Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде - Аравин В.И., Нумеров С.Н.

Глава 1. Краткий очерк развития теории фильтрации в СССР, 11
§ 2. Развитие теории фильтрации в гидротехническом направлении, 15
§ 3. Развитие теории фильтрации в области проблем добычи нефти и газа,. 24
Глава 2. Физические и математические основы теории фильтрации, 29
§ 6. Физические характеристики грунтов, 30
§ 7. Подземные жидкости. Классификация воды, фильтрующей в грунтах, 33
§ 11. Законы сопротивления при фильтрации, 46
§ 12. Определение фильтрационных характеристик грунтов, 53
§ 13. Классификация грунтов по их фильтрационным свойствам, 59
§ 14. Уравнение фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости, 62
§ 15. Уравнение фильтрации жидкости со свободной поверхностью по непроницаемому пласту, 69
§ 18. Уравнения фильтрации в случае переменной проницаемости и анизотропной проницаемости среды, 85
Глава 3. Одномерная установившаяся фильтрация, 91
§ 21. Равномерная фильтрация тяжелой несжимаемой жидкости, 95
§ 23. Равномерная фильтрации газированной жидкости, 99
§ 24. Неравномерная фильтрация несжимаемой жидкости, 101
§ 25. Неравномерная фильтрация в прямоугольных грунтовых руслах, 103
§ 26. Неравномерная фильтрация по горизонтальной плоскости водоупора при наличии инфильтрации, 109
§ 27. Дополнительные замечания о неравномерной фильтрации, 112
§ 28. Осесимметричная напорная фильтрация несжимаемой жидкости, 116
§ 29. Осесимметричная напорная фильтрация несжимаемой жидкости при наличии связи между соседними проницаемыми пластами, 119
§ 30. Осесимметричная фильтрация газа, 122
§ 31. Осесимметричная фильтрация газированной жидкости, 124
§ 32. Осесимметричная безнапорная фильтрация тяжелой жидкости, 127
§ 33. Осесимметричная безнапорная фильтрация при наличии инфильтрации с поверхности земли, 131
§ 34. Дополнительные сведения о фильтрации к колодцам и скважинам, 132
§ 35. Сферическая фильтрация несжимаемой жидкости, 138
§ 37. Фильтрация к несовершенным скважинам, 142
Глава 4. Плоская установившаяся фильтрация тяжелой несжимаемой жидкости, 145
§ 39. Основные уравнения. Связь с теорией функций комплексной переменной, 146
§ 41. Условия на границах раздела двух слоев грунта и жидкостей различных плотностей, 153
§ 43. Пример построения области годографа скорости, 157
§ 44. Случай однородно-анизотропного грунта, 161
§ 45. Общие сведения о методах решения задач плоской установившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости, 165
§ 47. Плоский флютбет с абсолютно водонепроницаемым шпунтом, 169
§ 48. Дрена под дном водотока или водоема, 189
§ 49. О дальнейших приложениях способа Павловского, 191
§ 50. Применение приближенного конформного преобразования, 193
§ 51. Способ суммарного учета местных потерь напора, 198
§ 52. Исследования основных форм напорной резко изменяющейся фильтрации, 199
§ 53. Примеры применения способа суммарного учета местных потерь напора, 215
§ 54. Способ Ведерникова-Павловского, 222
§ 55. Горизонтальная дренажная щель Н.Е. Жуковского, 224
§ 56. Задача Н.Е. Жуковского об обтекании шпунта, 234
§ 57. Фильтрация из каналов криволинейного сечения, 238
§ 58. О дальнейших приложениях способа Ведерникова-Павловского, 242
§ 59. Видоизменение способа Ведерникова-Павловского в случае инфильтрации или испарения на свободной поверхности грунтовых вод, 244
§ 60. Фильтрация к системе горизонтальных дренажных щелей Н.Е. Жуковского, 245
§ 61. Первый вариант способа годографа скорости, 250
§ 62. Фильтрация воды из оросителя ирригационной системы, 252
§ 63. Напорно-безнапорная фильтрация в основании плоского флютбета, 256
§ 65. Фильтрация через плотину с криволинейными откосами, 267
§ 66. О дальнейших приложениях первого варианта способа годографа скорости, 273
§ 67. Второй- вариант способа годографа скорости, 275
§ 69. Фильтрация грунтовых вод на откос земляных сооружений, 285
§ 70. Фильтрация в осушительный канал криволинейного сечения, 291
§ 71. Третий вариант способа годографа скорости, 296
§ 72. Фильтрация через треугольное ядро земляной плотины, 297
§ 73. Четвертый вариант способа годографа скорости, 300
§ 75. Горизонтальная дренажная щель Н.Е. Жуковского, 307
§ 76. Фильтрация через земляную плотину с дренажным банкетом на водоупоре, 318
Глава 9. Плановая установившаяся фильтрация, 341
§ 79. Основные уравнения плановой напорной установившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости. Связь с теорией функций комплексной переменной, 342
§ 86. Применение способа Павловского, 356
§ 87. Фильтрация к бесконечной прямолинейной цепочке напорных совершенных скважин, 357
§ 88. Напорная фильтрация к совершенному котловану эллиптической формы в плане, 361
§ 89. Приближенный способ расчета напорной фильтрации к совершенным котлованам полигональной формы в плане, 364
§ 90. Напорная фильтрация грунтовых вод в обход гидротехнических сооружений, 365
§ 91. О путях дальнейших исследований плановой напорной установившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости, 366
§ 92. О приведении напорных несовершенных скважин к совершенным,. 367
§ 9З. Плановая установившаяся фильтрация газа, 368
§ 94. Плановая безнапорная установившаяся фильтрация тяжелой несжимаемой жидкости, 368
§ 95. Плановая напорно-безнапорная фильтрация тяжелой несжимаемой жидкости, 370
§ 96. Об учете местных потерь напора, 375
Глава 10. Неустановившаяся фильтрация, 377
§ 98. Равномерная неустановившаяся фильтрация тяжелой несжимаемой жидкости, 378
§ 100. Первое частное решение уравнения Буссинеска, 381
§ 101. Второе частное решение уравнения Буссинеска, 381
§ 102. Примеры применения второго частного решения уравнения Буссинеска, 387
§ 103. Первый способ линеаризации уравнения Буссинеска, 389
§ 104. Второй способ линеаризации уравнения Буссинеска, 393
§ 105. Третий способ линеаризации уравнения Буссинеска, 395
§ 106. Об учете слабой проницаемости и водоупора, 397
§ 107. Случай переменной проницаемости грунта в вертикальном направлении, 398
§ 109. Линеаризация уравнения Л.С. Лейбензона, 401
§ 110. Неустановившаяся фильтрация газированной жидкости высокой насыщенности, 407
§ 111. Случай радиальной и сферической фильтрации, 409
§ 112. Метод последовательной смены стационарных состояний, 409
§ 113. Неустановившаяся фильтрация грунтовых вод в полубесконечном массиве, 410
§ 114. Неустановившаяся фильтрация грунтовых вод в прямоугольном массиве, 413
§ 115. Неустановившаяся фильтрация грунтовых вод в прямоугольном массиве, ограниченном вертикальной плоскостью водораздела, 416
§ 116. Средневзвешенное давление газа при радиальной фильтрации в круговом пласте, 418
§ 117. Радиальная неустановившаяся фильтрация газа в безграничном пласте, 422
§ 118. Радиальная неустановившаяся фильтрация газа в круговом пласте, 424
§ 119. Средневзвешенные давления и насыщенность при радиальной фильтрации газированной жидкости в круговом пласте, 426
§ 120. Радиальная неустановившаяся фильтрация газированной жидкости в круговом пласте, 427
§ 121. Безнапорная неустановившаяся фильтрация грунтовых вод в слое грунта неограниченной мощности, 430
§ 122. Перемещение границы раздела двух жидкостей, 436
§ 123. Метод недеформируемых линий тока в случае системы вода–нефть, 437
§ 124. О перемещении границы нефтеносности без учета вязкости воды, 444
§ 125. Метод недеформируемых линий тока в случае системы вода–газ, 448
Глава 11. Приближенные методы расчета фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости, 452
§ 127. Типичные случаи применения метода фрагментов, 455
§ 128. Графический способ построения сеток фильтрации, 463
§ 129. Определение основных характеристик фильтрации по сетке фильтрации, 468
§ 131. Метод конечных разностей в применении к задачам неустановившейся фильтрации, 477
Глава 12. Метод электрогидродинамических аналогий, 480
§ 133. Некоторые сведения из теории электрического поля, 482
§ 134. Условия подобия при моделировании, 483
§ 137. Основные соображения по поводу моделирования плоских фильтрационных потоков, 503
§ 138. Основные вопросы моделирования плановой фильтрации, 509
§ 139. Основные случаи исследования плановой фильтрации, 511
§ 140. Исследование неустановившейся фильтрации, 519
§ 144. Примеры исследований фильтрации методом ЭГДА, 538
Глава 13. Лабораторные и полевые методы исследования фильтрации, 551
§ 146. Лабораторные методы определения коэффициента фильтрации грунтов, 552
§ 147. Определение коэффициента проницаемости, 557
§ 148. Исследование фильтрации в грунтовых лотках, 559
§ 149. Исследование фильтрации в щелевом лотке, 563
§ 150. Изучение форм фильтрационных потоков в натуре, 569
§ 151. Определение скоростей фильтрации и фильтрационных расходов в натуре, 570
§ 152. Определение фильтрационных характеристик грунтов в натуре, 574
Author: Аравин В.И. Нумеров С.Н.
Tags: гидравлика учебное пособие движение жидкостей государственное издательство технико теоретической литературы
Year: 1953
Similar
Механика жидкости и газа
Гидравлика и гидравлические машины
Механика жидкости и газа
Вычислительные методы в задачах механики жидкости
Text
                    В.И.АРАВИН и С.Н.НУМЕРОВ
*
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ
ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
В НЕДЕФОРМИРУЕМОЙ
ПОРИСТОЙ СРЕДЕ


В. И. АРАВИН и С. Н. НУМЕРОВ
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ
ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
В НЕДЕФОРМИРУЕМОЙ
ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Допущено
Главным управлением высшего образования
Министерства культуры СССР
в качестве учебного яособря
для высших технических учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................ 8
Глава 1. Краткий очерк развития теории фильтрации в СССР 11
§ 1.	Практическое значение теории фильтрации и первый зтап ее
развития.................................................... 11
§ 2.	Развитие теории фильтрации в п дротехническом направле-
нии ......................................................... 15
§ 3.	Развитие теории фильтрации в области проблем добычи нефти
и газа....................................................... 24
§	4.	Краткие выводы.................................. 28
Глава 2. Физические и математические основы теории филь-
трации ......................................................... 29
§	5.	Понятие о явлении	фильтрации. 29
§	6.	Физические характеристики	грунтов.... 30
§ 7.	Подземные жидкости. Классификация воды, фильтрующей в
грунтах.................................................. 33
§ 8.	Теоретическая схема фильтрации...................... 36
§ 9.	Основные уравнения фильтрации........... 39
§ 10.	Уравнение неразрывности................. 42
§ 11.	Законы сопротивления при фильтрации................. 46
§ 12.	Определение фильтрационных характеристик ipynTOB.	. .	.	53
§ 13.	Классификация грунтов по их фильтрационным свойствам .	.	59
§ 14.	Уравнение фильтрации гяже.пн несжимаемой жидкости	...	62
§ 15.	Уравнение фильтрации жидкости со свободной поверхностью
по непроницаемому пласту................................. 69
§ 16.	Уравнение фильтрации >аза........................... 74
§ 17.	Уравнение фильтрации газированной (двухфазной) жидкости	78
§ 18.	Уравнения фильтрации в случае переменной проницаемости и
анизотропной проницаемости среды............................. 85
§ 19.	Граничные и начальные условия................................ 88
Глава 3. Одномерная установившаяся фильтрация .................. 91
§ 20.	Уравнения одномерной установившейся фильтрации........	91
§ 21.	Равномерная фильтрация тяжелой несжимаемой жидкости . .	95
§ 22.	Равномерная фильтрация газа ........................... 97
§ 23.	Равномерная фильтрация газированной жидкости........... 99
§ 24.	Неравномерная фильтрация несжимаемой жидкое i и.......	101
§ 25.	Неравномерная фильтрация в прямоугольных грунтовых
руслах...................................................... 103
§ 26.	Неравномерная фильтрация по горизонтальной плоскости
водоупора при наличии инфильтрации.......................... 109
§ 27.	Дополнительные замечания о неравномерной фильтрации . .	112
4
СОДЕРЖАНИЕ
§28.	Осесимметричная напорная фильтрация несжимаемой жидкости 116
§ 29. Осесимметричная напорная фильтрация несжимаемой жидко-
сти при наличии связи между соседними проницаемыми пла-
стами ...................................................... 119
§ 30.	Осесимметричная фильтрация газа...................... 122
§ 31.	Осесимметричная фильтрация газированной жидкости ....	124
§ 32.	Осесимметричная безнапорная фильтрация тяжелой жидко-
сти ....................................................... 127
§ 33.	Осесимметричная безнапорная фильтрация при наличии ин-
фильтрации с поверхности земли............................. 131
§ 34.	Дополнительные сведения о фильтрации к колодцам и сква-
жинам ..................................................... 132
§ 35.	Сферическая фильтрация несжимаемой	жидкости.......... 138
§ 36.	Сферическая фильтрация газа.......................... 140
§ 37.	Фильтрация к несовершенным скважинам................. 142
Глава 4. Плоская установившаяся фильтрация тяжелой несжи-
маемой жидкости....................................... 145
§ 38.	Понятие о плоской фильтрации........................... 145
§ 39.	Основные уравнения. Связь с теорией функций комплексной
переменной.................................................. 146
§ 40.	Граничные условия...................................... 150
§ 41.	Условия на границах раздела двух слоев грунта и жидко-
стей различных плотностей................................... 153
§ 42.	Годограф скорости..................................... 155
§ 43.	Пример построения области	годографа	скорости.......... 157
§ 44.	Случай однородно-анизотропного	грунта................. 161
§ 45.	Общие сведения о методах решения задач плоской устано-
вившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости . . .	165
Глава 5. Первый способ конформных преобразований (способ
Павловского) ................................................... 168
§ 46.	Способ Павловского.................................... 168
§ 47.	Плоский флютбет с абсолютно водонепроницаемым шпунтом 169
§ 48.	Дрена под Дном водотока или водоема................... 189
§ 49.	О дальнейших приложениях способа Павловского.......... 191
§ 50.	Применение приближенного конформного преобразования . .	193
§ 51.	Способ суммарного учета местных потерь напора......... 198
§ 52.	Исследования основных форм напорной резко изменяющейся
фильтрации.................................................. 199
§ 53.	Примеры применения способа суммарного учета местных по-
терь напора................................................. 215
Глава 6. Второй способ конформных преобразований (способ
Ведерникова-Павловского)........................................ 222
§ 54.	Способ Ведерникова-Павловского......................... 222
§ 55.	Горизонтальная дренажная щель Н. Е.	Жуковского........ 224
§ 56.	Задача Н. Е. Жуковского об обтекании	шпунта............ 234
§ 57.	Фильтрация из каналов криволинейного	сечения........... 238
§ 58.	О дальнейших приложениях способа Ведерникова-Павлов-
ского ...................................................... 242
§ 59.	Видоизменение способа Ведерникова-Павловского в случае
инфильтрации илн испарения на свободной поверхности грун-
товых вод................................................... 244
§ 60.	Фильтрация к системе горизонтальных дренажных щелей
Н. Е. Жуковского............................................ 245
СОДЕРЖАНИЕ
5
Глава 7. Третий способ конформных преобразований (способ
годографа скорости)....................................... 250
§ 61.	Первый вариант способа годографа скорости............. 250
§ 62.	Фильтрация воды из оросителя ирригационной системы . . . 252
§ 63.	Напорно-безнапорная фильтрация в основании плоского
флютбета................................................... 256
§ 64.	Горизонтальный фильтр................................. 262
§ 65.	Фильтрация через плотину с криволинейными откосами . . . 267
§’66.	О дальнейших приложениях первого варианта способа годо-
графа скорости............................................. 273
§ 67.	Второй- вариант способа годографа скорости . ......... 275
§ 68.	Вертикальная дренажная щель........................... 277
§ 69.	Фильтрация грунтовых вод на откос земляных сооружений . 285
§ 70.	Фильтрация в осушительный канал криволинейного сечения . 291
§ 71.	Третий вариант способа годографа скорости............. 296
§ 72.	Фильтрация через треугольное ядро земляной плотины . . . 297
§ 73.	Четвертый вариант способа годографа скорости.......... 300
Глава 8. Метод краевых задач................................... 305
§ 74.	Метод краевых задач................................... 305
§ 75.	Горизонтальная дренажная щель Н. Е. Жуковского........ 307
§ 76.	Фильтрация через земляную плотину с дренажным банкетом
на водоупоре................................................ 318
§ 77.	Вертикальная дренажная щель........................... 331
Глава 9. Плановая установившаяся фильтрация.................... 341
§ 78.	Понятие о плановой установившейся фильтрации.......... 341
§ 79.	Основные уравнения плановой напорной установившейся
фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости. Связь с теорией
функций комплексной переменной ............................. 342
§ 80.	Равномерная фильтрация................................ 344
§ 81.	Точечный источник (сток).............................. 344
§ 82.	Точечный источник (сток) в равномерном	потоке......... 347
§ 83.	Система любого конечного числа точечных источников (стоков) 349
§ 84.	Системы двух точечных источников (стоков). Способ изобра-
жения в прямой и окружности................................. 350
§ 85.	Точечный источник (сток) при любом виде границы области
питания..................................................... 354
§ 86.	Применение способа Павловского........................ 356
§ 87.	Фильтрация к бесконечной прямолинейной цепочке напорных
совершенных скважин......................................... 357
§ 88.	Напорная фильтрация к совершенному котловану эллипти-
ческой формы в плане........................................ 361
§ 89.	Приближенный способ расчета напорной фильтрации к со-
вершенным котлованам полигональной формы в плане . . . 364
§ 90.	Напорная фильтрация грунтовых вод в обход гидротехниче-
ских сооружений...........................................   365
§ 91.	О путях дальнейших исследований плановой напорной
установившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости 366
§ 92.	О приведении напорных несовершенных скважин к совер-
шенным ...................................................   367
§ 93.	Плановая установившаяся фильтрация газа............... 368
§ 94.	Плановая безнапорная установившаяся фильтрация тяжелой
несжимаемой жидкости........................................ 368
§ 95.	Плановая напорно-безнапорная фильтрация тяжелой несжи-
маемой жидкости............................................. 370
§ 96.	Об учете местных потерь	напора........................ 375
6
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 10. Неустаиовившаяся фильтрация............................. 377
§ 97.	Введение..............................................  377
§ 98.	Равномерная неустаиовившаяся фильтрация тяжелой несжи-
маемой жидкости.............................................. 378
§ 99.	Уравнение Буссинеска.................................. '380
§ 100.	Первое частное решение	уравнения	Буссинеска............ 381
§ 101.	Второе частное решение	уравнения	Буссинеска............ 381
§ 102.	Примеры применения второго частного решения уравнения
Буссинеска................................................... 387
§ 103.	Первый способ линеаризации уравнения Буссинеска .... 389
§ 104.	Второй способ линеаризации уравнения Буссинеска .... 393
§ 105.	Третий способ линеаризации уравнения Буссинеска ....	395
§ 106.	Об учете слабой проницаемости и водоупора.............. 397
§ 107.	Случаи переменной проницаемости груша в вертпкатипом
направлении.................................................. 398
§ 108.	Уравнение Л. С. Лепбензон.а............................ 400
§ 109.	Линеаризация уравнения Л. С. Леибенюна................. 401
§ ПО.	Неустаиовившаяся фильтрация гашрованион жидкости вы-
сокой насыщенности........................................... 40/
§ 111.	Случай радиальной и сферическон фильтрации............. 409
§ 112.	Метод последовательной смены стационарных	состоянии . .	409
§ 113.	Неустаиовившаяся фильтрация грунтовых вод в полубеско-
нечном массиве..............................................  410
§ 114.	Неустаиовившаяся фильтрация грунтовых вод в прямо-
угольном массиве............................................ 413
§ 115.	Неустаиовившаяся фильтрация грунтовых нод в прямо-
угольном массиве, ограниченном вертикальной плоскостью
водораздела................................................. 416
§ 116.	Средневзвешенное давление ran при радиальной фильтра-
ция в круговом пласте ...................................... 418
§ 117.	Радиальная неустаиовившаяся фильтрация гага в безгранич-
ном пласте.................................................. 422
§ 118.	Радиальная неустаиовившаяся фильтрация iaia в кругов туг
пласте.....................................................  424
§ 119.	Средневзвешенные давание и пасыщеппость при радпа П-
иой фильтрации газированной жидкости в круговом пласте Г2Ь
§ 120.	Радиальная неустаиовившаяся фильтрация газированной
жидкости в круговом пласте.................................. 127
§ 121.	Безнапорная пеустановнвшаяся фильтрация грунтовых втд
в слое грунта неограниченной мощности ...................... 430
§ 122.	Перемещение границы ратделл двух жидкостей........... 436
§ 123.	Метод недеформируемых линий тока в случае системы
вода — нефть................................................ 437
§ 124.	О перемещении границы нефтеносности без учета вязкости
воды........................................................ 444
§ 125.	Метод недеформируемых линий тока в случае системы вода —
газ......................................................... 448
Глава 11. Приближенные методы расчета фильтрации тяжелой
несжимаемой жидкости............................. 452
§ 126.	Основы метода фрагментов............................... 452
§ 127.	Типичные случаи применения метода фрагментов........... 455
§ 128.	Графический способ построения сеток фильтрации. '	463
§ 129‘	основных хаРа|Сгерпстик фильтрации по сетке
фильтрации.............................................   4RW
СОДЕРЖАНИЕ
7
§ 130.	Метод конечных разностей............................... 472
§ 131.	Метод конечных разностей в применении к задачам неуста-
новнвшейся фильтрации......................................... 477
Глава 12. Метод электрогидродинамнческих аналогий............... 480
§ 132.	Аналогия между явлениями электрического тока в проводя-
щих средах и другими физическими явлениями ................. 480
§ 133.	Некоторые сведения из теории электрического поля .... 482
§ 134.	Условия подобия при моделировании.................... 483
§ 135.	Электропроводные материалы........................... 486
§ 136.	Установки и приборы ЭГДА............................. 493
§ 137.	Основные соображения по поводу моделирования плоских
фильтрационных потоков...................................... 503
§ 138.	Основные вопросы моделирования плановой фильтрации . . 509
§ 139.	Основные случаи исследования плановой фильтрации ... 511
§ 140.	Исследование неустановнвшейся фильтрации............. 519
§ 141.	Изготовление моделей................................. 522
§ 142.	Производство опытов.................................. 530
§ 143.	Обработка опытов..................................... 535
§ 144.	Примеры исследований фильтрации методом ЭГДА .... 538
Глав а 13. Лабораторные н полевые методы исследования филь-
трации ............................................ 551
§ 145.	Общие сведения....................................................................   551
§ 146.	Лабораторные методы определения коэффициента фильтра-
ции грунтов............................................... 552
§	147.	Определение коэффициента проницаемости. 557
§	148.	Исследование фильтрации в грунтовых лотках. 559
§	149.	Исследование фильтрации в щелевом лотке. 563
§	150.	Изучение форм фильтрационных потоков в	натуре.. 569
§ 151.	Определение скоростей фильтрации и фильтрационных рас-
ходов в натуре............................................. 570
§ 152.	Определение фильтрационных характеристик грунтов в на-
туре ...................................................... 574
Приложение..................................................................................... 579
Литература..................................................................................... 598
Именной указатель.............................................................................. 613
Предметный указатель .......................................................................... 614
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория движения воды, нефти и газа в грунтах и других по-
ристых средах, или теория фильтрации, имеет весьма большое зна-
чение для строительства и эксплуатации гидротехнических и гидро-
мелиоративных сооружений, для технологии добычи нефти и газа,
а также для горного дела. Быстрый рост указанных областей тех-
ники в СССР, начавшийся с первых лет существования советского
государства, послужил мощным стимулом развития теории фильтра-
ции и ее инженерных приложений.
Решениями XIX съезда КПСС предусмотрено огромное, небывалое
развитие гидротехнического строительства в СССР. Осуществление
программы такого строительства ставит перед исследователями филь-
трации ряд новых важных задач и способствует дальнейшему бы-
строму развитию этой области знания.
Основоположниками советской школы теории фильтрации являются:
Н. Е. Жуковский, Н. Н. Павловский и Л. С. Лейбензон. Работы
этих ученых, а также их многочисленных учеников и последователей
послужили той основой, нт которой выросла и развилась советская
школа фильтрации, занимающая в настоящее время ведущее поло-
жение в мировой науке. Иллюстрацией плодотворности работы этой
школы является данная книга, в основном построенная на трудах
советских ученых.
Настоящая книга предназначена для студентов, изучающих курс
теории фильтрации в гидротехнических, гидромелиоративных, нефтя-
ных и горных институтах, а также для аспирантов и научных ра-
ботников соответствующих специальностей. В связи с таким назна-
чением книги в ней достаточно широко охвачены вопросы теории
фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости, газа и газированной
жидкости, причем авторы сделали попытку изложить все эти вопросы
па единой методологической основе. Последнее обстоятельство не
дало возможности авторам касаться некоторых специфических
вопросов, свойственных различным отдельным областям техники,
использующим теорию фильтрации для своих практических целей.
При составлении книги была также учтена возможность исключения
ее отдельных глав при прохождении курса теории фильтрации в ин-
ститутах различного профиля.
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
В настоящей книге рассмотрена фильтрация в недеформируемой
пористой среде. Следует отметить, что за последние годы в СССР
появились работы, посвященные вопросам фильтрации в деформируе-
мой пористой среде, не нашедшие отражения в данной книге. К числу
этих работ относятся: исследования Н. М. Герсеванова, В. А. Фло-
рина, Д. Е. Польшина и др., посвященные вопросам консолидации
земляных масс; исследования А. Н. Патрашева, В. С. Истоминой,
Ю. М. Шехтмана, Д. М. Минца и др., посвященные вопросам меха-
нической суффозии и кольматажа грунтов; исследования В. Н. Щел-
качева, И. А. Парного и др., посвященные изучению фильтрации
капельно-сжимаемой жидкости в упругой пористой среде (упругий
режим фильтрации). Эги вопросы, по мнению авторов, должны из-
лагаться в монографиях, посвященных теории фильтрации в дефор-
мируемой пористой среде.
При изложении фильтрации в недеформируемой пористой среде
авторы ограничились рассмотрением фильтрации, подчиняющейся за-
кону Дарси, учитывая его широкое применение и сравнительно ма-
лую разработанность вопросов фильтрации за пределами примени-
мости этого закона.
При изложении теоретических методов расчета фильтрации авторы
ограничились рассмотрением только тех из этих методов, которые,
не будучи сложными в теоретическом отношении, получили наиболь-
шее развитие и широкое применение в практике. При подборе ин-
женерных задач, приведенных в данной книге, имелось прежде всего
в виду, что эти задачи должны служить наглядной иллюстрацией
методики применения излагаемой здесь теории, а также что эти за-
дачи должны иметь сравнительно широкое применение в практике.
При изложении экспериментальных методов исследования фильтра-
ции особое место было уделено методу электрогидрОдинамических ана-
логий Н. Н. Павловского, учитывая его весьма большое развитие и
широкое практическое применение, в особенности за последнее
время.
Остановимся кратко на содержании отдельных глав книги.
В главе 1 приводится краткий исторический очерк развития тео-
рии фильтрации в СССР.
Глава 2 посвящена изложению физических и математических
основ теории фильтрации.
В главе 3 изложена теория одномерной установившейся фильтра-
ции тяжелой несжимаемой жидкости, газа и газированной жидкости.
Главы 4—8 посвящены изложению плоской установившейся
фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости.
В главе 9 излагается плановая установившаяся фильтрация тяже-
лой несжимаемой жидкости и газа.
Глава 10 посвящена изложению неустановившейся фильтрации
(одномерной, плоской и плановой) тяжелой несжимаемой жидкости,
газа и газированной жидкости.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
В главе 11 изложены приближенные методы расчета фильтрации
(метод фрагментов, графический метод и метод конечных разностей'.
Глава 12 посвящена методу электрогидродинамнческих аналотий
Н. Н. Павловского.
В главе 13 кратко излагаются лабораторные и полевые методы
исследования фильтрации.
В конце книги дан список использованной в каждой главе лите-
ратуры, вышедшей в свет до июля 1952 г.
Настоящая книга предполагает знакомство читателя с основами
гидравлики и гидромеханики, а также с курсом выси ей математики
в объеме программы втузов, с дополнениями, касающимися некоторых
сравнительно небольших сведений из теории функций комплексной
переменной и уравнений математической физики. Последние сведения
в кратком справочном виде приведены в приложении к основному
тексту книги.
Работа над настоящей книгой проходила в тесном контакте между
авторами, но отдельные ее главы составлены различными авторами.
Именно, главы 1—3 и 11—13, за исключением §§ 135—136 и
141—144 главы 12, написаны В. И. Аравиным, главы 4—10 и
приложение — С. Н. Нумеровым, §§ 135—136 и 141—144 главы 12
были написаны по просьбе авторов Н. И. Дружининым.
Курс теории фильтрации для втузов выходит в Советском Союзе
впервые, поэтому естественно, что он не свободен от недостатков
как в отношении подбора фактического материала, так и в методи-
ческом отношении. Авторы заранее приносят благодарность всем чита-
телям, которые пришлют свои критические замечания и пожелания
по курсу, способствующие дальнейшему его улучшению. Указанные
замечания просим направлять по адресу: Москва, Б. Калужская, д. 15,
Гостехиздат, Редакция литературы по механике.
ГЛАВ Л 1
КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ
ФИЛЬТРАЦИИ В СССР
§ 1. Практическое значение теории фильтрации и первый
этап ее развития. Теория фильтрации изучает законы движения
жидкости, газа и их смеси (газированной жидкости) в пористой или
трещиноватой среде. Теория фильтрации удовлетворяет запросы прак-
тики путем создания методо5 фильтрационного расчета различного
рола сооружений при их проектировании, постройке и эксплуата-
ции. В области проектирования гидротехнических сооружений филь-
трационные расчеты играют исключительно важнро роль. Вопросы
борьбы с фильтрацией в гидротехнических сооружениях определяют
конструкцию и размеры этих сооружений. Так обстоит дело при про-
ектировании плотин — бетонных, деревянных и земляных, судоходных
шлюзов, водоспусков. Вода фильтрует под основаниями этих соору-
жений и в обход их примыканий — в берегах. При этом фильтрацион-
ный поток оказывает давление на сооружения, стремится вымыть пол
ними грунт. Подобные воздействия фильтрационного потока на соору-
жения могут послужить причиной серьезных аварий. Изучение имев-
ших место аварий гидротехни 1еских сооружений приводит к выводу,
что большая часть их происходит за счет разрушительного действия
фильтрации. Отсюда ясно, насколько важно при проектировании гидро-
сооружений дать правильный прогноз фильтрации и определить меры
борьбы с ней.
При постройке гидротехнических сооружений строительные котло-
ваны, ограждаемые перемычками, должны быть осушены и фильтра-
ционный поток должен быть перехвачен дренажными устройствами,
например системами водопонижающих колодцев. Необходимо при
помощи фильтрационного расчета определить глубины понижения,
обеспечивающие нормальную работу в котловане, а также расход
воды, поступающей в дренажные устройства.
Теория фильтрации позволяет заранее установить форму фильтра-
ционного потока на территории, где ожидается повышение уровня
грунтовых вод вследствие подпора от возводимых плотин. Подобные
прогнозы имеют большое значение при выборе экономичных вари-
антов расположения гидростанций на реках.
12	КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ В СССР [ГЛ. 1
Решающее значение имеют фильтрационные расчеты при выборе
схемы и конструкции осушительных систем. При проектировании
орошения бывает необходимо определить потери воды из каналов на
фильтрацию. Такие расчеты производятся методами, разработанными
в теории фильтрации.
Часто при водоснабжении населенных мест приходится пользо-
ваться грунтовыми водами. С этой целью применяются различные
каптажные сооружения, колодцы, галереи, дрены, дебит которых
может быть рассчитан с возможной точностью при помощи методов
теории фильтрации.
Теория фильтрации подводит основы под современную технологию
добычи нефти и газа. Задачи о фильтрации нефти, газа и газиро-
ванной жидкости, встречающиеся в практике, сложны и весьма раз-
нообразны. Здесь в первую очередь можно указать на задачи о при-
токе нефти к системам скважин в самых различных условиях, как-то:
при различных контурах области питания, в условиях вытеснения
нефти водой, при учете упругости жидкости, при учете проницае-
мости кровли нефтеносного пласта, в условиях изменения режима
фильтрации во времени и т. д. Имеется еще целый ряд задач, свя-
занных с вопросами добычи нефти и решаемых при помощи теории
фильтрации. К ним относятся, например, задачи о рациональном рас-
положении скважин в пласте, об учете запасов нефти и газа, об
интенсификации добычи нефти при помощи нагнетания в нефтенос-
ный пласт воды или газа и другие задачи.
В горной промышленности теория фильтрации имеет применение
при определении притока газа и подземных вод к горным выработ-
кам. В ряде случаев откачка грунтовой воды из горных выработок
играет большую роль в эксплуатации шахт и составляет весьма суще-
ственные затраты.
Теория фильтрации имеет весьма обширное применение в области
гидрогеологии. Изучение форм фильтрационных потоков и их харак-
теристик (расходов, скоростей, давлений) достигается в настоящее
время разнообразными методами, основанными на зависимостях тео-
рии фильтрации.
Необходимо подчеркнуть, что все перечисленные выше области
применения теории фильтрации получили в СССР за последние годы
весьма большое развитие.
При существующих у нас гигантских масштабах развития гидро-
технического строительства, нефтяной и горной промышленности ста-
рые методы фильтрационного расчета, основанные на искусственных
допущениях или на грубой аналогии, уже не могут применяться на
практике. Естественно поэтому, что теория фильтрации в СССР за
последние 25 лет сильно продвинулась вперед в своем развитии. При
разработке вопросов теории фильтрации были широко использованы
современные методы математического анализа и физические методы
эксперимента льного исследования.
§ Л]
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
13
Теория фильтрации, имеющая такое обширное практическое при-
менение, возникла сравнительно недавно. Несомненно, что ряд прак-
тических сведений о фильтрации имелся задолго до возникновения
теории фильтрации. Так, строители старых Плотин в России, как,
например, К. Д. Фролов, живший в XVIII столетии, проектировали
эти сооружения зачастую весьма рационально с точки зрения филь-
трации. Русские нефтяники XVII и XVIII веков, по свидетелыыву
дошедших до нас документов, также руководствовались во многом
правильными практическими воззрениями на фильтрацию нефти в пла-
стах. Однако развитие теории фильтрации началось лишь во второй
половине XIX столетия. Естественно, что в основу научной разра-
ботки вопросов фильтрации был положен закон сопротивления при
фильтрации жидкости.
В 1852—1855 гг., производя опыты по фильтрации в песчаных
грунтах, французский инженер Г. Дарси установил линейную связь
между скоростью фильтрации воды и потерями напора, называе-
мую законом фильтрации, или законом Дарси. Наличие такой связи,
а также развитие гидравлики и гидромеханики позволили во вто-
рой половине XIX столетия дать некоторые теоретические зависи-
мости, применимые к расчету фильтрации в простейших случаях
практики.
Первые теоретические исследования фильтрации, основанные на
линейном законе фильтрации, были начаты Ж. Дюпюи. Они касались
случаев фильтрации в грунтовых руслах и осесимметричной филь-
трации к колодцам, доходящим до горизонтальной водоупорной поверх-
ности. Эти исследования относятся к шестидесятым годам XIX сто-
летия. Позднее, начиная с восьмидесятых годов, Ф. Форхгеймер
рассмотрел более сложные задачи по фильтрации при наличии гори-
зонтального водоупора. Однако общей теории и общих дифференци-
альных уравнений фильтрации до 1889 г. не было. Первая работа
в этом направлении была написана выдающимся русским математиком
и механиком Н. Е. Жуковским. Работа эта называлась «Теоретиче-
ское исследование о движении подпочвенных вод». В ней Н. Е. Жу-
ковский вывел дифференциальные уравнения фильтрации. При выводе
этих уравнений Н. Е. Жуковский ввел понятие о силе сопротивле-
ния при фильтрации. Показав, что напор как функция координа!
области фильтрации удовлетворяет уравнению Лапласа, Н. Е. Жу-
ковский указал на математическую аналогию фильтрации и теплопро-
водности. К работам указанного периода относятся исследования
К. Э. Лембке, посвященные вопросам пеустановившейся фильтрации
грунтовых вод к горизонтальным дренам и колодцам.
В 1922 г. теория фильтрации получила новый толчок в своем раз-
витии благодаря работе Н. Н. Павловского «Теория движения грун-
товых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные при-
ложения». Этот труд послужил фундаментом, на котором развива-
лось гидротехническое направление советской школы фильтрации.
14 КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ В СССР [ ГЛ. 1
В двадцатах годах в результате теоретических и эксперименталь-
ных исследований появился ряд работ Л. С. Лейбензона, посвящен-
ных фильтрации нефти, газа и газированной жидкости. В 1934 г.
была опубликована монография Л. С. Лейбензона, посвященная теории
Н. Е. Жуковгкий.
фильтрации в связи с проблемами добычи нефти и газа. Эта моно-
графия явилась выражением илей и методологии другого направления
советской н колы фильтрации, занимающегося вопросами фильтрации
нефти и газа.
Работая над разрешением задач, выдвигаемых различными отрас-
лями народного хозяйства и строительства, оба названных направ-
ления советской школы фильтрации имеют общую теоретическую
и физическую основу. Некоторые вопросы фильтрации являются
общими для ученых обоих направлений. К ним относятся, например,
вопросы дальнейшего изучения закона сопротивления при фильтрации,
задачи о работе систем скважин и т. д.
§ 2]	РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ	15
Некоторые выдающиеся специалисты в области фильтрации успешно
ведут работу в обоих названных направлениях.
Описание всех предложений в области теории фильтрации, раз-
работанных советскими учеными, и перечисление решенных ими задач
составили бы предмет большого труда. В §§ 2—3 мы имеем воз-
можность остановиться лишь на главных этапах развития теории
фильтрации и упомянуть о задачах, имеющих особое теоретическое
и практическое значение. Более подробно сведения о работах совет-
ских ученых в области фильтрации приводятся в соответствующих
главах в связи с излагаемым материалом.
§ 2. Развитие теории фильтрации в гидротехническом направ-
лении. Следует считать, что новый этап развития теории фильтра-
ции начался в двадцатых годах нашего столетия. За последние 30 лет
в СССР появилось весьма большое количество научных работ, посвя-
щенных теории фильтрации и ее приложениям. Одни работы носят
монографический характер, другие посвящены решениям частных
задач. Было бы весьма затруднительно упомянуть все опубликованные
за последние 30 лет работы ио фильтрации в кратком очерке. По-
этому в дальнейшем мы останавливаемся главным образом на работах,
имеющих принципиальное значение.
Как сказано выше, в 1922 г. была опубликована монография
Н. Н. Павловского «Теория движения грунтовых вод под гидротех-
ническими сооружениями и ее основные приложения». В этой обшир-
ной монографии впервые была дана глубокая научная трактовка
вопросов фильтрации воды под гидротехническими сооружениями.
Работа Н. Н. Павловского открыла новые перспективы в гидротех-
нике и послужила фундаментом, на котором вскоре создалась школа
теории фильтрации. Отметим некоторые важнейшие положения моно-
графии Н. Н. Павловского.
Н. Н. Павловский, рассматривая проведенные различными авто-
рами экспериментальные исследования но фильтрации в грунтах,
заметил, что критерием применимости линейного закона фильтрации
должно служить число Рейнольдса. В результате обработки суще-
ствовавших опытных данных он дал первую формулу для «критиче-
ского» значения числа Рейнольдса, характеризующего начало откло-
нения фильтрации от линейного закона. Эта мысль Н. Н, Павловского
была затем развита советскими учеными, предложившими иные, но
основанные па том же принципе зависимости для критического значе-
ния числа Рейнольдса. К таким зависимостям относятся зависимости,
полученные В. Н. Щелкачевым и М. Д. Миллионщиковым и опубли-
кованные в сороковых годах.
В связи с затронутым вопросом уместно отметить, что советские
ученые дали ряд работ по изучению законов сопротивления при
фильтрации.
В 1912 г. А. А. Краснопольский предложил для фильтрации
в трещиноватых породах формулу, по которой потери напора
16 КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ В СССР [гл. 1
пропорциональны квадрату скоростей фильтрации. Аналогичную зави-
симость предложил в 1930 г. Н. П. Пузыревский для фильтрации
в каменной наброске. Вскоре после этого С. В. Избаш исследовал
фильтрацию в крупнозернистых материалах, принимая в своей работе
зависимость фильтрации от числа Рейнольдса.
Н. Н. Павловский.
В 1934 г. Л. С. Лейбензон сделал широкое обобщение законов
фильтрации; на основе этого обобщения им была получена общая
формула, заключающая в себе все законы фильтрации.
Е. А. Замарин и И. И. Зауербрей предложили новые формулы
для определения коэффициента фильтрации грунтов на основании их
механического анализа.
М. А. Великанов исследовал вопрос о структуре общей формулы
сопротивления при фильтрации.
§ 2]	РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ	17
Отметим также работу Г. М. Ломизе, опубликованную в 1951 г.
и содержащую обширные исследования по фильтрации в трещиноватых
породах.
Рассматривая во всей общности задачу о напорной фильтрации
под гидротехническими сооружениями, Н. Н. Павловский впервые
трактует ее как задачу математической физики. Изложив постановку
задачи, Н. Н. Павловский для ее решения применяет метод конформ-
ных преобразований. Названный метод позволил Н. Н. Павловскому
получить решения для ряда частных задач о фильтрации под флют-
бетами гидротехнических сооружений; эти задачи имеют большое
практическое значение в гидротехнике.
Монография Н. Н. Павловского была посвящена напорной филь-
трации. Однако последующее развитие теории фильтрации показало,
что метод конформных преобразований является наиболее действен-
ным теоретическим методом в более широкой сфере задач фильтра-
ционного расчета гидротехнических сооружений. В дальнейшем был
разработан ряд модификаций этого метода для решения задач безна-
порной фильтрации.
Опубликование «Теории движения грунтовых вод» положило начало
новой эпохе в развитии учения о фильтрации. Работа Н. И. Павлов-
ского, несмотря на крайне ограни |епьый тираж издания, стала известна
широким кругам ученых и инженеров. В двадцатых, а главным обра-
зом в тридцатых годах появился ряд работ учеников и последователей
Н. Н. Павловского, посвященных изучению фильтрации под гидро-
техническими сооружениями. В этих работах получила дальнейшее
развитие теория плоской фильтрации Н. Н. Павловского. Так, напри-
мер, в работах .Е. А. Замарипа, Н. Т. Мелещенко, Н. К. Гиринского,
Н. Н. Веригина, С. Н. Нумерова, II. Ф. Фильчакова^ и др. был
исследован ряд практически интересных задач о фильтрации под
флюгбетами, например, в условиях пали ш я в некотором пласте под
основанием сооружения напорных грунтовых вод, при наличии у
флютбегов дрен, наклонных шпунтов и г. д.
Работа Н. Н. Павловского о напорной фильтрации под гидро-
сооружениями показала, что для сооружений, обладающих сложными
формами подземного контура, получение расчетных зависимостей по-
средством точного метода весьма затруднительно, а часто невозможно.
Естественно поэтому, что мысль некоторых ученых обратилась в сто-
рону создания приближенных методов и, в частности, приближенных
конформных преобразований.
В развитии метода приближенных конформных преобразований при-
нимали участие Н. Т. Мелещенко, М. А. Лаврентьев, Б. И. Сегал,
П. Ф. Фильчаков!) и др.
В 1923 г. Н. Е. Жуковскгй в работе «Просачивание воды че-
рез плотины» рассмотрел задачу об обтекании земляной плотины на
В Подробнее см. § 50.
18	КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ В СССР [гл. 1
бесконечно глубоком водопроницаемом основании со шпунтом, ниже
которого образуется кривая депрессии. Задача была решена методом
«направляющих и образующих сетей», разработанным Н. Е. Жуков-
ским для исследования движения сгруй.
Большую роль в теоретических исследованиях плоской безнапор-
ной фильтрации в однородных грунтах сыграл метод конформных
преобразований в различных его модификациях.
Н. Е. Жуковский впервые использовал специальную функ-
цию, получившую в дальнейшем наименование аналитической функ-
ции Жуковского. Основываясь на этой функции, В. В. Ведерников
и Н. Н. Павловский независимо друг от друга предложили способ
решения задач по безнапорной фильтрации.
Целый ряд интересных и практически важных задач был решен
указанным способом. Сюда относятся задачи о фильтрации из кана-
лов, о притоке грунтовых вод к дренам и котлованам, о фильтрации
через земляные плотины и т. д. Помимо названных выше авторов
в области исследования указанных задач можно отметить работы
В. И. Аравина, А. П. Вощинина, С. Н. Нумерова, Ф. Б. Нельсон-
Скорнякова и др.
Ряд задач по безнапорной фильтрации достаточно просто и изящно
решается методом конформных преобразований, путем использования
известного из гидромеханики понятия о годографе скоростей. Этот
способ был применен В. В. Ведерниковым и Н. Н. Павловским.
Некоторые задачи безнапорной фильтрации потребовали видоизменения
указанного способа. Эти видоизменения были сделаны В. В. Ведерни-
ковым, Ф. Б. Нельсон-Скорняковым, Б. Б. Девисоном и Б. К. Ризеп-
кампфом.
Ряд оригинальных задач исследовали указанным способом, помимо
названных авторов, П. Я. Полубаринова-Кочипа, С. Н. Нумеров,
Н. Н. Веригин, Ю. Д. Соколов и др.
П. Я. Полубаринова-Кочина предложила для решения некоторых
задач по фильтрации метод, основанный на применении аналитической
теории дифференциальных уравнений. Метод этот был использован
в 1938 г. для решения задачи о фильтрации через прямоугольную пе-
ремычку с промежутком высачивания. Решение той же задачи, данное
в 1932 г. Б. Б. Девисоном, было весьма сложным для вычислений. Ме-
тод П. Я. Полубариновой-Кочиной был дополнен Б. К. Ризенкампфом ,
С. Н. Нумеров предложил для решения случаев безнапорной
фильтрации метод, основанный на задаче Римана-Гильберта. Этим
методом, названным методом краевых задач, автор получил решения
для ряда фильтрационных задач, например задачи о фильтрации через
земляные плотины с наклонным верховым откосом и фильтрации
в береговые дрены ’).
J) Береговые дрены —дрены, укладываемые параллельно берегу реки
или канала для целей осушения берега.
§ 2]	РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ	19
Сказанное выше позволяет сделать определенное заключение о том,
что гидромеханические методы решения задач плоской установившейся
фильтрации в однородном грунте получили особенно большое разви-
тие в СССР, начиная с тридцатых годов и по настоящее время.
Можно сказать, что подавляющее большинство имеющихся в настоя-
щее время решений задач указанной категории принадлежит советским
ученым.
Наряду с задачами, исследованными гидромеханическими методами,
существует ряд задач, имеющих весьма обширное практическое при-
менение и допускающих с достаточной точностью решение гидравли-
ческим методом.
В 1932 г. появилась работа Н. Н. Павловского, посвященная не-
равномерной установившейся фильтрации в грунтовых руслах, т. е.
в водонепроницаемых пластах, подстилаемых слабо водопроницаемыми
породами. Подобные задачи были исследованы в шестидесятых годах
прошлого столетия французским ученым Ж. Дюпюи. Н. Н. Павловский
впервые дал систематическое изложение данного вопроса, имеющего
большое практическое значение в расчетах дренажа, а также в гидро-
логических расчетах. В этом направлении необходимо отметить работы
Г. Н. Каменского, рассмотревшего ряд новых задач, в частности
задачу о фильтрации при просачивании воды с поверхности земли.
Интересно отметить, что в последнее время И. А. Парный показал,
что формулы фильтрационного расхода в основных случаях, найденные
гидравлическим методом, являются точными.
Одновременно с разработкой названного выше вопроса Н. Н. Пав-
ловский разработал также гидравлическую теорию неравномерной
фильтрации при квадратичном законе сопротивления и исследовал все
формы кривых свободной поверхности, которые возможны при такой
фильтрации. Заметим, что еще ранее Н. П. Пузыревский вывел рас-
четную формулу для случая фильтрации в дамбах из каменной на-
броски, стоящих на горизонтальной водонепроницаемой поверхности.
Но тем же вопросам имеются работы М. Ф. Срибного.
Отметим, что в 1940 г. С. А. Хрисгианович впервые дал основы
методики исследования фильтрации, не следующей закону Дарси.
В практике фильтрационных расчетов сравнительно редко встре-
чаются случаи, когда фильтрация происходит в однородном грунте.
Обычно область, в которой происходит фильтрация, сложена из ряда
слоев грунта, обладающих различными фильтрационными свойствами.
Задача о фильтрации в таких условиях сложна, а потому на первых
этапах исследования фильтрации в слоистых грунтах носили прибли-
женный характер. Надо, впрочем, отметить, что найденные исследо-
вателями немногие точные решения случаев фильтрации в слоистых
грунтах практически пока мало используются вследствие сложности
полученных зависимостей.
Приближенные способы приведения слоистого грунта к однородно-
му имеются у Н. Н. Павловского и Г. Н. Каменского. Г. Н. Каменский
20	КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ В СССР |ГЛ. 1
применяет эги способы к гидрогеологическим расчетам филырации.
В его монографии «Основы динамики подземных вод», а также
в работе «Движение подземных вод в неоднородных пласих» указан-
ные способы получили значительное развитие.
Отметим еще работы А. Н. Мягиева и Н. К. 1 иричского, в кото-
рых дана приближенная теория фильтрации к колодцам в слоистом
грунте. Эта теория затем была обобщи а на широкий класс задач
П. Я. Полубариновой-Кочиной.
Вопросы фильтрации в анизотропных грунтах были исследованы
в работах В. И. Ара..ина, П. Я- Полубариновой-Кочиной и др.
Работы по математической теории фильтрации в слоистых грунтах
появились в литературе в конце тридцатых годов. II. Я. Полубари-
нова-Кочина показала, что разработанный ею метод дифференциаль-
ных уравнений приложим к задачам о фильтрации в слоистых грунтах.
Вопросы фильтрации в иеоднород! ых грунтах рассматривались также
в работах С. В. Фалько шта, Б. К. Ризенкампфа, Н. К. Калинина,
М. А. Лаврентьева и И. Б. Погребисского. М. Д. Миллионщиков
при помощи интеграла Фурье решил пространственную задачу о филь-
трации к стоку при двухслойной области фильтрации.
Весьма большое практическое значение имеют случаи фильтрации
в горизонтальных или близких к горизонтальным пластах. Сюда отно-
сятся случаи притока грунтовых вод и нефти к колодцам и скважинам,
подпора грунтовых вод в берегах от плотин, осушения территорий,
фильтрации в обход береговых усюев гидротехнических сооружений
и т. д. Все эги случаи двумерной установившейся фильтрации мот у г
быть объединены под общим названием плановой фиш,грации.
Остановимся здесь на работах в области плановой филырации,
имеющих целью решение задач, возникающих в тидрогехнике и
гидрогеологии.
Случаи плановой фильтрации с свободной поверхностью при при-
токе грунтовых вод к котлованам и при обтекании береговых усюев
плотин были рассмотрены В. И. Аравиным, Н. Н. Верит иным и
В. П. Недригой. При этом был использован способ кот формных
преобразований.
Плановая напорно-безнапорная фильтрация была исследована
Н. К. Гирииским, В. И. Аравиным и С. Н. Нумеровым. Этот случай
плановой фильтрации является наиболее общим, так как часть грун-
тового потока является напорной, а другая часы, имеет свободную
поверхт ость. В работах Н. К. Гиринского рассмотрена приближенно
плановая фильтрация в грунтах, образованных из ряда горизонталь-
ных пластов.
Многочисленные исследования плановой фильтрации при нали ши
систем скважин были выполнены главным образом в связи с пробле-
мами добычи нефти. Об этом подробнее будет сказано в § 3.
Исследования неустановившейся фильтрации в ряде случаев проек-
тирования представляют большой практический интерес. Многие из
§ 2]	РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ	21
вопросов неусгановившейся фильтрации были решены советскими уче-
ными в связи с проблемами добычи нефти и газа, о чем сказано
ниже, в § 3. Что касается работ по исследованию фильтрации при-
менительно к гидротехническим проблемам, то здесь надо отметить
ряд полученных II. Я- Полубариновой-Кочиной решений уравнения
Буссинеска, которые могут применяться при практических расчетах
фильтрации в грунтовых массивах, при изменении глубины воды
в водохранилище, а также для расчета неусгановившейся фильтрации
при орошении. Кроме работ П. Я. Полубариновой-Кочиной необхо-
димо отметить работы И. А. Парного, Н. Н. Веригина и С. Н. Нуме-
рова, в которых развивается методика решения зчдат неусгановив-
шейся фильтрации в пласте ограниченной мощности.
Неустановившейся фильтрации грунтовых вод в пласте весьма
большой мощности посвящены работы П. Я. Полубариновой-Кочиной,
Л. А. Галина, Н. К. Калинина, П. П. Куфареаа и др.
Зтдачи неусгановившейся фильтрации являются одними из наиболее
сложных зад 11 в области теории фильтрации. Необходимо отметить,
что в работах названных выше утепых, а также в работах, связанных
с проблемами добычи нефти и газт, о которых сказтно в § 3, совет-
ские ученые добились больших успехов, особенно за последние годы.
В целом ряде различных задач по фильтрации, представляющих
большие сложности для точного решения, целесообразно применять
приближенные методы, дающие достаточную точноеib при практиче-
ских расчетах. Соне1скими учеными разработан целый ряд таких
методов, имеющих весьма существенное значение для практики. Стре-
мясь дать приближенное теоретическое, но достаточно точное для
практики решение задачи о фильтрации под мпоготпиунговыми флют-
бегами, Н. Н. Павловский разработал «метод фрагментов». Идея
эюго метода была использована им еще в 1931 г. при изучении
фильтрации воды через земляные плотины. Она заключается в том,
что сложная область фильтрации разбивается пт ряд частей, для
которых в отдельности легко получить точное решение за ттчн о филь-
трации. Связывая отдельные решения для всех фртгментов, мы полу-
чаем зависимости для определения фильтрационного расхода пои флюг-
бегом и потерь напор т в каждом фрагменте. Метод фртгментов
разрабагывался и использовался для различных задач мши ими авто-
рами: Е. А. Замариным и П. И. Шиттенко, А. М. Сегковым, А. А. Угин-
чусом, Р. Р. Чут ает.ым, И. Ф. Бурлаем и др.
Графический способ построения сеток фильтрации был усовер-
шенствован Е. А. Замариным, В. Г. Айвазьяном и Н. К. Гиринским.
Эго усовершенствование стюсобствов тло внедрению и нртктику про-
стого и наглядного способа. С. Ф. Аверьянов и В. М. Насберг ртзрт-
ботали методику графического способа исс.тедованит некоторых про-
странственных фильтрационных потоков.
Еще в дтадцагых годах Е. Л. Николаи применял для решения
задач фильтрации метод конечных разностей, излагая этот метод на
22	КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ В СССР [гл. 1
лекциях студентам Ленинградского Политехнического института имени
М. И. Калинина. Развитый в общем виде математиками в СССР,
в частности, в работах Д. Ю. Панова, этот метод нередко исполь-
зуется в практических расчетах фильтрации. Г. Н. Каменский при-
менил этот метод к исследованию ^установившейся фильтрации при
подпоре грунтовых вод в районе гидросооружений.
Многие советские ученые и инженеры занимались вопросами теории
фильтрации в многочисленных приложениях этой теории к расчету
гидротехнических сооружений.
В 1930 г. Н. Н. Павловский предложил для расчета оснований
флютбегов гидротехнических сооружений пользоваться понятием о поле
фильтрационных сил. Позднее Р. Р. Чугаев разработал способ расчета
устойчивости земляных плотин с учетом фильтрационных сил. Впо-
следствии этот способ был рекомендован в нормах проектирования.
В. С. Баумгарт в 1929 г. разработал способ расчета устойчивости
грунта у низовой грани флютбета на выпор под действием фильтра-
ционных сил. Этот расчет является теперь одним из важных крите-
риев устойчивости флютбета. А. Н. Патрашев с 1935 по 1946 г.
опубликовал ряд работ по суффозии грунтов при фильтрации — суф-
фозии механической (вымыв частиц грунта) И химической (размыв
грунта вследствие растворения). По тем же вопросам имеются работы
Н. М. Бочкова, Ю. М. Шехтмана, Д. М. Минца, С. А. Шуберта и др.
По вопросу о проектировании дренажей в гидротехнических соору-
жениях следует отметить работы В. С. Истоминой; первые из этих
работ были опубликованы в сороковых годах.
Вопросы уплотнения земляных масс в гидротехнических сооруже-
ниях тесно связаны с вопросами неустановившейся фильтрации воды
в деформируемом скелете грунта. По названному вопросу советские
ученые дали ряд ценных работ. Сюда относятся работы Н. М. Герсе-
ванова, А. Д. Гостева и других. Капитальная монография по этим
вопросам была опубликована В. А. Флориным, где автор, в частности,
исследовал пространственную задачу.
Советские ученые уделяют большое внимание эксперименту при
изучении фильтрации. Мы не имеем возможноегй даже бегло коснуться
всех опубликованных экспериментальных работ по фильтрации. Ука-
жем лишь на некоторые методы, разработанные советскими учеными
и играющие большую роль в области развития теории фильтрации,
а также в области фильтрационных расчетов.
В 1922 г. Н. Н. Павловский предложил для решения задач по
фильтрации метод электрогидродинамических аналогий, или сокра-
щенно метод ЭГДА, который, кстати сказать, был применен при
исследовании фильтрации за границей спустя несколько лет после
опубликования его в СССР *). Этому методу суждено было большое
Ра®оты по методу ЭГДА, опубликованные за границей, отно-
§ 2]	РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ	23
развитие, и он весьма широко используется в настоящее время. При-
меняемый вначале для решения задач напорной фильтрации в одно-
родных грунтах метод ЭГДА вскоре начал применяться при изучении
фильтрации при наличии свободной поверхности, поверхностей выса-
чивания, в грунтах, образованных из разнородных слоев, а также
в условиях пространственной и неусгановившейся фильтрации. Мето-
дика и техника исследований фильтрации методом ЭГДА. развивалась
как отдельными учеными, так и целыми коллективами работников
лабораторий и институтов. Усовершенствованием методики и техники
исследований фильтрации методом ЭГДА занимались в тридцатых
годах коллективы лабораторий: Всесоюзного научно-исследователь-
ского института гидротехники (ВНИИГ) под руководством Н. Н. Пав-
ловского, Государственного гидрологического института (ГГИ), Все-
союзного научно-исследовательского института гидротехники и мелио-
рации (ВНИИГ и М) и других научных и проектировочных учреждений.
Работы ВНИИГ освещались в «Известиях ВНИИГ» с 1931 г., ГГИ— в
«Известиях ГГИ» в 1934 г. Работы ВНИИГиМ —в работе Г. С. Со-
рокина 1935 г. Как вытекает из названных работ, техника исследования
фильтрации была широко освоена в СССР в начале тридцатых годов.
В разработке методики и техники исследований методом ЭГДА
принимали участие Б. Ф. Рельтов, А. В. Осокин, Г. С. Сорокин,
В. И. Давидович, Н. М. Вятских, Н. И. Дружинин, В. М. Насбзрг,
П. Ф. Фильчаков и другие.
Вопросы моделирования по методу ЭГДА освещались в работах
В. И. Аравина и С. Н. Нумерова 1936—1950 гг.
Исследования фильтрации по методу ЭГДА зачастую употребляются
для получения полных решений в численной или графической форме
тех фильтрационных задач, которые не могут быть решены теорети-
ческими методами или же теоретические решения которых приводят
к сложным зависимостям. Так, в 1933 г. А. В. Осокин исследовал
методом ЭГДА противодавление для двухшпунтовых флюгбетов.
Подобное исследование выполнено С. Д. Яковлевым. Эксперименталь-
ные решения методом ЭГДА пространственных задач имеются в ра-
ботах Н. И. Дружинина, В. И. Аравина, С. Н. Нумерова, В. М. Нас-
берга и других. Методом ЭГДА были исследованы многочисленные кон-
кретные вопросы фильтрации, возникшие при постройке гидротехниче-
ских сооружений в СССР. Все научные и проектные учреждения, имеющие
отношение к изучению и проектированию гидротехнических сооруже-
ний, имеют установки для исследования фильтрации по методу ЭГДА.
Другой ценный метод исследования фильтрации был предложен
в 1931 г. Е. А. Замариным — эго исследование фильтрации в щеле-
вом вертикальном лотке, где роль грунта играет капиллярная щель,
в которой движется жидкость. В. И. Аравин развил методику иссле-
дований фильтрации в щелевом лотке, применив лоток специальной
конструкции для исследования неусгановившейся фильтрации, филь-
трации в разнородных грунтах и других случаев,
24	КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ В СССР [гл. 1
Следует отметить, что важное значение имеет приложение теории
фильтрации к специальным областям гидротехники. Внедрение дости-
жений этой теории в специальные разделы гидротехники не только
способствует рационализации методов гидротехнического расчета, но
и создает условия для оценки соответствующих методов путем при-
менения их в практике проектирования, натурных исследований и
анализа режима эксплуатации сооружений. Существует значительное
количество работ, в которых имеются такого рода приложения теории
фильтрации. Отметим работы А. Н. Костикова и П. Д. Глебова
в области инженерных мелиораций, работы И. П- Кусакина в области
осушения строительных котлованов, Г. Н. Каменского, Н. К. Гирин-
ского, М. Е. Альтовского, Н. Н. Биндемана и В. М. Насберга
в области гидрогеологии, М. М. Гришина и Е. А. Замарина в области
гидротехнических сооружений, С. В. Избаша в области гидравлики
производства работ. Особенно большое развитие получили практиче-
ские приложения теории фильтрации в гидрогеологии. Полные сведе-
ния о соответствующих работах гидрогеологов можно получить в спе-
циальных курсах.
§ 3.	Развитие теории фильтрации в области проблем добычи
нефти и газа. Как было сказано в § 1, из общей теории фильтра-
ции выделилось направление, обнимающее обширный комплекс задач,
связанных с технологией добычи нефти и газа. Этому направлению
теории фильтрации было посвящено большое количество научных ис-
следований; его возглавил Л. С. Лейбензон.
Теоретические и экспериментальные исследования Л. С. Лейбен-
зона начались в 1921 г. в Баку. Эти исследования были посвящены
гла1вым < бразом вопрос м режима и производительности нефтяных
скважин. В 1929 — 1930 i г. Л. С. Лейбензон опубликовал первона-
чальные исследования о фильтрации газа и смеси нефти и ыза,
а в 1934 г. появилась в печати его капитальная моншрафия о филь-
трации— «Подземная и. юавлика». В ней впервые системагично из-
ложены вопросы фильтрации нефти и газа, выведены уравнения тур-
булентной фильтрации, поставлена задача о неусгановившейся филь-
трации в связи со стягиванием контура нефтеносности при водонапорном
режиме фильтрации. В той же mohoi рафии была разработана теория
фильтрации газа, а также теория фильтрации газированной жидкости.
Отметим, что в 1928 г. Л. С. Лейбензоном было впервые получено
уравнение неустановившейся фильтрации газа. В иностранной литера-
туре это уравнение было опубликовано лишь спустя два года. Раз-
работанные Л. С. Лейбензоном вопросы в последующие годы полу-
чили значительное развитие в трудах самого автора, а также многих
его учеников и последователей J).
’) Многочисленные вопросы теории фильтрации в области проблем до-
бычи нефти и газа, а также и история развития этого направления изложены
в капитальной монографии В. Н. Щелкачева и Б. Б. Лапука [2].
§ 3]
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
25
Вопрос о взаимодействии скважин был исследован в работе
В. Н. Щелкачева и Г. Б. Пыхачева, где, основываясь на методе сло-
жения течений, авторы получили ряд решений задач о взаимодей-
ствии скважин при различных границах области писания. Отметим,
JI. С. Jk пбен юн.
что вместо понятия радиуса влияния скважин авторами введено поня-
тие области питания, соответствующее более правильному предста-
влению о характере фильтрации неф1И. Вопросы рациональной рас-
становки скважин в связи с их взаимодействием были разработаны
В. Н. Щелкачевым.
П. Я. Полубаринова-Кочина и И. А. Парный опубликовали ряд
работ о фильтрации нефти к скважинам в случае пластов различной
формы в плане. При этом названные авторы пользовались методом
конформных преобразований. В этих работах были исследованы вопро-
сы о нахождении различных параметров пластов по данным о дебитах
скважин. В работах П. Я- Полубариновой-Кочиной, Г. Б. Пыхачева
26	КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ В СССР [гл. 1
и М. А- Лукомской даны исследования фильтрации к скважинам в не-
однородной среде. В работах П. Я- Полубариновой-Кочиной и
О. В. Голубевой и др. рассмотрены вопросы фильтрации в криволинейных
пластах. И. А. Парный опубликовал исследование о рациональной
расстановке скважин, а позднее тем же автором был дан приближен-
ный способ исследования взаимодействия несовершенных скважин,
т. е. скважин, вскрывающих пласт не на полную мощность. Точное
решение последнего вопроса было получено Б. И. Сегалом.
По вопросу о взаимодействии скважин имеется значительное ко-
личество работ. К ним относятся работы Б. Б. Лапука, М. Е. Альтов-
ского, А. М. Агаджанова, А. П. Крылова и других авторов.
Теория фильтрации газа была создана Л. С. Лейбензоном и опу-
бликована в 1934 г. На основе этой теории Л. С. Лейбензон по-
лучил ряд решений для случаев установившейся фильтрации газа,
причем для неусгановившейся фильтрации ввиду сложности диффе-
ренциальных уравнений были использованы приближенные способы
их интегрирования.
Б. Б. Лапук исследовал термодинамические процессы, происходя-
щие при фильтрации газов. Этим исследованием установлено, что при
фильтрации газа процесс является изотермическим. Тем же автором
была разработана методика расчета неустансвившейся фильтрации
газа и исследован вопрос о взаимодействии скважин в газовых место-
рождениях. И. А. Парный рассмотрел задачи о взаимодействии систем
скважин, соответствующих схемам их расположения при подземной
газификации в каменноугольной промышленности. По вопросам не-
установившейся фильтрации газа имеются решения В. А. Евдокимовой.
Фильтрация газированных жидкостей является одним из наиболее
сложных вопросов теории фильтрации. Первые исследования поэтому
вопросу принадлежат Л. С. Лейбепзону (1934 г.). В 1941 г. С. А. Хри-
стианович разработал теорию фильтрации газированной жидкости.
Результаты этой работы были весьма существенны. Б. Б. Лапук
вскоре на основе этой теории разработал метод расчета установив-
шейся фильтрации газированной жидкости. К. А. Царевич дал при-
ближенный способ расчета неусгановившейся фильтрации 1азирован-
ной жидкости.
По той же проблеме фильтрации газированной жидкости имеются
работы И. А. Парного, В. А. Архангельского и М. Д. Миллион-
щикова.
Весьма важное практическое значение имеет задача о стягивании
к скважинам контура нефтеносности, сводящаяся к задаче неустановив-
шейся фильтрации двух жидкостей с различными вязкостью и плотностью.
Подобная задача была впервые рассмотрена Л. С- Лейбензоном. Назван-
ный вопрос получил весьма значительное развитие в трудах В. Н. 1Цел-
качева, П. Я. Полубариновой-Кочиной, Б. Э. Казарновской, Г. Б. Пы-
хачева, Л. А. Галина, М. Н. Тихова, И. А. Парного, М. М. Глоговского,
Ю. П. Виноградова, П. П. Куфарева, Н. С. Пискунова и других авторов.
§ 3|	РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ	27
По вопросу о стягивании контура газоносности, т. е. при нали-
чии фильтрации системы, состоящей из воды и газа, укажем на работы
Б. Б. Лапука и И. А. Чарного.
В. Н. Щелкачев показал, что упругость горных пород, слагающих
нефтеносные пласты, играет существенную роль при отборе нефти из
скважин. В связи с этим им было составлено уравнение фильтрации
упругой капельной жидкости в упругом пласте и дана теория «упру-
гого режима» фильтрации.
Ряд задач по фильтрации упругой жидкости в упругом пласте был
решен И. А. Чарным.
В развитии теории фильтрации в области проблем добычи неф-
ти и газа играли большую роль экспериментальные и натурные ис-
следования.
В 1928 г. в лабораториях МГУ и бывш. Государственного иссле-
довательского нефтяного института (ГИНИ) Д. С. Вилькером и
И. П. Москальковым производились опыты по фильтрации воздуха
в песке, подтвердившие теорию фильтрации газа Л. С. Лейбензона.
Подобные опыты производились и в последующие годы. Отметим,
что опыты по неусгановившейся фильтрации газа позволили Д. С. Виль-
керу получись важную экспериментальную зависимость для суммар-
ного дебига скважины.
В начале тридцатых годов в АзНИИ В. М. Барышевым в осо-
бом лотке исследовалась модель нефтеносного пласта. Совместно
с А. Н. Снарским им были проведены опыты по взаимодействию сква-
жин, по фильтрации газированной жидкости и др.
Экспериментальные исследования по фильтрации газированной
жидкости были проведены в 1940 г. в том же институте А. М. Пир-
вердяном и М. К. Мамедовым. Авторы получили ряд зависимостей
для различных элементов фильтрации. В 1939 г. Л. А. Сергеев
в Азербайджанском филиале АН СССР провел ряд исследований мо-
делей нефтяных пластов методом ЭГДА.
Еще в двадцатых годах грозненские геологи, изучавшие нефтяные
месторождения, дали ряд новых идей, сыгравших значительную роль
в дальнейшей разработке теории режимов фильтрации нефти [2]. Вы-
дающуюся роль в этих исследовательских работах играл Н. Т. Линд-
троп. Эти идеи впоследствии были развиты и обобщены в ГрозНИИ.
В частности, в работах геологов было установлено действие эксплуа-
тируемых скважин на весьма отдаленные от них другие скважины и
на пластовые давления в весьма удаленных точках пласта, а также
зависимость пластовых давлений в скважинах от положения уровней
грунтовых вод на контурах нефтеносности и т. д.
В настоящее время проводится большое количество лабораторных
и натурных исследований, имеющих важное значение в дальнейшей
разработке задач теории фильтрации.
Отметим, что известен целый ряд работ советских ученых, ис-
пользующих теорию фильтрации при решении различных вопросов
28
КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ В СССР |гЛ. 1
гидрогеологии районов нефтяных месторождений и технологии добычи
нефти и газа. Эти работы, описанные в груде |2], помимо своего
основного назначения важны еще тем, что они длюг известные кри-
терии для оценки теории фильтрации.
§ 4.	Краткие выводы. Размеры киши позволили нам дать в §§ 1—3
лишь краткое изложение тех основных направлений в теории филь-
трации, которые развиваются в трутах советских ученых. Сделанное
в §§ 1—3 перечисление методов, разработанных советскими учеными
и решенных ими важных задач по фильтрации, является неполным,
а также не полон список ученых, работавших в той или иной области
теории фильтрщии. Однако из приведенного матери т.н можно вы-
вести заключение о широте охвата вопросов фильтрщии в трудах
большого коллектива советских ученых, работающих по теории филь-
трации. Здесь сочетаю! ся глубокие теоретические исследования с широко
поставленными экспериментальными и натурными исследованиями, и в
результате такою сочетания наши строительства и промышленность
имеют возможность при проектировании, постройке и эксплуатации
сооружений пользоваться про! рессивными методами инженерного рас-
чета фильтрации.
Необходимо подчеркнуть, что в работе совеюких ученых в области
теории фильтрации большую рель шрают опытные исследования
в лабораториях многочисленных институтов, а также нтгурпые иссле-
дования, которым в СССР придается особое значение. Все скглько-
нибудь значительные гидротехнические сооружения (плотины, шлюзы,
гидростанции, каналы и г. д.), а также нефтяные месторождения обо-
рудуются новейшей ашприурой для исследования харакгеристик
фильтрации в натура. Социалистическая система в фодного хозяй-
ства СССР основат па применении тучно обоснованных методов
проектирования cipoHre.ibCina и экенлу нации сгоружений. Поэтому
каждое согружение об.идаег целой системой оборудования, предна-
значенного для и {учения сооружений в натуре. На такой техамд^ской
освове выросла советская шк< ла теории фильтрации, играющая в на-
стоящее время ведущую роль в мировой науке. Исследившие трудов
советских ученых, работающих в области теории филырации, позво-
ляет заключить, что ими сделано многое в решении зиычи, поставлен-
ной Коммунистической пар ией и Советским нраии телке том перед
всеми советскими учеными, — догнать и превзойти в ближайп ее время
достижения зарубежных crpiH. Несомненно, что под руководством
Коммунистической партии Советского Союза ученые добьются еще
больших успехов в области развития теории фильтрации и ее прило-
жений к практическим проблемам нашего строительства.
ГЛАВА 2
ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
§ 5.	Понятие о явлении фильтрации. Движение жидкости, газа
или газированной жидкости в пористой среде называется фильтрацией.
Пористую среду можно представить себе в виде твердого тела, за-
ключающего в себе большое количество соединенных между собой
пустот или же прорезанного большим количеством трещин. Можно
также осуществить модель пористой среды из множества твердых
частиц любой формы, например шарообразной. При изучении филь-
трации имеются в виду пористые среды, образованные из грунтов
(связных и несвязных), бетона, трещиноватых горных пород и дру-
гих пористых материалов, фильтрация в которых и представляет
практический интерес. Следует отметить, что даже в простейших
случаях фильтрации, например, когда пористая среда образована из
большого количества систематически уложенных шаровх), движение
жидкости в порах будет весьма сложным. Эта задача еще более
усложняется в случае естественных грунтов или трещиноватых горных
пород, где поры и трещины имеют чрезвычайно сложные очертания.
Известно, что в гидромеханике в настоящее время имеется весьмт
ограниченное количест о теоретических решений для течений жидкости.
В частности, имеются решения задач об обтекании шара, эллипсоида,
о течении жидкости в трубе круглого и прямоугольного сечения и
некоторые другие решения (15], которые даны в предположении весьма
малых чисел Рейнольдса. Что касается движения жидкости в пори-
стой среде, то даже для простейших схем, как, например, для си-
стематически уложенных шарообразных частиц, точного гидромехани-
ческого решения не имеется. Впрочем, подобное решение для ч тстных
простейших случаев практически было бы мало интересным для изу-
чения фильтрации. Действительная форма и размеры частиц реальных
грунтов, а также характер их расположения настолько незакономерны,
что при изучении характера пористой среды мы судим о ее фильтра-
ционных свойствах по некоторым осредненным характеристикам.
г) To-есть в случае так называемого фиктивного грунта, используемого
иногда для приближенных теоретических выводов [13].
So ФИЗИЧЕСКИЕ и математические основы теории фильтрации [гл. 2
Также при изучении фильтрации мы не интересуемся формой движе-
ния жидкости в порах или трещинах, а определяем осредненные ха-
рактеристики потока, т. е. скорости, давления, расходы и т. д.,
отвлекаясь от формы пор или трещин. Сущность такого метода изу-
чения фильтрации будет освещена в § 8.
§ 6.	Физические характеристики грунтов. Жидкость или газ,
фильтрующие в грунте, движутся струйками в его порах или трещи-
нах, величина, количество и форма которых определяются целым
рядом природных факторов. Рассмотрим характеристики природных
грунтов, определяющие их фильтрационные свойства.
Грунты состоят из смеси элементарных частиц весьма разнооб-
разных форм и размеров. Частицы песчаных грунтов обычно имеют
вид остроугольных, либо более или менее округленных обломков
горных пород и минералов. Частицы глинистых грунтов имеют пре-
имущественно форму чешуек или пластинок, иногда сильно вытянутых,
с краями неправильной формы.
Фильтрационные свойства грунта весьма сильно зависят от круп-
ности его частиц. Поэтому при изучении названных свойств грунта
приходится определять, какой крупности частицы входят в состав
грунта и в каком количест-
Таблнца 1 венном отношении находятся
Классификация фракций грунтов
Наименование фракций	Диаметры в мм
Глинистые 	 ( мелкие . . . Пылеватые | крупные. . . очень мелкие мелкие	.	.	. Песчаные	средние	.	.	_ крупные . . . ( мелкие	.	.	. Гравели-	средние	.	.	. стые	( крупные . . . Галька 	 Валуны 		< 0,005 0,005—0,01 0,01 —0,05 0,05 —0,25 0,25 —0,5 0,5 —1,0 1,0 —2,0 2,0 —4,0 4,0 —10 10—2^ 20—бо" >60
между собою частицы раз-
личных крупностей. Иными
словами, определяется гра-
нулометрический состав
грунта.
Для определения грану-
лометрического состава грун-
та применяются достаточно
разнообразные лаборатор-
ные методы. При помощи
этих методов производится
механический анализ грун-
та, сущность которого за-
ключается в разделении ча-
стиц исследуемого грунта на
фракции, т. е. грунты, за-
ключающие в себе частицы
одинаковой крупности.
В основном методы ме-
ханического анализа основа-
ны на последовательном просеивании фракций грунта через калибро-
ванные сита меньших размеров или же на отмучивании грунта
в воде, причем частицы различной крупности имеют различную ско-
рость осаждения в воде, что позволяет разделять их на фракции
в процессе опыта [11, 17 [.
§ в]
ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУНТОЙ
31
В настоящее время имеется ряд классификаций фракций грунтов.
Эти классификации несколько отличаются друг от друга [19]. В таб-
лице 1 приведена одна из таких классификаций.
В различных грунтах могут присутствовать частицы с почти
одинаковой крупностью, однако количественные отношения между
отдельными фракциями будут
совершенно различными. В ре-
зультате механического анализа
после разделения фракций уста-
навливаются посредством взве-
шивания проценты содержания
фракций в исследуемом образце
грунта. Затем результаты ана-
лиза обычно представляются
в виде особых графиков, на-
зываемых кривыми механи-
ческого анализа грунта. На
этих графиках по оси абсцисс
откладываются диаметры ча-
стиц грунта, а по оси орди-
нат— соответствующие этим
диаметрам процентные отноше-
ния суммарного веса всех ча-
стиц, меньших данного диа-
метра, к весу исследуемого образца грунта. Кривая механического
анализа грунта показана на фиг. 1. Для удобства пользования кри-
вой механического анализа диаметры частиц грунта обычно откла-
дываются в логарифмическом масштабе. Такие кривые представлены
на фиг. 2. Они построены для весьма различных грунтов, начиная от
крупного песка и кончая глиной.
Весьма важной характеристикой фильтрационных свойств грунта
является коэффициент пористости, представляющий собой отноше-
ние объема пор данного образца W' к общему его об нему IT.
В общий объем грунта входит обьем пор и обьем всех частиц.
Таким образом, коэффициент пористости
т —
W'
Г •
(2.1)
Коэффициент пористости грунтов определяется экспериментальным
путем. В таблице 2 приведены некоторые данные о коэффициенте
пористости различных естественных грунтов. Эти данные имеют лишь
•ориентировочный характер.
Коэффициент пористости природных грунтов зависит не только
от их гранулометрического состава, но и от истории образования
этих грунтов. Коэффициент пористости песчаных грунтов мало зависит
от их уплотнения. В глинистых грунтах уплотнение весьма сильно
32 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ фильтрации [гл. 2
I
I
§ 71
Подземные жидкости
33
влияет на величину коэффициента пористости. В таблице 2 ориен-
тировочные значения коэффициента пористости глинистого грунта
даны для грунтов поверхностных. В глинистых пластах, залегающих
на больших глубинах под поверхностью земли, значения коэффициента
Таблица 2
Коэффициенты пористости грунтов
пористости будут в несколько
раз меньше.
В трещиноватых скалистых
грунтах фильтрация происхо-
дит по трещинам. Для таких
грунтов в качестве характе-
ристики их фильтрационных
свойств можно ввести понятие
коэффициента трещиноватости.
По аналогии с коэффициентом
пористости коэффициент тре-
щиноватости является отноше-
нием объема трещин данного
образца грунта к общему его
объему.
Наименование грунтов	Коэффи- ци ент пористости
Гравнй (d = 2—0,2 мм)	0,30—0,40
Пески (d = 2—0,05 мм)	0,30—0,45
Супесь 		0,35—0,45
Суглинок		0,35—0,50
Глшшстын Грунт . . .	0,40—0,55
Торфяной грунт ....	0.60-0,80
Ввиду малой изученности трещиноватости скальных грунтов в на-
стоящее время трудно привести какие-либо систематические данные
о коэффициента трещиноватости. В качества иллюстрации укажем,
что при исследовании известняков и песчаников, залегающих в осно-
ваниях некоторых гидротехнических узлов в СССР, коэффициент
трещиноватости изменялся в пределах от 0,05 до 0,2. Что касается
ширины трещин скальных грунтов, то она может варьировать в весьма
широких пределах — от долей миллиметра до нескольких сантимет-
ров [25].
§ 7.	Подземные жидкости. Классификация воды, фильтрую-
щей в грунтах. Поры и трещины горных пород заполнены различ-
ными жидкостями. К ним относится в первую очередь вода, затем
нефть и газы. Встречаются также газированные жидкости, например
смесь нефти с газом, причем газ находиюя в жидкости в растворе
и в виде мельчайших пузырьков, растворы различных солей в воде,
обладающие сравнительно большой плотностью. Все эти жидкости
под влиянием тех или иных естественных и искусственных факторов
фильтруют в пористых или трещиноватых пластах. Нефть и газ
обычно залегают на большой глубине от поверхности земли. Вода
находится и в поверхностных слоях земли (безнапорные воды), и на
больших глубинах — в водоносных пластах, ограниченных сверху и
снизу двумя пластами с малой водопроницаемостью (напорные воды).
Точный метод выделения и анализа почвенных и грунтовых вод был
впервые дан А. Ф. Лебедевым [4].
Вода в грунте может быть в различных состояниях: 1) в ви-
де пара, содержащегося в заполняющем поры воздухе; 2) в гиг-
роскопическом состоянии, причем она обволакивает частицы грунта
34 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРЙИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
тончайшим молекулярным слоем; 3) в виде пленочной воды, обволаки-
вающей частицы грунта слоем толщиной не больше радиуса сферы
молекулярного действия; 4) в виде капиллярной воды, заполняющей
мельчайшие поры и трещины и находящейся в условиях преобладаю-
щего над силами тяжести действия капиллярных сил (поверхностного
натяжения) и 5) в виде собственно гравитационной воды, в движе-
нии которой молекулярные силы играют ничтожную роль, а решаю-
щими являются силы тяжести.
При свободной фильтрации воды в грунтах (например, в случае
фильтрации из канала) в движении участвуют вода гравитационная
и вода капиллярная. Как в капиллярных цилиндрических трубках,
где жидкость, смачивающая
стенки, поднимается под дей-
/|||||11^Г11'111ПИПП’!111\ у	.	ствием молекулярных сил на
'	у'—-	некоторую высоту над сво-
i ZZ/	'	бодной поверхностью в сосуде,
в грунтах жидкость подни-
мается вверх по капиллярным
Фиг. 3.	порам. Образуется капилляр-
ная зона, в которой давление
меньше атмосферного. На фиг. 3 изображены два водоема, разделенные
земляной перемычкой; капиллярная зона высотой hK заштрихована.
Пунктирная линия, соединяющая уровни водоемов, — линия атмосфер-
ного давления ра. Выше этой линии давление в жидкости меньше
атмосферного. Оно изменяется, как в капиллярной трубке, по линей-
ному закону, причем в верхней точке капиллярной зоны (под
мениском) давление р=ра—где ра—атмосферное давление,
7 — удельный вес жидкости [21]. Если в одром из водоемов уровень
понизится, то вода под влиянием разности уровней будет фильтровать
из второго водоема. Эта фильтрация будет происходить также и
в капиллярной зоне. Величина капиллярного поднятия йж в грунтах
зависит от свойств жидкости и грунта, от диаметра пор грунта и
в небольшой степени от температуры. Привести средние значения Лк
для воды затруднительно. Для ориентировки можно указать, что,
например, в песках крупностью 0,1 мм наблюдалась Лк = 50 см,
а при крупности частиц 0,02 мм hK превосходило 2 м. В пылеватых
грунтах и глинах капиллярное поднятие может достигать весьма боль-
ших величин, измеряемых десятками метров.
Капиллярная вода может образовать собственно капиллярную зону,
характеризуемую тем, что воздух в ней отсутствует вовсе либо со-
держится в отдельных полостях с давлением в них, меньшим атмо-
сферного [12]. Кроме того, в капиллярной зоне могут быть сообщаю-
щиеся воздушные полости, давление в которых мало отличается от
атмосферного. Наконец, капиллярная вода может задерживаться лишь
в наиболее узких частях пор; передвижение частиц воды не соеди-
ненных между собой, происходит вертикально вниз. Такой характер
§ 71
ПОДЗЕМНОЙ ЖВДЙОСТЙ
35
принимает движение воды в грунте при незначительном поступлении ее
сверху.
Положим, что из грунта, поры которого заполнены жидкостью,
эта жидкость вытекает под влиянием сил тяжести в дрену или коло-
дец. При этом освобождается не все поровое пространство, а лишь
часть его. Значительная часть капиллярной и пленочной воды остается
в порах. Отношение объема W" вытекающей под действием сил тяжести
воды к общему объему W грунта называется коэффициентом
отдачи грунта'.
(2.2)
Коэффициент отдачи, очевидно, меньше коэффициента пористости.
Коэффициент отдачи зависит от целого ряда факторов: от свойств
жидкости, от температуры, от продолжительности вытекания жидкости
из данного грунта и главным образом от величины пор грунта.
У крупнозернистых песков при прочих равных условиях коэффициент
отдачи значительно больше, чем у мелкозернистых. Для иллюстрации
приведем некоторые значения коэффициента отдачи для воды [23].
Для крупнозернистого песка с коэффициентом пористости т = 0,39
коэффициент водоотдачи за 1 час составил z// = 0,15, а за 2*/2 года
т' = 0,27. Для тонкозернистого песка с коэффициентом пористости
т = 0,4 коэффициент водоотдачи за 1 час составил яг7 = 0,02, а за
2»/г года »/ = 0,19.
При подъеме уровня жидкости, она будет заполнять лишь часть
общего объема пор, так как поры всегда частично заполнены
жидкостью. Отношение свободного объема пор к общему объему
грунта называется коэффициентом недостатка насыщения или же
недостатком насыщения грунта. Этот коэффициент аналогичен коэф-
фициенту отдачи.
Просачивание воды в грунт с поверхности земли называется
инфильтрацией. Инфильтрация может обусловливаться различными
обстоятельствами. Дождевые воды, как известно, частично погло-
щаются грунтом, причем степень поглощения зависит от свойств
грунта [14]. Инфильтрация может также иметь место в результате
искусственных мероприятий, например в результате орошения почвы.
В тех или иных случаях инфильтрация характеризуется величиной
расхода жидкости, приходящегося на единицу площади горизонталь-
ной проекции поверхности земли. Эта величина, обозначаемая в даль-
нейшем через е, как вытекает из ее определения, имеет размерность
скорости и задается либо по гидрологическим данным (в зависи-
мости от района), либо по техническим данным, исходя из на-
значения соответствующих инженерных мероприятий. Отметим, что
если в данном районе объем осадков за год составляет U, то
просачивающееся в землю количество воды составляет nU, где
п — коэффициент подземного стока, зависящий от целого ряда фак-
торов [14].
36 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [гЛ. 2
§ 8.	Теоретическая схема фильтрации. В § 5 было указано
на сложность явления протекания жидкости в порах грунтов или
трещинах горных пород. Отсутствие закономерности в распределении
пор и трещин не позволяет нам определить скорости жидкости
в любой точке поры или трещины. Впрочем, таксе определение не
имело бы практического значения, так как нам важно знать лишь
осредненное движение жидкости в грунте. Нам необходимо знать
расходы, скорости и давления в пределах малых площадок, величина
которых, однако, велика по сравнению с размерами пор грунта.
Таким образом, в основу изучения фильтрации можно положить ста-
тистический метод. Случайность расположения в грунте пор или
трещин дает возможность отвлечься от их формы. В сечении капил-
лярной поры грунта скорости течения жидкости в точках могут из-
меняться от нуля до некоторой максимальной величины. Если, сднако,
изучать скорость в пределах малой, но значительно большей сечения
поры площадки, то можно говорить о некоторой средней скорости
в порах тг, постоянной в пределах этой малой площадки. Эта ско-
рость будет равна действительному расходу через площадку, поде-
ленному на площадь сечений всех пор на данной площадке.
Как видим, понятие средней скорости в порах не отличается от
известного из гидравлики понятия средней скорости в сечении потока,
например в трубе.
Однако при изучении фильтрации представляется целесообразным
вообще отвлечься от размеров и формы пор, предполагая, что
жидкость движется, сплошь заполняя все пространство — поры и
частицы грунта. При этом расход жидкости через любую площадку
должен быть равен действительному ее расходу. Таким путем реаль-
ный поток жидкости в порах грунта мы заменяем фиктивным филь-
трационным потоком той же жидкости, непрерывно заполняющим
объемы пор и скелета грунта. В случае фильтрации через трещино-
ватую породу, если трещины достаточно многочисленны, к этой
породе можно отнести сказанное выше о фильтрационном потоке
в пористой среде.
Основываясь на понятии фильтрационного потока, можно заклю-
чить, что если действительный расход жидкости через площадку Дю
будет равен AQ, то скорость фиктивного фильтрационного потока
в пределах данной площадки будет:
ДО
(2.3)
Эта фиктивная скорость называется скоростью фильтрации. При
определении скорости фильтрации было принято, что фильтрационный
поток заполняет все пространство, в действительности же жидкость
движется через ту часть площади, которая занята порами. При коэф-
фициенте пористости грунта т Эта часть площади равна mZ.
§ 8]	ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СХЕМА ФИЛЬТРАЦИИ	37
Средняя скорость в порах при расходе AQ будет равна
<”=^-
Таким образом, из (2.3) и (2.4) вытекает связь между скоростью
фильтрации и средней скоростью в порах;
=	(2.5)
Так как всегда т < 1, то v < v*.
Введя статистическое понятие скорости фильтрации, непрерывно
изменяющейся в пространстве, занятом фильтрационным потоком, мы
приходим к понятию о линии тока, которое также имеет статисти-
ческий смысл. Линией тока фильтрационного потока называется такая
линия, касательная каждой точке которой совпадает с направлением
вектора скорости фильтрации в этой точке. Поверхность, проведен-
ную в фильтрационном потоке, с которой все линии тока пересекаются
ортогонально, будем называть живым сечением фильтрационного
потока.
Область пространства, занятую фильтрационным поiоком, назовем
областью фильтрации. Если скорости фильтрации и пьезометриче-
ские давления в точках данной области фильтрации изменяются во
времени, то такая фильтрация называется неустановившейся. Анали-
тически эго выражается в том, что названные скорости и давления
являются функциями координат области фильтрации и времени:
v=/(x, у, z, /); p = F(x, у, z, t).
Если скорости фильтрации и давления в точках области филыра-
ции не зависят от времени, то фильтрация называется установив-
шейся. В этом случае
у=/(х, у, z)', p = F{x, у, г}.
Участки границ, находящиеся в толще грунта, на которых давление
равно атмосферному, называются свободными поверхностями или по-
верхностями депрессии.
Поверхность депрессии образуется, например, при филырации
через земляную плотину.
Остановимся на уравнениях линий тока фильтрационного потока.
Обозначим через ds элемент линии тока, а через dx, dy и dz—про-
екции этого элемента на координатные оси. Далее, обозначим через vv,
vy и vz проекции скорости фильтрации v на те же координатные оси.
Очевидно, что
dx = ds cos я,
причем а — угол, составляемый направлением элемента ds с направ-
лением дси Ох, Проекция скорости фильтрации на ос> Ох будет
^ = ?СО8«,
38 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
так как, исходя из данного выше определения линии тока, углы,
составляемые скоростью фильтрации с осями координат, будут равны
углам, образуемым с осями координат направлением соответствующего
элемента линии тока.
Из последних двух выражений получим:
dx __ ds
Аналогичные выражения получаются и для двух других координат-
ных осей:
dy   ds ,	dz _ ds^
vy ~~ v ’	v* ~~ v '
Соединяя три последние равенства, получим:
= *У. =	(2.6)
Гд, Vy vx 
Уравнения (2.6) являются дифференциальными уравнениями линий
тока.
Исключив из рассмотрения, в геометрическом смысле, скелет
грунта при изучении фильтрации, мы, разумеется, не можем игно-
рировать силового воздействия этого скелета на поток. Скелет грунта
является основным фактором для сил сопротивления, возникающих
при обтекании реальной жидкостью частиц грунта. При обтекании
жидкостью частиц грунта возникающие при этом силы сопротивления
сводятся в общем случае, как известно, к результирующей силе
нормального давления па поверхность частицы и силе трения о по-
верхность, Полагая, что некоторый малый объем, выделенный н пори-
стой среде, имеет достаточно большое количество частиц груша, мы
приходим к тому, что силы сопротивления распределены равномерно
внутри объема. Таким образом, силы сопротивления при филыра-
ции пропорциональны объему и могут рассма грива гься как силы
объемные.
В дальнейшем мы подробно остановимся на зависимостях для сил
сопротивления, полученных экспериментальным путем и подтвержден-
ных теорией.
Итак, фиктивный фильтрационный поток, заменяющий реальный
поток фильтрующей жидкости, должен обладать следующими свой-
ствами. Расход фиктивного фильтрационного потока через любую
выделенную в пористой среде площадку равен расходу реального
потока через эту площадку. Давление фильтрационного потока ия
данную площадку равно давлению реального потока. Сила сопротив-
ления фильтрационного потока, приходящаяся на произвольно выделен-
ный в нем объем, равна реальной силе сопротивления того же объема.
Скорости фиктивного фильтрационного потока распределены вепре-
§ 9]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ
39
рывно в его объеме; они связаны со средними скоростями в порах
зависимостью (2.5).
Изложенная постановка вопроса об изучении фильтрации приводит
к возможности пользоваться обычной, принятой в гидромеханике мето-
дикой изучения движения жидкости. Мы имеем возможность пользо-
ваться дифференциальными уравнениями движения, полагая при этом,
что частные производные первого и второго порядков от скоростей
фильтрации и от давлений, взятые по координатам и времени, суще-
ствуют и являются непрерывными, за исключением некоторых отдель-
ных точек, линий и Поверхностей. Кроме особо оговоренных случаев,
мы будем в дальнейшем полагать, что пористая или трещиноватая
среда, в которой происходит фильтрация, не деформируется и в по-
рах и трещинах не происходит отложения и растворения твердого
Вещества.
§ 9. Основные уравнения фильтрации. Пользуясь понятиями,
изложенными в предыдущих параграфах, составим теперь уравнения
фильтрации в пористой среде. Предполагаем при этом, что пористая
среда является недеформи-
руемой, а плотность Жидко-
сти может изменяться (сжи-
маемая жидкость).
Выделим в фильтрацион-
ном потоке элементарный па-
раллелепипед с ребрами dx,
dy и dz, параллельными ко-
ординатным осям (фиг. 4).
Объем жидкости вi этом па-
раллелепипеде при коэффи-
циенте пористости грунтаjn
равен tndxdydz, а масса
ее -m^dxdydz, где р —
плотность жидкости.
Положим, что гидродинамическое давление в центре тяжести
параллелепипеда равно р. Тогда, пренебрегая бесконечно малыми
величинами высших порядков, найдем, что гидродинамическое давле-
, др dx ,	„
ние на правой грани параллелепипеда равно	а на лев°и
„ др dx
грани р—
Вычислим суммарные давления, передающиеся на выделенный объем
жидкости со стороны правой и левой граней. Заметим, что со стороны
любой грани на выделенный обьем действуют силы давления со сто-
роны окружающей его жидкости, передающиеся через сечения пор
грунта. Суммарная площадь сечений пор любой из названных выше
граней равна mdydz^ Вполне очевидно, чго давление на выделенный
Объем передаеТСЯ~йе только через ПЛОСКОСТИ Сечерцй пор, но И СО
40 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
стороны поверхностей частиц грунта (реакция), пересеченных пло-
скостями граней параллелепипеда1).
Как известно, параллельная оси Ох составляющая давления на
Криволинейную поверхность частицы равна давлению на проекцию
Этой поверхности на плоскость yOz. Названные проекции поверхно-
стей частиц, пересекаемых левой гранью параллелепипеда, показаны
на фиг. 4 в виде заштрихованных площадок. Суммарная площадь их
равна (1 — tn)dydz, а гидродинамическое давление на эту площадь
равно найденному выше давлению на левой грани. То же можно сказать
и в отношении правой грани параллелепипеда.
На основании сказанного можно написать, что давление на выде-
ленный объем по левой грани параллелепипеда сложится из двух сил:
во-первых, давления, передающегося через сечения пор,
m[p-^^dydz
и, во-вторых, давления, передающегося от внутренних поверхностей,
пересеченных гранью частиц грунта. Это последнее давление равно
параллельной оси Ох составляющей давления на эти поверхности:
(1 — in) (р —	dz.
Складывая два названных давления, получим полное давление на левую
грань:
( др dx\ ,
(.'’-ЖПГ?"'2'-
Оно направлено по внутренней нормали к левой грани.
Рассуждая подобным образом, получим давление на правую грань:
/	, др dx \ , ,
W дх 2)dydz>
оно направлено но внутренней пормали к правой грани.
Складывая полученные силы суммарного давления на левую и пра-
вую грани, учитывая направления этих сил, получим проекцию на
ось Ох равнодействующей давления на рассматриваемый объем:
) dy dz - ( Р + й ) dy dz = - Й dx dy dz 
Внутри выделенного параллелепипеда имеются равномерно распре-
деленные по объему частицы грунта. Они испытывают давление со
стороны окружающей их жидкости и, в свою очередь, передают По
J) Мы принимаем в дальнейшем выводе, что размеры частиц гоунтл
являются величинами высшего порядка малости по сравнению е Разменами
выделенного параллелепипеда, а кроме wo, что контакты между части..»™
являются точечными.	’ птицами
§ 9]	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ	41
третьему закону Ныоюна то же по величине, но обратное по знаку
давление на жидкость. Вследствие равномерности распределения частиц
груша силы давления, передающиеся на жидкость от каждой частицы,
распределены по всему обьему, гак что их можно считать обьемными
или массовыми силами. К этой же категории массо-ых сил относятся
также силы тяжести, действующие на жидкое 1Ь.
Не разделяя пока эти силы, примем, что на единицу выделенной
массы жидкое।и действует суммарная массовая сила Г, проекции
которой на коордишиные оси будут X, Y и Z-
Таким образом, проекция на ось Ох массовой силы, действующей
на данный обьем жидкости, будет равна
нцХ dx dy dz.
Кроме перечисленных сил па выделенный обьем дейстуют силы
сопрошвлепия. Теоретические решения, полученные для некоюрых
простейших случаев ooieu.wHi тел жидкос1ью, а также многочислен-
ные эксперимента.! ные исследования приводят к тому, что сила
сопро|ивления, ьо.и ик нопця при фильтрации в данном обьеме, в общем
случае выражайся как некоюрая функция числа Рейнольдса. В дш-
ном случае под числом Рейно щ ща следует понимать безразмерное
число, имеющее вид -- , i де v— скорост филырации, /—некото-
рый линейный параметр, хараюеризующий дшную nopnciyio среду,
например диаме|р чаыиц ipynr.i, v—кинематический коэффициент
вязкое!и жидкоеIи.
В § 8 было yci.iHon.ieno, чю силы сопротивления, возникающие
при фильтрации, можно рассмлринагь как силы обьемные или же
массовые. Следов.!ie паю, можно счш.нь, чю сила сопротивления
фильтрационною hoiok.i R, приложенная к вы тененному элемешу,
пропорциональна м icce жнцкосш в обь*ме j'leMcui.i и являшея функ-
цией числа Рейнольдс к Ооошачаем проекции на коордчн.ыные оси
силы сопро1ивл ч'ия, приходящейся па единицу массы жидкост,
через Rr, Rf/ и R . Го!да проекция на ось Ov силы со11ро1ивления,
действующей на выд? юнный обьем, будес
mpR г dx dy dz.
Далее, определим величину ускорения жидкости в вы деленном обьеме.
Заметим, что так как средняя величина ускорения равна производной
средней скорости по времени, а средняя скорость связана со скоро-
стью филырации t 1ВИСИМОСЧ.1О (2,5), го проекция ускорения жидко-
сти на oci. Or будет равна
1 dvT___ф / dvx  dvT dx	.	дуг dy	i	dvx dz .
m dt	m\ dt ' dx dt	'	dy dt	'	dz dt )'
42 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
Умножая проекцию ускорения на массу жидкости 1щ>Ах dy dz, полу-
чим проекцию силы инерции на ось Ох:
р-^у- dxdydz.
Напишем теперь для рассматриваемого обьема жидкости уравне-
ние движения, приравнивая последнее выражение сумме всех найден-
ных выше проекций сил:
р - dxdydz — — ~ dx dy dz	трХdx dy dz mpRj. dx dy dz.
Отсюда получаем:
dVg,
di

Применяя те же рассуждения к двум другим координатным осям Оу
и Oz, получим еще два уравнения, вполне аналогичных предыдущему.
В результате мы будем иметь следующую систему уравнений:
dv^
~аг
dvv
dt
+
1 др ,
(2.7)
T=-7<+mZ+''^-
§ 10. Уравнение неразрывности. Получив три динамических
уравнения фильтрации, составим теперь уравнение неразрывности
фильтрационного потока. Воспользуемся фиг. 4. Положим, что через
левую грань параллелепипеда втекает жидкость, причем скорость
фильтрации равна vx. За элемент времени dt через левую грань
с площадью dydz протекает масса yuxdy dzdt. Через правую грань,
отстоящую на расстоянии dx от левой грани, протекает за то же
время масса
РЧв dy dzdt~{-~ (pf J dx dy dz dt.
Разность масс притекающей внутрь параллелепипеда и вытекающей
из него жидкости равна
—dxdydz dt.
Эта масса, очевидно, накопляется в параллелепипеде за время dt.
Аналогичным путем легко показать, что вследствие фильтрации в на-
правлении оси Оу в параллелепипеде за время dt накопляется масса
—	(рт^) dx dy dz dt,
а вследствие фильтрации в направлении оси Oz — масса
-'^^dxdydzdt.
§ Ю]
УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
43
Суммируя три последних выражения, получим полную массу жидко-
сти, накопляемую в параллелепипеде за время dt\
г з (рчг)	а (ргу) а (ргг) 1
-	+“дГ“]Ах АУ dz At'
Масса жидкости, заполняющей параллелепипед, равна omdxdydz.
Ввиду изменения плотности р за промежуток времени dt эта масса
получит приращение
mdxdydzdt.
Два последних выражения для приращения массы жидкости в парал-
лелепипеде, полученные с различных точек зрения, очевидно, могут
быть приравнены:
г a (pt'j a (pvj,) а (?г>г) -i	ар
— ------4-...д — + —ч— dx dy dzdt — -^- т dxdvdz dt.
L dx 1 dy 1 dz J z	dt
Отсюда получаем уравнение
« + «+*il+ * 0,	(2.8)
dx 1 dy 1 dz 1 dt
Эго уравнение называется уравнением неразрывности фильтрацион-
ного потока.
В некоторых случаях
весьма полезно пользоваться
уравнением неразрывности
в других координатных си-
стемах. Выведем уравнение
неразрывности в цилиндри-
ческих координатах г, 0 и z.
Воспользуемся методом, ко-
торый только что был при-
менен при выводе уравнения
неразрывности в прямоуголь-
ных координатах. Выделим
в области фильтрации эле-
ментарный обьем, образо-
ванный тремя парами беско-
нечно близких координатных
поверхностей (фиг. 5). Обо-
значим через v,, -т»9 и vz проекции скорости фильтрации на напра-
вления координат, как показано на фиг. 5. Через заднюю грань выде-
ленной ячейки за единицу времени *) втекает масса жидкости pf, rd^tdz,
i) Для сокращения записи будем относить расчеты условно к единице
времени. В действительности же, конечно, все величины относятся к элемен-
тарному промежутку времени.
44 ФИЗИЧЕСКИЕ и математические основы теории фильтрации [гл. 2
через переднюю грань за единицу времени вытекает масса
<yu,rdh dz-’--^r (pvrr) dr d’) dz.
При этом накопление массы жидкости равно разности обеих масс:
— ^(^.rydrdhdz.
Через левую грань за единицу времени втекает масса yvi,drdz, а через
правую грань вытекает
р^о drdz 4- -Д- (pWj dr d't dz.
Накопление массы равно
—-Д ^drd'idz.
Наконец, через нижнюю грань за единицу времени втекает масса
yvtrdrdl), вытекает через верхнюю грань
рту dr db -j-	(рт/г) г dr d1) dz.
Накопление массы будет при этом
--->rdrd4dz.
dz ' ~
Таким образом, суммарное накопление массы жидкое!и за единицу
времени
~ [уг + уо + dz г] dr df) dz-
С другой стороны, если в некоторый момент масса жидкости,
заполняющей ячейку, равна ni[>rdrdbdz, то за единицу времени эта
масса получит приращение и станет равной
тьг dr </') dzA-m~-rdr d'i dz,
причем приращение массы жидкости за единицу времени будет равно
tn ~-rdr d<) dz.
ot
Приравнивая выведенные два выражения для накопления массы
жидкости за единицу времени и сокращая полученное уравнение
па rdrd^dz, будем иметь:	г
г dr М	I—F +	=	(2.9)
§ Ю]
УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
45
Мы получили уравнение неразрывности в цилиндрических коор-
динатах.
Далее, выведем уравнение неразрывности в сферических коорди-
натах г, 0, ф. Выделим в области фильтрации элементарный объем,
ограниченный тремя парами бесконечно близких координатных по-
верхностей (фиг. 6). Обозначим через v,., и V,проекции скоростей
фильтрации на направления координат. Через левую грань выделенной
ячейки за единицу времени втекает
масса жидкости рт/г г sin 0 «Уф rd4, где
г sin 0 </ф и г М — длины сторон ле-
вой грани. Через правую грань за то
же время вытекает:
[>vrr sin 0 d'\ г d<i -f~
+ -зг (Р®г г sin 0 ^Ф г d<>) dr.
or ' r 1
Накопление массы жидкости в ячей-
ке равно разности обеих масс:
— ^7 (pfrr2) sin 0 dr d<i d<\.
Через верхнюю грань за единицу времени втекает масса р^ dr г sin 0 </ф,
а через нижнюю грань вытекает:
pi»e dr г sin 0 т/ф -f~	(p®e dr г sin 0 </ф) d4.
Следовательно, накопление массы за единицу времени равно
— X (р% siп 0' г dr d1') d'b.
dt, v у
Через переднюю грань за единицу времени втекает масса р^ dr г d4,
а через заднюю грань вытекает:
dr г d4 4- 4l (!>Рф dr г d4) d'b;
следовательно, накопление массы равно
— ^^rdrdnd^.
Складывая полученные три величины накопления массы, получим:
0 + д (pvn sin 6) r £(Р*£ rl dr dl) d*.
[dr	dt) * dy J ‘
Заметив, что объем выделенной ячейки равен dr г sin 0 d(i г с/ф,
найдем аналогично предыдущему, что приращение массы жидкости
за единицу времени будет:
т С? dr г sin 0 d4 г d<b.
at	‘
4f> ФИЗИЧкСКИЁ и математический ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЫРАЦИИ [гл. '2
Приравнивая выведенные два выражения для приращения массы
и сокращая полученное равенство на dr г sin 0 d'j rdfi, мы получим
уравнение неразрывности в сферических координатах’.
1 дЩ ,_______1 д (ргл, sin 0) ._1	т = 0. (2.10)
г* dr ‘ г sin 0 (М 'г мп 0 O'j	at
Итак, мы Получили четыре дифференциальных уравнения: три
уравнения фильтрации (2.7) и уравнение неразрывности, например
в форме (2.8). В качестве пятого уравнения мы воспользуемся изве-
стным из физики характеристическим уравнением (уравнением
состояния), выражающим связь между давлением р и плотностью о’
^=ф(р).	(2.11)
Как известно из физики, данное уравнение представляйся в различной
форме, в зависимости от характера процесса '). Частные случаи этою
уравнения, имеющие практическое значение при изучении фильтрации
газа, приведены в § 16.
Уравнения (2.7), (2.8; и (2.11) образует полную систему урав-
нений неустановившейся фильтрации сжимаемой жидкости (газа)
в недеформируемой пористой среде при любом законе conpoiявления.
Из этой системы уравнений путем интегрирования можно определить
пять неизвестных величин, характеризующих фильтрацию: проекции
скоростей фильтрации, 1идродинамическое давление и плотность
фильтрующейся жидкости.
В уравнения (2.7) вошла сила сопротивления, для которой, оче-
видно, необходимо иметь соответствующее выражение. Такое выра-
жение можно получить только при изучении филырации в различных
пористых средах, что и явилось предметом мш» очисл чшых исследо-
ваний, проводившихся начиная с ня1идесягыч । одов iipoiiuoi о столетия
по настоящее время.
Прежде чем перейти к изучению фильтрации в различных усло-
виях, мы остановимся на выяснении зависимое^ для силы сопроти-
вления или, иначе говоря, на законе сопри1ивлепия при фильтрации.
§ И. Законы сопротивления при фильтрации. В § 8 были
приведены общие соображения относительно сил сопротивления при
фильтрации. Вопрос о законе сопротивления при фильтрации в песча-
ных грунтах был впервые экспериментально исследован Дарси
в 1852—1855 гг.2). Результаты этих исследований были обобщены
в форме зависимости, представляющей собою закон сопротивления
при фильтрации, известный под названием закона Дарси. Впослед-
ствии этот закон был распространен и на дру1ие грунты и пористые
материалы, например: глинистые и торфяные грунты, мелкотрещино-
ватые породы, бетой и т. д. * s
В Подробнее о характеристическом уравнении см. [151.
s) Darcy Н., Les fontaines publlques de la vllle de Dijon. Paris, 1856.
§ ill	ЗАКОНЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ
47
Положим, что в цилиндрической трубе, заполненной грунтом
(фиг. 7), происходит фильтрация в направлении, указанном на чер-
теже. Пусть полная площадь сечения трубы будет ®, р} и р2— гид-
родинамические давления в некоторых точках сечений 1—1 и 2—2, у—
удельный вес фильтрующейся
точек сечений 1—1 и 2—2.
Как известно, пьезометриче-
ские напоры в сечениях 1 — 1
и 2 — 2 будут:
/г„ = г2 + ^.
2	7
Заметим, что скоростной
напор при фильтрации, рав-
ный
h
(2.12)
(2.13)
жидкости, г, и г2—отметки тех жр
с пьезометрическим напором. Поэтому
f-
2^/п* ’
ввиду малости скорое ги филь-
трации V1} является крайне
малой величиной по сравнению
при исследовании вопросов фильтрации скоростными напорами пре-
небрегают. Таким же образом будем поступать и мы во всем даль-
нейшем изложении.
Потери напора на участке длиной I изображенной на фиг. 7
грубы будут:
(2.14)
*«,= /Ч —Л.,.
Пьезометрический уклон (градиент напора)
j - z
(2.15)
Закон Дарси устанавливает, что расход фильтрующейся жидкости
Q линейно зависит от потери плюра па данном участке:
Q =	(2.16)
где k — коэффициент, характеризующий фильтрационные свойства
грунта применительно к данной жидкости, называемый коэффициен-
том фильтрации. Коэффициент фильтрации играет весьма важную
роль в фильтрационных расчетах, а потому изучению этой величины
было посвящено большое количество экспериментальных и теорети-
ческих исследований. Коэффициент фильтрации имеет размерность
скорости.
’) Скорости фильтрации в обычных случаях не превосходят десятых
долей сантиметра в секунду.
48 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ (гл. 2
На основании (2.14) и (2.15) зависимость 2.16) представится
в виде
Q = kwj.	2.17
Если же иметь в виду, что скорость фильтраций
Q
v — ~
10
(2.18*
то закон Дарси можно представить в такой форме:
v - - kJ.
(2.19)
Таким образом, по закону Дарси потери напора при фильтра-
ции зависят линейно от скорости фильтрации.
При изучении фильтрации жидкостей, отличных от воды (нефть,
газы, растворы солей и т. д.), представляется удобным харакгерию-
вать фильтрационные свойства пористой среды независимо от рода
жидкости. С этой целью представим зависимость (2.19) в следую-
щем виде:
Н *
(2.20)
где р. — коэффициент вязкости жидкости, > — кинематический коэф-
фициент вязкости, с — коэффициент проницаемости пористой среды.
,.	(длина)2	.
Имея в виду, что v имеет размерность	получим из фор-
мулы (2.20), что коэффициент проницаемости с имеет размерность
площади. Эта величина характеризует геомегрические свойства по-
ристой среды, не зависит от рода филырующей жидкости и опре-
деляется величигой диаметра зерен грунта и их взаимным располо-
жением. О практических единицах измерения с будет сказано в сле-
дующем параграфе.
Связь между коэффициентом фильтрации k и коэффициентом
проницаемости с вытекает из сравнения формул (2.19) и (2.20):
* = —= = —
И- х ’	т g
Вопросами теоретического обоснования закона Дарси занимались
многие исследователи Не останавливаясь на полученных ими при-
ближенных выводах, укажем, что закон Дарси находит вполне удо-
влетворительное теоретическое объяснение. Действительно, скорости
движения жидкости при фильтрации обычно крайне малы. Тах на-
пример, даже в крупнозернистых песках они измеряются долями
миллиметра в секунду. Естественно—и это подтверждается экспе-
риментами, — что движение жидкости в порах будет ламинарным и
(2.21)
§ 111	ЗАКОНЫ Сопротивления ПРИ ФИЛЬТРАЦИЙ	49
притом оно характеризуется весьма малыми числами Рейнольдса J).
Но, как известно из i идромеханики, в гаком случае в потоке пре-
обладают силы вязкости, силы же инерции по сравнению с силами
вязкости весьма малы. В курсах гидромеханики доказывается, что
при таком условии силы сопротивлении вообще пропорциональны
первой степени скорости [15]. В гидромеханике имеется ряд задач,
теоретически решенных в указанных условиях [15]. Таковы, например,
задача об обтекании шара, цилиндра и эллипсоида, задача о плоском
течении между двумя пластинками. Во всех имеющихся точных тео-
ретических решениях сила сопротивления при движении жидкости
пропорциональна первой степени скорости. Очевидно, что в решении
задачи о движении жидкости по порам или мелким трещинам любой
формы мы получили бы аналогичный результат, т. е. сопротивления
выразились бы в форме закона Дарси.
Из приведенных рассуждений следует еще и тот вывод, что при
значительных величинах скоростей в порах или трещинах силы инер-
ции в жидкости Moiyr стать соизмеримыми с силами трения. То1да
линейная зависимость между скоростью и силами сопротивления на-
рушается и закон Дарси перестает быть применимым. Эго обстоя-
тельство было замечено при экспериментальных исследованиях филь-
трации. Исследования показывают, что закон Дарси может приме-
няться лишь в известных пределах. Правда, эти пределы практически
весьма широки. Однако, например, при фильтрации в крупнозерни-
стом материале, в каменной наброске закон Дарси не имеет места.
Известно, что число Рейнольдса характеризует отношение сил
инерции к силам трения в потоке жидкости. Естественно потому, что
эго число должно явиться критерием применимости закона Дарси. При
известном значении числа Рейнольдса закон Дарси должен наруша гься.
Так это и следует из экспериментальных исследований различных
авторов. Значение числа Рейнольдса, при котором происходит откло-
нение от закона Дарси, обычно называйся критическим* 2).
Впервые критерий нрименимосги закона Дарси, основанный на
числе Рейнольдса, предложил Н. Н. Павловский [2]. Он использовал
для числа Рейнольдса следующее выражение:
В = 0,75m -ь 0,23 V ’	(2.22)
где v — скорость фильтрации, d — эффективный диаметр частиц
’) Число Рейнольдса при фильтрации в трутах можно составить, на-
npi мер, из скорости фильтрации о, диаметра частиц грунта d и кинематиче-
ского коэффициента вязкости ч. Тогда R == —.
У
2) Это «критическое» значение числа Рейнольдса не имеет ничего общего
с тем критическим его значением, при котором ламинарное течение жидко-
сти переходит в турбулентное.
50 ФИЗИЧЁСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [1*Л. 2
грунта 1), v — кинематический коэффициент вязкости и т— коэффи-
циент пористости.
При этом критическое значение числа Рейнольдса, полученное из
опытов,	„
RKp = 7 — 9.	(2.23)
В позднейших работах дру<их авторов число Рейнольдса имеет
иные выражения. Так, М.
Д. Миллионщиков [16) предлагает формулу
R== —,	(2.24)
причем линейная величина 1—у
Критическое значение для числа Рейнольдса будет RKp = 0,022.
Как следует из опытов., отклонение от закона Дарси при филь-
трации происходит весьма медленно, так что трудно указать точно
1раницу, 1де закон Дарси становится практически неприменимым.
Далее можно заметить, что критическое значение числа Рейнол! дса
должно зависеть от формы частиц грунта. Действительно, отклонение
от закона Дарси происходит за счет относительного возрастания сил
инерции, а эти силы зависят от формы пор, т. е. от формы частиц
На фиг. 8 приведены опытные точки, полученные
университете (США) при исследовании фильтрации
среду, образованную из массы шаров (дроби).
в Колумбийском
через пористую
‘) См. § 12.
§ 11]	ЗАКОНЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ	51
По горизонтальной оси отложены логарифмы параметра
vd
Rm и ,	(2.25)
подобного числу Рейнольдса, но с в..еденной в него функцией коэф-
фициента пористости in. По вертикальной оси отложены логарифмы
величин
=	(2.26)
где — приведенный коэффициент сопротивления, определяемый из
формулы
(2,27)
где J — пьезометрический уклон.
Последняя формула подобна известной формуле сопротивлений для
труб и содержит лии ь безразмерную функцию от т. Как видно из
расположении опытных точек па iрафике (фик 8), при малых числах
Rm величина Ст практически является постоянной и равной Ст — 710.
Начиная с Rz/i — 10 — 20, Ст увеличивается. Постоянство значений
Ст при малых R„, указывает на то, что обратно пропорциональна
величине Rm, иначе юворя, скорости фильтрации v (2.25). Следова-
тельно, потери напора или же пьезометрический уклон находятся, как
следует из формулы (2.27), в линейной зависимости от v. А эго,
в с..ою очередь, подтверждает правильность закона Дарси при ма-
лых Rm.
На фиг. 9 даны результаты подобных же опытов с песками и
гравием различных форм частиц. Разные сорта песка и iравия обо-
значены на чертеже различными обозначе! иями опытных точек. На
графике проведена кривая, взятая с фит. 8 и отвечающая сферическим
частицам. Как видим, закон изменения Ст в зависимости от Rm для
неправильных частиц будет тот же, что и для чащиц сферических.
Здесь постоянство величины Ст, а следовательно, и примепимос'п
закона Дарси нарушается приблизительно при R„, > 6.
Из рассмотрения приведенных опытных 1 рафиков вытекает, что
дать точное критическое значение числа Рейнольдса практически не-
возможно даже для песчаных 1рунтов. Однако для песчаных и ipa-
велисгых грунтов (а именно для них вопрос о применимости закона
Дарси имеет наибольшее практическое значение) все же можно наме-
тить пределы применимости этою закона. Именно, можно сказать,
что закон Дарси применим практически в пределах
— 6.	(2.28)
Имеются опыты, показывающие, что для сцементированных песков
критическое значение числа Рейнольдса, характеризующее границу
применимости линейного закона сопротивления при фильтрации,
52 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ |гл. 2
понижается до единицы [22]. Надо заметить, однако, чго вообще откло-
нение от закона Дарси при увеличении числа Рейнольдса происходит
весьма медленно. Кроме того, вопрос об ошибке, которую мы полу-
чим, пользуясь законом Дарси за указанными пределами, в настоящее
время еще не исследован.
При наличии границы применимости закона Дарси, естественно,
возникла мысль дать универсальное выражение для закона фильтра-
ции, приложимое за пределами применимости закона Дарси. Можно
перечислить целый ряд попыток в этом направлении. Остановимся на
некоторых характерных универсальных выражениях для закона филь-
трации, полученных из опытов. Повидимому, наиболее оправданной
с теоретической и экспериментальной точек зрения является следую-
щая форма закона сопротивления при фильтрации [10]:
J= Av-{- Bv"1,	(2.29)
где А и В — эмпирические коэффициенты, зависящие от размеров
чаоиц гранта и вязкости жидкости. При малых значениях скорости
фильтрации второй член правей части (2.29) становится значительно
меньше первого. Пренебрегая вторым членом, мы приходим к форме
закона Дарси. Наоборот, при больп их значениях скоростей фильтра-
ции первый член пренебрежимо мал по сравнению со вторым членом.
Пренебрегая первым членом, мы приходим к квадратичной зависимо-
сти для закона сопротивления:
J =	(2.30)
Эксиериме! тальные данные показывают, что при больп их числах
Рейнольдса, когда движение жидкости в порах становится турбуленТ-
§12] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ГРУНТОВ 53
ным, закон фильтрации становится квадратичным, г. е. потери напора
будут пропорциональны второй степени скорости.
Выражение (2.30) по Н. Н. Павловскому пристически предста-
вляется в виде
/7,	(2.31)
где D — эмпирический коэффициент, З1висящий о г диалетра частиц
и вязкости жидкости [3].
Формула (2.31) часто используется при практических расчетах
фильтрации в каменной наброске ’)•
Часто в практике фильтрационных расчетов применяется другое
выражение для универсального закона фильтрации:
ъ = Юи’\	(2.32'
где А' и п — фильтрационные характеристики грунта, причем первая
из них аналогична коэффициенту фильтрации грунта. Показатель п
изменяется в пределах от единицы до двух. Первое его значение
соответствует фильтрации в пределах применимости закона Дарси,
второе — турбулентной фильтрации при квадратичном законе сопро-
тивления.
Отклонение фильтрации от закона Дарси происходит уже
при сравнительно малых числах Рейнольдса. Таким образом, нару-
шение закона Дарси вовсе не свидетельствует о переходе к турбу-
лентному режиму. Турбулентный режим возникает при числах Рей-
нольдса, во много раз больших тех чисел Рейнольдса, при которых
наблюдается отклонение от закона Дарси.
Практика показьпиег, что закон Д'рси имеет место я большин-
стве практических случаев фильтрации, как-то: в случаях филь-
трации в гидротехнических сооружениях и их основаниях, фильтр щии
нефти и газа в пластах, фильтрации природных грунтовых водит, д.
Позднейшие исследования Г. М. Ломизе подтверждают, что во многих
случаях фильтрация в грещипова гых горных породах происходит по
линейному закону [25|.
Как показывает последующее изложение, линейный закон филь-
трации позволю? получить такие дифференциальные уравнения филь-
трации, интегрирование которых возможно во многих практически
интересных случаях. Кроме того, наличие закона Дарси в ряде задач,
не подд1ющихся точному решению, дает возможность применения
достаточно простых способов экспериментального решения.
§ 12. Определение фильтрационных характеристик грунтов.
Как сказано в § 11, проницаемость грунта с должна завис*гь только
от геометрических свойств проницаемой среды, г. е. от диаметр!
частиц грунта d и его коэффициента пористости, определяющего
характер взаимного расположения частиц. Этот коэффициент имеет
плоти НапРимеР’ в дренах, заполненных каменной наброской, перемычках
54 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [гл. 2
размерность площади. Следовательно, коэффициент проницаемости
можно выразить следующей формулой:
c = c0rf2,	(2.33)
где Со — постоянный безразмерный коэффициент зависящий от без-
размерных параметров пористой среды, ыких, как порисюси., форма
зерен.
Коэффициент филыраиии па основании формул (2.21) и (2.33)
должен определяться следующей формулой:
fe = cog-^ =fe0-v-	(2,34'
Если известен коэффициент филыр.щии ipyiiia fe, применительно
к жидкости с кинематической вязкостно и нужно определить коэф-
фициент фильтрации того же грунта в отношении другой жидкости
с кинематической вязкостью v.„ то, пользуясь формулой (2.21), полу-
чим, имея в виду, что коэффициент проницаемости не зависит от
свойств жидкости,
= Х	(2.35)
откуда
k2='±kv
Коэффициент фильтрации I рун га может быть определен одним ш
следующих способов:
а)	по формулам, в которые входят данные механическою анализ.!
грунта;
б)	экспериментальным путем, посредством исследования образцов
трунта на специальных приборах и
в)	посредством изучения фильтрации в природных условиях.
Формулы для определения коэффициента фильтрации по данным
механического анализа трунта получены на основании эксперимен-
тальных исследований различными авторами. Все эти формулы прин-
ципиально имеют структуру формулы (2.34', однако в них фигури-
руют различные коэффициенты, учитывающие свойства пористой среды
и вязкость жидкости. Приводимые ниже формулы различных авторов
получены для воды и для песчаных грунтов. Так как формула (2.34)
дана в предположении, что частицы грунта одинаковы, а реальные
песчаные грунты составлены из различных фракций, то при полу-
чении указанных формул возникла необходимость характеризовать
песчаные трунты некоторым средним размером частицы. Иначе говоря,
требовалось привести данный грунт к фиктивному грунту, образован-
ному из одинаковых шарообразных частиц. Диаметр такой «средней»
частицы называется «действующим» или «эффективным» диаметром.
Способы нахождения эффективного диаметра у разных авторов
§ 12] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ГРУНТОВ 55
По формуле Хезепа
k — cdi~ (м/сутки},	(2.36)
где с' — «коэффициент загрязнения», зависящий or количества или-
стых и глинистых частиц, примешанных к песку, причем для чистых
песков с' - =-1000-—700, для «загрязненных» — с' = 700 — 500; dP—
эффективный диаметр частицы в миллиметрах, определяемый по кри-
вой механического анализа и равный размеру частицы, меньше кото-
рого в данном грунте содержится 10°/,, частиц но весу (см. фиг. 1);
т—температурный коэффициент, равный
т =0,7 + 0,037,	(2.37)
где Т—температура воды в °C.
Формула Хезепа применима для песков при dK, лежащем в пре-
делах от 0,1 до 3,0 мм, причем коэффициент неоднородности должен
быть не больше 5. Коэффициентом неоднородности называется отно-
шение , где do—'Контролирующий диаметр—размер такой частицы,
меньше которой в данном i рун те содержится 60°/0 частиц по весу.
На фиг. 1 показаны величины dt, и d0.
Имеется целый ряд формул для определения коэффициента филь-
трации, в которых эффек1изный диаметр находится на основании
приведения данного грунта к грунту фиктивному, образованному из
одинаковых шарообразных частиц. Поверхность этих фиктивных частиц
в единице объема грунта и число их должны быть равны поверх-
ности и числу всех частиц реального грунта, взягоговтом же обьеме.
Примером такого типа формул является формула Е. А. Замарина:
k = 7,94 7=^-.., сл/f, [см сск).	(2.38)
В этой формуле с, является коэффициентом, зависящим от коэффи-
циента нористос1и грунта. Ею значения берутся из таблицы 3.
Т а блица 3
Значения коэффициента с.
т		т	<1	т	Cl	1	
0,27	0,757	0,32	0,632	0,37	0,518	! 0,42	0,416
0,28	0,731	0,33	0,608	0.38	0,497	0,43	0,397
0,29	0,706	0,34	0,585	0,39	0,476	0,44	0,378
0,30	0,680	0,35	0,562	0,40	0,456	0,45	0,360
0,31	0,656	| 0,36	0 540 |	0,41	0,435	0,46	0,342
56 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
Температурный коэффициент т берется в зависимости о г темпе-
ратуры Т из таблицы 4.
Таблица 4
Значения температурного коэффициента
т		Т	т	Т	Т 1	Т	с J	Т	т
0	0,588	6	0,721	12	0,8541	18	1,00	24	1,155
1	0,612	7	0,744	13	0,878	19	1,025	25	1.1М)
2	0,635	8	0,766	14	0,902	20	1,052	26	1,313
3	0,656	9	0,786	1 15	0,926	21	1,080	27	1,620
4	0,676	10	0,807	16	0,950	, 22	1,107	28	1,926
I5	0,698	11	0,837	1 17	0,975	23 1	1,131	29	2,231
Эффективный диаметр находится из формулы
1
de
(2.39)
iде dj — наибольший диаметр последней фракции (d < 0,0025 мм},
— вес грунта этой фракции в долях от общего веса грунта
(фиг. 10), d( и dt+i — крайние диа-
метры данной фракции частиц, —
угловой коэффициент прямолинейного
отрезка кривой механического аналита
(фиг. 10), равный
<>i ~= tg а< =
___
dt — d(
(2.40)
причем — вес данной фракции в до-
лях от общего веса грунта.
Если кривая механического анализа
пересекается с осью абсцисс, то
причем суммирование начинается с
По формуле И. И. Зауербрея
крайней (мелкой) фракции.
^3,49-^х4
(2.42)
n
1^+2
d{ t \
di '
где т — температурный коэффициент, определяемый по табл. 4	—
эффективный диаметр, находящийся по кривой механического анализе
§ 12] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ГРУНТОВ 57
(фиг. 1) и равный размеру частицы, меньше которой в данном грунте
содержится 17°/о частиц по весу. Формула (2.42) рекомендуется для
песков с крупностью зерен не свыше 0,5 мм.
Имеются и другие формулы для определения коэффициента филь-
трации песков, а также глин [2, 13, 17].
Определение коэффициента фильтрации грунта экспериментальным
путем производится с помощью особых
тцаются образцы естественного грунта.
Схема одного из подобных приборов
изображена на фиг. 11. В рабочую
часть прибора закладывается грунт (пе-
сок, суглинок) и трамбуется до задан-
ной плотности. Грунт опирается на
бронзовую решетку, сквозь которую
снизу подводится вода. Напор Н =
= Aj — Ag, который теряется при филь-
трации, задается с помощью установки
на определ?! ную отметку напорного
бачка. Излишек воды, поступающей
в напорный бачок, сливается через во-
дослив. Обычно при опрзделенги ко-
эффициента фильтрации задается гра-
диент напора где I—рабочая дли-
на образца.
Во время опыта замеряется обьем W
профильтровавшей воды, собираемой
приборов, в которые поме-
в мерный сосуд, промежуток времени f, в течение которого нро-
фгльтровывается объем 1Г, температура воды, а также показания
пьезометров, расположенных на концах рабочей части образца. Раз-
ность показаний пьезометров дает теряемый при фильтрации напор 7/.
Имея эти данные, найдем расход —, а зная площадь сече-
ния прибора ш, определим коэффициент фильтрации:
k
и>Н"
(2.43)
Как было сказано выше, коэффициент фильтрации имеет размер-
ность скорости. Практически он обычно измеряется в см'сек, м сек и
м'сутки. Зная коэффициент фильтрации грунта для воды при данной
температуре, можно по формуле (2.35) определить коэффициент филь-
трации для воды при другой температуре или для другой жидкости.
При определении коэффициента фильтрации следует проводить
ряд опытов при различных градиентах J =
Необходимо иметь в виду, что коэффициент фильтрации при опре-
деленен егр описанным способом может значительно ЦЗМНЯГЖМ
58 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
во времени. Причиной этого изменения является часто перемещение
внутри грунта мелких частив, обусловленное действием на них гидро-
динамических сил. При этом часть мелких частиц может быть выне-
сена из образца или же перемещена в другую зону грунта, где
частицы отлагаются в крупных порах. Эти явления сопровождаются
иногда значительными изменениями во времени коэффициента фильтра-
ции. Часто причиной уменьшения коэффициента фильтрации является
выделение растворенного в воде воздуха. Во избежание этого явления
применяется дистиллированная, подогретая или вакуумированная вода.
Применение нефти в качестве фильтрующейся жидкости ослож-
няется отложением на поверхности песчинок наиболее вязких частиц
нефти. Имеются и другие причины изменения коэффициента фильтра-
ции во времени при производстве лабораторных исследований [17].
За последние годы получило распространение определение коэф-
фициента проницаемости пористой среды с помощью фильтрации воз-
духа. При этом устраняются закупорка пор воздушными пузырь-
ками, отложение вязких веществ (при использовании нефти) и дру1ие
нежелательные явления.
При фильтрации воздуха через образец необходимо определять
при опытах: давления в начале и конце рабочей части образца ру и р.,,
расход воздуха Qcp, отнесенный к среднему давлению , и тем-
пературу воздуха.
При определении коэффициента проницаемости можно воспользо-
вапся формулой (3.49):
нО,,/
оЧ/Ц- р-У
(2.44)
где I—длина рабочей части образца, о> — площадь живою сечения,
V-—коэффициент вязкости воздуха. Коэффициент вязкости сравни-
тельно мало зависит от давления и определяется по таблицам в зави-
симости от температуры воздуха.
Выше было сказано, что коэффициент проницаемости имеет раз-
мерность площади. Практической единицей проницаемости служит
«дарси». Эта единица равняется 10~8 см*.
Если в формуле (2.44) Qcp выражать в см'л]сек, I -в см, <о —
В СЖ2’Л“В сантипУазах (°>01 г^м-сек), р} и р2 —в атмосферах,
то коэффициент с получается в единицах дарси.
Отметим, что определение коэффициента проницаемости при филь-
трации воздуха и воды дает весьма близкие результаты 1181. Имея
коэффициент фильтрации, выраженный в см1сек, можно получить
коэффициент проницаемости в дарси по следующей формуле:
с = 100 ООО vk,	(2.45)
где v выражается в стоксах (см^сек),
§ 13| КЛАССИФИКАЦИЯ ГРУНТОВ НО их ФИЛЬТРАЦИОННЫМ СВОЙСТВАМ 59
Для экспериментального определения коэффициента фильтрации
в настоящее время разработан ряд технических правил и различных
приборов (11, 17[. Имеются приборы, предназначенные для опре-
деления коэффициента фильтрации глин, скальных пород и т. д.
Более подробные сведения но изложенному вопросу приведены в
главе 13.
Определение коэффициента фильтрации но формулам, основанным
на механическом анализе грунта, обычно носит ориентировочный ха-
рактер. Экспериментальные способы определения коэффициентов филь-
трации и проницаемости дают более точные значения этих коэффи-
циентов. Однако экспериментальное определение коэффициентов филь-
трации и проницаемости сопряжено с рядом технических затруднений.
Прежде всего, образец, подвергающийся исследованию, не может
точно характеризовать фильтрационную способность грунта интере-
сующего нас целого района. При этом возникают трудности, связан-
ные с сохранением естественной структуры i рунта при укладке его
в приборы. Многие грунты имеют тонкослоистую структуру и коэф-
фициент фильтрации таких грунтов зависит or направления фильтрации.
Следует также отметить влияние защемленного воздуха в образ-
цах, влияние внутреннего размыва и отложения мелких частиц, совер-
шающихся различно при различных градиентах напора. Все указанные
обстоятельства влияют на
ных исследований фильтра-
ционных свойств грунтов.
Поэтому в ответственных
случаях проектирования оп-
ределение фильтрационных
характеристик производится
«полевыми» методами, т. е.
посредством изучения филь-
трации в природных усло-
виях. Основные сведения об
этих методах даны в гла-
ве 13.
Для суждения о величине
коэффициента фильтрации в
таблице 5 приводятся ориен-
тировочные значения коэф-
фициента фильтрации раз-
личных грунтов при филь-
трации воды.
Из приведенной таблицы
трации грунтов даже одних
точность результатов эксперименгаль-
Таблица 5
Коэффициент фильтрации грунтов
Наименование грунтов	Средние значения /г в см [сек
Глина 	 Суьпинж 	 (днесь плошая . . . Шскп глинистые . . Песок мелкозерни- стый и супесь рых- лая 	 Песок крзпнозернн- С1ЫЙ	 Гачечньк с песком .	0,000001 и ниже 0,0001 и ниже 0,0001 — 0,0005 0,0001— 0,002 0,001 —0,005 0,01 — 0,05 0,02 —0,1
видно, что значения коэффициента филь-
и тех же наименований изменяются в ши-
роких пределах.
§ 18. Классификация грунтов по их фильтрационным свой-
?т>ам. Фильтрационные свойства грунтов часто определяют метод
60 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ФИЛЬТРАЦИИ }гл. 2
фильтрационного расчета. Поэтому является целесообразным дать
классификацию грунтов по их фильтрационным свойствам.
Абсолютно непроницаемых грунтов в природе не имеется. Обычно
непроницаемым грунтом называется грунт, проницаемость которого
весьма мала по сравнению с проницаемостью грунта соседнего слоя.
Тогда в зависимости от соотношений коэффициентов проницаемости
обоих грунтов, а также от характера данной фильтрационной задачи
первый грунт можно считать непроницаемым. Таким образом, непро-
ницаемость грунта имеет относительное значение.
Проницаемые грунты можно подразделить на грунты изотропные
и анизотропные. В любой точке изотропного грунта коэффициент
проницаемости (фильтрации) не зависит от направленна скорости
фильтрации. Изотропные грунты, в свою очередь, подразделяются на
однородные и неоднородные. В однородных грунтах коэффициент
проницаемости не зависит от координат области фильтрации, являясь
постоянным. В неоднородных изотропных грунтах коэффициент прони-
цаемости зависит от координат области фильтрации.
В анизотропных грунтах коэффициент проницаемости (фильтрации)
в данной точке зависит
от направления скорости фильтрации.
На фиг. 12 показана схема изменения
коэффициента фильтрации анизотропного
грунта в точке А. Модуль радиуса век-
тора k пропорционален величине коэф-
фициента фильтрации k, направление ра-
диуса вектора совпадает с напра лением
скорости фильтрации. Имеется два харак-
терных направления, для которых коэф-
фициент фильтрации достигает максималь-
ного и минимального &min значений, как показано на фиг. 12. Эти
два направления, а также третье направление, перпендикулярное им,
можно назвать главными направлениями анизотропии грунта. Анизо-
тропные грунты нередковегре-
чаются в природе. Примером
анизотропных грунтов являются
песчаники, лессовые грунты.
Часто анизотропность грунта
обусловлена тем, что этот грунт
образован из чередующихся тон-
ких изотропных слоев с двумя
.	.	различными значениями коэф-
фициента. Анизотропная проницаемость грунта может быть также
обусловлена наличием трещии, ориентированных в определенных на-
щышыниях, ЧГ° часго набл[°Дается в трещиноватых скалистых породах.
Рассмотрим подробно случай точкослоистого анизотропного грунта.
ЧТ° ИМеГСЯ ГРУВТ’ «^юанный и» изотропных слоев
С коэффициентами фильтрации к' и к” (фиг, 13), Пусть слои имеют

К,
':К.г
Фиг. 13.
§ 13] КЛАССИФИКАЦИЯ ГЯУЙТОВ ПО ИХ ФИЛЬТРАЦИОННЫМ СВОЙСТВАМ 61
одинаковую толщину 8. Рассмотрим сначала фильтрацию вдоль слоев.
Если падение напора на длине I равно Н, то в слое с коэффициен-
том фильтрации k' и шириной, равной единице, протекает расход
а во втором слое с коэффициентом фильтрации k" — расход
Q2=A"8-£.
Суммарный расход в обоих слоях
Q = (fc' + fc")8-£.
Заменим указанные два слоя грунта одним слоем толщиной 28.
Найдем коэффициент фильтрации kx этого слоя при условии, что
протекающий в указанном направлении расход при том же пьезоме-
трическом уклоне /—-у равен действительному расходу Q. Оче-
видно,
Q = Aj28^.
Приравнивая полученные выражения для расхода Q, найдем:
2^ = 6' +А",
откуда
(2Л6)
Далее положим, что фильтрация происходит в направлении нор-
мали к слоям. Возьмем два последовательно расположешых слоя.
В слое с коэффициентом фильтрации k', положим, имеется падение
напора Через сечение площадью ш протекает расход
Q = k'v
о
В соседнем слое с коэффициентом фильтрации k" падение напора,
положим, равно М>. Тогда через сечение площадью ш протекает тот
же расход
Q^k"<A,
Заменим два последовательно расположенных слоя одним фиктивным
слоем толщиной 28 с коэффициентом фильтрации А2. Определим А2
при условии прохождения через этот слой действительного расхода Q.
Очевидно, пьезометрический уклон в этом слое равен J = ~
где Н—потеря напора, равная сумме потерь в объединяемых слоях.
62 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [l Л. 2
Тогда
. /л + н,
Q =	s—
Выразим в послед!ей формуле //] и /72 через расхо г на ос ю ании
двух предыдущих зависимостей. Тогдт ноичим после сокращения
ь —_____________________________________2____	(2.47)
" ~ ± _|_ 1 ’
k' + k"
В пределе при достаточно малой толщине слоев по сравнению с раз-
мерами области фильтрации слоистый грунт переходит в анизотропный
грунг с коэффициентом фильтрации, зависящим от направления ско-
рости фильтрации. Значения коэффициента фильтрации fe, и ki являются
максимальным и минимальным ею значениями, а соответствующие
им направления буду; главными направлениями анизотропии.
Если в анизотропном грунте главные направления анизо!ропии,
а также значения femuv и femvo не зависят от координат области филь-
трации, то такой анизотропный грунг называется однородным. При-
мером однородно-анизотропно!о грунта является грунт, образо.анный
из тонких слоев с черед ющимися постоянными значениями коэффи-
циента фильтрации k' и k" и с постоянными толщинами. При этом
поверхности соприкасатия слоев должны быть параллельными пло-
скостями.
Неоднородно-^низотропными грантами называются грунты, у ко-
торых главные направления анизотропии или же значения felllHX и femln,
или же те и другие характеристики являются функциями координат.
Примером неоднородно-анизогронното трунта является ipynr, образо-
ванный из топких плоско-параллельных слоев, причем fe,„nx и &„„„
изменяются в зависимости от коордит.н области фильтрации. Эго
измене тие может происходить, например, за счет изме тения коэффи-
циентов фильтрации слоев к' и к".
Друтим примером является случай, когда поверхности слоев не
являются параллельными плоскостями, а, например, цилиздрическими
поверхностями [7]. В этом случае и feinln могут иметь постоян-
ные значения, но главные направления анизотропии являются функ-
циями координат области фильтрации.
Наконец, проницаемые грунты могут образоваться из отдельных
слоев с различными значениями коэффициента фильтрации. Каждый
слой может быть образован из изотропного или анизотропного, одно-
родного или неоднородного грунтов. Такие грунты могут быть на-
званы слоистыми.
§ 14. Уравнения фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости.
В § 9 были получены дифференциальные уравнения фильтрации
в общей форме у2.7). Теперь остановимся на том важном частном
случае, когда происходит фильтрация тяжелой несжимаемой жидкости
причем сопротивления определяются по закону Дарси.	’
§ 14] УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ТЯЖЕЛОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 641
Выясним значение проекций массовой силы F, входящей в общие
уравнения (2.7). Как было указано в § 9, эта массовая сила вклю-
чает силы давления на жидкость от частиц грунта, заполняющих
выделенный объем, имеющий формул) прямоугольного параллелепи-
педа. Обозначим для краткости величину этого объема через dW.
Положим, что имеется прямолинейная и равномерная установившаяся
фильтрация, при которой величина среднего ускорения равна нулю.
На каждую частицу грунта будет действовать вертикальная сила
давления, равная по закону Архимеда весу жидкости в объеме этой
частицы. Следовательно, все частицы грунта, заключенные в объеме
dW, испытывают давление
(1 — т) 7 dW,
а значит, такое же по величине, во обратное по знаку давление
приложено к жидкости, заполняющей данный объем.
Кроме того, па жидкость действует сила тяжести, равная
/«7 dW.
Сумма двух найденных сил, направленных вертикально вниз, будет
равна
(1 — ni) 7 dW4- т у dW = 7 dW.
Деля полученную силу на массу выделенного объема, найдем массо-
вую силу, обозначенную в § 9 через F-.
mp d W	m "
Направим координатную ось Oz вертикально вверх. Учитывая направ-
ление силы F, найдем ее проекции:
Х-Г=О; Z^—R.
*	1)1 9
При данных условиях уравнения (2.7) будут иметь вид
—- -F = °;
® тр ох
Rv------^ = 0;
V	тр	ду
R.---L	& _ _£ = о.
*	тр	Oz т
Введем в полученные уравнения	величину
Л = г + ^-,	(2Л8)
64 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 1ЙОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [гл. 2
называемую в гидравлике пьезометрическим напором (фиг. 14). Из
(2.48) следует:
й/i __ £ _d/>.	6/t	__ 1	,	d/t	l 1
~дх Y ~дх ’	ду к	ду ’	dz	f	dz *
Следовательно, вместо полученных
ний можно написать, имея в виду,
выше дифференциальных уравне-
что
Фиг. 14.
7 =
Rc—=
ь т dx
D__—
Ку т dy
о;
и, таким образом, проекции силы
сопроги’ления будут:
о —	& — #_<*
т dx' Ку т dy '
р —_Zdh
г т dz '
Следовательно, сила сопротивления
R =
J^dh
т ds ’
где s — расстояние, отсчитываемое по линии тока. Так как пьезоме-
трический уклон
J ds ’
ТО
Я =	(2.49)
или же, вспоминая зависимооь (2.19),
R = — ^v.	(2.50)
Шк	4
Очевидно, что проекции силы сопротивления будут:
/?a! = ~mA R-y’==~~^kVy'	mkVz' (2-51)
Определенная таким образом массовая сила сопротивления R дей-
ствует в каждой точке фильтрационного потока. Она имеет направ-
ление, противоположное направлению скорости фильтрации.
Сила сопротивления R отнесена к единице массы жидкости. Так
как единица объема грунта заключает в себе массу жидкости, рав-
ную тр, то на единицу объема грунта приходится сила сопротивления
§ 14] УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ тяжело! несжимаемой жидкости 65
Эта сила, очевидно, передается на грунт И называется фильтрацион-
ной силой. Понятие о фильтрационной силе, часто используемое при
статических расчетах земляных сооружений, было независимо друг
от друга дано Н. П. Пузыревским и К. Терцаги.
В дальнейших выводах мы будем полагать, что найденное выра-
жение для силы сопротивления в условиях равномерной установившейся
фильтрации, так же как закон Дарси, имеет место при фильтрации
^установившейся и фильтрации неравномерной.
В § 9 было записано развернутое выражение производной .
dvx dx dvx dy dv^ dz
Отметим, что члены —и	ввиду малости ско-
’	dx dt ’ dy dt dz dt J
ростей фильтрации и их производных по координатам малы по срав-
нению с прочими членами уравнений (2.7), а потому ими можно пре-
небречь.
Имея в виду последнее замечание, а также полученные выражения
для массовых сил и сил сопротивления (2.51), можно записать урав-
нения (2.7) в следующем виде:
__1_дР____g_v .
dt р dx k х'
dt & p dz kz '
Далее введем в полученную систему уравнений величину пьезометри-
ческого напора (2.48), которая является функцией координат и вре-
мени:
1 ^va> I I ра? __ а . 1
g dt “г дх	k	’ |
4,^ = 0; 1	(2.54)
g dt ‘ dy	k	’	v
1 dvK  dh ।	_ n
g dt ' dz "t" k >
К полученным дифференциальным уравнениям фильтрации1) при-
соединяется уравнение неразрывности (2.8), которое в рассматриваемом
случае (р= const) примет вид
= 0	(2.55)
dx 1 dy 1 dz
Уравнения (2.54) и (2.55) образуют сис гему дифференциальных урав-
нений неустановившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости.
г) Отметим, что в ряде работ, например в [6], уравнения (2.54) содержат
лишний множитель — при производных проекций скорости по времени.
tn г
66 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
В случае установившейся фильтрации скорость и давление не зависят
от времени, а потому из (2.54) будем иметь:
ф ’.=-*£• <2-56’
В таком виде уравнения установившейся фильтрации были получены
Н. Е. Жуковским в 1888 г. [5].
Подставляя эти значения проекций скорости в уравнение нераз-
рывности (2.55), получим:
= 0	(2.57)
дх» ду» ‘ dz2
Как видим, напор h удовлетворяет уравнению Лапласа и, следова-
тельно, является гармонической функцией в области фильтрации.
В результате интегрирования полученного дифференциального уравне-
ния мы находим функцию h~f(x,y, z). Давая этой функции постоян-
ные значения /(х, у, г)— const, мы получим уравнения поверх-
ностей, на которых напор h имеет постоянные значения. Такие
поверхности называются поверхностями равных напоров.
Из уравнений (2.56) следует, что проекции скорости фильтрации
можно выразить в виде производных функции
<р = — kh,	(2.58)
называемой потенциалом скорости фильтрации:
дх’ » ду ’ г dz’
(2.59)
Выражая в уравнении (2.55) скорости фильтрации по (2.59), получим
уравнение Лапласа для потенциала скорости фильтрации:
о	<9. 60)
дх» + ду» + дх» ~ °*
Функция <р является гармонической в области фильтрации.
При решении некоторых важных частных задач по фильтрации,
как будет видно из дальнейшего, выгодно пользоваться уравнением
Лапласа в цилиндрических и сферических координатах. Представим
названное уравнение в цилиндрических координатах. По закону Дарси
составляющая скорости фильтрации в направлении s будет:
=	(2.61)
Возьмем элементарное перемещение ds в направлениях осей цилин-
дрических координат (фиг. 5). Тогда для направлений координат г,
о и г будем иметь соответственно
ds — dr, ds = rd§ и ds = dz.
§ 14] УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ТЯЖЕЛОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 67
Проекции скорости фильтрации на направления координат будут:
«.ЧтЬ
Подставим эти выражения в уравнение неразрывности (2.9), при-
чем, рассматривая несжимаемую жидкость, будем полагать, что р =
= const:
JLJLfr	= 0	(2 631
г dr v dr) г2 50* ' dz* '	( • )
Полученное уравнение фильтрации аналогично уравнению (2.60). Оно
является уравнением Лапласа в цилиндрических координатах.
Перейдем теперь к сферическим координатам. Элементарные
перемещения в направлениях координат г, 0 и ф будут соответственно
равны (фиг. 6):
ds=dr\ д$=гдв; ds — г sin 6 дф.
Проекции скорости фильтрации на эти направления будут иметь
вид
5<р м 1 5<₽.	1 d<f
V,"~dr>	е~~ г 50’	+ ~гб1п6 5ф
Подставляя эти выражения в уравнение неразрывности (2.10) и
полагая р = const, получим:
2(f2^J.±i/sin0^J-L^=o.	(2.65)
dr k dr)' sin 0 50 k 50/ Г sin*© 5ф*	17
Мы получили уравнение фильтрации, которое является уравнением
Лапласа в сферических координатах.
Теперь остановимся на некоторых важных понятиях и зависимо-
стях для фильтрации. Давая функции ср постоянные значения ср = const,
мы будем получать уравнения
поверхностей равных потен-
циалов (эквипотенциальных по-
верхностей). Понятно, что при
наличии зависимости (2.58) эти
поверхности будут одновре-
менно поверхностями равных
напоров.
Проведем в фильтрацион-
ном потоке поверхность рав-
ных напоров Л = const. Далее
проведем в точке А этой по-
верхности касательную т и век-
тор скорости фильтрации V. Положим, что вектор скорости фильт-
рации составляет с осями координат Ох, Оу и Oz углы ctj, ₽i и
а касательная составляет с теми же осями углы а2, р2 и Косинусы
(2.64)
68 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
названных углов будут:
cosa^^;	003^=-=^;	cosft = ‘J,
cosa2 = ^;	cos^2 = ^,	cos ft -—
где dx, dy и dz — проекции dz на координатные оси.
Как известно из аналитической геометрии, угол 6, образуемый
вектором ф с касательной т, выразится следующей формулой:
cos 6 — cosotj cos a2-[-cos cos Р2Ц- cos ft cos ft —
______dx  dy __________________________vx dx + vy dy + v* dz
v dz' v dz' v dz	v dz
На основании формул (2.56) числитель полученного выражения
представится в следующем виде:
vх dx -ф- vy dy + vz dz = — k Qj dx + dy + dz) = — k dh.
Следует иметь в виду, что так как dx, dy и dz являются проек-
циями dz, то дифференциал dh является приращением функции h
в направлении касательной z. Но dz расположен на поверхности рав-
ных напоров h — const, на которой с?Л = О. Отсюда следует, что
cos 0 = 0 и 0 = -^. Таким образом, вектор скорости фильтрации
в любой точке направлен по нормали к поверхности равных на-
поров, проходящей через эту точку.
Вспоминая определение линий тока, заключаем, чго линии тока
ортогональны к поверхностям равных напоров (потенциалов). От-
сюда следует, что поверхности равных напоров являются живыми
сечениями фильтрационного потока.
В ряде случаев все характеристики фильтрационного потока (ско-
рости фильтрации, напоры, давления) являются функциями двух коор-
динат. Тогда фильтрация называется плоской. Одна и та же частица
жидкости при плоской фильтрации будет двигаться в одной плоскости.
Линии тока при этом будут плоскими кривыми, а поверхности рав-
ных напоров— цилиндрическими поверхностями с образующими, пер-
пендикулярными названной выше плоскости. Это следует из только
что выведенного свойства поверхностей равных напоров.
В случае плоской фильтрации вместо уравнений (2.56) будем иметь:
V^~kTx’ =	(2.66)
а так как уравнение неразрывности будет иметь вид
tea , диу
дх ду — и>
§ 15] УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
69
то, выражая в нем скорости по (2.66), получим:
d2h । 0-%
dx2 "Г* dy2
Пользуясь же понятием потенциала скорости (2.58), будем иметь:
(2.67)
а также
d2<t , 0-’у __ п
дх2 ' dy2
В результате интегрирования дифференциального уравнения (2.67)
мы получим функцию h—f(x, у). Давая этой функции постоянные
значения f(x, у) = const, мы будем получать уравнения плоских кри-
вых — линий равных напоров. Приравнивая постоянным выражения
функции ср, полученные из уравнения (2.69), мы найдем уравнения
линий равных потенциалов или эквипотенциальных линий. Понятно,
что вследствие зависимости (2.58) эквипотенциальные линии являются
одновременно линиями равных напоров.
Заметим, что в случае плоской фильтрации иногда представляется
рациональным пользоваться полярными координатами. Положим, что
фильтрация происходит параллельно координатной плоскости хОу,
тогда, пользуясь уравнениями (2.62) и (2.63), будем иметь:
(2.69)
или же
vr —	dr	dh, dr ’	(2.70)
	1 d<f		£	
		r 00 ’	
д dr	'r < dr J 1 r	003	(2.71)
dr \	dh\ . 1 r	r	- -= 0 003	(2.72)
Написанные уравнения фильтрации в полярных координатах
заменяют уравнения (2.66) — (2.69) в прямоугольных координатах.
§ 15. Уравнения фильтрации жидкости со свободной поверх-
ностью по непроницаемому пласту. Положим, что имеется филь-
трация в однородном грунте, подстилаемом непроницаемым пластом
(фиг. 16), причем поток имеет свободную поверхность.
Располагая координатную плоскость хОу горизонтально и напра-
вляя ось Oz вертикально вверх, будем иметь уравнение свободной
поверхности потока в виде
z=f{x, у).
Очевидно, координата г для точек свободной поверхности является
напором, отсчитываемым от плоскости хОу: z = h.
70 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
Полагаем, что свободная поверхность имеет весьма незначительное
падение, так что производные и , выражающие абсолютные
величины уклонов свободной поверхности, достаточно малы. При таком
предположении линии тока фильтрационного потока, независимо от
сложности их формы, будут
почти горизонтальными кри-
выми. А так как линии тока
ортогональны поверхностям
равных напоров, то эги по-
верхности в данном случае
будут близки к цилиндри-
ческим поверхностям с вер-
тикальными образующими.
Следовательно, можно пола-
гать, что во всех точках про-
веденной в потоке верти-
кальной прямой напоры й
одинаковы по величине. Все
линии тока, пересекающиеся
с одной и той же вертикаль-
ной линией, проведенной в потоке, будут близки к параллельным
кривым. Градиенты напоровдля всех указанных линий тока в точ-
ках пересечения с вертикалью будут весьма близки друг к другу по
величине. Стало быть, и скорости фильтрации в различных точках
на одной вертикали, равные — k , будут почти одинаковы. По-
этому с достаточной точностью можно считать, что векторы скоро-
стей фильтрации на любой вертикали, проведенной в потоке,
равны.
Следует заметить, что рассматриваемый частный случай фильтра-
ции имеет обширные практические приложения, например, при про-
гнозировании подпора грунтовых вод от плотин, при проектировании
осушения территорий и т. д.
На основании приведенных пояснений, по (2.66) можно написать
для любой вертикали, проведенной в потоке:
k dx’	kdy’
где vx и vy—проекции на горизонтальные оси координат скорости
фильтрации на данной вертикали.
Выделим в потоке элементарный объем, ограниченный двумя па-
рами бесконечно близких вертикальных плоскостей, параллельных
координатным плоскостям xOz и уОг (фиг. 16). Сверху этот объем
ограничен свободной поверхностью, а снизу — поверхностью непрони-
цаемого пласта.
§ 15] УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 71
Составим уравнение неразрывности, применяя способ, использо-
ванный в § 10. Через левую грань выделенного объема за время dt
протекает масса жидкости, равная pvxHdydt. Через правую грань,
отстоящую на расстоянии dx от левой грани, протекает масса
pvxHdy dt-\-p ? дх Ду
ОХ
причем Н — глубина потока (высота грани). За время dt в выделен-
ном объеме происходит накопление массы жидкости, равное разности
названных масс, т. е.
— р ^g^dxdydt.
Аналогичное рассуждение можно провести в отношении направле-
ния фильтрации, параллельного оси Оу. Рассматривая протекание
жидкости через заднюю и переднюю грани, найдем, что в выделен-
ном объеме за время dt происходит накопление массы жидкости,
равное
— р - dx dy dt.
Суммируя два последних выражения, получим массу жидкости,
накопляемую в выделенном объеме за время dt'.
-Р \p^ + dJ^-}dxdydt.
Кроме того, положим, что с поверхности земли происходит инфиль-
трация, причем на единицу площади горизонтальной проекции поверх-
ности земли приходится в единицу времени объем жидкости е. Таким
образом, в выделенный объем, площадь горизонтальной проекции
которого равна dx dy, поступает за время dt масса жидкости, равная
ре dx dy dt.
Сумма двух последних выражений дасг полную величину накопления
массы в выделенном объеме:
_ р Р д (vnHl _ el dx dy dt.
r L dx 1 dy J
Масса жидкости, заполняющая выделенный объем, равна pmHdxdy.
За промежуток времени dt эта масса получит приращение, обусло-
вленное повышением поверхности депрессии, т. е. за счет приращения
глубины Н. Это приращение будет равно
pm!	dx dy dt,
72 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
где ^ — коэффициент недостатка насыщения или отдачи (см. § 7).
Приравнивая два последних выражения для приращения массы, по-
лучим;
д (УгН) , д {vyH) .	,дН _ ? „ п	(2.73)
дх	' ду	' di
В первых двух членах полученного уравнения К vy заменим на
основании (2.66). Вследствие этого уравнение (2.73) можно предста-
вить в виде
d /rjdh\ . д /rydh\ т' дН, 2____n	/2 74)
Мы получили уравнение Буссинеска [2]. Если глубины потока зависят
только от одной координаты х (одномерная фильтрация), то вместо
(2.74) получим:
— —4--=0.	(2.75)
дх \п дх) kdt^k	1
Положим, что кровля непроницаемого пласта является горизонталь-
ной плоскостью. Располагая в этой плоскости координатные оси Ох
и Оу, будем иметь й — Н, т. е. напоры в точках потока равны соот-
ветствующим глубинам. Тогда, очевидно,
д (ухН)___. д (ндН\_ д2Н2
дх	дх дх)	2 дх2 ’
д (vyH)	k д2Н2 1
ду ” й ду \	ду)~~	2 ду2 ’
вследствие чего уравнение (2.73) будет иметь вид
д»№ , д2Н^ 2mz dH , 2t_n
дх2 ' ду2 k dt'k
(2.76)
Наконец, если имеется установившаяся фильтрация и инфильтрация
отсутствует, то поверхность депрессии не изменяется во времени
и вместо последнего уравнения получим:
д2Н2 , д2Н2
дх2 ~т* ду2 ~
(2.77)
Это уравнение получено Ф. Форхгеймером ’). В уравнении (2.77) вели-
чина № играет роль потенциала. В результате интегрирования этого
уравнения при заданных граничных условиях мы находим функцию
№ = f(x, у). Давая этой функции постояявые значения fix, у) = const,
мы получим уравнения линий равных напоров, которые можно изо-
бразить на плане течения. Каждая из таких кривых является геоме-
1) Zeltichr. d. Archit. u. Ingen. Ver. zu Hannover, 32 (1886).
§15] УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 73
трическим местом точек свободной поверхности с равными высотными
отметками. Эти кривые применительно к грунтовым водам называются
гидроизогипссми.
Представляет некоторый интерес получение для рассматриваемого
случая уравнений фильтрации в цилиндрических координатах. Выде-
лим в области фильтрации элементарный объем, ограниченный двумя
парами смежтых координатных плоскостей, координатной плоско-
стью хОу, совпадающей с поверхностью непроницаемого пласта и
свободной поверхностью фильтраци-
онного потока (фиг. 17).
Обозначим через vr и vfi проек-
ции скоростей фильтрации на коор-
динатные оси. Пользуясь обычным
способом, получим следующее вы-
ражение для накапливаемой массы
жидкости в выделенном объеме за
время dtt
__р
1 L dr 1	50 J
Кроме того, вследствие инфиль-
трации в выделенный объем посту- У
пает за то же время масса жидкости
psrrfrrfQ dt.
Следовательно, суммарное накопление
будет:
Г д (vrHr) ( d (щН)
~~ Р Тг Г 50
Масса жидкости в выделенном объеме,
за время dt приращение
pm'r —drd^
1 at
массы в выделенном объеме
— er J dr dO dt.
, равная pm’Hrdrdti, получит
dt.
Приравнивая два последних выражения для приращения массы
жидкости, найдем:
д _L	— = 0.	(2.78)
dr 1	50	1 at
Заметим, что на основании (2.70)
d /5//я\
dr	dr	\ dr	)
5 (voH)	k	d	(dH
50	"	r	50	\50	)’
Подставляя последние выражения в уравнение (2.78), получим:
+	(8.79)
5r \ dr П г 50 \ 50 П) k dtri
74 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
При отсутствии инфильтрации будем иметь:
д (дН „У < 1 д (дН „У т'г дН	<2 801
д~г (-Э7 НЧ + Т У0 U Н1 Г St “	' 2-Й0>
При установившейся фильтрации и отсутствии инфильтрации
Hr'j + IA &Uo.	(2.81)
дг\дг / 1 г до \ов /
§ 1в. Ураъитаие фильтрации, газа. Рассмотрим фильтрацию газа
в условиях применимости закона Дарси. Теория фильтрации газа была
создана Л. С. Лейбензоном [131.
При фильтрации газа силами тяжести при выводе уравнений прене-
брегают, так как плотность газа при обычно встречающихся в под-
земных скоплениях давлениях весьма мала. Следует также отметить,
что при фильтрации газа свободные поверхности не образуются.
Выражение для проекций силы сопротивления при действии закона
Дарси было получено выше (2.51). Этим выражением мы восполь-
зуемся при рассмотрении фильтрации газа.
Кроме того, как это обычно делается, будем пренебрегать силой
инерции и массовой силой Р в основных уравнениях фильтрации (2.7).
Тогда из этих уравнений получаются следующие выражения для проек-
ций скорости фильтрации:
V>x = ~k^ Щ =	<2-82)
или, если выразить коэффициент фильтрации^через коэффициент прони-
цаемости(по формулам (2.21),
с др ,	с др	с др ,п оп\
----------Л vv —---------v,=-----------(2.83)
х р дх ’	« [л ду ' г [л дх
Заметам, что. пртатае.атаме. таортата фмльтращ&м на удельный ьей
газа у == pg называется весовой скоростью фильтрации.
В качестве четвертого уравнения возьмем уравнение
ности (2.8), в котором вместо плотности р введем 7:
(	. д(ти,) д7
Наконец, пятым уравнением будет характеристическое
1
где Р — постоянная величина.
Показатель п зависит от того процесса, по которому будет про-
исходить сжатие или расширение газа. При изотермическом (при
постоянной температуре) процессе л-1; при адиабатическом (при
постоянном содержании тепла) процессе я = ^. t где с,—удельная
неразрыв-
(2.84)
уравнение
(2.85)
§ 161
УРАВНЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА
75
теплоемкость газа при постоянном давлении, cv — удельная теплоем-
кость при постоянном объеме. Если теплота отдается и принимается
в любом количестве, имеется политропический процесс, причем
1<и< —.
Lv
Умножим одно из уравнений (2.83) на у, а затем выразим f в пра-
вой части по формуле (2.85):
______с-_L„1+4
'-*Р дх Miil\dxP
‘ * И дх
Введя обозначение
п п 1+7Г
Р-р(1+п) Р
получим:
с дР
"tVj! у- дх ‘
можно преобразовать и остальные два урав-
получим:
с дР
;х dz

Аналогичным способом
нения системы (2.83) и тогда вместо (2.83)
с дР .	с дР ,
— р. ду ’
Из формулы (2.86) определим р:
п
(2.86)
(2.87)
ТЪ
п п
__ Г Р (1 + И)Ъ+П
(2.88)
г L п J Iй
На основании последней зависимости выразим характеристическое
уравнение (2.85) через функцию давления Р\
i i
% =	(2.89)
откуда найдем:
1 1 ,
ду 	1 /д 1 + л\1+п pi+n	дР 
dt ~₽(l-f-n)\.P п )	dt
1 п
1 /а 1 + и\1+п D ~i+n дР	(о ал\
=	р -дГ	(2'90)
Далее подставим найденное выражение производной *(, а также выра-
жения для весовых скоростей (2.87) в уравнение неразрывности (2.84):
1_ д2Р /и[х /й 1 4- л\Гн» o”i+i» дР__________0 (a on
+	+	) р -Г-М2.919
76 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
Это уравнение является уравнением неустановившейся филь-
трации газа Л. С. Лейбензона [13]. Оно является нелинейным урав-
нением параболического типа.
При установившейся фильтрации	и уравнение (2.91) обра-
щается в уравнение Лапласа
д-'Р । д*Р .д*Р	„
дх® dv2 । ди-
(2.92)
Следовательно, Р есть гармоническая функция в области фильтрации.
Интегрирование последнего уравнения позволяет найти Р(х, у,
а затем из зависимости (2.88) можно определить и давление р как
функцию координат области фильтрации.
Уравнения фильтрации газа можно представить в иной форме,
взяв за неизвестную функцию удельный вес газа [18]. Тогда со-
гласно (2.85)
___ су др______ с^"у dfn _ сЬ“~гл ду” **
у. дх р-J» дх !л (л + 1) дх
Аналогичные выражения можно написать и для двух других проек
ций весовой скорости; тогда будем иметь:
__ с'?п'Тп dyn+i
1 x~ H(« + D dx ’
— _ У-1” dyra+1
’	р.(л + 1) ду
п dfn+1
1	у. (n 1) dz *
(2.93)
)
Подставляя полученные выражения в уравнение неразрывности
(2.84), получим уравнение неустановившейся фильтрации газа:
( av+1..,. ЗУ*1 ,	\ frt	94)
Н(п+1)\ дхг + дуг + dz® У	(2,У4
При установившейся фильтрации газа-|^-=0 и уравнение (2.94)
обращается в уравнение Лапласа:
дхг	+ dz® “°'	(2.95)
В результате его интегрирования находится функция у’*11 , а затем
определяется давление р по (2.85) как функция координат.
При плоской фильтрации газа иногда удобно пользоваться поляр-
ными координатами. В этом случае, исходя из уравнения (2 9) полу-
чим следующее уравнение неразрывности плоской неустановившейся
фильтрации газа:
1 d(yvrr) ( 1	, dt
г ~^Г~"Г7~Ж-+«-^ = 0.	(2.96)
§ 161
Уравнение фильтрации газа
77
Проекции скорости фильтрации в полярных координатах будут:
(2.97)
« —	«_______LUL
г [х дг ’	9 [хг 80
Проекции весовых скоростей фильтрации:
________J±dp ________дР,
1 г ~ р дг ~ р дг ’
ct др	с дР
9 ~~ ;хг 80	[хг 80
(2.98)
Подставляя последние выражения в уравнение неразрывности (2.96)
ду
и пользуюсь для формулой (2.90), приходим к уравнению плос-
кой неустановившейся фильтрации газа в полярных координатах".
.1 8	। 1 д2Р  тр 1 + л^Пйр
1 д2Р   тр
802	<ф(1-)-п)
Для установившейся плоской фильтрации газа
вательно,
i+n^P=0. (2.99)
др п
^- = 0 и, слэдо-
д f,dP\ t 1 д2Р __п
8г V 8г J г 80* ~и‘
Наконец, дадим уравнения фильтрации газа в сферических коор-
динатах. Уравнение неразрывности в сферических координатах (2.10)
будет иметь вид
1 д(туг) 	1	8(7v88in6)____1 8(ТЧр) 8Т
г2 дг “г rsln0 80	“г' rsfn9 ~Гт dt — О. (2.W1)
Проекции весовой скорости фильтрации по (2.64) и (2.87) будут:
* г р дг р дг '
it др с дР
^ = ~pr^-
____ ст др___________с дР
[хг sin 0 8'} (xr sin 0 8ip
Подставляя выражения проекций скоростей в уравнение неразрыв-
ности, получим уравнение неустановившейся фильтрации газа
в сферических координатах’.
1 д (дР . 0\ ,
Г2 8г Ur >^^8йГ0 dTklO” 81
(2.100)
(2.102)
J_____L—2^41 = 0. (2.103)
‘ г2 sin2 0	с dt	'
В этом уравнении удельный эес т можно выразить по (2.90).
78 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИЙ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
При установившейся фильтрации уравнение (2.103) преобразуется
в следующее:
1	д I дР  и 1 .. д*Р _ 0	(2.104)
г )+ЮТ	к'аё’s n /+ sin- 0	k
§ 17. Уравнение фильтрации газированной (двухфазной)
жидкости. Положим, что в пористой среде фильтрует газированная
жидкость, т. е. смесь жидкости с мельчайшими пузырьками газа,
свободно проходящими через поры. При составлении уравнений дви-
жения полагают, что фильтрация каждого компонента — жидкости и
газа — происходит по закону Дарси. При фильтрации газированной
жидкости жидкая фаза занимает не весь объем пор, а лишь часть
его. Если пористость среды равна т, то отношение объема, зани-
маемого жидкостью, к объему всего образца грунта будет:
тх — Ат,	(2.105)
где /пж играет роль пористости среды по отношению к жидкости,
А называется насыщенностью жидкостью пространства, занимае-
мого объемом пор. Оставшуюся от жидкости часть объема пор зани-
мает газ. Поэтому отношение объема, занимаемого газом, ко всему
объему будет:
ОТг — (1— А)т,	(2.106)
причем тг играет роль пористости среды по отношению к газу. За-
метим, что в газированной жидкости газ присутствует не только в виде
пузырьков. Часть газа растворена в жидкости, причем при падении
давления растворенный газ частично выделяется из раствора в виде
пузырьков.
Обозначим через vr и vx скорости фильтрации газа и жидкости.
Тогда проекции скорости фильтрации газа определятся по (2.83':
сг др
Vrx~ 7?^ ’ г’г«“
Нт ду
сг др
Нг dz’
(2.107)

причем сг и р.г — коэффициент проницаемости и коэффициент вяз-
кости газа.
Аналогичными уравнениями выражаются проекции скорости филь-
трации жидкости, если при этом пренебречь силой тяжести:
__ сж др .	сж др	сх.др
жа,~ ^ядх> ---------------77ЮТ =	<2Л08)
где ся и р.я коэффициенты проницаемости и вязкости жидкой фазы.
Как показывают опыты [22], сг и сл являются функциями степени
насыщенности жидкостью пространства А, которая, в свою очередь,
является функцией координат и времени. Кроме уравнений (2.108)
мы можем составить уравнение неразрывности для жидкости. Для
получения этого уравнения воспользуемся выводом уравнения нераз-
§ 17] УРАВНЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИЙ ГАЗИРОВАННОЙ жидкости	79
рывности, приведенным в § 10. Выделим в области фильтрации прямо-
угольный параллелепипед (фиг. 4); рассуждая так же, как в § 10,
найдем выражение для массы жидкости, накапливаемой в параллеле-
пипеде за время dt'.
r^(Px«xJ , ^(Px«xv) , д(Рж»-ж«)1
- [ —ite—+ —+ —Я—]dx аУ л-
Масса жидкости, заполняющая параллелепипед, равна рщя dxdydz.
Ввиду изменения величины тж за время dt эта масса получит при-
ращение
дт	дА
— Рх —^j— dxdydzdt — — ржт -^-dxdydzdt.
Очевидно, что изменяется за счет изменения насыщенности А.
Что касается растворенного в жидкости газа, то его масса мала
по сравнению с массой жидкости. Поэтому изменение плотности
жидкости ря будет мало и им возможно пренебречь.
Приравнивая два последних выражения, определяющих одну и
ту же величину, получим уравнение неразрывности для жидкости:
+	+	(2.109)
дх 1 ду 1 dz 1 dt	4	'
В случае установившейся фильтрации это уравнение, очевидно, будет
иметь вид
2^ + 2^ц,£^- = о.	(2.110)
дх 1 ду 1 dz	'
Теперь составим уравнение баланса газа, полагая процесс изотер-
мическим, вследствие чего плотность газа
рг = ар,	(2.111)
где р— давление и а — постоянная. Кроме того, по закону Генри,
по которому масса газа, растворенного в единице объема жидкости,
пропорциональна давлению, имеем:
М = sp,	(2.112)
где $—постоянная величина.
Возьмем элементарный объем грунта и воспользуемся тем же
способом, которым мы вывели уравнение неразрывности в § 10.
Через левую грань элементарного параллелепипеда (фиг. 4) за
промежуток времени dt поступает масса газа в виде мельчайших
пузырьков, равная
РгЧ/З'dz dt = aPvTa> dy dz dt-
80 ФИЗИЧЕСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [гл. 2
Кроме того, часть газа, растворенная в жидкости, поступает вместе
с жидкостью со скоростью vxx. Эта масса равна согласно (2.112'
spvxxdydzdt.
Таким образом, через левую грань втекает общая масса 1аза, равная
(арт>сх~\- spvxx> dydz dt.
Через правую грань вытекает масса
(apvrx + spvKX)dy dzdt ~\аръ( r-\-spvKr) dxdy dz dt.
He повторяя всех рассуждений § 10, получим, что в элементарном
параллелепипеде за время dt накапливается масса газа
—	1(^г»+ «»<*) р! 4	+
+ -^- l^i Jpljdxdy dzdt.
Масса газа, содержащаяся в выделенном элементарном объеме, сла-
гается из двух частей. Часть газа растворена в объеме жидкости
Amdxdydz и равна согласно (2.112)
sp Ат dx dydz.
Другая часть газа, заключенная в жидкости в виде пузырьков, опре-
делится выражением
Pr/Tij dxdydz= ар(1 — Ajmdxdydz,
где рг и тг выражены по (2.106) и (2.111'.
Суммарная масса i аза в выделенном обьеме
[spAm~\- ар (I —A) m\dxdydz
за время dt получит приращение
---5F [sp4m-j-ap(l — A) mJdxdydzdt.
Приравнивая последнее выражение определенной выше величине
накопления массы газа, получим после сокращения следующее урав-
нение баланса газа:
{(avTX svx „) pl + [(avry + svxy) p]
+ ^[(ат'г» + «'Ожг)р1 +-jy-[spAm~}- ap(l —A)m] =0. (2.113)
Очевидно, в случае установившейся фильтрации последнее урав-
нение примет вид	J
[(avrx -j- svxx) Pl + -^ [ (avry -f- svx „) pl4~ l(a©r	pl^O.
(2.114)
§ 171
УРАВНЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
81
Мы получили восемь уравнений неусгановившейся фильтрации гази-
рованной жидкости: (2.107), (2.108), (2.109) и (2.113).
Рассмотрим подробнее случай установившейся фильтрации гази-
рованной жидкости. Преобразуем полученные уравнения, следуя вы-
водам С. А. Кристиановича [9].
Сравним попарно первое, второе и третье уравнения (2.107) с пер-
вым, вторым и третьим уравнениями (2.108) и выразим скорости
фильтрации газа через скорости фильтрации жидкости:
= “т-=	=	®ж?- (2.115)
гг’-ЯС	"г‘ж	гт‘ж
Далее выразим в уравнении (2.114) проекции скорости фильтра-
ции газа через проекции скоростей фильтрации жидкости по (2.115):
. & Г /	।	\ 1
Выше было сказано, что • коэффициенты проницаемости ес и
являются функциями степени насыщенности жидкостью порового про-
странства. Их отношение
G = —	(2.116)
‘ж
также будет функцией указанной величины.
Вводя это обозначение в последнее уравнение, а затем деля это
уравнение на <z — и обозначая в нем
а-=-^,	(2.117)
«Иж
получим:
1(ар + G/7) ©ж rl f- -Д- [(ар + Ор) 4- \(аР + Ор) ®ж.1 = 0.
Перепишем последнее уравнение в виде
3	dvx	д
Vx х Jx (ар + Gp) + (ар + Gp>> ~~дх~ + Vxy dv {ар Gpl +
+ (ар -J- Ор) -5^ + ®жг j- (<*Р + Ор) + (ар 4- Ор1 = 0
ИЛИ
(«Р + Ор) + ^Р + Ор) +	(ар4- Ор) +
+ («Р + Ор)	~ 0.
82 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
Вследствие уравнения (2.110) последний трехчлен, стоящий в скоб-
ках, равен нулю, а следовательно,
t^^(«p + Gp) + ^-^(«p + ОрЭ + 'Ужг -^-(а1р'-ЬОр)=0. (2.118)
Отметим, что согласно уравнениям линии тока (2.6) в последнем
уравнении составляющие скорости фильтрации vxy и vX2 можно
заменить пропорциональными им величинами dx, dy и dz. Тогда будем
иметь:
Gp)dx+~^(aP + Gp)dy-\-~(ap-}-Gp)dz = Q. (2.119)
В левой части этого равенства стоит дифференциал функции (я/>+ Ор).
Этот дифференциал равен нулю в направлении линии тока. Следова-
тельно, вдоль линии тока
ар -ф- Gp = const = 5.	(2.120)
Постоянная Н изменяется при переходе от одной линии тока к дру-
гой. Однако при наличии плавно изменяющейся установившейся филь-
трации эту величину можно принимать постоянной для всего потока.
Тогда будем иметь из (2.120):
f ==^7Тс-
величину р = 4 можно назвать коэффициентом да-
(2.121)
Безразмерную
вления.
Выразим в
СЖ я
‘ НС
Введем функцию
уравнениях (2.108) давление р через р:
дР .	__ сж 6 дР .	с-
дх’ xv^~7x'ly’ **
____ др
v-x" dz'
(2.122)
р
(2.123)
$ дН
(2.124)
известна
о
Тогда вместо уравнений (2.122) будем иметь:
- —	5 дн 	? дН.
V-ж дх »	ду х* Иж дг •
Заметим, что функция Н может быть получена, если
экспериментальная кривая зависимости между сж и р.
На фиг 18 представлен график функции И в зависимости от р,
полученный дая песков Б. Б. Лапуком [8]. На оси ординат отложено
отношение , где с коэффициент проницаемости грунта. Так как
§ 17] УРАВНЕНИЕ фильтрации газированной жидкости	8$
величину —- можно принять постоянной, то мы приходим к заключе-
нию, что уравнения фильтрации газированной жидкости (2.124)
аналогичны уравнениям фильтрации несжимаемой жидкости. Под-
ставляя выражения для скоростей
фильтрации газированной Жидко- Л
сти (2.124) в уравнение неразрыв- *
ности, получим, что функция #
удовлетворяет уравнению Лапласа:
+	(2.125)
дх* 1 ду* 1 dz*	4
Таким образом, задача об уста-
новившейся фильтрации газирован-
ной жидкости приводится к за-
даче о фильтрации однородной не-
сжимаемой жидкости. Этот вывод
важен в том отношении, что ме-
тодика решения задач по филь-
трации однородной несжимаемой
жидкости в настоящее время до-
статочно подробно разработана.
При исследовании фильтрации
газированной жидкости важное
значение имеет величина, выра-
жаемая отношением объемного
расхода газа, приведенного к ат-
мосферному давлению, к расходу
жидкости. Это отношение назы-
вается газовым фактором. Оста-
новимся на выводе зависимости для
Фиг. 18.
газового фактора Г. Расход жидкости в сечении с площадью равен

^ж 4?
Иж dl'
(2.126)
Полный расход газа в том же сечении состоит из двух частей: рас-
хода газа в форме пузырьков и расхода газа, растворенного в жидко-
сти. Легко видеть, что полный расход будет:
„	, У	dP ।	® dP in 197\
Составим отношение , причем для приведения Qr к атмосфер-
Чж
Ному давлению следует умножить Qr на — , где р» — атмосферное
§4 фИзйческие и математические, основы теории фильтрации [гл. 1
давление, р — давление в рассматриваемом сечении:
р___ Q?p ~ Р (сг'хж , s\	№ж / сг . s Иг \
<?жРа Ра ^нг‘ж + а/	Ра?г \ С* ’ « iV
Пользуясь обозначениями (2.116) и (2.117), получим окончатель-
ное выражение для газового
фактора:
Фиг. 19.
г==Мк	12.128)
РаНг
Заметим, что величина Е
в формуле (2.121) выражается
на основании последней зави-
симости следующим образом:
=	(2.129)
Коэффициенты проницае-
мости сг и сж, фигурирующие
в приведенных выше уравне-
ниях фильтрации газированной
жидкости, определяются экс-
периментальным путем. На
фиг. 19 изображены кривые
изменения коэффициентов сг и сж для песков [22]. На оси абсцисс
отложены выраженные в процентах насыщенности жидкостью пр°"
странства, занимаемого порами грунта, А, а на оси ординат — отно-
шения ~ и , где с — коэффициент проницаемости грунта.
Заметим, что если жидкость занимает лишь малую часть пор,
с
т. е. когда А мало, то отношение близко к единице, а -р-
равно нулю.
При наличии в порах до 25% жидкости см остается равной нулю-
.	^ж
При уменьшении А от 100% отношение — , а следовательно, и с» срав-
нительно быстро убывают. При высоких значениях А (свыше 90%) сг ~
с
следовательно, скорость-рг = 0. При этом — является линейной функ-
цией величины А.
Анализ графиков приводит к заключению, что тормозящее влияние
жидкости на газ гораздо меньше, чем тормозящее влияние газа на
жидкость.
При высоких значениях насыщенности А (для песков свыше 90%)
в опытах не удавалось получить установившейся фильтрации. ПовИ-
§ 18] УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 85
димому, при этом величина градиента давления оказывается недоста-
точной для проталкивания всех пузырьков газа, выделяющихся из
раствора, и газ задерживается в суженных частях пор [22].
§18. Уравнения фильтрации в случае переменной проницае-
мости и анизотропной проницаемости среды. Во многих случаях
проницаемая среда может быть неоднородной, что влечет за собой
изменение коэффициента проницаемости (коэффициента фильтрации)
среды. В таком случае коэффициент проницаемости (фильтрации)
может изменяться скачками, как, например, в случае грунта, образо-
ванного из различных пластов, либо этот коэффициент изменяется
непрерывно, являясь функцией координат области фильтрации:
c~f(x, у, г), а также k = F (х, у, г).
Имея в виду тяжелую несжимаемую жидкость, можно сказать,
что в этом случае система уравнений неустановившейся фильтрации
(2.54) и (2.55) остается той же по форме, только фигурирующий
в этой системе коэффициент фильтрации k не будет постоянным.
В случае установившейся фильтрации мы получим уравнение (2.56).
Если теперь подставить выражения для проекций скорости фильтра-
ции в уравнение неразрывности (2.55), то получим уравнение уста-
новившейся фильтрации'.
Л д Л о. (2.130)
дх \ дх) ' dy \ ду) ' dz \ dz)
Как видим, при переменной проницаемости среды напор h не
является гармонической функцией координат.
Теперь остановимся на случае фильтрации газа в среде с изме-
няющейся проницаемостью. При постоянной проницаемости среды мы
получили уравнение (2.91) для фильтрации газа. В этом уравнении
коэффициент проницаемости являлся постоянной величиной. Принимая,
что c — f(x., v, г), и пользуясь выражениями для весовой скорости
(2.87), которые следует подставить в уравнение неразрывности (2.84),
мы приходим к следующему уравнению:
JfdP\ I д (	. д ( дР\
дх \ дх) ' ду \ ду) ‘ dz v dz)
i
Последнее уравнение является уравнением неустановившейся филь-
трации газа в среде с изменяющейся проницаемостью.
При установившейся фильтрации газа в той же среде = 0, и
следовательно, уравнение установившейся фильтрации будет:
(2.132)
дх к дх / • ду \ ду / ~ dz \ дг /
86 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
Как Слсдуе! из § 13, в случае анизотропно проницаемой среды
коэффициент фильтрации зависит от направления скорости фильтра-
ции. В § 14 было найдено выражение для силы сопротивления при
фильтрации, следующей закону Дарси (2.50):
Выберем координатные оси таким образом, чтобы их направления
совпадали с главными направлениями анизотропии. Разложим силу
сопротивления на составляющие по координатным осям. Эти соста-
вляющие будут отличаться от составляющих для силы сопротивления
при изотропно проницаемой среде (2.51) тем, что в них войдут те
значения коэффициента фильтрации, которые соответствуют направле-
ниям координатных осей. Таким образом, для составляющих силы
сопротивления мы получим следующие выражения:
= = = <2ЛМ|
где kx, ky и kz — значения коэффициента фильтрации, соответствую-
щие направлениям координатных осей.
Для неусгановившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости
в изотропно проницаемом грунте были получены уравнения (2.54'-
При тех же предпосылках, что и при выводе уравнений (2.54), но
имея в виду новые выражения для составляющих силы сопрогинлг-
ния (2.133), мы получим уравнения неустановившейся фильтрации’.
1 dvx , dh , vx
ft di ' дх ' kx	’
1-^4- — -I v« —n
g dt dz '	— °-
Для получения замкнутой системы уравнений фильтрации к по-
следним трем уравнениям надо присоединить уравнение неразрывности
dvx ] dvy dv,
дх “I ду'
При установившейся фильтрации скорость не зависит от времени,
вследствие чего из (2.134) получаем:
= —	vv = —	= —	(2.135)
Подставляем эти выражения в уравнение неразрывности:
fe 1 ь । L d*h
х дх* +	=	(2,136)
§18] УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
87
Мы получили уравнение установившейся фильтрации тяжелой не-
сжимаемой жидкости в анизотропно проницаемой среде. Это урав-
нение не является уравнением Лапласа, однако его можно привести
к уравнению Лапласа путем преобразования координат. Возьмем новые
координаты х', у' и z', связанные со старыми координатами следую-
щими соотношениями:
(2.137)
где k0 — произвольная постоянная величина, имеющая размерность
скорости. Выражая в уравнении (2.136) координаты х, у, г через
х', у' и У, получим:
d*h  d2h  дЧ
дх'^ ду'2 dz'2
(2.138)
Посредством преобразования (2.137) мы получили новую область,
которая является деформированной областью фильтрации. При этой
деформации все границы области фильтрации искажаются. В получен-
ной новой области напор h является гармонической функцией координат.
Перейдем теперь к случаю фильтрации газа в анизотропно прони-
цаемой среде. Очевидно, что в этом случае вместо выражений (2.87),
полученных для проекций весовой скорости, будем иметь:
дР	су дР	сг дР
74b = _____; (2Л39)
где Сд., с и с„ — значения коэффициента проницаемости, соответ-
ствующие направлениям координатных осей.
Подставим найденные значения весовых скоростей в уравнение
дч
неразрывности (2.84), причем значение производной , очевидно,
можно взять из (2.90):
&Р , д2Р !	д2Р
х дх2 “Г су ду2 + С‘ ~dz2
= (2Л4“>
Таково уравнение неустановившейся фильтрации газа в анизо-
тропно проницаемом грунте.
д р
В случае установившейся фильтрации -^-=0; следовательно,
Уравнение установившейся фильтрации будет:
й2Р .	<?2Р . д2Р п	/о 14П
88 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ {гл. 2
(2.142)
Для приведения этого уравнения к уравнению Лапласа следует
применить преобразования координат (2.137) и тогда получим:
д-Р ) &Р ( д^р
дх'*‘ ду'*	“°*
При составлении уравнений фильтрации в анизотропно проницае-
мом грунте имелось в виду, что главные направления коэффициента
фильтрации (проницаемости) постоянны во всех точках грунта. При
этом поверхности тонких слоев, из которых образован анизотропный
грунт, являются параллельными плоскостями. Если главные напра-
вления анизотропии изменяются в зависимости от координат точек
грунта, то поверхности тонких слоев будут либо криволинейными,
либо непараллельными плоскостями 3)> В этом случае можно вос-
пользоваться только что изложенным способом составления уравнений
фильтрации, применяя криволинейные координаты. Прн этом каса-
тельные к координатным линиям должны совпадать с главными напра-
влениями анизотропии [7).
§ 19. Граничные и начальные условия. В предыдущих пара-
графах были выведены дифференциальные уравнения для обширных
групп случаев фильтрации. Решение каждой частной фильтрационной
задачи заключается в нахождении зависимости между напором Л
(давлением р), координатами области фильтрации и временем. Такие
зависимости получаются в результате интегрирования дифференциаль-
ных уравнений фильтрации.
Все частные задачи, описываемые одним и тем же дифферен-
циальным уравнением, различаются между собою геометрической фор-
мой области фильтрации или, иначе говоря, формой границ области
фильтрации, а в случае среды с переменной проницаемостью — зако-
ном изменения коэффициента проницаемости (фильтрации). Кроме
того, на отдельных участках границ могут иметь место различные
кинематические и динамические условия, называемые граничными
условиями. Если фильтрация является неустановившейся то при
интегрировании уравнений фильтрации необходимо иметь начальные
условия, т. е. распределение напоров или давлений в области филь-
трации в начальный момент — при f==0.
ня	На ВЫясн®нии граничных условий при фильтрации.
поонаипеимыл^ Гра'|’ИЦ °^лаСти фильтрации, которые являются не-
Хй Хльтоа^ии по ^Ьтрующейся жидкости, составляющие скоро-
стей фильтрации по нормалям к границе равны нулю:
fn = T>cos(jj, ©) = о,
где п—нормаль к границе.
(2.143)
1) Частный случай неоднородно-анизотропного tpyi№j
ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
89
сравнения принять плоскость основания
z
г
- - Л
§ 19]
Примером подобных участков границ области фильтрации будет
участок 1—5 на фиг. 20. Этот участок является непроницаемой поверх-
ностью основания земляной перемычки.
На проницаемых участках границ области фильтрации, где
жидкость поступает в область фильтрации извне (из резервуара,
водоема) или же выходит из области фильтрации (в водоем, в атмо-
сферу), давление или напор вообще задаются в виде функций коор-
динат:
p=F(x, у, z)', h=f(x, у, г).	(2.144)
На фиг. 20 к таким участкам относятся: участок 1—2— поверх-
ность входа жидкости из водоема в перемычку, и участок 4—5 —
поверхность выхода жидкости из перемычки под уровень. На вход-
ном участке 1—2, как нетрудно видеть, напор имеет постоянное
значение. Если за плоскость
перемычки, то во всех точ-
ках поверхности 1—2 напор
h — hx — const, (2.145)
где hy — глубина водоема.
На выходном участке 4—5
во всех точках поверхности
h — h2 — const, (2.146)
где й2 — глубина за пере-
мычкой.
Характерно, что напор имеет постоянное значение на тех гранич-
ных поверхностях, которые находятся под уровнем жидкости, т. е.
являются затопленными. Давление на указанных поверхностях линейно
зависит от координаты г. Действительно, из схемы на фиг. 20 ясно,
что для участка /—2
2,	(2.147)
1 1
а для участка 4—5
P- = h2-z.	(2.148)
На поверхности 3—4 жидкость высачивается и стекает струйками
вниз по откосу или же испаряется. Такая поверхность называется
поверхностью высачивания. На поверхности 3—4 давление равно
атмосферному, т. е. пьезометрическая высота
’ - } /• о . J .
Так как пьезометрический напор в любой точке
Й =	(2.150)
90 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 2
то на поверхности высачивания 3—4
h^z,	(2.151)
где г—координата точки поверхности высачивания.
На свободной поверхности (поверхности депрессии) фильтрацион-
ного потока давление принимает постоянное значение, равное атмо-
сферному давлению, т. е. пьезометрическая высота равна нулю. По-
этому пьезометрический напор в точках на свободной поверхности
определяется по формуле (2.151), где z— координаты точек свобод-
ной поверхности.
Таким образом, динамические граничные условия на свободной
поверхности совпадают с теми же условиями на поверхности выса-
чивания.
Остановимся теперь на кинематических граничных условиях на
свободной поверхности. При установившейся фильтрации свободная
поверхность фильтрационного потока не перемещается, а потому со-
ставляющая скорости фильтрации по нормали к поверхности равна
нулю (2.143). При неустановившейся фильтрации свободная поверх-
ность перемещается. Положим, что скорость перемещения некоторой
точки свободной поверхности равна и, а ее проекция на нормаль
к поверхности — ип. Очевидно, что эта проекция будет равна проек-
ции на ту же нормаль средней скорости в порах, т. е. —. Отсюда
получается граничное условие
vn~m'un,	(2.152)
где т'—коэффициент отдачи грунта (2.2) при опускании свободной
поверхности или коэффициент недостатка насыщения при ее подня-
тии (§ 7).
В связи с указанными выше граничными условиями можно дать
следующие определения. Если на границах области фильтрации
имеются участки, на которых давление равно атмосферному (свобод-
ная поверхность, поверхность высачивания), то фильтрация называется
безнапорной. Примером безнапорной фильтрации является фильтрация
через земляную плотину. Если на всех участках границ области
фильтрации давление отлично от атмосферного, то фильтрация назы-
вается напорной. Примером напорной фильтрации является фильтра-
ция нефти в нефтяном пласте, ограниченном сверху и снизу непро-
ницаемыми пластами.	J
ГЛАВА 3
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
§ 20. Уравнения одномерной установившейся фильтрации.
Фильтрация называется одномерной, если все характеристики филь-
трационного потока (скорости фильтрации, напоры, давления) являются
функциями одной координаты (в общем случае криволинейной).
В качестве примера одномерной фильтрации можно назвать филь-
трацию в призматическом пласте грунта, где все линии тока являются
параллельными прямыми (фиг. 21). В этом случае все характеристики
потока зависят от одной прямолинейной координаты, параллельной
линиям тока. Другим примером одномерной фильтрации является
плоская радиальная фильтрация, при которой все линии тока будут
прямыми линиями, пересекающимися под прямым углом с некоторой
осью. Такой случай имеет место, например, при фильтрации к сква-
жине в напорном пласте с постоянной мощностью (фиг. 34). В этом
случае, используя полярные координаты, можно показать, что все
характеристики фильтрационного потока зависят от одной координаты —
длины радиуса-вектора.
Наконец, представим себе проницаемый слой грунта весьма боль-
шой мощности. Положим, что в толще грунта имеется работающая
сферическая дрена (фиг. 46). В да том случае фильтрационный поток
будет симметричным относительно центра дрены. Все линии тока
являются прямыми, пересекающимися в центре дрены. Пользуясь
сферическими координатами, можно сказать, что все характеристики
потока будут зависеть лишь от одной координаты — длины радиуса-
вектора.
Необходимо отметить, что задачи одномерной фильтрации имеют
большое практическое значение и их решения часто используются
в самых различных технических расчетах.
В главе 2 были получены дифференциальные уравнения для раз-
личных случаев фильтрации. Используя эти уравнения, мы получим
Уравнения для различных случаев одномерной фильтрации, которыми
воспользуемся в дальнейшем при решении частных задач одномерной
фильтрации.
Остановимся прежде всего на том случае фильтрации, когда все линии
тока являются параллельными прямыми линиями Возьмем уравнения
92
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 3
установившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости (2.56'.
Положим, что скорость фильтрации зависит от одной координаты х.
Тогда вместо (2.56) мы получим одно уравнение параллель”оструйчой
фильтрации, называемой равномерной фильтрацией'.
<3.1)
dx
где v — скорость фильтрации, h — напор.
Далее, из (2.57) вытекает уравнение
^ = 0.	<3.2)
dx*
На основании зависимостей § 16 получим уравчеше фильтрации
газа. Из (2.87), принимая во внимание, что весовая скорость филь-
трации зависит только от координаты х, найдем:
где -[v — весовая скорость фильтрации, Р—функция давления
(3.4)
р =~_____р1 + »
М1+и)Р
Связь между удельным весом f и давлением р выражается характе-
ристическим уравнением
Уравнение равномерной
также по (2.92) в виде
1 i
1^-pn.
фильтрации газа можно представить
(3.5)
(3.6'
(3.7)
^ = 0
dx*
Пользуясь зависимостями (2.93), получим следующее выражение ДлЯ
равномерной фильтрации газа:
yv = — с^п< <*1п+1
‘ Iх («4-1) dx ‘
Пользуясь (2.95), можно представить уравнение равномерной
фильтрации газа в следующем виде:
^ = 0.	(3-8)
Из выводов § 17 получаются уравнения равномерной фильтра"
ции газированной жидкости. Так, из (2.124) найдем, что скорость
фильтрации жидкой фазы
Н- dx ’
(3-9)
§ 20] Уравнения одномерной установившейся фильтрации 03
где $ — постоянная, определяемая по (2.129), Н — функция давления,
график которой приведен на фиг. 18. Из (2.125) получим следующее
уравнение равномерной фильтрации газированной жидкости:
(3.10)
пересе-
прямую
Положим теперь, что все линии тока являются прямыми,
кающимися под углом 90° с некоторой прямой. За такую
возьмем координатную ось Oz. Напоры, давления и скорости в любой
точке такого осесимметричного потока будут зависеть только от рас-
стояния этой точки до оси Oz. Тогда получается схема одномерной
осесимметричной или цилиндрической фильтрации. Эта схема имеет
важное практическое значение, так как она отвечает случаю филь-
трации жидкости к одиючюму колодцу или скважине. В случае
одномерной осесимметричной фильтрации удобно пользоваться цилин-
дрическими координатами. Тогда мы будем иметь лишь
вляющую скорости, а име гю, в случае фильтрации
жидкости по (2.62)
одну соста-
несжимаемой
(3.11)
то из (2.63)
где г — длина радиуса-вектора точки (фиг. 34).
Так как напор h не зависит от координат 0 и г,
получим следующее уравнение осесимметричной фильтрации тяже-
лой несжимаемой жидкости:
Для одномерной осесимметричной фильтрации газа, пользуясь
теми же рассуждениями, получим из (2.98):
Г =	(3.13)
где Р выражается по (3.4), а связь между у и р — по (3.5).
Из (2.100) вытекает следующее уравнение для осесимметричной
фильтрации газа:
=	(3.14)
dr \ dr J
Как известно из § 17, задача о фильтрации газированной жидкости
в известном смысле аналогична задаче о фильтрации несжимаемой
жидкости. Поэтому, пользуясь уравнениями (3.11) и (3.12) и принимая
во внимание формулы (2.124) и (2.125), мы можем написать для
осесимметричной фильтрации газированной жидкости:
(3.15)
1лж dr ’	1
а также
(3.16)
У4	ОДЙОМЁРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[ГЛ. 3
Далее получим уравнения для того случая фильтрации, когда все
линии тока пересекаются в одной точке. Фильтрационный поток будет
Симметричным относительно данной точки. Вследствие этого скорости,
напоры и давления в любой точке будут зависеть только от расстоя-
ния этой точки от центра симметрии.
Тогда получается схема одномерной сферической фильтрации.
В рассматриваемом случае удобно пользоваться сферическими коор-
динатами. При этом будет лишь одна составляющая скорости филь-
трации в направлении радиуса-вектора (2.64):
(3.17)
dr
где г —длина радиуса-вектора точки.
Так как потенциал скорости о, а также напор h зависят только
от радиуса-вектора, то из (2.65) получается следующее уравнение
сферической фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости-.
— fr^-'l^O.	13.18)
dr \ dr }
При сферической фильтрации газа весовая скорость фильтрации
согласно (2.102) определится по формуле
=	(3.19)
‘ р dr
Уравнение фильтрации получается из (2.103) в виде
* (^^О.	(3.20)
dr \ dr )
Наконец, остановимся на случае одномерной установившейся
фильтрации тяжелой жидкости по горизонтальному непрони-
цаемому пласту. При этом можно воспользоваться уравнением (2.76*.
При одномерной установившейся фильтрации вместо этого уравнения,
очевидно, будем иметь:
-^ + ^^0.	(3.21)
Для осесимметричной безнапорной фильтрации по горизонтальному
пласту без инфильтрации из (2.79) получим следующее уравнение:
(З-22)
При наличии инфильтрации из того же уравнения получим для
одномерной задачи:
£(,*^)+-1г“°.	(3-23)
где в объем жидкости, просачивающийся в единицу времени с еди-
ницы площади поверхности земли.
§ 21) РАВНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ТЯЖЕЛОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 95
§ 21. Равномерная фильтрация тяжелой несжимаемой жидко-
сти. Под равномерной фильтрацией понимается такая фильтрация,
при которой лиши тока фильтрационного потока являются параллель-
ными прямыми. Подобтая фильтрация будет иметь место, например,
в цилиндрической трубе или же в призматическом пласте. Из данного
определения следует, что при равномерной фильтрации форма и раз-
меры живого сечения потока не изменяются по его длине. Так как
границы области фильтрации не создают особых условий для сил
сопротивления *), то условия движения любого элемента жидкости во
всей области фильтрации будут идентичными. Направляя ось коорди-
нат Ох по одной из линий тока
(фиг. 21, а), мы получим уравне-
ние фильтрации (3.2):
Интеграл этого уравнения будет:
й = Сгх + С.,, (3.24)
где и С2 — постоянные. Поло-
жим, что имеются такие граничные
условия: при х~0 напор h = kx
и при х ~ I напор h = h2. Тогда
из (3.24) найдем
и далее
= 0^1 -ф- йр
откуда
-----1 '
Подставляя найденные значения
постоянных в (3.24), получим:
й =	(3.25)
Из полученной зависимости между напором h и координатой видно,
что поверхности равных напоров определяются уравнениями
х = const.
Эти поверхности, очевидно, являются плоскостями живых сечений
потока.
Из (3.25) найдем:
. 	dh __ hi
J ~~	dx ~~ I ’
*) Как это имеет место, например, при движении вязкой жидкости в трубе,
Де стенки трубы оказывают на поток тормозящее действие.
§6	ОДЙОМЁРЙАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	1ГЯ- 3
вследствие чего
c==fe^L=A.	(3.26)
Таким образом, градиенты напора J и скорости фильтрации будут
одинаковы во всех точках области фильтрации. Если площадь
живого сечения равна ш, то фильтрацион шй расход
(3.27)
Если сечение потока прямоугольное, то
ш = ЬТ,
где Т—мощность пласта, b — ширина потока.
Уделы.ый фильтрационный расход
на основании (3.27) будет:
9 = 67^.	(3.28)
В случае безнапорной равномерной фильтрации (фиг. 21, б),
которая происходит в проницаемом пласте, поток имеет свободную
поверхность в форме наклонной плоскости с уклоном, равным уклону
i = sin 0 непроницаемого подстилающего пласта.
Уравнение фильтрации в данном случае будет тем же, что и
в рассмотренном выше случае напорной фильтрации. Интеграл его
представляется в виде (3.25). Пьезометрический уклон J, который
является уклоном свободной поверхности, равен уклону /, а потому
скорость фильтрации в любой точке
=	(3.29)
dx
Фильтрационный расход
Q = <ой1) = k<oQi,	(3.30)
где <в0—площадь живого сечения потока.
Часто в практике фильтрационного расчета встречаются случаи,
когда живое сечение безнапорного потока прямоугольное. Тогда пло-
щадь живого сечения
“о = ЬН0,
где Hq — глубина потока, b — н ирина его.
Из формулы (3.30) удельный расход
q=kiH0.	(3.31)
Глубина потока Но носит название нормальной глубины, или глубины
равномерной фильтрации.
§ 22]
РАВНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА
97
Остановимся на вопросе о равномерной фильтрации в слоистых
грунтах. Положим, что имеется пласт, образованный из п параллель-
ных слоев с мощностями 7 р 7'.,, ..., Тп и коэффициентами фильтра-
ции fej, fe2, .. ., kn, как, например, на фиг. 22, а, где имеется четыре
параллельных слоя. Очевидно, что в пределах каждого слоя имеется
средним коэффициентом фильтрации
Величина k0 называется
пласта [5].
Аналогичный результат
равномерной фильтрации в
вместо (3.31) будем иметь:
получается и для случая безнапорной
слоистом пласте (фиг. 22,5). При этом
q = koiHo,
(3.35)
где fe0— средний коэффициент фильтрации пласта (3.34), при опре-
делении которого следует иметь в виду, что мощность верхнего слоя
определяется свободной поверхностью фильтрующей жидкости.
§ 22. Равномерная фильтрация газа. Положим, что имеется
Равномерная фильтрация газа, при которой, как сказано выше, линии
98
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 3
тока будут параллельными прямыми. Воспользуемся уравнением филь-
трации н форме (3.6):
где Р — функция давления, определяемая выражением (3.4'.
Общий интеграл уравнения фильтрации будет:
Р^С^О,,	(3.36)
где Cj и С2 — постоянные, определяемые из следующих граничных
условий. Пусть при х = 0 давление р==рр а следовательно, по (3.4)
»+1
р —------5—_ » П	<3.37)
а при х = I давление р = р2 и
= Jpt+iyPs ” 
(3.38)
Подставляя выражение (3.38) и х —0 в (3.36), получим:
С1=Л-КД-ПР,1”±1.	(3.39)
Далее, подставляем в (3.36) х~1, Р = Р^, а также найденное зна-
чение С3 и найдем постоянную Ср
C,= 'V! = T(^Ty7(P!“-P,^).	(3.40)
Подставим найденные значения постоянных в (3.36):
P = :{V=IlA. + pp	(3.41)
или же, выражая Р, Рг и Р2 чеРез соответствующие давления, будем
иметь:
п+1	, пн_ n-н	«и
Р п -^-jiPi н —рг п )x + pfn\	(3.42)
Мы получили зависимость между давлением р и координатой х
при политропическом процессе.
При изотермическом процессе показатель п— I, а потому из (3.42)
получим:
Р^±(р2_р2)х + р2.	(3.43)
Из зависимости (3.41), принимая во внимание уравнение (3.3)>
можно получить весовую скорость фильтрации газа
рО=а= —
(3.44)
§ 23]
РАВНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
99
«2
Для изотермического процесса Р — ^г
2Р

с P2i— pl
2pp. I
а потому весовая скорость
(3.45)
Следует отметить, что с падением давления по длине потока удель-
ный вес газа у будет уменьшаться, а следовательно, скорость филь-
трации v будет возрастать. Весовая же скорость yv будет оставаться
постоянной.
Преобразуем несколько формулу (3.45). Будем относить величины у
и v к среднему давлению
=	(3.46)
причем введем для них обозначения: уор Ht>op. Перепишем формулу (3.45)
в таком виде:
Так как при изотермическом процессе Руср = Рср, то
__ с	Pi—Pi	/о Л7\
Пор—	.	,	(3.4/)
Г*	*
или же
Q	(3.48)
Г	*
(3.49)
где Qop — фильтрационный расход газа, отнесенный к давлению ра{„
Из последнего равенства найдем:
с =	1—-у.
“(Pt—Рг)
Эга формула может применяться для определения коэффициента про-
ницаемости пористой среды при фильтрации газа, как было сказано
в § 16.
Заметим, что в случае фильтрации газа в слоистом пласте легко
получить зависимости, аналогичные соответствующим зависимостям § 22,
введя понятие о среднем коэффициенте проницаемости пласта.
§ 23. Равномерная фильтрация газированной жидкости. Поло-
жим, что форма и размеры живого сечения фильтрационного потока
газированной жидкости не изменяются по его длине. Тогда будет
иметь место равномерная фильтрация газированной жидкости,
при которой все линии тока являются параллельными прямыми. Такая
фильтрация будет, например, в цилиндрической трубе, заполненной
грунтом, или в призматическом пласте грунта.
В § 20 было приведено уравнение (3.10) фильтрации газирован-
ной жидкости:
^ = 0
dx*
100	ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	(ГЛ. 3
причем И — функция давления. Функция И графически представлена
на фиг. 18, где обозначено
p-f,	(3.50)
р— давление, £—величина, определяемая по формуле
E=iPor.	(3.51)
Iх ж
Как было указано в § 17, задача о фильтрации газированной
жидкости сводится к задаче о фильтрации однородной несжимаемой
жидкости. Таким образом, рассматриваемая здесь задача вполне ана-
логична задаче о равномерной фильтрации несжимаемой жидкости,
рассмотренной в § 21.
Интеграл уравнения фильтрации будет:
+	(3.52'
где С] и С2 — постоянные.
Положим, что при х = 0 Н — Нх и при х — 1 Н~Н2. Тогда
из (3.52) получим следующие значения постоянных:
Ci==A=^L; С2 = Яг	(3.53)
Подставляя эти значения в (3.52), будем иметь:
+	(3.54)
Положим также, что нам известны вязкости жидкости и газа
и [хг, коэффициент проницаемости грунта с, а также газовый фактор Г,
величина которого при установившейся фильтрации является постоян-
ной. Определяя постоянную 5 по формуле (3.51), мы можем затем
определить и Н2, если иввестны соответствующие им давления ру
и р2- Действительно, из формулы (3.50)
Р1==у и р2 = ^.	(3.55)
По известным значениям рх и р2 из графика на фиг. 18 находим
и Н2. Подставляя известные величины в (3.54), получаем зависимость
между функцией Н и координатой х. По этой зависимости можно
определить давление в любой точке фильтрационного потока. Для
нахождения давления в сечении потока, определяемом координатой х,
найдем из_ уравнения (3.54) величину Н. Затем по графику на фиг. 13
находим р и далее из формулы (3.50) — давление р. Скорость филь-
трации жидкой фазы определяется согласно (3.9):
Т'Ж------------
dx ’
§ 24] НЕРАВНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 101
или ввиду уравнения (3.54)
(3.56)
Фильтрационный расход жидкости
(3.57)
где <о — площадь сечения потока.
Объемный расход газа, приведенный к атмосферному давлению,
как вытекает из данного в § 17 определения газового фактора, будет:
<?г = <?жГ.	(3.58)
Далее, в § 31 будет дан пример определения расхода жидкости
и газа в условиях фильтрации газированной жидкости к скважине.
§ 24. Неравномерная фильтрация несжимаемой жидкости.
К обширной группе задач одноразмерной установившейся фильтрации
относятся также задачи, в которых фильтраци) будет неравномерной.
Фиг. 23.
При неравномерной фильтрации живые сечения фильтрационного по-
тока изменяются по его длине. На фиг. 23 показан такой случай
фильтрации; живые сечения безнапорного фильтрационного потока
изменяются по его длине, увеличиваясь вниз по течению.
Положим, что линии тока фильтрационного потока имеют весьма
малые углы расхождения и весьма малую кривизну. Используя тер-
мин, принятый в гидравлике для наземных потоков, такую фильтра-
цию называют медленно изменяющейся. При соблюдении названных
двух условий медленной изменяемости живые сечения фильтрационного
потока весьма близки к плоским и будут почти параллельными. На
этом основании мы можем считать, что длины отрезков всех линий
тока, заключенных между двумя живыми сечениями потока, равны.
Указанное допущение позволяет получить ряд приближенных, но до-
статочно точных для практических фильтрационных расчетов решений.
Впервые подобные решения были получены Дюпюи.
102
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 3
Так как живые сечения фильтрационного потока являются поверх-
ностями равных напоров (§ 14), то мы приходим к заключению, что
при медленно изменяющейся фильтрации для всех линий тока в дан-
ном живом сечении градиенты напоров одинаковы:
J = const.	(3.59)
aS
Следовательно, и скорости фильтрации, определяемые уравнением (3.1),
будут одинаковы для всех точек данного живого сечения. Таким
образом, случаи неравномерной медленно изменяющейся фильтрации
относятся к одномерной фильтрации, поскольку скорости фильтрации
в живых сечениях зависят только от координаты s.
Итак,рассматриваемый случай фильтрации удовлетворяет уравнению
« = — k~,	(3.60)
as
в котором ч> является скоростью фильтрации в данном живом сечении.
Умножим это уравнение на площадь живого сечения ш:
Q = —	(3.61)
as
где Q — фильтрационный расход.
Мы получили общее уравнение неравномерной фильтрации.
Приведем это уравнение к форме, удобной для интегрирования.
Обозначим через Й глубину фильтрационного потока (фиг. 23). Из
чертежа устанавливаем, что напор h в некотором сечении
h~H-^a — is,	(3.62)
где а 'отметка дна в начальном сечении над плоскостью сравнения,
i = sin 9 уклон дна потока, s — координата, параллельная линии дна,
отсчитываемая от начального сечения.
Из последнего равенства получим:
d/i dH
ds ds l"
Следовательно, градиент напора (3.59)
7 = /-^.	(3.63)
Заметим, что J является в данном случае уклоном свободной поверх-
ности фильтрационного потока.
видНЭ °СНОвании сказаиН0г0 Уравнение фильтрации (3.61) будет иметь
Q = fetn^_ му	(3.64)
/я Заметим> Что Фильтрация, определяемая уравнениями (3.61) или
( . 4), происходит практически в углублениях непроницаемого грунта,
§ 25] НЕРАВНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РУСЛАХ 103
заполненных фильтрующим грунтом (фиг. 23). Такие углубления назы-
ваются грунтовыми руслами. В полученном уравнении (3.64', кото-
рое можно назвать, таким образом, уравнением фильтрации в грунто-
вых руслах, в общем случае a> = F(s, Н). В частном случае «>=/(//),
и тогда форма сечений русла остается постоянной по длине потока.
Такие грунтовые русла называются в зависимости от форм сечений
призматическими или цилиндрическими.
В дальнейшем мы подробно рассмотрим именно этот последний
случай, имеющий важное практическое значение в гидротехнических
и гидрогеологических расчетах. При этом будем следовать методике
решения задачи о фильтрации, разработанной Н. Н. Павловским,
впервые систематически изложившим теорию неравномерной фильтра-
ции [1, 2].
Если грунтовое русло имеет горизонтальное дно, то, полагая
в уравнении (3.64) т —0, получим:
—	(3.65
В случае, когда грунтовое русло имеет обратный уклон, т. е.
I <_ 0, полагая, что абсолютная величина уклона равна I', найдем из
уравнения (3.64):
Q =	+	(3.66)
Уравнения фильтрации в призматических или цилиндрических грун-
товых руслах (3.64), (3.65) и (3.66) могут быть проинтегрированы,
если известна зависимость	Зависимость эта определяется
формой поперечного сечения грунтового русла. Н. Н. Павловский
получил целый ряд решений для различных форм поперечных сече-
ний грунтовых русел: треугольного, параболического и т. д. [2].
Наиболее часто в практике фильтрационного расчета в гидрогео-
логии и гидротехнике встречаются грунтовые русла прямоугольного
сечения. Этот важный случай мы рассмотрим в следующем параграфе.
§ 25. Неравномерная фильтрация в прямоугольных грунтовых
руслах. Для прямоугольного грунтового русла шириной д имеем
ш~ЬН.	(3.67)
Обозначим через q фильтрационный расход, приходящийся на еди-
ницу ширины грунтового русла.
Теперь рассмотрим в отдельности случаи неравномерной фильтра-
ции в прямоугольных грунтовых руслах: с прямым уклоном (/ > 0),
горизонтальным (i = 0) и с обратным уклоном (/ < 0).
1°. При прямом уклоне подстилающего слоя (I > 0) уравне-
ние (3.64) при наличии зависимости (3.67) перепишется в виде
, =	(3.68)
104	ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	1ГЛ* ®
Выражая в этом уравнении q по (3.31), получим:
и( • dH\
Обозначим отношение глубины Н к iдубине равномерной филь-
трации Но
(3.70)
! ~ Нп ’
причем dH = HQd^. Введем это обозначение в уравнение (3.69),
в котором отделим переменные s и ц:
(3-711
Интегрируя последнее уравнение в пределах от сечения 1 I яо
сечения 2—2 (фиг. 24', получим уравнение кривой депрессии:
— ^1 = ^ — +	(3.72)
где s2 — Sj —/ — расстояние между названными сечениями,
•*=%•	(3-73)
Кривая депрессии в рассмотренном случае может принимать одну
из двух форм, изображенных на фиг. 25. Из уравнения (3.69) найдем:
йЯ	Нп\	.г,
~н)-	(3.74)
В зоне а Н~^> Нц, вследствие чего из (3.74) находим, что > 0»
глубина Н возрастает в направлении течения, т. е. мы имеем кривую
подпора. При стремлении Н к Но производная стремится к нулю,
т. е. кривая депрессии в зоне а имеет асимптоту — линию нормаль-
§ 25]
НЕРАВНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РУСЛАХ
105
ных глубин W—W. При стремлении Н к бесконечности — Стре-
йн *
мится к I, что свидетельствует о наличии другой асимптоты — гори-
зонтальной прямой.
В зоне b Н <,Н() и из (3.74)	< 0. Глубина Н уменьшается
в направлении течения, т. е. кривая депрессии будет кривой спада.
Как и в предыдущем случае, можно убедиться, что линия N—N
является асимптотой рассматриваемой кривой депрессии.
dH
При стремлении Н к нулю стремится к бесконечности. Таким
образом, на некотором участке близ конца данной кривой будет
наблюдаться значительная кривизна линий тока. Здесь медленно изме-
няющаяся фильтрация нарушается (пунктир на фиг. 25), а следова-
тельно, неприменимо положенное в основу выводов уравнение (3.59).
2°. При горизонтальной поверхности подстилающего слоя (I — 0)
из уравнения (3.65), выражая в нем <ь по (3.67) и вводя расход на
единицу ширины q, получим:
^ds = — HdH.	(3.75)
к
Интегрируя это уравнение в пределах от сечения 1—1 до 2—2, найдем
уравнение кривой депрессии:
<3-76)
Кривая депрессии является параболой второй степени (фиг. 26). Если
1’лубины в двух сечениях, находящихся на расстоянии I друг от друга,
известны, то на основании (3.76) расход
q—
Полученная зависимость называется уравнением Дюпюи.
(3.77)
106
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 3
Из уравнения (3.75) вытекает, что
=_____?_<о
ds kH '
(3.78)
Глубина И уменьшается в направлении течения, т. е. кривая депрес-
сии является кривой спада. При стремлении И к нулю стре-
мится к бесконечности. Следовательно, на некотором участке близ
конца кривой медленно изменяющаяся фильтрация нарушается (пунк-
тир на фиг. 26).
3°. При обратном уклоне подстилающего слоя (Z < 0) мы полу-
чили уравнение (3.66), которое для прямоугольного грунтового русла
по (3.67) примет вид
? =	(3.79)
\ J as 7
Введем в это уравнение нормальную глубину равномерной филь-
трации в направлении, обратном направлению действительной филь-
трации; по (3.35)
q—ki'H'Q. (3.80)
Тогда из (3.79)
+	(3.81)
Теперь, обозначая
r=2L	(3.82)
Но
получим следующее уравнение:
~7ds^-----------=
Но	С + 1
=	(3.83)
Интегрируя последнее уравнение в пределах от сечения I—1 Д°
сечения 2—2 (фиг. 27), найдем уравнение кривой депрессии:
г
~(^2 Sj) = Cj — С2 -ф- In
По
1+4
1+4
(3.84)
В этом уравнении s2 — sx— Z — расстояние между названными сече-
ниями;
Г = "Ь
1

(3.85)
§ 251 НЕРАВНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РУСЛАХ 107
Для характеристики формы кривой депрессии перепишем уравне-
ние (3.81) в виде
ds —	1 \1-Г
Из последнего уравнения вытекает, чго всегда < 0> т- е- ГЛУ"
бина Н уменьшается в направлении течения. Кривая депрессии будет
кривой спаде. При стремлении Н к нулю стремится к бесконеч-
ности. Следовательно, на некотором участке близ конца кривой мед-
ленно изменяющаяся фильтрация не имеет места.
Пример 1. Из канала происходит фильтрация в реку через
водопроницаемый грунт, лежащий на слабо водопроницаемом слое
(фиг. 28). Глубина воды в канале Я, = 2,0 м, глубина(в реке'Я2 == 4 м.
Фиг. 28.
Уклон поверхности водоупорного слоя /—0,025, расстояние между
каналом и рекой L = 300 м. Коэффициент фильтрации грунта
А —0,002 см! сек. Построить кривую депрессии фильтрационного по-
тока и определить фильтрационный расход, приходящийся на 1 м длины
канала.
В данном случае фильтрация происходит в прямоугольном грунто-
вом русле при прямом уклоне подстилающего слоя. Так как Н.> >
то будем иметь кривую подпора. Определим глубину равномерной
фильтрации Но из уравнения (3.72). Подставляя в эго уравнение
известные величины, получим:
300 =4-^+2,3184^-,
По	По По	*
или же
Я01г4="о=2,39.
Из последнего уравнения ff0 легко определяется графически. 3aw-
ваясь рядом произвольных (но лежащих в пределах между 0 и /ij)
значений Но, строим график для левой части последнего равенства,
108
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
1гл. 3
обозначив левую часть График приведен на фиг. 29. Для его
построения было задано три значения /70: 1,95 м; 1,90 л; 1,85 м.
Соответствующие значения f(H0) будут: 3,14; 2,52 и 2,14. Извест-
ному значению /(Но)~ 2,39 соответствует по графику	м.
Фиг. 29.
Следовательно, на основании форму-
лы (3.31' фильтрационный расход на 1 см
длины канала составит:
q — kiH0 ~
= 0,002 • 0,025 • 1,88 « 0,01 см'2!сек.
Далее, построим кривую депрессии,
пользуясь уравнением (3,72', которое
после подстановки в него известных ве-
личин будет иметь вид
0.025 , Н 2,0 , Н —1.88
1,88	1,88	1,88“!"2^^L88
или же
I -= 40Я+ 1731g - ~g88 — 80.
Зтдаваясь различными значениями
глубин Н, находим соответствующие I,
Т- е. в данном случае расстояния от начального сечения потока
(у стенки канала) до сечения с заданной глубиной.
Задаемся /7 = 2,5 м, м и 3,5 м и находим 1Х = 144 м,
2 м и 255 м. По этим данным на фиг. 28 построена кри-
вая депрессии, причем верти-
кальный масштаб чертежа в де-
сять раз больше юризопталь-
ного масштаба.
Теперь рассмотрим случай
безнапорной фильтрации в пла-
сте, образованном из параллель-
ных слоев с различными коэф-
фициентами фильтрации.
Если значения коэффициен-
тов фильтрации слоев не сильно
можно приближенно считать, что фильтоап^/ТТ ДРУГ °Т ДРугЭ’ Т°
чает условиям медленной Фильтрация в слоистом пласте отве-
иия фильтрационного потока бшГ! 24)' Т°ГДа ЖИВые СеЧе'
гость приближенного решениями оскими и эго Даст возмож-
ные те [5].	решения задачи о фильтрации в слоистом
Положим, например что имеет™ „
параллельных горизонтальных слоев ?фиг Чт °Й’азова«ный из ДВУХ
нижнего слоя, k. — коэффициент ж ^ИГ' 30^ ПУСТЬ — мощность
1 коэффициент фильтрации его, Л,-коэффициент
§ 26] ЙЕРАВНОМЁРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ИНФИЛЬТРАЦИИ 109
фильтрации верхнего слоя. Удельный фильтрационный расход в неко-
тором сечении нижнего слоя, определяемом координатой s, можно
выразить следующим образом:
где h — напор, который будем отсчитывать над плоскостью соприка-
сания обоих слоев. Удельный фильтрационный расход в том же сече-
нии в верхнем слое согласно (3.75) будет:
. и dH
92 ——	,
где Н—глубина, отсчитываемая над плоскостью соприкасания обоих
слоев.
Полный фильтрационный расход в данном сечении равен сумме
определенных выше расходов:
. т, dh , ,, dH
а = — k,i\ -j--k9H.
4	1 3 ds 2 ds
Так как напор h и глубина И, отсчитываемые от одной и гой же
плоскости, равны, то
,rdH и и dH
q ktTt dg kaH ds .
Отсюда
qds = — kJ\dH — kJHdH.
Интегрируя полученное уравнение в пределах or первого до вто-
рого сечений, получим
Н2.— Hi
ql= к,Т}(Н} — Н2) -J- k2— у- — ’
где I—расстояние между обоими сечениями, Н, и Н%—глубины
в данных сечениях (фин 30).
Фильтрационный расход
g = Mt (Я1 - Я2) +	(Я? - Н'1).	(3.86)
В некотором сечении, находящемся на расстоянии 1р от первою
сечения, кривая депрессии пересекается с плоскостью соприкасания
слоев и в этом сечении /7=0. Подставляя Н.,~0 в предыдущее
уравнение, найдем:
кМ, . k2H2	,оо71
+-2J--	<3-87)
Начиная от найденного сечения, фильтрация происходит только
в нижнем слое и здесь применимы зависимости (3.76) и (3.77).
§ 26. Неравномерная фильтрация по горизонтальной плоскости
водоупора при наличии инфильтрации. Положим, что в прямоугольном
грунтовом русле происходит фильтрация, причем на обоих концах
116	ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	1ГЛ«
русла имеются водоемы с заданными уровнями воды в них, а с поверх-
ности земли происходит инфильтрация, характеризуемая величиной
г ма сек на 1 м2 горизонтальной проекции данной поверхности (фиг. 31).
Уравнение фильтрации в данных условиях будет по \3.21):
ds- k и’
где И—глубина в некотором сечении потока, равная напору, отсчи-
тываемому от плоскости водоупора, у—расстояние данного сечения,
отсчитываемое от начального сечения (фиг. 31).
Фиг. 31.
Интеграл этого уравнения при г = const имеет вид
Н2= _	+	-f-C2,	(3.88)
где С, и С, —постоянные.
Пусть на обоих концах грунтового русла имеются водоемы с глу-
бинами Н1 и Я2. Таким образом, при у —0 1 лубина фильтрационного
потока И~ Hv; следовательно, из (3.88)
c^Hi.
При s^l имеем Н=Я2 и из равенства (3.88), подставляя в него
значение С2, получим:
н2~	—	Cyi 4- н\,
откуда
1 Г—+ т-
Подставляя найденные значения постоянных в (3.88), получим урав-
нение кривой депрессии:
г.2 г А	Н» *1	•
Н tn I-----------s-[-Ts----b's2*	(3.89)
" я
Легко показать, что кривая депрессии будет эллипсом.
§ 26] НЕРАВНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ИНФИЛЬТРАЦИИ 111
Уравнение (3.89) было получено Г. Н. Каменским и исследовано
в применении к фильтрации в междуречном массиве [6].
Заметим, что кривая депрессии, построенная по уравнению (3.89),
имеет максимум в некотором сечении с координатой s = a (фиг. 31).
Для определения этой координаты дифференцируем по s уравнение
(3.89) и, приравнивая нулю производную найдем:
/	к(Н*-Н%)
“ 2	2е/
(3.90)
Если а > 0, то указанное сечение, где Н достигает максимума,
является водоразделом, при наличии которого будет происходить при-
ток hi фильтрационной воды к обоим водоемам. Если же а = 0, то
вся грунтовая вода, поступающая за счет инфильтрации, будет питать
водоем с наинизн им уровнем. При а < 0 кроме расхода инфильтра-
ционной воды, равного г/, в водоем с паинизи.им уровнем будет по-
ступать часть расхода, равная, положим, qy, из водоема с наивысшим
уровнем ’). Определим величину q,. Расход в любом сечении равен
d Н
q' =—kH-^. Дифференцируя уравнение (3.89), находим:

Следовательно, расход в любом сечении
Ч =—27--Т + 3"’
(3.91)
откуда фильтрационный расход в сечении с глубиной Hv т. е. расход
из водоема с наивысшим уровнем (при s = 0), будет:
г!
41	2 •
(3.92)
Полный же расход, поступающий в водоем с наинизшим уровнем
(при s = Z),
9 =-------27-----Г'Т’	(3’93)
или же
9 = ?1 + 8/-	(3.94)
При этом расход в сечении с координатой к (3.91) можно выразить
так:
q' == -ф- es.	(3.95)
Полагая, что инфильтрация отсутствует и s = 0, получаем из (3.93)
формулу (3.77), выведенную выше. Таким образом, при заданных
*) Имеется в виду расход, приходящийся на единицу ширины погоне.
112
ОДЙОМЙРЙАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 3
глубинах Ну и Н% на концах грунтового русла потери из водоема с наи-
высшим уровнем уменьшаются при наличии инфильтрации, причем это
уменьшение составляет половину инфильтрационного расхода на всей
длине русла.
Заметим, что если в формуле (3.90) положить а —0, откуда сле-
дует, что
г/
21
*********** IIIIIII I I I н II 11 н И
го из формулы (3.92) получается Цу ~ 0, что подтверждает сказанное
выше об этом предельном случае.
Приложим выведенные зависимости к случаю осушения территории
горизонтальным дренажем (фиг. 32). Пренебрегая глубиной воды в др®'
нах, положим в уравнении
(3.89) Я1==/72 = 0, тогда
уравнение кривой депрессии
между двумя дренами бу-
дет:
H* = ^(l—s)s. (3.96)
Н------------1---- 
Фиг. 32.
В середине междудренного расстояния, т. е. при s =	, глубина
по1 ока будет:
н,=1/е-'.	(3.97)
Ясно, что в дрену с каждой стороны поступает расход, равный-^-
§ 27. Дополнительные замечания о неравномерной фильтрации»
В 24 — 26 были рассмотрены случаи неравномерной фильтрации
в прямоугольных грунтовых руслах. При этом принималось указанно-
в начале § 24 допущение, из которого следовало, что поверхности
равных напоров (живые сечения) можно считать параллельными пло-
скостями и, следовательно, вертикальные составляющие скоростей
фильтрации пренебрежимо малы. То обстоятельство, что свободные
поверхности имеют кривизну, свидетельствует о наличии вертикальных
составляющих скоростей потока. Теоретические выводы § 25 привели
к тому, что в некоторых зонах кривизна кривых депрессии велика,
так что поверхности равных напоров сильно отличаются от плоскостей,
что вполне согласуется и с опытами. Таким образом, в некоторых
зонах безнапорного потока указанное выше допущение является не*
приемлемым.
С этой точки зрения представляет интерес оценить величину вер-
тикальных составляющих скоростей при безнапорной фильтрации [ 16].
Возьмем случай фильтрации, показанный на фиг. 26. Обозначим через
§ 27] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О НЕРАВНОМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 113
и горизонтальную и вертикальную составляющие скорости филь-
трации в точках некоторого плоского вертикального сечения.
На основании уравнения неразрывности
dvx I dv“ — n
дх dz ~
можно написать
dvt ~ dvx
dz dx ’
откуда
z
J dx
о
dVg)
dx
dx
Так как в данном случае расход на единицу ширины
q = Hvv= — kH^-,
4	&	dx
(3.98)
то
v
или так как по (3.78)
то
dx\H) Н* dx ’
dH   q_
dx	kH ’
<flz
“ kH>'
(3.99)
скоростей фильтрации
пропорционально коор-
максимальное же значе-
(3.100)
Таким образом, вертикальные составляющие
в плоском вертикальном сечении возрастают
динате г. На поверхности водоупора т»г = О,
ние Vg будет на кривой депрессии:
Как видно из последней формулы, максимальная вертикальная
составляющая скорости фильтрации возрастает по течению обратно
пропорционально квадрату глубины.
При выходе фильтрационного потока из грунтового массива кривая
депрессии, вообще говоря, не проходит через точку пересечения
линии свободной поверхности водоема с линией откоса, а пересе-
кается с линией поверхности откоса выше названной точки. На фиг.
представлена прямоугольная земляная перемычка. Кривая депрессии
пересекается с вертикальной линией низового откоса выше горизонта
воды в нижнем бьефе на величину Д2. Таким образом, между линией
Уреза воды в нижнем бьефе и горизонтальной линией пересечения
поверхности депрессии с откосом заключена вертикальная плоскость
высотой Д2. Эта плоскость является поверхностью высачивания
(см- § 19). Теория [3] и опыт показывают, что высота Д2 при малы*
114	ОДНОМЬрНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 3
отношениях Нг к I (фиг. 33) будет относительно весьма малой и ею
можно пренебречь, при больших же отношениях Нх к I высота выса-
чивания Д2 при Я2 —О может достигать величины, близкой к Нг
Линии равных напоров близ выхода фильтрационного потока в нижний
бьеф будут сильно искривлены. На фиг. 33 пунктирная линия АВ
изображает одну из таких линий равных напоров.
Фиг. 33.
Указанное обстоятельство, естественно, вызывает сомнение в пра-
вильности результатов выводов §§ 24—26, в частности в правиль-
ности определения фильтрационного расхода по формулам (3.77)
и (3.93).
И. А. Парный [18] теоретически доказал, что формула (3.77) для
расхода является вполне точной. С. Н. Нумеров распространил это
доказательство на случай фильтрации в прямоугольном массиве при
наличии инфильтрации, рассмотренный в § 26.
Возьмем в потоке, изображенном на фиг. 33, плоское вертикальное
сечение п иричой, равной единице, и высотой Н, определяемое коор-
динатой х. Положим, что расход в сечении, граничащем с верхним
бьефом, будет И. Тогда расход во взятом сечении по (3.95) будет:
=	(3.101)
Расход через элементарную полоску высотой dz будет по (2.59)
dq' = vxdz = ^dz,
где ® потенциал скоростей фильтрации, а расход через взятое пло-
ское сечение	г
н
q' =	(з.юг)
Рассмотрим функцию	°
я
/= J ?(х, z)dz,	(З.ЮЗ)
.------- ....	о
И <?! <о₽в об£атноЛ2учТе™ “°W пост’пиет “ “Р^иего бьефа в массив.
§ 27] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О НЕРАВНОМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 115
Дифференцируя ее по х, причем надо иметь в виду, что Н = Н(х),
получим:
я
dZ Г ду , . dH
dx J дх г dx '
о
Замечая, что при z = H
ф = — kH,
представим последнее выражение в виде
dx .] дх dx\ 2 /
о
Следовательно, по (3.102)
9	,) дхаг dx' dx\ 2 Г
о
откуда
q dx — di d( ~2~),
или же по (3.101)
(q^zx^dx^ dl-^-d^-^-j .
Интегрируя последнее выражение в пределах от нуля до I, по-
лучим:
91/+=4 _ /0 +1 ft (Н2+Д2)8 -1 k (Н. + Д!)2.	(3.104)
Определим значения интегралов /г и 70. В сечении, определяемом
координатой х = I, при изменении z от нуля до Н2 напор равен Н2,
а потенциал скоростей фильтрации
ф = —kHv
На поверхности высачивания в том же сечении по (2.151) напор
равен координате г, а следовательно, <р = — kz. Таким образом,
согласно (3.103)
н, я.+д,
Л = — kH^ j dz — k J zdz =
о	я,
= kH%— k (H% -f- Дд)2-!--^	= —-j	'
Аналогично предыдущему получим, что в начальном сечении, где
х = 0,
116	Одномерная установившаяся фильтрация	(гл. 3
Подставляя полученные значения /г и 1q в (3.104), находим.
а/2 kHt kH%
= ~2	2~’
откуда
«7
?i —  ' 21 -	2 ’
а расход в выходном сечении
А(Я?~Н*)	«7
9-91 + ^=--------fl----'"'Г’
Таким образом, выведенная в § 26 формула (3.93) является точной
формулой. При отсутствии инфильтрации, т. е. при в = 0, последня
формула совпадает с формулой (3.77), которая поэтому также являете
точной.	«
§ 28. Осесимметричная напорная фильтрация несжимаемо
жидкости. Осесимметричная фильтрация характеризуется тем, что е
элементы зависят только от расстояния точки до оси симметрии.
Фиг. 34.
На фиг. 34 изображена схема фильтрации в одиночную скважину
из пласта с постоянной мощностью Т и постоянной проницаемостью.
Так как фильтрация осесимметричная, то линии тока являются пря-
мыми, пересекающимися с осью симметрии, а поверхности равны*
напоров — коаксиальными круговыми цилиндрами. При таких усло-
виях в данном случае удобно воспользоваться уравнениями осесиммет-
ричной одномерной фильтрации в цилиндрических координатах (3.16'-
Интегрируя это уравнение, получим:
(3.105)
§ 28] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ НАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ	117
Второе интегрирование даст:
А = С11пг + С,2>	(3.106)
где и С2 — постоянные.
Из (3.105) получим, что скорость фильтрации на расстоянии г от
оси симметрии будет:
, dh , Ct
V = —k -т- — — k —.
dr	r
Постоянная С, может быть положительной и отрицательной. При
Cj>0 скорость фильтрации будет отрицательной, т. е. направленной
в сторону оси симметрии потока. В этом случае мы имеем приток
к скважине. Если С\ < 0, то скорость фильтрации положительна и
мы имеем случай оттока от скважины. На расстоянии г от оси филь-
трационного потока площадь его живого сечения равна 2itrT. Филь-
трационный расход
Q = 2irrT | v |,
причем в формулу расхода, имеющего положительное значение, входит
абсолютное значение скорости | v |.
Таким образом,
Q = 2nkTCv
откуда, имея в виду положительное значегие Q, получим:
С =-+- Q	(3.107)
Вторую постоянную определим из того условия, что при г = Гп
напор h = Ло. Это значение напора имеет место в скважине, радиус
которой равен г0 (фиг. 34). Подставляя названные значения г и h
в (3.106) и имея в виду (3.107), получим при С\>0:
~ Itl r° +
Отсюда
О2 =----2^Т1пГ° + А°‘	(З.Ю8)
Теперь, подставив значения постоянных в (3.106), найдем:
Й=2ПГ'”Т + Й«-	(ЗЛ09)
Полученное выражение является уравнением кривой напоров при
фильтрации к скважине, изображенной На фиг. 34 в виде пунктир-
ной кривой. Горизонтальная пунктирная прямая на фиг. 34- иэобра-
жает линию напоров при неработающей скважине.
118
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
(гл. 3
Для нахождения расхода (дебита) скважины положим в формуле
(3.109), что на расстоянии 7? от скважины h = H. Тогда расход
л 2«*Т(Я-ЛП)	9 о	(3.110)
С =	2’73	1гл •
Гп	Гп
При помощи последней формулы фильтрационный расход может
быть определен, если известен напор И на расстоянии R от оси
скважины и напор (глубина) h0 в самой скважине.
Рассмотрим теперь случай, когда постоянная С, < 0. Подставляя
в уравнение (3.106) значение С, по (3.107), причем берем знак минус,
найдем, что при г = г0 и h = h0 будет:
= — WT 1пГ° + С‘‘!’
откуда
С = --Q — ]пгл-4-Ап	(3.111)
Подставим значения постоянных (3.107) и (3.111) в формулу (3.106).
й=-2ат1"к+''»-	<зл12’
Мы получили уравнение кривой напоров для случая оттока
от скважины (поглощающая скважина). Форма кривой напоров для
данного случая изображена на фиг. 35 пунктиром. Пунктирная прямая
изображает напорную линию при неработающей скважине.
Фиг. 35.
Из последнего уравнения, полагая, что на расстоянии R от сква-
жины h = H, получим формулу для расхода, поглощаемого сква-
жиной:
(Г»-»)	.JU,)
'"т-	1«— ’
го
Как видно из формул (3.110) и (3.113), для Определения филь-
трационного расхода Помимо радиуса скважины и напора в ней не*
§ 29]
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ НАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ
119
обходимо еще знать напор Н на известном расстоянии R от сква-
жины, Величина напора Н получается путем натурных исследований
и является обычно напором в естественных условиях. Расстояние 7?
берегся до той точки, где практически прекращается влияние сква-
жины. Более подробно об этом сказано в § 34. Здесь жэ отметим,
что структура для определения расхода такова, что даже большая
погрешность при определении величины R мало влияет на точность
определения расхода.	„
§ 29. Осесимметричная напорная фильтрация несжимаемой
жидкости при наличии связи между соседними проницаемыми
пластами. Положим, что имеется ряд проницаемых пластов, разде-
ляемых слабопроницаемыми
пластами. В таком случае,
при наличии разности напо-
ров в двух соседних про-
ницаемых пластах, сквозь их
разделяющий слабопрони-
цаемый пласт происходит
вертикальная фильтрация из
одного проницаемого пласта
в другой. Подобная схема
фильтрации применительно
к гидрогеологическим за-
дачам была рассмотрена
А. Н. Мятиевым [9, 10] и
независимо от него Н. К. Ги-
ринским [12] и обобщена
П. Я. Полубариновой-Кочиной [И]. Отметим, что ранее П. Д. Гле-
бовым [7] задача о фильтрации к колодцам в слоистых грунтах
была рассмотрена в иной постановке.
Положим, что в проницаемом пласте с коэффициентом фильтра-
ции k и мощностью Т имеется скважина с радиусом г$. Рассматри-
ваемый проницаемый напорный пласт ограничивается сверху и снизу
слабопроницаемыми пластами с коэффициентами фильтрации kx и л2
и с мощностями Tt и Т2 (фиг. 36). Выше и ниже названных трех
пластов расположены проницаемые пласты, в которых напоры равны
соответственно At и А2. Пусть в рассматриваемом пласте напор в есте-
ственном состоянии равен Н.
Рассмотрим задачу о фильтрации к скважине в приближе ной
постановке, причем будем принимать, что фильтрация через слабо-
проницаемые пласты незначительна и напоры /ц и Ад в верхнем я
нижнем пластах при работе скважины не изменяются.
Очевидно, что фильтрационный поток в рассматриваемом слое
мощностью Т будет осесимметричным. Построим на расстоянии г
от оси скважины две бесконечно близких поверхности равных напо-
ров, которые приближенно примем за цилиндрические поверхности.
120	ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ .ФИЛЬТРАЦИЯ	(гл. Я
Составим уравнение неразрывности для элементарного объема —кольца
толщиной dr и высотой Т, ограниченного двумя названными линиями
равных напоров. Пользуясь обычными рассуждениями (см. § 10),
найдем втекающий и вытекающий за единицу времени через цилин-
дрические поверхности кольца объемы жидкости. Разность этих объ-
емов будет:
Кроме того, через верхнее основание кольца с площадью 2vrdr за
единицу времени втекает объем
2irrAT-^—^-rfr,
И
а через нижнее основание с той же площадью втекает объем
‘z
В последних двух выражениях, очевидно, величины
.hi — h . h, — h
и k*^TT
являются скоростями фильтрации жидкости через верхний и нижиий
слабопроницаемые слои. Складывая полученные три выражения, по-
лучим изменение объема жидкости внутри элементарного кольца. Это
изменение объема вследствие несжимаемости жидкости равно нулю!
следовательно,
+ (ЗЛ14)
Полученное уравнение приведем к виду
d2h  1 dh  h, h,—h , k2 h2 — h „
dr* r dr ' кТ "г"~kT ~ U
или же
<Ph । 1 dh 1 f k\ । k2 b । \ f k\h\ । k2h2 _Cl
~dr* ~'~~r dr kT\ Tt Тг ) kT \ Tt "* T2 )
Далее, преобразуем последнее уравнение:
d?h [ 1 dh 1 / fe, । k2 \ Г. ktT2hi hjl’ihj’l_q /3 115)
~Zr*"i~ r dr kT\l\' rJI/1
Обозначим
^w^+тЬ	<зл16)
И _	(3.117)
0 ед+лл ‘
§ 29] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ НАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ жидкости 121
При этом вместо (3.115) будем иметь:
-^ + |-^-С(й-Яо) = О.	(З.П8)
Заметим, что вследствие неизменности hr и Л2 величины С и Но
являются постоянными.
Теперь обозначим в уравнении (3.118)
S = H0—h,	(3.119)
тогда это уравнение приобретает вид
Дифференциальное уравнение (3.120) является уравнением Бесселя.
Его общий интеграл напишется в таком виде г):
+	(3.121)
где С) и С2— постоянные, /оСИСг) и Ко(У —функции Бесселя
нулевого порядка от мнимого аргумента.
Определим постоянные в полученном решении. Положим, что при
г — оо h — И; при этом в рассматриваемом пласте имеется лишь вер-
тикальная фильтрация, обусловленная разностью напоров в выше- и
нижележащих проницаемых пластах, фильтрации же по направлению
радиуса не происходит, т. е. —- = 0. Следовательно, уравнение не-
разрывности (3.114) представится в виде
. fti И  . h2 Н — „
wi у" т" р2
откуда
|	^2^2 _ Z/ (	| ^2 )
7) "Г Т2 ~П\7\ "Г TtJ’
или же
Н =	= Но,	(3.122 <
Л1'2 ~ГЛ2'1
т. е. при г= оо 5 = 0.
Так как при этом функция /0 (|/Сг)= оо, то в уравнении (3.121)
должно быть Cj = 0, т. е. вместо (3.121) получим:
A = Ho-C2Ko(/Cr).	(3.123)
Для определения постоянной С2 найдем скорость фильтрации на
стенке скважины:
. dh Q
v~~ k dr ~ 2w0r ’
где Q — дебит скважины.
!) См. Кузьмин Р. О.> Бесселевы функции, Ленинград, 1935.
122	ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 3
С другой стороны, дифференцируя выражение (3.123), найдем:
где А'1 — бесселева функция первого порядка.
Из двух последних выражений вытекает, что у стенок скважины
5^=С2ПК1(/Сг01,
а следовательно, постоянная
С2 =---------Я----.	(3.124)
Таким образом, из (3.123) получаем следующее окончательное
выражение для напора:
/г = Я0------(3.125)
0	2Kkr0TV С/<1(У<;гп)	v
пользуясь которым можно построить кривую напоров в рассматри-
ваемом потоке.
Допустим, что из натурных исследований известно Но- Применяя
уравнение (3.1?5) к стенке скважины, т. е. полагая г=^г0> можно
определить дебит скважины:
(3.126)
__ 2r. kr, TV Z(Hn- hn) K-i (V Crn)
V	Ao(VTru)
где Ло — напор в скважине.
§ 30. Осесимметричная фильтрация газа. Положим, ч го имеется
осесимметричная фильтрация газа в пласте мощностью Т к скважине
(фиг. 37). Как в случае, рассмотренном в § 28, здесь элементы
фильтрации зависят только от
расстояний точек от оси сим-
метрии. Линии тока являются
прямыми, пересекающимися
с осью симметрии, а поверхно-
сти равных давлений —- коак-
сиальными круговыми цилин-
драми. При данных условиях
представляется удобным вос-
пользоваться уравнением филь-
Кривая давлений

|т  ра ° Рц
Lt' ]' *'
*	I —----------- /?	* . Г ]

1
Фнг. 37,
трации в форме (3.14):
^(г^ = 0, (3.127)
dr \ dr )
где Р связана с давлением р зависимостью (3.4). Так как практи-
чески движение газа в пористой среде является процессом изотерми-
ческим [8], то, полагая п=1, будем иметь:
р-~
2(1 *
(3.128)
§ 30]	ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА	123
Интегрируя уравнение (3.127), получим:
г-^ = Сг	(3.129)
Второе интегрирование дает:
+	(3.130)
где Cj и С“2—-постоянные. Для определения постоянных заметим, что
согласно формуле (3.13) весовая скорость на расстоянии г от оси
скважины равна
= —=	(3.131)
1 р. dr р. г	'	'
Так как площадь живого сечения на расстоянии г от оси сква-
жины равна 2кгТ, то весовой фильтрационный расход газа
G=2^rT’('0 = ^~-C1,
откуда
<3-132>
Положительное значение постоянной будет в случае притока газа
к скважине, так как при этом весовая скорость отрицательна, т. е.
ее направление обратно направлению радиуса вектора г. При отри-
цательном значении будет иметь место отток газа от скважины
при его нагнетании.
Для определения постоянной С2 положим, что давление в сква-
жине, а также на ее стенках при г = г0 будет р0. Тогда на осно-
вании (3.128) и (3.130) получим при С, > 0:
Ро _ P-G .	, г
2^1ПГо+С2-
Отсюда определится вторая постоянная:
с*=4-<8-1м>
Теперь подставим найденные значения постоянных в (3.130):
+ (ЗЛ34)
Полученное выражение может служить для построения кривой
давлений в пласте (фиг. 37).
Из последнего выражения можно определить весовой фильтра-
ционный расход газа:
О==1С.7’(^^£»1.	(3.135)
124	ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 3
Заметим, что из характеристического уравнения (3.5) имеем при изо-
термическом процессе для идеального газа
8 = Л==22-	(3.136)
г 1 Та ’
причем ра и — атмосферное давление и удельный вес газа при
этом давлении. Положим также, что на некотором расстоянии R от
скважины давление равно рк. Учитывая сказанное и переходя к деся-
тичным логарифмам, получим:
Q — 1’36g7’7a(/,*~/’°) .	(3.137)
Р-Ра 1g —
"о
Объемный фильтрационный расход, Приведенный к атмосферному
давлению,
(з-138)
Та
следовательно,
о	1’36c7’(Pfc~/,i))	(3.139)
Yo	, R
P-Palg V"
г0
Мы рассмотрели случай, когда <?, > 0 и газ протекает к сква-
жине. При С?1<0 вместо (3.134) получим:
<ЗЛ4<”
тл> i • Q
Вместо (3.137) будем иметь:
G — l,35cTfn(p0 —р|)	(3.141)
Р-Ра 1g
"о
Объемный расход газа, приведенного к атмосферному давлению,
определится по формуле (3.138).
Заметим, что если в формулах (3.135) н (3.141) коэффициент
проницаемости выражать в дарси, вязкость — в сантипуазах, давле-
ние— в атмосферах, мощность пласта — в сантиметрах и удельный
вес — в г’/сж8, то весовой расход получится в г/сек.
§ 31. Осесимметричная фильтрация газированной жидкости.
Рассмотрим задачу об осесимметричной напорной фильтрации гази-
рованной жидкости к скважине, аналогичную рассмотренной в § 28
задаче об осесимметричной фильтрации несжимаемой жидкости. Как
известно из § 17, обе эти задачи должны иметь вполне аналогичные
уравнения. Воспользуемся уравнением осесимметричной одномерной
фильтрации в цилиндрических координатах (3.16)
§ 31] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗИРОВАННО'1 ЖИДКОСТИ 133
где Н—функция давления, выражаемая формулой (2.123) или же —
для песков — графиком на фиг. 18.
Интегрирование этого уравнения дает:
(3.142)
и
Я=(?11пг-|-(?2,	(3.143)
где С?! и С?2— постоянные.
По формуле (3.15) скорость фильтрации жидкости
где $ выражается по (2.129). Если же принять во внимание (3.142),
то для данного случая
=	(3.144)
ПК '
Так как площадь живого сечения потока равна 2пгТ, где Т мощ-
ность пласта, то расход жидкости
С?ж = 2кТ^-С];
Г* Ж
отсюда
С, = -ТСТГ-	(3-14б)
Как в случаях фильтрации, рассмотренных в предыдущих параграфах,
положительное значение постоянной будет в случае притока газиро-
ванной жидкости к скважине, отрицательное — при нагнетании ее
в скважину.
Для определения постоянной С2 положим, что на стенках сква-
жины, т. е. при г = г0, будет Н—Нй. Тогда из (3.143), учитывая
(3.145), получим при Сг > 0:
=	(3.146)
Теперь, подставляя найденные значения постоянных в (3.143),
найдем:
+	(3.147)
Полученное уравнение можег служить для определения давлений
в сечениях потока. Связь между давлением р и функцией Я, как
сказано выше, выражается формулой (2.123) или же графиком на
фиг. 18, построенным по данным для песчаного грунта. Постоянная
величина $ определяется по формуле (2.129) при заданной величине
газового фактора Г.
126
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 3
Положим, что на расстоянии 7? от оси скважины известно давле-
ние р, а следовательно, функция Н известна и, положим, равна Нк.
Тогда из (3.147) найдем фильтрационный расход жидкости:
: 2«те	- Нп)	2,73 п (Нк - Но).	(3148)
Объемный же расход газа, приведенного к атмосферному давлению,
Qr = Q«r.	(3.149)
При нагнетании газированной жидкости в скважину, как сказано
выше, < 0. Следовательно, вместо (3.147) мы получим:
/,-—£ЙТГ|п-г+Н«-	<зл50)
ZU 1 ? Го
Фильтрационный расход при тех же предпосылках, что и выше,
()ж = 2.73 П(НП-/4) .	(ЗЛ51)
Использование полученных формул при расчете фильтрации иллю-
стрируется следующим примером.
Пример 2. Определить расход жидкости и газа при фильтра-
ция газированной жидкости к скважине с диаметром <7о=2О см
в песчаном пласте мощностью 10 м. Давление в скважине р0 = 10 ат\
давление на расстоянии 7? ==500 м от скважины рк=^ 100 ат. Коэф-
фициент проницаемости пласта с =10 дарси; вязкость жидкости
Нж=1 сантипуазу; вязкость газа р.г = 0,01 сантипуаза; газовый фак-
тор Г =500.
Для определения фильтрационного расхода жидкости воспользуемся
формулой (3.148). Определим предварительно входящие в эту фоР"
мулу величины. По формуле (2.129)
„ Р-г 0’01
5 = — р8Г = п— 1 • 500 = 5 кг'см^ = 5 ат.
Рж	1
На контуре скважины
7 _ Рл _ 10 _ 9
ро----г----г-2.
По графику на фиг. 18 имеем:
4^° и НожП.
На расстоянии 7? от скважины
Рл =	= 20.
5 О
§ 32] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЬЕЗНАПОРЙАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ТЯЖЁЛОЙ ЖИДКОСТИ 127
По указанному графику
—=9 и Нк = 9 • 10 — 90 дарси.
Подставим найденные численные значения величин в формулу
(3.148), причем, как следует из пояснений о размерности с, данных
в связи с формулой (3.135), мы должны выразить Т в сантиметрах,
Н—в дарси, рж— в сантипуазах, $—в атмосферах. Тогда QK вы-
разится в см?) сек.
Рж=^^^°=ЗЗЗШ аи3/^«==333 л[сек.
1.1g
в 10
Объемный расход газа, приведенного к атмосферному давлению,
Qr =	= 333 • 500 = 166 500 л, сек = 166,5 ма/сек.
Определим давление в потоке газированной жидкости на расстоя-
нии 50 м от скважины. Для этой цели воспользуемся формулой
(3.147), в которую подставим известные численные значения величин,
пользуясь указанными выше размерностями:
1-333 000 - 2,31g—р-
Я =	2.3,14. юоО-5 = 66,0 дарси,
Я	66
с	10
=s 6,6.
По графику на фиг. 18 определяем р — 16, следовательно, искомое
давление
= 16'5 = 80 ат.
Идя тем же путем, можно построить пьезометрическую кривую
для фильтрационного потока.	__ -а«,Рппй
§ 32. Осесимметричная безнапорная ФНЛЬТР *тпа11ИЯ ИМеет
жидкости. Осесимметричная одномерная безнапорная ф р ом
место в том случае, когда на плоском, горизонтальном, р
пласте залегает проницаемый слой, в котором распо 0
или скважина кругового сечения с вертикальной осью,
непроницаемого пласта (фиг. 38).	плпапт-
При откачке жидкости из колодца вокруг него о ра у	гкопости
кость депрессии в виде осесимметричной воронки. Ясн ,	ю_
фильтрации будут иметь горизонтальные и вертикальн _ таком
Щие. Однако интегрирование дифференциального УРав будем
предположении представляет большие трудности. Поэт У _ _
Решать эту задачу, предполагая, что вертикальные со	_
скоростей фильтрации пренебрежимо малы. Насколько
вне соответствует действительности, будет сказано ниже,
128	ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ фильтрация	[гл. 3
Принимая указанное допущение, мы приходим к заключению, что по-
верхности равных напоров являются в данном случае коаксиальными
цилиндрическими поверхностями с вертикальными образующими.
Можно сказать, что в любой вертикальной плоскости, проведенной
через ось колодца, линии тока удовлетворяют условиям медленной
изменяемости, указанным в начале § 20.
Таким образом, рассматриваемый случай фильтрации при сделан-
ном допущении должен приводиться к дифференциальному уравнению
одномерной безнапорной фильтрации (3.22):
dr \ arJ
где г  расстояния от оси колодца до соответствующих точек, h —• на-
поры, отсчитываемые от горизонтальной поверхности непроницаемого
пласта. Понятно, что в данном случае напоры одновременно являются
глубинами фильтрационного потока (фиг. 88).
Интегрируя записанное уравнение, получим:
(3.152)
dr г '	х
где Cj — постоянная.
Последнее уравнение представляется в виде
(3.153)
откуда интегрирование даег:
-^-==С11пг-|-С'в.	(3.154)
В данйом случае, следовательно,
’=—*•£-----------(3.1551
Постоянная Cj (см. § 28) может быть положительной и отрицатель*
ной. При С, > о будет, »<(), т. е, скорость фильтрации направлена
§ 32) ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ БЕЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЙ Тяжелой ЖИДКОСТИ 12§
к оси симметрий потока. В этом случае мы имеем фильтрацию
к колодцу. При < 0 скорость фильтрации (tf>0) направлена оТ
оси симметрии — имеется отток от койодца.
На расстоянии г от оси колодца площадь Живого Сеченйя потока
ш = 2wh. Следовательно, фильтрационный расход
Q = 2u:rhv)	(3.156)
или же по (3.155)
Q = 2^kC1,	(3.157)
откуда, имея в виду положительное значение Q,
С, = ±^.	(3.158)
Далее определим постоянную С2. На стенке колодца г Го и
h = й0. Подставляя эти значения г и Л, а также в (3.	), п у
чим при С] > 0:
-Г==2^1ПГ° + <?2’
откуда
(8лИ)
Подставим найденные значения постоянных в (3.154).
A2 = 4lnJL + /4.	(3.160)
«А Го
Мы получили уравнение кривой депрессии при фильтрации, к к
Л°дИз Последнего уравнения определяется дебит колодца.
что на расстоянии R от оси колодца глуоина потока рав
из (3.160) найдем:
яЛ(№ —/ф	1,36 Л (Яа —ftp)	(3.161)
О =--------—=- =	г» •	V
По поводу величин R и Н в следующем ™parpaJj®сяНгубиной
некоторые пояснения. Здесь же отметим, что	не
потока в том сечении, где влияние колодц Р
щзется.	л* <гх О В этом случае
Остановимся на случае, когда постоянная t
вместо (3.160) мы получим:
О , г .2	(3.162)
аг1"7Г‘1Г'“'-
130	ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ фильтрация
Кривая депрессии, построенная по данному уравнению, имеет пони-
жение в направлении от оси колодца (фиг. 39). Практически такой
случай имеет место, когда жидкость подается в колодец (поглощаю-
щий колодец).
Фиг. 39.
Из (3.162) вытекает формула для расхода жидкости, поглощаемой
колодцем:
Q =	ьзб^М-н2)	(3_ 163)
'g-?-
гп	гп
причем Н— глубина фильтрационного потока на расстоянии R от
оси колодца.
Мы получили решение задачи о безнапорном колодце, исходя из
уравнения (3.22). Заметим, что те же результаты можно получить
несколько иным способом [15]. Действительно, при наличии малого
уклона на одной и той же вертикали скорость фильтрации изменяется
мало. Следовательно, во всех точках живого сечения фильтрацион-
ного потока, имеющего форму кругового цилиндра, скорость филь-
трации можно считать постоянной. Эта скорость фильтрации для слу-
чая, изображенного на фиг. 38, равна
v = k^-.	(3.164)
ar	v
Знак плюс взят потому, что фильтрация происходит в направлении
к оси колодца и, следовательно, ~ является величиной положи-
аг
тельной.
Так как площадь живого сечения на расстоянии г от оси колодца,
где глубина потока h, равна 2itr/z, то расход в этом сечении
Q=2nkrh~.
dr
Разделяя переменные, получим:
§ 33] ОСЁСИММЕТРИЧНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ИНФИЛЬТРАЦИИ 131
Интегрируя полученное уравнение в пределах от h0 до h и от г0 Д° г>
получим найденную выше зависимость (3.160).
В случае поглощающего колодца в правой части формулы (3.164)
следует взять знак минус, так как фильтрация происходит в напра-
dh ..	„
влении от оси колодца и производная будет отрицательной.
§ 33. Осесимметричная безнапорная фильтрация при наличии
инфильтрации с поверхности земли. Положим, что имеется без-
напорный колодец, питаемый за счет инфильтрации с поверхности
земли. Пусть водосборная площадь, т. е. площадь, с которой посту-
пает в колодец вода (например,
атмосферные осадки), имеет
форму круга радиуса Д’, в цен-
тре которого расположен ко-
лодец (фиг. 40). В § 20 было
приведено уравнение (3.23)
фильтрации для данного слу-
чая:
d ( dh \ । s п
dr \ dr J 1 k
где е — объем жидкости, по-
ступающей в единицу времени
с единицы площади горизон-
тальной проекции поверхности
что в § 32.
Интегрируя это уравнение,
земли. Прочие обозначения — те же,
получим:
, dh *г । Ci
(3.165)
где C-l — постоянная интегрирования.
Второй интеграл получим в виде
й, = _^+2С,1пг+Са.	(3.166)
* На’ осюваию"(ЗЛ65) можно написать, что скорость фильтрации
в некотором живом сечении равна
(3.167)
В живом сечении, совпадающем со стенкой колодца,
*0 ~ ~ 2fto + го*о ’
где hn—глубина в колодце.	, идли-
^другой стороны, так как на водосборной площади.общее
чество воды, просачивающейся в грунт в единицу времен», р
132
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[ГЛ. 5
(я/?2— r.ffy е и именно это количество воды проходит в единицу
времени через стенки колодца, то скорость фильтрации в данном
живом сечении будет:
__ (я/?2 —rtrjj)e_ s/?2— er2
'°0 2тсг0/1а	2roftu *
Приравнивая два последних выражения для ц0, получим:
его | Ь Cj _ е/?2	егп
2 "Т" л Г„ - 2гп 2 •
Отсюда постоянная
О1==^.	(3.168)
Подставим найденное значение Cj в (3.166):
При г = г0 будет:
его , е7?2
йо	2г + ~Г'1пго + 02>
откуда
С2 = йо + -2Г — ^-lnr0.	(3.169)
Подставив значение обеих постоянных в (3.166), получим урав-
нение кривой депрессии:
, _ е Р2 f	₽
*!=—(3.1701
Как видим из постановки задачи, фильтрационный расход является
переменным по направлению фильтрации. В живом сечении, характе-
ризующемся радиусом г, расход будет равен
Q' = ™(£2 —г2).	(3.171)
Полный же расход, поступающий в колодец,
Q = ite(7?s — г2)^яе/?2.	(3.172)
Заметим, что иной способ решения рассмотренной задачи был
предложен П. Д. Глебовым [7J, учитывающим потери напора на вер-
тикальных частях пути фильтрации жидкости.
§ 34. Дополнительные сведения о фильтрация к колодцам
и скважинам. Приведенные в §§ 28-33 зависимости для осесим-
метричной одномерной фильтрации имеют широкое применение при
§ 84] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЛЬТРАЦИИ К КОЛОДЦАМ 188
расчетах фильтрации к нефтяным и артезианским скважинам, колод-
цам и т. д. Заметим, что в действительности форма в плане питаю-
щего данную скважину или колодец пласта не является круговой,
а следовательно, не имеет места и одномерная фильтрация. Здесь,
однако, следует иметь в виду, что если граничный контур питающего
пласта имеет сложную форму, как это, например, изображено на
фиг. 41, то на некотором расстоянии 7? от скважины поверхности
равных напоров приобретают форму, весь-
ма близкую к круглоцилиндрической.
Таким образом, вокруг действующей сква- f
жины обычно имеется обширная зона, где /	___
фильтрация практически является одномер- / /х \	\
ной и где применимы выведенные выше I	[	о-Я-*	'
формулы.	I	х /
По мере удаления от скважины или \
колодца площади живых сечений потока \	,
увеличиваются и в некотором значитель- \	/
ном удалении от их осей достигают боль- 'к	/
нюй величины. Скорости фильтрации и пье-	/
зометрические уклоны становятся при этом	.
весьма малыми. Поэтому естественно до-	.
пустить в практических расчетах филь-
трации, что на некотором расстоянии от
оси скважины при ее работе напор h весьма мало отличается от напора
в естественных условиях при отсутствии скважины. На таком предполо-
жении обычно и основываются, например, в гидрогеологических расче-
тах, в расчетах по водоснабжению и др. Расстояние от оси скважины до
того круглоцилиндрического живого сечения фильтрационного потока,
где понижение напорной линии или кривой депрессии при работе сква-
жины практически весьма мало, называется радиусом влияния скважины.
Из приведенного пояснения вытекает, что величина «радиуса влия-
ния» имеет условный характер, однако во многих случаях практики
расчета фильтрации при наличии обширного, постоянно наполняюще-
гося подземного бассейна принятие условной зоны влияния одиночной
скважины не влечет за собой значительной погрешности при расчете.
Для напорных скважин и колодцев (§ 28) мы не имеем в настоя-
щее время зависимостей для определения радиуса влияния и эту вели-
чину рекомендуется определять на основании гидрогеологических ис-
следований для каждого случая или же можно задаться при расчете
заведомо достаточной величиной 7?, например взять 7? равным несколь-
ким километрам. Что же касается безнапорных скважин и колодцев
32), то в практике имеются некоторые приближенные формулы
Для определения радиуса влияния.
В предварительных расчетах иногда берут для мелкозернистых
гРунтов 7? s=s ЮО-ч-200 м, для среднезернистых R =? 250-+-500 М
И для крупнозернистых JR =» 7004-100© ж-
134
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[ГЛ. 3
Иногда при практических расчетах радиус действия определяют
по эмпирической формуле [15]:
Я = 3000 5/ВД,	(3.173)
где k—коэффициент фильтрации в м{сек„
S = H—-hQ	(3.174)
— глубина откачки в метрах, причем Н—мощность водоносного
пласта.
Заметим, что приведенные дачные для определения радиуса влия-
ния колодца не являются теоретически оправданными для установив-
шейся фильтрации. Однако следует иметь в виду, что величина R
входит в расчетную формулу для расхода под знаком логарифма.
Поэтому даже значительная ошибка при определении R мало сказы-
вается на точности определения дебита колодца.
Наряду с приведенными данными имеются еще формулы для опре-
деления радиуса влияния колодца в зависимости от продолжитель-
ности работы колодца. В этих формулах заключается в явном виде
представление о неустановившейся фильтрации. Однако предпола-
гается, что фильтрация так медленно изменяется во времени, что
в любой момент ее можно рассматривать как установившуюся. По фор-
муле И. П. Кусакина [4]
А///,	(3.175)
где f продолжительность работы колодца в сутках; остальные вели-
__________________________________ чины выражаются в метрах и
СуТКаХ1 /я'— коэффициент во-
доотдачи грунта.
Наиболее точные данные о
величине радиуса влияния полу-
чаются путем натурных иссле-
дований.
Необходимо подчеркнуть,
ЧТО предположение о малости

Фиг. 42.	пьезометрических уклонов, по-
„„„ /о 1ЙГ1.	,	ложенное в основание уравне-
ntf-nwBinJi’ енительно к рассматриваемому случаю фильтрации
П°ЛНе пРавильным- Действительная поверхность де-
тглпн?	аетсясо ~ колодца выше уровня жидкости в ко-
лодце, как это показано на фиг; 42, и лежит, таким образом, выше
теоретической поверхности депрессии, изображенной на фиг. 42 пун-
Поверхности равных напоров ае являются цилиндрическими по-
верхностями, как показано. ва черте. Однако, как показывают
§ 34] дополнительные сведения о фильтрации к колодцам
135
опыты, такое отклонение от принятого допущения наблюдается лишь
на небольшом расстоянии от колодца, равном приблизительно 1,5Я,
где Н — мощность водоносного пласта (глубина вдали от колодца).
Таким образом, уравнение (3.160), при построении кривой де-
прессии дает практически точные результаты во всей области филь-
трации за исключением небольшой ее части, расположенной вокруг
колодца.
На фиг. 43 представлена экспериментальная зависимость для опре-
деления глубины фильтрационного потока у стенки колодца Л0=Л0-]-Д,
где Д — высота поверхности высачивания (фиг. 42). На графике через
Я' обозначена глубина, отстоящая на расстоянии 1,6 Н' от стенки
колодца или же на расстоянии /?' == г0Ч~ 1ДЯХ от оси колодца [19].
Положим, что заданы: радиус колодца г0 и глубина в нем h0, коэф-
фициент фильтрации грунта k, а также глубина Я на известном рас-
стоянии R от оси колодца.
Прежде всего определяется дебит Q по формуле (3.161). Далее,
применяя уравнение (3.160) к двум цилиндрическим сечениям, нахо-
дящимся на расстоянии /? и R' от оси колодца, получим:
=	(З-176)
itk г04-1,бЯ' 1
Из этого уравнения графически легко определить неизвестную Я,
после чего, вычислив находим по графику на фиг. 43 отноше-
д'
ние jjf} а из него — искомую глубину у стенки колодца. Участок
кривой депрессии между глубинами Я и Я' строится по уравнению
(3.160), а небольшой ее участок между сечением с глубиной Я
и стенкой колодца проводится по двум точкам. Таким путем мы по-
лучаем уточненную кривую депрессии.
Мы определяли дебит колодца по формуле (3.161), точность ко-
торой при столь значительном отклонении кривой депрессии от теоре-
тической ее формы, естественно, вызывает сомнение. Остановимся иа
ЭТОМ вопросе.
136
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 3
Если, как показывают экспериментальные исследования, кривая
депрессии близ безнапорного колодца сильно отклоняется от теоре-
тической, то в пределах точности этих исследований фильтрацион-
ный расход не отличается от теоретического, вычисленною по фор-
муле (3.161). И. А. Чарный теоретически показал (18], что формула
(3.161) дает точное значение
фильтрационного расхода, при-
текающего к колодцу.
Пусть имеется водосборный
колодец (фиг. 44). Возьмем
в фильтрационном потоке
цилиндрическую поверхность
с вертикальной образующей.
Радиус цилиндрической по-
верхности, положим, равен г,
а высота — глубине потока h.
Заметим, что в данном случае мы
не пользуемся допущением о том, что вертикальные составляющие ско-
ростей фильтрации пренебрежимо малы, как это имело место в § 32.
Следовательно, h в нашем выводе является только глубиной, а не
напором, имеющим переменную величину в указанном выше цилиндри-
ческом сечении. Потенциал скорости фильтрации в любой точке
взятого сечения по (2.48) и (2.58) равен

(3.177)
где z — вертикальная координата точки, — — пьезометрическая вы-
сота.
Выделим на поверхности цилиндрического сечения бесконечно ма-
лый элемент в виде кольца высотой dz. Площадь этого кольца
dm — ^rdz.
Ввиду осевой симметрии потока во всех точках кольца скорость
фильтрации имеет постоянное значение. Проекция скорости филь-
трации на нормаль г к поверхности кольца равна
г дг'
Следовательно, расход жидкости через поверхность кольца
dQ = — vr dm =- — 2itr dt,
or ’
причем знак минус взят потому, что ъг имеет отрицательное значе-
ние, Полный же фильтрационный расход через взятое цилиндрическое
§ 34] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЛЬТРАЦИИ К КОЛОДЦАМ
137
сечение (дебит колодца) будет, очевидно, равен
а	л
J vrdw —— 2— j r^~dz.
и	о
Заметим, что
dy _ д-р 111 г_______________________ д<?
Г дг Гд1пг dr din г’
вследствие чего
н
|ЗЛ78>
о
Далее рассмотрим функцию
А
/ = Jcpfr, z)dz.
(I
Дифференцируя ее но 1пг и замечая, что Л = Л(г), получим:
А
din г .1 д In г ‘ ’ d hi г
о
Но, так как при z — h потенциал скорости
<р = — kh,
то
А
_d7 __ f dy ._________
din r J dlnr d In r\2 /
о
Отсюда находим:
j dlnr din r' d In r\. ‘2 '
о
Подставляем полученное выражение в (3.178):
л „ f di <______________________________
Q — — 2ir|^rfinr4- rflnr( 2 ;]•
Отсюда
— -d- dlnr = di + d( -к- .
\ • /
Интегрируя полученное уравнение в пределах от г0 ДО R, будем
иметь:
^(1п^- 1пго) = /(го)-/(/?) + -^^-^
138
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 3
На поверхности цилиндрического сечения с радиусом г0 (на стенке
колодца) потенциал ср выражается следующим образом. При измене-
нии z от нуля до Ло напор будет постоянным и равным й0; следо-
вательно,
<2 = — kfi0.
На поверхности высачивания при изменении z от Ло до
напор по (2.151) равен координате г; следовательно, в рассматри-
ваемом промежутке
<р= —kz.
Таким образом,
Йо+А	Л>	Йо4~А
/^о)= f <?dz=^ — kh0$ dz — k j
о	ОД,
,.+ Д)2 , , Л?	М?п	k (hn 4- А)2
= — «Ло — k-----§----J- й— =----2------“1-----•
На поверхности цилиндрического сечения с радиусом R напор
равен Н; следовательно,
<? = —ЙЯ.
Поэтому
я
Z (/?) == — kH f dz = — k№.
о
Подставляя полученные выражения 7(г0) и /(/?) в (3.179), найдем:
0 _^(Н2-*2)
Таким образом, полученная в § 32 формула (3.161) для дебита
грунтового колодца является точной формулой. Заметим, что при-
веденное доказательство можно обобщить на случай наличия инфиль-
трации подобно тому, как это было сделано в § 27.
§ 35.	Сферическая фильтрация несжимаемой жидкости. Поло-
жим, что в проницаемом пласте грунта весьма большой мощности
имеется сферический сток с радиусом г0 (фиг. 45).
Все линии тока пересекаются в одной точке. Поверхности равных
напоров являются концентрическими сферами. Скорости фильтрации
зависят лишь от расстояния точки до центра стока. Такой случай
имеет место, например, при фильтрации к артезианской скважине
§ 35| СФЕРИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
139
с сферическим дном (фиг. 46). Как было сказано в § 20, при рас-
смотрении сферической фильтрации удобно пользоваться уравнением
фильтрации в сферических координатах. Так как фильтрация одно-
мерная, то уравнение представится в виде (3.18)
где h — напор и г — радиус-вектор (фиг. 46).
Интегрируя данное уравнение, получим:
(3.180)
dr 1'
Второе интегрирование дает:
й = <зл81)
На основании формул (3.17) и (3.180) получим значение постоянной:
__ г-v	(3.182)
ci — k ’
Живое сечение потока является сферой с РадИу£?“ ^’а скорость
тельно, площадь живого сечения потока равна 4~г .
фильтрации	_____q	(3.183)
®	4кг2*
Пользуясь полученным выражением, из (3.182) найдем постоянную
г. _ ч- .2-	<ЗЛ84)
С1-----
Как и в случае, рассмотренном в § 28, ^L^cth^ стоку
положительное значение при условии притока ж д
и отрицательное значение при вытекании из исто™ ’ сфериче-
Далее определим постоянную С«. Положим, У падстамяя
ского стока напор равен hq. Тогда из уравнения ( .	/»
140	ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[ГЛ. 3
в него г = г0 и й = Л0, а также найденное значение Cv определим
вторую постоянную
+	(3.185)
Теперь подставим значения обеих постоянных в уравнение (3.181):
h = ^-A~ — -) + йо-	(3-186)
4гей \ rn г J 1 и
Полученная зависимость позволяет определить напор h в любой
точке области фильтрации (фик 46).
Положим, что на известном расстоянии R от стока напор h = H.
Тогда фильтрационный расход опретелится на основании (3.186)
(3.187)
rn R
Так как при большой величине R величиной ~ можно пренебречь по
1
сравнению с —. то расход с достаточной точностью определяется по
формуле
3=4яйг0(Я—й0).	(3.188)
При вытекании жидкости из источника, т. е. при < 0, вместо
(3.186) получается зависимость
л=£Л-4)+*»-	,3-1891
Отсюда определяется расход:
(3.190)
ra~~ R
или же при относительно большой величине R
Q—4nkr0(h0 — H).	(3.191)
Формулы (3.186) — (3.191) получены для сферического стока и
источника. Если имеется схема, представленная на фиг. 46, то, как
нетрудно видеть, во всех указанных формулах вместо коэффициента 4
следует подставить коэффициент 2.
§ 36.	Сферическая фильтрация газа. Остановимся на задаче
о сферической фильтрации газа. Эта задача имеет ту же постановку,
что и задача о сферической фильтрации несжимаемой жидкости, рас-
смотренная в предыдущем параграфе.
В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение фильтра-
ции (3.20) имеет вид	г
dr\r drj \
$ Зв|
СФЕРИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА
141
где Р — функция давления, определяемая выражением (3.4). Так как
практически движение газа в грунте является процессом изотерми-
ческим, то связь между Р и р устанавливается в виде (см. § 16)
P =	(3.192)
Интегрируя приведенное уравнение, получим:
Г2^ = С,.	(3.193)
dr J
После второго интегрирования будем иметь:
р =	(3.194)
Так как весовая скорость фильтрации по (3.19) равна
с dP
то из (3.193) находим:
с С\
Живое сечение фильтрационного потока является сферой с радиу-
сом г и площадью 4№. Следовательно,
<ЗЛ96)
I 4ЛГ2
где G—весовой фильтрационный расход. Из (3.195) и (3.196) полу
чим:
г _(3.197)
— — 4itc ’
Как в случае, рассмотренном в § 28, положительное значениеs С,
будет при наличии притока газа к сферической дрене, Р
ное — при вытекании газа из сферического источника. _
Положим, что внутри сферического к.
и при Г — г0 функция Р имеет значение Р&
ставляя в него r = r0, Р=Ро> а также Сг
вторую постоянную:	q
C^ = Pq-7 4-~.
Подставляем в (3.194) найденные значения постоянных:
(3.199)
4тсс\ги г) {
Выразим р через давление р по (3.192):
ра==^Л±_
р 2«c\ru
Полученная зависимость служит для определения давлений, в ро
ницаемом пласте.
(3.195)
источника, а следовательно,
Тогда из (3.194), под-
>0 из (3.197), найдем
(3.198)
(3.200)
142
ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[ГЛ. 3
Положим, что на некотором известном расстоянии R от источника
р==рк. Тогда из (3.200) определится весовой фильтрационный расход
газа:
2«с (Pfc —Ро)
(3.201)
или же при большой величине R по сравнению с Го
o=^“W-Pi>-
(3.202)
При истечении газа из источника, как сказано выше, Со < 0;
следовательно, вместо (3.200) будет:
р 2г.с\г
Отсюда при прежних предположениях получим весовой расход
(8.203)
(3.204)
(3.205)
или же при относительно большом
„ 2ncrn t
§ 37.	Фильтрация к несовершенным скважинам. В § 28 был
рассмотрен случай фильтрации к скважине, вскрывающей проницае-
мый пласт на полную его мощность. Такая скважина называется
совершенной.
Фиг. 47.
Несовершенной называется скважина, вскрывающая пласт не на
полную его мощность, а лишь частично, на глубину а (фиг. 47) ’)•
!) Различают скважины несовершенные по степени вскрытия (фиг. 47)
и по характеру вскрытия — в случае, если скважина, Иапример, сообщается
с пластом через отдельные отверстия или через дно [17]
§ 371	ФИЛЬТРАЦИЯ К НЕСОВЕРШЕННЫМ сКвлЖЙНАМ	14$
Задача о фильтрации жидкости к подобной скважине является про-
странственной задачей. Однако, как будет сказано ниже, при несо-
вершенной скважине большая часть области фильтрации занята пото-
ком, имеющим практически одномерный характер.
Одно из имеющихся решений задачи о фильтрации к несовершен-
ной скважине выполнено М. Маскетом [14]. Решение это имеет сложный
характер. Из него следует, что на расстоянии г'о от оси скважины,'
причем г'о приблизительно равно (1—2) Т, где Т мощность пла-
ста, — фильтрация является весьма близкой к одномерной, осесим-
метричной. Таким образом, лишь в сравнительно небольшой части
области фильтрации, лежащей внутри цилиндрической поверхности
с радиусом г', фильтрация является пространственной. Дебит сква-
жины, по Маскету, выражается следующей формулой:
0 _____________________2itkT(H—h„)_________________ _	(3.206)
4	±Г21 11—1	Г(0,875д)Г(0,125д)	1 ,„4Т
2а L П г0 П Г (1 — 0,875 «)Г (1 — 0,125 a) J Я
В этой формуле обозначено: Н—напор в сечении фильтрационного
потока на расстоянии 7? от оси скважины, й0 — напор в скважине,
Го — радиус скважины,
' __ £	(3.207)
а — г,
Г — гамма-функция, значения которой находятся из таблиц1).,
Как сказано выше, на расстоянии от оси скважины г > rQ филь-
трация является одномерной, осесимметричной. Следовательно, в пре-
делах 7? > г > г', где 7? — радиус контура области питания скважины,
применима зависимость (3.110), выведенная для случая осесимметрич-
ной напорной фильтрации:
(3.208)
Q- «4	
Го
где Н и Л' —напоры в цилиндрических сечениях потока, определяе-
мых радиусами 7? и г' (фиг. 47).
, Обозначим знаменатель формулы (3.206) через С, подставив в него
го вместо Д:
С=1121 И — 1 Г <0’875^ г <0’125^ , 1 - in II (3.209)
2я|/П'о	Г(1 —0,875«)Г(1 — 0,125e)J г'о
п с	Е.»«шт₽йн И. Н. п Семендяев К. А., Спра-
0 См., например, В р • н ш т е и ни.
вочник по математике. Гастехиздат,
144
Ьдномерная УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 3
Тогда па основании формулы (3.206) найдем:
ключению, что дебит несовершен-
ной скважины с радиусом г0 и напором Ло равен дебиту скважины
совершенной с радиусом г' и напором Л'. Это обстоятельство позво-
ляет достаточно просто и точно исследовать задачу о фильтрации
к системам несовершенных скважин [13], рассматриваемую в главе 9.
Для облегчения расчета при определении на фиг. 48 приводится
график функции, стоящей в скобках в формуле (3.209), причем
/(п)-1п Г (0'875 а) Г (0,125 а) _	(3.212)
Г(1— 0,875 а) Г (1—0,125 а)’
ГЛАВА 4
ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ТЯЖЕЛОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 38. Понятие о плоской фильтрации. Фильтрация называется
плоской, если все частицы фильтрующей жидкости перемещаются
в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, при-
чем характер движения частиц жидкости, принадлежащих прямой,
перпендикулярной к этой плоскости, одинаков. Поэтому при изучении
плоской фильтрации достаточно ограничиться рассмотрением движения
жидкости в одной из указанных выше плоскостей, называемой в даль-
нейшем плоскостью фильтрации. Тогда рассматриваемая область
фильтрации будет плоской. Скорость фильтрации в любой точке
области фильтрации будет лежать в плоскости фильтрации и, следо-
вательно, будет иметь только две составляющие по осям координат
этой плоскости. Указанные составляющие, как и прочие характери-
стики фильтрационного потока (давление, напор и г. п.), будут функ-
циями двух координат точек области фильтрации и времени1).
В настоящей главе рассматривается один вид плоской установив-
шейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости, когда плоскость
фильтрации будет вертикальной. Другой вид плоской установившейся
фильтрации, — когда плоскостью фильтрации будет горизонтальная
плоскость, — рассмотрен ниже, в главе 9.
Плоская установившаяся фильтрация тяжелой несжимаемой жидкости
(в случае вертикальной плоскости фильтрации) имеет весьма большое
значение в гидротехнике. Во многих случаях фильтрации в основа-
ниях массивных гидротехнических сооружений, фильтрации через тело
и основание земляных плотин, фильтрации из рек, каналов и водо-
хранилищ, фильтрации к строительным котлованам и горизонтальным
Дренам и т. п. фильтрационный поток может быть принят плоским.
Даже в тех случаях, когда фильтрационный поток имеет простран-
ственный характер, путем разумной схематизации, приводящей к при-
емлемому запасу в расчетах, его можно заменить плоским потоком,
х°тя бы в некоторой части. Последнее обстоятельство приобретает
!) Последнее — в случае неусгановившейся фильтрации.
14б
ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ жидкости
(гл. 4
особое значение, потому что до настоящего времени мы не имеем
каких-либо теоретических методов исследования пространственной
фильтрации. Исследование пространственных фильтрационных потоков
оказывается возможным лишь с помощью метода ЭГДА (см. главу 12).
Такие исследования проводятся в специальных лабораториях и тре-
буют затраты крупных материальных средств, а потому применяются
только при проектировании особо ответственных сооружений.
§ 39. Основные уравнения. Связь с теорией функций ком-
плексной переменней. Плоскость фильтрации примем за координат-
ную плоскость хОу, причем ось абсцисс Ох направим горизонтально
вправо, а ось ординат Оу—.вертикально вниз. Тогда, в силу резуль-
татов § 14, основные уравнения плоской установившейся фильтрации
тяжелой несжимаемой жидкости в однородном изотропном грунте >)
могут быть записаны в виде
(4.1)
(4.2)
(4-3)
где vx и Dy—проекции на оси координат скорости фильтрации,
р — давление, h—.напор, <р—потенциал скорости фильтрации1 2),
7 —удельный вес фильтрующей жидкости и k — коэффициент филь-
трации грунта, постоянный в пределах всей области фильтра-
ции в силу предположенной выше однородности и изотропности
грунта.
Из уравнений (4.1) и (4.2) следует, что функция со удовлетворяв!
уравнению Лапласа
Дсо = ^4^ = О	(4-4)
‘ дх'* ‘ ду*	'
Таким образом потенциал скорости фильтрации будет гармоничен
ской функцией координат точек области фильтрации.
Уравнение (4.2), которое может быть переписано в виде
дуа__ д{ — у )
дх ду ~ ’
выражает условие, по которому величина—Dyt/x-j-Vg-dy является
1) В настоящей главе, за исключением особо оговоренных случаев, грунт
предполагается однородным и изотропным. своренных ьлуч
2) Указанная функция однозначно определена с точностью до произволь*
лого постоянного слагаемого.	н
§ 39]
основные УРАВНЕНИЯ
147
полным дифференциалом некоторой функции ф (х, у) *)• Тогда
Следовательно,

<?ф
®с ~ ду ’
дф
дх"
(4.5)
Для определения физического смысла функции ф рассмотрим диф-
ференциальное уравнение линий тока, которое в случае плоской
фильтрации имеет вид
dty = — Vy dx-\-vxdy = 0.
Общий интеграл этого уравнения будет: ф(х, у) = const. Отсюда
следует, что на линии тока функция ф сохраняет постоянное значе-
Фиг. 49.
ние, различное для различных ли-
ний тока. Поэтому функция ф на-
зывается функцией тока.
Функция тока имеет физиче-
ский смысл, связанный с поня-
тием расхода фильтрационного
Пусть MN— произвольная кривая в области фильтрации. Примем
эту кривую за направляющую цилиндрической поверхности, образую-
щие которой перпендикулярны плоскости фильтрации (фиг. 49). Рас-
смотрим часть этой поверхности с основанием MN и высотой 1 (за-
штрихованная часть на фиг. 49). Фильтрационный расход через эгу
часть называется фильтрационным расходом через кривую MN.
Для его определения рассмотрим произвольный бесконечно малый
элемент ab кривой MN (фиг. 50). Фильтрационный расход dq через
этот элемент в силу неразрывности течения будет равен алгебраиче-
ской сумме фильтрационных расходов через элементы be и са, соот-
ветственно равных v^dy и	— dx). Отсюда получим:
dq = — vy dx-j- Vj, dy *= йф.
x) Указанная функция однозначно определена с точностью до произволь-
Ого Постоянного слагаемого.
148	ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 4
Тогда филырационный расход через кривую MN
q е= J dq = J	tyM,
MN MN
где ф# и флт— значения функции тока в точках М и /V.
Таким образом, фильтрационный расход через произвольную кри-
вую в области фильтрации равен разности значений функций тока
на концах этой кривой.
В силу уравнений (4.1) и (4.5) по1енциал скорости фильтрации
и функция тока буду1 связаны между собою условиями Эйлера-Да-
ламбера:
д?___йф	(4.6)
дх ду ’ ду дх ’
Эти условия дают возможность, зная одну из функций <р или ф, найти
интегрированием другую ’).
Дифференцируя уравнения (4.6) соответственно по переменным у
и х, получим
д3?  д2у   й-’ф
дхду	ду2' дх ду	дх'-‘
Вследствие равенства левых частей этих выражений мы приходим
к заключению, что функция ф удовлетворяет уравнению Лапласа
Таким образом, функция тока подобно потенциалу скорости филь-
трации будет гармонической функцией координат точек облас1И
фильтрации.
Как известно, две гармонические функции, связанные между собою
условиями Эйлера-Даламбера, называются сопряженно-гармониче-
скими функциями. Таким образом, потенциал скорости филырации
и функция тока будут сопряженно-1армопическими функциями.
Введем в рассмотрение две комплексные переменные
z х iy и ш = о (ф.
Первая из этих переменных представляет собою комплексную коорДИ'
нату точек области фильтрации, а вторая — некоторую функцию не*
ременной z, называемую комплексным потенциалом фильтрации.
Так как вещественная часть ср и коэффициент при мнимой части ф
функции <и будут сопряженно-гармоническими функциями, то функ-
ция <о будет аналитической в области фильтрации. Последнее
обсюятельство устанавливает связь плоской установившейся филь-
трации тяжелой несжимаемой жидкости в однородном изотропном
грунте с теорией функции комплексной переменной.
1) С точностью до произвольного постоянного слагаемого.
§ 39]	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ	149
Рассмотрим еще одну комплексную переменную vc — ivy, назы-
ваемую комплексной скоростью фильтрации. Дифференцируя функ-
цию <и по переменной z и имея в виду уравнения (4.1) и (4.5), най-
дем, что
— ivy — о/ (г),	(4.8)
где о/(г)— производная функции о> по переменной z. Так как про-
изводная аналитической функции будет тоже аналитической функ-
цией, то функция vx—iVy будет аналитической в области филь-
трации.
Если для рассматриваемой фильтрационной задачи будет опреде-
лен комплексный потенциал фильтрации со, то в силу зависимостей
(4.3) и (4.8) могуг быть определены все характеристики фильтра-
ционного потока (скорость фильтрации, напор, давление и т. п.).
Таким образом, решение плоской фильтрационной задачи по сути
дела состоит в нахождении комплексного потенциала для рассматри-
ваемого фильтрационного потока.
Наглядное геометрическое представление о плоском установив-
шемся фильтрационном потоке дает так называемая сетка фильтра-
ции, т. е. сетка, образованная из линий тока (ty = const) и экви-
потенциальных линий ('4 = const), которые одновременно будут и
линиями равных напоров (h — const). Из соотношений (4.6) выте-
кает, что
(4.9)
дх дх '' ду ду
Полученное выражение показывает, что эквипотенциальные линии,
или линии равных напоров, и линии тока будут взаимно ортогональ-
ными ЛИНИЯМИ 1).
Эквипотенциальные линии и линии тока, образующие сетку филь-
трации, обладают свойством взаимозаменяемости. Действительно,
если вместо функции <о рассмотреть функцию й», то, как нетрудно
видеть, в новом фильтрационном потоке потенциал скорости (выра-
жаемый вещественной частью функции й») будет выражаться функ-
цией тока старого потока 2), а функция тока нового потока — потен-
циалом скорости старого потока. Таким образом, в новом фильтра-
ционном потоке эквипотенциальные линии являются линиями тока
старого потока, а линии тока — эквипотенциальными линиями старою
потока. Мы получили новый фильтрационный поток, который является
сопряженным с старым потоком. Это обстоятельство иногда успешно
используется при изучении фильтрации.
') Другие свойства сетки фильтрации указаны в § 128.
‘ с точностью до знака,
150
ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ
(гл. 4
На фиг. 51 в качестве иллюстрации приведена сетка фильтрации
в случае фильтрации в основании массивной плотины в предположе-
нии, что грунт основания однородно-водопроницаем.
§ 40. Граничные условия. На границе области фильтрации ком-
плексный потенциал фильтрации должен удовлетворять определенным
условиям, определяемым физическим содержанием рассматриваемой
фильтрационной задачи. Такие условия называются граничными усло-
виями.
§9 было указано, что граница области фильтрации в общем
учае может состоять из участков следующих четырех видов: 1) во-
проницаемых участков (границы бьефов, подводные границы дрен
п’’ ) водонепроницаемых участков (подземный контур массив-
Ч/° гидротехнического сооружения, граница водоупора и т. п.),
я1™1«СГК0В высачивания жидкости на земляные откосы и 4) сво-
ппргпчм гювеРГН0С™ фильтрационного потока или поверхности де-
ирсиСИИ,	Г
пяем^н граница облвсти фильтрации состоит лишь из водопрсни-
водонепроницаемых участков, то фильтрация называется
напорной, в противном случае —
безнапорной.
На фиг. 52 приведена схема
фильтрации в основании массив-
ной плотины. В этом случае дно
верхнего бьефа, где происходит
поступление воды в грунт, дре-
нирующий слой, уложенный по
подошве плотины, и дно нижнего
бьефа, где происходит поступле-
водопроницаемыми участками гт НИе воды из грУнта> являются
тур плотины и граница воло1ппп°.ЛЗкМНЫЙ водонепРоницаемый кок-
етками.	ора бУДут водонепроницаемыми уча-
изображенной t схематическом Випе° * жСН°В^Ие земляной плоТИНЫ’
нижнего бьефов ММ im71u\^' 53, границы верхнего и
СТКами, граница водоупора № УДуТ в°Д°пР°н«Цаемыми уча-
г	/ г — водонепроницаемым участком,
§ 40]
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
151
участок 7И27И3 низового откоса плотины, где грунтовая вода высачи-
вается на дневную поверхность, будет участком высачивания, и на-
конец, линия МУЛ12 будет кривой депрессии.
Существенно отметить, что из перечисленных выше Четырех видов
участков границы области фильтрации участки первых трех видов
всегда известны по форме. Форма же кривой депрессии заранее
не известна и должна быть определена в результате решения филь-
трационной задачи.
Фиг. 53.
На водопроницаемых участках давление распределяется по гидро-
статическому закону. Следовательно, эти участки будут линиями
равных напоров (А = const) и одновременно эквипотенциальными ли-
ниями (9 = const).
Водонепроницаемые участки являются линиями тока (ф = const).
На участках высачивания давление принимается равным атмосфер-
ному рл. Тогда на этих участках напор
h^-y	(4.10)
и потенциал скорости фильтрации
T=--^+v-	<4Л1>
Таким образом, на участках высачивания напор и потенциал ско-
рости фильтрации изменяются по линейному закону в вертикальном
направлении.
На кривой депрессии имеют место два условия.
Первое условие заключается в том, что давление фильтрацион-
ного потока равно разности между атмосферным давлением р& и
капиллярным давлением рк J). Но тогда на кривой депрессии напор
У	(4.12)
’) Здесь рл = где hK — высота капиллярного поднятия жидкости
в грунте. Заметим, что влияние капиллярности грунта на фильтрацию
Рассматривалось впервые Н. Е. Жуковским [1]. Более подробно этот вопрос
изучался в ряд^ работ В. В. Ведерникова,
162
ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ жидкости
[гл. 4
и потенциал скорости филырации
k(PK-~Pj
= —---------
4 т
(4.13)
Отсюда вытекает, что на кривой депрессии напор и потенциал ско-
рости фильтрации изменяются по линейному зжону в вертикальном
направлении. Если высота капиллярною поднятия пренебрежимо мала,
то р„ = 0.
Второе условие на кривой депрессии имеет различное выражение
в зависимости от тою, наблюдается ли инфильтрация или испарение
жидкости на свободной поверхности фильтрационного потока или не
наблюдается. При отсутствии инфильтрации или испарения кривая
депрессии будет линией тока (ф = const). В случае инфильтрации
или испарения обычно принимается, что количество жидкости, по-
ступающей в грунт (инфильтрация), или испаряющейся в атмосферу
(испарение', пропорционально площади горизонтальной проекции сво-
бодной поверхности фильтрационного потока. Если обозначим через а
объем жидкости, поступающей в единицу времени в 1рунт на еди-
нице. площади горизонтальной проекции свободной поверхности, то
на участок кривой депрессии между двумя любыми ее точками,
с абсциссами хх и х2 (Xj<x2', поступит обьем жидкости, равный
s(-v2	-’fi). Очевидно, величина е'х2— .iq) выражает фильтрацион-
ный расход через часть кривой депрессии, ограниченную двумя ука-
занными точками. Согласно результатам § 39 это количество жидко-
сти будет равно разности — ф2 значений функции тока в рас-
сматриваемых точках Таким образом, б, — = = (л-2— xt). Отекла
получим ф2 -4-8Г2 = -ф- aXj. Так как выбранные точки кривой де-
прессии произвольные, то в силу последнею условия на этой кривой
(4.14)
испарения на свободной
считать отрицательной.
ф -ф- ex = const.
Такой же результат мы получим и в случае
поверхности, если только величину а будем
Таким образом, в случае инфильтрации или испарения жидкости на
свободной поверхности фильтрационного потока функция тока изме-
няется по линейному закону в горизонтальном направлении.
Коэффициент пропорциональности а может иметь различное зна-
чение для отдельных участков кривой депрессии, если инфильтрация
или испарение неравномерны.
Как уже указывалось, форма кривой депрессии заранее неиз-
вестна и должна быть определена в результате решения рассматри-
ваемой фильтрационной задачи. Поэтому в отличие от прочих уча-
стков границы области фильтрации на кривой депрессии мы имеем
одно лишнее условие для характеристик фильтрационного потока.
9 так как = -11>0 И( след0ВательИ01 *L<0.
§ 41|
УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦАХ РАЗДЕЛА
153
Используя это дополнительное условие, можно определить кривую
депрессии.
§ 41. Условия на границах раздела двух слоев грунта и
жидкостей различных плотностей. Выше предполагалось, что
в пределах всей области фильтрации грунт однороден и изотропен.
Рассмотрим теперь случай, когда область фильтрации состоит из не-
скольких однородных и изотропных
слоев грунта с различными коэффи-
циентами фильтрации (слоистый грунт).
Пусть MN — граница раздела двух
слоев грунта 1 и 11 с коэффициентами
фильтрации к' и	(фиг. 54).
В пределах каждого слоя грунт одноро-
ден и изотропен, а потому для каждого
слоя в отдельности справедливы все ре-
зультаты, полученные выше. Будем
отмечать индексом «1» характеристики
фильтрационного потока в пределах
слоя 1 и индексом «2» — то же для
слоя //. Из элементарных физических
на границе раздела давление р и, следовательно
няются непрерывно. Но тогда на границе раздела
?1
Отсюда следует, чго на границе раздела двух слоев грунта потен-
циал скороеiи фильтрации имеет скачок.
Далее, дифференцируя выражение (4.15) по направлению гра-
ницы раздела, получим ’):
J
соображений вытекает, что
, напор Л изме-
(4.15)
имеет скачок.
<?«Pt___1
hs ds '
Так как <’’ к „„ааютка проем»™ скорое» фильтр.^ •
слоях на касательную к границе раздела, то, обозначая эти пр
ции через и v2e, найдем:
(4.16)
1'18 __ t>28
kt k-l
Отсюда вытекает, что касательная составляющая	^ЬТР
ции на границе раздела двух слоев грунта также' и” нормаль-
Нетрудно видеть, что вследствие неразрывное	ез границу
чая составляющая скорости фильтрации при пер р
раздела изменяется непрерывно, т. е.
„	(4.1')
Ф)П — ^2»'
*) #—расстояния, отсчитываемые по кривой
154	ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ жидкости [гл. 4
Из выражений (4.16) и (4.17) следует, что на границе раздела
двух слоев грунта скорость фильтрации изменяется скачком (по ве-
личине и направлению). При этом тангенсы углов наклона скорости
относительно нормали к границе раздела
tg а1 = —~ И tg а2 = -~SL
6 1 vln s 2 V2n
будут связаны между собою соотношением
Из изложенного выше вытекает, что на границе раздела двух
слоев грунта эквипотенциальные линии (<? = const) имеют разрывы,
а линии равных напоров (Л = const) и линии тока (ф = const) не
имеют разрыва, но испытывают преломление. Касательные к двум
последним линиям на границе раздела изменяют свое направление
скачком (см. фиг. 54), определяемым зависимостью (4.18).
До сих пор предполагалось, что фильтрующая жидкость одно-
родна. Рассмотрим теперь случай фильтрации двух однородных
жидкостей различных плотностей. Как и в предыдущем случае, обо-
значим индексом «1» характеристики фильтрации жидкости / и ин-
дексом «2» — то же для жидкости II.
В силу непрерывности изменения давления при переходе через
границу раздела двух жидкостей и выражения (4.3)
(#->’)*>• (4'19)
Если одна из жидкостей, например жидкость II, неподвижна, то
<р2 = const и условие (4.19) примет вид
?1 = xy-J-C,	(4.19')
где
71	7Л ‘2
постоянные. Таким образом, в этом случае на границе раздела
потенциал скорости фильтрации изменяется по высоте по линейному
закону. Это условие, как следует из сравнения его с (4.13), эквива-
лентно условию на кривой депрессии в случае однородной жидкости-
Полагая, что в процессе фильтрации жидкости не смешиваются,
получим, что граница их раздела будет линией тока и, следовательно,
на этой границе
= const, ф2 = const.	(4.20)
так как^коэФФициент Лилк^Л.П₽И ОДНОРОДНОМ грунте может быть
мдаости жвдкосж фильтРаЧ“« зависит от кинематического коэффицента
ГОДОГРАФ СКОРОСТИ
155
§ 42]
Таким образом, на границе раздела двух жидкостей различных
плотностей, как и на кривой депрессии, имеют место два условия.
Используя эти условия, можно определить границу раздела.
§ 42. Годограф скорости. В § 39 мы ввели понятие комплекс-
ной скорости фильтрации — ivv, которая будет аналитической
функцией комплексной координаты точек области фильтрации. При
изучении плоской фильтрации будем пользоваться еще одной ком-
плексной переменной:	ivy, которая является сопряженной с ком-
плексной скоростью фильтрации. Область изменения переменной
‘Оа)-\-1'Оу называется областью годографа скорости. Как будет по-
казано ниже, при решении фильтрационных задач в некоторых слу-
чаях бывает необходимым определить область изменения комплексной
скорости фильтрации и, следовательно, нужно будет построить об-
ласть годографа скорости. Выясним, каковы будут условия для го-
дографа скорости на указанных выше участках границы области
фильтрации.
Как указывалось в § 40, водопроницаемые участки будут экви-
потенциальными линиями. Следовательно, скорость фильтрации на
водопроницаемых участках будет направлена нормально к этим
участкам. Если водопроницаемый участок будет прямой линией (или
ее частью), наклоненной к оси Ох под углом а, то на этом участке
угол наклона скорости фильтрации к оси Ох:
arctgZL. = =t « _|_а.
^7	*	*
Но Тогда	(Л on
у== — Рд. cig а.	(4.21)
Отсюда следует, что прямолинейному водопроницаемому участку
в плоскости годографа скорости (v^OVy) будет соответствовать пря-
мая линия (или ее часть), проходящая через начало координат и пер-
пендикулярная к этому участку ’)•
Водонепроницаемые участки являются линиями тока. Следова-
тельно, скорость фильтрации на водонепроницаемых участках на-
правлена по касательной к этим участкам. Если водонепроницаемый
участок будет прямой линией (или ее частью), наклоненной к оси Ох
под углом а, то на этом участке угол наклона скорости фильтрации
к оси Ох:
arcfg—!L—а или ir-4-а.
Чп	Vt0
по тогда
Vy^Vutga.	(4-22)
Отсюда следует, что водонепроницаемому участку в плоскости годо-
фафа скорости (vxOVy) будет соответствовать прямая линия (или ее
0 Указанная прямая может быть пройдена частично дважды (см, при-
веденный ниже пример),
156	ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ жидкости [гл. 4
часть), проходящая через начало координат и параллельная этому
участку.
На участке высачивания
? = —“т-----\-ky.
Если обозначим через s расстояния, отсчитываемые в направлении
участка высачивания, то
*°8 —	~ & 4^- = k cos (s, у),
е ds ds v
где vg касательная составляющая скорости фильтрации на участке
высачивания и cos (s, у) — кссинус угла между касательной к уча-
стку высачивания и осью Оу. Если участкок высачивания будет
частью прямой линии, наклоненной к оси Ох под углом а, то
cos (s, у) sin а и vs~ k sin а. Далее, имея в виду, что vs = Vj. cos а 4"
-f- vy sin а, написанное выше условие для касательной составляющей
скорости фильтрации на прямолинейном участке высачивания можно
представить в виде
—Vojdga^-k.	(4.23)
РТ„юда следуеТ’ что пРямолинейному участку высачивания в пло-
пплгпп год°гРаФа скорости v^Ovy соответствует часть прямой линии,
. я-гпмГЩе чеРез точку с координатами (0, k) и перпендикулярной
к этому участку.	’	1 J
тпя^я депрессии в общем случае, когда имеет место инфиль-
л испарение жидкости, осуществляются два условия:
__ k (рк — рл)
У	+ ky, ф 4- ex — consf.
кри^о^Тогда^63 Расстояния, отсчитываемые в направлении этой
V^-^ = k^-kCOi(s, у),	^ = _^ = 8^ = 8C0sCs-, X),
где vs и vn проекции скорости фильтрации на кривой депрессии
на касательную и нормаль к этой кривой, a cos (s, х) и cos (5, у)~~
косинусы углов, составляемых касательной к кривой депрессии
с осями координат. Далее, имея в виду, что
vg = vaicos(s, х) 4-cos ($, у),
vn ~ COS (n, X) -j- Vy cot (n, y) = — vx COS (S, y) -f- Vy cos (s, x),
условия для касательной и нормальной составляющих скорости филь-
•грации на кривой депрессии можно представить в виде
v„ cos (д, х) 4~ (vy — k.) cos (s, y) — 0,
(«у — e) COS (s, X) — V? COS (S, y) «з Q,
§ 43]
ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТИ (’ОДОГРАФА СКОРОСТИ

Исключая из последних двух уравнений cos (s, х) и cos (s, у), полу-
чим условие для скорости фил'/грации на кривой депрессии:
vi + (vv— —s) = 0.	(4.24)
Последнее условие можно представить в более удобном виде:
+	=	(4.249
Отсюда следует, что кривой депрессии в плоскости годографа ско-
рости vxOvu соответствует окружность (или ее часть) с центром
v	/ frj_e\	ife_, s ।
в точке с координатами (О, —) радиуса J1 ’)•
При отсутствии инфильтрации или испарения жидкости на сво-
бодной поверхности е = 0 и тогда указанная выше окружность имеет
центр в точке с координатами (в,
k а
а ее радиус равен у. Заме-
тим, что условия для годографа скорости на кривой депрессии были
впервые получены Б. Б. Девисоном [3]. Им же впервые были изло-
жены приемы построения области годографа скорости фильтрации.
Полученные выше результаты дают возможность построить область
годографа скорости и, следовательно, определить область изменения
комплексной скорости фильтрации — ivv в конкретных случаях пло-
ской фильтрации.
§ 43. Пример построения области годографа скорости. Рас-
смотрим пример Б. Б. Девисона [5] — построения области годографа
скорости в случае фильтрации через земляную плотину на водопро-
ницаемом основании ограниченной мощности, изображенную на фиг. 53.
При этом предположим, что инфильтрация или испарение на свободной
поверхности грунтовых вод не происходят, а капиллярность грунта
пренебрежимо мала.
На границе водоупора 7И6Л1Ь скорость фильтрации горизон-
тальна и, следовательно, ^ = 0. Так как естественно предположить,
что вдоль границы водоупора вода движется от верхнего бьефа
к нижнему, то на этой границе	В бесконечно удаленных точ-
ках Л!е и Мй скорость фильтрации равна нулю. Поэтому при пере-
мещении по границе водоупора от точки Ме к точке составляю-
щая скорости vx сначала возрастает от нуля до некоторой поло-
жительной величины и далее убывает до нуля. Отсюда следует, что
границе водоупора в плоскости годографа скорости соответствует
Дважды пройденный отрезок Ж6Л15 вещественной оси.
На линии дна нижнего бьефа Л44Л46 скорость фильтрации вер-
тикальна и, следовательно, tre = 0. Так как естественно предполо
жить, что жидкость из грунта поступает в нижний бьеф, то н
Указанная окружность может быть пройдена
приведенный ниже пример).
частично дважды (см.

ПЛОЙКАЙ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ жидкости
[гл. 4
линии Л44ЛГ6:	Как указывалось выше, в точке Л4б скорость
фильтрации равна нулю. В точке Л44 она может быть либо нулем,
либо бесконечностью. Если предположить, что в точке Ж4 скорость
фильтрации равняется нулю, то тогда при перемещении по линии
дна нижнего бьефа от точки Ж4 к точке Л46 Dy должна сначала убы-
вать от нуля до некоторой отрицательной величины и далее возра-
стать до нуля. Тогда линии дна нижнего бьефа в плоскости годо-
графа скорости будет соответствовать дважды пройденный отрезок
Л44ЛГ6 отрицательной части мнимой оси. В точках, близких к этому
отрезку, ttp будет близка к нулю, причем может быть как положи-
тельной, так и отрицательной. Но этим точкам в области фильтра-
ции соответствуют точки, близкие к дну нижнего бьефа. Отсюда
следует, что предположение о равенстве нулю скорости фильтрации
в точке Ж4 приводит к физически мало вероятному допущению, что
вблизи дна нижнего бьефа горизонтальная составляющая скорости
фильтрации может быть как положительной, так и отрицательной.
Таким образом, мы должны предположить, что в точке Ж4 скорость
фильтрации равняется бесконечности. Но тогда при перемещении по
линии дна нижнего бьефа от точки Мъ к точке Mi Dy будет убы-
вать от 0 до — оо. Отсюда следует, что линии дна нижнего бьефа
в плоскости годографа скорости соответствует отрицательная часть
мнимой оси.
На смоченной части низового откоса плотины УИ3ТИ4 скорость
фильтрации нормальна к низовому откосу. Так как естественно пред-
положить, что жидкость из грунта поступает в нижний бьеф, то на
линии	> о и < 0. В точке скорость фильтраций
равна бесконечности. В точке Л1а, как мы увидим ниже, скорость
фильтрации тоже должна равняться бесконечности. Но тогда при
к точке /И	смоченной части низового откоса плотины от точки ТИ4
житрлкной	И, Vv сначала убывают от оо до некоторой поло-
смоченной части нХ И далее В03Растают до оо. Отсюда следует, что
графа скопости гоп ОВОГО откоса плотины в плоскости годо-
прямая лЛи с чнГеТСТВуеТ дважды пройденная бесконечная полу-
прямая С уравнением %,==: —я . eta В
будетРТоответствовйСткЧИВЯ11ИЯ уИ'2/И:! в плоскости годографа скорости
скопостк	... 3 4 итС1°да и следует, что в точке Ж3
положение точки М2 п?о™и₽?одщпаЛ бесконечности- Определи;
точке М2 области фильтрации £ ° р фа СК0р0СтИ’ соответствующей
НИИ одновременно принадлежит Т°ЧКа областИ ФилЬТра"
премии, то точка М. плоскости 7оп™У ,Высачивания и кривой деГ
2 си годографа скорости является точкой
пересечения прямой du =— v ctafi_L.b„	2 , 2 , л
(соответствующей кривой депре^сии^ „ °^Ружности +
две точки пересечения с коорЗми	ТТ1 S
Если бы точка М. имела к^Хаты Л? <*sinPCos?; ksltln^
ординаты (0, ft), то в точке М2 выхода
§ 4S] ПРИМЕР ЙОСТРОЁНЙЯ ОЁЛАСТЙ ГОДОГРАФА СкОРОЙТЙ
15$
кривой депрессии на низовой откос плотины скорость фильтрации
была бы направлена вертикально вниз, что при наклонном низовом
откосе плотины физически невозможно. Следовательно, точка
плоскости годографа скорости имеет координаты (k sin Р cos J3, k sin2 Р),
как и показано на фиг. 55. Отсюда следует, что участку высачива-
ния ЛГ2Л13 в плоскости годографа скорости соответствует полупря-
мая Ж2Ж3. Заметим здесь, что если на участке высачивания скорость
Фиг. 55.
Фиг. 56.
X)
фильтрации монотонно убывает от точки к	_ д
прямая ЖзТИд проходится без возврата (ф •	У е мини-
<*«.
УНа мнии дна верхнего бьефа
вертикальна и, следовательно, ,оа, —и- }ак	rnvHT то на
дожить, что жидкость из верхнего бьефа поступ павна нулю,
линии Ж6Ж7 ^>0. В точке Мв скорость Фи^ра^ Р^^р^.
В точке Л17 она может быть либо нулем, либо	точки
Суждениями, аналогичными примененным в г	скорости
можно показать, что предположение о равенств- Удуль,
фильтрации в точке УИ7 приводит к физически н Р• оавца беско-
тату. Поэтому в точке Ж7 скорость фильтрации буд Р бьефа
нечности. Но тогда при перемещении по линииi дР от 0 д0
от точки Мв к точке Ж7 vv будет монотонн Р плоСКОсти
4-00- Отсюда следует, что линии дна верхне оФ	М7)
годографа скорости будет соответствовать положительная I в
мнимой оси.
160
ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 4
На верховом откосе плотины 714,714, скорость фильтрации нор-
мальна к откосу. Естественно предположить, что жидкость из верх-
него бьефа поступает в ipjHT. Но то1да va и vy > 0. В точке Л!7
скорость фильтрации равна бесконечности. В плоскости годографа
скорости верховому откосу плотины будет соответствовать часть
прямой с уравнением Vy — vxctga. Определим положение точки
плоскости годографа скорости, соответствующей точке области
фильтрации. Точка области фильтрации одновременно принадле-
жит верховому откосу плотины и кривой депрессии. Следовательно,
точка Ж, годографа скорости будет точкой пересечения прямой
vy = vxcig а и окружности v'r-j~Vy— kvv — 0. Решая совместно
эти два уравнения, найдем, что прямая и окружность имеют две
точки пересечения с координатами (0, 0) и (fesinacosa, fecos2«).
Если бы точка Л13 имела координаты (0, 0), го вблизи точки Л4,
направление скорости фильтрации было бы близко к горизонтальному.
Но тогда в точке кривая депрессии будет горизонтальной и угол,
образуемый кривой депрессии с верховым откосом плотины, будет
больше прямого. В плоскости комплексного потенциала фильтра-
ций (ш) указанному углу соответствует прямой угол в силу ортого-
нальности эквипотенциальных линий и линий тока. Но тогда в точке /И]
va> toy I м, — ш' (?) ] лт, = оо что противоречит предположению.
Следовательно, точка Ж, годографа скорости имеет координаты
(fe sin a cos а, fecos2a), как и показано на фиг. 55. Отсюда следует,
что верховому откосу плотины в плоскости годографа скорости
соответствует полупрямая Af]Af7. Если на верховом огкосе плотины
скорость фильтрации монотонно убывает от точки 2И, к точке /Ир
то полупрямая 714,714, проходится без возврата (см. фиг. 56, слу-
чаи а, с, d, f, g и k). Если же на верховом откосе плотины ско-
рость фильтрации имеет минимум, то полупрямая М.М-, проходится
частично дважды (см. фиг. 56, случаи А, в и А).
Кривой депрессии в плоскости годотрафа скорости соответ-
ствует часть окружности радиуса ~ с центром в точке с координа-
тами	Указанная окружность может в общем случае прохо-
диться частично дважды, что соответствует наличию на кривой де-
прессии точек перегиба. Заметим здесь, что случай f фиг. 56
соответствует наличию на кривой депрессии двух точек перетиба.
т случае при движении по кривой депрессии от верхнего бьефа
i нижнему указанная кривая сначала будет иметь выпуклость вверх,
отом вогнутость и далее опять выпуклость (выпуклость, вогнутость,
выпуклость). Случаи с, k (выпуклость — вогнутость) и d, е (вотну-
поеобоазованииВ шюизвоянм "Р0ИСХ°Дит уменьшение углбв при конформном
«Pp“S“™ЖФ,ИЦ™-	™ пРреовра’а»=и»«.
§ 44]	СЛУЧАЙ ОДНОРОДНО-АНИЗОТРОПНОГО ГРУНТА	161
тость — выпуклость) фиг. 56 соответствуют наличию у кривой депрес-
сии одной точки перегиба. И, наконец, случаи a, b, g и h фиг. 56
соответствуют отсутствию на кривой депрессии точек перегиба.
В этих случаях кривая депрессии на всем своем протяжении обращена
вогнутой стороной вверх.
Таким образом, кривая депрессии может
формы. Форма кривой депрессии определяется
глубиной водопроницаемого слоя и разностью
горизонтов воды в верхнем и нижнем бьефах.
При непрерывном изменении всех этих параме-
тров одна форма кривой депрессии непрерывно
переходит в другую ]6].
Определив годограф скорости на границе
области фильтрации, зеркально отобразим его
в вещественной оси. Тогда найдем границу об-
ласти комплексной скорости —ivy, изобра-
женную на фиг. 57. Заметим здесь, что при
движении по границе области фильтрации
в одном направлении, например по часовой стрел-
ке, в плоскости комплексной скорости филь-
трации мы будем перемещаться тоже в том же
направлении. Но тогда, имея в виду, что ком-
плексная скорость фильтрации будет аналити-
ческой функцией в области фильтрации, мы
можем утверждать, что область изменения ком-
плексной скорости фильтрации будет заштри-
хованной областью фиг. 57. Только в этом случае
имеет место соответс гвие направлений обхода
иметь многообразные
размерами плотины,
Фиг. 57.
обеих областей *).
Все наши рассуждения относились к случаю Т > у • Если же
Т<2-, то, как легко убедиться, область изменения комплексной
скорости фильтрации будет двулистной. Подробное исследование
СлеДНег° случая дано в уже упомянутой выше работе Б. Б. Деви-
сона [5].
мыбНИЖе’ В главе ПРИ рассмотрении ряда случаев фильтрации
WeM ИМетЬ е1це Несколько примеров построения области годографа
§ 44. Случай однородно-анизотропного грунта. Во всем пре-
те ЛУщем Изложении предполагалось, что грунт изотропен. Рассмотрим
_перь случай однородно-анизотропного грунтаа). Такой грунт
все Т°‘есть если при обходе границы одной области эта область
гРани РеМя остается с правой руки, то и при соответствующем обходе
вой Другой области эта область тоже все время остается с пра-
В. И> А^авин^34^4, 7J неодЯ°Родно*аннзотРопных грунтах исследовалась
162
ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ
[гл. 4
получается вследствие чередования большого числа (точнее бесконеч-
ного числа) весьма тонких (точнее бесконечно тонких) плоско-
параллельных слоев грунта с двумя различными коэффициентами
фильтрации. Как указывалось выше, в § 18, в случае однородно-
анизотропного гранта, принимая за направления координатных осей Ох
и Оу плоскости фильтрации главные направления анизотропии, т. е.
направления, параллельное и перпендикулярное к плоскостям указан-
ных выше слоев, основные уравнения плоской установившейся филь-
трации можно представить в виде
^+^-0,	(4.26)
дх 1 ду ’
Л==у — xsina — у cos а.	(4.27)
В уравнениях (4.25) и (4.27) через kx и ky обозначены постоянные
во всей области фильтрации значения коэффициента фильтрации
грунта в направлениях, параллельных координатным осям, и через
а угол наклона оси Ох (плоскостей слоев) к горизонту.
Введем в рассмотрение вспомогательный фильтрационный поток
жидкости той же плотности, удовлетворяющий условиям: 1) область
фильтрации вспомогательного потока получается из данной анизо-
тропной области фильтрации равномерным ее сжатием в направлении
оси Ох в X = |/*раз ’) и 2) давление и напор в соответствующих
точках вспомогательного потока и фильтрационного потока в анизо-
тропном грунте совпадают.
Отмечая штрихом характеристики вспомогательного потока, в силу
введенных выше условий получим:
х — кх', у~у', vx^='kvl;', vy = i)y>.	(4.28)
Вводя в уравнения (4.25) — (4.27) вместо характеристик филь-
трационного потока в анизотропном грунте их выражения через
характеристики вспомогательного потока, найдем следующие основные
уравнения для вспомогательного потока:
У
ky
v<s ~ дх' ’	~ ду' ’
дх' + ду' и’
= — h — — £ -[- х'к sin а Ц-у' cos а.
(4.259
(4.26')
(4.27')
останутсяИпряамымиДеФ°РМаЦНН аннзотРопн°Й области фильтрации прямые
§ 44]	СЛУЧАЙ ОДНОРОДНО-АНИЗОТРОПНОГО ГРУНТА	163
Из уравнений (4.25') и (4.26') следует, что вспомогательный
поток будет фильтрационным потоком в фиктивном однородном
и изотропном грунте с коэффициентом фильтрации ky при ином, по
сравнению с обычным, определении напора h по формуле (4.27').
Заметим здесь, что функция тока фильтрационного потока в ани-
зотропном грунхе будет связана с функцией тока вспомогатель-
ного потока 'У зависимостью
ф==Ху.	(4.29)
Если вспомогательный фильтрационный поток будет найден, то
по формулам (4.28) и (4.29) может быть определен и фильтрацион-
ный поток в анизотропном грунте.
Определим граничные условия для вспомогательного потока.
Так как при переходе от фильтрационного потока в анизотропном
грунте к вспомогательному потоку напоры в соответственных точках
потоков не изменяются, то водопроницаемому участку границы ани-
зотропной области фильтрации (/г = const) будет соотвехствовать
водопроницаемый учасюк границы области фильтрации вспомога-
тельного потока (Л = const).
В силу зависимосхи (4.29) водонепроницаемому участку храницы
анизотропной обласхи филырации (ф== const) будет соответсхвовагхэ
водонепроницаемый участок границы области фильтрации вспомога-
тельного поюка (У = const).
На участке высачивания вспомогательного потока давление р равно
атмосферному давлению р& и, следовательно,
51= — h = — — 4-x'Xsina-]-ycosa.	(4.30)
ky	7
На кривой депрессии г.спомогательного потока в общем случае
при наличии инфильтрации или испарения на свободной поверхности
врун 1ового потока имеют место два условия:
<= —ft = ^^- + x/Xsina+ycosa,
ky	Tf 1	(4.31)
У = — 5- (х' Xcosa — у sin а) С,
где С—некоторая вещественная постоянная. При отсутствии инфиль-
трации или испарения 8 = 0 и кривая депрессии будет линией тока
('/ = const).
Приведенные выше граничные условия дл х вспомогательного
потока дают возможность определить форму области годографа ско-
рости _|_ /^,) для вспомогательного потока.
Имея в виду результаты § 42, получим, что прямолинейному водо-
проницаемому участку границы области фильтрации вспомогательного
потока в плоскости годографа скорости (vx'Ovy‘) соответствует
прямая линия (или ее часть), проходящая через начало координат
164	ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 4
и перпендикулярная этому участку, а прямолинейному водонепро-
ницаемому участку — прямая линия (или ее часть), проходящая через
начало координат и параллельная этому участку.
Рассмотрим прямолинейный участок высачивания, наклоненный
к оси Ох' под углом р. Дифференцируя выражение (4.30) по напра-
влению этого участка, получим:
п' =	= Ь X sin а -ф cos а i = ky (X sin а cos р -ф- cos а sin р),
где v'g — составляющая скорости вспомогательного потока в напра-
влении участка высачивания. Замечая, что
"Не = "гЬт' cos £ —[—	sin р,
найдем следующее условие на участке высачивания
vy — cos а = —0*4' — W sin а) ctg	(4.32)
Следовательно, участку высачивания в плоскости годографа скорости
(v'asiOv'y,) соответствует прямая линия (или ее часть), проходящая через
точку с координатами (fe^Xsina, fe^cosa), перпендикулярная участку
высачивания.
На кривой депрессии имеют место два условия (4.31). Дифферен"
цируя выражения (4.31) по направлению этой кривой, получим:
, ду' , (дх', .	, ду' \
= ky [X sin a cos (s, x')-фcos a cos y'l],
' ЭД' * /дх', dy' . \
т,я==_—^T(^Xcosa- <-sina) =
— y [X cos a cos (s, x' > — sin a cos (s, y')],
где vB и vn— касательная и нормальная составляющие скорости
вспомогательного потока на кривой депрессии, а cos(s, х'\ cos(s, у''г'
направляющие косинусы касательной к этой кривой. Далее, замечая,
что
ч)а = cos (s, х) -f- cos ($, /),
'D« ~ Vx' C0S (Л> х ) 4“ "Оу cos (л, У ) = — чз'х’ COS ($, У) -ф v'y cos х
получим:
(т’х/ X sin a) cos (s, x ) -ф (v'y — ky cos a) cos (s, У) == 0,
(vv/ e cos a) cos (s, x ) — (v'x,-1- sin a) cos (s, y) = 0-
Исключая из двух последних выражений cos(s, х7) и cos(s, У), най-
дем, что кривой депрессии в плоскости годографа скорости (чз'х'^у'^
§ 45]	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ	165
будет соответствовать окружность с уравнением
v'a' 4* 'о'у' — — Sin a v'x' — (ky + е)cos а 'D?/' + e^v — °- (4.33)
Указанная окружность проходит через точки с координатами
(A^Xsina, A^cosa) и sin a, ecosa). Ее центр находится в точке
с координатами 2уS sin ct,	cos a), и ее радиус равен
у у/~(ky\ — -^sin2 « + (kv — е)2 cos2 a.
При отсутствии инфильтрации или испарения на свободной поверх-
ности фильтрационного потока е = 0 и тогда уравнение (4.33) примет
ВИЛ	/2/2	/	, I	_	оо/\
+ 'Оу’ — ky X vx' sin a — ky Vy'cos a = 0.	(4.33 )
При этом окружность (4.33') будет проходить через точки с ко-
ординатами (AjyXsina, kyCOsa) и (0, 0). Ее центр находится в
точке с координатами 0-A??/Xsina, yfe;/cosa^, и ее радиус равен
VX2 sin2 а -ф-cos2 a.
Заметим в заключение, что подробное исследование годографа
скорости в случае фильтрации в однородно-анизотропном грунте было
впервые произведено П. Я. Полубариновой-Кочиной [8].
§ 45. Общие сведения о методах решения задач плоской
установившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости.
Методы решения задач плоской установившейся фильтрации тяжелой
несжимаемой жидкости многочисленны и разнообразны. Эти методы
могут быть подразделены на две основные группы: 1) теоретические
методы и 2) экспериментальные методы. Последние основаны на лабо-
раторном исследовании фильтрационных потоков на моделях, а также
на использовании аналогии между различными физическими явлениями.
Ниже, в главах 12—13, изложены основные из этих методов.
В настоящей же главе мы ограничимся рассмотрением лишь теорети-
ческих методов решения задач плоской установившейся фильтрации.
Теоретические методы решения фильтрационных задач в свою
очередь подразделяются на: 1) точные и 2) приближенные. Точные
теоретические методы за небольшими исключениями применимы лишь
к случаям фильтрации в однородном (изотропном или анизотропном)
грунте. Приближенные теоретические методы одинаково применимы
как в случаях однородного, так и в случаях неоднородного грунта.
Существуют пять основных точных теоретических методов реше-
ния задач плоской установив!! ейся фильтрации тяжелой несжимаемой
жидкости в однородном грунте, а именно:
1)	метод конформных преобразований,
2)	метод, основанный на приведении фильтрационной за дачи к задаче
Римана-Гильберта теории логарифмического потенциала,
166
ПЛОСКАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ жидкости [гл. 4
3)	метод Б. Б. Девисона,
4)	метод, основанный на применении аналитической теории обык-
новенных линейных дифференциальных уравнений,
5)	метод функционального анализа.
Все перечисленные выше методы принципиально отличны друг от
друга в смысле используемых ими математических средств и имеют
различные области применения.
Первый метод, или метод конформных преобразований, как пока-
зывает его наименование, в своей основе содержит конформное преобра-
зование области одной комплексной переменной на область дру-
го комплексной переменной. Впервые этот метод для одного класса
фильтрационных задач, а именно, для случаев напорной фильтрации
в однородных изотропных основаниях массивных гидротехнических
сооружений, был изложен Н. Н. Павловским в его фундаментальной
ра оте [2]. В дальнейшем метод конформных преобразований был
значительно развит в работах Н. Н. Павловского, Б. Б. Девисона,
п а едеРНИКОва> Б. Нельсона-Скорнякова, Б. К. Ризенкампфа,
аРиновой-^очиной, С. Н. Нумерова и др. Метод конформ-
ТПя„^Р™ Разовани^ ияеет наибольшее применение при решении филь-
о ых задач по сравнению с прочими названными выше методами-
столп настояш,емУ времени метод конформных преобразований достиг
Шипп-гп ольшого развития, что разветвился на ряд способов решения
гичмчгт^И°^Ы^ 3адаЧ’ раздающихся между собою как в мегодоло-
пепемении°\Н0ШеНИИ смысле используемых в них комплексных
Гв гляпяу r ’ т?* И В Оти°шении областей их применения. Ниже
всех	7 РассмотРены три таких способа, причем изложение
типичных задачС°б°В иллюстРиРУется рассмотрением ряда наиболее
вепетпГ°ш метод’ как П01<азывает его наименование, основан на при-
логаоиЛм™»г^РаЦИ°ННОЙ залачи к задаче Римана-Гильберта теории
так С Н Ни0™ потенциала. Указанный метод применялся в рабо-
поименениа УЛер0Ва’ Начиная с 1939 г- Как показала практика его
он уступает	наиболее простых фильтрационных задач
ныхУ фильтоапион^ы конФоРмных преобразований. В более же слож-
нежели метол	задачах он оказывается более эффективным,
что второй метол ^OpMHblx преобРазованиЙ. Существенно отметить,
с методом конформныГ'ппе :ШУЮ °бласть применения по сравнению
изложение этого метода и иллюсНиже <в главе 8) мы даем
нием ряда задач. Д И иллюстРируем его применение рассмотре-
иачимя™" IQ3™г B™aSS"nB’ Б' Дем“ном в Р’® ег° р’боГ’
изложен Б. Б. ДИИ “10и “ "Xм	метол
интересен тем, что он был пеовым 6 J5 ’ Метод Б. Б. Девисон
фильтрационных задач Несмотояобщим методом решения
ппостоту метя R к п«в 0Тря на свою логическую стройность и
простоту, метод Б. Б. Девисона окааался неэффективным в смысле
§ 45]	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ	167
получения практически удобных решений конкретных задач. Учиты-
вая последнее обстоятельство, мы ниже не даем изложения метода
Б. Б. Девисона, отсылая интересующихся этим методом к уже упо-
мянутой выше фундаментальной работе Б. Б. Девисона [5].
Четвертый метод, основанный на применении аналитической теории
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, был изложен
в ряде работ П. Я. Полубариновой-Кочиной, начиная с 1938 г.
В наиболее полном виде указанный метод изложен П. Я. Полубари-
новой-Кочиной в работе [10]. Большое значение в развитии этого
метода имела также работа Б. К. Ризенкампфа ]9]. Особая ценность
последнего метода заключается в том, что он до настоящего времени
является наиболее общим метолом решения фильтрационных задач,
применимым не только в случаях однородного грунта, но и в случаях
неоднородного (слоистого) грунта. Учитывая, что указанный выше
метод основан на некоторых специальных разделах математики, выхо-
дящих из пределов программ высших технических учебных заведений,
мы не имели возможности изложить его. Интересующихся этим мето-
дом мы отсылаем к фундаментальной монографии П. Я. Полубарино-
вой-Кочиной (10], удостоенной в 1946 г. Сталинской премии II степени.
Выше, при краткой характеристике основных теоретических методов
решения фильтрационных задач, мы имели в виду исключительно
случаи однородного грунта. Что же касается неоднородного грунта,
то до настоящего времени мы имеем весьма ограниченное число реше-
ний наиболее элементарных фильтрационных задач в условиях неодно-
родного грунта, к тому же представляющих малый практический
интерес. Заметим, что исследованию ряда случаев фильтрации в неодно-
родном грунте посвящены работы П. Я. Полубариновой-Кочиной,
Б. К. Ризенкампфа, Н. К. Гиринского, М. А. Лаврентьева и И. Б. По-
гребисского, Н. К. Калинина, Д. Б. Тополянского, С. В. Фальковича
и др. Мы ниже не останавливаемся на изложении этих работ, отсылая
интересующихся к первоисточникам J).
Что же касается приближенных методов решения фильтрационных
задач, то ниже (в главе 11) излагаются только три из них, а именно:
1) метод фрагментов, 2) графический метод и 3) метод конечных
разностей.
Пер >ый из этих методов был впервые предложен Н. Н. Павлов-
ским. Второй — заключается в графическом построении сетки филь-
трации и в нахождении характеристик фильтрационного потока по этой
сетке. Последний метод заключается в замене дифференциальных
Уравнений уравнениями в конечных разностях.
’) Краткое изложение этих работ можно найти в обзорной статье (11}.
ГЛАВА
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(СПОСОБ ПАВЛОВСКОГО)
§ 46. Способ Павловского. Впервые конформные преобразова-
ния при решении широкого класса фильтрационных задач были исполь-
зованы Н. Н. Павловским в его фундаментальном труде [1] при
исследовании напорной фильтрации в основаниях гидротехнических
сооружений. Разработанный Н. Н. Павловским способ решения филь-
трационных задач, основанный на использовании конформных преоб-
разований, получил в литературе наименование способа Павловского.
Указанный способ может быть применен не только в случаях напор-
ной фильтрации в основаниях гидротехнических сооружений, но
и в любых случаях напорной фильтрации, когда граница области
фильтрации состоит лишь из водопроницаемых и водонепроницаемых
участков, а кривая депрессии и участки высачивания отсутствуют.
Ниже мы изложим способ Павловского в наиболее общем виде, в при-
менении к любому случаю напорной фильтрации.
Рассмотрим две комплексные переменные, а именно: комплексную
координату z~ х-\-1у точек области фильтрации и комплексный
потенциал фильтрации ш =	Область изменения переменной z,
т. е. область фильтрации, будет заданной условиями рассматриваемой
фильтрационной задачи. Область же комплексного потенциала филь-
трации может быть определена на основе граничных условий для
потенциала скорости фильтрации и функции тока ф на границе
области фильтрации. Как указывалось выше, водопроницаемые участки
границы области фильтрации будут эквипотенциальными линиями
(<р = const), водонепроницаемые же участки— линиями тока (<р = const).
Отсюда следует, что область комплексного потенциала фильтрации
представляет собою часть плоскости ш, ограниченную прямыми линиями,
параллельными осям координат О® и 0<р. Иначе говоря, область
комплексного потенциала фильтрации будет прямолинейным много-
угольником со сторонами, параллельными осям координат.
Определив область комплексного потенциала фильтрации, произ-
ведем конформное отображение этой области на область фильтрации.
Тогда найдем комплексный потенциал фильтрации, зная который опре-
§ 47] ПЛОСКИЙ ФЛЮТВЕТ С ВОДОНЕПРОНИЦАЕМЫМ ШПУНТОМ	169
делим все характеристики фильтрационного потока. Таким образом
получим решение рассматриваемой фильтрационной задачи.
Весьма часто при определении функции, дающей конформное
отображение области фильтрации z на область комплексного потен-
циала фильтрации ш, вводят вспомогательную полуплоскость С
Производя конформное отображение полуплоскости С на области z и ш,
находят две функции z—j\(t.) и <о=/2(С), дающие параметрическое
выражение искомого решения.
Заметим здесь, что так как область комплексного потенциала филь-
трации будет прямолинейным многоугольником, то при нахождении
функции /2 (С) может быть использован интеграл Кристоффе ля-Шварца
(см. приложение V).
Если область фильтрации также будет прямолинейным много-
угольником, то интеграл Кристоффеля-Шварца может быть применен
и при нахождении функции /j(C).
В случаях напорной фильтрации в однородно-анизотропных грунтах
способ Павловского может быть применен при рассмотрении вспомо-
гательного фильтрационного потока (см. § 44).
Ниже для иллюстрации способа Павловского рассмотрены основ-
ные случаи напорной фильтрации в основаниях гидротехнических
сооружений, а также некоторые случаи напорной фильтрации к дренам.
§ 47. Плоский флютбет с абсолютно водонепроницаемым шпун-
том. В качестве первого примера, иллюстрирующего способ Павлов-
ского, рассмотрим случай
фильтрации в основании
плоского флютбета с абсо-
лютно водонепроницаемым
шпунтом. При этом в отдель-
ности рассмотрим следую-
щие три частных его вида:
1° — однородное водопрони-
цаемое основание флю гбе-
та имеет неограниченную
Фиг. 58.
мощность (см. фиг. 58), 2° —
водопроницаемое основание флютбета имеет ограниченную мощность
и подстилается горизонтальным водоупором (см. фиг. 66) и 3 — во-
допроницаемое основание флютбета состоит из двух однородных
слоев, причем нижний слой обладает значительно большей (теорети-
чески бесконечной) водопроницаемостью по сравнению с верхним
слоем (см. фиг. 71).
Заметим здесь, что случай 1° был впервые рассмотрен Н. Н. Павлов
ским [1], случай 2° — Е. А. Замариным [2] и случай 3° Н. К. Ги-
Ринским [17].	_
1°. Схематически рассматриваемый случай представлен на фиг.
Определим область комплексного потенциала фильтрации ®. при-
мем горизонт воды в нижнем бьефе за плоскость сравнения напоррв.
170
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОВРАЗОВАНИЙ
[гл. 5
Ms м.
Фиг. 59.
Тогда на линии дна верхнего бьефа (Ж4ЛГ6) напор h — H (Я —дей-
ствующий на гидросооружении напор) и на линии дна нижнего бьефа
(/И8Ж4) Л = 0. Отсюда следует, что на линии дна верхнего бьефа
потенциал скорости фильтрации ф =— kH, а на линии дна нижнего
бьефа ф = 0 (k—коэффициент фильтрации грунта основания флют-
бета). На водонепроницаемом контуре соору-
жения	функция тока ф = С
(постоянная). Примем эту постоянную равной
нулю, что можно сделать, так как комплекс-
ный потенциал фильтрации однозначно опре-
делен с точностью до произвольного постоян-
ного слагаемого (см. § 39). Тогда на водоне-
прощ цаемом контуре сооружения ф==0. Из
полученных выше результатов следует, что
область комплексного потенциала фильтрации
представляет собою область плоскости
иными <р= — kH, ф = 0 и ф == 0. Учитывая
ц nrtn!^CTb направлеНия обхода границ областей z и ш, найдем,
wntt	КОмГ1Лексного потенциала фильтрации будет прямолиней-
ной полосой, представленной на фиг. 59.
пиаладальнеЙ11!ем представляется удобным вместо комплексного потен-
^™ЙЛЬТраЦИИ “ РассматРивать так называемый приведенный ком-
потенциал фильтрации шг, определяемый зависимостью
ограьиченную тремя
“r=?r4'ii'r = 7.
Зависимость (5.1) после отделения вещественных частей от мнимых
примет вид
= и фг=-£.	<5-2)
Функцию мы в дальнейшем будем именовать приведенным пот#
циалом скорости фильтрации, а функцию фг — приведенной фун
цией тока. Очевидно, что при k = 1 приведенные величины совп
дают с действительными величинами.
Приведенный комплексный потенциал фильтрации иногда опре
деляется и иначе следующим образом:
Тогда
“г = 'Рг + %==^	<5Л/)
Фг = ^ = -4 = -йг и	(5.2Z)
При этом величина hr называется приведенным напором.
Область приведенного комплексного потенциала фильтрации в рас-
сматриваемом случае будет прямолинейной полуполосой, представлен-
ной на фиг. 60. J
§ 471 ПЛОСКИЙ ФЛЮТВЕТ С ВОДОНЕПРОНИЦАЕМЫМ ШПУНТОМ 171
Для нахождения приведенного комплексного потенциала фильтра-
ции шг необходимо будет произвести конформное отображение об-
ласти z на область шг (или наоборот). Указанное отображение можно
выполнить путем ряда последовательных сравнительно простых ото-
бражений. Как известно (см. приложение V), функция
С = у2г2
дает конформное отображение полуплоскости г" с бесконечно тонким
Фиг. 61.
Фиг. 63.

прямолинейным разрезом длиною к на полуп
Линейным преобразованием вида
,	С —я
к	(5-3>
полуплоскость С конформно отображается на полуплоскость . (ф
Далее линейным преобразованием вида
шг~ к /7	2 J
прямолинейная полуполоса плоскости о>г конформио отобра
прямолинейную полуполосу плоскости (фиг- )•
Как известно (см, приложение V), функция
= sin о»'
172	ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[ГЛ. 5
дает конформное отображение прямолинейной полуполосы плоскости «'
на полуплоскость С'.
Возвращаясь к основным переменным z и <вг, найдем, что функ-
ция, дающая конформное отображение области z на область ®г, т. е.
искомый приведенный комплексный потенциал фильтрации <вг, будет
определяться (в неявном виде) уравнением
s8-|-^2==^a-}-Jcos	(5.4)
При этом постоянные а и Ъ имеют прежние выражения (5.3).
В случае плоского флютбета без шпунта (см, фиг. 64) $ = 0,
А —4 = £ Д = 0 и Ь*=*1} при этом уравнение (5.4) примет вид
,z = Zcos-~^.	(5.4')
В случае же шпунта без флютбета (см. фиг. 65) Z1=4se0>
я==0, b = s и уравнение (5.4) будет:
z — — is sin	(5.4")
п
Найдем уравнение сетки фильтрации в двух указанных выше
частных случаях (в общем случае это будет сложно).
Для нахождения уравнения сетки фильтрации в первом частном
случае положим в уравнении (5.4') z х Ц-Zy, <ог = <pr -f- Йг ==
е= — Л-|-Ц»г и отделим вещественные части от мнимых. Тогда найдем:
~=cos~^ch-^,	2-==sin ^Lsh	(5.5')
где	и 0-Сфг<оо. Выражения (5.5х) и будут искомыми
уравнениями сетки фильтрации в случае плоского флютбета.
Полагая в (5.5') h = C (постоянная), найдем параметрические урав-
нения линий равных напоров *). Эти линии будут полуветвями гипер-
бол с полуосями а =/I cos 1, bz=:isln^- и линейным эксцентри-
ситетом у а2-)-^9 = 1. Так как линейный эксцентриситет не зависит от
отметки линии равных напоров (Q, то все линии равных напоров бу*
дут софокусными, причем их фокусы совпадают с концами флютбета.
При больших положительных значениях имеем1 зк-^^сЬту^
t * Н ’ Н
. Отсюда следует, что асимптотическое выражение уравнения
линий равных напоров будет ^-«tg^-. Таким образом, вдали or
флютбета линии равных напоров будут близки к радиальным полу-
прямым, выходящим из начала координат плоскости фильтрации.
’) Параметром будет переменная
§ 47] ПЛОСКИЙ ФЛЮТВЕТ С ВОДОНЕПРОНИЦАЕМЫМ ШПУНТОМ 173
Аналогично предыдущему, полагая в (5.5') С (постоянная),
найдем параметрические уравнения линий тока j. Линии тока уду
полуэллипсами с полуосями a = Zch-^, b = lsh и линейным
эксцентриситетом	= Следовательно, линии тока будут
софокусными с линиями равных напоров. Вдали от флютбег
------rmnvnwnvwHOCTHM с центром
На фиг. 64 приведена сетка фильтрации в случае плоского флют-
бета в безразмерных координатах у и у2).
В случае чистого шпунта уравнение сегки фильтрации будет.
-i-coa-fsb-* y=s^cb*, (5.5")
где 0 h и 0 < < оо. На фиг. 65 приведена эта сетка в без-
размерных координатах — и Как и в случае плоского флютбета,
в Рассматриваемом случае линии равных напоров будут полуветвями
гипербол, а линии тока — полуэллипсами, фокус которых совпадает
с острием шпунта.
Возвращаясь к общему случаю плоското флютбета со шпунто ,
Найдем уравнение графика напоров по подошве флютбета. Для этого
зтел?.	о««» «и «“’«
3 випотенциальиых линиях и шести линиях тока.
174
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[ГЛ. 5
заметим, что на линиях Л4ЬЛ46 и Л12Л13 z-=x ( /j х4) и
Юг=?г = — А. Отсюда в силу (5.4) уравнение графика напоров по
подошве флютбета будет:
^ = larccos|4-(^/s^+^—й)|>	^5,6)
/7 ft L *	J
причем верхний знак относится к верховой части флютбета (—
<х<0), а нижний — к низовой его части (0<х</2).
Фиг. 65.
В случае плоского флютбета без шпунта график напоров по по-
дошве флютбета определяется уравнением
где — I < к < I.
Найдем градиенты фильтрационного потока по дну нижнего бьефа.
Обозначим через Jx и Jy составляющие вектора градиента J на коор-
динатные оси Ох и Оу. Тогда комплексный градиент фильтрации
В силу (4.8) и (5.1)
vx — lvy	1 da>	d<or
k	k dz	dz *
Отсюда найдем, что
J —iJ	(5.7)
Таким образом, комплексный градиент фильтрации равен производ-
ной от приведенного комплексного потенциала фильтраций (шг) п0
комплексной координате точек области фильтрации (z).
§ 471 ПЛОСКИЙ ФЛЮТВЕТ С ВОДОНЕПРОНИЦАЕМЫМ ШПУНТОМ
В рассматриваемом нами случае в силу (5.4)
du>r__	Hz
dz nV V b2 —	«)2
Следовательно,
j ______________ц ~ _____...... ---------------=.	(5.8)
11 я V У- 4- s2 V b2 — (V4* s2 ~~ aV
На линии дна нижнего бьефа Л43Л44 z = x (/2 x < оо) и
B силу (5.8)
j _ л и J______J- Hx -----------------------------.	(5.9)
(5.Ю)
Из выражения (5.8) следует,
Jx— Uy — оо. Следовательно, на 1—
шпунта градиент фильтрации ^и
в бесконечность. Такие точки I----
фокусами размыва. В некоторой зоне
мыва (зоны размыва), приведенные с~
Дейстнительно, основу этих РезУльт:1.™В.
о выполнимости закона Дарси и j.....-
имеют места в зонах размыва. Учитывая
сравнению с размерами сооружения,
личие таких зон практически не иска5*^Д[
и не влияет на численные з------
потока вне зон размыва.
В случае плоского <
по дну нижнего бьефа
В случае низового шпунта (Z, =Д, Z2 = и, о = у ,
s максимальный градиент фильтрации по дну нижнего бьефа
Удет в верхней точке шпунта и равен:
j
m“ « Vbs '
5т, что при z~—lu 1%, is имеем
концах флютбета и Afs и на острие
тии и скорость фильтрации обращаются
Н. Н. Павловский предложил именовать
эне, примыкающей к фокусамераз-
выше результаты не имеют силы,
матов составляют предположения
малости сил инерции, каковые не
малость зон размыва по
, можно предположить, что на-
I не искажает общей картины фильтрации
значения характеристик фильтрационного
флютбета без шпунта градиент фильтрации
Н -	(5.9')
Где /<-Г<ОО.
В случае же шпунта (без флютбета)
/==_________________________2U-,
п /х»4-у»
гДе 0 < х
оо.
(5.9")
176
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 5
2°. Схематически рассматриваемый случай представлен на фиг. 66.
Найдем область приведенного комплексного потенциала фильтра-
ции шг. Для этого заметим, что, как и в предыдущем случае, на
линии дна верхнего (Л1БЛ1е) и нижнего (Л13Л14) бьефов <рг = —-ЯиО
и на непроницаемом контуре сооружения Л16Л17Л11Л12Л13 фг = 0.
____________________________________________________________।
Фиг. 66.
Кровля водоупора Л1БЛ14 будет линией тока и, следовательно, на
этой линии tyr~C (постоянная). Постоянную С определим из усло-
вия, что фильтрационный расход q через произвольную кривую
области фильтрации, один конец которой (М) расположен на кон-
туре флютбета, а другой (N) — на кровле водоупора, равен разности
значений функции тока на концах этой кривой. Тогда q =
Фиг. 67.
фм kC и, следовательно, С —~=:qr. Величина q будет филь-
трационным расходом в основании
флютбета, приходящимся на еди-
ницу ширины потока, в направле-
нии, перпендикулярном плоскости
фильтрации. Тогда величина qr
будет приведенным фильтрацион-
ным расходом в основании флют-
бета. Таким образом, на кровле
водоупора фг = qr. Из из-
ложенного выше следует, что об-
п	Ласгь приведенного комплексного
пХ«Тавляет собою область плоскости
нХ” Ь=-И>«. 9,= о я т. «•
плоскости а>г, представленным на
приведенного комплексного потенциала
потенциала фильтрации
ограниченную четырьмя
она будет прямоугольником
фиг. 67.
Для нахождения искомого	_________ ..__
фильтрации <»г необходимо произвести конформное отображение об
ласти z на область (или наоборот). Как и в 1°, указанное отобра'
жение мы произведем путем ряда сравнительно простых последов1'
тельных отображений.
§ 47] ПЛОСКИЙ ФЛЮТВЁТ С ВОДОНЕПРОНИЦАЕМЫМ шпунтом
177
Как известно (см. приложение V), функция
C = l/"tg2~ + th2 JfcosS	(5.И)
Г	1	£ i	4 /
дает конформное отображение прямолинейной полосы, с бесконечно
тонким прямолинейным разрезом длиною
плоскость С (см. фиг. 68). Величины tXj и
s, плоскости z на полу-
а2, указанные на фиг. 68,
будут определяться зависимостями 
(5Л2)
Дробно-линейная функция вида
rl (1
(<*i+aJ0	fiq.
конформно оюбражаег полуплоскость С на полуплоскосг
где	_______
f % (ai	°2^	(5ДЗ)
х == У (ТТ^нП7^) ’
Степенная функция
е = ]Л'
конформно отображает полуплоскость С' на второй квадр
плоскости С" (фиг. 70).
Как известно (см. приложение V), функция
C'^sn^, X),
178
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
|ГЛ. В
где К—полный эллиптический интеграл 1-го рода при модуле X,
дает конформное отображение области шг на область С". При этом
модуль X будет связан с приведенным фильтрационным расходом qr
в основании флютбета следующей зависимостью:
Н~ К’
(5.14)
где К' — полный эллиптический интеграл 1-го рода при дополнитель-
ном модуле X7 = )/1 — X2.
Возвращаясь от переменной С" к переменной С, получим:
sn2
 (1 + «1) («2—С)
(5.15)
Уравнения (5.11) и (5.15) определяют искомый приведенный ком-
плексный потенциал фильтрации шг при посредстве промежуточной
переменной С.
Найдем график напоров по подошве флютбета. Для этого заметим,
что на линиях Л46Л47 и Л42Л43 z = x и шг==<рг= — h. Но тогда
в силу (5.11) и (5.15) график напоров по подошве флютбета будет
определяться уравнением
ft _ 1
Н~ К
(1 +«1)(«2-^)
X
(5.16)
где S = cosgj/ tg2^ + th2-g-, причем верхние знаки относятся
к верховой части флютбета Л46Л47 (—1г х 0), а нижние—к низо-
вой его части Л422И3 (0	х<;/2).
В случае плоского флютбета без шпунта s = 0,	=
ai = a2 = th-^, Х = j/"l—e = |th-^-| и уравнение гра-
фика напоров по подошве флютбета будет:
(5.169
где —
Определим градиент фильтрации по дну нижнего бьефа. Для этого
заметим, что в силу (5.11) и (5.15)
== _	|/ (1 + «1) (1 + «2)(1 -<?)(с2-	.
dz 477<'co8-£U Г	(“i + 0( — С + аа)
§ 47] ПЛОСКИЙ ФЛКИБЕТ С ВОДОНЕПРОНИЦАЕМЫМ ПшУЙтОМ
Но тогда по (5.7)
(1+«0(1-1 «2)(l-C2)(c2-sIrt3^)
^,7’=-^hF ~	~ ••,8-17)
На линии дна нижнего бьефа z — х (L < х < ею), <х9 С — £ < 1
и в силу (5.17)	________________________
(l + a])(l+a2)(l 52)^2 sin2±g
(°1 + ?) (^ — аз)
(5.18)
В случае низового шпунта _____________
(ji = L, /2 = 0, aj --cos^j/"tg2 JJ-4-th2 , s2=sin-^y)
максимальный градиент фильтрации по дну нижнею бь^фа буд
в верхней точке шпунта и равен
__(5.19)
•'max	Г т.3
2m у sin^y.
Из (5.17) следует, что концы флютбета и острие шпунта, где
тралиент фнактрацнн по
дну нижнего бьефа	nt
_____ ^qreiT_ ______(5.18')
Г <. rt (Х — О ,Ь ДС^_+/1
4ТАГ' у sh — 2Т
1 Де I х < оо.
В случае же шпунта без флютбета
(,	.ад
'1 - - *29, «j ^2 — s П 27* *
,=2j/jl'J£| S = coS^]Ag7“H^“J
1 -)- sin
/ ад \
+ sin 27 j	(5.18")
Г ns . о *x ’
4TA7 j/ 8l«2 Tf +ah2^f'
гДе 0 x < oo.
Если величины А и 4 Л°статочно веЛИКИ’ ” ввлИЧИН“
*°дуль А будут близки к 1. Но, как известно (см. приложения А
180	ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гл. ё
в этом случае эллиптические интегралы и функции могут быть прибли-
женно выражены через элементарные функции. Используя эти выраже-
ния, найдем приближенные представления для зависимостей (5.14),
(5.16), (5.18) и (5.19).
При X близком к единице и, следовательно, Xх близком к нулю
qr __ К' ~ Л
Н *~21п-1‘
л'
В силу (5.12) и (5.13)
„ ЛЯ
= Г(1-а1)(1-а2) =C0S 2Т_
г (1 + “1) (1+«2)
(1 + ai) (1 + аа) С1"2тг 2Т
к	-.л
&е 2Т cos22f-
Отсюда найдем, что
Яг
TH
.	4
/1 + /2-± Пи
«я
C0S2T
2
(5.14я)
При упрощении уравнения (5.16) будем различать два случая
1) 0<Л<4 и 2)у<Л<Я.
В первом случае в силу (5.14) и (5.16)
СП
=сп №, х) =	=>
/	\ н ) г («1 + и2)(1—S)
ля	«я
= \/~ (ai + s) ~~с08с03./*L+J.
г («1+ а2) (1 4-о2) (1 — 6) cf)	2 ch —/2	1
При X близком к единице ’)
сп
chb
Отсюда получим, что в первом случае
/9 ch
2	/
h — qr arch -------— л
rt	\	ля r
\cos 2T
’) См. приложение III.
§ 47] ПЛОСКИЙ ФЛЮТБЕТ С ВОДОНЕПРОНИЦАЕМЫМ ШПУНТОМ	181
Аналогично предыдущему найдем, что во втором случае
/о L	\
.	„	2 |2ch2T
\™2Т	J
Таким образом, приближенное выражение уравнения (6.16) будет:
, если
(5.16*)
Н
, если у
Далее имеем:
. ^2 «< тел
Чг ' Srth7r / <l + «t>(l+«JH»> + f>
4WS V
-	________'2Г-'	__________
2Т^
Но тогда уравнение (5.18) примет следующий приближенный вид:
.. .	 <1Л	(5Л8*)
2Г У sh -Чт --------2Г-
где /2^ х < оо.
Полагая в выражении (5.19) X 1 и	найдем.
(5.19*)
В заключение „«етим, чго в случае шпунта, расположенного
в середине флютбета )
(/1 = /2 = / и	tg 2Т^ 2Т/
выражение (5.14) для приведенного Фильтр^И°^°^°И1^то выражения
записывают в иной форме. Для получения этого ино
J) Этот случай был рассмотрен Н. Н. Павловски | ]
182	ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гл. 5
приведенного фильтрационного расхода используем преобразование
Ландена для полных эллиптических интегралов 1-ю рода1).
Обозначим через Л" и Кг полные эллиптические интегралы 1-го рода
при модуле X и дополнительном модуле X' — V1 — Х2. Если
2фТ
14-Х ’
К' К'
то в силу преобразования Ландена	.
1\	& к
Замечая,
найдем X = ч. И следова-
тельно,
что в рассматриваемом случае X =
Фиг. 71.
/де
X—cos^pl/ tg—p-Hh2 2Т-'
3°. Схематически рас-
сматриваемый случай пред-
ставлен на фиг. 71.
Определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации <ог.
Как и в предыдущих случаях, на линии дна верхнего (М5Мв) и
нижнего (Л437И4) бьефов = — Н и 0, а на непроницаемом подзем-
слое грунта имеит^6™51	®сли в нижнем сильнопроницаемом
“рмонтом .	"“P"“e	воды с напором Но (..ад
(КТ =	бь«м. ™ на кроме нижнего слоя
плексного потенциала л(ЮДа следУет. чт0 область приведенного ЮМ-
пинанной четырьмя пХмп’: ““г = - и’ -Т» Т?- О “в
снмости ОТ соотношения Me»iy велн«намн"'и H.Voу№»а«
1) См., например, монографию [6], указанную в списке литературы при
§ 47] ПЛОСКИЙ ФЛЮТБЕТ С ВОДОНЕПРОНИЦАЕМЫМ ШПУНТОМ 183
область может иметь один из пяти видов, изображенных на фиг. 72
и соответствующих различным видам течения, представленным на фиг. 73.
Для нахождения приведенно! о комплексного потенциала фильтра-
ции шг нужно будет произвести конформное отображение области z
на область юг (или наоборот). С указанной целью введем в рассмо-
трение вспомогательную полуплоскость С, представленную на фиг. 68.
Согласно результатам 2° функция, дающая конформное отобра-
жение области z на полуплоскость С, определяется по (5.11) при
условии, что постоянные и а2 определяются зависимостями (5.12).
Для нахождения функции, дающей конформное отображение полу-
плоскости С на область ю,., воспользуемся интегралом Кристоффеля-
Шварца. Замечая, что внутренние углы при вершинах Л4Й и М3 много-
угольника плоскости юг равны у, углы при вершинах и Мь равны О
и угол при вершине Мо равен 2тс, в силу интеграла Кристоффеля-
Шварца найдем:
где а, А и В — неизвестные постоянные.
Интегрируя выражение (5.21), получим:
^'arctgi/';;+*»; (*’.+^afctg/(.!	(5-21/)
(1 — cq) (а2—С) 1	Г (l+»t)(»J-4
где А' и В' — неизвестные постоянные.
Выражение (5.21х) содержит многозначные функции. Мы рассма-
триваем их однозначные ветви, удовлетворяющие следующим условиям.
На участке МаМа вещественной оси полуплоскости С оба корня
положительны, а под arctg понимается его главное значение.
Определим неизвестные постоянные А', В' и В из соответствия
точек М3, Л4,, и М. плоскостей С и wr. Из соответствия точек
имеем io Т — — н —. 5. Следовательно, В = — //. Из соответствия
184	ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ преобразований	[гл. 5
точек УИ8 получим	0 = -у (Л7Дл)— Н. Следовательно,
Л'Ц-В,== — Н. На участке	вещественной оси полу плоско-
‘ тс
сти С аргументы обоих корней равны н поэтому на указанном
участке
= 1Л' arcth	+ llf arcth	
r	V (1 —-«1) (С —а2)	' (1 + «1) (<• —®2)
При обходе точки С — 1 по бесконечно малой полуокружности, как
• тс
показано на фиг. 68, второй arcth получит приращение i -% и, сле-
довательно, шг получит приращение — В'. Но указанному обходу
в плоскости шг соответствует скачок со стороны MsMt на сторону
многоугольника, при котором шг получит приращение —Но-
Отсюда получим, что
-%в'=>-н0) в'=Лн0, a'=^h-b' = Uh-h0}.
£	тс	тс	тс
Подставляя в (5.21х) вместо постоянных А', В’ и В найденные
выше их выражения, получим:
1<н--
<5-22>
Выражения (5.11) и (5.22) определяют искомый приведенный ком-
плексный потенциал фильтрации (юг) при посредстве промежуточной
переменной С.
Найдем уравнение графика напоров по подошве флютбета. Для
этого заметим, что на линиях ЛГвЛ47 и Af2Afs z — x (—Ц	и
<иг=<?г = — h. Но тогда в силу (5.11) и (5.22) уравнение графика
напоров по подошве флютбета будет:
А- — Н arete-1/"(5.23)
-Г п «о arctgу (i_aj)(at:fn) ’
где Е — cos ^у j/"tg2 ~ -j- th2 -^у , причем верхние знаки относятся
к верховой части флютбета (—а нижние—к низовой
его части (0^x^Z2).
§ 47] ПЛОСКИЙ ФЛЮТБЕТ С ВОДОНЕПРОНИЦАЕМЫМ ШПУНТОМ 185
В случае плоского флютбета без шпунта (s —О, /j=/2 = Z,
aj = a2==th^;, $ == |th уравнение графика напоров по подошве
флютбета будет иметь вид * *)
. тех
1	ch 27
_-T+(2H0 —Н) arccos —(5.23'
1W 1 It v	. ТС<
sh 27	ch 27
, их
1	7Г
h = — Harccos
ТС
где —l^x^l.
При определении градиента фильтрации по дну верхнего и ниж-
него бьефов заметим, что в силу (5.11) и (5.22)
—-  — ---------------{/P-sb^X
2 Г cos+-С 7(04 + 0 («2-Q	Г
XI(Н—н0)V(Т-—gj)(1ag) (1—^+
+ но /(1+<Х1) (1 —«Г) (1 + 011-
Отсюда согласно (5.7)
L/ C2__sin2«X
2Т cos	С 7(ai + С) (а2 О
X ((/7-АГ0)/(1 —а1)(1 + а2)(1—0 +
+ ^о/(1++)(1-а2)(1 +01}- <5-24)
На линии дна верхнего бьефа (И46Л/6)	1 +С+	ЛИН„т
дна нижнего бьефа (Ж3Ж4) а2<С< 1. Отсюда в силу (5.24) на этих
линиях
2Tcos^S /|(а15:$)(а2±0|	......'2Т'"
X 1(Н - Но) /(Г^а,)(1-га (1 ± *) +
+ Н0/(1+а1)(1-а2)(1сре)]},	(5.25)
где $ — cos	tg2 ~ + th2 —i, причем верхние знаки относятся
* верхнему бьефу (— оо < х < — /.), а нижние — к нижнему бьефу
‘а + х < оо).
И
’) Здесь следует иметь в виду тригонометрические тождества:
;tcr	«) («±£) ,	, ,(1 + а) (azt?)	(	5 /1 — «2
к I/ —— ----------> _l arctg л/	\---zl — arccos	—===
Г (l + a)(«^«)	(l~-a)(a^zi)	V a /1 —?2
Г(1 +«) (aXS)
F (l-a)(« + 5)
arctg
/ (1-a)
1 — aa
arccos j_______
186	ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гл. 5
В случае плоского флютбета без шпунта вертикальная составляю-
щая градиента фильтрации по дну верхнего и нижнего бьефов
'	2Т/ ,h^Ort«U±O’
причем знак «-{-» относится к верхнему бьефу (—оо < х < — /),
а знак «—» — к нижнему бьефу (I х < оо).
В случае шпунта без флютбета
(/1==Z2 = 0, a1 = a2 = sin^r, 5 = cos~rj/' tg2 -J^ + th8 ~)
r +	(5.25")
2T5	’
где знак «-ф-» относится к верхнему бьефу (— оо < х <С 0),
а знак « — » — к нижнему бьефу (0-<х<оо).
Как указывалось выше, в рассматриваемом нами случае возможны
пять форм течений, представленных на фиг. 73. Найдем, при каких
условиях осуществляется каждая из этих форм. Для этого определим
знак вертикальной составляющей градиента (Jy) на линии дна верх-
него и нижнего бьефов в зависимости от соотношения между разме-
рами элементов флютбета (7V Z2 и s) напорами (Я и Яо).
Как следует из (5.25), на линии дна верхнего бьефа знак Jy
одинаков со знаком величины Н—Яо^1—где
3 = л/~I1	и а, С 1»
г (1 — at) (1 4- “г)
а на линии дна нижнего бьефа знак Jy обратен знаку величины
Н—Яо(1— 8	где	Поэтому, если будет
ТГ<------ГХЭТ---------• т° Н~ (*— 8 тэт) > 0 “
’тэт,-‘О»)	1
Я -ф- Но ^8 у—у — I j < 0 и вода из верхнего и нижнего
бьефов полностью фильтрует в толщу основания флютбета. Анало-
гично предыдущему, если---Д< 0, то вода из верх-
Н
I — а2
него бьефа фильтрует частично в нижний бьеф и частично в толшу
основания, а из нижнего бьефа — в толщу основания; если 0 < -jj
то вода из верхнего бьефа фильтрует в нижний бьеф и в толшУ
основания, а из толщи основания — в нижний бьеф; если будег
§ 471
ПЛОСКИЙ ФЛЮГВЕТ С ВОДОНЕПРОНИЦАЕМЫМ ШПУНТОМ
187
----г—---------, то вода из верхнего бьефа фильтрует в
нижний бьеф, а из толщи основания—в оба бьефа, и, наконец, если
1	н
----j-----< -ту, то вода из толщи основания фильтрует в оба бьефа.
1-8 IZZfl	н
1 +«1
Заметим здесь, что во всех случаях, кроме последнего, вода, посту-
пающая из толщи основания, не обтекает флюгбета О.
При отсутствии напорных грунтовых вод в нижнем сильнопрони-
цаемом слое грунта //0 = -у.
Будем теперь неограниченно увеличивать глубину верхнего слоя
грунта Т и одновременно увеличивать напор Но в нижнем сильно-
проницаемом слое так, чтобы величина Л» — '------оставалась все
время постоянной. Тогда, переходя к пределу (при Т->оо) в выра
жении (5.22), получим: 
•-=- 7 н	__
-фо. и™
9	/~ (1-а1) (а2 У 1
=“THT1?coarctgl/
4"|гЛ» Ит Tarctg 2 (a, -f- а2)]/(«1 + 0 (а8~ УХ
” Т->оо	______________
X { (/(1 -	«2) +
_р_ Q _[_<х2) f (atj Е) /1 — <*2 + (а2	У VT-—аГ|} ]
о ,	i/"— /52 + г‘“ 1
= —£ // arctg 1/ -7---=—-777^=,
*	/з2-Н? +/’- + *2_____________
+ /со	(К+ V52Ч-г2)(УГS2 -1- /2  У8 +г ),
О В случае плоского флютбета без шпунта = а2 — th
(	««А
и в случае шпунта без флютбета (at = а2 — stIt от/
\	its
. , , Its	1 — sin Tys
, l+sln-^r 1	2Т
J = ], ___*_______________, —j-T7----------- „ its '
2sln— .1±S-I
I "j- aj	41	1
188
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 5
т. е.
“г = — V н arccos	Joo }<^_(уг^р72_а)з) (5 26)
где постоянные а и b определяются по (5.3).
Выражение (5.26) в случае плоского флютбета без шпунта (s = 0,
Zi = Za = /, а = 0 и b = 1) примет вид
“V = — -^-//arccosy + Jcol^Z2—г2
(5.26')
и в случае чистого шпунта (^ = ^==0, а = 0 и b = s) будет1):
шг — ~Н arcsin (i	— iJa>z.	(5.26")
Определим физический смысл постоянной /со, входящей в выраже'
ние (5.26). Для этого найдем выражение комплексного градиент3
фильтрации. Дифференцируя (5.26) по ги имея в виду (5.7). найдем:
-'а — *j» — ~г- -
V (s2 + z2)[&2 — (/s»4-z2 — а)2]
Из (5.27) получим Jx — Му^-еа ——/со, и следовательно, [Ло] будет
величиной градиента фильтрации на достаточном удалении в толшу
основания флютбета (точнее —• в бесконечность). Если > 0, то имеет
место отток грунтовых вод в толщу основания, и если /«, < 0, — т0
приток грунтовых вод из толщи основания.
ТТУ W/ УТТ
 J-*nb	0^J^nb nbKjoS!Z0	J°^~rrb
Фиг. 74.
В рассматриваемом частном случае Т = оо имеют место четыре
различные формы течения, представленные в схематическом виде на
фиг. 74. На ней также указано, какому условию должен удовлетво-
рять градиент /<», чтобы имела место та или иная форма течения.
Из выражения (5.26) следует, что график напоров по подошве
флютбета будет определяться уравнением
1) Указанные два частных случая были рассмотрены Н. Н. Веригиным [21]
В связи с изучением фильтрации в обход гидротехнических сооружений.
§ 48]	АНЕНА НОД дном ВОДОТОКА ИЛИ ВОДОЕМА	1Й9
|дг верхние знаки относятся к верховой части флютбета (—/j-Cx^O),
а нижни’—к низовой ею части (0 х /2).
Выражение (5.28; в случае плоского флютбета без шпунта примет вид
й = 1 Harccos у — Joo / Г2— х2,	(5.28')
где —/<х</.
§ 48. Дреиа под дном водотока или водоема. Выше, при
иллюстрации способа Павловского, мы рассмотрели один из практи-
чески важных случаев напорной фильтрации в основании гидротехни-
ческих сооружений. Но, как указывалось в § 46, применение способа
Павловского не исчерпывается только случаями напорной фильтрации
в основании гидротехнических сооружений. В частности, этот способ
может представлять значительный интерес в теории дренажа. Для
иллюстрации последнего положения ниже применением способа Павлов-
ского дается решение для случая фильтрации к горизонтальной дрене,
уложенной под дном водогока или водоема. Дренаж такого типа
используется, например, для целей водоснабжения, при промывке
засоленных почв и т. п.
Приведенное ниже решение принадлежит В. В. Ведерникову [10].
Фиг. 75.
Схематически рассматриваемый случай представлен на фиг. 75.
Имея в виду симм‘трию области фильтрации, ограничимся рас-
смотрением только ее правой половины.
При первоначальном рассмотрении дрену заменим точечным сто-
ком и далее, принимая одну из эквипотенциальных линий, близких
к стоку, за контур дрены, полученные результаты распространим
на случай дренажной трубы любых малых размеров (по сравнению С
мощностью водопроницаемого слоя грунта Т и заложением дрены t).
Определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации <вг. Примем за плоскость сравнения напоров поверхность
воды в водотоке или водоеме. Тогда на участке Л1аЛ13 поверхности
земли <рг = 0. Кровля водоупора М4М8 будет линией тока. Примем,
что на этой линии <рг = 0. Линит также будет линией тока.
Если qr — приведенный фильтрационный расход стока, то на линии МХМ8
’К== -у. ®тсюда следУет’ что область приведенного комплексного
1У0	ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[рЛ. S
потенциала фильтрации будет прямолинейной полуполосой, изображен-
ной на фиг. 76.
Для нахождения искомого приведенного комплексного потенциала
фильтрации <вг достаточно будет произвести конформное отображение
области z на область Тогда найдем \):
<B'==Z?+ftIn
ё 47*
. йсг
tg 4Г
Вблизи стока z близко к 0 и, следовательно,
. л. , <7r . g 2Г qr .
2+£In~iT--iLInz-
4Г
(5.29)
(5.29')
Отсюда следует, что вблизи стока эквипотенциальные линии < <эг — const),
а следовательно, и линии равных напоров (h = const) близки к кон-
центрическим окружностям (jл'| = const) с центром в начале коорди-
нат плоскости фильтрации.
Примем одну из этих линий с диаметром D за контур дрены.
Если напор по контуру дрены над горизонтом воды в водотоке или
водоеме равен Н, то, полагая в(5.29>
ъг=Н и г — — i~, получим:
?,= £, (5-30)
где
я (4* — Z?) . кО
8Т g 8Г
*иг' 76.	Формула (5.30) определяет приведен-
ной известных няпппо „ НЫЙ ФИЛьтрационный расход дрены
водотока или воппемя лиаметРе Дрены (£>), ее заглублении над дном
nuAuiuKd или водоема и мппшплт,. _	J	,'Г\
Дифференцируя выражение (5 2Q?°допроницаемого слоя гРУнта
выражение (5.29) по переменной z, найдем:
/д, — Uu = — i Яг
х v 1
(5.31)
' sin	sin '
В частности, на дне водотока или водоема, где z =
(— оо < х < оо),
(5.32)
, nt . 1WC
_ sin т? ch оу
v, J	Ki nx
_	sln 2T sh 27
!) В настоящем и следующих примерах мы опускаем все подробности-
относящиеся к конформному отображению одной области на другую
§49] о Дальнейших прпложьимях ииииивл павловского 1М
Максимальный и минимальный градиенты фильтрации на дне
водотока или водоема будут:
j ~__________
u max	-/ >
2rsin^
I
4ш> = о.
(5.33)
Заметим в заключение, что в упомянутой работе В. В. Ведерни-
кова [10] дано обобщение приведенного выше решения на случай
бесконечной системы параллельных дрен, расположенных на одном
уровне и на одинаковом расстоянии друг от друга.
§ 49. О дальнейших приложениях способа Павловского. Выше,
при иллюстрации способа Павловского, мы привели решения для
весьма ограниченного числа наиболее простых, но практически весьма
интересных случаев напорной фильтрации. Применение способа Пав-
ловского, конечно, не исчерпывается рассмотренными нами случаями
или случаями, близкими к ним (о которых было упомянуто выше).
Не останавливаясь на дальнейших приложениях способа Павловского,
дадим краткий обзор случаев напорной фильтрации, при рассмотрении
которых этот способ был с успехом применен.
Главы 7—12 своей фундаментальной монографии [1] Н. Н. Па-
вловский посвятил рассмотрению ряда случаев напорной фильтрации
в основаниях гидротехнических сооружений, соответствующих раз-
личным формам их подземного контура. Здесь Н. Н. Павловским
были даны решения для случаев: плоского флютбета (без шпунта
и с симметричным шпунтом), прямоугольного флютбета, плоского
флютбета с несимметричным шпунтом, прямоугольного и подъемистого
флютбета с двумя симметричными шпунтами, плоского флютбета
с тремя симметричными шпунтами, одноступенчатого перепада (без
шпунта и со шпунтом) и быстротока, причем первые два случая
рассмотрены в предположении бесконечной (Т= оо) и конечной (Т=Аоо)
глубины водопроницаемого слоя, а остальные — только в предположе-
нии бесконечной глубины водопроницаемого слоя. Заметим, что при-
веденные Н. Н. Павловским решения имеют различную степень
разработанности. Некоторые из этих решений даются очень подробно
и сопровождаются вспомогательными таблицами и графиками, другие
же только намечены.
Многие из рассмотренных Н. Н. Павловским случаев напорной
фильтрации в дальнейшем были обобщены и развиты рядом его
учеников и последователей.
Решение Н. Н. Павловского для случая фильтрации в основании
плоского флютбета было обобщено Н. Т. Мелещенко [5] на случай
наличия водоупора с наклонной кровлей.
Е. А. Замариным [2] решение Н. Н. Павловского для случая
плоского флютбета с несимметричным шпунтом было обобщено на
случай конечной глубины водопроницаемого слоях
192
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	|ГЛ. S
Н. Т. Мелещенко обобщил {8] решение Н. Н. Павловского для
Случая прямоугольного флютбета с двумя симметричными шпунтами
введением водонепроницаемого понура. В дальнейшем решение Н. Т. Ме-
лещенко было также обобщено П. Ф. Фильчаковым [23, 27] на
случай шпунтов различной длины. Другое обобщение упомянутого
выше решения Н. Н. Павловского (для прямоугольного флютбета
с двумя симметричными шпунтами) было сделано В. С. Козловым [7J
введением центрального шпунта в предположении бесконечной и
конечной глубины водопроницаемого слоя.
Решение Н. Н. Павловского для одноступенчатого перепада1) было
обобщено М. И. Базановым [12[ на случай конечной глубины водо-
проницаемого слоя и Н. К. Гиринским [17J на случай наличия нижнего
дренирующего или питающего слоя грунта.
Другое решение Н. Н. Павловского для плоского флютбета со
шпунтом было обобщено В. С. Козловым [14J на случай однородно-
анизотропного грунта и Н. К. Гиринским [17] на случай наличия
нижнего дренирующего или питающего слоя грунта.
Н. Н. Веригиным [13] применением способа Павловского да*
но решение для случая фильтрации вокруг наклонного абсолютно
водонепроницаемого шпунта при любом угле наклона оси шпунта
к вертикали. Это решение может представлять интерес при
изучении плановой фильтрации в обход береговых цементацион-
ных завес.
В. С. Козловым [11] применением способа Павловского дано
решение для случая притока грунтовых вод к котловану, огражден-
ному шпунтами, в предположении бесконечной и конечной глубины
водопроницаемого слоя.
Б. Б. Девисоном [9]2) применением способа Павловского было
получено решение для плоского разрезного симметричного флютбета8)
в предположении бесконечной глубины водопроницаемого слоя. В даль-
нейшем решение Б. Б. Девисона было обобщено Н. Т. Мелещенко [8J
на случай несимметричного флютбета и далее С. Н. Нумеровым [221
на случай симметричного флютбета с двумя полукруговыми дренами
малого размера в предположении бесконечной и конечной глубины
водопроницаемого слоя.
Большей интерес для практики проектирования флютбегов гидр°“
сооружений представляет работа Н. Т. Мелещенко [6J, посвященная
учету влияния дренажных отверстий (малых размеров) или трещин
в флютбете на фильтрацию в его основании. В указанной работе был
намечен общий способ расчета фильтрации в указанных выше случаях.
Более конкретно этот способ был применен в случаях плоского
флютбета с одним или двумя дренажными отверстиями при беско-
Й под₽об1Ю Разработанное Е. А. Замариным [2].
з) Впервые опубликовано в работе [81. F 1 1
ционном расчете" шлюзов^ представлнет значительный интерес при фильтра-
§ 50] ПРИМЕНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 193
вечной и конечной Глубине водопроницаемого основания, а также
в случае флютбета со шпунтом и одним дренажным отверстием при
бесконечной глубине водопроницаемого основания.
С. Н. Нумеровым [22] непосредственным применением способа Пав-
ловского было дано решение для случая фильтрации в основании пло-
ского флютбета, снабженного дренажными отверстиями (малых раз-
меров)1) при бесконечной и конечной глубине водопроницаемого
основания.	. ,
Следует отметить, что учет влияния плоского дренажа (люоых
размеров), соединенного с нижним бьефом, при фильтрации в осно-
вании плоского флютбета или одноступенчатого перепада, в случае
бесконечной глубины водопроницаемого основания был впервые про-
изведен Е. А. Замариным [2, 3].
Помимо перечисленных выше случаев напорной фильтрации спо-
соб Павловского был широко применен при рассмотрении
числа фрагментов, составляющих основу разработанного им е
фрагментов.
Заметим в заключение, что наиболее полное изложение у-
напорной фильтрации, рассмотренных способом Павловского, при о-
дится в кратком справочном вида в руководстве [18].
§	50. Применение приближенного конформного преобразования.
Как указывалось выше, основу способа Павловского составл е
формное отображение области фильтрации на область комплет
потенциала фильтрации. Это отображение обычно осуществляет
непосредственно, а путем двух отображений областей фил Р‘
и комплексного потенциала фильтрации на вспомогательную У
плоскость с использованием интеграла Кристоффеля-Шварца. У
флютбетов сложных форм (например, флютбегов с несимм Р
шпунтами) применение интеграла Кристоффеля-Шварца р
к гиперэллиптическим интегралам и, следовательно, к весь ‘
трансцендентным уравнениям, из которых должны быть о р
неизвестные параметры, входящие в эти интегралы.	У_
обстоятельств были сделаны попытки избежать необходимое
нения интеграла Кристоффеля-Шварца при конформном от р
области фильтрации на вспомогательную полуплоскость пу
зования приближенного конформного отображения. Перва
в указанном направлении была сделана Н. Т. Мелещенко в р
которым был предложен приближенный способ поел д•
приведения многошпунтового флютбета к плоскому ф “	0
плоскому флютбету с низовым шпунтом в случае волопр"е“™
основания неограниченной мощности (Т—оо). В дальн [||rIVHT0B_
способ мы будем именовать способом «разворачивания»
Независимо от Н. Т. Мелещенко основная идея способа P
вания» шпунтов в несколько видоизмененном виде ы
’) При любом количестве отверстий.
194
ПЁРВЫЙ СПОбОЁ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОЙАНИЙ	[ГЯ- ?
М. А. Лаврентьевым в 1934 г. В. С. Козлову1)» который исполь-
зовал этот способ при рассмотрении фильтрации в основании трех-
шпунтового флютбета [15]. Идеи Н. Т. Мелещенко и М. А. Ла-
врентьева получили дальнейшее практическое развитие в работах
Ф. Р. Гантмахера и Б. И. Сегала [19], Б. И. Сегала [201 и П. Ф. Филь-
чакова [25, 26].
До настоящего времени способ «разворачивания» шпунтов приме-
нялся только в случае водопроницаемого основания неограниченной
мощности (Т=±=оо). Ниже мы изложим этот способ в более расши-
ренном виде в применении ко всем трем основным расчетным слу-
чаям § 47. При таком рассмотрении случай фильтрации в основании
плоского флютбета, подробно изученный нами в § 47, становится
фундаментальным случаем расчета напорной фильтрации в основании
гидротехнических сооружений2).
В основе способа «разворачивания» шпунтов лежат следуюш. е
задачиконформного отображения.
Фиг. 77.	А „о
о	Флг. 78.
^ЗДаЧЙ I. ИьРЮтСа ттп £
* изображенные \а фи? 77 К°мплекснь,х переменных г
ное отображение области L» 78’ фУНк11Ия> Дающая конформ-
имеет вид»)	ТИ пеРеМенной г на область переменной С,
C=/l_|-z2.	(5-34)
Отделяя в выражении (5.34) вещественные части от мнимых,
получим:	___________
5 == ±Ум4-]/ж2+ n\ т] = У/м24-(5<35)
где
Af = yi4x2—J/2), N = xy,	(б-зб)
причем знак « 4 » соответствует х > 0 и знак «______» х < 0.
ёак.^казЫиаеА И; ф' Фильчаков в своей работе [25].
Ли.»	t1! Фундаментальным расчетным случаем
в^аботе^П) PaBH0Mei3H0® фильтрации (см. «нормальный прямоугольник»
8) См. приложение V.
§ 50] ПРИМЕНЕНИЙ иеИБДИЖЕННОГО КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
195
Заметим здесь, что в силу (5.35) и (5.36)
*1 = ^.	(5.37)
Полагая в уравнениях (5.35) х~С (постоянной), найдем пара-
метрическое уравнение ’) кривой плоскости С, являющейся отображе-
нием вертикальной прямой х — С плоскости г.
Фиг. 79.
плоскости z и С, причем
-==0,25; 0,5; 2; 4 и 6
На фиг. 792) изображены совмещенные
пунктиром нанесены вертикальные прямые х 0,25; и,о; z; ч и v
плоскости z, а сплошными линиями — их отображения в плоскости С.
Как вытекает из рассмотрения фиг. 79 на расстоянии, равном
двойной длине разреза пло-
скости z, вертикальные пря-
мые этой плоскости при
отображении на плоскость С
практически остаются верти-
кальными прямыми. На не-
котором удалении от разре-
за вертикальные прямые
плоскости z практи 1ески
совпадают со своими отобра-
жениями в плоскости С
Задача II. Имеются
две области переменных z
и С, изображенные на фиг. 80
и 81. Функция
chC=^L(5.38)
Дает конформное отображение области переменной z на область П р
менной С8).
0 Параметром будет переменная у.
•) Указанная фиг. 79 взята из работы 125].
) См. приложение V.
196
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 5
Отделяя в выражении (6.38) вещественные части
получим:
5 =	arsh Y/Л124-№'-[- ти
и	,
к] = arcsin	№ — М
где
„  sh2 х 4- cos2«у — cos2 j	д. ah х sin у
2 cos2 s и cos s
от мнимых,
(5.39)
(5.40)
причем знак «-j-» соответствует x>0, а знак «—» x < 0.
Заметим здесь, что в силу (5.38)
т] — arcsin
ahxsln _у
cos ssh $ ’
(5.41)
Уравнения (5.39) при х=С (постоянной) и у, изменяющемся
в промежутке (о, у), будут параметрическим уравнением кривой
плоскости С, являющейся отображением вертикальной прямой х = £
плоскости z. Из геометрических соображений ясно, что указанная
кривая в меньшей степени отклоняется от вертикальной прямой, не-
же ли соответствующая кривая в задаче I.
Используем результаты рассмотрения задач I и II при изложении
способа «разворачивания» шпунтов.
Пусть, например, имеется плоский флютбет с двумя несимме-
тричными шпунтами и водонепроницаемым понуром, изображенный на
о	3 I 0.5 х
,hk. -Wr"-..
А".
у.........
Фиг. 82.
фиг. 82.
масштаба
местам в	_____ ________ 1Ц<
Применим преобразование (5.35). Тогда область фильтрации (z)
с двумя разрезами преобразуется в область переменной С с одним
разрезом (фиг. 83), причем этот разрез будет, вообще говоря, кри-
волинейным. Практически же, если расстояние между шпунтами
будет больше двойной длины верхового шпунта, указанный разрез
останется прямолинейным. Затем криволинейный разрез плоскости С
заменяем * прямолинейным вертикальным разрезом, проходящим через
точку Mf, абсцисса которой £в равна среднему арифметическому
Примем длину верхового (большого) шпунта за единицу
длин. Начало координат в плоскости фильтрации (z) по
верхней точке верхозого шпунта.
§ 50] ПРИМЕНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
197
абсцисс крайних точек разреза (ЛИБ и Мв). Длину прямолинейного
разреза, т. е. ординату т|* точки Л4* определим из условия, что
точках М6 и М* одинакова, т. е. &X~Vle-
Фиг. 83.
величина W в
Далее,
точку прямолинейного
приняв за эту единицу
в плоскости £ перенесем в верхнюю
изменим единицу масштаба длин,
.. Тогда получим область новой
начало координат
разреза и
длину разреза.
866 — 6.58 —4.51
: нг
£
Фиг. 84.
переменной С, изображенную на фиг. 84. Применив‘	рзз_
зование (5.35) >), область переменной С0№им р Такйй образом,
резом преобразуем в полуплоскость С (Ф г. )
-878-666-462	. 1_0_>.
J ?.' М} Мб Мт
 • Л-- •	\
ь т ................
Фиг. 85.
двойным преобразованием (5.35) 2) данная °блЛ?ТЬп
(в плоское™ г) преобразуется в полуплоскость СП»
соответствует случаю фильтрации в основан и напора по по-
Имея в виду выражение (5.6') для приведенного напора ™ по-
дошве плоского флютбета и связь между соответству напоров
контуров областей г и С", определим эпюру приведенных напоро
по подошве данного флютбета (в плоскости z).
О G заменой я на V и С на С •	uu«*jiv шпунтов.
а) Очевидно, что число преобразований равно У У .
198	ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ {гл. 5
Найдем приближенное выражение для комплексного градиента
фильтрации	Как известно, —	— Но
—»• — dtt>r ft" ft' ft
dz~ ft" dV ft Hi'
Отсюда
I __ ;r _ a<°r ft" ft' ft
* v~ ~ftr'W~ftTl^-
Величина будет комплексным градиентом фильтрации в случае
плоского флютбета (в плоскости Z"), определяемого зависимостью
(5.9). Производные же —• и будут известными величи-
нами в силу наличия связи между переменными С", С, С и z ’). От-
сюда и может быть определен комплексный градиент фильтрации
® 1 11 в рассматриваемой области фильтрации (в плоскости z\
частности же, может быть найден градиент фильтрации по дну
верхнего и нижнего бьефов.
Мы изложили приближенный способ «разворачивания» шпунтов
на примере фильтрации в водопроницаемом слое неограниченной
мощности (при Т = со). В других жэ двух расчетных случаях,
в случае водопроницаемого слоя, подстилаемого водоупором,
и в случае водопроницаемого слоя, подстилаемого слоем большой во-
допроницаемости, методика расчета остается прежней, за теми лишь
исключениями, что вместо преобразования (5.34) должно быть ис-
пользовано преобразование (5.39) и при определении приведенного
ап ра по подошве флютбета, а также комплексного градиента филь-
трации вместо выражений (5.6') и (5.9') должны быть использованы
соответствующие выражения § 47 (2° и 3°).
Заметаи в заключение, что М. А. Лаврентьевым было предло-
итп	изложенной выше методики, заключающееся в том,
разрез заменяется не прямолинейным, как было
nownuw о ° »	’ ^елещенко> а разрезом по дуге окружности, пер-
пендикулярной к подошве флютбета2).	'
р Спосо6 сУ««арного учета местных потерь напора,
возможенЬГиТойР°™ТМОГО СЛ°Я огРаетченной мощности (Т^ оо)
вяи А,, приближенный способ расчета фильтрации в осно-
УкаэанныйЮСпоспбСЛ0ЖН°Й формы’ предложенный С. Н. Нумеровым.
, именуемый в дальнейшем «способом суммарного
*) В рассматриваемом нами случае
-~==—£______ ftL— 1 ft" С'
УТ+^’ 4С-ОГ. =	=
выше^ работамС[25Т^Ю].Я 9WM вопросои мы отсылаем к уже циткрованяым
§ 52] ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗКО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ	199
учета местных потерь напора», основан на детальном изучении основ-
ных форм резко изменяющейся фильтрации, каковые имеют место
при фильтрации в основании флютбетов сложных форм. На основе
этого изучения находятся дополнительные потери напора в зонах
резко изменяющейся фильтрации (по сравнению с потерями напора
при равномерной фильтрации), учитываемые в расчетах суммарно.
При этом предполагается, что фильтрация в одной зоне резко изме-
няющейся фильтрации не влияет на фильтрацию в другой зоне, что,
очевидно, имеет место при достаточном удалении этих зон друг от
друга.
Как будет показано ниже, способ суммарного учета местных по-
терь напора весьма удобен в практическом отношении. Особое пре-
имущество этого способа заключается в том, что он дает весьма
простую оценку влияния отдельных элементов флютбета на фильтра-
цию в его основании, что, как известно, имеет весьма существенное
значение при выборе рациональной формы флютбета.
В заключение отметим, что подобно методу фрагментов Н. Н. Пав-
ловского ’) применение способа суммарного учета местных потерь
напора не ограничивается случаями напорной фильтрации в основании
гидротехнических сооружений. В частности этот способ уже был
применен в работе [24] при рассмотрении плановой напорно-безна-
порной фильтрации. Поэтому указанный выше способ представляет
собою новый общий f приближенный способ расчета фильтрации, ко-
торый при дальнейшем своем развитии, повидимому, может получить
широкое применение в практике инженерных расчетов.
§ 52. Исследования основных форм напорной резко изме-
няющейся фильтрации. Как уже указывалось в § 51, в основе
способа суммарного учета местных потерь напора лежит детальное


UN
1 **' ~	. *	«	•	2 О} а • Y • «
  • ’] 	т-	7 и
•, • |:. • •. 	f ^(ао)
Фиг. 86.
изучение основных форм резко изменяющейся фильтрации, каковые
имеют место при напорной фильтрации в основании флютбетов слож-
ных форм. Ниже применением способа Павловского рассмотрены три
основные формы резко изменяющейся фильтрации (схемы I III) )•
1°. Схема I. Первая форма резко изменяющейся фильтрации,
представленная в схематическом виде на фиг. 86, имеет место при
») Схемы3! и Ц’ были впервые рассмотрены в работе {24].
f
Внимание!
страница
временно отсутствует.
Приносим извинения.
§ 52] ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗКО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ	201
Из соответствия точек плоскостей z и <ог получим, что не-
известная величина Дй будет определяться из уравнения
(5.44)
На фиг. 88 приведен график функции по аргументу для
напоров будет опре-
Отсюда в силу (5.42) на этом участке график
делиться уравнением
2
— T.arth
7?	1
пДЛ
Тхе 29г-Т2еЯг
пДЛ	th
7\е 29г — Ttf
9
^-T2arth
1 л 2
тсДЛ j гЛ
Т,—Т2е29г *г
I
Тр-г/2’'
(Л2>Л> —оо).
(5.45)
Найдем асимптоту графика напоров (5.45) (при х -> со и
следовательно,	h~> — оо). Для этого заметим, что пр
202
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОВРАЗОВАНИЙ
[гл. 5
близком к —со,
x^ — ^-T.srthe 'iqr +1т21п
7S 1	’ «	£
2Тге
лАН *
Г^-2^Г
Отсюда следует, что асимптота графика напоров (5.45) будет опре-
деляться уравнением
где
а~^Яг(-~
(5.46)
(5.47)
Покажем, что постоянная а С 0. Для этого продифференцируем
выражение (5.47) по параметру ДА. Тогда получим:
da Т2 Ch 2qr
d(Ah) ~~	„ . 1сДЛ
v	2 sh -н—-
24r
Отсюда следует, что при любых Тг и Т2
п_2=-£ай£).
/ Г, 2	72
flmax —й| 2 Т,
ДЛ=— ? arch
те г Т-
Далее, замечая, что
^ашме	1. Tt ( Т2 Т2
,;Тг\	^ т2^ -jr arth-уг
= 0; следовательно,
аГ1
я ДА	~Л
„	2 т	Тге —Т,е 2	„
х<=> — То апп	—-v------J—s--------т, arth
« 4	«ЛА «А Л 1
W» ..и	•*
Тае2вг—Т1б «г
еслиЗ->0, получим (аю„)ш„ = атк
* 1	1J
~т~
Аналогично предыдущему получим, что на участке Ж4ЖБ границы
области фильтрации график напоров будет определяться уравнением
"	~ теДЛ
Тг-Г,Т^Л-
те Aft
Т^е
{ЪАЪ}
Асимптота графика напоров (5.48) будет иметь уравнение
х^ —	,	(5.49)
fr ’
52]
ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗКО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ
203
где
,	1	/ Т« ,	«Дй .
2Га
т »ь я
L'4'
(5.50)
Введем следующее обозначение:
кН = Ь
В силу (5.47) и (5.50)
а.
(5.51)
ДЯ =	+ 1П Cth ИДЙ
It 1 \ L j	I •
Заметим здесь, что Дй
величину Дй — ДЯ по аргу-
менту Дй, получим:
d(Aft—ДЯ)
d (Дй)
4	*<* faAt* «
sh-s— |
4^+21n-f4-	<6-52)
ДЯ. Действительно, дифференцируя
гс ДЙ
Я7 ”
_ Т2 + Т,
о , « Дй
2 sh -н—
2?г
Но тогда
Дй —ДЯ>(Дй —ДЯ)|
1п 16
И следовательно, Дй > ДЯ.
На фиг. 89 приведен гра-
фик функции Ф = по ар-
С	Г
гументам и -™- . Величи-
'1	И
ну Ф в дальнейшем будем име-
новать дополнительным филь-
трационным сопротивлением в зоне
Заметим здесь, что если s = О,
ДЯ = 4
0.
1ДЙ = оо
0.
резко изменяющейся фильтрации,
то
1п г
‘I— '2
7f-Tss
4ТЛ
(5.52л
и если Т. = Т. = Т, то
,	4	, «з	(к ко'О
ДЯ = — — <7г1п cos-jy.	(о.э/)
Из изложенного выше следует, что если график напоров ncJ*ePX"
нему водонепроницаемому контуру (Af4Af6 и Af2Af8) *) приближенно
*) Определяемый уравнениями (5.45) и (5,48).
204
ПЕРВЫЙ СНОСОВ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[ГЛ. 5
заменим ступенчатым графиком (фиг. 90), образованным асимпто-
тами графика напоров, то на некотором удалении от вертикаль-
ной водонепроницаемой преграды (Л^Л^М,) получим практически
точные значения напоров. Такая же замена эквивалентна предположе-
нию, что рассматриваемый резко изменяющийся фильтрационный
поток может быть приближенно ап-
проксимирован двумя равномерными
фильтрационными потоками (выше
и ниже вертикальной преграды
при перепаде напора ДН
в раздельном сечении этих потоков.
Заметим здесь, что потеря на-
пора Д// может характеризовать
эффективность вертикальной водо-
ФИГ. др,	непроницаемой преграды в смысле
уменьшения фильтрационного расхо-
тим ялытй	да (расходная характеристика вер-
р°ицае"°11 преграды >. С точки зрения фильтра-
лентна уллин ДЭ веРтикальная водонепроницаемая преграда эквива-
на т Ф или миЛ н Пу™ равномеРной фильтрации выше преграды
м И И ИЖ преграды на ГаФ.
BoaoHennnwu^A^ расхождения точного графика напоров по верхнему
пенчатым гпаФикпм ^онтуру и MSM3) с приближенным сгу-
цаемой пове^Л. б£дут В ТОЧКах и 4 верхней волонепрони-
2 приближен^ Обозначим через ЛА' и ДА" разности точных
приближенных напоров в точках М, и М2. Тогда найдем:
ДЙ' = /г1-й = 19г1пА+^_ >
я /2	2 л	\ 7)	4qr ~	1
?1Sh2^
w ДЬ
Чг
я 7) П Cth*4^ n'l?r П
4
т. е.
Дй' — — gfln  ---TjL |n мн 15	\	(5.53)
я \	"ДА Tt ,n cin 4qr )'	'
1-/ «r
и аналогично предыдущему
М» = -1Ц|П—(5.54)
1 — е
На фиг. 91, а и 91, б приведены графики функций
//___Д*' „ л/ Дй'7	s Т»
j---- и j	по аргументам -^г- и
§ 52] исследования резко изменяющейся фильтрации 205
При $ = 0
I /,	47f Т, Т. + ТД
Ah'~~qr In -т_£-_--------In—------- ,	(5.53)
я \ Л —Л T1~TJ
1	/	4 TV 7j 7\-( ТоХ	,
Ah —------qA In —j---;-----In-—-—- ).	(5.54 )
Г2_^ т2 1\-tJ
И при Tj — Tg = T
Ah' = — Ah" = qr In 12 cos2 4 (1 ~ 4)]•	<5-53")
Заметим здесь, что при ином направлении фильтрации по сравне-
нию с направлением, принятым на фиг. 86, величины Ah' и Ah"
Фиг. 91.
Должны быть взяты с обратными знаками по сравнению с знаками»
получающимися по формулам (5.53) и (5.54).
206
ПЁРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	5
2°. Схема II. Вторая форма резко изменяющейся фильтрации,
представленная в схематическом виде на фиг. 92, имеет место вблизи
верховой грани слабопроницаемого понура, а также вблизи низовой
грани тела плотины или недренированного водобоя.
Фиг. 92.
Определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации (шг). Примем линию МьМг за плоскость сравнения напоров.
Тогда на этой линии = 0. На линии тока	примем
фг — 0. Тогда на линии тока Ж6Ж4 = где qr— приведенный
расход фильтрационного потока. Отсюда следует, что область приве-
денного комплексного потенциала филь-
трации будет прямолинейной полуполо-
сой, изображенной на фиг. 93, где че-
рез Дй обозначена потеря напора на вер-
тикальной водонепроницаемой преграде
и через h0 — напор на острие
шпунта Afs.
Для нахождения приведенного ком-
плексного потенциала фильтрации сде-
'4>г'
Фиг. 93.
фильтпапии ня	„ лаем конФормное отображение области
трации. Тогда получим что*ТсТо^/°ИПЛеКСНОГО потенциала филь'
тенциал фильтраод/ будет	пРивеленный комплексный по-
Р удет определяться (в неявном виде) уравнением
-/Дт-.агссо,—+
’">7
причем напор на острие шпунта
(5.55)
(5.56)
9 Заметим здесь, что Дй> £	arch _ Tt
§ 52] ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗКО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ
207
При s = 0 и 7'1 = 7'3=Т выражение (5.55)
<вг== — qr arche2T.
соответствия точек Л43 плоскостей z
shf—
s	2 Т2	sr4 29г
-уг- == — -=£ arccos —- ~-
/, я А	, яад
1	1	Sh-75—
2?r
Из
примет вид
и о>г найдем:
th
— arccos
Л
Я ДЛ
tn-75----
(5.55'
(5.57)
Фиг. 94.
на линии график
На участке 2ИаЛ44 границы обла-
сти фильтрации z = x и — h
(—Aft>ft>—оо). Отсюда в силу (5.55)
напоров будет определяться уравнением
2„ /4-^
x = — 7„ arch---
Я 2	. it an
9h -75-
2?г
где — Aft h > — oo.
Найдем асимптоту графика напоров (5.58) (при х—>оо и, л -
довательно, А — оо). Для этого заметим, что при h -> оо
nA
«Чт>h -« дarch (t,b-2^)-
2 _	,
— T, arch
я 1
(5.58)
2уг
208	первый способ Конформных преобразований [ГЛ. 5
Отсюда следует, что асимптота графика напоров (5.58)
уравнение
у— T2(h + &H)
Яг
где
. и 2	. л да , Tt, ,. « да
ДЯ =® — q. In sh -г-к In cth
*	\ ^Яг '2
Заметим здесь, что при s —О
w=l,rplnIl±i+,0
« \ Та ?!— ?2
4?г
П-Т*'
будет иметь
(5.59)
(5.60)
(5.60')
И При ?! == ?2 == Т
ДНет_±^1ПЯП [-|(1 —у)].
(5.60")
На фиг. 95 приводится график функции Ф— по аргументам
Фиг. 95.
Ji /1
Отсюда следует, что
если график напоров по
верхнему водонепроница-
емому контуру ЛГ3уИ41) мы
заменим прямолинейным
графиком (фиг. 96), обра*-
зованным асимптотой гра-
фика напоров, то на неко-
тором удалении от верти-
кальной водонепроницае-
мой преграды
Фиг. 96.
получим практически точима .
валентна предположению что вИИЯ напоР°в- Такая замена экви-
может быть приближенно 0 Рассмат₽иваемый фильтрационный поток
аппроксимирован равномерным фильтра*
1) Определяемому уравнением (5.58).
§ 52]
ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗКО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ
209
ционным потоком, если учесть местную потерю напора ДА7 в его
входном сечении, совпадающем с плоскостью вертикальной водо-
непроницаемой преграды. Потеря напора ДИ может быть получена
эквивалентным удлинением пу-
ти равномерной фильтрации
ниже вертикальной преграды
на ~2Ф.
Максимальная разность точ-
ных и приближенных напоров
по верхнему водонепроницае-
мому контуру ЛГ3ЛГ4 будет
в точке Ж3 этого контура и со-
ставит
Дй0= — ДА4-ДЯ. (5.61)
На фиг. 97 приведен гра-
фик функции /0 — — по ар-
Чг
гументам 4 и
h it
Заметим здесь, что при ином
направлении фильтрации по
сравнению с направлением, при-
нятым на фиг. 93, величина Дй0
должна быть взята с обратным знаком по
пившимся по формуле (5.61).
Найдем выражение комплексного градиента
s = 0 и 7’1 = Т2 = Т. Для этого продифференцируем
по переменной z. Тогда получим:
Фиг. 97.
сравнению с знаком, полу-
фильтрации в случае
выражение (5.55')
т. е.
j -и =
х v dz
(5.62)
На участке Ж67И3 границы области фильтрации z-x^(k
'Зтсюда в силу (5.62) на этом участке величина градиента скорости
j =------------------------------- Яг __ _	(5.63)
/ те®
т¥
(— оо < х < 0).
216
ПЙРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(г л. 5
В случаях 5^=0 и	выражение для комплексного градиента
фильтрации будет сложным и мы его не приводим, а ограничимся
определением градиента фильтрации в точке Mv который будет
максимальным градиентом (/шах) на участке М6Мг границы области
Фиг. 98.
фильтрации. Для этого продифференцируем выражение (5.55) п0
переменной шг. Тогда получим:
г  ;j —	_ _J_ __	1
я v dz dz_^~1'
d<ar
/ ,„ «ДА . „ rta>r .
' sh2-------sha^chx--
i-Чт______Цт 74r .
сп „ — Т-1 ch2 „ 
*Чг	* *Чг
В точке Му <»г==0 и в силу последнего выражения
_ . «ДА
J --
г «Ы _
(5.64)
§ 52]
ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗКО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ
211
Заметим здесь, что при 5—0
J .________Яг
•"max
V г2— г2’*
При	выражение (5.64) примет вид
j _-------.
‘'тжх	Г
Tj/Gin
На фиг. 98 приведены графики определяемой
функции —m^T1 or аргумента уг- при различных
(5.64')
(5.64":
уравнением (5.64)
?2
значениях -уг.
«)


3*. Схем. 111. Трети форма рези и«ДХ
представленная в схематическом виде на фиг. 99, а,
Дренажа теда бетонной плртины.

ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[ГЛ. 5
Определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации шг. Для этого за плоскость сравнения напоров примем
горизонт воды в дренаже. Тогда на границе дренажа <рг = 0.
Далее примем, что на линии тока Л14Л11	== 0. Тогда на линии
тока М2Ма 6,.= (?г)0, где (9Д0	— приведенный фильтрационный
q
расход дренажа. На линии тока М4М.Л '\r = qr, где = --------ПРИ'
веденный расход фильтрационного потока выше дренажа (по те-
Фиг. 100.
чению). Отсюда следует, что область приведенного комплексного
потенциала фильтрации будет иметь такой вид, как представлено
на фиг. 100.
Произведем конформное отображение области фильтрации на
область приведенного комплексного потенциала фильтрации. Тогда
найдем:
. 2
— i — qr arcsin
t (2*W>
— i ~ [?r~(<7r)ol arcsin	(5-65)
eT-l
На участке границы области фильтрации
a>r == <pr = — h и z~x ( — 00 < x < —	.
Отсюда в силу (5.65) напор на этом участке
Г -тс ^+0
2	* /	£	2^* ______1 о
h~—qr arsh 1/	-------~[qr — (<7r)ol a^h
§ 52]
ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗКО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ
213
При больших отрицательных значениях х
n(2u?+Z)	т.1
~^т~ _~Т
.	2.1
Л = —grIn -
п (2.Г + О
/ 2Г
У 1-е
Г г. (2.r rZ)
2	Fl — е 27
— - \Чг — (9r)oi In------------7
r.Z rc(2.P + Z)
,2Г_£, 2Г
z ет-\
|grlnCh^+-~(?r)olnc‘h Й-
Отсюда следует, что асимптота графика напоров (5.66) будет иметь
Уравнение
ЧгХ
А = |9rlnch^ + v^,nCth^"
Полагая в выражении (5.67) х = 0, найдем nPeBbl^eB“e
графика напоров по водонепроницаемому контуру /И4/И]
зонтом воды в центре дренажа
ДЛ'==—<7ГФ + (?ЛФ*,
(5.67)
асимптоты
над гори-
(5.68)
где
Ф = ^-1псЬ^ и Ф* = —Incth 4?,.
Аналогично предыдущему получим, что на участке Л427И3 границ
области фильтрации напор
<,2
h =7?rarch
п(2ЛЯ-1)
1-е	27
-	SZ
1-е" г
|[?r —(<7r)J arch
ОО
n(2a? + Z)
е 2Г -1
Л-1
(5.69)
Асимптотическое выражение уравнения (5.69) будет.
h = — L?r~1 \qr — (gr)0J Inch ^.+ ~ (?Л Incth 47" ^5’7°^
Полагая в выражении (5.70) x = 0, найдем превы1нение ^T'ropH-
графика напоров по водонепроницаемому контуру /Mj/Mg
зонтом воды в центре дренажа
Дй" «? 1чг —	ф "I- ?г0ф*’
0,71)
214
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	(гЛ. 5
Найдем координату точки М', где скорость фильтрации равна
нулю. Для этого заметим, что в силу (5.65)
д?	к (2г+1)
J —и	\gr—(qr)n\e iT ~qre 2Т	72)
х иУ~ dz /- -.............д-(2г+п- ,7	(5J '
ГК (l-e ST )(e~^-e~ 2T )
Приравнивая выражение (5.72) нулю, найдем координату точки М':
—	(5.73)
«	q—qn
Из выражения (5.73) следует, что если —ГIn—-—<4-> т. е-
кг	« q—qn 2
если ~ < 1 — е 2Т, то отверстие в верховой своей части (МУМ')
дренирует фильтрационный поток, а в низовой части (М'М^ — пи‘
к1
тает его. Если же 0.^1—е~гт то отверстие на всей своей длине
дренирует фильтрационный поток.
Из изложенного выше следует, что если график напоров по верх*
нему водонепроницаемому контуру (Af4Afj и ]) мы заменим
астаптотаии графика »а№
э“=“ =
быть приближенно аппп™НЯЮЩИЙСЯ Фильтрационный поток может
ционными потоками выше ^и“ировдн ДВУМЯ равномерными фильтра-
через середину дренажа г „П1?Же П° теченИю) створа, проходящего
При этом для TiL РИ8еденными Расходами qr и qr-(q,)o-
напоры (над горизонтом »Пп«аВН°Мерных Фильтрационных потоков
дут ДА' и t^h".	Д в дРенаже) в граничном створе бу-
Возможен и иной способ п к
§ 53]	СУММАРНЫЙ УЧЕТ МЕСТНЫХ ПОТЕРЬ НАПОРА	215
ними потоками. При втором способе аппроксимации пути равномер-
ной фильтрации выше и ниже створа, проходящего через середину
дренажа, должны быть укорочены на ГФ и при входе в дренаж
должно быть введено фильтрационное сопротивление Ф*.
В случае полного перехвата фильтрационного потока дреной
(см. фиг. 99, б) в приведенных выше результатах следует положить
(?г)о Яг"
Тогда приближенный график напоров по верхнему водонепрони-
цаемому контуру выше створа дрены будет иметь уравнение
«/
(5.67')
/	'	1\
( — со < х — у).
График же напоров по верхнему водонепроницаемому контуру
ниже створа дрены будет приближенно выражаться горизонтальной
прямой с уравнением
Л = —fl'.ln cth^I.	(5.70)
«	4/
В случае двустороннего симметричного притока к дрене (см. фиг. 99, в)
в приведенных выше результатах следует положить:
Тогда уравнение приближенного графика напоров по верхней водо
непроницаемой поверхности будет:
(5-67")
где знак « ф- » будет при ~ < х < оо и знак « — » при оо <
§ 53. Примеры применения способа суммарного учета мест-
ных потерь напора. Используем полученные выше результаты при
изложении способа суммарного учета местных потерь напора. Так
как сущность этого способа лучше всего выясняется при рассмотре-
нии частных задач, то ниже рассмотрены две наиболее характерные
задачи.
Задача I. Подземный контур плотины образован флютбетом
с двумя абсолютно водонепроницаемыми шпунтами, слабопроницаемым
понуром !) и дренированным водобоем, как показано на фиг. 102 ),
0 Проницаемостью понура мы пренебрегаем.
у Все размеры на фиг. 102 выражены в метрах.
216
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 5
В рассматриваемом случае в фильтрационном потоке можно отме-
тить три зоны резко изменяющегося течения: верховую зону — вблизи
верхнего бьефа, среднюю зону — вблизи верхового шпунта и нижнюю
зону вблизи низового шпунта. При этом фильтрация в средней зоне
соответствует схеме I, а в двух крайних зонах — схеме II.
,-192
По графику фиг. 89 при ~ = ^ = 0,5,	= 0,9 найдем,
что дополнительное фильтрационное сопротивление в средней зоне
резко изменяющейся фильтрации Ф„ = 0,65 По гоаЛику фиг. 9^
я________0 ____	Т.2	27,0
при	° и уг =	= 0,9 найдем, что дополнительное филь-
трационное сопротивление в верховой зоне резко изменяющейся филь-
трации Ф1 = 0,58. Аналогично предыдущему при 4 =	= Й
Ь — ап	Т1 27’
71	27,0 найдем, что дополнительное фильтрационное сопро-
тивление в низовой зоне резко изменяющейся фильтрации будеТ
Фб —0,67. Фильтрационное сопротивление в зоне равномерной филь-
трации под понуром Ф2 = _. __2,оо. Фильтрационное сопротивле-
ние в зоне равномерной фильтрации в основании тела бетонной пло-
тины Ф4	1,23. Общее фильтрационное сопротивление при
§ 53]	СУММАРНЫЙ УЧЕТ МЕСТНЫХ ПОТЕРЬ НАПОРА	217
фильтрации в основании плотины Ф = 0,58-|-2,000,65-|-М3 4"
-f-0,67 = 5,13.
Так как напор на плотине Н= 15,0 м, то приведенный фильтра-
ту 15,0 п па </
ционный расход в основании плотины qr =	м'
Определив приведенный фильтрационный расход в основании пло-
тины, найдем потери напора, соответствующие найденным выше филь-
трационным сопротивлениям: Д/Zj — 2,93 • 0,58 = 1,7 м, =
Х2,0 = 5,9 м, ДЛа = 2,93 • 0,65 = 1,9 м, ДЛ4 = 2,93 • 1,23 = 3,6 м и
ДЛ5 — 2,93 • 0,67 = 1,9 м. По найденным выше потерям напора най-
дем график напоров по основанию плотины в первом приближении J).
Указанный график изображается пунктирной ступенчатой линией
на фиг. 102.
Для построения графика напоров по подошве плотины во втором
приближении найдем поправки к напорам в первом приближении
в точках А, В, С и D (см. фиг. 102). В силу результатов для схемы II
в точке А:	= qr (/0U- Значение (/о)д определяем по графику
фиг. 97 при |=Л=0и 5 =	9. Тогда найдем (/о)а — 0.28
71	<50,0	Ji <50,0	$
и ДЛ0 = 2,93 • 0,29 = 0,8 м. Аналогично предыдущему при ^==2^0 =
= 0,1 и Y2 = |f6=0,9 найдем (/0)в = —0,01 и поправку к напору
в точке A>J(AAo)B = O,Ol • 2,93 ай О2). Далее в силу результатов для
схемы I поправки к напорам в точках В и С будут №h')B — qr(.f')B
и (ДА")С = ^Г(/")С. Значение (/')в определяем по графику фиг. 91, а
при £=^ = о)5и ^^ = 0-9и найдем (/')в = 0,38. Значе-
ние (У")с определяем по графику фиг. 91, б при тех же значениях
причем найдем — 0,36. Но тогда (ДЛ')д = 2,93Х
X 0,38 = 1,1 и (ДЛ")<7=2,93 (—0,36) = — 1,1 м. Учитывая опреде-
ленные выше поправки, найдем напоры в точках А, В, С и D во
втором приближении, которые представлены на фиг. 102 цифрами
в скобках.
Для построения графика напоров по подошве понура во втором
приближении помимо найденных выше двух крайних точек этого гра-
фика нам нужно найти еще хотя бы одну его точку. В качестве
третьей точки возьмем точку графика напоров по подошве понура
в первом приближении (пунктирная прямая на фиг. 102), кото-
рая находится от концов этого графика в расстояниях, пропорцио-
нальных расхождениям концов графиков напоров в первом и втором
J) За плоскость сравнения напоров принят горизонт воды в нижнем
бьефе.	,
а) С учетом изменения знака (ДЛп)В ввиду изменения направления филь-
трации по сравнению с направлением, принятым на фиг. 92.
218
ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 5
приближениях. В нашем случае указанная точка находится на расстоянии
084-1,1 = 23’7 от веРховой грани понура. На фиг. 102 сплошной
кривой изображен график напоров по подошве понура во втором
приближении.
Аналогично предыдущему строится график напоров по подошве
бетонной плотины во втором приближении (сплошная прямая на
фиг. 102). Только в этом случае третья точка графика совпадает
с правым концом графика, так как напоры в точке D в первом и
втором приближениях практически совпадают.
Максимальный градиент при фильтрации через понур будет равен
отношению максимальной разности напоров по кровле и подошве
понура (6,5 м) к толщине понура (3,0 м). Таким образом С7(пах)пон ==
= 2^0 = 2,2. Максимальный же градиент при выходе фильтрацион-
ного потока в дренаж водобоя определится по графику фиг. 98 при
=- = §^ = 0,1 и ~^ = |^ = 0,9 и будет равен
(J _ 1,77-2,93 _	.
^тахДОД —	27Q--— 0,1 У.
Задача II. Рассмотрим фильтрацию в основании водосливной
плотины системы А. М. Сенкова, поперечный разрез которой пред*
ставлен на фиг. 103. Понур плотины предполагается слабопроницае-
мым, так что его проницаемостью можно пренебречь. В предпоследнем
отсеке плотины имеется дренаж, сообщающийся с нижним бьефом.
Все отсеки заполнены грунтом, коэффициент фильтрации которого
одинаков с коэффициентом фильтрации основания плотины.
Пренебрегая потерями напора в результате обтекания фильтра-
ционным потоком вертикальных стенок отсеков, горизонтальную пря-
мую, проходящую на уровне подошвы стенок (пунктирная прямая на
фиг. 103), принимаем за линию тока. Такое допущение дает неболь-
шой запас в расчетах.
При указанном выше допущении в фильтрационном потоке будУт
иметь место четыре зоны резко изменяющейся фильтрации. Первая
зона расположена вблизи верхнего бьефа, вторая зона — вблизи вер-
ховой грани плотины, третья зона—вблизи отсека с дренажем и
четвертая зона вблизи нижнего бьефа. При этом фильтрация в пер-
вой и четвертой зонах соответствует схеме II, во второй зоне —
схеме I и в третьей зоне—схеме III.
По графику фиг. 95 при -^ = 0 и -^- = ^ = 0,95 найдем, что
дополнительное фильтрационное сопротивление в первой зоне резко
изменяющейся фильтрации Ф1 = о,51. Аналогично предыдущему пр»
Т) = 0 и -jr- =	— 0,89 найдем, что дополнительное фильтра-
ционное сопротивление в четвертой зоне резко изменяющейся филь-
§ 53]	СУММАРНЫЙ УЧЕТ МЕСТНЫХ ПОТЕРЬ НАПОРА	21S
трации Ф8 = 0,59. По графику фиг. 89 при ^ = 0 и	= 0,84
найдем, что дополнительное фильтрационное сопротивление во второй
зоне резко изменяющейся фильтрации Ф3 = О,ОЗ. Фильтрационное
сопротивление в зоне равномерной фильтрации под понуром
®2 —1,32. Принимая во входном сечении в отсек с дренажем
напор постоянным, в соответствии со схемой III найдем, чго в третьей
зоне резко изменяющейся фильтрации Фб= 1,466lgch4	= 0,012
и Ф5 = 0,7331ц cthp4^== 0,52. Тогда уменьшение пуггй равномер-
ной фильтрации выше и ниже отсека с дренажем составит
0,012 • 32,0 = 0,4 м. И тогда фильтрационное сопротивление в зоне
равномерной фильтрации от верховой грани плотины до отсека
с дренажем Ф4 =	= 0,99 и фильтрационное сопротивление
в зоне равномерной фильтрации ниже отсека с дренажем Ф7 =
— 1,18. Фильтрационное сопротивление при равномерной
фильтрации в отсеке с дренажем Фв =-g^-e 1,50,
22 О	ПЕРВЫЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гл. 5
Общее фильтрационное сопротивление на участке от верхнего бьефа
до отсека с дренажем будет: Ф = 0,51 -J-1,32 -ф- 0,03	0,99 = 2,85.
Потеря напора, соответствующая такому сопротивлению, будет равна
2,85 qr, где qr—приведенный фильтрационный расход, поступающий
из верхнего бьефа. Если к найденной потере напора прибавить потерю
напора при входе в отсек с дренажем 0,52 и потерю напора
в отсеке с дренажем 1,50(qr)№	—приведенный фильтрационный
расход дренажа), то полученное выражение 2,85 qr-j- 2,02 (qr) будет
равно разности горизонтов воды в верхнем бьефе и дренаже, т. е.
16,0 м. Таким образом,
2,859г +2,02 (9г)др = 16,0.	(*)
Общее фильтрационное сопротивление ниже отсека с дренажем
Ф = 1,18-{-0,59 = 1,77. Этому фильтрационному сопротивлению со-
ответствует потеря напора 1,77 [qr — (<7г)др]. Указанная потеря будет
равна потере напора при входе в отсек с дренажем и в самом отсеке,
т. е. величине 2,02(^г)др. Таким образом,
1,77^-^] = 2,02 (9г)др.	(**)
Решая совместно уравнения (*) и (**), найдем, что приведенный
фильтрационный расход, поступающий из верхнего бьефа, ?г = 4,22 м,
приведенный фильтрационный расход, поступающий в дренаж,
(?г)др=1,98л и приведенный фильтрационный расход, поступающий
в нижний бьеф, ?г — (?г)др = 4,22— 1,98 = 2,24 м.
Определив приведенные фильтрационные расходы qr, и
Чг	найдем потери напора, соответствующие найденным выше
фильтрационным сопротивлениям: ДЛр=0,51 - 4,22 = 2 2 м, ДЛ2=1,32Х
X 4,22 = 5,6, Дй3 = 0,03 • 4,22 = 0,1, Дй. = 0,99  4,22 = 4,2 м,
ДйБ = 0,52-1,98 = 1,0 л, Дйв = 1,50 • 1,98 = 2,9 м, Дй,==1,18Х
X 2,24 = 2,6 м, Дй8 = 0,59 • 2,24 = 1,3 м.
По найденным выше потерям напора построим график напоров по
подошве плотины в первом приближении. Указанный график изобра-
жен на фиг. 103 пунктирной ступенчатой линией,*
Для построения графика напоров по подошве плотины во втором
приближении найдем поправки к напорам в первом приближении
в точках А, В, С и D, В силу результатов для схемы II поправки
к напору в точке A: (^o)A = qr^fo)A. Значение (/о)х определяем по
графику фиг. 97 при ^ = 0 и ^ = 0,95. Тогда найдем (/о)А = О,38,
(Дй0)А = 4,22 • 0,38 = 1,6 л. Аналогично предыдущему при =
и j? =« 0,89 найдем (/0)д = 0,28 и (Дй0)л = — 2,24 • 0,28 = — 0,6 м ’)•
соавнениюКс*напоамрним<еТттпРОТИВОПОложное направление фильтрации ПО
сравнению с направлением, принятым на фиг. 92,	г
§ 531	СУММАРНЫЙ УЧЁТ МЕСТНЫХ ПОТЕРЬ йапора	221
Далее, в силу результатов для схемы I поправки к напорам в точ-
ках В и С:	= и qr(f")c' Значение )в опре-
деляем по графику фиг. 91, а при	и "т|'“0,84 и найдем
(/')в = 0,18. Значение (/'% определяем по графику фиг. 91, б" при
тех же значениях и -у-, причем найдем =	т0ГЛа
(Ы)в = 4,22 • 0,18 ~ 0,8 м и (ДА'% - 4,22 • 0,09 = 0,4 м. Учитывая
найденные выше поправки, найдем напоры в точках А, В, С и
втором приближении, которые обозначены на фиг. 10 ц ФР
в скобках
Для построения графика напоров по подошве понура вовтором
приближении помимо найденных выше двух крайних точ
графика нам нужно найти еще хотя бы одну его точку. nnuvna
третьей точки возьмем точку графика напоров по ПОЛЯ’11 тпрЯЯ
в первом приближении (пунктирная прямая на фиг.
находится от концов этого графика в расстояниях, пр р
ных расхождениям концов графиков напоров в первом и
ближениях. В нашем случае указанная точка находится на р
0 g = 33,3 м от верховой грани понура. На фиг. 103 сплош-
ной кривой изображен график напорот по подошве понура во втором
приближении.	,
График напоров по плоскости заглубления вертикаль ппямЫг
отсеков и по подошве водобоя принимаем в форме ОГР®В няРПппов
(сплошные прямые на фиг. 103) с учетом найденных	Р
в точках С и D во втором приближении.	„„„„г. «vhpt
Максимальный градиент при фильтрации через УР У
в точке В и равен (JfflM)n0S « g = 3,5. Выходной градиент в дренаже
^==-2^. = 0,24. Максимальный градиент при выходе фильтрацион-
ного потока в нижний бьеф определится с помощью графика Фи^ ®
при -£- = о и ф- = 0,89 и будет равен (JmaX)H.e=: ЗЬ\б ’
'1	Л
ГЛАВА 6
ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(СПОСОБ ВЕДЕРНИКОВА-ПАВЛОВСКОГО)
§ 54. Способ Ведерникова-Павловского. Родоначальником гидро-
механических исследований плоской безнапорной установившейся
фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости является выдающийся
русский математик и механик Н. Е. Жуковский. В работе [1], опуб-
ликованной посмертно в 1923 г., Н. Е. Жуковским при решении
задач безнапорной фильтрации была впервые использована специаль-
ная функция
тож = г — fa	(6.1)
ГГГА
=	(6-2)
получившая в дальнейшем наименование аналитической функции
Жуковского. Функция Жуковского приобрела исключительное значе-
ние в теории безнапорной фильтрации. В своих исследованиях без-
напорной фильтрации Н. Е. Жуковский пользовался разработанный
им методом образующих и направляющих сетей. Спустя значительное
время после выхода в свет работы Н. Е. Жуковского [1] независимо
друг от друга В. В. Ведерниковым [2] и Н. Н. Павловским [5]1) был
предложен новый способ решения задач безнапорной фильтраиии>
основанный на использовании аналитической функции Жуковского,
основе этого способа лежит конформное преобразование области
приведенного комплексного потенциала фильтрации св_ на область
функции Жуковского wx. Этот способ мы будем в дальнейшем
именовать способом Ведерникова-Павловского.
Рассмотрим фильтрационный поток, границами которого буДУт
горизонтальные водопроницаемые участки, вертикальные водонепро-
ницаемые участки и кривая депрессии. При этом предположим, что
инфильтрация или испарение на свободной поверхности грунтовых
ПР°ИСХОЛЯТ- Вспоминая, что водопроницаемые участки границы
°бласти фильтрации будут эквипотенциальными линиями (<pr= const),
а водонепроницаемые участки и кривая депрессии-линиями тока
г) На русском языке опубликовано позднее в работе [8].
§ 54]	СПОСОБ ВЕДЕРНИКОВА-ПАВЛОВСКОГО
223
= const), заключаем, что для рассматриваемого фильтрационного
потока область приведенного комплексного потенциала фильтрации
будет прямолинейным многоугольником на плоскости шг со сторонами,
параллельными осям координат 0®г и ОФГ.
Определим вид области функции Жуковского. Для этого заметим,
что на горизонтальных водопроницаемых участках коэффициент при
мнимой части функции wx, т. е. vx = у — ®г, будет постоянной
величиной. На вертикальных водонепроницаемых участках веществен-
ная часть функции иг)ж, т. е. их = х будет тоже постоянной
величиной. На кривой депрессии, как указывалось в § 40,
®г = — ....—~^-у и, следовательно, vx —	= const. Отсюда
следует, что для рассматриваемого фильтрационного потока область
функции Жуковского wx будет прямолинейным многоугольником
на плоскости изх со сторонами, параллельными осям координат
Оих и Ovx.
Произведя конформное отображение области приведенного ком-
плексного потенциала фильтрации шг на область функции Жуков-
ского определим функцию
wae=/(®r)	(6-3)
и, следовательно,
z = -f- / (®г).	(6-4)
Таким образом, найдем неявное выражение искомого
комплексного потенциала фильтрации, зная кот р
определить все характеристики фильтрационного пото .
Так как области переменных и прямолинейные мношуголь^
ники, то при определении функции f (®г) мо^ ввести в рас-
формула Кристоффеля-Шварца. Для этого ”ео пеСтИ конфОрМНое
смотрение вспомогательную полуплоскость С, пр	и w* и
отображение полуплоскости С на области пер^о ввести об-
найти функции ш-=Л(С) и wx — AG)- Д'^Jee У -_f , л Под-
ращение функции юг==/|(С) и определить функцию^/найден
ставляя в выражение функции AG) вместо С ФУН Н г ’
искомую функцию	__ г гп невыполнимо,
Заметим, что если обращение функции о	л четнической
то зависимость переменных z и ®г можно выразить Р
форме И:	/с m
Выше мы предполагали водопроницаемые участки границы об-
ласти фильтрации горизонтальными, а непроницаемые участки вер-
тикальными. Но рассматриваемый способ применим и для более
широкого класса случаев, если воспользоваться так называемым
*) Параметром будет переменная С.
224
второй споров койформных преобразований [гл. б
:"°Z6pa™“M>> пРиемом Рассмотрения. Указанный прием состоит в
1ЦеМ" пРеделив Для рассматриваемого фильтрационного потока
пЛтч .Ь Шг> пР°ИЗВ0ЛЬН0 заладимся видом части участков границы
W*’ С00тве^СтвУюги'их водопроницаемым и водонепроницаемым
ЧТОбЫ ОТобРажаюЩУю функцию /(шг) можно было
пий п ° лггКо найги- После проведения указанных выше опера-
InL 54™ зависимости (6.4) или (6.5) и определим форму водо-
„„	* И В0Д0НепРониЦаемых участков, отображениями которых
ппиЛп1.^а„ТИ МЫ пРОИЗВольно задались. Если форма этих участков
ппяп С00тве™твУе'г условиям конкретной задачи, то область
пппизппчгп ИЛЬН0- СгелУет °™етить, что, несмотря на известную
°СТЬ <<полУ°бра'гного» приема, он дал возможность получить
довольно много практически интересных решений.
случае Фильтрации в однородно-анизотропном грунте с гори-
ппаптт^ п ЫМ ИЛИ веРтикальным напластованием при указанных выше
иии-nnf °женИяХ 0 виле границы области фильтрации способ Ведер-
мпгя-гОПг„аВЛ0В^К0Г° может быть использован при рассмотрении вспо-
могательного фильтрационного потока (см. § 44).
пя-'г ИЖе ДЛЯ иллюстРаЦИи способа Ведерникова-Павловского приво-
ДЛЯ Ряда наиболее простых, но практически интерес-
ft __ч ев опорной и напорно-безнапорной фильтрации.
S оо. 1 оризонтальная дренажная щель И. Е. Жуковского.
Пяпп^о^1Ве пеРВ0Г0 примера, иллюстрирующего способ Ведерникова-
ияисипн °Г0’ ра£СмотР™ случай фильтрации к горизонтальной дре-
^еЛИ' Случай симметричной фильтрации к горизонтальной
Пйггиптп.! ыеЛс В ^Лое грУнта неограниченной мощности был впервые
tiiwv	п ЖУковс'<им [1] методом образующих и направляю-
смептиг/ и Работа Н. Е. Жуковского [1] была опубликована по-
н р в не® были допущены некоторые неточности. Случай
ппииАИипУК0ВСК0Г0 ^ЫЛ позлнее рассмотрен вновь В. И. Аравиным [6J,
£?тпяп«мИМ.СП0С°б ВедеРникова"Павловского. Ниже, при изучении
отл?лшп\в горизонтальной дренажной щели, мы рассмотрим в
слой ХнЛ имеДтТИе ДВа ее час™ых вида: (1°) водонепроницаемый
состоянии (п п еограниченную мощность, причем в естественном
имеет постпяниТ«УТСТВИе дРенажной щели) фильтрационный поток
грунта попгтиття14 УКЛ°Н (Фиг* 104), и (2°) водопроницаемый слой
бесконечной! n/Jn” слоем гРУнта значительно большей (теоретически
поверхности нижнАгР°НИЦаеМ0С™’ причем на верхней горизонтальной
Сем Aun	Г° Слоя HanOD имеет яяпянипа пагтпяннлр значение
1,см. фиг. ИО)1).
Случаи Г и 2‘
вым [25, 26J.
Схематически рассматриваемый случай изображен на фиг. 1(И-
Укло^есте^	задачи 1° при нулевом
слоя напор имеет заданное постоянное значение
были впервые рассмотрены С. Н. Нумеро-
§ 55] ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ Н. Е. ЖУКОВСКОГО
225
Определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации шг. Примем за плоскость сравнения напоров h плоскость
дренажной щели. Тогда на контуре дренажной щели Af2
<рг== — Л = 0. Левая ветвь кривой депрессии Л18Л11 будет линией
тока (фг= const). Примем, что на этой линии фг—0. Правая ветвь
Фиг. 104.
кривой депрессии Af2Af8 также будет линией тока. Если qr Р
ный фильтрационный расход дренажной щели, то на линии /И2/И8
ф = q 1). Отсюда следует, что область будет одного из тр
видов изображенных на фиг. 105 и соответствующих различным
видам течения, представленным на фиг. 104.
Фиг. 105.
При определении области функции Жуковского заметим,
на всей границе области фильтрации (т. е. на кон УР- Р
щели и на кривой депрессии) давление р равно а Ф Р
давлению рл. Следовательно,
Итак, на всей границе области фильтрации v*--y
Далее, замечая, что «ж|М1“0, «ж |м, — " "Г Яг л м,
J) Если вода поступает из грунта в дренажную щель, то frx*
тивном случае
226	ВТОРОЙ Способ конформных ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гл. 6
найдем, что область ииж будет полуплоскостью, изображенной на
фиг. 106. Произведем конформное отображение области на об-
ласть шг. Тогда получим:
.2	Г -w	г-------------—	,
шг=г^?гarcsinУ -^^- + г7]/тож(6 + ?г —да»), (6.6)
где J — некоторая вещественная постоянная, определяемая ниже. За-
висимости (6.1) и (6.6) даюг неявное выражение искомого приведен-
ного комплексного потенциала фильтрации шг.
На левой ветви кривой депрессии Mj/Mj у и w = x'
Отсюда в силу (6.6) уравнение этой ветви будет:
У = ~4?rarsh ]/"— J V—x{b-Yqr — x) (6-7)
(— оо < x 0).
При больших значениях х
F °тУг
21n2	1 т., ,	. . _	1	.	— х
----S-9>— 2-/^ + ^) + /x~-grlnTT^.
Отсюда следует, что асимптотическое выражение левой ветви кривой
депрессии будет:
у^_2^29г-_|у(^ + 9г) + /х_.19г1п^|*).	(6.8)
Из выражения (6.8) вытекает, что постоянная J равна уклону кривой
депрессии в бесконечности, т. е. уклону естественного грунтового
потока в отсутствии дренажной щели.
Аналогично предыдущему получим, что уравнение правой ветви
кривой депрессии М2/И3 имеет вид
У == — Яг arsh	j У(х — 6)Wr + *j (6-9)
(Ь ^.х < оо).
*) Заметим, что
21п2
л
«а 0,441.
№
(6.10)
§ 55] ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ H. E. ЖУКОВСКОГО
Асимптотическое выражение этого уравнения будет:
у	Чг 1 j (Ь	?г)-4- J (х — Ь) — - Яг 1п •
В случае течения, изображенного на фиг. 104, а, левая ветвь кри-
вой депрессии имеет минимум. Определим координаты этого минимума.
Для этого продифференцируем уравнение (6.7) по х и получении
результат приравняем “
^mln_____1_
9г «
где
нулю. Тогда найдем:
Z5115- == — Гarch
— 9 г	я L J
(6.12)
3 =____tar__
*(Ь + дгУ
для того чтобы имело место течение, изобра-
г. необходимо и достаточно, чтобы 8 <; — J.
Так как xmln<0, то
женное на фиг. 104, а, nc,juAwv.«.~ - --- -	МзлЛпя-
Аналогично предыдущему получим, что в случае т ’ имеет
женного на фиг. 104, в, когда правая ветвь кривой Д Р„	ми
максимум, координаты максимума будут определять я
Ущ» — & __ 1 / 1_1\	---Lfarch 4~ 1/"1 ~~(т) ]’
9г я \ J 8 / ’ 9г
причем 8;>J. Очевидно, что в
фиг. 104, б, — 8 < J < 8.	п
На фиг. 107 приводится график функций и
гументу 1).
Определим внешний размер ДР611^ “
ний, изображенных на фиг. 104, о, в- Для
в силу (6.1), (6.6) и (6.12) на контуре дренажной щели
—-— = и — 8 arcsin У и — J V и (1	«),	(6.14)
* + 9г
случае течения, изображенного на
— по ар-
9г
где
В крайних точках дренажной щели^ = 0 и, следовательно,
/«(I —и) «— Ju.
(6.15)
Ч При малом
—
— «г“
ай
l.~zjn.2.	0,733 lg j 4 —0,097.
tc	I J
2Й&	ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФорМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[ГЛ. 6
Решая уравнение (6.15), найдем значение параметра « в крайних
точках дренажной щели
1 + ja + л«а	+ Л +	(RJ6)
«-	2(1 +“	2(1+J»)
Далее, в силу (6.14) и (6.16)
В_	= (14- J8) (и" — «') — 8 (arcsin /й7' — arcsin /й7) =
= (1 4- J2) (и" — «') — 8 arcsin [/«" (1 —	(1 ~ «"!•
Подставляя в последнем выражении вместо и! и «" их значения (6.16)
найдем:
В = ,,/(-72=1	(6-17
7 V/i + J* /
где
/ (0 = ~ (И^8 — 1 — arccos t).
На фиг. 108 приведен график функции /(/) **).
*) Штрихом обозначены величины, относящиеся к левой крайней точке
дренажной щели, а двумя штрихами — к правой крайней точке.
*•) При малом t f — 1 + -4- (с точностью до величины порядка $)'
2^
что при J = 0 дает В	b + -г/г г—г»
"*(* + $)
§ 55 J	ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ Н. Е. ЖУКО1СКОГО
229
Найдем превышение (Ло) кривой /^прессии.н^др Для этого по-
дренажной щели в случае j = 0 и 0 —
ложим в уравнении (6.7)
= —Aq.
230
ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[ГЛ. 6
Тогда получим:
^ = iarsh)/
Яг « V 2
0,207 qr.
Заметим в заключение, что все приведенные выше
. * величину qr—приведенный фильтрационный
расход дренажной щели, которая может
быть определена, если будут заданы ко-
ординаты одной точки кривой депрессии.
2°. Схематически рассматриваемый слу-
чай изображен на фиг. ПО.
Определим область приведенного ком-
плексного потенциала фильтрации «г
Примем за плоскость сравнения напоров й
плоскость дренажной Щ’ли. Тогда на контуре дренажной щели
7Г” 77 0’ гта границе сильнопроницаемого слоя грунта
7	'’> гда г/ напор в этом слое над его верхней поверхностью.
т. е.
0,207,
содержат неизвестную
Фиг. 109.
(6.18)
зависимости
Обе ветви (Л/2тИ3 и Ж4ЛТ6) кривой депрессии будут линиями тока
(Фг= const). Примем, что на левой ветви ЛГ4Л16 'К =—"7Г,где
приведенный фильтрационный расход дренажной щели. Тогда
Фиг. ш.

на правой ветви	__Чг г->
а в тг 2 • Отсюда следует, что область при-
будет одного и. «Я
«ам течения, нредетавлХи на‘^.^еттоующнж различный ан-
§ 551 ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ Н. Е. ЖУКОВСКОГО 231
Далее определим вид области функции Жуковского Для
этого заметим, что на контуре дренажной щели и на кривой депрес-
сии	— ?г = 0, причем ИЖ1 =0, иж] = ^—,
На границе сильнопроницаемого слоя грунта (/И4/И8) vx =“
Отсюда следует, что область функции Жуковского будет прямоли
вейной полосой, изображенной на фиг. 112.
Произведем конформное отображение области шг на область ж.
Тогда найдем:
причем модуль эллиптических интегралов и функций (А), а также
приведенный фильтрационный расход дренажной щели определяются
Фиг. 112.
Зависимость (6.19) является неявным выражением искомо р
веденного комплексного потенциала фильтрации ом-
т-r	/а tm	найдем уравнение пра-
Полагая в выражении (6.19)	—у~г1 2’
вой ветви кривой депрессии	(симметричной лево
;с = А+2н1пффЦ),
где	—Г(, причем ордината у обратна по знаку вели
^Ра^оГрим в отдельности два крайних случая, когда модуль X
близок к нулю и к единице.	эллиптические дате-
Если модуль X близок к нулю, то, заме	ппиложение П),
грады и функции их приближенными выражения	приближен-
зависимости (6.20) и (6.21) приведем к следуют у Р
ному виду:
4 1п 2
*)	0,882.
232
ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(ГЛ. в
И
2 w HltlCOS 2(НУ— Т)	^6'21)
(О^ы^я-Л)-
Аналогично предыдущему при модуле X, близком к единице,
ТС	}
(6.20я)
—	если
(6.21я)
Горизонтальная дренажная щель Н. Е. Жуковского получила ши-
рокое применение при расчетах фильтрации к горизонтальным дре-
г
Фиг. 113.
Фиг. 114.
нам, а также фильтрации из каналов с малой
глубиной ВОДЫ.
При расчетах фильтрации к горизонталь-
ным дренам вводится в рассмотрение горизон-
тальная дренажная щель Н. Е. Жуковского,
нижняя поверхность которой совпадает с дном
дренажной траншеи (фиг. ИЗ). Далее филь-
а»» трационный поток к горизонтальной дрене
лает ™ЬТ₽аЦИ0ННЫМ потокои к ДРенажной щели. Такая замена
ложени^пи^» 3аВЫШеНН°е по сРав«ению с действительностью по-
__ ри ой депрессии вблизи стенок дренажной траншеи. Заметим
’	здесь, что глубины h' и h" филь-
трационного потока над концами
дренажной щели с некоторым
запасом могут быть приняты за
высоты высачивания грунтовых
вод на стенки дренажной траншеи.
При расчетах фильтрации из
к&ал заменяется эквивалентной /®алов с малой глубиной воды
Н. Е. Жуковского, нижняя X гоРизо™ьной дренажной щелью
канала (фиг. 114).	поверхносгь которой совпадает с дном
Учитывая большое практич^™»
важной щели Н. Е. ЖуковсЛгл значение горизонтальной дре-
ptrype по вопросам фильтоапии В фильтРационных вопросах, в лите-
рассмотрению различных сХоЧГ ^ОВОЛЬНо много работ посвящено
лажной щеда. Ниже мы дали„ ^?ИЛЬТрадив к горизонтальной дРе"
краткую характеристику этих работ.
§ 55] ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ Н. Е. ЖУКОВСКОГО 233
причем ограничимся только теми из них, в основу которых поло-
жен способ Ведерникова-Павловского. В упомянутых ниже работах,
за некоторыми исключениями (которые будут оговорены особо),
водопроницаемый слой грунта предполагался неограниченным по
мощности J).
В работе В. И. Аравина [6] было дано обобщение задачи
Н. Е. Жуковского на случай затопленной горизонтальной дренажной
щели 2). Другие обобщения задачи Н. Е. Жуковского были сделаны
Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым [19] — введением симметричного под-
пора, а также С. Н. Нумеровым [25] — введением несимметричного
подпора.
Большой интерес для практики фильтрационных расчетов горизон-
тального дренажа имеют случаи фильтрации к системам горизонтальных
дренажных щелей. В работе В. И. Аравина [6] был впервые рассмотрен
случай симметричной фильтрации к двум горизонтальным дренажным
щелям 2). ф. в. Нельсоном-Скорняковым [21] дано обобщение задачи
В. И. Аравина введением симметричного подпора. В упомянутой выше
работе В. И. Аравина также дается решение для случая фильтрации
из толщи грунта к бесконечной системе горизонтальных дренажных
щелей, расположенных на одной высоте и на равных расстояниях
друг ог друга.
Выше мы остановились на характеристике работ, в которых го-
ризонтальная дренажная щель Н. Е. Жуковского использовалась при
фильтрационных расчетах горизонтального дренажа. Но, как указы-
валось выше, горизонтальная дренажная щель может быть применена
и при рассмотрении фильтрации из каналов с малой глубиной воды.
Впервые это было сделано В. В. Ведерниковым [2] при рассмотре-
нии фильтрации из канала в случае симметричного подпора. Несколько
позднее В. В. Ведерников [11] использовал ту же идею при рассмо-
трении фильтрации из канала в случае одностороннего подпора.
Ф- Б. Нельсон-Скорняков [21] обобщил последнюю задачу В. В. Ве-
дерникова, введя в районе выхода кривой депрессии вертикальную
водонепроницаемую завесу бесконечной длины.
В работе Ф. Б. Нельсона-Скорнякова [27] рассмотрен случай филь-
трации из канала при наличии наклонного криволинейного водо-
упора 8).
Одновременное рассмотрение горизонтальной дренажной щели как
прообраз горизонтальной дрены и канала с малой глубиной воды мы
впервые находим в работе В. И. Аравина [6]. В указанной работе
рассмотрен случай фильтрации из бесконечной системы каналов (оро-
9 Решения для случаев фильтрации в слое грунта ограниченной мощности
к горизонтальной дренажной щели Н. Е. Жуковского приводятся ниже,
в главе 8.
а) Прн нулевой внутренней ширине
8) Форма водоупора задавалась не
Изображение ид плоскости Жуковского б
щелей (Ь = 0).
произвольной, а такой, что его
удет горизонтальной прямой.
234
ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[ГЛ. 6
сители) к бесконечной системе горизонтальных дрен (осушители) ’).
Каналы и дрены чередуются между собою. Все каналы, равно как
и все дрены, расположены на одной высоте, на равном расстоянии
друг от друга и имеют одинаковые размеры. Ф. Б. Нельсоном-
Скорняковым [19] дано обобщение задачи В. И. Аравина на случай
ненулевого внутреннего размера дрен.
Большой интерес в вопросах защиты от подтопления с помощью
горизонтального дренажа территорий, прилегающих к каналам, водо-
хранилищам, представляет рассмотренная В. В. Ведерниковым [11]
задача «о береговой дрене». С. Н. Нумеровым [13] дано обобщение
этой задачи на случай, когда водопроницаемый слой грунта подсти-
лается водоупором2). Другое обобщение задачи В. В. Ведерникова
о береговой дрене сделано Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым [21] путем
введения двух симметричных каналов и расположенных между ними
одной или двух береговых дрен.
§ 56. Задача Н. Е. Жуковского об обтекании шпунта. В ка-
честве второго примера, иллюстрирующего способ Ведерйикова-Пав-
ловского, рассмотрим задачу Н. Е. Жуковского об обтекании абсо-
лютно водонепроницаемого шпунта. Указанная задача в неполном виде
была рассмотрена Н. Е. Жуковским в работе [1]. Полное решение
задачи Н. Е. Жуковского применением способа Ведерникова-Павлов-
ского было получено В. В. Ведерниковым [11], причем последним
была также учтена капиллярность грунта.
, I I R
Схематически рассматриваемый случай изображен на фиг. •
Определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации шг. Примем за плоскость сравнения напоров h горизонт
воды в бьефе. Тогда на линии Af4Af1 дна бьефа <рг==—
I) При нулевой внутренней ширине дрен (& = 0).	.
») Форма кровли водоупора задавалась не произвольной, а такой, чт
ее изображение на плоскости Жуковского — горизонтальная прямая. Замети
здесь, что последнее решеиие было в дальнейшем обобщено Ф. Б. Нельсоном-
Скорняковым [21] на случай канала с криволинейными откосами и горизон-
тальным дирм,
§ 561 ЗАДАЧА Н. Е. ЖУКОВСКОГО ОВ ОБТЕКАНИИ ШПУНТА	235
Контур шпунта AfjAf2M8 и кривая депрессии MsMt будут линией
тока. Примем, что на этой линии Фг = 0. Тогда область приведен-
ного комплексного потенциала фильтрации будет первым квадрантом
плоскости (рис. 116).
Далее, определим область функции
этого заметим, что на линии у — Н,
Ъж — Н. На контуре шпунта
х = 0, фг —0 и, следовательно, «ж = 0.
На кривой депрессии Af8Af4 ?г = у тУ
следовательно, vx = — где Лй = ~ —
высота капиллярного поднятия воды
в грунте. Отсюда следует, что область
Жуковского те»». Для
<рг = 0 и, следовательно,
функции Жуковского будет иметь один	Фиг. цб.
из двух видов, изображенных на фиг. 117	представленным
и соответствующих двум различным видам ’
на фиг. 115.	аПлясти на область ®ж-
Произведем конформное отображение о 	'г0 приведенного
Тогда найдем следующее неявное выражени
комплексного потенциала фильтрации
г = 1Н+ loif +	j/"х __	- /А (Я + afcsin ,	(6.22)
где Д —потеря напора на шпунте и Л — некоторая вещественная
"“Тим здесь, что в случае течения, изображенного на фиг. 115, б)
Д = о.
Фиг. 117.
СииГ1олагая в (6.22)	= найдем уравнение кривой депрес-
Т = A	1 (Я+ ЛА) arch (6.23)
(Д ~^к<У< °0)-
Выражения (6.22) и (6.23) содержат две	з^Гдва
А и А, Дл-я определения этих постоянных должн
236	ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гл. б
условия. Первое условие (при Дс/сО)1) состоит и задании одной
точки кривой депрессии. Второе условие может быть найдено из
соображения, что на острие шпунта Ж2 скорость фильтрации обра-
щается в бесконечность 2). Для нахождения второго условия продиф-
ференцируем выражение (6.22) по переменной <ог. Тогда получим:
Далее, имея в виду выражение комплексной скорости фильтрации
.	. d<or
л V dz ’
найдем:
(6.24)
Обозначим через Де приведенный потенциал скорости фильтрации
на острие шпунта М2. Тогда из условия, что в точке Л12 скорость
фильтрации обращается в бесконечность, найдем:
.	(6.25)
Далее, полагая в (6.22) ш,. = еД, получим:
~ = в -Ь Де	- -2^ + ^ arcsin е. (6.26)
Уравнения (6.25) и (6.26) выражают второе условие для определе-
ния неизвестных постоянных Д и Д.
Укажем порядок определения этих постоянных. Задавшись рядом
значений Д по уравнению (6.23), где вместо величин х и у подста-
влены координаты данной точки кривой депрессии, найдем ряд соот-
ветствующих значений Д. Далее, по формуле (6.25) найдем ряд
соответствующих значений s и по формуле (6.26) ряд значений $• По
полученным результатам строим график функции s аргумента Д. По
заданному значению s с помощью этого графика находим искомое
значение Д, а далее постоянную Д. Заметим, что в некоторых слу-
чаях заданной величиной будет величина понижения уровня грунто-
1) При А = 0 первое условие не имеет места.	..
«) В указанной выше работе Н. Е. Жуковского предполагалось, что
чало кривой депрессии совпадает с острием шпунта Afj и, слеДователън >
комплексная скорость фильтрации в атой точке
ЗАДАЧА Н. Е. ЖУКОВСКОГО ОБ ОБТЕКАНИИ ШПУНТА
§ 56]	ЗАДАЧА Н. Е. ЖУКОВСКОГО ОБ ОБТЕКАНИИ ШПУНТА
вых вод за шпунтом (Д — Ль), а искомой — длина s шпунта.
Но тогда необходимость подбора величины Д отпадает и все иско-
мые величины определяются непосредственно.
Как указывалось выше, для течения, изображенного на фиг. 115,
постоянная Л == 0. В этом случае уравнение кривой депрессии может
быть представлено в виде
2(Я+М
(6.27)
Далее, из уравнения (6.25) при Л—0 найдем:
Г2(Я+адУ
s = y 1 -[---яД ’
и в силу уравнения (6.26) получим:
s = ;/2(Н + ^)\,
л-1-й* А кД '
(6.28)
где
_ 2 (/г2 — 1 — arccos/)
— функция, график которой приведен на фиг. 108. С помощью эт
графика может быть определено искомое значение . „ овым
Задача Н. Е. Жуковского была обобщена В В Ведерникову
(30) введением на некоторой глубине сильно прон ц имеет задан-
на верхней горизонтальной поверхности которого Р ж вск0г0
ное постоянное значение. Другие обобщения зад • •
сделаны Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым; введением: подпора
тикальной водонепроницаемой завесы бесконечной длины при отсут>
ствии подпора [16) и при наличии поДпор® Д !’н Е Жуковского,
дрен в форме горизонтальной дренажной Щели • • У qtKQCqM
а также дренирующего водоема с	и фР Б. Нельсон-
и горизонтальным дном [27J. Указанные выш . У	оасчетов
Скорняков рекомендует использовать	РсТч® водопрХ
земляных плотин и перемычек с диафрагм, ми )	•, У	нЫХ рас-
цаемого слоя неограниченной мощности или дл Ф криволинейного
четов земляных плотин и перемычек при наличии криволинеин
водоупора большой кривизны	Жуковского особо интересна
Рассмотренная выше задача Н. Е. жуко	Фильтра-
тем, что явилась первым примером напорно-б р т0ЧКИ м, и
ционного потока с зонами напорной фильтрации
безнапорной фильтрации ниже точки Afe-
i) Последний случай при нулевой Длине	с ГОризоиталь-
») Случаи с подпором соответствуют земляным плотинам у
Ным фильтром.
238	второй СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гЛ. б
§ 57. Фильтрация из каналов криволинейного сечения. Как
указывалось выше, в § 54, область применения способа Ведерникова-
Павловского может быть значительно расширена, если воспользоваться
так называемым «полуобратным» приемом рассмотрения. Для иллю-
страции этого приема рассмотрим случай симметричной фильтрации
из каналов криволинейного сечения. При этом рассмотрим в отдель-
ности следующие его частные виды: (Г) водопроницаемый слой грунта
на весьма большой (теоретически бесконечной) глубине подстилается
слоем грунта значительно большей (теоретически бесконечной) водо-
проницаемости, не содержащим напорных грунтовых вод (фиг. 118),
Фиг. 118.
и (2) указанный выше сильноводопроницаемый слой грунта отсут-
ствует (см. фиг. 121). Случай 1° по терминологии Н. Н. Павловского
называется случаем свободной фильтрации из канала.
Заметим здесь, чю случай 1° применением способа Ведерникова-
Павловского был впервые рассмотрен В. В. Ведерниковым [2] и не-
зависимо от него Н. Н. Павловским [9], а случай 2° — С. Н. Нуме-
ровым [26].
1°. Схематически рассматриваемый случай изображен на фиг. Не-
определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации <х>г. Примем за плоскость сравнения напоров горизонт воды
в канале. Тогда на смоченной части	русла каната
~« = 0. Левая (Л43УИ4) и правая (Af2Af8) ве1ви кривой депрессии
будут линиями тока (фг= const). Примем, что на левой ветви
у, где Фг приведенный фильтрационный расход канала. Тогда
на правой ветви =Отсюда следует, что область приведен-
ного комплексного потенциала фильтрации будет прямолинейной
полуполосой, изображенной на фиг. 119.
,.и.,П^И^°"Р?ДеЛеИИ11 ВИда области Функции Жукозского та» заме-
5	кривой депрессии давление р равно атмосферному
давлению ра. Следовательно, <рг== —	Отсюда полу-
§ 6?] ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗ КДНАЛОЙ КРЙЙОЛИНЁЙНОГО СЕЧЕНИЯ	239
чим, чго на этой кривой цж —у— <рг = 0, иж1 — В — ~~ и иж1 п
|лГ1	х (ЛГ4
= —В-\-&. Далее примем, что в плоскости смоченной части
русла канала соответствует полуокружность с центром
в начале координат радиуса	Предполагая, чю бесконечно
удаленной точки плоскости z соответствует начало координат пло-
скости даж, получим, что область функции ъуж будет полукругом,
изображенным на фиг. 120.
В точке Afj у ~ Н и фг = 0. Следовательно, ^ж]^	д
получим:	= И, г. е.
qr = B-\-2H.	(6,29)
Последнее выражение определяет приведенный ФИЛ1,1Р^°НоЫ
ход канала qr в зависимости от ширины канала пов р у
симальной его глубины Н.	ггп
Произведем конформное отображение обласш
Тогда получим:
• I iMo Qr	(6.30)
О1деляя в последнем выражении вещественные части от мнимых,
найдем уравнения сетки фильтрации
х — —-|— Не
гг sin ,
Чг
(6.31)
у = <рг-|-Не «г cos-^-
Qr
о < <pr < оо и
оОФгК^).
240	ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[ГЛ. 6
Полагая в выражениях (6.31) О, найдем параметрическое
уравнение поперечного сечения русла канала
х —— ф	y = Hcos-^ (6.32)
1	J qr
Заметим здесь, что кривая, выражаемая уравнением (6.32), будет
дугой трахоиды. Поэтому приводимое решение, отвечающее приня-
тому выше предположению о виде участка	границы области
функции Жуковского, соответствует случаю свободной фильтрации
из канала трахоидального сечения.
Исключая параметр из уравнений (6.32), представим это урав-
нение в явном виде
"ir==^(2+»a^osj— |/ 1 -(Ху,	(6.33)
И верхний знак берется для праной половины попе-
ечения русла канала, а нижний — для левой его половины.
Далее, полагая в выражениях (6.31) ?г~у и фг =_найдем
уравнение правой ветви кри-
вой депрессии(симметричной
левой ветви)
х =	—	(6.34)
Из уравнения (6.34) следует,
что правая ветвь кривой де*
вертикальную асимптоту с уравнением х = -&, а по-
прессии имеет
тому максимальная ширина фильтрационного потока L = qr-
Помимо приведенного нами решения в указанной выше работе
В. В. Ведерникова (2] рассмотрен иной вид задания области функции
Жуковского в виде прямоугольника, которому соответствует иная
форма поперечного сечения русла канала. В. В. Ведерниковым было
предположено, Что сильноводопроницаемый слой грунта в общей
случае расположен на некоторой конечной глубине1).
2	. Схематически рассматриваемый случай изображен на фиг. 121»
Как и в случае 1°, в настоящем случае область приведенного
комплексного потенциала фильтрации <о будет полуполосой фиг. П®*
Определим вид области функции Жуковского дож. Для этого
заметим, что на кривой депрессии яж=0, «ж|М)=0,
1) В частности же на бесконечной глубине.
§ 57]
ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗ КАНАЛОВ КРИВОЛИНЕЙНОГО СЕЧЕНИЯ
241
«ж |ж< = — и ««[^ = ±00. Далее, замечая, что я» 1^ = Я,
примем, что в плоскости смоченной части русла канала (Af4AfjAf2)
соответствует полуэллипс с центром в начале координат и полу-
осями —-	и Н. Отсюда следует, что область функции Жуковского
будет полуплоскостью с полуэллиптическим вырезом!), как пред-
ставлено на фиг. 122.
Фог. 122.
Произведем конформное отображение области <о,. на область •w».
Тогда получим:
z ivr 4- i	sh ~r + iH ch ”
Отделяя в последнем выражении вещественные части от
найдем уравнение сетки фильтрации:
У = Т,+ sl^ cos	-I,Н4
(о <р,. < оо и о <; । |	4,-J.
(6.35)
мнимых,
} (6.36)
Полагая в выражениях (6.36) <рг=0, найдем параметрическое
Уравнение поперечного сечения русла канала:
х=~ф	И у = ЯсО8^ (6.37)
2 Qr '	У*
(о<Ы<4г)-
Исключая параметр из уравнений (6.37), представим это уравне-
ние в явной форме:	_________
х = — qr arccos 4“	1 — (/0 >	(6.38)
Я * ’	/1	*	' v1 f
х} Такая форма области функции Жуковского иж ^лильтоацин в па-
зована в работе Н. Н. Павловсноп, (5) при рассмотрении фильтрации
налы криволинейного сечения.
242
ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гл. 6
где	и верхний знак берется для правой половины попе-
речного сечения русла канала, а нижний — для левой его половины.
Полученная форма поперечного сечения канала отвечает принятому
выше предположению о виде участка	границы области
функции Жуковского.
Далее, полагая в выражениях (6.36) и фг== — &, найдем
уравнение правой ветви кривой депрессии (симметричной левой ветви):
(6.39)
(О <У < со).
Зависимости (6.30) — (6.39) содержат одну неизвестную величину
Qr— приведенный фильтрационный расход канала, которая может
быть определена по заданию координат одной точки кривой депрессии.
Задание отображения на плоскость функции Жуковского смочен-
ной части русла канала в форме полуэллипса было использовано при
рассмотрении ряда практически интересных случаев фильтрации из
каналов. В уже цитированной выше работе С. Н. Нумерова [26] этот
прием использовался при рассмотрении: случая фильтрации из канала
при наличии подпора с одной стороны; случая фильтрации из канала
при наличии подпора с двух сторон (в общем случае несимметричного,
в частности же симметричного ’)); случая фильтрации из канала с уче-
том уклона естественного горизонта грунтовых вод (до сооружения
канала) при наличии подпора с одной стороны и при отсутствии
подпора. Тот же прием был использован Ф. Б. Нельсоном-Скорня-
ковым [27] при обобщении задачи В. В. Ведерникова о «береговой
дрене» на случай каналов криволинейного сечения.
§ 58. О дальнейших приложениях способа Ведерникова-
Павловского. Выше при иллюстрации способа Ведерникова-Павлов-
ского мы привели решения для весьма ограниченного числа наиболее
простых, но практически интересных случаев безнапорной и напорно-
безнапорной фильтрации. Но применение этого способа, конечно, не
исчерпывается рассмотренными нами случаями или случаями, близкими
к ним, о которых упоминалось выше. Не останавливаясь подробно
на дальнейших приложениях способа Ведерникова-Павловского, дадим
краткий обзор прочих случаев безнапорной фильтрации, при раС"
смотрении которых этот способ был также с успехом применен.
В. В. Ведерниковым [4] применением способа Н. Е. Жуковского
ыло получено решение для случая фильтрации из котлована, огра-
жденного двумя симметричными шпунтами, в предположении, что
однородный водопроницаемый слой грунта на весьма большой (теоре-
тически бесконечной) глубине подстилается слоем значительно большей
§ 58] О ПРИЛОЖЕНИЯХ СПОООВА ВЕДЕРНИКОВА-ПАВЛОВСКОГО 243
(теоретически бесконечной) водопроницаемости, не содержащим напор-
ных грунтовых вод1)- В дальнейшем В. В. Ведерников [30] распро-
странил свое решение на случай, когда сильноводопроницаемый слой
грунта находится на некоторой конечной глубине, причем в этом слое
в общем случае могут быть напорные грунтовые воды.
В. И. Аравиным [10] получено решение для случая фильтрации
в котлован, огражденный двумя симметричными шпунтами, в пред-
положении, Ч1'о однородный водопроницаемый слой грунта имеет
неограниченную мощность. Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым [27] рас-
смотрен иной случай фильтрации в котлован, огражденный шпунтами,
когда под дном котлована имеется одна или две дрены в форме
горизонтальной дренажной щели Н. Е. Жуковского. В работе
Л. Д. Аптекаря [31] был рассмотрен случай расположения дрен
вблизи шпунтов.
Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым [18] дано решение для случая
фильтрации через земляную перемычку, огражденную двумя шпунтами,
в предположении, что водопроницаемый слой грунта имеет неограни-
ченную мощность, причем имеется бесконечно глубокая вертикальная
водонепроницаемая завеса2).
Применением способа Ведерникова-Павловского получено решение
для большого чис ia случаев фильтрации через земляные плотины
и дамбы, причем указанный способ использовался как в прямом, так
и в полуобратном виде. При полуобратном применении способа
Ведерникова-Павловского принималось, что напорные откосы плотины
и дренажного банкета имеют такую ф^рму, что их отображения на
плоскость функции Жуковского будут отрезками прямых (вертикаль-
ных или наклонных). Граница же водоупора такова, что ее отобра-
жение на плоскость функции Жуковского будет горизонтальной прямой.
При таких предположениях напорные откосы плотины и дренажного
банкета, а также граница водоупора получаются криволинейными.
Предположение о том, что отображение на плоскость функции
Жуковского напорного откоса плотины будет отрезком вертикальной
прямой, было впервые использовано в работе С. Н. Нумерова [13]
при рассмотрении случая фильтрации через земляные дамбы, снабжен-
ные в низовой части дренажем в форме горизонтальной дренажной
Щели Н. Е. Жуковского. Эго же предположение не только в отно-
шении напорного откоса плотины, но и напорного откоса дренажного
банкета использовано в работе Ф. Б. Нельсона-Скорнякова [22] при
рассмотрении случая фильтрации через земляные плотины с дре-
нажным банкетом. При неограниченной мощности водопроницаемого
слоя грунта Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым рассмотрены только два
крайних случая, когда глубина воды в верхнем бьефе равна ну-
лю и бесконечности. Рассмотрение таких крайних случаев по мнению
О В общем случае с учетом капиллярности грунта.
) в частности, завеса может и отсутствовать.
244	ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	(ГЛ. 6
Ф. Б. Нельсона-Скорнякова дает оценку для характеристик фильтра-
ционного потока в случае напорных откосов любых форм («метод
предельных случаев» по терминологии Ф. Б. Нельсона-Скорнякова).
Последнее обстоятельство используется широко в монографии
Ф. Б. Нельсона«-Скорнякова [27}*) при рассмотрении ряда случаев
фильтрации через земляные плотины и дамбы.
Допущение о том, что отображение на плоскость функции Жуков-
ского напорного откоса плотины будет отрезком наклонной прямой,
было использовано впервые в работе В. В. Ведерникова [23] при
рассмотрении случая фильтрации через земляные плотины, снабженные
горизонтальным фильтром при неограниченной мощности водопрони-
цаемого слоя грунта.
Рассмотрение водоупора, отображение кровли которого на пло-
скость функции Жуковского будет горизонтальной прямой, впервые
встречается в работах А. П. Вощинина [12] и С. Н. Нумерова [13].
В первой из этих работ был рассмотрен случай фильтрации через
земляные плотины с горизонтальным фильтром при нулевой глубине
воды в верхнем бьефе. Ф. Б. Нельсон-Скорняков [20] обобщил этот
сзучай, введя вертикальную водонепроницаемую диафрагму.
§ 59. Видоизменение способа Ведерникова-Павловского в слу-
чае инфильтрации или испарения на свободной поверхности
грунтовых вод. Как указывалось выше, в § 54, способ Ведерникова-
Павловского в непосредственном виде применим только к фильтра-
ционным потокам, границами которых будут горизонтальные водо-
проницаемые участки, вертикальные водонепроницаемые участки и
кривая депрессии. При этом предполагается, что инфильтрация или
испарение на свободной поверхности зрунтовых вод не наблюдаются-
c. Н. Нумеровым [29] было предложено видоизменение способа
Ведерникова-Павловского, при котором последнее ограничение не имеет
силы. Указанное видоизменение основано на рассмотрении вместо
приведенного комплексного потенциала фильтрации	аналитической
функции
w= —/а)г-(-8гг,	(й-40)
где sr = —* 2), причем г количество воды, поступающей в грУнт
(в > 0) или испаряющейся (е < 0) с единицы площади горизонтальной
проекции свободной поверхности грунтовых вод в единицу времени-
Определим вид области функции w. Для этого заметим, что на
горизонтальных водопроницаемых участках у == const и ©r== const-
Следовательно, коэффициент при мнимой части функции w, т. е.
равен %-+ er_y = const. На вертикальных водонепро! идаемы*
участках л: = const и фг== const. Следовательно, вещественная часть
к указанно^монографии. ПбРеЧНЯ ”ИХ случаев’ отсылая ««тересуюшихся
2) ег —безразмерная величина.
§ 60] ФИЛЬТРАЦИЯ К СИСТЕМЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ДРЕНАЖНЫХ ЩЕЛЕЙ 245
функции да, т. е. и, равна фг-]- srx = const. На кривой депрессии
в случае инфильтрации или испарения,, как указывалось в § 40,
имеет место условие? и — -f~ ~rx — const) Отсюда следует, что для
рассматриваемого фильтрационного потока область функции да будет
прямолинейным многоугольником плоскости да со сторонами, парал-
лельными осям координат Ои и Ov.
Применяя интеграл Кристоффеля-Шварца, произведем конформное
отображение вспомогательной полуплоскости С на многоугольники
плоскостей даж и w. Тогда найдем две функции дая(С) и да (С), под-
ставляя которые в выражения (6.1) и (6.40), определим:
г — —------------ и wr=--------------------»	(Ь-41)
1 — гг	r	1 — ег
т. е. найдем параметрическое решение г) рассматриваемой фильтра-
ционной задачи.
В случае фильтрации в однородно-анизотропном грунте с гори-
зонтальным или вертикальным напластованием при указанных выше
предположениях о виде границы области фильтрации видоизменение
способа Ведерникова-Павловского может быть использовано при рас-
смотрении вспомогательного фильтрационного потока (см. § 44).
§ 60. Фильтрация к системе горизонтальных дренажных
Щелей Н. Е. Жуковского. В качестве иллюстрации изложенного
в § 59 видоизменения способа Ведерникова-Павловского рассмотрим
обобщение упомянутой выше задачи В. И. Аравина [6] о фильтрации
к системе горизонтальных дренажных щелей Н. Е. Жуковского
в случае, когда дренажные щели питаются не только за счет притока
грунтовой воды из толщи грунта (напорные грунтовые воды), но и
за счет инфильтрации на свободной поверхности. Указанная задача
была рассмотрена в упомянутой выше работе С. Н. Нумерова [29] )
Учитывая симметрию фильтрационного потока, ограничимся рас-
смотрением его фрагмента, изображенного на фиг. 123.
’) Параметром будет переменная С.
2) При нулевой внутренней ширине дренажных щелей (о =»
246
ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[ГЛ. 6
Определим область функции Жуковского дая. Примем за пло-
скость сравнения напоров плоскость дренажной щели. На контуре
дренажной щели AfgAfjAfo и на обеих ветвях кривой депрессии
Ж2Ж3 и Л46Л4в будем иметь <эг^у. Но тогда на указанных
выше границах фрагмента —%,—0. Далее, принимая в центре
дренажной щели — О, найдем, что на левой граничной линии
z«
тока 2И42И6 х =----и Ъг —— где q'r—приведенный филь-
трационный расход дренажной щели, поступающий из толщи грунта.
Заметим здесь, что приведенный инфильтрационный расход дренажной
щели qr' = ef(L— b). Полный же приведенный фильтрационный рас-
ход дренажной щели qr = q'r-^-q''. Отсюда получим, что на левой
границе фрагмента Л14Л1б иж
щему получим, что на правой
~-------— . Аналогично предыду-
границе фрагмента AfgAfj х =
Г
Яг
и’ следовательно, «ж==
L 4- qr
— —g—. Отсюда вытекает, что
область функции Жуковского
будет прямолинейной полуполосой,
изображенной на фиг. 124.
Далее, определим область функ-
Фиг. 124.
ции да. Для этого заметим, что
на контуре дренажной щели у = О, <рг=о и, следовательно, коэф*
фициент при мнимой части функции да, т. е. v — — Тг+М®®’
На левой ветви депрессии ЖБЛ46 вещественная часть функции
т. е. и = фг-}-егх = С — const. Определим эту постоянную из усло-
вия в точке Мб, где №-----------и — Тогда получим
9г+»г^ ЧГ+*ГЬ	qr+\b
2-------------2--- и> следовательно, и — — -—%----------
На левой границе фрагмента MtMb х = — -^-,	= —	. Сле-
довательно, « = —^г~2 • Таким образом, на левой границе фраг-
мента и на левой ветви кривой депрессии и = —-- —  Анало-
гично предыдущему получим, что на правой границе фрагмента и на
правой ветви кривой депрессии и = -&+2г1. Отсюда следует, что
область функции да будет полуполосой, изображенной на фиг. 125-
Вводя в рассмотрение вспомогательную полуплоскость С, изобра-
женную на фиг, 12®» произведем конформное отображение этой полу"
§ 60J ФИЛЬТРАЦИЯ К СИСТЕМЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ДРЕНАЖНЫХ ЩЕЛЕЙ 247
плоскости на области и w. Тогда найдем:
= “ «+arcsin	(6.42)
w=| (qr 8^) arcsl n ,	(6.43)
а = _?.%. + 0.,	(6.44)
2(qr+L)
Исключая из выражений (6.42) и (6.43) параметр С и имея в виду-
зависимости (6.1) и (6.40), найдем неявное выражение искомого при-
веденного комплексного потенциала фильтрации
= <М5>
L + qr	О %*
На правой ветви кривой депрессии
. 7г + zr^ . о г
и ^г =---------2 г
Отсюда в силу (6.45) на указанной ветви
яГ_£г + !А + (1-ег)х]	(1_er)v
sin	51П “	*
Но тогда уравнение правей ветви кривой депрессии (симметричной
левой ветви) будет:
- 7
Х~~ 2
Qr + L
W	и
(6.46)
(6.47)
причем значком /—• обозначено произведение соответствующей
чину без этого значка на веадчийу I — м Например; х — (* М •
248
ВТОРОЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 6
Из уравнения (6.46) при х = и у — Н найдем:
Я^-^QJnctg^.
(6.48)
По этой формуле может быть определена максимальная отметка кри-
вой депрессии при известном полном приведенном фильтрационном
расходе qr дренажной щели.
докажем, что в случае притока грунтовых вод из толщи грунта
линии равных напоров при углублении в толщу грунта будут при-
ближаться к горизонтальным прямым. Для этого в уравнении (6.45)
отделим вещественные части от мнимых. Тогда получим:
sin	ch = sln а Sin ^ + 4v) ch	|
Qr + r	(?„ + £	Qr	Qr
cos —sh —sln я cos	sh —.
Qr+E	Qr + L	Qr	Qr	)
При достаточном удалении в толщу грунта у и — будут большими
положительными числами. Но тогда, имея в виду асимптотические
выражения гиперболических функций, уравнения (6.49) приведем
к следующему приближенному виду:
г- (y~tr)
. я (х 4- фг) Q +1	.	. Л (е„Х + фг) Qr
Sln _-V..-Т.ЛД-7 е ты sin я sin r ' T>- e r
Qr + L	Qr
(6.49')
к(x 4- Q ±L . я(£r-T + 41,) Qr
~e vrr" ~ sm a cos —i-T——— e
Qr + L	Qr
Возводя в квадрат обе части уравнений (6.49') и складывая полу-
ченные результаты почленно, имеем:
Решая последнее
найдем, что напор
о +Т _ ,	о
е Ab sin a е	vr
уравнение относительно неизвестной <?r= п
+ eД.) (?r + A) . .	/a go)
hw—------------iE7rz-gr)£- - In sin a.
Отсюда и вытекает указанное выше свойство линий равных напоров
на достаточно большой глубине в толще грунта.
Уравнение (6.50) дает возможность определить приведенный
фильтрационный расход qr дренажной щели, поступающий из толши
грунта, если будет известен напор Л по горизонтальной пло-
скости, лежащей ниже плоскости дренедщой щели на расстоянии /•
§ 60] ФИЛЬТРАЦИЯ К СИСТЕМЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ДРЕНАЖНЫХ ЩЕЛЕЙ 249
Определим внешний размер В дренажной щели. Для этого за-
метим, что на границе дренажной щели (AfgAfjALj) у = ®,	= 0
и в силу уравнения (6.45)
sin	= sin a sin	.	(6.51)
Qr+T	Qr
Дифференцируя уравнение (6.51)
, dx
на концах дренажной щели ^- =
по переменной
0, получим:
'К
и замечая, что
cos	<L±£Sinаcos *<е<+Ы.	(6.52)
Qr + L	Qr	Qr
Решая уравнения (6.51) и (6.52) относительно неизвестных х и
найдем:
(Qr -f £) [ arccos	— sin Р arccos (tg £ cig a) j, (6.53)
где
В заключение отметим, что если дренажные шели	то
за счет инфильтрации на свободной поверхност рун
Q =0 а =а" = г (L_______Ь) и В = arcsin s?.. если же дре
Щели питаются только за счет притока грушевой в®g°^_
грунта1), то . =0, ,; = 0.	и деаетвкгемхе "“е““е
»еры совпадают с соответствующими пр™“'™“"“„^Мфильтрадвон-
ченными волной сверху. Отсюда следует, ч р	„ости грун-
ной задачи с учетом инфильтрации на сво о задачи без учета
говых вод получается из решения соответствующей задачдоез у
инфильтрации изменением всех линейных разм-РсмогренногоГ выше
Эгот результат имеет место не только для Ра^ нали_
случая фильтрации, но и для других случае ф Р‘ и груИто-
чии инфильтрации или испарения на свободной поверхности гру
ВЫХ вод.
3) Случай В. И. Аравина при & =£ 0.
ГЛАВА 7
ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(СПОСОБ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ)
§ 61. Первый вариант способа годографа скорости. Третий
способ применения конформных преобразований при решении задач
плоской установившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости
основан на использовании годографа скорости фильтрации. Мы будем
в дальнейшем именовать его способом годографа скорости. Способ
годографа скорости был впервые использован в теории фильтрации
независимо друг от друга В. В. Ведерниковым [1] и Н. Н. Павлов-
ским (9].
В настоящее время разработано четыре варианта способа годографа
скорости.
Первый вариант способа годографа скорости, предложенный
впервые В. В. Ведерниковым [1] и Н. Н. Павловским [9], применим
в тех Случаях, когда граница области фильтрации состоит лишь из
водопроницаемых и водонепроницаемых участков и кривой депрессии
при отсутствии инфильтрации или испарения на свободной поверхности
грунтовых вод. При «прямом» применении первого варианта способа
годографа скорости предполагается, что водопроницаемые и водо-
непроницаемые участки границы области фильтрации будут прямо-
линейными ломаными линиями. При «полуобратном» его применении
форма водопроницаемых и водонепроницаемых участков получается
в зависимости от принятого вида годографа скорости на этих участках.
При сделанных выше предположениях о виде границы области
фильтрации область приведенного комплексного потенциала филь-
трации сог будет прямолинейным многоугольником со сторонами,
параллельными осям координат 0<рг и Офг,
Как указывалось выше, в § 42, прямолинейному водопроницаемому
участку в плоскости годографа скорости v^Ov,, соответствует
прямая линия (или ее часть), проходящая через начало координат
пипяРыпм^И'Я^РНаЯ К 9Т0Му >часткУ1)' Прямолинейному водонепро-
= 1ИУ ^ответствует прямая линия (или ее часть), про-
Д р ало Координат параллельно этому участку ])« Кри*
9 Указанная линия может быть пройдена частично дважды.
§61]	ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ СПОСОБА ГОДОГРАФА СКОРОСТИ	251
вой депрессии в отсутствии инфильтрации или испарения соответствует
окружность (или ее часть) с центром в точке с координатами
k
радиуса . Отсюда следует, что при сделанных выше предположе-
ниях о характере границы области фильтрации годограф скорости
на этой границе, а следовательно, и граница области комплекс-
ной скорости фильтрации vx—ivy будут состоять лишь из ок-
ружности и прямых (или их частей), проходящих через начало ко-
ординат.
Сделаем дробно-линейное преобразование области комплексной
скорости фильтрации вида
ту==----— = —г-—.	(7.1)
Vx—toy dmr
При таком преобразовании указанные выше окружность и пря-
мые перейдут в прямые линии. Отсюда следует, что область новой
комплексной переменной ту = будет прямолинейным много-
угольником.
Определив области переменных шг и ту, произведем конформное
отображение первой из этих областей на вторую. Тогда найдем:
ту=/(в>Д.	(7-2)
Далее, подставляя в (7.1) вместо величины ту ее выражение (7.2)
и интегрируя, получим:
z=>F(n>r) =	(7.3)
т. е. найдем неявное выражение искомого приведенного комплексного
потенциала фильтрации, по которому могут быть определены все
прочие характеристики фильтрационного потока.
Так как области переменных <в и ту прямолинейные многоугольники,
то при определении функции /(сог) может быть использована формула
Кристоффеля-Шварца. Для этого необходимо ввести в рассмотрение
вспомогательную полуплоскость С и произвести конформное отображе-
ние этой полуплоскости на области переменных сог и ту. В результате
этого найдем функции шг =/] (С) и ту = /2 (С). Далее, сделав обраще-
ние функции/j (О, найдем функцию С =/3(«Д. Подставляя в выражение
Функции тУ==/а(С) вместо С ее выражение /8(«Д, найдем искомую
Функцию /(шД.
Если обращение функции wr=/1(Q невыполнимо, то искомое
Решение может быть выражено в параметрическом виде1):

(7.4)
*) Параметром будет переменная
252
ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гл. 7
Как уже указывалось выше, первый вариант способа годографа
скорости может быть применен не только в «прямом», но и в
«полуобратном» виде. В последнем случае задаемся произвольным видом
годографа скорости на водопроницаемых и водонепроницаемых участ-
ках, так чтобы отображаемую функцию f (а>Д можно было бы сравни-
тельно легко найти. Далее по формуле (7.3) находим форму водо-
проницаемых и водонепроницаемых участков, отвечающую принятым
предположениям. Если найденная форма этих участков приближенно
соответствует условиям задачи, то полученное решение может быть
признано практически приемлемым.
В случае фильтрации в однородно-анизотропном грунте при ука-
занных выше предположениях о границе области фильтрации пер-
вый вариант способа годографа скорости может быть использован
при рассмотрении вспомогательного фильтрационного пото-
ка (см. § 44).
Ниже для иллюстрации первого варианта способа годографа ско-
рости приводятся решения для ряда наиболее простых, но практи-
чески весьма интересных случаев безнапорной и напорно-безнапорной
фильтрации.
§ 62. Фильтрация воды из оросителя ирригационной системы-
В качестве первого примера, иллюстрирующего первый вариант спо-
таты на случай оросителя малого
сечения.
соба годографа скорости, рассмо-
трим исследованный Н. Н. Вериги-
ным [35] случай фильтрации воды
из оросителя (бороздового типа)
ирригационной системы, представ-
ленный в схематическом виде на
фиг. 127. При этом учитываем
капиллярность грунта.
При первоначальном рассмо-
трении ороситель заменим точеч-
ным источником. Далее, принимая
одну из линий равныхнапоровза по-
перечное сечение русла оросителя,
распространим полученные резуль-
, близкого к полукругу, поперечного
Определим область приведенного комплексного потенциала филь
трации <ог. При капиллярности грунта участок	поверхности
земли будет линией тока. Примем, что на этой линии <}г®=—"jf’
условие мыР будамНимет?ИнГРпп^ИОйНЫЙ расход °P0CHTe-™- Такое же
Аналогично предыдущему получим КрИВ0Й депрессии
У учим, что на левой ветви кривой Де'
прессии и на участке М м	, 9г
' утке поверхности земли 4’r==~g''
62) фильтрация ВОДЫ из оросителя ИРРИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ 253
Принимая приведенный потенциал скоростей фильтрации
р+рк —р& v 1) ,
получим, что в точках М.% и Л14	— 0. Отсюда следует, что область
приведенного комплексного потенциала фильтрации будет полосой,
изображенной на фиг. 128.
Найдем вид годографа скорости на границе области фильтрации.
Для этого заметим, что на участке поверхности земли = Q
и т'да^-О, причем в точках Мх
и скорость фильтрации,
а следовательно, vx соответ-
ственно равны оо и 0. На пра-
вой ветви кривой депрессии
Л42Л13 годограф скорости бу-
дет той частью окружности
с центром в точке с координа-
тами ^0, радиуса у, на
которой выполняется условие v® VLVy 5s 0, г. е. будет полуокружностью,
лежаще i в пределах первого координатного угла плоскости v^OVy.
Анало! ично предыдущему получим, что на левой ветви кривой депрессии
годограф скорости будет второй половиной указанной выше окружности.
На участке же A4iA4,l поверхности земли vv — 0 и па,<^0. Отсюда
следует, что iодограф скорости на границе области фильтрации будет
иметь такой вид, как представлено на фиг. 129.
Фиг. 129.
Фиг. 130.
Производя дробно-линейное преобразование вида (7.1),	чт0
область функции w будет полосой, изображение т« ф •	•
Произведем конформное отображение обла г г
Тогда найдем:
1, и. Г я б-ЗГ-Д-<о М	(7-5)
Incth —2 -Г I-;]-
!) Рк — капиллярное давление.
254 третий Способ койформных преобразований |гя. 1
Подставляя найденное выражение для функции w в (7.1), получим:
/ In cth [ -	+ <or )] d^r 4- с,	(7.6)
где С — некоторая постоянная, определяемая ниже.
Вблизи источника <?г близко к — оо и, следовательно,
Но тогда
2 -(iK)
~qre^ *	r)+c.
Из условия — 0 найдем С—0. И тогда вблизи источника
Я ( Я.г А
(717)
а следовательно,
Отсюда получим, что вблизи источника эквипотенциальные линии и
линии равных напоров близки к полуокружностям с центром в начале
координат.
Примем одну из этих линий диаметра D за поперечное сечение
русла оросителя. Тогда, замечая, что на этой линии© ~— — = —
,	r 1
где высота капиллярного поднятия грунтовой воды, найдем:

(7.9)
Последняя зависимость определяет приведенный фильтрационный Ра
ход оросителя при заданных его диаметре D и высоте капиллярно
поднятия воды в грунте h*.	ь —Q
Заметим здесь, что в пренебрежении капиллярностью грунта
и, следовательно,

(7.10)
На линии МгМ2 _у==0, фг =—и —оо<^»г^0. ОтсЮДа
в силу (7.6) на этой линии
* = ~ ) Incthf—
я •) V 2?г/
—С©
§ 62] ФИЛЬТРАЦИЯ ВОДЫ ИЗ ОРОСИТЕЛЯ ИРРИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ 255
т. е.
8
x — .Lqr j* in cth(—x}dx,	(7.11)
— ОО
где s =	(— оо < s < 0).
Применяя зависимость (7.11) в точке Ж2, где х = и s = 0,
найдем:
о
Z==A^r J In cth (— x)dx.
— ОО
Последний интеграл может быть вычислен. Действительно, вводя
новую переменную интегрирования / = е2т, имеем:
о	1
J In cth (— x)dx = ~ J
—co	0
Подставляя найденное значение интеграла в написанное выше выра-
жение, получим:
Z=|.	(7.12)
Найдем уравнение правой ветви кривой депрессии (симметричной
левой ветви). Для этого заметим, чго на указанной ветви <аг=у
и в силу (7.6) и (7.12)
х-^ + ~ | lncth(^-)^=4-4-~<7r J
о	21
"У
в" «Г
7|ПГ=7'“’
б
т. е.
(7.13)
где 0 у < оо и
Я
. . .	2 fl. 1 “f~ t J/ Q\
J 7" i _ /	)•
6
*) См. приложение I.	.
’) Таблица значений этой функции приводится в приложении 1.
256	ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ [гл. 7
Полагая в (7.13) у — оо, найдем, что максимальная ширина филь-
трационного потока оросителя
L — 2l=qrr).	(7.14)
Полученные выше результаты дают возможность по заданному
диаметру D оросителя и высоте h* капиллярного поднятия воды
в грунте определить приведенный фильтрационный расход qr оро-
сителя и максимальную ширину L орошаемой полосы грунта,
следовательно, установить рациональное расстояние между ороси-
телями в случае их системы.
Заметим в заключение, что из уравнений (7.9) и (7.14) следует,
что пренебрежение капиллярностью грунта дает заниженное значение
фильтрационного расхода оросителя, а гем самым и ширины орошае-
мой полосы грунта, г. е. эффективности оросителя.
§ 63. Напорно-безнапорная фильтрация в основании плоского
флютбета. Рассмотрим случай напорно-безнапорной фильтрации
в основании плоского флютбета, схематически изображенный на
фиг. 131.
Фиг. 131.
Выше точки Ms2) фильтрационный поток будет напорным, а ниже
этой точки—безнапорным. Предполагается, что однородный водо'
проницаемый слой грунта подстилается слоем грунта значительно
большей (теоретически бесконечной) водопроницаемости, причем на
верхней горизонтальной поверхности нижнего слоя напор имеет за-
данное постоянное значение. Капиллярность грунта верхнего слоя
учитывается.
Рассматриваемый случай, впервые исследованный С. Н. Нум'Р0'
вым [30] методом, отличным от способа годографа скорости, может
представить интерес при расчетах фильтрации в основаниях напорный
бассейнов деривационных ГЭС.
1) Заметам, что кривая депрессии весьма
асимптотам.
я) По течению фильтрационного потока
быстро приближается к своим
§ 63]
НАПОРНО-БЕЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
257
Определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации <ur. Примем за плоскость сравнения напоров h горизонт воды
в бьефе. Тогда на линии дна бьефа МАМХ <рг = 0. Обтекаемый филь-
трационным потоком участок подошвы флюгбега М,М2 и кривая де-
прессии Ж27И3 будут линией тока (фг = const). Примем, что на всей
этой линии МгМаЛ13 = 0. На верх-
ней границе 2И47И3 нижнего хорошо водо-
проницаемого слоя грунта уг?=Н, где
Я—разность напоров в верхнем бьефе
и в нижнем слое грунта. Отсюда следует,
что область приведенного комплексного
потенциала фильтрации будет полуполо-
сой, изображенной на фиг. 132.
Найдем вид годографа скорости на
границе области фильтрации. Для этого
заметим, что на линии дна бьефа
t)x — Q и -»г/>0, причем на ребре
флюгбега М1 vy== оз ив точке ТИ4,
вблизи которой фильтрационный поток
Фиг. 132.
будет равномерным, — На обтекаемой части подошвы флют-
бега МгМаъу-= 0 и vc > 0, причем на ребре флютбета Afj ‘Оа,=оо.
На кривой депрессии годограф скорости будет той частью окруж-
ности с центром в точке с коор-
динатами (0, у 1 радиуса -%, на
которой выполняются условия vx и Так как в ™чках »
скорость Фильтрации горизонтальна, a следовательно, ИПо^ед-
нулю, то указанная часть окружности проходи i ся д ' пе-
нее соответствует наличию у кривой депрессии о	слоя
региба. На верхней границе ТИ4Л13 хорошо водопро
грунта vx — Q и ^>0, причем в точке Л14 %==-у’ и в то
ке Ма <ш = 0. Из полученных выше результатов
годограф скорости на границе области фильтрации уд
вид, как показано на фиг. 133.
258	ТРЕТИЙ способ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ |м- ?
Сделав дробно-линейное преобразование вида (7.1), найдем область
изменения функции w, представленную на фиг. 134.
Произведем конформное отображение области шг на область «.
Тогда найдем:
,n ”(77t + fti+<»r)
дает11п— (7.15)
« sin	—щг) ~ Н	6 2Н
2Н
Н
2Н
Подставляя найденное выше выражение для функции w в (7.3) и
используя условие г)ш =0 —0, получим:
ш
2Н
«-1 "	,1Н 21-' » а-|(г+Н, + *»-и>|"см'2Т'
*J	*	(7.16)
и
2Н
Определим положение точки М.г отрыва фильтрационного
тока от подошвы флютбета. Для этого заметим, что на обтекав.
части подошвы флютбета МгМ% у — 0 и tyr = 0, Но тогда в
(7.16) на указанной части
Д « (Н\ + ^к 'hJl
—H)lncos^ J 1н ~~^(ЯГ+^ГЕД
J sin —~^h
°	(7.17)
где
Полагая в (7.17) «г =	-{-hk, найдем:
<==-4(T’+H1 + hi-H)lncoS^l±^fc)- 4-
Hi+hi
/»	к (Hi fiji + 0_
4.1 I ,n	di.
+ « ln~........
J sin----------
о
Интеграл, входящий в последнее выражение, может быть приведен
к более удобному виду. Действительно,
f* stn "(Hi + hfe + Q
| in--------~-f.	------

Hj+Aj
Я
/»
In sin m dt —
о
§ R
НАПОРНО-БЕЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

я	_
1П5|П«Л_2|2(//1 + Аа.)±2н Г lncos^ =
«	о
, Я1+А*
я
= _ 1!!!2 (И —/7, —л4) —-// I lnsin~<M-
5С '	х л 1Z	Z
О
Г1 Ш|дй
/ = 2HF, ^T_H±~h^ + (т+ Я, + Ик - Н) F2	, (7-18)
где
Ft(s)e_ 112 S_1 | insin^-dx и F2(s) = — f'n cos "-.
0
Значения функции Ft(s) приводятся в таблице 6 1 2).
Таблица б
Выражение (7.18) онреде-яес —не ™ки отрыва фиинтрацион-
кого потока от подошвы флютбета. /м м \ Для этого в урав-
Найдем уравнение кривой	^олучим:
нении (7.16) положим <ur = Н,Ч-/fk + .v-
х =' + j(т+и, + h, -Н) 1 и cos ^а^--
- 4 (7-+Н, + А( - Н) In cos ЛДЦЬ+Д +
Я,+Аь+»	, ч
, р „„дУЬ+А+Д
dt.
= ^(у)ад0-103-
1
*) Имея к виду, что I In cosIn 2.
о
2) Зам етим, что Р) (2 — s) = — Fi (®)> а (^'1)т*х
260	ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[ГЛ. ?
Преобразуя последний интеграл подобно интегралу, приведенному
выше, найдем уравнение кривой депрессии

+	। р (У\ р / 2//t+2ft*+.V
~1Г~) + F	~ F i £
+(T+Нг+hk-H) F2pi**+Г; _	,	(7.19)
где 0<y<H — H1 — hk.
Рассмотрим два частных случая изучаемой нами задачи.
В первом частном случае (фиг. 135), исследованном В. В. ел Р
никовым [18], 7/=7'4-Я1, причем нижний сильнопроницаемый ело
находится на весьма большой глубине (Т=со).
Фиг. 135.
Найдем выражения (7.18) и (7.19) для этого случая. Заметим,
что при малом s
>
Fi(s)«a	~s——• 1 In -~~dx — 1 s(l — In я — Ins),
15 »J Z	n
0
F„(s) = —-Infl — sin2	S'2
* - ' n\	2)4
и при s, близком к единице,
F1(s)«-^(l-s).
Используя последние результаты, найдем, что при
Н->оо длина обтекаемой части подошвы флютбета
,	21п 2 . р, . , ..
I — —*).
#=7* + #! «
(7.18')
*) Здесь 1121
Я
0,441.
§ 631
НАПОРНО-БЕ ЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
261
А уравнение кривой депрессии будет:
.г -1 +1 [у 1 п +	+ 2 (/7t + А*) > п
2Н[	+ У 1 fi ig'\
” 2НГ+2ЛГ"Г {	'
ие 0	< оо.
Во втором частном случае (фиг. 136), исследованном С. Н. Ну-
меровым (30], однородный водопроницаемый слой грунта имеет неогра-
ниченную мощность (Т==оо).
Фиг. 137.
Фиг. 136.
потенциала фильтрации будет первым
скости о>г (фиг. 137), а область функции
Производя конформное отображение области ч>г
найдем:
координатным углом пло-
да будет прежней ’).
на область да,

(7.15")
где А — некоторая положительная поСТО^ая’ п 15"), шпегрируя
Подставляя в (7.3) вместо да ее выражение (7.Ю Л
и используя условие z(ra(.=o —О, получим.
Z ~ Я (#1 4-+ "г) Ш (1 4
+ ^(//1+Afc-<or)ln(1 ~н^ + А^
Полатая в выражении (7.16") шг =	найдем, что
обтекаемой части подошвы флютбета
I = 2111 (Нг + А*) + А (И, 4 А*)8.
Полагая в том же выражении ®r»Hi4^*4"-v’ найдем
(7.16")
д ина
(7.18")
урав-
нение кривой депрессии
x==|(2H14-2fti4-y)ln
(2 +
Hi+W
1	. v .
Я У +
4 А (^4 4 V)8,
(7.19")
х) При совпадении точек М» к
262
ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 7
В зависимостях (7.15")—(7.19") содержится одна неизвестная
постоянная А, которая может быть определена, если будут заданы
координаты одной точки кривой депрессии.
§ 64. Горизонтальный фильтр. В качестве примера, иллюстри-
рующего применение первого варианта
Фиг. 138.

способа годографа скорости
при исследовании фильтра-
ции в однородно-анизотроп-
ных грунтах, рассмотрим
случай фильтрации к гори-
зонтальному фильтру, изо-
браженный в схематическом
виде на фиг. 138 ’).
Применяя изложенный
в § 44 способ исследова-
ния фильтрационных потоков
в однородно-анизотропных
грунтах, введем в рассмотрение вспомогательный фильтрационный
поток в однородно-изотропном грунте с областью фильтрации (фиг. 139),
получающейся из данной анизотропной области фильтрации равно-
мерным ее сжатием в направлении
оси
раз. Налом-
r Ry
ним, что через kx и kv обо-
значены величины коэффи-
циента фильтрации однород-
но-анизотропного грунта при
фильтрации в направлениях
осей координат Ох и Оу-
Величины же р и 7"' на
фиг. 139 будут иметь следу-
ющие очевидные выражения:
Ох ъ к —
и
р = arctg(Z tp а)
-j-f COS [1 -j-
COS a
(7.20)
Фиг. 139.
Определим область гр;щсАСПИи|и
могательного фильтрационного потока
** уц;
Зй ПЛ0^/Т.Ь„Сравнения нап°Р°в примем дно бьефа. Тогда на гра-
нице	фильтра и бьефа <?/ = —ft = 0. Кривая депрессии
будет линией тока (^«сий). Примем, что на этой линии
Фг^0. Граница водоупора XX будет также линией тока. Если
’) Настоящий случай рассматриваема впервые.
приведенного комплексного потенциала вспо-
(7.2D
§ 641
ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР
263
обозначим через q расход фильтрационного потока в анизотропном
грунте, то на линии Af'Af' ty'r = q'r’ где	®тсюда сле“
дует, что область приведенного комплексного потенциала вспомога-
тельного фильтрационного потока будет полуполосой, изображенной
на фиг. 140.
Найдем вид годографа скорости на границе вспомогательного
фильтрационного потока. На верхней границе фильтра (УИхЖг) ско-
рость вспомогательного фильтрационного потока перпендикулярна
к этой границе и направлена в сто-
рону водоупора, т. е. наклонена
к оси Ох' под углом у— Р, при-
чем в точке Мг, где вспомогатель-
ный фильтрациош ый поток обте-
кает угол > 180°, скорость равна оо.
Отсюда следует, что на верхней
границе фильтра годограф скорости
будет полупрямой AfjAl' плоскости
v'^OVy,, наклоненной к оси Ох'
под углом —р. Аналогично предыдущему получим, что на ниж
ней границе фильтра и на дне бьефа (Af2№) CKOp°^JbnBSn°”°raJ^QM
ного фильтрационного потока будет наклонена ко	У
—4" р^, причем в точках М' и М' скорость
будет соответственно равна оо и 0. Отсюда
следует, что на нижней границе фильтра и
на дне бьефа годограф скорости будет полу-
прямой М'^М'з плоскости Vj-rOVy’, наклонен-
ной к оси Ох' под углом —4~ На
границе водоупора	скорость вспо-
могательного фильтрационного потока на-
правлена параллельно этой границе слева
направо, т. е. наклонена к оси Ох' под
углом — р, причем в точках М\ н 44' ско-
рость обращается в 0. Отсюда следует, чго
на границу водоупора 44'44' годограф скоро-
сти будет дважды пройденным отрезком 44+443
плоскости v^,0v'v, (фиг. 141). На кривой депрессии (44/4J
граф скорости будет дугой окружности плоскости	с
» точке 4*^,
Фиг. 141.
264
третий способ конформных преобразований {гл. 7
Так как при перемещении по кривой депрессии от точки М\ к точке ЛЬ
угол наклона скорости относительно оси Ол/ увеличивается от —0
15 о
Д° ~2—Р’ то Указанная Дуга будет полуокружностью между точ-
ками и 714'. Из изложенного выше следует, что годограф ско-
рости на границе вспомогательного фильтрационного потока
иметь тякпв nun изображено на фиг. 141.
иметь такой вид, как
будет
Фиг. 142.
гле /г - cos Р л
cos а И — некоторая
делим.
Сделаем дробно-линейное преоб-
разование вила
(7.22)
<4	— 'V
Тогда получим, что область функ-
ции w' будет иметь такой вид, как
представлено на фиг. 142.
Произведем конформное отобра-
жение области о/ на область гг'.
Тогда найдем:
,	.. (	А кшг \
и> — ае~*9 (i---г ------, th -—г )•
\	Яг	Яг 2Чг /
(7.23)
постоянная, которую мы сейчас опре-
г'=
Для определения неизвестной
ностя точки M't плоскости
In ch-—,
ч
ФТиВ" ” ’ {7Л2)-
J условие z I » =0, найдем:
Г
__ <ОЛ . 2 . пш'
•—-г- 4- — A Inch ——
1 постоянной А заметим, что и окрест-
о>
Г
2?, ~ь—-•>.
— четверти окружности,
равая часть последнего выражения при-
(7.24)
In sin
При обходе точки X по бесконечно малой
как показано на фиг. 140, i------
обретает слагаемое I —, Но такому обходу в плоскости z' соот-
рХГВИ'аЧппиВ °“Рестиости т°чки м'8 со стороны МЯМ', из СТО-
4 з’ Р ором величина приобретает слагаемо?
*) Так как величина Ma^a,
обретает слагаемое
режу М’М\
*) Так как величина J
приобретает слагаемо?
§ 64|
ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР
265
IT' = i —t. Отсюда получим i -^LL t — — iaA и, следовательно,
cos a	J cos a
A~—T.
Подставляя найденное значение постоянной А в (7.24), получим:
(<i//	9	Ж- \
i<u'——-----— Tin ch —— j,	C-‘^)
' 2qr	K	2<lr J
т. e. найдем неявное выражение искомого приведенного комплекс-
ного по1енциа1а вспомога1ельного фильтрационного потока.
Переводя or характернаик вспомога!ельного фильтрационного
потока к характернаикам фильтрационного потока в однородно-
анизотропном грунте, получим:
= ае'^
Ф \2
fM»/
2g
L_)i
где
1 ^а-^у
т.
2 Tin ch -
Л
V"
Ykxkv
(7.26)
Р _ arct
1
v
О
cos з
а —-------
cos a
^<4-
sln3 a 4- COS2 a
На кривой депрессий 4»==0 и P = Pa> следоваель ,
й = —xsina —yzcosa. СИсюда в си .у (7.26) на згой кривой
,__	г-.~	1	.о	•	*	__
jA^x-/(.rtga |-Го^)==1^^7"
-\Tk k К1 2 /М
ас~ * U/A -	,П Ch Ь -2ГН! ’
Т’ е‘	г г.—Г~ «р О	,
/"Т~	( О, J_feM14--7’lnch----------------2о-/]г
— x^i/ Л» ahsinp + cosM------27	4	4
* Ку \
-y^xtga + ^A-	(7 27)
(О < Й < °°)-
ч	ипаннение кривой депрессии в пара-
Зависимоаи (7.27) выражают уравнени i
метрической форме ’).
’) Параметром будет напор h.
266
ТРЕТИЙ СНОСОВ КОНФОРМНЫХ преобразований
[гл. 7
Определим ширину фильтра 1$. Обозначим через фильтрацион-
ный расход, поступающий в фильтр сверху. Тогда на ребре ЛГ2 филь-
тра w' — i—. Так как в этой точке ш'= О, то, обозначая че
УМ,
тельно,
(7.29Э
I .~1_№____
« ky Vk^y Т 
) При	— (1—а)-з — * с относительной ошибкой
<0.5%.	Я	6
§ 65] ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНУ
С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ОТКОСАМИ 267
В приведенных выше зависимостях содержится одна неизвестная
величина q— полный расход фильтрационного потока, которая может
быть определена, если будут заданы координаты одной точки кривой
депрессии.
В случае фильтра, лежащего на горизонтальном водоупоре, рас-
смотренном П. Я. Полубариновой-Кочиной [27], в выражениях (7.26)
и (7.27) следует положить Т = 0. Ширина же фильтра 1$ опреде-
лится из иных предпосылок по сравнению с случаем Т=£0. В случае
Т— 0 фильтрационный расход, поступающий в фильтр сверху (</$),
совпадает с полным расходом фильтрационного потока (<?). Но тогда
на ребре Ж2 фильтра
Отсюда в силу (7.25) при Т = 0 найдем:
1 __
~—г—.....: .
2 V kxky
Т= 0 распространяются на случай Т=оа
(7.30)
для случая
горизонтального фильтра в однородно-анизотропном
Зависимости
т. е. на случай .	___ ____ ,____, - ------- ----------•-----
грунте неограниченной мощности, причем здесь под величиной q сле-
дует понимать фильтрационный расход, поступающий в фильтр сверху.
Так как полный расход фильтрационного потока равен бесконечности,
то 0 6 < оо .
В случае однородного и изотропного грунта в приведенных выше
зависимостях следует положить а = |? = 0 и kx = ky — k.
3iметим в заключение, что случай горизонтального фильтра в слое
однородного и изотропного грунта ограниченной мощности (T=f=
и 7^ со) был впервые рассмотрен Н. Т. Мелещенко [25]. Случай же
фильтра, лежащего на горизонтальном водоупоре, подробно иссле
ловался Н. Н. Павловским [10].
§ 65. Фильтрация через плотину с криволинейными откосами.
В приведенных выше примерах первый вариант способа годографа
скорости применялся в непосредственном виде. Но, как указывалось
выше, область применения этого способа можег быть значительно
Расширена, если воспользоваться так называемым «полуобратным»
приемом рассмотрения. Для иллюстрации этого приема рассмотрим
случай фильтрации через земляную плотину на водопроницаемом ос-
новании ограниченной мощности в предположении, что верховые от-
косы плотины и дренажного банкета, а также дно верхнего и нижнего
бьефов имеют криволинейные очертания, а промежуток высачивания
отсутствует (фиг. 144).
Указанный случай был рассмотрен С. Н. Нумеровым [32].
Определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации о>г. Примем за плоскость сравнения напоров горизонт во
в верхнем бьефе. Тогда на всей границе верхнего бьефа
ZDS
ТРЕТИЙ СНОСОВ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 7
?г = —А=о. Кривая депрессии МгМ2 будет линией юка (<pr=const).
Примем, 41 о на этой линии % = 0. На всей границе Af2Af3 нижнего
бьефа <рг = /У, где Н—действующий напор. На верхней границе
Фиг. 144.
водоупора Ж4Л18, являющейся линией гока.
приведенного комплексного потенциала
угольником, изображенным на фиг. 145.
фильтрации будет прямо-
грации замегим^чго ГОлограФа скоРости на границе области филь-
Так как3в4V= 0 и ^>0.
годограф скорости на" гоаниД Р°СТЬ ФИЛЬГР31‘ИИ Ра™а нУлЮ- то
ным отрезком М М плпл/л лоУпоРа выразится дважды пройден-
сии годограф скорости ' °СТИ (Фиг- 146). На кривой депрес-
РФ скорости выражается дугой окружности с центром
(а \	Jg
\ ’ *2) РадиУса у. Замечая, что в точке Л1(
наклонен к горизонту под углом
получим, что го-
в точке с координации
вектор скорости фильтрации
("2 — <х)’п’ а в точке ^2— ПОД углом
дограф скорости на кривой депрессии выразится частично дважды
пройденной Дугой указанной выше окружности между точками и №
(см. фиг. 146). Заметим здесь, что в точке М' кривая депрессии
будет иметь перегиб. Далее примем, что на всей границе верхнего
§ 65] ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНУ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ОТКОСАМИ 2бд
ег-
а"
№
окружности МпМг, касаю-
(см. фиг. 146). При таких
Фиг. 147.
бьефа годограф скорости выразится дугой окружности и на
всей границе нижнего бьефа — дугой
щихся оси ординат в начапе координа!
допущениях верховые откосы пло-
тины и дренажного банкета, a iaK-
же дно верхнего и нижнего бьефов
будут криволинейными, причем
касательные к откосам в точках,
совпадающих с урезом воды в верх-
нем и нижнем бьефах (7И, и Ж2),
будут наклонены к горизонту под
заданными углами як и ^тг, а
граница водоупора будет ка-
саться дна бьефов в бесконечно-
сти. Из полученных выше ре-
зультатов следует, что годограф
скорости на границе области фильтрации будет име(ь такой вид, к
изображено на фиг. 146.	_
Сделаем дробно-линейное преобразование вида (7.1), югда на
облащь функции w, представленную на фиг. 147.
Произведем конформное отображение области ш,. на о>лаС1Ь
Тогда получим:

П <О.

О),'

+ \'2К'В
(1)г
н
(7.31)
В выражении (7.31) А и В — некоюрые вещее ценные посюянные.
определяемые ниже:	v
m — etgan, n = ctgfb и q'— е к ,
а модуль (эллиптических интегралов и функций) будет корнем
уравнения
*	(7-32)
z
Н
т — п
2тп \н)
Подставляя в (7.1) вместо w ее выражение (7.31), интегрируя и
используя условие =0 —0, найдем:
МО, ?'2)
-ZHndnpC^.A'). (7.33)
V п /
270	третий спосов конформных преобразований [гл. 7
Применяя зависимость (7.33) в точке М2, где
получим:
z~ 1-y-iH и шг = Н,
Н 2тп
— Bink.
Z т + п
Далее, замечая, что на верхней границе водоупора у —Т и фг = qr>
в силу (7.33) имеем:
=^ь+4<л+в)> 1+-/w~»gr—
и тп 2 4	1	•” I тпН
Решая совместно последние 1ри уравнения и уравнение (7.32),
найдем, что модуль X будет корнем уравнения
1 (о Т 1 т + п К \1	/ т + п	„
V V2 н -1 —/с)1п т = Н - --2^г ’	(7>34)
постоянные же А и В будут определяться зависимостями
А = ~(1	в = — ('2 — — 1 —	(7.35)
тп ti)	И 1 тп Н )‘	{ J
В точке Mi имеем w>r — iqr и х — — оо. Замечая, что в указан-
ной точке функция <?,2j имеет просюй нуль, а функция
7? ’ )— простой полюс, получаем, что ве <ичина А-\~В =
Должна быть положи 1ельной, т. е. Т>^?г. Ана-
логично предыдущему из условий в ючке Л(8 найдем, что Т—Н>
ПолУченные нами неравенства ограничивают область приме-
нения приведенного выше решения, хотя практически они обычно
выполняются.
На кривой депрессии МХМ2 шг = у (O^Zy^H). Но тогда
в силу (7.33) уравнение этой кривой будет:
^^ + ^ШЧл,Л‘<Г2-й1л^(Л--2,г) (Т.зв,
(О^у^Н).
чесХхССиит1грМаловПеиЬ фуикХ^^ ° когда МодУль эллйПТИ'
близок к единице. фуикций~ * весьма мал и 2) когда А очень
приВ хТ™ Хв?тс™ХЗУблХбЛИЖеНИЫе ВЫражеиия для К И к'
К —	4	близких к нулю и единице, получим.
2 Н	Отсюда в (7.32) найдем:
— g1"2 I Н
------К * ‘t’2??
•) См. приложение IV.
§ 65] ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЬРЕЛ ПЛОТИНУ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ОТКОСАМИ 271
1 1
Далее, подставляя в 7.34 вместо величины — In v найденное выше
ТС А
ее приближенное выражение, получим:
Т2 _ (Г _ Я)2 2qr (/ + 1т + /я),	(7.37)
где
Из уравнения (7.37) следует, что приведенный фильтрационный
расход через тело плотины и ее основание qr приближенно выра-
жается формулой Дюпюи, если расстояние между расчетными сече-
ниями с глубинами воды Т и Т—Н будет равно + '7аме~
гим здесь, что длины 1.л и 1п учитывают потери напора в зонах филь-
трационного потока, примыкающих к верхнему и нижнему бьефам.
При нахождении приближенного выражения уравнения кривой
депрессии в случае малого X мы будем различать два подслучая.
1) 0 ^у и 2) у Н, Следовательно, мы в отдельности
будем искать приближенные выражения уравнений левой и правой
половин кривой депрессии.
В первом подслучае, имея в виду приближенные выражения дл
эллиптических функций при модулях X и X', соответственно лизки
к нулю и единице, получим:
Indnf/f^, X^sslnch
\ П /
«*(0, /-) '	2^г
Inch
V
2?/
иит 4 и В найдем.
Но тогда в силу (7.36) и выражений для	овинн кривой де-
'ио приближенное выражение уравнения л
(И\
при OagjBS-Tj-) будет:
где
2?г
(7.38')
F(s) = 1 -
1п (1 +<?"м)
1п 2

Функция, значения которой приводятся в таблице 7.
*) Здесь -^441.
К
272
Третий СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 7
Таблица 7
S	?’(s)	$		S	/ (S)	5	Г(з)
0.00	0,000	0,45	0,686	0.90	0,917	1,7	0,993
0,05	0,109	0,50	0.728	0,95	0,929	1,8	0,99,5
0.10	0,209	0,55	0,764	1.0	0,939	1,9	0,996
0,15	0,300	0,60	0,796	1,1	0 955	2,0	0,997
0,20	0,383	0,65	0,824	1,2	0,967	2,5	0,999
0,25	0,458	0,70	0,848	1.3	0,976	СП	1,000
0,30	0,525	0,75	0,869	1,4	0,982		
0,35	0,586	0,80	0,888	1,5	0,987		
0,40	0,639	0,85	0,903	1,6	0,991		
Аналогично предыдущему найдём, чю приближенное выражение
уравнения правой половины кривой депрессии буден
F(fL=y\ (7.38")
2?r	п \ 9r J
Во втором крайнем случае, i. е. в случае, когда модули л и л7
соответственно близки к единице и ную,
Но тогда в силу (7,32) и (7.34) приведенный филырационный pacxoi
через тело плотины и ее основание
<7г^4н1п —	(7.39)
Далее имеем:	' ^тп '
— f/—5+£\sin2/2L П
\ 1тп )	(,2 HJ'
§ 66] О ПРИЛОЖЕНИЯХ ПЕРВОГО ВАРИАНТА СПОСОБА ГОДОГРАФА 273
Но тогда уравнение кривой депрессии (7.36) примет следующий
приближенный вид:
*. ~ ± Z 4.(УЛ* J- (± — ^±1
Н m Н * 2шп	2тп
(7.40)
Если водопроницаемое основание плотины имеет неограниченную
мощность (Г= оо), то уравнение (7.40) будет точным. В этом случае
9г = оо и
z
И
и>г 1 т — п ( Шг\
2тп \Н )
Н
, fl____ m -j-n'
*\Н 2mn ,
в далеких точках дна верхнего бьефа <»г
к — оо. В далеких же точках дна нижнего
к оо. Из выражения (7.41)
(7.41)
Заметим здёсь, что
близко к /со, а х —
бьефа <и_ близко к H + z oo> а х ~	* тг.пки-п в том
следует, что указанные обстоятельства имеют
случае, если ±	™ обычно и осуществляется на практике.
При невыполнении последнего неравенства приведенное выше р
ние не имеет физического смысла-	получим решение
Полагая в выражениях (7.40) и (7.41) п > У чрмляную
Ф. Б. Нелъсона-Скорнякога [7] для случая фильтрации чер ^^^У^
плотину с криволинейным напорным откосом Р
Другое решение Ф. Б. Нельсона-Скорняког^ныМДЛ”аПорныМ
фильтрации через земляную плотину с орИРаднтальном водонеирони-
откосом и горизонтальным фильтром на гор .	„кипе пезуль-
цаемом основании-мы получим, если в приведенных выше резул
тэтах ПОЛОЖИМ П — СО И Т=Н.	„„„иаятЯ способа
§ 66. О дальнейших приложениях перв°г° Р БапИанта спо-
тодографа скорости. Выше при иллюстрации Р ,ичепног число
Соба годографа скорости мы рассмотрели весьм. р‘ и приме-
<=»— fcSnLpJ и	««"
нение этого способа, конечно, не ограничив. Р	ось выше.
случаями нли случаями, близкими к ним, о котор У ях первого
Не останавливаясь подробно на дальнейших ^ожейИ”Х ™ п0.
варианта способа годографа скорости как в р ’ й филь-
тратном виде, дадим краткий обзор случаев безнапорной Ф
тради, при рассмотрении которых этот париант бы» с
" Е™ д’. Хомовско» ПИ орименешем парного. ’’‘’“"Придав
274
ТРЕТИЙ способ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ [гл. 7
грунта неограниченной мощности. В. В. Ведерников [18] обобщил
решение Е. Д. Хомовской на случай учета капиллярности грунта *).
В. С. Козловым [20] получено решение для случая симметричной
фильтрации к точечной дрене, лежащей на горизонтальном водоупоре.
А. А. Гриб [13] применением первого варианта способа годографа
скорости получил решение для случая несимметричной фильтрации
к точечной дрене, расположенной в водопроницаемом слое грунта
ограниченной мощности, подстилаемом горизонтальным водоупором.
В последней работе предполагалось, что с одной стороны от дрены
имеется плоская, в общем случае наклонная, поверхность водораздела.
R rваРиант способа годографа скорости был использован
. В. Ведерниковым [1] при рассмотрении случая фильтрации из
канала трапецеидального2) сечения в предположении, что однородный
водопроницаемый слой грунта подстилается слоем значительно боль-
ше (теоретически бесконечной) водопроницаемости, не содержащим
напорных грунтовых вод. Указанное выше решение было доведено
В. В. Ведерниковым [3] и Б. К. Ризенкампфом [24] до практических
результатов только в случае, когда нижний хорошо водопроницаемый
о грунта находится на очень большой (теоретически бесконечной)
™убйве- 3"а]?вт:льио п°зднег Ю. Д. Соколовым [41], [44] на основе
Р Я ' ' едеРНИкова получено практически удобное прибли-
R в“ражедиа фильтрационного расхода канала в общем случае,
чяннлм емп а” В’ В' ВедеРНИков I19J обобщил свое решение (в ука-
ГГллп<.пПВ ЧаСТН°М СЛучае) на слУчай учета капиллярности грунта.
.»ДаЧа В пРедполоЖйнии малой глубины воды в кавале
R Рио \ ОтсУтсгвии воды в канале) была рассмотрена также
nonvuAHnuT ампФом Весьма значительный интерес представляют
А Т По пРимеДедием первого варианта способа годографа скорости
[28J й В- А- Брагинской [26] решения для случаев
Ьассмотпен* ел*^1ййКжДК0СТеЙ Различных плотностей. В первой работе
фодьтоаши ЁоппАпФИЛЬТРаЦИЙ В0Круг 1,1г,Унта- а во второй-случай
Последняя задача Р°дн°'анизотРопном основании плоского флютбета.
РазмотанаП Я п Т®4”™ Флютбете (или шпунте) была ранее
рассмотрена^ Я Полубариновой-Кочиной [21].
графа скорости при одссХп>ЛЬЗ°ВаЛ первый ваРиант способа годо-
к двум точечным дренам vpt й случая симметричной фильтрации
судоходного шлюза или ’ У ДаНовленным вблизи вертикальных стенок
идиом) в предположении ° Дока (с ВОДоНепроницаемыми стенками
грунта имеет неограничен^ „ одн°Р°Дный водопроницаемый слой
Ф. Б. Нельсон-Скорняков
годографа скорости пои	применил первый вариант способа
----------- Р Рассмотрении случая фильтрации через зем-
’) Решение этого случая мл
собаЯ\Вд,1рввкова‘г1авловского ЖеТ быть п°лУчено проще применением спо-
) в част«ости, прямоугольного или Tn.v
и треугольного сечения.
§ б?]
Второй вариант способа годографа скорости
2?5
ляные плотины с горизонтальным или вертикальным напорным отко-
сом и горизонтальным фильтром на горизонтальном водоупоре. Тот же
способ был использован Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым [29J при рас-
смотрении случая фильтрации через земляную плотину с горизонталь-
ным напорным откосом, снабженную низовой диафрагмой, в предпо-
ложении, что водопроницаемый слой грунта имеет неограниченную
мощность !).
Во всех упомянутых выше работах первый вариант способа годо-
графа скорости применялся в прямом виде. Б. Б. Девисон [14],
используя первый вариант способа годографа скорости в полуобрат-
ном виде, дал решение для случая фильтрации через земляную пло-
тину с криволинейным напорным откосом и горизонтальным фильтром,
снабженную вертикальной водонепроницаемой диафрагмой, при неогра-
ниченной мощности однородного водопроницаемого основания.
В недавно вышедшей в свет работе И. Н. Кочиной и П. Я. Полу-
бариновой-Кочиной [43] первый вариант способа годографа скорости
использован при исследовании так называемых плавных контуров
флютбетов гидротехнических сооружений. В указанной работе рас-
смотрен криволинейный флютбет, характеризуемый постоянной вели-
чиной скорости фильтрации (при конечной глубине водопроницаемого
слоя), а также прямоугольный флютбет, углы которого округлены по
кривым постоянной величины скорости фильтрации (при бесконечной
'лубине водопроницаемого слоя).
§ 67. Второй вариант способа годографа скорости. Как ука-
зывалось выше, первый вариант способа годографа скорости применим
только к таким фильтрационным потокам, граница которых состоит
лишь из водопроницаемых и водонепроницаемых участков и кривой
Депрессии при отсутствии инфильтрации или испарения на свободной
поверхности грунтовых вод. В. В. Ведерниковым, Ф. Б. Нельсоном-
Скорняковым, Б. Б. Девисоном и Б. К. Ризепкампфом были сделаны
Успешные попытки расширить область применения способа годографа
Скорости. В настоящем параграфе мы рассмотрим второй вариант спо-
Со а годографа скорости, предложенный В. В. Ведерниковым [5]. В сле-
дующих napai рафах мы изложим два дру1их варианта способа годо-
рафа скорости, предложенные Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым [4],
• Девисоном [6] и Б. К. Ризепкампфом [1Ь]2).
Второй вариант способа годографа скорости основан на предпо-
°Жении, что для рассматриваемого фильтрационного потока область
Функции Жуковского известна. При таком предположении граница
ласти фильтрации может состоять лишь из горизонтальных водо-
Р°ницаемых участков, на которых коэффициент при мнимой части
Функции Жуковского vx=*y — <pr == const; вертикальных водонепро-
споепл^" п' Нельсон-Скорняков получил решение для этого случая также
ооом Ведерникова-Павловского.
> казанные варианты мы рассматриваем в хронологическом порядке.
276	ТРЕТИЙ способ КОНФОРМНЫ! ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	|гл. 7
ницаемых участков, на которых вещественная часть функции Жуков-
ского аж ==* + фг= const, и, наконец, из промежутков высачивания
и кривой депрессии, на которых vx =у — фг = const. Заметим здесь,
что в общем случае может иметь место инфильтрация или испарение
на свободной поверхности грунтовых вод. Что же касается промежут-
ков высачивания, то при первоначальном рассмотрении мы предполо-
жим их прямолинейными. Таким образом, для рассматриваемых филь-
трационных потоков область функции Жуковского будет прямолиней
ным многоугольником со сторонами, параллельными осям координат
(О«ж и Ovx).
Определим вид годографа скорости на границе области фильтра-
ции. Для этого заметим, что на горизонтальном водопроницаемом
участке годограф скорости будет прямой 1Или ее частью), перпенди-
кулярной к этому участку1). На вертикальном водонепроницаемом
участке годограф скорости будет прямой (или ее частью), параллель-
ной этому участку1). На прямолинейном промежутке высачивания
годограф скорости будет прямой (или ее частью), проходящей через
точку с координатами (О, А) плоскости vxOvy и перпендикулярной
к этому промежутку. И наконец, на кривой депрессии годограф ско-
рости будет окружностью (или ее частью) с центром в точке с ко-
ординатами (о, —~радиуса —-~, проходящей через точку с ко-
ординатами (О, А). Отсюда следует, что для рассматриваемых филь-
трационных потоков годограф скорости на границе области фильтра-
ции состоит из окружности и прямых, проходящих через точку
с координатами (О, А).
Сделаем дробно-линейное преобразование вида
-w =	=-------—______ (7.42)
dwx vx~‘Vy + ik'
При таком преобразовании указанные выше окружность и прямые
плоскости Vgfivy перейдут в прямые плоскости w. Отсюда следует,
что для рассматриваемых фильтрационнных потоков область измене-
нии новой переменной w будет прямолинейным многоугольником.
произведем конформное отображение области функции Жуковского
w« на область функции w. Тогда найдем:
(7.43)
1ТирТя?СпоВлучим?ЙДеННОе выражение *ля функции w в (7.42)иинте-
= J/(Фж)^ж,	(7.44)
п’отенвдалаМфиль^ацииЫРаЖеИИе Искомого приведенного комплексного
днжды. иекоторых слУчаях эта прямая частично или целиком проходится
§ 681	ВЕРТИКАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ	277
Так как области «/ж и w — прямолинейные многоугольники, то
при нахождении функции f (отж) может быть использована формула
Кристоффеля-Шварца. Для этого необходимо ввести в рассмотрение
вспомогательную полуплоскость С и произвести конформное отобра-
жение этой полуплоскости на области адж и w. Тогда найдем две
функции = fr(ty и w — (С). Произведя обращение первой
из этих функций, найдем г,	Подставляя в выражение вто-
рой функции вместо С функцию /3(®ж), найдем искомую функ-
цию
Если обращение функции даж=/1(С) неосуществимо, то искомое
решение может быть выражено в следующем параметрическом виде1):
'“/ШМ	(7.45)
Как и при первом варианте способа годографа скорости, область
применения второго варианта способа годографа скорости может быть
значительно расширена, если воспользоваться «полуобратным» прие-
мом рассмотрения. При таком расмотрении задаемся некоторым видом
годографа скорости на промежутках высачивания, так чтобы отобра-
жающую функцию /(даж) можно было бы сравнительно легко найти.
Далее, по формулам (7.44) или (7.45) находим форму участков выса-
чивания, соответствующих принятому выше предположению. Если най-
денная форма участков высачивания приближенно соответствует
условию задачи, то принятые допущения можно признать практически
приемлемыми.
В случае фильтрации в однородно-анизотропном грунте с гори-
зонтальным или вертикальным напластованием при указанных выше
предположениях о границе области фильтрации второй вариант спо-
соба годографа скорости может быть использован при рассмотрении
вспомогательного фильтрационного потока (см. § 44).
Ниже для иллюстрации второго варианта способа годографа ско-
рости рассмотрен ряд наиболее простых, но практически весьма
интересных случаев безнапорной фильтрации.
§ 68. Вертикальная дренажная щель. В качестве первого при-
мера, иллюстрирующего второй вариант способа годографа скорости,
рассмотрим случай фильтрации к бесконечно тонкой вертикальной
Дренажной щели. Как и при исследовании горизонтальной дренажно
Щели Н. Е. Жуковского, рассмотрим в отдельности два частных вида
течения: (1°) водопроницаемый слой грунта имеет неограниченную мощ-
ность, причем в естественном состоянии (в отсутствии дренажно
Щели) фильтрационный поток имеет постоянный уклон (фиг. ) и
(2’) водопроницаемый слой грунта подстилается слоем грунта зна-
чительно большей (теоретически бесконечной) водопроницаемости,
*) Параметром будет переменная
278	ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[гл. 7
причем на верхней горизонтальной поверхности нижнего слоя напор
имеет заданное постоянное значение (см. фиг. 152).
Заметим здесь, что случай 1° был впервые рассмотрен Н. Н. Вери-
гиным [38], а для частного случая нулевого уклона естественной
1Z
Фиг. 148.
межутках
нию рл.
“ж 1м, == —
высачивания)
давление
Следовательно, vx — О,
00 и Иж|М1==— q'r, где
свободной поверхности грунтовых
вод — значительно раньше В. В. Ве-
дерниковым [5]. Случай 2° рассма-
тривается впервые.
1°. Схематически рассматривае-
мый случай изображен на фиг. 148.
Определим область функции Жу-
ковского. Для этого заметим, что
на всей границе фильтрационного
потока (на кривой депрессии и про-
р равно атмосферному давле-
причем «ж|м==0,	=
<?' и ч" — приведенные фильтра-
ционные расходы, поступающие че-
рез левый и правый CMtMe)
промежутки высачивания1). Заме»
тим здесь, что приведенный филь-
трационный расход дренажной ще-
ли <7r~ q'r~i~q"- Отсюда следует,
что область функции Жуковского
будет верхней полуплоскостью,
, представленной на фиг. 149.
Определим вид годографа скорости на границе области фильтра-
ции. На левом промежутке высачивания (М.М.) v >0 и v„ = k,
причем в точках к М. соответственно4равна 0 и оо Отсюда
следует, что на левом промежутке
высачивания годограф скорости
будет горизонтальной полупрямой
vt = k и ^>0 (фиг. 150). Ана-
логично предыдущему на правом
промежутке высачивания (Afi7W2)
годограф скорости будет горизон-
тальной полупрямой и vx<Q-
При движении по левой ветви кри-
Фиг. 150.
вой депресси
к точке Mi угол наклона скорости фильтрации
абсцисс Ох монотонно увеличивается от ап
уклон кривой депрессии в бесконе
свободной поверхности
вой депрессии от точки М%
...г относительно оси
ДО те, где tgan = J'—
гпл/ит'лл ;ЧНОСТИ- Равн«й уклону естественной
грунтовых вод. Отсюда следует> чт0 на
9 Мы приняли, что в точке	<[>,=» а
§ 68]
ВЕРТИКАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ
279
левой ветви кривой депрессии годограф скорости будет дугой М8Л!4
окружности с центром в точке
(см. фиг. 150).
координатами
(о, радиуса-^
В точке Жо правой ветви кривой депрессии скорость фильтрации
обращается в нуль. При движении по правой ветви кривой депрессии
-от точки к точке Мо и далее к точке 7И3 угол
наклона вектора скорости фильтрации относительно
оси абсцисс Ох монотонно возрастает от у до it
и далее от 0 до ап, имея скачок в своем направле-
нии в точке Жо. Отсюда следует, что на правой
ветви кривой депрессии годограф скорости будет
оставшейся частью (ЛТ52И0/И8) указанной выше окруж-
ности. На основании изложенного следует, что годо-
граф скорости на границе области фильтрации будет
иметь такой вид, как изображено на фиг. 150.
Произведя дробно-линейное преобразование вида
(7.42), найдем область функции ю, представленную
на фиг. 151.
Сделаем конформное отображение области на область w. Тогда
получим:
Фиг. 151.
/, ^(?r —wm)
w — - - In	,
« qr[qr+wx}
(7.46)
причем
1 In q'
K 4r
(7.47)
Заметим здесь,
что из выражения (7.47) и условия — 4r~\-Qr
следует, что
, " 1 _
(7.48)
J =
с

Далее, подставляя в (7.42) вместо w ее выражение (7. 6), инте-
грируя и используя условие г|и>ж=о— 0» получим.
г~~К!п ч'г+ч"!п	«+®ж) >п (?'-Ь ®ж) —
— (?'' —	1п (?" — «»ж)4-itJwM }.	(7.49)
Формула (7.49) дает неявное выражение искомого приведенного ком-
плексного потенциала фильтрации.	,
На левой ветви кривой депрессии (Л4уИ44)	~ ~~q'.’Q?x~J7 Jy
следовательно, w =х ——Отсюда в силу (7.48) и (/Л»)
280
ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 7
уравнение этой ветви будет:
У 1 , / r.J t 1 Jx 1 X , — X
Л = __1п(с +1)+____ln__ _
— Ifl _Л\|ПЛ — .f
Я \ Чг) \ Чг
где — оо < х С 0.
При больших отрицательных значениях х
(7.50)
Л = —linZl£ — 1Л _£)|n(l —
Чг я	' 1 Чг « Чг « \ Чг) \ х)
^_±_11П(С^^_1)Ц_1£ — 11п •=!.
л п ' ' Чг я Чг
Отсюда следует, что асимптотическое выражение уравнения левой
ветви кривой депрессии будет:
i------1±Щр4>+£_1||1=£.	(7.5i)
Чг	я	1 дг Ж дг	4
Полагая в (7.50) х—0, найдем высоту высачивания грунтовой
воды на левую ---- -
стенку дренажной щели
(Af2Afg) кривой
2 = „11
Чг я
Л'=^г1п(е’"У + 1).	(7-62)
Аналогично предыдущему получим, что уравнение правой ветви
депрессии будет:
— кД\ । <J X < 1 X , X
•	) + —- -f----in-----
Чг г. дг дг
(7.53)
(7.54)
Чг
ж
и<_х<оо.	'	4
Асимптотическое выражение этого уравнения имеет вид
—---------------L+IlE+121 j 1 . х
Л'Т~^пТг'
а высота высачивания на правую стенку дружной щели
h" •= In (1 + e~Tj).	(7.55)
Из выражений (7.52) и (7 W ,
вания на левую и правую стенки пп7"’ ЧТ° разность БЫС0Г БЫСаЧИ‘
щчьую стенки дренажной щели
^ = )ЧГ.	(7.56)
депрессии. Для этогоИиподи(ЬьКСИМуМа пРавой Бетви '<РИБоН
ие™м х г„р»Х Яйгг»»выр,жеиие р-63)"° г:,
полученный результат нулю. Тогда найдем:
^2 = llnth-^.	(7.57)
Чг я 2
__ 1
Чг
§ 681	ВЕРТИКАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ	281
В приведенных выше зависимостях содержится одна неизвестная
величина qr— приведенный фильтрационный расход дренажной щели,
которая может быть определена, если будут заданы координаты
одной точки кривой депрессии.
Приведенное выше решение Н. Н. Веригина для бесконечно
тонкой вертикальной дренажной щели было обобщено С. Н. Нумеровым
иным методом на случай щели конечной ширины (прямоугольная
траншея)]). Значительно ранее В. В. Ведерниковым [5] применением
второго варианта способа годографа скорости было получено реше-
ние для случая траншеи трапецондального (в частности прямоуголь-
ного) сечения в предположении нулевого уклона естественной свобод-
ной поверхности грунтовых вод (J = 0). Более удобные в практическом
отношении результаты для траншеи трапецондального сечения даны
значительно позднее С. В. Фальковичем [31] и Ю. Д. Соколовым [42].
Произведем сопоставление полученных выше результатов для
вертикальной дренажной щели с результатами § 55 для горизонтальной
Дренажной щели Н. Е. Жуковского при нулевой внутренней ширине
щели b и нулевом уклоне J естественной свободной поверхности
грунтовых вод. Асимптотическое выражение уравнения правой ветви
кривой депрессии (симметричной левой ветви) в случае фильтрации
к	вертикальной	дренажной	щели при J = 0 будет:
ух	11.x
®	« Чг
Соответствующее	же	уравнение	в случае фильтрации к горизонталь-
ной дренажной щели Н. Е. Жуковского имеет вид
v	21n2	1 , х
Чг «	« Чг
^Рааые^ части приведенных выше уравнений отличаются на величину
‘~~S	<0,13, каковой при большом^- можно пренебречь. Отсюда
следует, что, определяя величину qr по заданным координатам одной
точки кривой депрессии, мы получим практически один и тот же
Результат как для вертикальной дренажной щели, так н для горизон-
тальной дренажной щели Н. Е. Жуковского (при b = 0).
Далее, в случае вертикальной дренажной щели высота высачивания
грунтовых вод на стенки щели Ао= ~ qr^ 0,221 qr. Превышение же
кривой депрессии над крайними точками горизонтальной дренажной
Щели Н. Е. Жуковского Ао = 0,207 qr. Таким образом, разница вука-
анных выше величинах составляет малую величину 0,014 qr.
Отсюда следует, что замена горизонтальной дренажной щели
• Е. Жуковского (при 6 = 0) вертикальной дренажной траншеей
Риною В == 0,211 qr эквивалентна (как в смысле приведенного
’) См. £12] литературы к главе 8.
282	ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ преобразований [гл. 7
фильтрационного расхода, так и положения кривой депрессии) пере-
ходу к вертикальной дренажной щели. Этот вывод мы получи-
ли в случае нулевого уклона J естественной свободной поверх-
ности грунтовых вод, но приближенно можем распространить его
и на случай малого уклона, представляющего наибольший интерес
в практике.
2°. Схематически рассматриваемый случай изображен на фиг. 152.
Определим область функции Жуковского. Для этого заметим, что,
как и в предыдущем случае, на кривой депрессии (ЖГ5ЛГ8 и
и на промежутках высачивания	и	-рж = 0, причем
=	= и = — оо, где
Чг—приведенный фильтрационный расход дренажной щели. Далее
Фиг. 153.
имеем, что на верхней границе ниж-
него хороню водопроницаемого слоя
грунта у~Т и ?Г=Т—Я. Сле-
дова1ельно, = Н, где Н—напор
грунювых вод в нижнем хорошо
водопроницаемом слое, над его верх-
ней поверхнощью. Отсюда следует,
что область функции дож будет
полуполосой, представленной на
Определим вид годогпяАя 153‘
ции. На промежутках пыря ? CK°P°c™ на границе облас!И фильтра-
и Л,Л„ как и . прелилуш»
б * точке ;ив угол наклона
оси Ох монотонно увеличивается
на указанной ветви г------ •
с центром в точка р ’	7	*k
лежащей , „ерМи кооРдиапо„	(°. 2)	Т
относительно
следует, что
окружностью
I полупрямыми Vy = k,
по левой ветви кривой депрессии
---L вектора скорости фильтрации
----------1 от 0 доОтсюда
годограф скорости будет по ту*
углу. Аналогично предыдущему
§ 68]	ВЕРТИКАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ
283
получим, что на правой ветви Af9M3 кривой депрессии годограф
скорости будет второй половиной указанной выше окружности. На
верхней границе 2Й42И3 нижнего хорошо водопроницаемого слоя
грунта ч>х — 0 и	причем в точках ЛГ3 и ^==0. Отсюда
следует, что годограф скорости на границе области фильтрации
будет иметь такой вид, как изображено на фиг. 154.
Произведя дробно-линейное преобразование вида (7.42), найдем
область функции w, представленную на фиг. 155.
| &
Фиг. 155.
Фиг. 154.
Сделаем конформное преобразование области и>ж на область w.
Тогда получим:
— 2к'ж)
1 8Н	(7.58)
П ic(gr+2wx)’
fh SH
Подставляя в (7.42) вместо «' ее выражение
и используя условие г о = 0, имеем.
Z == - f In---- 8х
0	,h~ 877—
(7.58), интегрируя
(7.59)
Л.	пыпажение искомого приведенного
Формула (7.59) дает неявное выражение
комплексного фильтрации.	вЫсачивания грунто-
Полагая в (7.59)	найдеМ вЫС У
вых вод на стенки дренажной щели
к
2
*>=Я'”
о
♦н *
ш 8/7
th
«(</,. —2T)
87?
dt.
(7.60)
284	ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ преобразований [гл. 7
Интеграл, входящий в последнее выражение, может быть приведен
к значительно более удобному виду. Действительно,
к
2	2
Ло = 4 fIn th л - i f In th dt.
К J	on	It J	ori
О	О
Вводя в первом интеграле новую переменную интегрирования
"(ar+2t)	«(gr-2i)
х — е iH , а во втором интеграле—-т=е	, получим:
Ап_
Н~
1-т ,	2 Г 1 ,
«2,1 т 1П
1 -X
1 +т
dx =
r1r	r.<!r
АН	~ 2Я
е	в
= ' if 11о'±1Л+г[
2 J т | ----------т I к» I т 1 -------Т
О	О
т. е.
§ = 1+7(/^)-2/(/^),	(7.6D
где
О
Если велико, то
Ло 1	8	и
2Я-	(7.610
На правой ветви Af2Af8 кривой депрессии	и, следова-
тельно, w- =
*2^2* итсюДа в силу (7.59) на этой ветви
j = -A0 —
th к(Уг~Ь2Г)
Ш
th Я<^-Уг) Г-
8/7
1
| 1	1 -L. X 1^3
Ц Замечая, чю I —In;----------4т = -^.
'	J т 1 «*• t 4
о
2) Таблица функции /(s) приводится в приложении I
§ 69] ФИЛЬТРАЦИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД НА ОТКОС ЗЕМЛЯЙЫХ СООРУЖЕНИЙ 285
Преобразуя последний интеграл подобно интегралу, рассмотренному
выше, найдем следующее уравнение правой ветви кривой депрессии
(симметричной левой ветви):
Z = _i + 2/(e-^) +
кв	*(®+«'r)
+/ (е "®) — f (е	), (7.62)
где О С х < со.
Полагая в (7.62) х — оо,
найдем:
~ = 2f(e~iH). (7.63)
Если § велико, то
(7.63')
Зависимости (7.61) и (7.63)
дают возможность построить
графики функций — и
Т
Указан-
п
от аргумента
ные графики приведены на	Фиг. 156.
фиг. 156 ’).
§ 69. Фильтрация грунтовых вод на откос зеМЛЯ”ь‘* со°РУ
жений. В качестве второго примера, иллюстрирующего вт р Р
способа годографа скорости, рассмотрим случай фильтраци РУ
вых вод на откос земляных сооружений, представлении
веском виде на фиг. 157.	иЯ(.тНый вид упомяну-
Исследуемый случай представляет собою	к траншее
гой выше задачи В. В. Ведерникова ]5] о ф ^еск.онечнОСТИ.
1рапецоидального сечения, когда ее ширина р	заметим,
Определим область функции ЖУКОВ^°Г ’ Г2 депрессии, про-
сто на всей границе фильтрационного пото ( Р атмосферному
межуток высачивания и дно бьефа) давление р Р_ Принимая, что
давлению ра, и, следовательно, <fr = V й т»
Т	4 1и - + - Ш ? или §«-0,27 4-2.931g г
1) При малом jj	r W
(Десятичный логарифм!), a у
286
третий Способ конформных преобразований
гл. /
в точке Мг —0, получим:
«ж[Ж1=0,	= М — Я‘т и иж|Мм —+ оо,
где zn=ctga~— коэффициент откоса, Ло — высота высачивания грун-
товых вод на откос и qrf—приведенный фильтрационный расход,
Фиг. 157.
поступающий через промежу-
ток высачивания. Отсюда сле-
дует, что область функции теж
Фиг. 158.
будет верхней полуплоскостью, изображенной на фиг. 158.
Определим годограф скорости на границе области фильтрации.
На линии дна бьефа AfaAfI vx — 0 и 0, причем в точках
и Mj соответственно vy = 0 и vy= — оо. Таким образом, на линии дна
бьефа годограф скорости будет отрицательной частью мнимой оси
плоскости vxOvy. При движении по кривой депрессии от точки
к точке Л1ц угол наклона вектора скорости фильтрации относительно
оси Ох увеличивается от и (1 — а) до it. Следовательно, на кривой де-
прессии годограф скорости будет
дугой окружности с цент-
ром в точке с координатами
(о, ^радиуса * (фмг. 159). На
np^oF^JnX^^^	скорости будет полу-
должении пройдет через точку г ЭТОМУ участку, которая при пр
что годограф скорХи1’^™°ор™ата““ <». *)• Огам.
такой вид, как яаображепо?а Л? и»"" *“льгРаи"“ 6Улет
’У"» •
§ 69J фильтрация грунтовых вод «а откос земляных сооружений 287
Сделаем дробно-линейное преобразование вида (7.42) и найдем
область функции и', представленную на фиг. 160.
Произведем конформное преобразование области wx на область w.
Тогда найдем:
w = -------г'е /L--------| /’-1(1 —' dt. (7.64)
COS аг.Г (а) Г (-g — a J
Подс1авляя в (7.42) вместо w ее выражение (7.64) и используя
условие z\w =и —0, получим1):
*	t
_	«’ж	,
г =-------| т»-1 (1 — т)~ 2 ““с/х, (7.65)
cos алГ (а) Г f-y — nJ о о
|. е. найдем неявное выражение искомого приведенного комплексного
потенциала филы рации (шД
Полагая в (7.65) а-ж^М»-Н' и интегрируя его по частям,
найдем:
_ Упе-”'
sin ат.	i 1
COS япГ (а) Г( j
-- (hom -} q',) ( | f-1( 1 — /) a *dt —
а I	о
d/\ = (1~2a) (fl0m+^r)e'<!‘n
I	COS ait
Следовательно,
*'==’ 2atg77r.	t7-66’
4r
На кривой депрессии ф, т'ж ~ О м’ следовательно, тс*
Отсюда в силу (7.65) и (7.66) на этой кривой
1/н t	!
4+/4 = ^-,ак |л I т’-1 (1 — ")”7
чг чг
где
— V я : 2а cos aid'(а) Г(4" —	и — = 2а fl
'2	/ s \ qr
thorn < х < оо).
') Г—гамма-функция.
*) Следовательно, 0<s^ 1-
288	третий способ конформных преобразований |гл. 1
Интеграл, входящий в последнее выражение, может быть преоб-
разован следующим образом:
V» i	х
| if £ J* т® ~1 (1— f) 2 “ dx —
9 о
i ч	_
= —— i) 2 * dx— J (1 — т) 2 * dx.
и	i>
Но
J х* (1 — т) 2 * dx =
’г ±_ Ч I
= I _х) 2 'dx — х* ’(1 — ”)2	=
О	и
1	X	* я
о
4-	_
_	и
Отсюда
У* _±_в	_1	£_ V»	Д
J т«(1—т) 2 dx — — 2s 2(s—1)2 “ _[_ 2д f z* J(l— х) 2 " dx.
°	о
И следовательно,
4 + ^4 =
Яг Чг
=	—i2s 2 (1 — s)2 -f-e ‘"(j- — 2a) | v ’(1 — т) 2'”л}^=
0
= i2s 2(1— s)2 ’ + <?-f"^±_2a)|^ |4 i(i
1 00 °
oo
a=^~iA{2s Ч1—S)2 “ + 0. —2a)|	—/)'*"’ л}.
о
§ 69) ФИЛЬТРАЦИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД НА ОТКОС ЗЕМЯЯЙЫХ СООРУЖЕНИЙ 28$
Но tot да уравнение кривой депрессии примет вид
t	i
—	=	2s~2 (1 — s)7 “ +
Чг <
+ Q — 2ajjV7(l —	(7.67)
О
где
1 — 2а fl + (h^m -<С х < оо).
•s \ Чг 1
Найдем асимпюгическое выражение уравнения (7.67) при
больших значениях Для этою заме!им, что при большом
Яг
X ,
Убудет близко к нулю. Но тогда
Чг
— '’T^\As ? = 44/2il/' 1 + 4-44 |Л2а 1/ 4~.
</,.	'	1	Я,-	г Яг
или
J де qr — некоторая положительная величина, определяемая ус-
ловием
±1 = ’ = L a cos® атгР (а) Г2(Ч — «)•	^7'69)
qr 1ЬаЛ2 4л	X -	'
г
Яг
На фиг. 161 (кривая /) приведен iрафик функции — по аргу-
менту zn = ctgaK1).
Замечая, что величина qr входит в уравнение кривой депрессии
так же, как приведенный фильграционый расход в формуле Дюпюи,
мы будем в дальнейшем именовать ее приведенным фильтрационным
расходом по Дюпюи.
Из (7.66) и (7.69) следует, что
= J_ (1 — 2<х)sin 2алГ2(а) Pfy — “)•	(7.70)
qr I6«v	/
/	f
!) Асимптоты кривой / имеют уравнения ~~ = 1 и ~ = 0,786т 0,693
ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[ГЛ. 7
На фиг. 161 (кривая 1Г) приведен график функции — по аргу-
менту т — ctg art. На той же фигуре приведен график эюй функции
(кривая 111) в случае филь!рации через бесконечно широкую плошну

ф\нном3ПТаяЬНПол1О/ОНеПРОНИцаеМОМ основой (фиг. 162), рассмо-
Фенном П. Я. Полубариновой-Кочиной и С. В. Фальковичем [31] >)•
) Асимптоты кривых II и III имеют уравнения: = 0,303 + 1,234m ”
-« = 0,441+™.
Чг
§ ян
ФИЛЬТРАЦИЯ В ОСУШИТЕЛЬНЫЙ КАНАЛ
291
Заме!им здесь, ч;о в последнем случае
1
~~ — sin ага f tg2»-i ~ fin cfg — tdt'),
Яг я
(7.7 П
причем приведенный филы рационный расход по Дюпюи равен при
«еденному филмрационному расходу по i ока.
Из сопос!явления кривых И и III фи>. 161
О1личаю!ся высоты высачи.ания 1рунювых
видно, насколько
вод на откос в
случаях, рассмотренных нами и
П. Я. Полубариновой-Кочиной и
С. В. Фальковичем, при условии,
‘но приведенный фильтрационный
расход дг определяйся в обоих
случаях но формуле Дюпюи
Ф«г. 162.
(7.72)
„ „лтпкч (аал Дном бьефа)
где й, и й.3—(лубины Филмрациопиою (1ОТее п зоне, i де "ри-
В двух ючках, не очень олизких к о'	0 указанные
менима формула Дюпюи). Заметим в заключение, У
выше случаи являются верх-
ним и нижним предельными
случаями (в смысле положе-
ния кривой депрессии, а сле-
дова(ельно, и высот вы-
сачивания) по отношению
t _
Фиг. 163.
к случаю водопроницаемо! о
слоя груша о1раниченпой
мо1цнос1И, представлений! о
на фи!, 163.	« „аиял коиволинейного сече-
§ 70. Фильтрации в осушительный каи Р ( способа г0П0-
ния. В приведенных выше примера 1 Рассмоц’им один при-
фафа скороои применялся в прямом ’	0 случай фи царапни
мер «полуобрашого» его применения,	’ /f,ed воды), изобра-
в осушительный канал криволинейной) с Решение для э,0|°
Генной в схематическом виде на фИ) •
-~~~_-
*) Выражение (7.71) может быть представлено в форме снующего
Poiiio сходящегося ряда:
».	/	, V 1
п/ I № TI (*-~2a)(«ctg«+2fFrJ
—
222
ТРЕТИЙ СНОСОВ КОНФОРМНЫХ ПкЕОЬНЛЗОВАНИЙ	[Рл. 7
случая в основном было получено Н. Н. Павловским и закончено
после его кончины М. И. Базановым [12J.
Как и в предыдущих примерах, на всей границе фильтрационного
потока давление р равно атмосферному давлению ра и, следова-
тельно, -пЛ = о. Принимая во внимание, чго в точке фг = 0,
Фиг. 164.
имеем й< «ж	 Л+ 1г и й< |Mj оо,
где qr — приведенный фильтрационный расход канала. Отсюда сле-
дует, то область функции Жуковского будет полуплоскостью, пред-
ставленной на фит. 165.
Определим вид голографа скорости на границе области фильтра-
ции. Для этою заметим, что при движении по левой ветви кривой
депрессии от точки /Иа к точ-
ке Л14 у; ол наклона вектора
скороег и фильграции относи-
тельно оси Ох увеличивается
от нуля до некоторою макси-
мума. 01 сюда следует, чго на
левой ветви кривой депрессии
Фиг. 165.
ми (О, у) радиуса . Аналогично
правой ветви кривой депрессии М9М,
гаМ ЛА АХ
i одограф скорости будет ду-
гой тЙ8/Й4 окружное/ и с цент-
ром в точке с координага-
предыдущему получим, чго на
гой Ж2Л13 указанной в^щГ^/^3 ГОлогРаФ скорости будет ду-
дна канала М.М.М ro п ^'ЖН0С1И- Далее примем, что на линии
окружности, ортогональной	выРажаегся дггой М4М^г
чго годограф Скорости иа гпя?РВ°й °кРУЖНос’,ью. Отсюда получим,
такой вид, как изображено на X? ?^асти Фильтрации будет иметь
Произведем Дробно-линейно? л
е преобразование вида
(7.73)
§ 70]	ФИЛЬТРАЦИЯ В ОСУШИТЕЛЬНЫЙ КАНАЛ
293
Тогда получим, чго область функции w будет полуплоскостью
с полукруговым вырезом радиуса R, представленной на фиг. 167.
Заметим, чго здесь мы имеем
Фиг. 167.
Фиг. 166.
этом случае dz — i(l—w)dur — (w—l)(dwx—dz). Следовательно,
(7.74)
I \ W /
Произведем конформное о i обряжение области иж па область w.
Тогда получим:
Подставляя в (7.74) вместо w ее выражение (7.75), интегрируя и
используя условие z |Шж=0 = 0, имеем:
где А = ~—!-------некоторая положительная постоянная.
(B-j~4r)R	..
Определим постоянную А из условия в точке /И2, где
В	в+4г
294
ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 7
Тогда имеем:
В th R + qr Л 1 / Г В +-М~ -+ -	].
—. — гй0 -—	2 Л | Ц 2 /	2 1	2	' I
1	/	2	\2
Следовательно, А = — qr1 в и
Ао = 4 Я, •
7.
(7.76)
Подставляя найденное значение постоянной А в написанное выше
выражение, получим:
2а'* \
+ arcsin
(7.77)
Формула (7.77) дает неявное выражение искомою приведенного
комплексною потенциала филы рации ш,.
Определим форму поперечною сечения русла канала (М4М1М2),
отвечающую приняюму выше предположению о виде iодографа ско-
рости на линии дна канала. Для эюго заметм, то на линии дна
канала	причем — ~Д^Г- < ы* <	• Отсюда
в силу (7.77) на этой линии (после отделения вещественных и мни
мых частей)
। ,	1
х = х + ---------------qr
I тг	тс
|2хД-2фг
I В 4* Чг
2х + 2>г 2
В + qr >
. 2x4-2^)
arcsin +	)’

Исключая из двух
уравнение правой
левой половине):
последних выражений величину
половины сечения русла канала
2х4-2’Ьг н;1йдем
В 4- Яг
(симме[ричнои
(7.78)
где
(s) — Vs (— у-f-У1 — arcs^n
и —Ло <у < 0.
На фиг. 168 приведен график функции F1(s) по аргумешу $. Как
вытекает из рассмотрения этого графика, величина	буДеТ
малой и 'ФЗК'ически ею можно пренебречь. Но тогда из уравне-
ния (7.78) следует, что в рассматриваемом случае поперечное сечение
русла канала будет весьма близко к параболическому.
§ 70]	ФИЛЬТРАЦИЯ В ОСУШИТЕЛЬНЫЙ КАНАЛ	295
На правой ветви кривой депрессии = х, причем
в
-у < оо. Отсюда в силу (7.77) уравнение правой ветви кривой
депрессии (симметричной левой ветви) будет:
(££*)’	(1-П)
\ D -f- qr /
где
F2 (s) - |- з) + arch s ]
В
и -g-	< со.
На фиг. 169 приведен график функции F2(s) по аргументу з1)-
В приведенные выше зависимости входит одна неизвестная вели-
чина qr— приведенный фильтрационный расход канала, которая
может быть определена, если будут заданы координаты одной точки
кривой депрессии.
Не останавливаясь на дальнейших приложениях нюрого варианта
способа годографа скорости, заметим, что указанный вариант как
в прямом, так и в полуобранюм виде был использован при рассмо-
трении еще ряда случаев безнапорной фильтрации.
В- В. Ведерниковым [33] применением второго варианта способа
годографа скорости получено решение для случая фильтрации к беско-
нечной системе точечных дрен (находящихся на одной высоте, на
равных расстояниях друг от друга) при инфильтрации или испарении
на свободной поверхности грунтовых вод и при учете капиллярности
грунта. При этом предполагалось, чго однородный водопроницаемый
слой грунта подстилается слоем значительно большей (теоретически
*) Асимптота этого графика имеет уравневие = 1	1п 5 IWH
В2 - 0,061 -f- 0,7311g 5 (десятичный логарифм),
296
ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[ГЛ. 7
бесконечной) водопроницаемости, причем на верхней горизонтальной
поверхности нижнего Слоя напор имеет заданное постоянное значе-
ние !), Для частного случая указанной выше задачи, когда нижний
хорошо водопроницаемый слой
груша находится на боль-
шой (теоретически бесконеч-
ной) глубине, решение приво-
дится в работе В. В. Ведер-
никова [17} 2).
Н. Н. Веригиным [36J при-
менением второго варианта спо-
соба годографа скорости дано
решение для случая, когда
в двух зонах свободной по-
верхности грунтового потока
(в однородном водопроницае-
мом слое грунта неограничен-
ной мощности) с заданным
уклоном в бесконечности алеет
место равномерная инфильтра-
ция различной ингенсивности
скопосги^ппТмрмг'пХ'"6 Случаях в горой вариант способа годографа
вапианта vXnnu « СЯ в„прямом Виле- Полуобрагное применение этого
(Ьильгпапии upril ПаН° ’ Б” ^евиСоном [14} при рассмотрении случая
откосов Та n L 3еИЛЯНУЮ ПЛ01ЙНу с криволинейны!, напорным
мощности ппи <Л0ДН0М вологтроничаемом основании неограниченной
мощности При сухом нижнем бьефе.
Бариан^'с11ослбй\пал₽Иа1Т способа годографа скорости. Третий
ном-Скорняковым [41, "применим ^к^а Предложенный ф- Б> НельС°'
гпанипя ™тп,,, L! "Рнменим к таким фильтрационным потокам,
цаемых участков и участкоТ'вы^ водопр0ницаемы^ и водонепрони-
что указанные участки ппепс^'1чивания- ПРИ Э1°м предполагается,
их части). Тогда обля^гк "редС'авляюг собою прямые линии (или
многоугольником. фильтрации будет заданным прямолинейным
фильтрации будеТсостояТь43^ 1ОдОграФ скорости на границе области
Тогда область изменения Гк<1мИи1Ь И3 прямых « <или ЙХ чаС1еЙ)'
будет также "Рямол^^	Ф^трации
1) Указанная задача может быть решена проще применением в Д
нения способа Ведерникова-Павловского (§ 59).	и Пр»
») Последняя задача, в пренебрежении капиллярное, грунта
наличии испарения, была ранее рассмотрена иным методом «
Б. Б. Девисоном [14].
| 72) ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ ТРЕУГОЛЬНОЕ ЯДРО ЗЕМЛЯНОЙ плотины 297
Произведя конформное отображение области фильтрации z на
область комплексной скорости фильтрации vе—ivv, найдем:
Ц/==/(>)•	(7-8°)
Далее, замечая, чго — iVy~k~~, получим:
= | \fWz,	(7.81)
т. е. найдем искомый приведенный комплексный потенциал фильтра-
ции <ог, по которому могут быть найдены все остальные характе-
ристики фильтрационного потока.
Обычно при нахождении оюбражающей функции /(г) вводят
в рассмотрение вспомогательную полуплоскость С. Применяя формулу
Крисгоффгля-Шварца, находят две функции z—fx (С) и vr-~
дающие конформное отображение полуплоскости С на области г и
Vj.— ivr Далее, производя обращение функции 2' = /1(С), определяют
функцию	подставляя которую в выражение функции /2(С),
находят искомую функцию /(г).
Если обращение функции z = f1(',) неосуществимо, то искомое
решение может быть выражено в следующей параметрической
форме 3):
^ = ^f'(Qf.^)dr.	(7.82)
В случае фильтрации в однородно-анизотропном грунте при
указанных выше предположениях о границе области фильтрации
третий вариант способа годографа скорости может быть исполь-
зован при рассмотрении вспомогательного фильтрационного потока
(см. § 44».
72. Фильтрация через треугольное ядро земляной плотины.
Для иллющрации третьего варианта способа годографа скорости
рассмотрим случай фильтрации через феугольное ядро земляной
плотины на горизонтальном водонепроницаемом основании при отсут-
ствии годы в нижнем бьефе, представленный в сх>-магическом виде
ча фиг. 170. Указанный случай был исследован Ф. В. Нельсоном-
Скорняковым [4].
Определим вид годографа скорости на границе области фильтра-
ции. Для этого заметим, что на верховом откосе ядра MaMt угол
наклона вектора скорости фильтрации к горизонту равен -j-. Следо-
вательно, на верховом откосе ядра годограф скорости будет частью
биссекфисы первого координатного угла плоскости Vj.Ovv. По по-
дошве ядра Л3Л2 вектор скорости фильтрации горизонтален и
!) Параметром будет переменная С.
298	ТРЕТИЙ СПОСОБ конформных преобразований	[гл. 7
направлен вправо. Следовательно, по подошве ядра годограф скорости
выразится частью положительной полуоси Ove. На промежутке выса-
чивания AfxAf2 векюр скорости фильтрации наклонен к горизонту
ТС	•
под углом — —. Следовательно, на промежутке высачивания годограф
Фиг. 170.
скорости будет частью прямой, проходящей через точку с коорди-
натами (О, А), наклоненную к оси Оул под углом — . Отсюда
Следует, что годограф скорости в рассматриваемом случае будет
треугольником	изображенным на фиг. 171.
годографа8^корощи^найдем Еобла^еИИе " »е»^С1венной оси области
ции v —iv ппепе.лпп ОблаСи' комплексной скорости филыра-
угольник плоскости Z будее?подоб фиг' 172- Замегим ^еа” 410 тре"
Производя конформное огобп£ 'Wro.n,нику плоскости
фильтрации v __т ио „г ° Ражение области комплексной скорости
л « На обласгь Фильтрации z, получим:
(7.83)
Далее, подставляя в (7йп ,
найдем искомый приведенный ‘”еСт0 Чг—Wj, ее выражение (7.83),
уведенный комплексный потенциал фильтрации
Ш = -П • 0	। *2
Г 2	г'^4Н~^С>	(7‘84>
где С—некоторая постоянная.
§ 72] ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ ТРЕУТОЛЬНОЕ ЯДРО ЗЕМЛЯНОЙ плотины 299
Принимая, чю в ючке МА <ог=0, найдем С=0.
Отделяя в выражении (7.84) iiemeciвенные части от мнимых,
определим уравнение сетки филырации
?г = 4 (х + у) Я- = const,
1	XV	<7-85)
Фг = j (у — X) 4- -277 == const.
Заметим здесь, чю эквипотенциальные линии и линии тока будут
гиперболами.
Обозначим через qr приведенный фильтрационный расход ядра.
Тогда, замечая, чю в ючке MjX = 7/(i — 1)	______
и	в силу (7.84) найдем:	р
^=4-	(7-86) Т
Таким образом, приведенный филырацион-
ный расход через ядро равен поло тине тлу-	Фиг. 173.
бвны воды в верхнем бьефе.
Последний результат может быть получен следу тощим э темен тар-
ным гидравлическим приемом.
Примем, чю линии тока в ядре будут горизонтальными прямыми
(фиг. 173). Рассмотрим элементарную трубку тока толщиной <7у,
расположенную ниже вершины ядра на у. На концах этой трубки
разность напоров будет равна у. Так как длина рассматриваемой
трубки тока равна 2_у, то градиент филырации в трубке равен
^- = 1.) н0 тогда приведенный фильтрационный расход в рассма-
*У 2.
триваемой трубке тока dqr —	. Приведенный же фильтрационный
расход через все ядро
л
(‘ dy	Н
— I <2~	2 ’
о
что совпадает с выражением (7.86).
Такое совпадение выражений приведенною фильтрационною рас-
хода дает основание считать, чю при расчете приведенною филь-
трационною расхода в ядре плотины практическою сечения можно
воспользоваться приведенным выше гидравлическим приемом ’).
В работе Б. Б. Девисона [14] дано обобщение рассмотренной
выше задачи на случай наличия воды в нижнем бьефе. Из последнего
') Заметим здесь, что изложенный выше гидравлический прием, как было
показано Н. Т, Мелещенко, дает совпадение выражения для фильтрационного
расхода в случае фильтрации через земляную перемычку иа горизонтальном
водонепроницаемом основании с формулой Дюпюн,
890
ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	[ГЛ. 7
решения как следствие вытекает решение для случая фильтрации
через бесконечно высокое ядро.
Другое применение третьего варианта способа годографа скорости
мы находим в работе В. В. Ведерникова [18]. В этой работе рас-
смотрен случай фильтрации с поверхности земли в систему верти-
кальных бесконечно тонких дренажных щелей (на одинаковом рас-
стоянии друг от друга) в предположении, что однородный водопро-
ницаемый слой грунта имеет неограниченную мощность или что
водопроницаемый слой подстилается водоупором, верхняя поверхность
которого будет горизонтальной плоскостью. При втором предположе-
нии все дренажные щели доходяг до водоупора. В работе Ф. Б. Нель-
сон- корнякова [23] дано обобщение решения В. В. Ведерникова на
случай дренажных щелей любой ширины.
§ 73. Четвертый вариант способа годографа скорости. Чет-
верти вариант способа годографа скорости был предложен незави-
симо друг от друга Б. Б. Девисоном [6| и Б. К. Ризенкампфом [16].
пРименим в тех случаях, когда водопроницаемые и водонепрони-
мые участки границы области фильтрации, а также участки вы-
чивания будут прямолинейными ломаными линиями и когда все
прямые и окружности, из которых состоит годограф скорости на
тр нице о лаои фильтрации, имеют хотя бы одну общую точку,
в	ЧеРез гЧ/о комплексную скорость фильтрации
разование°Й ВЫШе °б1и,еЙ точке ^о)- Тогда дробно-линейное преоб-
w = у—-------—Л	77 87)
:::,Г.ииК0:Ф°РМНОе огобРажение Области комплексной скорости филь-
гг/// На пРЯМОЛИНейНый многоугольник ПЛОСКОСТИ W.
Далее, рассмотрим новую аналитическую функцию
2 = Ф + № = шг — у <ЧгО — W, о) г.
поХТвИЛ(7-88) П0СЛе Огделения вещественных частей от мнимых
(7.88)
примет вид
(7.89)
Покажем, что гр::
• OU
ниды области фильтрации облай
Т*’***	...	__
и Т на отдельных участках —
Ф = ?г — 1 (q^ -
ЧГ = ’Vr + у (vvQx — vx оу).
при указанных выше предположениях о виде гра'
------------ ^....птрацни область изменения функции 2 будет прямо-
линейным многоугольником. Для этого найдем условия для функций Ф
и W на отдельных участках границы области фильтрации.
Рассмотрим водопроницаемый участок, наклоненный к оси Ох под
углом <х. Его уравнение будет xsina =ycos<x + a, где а — некоторая
вещественная постоянная, Как указывалось выше В § 42, на ЭТО»
§ 73] четвертый вариант способа годографа скорости 801
участке проекции скорости фильтрации удовлетворяют условию
•nrcos а-|- T'ySin а = 0. Последнее условие в точке Л10 дает:
vr0 cos а — — Dosina. Перемножая почленно первое из написанных
выше выражений с трещим, имеем +	---ссйЛТ’ итС,ода
в силу первого из выражений (7.89) найдем: Ф — + 'УЗЗГа' '
Так как на водопроницаемом участке %. = const, то на этом участке
и Ф=аconst. Отсюда следует, чго водопроницаемому участку границы
области фильтрации в плоскости 2 отвечает прямая линия (или ее
часть), параллельная оси OW.
Рассуждениями, аналогичными предыдущим, получим, что на водо-
непроницаемом участке
const и Ф’=='!'г4--5-“ = const 2).
Таким образом, водонепроницаемому участку в плоскости 2 отвечает
прямая линия (или ее часть), параллельная оси ОФ.
Рассмотрим промежуток высачивания, наклоненный к оси Ох под
углом а, с уравнением xsin а —у cos а -j- а. Как указывалось выше,
в §§ 40 и 42, на этом участке <?,— у, vBcosa = (A— -o^sina и,
следовательно, v,?0cos a = (k—-t^ojsina. Отсюда в силу первого из
выражений (7.89) найдем:
1	П (VU4 — А)	, о
ф = т (__ х 4- (k - ^о) V1 = —^33^- = const 8).
Таким образом, промежутку высачивания в плоскости 2 будет соот-
ветствовать прямая линия (или ее часть), параллельная оси ОФ.
Ос1аегся рассмотреть кривую депрессии. Как указывалось выше,
в §§ 40 и 42, на этой кривой в общем случае, при наличии инфиль-
трации или испарения на свободной поверхнос!и грунтовых вод, имеют
место условия: ®,=у, фг= —	и	— ^^°у	е)==0,
где ег = j и О—произвольная вещественная постоянная. Следова-
тельно, -[-(-»—	— s) = 0. Отсюда в силу зависимостей
(7.89) получим:
Ф = |] —+ —-о„о)ут] и Ф = С + j(^o“ s)*“ ^o/l- * 8
0 При a = -£>	и, следовательно. Ф — ------g— *
я
8)При« = у v«n = ° и4,= ^ + -у-.
«)При«=.~- vvn~^ и ф~--------------
302
ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[ГЛ. 7
Умножая первое из Э1их выражений на vx0 и второе — на k — vy0
и складывая полученные резулыают почленно, имеем:
v.eo Ф -j- (k — vv0) ’F = C(k — vy0) = const.
Oiсюда следует, чго кривой депрессии в плоское!и 2 отвечает пря-
мая линия в общем случае, пе параллельная осям координат.
Из полученных выше результате и следует, чю область функ-
ции 2 будет прямолинейным Mi’oroyiольником.
Введем в рассмофение вспомогаюльпую полуплоскость С. Произ-
водя конформное oiобряжение эюй полуплоскосю на обласю w и 2 ’),
найдем две функции ^=/,(0 и 2— /.,(£). Подснавляя Э1И функции
в выражения (7.87) и (7.88), имеем:
^(v,.-lvv-) = 4r-T(vr0-lvll0) + 7^ и
ш> = о —*Чо)~Ч А (О-
О [сюда получим:
*= f/.ад'ад:,
1	г	(7-9°)
= ~k ад— ад) J л сад (С) л+л С).
Таким образом найдем парамефичгское выражение искомого реп е-
ния 2).
Если окружное!и и прямые, образующие годограф скоросю на
фанице облаыи филырации, пересекаются в двух точках /Й; и М»,
то, рассмафиная две ана.1И1ические функции
=	—|(^i —2а--шг—!(»„., —/®7,) г*), (7.91)
получим, чю области изменения э,их функций буду! прямолиней-
ными многоугольниками. Оюбражая обласси 2, и 2., на полупло-
скость С, найдем 2j =/](£) и 22=/2(С). И в силу выражений (7.91)
г=	__ (^2-/^2)/, W-(vxl-ivvi)f2 (С)
^2— ^1+1 (^2—^1) ’	’	Т'г2- Vxi +i(Vy2~ Vyi)
В работе Б. Б. Девисона [6] даны приложения изложенного выше
способа при рассмофении двух случаев филырации, а именно:
случая филырации через земляную перемычку с вертикальными стен-
ками на водоупоре при наличии инфильтрации, интенсивность которой
2т п?^.еНЯЯ фоРмулу Кристоффеля-Шварца.
) Параметром будет переменная С.
в точкахД<М1 иЖЛ12. ‘Vyl И Va,!! iv4z — комплексные скорости фильтрации
§ 731 ЧЕТВЕРТЫЙ ВАРИАНТ СПОСОБА ГОДОГРАФА СКОРОСТИ	303
удовлетворяет условию	— sr (Hi и Н2 — глубины воды
в верхнем и нижнем бьефах, a L— ширина перемычки), и случая
фильтрации к бесконечной системе точечных дрен (расположенных
на одной высоте и на равных рассюяниях друг от друга) в водо-
проницаемом грунте неограниченной мотцноои при наличии инфиль-
трации или испарения на свободной поверхности грунтовых вод.
Этот же способ был использован Б. К. Ризенкампфом [16] при
рассмотрении случая фильтрации к точечной дрене или из дрены,
расположенной в однородном водопроницаемом грунте неограни-
ченной мощности или расположенной на водоупоре, при наличии
испарения.
Четвертый вариант способа годографа скорости имеет весьма
большой принципиальный интерес, так как ущэнавливает связь между
рассмотренными в главах 5—7 различными способами использова-
ния конформных преобразований в теории фильтрации. Действительно,
в случае напорной фильтрации в основании массивных гидросоору-
жений годограф скорости на границе области фильтрации состоит
лишь из прямых линий (или их частей), проходящих через начало
координат и бесконечно удаленную точку. Таким образом, в этом
случае Цр! —	и цг2— ivy2 — co и в силу выражений (7.91)
— отг и Q2 = z *). Указанные функции рассматриваются в способе
Павловского. Аналогично предыдущему в случае способа Ведерни-
кова-Павловского (при прямом его применении) vxX— ivy^=-0 и
Ц.с2 —	= — ik и, следова гельно,	= <*>г и 22 = <ur -j-
Э|и функции 2) составляют основу способа Ведерникова-Павловского.
В случае видоизменения способа Вед рникова-Павловского (при пря-
мом его применении) цк] — ivyi = — ik и Цд,2 — ‘VV2 —— Сле-
довательно, Q, == шг -ф- 1егг и L’.> = ш,.-ф- iz. Последние функции )
рассматриваются в указанном видоизменении. Таким образом, способы
Павловского и Ведерникова-Павловского (с его видоизменением) соот-
ветствуют единому предположению о наличии двух общих точек
пересечения у всех линий, образующих годограф скороеiи на границе
обласш фильтрации.
Огмешм еще один возможный случай, когда все линии, соста-
вляющие годограф скорости на границе области фильтрации, имеют
Две общие точки пересечения. В указанном случае все водопрони-
цаемые участки должны быть вертикальными прямыми (или их частями),
водонепроницаемые участки—горизонтальными прямыми (или их
частями), на кривой свободной поверхноои грунтовых вод должно
иметь место испарение жидкое!и, а учас!ки высачивания отсутствуют.
’) Принимая Q, =---------------1- z.
Vx-i — lvyt
О Вторая — с точностью до множителя I.
8) С точностью до множителя Z.
304
ТРЕТИЙ СПОСОБ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[гл. 7
Тогда	— К —и т»е2 — гё,/2 — р —- а/г !) и, следо-
вательно, 2] ==щг-|-|Л—егг и Q2— шг— У— ггг. Этот случай был
указан Б. Б. Девисоном [6], но подробно рассмафивался им иным,
более сложным способом.
Далее имеем, что в случае первого варианта способа годографа
скорости (при прямом его применении) окружности и прямые (или
их части), образующие годограф скорости на границе области филь-
трации, имеют только одну общую точку с координатами (0, 0).
Таким образом, в этом случае —ivu0 = Q и в силу выражений
(7.87) и (7.88) та — ~v~^-и 2 == wr. Последние функции соста-
вляют основу первого варианта способа голографа скорости. Анало-
гично предыдущему в случае второго варианта способа годографа
(при прямом его применении) цс0—= — ik. Следовательно,
W = vy^lvyyik и = <"»' +Последние же функции 2) и рас-
годогпяЛя riznn ЭГ°М вариав,е- в случае третьего варианта способа
пазования (1 87?C™ l>vvo~co. Здесь дробно-линейного преоб-
ной скоппгг' я,ДеЛа1Ь Не Нал°’ гак кяк °блас1ь изменения комплекс-
ФункпияРжр Ио—ИЛЬ* *^г'1иИ буДег пРямолинейным многоугольником,
переменных 7»	*	’ Н°’ КЯК извесгно’ рассмофение комплексных
соба гологтФя И.г “сгавляег основу третьего варианта спо-
соответствуё^ рп °Р°С1И‘ Таким образом, способ годографа скорости
пересечения v И^Н°МУ прелположению о наличии одной общей точки
области фильфации.71™ ’ °бразующиг ‘одограф скорости на границе
с указанными8 заключение’ 4го никаких иных случаев по сравнению
границе обтает лЗ’ ПГ>И ’'огорЬ1Х все линии годографа скорости на
сечения, быть не^ожет™ ИМеЮ'’ °W ИЛИ Л“е об,цие Г0ЧКИ Пере'
!) Здесь V— «А — вещественная величина, так как в случае uc Р
ния t<0.
С точностью до множителя /.
*) Принимая Q = —------------U г.
ГЛАВА 8
МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
§ 74. Метод краевых задач. В главах 5—7 нами был рассмот-
рен метод решения задач плоской установившейся фильтрации тяже-
лой несжимаемой жидкое!и, основанный на конформном преобразо-
вании обласш одной комплексной переменной на область другой
комплексной переменной, а потому названный нами методом кон-
формных преобразований. Рассмотрим еще один метод решения указан-
ных выше задач, принципиально отличный от метода конформных
преобразований, основанный на приведении фильтрационной задачи
к задаче Римана-Гильберта (в частности задачи Дирихле) теории лога-
рифмического потенциала. Мы будем в дальнейшем именовать его
методом краевых задач.
Метод краевых задач был впервые рассмотрен С. Н. Нумеровым
в работе ]1] ’) и получил дальнейшее развитие в последующих его
работах (5, 6, 12].
При непосредственном применении метода краевых задач пред-
полагается известной либо область фильтрации г, либо область при-
веденного комплексного потенциала фильтрации ш,., либо область
функции Жуковского адж —г — Так как методика приведения
фильтрационной задачи к задаче Римана-Гильберта зависит от того,
какая из перечисленных выше областей будет заранее известной, то
ниже рассмотрены ц отдельности три случая приведения, соответ-
ствующие трем видам заранее известной области.
Если облас!Ь фильтрации z будет известной, го граница этой об-
ласти может состоять лишь из водопроницаемых и водонепроницаемых
участков, а также из участков высачивания грунтовой воды. Примем
в качестве независимой переменной комплексную координату z ючек
области филырации и в качестве неизвестной функции — приве-
денный комплексный потенциал филырации <ог. Тогда, замечая, что
на водопроницаемых участках == const, на водонепроницаемых уча-
стках фг== const и иа участках высачивания <рг— у (см. § 40),
’) Указанная работа была представлена для опубликования в Известиях
НИИГ весной 1936 г.
20 З.к, 606, В. И. Армин и с. Н. Нумеро*
306
метод крарйых задач
|ГЛ. 8
заключаем, чго на всей границе области фильтрации z будет из-
вестной либо вещественная часть, либо коэффициент при мнимой
части функции шг. Следовательно, для функции мы будем иметь
задачу Римана-Гильберта в случае области г.
Если область приведенного комплексного потенциала <ог будет
известной, то граница области фильтрации может состоял, лишь из
водопроницаемых и водонепроницаемых участков и кривой депрессии
при отсутствии инфильтрации или испарения на свободной поверх-
ности грунтовых вод. Примем в качестве независимой переменной
комплексный потенциал фильтрации и в качестве неизвестной
функции либо комплексную координату z точек области фильтрации,
либо функцию Жуковского wA. Будем, например, считать неизвест-
ной функцией переменную г. Тогда, предполагая, чго водопроницае-
мые И ВОЛПНТППпИИпю.п.» ......-
-------------------------------... . ,,......1
сгавляют собою прямолинейные ломаны
геометрического условия получим,
линий
„	--v^nu.iui пл; чш оидиирипица-
мые и водонепроницаемые участки границы области фильтрации пред-
ставляют слЛпю ппо—................  1е	линии> 8 СИЛу очевидного
что на л-м звене этих
ломаных
в»^+^ + сп = 0,
и сп — вещественные постоянные. Далее имеем,
что на
где ап, Ьп
области	О|Сюда вытекает, что на всей границе
коэффициента УД1Т извеСтнЫм линейное соотношение (с постоянными
mhhS ” М"1МеЖДУ ве‘ЦеСТВенн0Й часгью и коэффициентом при
также иметь чя^ |КЦИИ' z )• Следовательно, для функции г мы будем
“ Обстоите ДаЧУ Римана‘Гиль®ерга в случае области <чг. Анало-
функцией бупе/11*180 имевТ, М2С,’° и в том случае, когда неизвестной
Функцией будет функция Жуковскою тож.
Ница областит ,известной область функции Жуковского wx, то гра-
водоппонипаемкигИ и>1РаЦИИ можег состоять лишь из горизонтальных
и участков высачиваСтков’ вертикальных водонепроницаемых участкоз
может иметь	такжг из кривой депрессии, на которой
Примем в качестве неад^имой^*51 ИСпарение шунтовой воды,
ной функции — поивеленикХ Й |,еременной «’ж и в качестве неизвесг-
Тогда на водопроницаемы? КОмплекс,,ый потенциал фильтрации
мых участках JrPXonst7y4JCTKax ^=^1, на водонепроницае-
ма кривой депрессии мь « Участках высачивания «» + const
<К + v = eonsPt	" ли К». § 40): .fr + i = «..
чину х, найдем, что „а кривой дебрей”"’ «пряжений вел.-
Чг —	“« + const *).
Отсюда следует, что на всей границе области будет известной
3) В частности будет известной одна из указанных частей.
•) Интенсивность tr инфильтрации или испарения иа отдельных учас
кривой депрессии может быть различной.
§ 76 [ Горизонтальная дренажная щель и. е. жУковсИоГо
80?
либо вещественная часть, либо коэффициент при мнимой части функ-
ции шг. Следовательно, для функции <иг мы будем опять иметь за-
дачу Римана-Гильберта в случае области адж.
Таким образом, независимо от того, будет ли заранее известной
область фильтрации, или область приведенного комплексного потен-
циала фильтрации, или тбласть функции Жуковского, для неизвестной
функции мы будем всегда иметь задачу Римана-Гильберта (в част-
ности задачу Дирихле). Для решения указанной задачи необходимо
будет произвести конформное отображение области независимой пере-
менной на вспомогательную полуплоскость. Тогда для неизвестной
функции будем -иметь задачу Римана-Гильберта в случае полупло-
скости. Решение же последней задачи может быть найдено по фор-
муле М. В. Келдыша и Л. И. Седова. Так как независимая пере-
менная и неизвестная функция будут выражены через координаты
точек вспомогательной полуплоскости, то решение фильтрацион-
ной задачи в общем случае будет определяться в параметрической
форме.
Как и в случае метода конформных преобразований, область при-
менения метода краевых задач может быть значительно расширена,
если воспользоваться «полуобрагным» приемом рассмотрения. При
таком рассмотрении в случае, если известна область приведенного
комплексного потенциала фильтрации, водопроницаемые и водонепро-
ницаемые участки границы области фильтрации могут быть заданы
произвольной формы. Достаточно лишь предположить, что на этих
участках х или у или, вообще, линейная комбинация этих величин будут
известными функциями. В случае же, если известна область функции
Жуковского, то такие предположения можно сделать в отношении
участков высачивания, причем на указанных участках достаточно
предположить, что ®г или или линейная комбинация этих величин
будут известными функциями.
В заключение отметим, что метод краевых задач может быт
применен в несколько видоизмененном виде ив юч случае, когда
ни одна из областей переменных г, <»>,. и и>ж заранее не известны.
Пример такого применения метода краевых задач приводится ниж',
п § 77. В указанных случаях метод краевых задач оказывается менее
эффективным, так как приводит к линейным интегральным уравне-
ниям типа Фредгольма 2-го рода, с регулярным или сингулярным
ядром, или к системам таких уравнений.
§ 75. Горизонтальная дренажная щель Н. Е. Жуковского.
В качестве первого примера, иллюстрирующего метод краевых за-
дач, рассмотрим исследованный С. Н. Нумеровым [10] случай филь-
трации (в общем случае несимметричной) к горизонтальной дренаж-
ной щели Н. Е. Жуковского в однородно-водопроницаемом слое
трунта ограниченной мощности, подстилаемом водоупором, верхняя
Поверхность которого будет горизонтальной плоскостью. Указанный
случай наравне со случаями, подробно исследованными в § 55,
308
метод КРАЕВЫХ ЗАДАЙ
[гл, 8
является одним из основных случаев расчета фильтрации к горизон-
тальной дренажной щели Н. Е. Жукотского.
Схематически рассматриваемый случай изображен на фиг. 174.

Фиг. 175

Определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации о>г. Примем за плоскость сравнения напоров плоскость дре-
нажной щели. Тогда на контуре щели (М,/И3)= — h = 0. Граница
водоупора (М4М3) является линией тока. Примем, что на этой линии
'К —0. Тогда на левой ветви
Afj.-И, кривой депрессии ф, ==
= — q'r, где q'r—приведенный
фи. ьт рационный расход, по-
ступающий в дренажную щель
с тева. Аналогично предыдуще-
му на правой ветви МрИ3 кри-
вой депрессии	где
q" — приведенный фильтраци-
. .‘-и. справа. Очевидно, что
расход дренажной щели qr =
ть приведенного комплексною
 такой вид, как предсгав-
онный расход, поступающий в дренажную ще.
полный приведенный фильтрационный
~Я'Г-\~Я"Г- Отсюда следует, что об лас...
Потенциала фильтрации <ur будет иметь
лено на фиг. 175.
Произведем конформное отображение	па Ouiv^---'
ную полуплоскость г, изображенную на фиг. 176. Тогда получим.
7<*rih
где а неизвестная постоянная, определяемая ниже.
Введем в рассмотрение функцию Жуковского ®ж==г —
Функция wK будет аналитической в полуплоскости С. Определим,
каким условиям удовлетворяет эта функция на отдельных участках
вещественной оси полуплоскости На участках М»М,> и
вещественной оси по луп лоси гю™ г „ уч с KdX /И2/к/з А. пе-
тунлоскости г, соответствующих кривой Де
прессии и контуру дренажной щели, р==ряУи> следовательно,
области <ur на вспомогагель-

а —С
(8.1)
§ 75] ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ Н. Е. ЖУКОВСКОГО
309
vx = y — <ог= А—= Ня участке M3MV соответствующем гра^
нице водоупора, у = Т и, следова гельно,
Отсюда получим, что функция wx(Q па вещественной оси полу-
плоскости С должна удовлетворять условиям
f ж (5) = 0, если — оо < В < —-1 и 1 < !• < оо,	(8.2)
<’ж(й=Т + |9'аг(1./' 7r + l<arth/1=|,
если — 1	1.
Таким образом, для функции мы имеем зада^У
в случае полуплоскости С, причем мнимая часть этой фун ц
вещественной оси полуплоскости С определяется зависимостями ( . ).
Фиг. 176.
Решение этой задачи может быть выражено следующим
тралом типа Коши ’):
...	1	(8.3)
где С—некоторая вещественнатт постоянная, определяемая ниже,
а функция vx(t) выражается зависимостями (8.2).	„
В точке Мг, — сю и ®ж = b -ф- q"r~ О геюда в силу (8.3) С b qr
Подставляя в (8.3) вместо постоянной С и функции »«(/) их вы-
ражения, найдем:	,-----,
/а — 1
1 arth 1/ --;
1	1—с . 2 ,	____-
w» = 2' —	= + + 77,1,1 —<7r	t'~r'
l) См, приложение VI,
310
МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[гл. 8
Выражения (8.1) и (8.4) определяют искомое параметрическое реше-
ние рассматриваемой задачи *).
Найденное выше решение содержит одну неизвестную постоян-
ную а. При определении этой постоянной заметим, что в точке
С = « и ®ж = — q'r- Но тогда в силу (8.4)
/	1 arth лГ~	\
д — — Tarth a\ 1 —-А- -—+
тс	1 “ г \	т:2’ а *	/I
\	-Л	/
(	} arthl/*\
+Я1-4 I—--;-+--aLo.	(«.б»
'	— 1	/
Интегралы, входящие в уравнение (8.5), могут быть выражены
в более простой форме. Для этого в первом интеграле уравнения (8.5)
введем новую переменную интегрирования т==Т/ Тогда получим:
Г а — t
J arth 1/* Лп!	1	а
j—f
-1	a	6
где
a = V^T
Рассуждениями, аналогичными предыдущим, найдем такое же выра-
жение и для второго интеграла уравнения (8.5). Следовательно, оба
интеграла этого уравнения совпадают. Но тогда уравнение (8.5) при-
мет следующий, более простой вид:
[4<8-б>
причем
о
функция, таблица значений которой приводится в приложении I.
Если величина qr будет известной, то по уравнению (8.6) может
, 1) Параметром будет переменная С.
(* 1	1 ~ I ~ Т" лЗ
а) Заметим, что | — 1п dx = (см. приложение I).
о	*
§ 75] ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ дренажная ЩЕЛЬ Н. Е. ЖУКОВСКОГО 311
быть определена неизвестная постоянная а и, далее, неизвестная по-
стоянная
Заметим, чго если величина а будет близка к нулю, то /(а)?«0
и в силу (8.6)
4Г ’	(8.6Z)
Если же величина а	близка к единице, го 1палза—1,	и
а^1-^Д±М.	(8.6")
Если внутренняя ширина дренажной щели Ь = 0, то уравнение (8.6)
примет вид
Чг _ — 4 In а	/8
Т “я[1+W)1‘
Отсюда следует, чго в случаев —0 величина а будет функциейодного
аргумента
Найдем уравнения левой и правой sei вей кривой депрессии.
На левой ветви кривой депрессии (M4Mr) С —5 (14^а!>
<»г~у—iq'f и wx — x—q'r. Отсюда в силу (8.1) и (8.4) на этой
ветви
у = arth
1	, . Га — 1
* arth 1/ --у-
х = Л +	| -----Н dt~
(1 ^СсО-
Выражения (8.8) являются уравнениями левой ветви кривой де-
прессии в параметрической форме !)-
Зависимости (8.8) могут быть значительно упрощены. Для этого
в первом интеграле выражения (8.8) введем новую переменную ин-
тегрирования
/ а — Т
т /7=7 + /7=Т '
*) Параметр—переменная
312
МЕТОД KI АЕВЫХ ЗАДАЧ
[гл. 8
Тогда имеем:
а’
d+«2) I (TZL
о
где
и ==
(О<« < 1)
и
1—д
1 -f- а
(8.9)
Рациональную дробь, входящую в подинтегральное выражение по-
следнего интеграла, разложим на простейшие дроби. Тогда получим:
а'	а'	а'
/,—2 Г	f
1	'1 -"С	.[ 1 -р UZ .1 О Тх
ооо
Вводя во втором из последних интегралов новую переменную инте-
грирования t=ut, а в третьем — переменную интегрирования
после интегрирования по частям получим:
/ ==_ 1па/1пЛ+^Ж+^).„2 ? 1п(1-т) . ,
1	«(1 —д')з	«‘И-
О
а1
+ рЦ1 Н)Л+ f (ПП-Н) dt_
0	о
мЯде-, Ч,о вгоро»
1	/ а — t
р arth 1/ ——г-
J 5-t	V (I 4- д')4
a'
a'	a'v	v
+ 2 (I'
0
§ 75]
ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ Н, Е. ЖУКОВСКОГО
313
Заметим здесь, чго по определению величин я', и и г» между этими
величинами имеет место соотношение
1 — и 1 Д' 1 —v
1 -|“ и	1 -— д' 1 v
Решая последнее уравнение относительно и, найдем:
v — а'
и ~ ’
Но тогда
(д' -\-и) (I д'») _	(1 + д')а v__
и (1 — д')а ' (v — д') (1—g'v) ’
Подставляя в зависимости (8.8) вместо входящих в них величин их
выражения и используя уравнение (8.6), приведем уравнения левой
ветви кривой депрессии (8.8) к следующему, более удобному пара-
метрическому виду:
У — ~ q, In т- —,—— q. In v
« '	1 av 1 « 7i
(«'<-»< 1),
причем
О	О
“функции, таблицы которых приводятся в приложении I.
Если параметр а' мал, то уравнения (8.10) могут быть пред-
ставлены в следующем, более простом приближенном виде:
>	7,'In (ц—a')-^~q" Inf	(8.10')
(a'^v
<!)
Найдем асимптотическое выражение уравнения левой ветви кри-
вой депрессии при больших значениях у. Для этого заметим, что
если у велико, то параметр v близок к д'. Но тогда в силу второй
из зависимостей (8.10)
In	а'.
111	,	»2	/	/
а (1— а ) qr qr
314
МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. 8
Далее, в силу следующих свойств функций Д(/) и f2(tY.
Д | ln^-Д (1),	Д (Р) = 2Д )t) - 2f, И),
при v, близком к а', получим:
+ф м-4 - 4 >п» ДД44+ф«'>-
Подставляя в последнюю зависимость вместо величины In—-—
а'(1—а'3)
ее приближенное выражение, найдем следующее асимптотическое
выражение уравнения левой ветви кривой депрессии:
-2xq'rtt(T-y?-T'2'),	(8.11)
где
/ т' \2	л'
(у у — Ф[ Н—у- Ф2,	(8.12)
причем
ф1 = 1-1£г1па' и Ф2==1|п(1 + у)ф1_^г^_2/1 (д')).
Как указывалось выше, величины а и а' будут функциями аргу-
ментов -у и Но тогда и величины Фх и Ф2 будут тоже функ-
циями этих аргументов. На фиг. 177 и 178 приведены графики
функций Ф* и Ф2 от аргумента Зу ПрИ различных значениях -у.
Заметим здесь, что если — велико, то а близко к нулю и а'
близко к 1. Но тогда
— In а' = In яа 2а 2е
и
Ф
Следовательно, в этом случае
2 а К(2Ь+^
«у« iT и Ф2~Ц22	о,882.
нажной ^ели^указання^ Следует’ чго ВДали от горизонтальной Дре-
У щель эквивалентна вертикальной дренажной
нии —л; от дренажнойбщели.ГЛубИИ°Й ФильтРаииониого потока на расстоя-
§ 75J ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ Н* Е, ЖУКОВСКОГО 31S
траншее с дном, доходящим до водоупора, глубина воды в кото-*
рой Т'.
Рассуждениями, аналогичными предыдущим, получим, что урав-
нение правой ветви кривой депрессии получается из уравнения левой
ветви заменой —х на х— b, Т' на Т" и qr на qr (и наоборот).
В приведенных выше зависи-
мостях содержатся две неизвест-
ные постоянные q’r и q", которые
могут быть определены, если бу-
дут заданы координаты двух точек, принадлежащих каждой из
фильтрации и
Щели в приведенных выше зависимостях следует	г
Рассмотрим один частный вид исследуемого выше^случа сл„_
трации к горизонтальной дренажной щели, когда qr »
чай односторонней фильтрации к горизонтальной дренажной щели р
полном перехвате грунтового потока дренажной	левОЙ
В этом случае qr — qr, qr—^ и в си™ ' f
ветви кривой депрессии будет:
_ гЛ
|	(| ] g	)2	I
х = — (7'_|_/j0) In	~~7(Х +у]	I
(1-фе	)(!+* ’г >
*)}. <8-13)
316
МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. 8
где — оо < у о и
= 5 ?Г a rih и
ТС 1
(8.14)
ни-дарК0Г0^аЯ П0С10я,1Ная> физический смысл ко юрой определяется
определяется зави-
Асимптотическое выражение уравнения (8.13)
симостью (8.11), где следует положить д' = дг.
Фиг. 179.
Аналогично предыдущему получим, что уравнение правой ветви
кривой депрессии будет:
г- )	Г (ft 1-у)
(1— е Н1— е '‘г т
x = ^~~~(T-JrhQ)ln
rh,
<1
I
(1-е ’г}2
Г <v-h )
r)—^h(e Чг '-4
!•(>>,ТУ>
7-
(“«о О<0).	(8.15)
11Г(»ии1мЮпмОСвеДУеТ’ ЧТО постоянная будет максимальным превы-
ной ппенямгнпй ВеТВИ кривой депрессии над плоскостью горизонгаль-
буде?Рогоеде?я Те™ Ф"Г‘ 179)’ В СИЛу (8-6> и (8-*4) неизвестная h0
оудет определяться уравнением
1п Cth - Т [т +/ (‘h ^)] = А.	(8.16)
л. Ф ж 7^рПриведен“ графики определяемой уравнением (8.16)
функции Ф1==_Л = 1+Л от зргумента^ при различных значе.
НИЯХ у.
может бытьЧпр7ближТнноМ’оппелВНеШНЯЯ п,ирипа Дренажной щели (В)
В уже упомян^юГГышТХГс110?0^'716 (6.17) (при J
щение приведенного выше пеп.Ли , Нумерова 1101 дано обоб‘
притока к горизонтальной дренажнпГ С~уЧая одностороннего
нием справа на некотором расстояний Тт™ Н' Е> Жуковского> введе"
н ссгоянии от дренажной щели взртикаль-
§ 75] ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ Н. Е. ЖУКОВСКОГО
317
ной плоскости водораздела1). Из эюю решения вытекает, что правая
ветвь кривой депрессии практически достигает своей асимптоты
у =— hQ на рассюянии от дренажной щели Заметим здесь,
чго последнее решение одновременно является обобщением упомяну-
той в § 55 задачи В. И. Аравина о симметричной фильтрации к двум
горизонтальным дренажным щелям Н. Е. Жуковского на случай
конечной глубины водопроницаемого слоя.
Фиг. 180.
Друюе обобщение указанною ъыше решения на случай неполною
перехвата грунтовых вод дренажной щелью (фш. 180) было получено
С. Н. Нумеровым [14]. Сотласно этому решению асимиюгические
выражения кривых депрессии имеют такой же вид, как и выше,
только <?" < 0.
Приведенные выше результаты приводя г к следующим выводам.
В случаях фильтрации к горизонтальной дренажной щели Н. Е. Жу-
ковского в водопроницаемом слое трунга, подстилаемом горизонталь-
ным водоупором (см. фиг. 174, 179 и 180), ветви кривых депрессии
(сплошные кривые на фиг. 174, 179 и 180) могут быть приближенно
аппроксимированы параболами Дюпюи или горизонтальной прямой
(пунктирные кривые на фиг. 174, 179 и 180). При этом фик>ивные
।лубины Т', Т" и TQ, указанные на фш . 174, 179 и 180, опреде-
ляются приведенными выше зависимостями.
В работе С. Н. Нумерова [11] получено решение для случая
фильтрации к । оризон га л, ной дренажной щели Н. Е. Жуковского
в водопроницаемом слое грун<а, подстилаемом наклонным водоупором.
Последнее решение в случае поступления воды из дренажной щели
в грунт может быть трактовано как решение для случая фильтрации
из канала с малой i лубиной воды при наличии естественною равно-
мерного фильтрационною потока ограниченной мощности.
Как указывалось в § 55, больной интерес для практики фильтра-
ционных расчетов дренажа представляет задача В. В. Ведерникова
«о береговой дрене». В работе С. Н. Нумерова [8] было дано
обобщение этой задачи на случай конечной глубины водопроницаемого
слоя. Из этого решения, как следе юие, вытекает решение для случая
!) При нулевой внутренней ширине дренажной щели (£ = 0).
318
МЕТОД КИЛЕВЫХ ЗАДАЧ
(гл- 8
фильтрации из канала с малой глубиной воды в однородно-водопро-
ницаемый слой грунта (подстилаемый горизонтальным водоупором)
при наличии одностороннего подпора (фиг. 181).
Фиг. 181.
Последнее решение было в дальнейшем обобщено С. Н. Нуме-
ровым [14] на случай несимметричного подпора (фиг. 182).
Согласно двум последним решениям ветви кривых депрессии
(сплошные кривые на фиг. 181 и 182) могут быть приближенно
Фиг. 182.
ОТ:	прямо» (..унк-
т-»д, УИЗЯМ* иа
( Т'\2	, д' ,Т"\2	Г,"	Т
(т)	(-г) =Ф:-Др1'2, -’°=Ф„
где + приведенный фильтрационный расход канала,
а Ф} и Фц функции аргументов ч &	<	*
.	1 у енюв -у и графики которых приве-
дены на фиг. 183 и 184.	Т
В случае фильтрации из кячапа
z__ „___qr	канала при симметричном подпоре
qr — Чг ~~2‘
банкетом taЛводоупоре?*Ре3..земляиую плотину с дренажным
неровни [бГслДучКайафХраци ’	С.'Тну-
банкетом, расположенную на в^лот^3 земляНую плотину с дренажным
У одоупоре, верхняя поверхность которого
банкетом иа водоупопе RГ™’? уЮ плотину с дренажи».™
--------- --- У Ре* В качестве второго примера, иллюсгри-
§ 7()]	ФЙЛМ РАЦИЯ ЧерРз ЗЕМЛЯНУЮ цЛотиНУ
319
будет горизонтальной плоскостью. Указанный случай представлен
в схематическом виде па фиг. 185.
Из рассмотрения годографа скорости фильтрации вытекает, что
в исследуемом случае возможны следующие три частных вида тече-
Фиг. 183.
ния: 1) фильтрация без промежутка
высачивания на откосе дренажного
банкета, когда касательная к кри-
вой депрессии в точке выхода ее
ьа откос дренажного банкета будет iоризонгальна (фиг. 186, а);
2) фильтрация без промежутка высачивания на о। косе дренажного
Фиг. 185.
банкета при ортогональности кривой депрессии и откоса др.нажного
банкета (фиг. 186, б) и 3) фильтрация с промежутком высачивания
на откосе дренажного банкета (фиг. 186, в). Ниже мы рассматриваем
320
МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[гл. 8
течения только двух первых видов, каковые обычно и имеют место
в практике.
Определим область приведенного комплексного потенциала филь-
трации шг. Для этого примем за плоскость сравнения напоров гори-
зонт воды в верхнем бьефе. То|да на верховом откосе плотны
Фиг. 18(5.
(МуМА} напор й = 0 и, следовательно, ог —— й = 0. Кривая депрес-
сии (Л^М.) будет линией тока. Примем, чю на л ой линии <рг = 0.
Тогда на границе водоупора (AfjAfj, являющейся также линией юка,
'[<r = qr, где q, — прив -денный филь-
трационный^- расход пллины. На
Фш. 188.
откосу	6»,,(С|Га )МгМ:1, шт!> „ Ни_ с
ного потенциала фпльтпапт’ое;.'"0 оГ,-’исг'- "Г™»ИИ" коим-кс-
на фиг. 187. Ф Рачии будет прямоугольником, предъявленным
Произведем конформное огображ ние области <ог на пспомогатель-
ную полуплоскость С, изображенную на фиг. 188. Тогда получим:
dn(2Af^ /у
\ Чг’ .
(8.17)
При этом модуль эллиптических интегралов и функций А и допол-
нительный модуль определяются уравнением

(8.18)
§76]	ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ ЗЕМЛЯНУЮ ПЛОТИНУ	321
Из (8.17) следует, что на верховом откосе плотины
=	[1-^-F (arcsin £, А)]	(|В|<1)	(8.19)
и на откосе дренажного банкета
^г = ту£1—F(arcsin, A^j	(8.20)
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
ни — и iv = Н х-\~ izi (j	•	(8.21)
Выражение (8.21) после отделения вещественных частей от мнимых
дает эквивалентные зависимости
« = Я, —у —
(fft — ?r) (gr — фг)
Qr
v — x | №-?г)г-(9г~Фг)2
'Г	Кг
(8.22)
Введенная функция будет аналитической в полуплоскости С и
непрерывной вплоть до ее вещественной оси.
Определим, каким условиям должна удовлетворять функция w на
отдельных участках вещественной оси полуплоскости £. Для этого
заметим, что на участке Л13Л14, соответствующем границе водоупора,
y = Hv tyr — qr и в силу первой из зависимостей (8.22pz — 0. На
участке	соответствующем кривой депрессии, <рг у, тг —
и в силу первой из зависимостей (8.22) и —О- На участке 4 р
соответствующем верховому откосу плотины, х sin art У cos ait ,
<Рг = 0 и в силу (8.19) и (8.22)
«cos ал — г» sin ал =
уу2	1	Г	1	1
— з}палЯт cos а»| 1 — -% /"(arcsin Е,А)1 4*
-g- qr sin ° гс £1 +	F (arcsin	A)j .
Ha участке M>AL, соответствующем откосу дренажного банкета,
xsinpn —у cos [Зл — /sin^rt — Я^озрл, <fr —Я и в сиЛУ (°-20)
и (8.22)
№ 1
«cos (Эл-)- v sin (Эл = / sin [Згс sin рл — -^-Яас05$л X
х[1 4-^/’(arcsin a)] —|<7rsM«[l + /"(arcsin ^,/)] .
Отсюда следует, что функция vo на отдельных участках вещественной
322
МЕТОД краевых задач
|гл. 8
оси полуплоскости должна удовлетворять условиям
в cos ait — т/sin ait =— at -j-	4" с,®*, если	1
и cos ₽it + 'O sin ₽л — az—£2Ф3— с2Фз, если | $ | >- у-, I
и = 0, если 1 < | $ | < у,
где
Н\ t	1	1
== 2^; sin ait,	bt = cos ait, e, = у 9rsin ait,
1 1
«2 = /sin Pit 4-2^ sin Pit, 52s=-y^2cospit, f2 = -g ?'rsin₽ir’
Ф1=1—y/^arcsinS,X), Ф2 = 2 —Фр Ф3= 1+^-F^arcsin-^-3)«
Таким образом,
мана Гильберта в
ми (8.23).
для функции w мы будем име!Ь задачу Ри
случае полуплоскости С с граничными условия-
Для решения этой задачи введем в рассмотрение еще одну вспо-
могательную функцию
е<-(1 _С)« г(1 +Q-«(1 _ AQ₽-1(1 +А:)-₽да#). (8.24)
и неппеоывштй^8 бУДет аналитической в верхней полуплоскости С
непрерывной вплоть до ее вещественной оси, за исключением точек
С = ±1, ±у. Из условия конечности функции w при С = оо сле-
дует, чго IF(oo) = 0.
На вещественной оси пол уплоск-ар г» г
ции W будет ичойргиа» луплоскости С вещественная часть
ции w будет извещиой и определяется зависимостями
функ-
^(0=
X(l-X$)w(l-j-«)4 если
(as — &9Ф8 — (?2ф5) 11 — g р-111 Ц- $ |
X11-	14-хег₽,
О, если 1
А
(8.25)
1
ВЫрЯ"
Мы рассматриваем tv врт»
жение (8.24), которая имеетапгУМЬ₽кМтН^°ЗНанН0й Функции, входящей » ь»Р=
ственной оси полуплоскости ент’ Ра“ный нулю на участке (—1, 1) веще-
§ 7б]	ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ ЗЕМЛЯНУЮ ПЛОТИНУ	323
Таким образом, для функции W мы будем иметь задачу Дирихле
в случае полуплоскости С, решение которой может быть выражено
следующим интегралом типа Коши:
ОО
IT (С) = — J	dt + iC,	(8.26)
— ОО
где С — некоторая вещественная постоянная.
Заметим здесь, что из условия W(оо) = 0 найдем С = 0.
Подставляя в (8.26) вместо функции W ее выражение (8.24) и
заменяя функцию те» ее выражением (8.21), найдем:
00
— le-<C[,t(l —^-“(l+C/U —J T^dt- (8-27)
—co
Из условия конечности z при C->oo следует, чго
Jtf(/)<ft=O.	(8-28)
—СО
Выражения (8.17) и (8.27) определяют искомое решение рас-
сматриваемой фильтрационной задачи, причем входящие в эти зави-
симости неизвестные постоянные qr и А могут быть найдены из
уравнений (8.18) и (8.28).
В дальнейшем мы предположим, чго модуль А эллиптических
ин1егралов и функций будет весьма малым. Тогда все приведенные
выше результаты значительно упрощаются. Эти упрощения мы начнем
с уравнения (8.28).
Подставляя в уравнение (8.28) вместо функции U (t) ее выраже-
ния (8.25), имеем:
f ai - &1Ф1 (Л ~ НФ1 (0
.J (1 — О1-’ (1 + 0’ (1 —	(1 + М)₽
-Л
_ /____________да —	<0 — с2ф» w________dt I
J (1— /)»-«( —I—/)« (1—1 —
— GO	'
'+' у a—	i),_>a+AO₽
T

МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
(М. 8
•Вводя в двух последних интегралах новую переменную интегрирова-
ния t = -4- и замечая, что Ф3 — Ф2 (г), получим;
Г -- VW*)-^) dt =
J (1—/)»-»(!+ <)«(!—Х/)1-₽(1
-1
e f
Л (i-^iwa-^O+'P
Если X мало, то	Ф! arccos t, Ф2(^)яй^- arccos (—/)
Тогда последнее уравнение примет следующий приближенный вид:
а1 —	arccos i — ~ arccos2 (— f)
I ____it________я*	' j±
(l-C’-’d+i)"
J д—^2-arccos (—i) —	arccos2 (—i)
= -------5_____L	_____dt.
Далее, замечая, что
i
| (1 —
J	4 1 '	sin ait
-1
и имея в виду выражение коэффициентов ах, a2, bv bv ct и с2, по-
следнее уравнение приведем к виду
[----та/-------Л +
Л (l-O’-'O+O*
1
+ cos ₽лЯ2д j----g£cos ( ~ о— dt —
/ J (1~01-₽(1+0₽
arccos2 (—/) dA
(1 —Г)1-₽(1+0₽	/
(8.29)
Интегралы, входящие в уравнение (8.29), могут быть выражены в
более удобной форме. Для этого в первом интеграле уравнения (8.29)
введем новую переменную интегрирования т = 4 arcctgl/"у^7‘
Тогда получим:	*	'
*
w8 C0SaW J 7Т--^)1'-«1(1 + cosа« J-tctg1-2» у тdx.
sin art _Лгссо^(г-о_ i r
л (i-o1-'(1+*r i?sinM
§76]	ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ ЗЕМЛЯНУЮ ПЛОТИНУ
ш
Аналогичные выражения можно получить для остальных интегралов
уравнения (8.29).
Но тогда уравнение (8.29) можно представить в виде
2qrL^Hs1-Hti,	(8.30)
где
L = I-Щ ctg fk + /7^ (а) + ад (?) - qr [f2 (а) -/2 (Р)1, (8.31)
причем
1 1
/J(a) = cosait J fctg1"2" ^tdt, /2(а) —sinarc -0 ctgI-2ay^dt
о	»
— функции, значения которых приводятся в таблице 8 !)•
Таблица 8
а	Л(«)	А(«)	а	А(«)	а	ЛС«)
0,00	0,441	0,000	0,26	0,271	0,75	0,427
0,05	0,415	0,052	0,27	0,263	0,76	0,430
0,06	0,407	0,061	0,28	0,254	0,77	0,433
0,07	0,402	0,070	0,29	0,245	0,78	0,436
0,08	0,397	0,079	0.30	0,237	0,79	0,439
0,09	0,391	0,088	0,31	0,227	0,80	0,442
0,10	0,385	0,097	0,32	0,218	0,81	0,445
0,11	0,378	0,106	0,33	0,209	0,82	0,448
0,12	0,373	0,114	0,34	0,199	0,83	0,451
0,13	0,366	0,122	0,35	0,189	0,84	0,454
0,14	0,359	0,130	0,36	0,178	0,85	0,458
0,15	0,353	0,137	0,37	0,168	0,86	0,460
0,16	0,345	0,145	0,38	0,157	0,87	0,464
0,17	0,339	0,152	0,39	0,146	0,88	0,467
0,18	0,331	0,159	0,40	0,135	. 0,89	0,470
0,19	0,324	0,166	0,41	0,123	0,90	0,472
0,20	0,317	0,174	0,42	0,111	0,91	0,475
0,21	0,310	0,180	0,43	0,098	0,92	0,478
0,22	0,303	0,186	0,44	0,085	0,93	0,481
0,23	0,295	0,193	0,45	0,072	0,94	0,484
0,24	0,288	0,199	0,50	0,000	0,95	0,486
0,25	0,280	0,206	—	—-	1,00	0,500
х) Легко видеть, что Д (1—а) •= — ctg a«+/i (a), /j (-у) =0 И/в ’F ’jf
326
МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[гл. 8
Из уравнения (8.30) следует, что приведенный фильтрационный
расход через плотину qr выражается формулой Дюпюи, если рас-
стояние между расчетными сечениями равно L (фиг. 189), причем
величина=	(а) — учитывает потерю напора в верхо-
вом клине плотины, а величина Z2 = — Н2 ctg fk -f-Я2А (₽) + (Р)—'
потерю напора ниже створа, проходящего через низ напорной грани
дренажного банкета ’).
Фиг. 189.
На кривой депрессии ®r—y	и в силу (8.17), (8.25)
и (8.27)
х^~	-7 - I)1 (1 + £)’ (1 - А5)₽(1 + Л5)>-₽ X
( (1-О1"’(1+0“(1-«)’-₽ (14-A0₽(l-S)
______^1У7^фа(0-^(0]	j
(1— О1 ₽(1-Н)₽(1— АО’-’О + М)’!!— ASO d >’
где
1
dn
V Чг )
При упрощении уравнения (8.32) в случае малого А будем раз-
личать два подслучая: 1) о^у^” И) следовательно, 1^^-/?
Н	'
И %)	и> следовательно, —J_, Таким образом,
гтпд Влй^плпп*100™ бУдем искать упрощенные уравнения для левой и
правой половин кривой депрессии.	J
пора^в^верховом кХвАпнлТи Свет работе Г- к- Михайлова [13] потеря на-
Расхождение в опенках пп?ап«Ы пРияимается большей величины f/tfi (“)
иых нами™ Е К Михайловым !ТОра в верховом плотины, получен-
тери. Мы указанную выше плт’Рп^ЪЯСНЯется Различием в понимании этой по-
мещении формулыУДюпюи а°Г РК ПМиЯИваем как Дополнительную при при-
при замек9УРИаУклочЖ вёрхово’г^0Ь\аЙД°? “ как потерю’ получающуюся
г 7	“нового откоса вертикальрИ1ч vT«OCOM,
§ 76]
ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ ЗЕМЛЯНУЮ ПЛОТИНУ
327
В первом подслучае вторым интегралом, содержащим малый мно-
житель X, можно пренебречь. Тогда, принимая 1 rt AS 1, 1 -j-Mай 1,
2	2
Фх (/) ай — arccos t и Ф2 (/) ай —arccos (—/), уравнение (8.32) при-
ведем к виду
х~Чг_____W~J')a I
1 Я] —- arccos t — ~ arccos2 (— f)
+-D-О + 0- J •(l_0-.(1+0.(j^----------------------------“L
В интеграле, входящем в последнее выражение, введем новую пере-
менную интегрирования
т-1 arctg
с— я arctg j/ (5 + I)(1_f).
Тогда после подстановки вместо постоянных av bx и q их выраже-
ний, получим:
х ай ————------------— Н, cos ак Г ctg1"2" ~ т arctg (s tg 4- т) rfc +
zqr	it 1 J	*	\	* /
о
i
+ J?rsinait J*ctg’-2» 11 arctg(stg Jarctg(stg-£t)<ft,
0
где
Далее, подставляя в выражение переменной $ вместо Е равную ей
величину ——J-------, найдем:
dn(2/<—,XZ)
К Чг >
1—dn(2tf^~, X') Х'впГл'^-. хЛспГлГ^-, X')
1 + dn (2/С —, Xz')	dn^^-.хЛ
Последнее выражение при малом А примет следующий прибли-»
женный вид:
Из полученных выше результатов следует, что приближенное вы-
ражение уравнения левой половины кривой депрессии будет:
х	(S} а) +	(S) а),	(8.53)
328
МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[гл. 8
где
'=th£
причем
1
Л 0s, «) = 4 со s ait J ctgi -2« | т arctg Л tg «. 3 dx
О	7
и
Л>0> а) =
1
= —sinait fctg1-2’ -g-т arctg (s tg у т) £1—-L arctgtg~x)J dt
— функции, значения которых приводятся в таблицах 9 и 10’)•
Таблица 9
Значения функции Ft (s, а)
\ а 5 \	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,50	0,75	0,80	0,85	0,90	0,95
0,00	0,000	0,000	0300	0,000	0,000	0,000	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
0,05	0,031	0,030	0,030	0,029	0,027	0,000	—0,25	—0,45	—0,82	—1,71	—4,67
0.10	0,060	0,058	0,057	0,054	0,050	0,000	—0,34	—0,56	—1,00	—1,95	—4,99
0,15	0,087	0,084	0,081	0,077	0,071	0,000	—0,40	—0,65	— 1,10	—2,09	—5,17
0,20	0,113	0,109	0,104	0,098	0,090	0,000	—0,44	—0,72	—1,18	—2,19	—5,30
0,25	0,138	0,133	0,126	0,118	0,108	0,000	—0,48	—0,76	—1,27	—2,26	—5,39
0,30	0,162	0,155	0,147	0,137	0,125	0,000	—0,51	—0,80	—1,30	—2,33	—5,47
0,35	0,184	0,176	0,166	0,155	0,140	0,000	—0,54	—0,84	—1,34	—2,37	-5,53
0,40	0,206	0,196	0,184	0,171	0,154	0,000	—0,56	—0,87	—1,38	—2,42	—5,58
0,45	0,227	0,215	0,202	0,186	0,168	0,000	—0,58	—0,90	—1,41	—2,46	—5,63
0,50	0,247	0,234	0,219	0,201	0,181	0,000	—0,60	—0,92	—1,44	—2,50	—5,67
0,55	0,266	0,252	0,235	0,215	0,193	0,000	—0,62	—0,94	—1,46	—2,53	—5,70
0,60 0,65	0,285 0,303	0,269 0,285	0,250 0,265	0,229 0,242	0,204 0,215	0,000 0,000	—0,63 -0,65	—0,96 —0,97	-1,48 —1,50	—2,55 —2,58	—5,73 —5.76
0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00	0,320 0,337 0,354 0,370 0,385 0,400 0,415	0,301 0,316 0,331 0,345 0,359 0372 0385	0,279 0,292 0,305 0,318 0,330 0342 0,353	0,254 0,266 0,277 0,288 0,298 0308 0317	0,226 0,236 0,245 0,254 0,263 0,272 0,280	0,000 0,000 0,000 •0300 0,000 озоо 0,000	—0,66 —0,67 —0,68 —0,69 —0,70 —0,71 —0,72	—0,99 —1,00 —1,02 —1,03 —1,04 -1,05 —1,06	—1,52 —1,54 —1,56 -1,57 —1,58 —1,60 —1,61	—2,60 —2,62 —2,64 —2,65 —2,67 —2,68 —2,69	—5,79 —5,81 -5,83 -5,85 —5,86 -5,88 -5,90
9 ВВДеТЬ1 ЧТ° “) =Л(а) и (1> а) =Л(в).
§ 76]
ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ ЗЕМЛЯНУЮ ПЛОТИНУ
339
Таблица 10-
Значения функции F2(s, а)
\ а 5 \	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,50	0,75	0,80	0,85	0,90	0,95
0,00	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
0,05	0,005	0,009	0,014	0,020	0,025	0,068	0,175	0,214	0,262	0,323	0,411
0,10	0,009	0,018	0,027	0,036	0,045	0,108	0,229	0,266	0,311	0,363	0,428
0,15	0,013	0,025	0,037	0,049	0,062	0,139	0,264	0,300	0,340	0,386	0,441
0,20	0,016	0,032	0,047	0,062	0,077	0,164	0,291	0,324	0,361	0,403	0,449
0,25	0,019	0,038	0,056	0,073	0,091	0,186	0,312	0,343	0,377	0,415	0,456
0,30	0,022	0,044	0,064	0,083	0,103	0,205	0,329	0,358	0,390	0,424	0,461-
0,35	0,025	0,049	0,071	0,093	0,114	0,221	0,343	0,371	0,400	0,431	0,465
0,40	0,028	0,054	0,079	0,102	0,124	0,235	0,355	0.381	0,409	0,438	0,468
0,45	0,030	0,059	0,085	0,110	0,134	0,247	0,365	0,390	0,416	0,443	0,471
0,50	0,033	0,063	0,091	0,118	0,143	0,259	0,374	0,398	0,423	0,448	0,474
0,55	0,035	0,068	0,097	0,125	0,151	0,270	0,382	0,405	0,428	0,452	0,476
0,60	0,037	0,072	0,103	0,131	0,159	0,279	0,389	0,411	0,433	0,455	0,478
0,65	0,040	0,075	0,108	0,137	0,166	0,288	0,396	0,417	0,437	0,458	0,479
0,70	0,042	0,079	0,113	0,143	0,172	0,296	0,401	0,422	0,441	0,461	0,481
0,75	0,043	0,082	0,117	0,149	0,179	0,303	0,406	0,426	0,445	0,463	0,482
0,80	0,045	0,085	0,122	0,155	0,185	0,310	0,411	0,430	0,448	0,465	0,483
0,85	0,047	0,089	0,126	0,160	0,190	0,317	0,415	0,433	0,451	0,467	0,484
0,90	0,049	0,092	0,130	0,164	0,196	0,323	0,419	0,437	’0,453	0,469	0,485
0,95	0,050	0,095	0,134	0,169	0,201	0,328	0,423	0,440	0,455	0,471	0,486
1,00	0,052	0,097	0,137	0,174	0,206	0,333	0,427	0,442	0,458	0,472	0,486
Рассуждениями, аналогичными предыдущим, найдем, что прибли-
женное выражение уравнения правой половины кривой депрессии
будет:
₽)-?/.(*> ₽). (8-34>
*чг
где
* (Н—у)
2q
Найдем угол наклона касательной к кривой депрессии в точке
выхода ее на откос дренажного банкета. Для этого продифференцируем
330
МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
{ГЛ. 8
уравнение (8.34) по переменной у. Тогда получим:
dx , Я] —у____
dy ~ qr
(1-S2)
Я2 о
—-COS Р
а.. г
l+satg2y^
1
dt -р
-р sin Sir
Tt * 1
о
tg2₽ Y t arcctg tg f)
1 + S2tg2^.f
В двух последних интегралах введем новую переменную интегриро-
вания
Tz=4arctg
Тогда будем иметь:
= ~\г У	2311 ~ s2) { (sin ₽* Ч— cos pit) X
i	i
(* „.„2-28 к	(*	. о_оВ Я
I Ctg Р-уТ	т ctg8
X I -----------г— dt — sin pit ------------— dx
J l+S«Ctg2yT	J 1	№ Ctg2 "2" t
Отсюда следует, что
52₽-i dx_ __ H2
аУ »=o Qr
tg₽’'+/i(₽-~4).
Поэтому, если	— tgpn—Д (p — _^)f to j ==oo и имеет
место первый вид течения, изображенный на фиг. 186, а. Если же
< tg Рк /1 у) > т° | = — со. Последнее указывает
на то, что в этом случае имеет место высачивание грунтовых вод на
откос дренажного банкета (см. фиг. 186, в); при этом приведенное
выше решение, не учитывающее участка высачивания, не имеет
силы. Очевидно, что второй вид течения (см. фиг. 186,6), являю-
щийся промежуточным между течениями первого и третьего видов,
определяется условием
§ 771
ВЕРТИКАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ
331
Мы рассмотрели случай фильтрации через земляную плотину
с дренажным банкетом на водоупоре. В работе С. Н. Нумерова {3]
применением метода краевых задач было получено решение для слу-
чая фильтрации через земляную плотину с дренажным банкетом при
отсутствии водоупора.
§ 77. Вертикальная дренажная щель. В предыдущих -примерах
метод краевых задач применялся в непосредственном виде. Рассмотрим
теперь пример применения этого метода, когда ни одна из областей
переменных г, ыг и wx — z— iwr заранее не известна. В качестве
такого примера может служить случай симметричной фильтрации
к вертикальной дренажной щели
в однородно-водопроницаемом слое
грунта ограниченной мощности,
подстилаемом водоупором, верх-
няя поверхность которого будет
горизонтальной плоскостью. Ука-
занный случай представлен в схе-
матическом виде на фиг. 190. Рас-	*иг'
сматриваемый случай, исследован-
ный С. Н. Нумеровым [14], наравне со случаями, подробно исследо-
ванными в § 68, является одним из основных случаев расчета филь-
трации к вертикальной дренажной щели.
Введем в рассмотрение вспомогательную полуплоскость С, изобра-
женную на фцг. 191.
Приведенный комплексный потенциал фильтрации <аг будет анали-
тической функцией в этой полуплоскости, непрерывной вплоть до ее
Г -4- 1
вещественной оси, за исключением точек =	—.
Определим, каким условиям должна удовлетворять функция <ог(С)
на отдельных участках вещественной оси полуплоскости С. Примем,
что на границе водоупора (M4Afs), являющейся линией тока, фг = 0. ,
Тогда на участках —оо, —и , оо^ вещественной оси полу-
плоскости С, соответствующих границе водоупора, <]у = 0. На участке
332
МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. 8
— V ’ ““	> соответствующем левой ветви кривой депрессии,
, где qr — приведенный фильтрационный расход дренажной
щели. На участке (—1, 0), соответствующем участку высачивания
грунтовой воды на левую стенку дренажной щели, заранее не
известна. Обозначим эту функцию через 7’£v(£). Тогда на участке
(—1, 0) 'X- = 7Ъ($), где v(£) — неизвестная функция. Аналогично
предыдущему найдем, чго на участке (0, 1), соответствующем участку
высачивания грунтовой воды на правую стенку дренажной щели,
фг= T&fy!). И на участке ^1, -i-^, соответствующем правой ветви
кривой депрессии, = Отсюда следует, что функция шг(С) на
отдельных участках вещественной оси полуплоскости С должна удо-
влетворять условиям
= 7Ь (£), -если | В |< 1;
= —-у-> если	и —	—1;
(8.35)
=	если | £|>у.
Таким образом, для функции шг(С) мы будем иметь задачу
Дирихле в случае верхней полуплоскости С, решение которой может
быть выражено следующим интегралом типа Коши:
(8.36)
где С — некоторая вещественная постоянная, определяемая ниже.
Подставляя в (8.36) вместо функции ее выражение (8.35) и
интегрируя, имеем:
Т 2к гПа»(1—р)

(8.37)
Примем, что плоскость сравнения напоров проходит через
точку дренажной щели (Мх). Тогда <иг |
нижнюю
= 0 и в силу (8.37)
1
Я
1
^lna+£ j у(/)Л_|_с=Ор
о
]) Функция ч(5) будет четной,
§ 77]	ВЕРТИКАЛЬНАЯ ДРЁнАжНАЯ щель	$33
Следовательно,
1
Мт1"-
о
Подставляя найденное значение постоянной С в выражение (8.37),
получим:
_ J_ Я*, in к=-а22 + 2. n f а. (8.38)
г 2я т 1-(?	т*—с*	к '
о
Из выражения (8.38), в частности, следует, что на границе водо-
упора, где ||	— и <ог — ®г,
1 -9г 1п а’^~1-1-2» f JJ^Ldt. (8.39)
"7=-—27Т1п 5а_1 +	—v >
О
Далее, введем в рассмотрение функцию Н. Е. Жуковского
теж = г— w>r. Функция 11>ж(С) будет аналитической в полуплоскости С,
непрерывной вплоть до ее вещественной оси, за исключением точек
а
Определим, каким условиям должна удовлетворять функция та»ж(С)
на отдельных участках вещественной оси полуплоскости С. На участке
—а’^)’ соотве тс гвующем кривой депрессии и промежуткам вы-
сачивания на стенки дренажной щели, vx = y — <рг = 0. На участках
f—оо, и ( са^, соответствующих границе водоупора,
'Ож = Т—срг, где <рг определяется зависимостью (8.39). Отсюда сле-
дует, что искомые условия для функции ч0ж на вещественной оси
полуплоскости С будут:
__п । с । . 1
-уг = О, если I	— ,
1	(8.40)
о
Таким образом, для функции Wac(C) мы будем также иметь
задачу Дирихле в случае полуплоскости С, решение которой может
*) Функция шж ($) будет четной.

МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
11Л. й
быть выражено следующим интегралом типа Коши:
^>й+ГлД‘"+2<?Ь- <8л»
— 00	1
где С — некоторая вещественная постоянная, определяемая ниже.
В первом интеграле выражения (8.41) введем новую переменную
интегрирования т =---а во втором — новую переменную интегри-
рования = Тогда в силу четности функции яж(1)
« . /1 \
(8.42)
Я
Из условия
о
= 0, найдем, что постоянная С = 0.
Подставляя в (8.42) вместо функции	ее выражение (8.40)
и интегрируя, найдем:
W«(Q	2	1 gr
—=— = — arth «С-------х- -=С
Т	я	я2 Т J
о
1 — сд
I 1—
f_dT - f 'W_dt=
,1 1— ra-2 I	Ul-
о	0
« )п «а —t2	1
= £ arth ar _ 1S? r f___i ± r f	v (Л Л * **) *)-
xdnnw* яхГ1> |	1—СЧ2 ' я2 ' I	— С2 47
о	о
т. е.
-^ = 4 arth +-у	(С) + С [ К(/, С) v (0 dt,	(8.43)
где	0
« !П a* — fi
F(C)==------Lf_______L—di и	4 f arth af—Carth «С
'	«2 J 1 —at и (/,£) = — --------------------------------•
*) Мы решаем задачу Дирихле не для функции wM (С), а для функци
W_(C)
—, исчезающей в бесконечности.
**) Перестановка порядка интегрирования законна в силу непрерыви°стИ
подннтегральной функции при С = i -L.
§ 77 j	ВЕРТИКАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ	335
На правой стенке дренажной щели (Л1]Л12)	= и
«'ж == '{'г = Tiv ($). Отсюда в силу (8.43) найдем, что неизвестная
функция v(£) будет решением следующего линейного интегрального
уравнения типа Фредгольма 2-го рода:
1
= + [K(ti (8Л4)
о
Определив неизвестную функцию v(E) из уравнения (8.44) и под-
ставляя ее выражение в (8.38) и (8.43), найдем искомое параметри-
ческое решение рассматриваемой фильтрационной задачи J). Заметим
здесь, что входящие в это решение неизвестные постоянные -у и
а определяются из очевидного условия — а также по зада-
нию координат одной точки кривой депрессии.
При нахождении решения уравнения (8.44) свободный член и
ядро (/() этого уравнения разложим в степенные ряды по степеням
переменной 5. Для этого заметим, что
П=0	П~0	о
Тогда
+	(8.45)
« = 0
где
А =	2________L f /2п (n g2(lj—dtyO.
п Tt(2n4-1)	«2 т .!1 i-ода а1
Далее имеем:
K(t, * у
' n2 2п+ 1
П-0
оо
=4 Е +• • •++<**)•
fin+л___
__ 4 ул g2«
n'4 Jj 2n
n=o
Перестраивая последний ряд по степеням переменной В*), найдем:
оо
К(1, «)= JS a®*+42«/Cn(/),
n=o
(8.46)
’) Параметром будет переменная С
*) Что законно в силу его абсолютной сходимости.
336
МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[гл. 8
где
оо	т
к ,А_______4	у (“О21
AnW—	2(/4-п) + 1	‘
1=0
Подставляя в уравнении (8.44) вместо свободного члена и ядра
их выражения (8.45) и (8.46), приведем это уравнение к виду
1
у(5)=2	+ / Kn(/)V(0^).
п=о	\ о	'
Выражение, стоящее в круглых скобках, представляет собою некоторую
неизвестную постоянную, зависящую от п. Обозначая эту постоянную
через vn, найдем решение уравнения (8.44) в виде
v(£) = 2 a2’1+1v„£Srt,	(8-47)
п=о
причем неизвестные постоянные vrt (/i = 0, 1, ...) могут быть опре-
делены из следующей бесконечной системы алгебраических линейных
уравнений:
ОО
v„ = ^+2BnwyM (Я = 0,1,2,...),	(8.48)
m=o
где
1	00
Г	4	_2(т4-1)+1	„
в ™ == а2”» 4-1	/Г tpm dt = — V —________—--------——„ , iT > 01
пт	J Ап» «	Л[2(/п + О + 1][2(п+/) + 1]
О	1 = 0
Найдем, какому условию должен удовлетворять параметр а, чтобы
бесконечная система (8.48) была вполне регулярной!). Для этого
найдем оценку ряда
ОО
2ДПМ (я = 0, 1. 2,...).
т=о
По определению коэффициентов Впм
А D о 4	аа(т+1)+1
о < Впт < 50m = -^ 2j (2/+l)[2(« + Z)+T] '
l=o
Дифференцируя последний ряд по параметру а, получим:
dBOm 4 V аг<"‘+,>	4 о
Т? = ТГ X "зТ+Т - «г	arth ’
г) Основные сведения о вполне регулярных системах можно W
в монографии Л. В. Канторовича н В. И. Крылова «Приближенные мети
высшего анализа».
§77]	вертикальная дрёнажная щёль	337
Интегрируя последнее выражение, найдем:
а
О
Но тогда
ОО	СО	®	оо	“
1+< S	J •+ S '“=4.1 <+',
ш=о	m-<i	о	т=о	о
Следовательно,
%Впт^В 0 = 0, 1, 2,...),
я»=о
I де
4 arth/
В~~ л* J
О
Интеграл, входящий в выражение величины В, может быть выражен
в более удобной форме. Действительно,
в =_± f	dt4- ± f J^dt=
К-4 J 1—/4 al^T „4 J /(1+0 4
° ° «
= 4~ar,h2a —A f ((!±7Tdt-
K* J Г (J +0
о
В последнем интеграле введем новую переменную интегрирования
т— 2t т
4---Г4Т • 1°ГДВ получим:
S = -^~arth2a +/2(4477) >
где/2—функция, определенная на сгр. 313.
Как известно, бесконечная система (8.48) будет вполне регулярной,
если В < 1, Имея в виду выражение величины В, можно определить,
при каких значениях параметра а бесконечная система (8.48) будет
вполне регулярной. Например, если 0 + а + 0,9, то
B<^-Kib«0.9+/,(^)<0,7S.
Следовательно, при 0<Л-<0,9 бесконечная система (8.48) будет
вполне регулярной.
Если параметр « принимает такие значения, чго бесконечная си-
стема (8.48) будет вполне регулярной, то Эта система может быть
решена способом последовательных приближений.
338	МЕТОД КРАЕВЫХ ЗАДАЧ	[ГЛ. #
Первые приближения для неизвестных vrt (л = 0, 1, 2,...) опре-
делим так:
v(1)_ л •
yrt ----------------------------Лп,
следующие же приближения—по рекуррешной формуле
д । У я Л*-1)
— Ап “1“ апт*т
т=о
Последовательности
v(1) v(2)	v№)	(*)
будут монотонно возрастающими. Для сходимости этих последова-
тельностей достаточно показать их ограниченность сверху. Для этого
заметим, что по определению коэффициентов Ап (л = 0, 1, • • •)
1
0<Дп<Д0 = ----------^-4- f In а,(1~У-^ = кон. велич.
п и л п- Т J 1 — аЧ*
о
Но тогда
у«?	Д01 До -J- AqB,	До —J-Д (До —j-ДДо), • • •
Следовательно, при k=~- 1, 2, 3,...
fc-i
Vn’c^o У Д"‘ = До ~ = КОН. велич.
Jad	1 — D
Wl=0
Отсюда и следует ограниченность сверху последовательностей (*)
В практических pacneiax наибольший интерес представляет случа >
когда величина 4^ и, следовательно, параметр а малы. Но тогда процесс
последовательных приближений при определении неизвестных у«
(л==0, 1,...) будет быстросходящимся.
Определив значения постоянных vn (л = 0, 1, ...)> найдем не-
известную функцию у(£).
Когда неизвестная функция v(6) будет определена в силу уРав'
нения v(l) = ^p, можно будет найти значения функции по аргу-
менту а и наоборот.
Найдем выражение для высоты высачивания на стенке дренажно
щели (Ао). Для этого положим в выражении (8.38) 6=1 и ®г
Тогда найдем:
1 2Т
(8.49)
Чг Ш 4 к J 1 — Г»
О
ВЕРТИКАЛЬНАЯ ДРЕНАЖНАЯ ЩЕЛЬ
830
§ 771
Так как правая часть последнего выражения представляет
функцию аргументов и а, а параметр а будет функцией
мента то величина — будет функцией аргумента-^-.
‘Яг	1
На правой ветви кривой депрессии (симметричной левой
=	HW.M
собою
аргу-
ветви)
= л--(-у. Но тогда в силу (8.38)
и (8.43) уравнения этой ветви в параметрической форме1) будут:
4 = arthat(В)| w, им.
о
1
У 1 Чг ln 1 —«Ч* | 2 >2 f
Т ~~ 2л Т п 1 i «	?
О
(8.60)
Найдем асимптотическое выражение уравнения правой ветви кривой
депрессии при больших значениях х и у и, следовательно, при з а
чениях $ близких к —.
Для этого предварительно найдем асимптотическое выражение
функции tFlt).
В интеграле, выражающем функцию F(£), введем новую переменну
It/	1	_
интегрирования -с =	. Тогда, полагая Р == -1 ag и I1 $4-Г
получим:
—12-----<л =
; (=а-
,nStx + i ln8t*z~
где/] и /2—функции, определенные на стр. 313. При $ близком
к7 Р^О и, следовательно,
JL-ln Lil arth at 4--^-(arth at — arth a)8.
’) Параметром будет переменная 5.
340
МЕТОД КРАЁВЫХ ЗАДАЧ
{гл. 8
Далее, при 5 близком к — имеем:
1
1 - т “ Ч4 +10 Чг + 4 / Г=ЯГЛ+~ £ (arth «е-arth«),
О
1
о
1
+ ^i(,rthaE_„lh ча-А. J
О
Исключая из двух последних выражений величину arth а $ — arth а,
найдем, что искомое асимптотическое выражение правой ветви кривой
депрессии будет:
где

(8.51)
\ т) з \ т ) ~та J
/arth at ,.х,. .
v(Od/+
+(1+4т|"
1 — а
1+«
2а
1 f
к J 1—
о
Заметим, что величина здесь будет функцией аргумента -у-.
Принимая в качестве уравнения правой ветви кривой депрессии
уравнение Дюпюи (8.51), мы получим завышенное положение этой
кривой вблизи дренажной щели, причем максимальное завышение
будет на стенке дренажной щели и составит То — h0 — Т.
ГЛАВА 9
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
§ 78. Понятие о плановой установившейся фильтрации.
В главах 4—8 была подробно изучена плоская установившаяся
фильтрация тяжелой несжимаемой жидкости, при которой все харак-
теристики фильтрационного потока (скорость фильтрации, давление,
напор и т. п.) были функциями только двух переменных (координат
точек одной из вертикальных плоскостей тока, называемой плоско-
стью фильтрации), фильтрация указанного выше вида могла быть
отнесена к категории двуразмерной фильтрации. С другими видами
двуразмерной фильтрации мы встречаемся при изучении установив-
шейся фильтрации напорных грунтовых вод в горизонтальных арте-
зианских пластах; при установившейся фильтрации нефти и газа
в горизонтальных пластовых месторождениях; при медленно изме-
няющейся установившейся фильтрации безнапорных грунтовых вод
в случае наличия водоупора, верхняя поверхность которого будет
горизонтальной плоскостью (см. § 15), и т. п. Во всех перечислен-
ных выше случаях все характеристики фильтрационного потока также
будут функциям^ только двух переменных (координат точек гори-
зонтальной кровли водоупора, подстилающего проницаемый слой
грунта, где наблюдается фильтрация). Учитывая известную общность
последних случаев двуразмерной фильтрации, мы объединили их
единым термином плановая установившаяся фильтрация.
Ниже при изучении плановой установившейся фильтрации мы
будем придерживаться следующего порядка изложения. Сначала по-
дробно изучим плановую напорную фильтрацию тяжелой несжимае-
мой жидкости (грунтовая вода, нефть и т. п.). Далее результаты,
полученные при изучении плановой напорной фильтрации тяжелой
несжимаемой жидкости распространим на случай плановой напорной
фильтрации газа, а также плановой безнапорной фильтрации тяже-
лой несжимаемой жидкости. В заключение рассмотрим наиболее об-
щий случай плановой установившейся фильтрации — так называемую
плановую напорно-безнапорную фильтрацию тяжелой несжимаемой
жидкости, когда в некоторой своей части фильтрационный поток
будет напорным, а в остальной части — безцапорным»
642	ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 9
§ 79. Основные уравнения плановой напорной установив'
Ше ж я?ильтРации тяжелой несжимаемой жидкости. Связь с тео-
рией функций комплексной переменной. Рассмотрим горизонталь-
ный проницаемый пласт грунта, залегающий между двумя непрони-
цаемыми пластами. Верхняя и нижняя поверхности проницаемого
пласта будут горизонтальными плоскостями. При фильтрации жидко-
сти в таком пласте скорость фильтрации будет горизонтальной и
одинаковой во всех точках, принадлежащих одной вертикальной пря-
мо . Следовательно, в рассматриваемом случае мы имеем плоскую
фильтрацию (в плане), при изучении которой достаточно ограничиться
рассмотрением движения частиц фильтрующей жидкости, принадле-
жащих только одной из горизонтальных плоскостей. В качестве такой
плоскости, называемой в дальнейшем планом течения, мы выберем
нижнюю поверхность проницаемого пласта. Примем эту плоскость за
координатную плоскость хОу, а ось Z направим вертикально вверх,
огда основные уравнения плановой напорной установившейся филь-
трации тяжелой несжимаемой жидкости в однородных и изотропных
грунтах 1) могут быть представлены в виде
'f = — kTh = — kT^Z~j-^y,	(9.2)
где и У у проекции на координатные оси плана течения вектора
расхода q, связанного со скоростью фильтрации v и мощностью
проницаемого пласта Т зависимостью q=Tv, <р — потенциал век-
тора расхода, называемый в дальнейшем потенциалом фильтра-
ции ), напор, р давление, f — удельный вес фильтрующей
жидкости и « — коэффициент филырации грунта, связанный с коэф-
тп^И»ВГО11 проницаемости грунта с и кинематическим коэффициен-
ц “ ТК0С7И ^идкос™ v зависимостями (2.21). Заметим, что вели-
v м ,,	И °УДУТ Функциями только двух переменных:
неЛги' в nwn5KJK ЭТ° часто Делается при рассмотрении фильтрации
Ф ’ Р ении напора пренебречь величиной Z по сравнению
с величиной у, то и давление будет функцией только двух пере-
менных: х и у.
гап^ничГсТыГаГи следует, что потенциал фильтрации (?)""
гармоническая функция координат точек плана течения.
предполагается од^одны^	оговоренных случаев, грунт
оцеденцым	ХеС^°Х^"я^0Р0СТИ фИЛЬТраЦЙИ
§ 79] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛАНОВОЙ НАПОРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 343
Как и в случае плоской установившейся фильтрации тяжелой не-
сжимаемой жидкости (см. § 39), введем в рассмотрение сопряжен-
ную с <р гармоническую функцию ф(х, у), определяемую зависи-
мостями
d-i>____df	(g 41
дх	ду ’ ду дх'	\ )
Функция ф, сохраняющая постоянное значение на линии тока и при-
нимающая разные значения на различных линиях тока, называется
функцией тока. Разность значений функции ф на концах некоторой
кривой MN плана течения фк —Фм будет равна расходу через вер-
тикальное цилиндрическое сечение фильтрационного потока с на-
правляющей MN. Указанный расход мы будем в дальнейшем на-
зывать фильтрационным расходом через кривую MN.
Из двух сопряженно-гармонических функций у и ф можно по-
строить аналитическую функцию комплексной координаты z = x-f- iyJ)
точек плана течения. Указанная функция
со (г) = (х, у)-ф- /ф(х, у)	(9.5)
называется комплексным потенциалом фильтрации.
Имея в виду (9.1), (9.4) и (9.5), получим следующую связь ком-
плексного расхода —iq„ с комплексным потенциалом фильтрации
где со' (г) — производная функция со по переменной z.
Из изложенного выше следует, чго если в результате рассмо! ре-
ния планового установившегося фильтрационного потока будет опре-
делен комплексный потенциал фильтрации, то тем самым могут
быть определены все остальные характеристики потока (вектор рас-
хода, скорость фильтрации, напор, давление и т. п.). Следовательно,
рассмотрение таких фильтрационных потоков, по сути дела, состоит
в нахождении их комплексных потенциалов.
Отметим одно весьма важное свойство комплексного потенциала
фильтрации. Если в результате рассмотрения некоторого числа пла-
новых установившихся фильтрационных потоков мы определили их
комплексные пот енциалы, то сумма этих комплексных потенциалов,
умноженных на некоторые постоянные, будет аналитической функ-
цией, а следовательно, и комплексным потенциалом некоторого,
вообще говоря, более сложного потока. Указанное положение при-
нято называть принципом сложения течений или принципом супер-
позиции. В следующих параграфах мы будем иметь несколько при-
меров применения этого принципа при рассмотрении ряда практиче-
ски важных задач гидротехники и нефтепромысловой техники.
’) Не следует путать вертикальную координату Z в выраже
вора с комплексной координатой f точек плана теч ни .
344
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 9
§ 80. Равномерная фильтрация. В настоящем и в следующих
параграфах, задаваясь рядом простейших выражений для комплекс-
ного потенциала фильтрации <о, мы изучим простейшие случаи пла-
новой напорной установившейся филырации тяжелой несжимаемой
жидкости. В дальнейшем, применяя принцип суперпозиции, мы исполь-
зуем решения простейших случаев для получения решений более
сложных случаев.
Положим, что
“ = + (9-7)
1 V
Фиг. 192.
где ^о>0 и С—некоторые вещественные постоянные.
гделяя в выражении (9.7) вещественные части от мнимых, най-
дем:	’
9 =	+ С, ф = qoy.	(9.8)
Из выражений (9.8) следует, что эквипотенциальными линия-
(<р const) будут прямые (х—const), параллельные оси Оу,
<p-const	а линиями тока (ф — const)—прямые
£ (у — const), параллельные оси Ох
(фиг. 192).
Далее, замечая, что о/ = ^0, в силу
* (9.6) найдем:
<2?	.	1 ,	. .	П(\
аз ™у ~ у	Щу) —	>
т. е.
о» = -у- = г’о > о, vy = 0. (9.9)
Таким образом, скорость во всех точках
я дд тГо Г° ГЮтока постоянна, причем величина скорости равна Vq,
а ее направление совпадает с направлением оси Ох.
ПЛ™№° ВЫШе следУег» что выражение (9.7) будет ком-
тоании сп '“°М РавномеРной напорной установившейся филь-
ние чго п яг л «л ТЬЮ V° В напРавлеНии оси Ох. Заметим в заключе-
> р ссмогреиный выше фильтрационный поток будет иметь
постоянный уклон /=
§ 81.	Точечный источник (сток). Примем:
® = ^-1П2'-|-С,	(9.Ю)
1Д%%Иа>мГкомпТ0РЬ1е вещественные постоянные.
зательнРой форме ЛеКСНУ*° К°°РДЙНатУ точек плана течения в пока-
г==ге«9	(9.11)
<? д ляя в зависимости (9,10) вещественные части от мнимых,
§ 81]	точечный источник (сгок)	346
найдем:
? = ^-1Пг + С и ф = -^3.	(9.12)
Из выражений (9.12) следует, что эквипотенциальными линиями
(? = const) будут линии | z | — const, т. е. окружности с центром
Фиг. 193.
в начале координат, а линиями тока ('р = const) будут линии 9 — const,
т. е. радиальные полупрямые, выходящие из начала координат.
Далее, замечая, что а>' —	, в силу (9.6) найдем:
iVy — -jr (<]x icjy) 2r.Tr &
Следовательно, абсолютная величина скорости фильтрации V и угол
наклона скорости относительно оси абсцисс Ох будут определяться
зависимостями	„ . п
. о,	( 0, если (?>0,
* = 2кг И аг£ФП к (-6, если Q^O.
(9.13)
Оiсюда вытекает, чю комплексный потенциал фильтрации вида
(9.10) соответствует радиальной фильтрации из начала координат
(Q > 0) или к началу координат (Q < 0). Следовательно, начало ко-
ординат в первом случае является точечным источником, а во вто-
ром— точечным стоком. Физически же мы имеем здесь не точечный
источник или сток, а вертикальную скважину бесконечно малого диа-
метра, отдающую жидкость в грунг (источник) или поглощающую
жидкость из грунта (сток), причем скважина полностью прорезает
проницаемый пласт грунта и перфорирована в пределах всего этого
пласта (совершенная скважина).
Определим физический смысл постоянной Q, входящей в приве-
денные выше выражения, Для этого в плане течения рассмотрим
346
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 9
произвольный замкнутый контур, содержащий внутри себя начало
координат. При обходе по этому контуру против часовой стрелки
угол 6 получит приращение 2it и, следовательно, функция тока —
приращение Q. Отсюда в силу указанного в § 79 свойства функции
тока фильтрационный расход через рассматриваемый контур, равный
фильтрационному расходу источника или стока, будет равен Q. При
этом в случае источника Q>0 и в случае сгока Q < 0. Фактически
же Q будет фильтрационным расходом указанной выше скважины,
называемым дебитом скважины.
В случае источника или стока, находящегося не в начале коор-
динат, а в точке с комплексной координатой г0, комплексный потен-
циал фильтрации
“ In (г—г0)-^-С.	(9.14)
Если рассматривав не всю плоскощь г, а только ее часть, внеш-
нюю к окружности радиуса г0 с центром в точке г0(1г — ?nl>r0),
о выражение (9.14) будет комплексным потенциалом фильтрации
пи огкачке или нагнетании в напорной совершенной скважине ра-
У а ось К01°Р°й проходит через точку плана течения с ком-
плексной координатой г0.
Ие содержит две неизвестные вещественные по-
аапит. е V И С*• Для определения этих постоянных должны быть
1’1гп№1П1ЗНаЧеНИЯ потенциала фильтрации <р (или напора Л) на контуре
р пвит-г>Ы И НЯ границе области питания, которая будет окружностью
укячыпаппл В Т°1гКоЛ0 радиУса *) (случай кругового пласта). Как
вешпринл» ь в § 34, величина R называется радиусом влияния со-
. скважины- Тогда, обозначая через <р0 и Ф значения потен-
циала фильтрации на кожуре скважины и на границе области пита-
ния, в силу (9.12) получим:
(9.15)
(9.16)
'Ро = '£'1пг°+С и Ф = -^1пЯ + С.
Решая последние два уравнения относительно неизвестных Q и С,
найдем:
q _ (Ф — уо)
mA ’
Го
УоIn/? — ф in m
in А
Го
Выражение (9.15) определяет дебит напорной совершенной скважины,
расположенной в центре кругового пласта.
в § К ДРУгие ВИДЫ границы области питания будут рассмотрены ниже,
§ 82] ТОЧЕЧНЫЙ источник (сток) В РАВНОМЕРНОМ ПОТОКЕ
347
В случае фильтрации напорных грунтовых вод в артезианских
пластах дебит напорной совершенной скважины обычно выражают не
через граничные значения потенциала фильтрации (<р0 и Ф), а через
напоры в скважине и на границе области питания (Ло и Н). В слу-
чае же фильтрации нефти часто в выражении напора пренебрегают
величиной Z по сравнению с величиной у. Но тогда дебит напор-
ной совершенной скважины может быть выражен через давления
в скважине и на границе области питания.
В заключение отметим, чго, как было показано Маскегом [5],
формула (9.15) остается в силе и при неравномерном распределении
потенциала фильтрации <р на контуре скважины и на границе об-
ласти питания, если только под % и Ф понимать средние значения
потенциалов на этих границах.
§ 82. Точечный источник (сток) в равномерном потоке. Рас-
смотрим фильтрационный поток, получающийся в результате нало-
жения на равномерный поток потока точечного источника (стока),
находящегося в начале координат. В силу результатов §§ 80 и 81 и
принципа суперпозиции комплексный потенциал рассматриваемого
фильтрационного потока
®	1п г + с<	(9.17)
где <70 > О, Q и С—некоторые вещественные постоянные.
Для определения физического значения постоянных Оо и Q заме-
ним, что вблизи источника (стока) первым членом в выражении (9.17)
можно пренебречь по сравнению со вторым. Отсюда следует, что
Рблцзи источника (стока) влиянием равномерного потока практически
348
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 9
можно пренебречь. Но тогда постоянная Q будет фильтрационным
расходом источника (сюка). Наоборот, вдали от источника (стока)
вторым членом в выражении (9.17) можно пренебречь по сравнению
с первым членом. Отсюда следует, что вдали от источника (стока)
фильтрационный поток практически будет равномерным, со скоро-
стью у в направлении оси Ох.
Выражая в зависимости (9.17) комплексную координату точек
плана течения в показательной форме (9.11) и отделяя в полученном
результате вещественные части от мнимых, найдем:
9==<7orcos()-j--^-lnr-l-С, Ф = qor sin 6 -4-	0.	(9.18)
Полагая в выражениях (9.18) © = const и = const, найдем урав-
нения эквипотенциальных линий и линий тока, изображенных на
фиг. 194.
Найдем уравнение линии юка, отделяющей транзитный поток от
потока источника (стока). Для этого во втором из уравнений (9.18)
в случае источника (Q > 0) положим <[»==-£- и в случае стока (<?<0)
<р = 0 и Q, Тогда найдем, что уравнение верхней половины гранич-
ной линии тока (симметричной нижней половины) будет:
(0<9<it).
О I —
ЧчГ sin 0 +	6 = J 2 ’
(О,
если Q > О,
если Q < О
(9.19)
ее ияе-ru расСматРива,ь не всю бесконечную плоскость г, а только
чале к-ллп не“нюю к окружности малого радиуса г0 с центром в на-
лом	Т’ Т° выражение (9.17) будет комплексным потенциа-
скважине Лацни при откачке или нагнетании в напорной совершенной
плана теиео3^03 Г°’ °СЬ KOroPofl проходит через начало координа!
и , в случае наличия есгес/венного равномерного налор-
ного фильтрационного потока с уклоном J —
Найдем выражение дебита Q в этом случае. Пусть <р0 и Ф зна-
чения потенциала фильтрации <р на контуре скважины и на границе
области питания. Последнюю границу выберем на достаточном ула"
лении ог^скважины по одной из эквипотенциальных линий с уравне-
нием Хг----L. Тогда в силу первого из уравнений (9.18)
2п 'п го + С,
Ф^-<70£+-£-1п£ + С.
Отсюда найдем:
(9.20)
г9
§ S3] СИСТЕМА любого КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ 349
Рассмотренный выше случай фильтрации представляет весьма зна-
чительный интерес при определении коэффициентов фильтрации грунта
в зоне напорных грунтовых вод, причем в последнем случае зависи-
мость (9.20) удобнее представить в виде
Qin —
ь ~	(9.21)
где Ло и Я—напоры в скважине и на границе области питания.
§ 83. Система любого конечного числа точечных источников
(стоков). Рассмотрим фильтрационный поток, получающийся в резуль-
тате наложения фильтрационных потоков от п точечных источников
(стоков). Обозначим через zv г2, ..., zn координаты источников
(стоков) и через Qp Q„, ..., Qn — их дебиты. Тогда в силу принципа
суперпозиции комплексный потенциал рассматриваемого фильтрацион-
ного потока
п
о> = У %-’п (*-*».) + <?>	(9-22)
т=1
где С — произвольная вещественная постоянная.
Отделяя в выражении (9.22) вещественные части от мнимых,
найдем:
п
S>lnr„,+ C,	(9.23)
Wl = l
где гт=|г—zm\— расстояние от любой точки плана течения до
m-го источника (стока).
Так как в некоторой окрестности каждого из источников (стоков)
влиянием остальных источников (стоков) можно практически пре-
небречь, то в пределах указанной окрестности эквипотенциальные
линии будут концентрическими окружностями с центром в точке
расположения источника (стока). Обозначим через г1Р г22> •••>
радиусы эквипотенциальных линий с центрами в первом, втором,
• ., п-м источнике (стоке). Рассмотрим не всю плоскость z, а только
ее часть, внешнюю к указанным выше эквипотенциальным линиям.
Тогда выражение (9.22) будет комплексным потенциалом фильтрации
при откачке или нагнетании в п напорных совершенных скважин
с радиусами гп, га2, ..., гпп, оси которых проходят через точки
плана течения с координатами гр zv ...> zn.
Выражение (9.23) содержит л-f-l неизвестных вещественных
постоянных: С и Qlt Qa, ..., Qn — дебиты скважин. Для определе-
ния этих постоянных должны быть заданы значения потенциала
фильтрации (<р) на контурах скважин и на границе области питания.
Обозначим эти значения соответственно через фР фа» • • • > Фп й
Примем в качестве границы области питания окружность, содержащую
350
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
(гл. 9
внутри себя все скважины, причем столь большого радиуса, что
расстояния ее любой точки до осей скважин практически одина-
ковы и равны R (радиус влияния группы совершенных скважин)1)*
Тогда в силу (9.23) получим:
п	п
m=l	tn-i
где — расстояние между осями скважины с номерами т и I.
Отсюда найдем:
С«Ф—gin/?	(9.24)
и
fZ==lj 2, .... п),	(9.25)
где
Q=SQw	(9.26)
m=l
— суммарный дебит группы скважин. Решая систему п линейных
алгебраических уравнений (9.25), определим неизвестные дебиты
скважин Qm(m = l, 2, ..., л), а далее и неизвестную постоян-
Замегим здесь, что при некоторых частных расположениях сква-
жин, а также при некоторых частных режимах их работы си-
стема (9.25) может значительно упроститься. Мы не рассматриваем
эти частные случаи, отсылая интересующихся, например, к рабо-
там {3, 5, 7J.
Из системы уравнений (9.25) следует, что дебиты скважин Qm
зависят от их взаимного расположения (определяемого величинами гт;)
и режима их работы (определяемого величинами <р/). Указанное
взаимное влияние скважин на их дебиты носит наименование ингМр~
ференцаа скважин. Заметим здесь, что количественным выражением
интерференции будет отношение дебита скважины в группе скважин
к дебиту той же скважины в отсутствии других скважин. Поэтому
система уравнений (9.25) может дать количественную оценку интер-
ференции напорных совершенных скважин при указанном выше виде
границы области питания (в случае кругового пласта достаточно
большого радиуса).
и А.!!4’ Системы точечных источников (стоков). Способ
“ окРУ«ности. Рассмотрим некоторые
частные виды системы двух источников (стоков).
1) Другие виды границы области питания рассмотрены ниже, в § 85.
§ 84] системы двух точечных источников (Стоков)	351
1°. В точках Мо и Мй оси Ох с координатами (я, 0) и (— а, 0)
(фиг. 195) находятся соответственно источник и сток (или наоборот)
с дебитами Q и — Q.
В силу (9.22) комплексный потенциал фильтрации для рассма-
триваемой системы будет:
со =
Q
2п
In
z— а
z-j- а
(9.27)

где С — произвольная вещественная постоянная.
Отделяя в выражении (9.27) вещественные части от мнимых,
найдем:
© = £ In + С.	(9.28)
Заметим здесь, что величины \г— д| и |z-|-a| в выражении (9.28)
соответственно равны расстояниям любой точки плана течения от
источника и стока.
Полагая в зависимости (9.28) ср — const, получим, что уравнение
эквипотенциальных линий будет:
I*—Д|
!? + «!
= const.
Фиг. 195.
Как известно из элеменгарной_геометрии, геометрическим местом
точек, отношение расстояний которых до двух данных точек есть
величина постоянная, будет
окружность, центр которой на-
ходится на прямой, проходя-
щей через данные точки и со-
держащей внутри себя одну
из этих точек. Поэтому экви-
потенциальные линии будут
окружностями с центрами на
оси Ох, содержащими внутри
себя одну из точек Af0 или
M'Q (фиг. 195). В некоторой
окрестности источника (сто-
ка) Л10, гдг влиянием другого
(источника) Л1' можно пре-
стока
небречь, эквипотенциальные линии практически совпадают с кот цен-
трическими окружностями, центр которых находится в точке Mq.
На оси Оу: | z— а | = | z-\- а | и, следовательно, С = 0. Таким
образом, ось Оу тоже будет эквипотенциальной линией.
Рассмотрим не всю бесконечную плоскость г, а только правую
полуплоскость, из которой вырезан малый круг по одной из экви-
потенциальных линий радиуса ль, содержащей внутри себя точку Л10-
Тогда выражение (9.27) будет комплексным потенциалом филырации
при откачке или нагнетании в напорной совершенной скважине
*52
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 9
в полубесконечном пласте, граница питания которого совпадает
с осью Оу.
В силу (9.28) дебит скважины
2«(Ф —?о)
(9.29)
где Ltta— расстояние от оси скважины до границы области пита-
ния, а <р0 и Ф—значения потенциала фильтрации на контуре сква-
жины и на границе области питания.
Таким образом, расчет фильтрации в случае совершенной сква-
жины в полубесконечном пласте эквивалентен расчету фильтрации
от двух скважин, реальной и фиктивной, в бесконечном пласте. При
этом ось фиктивной скважины проходит че-
° рез точку плана течения, являющуюся зер-
/ кальным изображением в прямолинейной гра-
/ нице пласта точки, через которую проходит
ось реальной скважины. Дебит же фиктивной
J X 7^\\ скважины будет обратен по знаку дебиту
/ / M°$DZo\\ Реальной скважины ).
I ( /т J \	Аналогично предыдущему найдем, что
I	Ji /	8 слУчае реальной и фиктивной скважин
У*"	j с одинаковыми дебигами ось Оу будет ли-
\	J нией тока. Следовательно, в результате на-
'Уложения течений от таких скважин мы полу-
чим течение в случае напорной совершенной
Фиг. 196.	скважины в полубесконечном пласте с пря-
молинейной непроницаемой границей.
2°. В точках Af0 и Af0, представляющих собою изображение одна
другой в окружности радиуса с центром в начале координат,
находится источник и сток (или наоборот) с дебигами Q и — Q
(фиг. 196). Обозначим через z$ комплексную координату точки Afo-
Тогда комплексная координата точки Мо, как известно 2), будет -=~•
В силу (9.22) комплексный потенциал фильтрации для рассма-
триваемой системы будет:
«==-й'"Л-^-+с'
£ —
«о
где С — произвольная вещественная постоянная.
(9.30)
0 Заметим, что входящая D „
известная постоянйая С опоелелИЛЫРаженне потенциала фильтрации не-
часта.	с определится по заданному йтенциалу на границе
2) См. пртпимкмге V.
§ 841	СИСТЕМА ДВУХ ТОЧЕЧНЫХ источников (стоков)	353
Отделяя в выражении (9.30) вещественные части от
найдем:
2л
In
/г*
Z-----zz-
*0
мнимых,
(9.31)
Q

Из выражения (9.31) следует, что эквипотенциальные линии <р = const
будут окружностями, центры которых находятся на прямой, прохо-
дящей через точки Л40 и тИо, и которые содержат внутри себя одну
из этих точек.
Покажем, что окружность радиуса /? будет тоже эквипотенци-
альной линией. В точках этой окружности
г=|£Р_£,	г_£
Z Z	ZQ I zo I
Следовательно,
= 1^1 e const.
ГС

СЪсюда и вытекает, что указанная окружность будет эквипотенциаль-
ной линией.
Рассмотрим не всю бесконечную плоскость z, а только ее часть
между двумя эксцентрическими окружностями радиусов /? и г0
(фиг. 196), причем г0 столь мало, что окружность радиуса г0 практи-
чески можно принять за эквипотенциальную линию. Тогда выраже-
ние (9.30) будет комплексным потенциалом фильтрации при откачке
или нагнетании в напорную совершенную скважину, эксцентрично
расположенную в круговом пласте.
Пусть ср0 и Ф—значения потенциала фильтрации на контуре
скважины и на границе области питания. Тогда в силу (9.31)
- - — е0
“п
2л 1П R
Де % = |г0|. Бывшая из первого выражения второе, найдем, что
дебит скважины
<9-32->
, К — °о
n Rra
Таким образом, расчет фильтрации в случае напорной совершен-
ной скважины в круговом пласте эквивалентен расчету фильтрации
от двух скважин, реальной и фиктивной, в бесконечном пласте, при-
чем ось фиктивной скважины проходит через точку плана течения»
являющуюся изображением в границе пласта точки, через которую
354	ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. §
проходит ось реальной скважины. Дебиты же скважин будут отли-
чаться только по знаку х).
Заметим здесь, что изложенный выше способ расчета напорных
совершенных скважин в полу бесконечном и круговом пластах, осно-
ванный на введении фиктивных скважин, называется способом изо-
бражения в прямой или в окружности. Указанный способ имеет
место Не только в случае одной скважины, но и в случае любого
конечного числа скважин. В последнем случае для каждой реальной
скважины нужно привести в соответствие фиктивную скважину и
сложить течения от всех реальных и фиктивных скважин :). При-
меры таких расчетов приводятся, например, в работах [5] я {26].
§ 85. Точечный источник (сток) при любом виде границы
области питания. Выше, в § 82, был подробно исследован случай
фильтрации при наличии источника или
стока, находящихся в центре круговой
/ш / !	границы обласги питания. Рассмотрим
у/ П	ij'nf?	гепгРь случай границы области пита-
Ния любого вила-
'll11 1г Пусть L (фиг. 197) — произвольная
i///!!граница области питания, а г0 — ко-
,,	ордината источника (стока) с дебитомQ-
Произведем конформное отображе-
Фиг. 197.	ние одвосвязной области, ограниченной
кривой L и содержащей внутри себя
точку г0, на единичный круг вспомогательной плоскости С, причем
так, чтобы точка г0 перешла в центр единичного круга. Функция
дающая эго отображение, является аналитической внутри рас-
сматриваемой обласги фильтрации и будет однозначно определена,
если будет задано, например, условие Ц (z0) > О.
В случае источника (стока) с дебиi ом Q, расположенного в начале
координат плоскости С, комплексный потенциал фильтрации
= С + Ф,	(9.33)
где Ф —значение потенциала фильтрации на единичной окружности.
Покажем, что если в выражении (9.33) вместо С подставим Ука"
данную выше отображающую функцию С (г), го получим функцию
» = -£-1пС(г)-|-ф,	(9.34)
являющуюся комплексным потенциалом рассматриваемого фильтра-
ционного потока, причем очевидно, что ф будет значением потен-
циала фильтрации на границе области питания. Действительно, функ-
} буДвТ анаяигической во всей обласги фильтрации, за
Включением ее точки г0, где эта функция имеет логарифмическую
х) См. сноску I) иа стр. 352.
§ 85] точечный иыичник ней любой Границе области питания 36S
особенность. Таким образом, рассматриваемый фильтрационный по-
ток обусловлен точечным источником (стоком), находящимся в точке z0.
Определим дебит этого источника (стока). Пусть I — произвольный
замкнутый контур в облас1и фильтрации, содержащий внутри себя
точку .г0. Указанному замкнутому контуру в плоскости С соответ-
ствует тоже некоторый замкнутый кон1ур Л, лежащий внутри еди-
ничного круга и содержащий внутри себя начало координат. Пол-
ному обходу кошура I против часовой стрелки будет соответство-
вать один обход контура Л в том же направлении, при котором arg С
получит приращение 2л. Но тогда функция (9.34) при указанном об-
ходе контура I получит приращение Qi, а функция тока—прира-
щение Q. Отсюда по свойству функции тока и следует, что постоян-
ная Q в выражении (9.34) будет дебитом источника (стока), находя-
щимся в точке г0 плоскости фильтрации.
Как и в предыдущих случаях, от i очечного источника (стока)
перейдем к напорной совершенной скважине радиуса г0, ось кото-
рой проходит через точку z0. Указанный переход можно сделать,
так как вблизи точки г0 эквипотенциальные линии близки к кон-
центрическим окружностям с центром в этой точке.
Пусть ©0—значение потенциала фильтрации (ср) на контуре сква-
жины. Тогда в силу (9.34) дебит скважины
q=-------2^ф_-?п)-----.	(9.35)
L IС (*) IJ1	| =г„
Таким образом, исследование напорных совершенных скважин
в пласте любой формы, по сути дела, состоит в указанном выше
конформном оюбражении облас<и фильтрации (при замене скважины
точечным ИС1 очником (сюком)) на единичный круг.
Для иллюш рации изложенного выше способа исследования напор-
ных совершенных скважин в пластах произвольной формы, впервые
опубликованного И. А. Парным [12], рассмофим изученный в § 84
случай эксцентрического расположения скважины в круговом пласте.
В этом случае функция С(г), дающая конформное отображение круга
плоскости z радиуса А? на единичный круг плоскости С, как из-
вестно, имеет вид
С =	,	(9.36)
7?а —
Но тогда в силу (9.34) комплексный потенциал рассматриваемого
фильтрационного потока
о>= -g-ln	(9.37)
2п fP — zz0 1
что совпадает с выражением (9.30) ’).
*) После подстановки вместо постоянной С ее выражения через постоян-
ную Ф.
356	плановая установийшАяся ФИЛЬТРАЦИЯ	|гл. 9
Другие примеры применения изложенного выше способа можно,
например, найти в работах П. Я. Полубариновой-Кочиной [10] и
И. А. Парного [13]. В первой из этих работ рассмофен случай
эллиптического пласта, а во второй — случай пласта овальной
формы.
Заметим в заключение, чю изложенный выше способ расчета на-
порных совершенных скважин в пластах произвольной формы при-
меним не только в случае одной скважины, но и в случае любого
конечного числа скважин. В последнем случае комплексный потен-
циал фильтрации будет равен сумме комплексных потенциалов филь-
трации, получающихся при рассмотрении каждой из скважин в от-
дельности ]).
§ 86. Применение способа Павловского. В случае плановой
установившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости граница
области фильтрации (в плане течения) может состоять лишь из про-
ницаемых и непроницаемых участков. На проницаемых участках (кон-
тур питания или дренирования пласта, контур совершенной сква-
жины или котлована и г. п.) обычно предполагается, что напор Л,
а следовательно, и потенциал фильтрации <р, постоянен. Поэтому
проницаемые участки будут эквипотенциальными линиями (ср = const).
Непроницаемые участки будут линиями тока (<р = const). Отсюда
вытекает, что расчет плановой напорной установившейся фильтрации
тяжелой несжимаемой жидкости состоит в нахождении комплексного
потенциала фильтрации ш при условии, чго на отдельных участках
границы области фильтрации будет постоянной величиной либо его
вещественная часть ср, либо коэффициент при его мнимой части ф-
С аналогичной математической задачей мы уже встречались в главе V
при рассмотрении плоской напорной установившейся фильтрации тя-
желой несжимаемой жидкости. Там же был изложен способ решения
этой задачи в случае односвязной области фильтрации 2), именуемый
способом Павловского.
Таким образом, и в случае плановой установившейся фильтрации
тяжелой несжимаемой жидкости способ Павловского также может
быть применен 8).
Ниже для иллюстрации применения этого способа рассмотрены
случаи фильтрации к бесконечной прямолинейной цепочке напорных
совершенных скважин, случай фильтрации к напорному совершен-
ному котловану эллиптической формы в плане, а также случаи
фильтрации напорных грунтовых вод в обход гидротехнических со-
О См. сноску 1) на стр. 353.
односвязныйВ ррЛУж1ппгип,^а из области фильтрации может быть выделен
линиями тока. ФРагмент, Ограниченный эквипотенциальными линиями и
грунта в плане. ОДНОРОДИОГО изотропного или однородного анизотропного
§ 87]	ФИЛЬТРАЦИЯ К БЕСКОНЕЧНОЙ ЦЕПОЧКЕ СКВАЖИН	357
§ 87. Фильтрация к бесконечной прямолинейной цепочке на-
порных совершенных скважин. В качестве первого приложения
способа Павловского при изучении плановой напорной установив-
шейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости рассмотрим слу-
чай фильтрации к бесконечной прямолинейной цепочке напорных
совершенных скважин, изображенный в схематическом виде на
фиг. 198. В случае фиг. 198, а имеет место односторонний приток
жидкости к скважинам при неполном перехвате его скважинами.
В случае же фиг. 198,б имеет место двусторонний приток жидко-
сти к скважинам.	।
Заметим здесь, что случай, представленный на фиг. 198, б, был
рассмотрен С. Ф. Аверьяновым [27], а в предположении симметрич-
ной фильтрации к скважинам — значительно ранее Л. С. Лейбензо-
ном [2].
При первоначальном изучении скважины заменим точечными сто-
ками и рассмотрим только фрагмент плана течения, представленный
на фиг. 199.
Определим область комплексного потенциала фильтрации ю для
рассматриваемого фрагмента. Примем, что на линии тока
4> = 0. Тогда на линии тока	где Q дебит каждой
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 9
358
из скважин. И на линии тока Л12Л11	= —где Q' — фильтра-
ционный расход в пределах полосы плана течения шириною Ь, по-
ступающий к скважинам слева. Отсюда следует, что область ком-
плексного потенциала фильтрации будет иметь один из двух видов,
изображенных на фиг. 200 а и б и соответствующих двум различ-
ным видам течения, представленным на фиг. 198 а и б.
Произведем конформное отображение области рассматриваемого
фрагмента г на область комплексного потенциала фильтрации ш.
Тогда найдем, что искомый комплексный потенциал фильтрации бу-
дет иметь вид
2я<
Qfz 1	1	/> ь
(9.38)
где С произвольная вещественная постоянная, определяемая ниже.
Вблизи начала координат
плоскости z
(9.39)
Следовательно,
(9.40)
Отсюда вытекает, что вбли-
зи начала координат экви-
потенциальные линии будут
близки к концентрическим
окружностям (| z | = const) с
Примем одну из этих
скважины. Тогда, обозначая
ции на контуре скважины, в
центром в начале координат,
линий, имеющую диаметр D, за контур
через ср0 значение потенциала фильтра-
силу (9,40) получим:
Подставляя найденное значение постоянной С в (9.38), найдем,
что комплексный потенциал фильтрации в случае бесконечной прямо-
линейной цепочки напорных совершенных скважин в безграничном
пласте будет:
2ка
Ь 2к kD
(9.41)
§ 87]	ФИЛЬТРАЦИЯ к БЕСКОНЕЧНОЙ ЦЕПОЧКЕ СКВАЖИН	354
На некотором удалении от створа скважин влево, где у будет
достаточно большой отрицательной величиной, в силу (9.41)
(9.42)
где
<?£ = ‘Ро~ 2^QInli£r
О'
и q' — -----фильтрационный расход, поступающий к скважинам
слева, отнесенный к единице ширины потока в направлении, перпен-
дикулярном к линиям тока (удельный фильтрационный расход слева).
Аналогично предыдущему на некотором удалении от створа
скважины вправо
<Р==	<9-43)
где q"= -0^- =	— удельный фильтрационный расход справа.
Заметим здесь, что в случае течения, изображенного на фиг. 198, а,
q" > 0 и в случае течения, изображенного на фиг. 198, б, q" <10.
В силу выражений (9.42) и (9.43) рассматриваемы^ фильтрацион-
ный поток может быть приближенно аппроксимирован двумя равно-
мерными фильтрационными потоками, выше и ниже створа скважин,
с удельными фильтрационными расходами q' и qn. При этом потен-
циал в створе скважин для указанных равномерных фильтрационных
потоков будет равен <р'.
На фиг. 201, а к б приведен график потенциала фильтрации
(сплошная кривая) в сечении, проходящем через ось скважины перг
пендикулярно к створу скважин, а также график потенциала филв-
трации (пунктирные прямые) В этом сечении При укачанной выше
ФИЛЬТРАЦИЯ
360
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ
аппроксимации фильтрационного потока
трационными потоками.
На некотором удалении от створа
линии будут весьма близки к прямым,
При этом, чем меньше шаг скважин Ь,
ные линии совпадут с указанными выше ..н.............  —	wj
таких эквипотенциальных линий за контур питания или дренирования
фильтрационного потока, получим, что найденное нами решение одно-
временно является приближенным решением для случая фильтрации
к бесконечной прямолинейной цепочке напорных совершенных скважин
в полосообразном пласте, когда границы пласта находятся на доста-
точном расстоянии от створа скважин. При этом в случае «а» левая
граница пласта является контуром питания фильтрационного потока,
а правая—контуром дренирования. В случае же «б» обе границы
пласта являются контурами питания фильтрационного потока. Заметим
здесь, что точное решение для случая «а» при любом расположении
прямолинейного створа скважин относительно границ пласта было
получено А. В. Романовым [38] применением способа Павловского.
Г?
[гл. 9
двумя равномерными филь-
скважин эквипотенциальные
параллельным оси цепочки.
тем скорее эквипотенциаль-
прямыми. Принимая одну из
\-ъ
Фиг. 202.
При одностороннем притоке жидкости к скважинам в приведенных
выше результатах следует положить Q' = Q и, следовательно, q" = 0.
В этом случае график потенциала фильтрации правее створа скважин
приближенно выражается горизонтальной прямой (пунктирная прямая
на фиг. 202). Последний результат является одновременно прибли-
женным решением для случая фильтрации к бесконечной прямолиней-
ной цепочке напорных совершенных скважин в полосообразном пласте,
когда одна граница пласта является контуром питания фильтрацион-
ного потока, а с другой стороны пласт закрыт. Точное решение
этого случая при любом положении створа скважин относительно
границ пласта было получено В. В. Ведерниковым *) применением
способа Павловского,
Следует отметить, что в работе И. О. Власова [33] способ Павлов-
ского был использован при рассмотрении случая фильтрации к беско-
нечной прямолинейной цепочке напорных совершенных скважин
в полу оконечном пласте в предположении, что на достаточном
!) См. работу ро] списка литературы к главе «
§ 881
НАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ К СОВЕРШЕННОМУ КОТЛОВАНУ
361
удалении о г скважин скорость фильтрации не перпендикулярна к оси
цепочки (а следовательно, и к границе пласга).
Используя решения для случаев фильтрации к бесконечной прямо-
линейной цепочке скважин в полосообразном пласте и применяя прин-
цип суперпозиции, можно получись решения для случаев фильтрации
к нескольким параллельным цепочкам скважин в полосообразном
пласте. Указанные решения приводятся, например, в работах [26, 38].
§ 88. Напорная фильтрация к совершенному котловану эллип-
тической формы в плане. В качестве второго приложения способа
Павловского рассмотрим случай плановой напорной установившейся
фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости к котловану эллиптиче-
ской формы в плане, с дном, доходящим до водоупора (совершенный,
котлован). Решение для этого случая способом Павловского было
получено В. И. Аравиным [4].
Схематически рассматриваемый Случай изображен на фиг. 203.
По соображениям симметрии фильтрационного потока рас-
смотрим только половину области
фильтрации z, заштрихованную на
фиг. 203.
Определим область комплексного
потенциала фильтрации ш. Для этого
заметим, что на контуре котлова-
на	потенциал фильтра-
ции = <р0 (заданная постоянная).
Полупрямые М>;И3 и Af3Af4 будут ли-
ниями тока (^= const). Примем, что
на полупрямой AfaAf3 = —-j-, ।
Фиг. 204.
Q — дебиг котлована. Тогда
на полупрямой /И8Ж4	-£-• Отсюда следует, что область ком-
плексного потенциала фильтрации “ будет прямолинейной полу-
полосой, представленной на фиг. 204.	„лЛЯГть z
Произведем конформное отображение области ш
Тогда найдем:	.*44)
z = tash^-(o> — <p0) + ^ch q-(“— 'Ро)-	'
362
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[ГЛ. 9
Зависимость (9.44) дает неявное выражение искомого комплексного
потенциала фильтрации.
Полагая в выражении (9.44) z — x^iy и ® = <р4-/ф и отделяя
в полученном результате вещественные части от мнимых, найдем:
х ~ [я ch (© — %) -ф- b sh ~ (ер — сро)1 sin ф, I
Г 2«	2«	1	2«	! (9Л5)
у — |аsh -§(<р — %)4- bch (ср — ср0)J cos	ф, j
где ?о<?<оо и —
Из уравнений (9.45) следует, что эквипотенциальные линии
(? = const) будут софокусными эллипсами с полуосями
ach -^-(<р — ©0) -ф- b sh	(у>—у0),
a sh (<р — <р0) b ch	(ср — <р0)
и линейным эксцентриситетом 1=	Вдали от начала коор-
динат, где ср будет большим положительным числом,
Следовательно, эквипотенциальные линии будут близки к концен-
трическим окружностям с центром в начале координат радиуса
а~\-Ь
2 е • Обозначим через R радиус одной из этих окру*и°*
Стей и через Ф значение потенциала филырации © на этой окру**
носги. Тогда
и, следовательно,
(9.46)
a-±b
~2~ е
. 2«(Ф ~У<>)
in	~ ‘
1п-—
потенциалы фильтрации ср0 и Ф через напоры в котло-
ване (Лр) и на расстоянии Ц от оси котлована (Я), выражение (9.46)
для дебита напорного совершенного котлована представим в виде
(9.46')
О —_
а + b
мвмаЦ ЗДеСЬ’ ЧТ0 велйчвда R «а^’^тся радиусом влияния кот-
§ 88]
НАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ К СОВЕРШЕННОМУ КОТЛОВАНУ
Ш
быть определен следую-
равна 4аЕ, где Е— под-
модуле а, равном эксцен-
Из выражения (9.46) следует, что в отношении дебита напорный
совершенный коглован эллиптической формы в плане эквивалентен
напорной совершенной скважине радиуса r0 = - g ’ Расположенно®
в центре кругового плас i а.
Если эллиптический коглован приведем к колодцу с таким ж
периметром, то радиус колодца г' может
щим образом. Как известно, длина эллипса
ный эллиптический интеграл 2~го рода при
трисигету эллипса. Но тогда искомый ра-
диус	Отношение радиуса Ио
к радиусу г6:
г0 _ 4Е _ 4Е
го я 4-	к(1 + 1' I — £2)
Для всех возможных эллипсов эксцентри-
ситет а изменяется от нуля (окружность) до
f
г0
единицы (щель), а величина при этом мо-
нотонно возрастает1) от 1 до ~1,273.
Отсюда следует, что, заменяя эллиптиче-
ский котлован эквивалентным по величине
периметра круглым колодцем, в знаме-	и~ ппевос-
нателе выражения расхода (9.46) мы допускаем о у,
ходящую 1п - йй0,24, каковой практически можно пренебречь.
Из уравнений (9.45) следует, чго линии гока (4' 7"	L
полуветвями гипербол, софокусных с эквипогенци «ПИчки к своим
Вдали ог начала координат линии тока будут весь • выхолЯщими
асимптотам, которые будут радиальными полупр м ,
из начала координат.	„япопной фильтрации
Из приведенного выше решения для случая на р Ф л = 0
к совершенному котловану эллиптической формы в "лан® ’™Р
и а = / получим решение для случая напорной Ф Р ппоницаеиый
калькой бесконечно тонкой щели длиною I, прореза щ Р,.	205)
пласт на полную его мощность. Указанная выше щель
была рассмотрена Н. Е. Жуковским И]. В последнем слу
’) Так как
d / гп \
...—-J ^>0 ПрИ 0 8	1 •
364
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 9
грации”ИЙ <9‘45) НЯЙДеМ следУющее выражение для потенциала филь-
? = ^areb/^^ + /(i±^)s + £+T, (9.47)
В заключение отметим, что в работе В, И. Аравина [6] примене-
нием способа Павловского получено решение для случая напорной
фильтрации к котловану прямоугольной формы
S 89. Приближенный способ рдсчвха плмириии фильтрации
к совершенным котлованам полигональной формы в плане. Рас-
в плане.
расчета напорной фильтрации
при обозначении через 2QV 2Q2,
тивных щелей в силу (9.47) пс
ционного поюка будет:
смотрим случай напорной филь-
трации к совершенному кот-
ловану полигональной формы
в плане (фиг. 206).
Согласно приближенному
способу, предложенному В. И.
Аравиным [4[, рассматривае-
мый фильтрационный поток мо-
( жег быть приближенно получен
в результате наложения п филь-
трационных потоков к п беско-
нечно тонким вертикальным ще-
лям, совпадающим с проницае-
мыми гранями котлована. Тогда
•.., 2Qn неизвестных дебитов фик-
тенциал рассматриваемого фильтра-
где
(9.48)
(9.49)
и С—произвольная вещественная постоянная. Здесь х», Л» К<даат,
ваты рассматриваемой точки области филырации в системе коор
связанной с m-й щелью (фиг. 206).
Очевидно, что дебит котлована
(9.50)
я»=»1
Вдали от котлована, т. е пп»
• при больших значениях хт и Д’».
(9.49')
§ 90] IlAIIOl’HAl ФИЛЬТРАЦИЯ В ОБХОД ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ 365
где Rm— ряссюяние рассматриваемой точки области фильтрации or
середины /п-й щели.
Неизвестные постоянные Qp Q2, QH и С определим из усло-
вий, что в средних точках щелей (Ор О2, ..., Оп) потенциал филь-
трации равен ср0, а на достаточно большом расстоянии от котлована,
где ~ /?2 As: ... st' Rn — R, потенциал фильтрации равен Ф. Тогда
в силу (9.48) и (9.49') найдем:
п	**
m=l	т = 1
(S = 1, 2, .... Л),
где /lrts — значение функции в середине s-й щели’). Из послед'
них уравнений получим:
Ф — ср0
(9.51)
(s = 1, 2, ..., и).
Решая систему линейных алгебраических уравнений (9.51), определим
неизвестные Qlt Q2, .Q а следовательно, и постоянную С и
Деоиг котлована Q.
В упомянутой выше работе В. И. Аравина ]4] изложенный выше
приближенный способ был применен в случае котлованов в форме
правильных треугольника, четырехугольника (квадрата) и шести-
угольника. Там же дано сопоставление результатов численного рас-
чета по изложенной выше методике котлована прямоугольной формы
в плане, с результатами опытов по методу ЭГДА. Из этого сопо-
ставления вытекает практическая приемлемость приближенного способа
°- И. Аравина.
§ 90. Напорная фильтрация грунтовых вод в обход гидро-
технических сооружений. Напорная филырация грунтовых вод
’’ обход примыкания гидросооружения с берегом имеет место в том
лучае, если в толще грунта берега имеется сильнопроницаемый слой
'Рунта, прикрытый сверху и снизу слоями грунта значительно мень-
Iet* проницаемости, причем указанный выше сильнопроницаемый
лой грунта свободно сообщается с верхним и нижним бьефами гидро-
сооружения. Мы предполагаем, чго верхняя и нижняя поверхности
ильнопроницаемого слоя грунта будут горизонтальными плоскостями,
^ричем верхняя поверхность этого слоя лежит ниже горизонта воды
’ нижнем бьефе. Тогда будет иметь место плановая напорная филь-
°ация воды из верхнего бьефа в нижний в обход водонепроницае-
мой преграды (береговой устой, цементационная завеса и i. п.),
’) В системе координат, связанной с zn-й щелью.
366
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
(М. 9
которая прорезает сильнопроницаемый пласт грунта на полную его
мощное гь (фиг. 207).
Обозначим через и й2 напоры в верхнем и нижнем бьефах над
нижней поверхностью сильнопроницаемого пласта грунта. Тогда рас-
сматриваемая фильтрационная задача в математическом отношении
эквивалентна исследованной в главе 5 задаче о плоской напорной
установившейся фильтрации
в основании флютбета гидро-
сооружения, причем подземный
контур флютбета будет соот-
ветствовать плановым очерта-
ниям водонепроницаемого бере-
гового примыкания гидросоору-
жения. Поэтому все результаты
главы 5 могут быть использо-
ваны при рассмотрении плано-
вой напорной фильтрации в об-
ход гидросооружений. Напри-
мер, случай обтекания филь-
трационным потоком абсолютно
непроницаемого шпунта может
плановой напорной фильтрации R пбг?ЫТЬ тРактован’ как случай
торая является продолжением aZ« «eMeHTaiWo™o« завесы, ко-
тим зл-сь ‘Рададжением земляной плотины (фиг. 207). Заме-
мом слое’грунга УнеоГ0?”Л^Грац”и под флютбегом в водопроницае-
случаям плановой напорной^фадьтпТ”02™	буЛут соотвггсгй0ват!
при отсутствии бытлпгД ” ^ИльтР3Пии в обход гидросооружений
♦us,	гихгл м“’“к берету слу,м ж:
ИЗ толщи грунта 2) будут соотвХ> УЧеГ0М пРитоха груиговых вод
фильтрации в Обход	сгвовать случаям плановой напорной
тового потока из берега^ реку^””8 С учегом естественного грун-
Устаи?вившейсяЯХф№5аХИХтяжЛеДвВаНИЙ плаиовой иапоР"ой
Выше были рассмотоенмРЛИИ ТЯЖелой несжимаемой жидкости,
вания плановой усгановипп1АйлВНЫ1 теоРетические способы исследо-
жидкости. Дальнейшие ил/-ЙСЯ ФИЛЬтРации тяжелой несжимаемой
в основном в следующих	этой проблемы развивались
неоднородности грунта ппонипаемАРаВЛеНИЯХ: ® напРавлении уЧета
«ия, и 2) в рассмотп?ш«« ° Ицаемого слоя, где происходит фильтра-
Говоря об »ссвдов“ияФг".ЧР"ЦИ" ’
мянуть О работах М Мя™ В гк1₽ВЯм напРавлении, необходимо упо-
г. Б. Пыи,«а tni	п- Я. ПолубарнновоЯ-КочивоВ |И.
.....-	11 и М- А- лУкомской 122] и {25J. В указанных
*) Отмеченные в главе 5 значком Р
’) Отмеченные в главе 5 значком
§92] О ПРИВЕДЕНИИ НЕСОВЕРШЕННЫХ СКВАЖИН К СОВЕРШЕННЫМ 367
выше работах рассмотрены точечные источники (стоки) в случае,
когда область фильтрации состоит из нескольких зон (в плане) раз-
личной постоянной проницаемости. Таким образом, з указанных выше
работах учтено изменение проницаемости пласта грунта не в верти-
кальном направлении, а в плане.
Исследованию плановой напорной установившейся фильтрации
тяжелой несжимаемой жидкости во втором направлении посвящены
работы П. Я. Полубариновой-Кочиной [31], О. В. Голубевой [30] и
В. П. Пилатовслого [37]. В последних работах изложены способы
нахождения потенциала фильтрации в случае точечного источника
(стока) (и их систем) на искривленной поверхности. В первой работе
использованы изотермические координаты поверхности1), а во вто-
рой — конформное преобразование поверхности на плоскость. Заметим,
что в работе О. В. Голубевой произведено сопоставление дебита
напорной совершенной скважины в случае плоского и сферического
пластов. В последней работе [37] рассмотрена круговая батарея
напорных совершенных скважин в пласте, образованном двумя соос-
ными круговыми конусами.
§ 92. О приведении напорных несовершенных скважин к со-
вершенным. Выше были рассмотрены основные теоретические
способы расчета фильтрации в случае систем напорных совершенных
скважин. И. А. Парным [17] был предложен приближенный способ
распространения решений для систем напорных совершенных сква-
жин на случай систем напорных несовершенных скважин. Указанный
способ основан на замене каждой из несовершенных скважин
соосной с ней совершенной скважиной. При этом неизвестное
значение потенциала фильтрации на контуре фиктивной совершенной
скважины (<р'о) может быть выражено через ее радиус (ф‘2)> значения
соо1ветствующих известных величин <ро и го несовершенной сква-
жины, а также неизвестный дебит скважин Q—-по формуле М. Ма-
скета
?;=?»+а	(9Л2)
Постоянная С, входящая в последнее выражение, определяется по
формуле (3.209).
В работе И. А. Парного [17] приводятся примеры расчета систем
несовершенных скважин по изложенной выше методике.
Приближенность способа И. А. Парного обусловлена предположе-
нием, что поверхность фиктивной совершенной скважины будет экви-
потенциальной поверхностью фильтрационного потока несовершенно
(сФеЩВ частн°сти, для цилиндрической поверхности, поверхности вращения
* а?' эллипсоид вращения) и трехосного эллипсоида.
пронт , °РЫЙ1 как указывалось в § 37, должен быть не меньше мощности
меньше МОГО пласта- которая в свою очередь должна быть значительно
области Расстояиия между скважинами и расстояния скважин до границы
368
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 9
чяд^пил» Указанное выще допущение выполняется только в слу-
гового ппягЛС°ВпРи,еНН0Й СКважины, расположенной в центре кру-
обусловлАнмы^ ^ЛЯ оценки 0,иибкя В величинах дебигов скважин,
были пплиои Х Указанным ните допущением, И. А. Чарным (17|
но» ии^и» едены сопоставления численных расчетов по предложен-
соб R ыТ°АИке С Расчетами по значительно более сложному спо-
П1 У Пл» Тесала [16] J), не содержащему указанного выше допу-
coBentnAwtruJ53?6™ 0ТН0СИЛИсь к случаю бесконечной цепочки це-
пляет? пп« « ° важин’ Расположенной симметрично в полосообразном
ктическиРплпи^СТ°Р0ННеМ его Пкгании- При этом обнаружилось пра-
обстоятАп^г °е СОвПадеме расчетов по обоим способам. Указанное
И А Черного Г0В°РИТ ° практйческой приемлемости предложения
пля?пПп»’ 1!лайовая установившаяся фильтрация газа. В случае
горизонтально пВпТгШеЙСЯ ФИЛЬтрации газа в однородном изотропном
в виде (см S 16У>аСТе основные уравнения могут быть представлены
а _Л?.
dx’ "v~ ду'
(9.53)
® =-------(9.54)
д?=В+В=о.	<9-эд
1де С» и Чу‘  проекции ьектора расхода газа (приведенного к атмо-
сферному давлению) на координатные оси плана течения, р—-давле-
ние газа (выраженное в долях атмосферного давления ра), р.—коэфф»*
циент вязкости газа, с — коэффициент проницаемости грунта и, «а*
конец, п—'Показатель политропы Я),
Сравнивая уравнения (9.53) и (9.55) с уравнениями (9.1) и (9-3)
для тяжелой несжимой жидкости, мы замечаем их совпадение-
равда, потенциал фильтрации ф имеет здесь иное выражение (9.54)
по сравнению с выражением (9.2). Отсюда следует, что все полу-
ченные выше результаты для тяжелой несжимаемой жидкости могут
быть автоматически распространены на случай фильтрации газа.
таЛпХ» « лановая „безнапорная установившаяся фильтрация
°® ««сжимаемой жидкости. В § 15 была подробно иссдвдо-
жидкостиТеХ уетановив"'аяся фильтрация тяжелой несжимаемо»
однородного изотропного проницаемого грунта, йодсти*
лаемого водоупором, верхняя поверхность которого будет горизонталь-
н й плоскостью. Используя результаты этих исследований, основные
жения дл»Тпоте^аллИ^иПав ЯСп®ЛЬЗОванжй особо преобразованного вы₽а*
§ 94]	ПЛАНОВАЯ БЕЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	369
уравнения плановой безнапорной фильтрации можно будет предста-
вить в виде	,л
О. = Гу-	(9Л6)
? = ~^;	(9.57)
=	(9-58>
где и qy—проекции вектора	расхода	q = h<o на оси координат
плана течения (совпадающего с верхней поверхностью водоупора),
<р—потенциал фильтрации, h — напор над кровлей водоупора и k —
коэффициент фильтрации грунта.
Уравнения (9.56) и (9.58) совпадают с уравнениями (9.1) и (9.3)
для плановой напорной фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости,—
только величины q и имеют здесь иное выражение по сравнению
с § 79. Отсюда следует, что все полученные выше результаты для
случая плановой напорной установившейся фильтрации тяжелой несжи-
маемой жидкости автоматически распространяются на случай плановой
безнапорной установившейся филырации. При таком распространении
все решения для напорных совершенных скважин перейдут в соот-
ветствующие решения для безнапорных колодцев. Решения для слу-
чаев напорной фильтрации к совершенным котлованам перейдут
в решения соответствующих случаев безнапорной фильтрации к кот-
лованам с дном, доходящим до водоупора. И наконец, рассмотренным
в § 90 случаям напорной фильтрации в обход гидротехнических со-
оружений будут соответствовать случаи безнапорной фильтрации
в обход гидротехнических сооружений. Последние случаи, предста-
вляющие весьма большой интерес в гидротехнической практике, были
впервые подробно исследованы В. И. Аравиным [8] и далее, с учетом
естественного безнапорного грунтового потока к реке, В. П. Недрига
[23]») и Н. Н. Веригиным [19]а).
Как будет показано ниже, в § 139, при исследовании плановой
безнапорной установившейся фильтрации в обход гидротехнических
сооружений методом ЭГДА представляется удобным вместо потен-
циала фильтрации ¥ и вектора расхода q рассматривать приве-
денный напор hr, линейно связанный с <р, а следовательно, и с Л,
и приведенный вектор расхода qr. Указанные приведенные вели-
чины определяются зависимостями
Л2 = Л1 + (Л?-^)ЛГ	(9.59)
и
гДе Л, и Л2—глубины фильтрационного поiока по урезам воды
в верхнем и нижнем бьефах. Заметим, что соотношение (9.Ы1)
*) В случаях, соответствующих случаям Н. К. I ирииского (см. главу 5).
370
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
|гл. 9
справедливо также и для суммарных расходов фильтрационного потока
(дейа витального и приведенного).
§ 95. Плановая напорно-безнапорная фильтрация тяжелой
несжимаемой жидкости. Рассмо)рим наиболее общий вид плановой
установившейся филы рации 1яжелой несжимаемой жидкости — так
называемую плановую напорно-безнапорную фильтрацию с зонами
напорной и безнапорной фильтрации. С филы рацией такого вида
мы встречаемся при исследовании режима грунтовых вод на больших
площадях земной поверхносю (региональная фильтрация), при изуче-
нии фильтрации грунтовых вод в основании комплекса сооружений
гидроузлов и г. п.
Плановая напорно-безнапорная фильтрация впервые была рас-
смшрена независимо друг oi друга Н. К. Гиринским [14J и В. И. Ара-
виным (18].
Рассмотрим проницаемый плащ груша м.жду двумя непроницае-
мыми пластами, верхняя и нижпяа поверхности которого будут
горизонтальными плоское!ями или близкими к ним. Следуя Н. К. Ги-
ринскому, предположим, чю коэффнциеш филырации груша £
может изменяйся лишь в верюкальном направлении, следова1елыю,
предоавляет собою извгоную функцию k(Z) вер скальной коор-
динаты Z. Приняюе выше допущение сошвеювует весьма часю
встречающемуся в практике случаю, когда проницаемый пласт грунта
сосюиг из нескольких горизонтальных слоев с различными коэффи*
циентами фильтрации.
Как и в случае плановой напорной и плановой безнапорной филь*
фации предположим, чю поверхноои равных напоров весьма близки
к вер1икальным цилиндрическим ловерхгооям. Тогда напор h будет
функцией юлько двух переменных х и у—коордипа! точек нижней
поверхноши проницаемого плаща груша (план течения). Замшим
здесь, чю при изменении коэффициент филь!рации по высоте
проекции vx и vv скорощи филырации на оси координат плана
ючения будут зависеть не юлько oi переменных х и у, но и о<
переменной Z.
Введем в рассмотрение век юр расхода # (с проекциями и &
нормальный к поверхнос1«м равного напора5) и равный по вели
расходу через бесконечно малое живое сечение филыраци®
потока (площадью Тdl в напорной зоне и hdl в безнапорной зо
отнесенному к единице длины основания (dl) этого сечения. .
Из определения вектора расхода q следует, чю в напор
зоне фильтрационного потока
т	т
JvxdZ—~ j k(Z)dZ,	9?/ =
О	П
о
s) Которые будут функциями только двух переменных х и у-
») Следовательно, коллинеарный с градиентом напора.
§ 951
ПЛАНОВАЯ НАПОРНО-БЕЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
371
w в бездаи°Р*°* здае
6
г. е.
о
А
О
л
п
о
(9.61)
'о	J
напорной зоне потока, а вто-
т
k(Z)dZ или
О
т
»л»
О
где первые выражения относятся к
рые—к безнапорной зоне.
Следуя Н. К. Гиринскому, рассмофим вспомогательную функцию?
двух переменных х и у, определяемую зависимостями
f(Z— h)k(Z)dZ или f(Z— h)k(Z)dZ. (9.62)
о	о
Тогда, имея в виду правило дифференцирования определенного инте-
грала по параметру, найдем, что для всего напорно-безнапорного
фильтрационного потока
д®
йГ
Отсюда следует, что функция ?(х, у), имеющая различные в“9 ®
ния (9.62) для напорной и безнапорной зон фильтрацион«ог °ме1
будет по1енциалом вектора расхода. Мы будем в д
новать ее потенциалом Гиринского.
В силу уравнения неразрывное!и
^±1^0
дх ду
и выражений (9.63) получим, что
.	д*? ,	(9.65)
Следовательно, потенциал Гиринского ф(-^> У) будет гармони
функцией координат точек плана течения.	Гипинского Ф
Из выражений для вектора расхода
следует, что линии равных напоров (h — с on st) УУ я|ляютСя
эквипотенциальными линиями (? —const), а ад * сопрЯЖенная
одновременно векторными линиями вектора q. п	постоянное
с <р(х, у) гармоническая функция ф(х, у) будет сохран
(9.63)
(9.64)

ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	{М. 9
значение на линии тока, т. е. будет функцией тока. Разность
Ф№“ 'Ъйг значений функции тока на концах произвольной кривой МН
Плана течения будет равна расходу через вертикальное цилиндри-
ческое сечение фильтрационного потока с направляющей MN.
Сопоставляя уравнения (9.63) и (9.65) с уравнениями (9.1) и (9.3),
мы убеждаемся в их идентичности, хотя потенциал фильтрации (<?),
входящий в эти уравнения, имеет различные выражения—(9.62)
и (9.2). Отсюда следует, что все результаты, полученные при иссле-
довании плановой напорной установившейся фильтрации тяжелой несжи-
маемой жидкости, автоматически распространяются на случай плановой
напорно-безнапорной установившейся фильтрации. В частности, из
решений для напорных совершенных скважин и котлованов могут
быть получены соответствующие решения для грунтово-артезианских
колодцев и котлованов. А из решений для случаев напорной филь-
трации грунтовых вод в обход гидросооружений могут быть получены
решения для соответствующих случаев напорно-безнапорной фильтра-
ции в обход гидросооружений.
В результате рассмотрения планового
трационного потока (способами, излг
к плановым напорным фильтрационным поп
величины ф и q. Для определения
отделить зону напорной фильтрации
зонах напор имеет различные
Гиринского ф. Для этой
Межзональная граница
Фиг. 208.
проницаемого пласта грунта или
подошвы гидросооружения (фиг. 208). На межзональной границе Л = Г,
следовательно, в силу (9.62) потенциал Гиринского на межзональной
граниде
напорно-безнапорного филь-
изложенными выше, в применении
потокам) могут быть определены
-----.д же напора h необходимо
от безнапорной, ибо в указанных
выражения (9.62) через потенциал
цели необходимо определить границу (на
плане течения), отделяющую на-
порную зону фильтрационного по-
тока от безнапорной. Эту границу
мы будем называть межзональ-
ной границей.
Межзональная граница будет
линией отрыва фильтрационного
потока о г верхней поверхности
?о я J* — Т) & (^)	•
о
„.а
Таким образом, межзональная граница будет эквипотенциальной л
с известным значением потенциала Гиринского <р0,	коГда
Рассмотрим один часто встречающийся в практике случаи,
проницаемый пласт грунта состоит из двух однородных слоев'	и
ностью Tj (нижний слой) и Г2 (верхний слой), с коэфф»«и
(9,66)
§ 951	ПЛАНОВАЯ НАПОРНО-БЕЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
373
фильтрации kj и k2. Тогда по (9.62) б напорной зоне фильтрацион-
ного потока
тх	тх+ч\
cp==fc, ((Z—ft)<7Z-f-fc2 f (Z—h'jdZ —
о	тх
= у [ V* + k2T2 (27) + 7))] - (kyTy + k2T£ h.
В безнапорной зоне фильтрационного потока в случае, когда депрес-
сионная поверхность располагается в пределах первого слоя,
ср = й] (Z — fi) dZ =------.
о
И при расположении депрессионной поверхности в пределах второго
слоя
т,	л
ср = ky | (Z — К) dZ-\-k2 \(Z — ft)dZ =
о	тх
= у (ky — fe2) Л + (^2	^i) Г1
Таким образом, в рассматриваемом случае потенциал Гиринского (ср)
имеет одно из следующих выражений:
- (V? + k2T^(27) + 7-2)] - (kyTy + k2TJ h,
Ф==	(9.62')
‘	2 ’
j (ft, - ft2) ri - (ft, - ft-J Л*- т1-
Полагая в третьем из выражений (9.62') h = Ту -1- 7), найдем.
?о = ~ |	+ kA (9‘66/)
Выше предполагалось, что коэффициент фи Р представляет
изменяться только в вертикальном направлена , • • z рас-
собою известную функцию одной вертикали	гпунта в раз-
смотрим теперь случай, когда коэффициент фил Р	ми от z.
личных зонах плана течения выражается различи ^яктике.
Указанный случай представляет большой интер Гостоит из двух
Положи» для определенности, что план ге,'7'^ "й труня
ЭОН-1 и п. В пределах зоны 1 “”**"“"ентпФ2Т»ея Г(А
выражается функцией ft, (Z), а в пределах э°н“ _азл^ные вираже-
в силу (9.62) потенциал Гиринского будет »м гипинскогр в эоне I
рия в зонах I и П, Обозначим через ср, потенциал р
374
ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 9
и через ®2— потенциал Гиринского в зоне И. Очевидно, что функ-
ции <?i и ?2 обладают всеми свойствами потенциала Гиринского
в пределах каждой из зон I и П.
Определим зависимость между функциями и <р2 на границе
зон I и П.
Если граница между зонами I и И лежит в напорной зоне филь-
трационного потока, то
т	т	т	т
®3 = |* k^Z. dZ— h |* Aj dZ и = j* k^Z dZ— h j* k.2Z dZ,
oo	oo
где h — напор на границе между зонами I и П. Отсюда найдем, чго
искомая зависимость между ф3 и ®2 будет:
51 "-«t	<?а—ад	(9.67z)
*1	*2 ’
где
т	т
х1= k1(Z)dZ, х2=	k.2(Z)dZ,
о	о
т	т
«1=1* Zkj (Z) dZ, а., = j* Zk.2 (Z) dZ
о	0
— известные постоянные.
Если граница между зонами I и II лежит в безнапорной зоне
фильтрационного потока, то зависимость между функциями и
на этой границе может быть выражена в следующем парамегриче
ском виде:
л	л
= j‘(Z-A)k1(Z)dZ,	?2-=|(Z-ft)A2(Z)rfZ. (9.67)
о	о
Здесь параметром будет переменная Л.
Заметим, что при постоянстве коэффициента фильтрации rpyH1*
в вертикальном направлении из (9.62) следует:
ф«уТ(Т—2Й) или —	(9<б8)
и выражения (9.67') и (9.67") принимают единообразный вид
Л __ <Ра	(9.69)
Условие (9.69) для потенциала Гиринского на границе раздела зон
I и II совпадает с условием (4.15) для потенциала скорост
фильтрации на границе двух слоев грунта в случае плоской уст *
повившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости.
§ 96]
ОБ УЧЕТЕ МЕСТНЫХ ПОТЕРЬ НАПОРА
375
Замесим в заключение, что в работе Н. К. Гиринского [34] дано
применение введенного нм потенциала при расчесе плановой безна-
порной установившейся фильтрации в слое грунта, переменной про-
ницаемое! и в вер!икальном направлении, в случае любого конечного
числа совершенных скважин, расположенных вблизи реки или между
двумя реками (текущими параллельно или под пекоюрым углом друг
к другу). В той же р-тбоie Н. К. Гиринского, а также в другой его
работе [21] рассмотрены случаи безнапорной фильтрации к совер-
шенному котловану в форме бесконечно узкой щели (в плане), рас-
положенному параллельно или перпендикулярно к реке (или двум
параллельно текущим рекам), а также случаи всесюронней филыра-
ции к совершенным котлованам различных форм в плане (в форме
прямоугольника, ромба, эллипса и кругового двуугольника).
§ 96. Об учете местных потерь напора. В основе рассмотрения
плановой установив!! ейся фильтрации положено предположение, что
эквипотенциальные поверхности ’)
будут цилиндрическими поверхно-	rm
Фиг. 209.	фиг- 210‘
стями с вертикальными образующими. Как уже отмечалось выше,
8 § 37, такое предположение, например, не выполняется вблизи несо-
вершенной скважины. Дру!ие возможные случаи отклонения экви-
потенциальных поверхностей от вертикальных цилиндрических поверх-
ностей представлены в схематическом виде на фиг. 209 и 210.
При рассмотрении плановой установившейся фильтрации необходимо
учесть потери напора в указанных выше зонах резко изменяющейся
Фильтрации. С аналогичным обстоятельством мы уже встречались
выше, в § 52, при рассмотрении плоской напорной установившейся фидь
трации грунтовых вод в основаниях флюгбетов гидросооружени . ам
были подробно исследованы случаи фильтрации (в однородном грунте),
J) Которые будут одновременно поверхностями равных нтпоров в слу iae
фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости.
376	ПЛАНОВАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[ГЛ. 9
изображенные нафиг. 86 и 92, причем были найдены выражения для
Величины Ф ==—_ f равной отношению дополнительной потери напора
в зоне резко изменяющейся фильтрации к приведенному фильтрацион-
«ОМУрас*ОдУ’ т’ е' РасходУ фильтрационного потока, отнесенному
л™!.™ е потока (в направлении, перпендикулярном к плоскости
* И К коэФФи«иентУ фильтрации грунта. Там же был
и-шлпа риближенный способ суммарного учета дополнительных потерь
‘ р 8 30нах резко изменяющейся фильтрации.
дРУГИми случаями суммарного учета потерь напора в зонах
резко изменяющейся фильтрации мы встречались также в §§ 65, 75
н ЛТТ™ В § 53 пРиближенный способ суммарного учета потерь
стпйнрв резк? изменЯ!°Щейся фильтрации может быть распро-
случа1 плановой напорно-безнапорной установившейся
выпяжрииа11 ТЯЖелой несжимаемой жидкости. Для этого нужно найти
изменяюшрйДЛЯжПотери потенциала фильтрации ® в зонах резко
ной	ФильтРации в результате рассмотрения пространствен-
напооа'в маил в этих зонах. Такой способ суммарного учета потерь
был ппяпвм 8°Й нап°Рно"Оезнапорной установившейся фильтрации
тботе бы™ пПредложен С- Н. Нумеровым 132]. В указанной
изображенные наССфигРе209 ГйХ Р63К° изменяющейся Ф«льа'Раиия’
Потопа «чг. ФИГ* и вертикальном сечении и в плане).
экспепХНТЯл^РЗ ПРИ Угле » = 0°> 30°, 45а и 60° были определены
угле в ичмоиа ° методом *ррДА. Как показали эксперименты, при
зависят от этого ^еМС' °Т ° До 60°’ n0TeP« напора практически не
смотрения плооь-^а И’ следовательно> могут быть определены из рас-
последнее обгто Й ФилътРаиии в вертикальной плоскости (при 0 = 0е).
резко измрмяшп, я^ел8СТВ0 Указывает на то, что и в других случаях
определены ич паоСЯ ФильтРации потери напора могут быть приближенно
задач в вестик^«МйГреНИЯ С00тветст8УЮЩих плоских фильтрационных
задач в вертикальной плоскости.
В зонах6 резко	ЧТ0 сУммаРНЫй учет местных потерь напора
исследовании плои ЯХ)Щейся фильтрации просто осуществляется при
ции методом ЭГДД ^см^Тл^'п^ТТчт Н°Й Установившейся Фильтр3’
ГЛАВА 10
НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
§ 97. Введение. Выше, в главах 3—9, были рассмотрены
различные теоретические (аналитические) методы исследования одно-
мерной, плоской и плановой установившейся фильтрации (тяжелой
несжимаемой жидкости, газа и газированной жидкости'. Следует иметь
в виду, что большинство разработанных до настоящего времени методов
исследования фильтрации, а также реи;ений конкретных фильтрационных
задач получено в условиях установившейся фильтрации. Однако не
все происходящие в природе фильтрационные явления с известными
приемлемыми допущениями могут быть отнесены к категории установив-
шихся процессов. Примером этому могут служить изменения режима
грунтовых вод при наполнении или опорожнении каналов и водохранилищ,
а также при работе горизонтального и вертикального дренажа, водо-
отдача при намыве земляных плотин, перемещение границы нефте-
носности или газоносности при отборе нефти или газа скважинами
в условиях водонапорного режима фильтрации и т. п. Исследования
неустановившейся фильтрации, начавшиеся еще со времен Ж. Бусси-
неска, составляют одну из наиболее сложных проблем теории филь-
трации. Следует отметить весьма значительные успехи, достигнутые
советской наукой в исследовании этой проблемы, особенно за последнее
время.
Ниже, при изложении теоретических (аналитических) методов
исследования неустановившейся фильтрации, мы будем придерживаться
следующего порядка. Сначала рассмотрим теоретические методы
исследования одномерной неустановившейся фильтрации (тяжелой не-
сжимаемой жидкости, газа и газированной жидкости), а также плоской )
неустановившейся фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости. Далее
рассмотрим весьма важную для нефтепромысловой техники задачу
о перемещении границы нефтеносности или газоносности в условиях
водонапорного режима фильтрации.
Вопросам неустановившейся фильтрации посвящен также ряд па-
раграфов глав 11 и 12, относящихся к приближенным методам
’) В случае вертикальной плоскости фильтрации.
378
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ фильтрация
{гл. 10
исследования фильтрации и к исследованиям филырации методом ЭГДА
Н. Н. Павловского.
§ 98. Равномерная ^установившаяся фильтрация тяжелой
несжимаемой жидкости. Равномерная неусгановишиаяся фильтрация
тяжелой несжимаемой жидкости может имен, место в горизонтальном
полосообразном пласте однородного'груш а, когда напоры на границах
пласта изменяются во времени. В этом случае линии тока будут
горизонтальными параллель-
ными прямыми,
фильтрации
наковой в
пласта, но
времени.
На фиг. 211 представ-
лено поперечное сечение
пласта, причем через Ht(f)
и	обозначены пере-
менные во времени напоры
n. ________м о	1,3 границах пласга и че-
напор в пласге1 ' ^~ПереМеМ'ЫЙ В° вРемени действующий
переменная во времени скорость фильтрации в пласте
п ’ ’ 1 переменный по координате и времени напор в сечениях
нйя .Л’ ”ерпепликУляркЫх х линиям юка1). Тогда в силу уравне-
Скорость
будет оди-
пределах всего
переменной во
Фиг. 211.
_________________(10.1)
ff dt k дх 1	(
где k и g соотвв!сгвенно—коэффициент фильтрации грунта и уско-
рение силы тяжести.
Так как левая часть уравнения (10.1) от х не зависит, то пьезо-
метрический уклон	будет постоянен по координате хи равен
среднему пьезометрическому уклону в пласте, т. е.
— ^. = 21	(10.2)
ox L
Интегрируя уравнение (10.2) и используя очевидное условие
«/ж=о = найдем:
— H — .	(10.3)
времени. УИз этой3 зГвТсим^ти*6™0 НаПора в пласте в любой момент
при равномерной неустановившРйАТеТеГ СЛедУЮ111ее свойство напора
	шейся фильтрации тяжелой несжимаемой
’) Ось Ох параллельна
линиям тока.
§ 98] РАВНОМЕРНАЯ НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ
379
жидкости: всякое изменение напора на границах фильтрационного
потока приводит к мгновенному перераспределению напора во всем
потоке. Э.от вывод, не соогвегс.вующий нашим представлениям о ха-
paKiepe протекания физических процессов, обусловливается тем, что
жидкость принимается несжимаемой.
Подставляя в уравнение (10.1) вместо пьезометрического уклона
(—	его выРажение (Ю.2) и интегрируя эго уравнение, найдем:
Ь *	,	0
v = e l®o + ~£\
о
е к YW:),	(10.4)
Iде v0—скорость филырации в плас.е в начальный момен. времени
Ззвисимос|Ь (10.4) дает выражение скорости фильтрации в пласте
в любой момент времени. Указанная зависимость получена нами при
y4eie сил инерции. В пренебрежении силами инерции скорос.ь филь-
трации в пласте определялась бы законом Дарси и имела вид
v =	(Ю-5)
Для оценки влияния сил инерции на величину скоро ih .р'	•
мерной неусгановившейся филырации .яжелой неоким, ичме«ения
рассмотрим прак.ически весьма важный случа л,’1!еТо вычислив
дейс.вующего напора в плас.е по закону	То.да, вычисл.^
ин.е.рал в формуле (10.4), найдем следующее выр.
филырации в пласте с уче.ом сил инерции.
_ м а____—Y
"Оточи ~~ д I gt )’
Выражение скорос.и филырации в плас.е без Уче,а си. 1
в силу (10.5) будет:
kt
Япрнб --	•
(1'постельная ошибка приближенного выражения скорос.и филырации
k
__ ^Приб ^точн ___
^ТОЧН	1 __ --
gt
При малое.» коэффициент филырации ’РУ’’’а ™ибка будет
с рассматриваемым промежу.ком времен У' ‘ истый песок) и
малой. Например, при А. = 0,04 см! се* (KP>"U^P’XT следующий
* = 0,1 сек/ т] < 0,0005 или 0,05%. О.сюда вы.^«^^шейся
вывод: учет сил инерции при расче.е равн Р	прак. ическое
фильтрации тяжелой несжимаемой жидкое.и мо ‘	ка времени,
значение только для весьма малого начального промежу.к Р
380
Фиг.
212.
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 10
раЛт'ангТ0ЛЬК° 8 слУчае гРУнга весьма значительной проницаемости1
имвя„Н1{? Же случаях Учет сил инерции практического значения
’ *ослелнее обстоятельство дает возможность рассматривать
Ра8номерной неустановившейся фильтрации тяжелой не-
Г7ппг,«^° жидкости как совокупность мгновенных установившихся
Гияплп Л С непРеРЫВК0 изменяющимися во времени характеристиками
(напор, скорость фильтрации, фильтрационный расход и т. п.).
тпя,тиг,еЛ1еГ °™гтить> чго впервые г апорная неустановившаяся филь-
и в бпл«« ОДНородном гРУнта была рассмотрена Н. Н. Павловским
ной пая тироКо” аспекте Б. Б. Девисоном в работе [4]. В указан-
Аильтпяним пЛаН общий ме,°Д расчета напорной неустановившейся
THRMniF uar Однородном грунте в предположении малости конвек-
8 оо v” СИЛ И1^РЦИИ п° сравнению с локальной их частью.
vnaXouulУравненИе Буссииеска. В § 15 главы 2 было получено
медленно изменяющейся неус ловившейся фильтрации
тяжелой несжимаемой жидкости в слое
однородного груша ограниченной мощ-
ности. Указанное уравнение, получен-
ное впервые Буссинеском [2J, было вы-
ведет о при следующих допущениях:
1) силы инерции пренебрежимо малы
и 2) горизонтальные составляющие ско-
рости фильтрации ©д, и не изме-
няются по высоте и, следовательно,
представляют собою функции только
двух горизонтальных координат х,у
Югда вертикальная составляющая скорости фильтра-
изменяться по высоте по линейному закону.
Bonovnnno г. одномеР1ой фильтрации в направлении оси Ох пр”
будет иметь ”°дТ0ЯНРЫМ УКЛ0н0М 4) (фиг. 212) уравнение Буссинеска
dH-\~~if)k ди s дН	/,Об)
т дх\п дх)	(I0, J
тпапии гдУбшщ фильтрационного потока, k — коэффициент филь-
дачи гоунтйНи ’ т К0ЭФФиЦиенг недостатка насыщения или от-
ния Ж п, интенсивность инфильтрации (е > 0) или испаре-
сионной поверхности^6 ПЛ°ЩадИ горизонтальной проекции депрес-
тпатшиЛ/н«е ^Ризоитадыюго водоупора (то = О) и отсутствия инфиль-
трации или испарения (в = 0) уравнение (10.6) пример вид
_____ =
v_ др В Случае равиомерной фильтрации конвективная часть сил ииерц*
т Jr ’ 0 (« — коэффициент пористости грунта).
и времени t.
ции v£ будет
В случае
§ 166] ПЕРВОЕ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВУССИНЕСКА	3&1
Как уже указывалось выше, уравнение Буссинеска содержит
предположение о малости сил инерции. С. Н. Нумеровым [30] было
дано обобщение уравнения Буссинеска в случае учета сил инерции.
Полученное С. Н. Нумеровым обобщение уравнения Буссинеска ана-
логично уравнениям медленно изменяющегося неусгановившегося дви-
жения жидкости в открытых водотоках. Заметим здесь, что в
указанной выше работе разработаны два приближенных метода
интегрирования указанных выше уравнений. Первый из этих методов
основан на использовании характеристик уравнений медленно изме-
няющейся неусгановившейся фильтрации. Второй же метод основан
на линеаризации этих уравнений на основе гипотез теории длинных
волн малой амплитуды.
§ 100. Первое частное решение уравнения Буссинеска. Будем
искать частное решение уравнения (10.6') в форме произведения
двух функций, из которых одна зависит только от х и вторая только
or t, т. е. вида
Н—/(х)ф(/).	(10.7)
Подставляя в (10.6') вместо Н ее выражение (10.7), получим:
—(10.8)
f “ k ф ’	'
Левая часть уравнения (10.8) зависит только от переменной х,
а правая его часть— только от переменной t. Так как переменные х
и t независимы, то выражение (10.8) возможно лишь в том случа',
если обе его части представляют собою некоторую постоянную.
Обозначим эту постоянную через (—А). Тогда неизвестные функции f(x)
и ?(/) будут определяться следующими обыкновенными дифферен-
циальными уравнениями:
(у8^А/ = О,	(Ю.9)
(Ю.Ю)
т 1 2т' Т
Уравнения (10.9) и (10.10) могут быть проин тегированы.
Рассмотрим сначала уравнение (10.9). Умножим aio уравнение на
величину
2(fi)'dx = 4fdf.
Тогда приведем его к виду
^[(/9У31 = -|
Интегрируя последнее выражение, найдем
(/у2 = А АС?-4 ХА
где С! — произвольная вещественная постоянная.
3«2
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
|ГЛ. 16
Представляя последнее уравнение в виде
и интегрируя, найдем:
(10.11)
где С2 — произвольная вещественная постоянная.
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию F(s), опре-
деляемую уравнением
г
(0<х,Г<1),	(Ю.12)
<1 1 1-^
где
« = J	---0,862’).
у1-тз 3
ь/
Значения этой функции приводятся в таблице И2).
ТаблицаП
S	F |	5		s	Г	s		s	
0,00	0,000 i	0,20	0,575	0,40	0,782	0,60	0,908	0,80	0,977
0,02	0,184 i	0,22	0,602	0,42	0,797	0,62	0,917	0,82	0,981
0,04	0,260	0,24	0,626	0,44	0,813	0,64	0,926	0,84	0,985
0,06	0,321	0,2G	0,650	0,46	0,826	0,66	0,933	0,86	0,988
0,08	0,372	0,28	0,671	0,48	0,840	0,68	0,942	0,88	0,991
0,10	0,414	0,30	0,692	0,50	0,853	0,70	0,948	0,90	0,994
0,12	0,453	0,32	0,713	0,52	0,865	0,72	0,956	0,92	0,996
0,14	0,487	0,34	0,732	0,54	0,877	0,74	0,962	0,94	0,998
0,16	0,519	0,36	0,750	0,56	0,888	0,76	0,967	0,96	0,999
0,18	0,548	0,38	0,766	j 0,58	0,898	0,78	0,972	0,98 1,00	0,999 1,000
В Г — гамлга-функция.
к- Л ооЛ’ Лейбензоном [3] дано приближенное выражение функции /
, — ,142s—0,179s^Vs с относительной ошибкой порядка 50^
§ 1001 ПЕРВОЕ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА

Л
Заметим, что по определению функции F(s)
4 J ds
dE
Следова гельно, F' (1) = 0.
Используя введенную функцию по уравнению (10.11), найдем,
что искомая функция	__
/W=C,F(/^ + S).	(10.13)
Рассмотрим теперь уравнение (10.10). Представляя его в виде
*?=_**, Л
ip- 2т'
и интегрируя, найдем:
?(0 = —Цг
л + 2т'
2
Но тогда искомое частое решение уравнения
будет:
н —	/k
(10.14)
Буссинеска (10.6')
(10.15)
Обозначим через Н0(х) = H\f=0 iдубину фильтрационного потока
в начальный момент времени. Тогда в силу (10.15)
и, следовательно,
С3 \Г uCj ft я /
(10.16)
и_________
(10.17)
1 f 2т'Сй
Найденное выше частное решение уравнения Буссин^ (
содержит четыре вещественные постоянные , i> ИД гра_
определения этих постоянных должны Ь111^ п0л0ЖИМ1 например,
ничных сечениях фильтрационного потока. Р	представлено
что область филырации будет иметь ,а^ой в д’н. ^Я0(0) = 0
на фиг. 213. Тогда граничные условия будут, п |а,=0
и	=H'(L)«0. Используя эти условия, найдем:
- - £ = 1,
а	с8
^-2
384
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Следовательно,
{гл. 10
где
о
Фиг. 213.
=
Р~-|-а2Яв 1121
чэски^н^соотпё^п^710 8Пер8Ые мйдено Буссинеском [2j. Физи-
г ует Случаю сработки водоносного слоя системой
уУ	бесконечного числа точечных гори-
—’ зонгальных дрен, лежащих на гори-
зонгалыюм водоупоре *), при усло-
' вии, чго 8 начальный момент вре-
> мени кривая депрессии определяется
—р уравнением (10.18). Как показал
ж Буссинеск, рассмотренный им случай
* фильтрации обладает устойчивым
характером. Именно, если бы на-
чальная форма кривой депрессии
Установившаяся фильтрация	Угонялась от (10.18), то не-
отвечающая начальному условию Л О” ФильтРа^’
фильтрацию рассмошенмпгА » <10-18)- Поэтому Буссинеск назвал
синеском было найдено Р,°е решение Уравнения Буссннеска, Бус-
вида	йдеН° е1це одао сетное решение уравнения (10.6')
где s —(10-20)
известная ФункТиТ^Я^^за^ КОтоР°мУ должна удовлетворять ке-
ds 2х dH	йи
А /у~и <Ш\ds	±( ,- dH\
ds^ dS)dx t ds\ySdS}'
dH dH ds xt
Отсюда в силу (10.6')
(10.18)
(10.19)
дН
дх
h dH п
4 ds
J) Расстояние между дреиами равдо
(10-21)
§ 101] втонок частное решение уравнения буссинеска 385
Уравнение (10.21) может быть приведено к более удобному виду.
С этой целью вместо независимой переменной s введем новую неза-
висимую переменную t«х' 1^РЙ такой замене
переменной
dtf dt __ 1	dH .	\ л dH ,
ds ~~ dz ds “ 2 V 2ks dt ’ V ds 2 V 2k dz 1
k d (\f~ и dH\ 1 m' 1 d f и df~f \
m'^(yS H~dr)=='8V 2k t^{H-dT)
и уравнение (10.21) примет вид1)
(ННУ±чН' = 0.	(10.22)
Таким образом, всякое решение Н (т) уравнения (10.22) при
т = у/~х будет решением уравнения Буссинеска (10.б')-
Рассмотрим три вида частных решений уравнения (10.22), кото-
рые ниже (в § 102) будут использованы при рассмотрении ряда
практически интересных фильтрационных задач.
1°. Найдем решение уравнения (10.22) (при 0<т<оо), удовле-
творяющее условиям:	и //(оо) = //2" Настоящая задача
была рассмотрена П. Я. Полубариновой-Кочиной [28, 33], причем
решение этой задачи в окончательном виде было представлено ею
в форме графика фиг. 214 2 * *).
Заметим, что найденное выше решение удовлетворяет условию
(10.23)
причем знак «ф» будет при	и знак «—» при
2°. Найдем решение уравнения (10.22) (при 0 < т < °o)i удовле-
творяющее условиям Н(0) — 0 и Н(ро)~Но’ Настоящая задача
была рассмотрена П. Я. Полубариновой-Кочиной [28].
Следуя П. Я. Полубариновой-Кочиной, вместо старых перемен-
ных т и Н введем новые переменные - и С, определяемые зависи-
мостями
т	-г
г ——— /* л«г	/ 2
=, m l W) " с=т
Тогда
•) Штрихом обозначена пРонЗВОДйаяпй2Х€ялосьИв°виде степенного ряда
2) Прн малых т искомое Реи^”"е ЯХРТ^_ было найдено численным ни-
ша степеням t, а прн остальных значения
тегрироваиием уравнения (10.22).
386	НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 10
Уравнение (10.22) примет вид
21f+c5-=0’	(1О-24)
причем условия для функции С будут:
п _	I	_ n н	d' I	— 1
Ц=о~ di L и js'L	~
В теории пограничного слоя1) получено решение уравнения (10.24)
при указанных выше условиях. Используя это решение, т. е. чис-
ленные значения функций С и по аргументу I, П. Я. Полубари-
новой-Кочиной 128] были найдены значения функции %- по аргу-
мгнту у По этим значениям построен график на фиг. 21 >
выражающий решение рассматриваемой задачи.
Заметим, что из условия «а 0,332 следует:
 ^к=о^М7О<.	(10-25)
гидромеханика Чт* ПНЛп,,4£Игель И А- и Розе И. В., Теоретическая
гидромеханика, т. п, стр. 454, Гостехиздат, 1944.
387
$ 102] ВТОРОЕ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА
3°. Найдем решение уравнения (10.22) (при 0 < т < со), удовле-
творяющее условиям //(0) = HQ, Н(а) = О, Н' (а) — — а и Я (сю) = 0,
где а — некоторая положительная постоянная. Настоящая задача была
рассмотрена П. Я. Полубариновой-Кочиной [58], причем решение
графика фиг. 216 ’).
§ 102. Примеры применения второго частного решения урав-
нения Буссинеска. Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих
применение найденного выше
второго частного решения
уравнения Буссинеска(10.6').
Задача 1. Схемати-
чески рассматриваемый слу-
чай изображен на фиг. 217.
В начальный момент време-
ни (/ — 0) поверхность грун-
товых вод горизонтальна и
Фиг. 217.
воды в водохранилище повышается или
дальнейшем остается неизменной. Тре-
любом сечении фильтрационного потока
расположена выше водоупо-
ра на //2. Внезапно глубина
понижается с //2 до Нг и в дальнейшем
буется найти глубину Н в г.~б?“ '*'1ЦЙГ
в любой момент времени.	Полубариновой-Кочи-
Настоящая задача была рассмотрена
Математически рассматриваемая задача С°<)1ОИ1__ВЛ’Н/0Г3-И^ оо)
уравнения Буссинеска (10.6') при условиях п. |f=0	2
0 Искомое решение выражалось
ч —а.
В форме степенного ряда по степеням
888
нсустлнивившляся ФИЛЬТРАЦИЯ
Гм. 10
Иными словами, получим за-
фильгра-
графика
и	(О < / < оо). Первое условие будет начальным условием,
а второе — граничным.
Представляя искомо? решение в виде функции Н(т), где
т== - >7? .для неизвестной функции И (г) получим уравнение (10.22)
/ 2kt
г т'
и условия H(<S)~H1 и /7(со) = //2. II......
дачу 1° предыдущего § 101. Поэтому неизвгсгная глубина
ционного потока Н{х, t) будет определяться по кривой
фиг. 214, соответствующей данному значению
Заметим здесь, что в силу (10.23) фильтрационный
поступающий из водохранилища в грунт или наоборот,
расход,
(10,2б)
Задача 2. Схематически
Фиг. 218.
Заматим здесь, что в сш
поступающий в водохранилища,
рассматриваемый случай изображен
на фиг. 218. В отличие от пре-
дыдущего случая глубина воды в во-
дохранилище падает с Hq до 0-
Но тогда для функции Н(t) полу-
чим условия Н (0) = 0 и Н(ро) = Мп
г. е. получим задачу 2° предыду-
щего § 101. Поэтому неизвестная
глубина фильтрационного потока
Н(х, t) будет определяться графи-
ком фиг. 215.
г (10.25) фильтрационный расход,
o,47O	(10.27)
Настоящая задача была такж» па
бариновой-Кочиной [28|	“ Рассмотрена впервые П. Я. Полу-
Задача 3. Схематм
на фиг. 219. В начальны»6^ рассиагРИ8аемый случай изображен
нилище и в примыкающем к н™!"’ 8ремени = !!ОЛЫ в водохра-
глубина воды 8 волохпЯ1и....1еМу грУ"ТОв°м массиве не г. Внезапно
водохранилища будег пппеяш® 110выи,ается до Но, причем вода из
вый массив, образуя язык Tnvur™ В прИлегающий к нему грунто-
мени.	РУ овых вод, расширяющийся во вре-
9<0 в^ротХмФсл?Ха^<н8).ИЗ В0Д0Хранилйща в груИТ “
§ 103] ПЕРВЫЙ СПОСОБ ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА
389
Математически рассма<ризаемая задача состоит в интегрировании
уравнения Буссинеска (10.6') при условиях
Я1г=о = °	(0<х<оо),	^|а!=0 = Я0 (0<4<оо) и Я|я=1«0,
где I—'Ширина языка грунтовых вод, являющаяся неизвестной функ-
цией времени.
Представляя искомое решение в виде функции Н(х) при -:=»
==—5===р для неизвестной функции Н(~) получим уравнение (10.22)
V
и условия: Я(0) = 0, П(оо) = 0 и Я(«) = 0, где а==—
V™
Последнее условие в силу уравнения (10.22), которое может
представлено в виде
НН" Я'2 4- zH' = 0
эквивалентно условию
функции Я(т) мы 1
по //'(а) =— а. Таким образом, для веизвеоной
получим задачу 3° предыдущего § 101. Поэтому
неизвестная глубина фильтрацион-
ного потока Н(х, f) будет опре-
деляться графиком фиг. 216.
Заметим здесь, что изменение
В1ири1 ы языка грунтовых вод во
времени будет определяться за-
висимостью
Фиг. 219.
I
(10.28)
, „„„оий Н Н Веригиным (471»
Настоящая задача была впервые посгавл • ’ Приведен-
ие ему не удалось найти правильного пути> ар„1ЮЮЙ-Кочирой ]58].
ное выше решение принадлежит П. Я. Иолу 1	бла1.та156] при-
В недавно вышедшей в свет работе Г. • ЧЯСтных решения
менением теории размерностей получены Р	соотвегС1-вуют
уравнения Буссинеска (10.6). Два из Э1И Р- глУбина воды
рассмотренной выше задаче 3 в предположен^ ’сгепеНному закону *),
в водохранилище повышается немгговеню,	поста фильтра-
или по закону, который получается в предположении роста ф^
Ционного расхода, поступающего из водохрани
пенгой зависимости 0-	„паиНпния Буссинеска.
§ 103. Первый способ линеаризации	рования уравне-
Наиболее эффективный приближенный сггосо	линейным урав-
»"« (10.6) основан на „рнбянжеиной его	ба ™"арнт«и
нением (линеаризация). Нижа рассмотрены Р
*) С неотрицательным показателем.
390
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 10
уравнения Буссинеска. Первый способ линеаризации является наибо-
лее простым и получил широкое практическое применение, особен-
но в последнее время.
При первом способе линеаризации уравнения (10.6) принимается,
чго глубина Н, стоящая множителем в выражении (и , может
быть приближенно заменена некоторой постоянной средней глуби-
ной Яор. При таком предположении уравнение (10.6) приближенно
аппроксимируется следующим линейным дифференциальным уравне-
нием в частных производных второго порядка:
где
<,д*Н	hdH	е _дН
а дх*	° дх	т' dt ’
as— —Ь — —..
т'	т'
(10.29)
Уравнение (10.29) может быть приведено к неоднородному урав-
нению Фурье. Для этого введем в рассмотрение новую функцию
Н —(10.30)
где
о __ in
2^ 2Яср ’
h* kio
4^—~4тНор’
Имеем:
~дх^е
д*Н* к
дх*	\. дх*
гЛд*Н ,дН дН а_ »,/ ,д*Н дН\ «
дх* и дх dt е V* дх* dt ) т
г. е.
,,д*Н __ г__дН
дх* т' dt ’
(10.31)
где
е = е«»+?те.
ФурВьНееНИе (10'31)’ как известно, и будет неоднородным уравнений
ИНгегрировании уравнения (10.31) должны быть заданы на-
чальное и граничные условия.
’) При горизонтальном водоупоре (Z0=Q) 77= Я,
§ 103] ПЕРВЫЙ СПОСОБ ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА
391
Начальное условие определяется заданием глубины фильтрацион-
ного потока (И) в начальный момент времени (t = 0), следовательно,
имеет вид	_
H\t=o=e^H\t^o^H0(x'),	(10.32)
где Но(х) — заданная функция.
При формулировке граничных условий рассмотрим в отдельное
случай полубесконечной области фильтрации (0^х<_оо) и случа
конечной области фильтрации (0 ^.х ^А)1).
В первом случае граничное условие определяется либо заданием
глубины фильтрационного потока Н|л=0 в граничном створе (х== )
во времени (задание водомерного графика), либо заданием расхода
J ==_ Шор^Г В этом створе (задание гидрографа). Таким
образом, в случае полубгеконечной области фильтрации граничное
условие для функции Н может быть одним из следующих двух видов.
дх Lr-ft	l»=o
(0 < t < ©о),
где H.(t)— заданная функция.
Во втором случае граничные условия должны^ ыт
граничных створах фильтрационного потока: х — их — .
Таким образом, расчет неУста^ИВ',1С^ЯиХХ-еРн математической
способе линеаризации уравнения (10.6) эквив л /щапсуче-
задаче интегрирования неоднородного уравнения УР ’ вий ды
том сформулированных выше начальных и гРа1 отсылая инте-
не останавливаемся на рассмотрении последней 31Д	’ магемати-
Ресующихся к специальным руководствам по ур пРЧУльга1ивной
ческой функции и даем в приложении ее ре.нение в результатной
Для иллюстрации изложенного выше первого	дин
Ции уравнения Буссннеска найдем решение задачи §	•
_В рассматриваемом случае г0— е — и,
и Н=^Н. Начальное и граничные условия
(0 < х < оо) и Н|а.=0=0(0</<оо)- Но
ния (42) (Приложение VII)
следовательно, «
имеют вид: Н\,
тогда
!) В случае бесконечной области фильтрации
условий нет,
(10.33)
в обоих
первом
= Но
в силу выража-
(10.34)
х < со)граничных
392
[гл. 10
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
На фиг, 220 для иллюстрации точности приближенного решения
(10.34) нанесен график (//) функции по уравнению (10.34) при
//ор = //0 и график (/) той же функции0 по найденному в § 101 точ-
ному решению уравнения Буссинеска.
ЧаРКЬ1м [55] было показано, что при надлежащем выборе
личины пор точность приближенного решения (10.34) может быть
значительно повышена. И. А, Чарный величину Яер определяет из
у ловия, что фильтрационный расход в граничном створе фильтрацион-
ного потока (^^„q) при точном и приближенном решении должен
совпадать. Выше мы получили, что
точп
Далее, в силу (10.34)
q I ~_____ьи d/71	__
V 1^=0	-г—	—
П[иб	ил
Из условия	найдем	Нвр
„ 1а)и® точя
муле (Ю.34) Яс.Р«=0,347/-/0, найдем
рассматриваемой задачи, выраженное
н
о
^0,347/Vo- Полагая в фор-
товое приближенное решение
графиком /// фиг. 220. Как
видно, новое приближенное
решение имеет более высо-
кую точность по сравнению
с прежним.
Первый способ линеари-
зации уравнения Буссинеска
получил широкое примене-
ние в ряде работ П. Я. По-
лубариговой-Кочигой. В ра-
боте [33] дано приближен-
ное решение задачи 1 § 102
в случае наклонного (в част-
ности горизонтального) водо-
упора. В работе [41] Дан0
обобщение последней задачи
wnc rt.	на тот случай, когда поверх-
постоянный Х В°Д В начальный момент времени имеет некоторый
имеег X Лу	’ ПрИЧеМ В течение «которого промежутка времени
гости X „а равнОмеРная инфильтрация на всей свободной поверх-
ставляет	»е конечРОЙ час™ *)• Последняя задача пред-
динамики	ЛЬШ°Й пРактический интерес при исследовании
________ РУ овых вод при оросительных поливах, Вопросам Дина'
*) Последнее-при горизонтальном водоупоре,
§104] ВТОРОЙ СПОСОБ ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА 393
мики грунтовых вод при поливах посвящена также недавно вышед-
шая в свет работа П. Я. Полубариновой-Кочиной [52]. В указанной
работе исследуется измерение свободной поверхности безграничного
грунтового потока (— оо<х<оо) в случае равномерной инфиль-
трации на некоторой конечной ее части (полосообразный полив)
в предположении, что в начальный момент времени свободная поверх-
ность будет горизонтальной. Кроме того, изучается деформация обра-
зовавшегося при поливе бугра грунтовых вод (в случае прямоуголь-
ного и криволинейного бугра) после прекращения полива.
§ 104. Второй способ линеаризации уравнения Буссинеска.
Из уравнения (10.29) (при то = 0 и а —0) следует, что если неуста-
новившемуся режиму филырации предшествует установившийся режим,
то при начальном установившемся режиме ^ = 0,	—О и, сле-
довательно, Н будет линейной функцией расстояний. Последний ре-
зультат противоречит формула Дюпюи, согласно которой Я должна
быть квадратичной функцией расстояний. Имея в виду сказанное,
Н. Н. Веригиным [32] был предложен новый способ линеаризации
уравнения Буссинеска (при го = 0), не содержащий указанного выше
прыиворечия J). Этот способ мы будем в дальнейшем именовать
вторым способом линеаризации Буссинеска.
Введем в рассмотрение новую функцию
« = ^.	(10.36)
Тогда уравнение Буссинеска (10.6) (при т'о = О) можно будет пред-
ставить в виде
.	(10.36)
m' dx2 т' dt ’
Принимая в уравнении (10.36) переменную глубину фильтрации по-
юка (Я) равной некоторой постоянной глубине (Я0|>), уравнение
Буссинеска (10.36) приведем к следующему неоднородному уравне-
нию Фурье:
„2	(10.37)
дх2 т' dt ’
где
= и »' = Яор.г.
т'
Заметим здесь, что при втором способе линеаризации уравнения
Буссинеска выражение для фильтрационного расхода
’) Указанный способ линеаризации уравнения Буссинеска был раиее
(в 1937 г.) применен Н, А. Багровым.
394
НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 10
не искажается в огличие от первого способа линеаризации, при ко-
тором мы имеем приближенное выражение фильтрационного расхода.
По аналогии с первым способом линеаризации уравнения Бусси-
неска найдем, чго начальное условие для функции и будет:
4_o = |tf2U=«o(x)>	(10-39)
где ий(х)—заданная функция, определяемая глубинами (rf) фильтра-
ционного потока в начальный момент времени (t = 0).
Граничное же условие в створе филырационного потока х = 0
может быть одного из двух видов:
‘A/ —U	/	'**/—V	*
ил к
где uy(t)—заданная функция, определяемая либо глубиной фильтра-
ционного потока (//[а=0), либо фильтрационным расходом (?|J=o)
в этом створе. Аналогичные условия
(0 оо), (10.40)
имеют месю в другом гранич-
ном створе х — L в случае ко-
нечной облас1И фильтрации.
Таким образом, расчет не-
усгановившейся фильтрации при
втором способе линеаризации
урат ения Буссинеска эквива-
лентен математической задаче
инге! pi ронания неоднородного
уравнения Фурье с учетом сфор-
му тированных выше начального
..	и тряпичных условий.
Для иллюстрации второю способа линеаризации уравнения Бусси-
неска рассмотрим исследованный Н. Н. Верш иным [32] случай филь-
трации, изображенный в схематич’ском виде на фиг. 221. Первона-
чальный режим фильтрации предполагается установившимся и опре-
деляется уравнением Дюпюи
—	—	(10.41)
1 k
Далее, в момент вр мени t = O глубина воды в водохранилище
мгновенно повышается или понижается с Н, до Нп и в дальнейшем
остается неизменной. Требуется найти глубины (Я) в любом сечении
фильтрационного потока в любой момент времени.
(Кт^ГРИВ“"м задача С0СГ0И| в нитрировании уравнения
(Ю.37) (при в' = 0) при начальном условии:
й'1и = Т-у^ (0<х<оо)
§ 105] ТРЕТИЙ СПОСОБ ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА 395
и граничном условии:
и-
“Lo = t
(О < t < оо).
В силу выражения (42) (приложение VII) искомое решение будет
иметь вид
»=4 - 4 - т*+I w
Из выражения (10.42) при / = со следует, чго по прошествии
достаточно большого промежутка времени неустановившаяся фильтра-
ция весьма мало отличается от установившейся, соответствующе
глубине в водохранилище Я2, определяемой формулой
(10.43)
В силу (10.42) фильтрационный расход, поступающий из водо-
хранилища в грунт или наоборот, равен
(10Л4)
В цитированной выше работе, а также в работе [57] Н. Н. Вери-
гиным дано обобщение рассмотренной выше задачи на случай конеч-
ной области фильтрации (О-^x-^Z.) и наличия равномерной инфиль-
трации или испарения, причем предположено, что в граничном
створе x~L либо глубина фильтрационного потока остается неиз-
менной, либо фильтрационный расход все время постоянен. В дру-
гой работе Н. Н. Веригина [39] дано обобщение рассмотренной нами
задачи на случай равномерной инфильтрации и дополнительной ин-
фильтрации, возникающей в момент времени /==0 на некоторой ко-
нечной части свободной поверхности фильтрационного потока.
§ 105. Третий способ линеаризации уравнения Буссинеска.
Третий способ линеаризации уравнения Буссинеска был предложен
и- А. Чарным [55].
Рассмотрим несколько более общее уравнение по сравнению
с Уравнением (10.6') вида
k ± (f dH\^dL,	(Ю-45)
tn' дх V дх' д’	.jj.
где f(H) — i екогорая функция глубины ФИЛЬ1.ра‘^/“д^б^перейдет
определяемая ниже. Если	то уравнение (10.45) пр
в уравнение Буссинеска (10.6').
Введем в рассмотрение новую функцию
(10.46)
396
{гл. 10
d/z _ du df
dt df df
(10.47)
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Тогда в силу зависимостей
du __ . ан _ д /-дН\
дх J дх ’ dx3 дх V дх)'
уравнение (10.45) приводится к виду
k du a2u  ди
т’ df дх3	dt *
Выберем функцию / так, чтобы величина
-~== А —г cons*.	(10.48)
df i
Тогда уравнение (10.47) будет линейным однородным уравнением
Фурье.
На основании (10.46) и (10.48)
&- = ndH.
Интегрируя последнее уравнение, тайлом:
/=	00.49)
Таким образом°РеЫс1и8е*« ГПе, РЫ/ П0СТ0ЯНРЫе>
имей (10.49), то уравнени^Лп 7ч/ буДег ЭкСпоненциалы-ой функ-
Родному уравнению Фурье. 10'45' можзт быть приведено к одно-
ния (10.45) при (Х/7'Ы1,п> УРавнение (Ю.6') получается из уравре-
°Э'°ИУ’ еСЛИ мы ЛИ1,ейное выражегие для
функции / приближенно аппроксимируем
экспоненциальным выражением (10.49),
го уравнение (10.67) будет приближенно
аппроксимировано однородным ура вне; нем
урье. Последнее допущение и cociae-
ляет основу рассматриваемого способа ли-
геаризации уравнения Буссинеска (10.6').
Неизвестные постоянные « и р, вхо-
дящие в выражение (10.49), выберем
Ш У<^,овия’ чго на Концах промежутка
И2!’ “а) возможного изменения глубины
фильтрационного потока точное линейное
приближенным экспаИ«„. выражение Функции / совпадает с его
экспоненциальным выражением (фиг. 222). Тогда
„ ре«я1=г//
а следовательно,	2

я
(10,50)
§ 1061
ОК УЧЕТЕ СЛАБОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ВОДОУПОРА
897
Постоянную Р можно определить и из другого условия, а именно,
чтобы площадь прямолинейной трапеции фиг. 222 совпадала с пло-
щадью криволинейной трапеции, ограниченной сверху пунктирной
кривой, с уравнением	где « имеет выражение (10.50).
Отсюда
я,
Р | еаЧ dH ~ [ HdH
я,	Я,
и, следовательно,
§ 106. Об учете слабой проницаемости водоупора. При вы-
воде уравнения Буссинеска предполагалось, чго водоупор абсолютно
непроницаем. Рассмотрим теперь
случай слабопроницаемого водо-
упора, подстилаемого слоем зна-
чительно большей проницаемости
(фиг. 223). Как и в случае филь-
трации, рассмотренном в § 29
главы 3, предположим, что в ниж-
нем сильнопроницаемом слое на-
пор (отсчитанный от горизонталь-
ной кровли водоупора) постоянен
и равен Нй. Фильтрационный же
расход, поступающий через бес-
Фиг. 223.
конечно малый участок кровли во-
доупора (dx) ранен	dx, где /г0—коэффициент филырации
водоупора и d — его мощность. Тогда в уравнении баланса расхода
k(\ \П(\ ’ fl)
к величине е мы должны будем добавить величину $ i
причем уравнение (10.6) (при /о=0) примет вид
k Э („дН\	/Н_Н-‘М
о) т‘ dt
При первом способе линеаризации уравнение (10.52)
„> ff'H , kn „ _ ЪНд__±_
дх* md md
(10.52)
примет вид
(10.53)
дН
dt 
т
Введением новой функции
Н===е*Н,	(10.54)
где р = А., уравнение (10.53) приведем к уравнению (10.31),
причем
S98
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЫ НАЦИЯ
[гл. 10
Такий образом, рассматриваемый случай фильтрации в математи-
ческом отношении аналогичен случаю § 103 при ином выражении
функций Н и е, а также постоянной [3 ’).
При втором способе линеаризации уравнение (10.52) примет вид
(10.55)
ох2 1 md	md т dt
Введением новой функции
«==А,	(Ю.56)
где р = —~~, уравнение (10.55) приводится к уравнению (10.37),
причем
меншошейгя и»61 слабой проницаемости водоупора при медленно из-
лубаоиТовпй к/Сган°в«в'иейся Фильтрации был произведен П. Я- Ло-
а также ?J331’ КОгорая дала Решение задачи 1 §102,
Кривой деппАгси° ° Щения эгой заДачи на случай экспоненциальной
Решение vnn! «	? «ачальный ««мент времени. Там же дано
чемвовсех п™ В § 103 заяачи 0 полосообразном поливе, при-
мость воло¥пппаеЧИСЛеННЫХ ВЫШе СлУчаях учтена слабая проницае-
У Р и использован первый способ линеаризации урав-
нения (10.52).
кальном7* *на^равленннРеппНН°Й пР°НИ1<аемостн грунта в верти-
лагалось, что РГпунг олнпп? выв°ле Уравнения Буссинеска предпо-
неска на случай кот °п°ДСН’ ,а'адам обобщение уравнения Бусси-
кальном направлении& "рони«аемость грунта изменяется в верги-
грунта гюгдсгавХ,. ' еДОвагельно’ коэффициент фильтрации
приставляет собой некоторую заданную функцию А (г) вер-
тикальной координаты г.	ввести
Как и в § 95 главы 9, здесь представляется удобным
в рассмотрение функцию Гиринского
Ф —J(^— H)k(z)dz.	(Ю-5)
0
Тогда расход фильтрационного потока2) в сечении, характеризуй
координатой х, в момент времени I будет:
дФ	(10.58)
'	ого
Рассмотрим два бесконечно близких сечения фильграционн0
потока на расстоянии dx друг от друга.
’) Постоянная <х = 0.
*) Отнесенный к единице йтнринтд. потока.
§ 107)
Случай переменной проницаемости грунта
399
Изменение объема филирующей жидкости между этими сече-
ниями за промежуток времени dt будет равно
---dxdt — — -С-^- dx dt.
дх	oxJ
С другой стороны, изменение объема фильтрующей жидкости между
выбранными сечениями, обусловленное изменением глубины Н филь-
трационного потока, а также инфильтрацией или испарением, будет
равно
j m'(z) dz 4- dx dt =
u
^z^dxdt,
направлении коэффициент
Приравнивая полученные
фильтрующей жидкости,
где m.’(г) — переменный в вертикальном
недостатка насыщения или отдачи груша,
вып е выражения для изменения объема
получим (после сокращения на dxdt)’.
')2ф Д-т'(Я) — -}-s==0.	(10.59)
dt
Уравнение (10.59) может быть преобразовано к более. Удобн™у
виду. Для этого продифференцируем выражение (  )	)’
Получим:
— — f k(z~) dz.
dt dt J
° ?
Умножая все члены уравнения (10.59) на величину j ( )
и используя
ние к виду
полученную выше зависимойь,
припедем это
2 А-h- -ЙФ
dt ’
уравне-
(10.60)
а
1де
н
Я
k(z)ciz‘
о
Уравнение (10.60) и будет ис^	^вертикальном
синеска в случае переменной проницаемое! t j
направлении.	нелинейных уравнений
Уравнение (10.60) ошосится к классу	типа,
в частных производных второго порядка Р
По правилу дифференцирования определенного интеграла по пара
400
{^Установившаяся фильтраций
(гл. 10
ц2==
Ф =
2 k^op
а1~	>
Г"у,5и"у Н ’	м»»™» «  >
М жю заменить некоторой постоянной глубиной Яср. Тогда
1 f°P	?ср
“W,1 Нг|'Ь " i=='ST74pr.| ‘И*
" ByX»nZj10'6„0)’ ПИШб"° ура"“™«ю Бу=с«»ска. приведется
К неоднородному уравнению Фурье.
аметим здесь, чго при постоянной проницаемости грунта в вер-
тикальном направлении
МР
~~2~'
, ,2*Яср
tn'
чю соответствует вюрому способу
линеаризации уравнения (10.6) (при
г0 = 0).
Впервые обобщение уравнения
ппониггяйм™.„ -	Буссинеска на случай переменной
II Я п гРунга в вертикальном направлении было получено
стой/ из п ариновой'К°ЧИной [51] в предположении, чго грунт со-
фит 224\ vtvr Одн°Р°даых слоев различной проницаемости (см.
верхнего ВЭЯ двпРгссии располагается все время в пределах
ном случае *’ Я инФильгРация и испарение отсутствуют. В указан-
и
,л_ Ш +

В юй же pa6oie приводится решение задачи 1 S 102 при указан-
ных выше предположениях.
§ 108. Уравнение Л. С. Лейбеизона. В § 16 было выведено
уравнение неустановившейся фильтрации газа. Указанное уравнение
» 1ЛоопПервЫе ПОлУчено л- С. Лейбензоном в 1928 г. и опубликовано
„ , г- в статье «Движение газа в пористой среде» (журнал
«Нефтяное хозяйство», № 8-9, 1929 г.). Двумя годами позже (в 1931 г.)
аналогичное уравнение было опубликовано в США Маскегом и Бог-
се 2 ом*
,* случа* оДноРазмерной фильтрации газа в полосообразном пласте
уравнение Л. С. Лейбензона примет вид
сп д*Р  ] др
?т дх*	~р ~ЗГ ’
(10.611
§109)
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ л. с. ЛЕЙБЕНЗОНА
401
где р- давление,	Л и р-постоянные в уравне-
нии политропы, с — коэффициент проницаемости ГРУНТ®’ 7n-~K°3(^2
фициент пористости грунта и р, —динамический "п ««иент я
кости газа.
При изотермическом состоянии газа (я =» 1)
можно представить так:
с д / др\ __ др~
&т дх V дх J dt ’
совпадает с уравнением
коэффициент вяз-
уравнение (10.61)
(10.610
Буссинеска (10.60
Уравнение (10.61')
при замене величины

1 коэффициентом фильтрации грунта k и
давления р глубиной грунтового потока
все результаты, полученные выше для урав	дедбензона
автоматически распространяются и на уравнен  ‘ распр0-
(10.610 (при изотермическом с°‘Т"	потока q должен
странении результатов объемный расход ру	постоян-
быть заменен произведением весового расхода газа и
ную изотермы ₽.	п С Лейбензона. Л. С. Лей-
§ 109. Линеаризация уравнения Л. ь. J , интегрИрования
бензоном |3] был разработан приближенный по0ксимации вели-
«'—го ур— (10.61),	.я’Хт Ля-
чины р, входящей в это уравнение, ФУнк^е” ®И/вр7м₽еНи. При таком
постоянная и а(f)— некоторая заданная фу симируется следую-
допущении уравнение (10.61) приближенно . Р частнЫХ произвед-
шим линейным дифференциальным уравнением
вых второго порядка
a2'dxr=s’’(0	’
(10.62)
где
„й сп
&т ^с₽‘
^Равнение (10.62) введением новой независимой переменной
t
fas £ 0{t)di	(10.63)
о
приводится к однородному уравнению Фурье
д1Р 6Р	'
ы два вида аппроксимирующей
Л. С. Лейбензоном [3] рассмотрены два
Функции	, А,-.е	(10*6б)
О(0«1 и +
'	опоеделяе,|,ые ни*е'
где а, Ь и а — положительные ностоян »
402
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
(гл. 10
При нахождении функции P(x,t), удовлетворяющей уравнению
(10.64), должны быть заданы начальное и граничные условия.
Начальное условие определяется заданием давления (р | (=0) в пласте
в начальный момент времени @ = 0), следовательно, имеет вид
п+1 [
р 1	ТоНЛ) р п U = Ро	<10-66)
где Р0(х)— заданная функция.
Граничные условия имеют различные выражения на открытой
(х = 0) и закрытой (дс — L) сторонах пласта. На открытой стореже
пласта либо задается давление р либо предполагается, что про-
исходит истечение газа в область постоянного давления по закону
теплопроводности Ньютона. Следовательно, на открытой стороне
пласта граничное условие имеет один из двух видов:
и	I
р п la,=0=-piW’	(10>б7)
^Lr^p-p^..-
стороне пласта ^копостк’л3	заданная функция. На закрытой
Р ь фильтрации газа равна нулю; следовательно,
др I
-^1^=0.	(10.68)
ОООбразном бпластё (О	^Установившейся фильтрации газа в поло-
интегоиоовяниа П)ГОПп	эквивалентен математической задаче
.“mhXLTS”0™ И”"™ фУРДЗ (10.64) при указанных
выше начальном и граничном условиях (10.66) --(10.681.
условие У(10.68) Уззм™^Г°тоТб:Та	вт°Р°е граничное
при л,->оо. ' яется требованием конечности давления р
нения* Л™С£ТеИгаоХО^10Н6П Г'* способа линеаризации урав-
случай истечения Я	Рассмотрим исследованный им {3}
Л3 полосообРа3ного пласта (0<х<1) при
на открытой стороне пм^НИИ 8 ПЛЯСте р0 и постоян«ом Давлении я
случая изотермического сосгояния^гТза^ °ГранИЧИМСЯ Р^смотРениеМ
вид: начальноеИусловие СЛучае начальное и граничные условия имеют
j **’*М*5мС
(0<д;<£),
граничные условия	“
/I ।	___ Г)	дР I
—	иЦ, — 0 (0<т<оо).
§ 109]
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ Л. С. ЛЕЙВЕНЗОНА
463-
В силу выражения (48) (приложение VII) решение рассматривае-
мой задачи имеет вид
А	“	1	«’«* (28+1)4	т ...
Р»Р1 + _(Р0_Р1)	sin-t?"*' <1О-69)
s=o
Следуя Л. С. Лейбензону, введем в рассмотрение вспомогатель-
ную функцию
где
,	со	/ ол д_ 1 \ 2
’(Ь =	(10.70>
в = 0
? = е (0<9^1).
Тогда выражение (10.69) примет вид
Р = Р1 + (Р0— Р})?.	(10.71)
х & таблице 12 приводятся значения функции <р по аргументам
А и График этой функции приведен на фиг. 225 *).
Роне^цдаса8Нения (Ю.71) при ж = £ найдем, что на закрытой сто-
РЬ=д = Л + (/,о-Л)ф(1> <!)	(10.72)
ния ^2*Ят\М выРаженИе ДЛЯ весового расхода газа. В силу выраже-
лласта'й7) 8еСов°й Рас*од газа, приходящийся на единицу ширины
О = —(10.73)
[х дх	4	'
Подставляя в (10.73) вместо Р ее выражение (10.69), найдем:
a=.*g.-^>	&±!2"=
в»о
,уу.	(10.74)
D
вл» чаСтности, при х — 0, т. е. на открытой стороне пласта, весо-
расход газа
q).
бевззд^а^иДа и трафик функции ? заимствованы из монографии Л. С. Лей*
*) Здесь &а— вторая тзта-фуикция (см. приложение IV).
(10.75)
4^4
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
ил. 10	§ 109]
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ Л. С. ЛЕЙБЕНЗОНА
406
1 х \	Т а б лиц а. 12
Таблица функции Ц-д .
\ ? х Т	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	1,00
0,05	0,056729	0,069464	0,080582	0,092361	0,196083	0,123341	0,147163	0,184984	0,265785	0,366803	1,000000
0,10	0,113081	0,138362	0,160339	0,183512	0,210394	0,244049	0,290103	0,361520	0,506209	0,669460	1,000000
0,15	0,168683	0,206155	0,238462	0,272229	0,311015	0,358932	0,423135	0,519463	0,695426	0,862722	1,000000
0,16	0,179682	0,219535	0,253828	0,289585	0,330560	0,381013	0,448275	0,548311	0,729235	0,902256	1,000000
0,20	0,223169	0,272313	0,314202	0,357434	0,406413	0,465804	0,543076	0,653097	0,829115	0,956049	1,000000
0,25	0,276184	0,336334	0,386851	0,438171	0,495272	0,562854	0,647568	0,760174	0,912909	0,985963	1,000000
0,30	0,327388	0,397764	0,455821	0,513541	0,576557	0,648884	0,735517	0,841757	0,959980	0,991853	1,000000
0,32	0,347202	0,421519	0,482262	0,542214	0,606798	0,680066	0,766057	0,867814	0,971400	0,993225	1,000000
0,35	0,376459	0,456190	0,520596	0,583332	0,649577	0,723179	0,806647	0,900758	0,981431	0,993422	1,000000
0,40	0,423000	0,511399	0,580771	0,646558	0,714143	0,786216	0,863230	0,940202	0,993840	0,994400	1,000000
0,45	0,467002	0,562621	0,636046	0,703378	0,770150	0,838224	0,906260	0,966647	0,999897	0,995000	1,000000
0,50	0,507936	0,610051	0,695085	0,753622	0,817774	0,879813	0,937112	0,991159	0,999375	0,996000	1,000000
0,55	0,545654	0,653353	0,731320	0,798210	0,860760	0,922355	0,959230	0,991361	0,999734	0,997309	1,000000
0,60	0,579947	0,692318	0,771093	0,835906	0,893771	0,948228	0,974303	0,995289	0,999930	0.996672	1,000000
0,65	0,610629	0,726842	0,805682	0,867628	0,919922	0,966000	0,984372	0,997825	0,999900	0,999841	1,000000
0,68	0,627236	0,743586	0,825880	0.883293	0,929958	0.965392	0,988565	0,998561	0,999900	0,999900	1,000000
0,70	0,637537	0,756823	0,835102	0,893205	0,937685	0.9703,58	0,990779	0,999067	0,999900	0,999900	1,000000
0,75	0,660532	0,782253	0,859727	0,914555	0,953828	0,980293	0,995134	0,999561	0,999900	0,909900	1,000000
0,80	0,679500	0,803072	0,879588	0,931305	0,965844	0,986900	0,997100	0,999893	0,999737	0,999908	1,000000
0,84	0,681710	0,816400	0,872155	0,941683	0,973031	0,990645	0,998237	0,999982	0,999969	0,999953	1,000000
0,85	0,694347	0,819269	0,874841	0,943869	0,974474	0,991241	0,998148	0,999981	0,999955	0.999972	1,000000
0,90	0,705002	0,830836	0,905628	0,952609	0,980337	0,994204	0,999155	1,000000	0,999992	1,000000	1,000000
0,95	0,710487	0,836672	0,910831	0,956426	0,982271	0,994178	0,997983	1,000000	1,000000	1,000000	1,000000
1,00	0,713557	0,840091	0,914769	0,959472	0,984755	0,996217 —	г—_	0,999591	1,000000	1,000000	1,000000	1,000000 <
406
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 10
По уравнению (10.75) может быть построена кривая, выражающая
зависимость весового расхода газа, на открытой стороне пласга от
времени, называемая кривой истощения пласта.
Полное весовое количество газа, извлеченное из пласта за не-
который промежуток времени, может быть определено интегрирова-
нием выражения (10.75) в пределах этого промежутка.
До сих пор мы не делали каких-либо предположений в отно-
шении функции <з(0. Л. С. Лейбензоном рассмотрены два вида аппрок-
симирующей функции о(/), а именно: а(/) = 1 (первое приближение}
и a (f) = a -j- be~at (второе приближение). При этом
Не приводя других примеров для иллюстрации изложенного выше
способа линеаризации уравнения Л. С. Лейбензона, заметим, что
в цитированной выше монографии Л. С. Лейбензона [3] дано обоб-
щение рассмотренной выше задачи на случай переменного во времени
давления на открытой стороне пласта. В той же работе приведено
решение для случая истечения газа на открытой стороне пласта по
вагону теплопроводности Ньютона, причем все перечислений выш?
§ 110] НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗИРОВАННОЙ жидкости 407
вадачи рассматриваются не только в случае полосообразного Пласта
(0<х<£), но и в случае полубесконечного пласта (0-<х<оо) ’).
Существенно отметить, что Л. С. Лейбензоном произведено сопоста-
вление результатов указанных выше теоретических исследований
с результатами экспериментов, показавшее практическую приемле-
мость принятых им допущений.
§ 110. Неустаиовившаяся фильтрация газированной жидкости
высокой насыщенности. Как указывалось в § 17 главы 2, при высокой
насыщенности А жидкостью порового пространства (Д 0,9) скорость
движения свободного газа фР практически равна нулю. Но тогда в силу
результатов, приведенных в указанном параграфе, уравнения однораз-
мерной неустановившейся фильтрации газированной жидкости в поло-
сообразном пласте примут вид
^ = --^-4^;	(ю-76)
+	+ тар(1 — Д)1 = 0.	(10.78)
Здесь все обозначения такие же, как и в § 17 главы 2).
Следуя М. Д. Миллионщикову [36], предположим, что давление
в пласте р и Насыщенность А весьма мало отличаются от началь-
ного постоянного давления в пласте р0 и постоянной начальной на-
сыщенности До, т. е.
р — р0-\-р и Д=Д0-(-Л,	(10.79)
где р и А — малые величины по сравнению с величинами р$ и До-
Тогда, пренебрегая произведениями величин р и А, уравнения
(10.76) — (10.78) приведем к виду
Wjk==_^L^;	(10.80)
Ж дх
5-+и“_0,-	(10.81)
дх 1 dt
(W«) + { т [а + (s- а) Д01Р + 'пРо (s - а) Д} = 0. (10.82)
Заметим здесь, что уравнения (10.80) и (10.81) будут точными,
а Уравнение (10.82) —приближенным.
>) Все указанные выше случаи рассмотрены в предположении палитре
пического закона состояния газа.
408	НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 10
Умножая уравнение (10.81) на $р$ и вычитая полученный результат
почленно из уравнения (10.82), найдем (после сокращения на посто-
янную лгаро):
1И0 +(а~ l)^o]^-A} = O.
Отсюда получим:
А = [1 +(^— l)xoj^+/(x),
тде f(x)— произвольная функция переменной х. Из условия Л==0
при ps=0 найдем /(х)я0 и, следовательно,
А =	(10.83)
А)
где
1)A>1).
При высокой насыщенности, как доказано экспериментально,
величина — будет приближенно линейной функцией насыщенности,
т. е.
+	(10.84)
где а и р — постоянные, определяемые из опыта. Но тогда в силу
(10.79) и (10.83)
с, ,	86 -
V а + Ио + Р а + Мо — 8о (= const).
Отсюда в силу уравнений (10.80), (10.81) и (10.83) величина р должна
удовлетворять однородному уравнению Фурье
«9-Й=»#,	<10-8б>
ох» dt ’
где
ая~ —5i’°.
тр.жь ‘
Такое же уравнение мы получим и в случае фильтрации газа,
только в этом случае да = ^.. Отсюда следует, что истечение гази-
рованной жидкости из полосообразного пласта при высоком противо-
давлении и высокой насыщенности происходит по законам истечения
газа из пласта при ином выражении для постоянной а.
J) В цитированной выще работе принято Л$Яй1 и, следовательно
§112] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СМЕНЫ СТАЦИОНАРНЫХ состояний 40Э
8 111. Случай радиальной и сферической фильтрации. Выше
мы рассмотрели одномерную прямолинейную неусгановившуюся ф ль
трацию (тяжелой несжимаемой жидкости, газа к газировашкЛ жидко
сти), причем получили, что при линеаризации	равнению
фильтрации указанные уравнения приводятся к одном р УУР й
Фурье. Легко убедиться, что в случае радиальной ил сф' Р "
фильтрации мы также получили бы одномерное уравне п Ур
соответственно в полярных и сферических координатах.
валентно замене величины величиной —	^Эг") (в слУчае рад
альной фильтрации) или величиной — — (г’(в случае сферическ
фильтрации). Таким образом, случаи радиальной и	0 „«L.
трации отличаются от случаев прямолинейной фильтр	„ осга-
матически в смысле используемых решений уравнениур • . т
навливаясь на рассмотрении случаев радиальной и сфер
ЦИИ, отметим" что в работе П. Я. Полубариновой-Кочиной [33] дано
решение задачи 1 § 102 в случае радиальной фильтрац и.	некоторой
дано решение задачи о равномерном круговом поли - слабой
конечной части свободной поверхности грунтовых вод С: у	монотра_
проницаемости водоупора. В уже неоднократно ц тиРУ - в к ю9
фии Л. С. Лейбензона [3] приведено решение рассмотренной в уоэ
задачи в случае радиальной и сферической ФиЛЬ^р АИЛЬТпации
дачи, упомянутой в конце § 109 в случае радиал Ф сЛучаев
Ниже, в §§ 117, 118 и 120, будут даны решения М.^случаев
радиальной фильтрации применением пРйбаИ^ННстГаци0Нарных Со-
болев удобного метода последовательной сме
§ 112. Метод последовательной смены с^“ои*Р““ХоСДнораз-
иий. Рассмотрим еще один метод приближен Рпоследнее время
мерной неусгановившейся фильтрации, получивши пп1.„онапных со-
наименование «метода последовательной смены с	неуста-
'««««•• Сущность этого метод, состоит
«овившейся фильтрации трактуется как сово> у в0 времени
установившихся процессов с непрерывно мзмфильтрацион-
характеристиками. При этом изменение х Р Р балансом расхода
него потока определяется граничными	маССЫ /в случяе газа
(в случае несжимаемой жидкости) или б	такой концепции
или газированной жидкости).	параметров фильтрации
основывается на соображении, что 1ПР срМнению с их из-
во времени происходят 3«a^eXL“e метода последовательной сме-
шениями в пространстве. Содержу сняется при рассмотрении
«ы стационарных состояний лучше все! у
'	~	— жя«чиатоиваютея также в монографии
, 1) Случаи радиальной фильтрации р«™а Р
Маскета [5].
410
НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 10
частных задач. Поэтому ниже, в §§ 113—115, 117, 118 и 120,
приводятся примеры применения этого метода при рассмотрении ряда
случаев одноразмерной неустановившейся фильтрации. В §§ 113—115
рассмотрены случаи фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости,
в §§ 117—118 — случаи фильтрации газа и, наконец, в § 120 —слу-
чаи фильтрации газированной жидкости.
Следует отметить, что первые исследования по методу последо-
вательной смены стационарных состояний принадлежат К. Э. Лембке [1J.
Им рассмотрены задачи об осушении водоносного слоя при наличии
горизонтальной дрены, уложенной на водоупоре, или совершенного
колодца с учетом равномерной инфильтрации на свободной поверх-
ности грунтовых вод.
§ 113. Неустаиовившаяся фильтрация грунтовых вод в полу-
бесконечном массиве. Рассмотрим одноразмерную неустановившую-
ся фильтрацию грунтовых вод в полубесконечном грунтовом мас-
сиве (фиг. 226), прилегающем к водосбору (дренажная траншея,
Фиг, 226.
канал, река, водохранилище). В начальный момент времени (/=0)
свободная поверхность грунтовых вод горизонтальна. Затем про-
исходит изменение уровня воды в водосборе, в результате чего
возникает ^установившийся фильтрационный поток в грунтовом
массиве.
Ниже мы рассмотрим в отдельнносги дна случая: случай 1°,
когда задан закон изменения уровня воды в водосборе во времени
(водомерный график), и случай 2°, когда задан закон изменения
фильтрационного расхода, поступающего из массива в водосбор, или
наоборот, во времени (гидрограф).
1. Пусть (f) — известная глубина воды в водосбора. Тогда
в силу основного допущения метода последовательной смены стацио-
нарных состояний в любой момент времени будет справедливо урав-
нение Дюпюи	J
(10.86)
вотивном7лучй*ЛВД ВОда водосбоР^ S грунтовый ««СИ» *
§ 113] ФИЛЬТРАЦИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ МАССИВЕ 411
Из уравнения (10.86) при х = 1 найдем*.
(10.87)
где I—длина зоны изменения начального горизонта грунтовых вод
за промежуток времени t (радиус действия водосбора).
Объем пор грунта, освободившихся от грунтовой воды или запол-
ненных ею за промежуток времени tt
i	i__________
И= т! Hdx — H0L) = т'(^ JZ 17? — х	“
6	о
km' (Иц—Hi)* (Но+2Нг)
------------ ,
т. е,
у (Но—Н^ (На+2Н})(10.88)
W
Указанный объем будет равен
t
V=^q(fidt.
О
Следовательно,
t
^(Яо —Н1)2(Я0 + 2Н1)= J q(f)dt.	(10.89)
°*	4
Дифференцируя выражение (10.89), получим:
Wd ^Н0-Н^(Н0+2Н^dt.
Умножая обе части последнего выражения на величину, стоящую под
знаком левого дифференциала, и интегрируя, имеем:
/(//„-^(^+2^)^+^
’	; о
где С—некоторая вещественная постоянная. Подставляя в последнем
выражении вместо q равную ей величину из уравнения (10.87), по-
лучим:
^№-и,ня.+№^у_м Гй7,-Я,).(Я.+2Н,)Д+С.
>) . >О пря (MW я»? гя»» МИ»ТС» •
412
НВУСТЛИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 10
Из очевидного условия /|/ж0««0 найдем С = 0. Тогда
где
(10.90)
____Н1+«о _
(//1— 770) (Яо+2//,)
(% — //,)*(% +2^)Л

— известная функция времени.
Формула (10.90) выражает закон изменения радиуса действия
водосбора I во времени.
Определив величину I, по формуле (10.87) найдем фильтрацион-
ный расход q и по уравнению (10.86)— кривую депрессии в любой
момент времени.
Заметим, что в рассмотренном В. С. Козловым [8] случае постоян-
ной глубины Нг воды в водосборе

УЗ(НО+Н1)
const.
В случае, рассмотренном К. Э. Лембке [11, Я, = 0 и, следовательно,
F = /3.
Полагая в приведенных выше результатах Я0 = 0 и Я, = const,
найдем приближенное решение задачи 3 § 102, в силу которого
I =	1,231/“^.	(10.91)
Сопоаавляя выражения (10.28) и (10.91), видим, что формула (10.91)
имеет относительную ошибку:
1.62— 1,23 л л
—— 0,24, или 24%.
поСтупаюшегп^Г ЛаДа< закон изменения фильтрационного расхода,
времени то 6vnATB°f°C60pa В грУнговый массив, илн, наоборот, во
г.™, и L п У адана функция q(f), Но тогда в силу (10.89)
где

(10.92)
»«>л
”о o’
—заданная функция времени,
$ 1141 ФИЛЬТРАЦИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД В ПРЯМОУГОЛЬНОМ МАССИВЕ
413
На фиг. 227 приведен график функции F по аргументу ~^*). Ис-
нольэуя этот график, можно найти глубину воды в водосборе, а далее
и все остальные характеристи-
ки фильтрационного потока.
Отметим, что в случае
q = const, рассмотренном
И. А. Чарным [31],
km'Hl
И, наконец, при Wo = 0
(10.93)

§ 114. Неустаиовившаяся ФилЬТра^И" ^„становившуюся филь-
угольном массиве. Рассмотрим одномерную У массиве межДу
трацию грунтовых вод в прямоугольном РУ	процессу не-
двумя водосборами (фиг. 228). Предполож ,
установившейся фильтрации предшествует фильтрация установившаяся.
С момента времени I = 0 происходят изменения глубины воды в водо-
сборах, в результате чего возникает неустановившийся фильтраци-
онный поток в прямоугольном грунтовом массиве.
Подобно § ИЗ будем различать два случая: случай 1 , когда
в одном из водосборов (например, левом) поддерживается постоянный
уровень воды, и случав 2°, когда расход фильтрационного потока
все время постоянен.
*) Указанный график заимствован из монографии И. А. Чар Р 1
414
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЙ
(гЛ. 16
Указанные выше случаи в наиболее общем виде были рассмотрены
И. А. Чарным 131].
1°. Пусть Z/j — постоянная глубина воды в левом водосборе и
Я8(0— неизвестная переменная глубина воды в правом водосборе.
Тогда в силу основного допущения метода последовательной смены
стационарных состояний в любой момент времени будет справедливо
уравнение Дюпюи
Я? — № =	(10.94)
К
Из уравнения (10.94) при x = L найдем:
Hl —	(10.95)
К
Объем пор грунта, насыщенных водою,
ь	ь 
и	о	Л	*
г. е.
(10,96)
3s
Бесконечно малое изменение этого объема dV за бесконечно
малый промежуток времени dt будет равно qdi. Следовательно,
km' ,Н* — Н*
-d —------’
3 ( q
^ = qdt.
(10.97)
Заменяя величину q ее выражением по (10.95), при Я^О имеем:
где
У(2 + п)	,
(1 - -Ч) (1+ П)8	’
Я,
Интегрируя последнее выражение, получим:
(10.98)
(10.99)
где
с/„ч__L 1п 1 +'n I _ч+1?—
F(11) — 2 jl —	3 (я + I)3
причем ц0 =	— отношение глубин воды в водосборах в началь
ный момент времени / = 0.
§114] ФИЛЬТРАЦИЯ
ГРУНТОВЫХ ВОД в прямоугольном МАССиве
415
Уравнение (10.99) определяет неизвестную глубину в правом
водосборе в любой момент времени.
Когда величина ff2 будет определена, то по формуле (10.95)
можно будет найти фильтрационный расход q и по уравнению (10.94)—
кривую депрессии в любой момент времени.
Заметим здесь, что в случае Нг = 0, рассмотренном К. Э. Лембке [1 ],
____ьД,	(10.100)
Нг Нг<Р)^4т'1Г	4
2°. В случае постоянного фильтрационного расхода q, интегрируя
выражение (10.97), получим:
(10.101)
где
С«Я?(0)-Н?(0),
причем Н2(0) и //j(0)—глубины воды в водосборах в начальный
момент времени, связанные между собою уравнением Дюпюи.*
Решая совместно уравнения (10.95) и (10.101), найдем неизвестные
глубины воды в водосборах Ну и Т/2, а Далес по уравнению (10.94)
и кривую депрессии в любой момент времени.
Выше мы предположили, чго процессу неустановившейся филь-
трации будет предшествовать процесс установившейся фильтрации.
Вели же в начальный момент времени свободная поверхность грун-
товых вод будет горизонтальной, то сначала будет иметь место первая
фаза неустановившейся фильтрации, длящаяся до того момента, пока
нарушение начальных глубин фильтрационного потока не достигнет
правого водосбора. Для первой фазы неусгановившейся фильтрации
будут справедливы результаты § ИЗ при причем период
Длительности первой фазы будет определяться формулами (10.90)
(в случае 1°) и (10.87), (10.92) (в случае 2°) при l^=L. После окон-
чания первой фазы неусгановившейся фильтрации начнется вторая фаза,
Рассмотренная в настоящем параграфе1).
Заметим в заключение, что, используя Отмеченную в § 108 ана-
логию между одноразмерной неустановившейся фильтрацией грунтовых
В°Д и одноразмерной неустановившейся фильтрацией газа (при изо-
термическом законе изменения его состояния), из приведенных в пре-
дыдущем и настоящем параграфах решений можно получить соответ-
ствующие решения для случаев фильтрации газа в полубесконечном
и полосообразных пластах. Для этого стоит только заменить величину л
на р, д —На -Я и k — на
Р	г
„ ’) Термины «первая и вторая фаза иеустановишпейся фильтрация
надлежат К. Э. Лембке [1].
416
НЙУСТАНоВившАябя ФИЛЬТРАЦИЙ
[гл. 10
§ 115. Неустаиовившаяся фильтрация грунтовых вод в пря-
моугольном массиве, ограниченном вертикальной плоскостью
водораздела. В § 114 был рассмотрен случай неустановившейся
фильтрации грунтовых вод в прямоугольном грунтовом массиве, огра-
ниченном двумя водосборами. Рассмотрим теперь случай, когда
прямоугольный грунтовый массив с одной стороны ограничен водосбо-
ром С-Постоянной глубиной воды Я2, а с другой стороны — верти-
кальной плоскостью водораз-
дела (фиг. 229).
В этом случае процесс уста-
новившейся фильтрации опре-
деляется не формулой Дюпюи,
а формулой Г. Н. Каменского
(§ 26 главы 3), которая может
быть представлена в виде
H*—ffs1=sJLx\ (10.102)
kL
Здесь q(i) — фильтрационный расход, поступающий из грунтового
массива в водосбор.
Из уравнения (10.102) при x = L получим, что
=	(10.103)
Объем пор грунта, насыщенных водою, равен
Ь	Z ____________
V = mr J Н dx = т' [ j/~ Н* x^dx «
о	о
Я? arccos Q \
nt j
я,/я’-я*/
=ж у т'ЬН2
т. е.
V<=^m'L Я2 +
Я? arccos
/я’-я* /’
(10.104)
малЙ^рХжуг^ЙемХ^б® ЭТ°Г° 4V 9а б9С“0йвч>'0
У рамени dt будет равно qdt. Следовательно,
1 /г 7 //iarcco»5i\
2 Гй«р«1/=’?л' (10ЛВД
Заменяя я (10.105)феепияияу q ее выражением по (10.103) в мп*'
§ 115) ФИЛЬТРАЦИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД В ПРЯМОУГОЛЬНОМ МАССИВЕ
417
грируя, найдем:
где
да!* 2
/(*)==
1
— In
3
M'i
н\—н\
Ц,
Н,
s [s VT^ + (3 —4s2) arccos si
6(1—s2)^
(10.106)
и С—некоторая вещественная постоянная.
На фиг. 230 приведен график функции / по аргументу s )
Обозначим через Н10 глубину грунтового потока на вWa3^
в начальный момент времени (—0. В силу (10.106) буде
Тогда
kH2 [ 3	я20 (Н« - я2)	к Ht J 7 W.
(10.107)
Выражение (10.107) определяет глубину Н1 грунтового потока на
водоразделе в любой момент времени.
формуле (10.103) определим филь-
Определив величину Пр по
1 рационный расход q и по урав-
нению (10.102) построим кри-
вую депрессии в любой момент
времени.
В случае Н2 = 0 [8{ уравне-
ние (10.107) примет вид9)
Н,=--------(10.108)
, , 4 kn\r,t
• и да!*
Фиг. 230.
(10.108) будет определяться за-
Фильтрационный же расход,
поступающий из грунтового мас-
сива в водосбор, в силу (10.103) и
ВИСИМОСГЬЮ
kH\ k

(10.1.09)
Ч При л, близком к пулю,
2) Можно считать 1»27-

НЕУСТАНОВИВШАЯСя ФЙЛЬТРАЦЙЯ
[гл. id
Сопоставим выражение для фильтрационного расхода (10.109)
с соответствующим выражением, получающимся из решения Бус-
синеска, приведенного нами в § 100. В силу результатов, получен-
ных в § 100:
В обозначениях настоящего параграфа последний результат примет
вид
(юлю)
L Ч +	/
где а 0,862 н р «1,12. Сопоставляя выражения (10.109) и (10.110),
можно отметить их близкое совпадение. Эго лишний раз подтвер-
ждает практическую приемлемость
метода последовательной смени
стационарных состояний.
Выше предполагалось, что Hj>H2. Рассуждениями, аналогичными
предыдущим, получим, что при < Н2 (фиг. 231)
Ч« ^2 ^10 |
где
л® , 2, s ,	4 — 34®	. 1
f (s) ’—’ — ——“—— -4—-in — 4- —--~~b7~ arch —“
'	6(1 —s®)“3	2^6(1—s»)z’ s
— функция, график которой приводится на фиг. 232.
§ 116. Средневзвешенное давление газа при радиальной филь-
трации в круговом пласте. Рассмотрим радиальную установившуюся
фильтрацию газа в круговом пласте *). В силу (3.185) весовой Р^с-
’) При изотермическом состояний газа.
§ 116]
иЕЕДНЕВЗВЕШЕННОЕ ДАВЛЕНИЕ ГАЗА

ход газа, извлекаемого из пласта,
G==	(10.111)
лс
Здесь индексом «с» отмечены величины на контуре скважины.
Вместо весового расхода газа G будем в дальнейшем рассматри-
вать объемный расход газа, приведенного к атмосферному да-
влению р&. Кроме того, давление р будем всегда выражать в до-
лях атмосферного давления. Тогда, имея в виду уравнение изотермы
₽ = v = уравнение (10.111) приведем к виду
Т Та
_2 п2
=	(Ю.112)
1п-
ГО
где
a --- ---.
Подставляя в формулу (10.112) вместо г и р их значения и рп1)
на границе пласта, получим:
(ю.пз)
tn —
rc
Объем газа, содержащегося в порах пласта8),
Вводя следующие безразмерные величины
г , rx f __Ро
г' ~~ ’ г« г0 И Рк ’
'о	°
выражение для объема газа приведем к виду
f* , 1 /~ ,» ! 1 "“?<•_in / dr'. (10.114)
V» = г' у Ро + lnr'
1 r
Овчину,. мы будем в дальнейшего»’” контурным даменжем.
*) Приведенного к атмосферному данл
420
НВУСТАНОВИВШАЯСЯ ФЙЛЬтЙАЦЙЙ
[гл. 10
Следуя Б. Б. Лапуку [20], введем в рассмотрение так называемое
средневзвешенное пластовое давление р, равное отношению объема
Vt, газа, содержащегося в порах пласта, к объему пор 2, т. е.
(1ол15>
Так как объем пор пласта
fi = 1tOT7’^(r'2—1),	(10.116)
то в силу (10.114), (10.116)
(Ю.1П)
где
2	?	/-------—
На фиг. 233 приведен график функции / по аргументам r'R и р^1)-
Как вытекает из рассмотрения этого графика, для всех случаев
практики, когда величина и 0,5 < р'а < 1,	!• Последнее
обстоятельство дало возможность Б. Б. Лапуку [20] принять,допу
щение о равенстве средневзвешенного пластового давления р к0Н
турному давлению ря. Эго допущение было принято Б. Б. Лап^к°
не только для радиальной установившейся фильтрации газа, но и Д
радиальной неустановившейся фильтрации газа.
1) Указанный график заимстаом» из
§ 116]
СРЕДНЕВЗВЕШЕННОЕ ДАВЛЕНИЕ ГАЗА
421
В силу указанного выше допущения объем Ул газа, содержаще-
гося в порах пласга, будет приближенно равен произведению кон-
турного давления ря на объем пор пласга 2, т. е.
Va^2pK.	(10.118)
Интеграл, входящий в выражение функции /, может быть выра-
жен в довольно
занный интеграл
удобной приближенной форме. Действительно, ука-
может быть представлен так:
X
Замечая, что (1—р'2) ^1
In rK )
< 1, подингегральную функцию
In rK /
последнего интеграла разложим в биномиальный ряд
- j^) =1 -i (• (' ~,^) + -
Следуя И. А. Парному [37], удержим в этом ряде только два пер-
вых члена1); тогда получим:
'к
7ТГ И1 ~
лк 1 1
In г7
1п Гк,
1___________i_
21пг'	г'кЯ-1
т. е.
2	\21пгк rK — 1/
Используя уже упоминавшуюся аналогию одноразмерной безна-
порной неустановившейся фильтрации грунтовых вод и одноразмер-
ной неустановившейся фильтрации газа8), получим, что объем грун-
товой воды, содержащейся в порах грунта, при радиальной безнапорной
фильтрации
У = Г (Я2 —г’) Я,	(10.119)
где Н—глубина фильтрационного потока на расстоянии R от оси
скважины и г0 — радиус скважины.
’) И. А. Парным [37] произведена оценка получающейся при таком пред-
РОложении ошибки.
При изотермическом сдстояиии газа.
422
НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[ГЛ. 10
Следует иметь в виду, что постулат Б. Б. Лапука в применении
к случаю безнапорной фильтрации грунтовых вод к совершенному
колодцу является в меньшей степени обоснованным. В самом деле,
указанный постулат получен в предположении, что кривая депрессии
определяется формулой Дюпюи, что, как известно, будет справед-
ливым только на некотором расстоянии от оси колодца. Вблизи же
колодца в силу весьма значительного промежутка высачивания урав-
нение кривой депрессии не может быть выражено формулой Дюпюи.
Конечно, такой же дефект имеет и уравнение Буссинеска, не учи-
тывающее промежутка высачивания.
§ 117. Радиальная неустаиовившаяся фильтрация газа в без-
граничном пласте. Рассмотрим радиальную неустановившуюся филь-
трацию газа в безграничном пласте (фиг. 234). В начальный момент
времени / = 0 давление в пласте
постоянно. Затем происходит из-
менение давления в скважине (за-
бойное давление), в результате
чего возникает радиальная неуста-
новившаяся фильтрация газа.
В дальнейшем будем различать
два случая: случай 1°, когда
забойное давление газа постоянно,
и случай 2°, когда расход газа
постоянен.
Заметим здесь, что оба указан-
ных выше случая были рассмо-
трены методом последовательной
смены стационарных состояний
Скважина
1°. Пусть п	В* Евдокимовой [40].
постоянное забХое дХение П1СТ?ВД°че ™aCTOBOe давление и рв-
метода последовательной смены °? Ро)’ В С”ЛУ основного ДОПУ1»6»™
момент времени будет п стационарных состояний в любой
удет справедливо уравнение *)
/а /3
Q =лр*РJ?*
"«а Но п Г>
Из уравнения (10.120) при Нет' найдем:
(10.120)
(10.121)
где г'— отношение переменного во времени радиуса Гц границы облаСТЙ
питания к радиусу скважины,

§ 117] РАДИАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА В БЕЗГРАНИЧНОМ ПЛАСТЕ 423
Используя результаты предыдущего параграфа, найдем, что объем
газа, извлеченного из пласта за промежуток времени I,
Va = тст7г’р0(г'2—-1)(1 —/).
С другой стороны, указанный объем равен
/ <?аЛ<
О
Следовательно,
t
ктТг2вр0(г^ — 1) (1 —/) = / Q^dt-	(Ю.122)
о
Дифференцируя выражение (10.122) и заменяя величину Q& ее
выражением по (10.120), получим:
—*>(1—Z)]	аА) dt = САЛ) л
1—	pg	ктТг2
г Интегрируя последний результат и используя очевидное условие
г«ко = 1’ найДем:
t= W* f	,	(10.123)
<АА) 1	1 ~Ро
Заменяя в выражении (10.123) величину f найденным в предыду-
Щгм параграфе ее приближенным выражением и интегрируя, получим.
2
Z = ^_k + ln2_l+48 + ln('n^)-Wln^-	О0-123')
^CPqP9.
где с — постоянная Эйлера 8) и Ё1 — интегральная экспоненциальная
Функция 8).
Уравнение (10.123') определяет радиус границы области рита-
ния г* во времени. Определив величину г' по формуле (10.1/ ),
иайдем дебит скважины и по уравнению (10.120) давление > пласте
в любой момент времени.
’) начальное пластовое давление, так как р0 выражено в долях
атмосферного давления.
_ 8) тЙнца~экТ функции приводится, напоимер, в книге Янке Е, И
Эмде Ф,( Таблицы функций, Гестехцздат, 1848,
424
[гл. 10
(10.124)
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
2°. Ерли дебит скважины Q*. все время постоянен, то в силу
уравнения (10.122)
<?а	( ’
Подставляя в (10.124) вместо дебита скважины (<ув) его выраже-
ние (10.120) и вместо величины f указанное выше ее приближенное
выражение, найдем:
(10.Ж
—21пгк—I).
Уравнение (10.124') определяет неизвестный радиус гк гра-
ницы. области питания во времени. Определив величину г' по фор-
муле (10.121), найдем забойное давление р0 и по уравнению (10.120)
давление в пласте в любой момент времени.
§ 118. Радиальная неустановившаяся фильтрация газа в кру-
говом пласте. Рассмотрим радиальную неустановившуюся фильтра-
, Сизажима
цию газа в круговом пласте (фиг. 235).
Предположим, что процессу неустановившей-
ся фильтрации газа предшествует устано-
вившийся процесс до момента времени / »0.
Будем рассматривать в отдельности сле-
дующие три частных случая: случай 1° —
постоянного забойного давления р0, слу-
чай 2°—заданного дебита 4^а(() газа, отби-
раемого из пласта, и, наконец, случай 3е —
линейного соотношения между расходом газа
и забойным давлением фа = Др0. Последний
случай соответствует постоянной скорости
отбора газа из пласта.
Ниже, при рассмотрении всех этих слу-
чаев, -мы будем придерживаться методики,
разработанной Б. Б. Лапу ком [21], основан-
равенстве средневввешенного пластового дав-
ли
Фиг. 235.
о
ной на, допущении	____
ления р контурному давлению рк.
1 . Согласно формуле (10.118) объем газа, содержащегося в
порах грунта в любой момент времени, будет равен произведению
постоянного объема пор пласта (S = птТ(г2 — г2)) и контурного
давления ра. Но тогда бесконечно малое изменение этого объема
за бесконечно малый промежуток времени г// будет определяться
Зависимостью	3
(10.126?
§ 118] РАДИАЛЬНАЯ НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА
425
Подставляя в уравнение (10.125) вместо Qn равную ей величину
по (10.113) и интегрируя, получим:
^ = pocth(c+~- /),	(Ю.126)
4 21ni
r0
где С — некоторая вещественная постоянная, определяющаяся зада-
нием контурного давления в начальный момент времени ( = 0.
Выражение (10.126) определяет контурное давление р* в любой
момент времени. Определив величину рх по формуле (10.113), най-
дем дебит пласта Qa и по уравнению (10.112) давление в пласге
в любой момент времени.
2°. В случае заданного во времени дебита пласта Qx(t), инте-
грируя уравнение (10.125), найдем:
p,=-4-f	<10,127)
И далее по формулам (10.112) и (10.113) определим все
параметры фильтрации в любой момент времени.
3°. В случае Q=bp0 по формуле (10.113) найдем:
Подставляя в уравнение (10.125) вместо Дебита пласта Qx его вырэ
жение (10.128) и интегрируя, получим:
(=_°О+с,
где
г.
Ь In —-
* °
0 — 2а
И
f(s) = In (S 4- У1 + А2) — у(/1 -на+ О-
Определив по уравнению (10.129) контурное давление рх, по
Формулам (10.112) и (10.113) найдем прочие параметры фильтрации
в любой момент времени.
Выше предполагалось, что процессу неусгановившейся фильтра-
ми газа предшествует установившийся процесс. Если же в началь-
«ый момент времени давление в пласте постоянно, то сначала будет
иметь место Первая фаза неустановившейся фильтрации, до
момента пока нарушение рачального постоянного давления К?
426
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[ГЛ. 10
распространится до границы пласта. Для первой фазы неустановив-
шейся фильтрации газа будут справедливы результаты предыдущего
параграфа. После окончания первой фазы начнется вторая фаза
неустановившейся фильтрации, рассмотренная выше.
§ 119. Средневзв°шенные давление и насыщенность при
радиальной фильтрации газированной жидкости в круговом
пласте. Рассмотрим радиальную установившуюся фильтрацию гази-
рованной жидкости в круговом пласте. В силу (3.148) расход жидкой
фазы
Qx.------------------
Нж In —
(10.130)
Здесь все обозначения, как и в § 31, только величины, относящиеся
к контуру скважины, обозначены не индексом «О», а индексом «с».
Подставляя в зависимость (10.130) вместо Н и г их значения Я«
и г» на границе пласта, получим:
У .	(Ю..31)
. г ъ
* Ж f
С
Исключая из уравнений (10.130) и (10.131) расход жидкой
фазы Qx, найдем:
Я = ЯвГ[1-(1-Яо)Л_2£411.	(10Л32)
L	к !п г / J
где
Найдем средневзвешенное значение величины И в пределах пласта»
равное
гв
Г rHdr.
»	0 ГО
Подставляя в последнем результате вместо величины Н ее выраже
ние (10.132) и интегрируя, найдем:
Й = Яв[1—(1 — //0)Д	(10.133)
где
1 1
21пг'	г'2—1
— функция, график которой приведен на фиг. 236 ’).
1) График заимствован иэ монографии [38].
427
§ 120] РАДИАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
Как вытекает из рассмотрения указанного графика, для боль-
шинства случаев практики, где	/ = 0. Далее, в силу гра-
фика фиг. 18 имеем	Так как обычно 0,6<р'<0,9, то
0,1 < 1 — /^<0,4. Но тогда в формуле (10.133) выражение в ква-
дратных скобках может быть приближенно принято равным единице.
Следовательно,	т. е. средневзвешенное значение функции
давления Н в круговом пласте
может быть принято равным ее
значению Ня на границе пласта
(контурное значение). Отсюда,
имея в виду почти линейную за-
висимость Н от р, получим, что
И средневзвешенное давление
в круговом пласте р может
быть принято равным контурному
давлению р„.
К. А. Царевичем (24] на основе
анализа расчетов и экспериментов
по фильтрации газированной нефти
было высказано допущение о ра-
венстве средневзвешенной насы-
щенности жидкой фазой порового
пространства
насыщенности
пласта. При . допущении
объем жидкой фазы, содержащей-
ся в круговом пласте, при ра-
диальной установившейся фильтрации газированной жидкости будет
определяться зависимое 1Ью
ЙАв,
[ AdQ*) (10.134)
Ая на границе
таком допущении
(VS
0,15
Q14
Q13
032
Qlt
Q1D
QOS
QO6-
Q07
Q06
Q05.
.........................9
ю зо юо /зозазтзхпзЬооихюзг,!
Фиг. 236.
где
(10.135)
2 = птТ (г*— rfl)-
§ 120. Радиальная неустановившаяся фильтрация^г^ неуста-
иой жидкости в круговом пласте. Рас Р “ Рв кругОвом пласте,
повившуюся фильтрацию газированной ж	Фильтрации пред-
ПредположимТ что процессу ^УС1МОВИВШ,^еХ Г«0.
шествует установившийся процесс до момен	последовательной
В соответствии с основным допущением	времени б/ДЧГ
смены стационарных состояний в любой момен* г
-
*) 2 — об^ем П9р IWW4,
428	НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 10
справедливо уравнение (10.131) (для установившегося процесса филь-
трации), которое удобнее представить так:
Qx = В (Н-к —Нс),	(10.136)
где
о	2г. Т;	,
Д —--------- — const .
гк
1 о
Принимая допущение К. А. Царевича, в силу (10.135) бесконечно
малое изменение объема жидкой фазы dVx, содержащейся в пласте,
за бесконечно малый промежуток времени dt будет определяться
зависимостью
dVx=QdAK= — Qxdt.	(10.137)
Найдем связь между контурным давлением рк Ц и контурной
насыщенностью Ак в любой момент времени. Для этого составим
уравнение баланса объемов газа (приведенного к атмосферному дав-
лению) за промежуток времени dt.
Объем свободного (оклюдированного) газа, содержащегося в пласте,
будет равен
Q (1 — <4К) рв.
Объем растворенного газа в пласте будет равен
2Авхрв,
где х — коэффициент растворения газа жидкостью* 2). Общий объем
газа, содержащегося в пласте, в любой момент времени будет:
Уг = 2рв[1 — (1 — х) Ав[.	(10.138)
Бесконечно малое изменение этого объема dVr за бесконечно малый
промежуток времени dt будет определяться зависимостью
dVr = 2rf{pK[l — (1 — х)Ав]} —Qvdt, (Ю.139)
где QT — расход газа, отбираемого из пласта. Уравнение (10.139) и
выражает условия баланса объемов газа за промежуток времени at.
Выполняя дифференцирование в левой части уравнения (10.139)
и используя уравнение (10.137), получим:
Г = (х-1)рв + [1-(1_х)Ав]^,	(10Л40)
где
р_2г.	(10.141)
“ Qx
— газовый фактор.
Напомним, что давление мы считаем выраженным в атмосферах.
2)* = _г~ ’ где s—“постоянная в законе Генри (см, § 17),
429
(10.142)
(10.143)
например
§ 120) РАДИАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
Далее, используя выражение (2.128) для газового фактора
Г = ^|0(4.)4-«1,
уравнение (10.140) приведем к виду
ф>в __ ^ж(а+О(А)1 + нг(1~“*)
pt РтП4*(* О ''У
Интегрируя последнее уравнение, найдем:
Ав
г 1*+^ (*«)! -Ыц-О-*) j
J jiyll+Tx—1) АВ1
p.==(p«MWo
где (рв)0— контурное давление при насыщенности 0«)о>
в начальный момент времени /*=0.	ез
Формула (10.143) дает выражение контурного давления рв Р
контурную насыщенность А* в любой момент вРе“®^- слелующие
В дальнейшем будем рассматривать в от^Х™давХмТ,
Три частных случая: случай 1° — постоянного заб	каемой Ре3
случай 2° — заданного расхода жидкости <?ж()> жидкости
пласта, и, наконец, случай 3*-—постоянной скорости р
и газа из плас га.	,,	Жапмулой
1°. В случае рс = const величина Яо, определяемая формой
(2.123), тоже будет постоянной. Тогда, подсгавл_	(10.136)
(10.137) вместо расхода жидкой фазы Qx его Р
и интегрируя, получим:
(10.144)
q
J
n	Xvwat /ЪумкпиеЙ только ОДНОЙ
Так как подинтегральное выражение буде фу « зависимосгь
переменной Ав, то, вычисляя указанный шпеграл, наид
контурной насыщенности (Л«)	ло i ап —(10.143), найдем
Определив А* по формулам (10-1др) и ( •	? По уравнению
последовательно величины ры 1	найдем все пара-
(10.130) определим давление в пласте р, т. е. на д
“етры фильтрации в любой момент врем •	извлеченной «з
2°. В случае заданного расхода жидкости w л
пласта, в силу уравнения (10.137)	*
о
Л	/т контурную насыщенность в жнси-
Определив по формуле (10.145) «он ур /
(10.145)
430
ЙЁУдгАНОВЙВШДябЯ ФЙлЬтМЦЙЙ
(М. 10
мости от времени, подобно случаю 1° найдем все прочие параметры
фильтрации в любой момент времени.
3°. При постоянной скорости отбора жидкости и газа из пласта
величина
2.^=0.+-^
будет постоянной.
Подставляя в последнем выражении вместо Q? равную ей вели-
чину Г<?ж, граничное условие на контуре скважины выразим в виде
2''Т'Л	(10.146)
1-*+к
Используя уравнения (10.136), (10.143) и (10.146), выразим
величины рв, ра и через А*. Далее по уравнению
/=—Q I
(Atb
(10.147)
найдем АК) а затем и все прочие параметры фильтрации в любой
момент времени.
Выше мы использовали допущение К. А. Царевича о равенстве
средневзвешенной насыщенности А в пласте контурной насыщен-
ности Ак. В работе В. А. Архангельского [10] разработана мето-
дика расчета радиальной неустановившейся фильтрации газированной
жидкости без использования указанного выше допущения. В этой
работе при интегрировании уравнения баланса объемов жидкой и газо-
образной фаз использован способ Эйлера приближенного интегриро-
вания обыкновенных дифференциальных уравнений.
Мы предположили, что неустановившемуся процессу фильтрации
газированной жидкости предшествует установившийся процесс. Если
же в начальный момент времени давление и насыщенность в пласте
постоянны, то при изменении забойного давления будет иметь место
первая фаза неустановившейся фильтрации. Первая фаза неустановив-
шейся фильтрации будет иметь место до того момента времени, пока
нарушение начального давления не распространится до границы пласта.
Мы не рассматриваем первой фазы в силу ее сложности в расчетном
отношении1). По окончании первой фазы начнется вторая фаза, для
котор ой бу дут справедливы все приведенные выше результаты.
S 121. Безнапорная неустановившаяся фильтрация грунтовых
вод в слое грунта неограниченной мощности. В § 15 главы 2
ура:тения БУССЯй®ска предполагалось, что однородао-
пр ницаемый слой грунта, в котором происходит неустановившаяся
’) См. рф
§ 1211	БЕЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД	Ш
фильтрация грунтовой воды, имеет ограниченную мощность и под-
стилается водоупором. При таком предположении практически воз-
можно осреднение горизонтальных составляющих скорости фильтрации
по вертикали. Если слой водопроницаемого грунта имеет неограни-
ченную мощность, то такое осреднение приводит к неверному резуль-
тату. В последнем случае приближенный расчет неустановившейся
фильтрации может быть основан на иных физических предпосылках.
Ниже рассматривается этот случай в предположении плоской филь-
трации в вербальной плоскости хОу.
Предположим, что в начальный момент времени область филь-
трации представляет собою некоторую полубесконечную область, изо-
браженную на фиг. 237, причем кривая депрессии в wooft момеи
времени мало уклоняется от горизонтальной прямой у = 0.
Фиг. 237.
Пренебрегая инерционными членами в основных^уравнен	Ф
гр.»™, Л предлагая ..КОН Даре» а^я’'"“Хи „ай“и, «то
установившейся, но и для неустановившейс Ф '	и „ будут
горизонтальные составляющие скорости филь Р * » функцией
«т» потенциал у, 0, который
координат (х, у) точек области фильтрами. ПокорИР Г 0
§ 39 главы 4, введем в рассмотрение с°”р й^кцию 0=
гармоническую функцию ф(х,у, 0 и аналити е У_	фильтрации.
у, 0 + № У, 0-комплексный потенциал Ф^Р^
с“™ ,Х’Д° дХХ	“°“еВГ
Найден условия на кривой депрессии придаалеюк р
грации. На кривой депрессии в любой: « р капиллярного
№г равно разности атмосферного «a«™ Р.	_ любай
Давления рж, т. е. р — рл-~ Ре Но тогЯ
момент времени потенциал скорости фильтрации
(1U.KOJ
<?== —^У1)-
— —
п т	. /Р, Рл^Р,»
!) Так как у =*—“Z/*
432
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 1в
Зависимость (10.148) выражает первое условие для потенциала
скорости фильтрации на кривой депрессии при неустановившейся
фильтрации.
Дифференцируя выражение (10.148) по времени, получим:
d'l —	। dx i d? аУ _	ь dy	HO	149)
dt —	dt'	dx dt + dy dt ~	R dt ’	1 J
Производные ~ и будут проекциями на оси координат дей-
ствительной скорости перемещения частиц жидкости, связанными с про-
екциями скорости фильтрации зависимостями
— = ^2== — ^ du—VyLdf	ПО 150)
dt т' т' dx ’ dt т' ' т' ду'
Подставляя в (10.149) вместо производных ~ и их выражения
(10.160), получим:
ll+44+да+ШИ (10',61)
Зависимость (10.151) выражает второе условие для потенциала
скорости фильтрации на кривой депрессии при неустановившейся
фильтрации.
Пренебрегая квадратичными членами в выражении (10.151), второе
условие на кривой депрессии можно выразить в следующей линеари-
зованной форме:
d?+4df	(10Лб2)
dt 1 т' dy
Уклоняющ^^^о^п^^’ крив/ю Депрессии мы предполагаем мало
условия (10.148) и ЛоЛ%СС Имея эго в ВИДЬ пг₽«иес®м
)	( 0.152) с кривой депрессии на ось абсцисс1)*
Тогда получим:
и
ср|!/=о + *У=°
(10.153)
df । *<?•₽!	-. ч
+	(10.154)
времени, если пп'гД™?ПреДелЯет КРИВУЮ депрессии в любой момент
Пусть уравнение кпиПп?°РОСГЙ Ф^ьтрации <? будет определен.
t~0 будет:	Р °* Депрессии в начальный момевт времени
У —fix)-	(10.155)
*) Такое предположение, как известно, вводится в	Ц< А>
поверхности несжимаемой жидкости (см. Кочни ML £•> Ки0«ия\
и Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, ч. I, Гостехиздат,
БЕЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГРУНТОВЫХ вод
433
§ 1211	DCОПЛЦигылл vjcaowji i	-----
Тогда определение потенциала скорости фильтрации ср эквивалентно
решению следующей математической задачи. Требуется найти гармо-
ническую функцию в нижней полуплоскосiи (у<0), удовлетворяю-
щую на ее границе (у s= 0) начальному условию
?L=0==—VW ( —
11=0
и граничному условию (10.154).
Покажем, что решение этой задачи выражается следующим инте-
гралом:
(10.156)
(10.157)
k
со = —
‘ я
ds.
_ k_
т'
-М
т' )
Дифференцируя выражение (10.157) два раза по х и по у,
чю функция со, определяемая формулой (10.157), при у < У_
(воряет уравнению Лапласа, т. с. будет гармоническо фу
в нижней полуплоскости (у < 0). Аналогичным дифференциров
проверяется выполнимость условия (10.154). Далее, полагая в (
у — 0 и вводя новую переменную интегрирования т = arctg д, >
т'
получим:
тс
Полагая в последнем результате /=0, найдем.
11=0
Таким образом, начальное условие также бУ^е^^°^мТВп°0^^ 1ал ско-
вытекает, чю формула (10.157) определяет искомый потенциал
росги филы рации.	ег0 выражение по
Подставляя в уравнение J10.153) вм_	f Сии в любой
формуле (10.157), найдем уравнение кривом де н
момент времени:
„ = Г____________________ds,
пт' J /Л Н’д-Гх —5)»
(10.158)
Для иллюстрации изложенной выше методики расчета неусгано-
’ившейся фильтрации рассмотрим Случай деформации бугра грунтовых
434
^УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
(гл. 10
вод, который в начальный момент времени t~~0 имее1 прямоуголь-
ную форму (фиг. 238).
В указанном случае
/(*) =
в, если | х [ < R,
О, если | х | > R.
(10.159)
Подставляя в формулу (10.157) вместо функции f(x) ее выраже-
ние (10.159) и интегрируя, найдем:
<р — ~ farctg ----------arctg	•	(10.160)
У ~~ т'* У
Определив потенциал скороеiей филырации, найдем
по1енциал филырации
. Ае.
си = i — 1п----------
* + /?
т'
 k >
-t—.t
т'
комплексный
(10.161)
Комплексный П01енциал 1зкого вида соответствует двум точечным
вихрям противоположного направления, расположенным в точках с ко-
ординатами (тЬ/?, ~ri\ Эти точечные вихри перемешаются во вре-
Фиг. 238.
мени вертикально вверх со скоростью В начальный момент вре"
мени t = 0 вихри расположены на оси абсцисс в точках с коорди-
натами (±т?, 0).
В силу (10.153) и (10.160) уравнение кривой депрессии в любо
момент времени будет:
(!OJ62)
т'	т'
Полагая в выражении (10.162) x = ±R, найдем:
у| — * arctc	(10.163)
J' !»= ±jb — w arcl£ fa ‘	4
§ 121]	БЕЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГРУНТОВЫХ вод	435
Отсюда следует, чго через момент времени определяемый урав-
нением
, m't , 2m'/?	/1n
= arctg "К ’	(10.164)
указанные выше вихри выйдут из области фильтрации.
Из выражения (10.161) вытекает, что мгновенные эквипотенциальные
линии (а следовательно, и линии равных напоров) будут окружностями,
проходящими через точки расположения вихрей. Мгновенные же линии
тока будут ортогональными с ними окружностями (фиг. 239).
Изложенная выше методика приближенного расчета неустановившейся
фильтрации в слое однородного грунта неограниченной мощности была
Разработана Н. Н. Кочиной в работе [50] Ч- Такая же методика
в несколько видоизмененном в математическом отношении виде
содержится в работе Л. А. Галина [49]. Следует отметить, что обе
Указанные выше работы были опубликованы одновременно в од-
Юм журнале. В работе Л. А. Галина [49] изложенная выше мето-
дика распространена на случай однородно-проницаемого слоя
гРУнта ограниченной мощности, подстилаемого горизонтальным во-
доупором.
В заключение отметим, что расчету плоской безнапорной неуста-
новившейся фильтрации грунтовых вод в однородном грунте в точной
постановке, т. е. без линеаризации условия на свободной поверхности
и без предположения о малом уклонении кривой депрессии от горизон-
тальной прямой, посвящены работы П. Я. Кочиной и Н. К. Кали-
Юна 123], Н. К. Калинина [26] и Л. А. Галина [49]. В первой из
Указанных выше работ условие на кривой депрессии выражено в ком-
плексной форме, причем параметры фильтрации находятся в форме
Рядов по степеням переменной t *). Авторы работы, исследуя случа
Ч И» этой же работы взят приведенный выше пример.	||Ш
*) Обоснование возможности такого выражения параме р ф тр
Дано Ю. П, Виноградовым.
436	НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 10
неустановившейся фильтрации к точечной дрене в однородно-водо-
проницаемом слое грунта неограниченной мощности ограничиваются
расчетом только двух членов разложени i в силу слож :ости получаемых
результатов. Во второй работе тот же метод использован при рас-
смотрении случая неустановившейся фильтрации к точечной дрене
в слое однородно-водопроницаемого грунта ограниченной мощности,
подстилаемого горизонтальным водоупором1). В последней рабоге дан
иной приближенный метод расчета плоской неусгановившейся филь-
трации в однородном грунте, основанный на разыскании параметров
фильтрации методом последовательных приближений. Последний ме-
тод имеет ограниченное применение, так как в его основе содер-
жится предположение, чго область функции Жуковского2) будет
полуплоскостью.
§ 122. Перемещение границы раздела двух жидкостей. Пере-
мещение границы раздела двух жидкостей различной вязкости впервые
было рассмотрено Л. С. Лейбензоюм [3J в связи с исследованием
фильтрации нефти тли газа в условиях водонапорного режима течения.
При разработке нефтяных или газовых месторождений поступление
нефти или газа в скважины весьма часто происходит в результате
вытеснения их окружающей водой (водонапорный режим фильтрации).
Такое явл.ние одновременной фильтрации двух жидкостей различной
вязкости (вода — нефть или вода—газ) было названо Л. С. Лейбен-
зоном [3] — гидравлическим, режимом 3). При филы ращии i азирован-
пой нефти в условиях водонапорного режима течения поступление
нефти в скважины происходит не только в результате ее вытес-
нения окружающей водой, но и вследствие упругости оклюдиро-
ванного I аза. Последнее явление одновременной фильтрации воды
и газированной нефти в отличие от явления, уже отмеченного вы-
ше, было названо Л. С. Лейбензоном [3] газово-гидравлическим
режимом.
При гидравлическом режиме область фильтрации будет состояп>
из двух зон. В одной зоне будет происходить фильтрация воды,
в другой зоне — фильтрация нефти или газа. Граница, отделяющая одну
зону от другой, называемая границей нефтеносности или газоносно-
сти*), будет деформироваться во времени. Заметим здесь, что в силу
непрерывности давления и неразрывности течения в любой точке это
границы в любой момент времени давление и нормальная составляют33
скорости фильтрации будут одинаковыми для обеих жидкостей (вода
нефть или вода—газ). Деформация границы нефтеносности или газо
носности во времени будет сопровождаться деформацией линий ток
П В частности, в случае дрены на водоупоре.
2) См. главу 6.	аь1
8) При исследовании гидравлического режима различие в плотностях вод
и нефти или воды и газа обычно не учитывается, так как силой тяжес
пренебрегают и, следовательно, жидкости считаются невесомыми.
*) Иногда эту границу именуют границей водоносности.
| 1231	метод недеформируемых линий тока	437
(а следовательно, и трубок тока), которые, как известно (см. § 41),
имеют излом на этой границе.
Исследование гидравлического режима в точной гидромеханической
постановке составляет одну из наиболее сложных и в общем случае
еще не разрешенных проблем теории фильтрации. До настоящего
вр мени разработано два приближенных метода решения этой проблемы.
Первый из этих методов, именуемый в дальнейшем «методом неде-
формируемых линий тока», основан на допущении, что линии тока
при фильтрации двух жидкостей в некоторой области совпадают
С линиями тока при фильтрации одной жидкости в той же области
при неизменных граничных условиях. Указанное выше допущение
осуществляется точно в случаях одномерной прямолинейной или радиаль-
ной фильтрации. Второй приближенный метод расчета гидравлического
режима основан на допущении о постоянстве давления (по координатам
и времени) на границе нефтеносности и в скважинах. Последнее
допущение эквивалентно предположению о пренебрежимо малой вязко-
сти воды по сравнению с вязкостью нефти.
Задача о перемещении границы раздела двух жидкостей различной
плотности и вязкости представляет инт< рес не только в нефтепромысловой
технике, но и в гидротехнике. Впервые эта задача в гидротехническом
аспекте была рассмотрена П. Я. Кочиной [7] в связи с исследованием
плоской напорной неустановившейся фильтрации пресной и соленой
воды в основании бетонной плотины одного из проектируемых гидро-
узлов СССР. Ниже мы не рассматриваем последней задачи, отсылая
интересующихся к цитированной выше работе П. Я. Кочиной, а также
к последующим ее работам [27, 33, 34].
§ 123. Метод недеформируемых линий тока в случае системы
вода — нефть. Как указывалось выше, одним из приближенных методов
расчета гидравлического режима является так называемый «метод
недеформируемых линий тока», основанный на допущении, чго линии
тока при фильтрации двух жидкостей в некоторой области совпадают
с линиями тока при фильтрации одной жидкости в той же области
при неизменных граничных условиях. Указанный метод в случае
одновременной фильтрации волы и нефти в наиболее общем виде
был изложен И. А. Чарным [31], а в применении к случаям
одномерной прямолинейной или радиальной фильтрации ранее
использовался в работах В. Н. Щелкачева [13], Г. Б. Пыхачева [12]
и М. Маскега [5].
Из области фильтрации выделим элементарную трубку тока,
начинающуюся на границе питания и оканчивающуюся на гра-
нице дренирования3) (фиг. 240). Часть этой трубки будет запол-
нена водой, а оставшаяся часть — нефтью. Сечение трубки тока,
отделяющее воду от нефти, будет принадлежать границе нефте-
носности.
1) Например, да поверхности скважичы,
438
НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 10
В силу закона Дарси в пределах водоносной части трубки тока
Q= — —	(10.165)
у Ив ds	v
Здесь Q — переменный во времени расход трубки, р— переменное
во времени давление в сечении трубки *), находящемся на расстоянии s
(по оси трубки) от границы питания, <о — переменная по длине трубки
площадь ее сечения, с — пере-
менная по длине трубки прони-
цаемость грунта и рв — динамиче-
ский коэффициент вязкости воды.
Интегрируя уравнение (10.165),
найдем:
р„—Р
Q =	8—
С
J С(о
О
(10.166)
Фиг. 240
где ря — переменное во времени
«	давление на границе питания.
логично предыдущему найдем, что в нефтеносной части трубки
тока
(10.167)
=
f ds
В
где L полная длина трубки, р0 — переменное во времени давление
на контуре дренирования и рн — динамический коэффициент вязкости
нефти.
Обозначим через Q' и р' — соответственно расход рассматриваемой
трубки тока и давление в сечении трубки на расстоянии s от границы
питания, при установившейся фильтрации одной нефти, в предполо-
жении, чго на границах питания и дренирования давление соответственно
равно 1 и 0. Тогда в силу (10.166) и (10.167)
О' = - 1 ~Р' —_______PL
в
Г ds
о
(10.168)
г ds
в
Находя из уравнений (10.168) входящие в них интегралы и
ставляя полученные выражения в уравнения (10.166) и (10.167), Р
ведем эти уравнения к виду
q = Q'	=
Р-В 1— р' 4	/
(10.169)
*) Постоянное в пределах всего сеченця 9 силу малости этого сечения,
§ 123]	МЕТОД НЕДЕФОРМИРУЕИЫХ ЛИНИЙ ТОКА
439
Применяя уравнения (10.169) на границе нефтеносности, получим:
0 = 0'	= Q'^L.	(10.170)
Нв 1— р'о	Ро
Здесь р0—переменное во времени давление на перемещающейся
границе нефтеносности, находящейся на расстоянии I (по оси трубки
тока) от границы питания1), и р' — давление в сечении трубки, на-
ходящемся на расстоянии I о г границы питания, при установившейся
фильтрации одной нефти (являющееся функцией величины Z).
Решая совместно уравнения (10.170), найдем:
q = 7Q'(Pk~pA-	(10.171)
Ро + Но (1 — Ро)
и
Рв
Ио ~ Ня •
Подставляя в уравнения (10.169) вместо Q его выражение (10.171),
приведем эти уравнения к виду
1*0 (Рк	/1__ n'A
(10.172)
Рк—Ро
М1 ~Ро>
(10.173)
Если будет найден закон перемещения границы неф(еносносги
Ro времени, т. е. функция 1(f), то из рассмо,рения установившейся
филырации одной нефти определим величины Q', р и р' и далее по
Формулам (10.171)—(10.173) найдем расход трубки тока Q и дав-
ление р в водоносной и нефтеносной частях трубки в любой мо-
менг времени’). Иными словами, определим все параметры филь-
гРации при гидравлическом режиме.
При нахождении закона перемещения границы нефтеносности п
ступаем так. Пусть dl — бесконечно малое перемещение границы
нефтеносности за бесконечно малый промежуток времени dt. Тогда
объем нефти, вытесненный водой за указанный промежуток вре-
мени, будет равен mo>dl, где т—переменный по длине тру ки то
2) Величина I будет функцией времени.	„₽а>теиосиой
, а) Для водоносной части-по формуле (10.172) и для нефтеносной
Части —по формуле (10,173).
440
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[гл. 10
доЙг^лькоНТ То₽ис1ости гРУнта- Указанный объем равен Qdt. Сле-
misdl—Qdt,	(10.174)
к ™”г™уя,“Х“м" Ре8ульгате вмес™ <? ег“ внражениз (10.171)
* 1
V-^4-p0(l-ppJrf/.	(10.175)
°	h
СЬ 7/*^	।
т скорость фильтрации в сечении трубки тока, на-
фил1ф7цииНоХоТнХИи/ИОГ, границьг питания, при установившейся
ности до гпятгипк, „неФги и 1о— расстояние от границы нефтенос-
чаоь уравнения Г10И1Г7чГ В Начальный м0мейт времени / = 0. Правая
менной I я пАпаа пР3Дсгавляет собою функцию одной пере-
ние flO ппп еГ° часгь~ функцию времени t. Поэтому уравне-
носросги пл пп ределвег искомый закон перемещения границы нефге-
Пл^а.а Ре’ ФУИадиЮ /(0).
вытеснения3 неЛ?иаВплНИИ (10Л7б> /==£> найдем время 4мм полного
Изложетша^ водого из рассматриваемой трубки тока.
ского пр-а-ш.? выше методика приближенного расчета гидравличе-
трапии в ралЛГН0СИГСЯ К общемУ СлУчаю прос гране i венной филь-
оассмотпим дноРОДНОм гРУнге. Для иллюстрации этой методики
рассмотрим два частных случая.
Фиг. 241.
одномерной %ямолинейнпаИАи Случай гиДРавлического режима при
полосообразном пласте (<bt Tn™ В одаоРодаом горизонтальном
Давления на гоанипят	в предположении постоянсгва
в пренебрежении вачилл 1айИЯ И ДРенирования. Указанный случай
бензоном [3] а с vw™*1 В0ДЫ ^Ыл впеРВые рассмотрен Л. С. Лей-
и М. Маскетом [б]/ М ВЯЗК0Сги воды— В. Н. Щелкачевым (131
В Рассматриваемом случае
1 ~
р' = 1 -
v' == _£
(10.176)
(10.177)
(10473)
L ’
I
L ’

§ 1231
МЕТОД НЕДЕФОРМИРУЕМЫХ ЛИНИЙ ТОКА
441
В силу (10.171)—(10.173) и (10.176)—(10.178) в водоносной и
нефтеносной частях пласга давление
Р — Ря— --———(10.179)
1-(1-Но)у-
р = ро+(Рк'Р<,)^~Т1 (l^x^L).	(10.180)
ширины
Фильтрационный же расход, приходящийся на единицу
пласт а,
(10.181)
сТ(рк— ре)
Я =-------------------г
HbL I 1 ~ С1 — Т
Количесто нефти, извлеченной из пласта за промежуток вре-
мени t, приходящееся на единицу ширины плаща,
t	г
Ям6 = f Я = mTj dl = mT (I— /0),
0	Zq
г. е.
Ялп6 = тТ(1—/0).	(10.182)
Подставляя в уравнение (10.175) вместо величин р'о и v' их вы-
ражения (10.177) и (10.178) и интегрируя это уравнение, получим:
^'Р-цД — 41) £1 (1 1ло) ”~2Д~
с~(рк-р0)
(10.183)
1 =
Уравнение (10.183) выражает закон перемещения границы нефте-
носное! и во времени.	,
Полагая в уравнении (10.183) 1 — L, найдем время полного о
воднения пласта
г	Д + 41 1
m^L (Д — 40 I1 — С1 — Iх") 2Д ]	(10.184)
^поли	с(л( —Рв)~
При пренебрежении вязкостью воды по сравнению с вязкое
Нефти (р,0==0) время полного обводнения пласта
/ от|*я(Д—^о)2	(10.186)
^волв - 2с(р^—Рр) т
442
[гл. 10
В частности,
*полн
t'
доля
(10.186)
НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Отношение указанных выше времен составит:
1Ч-А-
== 1 Ч- Но------------------------------7~ > L
при ро = О,1 и ~ — 0,9 будет -~^~~==2,9. Отсюда
^плли
вытекает, что пренебрежение вязкостью воды может привести к суще-
ственному занижению времени полного обводнения пласта, в особен-
но
ности же при отношении близком к единице.
При одинаковой вязкости воды и нефти (|i0 — 1)
обводнения пласта
,п ___ И?1хя 4>)
ДОЛЯ ~ с(Рк — р~)	>
время полного
и тогда
(10.187)
(10Л88>
В частности, при p.Q = o,l и
текаег, что пренебрежение различием в
водит к значительному преувеличению
ния пласта, в особенности же при отношении -+
Т=0.9 4^ = 0,145.
'поли
ВЯЗКОСТИ воды и
J времени полного обводне-
-------------------- близком к еди-
нице, и отношении р0, близком к нулю.
Выше предполагалось, чго грунт одно-
роден. Г. Б. Пыхачевым [12J было дано
обобщение приведенных выше результа-
тов на случай грунта с переменной про-
ницаемостью и пористостью по длине пла-
ста. Другое обобщение приведенного вы-
ше решения на случай наклонного пласта
и учета веса воды и нефти было сдела-
но И. А. Чарным [46J 1).
Случай П. Рассмотрим случай гид-
равлического режима при радиальной
ном круговом пласте (й>иг &трацИи в однородном горизонталь-
ния на границах питяиыо « ' в предположении постоянства давле-
------—----_ аНЙЯ и Дренирования. Этот случай в пренебрежении
----?ЛаД??? без учета веса воды и нефти рассматривалась ранее
Фиг. 242.
К ч и,,^ ладя задача
р, а, Казарновской [19J,
Отсюда вы-
нефти при-
§ 123]	МЕТОД НЕДЕФОРМИРУЕМЫХ ЛИНИЙ ТОКА	443
вязкостью воды был впервые рассмотрен Л. С. Лейбензоном [3J, а с
учетом вязкости воды — В. Н. Щелкачевым ]13] и М. Маскетом [5].
В рассматриваемом случае
In —
..(10.189)
v'l r*r, —~~
. к
Ряго in 7
га
(10.190)
(10.191)
В силу (10.171)-(Ю.173) и (10.189)—(Ю.191) в водоносной и
нефтеносной частях пласта давление
р —р	(r0<r<W*); <i0-192>
f * *	r„	rit	r
ln —
Га	11
p = „+_^c2!____________1„JL (r.<r«r»>.
In----(- iM in —-
ra ro
Фильтрационный расход пласта
2ксТ(ря—р0)	(10.194)
[X0(ln—+ Р01П-^)
Количество нефти, извлеченной из пласта за промежуток I
мгпи t,
QKaS => | Qdi = 2ятГ J =
0	*»
" e' ('O•196,
*) Здесь
444
4с<Р*~Р0)
О
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[ГЛ. 10
Подставляя в уравнение (10.175) вместо величин р'о и v']r^ro их
выражения (10.190) и (10.191) и интегрируя эго уравнение, получим:
j(ro^ In - (1 — Ио) (1 + 2 In ^)] -
— Г“^21П~ — (1—	па
Уравнение (10.196) выражает закон перемещения границы нефтенос-
ности во времени.
Полагая в уравнении (10.196) г0=ге, найдем время полного
обводнения пласта
►ПОЛИ---------
4^(^=^\{гоУо (2 ln-Л.
гЦ21п^- —(1 — p.0)(l+2In^-)Jj. (10.197)
дано3ТбХеХСЬ’приведенногоНУГ°Й Раб°Те Г* Б‘ Пыхачева Ц2]
с переменной проницаемостью В“Ше решекия на слУчай гРУ«та
влении. пропицаемосгью и пористостью в радиальном напра-
мы ограничшшсь'^мссмптпя метода «сформируем ых линий тока,
прямолинейной и рапиа^нпТ^ простейших случаев одномерной
вполне точен В пй^Да ыН°а ФйльгРаЦии, когда указанный метод
метода в случае	А‘ Чарного 13Ц дается применение этого
в полубесконечном rnnf 10111 К одной напоР«ой совершенной скважине
ченного приближенной п°НТаЛЬН0Мг,ПЛаСте’ с Оце«кой точности полу-
М. Маскета [5]Грас^	В рабо1ах В* Н« Щ^лкачева ИЗ] и
формируемых линий тоЛ « Г Л прймеРов применения метода неде-
вершенных скважин Г’п СЛУЧа° разлйч«ых систем напорных со-
в вязкостях воды и не(ЬгйРП^«аЛЬНЫХ ПлаСгах без Учета разлиЧМ
ности пласта (в Аопме « ПРи{?лиженная оценка влияния искривлен-
енола) „а ?ре£я^	купола « ^Угаоцилиндриоского
Б. Э. Казариовскод „ пТ,Е* «еф'-воаосги дата в рабоге
Заметим в	» Я< ПолУбаРиновой-Кочтной [И].
носкости непосрелегврннп’ Ч™ задача 0 перемещении границы нефте-
рациональХ Р2мХХХЯЗ№а С ^экономической проблемой
рождений в устовияУЩйпИа Скважин ПРИ эксплуатации нефтяных место-
§ Ш. О ° ап°₽НОГО режима Фильтраций).
Вязкости воды ^(aK^JT11 граиицы нефтеносности без учета
метод расчета гидравличесХо^ 8 § 122, ВГ0р0й пРйближеннЫЙ
стоянстэе давлени?	РеЖима 0СНО8ан йа допущении о по-
-— '	( РДинатам и времени) на границе нефте-
)	? кой проблеме, в частности, посвящена работа И. А. Чаряого (17).
О ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ГРАНИЦЫ НЕФТЕНОСНОСТИ
445
сравнению с вязкостью неф1и
4 1241
носности. Эгог метод в точнощи соответствует приближенной поста-
новке проблемы гидравлического режима, принадлежащей Л. С. Лей-
бензону [3].
По Л. С. Лейбензону проблема гидравлического режима ставится
так. Имеется горизонтальный пласт проницаемого грунта, заполненный
нефтью и окружающей ее водою (краевая вода) (фиг. 243). Если
в нефтяной части пласга через
всю его толщу будут пробурены
скважины (совершенные скважины),
то под напором краевой воды
нефть будет вытесняться из пласга
в скважины. При таком вытесне-
нии граница нефтеносности будет
стягиваться к скважинам во вре-
мени. При постоянстве давления рх
на границе питания1) в прене-
брежении вязкостью краевой воды по -	P„aiIuTiP
во всей водоносной части пласта, а следовательно, и Р
нефтеносности давление будет оставаться все время постоят .
П. Я. Полубариновой-Кочиной [161, Ц61 и Л. А Галиным [14]
была предложена следующая математическая трактовка Ф Р У
ванной выше задачи.
Пусть z — горизонтальная плоскость фильтрации, плоскость,
например, с подошвой пласга, и С — вспомога > пмноё
Обозначим через г (С, Q неизвестную функцию, даюшу кооолина^ ра-
огображение круга плоское!и С с центром в	фильтрации
на «ереиеииую во ’Р'"’"" “X »Й)
нефти в плоскости z. В начальный момент вре ( момент
ция z, равная z,=^ 0), будет известной, так как в этот
времени будет известной форма обласги фильтр Ликгивн0г0 филь-
Далее, пусть <о(С, *) —комплексный
грационного потока нефти в плоскоаи , с	rr| == 1, при
границей нефтеносности, совпадающей с окружнтеми дебитами,
наличии фиктивных совершенных скважин	шюходяг через
как и реальнйе скважины. Оси фиктивных скважин "Р0^
точки Плоскости С, являющиеся отображение с’пОмОщью функ-
пРоходят оси реальных скважин, при преобр ««дет выражаться
«"» г(с, 0. Радиус и-й фиктивной «.«инн
через радиус n-й реальной скважины гп сл-ду
гп	(10.198)
Рп“ ^£.1
*
где Cft — координата точки плоскости С> через которую проходит
г) По координатам и времени.
446
НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
[гл. 10
ось л-й фиктивной скважины. Давления на границе нефтеносности
и в скважинах в фиктивном фильтрационном потоке нефти совпадают
с соответствующими давлениями в реальном фильтрационном потоке
нефти. Заметим здесь, что выражение для функции <ю (С, /) может
быть найдено по способу, изложенному в § 84 главы 9.
Если функция .?(£,/) будет найдена, то, выражая переменную С
через переменные z и t и подставляя в функцию <о (£, () вместо пе-
ременной С ее выражение через переменные z и t, определим иско-
мый комплексный потенциал реального фильтрационного потока
нефти, по которому могут быть найдены все параметры этого потока
в любой момент времени 3).
Неизвестная функция г(С, 0, аналитическая в круге | С | < 1, на
окружности эюго круга должна удовле1ворять определенному усло-
вию, вытекающему из условия постоянства давления на границе
нефтеносности. Указанное условие в наиболее общем виде, в случае
любого конечного числа скважин, было получено П. П. Куфаревым [43],
а в частных случаях, одной скважины и кольцевой батареи сква-
жин,—ранее Л. А. Галиным [14] и П. Я. Полубариновой-Кочиной [15].
Для установления этого условия поступаем так. По определению
комплексной скорости фильтрации
Эш
Следоваiельно,
ЗС дх дх •
дЧ
С другой стороны,
грации и средней
<10-1ад
силу извесшой связи между скоростью филь-
- —
скоростью движения частиц жидкости в порах
грунта
ГП Ц. ГЛ *— Ш ____________________________ tvt (I dZ\
(10.200)
Из сопоставления выражений (10.199) и (10.200) получим:
дх дх___ 1 I дх dC
dt дЧ ~~ т дС | "ЭС [ dt *
Умножая последнее выражение на величину С и замечая, чю на ок
ружности |С.| = 1 С =4-, получим2):
7 дх дх	1 I dz I* * 8 d In С	1 _ д<о	• \дх | d (arc С)
dt ас	т	ас I йС I dt	т д?	1^1
^Заметим здесь, что все приведенные выше рассуждения знало
рассуждениям § 85 главы 9.
8) На окружности 1 С | = 1 In С = In ] С14* i аге С »/ arc С-
§124]	O ПЕРЕМЕЩЕНИИ ГРАНИЦЫ НЕФТЕНОСНОСТИ	44?
Следова1ельно,
(10.201)
Выражение в скобках в правой части последнего равенства будег^е*
шественной величиной. Дейсгвшельно, на окружности ]с,|	1 <. е
и <р = const. Следовательно,
дт ___ д<о _ J	г	.
Ж — д^~~ ietf	дЬ ’
О (сюда и вы I екает вещее i венное (ь указанного выражения.
Таким образом, искомое условие для функции z(C, 1) на окру
iiociH |ч| = 1 будет иметь вид
n (-= dz dz
Определив условие для функции г (С, /)> на окРУа®ос™1^
задачу определения эюй функции можно сформулироваг У
образом. Требуется най1и аналитическую функцию z^t) кру .
1Ч< 1, В начальный момент времени * = 0	Хж-
ную функцию г0(С) и удовлетворяющую условию (10.	)
носги Id = 1 В любой момент времени.	пПМ,,„п искан,
П. 'я.1 11«;.у6а,.»„О»«»-КомЖО» 115. 161 «ХмР/ SS
решение этой задачи в форме ряда по щепеням.
решения был применен П. Я. Полубариновой-Коч [ >
рассмотрении случая одной скважины, когда начл	оасполо-
Фацни я>|ляе1ся кардиоидой, окружиоеФ»
женной к скважине) и полуплоскостью, а i акж- с.лу	облаС1И
багрен равнодебишых скважин при ^РУГ°®°	0(Я10С1И в форме
филырации. В случае начальной границы неФ	кгопой cie-
кардиоиды указанный выше РяД '1Ь1ро>К^ое_‘^арИ1'юпой-Кочиной было
пени. Для остальных случаев П. Я. Иолуоар«	гппрпжаший /8)
найдено юлько четыре члена ряда (включая > ское Обо-
«виду громоздкости получающихся резулыаюв. Теор сгепен-
снование возможности представления функции z(U) в форме степей
ного ряда в случае одногJ скважины	п. виногра-
Л. А. I алиным [14, 48], П. I • УФ I ешений задачи об
Довым рассмотрено несколько ^ссо	возмОЖЯОСГЬ
определении функции	|18) получить точные решения
Ю. П. Виноградову и П. П. Куфаре У I J ; что начальная
31 ой задачи в случае одной скважи	₽ У ппяМоЛИНейной поло-
обласп, фильтрации будет nofly™°CK же способ был использован
сой. В работе П. П. Куфарева t2®1	ной скважины при кру-
Для нахождения i очного решения в с У /эКС11енгричной со сква-
>’овой начальной области Филь’Ра“ИИ14зА при рассмотрении случая
«иной), а в другой его работе ]4dJ — при р*
448
НЕУСТАИОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
(гл. 10
любого конечного числа скважин, в частности случая кольцевой ба-
iapew равнодебигных скважин. Принимая в качестве области С не
круг |С|< 1, а прямолинейную полосу, и найдя условие для функ-
ции гг(С, Г) на границе этой полосы (аналогичное условию) (10.201),
П. П. Куфаревым [42] было дано решение для случая бесконечной
цепочки равнодебигных скважин при условии, чго начальная область
филырации будет прямолинейной полосой, ось которой совпадает
с осью цепочки.
Мы не привели указанных выше решений, учитывая их значи-
тельную математическую сложность, а также и то обстоятельство,
чго все эти решения теряют физический смысл еще до момента про-
рыва краевой воды к скважинам, чго значительно обесценивает их
практическую ценность. Здесь следует еще иметь в виду условность
второго приближенного метода расчета гидравлического режима,
в основе которого лежит допущение о пренебрежимой малости вяз-
кое^ воды по сравнению с вязкостью нефти, каковое, как было
показано на стр. 442, может привести к значительному занижению
времени обводнения пласта.
§ 125. Метод недеформируемых линий тока в случае системы
вода — газ. В § 123 был изложен приближенный метод pacneia
1 идравлического режима в случае системы вода — нефть, названный
Рк
Газ
Вода
-— I
Ро
Граница литания
Фиг. 244.
гРшшиа
///и' дренирования
нами «методом недеформируе-
мых линий тока». Указанный
метод с небольшим видоизме-
нением может быть распро-
странен на случай системы
вода — газ.
В силу основного допуще-
ния «метода недеформируемых
линий тока» в процессе вытес-
нения газа из пласта водою
Граница газоносности
Трубки тока) предполагай™ . линии гока (а следозательно, и
форма линий тока будет raLа едеФормиРУемЫ!«и во времени, причем
фации воды в пласте. °Й Же’ как и При установившейся филь-
питания и ^окзнТи^^ггкГ^10 гр^бкУ гока> начинающуюся на границе
Часть 9гоа ° пуб™и Тп™: ”	(фиг. 244).
Сечение трубки тока заполнена водой, а остальная ее часть — газом,
границе газоносности.’ деляюц1ее воду от газа, будет принадлежать
В силу уравнения fio
тока	'	' расход воды в рассматриваемой трубке
(10.202)
f ds
—
в
(10.203)
§ 125] МЕТОД НЕДЕФОРМИРУЕМЫХ ЛИНИЙ ТОКА ДЛЯ СИСТЕМЫ ВОДА—ГАЗ 449
Здесь в отличие о г обозначений § 123 давление выражено в долях
атмосферного давления р&,
В частности, при s—/
Чв —	7	—
Г ds
Iх® .1 С(О
о
При определении расхода газа примем постулат Б. Б. Лапука
о равенстве средневзвешенного давления р в пределах газоносной части
трубки тока давлению р0 на границе газоносности, i. е- Р —Ро-
Как было показано в § 116, указанный постулат практически имее1
место в случае радиальной фильтрации. Очевидно, что тот	У
также имеет место, если вязкость газа пренебрежимо мала	Р
нению с вязкостью воды, ибо в эюм случае давление в пр д
всей газоносной части трубки тока прашически посюянно.
Если в начальный момент времени / = 0 граница
находится на расстоянии /0 от границы питания и давл	Р*
нице газоносности р равно давлению на границе питания р«,
обьем газа, содержащийся в трубке тока, будет равен
L
рк j* muds.
I,
В момент времени t указанный объем будет равен
L
pj mauds,
i
Разность этих объемов будет равна объему Qx°« ДД^^режимом
трубки тока газа за промежуток времени /, определ е у Р
эксплуатации пласта. Таким образом,
l ~ г
рк f muds— pj m<ods = Qno6‘
k	1
Пусть dl- бесконечно малое перемещение гранида
за бесконечно малый промежуток временi	. г0К времени,
вытеснивший газ из трубки тока за указанн	Г’ оваТеЛьно,
составит ma>dl. Этот объем будет равен Q„di. След
„«д=<г.л.	Л0'*
Исключая из ураамни» (10.203)-(10.206) кляш™ Р "
№y,„„;	(10W)
(10.204)
450
Неустаиовившаяся фильтрация
10
где
I,
Рк [л/ ^^+УЛ„б|
/(/, 0==____1__-------------
f ds Г
wn т<а I -— I ты ds
в J с<о J
о I
—известная функция, оггределяемая формой трубки тока
характеристиками груша c(s) и m(s), давлением рк нгюранице пио-
ния и отбираемым расходом газа <?ДОб(0-
Уравнение (10.206) должно быть проинтегрировано с учеюм гра-
ничного условия /|г ()=40.
Следует отметить, чю уравнение (10.206) может быть проинте-
грировано только приближенно одним из способов приближенного
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка!).
В случае одномерной прямолинейной фильтрации в однородном
полосообразном пласте мощностью Т имеем: с — const, <о=7’ и, сле-
довательно,
В случае радиальной фильтрации в однородном круговом пласте
мощностью Т имеем: с — const, w = 2a:7's’ и, следоваюльно,
/ (г0, о=2LLj^+At((ro)° .
На«ГО(Го — Гс) 1п-^-
Го
В работе И. А. Парного [45] подробно изложена методика ише-
трирования уравнения (10.206), а также обобщения этого уравнения
при учете веса воды в случае радиальной фильтрации в однородном
круговом пласте. Другой способ интегрирования уравнения (10.206)2)
(в частности, в случаях одномерной прямолинейной, и радиальной
фильтрации) изложен в работах Б. Б. Лапука [38, 44]. Последний
способ заключается в следующем.
более общее уравнение по сравнению с уравне-
нием (10.206) вида
~ = F,	(1О.2О60
_________________ at ’	4
К о ^п°собы, например, изложены в фундаментальной монографии:
нздат, 195О.А’ Н” Лекцйи 0 приближенных вычислениях, изд. 5-е, Гостех-
Ненню (1®Т)!ВЛЯЮЩИЙ С°б0Ю п₽имеиение метода С. А. Чаплыгина к урав-
§ 125] метод НВДВФОРМИРУЙМЫХ линий ТОКА для системы вода—га» 451
где
V
РЛ(уЛ0б—РК f m<0^)
F{[, i)==-----------
f ds f
p.B mto j — I mw as
о i'
При I' =.1 F=sf и, следовательно, уравнение (10.206z) совпадает
с уравнением (10.206). Принимая в первом приближении t — Iq, по-
лучим уравнение с разделяющимися переменными. Пусть lt (/) — решение
этою уравнения, удовлетворяющее начальному условию fly=0~ Iq-
Так как при /'= /0</ F>f, то функция /,(/) будет больше иско-
мой функции /(/). Следовательно, функция /.,(/) будет приближенным
выражением искомой функции /(/) сверху. Во втором приближении
примем = и опя[ь получим уравнение с разделяющимися
переменными. Пусть Z2(Z)— решение эюго уравнения, удовлетворяю-
щее начальному условию /2|{=0 = 4ь Так как при /' = /j>/ F <Zf,
'о функция /2 (/) буде! приближенным выражением искомой функции I(t)
снизу. Таким образом, /2 (0 < / (0 < А (0- Продолжая процесс нахо-
ждения последовательных приближений далее, мы сможем сузить
пределы для функции 1(f), т. е. найдем приближенное выражение
Функции 1(f) с любой наперед заданной точностью.
Определив функцию 1(f) по уравнениям (10.202) и (10.204), найдем
все парамефы фильтрации в любой момен! времени.
ГЛАВА И
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ
ТЯЖЕЛОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
ческого^п'амртя°Вл- метода Фрагментов. Во многих случаях пракги-
решение коХЛНЛЬГрации "PWc* сталкиваться с задачами,
к весьма слХым Т П°М0ЩИ 10чных ме;одов л«б°
подобных запяч ып-jz ВИСИм0С1ЯМ’ ли(5о вовсе невыполнимо. Из всех
Щих гем признаком иД ВЫДкЛИ1Ь об"1ИрнУю группу задач, обладаю-
вести повепхногти я ° В обласгях Фильтрации можно заранее про-
напоров или v остаточно близкие к поверхностям равных
Указанными nrmonvn повеРхностям, образованным линиями тока.
части, для коюпых°СпГпГИ °блас,и Фильтрации разбиваются на такие
1еооетическиР пД возможно получиib ;еми или иными способами
фрагментов — п лк™' Р|^11ения> полученные дляо!дельных частей —
деленными со лаС1и фильтрации связываююя между собой опре-
всего фильфХХ^отока'в'целом!"^	ре1,1еНИе ДЛЯ
зависеть”о7\ого° ^асколь^0'^43^0'0 Т™ ПуГеМ решения будег
заранее	асколько близки к действительным задаваемые
taTS. Р’.В”ЫХ “"°|,ов “ ™>еРХ»о«» ««а.
предложен /1935 г н°“н *Раг"“10в- Эг°г »е™л "пеРвые
гидпогехничеги-uv н’ н' Павловским для расчета флютбеюв
расчета плотин сис/ем^А *МС "ескольквми шпунтами, а также для
Рагемпт/ ..	А- М> Сенкова[1, 3].
некие метода фрагментов^ Харакгерные слУчаи> Гле возможно приме-
грехшлУНТОв0г0 Флютбета гидро-
тального водоупопнпгаНИ ’ Конлы шпунтов не доходят до горизон-
пункгпрные линии ab cd^'e^ п0казывают опыты> вертикальные
горизонтальной поверхности проведенные из КОн«Ов шпунтов до
напоров. Таким оЛп^а°.С в°Доупора, близки к линиям равных
разбивается на четыре Лпят^”3” "° Ф°рме обласгь ФиЛЬТРацив
являются однотипными фрагме»та ДВУД типов. Фрагменты / и 4
этих двух типОЙ А- ’	“ Фрагме«™ 2 и 3. Для каждого из
фр гментов имеются готовые решения, полученные
§ 126]
ОСНОВЫ МЕТОДА ФРАГМЕНТОВ
453
по способу Н. Н. Павловского (глава 5). Заметим, что в данном
случае разделение области фильтрации на фрагменты можно произ-
вести иным способом, Положим, что линия равных напоров будет cd.
Тогда область фильтрации делится на два фрагмента одинаковой
формы. Первый фрагмент состоит из двух прежних фрагментов 1 и 2,
второй — из фрагментов 3 и 4. Для такого типа фрагментов также
Фиг. 245.
имеется решение (10]. Эго деление приводит к более сложным
фрагментам, но зато решение задачи получается более точным.
В рассмотренном примере фрагменты разграничены между собой
линиями равных напоров. Такое соединение фрагментов можно назвать
последовательным.
Другой пример фрагментирования дан на фиг. 250, где изобра-
жена траншея прямоугольного сечения с дном, не доходящим до
горизонтального водоупора. Здесь также можно воспользоваться
методом фрагментов [6]. Ввиду симметрии вертикальная линия cd
явгяется линией тока; кроме того, примем приближенно, что гори-
зонтальные линии ab и а'Ъ' также являются линиями тока. Тогда вся
область фильтрации будет состоять из трех фрагментов: /, симме-
тричного с ним 3 и 2. Так как линии тока ab и а'Ь' можно принять
за стенки, то фильтрацию в пределах фрагментов 1 и 3 можно рас-
сматривать как неравномерную фильтрацию в прямоугольном грунто-
вом русле с горизонтальным дном (§ 25). Что касается фрагмента ,
то здесь вследствие указанного допущения фильтрация является
напорной и решение фильтрационной задачи можно получить методом
Н- Н. Павловского (§ 53).
Как видим, все фрагменты в данной схеме разграничены ли-
ниями тока. Такое соединение фрагментов можно назвать парал-
лельным.
Наконец, рассмотрим схему фильтрации из канала, изображенную
на фиг. 246 На этой схеме проведены линии ab и cd, разграничи-
вающие фрагменты /, 2 и 3. Первая из этих линий является линией
Тока, вторая—дадаей равных напоров. Фрагменты I и / соединяй
454 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 11
параллельно, фрагменты 2 и 3 — последовательно. Данный случай
является примером смешанного соединения фрагментов.
Остановимся на общих зависимостях, используемых в методе
фрагментов.
Как было сказано, цель разбиения области фильтрации на фраг-
менты заключается в том, чтобы для каждого фрагмента иметь воз-
Фиг. 246.
можносгь получить решение фильтрационной задачи или же восполь-
зоваться имеющимся решением. Таким образом, для каждого из п
фрагментов должны быть получены зависимости, связывающие филь-
трационный расход Q с потерями напора Н:
Q2=A(//2); Qn=fn(Hn). (ПЛ)
При последовательном соединении фрагментов вследствие по-
стоянства расхода
Q1 = Q2=...=Q„,	(11.2)
т. е. имеется п — 1 уравнение вида
/.(«,)=/,(«,
а также одно уравнение вида
Н = Я, + Н,+ .(11.4)
где Н полная потеря напора в области фильтрации.
При параллельном соединении п фрагментов потери напора
в них равны. Следовательно, имеем я—1 уравнение вида
. ..=Нп	(П-5)
и одно уравнение вида
А (^1) 4~/а (^А) • • • ~\~fn (Мп) — Q> (11-6)
где Q — полный фильтрационный расход в данной обласги филь-
трации.
При решении задач методом фрагментов имеются некоторые
приемы, применяемые в предедах определенной группы задач, Эти
| 127] ТИПИЧНЫЕ СЛУЧАИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ФРАГМЕНТОВ
455
приемы употребляются в дальнейшем при рассмотрении типичных
случаев для данного метода 1).	Ряс
§ 127. Типичные случаи применения метояа *ра™1” аг®’ентов.
смотрим некоторые типичные случаи применения е оД * {ой
1°. Случай последовательного соединения фрагментов при плоской
напорной фильтрации схематически изображен на ф г.
Фиг. 247.
угольный флютбет плотины шириной 25
водопроницаемом пласте i——
в грунт — t, действующий напор—Н.
(П.7)
......... 2? основан на горизонтальном
мощностью Т. Заглубление флютбета
Примем приближенно, что вертикальные линии, проведенные из
углов флютбета до поверхности водоупора, показанные на фиг. 247
пунктиром, являются линиями равных напоров. Тогда будем иметь
три фрагмента двух типов.
В случае плоской напорной фильтраций Н. Н. Павловский пред-
ложил выражать удельный расход по формуле
Фм(
где	— по геря напора в m-м фрагменте, Ф,„ — модуль формы
безразмерная величина, зависящая от формы фраг-
формулы (11.7), модуль формы фрагмента равен
данном фрагменте при д=»1ий®1. Тогда по
Н ==^
®-го фрагмента —
мента.
Как видно из
потере напора в
формуле (11.7)
(11.8)
& Работе Б. Б. Девисона [2] показано, что в случае последовательного
бытк Нения наП0Ряь<х фрагментов фильтрационный расход Q* не может
нив МеДьше фильтрационного расхода Q, получаемого при точном реше-
ТОв О»дачи’ т‘ е« С* > Q- Пр» параллельном соединении напорных фрагмен-
456 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ (ГЛ. 11
Выражая в (11.4) потери напора по (11.8), получим:
М»=1
откуда
? =	(11.9)
Ш=1
Таким образом, фильтрационный расход выражается по формуле
(11.10)
где
Ф= 1 Ф«	(П.П)
W = 1
является модулем формы всей облаои фильтрации.
Определив фильтрационный расход по формуле (11.10), мы можем
затем определить потери напора в пределах каждого фрагмента.
Так, подставляя в формулу (11.8) значение q из (11.10), найдем
потерю напора в т-тл фрагменте:
Н = ^-Н.	О1-12)
Воспользуемся данными выше формулами для решения нашей
частной задачи. Модули форм для фрагментов / и 3 на основании
формулы (5.20) будут:
Ф, =фя = А	(11.13)
причем модуль эллиптического интеграла К будет:
X = sin(|l)-
В фрагменте 2 имеется равномерная фильтрация, причем на осно-
вании (3.30)
?г=8—
где //2 — потеря напора в фрагменте 2. Следовательно, по (U-?)
*. = 7^.	(11Л4)
Модуль формы всей области фильтрации по (11.11) будет:
Ф= »	(11.14
*	* А
§ 127] ТИПИЧНЫЕ СЛУЧАИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ФРАГМЕНТОВ	457
Фильтрационный расход под флюгбеюм по (11.10) определится:
kH
(11.16)
//«// =Л21.
1	» k
Потеря напора в пределах фрагмента 7 и 3 по (11.8)
К н
2Ь х М ’
т—t + к'
ь
Потеря напора в фрагменте 2
//2 = -S—1 и -	.
* й + (Т-О^
(11.17)
(11.18)
2°. Случай последовательного соединения фрагментов при без-
напорной фильтрации в грунтовом русле показан на фиг. 248.
Вода фильтрует через откос канала по грунтовому руслу, сосгоя-
Фиг. 248.
Щему из двух участков. На первом учас1ке длиной Zj уклон поверх-
ности водоупора I > 0, на втором участке длиной Zs поверхность
водоупора горизонтальная. Глубина входного сечения потока пг,
выходного сечения—Hs. Проведем в точке перелома профиля вер-
тикаль, которая разделит область фильтрации на два фрагмента.
В фрагменте / происходит неравномерная фильтрация по наклон-
ной поверхности водоупора. Пользуясь зависимостью (3.72), можно
написать для фрагмента 1:
где Н9 — глубина равномерной фильтрации; по (3.35)
(11,20)
458 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 11
Для фрагмента 2, где имееюя неравномерная фильтрация по гори-
зонтальной поверхности водоупора, можно по (3.77) написать:
^-=^-Я32.	(11.21)
Так как при последовательном соединении фрагменюв расходы
в обоих фрагментах равны, то задача сводится к решению системы
из двух уравнений: (11.19) и (11.21), из коюрых определяются не-
известные q и //2. Для решения можно применить графический спо-
соб, причем вычисления удобно производить в следующем порядке.
Задаемся глубиной Л/2 (имея в виду, что Нп > Н.) и определяем q
из уравнения (11.21). Далее определяем 7У0 из (11.20) и подста-
вляем Но и Л/2 в уравнение (11.19), из которого определяем
Затем задаемся новым значением Л/2 и тем же путем определяем
и т. д. По имеющимся значениям q и 1г строим график q-f(li)’
из которого, зная истинную величину определяем фильтрацион-
ный расход. Зная q, можно определить и глубину //2 из уравне-
ния (11.21), а также построить кривые депрессии для обоих уча-
стков грунтового русла, пользуясь уравнениями § 25.
3°. Случай последовательного соединения фрагментов при пло-
ской напорно-безнапорной фильтрации изображен на фиг. 249.
Фильтрационный поток в некоторой точке флютбета напорного бас-
сейна гидроэлектростанции отрывается и далее образуется кривая
свободной поверхности. Мощность водопроницаемого пласта тол-
щиной флютбета можно пренебречь.
Фиг. 249.
»ости"”»до7лораеГра<5вЬ^,Л °тет™юем“11 °' горизонтально» позерх-
РЫна ното^^ХЛнДТГГ^ "т°Р ’ Т0’К °”
фиг. 249еДпТнктипом ^0Ч^У Огрыва вертикаль, изображенную на
является линией павных Положкм> чго 4 га вертикаль приближенно
трации на два фрагмента E.°B’ ЭгаЛвдия Разбивает область филь-
Фрагмент 1 представляет собой половину
(11.23)
(11.24)
§ 1271 ТИПИЧНЫЕ СЛУЧАИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ФРАГМЕНТОВ	4Б9
области фильтрации под плоским флютбегом при наличии горизон-
тального водоупора. В фрагменте 2 происходит неравномерная филь-
трация по горизонтальной поверхности водоупора.
В фрагменте 1 потеря напора будет hr—h^=shx 7) как
напор в сечении, проведенном через точку отрыва, ла == Г- Расход
в фрагменте / на основании формулы (5.14) равен
(И-22)
где К и К'— полные эллиптические интегралы при модуле
Х== th (у-у)'
Для фрагмента 2 на основании (3.77) расход
ft(Ts-h|)
?se__---------------------------------.
Приравнивая (11.22) и (11.23), получим:
г'О’-Ч’
Из последнего уравнения можно определить графически
положение сечения потока с точкой отрыва потока. При этом
чина b-4-L является известной. Задаваясь значениями L и вычисляя
левую часть (11.24), строим график для левой части УР“«®Н
в функции or L, по которому и определяется искомая »	•
После этого можно определить фильтрационный расход п (, ),
а также построить кривую депрессии для фрагмента , У
зависимостью (3.76).	и
Заметим, чго понятие о модуле формы можно *оагмен-
в случае безнапорных фрагментов (14], Для безна р ФР
тов вместо (11.10) будет:
(11,25)
?==------Ф	>
где и Я.,-напоры в начальном и конечном ^^^’^^ы^беТн?-
Ф— модуль формы фрагмента. Заметим, чго модуль ф Р
порного фрагмента имеет размерность длины.	„«.писать для
Применительно к рассмотренному случаю можно написать дл
фрагмента 2 по (11.23)
Ф3 « 2а.
Для фрагмента / модуль формы по (11.22) будег.
460 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 11
Таким образом, для обоих фрагментов будем иметь зависимости
k(T2 — h2)
приравнивая которые, мы получим уравнение (11.24).
4°. Параллельное соединение фрагментов при плоской безнапор-
ной фильтрации представлено на фиг. 250, где изображена филь-
трация к траншее прямоугольного сечения шириной В с дном, не
Фиг. 250.
доходящим до горизонтального водоупора, причем расстояние от дна
траншеи до водоупора равно Т.
Проведем через точки дна bub' горизонтальные прямые ab
и а'Ь' и положим приближенно, что эти прямые являются линиями
тока [6]. Тогда фильтрационный поток оказывается разбитым на три
фрагмента, соединенных параллельно.
В симметричных фрагментах 1 и 3 происходит безнапорная филь-
трация, причем линии ab и а'У, приняв их за линии тока, можно
считать линиями, изображающими поверхность водоупора. Фрагмент^
занят напорным потоком. Участки границ ab и а'Ь' представляются
непроницаемыми стенками при наличии сделанного допущения.
Положим, что на расстоянии L от вертикальной оси траншеи
напор, отсчитываемый от горизонтальной плоскости аа', Рав-Н Н-
Тогда при принятом допущении согласно формуле (3.77) удельный
расход в фрагменте 1 будет:
а —	Л 1.26)
2(д~4-)
Аналогично выразится расход в фрагменте 3, симметричном фРаг"
менту 1:
_	(11.27)
Vs----7----вТ ’	v
§ 127) ТИПИЧНЫЕ СЛУЧАИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ФРАГМЕНТОМ
Определим теперь расход фрагмента 2, для чего воспользуемся
задачей, рассмотренной в § 52 (фиг. 99, £).
По формуле (5.67") действующий напор
//_A==^_^]nsh^,	(П.28)
откуда расход фрагмента 2

k (H-h)
L
ЧТ
1 . . кВ
— Insh -, ;р
я 4 Г
(11.29)
Согласно (11.6) полный удельный “расход, притекающий к тран-
шее, ранен сумме расходов всех грех фрагменюв, г. е.
L 2 ЧТ « "Sh 4Т'
Заметим, что в рассмО!репном случае подобное фрагментирование
потока дает практически достаточно удовлетворительную точность
при определении расхода, но определение формы кривой депрессии,
исходя из принятого допущения, не является рациональным.
5°. Последовательное соединение фрагменюв при напорно-безна-
порной пространственной осесимметричной фильтрации показано
на фиг. 251, где изображена схема грунтово-артезианского колодца.
Фиг. 251.
В пласте мощностью 7 имеется колодец с радиусом г0 и глуби-
ной hQ. На расстоянии 7? от колодца напор равен Н. t
На некотором неизвестном расстоянии от оси колодца нагор-
ный фильтрационный поток переходит в безнапорный, и таким обра-
зом, вокруг колодца образуется поверхность депрессии в виде поверх*
мости вращения радиусом	л
Проведем в обласги фильтрации круглоцилиадричесмую поверх-
ность радиусом /?. с вертикальной образующей. Полагая приближенно
Чго эта поверхность является поверхностью равных напоров, мы будем
462 ИНДЛИЖЕННЫЁ методы РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. it
иметь два пространственных фрагмента в форме тел вращения.
В фрагменте 1 имеется напорная фильтрация; подобный случай был
рассмотрен в § 28.
Имея в виду, чго на расстоянии Rx от оси колодца напор
в сечении равен Т, на основании формулы (3.110) можно выразив
фильтрационный расход в фрагменте 1 в следующем виде:
Q=jsg("-T)..	(11.31)
f*»
В фрагменте 2 имеется безнапорная филырация. Для определения
фильтрационного расхода воспользуемся формулой (3.161), в которой
вместо Й иЯ следует подставив и Т:
=-т’к{Т1-^
(11.32)
Так как при последовав льном соединении фрагментов фильтра-
ционные расходы фрагментов равны, то из (11.31) и (11.32) получда
уравнение
2Т(Я—7) __ Г2—ft®
In Л-	1п-£1
#1	ги
(11.33)
из коюрого найдем неизвесшую Rt:
In/? __ 2Г(Я—Г)1пги-|-Pin j?
1 2T(H—T)—hl
Складывая уравнения (11.31) и (11.32) и определяя Q, получим:
«ft(2W-T®-ft®)	л 1.34)
W	г>	•
Зная фильтрационный расход Q и радиус R, и пользуясь зависи-
мостями §§ 28 и 32, можно пос трои 1ь кривые депрессии и напоров
для обоих фрагментов.
Как видно из.рассмотрения ряда случаев, метод фрагментов при*
меним к разнообразным задачам фильтрации. Заметим, что, при-
меняя этот метод, можно для отдельных фрагментов использовать
«е только теоретические, но и экспериментальные решения.
точность меюда фрагментов зависит от формы области филь-
трации и от способа фрагментирования. Обычно при применении
метода фрагментов к многошпунтовым флютбегам погрешность
* определении фильтрационного расхода составляет не более 12%-
§ 128]	1 Мафический сносов построения сеток фильтрации 4ЙЗ
Значтельное количество практических расчетных зависимостей, имею-
щихся в литературе, получено по методу фрагментов.
§ 128. Графический способ построения сеток фильтрации.
Графический способ построения сеток филы рации можно применять
в случаях плоской напорной, безнапорной и плановой фильтрации
при грунтах однородных или слоистых. Графический способ заклю-
чается в том, что линии равных напоров и линии тока рисуются от
руки, а затем подвергаются исправлениям до тех пор, пока сетка
фильтрации не будет удовле1ворягь требованиям, вытекающим из ее
свойств. Сетка фильтрации сгрошся на чертеже области фильтра-
ции, на котором должны быть нанесены все известные участки гра-
ниц области. Этот чертеж выполняется на плошой бумаге, так как
в процессе построения приходится дела1Ь много исправлений. Можно
также строить сетку фильтрации на восковке, накладываемой на чертеж
области фильтрации. В последнем случае исправления производятся
на второй восковке, накладываемой на первую, следующие испра-
вления делаются на третьей восковке, накладываемой на вторую, и т. д.
Остановимся на последовательных операциях при построении
сетки. Некоторые участки границ области фильтрации заранее не
известны. К таким участкам относятся кривые депрессии, которые
следует предварительно начертить на глаз, пользуясь формами кри-
вых депрессии известных аналогичных случаев.
Если поверхность водоупора залегает весьма глубоко, то, поль-
зуясь гем обстоятельством, чго линии равных напоров вдали от соору-
жения принимают форму окружности, можно наметить нижнюю гра-
ницу области фильтрации в форме полуокружности с радиусом,
равным 1,5—2 наибольшим размерам сооружения, независимо от формы
его подземного контура. На фиг. 252 изображена схема фильтрации
через земляную плотину, стоящую на весьма глубоком водопроницае-
мом основании. Кривая депрессии 1—2 проведена на глаз, нижняя
часть граничного контура 3—4 проведена в виде полуокружности
Радиусом около 1,5 горизонтального размера плотины из центра,
находящегося приблизительно в середине плоскости основания плотины.
Эта часть граничного контура является линией тока. Проведенные
приближенно участки граничного контура области фильтрации впо-
следствии исправляются. Подготовив таким образом чертеж, присту-
пают к построению сетки фильтрации.
Методика построения може-г быть различной. Рассмотрим, в част-
ности, следующий прием. Положим, что требуется построить сетку
фильтрации Под массивным флютбегом гидросооружения, основанным
на однородном водопроницаемом пласте (фиг. 253).
Построение сетки можно начать с проведения линий тока иди
линий равных напоров. Для создания некоторой «нределеннииги
НЯчяпа эГ0Г0 построения можно предварительно разбить на нескоро
равных частей водтаепровицаемый потомный ЮТУР фаютбега. Заяи,
Руководствуя» «.ЮЛЮ» ФОР»’""	Р“”“х
464 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦЙИ ЖИДКОСТИ (ГЛ. 11
провести эги линии до линии водоупора. На фиг. 253 непроницаемый
контур разбит на 10 равных частей (точки 1, 2, ..., //) и из точки
2 проведена линия равных напоров 2—2'.
Фиг. 252.
с непппЛ„<.о1М!1Ь В ВИду’ чт0 линии Равных напоров пересекаются
проведены4 пУ^тИпУЧаС'КаМИ ПОд ПРЯМЫМИ углами. В точках 2 и 2'
сательными У И^°М н°Рмали к граничным линиям, являющиеся ка-
ьными к линии равных напоров 2 — 2'. Линия равных напо-
ввдно^из чергХТ^ХальНп^0НЦеВ0Й/Г0ЧКИ и,ПуНТа’ буДеГ’ КаК
оси шпунта. Если поверхнГсгь «а™	’ являющейся продолжением
ни» 5___.V ° е₽ХНоСгь водоупора сильно искривлена, то ли-
К KLoty Ж К/ИВ0ЙоЛИНйей’ а ось шпунта —касательной
поров 6~~б' аытяоп Г’ 2^ проведена так же линия равных на-
тура. Биссектриса И3 угловой ™чки водонепроницаемого кон-
У > показанная пунктиром, является касательной
§ 12§J ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ СЕТОК ФИЛЬТРАЦИИ
465
к линии равных напоров 6 — 6'. Биссектриса угла в точке 9t пока-
занная пунктиром, также будет касательной к линии равных напоров,
проведенной из точки 9.
Следующим этапом построения сетки фильтрации является про-
ведение линий тока. Эти линии являются ортогональными к линиям
равных напоров. Следует иметь в виду, что чем ближе к непрони-
цаемой части контура расположена линия тока, тем ближе ее форма
к форме этой части контура. На фиг. 253 проведена пунктиром
линия тока аа'. Все линии тока, проведенные выше линии аа', бу-
дут приближаться по форме к очертанию контура флютбета, а про-
веденные ниже этой линии — к очертанию KOHiypa водоупора.
В каждой точке пересечения линий тока с линиями равных на-
поров должно проверяться условие ортогональности этих линий.
Желательно, чтобы сетка фильтрации сосюяла из криволинейных
квадратов; практически это сводится к тому, чго средние линии
каждого квадрата будут равными. Диагонали клеток сетки фильтра-
ции должны образовать ортогональную сетку.
В результате ряда исправлений все указанные требования должны
быть выполнены и мы получаем ортогональную квадратную сетку
фильтрации с приведенными значениями напоров.
При построении сетки безнапорной фильтрации, как, например,
в случае, изображенном на фиг. 252, необходимо соблюдать извест-
ное граничное условие на кривой депрессии (2.151). Для этого
удобно разбить действующий напор Н на несколько равных частей1),
как показано на фиг. 252. При построении сетки фильтрации одно-
временно с исправлением линий равных напоров и линий тока испра-
вляется и кривая депрессии так, чтобы она, с одной сюроны, явля-
лась линией тока, а кроме того, удовлетворяла условию (2.151).
в силу этого условия точки пересечения пунктирных горизонтальных
Прямых на фиг. 252 с кривой депрессии должны являться точками
пересечения соответствующих линий равных напоров с кривой де-
прессии.
На фиг. 252 проведена линия равных напоров аа’ для hr = 0,6.
Она пересекается с кривой депрессии в точке а, для которой напор,
отсчитываемый от плоскости сравнения, совпадающей с поверхностью
воды в нижнем бьефе, равен Л«=0,6//.
При построении кривой депрессии следует учесть наличие по-
верхности высачиванияа). Следует иметь в виду, чю линии равных
напоров пересекаются с этой поверхностью не ортогонально, так как
она не является линией тока, но при этом должно соблюдаться усло-
вие (2.151), как и на Кривой депрессии.	____
Как сказано выше, при построении сетки фильтрации
пользоваться накладываемыми друг на друга восковками, на котор
’) Обычно разбивают Н на 10 равных частей.
„ *) На фиг. 252 поверхность высачивания	“а
важной призмы от точки 2 до поверхности воды в нижнем
на откосе две»
бьефе.
466 ПРИБЛИЖЕННЫЕ MEi-иды РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ [гл. 11
производятся исправления. Первые исправления делаются на глаз,
а затем сетка проверяется путем измерений средних линий клеток
и т. д.
При построении сетки фильтрации моЖно итти инЫм Путей [9].
На чертеж области фильтрации наносится на глаз первая линия
сетки —линия равных напоров, или линия тока, лежащая побли-
зости от какого-либо участка границы области фильтрации. На
фиг. 254 изображена область фильтрации под флютбетом гидро-
технического сооружения и в качестве указанной первой линии сетки
фильтрации нанесена на глаз линия тока 1 — 1'. Между этой линией
и линией подземного контура флютбета, также являющейся линией
тока, образовалась полоса, которая разбивается на криволинейные
квадраты линиями, ортогональными линиям тока. Если на конце
полосы получится не квадрат, а прямоугольник, то проведенная пер-
вая линия тока сдвигается ближе к границе или дальше от нее с та-
ким расчетом, чтобы полоса содержала целое число квадратов. На
фиг. 254 первая полоса сразу разбита на 9 целых квадратов. К пер-
вой полосе пристраиваются отдельные квадраты второй полосы, как
показано на чертеже. При этом линия тока 2— 2' получилась пре-
рывной, что свидетельствует о необходимости исправления линии
тока 1 — 1'. На фиг. 254 линия тока 1 — 1’ заменена новой пунк-
тирной линией, которая проведена ближе к подземному контуру, там,
где квадраты второй полосы выдаются, и дальше от подземного
контура в местах, где они снижены. Теперь, основываясь на новой
линии тока, надо перестроить квадраты обеих полос, и если линия
тока 2	2' окажется непрерывной, то следует приступить к по-
строению квадратов третьей полосы. Новая линия тока 3 — 3' (не
показанная на фиг. 254) также может оказаться прерывной и тогда
следует вновь исправить соответствующим образом линию тока I — 1 •
В результате такого построения вся область фильтрации заполняется
квадратами сетки.
При построении квадратов сетки нужно иметь в виду необхо-
димость равенства их средних линий» В случае, когда квадрат
§ 128} ГРАФИЧЕСКИЙ Способ ПОСТРОЕНИЯ СЕТОК ФИЛЬТРАЦИИ 4®7
имеет сложную форму, как, например, квадрат abed на фиТ. 23®,
расположенный у конца шпунта, его следует разбить на четыре
квадрата. Проверка правильности более мелких квадратов будет
значительно проще. Если среди четырех квадратов снова получается
один квадрат сложной формы, то его следует	.
еще раз разбить на четыре квадрата. Если сетка	rfl
фильтрации строится для слоистого грунта, то
нужно соблюдать условие (4.18) на границе двух /\Д
слоев с различными коэффициентами фильтрации.	/	\
Это условие необходимо иметь в виду при про-	\ /	|
черчивании линий тока. На фиг. 256 показана	-4-»
часть сетки фильтрации у границы двух слоев
грунта с коэффициентами фильтрации и	Фиг. 255.
причем k-i < й2. Если в первой зоне с коэффи-
циентом фильтрации k, сетка фильтрации является квадрата ,
второй зоне с k2 она становится прямоугольной. Выяс®*“
трансформации сетки. Между двумя линиями тока, прох д
°беих зонах, проходит один и тот же расход Д^, причем при обо-
значениях, данных на фиг. 257,
.	. к. АЛ
Дд = —А, Д/^.
Для второй зоны имеем аналогичное выражение:
, .. Aft
Д? = — М*2д£,
Предполагая, конечно, что разность напоров ДЛ между линиями рав-
них напоров одинакова.
Из сравнения двух написанных формул получим.
>1 4/1 А/»
(и.зе
468 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ [гл. 11
Отсюда ясно, что если в первой зоне сетка фильтрации, например,
квадратная, т. е.
то во второй зоне она будет прямоугольной, причем
A/2 = ^As2.	(11.36)
Что касается техники построения сетки фильтрации для слоистых
грунтов, то она будет той же, чго и в случае грунта однородного.
Затруднения возникают при проверке клеток сетки у границы зон
с различными коэффициентами фильтрации. Здесь необходимо про-
верять клетки путем деления их на четыре части, а в случае на-
добности и на более мелкие клетки, как сказано выше. При этом
надо иметь в виду, что в случае прямоугольной сетки отношение
средних линий не равно единице, как в случае квадратной сетки,
а находится из соотношения (11.35).
Графическое построение сеток фильтрации требует некоторого
навыка и представлений о сетках некоторых основных задач1). Гра-
фический способ решения фильтрационных задач применим к самым
разнообразным случаям плоской фильтрации, для которых получить
аналитическое решение зачастую не представляется возможным.
Точность этого способа вполне достаточна для практических ин-
женерных расчетов. Даже ориентировочно построенная сетка филь-
трации часто дает вполне удовлетворительную точность в отношении
определения фильтрационного расхода и давлений фильтрационного
потока на сооружение [8].
Заметим, что графический способ можно использовать при реше-
нии пространственных задач [12], в частности в случае осевой сим-
метрии [5, 15]. Иногда представляет интерес построение изотах и
изоклин. Эги линии образуют ортогональную сетку на плоскости
годографа скоростей, где их легко построить, а затем перенести
на чертеж области фильтрации [11].
§ Ц19. Определение основных характеристик фильтрации по
сетке фильтрации. Имея построенную сетку фильтрации, можно
определить практически важные характеристики фильтрационного
потока. Остановимся на способах определения этих характеристик.
Напор в любой точке обласги фильтрации определяется по ли*
ниям равных напоров сетки фильтрации. От приведенного значения
напора по соответствующим формулам легко перейти к действитель-
ному его значению. Если точка, в которой требуется определить
напор, лежит между линиями равных напорив, то строится линия
тока, проходящая через эту точку, и напор в ней определяется по-
*1ЛАмзджка построения сеток фильтрации, особенно для слоистых груи
ТО», подробно наложена Н. К. Гиринским [9].
§ 129] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРАЦИИ 461
средством интерполяции. Таким способом определен Приведенный
напор в точке А на фиг. 258.
Пьезометрическая высота в точке области фильтрации ©предо*
ляется по формуле
£- — h±:y,	(11.37)
где р — давление в точке, у— удельный вес жидкости, Л -напор,
у— вертикальная координата точки (фиг. 259). Знак плюс берется
в случае, когда координата у направлена вниз,
направлена вверх по вертикали (как на фиг. 259). р
полагается, что плоскость сравнения, от которой от ч
пор, проходит через начало координат.	cnonv-
Суммарное давление фильтрационного потока на	е
жений определяется графическим путем. Подо Л|МЗЙН0 опое-
уясняется из примера, приведенного на фиг. 260, гд
Деление суммарного давления на части подземного контура гидро-
гехнического сооружения. Подземный контур /—2-—3—4—5—<S—
7— 8—9 развернут на нижнем чертеже в прямую линию На линии
развернутого контура в точках пересечения его с лннцф|и равных
470
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 11
mn™°B отложенИ[ вертикально вверх соответствующие значения на-
* Т™ линейном масштабе. После обведения плавной кри-
напоопв пп л?!ЗК0В’ СОотвегстауюЩйх напорам, получилась эпюра
SIX ” П°ДЗеМН0Чу К0НТуру Сужения, показанная на фиг. 260.
жения ТХЛТ 0Т ЛИНИИ РазвеРнУт0го подземного контура соору-
полземногл «та °Рдинаты У> т- е. расстояния по вертикали точек
КОЙГУра от плоскости сравнения Ох. В результате под
т ЧЯРР РНУТОГО К0НТУРа флютбета получилась эпюра, выражаю-
X ?™убления точек подземного контура ниже плоскости сравне-
лянлрния “едУег из формулы (11.37), эпюра гидродинамического
S3 noL СКладывается из Двух названных выше эпюр. Таким обра-
’ пп РимеР’ для точки а подземного контура имеем пьезометри-
ческую высоту
Уа-
ямг,?-^ММарН°е давленне на любой из участков подземного контура ’)
р аетея площадью части эпюры давления, соответствующей дан-
УчасткУ» умноженной на удельный вес воды. Равнодействующая
„<1гтЕ?1даНаМИЧеСК0Г0 давления на прямолинейный уч-’сток контура
р ЛеНЗ П° Н0Рмалн к этому участку и проходит, как легко по-
ть, через центр тяжести соответствующей части эпюры давления.
пределение градиента напора J для любой точки области филь-
р ции производится следующим образом. Через данную точку про-
UeT* ЛИЖЯ Г0Ка‘ ОяРеделяегся изменение напора ДА между двумя
та >гДНИ77И линиями разных напоров, между которыми лежит данная
^чка. далее измеряется расстояние Дз по линии тока, проведенной
ня^аа ра£9магРиваеиУю точку между указанными линиями равных
п ров. на основании полученных результатов определяется искомый
градиент напора
/ = __	(11.38)
^°^йСть^ильтРаЧии 8 любой точке области фильтрации опре-
деляется по формуле
v = kJ,	(11.39)
где гРаДиент напора, найденный как указано выше.
ПрИ ВИполнении фильтрационного расчета требуется по-
р	скоР°стей фильтрации по заданной линии. В этом
nimnu ирелеляются скорости фильтрации в нескольких точках этой
найденные значения скоростей фильтрации откладываются
ы»	масштабе над соответствующими точками линии.
или*» ' 61 изображена эпюра скоростей фильтрации при выходе
грунта (эпюра выходных скоростей). В данном случае точки,
!) Снятая яа единицу длины сооружен»#,
§ 129] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРАЦИИ 471
для которых определялись скорости фильтрации, взяты иа построен-
ных линиях тока сетки фильтрации. Отрезки линий тока As взяты
между линиями равных напоров, из которых одна совпадает с линией
дна водотока, а другая — ближайшая к первой.
Заметим, что площадь эпюры выходных скоростей (с учетом при-
нятых масштабов) будет представлять собой фильтрационный расход,
Фиг. 261.	фнг> 232-
приходящийся на единицу ширины потока или же единицу длины
сооружения.
Фильтрационный расход, приходящийся на единицу длины соору-
жения, можно определить по сетке фильтрации следующим обравом.
Выбирается отСек, заключенный между двумя линиями равных напо-
ров. С двух других сторон отсек ограничен линией подземного кои-
тУра сооружения, кривой депрессии, поверхностью водоупора, иля Же
условной границей, за которой скорости фильтрации имеют относи-
тельно малые значения. Отсек разбивается по длине на несколько
частей со средними длинами Д/ж и средними ширинами йзт (фиг. 26л).
Тогда фильтрационный расход может быть определен по формуле

(11,40)
где ДА — изменение напора по ширине отсека, я — число частей, *а
которые разбит отсек.
Обычно длины частей отсека Д/ж берутся одинаковыми, и тогЛ»
вместо (11.40) будег:
(1Ь*1)
Если грунт образован из слоев с различными значениями к
фильтрации, то фильтрационный расход определится
472 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Ц
шиГп^™а^°Д0В’ пР°те1£а1°Щих через отдельные зоны отсека, имею-
Устных	коэФФвдиента Фильтрации. Каждый из таких
лам н ь'птлп Д0В МОЖно определить по приведенным выше форму-
пйента Аил??™ подставляются соответствующие значения коэффн-
травдонных хяпя^т ЯЛЯ отдельных 30н- Способы определения филь-
пои гоаЛииог^Ам еристик’ изложенные выше, применяются не только
случаев ^Няттим П0Стр0ении сеток фильтрации, но и в ряде других
ными c'nnrnrtFwuер’ Определение указанных характеристик изложен-
Фильтоапии ггп « пряменяется при экспериментальных исследованиях
или rnvHTAnAM ггг.еГ°Д^ электР°гидРодинамических аналогий, в щелевом
8 1ЧО ил ТКе’ 3 также при полевых исследованиях фильтрации,
пионногп пя™ЛоД конечных разностей. В ряде случаев фильтра-
даюшим тиКгт можно воспользоваться методом конечных разностей,
метол mowwa женное Решение задачи в численном виде. Названный
олнопопнпт иэпРИМеНЯТЬ ДЛЯ Решения плоской задачи при наличии
конечных пяа тропнОгО и анизотропного или слоистого грунта. Метод
матической АичОиТеич?ЙпеНЯеТСя при решении различных задач мате-
этим метопом л. И *3 ' ^ешенне задач по установившейся фильтрации
лай а чяЛм ыло предложено в начале двадцатых годов Е. Л. Нюсо-
К,.ЛМ разрабатывал°сь другими авторами [4, 10].
(ЬеоеипйЛкнА ”етода КОнечпьгх разностей заключается в замене диф-
в кпнетомх Уравнения фильтрации соответствующим уравнением
Область Р. ЗН0Стях 8 8 численном решении последнего уравнения,
значение ^а™вЛЬТкаШ1И’ В к0т0р0й требуется определить численное
рости Аильтпо ~ляб° Фикции (функции тока или потенциала ско-
контлп ката«а»ИИ заменяется сеткой (сеточная область), граничный
области	ЛИб° 8 Т0ЧН0СТи соответствует граничному контуру
наппимоп^пп Р ЦИИ’ ЛН^° аипроксимирует его, как это имеет место,
удобнойР’ср-^АвРИВОЛИНеЙНЬ1Х граниИах области фильтрации. Наиболее
квалпятА» л» является сетка квадратная, т. е. образованная из
образным’ пап^яа0 8 некоторыз: случаях может оказаться целесо-
и т „ ___ ваться сеткой прямоугольной, параллелограммной
граций. висимости от формы граничного контура области филь-
Ф«иМтлТе" ОбЛаСТЬ фильтрации с непрерывным изменением
«5 облает 3 ИЛИ потенциала скорости (напора) заменяется сеточ-
нейшем пля та а знДченн& ндзванных функций определяются в даль-
ПппЛ « ЧеК тереСеЧе»8« линий сетки.
дится посоелстпАМЗНпАеНЙЙ ИСкомой Функции в узлйх сетки произво-
димо в начале	приближений. Для этой цели необхо-
значейиями функции яслительнрго процесса задаться произвольными
исходное приближение Вдет бпГ*	УскореНЙЯ
зуя, например, графически « б₽ 8ОЗМО»ио более точным, исполь-
искомбй Функции Тятг Cn™ nocTpoftH«e линий с равными значениями
Дует предваретейьно 4а ?лаза^даИИИ Зйачения Функции тока сле-
а глаз построить линии тока, написав на них
§ 130]
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
473
узлах /, 2, 3 и 4 квадратной
Фиг. 263.
аначения функции тока. Затем, исходя из построенных линий, можно
написать в точках сетки значения искомой функции. Эго будет (сход-
ным приближением.
Положим, что значения функции в
клетки на фиг. 263 известны и равны
/р /а> /в и /*• Значение функции в цен-
тре клетки будет:
д ==	.	(11.42)
Последняя формула позволяет полу-
чить значения функции в центрах всех
клеток области.
Далее можно уточнить значения
функции в узлах сетки. Примем точки
в центре клеток за узлы новой сетки,
показанной на фиг. 263 пунктиром.
Тогда узлы прежней сетки окажутся _
новые, более точные значения функции i
2 ’	_ ______________
новое значение функции в точке 4 будет:
______/о+Л+Ув+Л
А —__4
в
центрах новых клеток и
9 «  	в узлах основной сетки /,
«могут быть определены на основании формулы (11.42). Так,
(11.43)
Таким способом мы получим во всех узлах основной сетки новые
значения функции.
По новым значениям функции в узлах мы снова находим, поль-
зуясь формулой (11.42), значения функции в центрах клеток, а затем
значения функции в узлах основной сетки в третьем приближении.
Описанный итерационный процесс продолжается до тех пор, пока
значения функции в узлах для двух последовательных вычислений
будут разниться друг от друга на величину, меньшую наперед задан-
ной величины.
В процессе вычисления, конечно, известные значения функции на
границах области фильтрации остаются неизменными.
Рассмотрим применение способа конечных разностей на следующем
примере. На фиг. 264 изображен флютбет гидротехнического воору-
жения, имеющий три шпунта. Водопроницаемый грунт залегает на
поверхности водоупора, представляющей собой горизонтальную пло-
скость. Определим значения функции тока в области фильтрацНи.
Прежде всего построим в области фильтрации сетку._В
случае сетка будег квадратной. Как видно из чертежа (фиг. 2t>4],
длины сторон граничного контура являются кратными сторонам квад-
ратов. В средней части области, где линии тока должны сгущаться,
крупные квадраты разбиты на более мелкие, со сторонами, вдвое
меньшими сторон крупных квадратов,
474
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 11
Как известно (§ 19), на подземном контуре флютбета функция
тока имеет постоянное значение. Положим, что приведенное значение
функции тока на контуре флютбета будет фг = О. На поверхности
водоупора, где функция тока также характеризуется постоянным зна-
чением, примем фг= 100 *).
На чертеже области фильтрации нанесем предварительно на глаз
линии тока, соответствующие значениям функции тока 20, 40, 60
и 80. Указанные линии тока имеются на фиг. 264. По этим линиям
Фиг. 264.
путем интерполяции намечаем значения функции тока в узлах сетки,
которые надписываем в соотве гствующих узлах на фиг. 266. Линии
тока пересекающя с линиями дна верхнего и нижнего бьефов по нор-
малям. Для соблюдения этого условия продолжим сетку за линии дна,
пристроив к ней один вспомогательный ряд квадратных клеток, сим-
метричных клгткам ряда, лежащего ниже линии дна. Значения функ-
ции тока в верхних узлах вспомогательного ряда клеток будут те
же, что и в симметричных им узлах (фиг. 265).
Основываясь на значениях функции тока в узлах, определяем по
формуле (11.42) значения функции тока в центрах клеток. Эти зна-
чения написаны внутри клеток на фиг. 265. Далее по значениям
в центрах клеток определяем по (И .42) в узлах во втором прибли-
жении. Эти значения написаны в узлах сетки на фиг. 266. Внутри
клеток на том ж? чертеже написаны значения фг, полученные по той
же формуле (11.42). На фиг. 267 даны значения в третьем прибли-
жении, а на фиг. 268 — значения % в четвертом приближении. Осно-
вываясь на четвертой приближении значений функции тока в узлах,
на фиг. 268 построены линии тока. Точки этих линий были найдены
на сторонах клеток путем линейной интерполяции между значениями
функции тока в узлах.
Вместо линий тока можно было построить линии равных приве-
денных напоров, действуя таким же образом.
мр₽	Ляу,ае в отношении наглядности таблиц и записи удоб-
иее^|принажать приведемте значение функции тока равным не единице.
490
85.0
860
84,0
95.0
9ЯО
S55
98,0
900
dao 745 620 42,0 О
87,7	9-----?---у- — 8------8
I 760 ! &Х5 ' 480 ! 255 '
8(Ю ?5Р 4&0 450 Ь
67t7
420
/ОТ
300 500 680 740 82,0
Ч-----9-----у----9---9
| 30,0' 54,0\ 67.5 ! 76,5 !
О	4QO	60Q	TOP	7%0
Л зао 54,о\ 675 \ 7воГ~
300	550	66,0	74.0	820
—о-----6-----О	 О-----Q QQJ
857
80,0
990
960
850
4251 520 6501 7451 6051
\0 650 680 780 820 84,0
9‘
iO
385
955
980
—о
955
99,0
—О
юо
TOO
920	880	84.0	800	780	700	700 700	760	850	840	880	880	88,0	пг_
952	?------<?-----<?-----9------9-----9---Y— I------------?------?-----‘J------?-----?----?
I -9501 93О\ 91О \ 895 \ 870 \ 850\ 850\ 865\ 89,0 \ 9/0 \ 930 \ 94О\ 94О\
ТОО	ТОО	ТОО	ТОО	ТОО	ТОО	ТОО ТОО	ТОО	ТОО	ТОО	ТОО	ТОО	ТОО
Q. _-о— о	—о - _ Q, -о qL-------------О—. '.-.-О---О ' О---------О "• О ....  О	",  ....
985
ТОО
ТОО
—о
4Й2
990
990
< —
ЮО
957
№7
916
94
87.3
--------
4
825	727	60.4	412	О
807	9-------<f------9------9----9
I 767 \ 64,6\ 429 ЮО
818	697	557	342	о
Фиг. 265.
856
93,8
800
О
35.7	502	652	746	825
9------q----(j--ч}-----9
। 318 ! 545 \ 680! 725 |
О Ь	420	657	717	813
955
9Т,Т
I
&О
~9
857
219 27,9 355
955
796 71,0 502 41
Ж?! i
1 ЮО
922
-9 ЗД/
700
938
99,0
ТОО
Фиг. 266.
ЯР
700
—о
823
879
94.2
930
I* 859
I
957
97.8
980
959
893
832
957
980
943
8Z9 739 709 585 487 489 4(2 463 527


ТОО
980
9—
9907
t0S-
984
юо
92.6
948
1ОО
 о.. 
я„ 313 832 843	79.9	750 77,7	773 733	755	880 837	87.2	980 932	ос-
I ££81 935 JZ2I 887} 857 \ 857 | 887 I 87.5 | 89.1 | 9091 932 | 943\ 958 |
700 700 700	700	700 IQO	100 100	100	100 700	700	700 700
 о о---------------о  о----й-----—о—	о —о---------о-----о   о " о---------о---------
Фиг. 267.
834 71.3 563 323 О О О О О О 43.8 61.8 73.6 83.9
843У
84.8
700
92.4
884
\3 Ji4t^4t3^.46p
887
94.7
983
700
—о
98,0
99.0
—О
936 893 843^6 748"718 ?}.$' "734 76.5 799 830''885 90,4 93.7
10Q ЯЮ 700 1ОО 700 700 10(7 КТО 100 1ОО 700 ТОО 700 700
700
700
—о
Фиг. 268.
11311
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

§ 181. Метод конечных разностей в лрнмененм к задала»
неустановившейся фильтрации. Метод конечных разностей, хзркм»-*
няемый при решении различных нестационарных задач, с усивхо»
используется при решении задач по неусгановившейся фильтрация ЦЭД.
Большой практический интерес представляет задача о неустановиа-
шейся безнапорной фильтра-
ции грунтовых вод.
Положим, что медленно из-
меняющаяся фильтрация про-
исходит в грунтовом русле
прямоугольного сечения. Тогда
фильтрация является одномер-
ной, г. е. в данный момент
времени глубины потока опре-
деляются расстояниями $, от-
кладываемыми по линии дна
грунтового русла от некоторого
начального сечения. Дифференциальное уравнение неустановившейся
фильтрации в данном случае будет иметь вид (§ 15)
ds \ ds) ‘ к &
где h — напор, отчитываемый от некоторой плоскости сравнения,
Ц — глубина потока, отсчитываемая от кровли водоупора (фиг. 269),
«— объем жидкости, поступающий с единицы площади горизонталь-
ной поверхности земли за единицу времени вследствие инфильтрации,
t—время, т'—коэффициент отдачи грун.га или же коэффициент
недостатка насыщения (§ 7).
Представим данное уравнение неусгановившейся фильтрации в w-
нечных разностях’.
V--	**~	j.*_ __
(П.480
В этом уравнения индексы j* и т относятся к переменным $ и t, как
видно на разностной схеме (фиг. 270), а и b—шаги ревностей пв
осям $ и t. Если известны величины h и Н в трех точках на линии v,
обозначенных на схеме белыми кружками, то по ним из урав-
нения (11.45) определяется Л, а затем и Н в точке с индек-
сами
Для определения всех искомых величин Л, соответствующих точ-
кам на плоскости s, < фиг. 270, необходимо знать, во-первых, поло-
жение кривой депрессии в момент t — Q, г. е. значения напоров ж
4?S ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 11
во всех точках на отрезке t — Q фиг. 270. Далее необходимо знать
изменение во времени напоров т. е. значения напоров в точках на
линий з = 0 фиг. 270, а также напоров й2 в соответствующих точках
линии 5 = I на том же чертеже. Понятно, что по значениям напоров во
Фиг. 270.
всех точках, обозначенных на фиг. 270 черными кружками, мы по
формуле (11.45) можем определить значения h во всех точках пере-
сечения прямых линий на схеме.
Принимая на данном участке Н — Нер, получим из (11.44)
линеаризованное уравнение неустановившейся безнапорной филь-
трации:
Н । * ___________тг <ЭЛ
лор k —~k dt'
которое в конечных разностях представится в виде
г, fyn+i.•>"bЛц-i,» 2/Тц,,,	( nt'
7 = -J -b
(11.46)
(11.47)
Из последнего уравнения, как и в предыдущем случае, можно о р
делить напор А^(+1, зная значения напоров в трех других т
с индексами v.	юоа-
Наконец, в случае фильтрации в прямоугольном русле по р
зонтальной поверхности водоупора имеем уравнение (2.7о)
dW . 2»	2m' дН
+ A dt ’
(11.48)
которое в конечных разностях будег иметь вид
^-1, < ч 1 2«	2m' 77ц,	— И*, ,
е»	'*=3 * Ь
(11.49)
§ 131]	МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
При отсутствии инфильтрации получим вместо (11.49) уравнение
"Ь ^[>.-1, ч	,	2/п' ^|i.	ч Z11
_	—--------------= -g----------------,	(11.50)
Из которого, как и в рассмотренных выше Случаях, определяется
^ьн-г
Как вы гекает из сказанного, решение уравнений неустановившейся
филь/рации в конечных разностях осуществляется без последователь-
ных приближений.
Г. Н. Каменский [7], применяя метод конечных разностей к ис-
следованию режима подпора грунтовых вод в районе Учинского водо-
хранилища канала Москва — Волга, получил данные, достаточно близ-
кие к полученным нз натурных наблюдений.
ГЛАВА 12
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМНЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
водящих^'средах^лп^гимй лвлениями электрического тока в иро-
ниями электрического УтокдИ физически“и явлениями. Между явле-
напримар фильтрацией жип^Л Другими Физическими явлениями, как,
иием тепла вТепТопосж)л^ытКмСГИ В П°риСгых средах> Р^просгране-
ИМеЭ^	‘ й Г- Д"
вляющих разХ^ХТни^ физических законов, упра-
Дифференциальные уравнТни^я °бнимаег ,многиг СГ°Р°«Ы их'
также являются аналогичными	физических ПР°^ССОВ
аналогичных граничных	Следовательно, при соблюдении
интегралы названии» Условий для геометрически подобных областей
координатами областей ?coomicra^'^^T110 зависимосги между
будут такж’ яиаял™,, со°гветсгвующими физическими величинами,
АтлОпп “Wэлектрическим током к
W^npSS “Sn Т0В,У ДаРС"- 'М"° ”ЛЮ-
кам расположи,,,,	га«лицей 13. В ней по горизошальным стро-
Экспепименгял».НАЛ0ГИ И3 обласгей названных физических явлений,
обычно сопряжено с значиССЛеД°ВаНИЗ Условившейся фильтрации
готовлении мололи чигельными техническими затруднениями в из-
бу»;ЯИОРО=  к ’• Э™ исследования тре-
вившихся процессов Пп?пкЧеСТВа вРемени лдя лосгижеяия устано-
значительно гтата ' м од°бное исследование электрического поля
осуществляете^ по о ОделиРование обласгей электрического тока
«.ZXSZ0У™Л	произвол’.,ся «иереи»
боров. Если при этом ИМ» р ПОМОЩЙ электроизмерительных при-
целивается мгнозеХо гп В ВВДУ’ 4,0 электрическое поле усга-
”	вас"г’" фХ£~ "»У—Р-У-™
еловые значения3э^ктрХс1<огоЛ°ппУЧаЯ ИЭ электРическ0Й моделИ Ч“'
числовые значения налоп/n ™ потенциала, мы гем самым получаем
потока. Для нахожлАииа В соответствующих точках фильтрационного
нахождения числового значения фильтрационного расхода
§ 132]	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ
Таблица 13
Аналогия между электрическим Тбкбм и фильтрацией
Электрический ток	Фильтрация
Электрический потенциал U У Дельная проводимое! ь — Р Плотность тока 1 Закон Ома i = —Igmiy Р Уравнение Лапласа для электриче- ского потенциала \72У = 0 Граничные условия Изоляционная поверхность ^ = 0, дп где п— нормаль к поверхности Интеграл уравнения Лапласа С/=/(х,у, г) Эквипотенциальная поверхность U = const Сила тока /	Пьезометрический напор Л Коэффициент фильтрации k Скорость фильтрации ® Закон Дарси © = — Л: grad й Уравнение Лапласа для напора V2S = 0 Граничные условия Непроницаемая поверхность дп гДе п —нормаль к поверхности Интеграл уравнения Лапласа Д==/(х, у, а) Поверхность равных напоров ft — const Фильтрационный расход Q
Нужно получщь на электрической модели числовое значение его ана-
лога— силы тока.
Такова сущнос1ь широко распространенного в настоящее время
Ма'ода электрогидродинамических аналогий, называемого сокращенно
методом ЭГДА, применяемого в различных областях науки и техники.
В дальнейшем даются более подробные обоснования этого метода,
а 1акже подробно рассматриваются 1еоре1ические и практические
«опросы моделирования фильтрации при помощи электрического поля.
Метод элекгрогидродинамическнх аналогий, разработанный в
1920—1921 гг. и опубликованный в 1922 г. Н. Н. Павловским [ 1J, полу-
чил весьма широкое распространение в области исследования филь-
трации, а затем он стал широко применяться и в других областях,
например, при исследованиях обтекания тел жидкостью, в исследова-
ниях теплопередачи, в теории упругости и т. д. Для иллюстрации
практического значения метода ЭГДА можно указать, что он был
Использован при проектировании всех сколько-нибудь значительных
гидро технических сооружений в СССР, построенных за последние 25 лб »
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДиНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ /гл. 12
§ 133. Некоторые сведения из теории электрического поля.
Обозначим через i пло/носгь электрического /ока, через U электри-
ческий по/енциал и через ~ удельную проводимос/ь электропровод-
ного материала. Проекции век/ора i на координатные оси Ох, Оу л.
Oz бу луг'.
1 dU	1 dU .	1 dU ,19 п
i_=-------/,, =----------s- и /. ==----------т-.	(12.1J
х р дх ’ v р ду z р дг
По закону Кирхгофа
сЧг ।	—Q	(12.2)
дх П- ду dz и’	v ’
вследс/вие чего, имея в виду (12.1),
d4J d4J , dHJ
dxJ ' ду* ‘ dz*	'
(12.3)
потенциала. Соединяя э/и
Фиг. 271.
Электрический по/енциал U(x, у, г) удозле/воряег уравнению
Лапласа, т. е. является гармонической функцией координат.
Положим, что посргдс/вом опы/а, осуществляя электрические из-
мерения на модели, мы получим ряд ючек с одинаковыми значениями
/очки поверхностью, мы получим поверх-
ность равных потенциалов или эквипотен-
циальную поверхность:
У(х, у, г) — const. (12-4)
Э/а поверхнос/ь пересекае/ся сило-
выми линиями или линиями тока электри-
ческого поля под прямым углом.
Веюоры плотности /ока i распола-
гаются во всех точках силовых линий
по касательным.
Сила /ока 1, проходящая через позерхнос/ь 5 (фиг. 271), будеы
/ — J* /cos a ds.	(12.5)
8
Если поверхнос/ь s ес/ь часть эквипо/енциальной поверхности, ю
8
Положим, чю имеется два сечения проводника и потенциалы
в Этих сечениях равны и 1/2. Тогда по закону Ома
,Ui~Ut	(12.7)
где /?~эле1сгреческое сопротивление проводника на участке межДУ
указанными двумя сечениями.
§ 1341
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ
483
В тех случаях, когда проводник, как эго часто бывает в опытах
по методу ЭГДА, является плоским, уравнение (12.3) будет иметь вид
W , W 
(12.8)
Эквипотенциальные поверхности при этом заменяются эквипотен-
циальными линиями
L7(x, yr) = const.
(12.9)
При переходе тока из одной среды с удельной проводимостью
— в другую среду с удельной проводимостью ~ вектор плотности
юка I, если он не направлен по нор-
мали к поверхности раздела сред, изме-
няет свое направление и, следовательно,
линии тока испытывают преломление.
Если обозначить через 0, и % углы, об-
разуемые направлениями вектора плот-
ности тока с нормалью к поверхносш
раздела сред (фиг. 272). то
Фиг. '272.
tg 0i
tg^
(12.10)
Осоновимся на практических единицах измере	Рлемгои-
величин. Единицей силы тока является ампер («),* ед> _ сопооги-
ческого потенциала — волы (в), единицей элекф
вления — ом (ож), причем
(12.11)
Единицей проводимости является
(12.12)
следовательно, единицей удельной проводимое!и буд-г.
а/м*__________________________________1 ..	(12.13)
~в/м омм’
Часю удельная проводимость измеряется в
Удельное сопротивление проводника р — величина, обратная удШ-
ной проводимости следовательно, удельное сопротивление w-
мзряегся в ом м или же в ом см.	ааая<*м.
§ 134. Условия подобия при моделировании. Сравнение’
“ос гей, данных для электрического тока в f 133 и ДЛЯ фиДьгрй
8 § 14, позволяет заключить об аналогии между обоими физическая,
484
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ [ГЛ. 12
явлениями. При этом аналогом напора в фильтрации является элек-
трический потенциал, аналогом скорости фильтрации—плотность
тока, аналогом коэффициента фильтрации — удельная проводи-
мость, а аналогом фильтрационного расхода — сила тока.
Таким образом, явления установившейся фильтрации можно вос-
производить при помощи электрических моделей, г. е. моделей из
электропроводного материала, в которых действует электрический
ток. При этом числовые значения электрических величин (потенциала,
плотности тока, силы тока) находятся в постоянных отношениях
с соответствующими им аналогами в области фильтрации.
При тождественности дифференциальных уравнений для электри-
ческого потенциала и для напора подобие полей электрического по-
тенциала U и напора h будет осуществляться при наличии следую-
щих условий:
1.	Внешние границы областей фильтрации и электрического тока
должны быть геометрически подобными.
2.	На границах областей фильтрации и электрического тока дол-
жны быть идентичные граничные условия для напора (§ 19) и для
электрического потенциала.
3.	Внутренние границы, разделяющие грунты с различными коэф-
фициентами фильтрации, должны быть геометрически подобны грани-
цам, разделяющим среды с различными удельными проводимостями,
а отношения проводимостей соприкасающихся сред к коэффициен-
там фильтрации соответствующих слоев грунта должны быть постоян-
ными:
(12.14)
1 1
где —, —
Pi Рз
электрического тока, ky, k2,
соответствующих слоев грунта.
1 _ 1
рЛ р~л?
1
удельные проводимости частей области
•»	— коэффициенты фильтрации
,У^Л0ВИЙ (I2-J4) отклонение вектора плотности
скорости гЬильтпяпи^1РаНИ11Ы двух сред бУЯгт подобно отклонению
»	(фТ™).,SP'3	rW“
жрующе™1,?облагг^И^Ь1Х усл0ВиЯ	о«мсги фильтрации и моде-
образом На ипярп влекгрического г°ка осуществляется следующим
названные повепхиптги ? По'еВДиал должен быть постоянным, т. е.
нами, на которых Должны Во всех точках соприкасаться с ши-
U= const.	(12.15)
через Рюшную' ™лГИЗ°браЖеиа нРосфяисгяенная схема фильтраций
Рез земляную плотину, такими участками являются 1-2 и 4-5.
§ 134]	УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ
4ДО
Поверхности модели, соответствующие непроницаемым участкам
области фильтрации, должны соприкасаться с диэлектриком, вслей-
сгвие чего на названных поверхностях будет соблюдаться необходи-
мое граничное условие:
g =	(12.16)
На фиг. 273 таким участком является 6—7.
На поверхностях модели, соогветавующих участкам высачива-
ния грунтовой воды на откосы земляных сооружений, должно быть
соблюдено условие линей-
ного изменения электриче-
ского потенциала в зависи-
мости от высоты:
U~ay, (12.17)
где у — высотная отметка
данной точки или линии, U—
ее электрический потенциал,
а — постоянная.
Фиг. 273.
потенциала вдоль линии или по-

На фиг. 273 участком
высачивания является уча-
сток 3—4. Линейное изменение
верхносги осуществляется посредством несложных приспособлений,
описываемых ниже.
Поверхности модели, соотвегс1вующие поверхностям депрессии
фильтрационного потока (на фиг, 273 учасюк 2—3), должны сопри-
касаться с диэлектриком. На этих поверхностях должно быть со-
блюдено условие (12.17), что достигается путем подбора форм этих
поверхностей в процессе опыта, о чем будет сказано в § 142.
По третьему из перечисленных выше условий подобия кроме гео-
метрического подобия очертаний слоев грунта и слоев электрической
модели необходимо соблюдать постоянство ошошений коэффициентов
фильтрации грунта к соответствующим удельным проводимостям слоев
модели (12.14). Проводимость электропроводного материала подби-
рается из опыта.
Если грунт однороден, то значение удельной проводимости модели,
с точки зрения соблюдения подобия, может быть задано произвольно.
В случае неоднородного грунта произвольно может быть задано только
одно из значений удельной проводимости, все же прочие ее значения
получаются из отношений (12.14).
На фиг. 274 показана область фильтрации под основе Стой-
кой плотины с нанесенными линиями равных напоров, узу изобр^-
ж?на электрическая модель этой области с линиями ра ых ’л
ческих потенциалов, соответствующими линиям равных напоров, ЩиЯ*
модели показаны жирными линиями,
486
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ аналогий
[гл. 12
На фиг. 275 представлена схема модели земляной плотины. Мо-
дель выполнена из электролита, налитого в ванну с горизонтальным
дном. На модели осуществлены все граничные условия, перечислен-
ные выше. На участках 1—2 и 4— 5 потенциалы постоянны, что
достигается подводом тока
к шинам ZZZj и ZZZ2, присо-
единенным по линиям 1—2 и
4—5 к модели. Участок 6—7
отвечает поверхности водо-
упора. Здесь электролит со-
прикасается с диэлектриком.
На участке 2—3, соответ-
ствующем кривой депрес-
сии, поверхность депрессии
соприкасается с диэлектри-
ком. Как сказано выше, по-
верхность депрессии подби-
рается в процессе опыта.
Участок 3—4 соответ-
ствует поверхности высачи-
вания грунтовой волы на
откос плотины. Злесь элек-
трический потенциал, как и
напор в натуре, изменяется
по линейному закону. С
этой целью к участку мо-
шина шк, непроницаемая для
жидкости, но проводящая электрический ток через изолированные
друг от друга проводники (конструкция таких шин описана ниже).
С другой
дели 3—4 приключается коллекторная
стороны шина
7U1
Фиг. 275.

(конструкция таких шин описана ниже),
приключена к кюветке К прямоугольного
сечения, в которую налит электро-
лит с большой удельной проводи-
мостью. К шинам «/' и ш'г на
концах кюветки подводится ток и
в кюветке осуществляется линейное
падение потенциала, передающегося
чеРез проводники коллекторной ши-
ны на границу модели 3—4. Зона А
соответствует грунту, проницае-
мости остальной части	М0Сгь КОг°Рого отлична отпроницае-
соцержит жидкость, удельмя ЬГрации- Поэтому зона Я на модели
равенств (12.14'1 и т-пи„ЛаЯ пР°в°Димость которой определена из
части модели Ваял 4 1СЯ От Удельн°й проводимости остальной
§ 18Гэ«^п1^?аЖдена коллекторной шиной.
риалы моделей в₽ Ж’ХЫти М*ТеМалЫ‘ Злектропроводные мате-
у орти от поставленной задали исследования
§ 135]
ЭЛЕКТРОПРОВОДНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
487
должны удовлетворять частично или полностью некоторым усло-
виям.
Должна иметься возможность искусственного изменения удельной
проводимости — в достаточно широких пределах. Если материал не
Р
позволяет искусственно изменять его удельную проводимость, он может
применяться только для моделей областей фильтрации, заполненных
однородным грунтом. При исследовании фильтрации в разнородных
слоистых грунтах удельная проводимость должна изменяться в общем
случае в пределах: 10® ом-1 сж"1 10“6 ом-1 см-1.
Проводимость модели практически не должна изменяйся в тече-
ние времени, необходимого для проведения опыта.
Материалы, из которых приготовляются отдельные участки моде-
лей с различными удельными проводимостями, должны давать по
границам их соприкосновения друг с другом, а также с шинами
надежные электрические контакты.
Для исследования пространственных задач необходимо, чтобы при-
меняемый материал позволял изготовлять удобно и просто простран-
ственные модели применяемых в практике размеров.
Наиболее широкое распространение при моделировании получили:
станиоль; различные электролиты; увлажненные порошкообразные
смеси (дисперсные массы); желеобразные массы и студни, коллоид-
ный графит и др.
Эти материалы не удовлетворяют всем выше указанным условиям,
но имеют как положительные, так и отрицательные свойства, по-
ясняемые ниже.
1°. Свинец, олово, алюминий в листах или лентах толщиной
0,010—0,015 мм, наклеенные на картон, употребляются для приго-
товления моделей плоских фильтрационных потоков с однородно-
проводящими областями.	. ..
С момента создания акад. Н. Н. Павловским метода ЭГДА [ 1
и до 1930 г. станиоль являлся основным элеюропроводным материа-
лом при изготовлении моделей. Возможность применения постоянного
тока, достаточная однородность, простота изготовления модели обу-
словили широкое распространение этого материала при освоении ме
года ЭГДА и при решении простейших задач по фильтрации. Однако
с развитием и совершенствованием метода ЭГДА, а также с расши-
рением круга решаемых задач станиоль перестал удовлетворять воз-
росшим требованиям в силу ряда присущих ему недостатков.^К числу
этих недостатков относится невозможность изготовления, пр Р
ственных моделей, а также моделирования плоской фильтрации «разно-
родных грунтах.	. ।	_л
Большая удельная проводимость станиоля 5X10 ом .см )
не позволяет создавать на шинах модели напряжения выше ОД 9 во
488
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМНЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ [ГЛ. 12
избежание нагрева модели. Малое падение напряжения затрудняет
измерение электрических потенциалов в точках модели.
Вследствие малого сопротивления моделей из станиоля на точности
исследования сильно сказываются сопротивления проводов, а также
переходные сопротивления, возникающие в контактах шин с моделью.
Подача тока к шине посредством
системы проводов одинакового со-
фит. 276.
противления, расположенных друг
от друга на расстоянии полуши-
рины шины (фиг. 276), практи-
чески уничтожает имеющееся не-
равномерное распределение потен-
циалов вдоль линии контакта ши-
ны со станиолем.
Малое удельное сопротивле-
ние р = 2,2Х10"{ омам ста-
ниоля не позволяет осуществлять
падение напряжения по закону
roMv чятии	„	прямой или по какому-либо дру-
ничным KOHrvnnMP тпД Х МОДелИ’ Модели, обладающие сложным гра-
Е’ У изгог™-"''»» специальных массиных «е-
таллических (медных или лагунных) шин.
лей оппелелени!^11’ ЧТ° При малых величинах сопротивления моде-
с помощью мосгпп^глЬТРаЦИ0ННЫХ Расходов на станиолевых моделях
значительные погрешнХ™™ “ °бЫЧНЫХ приборов ЭГДА МеГ
литы~^слт^иТе-«,МаГериаЛ0В моделей применяются [15] электро-
в воде или в nnvruИДК0СТи или растворы солей, щелочей и кислот
Среди элеЛпппУг раствоРителях (глицерине, гликоле и т. д.).
поваренной ст» Т °8 111йР°кое распространение получили растворы
купоросов и т ’ п йр1енной СОДЫ> поташа, едкого калия, различных
солей и тякжа ВодопРоводная вода содержит растворы многих
Величинv« PH ТеТСЯ лля изготовления моделей.
няется в шипп^й^Л^Н° проводимосги электролитовых моделей изме-
гается путем измене!^*1*' Изменение Удельной проводимости дости-
проводимости пяпя концентРаййи раствора. График удельной
а на Фиг 278 ««L ВОдных электролитов представлен на фиг. 277,
стиллХваннойДводе.3аВИСИМОСТЬ УдеЛЬНОЙ проводимоепг C«SO4 в ди-
сто^его^риготпя^™ пРи«енения электролита способствует про-
Диокных расходов (21Ти SowTcS Т0ЧН0СТЬ 0ПределеНЙЙ фильтра-
а также mnru-uv „„ 1 « возможность изготовления пространственных,
ные зады модели пазим ПРИ наличии слоистых грунтов. Неоднород-
новленными вдоль₽линнйТ0СнтЯГИбКИМЙ коллекг°РНЫМЙ шинами, уста-
ва ПОЛОС целлулоида на I КТ°В СЛ06В' Шины эТи изготовляются
7	» а которых укрепляются изолированные ДРУГ
§ 135J
ЭЛЕКТРОПРОВОДНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
1X9
Фиг. 277.
Фиг. 27&
490
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ	[гЛ. 12
от друга металлические пластинки, проволочные хомутики или же
в полосах проделываются мелкие отверстия, заклепанные с обеих
сторон кусочками проволоки (фиг- 279). Такие шины, будучи непро-
ницаемыми для жидкости, хорошо проводят электрический ток.
Исследования электролитовых моделей ведутся на перемен-
ном токе.
В качестве изоляционного материала для моделирования какой-
либо непроницаемой поверхноС1и или кривой депрессии употребляется
дерево, пластилин или парафин
с воском. Питающие шины уст-
раиваются из медных или лагун-
Фнг. 279.
пых листов толщиной 0,1—1,0 мм.
При прохождении электриче-
ского тока через электролит про-
исходят реакции, при которых
электролит разлагается, шины
растворяются или окисляются,
возникают различные паразитные
токи и вредные эффекты. Все это
вызывает непрерывное изменение
проводимости электролита, пере-
распределение сопротивлений, что
нарушает электрическое равнове-
сие схемы, затрудняет измерения
искомых величин и вносит по-
грешноС1И в исследования. Осо-
бенно вредными явлениями, кото-
рые могут сильно исказить ре-
зультаты исследования, являются
емкостные токи, токи смещения,
электролиз, диффузионный потен-
циал и гальванический эффект.
Сюда можно присоединив еще
наличие концентрационной и элек-
тродной поляризации, а также об-
разование на шинах тонкого изо-
лирующего слоя, порожденного
адсорбционным или электрохимическим пассивированием металла, в ре-
зультате чего возникают сопротивления на контактах и контактная раз-
ность потенциалов. Кроме того, на точности опытов может сказываться
влияние обратимого потенциала и скин-эффеки, а также электро-
кинетических явлений (электрофореза, электроосмоса, конвекцион-
ных токов и т. п.).
Под действием происходящих в течение опыта электрохимических
сво8сгв* электролитов н электродов (шин) могут изме-
§ 135]
ЭЛЕКТРОПРОВОДНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
491
Интенсивность всех указанных явлений зависит от чистоты и хи-
мического состава электролита, материала шин, формы и качества
диэлектрических контуров модели, условий монтажа и проведения
эксперимента, рода электрического тока, характера задачи, элек-
трической схемы прибора и т. д.
В качестве электролитов следует применять такие составы, кото-
рые резко понижают или уничтожают вовсе вышеуказанные вредные
эффекты и явления.
Электролиты, обладающие небольшими и почти равными подвиж-
ностями анионов и катионов, снижают концентрационную и элек-
тродную поляризацию, уменьшают электролиз и диффузионный потен-
циал. К таким электролитам оiносятся, например, азотнокислый сви-
нец, различные соединения калия и аммония.
Желательно применять электролиты, обладающие минимально
диэлектрической постоянной и максимальной вязкостью. Кроме того,
электролит не должен содержать твердых взвешенных частиц.
С уменьшением диэлектрической постоянной сильно снижается поля-
ризация и емкостный ток, а с увеличением вязкости ослабляются
элекгрокинетические явления на границах модели, т. е. в местах
соприкосновения электролита с шинами и непроницаемыми контурами
модели. Присутствие в растворе твердых взвешенных частиц вызы-
вает заметный электрофорез и конвекционный ток.
Не рекомендуется изготовляв отдельные слои модели из Элекгро-
лигов различных химических сое 1авов, так как при этом увеличивается
электролиз, концентрационная поляризация и диффузионный потенциал.
По той же причине нежелательны также сильно разнящиеся кои-
цешрации одного и того же электролита в различных слоях модели.
При однородных моделях следует применять электролиты малых
концентраций. В таких электролитах уменьшается обратимый потен-
циал и переходные сопротивления на шинах, а в модели сильно
ослабляется концентрационная поляризация, гальванический эффект
и емкостный ток.
Для уменьшения переходных сопротивлений на шинах, поверхности
шин до начала опыта должны быть очищены. Не рекомендуется при-
меняв в качестве шин такие металлы, которые сильно пассивируются
в cooiветствующих электролитах, как, например, алюминий веерной,
борной и других кислотах, содержащих кислород, или в солях этих
кислот. Однако алюминиевые шины можно применять в электролитах,
состоящих из крепких щелочей или галоидоводородных кислот (НС1,
НВт, HJ).
Шина и игла (зонд) должны изготовляться из одного?, и того же
материала, что значительно снижает гальванический эффект и вовсе
уничтожает разность обратимых потенциалов.
Подводимое к шинам внешнее напряжение должно быть неболь-
шим (3—36 в). Эго позволяет уменьшить влияние ряда вредных
явлений,
492	МЕТОД ЭЛЕКТРОГИЛРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ [гл. 12
По вопросу о частоте электрического тока отметим, что в тех
моделях, где имеются значюельные емкости, желательно пользоваться
током звуковой частоты, так как с повышением частоты возрастает
сопротивление индуктивности и проводимость емкости, что повышает
точность измерений. Кроме того, звуковые частоты уничтожают элек-
тролиз и значительно уменьшают влият ие поляризации, переходных
сопротивлений на шинах и других вредных явлений.
Однако повышать nacroiy тока выше 1000 герц не рекомендуется,
так как при этом возрастает влияние других вредных явлений.
Вследствие сильного влияния электролиза снижать частоту ниже
50 герц также не рекомендуется.
При решении плоских задач на токе звуковой частоты модель
следует изготовлять с малой толщиной (порядка нескольких милли-
метров), так как с уменьшением поперечного сечения электропровод-
ного слоя уменьшается и действие скин-эффекта.
3°. Электропроводные свойщва углей и графитов позволяют при-
готовлять дисперсные массы с переменной электропроводностью.
Изменение удельной электропроводности достигается прибавлением
к графитовой пыли порошкообразных диэлектрических добавок.
В качестве добавок применяются: мраморная мука, тальк, мелкий
кварцевый песок и другие диэлектрики. Смесь порошков графита и
диэлектрика перемешивается и увлажняется до состояния пластичности,
затем укладывается в модель и уплотняется деревянными трамбовками.
Исследования ведутся на переменном токе.
Дисперсные массы позволяют приготовлять модели плоских и про-
странственных потоков с зонами различной проницаемости, причем
отношение проводимостей отдельных слоев модели может доходить
до 10 000. Материалом шин могут служить латунные и медные пла-
стины и т. д.
Широкому распространению дисперсных масс препятствует глав-
ным образом сложность изготовления модели. Кроме того, электро-
проводность массы значительно изменяется в зависимости от степени
уплотнения, влажности и времени. Наличие воДы в качестве состав-
ной части массы обусловливает в модели те же вредные явления, что
и в электролите.
4°. Значительное распространение получили модели из желеоо-
разных материалов, особенно из желатина или агар-агара, выраба-
тываемого из морских водорослей. Изменение удельной проводимости
желеобразной массы достигается добавлением к агар-агару электро-
литов (раствора медного купороса, поваренной соли и т. д.) или по-
лупроводников (сажи, графитового порошка и т. д.). В моделях и3
агар-агара имеется хороший электрический контакт по границам
соприкосновения смежных слоев студня, обладающих различной элек-
тропроводностью. Простота и удобство изготовления любых плоских,
плановых и ряда пространственных моделей из агар-агара способ-
ствуют широкому распространению этого материала,
§ 1361
Установки и приборы эГДА

О роде тока и материале шин можно повторить сказанное об
электролиговых моделях.
К О1рицательным качествам агар-агара относится изменение элек-
тропроводности модели при усыхании студня и образование усадоч-
ных трещин. Влияние трещин особенно сильно проявляется в пло-
скости контакта шин с агар-агаром. Электропроводность отдельных
слоев желеобразной массы можно изменяв в относительно неболь-
ших пределах (1000—2000 раз). Близ поверхностей соприкасания
слоев с различной электропроводностью возникает диффузия раство-
ренных веществ, уменьшающая точность исследований.
Большинство вредных эффектов и явлений, возникающих в элек-
тролитах, распространяется и на желеобразные массы, поэтому при
выборе шин и режиме работы следует учитывать замечания, изло-
женные в 2°.
5°. В качестве материалов модели можно употреблять электро-
проводные лаки, краски и различные смеси, например смеси, со-
сюящие из мелкого графитного порошка и галька, разбавленные
в светлом спиртовом лаке. Изменение удельной проводимости дости-
гается при этом различным соотношением графита и галька.
В моделях, изготовленных из электропроводных лаков, красок
или смесей, рекомендуется применять шины из легкоплавких спла-
вов, а электрический ток — постоянный, выпрямленный или пере-
менный.
Такие смеси позволяют: изменять электропроводности отдельных
слоев в 1—105 раз; осуществляв на граничных контурах модели
переменные и постоянные потенциалы; приготовлять плоские модели
разных размеров, проводить исследования на посгоянном токе; исклю-
чать влияние переходных и контактных сопротивлений щин и други*
вредных явлений, вызываемых в модели переменным током. Однако
трудность равномерного нанесения тонкого слоя электропроводного
материала на большие площади затрудняет широкое применение
этого материала.
6°. В последнее время П. Ф. Фильчаковым предложено использо-
вать в качеств электропроводного материала для изготовления плоских
моделей специальную электропроводную бумагу [17, 23], содержа-
щую графит. Изменение электропроводности бумаги дожигается доба-
влением или уменьшением количества графита при ее изготовлении.
Слои с различной проводимостью склеиваются особым клеем. Таким
образом, электропроводная бумага может служить материалом для
моделей при наличии фильтрации в слоистых грунтах.,
§ 136. Установки и приборы ЭГДА. При производстве опытов
ПО методу ЭГДА следует различать два устройства: во-Первых, модель
исследуемой области филырации и, во-вторых, особы* прибор (уст -
новку), при помощи которого представляется возможным задавать
различные^ электрические потенциалы на участках контура моде^ и
измерять величину электрического потенциала в любой дочке модели.
4 §4
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЙСКИХ АНАЛОГИЙ (гл, 12
Модель
Фиг. 280.
Нулевыми индикаторами
С^ЩеСГВу,0ЩНе ПрИбОрЫ ЭГДА основаны на применении мостовой
vAcMa.
WzXTrPreCKM сх6ма П₽йбора ЭГДА СОС'ОИТ из Двух цепей: й«-
тателъной и измерительной.	3
В питательную цеПь (фиг. 280) входя г: источник тока /, при-
«Х’а регуЛИРУющиг напряжение в цепи, // и приборы для устано-
вления потенциалов на отдельных участках модели III.
В измерительную цепь входят об-
разцовые делители IV и нулевые инди-
каторы V.
В качестве источника тока обычно
применяются аккумуляторы и электри-
ческая сеть.
Приборами, регулирующими напря-
жение и задающими потенциалы на раз-
личных участках модели, служат авто-
трансформаторы, проволочные и жидко-
стные реостаты.
В качестве образцовых делителей
можно употреблять агомегры различ-
ных конструкций и сдвоенные мага-
зины сопротивлений *).
в цепях постоянного тока служат раз-
личные системы гальванометров, а в цепях переменного тока —те-
ефон, электронная лампа 6Е5, вибрационный гальванометр и галь-
«“ТР ПОСгояНного Тока с выпрямительной системой. Последняя
жег состоять из полупроводниковых ламповых и вибрационных
выпрямителей.
Для повышения чувствительности схемы нулевые индикаторы можно
сочетать с различными системами усилюелгй.
Во всех приборах и установках ЭГДА измерительная цепь
палР°еНа П° мосговой схеме. Агометр и исследуемая модель могут
рассматриваться как две ветви, соединенные мостком. Мостик при-
лиаУ ГСЯ С одн°й с 1 °Роны при помощи подвижного контакта к какой-
к точке калиброванной проволоки, навитой на вращающийся
v aroMerPa> а с Другой стороны—с помощью острия иглы —
к модели.
„ С*вМа изм®РигелЬн0й цепи изображена на фиг. 281. Модель раз-
vh линией равных потенциалов на две части с conpoiявлениями
„А. ‘Сдвижной контакт агометра разделяет в точке а прово-
ПЯВУ г а етра на Два часгк с ^проявлениями г, и г2. При наличии
раИСНСГВЯ	1	•
!) Или два магазина сопротивлений.
§ 136]
УСТАНОВКИ И ПРИБОРЫ ЭГДА
4 §5
юк в веIви мос1ика отсутствует и стрелка гальванометра неогкло-
няе1ся от нулевого деления. Из (12.18) следует, чго
, ri ___ И) — Уа
ri+r2 ~	'
(12.19)
где {/р 2/2 и Us — электрические потенциалы на шинах и в той
точке модели, где установлена игла (см.
фиг. 281).
Так как сопротивление калиброванной
проволоки агометра пропорционально ее
длине, то, обозначая длину участков с со-
противлениями Tj и г2 соответственно через
/1 и /2, будем иметь вместо (12.19):
С12-20)
‘1 Т 12	— и2
Таким образом, при нулевом показании
гальванометра отношение длины проволоки
левой части атомегра к полной длине про-
волоки равно отношению падения потенциала
К источнику тока
Фиг. 281.
на зашрихованной части модели к полному
падению потенциала во всей модели. Отсчет по шкале агомегра,
соответствующий положению подвижного контакта, дает значение
приведенного потенциала Ur
в исследуемой точке модели.
Схема установки ЭГДА
Н. Н. Павловского для ис-
следования плоских задач на
посюянном токе изображена
ча фиг. 282, а общий вид
установки по схеме Н. Н.
Павловского — на фиг. 283.
На схеме приняты следую-
щие обозначения: 1 — источ-
ник постоянного тока (акку-
мулятор); 2—амперметр;
3 — peociar; 4 — рубиль-
ник; 5—агометр или рео-
хорд; 6 — шина Ш1 с приве-
денным потенциалом £7Г = 1
и шина LLL с приведенным потенциалом Ur = 0; 7—модель иссле-
дуемой области фильтрации; 8- контур изучаемого сооружения;
9-подвижной контакт агомегра; Ю-игла в оправе и|Ди-
трика; 22 —гальванометр; 22-ключ с тремя конгактЛи. Пи-
тающая цепь установки включает аккумулятор, модели иссле-
дуемой области^ рубильник, реостат и амперметр. Ивмерительная
496
МЁТОД ЭЛЁКТРОГИДРОДИНАМЙЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
(гл. 12
цепь состоит из агомегра, гальванометра, ключа и иглы, Самый
мосгик представляет' собой гибкий провод, одним своим концом
соединенный с подвижным контактом 9 агомегра, другим — с иглой И.
В мосгик последовательно включены гальванометр и ключ. В момент
Фиг. 283.
наблюдения посредством ключа в цепь мостика включается гальва-
нометр.
Схема установки Гидротехнической лаборатории Московского
института инженеров транспорiа (фиг. 284) отличав!ся от установки
Н. Н. Павловского наличием в измерительной цепи двух регулиро-
вочных реостатов а и Ь, коюрые позволяют исключить влияние со-
противлений проводов и переходных сопротивлений шин на распре-
деление потенциалов в модели [2]. Провода, соединяющие агомегр
с моделью, вносят в ветвь модели дополнительные сопротивления
и (фиг. 285). Для компенсации этих сопротивлений необхо-
димо в ветвь агомегра добавить conpoiявления rXl и гх,- Чтобы со
хранить равновесие моста, нужно иметь следующее соотношение:
rsBt rxt ri + гг ______	(12.21)
т, е. отношения вредных сопротивлений должны равняться Orfl0111^
нию сопротивлений рабочих частей агомегра и модели. Огношеии
(12.21) являются переменными, так как они зависят как от контактов
соединений в схеме (длины и сечения проводов, величины контактны
§ 136]
УСТАНОВКИ И ПРИБОРЫ ЭГДА
497
сопротивлений шин), гак и ог сопротивления модели. Введение
в вегвь агомегра реостатов позволяет регулировать сопротивления rXi
и гХг и тем самым смещать точки единичного и нулевого приведен-
ного потенциала в ветви модели
Фиг. 284.	фиг- 285-
Отметим детали установки: три иглы (и), смонтированные в спе-
циальных стаканчиках, и два переключателя (п).
При использовании в модели ионных проводников (элекгролигое,
дисперсных и желеобразных масс) элек-
трические схемы установок ЭГДА должны
быть приспособлены для работы на перемен-
ном токе.
Схема установки ЭГДА для исследова-
ния на переменном токе, смонтированная [3]
в Фильтрационной лаборатории им. акад.
Н. Н. Павловского ВНИИГ им. Б. Е. Веде-
неева, представлена на фиг. 286.
Переменный ток напряжением 110—220 в,
взятый ог осветительной сети, при помощи
грансформагора Тр, понижается до 4—12 в.
Со вторичной обмотки трансформатора ток,
пройдя через реостат R, модель и ампер-
метр А, поступает в трансформатор, замы-
кая тем самым питательную цепь. Перед
первичной обмоткой трансформатора имеют-
ся выключатель тока К и предохранитель
Пр. Параллельно модели к шинам и
приключен агометр Аг. В Диаго-	телефон Г и
паль моста между агометром и иглой И включе *
система выпрямления тока, состоящая из ку Р ческой сн_
лей и /^ стрелочного гальванометра магнитоэлектрической си
стемы и конденсаторов Ct и Cv
Я
ш,
Modeib
\И

кД с, | Г//СТ1
п
Аг
Фиг. 286.
<Sr
4Й8
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
|гл. 12
Указателями тока в диагонали моста служат: при грубой настройке
на нуль — телефон, а при точной — гальванометр. Переключатель П
позволяет включать в измерительную цепь либо гальванометр, либо
телефон.
Измерительная цепь рассматриваемой установки заключает в себе
агометр, гальванометр, телефон, иглу и выпрямительное устройство,
а питающая цепь — понижающий трансформатор, реостат, модель и
амперметр.
На фиг. 287 показана электрическая схема установки ЭГДА,
смонтированная в Государственном гидрологическом институте, опи-
/45г
Фиг. 287.
санная С. М. Проскурняковым в «Приложении I» в сборнике [7|.
Источником тока является аккумулятор Ак, с зажимов которого ток
через зуммер Г и конденсаторы С—С подводится к распредели-
тельным шинам ZZZ0 и ZZ/joq1), к которым приключается и электро-
литовая модель М. Агометр в данной схеме заменен потенциоме-
тром 77, выполненным в виде прямоугольного ящика шириной б сМ,
высотой 3 см и длиной 50 см. Ящик наполнен электролитом на
1—2 см. Подвижным контактом Эп является металлическая пластинка,
опущенная в электролит, В диагональ моста сопротивлений включен
телефон Т (радионаушники). Создание промежуточных приведенных
потенциалов осуществляется дополнительными потенциометрами (ра*
диореостатами ЭД), а осуществление линейного потенциала дости-
гается коллекторной шиной К.
На фиг. 288 представлена схема прибора ЭГДА-1, осуществлен-
ного в ВНИИГ. Принципиальное отличие измерительной цепи в схеме
ЭГДА-1 заключается в применении резонансного контура, состоя-
„	п0ЛУчается повышенное напряжение, так как ток берется
с индукционной катушки зуммера.
I 136}
iUFAHOBKH И ПРИБОРЫ ЭГДА

щего из индуктивной первичной обмотки трансформатора «в. тр»
и емкости С, а также в использовании принципа согласования сопро-
гивления катушек телефона с сопротивлением, возникающим пр
переходе тока ог модели к игле, что значительно повышает чувст
тельность схемы.
В приборе ЭГДА-4 путем переключения осуществляются схем
показанные на фиг. 289. Схемы А и В употребляются для пр
Фиг. 288.
ления линий равных напоров, а схемы С и В-—для определения
сопротивлений моделей. При этом схемы А и С употребляются при
переменном токе, а схемы В и D —при постоянном токе. Они
являются развитием классической схемы (фиг. 286). Благодаря на-
личию в схеме различных сопротивлений ветвей агомегра прибор
позволяет с одинаковой чувствительностью исследовать модели с вы-
сокими и низкими сопротивлениями (из электролитов, дисперсных
смесей, желеобразных масс, станиолевых листов, электропроводной
бумаги и т. д.) Балластные реостаты 1 и 2 позволяют исключить
влияние проводов, контактных и переходных сопротивлений. Устрой-
ство магазина сопротивлений с катушками от 0,1 до 1000 ом дает
возможность измерять сопротивления моделей в широких пределах,
а особый потенциометр (на схемах не показан) позволяет Мдавать
на модели одновременно пять различных приведенных потевциалов.
Имеются и другие принципиальные электрические схемы при-
бора ЭГДА. Схемы фиг. 290 и 291 питаются 'переменным током
‘ехнической частоты через симметрирующий трансформатор, а схемы
500
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДйНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
дпнпт
д оtraxg

Фиг. 289.
§ 136]
УСТАНОВКИ И ПРИБОРЫ ЭГДА
501
фиг, 292, 293 и 294 работают на токе звуковой частоты с исполь-
зованием вибрационного преобразователя с полосовым фильтром
Г-образного типа (фиг. 292 и 293) или лампового генератора
(фиг. 294).
В качестве индикатора тока в ветви моста в схеме фиг. 290 при-
менен вибрационный резонансный гальванометр В. Г. с компенса-
Фиг. 290.
Цией емкостных токов, осуществляемой посредством дифференциаль-
ного конденсатора Д. Л". и конденсатора переменной емкости С.
схеме предусмотрена возможность переключения индикатора тока
2 В- Г. на радиоприемник ’) любой системы. В схемах фиг. 291 и
92 индикатором тока служит механический вибрационный выпря-
митель МВ В с магнитоэлектрическим гальванометром М-ЭГ.
Для плавной или многоступенчатой регулировки чувствительности
гальванометр снабжен шунтом. В этих схемах регулировки емкостных
токов не требуется, так как МВВ в сочетании с М-ЭГ обладает
чувствительностью только к одной активной составляющей тока и
не чувствует другой составляющей (емкости). Регулировка емкостной
составляющей в схемах фиг. 291 и 292 излишня также потоку, что
последовательно с катушкой возбуждения МВВ включено большое
О Применение радиоприемника БЧЗ в схеме ЭГДА см. [4].
502
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ [ГЛ. 12
активное сопротивление Л?. В схеме фиг. 293 применен вибропре-
образователь в сочетании с радиоприемником, а в схеме фиг. 294 —
ламповый генератор с двухступенчатым усилителем и с динамиком.
При наличии хорошей частотной характеристики лампового генера-
тора надобность в электрофильтре отпадает.
В заключение приведем принципиальную электрическую схему
пространственной установки ЭГДА на переменном токе технической
Вибропреобравователъ
Лг
"Мгв-Юв
ев
реометр
ле
11/ша
и
••Г.
Модель
"л/ина '
-2L.Z -*
Лгометр
№
частоты, примененную [19] при исследова-
ниях сложных фильтрационных потоков. Элек-
трическая схема установки фиг. 295 имеет
сложный вид вследствие
ЗифопрвоЛразователь-?
наличия в моделях
клина
Фиг. 292.
£
ЛЛаа
Фиг. 293.
Лжщуй
генератор
Фиг. 294.

HanpSS® ШремХ^е’ ™nn°T°P“e Необходим° подавать различные
модели требуютРус^йстЛ пР НИЯ М	поверхностях
татора позволяв/	потенциометра. Наличие в схеме комму-
граничных поверхностях^^? ЛЮбЫе Прйведеьные потенциалы на
силу тока в от’ ™ и дает возможность легко измерять
(ламУп0ВййаХДмееЛтрТ вклХемыГ11' ЭлеКГР°ВДИЙ «*!
диагональ моста, сильно Й гальванометром и телефоном в
повышает чувствительность электросхемы.
§ 137] ОСНОВНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О МОДЕЛИРОВАНИИ ПЛОСКИХ ПОТОКОВ 503
Наличие изменяемой чувсгвигельносги индикатора позволяет с боль-
шой точностью определять потенциалы в зонах модели, имеющих ма-
лую напряженность электрического поля. Эги зоны соответствуют
в натуре зонам с малыми градиентами напора.
оо /27в

Трансформатор
ж
Фиг. 295.
§ 187. Основные соображения по поводу моделирования
плоских фильтрационных потоков. Необходимо отметить, что,
вообще говоря, во всех практических случаях фильтрации мы име-
ем пространственные фильтрационные потоки. Особенно резко про-
является пространственный характер фильтрации близ устоев н быков
сооружений, в местах изменения характера напластований грунта
и т. д.
Можно приближенно считать, что близкая к плоской фильтрация
имеет, место на расстоянии от устоев, равном (0,2—0,5)/, г да /—
ширина сооружения (длина флютбета). Если длина сооружения мала
по сравнению с его шириной, как, например, в случае многоступвя-
504
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ [гл. 12
чатых перепадов или быстротоков, плотин малой длины и т. д., то
фильтрация не будет плоской. При относительно большой длине
сооружений нарушения плоского характера фильтрационного потока
являются обычно местными.
Для выделения в фильтрационном потоке областей, где фильтра-
ция будет близка к плоской, необходимо иметь продольный и попе-
речные профили сооружения.
Сооружение разбивается вертикальными плоскостями на части,
в пределах которых фильтрацию можно считать плоской. На фиг. 296
Фиг. 296.
показан продольный разрез по плотине, на котором нанесены линии,
отвечающие названным плоскостям. Эти линии 1—5 делят область
фильтрации на зоны 1—2, 2—3, 3—4 и 4—5, которые в отдель-
ности можно с достаточной для практических расчетов точностью
считать зонами плоской фильтрации. Разбивка сооружения на части
проведена в соответствии с его формой и геологическим профилем
основания.
Устои сооружения при подобном исследовании выделяются и для
них, если это требуется, производятся особые исследования, часто
сводящиеся также к плоской задаче (плановая задача). Этот вопрос
освещен в § 138.
Гидрогеологические данные и очертания задаваемых границ пло-
ской области фильтрации обычно являются столь сложными, что
даже при проведении исследований методом ЭГДА их необходимо
схематизировать. Схематизация, имея целью упростить модель, должна
в то же время обеспечивать необходимую точность получаемых из
опытов результатов.
Прежде всего при проектировании модели области фильтрации
схематизируется геологическое строение основания сооружения. При
этом очертания поверхностей слоев грунта упрощаются. Близкие
ДРУГ к другу коэффициенты фильтрации соседних слоев объ-
единяются и выравниваются. Желательно, чтобы модель имела
минимальное количество численных значений коэффициентов
фильтрации.
§ 137] ОСНОВНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О МОДЕЛИРОВАНИИ плоских потоков 506
Указанная схематизация, конечно, может быть проведена различ-
ным образом для одного и того же случая. Природные условия и
конструкции сооружений весьма разнообразны, так что невозможно
дать исчерпывающие указания по схематизации. Однако, заменяя
действительные условия упрощенной схемой, следует отдавать себе
отчет в том, какие изменения расхода, противодавления и т. д. вы-
зовет эта схематизация. Необходимо стремиться к тому, чтобы в ре-
зультате схематизации искомые величины (скорости, расходи и т. д.)
были бы найдены с некоторым запасом.
Размеры моделируемой части обласги фильтрации назначаются
с таким расчетом, чтобы погрешность при определении напоров
вблизи сооружения была практически приемлемой. Для определения
размеров модели при однородных грунтах можно рекомендовать сле-
дующие практические правила. При конеч-
ной глубине водопроницаемого слоя Т длина
моделируемой части области фильтрации
£==В4-(3 — 4) Г, (12.22)
где В— длина горизонтальной проекции под-
земного контура сооружения (фиг. 297, а).
При этом расстояния от концов моделируе-
мой части до концов сооружения берутся
одинаковыми и равными (1,5—2,0)7’.
При большой мощности водопроницае-
мого слоя форма моделируемой части обласги
фильтрации должна быть близка к полуокруж-
ности с центром, расположенным приблизительно
части сооружения. Радиус этой полуокружности
центре подземной
в
/?;=й1,5 В или
(12.23)
где В—длина горизонтальной проекции подземной части сооруже-
ния, S — длина его вертикальной проекции (фиг. 297, б).
Радиус модели назначается на основании одной из формул (12.23),
именно той, которая дает большее его значение. Форму границ мо-
дели можно принять в виде прямоугольника с размерами, равными
приблизительно 7? и 2/?.
Часто грунт оснований сооружений образован из ряда слоев
с различными значениями коэффициента фильтрации. За водоупор
в этом случае можно принять слой грунта сравнительно удаленного
т' подошвы основания (например на глубину, равную 0,5—1 длины
оризонтальной проекции сооружения) и имеющего коэффициент
Фильтрации, по крайней мере в 10 раз меньший коэффициента фяль-
тРации вышележащего слоя грунта.
Границы области фильтрации в случае безнапорных потоков
устанавливаются на основании данных о реках, озерах, оврагах
506
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
и т. д., имеющихся вблизи исследуемых сооружений. Во многих слу-
чаях уровни воды водотоков и водоемов, расположенных близ про-
ектируемых сооружений, можно принять за границы исследуемых
областей фильтрации, а урезы воды в них — за конечные точки кри-
вых депрессии. Рассмотрим некоторые характерные случаи, встре-
чающиеся в практике исследований фильтрации. На фиг. 298
Озеро
Кривая депрессии
Фиг. 298.
нипяеитГп Схема Фильтрации через земляную плотину на водопро-
иаемом основании. Кривая депрессии выклинивается у уреза воды
на cJnu’a едовательн°, шина нижнего бьефа должна располагаться
на смоченном периметре озера.
v	представлен случай фильтрации из канала, причем
нот слабов°Допр°ницаемого прослоя имеется отметка естествен-
ризонта грунтовых вод. В этом случае кривая депрессии
Канал

Фиг. 299.
ХТзеаТСлЯин^НпЗВаННЫМ г0риз0Нт0м>’ линия а—-а может быть при-
ложена шиня нГВНЫХ/ТР0В И на ЭТ0Й линии может быть распо-
ложена шина нижнего бьефа.
причем	предсгаВлен случай фильтрации из водохранилища,
рунговая вода выклинивается на склоне, где имеется близкое
Водохранилище

Фиг. 300.
залегание относительно маловодопроницаемого прослоя грунта (за-
штрихованного на чертеже), принятого за водоупор. Таким образом,
шина нижнего бьефа должна быть поставлена на линии а — в, а со-
ответствующий ей напор определяется отметкой точки выклинивания
кривой депрессии, которую можно наметить приближенно, например,
§ 137] ОСНОВНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О МОДЕЛИРОВАНИИ плоских потоков 507
совпадающей с наинизшей точкой откоса. Следует иметь в виду,
что, если моделируется фильтрация к дренам, то соответствующие
шины должны изготовляться не по очертанию самих дрен, а по про-
филю обсыпки дрен, выполняемой обычно из хорошо фильтрующего
материала (гравия, камня). Материал обсыпки в десятки раз более
проницаем, чем окружающий его грунт.
В практике проектирования гидротехнических сооружений, а также
при гидрогеологических исследованиях встречаются случаи, когда
помимо линий дна верхнего и нижнего бьефов имеются другие гра-
ницы области фильтрации, на которых задано определенное значение
напора. Положим, что при наличии напорных вод в толще грунта
на некоторой поверхности, установленной гидрогеологическими иссле-
дованиями, имеется напор. Тогда по соответствующей линии на мо-
дели устанавливается шина и к ней подводится ток. Положим, что
напор на линии дна верхнего бьефа равен hv на линии дна нижнего
бьефа — й2, а напор грунтовых вод на некоторой плоскости 8
(фиг. 301). Если приведенные на-
поры на линиях дна бьефов будут
hYl = 1 и hrt = 0, то для приведен-
ного напора напорного горизонта по-
лучим ;	____
(12.24)	Фиг. 301.
3 Л1 —
То же значение должен иметь и приведенный электрический потен
циал на шине, соответствующей напорному горизонту.
Схематизация и установление границ модели являются необходи-
мой подготовительной работой при проектировании модели.. Д
шая работа заключается в установлении масштаба моде , Р
ма!ериала и вычерчивании чертежа модели.
Масштаб модели выбирается в зависимости oi назна
дований, от характера напластований грунта и 1ранич с
модели. Масштаб модели лимитируется техническими воз °жи
ее изготовления и производства опытов. Иногда в пра	пр।
тирования требуются такие данные, которые могут т У
лишь на модели весьма больших размеров. Обычно эт таких
носятся не ко всей области фильтрации, а лишь к ее час • ge
случаях желательно произвести опыты на модели в	‘ дол ’
а затем выделить из нее интересующий участок,	пвеличен-
ченными линиями токов и равных напоров, и пр ТЯКи/образом
ном масштабе дополнительный опыт для выделенн
Выбор материала дляВВы2няется°вС^Х
TZ ГдвХе=тУ
циентов фильтрации и граничных условий. На фиг. ovz Щ д
508
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
чертеж модели для исследования плоской фильтрации под флютбетом
гидросооружения. На фиг. 303 дан чертеж модели для исследования
фильтрации в теле и основании земляной плотины. Так как кривая
депрессии находится путем подбора в процессе опыта, то при проек-
Фиг. 302.
тировании модели необходимо так задаваться этой кривой, чтобы под-
бор ее был технически прост. При изготовлении модели из желатина
или станиоля в процессе подбора кривой депрессии приходится под-
резать модель, а при жидкостной модели—борта модели (см. § 141).
Следовательно, в первом случае предварительно задаваемая кривая
Фиг. 303.
депрессии должна лежать заведомо выше, а во втором случае — за-
ведомо ниже действительной.
В некоторых случаях имеет практический смысл моделировать не
всю область фильтрации, а лишь ее часть, отбрасывая другую часть,
для которой можно теоретически получить решение вопросов филь-
трационного расчета. На фиг. 304 приводится чертеж модели плотины
Фиг. 304.
подведена °к низовой^пяи 9краиом и понуром. Шина нижнего бьефа
броски напор по подошв/плат^’ ТЭК КаК В пределах каменной на'
нем бьефе. Экран плотины"^ лрактически PaseH напору в ниж-
ы не отражен в модели, так как фильтрация
§ 138] основные Вопросу моделирования плановой фйльтрацйи 509
через экран может быть легко выяснена теоретически, а моделирова-
ние экрана, не имея практического смысла, сильно затруднило бы
изготовление модели.
Остановимся на вопросе о моделировании фильтрации в анизотроп-
ных грунтах. В этом случае, как следует из § 18, необходимо дефор-
мировать область фильтрации на основании преобразований (2.137).
При наличии плоской фильтрации эти преобразования сводятся
к растяжению области фильтрации в направлении минимального зна-
чения коэффициента фильтрации k . (фиг. 12) в 1/ раз. Пос трое-
' ^min
ние линий равных напоров методом ЭГДА производится именно в пре-
образованной области фильтрации, причем все граничные условия
при таком преобразовании не изменяются. Затем результаты исследо-
ваний (линии равных напоров, давления) переносятся на чертеж не-
искаженной области фильтрации [8].
Приведенные выше случаи моделирования плоских фильтрацион-
ных потоков являются лишь практическими примерами и, конечно, не
исчерпывают вопроса. Необходимо иметь в виду, чго при проекти-
ровании модели помимо данных о строении основания и о граничных
условиях необходимо иметь предварительно общее представление об
изучаемом фильтрационном потоке. Такое представление позволит
рационально запроектировать модель, В большинстве случаев иссле-
дования фильтрации методом ЭГДА приходится тщательно обдумывать
проект модели, так как точное воспроизведение области фильтрации
на модели в практических случаях не представляется возможным.
§ 138. Основные вопросы моделирования плановой фильтра-
ции. Исследование пространственной фильтрации по методу ЭГДА
принципиально не представляет каких-либо особенностей по сравне-
нию с исследованием плоской фильтрации. Однако технически такое
исследование может представить значительные трудности, особенно
в случае безнапорной фильтрации, а также при наличии неоднород-
ного грунта [19].
Следует, однако, заметить, что хотя в подавляющем большинстве
случаев практики фильтрационные потоки являются пространствен-
ными, все же обычно надобность в исследованиях пространственной
фильтрации в полном смысле этого слова возникает сравнигельно редко.
Возьмем для примера сложный случай фильтрации в районе гидро-
узла, в состав которого включается целый ряд сооружений; плотины,
гидростанция, шлюз и т. д. Обычно можно заранее выделить в обла-
сти фильтрации зоны, для которых исследования фильтрации произ-
водятся в отдельности. Так, можно обычно выделить плотины, гидро-
станцию, шлюз, устои и т. д. Плотины могут быть разбиты на части,
как указано в S 137. В каждой выделенной части фильтрация будет
близка к плоской. Сопряжения сооружений с берегами также выде-
ляются в особые вадачи, сводящиеся обычно к плановой задаче, рас-
сматриваемой ниже.
510
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ {гл. 12
Исключением являются те случаи, когда основанием сооружений
служит однородный грунт большой мощности, причем эта мощность
соизмерима с длиной сооружений. Подобные случаи встречаются срав-
нительно редко, так как в основаниях сооружений обычно всегда
имеются пласты, проницаемость которых значительно меньше, чем
Фиг. 305.
имеемРИпл?н7вуТфмь?рациюИ “т^™ ” Нефгеносных пласгах мы также
стов весьма яапХ Раиию> так как горизонтальные размеры пла-
сказать и о зоачах ™ СраВД™ с их Устями. То же можно
газовых месгорожденийУЧеНИЯ фильтрации газов в газоносных пластах
«венной” фиЕации^мпТ6 Ч8СГ° ЙС1'реча!0ВДеся случаи простран-
в главе 9. Ц 0Дягся к плановой задаче, рассмотренной
приведен4вЫ§	исследования пространственной фильтрации
ными очерт^щяМИ3агпянипаНлВОЙ фильгРа«ии характеризуется слож-
ными условиями. Встречаются задач фильтрации и сложными гранич-
изменяегся на гоанииях п//язадачи, в которых потенциал непрерывно
ниц области имеются лаСти» или же на различных участках тра-
вести плановую филь?раодю ЫнеА0ТеНЦ11аЛЫ’ Как пример можн° прИ'
граничным контуром и	Ф™ В напорном пласте с сложным
фильтрация). Поимеппи к М рядом Действующих скважин (напорная
Р ция;. примером безнапорной плановой фильтрации является
§ 139] ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЛАНОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 511
А, 
6 ' tt н Г, ! Н "	''	'
#/r
Фиг. 306.
овраг и осушительную дрену,
грунтовыми водами.
при проектировании плановой
в
фильтрация в районе подпора от гидротехнического сооружения при
наличии оврагов, осушительных систем и т. д. Теоретическое решение
подобных задач является весьма сложным, или вовсе невозможным, а по-
тому эти задачи решаются обычно при помощи метода ЭГДА. Иссле-
дование фильтрации в районах гидроузлов, имеющее важное практиче-
ское значение, в подавляющем большинстве случаев практики сводится
к плановой задаче. Эго будет понятно, если иметь в виду, что мощ-
ность водопроницаемых пластов обычно мала по сравнению с плано-
выми размерами территории, а в та-
ком случае фильтрационный поток
будет двумерным. Поверхности рав-
ных напоров будут близки к ци-
линдрическим поверхностям с верти-
кальными образующими.
На фиг. 305 изображена распро-
страненная схема плановой задачи
при фильтрации воды в обход бере-
гового примыкания плотины. Вода
фильтрирует из верхнего бьефа ча-
стично в нижний бьеф и частично
защищающую поселок от подтопления
Как и в случае плоской задачи,
модели области фильтрации схематизируется геологическое строение
основания. Если при этом коэффициент фильтрации верхнего слоя
грунта будет klt а нижнего слоя—k2, причем у- >10, то нижний
слой можно приближенно считать водоупором. Если же > 10, то
можно приближенно полагать, что фильтрация происходит в
нижнем слое и будет напорной, а в верхнем слое поверхность
депрессии является пьезометрической поверхностью для нижнего
слоя (фиг. 306).
§ 139. Основные случаи исследования плановой фильтрации.
Рассмотрим случай напорной плановой фильтрации. В этом слу-
чае имеется напорный пласт, залегающий между двумя слабо-
проницаемыми пластами. Подобная схема может иметь место при
исследованиях фильтрации нефти в нефтеносном пласте [11] ),
при исследовании фильтрации напорных вод к строительному кот-
ловану и т. д.
Если проницаемый пласт имеет постоянную мощность, то мы
приходим к плоской задаче. Модель будет плоской, и тогда можно
использовать сказанное в § 137 о плоских моделях.
На фиг. 307 показана схема области плановой фильтрации при
наличии притока грунтовой воды к строительному котловану. Модель
этой области ограничивается шиной, соответствующей урезу иод
См. также главу 13 [5J.
512
мегОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
в реке, и шиной, следующей очертанию полученной путем гидрогео-
логических изысканий гидроизопьезы, находящейся на значительном
расстоянии от котлована. Значительное удаление гидроизопьезы от
планового контура котлована позволяет принять, что при откачке воды
из котлована очертание гидроизопьезы не изменится. По контуру
котлована расположены водопонизительные колодцы, из которых про-
изводится огкачка воды для осушения строительного котлована. Ко-
на модели эти зоны выполняются
образом подобранными удельными
меегся, при наличии постоянной м
модели выбирается исключительно
лодцы обычно моделируются при
помощи отрезков тонкой прово-
локи, укрепленной на латунной
шине, заливаемой воском или па-
рафином. Отрезки проволоки, мо-
делирующей колодцы, проходят
сквозь материал модели. Пред-
полагая, что напор на линии уреза
воды в реке будет fiv напор в
колодцах й2 и напор на гидро-
изопьезе hs, причем Aj > hz >
и задавая приведенные напоры
йГ1 = 1; йГ1==0, определим при-
веденный напор й,-3 на гидроизо-
пьезе по формуле (12.24).
Если область фильтрации при
неизменной мощности напорного
пласта состоит из нескольких зон
с различной проницаемостью, то
из материалов с соответствующим
сопротивлениями (§ 134). Разу-
мности пласта толщина планово
по соображениям техники произ-
водства опытов.
Если напорный лист является криволинейным, то, так как ради-
усы кривизны пластов велики по сравнению с их мощностями, на
плановой модели пласт следует выпрямить, заменив его плоским пла-
стом той же мощности.
При наличии пласта с изменяющейся мощностью модель не будет
плоской, но должна иметь различную толщину соответственно приня-
тому линейному масштабу.
Для упрощения техники производства опытов форму пласта™оЛа
тельно выпрямить, как это показано на фиг. 308, б. На фиг. 30 , ~
изображен (в искаженном виде) разрез криволинейного напорного пла
ста, а на фиг. 308, б1—его модель из электролита. Верхняя повер
ность модели плоская, а нижняя — криволинейная, выполненная и
изолирующего материала. Мощность пласта Т и толщина модел
одинаковы (с учетом линейного масштаба). Полученные в плане лини_
равных напоров затем переносятся на чертеж криволинейного напор-
§ 139] основные случая исследования плановой фильтрации 61S
ного пласта. Абсолютные значения напоров h при переходе от прян
веденных напоров hr вычисляются по формуле (12.24) при Л8=-А и
hr, — hr, причем эти значения h должны быть отнесены к некоторой
горизонтальной- плоскости сравнения. В слабопроницаемом плйсте
грунта, прикрывающем изучаемый хорошо проницаемый пласт, уста-
навливается поверхность депрессии, отметки уровней которой будут
равны напорам в соответствующих сечениях исследуемого напорного
пласга (фиг. 306). Полученные из опыта линии равных напоров На-
порного пласга будут являться гидроизогипсами фильтрационного по-
тока в прикрывающем-слабопроницаемом пласте.
Моделирование установившейся плановой фильтрации газа по-
чти не отличается от моделирования филырации несжимаемой
жидкости. Как было выведено в § 16, фильтрация газа подчиняемся
уравнению (2.92), из которого для плановой фильтрации газа бу-
дем иметь;
+	=	(12.25)
дх* 1 ду*
При изотермическом процессе из
(2.88) функция
Р =	(12.26)
где р — давление, (3— постоянная.
Таким образом, из (12.25) имеем
Для плановой фильтрации газа
-^ + «-0.	(12.27)
Полученные на модели эквипотенциальные линии U = const фу-
Дут одновременно линиями р = const, г. е. изобарами. Давления
на них можно определить из следующих соображений. Воспользуем-
ся понятием приведенной функции Р, обозначив ее через Рг, по-
добно тому как в § 47 мы пользовались понятием приведенного
напора hr\
рв!(Р1 —Р2)Рг + Ра,	(12-38)
давления в любой точке плана, Рг — приведенное
"	" значения той
- "1
в скважине. Заменяя функцию Р давйе-
где Р -функция “ - ---------------- р
Значение функции давления в той же точке, Рх и Hs — Tie„ruttuMn
же функции на границах плановой области фильтрации, например на
внешнем контуре пласга и в скважине. Заменяя
нием р по формуле (12.26), получим выражение для давления в точке
p = ^(pf — p^Pr + P'i>
(12.»)
514
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
где рг и р8—давления на границах плановой области (фиг. 309),
рг— приведенное давление в данной точке, определяемое при помощи
прибора ЭГДА и равное приведенному электрическому потенциалу t/r.
При этом на границах рл = 1 и рг, ~ 0. Таким путем вычисляются
давления на полученных экспериментально эквипотенциальных линиях,
которые одновременно являются
изобарами.
Плановая безнапорная филь-
трация происходит в проницае-
мом пласте, подстилаемом сла-
бопроницаемым пластом, кровля
которого является горизонтальной
плоскостью, либо же в результате
схематизации условий задачи при-
ближенно может быть цринята за
горизонтальную плоскость. По-
добная задача была рассмотрена
в главе 2, причем выяснилось,
Фиг. 309.	чго она может быть приведена
_ ..г.тлг,пИ ,	к исследованию плоской задачи,
р напор п, отсчишваемый над плоскостью водоупора, удов-
Р”6‘ Уравнению (2.77) и является глубиной потока на вертикали,
определяемой в плане координатами х и у.
аким образом, для решения задачи плановой безнапорной фильтра-
ции методом ЭГДА изготовляется плоская модель, форма которой
гвеговуег форме плана области фильтрации. На границах области
в§Ь134ЦИИ М°ГУГ ИМегЬ месг0 различные условия, перечисленные
пооно^Фипк-тоК0НКРегн°г0 примера возьмем схему плановой безна-
воды веохнрД Ц«И’ из0браЖеннУю на фиг. 305. Здесь линии урезов
являютгяРПМин « нижнего бьефов (обозначены жирными линиями)
отвечать шины” тяЛ«ВНЫХ напоров- На моделт! этим линиям должны
личные элрктпиии °Й Же Формы в плане, которым сообщаются раз-
ДРенажа в сличи СКИе П01еНциалы< Линии дна оврага, а также линии
при помощи шин’ г60™ уклОны ЭТих линий значительны, моделируются
₽ nnnto? U ™ С переменным потенциалом.
воды в Bpnvvp»0Н/Т11еМ приведенного напора, полагаем на линии уреза
Й “о X й£ифе *'=1’ "а ™н™
/т л nnLp проме»уточных, моделирующих дренаж, овраг
глубина	наиюры уходим следующим образом. Если
2“ ytTf “Гного погока ” "и™	> “Р”“
ад основании то ЛИНии Уреза в нижнем бьефе равна Л2, то
по формуле (9'59^ *СЯ*ая промежуточная глубина h определяется
A = /(Ai — A|)Ar-j-Al-
(12.30)
§ 139] основный Случай исследования плановой фйльтйацйи 618
Следовательно, если на каком-либо участке дрены глубина равна h,
то приведенный напор (потенциал) на данном участке будет (фиг. 310)i
«,2 ь2
п----п
r hl—hl	V 7
Эта формула служит для определения всякого промежуточного потен-
циала по известной глубине потока. Как видно из формулы (12.31),
4,=/
Фиг. 310.
приведенный потенциал изменяется по длине дрены по достаточно слож-
ной зависимое!и. Поэтому прак1ически бывает целесообразно разбить
всю длину дрены на ряд участков, в пределах которых можно при-
нимать hr постоянным и равным некоторому среднему его значению
на каждом участке.
Линия, изображающая в плане (фиг. 305) непроницаемую диафрагму,
выполняйся на модели из пластинки
диэлектрика.
Границами плановой модели мо-
ту! бьпь очертания урезов воды
в реках, озерах, линии гидроизо-
гипс, дооаючно удаленных от соору-
жений, причем 01 метки этих гидро-
изогипс таковы, чго изменение ре-
жима фильтрации вследствие подпора
пло1ин, откачки из скважин, дре-
нажа и т. д. не влияет на форму
Фиг. ЗН.
из нескольких зов
гидроизогипс.
Если область фильтрации (в пла^н^С родимое, и материям
с различной проницаемостью, то удельны р
модели этих зон подбираются из услови (. • '1 тоаиии в план*
Если в пределах исследуемой части обла^ ^Т^^гид^
не имеется условий, определяющих форму ’ с отметкой верх-
изогипсы имеют невысокие отметки по р	границы модели
него бьефа (фиг. 311), т0 соо™*™т у у® указаниями, данными
можно взять в форме дуги окружности, по у у границы АА
в § 137. На фиг. 311 таким участком является участок границ
616
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМНЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
Случай напорно-безнапорной фильтрации рассмотрен в § 95.
Будем полагать, что коэффициент фильтрации проницаемого пласта,
подстилаемого горизонтальным водоупором, изменяется в вертикаль-
ном направлении. Тогда, как показано в § 95, потенциал фильтра-
ции по Н. К. Гиринскому выражается формулами (9.62). В каждом
Разрез по а-6
Фиг. 312.
ток. Линия уреза воды в верхнем
ные на фиг. 312 жирными
ров, а следовательно, на них
часшом случае потенциал филь-
трации ф будет связан с на-
пором h зависимостями, полу-
чающимися путем интегриро-
вания (9.62). Пример получения
таких зависимостей для дву-
слойного плас га приведен в § 95.
Для пласга однородного по-
тенциал фильтрации выра-
жается зависимостями (9.68).
При исследовании напорно-
безнапорной фильтрации по ме-
тоду ЭГДА, как следует из
§ 95, модель обласги филь-
трации будет плоской. Возь-
мем для примера схему, изоб-
раженную на фиг. 312. Здесь
фильтрационный поюк под
флютбетом частично является
напорным и на линии, изобра-
женной пунктиром (межзональ-
ная граница), переходит под
флкмбегом в безнапорный по-
бьефе и линия дрены, изображен-
линиями равных напо-
линиями, являются
— const.
линиИН\пИНИИ ьУре3а В0ДЫ в веРхнгм бьефе А = /4 и
к модели должны бы^РпНЫ h~h* и	По названным линиям
электрического пптди Приключены шины с постоянными значениями
Фильтрации ф — безоазмепнойеДеМ П0Кягие приведенного потенциала
Фильтрация	С ИОГМШ“°“
? = (?!— ?2)<Рг + <Ра.
(12.32)
фГ1 е= 1 д0 ф __ п	Филь,трации изменяется в пределах от
нениями гтмя2»Р,„.п * едовагельно, его значения совпадают с зна-
РпЬттах.	электрического потенциала, получаемыми при
§ 139] ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЛАНОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
<17
На фиг. 312 показаны линии равных приведенных потенциалов,
полученные опытным путем. Каждая из этих линий является одно-
временно линией равных потенциалов фильтрации (<р = const), при-
чем значения ® определяются по зависимости (12.32). Кроме того,
как указано выше, названные линии являкнся линиями равных напо-
ров, значения которых получаются из общих формул (9,62). При
этом часто бывает удобно пользоваться не аналитическими, а
графическими зависимостями <?=/(&). Имея построенный зара-
нее график y=f(h), легко определить значения напора h на ли-
ниях ® == const.
Проектирование модели напорно-безнапорного фильтрационного
потока вообще не отличается от проектирования модели безнапорного
потока. Подчеркнем, что сооружения, погруженные в поток, как,
например, флютбет на фиг. 312, не моделируются.
Остановимся на некоторых вопросах моделирования напорно-без-
напорных потоков. Если в области фильтрации имеются источники
в виде колодцев, дрен и т. д., то требуется определить про-
межуточные приведенные потенциалы шин, моделирующих эти
источники. Положим, что в области фильтрации имеется Дрена,
напор которой над плоскостью водоупора равен Л. Определив со-
ответствующий напору потенциал фильтрации дрены <?, как
сказано выше, и имея потенциалы верхнего и нижнего бьефов
и <р2, получим из формулы (12.32) приведенный потенциал фильтра-
ции дрены
ф __ У —У»
ТГ <ft —
(12.JJ3)
Теперь остановимся на случае безнапорной фильтрации в пласте,
подстилаемом криволинейной поверхностью водоупора. Подобный
случай пространственной фильтрации также может быть отнесен
к фильтрации плановой, когда, как это чаще всего и бывает в практике,
глубины фильтрационного потока малы по сравнению с горизонталь-
ными размерами области фильтрации.
По методу ЭГДА данная задача решается путем последовательных
приближений [9]. В первом приближении криволинейная поверхность
водоупора может быть заменена горизонтальной плоскостью. На фиг. 313
за такую плоскость взята плоскость АВ, след которой изображен
пунктиром. Таким образом, мы приходим к плановой задаче филь-
трации по горизонтальной поверхности водоупора. Задача эта была
Рассмотрена выше. Определяя гидроизогипсы, мы получаем поверх-!
кость депрессии в первом приближении. На фиг. 313 названная По-
верхность депрессии изображена пунктирной линией CD. Для опре-
деления точек поверхности депрессии надо воспользоваться форму-
лой (12.30), причем глубины h откладываются от плоскости АВ.
Глубины потока в первом приближении будут, очевидно, равны
Л'==*:+: Аг, где Аг —расстояния между плоскостью АВ и соответ-
518	МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМНЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ [гл. 12
ствующей точкой поверхности водоупора. Поверхность депрессии во
втором приближении получается на другой пространственной моде-
ли (фиг. 313, внизу), которая выполняется путем откладывания ог
горизонтальной плоскости KL вниз по вертикали полученных в пер-
вом приближении глубин потока h'. В результате такого построения
получается криволинейная поверхность
Фиг. 313.
EF, которая на модели выпол-
няется из диэлектрика (воск,
парафин). Если теперь объем,
заключенный между горизон-
тальной плоскостью KL и по-
верхностью EF, заполнить про-
водящим материалом, например
жидким электролитом, то по-
лучится модель области филь-
трации. Цилиндрические по-
верхности, соответствующие
урезам воды в верхнем и ниж-
нем бьефах, следы которых
изображены на чертеже в виде
прямых КЕ и EF, выполняют-
ся из металлических шин.
На полученной модели про-
изводится определение линий
являюг^а	„	равных потенциалов, которые
и Г РаВНЫХ привед™х напоров Лг = const. На
модели /'ипиияР ллг? э”юра Приведенных напоров для данного разреза
KL Максима пЯ ’ ОРдинагы эп>°ры hr отложены вверх от линии
сечений KF?hЬН±Я °Рдината соответствует верхнему бьефу, т. е.
(г )> Минимальная ордината — нижнему бьефу — сече-
нию Zf(Ar = 0).
приведенных6„бдасТи фильтрации наносятся линии равных
плоскости DEf, совпад^ХТгТ™6 НаП°РЫ буДеМ 0ТСЧИГЫвагь.0г
Тогда глубина mm , дающей с поверхностью воды в нижнем бьефе,
к (во втором приближении) в любом сечении будет:
h" = Hhr-}-z,	(12.34)
кали of урХ^Е^к ВдДЫ В бье$ах’ -г— расстояние по верти-
Сплошнад m CD H3olLTO С00ГвегствУ« точки дна.
приближении, построенную бтсТаеГ поверхносгь Депрессии во втором
значительном	чт0 Указа№ым способом. При
3 Первом приближении fa °й повеРхности ог поверхности депрессии
Поверхность депоессии »^УНКТирная линия CD) желательно получить
уточнить поверхность	Длй этойцелислеД£[
вместо глубин У глубины “одели откладывая от плоскости KL
работать эту поверхность П ’ 2 затем соотаетствующим образом об-
§ 140] ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ	519
На исправленной модели производится новое определение линий
равных приведенных напоров и затем находится поверхность депрес-
сии потока в третьем приближении так же, как была найдена поверх-
ность депрессии во втором приближении.
§ 140. Исследование неустановившейся фильтрации. Исследо-
вание безнапорной неустановившейся фильтрации по методу ЭГДА
основано на допущении, что в каждый отдельный момент фильтрация
рассматривается как установившаяся. Но при этом должно учитываться
изменение границ области фильтрации, в частности перемещение по-
верхности депрессии. Разбивая период времени, в течение которого
происходит процесс неустановившейся фильтрации, на отдельные про-
межутки, полагаем, что внутри каждого промежутка Lt фильтрация
будет установившейся. Что же касается перемещения поверхности
депрессии, то это перемещение устанавливается для каждого проме-
жутка времени, исходя из тех скоростей перемещения поверхности
депрессии, которые получаются на основании построенных опытным
путем линий равных напоров и линий тока.
Методику последовательного построения картин неустановившейся
фильтрации поясним на следующем примере. Положим, что нам из-
вестно положение кривой депрессии в некоторый начальный момент
времени, а также известны все остальные граничные условия. Будем
считать фильтрацию установившейся в течение небольшого промежутка
ВРег£стрЛоим по методу ЭГДА линии равных нато₽®в Д
начального момента. На фиг. 314 изображена часть Д
депрессии ЛВС. При проектирова-
нии модели следует иметь в виду,
что все граничные условия осуще-
ствляются так же, как и в случае
установившейся фильтрации. Исклю-
чением является условие на кри-
вой депрессии. При неустановив-
шейся фильтраций кривая депрессии
не будет линией тока, но на ней,
очевидно, имеет место условие
(2.151), по которому напор равен от-
Фиг. 314.
метке, отсчитываемой от плоскости
сравнения. Стало быть на линии АВС, как и в Случае поверхности
высачивания, необходимо осуществить при помощи кювета с коллек-
торной шиной ($ 134) такое изменение приведенного потенциала'
которое-обеспечивало бы указанное условие.
На фиг. 314 на линии АВС показана эпюра изменою* проведан-
ных потенциалов Уг. По методу ЭГДА на модели находятся линии
равных потенциалов. На фиг. 314 эти линии изображаются кривыми
АА', ВВ' и СС/. Ортогонально к этим линиям доводятся линии той*
Отрезки линий тока, выходящих из точек Л* В я С( покаэаны В8:иергсяиь
520
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 13
В соответствии с условием (2.152) можно написать, что скорость
перемещения точки свободной поверхности
»==£,	(12.35)
т
где v — скорости фильтрации в этой точке, т1—коэффициент отдачи
грунта.
Положим, чго в течение взятого промежутка времени Д/ скорость
фильтрации будет постоянной. Вычислив скорость фильтрации в дан-
ной точке, например в точке А, способом, изложенным в § 129, и
имея значение т' (§ 7), определим перемещение ючки:
As ~ и Ы = М.	(12.36)
т
Это перемещение откладывается по линии тока. На фиг. 314 пере-
мещение точки А определяется oiрезком AAj. Подобным же способом
X-	пр"™-
В момент°2РЛ/еЛгпИя следующег0 положения кривой депрессии, т. е.
Ции. Именно ’ waffA УеУ, СН°Ва проделать перечисленные выше опера-
огрвниченной ’ П строить линии равных напоров для области,
перемещена точек ^оТкрию^Тп « затем 0ПРедеЛ“гяь
полу^ТцелыйТ® П₽°Межутка вРе«ен^2Л'дГ%аХУЧпугем S«o
при неусгановВДХйДсяХТтХТНЫХ П°Л0ЖенИЙ крнвой депреССЙИ
***’^К°»риаойЯТ ”^трОеи”я линий равных напоров области, ©Грани-
ны» урд^гня м1 Лц” Деобходимо иметь другую модель, но гранич-
рвнойяой вшве. МАУТ подобны граничным условиям модели,
§ 140]
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЫРАЦИИ

На фиг. 315 показан пример определения последовательных ноло^.
ний кривой депрессии по методу ЭГДА. В прямоугольной земляной
перемычке с коэффициентом фильтрации k = 0,01 см!сек происходит
установившаяся фильтрация (см. кривую депрессии при t = 0). В этот
момент верхний бьеф мгновенно снижается до отметки 10,0 м. Про-
изведя ряд опытов и построений, поясненных выше, и принимая ври
этом коэффициент водоотдачи грунта равным т' = 0,2, получаем ряд нэ->
следовательных положений кривой депрессии для моментов /= 33 ми®.,
i~ 1 час 40 мин., i=2 часа 47 мин., /=3 часа 53 мщц,
/ = 5 час. 33 мин., i = 7 час. 13 мин. Для момента / = 2 часа 47 и№.
на чертеже показаны линии равных приведет ых напоров.
В случае, когда непроницаемые участки границ области филь-
трации отсутствуют или же находятся на значительном расстоянии
от исследуемой зоны, целесообразно применять иной способ построе-
ния кривых депрессий, предложенный П. Я. Полубариновой-Кочи-
ной [22]. Скорость перемещения точки свободной поверхности может
быть выражена зависимостью
n =	(12-37)
1де cos (л, у)— косинус угла между нормалью к свободной поверх-
ности и вертикальной осью Oy;bp = pi—ро — приращение давления
между двумя изопьезами, из которых
одна является свободной поверхностью
(Р=Ро)> и другая — ближайшая к ней
(P = Pj); Дл — отрезок нормали к сво-
бодной поверхности, заключенный меж-
ду двумя названными линиями; 7 —
Удельный вес жидкости.
На фиг. 316 изображена nacib кри-
вой депрессии АВС; давление на ней
равно р0. Пунктирная линия является
ближайшей к кривой депрессии изопье-
3°й; давление на ней равно рг.
Проводим нормаль л к кривой
Депрессии в точке А и определяем
Дл = АА', а также и угол между
Дл==Л/Г, а также и угол между нормалью и осью Оу.
Далее определяем по формуле (12.37) скорос.ь перемещения точки
кривой депрессии, а затем перемещение точки по формуле (12
На фиг. 316 перемещение точки А равно AAt. Найдя перемещения
Других точек- ВВ, и СС,, получаем кривую депрессии Д^Ср соот-
ветствующую концу промежутка времени М Аналогичным спосо^м
находится кривая депрессии в конце промежутка вре”е^ ЭГДА
Изопьезы для каждого ракетного момен.а находятся по методу ЭГ^
подобно тому как находятся линии равных напоров в случае плоек»
На
жений
522	МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ {ГЛ. 12
фильтрации. На соответствующих участках границ модели, где
р — const, приключаются шины. К таким участкам относятся кривые
депрессии, а также горизонтальные линии, находящиеся на значитель-
ной глубине от исследуемых сооружений. Можно считать, чго в вер-
тикальных сечениях потока, находящихся вдали ог сооружений,
давление изменяется по гидростатическому закону, т. е. пропорцио-
нально глубине погружения точек сечения.
фиг. 317 показан пример определения последовательных поло-
кривой депрессии поясненным выше способом для случая
»"м^фХХ^ГРУв"Х«ач??Х7“ * о 2 Рав““” 4 “°'0’
™V»X““«rS
качала д^орХеоХ7Хе Рав°ТЫ даен“ Ствот "»"₽««»
различных mow™ «Я* ^8а последовательных ее положения для
вафиг-317-n₽"^«да»
Дрены рво а₽на глУ«™ иа св°бодной поверхности и на контуре
ляется только глубиной^!?5 % °Т повеРХН0С™ давление опреде-
яертЙ ТZoooXni ДЛЯ момента /в=2 ч- 14 мин. показаны на
сти фильтрации. & “^РД^ена лишь половина симметричной обла-
м°Д^ей обГасгей°Хльтпяпи«еЛеЙ' Р' Излагая технику изготовления
Стве участков границмодшй ост^я^ прежде всего на усгрой-
г	елей с различными лраничными условиями,
§ 141]
ИЗГОТОВЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ
523
указанными в § 134. На участках границы модели, соответствующих
водонепроницаемым участкам границы области фильтрации (очертания
флютбета, водоупора, депрессионной поверхности при отсутствии
инфильтрации и т. д.), электропроводный материал модели должен
соприкасаться с диэлектрической средой: воздухом, воском, пара-
фином, стеклом, деревом, целлулоидом и т. п. В случае при-
менения станиоля, наклеенного на картон, непроницаемые участки
границ осуществляются путем обрезки станиоля. При использова-
нии электролитов и желеобразных масс форма поверхности диэлек-
трика на границе модели вырезается или отливается по заданным
очертаниям границ.
Задание на границах условий проницаемости (12.15) выполняется
с помощью шин, т. е. проводников, обладающих ничтожно малым
электрическим сопротивлением по сравнению с материалом модели.
Малое сопротивление шин позволяет поддерживать на них постоянный
электрический потенциал.
В станиолевых моделях шинами обычно служат двойныемедные
или латунные полосы шириной около 5 см и толщиной 1,0 » , см
каждая (фиг. 276). Между ними при помощи болтов важимается
модель — лист станиоля, наклеенный на картон.
В электролитовых моделях, а также в моделях, выполненных из
дисперсных и желеобразных масс,
употребляются медные или латун-
ные шины толщиной 0,2—1,0 мм
и шириной, соответствующей тол-
щине модели.
Эти шины — полоски, постав-
ленные на ребро, вдавливаются на
глубину 5—10 мм в парафино-
вое дно модели. С одной стороны
шины оказывается электропровод-
ный материал модели (например,
электролит), с другой — диэлек-
трик (например, парафин). Для
подвода тока к шинам припаи-
ваются провода. В моделях, выпол-
ненных из дисперсных масс, мед-
Фиг. 318.
предосторожности во
ные или латунные полоски шин
иногда заменяют ртутью ]5]. Од-
нако при работе на подобных мо-
делях требуется принимать специальные меры
избежание отравления ртутью.
В моделях, выполненных из электропроводных красок, в качестве
ШИН могут применяться различные легкоплавкие висмутовые сплавы
(Вуда, Липовица, Розе и др.). Отливка такой шины показана на
фиг. 318. Для Создания шины устраивается ванночка, огороженная
524
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
нГребоо^Пос^^Г кар10нными полосками К, поставленными
Хе пХгоооиЛ „ п «ВаНН°ЧКИ ле™лавд™ сплавом картон-
ные перегородки и воск убираются.
ныйНпотении^Ы к У^аСТКаХ границ модели требуется иметь перемен-
Зялания папа ИМ 0гН0СЯГся поверхности высачивания (12.17),
кицы	ЗНачеНИЙ ^генциала вдоль какой-либо гра<
Действительно АрЛИСВСЙСТВе параллельно включенных проводников,
удельными пплрлС И ВЗЯТЬ Два пР°ВОдника> обладающих различными
при помогли р димостями» имеющих общую границу и включенных
нииы меж/Tv ппп В электрическУю пепь, то в случае большой раз-
ток хптя и к/ водимостями смежных проводников электрический
ггпибяппАииА УДеТ пеРеходить из одного проводника в другой, но
большой ппп on** Потеря силы тока для проводника, обладающего
напояженит? R ЛИМ°СТЬЮ’ будет неощУ™мой. Поэтому распределение
ппибличитАп Р°вод«ике с большой удельной проводимостью окажется
ченнлгл пп Ь таким же> как и при отсутствии параллельно вклю-
ченного проводника с малой проводимостью.
пАгипи^?ТГеЛЬН0’ РаспРеделерие потенциалов вдоль границы может
Пп/ а 1ЬСЯ пРоводником с большой удельной проводимостью.
пой я Г пРОВОдника иетрудно подобрать такую форму, при кото-
чапам^ Р дел?ние ПО1енциалов вдоль контактной поверхности будет
задано по требуемому закону.
™а?С_СЛедует И3 § для выполнения граничного условия (12.17)
ерхности высачивания необходимо осущешвигь линейное паде-
Аиг п°^нвдала ПО высоте. Эго достигается, как было показано на
питп ’ устР°^вом К1°вегки прямоугольного сечения с электро*
М’ драющей роль только чт о описанного проводника с большой
пп„л_н0 Провод«^^ю. Практически эта проводимость должна быть
р НаИ^кТеЛ1>о'7к В *00 р?3 больше проводимости материала модели.
/ ИГД, ° в точке 4 потенциал должен быть равен потенциалу
niwJa пг'' следователы о, шина ££/£ соединяется с шиной Ш,-
1 должна иметь потенциал, соответствующий ее высотному
ни1СиПиОЛ7Ог3геНИЮ’ ЧТ0 осУществляется посредством реостата Р. Если
л„ту * Расположнть Fa уровте точки 2, то ее потенциал должен
должен лигП°ГеРЦИЯЛу ШИНЫ BePXFero бьеФа Щ. « тогда реостат Р
должен быть выключен.	1
мяа^СЛИ проводанки изготовляются из электролита или желеобразных
гяатго ™ ,^°ЛЯВДя 0 дрУг от дРУга в0 избежание диффузии дости-
Т ипяв«/яС1аНОВКОЙ Раздельной непроницаемой для жидкости, но про-
нячипО,ат^ЛЯ электРического тока перегородкой. Такие перегородки
r s /а коллекторными или точечными шинами. Они описаны
в § 135 (фиг. 279).
изготовлення моделей плоских фильтрационных по-
Ийг^ЯТ °Т электропроводаых материалов.
зам На *** МОдели из «жанйоля производится следующим обра*
гладкого плотного картона, смазанный крахмальным
§ 141]
ИЗГОТОВЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ
525
клейстером, накладывается лист станиоля, не имеющий складок- к
разрывов. Кусочком ваты или ладонями рук, предварительно натер-
тыми тальком, осторожными круговыми движениями придавливают
станиоль к картону, следя за тем, чтобы между станиолем и картоном
не оставались пузырьки воздуха. После наклейки станиоля, получен-
ная пластинка просушивается. На высохшую пластинку переводится
чертеж исследуемой обласги.
На участках границы модели, где должен быть постоянный по-
тенциал, оставляются для зажима шинами выходящие из границы
исследуемой области полоски станиоля шириною около 1 см. Осталь-
ное части контура модели обрезаются. Места контактов станиоля
с шинами протираются мягкой резинкой, а затем бензином или спир-
юм. На месте контактов станиоля с шинами накладывается прокладка
из 10—15 полос станиоля, которые также предварительно очищаются.
Шины, очищенные таким же образом в плоскостях контакте, накла-
дываются
модели.
Чтобы
ниолю по
несколько г__ ______ __________
по!енцизлом соединяются между собой толстыми и короткими про-
водами. Эти провода прижимаются гайками к шинам (фиг. 276).
Модель из электролита имеет вйд ванночки, заполненной элек-
тролитом (фиг. 319). Очертание ванночки в плаке должно выть гео-
метрически подобно очертанию Изучае-
мой обласги фильтрации. Для устрой-
ства модели изготовляется предвари-
тельно деревянный шаблон исследуемой
обласги фильтрации из досок толщи-
ной около 2 см. На дно деревянного
ящика или на с<екло наливается воск
или парафин слоем 0,5—1,0 см. Дере-
вянные шаблоны укладываются на дно
ящика, причем их полезно несколько
и плотно прижимаются болтами к соответствующим местам
обеспечить равномерное и плотное прижатие шин к ста-
всей длине шин, болты шин зажимают постепенно, проходя
раз вдоль всех шин. Отдельные шины с одним И тем же
Заеютхит/п
Фиг. 319.

врезать в парафиновое дно.
'—у	4V>|Ti ra'l	------ Г	_
В местах, где должны быть шины, ставятся и вдавливаются в дн
глубину 0,5—1,0	латунные полоски толщиной 0,5—1,0 мм, шири-
ной 2,0—2,5 см. Если модель должна состоять из зон с различными
значениями электропроводности, то вдоль границ этих зон деревянный
шаблон распиливается. В места распилов вставляются и вдавливаются
в дно коллекторные или точечные шины. После установки шаблона,
шин и перегородок ящик заливается разогретым парафином с кани-
фолью или воском (толщина наливаемого слоя не должна бы » меньше
толщины модели сооружения). После остывания шаблон осторожно
вынимается, шины и перегородки Очищаются бензином ида скипи
даром, а места стыков шин » перегородок промазывался ™
ком. В полученную ванночку наливается электролит. Толщин» ело»
S26
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
{гл. 12
электролита обычно берется около 1,0 см. При изготовлении модели для
исследования плановой фильтрации иногда дно ванны должно иметь
криволинейную поверхность. Такую поверхность можно обработать
при помощи металлических скребков.
Приготовление электролита производится следующим образок.
В сосуд, наполненный водой, всыпают какую-либо соль, например
очищенную питьевую соду, до полного насыщения раствора, т. е.
до того момента, когда на дно сосуда будет выпадать остаток не-
растворенной в воде соли. Полученному раствору дают отстояться,
а затем для получения электролита той или другой удельной прово-
димости — берут дистиллированную воду и прибавляют к ней не-
большой процент насыщенного раствора.
Приготовленный таким образом электролит испытывается в отно-
шений его удельной проводимости, которая определяется путем изме-
рения сопротивлений в особых кюветах прямоугольного сечения,
заполненных исследуемым электролитом. Если модель разделена на
части с различными значениями проводимостей, то концентрация
раствора электролита подбирается при помощи измерения удельной
проводимости каждого слоя. При этом числовые значения удельной
проводимости каждого слоя принимаются из условия подобия (12.14).
Иногда, устраивая ванночку для электролита, можно обойтись без
деревянных шаблонов. Тогда на поверхность парафина накладывается
чертеж контуров исследуемой области. Этот чертеж переводится на
поверхность парафина, а затем по полученным линиям, основываясь
на соответствующих граничных условиях, в парафин вдавливаются
узкие полоски пропарафинированного картона, полоски шин, а также
точечные или коллекторные шины. После того как контакты в сты-
ках или между собой или в стыках шин с моделью будут промазаны
воском, пространство между стенками ящика и областью модели
заливается парафином.
Изготовление модели из дисперсной массы начинается с приго-
товления смеси. Взвешивают порознь мраморную муку и графитовый
порошок, затем тщательно их перемешивают и добавляют некоторое
количество воды для увлажнения смеси.
Порядок приготовления модели из дисперсной смеси такой же,
как и при изготовлении модели из электролита, с той лишь разницей,
что в моделях из дисперсной смеси отпадает надобность в установке
раздельных перегородок из коллекторных шин в местах распила
модели.
Заполнение модели электропроводной дисперсной смесью произ-
водится следующим образом. Вынимают сначала одну часть деревян-
ного шаблона, отвечающую крайнему слою. Полученное углубление
заполняют дисперсной смесью с соответствующим удельным сопро-
тивлением, определенным предварительно с помощью мостка в тари-
ровочном ящике, и уплотняют деревянной трамбовкой.
I 141]
изготовление моделей

После этого вынимают вторую часть шаблона и получающееся
при этом углубление наполняют (с трамбованием) дисперсной смесью
другого удельного сопротивления, соответствующего проводимосгн
моделируемого слоя, и т. д., пока не будет ваформована таким обра-
зом вся изучаемая область (фиг. 320).
Для выравнивания верхней поверхности модели верхний слой
дисперсной массы срезают линейкой.
Модели из желеобразных масс (желатина или агар-агара) яря-
гоювляют в ванночке с плоским горизонтальным дном. Ванночку
Фиг. 320.
можно изготовлять как в особом ящике, так и на ровной плоской
поверхности (деревянной, стеклянной и т. д.). Для примера покажем
порядок приготовления модели на стекле. Стекло с помощьщ уровня
устанавливается в горизонтальном положении. Под стекло уклады-
вав <ся чертеж с границами исследуемой обласги фильтрации. Гра-
ницы и контур ванночки модели выполняются, например, ив картон-
ных полос, укрепленных на стекле воском или пластилину с на-
ружной стороны модели. В соответствующих местах на стекле вместо
картона устанавливаются латунные полоски — цины. Если? модель
разделена на части, соответствующие грунтам с различный^ значе-
ниями коэффициента фильтрации, то эти части разделяются точеч-
ными шинами во избежание диффузии. Далее изготовляют ряХпорций
студня, обладающих требуемой удельной проводимостью. Порядок
изготовления студня следующий. В холодную воду всыпают пдастинки
агар-агара в количестве 1—2% от веса воды и, помешивая, следяг
528
М8Т0Д ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
{гл. 12
за полным его растворением. Затем раствор подогревают и выливают
в тарировочный ящик, дают ему охладиться и застынь, после Чего
измеряю! сопро»ивление (арировочного ящика, как указано в § 142,
и определяют удельное conpoiявление материала.
Для изменения удельного сопротивления материала агар-агар опу-
скается в paciBQp поваренной соли, медного купороса и т. д., имею-
щих разную концентрацию.
Подобрав нужные удельные сопротивления для отдельных слоев
модели, приступают к их заполнению, для чего сначала заливается
одна часть модели соо1ве!ствующим составом. После затвердения
заливается соседняя часть другой порцией материала, удельное сопро-
тивление которого соответствует проводимости заполняемого слоя. Так
поступают до тех пор, пока не будет залита вся область.
При однородной проводимости исследуемой области ее модель
можно приготовлять из электропроводной краски любого состава.
При наличии в области слоев с различной проводимостью они моде-
лируются красками различных составов.
Укажем один из способов изготовления такой краски. Взвешивают
порознь порошок графита и талька в такой пропорции, какая необхо-
дима для получения данного состава краски, и путем перемешивания
получают однородную смесь. К полученной смеси добавляют светлого
спиртового лака из расчета 3 сж8 лака на 1 г смеси и тщательно
взбалтывают. Изменяя соотношение талька и графита, мы изменяем
удельную проводимость материала в штроких пределах.
После определения состава краски и ее Приготовления выбираюг
бумагу, миллиметровку или жесткую подложку (стекло, плотный картон
и г. д.) и тем или иным способом (кисточкой, пульверизатором, нали-
ванием слоя определенной толщины и т. д.) наносят на нее слой краски.
Если модель имеет зоны с различной проводимостью, то краска
различного состава наносится по зонам.
При изгоювлении слоев модели, примыкающих к дау верхнего
или нижнего бьефов, верхние границы этих слоев закрашивают та!С»
чтобы слой краски pacnpociранился под будущие шины на ширину
не менее 1—2 см. Приготовленную таким образом модель сушат
в течение суюк, после чего при помощи особых деревянных или
картонных шаблончиков наносят на модель шины из легкоплавких
сплавов, указанных выше.
Сплав -опускается в стакан кипятка и расплавляется. Воду из
стакана- сливают, а расплавленный металл выливают в форму»
образованную специальными шаблонами, поставленными вдоль кон-
туров верхнего и нижнего бьефов. После затвердения шин шаблоны
убираются. Для приключения модели к прибору от шин выводятся
провода, которые опускаются » сплав до его затвердевания ’).
В	метод изготовления моделей был применен в ВНИИГ
в lyjb» г. и дал лоро шме результаты.
§ 1411
ИЗГОТОВЛЕНИЙ МОДЕЛЕЙ
Ш
Изготовление пространственной модели области- фильтрации-,
сложенной из слоев разной проводимое!и, осуществляется из дисперс-
ных смесей [19) или других электропроводных материалов, допу-
скающих изготовление отдельных слоев модели с различными удель-
ными проводимостями. Работа в этом случае начинав 1ся с проектиро-
Фиг. 321.
вания модели, т. е. с составления чертежей плана и разрезов, по
которым в дальнейшем изготовляются деревянные, бакелитовые или
Целлулоидные модели. Изготовленные модели обрезаю! ся по горизон-
тальной плоскости, например по плоскости 0—0 фиг. 321, а соответ-
ствующей горизонту воды верхнего бьефа. Этой плоскостью модели
Укладываются на дно ящика (ванны) фиг. 321,6. Таким образом»
водонепроницаемый подземный контур сооружения, обозначенный на
фиг. 321, а цифрами 2—9, оказывается на дне ящика уложенным
в перевернутом виде (фиг. 321,6). На фиг. 321, а изображен верти-
кальный разрез исследуемой области фильтрации. Этот же разрез ив
530	мыод ЭЛЕК IPOIИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ	|fA-
между точками 5—6, фиг. 321, а,
ДК
модели представлен на фиг. 321,6’. Соогвегсгвующие точки натуры
и модели обозначены одинаковыми цифрами.
По поверхностям, отвечающим дренажным усгройС1вам, например
укладываю 1Ся медные шины (см.
ючки 5—6, фиг. 321, б), 01
коюрых отводят провода к
прибору.
В наиболее О1ве!ствен-
ных точках модели, в ко-
юрые нельзя проникну <ь
игле, уС!анавливаюг iак на-
зываемые элекфопьезомет-
ры для определения потен-
циалов. Электропьезомегр
(см. точку 4, фиг. 321,6)
представляет собой оголен-
ный конец проводника на
водонепроницаемой поверх-
ности модели, обрезанный
заподлицо с этой поверх-
ностью. Второй конец про-
водника выводится через
ело модели к прибору. По-
верхности, соответствующие
дну и смоченным участкам
откосов, покрываются тон-
кими листами латуни или
меди (фиг. 321,6", участки
2—13и 11—12). Эти листы
служат шинами, поэтому к
внуфенним сторонам лисюв
припаиваю юн провода, иду-
щие к прибору.
§ 142. Производство
опытов. Важнейшей зада-
чей экспериментального ис-
следования по методу ЭГДА
является определение 'геХ
Шина II
и,-о
К Ж


Фиг. 323.
величину. ВИ'опытауЛеп^ИЧеСКИЙ П01енпиал имеет наперед заданную
потенциалами, т е огн^Х°ДУ ЭГДА мы задаемся приведенными
-Ц. в модели ’пп»тжСе МИ к ПОЛНОМУ падению потенциала
входной швде т ’ е₽ ня маемому за единицу. Таким образом, на
жидкости в rovnr ппио П1 ИГе’ С00Тветствующей участку входа
И.ХОМ U,_Х’„ ’зиТТ? n0Te™a“	™ учаспа
Дает с приведенным ‘ напопом	прйведенный потенциал совпа-
рим пг в соответствующей точке обласш
§ 142]
ПРОИЗВОДСТВО опытов
5dl
фильтрации. Определяя на модели ряд точек с заданным значением
приведенного потенциала и соединяя их впоследствии плавной кривой,
мы получаем линию равных приведенных напоров.
Опредег ение точек на модели с заданными приведенными потен-
циалами основано на сохранении равновесия плеч моста, т. е. на
равенствах (12.18), (12.19) и (12.20).
Падение потенциала на модели, принимаемое за единицу, разби-
вается на несколько (обычно на 10) равных частей. На шкале аго-
мегрд нанесены деления от 0 до 1 через 0,001. Полное сопротивление
агомегра (rj-j-Zg) отвечает численному значению на его шкале, равному
единице. Если требуется найти линию равных потенциалов, отвечаю-
щую какой-то части полного падения потенциала, например 0,4, то
движок агомегра устанавливается на этом делении. Далее путем про-
щупывания модели иглой определяются, азатем фиксируются те точки,
в которых гальванометр не отклоняется от нулевого положения. Точки
с равными потенциалами затем соединяются плавными кривыми, являю-
щимися линиями равных приведенных потенциалов.
Если при работе пользуются телефоном, то искомые точки опре-
деляются по максимальному затуханию звука в телефоне.
Иногда требуется определить потенциал в данной точке модели.
Для этого следует поставить в данную точку осфие иглы, а за:ем
вращать барабан агометра до тех пор, пока стрелка гальванометра
не остановится на нуле или звук в телефоге не будет иметь мини-
малы ой силы. Цифра, прочитанная на шкале агомегра, определит
величину приведенного потенциала в данной точке.
Приключение модели к приборам ЭГДА в случае определения
эквипотенциальных линий схематически показано на фиг. 322 и 324,
а также на фиг. 282—284, 286—295. Модели, выполненные из про-
водников, обладающих ионной проводимостью (электролиты, дисперс-
ные и желеобразные массы и т. п.), приключаются к приборам ЭГДА
по схемам фиг. 286, 287, 288, 289(A), 290—295, 324. Модели,
выполненные из электронных проводников (станиоль, электропровод-
ные краски, электропроводная бумага и др.), присоединяются к при-
борам ЭГДА по схеме фиг. 282, 284, 289(5), 322.
При определении линий тока приключение модели: к прибору
остается прежним, но изменяется местоположение шин (см. $ Ю).
Шины с потенциалами Ur~l « Ur = 0, расположений6 на конту.
рях и С2 (фиг. 322 и 324), переносятся при построении линий
токз ня конгуоы Сп и Gi (фиг. 323, 325).
Ясно, чго если граничные условия требуют задания
Разных потенциалов на шинах модели, то nPH®e^ef
определяются автоматически: их значения проч т в	двумя
агомегра. Если же модель должна иметь 11‘	. __. у — Q
Различными значениями потенциалоз w	J
назначаются для тех шин, между	прИ этах условиям
иая разность потенциалов. Все же р
532
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ (ГЛ. 12
будут иметь промежуточные значения, равные
щих приведенных напоров, определяемых по
Промежуточные приведенные потенциалы
огветсгвующих шинах при помощи
например, показано на фиг. 326
или на фиг. 295, где дана схема
значениям соогветствую-
(12.24).
устанавливаются на со-
или потенциометра, как,
~ ТР
яе
О
'К
<п
т
реостатов
л к &
Шина В
Шина!
К

и.
-г?
Иг

Фиг- 324’	Фиг. 325.
сложной^ пространственной модели. Один конец обмотки
я=з 1, а второй
установки <---
>. -
2“ш1е»ци"ал 0 <UU<rm	°oVa”“So««yX’
ПОС13ВИН на атоме I De дв^лк ^ЮЧШ' 8 прйбор электрический юк,
пиалу, и коснувшись1 М знз*1ение> равное приведенному поген-
KOHiaKT реостата в ту И™Ц°М И'Л“ ,ПИЯЫ Д8И|’аЮ1' подвижной
гальванометра не установиг™УГУЮ С'орону д0 гех пор, пока с/релка
фоке не достигнет минимума ” полтке1™ идй звук в геле-
ДепрессииИСнеобхоТиИИп Фильтраци0НН0‘0 по i ока, имеющего кривую
Отыскание кривой	ВСего найти эту КРИВУЮ путем подбора,
линии тока В каждой CCUU Н3 модели сводится к нахождению окой
удовлетворил бы	приведенный потенциал Ur
имеющего ’кривую^пеппро^ п®казана модель фильтрационного потока,
верхнего«™а). Ш1 и Д/2-шины
ияющая точки Л и В Я В" КрИвая Депрессии (пунктирная), соеди-
если модель выполнена прибЛйЖенИй наносится на глаз, причем
она наносится аавеяомл твердого ил« желеобразного материала, т®
8аведомо »«we действительной, как показано на фиг. 327
§ 142}
ПРОИЗВОДСТВО опытов
533
пунктиром. Действующий напор Н, равный вертикальной проекции
кривой АВ, делится на 5—10 равных частей. Через полученные
точки проводятся горизонтальные линии, пересекающие электропро-
водную часть модели. В точке пересечения кривой депрессии с каж-
дой из горизонтальных линий потенциал известен. Так, в точке а
приведенный потенциал (на шкале
агомегра) должен быть равен 0,8,
в точке b — 0,6 и т. д.
Для нахождения местоположе-
ния точки а устанавливают движок
агомгтра на 0,8 и ищут иглой точ-
ку, расположенную по горизонталь-
ной линии, проведенной на высоте
0,8// над горизонтом воды в ниж-
нем бьефе. Найдя эту точку, за-
крепляют ее и устанавливают дви-
жок агометра на 0,6 для нахо-
ждения точки Ь. Местоположе-
ние точки b следует искать на
горизонтальной линии, проведен-
ной на высоте 0,6// от горизон-
Фнг. 326.
та воды нижнего бьефа. Затем
отыскивают точки с, d и т. Д.
ных линиях.
По полученным точкам проводят
будет кривой депрессии в первом приближениь.	ченнОЙ крйВой
Электропроводный материал, лежащи	ЫМ|л срезают; при
Депрессии (между пунктирной и сплошной кривыми), ср
на соответствующих горизонталь-
кривую AabcdB-
Эга кривая
этом ранее найденные потенциалы в точках кривой депрессии не-
сколько изменятся. В связи с этим опыт повторяют сначала, как
это описано выше. Полученные новые точки кривой дегрессии соеди-
няют плавной кривой. Эта кривая будет кривой депрессии во втором
приближении.
Электропроводный материал, лежащий между первой и второй
кривыми депрессии отрезается, после чего так же находится кривая
депрессии, в третьем приближении, и т. д.
534
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМНЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ [ГЛ. 12
Фиг. 328.
Подбор кривой депрессии продолжается до тех пор, пока приве-
денные потенциалы в точках пересечения кривой депрессии с гори-
зонтальными линиями не будут равны написанным на них значениям.
При этом, очевидно, выполняется условие (12.17). Обычно возможно
ограничиться вторым или третьим приближением. При изготовлении
модели из электролита кривая депрессии перво-
начально задается заведомо ниже действительной,
а в процессе опыта борт модели, соответствующий
кривой депрессии, постепенно подрезается до тех
пор, пока найденные в точках кривой депрессии
приведенные потенциалы не будут удовлетворять
указанному условию.
Определение электрического сопротивления
модели, необходимое при нахождении фильтра»
ционного расхода электрическим путем, произ-
води! ся на мостике Кольрауша. Можно также
воспользовался усгаювкой ЭГДА, присоединяя
модель к соо1вегсгвующим электрическим схемам по принципу моста
сопротивлений (фиг. 328).
На схеме, ^изображенной на фиг. 329, показано присоединение
модели к приоору. При этом в качестве эталонного сопротивления
включаемся сопрошвление
катушки или магазина сопротивлений.
Conpot явление должно быть со-
измеримо с сопротивлением модели.
Равновесие сопротивле: ий плеч
моста определяется вначале по теле-
фону, для чего телефон Т вклю-
чается переключателем /7, а на аго-
метре Аг движок К устанавливается
так, чтобы звук в телефон был ми-
нимальным. Далее можно включи 1Ь
гальва! омегр и уточнить положение
движка агомегра так, чтобы стрелка
гальванометра установилась в нуле-
вом положении. Сопротивление мо-
дели 7?и при этом будет:
(12.38)
где п — деление агометра, на кото
Во избежание опасных Р°М УстановИтся Движок,
замыкания и пазмыкя«и« ^ЯЛЯ гяльванометра влияний экстратоков
а затем гальванометр или С”ачала замыкается цепь источника тока,
метра, а затем цепь’	Сна,ала размыкается цепь гальвано-
ЧИЙка года, Ддя уменьшения ошибки, воз-
§ 143|
ОБРАБОТКА ОПЫТОВ
535
никакицей вследствие термоэлектро движущих сил цепи мостика, реко-
мендуется замыкать цепь на возможно короткие промежутки времени
и повторять каждое измерение дважды. За оконча;ельный результат
следует брать средгезрифмешческое значение из измеренных сопро-
тивлетий.
Определение сопротивления мо-
дели при помощи амперметра и
вольтметра (фиг. 330) производится
по формуле, вытекающей из закона
Ома:
^ = 77=77’	(12,39)
где U—напряжение в вольтах,
г— внутреннее сопротивление вольт-
метра в омах, /—сила тока в цепи
в амперах.
Если в рассматриваемые выше
схемы включить вместо модели га-
рировочный ящик, запол; енный элек-
тропроводным материалом, а затем
измерить полное сопротивление /?9
ящика, то удельное сопротивление р ма;ериала модели
по формуле
р = —
определяется
(12.40)
где <о ц /—площадь поперечного сечения и длина образца в тариро-
вочном ящике.
При моделях, выполненных из электронных проводников (станиоль,
электропроводная бумага, электропроводные краски и т. п.), удобнее
вместо р определять -у, где 8 — толщина модели.
Для определения вырезают1) из модели образец шириной а =
=== 0,3—0,5 см, длиной b = 40—50 см и находя; его сопротивление /?».
Затем определяют у по формуле
(12.41)
опытов. Как сказано в § 142, в процессе
модели находятся линии равных шпоров (или
§ 143. Обработка
проведения опыта на модели находятся линии равных
линии тока), приведенные потенциалы в Различных точж«облает
фильтрации, главным образом на границе этой облает* (например,
^резаииГобразца производится после нахождения аквипотенцимь-
вых линий и определения сопротивления модели.
536	МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ (ГЛ. 12
по подземному контуру сооружения) или в зоне выхода фильтрацион-
ного-потока (например, вблизи дна нижнего бьефа), а также кривые
депрессии. Кроме того, иногда требуется определить сопротивление
модели, а также удельные сопротивления употребляемых электропро-
водных материалов. Полученные в результате опытов данные позво-
ляют определять напоры, давления, скорости фильтрации в различ-
ных точках области, фильтрационные расходы и т. д. (§ 128).
Первоначальные результаты, полученные из опытов, состоят из.ряда
точек, фиксированных на модели с указанием значений приведенных
потенциалов в этих точках.
В электролитовых моделях закрепление точек производится кон-
цом иглы на парафиновом дне, в моделях, выполненных из станиоля
или электропроводной краски, — непосредственно карандашом или
чернилами на поверхности модели, а в моделях из дисперсных смесей
или желеобразных масс фиксирование опытных точек производится
на кальке, предварительно смоченной и положенной на поверхность
электропроводного материала модели. Найденные в опыте и закреп-
ленные на модели точки переносятся на восковку.
Точки с равными значениями потенциалов соединяются плавными
кривыми, которые являются эквипотенциальными линиями иля линиями
равных приведенных напоров. На этих кривых надписываются соот-
ветствующие значения приведенных напоров hr, или значения дей-
ствительных напоров А, связанг ых с hr зависимостью (5.3). Линии
тока, как правило, строятся графическим способом (§ 128), с исполь-
зованием полученных линий равных напоров. Иногда применяется для
нахождения этих линий экспериментальный способ, указанный в § 142.
Однако этот способ с технической точки зрения является более
сложным.
Определение фильтрационного расхода может быть произведено
так называемым электрическим способом, по которому величина филь-
трационного расхода вычисляется, исходя из величины электрического
сопротивления модели, о котором было сказано выше, в § 142.
Для получения формулы фильтрационного расхода выразим послед-
ний согласно § 126 в виде
=	(12.42)
где Н—действующий напор, Ф— модуль формы.
Для электрической модели по закону Ома можно написать:
/= “ ,	(12.43)
Р#о
где / сила тока в модели, и — напряжение в цепи, р— удельное
сопротивление и 7?0—сопротивление модели прир=г1.
Поделим (1*2.42) на (12Г.43) и определим расход:
(12.44)
§ 143]
ОБРАБОТКА ОПЫТОВ
537
Так как Ф и До имеют размерность, обратную длине, то заменяем их
отношение линейным масштабом Aj, выражающим отношение линейного
размера натуры ZR к соответствующему линейному размеру модели /м:
4 ,
Кроме того, имея в виду, чго у=/?— сопротивление модели, полу-
чим вместо (12.44)
q=*P^L.	(12.45)
При наличии в исследуемом районе ряда источников и стоков
общий расход фильтрационного потока можно представить в виде
Q =	(12.46)
J=1
причем частичные расходы будут:
(12.47)
где и — напряжение между шинами, моделирующими поверхность
с максимальным и минимальным напорами, п—число стоков в модели,
]—порядковый номер стока, 1$—-сила тока отдельного стока.
При тсследовании фильтрации в неоднородных грунтах величины я
и р берутся для любых двух соответствующих зон натуры и модели,
так как согласно условию (12.14) для всех зон
const.	(12.48)
При исследовании плоской фильтрации мы задаемся толщиной модели 8
из условий техники производства опытов. Если линейный масштаб
модели равен Хг, то полученный из опыта расход Q должен отвечать
ширине сооружения в натуре, равной
5 = к^.
На
этом основании из (12.45) получим:
W 8J? ’
или
же, деля полученное равенство на Д
„ k№
Я— удельный фильтрационный расход.
шражагь k в CMjeeic, Н в см, р в ом см, Jf * омах и 8
д получится в смесей на 1 погонный сан i и метр ширины
(12.49)
где
Если виража гь
в см, то t
потока.
538	МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ аналогий [гл. 12
При неоднородном грунте k и р в формуле (12.49) надо взять
для любых двух соответствующих зон натуры и модели.
При определении фильтрационного расхода в случае плановой
задачи следует воспользоваться формулой (9.54):
Q = O,5A(/zl — h^)qr,	(12.50)
в которой приведенный расход qr находится по формуле (12.49) при
Я= 1 и А== 1.
Заметим, чго опр’дэление фильтрационного расхода при плоской
фильтрации можно успешно производить по способу, изложенному
в § 129, не определяя сопроп вления модели, а только лишь имея
линии равных напоров. При определении фильтрационного расхода
в случае плановой напорно-безнапорной фильтрации можно восполь-
зоваться формулой
-^-Р,	(12.51)
где ©j и <р2 — значения потенциала филырации в начальном и конеч-
ном сечениях по i ока.
После производства опыта и его обработки составляется чертеж,
на который наносятся результаты исследований в виде линий равных
напоров, кривых депрессии, а иногда и линий тока. На чертеже
выписываются значения филырацюнного расхода, приводятся эпюры
градиентов и скоростей филырации, давлений на подземные части
сооружений и т. д.
§ 144. Примеры исследований фильтрации методом ЭГДА.
Применение различных электропроводных мат риалов при изготовлении
моделей напорных, безнапорных, плановых и пространственных филь-
трационных потоков и результаты исследований этих потоков по
методу ЭГДА покажем на следующих примерах.
1. Остановимся на примере исследованья напорной фильтрации
в слоистом грунте основания бетонной плотиты (фиг. 331).
Здесь плоская модель, выполненная в масштабе 1:200, состоит
из слоев с различными значениями коэффициентов фильтрации. Макси-
мальный коэффициент фильтрации в 200 раз больше минимального.
В качестве электропроводного материала модели применен агар-агар.
Электропроводность агар-агара, моделирующего слои грунта с раз-
личными коэффициентами фильтрации, изменялась путем добавления
к нему раствора медного купороса. Для исключения диффузии по
границам разнородных слоев были установлены коллекторные шины.
Питающие шины в виде медных полос толщиной 1 мм и шириной 10л<-*,
поставленные на ребро, расположены по дну верхнего и нижнего бьефов,
а также по линиям контакта обратных фильтров с грунтом основания.
Водонепроницаемые границы — водоупор и подземный контур со-
оружения (понур, шпунт, цементационная завеса и тело плотины) —
выполнялись из диэлектрика.
Фиг. 331.
540
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМНЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
Линии
вление о
равных напоров, полученные на модели, даю г предсщ-
форме фильтрационного
плас юв
основа-
возмож-
огдель-
сооружения
Oft
оа
ог/
а/
4йй??'
-ion?
- й?
- йт
- ~ //
- оо?
- 05/-
- оа
- оа
ж
3. На фиг. 834 представлен i
ной фильтрации в неоднородных

по । ока и о влиянии разнород-
ное! и геологических
водопроницаемого
рия. Ори такжэ дают
ноегь оценить роль
пых элементов
(понура, шпунта, завесы, об-
paiHHx фильтров и т. д.)
в гашении фильтрационного
потока.
2. В качестве друюю при-
мера приведем исследование
плоской безнапорной фильтра-
ции в разнородных грунтах,
выполненное на модели из элек-
тропроводных красок, в мас-
штабе 1 :1000 (фиг. 332).
Слои груша, имеющие раз-
ные коэффициент филыра-
ции, моделировались при по-
мощи красок различного со-
ciaea, обладающих разйой
удельной проводимос!ью. Со-
шав краски определялся по
графикам, приведенным на
фиг. 333. Питающие шины,
расположенные по линиям АВС
и ENLM (фиг. 332), были из-
гоIовлег ы из легкоплавкого
висмуювого сплава. При иссле-
довании была найдена кривая
депрессии меюдом, описанным
в § 142, а затем линии равных
напоров. Данные опытов (фиг.
332) дают количественную ха-
рактеристику фильтрационного
потока, показывают роль яд-
ра, а также верховой и ни-
зовой призм плотины в гаше-
нии напора. Эпюры градиентов
и выходтых скоростей по-
зволяют оценить устойчивос1Ь
основания.
пример исследования пространствен-
 грунтах в обход бетонной стенки
f 144J примеры исследований Фильтрации методом эгда
541
>ошт
вахт
тот
зоооооо
йОООООО
зоооооо
«да?
гяхт
1000000
«то
«ОШ
300000
400000
жаг
W/w / &г, состава xpacxus ej»3f&/a^asxi№^nw
о
гая
с-«п г-вшяю*
zw% г-$ам№%
го
VXB0
wo
6000
6000
ш
3000
тллли»
<й?
я
Ю L1.I..L..1.
0103 4 3
то
№0
600
№J
ег, -

гоо

№000
«то
л. 6П№
30000


5>. ®ш
J1
Ч|§ жр
4
а

№
№
Ю f5 20
дремя Т а а^шах 
Фиг. 333.


; _£; _. /чг?Ж r*70J№0%
!ЙЗД л»ж r-6TM0%
1>34% /ШАЖЖ
C-XiX.MSJbXOX
С'№%.г^ал*хо%
за
642
MbJUA ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
плотины в месте прймыканйя ее к берегу. Грунты области фильтра-
ции фиг. 334, 335 сложены из двух слоев: 1 и II. Слой //, имеющий
мощность Уд» 11 м и коэффициент фильтрации As = 40 Mjcym, при-
крыт сверху слоем I с коэффициентом фильтрации ^== 10 м1сутки.
Фиг. 334
пеки сложили ПЛОгИНы в Районе сопряжения ее с правым берегом
и oihochimmja ГруНгов СлОя Горизонтальная плоскость водоупора
м лая мощность поюка по сравнению с плановыми
z	Разрез по Н
[ JS0*
Фиг. 335.
размерами позволяют исследовать рассмафиваемый пространственный
поток на плоской плановой модели.
Согласно § 139 для нахождения линий равных напоров плана
фильтрации изготовлена плоская однородная модель из агар-агара.
На модели фиг. 834 в вертикальных сечениях по линиям АВ, CD,
§ 144] ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ МЕТОДОМ ЭГДА 543
EFOLM, PR усыновлены шины, а по линиям DE, BNM, 1АРС1
элекфопроводный материал модели обрезан.
Ишегрируя функцию Н. К. Гиринского (9.54) для случая фиг. 335,
получим следующие значения пО1енциала филырации. Для входного
сечения АВ, где hY = 25 м,
/ р-	\	k
<?1 = й2 ---I	9600 м^сутки,
дли выходного сечения EFOLM, где й2 = 8 м,
Й2
ф2 = — й2 -g - — — 1280 мА1 сутки,
для любой произвольной точки с глубиной потока h Т2
—	Г2)=—5А2—330А4-1800;
при h < 77,
h2
о = —£ " = — 20й2.
•	2 2
На основании (12.33) находим приведенный потенциал филы рации
при й>Т2
5й'-’ + 330ft - 3080
®г8320
При й< Т
20ft2— 1280
~	8320
Зная числовые значения коэффициентов фильтрации, мощное п> слоя,
входные и выходные глубины поюка и полагая й = йа=18,3 м
и й = й4 = 12,3 м, получим приведенные потенциалы филырации
cooiBerci венно равными для дренажа плотны (фиг. 335)	0,565,
а дли канала фГ)== 0,221.
Решая последние уравнения относительно h, находим глубину
безнапорного фильтрационного потока h, соответствующую приведен-
ному потенциалу филырации фг при ЙЗ>'Г2
й = — 33 -4- /1700-f- 1660©,..
При й < Т2
й=/б44-416?г.
Задавая на агомефе значения фг через 0,1, находим семейщво
эквипотенциальных линий. По приведенным формулам для этих линий
получены значения напоров. Прибавляя к значениям напоров отметку
водоупора, получим отметки депрессионной поверхности, причем экви-
потенциальные линии будут гидроизогипсами потока.
544	МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ Аналогий (гл. 12
4. На фиг. 336 жирными линиями даны гидроизогипсы простран-
ственного безнапорного фильтрационного потока- Фильтрация про-
исходит в обход шлюза в пласте, подстилаемом криволинейной поверх-
noeepzfiocmu
Фиг. 336.
костью водоупора. Вертикальный разрез по линии тока в искаженном
в 10 раз вертикальном масштабе представлен на фиг. 337. Малые
глубины фильтрационного потока по сравнению с горизонтальными
Разрез по линии тока I-Д-Ш-Ш-1
6)
Фиг. 337.
размерами области фильтрации позволяют рассматривать этот пр -
странственный поток как плановый поток с криволинейной кровле
водоупора.
§ 144j	ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ МЕТОДОМ ЭГДА 545
Исследование безнапорной плановой фильтрации при наличии кри-
волинейной поверхности водоупора изложено в § 139. Здесь О1ме1им
лишь способ создания этой поверхности на модели. Модель представ-
ляет собой резервуар, дно и с тонки которого выполнены из диэлек-
трика, форма которого геометрически подобна исследуемой обласш
филы рации. Создание геоме1рически подобной криволинейной поверх-
HociH водоупора производится следующим образом. Дно ванны уста-
навливается по уровню в горизон। альное положение. Плоскость дна АВ
Фиг. 338.
(фиг. 337,6) принимается за наинизшую О1ме,ку поверхноаи водо-
упора. Вдоль каждой горизонтали, показанной на фиг. 336 тонкими
линиями, устанавливаются две смежные картонные полоски а и b
(фиг. 337,6). Ширина картонной полоски а равна разносiи отметок
Между рассматриваемой горизонталью и наименьшей поверхностью
водоупора, выраженной в вертикальном маспиабе модели. Полоска b
по ширине больше полоски а на величину, равную разнос «и двух
соседних горизонталей. В образованные отсеки 1, 2, 3, ...,и нали-
вается разогрешй парафин. После застывания парафина полоски b
срезаются, а излишек парафина в каждом отсеке соскабливается, после
чего поверхность водоупора принимает форму, изображенную в разрезе
на фиг. 337,6 и обозначенную буквами CDEF.
5. Методом ЭГДА иногда исследуютоя сложные пространственные
фильтрационные потоки, обладающие анизотропно-водопроницаемым
грунтом, напорными фильтрационными водами различной интенсивно-
сти, наличием депрессионных поверхностей и ряда участков с раз-
личными пьезометрическими напорами и, наконец, сложной системой
водонепроницаемых подземных контуров узла сооружений и дренаж-
ных устройств в виде горизонтальных фильтров, соединенных с систе-
мой глубоких дренажных скважин.
546
МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
На фиг. 338 изображен гидроузел, в районе которого на
площади 1 кв. км исследован методом ЭГДА фильтрационный
поток.
Область филырации указанного района исследования состоит из
двух зон (фиг. 339). Зона / сложена из изотропного грунта (морена)
с коэффициенюм фильтрации /г = 1000 X Ю"0 М^сек; зона JJ имеет
анизотропный (iонкослоис!ый) грунт. Коэффициент фильтрации этого
грунта в вертикальном направлении йв = 0,1ХЮ“° м^ек, в гори-
зонтальном направлении kr~ 10 X Ю"6 м[сек.
Фиг. 339.
Напоры этих во/ fKHOr° грунга имею>ся напорные грунтовые воды.
сооружениями на не™ горазоН1альной плоское!и, расположенной под
приведенных напоппп 1Орой глУбике, характеризуются линиями равных
р«веденных напоров, показанными на фиг. 340.
ниченныТапушсги1^3ымИЗДаНИЯ ГЭС’ бе,Онной и земляной пло1ин, огра-
сосюят из гУоризонталЬныТТИ ^ИГ’ 341)’ ДРениР°«аньг- ДРе1,ажи
жин Ъ диамегпом on Х ФИЛЬ,РОВ и вертикальных колодцев-сква-
»“ №хРе:Л»’,ГЛг"Оа П-езомегрнческ»
Для разных monpu, пределах одного сооружения постоянны, но
закже » “LSS““„ ™Р°УМа ₽а=™™“- О- »огуг измеш^С"
Подземное «Ла ! эксплУатацгонный периоды.
н°сти входа и выхода ХЛИпаяеМЫе ЧаС1И гидПосооружений, поверх-
и поверхность оачпеля Л рационного потока, дренажные устройства
Рхность раздела анизотропной и изотропной зон грунта пред-
) Колодцы-скважины на фиг. 341 показаны точками.
§ 144) ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ФИЛЬТРАЦИЙ МЕТОДОМ ЭГДА 54?
ставлены на электрической модели пространственного фильтрацион-
ного потока (фиг. 342).
На фиг. 342 видна поверхность налитой в резервуар электропро-
водной жидкости, моделирующей анизотропно-водопроницаемый грунт.
Фиг. 340.
Свободная поверхность жидкости отвечает в натуре горизонтальней
плоскости, проведенной на некоторой глубине под основаниями соору-
жений. Таким образом, область фильтрации изображается на модели
в перевернутом виде, чго необходимо для удобства определения потен-
циалов в различных точках области. Токоподводящие шины предста-
вляют собою лагунные оболочки, покрывающие поверхности дна и
смоченных частей боковых откосов верхнего и нижнего бьефов. Они
были вырезаны по частям из плоских листов в соответствии с фор-
мой рельефа. Отдельные части были спаяны и прикреплены винтами
к соответствующим деревянным поверхностям модели. Такие же метал-
лические листы покрывают те части подземных поверхности гидро-
сооружений которые являются дренированными. Вертикальные
548
МЕТОД ЭЛВКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
[гл. 12
дренажные ущройсгва в форме колодцев моделирукнся при помощи
лагунной или медной проволоки, как эю показано на фиг. 342. Вся
Фиг. 311.
область фильтрации заполнена на модели элекгролиюм, в Ра
личных точках коюрого с помощью прибора ЭГДА определ
лись приведенные электрические потенциалы, пересчитанные зяте
на напоры.
§ 144] ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ МЕТОДОМ ЭГДА
549
Фиг. 342.
550	МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМНЧЕСКИХ аналогий [гл. 12
В результате исследования на элекгрической модели получены
поверхности равных напоров. Пересечения этих поверхностей гори-
зонтальными или вертикальными плоскостями оаавляюг на них следы
в виде линий равных напоров. На фиг. 339 и 343 показаны линии
равных приведенных напоров в вертикальных плоскостях: по камере
шлюза и по бетонной плотине.
На фиг. 340 представлены линии равных приведенных напоров
в горизонтальной плоскости, расположенной на некоторой глубине.
ГЛАВА 13
ЛАБОРАТОРНЫЕ И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ФИЛЬТРАЦИИ
§ 145. Общие сведения. Лабораторные и полевые методы иссле-
дования фильтрации играют весьма важную роль в деле изучения
фильтрации при проецировании и эксплуа1ации сооружений. Задачи
лабораторных и полевых исследований филырации разнообразны.
Наиболее важные и распространенные задачи лабораторных иссле-
дований фильтрации заключаются в изучении фильтрационных
свойств грунтов, в частности в численном определении коэффици-
ента фильтрации (проницаемости), и в определении формы и эле-
ментов фильтрационного потока на лабора|орных моделях.
Развитие гидроэнергетического и мелиорационного строительства,
а также развитие нефтяной и горной промышленности ставит новые
задачи по исследованию фильтрации, требующие разработки новйх
экспериментальных методов и установок. Многие методы лаборатор-
ных исследований фильтрации в достаточной степени разработаны
и часю используются в практике. Лабораторные исследования произ-
водя гея на естественных образцах грунтов или на моделях, выполнен-
ных из грунтов. Существуют также методы исследования фильтрации
на моделях, выполненных без использования грунтов. Такие методы,
основанные на аналогии между фильтрацией и другими физиче-
скими явлениями, рассмотрены в главе 12, а также в дальнейшем.
Как сказано выше, лабораторные методы исследования фильтра-
ционных потоков имеют весьма важное значение при проектировании
сооружений. В большинстве случаев практического проек гирования
условия фильтрационного расчета осложнены наличием разнородных
слоев грунта; форма границ областей фильтрации также является
сложной. В таких случаях теоретические методы не могут дать ре-
шения фильтрационной задачи и приходится прибегать к экспери-
ментальным методам. Естественно, что наряду с развитием теоре-
тических методов за последние годы получили сильное развитие
экспериментальные методы исследования фильтрации.
Полевые методы исследования фильтрации обычно имеют целью:
изучение фильтрационных свойств грунтов, в частности опреде-
ление коэффициента фильтрации (проницаемости) грунтов в их
552 ЛАБОРАТОРН. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ [гЛ. 13
естественном состоянии, определение в натуре форм фильтрацион-
ных потоков или таких характеристик, как скорости фильтрации,
давления, фильтрационный расход и т. д.
Полевые методы исследования фильтрации применяются при про-
ектных изысканиях, при производстве работ, а также при эксплуа-
тации сооружений, В СССР придается весьма большое значение
изучению фильтрации в условиях эксплуатации сооружений. Поэтому
все более или менее значительные гидротехнические сооружения обо-
рудуются устройствами для производства натуртых исследований
фильтрации в процессе эксплуатации, в частное!и для замера давле-
ний фильтрационного потока на сооружения, для определения филь-
трационных расходов и т. д. В эксплуатируемых месторождениях
нефти и газа устанавливаются специальные приборы для определения
давления в пластах.
Полевые исследования фильтрационных характернее грунтов,
необходимые при проектировании сооружений, являются более доро-
гими и трудоемкими, чем лабораторные исследования. Однако при
полевых исследованиях мы имеем дело с большими грунтовыми мас-
сивами, находящимися в естественных условиях, благодаря чему ре-
зультаты этих исследований более надежны. Чго же касается опре-
деления формы давлений и граничных условий потоков, то эти ха-
рактеристики естественных фильтрационных потоков можно получить
только при помощи полевых методов.
В литературе имеется большое количество работ, посвященных
полевым методам изучения фильтрации. В данной главе мы остано-
вимся на важнейших из них, причем главным образом с принципи-
альной точки зрения. Более или менее полное освещение полевых
методов исследования фильтрации составляет обычно предмет изло-
жения специальных курсов гидрогеологии [12, 9].
Подробное освещение вопросов полевых и лабораторных иссле-
дований фильтрации, необходимых при проектировании и сооружении
гидроузлов, дано в труде коллектива авторов [11], удостоенном Ста-
линской премии.
§ 146. Лабораторные методы определения коэффициента филь-
трации грунтов. Определение коэффициента фильтрации песков, су-
песей и легких суглинков с нарушенной структурой производится
на приборах, состоящих, в основном, из цилиндра, в котором поме-
щается исследуемый грунг. К одному, из концов цилиндра подво-
дится вода, фильтрующая через образец грунта. Одна из существую-
щих конструкций такого фильтрационного прибора схематически
изображена1) на фиг. 344. Прибор состоит из рабочего цилиндра И
и распределительного резервуара Р, соединенных фланцами, между
которыми имеется решетка. К рабочему цилиндру присоединены
пьезометры П1 и 77#, выведенные на доску со шкалой. К распре*
) Для ясности масштабы деталей чертежа несколько искажены.
§ 146] ЛАБОРАТОРН. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ФИЛЬТРАЦИИ 553
делительному резервуару присоединена резиновая трубка, подводящая
воду из напорного бачка 5. В напорный бачок вода поступает из
резервуара, причем излишняя вода сливается через слив напорного
бачка.
Исследуемый грунт засыпается слоями в рабочий цилиндр и
уплотняется трамбованием каждого слоя. Плотность образца должна
olBenaib есгес1венной плотности груша. Эго требование контроли-
руется путем определения объемного веса груша в приборе. Под
Фиг. 344.
испытуемым образцом закладывае!ся слой мелкого гравия (фильтр)
толщиной 2—3 см. Такой же слой насыпается поверх образца. По
окончании загрузки в прибор подается вода под небольшим напором.
По мере промачивания грунта бачок поднимается по рейке до тех
пор, пока на поверхности верхнего слоя не покаже^я вода. Тогда
прибор заливается сверху водой до уровня сливной трубки. В начале
опыта бачок устанавливается на соответствующем делении рейки.
Таким образом создается напор, под которым вода филыруег через
образец и, поднимаясь вверх, вытекает через сливную трубку в мер-
ный сосуд,
В процессе опыта замеряется объем воды IF, профильтровавшей
через образец за время t. Время отсчитывается по часам или секундо-
меру. Если отметки уровней воды в пьезометрах равны и гга,
расчетная длина образца, равная расстоянию между пьезометрами,
I и площадь поперечного сечения цилиндра о>, то коэффициент филь-
трации грунта (см, § 12)
554 ЛАБОРАТОРН. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 13
Фиг. 345.
Определение значения к производится обычно при различных значе-
ниях градиента напора J =	, например при J = 0,26; 0,5; 0,75.
Для каждого значения J делается несколько определений величины k
до тех пор, пока эта величина не приблизится к постоянной во времени.
Полученное значение к полезно выразить в виде графика k = /(0,
где i время, отсчитываемое с начала опыта.
Для определения коэффициента фильтрации супесей и легких
суглинков с ненарушенной структурой применяются приборы, ра-
бочий цилиндр которых является одновре-
менно сиканом для взятия проб грунта из
шурфов. Одна ив конструкций таких при-
боров показана на фиг. 345. Рабочий ци-
линдр Ц, имеющий на нижнем конце на-
резку, привинчивается к распределительному
резервуару Р при помощи фланцев с ре-
зиновой прокладкой, а к верхней части ци-
линдра присоединяется сливгая часть прибора.
Наконечники, к которым присоединяются
трубки пьезометров, ввинчиваются в отвер-
стия в стенке цилиндра П. Определение
коэффициента фильтрации при помощи та-
кого прибора производится так же, как было
описано выше.
При взятии пробы грунта рабочий цилиндр
бая рукоятка. Цилиндр
коюрого заострены. За
’' ". . .
формуле (13.1).
Г "	.	. ........
трации в полевой лаборатории.
отвинчивается и к нему привинчивается осо-
погружае!ся в грунг верхним концом, края
пен	' ~~гем ГРУНГ вокруг цилиндра окапывается и ко-
формуле (13 ^резаетСЯ’ Коэффициент фильтрации определяется по
тпапиТ f	ьприбоР удобен "Рй определении коэффициента филь-
трации в полевой лаборатории.
коэФФИ!1иен1а фильтрации песчаных грунтов с на-
моуголкнагл^к1^10*1 можно производить в грунтовом лотке пря-
Отде ДХ / ЛепеЧН0Г0 сечекия- Схема лотка изображена на фиг. 346.
метки «пл» »И ** наполгены водой до определенных уровней. От-
шения Ур0 ^ейкрегулиРУЮ1Ся сливными трубами С, и С2 путем вра-
исследурмы» В	отделении лотка (рабочая часть) заложен
Решетками кгрунт’ ®се ТРИ отделения разграничены вертикальными
Так wav „ °Ла ПОС1упает в отделение / лотка из напорного бака,
ваетгя »епяпи°К ймеет. горизонтальное дно, то в ло1Ке устанавли-
вается геравномерная фильтрация, рассмотренная в § 25.
трации грунта”” ^°РМуЛЫ ^3’77^ найдем> что коэффициент филь-

(13,2)
§ 146] ЛАБ0РАТ0РН. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ФИЛЬТРАЦИИ 555
где Q— расход, вытекающий из трубы С2, /—длина грунтового
массива, b—ширина лотка в свету, ffj и ff2— начальная и конечная
глубины потока.
Фиг. 346.
Расход Q замеряется объемным способом, причем
Q =»
(13.3)
где W—обьем воды, поступившей в водомерный бак из трубы С2
за время t.
В процессе опыта определение коэффициента фильтрации про-
изводится несколько раз при различных
напора J —	, для чего следует
изменять глубину Я2 путем поворота
сливной трубы С2 на соответствующий
угол.
Коэффициент фильтрации глини-
стых грунтов определяется на при-
боре Терца ги. Прибор этот, изображен-
ный на фиг. 347, состоит из рабочего
цилиндра Ц, распределительного ре-
зервуара Р и рычажной системы, ге
изображенной на чертеже, передающей
на образец нагрузку Ро. Рабочий ци-
линдр и распределительный резервуар,
между которыми положена решетка,
значениях среднего градиента
соединены болтами. К распределитель-
ному резервуару присоединена трубка, которая является пьезометром
и одновременно служит для питания прибора водой. В верхней части
рабочего цилиндра имеется сливная трубка. В более совершенных
приборах рабочий цилиндр имеет два яруса, причем нижний ярус
в виде кольца служит для помещения в него испытуемого образца
грунта.
556 ЛАБОРАТОРН. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 13
Перед загрузкой прибора распределительный резервуар запол-
няется водой до верхней поверхности решетки. На решетку укла-
дывается фильтр — слой песка толщиной 1—2 см, покрываемый двумя
слоями фильтровальной бумаги. Этот слой промачивается водой снизу.
Исследуемый грунт кладется на фильтр в перемятом состоянии при
влажности, отвечающей пределу текучести. Толщина образца грунта
берегся равной 2 см. Поверх образца кладутся два слоя фильтро-
вальной бумаги и слой песка толщиной 1—2 см. На этот слой пе-
редается давление сверху с помощью пнампа. Величина давления,
передаваемого на грунт, берегся 0,25 KijcM^. Эта нагрузка поддер-
живается до стабилизации уплотнения образца. Наблюдение за уплот-
нением ведется по мессуру, усгановленному на штампе прибора.
После стабилизации уплотнения образца приступают к опыту.
В пьезометрическую трубку наливают кипяченую воду, причем
уровень воды в пьезометре задается на 50 см вып е водосливной
трубки. Уровень воды в трубке фиксируется не реже двух раз
в течение дня. Горизонт воды в рабочем цилиндре поддерживавi ся
на уровте сливной трубки. Если потери на испарение настолько
велики по сравнению с расходом воды в приборе, чго уровень воды
в рабочем цилиндре понижается, то необходимо подливать воду
в рабочий цилиндр сверху.
Коэффициент фильтрации грунта определяется на основании сле-
дующих соображений. За элемент времени dt через образец грунта
толщиной I протекает объем воды
dW ~ уш dt = k ~ со dt,
где v — скорость фильтрации в образце, со — площадь поперечного
сечения образца, k — коэффициент фильтрации, Н— напор в данный
момент времени (фиг. 347), отсчитываемый по шкале от уровня слив-
ной трубки прибора.
С другой стороны, уменьшение объема воды в пьезометре за
промежуток времени dt равно—coz dH, где со' — площадь сечения
пьезометра. Знак минус взят из тех соображений, что приращение dH
будет отрицательным.
Очевидно, что данное уменьшение объема воды в пьезометре
равно объему воды, профильтровавшей через образец:
k^-<ndt — — <ordH.
Положим, что в начальный момент Н — Н^ и в конце опыта H = Ht-
Тогда, интегрируя составленное уравтетие и подставляя соответ-
ствующие пределы, получим:
& ~т t = — о/ In —,
♦	Лл
§ 147) определение Коэффициента проницайМойгй	55?
где/—продолжительнос1ь опыта. Отсюда коэффициент фильтрации
грунта
(13.4)
Полученная формула служит для определения коэффициента фильтра-
ции при проведении опытов.	__,
Параллельно с проведением опытов строигся график к /{)•
Опыты прекращаются после того, как k приобретает величину,
практически не зависящую от времени.
Отметим, что имеется значительное количество работ, посвящ -
ных методике и технике лабораторного определения коэффициент
филырации (5, 7].	„
§ 147. Определение коэффициента проницаемости, ри х Р
геристике фильтрационных свойств грунтов и горных пород
тнении жидкостей, отличных от воды, как-то: нефти, газов, ра ол
и г. д., пользуются коэффициентом проницаемости, связанным с Ф
фициентом фильтрации соотношением (2.21). Проницаемость ор
Фиг. 348.
исследуется в лабораторных условиях при помощи особых приборов,
имеющих специальные патроны, в которых закрепляются исследуемые
образцы породы (керны), полученные бурением. Для закрепления об-
разцов в пагроге существуют различные способы. Часто для бокового
уплотнения используют воск, парафин, менделеевскую замазку или же
вставляют образец в резиновое кольцо [5]. При определении коэффи-
циента проницаемости широко применяется воздух. На фиг. 348
представлена схема установки для определения коэффициента прони-
цаемости при помощи воздуха. Прибор разработан Инсштутом гор-
ных ископаемых АН СССР.
Исследуемый образец О закреплен в зажиме 3 специальной кон-
струкции. Днище зажима опирается на станину прибора С. Для за-
жатия образца имеется зажимной винт В. Воздух поступает из бал-
лона Б через редукционный клапан Р, буферы Д, снабженные иголь-
чатыми клапанами К. Перед входом воздуха в образец и по выходе
558 лаборАторн. и полёвые Методы исслёдовАния фильтраций [гл. 13
его из образца имеются манометры. Для создания условий определе-
ния проницаемости образца при различной температуре в зажиме
имеется электронагреватель Э.
При подготовке образцов пород к испытанию из них удаляются
следы нефти при помощи растворителей. Образец обрабатывается
вручную или при помощи сверла с особым приспособлением, высуши-
вается в сушильном шкафу при 60—65° и вставляется во втулку
зажима. При этом боковая поверхность образца покрывается слоем
замазки. Вставленный во втулку образец нагревается до температуры
плавления замазки. В образце создается перепад давления, измеряемый
при помощи манометров. При малом расходе газа его можно собирать
в мерный сосуд, опрокинутый в воду, и затем измерять объем про-
фильтровави его газа. При больших расходах газа для измерения рас-
хода применяются счетчики (реометры) [6].
Коэффициент проницаемости образца определяется по фор-
муле (3.48). В этой формуле фигурирует расход газа Qop, отнесенный
к среднему давлению. Так как определение объема и расхода газа Q
происходит при барометрическом давлении ри, то при пользовании
формулой (3.48) следует иметь в виду, чго
Q„p=^-Q.	(13.5)
-гор
Коэффициент проницаемое!и определяется для одного и того же об-
разца несколько раз при различных перепадах давлений. В пределах
применимости закона Дарси численные значения этого коэффициента
будут, очевидно, одинаковыми при различных перепадах давлений.
Подобные установки применяются и при определении коэффициента
проницаемости песчаных грунтов.
Из § 11 вытекало, что коэффициент проницаемости не зависит ог
свойств жидкости и определяется лишь геометрическими формами пор
грунта или трещин породы. Здесь мы уточним представление об этом
коэффициенте и укажем физико-химические явления, в результате ко-
торых коэффициент проницаемости в известной степени будет зави-
сеть от свойств жидкости и проницаемой породы. Как показывают
опыты, при фильтрации жидкости в порах или трещинах образуются
адсорбционные пленки, уменьшающие сечения пор и трещин и таким
образом уменьшающие значения коэффициента проницаемости. Тол-
щина этих пленок зависит от физико-химических свойов жидкости и
проницаемой среды, а также о г температуры.
При фильтрации воды в средах, содержащих глинистые частицы,
помимо адсорбционных явлений имеет место также явление гидратации.
В результате гидратации глинистые частицы разбухают и коэффициент
проницаемости уменьшается.
Измеряемый при помощи газа коэффициент проницаемости свобо-
ден от -влияния указанных явлений. Этот коэффициент характеризует
абсолютную или физическую проницаемость среды. Действительная
§ 1481 ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ В ГРУНТОВЫХ ЛОТКАХ ж
проницаемость, называемая эффективной проницаемостью, как выте-
кает из сказанного, будег меньше абсолютной. Однако лабораторное
определение эффективной проницаемости, например, для нефти пред-
ыавляет затруднения и в этом отношении несомненное преимущество
имеют полевые методы, где эффективная проницаемость пластов опре-
деляется по промысловым данным.
§ 148. Исследование фильтрации в грунтовых лотках. Иссле-
дования фильтрации в грунтовых ло!ках производятся на моделях,
выполняемых из грунта.
При исследованиях фильтрации в грунтовых лотках основной целью
является определение формы фильтрационного потока и фильтрацион-
ного расхода. Надо, однако, заметить, чго за последние годы практика
фильтрационных исследований показала, чго названные вопросы во
многих случаях проще и быстрее решаются при помощи других ме-
>одов, и в частности метода электро-гидродинамических аналогий,
изложенного в главе 12. Облас1ь применения грунтовых лотков зиа-
чи!ельно сузилась, и логки в настоящее время используются главным
образом при исследованиях филырации, имеющих принципиальный
xapaKiep, когда важно иметь картину филырации в реальном грунте.
Фильтрация, осложненная явлением внутреннего размыва грунта
(суффозия) или его заиления (кольмагаж), неустаиовившаяся фильтра-
ция, фильтрация при наличии разнородных жидкостей и г. д, — все
Э1И специальные вопросы филырации нередко исследую i ся в грунто-
вых ло1ках.
Интересно отметить применение лотков специальной куполовидной
формы при исследовании фильтрации нефти в пластах и, особенно,
при исследовании притока к скважинам газированной жидкости
в Азербайджанском нефтяном исследовательском институте [5].
Не касаясь указанных специальных вопросов, остановимся на пра-
вилах моделирования фильтрации в грунтовых лотках и на основных
положениях техники производства опытов.
В зависимости от поставленной задачи исследования грунтовые
Л01ки могут иметь различные формы и размеры.
Для исследования плоской фильтрации упофебляюгся лонги прямо-
угольного сечения (плоские лотки). Для исследования потоков, имею-
щих вертикальную ось симметрии, как, например, в случае одиночных
врунювых колодцев, употребляются логки, имеющие в плане форму
сек гора (секторные лотки).
Размеры грунтовых лотков могут колебаться в значительных пре-
делах. Так, например, бывают плоские грунтовые логки, имеюн$ие
‘акие размеры: длина от 2 до 4 м и более, высота около 1—1,5 ж,
ширина 0,3—1 м. Грунтовые лотки обычно устраиваются из жел<ва
и бетона, иногда из дерева. Часть стенок лотка остекляется.
На фиг. 349 схематически показан плоский грунтовой лоток с мо-
делью земляной плотины. Он состоит из трех отделений. Отделении /
(входная или головная часть лотка) служит для приема воды, пЬсф-
560 ЛАБОРАТОРН. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЁДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ {ГЛ. 13
пающей из водопровода или напорного бака. Входная часть грунто-
вого лотка снабжается водосливным приспособлением для поддержания
уровня воды на заданной отметке.
На фиг. 349 водослив представлен в виде трубы, соединенной
с входной частью. Ее конец может быть установлен на любой отметке
путем поворота трубы вокруг горизонтальной оси. Из входной части
вода поступает в грунтовую модель, расположенную в отделении И—
рабочей части грунтового лотка. Передняя (лицевая) стенка рабочей
части лотка остеклена, задняя стенка и дно рабочей части снабжаются
отверстиями для пьезометров, выведенных с помощью резиновых тру-
бок на доску со шкалой. Отделение /// является выходной (сливной)
частью лотка. Здесь вода поддерживается посредством водослива на
определенном уровне и отсюда она выходит из лотка. Грунт для мо-
делей берется естественный, iепросеягный или просеянный сквозь
сига определенных диаметров.
Остановимся на условиях подобия установившихся фильтрационных
потоков. Для неуставовивн ейся филырации в § 14 была получена
система уравнений с учетом сил ит ерции. Как видно из всего пре-
дыдущего изложения, в обычных случаях филырации силы, инерции
весьма малы по сравнению с силами вязкости. Это обстоятельство
вытекает, во-первых, из малости значений чисел Рейнольдса при
филырации. Действительно, число Рейнольдса в подавляющем боль-
шинстве практических случаев филырации значительно меныт е еди-
ницы, за исключением, конечно, весьма небольших зон (например,
у острия шпунта, при обтекании остроугольного массива и т. Д-), ае
имеющих практического значения. Известно, что малые значения числа
Рейнольдса свидетельствуют об относительной малости сил инерции.
Во-вторых, при неустановившейся фильтрации изменение скоростей
во времени происходит крайне медленно. Так, например, неустановив-
шийся процесс осушения местности или распространения в берегах
рек подпора грунтовых вод ог сооружаемых плотин происходит так
медленно, что требуется несколько месяцев, а иногда и лет для из-
менения существовавшей ранее картины фильтрации. Поэтому и га
часть силы инерции, которая содержит локальное ускорение (частную
§ 148] ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ В ГРУНТОВЫХ ЛОТКАХ	561
производную скорости по времени), во всех практически интересую-
щих нас исследованиях неустановившейся фильтрации весьма мала.
Итак, соблюдая лишь практически необходимую точность, можно
в уравнениях (2.54) пренебречь силами инерции. Тогда мы придем
к уравнениям (2.56), которые, строго говоря, являются уравнениями
установившейся фильтрации.
Введем в эти уравнения масштабы подобия, а именно масштабы
Длин, скоростей, коэффициентов фильтрации и напоров. При этом
масштабами будем называть безразмерные отношения величин, отно-
сящихся к фильтрации в натуре, к соответствующим величинам, от-
носящимся к фильтрации на модели:
Z«	и«	А .	~ А»	/1 О ЙЛ
=	—5	4 = ^	(13-6)
В последних равенствах через I обозначены линейные .размеры, ин-
дексы «н» обозначают принадлежность соответствующих величин
натуре, а индексы «м» обозначают принадлежность к модели. Тогда,
например, из первого уравнения (2.56) получим:
„ «	ь dh
Отсюда найдем, что при существовании подобия явлений фильтрации
в натуре и на модели необходимо равенство постоянных множите-
лей, образованных из масштабных коэффициентов,
(13-7)
а2
Полагая, что напоры на границах областей фильтрации натуры и
модели геометрически подобны, причем масштаб подобия равен линей-
ному масштабу ай==а2, получим:
а„ ==»а*.	(13.8)
Из условий кинематического подобия следует, что
где и ми — коэффициенты пористости натуры и модели, ts и
— соответственные промежутки времени в натуре и на модели.
Заменяя отношения масштабами, причем
(13.9)
получим?
а = W1'	(13.10)
« Of
§62 ЛАБОРАТОРН. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ |гЛ. 13
Из (13.8) и (13.10) следует, чго
=	(13.11)
Из сказанного вытекают следующие условия подобия фильтрацион-
ных потоков в натуре и на модели. Фильтрация на модели должна
удовлетворять закону Дарси, как и фильтрация в натуре. Силы
инерции фильтрационного потока модели должны быть малы по сравне-
нию с силами трения. Области фильтрации в натуре и на модели
должны быть геометрически подобными. Граничные условия в на-
чальный, а также и в последующие моменты времени в натуре и на
модели должны быть одинаковыми (с учетом масштаба времени).
Формы пластов грунта в натуре и на модели должны быть гео-
метрически подобными. Коэффициенты филырации соответствующих
пластов грунта в натуре и на модели должны находиться в постоян-
ном между собо-i сношении, равном afc. Линейный масштаб аг и
масштаб коэффициентов фильтрации назначаются из условий техники
изгоювления модели и проведения опытов, а масштаб времени опре-
деляется по формуле (13.11). Следует иметь в виду, что условия
подобия при учете сил инерции получаются значительно более слож-
ными [4].
На основании приведенных формул производится переход ог модели
к натуре путем умножения величин на соответствующие масштаб-
ные коэффициенты. Так как размерное 1Ь расхода равна размерности
скорости фильтрации, умноженной на размерность площади, то фильтра-
ционный расход в натуре выражается через фильтрационный расход
па модели следующей зависимостью:
<2и = айа?(2и.	(13.12)
При моделировании установившейся филырации мы получаем зави-
симости (13.7) или (13.8). Условия подобия в эюм случае будут геми
же, что и в случае неустановившейся филырации. Коэффициент по-
ристости модели можно взять произвольным. Расход натуры опре-
деляемся по (13.12).
Перед началом исследований фильтрации в грунтовом лотке, не-
обходимо составить проект экспериментальной установки. В состав
проекта входит выбор масштаба модели, подбор грунта, грубое опре-
деление расхода установки, конструирование модели, назначение объема
исследований и последовательности их проведения.
Далее приступают к изготовлению модели. Грунт укладывается
в рабочей части лотка слоями, которые равномерно трамбуются.
Разрез модели наносится на стеклянную стенку лотка для удобства
изготовления модели. С той же целью можно применять шаблоны.
Выполняются соответствующие деревянные и металлические части
Модели, закладываются пьезометры. Производится надлежащее уплот-
§ 1491
ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ в щелевом лотке
без
нение в местах соприкосновения деревянных частей модели со стен-
ками лотка при помощи восковой замазки.
Входная и выходная части лотка медленно наполняются водой
приблизительно до проектного уровня. После того как движение
установится, уровни воды во входной и выходной частях лотка уста-
навливаются более точно с помощью водосливных устройств.
Фильтрационный расход в модели измеряется обычно объемным
способом — путем наполнения мерного сосуда водой, вытекающей
через водосливные устройства выходной части лотка, причем время
наполнения сосуда измеряется с помощью секундомера.
Линии тока получаются путем окрашивания струй анилиновой
краской, марганцевокислым калием и другими красящими вещее! вами.
Линии тока наблюдаются через стеклянную стенку лотка и фикси-
руются на ней восковым карандашом, а затем переносятся на чертеж.
Таким же способом фиксируются кривые депрессии фильтрационных
потоков.
Напоры в точках фильтрационного потока определяются посред-
ством пьезометров. Если точки, в которых требуется определить
напор, лежат на дне или С1енках лотка, то напоры определяются при
помощи стационарных пьезометров, которые подведены к отверстиям
в дне и задней стенке рабочей части лотка. Если напор определяется
в точках, лежащих в толще грунта модели, то в соо1вегствующих
местах модели устанавливаются вертикальные трубки, снабженные
отверстиями на нижйих концах, как показано на фиг. 349. Верхние
концы трубок выводятся из модели. Отметки уровней воды в колод-
цах-пьезометрах определяются при помощи тастера.
Скорости фильтрации определяются на модели при помощи
наблюдений за скоростями движения окрашенных струй. Наблюдае-
мая скорость перемещения окрашенных масс жидкости не является
скоростью фильтрации, а скоростью в порах грунта, и для получе-
ния скорости фильтрации следует умножить наблюденную скорость
на коэффициент пористости грунта.
При исследованиях неустановившейся фильтрации для фиксации
свободной поверхности потока в случае сравнительно быстрой ее
деформации можно применять фото- и киносъемку.
§ 149. Исследование фильтрации в щелевом лотке. Метод ис-
следования фильтрации в щелевом лотке основан на аналогии между
ламинарным движением жидкости между двумя параллельными пла-
стинками и плоской фильтрацией в грунте. Эта аналогия была впер-
вые, использована при изучении фильтрации Е. А. Замариным [2].
Поставленный вертикально, прибор воспроизводил картину плоской
фильтрации в однородном грунте при наличии свободной поверхности,
например фильтрации в земляных плотинах. В дальнейшем круг за-
дач, исследуемых на щелевом лотке, был значительно расширен [3].
Пусть имеются две вертикальные параллельные пластинки, между
которыми движется жидкость. При. ламинарном движении,
564 лабораторн. и полевые методы исслеЛования фитьтрАцйи [гл. 13
жидкости между двумя параллельными
ZZzZZzZZzzzzZZZZZZZ -Z/ZZZZ '///////.'Л Л'
а
а
777777777/
Эпюра
скоростей
77777777777777777777777777777,
Фиг. 350.
Эта величина, имеющая размерность
известно, получается параболическая эпюра скоростей в сечении пла-
стинки, а средняя скорость в сечении
]7 = —4^,	(13.13)
3v as	'	'
где а — полуширина щели между пластинками, v— кинематический
коэффициент вязкости жидкости, h — гидродинамический напор в се-
чении потока, s — координата.
Распространим полученную формулу на бесконечно тонкую струйку
пластинками (фиг. 350), пола-
гая, что средняя скорость
пропорциональна градиенту
напора*.
И =	(13.14)
где
» =	(13.15)
скорости, является аналогом
коэффициента фильтрации. Разлагая среднюю скорость на две соста-
вляющие по координатным осям, получим:
=	=	(13.16)
Подставляем теперь полученные значения составляющих скорости
в уравнение неразрывности, которое можно написать для потока
жидкости между двумя пластинками; мы получим уравнение Лапласа:
2+g^o-	(13.17)
Полученные уравнения для потока жидкости вполне аналогичны со-
ответс1вующим уравнениям плоской фильтрации тяжелой несжимаемой
жидкости (см. § 39).
Если вместо модели сооружения, в котором происходит фильтра-
ция, взять две пластинки, форма которых геометрически подобна
области фильтрации, то мы получим щелевую модель области филь-
трации, в которой узкая щель отвечает грунту в натуре. Поток
жидкости в тонкой щели, образованной пластинками, при осуществле-
нии соответствующих граничных условий является моделью фильтра-
ционного потока. Граничные условия на щелевой модели осуше-
ствляются тем же путем, как и на модели, выполненной из грунта.
На непроницаемых частях граничного контура щель преграждается
Непроницаемой дли жидкости перегородкой» На частях граничного
контура, где нарор является, постоянным, гонкая щель обрывается,
переходя в широкую щадь, играющую роль открытого водоема.
§ 149]	ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ В ЩЕЛЕВОМ ЛОТКЕ	565
Что касается кривых депрессии и поверхностей высачивания, то
они образуются на щелевой модели сами собой, без всякого прину-
ждения со стороны экспериментатора.
На фиг. 351 показана щелевая модель земляной плотины на водо-
непроницаемом основании. Щель, в которой протекает жидкость,
Фиг. 351.
ограничена с одной стороны стеклом, а с другой — восковой или
парафиновой плоскостью, которая предварительно точно обрабаты-
вается. В той зоне, где грунт считается водонепроницаемым, пластич-
ный материал (воск или парафин) прикасается к стеклу. В зоне,
отвечающей телу земляной плотины, между поверхностями стекла и
пластичного материала имеется узкая щель (шириной 0,5—2 мм).
В местах модели, отвечающих верхнему и нижнему бьефам, ширина
Щели берется довольно значительной и составляет практически
5—10 мм.
Вместо пластичного материала иногда употребляется стекло, так
что модель выполняется из листового стекла. Также употребляется
Щелевой лоток, изготовленный из целлулоида.
На основании сказанного выше о щелевом лотке можно формули-
ровать несколько условий подобия фильтрационного потока в натуре
и потока жидкости в щелевом лотке. Прежде всего необходимо,
чтобы во всей области движения щелевой модели движение жидкости
было ламинарным. Для этого следует убедиться, чго число Рейнольдса,
равное
(13-18)
меньше критического его значения. Критическое значение Rj для
равномерного движения жидкости в щели приблизительно равно 500.
Это требование, разумеется, не может быть выполнено во всех точках
области движения, так как имеются весьма небольшие участки, на-
пример, при обаянии углов, где средняя скорость может достигать
566 ЛАБОРАТОРН. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 13
большой величины. Однако эти явления носят местный характер, не
влияя на общую картину потока.
Щелевая модель области фильтрации должна бы гь геометрически
подобной области фильтрации в натуре.
Граничные условия в натуре и на модели должны быть одинако-
выми. Глубины воды на границах областей фильтрации, характери-
зуемых постоянными значениями напора, в натуре и на модели должны
находиться в том же отношении между собою, что и соответствую-
щие линейные размеры модели и натуры. Данное условие не является
обязательным при исследовании напорных фильтрационных потоков,
т. е. потоков, не имеющих свободной поверхности.
Формы пластов грунта в натуре и на модели должны быть гео-
метрически подобными. Огноп ение коэффициентов фильтрации двух
пластов в натуре должно равняться кубу отношения ширин щели
в зонах модели1), отвечающих этим пластам в натуре:
Й=(Й’-	(Ш9)
где и к*—коэффициенты фильтрации двух пластов грунта в на-
туре, aj и «2 — полуширина шели в зонах модели, отвечающих ука-
занным пластам.
Перенос результатов исследования безнапорной фильтрации со
щелевой модели на натуру производится согласно, следующим зави-
симостям (см. обозначения § 148), Линии сетки фильтрации, получен-
ные на модели2), геометрически подобны соответствующим линиям
в натуре:
/и = аг/и.	(13.20)
Скорости потока У на модели связаны со скоростями фильтрации V
в натуре зависимостью
о =	(13.21)
п
где k — коэффициент фильтрации натуры, п — коэффициент прони-
цаемости щели, выражаемый по формуле (13.15).
Исходя из размерностей удельного фильтрационного расхода,
Натуры q и расхода щелевой модели Q, можно написать следующее
отношение:
q lKv
Q'=x2alKV>
откуда согласно (13.20) и (13.21)
$ —	О3,22)
ие °5таяа,ли»яемся иа выводе [3J этого положения.
2) пепосредствецяр модели обычно получается линии тока,
§ 149]
ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ В ЩЕЛЕВОМ ЛОТКЕ
567
В случае исследования безнапорной фильтрации, когда масштаб на-
поров берегся равным линейному масштабу, напор Л8 в любой точке
фильтрационного потока натуры выражается через напор в соответ-
ствующей точке модели по формуле
Лн = агйм.
(13.23)
При моделировании напорных фильтрационных потоков граничные
значения напоров могут быть взяты в любом масштабе. Задача в дан-
ном случае сводится к получению сетки фильтрации. По сетке филь-
трации могут быть решены различные задачи по определению скоро-
стей фильтрации, расходов и т. д. способами, указанными в § 129.
Остановимся на вопросе о моделировании неустановившейся
плоской безнапорной фильтрации в щелевом лотке. Отметим, что
использование щелевого лотка в этом отношении имеет большие пре-
имущества по сравнению с грунтовым лотком, где проведение опытов
по неустановившейся фильтрации отличается длительностью и гро-
моздкостью. Учитывая предположения о малости сил инерции филь-
трационного потока в натуре, а также потока модели и пользуясь
понятиями о масштабах подобия величин, введениями в § 148, мы
можем записать следующие выражения для масштабов:
/„	v	k '
= V = Ч =
т«. п —k
— j- , am — mM , t tli •
(13.24)
Вводя в формулу (13.14) масштабы подобия, получим аналогично
§ 148 формулу (13.7), а затем и формулы (13.8), (13.9), (13.10) и
(13.11), При этом следует считать, чго коэффициент пористости щеле-
вой модели /пи =sl, так как жидкость непрерывно заполняет щель.
Вследствие этого
птя
(13,254
При моделировании неусгановившейся фильтрации в щелевом, лотке
необходимо также иметь в виду, что фильтрация в натуре должна
следовать закону Дарси, а течение в щелевом лотке должно обладать
малыми числами Рейнольдса, обеспечивающими не только ламинаа-
ность его, но и относительную малость сил инерции. Щелевая модель
должна быть геометрически подобна области фильтрации в натура,
а граничные и начальные условия потоков натуры и модели должн»
быть тождественны; изменение эгих условий в процессе опытаиронэ-
водится с учетов масштаба времени,
568 ЛАБОРАТОРН. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ [гл. 13
Переход ог модели к натуре производится на основании формул
(13.7), (13.9), (13.10) и (13.25).
Фильтрационный расход (средний за некоторый период времени)
определяется по формуле (13.12).
При изготовлении модели в щелевом лотке необходимо иметь
гладкую ровную поверхность из воска, парафина, стекла и т. д.
Поверхность эта должна иметь выступ в соответствии с очертанием
области филырации и выбранным линейным масштабом модели
(фиг. 351). Между данной поверхностью и поверхностью смотрового
стекла щелевого лотка должна быть осуществлена тонкая щель.
Способ устройства щели определяется конструкцией лотка. Здесь,
например, можно использовать способ введения калиброванных про-
кладок, позволяющих получать щель различной ширины.
Подвод и отвод жидкости к модели осуществляется при помощи
специальных отверстий в стенках лотка. В качестве жидкости при-
Фиг. 352.
меняется чаще всего глицерин и вода. При исследовании неусгановив-
шейся фильтрации во избежание влияния сил инерции следует упо-
треблять вязкую жидкость, например глицерин.
В процессе опытов в первую очередь находятся кривые депрес-
сии и линии тока. Линии тока получаются путем окрашивания струй
анилиновыми красками, марганцевокислым калием и т. д. Наличие
кривой депрессии и линий тока позволяет решить все вопросы, свя-
занные с расчетом исследуемого случаи фильтрации (см. § 129),
Для-определения расхода модели употребляется объемный способ.
При исследовании напорных потоков можно пользоваться горизон-
тальным щелевым лотком. При этом основной задачей исследований
является получение линий тока. Прочие элементы потока находятся
путем обработки данных опыта.
При исследовании неустановившейся фильтрации на щелевом лотке
удобно пользоваться киносъемкой. На фиг. 352 показана серия
мгновенных кривых депрессии, полученных в щелевом лотке на
§ 150]
ИЗУЧЕНИЕ ФОРМ ФИЛЬ ГРАЦИОННЫХ ПОТОКОВ В НАТУРЕ
569
дели прямоугольной земляной перемычки, стоящей на водонепрони-
цаемом основании [4]. В начальный момент уровни обоих бьефов
имели одинаковые огмегки и фильтрации в перемычке не происхо-
дило. Затем уровень нижнего бьефа был мгновенно снижен. На кри-
вых депрессии написано время в секундах, прошедшее с момента
начала опыта. Мгновенные кривые депрессии были получены при
помощи киносъемки.
§ 150. Изучение форм фильтрационных потоков в натуре.
При изучении формы безнапорных естественных фильтрационных
потоков, обычно имеются условия, позволяющие считать поверхности
равных напоров цилиндрическими поверхностями с вертикальными
образующими. Легко видеть, что при этом форма фильтрационного
потока определяется формой слабопроницаемого или непроницаемого
слоя, который подстилает проницаемый слой, и формой свободной
поверхности фильтрационного потока. Для суждения о скоростях и
расходах необходимо иметь геологические разрезы исследуемого участ-
ка, что требует проведения специальных геологических исследований.
Форма свободной поверхности фильтрационного потока опреде-
ляется посредством построения плана гидроизогипс, т. е. линий
равных отметок точек свободной поверхности фильтрационного потока.
План гидроизогипс строится для определенного момента времени на
основании одновременных замеров уровней грунтовых вод в различ-
ных точках наблюдения в пределах изучаемого участка. Точки наблю-
дения располагаются так, чтобы обеспечивалось построение гидро-
изогипс через заданный интервал (0,1—0,5 м). Особое внимание при
разбивке на плане точек наблюдения уделяется местам резкого изме-
нения уклонов свободной поверхности потока и водораздела.
В точках наблюдения устраиваются специальные колодцы, шурфы,
скважины. Существующие на изучаемом участке колодцы и источ-
ники, где наблюдается выход грунтовых вод на поверхности земли,
также используются в качестве точек наблюдения.
Для определения отметки уровня грунтовых вод в точках наблю-
дения необходимо у каждой такой точки иметь площадки, отметки
которых заранее определяются нивелированием. Такими площадками
являются, например, кромка обсадной трубы, поверхность забитого
в землю колышка и т. д. При замере уровня воды определяется рас-
стояние h от указанной площадки до поверхности воды в колодце.
Если отметка площадки равна Лр то отметка уровня грунтовой воды
в данной точке будет Л, — Л. Получив все отметки уровней грунто-
вых вод, их надписывают на плайе участка около соответствующих
точек. Затем соединяют точки наблюдения прямыми линиями, на кото-
рых путем линейной интерполяции находят точки с заданными интер-
валами высот. Соединяя эти последние точки плавными кривыми»
получают план гидроизогипс. Так, на фиг. 353 представлен план
гидроизогипс и показаны точки наблюдения; точки b и с гидроизогштс
Получены путем интерполяции между точками наблюдения м И д,
570 ЛАБОРАТОРН. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 13
План гидроизогипс изменяется в течение года. Для характеристики
этого изменения план гидроизогипс сгроигся для различных периодов
года, напримёр: для зимнего периода, периода весеннего паводка,
летнего и осеннего периодов.
Проведенные на плане гидроизогипс ортогональные к ним линии
являются линиями тока. По линиям
при помощи скважин, доведенных до
горизонта.
тока определяется направление
фильтрации и пьезометриче-
ский уклон, знание которого
необходимо при определении
скоростей фильтрации и рас-
ходов.
В напорных горизонтах, где
грунтовые воды не имеют сво-
бодной поверхности, фильтра-
ционный поток характеризуется
мощностью водоносного слоя
и пьезометрическими давления-
ми. В этом случае вместо гид-
роизогипс на план местности
наносятся линии равных пьезо-
метрических давлений—-гидро-
азопьезы. Пьезометрические
давления измеряются также
соответствующего водоносного
Методика и техника определения режима наблюдений и обработки
материалов приводятся в соответствующих руководствах и инструк-
циях (8].
При изучении нефтяных залежей приходится определять давле-
ния пластовые, т. е. при полном прекращении отбора нефти, или
забойные при работе скважин. Давления в пласте измеряются при
помощи глубинных манометров различной конструкции |5], опускае-
мых в скважины. В результате измерений давлений получается сеть
точек, на основании которой строится карта линий равных давлений —
азобар или азопьез, в которых давления выражаются в высотах
столба нефти.
S 151. Определение скоростей фильтрации и фильтрационных
расходов в натуре. Определение скоростей фильтрации потока
в натуре производится различными способами.
При наличии плана гидроизогяпс и при известном значении коэф-
фициента фильтрации проницаемого грунта направление скорости
фильтрации на какой-либо вертикали совпадает с касательной к линии
тока, проведенной на плане гидроизогипс через точку -—проекцию
рассматриваемой вертикали на плане. Величина скорости фильтрации
определяется по формуле
^13,26)
§ 151] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ В НАТУРЕ	571
где k — коэффициент филырации грунта, J — пьезометрический уклон,
равный уклону свободной поверхности. Пьезометрический уклон опре-
деляется по плану гидроизогипс. Для этого берется отрезок линии
тока As между двумя соседними гидроизогипсами, причем гак, чтобы
точка — проекция рассма1риваемой вертикали — лежала на данном от-
резке. Положим, чго разность уровней свободной поверхности на
концах отрезка равна ДЛ. Тогда
J =	(13.27)
Аналогично определяются скорости фильтрации в случае напорной
филырации — по карге изопьез. Скорости фильтрации можно опре-
делять путем непосредственных измерений. Для этой цели в филь-
трационный поток через пусковую скважину вводятся индикаторы —
вещества, присутствие которых может быть легко определено тем
или иным способом. Через некоторый промежуток времени содержа-
щая индикатор вода улавливается в одной из наблюдательных сква-
жин. При этом замеряется время прохождения воды, насыщенной
индикатором, между двумя точками наблюдения. Пусковая и наблю-
дательные скважины располагаются на линии наибольшего уклона
свободной поверхности, т. е. на одной линии тока. Во избежание
неточности расположения наблюдательной скважины желательно иметь
тесколько наблюдательных скважин. Расстояние L между пусковой
и наблюдательными скважинами бере/ся в зависимости от проницае-
мости грунта. Так, для суглинков и супесей Д = 0,5— 2,0 м, для
песков — 2—10 м, для галечников и хорошо проницаемых трещино-
ватых пород — 10—50 м.
Скорость фильтрации определяется по формуле
о =	(13.28)
Го - *1
где т — коэффициент пористости грунта, и /2 — оiсчеты времени
в момент пуска индикатора и в момент прохождения через наб-
людательную скважину воды с максимальной концентрацией инди-
катора,
В зависимости от рода индикатора при определении скоростей
фильтрации применяются нижеследующие три способа.
При химическом способе в качестве индикаторов употребляются
хлористый натрий, хлористый аммоний и т. д. Раствор индикатора
запускается в пусковую скважину при помощи особого прибора
(цилиндр с открывающимся дном), причем обсадная труЛ скважийй
поднимается. В наблюдательных скважинах при помощя батометра
берутся пробы воды: до запуска индикатора, через 2 5 час. после
запуска, а затем-—ближе к вероятному моменту появления индика-
тора—через каждые 15—30 мин. Наблюдения прекращаются через
некоторое Время, после достижения максимального значения конце»-
572 ЛАБОРАТОРЯ. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ fl Л. 13
грации индикатора. Концентрация индикатора определяется во взя-
тых пробах путем химического анализа.
При электролитическом способе в пусковую скважину /7(фиг. 354)
запускается хлористый натрий, хлорисшй аммоний или нашатырь.
Скважина эта имеет фильтр, обтянутый
металлической сеткой, являющийся элек-
тродом. В наблюдательной скважине Я
имеется фильтр, покрытый металличе-
ской сеткой, а кроме того, медный
стержень, который, как и сетка, является
электродом. Стержень изолирован от
трубы пробками. Сила тока, идущего
от батареи Б, измеряется амперметром Л,
причем при помощи коммутатора К из-
меряется сила тока в цепи между обсад-
ными трубами обеих скважин, а также
в цепи между стержнем и обсадной
трубой наблюдательной скважины. В ре-
зультате строятся графики, показанные
на фиг. 355. Отсчет времени /а в формуле (13.28) производится в мо-
мент (4)ти, соответствующий средней точке на участке подъема кривой,
или точке соответствующей началу подъема кривой.
При колориметрическом способе в качестве индикаторов исполь-
зуются красящие вещества. В случае кислых вод в пусковую сква-
жину запускается метиленовая
синька, анилиновая голубая; при
наличии щелочных и нейтраль-
ных вод индикаторами являются
флюоресцеин, эозин и др. В на-
блюдательной скважине систе-
матически берутся пробы. При
помощи флюороскопа опреде-
ляется (по цвету воды) концен-
трация раствора красящего ве-
щества. Отсчет времени 4
„„„	в формуле (13.28) отвечает мо-
большей ковдентрадйщ₽е3 наблюдзтельнУю скважину раствора наи-
живомИсечмииИпп^аНИЫХ ° Скоростох фильтрации v в исследуемом
рассмотоенныг йы^°Ка^,Л01ЦаД1>Ю 0ПРвДеленн«* одним из способов,
рассмотренных выше, фильтрационный расход
=	(13.29)
вдется* по	аИК°Г° ЖК8Ого сечения скорость фильтрации изме-
лнниями	Т° 9Т0 сечен» можно разбить вертикальными
Н «Я и И ряд Цилиндрических поверхностей (фиг. 35», в пределах
§ 151] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ В НАТУРЕ 573
каждой из которых скорость фильтрации можно считать постоянной.
Обозначая площади указанных поверхностей через о>2, ..., <ап и
соответствующие им скорости фильтрации через vlt v2, ...» wn, полу-
чим следующую формулу для определения расхода в данном живом
сечении:
п
Q = 2
i=i
(13.30)
При наличии исючников, шпаемых грунтовыми водами, фильтра-
ционный расход в некоторых случаях можно измерить непосреД-
С1венно — объемным способом или при помощи мерного водослива.
Фиг. 356.
Фильтрационный расход через тело земляной плотины также может
быть измерен объемным способом или при помощи мерного водо-
слива. Для этого устраиваются оборудованные мерными водосливами
специальные колодцы, в которые вода поступает из дренажа у по-
дошвы низового откоса плотины.
При гидрогеологических исследованиях, а также при исследова-
ниях производительности нефтяных скважин пользуются зависимостью
между дебитом скважины и разностью уровней (или перепадом дав-
лений) в работающей я наблюдательной скважинах. Основываясь На
формуле (3.93), можно написать;
4?==Л5,	(13.81)
где
д =	(13.82)
1g—
ro
574 ЛАЕОРАТОРЙ. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ (ГЛ. 13
Причем Т—мощность напорного пласга, г0 —-радиус работающей
скважины, г—расстояние от оси работающей до оси наблюдательной
скважины,
5 = й —й0	(13.33)
— разность уровней в названных скважинах. Как видно из (13.31),
зависимоен> между дебитом Q и понижением 5 будет линейной.
Фиг. 357.
изгибав юн вниз,
& Однако при больших скоростях фильтра-
ции могут наблюдаться огклонения ог дан-
ной линейной зависимое!и. На фиг. 357
показана кривая, выражающая зависимость
между Q и 5, полученная из опыта путем
замера дебита и разнос «и уровней (давле-
ний) в скважинах. Как видно из чертежа,
э!а кривая, называемая обычно индика-
торной кривой, в верхней своей части
вполне удовлетворительно отвечает линей-
ному закону. В нижней своей части она
изгииаекзя вниз, чю свидетельствует об отклонении от закона
А реи при больших значениях дебита данной скважины3)- Опытная
кривая позволяет в известных пределах прогнозировать величины де-
бита скважины при ее эксплуатации.
wf ®пРеделеиие фильтрационных характеристик грунтов
туре. 1ак как фильтрация в подавляющем больп инстве слу-
ч ев следует закону Дарси, то главнейшими фильтрационными харак-
™*жжИКамИ гРун,а’ определяемыми в натурных условиях, являются
п „;ФициеН1 Филь,Ра‘зии или коэффициент проницаемости грунта.
Hocib этих характеристик, теизменно входящих в расчетные зави-
симое^, обусловила широкое развитие методов их полевого опре-
деления.
ажно иметь в виду, что обычно фильтрационные расчеты относятся
к огромным массивам, сложенным из разнообразных напластований,
то определен ие средних значений коэффициента фильтрации больших
массивов лабораториями способами произвести весьма трудно. Полу-
а^Ые ПРИ Э10М ₽езуль,а1Ы могу» иметь случайный характер. По-
тпв У пользуются также полевыми методами определения коэффициен-
и»тА’,ЙЛЬГ^аВД11’ дающими наиболее надежные результаты. Эти
применяю!ся в настоящее время во всех ответственных слу-
чаях проектирования.
пл/'т?,Э^>ИЦИенТ ФильтРации грунта может быть определен по ско-
Ппи *ильтР“«и“> полученной, например, при помощи индикаторов.
вот п М Ре<?бходимо также иметь пьезометрический уклон груню-
__ а у» определяемый при таличии карты гидроизогипс или
жающейТ«вТ^еадтИобмстТф^рзди. сРавНительн<> небольшой окру-
§ 152] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В НАГУРД 57Й
изопьез. Тот да коэффициент филырации
* =	(13.34)
Одним из употребительных способов полевого определения коэф-
фициент филырации является способ, основанный на инфильтрации
воды в трунт чере» вырытое углубление в груше. Такое углубление
(зумпф) делается на д! е шурфа. Зумпф имеет цилиндрическую форму.
В нею подав! ся вода и поддерживав! ся глубина 5—10 см. При
установившемся процессе фильтрации измеряется расход воды Q.
Эю» способ применим при определении коэффициента фильтрации
в сухом однородном груше при наличии мощною пласта. При этом
получается фильтрационный поток, форма которого на незначительном
расстоянии oi дна зумпфа становится близкой к цилиндрической.
Градиент напора J = 1 J). Чю касаеюя живого сечения поюка, ю
оно буде1 кругом, площадь коюрого по способу Болдырева опреде-
ляется по формуле
со = 2ягА,	(13.35)
1де г—радиус зумпфа, h — глубина воды и нем.
Основываясь на проведенных данных, получим коэффициент филь-
1 рации
й	(13.36)
яг (г + 2ft)	'
Имеется способ, позволяющий получить J = 1 в средней чаши зумпфа
посредством установки по ею периферии шального цилиндра, заби-
ваемого в грунт на некоторую глубину. Эта мера обеспечивает прямо-
линейность линий тока у самого дна зумпфа. При этом площадь
живого сечения по»ока будет равна площади дна зумпфа. Имеются
некоторые уточтения способа инфильтрации, приближенно учитываю-
щие растекание поюка (14].
В случаях, когда в толще исследуемого трунта имеется сла-
боводопроницаемый прослой или же юризонт трунювых вод, то
фильтрация воды из шурфа происходит с растеканием. При
этом } < 1 и описанный способ ре дгет удовлетворительных резуль-
татов.
Способ откачки воды из колодцев является достаточно употре-
бительным и надежным полевым способом определения коэффициента
фильтрации грунта, лежащего ниже уровня грунтовых вод. Сущность
его заключается в следующем. В изучаемом пласте закладывают две
или три скважины, причем одна из них служит для откачки, а дру-
гие— наблюдательные — играют роль пьезометров. Наблюдательные
скважины часто располагают на одной прямой с центральной сква-
жиной, на расстояниях от последней, равных примерно 0,3 и 0,7 от
’) ДнадоЕИнный. случай плоской фильтрации рассмотрен и £ 67.
576 ЛАВОРАТОРН. И ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 13
радиуса влияния, определенного по существующим ориентировочны»,
формулам (§ 34).
Имея в виду, чго фильтрация происходит по закону Дарси,
в соответствии с формулой (3.144) можно вычислить коэффициент
фильтрации
0,73QIg-J>
ь =____ г*
(13.37)
где и г2— расстояния от центрального колодца до наблюдательных
скважин, Aj и А2—-глубины
(фиг. 358).
При одной наблюдательной
воды в наблюдательных скважинах
скважине
0,73 Q Ig IX
где Ао—глубина воды в колодце, г0—радиус колодца.
Схема с двумя наблюдательными скважинами позволяет получить
более надежное значение коэффициента фильтрации, чем схема с одной
наблюдательной скважиной. Благодаря большим скоростям фильтрации
близ стенок скважины в грунте возможны интенсивные перемещения
частиц с последующим уплотнением. Это обстоятельство влечет за
собою понижение точности коэффициента фильтрации, определяемого
по формуле (13.38). При определении k по формуле (13.37) указан-
ная неточность исключается.
Формулы для определения коэффициента фильтрации получены
для установившейся фильтрации. Поэтому при рткачке следует
добиваться установившегося режима фильтрации. Установившийся
режим наступает тогда, когда при заданном расходе уровни
воды в наблюдательных скважинах практически не изменяются во
времени.
Вполне аналогично определяется коэффициент фильтрации напор-
ного пласта способом откачек. Замеряя разность уровней
• наблюдательной if работающей скважинах, мы можем согласно
§ 152] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИЛЫ РАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В НАТУРЕ 577
формуле (3.93) определить коэффициент фильтрации напорного пласта
0,37 Q 1g
k==~T(hl^h^’	(13.39)
где Т—мощность напорного пласта.
Понятно, что такое определение коэффициента фильтрации пред-
полагает, чго фильтрация происходит по закону Дарси, так что при
наличии индикаторной кривой (фиг. 357) подобное определение
является правильным в пределах прямолинейного участка этой кривой.
Фиг. 3.59.
В случае, если работающая скважина будет иесовертт енной
(фиг. 359), при определении коэффициента способом откачек следует
иметь в виду, что на некотором теболыном расстоянии от работаю-
щей скважины (например, на расстоянии, приблизительно равном Т)
фильтрация практически весьма незначительно отличается от фильтра-
ции к соверц енной скважине. Следовательно, имея две наблюдатель-
ные скважины, можно определить коэффициент фильтрации, исходя
из формулы (3.93):
0,37 Q 1g
(13'40)
тле ?! и V.,__условные отметки уровней жидкости в наблюдите тьных
скважинах.
Часто при гидрогеолотических изысканиях, определяя коэффитнепг
фиаырации слоя грунта, применяют схему поглощающей скважины
(§ 32) при наличии одной или тескольких наблюдательных сква-
жин. При эгом в скважину нагнетается вода. Коэффициент фильтра-
ции определяется из формулы (3.96), в которую подставляются чи-
сленные значения всех входящих в нее величин. Помимо рассмотренных
простейших случаев определения коэффициента фильтрации при гидро-
теологических исследованиях встречаются и более сложные схемы.
Эти вопросы освещены в специальной литературе [10, 13, 14].
Наконец, при определении коэффициента фильтрации труптов
в зависимости от обстоятельств можно использовать и всякую иную
простую схему, имеющую теоретическое решение. Например, можно
578 ЛАБ0РА10РН. и полевые методы исследования фильтрации [гл. 13
использовать схему фильтрации в грунтовом русле, филырации в дрене
или водосборной галерее. Важно только, чюбы имелась возможность
определить все величины, входящие в соответствующую расчетную
формулу. Можно, наконец, вместо теоретических зависимостей исполь-
зовать опыты по методу ЭГДА, воспроизводя на модели натурные
условия, схематизированные соответствующим образом. При этом из
Q	л.
опытов получаются значения -у, получаемые на основании формул
для расхода, приведенных в § 143. Имея из натурных наблюдений
расход Q, получаем значение коэффициента фильтрации.
ПРИЛОЖЕНИЕ
I. Функции /j, /2 и /. В главах 7 и 8 мы неоднократно
встречались с функциями fs nf вещественного аргумент t, опре-
деляемыми следующими интегралами:
/. (О = Я а « “ - 5 .[	•“
6	о
и
t
I т,п	О)
о
Укажем некоторые из свойств введенных функций, иеносредствеяно
вытекающие из их определения. Эти свойства следующие:
(О+/90;	(2)
/1(_0==_/2(/)1 /2(—/) == —/2(о,	(3)
А(т-) = 4+^г	Л(0. /8(т) =
/21П/-/(/);	(4)
/2(1 —/) = 2 _ 2 ]п/1п (1 — () —/2(f);	(5)
/2(/2) = 21/2(/)-Л(01;	(6)
Функции /р /2 и f выражаются следующими степенными рядами
с радиусом сходимости, равным единице:
г гл 2 V 1)Я~Ч” Г(/т = 2уГ
fl (0 — ^2 2j Л2 ’ '2	г.'	’
Я=1
4 VI t2n+1
/ (0 — 2j (2л-j- 1JH ’
п=о
(В)
*) Под логарифмом понимается его главное значение.
•♦) Следовательно, функция f(t) будет нечетной.
580
ПРИЛОЖЕНИЕ
В таблице 14 приводятся значения функций fv при значе-
ниях аргумента t, изменяющегося в промежутке (О, 1). Указанная таб-
лица при	вычислена по рядам (8), а при значениях
у	— с помощью зависимостей (2), (5) и (7).
Таблица 14
t	Л	А	f	t	Л	А	/
0,00	0,000	0,000	0,000	0,55	0,099	0,132	0,231
0,05	0,010	0,010	0,020	0,60	0,107	0,148	0,255
0,10	0,020	0,021	0,041	0,65	0,115	0,163	0,278
0,15	0,029	0,032	0,061	0,70	0,123	0,180	0,303
0,20	0,039	0,043	0,082	0,75	0,130	0,198	0,328
0,25	0,048	0,054	0,102	0,80	0,138	0,218	0,356
0,30	0,057	0,066	0,123	0,85	0,145	0,239	0,384
0,35	0,066	0,078	0,144	0,90	0,152	0,263	0,415
0,40	0,074	0,091	0,165	0,95	0,160	0,292	0,452
0,45	0,083	0,104	0,187	1,00	0,167	0,333	0,500
0,50	0,091	0,118	0,2р9		i 1 \ 6 J		
II. Эллиптические интегралы. Интегралы вида
J Rix, УP(x))dx,
где Rix, УР(х>)— рациональная функция переменных х и У Р(х)>
a Р(х)— полином третьей или четвертой степени, не имеющий кратых
корней, называются эллиптическими.
Для практики наибольший интерес представляет тот случай, когда
переменная интегрирования х, коэффициенты полинома Р\х},
и функция R(x, УР х))— вещественны. В этом Случае интеграл (9)
может быть выражен в вещественной форме через элементарные функ-
ции и интегралы следующих трех видов:
и
[__________dx__________ Г1 — х2х»
J /(1 — ха)(1 — -KW) ’ J F 1— X*
’	о
|* _____________dx______________
.1 (I + П*’) V (Г—ДЯ)(1 —’
(10)
ПРИЛОЖЕНИЕ
581
где 0 х 1, 0<Х< 1, а п — некоторая вещественная постоянная.
Интегралы (10) называются эллиптическими интегралами 1-го, 2-го
и 3-го рода с аргументом х, модулем к и параметром п.
Полагая в интегралах (10) x==sin<p, приведем их к следующей
форме Лежандра:
¥>	V
?('?, Х)= f	£(<р, Х) = f /I^X2sin2?rf<o,
J /1—A^sin^ 4T J	т T
о	о
9
W J (1 + п sin2 <?) /i-xasinai ' V ’
о
Если в первых двух из интегралов (10') верхний предел ингегри-
ТС
рования равен , то эти интегралы называются полными эллипти-
ческими интегралами 1-го и 2-го рода с модулем X и обозначаются
гак:
1С	1С
К=- Г--	'/(р - - и Е = Г /1— X2sin2<prf<e. (И)
J -/1 —xasln^	J
О	о
Величина
Х' = /ТЗДа	(12)
называется дополнительным модулем. Соответствующие этому модулю
полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода обозначаются
через К' и
Интегралы К, К', Е и Е' связаны между собою зависимостью
Лежандра
КЕ' + К'Е — КК' = %.	(13)
Интегралы К и Е могут быть выражены следующими рядами:
+4*2+ • • •)> Е~ г’О ~"4 xa"J~ ''
X-=lnp + ^(ln-J—!)V2+
£ = 1 + |(|пу? —-g-)x'a+ •••
(14)
(15)
Ряды (14) будут быстросходящимися при X близком к нулю, а ряды
(15) — при X близком к 1.
В таблице 15 приводятся значения функций К, Е и по аргу-
менту X2.
582
ПРИЛОЖЕНИЕ
А»	К	Е	К К'	А-’		Е	К К'
1	2	3	4	1	2	3	4
0,000	1,571	1,571	0,000	0,21	1,665	1,485	0,745
0,001	1,571	1,570	0,325	0,22	1,670	1,480	0,754
0,002	1,572	1,570	0,349	0,23	1,675	1,476	0,763
0,003	1,572	1,570	0,366	0,24	1,680	1,472	0,773
0,004	1,572	1,569	0,379	0,25	1,686	1,467	0,782
0,005	1,573	1,569	0,389	0,26	1,691	1,463	0,791
0,006	1,573	1,568	0,398	0,27	1,697	1,459	0,800
0,007	1,574	1,568	0,406	0,28	1,702	1,454	0,808
0,008	1,574	1,568	0,413	0,29	1,708	1,450	0,817
0,009	1,574	1,567	0,420	0,30	1,714	1,445	0,826
0,01	1,575	1,567	0,426	0,31	1,720	1,441	0,834
0,02	1,579	1,563	0,471	0,32	1,726	1,436	0,843
0,03	1,583	1,559	0,502	0,33	1,732	1,432	0,852
0,04	1,587	1,555	0,526	0,34	1,738	1,427	0,860
0,05	1,591	1,551	0,547	0,35	1,744	1,423	0,869
0,06	1,595	1,547	0,566	0,36	1,751	1,418	0,877
0,07	1,599	1,543	0,582	0,37	1,757	1,413	0,886
0,08	1,604	1,539	0,598	0,38	1,764	1,409	0,895
0,09	1,608	Ш5	0,612	0,39	1,771	1,404	0,903
0,10	1,612	1,531	0,625	0,40	1,778	1,399	0,9П
0,11	1,617	1,527	0,638	0,41	1,785	1,395	0,920
0,12	1,621	1,523	0,650	0,42	1,792	1,390	0,929
0,13	1,626	1,518	0,662	0,43	1,799	1,385	0,938
0,14	1,631	1,514	0,674	0,44	1,806	1,380	0,946
0,15	1,635	1,510	0,684	0,45	1,814	1,375	0,955
0,16	1,640	1,506	0,695	0,46	1,822	1,371	0,964
0,17	1,645	1,502	0,706	0,47	1,829	1,366	0,973
0,18	1,650	1,498	0,716	0,48	1,837	1,361	0,982
0,19	1,655	1,493	0,726	0,49	1,846	1,356	0,991
0,20	1,660	1,489	0,735	0,50	1,854	1351	1,000
ПРИЛОЖЕНИЕ
683
Таблица 15
№	К	Е	К К!	Х2	К	Е	к К'
1	2	3	4	1	2	3	4
0,51	1,863	1,346	1,01	0,81	2,281	1,172	1,38
0,52	1,871	1,341	1,02	0,82	2,305	1,165	1,40
0,53	1,880	1,335	1,03	0,83	2,331	1,158	1,42
0,54	1,890	1,330	1,04	0,84	2,359	1,151	1,44
0,55	1,899	1,325	1,05	0,85	2,389	1,143	1,46
0,56	1,909	1,320	1,06	0,86	2,421	1,136	1,48
0,57	1,918	1,315	1,07	0,87	2,455	1,128	1,51
0,58	1,929	1,309	1,08	0,88	2,493	1,121	1,54
0,59	1,939	1,304	1,09	0,89	2,533	1,113	1,57
0,60	1,950	1,298	1,10	0,90	2,578	1,105	1,60
0,61	1,961	1,293	1,11	0,91	2,628	1,096	1,63
0,62	1,972	1,287	1,12	0,92	2,684	1,088	1,67
0,63	1,983	1,2©	1,13	0,93	2,747	1,079	1,72
0,64	1,995	1,276	1,14	0,94	2,821	1,070	1,77
0,65	2,008	1,271	1,15	0,95	2,908	1,060	1,83
0,66	2,020	1,265	1,16	0,96	3,016	1,051	1,90
0,67	2,033	1,259	1,17	0,97	3,156	1,040	1,99
0,68	2,047	1,253	1,19	0,98	3,354	1,029	2,12
0,69	2,061	1,248	1,20	0,99	3,696	1,016	2,35
0,70	2,075	1,242	1,21	0,991	3,748	1,015	2,38
0,71	2,090	1,236	1,22	0,992	3,806	1,013	2,42
0,72	2,106	1,230	1,24	0,993	3,872	1,012	2,46
0,73	2,122	1,224	1,25	0,994	3,949	1,010	2,51
0,74	2,139	1,217	1,26	0,995	4,039	1,009	2,57
0,75	2,157	12И	1,28	0,996	4,150	1,007	2,64
0,76	2,175	1,205	1,29	0,997	4,293	1,006	2,73
0,77	2,194	1,198	1,31	0,998	4,495	1,004	2.86
0,78	2,214	1,192	1,33	0,999	4,841	1,002	3,08
0,79	2,235	1,185	1,34	1,000		1,000	
0,80	2,257	1,178	1,36				
584
ПРИЛОЖЕНИЕ
При X близком к нулю в силу (14)
При X близком к единице в силу (15)
£«1 и	(17)
Таблицы неполных эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода
приводятся, например, в справочном руководстве [7]. Наиболее удоб-
ные, в практическом отношении, таблицы указанных интегралов даются
в книге [5].
Ш. Эллиптические функции Якоби. Верхний предел
интеграла
?
и== | где Д'р—]/1—Xasin2<p,	(I8)
о
называется амплитудой величины и ($ — ати).
Эллиптические функции Якоби аргумента и при модуле X опре-
деляются как синус, косинус и дельта о, т. е.
зп(и, X) = sin? (sinus amplitudae), сп(н, X) = cos<p
(cosinus amplitudae) u dn («, X) = Д<? (delta amplitudae). (19)
Из (19) вытекают следующие зависимости между эллиптическими
функциями Якоби:
sn2(«, Х) + сп2(я, X)=l, dn2(B, X)4-X2sn®(«, Х)==1. (20)
Эллиптические функции Якоби будут двоякопериодическими функ-
циями, причем функция sn (и, X) имеет периоды 4/< и 2A7Z, функция
сп (и, X) — периоды 4/ч и ZK-f-ZX7/ и функция dn(«, X) — периоды 2л
и 4K'i.
Формулы сложения эллиптических функций Якоби
L«.	9П(«, Х)сп(й, X)dn(o, Х)4-сп (й, X)dn(«, X) 9П(о, X)
sn(a-t-v, А)«---------------1—Х’вп’(а, X) впя (г,"Х)	’
14 сп («, X) сп (v, X)—вп (и, X) dn (и, X) sn (v, X) dn (v, X)
cn (и -j- v, X) ==----------гачп»(а, Х)8пЯ(«,~Х)--------------’
dn (и 4-v X) == dnfo’ x)dn(p’ X)—Х»ьп(и, Х)сп(й, Х)эп(й, X)cn(t>,X)
(21)
1 — X* *•) 9П» (и, X) 8Па (V, X)
*) С относительной ошибкой порядка Ха.
*•) С относительной ошибкой порока х'а-
ПРИЛОЖЕНИЕ	585
Производные эллиптических функций Якоби по аргументу и имеют
вид
d	d
^sn(a, Х)==сп(и, X) dn (и, X), сп(и, X) == — sn («, X)dn(B, X),
^дп(и, X) —— Xasn(B, Х)сп(и, X).	(22)
При вещественном аргументе и модуле близком к нулю эллиптические
Таблица 16
Основные свойства функций Якоби
и	8П (я, X)	СП (я, /.)	dn (и, X)
0	0	1	1
к	1	/	Х'“	/л''
2	/14-Х'	V 14-Х'	
К	1	0	
1К'	> 1	i 1	п
К+НС	1 X		0
— а	—ЗП(я,Х)*)	СП (я, /) !)	dn (а, X) ’)
ia	. яп(я.Х')	1	dn (а, X')
	сп (я, А')	сп (а, X')	сп (я, X')
К+а	сп (а, X)	Х'яп (а, X)	X'
	dn (а, X)	dn (я, X)	dn (я, /.)
а 4- 1К'	1	. dn (а, X)	сп (я,л)
	X 8П (я, X)	k sn (а, X)	8П(Я, X)
функции
Якоби выражаются следующими быстросходящимися рядами:
со
... 1, V Я “	. Я (2л 4-1) и
sn (Ku, X)	j _ 2n+i Sln 2	’
п=о 4
1
П_2я V	г.-.-" (2я + !) « ;	(23)
сп (Ku, X) — к{( i + 2»+1 cos -	2
л=о
00
dn(Ku, X) = + у 2 C0S(ЯЙН)’
_пК'
|де <? = г и 0 < « <4 •
*) Следовательно, функция sn (я, X) будет иечетиой, а функции сп (в, X)
и dn (я, X) — четными.
586
ПРИЛОЖЕНИЕ
В силу (23) при X близком к нулю
sn (Ku, X)«sin ^-j сп (Ku, X)«cosy и dn{Ku, Х)«1*). (24)
При вещественном аргументе и модуле близком к единице эллипти-
ческие функции Якоби и их натуральные логарифмы выражаются
следующими быстро сходящимися рядами:
П=1	” 4
СП ZXJ п=0 г ч
>+-Ё^ф+ф).
с“ и1 п=1	4
!n d^>K> =
УТсп (Ku, х)
4 S 2ЙТ1 bZyto+F ch (<2w+1) и),
“S-* ,	71'“О
I In dh (1 _«)] + 4 £	eh [(2„ f 1)	|,
*	»=0	4 L	(25)
jX
где q'==e и 0Ои<)1. В силу (25) при X близком к единице
sn (Кв, X)«th (Ku) (0 < и < 1),
сп(Кв, X)«dn(Ku, X)(о<u,
,. dncKi,.» _p--afc|'№). если 0<»<-!,	(2f>)
/X СП (К«.Х) ~ 1П cth (/С(1 „ и)1} если^_
Таблицы эллиптических функций Якоби приводятся, например,
в книге {3). В этих таблицах даются значения эллиптических функ-
ций Якоби по аргументу и квадрату модуля. При отсутствии ука-
занных таблиц значения эллиптических функций Якоби могут быть
определены с помощью таблицы эллиптических интегралов 1-го рода
(F(ф, X)) следующим способом. При заданных и = F(<p, X) и X по
таблице интегралов находим <р и далее по формулам (19) значения
эллиптических функций Якоби.
С относительной ошибкой порядка X».
С относительной ошибкой порядка X7.
ПРИЛОЖЕНИЕ
587
При модуле А. близком к нулю или единице значения эллиптических
функций Якоби следует вычислять по формулам (24) и (26).
IV. Тэта-функции. Эллиптические тэта-функции ftj, 68, 68 и
определяются следующими рядами:
оо	/2п-иу
(«> ?) = 2 2 (-	2 ' Sin [(2п +1) ла],
п=0
оз /2Я4-1
?) = 2 2 Г 2 > cos [(2л-J- 1) ла],
П-0
оо
J, • 2 S cos (2лли),	I
» = 1
CO
84(й, ?) = 14-2 2 (— l)”f”’cos(2лли),
n~l
nKf
где qt= e s '
(27)
Таблица 17
Основные свойства тэта-фуикций
и	*1(». q)	>2 (». q)	S8(a. q)	»< (a, q)
0	0	Г У к	/v	
L 2		0		/¥
1	0	/"W V к	/¥	1/г2Х/Лг г к
. К' 1 2К	о *1- а 1^1	4 /-2Г я 1/ -~— F	К	I			 9 V -г	0
. К' 1 к	0	?-./в	_t я V	
-а	— St (a, q) *)	»2 («-?)*)	h(a,q) *)	(a, q) *)
1 о. т 2~	M<w)	— Si (a, q)	M<M)	>3 («•?)
С1 1	— &1(я, q)	— ^(a,q)	«a (o. q)	(a, q)
a + i^K	lAh (я, q)	A^(a,q)	Жа (a, q)	MSt (a, q)
П,,К' a~x-i	— B&i (л. q)		B&3 (a, q)	-B^(a,q)
£
Здесь A=^q~*e~im и В = д-,е-й’0.
*) Следовательно, &i будет нечетной функцией, а &а, &, и &4 —четными.
588
ПРИЛОЖЕНИЕ
При вещественном аргументе и и модуле X близком к нулю
ряды (27) будут быстро сходящимися, а потому могут быть исполь-
зованы для вычисления значений тэта-функций в этих случаях.
Если модуль X близок к единице, то тэ!а-функции могут быть
выражены следующими быстро сходящимися рядами:
(щ <?) = 2 у	J sh [(2»4- 1)	«],
п=о
(28)
?) = 2|Л£q'u' 2	ch[(2«-f-
F A	A /J
где q ~ e к' и О С и о.
В силу (28) при X близком к единице ’)
Bj (и, q)^2j/~^-e iK (4	) sh (2Ки',
!).,(«, 9)sa|/*е-2Ки |1-U 2г*2?? ch(4Ku)],
itju, 9)^2 |Z" ~ e ZS <u + ch (2Ku).
В таблицах 18 и 19 приводятся значения тэта-функций по аргу-
менту и(0^ц-<1) и угловому модулю а = arcsin X.
V. Конформные отображения. Функция
w —f(z) = и(х, у) 4-гр(х, у)	(30)
комплексной переменной z — x-\-iy называется аналитической в не-
которой области G Переменной г, если во всех точках этой области
она будет однозначной, непрерывной и дифференцируемой. Необхо-
димое и достаточное условие дифференцируемости функции
выражается уравнениями Даламбера-Эйлера
ди dv ди dv	/aii
^=”77’	=	’
]> С относительной оцмФко* порадка Xz>
Таблица 18
Значения функции ’)
а	0°	9°	'	18°	27°	36°	45°	54°	63°	72е*	81°
(МЮ	0,0000	OjOOOO	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	00000	0.0000
0.05	0,0000	0,0627	0,0880	0,1084	0,1260	0,1419	0,1566	0,1700	0,1810	0 1843
0,10	0,0000	0,1226	0,1739	0,2140	0,2488	0,2804	0,3098	0.3368	0,3597	0,3698 0ASE3
0,15	0,0000	0,1801	0,2555	0,3145	0,3657	0,4123	0,4560	0,4968	0,5335	
ОДО 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00	ОЮООО 0,0000 0,0000 0.0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0.0000	0,2382 0,2805 0.3210 0,3-535 0,3773 0,3918 03967 0,3918 0,3773 0,3535 0,3210 0,2805 0,2382 0,1801 0,1226 0,0627 : 0,0000	0,3308 0.3980 0,4553 0,5015 0,-5353 0,5559 0,5629 0,5559 0,5353 0,5015 0,4553 03980 0,3308 0,2555 0,1739 0,0880 0,0000	0,4073 0,4900 0,5607 0,6176 0,6592 0,6847 0,6933 0,6847 0,6592 0,6176 0,5607 0,4900 0,4073 0,3145 0,2140 0,1084 0,0000	0,4736 0,5700 0,6524 0,7188 0,7675 0,7973 0,8074 0,7973 0,7675 0,7188 0.6524 0,5700 0,4736 0,3657 0,2488 0,1260 0,0000	0,5343 0,6436 0,7372 0.8129 0,8682 0,9022 0,9135 0,9022 0,8682 0,8129 0,7372 0,6436 0,5343 0,4123 0,2804 0,1419 0,0000	0^5917 07139 0.8188 0,9041 0.9669 1,005 1,024 1.005 0,9669 0,9041 0,8188 0,7139 0,5917 0,4560 0,3098 0,1566 0,0000	0,6467 0,7827 0.9007 0,9972 1.069 1,113 1,130 1,113 1,069 0,9972 0,9007 0,7827 0,6467 0,4968 0,3368 0,1700 0,0000	0,6989 0,8517 0,98'0 1,100 1,184 1,237 1,252 1,237 1,184 1,100 0,9870 0,8517 0,6989 0,5335 0,3597 0,1810 0,0000	0,7413 0.9200 1,085 1,227 1,337 1,407 1,431 1,407 1,337 1,227 1,085 0,9200 0,7413 0,5563 0,3698 0,1843 0,0000
!) 9, (и, q)=9l(~ — u, q
ПРИЛОЖЕНИЕ	589
Таблица 19
Значение функции &31)
а	0°	9°	18°	27°	36°	45°	54°	63°	72°	81°
0,00	1,0000	1,003	1,013	1,029	1,053	1,086	1,132	1,195	1,286	1,439
0»05	1,0000	1,003	1,012	1,028	1,050	1,080	1,126	1,186	1,272	1,417
0,10	1,0000	1,003	1,010	1,023	1,043	1,070	1,107	1,158	1,231	1,353
0,15	1,0000	1,002	1,007	1,017	1,031	1,051	1,078	1,115	1,168	1,254
0,20	1,0000	1,001	1,004	1,009	1,016	1,027	1,041	1,060	1,088	1,131
0,25	1,0000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	0,9999	0,9999	0,9956
азо	1,0000	0,9991	0,9961	0,9911	0.9836	0,9732	0,9592	0.9397	0,9110	0,8639
0,35	1,0000	0,9982	0,9927	0,9831	0,9689	0,9493	0,9223	0,8853	0,7980	0,7429
0,40	1,0000	0,9975	0,9899	0,9766	0,9572	0,9300	0,8931	0,8424	0,7691	0,6494
0,45	1,0000	0,9970	0,9881	0,9725	0,9497	0,9196	0,8744	0,8147	0,7290	0,5898
0,50	1,0000	0,9970	0,9874	0,9712	0,9471	0,9136	0,8680	0,8052	0,7152	0,5694
0,55	1,0000	0,9970	0,9881	0,9725	0,9497	0,9196	0,8744	0,8147	0,7290	0,5898
0,60	1,0000	0,9975	0,9899	0,9766	0,9572	0,9300	0,8931	0,8424	0,7691	0,6494
0,65	1,0000	0,9982	0,9927	0,9831	0,9689	0,9493	0,9223	0,8853	0,7980	0,7429
0,70	1,0000	0,9991	0,9961	0,9911	0,9836	0,9732	0,9592	0,9397	0,9110	0,8639
0,75	1,0000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	0,9999	0,9999	0,9956
0,80	1,0000	1,001	1,004	1,009	1,016	1,027	1,041	1,060	1,088	1,131
0,85	1,0000	1,002	1,007	1,017	1,031	1,051	1,078	1,115	1,168	1,254
0,90	1,0000	1,003	1,010	1,023	1,043	1,070	1,107	1,158	1,231	1,353
0,95	1,0000	1,003	1,012	1,028	1,050	1,080	1,126	1,186	1,272	1,417
1,00	1,0000	1,003	1,013	1,029	1,053	1,086	1,132	1,195	1,286	1,439
1) М«- =	°’ ч
590	ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
591
Если производная аналитической в области G функции w—/(г)
в нуль не обращается, то множество значений этой функции (в пло-
скости w) тоже будег областью (О'). Область G' называется отобра-
жением области G с помощью функции w=/(a). Указанное отобра-
жение обладает следующими свойствами:
1) угол между двумя произвольными кривыми области G равен
углу (по величине и направлению) между их отображениями в области G';
Фиг. 360.
2) бесконечно малые линейные элементы, выходящие из произволь-
ной точки области G, во всех направлениях, при отображении в обла-
сти G' деформируются одинаково. Отображение, обладающее двумя
указанными выше свойствами, называется конформным. Таким обра-
зом, отображение с помощью аналитической функции, производная
которой не равна нулю, будет конформным.
Конформное отображение является примером изотропного преобра-
зования и представляет собою поворот бесконечно малых площадок,
как целое, сопровождающийся равномерной деформацией всех беско-
нечно малых линейных элементов этих площадок.
Согласно теореме Римана для двух произвольных односвязных
областей *) существует аналитическая функция, дающая конформное
отображение одной из этих областей на другую, причем отображаю-
щая функция будет единственной, если:
1) задано соответствие произвольной внутренней точки одной обла-
сти произвольной внутренней точке другой области, а также задано
соответствие направлений произвольных линейных элементов, выходя-
щих из этих точек, или
2) задано соответствие трех пар произвольных точек границ рас-
сматриваемых областей.
При взаимнооднозначном конформном отображении существует
взаимнооднозначное и непрерывное соответствие границ областей, если
границы состоят из конечных точек и если граничные точки считаются
столько раз, сколько они проходятся при полном обходе границ,
1) За исключением всей плоскости или плоскости с исключенной точкой.
592
ПРИЛОЖЕНИЕ
причем направление обхода границ областей сохраняется. Иначе говоря,
если при обходе границы одной области последняя находится все
время слева, то при соответствующем обходе границы другой области
она также будет находится все время слева.
В таблице 20 приведены простейшие примеры конформных ото-
бражений, с которыми мы неоднократно встречались в главах 4—9.
Функция, дающая конформное отображение полуплоскости на прямо-
линейный «-угольник, выражается интегралом Кристоффеля-Шварца
вида
vu == A j* (г — (z —	... (г — £„)“»-! dz -f- В. (32)
Здесь stji:, a2it, ..., anit («i +	== л—2) — внутренние
углы «-угольника *), pj р2> ..., pn — координаты точек вещественной
оси полуплоскости, соответствующих вершинам и-угольника, А и В—
произвольные (вообще говоря, комплексные) постоянные. Неизвестные
постоянные рр р2, ..., р„, А и В определяются из соответствия точек
Рр р2, ..., р„ вещественной оси полуплоскости вершинам л-угольника,
а также из заданного заранее соответствия трех пар фиксированных
точек вещественной оси полуплоскости и контура л-угольника. В слу-
чае, если одной из вершин л-угольника соответствует бесконечно
удаленная точка полуплоскости, то множитель в интеграле (31), соот-
ветствующий этой вершине, отсутствует.
VI. Задача Дирихле для полуплоскости. Задача Ди-
рихле для полуплоскости заключается в следующем. Требуется найти
функцию /(г), аналитическую внутри полуплоскости г, непрерывную
вплоть до ее вещественной оси (за исключением, быть может, конеч-
ного числа точек этой оси), исчезающую в бесконечности, веществен-
ная часть которой принимает заданные значения на вещественной оси
полуплоскости.
Решение этой задачи может быть выражено следующим интегра-
лом типа Коши э):
ОО
/(г) = А-	(33)
fC4 J Г—Ж
— оо
где «(/)— заданная вещественная часть функции /(г) на веществен-
ной оси полуплоскости.
VII. Уравнение Фурье. Уравнение вида
(34)
-!?. Я°д углом в бесконечности между двумя соседними иепересдкающнмибя
сторонами я-угольиика понимается отрицательный угол, равный по абсолют-
ной величине углу между продолжениями этих сторон.
31 < ж Iа!	г
ПРИЛОЖЕНИЕ
593
Таблица 20
Вид функции
Вид области переменной z
Вад области переменной w
w — az + b.
Постоянные а
н b определяются
из соответствия
двух пар точек
плоскостей ж и w
Вся плоскость или ее
часть
Вся плоскость или ее
часть, получаемая из об-
ласти переменной z парал-
лельным переносом, пово-
ротом, равномерным рас-
тяжением или сжатием
az-j- b
W ~ ---!—_ .
cz-Yd
Трн из постоян-
ных а, Ь, с и d
выражаются через
четвертую из соот-
ветствия трех пар
контурных точек
областей пере-
менных Z Н W
Внутренность или внеш-
ность окружности, полу-
плоскость
Внутренность иля внеш-
ность окружности, полу-
плоскость
W — Z"
Черт. 1
Черт. 2
Черт. 3
Черт. 4
ttfl Я» Z2 + 1
1U -
Черт. 5
594
ПРИЛОЖЕНИЕ
Продолжение табл. 20
W = sin Z
Черт. 9
w = sn (г, к)
Черт. 15
Черт. 16
ПРИЛОЖЕНИЕ
595
где а — заданная постоянная и /(х, f) — заданная функция перемен-
ных х и t, называется уравнением Фурье. Если /^0, то уравне-
ние (34) будет однородным, в противном случае — неоднородным.
а)	В случае бесконечного промежутка изменения переменной
х( — оо<х<оо) при интегрировании уравнения (34) должно быть
задано начальное условие, которое имеет вид
4=о = “о (*),	(35)
где «о (*) (— оо < х < оо) — заданная функция.
Решение уравнения (34) с учетом начального условия (35) имеет
вид х)
0 = J е ia4 uQ(s)ds-\-
' —OQ
г Л	Г
_1_	-- ......... е f(s, i:)ds. (36)
J 2а /«(f-т)	47
О '	4	' -со
Ь)	В случае полубесконечного промежутка изменения переменной
.г (О < х < оо) при интегрировании уравнения (34) помимо начального
условия (35) должно быть задано граничное условие. Указанное усло-
вие имеет вид
«Й + РФ=о = «!«)»	(37)
где а и — заданные постоянные и и1 (f) (0 < t < оо) — заданная
функция.
Решение уравнения (34) с учетом начального и граничного усло-
вий имеет вид
—1—	е	и0 (s) ds -j- ia ynt «•' r	—co t	°° 1	|	g 4a’ J 2a	-»)1 ^ds-t-A, (38)
1) См. [4].
596
ПРИЛОЖЕНИЕ
причем
1 d 8 dt	I {1—ф(	— J 1	\2а УГ — т / о	г
	е  ’[‘ ф(2„*)]}»!«<* при а и Р=#0,
д	J_ _Ё_ р dt	J[>	"РИ ““°’ 0	г
t 4,f 0	^_^j/rL=2e la'(t-q +
	+Я1	при ? °'
где Ф — инп Функции них значений	щрал вероятное!и х). u0(s) и f(s, <:) экстраполируются на область огрицатель- t s по следующему закону: 98 Ъ С -Ъ и0($)-4—~е* Iе “ u0(s)ds при а и ₽=#о,
«о( — *) = (0 < s < оо)	“ о’	(39) — u0(s) при а = 0, и0($) при р = 0; 9Й 1. Г f(s, г)4- —еа е а f(s, z)ds при а и £=£0,
/ (— S, т) = (0 < s < оо)	“ о’	(40) —/($,“<:) при а —0, f(s, т) при {3 = 0.
Отсюда, ния Фурье п	в частности, получим, что решение однородного уравне- ри начальном и граничном условиях wb=o = wo = const>	(41)
имеет вид	
!) Таблицы этого интеграла приэодятся, например, в книге [7].
ПРИЛОЖЕНИЕ
597
с)	В случае конечного промежутка изменения переменной х
(О < х < L) граничные условия имеют вид
aifj + ₽i«|.^o = «j(/)’	₽2«|P=i =«->(0>	(43)
где Яр а.„ Pj и £2—заданные постоянные, а их (t) и u.2(f)(0 < / < сю)—
заданные функции.
Решение уравнения (34) с учеюм начального и граничного усло-
вий имеет вид ’)
« (* *, 0 = 2 *1П (х) Тт (t),	(44)
т
где
V /. \ л	т г I п тх
Хт \х) — Ат cos —г Вм sm -д-,
XM(x)f(x,-z)(ix±
Индекс т, входящий в эти выражения, принимает значения, равные
Heoiрица!ельным корням трансцендентного уравнения
ctg/n = Z>/n-]-^,	(45)
где
.	а,а„
Ь — 7Д—И С = —7------------Hr.
Д 01.^2 ~~	^1. 2 ^2/1
Постоянные Ат и Вт могут бьпь определены из двух условий
к
^Am~\-^LB,n = G, | X^x)dx = \	)	(46)
о
Отсюда, в частности, получим, чго решение однородного уравт ения
Фурье при начальном и граничных условиях
«|t=0 = «o = conSt- «1^ = «j = const, и ?"\	=0	(47)
Ох 1 v-L
имеет вид
.	^2,	. rnatarrM)!’	, ,,
и(х, О = М1 + 7(«о— «1)22^+16	2L	(48)
>) См. [lj.
*) Верхние выражения относятся к случаю а} и а2 -/ 0, а нижние —
.< случаю aj и а2 = 0.
•fJ) Условие’нормировки функций Хт(х).
ЛИТЕРАТУРА
К главе 1
1. Пол у баранов n-К о ч т> и а П. Я. и Ф а л ъ к о в п ч С. В., Теория
фильтрации жидкостей в пористых средах. Прикладная математика и
механика, т. XI, в. 6, 1947.
2. Щелкачев В. Н. и Лапук Б- Б., Подземная гидравлика. Гостои-
техиздат, 1949.
К главе 2
1. DupjiH Л, Etudes^ theoriqces et pratiques snr Ic monvement des eaitx.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
2 ed., Paris, Dunod, 1863.
Жуковский H. E., Теоретическое исследование о движении под-
почвенных вод. Журнал Русского фвз.-хим. об-ва, т. XXI, вып. 1. 1889
(см. Полное собрание сочпнепий, т. VII. 1937).
Павловский Н. Н., Теория движения грунтовых вод под гидротехни-
ческими сооружениями и ее основные приложения (Литографированное
издание Научно-мелиорационного ин-та), 1922.
Избаш С. В., О фильтрации в крупнозернистом материале. Известия
Н.-иссл. ин-та гидротехники, т. I, 1931.
•^1 е б е д е в А. Ф„ Почвенные и грунтовые воды. И ti. АН СССР.
1936.
Девисон Ь. Ь., Движение грунтовых вод. В сборнике: С. А. Хрнстиа-
нович. С. I. Михлин и Б. Б. Девисон, Некоюрые новые вопросы механик»
сплошной среды, Ии. АН СССР, 1938.
Аравин В. И., фильтрация в анизотропно-водопроницаемом грунте.
Труды Ленпнгр. индустр. ин-та, № 1, 1940.
Лапук Б. Б., Об установившемся движении газированной жидкости
в пористой среде. Нефтяная промышленность СССР, № 5, 1941.
X р н с т и а н о в и ч С. А., О движении газированной жидкости в пористых
породах. Прикладная математика и механика, т. V, в. 2, 1941.
Великанов М. А., Движение подземных вод в крупнозернистых грун-
тах. Известия отд. техн, наук АН СССР, № 7—8, 1945.
Чаповский Е. Г.. Практическое руководство к лаборлтор-
Нплс работам по грунтоведению и механике грунтов. Госгеолнздаь
1 У4о»
Ведерников В. В., Итоги исследований по физической картине
свободной фильтрации. Доклады АН СССР, т. LV, № 3, 1947.
Лейбензон Л. С., Движение природных жидкостей и газов в пористом
среде. Гостехиздат, 1947.
Великанов М. А., Гидрология суши. Гидрометеоиздат, 1948.
Кочин Н. В., Кибел ь И. А. и розе Н. В., Теоретическая гидр0'
механика, Гостехиздат, 1948.
Чарный И, А., Подземная гидромеханика. Гостехиздат, 1948.
ЛИТЕРАТУРА
599
17. Васильев А. М- Основы современной методики и техники лабора-
торных определений физических свойств грунтов. Машстройиздат, 1949.
1& Маскет "f-> Течение однородных жидкостей в пористой среде. Гостоп-
техиздат. 1949.
19.	Пр пк?онекий В. А., Грунтоведение, ч. I. Госгеолиздат, 1949.
20.	ЧерТрусов М. Д., Специальный курс гидравлики, глава XII. Гос-
знергоиздат, 1949.
21.	Чуг-ieB Р. Р., Расчетные схемы явления капиллярности в грунтах.
Известия Всесою н. н.-ьссл. ин-та гидротехники, т. 39, 1949.
22.	ЦЦ е л к а ч е в В. Н. и Л а п у к Б. Б„ Подземная гидравлика. Гостоп-
техиздат, 1949.
23.	А г а д ж а н о в А. М., Гидрогеология и гидравлика подземных вод и нефти.
Гостоптехиздат, 1950.
24.	А г р о с к и н И. И., Дмитриев Г. Т. и Пикалов Ф. 11., Гидравлика,
глава 28. Госэнергоиздат, 1950.
25.	Ломпзе Г. М., Фильтрация в трещиноватых породах. Госэнергоиздат,
1951.
К главе 3
1.	Павловский Н. Н., Неравномерное движение грунтовых вод, М.,
1930.
2.	Павловскьи Н. Н., Неравномерное движение грунтовых вод (Даль-
нейшее развитие вопроса), Л., 1932.
3.	Девисон Б. Б„ Движение грунтовых вод через земляную перемычку
с вертикальными стенками. Записки Гос. гидрологического ин-та, т. VI,
1932.
4.	Ку сакин И. П., Искусственное понижение уровня грунтовых вод.
ОНТИ, 1935.
5.	Каменский Г. Н., Основы динамики подземных вод, ч. II. ОНТИ,
1935.
6.	Каменский Г. Н„ Движение грунтовых вод в междуречном массиве.
Доклады АН СССР, т. XXI, № 5, 1938.
7	Глебов П. Д„ Приток инфильтрационной воды к колодцам при гори-
зонтальном залегании грунтов различной водопроницаемость. Труды
Ленингр. иидустр, ин-та, № 1, 1940.
8.	Л а п у к Б. Б., Об установившемся движении газированной жидкости
в пористой среде. Нефтяная промышленность СССР, № 5, 1941.
9.	Мятиев А. Н., Действие колодца в напорном бассейне подземных вод.
Изв, Туркменского филиала АН СССР, № 3. 1946.
10.	Мятиев А. Н., Напорный комплекс подземных вод п колодцы. Изве-
стия отд. техн, наук АН СССР, № 9, 1947.
11.	П о л у б а р п н о в а-К о ч и н а П. Я„ К гидравличсской теории колодцев
в многоспойнон среде. Прикладная математика и механика, т. XI, в. 3,
1947.
12.	Гирин с к ий Н. К., Некоторые вопросы динампки подземных вод.
Гидрогеология и инженерная геология, сб. № 9, 1947.
13.	Чарный И. А., Подземная гидромеханика, Гостехиздат, 1948.
14.	Маскет М., Течение однородных жидкостей в пористой среде. 1 остоп-
техиздат, 1949.
15.	Чертоусов М. Д., Специальный курс гидравлики, глава XII. Гос-
энергонздат, 1949.
16.	П о л у ба р н н о в а-К о ч и и а П. Я., О неустановившихся движениях
грунтовых вод при фильтрации из водохранилищ. Прикладная математика
и механика, т. XIII, в, 2, 1949.
17.	Щелкачев В. Н. и Л ап у к Б. Б., Подземная гидравлика. Гостоп-
техиздат, 1949.
600
ЛИТЕРА I.VP Л
18.	Парный И. А., Строгое доказательств^ фа’ми.ы Дкцюп д
порной фильтрации с промеж}тком высаливании, ^оклады А
т. LXXIX, № 6, 1951.
19.	Аравин В. И., Приток грунтовых вод к во’.осборш;м -овг
ьолодцам. Известия Всесоюзн. н.-иссл. ин-та гидротехники. , ф
К главе 4
1.	Жуковский Н. Е., О влиянии давления на насыщенные вон
Труды отделения физических наук Общества любителей естесп
т. 111, в. 1, 1890 (см. Полное собрание сочинений, т. VII. 1937).
2.	Павловский Н. Н.. Теория движения грунтовых вот под t
ническпмп сооружениями п ее основные приложения, 1922.
3.	Девисон Б. Б., Движение грунтовых вод через земляную пе
с вертикальными стенками. Записки Гос. гидрологического пн-т
1932.
4.	Аравин В. И., К вопросу о фильтрации в аипзотропно-во,
цаемых грунтах, Труды Лепингр. политехи, пт-та им. М. И. К
№ 19, 1937.
5.	Девисон Б. Б., Движение грунтовых вод. В сборнике: С. 7
стпанович, С. Г. Михлин и Б. Б. Девисон, Нскоторь
вопросы механики сплошной среды. Изд. АН СССР, 1938.
6.	Полубар инов а-К очина 11. Я.. О непрерывном измене пни гс
скорости в плоском установившемся движении грунтовых вод. .
АН СССР, т. XXIV, № 4, 1939.
7.	Аравин В. И., Фильтрация в анизотропно-водопроницаемом
Труды Ленингр. политехи, ин-та им. М. И. Калинина. № 1 (раздел
тельное дело и гидротехника»), 1940.
8.	П о л у б а р нн о в а-К оч и н а П. Я., О фильтрации в анизо
грунте. Прикладная математика и механика, т. IV, в. 2, 1940.
9.	Р ii з е н к а м п ф Б. К., Гидравлика грунтовых вод, ч. III. Ученые
Саратовского гос. университета, т. XV, в. 5 (гидравлика), 1940.
10.	II о л у б а р и н о в а-К о ч и н а П. Я., Некоторые задачи плоек*
жения грунтовых вод. Изд. АН СССР, 1942.
И. П о л у б а р и н о в а-К о ч н н а П. Я. и Фалькович С. В.,
фильтрации жидкостей в пористых средах. Прикладная математика
ника, т. XI, в. 6, 19^17.
К главе 5
1.	Павловский Н. Н., Теория движения грунтовых вод под
техническими сооружениями и ее основные приложения. 1922.
2.	3 а м а р и н Е. А., Расчет движения грунтовых вод. Ташкент, 19.
3.	За мар ин Е. А., Движение грунтовых вод под гидротехни
сооружениями. Ташкент, 1931.
4.	Г иранский Н. К., Основы теории движения грунтовых е<
гидротехническими сооружениями при наличия на пижнен пове;
гранта напора постоянной величины. Гидротехническое стр-во.
5.	Мелещенко Н. Т., Расчет грунтового потока для случая п.'к
флютбета, имеющего наклонный подстилающий водонепроницаемый
Известия Н.-нссл. ин-та гидротехники, т. 18, 1936.	(
6.	М е л е щ е н к о Н. Т„ Расчет движения грунтовых вод под сооружу
имеющими дренажные отверстия. Известия Н.-иссл. ин-та гидрот>
т. 19, 1936.	г
7.	Козлов В. С., Определение гидромеханических элементов для
шпунтового флютбета на проницаемом основании конечной гл-
Доклады АН СССР, т. XVI, в. 1, 1937.
ЛИТЕРАТУРА	601
8.	Мелещенко Н. Т., Движение грунтовых вод под гидротехническими
сооружениями (Методы расчета). Ленинград, 1937.
9.	Девисон Б. Б., Движение грунтовых вод. В сборнике: С. А. X р н-
стиановнч, С. Г. Михлин и Б. Б. Девисон, Некоторые новые
вопросы механики сплошной среды. Изд. АН СССР, 1938.
10,	Ведерников В. В., Теория фильтрации и ее применение в области
ирригации и дренажа. Госстрой нздат, 1939.
11,	Козлов В. С., Гидромеханический расчет шпунтовых перемычек. Изве-
стия отд. техи. наук АН СССР, № 6, 1939.
12.	Базанов М. И., О фильтрации под перепадами в условиях пло-
ской задачи. Известия Всесоюзи. и.-нссл. нн-та гидротехники, т. 28,
1940.
13.	Веригнн Н. Н., Фильтрация в основании плотин с наклонными заве-
сами и шпунтами. Гидротехническое стр-во, № 2, 1940.
14.	Козлов В. С„ К вопросу о расчете движения воды под гидротехниче-
скими сооружеинямн в анизотропно-проницаемых грунтах. Известия отд.
техн, наук АН СССР, № 3, 1940.
15.	Козлов В. С., Определение гидродинамических элементов для трех-
шпунтового флютбета прн несимметричном расположении внутреннего
шпунта. Известия отд. техн, наук АН СССР, № 6, 1940.
16.	Мелещенко Н. Т., Приближенный метод расчета фильтрации под
сооружениями, расположенными на безграничном проницаемом основании.
Известия Всесоюзи. н.-нссл. нн-та гидротехники, т. 28, 1940.
17.	Гири некий Н. К., Расчет фильтрации под гидротехническими соору-
жениями на неоднородных грунтах. Госстройнздат, 1941.
18.	ТУ нН расчета фильтрации под гидротехническими сооружениями. Гос-
стройнздат, 1941.
19.	Гантмахер Ф. Р. и Сегал Б. И., Способ гидромеханического
расчета одной системы плотин. Доклады АН СССР, т. XXXV, в. 4,
1942.
20.	С е г а л Б. И., Расчет фильтрации под плотинами с бесконечной глу-
биной проницаемого основания. Инженерный сборник, т. III, в. I,
1946.
21.	В е р и г и н Н. Н., Фильтрация в обход плотин н эффективность протнво-
фильтрацноиных завес. Гидротехническое стр-во, № 5, 1947.
22.	Аравин В. И. н Нумеров С. Н., Фильтрационные расчеты гидро-
технических сооружений. Госстройнздат, 1948.
23.	Фильчаков П. Ф„ Гидродинамический расчет плотины прн наличии
двух шпунтов неравной длины. Украинский математический журнал, т. II,
№ 4, 1950.
24.	АравннВ. И. иНумеровС. Н., Плановая задача фильтрации. Изве-
стия Всесоюзи. н.-нссл. ин-та гидротехники, т. 44, 1951.
25.	Фильчаков П. Ф., Приближенный метод гидромеханического расчета
плотин. Изд. АН УССР, 1951.
26.	Фильчаков П. Ф„ Метод последовательного отображения шпунтов.
Доклады АН СССР, т. XXVIII, № 3, 1951.
27.	Фильчаков П. Ф., Двухшпунтовый несимметричный флютбет. Гидро-
техническое стр-во, № 1, 1952.’
К главе в
Жуковский Н. Е„ О просачивании воды через плотины. Опублико-
вано Опытно-мелиоративной частью НКЗ, в. 30, 1923 (см. Полное собра-
ние сочинений, т. VII, 1937).
2.	Ведерников В. В., Фильтрация из каналов. Госстройнздат, 1934*
3.	Аравин В. И., О фильтрации из резервуаров. Известия Н.-нссл. ин-та
гидротехники, т. 16, 1935.
602
ЛИТЕРАТУРА
4.	Ведерников В. В., Влияние капиллярного поднятия на фильтрацию
нз каналов. Гидротехническое стр-во, № 5, 1935.
5.	Рavlо vskу N. N., The Flow of Ground wafers fо Canals and Rivers and
Percolation Forces arising therefrom. Труды международного судоходного
конгресса в Брюсселе, 1935.
6.	А р а в и н В. И., Приток грунтовых вод к водосборам. Известия Н.-иссл.
нн-та гидротехники, т. 18, 1936.
7.	В е д е р н и к о в В. В., Влияние капиллярного поднятия на фильтрацию со
свободной поверхностью. Доклады АН СССР, т. III, № 4, 1936.
8.	Павловский Н. Н., Основы метода гидромеханического решения задач
о свободной фильтрации из открытых русел. Известия Н.-иссл. ин-та
гидротехники, т. 19, 1936.
9.	Павловский Н. Н., Свободная фильтрация на бесконечность нз от-
крытых русел с круговой основой формы. Известия Н.-иссл. нн-та гидро-
техники, т. 19, 1936.
10.	Аравин В. И., Приток грунтовых вод к котловану, огражденному
шпунтами. Изв. Н.-иссл. нн-та гидротехники, т. 20, 1937.
11.	Ведерников В. В., Теория фильтрации и ее применение в области
ирригации и дренажа, Госстройиздат, 1939.
12.	В о щ и и и и А. П„ Движение грунтовых вод в теле и основании одно-
родной земляной плотины с горизонтальным фильтром. Доклады АН
СССР, т. XXV, № 9, 1939.
13.	Нумеров С. Н., Гидромеханический метод расчета береговой дрены,
Известия Н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 28, 1940.
14.	Нельсон-Скорняков Ф. Б., Движение грунтовой воды через пло-
тину с центральной диафрагмой. Известия отд. техн, наук АН СССР,
№ 7, 1940.
15.	Н ел ь со и-С ко р и я ко в Ф. Б., Земляная плотина на проницаемом
основании конечной глубины при негоризоитальиом подстилающем
водонепроницаемом пласте. Доклады АН СССР, т. XXVIII, № 6,
1940.
16.	Нельсон-Скорняков Ф. Б., Движение грунтовой воды со свобод-
ной поверхностью на бесконечность через земляную плотину с централь-
ной диафрагмой при негоризонтальном водоупоре. Известия отд. техи.
наук АН СССР, № 1, 1941.
17.	Н е л ь с о н-С к о р и я к о в Ф. Б., Притекание грунтовой воды со сво-
бодной поверхностью к системе дрен при глубоком залегании водоупора.
Известия отд. техн, наук АН СССР, № 1, 1941.
18.	Нельсон-Скорняков Ф. Б., Движение грунтовой воды со свобод-
ной поверхностью через плотину с двумя диафрагмами. Известия отд.
техн, наук АН СССР, № 3, 1941.
19.	Нельсон-Скорняков Ф. Б., Гидромеханический расчет прите-
кания грунтовой воды к котловану. Известия отд. техн, наук АН СССР,
№ 7, 1943.
20.	Н е л ь с о и-С к о р н я к о в Ф. Б., Гидромеханическое решение для пло-
тины с диафрагмой иа проницаемом основании конечной глубины. Изве-
стий отд. техи. Наук АН СССР, № 9—10, 1943.
21.	Нельсон-Скорняков Ф. Б., Некоторые 'случаи притекания грун-
товой воды из реки к карьеру (котловану). Известия отд. техн, наук
АН СССР, № 3, 1944.
22.	Нельсон-Скорняков Ф. Б., Расчет на фильтрацию однородных
дренированных земляных плотин. Известия отд. техн, наук АН СССР,
23.	Ведерников В. В., Фильтрация через земляные плотины на прони-
цаемом аактипгн. Доклады АН СССР, т. L, 1946.
24.	Ведерников в. В., Расчет фильтрации через земляные нлотины.
Гидротехническое стр-во, № 1, 1947.
ЛИТЕРАТОРА
60S
25,	Нумеров С. Н., Фильтрационные расчеты горизонтального дренажа
гидростанций и промышленных сооружений (при большой глубине водо-
проницаемого слоя). Известия Всесоюзи. н.-нссл. ни-та гидротехники,
т. 32, 1947.
26.	Н у м е р о в С. Н., О фильтрация из каналов деривационных ГЭС и ирри-
гационных систем. Известия н.-иссл. ни-та гидротехники, т. 34, 1947.
27.	Н е л ь с о и-С к о р н я к о в Ф. Б., Фильтрация в однородной среде. Изд.
«Советская наука», 1-е изд. 1947, 2-е изд. 1949.
28.	В о щ и и и и А. П., Расчет однородных земляных плотин, построенных на
проницаемых основаниях. Прикладная математика и механика, ъ XII,
в. 6, 1948.
29.	Нумеров С. Н„ Об одном способе решения фильтрационных задач
при наличии инфильтрации или испарения жидкости со свободной поверх-
ности. Известия Всесоюзи. н.-иссл. ии-та гидротехники, т. 38, 1948.
30.	Ведерников В. В., Фильтрация при наличии дренирующего слоя.
Доклады АН СССР, т. LXIX, № 5, 1949.
31.	Аптекарь Л. Д., Вопросы фильтрационного расчета горизонтального
дренажа судоходных шлюзов я сухих доков, ч. III. Известия Всесоюзи.
н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 46, 1951.
К главе 7
1.	Ведерников В. В., Метод решения некоторых задач по фильтрации
со свободной поверхностью. Гидротехническое стр-во, № 9, 1935.
2.	П о г р е б и с с ь к и й I. Б., До питания про просачувания води кр!зь
земляи! гребл!. В1сти 1нституту водного господарства, т. V, в. 2, 1935.
3.	Ведерников В. В., Фильтрация из треугольного и трапецеидального
каналов. Научные записки Моск, нн-та инженеров водного хозяйства,
в. 2, 1936.
4.	Н е л ь с о и-С к о р и я к о в Ф. Б., Расчеты движения грунтовых вод через
земляные плотины. Москва, 1936.
5.	Ведерников В. В., Гидромеханические методы расчета движения
грунтовых вод со свободной поверхностью. Научные^записки Моск, ии-та
инженеров водного хозяйства, в. 4, 1937.
6.	Девисон Б. Б., Некоторые точные решения задачи о движении грун-
товых вод, получаемые упрощенным приемом. Известия отд. техн, наук
АН СССР, № 8-9, 1937.
7.	Н е л ь с о н-С к о р н я к о в Ф. Б., Движение грунтовой воды через зем-
ляные плотины на проницаемых основаниях. Научные записки Моск, ии-та
инженеров водного хозяйства, в. 4, 1937.
8.	Нельсон-Скорняков Ф. Б., О движении грунтовой воды через
дренированные земляные плотины. Гидротехническое стр-во, № 2, 1937.
9.	Павловский Н. Н., О применении комплекса Кирхгофа к гидромеха-
ническому решению задач фильтрации. Известия Н.-иссл. ии-та гидро-
техники, т. 20, 1937.
10.	Павловский Н. Н., О притоке воды к горизонтальным фильтрам.
Известия Н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 21, 1937.
11	Хом о в ска я Е. Д., Гидромеханическое решение задачи о притоке
грунтовых вод к водосборной трубе при наличии весьма мощного водо-
проницаемого слоя. Труды Гос. гидрологического ин-та, в. 5, 1937.
12.	Базанов М. И., Исследование фильтрации для случая притока воды
к осушительным каналам. Прикладная математика и механика, т. II, в. 2,
1938.
13	Г р и б А. А.» Установившееся движение грунтовых вод при наличии
дренажной трубы, свободной поверхности и водонепроницаемого слоя
в виде угла. Известия Н.-иссл. ии-та математики и механики пре Том-
ском гос. университете, т. II, в. 2, 1938.
604	ЛИТЙРАТУРА
14.	Девисон Б. Б., Движение грунтовых вод. Б сборнике: С. А. Кри-
стианович, С. Г. Михлин и Б. Б. Девисон, Некоторые новые
вопросы механики сплошной среды, Изд. АН СССР, 1938.
15.	Ризенкампф Б. К., Гидравлика грунтовых вод, ч. I. Ученые записки
Саратовского гос. университета, серия физ.-мат. ин-та, т. I (XIV), в. 1,
1938.
16.	Ризенкампф Б. К., То же, ч. II. Ученые записки Саратовского гос.
университета, серия физ.-мат., т. I (XIV), в. 2, 1938.
17.	Ведерников В. В., К теории дренажа. Доклады АН СССР, т. XXIII,
№ 4, 1939.
18.	Ведерников В. В., Теория фильтрации и ее применение в области
ирригации и дренажа. Стройиздат, 1939.
19.	Ведерников В. В., Учет влияния капиллярного поднятия на филь-
трацию из каналов. Доклады АН СССР, т. XXVIII, № 5, 1940.
20.	Козлов В. С., Расчет дренажных сооружений. Стройиздат, 1940.
21.	Полубаринов а-К очина П. Я., Фильтрация в анизотропном грунте.
Прикладная математика и механика, т. IV, в. 2, 1940.
22.	Н е л ь с о н-С к о р н я к о в Ф. Б., Движение грунтовой воды через пло-
тину-перемычку, дренированную в основании. Известия отд. техн, наук
АН СССР, № 6, 1940.
23.	Н е л ь с о н-С к о р н я к о в Ф. Б., Притекание грунтовой воды к дре-
нажным каналам на водоупоре. Доклады АН СССР, т. XXVIII, № 6,
1940.
24.	Р и з е н к а мп ф Б. К., Грунтовые воды, ч. IV—VI. Ученые записки Сара-
товского гос. университета, т. XV, в. 5 (гидравлика), 1940.
25.	ТУиН проектирования земляных насыпных плотин. Стройиздат, 1941.
26.	Брагинская В. А., Некоторые задачи фильтрации в анизотропном
грунте. Прикладная математика и механика, т. VI, в. 2—3, 1942.
27.	П о л у б а р и н о в а-К о ч и н а П. Я., Некоторые задачи плоского движе-
ния грунтовых вод. Изд. АН СССР, 1942.
28.	Павлов А. Т., Установившееся движение грунтовых вод при двух
слоях жидкости различной плотности. Прикладная математика и меха-
ника, т. VI, в. 2—3, 1942.
29.	Нельсон-Скорняков Ф. Б., Движение грунтовой воды через пло-
тину с низовой недренированной диафрагмой. Известия отд. техн, наук
АН СССР, № 1—2, 1944.
30.	А р а в и и В. И. и Н у м е р ов С. Н., Фильтрационные расчеты напорных
бассейнов гидростанций. Известия Всесоюзи. н.-иссл. ин-та гидротехники,
т. 32, 1947.
31.	П о л у б а р и н о в а-К оч и н а П. Я. и Фалькович С. В., Теория
фильтрации жидкостей в пористых средах. Прикладная математика и
механика, т. XI, в. 6, 1947.
32.	Нумеров С. Н., Приближенные способы расчета фильтрации через
земляные плотины на водопроницаемых основаниях. Труды Леиингр.
политехи, ин-та им. М. И. Калинина, № 4, 1947.
33.	Ведерников В. В., К теории дренажа. Доклады АН СССР, т. LIX,
№ 6, 1948.
34.	Нельсон-Скорняков Ф. Б., Фильтрация в однородной среде. 1-е
изд. 1947, 2-е изд. 1948.
35.	Веригин Н. Н., Фильтрация из оросителя ирригационной системы.
Доклады АН СССР, т. LXVI, № 4, 1949.
36.	Веригин Н. Н., О подъеме уровня грунтовых вод под влиянием
усиленной инфильтрации. Известия отд. техн, наук АН СССР, № 11,
37.	В ер иг им Н. Н., К вопросу о расчете подземных водозаборов в усло-
виях плоского движения грунтовых вод. Доклады АН СССР. т. LXIV,
№ 2, 1949.
ЛИТЕРАТУРА	605
38.	В е р и г и н Н. Н., Расчет дрены в потоке грунтовых вод с учетом высоты
высачивания. Доклады АН СССР, т. LXX, № 7, 1950.
39.	Веригин Н. Н., Некоторые случаи подъема грунтовых вод при об-
щей и местной усиленной инфильтрации. Инженерный сборник, т. VII,
1950,
40.	Аптекарь Л. Д., Вопросы фильтрационного расчета горизонтального
дренажа судоходных шлюзов и сухих доков, ч. I и И. Известия Все-
союзн. н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 44, 1951.
41.	Соколов Ю. Д., О расчете фильтрации из каналов трапецеидального
сечения. Доклады АН СССР, т. LXXIX, № 5, 1951.
42.	Соколов Ю. Д., О притоке грунтовых вод к дренажной канаве тра-
пецеидального сечения. Прикладная математика и механика, т. XV, в. 6,
1951.
43.	КочинаИ. Н, и Пол убаринова-Кочина П. Я., О применении
плавных контуров основания гидротехнических сооружений. Прикладная
математика и механика, т. XVI, в. 1, 1952.
44.	Соколов Ю. Д., Фильтрация без подпора из иезакольматированного
канала трапецеидального сечения в однородном грунте. Украинский мате-
матический журнал, т. IV, № 1, 1952.
К главе 8
1.	Нумеров С. Н., О фильтрации в земляных плотинах с дренажем на
водонепроницаемых основаниях. Известия Н.-иссл. ин-та гидротехники,
т. 25, 1939.
2.	Нумеров С. Н., О фильтрации через земляные плотины с дренажем
на водопроницаемых основаниях. Известия Н.-нссл. ин-та гидротехники,
т. 27, 1940.
3.	Нумеров С. Н., К вопросу о фильтрации через земляные плотины.
Известия Н.-иссл. ии-та гидротехники, т. 28, 1940.
4.	Нумеров С. Н., Практический способ фильтрационного расчета земля-
ных плотин с дренажем на водонепроницаемых основаниях. Известия
Н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 28, 1940.
5.	Нумеров С. Н., Об учете инфильтрации или испарения со свободной
поверхности при расчете движения грунтовых вод. Прикладная матема-
тика и механика, т. IV, в. 5—6, 1940.
6.	Нумеров С. Н., Решение задач о фильтрации без^ промежутков выса-
чиваиия и инфильтрации или испарения со свободной поверхности. При-
кладная математика и механика, т. VI, в. 1, 1942.
7.	Нум'еров С. Н., Практический способ фильтрационного расчета земля-
ных плотин с дренажем при наличии воды в иижием бьефе. Известия
Всесоюзного Научно-исследовательского института гидротехники, т. 31,
1946.
8.	Нумеров С. Н., Фильтрационные расчеты горизонтального дрена-
жа каявлов и водохранилищ. Гидротехническое строительство, № 7,
1946.
9.	Ара*вии В. И. нНумеров С, Н., Фильтрационные расчеты напор-
ных бассейнов гидростанций. Известия Всесоюзн. и.-иссл. ин-та гидро-
техники, т. 32, 1947.
10.	Номеров С. Н, Фильтрационные расчеты горизонтального дренажа
гидростанций и промышленных сооружений (при конечной глубине водо-
проницаемого слоя). Известия Всесоюзи. н.-иссл. нн-та гидротехники,
т. 34, 1947.
11.	Нумеров С. Н., О фильтрации к горизонтальной дреие в случае на-
клонного водоупора. Известия Всесоюзи. н.-иссл, ии-та гидротехники,
т, 46, 1951,
606
ЛИТЕРАТУРА
12.	Нумеров С. Н., О притоке грунтовых вод к прямоугольной траншее
Известия Всесоюзи. н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 46, 1951.
13.	Михайлов Г. К., О фильтрации в трапецеидальных плотинах на
горизонтальном водоупоре. Гидротехника и мелиорация, № 1,
К главе 9
’’ ^J„K,OSCKHil Н- ^’Теоретические исследовании о движении подиоч-
ЖУРн„ал	Ф1И--Х11М- об-ва, т. XXI, в. 1, 1889 (см.
Собрание сочинении, т. Ш, 1949).
2‘ »Л^б^олОИ Л' С" Нефтепромысловая механика, ч. II. Горгеонефте-
издат, 1934.	г
3’ пйтиКточс:	Искусственное понижение уровня грунтовых вод.
ДРавИН В’ Приток воды к котлованам, основанным на горизон-
тальном водонепроницаемом слое. Известия Н.-иссл. ин-та гидротехники,
Т» 1УО/»
5. Маскет М., Течение однородных жидкостей в пористой среде (пере-
вод с английского издания 1937 г.). Гостоптехнздат, 1949.
’	В" И'' Приток грунтовых вод к котловану прямоугольной
л Р*® ,В 1Н?ане’ основанному на горизонтальном водонепроницаемом слое,
известия Н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 22, 1938.
" !т«е л к а ч е в В. Н. й П ы х а ч е в В. Г.. Интерференция скважин и тео-
рия пластовых водонапорных систем. АзГОНТИ, 1939.
'	И-, Расчет фильтрации в обход гидротехнических сооруже-
о пИ^’ Известия Н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 27, 1940.
' „ «б а р и но в а-К очина П. Я., О притоке жидкости к скважинам
m п "е®д”°Р°ЛНОи среде. Доклады АН СССР, т. XXXIV, № 2, 1942.
'	, аР и и ов э-К оч и н а П. Я., О прямой и обратной задачах гил-
ра лики нефтяного пласта. Прикладная математика и механика, т. VII,
в. о—6, 1943.
Н. Пыхачев Г. Б., О дебите скважин в неоднородно-проницаемом «ласте.
12 цРуды Грозненского нефтяного ин-та, в. 1, 1944.
’ г.л»Р”ИЫИ А- О притоке нефти к скважинам в месторождениях кру-
говои и полосообразной форм. Доклады АН СССР, т. XLII, № 7, 1944.
' ,,„кр.Н ы и и* А-- 9 притоке нефти к скважинам в месторождениях оваль-
14 г „ „ сеРП0Ви.дн°й Форм- Доклады АН СССР, т. XL11, № 5, 1944.
. 1 и р и н с к и и Н. К., Комплексный потенциал потока со свободной по-
лС1§хДЯсД„ю 8 ?^аст5 относительно малой мощности при k=f(z). Доклады
г рп ьссн, т. ы, № 5, 194Ъ.
о. нринский Н. К., Обобщение некоторых решений для скважин па
ооме сложные естественные условия. Доклады АН СССР, т. L1V, № 3,
л И- Некоторые пространственные задачи теории потенциала п
17 цХя^?пЛи)вет?ЯлИэвестия АН СССР (серия математическая), т. X, в. 4,1946.
’	ли 'АЛ^иеЕФеРи)15НЯ несовершенных скважин. Известия отд.
18 Г У АН СССР’ *!’ 1946-
’ бдтя* о	Приближенные способы фильтрационного расчета флют-
ин тя им ^ае "Р^раиствеиной фильтрации. Труды Лениигр. политехи.
19 R'Та ИМ’ f-t Калинина, № 4, 1947.
’ жи.?.НЛ	Фильтрация в обход плотин и эффективность противо-
20 f .	Гидротехническое стр-во, № 6, 1947.
 гЛХЛ-ЛпЛг, п' Комплексный потенциал потока пресных вод со
цвакл-°^ИЬ1^ Ятр?йкамн- фильтрующего в водопроницаемой толще
21	А” СС$> т- bVill, № 4. 1947.
rusnnrsnmr.» «А..’ Иекот®₽ые вопросы динамики подземных ВОД-
I идрогеология и инженерная геология, сб. № 9, 1И7.
ЛИТЕРАТУРА	607
22.	Л у к о м с к а я М. А., Решение некоторых задач о притоке жидкости к
скважинам. Прикладная математика и механика, т. XI, в. 6, 1947.
23.	И е д р и г а В. П., Расчет фильтрации в обход гидротехнических соору-
жений. Гидротехническое стр-во, № 5, 1947.
24.	Ч а р и ы й И. А., Фильтрация газа в угольном пласте, Известия отД. техи.
наук АН СССР, № 2, 1947.
25.	Л у к о м с к а я М. А., О притоке жидкости к скважине в неоднородном
пласте. Прикладная механика и математика, т. XII, в. 2, 1948.
26.	Чарный И. А., Подземная гидромеханика. Гостехиздат, 1948.
27.	Аверьянов С. Ф., Расчет линейной системы артезианских колодцев.
Инженерный сборник, т. V, в. 2, 1949.
28.	Г и р и и с к и й Н. К., Расчет притока воды в подземные выработки
в условиях взаимосвязи трех водоносных пластов. Вопросы гидрогео-
логии и инженерной геологии, сб. № 13, 1950.
29.	Г и р и и с к и й Н. К., Расчет притока воды в котлован вблизи участка
реки с водонепроницаемым руслом. Вопросы гидрогеологии и инженер-
ной геологии, сб. № 13, 1950.
30.	Г о л у б е в а О. В., Уравнение двумерных движений идеальной жидкости
иа криволинейной поверхности и их применение в теории фильтрации.
Прикладная математика и механика, т. XIV, в. 2, 1950.
31.	П о л у б а р н н о в а-К о ч и и а П. Я., Об источниках и стоках иа поверх-
ности. Прикладная математика и механика, т. XIV, в. 1, 1950.
32.	Аравии В. И. и Нумеров С. Н., Плановая задача фильтрации. Изве-
стия Всесоюзи. н.-нссл. ии-та гидротехники, т. 44, 1951.
33.	Власов И. О., Распределение скоростей фильтрации в наклонных пла-
стах при напорном режиме фильтрации. Прикладная математика и меха-
ника, т, X, в. 1, 1951.
34.	Г и р и н с к и й Н. К., Расчет притока воды в выработки, заложенные
в междуречье в неоднородный по вертикали пласт. Методы исследований
я расчетов при инженерно-геологических и гидрогеологических изыска-
ниях, Госгеолиздат, 1951.
35.	Г и р и н с к и й Н. К., Расчет притока воды в подземные выработки
в условиях взаимосвязи подземных вод водоносных пластов. Госгеол-
издат, 1951.
36.	Н ед риг а В. П., Методы расчета пространственной фильтрации к бере-
говым дренам. В сборнике: Вопросы фильтрационных расчетов гидротех-
нических сооружений, Госстройиздат, 1952.
37.	П платовский В. П., Определение дебита батареи скважин, дреии-
р^кицих конический пласт. Доклады АН СССР. т. LXXXVII, № 6
38.	Р о м а н о в А. В., Приток воды к водозаборам подземных вод и дре-
нам. В сборнике: Вопросы фильтрационных расчетов гидротехнических
сооружений. Госстройиздат, 1952.
К главе 10
1.	Л е м б к е К. Э„ Движение грунтовых вод и теория водосборных соору-
жений. Журнал Министерства путей сообщения, № 2, 1886, №№ 17—19,
1887.
2.	Вoussinesq J., Recherche»thioriquea eur I'eqoulement des nappes deau
inflltr6es dans le sol. Journal de Lionville, 1904.
3.	Лейбензон Л. С., Нефтепромысловая механика, ч. II. Горгеонефте-
нздат, 1934.
4.	Девисон Б. Б., О неустановившемся движении грунтовых вод без
свободной поверхности. Труды Гос. гидрологического ин-та, № 5, 1937.
5.	М а с к е т М., Течение однородных жидкостей и газов в пористой среде
(перевод с английского издания, 1937). Гостоптехиздат, 1949.
608
ЛИТЕРАТУРА
6.	М а к к а в е е в В. М., Частный случай неустановившегося движения грун-
товых вод со свободной поверхностью (к вопросу о заболачивании поймы).
Труды Гос. гидрологического ин-та, в. 6, 1937.
7.	П о л у б а ри н о в а-К очи н а П. Я., О неустановившейся движении
грунтовых вод в двух слоях различной плотности. Известия отд. технич.
наук АН СССР, № 6, 1940.
8	Козлов В. С., Расчет дренажных сооружений. Стройиздат, 1941.
9.	Христианович С. А., О движении газированных жидкостей в пори-
стых средах. Прикладная математика и механика, т. V, в. 2, 1941.
10.	Архангельский В. А„ Приближенный способ расчета истощения
нефтяного пласта при газовом режиме. Инженерный сборник, т. IV, в. 1,
1941.
11.	Казарновская Б. Э. и П о л у б а р и н ов а-К очи н а П. Я., О дви-
жении подошвенных вод в нефтяных пластах. Прикладная математика и
механика, т. VII, в. 6, 1943.
12,	П ы х а ч е в Г. Б., К вопросу о вытеснении нефти водой из неоднородно-
проницаемого пласта. Труды Грозненского нефтяного ин-та, в. 2, 1944.
13.	Щелкачев В. Н„ Расстановка скважин в пластах с водонапорным
режимом. В сборнике: Научно-исследовательские работы нефтяников,
в. III. Гостоптехиздат, 1944.
14.	Г а л и н Л. А., Неустаиовившаяся фильтрация со свободной поверхностью.
Доклады АН СССР, т. XLVII, № 4, 1945.
15.	П о л у б а р и н о в а-К о чи н а П. Я., К вопросу о перемещении контура
нефтеносности. Доклады АН СССР, т. XLV11, № 4, 1945.
16.	П ол у б а р и н ов а-К очи н а П. Я., О неустановившихся движениях
в теории фильтрации. Прикладная математика и механика, т. IX, в. 1,
1945.
17.	Чарный И. А., О наивыгоднейшей расстановке скважин в нефтяных
пластах с водонапорным режимом, Известия отд. техн, наук АН СССР,
№ 1—2, 1945.
18.	Виноградов Ю. П. и КуфаревП. П., О некоторых частных реше-
ниях задачи фильтрации. Доклады АН СССР, т. LVII, № 4, 1947.
19.	Казарновская Б. Э., Перемещение водонефтяного контакта и обвод-
нение скважин при водонапорном режиме месторождения. Доклады АН
СССР, т. LV, № 8, 1947.
20.	Лапук Б. Б., О распределении давления в газовых месторождениях,
Нефтяное хозяйство, № 4, 1947.
21.	Лапук Б. Б., Приближенное решение задач о неустановившейся радиаль-
ной фильтрации газа. Доклады АН СССР, т. LV1II, 1947.
22.	Лейбеизон Л. С., Движение природных жидкостей и газов в пори-
стых средах. Гостехиздат, 1947.
23.	Калинин Н. К. и П о л у б а р и н о в а-К оч н н а И. Я., О неустано-
вившемся движении грунтовых вод со свободной поверхностью. Приклад-
ная математика и механика, т. XI, в. 2, 1947.
24.	Царевич К. А., Приближенный способ расчета притока нефти и газа
к скважинам при режиме растворенного газа. Труды Моск, нефтяного
ин-та им. В. М. Губкина, в. 5, 1947.
25.	Виноградов Ю. П. и КуфаревП. П., Об одной задаче фильтра-
ции. Прикладная математика и механика, т. XII, в. 2, 1948.
26.	Калинин Н. К., О неустановившейся фильтрации в случае дрены
в водопроницаемом слое конечной глубины. Прикладная математика и
механика, т. XII, в. 2, 1948.
27.	Полубаринова-Кочина П. Я., Об обводнении нефтяных скважнн.
Известия отд. технич. наук АН СССР, № 2, 1948.
28.	Полубаринова-Кочина П. Я., Об одном нелинейном уравнении
в частных производных, встречающемся в теории фильтрации. Доклады
ЛИТЕРАТУРА
609
2)	. К у ф а р е в П. П., Решение задач о контуре нефтеносности для коуга.
Доклады АН СССР, т. LX, № 8, 1948.
30.	Н у м е р о в С. Н., Медленно-изменяющаяся неустановившаяся фильтра-
ция. Известия Всесоюзи. н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 37, 1948.
31.	Ч а р н ы й И. А., Подземная гидромеханика. Гостехиздат, 1948.
32.	В е р и г и и Н. Н., О неустановившемся движении грунтовых вод вблизи
водохранилищ. Доклады АН СССР. т. LXVI, № 6, 1949.
33.	Полу баринова-Кочина П. Я.. О неустановившихся движениях
грунтовых вод прн фильтрации из водохранилищ. Прикладная математика
и механика, т. XIII, в. 2, 1949.
34.	П о л у б а р и и о ва-К очи и а П. Я., О неустановившейся фильтрации
с поверхностями раздела. Доклады АН СССР, т. LXVI, № 2, 1949.
35.	Полубаринов а-К о ч н я а П. Я-, О некоторых неустановившихся
движениях грунтовых вод. Известия отд. техн, наук АН СССР, № 6, 1949.
36.	Миллионщиков М. Д., Движение газированной нефти в пористой
среде. Инженерный сборник, т. V, в. 2, 1949.
37.	Ч а р н ы й И. А., Метод последовательной смены стационарных состоя-
ний. Известия отд. техн, наук АН СССР, № 3, 1949.
38.	ЩелкачевВ. Н. иЛапукБ. Б., Подземная гидравлика. Гостоптех-
издат, 1949.
39.	Веригин Н. Н., О течениях грунтовых вод при местной усиленной
инфильтрации. Доклады АН СССР, т. LXX, № 5, 1950.
40.	Е в до к и мо в а В. А., Первая фаза неустановившейся радиальной филь-
трации жидкости. Доклады АН СССР, т. LXXIV, № 4, 1950.
41.	Пол у ба ринова-Кочнна П. Я., О влиянии уклона водоупора и
инфильтрации иа неустановившееся движение грунтовых вод. Доклады
АН СССР, т. LXXV,'№ 4, 1950.
42.	К у ф а р е в П. П., Решение задачи о контуре нефтеносности для полосы
с цепочкой скважин. Доклады АН СССР, т. LXXV, № 3, 1950.
431 К у ф а р е в П. П., Задача о контуре нефтеносности для круга при любом
числе скважин. Доклады АН СССР, т. LXXV, № 4. 1950.
44.	Л а и у к Б. Б., Приближенное решение плоской задачи о вытеснении газа
несжимаемой жидкостью. Доклады АН СССР, т. ЬХХШ, № 1, 1950.
45.	Ч а р н ы й И. А., О продвижении подошвенной воды в газовых залежах
купольного типа. Известия отд. техн, наук АН СССР, № 9, 1950.
46.	Ч а р н ы й И. А., Приближенный метод расчета перемещений поверхности
контакта в нефтяном пласте, вскрытом рядом скважин. Инженерный
сборник, т. VHI, 1950.
47.	В ер и г и н Н. Н., О фильтрации нз каналов в сухой грунт. Доклады АН
СССР, т. LXXIX, М 4, 1951.
48.	Г а л и и Л. А., О неустановившейся фильтрации прн постоянном давле-
нии иа границе. Прикладная математика и механика, т, XV, в. 1, 1951.
49.	Галин Л. А., Некоторые задачи яеустановившегося движения грунто-
вых вод. Прикладная математика И механика, т. XV, т. 6, 1951.
50.	К очи на Н. Н., Плоская задача о растекании бугра грунтовых вод в слое
бесконечной глубины. Прикладная математика и механика, т. XV, в. 6, 1951.
51.	Полубаринов а-К очина П. Я„ К теории неустановившихся движе-
ний в многослойной среде. Прикладная математика и механика, т. XV,
в. 4, 1951.
52.	Полубар инов а-К очина П. Я» О динамике грунтовых вод прн
поливах. Прикладная математика и механика, т. XV, в. 6, 1951.
53.	Нумеров С. Н., О периодических решениях уравнений медленно-нзме-
няюзденея неустановившейся фильтрации в прямоугольном грунтовом
русле. Труды’ Ленингр. политехи, ии-та им. М. И. Калинина, № 2, 1951.
54.	Пискунов Н. С., Решение одной краевой задачи для нелинейного
паоаболического уравнения движения жидкостей и газбв в пористой
среде. Доклады Ап СССР, т. LXXVI. № 4, 1951.
610
ЛИТЕРАТУРА
55.	Ч а р и ы й И. А., О методах линеаризации нелинейных уравнений типа
равнений теплопроводности. Известия отд. техн, наук АЙ СССР, № 6,
56.	БаренблаттГ. И., О некоторых неустановившихся движениях жидко-
сти и газа в пористой среде. Прикладная математика и механика, т. XVI,
в. 1, 1952.
57.	Веригин Н. Н., Движение грунтовых вод вблизи водохранилищ. Гидро-
техническое стр-во, № 4, 1952.
58.	По л у б а р инов а-К оч н н а П. Я., О перемещении языка грунтовых
вод при фильтрации из канала. Доклады АН СССР, т. LXXXII, № 6
1952.
К главе 11
1.	Павловский Н. Н., Основы гидромеханического расчета плотин си-
стемы Сенкова. Гидротехническое стр-во, № 8—9, 1936.
2.	Девисон Б. Б., К вопросу об одном приеме упрощенного расчета на-
порного движения грунтовых вод. Труды Гос. гидрологического нн-та,
в. 5, 1937.
3.	Павловский Н. Н., Гидромеханический расчет плотин системы Сен-
кова. ОНТИ, 1937.
4.	Me лещей ко Н. Т., Движение грунтовых вод под гидротехническими
сооружениями (методы расчета). Л., 1937.
5.	Корсунцев В. А„ Подсобная номограмма для построения электриче-
ских полей с осевой симметрией. Электричество, № 14, 1937.
6.	Чугаев Р. Р., Приток грунтовых вод к траншеям и горизонтальным
водосборам, заложенным выше водонепроницаемого слоя. Известия Все-
союзн. н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 22, 1938.
7.	К а м е н с к и й Г. Н., Уравнения неустановившегося движения грунтовых
вод в конечных разностях и применение их к исследованию явлений под-
пора. Известия отд. техн, наук АН СССР, № 4, 1940.
8.	Технические условия и нормы проектирования гидротехнических соору-
жений. Расчеты фильтрации под гидротехническими сооружениями. Гос-
стройнздат, 1941.
9.	Г и р и н с к и й Н. К., Расчет фильтрации под гидротехническими соору-
жениями на неоднородных грунтах. Госстройиздат, 1941.
10.	Юозлов В. С., Гидротехнический расчет флютбетов. Госэнергоиздат,
11.	BreitenOder М„ Ebene GrnndwasserstrOmnngen mlt freier Oberflflchc.
Berlin, 1942.
12.	Аверьянов С. Ф., Об изучении режима движения грунтовых вол
методом построения сеток движения. Доклады Всесоюзн. Академии с.-х.
наук им. В. И. Ленина, в. 4, 1949.
13.	Панов Д. Ю„ Справочник по численному решению дифференциальных
уравнений в частных производных. Гостехиздат, 1949.
14.	АравннВ. И. иНумеровС. Н., Плановая задача фильтрации. Изве-
стия Всесоюзн. н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 44, 1951.
15.	Насберг В. М., Гидродинамическая сетка при фильтрации без подпора
из скважины и применение сетки для определения водопроницаемости
грунта. Известия Тбилисского н.-иссл. ин-та сооружений и гидроэнерге-
тики, т. III, 1950.
К главе 12
1.	П а в л о в с к и й Н. Н., Теория движения грунтовых вод под гидротехни-
ческими сооружениями и ее основные приложения, 1922.
2.	Осокин А. В., Метод ЭГДА. Определение фильтрационного давления
на фундаменты плотни методом ЭГДА. Гидротехническое стр-во,
№№ 4—5, 1931.
ЛИТЕРАТУРА
611
3.	Р ел ь т о в Б. Ф., Исследование фильтрации в условиях пространствен-
ной задачи ио методу электрогидродинамических аналогий акад. Н. Н. Па-
вловского. Известия Н.-иссл, ин-та гидротехники, т. 15, 1935.
4.	Сорокин Г. С., Метол электрогидродинамических аналогий. Труды
г Всесоюзн. н.-иссл. ин-та гидротехники и мелиорации, т. XIV. 1935.
5.	Вятских Н. М., Некоторые элементы развития метода электроанало-
гий. Известия Н.-нссл. ин-та гидротехники, т. 19, 1936.
6.	Аравин В. И., Приток грунтовых вод к котлованам, основанным на
горизонтальном водонепроницаемом слое. Известия Н.-иссл. ин-та гидро-
техники, т. 21, 1937.
7.	X р и с т н а н ов и ч С. А., Михлин С. Г.. Д е в не о н Б. Б., Некоторые
новые вопросы механики сплошной среды. Приложение — решение гидро-
механических задач по методу ЭГДА. Изд. АН СССР, 1938.
8.	Аравин В. И., Фильтрация в анизотропно-водопроницаемом грунте.
Труды Ленннгр. иидустр. ии-та, № 1, 1940.
9.	А р а в н н В. И., Расчет фильтрации в обход гидротехнических соору-
жений. Известия Н.-нссл. нн-та гидротехники, т. 27, 1940.
10.	П ы ш к и н Б. А., Определение давления волны на гидросооружения мето-
дом электрогидродинамических аналогий. Вестник инженеров и техников,
№ 1, 1940.
11.	С е р г е е в Л. А., Моделирование посредством электрического тока про-
мышленных процессов фильтрации нефти н газа в пластах. Труды сек-
тора физики Азербайджанского филиала АН СССР, в. 1, 1940.
12.	Толстов Ю. Г., Применение метода электрического моделирования
физических явлений к решению некоторых задач подземной гидравлики.
Журнал технической физики, т. XII, в. 10, 1942.
13.	А р а в и и В. И., Приближенные способы фильтрационного расчета флют-
бетов в случаях пространственной фильтрации. Труды Ленннгр. поли-
техи. ин-та им. М. И. Калинина, № 4, 1947.
14.	Аравин В. И., Нумеров С, Н., Фильтрационные расчеты напорных
бассейнов гидростанций. Известия Всесоюзн. и.-иссл. ии-та гидротехники,
т. 32, 1947.
15.	Д р у ж и н и н Н. И., К вопросу о выборе электролита модели, материала
шин и рода электрического тока при решении задач методом элек-
трических аналогий. Известия Всесоюзн. н.-иссл. ин-та гидротехники
т. 38, 194&
16.	А р а в и н В. И., Н у м е р о в С. Н„ Фильтрационные расчеты гидротехни-
ческих сооружений. Госэнергоиздат, 1948.
17.	Фи л ьч а к ов П. Ф., Электромоделирование задач фильтрации в разно-
родном грунте. Доклады АН СССР, т. 66, № 4, 1949.
18.	Дружинин Н. И., К вопросу об определении дебита напорных сква-
жин и колодцев с помощью метода ЭГДА. Известия Всесоюзн. и.-нссл.
ни-та гидротехники, т. 40, 1949.
19.	Аравнн В. И., Дружинин Н. И., Некоторые вопросы методики
экспериментальных исследований пространствен ной фильтрации методом
эаектрогидродииамических аналогий. Известия Всесоюзн. н.-нссл. нн-та
гидротехники, т. 40, 1949.
20.	Дружинин Н. И., К вопросу об определении дебита напорных сква-
жин и колодцев методом ЭГДА. Известия Всесоюзн. н.-иссл. ин-та гид-
^отехиики, т. 42, 1950.
ружииииН. И., О точности определения фильтрационного расхода
при исследовании пространственной фильтрации методом ЭГДА. Изве-
стия Всесоюзн. и.-иссл. ии-та гидротехники, т. 44, 1950.
22. Пол т ба о и н ова-Кочи и а П. Я., О неустановившихся движениях
грунтовых вод. Доклады АН СССР. т. LXXV, № 3, 1950.
23. Фильчаков П. Ф., Моделирование фильтрации на электропроводной
бумаге. Доклады АН СССР. т. Я4, № 2, 1952.
612
ЛИТЕРАТУРА
К главе 13
1.	П а в л о в с к ий Н. Н., Теория движения грунтовых вод под гидротехни-
ческими сооружениями и ее основные приложения, 1922.
2.	3 а м а р и н Е. А., Движение грунтовых вод под гидротехническими
сооружениями. Ташкент, 1931.
3.	Аравин В. И., Основные вопросы экспериментального исследования
движения грунтовых вод в щелевом лотке. Известия Н.-иссл. ин-та гидро-
техники, т. 23, 1938.
4.	А р а в и н В. И., Об экспериментальном исследовании неустановившегося
движения грунтовых вод. Известия Н.-иссл. ин-та гидротехники, т. 30,
1941.
5.	Мир чин к М. Ф., Нефтепромысловая геология. Гостоптехиздат, 1946.
6.	К о т я х о в Ф. И., Р е м и е в Б. Ф. и Б у т о р и и Н. П., Анализ кернов
нефтяных месторождений. Гостоптехиздат, 1948.
7.	В а с и л ь ев А. М., Основы современной методики и техники лаборатор-
ных определений физических свойств грунтов. Машстройиздат, 1949.
8.	Наблюдения за режимом подземных вод. Гидроэнергопроект. Госэнерго-
издат, 1949.
9.	Агаджанов А. М., Гидрогеология и гидравлика подземных вод и
нефти. Гостоптехиздат, 1950.
10.	Г и р и и с к и й Н. К., Определение коэффициента фильтрации по данным
откачек при неустановившихся дебите и понижениях. Госгеолиздат, 1950.
11.	Инженерно-геологические исследования для гидроэнергетического строи-
тельства (коллектив авторов), тт. I—II. Госгеолиздат, 1950.
12.	Л а н ге О. К., Основы гидрогеологии. Изд. Моск. гос. университета, 1950.
13.	Биндеман Н. Н., Методы определения водопроницаемости горных
пород откачками, намывами и нагнетаниями. Углетехиздат, 1951.
14.	Н а с б е р г В. М., Вопрос о фильтрации при нагнетании в насыщенный
водой грунт. Известия отд. техн, наук АН СССР, № 9, 1951.
К приложению
1.	Г р и н б е р г Г. А., Избранные вопросы математической теории электри-
ческих и магнитных явлений. Изд. АН СССР, 1948.
2.	Лаврентьев М. А., Конформные отображения. Гостехиздат, 1946.
3.	М1лн-Томсон, Ел1нтичн1 функцй Якоб!, пятинзначн! таблиц! sn и, спи
и dn и з р!зн!цями. Харк!в, Державн! Н.-Т. видавиицтво, 1933.
4.	Смирнов В. И., Курс высшей математики, тт. II и III.
5.	Самойлова-Яхонтова Н. С., Таблицы эллиптических интегралов.
ОНТИ, 1935.
6.	Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа. ГТТИ, 1939.
7.	Яике и Эмде, Таблицы функций с формулами и крияыми. Гостех-
издат, 1948.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аверьянов С. ф. 21, 357, 607, 610
Агаджанов А. М. 26, 599, 612
Агроскин И. И. 599
Айвазьян В. Г. 21
Альтовекий М. Е. 24, 26
Аптекарь Л. Д. 243, 274, 603, 605
Аравин В. И. 18, 20, 23. 161, 224, 233, 234, 243,
245. 249, 361, 364, 865, 369, 370, 598, 600,
601, 602, 604. 606, 607, 610, 611, 612
Архангельский в. А. 26. 430, 608
Багров Н. А, 393
Баванов М. И, 192, 292, 601, 603
Баренблатт Г. И. 389, 610
Барышев В. М. 27
Баумгарт В. С. 22
Биндемаи Н. Н. 24, 612
Ботсет 400
Бочков Н. М. 22
Брагинская В. А. 274, 604
Бурлай И, Ф. 21
Буссяиеек 72, 377, 380, 384
Буторин Н. П- 612
Васильев А. М. 598,612
Ведерников В. В. 18. 151, 166, 189, 191, 222,
233. 234, 237, 240, 242, 243, 244, 245, 250,
273, 274, 275, 278, 281, 285, 295, 296, 300,
360, 598. 601, 602, 603. 604
Великанов М. А. 16, 598
Веригин Н. Н. 17, 18, 20, 21. 188, 192, 252,
296, 369. 389, 393, 394, 601. 604, 605.
278,
606.
609, 610
Вилькер Д. С. 27
Виноградов Ю. П. 26, 435, 447, 608
Власов И. О. 360, 607
Вощиннн А. П. 18, 244, 602
Вятских Н. М. 23, 6П
Галин Л, А. 21, 26, 435, 445, 446, 447, 608,
Гаитмахер Ф. Р. 194, 601
609
Ма О* 4*» ч/ШФ'в	Кичгаир V*
610, 612
Глебов П. Д. 24, 119, 182, 599
Глогояскнй М. М. 26
Голубем О. В. 26, 867, 607
Гостев А. Д. 22
Гриб А. А. 274, 603
Гринберг Г. А. 612
Гришин М. М. 24
Давидович В. И. 28
Певнсон'Б^Б.^в, 157, 166, 192, 275, 296. 299,
Д“8Й, 804. 889. 455. 598,599.603, «И, 603,
604, 607, 610. 811
Дружинин Н. И. 23, 611
ДЮПЮИ Ж. 13, 19, 598
Евдокимова В. А. 26. 609
Жуковский И. Е. 13, 17, 18, 66, 151, 222, 224,
234, 236. 237, 241. 243, 363, 598, 600. 601, 606
Замарин В. А. 16. 17, 21, 23 , 24, 55, 169, 191.
192, 193, 563, 60J. 612
Зауербрей И. И. 16, 56
Избаш С. в. 16, 24, 598
Истомина В. С. 22
Казарновская Б. Э. 26, 442, 444, 608
Калинин Н. К. 20, 21, 167, 435, 60S
Каменский Г. Н. 19, 22, 24. 416, 479. 599, 610
Кибель И. А. 386. 432, 598
Козлов В. С. 192, 194, 274, 412, 600, 601. 604,
608, 610
Корсуицев В. А. 610
Костяков А. Н. 24
Котяхов Ф, И. 612
Кочин Н. В. 386, 482, 598
Кочииа И. Н. 275, 605
Козина Н. Н. 435, 609
Кочииа П. Д,—си. Полубаринова-Кочииа П. Я.
Краснопольский А. А. 15
Крылов А. П. 26
Кусакии И. П. 24. 134. 599, 606
Куфарев П. П. 21, 26, 446, 447, 448, 608, 609
Лаврентьев М. А, 17, 20, 167, 194, 198, 612
Ланге О. К. 612
Лапук Б, Б. 24. 26, 27, 82, 420, 424. 450, 598,
599> 608, 609
Лебедев А. Ф. 593
Лейбензон Л. С. 14, 16, 24, 25, 26, 74, 76, 357,
382, 400, 401, 406. 409, 436, 440, 442, 445,
598, 608, 607, 608
Лембке К. Э. 13, 410, 412, 414, 607
Линдтроп Н. Т. 27
Ломизе Г. М. 16, 58, 599 _
Лукомская М. Д. 26, 366, 607
Маскет М. 143, 347, 366, 400, 437, 440, 442, 444,
599, S06, 697
Маккавеев В. И. 608
Мамедов М, К. 27
Мелещенко Н. Т. 17, 191, 192» 193,198, 267,299,
600, 601, 610
Миллионщиков М. Д. 15, 20, 26, 50, 407, 609
Минц Д. М. 22
Михайлов Г. К- 326, в№
Мирчиик М. Ф. 612
Москальков И. П, 27
Мятиев А. Н. 20, 119, 599
614
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Насберг В. М. 21, 23, 24, 610, 612
Недряга В. П. 20, 369, 607
Нельсон-Скорняков Ф. Б. 18, 166, 233, 234, 237,
242, 243, 244. 273, 274, 296, 297, 300, 602,
603, 604
Николаи Е. Л. 21 472
Нумеров С. Н. 17, 18, 20, 21, 23, 114, 167, 192,
193, 198, 238, 234, 238, 242, 243,244, 245, 256,
267, 305, 307, 316, 317, 318,380, 331,376, 380,
601, 602, 603, 604, 605, 606, 607, 609, 610, 611
Осокин А. В. 28, 610
Самойлов а-Ахснтов а Н. С. 612
Сегал Б, И. 17, 26, 194, 368, 601, 606
Сенков А. М. 21, 452
Сергеев Л. А. 27, 611
Снарскнй А. Н. 27
Соколов Ю. Д. 18, 274, 281, 605
Сорокин Г. С. 23, 611
Срибный М. ф. 19
Терцаги К. 65
Тихов М. Н. 26
Толстов Ю, Г. 611
Тополянский Д. Б. 167
Павлов А. Т. 274, 604
Павловский Н. Н. 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23,
53, 103, 166, 169, 173, 175, 181, 191, 194, 222,
238, 241, 243, 245, 250, 267, 292, 303,380,452,
481, 487, 598, 599, 600, 602, 603, 610, 612
Панов Д. Ю. 22, 610
Патрашев А. Н. 22
Пилатовский В. П. 367, 607
ПИрвердян А. М. 27
Пискунов Н. С. 26, 609
Погребисский И. Б. 20, 167, 603
Полубаринова-Кочина П. fl. 18, 20, 21, 25, 26,
119, 165,	166,	167,	267,	274, 275,	290,	356, 366,
367, 385,	386,	387,	388,	389, 392,	393,	398, 400,
409, 435,	444,	445,	446,	447, 598,	599,	600, «14,
605, 607,	608,	609,	610,	611
Приклонский В. А. 599
Проскурников С. М. 498
Пузыревский Н. П. 16, 19, 65
Лихачев Г. Б. 26, 366, 437, 442, 444, 606, 608
Пышкин Б. А. 611
Угинчус А. А. 21
Уиттекер 612
Фалькович С. В. 20, 167, 281, 290, 598, 600, 604
Фильчаков П. ф. IV, 23, 194, 601, 611
Флорин В. А. 22
Форхгеймер Ф. 13, >2
Фролов К. Д. 13
Хезен 55
Хомовская Е. Д. 273, 603	.	„„
Христианович С. А. 19, 26, 81, 598, 608, 611
Царевич К. А. 26, 427, 608
Чаповский Е. Г. 598
Парный И. А. 19, 21, 25, 26, 27, 114, 136, 855,
356, 367, 368, 392, 395, 412, 414, 421, 437, 442,
444, 450, 598, 599, 606, 607, 608, 609, 610
Чертоусов М. Д. 599
Чугаев Р. Р. 21, 22, 599, 610
Рейнольдс 15, 41
Рельтов Б. Ф. 23, 611
Ремнев Б. Ф. 612
Ризенкампф Б. К. 18, 20, 166, 167, 274, 275, 300,
302, 604
Розе Н. В. 386, 432, 598
Романов А. В. 360, 607
Шехтман 10. М. 22
Шипенко П. И. 21
Шуберт С. А. 22
Щелкачев В. Н. 15, 24, 25, 26, 27, 437, 440, 442,
444, 598, 599, 606, 608, 609
Яковлев С. Д. 23
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда 584
Авали» грунта механический 30
Анизотропность грунта 60, 509
Аргумент эллиптического интеграла 581
Вода гравитационная 34
—	капиллярная 34
—	пленочная 34
Водослив мерный 373
Высота пьезометрическая 469
Гидравлика 13
Гьдроиэогипса 73, 669
Гидроизопьеаа 570
Гидромеханика 13
Глубина нормальная (глубина равномерной
фильтрации) 96
Годограф скорости 155, 250 И д.
Градиент напора 470
Граница межзональная 872
—	нефтеносности или газоносности 486
Грунт 30. 82
—	анизотропный 60, 509
—	глинистый 868
—	изотропный 60
—	— неоднородный 40
Грунт неоднородно-анизотропный 62
— непроницаемый 60
—	однородио-анизотропвый 62, 161
—	однородный 60
—	проницаемый 60
—	слоистый 62, 97
—	фиктивный 29
Давление забойное 570
—	контурное 419
— пластовое 570
— средневзвешенное пластовое 420
— суммарное 469
Дарси, единица проницаемости 58
Дебит скважины 346	.,
Диаметр частицы действующий (вффевтнвныи/
54, 55
---контролирующий 55
Дрена 189, 224, 278
Жидкость газированная (двухфазная) 78, 83, 92,
93, 124
— подземная 33
Задача Дирихле для полуплоскости 392
— Жуковского об обтемим* Шпунта 284
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
615
Задача Римана-Гильберта 305
Закон Генри 79
— Дарси 13, 46
— Кирхгофа 482
— фильтрации 13, 46, 52
Зона капиллярная 34
Изобара (изопьеза) S70
Индикатор 571
Интеграл вероятности 596
—	Кристоффеля-Шварца 592
—	эллиптический 580
—	— полный 581
Интерференция скважины 350
Инфильтрация 85, 131, 245, 575
Источник (сток) точечный 344, 345
Канал криволинейного сечения 238, 291
Классификация фракций грунтов 30
Котлован совершенный 361
---полигональной фориы в плане 364
---эллиптической формы в плане 361
Коэффициент давления 82
—	загрязнения 55
—	недостатка насыщения 35
—	неоднородности ;5
— отдачи грунта 35
— пористости 31, 33, 35, 53
— проницаемости 48. 54, 58, 557
— трещиноватости 33
— фильтрации 47, 54, 57, 59, 85, 574
—	•— пласта средний 97
Кривая депрессии 104, 106, 106
—	индикаторная 574
—	истощения пласта 406
—• механического анализа грунта 31
Линия равных напоров 149
— тока 37, 68, 149, 563
— эквипотенциальная 149, 344
Лоток грунтовый 554, 559
—	Щелевой 563
Масштабы подобия 561
Материал электропроводный 486
Метод—см. также Способ
— конечных ревностей 472, 477
—	краевых задач 18, 30 и д.
—	недеформнруеиых линий 437, 448
—	полевой 551 и д.
—	последовательной смены стационарных со-
стояний 409
— статистический 36
— фрагментов 21, 452 и д.
— экспериментальный 551 и Д.
— электрогидродшимических аналогий (Метод
ЭГДА) 22, 146, 480 и Д.
Модель пористой среды 29
Модуль формы фрагмента 455
— эллиптического Интеграла 581
—------дополнительный 581
Напор приведенный171
—	пьезометрический 64
Направление анизотропии грунта главное 60
Насыщенность жидкостью пр, стрепета 78
-------среднева вешенная 427
Недостачей насыщение грунта 35
Область сеточная 472
Орг^ель^иррнгационной системы 252
Отображение конформное о88
Отток от скважины 118
Параметр элгиптачеосого интеграла 581
План гидронаогипс 568
План течения 342
Плоскость фильтрации 145
Плотина с дренажным банкетом на водоупоре
318
— с криволинейными откосами 287
Плотность тока 482
Поверхность высачивания 89
— депрессии 37, 90
— равных напоров 67
--- потенциалов 67
— свободная 37, 90
Подобие при моделировании 483
Потенциал Гиринского 371
— комплексный фильтрации 148, 843
---_ приведенный 170
—	скорости фильтрации 66
--------- приведенный 170
—	фильтрации 342
---приведенный 516
—	электрический 482
Потери напора местные 375
Поток фильтрационный 36
Приведение напорных несовершенных Скважин
к Совершенный 366
Проводимость 483
—	удельная 483
Проницаемость 53
—	абсолютная (физическая) 558
—	анизотропная 60
—	эффективная 559
Процесс адиабатический 74
—	изотермический 74, 98
— политропический 75, 98
Радиус влияния котлована 362
---скважниы 183
-------совершенной 346
Разворачивание шпунтов 193
Расход комплексный 342
— фильтрационный 147, 843. 471, 536, 563
Режим гаяоао-гидравлнческий 4S4
— гидравлический 436
Русло грунтовое 103
-----призматическое 103
-----цилиндрическое 103
Сетка фильтрации 463
Сечение живое фильтрационного потока 37
Сила тока 482
— фильтрационная 65
Силы сопротивления при фильтрации 38
Система точечных источников (стоков) 349, 350
— уравнений неустановившейся фильтрации
сжимаемой жидкости 46
Скважина несовершенная 142
—	совершенная ИХ 345
Скорость средняя в порах 36 м
—	фильтрации 36. 68, 470, 563, 570, 574
----- весовая 74
-----комплексная 149
Соединение фрагментов параллельное 453
----- последовательное 453
— — смешанное 454
Сопротивление проводника 482
-----удельи. е 483
Состав грунта гранулометрический 30
Спссоб —см. также Метод
— ВедерииКола-Пав/овского 222 и Д-
— годографа скорости 250 и Д-, 275, 296
— изображения в прямой и окружности 350,
354
—	колориметрический 572
—	Павловского i6S и д.. 356
—	построения сеток фильтрации графические
463	м
___редворачиааямв шпунтов 193 и д-
RI6
предметный указатель
С пос'б суммарного учёта местных потерь
напора 215
—	химический 571
Среда анизотропно-проницаемая 87
—	пористая 29
Сток точечный 345
Теорема Римана 591
Тбсрня фильтрации 11
Уклон свободной поверхности фильтрационного
потока 102
Уравнение Буссинеска 72, 380 и д.
— Дюпюи 106
— Лапласа 66
--- в цилиндрических координатах 67
---в сферических координатах 67
— Лейбензона 400
— неразрывности 43, 86
--- в цилиндрических координатах 45
--- в сферических координатах 46
— Фурье 592
—	характеристическое 46, 74
Уравнения линии тока 38
—	фильтрации 39 и д.
—	— в полярных координатах 69
Условие граничное 88, 150
—	начальное 88
Фактор газовый 83
Фильтрация II, 29, 68, 365
— безнапорная 90, 150
---осесимметричная тяжелой жидкости 127
--- равномерная 96
---плановая 368, 513
— в обход гидротехнических сооружений 365
— газа осесимметричная 93, 122
---сферическая 94
— газированной жидкости 78
-------высокой насыщенности 407
—	к скважине 117
—	несовершенной 142
— медленно изменяющаяся 101
— напорная 90, 150
— неравномерная 101, 112
— неустаиовившаяся 37, 76, 85, 377 и д., 477,
519
Фильтрация иеустановившаяся плоская без
напорная 567
------ равномерная тяжелой несжимаемой
жидкости 378
— одномерная 91
— осесимметричная 116, 119
— плановая 20, 368, 509, 513
---безнапорная 341, 514
---напорная 341, 511
— — напорно-безнапорная 341, 370, 516
---установившаяся 341
— плеская 68, 145
— равномерная 92, 314
—- — в слоистых грунтах 97
— — газированной жидкости 92, 99
— прн наличии горизонтального водоупора 13
— радиальная 409, 418
—	свободная из канала 238
—	сферическая 94, 138, 140, 409
—	упорядоченная 384
—	установившаяся 37, 85
Фокус размыва 175
Формула Зауербрея 56
—	Замарина 55
—	Кусакина 134
—	Хезена 55
Фрагмент 452
Фракция 30
Функция аналитическая 588
---Жуковского 222
— тока 147, 343
--- приведенная 170
—	Якоби эллиптическая 584
—	тэта 587
Характеристика осреднения 29
Цепь измерительная 494
—	питательная 494
Цепочка бесконечная напорных совершенных
скважин 356
Число Рейнольдса критическое 15, 49
Шпунт 173, 234
Щель дренажная Жуковского 224, 307
Опечатки
—	——— — —			 —			
d.	Строка	Haiieqaiaiio 1	Следует Binau,	По чьей вине
17	2 ca.	1923	1920	Авт.
зз	4 сп.	[1]	|Л|	Рсд.
4b	7 си.	Г-Н	Ml	
49	10 си.	[2]	|3|	
53	7 св.	131	HI	
57	5 св.	[2,	13,	
66	5 св.	P-J	[2]	
76	14 св.	j	;л	Abi.
76	14. 17, 18, 21 св.	-д 1	. п	»
79	9 св. (дважды)	~ К	1С	
80	9 сн.	д 1»	д <)>	
92	8 сн.	-п-1	- м	
99	14 сн.	§ 16	§ 12	•>
99	12 сн.	§ 22	§ 21	>
141	11 сн.	источника	стока	
142	1 св.	источника	стока	>
142	7 св.	си	С,	>
168	1 св.	глава	глава о	Тип.
170	20 св.	полосой	полуполосой	Авт.
200	6 св.	полуполосой	полосой	'>
206	6 св.	линию M6Mt	горизонт воды в бьефе	
209	13 сн.	на фиг. 93	на фиг. 92	. »
217	16 сн.	_	 7*2 Л	S	Т.	»
224	13 сн.	водонепроницаемый	водопрон ицаемы й	
263	1 си.	Ад, sin а 2	Ад, sin а 2).	»
263	1 сн.	A2 ьШ2а	A2 sin2 а	
Ilpoiio i m сине
6	Строка	Напечатано	Следует читать *	По чьей вине
269	12 си.	m— г: л	777 - П 77777	Тип.
278	4 ch.	ДО г.	2	Авт.
282	11 CH.	П0ПОЛОСОЙ	но чекой	
•329	3 ch.	<Г S	< V	>
345	13 ch.	2-г	2г. Тг	
354	13 св.	§ 82	§ 81	
311 j	8 и 12 св.	, /г 111 г 1 HI	1п^» * ГН	»
380	11 CH.	т	т'	»
389	8 св.	И (0) - 0	1Ц0) - нп	>'
.397	3, b, 8 ch.	т	тг	»
.398	5, 8 св.	т	те	
439	13 ch.	р	р'	»
133	8 ch.	$ 53	§ 46	
45b	b ch.	(.3.30)	(3.28)	»
459	b CH.	(5.14)	(5.20)	
459	7, 13 св.	2К'	А?	
	j и 1 си.			
i28	20 ch.	подложку	подкладку	»
>38	4 св	(9.М)	(9,b0)	»
543	3 св.	(9.54)	(9.62)	
57.	4 ch.	(3.93)	(3.109)	»
57t	4 св.	(3.144)	(3.160)	
57'	1 св. и 16 CH.	(3.93)	(3.109)	»
.57	7	8 си.	(3.96)	(3.112)	»
.58.	4	5 ch.	SH («, Л) СП (и, /)	8П («, л) СП (у, X)	»
58	4	3 ch.	СП (и, X) 8П («. / ) СП (о, /.	) СП («, X) 8П (V, X) СП (у, X	
58	7	9 си. (второй столбец)	ч	iq	
.59	7	10 сн.	Л1т	а±т	»
12-5-2
Редактор Г. К. Михайлов.
Техн. редактор С. С Гаврилов.	Корректор И. Л. Ейская.
Подписано к печати 7/Х 1953 г. Бумага 60x92V,,. 19,35 бум. я., 38.5 пет. я., 39.44] уч.-над. л.
40981 тип. аи. в печ. л. Т-06894. Тираж 50С0 акз. Цена книги 11 р. 85 к. Переплет 1 р.
Закаа Н 606.
4-а типографии им. Евг. Соколове* Союзполиграфпрома Главиадята Мтпастеретва культуры СССР
Ленинград, Измайловский пр., 39.