы достаточно показать, что lim/B, х, е) = О, где (г, х, в)=\к(х9 y)f(y)dyS— J k(zy y)f(y)dyS, S S\S(Z,8) , a, 6)[jc6Q"B, a, 6)]. Так как z является точкой Лебега для ф и / = ф (у) — <р B), /? L (S), то Нт ¦—¦ [ \f{y)\dyS = O. B.2) р —ь О •* Не нарушая общности, можно считать, что / — неотрицательная функ- функция на S. Представим f B, х, 8) в виде суммы з /B, Ху 8)= S /* B, X, 8, Г]), где /i(z, х, 8, г])= f [k(x, y) — k(zy y)]f(y)dS9 S\S (z, -Л) /2B, x, 8, т|)= J [k(xy y) — k(zy y)]f(y)dS% S(Zi ti)\SB, eV /3B, x, e, rO= I k(xy y)f(y)dS. S B. 8) Покажем сначала, что \\mfl(zy xy 8, г]) = 0. Из условия 1) следует: 14*
212 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА fj-jj# Если 2е < т), т. е. 2 | z — х \ < ц, то ввиду того, что \у — г\ > г\, B, х, е, т))|^Ctl8v j/{у)d^O, B.3) при 8 —> 0 (сл — некоторая постоянная, зависящая от г\). Рассмотрим теперь /2 (z, х, 8, т]). Имеем S B, t|)\S (z, e) IP^2' Но, если y? S (z, л)\5 B, s), x? Q+ (z, a, 6), | z — x\ = e и числа ef т], б выбраны достаточно малыми, то \x — y\^\z — y\s'm$, B.4) где 2р = я — а. Следовательно, Рассмотрим касательную плоскость к поверхности 5 в точке z и обозна- обозначим ее через т (z). Пусть т (г, г]), т (г, е)и(/' — ортогональные проекции на т (г) множеств 5 (г, т]), 5 (z, e) и точки у соответственно. Тогда для f2 имеем тB, n)\x(z, e) |2 У ' где са — некоторая постоянная, зависящая от а, 02 — функция, определен- определенная из (IV,3.28), а /0 (у') = / (у). Очевидно, при у' ? т (z, т]) где с = const и, следовательно, \Гш(г. х, г, г$\^сагУ J ¦ У* . tB Л)\ТB 8) ' ^ , 8) Переходя к полярным координатам в плоскости т (z), с полюсом 2, по- получим 8 О где г = \z — t/% а Ф — полярный угол точки у'. Пусть р 2л j Очевидно,
{ч 2] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ДЛЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 21& Поэтому в силу теоремы Фубини (см. Смирнов [3]), ф абсолютно не- непрерывна на @, г\) и почти для всех г? @, ц) 2 я Таким образом, л f л |/2B, X, 8, T])l^ca8V V Ф 2-1уГ ==Са&У\\ ^-И + B + ?) Из B.2) следует, что lim^- = 0. B.5) В силу этого f2(z9 х, е, л) —0, когда е-*0. B.6) Остается оценить f3 (z, x, 8, г\). Если •^€Q+B, a, б), [#6Q~(z, a, б)], y^S(z9 e), |z — x| = s, то Отсюда для f3 получаем оценку: S B. 8) В силу B.2) Iimf9(z9 х, е, т])->0. Теперь в силу B.6) и B.3) получаем доказательство теоремы. Совершенно аналогично доказывается несколько более общая 2.3. Теорема. Если S — гладкая поверхность, k удовлетворяет условию 1), существует предел \im[\k{x, y)d9S— f k(zt y)dyS\, B.7) p x? Q+ (z, a, 6) [x? Q" B, a, 6)], | z—x\ =8, qp? L (S) м 2 является точкой Лебега для ф, /по lim j Jfe (х, у) Ф (у) d^ — J ? (г, у) Ф (у) d,SJ = Фа (г) Ф (г), S\S(z9e) где л: 6 Q+ B, а, б) [*6 Q" (zf а, б) ], | г — х \ = е, Фа (г) — лр^л B.7). Теоремы 2.2 и 2.3 остаются справедливыми, если k == || kit,\i м т — мат- матрица, а ф = (<рь ф2, . . ., фт) — вектор.
214 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА [Рл# у С помощью теорем, доказанных в этом параграфе, можно вычислить угловые граничные значения интегралов типа потенциала. Рассмотрим один достаточно общий пример. Пусть k(x, у)=\\Ьи(х, у)||зхз, B.8) где з j A fin B0(yi — xi)(yc — x{) • II у — *1 \у — *13 Л 0, В 0 — произвольные постоянные. Составим функцию типа потенциала К (ф) (х) = ? (х, г/) ф (у) dyS, B.10) где ф = (ф1э ф2, ф3) — плотность. Вычислим угловые граничные значения интеграла К (ф) с помощью теоремы 2.2. Для этого необходимо найти угловые граничные значения интеграла B.10') и его значение в точке х? S. Учитывая A.39), получим i, /=1,2, 3, х?Е3. B.11) Кроме этого, — 2л, *es, 0, хб^' В силу B.11) и B.12) имеем теорему: 2.4. Теорема. ?а/ш S — замкнутая поверхность Ляпунова, ограни- ограничивающая конечную область D+, и F — функция, определенная из B.10'), то -?, хб5, B.13) 0, хе D", г5в ? — единичная матрица. 2.5, Теорема. ?Ъш 5 — поверхность Ляпунова (замкнутая или разомкнутая) и ф? Lp (S), р > 1, то существуют угловые граничные значе- значения интеграла B.10) почти всюду на S и вычисляются по формулам К± (Ф) (z) = ± Ф (г) + J k (г, у) Ф (у) dS, B.14) где интеграл в правой части понимается в смысле главного значения. Доказательство. Заметим, что k удовлетворяет условиям тео- теоремы 2.2. В самом деле, так как 5б«/7х (а) при а > 0, легко показать, что
* gi ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ 215 на DxS k^G-L B, а), где D — произвольная конечная область из Е3. Кроме того, существует интеграл F (х) в смысле главного значения во всех точ- точках х? S, не являющихся граничными точками поверхности. Доказательство аналогично IV, 3.25. Предположим, что S — замкнута, тогда в силу теоремы 2.4, F непре- непрерывно продолжима на S, как из D+, так и из D". Следовательно, существуют ее угловые граничные значения во всех точках поверхности S, Если примем во внимание определение сингулярного интеграла и то, что почти все точки поверхности 5 являются точками Лебега для ф, из тео- теоремы 2.2 непосредственно следует 2.5 в случае замкнутой поверхности 5. Пусть теперь S — разомкнута. Дополним S до замкнутой поверхности поверхностью 50. Пусть D+ — конечная область, ограниченная поверх- поверхностью SU*S0. Мы предполагаем, что положительной нормалью на S(JSO является нормаль, направленная из D+. Продолжим ср из S на SLJS0 форму- формулой ф (у) = О, если у? 50. Применяя уже доказанную часть теоремы, получим формулу B.14) и для разомкнутой поверхности S. § 3. Потенциалы простого и двойного слоя. Угловые граничные значения При исследовании граничных задач, поставленных в первой главе, большую роль играют интегралы вида V. (Ф) (x) = \v (х — у) Ф (у) dySf C.1) .5? где v (х) = Г (х) — матрица Кельвина (см. A1,1.4)), или v (х) = Г (х, со) — матрица Купрадзе (см. (П. 1.7)), или v (х) = W (х, а) — матрица фундамен- фундаментальных решений моментной теории упругости (см. A1,2.10)), или же v (x) = = Ф (х, со) — матрица фундаментальных решений уравнения A1,3.1) (см. A1,3.6)). v — называется ядром, а ф — плотностью интеграла; ф — вектор, определенный на 5. Если v (х) = Г (х) или v (х) = Г (х, со), то ф — трех- трехмерный вектор ф = (фь ф2, ф3); если v (х) = Ф (х, со), то ф — четырех- четырехмерный вектор ф = (фх, ф2, ф3, Ф4); если же v (х) = ? (х, а), то ф — шестимерный вектор. Интегралы C.1) в теории упругости играют такую же роль, какую играет потенциал простого слоя в теории граничных задач гармонических функций (см., например, Гюнтер [1]) или обобщенные потенциалы (см., например, Miranda [1]) простого слоя в теории граничных задач эллиптических урав- уравнений в частных производных второго порядка. Интеграл C.1), кроме того, как в этом убедимся впоследствии, обладает граничными свойствами, анало- аналогичными граничным свойствам потенциала простого слоя. В связи с этим, интеграл C.1) назовем потенциалом простого слоя. Нам нужно будет, кроме того, изучить интегралы вида C.2) где w (х — у) = [Т (ду9 п) Г (у — л:) Г — матрица сингулярных решений уравнений статики (см. теорему 11,4.1) или w (х — у) = [Т (дуу п)х X Г (у — х, со)]'—матрица сингулярных решений уравнений колебания (см. теорему 11,4.4), или w (х — у) = [Т (дуу п) W (у — х> о)]' —матрица сингу- сингулярных решений уравнений колебания моментной теории упругости (см. тео- теорему 11,5.1), или же w (х — у) = \& (ду, п, со) Ф* (у — ху со)]', w (х — у) = = \к (ду9 /г, со) Ф* (у — х, со)Г, w(x — y)=[Q (дуу п) Ф* (у - х, со)]' -
216 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА [Рл# у матрицы сингулярных решений уравнений колебания термоупругости (см, к теорема 11,6.1). Можно рассмотреть случай, когда w (х — у) = [Т (ду, п) х X Г (у — x)Y, w(x — y)= IT (ду, п)Т (у — х, со)]' и др. Интеграл C.2) будем называть потенциалом двойного слоя. Вычислим угловые граничные значения этого потенциала. Рассмотрим сначала слу- чай, когда w (х — у) = [Т (ду, п) Г (у — х)У (см. A.46)). Докажем теорему. 3.1. Теорема. Если S — поверхность Ляпунова (замкнутая или разомкнутая) и ф? LD (S), р > 1, то почти всюду на S существуют угловые X граничные значения интеграла C.2), где w (х — у) = [Т (ду, п) Г (у — х)\\ и вычисляются по формулам Г(у-г)] <p(y)dyS; C.3) п) интеграл в C.3) понимается в смысле главного значения. Доказательство. Положим в B.9) Ао = уХ — (i|i'f BQ = ji' (x + \i); C.4) тогда k(x, У) = [т(ду9 п)Т{у — и из теоремы 2.5 следует 3.1. Нетрудно доказать и более общую теорему. 3.2. Теорема. Если S — поверхность Ляпунова (замкнутая или ра- X зомкнутая), срб Lp E), р > 1, w (х — у) = [Т (дуу п) Г (у — х, со)]', или w(x — y)= [Т (ду, л) Т (у — xt о)]', или W(x — y)= [<? (дуу пу со) х X Ф* (у — х, со)Г, то почти всюду на S существуют угловые граничные значения W (ср) (г) и * W± (Ф) (г) = + Ф (г) + f w (г — у) Ф (у) djS, C.5) s где интеграл в правой части понимается в смысле главного значения. X Пусть w (х — у) = [Т (ду, п) Г (у — х, со)]'. Легко заметить, что [^(ду, п)Т(у—х, со)] =[т(ду, п)Т(у-х)} +[т(ду, п)Т(у — х,ь)] , где второе слагаемое в правой части допускает оценку (см. теорему 11,1.5) \[т(ду, п)Т(у — х, со)] |<с. C.6) Пользуясь C.6), легко установим существование угловых граничных значений вектора Wo (ф)(*) = J [^(ду. п)Т(у — х, со)] <p{y)djS C.7) почти во всех точках z поверхности S и — г, со)] <p{y)djS. C.8)
§ 4] ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ С ПЛОТНОСТЬЮ КЛАССА C°»3(S) - 217 Теперь доказательство теоремы при w (х —у) = it (д&, п) Г (у— х% со)]' следует из теоремы 3.1 и из представления |[ —хч со)] Т(ду,п)Г(у = \[т(ду, п)Т(у — х)} Ф(у)dyS + J \т (ду, п)Г(У — *, со)] Ф(у)dyS. Аналогично рассматривается случай, когда w (х — у) = [Т (ду, п) х X Т (у — х, о) У или w (х — у) = \&(ди, п, со) Ф* (у — х, со) ]' и другие. § 4. Потенциал двойного слоя с плотностью класса C°^(S) В предыдущем параграфе мы изучили потенциал двойного слоя C.2) с плотностью из класса Lp E). Рассмотрим теперь этот потенциал, когда Фб С0' уE), где 0 < C ^ 1. Изучим сначала случай, когда w (х — у) = = [Т (ду, п) Г (у — х)У9 т. е. интеграл W (Ф) (х) =\{Т (ди, п) Г (у-х)У Ф (у) dyS. D.1) Пусть 5 — замкнутая поверхность Ляпунова; тогда (ввиду того, что 9?C°'6(S)) из теоремы 3.1 следует существование угловых граничных зна- значений интеграла D.1) почти для всех г? S, и W± (Ф) (г) = ч= Ф (г) + W (Ф) (г), D.2) где W (ф) (z) — значение интеграла D.1) в точке z?S, определенное в смысле главного значения. В этом параграфе мы докажем, что в указанных предположениях фор- формула D.2) справедлива во всех точках z поверхности 5. Кроме того, W (ф) непрерывно продолжима на S как из D+, так и из D~ и, следовательно, в формуле D.2) под W+ (ф) (z) и W~ (ф) (z) можно подразумевать не только угловые граничные значения интеграла D.1), но и его граничные значения, определенные равенствами (г? S) = lim W(q>)(x), W~(q>)(z)= lim Докажем теорему, частным случаем которой является формулированное выше предложение. 4.1. Теорема. Если S — замкнутая поверхность класса Лх (а), О < а ^ 1, ограничивающая конечную область D+ и 0 < р < а, ф? С0* Р E), то функция W( (ф), определенная в D+ равенством принадлежит классу С0*!3 (D+). Более того х), II ^ (ф) !(/>+, о, Э) ^ с IIФ 1E, о, 3). где с — положительная постоянная, не зависящая от ф. Доказательство. Пусть х', х" принадлежат D+; б = | х' — х" |. Не нарушая общности, можно считать 66 < df где d — постоянная, участву- участвующая в определении класса Лг (а). 1) См. в главе 1 определения 15.3, 15.3', 15.3*.
218 теория потенциала [Гл. у Рассмотрим отдельно три возможных случая: 2) 3) p(x',S) = \x' — z' или ", S) = |x" — г"|<26; S) = |x" — z" | ^ 26, |*'_2'|<-i. В случае 1) имеем Wt (Ф) (х') — IF, (ф) (х") = W (Ф) (х') - Г (Ф) (а:") = = J \[Т(д„, п)Т(у- *')]' -[Т(а„ n)T(g — x")]'\ ф(i/)djS. Отсюда в силу теоремы IV,! .9 имеем 'f~^' |Ф(у Рассмотрим случай 2). Пусть р (х\ S) = \х' — г' | < 26, z'? 5. Имеем Wt (ф) (x')—Wt (Ф) {х") \^\Wt (Ф) {х1)— Wt (Ф) (г') | + | Wt (Ф) {z') — Wt (q Очевидно, ^^ (ф) (*') — ^^ (ф) (z') = HF (Ф) (х') + ф B') — IF (ф) {г') = -Ф(г') = J [Г(а„ я)Г (у—д:')]'Ф(У)^— j [Г (а„, п)Г(у — г')]' = J [T фи, п)Т(у — х')}' [Ф(у) — Ф(z')Jd^S — — J [Г (а„ я) Г {у — г')]' [Ф (у) — Ф (z' + Г j [Т (ду, п) Г (у— х')]' dvS — j [Т (ду, п) Г (у— г')]' djS\ Ф (г') + Ф (zr) = av, п)Г(у—х'))'-[Т(ду, n)T(y~z')]'\[ci>(y) Здесь применены формулы | [Т (ду, п)Т{у — х')]' й? = - 2?, J [Т {ди, п)Т(у — г')]' d,S = - ?, полученные в § 2 (см. B.13)). Следовательно D-4)
§ 41 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ С ПЛОТНОСТЬЮ КЛАССА С°* В (S) 219 где у, п)Г(у — *')]' — г /2 = J [Г (д„ /г) Г ((/ — г')]' [Ф (У) - Ф B' /з = J [^ (av, п)Г(у — х')]' [ф (у) — ф (г')] S ('6 /4= J {[Г(а„, п)Г(у—х')Г — \Т(ду9 ri SB',d/2)\S B% 6) Оценим /х. Так же как в случае 1), имеем Ш^с\х'-х"\ J \^(y) — 4>(zi)\dl/S^c\ S\S (z\ d/2) Отсюда l/il^l*' — дГ|Э. D.5) Оценим /2. Имеем XB', 6) Следовательно, |/2|^c|*'-x"P- D.6) Аналогично получается оценка \7э\^с\х'-х"\К D.7) Оценим /4- Имеем ей J |2'_^||^_ yf\9y{z\ 2)S(\6) б Отсюда D.8) Складывая неравенства D.5)—D.8), получим | W, (Ф) (*') - W, (Ф) (/) | <; с | *' - хГ \\ Оценим теперь Имеем | W, Ш B') — W, (ф) (ХГ) |< | ^, (ф) B') - И?, (ф) B") | + | W, (ф) (Z*) - где Разность оценивается совершенно так же, как
220 теория потенциала [Гл. V а для первого слагаемого в правой части предыдущего неравенства получим Wt (Ф) (z') — Wt (Ф) (z") = - Ф (*') + W (Ф) (г') + Ф (z") - W (Ф) (гГ). Следовательно, | Г, (Ф) (г') - Wt (Ф) (/') | ^ с | z' - Г | + | W (Ф) (z') - В силу теоремы !V,3,26 имеем \W(<p)(z') — и, следовательно, Складывая полученные неравенства, имеем | H7, (ф) (х') — Wt (Ф) (х") К с | х' — х» |В. D.9) Это рассуждение не изменится, если p(x\S) = | лг" — г"|<26, Ь = \х'—х'\. Исследуем теперь случай 3). Очевидно, ') — W, (Ф) (х") = J {[Г (д„ л) Г (у — х')Г - — [Т (ду, п)Г(у — хГ)]' \ [Ф (у) — Ф (z')] где /2= j S (*'. d/2) Если y€S\S(z', d/2), то поэтому и, следовательно, В силу этого неравенства, s Если i/6 S (z', d/2), то | у — 2' | ==s 2 | у — х' | ^ 4 | у — х" |, откуда полу- получаем оценку Первая часть теоремы доказана. Теперь легко завершить все доказа- доказательство. Рассмотрим потенциал двойного слоя (x — y)q>(y)dyS, D.10) где w (х — у) = IT (дд, п)Т (у — х) V, или w (х — у) = [Т (dg, n) x X Г (у — х, со)Г, или w (х — у) = [Г (д,, и) ^ (у — х, а)]' и т. д.
Л 5) ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ 221 Из 4.1 легко следует справедливость следующей теоремы: 4.2. Теорема. Если S — замкнутая поверхность класса Лг (а), О < а ^ 1, ограничивающая конечную область D+ и ср? С0' Р (S), 0 < р < а, то функция Wt (ф), определенная равенством D.3), принадлежит классу С0-» (D*) и || Wi (ф) ||(D+, 0, 3) < С 1 ф ||(S, 0, 3). Рассмотрим теперь потенциал двойного слоя D.10) в области D" = = E3\(D+(}S). Функция (матрица) \|э, по определению, принадлежит классу C°*a(D~)9 если грб СР-аф~[\Ш @, г)) для любого г > 0. Пусть Совершенно аналогично теоремам 4.1 и 4.2 доказывается 4.3. Теорема. Если S — замкнутая поверхность класса Лг (а), 0 < а ^ 1, ограничивающая бесконечную область D" и ф? С0» P(S), 0 < Р < <а, то функция We (ф) принадлежит классу C°*$(D~) и II We (ф) ||(D-, 0. 3) ^ С I Ф II(S. 0, 3)* Незначительно модифицируя приведенные рассуждения, можно дока- доказать несколько более общую теорему. 4.4. Теорема. Если S — поверхность класса Лг (а), 0 < а ^ 1 {замкнутая или разомкнутая), ф? Lv (S) и ф? С0* ° (So), 0 < р < а, где So — часть S, ограниченная гладкой кривой, то потенциал двойного слоя D.10) непрерывно продолжим в каждой внутренней точке поверхности So и граничные значения вычисляются по формулам D.2). Кроме того, существует такая внутренняя (внешняя) окрестность поверхности Sl9 что в этой окрест- окрестности W (ф) принадлежит классу С0' ®. Здесь Sj — произвольная часть 50, не содержащая точек границы So. § 5. Граничные свойства первых производных потенциала простого слоя Исследуем граничные свойства первых производных (по декартовым координатам) потенциала простого слоя (х) = j Г(х — у)ц>(у) dyS, E.1) где фб Lp (S), р > 1, а Г (jc — у) — матрица Кельвина. Из E.1) для x6S, имеем где (см. (II. 1.3)) dxt Wi ( +V>)°* dyi \y_
222 теория потенциала [Гл. V Приняв во внимание A.2), можем писать =A—(х- + ю V, а. л,-^ + ,-г>, ft. + ю V ? Tj^ »Ч ? () • E.3) Учитывая формулу dyidyk получим д (д*\у — х\\ с, д ) nk (yi — ) дп \у — х\ \ с, ik dyi Ял I v — x I Если учесть формулу A1,4.6), то предыдущее равенство перепишется в виде -У Л (д п)№ \-2ni2>k(dy,n)-r-lr. Следовательно, E.3) принимает вид Рассмотрим потенциал где ф|/* (У) = л* I— (V + м»') Sfe, + 2^i'n^fi/] фу (у); очевидно, Рассмотрим теперь потенциал, соответствующий второму слагаемому в E.4) справа: Щ (%) (X) = j Ф, (у) 2>i (дуу п) {у^
§ 5] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ 223 Учитывая A.9), имеем 3 Щ (ф/) (х) = J ^ Ф|/ (У) *и (ду, п) * dyS, E.6) s i\ s i=\ где Ф// (У) = Л/Ф/ (У). Принимая во внимание B.11) и теорему 2.5, находим \vt (Ф/)(*Л± = J 2>, (д„ /г) |у^г| Ф/ (у)dyS. E.7) Аналогичные рассуждения применяются и для установления граничных свойств интегралов типа потенциалов, соответствующих остальным слагае- слагаемым в выражении E.4), E.2). Учитывая это обстоятельство и приняв во вни- внимание E.5) и E.7), приходим к следующей теореме: 5.1. Теорема. Если S — поверхность Ляпунова (замкнутая или ра- разомкнутая), ф? Lp (S), р > 1, то существуют почти для всех z? S угловые граничные значения первых производных (по декартовым координатам) по- потенциала простого слоя — E.1), и вычисляются по формулам = ± 2п [(V + Ю ФА (г)-2^4 (V9)J v4 + d-^jp, E.8) где v = (vb v2, v3) — орт положительной нормали поверхности S в точке 2, а под dzi понимается значение интеграла E.2) при х = г? S, определенное в смысле главного значения. Учитывая E.8) и тождество k=l dVk (q>) (x) т (дг, v)V (фХг)}* = ± ф(г) + Т (дг, v)V(q>)(z). E.9) получаем Исследуем граничные свойства первых производных потенциала про- простого слоя с плотностью ф из класса С0* рE). В § 4 были изучены граничные свойства потенциала двойного слоя с плотностью из класса С°> $ E); при этом мы опирались на теоремы 3.1 и IV,3.26. Совершенно так же исследуются граничные свойства производных первого порядка потенциала простого слоя с помощью теорем 5.1 и IV,3.26. Справедлива следующая 5.2. Теорема. Если S — замкнутая поверхность класса Лг (а), О <а ^ 1, ограничивающая конечную область D+ (D~ = E3\(D+[}S))9 ф? С0- P(S), 0 < Р < а, то первые производные по декартовым координатам потенциала простого слоя E.1) принадлежат классу С0*13 (D+) (C°-f3 (D~)). Эти производные непрерывно продолжимы на S, как из D+, так и из D~; в каждой точке z?S имеет место равенство E.8) и I V (Ф) И(Г>±, 1. 0) ^С I Ф 1E,0,3).
224 теория потенциала [Рл# v Исходя из этой теоремы, можно исследовать граничные свойства век- х тора Т (дх, v) V (ф) (х) при ф? С0* |3 (S) и получить формулу E.9). Наконец, используя теорему 5.2, можно показать, что производные пер- первого порядка (потенциала простого слоя) по направлениям, лежащим в ка- касательной плоскости, непрерывны, когда точка х пересекает границу. § 6. Производные потенциалов простого и двойного слоя с дифференцируемой плотностью Сначала докажем теорему. 6.1. Теорема. Если ф? С1*р (S) и S — замкнутая поверхность клас- класса Л\ (а), 0 < р < а ^ 1, то потенциал двойного слоя й(Ч>)=1[т(дУ9п)Т(у — х)\ Ф(у)dyS FЛ) можно представить в виде ^(Ф^-^Г^Ф) — -^v(Jlq)) + (K+ii)V(jr<p), F.2) еде w (ф) и v (ф) — гармонические потенциалы двойного и простого слоя F'3) F-4) а V (ф) — потенциал простого слоя (см. C.1)). Доказательство. Представим F.1) (см. A.16)) в виде где = ] {[~Т(ду>п)Т(у — х)] +{*+v.)[J[(dy9n)r{y—x)]'}<v(y)dip9 F.5) (Э„ n)T(y-x)\kf = -±- Ffe/ 4-т^Ьг + •*" ^ n)IF^r) • F-6) ^ IFr а [^# (ду, п)Т (у — х)У определяется из A.42). На основании A.41) и A.43), из F.5) вытекает доказательство теоремы. Согласно F.2) для вычисления производных потенциала F.1) достаточно знать производные гармонических потенциалов F.3) и F.4) и потенциала простого слоя. Таким образом, для исследования производных первого по- х рядка от W (ф) нужно показать существование производных первого по- порядка гармонического потенциала двойного слоя, так как при сделанных ограничениях производные других потенциалов (т. е. потенциалов простого слоя), как мы видели, существуют. Производные первого порядка гармо- гармонического потенциала двойного слоя хорошо изучены (см., например, Когп [41, или Гюнтер [1]). Здесь мы представим соответствующие резуль- результаты в удобной для нас форме. Учитывая тождество дх i дп | у — ;
Л g] ПРОИЗВОДНЫЕ ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ 225 и применяя A.21) при х? S, получим 3 ду (Жду) (п оч Таким образом, справедлива 6.2. Теорема. Если y(zCl\f(S) u S— замкнутая поверхность к класса Лг (а), 0 < Р <а ^ 1, то потенциал двойного слоя — W (ср) при- принадлежит классу С1- Р (D+) и С1* Р (D~). В § 5 мы изучили граничные свойства первых производных потенциала простого слоя. Имея в виду вычисление производных второго порядка этого потенциала, докажем теорему 6.3. Теорема. Если ф? С1* & (S) и S — замкнутая поверхность класса Л2(а), О < р <а ^ 1, то производные первого порядка потенциала простого слоя C.1) представляются в виде д-Ш- = w (ф<0) + v (ф«>) + у (Х«>), F.9) где w, v и V — введенные выше потенциалы, а <р(*> = (ф1г, ф2?, ф31), = (Фи, fe> f3J) " Х(о= (tin %2» 1ы) — векторы: ы (У) = Л? [2|* >1 Фу> п) щ (У) - К (у) щщ (у) + (пФ) К (у) — 2 ^/ (^, л) Ф/ (У) + Лк1 {ду, п = К 1ш {У) = К |] 0/ Ф,, л) Ф/ (у) — (пФ) /С (у) + -#^ (^, п) (пФ), F.10) ) — средняя кривизна (см. A.20)) поверхности S в точке у. Доказательство. Будем исходить из E.2), где ядро интеграла определяется из E.4). Учитывая легко выводимые равенства у! l J Ф< (УJ)t (ду9 п) {y^xl d,S = v(ntK(У)Ф/(У) — SDt (ду, п)Ф/(у)), s - (п/Ф/) К (у)] dyS + (Я' + \l')v\ 6ki [(п/Ф/) К (У) — ®f (дуу п) Ф/ (у)] \, J %-nfnfS>k (dyi п) |у.1.х| dvs = °f nininkK(у)Ф/(у) — ?>*(а^, п) ^ ¦ 3 '|п/Ф/ ^Жп(д„, п) (d^-=-fl)d,S = J V Ты(у-х)Жц S l \ S 1 1 S 1 = 1 из E.2) и E.4) получаем F.9), и теорема 6.3 доказана. 15 В. Д. Купрадзе
226 теория потенциала [рл у В дальнейшем нужна еще одна формула для производных первого по- порядка гармонического потенциала двойного слоя. Пусть ф? С2» 0 (S) и S — замкнутая поверхность класса Л2(а), 0 <а^ 1; тогда, учитывая A.2), A.22) и F.8), в результате элементарных вычислений, находим для x^S ^—^- = w(^)i^)-\'v\K(yK)i^—S ^jJliw]. F.11) Совершенно аналогично, для производных первого порядка гармониче- гармонического потенциала простого слоя получаем — w (д,«р) + v [&м — щК {у) Ф (у)], хе S. F.12) § 7. О дифференциальных свойствах потенциалов теории упругости Результаты предыдущих параграфов дают возможность вычислить и ис- исследовать производные любого порядка от потенциалов теории упругости в замкнутых областях, ограниченных поверхностью интегрирования. Предположим, что 5 — замкнутая поверхность, ограничивающая ко- конечную область D+, a D" = E3\(D+\JS). 7.1. Теорема. Если SeJIM (а), ф? О » (S), 0 < р < а «^ 1, 0^ «^ I ^ k -\- 1, то потенциал двойного слоя где k — произвольное, целое, неотрицательное число. Более того9 7.2. Теорема. Если S? Jlk+1 (а) и фб С- & (S), 0 < р < а < 1, 0 ^ / ^ k9 то потенциал простого слоя V (фN Докажем эти теоремы. Теорему 7.1 при й = 0 и / = 0 мы доказали в § 4, а при & = 0и/=1 — в §6 (см. теорему 6.2). При k = 1 интерес представляет случай / = 2. В этом случае, принимая во внимание F.2), F.8), F.9), F.11) и F.12), получаем G.1) М
§8] ТЕОРЕМЫ ТИПА ЛЯПУНОВА—ТАУБЕРА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 227 где проекции векторов ф('> э яр<^> и %<*> имеют вид + (х + v) nt [2ц'л, (пЖ (ду9 п) Ф) — (V + ц') (Ж (ду9 п) Ф (г/)),], 13 К (у) 2>t (ду9 п) Фд (у) — V S>i (дд9 п) Мц (ду9 п) ф* (у) + /-1 —^(д99 п)(Ж(д у9 n)<p(y))k\ у, л) (Ж (ду> п) Ф(у)),— -п?К(у) (Ж (ду9 п) Ф (y))k + в« [к(у)(пЖц>) — - ? Я>1 (дуу п) (Ж (ду9 п) Ф (у))] /=1 J + 2 (ц + *) I*' S — @)k (диУ п) [п, G.2) При наших ограничениях ф<*> е С1- 3 (S), С0- р E) и х@ 6 С0- Р (S); к поэтому существуют частные производные второго порядка потенциала W (ф) и вычисляются из G.1). В этом случае W (ф)? С2' 3 (D+) и W (фN С2» Р (D"). Ясно, как следует продолжить рассуждение для доказательства теоремы 7.1 при произвольном k @ ^ / ^ k + 1). Теорему 7.2 при fe = 0 и / = 0 мы доказали в § 5. При k = 1 и / = О доказательство очевидно. При k = 1 и / = 1 доказательство вытекает из F.9) и F.11). Аналогично доказывается теорема 7.2 при произвольном k @ < I ^ k). В доказательствах теорем 7.1 и 7.2 ядрами потенциалов были матрицы X Г (дг — у) и [Т (ду9 п) Г (у — х)У. Но теоремы справедливы и легко доказы- доказываются и в том случае, когда ядрами служат сингулярные решения уравне- уравнения моментной теории упругости и термоупругости. § 8. Теоремы типа Ляпунова—Таубера в теории упругости 1. Теоремы Ляпунова—Таубера для гармонического потенциала двои-» ного слоя. В теории гармонического потенциала известны теоремы о свой- ствах нормальных производных (или производных первого порядка) потен- потенциала двойного слоя, имеющие важные применения в теории граничных за- задач. Эти теоремы формулируются следующим образом (см., например, Гюн» тер [1]): 15*
228 теория потенциала [рл# у 8.1. Теорема. Если выполнено одно из следующих условий: 1°. Ф — непрерывна на S и 9 < А \ z — у \ (8 — угол между нормалями к поверхности в точках г и у), или 2°. | Ф (у) — Ф (г) | < В | г — у |, 6 < А \ z — у |а, 0 < а ^ 1 и если потенциал двойного слоя F.3) обладает одной из производных dw \- j / dw \+ \ dv ) ' обладает и другой, и имеет место равенство dw \ + / dw \ — ) 8.2. Теорема. ?сла 5 — замкнутая поверхность класса Лг (а) и Ф(Е С1» Р (S), 0 <р <а< 1, то потенциал двойного слоя имеет производ- производные первого порядка, принадлежащие классам С0» Р (D+) а С°>f5 (D~) w выпол- выполняется равенство /_дау \ dv 2. Теоремы типа Ляпунова—Таубера в теории упругости. Теоремы, аналогичные приведенным выше, справедливы и для потенциалов двойного слоя теории упругости. Некоторым видоизменением и обобщением тео- теоремы 8.1 является следующая теорема для потенциала двойного слоя в теории упругости: 8.3. Теорема. Если существует один из пределов (TW)+ или (TW)~9 принадлежащий классу С0' Р, регулярного соответственно в D+ и D~ потен- циала двойного слоя, то существует и другой и при этом имеет место равенство Эту теорему, имеющую полезные применения, будем называть теоремой Ляпунова—Таубера в теории упругости. Доказательство теоремы 8.3 тре- требует применения теории многомерных сингулярных интегральных уравне- уравнений и теории граничных задач; доказательство будет приведено в главе VII. 8.4. Теорема. Если S — замкнутая поверхность класса Лг(а) и ф? С1' Р (S), 0 < р < а ^ 1, то потенциал двойного слоя W (ф) (см. J6.1)) имеет производные первого порядка, принадлежащие классам С0» & (D+) и С0» 0 (D~) и выполняется равенство [т (дг, v) W (ф)] + —\т {dz, v) W (ф)] ~ = 2 (х - у) Л (дг, v) Ф (г), (8.1) где ус и у — произвольные действительные числа, а Ж — матрица, опре- определенная из A.13). Доказательство. В §6 для W (ф), в условиях теоремы 8.1, мы получили представление \y-x\ [ J], (8.2) где Е — единичная матрица.
? gj ТЕОРЕМЫ ТИПА ЛЯПУНОВА —ТАУБЕРА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 229 к. Из теоремы 6.2 следует, что первые производные W (ф) принадлежат классам С0- » (D+) и С0' е BГ). Итак, для доказательства теоремы 8.4 остается вычислить оператор Г (д*, v) от W (ф), исследовать его граничные свойства и получить (8.1). Из (8.2) имеем T{dxt v) #(Ф) =4г J Р s L где + JT (дх, v) [{х + 11)Г(у-х)~-2^уЕ_х1]Я(ду, /i)<p(iW, (8.3) Л ! = VV.J ! (84) dv \u — x\ Aj l dxi \u — xl ' v • ' Для дальнейшего упрощения (8.3) заметим, что 3 dvdn \y-r-xl ?j dsk (x) dsk (y) \y — x\9 где 3 3 a V о л, a "a V о г, д ла\ osk (x) ?j 1*к l dxj dsk (y) ^J lin l dyj * v * ' — символ Леви-Чивита; кроме того, dv = 2я{л' (к + ji) (у + |л). (8.8)
230 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА [Рл# у Используя A.21) и (8.5), при x^S, после элементарных вычислений получаем f d2 1 1 §rad^ -W \y-x\ ф (У) ^S = J &ad* \y-x\ Ж (а*" П) ф (У) d«^' (8.9) На основании (8.7) и (8.9), после ряда преобразований, (8.3) принимает вид (x?S) 1 3 д L^M\y\k(y) L + (-3. _ в) Mki (dxt v) T7^77] | M (dy, n) Ф Ц d^. (8.10) Перейдем в (8.10) к пределу при х —* z? S; пользуясь рассуждением, приведенным в § 5, получим (д2, v) W (ф)}1 = ± (х — 7) Я (д„ v) Ф (г) + { 3 4- —А ' V ^ 1 ^ , "•" 2я J y 2-ь dskw \y-*\ dsk(y) S \ k=l Из последней формулы легко следует формула (8.1) и, тем самым, дока- доказательство теоремы 8.4. 3. Одна вспомогательная теорема. В дальнейшем полезно иметь другой (эквивалентный) вид формулы (8.11). Предварительно докажем теорему.
§8] ТЕОРЕМЫ ТИПА ЛЯПУНОВА-ТАУБЕРА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 231 8.5. Теорема. Если S — замкнутая поверхность класса Лг (а) и С1 (S), то имеют место равенства S ft— I, /, ?=1, 2, 3; 26 (8.12) При доказательстве этой теоремы мы будем существенно пользоваться рассуждениями и результатами из пунктов 3 и 4, § 1. Так как доказательства формул, входящих в (8il2), ничем не отличаются друг от друга, мы докажем только одну из них. Применяя теорему Стокса (теорема 1.2) и учитывая представление .6) у-г! д\у-г\ д = J J L (б) д (д\у-г\д\у-г\ д для доказательства справедливости второй из формул (8.12) достаточно по- показать* что < — z\ д\У — *\ А 1 >=/.,_ Л /о 1 оч lim J [ф/(у) — Ф/(г)]- г?. I ^f Принимая во внимание A.25) и A.26), д 1 E) и S6 Лг (а), имеем ^/г дуг dv |г/ — г| Таким образом, формула (8.13) доказана. (8.15)
232 теория потенциала [рл# у Учитывая A.25), A.26), A,33),-A.35) и (8.15), после длинных, но неслож- несложных вычислений, получим г д \d\y-z\ д\у — г\ д 1 J dsiW \ t ду ду, dv \y^ ^ J {63F2pcos9—6lpsin9)F1Gcos(p + 82Gsin(p) X р, ?, /-=1 О X (б1г cos ф + К sin ф) •$ (ф) + б2 (82р cos ф — 81р sin ф) [б3г F1Gcos ф + 62<7sin ф) + + bag Фи c°s Ф + б2г sin ф)] я|р2 (ф) + S (82р cos ф — б1р sin ф) х _ JL х бзА^3 (фI [S2 + ^2 (ф)Г 2 ^ф. (8.16) Второй и третий члены в правой части стремятся к нулю при б —> О, так как | гр2 (ф) | < с0б4 и | гр3 (ф) | < С!б6. Итак, остается показать, что и первый член при б —> 0 стремится к нулю. Если учесть (I, 15.1), A,15.2) и A.33), то имеем 2 2 ф(ф) = Ф(ть, %)= S [а/*(вЛ1.в1ь)-в/*@,0)]т1/Л»+ S ajk@, 0)mk, (8.17) где Подставляя (8.17) в (8.16) и учитывая, что 2я J (82р cos ф—81р sin ф) (б1<7 cos ф + б2<7 sin ф) (б1л cos ф + б2г sin ф) (Ао cos2 ф + + 2В0 sin ф cos ф -J- Co sin2 ф) dq> = О, где Л о, 50, Со — произвольные постоянные, заметим, что подынтегральное выражение можно переписать следующим образом: (б2р cos ф — б1р sin ф) (б1<7 cos ф -f 82q sin ф) (б1г cos ф + б2г sin ф) X б* Отсюда, поскольку — <*/* @, 0I<сб« и г| заключаем, что первый интеграл в правой части в (8.16), при б—>0, стре- стремится к нулю, как ба. Итак, формула (8.14) и вместе с нею теорема 8.5 до- доказаны.
§ 9] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ ЗАДАЧ 233 Из (8.12) очевидно (см. Гюнтер [11), что функции (8.18) k=l 5 существуют и принадлежат классу С0* & (S), 0 < C ^ 1. Этим существенно воспользуемся в дальнейшем. На основании теоремы 8.5 формула (8.11), после очевидных преобразова- преобразований, перепишется следующим образом: {Т(дг, v 2л f J з д ^ Zj dsk(z)\y — z\ dsk(y) Zj , /i) Ф(у) + (х + у-В) V зв Г Lfe/ '-*|« J \У — г\ 3 3 п/ (г* - »*) S (г/ - h) vi vft (*/ - »/) S (г; - »*)rt/ f^fVli + 3V f^ETF + 3(B-x)x X (8.19) Компоненты матриц, входящих в эту формулу, представляют линейные комбинации членов, стоящих под интегралами в (8.18) и поэтому интегралы от этих выражений принадлежат классу С0* & (S) @ < |3 ^ 1). § 9. Граничные свойства потенциалов третьей и четвертой задач 1. Граничные условия третьей и четвертой задач. Приведение к эквива- эквивалентному виду. Граничные условия третьей и четвертой задач имеют сле- следующий вид (см. A,14.4), A,14.4'), A,14.5) и A,14.5')) в третьей задаче \Т(дг, v)u — v(vT(d2, v)u)\± = ff {av}± = /4, (9.1) в четвертой задаче \u — vuv\± = f9 \(vT(d2t v)u)}± = U, (9.2) где f (flt /a, /3) и /4 заданы на 5, v (vx, v2, v3) — орт внешней нормали 5 в точке z.
234 теория потенциала [Гл# у Представляется целесообразным несколько преобразовать условия (9.1) и (9.2). Учитывая A,13.5), для х = \х первое условие из (9.1) можно переписать в виде *L_v(v|j-)] +(i[vrotaj}± — /; (9.3) на основании тождества dv ~ имеем подставляя это значение в (9.3), получим (9.4) Условия (9.1) и (9.4) эквивалентны, если поверхность S имеет непрерыв- непрерывную кривизну в каждой точке (т. е. если S? Л2 @)) и, кроме того, /46 С1 (S). Условия (9.4) запишем в матричном виде. Для этого введем матрицу Н{рХ9 v) = \\Hki(dXf v)|l4X3, (9.5) где [± ^ ^e^v,, (9.6) где SDk (дх, v) есть оператор, определенный из A.2); теперь (9.4) можно записать в виде \Н(д„ v)u\± = F(z), z6 5, (9.7) где F = (Flf F29 F3, F*) и Fk = -fk + 2^Фк (дг, v) /4, k = 1, 2, 3, F4 = U. (9.8) Для видоизменения граничных условий четвертой задачи заметим, что (vT (дг, v) и) = 2pi (v -^) + X div и. (9.9) Принимая во внимание равенство = -S Ж/(а„ v)f, — K(z)\uv}± + \d\vu\±, где К (z) — средняя кривизна поверхности 5 в точке г (см. A.20)), и учи- учитывая (9.9), граничные условия четвертой задачи можно записать в следую- следующем виде: = /, {(Я + 2(л) div и — 2jx/C (z) uv\± = /4 + 2ц t Д)у (д„ v)/,. (9.10)
9] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ ЗАДАЧ 235 Если S? JI2 @) и /6 С1 (S), то (9.2) и (9.10) эквивалентны. Введем матрицу R(dx, v) = \Rk,(dn v)||4x3, (9.11) где * [(X + 2|*) JL — 2^/С B) vy] ; (9.12) тогда (9.10) примет вид \R(dz, v)u\± = F(z), zeS, (9.13) где F = (Flf F2, F3, F4) и ^ = /*, *=lf2f3f /74 = f4 + 2fi|^(a2,v)f/. (9.14) 2. Потенциалы третьей и четвертой задач и их свойства. Потенциалами, которые выражают решения третьей и четвертой граничных задач (см. (9.7) и (9.13)), являются и (Ф) (*) = J [R (д„ п) Г {у — х)У <р (у) d^S, (9.15) v (ф) (х) = ! [Я (ау, я) Г (у — х)]' ф (у) dyS, (9.16) где ф = (ф2, ф2, ф3, ф4) и гр = (гр!, \|J, г|K, ty4) — четырехкомпонентные век- векторы, Удовлетворяющие условиям ? S = 0f (9.17) k =Л k S — замкнутая поверхность класса Л2 (а), 0 < а ^ 1, -х)]' (9Л8) /-A-6,,)^_^F,^,-^-4-«.т^-п^Ь «(у —хJ>, (д„ я) л, + б,4 S «,Г«(у—дс); (9.19) J t=l /С (у) — средняя кривизна поверхности 5 в точке у. Граничные свойства самих потенциалов и (ф) и v (if) для наших целей несущественны, хотя, как легко видеть, они получаются непосредст- непосредственно из (9.15) и (9.16), так как слагаемые, входящие в эти потенциалы, представляют комбинацию потенциалов типа простого слоя и гармонического потенциала двойного слоя, граничные свойства которых были изучены в предыдущих параграфах.
236 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА [Рд# у Исследуем граничные свойства векторов Я (дх, v) и (Ф) (х) = J Я (д„ v) [Я (д„ л) Г (у—х)]' ф (у) dyS, (9 20) #(д* v)p(f)W = J R (дх, v) [Н(д„ n)T(y — x)]'^(y)duS, (9.21) S где Н (дх, v) и R (дх, v) — матричные операторы, определенные из (9.5) и (9.11), v — орт нормали в точке z? S, а \Н(дх, v) [R (д„ п)Т(у—х)}'}w = -5Г (я/л*—6W) ^ 17^ V ВД—х) — п, Уп,Г„&- 2^rt^T?iT-2tA 2 6M A — 6/4) ^ F/7 — щщ) v( i 91 =1 L 2 y"~x)\: (9-22) ',, п)Г(у — x)]f \k] = A — 8Ы) A — б/4) -r-- [vk (vn) — nk] X д l i 1 / с , , о i ^ -к.g^-17=17«/(a- »)«,+
с 9] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ ЗАДАЧ 237 п)пМ~ где й>л (дг, v) Vj (k9 j = 1, 2, 3) заданы из A.19). Учитывая (9.17), (9.22), (9.23) и принимая во внимание граничные свой- свойства потенциала простого слоя, гармонического потенциала двойного слоя, производных первого порядка гармонического потенциала простого слоя, получаем теорему: 9.1. Теорема. Если S? Л2 (а) и фб С0- * E), г|>6 С°><5 E), 0 < р < <а ^ 1, то для любого z? S существуют \Н (d2, v) и (ф) (г)}± и {R (дг, v) v (г|)) (z)\±, принадлежат классу Са» $(S) и имеют место равенства д„ v)[R(dg, n)T(y—z)Y4>(y)duSy \R(dzt v)v(q)(z)\±= ± ip(z) + \R(d29 v)[H(dy, n)T(y—z)Y^(y)dyS1 еде интегралы в правой части понимаются в смысле главных значений. 3. Теоремы типа Ляпунова—Таубера для потенциалов третьей и четвер- четвертой задач. Для исследования третьей и четвертой граничных задач полезны теоремы: 9.2. Теорема. Если S? Л2 (а) и фб C°^(S)9 0 < р < а ^ 1, то {R (д2, v) и (ф) z)\+ и \R (дг, v) и (ф) (z)\~ существуют, принадлежат классу С0»!j (S) и {R (dzy v) и (Ф) (z)l+ = \R (дг, v) и 9.3. Теорема. Если S6 Л2 (а), (г^, гр2, яр3)€ С1' ^ (S), г[Lе С°-р (S), О < р < а < 1, то \Н (д2, v) и (^) (г)[+ и {Я (d2f v) v (г|)) (г)Г ствуют, принадлежат классу С0*i3 (S) и имеют место равенства \Н(д„ v)v(q)(z)\+=\H(dZ9 v)v(^)(z)\~. Доказательство. Сначала докажем теорему 9.2. Если х? S, из (9.15) получаем R @„ v) и (ф) (х) = J R (дх, v) [R (ду, п)Т(у — х)У Ф (у) ^S, (9.24) где v)[R(d,9 [з Г*/ (У — х) — щ S 1 —х) J (. 1=1
238 теория потенциала |РЛ> — х)— t щ S v^r,!^—*) — ? 3 I — 2lxK(z)K(y) S v^ra^ — x) L fe, /=1,4.(9.25) f, ^=i J Принимая во внимание граничные свойства потенциалов простого слоя, гармонических потенциалов простого и двойного слоев, из (9.24), учиты- учитывая (9.25), заключаем, что существуют \R(dZ9 v)u(cp)(z)\+ и \R(dz, v) и (ср)(г)Г и равны друг другу. Таким образом, теорема 9.2 доказана. Перейдем к доказательству теоремы 9.3. Прежде всего вычислим Н (дх, v) v (ty) (х). Из (9.16) после громоздких, но элементарных преобра- преобразований (см. задачу 4), получим 2 ^ S I /=1 (9.26) где А — матрица с элементами [ 3 1 - ж TF^I ®k (дг' v) V/ + 4nii 2 ^{дг' v) v<a>/ (^э л) Л|Г|1 (у ~ х) —х)\ 2 з /4 ^ "^<Г«(У—«). *, /=Х4. (9.27)
§ 10] ОБЪЕМНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 239** В силу теоремы Стокса (см. теорема 1.2), имеем s /«1 S и формула (9.26) принимает вид I /=sb1 (9.28) Учитывая свойства потенциалов, входящих в (9.28), убеждаемся в су- существовании \Н (дг, v) v (if>) (z)}+ и {Я (dZ9 v) у (i?>) (z)}~ и в их равенстве друг другу. Теорема 9.3. доказана. 4. Формулы Сомилиана для третьей и четвертой граничных задач. В заключение приведем некоторые формулы, играющие важную роль при исследовании третьей и четвертой граничных задач, 6{х)и(х)=\\[Н(ду9 п)Г(у — x)]'(R{dyf n)u)+ — — х)]'(Н(ду9 n)u)+\dyS, (9.29) r\(x)u(x)=l\[R(dy, п)Г(у—х)]'(Н(ду9 п)и)~ — s — x)]'(R(dy, n)u)-\dyS9 (9.30) где 6 (#) и т) (х) определяются из A.53) и A.54). Доказательство этих представлений получается из формул Сомилиана, (см. A.52) и A.54)) обычным путем, если учесть определение операторов Rn H. Формулы (9.29) и (9.30) остаются справедливыми и для уравнения уста- установившихся колебаний классической теории упругости, если вместо Г (у — х) рассматривается матрица Купрадзе. § 10. Объемные потенциалы 1. Определения. Элементарные свойства. Объемным потенциалом будем называть интеграл вида *(Ф)(*) = j * {х — У) ф (У) dy, A0.1). D где D — некоторая область из ?3» а 2й — одна из матриц фундаментальных решений, построенных во второй главе. Таким образом: 1) 2k (х) = Г (#), где Г (х) — матрица Кельвина (см. п. 1, § 1, гл. И), или 2) 2k (х) = Г (х, со), где Г (х, со) — матрица Купрадзе (см. п. 2, § 1, гл. II), или
240 теория потенциала [Гл# v 3) 2k (х) = W (х), где W (х) — матрица фундаментальных решений урав- уравнений статики моментной теории упругости (см. п. 2, § 2, гл. II), или 4) 2k (х) = ? (х, о), где W (х, а) — матрица фундаментальных решений уравнений колебания моментной теории упругости (см. п. 1, § 2, гл. И), или 5) 2k (х) = Ф (х, со), где Ф (х, со) — матрица фундаментальных решений уравнений установившихся термоупругих колебаний (см. п. 1, § 3, гл. II). Плотность ф = (ф.) —трехмерный вектор в случаях 1) и 2), шестиком- понентный вектор — в случаях 3) и 4) и четырехкомпонентный вектор — в случае 5). ф*— вообще комплекснозначная функция (ф, : D —* Z). Мы будем интересоваться в основном теми случаями, когда D — огра- ограниченная область с кусочно-гладкой границей S или D — бесконечная область, являющаяся дополнением до всего пространства замкнутой ограни- ограниченной области с кусочно-гладкой границей S. В первом случае вместо D будем писать D+, а во втором —D". Начнем с изучения интеграла К (Ф) (х) = I k (х — у) Ф (у) dy. A0.2) D+ Из результатов главы IV § 4 непосредственно следует ЮЛ. Теорема. Если Фб ^i (D+), то К (ф) (х) существует почти для всех х^ЕУ* и К (<р)? Ьг (D+); /С(ф) (х) существует в каждой точке x?,D~ <D- = E3\D+) и К (Ф)е(> (?Г). Если ф^ Ьр (D+) и 2р > 3, то К (q>)g С0' »* (D+), где ix — произвольное число, удовлетворяющее условиям p\i < 2р — 3, \х < 1. Для наших целей необходимо указать условия, при выполнении которых К (ф), определенная из A0.2), является регулярной функцией в области D+. 10.2. Теорема. Если ф — ограниченная интегрируемая функция в области D+ (т. е. ф??«> Ф+))> то К (ф), определенная формулой A0.2), принадлежит классу С1' »* (D), где D+ — произвольная область из Е3, a \i — произвольное число из промежутка @, 1); кроме того, = J m=1, 2, 3. A0.3) Доказательство следует из результатов главы IV, § 2 и из теоремы IV, 1.8. Из этой теоремы вытекает следующая 10.3. Теорема. Если ф? L^ (D+) и S? Л1 (а) @ < а ^ 1), то К (ср) принадлежит классу СЬаE) (точнее, сужение отображения К (у) на множестве S принадлежит классу С1* а (S)). 2. Вычисление производных второго порядка. Докажем следующее предложение. 10.4. Теорема. Если ф? С0- а (D+), 0 < а < 1, то К (ф), опреде- определенная из A0.2), принадлежит классу С2- а (Q), где Q — произвольная область из Е3, замыкание которой лежит в D+ (?2czD+) и II К (ф) ||(Q, г. а) ^ С || ф ||(D+. 0, а). Доказательство. Рассмотрим случай, когда 2& — матрица Кельвина (случай 1). Покажем, что в этом случае, при выполнении условий теоремы, в каждой точке xgD+ J r(x- J 1 j, m=l, 2, 3, A0.4)
? JO] ОБЪЕМНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 241 где у (i, т) = || ykj (/, т) Цзхз — матрица, элементы которой определены ра- равенством yki (i, /n)= 4 8tp — символ Кронекера, \л' и %'— постоянные, определенные из A1,1.2). Интеграл в правой части равенства A0.4), который понимается в смысле главного значения, существует в силу теоремы IV,L14, Докажем справедливость равенства A0.4). В силу теоремы IV,2.9 — ( I —-г— (У* — х,;)^]фD A0.6) \c (x, о ' Вычислим интеграл, стоящий в правой части равенства A0.6), заклю- заключенный в скобках. Имеем Г drkf(x — y) Л, Л . Л ._ _ (х. — у л dtjb = — i C(x,\) где Jii= \ (Xi—yd{Xj — С (x,1) Jklmt = \ (Xi — Уд (Xi — yj) (Xk — Ук) (Xm ~ У С (x, 1) Введя сферические координаты (см. (IV, 1.12)) у{ = х{ + rF1/sin@<cos9 + 62/:sin'0>sin9-(-63,cos'e<), i = l, 2, 3, A0.7) легко вычислить Jif и «/^/т/. Получим Ju = J dy J [бх/бх,- sin2 * cos2 ф + б«ба/ sin2 О sin2 <p + + б3?б3/ cos2 'О* + (б1гб2/ + баД/) sin2 ft sin ф cos ф + + (в«в8/ + б8 Ay) sin * cos f) cos Ф -f Ff A/ + 88 A/) X X sin * cos * sin ф] sin ^ dft y- So, -Jg- (S + 263163/63^63^ + 61 ААабв/п + 6i/63/63Aj6lm + бз^бх/б^б + бз^б^б^б^ + 61/62/б1Лб8т + бх А/баА/n + бг.бх/б^б Следовательно, J С (х. 1) 16 В. Д. Купрадзе
242 теория потенциала [рл# у Таким образом, формула A0.4) справедлива. Из формулы A0.4) и из теоремы IV,3.1 следует доказательство теоремы при 2k (х) = Г (х). Аналогично доказывается теорема и в других случаях. Пусть D (дх) обозначает один из матричных дифференциальных опера- операторов, введенных в первой главе. Таким образом: 1) D (дх) = А (дх), или 2) D (дх) = А (дх, со), или 3) D (дх) = М (дх), или 4) D (дх) = М (дх, а), или 5) D (дх) = В (дХУ со). 10.5. Теорема. Если ф^ С0- а (D+), а > 0, то К (ф), определенная из A0.2), представляет регулярное решение уравнения <p = 0, A0.8) где 2k в A0.2) есть матрица фундаментальных решений уравнения D (дх) и = = 0, построенная во второй главе. Регулярность К (ф) была уже показана выше. Покажем справедливость равенства A0.8). Рассмотрим случай 1), т. е. будем считать D = А и 2k = Т. Имеем \А(дх)К},= ^^ m=l m=\ J D+ /=1 3 3 \ ( 3 D+ /1 Xi t il J m= 1 3 Г (x — Интегральный член в правой части исчезает. Кроме того, 3 3 IV (У. /) Ф (x)]t = ^ y<* а. /) Ф* (*) = 4* [ -7Г - 3 (х + If) ] m= 1 m, /г=1 Учитывая эти формулы и A1,1.2), получим .3 3 т=1 Отсюда следует A0.8). Теорема 10.5 доказана при D = А. Аналогично доказывается и для дру- других случаев. Можно доказать и более общее предложение.
« JO] ОБЪЕМНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 243 10.6. Теорема. Если q>^Lp (D+), р > 1, то почти для всех x?D+9 существуют вторые производные интеграла A0.2). Эти производные при- принадлежат классу Lp (D+) и почти для всех x?D+ выполняется равенство A0.8). Доказательство следует из теоремы 10.5. Приведем здесь же непосредственное следствие доказанных выше теорем. 10.6'. Теорема. Если ф^ Loo (D+), то К (ф) — определенная из A0.2), принадлежит классу С1* а (D+), существуют ее вторые производные по декартовым координатам, которые принадлежат классу Lp (D+) для лю- любого р > 1 и почти для всех x?D+ выполняется равенство A0.8). Аналогично изучается интеграл /С(Ф)(*)= J k(x — y)<p(y)dy. A0.9) D~ В этом случае надо наложить на ф некоторые дополнительные ограниче- ограничения в окрестности бесконечно удаленной точки. Если ф (*) = 0 для вся- всякого х в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, то изучение интеграла A0.9) не отличается от изучения интеграла A0.2). 3. Теорема о распространении функций. В дальнейшем (см. гл. VIII—X) используется следующее предложение о распространении функций с сохра- сохранением свойств гладкости. 10.7. Теорема. Пусть Q и D —области Е3, причем Q с D и граница dQ области Q принадлежит классу Лг (а), где г — неотрицательное целое число, а af [0, 1 ]. Если f — функция, определенная на Q (/ : Q —> /?) и принадлежит классу Сг- а (Q), то существует функция ф, определенная на D (ф: D —> R) такая, что ф? Cr> a (D) и yx^Q: у (х) = f (x). Докажем сначала два вспомогательных предложения. 10.8. Пусть I = (аг, Ьг\ а2, Ь2\ 0, b), I* = (alf bx\ a2, b2, —b, b), где b, alf а2, bl9 h2 — действительные числа и f?Cr>a (I). Тогда существует функция ф, определенная на /* и удовлетворяющая условиям: ф(=-Cr«a (/*) и у x?l: ф (х) = f(x). В самом деле. Определим г + 1 чисел А,ь Х2, . . ., Хг+1 из линейной системы уравнений =l, k = 09 1,2 г. Эта система однозначно разрешима, так как ее определителем является определитель Вандермонда. Распространим / по непрерывности до замыкания множества / и построим функцию ф на /* следующим образом: yx^I: (p(x) = f(x) и 1*\1 г+1 <р (*)=]!>] Легко показать, что построенная функция ф осуществляет продолжение, указанное в 10.8. Предположим, что /fCr»a(Q). 10.8'. Пусть v#G дп существует окрестность Vy такая, что можно построить функцию ц>у, определенную на Vy (ф^: Vy —> R) и удовлетворяю* щую условиям: цу? &•а (Vy) и yx?Vy[)Q : уи (х) = f (x). Тогда суще- существует функция ф, определенная на Е3 (ф: Е3 —* R), такая, что ф? Cr*a (E2) и Q () /() 16*
244 теория потенциала грл у Пусть условия предложения 10.8' выполнены, тогда уу? Й существует шар Ш (у, by) (Sv > 0), такой, что можно построить функцию ф^: Ш (у9 8у) —* /?, обладающую свойством: у)) и Если у? Qy то справедливость этого предложения очевидна. Если же y^dQ, то оно вытекает из условия предложения 10.8'. Пусть Q — ограниченная область. Тогда из множества [ill (у, -у-)» «/^QJ можно подобрать конечное число окрестностей Ш1 = Ш (у19 — 6^ \ .,. ., Шк = Ш (yk, убу V объединение которых покрывает й. Тогда очевидно, Q покрывается также множествами U Ши U Ш"и где Ш\ = Ш (yi9 4-8*,), ОП = Ш (yif б,.). Пусть ф,-: Е3 —> /?, определенная следующим образом: у{ (х) = фу. (х), если х^Ш\ = Ш (yh 8у.); у{ (х) = / (л:), если х? &\Ш'1 и ф,- (л:) = 0, если x?E3\(?i\jan)\ очевидно, <pt (х) = f(x), если x^D. Построим функцию ht: Е3 —» /?, удовлетворяющую следующим усло- условиям: he 6 С00 (?3), Vx € Д7,: /i, (х) = 0, Vx 6 Е3\Ш'с: Ы (х)=1. Введем функции Нг=1— К H2 = hx{\—h2), ...f Hh = hl...hh_1{\—hk). Очевидно, Н^С00 (Es) и Ht (х) = 0, если х^Ш} и f >/ или х^Е3\ОП. Кроме того, #х (х) + • • • + Н{(х) = 1 — ht (х). . . /г, (х) = 1, если х ? Ш}. Очевидно, Ф/Я/g СГ' а (?3) и Ф*Я, = 0, если д:^ E3\UI'i. Следовательно, функция ф, определенная на Е3 равенством k ф = S ф«#?э удовлетворяет условиям 10.8'. В самом деле, ф^Сг»а(?8)- Если х? Q, то Ф« (х) = / (х) для любого i = 1, . . ., k, и поэтому Докажем теорему 10.7. Пусть у — произвольная точка границы dQ. Рассмотрим локальную систему координат (у) (см. определение 1.15.5). Уравнение границы dQ вблизи точки у напишется в виде ?3 = У у (?ъ ?2)» где уу?Сг>а (т (у, d)). Кроме того, для всех точек | = (Ej, |2, |3) множе- множества Q^, которое является пересечением цилиндра (см. 1.15.5) с областью Q, будет выполняться одно из двух неравенств: либо ?3 ^ Чу (li> ?2) либо ?з < 7^ (ii» ^2)- Предположим, что |3 > Y?, (ii. ^2)- Переход от первоначальной системы к системе (у) осуществляется орто- ортогональным преобразованием х = /(?, где К — матрица преобразования. Вместо Еъ ?2> ?з введем новые координаты ?{, ??» ?з формулами Si = ?1 • S2 = ?2, |з = Ь — Чу (Si , S2). Тогда
Л JO] ОБЪЕМНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 245 Пусть f* (?ь 12, ?3) = f (*S), а /** (Г) = Г (Si, S2, SS) + 7, (Si, S2). Очевидно, /*? Сг' а и /**? Сг' а (Q^). В силу 10.8 /** можно продолжить с со- сохранением класса из Qy на Q*y, где У, d) и — d<^<d}. Обозначим эту функцию через ср**. Таким образом, ф**^Сла в окрестности точки у и ср** (?') = /** (?'), если |' g Qr Построим функции Ф* (g) = Ф** (|ь |2, ?з — т, (Si, S2)), Ф (*) = Ф* (/С1*). Очевидно, ф* (|) и, следовательно, ф (х) принадлежит классу Cr» a в окрест- окрестности точки у; кроме того, ф* (х) = f (x), если х? Qy. Теперь доказатель- доказательство теоремы следует из теоремы 10.8'. 4. Объемные потенциалы с дифференцируемыми плотностями. Приве- Приведем одно применение теоремы, доказанной в предыдущем пункте. Пусть ff? Cr> a (D+), S ? Лр (а) (р = г, р = г + 1_или р = г + 2) и D — ограниченная область из ?3, содержащая в себе D+. Здесь г — целое неотрицательное число, а а? @, 1). Продолжим /у из D+ в D с сохранением класса согласно теореме 10.7. Обозначим полученную функцию через ф7- и рассмотрим объемный потен- потенциал A0.1). Из следствия IV.3.11 и формулы A0.4) следует 10.9. Теорема. Если f? Cra (D+) и S^JIP (а), то К (ф), определен- определенная из A0.1), принадлежит классу С7- a(D+) и Кроме того, сужение функции К (ф) на S принадлежит классу Ср> а (S) и Очевидно, К (ф), определенная из A0.1), будет частным решением урав- уравнения D (дх) и + f = 0 в области D+, когда 2k — матрица фундаменталь- фундаментальных решений этого уравнения. 5. Характер интеграла типа объемного потенциала вблизи бесконечно удаленной точки. Пусть D — ограниченное или неограниченное измеримое множество из m-мерного евклидова пространства Ет. Рассмотрим интеграл типа объемного потенциала V(<p)(x)= \u(x — y)q>(y)dy; A0.10) \ D здесь х = (хи . . ., хт), у = (#х, . . ., ут) — точки из Ет\ <р = (ф1э . . ., щ)% (Pi : D —+ Z к является измеримой и ограниченной на D. Кроме того, в окрест- окрестности | X | = оо и = II иц 11'хл, ui}- Ет —> Z. и/у является непрерывной функцией на Ет \{О\. В окрестности х = 0: а в окрестности | х | = оо
'246 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА [рл у В этих предположениях существуют такие положительные постоянные р и ср, что Д/@, р): y p): \ир >: |Ф<(*)|^сР, A0.12) V*6 [?т\Я/ @, р)] ПD: | Ф/ (х) | <ср\х\-н. A0.1-2') 10.10. Теорема. Если выполнены перечисленные выше условия (см. A0.11)—A0.12')), то интеграл A0.10) существует в каждой точке х^Ет и V*е Ет\Ш @, 2р): | V, (ф) W | < с \х \~\ где положительная постоянная с зависит только от р, m, ft0, felf /i. Доказательство. Предположим, что | jc | > 2р. Представим 5 множество D в виде объединения D = 1ФЬ где tp), D2 = Dfl [Ш(х, if-)\ZZ/(x,p)], D3 = Dn^@, p), |x|)\{zZ/(x,i|J-) иЯ/@,р)|1, D5 = Представим У (ф) в виде где /(Л) Vw(V)(x)= )u(x—t и оценим V^*> (ф) (ft = 1, . . ., 5). Пусть y?D-i\ тогда | х — у \ < р и из A0.11) получаем Кроме того, если y^Dly то | # | >|'#| — р. Следовательно, | у | > р и из A0.12') следует оценка Таким образом, Если y^Du то | t/1 > | х |/2, поэтому Ср.т,л,Лв.иГ*. A0.14) Оценим VB> (ф). Имеем при y^D2i что р < | х — у\. Следовательно, из A0.11') \Щ,(х — У)\^ср\х — y\-h\ Кроме того, если у g D2, то | у \ >| х |/2, следовательно, |г/| >р и из A0.12*) следует оценка \
* JO] ОБЪЕМНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 247 Теперь для VB) получаем Vf > (Ф) (х) ^ ср j | х — у Г "Ч У Г* rfy. Отсюда \х\ ».».*,М • (Ю.15) Р Если y?Ds, то р < | х — у |, следовательно, и I У I < Р> поэтому Кроме того, если у f D3, то \х — */|>|х| — I */1 > I * I — PJ отсюда \х — у\ >\х |/2. Поэтому Если y^D^, то р < | х — у\\ следовательно, | иц (х — у) | ^ ср | х — у |~~ *• Кроме того, | у | > р и поэтому IФ* (у) I ^ со IУI"" • Таким образом, Vi4)(<p)M=ssc0 \\x — y\-h'\y Если у ?¦ D4, то | х — у \ > | х |/2. Поэтому |У(-4)(ш)(х) I ^c h Ax\~~^ f r~~hrm~x d Пусть y?Db. Тогда p <\x — y\\ отсюда I tin (x — y)\ ^ c01 x — у Г*1. Кроме того, ) у | > 2| х |; следовательно, | у \ > р и из A0.12') следует оценка: Таким образом, Г" j\x — уГн" ^D*;. \x — y\ > \у\ — |дг|; отсюда |*—#|>|#|— | Следовательно, оо |V!5)(9)(x)|<c0.m^ J ^-^^"^dr^cp.^fe^jjcl^1. A0.18) 2 ) х | Из A0.14)—A0.18) следует доказательство теоремы.
248 теория потенциала 10.11. Теорема. Если выполнены условия A0.11)—A0.12'), где 0 < < h < т, 0 < hx < m, h > т — hl9 то V х 6 Ет\Ш @, 2р): | V, (<р) (х) | ^ с \ х \~а, где а = min {/i, hly hx + /i — m\. Доказательство этой теоремы получается точно так же, как в случае теоремы 10.10. §11. Библиографические справки Теории потенциала посвящены многочисленные работы. Отметим неко- некоторые: Когп [4], Levi [1], Schmidt [1], Lichtenschtein [1], Kellog 11], Giraud [1,3, 4], Friedrichs [1], Fichera [1,2, 3], Ляпунов [1], Гюнтер [1]. В этих работах в основном изучаются регулярные потенциалы. Регу- Регулярными называются потенциалы, ядра которых суммируемы и в том случае, когда точка, являющаяся параметром, принадлежит множеству интегри- интегрирования. Значительно меньше работ посвящено сингулярным потенциалам. Потен- Потенциалы теории упругости, как мы убедились, сингулярные. Достаточно полно изучены лишь одномерные сингулярные потенциалы. Эти результаты содер- содержатся в работах Векуа Н. [1], Голузина [1], Магнарадзе [1], Мусхели- швили [1, 2], Привалова [1], Fichera [1, 2, 31 и др. Многомерные сингулярные потенциалы изучаются в работах: Бицадзе [2], Гегелиа 11, 5, 10], Купрадзе [4, 9, 10], Miranda [I], Calderon, Zyg- mund [3], Giraud [1], Magenes [1]. В. Д. Купрадзе (см. Купрадзе [4,9]) изучил эластопотенциалы простого и двойного слоя и получил формулы C.5) и E.9), когда плотность принадле- принадлежит классу С0*13 (S). В работах Гегелиа [1, 5, 6, 8, 10] исследованы эти по- потенциалы, когда плотность принадлежит классу Lp (S), р > 1 или классам С"- & (S). В этих же работах изучены дифференциальные свойства потенциа- потенциалов в замкнутых областях. Теоремы 2.2 и 2.3 получены в работе Гегелиа [5]; в ней же доказаны теоремы более общие, чем приведенные в § 2. Теоремы 2.2 и 2.3 справедливы для потенциалов, представленных инте- интегралами Лебега—Стилтьеса; такое обобщение имеется в работе Джане- Джанелидзе [1]. Результаты §§ 4 и 5 содержатся в работах Гегелиа [6, 8, 10] и подробно приведены в предыдущем издании этой книги (см. Купрадзе и др. [1 ]). Результаты §§ 6 и 7 приводятся в работах Гегелиа [6, 8, 10], но без подробных доказательств; доказательство и различные обобщения имеются в работах Давитадзе [1, 2] и в предыдущем издании книги (см. Купрадзе и др. [1]). Теоремы Ляпунова—Таубера для потенциалов теории упругости и дру- другие аналогичные теоремы доказаны в работах Купрадзе [4, 9] и Башелей- швили, Гегелиа [2]. Содержание параграфов 1, 5, 6, 7, 8, 9 или вовсе не излагалось в преды- предыдущем издании книги (см. Купрадзе и др. [1 ]) или приводилось с другими доказательствами. Приведенное здесь изложение см. Башелейшвили [16, 18]. ЗАДАЧИ 1. Показать, что для S ? Л2 @) з где К (у) — средняя кривизна в точке у.
§ И] БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СПРАВКИ 249 2. Показать, что 3 3 (л rot и) = 2 gj 2 3. Сформулировать и доказать теорему 8.1 для потенциала двойного слоя F.1). 4. Применяя оператор Ж, доказать, что д* [ д д 1 д д 1 i > —«I 'длдг* 1# —*l nkdvdzf \у — г\ + д2 1 а2 1 *1 Г \у-2\ ==dsJ(y)dsk(z) пГ1 5. Показать, что если S ? Л2 @), то з t, 1=1 и для сферы радиуса а a2 a2 =j_ а 6. Показать, что для сферы радиуса а: Ж" ^ gn k=\ k где grt — сферическая функция п-то порядка: б) a*MMgn = л (л + 1) gn где gnj — проекция вектора gn на ось xf-. 7. Показать, что а) grad div^ (pn+2gn) = 2p*gn + 2p^ (аж, л (* 4- p2 grad div^ (pngn); б) grad div^ (pngn) = np«^n -f Bn — 1) x div^ (p»gn) + (л — 1) Ж (дх, п (х)) (pngn) _ - р2Ж (дх, n (x)) Ж (дх> n (x)) (pngn)y где х = (*i, x2, x3). 8. Показать, что главный вектор и главный момент от потенциала двойного слоя (см. F.1)), при 5 ? Лл (а) и ф^ С1. 3 E), 0 < Р <J а ^ 1, вычисляются по формуле J [Т (dz, v) W (ф)}± dz5 = 0, J [2 х {Г (d2, v) W (Ф)}±] dS = 3 S = (± 1 — 1) (х — ц) J [ф B) х vj dzS.
Г Л А В A VT ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ (СТАТИКА) В этой главе изучаются шесть основных задач статики, поставленные 8 главе I, § 14. Задачи статики, в известном смысле, являются модельными для других задач; поэтому в этой главе на примере статических задач под- подробно будут рассмотрены такие вопросы, как доказательство фредгольмовости основных сингулярных операторов, различные теоремы вложения, вопросы корректности и др., имеющие общее значение и применяемые и в других главах. § 1. Граничные задачи для неоднородных уравнений Пусть S — замкнутая поверхность, ограничивающая конечную об- область D+ из Е3. Рассмотрим первую внутреннюю основную граничную задачу статики классической теории упругости — задача (I): Найти регулярное решение (см. 1,14.1) уравнения A(dx)v+<p(x) = Ot A.1) по граничному условию v+(z) = O(z\ z?S, где Ф = (Ф1э Ф2, Ф3) — заданный на 5 вектор, ф = (q>lf ср2, ср3) — объем- объемная сила, заданная в области D+, а А (дх) — матричный дифференциальный оператор, определенный в A,12.4). Если ф?С°'а (D+), а > О, то в силу теоремы V,10.5, К (Ф), опреде- определенный из (V, 10.2) есть регулярное решение уравнения A.1). Пусть v — регулярное решение задачи A)+. Рассмотрим вектор u = v — К(Ф). A.2) Очевидно, и является регулярным решением уравнения A(dx)u = 0, A.3) удовлетворяющим граничному условию и+(г) = ФB)—/c+M(z), *es* Таким образом, задача A)+ для неоднородного уравнения A.1) при- приведена к задаче для соответствующего однородного уравнения A.3) Найти регулярное в области D+ решение уравнения A.3) по граничному условию if и /г> ^з) — заданный на 5 вектор.
§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 251 Эту задачу будем обозначать символом A)+ ив дальнейшем под A)+ будем подразумевать именно ее. Заметим, что из теоремы V,10.2 вытекает 1.1. Теорема. Если Sg Лг (а), ф? С'-1 (D+), Ф ? Сг- а (S), г — про- произвольное натуральное число, 0 < а <: 1, то /, определенный равенством принадлежит классу Cr> a (S). Аналогично можно поступить относительно первой внешней граничной задачи (задача (I)") для области D". В этом случае К (ф) (х), определенный из (V,10.9), представляет частное решение в D", если ф в окрестности беско- бесконечно удаленной точки удовлетворяет некоторым дополнительным усло- условиям (см. V, п. 2, § 10). Ясно, что аналогично можно поступить и в других случаях (внутренних и внешних задач, поставленных в гл. I, § 14); поэтому в дальнейшем, если обратное не оговаривается особо, будем рассматривать только однородные уравнения. Таким образом, все граничные задачи первой главы для неоднородных уравнений приводятся к соответствующим задачам для однородных уравне- уравнений с помощью объемных потенциалов, свойства которых изучены 8 главе V, § 10. § 2. Интегральные уравнения граничных задач В этой и последующих главах мы будем иногда пользоваться новыми обозначениями, а именно, V (ф) (х) = V (х\ ф) = V (х), W (ф) (*)= W (х\ ф) = = W (х) и т. д. Предположим, S — замкнутая поверхность класса Л, (а), ограничиваю- ограничивающая конечную (бесконечную) область D+ (D~) из Es, занятую упругой одно- однородной изотропной средой с постоянными Ламе 1 и ц. Пусть /^С°«^ E), где 0 < р <а < 1. ч Решение первой внутренней (внешней) граничной задачи — A)+ ((I)") ищем в виде потенциала двойного слоя W(x; <p)=\[T(dy,n)T(y — x)]'q>(y)dySt B.1) s где ф — искомый вектор из класса С0» ^ (S), ^ ]• B-2) Учитывая граничные свойства потенциала B.1) (см. V,4.2) и граничное условие задач (II*1, для определения неизвестного вектора ф получим син- сингулярное интегральное уравнение Это уравнение будем обозначать символом (I)^ а соответствующее ему однородное уравнение — (I)?. Относительно двойного знака ^= см. сноску на стр. 55.
252 граничные задачи упругого равновесия [Гл. VI Интеграл, входящий в уравнение A)±, сингулярный в силу теоремы IV,3.25 и понимается в смысле главного значения. Если решение первой внутренней (внешней) граничной задачи будем искать в виде потенциала U (х; Ф) = J [N (ду, п)Г(у — х)]' Ф (у) dJS9 B.3) s где ф — искомый вектор класса С0 (S), а in ф„ п) г (у- т, -^Khr+ibt-*''(a"n) im ~ T-'VXk)' l то, учитывая граничные свойства потенциала B.3) и граничное условие пер- первой задачи, для определения ф получим интегральное уравнение =Р Ф (г) + J [N (ду9 п) Г (у — г)Г Ф (у) duS = / (г). B.4) Легко заметить, что уравнение B.4) есть интегральное уравнение Фред- гольма второго рода. Здесь / — заданный вектор класса С0 (S), a S, как и выше, замкнутая поверхность класса Лл (а). Решение второй внутренней (внешней) граничной задачи (И)+ ((II)") будем искать в виде потенциала простого слоя V (х; я|>) = J Г (х — у) г|) (у) dvS, B.5) где г|) (у) — искомый вектор из класса С0- C (S), Sg Лл (а), 0 < Р < а < 1, а Г (х — у) — матрица Кельвина (см. A1,1.4)). Учитывая граничные свойства операции Т от потенциала B.5) (см. (V,5.9)) и граничное условие задачи (II)+((II)~), для вектора а|) получим интегральное уравнение ± гр (z) 4* \Т (d2t v) Г (z — у) я|) (у) dyS = f (г), где >< V* v)k- Однородное уравнение, соответствующее уравнению (И)*, обозначим символом (П)о1. Интеграл, входящий в уравнение (И)*—сингулярный в силу тео- теоремы IV,3.25 и понимается в смысле главного значения. Решение третьей внутренней внешней) граничной задачи — (Ш)+ ((Ш)~) ищем в виде и(х\ ф)= J [R{dyt n)T{y — x)]f^(y)dySi B.7) где ф = (ф*, ф2, ф3, ф4) — искомый четырехкомпонентный вектор из клас- класса С0- * (S), 5 ? Л2 (а), 0 < р < а < 1, а матрица [R (ду, п) Т (у — x)Y определяется из (V,9.18).
Л 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 253 _ Вектор и {х\ ф) действительно является решением уравнения A.3) при x^S. Для доказательства достаточно показать, что каждый столбец мат- матрицы [R (ду, п) Г (у— х)]\ рассматриваемый как вектор, является реше- решением уравнения A.3) при х ф у. Последнее доказывается так же, как в тео- теореме 11,4.1. Заметим, что потенциал B.7) не изменяется, если вместо ф внесем век- вектор яр, равный з Ф* = Ф* — я* S Я/Ф/> ?=1,2,3, % = ф4, B.8) /1 т. е. J [/? (ду, п)Т(у — х)У яр (у) d^S = \[R (ду, п)Г(у — х)]' <р (у) dyS. s s Но яр, определенный из B.8), удовлетворяет условию з S = 0. Подчиним вектор ф в B.7) этому условию и в дальнейшем будем счи- считать, что 3 /г=1 Учитывая теорему V,9.1 и граничное условие задачи (III)* ((Ш)~) (см. (V,9.7)), для определения вектора ф получим сингулярное интегральное уравнение =Р Ф (г) + J H (дг, v) [R (ду, п) Г 0/ — г)Г Ф (У) dyS = F (г), (Ш)± где ядро определяется из (V,9.22), интеграл понимается в смысле главного значения, F (Fl9 F2i F3, F4) — заданный четырехкомпонентный вектор и F4eOHS), Fkec°**(S)9 k= 1,2, з. Приняв во внимание тождества (см. (V,9.6) и (V,9.8)) Sv^ca,, v) = o, /=1,2,3, Ьл = о, будем иметь следующую теорему: 2.1. Теорема. Бся/со решение ф = (ф1э ф2, ф3, ф4) уравнения (Ш)± з удовлетворяет условию $j д^ф^ (г/) = 0, у? S. k=\ Решение четвертой внутренней (внешней) граничной задачи —(IV)+ ((IV)") ищем в виде v(x; я|))= J B.9) где яр = (ярх, яр2, tp3, tyd — неизвестный четырехкомпонентный вектор класса С0' <5 E), S^JI2 (а), 0 < р < а < 1, матрица [Н (ду, п) Y (у — х)У определена из (V, 9.19). Так же как в случае третьей задачи, можно считать, что вектор tp удо- 3 влетворяет условию 2 nk^>k (у) =. О, y^S.
254 граничные задачи упругого равновесия [Рл# VI Учитывая теорему V,9.1 и граничное условие задачи (IV)+ ((IV)~) (см. (V, 9.13)), для определения вектора i|5 получим сингулярное интегральное уравнение [ (IV)± где ядро уравнения определяется из (V,9.23), интеграл понимается в смысле главного значения, F (Fl9 F2, FH9 F4)— заданный вектор и Fk^ С1* ° (S), к = 1, 2, 3, FAeC°^(S). Совершенно так же, как и выше, учитывая тождества (см. (V,9.12) и (V.9.14)), ? vtRki (д* v) = 0, /=1,2,3, S v*F* - О, получим доказательство теоремы. 2.2. Теорема. Всякое решение я|) = (\|)lf г|J, я|K, г|>4) уравнения (IV)* з удовлетворяет условию 2 г|5л (у) nk = 0, yf S. k=\ К рассмотрению задачи (V)+ мы обратимся позже (см. § 5, п. 7). Решение задачи (VI)+ (см. гл. I, § 14) ищем в виде B.5); для определения вектора г|р в случае внутренней задачи получим интегральное уравнение ф(г) + J [Т(дЖ9 v)T(z — y) + a(z)Г (г — у)}ф(у)d^ = / (г), (VI)± s а для внешней задачи — уравнение о Интегралы, входящие в полученные интегральные уравнения (кроме B.4)), как отмечалось выше, — сингулярные, и понимаются в смысле глав- главного значения. Таким образом, получены сингулярные интегральные уравне- уравнения, распространенные на поверхностях, ограничивающих упругую среду. Несмотря на это, как будет показано ниже, для этих уравнений справедливы теоремы Фредгольма. Кроме того, в силу (IV,3.46) и (IV,3.47), операторы, порожденные левыми частями уравнений A)+ и (II)", (I)" и (П)+, рассмотрен- рассмотренные соответственно в пространствах L{p\S) и L{p (S), р > 1, \1р + \1р' = = 1, — взаимно сопряженные, и операторы, порожденные левыми частями уравнений (Ш)+ и (IV)", (III)" и (IV)+, рассматриваемые соответственно в про- пространствах Lp4) (S) и L^ (S),— сопряженные по отношению друг к другу. § 3. Теоремы Фредгольма и теоремы вложения Для сингулярных интегральных уравнений, которые получены в пре- предыдущем параграфе, мы уже доказали основные теоремы Фредгольма в гла- главе IV, § 7, пп. 6, 7, 9. Здесь будет указан другой способ исследования этих уравнений. 3.1. Теорема. Каждый из операторов, порожденный левыми ча- частями (II*1, (И)*, (HiI*1, (IV)^ и (VI)^, принадлежит нормальному типу. Доказательство. Оператор, порожденный левой частью урав- уравнения A)+, обозначим через К+. Аналогичный смысл имеют обозначения /С 2 3 4 6 /С*, /С*, /С*, Я*.
К 3] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА И ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 255 Вычислим символические матрицы этих операторов (см. определение IV,5.3 и формулу (IV,5.26)). Рассмотрим оператор h (ф) = — ф (г) + J [Т (ду9 п) Г (у—г)]' Ф (у) dyS. В главе IV, п. 3, § 5, был указан прием вычисления символа. Для этого следует представить ядро в виде (IV,3.27) и вычислить характеристику (см. (IV,5.26) и (IV,5.29)). Требуемое представление ядра фактически было получено при доказательстве теоремы IV,3.25 (см. замечание IV,3.29). Предположим, Sg ^\ (а)> ос > 0. Если (/? S и г? S, то з S -z\«, ?=1,2,3, и согласно B.2) и A1,4.6) имеем [Т(ди, п)Г(у — г)]'к1 = uki(y, z) + ц (К' — \x')Mki (дг, v), ' ., C.1> где «*/(!/. 2N С2B —а, а). Рассмотрим локальную систему координат — (г) (см. определение 1, 15.5). Формулы преобразования имеют вид з Ук^гк+^ак1(г)х\1% C.2) где t\l9 т]2, тK — координаты точки у в системе (г). Пользуясь преобразованием C.2), так же как в главе IV, §§ 3 и 4, можж> преобразовать Лк] (дг9 v) | у — г\~\ при этом найдем, что для y(-S (г, d) справедливо представление з ¦**/ (^ v) | у — z Г1 = g * где 8,-^ — символ Леви-Чивита, г] = (т^, г]2, 0). Учитывая C.1) и C.3), для характеристики оператора К* получим вы- выражение где XU B. 9) = - 6,ft> %+ki (z, в) = ц (V - и') S в,„ («г2 cos 0 + «„ sin 0) = cosG = т]г ИГ1, sin 9 = % | т) |-' —Ж0^я. Теперь по формуле (IV,5.26) (см. (IV.5.29)) вычисляется символ опе- оператора /С+: o+(z,Q)=\o+ki(z, 0)|зх3, C.5)
256 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ [Гл. VI где = i, 2, з. 1 Для детерминанта det a+ (г, 0) имеем det а+ B, в) = - 1 + i BлK [ - %+ (г, G) J& (г, Э) ^ (г, 0) + + хГ2(г, 6) хГз(*. 0) 5Сгз (г. в)] + «я2 {[ij, (z, в)]' + [i[3 (г, в)] Учитывая C.4) и (V,L26), находим det a+ (z, 0) = — 1 + 4я2 [|г (V — ц')]2 = — 1 + ^2 (X + 1 Это доказывает, что оператор К+ — нормального типа. Оператор fa (z, 0. C.6) i является сопряженным для оператора /С+ (см. (IV,3 46), (IV,3.47)) и (см. до- доказательство теоремы IV,6.1) det a" B, 9) = det а+ (z, 9) = — 1 + jn2 (Я + 2|ыГ2. 1 Аналогично вычисляется символ оператора К". Имеем det а" (г, 9) = 1 — ^г2 (А, + 2p,)-2, 2 1 и, так как оператор К+ — сопряженный для оператора /С", то det a+ (z, 9) = det а" (г, 9) = 1 — fx2 (X + 2ц)~2. 2 1 2 Таким образом, оператор /С", а также /С" и /С — нормального типа. з Рассмотрим оператор К*- Символ этого оператора согласно теореме 2.1 и (V,9.22) получаем в виде о+ (г, 9) = — 1 0 0 Фг (z, 9) 0—1 0 Ф2 (г, 0) 0 о — 1 Ф8B, 9) 0 0 0—1 где Фк (z, 9) = i2n К (z) (ak2 sin 9 — akl cos 9) + + S (a/;2sin9 — aa cos i ,fe=l, 2, 3.
Л 3] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА И ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 257 Следовательно, det a+(z, 0) = 1 з и оператор К* — нормального типа. 4 3 Оператор /С"", сопряженный для оператора /С+, — также оператор нор- нормального типа. 3 4 Аналогично рассматриваются операторы К" и /С+. 6 6 2 2 Оператор К+ (К") отличается от К+ (К~) вполне непрерывным слагае- слагаемым и поэтому является оператором нормального типа. 1 2 6 3.2. Теорема. Операторы К*, /С* и /С*— фредгольмовы в простран- пространстве L{p\S), а операторы /С* и К±— в пространстве Lp*] (S) для любого р > I. Доказательство. Так как каждый из этих операторов — нор- нормального типа, то для них справедливы теоремы IV, 6.1, IV, 6.3 и следствие IV, 6.5. Следовательно, остается доказать, что их индексы в указанных про- пространствах равны нулю. Для доказательства воспользуемся след- следствием IV, 6.7. Рассмотрим оператор ^v (ф) (г) = — ф (г) + 7 J [Т (ду, п) Г (у—г)]' ф (у) dyS, где у — комплексный параметр. Очевидно, что det av B,0) = i i i где Оу (г, 0) — символ оператора К у Таким образом, det av (z, 0) обращается в нуль только в двух точках, 2) и Tf = -,i и из следствия IV, 6.7 вытекает, что оператор Ку — фредгольмов при у = I в пространстве Lp3) (S), т. е. К+ — фредгольмов в пространстве ЬРЪ) (S). Аналогично доказывается теорема и для других операторов. Докажем з ее для /(+. Рассмотрим оператор Kv (Ф) (г) = — ф (z) + у I H (дх, v) [R (ду, п) Г (у — г)Г Ф (У) 3 3 3 Очевидно, Кг = К+* Обозначим символ этого оператора через ау (г, 0). Имеем det av(z, 0)= 1 Ф О, з и, следовательно, из IV, 6.7 следует фредгольмовость оператора Ку при у= 1. Из IV, п. 2 § 6, следуют необходимые в дальнейшем теоремы вложения, 3.3. Теорема. Если S^JIr+1(a) и f?Cr>* E), 0<р<а<1, г — произвольное целое неотрицательное число, то всякое решение класса ЬРЪ) (S) уравнений (I)*, (II)*, (VI)* принадлежит классу С'* (S). 17 В, Д. Куярадзе
258 граничные задачи упругого равновесия [Гл# yi 3.4. Теорема. Если S<E«/7r+2 (а) и f? Cr- e (S), 0 < р < а < 1, то всякое решение класса Lp4) (S) уравнений (Ш)±, (IV)* принадлежит классу Cr- P(S). Доказательство 3.3 и 3.4 следует из теоремы IV, 6.15. Доказанная в 3.2 фредгольмовость рассматриваемых операторов в про- пространстве суммируемых функций недостаточна при исследовании класси- классических задач, поставленных в главе I, § 15. В самом деле, если, например, Ф есть решение уравнения A)+ класса Lp3) (S), то потенциал W (х\ ф) не будет непрерывно продолжимым на S и, следовательно, не может представлять ре- решения задачи A)+. Теоремы, необходимые для исследования классических задач, могут быть получены из 3.3 и 3.4. 3.5. Определение. Пусть М и N — линейные операторы, пере- водящие Сг* $ (S) в себя. Будем говорить, что для уравнений М (ф) = / и N (ф) = / справедливы теоремы Фредгольма в пространстве Cr* ** (S), если 1) уравнения М (ф) = 0 и N (ф) = О имеют конечное и одинаковое число линейно независимых решений в простран- пространстве О 3 (S); 2) для разрешимости уравнения в пространстве С- ® (S) необходимо и достаточно выполнение условий где фA>, ф<2>, . . ., ф<п> — полная система линейно независимых решений уравнения N (ф) = 0 в пространстве Cr* p (S), а (/-Ф(Аг)) — скалярное произ- произведение векторов f и ф(/г); 3) для разрешимости уравнения n(v)=и fecr-*(S) в пространстве Cr» p(S) необходимо и достаточно выполнение условий f.tf*>)dS = O; ft=l, л, где a()A), a|)B), . . ., ip(/I) — полная система линейно независимых решений уравнения М (\р) = 0 в пространстве Сг> &(S). 3.6. Теорема. Если S ? «Яг+1 (а) и fe Cr* $ (S), 0 < р < а < 1, г — произвольное целое неотрицательное число, то для уравнений A)+ и (И)", (I)" и (П)+ справедливы теоремы Фредгольма в пространстве Cr> $ (S). 3.7. Теорема. Если 5еЛг+2 (а) и f€Cr-*(S), 0 < Р < а <: 1, г — произвольное целое неотрицательное число, то для уравнений (Ш)+ и (IV)-, (III)" и (IV)+ справедливы теоремы Фредгольма в пространстве Cr* $ (S). Доказательство. Пусть S?JIr+1 (а) и / 6 Cr- ^ E). Рассмотрим 1 2 уравнения A)+ и (II)". Операторы /С+ и /С" — взаимно сопряженные в со- сопряженных пространствах Lp3) (S) и L$,3) (S), где р — произвольное действи- действительное число больше единицы и г/р -\- \/р' = I. Из 3.2 следует, что 1) уравнение A)о~ имеет конечное число (обозначим это число через п) линейно независимых решений — фA), . . ., ф(л) в пространстве Lp3) (S);
* 4] теоремы о характеристических числах 259 столько же линейно независимых решений я|)A), . . ,, я|)(л) имеет уравне ние (II)"" в пространстве L{p (S); 2) для разрешимости уравнения (IL" в пространстве Lp3) (S) необходимо и достаточно выполнение условий 3) для разрешимости уравнения (II) в пространстве L{p E) необхо- необходимо и достаточно выполнение условий = 0, k =ТГп. В силу теоремы 3.3 г|)<*>еСг- & (S) и ф(*>бСг' е (S); * = 1, п, для лю- любого Р < а. Отсюда следует, что A)+ и (II)" удовлетворяют условиям 1), 2) и 3) определения 3.5. Теорема 3.6 доказана для уравнений A)+ и (II)". Аналогично доказывается теорема 3.6 для уравнений A)~ и (И)+ и тео- теорема 3.7. Укажем еще раз, что в главе IV, § 7 применимость теорем Фредгольма к уравнениям A)*, (И)*, (VI)* была показана непосредственно (минуя тео* ремы вложения); это же можно сделать и для уравнения (IIII1 h(IV)±. § 4. Теоремы о характеристических числах В этом параграфе будет доказано несколько теорем о характеристических числах уравнений (I )± и (И)*. Эти теоремы обобщают для классической теории упругости известные теоремы о характеристических числах инте- интегральных уравнений граничных задач Дирихле и Неймана. Из граничных свойств потенциалов двойного и простого слоя следуют равенства: I [(- 1 + X)W+(z) + A + X)W-(z)) = Ф(z) + X \[T(dyyn)Y{y—z)]'y{y)dyStD.1) Х){Т(д2, v)V(z)}-} = D.2) I + \ где Я, и X — взаимно сопряженные комплексные числа, a W и V определены соответственно из B.1) и B.5). 4.1. Теорема. Все характеристические числа ядра Т (дг> v) Г (г — у) вещественны. Допустим противоположное и пусть X — а — ib, где а и Ь — вещественны и Ъ отлично от нуля, есть характеристическое число ядра Т (д2, v) Г (z — у), т. е. ф (z) + X J Т (д„ v) Г B — y)ip (y)dyS = 0. D.3) В этом случае X = а + ib будет характеристическим числом ядра [Т(ди,п)Г(у-г)]',т. е. Ф (г) + * J [Г (д„ я) Г (у — г)]' <р (у) d^ = 0. D.4) 17»
260 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ [Гл VI Для данного значения параметра Я уравнение D.3) будет иметь решение ^(z) = %(z) + %(z), D.5) не равное тождественно нулю. Построим соответствующий потенциал по формуле B.5). Имеем V = Vt + iV2. Учитывая D.3) и D.2), получаем (U + 2а + 1) [Т (дг9 v)V(z)r + (М— 1 — 2ib) [Т (дг, v) V(г)]' = 0, D.6) откуда следует, что (АЗЕ + 2а + 1) (TVxy + (АЛ — 1) (TVJ- + 2& GVt)" = 0, D.7) (АЛ + 2а + 1) GV2)+ + (М — 1) GV2)~ — 2Ь GVJ- = 0. D.8) Умножим эти равенства соответственно на (V2)+ = (V2)~ и (Fx)+ = (Vx)", составим разность и проинтегрируем по S; тогда, принимая во внимание формулу (III, 2.1), как в D+, так и в D~, получаем 2Ь | [(^Г GVJ- + (V2T (TV2n dS = 0. D.9) Отсюда, так как по предположению Ъ Ф 0, находим J J- (TVJT + <УР (TVJ-] dS = 0. D.10) Учитывая, что Vx (x) и V2 (x) являются регулярными решениями урав- уравнения А (дх) и = 0 в D" и используя (III, 1.9), получим J E (V^) dx = 0, \E (V29 V2) dx = 0. D" Но в таком случае, вследствие положительности квадратичной формы Е (V, V), а также по свойствам потенциала B.5), получим Vi(*) = 0, V2(x) = 0, x Кроме того, учитывая формулу (TVky — (TVky = 2фЛ (z), k = 1, 2; z 6 Sf получаем Это противоречие доказывает, что Ь = 0 и, следовательно, % — а яв- является действительной величиной. 4.2. Теорема. Характеристические числа ядер Т (d2, v) Г (г — у) и [Т (дду п)Т (у — z)Y no абсолютному значению не меньше единицы. В самом деле, ввиду того, что Ь = 0, из D.6) получаем f (У1Г Wi)- dS - \ (УгГ (TVtr dS J E (Vi9 Vt) dx + J E (Vb Vt) dx л Л i S D+ D- I (Vty (TVtr dS+\ Js Js dS+\ (Vt)+ (TVi)+ dS \e (Vit Vjdx- Отсюда имеем \а\ > 1 и теорема доказана. 4.3. Теорема. Характеристические числа ядра Т (дг, v) Г (г — у) являются простыми полюсами резольвенты.
* 5] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 261 Допустим противоположное, и пусть, например К = —к0 есть полюс второго порядка; тогда согласно (IV, 7.64) и (IV, 7.65), будем иметь = 0, D.11) = -J-BB)(z,y). D.12) Рассмотрим у как параметр. Обозначим B{k2) (z> у) = г|I (z), в[1) (z, у) = ih (z), где fe принимает одно из значений 1, 2, 3, и построим потенциалы B.5) с плот- плотностями, равными гр! (z) и г|;2 (z). Эти потенциалы будут удовлетворять ус- условиям tltxHrn^^-lllrvrlkr+wr 1 DЛЗ) которые вытекают из представления D.2) и уравнения D.11) (первое) и из D.2) и D.12) (второе). Умножим первое равенство D.13) на —V 2> второе на Vl9 сложим и про- проинтегрируем по 5; получим \E<yX9Vddx— \E(V1,V1)dx = 0; D.14) если же первое равенство D.13) умножим на Vx и проинтегрируем по S, то получим (l-j-^о) | -?* (Vx, Vx) rfjc -f- A—x0) I E (Уъ Vt) dx = 0. D.15) D+ D- Равенства D.14) и D.15) совместны только в том случае, если J E (Vlt VJ dx= \Е (Уг, Vt) dx = 0, D+ D~ откуда следует, что V1 (х) = 0, x?D+ [} D и, следовательно, \рг (z) = 0; это противоречит предположению о том, что порядок полюса выше единицы. Теорема доказана. § 5. Существование решений граничных задач 1. Задачи A)+ и (П)~. Предположим, S^JI1(a) и докажем, что уравне- уравнения A)о~ и (И)(Г имеют лишь тривиальные решения в пространстве С0'13 E) для любого р. Допустим противоположное и пусть уравнение (П)о~ имеет нетривиаль- нетривиальное решение г|)(=С°'& (S). Рассмотрим потенциал простого слоя V(x; y) = Очевидно, 1) A(dx)V(x; tj)) = O, xeD 2) \T(dX9v)VB;jp)f = 09 zeS, V(x; 3)V(x;ip) = O(\xn и = 0(\х в окрестности бесконечно удаленной точки.
262 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ [Рл Щ Следовательно, из теоремы III, 1.10 заключаем, что V (х; г|)) == 0 при '. Но и в силу теоремы III, 1.6 V (х; я|э) = 0 при x?D+. Учитывая формулу \Т(дг, v)V(z', Щ+— {Т (дг, v)V(г; г|))Г = 2г|)(г), получим г|^ (е) = 0, z?S. Таким образом, уравнение (Н)<Г имеет только тривиальное решение в пространстве С0* Р (S); но тогда из теоремы 3.6 следует, что только три- тривиальное решение имеет и уравнение A)^ в пространстве С0' & (S). 5.L Теорема. Если S6«#i (а) и /? С0» & (S), /по задача (II)" ижеетл единственное регулярное решение, удовлетворяющее условию (III, 1.8). Кроме того, это решение дается в виде потенциала простого слоя V (х; \р), где ty — решение уравнения (II)". Доказательство. В условиях теоремы уравнение (II)" имеет единственное решение^ в пространстве С0' P(S). Рассмотрим потенциал V(x;ty). Очевидно, он представляет регулярное решение задачи (II)" в области D~, удовлетворяющее условию (III, 1.8). . Таким образом, существование решения доказано. Единственность была доказана в главе III, п. 4, § 1. Выше мы получили, что при S^t/I1 (а) и /6 С0» & (S), 0 < Р <<х < 1, уравнение A)+ имеет решение ср в классе С0» & (S). Но потенциал W (х; ф) при фбС°* & (S) не является, вообще говоря, регулярным вектором в D+ и, таким образом, нельзя утверждать, что он дает решение задачи (I)". 5.2. Теорема. Если S?JI2 (а) и /6 С1' |3 E), то задача A)+ имеет решение и притом единственное. Это решение дается потенциалом двой- двойного слоя W (х\ ф), где ф — решение уравнения A)+. Доказательство. Из теоремы 3.6 следует, что уравнение A)+ имеет единственное решение ф класса С1- ^ E). В этом случае потенциал двой- двойного слоя W (х\ ф) представляет регулярное решение задачи A)+ (см. тео- теорему V, 7.1; впрочем, для этого достаточно, чтобы S ?Лг (а) ). Существование решения доказано. Единственность следует из теоремы III, 1.6. Из теоремы 3.6 получить утверждение теоремы 5.2 при менее жестких условиях относительно S нельзя. Несмотря на это, так же как в случае задачи Дирихле (см. Гюнтер [1]), можно доказать теорему. 5.3. Теорема. Если S^JJi (а) и f?Cl>® (S), то существует един- единственное регулярное решение задачи A)+. Доказательство приведем несколько ниже. Используя теоремы 3.6, 5.1, 5.2, 5.3 и V, 7.1, V,7.2, можно заключить следующее: 5.4. Теорема. Если S 6Лм (а) и /6 С- е (S) @ < I ^ k + 1), ре- решение (регулярное при I ^ 1) задачи A)+ существует и принадлежит классу С1**' (D+) @ < Р'<Р). 5.5. Теорема. Если S 6 Лм (а) и f? С1- & (S) @ ^ / ^ ft), то ре- решение задачи (II)" существует, принадлежит классу С/+1< $' (D~) и дается потенциалом простого слоя V (х\ я|)), где 0 < Р' < р. 2. Задачи (П)+ и A)~. Докажем сначала, что при 8?ЛХ (а) уравне- уравнения (II)oi~a A)сГ имеют по шести линейно независимых решений, и они состав- составляют полные системы решений.
с 51 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 263 Вычислим значение потенциала двойного слоя W (х; ф) при q> = ф</> t / = ТГб, где Ф}%) = в|/ + (Мб/-взА,)У1 + + (бзЛ,— MeM + ^iA/-68А/), '=1.2,3. E.1) Учитывая тождества , п) Г (у — х)]3* (у2 — х2) — [Т (дуу п)Т(у—x)Jk (уз — х3) = ^ I У — [7@^ п)Т(у—х)]и(и — *з) — [Т(ду, п)Т(у — x)]3k(у, — хг) = [Т(ди, п)Т(у—x)]ik{yt — xJ — lT{ду, п)Т(у—x)]lk(y2 — х,) = где оператор ds . ., fe = 1, 2, 3 определен из (V, 1.10), будем иметь Wk (х; Ф</>) = J [Г (а„ л) Г (у — х)]1к d,S + хг |б6/ [ [Т (ду, п)Т(у — х)]и dyS — - б8/ J [Т{ду, п)Т(у-х)]«dyS) + х21б4/ f [Г(ду, п)Г(у—x)]3kdyS — - 8bi f [T (д„ п) Г (y-x)Ju dyS] + х3 J6B/j [Т (д„ я) Г (у — x)]u dyS— - б4/ J [Г (ду, я) Г (у—х)]№ dyS\ + (Я,' - (О X X 4т (г/) Принимая во внимание (V, 2.13) и тождество (см. доказательство фор- формулы (V, 1.41)) имеем Г(х;фС/>) = —б(х)ф</)(х), JC6?3, E.2) где б (#) определен из (V, 1.53). Из E.2) при х = 2 6S, получим J =0, / =ТД E.3) Таким образом, мы доказали, что уравнению AM" удовлетворяют "шесть линейно независимых векторов
264 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ [Гл# yj Покажем теперь, что эта совокупность образует полную систему решений. Рассмотрим союзное уравнение (П)о~. Очевидно, оно имеет по крайней мере шесть линейно независимых решений *ф</> (г); / = 1, 6. Пусть -фG) (г) есть решение, линейно независимое от предыдущих реше- решений; тогда где Cj (/ = 1,6) — произвольные постоянные, также является решением уравнения (П)о~. Составим потенциалы простого слоя F(*;f) и V(x; Как решения однородных задач (П)о\ они представляют некоторые век- векторы жестких смещений и, следовательно, V (x; ^) = V (x\ ^<7>) — 2j CjV (x; ty</>) = A + [© x xj, E.4) где A (Aly A2, Л3), со = (®l9 co2, co3) — произвольные постоянные векторы, a x = (xl9 x2i x3). Подберем постоянные cl9 c2f • . ., c6 так, чтобы удовлетво- удовлетворить условиям rotV(x;^» ^ —n f ^5'5) Мы считаем, что начало координат находится в области D*. Условия E.5) перепишем в виде Si с, ^Т {у) фЩ) dS = J Г {у) $т (у) dS, | Sc/1 м(У)Ф(/)(У)dS=\M(у)фЮ(у)dS, j е/Л^ — символ Леви-Чивита. Докажем, что детерминант системы E.6) не равен нулю. Допустим про- противоположное, пусть детерминант системы E.6) равен нулю. Тогда найдутся постоянные с\9 cl, . ¦ ., cl, которые одновременно не равняются нулю и удовлетворяют условиям Введем обозначение: потенциал простого слоя V (х9 г|)*) удовлетворяет условиям V(x; if) = Л* -}- [со* х х], хе D+, еде Л* и со* — произвольные постоянные векторы, V @; ф*) = 0, roty (*; ф*) |,=о = 0.
§ 5] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 265 Отсюда получаем F(jc;t|)*) = O, xeD+. Потенциал простого слоя непрерывно «переходит через границу» i>, принадлежит классу С1* 0 (D~) и на бесконечности удовлетворяет условиям dV(P \~% &= 1,2,3. Применяя теорему III, 1.10, получим У(х;<ф*) = 0, x Итак, Но последнее равенство в силу E.8) невозможно ввиду линейной неза- независимости векторов г|;^>, я|)<2>, . . ., г|)F). Таким образом, доказано, что де- детерминант системы E.6) отличен от нуля. Подставим в E.4) определенные из E.6) постоянные с/: (/= 1, 6); тогда, на основании E.5) получим У(*;ф) = 0, xeD*. Отсюда, так же как и выше, получим q(z) = ^G) (г) — § с^Щг) = 0, г 6 S, или Это противоречие доказывает наше утверждение относительно пол- полноты aj)<» (z); отсюда следует полнота и системы ф('')(г). Обратимся к исследованию задачи (П)+ и соответствующего интеграль- интегрального уравнения фB)+ f T(dZ9v)T(z — y)y(y)dyS = f(z). (ИГ s По третьей теореме Фредгольма необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения (П)+ имеет вид = 0, /=1,6, E.9) где ф(^ задаются формулой E.1). Подставляя ф('*> в E.9), получаем з » = 0, J У. ^ijkyifi (У)dS = 0; &= 1,2,3. E.10) условия выражают равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий. Необходимость условий E.10) вытекает также из формул A11,2.1). Таким образом, имеет место 5.6. Теорема. Если S^JIX (а) и /? С0* & (S), задача (П)+ разрешима при выполнении условий E.10). Решение представляется потенциалом
266 граничные задачи упругого равновесия [Гл. VI простого слоя и определено с точностью до аддитивного вектора жесткого смещения. Учитывая теоремы 3.6, 5.6 и V, 7.2, совершенно так же, как и выше, по- получаем следующий результат: 5.7. Теорема. Если S?Jlk+i (а) и f?Cl*J (S) @ < / ^ k), то ре- решение задачи (П)+ принадлежит классу Cl+l> 3' (D+) (О < р' < Р). Для исследования разрешимости задачи A)~, вместо уравнения A)~ рассмотрим следующее уравнение: Ф (z) + J [Т(ду,п)Т(у — г)]' Ф (У)dyS = F(z), E.11) где F(z) = f(z)— ? fe Так как ф(й) и i|)<*> —союзные системы линейно независимых решений, соответствующих простому полюсу резольвенты (см. теорему 4.3), их можно считать биортонормированными (см. теорему IV, 7.1). Тогда уравнение <5.11) разрешимо. Пусть ф есть его решение. Представим ф(/е) (г) в виде линейной комбинации векторов = ^ с) \ T(z- тогда, как нетрудно убедиться, решение задачи A)~ будет иметь вид 6 6 и(х; ц>)= \lT(d99 п)Г(у—х)]' cp(y)dyS+% с, 2 с? f Г (х — yWJ)(y)dyS. S k=l ,=1 S E.12) Таким образом, доказана 5.8. Теорема. Если S<E«#2 (а) и f?O** (S), 0 < р <а^ 1, то задача (I)" имеет регулярное решение и оно представляется в виде E.12). Полученное решение единственно, несмотря на то, что однородное урав- уравнение A)о имеет нетривиальные решения. Это вытекает из того, что потен- потенциалы двойного слоя W (х\ ф(Л))> как регулярные решения задачи A)~, равны нулю при х 6 D~. Имеет место 5.9. Теорема. Если S6«^i (а) и f? С1*|5 (S), то существует един- единственное регулярное решение задачи A)~, удовлетворяющее на бесконечности условиям и = О(\хП, ^ = О(|хГ), Л-1,2,3. Доказательства теорем 5.9 и 5.3 получаются одновременно. Рассмотрим потенциал двойного слоя W (x; f). В условиях теорем 5.3 и 5.9, учитывая теорему V, 7.1, имеем W (х; /) ? С1- е' в D+ и в ?Г @ < Р' < < Р). Таким образом, принимая во внимание теорему V, 7.1 заключаем, что (TWy = (TW)" и принадлежит классу С0- iV(S). Следовательно, W (x\ f) в ?)+ и в D~ представляется потенциалом простого слоя. Потенциал простого
§ 5] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 267 слоя, совпадающий с W (х; f) в D+, обозначим через Vl9 а тот, который сов- совпадает с W (х; /) в D", — через V2. Тогда потенциал простого слоя V = -L{V2-VX) E.13) решает одновременно задачи (I)" и A)+. Действительно, значение на S потенциала Vx равно \W (г; f)}+, а потен- потенциала V2 равно [W (г; /)}"". Поэтому значение потенциала V на S опреде- определяется равенством v_{W(z; f)}~ - {W (г; f)}+ _. 2 * это доказывает наше утверждение. Для доказательства теорем 5.3 и 5.9 остается убедиться в том, что Vx и V 2 принадлежат С1' р/ bD+ ив D~. Так как V2 является решением задачи (II)", \T(d»v)Vt(z)\- = T(dt9 v)W(z;f), где Т (d2, v) W?C°-$(S) и S^JIl(aI то плотность потенциала V2 при- принадлежит классу С0'fi (S), а 1/2 принадлежит классу С1* р', как bD+, так и bD"". Докажем, что и V\ принадлежит классу С0^' вО+и вО". Действительно, l/j является решением задачи (П)+ \T(d29v)V1(z)\+ = T(d29 v)W(z;f). Пусть V\ — такое решение этой задачи, для которого удовлетворяются условия Ki@) = 0f votxV[(x)\x^ = Q. E.14) Из теоремы 5.6 следует, что V\ принадлежит классу С1* р/ как в D+, так и в D~. Кроме того, V\ определен единственным образом в силу E.14). Далее, очевидно, что б где <p(k) (ф^}, ф^Л), ФCЛ)) определены из E.1), a ck — пока произвольные по- постоянные. Представим теперь ф(/г) (х) в виде следующей линейной комбинации: 6 ф<*> (х) = ^ c\k) \ г(х — у)V/} (у)d,s, jc где C/fe) — определенные постоянные. Учитывая, что Vx (x) = W (х\ /), jc?D+, имеем б где (q, Ci, с3) = В7 @; /), .2 (с4, с5, с6) = rot Г (х; Так как Jfin 6С°^ (S), / = 1, 6, то V (х\ ф</>) € С1^, как в D+, так J и в D", / = 1, 6. Таким образом, Уг?С1*&' и теорема доказана полностью. Используя теоремы 3.6, 5.8, 5.9 и V, 7.1, имеем теорему 5.10. Теорема. Если S 6 c/7fe+1 (а) и /• ? С- MS) @ < / ^ к + 1), то решение (регулярное при 1^1) задачи (I)" существует и принадлежит классу CL*V (D~) @ < |3' < р).
268 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ [Гл# VI 3. Другой способ доказательства теорем существования для задач (I)" и (Н)+. В предыдущем пункте мы убедились, что задача (I)" всегда разре- разрешима и решение представляется в виде E.12). В этом случае, кроме решения уравнения (I)", нужно найти также все решения однородного уравнения (II)<f. Естественно попытаться привести задачу (I)" к интегральному уравнению, не имеющему собственных вектор-функций. Такое уравнение, кроме того, удобнее и для численного решения. Вместо уравнения (П)+ рассмотрим уравнение я|> (г) + \Т{д„ v) Г (г — у)${у) dyS ±- Т (дг9 v) Г (z)a— - -{- Т (д„ v) М (г) Ь = f (z), E.15) где М (z) — матрица, определенная из E.7), SG«/?i (а), /€ С0'|5 E), 0< <Р <а< 1, a=\T{y)y{y)dS\ b=\M(у)ф(у)dS. E.16) S S Покажем, что если уравнение E.15) имеет решение, то необходимо а=09 6 = 0, E.17) если только соблюдены условия равенства нулю главного вектора и главного момента внешних усилий. Учитывая E.2) при х == г 6 S и вытекающие из E.2) при x?D+ формулы J IT (ду, п) Г (у)]' фс/> (у) dS = — 2Ф</> @) = - 2 (81/f б2/, б3/), J [Т (ду, п)М (у)]' Ф</> (у) dS = —2 rot Ф< /> (х) U=o = — 4 (б4/, б5/, ббу), а также легко проверяемое тождество Т (дг, v)T(z — y)ip (у) Ф(/> (г) = [Т (д2, v) Г (г — r/)J' ф<'> (г) ф (у), из E.15) получаем fii/fli + б2/«2 + б3/а3 + 64,*! + 65/fe2 + 6вА = J (/' Ф(/)) d<S> или J l E.18) где ^/ — вектор У = {УиУ*> Уз)- Если главный вектор и главный момент равны нулю, то из E.18) следует а = 0 и 6 = 0, что и требовалось доказать. Таким образом, при соблюдении условий равенства нулю главного век- вектора и главного момента внешних усилий, всякое решение уравнения E.15) является в то же время решением уравнения (И)+. Докажем теперь, что уравнение E.15) всегда разрешимо.
Л 5] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 269 Рассмотрим для этого однородное уравнение, получаемое из E.15) при / = 0, и покажем, что оно не имеет отличных от нуля решений. Пусть t|j* (г) — какое-либо решение этого однородного уравнения. Так как / = О, то, очевидно, для г|)* (г) выполнены условия E.17). В этом случае полученное однородное уравнение соответствует граничному условию Отсюда, применяя теорему III, 1.7, получим V(x; гр*) = А + [со х xl xeD+f где Л и (о — произвольные постоянные векторы, а х = (х19 х2, х3). При- Принимая во внимание, что а* = 6* = 0, получаем А = со = 0, и из предыду- предыдущей формулы будем иметь откуда ф* (г) = 0. Итак, однородное уравнение, соответствующее уравнению E.15), не имеет решений, отличных от нулевого. Следовательно, уравнение E.15) имеет единственное решение ф. Под- Подставив это значение в E.15), получим решение задачи (П)+, если только со- соблюдены условия равенства нулю главного вектора и главного момента внешних усилий. Решение задачи A)~ ищем в виде = \ \ J6, E.19) где у = J IT (дд9 п) Г (у)]' Ф (у) d^S9 8=1 [Т (ду, п) М (у)]' Ф (у) dJS\ тогда, для определения ф, получаем интегральное уравнение Ф(г)+ j \Т(ду9п)Т{у— z)]'cp(y)dyS — ±Т(г)у — -f M{zN=f{z). E.20) Выше мы доказали, что союзное однородное уравнение в простран- пространстве С0' & (S) имеет только нулевое решение. Отсюда следует, что уравне- уравнение E.20) всегда разрешимо. Чтобы полученное таким образом решение было регулярным в D", нужно потребовать f^C1^ (S), S 6 Л2 (а), 0 < Р < а <: 1. Итак, доказана 5.11. Теорема. Если Sgt/72(a) и f?C1*® (S), mo задача (Г)" имеет единственное регулярное решение^ представимое в виде E.19) и удовлетворяю- удовлетворяющее на бесконечности условию (III, 1.8). Замечание. Выше мы изучали задачи A)+ и (П)+, применяя син- сингулярные интегральные уравнения. Задачи A)+ и (I)" можно исследовать, также применяя интегральные уравнения Фредгольма. В этом случае для задачи A)+ всегда разрешимое интегральное уравнение Фредгольма имеет вид B.4), а в случае задачи (I)", если решение ищем в виде U (*; ф) = J 1Щду, п)Т(у — х)]' Ф(у)dyS—±-Y (x)а, где i= \[N(dy9n)T(y)Yv ..j,
270 граничные задачи упругого равновесия [Гл# VI для определения q> получаем разрешимое всегда интегральное уравнение Фредгольма [ lN(dy, п)Г(у— z)Y Ф {у) dyS—^T{z)a = f(z). E.20') Доказательство разрешимости полученных интегральных уравнений осу- осуществляется применением оператора N (см. (I, 13.6) ). Таким путем полу- получаются другие доказательства теорем 5.2, 5.8, 5.3 и 5.9. 4. Задачи (Ш)+ и (IV)~. Рассмотрим интегральное уравнение (III)jJ"* Докажем, что если S?JI2 (а) не является поверхностью вращения, то урав- уравнение (Ш)о~ имеет только тривиальное решение. Допустим, что уравне- уравнение (Ш)о^ имеет отличное от нуля решение, которое обозначим через ф* (г) = = (ф*, ф*, фз, фЭ- Так как S^JI2 (а), то из (П1)о\ учитывая теорему 3.7 и используя теорему 4 § 21 из второй главы монографии Гюнтера (см. Гюнтер [1]), получаем щ? CUa (S) иф^ С0' а (S), k = 1, 2, 3. В этом случае легко докажем, что смещения и напряжения, соответствующие по- потенциалу B.7), являются непрерывными векторами вплоть до границы S. Применяя теорему III, 1.8, получаем и (х\ ф*) = 0, #? D+, если S не является поверхностью вращения. Отсюда имеем (R (dZ9 v) и (z; ф*))+ = О, г? S. Принимая во внимание V,9.2 и учитывая III, 1.10, получим и(х\ ф*)= = 0, х 6 D". Но 0 = (Я (dz, v)u(z\ Ф*)Г — (Я ф„ v) и (z; Ф*)Г = 2Ф* (г). Итак, уравнение (Ш)о~ имеет только нулевое решение, если S не есть по- поверхность вращения. Таким образом, имеем 5.12. Теорема. Если S е Л2 (а), /4е С1- * (S), /fee С°-МЯ fe = = 1, 2, 3, 0 <р <а<1 w S «е является поверхностью вращения, то за- задача AН)+ имеет единственное регулярное решение, которое дается фор- формулой B.7). Рассмотрим теперь случай, когда S является сферой. В этом случае вместо уравнения (Ш)+, будем исходить из уравнения где ) + \ Н (дг, v)[R{dy,n)T {у — z)Y 4>(y)dyS-^-H (d29v)M(z)A = E.21) А = J \R (dgy п) М (у)]' ф (у) dS (Л4 = 0 в силу теоремы 2.1), М (у) определено из E.7). Для сферы из E.21) получаем з * - 1. 2, 3. E.22) = [ S 5 ь/=1 Уравнение E.21) разрешимо всегда, если 5 есть сфера. В самом деле, пусть / (z) = 0; из E.22) имеем А = 0; в этом случае согласно теореме III, 1.8 и(х; ф) = [сох^], *6D+. Учитывая, что rot и (х\ ф) |x=o = 2со = Л =0, получаем и (х; ц>) = = 0, х? D+. Отсюда следует ф (z) = 0.
Л 5] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 271 Когда S является поверхностью вращения, отЛичной от сферы, можно считать, что ось вращения совпадает с какой-либо из координатных осей, в частности, с осью хг\ в этом случае в E.21) надо считать Л2 = А3 = 0. При этом разрешимость уравнения E.21) доказывается совершенно анало- аналогично предыдущему. Итак, если S — поверхность вращения, отличная от сферы, для суще- существования регулярного решения в условиях теоремы 5.12 требуется ра- равенство нулю главного момента относительно оси вращения; в этом случае смещения не определяются однозначно внутри D+ и допустимо жесткое вращение тела, как целого, вокруг оси вращения; если же границей яв- является сфера, то для существования решения задачи (Ш)+, требуется ра- равенство нулю главного момента внешних усилий; в этом случае допустимо жесткое вращение вокруг центра. Решение задачи (IV)" ищем в виде v(x; ф) = f \Н (ду, п) Г (у—х)]' ty(y) dJS—-~- М (х) В, E.23) где В = J [Я (ду9 п) М (у)]' г|) (у) dSf (В4 = 0 в силу теоремы 2.2); для определения гр имеем уравнение E.24) Это уравнение разрешимо всегда, так как союзное однородное уравнение имеет лишь тривиальное решение. В случае поверхности, которая не яв- является поверхностью вращения, в E.24) следует считать В = 0. Таким обра- образом, справедлива 5.13. Теорема. Если Se Л2 (а) и fk? С1- f3'E), * = 1, 2, 3, /46 С°-Р (S), 0 < Р <а ^ 1, то задача (IV)" имеет единственное регуляр- регулярное решение, которое имеет вид E.23). В том случае, когда S не является поверхностью вращения, В = 0. 5. Задачи (III)" и (IV)+. Для задач (III)" и (IV)+ мы получили интег- интегральные уравнения + [ Я(дг, v)[R (д99п)Т(у — г))' Ф(у)dyS = /(г), (III)- Доказывается, что интегральные уравнения (III)"и (IV)+ имеют един- единственные р'ешения. Рассмотрим, например, (III)". Допустим, что (III)o~ имеет ненулевое решение ф* (г); тогда, так как S ^ Л2 (а), будем иметь Ф4 6 С1' * E) и ф** е С0' 3 (S), k = 1, 2, 3, 0 < р < а ^ 1. В этом случае смещения и напряжения непрерывны вплоть до границы S и удовлетворяют на бесконечности условию (III, 1.8). Применяя теорему III, 1.10, получаем и(х; ф*) = 0, x?D-.
272 гранитные задачи упругого равновесия [Гл# VI Принимая во внимание теорему V, 9*2, и применяя III, 1.6, получаем и (х\ ф*) = 0, х 6 D+. Но тогда 0 = (Я (д„ v)u(z; Ф*)Г — (Я (дг, v) и (г; Ф*))+ = 2Ф* (г). Итак, справедлива 5.14. Теорема. Если 5 ? Л2 (a)9fke С0--3 E), А = 1, 2, 3, f4 € € С1-!5 E), 0 < р <а <; 1, то задача (III)" имеет единственное регулярное решение, которое дается формулой B.7). 5.15. Т ео р ем а. Если 5?Л2(а), ^^«'(S), ft = 1, 2, 3 и /4 6 С0- $ E), 0 < р < a ^ 1, то задача (IV)+ имеет единственное регуляр- регулярное решение, которое дается формулой B.9). 6. Задачи (VI)+h (VI)"~, Однородное уравнение (VI)o~ допускает только тривиальное решение. Пусть это не так и тф* (z) есть некоторое нетривиаль- нетривиальное решение. Применяя теорему III, 1.6, получим V (х; -ф*) = 0, jc? ^+- Отсюда, по непрерывности (V (г; я|}*))~ = 0, применяя теорему III, 1.10, получим V (х; i|>*) = 0, х е D". Так как (Т (д„ v) V (z; <ty*))+— (Т (дг, v) V (z; г)?*))" = 2if)* (г), то г|э* (z) = 0. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Заметим, что уравнение, союзное с уравнением (VI)+, Ф (z) + f \[Т (ду, п) Г (у —г)]' + о' (у) Г (у — г)\ Ф (у) dyS = F (г), s решает задачу A)~, если решение задачи (I)" будем искать в виде и(*;ф)= f \1Т(дд,п)Т(у—хI' + о'(у)Г(у — x)\q>(y)dyS. s Аналогичные рассуждения применяются для уравнения (VI)if, и, на основании теоремы III, 1.10, доказывается, что уравнение (VI)" имеет лишь тривиальное решение. Заметим, что в этом случае нормаль направлена из D~ в D+. Если нормаль направлена из D+ в D", то для доказательства разрешимости задачи (VI)" достаточно, чтобы форма з k,j=l была отрицательно определенной. Заметим, что союзное уравнение (VI)" решает задачу A)+. Таким образом, доказана 5.16. Теорема. Если S € Лг (а) и F 6 С0* з (S), 0 < р < a < 1, mo задачи (VI)+ и (VI)" имеют единственные регулярные решения, которые представляются потенциалом s простого слоя. 7. Задача (V)+. Пусть 5 — замкнутая поверхность класса Л2 @), огра- ограничивающая область D+, Sx — некоторая связная часть 5 и 52 = 5X5!. Замкнутую кривую у на S, общую границу Бг и 52 отнесем к 52, считая St открытым и S2 замкнутым множеством. Ищется решение уравнения A.3), непрерывное в D+\y, имеющее непре- непрерывные первые две производные в Ь+, допускающее применение формул (III, 2.9) (решение класса В) и удовлетворяющее смешанным граничным условиям = 0, zeSlt E.25) zeS* E.26) где / — вектор класса С0» & E), 0 < р ^ 1.
§ 5] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 273 Ниже будет доказана 5.17. Теорема. Если существует вектор /*, определенный на S? Л2 @), принадлежащий классу С0* & E), совпадающий на S2c вектором f, и такой, что 3 ( fk dS = 0, f У stfkytfi dS = Ot k = 1, 2, 3, E.27) то смешанная задача (V)+ имеет решение^ классе В. Очевидно, теорему 5.17 можно формулировать в терминах механики следующим образом: если силы класса С°> &(S2), действующие на тело в точ- точках S2, можно непрерывно дополнить силами из того же класса, приложен- приложенными к точкам поверхности Sx так, чтобы полная система сил была стати- статически эквивалентной нулю, то задача (V)+ имеет решение в классе В. ' К поверхности Sr «пристроим» (с соблюдением необходимой гладкости) поверхность S3 так, чтобы она, кроме точек 7, нигде не встречалась с S2 и чтобы объединение S1[j S3 образовало замкнутую поверхность, огра- ограничивающую конечную область Dl9 содержащую Z)+. Пусть D2 = D1\L>+ и G (х, у) есть тензор Грина задачи A)+ для области Dx =D+U D2 (см. VII, п. 2, § 1). Сначала допустим, что задача (V)+ в классе В имеет реше- решение. Применяя к нему, совместно с тензором G (х, у), в котором точку х будем считать фиксированной в D2, а точку у — пробегающей D+, тождество J \[Т(ду, n)G(x, y)]fu(y) — G(x, у)Т(ду, п)и\ dyS = 0, xeD2, и учитывая E.25) и E.26), будем иметь ([Т (ду, п) G (х, у)]' и {у) dyS =\G{x,y)f {у) d,S, x e D2. E.28) Считая точку х принадлежащей области D2, мы можем рассматривать равенство E.28) как некоторое функциональное уравнение относительно и (у). При этом покажем, что если уравнение E.28) имеет решение и (у) = = w* (у), у 6 52, то вектор и (х), определенный в D+ равенством и(х) = J [Т(ду, n)G(x, y)]'u* (у) dyS-\G{x, y)f(y)dyS, x?D\ E.29) будет решением задачи (V)+ в классе В. Чтобы в этом убедиться, очевидно, достаточно проверить лишь выпол- выполнение граничных условий E.25) и E.26). Первое из этих условий выполнено благодаря тому, что G (х, у) и [Т (ду, п) G (x, y)Y равномерно, относительно у ? S2, стремятся к нулю, когда точка х стремится к точке z ? Sx. Чтобы показать выполнение условия E.26), заметим, что из E.28) вытекает D JlTZ^ST{dx9 V) J G (X' У) f {У) dyS = = Mm Т (дх, v) | [Т (<3V, n) G (x, y)Y и* (у) d^S. Левая часть этого равенства, по свойствам потенциала простого слоя, су- существует и принадлежит классу С0'!3 (S2), но тогда, по свойству потенциала двойного слоя (см. V, 8.3), lim T (дх, v) [ \T (dUi n) G(х, у)]' и* (у) dyS == = lim T(dx,x)\[T(dg,n)G{x,y)]'u*(y)dJS. E.30) О+э«»гб5 ? ? 18 В. Д Купрадзе
274 граничные задачи упругого равновесия [ГЛф yi Произведя операцию Т (дХ9 v) над равенствами E.28) и E.29), и учиты- учитывая кроме соотношения E.30), еще свойства разрыва на границе Т (дх, v)- операции от потенциала простого слоя, получим {Т (dz, v)u (z)}+ = f (г), ze s2. Таким образом, решение задачи (VL сводится к вопросу о разрешимости функционального уравнения E.28). Известна следующая теорема Фикера (см. Fichera [31). 5.18. Теорема. Если существуют вектор /, определенный и непре- непрерывный на S?J12 @), и три вектора ср(А;> (л:), k = 1, 2, 3, определенных и непрерывных в D+ и имеющих непрерывные первые производные в D+, и при этом выполнены условия 3) J s 4) J[zt.(<p<*).v) — zk(yW-v)]d2 = 0, i, k= 1,2,3, где 2 — регулярная замкнутая поверхность, ограничивающая любую под- подобласть в замкнутой области D+9 v — нормаль в точке z к поверхности S и cp(fc).v — скалярное произведение, то функциональное уравнение E.28) имеет решение. Мы покажем, что если выполнены условия теоремы 5.17, то выполнены и условия теоремы 5.18, следовательно, разрешимо уравнение E.28); отсюда же, как показано выше, следует существование решения задачи (V)+ в классе В. Итак, пусть выполнены условия теоремы 5.17. Будем решать задачу (П)+ с граничным заданием (Т(dz, v) V(г; У)У = f (г), z?S. E.31) Эта задача исследована выше (см. пункт 2). Пусть %ik (V) — компоненты тензора напряжения, соответствующего потенциалу простого слоя V (х; Ч?), т. е. решению задачи (П)+; тогда D? + ^), i.k- 1,2,3. В силу теоремы 5.6 xlk (V)eC0-V (D+), i, k = 1, 2, 3 (G < p' < p) и имеют непрерывные первые производные в ?>+. Кроме того, для z?S, L т« (V) (z) v* = ^ (z), i=l,2,3; E.32) для ?D+ и, если т<1> (F) = (та, тг2, тг8), то ШутЮ(У) = 0, E.33) div (х,т<*) — хк«*>) = л:?Л* EJ V—xkAi (дх) V = 0, E.34) откуда для произвольной замкнутой поверхности 2 из D+ имеем 0. E.35)
к g] вопросы корректности 275 Но условия E.32)—E.35) совпадают с условиями теоремы 5.18, если будем считать ц>(кЦх) = х^(х), хе&+, k=l, 2, 3. Таким образом, показано, что из условий теоремы 5.17 вытекают усло- условия теоремы 5.18, и, следовательно, вывод этой теоремы о существовании решения функционального уравнения E.28). Этим теорема 5.17 доказана полностью. § 6. Вопросы корректности 1. Постановка вопроса. В третьей главе были доказаны теоремы един- единственности решения основных задач (задачи статики, колебания и динамики) теории упругости, а в настоящей главе были исследованы и вопросы суще- существования решений задач статики. Вопросам существования решений задач колебания и динамики будут посвящены следующие главы. В этих задачах требуется определение упругого состояния (статиче- (статического, колебательного или динамического), соответствующего данной мас- массовой силе по краевым условиям (граничные условия в задачах статики и колебания и гранично-начальные условия в задачах динамики). Но эти данные (массовая сила и краевые условия) в технических задачах опреде- определяются с помощью измерения и содержат некоторую погрешность. В связи с этим с некоторой погрешностью определяется и упругое состояние. Из сказанного ясно, что особый интерес для практики представляет случай, когда малому изменению данных соответствует малое изменение соответствующего состояния. Таким образом, кроме доказательства теорем единственности и суще- существования решений задач, необходимо еще изучение вопроса о непрерывной зависимости решения от данных. Эти три свойства (единственность, су- существование и непрерывная зависимость от данных) принято называть корректностью задачи. Определение упругого состояния, как это было показано в главе I, эквивалентно нахождению решения определенного дифференциального урав- уравнения (система основных уравнений в компонентах смещения), принадлежа- принадлежащего некоторому классу функций. Как правило, за этот класс принимается множество регулярных функ- функций, определенных в области D (занимаемой средой) — в задачах статики и колебания и в области D х @, оо)—в задачах динамики. Обозначим этот класс функций через Сг. Для существования решения указанного класса приходится подчинить данные некоторым ограничениям-. Например, в задачах статики граничные данные выбирались из класса Cl>a (S) или С°-а (S) (S — граница среды); из того же класса выбираются данные в задачах колебаний, а в задачах динамики к этому требованию добавляется еще требование существования производных по t до определенного порядка. Обозначим класс функций, из которых выбираются граничные данные через С2. В задачах статики массовую силу мы выбирали из класса C°»a(D). В задачах колебания (гл. VII) достаточны те же требования, что и в задачах статики, а в задачах динамики (гл. VIII) приходится выбирать массовую силу из более узкого класса. Обозначим через С3 класс функций, из которого выбирается массовая сила (свободный член уравнения), а через С4 — класс функций начальных данных. 18*
276 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ [Рл# VI Иногда полезно, кроме классических (регулярных) решений основных задач теории упругости, вводить в рассмотрение обобщенные решения. Тогда значительно расширяется класс функций Сг и соответственно классы С2, С3 и С4. Например, за С2 в задачах статики и колебания можно принять класс функций, представимых в виде определенных интегралов типа потен- потенциала с плотностями из класса Lp (S). Тогда за С2 можно принять Lp E), а за С3 — Lp (D). Теперь основные задачи теории упругости можно формулировать сле- следующим образом: Найти решение и класса Сх основного уравнения по граничным данным f из класса С2 и массовой силе Ж из класса С3 (в задачах статики и колеба- колебания) и по начальным данным ф из класса С4 (в задачах динамики). Поставленная задача будет корректна, если для любого /?С2, Ж^С3 и ер ? С4 существует единственное решение и основного уравнения из класса С1 и, если решение и непрерывно зависит от данных, т. е. «малым изменениям» /, Ж и ф соответствует «малое изменение» а. В приведенной формулировке необходимо уточнить смысл понятия «изменение» /, Ж , Ф и и, С этой целью в множествах функций Съ С2, С3 и С4 вводят метрику — расстояние между элементами. Целесообразно в каждом множестве ввести свою метрику. Обозначим их соответственно через рх, р2, р3 и р4. Пусть данным /A)бС2, Ж{1) ? С3, ФANС4 соответствует решение иМ ?С1У а данным /<2> gC2, Ж™ 6 С3 и ф<2> 6 С4 —решение и™ еСх. Тогда можно говорить о непрерывной зависимости от данных, например, в следу- следующем смысле: пусть для любых /A> е С2, /B>GC2, Ж{1\ Ж^еС3 и *1* ФB) ? С4 справедлива оценка Тогда, очевидно, если /A> близка к /<2) в смысле метрики пространства С2, Ж{1) к Ж{2) в смысле С3 и фA> к фB) —в смысле С4, то решение и^\ соответ- соответствующее данным /A), Ж{Х), фA) будет близко к решению аB), соответству- соответствующему данным /B), Ж{2), фB), в смысле метрики пространства Сг. Вместо этой простой зависимости можно требовать выполнения оценки где Ф — положительная функция своих аргументов, и Вводя в множествах Сг, С2, С3 и С4 метрику по-разному, получаем различ- различное понимание непрерывной зависимости. Может оказаться, что решение непрерывно зависит от данных в некотором смысле, но не зависит непре- непрерывно при другом определении этого понятия. Множества функций С\, С2, С3 и С4 в задачах теории упругости — ли- линейные множества. В этих множествах можно ввести норму элемента и обра- обратить их в линейные нормированные пространства. Тогда метрика вводится естественным образом (если норма элемента f^C2 обозначена символом ||/||2, то метрика р2 в этом пространстве определяется равенством р2 (/A), fi2)) = = || /A> —/B) |1г и с ее помощью определится понятие непрерывной зави- зависимости. Отметим, что задача о непрерывной зависимости решения от данных имеет смысл, если заранее доказаны теоремы единственности и существова- существования решения, точнее, если доказано, что для любых /6С2, Ж ?С3 и ф6^4 поставленная задача имеет решение из класса Clf и оно единственно.
к gj вопросы корректности 277 Как будет показано ниже, полученные представления решений задач теории упругости в виде определенных (как правило, интегральных) агре- агрегатов, а также полученные оценки решений сингулярных интегральных уравнений (гл. IV) и потенциалов (гл. V) дадут возможность сравнительно легко установить непрерывную зависимость решений от данных и этим решить вопрос о корректности поставленных задач. 6.1. Замечание. В основные уравнения движения входят упругие постоянные, которые, так же как и данные, получаются из опыта и опре- определены с некоторой погрешностью. Можно было в задаче о корректности включить и непрерывную зависимость решений от этих постоянных. Мы советуем читателю задуматься над этим вопросом. Он интересен и решается легко. 2. Первая основная задача статики. Исследуем вопрос о корректности первой внутренней задачи (задача A)+) статики для однородного уравне- уравнения А (дх) и = 0. 6.2. Определение. Первая внутренняя задача A)+ (для урав- уравнения А (дх) и = 0) (т, ос)-корректна (га — произвольное натуральное число, а ас @, 1)), если: 1) для любого /gCm>a (S) она разрешима, 2) решение единственно и 3) || и ||(jD+t m% a) ^c \\ f \\{s, m, a> (см. I, 15, 3"). 6.3. Теорема. Если S?JI2 (а), то первая внутренняя задача A, а)- корректна. Доказательство. Мы уже знаем (см. теорему VI, 5.2), что \/f?Cha(S) первая внутренняя задача имеет единственное решение, которое представляется в виде потенциала двойного слоя и(х)=\[Т (д„ п)Т(у — х)У ср (у) dyS, где ф — решение интегрального уравнения A)+ (см. § 2 гл. VI). В условиях теоремы решение ф интегрального уравнения A)+ (см. IV, 6.15") принадлежит классу Cl'a(S) и справедлива оценка II ф ||(S. I,a)^c||/||(S, l.a)- В силу теоремы V, 7.1 Из этих оценок следует доказательство теоремы. 6.4. Замечание. С помощью теоремы 5.3 можно доказать A, а)- корректность первой основной задачи и при условии S ? ЛЛ (а). 6.5. Теорема. Если S^JIm+1(a)t mo первая внутренняя задача (т, а)-корректна. Доказательство следует из теорем IV, 6.15" и V, 7.1. Аналогично исследуется вопрос о корректности первой внешней задачи. Рассмотрим теперь первую внутреннюю задачу (задача A)+) для неодно- неоднородного уравнения А (дх) и = Ж* 6.6. Определение. Первая внутренняя задача A)+ для урав- уравнения А (дх) и = Ж (m, a, а)-корректна, если: 1) A)+ разрешима для лю- любого fee™*" (S) и Ж 6 Cm-!'a (D+); 2) решение единственно и 3) || и ||(d+. m, a)< ^ c\f \\(S, т, а) + С || Ж ||(?И-, m_i, а). Здесь и — решение задачи A)+, соответствующее массовой силе Ж т — произвольное натуральное число. 6.7. Теорема. Если S?Jlm+\ (a), то первая внутренняя задача (m, a, а)-корре.ктна.
278 граничные задачи упругого равновесия [рл# у] Доказательство теоремы единственности и существования уже было приведено выше. Там же было показано, что решение этой задачи представ- представляется в виде • и(х)= J [Т(ду, п)Г(у — х)]'у(у) dyS + -^ Jr(x — zK@i0)(z)dz, F.1) ot где Do" — произвольная область, содержащая D+, а Ж@) — распростране- распространение Ж из D+bD$, согласно теоремам V, 7.1, V, 10.4. ср—решение интеграль- интегрального уравнения — <р(г)+ \[T(dy,n)T(y — z)Yq>(y)dlS = f(z) — -^- \r(z — x)Ze°(x)dx. S + F.2) Из теоремы IV, 6.15 следует оценка: ||<P||(S, m, a) ^C||/||(S, m, a) 4~ C\\^\\(D+, m—\, a)* Отсюда в силу теоремы V. 10.4 получается искомая оценка. 3. Вторая основная задача статики. Совершенно аналогично можно определить (т, а)-корректность второй основной задачи, но тогда эта за- задача не будет корректной ни при каких условиях, наложенных на S. В этом случае не существует решения задачи (П)+ для любого / ? С1» а (S). Для некоторых f(zCl*a(S) задача имеет бесконечное число решений и не имеет смысла постановка вопроса о непрерывной зависимости от данных. Введем подпространство С™«а (S) пространства С71»а (S) следующим образом: Qm, a E) — это множество тех векторов из Cm- a (S), которые удовле- удовлетворяют условиям E.10). Норму элемента из Cf» a (S) определим той же формулой, что и в Cw'а (S). Тогда для любого /GCf'a(S) вторая задача разрешима (см. теорему 5.6), но не единственным образом. Если несколько изменим постановку задачи, то можно добиться и един- единственности ее решения. Поставим вторую внутреннюю задачу (задача (П)+) следующим образом: Найти регулярное решение уравнения А (дх) и = Ж> по граничному условию (Т (ду, п) и)+ = / и по заданному значению и и rot и в некоторой точке области D+: и {х°) = a, rot и (х°) = b (x° 6 ?>+)- Поставленная таким образом задача однозначно разрешима для любого (S) Теперь, так же как в случае первой задачи, можно исследовать вопрос о непрерывной зависимости решения от данных для второй задачи. Можно было поставить вторую задачу иначе: искать не решение и урав- уравнения А (дх) и = Ж , а Ти, т. е. вместо смещений искать напряжения. Тогда для любого /6Cf»a(S) эта задача единственно разрешима, и легко исследуется непрерывная зависимость решения Ти от данных. Аналогично исследуется корректность остальных задач статики, а также задач колебания и динамики. Нетрудно распространить эти рассуждения для определения коррект- корректности задач термоупругости и моментной упругости и указать соответству- соответствующие оценки.
Л 7] БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СПРАВКИ 279 § 7. Библиографические справки Для доказательства теорем существования решений граничных задач упругого равновесия (статика) мы применили аппарат теории многомерных сингулярных интегральных уравнений и сингулярных потенциалов. При этом, как мы видели, оказалось необходимым значительное расширение схем исследования, применяемых в граничных задачах теории гармонических функций. Вопросы существования решений граничных задач статики классиче- классической теории упругости рассматривались и раньше. Фредгольм, Лауричелла, Марколонго, Коря (см. Fredholm [23, Lauricella [I, 2], Marcolongo [1], Korn [1, 2]) исследовали первую основную задачу статики. Корн, Боджо, Вейль (см. Korn [3], Bogio [1], Weyl [1]) рассмотрели также вторую основную задачу. Эти исследования нельзя считать завершенными. В некоторых из ука- указанных работ вторая граничная задача приводится к уравнениям Фред- гольма, но эти уравнения не эквивалентны исследуемой задаче: их ядра весьма сложны и исследование уравнений не удается. В некоторых же работах игно- игнорируется сингулярность полученных интегральных уравнений и обращаются с ними, как с уравнениями Фредгольма (см. Bogio [1], а также позднюю работу Kinoshita, Mura [1]). Из более поздних работ следует отметить работы Lichtenstein [1], Шер- ман [2], Fichera [1]. Первые две относятся к первой задаче, в работе же Fichera [1] граничные задачи исследуются методом, отличным от метода интегральных уравнений. В работах Купрадзе [13, 8, 14] первая и вторая основные задачи впер- впервые были изучены методом сингулярных интегральных уравнений. Изло- Изложение этих вопросов, приведенное в §§ 2—5 (пп. 1, 2 и 6), имеется в работах Купрадзе [8, 13, 16, 14], Гегелиа [8], а также Михлина [11. Особо следует отметить позднюю работу Купрадзе (см. Купрадзе [18]), где применением результатов Фикера (см. Fichera [4]) исследуется пятая задача статики классической теории упругости (см. § 5, п. 7). Задачи A)+ и A1)+ для областей, ограниченных несколькими замкнутыми поверхностями, изучены в работах Башелейшвили [3, 11] и Бурчу- ладзе [11]. Методом, указанным в этой главе, исследованы задачи A)+ и (П)+ для одного частного случая анизотропных тел в работе Кахниа- швили [1]. Задача AП)+ впервые была поставлена и решена Адамаром (см. На- damard [1]) для случая упругого круга и шара. В одном частном случае задача (IV)+ приведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода в работе Вейля (см. Weyl [1]). Задачи (II I)* и (IV)* изучены в работе Башелейшвили, Гегелиа [2] (подробное изложение полученных в этой работе результатов имеется также в книге Купрадзе и др. [1 ]), а при обобщенной постановке (применением оператора Т (dZf v)) — в работах Амашукели [1, 2] и Амашукели, Баше- Башелейшвили, Гегелиа [13 (см. также работы Башелейшвили [5, 9, 11, 12] и Квиникадзе [1, 2, 3, 4]). Приведенное в этой главе изложение теории задач (III)* и (IV)*, а также другой способ доказательства теорем существования для задач A)~ и (Н)+ (§ 5, п. 3) см. Башелейшвили [16, 3]. Задачи (II1, (И)*, (Ш)* и (IV)* для случая упругой сферы эффективно решены в работах Натрошвили [1, 21 (см. гл. XIV, § 1). Решения этих же задач внутри и вне m-мерного (т > 2) шара представлены квадратурами в работе Башелейшвили [171.
280 граничные задачи упругого равновесия [Гл yi В заключении отметим, что в формулировке граничных задач статики (задачи (I)*, (П)±,. . .) мы требовали от искомого вектора регулярность и теоремы существования были доказаны при определенных условиях глад- гладкости граничной поверхности и других данных задачи. Если эти условия не выполняются, то в указанной классической постановке решения могут не существовать. Тогда полезны общие постановки граничных задач, в ко- которых ищутся не регулярные, а так называемые слабые или обобщенные решения. Ценность обобщенных решений заключается в том, что во-первых доказывается их единственность, и, что особенно важно, при повышении гладкости данных *?до ^классических требований, они часто обращаются в классические решения. ЗАДАЧИ 1. Доказать, что решение уравнения (П)^\ удовлетворяющее условиям Г if> dS = 0, [" [г/Х'фЗ dS = 0, есть тождественный нуль. 2. Доказать, что решение однородного уравнения соответствующего B.4) в области D" есть тождественный нуль, если S? Л2 (а) и a) j s или б) S 3. Из формул (III, 2.9) показать, что вектор ср = (р^\ где ф^ определен из E.1), удов- удовлетворяет уравнению (I)jj~ (см. Купрадзе и др. [1 ]). 4. Доказать, что интегральные уравнения Фредгольма B.4) для области D+ и E.20') имеют единственные решения при «S? «#2 (а)> /€ ?*' ^ ($)* 0 <5 Р <J ct ^ 1. 5. Доказать теоремы 5.3 и 5.9 применением потенциала двойного слоя (см. (V, 6.1)) при к = jlijli' (А/). 6. Показать, что тензор Грина задачи A)+, составленный регулярным потенциалом двойного слоя (см. задачу 5), удовлетворяет условию у х 6 ?>+: f IG (*, у) Г2 dy < А = const. 0+ 7. Исследовать существование решения задачи (V)*. Указание. Применить соображения и теоремы, используемые в § 5, п. 7. к 8. Применением обобщенного оператора Т (dz> v) исследовать граничные задачи I)* и (IV)* (См. Амашукели [2], Башелейшвили [1, 16], Квиникадзе 11]).
ГЛАВА VII ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ СО 00 СО СО 00 В этой главе изучаются задачи колебания A)±, (П)±, (Ш)±, (IV)* и (VI)±, поставленные в главе I, § 14, п. 1, для того случая, когда исследуе- исследуемая область, занятая упругой средой, ограничена одной замкнутой по- поверхностью S класса Лг (а), а >0. Конечную (внутреннюю) область, огра- ограниченную поверхностью S, обозначим, как выше, через D+, а бесконечную (внешнюю) — через D'. При этом предполагается, что граничные данные, а также правые части уравнений, принадлежат классу С1'ав областях их задания. § 1. Внутренние задачи 1. Приведение к интегральным уравнениям. Мы будем (если обратное не оговаривается) считать дифференциальные уравнения (I, 12.5) однород- однородными. Этого всегда можно достигнуть (см. VI, § 1) с помощью частного решения вида ~"(х — у9 где Ж — правая часть уравнения. 00 00 Начнем с рассмотрения задач A)± и (П)±. Будем искать их решения соответственно в следующем виде: \Т{дт n)Y(y—x, <u)Yv{y)djSt и (х) = \г{х—у, <o)q>{y)dyS, где ф и г|) — неизвестные векторы класса С0» ® (S), р > 0. В силу свойств потенциалов (см. V, §§ 3—5) и граничных условий для со со эадач A)± и (II)- (см. I, § 14, п. 1), будем иметь =Р ФB) + j IT(д„ п)Т(у — z, со)]' Ф(у)dyS = /(z), ± г|> (z) + | {Г (аг, v) Г (г — у, ©)] г|) (у) d^S = f (z). (fi)± Верхний знак соответствует внутренним задачам, нижний — внешним. Полученные интегральные уравнения, в которых интегралы понимаются в смысле главного значения, относятся к тому типу сингулярных уравнений, теория которых изложена в главе четвертой. Точнее, они отличаются соответ-
282 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ [рл ственно от уравнений A)± и (П)±, рассмотренных в главе VI, §3, вполне непрерывными слагаемыми. Поэтому (см. VI, 3.2) операторы, порожденные <0 СО г левыми частями уравнений A)± и (П)±, суть операторы нормального типа со со и, кроме того, для уравнений A)±и (П)± справедливы теоремы Фредгольма, СО © Рассмотрим задачи (Ш)± и (IV)±. Будем искать их решения соответ- соответственно в виде и (х) = J [R (дд, п)Т(у — х, со)]' Ф (у) d?9 и (х) = J \Н ф„ п) Г(у—х, со)]' где R и Я — операторы, определенные формулами (V, 9.5) и (V, 9.11), ср и гр — искомые четырехкомпонентные векторы. Доказывается, что для всяких суммируемых ср и i|), векторы, определен- определенные предыдущими равенствами, удовлетворяют однородным уравнениям колебания (см. 1, § 13, п. 1) А(дх,(о)и(х) = 0 в каждой точке x?E3\S. Это вытекает из следующих легко проверяемых равенств: А(дху <о)[#(<5„ п)Т(у — х, со)]' = 0, А(дх, со)|Я(^, п)Т(у—х, со)]'= 0, если х Ф у. Здесь через 0 обозначены матрицы размеров 3 х4, все элементы которых равны нулю. Если воспользуемся записью граничных условий задач (Ш)± и ( принятой в главе V, § 9, и рассуждениями и обозначениями этого пара- параграфа, для определения искомых векторов ф и i|) получим уравнения ± Ф (г) + [ Н (dzy v) [R {ду, п) Г (у — г, со)]' ф (у) dyS = / (г), (Ш)± s =Р tj) (г) + J /? (д2У v) [Я фу, п)Т(у — г% со)]' ф (у) dyS = f(Z). (IV)± Верхний знак соответствует внутренним задачам, а нижний — внешним. Эти уравнения отличаются от уравнений AП)±и (IV)±, рассмотренных в главе VI, только вполне непрерывными слагаемыми, поэтому (см. VI, 3.2) операторы, порожденные левыми частями, суть операторы нормального типа и, кроме того, для этих уравнений справедливы теоремы Фредгольма. Совершенно аналогично к интегральным уравнениям приводятся за- 6) СО дачи (VI)+ и (VI)". Будем искать решения этих задач в виде и(х) = J Г(х — у9 со)ф(у)djS. s Для определения искомого вектора i|) получаем уравнения — уу (o)]^(y)d,? = f(z)y (Vl)± которые отличаются от сингулярных уравнений, например, главы VI, лишь вполне непрерывными аддитивными операторами.
К 1] ВНУТРЕННИЕ ЗАДАЧИ 283 2. Тензоры Грина. Для изучения внутренних задач колебания необхо- необходимо иметь решения некоторых специальных внутренних задач статики, которые называются тензорами Грина. Эти тензоры, кроме того, встре- встречаются и в других задачах (см., например, гл. XI, XII, XIII); здесь мы зай- займемся их построением. Первым тензором Грина, или тензором Грина первой основной задачи статики, называется матрица G(i> (x> у) размера 3x3, зависящая от двух точек х и у и удовлетворяющая следующим условиям: 1) для x?D+ и не совпадающей с у, G(d (х, у) удовлетворяет уравне- уравнению статики A(dx)G{l)(x, y) = 0; 2) для граничной точки z?S и y^S 3) в области D+ матрица G(i> (#, у) представляется в виде О<1) (*, y) = T(x — y) — vii)(x, у), где 0(D (х, у) — регулярное всюду в D+ решение уравнения А(дх)и = О. Ясно, что построение первого тензора Грина приводится к решению первой основной задачи статики для D+ с неоднородным граничным усло- условием. Согласно теореме VI, 5.2 эта задача разрешима. Тем самым суще- существование первого тензора Грина доказано. Четвертым тензором Грина, или тензором Грина четвертой задачи ста- статики, называется матрица GD> (х, у) размера 3 хЗ, которая удовлетворяет указанным выше условиям 1), 3) и условию 2) [R C2, v) GD) B, у)Т = 0, г е S, yiS. Из теоремы VI, 5.15 следует существование тензора Грина G^ (x, у). Пусть S не является поверхностью вращения; тогда тензор Грина третьей граничной задачи можно определить как матрицу GC) (*, у) раз- размера 3 хЗ, которая удовлетворяет условиям 1), 3) и условию 2) [Н (dz, v) GC) (г, у)]+ = 0, z 6 S, у Z S. Существование третьего тензора Грина в рассматриваемом случае следует из теоремы VI, 5.12. Если ищется тензор Грина шестой задачи GF> (x, у) в области D+, то условие 2) следует заменить условием 2) [Т(д2, v)GF)(z, y)f + o(z)Gl6)(zt y) = 0, и существование этого тензора также вытекает из теоремы VI, 5.16. Сложнее обстоит дело с доказательством существования второго тен- тензора Грина или тензора Грина второй основной задачи статики в области D+. Этот тензор нельзя определить, вообще говоря, аналогично первому тензору, из однородного условия второй граничной задачи, так как в этом случае пришлось бы для построения t;B> (x> у) решать вторую задачу для области D+ со следующим граничным условием: IT (dz, v) оB) B, у)Т = Т (dZ9 v) Г (z — у), г е 5, у е D\
284 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ Но согласно теореме VI, 5.6 такая задача не всегда разрешима. Поэтому второй тензор Грина, в отличие от первого, определим следующим образом: 1) для x?D+ и отличных от у9 GB) (x9 у) есть решение уравнения A(dx)G{2) (х9 у)= ^ X (х) * X (У)> где X М * X (у) есть матрица {% (х) %1(у)9 х (х) ъ(У)> X (х) ХзШ> (k) ((k) (k) (k) \ a X {x) = VXi (x), X2W» XsWJ» k=\9..., 6, есть совокупность векторов, полу- полученных ортонормированием в D+ полной совокупности линейно независимой системы векторов жесткого смещения; 2) GB) удовлетворяет граничному условию \Т (dZ9 v) GB) (z, y)]+ = 0, ze S, yeD+; 3) GB) в области D+ представляется в виде GB) (х9 у) = П (х, у) — 0B) (х9 у)9 где П (х, у) есть матрица ((!) B) C) \ с, у), П(^, у)9П(х9 у)] = —Г(х — у) — 1 л ik) (r) r r (Aj) (г) + T 2 х <*) ¦ х ДО J 1 х ©r<S—ч) x (л) « *ь (l.i) fe , г=1 D+ D+ A) B) C) а 0B) *= @B), 0B), VB)) — регулярная матрица в D+, удовлетворяющая уравнению A(dx)vB)(x9 y) = 09 x?D+. Нетрудно проверить, что при х Ф у б (k) (k) А(дх)П(х, у)= ^ %№* х(У); это есть следствие того, что ^4 C,) х (х) = О, А (дх) )J(x — t)x{l)dt = -2% (х), (О Чтобы найти 0B) (х9 у) i = 1,2, 3, т. е. чтобы найти матрицу оB) (л:, у), очевидно, надо решить следующую граничную задачу: (О А (дх) оB) (х9 у) = 0, х9 у 6 ?>+, (О <*> [Т(а2, v) оB) (г, у)]+= Г(а2, v)Ei (г, у)9 zeS (I= 1, 2, 3). Согласно теореме VI, 5.6, для разрешимости этой задачи необходимо и достаточно, чтобы г(д2, v)ri (г, y)){x(z) d2S = О (Ы, 2,...,6; t = l, 2, 3). A.2)
§ 1] ВНУТРЕННИЕ ЗАДАЧИ 285 Покажем, что эти условия действительно выполняются в силу выбора матрицы П (х, у). Имея в виду определение произведения а * Ь и учитывая равенства Т (дх> п) % (х) = О, & = 1, 2, . . ., 6, из выражения для П (х, у) получаем @ (О Тф„ v)U(z, У)=±-Т(дж, v)T(z — y) — 6 - 4- 2 т (д* v> Jг (z—э V и) х! (у) rfg. A -з) fe=l D+ На основании A.3) перепишем условия A.2) в следующем виде: ((т {д„ v) (Г (г — у)) х* (z) dzS — — 2 J J l7^' v)rB~E) X F))x B)X^(f/LSdi=-0 (r=l,2, ..., 6). A.4) k=l D+ S Легко проверить, что / (k) \ (r) (r) (k) [T(dzt v)T(z — l)% ©J X (г) = {Т(д„ v)T(z — l)Y X (z) X (g). Поэтому второе слагаемое в левой части A.4) равно - ЭГ (Х B) d2S J (x © х! (у) dt A.5) 1 ( ^=1 Из формулы общего представления регулярных решений имеем ЗС(х)= — 4" J [T1^, л)Г(у —х)Г X (У)^Л ^6D+» &==1» 2»--.6, A.6) .и A.5) принимает следующий вид: (г) (k) (k) 2 с [Г) К*) J % E) x и, так как совокупность { х J i ортонормирована в D+, предыдущий интеграл (г) равен х* (У)- Внеся этот результат в A.4) и учитывая A.6), получаем тож- тождество. Тем самым показано, что условия A.2) действительно выполняются. (О Полученные таким образом векторы аB) (х, у), i = 1, 2, 3, очевидно, определены с точностью до шести аддитивных векторов жестких смещений. Поэтому можно нормировать оB) (х, у) так, чтобы соблюдались условия (О (*) Щ2)(х, у) х (x)dx = 09 1= 1,2,3; &=1,2,...,6. С другой стороны, непосредственно проверяется равенство J П(^> У) X W^ = 0, i=l, 2, 3; ft=l, 2,..., 6. D+
286 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ [рл# Чтобы в этом убедиться, достаточно воспользоваться свойством умно- умножения а*Ь = \аЬъ ab2> ab3], где а, Ь, с — произвольные векторы. В силу сказанного будем иметь г (О (k) J GB)(x, у) % (x)dx = 0, i=l, 2, 3; k=l, 2,...,6. A.7) D+ Этот вывод второго тензора Грина принадлежит Г. Вейлю [1]. Мы привели его с некоторыми изменениями и уточнениями. Совершенно аналогично определяется третий тензор Грина, когда упругая среда ограничена поверхностью вращения (см. Амашукели [4]). Тензоры Грина, существование которых мы доказали, обладают свой- свойством симметрии, а именно: G(x9 y) = G'(y9x). A.8) Это доказывается, как обычно, применением формулы Грина, а в случае второго тензора^дополнительным использованием условий нормировки A.7). 3. Формулы представлений. Как мы убедились в предыдущем параграфе, тензоры Грина обладают всеми свойствами фундаментальных решений, ко- которые были использованы при выводе формул общих представлений регуляр- регулярных решений (см. (III, 2.5) и (III, 2.6)). Поэтому справедливы также сле- следующие представления регулярного вектора: 2u{x)= Jg(i,(x, у)(Т{ду, ri)u(y)YdyS—][T{dy, n)GA) (t/, x)]'u+(#) rf«,S— - J+ GU) (x, y) A idy) и (у) dy; A.9) 2u(x) = | GB) (At, г/) (Т (ду, п)и(y))+ dyS—^T(dy, n) GB) (у, х)]' и*(у) dyS + 6 + J и (у) 2 (x (у) * (x (x) dy — J GB) (x, у) Л (ay) a (t/) dy. A.10) Появление дополнительного члена в A.10) связано со свойством 1) второго тензора Грина GB> (х, у). Справедливы аналогичные представления с помощью тензоров Грина GC), GD) и GF). Если и — регулярный вектор, то справедливо, например, представление = JgF)(x, у){Т(дУ9 n)u(y))+dyS—\[T(dyt n)Gi6)(y, x)]'u+(y)dyS- \ — f GF)(xf y)A(dy)u(y)dy. A.11) Пусть и — решение первой основной задачи статики. Воспользуемся представлением A.9); в силу свойства симметрии A.8) и свойства 2) первого тензора Грина будем иметь 2и(х) = - J [Т (дУ9 п) GA) (у, х)Х f (у) dyS. A.12)
§ и внутренние задачи 287 На основании этих же соображений решение второй основной задачи представляется с помощью A.10) в следующем виде: 2u(x)= JGl2)(x,y)f(y)dyS+ ("(</)? %(y)*X(x)dy. A.12') Если имеется в виду нормированное решение = 0, 4=1,2,... ,6, A.13) то представление примет вид \ A.14) Аналогичные представления справедливы для решения третьей, четвер- четвертой и шестой граничных задач. Если, например, и есть решение шестой гра- граничной задачи, то, пользуясь представлением A.11), равенством A.8) и свойством 2) для G{6) (*> у), а именно: [Т (ду9 п) GF)Q/, x)Y = — GF)(x, у) а (у), получим 2и(х)= \G{&)(x,y)f{y)dyS. A.15) Из A.12), A.14), A.15) следует справедливость предельных равенств lim\lT(dy,n)G{l)(y, x)]'f(y)dyS = — 2f{z), x?D\ zeS; A.16) lim [Т(дхг>v)GB)(x, y)f(y)dyS = 2f(z)> A.17) lim (T(dxt v) + a(z)) f GF) (x, y)f (y) dyS = 2f{z). A.18) *->* s 1.1. Замечание. Мы рассмотрели внутренние статические задачи. Что касается внешних статических задач, то в этом случае существование тензоров Грина вытекает непосредственно из теорем существования для вадач (I)", (II)", (III)"» (IV)", (VI)", доказанных в главе VI. При этом еле- дует иметь в виду, что во второй задаче % (х)=0 и П (*, у) совпадает с^ Г(*—у). 1. 2. Замечание. Вместо второго статического тензора Грина при изучении второй основной граничной задачи колебания можно восполь- воспользоваться вторым (динамическим) тензором Грина для уравнения А (дх, со) и = 0, где со == ш0, со0 > 0. Построение такого тензора проще, так как не требует дополнительных рассмотрений, которые были привлечены выше для получения статического тензора. Это связано с тем, что для уравнения A (dxt too0) и = 0 вторая граничная задача разрешима всегда. 4. Однородные внутренние задачи. Спектр собственных частот. Имея тензоры Грина для внутренних задач статики, построенные в предыдущих пунктах, мы можем теперь вернуться к задачам колебания. Покажем, что
288 граничные задачи установившихся упругих колебаний ц*л. VII (О со решения однородных задач колебания A)о и (П)о можно выразить в виде решения интегрального уравнения 2и(х) — со2 \G(x9y)u(y)dy = 0, x?D\ A.19) D+ где под G (лс, у) подразумевается G(i) (x, у) или GB> (а:, у) соответственно. Для этого докажем взаимную эквивалентность однородных задач A)о, со (Н)о и соответствующих интегральных уравнений A.19). Из A.9), в котором первое слагаемое обращается в нуль в силу свойства первого тензора-Грина и свойства A.8), а второе — в силу граничного условия, получаем 2и (х) = — \G(i) (х, у) А (ду) и (у) dy = co2 J G(n (x> у) и (у) dy. D+ D+ Переходя ко второй задаче, сначала покажем, что решение однородной задачи колебания для любого со, отличного от нуля, удовлетворяет усло- условиям \u(y)%(y)dy = 0, 6= 1,2,.,,,6. A-20) В самом деле, из формулы Грина D+ = J (v (у) Т (дд, п) и {у)—и (у) Т (ду§ п) v (у)) dJS, в которую подставим v = % (у), k = 1, 2, . . ., 6, а и (у) будем считать на- названным выше решением, получим = 0, 6=1,2,..., 6. Теперь, обращаясь к формуле A.10), заметим, что уничтожаются первые три слагаемых; первое — в силу граничного условия, второе — в силу свойства 2) тензора G<2) (x, у) и третье — в силу A.20); следовательно, имеем 2и (х) = со2 | GB) (х, у) и (у) dy. A.21) Докажем теперь обратное предложение: всякое регулярное решение уравнения A.19) есть решение соответствующей задачи A)о или (П)о. Для первой задачи это следует из формулы Пуассона (см. V, 10.5) и граничных свойств тензора G(i) (x, у); что касается второй задачи, то граничное условие выполняется в силу свойства G2 (x, у). Покажем, что и удовлетворяет также уравнению А(дх,(о)и(х) = 0. Из A.21), с помощью формулы Пуассона 2А (дх) и = — 2(о2и + со2 | А фх) GB) (x, у) и (у) dy,
ВНУТРЕННИЕ ЗАДАЧИ 289 имеем 2А (дх> со) и (х) = со2 \А (дх) GB) (x, у) и (у) dy. Но, по определению, А (дх) GB) (x, y)= S X (*) * % (#)• Воспользуемся свойством умножения (a*b)c = {a1(bc), a2(bc), as(bc)) = a(bc), тогда получим Но Ш2 б <*) Г (Л) Л (дх, со) а (л) = -^ Д X (*) J 1 (У) и {У) dy. I D+ так как всякое решение уравнения к, у) и (у) dy в силу A.7) удовлетворяет этому условию. Уравнение A.19) есть однородное уравнение Фредгольма с симметричным ядром класса L2. Согласно теореме Гильберта—Шмидта отсюда следует существование дискретного спектра действительных собственных чисел или собственных значений параметра со2 для которых интегральные урав- уравнения A.19) имеют отличные от нуля решения. Эти числа называются соб- собственными частотами соответствующих однородных задач. Легко показать, что собственные частоты первой задачи строго поло- положительны, а для второй задачи — неотрицательны. При этом со = 0 яв- является собственным числом, которому соответствуют шесть линейно неза- независимых решений (см. гл. VI, § 5, п. 2). Итак, справедливы следующие теоремы: со 1.3. Теорема. Внутренняя однородная задача колебания A)о имеет дискретный спектр собственных частот, являющихся характеристическими числами интегрального уравнения — а>г \G{l)(xty)u(y)dy = 0. D+ Эти частоты строго положительны. (О 1.4. Т е о р е м а. Внутренняя однородная задача колебания (Н)о имеет дискретный спектр действительных собственных частот, являющихся характеристическими числами интегрального уравнения 2и (х) — со2 | GB) (х, у) и {у) dy = 0. Эти числа неотрицательны, причем со = 0 есть собственное число шестого ранга и соответствующие собственные векторы суть векторы жесткого перемещения. 19 В. Д. Купрадае
290 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ Аналогично исследуются задачи AП)<Г, (IV)o и (VI)o . Рассмотрим, <*> , например, задачу (VI)o. Покажем, что всякое регулярное решение этой задачи является решением интегрального уравнения A.19), в котором G (х, у) = GF) (х, у). В A.11) первые два слагаемых в сумме обращаются в нуль ввиду гра- ничного условия задачи (VI)o и свойства 2) тензора G{Q) (x, у). Следова- Следовательно, 2ц (х) — со2 j GF) {х9 у) и (у) dy = 0. D+ Легко доказать и обратное предложение: всякое регулярное решение этого уравнения есть решение задачи (VI)o • Это следует из формулы Пуас- Пуассона (см. V, 10.5). § 2. Основные теоремы теории колебаний 1. Первая теорема Ляпунова—Таубера в теории упругости. В теории гармонического потенциала известны две теоремы о свойствах нормальных производных потенциала двойного слоя, имеющие важные применения в теории граничных задач; это так называемые первая и вторая теоремы Ляпунова—Таубера. Аналогичные теоремы имеют место для потенциалов двойного слоя в теории упругости. Одна из этих теорем (вторая) непосред- непосредственно следует из результатов гл. V, § 8, п. 2. Здесь будет доказана (см. Купрадзе [13], Доманьский [1]) следующая (первая) теорема: 2.1. Теорема. Если существует один из пределов (TW)+ или (TW)~, принадлежащий классу С°> а (S), регулярного соответственно в D+ и D~ по- потенциала двойного слоя W {х\ ф), то существует и другой; при этом имеет место равенство (Т (dz, n) W (г; Ф))+ = (Т (dz, n) W (г; <р))-. Эту теорему будем называть теоремой (первой) Ляпу- Ляпунова — Таубера в теории упругости. Согласно теореме II, 1.7, доказательство можно вести без ограничения общности для случая со = 0. Пусть, для определенности, существует предел (TW)~. Построим в D+ потенциал простого слоя по граничному условию GV)+ = (TWy. B.1) Для неизвестной плотности гр согласно формулам (V, 5.9) получаем (д„ v)T(z — y)<p (у) d? = (Г (д29 v) W (z; q>))-. B.2) Для разрешимости этого уравнения (см. (VI, 5.10)) необходимо и доста- достаточно соблюдение условий 0, k=\, ...,6, B.3)
* 2] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ 291 (fe) где % (z), k = 1, . . ., 6 — полная система линейно независимых решений союзного однородного уравнения X (г) + J (Т (ду, п)Г(у — z))f % (у) dyS = 0. B.4) Однородное уравнение, соответствующее B.2), имеет также шесть ли- нейно независимых решений ib (z)9 k= 1, 2, . . ., 6, и потенциалы простых слоев с плотностями, равными i|)(z), как решения второй внутренней одно- однородной статической задачи, представят векторы жестких смещений; легко (k) показать, что они линейно независимы и, следовательно, х можно выразить в виде линейных комбинаций потенциалов V (х\ \f>). Поэтому условия B.3) можно переписать еще в следующем виде: \ Q9 *=1 6. B.5) s Согласно V, 3.1 имеем W (г; Ф) = Ф (z) + J (T (ди, п)Т(у — z))' <p (у) duS. Рассматривая это равенство как интегральное уравнение относительно ф при заданном W~ и применяя третью теорему Фредгольма, будем иметь f (/г) )JS = 04 k=l ,..., 6. B.6) (k) Так как V (х; •ф) и W {х\ ф) — регулярные в D~ решения уравнений упругости, то в D" справедлива формула Грина О = j [v(х-, (ф) А(дх)W(х; ф) — W(х; Ф) А(дх)V(х; ?)] dx = D- = J [v~ {у; %]) \Т (дууп) W (у; Ф)Г — W- {у- Ф) [т (дууп) V (у; ^)] } dyS. B J) Согласно V, 5.1 имеем \T(dy,n)V\y\ у)] =[Т(ду, n)V[y; y)\ — 2 ф(у), *=1 6. B.8) Но, в данном случае поэтому из B.8) Г ( W\Y (ft) \T(dt,n)V\y,Kf)\ =-2^(y), k=\ 6 и, следовательно, ввиду B.6) из B.7) получаем )v[y; y)\T(dy,n)W(y:q>)]-dyS = 09 Л = 1 6, что и следовало доказать. 19*
292 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ffn Щ] Таким образом, доказано существование потенциала простого слоя, удовлетворяющего граничному условию B.1). Рассмотрим вектор = W(x\ ф) — V(x; q)=\y y \ , B.9) Имеем и согласно B.1) будем иметь B.10) Ввиду того, что и есть регулярное в D~ решение уравнений упругости, его можно выразить с помощью формулы общих представлений, именно: 2и(х) = J {[Т(ду, п)Т(у — х)У и(у) — — T(x — y)[T(dfpn)u(y)]-\dySi xeD~. B.П) Составляя разность B.11) и B.9) и учитывая B.10), будем иметь J \Т{ду, п)Т(у — х)У [и-(у) — Ф(у)]dyS = 0, х6 ?Г. Перейдя здесь к пределу, приближаясь к граничной точке извне, по- получим [и-B)_ + j [Г фт п)Т{у — г)]' [иг (у) — Ф(у)] dgS = 0, гб 5. Это однородное интегральное уравнение B.4) и его общее решение имеет вид ?ck%(y)9 yes. Поэтому ck%(z\ zeS. B.12) Пусть теперь точка x(zD+\ тогда, очевидно, 0 = j {[Г (ду, п)Т(у — х)У и-(у) — Т(х — у)[Т (ду, п) и {у)] s и на основании B.10) и B.12) можем записать 2jCk\[T{dyfn)T(y — x)]'x(y)dyS = 0, xeD\ B.13)
? 2] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ 293 Из формулы общего представления регулярного в D+ решения легко заключить, что (/г) Г (k) 2X(х) = j [T (д„ п)Т(у—x)Y %{y)dJS% x? D\ следовательно, B.13) принимает вид W(x;y) — V(x; i|>) + 2 ? cft x(*)= 0, xeD*; НО [Tidy, п)х(у)\ =о, yest и, следовательно, {TWY = GV)+, и так как (ТУГ = получаем окончательно (TWY == 2. Свойства собственных частот и собственных функций. В этом пункте будет доказано несколько общих теорем, которые лежат в основе теории граничных задач колебания, как внутренних, так и внешних. 2.2. Теорема. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы уравнение \ (l)~ B.14) имело нетривиальное решение, является равенство параметра со2 одной со из собственных частот задачи (П)о . Если со2 есть v-кратная собственная частота для этой задачи, то интегральное уравнение B.14) имеет v ли- линейно независимых решений и они совпадают с граничными значениями соб- ственных функций задачи (П)о . Необходимость. Пусть уравнение B.14) имеет нетривиальное решение; покажем, что в этом случае со2 есть собственная частота задачи ( Допустим, что это не так, т. е. со2 отлично от собственных частот задачи 0) (И)о и тем не менее уравнение B.14) имеет нетривиальное решение. Тогда союзное уравнение Ф(г)+ J 1Т(д29 v)T(z — y, со)]ф(у)^5 = 0, (И); B.15) также допускает нетривиальное решение ср. Рассмотрим потенциал простого слоя V(x;<p), xeD+. Очевидно, этот потенциал есть решение однородной внутренней задачи о". Но ввиду тоге частот этой задачи, (Н)о • Но ввиду того, что, по предположению, со2 отлично от собственных B.16)
294 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ^рл j Отсюда по непрерывности потенциала простого слоя и в силу поведе- поведения на бесконечности по теореме единственности первой внешней задачи колебания (см. III, 2.13), имеем V(x; ф) = 0, x6D". B.17) Из B.16) и B.17) следует ф (у) = 0, yd S, что противоречит сделанному допущению. Достаточность. Пусть со2 есть v-кратная частота задачи A1K* и и, к = 1, . . ., v — соответствующие линейно независимые собственные (k) векторы (решения). Покажем, что граничные значения и+, к = 1, . . ., v линейно независимы. Пусть это неверно и Рассмотрим вектор Тогда А (дх, со) и = 0, и+ = 0, (ТиУ = 0; отсюда на основании формулы общих представлений регулярных решений имеем и (х) = 0, a:?D+, что (к) противоречит линейной независимости и, k = 1, . . ., v. (/г) Так как u, k = 1, . . ., v есть решения интегрального уравнения A.19), со , как собственные векторы задачи (И)о , их первые производные по коорди- координатам в замкнутой области D+ принадлежат классу С°-а. Поэтому из фор- формулы общих представлений будем иметь Перейдя в этом равенстве к пределу при х —¦ z, x?D+, z?S, получим <*) f (fe) +)) Td)T )Y+)dS = O4 265, ft=l v.- Таким образом, интегральное уравнение B.14) имеет по крайней мере v (/г) линейно независимых решений и+ (у)> к = 1, . . ., v. Покажем, что других линейно независимых решений оно не имеет. Допустим обратное, и пусть число решений |я этого уравнения больше v, ( К ) jn >v. Тогда союзное уравнение B.15) также имеет \i решений ф, к = = 1. . . .» |х. Образуем потенциалы простых слоев у(;с;(ф), fe=l,...f[i. Очевидно, они линейно независимы, вместе с системой ф, к = 1, . . ., |Л, со и являются решениями задачи (П)о\ которая, однако, допускает только v линейно независимых * решений, и, следовательно, \х = v. Теорема 2.2 доказана полностью.
? 2] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ 295 2.3. Теорема. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы уравнение ^ B.18) имело нетривиальное решение, является равенство параметра со2 одной со из собственных частот задачи A)о . Если со2 есть v-кратная собственная частота этой задачи, то интегральное уравнение B.18) имеет v линейно независимых решений и они совпадают с граничными значениями Т-операции со над решениями задачи A)о . Необходимость. Поступая так же, как выше, допустим, что со2 не есть собственная частота задачи A)о~, но уравнение B.18) допускает не- нетривиальное решение ф. Образуем потенциал простого слоя V (х; ф). со Этот потенциал решает однородную задачу (П)о~, удовлетворяет на беско- бесконечности условию излучения и по теореме единственности (см. III, 2.13) есть тождественный нуль в D~. По непрерывности V (х; ф) является решением со и задачи A)о , но со2, по предположению, отлично от собственных частот этой задачи, и поэтому V (х; ф) = 0, x?D+. Отсюда, очевидно, ф = 0, что противоречит предположению. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть со2 есть v-кратная собственная частота со (Л) задачи A)о иг/, & = 1, . . ., v — соответствующие линейно независимые СО (*) собственные векторы задачи A)о~. Так как и есть решения интегрального уравнения A.19), их первые производные принадлежат классу C°'a(S) и, следовательно, применима формула общих представлений, которая в силу граничного условия и+ = О будет иметь следующий вид: (k) c Г (k) 1+ 2 и (х) = J Г (х — у, со) [Т (ду, п) и (у)\ dyS, x?D\ B.19) Воздействуем Г-оператором на обе части этого равенства и перейдем к пределу из D+; тогда получим - [т (дг, п (z)) (u\z)}+ + J [T (dz, n (z)) T(z — y, со)] [т\дУ9 п)и\у)]+dyS = 0, zQS. S Таким образом, показано, что уравнение B.18) имеет по крайней мере v линейно независимых решений [Т (д2, п (z)) и (z) ]+. Линейная независимость последних показывается так же, как и выше. Покажем, что уравнение B.18) других линейно независимых решений не имеет. Это можно показать, например, следующим образом. Пусть ф есть произвольное решение. Потенциал простого слоя V (х; ф), как решение со второй однородной внешней задачи (П)о~, удовлетворяющее на бесконечности условиям излучения, равен в D~ нулю. По непрерывности, в области D+ этот потенциал простого слоя представит регулярное решение первой одно- со родной задачи A)о > поэтому где ck — постоянные. <*>.
296 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ {рл VII В силу этого [Т (дг% п (г)) V (z; Ф)]+-[Т {дг, п (г)) V {г; <р)Г = 2Ф (z) = ? ch\ T (dZ9 n (г)) и (г)\ , (А) следовательно, совокупность [Т (дг, п (г)) и (z)I+, k = 1, . . ., v составляет полную систему линейно независимых решений уравнения B.18), что и следовало показать. Этим теорема 2.3 доказана полностью. (д СО (О Аналогичные теоремы справедливы для уравнений (III)o~, (IV)oT, (VI)о". со Рассмотрим, например, уравнение (VI)cT- Справедлива следующая 2.4. Теорема. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы уравнение J [T(d2i n{z))T(z — y, со) + B.20) имело нетривиальное решение, является равенство параметра со2 одной Ш -4- из собственных частот задачи A)о • ?"^^^ ш2 есть v-кратная собственная частота этой задачи, то интегральное уравнение B.20) имеет v линейно независимых решений и они совпадают с граничными значениями Т-опера- со ции над решениями задачи A)о . Доказательство необходимости совпадает с аналогичным местом при доказательстве необходимости в теореме 2.3. В самом деле, различие состоит со лишь в том, что уравнению B.20) соответствует задача (VI)о", подобно тому со как уравнению B.18) соответствует задача (П)о~. Но обе эти однородные внешние задачи допускают лишь нулевые решения в D". Что касается доказательства достаточности, то и оно аналогично дока- доказательству достаточности в теореме 2.3, ибо, как очевидно из B.19), J Г (г — у, <о)[т(ду, n)u(y)]+djS = 0, s и, следовательно, уравнение B.20) совпадает с уравнением B.18). 2.5. Теорема. Необходимым и достаточным условием нетр