ян минусинский
ОПЕРАТОРНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Перевод с польского
А. И. П ЛЕСИ ЕРА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва —1956

АННОТАЦИЯ
В книге излагается новое, алгебраическое обо-
обоснование операторного исчисления. Это новое
обоснование значительно проще классического,
опирающегося на преобразование Лапласа, и тре-
требует от читателя знакомства только с элементар-
элементарным курсом анализа. Область применения опера-
операторного исчисления Микусинского шире, чем
классического.
Книга рассчитана на самый широкий круг чита-
читателей—математиков, инженеров, студентов тех-
технических вузов.
Редакция литературы по вопросам математических наук
Заведующий—проф. А. Г. КУРОШ

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
В процессе многолетней работы по обоснованию современного
операторного или, как часто говорят, операционного исчисления
первоначальная операторная точка зрения Хевисайда и связанные
с ней представления постепенно оттеснялись на второй план
(за немногими исключениями). Выявилась даже тенденция отка-
отказаться совсем от этой точки зрения и ограничиться непосредствен-
непосредственным применением преобразования Лапласа (или Карсона) к обеим
частям дифференциального или функционального уравнения с уче-
учетом начальных условий.
Метод Микусинского, излагаемый в настоящей книге, пред-
представляет собой радикальный возврат к первоначальной операторной
точке зрения, но на более высоком уровне. Он дает непосред-
непосредственное, стройное и с точки зрения строгости вполне удовлетво-
удовлетворительное обоснование операционного исчисления, причем область
его применения шире, чем у метода, использующего преобра-
преобразование Лапласа. Характерной чертой нового метода является
введение обобщенных (идеальных) функций в самом начале построе-
построения теории. Элементы поля операторов Микусинского, полученного
расширением кольца функций (со сверткой в качестве умножения),
естественно рассматривать как обобщенные функции (если они
не являются функциями в обычном смысле). Этим путем устанавли-
устанавливается двойственный характер элементов поля, т. е. их можно
считать одновременно операторами и функциями (реальными или
обобщенными). Так, если a{t)—непрерывная функция, то, фиксируя
ее в формуле для свертки
t
с(г) =
о
получаем оператор, который любой функции b(t)?C относит
Функцию с (/) g С. Этот оператор можно отождествить с функ-
функцией a (t). Единичный оператор является и импульсивной функ-
функцией S(^) (дельта-функцией Дирака, ср. представление l=s{l} на

Предисловие переводчика
стр. 36), оператор e~As есть функция b(t — X), оператор sn — функ-
функция 8(">@ и т. д.
Реальные функции переменного t могут быть представлены
с помощью оператора дифференцирования s. Это дает возможность
осуществить переход от дифференциального уравнения (с учетом
начальных условий) к соответствующему операторному уравнению.
Последнее является обобщением дифференциального уравнения с
заданными начальными условиями, а именно все искомые решения
дифференциального уравнения совпадают с теми реальными реше-
решениями операторного уравнения, которые дифференцируемы в обыч-
обычном смысле нужное число раз. Впрочем, и недифферепцируемые
реальные решения — обобщенные решения дифференциального
уравнения — имеют обычно физический смысл.
Отметим углубленное рассмотрение в третьей части книги
вопроса о решении дифференциальных уравнений с частными
производными. Для приведенного здесь класса уравнений выяс-
выясняется, в каком виде следует задавать начальные и краевые
условия, чтобы получить единственное решение (корректная поста-
постановка задачи). При этом единственность решения обеспечи-
обеспечивается теоремой единственности для так называемых операторных
дифференциальных уравнений. Эти важные вопросы и-?, затраги-
затрагиваются в традиционной трактовке операторного исчисления, исполь-
использующего преобразование Лапласа (Карсона), и трудно себе пред-
представить, каким образом в этих рамках они могли бы быть разре-
разрешены. Заметим еще, что единственное решение дифференциального
уравнения (при корректно поставленной задаче), получаемое в опе-
операторной форме как функция переменной X и оператора S, может
быть интерпретировано, согласно сказанному выше, как функция
переменных I и /, где по t функция имеет обобщенный характер.
Такое обобщенное решение можно рассматривать как окончатель-
окончательный результат соответствующего исследования, и если это реше-
решение не сводится к обычной функции переменных X и t, то, в силу
теоремы единственности, первоначально поставленная задача
не имеет решения. Эта высокая степень законченности теории
еще более подчеркивается тем, что для нахождения решения при-
приводятся вполне эффективные методы, за одним исключением,
а именно в случае решения так называемых «чистых уравнений».
На практике важно уметь определить, является ли решение
операторного уравнения реальной функцией, и в случае, если это
так, представить решение в форме обычной функции перемен-
переменных X и t. Общего решения этого вопроса в книге не дается.
Этот недостаток в известной степени свойственен и традиционным
трактовкам. Однако следует заметить, что в большинстве встре-
встречающихся конкретных задач этот вопрос решается без большого
труда. При этом весьма существенными являются заготовляемые
впрок таблицы для перехода от операторной формы решения

Предисловие переводчика
к обычной; здесь же могут быть использованы и таблицы преоб-
преобразования Лапласа.
Книга написана ясно, обстоятельно и доступно. Автор не пред-
предполагает у читателя сколько-нибудь серьезной математической
подготовки. Даже самые элементарные сведения из анализа
и, в частности, из теории тригонометрических рядов в книге под-
подробно приводятся. Такая ограниченность аналитического аппарата
обусловливает иногда и выбор задач, иллюстрирующих приложения
операторного исчисления. Это относится, в частности, к главе
VI второй части, посвященной уравнению теплопроводности,
где автор, например, не пользуется интегралом Фурье. Несколько
большую привычку читателя к математическому мышлению предпо-
предполагают глава II первой части (доказательство теоремы Титчмарша)
я некоторые параграфы третьей части книги. В последнем пара-
параграфе этой части, где дается краткий обзор результатов, отсутствуют
доказательства нескольких утверждений. Два из них приводятся
в примечаниях переводчика, помещенных в конце книги.
Следуя своим вкусам, читатель может изменить порядок изу-
изучения книги, а именно главы, посвященные приложениям к электро-
электротехнике, колебаниям струны и теории теплопроводности, читать
после ознакомления с общей теорией.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Операторное исчисление, известное уже в начале XIX сто-
столетия, получило большое распространение и развитие благодаря
работам Хевисайда, широко применявшего операторные методы
в электротехнике.
В настоящей книге операторы вводятся алгебраически как дроби
специального рода. Они являются обобщением чисел, и действия
с ними производятся аналогично действиям с числами. Такой подход
проще и является более общим, чем подходы, приводимые в других
книгах (в которых изложение основано на преобразовании Лапла-
Лапласа), и доступен читателю, не знакомому с теорией аналитических
функций.
Книга представляет собой первую методическую обработку
теории, опубликованной автором в 1950— 1952 гг., включая и при-
приложения. Она написана так, чтобы ею мог пользоваться как инже-
инженер, для которого операторное исчисление является только рабочим
орудием, так и читатель, который интересуется доказательствами
теорем и математическими проблемами этой теории.
Ян Минусинский-
Вроцлав, 10 июля 1953 г.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ
Глава I
ПОНЯТИЕ СВЕРТКИ И ЕЕ СВОЙСТВА. КЛАСС ФУНКЦИЙ С
§ 1. Определение свертки
Отправным пунктом теории, которая излагается в этой книге,
является понятие свертки1). Сверткой функций a{t)wb (t) называют
функцию c(i), определенную интегралом2)
Примеры.
о
t
= 2 ^e*dx — 2t-t2 = 2et — 2 — 2t — P.
о
2. a @ = 6@ = sin ?.
t t
c @ = \ sin (t — x) sin t di = \ [sin t cos t — cos t sin t] sin x dx =
о о
t t
= sin M cos x sin x dx — cos t \ sin2 x it =
2) В иностранной литературе употребляются термины produit de compo-
composition (по-французски), Faltung (по-немецки), convolution и resultant (по-анг-
(по-английски). {Польский термин—splot.—Прим. редакции].
2) Предполагается, что областью определения обеих функций alt) и bit)
«лужит интервал 0<f < оо. — Прим. перев.

12 Ч. /, гл. I. Свертка. Класс функций С
= sin t у sin21 — cos / Г у t — у sin/cos M =
==>-$ {sin t — tcost).
Упражнения. Вычислить свертки следующих функций:
1. e(/)=l— at, b(t)=.eai;
2. с(/) = еа', 6@=1— at;
3. a(t) = l, 6@ = /Г+7;
4. a(/) = l/T+T, 6@ = 1;
5. a(t) = sht 1),
6. a(t) = sint,
§ 2. Класс С
Особо важную роль в операторном исчислении будут играть
функции, которые определены и непрерывны в интервале 0</ < со.
Класс этих функций обозначим буквой С. Функции класса С могут
принимать как вещественные, так и комплексные значения. Функ-
Функции, рассмотренные в предыдущем параграфе, принадлежат классу С
и принимают вещественные значения. Примером функции класса С
с комплексными (не вещественными) значениями является функ-
функция е1*. Функция 1// не принадлежит классу С, так как она раз-
разрывна в точке ? = 0.
Если a(t) и 6@— функции класса С, то их свертка также
принадлежит классу С, так как она определена и непрерывна
в интервале 0 < t < оо.
В гл. I мы будем рассматривать исключительно функции клас-
класса С, не оговаривая этого в каждом отдельном случае.
Упражнение. Указать, какие из следующих функций принадлежат
классу С:
1 1 1 1 1
t+\' t—l' t—i' е'+е-1' е« —е-' '
1 1 1 1__
cost ' 1 + cos / ' 2 -f cos t ' i + cos t '
§ 3. Перестановочность свертки
Сравнивая результаты упражнений § 1, мы видим, что во всех
рассмотренных случаях значение свертки не зависит от порядка
следования функций a(t) и b(l). Это утверждение справедливо
для совершенно произвольных пар функций a {t) и b{t). Для доказа-
*) shf = (e'—е~')/2 (гиперболический синус).

§ 4. Ассоциативность свертки 13
тельства этого в общем случае нужно проверить справедливость
формулы
( t
^ a{t-~x)b{x)dx-* ^ b(t-x)a(x)dt. C.1)
о о
Сделав в первом интеграле подстановку t — х = а, получим
о t
-^a{°)b(t-°)do = ^ b(t-a)a{o)do
t о
и, следовательно, равенство C.1).
Доказанное свойство называется перестановочностью, или ком-
коммутативностью свертки. Оно является аналогом перестановоч-
перестановочности умножения чисел в арифметике, где всегда имеет место
равенство ab = ba для произвольной пары чисел а и Ь.
§ 4. Ассоциативность свертки
Свертка обладает также свойством, аналогичным ассоциатив-
ассоциативности умножения чисел:
{ab)c — a Fс).
Для чисел это свойство можно выразить предложением:
Если ab = g и bc = h, то gc = ah.
В таком же виде наиболее удобно сформулировать теорему
об ассоциативности свертки:
t
Ест \
\ a{t--z)b{t)dx = g(t) и С b{t-
о о
t t
\ g{t-х)с(х) dx= ^ a{t-z
о о
Доказательство. Подставив а = ш — т в правую часть
равенства
t t t-x
\ g{t-
О 0
будем иметь
t t t
= ^ \ a (t — ш) b (ш — х) с (

14 4. I', гл. I. Свертка. Класс функций С
где двойной интеграл распространяется на треугольную область Т,
заданную неравенствами 0 < т < ш < t. Возвращаясь от двойного
интеграла опять к повторному и меняя при этом порядок интегри-
интегрирования, получаем
t t
\ g{t — x)c{x)dz = \ а(/-
О 0
= \ a(t —
о
Таким образом, ассоциативность свертки доказана.
§ 5. Сложение и свертка — основные операции
операторного исчисления
В арифметике благодаря ассоциативности умножения произ-
произведение трех чисел a, b и с можно записать в виде abc. В самом
деле, безразлично, вычислять ли это произведение как (ab)c или
как а{Ьс), Точно так же способ сочетания трех функций a{t),
b(() и c{t) безразличен при вычислении их свертки. Ясно, однако,
что записывать свертку трех функций в виде, аналогичном abc,
т. е. не принимая во внимание способа их сочетания, крайне
неудобно, если пользоваться символикой интегрального исчисления.
Мы добьемся существенных упрощений, если условимся обо-
обозначать свертку двух функций a(t) и b(t) так же, как произведе-
произведение двух чисел, т. е. символом а-Ь или аЬ. Соответственно свертку
трех функций а{(), Ь(() и c{t) мы будем при такой договоренности
записывать в виде abc. Аналогично можно записывать и свертку
более чём трех функций.
Так как свертка обладает теми же свойствами (ассоциатив-
(ассоциативностью и коммутативностью), что и произведение в арифметике,
то совпадать будут и формальные вычисления. Это обстоятельство-
будет играть фундаментальную роль в операторном исчислении.
Подобно тому как в арифметике основными действиями являются
сложение и умножение, так в операторном исчислении основными
операциями будут сложение и свертка.
В арифметике элементы, над которыми выполняются действия,
суть числа, а в операторном исчислении - функции класса С1).
Запись свертки в виде обыкновенного произведения вызывает,
очевидно, опасность некоторой двусмысленности. Например,
>) Позже мы введем и разрывные функции (§ 51), а также элементы,
которые будут называться операторами (§ 15).

§ 6. Функция и значение функции 15
равенства
ab = ba, {ab)c = a(bc)
будут иметь один смысл в элементарной алгебре, а другой — в опе-
операторном исчислении. Эта двусмысленность, однако, совершенно
безвредна, так как смысл приведенных выше равенств будет зави-
зависеть от того, что мы будем понимать под буквами a, b и с. Если
понимать под ними числа, то мы имеем дело с обыкновенным
произведением, а если функции —со сверткой.
Кроме коммутативности и ассоциативности, свертка обладает
еще третьим основным свойством произведения, а именно дистри-
дистрибутивностью относительно сложения:
а (Ъ + с) = аЪ + ас.
В самом деле,
z= \ a(t-
0
Употребление в операторном исчислении такой же~"символикиг
как в обычной алгебре, сильно облегчает вычисления, так как
дает возможность использовать уже приобретенные навыки и заме-
заменять сложные иногда преобразования интегралов почти механиче-
механическими вычислениями.
§ 6. Функция и значение функции
Опасность недоразумений возникает тогда, когда мы желаем
сокращенным способом записать свертку двух функции-констапт, из-
которых первая, имеет, например, значение 2, а другая—значе-
другая—значение 3. Значением символа 2-3 в арифметике было бы число 6,
а в операторном исчислении —функция \.2-3dx = 6t. Затруднение
о
возникает здесь потому, что обычно не различают явно понятие
функции, равной константе, и понятие числа, употребляя для них
одно и то же обозначение. Не вдаваясь здесь в точные логические
определения, поясним различие геометрически. Как известно, для
геометрического изображения вещественных чисел используется
так называемая числовая прямая. Всякому вещественному числу
отвечает некоторая точка на прямой, и обратно, каждой точке
на прямой соответствует некоторое вещественное число.
Если для изображения чисел достаточно одной прямой, то для
представления функции (с вещественными значениями) необходима
плоскость. Фиг. 1 изображает график функции /2/6. Функция
представлена не одной точкой, а бесконечным множеством точек,

Ч. /, гл. I. Свертка. Класс функций С
образующих параболу. Задав на прямой t какую-либо точку i0,
получим, как указанно на фиг. 1, некоторую точку у0, лежащую
на прямой у. Число, изображаемое точкой уа, есть значение функ-
функции в точке ta.
Отсюда видно, что один смысл имеет функция f(t), а совсем
другой — значение функции /(/) в точке t. Если функция/(/) при-
принимает комплексные значения, то плоскость уже недостаточна
для ее геометрического представления.
Однако ясно, что и в этом случае поня-
понятия функции и значения функции не сов-
совпадают. В классической математике не
было необходимости вводить для этих
понятий различные обозначения. Зато в
некоторых современных разделах мате-
математики, например в функциональном
анализе и, в частности, в операторном
исчислении, выявление этого различия становится необходимым.
Условимся теперь, что под символом /(/), которому не пред-
предшествует слово функция, следует всегда понимать значение функ-
функции в точке /. Саму же функцию будем для отличия обозначать
символом {/(/)}х).
Это соглашение можно схематически записать в виде равенств
Фиг. 1.
функция /@ =
значение функции f(t) в точке t = f(t).
В частности, символ {2} будет, таким образом, обозначать функ-
цию-константу, значение которой равно 2 в каждой точке t.
Сам же символ 2 будет обозначать чис- у
ло. Геометрически функция {2} пред-
представляется прямой линией, параллельной
•оси /, в то время как число 2 изобра-
изображается одной точкой, на фиксированной
числовой прямой. Заметим еще, что зна-
значение функции {2} равно 2 для любой
точки t и изображено на фиг. 2 точкой,
обозначенной цифрой 2 на оси у.
В силу принятого соглашения, значение символа 2-3 уже
•однозначно: это обыкновенное произведение чисел 2 и 3, равное
числу 6. Напротив, символ {2} {3} означает свертку функции 2
Фиг. 2.
2) Для отличия функции от ее значения некоторые авторы употребляют
для функции символ f(t), другие {(:) или f(-). Эти обозначения не удается,
однако, проводить всюду последовательно, например трудно отличить этим
способом функцию, всюду принимающую значение 1953, от самого числа 1953-

§ 7. Символика 17
с функцией 3, т. е. функцию Ы. Таким образом, имеем
2-3 = 6,
Упражнение. Используя обозначения, введенные в этом параграфе,
проверить формулы:
A) {l){et}={et— 1}:
B)
C)
D)
§ 7. Символика
Имеют место общие формулы
Первая из них означает, что сложение функций осуществляется
просто сложением их значений, вторая же является следствием
соглашения, принятого в предыдущем параграфе.
Однако необходимость каждый раз записывать функции в ви-
виде {f(t)} может иногда быть обременительной. Если какая-нибудь
функция встречается в вычислениях несколько раз, то целесо-
целесообразно обозначить ее одной буквой, например,
a = {e'2cost}, b = h3 т=^1и т. п.
Если функция не задана конкретно, а записана общим символом
{/"(/)}, то при сокращенной записи лучше всего употреблять ту же
букву:
/={/(')}¦
Удобно также ввести обозначения
а2 = а-а, а3 = а-а-а, а* = а-а-а-а
и т. д. Если т и п — натуральные числа, то справедливы общие
формулы:
aman = amtn, anbn = (ab)n, (am)n = amn,
которые доказываются так же, как в обычной алгебре.
^ Ян Минусинский

,18 {/. /, гл. I. Свертка. Класс функций С
Упражнения 1. Проверить равенства:
A) {/}¦={-?-*»}; B) {О3 = {Т2о
D) И3= { '2«'} : E) {2}3={4*2}; F) {2}5={4"/
2. Используя законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутив-
дистрибутивности, упростить выражения:
A) {cos2 t}{t} + {t} {sin2/};
B) {1-/7} {sin /} + {1 + Y't) {cos t) + {\-Y~t} {cos <} + {1 + /0 {sin /}.
§ 8. Оператор интегрирования
Согласно определению свертки,
функция {1} характеризуется тем, что образование ее свертки с
произвольной функцией /(/) равносильно интегрированию послед-
последней в пределах от 0 до t. По этой причине мы будем называть
функцию {1} оператором интегрирования и для краткости обо-
обозначать буквой /:
Легко вычислить последовательные степени оператора интегри-
интегрирования:
\1-2J' — \l-2-3
Пользуясь обозначением
п! = 1-2. ... -я,
можно написать общую формулу
1 — \(л—1)! J •
Эта формула справедлива при любом натуральном я > 2. Если
положить 0! = 1, то она будет верна и для л = 1.
Выражение Г*{ДО} можно, в силу ассоциативности свертки, ин-
интерпретировать двумя способами: 1) как функцию, порожденную
последовательным л-кратным интегрированием функции {/(/)) в

§ 8. Оператор интегрирования 19
пределах от 0 до t, или 2) как свертку функций { _ . | и
{/(/)}¦ Отсюда следует соотношение
п
известное как формула Коми.
Упражнения. 1. Вычислить выражения:
A) l*{nsinnt}; B) /2{яе-п'}; C)
2. Доказать соотношение
f3{n2cos nt}=l2— j^-sin

Глава II
ТЕОРЕМА ТИТЧМАРША
§ 9. Формулировка теоремы и общие замечания
В § 3, 4, 5 мы доказали коммутативность, ассоциативность
и дистрибутивность свертки относительно сложения. Значи-
Значительно более глубокое свойство свертки дает следующая
теорема:
Если ни одна из функций fug класса С не равна тож-
тождественно нулю, то и их свертка не равна тождественно
нулю.
Эта теорема была сформулирована и доказана Титчмаршем1)
в 1924 г. Доказательство опиралось на исследование распределения
нулей некоторых аналитических функций. Более простые доказа-
доказательства, основанные на изучении скорости роста аналитических
или гармонических функций, дали Крам2) в 1941 г. и Дюфренуа3)
в 1947 и 1948 гг. Наконец, Рыль-Нардзевский дал в 1952 г. до-
доказательство, которое использует исключительно методы теории
функций вещественного переменного. Это последнее доказательство
мы и приведем в настоящей главе. Предварительно докажем не-
несколько вспомогательных предложений, которые сформулируем
для непрерывных функций *).
Читатель, интересующийся лишь приложениями операторного
исчисления, может без всякого ущерба для понимания дальней-
дальнейшего изложения опустить гл. II и сразу перейти к гл. III.
*) Титчмарш [10] и [49].
*) Крам [18].
") Дюфренуа [23] и [24].
*) Эти предложения, как и теорему Титчмарша, легко обобщить на
Произвольные функции, интегрируемые по Лебегу. Однако для операторного
Исчисления эти обобщения не нужны.

§ 10. Теорема Фрагмена 21
§ 10. Теорема Фрагмена
В 1904 г. Фрагмен1) доказал следующее предложение:
Если функция g непрерывна в интервале [0, Т], то
оо Т t
lim 2 k\~~ \ &х ('~т) 8 (т)dx = \ 8 (т)dz <10.1)
х~*а> k=\ о о
каждого t, удовлетворяющего неравенству 0 < t < Т.
В предположеЕ{ИИ, что символы
оо Т
lim 2 . \ A0-2)
Х~*С° ft=I О
перестановочны между собой, доказательство проходит очень про-
просто. Запишем левую часть формулы A0.1) в виде
Т со
W(x)lim 2 jbi—ekx^t~x'>dz
или-
г
\ g(t)lim A—ехр( — eJC''~T)))(ix. A0.3)
о JC~>CO
Ввиду того что
@
lim ехр(-е*<'->)=
Л1-Ю0 I '
0 при z <
' \ Х>
подинтегральная функция в A0.3) равна g(t) в интервале 0 < х < /
и нулю в интервале t < т < Т. Поэтому интеграл A0.3) просто
t
приводится к интегралу
о
Перестановочность символов A0.2) в левой части формулы
A0.1) можно обосновать, опираясь па некоторые теоремы об ин-
интегрировании последовательностей функций.
Совершенно элементарное и одновременно строгое доказательство может
быть проведено следующим вычислительным путем.
Фиксируя произвольно t в интервале 0<^t <Т, можно для всякого нату-
натурального п н положительного х написать
A0.4)
х) Фрагмен [42].

22 Ч. I, гл. II. Теорема Титчмарша
где
Меняя в первой из формул A0.5) порядок следования суммирования
и интегрирования (что в случае конечной суммы всегда допустимо), прихо-
приходим к равенству
/„1
или
м-
t
0
t
0
>*-
0
i
0
/n
n
ft=O
Гех Г'
<
0
k=n+l
d-. + J(x)+Ln(x),
A0.6)
о
где
о
Если Ai означает максимум абсолютного значения функции а в интервале
[0, Г], то
0 ft=n+1 fc=n+1
откуда видно, что lim Ln(x)=0, ибо последняя сумма сходится к ехр
П-»со
В силу формулы A0.6) имеем, далее,
A0.7)

§ 11. Теоремы о моментах 23
С другой стороны,
Т
| С екх «"О S
SI W
-л— сходится, то существует предел
k\ X
т
lim /С„ (*)= V (~') "г С екх »-')g(x) dx = K(дс). A0.8)
и для него справедлива оценка
. > оо
к I <с V ' ^ <ие^
Из этого неравенства вытекает, что
lim K(x) = 0. A0.9)
Из A0.7) н A0.8) мы видим, что A0.4) в пределе при п—>оо переходит
в формулу
оо . Т t
:' S {") ^ = \ g (у) dz + J(x) + K (.x).
*=1 0 о
Для того, чтобы отсюда получить формулу A0.1), достаточно, ввиду
A0.9), показать, что
lim/(x) = 0. A0.10)
В самом деле,
t t
\J{x)\<m\ exp (—e* V-^) dz <. M { ex C-T> exp (—ex V-^) dz,
о 6
так как в последнем интеграле дополнительный множитель ех С-) больше
единицы в пределах интегрирования. Последний интеграл эффективно вычг-
сляется введением нового переменного ц = е*^~'"' н оказывается равным
1/1 . _д
— ( ехр (—е
х V е v v
что меньше 1/едс. Поэтому \J (х) '< < М/ех, откуда вытекает A0.10).
Таким образом, теорема Фрагмена доказана.х
§ 11. Теоремы о моментах
Используя теорему Фрагмена, докажем теперь следующее пред-
предложение:

24 Ч. I, гл. II. Теорема Титчмарша
I. Если f—непрерывная функция в интервале [О, Т] и суще-
существует такое число N, что
т
\entf(t)dt <N, n=l,2 A1.1)
о
mo f(t) = O во всем интервале [О, Т].
Доказательство. Формулу Фрагмена A0.1) можно запи-
записать в виде
со Т t
lim У. tl^pl e-kx (т-t) t e**<r-T)g(T)rfT== [g^dx A1.2)
A=l 0 0
для любого t, удовлетворяющего неравенству 0</<7\
Если k и х—натуральные числа и
^(т) = ДТ-т), A1.3)
то, ввиду предположения A1.1),
т т т
K^MgWdt =K ekx^T-^f(T-z)dr:\ = \\ekxlf{t)dt <ЛГ,
о о о
так как тогда и произведение kx есть натуральное число. Поэтому
выражение, стоящее под знаком предела в левой части равенства
A1.2), не превосходит
и, следовательно, сходится к 0, когда х стремится к оо, прини-
принимая целочисленные значения *). Поэтому правая часть формулы
A1.2) должна быть равна нулю:
Дифференцируя обе части этого равенства, получаем g (t) = 0 для
0 < t < Т; ввиду A1.3), и f{t) = O при 0 < / < Т. Так как функ-
функция / непрерывна, то f(t) = O во всем (замкнутом) интервале [О, Г],
что и требовалось доказать.
Из доказанного предложения можно сделать следующее заклю-
заключение.
1) Существование предела этого выражения при х —* со обеспечивается
теоремой Фрагмеиа для х, пробегающего произвольные положительные зна-
значения; предел этот может быть только нулем, поскольку он равен нулю,
если х принимает только целочисленные значения.

§ 11. Теоремы о моментах 25
II. Если функция g непрерывна в интервале [1, X] и сущест-
существует такое число N, что
х
\\x«g{x)dx\<N, «=1,2 A1.4)
то g{x) — O во всем интервале [1,Х].
Действительно, при подстановке х = е , Х = еТ и xg(x) = f(t}
неравенства A1.4) переходят в A1.1). Отсюда следует, что f(t) = О
в 10, Г], т. е. что xg(x) = 0 в [1,Х]. Это и доказывает предло-
предложение.
Из предложения II легко вывести классическую теорему Лерхаг):
III. Если функция f непрерывна в интервале [0, Т\ и
= 0, «=1,2 A1.5)
то /@ = 0 во всем интервале [0, Т].
Доказательство. Пусть в—произвольное фиксированное
число из интервала @,Т). Из равенства (П.5) подстановкой
t=ex, r=ex, f(t) = g{x)
получаем
х
\x = Q, «=1,2
и отсюда
X 1 1
\\xng(x)dx\= \xng(x)dx\<{\g(x)\dx-N, «=1,2
'l 0 0
Следовательно, согласно предложению II, g(x) = 0 в интервале
П.Х], т. е. f{t) = O в интервале [в, Г]. Отсюда вытекает, что
/@ = 0 для всех t из интервала @, Г], ибо в можно взять как
угодно малым. Ввиду непрерывности функция f обращается в
нуль и при ^ = 0, что и завершает доказательство.
ь
Примечание. Интеграл \ хпf(x)dx называется п-м момен-
а
том функции f(x) в интервале [а, Ь]. Поэтому предложения, при-
приведенные выше, называются теоремами о моментах.
J) Лерх [28], Микусииский [32].

26
Ч. I, гл. II. Теорема Титчмарша
§ 12. Доказательство теоремы Титчмарша в случае f = g
Предположим, что / есть непрерывная функция в интервале
[О, 2Г] и что
t
= 0, 0<*<27\
A2.1)
Докажем, что тогда f(t) = O для 0<?<Г.
[_Из равенства A2.1) следует, что
2Г t
In=^e«BT-t)dt
О
A2.2)
Повторный интеграл A2.2) можно
представить в виде двойного интеграла
где область интегрирования А являет-
является треугольником (фиг. 3), заданным
неравенствами
27-
Фиг. 3.
После подстановки
этот интеграл принимает вид
en(a+vU(T-u)f(T-v)dudv,
где область интегрирования В есть тре-
треугольник (фиг. 4), заданный неравен-
неравенствами
Равенство
где С—треугольник, заданный неравен-
неравенствами
-Т<и, -T<v, u + v<0, Фиг 4.
а область В-{-С—квадрат, определенный неравенствами
-г

§ 12. Доказательство в случае f=g
27
можно переписать, поскольку \\ =/п — 0, в следующем виде:
в+с
<«+0>f(T-u)f(T-v)dudv.
При п > 0 множитель е" <"+"> в интеграле справа меньше единицы.
В силу этого,
т т
К е*«/(:Г-и)<йЦ en»/(T-u)du| <M2^rfudy = 2r2M2,
-г -г с
где М—максимум абсолютного значения функции f, и следова-
следовательно,
т
К enuf{T-u)du
Поэтому
-т
1
о
— u)du
-г
-г
enuf{T — u)du
Но в последнем интеграле множитель епи меньше единицы,
а значит,
т о
С e""f(T-u)du
о
с/ы = (|/2 + 1)ГЛ1.
-V
Так как это неравенство справедливо при любом п > 0, то, в
силу первой теоремы о моментах, имеем f(T — u) = O при 0 <и <7\
т. е. /(?) = 0 при 0<^<Г, что и требовалось доказать.
Если теперь функция / непрерывна в бесконечном интервале
О < t < со и в этом интервале имеет место при всех t равенство
t
то подавно оно имеет место во всяком интервале [О, 2Т]. Поэтому
КО —0 в любом интервале [О, Г] и, следовательно, во всем беско-
бесконечном интервале 0<f < со.

28 Ч. I, гл. II. Теорема Титчмарша
В операторной символике доказанное предложение можно сфор-
сформулировать в таком виде:
Если /6С и /2 = 0, то / = 0.
Можно придать ему и другую форму:
Если функция f класса С не равна тождественно нулю, то ее
свертка с собой /2 также не равна тождественно нулю.
Таким образом, это частный случай теоремы Титчмарша, сфор-
сформулированной в начале этой главы.
§ 13. Доказательство теоремы Титчмарша в общем случае
Рыль-Нардзевский показал, что разобранный выше частный слу-
случай позволяет легко доказать теорему Титчмарша для совершенно
произвольных функций fug класса С.
Пусть свертка функций f и g (класса С) тождественно равна
нулю: fg = O, т. е.
t
[f{t-*)g(*)dx = O, 0<*<оо. A3.1)
о
Тогда в интервале 0 < t < оо мы имеем также
t t
-"
\dz = Q. A3.2)
"о
Вводя обозначения
мы можем записать равенство A3.2) в операторной символике:
Отсюда следует, что fgt (fjg ¦+¦ fgt) = 0 и, используя законы ассоци-
ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности свертки, мы полу-
получаем равенство
ff
которое сводится к (/rg1J = 0, так как, по предположению, fg = 0.
Отсюда, в силу теоремы, доказанной в предыдущем параграфе,
имеем fgx = O, т. е.
оэ), A3.3)

§ 13. Доказательство в общем случае 29
Таким же образом, как из A3.1) вытекает A3.3), из равенства
A3.3) следует, в свою очередь, что
t
о
и т. д., вообще
t
для любого натурального п.
Отсюда, в силу теоремы Лерха (см. § 11),
= O для 0<т<г<оо.
Если g {?¦<?) Ф® ПРИ некотором to>O, то из равенства f(t — to)x
Х?(то) = О вытекает, что f(t) = O во всем бесконечном интервале
0<?< оо. Если же такого т0 не существует, то ?(/) = 0вовсем
этом интервале.
Следовательно, мы доказали, что если свертка fg тождествен-
тождественно равна нулю, то по крайней мере одна из функций fug тож-
тождественно равна нулю.
Иначе говоря, если ни одна из функций f и g не равна
тождественно нулю, то свертка fg также не равна тождест-
тождественно нулю.
В этом виде и была сформулирована теорема Титчмарша в на-
начале настоящей главы.

Глава III
ОПЕРАТОРЫ
§ 14. Действие, обратное к свертке
Таким же образом, как в алгебре, можно и в операторном
исчислении ввести дроби
а
Т'
Для удобства мы будем иногда записывать этот символ в виде
а/b. Сразу же заметим, что если а и Ь — функции, а под ab под-
подразумевается их свертка, то под а\Ь следует понимать не обычное
деление, а действие, обратное к свертке: символ ajb (где Ь не равна
тождественно нулю) означает такую функцию с (если она суще-
существует), что
а = Ьс. A4.1)
Если, например, а = {t3} и b = {t}, то
ибо
Для того, чтобы символ а/b был однозначно определен, необхо-
необходимо, чтобы не существовало больше одной функции с, которая
при заданных а и b {b не равна тождественно нулю) удовлетворяла
бы равенству A4.1). Эту однозначность обеспечивает доказанная
в гл. II теорема Титчмарша:
Если ни одна из функций fug класса С не равна тождест-
тождественно нулю, то и их свертка fg не равна тождественно нулю.
Если бы равенство A4.1) выполнялось для двух различных
функций сх и са, т. е. если бы было а = Ьс1и а = Ьсг, то мы имели бы

§ 15. Операторы 31
и свертка двух функций b и с1— с2, не равных тождественно нулю,
была бы равна нулю, что противоречит теореме Титчмарша. Поэтому
равенство A4.1) может выполняться не более чем для одной функ-
функции с, что и доказывает однозначность символа а/Ь.
Упражнения. Проверить равенства:
о. f -да я ^
§ 15. Операторы
Может случиться, что для данных функций а и b Ф {0} класса
С не существует функции с, которая удовлетворяла бы уравнению
а = Ьс. Пусть, например, а = & = {1}; тогда равенство {1} = {1}с
не может иметь места ни для одной функции c = {c(t)}, так как
это означало бы, что
t
для любого ^>0. Но это неверно при ^ = 0. Можно было бы
привести много аналогичных примеров.
Уже в элементарной математике мы встречаемся с явлением
невыполнимости обратного действия. А именно, в арифметике
целых чисел деление не всегда выполнимо. Например, число 2
не делится на 3. Отметим, однако, то обстоятельство, что как
раз невыполнимость деления и есть источник чисел нового рода —
дробей. Именно, мы полагаем, что частное чисел 2 и 3 есть новое
число (уже не целое), которое записываем в виде дроби 2/3.
Вообще, если целое число а не делится без остатка на другое
целое число Ь, то мы принимаем, что их частное равно дроби а/Ь.
Допуская и такие дроби а\Ь, в которых числитель а делится без
остатка на знаменатель Ь, например 6/3, мы можем дробь рассма-
рассматривать как обобщение понятия числа (целого). Всякое целое число с
является дробью (ибо оно представимо в виде cb/b (b ф 0)), однако,
не каждая дробь есть целое число.
Аналогично, невыполнимость действия, обратного к свертке,
приводит к новому математическому понятию, а именно к поня-
понятию оператора.
Итак, дробь {1}/{1} представляет оператор (уже не являющийся
функцией). Вообще, если для двух данных функций а и b ф {0}
класса С не существует функции с, удовлетворяющей уравнению
я = &с, то дробь а/Ь изображает оператор. Допуская и такие
операторы а/Ь, для которых существует такая функция с класса С,
что а = be, мы можем рассматривать оператор как обобщение
Функции. Любая функция с класса С является оператором (ибо она

32 Ч. I, гл. III. Операторы
представима в виде cb/b, где b Ф {0} — функция класса С), но не
каждый оператор есть функция.
§ 16. Действия над операторами
Ценность введения операторов вида с/Ь обнаруживается только
тогда, когда для них определены некоторые действия, позволяющие
пользоваться ими в вычислениях.
В элементарной арифметике для дробей принимают следующие
определения:
1. -°- = -^ в том и только в том случае, если ad = be.
„ а с _ ас
ad + be
При этом всегда предполагается, что знаменатели bud отличны
от нуля; тогда знаменатель bd также будет отличен от нуля.
Эти же определения мы принимаем и для операторов а/b. Само
-собой разумеется, что при этом в соотношениях 1, 2, 3 буквы а,
Ь, с и d обозначают функции класса С, а не целые числа. Знаме-
Знаменатели b и d мы при этом всегда предполагаем не равными тож-
тождественно нулю; из теоремы Титчмарша следует тогда, что и зна-
знаменатель bd не равен тождественно нулю.
Благодаря полной аналогии между операторами и дробями
элементарной арифметики, действия над операторами производятся
так же, как над обыкновенными дробями.
Упражнения. Доказать равенства:
{2}
§ 17. Числовые операторы
Рассмотрим теперь операторы вида {а}/{1}, где {а} — произволь-
произвольная функция-константа (т. е. принимающая всюду значение а),
причем обозначим их символом [а]:
Легко проверить формулы
[аР]. A7.1)

§ 18. Терминологические замечания 33
В самом деле, полагая для упрощения / = {1}, имеем
Операторы типа [а] будем называть числовыми операторами.
Их следует отличать от операторов {а}, которые являются функ-
функциями-константами и для которых вместо A7.1) имеем
Так, например,
В силу формул A7.1), в операторном исчислении можно опу-
опускать квадратньпе скобки; вместо [я] мы будем поэтому просто
писать а. Это упрощение выгодно еще тем, что формулы A7.1)
принимают тогда вид
т. е. вообще излишни.
§ 18. Терминологические замечания
Равенства A7.1) позволяют придерживаться еще более ради-
радикальной точки зрения. Благодаря им числовые операторы ведут
себя в вычислениях как обычные числа. Поэтому можно отожде-
отождествить числовые операторы с числами и называть их просто
числами. Аналогичным образом в арифметике отождествляются
дроби со знаменателем 1 и целые числа и точно так же комплекс-
комплексные числа с мнимой частью, равной нулю, отождествляются
с вещественными числами. Такое отождествление выгодно потому,
что нет необходимости в дальнейшем рассматривать отдельно
каждое из этих понятий, поскольку все они в конечном счете
подчиняются понятию комплексного числа.
В нашем случае понятие комплексного числа, в свою очередь,
подчинено понятию оператора. Таким образом, оператор является
обобщением не только функции, но в то же время и комплексного
числа. Различные этапы обобщения числа можно представить
в виде такой цепочки:
Целые числа CZ рациональные числа CZ вещественные числа
С2 комплексные числа CZ операторы.
В § 16 мы определили смысл выражения
т-т- <18J>
" Ян Минусинский

34 Ч. I, гл. III. Операторы
Если операторы а/Ь и cjd приводятся к функциям, то выражение
A8.1) означает их свертку; если же они приводятся к числам,
то выражение A8.1) есть обыкновенное произведение. Итак, дей-
действие, представленное выражением A8.1), является одновременно
обобщением свертки и обыкновенного умножения. От нас зависит,
каким термином назвать эту операцию в общем случае; в силу
практических соображений мы примем термин умножение. Теперь
мы сможем свободно пользоваться и другими терминами, связан-
связанными с умножением, например, терминами произведение, множи-
множитель, степень, деление, обратный элемент и т. д. Появляется
также возможность замены термина свертка функций термином
произведение функций. Тогда обыкновенное произведение следовало
бы для отличия называть произведением значений функций. Мы
сохраним, однако, название свертки, особенно в тех случаях,
когда не исключена опасность недоразумений.
Некоторого пояснения требует сам термин оператор. Его употребление
оправдывается отчасти тем, что рассматриваемое понятие охватывает не только
числа и функции, но и много таких элементов, которые соответствуют тому,
что в современной литературе называют операторами. В прежних подходах
к операторному исчислению операторы и функции, на которые эти операторы
действуют, образуют два обособленных класса элементов. В настоящей книге
роль элементов обоих видов симметрична, поскольку они принадлежат одному
и тому же классу дробей а/Ь, содержащему также числа. Ввиду этого термины
число, функция и оператор можно a priori с одинаковым основанием присвоить
в качестве названия всей рассматриваемой совокупности. Однако, принимая
во внимание традиции операторного исчисления, наиболее подходящим следует
считать последний термин (оператор).
§ 19. Произведение числа и функции
Легко проверить, что для любого числа а и произвольной
функции-константы {$} имеет место формула
«{?} = {«?}•
В самом деле,
Для пояснения сопоставим равенства
2-3 = 6, 2C} = {6}, {2}{3} = {6/}.
В первом из них утверждается, что произведение двух чисел 2
и 3 равно числу 6; во втором — что произведение числа 2 и функ-
функции-константы {3} равно функции-константе {6}; наконец, в третьем—
что произведение (свертка) двух функций {2} и {3} есть функция {6/}.
При р=1 получаем частный случай доказанной формулы:
а/-{а},

§ 20. Числа 0 и 1 35
т. е. каждая функция-константа [а} представима в виде произве-
произведения числа а и оператора интегрирования /.
Заметим, что имеет место общая формула
я {/(>)} = {«/(')}, A9-1)
которая утверждает, что умножение функции f(t) на число равно-
равносильно умножению ее значений на это число.
Действительно, имеем
Формула A9.1) выражает практическое правило: числовой множи-
множитель можно вносить под знак фигурной скобки.
Заметим, что для сложения не существует формулы, аналогич-
аналогичной A9.1). Сумму, числа а и функции {f(t)} можно записать только
в виде a-\-{f(t)}.' Эта сумма является оператором, который удается
лишь представить в виде дроби |а -\- V f(x)d-z\ /{1}. Для опера-
b
торов этого типа имеем, как легко видеть, в силу законов ком-
коммутативности и дистрибутивности,
t
Упражнения. Проверить равенства:
(I) A ! /)A-/) = 1-{П; B) A
C) A+{1})A-{е-(}) = 1; D)
E) A + {4/}) A -!• 2 {cos 2;-sin 2t}) = 1 + {2}.
§ 20. Числа 0 и 1
Подставив в формулу A9.1) 1 вместо а, получим равенство
4/@} = {/(*)}• Легко доказать в общем случае, что всегда имеет
место равенство
1с = с, B0.1)
где с —произвольный оператор.
В самом деле, положим с==а/Ь, где а и Ь Ф {0} — функции
класса С и 1 = ///, В силу определений равенства и умножения
операторов, имеем тогда
lb ~ ь '
т. е. равенство B0.1).
Для числа 0 справедливы общие формулы
с. <20.2)
3»

36 Ч. I, гл. III. Операторы
Действительно, полагая с = а/b, где а и Ь Ф {0} — функции класса
С и 0 = {0}//, имеем
rv - Ш° -1°>_ - i0}-* -W-n
UC~ /Ь ~ 1Ь "~~'/6 "" / ~и>
- а л.{0}_а'+{0}6_аМ-{0}_ а/ _ а
__+ ^ _ ^ _ ы _.^ у_с.
Заметим еще, что из равенства 0/ = {0} и первой из формул
B0.2) вытекает соотношение
{0} = 0.
Следовательно, функцию {0} надлежит отождествить с числом 0.
Это является исключением из правила, принятого в § 6, где мы
подчеркивали, что необходимо различать функции и числа. {0} —
единственная функция, которая относительно сложения и умноже-
умножения обладает теми же свойствами, что и число 0. В силу этого,
во всех формулах можно заменить ее числом 0, и наоборот. На
этом, собственно, и основывается отождествление символов {0} и 0.
§ 21. Оператор дифференцирования
Операторы можно делить друг на друга. Если, например,
g=a/b и h = c/d, то
Л _ а с _ ad
~h~T''~d~'bc'
Здесь числитель и знаменатель дроби gjh — произвольные опера-
операторы, а не обязательно функции.
В частности, оператор \jh называют обратным к оператору ft.
Заметим, что если h есть функция, то ее обратный элемент I/ft
уже не может быть функцией. В самом деле, если бы Л и I/ft
были функциями, то и их произведение было бы функцией, тогда
как оно является числовым оператором 1.
В операторном исчислении фундаментальную роль играет опе-
оператор, обратный к оператору интегрирования / = {1}- ^ы будем
писать
в силу этого определения, имеем
Докажем следующую важную теорему1):
») Эта теорема будет обобщена в § 56.

§ 21. Оператор дифференцирования 37
Теорема. Если функция а —{а (/)} обладает производной
a' = {a'(t)}, непрерывной в интервале 0</< оо, то
sa = a' + a{0), B1.1)
где а @) — значение функции а в точке t = 0.
Действительно,
t
Умножив здесь на s обе части равенства, получим B1.1).
Если в точке / = 0 значение функции а равно нулю, то фор-
формула B1.1) приводится к виду
sa = a'.
Итак, в этом случае умножение функции на оператор s означает
просто ее дифференцирование. По этой причине мы будем называть
s оператором дифференцирования. Следует, однако, помнить, что
в общем случае умножение на s означает дифференцирование функ-
функции и прибавление ее начального значения. В результате этих
действий получается оператор, который только тогда приводится
к функции, когда начальное значение данной функции а равно нулю.
Примеры.
На оператор дифференцирования можно умножать не только
дифференцируемые функции. Произведение sa всегда имеет смысл,
безотносительно к тому, является ли а дифференцируемой функ-
функцией, недифференцируемой функцией (класса С) или же совершенно
произвольным оператором. Если умножение на s рассматривать
как обобщение дифференцирования, то можно сказать, что в области
операторов непрерывная функция (и даже любая интегрируемая
функция) дифференцируема (результат дифференцирования есть
оператор, но не обязательно функция).
Примечание. На первый взгляд может показаться, что для
вычислений удобнее ввести такой оператор s, умножение на который
любой дифференцируемой функции было бы в точности эквивалентно
ее дифференцированию, иначе говоря, что прибавление начального
значения является излишним. Легко, однако, заметить, что об.ыч-
ное дифференцирование не перестановочно с интегрированием
(в пределах от 0 до t). Если, например, мы сначала продифферен-
продифференцируем функцию {cos/}, а затем проинтегрируем, то получим
{f—1}; выполнив же эти операции в обратном порядке, получим

38 Ч. I, гл. III. Операторы
{cos/}. Однако требование, чтобы операторы дифференцирования
и интегрирования были перестановочны, s/ = Is, имеет решающее
значение для простоты операторного исчисления. А эта перестано-
перестановочность приобретается именно благодаря определению настоящего
параграфа.
§ 22. Степени оператора ?
Если функция a--^{a{t)} обладает второй производной а'— {ая(t)},
непрерывной в'интервале 0<^< оо, то, умножая обе части равен-
равенства B1.1) на s, получаем
и отсюда, применяя еще раз формулу B1.1) к производной а',
находим
Справедливо следующее общее предложение:
Если функция а = (a (t)} имеет п-ю производную a<"> =
непрерывную в интервале 0</ < оо, то
s"a = a<n>-f а<"-'>(())+ sa<"-2>@) + ... +s"-1a<0).
Для приложений этой формулы к решению дифференциальны$.,.храв-
нений целесообразно переписать ее в виде
= s"a- s«-la @) - ... — sa<n-2> @) - aO-1) @).
Упражнение. Проверить равенства:
A) s2{sin*} = l — {sin*}; B) s2 {cos/} = s — {cos t}.
§ 23. Полиномы от оператора ?
Важную роль в приложениях играют операторы вида
s«-4- . .. +alS-r a0> B3.1)
где a0, oij an — произвольные числа. Действия над этими
полиномами выполняются таким же образом, как и в элементарной
алгебре, например
Если два полинома от оператора s равны, то равны и соот-
соответственные коэффициенты, т. е. из равенства
B3.2)
всегда вытекают равенства
«„ = Р„. a«-i=-?«-i *i = Pi. «o=Po- B3.3)

§ 24. Связь s с показательной и тригонометрическими функциями 39
Действительно, умножая обе части B3.2) на /"+', имеем
т. е.
Отсюда, в силу хорошо известной теоремы для обыкновенных поли-
полиномов, вытекают равенства B3.3).
Упражнения. 1. Доказать формулу
1 о
2. Проверить, что при а = —^ ¦ справедливо равенство
Т*в* + б4 = Т4 1(S - аJ + а2] [(в + аJ + а2).
§ 24. Связь оператора ? с показательной функцией
Применяя формулу B1.1) к функции {еа1}, получаем
откуда
{^} = lir- B4.1)
В силу определения свертки,
о
вообще,
i {S} («=». 2. ...)• B4.2)
Эта формула является обобщением формулы Г= {tn~l/(п - 1)Ц,
которую мы вывели в § 8, и сводится к последней при a = 0.
§ 25. Связь оператора ? с тригонометрическими функциями
В силу известных формул Эйлера

40 Ч. I, гл. III. Операторы
имеем
sin Щ) = -^ {е(«+Р0' _ е(«-Р0<}, {е*< cos р/} = у
Используя B4.1), получаем
Таким образом, мы вывели формулы
B5.1)
Степени оператора l/[(s — aJ-r Pz] можно вычислять последова-
последовательным образованием свертки:
Общая формула довольно сложна. Мы дадим ее вывод в § 63
второй части.
Особо отметим частный случай формул B5.1) при <х = 0:
= { *¦ sin ?l] , ^ = {cos?/}.
Упражнение. Доказать формулы:
A) (__L_={^^sh^} (?>0); B)
§ 26. Рациональные выражения от оператора
Из алгебры известно, что каждое выражение

§ 26. Рациональные выражения от s 41
где То> • • •» Тт и ^о> • • •. 8„ —вещественные числа, разлагается на
элементарные дроби следующих типов:
1 1 s
(s — а)Р ' [(S — a
где а и Р —снова вещественные числа, а р — натуральное число.
Пользуясь методом предыдущего параграфа, можно выразить
дроби первых двух типов через показательную и тригонометри-
тригонометрические функции. В дробях третьего типа присутствует еще мно-
множитель s; они также приводятся к показательной и тригономет-
тригонометрическим функциям, а именно с помощью формулы B1.1). Напри-
Например, в равенстве
выражение в фигурных скобках равно нулю при t = 0, а его про-
производная имеет вид
и, следовательно,
Итак, каждое рациональное выражение B6.1) приводится раз-
разложением на элементарные дроби к показательной и тригоно-
тригонометрическим функциям. При разложении на элементарные дроби
лучше всего применять метод неопределенных коэффициентов, как
это делается в интегральном исчислении.
Примеры.
1. Вычислить ^гх1
Знаменатель разлагается здесь на два (различных) линейных
множителя: s и s + 2. Поэтому можно найти такие числа А и В,
что
s+l _А В
Умножая обе части этого равенства на s (s -f- 2), получаем
что справедливо в том и только в том случае, если А + В = 1
и 2Л=1, т. е. если А = 5=1/2. Отсюда
s+l _ 1 J_, J J
" s + 2"'s +

42 Ч. I, гл. III. Операторы
и окончательно
±LL_/±4 1
s2 + 2s- \2 ' 2
с i
2. Вычислить
(s— l)( )
Ищем такие постоянные А, В и С, чтобы выполнялось равенство
5s+ 3 Л , B(s+\) + C
Умножая обе его части на (s—I)(s2-f 2s + 5) и сравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях, находим
А~\, В=-\, С = 3.
Поэтому
5s + 3 Js+1 3
(s—I)(s2 +
= |e' - erl cos 2^ + -| erl sin 2/| .
3. Вычислить jjarn?-
Разлагаем на элементарные дроби:
1 _ Л В _, С , D
sBs+1K
8[л (s+-2-
Сравнивая в числителях коэффициенты при одинаковых ствщрйИХ S,
приходим к равенствам
О Г» | О /~> 1 _^ Л
Решая эту систему уравнений, находим:
Л 1 Д 1 Г 1
А—\, В——\, С = —-g
Поэтому
111 1

§ 26. Рациональные выражения от s 43
4. Вычислить
s. + 2s,_2sl_1 •
Пишем
2s6_2s2—1—(s—I
A ,e lCs±D,Es + F , Gs+Я
s—I s+1 s2+l "r(s2 +1J '
+ [(Cs^-D)(s2+lJ^-(?s^-F)(s2+l)-гGs
Сравнение коэффициентов дает равенства
0 = Л + Я-| С, O = 3i4-}-3fl-
Отсюда
Л=1,
и
—2s2—1 ~s—1 s+1 (s2+lK
Если т>п, то выражение B6.1) представимо в виде суммы
полинома от оператора s и дроби, в которой степень числителя
меньше степени знаменателя. После этого преобразования можно
уже применять метод разложения на элементарные дроби.
Пример.
Докажем еще следующую теорему.
Если
gmSm + . • • + <*о __ 7psP + • ¦ - + То
BnSn + ... + 30 Bqs« + ... + &о '
то для каждого числа ? (вещественного или комплексного), при
котором
Unjr---+ ?0 * 0, 8qS' + ... -I- 80 ф 0, B6.3)
имеет место равенство

44 Ч. I, гл. III. Операторы
Доказательство. Из равенства B6.2) вытекает, что
(amsm+ ... +а0) (8gs'-f • • • +80H(TpsP+ • • • +ъ) (P«s"+ • • • + Ро)-
Выполнив умножения, получим (слева и справа) полиномы от опе-
оператора s. В силу предложения § 23, эти полиномы имеют соот-
соответственно равные коэффициенты. Отсюда следует равенство
(атГ+ • • • +«oW«+ • • • +8о) = (Тр^Р+ • • • +То) (?„*" + • • • +Ро).
а ввиду B6.3), и равенство B6.4).
Упражнения. 1. Привести к показательным и тригонометрическим
функциям следующие выражения:
(•) 9Л=к-ГК: E)
F)
vv s«-16
D) "J ^ '^i-l ; (8)
2. Показать, что
B)
1'ФОУ.
E) -4-Ц=|-7-— Cch-^sin^-sh-^cos^^]- («,feO);
«.4+а4 \^2а'Ч /2 /2 /2 /2У/ '
<6> ^+e.-\^-5'
G)

Глава IV
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 27. Общий метод и примеры
Операторное исчисление дает удобные способы решения линей-
линейных дифференциальных уравнений. Особенно благодарное поле
для приложений представляют уравнения в частных производных.
Однако и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений
применение операторов имеет некоторые преимущества по сравне-
сравнению с классическими методами. Оно, не требуя построения спе-
специальной теории для этих уравнений, автоматически приводит их
к обыкновенным алгебраическим уравнениям как в однородном,
так и в неоднородном случае.
Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка п:
+ а„_ ,*»-•>+...Ч aox = /, B7.1)
где коэффициенты а0, av ..., ап(ап^ 0) — постоянные, а /—про-
/—произвольная непрерывная функция при t>0. Ищем решение x(t),
удовлетворяющее начальным условиям
В силу общей формулы (§ 22),
*(«> = snx - s«- be @) - ... - *<"-' > @),
уравнение B7.1) можно записать в виде
где
Pv = av+,To + av+2if1+...+an-)fn-v-i (v = 0, 1
Отсюда мы сразу получаем
_pn_lS"-»+ ...+p0 f
ansn+...+a9 ^

46 Ч. I, гл. IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Для того, чтобы получить решение в обычном виде, можно при-
применить разложение на элементарные дроби.
Вполне аналогичным способом можно решать системы диффе-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Х'п "Г «„Л -f • ¦ • + аппХп = fn-
Полагая
можно, пользуясь общей формулой x' = sx — x@), придать этой
системе вид
(<zu + s) хх + а12х2 +...-!- alnxn = Tl + fv
апЛ "Г «n2^2 "I" • ¦ ¦ + К„ + S) Хп = Tn + /„•
Для решения "этой системы можно применить определители
или же можно воспользоваться каким-либо другим классическим
методом решения систем алгебраических (линейных) уравнений.
Примеры.
1. Найти решение л:(?) дифференциального уравнения1),
x'-x = Bt-l)ei2,
удовлетворяющее условию х@) = 2.
Решение. Ввиду начального условия, имеем x' = sx — 2,
и следовательно,
s
где
/
Отсюда
= {еD е'2}.
Ч Если последовательно применять принятую в § 7 символику, то надле-,
жало бы писать
х'— х = {B/ — \)etz},
поскольку правая часть уравнения, так же как и левая, является функцией.
Однако для того, чтобы читатель мог привыкнуть к корректному применению
операторного исчисления в областях, где задачи поставлены не в операторной,
а в обычной символике, мы намеренно используем последнюю при формули-
формулировке задач, переходя к операторной форме лишь в процессе решения.

§ 27. Общий метод и примеры 47
2. Найти решение x(t) дифференциального уравнения
jk" + >.2* = 0, (КФО),
удовлетворяющее начальным условиям
*@) = а, х'@) = $.
Решение. В данном случае х" = s2x — as — р, значит,
откуда
3. Найти решение x(t) уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
6
as , 3 Г , , , В
s + -«-гтг = т а cos ^ г \ Sin '
Решение. Так как функция 2 в правой части уравнения
может быть источником недоразумений, перепишем это уравнение
в виде
Принимая во внимание начальные условия и соотношение
{2} = 2/ = 2/s, имеем, следовательно,
s2x — sx — 6х = s — 1 + 2 • —,
и отсюда
s2-s + 2 _ 1 1 _8_ _J_ 4
s(s—3)(s + 2) 3 s^15 s—3^ 5 s + 2
4. Найти решение уравнения
*"" + 2л-'6) — 2х" - х = О,
удовлетворяющее начальным условиям
х @) = Xя @) = х<4) @) = л:'6) @) = 0,
*'@) = 2, хC)@) = 2, х<5>@)=-1, л;17)@)=П.
Решение. Из операторной формы уравнения
s8x + 2sax - 2s2x - л; = 2se + 6s4 + 3s2 + 5

48 Ч. I, гл. IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
находим, принимая во внимание решение примера 4 § 26,
s2 + 5 f , _, 3/O ,,. . . . 9
5. Решить систему дифференциальных уравнений
х'-ах — Pf/ = Pea',
при начальных условиях
дс(О)-О,
Решение. Переход к операторной форме дает
Применяя теперь обычные методы решения систем алгебраиче-
алгебраических (линейных) уравнений, получаем
г_ 23
и значит,
6. Решить систему дифференциальных уравнений *)
предполагая, что
^@) = ^'(O)
Решение. Введем обозначение / = {th/}- Тогда

§ 27. Общий метод и примеры
49
и система может быть записана в виде
sx + sz — z = 0,
— О V 7QC ' у L (I г
~"~* оЛ ~~^ iiOfc ^ Л ", у — I j
2s2* + s2y+s2z + z = s2/ - 1.
Обозначая через D определитель этой системы, находим
s 0 s-1
1-s I -2s =s(s+l)(s2 + l);
2s2 s2 s2 +1
s—1
x = -
z =
и, наконец,
1
J
s2
s
1-
2s2
1
~D
1
0
/
/-1
s
. s2
s
— s
2s2
0
1
s2
0
/
/-1
0
1
s2
s-1
-2s
S2+l
s-1
-2s
s2+l
0
/
S2/-l
' L * J
s n s+lTs!
_s2_2s+l
— 1
1 s
s2+l
z = у {— e"( — sin / + cos ^}.
Упражнения. 1. Решить следующие уравнения при заданных началь-
начальных условиях:
A) х"—
B) () ()
C) х'" + лг'=е2'; лг(О) = лг'(О) = лг"(О)=О.
D) x" + x' = t* + 2f, х@)=4, лг'(О)=—2.
E) ^«> + x'" = cos/; х@)=х'@)=*"@)=0, лг'"(О) = т.
F) 4х"'— 8х'—х' — Злг=— 8е'; х@)=х'@) = лг* @)=1.
* Ян Минусинский

50 Ч. I, гл. IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
G) х^+4х = Р; х@) = х'@) = х"@) = х"'@) = 0.
(8) Х^+2а?х" + а.*х = сЪа1; х @) = х' @) = 1;
х" @) = 1 — 2а2, х" ' @) = — 2а2.
(9) xt5> + 2x'"-|-x' = ^ + 3sin<+-rcos<;
х @) = х' @) = х" @) = х"' @) = х<4> @) = 0.
A0) лг'—4x = sin-^-sin 4-*: х@) = 1, лг'@) = 0.
(Указание. Заменить произведение синусов разностью косинусов.)
2. Решить следующие системы уравнений при заданных начальных ус
виях:
A) х'— у'— 2лг + 2(/=1— 2t \ E) 2х'+у' — Зх =
дс'(О)=О. х@)=-1, х'@)=1.
B) х' = ~у, j F) дс'-
л: @) = t/@) = 1. х@) = 0, jc' @) = — I.)
C) x'±2y = 3t, \ G) x'—y—z,
х @)^2, t/ @) = 3. г' = х + г;
дс@) = 1. у@) = 2, г@) = 3.
' + у'—у = е* Л
' + j/' + 2(/ = cos^; /
v*) * ~t~ У —У —e у \°) л —UA '
(/'= —ix + iOy — 22z,
z' = — 6x + Ыу—31 z;
) = 5. г@) = 7.

Глава V
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 28. Замечания относительно приложений операторного
исчисления к задачам физики и техники
В приложениях операторного исчисления к задачам физики
и техники, где использование тех или иных обозначений освящено
традицией, некоторые затруднения могут возникнуть при коррект-
корректном переводе данных уравнений на операторный язык (символи-
(символику). С целью выяснения сомнений, которые могут здесь возник-
возникнуть, разберем для примера дифференциальное уравнение элект-
электрического тока
E, B8.1)
где L, R, Е и / означают соответственно индуктивность, сопро-
сопротивление, электродвижущую силу и ток; при этом предполагает-
предполагается, что L и R постоянны.
Предположим, что нужно определить ток /, когда даны L,
R и Е и известно, что в момент ^ = 0 ток равен нулю:
() = 0.
Имеем
LsI + RI^E, B8.2)
откуда
и окончательно
i
B8.3)
Если, в частности, электродвижущая сила постоянна, то мож-
можно эффективно выполнить интегрирование, и формула B8.3)
4*

52 Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
упрощается:
'-{^•ч-го-ы-И1---(-топ-
B8.4)
В этом случае можно с самого начала обращаться с буквой Е
как с числом, так же как с буквами R и L. Но чтобы правильно
провести вычисления, нужно видоизменить операторное уравнение
B8.2). В самом деле, если мы считаем L, R и Е числами, то,
уточняя исходное уравнение B8.1), следует написать
Тогда в сокращенной операторной символике имеем (ввиду
условия /@) = 0)
Lsl + Rl = E~, B8.5)
и отсюда
Таким образом, мы другим путем получили тот же результат
B8.4), избежав при этом интегрирования.
Обратим внимание на то обстоятельство, что мы получаем
различные операторные уравнения B8.2) или B8.5) в зависимо-
зависимости от того, считаем ли мы Е функцией или же числом. Как
видно из приведенного выше примера, корректное введение опе-
операторной символики требует тщательного различения используе-
используемых букв. В сомнительных случаях удается всегда избежать труд-
трудностей, если с самого начала в исходном уравнении явным обра-
образом показать, где имеется переменное t. Желая, например, при-
¦нять во внимание переменность электродвижущей силы, мы запишем
уравнение B8.1) сначала в виде
Если же предположить, что электродвижущая сила постоянна,
то можно писать
{U'(f) + RI(t)} = {E}.
Вводя в первом случае обозначения /={/(?)}, [' = {I'(t)} и
.? = {?(/)}, имеем
I' RI E, B8.6)
во втором же случае {?} = ?•— и, следовательно,
S
S
E
. B8.7)
5

§ 29. Электрическая цепь 53
Пользуясь, наконец, равенством Г = sl — I @) = si, приходим
к равенству B8.2) и соответственно B8.5). При небольшом срав-
сравнительно навыке можно сразу писать уравнения в операторной
форме; следует лишь выявлять, какие из букв считаются функ-
функциями, а какие числами.
Обратим внимание на то обстоятельство, что операторное урав-
уравнение B8.6) формально тождественно исходному уравнению B8.1),
уравнение же B8.7) отлично от них. Объясняется это, очевидно,
тем, что в уравнении B8.6) мы обращаемся с символом Е как
с функцией, а в уравнении B8.7) как с числом.
Заметим еще, что, например, при переменном сопротивлении
R уравнение B8.1) уже не приводимо к операторной форме. Это
сразу же выявится, если написать
Выражение {R(t)-I(t)} нельзя записать в виде/?/, так как в опе-
операторном исчислении это означало бы свертку I \ R(t — т)/(т)dx\ .
о J
Можно вообще доказать, что если коэффициенты дифференциаль-
дифференциального (линейного) уравнения не постоянны, то оно операторной сим-
символикой не приводится к алгебраическому уравнению, как это
имеет место в случае уравнений с постоянными коэффициентами.
§ 29. Электрическая цепь
Дадим теперь решение более общей задачи. В электрическую
цепь (фиг. 5) с индуктивностью L, сопротивлением R и емкостью
С включаем э. д. с. (электродвижущую силу)
Е. Если / обозначает ток, a Q—заряд на обклад-
обкладках конденсатора, то имеют место следующие
дифференциальные уравнения:
-? = ?, Q' = /,
Фиг. 5. Электриче-
где знак ' означает дифференцирование по екая цепь.
времени t.
Записывая эти уравнения в операторной форме, имеем
() и Q@) — ток и заряд в момент ^ = 0). Исключая отсюда Q,
получаем уравнение
^) ^. B9.1)

54 Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
§ 30. Нулевые начальные условия
Предположим теперь, что начальный ток и начальный заряд
равны нулю. Тогда уравнение B9.1) приводится к виду
= E. C0.1)
Допустим, что в момент t = 0 в цепь включается постоянная э. д. с.
Ео. Имеем тогда Е = E0/s и
а отсюда
/ =
где
Ео
Легко проверить [см. B5.1), B4.2) и упражнение § 25], что
! < fe'
> 0I
\
= 0) \.
I
Отсюда легко получаем соотношения:
(I) при и > 0
(II) при (i = 0
(III) при р. < 0
Рассмотрим еще общий случай, предполагая, что в момент
0 включается произвольная э. д. с. E = {E(t)}.
Уравнение (ЗОЛ) дает

§ 31. Ток короткого аамыкания
55
Поскольку [ср. B5.1), B4.2) и упражнения § 25]
e-atcos\/"pt (p. > 0)
(,u = 0)
,-at
имеют место формулы:
(I) при |*>0
t
(II) при fi = 0
(III) при
§ 31. Ток короткого замыкания
В предыдущем параграфе мы предполагали, что /@) = 0
и Q@) = 0. Теперь же мы делаем допущение, что /@) и Q@)
произвольны, а Е = 0. Это соответствует предположению, что цепь
замыкается накоротко в момент t = 0 без включения какой-либо
э. д. с. Назовем ток, проходящий тогда через цепь, током корот-
короткого замыкания и обозначим его через 7.
Ток короткого замыкания удовлетворяет уравнению
и имеет, следовательно, вид
-
C1.2)
Можно также написать
где
L LC
S + a
a и р. заданы равенствами C0.2).

56 Ч. 7, гл. V. Теория электрических цепей
В силу соотношений, приведенных в предыдущем параграфе,
отсюда сразу же находим ток короткого замыкания:
(I) при (I > О
7 (t) = / @)е-«« cos Vv-t - ~e~at sin
V (*
(И) при ji = 0
7@ = (/@)-И) е-";
(III) при ^ < 0
Эти результаты справедливы в предположении, что L > 0.
Если
V —(X
полож
и С>0,
то
Г-
"" C/?f-t-l '
и отсюда
Если в цепи нет конденсатора, то вместо C1.1) имеем уравнение
что отвечает предположению С = со . В этом случае
Г- L/(°>
и, значит,
Легко заметить, что в предположении R > 0 во всех разобран-
разобранных случаях ток короткого замыкания убывает к 0 как показа-
показательная функция. Сомнение в этом может возникнуть лишь в слу-
случае (Ш)- Однако здесь достаточно проверить, что при р. < 0
ch V^V-1 = y
и что

§ 31. Ток короткого замыкания 57
Убывание тока короткого замыкания понятно, ибо внутри рассма-
рассматриваемой цепи нет никакой э. д. с; наличный же ток расходует-
расходуется неизменно на преодоление сопротивления.
В некоторых расчетах полагают /? = О, когда сопротивление
цепи мало. Это приближение лишь в том случае оправдано, если
прохождение тока изучается в течение короткого времени. Если
R = Q, L>0 и цепь имеет конденсатор, то, в силу формулы
C1.2),
4@)-Ш
^ 3
и, значит,
или
где
= 1@)cos-±=-^l sin-/=,
Ylc Ylc Ylc
В этом случае ток короткого замыкания синусоидален.
Если же# = 0, L>0 и в цепи отсутствует конденсатор, то
вместо C1.1) имеем уравнение
Ls7=L/@),
и отсюда
т. е.
для любого t > 0. В этом случае ток короткого замыкания посто-
постоянен.
Рассмотрим еще цепь с конденсатором без сопротивления и без-
индуктивности. В этом случае C1.1) формально приводится к виду
_L>- 0@)
Cs1" Cs '
т. е. мы имеем
7=-Q@). C1.5)

58
Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
Оператор / является в этом случае числом*). Но и теперь
можно току короткого замыкания придать некоторый интуитив-
интуитивный смысл. С этой целью рассмотрим сначала цепь с конденса-
конденсатором и сопротивлением; тогда ход явления описывается равенст-
равенством C1.3). Фиг. 6 изображает прохождение тока короткого замы-
замыкания для различных сопротивлений при постоянной емкости и
постоянном начальном заряде. Очевидно, что чем меньше сопро-
сопротивление, тем больше в начальный момент ток, но тем скорее он
исчезает. Объясняется это тем обстоятельством, что при меньшем
сопротивлении быстрее разряжается конденсатор. При # = 0 имеем
короткое замыкание и конденсатор разряжается мгновенно, давая
в начальный момент бесконечно большой ток, который тотчас же
падает до нуля. В действительности такие условия могут быть
осуществлены лишь приближенно, так как каждая цепь обладает
некоторым, хотя бы очень малым сопротивлением. Тем не менее
обобщение понятия тока короткого замыкания на случай, когда
активное сопротивление R равно нулю, дает большие вычисли-
вычислительные преимущества и допускает в расчетах единообразную
трактовку всех случаев.
В приложениях важен случай, когда /@)=0 и Q@) = 0: в
момент ? = 0 нет тока и все конденсаторы разряжены. Тогда из
формулы C1.2) вытекает, что ток короткого замыкания с самого
начала равен нулю.
Примечание. Уравнение C1.1) теряет смысл, когда С — О.
Но этот случай никогда не реализуется, так как в цепи с конден-
') Из следующих ниже рассуждений автора вытекает, что ток / имеет
импульсивный характер. Так как — Q@) есть число, а не функция, то оно
представляет величину импульса тока / [см. соответствующее определение
величины импульса для напряжения (э. д. с.) в § 40, а также § 13, ч. II].
Импульсивный характер тока / выражается также представлением / =
¦= — Q @) s {1}= — s {Q @)}. — Прим. перев.

§ 33. Синусоидальные токи 59
сатором всегда С > 0, цепи же без конденсатора отвечает значе-
значение С = оо. Роль параметров электрической цепи была бы более
симметричной, если бы вместо емкости конденсатора ввести ее
обратное значение 1/С. Однако мы сохраним традиционные обо-
обозначения.
§ 32. Импеданс
Используя понятие тока короткого замыкания, можно уравне-
уравнению B9.1) придать вид [см. C1.1)]
^) /-/) = ? C2.1)
и, вводя обозначение
записать это уравнение еще проще:
Z(/-7) = ?. C2.2)
Оно является основным уравнением электрической цепи. В слу-
случае, когда ток короткого замыкания равен нулю, уравнение упро-
упрощается и принимает вид
ZI = E. C2.3)
Оператор Z будем называть импедансом (операторным сопротив-
сопротивлением) цепи, составленной из последовательно соединенных индук-
индуктивности, сопротивления и емкости. Импеданс дает полную харак-
характеристику динамических свойств цепи, а ток короткого замыка-
замыкания характеризует ее начальное состояние.
Импеданс Z является в некотором смысле обобщением понятия
импеданса (полного сопротивления) теории синусоидальных токов,
которые мы рассмотрим в следующем параграфе.
§ 33. Синусоидальные токи
В приложениях очень существенен случай, когда э. д. с. за-
задана функцией
Е (t) = Ех cos (at — E2 sin (at,
или в операторной символике
F — El$~~ EiU>
Число со называется угловой частотой э. д. с.
Предположив, что ток короткого замыкания равен нулю, мы бу-
будем иметь уравнение

60 Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
и, следовательно,
. _ ?,S— ?2ta I _ /]S —/2ta As+B ,00 1 ч
l 2 *~ " 1 ~~ s2 + cu2  " Г" \О0Л)
где постоянные Ilt I2, А и В определяются обычным способом.
Вводя обозначения
получаем
Ток /р имеет вид, аналогичный току короткого замыкания, и
быстро убывает к нулю (в предположении R >0). Через неко-
некоторое время в цепи будет протекать только синусоидальный ток
/и, который называют установившимся (или принужденным)
током. Ток этот не затухает, что сразу станет очевидным, если
записать его в обычной форме:
/и (/) = /2 cos Ы — /2 sin Ы.
Ток /р для отличия называют преходящим (или свободным) током.
На практике чаще всего нужно лишь найти установившийся ток.
Тогда вычисление коэффициентов Л и В в соотношении C3.1)
становится излишним. Для определения /х и /2 напишем
/lS-/,« + К(s2 + <»2) - ?lS~?2t°n • C3.3)
Это равенство, являясь следствием соотношений C3.1) и C3.2),
останется справедливым, если вместо s мы подставим произвольное
число, которое не обращает в нуль знаменатель в C3.3) (см. § 26).
В частности, если вместо s мы подставим, например, со/, то множи-
множитель при /р будет равен нулю, и после деления на ш получим
окончательно
+ »'/,= ?l + '?a . C3.4)
Отсюда приравниванием вещественной и мнимой частей в обеих
частях равенства легко вычисляются 1г и /2:
где

§ 33. Синусоидальные токи 61
В приложениях более важным является вычисление других пара-
параметров, которые мы рассмотрим ниже.
Э. д. с E(t) может быть представлена в виде
?(/) = ?„ cos
где
Е0 = УЩ+Щ, tgcp = |?.
Число Ео называют амплитудой, а ср фазой э. д. с. Аналогично
можно представить ток:
Ео называют ам
представить ток:
где
Величина /0 есть амплитуда, а ф фаза тока. При данной частоте
э. д. с. ? и ток /„ полностью характеризуются своими амплиту-
амплитудами и фазами. В обозначениях, приведенных выше, имеем
Ех + iE2 = Е ое!<?,
а также
где
Уравнение C3.4) принимает тогда вид
Zoe^-Ioe^=--Eoe
и, следовательно,
<р- C3.5)
Величина Zo называется обычно импедансом, или полным (или
кажущимся) сопротивлением. Так как выше наименование импе-
импеданса было введено в другом смысле, то для Zo мы будем поль-
пользоваться термином полное (или кажущееся) сопротивление1).
Величину 0 назовем углом сдвига.
¦*) Оператор Z в уравнении C2.3) и число Zo в уравнении C3.5) играют
аналогичную роль. Однако в то время как оператор Z характеризует все
Динамические свойства цепи и применим к токам всех родов, число Zo
позволяет вычислить лишь амплитуду тока постоянной частоты (когда
известна амплитуда э. д. с.) и не принимает во внимание, например, угол
сдвига. По этой причине можно импеданс Z считать обобщением понятия
полного (кажущегося) сопротивления Zo. (Карслоу и Егер [6], гл. II.)

62 Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
Для того, чтобы найти амплитуду установившегося тока, до-
достаточно разделить амплитуду э. д. с. на полное (кажущееся)
сопротивление. Фазу тока находим вычитанием угла сдвига 0 из
фазы э. д. с. ср.
Применение комплексных чисел к вычислению установившихся
токов хорошо известно электротехникам. Как мы видели, этот
метод легко и естественно возникает в операторном исчислении.
Заметим еще, что с такой же пользой можно было бы в урав-
уравнении C3.3) заменить s числом —cot (вместо ин). Однако тогда
формальные вычисления отличались бы (в несущественных подроб-
подробностях) от традиционных вычислений.
Для вычисления полного тока / необходимо еще определить
преходящий ток /р. Формула C3.3) дает
Но соотношение C3.4) можно переписать в виде
Откуда, приравнивая вещественные и мнимые части, получим
Подставляя эти значения в формулу C3.6), находим после неко-
некоторых упрощений
>Cs
Преходящий ток совпадает, таким образом, с током короткого
замыкания, у которого начальный ток равен — Ilt а начальный
заряд (на конденсаторе) равен — /2/и>.
Если, сверх того, в момент t = О существуют некоторые на-
начальный ток /@) и начальный заряд Q@) на конденсаторе, то
полный ток будет состоять из трех частей:
где ток / задан формулой C1.2)х).
!) Когда ТфО, преходящим током будет ток 1р+1.~-Прим. перев.

§ 35. Мостик Уитстона
6S
Так как токи 1р и / имеют одинаковое строение, то для подсчета
/ достаточно вычислить установившийся ток /и и прибавить к нему
ток короткого замыкания, соответствующий начальному току
/@) — /i@) и начальному заряду Q@) —/2/ш.
§ 34. Законы Кирхгофа
Составление уравнений для токов в электрических цепях опи-
опирается на законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма всех
токов, притекающих к любой точке цепи, равна нулю.
Фиг. 7. Первый закон Кирхгофа.
Второй закон Кирхгофа. Для каждого замкнутого
контура цепи алгебраическая сумма падений напряжения в от-
отдельных ветвях контура равна нулю.
и.
и,+иг-о
Фиг. 8. Второй закон Кирхгофа.
§ 35. Мостик Уитстона
Простой пример применения законов Кирхгофа представляет
собой мостик Уитстона, изображенный на фиг. 9.
Согласно первому закону Кирхгофа, для узлов В, D и F
справедливы уравнения
/4-/ = 0. C5.1)
В силу же второго закона Кирхгофа, для контуров BDH, DFH^
и BHFK. имеют место уравнения
' -E = 0. C5.2)

V. /, гл. V. Теория электрических цепей
Токи короткого замыкания для всех ветвей1), за исключением
DH, содержащей гальванометр, равны нулю. Итак, имеем равенства
Ag(Ig-Tg) =
C5.3)
где Ад означает импеданс гальванометра G. Подставив C5.3)
в C5.2), получим уравнения
C5.4)
RJi-R3I3-Ag(Ig-7g) = 0,
Из уравнений C5.1) и C5.4) находим, что
, Е (RjRt — /?,/?а) + Ад!д (/
4 + RlR3Ri
4 + Ад
В предыдущих вычислениях можно, очевидно, не прибегая к уравне-
уравнениям C5.2) и C5.3), сразу написать уравнения C5.4), что не
представляет никаких трудно-
трудностей.
Допуская, что в момент * = 0
заряд в гальванометре G и прохо-
проходящий через него ток равны нулю,
мы будем иметь 1д — 0. Если мы
потребуем еще, чтобы было 1д = 0,
то получим известное условие рав-
равновесия
D Г) Г) г) г\ /Q? ?.\
+ Е — I К с
Ьсли дело исключительно в том,
Фнг. 9. Мостик Унтстона. чтобы найти условия равновесия,
то вычисления можно значительно
¦сократить, полагая с самого начала, что Л, = 0 и fg = 0. Тогда
/1=/4, 12 — 13
и для контуров BDH и DFH справедливы уравнения
из которых исключением /х и /2 сразу получается равенство C5.5).
х) Под током короткого замыкания ветви мы понимаем ток, который
.прошел бы через нее, если бы концы ветвн были замкнуты накоротко.

§ 36. Мостик Андерсона
65
§ 36. Мостик Андерсона
Рассмотрим мостик Андерсона в качестве нового примера
приложения законов Кирхгофа. Это прибор, который позволяет
измерять индуктивность с помощью известных сопротивлений
и емкостей.
Схема соединений приведена на фиг. 10. Катушку, индуктив-
индуктивность которой нужно измерить, подключаем к зажимам В и D.
К зажимам В и F подключаем батарею постоянного напряжения
и регулируем сопротивления
Rv ^2 и К* (в зависимости от
сопротивления исследуемой ка-
катушки), так чтобы гальванометр G
не показывал прохождения тока.
Так как при постоянном напря-
напряжении через отрезок FM не про-
проходит ток, то рассматриваемая
схема действует, как мостик Уит-
стона, и,следовательно, справед-
справедливо равенство
RlRA-RR, = 0. C6.1)
Подключим теперь К заж
В, F произвольную переменную
э.д.с. и отрегулируем конденсатор так, чтобы гальванометр не
показывал тока. Предполагая, что в момент включения ^ = 0
в цепи не было никаких токов и зарядов (этого можно добиться,
например, мгновенным соединением узлов В и F перед включе-
включением переменной э.д.с), имеем, согласно законам Кирхгофа,
следующие уравнения для узла Н и контуров BDMH, DFM
и FMH:
фиг- 10- Мостик Андерсона.
Исключая из этих уравнений /, Ilf /2, /3 и принимая во внима-
внимание соотношение C6.1), мы легко приходим к равенству
L^C.^{RtR2 + R,R3 + R2Ra).
вычисления действительны не только для токов постоянной
частоты, но и для совершенно произвольных переменных токов
Ян Минусинский

66
Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
Отсюда, например, следует, что, не имея под рукой источника
переменного тока, можно измерить индуктивность с помощью
постоянного тока, включая и выключая его через короткие цц.
тервалы времени.
§ 37. Общие замечания о составлении уравнений для токов цепи
Цепь, изображенная на фиг. 11 (соответствующая, например,
мостику Уигстона), имеет шесть ветвей, которые обозначены
цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Желая определить токи, проходящие
в отдельных ветвях, мы должны составить Шесть уравнении.
Цепь имеет четыре узла: В, D, F и Н, и для них, таким
образом, можно составить (в силу первого закона Кирхгофа)
четыре уравнения
В: _^_/2 + /в = о
D: 1,-1,-1,^0,
Я: /,+¦/, + /, = О,
Складывая эти четыре уравнения, получаем 0 = 0. С физиче-
физической точки зрения это и полятно, ибо сумма токов, притекающих
6
Фиг. 11.
к узлам, должна равняться нулю, если из схемы никакие токи
не уходят во внешнюю среду. Следовательно, каждое из напи-
написанных уравнений вытекает из трех остальных. Поэтому одно
из них (любое) можно опустить, и останутся лишь три уравнения.
Сверх того, в цепи можно выделить семь замкнутых кон-
контуров: BDH, DFH, BHF, BDF, BDFH, BDHF и BHDF, для
которых опять имеем семь уравнений (в силу второго закона
Кирхгофа). Из них можно четыре условия отбросить по соображе-
соображениям, аналогичным предыдущим. Таким образом, останется шесть
уравнений, т. е. в точности столько, сколько имеется неизвестных-

§. 37. Общие аамечания о составлении уравнений
67
Рассмотрим теперь более сложную схему (соответствующую
мостику Андерсона), изображенную на фиг. 12. Здесь мы имеем
восемь ветвей и восемь, вообще говоря, различных токов.
Для пяти узлов В, D, F, Н и М имеется пять уравнений,
из которых одно можно отбросить, так что остаются четыре
уравнения. Так как нужно определить восемь токов, то следует
написать еще четыре уравнения. В то же время в рассматривае-
рассматриваемой схеме можно указать целых тринадцать замкнутых контуров
DFHM, DFM, FHM, BHF, BDF,
BDMH, BDFH, BDMFH, BDFMH,
BHMF, BDMF, BDMHF, BHMDF.
Из этих контуров надлежит выбрать четыре. Как это сделать?
Для плоских схем, т. е. таких, в которых провода не скре-
скрещиваются, можно дать простое указание: достаточно взять кон-
контуры, не содержащие внутри уже ни-
никаких проводов. В нашем случае име-
имеются четыре таких контура
DFM, FHM, BDMII, BHF,
а значит, в точности столько, сколько
нужно. Это не единственное решение,
но во всяком случае одно из наибо-
наиболее удобных.
Аналогично для схемы, изображен-
изображенной на фиг. 13, имеющей шесть уз-
узлов, можно написать уравнения для каких-либо пяти из этих
узлов и четыре уравнения для контуров I, II, III и IV. Общее
число уравнений составит тогда 5 4 4 = 9 и в точности будет
равно числу ветвей.
Тетраэдр
Пирамида
ч>иг.
Призма
Изложенный метод связан с теоремой Эйлера, которая утвер-
дает, что во всяком многограннике сумма вершин и граней
j/iBna числу ребер, увеличенному на 2. В самом деле, каждую
0СкУю схему (т. е. не имеющую скрещивающихся проводов)
5»

68
V. /, гл. V. Теория электрических цепей
можно представить себе как многогранник, вершины которого
являются узлами цепи, грани - контурами цепи, а ребра -ее
ветвями. Гранями следует считать только те контуры, которые
не содержат внутри никаких ветвей и, кроме того, еще один
контур, который мы до сих пор не принимали во внимание
содержащий внутри все ветви цепи. Контурам, изображенным
на фиг. 11, 12 и 13, отвечают многогранники: тетраэдр, пирамида
и призма (фиг. 14).
Существуют схемы, которые нельзя нарисовать па плоскости
без скрещивания проводов. Простейшая цепь этого рода имеет
девять ветвей и изображена на фиг. 15.
Этой цепи не соответствует никакой
многогранник. В этом случае доста-
достаточно написать уравнения для пяти
из шести существующих узлов и
четыре уравнения для контуров
ACD, BCD, AFDE, BFDE.
Общее правило составления } рав-
равнений для неплоских схем было бы
значительно сложнее. Во всяком слу-
случае следует составить уравнения для
всех узлов, за исключением одного,
фAГ 15 а затем, руководствуясь лучше всего
интуицией, составить уравнения для
контуров, число которых равно1 числу ветвей цепи минус число
уже написанных уравнений. При некотором навыке можно, оче-
очевидно, вводить отдельные вычислительные упрощения. Приложимы
и любые другие вычислительные методы, применяемые электро-
электротехниками, например метод контурных токов.
Упражнения I. Определить ток / в цепях, изображенных на
фиг. 16 и 17.
с
-ft-
+ Б -
Фиг. 16.

§ 38. Импеданс и ток короткого аамыкания
69
2 Найти условие для того, чтобы в цепн, изображенной на фиг. 18,
ьванометр G ие показывал никакого тока при любой переменной э. д. с,
Фиг. 18. Фиг. 19.
3. Составить уравнения для токов цепи, изображенной на фиг. 19.
§ 38. Импеданс и ток короткого замыкания сложных цепей
Простейшую цепь, составленную из последовательно соеди-
соединенных индуктивности L, сопротивления R и емкости С (фиг. 20),
Л~ Д с
—ПР- П и
v LJ II
i,
к
г,
Фиг.20. Элементарная цепь.
Фиг. 21. Параллельное соеди-
соединение.
будем называть элементарной цепью. Такая цепь имеет импе-
импеданс
Cs
Соединим параллельно две элементарные цепи с импедан-
сами Zj и Z2 (фиг. 21). Если подключить э. д. с. ? к концам Vn
и "% сложной цепи, то будут иметь место уравнения
C8.1)
Е, C8.2)
Е, C8.3)

70 Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
где "Л и /2 означают токи короткого замыкания в отдельных
цепях.
Умножив обе части уравнения C8.2) на \\ZX и прибавив к ним
соответствующие части уравнения C8.3), умноженные на 1/Z2,
получим ввиду C8.1) равенство
. C8.4)
Вводя операторы Z и 7, определенные формулами
тЧг+i- 7=71+'".. <38-5>
можно записать равенство C8.4) в виде
Это соотношение формально тождественно с формулой C2.2).
Поэтому естественно назвать оператор Z импедансом, а / током
короткого замыкания параллельного соединения, приведенного
на фиг. 21. Соотношения C8.5) позволяют эффективно вычислить
Z и 7. А именно, записав
будем иметь
z=7^=—^ ^^ ^,Vr- C8-6>
Зная начальные токи /х@) и /2@) в отдельных элементар-
элементарных цепях, а также начальные заряды Qx@) и Qa@) на их кон-
конденсаторах, имеем
L]/l (o)_^J2> щ2 (о) _??Ж
'i= ]— • У2 = ,—.
и, следовательно,
7_Ll/l@)—c^~
i
Из формулы C8.6) вытекает, что цепь, изображенную на фиг. 21,
можно только тогда заменить эквивалентной ей элементарной
цепью, когда произведение трехчленов
+ ^l- C8.7)
делится без остатка на их сумму.

§ 38. Импеданс и ток короткого замыкания
71
Пример. Обозначив через Z импеданс цепи, приведенной
на фиг. 22, имеем
1 ! '
L L
с я.
Фиг. 22.
Фиг. 23. Последовательное соеди-
соединение.
и отсюда
Числитель в том и только том случае делится (без остатка) на
знаменатель, когда их коэффициенты пропорциональны:
LR,_T + RRl __ R
L * R + Rl I '
Из этого условия нетрудно получить, что
Когда эти соотношения имеют место, Z = R и рассматриваемая
цепь действует как чистое омическое сопротивление.
Соединим теперь последовательно две элементарные цепи
(фиг. 23) и к концам Vt и V2 подключим э. д. с. Е. Если /х и У2 —
токи короткого замыкания отдельных цепей, то для всей цепи
имеем уравнение
Z1(/-71L-Z2(/-72) = ?
или
C8.8)
Вводя обозначения
можно записать
()
В этом случае импеданс сложной цепи есть сумма импедансор
отдельных элементарных цепей.

72
Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
Если значения начальных токов в этих цепях равны /х@)
и /2@), а начальных зарядов Q1@) и Q2@), то формулу для то-
тока короткого замыкания можно написать в виде
г
>^-. C8.9)
Фиг. 24.
Пример. Постоянная э. д. с. E—tJs включена в цепь,
приведенную на фиг. 24, а. Через некоторое время в ветвях
АВ и BD установятся токи
а на конденсаторе появится заряд
После того как токи установятся, прервем в момент t = 0 соеди-
соединение в точке К (фиг. 24, б). Тогда в цепи пройдет ток, кото-
который, согласно формуле C8.9), имеет вид
L\S —
l •
С,
Вообще, будем говорить, что данная цепь, обладающая дву-
двумя входами, имеет импеданс Z и ток короткого замыкания Т,
если после включения э. д. с. (фиг. 25) проходит ток /, удов-
удовлетворяющий уравнению
Z (/-/) = ?. C8.10)
Если цепь очень сложна, то и ее импеданс, и ток короткого
замыкания могут выражаться операторами большой сложности.
Если в момент t = 0 ни в одной ветви цепи нет тока и ни один
из ее конденсаторов не заряжен, то ток короткого замыкания,
очевидно, равен нулю и вместо уравнения C8.10) имеем

§ 38. Импеданс и ток короткого замыкания
73
Если известны импеданс и гок короткого замыкания, то полно-
полностью известны все динамические свойства рассматриваемой цепи,
а также ее начальное состояние, и можно всегда предвидеть ее
поведение в целом, не зная подробностей ее внутреннего устрой-
устройства.
|— Z,/ —,
'—©—'
Фнг. 25.
2,
24
1 ¦ '
Фиг. 26.
Пример. Найти гимпеданс цепи, изображенной на фиг. 26,
зная импедансы отдельных ее ветвей.
Параллельное соединение ветвей 1 и 2 дает импеданс
а последовательное соединение с ветвью 3 — импеданс
Ветви 1, 2 и 3 в целом параллельно соединены с последователь-
последовательно соединенными ветвями 4 и 5, которые вместе обладают импе-
импедансом Z4 + Z5. Отсюда следует, что- импеданс всей цепи будет
иметь вид
Фиг. 27.
Фиг. 27 изображает цепь, которая не является комбинацией
последовательных и параллельных соединений. Для того, чтобы
иайти импеданс и ток короткого замыкания такой цепи, мы долж-
должны прямо исходить из законов Кирхгофа.

Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
Так как параллельные и последовательные соединения все же
очень существенны, то мы их сопоставляем на фиг. 28. Следует
заметить, что приведенные здесь формулы справедливы при произ-
произвольных импедансах, а ие только для элементарных цепей.
г
—j
L
—ил
¦Hi
1
p
J
J.-X+X
Z"Z, Z2
z = z,+z2
Г= г, * 1г
Фиг. 28.
Упражнения. 1. Найти импедансы и токи короткого замыкания для
схем, приведенных на фиг. 29 и 30, зная импедансы и токн короткого замы-
замыкания отдельных ветвей.
Фиг. 29.
Фиг. 30.
2. Найти импедансы схем, приведенных на фиг. 31—33, зная импедансы
отдельных ветвей.
3. Найти импеданс цепи, приведенной на фиг. 27.
4. Привести схему, которая имела бы импеданс
4Bs + 5)
Является ли решение единственным'

§ 39. См/чай сунуюидальной э д с 75
§ 39. Случай синусоидальной э. д. с.
Когда э. д. с. синусоидальна,
F_ E,s — ?>
уравнение C8.10) имеет вид
Импеданс Z = Z(s) является рациональным выражением от s.
В последующих вычислениях понадобится явный вид этого опе-
оператора. Имеем
и отсюда
/ = /„ + /„ + /. C9.2)
где
г /lS—/2Ш
а /р есть рациональное выражение от оператора s, которое, как
мы предположим, в знаменателе не должно иметь множителей
вида s2 + ш2.
Установившийся ток 1и найдем, применяя тот же метод, что
и в § 33. Формулы C9.1) и C9.2) дают
Если мы в этом равенстве вместо оператора s подставим число
u>t, то получим (после деления на W)
Вводя обозначения
имеем соотношение
Эти вычисления являются обобщением вычислений § 33. Полное
сопротивление Zo и теперь равно модулю комплексного числа,
которое получается из импеданса заменой оператора s на ш:
Угол сдвига 9 равен аргументу этого числа

76
Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
Примечание. В предшествующем рассуждении мы предпо-
предполагали, что в знаменателе рационального выражения (несократи-
(несократимого), соответствующего току /р, нет множителей s2 + u>2.
Это допущение будет обосновано, если
мы примем, что во всех контурах рассмат-
рассматриваемой цепи существуют определенные,
хотя бы и очень малые сопротивления. Это
же замечание относится и к рациональному
выражению, соответствующему току корот-
короткого замыкания.
Пример. Найти установившийся ток,
который получается в цепи, приведенной на
фиг. 34, когда к ней подключается синусоидальная э. д. с.
(амплитуды ?9 и фазы ср).
Импеданс Z этой цепи удовлетворяет соотношению
Фиг. 34.
±
Z
±
1
Rt +
Cs
и, следовательно,
Отсюда получаем полное сопротивление
7 -I
0 i
а также угол сдвига б,
Искомый ток имеет амплитуду /0 = EojZo и фазу ф = <р — 9.
Упражнение. Найти установившиеся токи, которые получаются
в цепях, изображенных на фиг. 35 — 37, при включении синусоидальной э. д. с.
с амплитудой ?0 и фазой <р.
Фиг. 36.
I rjp,—I
L
Фиг. 37.

§ 40. Импульс 9. д. с. 77
§ 40. Импульс э. д. с. и его применение к измерениям
импеданса
Под импульсом э. д. с. будем понимать э. д. с. Е = {ЕA)}
постоянного знака, действующую короткое время и затем пол-
полностью исчезающую. Если импульс длится в интервале времени
О < t < е, то ?@ = 0 при />?»).
Интеграл
¦it)dt
назовем величиной импульса.
Если J = {J (t)} есть любая функция с, непрерывной про-
производной, то, в силу теоремы о среднем значении, имеем
для t > e
t
{t - т) Е (z) dr. = [j (*-¦:) Е (т) d~ = EJtfJ = EJ{t)—(t-l,)EJ'(k),
о
где t - г < ?t < ? < t.
Отсюда видно, что если е убывает к нулю, а величина Ё импульса
t
остается одной и той же, то в пределе свертка W (t — г) Е (t) dx
"о
стремится к произведению EJ (t). Вследствие этого, в приближен-
приближенных вычислениях всегда можно заменить EJ на EJ, где значе-
значение Ё рассматривается как число. Сделанная при этом погреш-
погрешность по абсолютному значению меньше, чем еЁМ, где М— мак-
максимум абсолютного значения производной ./' (/). Чем меньше вре-
время е, тем меньше погрешность.
Само число Ё можно интуитивно рассматривать как идеальный
импульс, для которого начальное напряжение равно Ё-со
и мгновенно снижается до нуля. Понятие идеального импульса
не приспособлено к вычислениям обычного анализа, но зато пре-
прекрасно улавливается операторным исчислением, где идеальному
импульсу отвечает числовой оператор, или просто число (равное
величине импульса). Такой подход дает большие вычислительные
преимущества, ибо разрешает отвлечься от несущественных в не-
некоторых задачах величин, как, например, от длительности г им-
импульса и от его формы в интервале 0 < / < е.
J) В § 13 ч. II мы рассмотрим и импульсы, произвольно смещенные по
времени.

78 Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
Обратная к импедансу величина {операторная проводимость)
является, за исключением некоторых особых случаев, функцией
переменного t. Например, для импеданса Z = Ls -| R имеем
Если в цепь с импедансом Z и током короткого замыкания
/=0 включить импульс э. д. с. величины Ё, то получится ток
/ = —
Зто равенство дает
и отсюда следует, что импеданс цени можно найти эксперимен-
экспериментально, не входя в подробности устройства цепи, измерением
тока, возникшего под влиянием импульса. (Ток короткого за-
замыкания можно соединением концов данной цепи всегда свести
к нулю.)
Назовем единичным током данной цепи ток J, соответствую-
соответствующий импульсу, равному 1. Таким образом,
и единичный ток есть величина, обратная к импедансу.
Если известен единичный ток, то можно предвидеть характер
прохождения тока при произвольно заданной э. д. с. Е, при-
приложенной к цепи. Для этого достаточно образовать свертку
единичного тока с данным напряжением
I = JE.
Это вполне очевидно ввиду того, что единичный ток есть вели-
величина, обратная к импедансу.
Вместо того, чтобы измерять единичный ток, можно также
включить в цепь любую постоянную э. д. с. E — EJs. Тогда
мы будем иметь / = ?0/s2 и, ввиду этого,
Т\ sl
J
Примечание. Единичный ток отвечает идеальному импуль-
импульсу, вследствие чего практическое его измерение всегда будет со-
сопряжено с некоторой погрешностью. Границы этой погрешности
нельзя определить теоретически, ибо мы должны были бы знать
производную единичного тока, который мы как раз измеряем.
Можно избежать порочного круга, постепенно уменьшая длитель-

§ 41. Индуктивные связи 79
ность импульса (с сохранением его величины), до тех пор, пока
измеряемый ток не перестанет подвергаться изменениям. Тогда
теоретическая ошибка будет находиться в пределах погрешности
измерения.
§ 41. Индуктивные связи
Уравнение C2.2) лишь то1да справедливо, когда цепь не
подвергается никаким внешним ин-
индуктивным влияниям. Если, напро-
напротив, мы рассмотрим две цепи, между _|
которыми есть индуктивная связь
(фиг. 38), то в соответствующих 1+
уравнениях надлежит к э. д. с. *>.- *•»<»< У* г -•*
?х и Е2 прибавить выражения — МГа
и—М1[, где М — взаимная индуктив-
индуктивность обеих цепей. Так как 1'2 = s/2 —
—/2@) И I[—s!1—l1 @), то имеют Фиг. 38. Индуктивно связан-
место уравнения ные цепи.
ZAU-IJ-Msi^Ei-MiAO).
MsI1-Z2 (/2-72) = ?2-f M/i@),
где
Z^L.SrRA '-• Zi^L^ + Rs+7^-, D1.2)
C,s
7 1 i i m\ Q-@)
/2/2 = L2/2(U) — r - .
В случае, когда /х@) = /2@) = 0 и Qx @) = Q2 @) = 0, уравнения
D1.1) приводятся к еиду
ZJi-Msli-E»
_7 1 -J7 D1-3)
Решая систему D1.3), получаем
. E\7.<i—E<iM^ w Ef.Ms—E%Z\
После подстановки значений D1.2) и умножения числителей и
знаменателей на s2 токи /, и /2 будут представлены рациональ-
рациональными выражениями от оператора s Переход к обычной, не опе-
операторной форме теоретически не представляет никаких трудно-
трудностей, однако разложение знаменателей рациональных выражений
на множители требует решения алгебраического уравнения' чет-
четвертой степени.

80 Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
Задача упрощается в частном случае, когда обе рассматриваемые
цепи не имеют конденсаторов. Вычислим, например, ток /2 в пред-
предположении, что э. д. с. ?х постоянна,
а второй контур замкнут накоротко
без э. д. с. (фиг. 39):
Е = —¦ Е = 0.
Тогда имеем
2
Фиг. 39. ii.i
и, следовательно,
где Xj и Х2 —корни уравнения
(L2X + /?,) (L2X -i- /?2) - M2/.2 = 0.
Записав это уравнение в виде
(L^ - 7И2) I* + (Lx/?2 -f !«/?!> >¦ + RiRi = 0,
мы видим, что оба корня вещественны и отрицательны г), ибо
дискриминант положителен (в предположении М > 0, /?t > 0 и
Я2 > 0):
tf - 4 (LXL2 - Л*«) Z?^, = (^/?2-L^JН- 4ЛГа/?1/?я > 0.
Поэтому окончательно
В электрической цепи отдельные части могут быть различным
образом индуктивно связаны между собой. Рассмотрим, напри-
например, цепь, изображенную на фиг.' 40. Здесь мы имеем три ин-
индуктивных связи. Взаимные индуктивности обозначим буквами Мх,
М„ и М8. Согласно первому закону Кирхгофа, имеем для узлоп
А, В и С уравнения
/2-/3-/4 = 0, /,-/!-/, = 0, It-It-I, = 0.
1) Здесь используется еще соотношение LtL2 > Л12. — Прим. перев.

§41. Индуктивные связи
81
В силу же второго закона Кирхгофа, принимая во внимание
индуктивные связи, получаем для контуров BCD, DAC и ABD
уравнения
+ M2sl3 -f j}- (/, - /,) - gL (/5 _ /s).
±
(L2s + /?,) (/, -72) + MlSI3
(Lss +
Фиг. 40.
Решение этих шести уравнений было бы, очевидно, кропотливой
и мало интересной работой. Пример мы привели лишь с един-
единственной целью пояснения способа составления уравнений в слу-
случае наличия нескольких индуктивных связей.
Упражнение. Найти токи в цепях, изображенных на фиг. 41 и 42,
предполагая начальные условия нулевыми.
ГП
м
Фиг. 41.
" Ян Минусинский
Фиг. 42.

82
Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
§ 42. Четырехполюсники
Примером четырехполюсника является схема, приведенная на
фиг. 38. Здесь мы имеем два входных зажима, к которым при-
приложено напряжение Е1У и два выходных зажима, напряжение на
которых равно Е2. Свойства этого четырехполюсника характери-
характеризуются уравнениями D1.3), если только предположить начальные
условия нулевыми. Решая- эти уравнения относительно Ег и Iv
получаем
I -- F ! I
l~ MsCsn Ms *ш
Вообще, мы называем четырехполюсником всякую электрическую
цепь, имеющую два входных и два выходных зажима (фиг. 43).
которая преобразует ?,, It в Е2, 12, согласно формулам
F — A F _!_ А I
' 1 = -^21^2 ~\~ ¦Л22^2>
где A1V A12, А21 и Л22 — некоторые операторы.
D2.1)
Четырех -
палюсник
?,
Фиг. 43.
Фиг. 44.
Каждый четырехполюсник характеризуется матрицей
12
21 ^22
¦1 ^
Простейший четырехполюсник представляет собой непосред-
непосредственное соединение входных и выходных зажимов (фиг. 44).
В этом случае
и, следовательно, этому четырехполюснику отвечает матрица
/1 ОХ
\0 I/"

§ 42. Четырехполюсники
83
Эта матрица называется единичной; она характеризует четы-
четырехполюсник, который не вызывает изменения ни напряжения,
ни тока.
Другой четырехполюсник дает скрещивание проводов (фиг. 45).
Для него имеют место уравнения
Р л (\ I I С\ F I
1— С2 i и-/2> М—и С2 — '2-
Матрица этого четырехполюсника имеет
вид
\ О -I/'
Фиг. 45
Важные типы четырехполюсников изображены на фиг. 46 и 47.
В каждом из этих четырехполюсников в один из проводов
включена цепь с произвольным импедансом Z.
Фиг. 46.
Фиг. 47.
В обоих случаях имеем (при нулевых начальных условиях)
уравнения
и следовательно, четырехполюснику соответствует матрица
С 2)
Другой важный тип четырехполюсника изображен на фиг. 48.
Цепь с импедансом Z теперь включена между двумя параллель-
Е,
_
Е
Фиг. 48.
ными проводниками. В этом случае имеют место уравнения (при
нулевых начальных условиях)
6*

84
Ч. /, гл. V. Теория электрических цепей
Отсюда следуют соотношения
и матрица четырехполюсника —
1 О
Для четырехполюсника, представляющего простую индуктивную
связь (фиг. 49), справедливы уравнения
LiSl} — Msl2 = Ev
- Msl1 — L2sf2 = E2,
?2 так что
Фиг. 49.
I -J-E i-^2
Индуктивной связи отвечает, таким образом, матрица
M
h
м
В конце книги мы сопоставим в таблице важнейшие из простых
четырехполюсников.
Упражнения. 1. Определитель
называют определителем матрицы
Проверить, что определители всех рас-
рассмотренных выше матриц равны 1.
2. Показать, что четырехполюснику,
изображенному на фнг. 50, отвечает
матрица
Z,/
(ZH- Z4) (Za + Z3)
Z2Z4—Z]Z3
Проверить, что определитель этой матрицы равен 1.

§ 43. Соединение четырехполюсников 85
§ 43. Соединение четырехполюсников
Соединим два четырехполюсника, как показано на фиг. 51.
Если
Ли А12 \ / Ви В12
Ац А22 ) ' \ В21 В22
— матрицы этих четырехполюсникрв, то имеют место соотношения
L'l — ¦Л1п^2~Г'Л112'2' t ;, ;, + ;, +
Фиг. 51. Соединение двух четы-
Исключая из этих уравнений Е2 и рехполюсников.
/8, получаем
h = (^iA, + Л2Й21) Е3 + (А21В12 + А22В22) /,.
Отсюда следует, что систему обоих четырехполюсников можно
рассматривать как новый четырехполюсник с матрицей
В21 АпВ12 + А12В22\
A22o21 A2lBl2-\- А22В22 )
Матрица D3.2) называется произведением матриц D3.1)
(Ап А12\(Вп В12\/АпВп + А12В21, АпВи + АиВ
\А21 А22)\В21 В22) \АпВп +А22В21, А21В12 + А22В22)
Согласно этой формуле, умножение двух матриц выполняется
следующим образом.
I. Элементы первой строки первой матрицы умножаем на эле-
элементы первого столбца второй матрицы и сумму пишем в левом
верхнем углу матрицы-произведения.
П. Элементы первой строки первой матрицы умножаем на
элементы второго столбца второй матрицы и сумму пишем в пра-
правом верхнем углу матрицы-произведения.
III. Элементы второй строки первой матрицы умножаем на
элементы первого столбца второй матрицы и сумму пишем в ле-
левом нижнем углу матрицы-произведения.
IV. Элементы второй строки первой матрицы умножаем на
элементы второго столбца второй матрицы и сумму пишем в пра-
правом нижнем углу матрицы-произведения.
Не очень точно, по кратко можно сказать: умножение матрицы
на матрицу производится умножением строк первой на столбцы
второй.

Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
Примеры.
1.
2.
3.
4.
1
Оператор Z означает здесь импеданс для цепи сопротивления и
емкости. В силу первой из формул C8.5), имеем
Ввиду этого матрицу всего четырехполюсника в примере 4
можно записать в виде
1
Ls
Г
(I)
B)
Упражнение. Вычислить методом умножения матрицы четырехпо-
четырехполюсников, изображенных на фиг. 52.

§ 44. Соединение трех четырехполюсников
87
§ 44. Соединение трех четырехполюсников
Предположим, что соединены между собой три четырехполюс-
четырехполюсника (фиг. 53) с матрицами
.
Вп Ва
и Сы\
21 С22 / '
Четырехполюсники 1 и 2, вместе взятые, образуют четырехпо-
четырехполюсник, матрица которого есть
произведение
В,
(А
и вп
1
г
3
v А21 п22
Этот четырехполюсник соединен с Фиг. 53. Соединение трех четы-
четырехполюсником 3, в силу чего рехполюсников.
матрицей всего комплекса будет
произведение
Но можно рассуждать по-другому. Четырехполюсники 2 и 3
образуют вместе четырехполюсник с матрицей
(*„ В„\/Си С12\
\ Й21 2 / \ 4l L22 /
Этому четырехполюснику предшествует четырехполюсник 1, так
что матрицу всего комплекса можно записать в виде
А
12
Ви Ва\(Си С12\1
В21 В22) \С21 С22)\ •
Произведения D4.1) и D4.2) представляют матрицу одного и
того же четырехполюсника, составленного из элементов 1, 2 и 3,
и, следовательно, должны быть равны друг другу:
ПАп А12\ (Вп В12\уСп С12\
1\А21 А22) \В21 B2JJU21 С22)
fAu А12\ Г/Ви В12\ /Си С12\1
\ А21 А22) [\ В21 В22 I \С21 С22 / J
Это равенство выражает ассоциативность умножения матриц. Ее
можно доказать и непосредственным выполнением умножений,
согласно правилу, данному в предыдущем параграфе. Благодаря
ассоциативности произведение трех матриц можно записывать, не

88 Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
указывая последовательности выполняемых действий (без ква
дратных скобок)
An
А21
А12
А22
)¦
(Вп
\в21
ВгЛ
В22/
\с21
^22
Заметим еще, что матричное умножение не перестановочно,
т. е. что, вообще говоря, изменение порядка следования
матриц в произведении влияет на результат умножения. Это
вытекает уже из примеров 1 и 2, рассмотренных в предыдущем
параграфе.
Прим еры.
'• L Я С
4.
Четырехполюсник, приведенный в примере 4, в действительности
тождественен с четырехполюсником из примера 4 предыдущего
параграфа. Мы в обоих случаях получаем один и тот же резуль-
результат, хотя и различными путями.
Упражнение. Вычислить методом умножения матрицы четыре^по
люсников, приведенных на фиг. 54.
Cf-r- -т-С
г
Л; (г)
Фнг. 54.

§ 45. Короткое замыкание четырехполюсника
89
§ 45. Короткое замыкание четырехполюсника
Если выходные зажимы четырехполюсника замкнуты накоротко
(фиг. 55), то Е2 = 0 и из уравнений D2.1) получаем:
+ U
Фиг.
55.
'2
К
R
1
Фиг.
1
56
И
h
?.
Пример. Найти токи /, и /2 в схеме, приведенной на фиг. 56,
(в предположении, что начальные условия нулевые).
Вычисляем матрицу четырехполюсника умножением матриц
О 1 } \Cs 1/ \О 1 / \Cs I) \O 1
2C2s2 + 3^Cs + 1 R (R^s2 + 4i?Cs + 3)\
Cs(RCs + 2) , R2C2s2 + 3RCs+l )' * *
отсюда /получаем
Л = '
;2 + 3^Cs +1
~~r+4RCs + W
1
D5.2)
D5.3)
2~ ^(/?2C2s2 + 4^Cs + 3) 1-
В частности, если включенная э. д. с. постоянна, E^EJs, то
I , С , С
ИЛИ
1
Л
6(RCs
С
¦)¦

90
Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
Если э. д. с. синусоидальна, Еое"? (см. § 39), то установившийся
ток на входных зажимах четырехполюсника можно определить
из формулы D5.2), заменяя Et на Еое"?, /t на 1^ и, наконец,
s на cot:
Отсюда находим
~R (—
^0
R~
+ 3) с °с •
= 9 -
,^^- + arctg
Аналогично из соотношения D5.3) можно определить амплитуду
и фазу тока на выходных зажимах четырехполюсника:
? + arctg _-2h2-^—3-.
2U>2 + 9
Обоснование этого вычислительного метода такое же, как в § 33
и 39.
§ 46. Холостой ход четырехполюсника
В случае холостого хода четырехполюсника (фиг. 57) имеем
/, = 0, и уравнения D2.1) дают
Пример. Найти ток на входных зажимах и напряжение на
выходных зажимах четырехполюсника, приведенного на фиг. 58
+ '.
+
E,
—П г-1
R
с--
г—П r—i
R
: c:
R
1 *
Фиг 57.
Фиг. 58.
(при холостом ходе). Это тот же четырехполюсник, который мы
рассматривали в предыдущем параграфе, и можно сразу же

47. Трансформаторы 91
использовать матрицу D5.1), согласно которой имеем
. Cs(RCs + 2) р
1 - -RKM + WCs +1 1'
р . L р
2 /?2CV + 3RCs + 1 1-
Если включенная э. д. с. постоянна: Et = EJs, то
, _ р C(RCs±2) (Ъ=У1 ' , S+/5 1 \
I~IZOC^\ 10 /?Cs -+• а"+" 10 RCs + $ У
F = F
2 — ° s (
1 3/5—5 RC___ 3/5 + 5 R?
s ~^ 10 RCs + a 10
3+/5 „ 3—/5 ^
где а = ?— и ,3 = ~— . Отсюда
Если э. д. с. синусоидальна, Еое"°, то можно проделать вычи-
вычисления, аналогичные вычислениям предыдущего параграфа. Этим
способом, например, получаем из соотношений D6.1) амплитуду
и фазу напряжения на выходных зажимах:
Упражнение. Найти ток 1Х на входных и ток /2 на выходных за-
зажимах четырехполюсников, приведенных на фиг. 54, в случаях холостого
хода и короткого замыкания.
§ 47. Трансформатсры
Трансформатор можно рассматривать как четырехполюсник, изоб-
изображенный на фиг. 59. В действительности сопротивления У?, и R2
неотделимы от индуктивностеи обмоток, однако отдельное их пред-
представление в схеме удобно для вычислительных целей. В самом
деле, оно позволяет вычислить матрицу четырехполюсника перемно-
перемножением трех матриц простых четырехполюсников
/1*Л fa
low l_L
\ Л/
Л/4 М

92 Ч I, гл. V. Теория электрических цепей
Выполнив умножения, получим1)
Ms I iлп ,.
( }
Ms
Это матрица трансформатора в самом общем случае.
В трансформаторах мощности, где стоит вопрос о минималь-
минимальной потере энергии, стремятся уменьшить сопротивления до мини-
минимума. Сверх того, используя сердечник
_я, яг из мягкого железа, стремятся по возмож-
j—П_1—* ности увеличить взаимную индуктивность
-С М. Тогда разность LrL2 — Мг делается
L,oj ^>L2 близкой к нулю. В таких трансформаторах
можно положить приближенно
Фиг 59 ^ = ^2 = 0, ^а-М2 = 0.
Тогда матрица D7.1) приводится к виду
Это матрица идеального трансформатора.
Предположим, что на входе трансформатора рмеетсЯ1 линусо-,
идальное напряжение: Е1Ое"?. Тогда на выходнацх зажимах будет
такое напряжение Е20е"?, что
Это следует из первой строки матрицы D7.2). Подыскивая соот^
ношения для установившихся токов, обозначим через /^е**1 уста-
установившийся ток на входе, а через /2О6'2 установившийся ток на
выходе трансформатора. Применяя метод, приведенный в §§ 33
и 39, получим, согласно второй строке матрицы D7.2),
¦0е
и, следовательно,
ii>i — ' 1/t?Е е'?4-1/— / р'Фз
J) Впрочем, эта матрица получается из системы уравнений в начале § 42,
когда импедансы Zi и Z2 имеют частный вид Z1 = L1sl + ^?i и Zi = L R
Прим. перев.

§ 48. Катодная лампа как четырехполюсник 93
В трансформаторах мощности произведение L,u>, как правило,
велико, и в уравнении D7.4) можно пренебречь членом
j-^EMel* D7.5)
Таким образом, приближенно
/io = Vr!/»»- D7'6)
Уравнениям D7.3) и D7.6) отвечает матрица
D7.7)
Это упрощенная матрица трансформатора. Она удобна для вы-
вычислений и достаточно точна для трансформаторов мощности.
Однако если угловая частота и> и индуктивность L, настолько
малы, что приходится принимать во внимание член D7.5), то сле-
следует пользоваться матрицей D7.2). И в случае, когда напряжение
не синусоидально, или же когда мы желаем учесть преходящие
токи, возникающие при включении трансформатора, необходимо
всегда пользоваться матрицами D7.2) или D7.1).
Обозначим через пг число витков в первичной обмотке транс-
трансформатора, а через п - число витков во вторичной обмотке. Если I
означает индуктивность отдельного витка, то
Подставляя эти значения в матрицу D7.7), получаем
\
§ 48. Катодная лампа как четырехполюсник
Катодную лампу (триод) можно рассматривать как четырех-
четырехполюсник, если только сеточное напряжение Ег, анодное напря-
напряжение Е2 и анодный ток /2 (фиг. 60) связаны соотношением
E1 = -(E2 + RI2), D8.1)
1 ц \ 2 2/. \ /
где (г — коэффициент усиления, a R — внутреннее сопротивление
лампы. Так как сеточный ток может быть принят равным нулю,

94
Ч. I, гл. V. Теория электрических цепей
ТО
/1=0-?2-J-0-/2.
D8.2)
Ввиду равенств D8.1) и D8.2) лампа, рассматриваемая как четы-
четырехполюсник, имеет следующую матрицу:
D8.3)
Следует, однако, помнить, что рассматривать лампу как
четырехполюсник можно лишь тогда, когда она работает
в соответствующих условиях, т. е. когда величина сеточного
h +
Фиг. 60.
Фиг. 61.
и анодного напряжений колеблется в допустимых пределах. Если
эти условия не выполнены, то неосмотрительное оперирование
с матрицей D8.3) может привести к совершенно ошибочным ре-
результатам.
Используя матрицу D8.3), можно легко найти матрицу для
четырехполюсника, изображенного на фиг. 61, а именно, она
равна произведению матриц
Выполнив умножение, получим матрицу
где
а =
RiR + R2R '
R f

§ 48. Катодная лампа как четырехполюсник 95
Соединив между собой п четырехполюсников рассматриваемого
типа, получим четырехполюсник (фиг. 62), матрица которого равна
-.г -рг\
О 0 у '
Фиг. 62.
или, после несложных вычислений,
( s + x Y
V «s У
n-I
as
О О
Отсюда следует, что, обозначив через Е входное напряжение,
а через Еп и /„ — выходные напряжение и ток, будем иметь
соотношение
D8.4)
Вычислим, в частности, выходное напряжение Еп при холостом
ходе четырехполюсника, когда начальное напряжение постоянно:
? = ?0/s. Тогда /„=0, и формула D8.4) дает
Так как
п-1
х=0
то
л- 1
и, в силу формулы B4.2),
п-1
»=0
Найденная функция находится в тесной связи с так называемыми
полиномами Лагерра
i-O

96 Ч. I, ел. V. Теория электрических цепей
Пользуясь этим обозначением, можно записать
Для полиномов Лагерра легко найти некоторые дифференциальные
соотношения. Именно, имеем
так как функция е"'^"/п! и ее производные до порядка п — 1
включительно обращаются в нуль при t = 0. Отсюда
Приведем еще таблицу полиномов Лагерра для первых зна-
значений п:
L0{t)=h ^I
L1{t)=\-t,

Глава VI
ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 49. Общее решение
До сих пор мы решали дифференциальные уравнения при
заданных начальных условиях в точке t = 0. Для этих случаев
операторное исчисление особенно хорошо приспособлено. Однако
им можно успешно пользоваться и в других задачах, например
при нахождении общего решения, при решении краевых задач и т. д.
Начнем с задачи о нахождении общего решения. В § 27 мы
видели, что решение уравнения
ап*<»> + <*„-!*<"-') +...+aox = f
может быть записано в виде
_ pn1s"-4-En2s"-g+... + p01. .q .
где постоянные po, pif ..., р„_г зависят от начальных условий
в точке ^ = 0. Если эти условия заранее не заданы, то р0, рх, ...
¦ ¦ • > Рп-1 являются произвольными постоянными и формула пред-
представляет общее решение дифференциального уравнения. Переход
к обычной, не операторной форме целесообразнее всего проводить
разложением на элементарные дроби. Заметим, однако, что при
разыскании общего решения нет надобности вычислять коэффи-
коэффициенты А, В, С, ... в элементарных дробях
A B + Cs
возникающих при разложении выражения
ansn+...+a0
Достаточно взять эти коэффициенты в качестве произвольных
постоянных вместо ро, .... р„-г Этим путем объем вычислений
значительно уменьшается.
' Ян Минусинский

98 Ч. /, гл. VI. Общие решения. Краевые задачи
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
-2х'" + 2хГ -2х' + х = f.
Решение. Так как начальные условия произвольны, то
уравнение, записанное в операторной символике, будет иметь вид
s4x — 2s3x + 2s2x — 2sx + x = W + f,
где W = P3s3 -|- P2s2 -f- pts + p0 — произвольный многочлен третьей
степени. Отсюда имеем
W , 1 f
E—lJ(sa+l) "Г (S— 1J(S2+')
Первую из полученных дробей разлагаем на элементарные дроби
А , В C + Ds
s—l ' (s—IJ + s*+l '
принимая А, В, С и D за произвольные постоянные и не заботясь
об их связи с многочленом W. Напротив, в разложении второй
дроби коэффициенты однозначно определены, и мы находим их
обычным способом:
i"l 9 Ic П2 ' 9
(s—J)a (s2-f-1) 2{s—l)~r 2(s-\y ' 2
Окончательно в качестве общего решения получаем функцию
x{t) = Ae* + Bte* + С sin t -\- D cos t -|-
Если форма функции f(t) известна, то иногда модификацией вы-
вычислений можно избежать всякого интегрирования. Допустим,
например, что /={cos2?}. Тогда
(S-1
А , В C + Ds . E+Fs
~ s— I" (s— 1)* +
Постоянные Л, В, С и D попрежнему произвольны, определить
нужно лишь значения Е и F. Так как эти значения совершенно
не зависят от полинома 1У, то при их вычислении можно вре-
временно положить W = 0. Тогда мы получим равенство

§ 49. Общее решение 99
Коэффициенты Е и F проще всего вычислить, подставляя вмести
s число 2/. Это дает
Сравнивая здесь вещественные и комплексные части, приходим
к уравнениям
3C?-8F) = 0, 6B? + 3F) = 2,
откуда
? = -8 F-1-
С 75 ' Г ~ 25 "
Общее решение имеет, следовательно, вид
_ А . В C + Ds , 8 + 3s
Х~ s-1 "T(s_lJ+ s*+l ' 75(s2+4) '
ИЛИ
x (t) <- Лв' + Bte1 -f С sin ^4 D cos / + ^ sin 2? + ~ cos 2/.
Мы видим, таким образом, что с вычислительной точки зрения
нахождение общего решения несколько проще, чем нахождение
частного решения при заданных начальных условиях, ибо в первом,
случае можно избежать вычисления некоторых коэффициентов в раз-
разложении на элементарные дроби. Все же в случае системы уравне-
уравнений это упрощение не удается применить, так как тогда прихо-
приходится учитывать некоторые связи между коэффициентами разло-
разложения. Например, для системы уравнений
х' — х — 2у,
У' = х-
решение всегда будет иметь вид
!
A±
s2+l s2+
s-J
однако среди постоянных А, В, С и D произвольны только две,
а две другие от них зависят.
Для нахождения общего решения, содержащего лишь два
независимых параметра, удобнее всего сначала ввести начальные
Условия
*@)=а, у@)-р.
7»

100 Ч. I, гл. VI. Общие решения. Краевые задачи
Решая теперь соответствующую систему операторных уравнений
sx = x-2y-\-a,
находим
х
и отсюда
X (t) — (а — 2,3) sin t + a cos t — 2 \ f (t — z) sin x dx,
о
f/ @ = (a - P) sin / + pcos * -h \ f (t - z) (cos % - sin t) dr.
о
Это и есть, очевидно, искомое общее решение, ибо постоянные а
и р произвольны.
Этот способ нахождения общих решений окупается только
в случае систем уравнений, а в случае одного уравнения пред-
предпочтителен предшествующий метод, в основе которого лежит
введение произвольных постоянных лишь при разложении на эле-
элементарные дроби.
Упражнения. 1. Найти общие решения следующих уравнений:
B) х'"—2х'~Зх' + Юх = 0;
C) л:<4>_ 12л;" + 12л:= 16/V2;
D) 4лг'4> —12*"'+11л:'—3*' = 4cos/.
2. Найти общие решения для следующих систем уравнений:
B) 4х' + 9у' + 2х + 3]у=е', Зх' + 7у' +х + 2Ау = 3;
C) х'=— Зх+\8у—8г, у'-=4х—</ + 2г,
§ 50. Краевые задачи
О краевой задаче мы говорим тогда, когда вместо начальных
условий заданы значения искомых функций и, возможно, их
производных на обоих концах некоторого фиксированного интер-
интервала. Мы будем иметь дело с краевой задачей, если для функ-
функции x(t), удовлетворяющей уравнению
E0.1)

§ 50. Краевые задачи ffll
потребуем, например, выполнения условий
*@)=g, *(*)—i'. *'@) = ^. *'(«)-g-
Искомую функцию мы находим из общего решения
х @ = Ле1 + Bte' + С sin t -\ D cos / + *5 sin 2^ + ~ cos 2/, E0.2)
так подбирая коэффициенты Л, В, С и D, чтобы были выполнены
указанные условия. С этой целью решаем систему уравнений
^^25~25
8 _ 2
75 ~~ 15 '
и находим
Подставляя эти значения в E0.2), получаем искомое решение
Аналогичным способом можно решать более общие задачи,
например, находить решения, когда заданы значения функций
или их производных более чем в двух точках. Допустим, что
нужно найти функцию, удовлетворяющую уравнению E0.1)
и условиям
Тогда достаточно решить систему уравнений
х@) = A-{-D-\-— =0,
и хГ-?Л = Лехр-? + В-?-ехр-? + С —9, = 0,
1 2
х (я) = Л ехр т: + Вх ехр х - D + gg = gg ,
Зя

102 4. J, гл. VI. Общие решения. Краевые задачи
Таким образом, находим
и, следовательно,
114 1
x(t) = 25 sin * ~~ 25 cos ^ + 75 Sin 2'+ 25 C0S 2'#
В некоторых случаях может оказаться, что алгебраическая
система уравнений, полученная для коэффициентов А, В, ...,
неразрешима. Тогда не существует и решений дифференциального
уравнения при заданных условиях. Вообще, вопрос о существо-
существовании решения при заданных условиях сводится к вопросу о раз-
разрешимости системы алгебраических уравнений относительно
постоянных А, В, ...
Упражнения. 1. Какая, из следующих краевых задач разрешима?
A) х"—х=0, B) х" + х = 0,
•*@) = 0, *Bтс) = 1; *@)=0, *Bп)=1.
2. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению
и условиям
§ 51. Решеиие дифференциальных уравнений при начальных
условиях, заданных в точке t0 Ф О
Метод, разобранный в предыдущем параграфе, можно, оче-
очевидно, с успехом применять и в случае, когда значения функции
и ее производных заданы в одной лишь точке. Тогда, однако,
более целесообразно применить непосредственный подсчет вместо
того, чтобы сначала искать общее решение. Если точка t0,
в которой заданы условия, отлична от нуля, то решаем сначала
задачу так, как будто начальные условия заданы в точке t = 0;
однако мы должны при этом учесть соответствующее смещение
системы координат.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
-2х'" + 2х" -2х' + * = / (*), E1.1)
удовлетворяющее в данной точке t0 Ф 0 начальным условиям
Решение. Ищем сначала решение уравнения
xW-2x'"+2x"-2x'+x =

§ 51. Решение при начальных условиях, заданных в 10ф0 103
удовлетворяющее тем же начальным условиями в точке ^ = 0:
х@) = х' @) = х" @) = х'" @) = 0.
Имеем тогда операторное уравнение
s*x - 2s3x + 2s*x - 2sx + x =
откуда
X=s C~2(s-1) + 2(s—l)a + 2(sa+l)
Чтобы получить теперь искомое решение уравнения E1.1), доста-
достаточно написать всюду t —10 вместо t; следовательно, оконча-
окончательно имеем
t-t0
Упражнение. Решить следующие дифференциальные уравнения
с заданными начальными условиями:
A) х'"—4*'=e4<sin4 B) х'=—5х—2у, у'=х—7у,

Глава VII
РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 52. Функции класса К
Теперь мы желаем ввести в операторное исчисление некото-
некоторые разрывные функции. С теоретической точки зрения, наиболее
естественным было бы введение класса суммируемых функций,
что потребовало бы, однако, от читателя знакомства с интегра-
интегралом Лебега. Ввиду этого ограничимся здесь более узким клас-
классом функций К, который допускает элементарную трактовку
и одновременно достаточен для большинства приложений.
Важным примером разрывной функции является функция
{C(t)}t значение которой в точке t равно наибольшему целому
числу, не превышающему t\ например,
СE,71) = 5, с(т)=0> С(«) = 3, СA0) = 10
и т. д. Функцию {C{i)} называют обычно целой частью от t.
В теории логарифмов употребляется название «.характеристика*.
График этой функции изображен на фиг. 63.
Другой тип разрывной функции представляет функция
{1/]/7} с графиком, изображенным на фиг. 64. Она разрывна
в точке ^=0 и не ограничена в окрестности этой точки.
Функции C(t) и {l/j/Г} являются представителями двух типов
разрывных функций, играющих важную роль в приложениях.
Для того, чтобы описать класс К, содержащий как непрерывные
функции, так и разрывные функции обоих типов, дадим следу-
следующее определение:
Функция {f(t)} (с вещественными или комплексными значе-
значениями) с областью задания 0<* < оо принадлежит классу К, если
(I) в каждом конечном интервале она имеет не более чем
конечное число точек разрыва;
(II) интеграл \ | / (х) j of-u конечен для любого t > 0.

§ 53. Действия над функциями класса К
105
Если /={/(<)} —функция класса К, то, согласно определению-
свертки,
Интеграл в правой части всегда есть непрерывная функция.
Обозначая ее через а, будем иметь lf = a, или
'-т-
Таким образом, мы можем каждую функцию класса К формально
С1Щ
6
5
4
3
2
1
Фиг. 63.
I Z34567
Фиг. 64.
считать оператором, ибо она является частным (в смысле дейст-
действия, обратного к свертке) двух функций класса С.
Упражнение. Проверить, что следующие функции принадлежат
классу К:
о)
{¦?}
<з> [fj=t}:
§ 53. Действия над функциями класса К
Рассматривая функции класса К как операторы, мы тем самым
определяем для них все те действия, которые выше определил»
для операторов.
Выясним сначала, когда две функции / и g класса К следует
считать равными. Записав
t t

106
Ч. I, гл. VII. Разрывные функции
или a = lf, b = lg, имеем
a
Равенство ajl — bjl эквивалентно равенству а = Ь, т. е. равенству
t t
\ f (т) dx = \ g (т) d-c для всех t > 0.
о о
Последнее равенство будет иметь место тогда и только тогда,
когда функции / и g обладают одними и теми же значениями
в каждой общей точке t непрерывности обеих функций. В этом
случае функции / и g следует считать равными друг другу.
f = g. Значения функций в точках разрыва не играют никакой
роли при таком определении равенства, и функции могут быть
не определены в этих точках.
(«) (Я , (у)
1 2
Фиг. 65.
Например, все три функции, изображенные на фиг. 65, (а), (Р)
и (f), будем считать равными, хотя первые две имеют различные
значения в точках 1 и 2, а последняя не определена в этих
точках.
Иное понимание равенства разрывных функций могло бы
в операторном исчислении привести к противоречиям.
Суммой функций / и g класса К мы должны считать
!4 {
E3
Если h{t) — f[t)-\-g{t) для всех значений t, для которых fug
определены, то
lh
t
{\
о
и, в силу E3.1),
= {A(OJ). т. е.

§ 53. Действия над функциями класса К 107
Равенство это означает, что сложение функций класса К
производится сложением их значений (в точках, где они опреде-
определены). Таким образом, определение суммы f-\-g как суммы
операторов привело к естественному определению суммы двух
функций.
Аналогично доказываются формулы
{/@)-te(O) =4/@-?@Ь
(«-число).
Первая из них означает, что разность функций класса К
получается как разность их значений (в точках, где они одно-
одновременно определены), вторая же—что произведение функций
класса К на число получается умножением на это число ее зна-
значений (в точках, где она определена).
Очевидно, что сумма и разность двух функций класса К,
а также произведение функции из К на число снова являются
функциями класса К. Можно доказать, что свертка функций
класса К также есть функция класса К1). Опираясь на это,
легко вывести (тем же способом, что и в случае непрерывных
функций) ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность
свертки в области всех функций класса К. Отсюда, в частности,
следует, что
Таким образом, произведение в операторном смысле двух
функций класса К равно их свертке, совершенно так же, как
и в случае непрерывных функций. Мы видим, следовательно,
что над функциями класса К все действия производятся так,
как над непрерывными функциями.
Замечание. Отправным пунктом при определении опера-
операторов были функции класса С, с помощью которых мы образо-
образовывали дроби а/b {а, Ь?С). Если исходить из класса К и обра-
образовать дроби fjg (f, g(-K), то не получится ничего нового,
ибо любую такую дробь можно представить в виде tfjlg,
где числитель и знаменатель являются уже непрерывными функ-
функциями.
Упражнение. Пусть fx (К > 0) обозначает функцию, равную О
в интервале 0 < t < *. и 1 в интервале \ < t < оо; доказать, что
(х > о. ix > о).
См. Минусинский и Рыль-Нардаевский [40], стр. 54, следствие 2(а).

108 Ч. I, гл. VII. Разрывные функции
§ 54. Интеграл Эйлера (гамма-функция)
Б § 8 мы вывели формулу
для натуральных значений п. В операторном исчислении полезно
Ф)
введение и дробных степеней оператора /.
Прийти к ним можно с помощью инте-
интеграла Эйлера (гамма-функции)
л который принимает значения (X—1)! при
_ —л. i -i •• натуральных X. Интеграл этот, рассмат-
фиг 66 риваемый как функция переменного X,
имеет график, изображенный на фиг. 66.
Для наших целей достаточно рассмотреть гамма-функцию Г(Х)
в случае вещественных положительных X.
Приведем перечень нескольких основных свойств интеграла
Г(Х), которыми мы будем пользоваться в дальнейшем:
(II) Г(я) = (я— 1)! для натуральных значений п.
(IV) ГA) =
Докажем эти свойства.
(I) Интегрируя по частям, получаем:
о
со
(II) При Х= 1 имеем ГA)= \ е~*(И— 1. Отсюда, в силу фор-
о
мулы (I), последовательно получаем:
Г B) = 1 - Г A) = 1!, ГC) = 2-ГB)=2!,
ГD) = 3-ГC) = 3!,
и в общем случае (используя индукцию) Г(д) = (п—I)!,

§ 54. Интеграл Эйлера (гамма-функция) 109
(III) Произведение Г(Х)Г(р.) можно представить в виде двой-
двойного интеграла
Г(ХI» =
D
взятого по области D: х > 0, у > 0.
После подстановки x = tu, у = (\—t)u будем иметь
где область интегрирования D' задана неравенствами 0 < t < 1,
ы > 0. Отсюда вытекает соотношение
и, следовательно, равенство (III).
(IV) В силу формул (II) и (III), имеем
2 + 2 )
откуда Г С-%) = ± У'1*- Так как подинтегральная функция поло-
положительна, то следует взять знак + •
С помощью формулы (I) мы можем найти значение функции
I1 (X) для любого X > 0, если известны ее значения в каком-
нибудь интервале длины I. В конце книги приведена таблица
приближенных значений Г (X) для I < X < 2.
Свойство (IV) позволяет легко вывести важную формулу
J-.\f „.:??. E4.2)
о
В самом деле, имеем
)
О
и после подстановки / = аа
о
что ввиду (IV) совпадает с E4.2).

110 Ч. I, гл. VII. Разрывные функции
§ 55. Дробные степени операторов / и s — а
Формулу E4.1) можно обобщить следующим образом:
для всех положительных значений X. Строго говоря, равенство
E5.1) следует считать определением оператора Iх, которое в слу-
случае натурального X совпадает с результатом § 8. Оказывается,
что при таком определении сохраняется основное свойство сте-
степени:
^ц^/я+ц (х>0, ц>0). E5.2)
Доказательство проведем сразу для более общего оператора,
определенного формулой
где X положительное, а а произвольное вещественное или комп-
комплексное число. В случае <х = 0 формула E5.3) переходит в E5.1),
в случае же натурального X совпадает с ранее доказанной фор-
формулой B4.2).
Согласно определению свертки, имеем
и, после подстановки t — z = ta,
1
(S _ а)-д (S _ а)-ц = ^
о
В силу E5.3), получаем нужное нам соотношение
{s-a)-*(s-a)-» = (s-a)-*-* (X > 0, р > 0), E5.4)
которое в частном случае а = 0 переходит в формулу E5.2).
Определение оператора (s — а)~Л для Х>0 можно легко рас-
распространить на все вещественные значения X, полагая
(s-a)°=l, (s-e^—L— (X>0). E5.5)

§ 55. Дробные степени операторов I и s—а
111
Нетрудно проверить, что при этом определении формула E5.4)
справедлива для всех вещественных X и р.. При а = 0 формулы
E5.5) принимают вид
Благодаря формулам E5.2) и E5.4), можно в вычислениях
обращаться с рассматриваемыми операторами, как с обычным»
степенями.
Заметим еще, что при Х>1 оператор (s —а)-А представляет
функцию класса С, если же 0 < X < 1, то оп представляет
функцию, разрывную в точке ? = 0, принадлежащую классу К.
Если, наконец, Х<0, то оператор (s —а)~Л не является функцией.
Из формулы E5.3) вытекает, в частности (при Х=1/2):
откуда
L_ ^ г 1 с
"' dx
}
Вводя обозначение
crfH
E5.6) ?
можно записать
Из формулы E5.6) видно, что
функция erf непрерывна и возра-
возрастает, согласно E4.2), от 0 до 1
в интервале 0<? < оо (фиг. 67).
Ф f
Фиг. 67.
р (ф )
Функция erf^ встречается в теории вероятностей и называется
иногда функцией ошибок (отсюда обозначение «erf» (error func-
function по-английски). В немецких руководствах ее обозначают бук-
буквой Ф).
Упражнение. Доказать соотношение
(a

J12 Ч. I, гл. VII. Разрывные функции
§ 56. Функции, обладающие производными класса К
Пусть функция а дифференцируема в интервале 0<f < оо,
за исключением, быть может, отдельных точек, число которых
конечно в каждом конечном интервале, а производная а' принад-
принадлежит классу К. Тогда мы будем гово-
говорить, что функция а имеет производную
класса К. Например, функция с графи-
графиком, изображенным на фиг. 68, а, диф-
__ ференцируема во всех точках, кроме
4 t = 1, 2, ...; в каждом конечном интер-
интервале число этих исключительных точек
конечно. Производная функция а изо-
изображена на фиг. 68, б.
Справедливо следующее предложе-
предложение:
Если функция а класса С обладает
i ? Y f производной а' класса К, то
' ' ' ' sa = o'+a@)( E6.1)
где а @)—значение функции а в точке
Фиг. 68. *=п
Предложение это является обобще-
обобщением теоремы из § 21, и его доказатель-
доказательство проводится в точности так же.
Следует обратить внимание на то, что предложение оказалось
¦бы ложным, если бы относительно функции а мы предположили, что
она принадлежит только классу К. Действительно, допустим, что а
есть функция класса К, заданная равенствами
-
{! 7 4ZVL )¦
Эта функция дифференцируема во всех точках, за исключением
точки t— 1, и
а' = {0 при t=?\}.
Производная а' не определена в точке / = 1, а в остальных
точках она равна нулю. Согласно определению равенства функ-
функций класса К, имеем, следовательно, а' ¦- {0} = 0. Теперь видно,
что функция E6.2) не может удовлетворять равенству E6.1),
ибо из него, поскольку а@) = 0, вытекало бы, что sa = 0
и, значит, а = 0, что неверно.

57. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 113
Заметим еще, что любая функция / класса К представима
в виде sa, где а —функция класса С:
В самом деле, достаточно положить о = //; функция а, удовле-
удовлетворяющая соотношению f = sa, очевидно, единственна.
Упражнение. Построить графики функций, представленных выра-
выражениями:
A) s{t- l+|i--l|}; B) S{|f_i| + |t_2|-|/-3|}.
§ 57. Дифференциальные уравнения с разрывной
правой частью
Рассмотрим дифференциальное уравнение
где / — произвольная функция класса К и, значит, необязательно
непрерывная. Будем говорить, что функция х является решением
этого уравнения, если она
(I) имеет л—1 непрерывных производных;
(II) обладает л-й производной х'т во всех точках непрерыв-
непрерывности функции /;
(III) уравнение удовлетворяется во всех точках непрерывност»
функции /.
Если начальные или краевые условия будут заданы в точках
непрерывности функции /, то вся теория применима так же, как
и в случае уравнений с непрерыв-
непрерывной правой частью. Следует заметить,
что без требования (I) теорема о един-
единственности решения оказалась бы не-
неверной.
Пример. Пусть задано диффе-
дифференциальное уравнение -2 -
x' + x = f, E7.1) фиг69.
где функция / определена формулой
(фиг. 69)
f(t) = (-\)n{t-2n), 2n<t<2n + 2 (л = 0, 1,2, ...).
Ищем непрерывную функцию, удовлетворяющую уравнению
всюду, кроме точек 2, 4, в которых / имеет разрывы. В качестве
начального условия примем х @) = — 1.
Из уравнения E7.1) следует, что
sx + x=-l+f,
° Ян Минусинский

114 __ Ч /, гл. VII Разрывные функции
откуда
х= ~~I+T+T+
а значит,
Заметим, что
4п+2 4п+2
kn in
in+i in+i
;= _ e4"+2 _ e4«+4
Поэтому, если 4я<^<4п4 2, то
t
если же 4п + 2</<4п + 4, то
л:@ = е-' Гс4п+2+ \ е"(т: — 4n
4п+2
Обе последние формулы можно представить одной (фиг. 70)
(п = 0, 1,2, ..)•
Фиг. 70.
Дифференциальные уравнения с разрывной правой частькГимеют
значение, например, в теории электрических токов, так как делают
возможными вычисления для произвольных напряжений Е, а не
только для непрерывных напряжений.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
Глава 1
ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ
§ 1. Операторные функции
Обратимся к оператору Iх (§ 55). Так как X может принимать
произвольные вещественные значения, то фактически мы здесь
имеем дело с некоторой функцией, которая числам X ставит
в соответствие операторы.
Вообще, мы будем рассматривать функции /(X), которые ставят
в соответствие числам X произвольные операторы. Такие функции
мы будем называть операторными функциями. Сам символ /(X),
если ему не предшествует слово функция, выражает значение
рассматриваемой функции для данного числа X, т. е. оператор,
соответствующий этому числу. Кроме того, мы часто будем
пользоваться термином операторная функция /(X), или, короче,
функция f()), не вводя специального символа для ее обозначения.
Если X — фиксированное положительное число, то оператор I1
является функцией переменного t.
Заметим, что в скобках имеются два переменных X и t, скобки
же некоторым образом упраздняют переменное t (и только
переменное t), которое не представлено в левой части фор-
формулы.
Имея (числовую) функцию двух переменных /(X, t), определен-
определенную для t>0 и некоторых значений X, будем в общем случае
писать
/(Х) = {/(Х,/)}, A.1)
совершенно аналогично записи a = {a(t)}. Формула A.1) опреде-
определяет операторную функцию специального рода, а именно такую,
которая ставит в соответствие рассматриваемым значениям X
операторы, являющиеся функциями переменного t. Такую функ-
функцию /(X) назовем параметрической операторной функцией. На-
8*

116
Ч. //, гл. I. Операторные функции и их производные
пример, операторная функция Iх параметрична в интервале
О < X < оо, функция / (X) = {X2 +12} параметрична для всех зна-
значений X.
Относительно параметрических операторных функций мы раз
навсегда предположим, что их значения являются функциями
переменного /, принадлежащими классу К (ч. I, § 52).
Другой частный тип операторных функций —функции, значения
которых являются числовыми операторами (т. е. просто числами).
Будем называть их числовыми функциями. Функция /(Х) = Х2 —
пример числовой функции при любых значениях X. Напротив,
функция Iх является числовой в единственном случае X = О, ибо
/°=1. Для Х<0 функция /А не будет ни параметрической, ни
числовой.
Упражнение Доказать равенства*
A) |Х. -4- ^}2=i2X.2 -I- 2/3X + /4;
B) {l2 + t2}{k2—ti} — lili — 4l<>;
C) \
D) {
s —
§ 2. Непрерывные операторные функции
Операторную функцию f (?.) назовем непрерывной в конечном
интервале I (открытом или замкнутом), если она в этом интервале
представима как произведение некоторого оператора q и такой
параметрической функции /х (X) = {/, (X, t)},
что функция двух переменных /^(Х, t) не-
непрерывна (в обычном смысле) в области
D(X?/, 0<t < сх) (фиг. 71):
фиг 71 Таким образом, благодаря множителю q,
понятие непрерывности операторной функ-
функции сводится к понятию обычной непрерывности функции двух
переменных.
Например, функция / (X) = {X2 +12} непрерывна в каждом ко-
конечном интервале /, ибо можно записать
/(Х)=1.{Х2-И2},
где функция Х2 + /2 непрерывна в области D. Здесь в качестве
множителя q мы взяли просто число 1.
Если функция двух переменных f(\, t) непрерывна (в обычном
смысле) в области D(k?l, 0<tf<oo), то параметрическая

2. Непрерывные операторные функции
117
операторная функция
/(Х) = {/(Х, *)} B.1)
непрерывна в интервале I.
Может случиться, что некоторая функция h(\,t) разрывна
в области D и тем ие менее операторная функция Л(л) = {Л(Х, t)}
Функция h(X,t)
Фиг. 72
Фиг 73
непрерывна в смысле приведенного выше определения. Пусть,
например,
1 »
Функция h(\,t) разрывна на прямой \ = t (фиг. 72), и все же
операторная функция Л (X) = {h (X, ?)) непрерывна, так как
/i(X) = s{/i1(X, t)}, B.2)
где функция {АХ(Х, *)}, заданная равенствами
О дляО<г<Х, Bз)
(фиг. 73), непрерывна в обычном смысле. Для проверки соотно-
соотношения B.3) достаточно написать
t
I {h (X, t)} = { \h (К, x) dx) = {h, (X, 0).
b
Определенную таким образом операторную функцию Л(л) мы
будем называть функцией Хевисайда. Она задана для Х>0 и не-
непрерывна в каждом конечном интервале.
Функция #(>.) = s-h(l) (k>0) уже не параметрическая, так
как ее значения — операторы, не сводящиеся к функциям перемен-
ного t. Например, для Х = 0 имеем #@)=1. Однако Н {\) непре-
непрерывна в каждом конечном интервале, так как, очевидно,
в«{А1(Х,0}. B-4)

118 Ч. II, гл. I. Операторные функции и их производные
Для функции Н (X) легко доказать соотношение
Н(\)Н(р) = Н(\+р) (Х>0, f*>0). B.5)
В самом деле, эта формула равносильна соотношению
и, следовательно, равенству
t
^h(k,t-x)h(v.,x)dx = hl{~k + ii,t) (\>O,v.>O,t>O). B.6)
о
Если 0<?<Х-Ь(ь то правая часть формулы B.6) равна 0. Но
тогда и подинтегральная функция равна нулю, так как для
0 < г < ц. обращается в нуль множитель h(\x, т), а для {i<x<?
множитель h(\,t — x). Ввиду этого правая и левая части формулы
равны друг другу. Если же 0<Х + ц</, то правая часть B.6)
равна t — l — p. Но тогда множитель Л (и, -t) равен нулю в интер-
интервале 0<т<(л, а вне его — единице, множитель же h(k,t — x)
равен нулю при 0<f — х<\ или, что то же самое, при t — \<x,
а в противном случае равен единице. Поэтому произведение
h(k, t - т)Л([а, х) принимает значение 1 в интервале ц.<х<? — \
и значение 0 вне его. Таким образом, интеграл в B.6) приводится
к виду
t-x
Формула B.6) и вместе с ней B.5) доказаны.
Определение функции Н (к) распространяем и на отрицатель-
отрицательные значения к, полагая
я(х)= н (-к) для 1<0-
Очевидно, что при этом определении соотношение B.5) справед-
справедливо для всех вещественных \ и ц..
Функция Я (а) напоминает обычную показательную функцию
е, которая также удовлетворяет функциональному уравнению
B.5), ибо
и, кроме того, е°=1. Обе функции, Н(\) и ех, принадлежат
широкому классу показательных функций, о которых мы будем
говорить подробнее в § 9. Здесь заметим еще, что функция
Н(к) непрерывна в каждом конечном интервале а<Х<р. В самом

§ 2 Непрерывные операторные функции 119
деле, можно написать
Н(к) = Н
и, в силу B.4),
H(l) = H(a)s*{hxQ.-a,t)),
что и доказывает непрерывность #().).
Распространим теперь общее определение непрерывности на
произвольные бесконечные интервалы Операторную функцию
будем называть непрерывной в данном бесконечном интервале,
если она непрерывна в каждом содержащемся в нем конечном
интервале.
Функция #(Х) непрерывна в интервале ( — со, ее).
Примечание. Если бы мы для бесконечного интервала
приняли непосредственно такое же определение непрерывности
функции, как для конечного интервала, то функция #(Х) не была
бы непрерывна в интервале ( — со, оо), так как не существует
такого оператора q, при котором в представлении H(k) = q {Hx (X, t)}
функция H1(k, t) была бы непрерывна для 0<?< оо и всех веще-
вещественных X. Таким образом, функция #(/) была бы непрерывна
в любом конечном интервале, но не в интервале ( — оо, со), что
не соответствует нашей интуиции. Аналогичное положение имело
бы место для многих других функций. Для того чтобы его
избежать, мы определили непрерывность функции сначала для
конечных интервалов и лишь потом распространили определение
на бесконечные интервалы.
Следующее простое предложение окажется полезным в § 17.
Если для операторных функций /()) и g(k), непрерывных
и отличных от нуля в некотором интервале I, имеет место
равенство
то во всем интервале I либо /(Х) = g(k), Au6of(k) = — g(X).
Очевидно, что для каждой отдельной точки X имеем либо
= g(k), либо /(Х)= — g(X). Если бы для какой-то точки Хх
из рассматриваемого интервала имело место первое из этих равенств,
для другой же точки Х2—второе, то из предположения, что /(X)
и g(k) всюду в / отличны от нуля, следовало бы, что между
точками Xj и Х2 хотя бы одна из функций /(X) и ?(Х) имеет
разрыв. Мы опускаем детали этого доказательства, которые лег-
легко восстановить.
Заметим, наконец, что если f(X) является числовой оператор-
операторной функцией, то приведенное здесь определение непрерывности
совпадает с обычным. Действительно, в этом случае можно на-
написать f(k) = s{f(X)}. Из обычной непрерывности функции /(X)
следует, что она непрерывна и как функция двух переменных X и /
(относительно t она постоянна). Справедливо и обратное утверждение.

120
Ч. II, гл I. Операторные функции и их производные
§ 3. Непрерывная производная операторной функции
Для приложений операторного исчисления достаточно понятия
непрерывной производной. Мы дадим здесь определение именно
такой производной, откладывая более общее определение до § 7
Будем говорить, что операторная функция Дл) непрерывно
дифференцируема в конечном интервале /, если она представима
в виде
C.1)
где g-оператор, a fl{k)
Функция h,l2,t)
— параметрическая функция {/±{\, t)},
обладающая частной производной
I дТ.'1^ ' ) \ ' непРеРывн011 во всей
области D(/,g/, 0<*<oo). Мы
скажем также в этом случае, что
функция f(k) имеет в интервале /
непрерывную производную:
C.2)
Фиг 74
Покажем, например, что функ-
функция #(>), определенная в пре-
предыдущем параграфе, имеет непрерывную производную в любом
конечном интервале 0<Х<Х0. В самом деле, в силу B.4), можно
написать при X > О
где функция h.2(h, t) задана равенствами
О, 0<*<Х,
(фиг. 74) и обладает частной производной ^-
в области D @<Х < оо, 0<^< со). Отсюда
t), непрерывной
, C.3)
где Х„ — произвольное положительное число.
Если операторная функция /().) дифференцируема (непрерывно)
в интервале /, то производную /' (X) можно бесконечным числом
способов представить в виде C.2). Действительно, пусть а —про
извольная функция класса С, отличная от нуля. Полагая тогда
.) = ? ММ.

§ 3 Непрерывная производная операторной функции 12Т
t
где /2 М = { \ а W ~ х) /i (*•> t) dt V — опять параметрическая функ-
о
ция, имеющая непрерывную частную производную в области D,
можно производную функции /(X) записать также в виде
Г(/-)=~
Может возникнуть сомнение, является ли однозначным опре-
определение производной. Следовательно, мы обязаны еще проверить,
что всегда
ft {qi fi (*> О} = ft {ддХ h (Ъ *)} . C 4)
если функция /()) представима в интервале / двумя способами
:>o=ft{MMM. C 5)
где частные производные grM^. О и з^/гР^ 0 непрерывны в об-
области D.
В самом деле, можно подобрать такие функции av a2 и с Ф О
класса С, что
ft = -c-. ft = -c-- C-6>
Тогда из равенств C.5) вытекает, что
т. е.
¦ \ «1 (-' - т) ti /i (^, ^) Л = \ а2 V - х) Д /2 (X, х) dx,
о о
в области D. Отсюда, дифференцируя по X, получаем
или
а деление на с дает равенство C.4). Таким образом, однознач-
однозначность определения доказана.
Заметим еще, что в случае числовой функции Да) приведен-
приведенное выше определение равносильно обычному определению (непре-
(непрерывной) производной. Действительно, записывая тогда f(k)B виде
s {/())}, имеем

122 V //, гл I Операторные функции tTux производные
поскольку непрерывна обычная производная , /(*•). Отсюда,
в частности, следует, что производная числовой функции есть
опять числовая функция.
§ 4. Свойства непрерывной производной
Свойство I. Если функция f(t) постоянна в некотором
интервале /, т. е. если каждому значению X из этого интервала
отвечает один и тот же оператор с, то f (X) — 0. Обратно, если
f (X) = 0 в интервале /, то функция /(X) постоянна в /.
В самом деле, любой оператор с имеет вид ajb, где a
и Ь Ф 0. Если fQ)=c, то
Обратно, если /' (X) = 0, то в формуле C 2) для значений К
и t из области D имеем difiQ>> t)---0. Отсюда следует, что f1(l, t)
не зависит от X, т. е. что функция, представленная формулой C.1),
постоянна.
Свойство II. Если операторные функции /(X) и g(k) имеют
в интервале / непрерывные производные f (X) и g' (X), то и их
сумма и разность обладают в этом интервале непрерывными про-
производными, причем
Действительно, в силу предположения о существовании не-
непрерывной производной, имеем
где /j(X) и gt (X) — параметрические функции с частными произ-
производными по X, непрерывными в области D. Тогда можно пред-
представить <7i и <7г в виДе C-6), и, следовательно,
где /2(Х) =- aJ^X) и g,(X) = arf1(X). Поэтому

§ 4 Свойства непрерывной производной 123
Свойство III Если функции f(k) и g(t) имеют непрерыв-
непрерывные производные f (/) и g' (к) в интервале /, то произведение
fQ)S(K) также обладает непрерывной производной в этом интер-
интервале и справедлива формула
В самом деле,
t
о
t
о
8l 0) + ?l?2/l W {gX gr (X, 0}
Свойство IV. Если с — произвольный оператор, а оператор-
операторная функция f(k) имеет непрерывную производную в интервале/,
то произведение cfQ) также обладает непрерывной производной
в этом интервале и справедлива формула
Это свойство сразу вытекает из свойств I и III.
Свойство V. Если операторные функции g(k) и fO)/Q)
имеют непрерывные производные в интервале /, то и функция
f(k) обладает непрерывной производной в этом интервале, причем
справедлива формула
Г ЛХ1
L g(b)
Свойство это вытекает из свойства III, так как
и простое преобразование дает искомое соотношение.
Свойство VI. Если функция f{\) имеет непрерывную про-
производную в интервале /, а ер (к) — числовая функция со значениями,
принадлежащими /, обладающая непрерывной производной в ин-
интервале К, то сложная функция F (к) — f (cp (к)) имеет непрерыв-
непрерывную производную в /С и справедлива формула
F' Q) = /'(<?(>•))<?'(>)•
Действительно, в силу C.1) и C.2), имеем

124 '/. //, гл. I. Операторные функции и их производные
и, обозначая -^М^ 0 через /0(Х, (),
' (>-) = Я {д h (<Р W- О } = 9 (/о (Т W- О ?' 00} =
Упражнение. Вычислить двумя способами (один раз непосредст-
непосредственно, исходя из определения, а второй раз—опираясь на доказанные в на-
настоящем параграфе свойства) производные следующих операторных функций:
A)
B) f (X) = {X* + № +1*} = /X4 + 2PX* + 24/5;
C)
D)
§ 5. Непрерывные производные высших порядков
Пусть f' (X) — непрерывная производная операторной функции
/().). Если /'A) обладает непрерывной производной, то последнюю
называем второй непрерывной производной функции /(/,) и обо-
обозначаем через /"(>.)• Аналогично под третьей непрерывной произ-
производной мы понимаем непрерывную производную второй непре-
непрерывной производной и т. д.
Легко видеть, что если функция /(*•) имеет в интервале 1
вторую непрерывную производную f (k), то существуют такой
оператор q2 и такая параметрическая функция {/2(^>0Ь обладаю-
обладающая в области D(k?l, 0<?<oo) второй непрерывной частной
ПРОИЗВОДНОЙ {^gM>>i О} » ЧТО
<7. {/, (^. 01, /' W - ?2 {? /2 (X,/)} .
Вообще, если функция /(X) имеет в интервале / я-ю непре-
непрерывную производную /(П)(Х), то существуют такие оператор qn
и параметрическая функция {/„(>.,/)}, обладающая в области
D(X/ 0<^<co) непрерывной я-й частной производной
}
E.1)
E.2)

§ б. Непрерывная производная в бесконечном интервале 125
С другой стороны, пусть некоторая функция /(X) удовлетворяет
условию E.1), причем частная производная {л^й/»»(*•» 0 } непрерывна
в области D. Тогда существует л-я непрерывная прозводная
fC) (),), которая выражается формулой E.2). Таким образом, усло-
условия E.1) и E.2) (и непрерывность |д^/„(^> О}) могут служить
равносильным определением п-й непрерывной производной опе-
операторной функции.
Упражнение. Найти вторую и третью непрерывные производные
операторных функций, приведенных в упражнении предыдущего параграфа.
§ 6. Непрерывная производная в бесконечном интервале
До сих пор мы предполагали, что интервал / конечен. Распро-
Распространим теперь определение непрерывной производной на беско-
бесконечные интервалы, аналогично тому, как мы это сделали при
определении непрерывности операторной функции. А именно,
мы скажем, что операторная функция f(k) имеет в бесконечном
интервале I непрерывную производную f (X), если /' (к) является
непрерывной производной в любом конечном интервале, содер-
содержащемся в /.
Совершенно таким же образом распространяется на бесконеч-
лые интервалы определение непрерывных производных любого
порядка.
Свойства I — VI из § 4 переносятся сразу же на производные
в бесконечных интервалах.
В § 3 мы доказали, что функция Н (к) имеет непрерывную
производную в каждом конечном интервале 0<Х<Х0. Из фор-
формулы C.3) вытекает, кроме того, что
H'(\) = ss{-h1(l,t)}=-sH(k) @<Х<Х0). F.1)
Пусть [а, Р] — произвольный конечный интервал. В силу фор-
формулы B.5), справедливой, как было показано, для любых веще-
вещественных X и р, имеем
Н (X) = Н{а)Н (к - а)
и. согласно свойствам IV и VI § 4,
Н'(к) = Н(а)Н'(\~а).
¦Отсюда следует существование непрерывной производной Н' (X)
в интервале [а, р]. Ввиду произвольности этого интервала, мы
доказали, что операторная функция Н(к) имеет непрерывную про-
производную в бесконечном интервале ( — оо, оо).
В силу F.1),
Н' A) = H(a)[-sH (X - а)] = - s

126 Ч. //, гл. 1. Операторные функции и их производные
и, следовательно, при всех вещественных X имеет место соотно-
соотношение
//'(>.)=-stf(X). F.2)
§ 7. Общее определение производной
Вопрос, который будет рассмотрен в настоящем параграфе,
представляет скорее теоретический интерес и может быть опу-
опущен читателем, который интересуется только приложениями.
Согласно § 3, непрерывная производная /' (X) числовой опера-
операторной функции f(X) в операторном смысле является одновременно
и производной в обычном смысле и притом, очевидно, непрерыв-
непрерывной. Здесь мы покажем, что можно дать более общее определе-
определение операторной производной, которое в случае числовых функций
равносильно обычному определению производной, не обязательно
непрерывной.
Будем говорить, что операторная функция f (X) дифференцируема
в точке Хо, если она представима в окрестности этой точки
в виде
/(Л) =
где <7 —оператор, a {ft(K t)} — такая параметрическая функция,
что частное
p, t) n n
при X —>X0 стремится к пределу равномерно в каждом конечном
интервале 0<^</0.
Этот предел, очевидно, равен частной производной ^-^(Х,,, t),
которая непрерывна по t. Однако из существования частной про-
производной, хотя бы и непрерывной по t, не следует еще, что част-
частное G.1) сходится к ней равномерно. Произведение q -! ^-^(Х,,, t) \
будем называть производной операторной функции f (л) в точке Хо
и обозначать символом /' (Хо).
Эта производная является обобщением непрерывной производ-
производной, так как из предположения, что функция зуМХ, /) непрерывна
(относительно обоих переменных X и t), вытекает уже, что част-
частное G.1) сходится равномерно в каждом интервале 0<^<^0.
В самом деле, частное G.1) равно [з^М^ 0 1 _е > гДе Е заклю-
заключено между Хо и X. Это выражение при X —»Хо сходится равно-
равномерно в интервале 0</<^0.
Обобщенная таким образом производная сохраняет все свой-
свойства I —VI (§ 4). Не все из этих свойств удалось бы доказать,
если бы мы не потребовали равномерной сходимости частного G.1).

Глава II
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 8. Дифференциальное уравнение х' (X) = wx (к)
Докажем следующую теорему:
Если заданы операторы w, k и вещественное число Хо, то
существует не более одной операторной функции хA), удовлет-
удовлетворяющей для всех вещественных X уравнению1)
XrQ) = WX(\) (I)
и условию
х(Х0) = &. (8.1)
Доказательство. Допустим, что имеются две операторные
функции XiQ.) и х2(Х), удовлетворяющие уравнению (I) и условию
(8.1). Тогда функция
x(k) = Xl(\)-x2(\)
удовлетворяет также уравнению (I) и, кроме того, условию
*(Х0) = 0. (8.2)
Достаточно доказать, что х(Х) = 0 для всех вещественных л.
Вводя вспомогательную функцию
где ji. — произвольно фиксированное вещественное число, имеем
у' (I) = х' (X) х BР - X) - х (X) х' B? - X)
и, в силу (I),
у' (X) = wx (X) х Bft - X) - х (Х)>х Bfl - X) = 0.
Поэтому функция у (к) постоянна для всех вещественных X. Но
¦") Из предположения, что функция х (К) имеет производную, следует, что
х (X) непрерывна; далее, из уравнения (I) вытекает, что производная х' (А.)
непрерывна.

128 Ч. II, гл. II. Показательные функции
ввиду (8.2), имеем
и, следовательно, у(\) = 0 для всех \, т. е
x(>0*Bft-X) = 0.
Подставляя, в частности, X = р, получаем [*(р)]2 = 0 и, наконец,
х(|х) = 0.
Ввиду произвольности fi, теорема доказана.
§ 9. Обобщенные показательные функции
Если ш есть число, то показательная функция х{к) — ела> удо-
удовлетворяет уравнению
x'(k) = wx(k) (I)
и условию
х@) = \. (9.1)
Согласно доказанной теореме, это единственная функция
с указанными свойствами (что, впрочем, известно из классического
анализа). Таким образом, условия (I) и (9.1) могут служить опре-
определением показательной функции.
Если w — не число, а произвольный оператор, то условия (I)
и (9.1) определяют обобщенную показательную функцию1), для
которой мы сохраним обозначение еш. Другими словами, если
при данном операторе w операторная функция х (к) удовлетворяет
условиям (I) и (9.1), то мы будем писать
х (к) = еш ¦
В силу теоремы предыдущего параграфа, значения любой пока-
показательной функции всегда отличны от нуля.
В § 6 мы доказали, что операторная функция #(>.), опреде-
определенная в § 2, удовлетворяет условиям
Н'(\)= -sH(k), //@)=l.
Поэтому в дальнейшем мы будем записывать ее в показательной
форме
Соотношение B.5) принимает теперь вид
e-isg-iis — g-tt+v.)* (9.2)
') Если она существует —Прим. редакции

§ JO. Операторы сдвига
129
Мы будем называть e~As гиперболической показательной функ-
функцией, ибо, как мы увидим в § 18, она связана с гиперболическим
дифференциальным уравнением.
Кроме обычной (классической) показательной функции ех и гипер-
гиперболической показательной функции e~ks, функцию-константу
#(Х) = 1 также можно рассматривать как показательную, ибо
для нее выполнены условия
х'().) = 0-х{\), х@)=\.
Позже (в §§ 29, 48, 52 и 54) мы познакомимся с целым рядом
других обобщенных показательных функций. Теперь же мы по-
подробнее рассмотрим свойства гиперболической функции.
§ 10. Операторы сдвига
Согласно определению функции Я(Х), данному в § 2, при
Х>0 справедливо соотношение
e-** = s{h().,t)} (X>0), A0.1)
где h (X, t) — функция Хевисайда, заданная равенствами
при 0<?<Х,
Используя формулу A0.1), мы легко можем доказать следующее
предложение:
Если {/ (t)} — произвольная функция (класса К), то
0 при
Это предложение имеет очень простую геометрическую интер-
интерпретацию, как показывают фиг. 75 и 76. Умножение данной
Фнг. 75. График функции {f {t)}. Фиг. 76. График функции
Функции {f(t)} на e~Xs вызывает смещение ее графика на длину X
в положительном направлении оси /. Поэтому значения гипербо-
гиперболической показательной функции мы будем называть операторами
сдвига.
^ Ян Минусинский

130
Ч. II, гл. II. Показательные функции
Высказанное предложение можно доказать простой проверкой.
В самом деле, имеем
где
Но
{/ @) = s {h (X, 0) {f (t)} = s {F (X, 0},
M—0/00*.
0 при 0 < t < X,
и, следовательно,
Так как F(k, 0) = 0, то
01 = {^
о,
0} = (, Д, о<х<^
Геометрическая интерпретация оператора сдвига хорошо пояс-
поясняет значение формулы (9.2): эта формула выражает тот факт, что
смещение графика функции сначала на длину X, а затем на
длину fi равносильно единому смещению на длину X-t-f».
Если функция {f{t)\ равна нулю в интервале 0<?<а, то ее
график можно сместить и влево, умножая эту функцию^ на
Фиг. 77.
оператор exs, лишь бы было 0<Х<а. Если же функция {/@}
отлична от нуля в окрестности точки t = 0, то, умножая ее па
оператор eXs(b>0), мы замечаем интересное явление. Предпо-
Предположим, например, что {f{t)) = {t}. Умножению на eAs (X > 0) отве-
отвечает смещение графика влево на длину X. Но тогда график
частично переходит за точку t— 0 на отрицательную сторону
оси /. В то же время мы рассматриваем в операторном исчислении

§ 10. Операторы сдвига
131
только функции с областью задания 0<? < со, и, таким образомг
часть графика, соответствующая отрицательным значениям t,
лишена смысла. Если бы эту часть мы просто отбросили, то
после умножения на e~Xs мы получили бы не исходную функцию,
а другую функцию, изображенную на фиг. 77, (?), вопреки ра-
равенству
е-**е* {t\=\ •{/}-{/}.
Явление это объясняется тем, что функция Щ или вообще любая
функция (класса К), отличная от нуля в окрестности t = 0, после
умножения на eXs (X > 0) перестает быть функцией и превращается
в оператор. После умножения этого оператора на e~Xs функция
как бы возвращается из «страны духов» и опять принимает свой
скромный облик обычной функции.
Для того, чтобы освоиться с операторами сдвига, рассмотрим
еще несколько примеров.
Пример ]. Оператор
представляет (при фиксированном X) функцию, изображенную на
фиг. 78. Это сразу следует из формулы A0.1), так как e~is/s =
{МХ /)}
я
Фиг. 78.
Фиг. 79.
Пример 2. Оператор
1A -er")
равен функции {\—h(l,t)}\ ее график изображен на фиг. 79.
Пример 3. Оператор
равен функции {Л (a, t) — Л(|3, t)}, гра-
график которой изображен на фиг. 80.
Пример 4. Оператор
« J3
Фиг. 8Q.
-IS
(Х>0)

132
Ч. II, гл. II. Показательные функции
есть функция, график которой получается из графика функции
l/sz = {t} смещением вправо на длину X (фиг. 81).
о я
Фиг. 81.
Комбинируя эти функции, можно получить различные ломаные,
например,
JLA _e-«_
/3 a*fi
Фиг. 82.
Фиг. 83.
Пример 5. Геометрический смысл оператора
мы найдем, сместив график функции 1/A +s2) = f sin t) на длину я
и прибавив графически смещенную кривую к несмещенной. Этим
способом получим половину одной волны (фиг. 84 — 86)..
Функция {sin t}
Фиг. 84.
Функция e'rs{sin t)
Фиг. 85.
Сумма этих
функций
О п
Фиг. 86.

S 10. Операторы сдвига
133
Пример 6. График для оператора
пг? (*+e~*s) A
легко получается из предыдущего графика, если последний сместить
один раз на 2г., второй раз на 4я и наложить друг на друга все
три графика (фиг. 87).
О it 2Я Зл Uv Sff
Фиг. 87.
Пример 7. В заключение приведем еще один оператор,
несколько более сложный:
-ш
16
1± \ p-5s _ С _2_ I — 4--- 1 P~7s
2s Je \ 3s3 + s2 ¦+" ?" ' в '
Представляем читателю проверку того, что он является функ-
функцией, график которой изображен на фиг. 88.
Z
1
\l \l \ I I
, r^_
0 J 2^
4 5
Фиг. 88.

Глава III
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ОПЕРАТОРОВ
§ И. Равномерная сходимость
Последовательность функций {/„@). ограниченных в некотором
интервале /, сходится к пределу {f(t)}, по определению, равно-
равномерно в этом интервале, если существует такая числовая после-
последовательность еп, сходящаяся к нулю, что
|/п@-/@1<в» (я=1. 2, ...) A1.1)
для всех I, принадлежащих интервалу /.
Например, последовательность •! ^~- \ равномерно сходится
к нулю в любом интервале, ибо числовая последовательность 1/я
сходится к нулю и, кроме того,
sin nt
-О
для всех вещественных t. Последовательность -{ —— J- равно-
равномерно сходится к функции {t} в любом интервале, так как
nt—sin nt
п
-t
Если последовательность чисел ап сходится к о, то последо-
последовательность функций-констант {ап} сходится равномерно к {а}
в любом интервале. В самом деле, последовательность еп=|ап—а|
стремится к пулю и |ап —а|<еп. Последовательность {e~t/n} схо-
сходится равномерно к {1} в любом конечном интервале а<?<[3. Дей-
Действительно, в этом интервале справедливы неравенства
g-P/n _ 1 < e-tln. _ 1 < g-a/n _ 1 f
и если в качестве еп мы возьмем большее из чисел
|в-Р/»-11, \е-а'п-1\,

§ П. Равномерная сходимость 135
то последовательность еп будет сходиться к нулю и
! p-t/n 1 1 <r t=
\е — 1 | яеп,
что и доказывает равномерную сходимость в интервале а < t < J3.
Однако можно доказать, что {е~'/п} не сходится равномерно
ни в одном бесконечном интервале.
Если все члены последовательности {fn (()} равны функции
{/„@1 =
то эта последовательность равномерно сходится к {/ (t)} в рассмат-
рассматриваемом интервале, так как
где е„ = 0 для всех значений п.
Из анализа известно, что если последовательность непрерывных
функций {/„@} равномерно сходится в интервале /, то и ее
предел \f(t)} -непрерывная функция в /.
Если функции {/„ (/)} принадлежат классу С, т. е. определены
и непрерывны в интервале 0 <. t < со, и если последовательность
{fn(t)} равномерно сходится в любом конечном интервале 0</<^0,
то и предел {f(t)} является функцией класса С.
В самом деле, функция {/@} непрерывна в каждом конечном
интервале 0</<^0, а тем самым и в бесконечном интервале
О
Если последовательность непрерывных функций \fn(t)} сходится
к функции {f(t)} равномерно в конечном интервале а</<р, то
существует такое число М, что в этом интервале
\fn{t)\<M,
Действительно, функция {/ (/)} непрерывна и, значит, ограничена
в интервале <х<?<.р:
\f(t)\<,N, A1.2)
а из неравенства (П.1) следует, что
где е —наибольшее из чисел еп. Ввиду A1.2), имеем также
\f(t)\<M.
Если последовательности непрерывных функций {/„ (t)} и {gn(t)}
сходятся соответственно к {/(/)} и {g(l)\ равномерно в интер-
интервале 0<?</0> то последовательность

136 Ч. II, гл. III. Последовательности и ряды операторов
ходится равномерно в этом интервале к
о
Доказательство. Условия теоремы дают:
где еп --» 0 и •»)„—> 0. В силу этого,
\ Msndx + \' N-iindt =
где для УИ и W выполнены неравенства | gn (/) | < М и | /„ (О I < N-
Так как числовая последовательность Mtoen-\-NtQ-r[n сходится
к нулю, то теорема доказана.
Для нас существенны следующие частные случаи этой тео-
теоремы:
Если последовательность непрерывных функций {gn{t)} равно-
равномерно сходятся к {g(t)} в интервале 0<.^<^0 и если функция
{f(t)\ непрерывна в этом интервале, то последовательность
сходится к
t
о
равномерно в интервале 0 < / < f0

§ 12. Предел последовательности операторов 137"
Если последовательность непрерывных функций {gn(t)} равно-
равномерно сходится к {g (/)} в интервале 0 < / < 10, то последователь-
последовательность
о
сходится к
о
равномерно в этом интервале.
,, , „ f cos nt Л
Упражнения. I. Доказать, что последовательность < - V
в любом интервале равномерно сходится к нулю.
2. Доказать, что последовательность {Л (я, 0} (где А—функция Хевисайда,
определенная в § 2) сходится к нулю равномерно в любом конечном интер-
интервале 0</^/
§ 12. Предел последовательности операторов
Последовательность операторов ап будем называть сходящейся
к оператору а, если существуют оператор </ и последовательность
функций /п класса С со следующими свойствами:
(I) Последовательность /п сходится к пределу / равномерно
в каждом конечном интервале 0^i^l0;
(II) an = qfn (л=1, 2, ...);
(Ш) a = 4f.
Например, последовательность ап — {cos nt} сходится к нулю,
так как можно положить
sin nt
а последовательность j s~— \ сходится равномерно к нулю в каж-
каж0^<
дом интервале 0
Уже этот простои пример показывает, что понятие сходимости,
которое мы положили в основу операторного исчисления, очень
общо: ведь последовательность {cosn/} отнюдь не сходится в смысле
классического анализа. Еще больший интерес представляет после-
последовательность an = {nsinn/}. Ее элементы колеблются между
-ш и ю в каждой точке t, не являющейся кратным числа к.
Тем не менее она сходится в операторном смысле, и ее предел
равен числу (числовому оператору) 1. В самом деле, легко про-
проверить, что
Sin nt I
— j- .

138 Ч. II, гл. III. Последовательности и ряды операторов
Последовательность {/ — —— V сходится к {/} равномерно в любом
интервале 0</<г'0. Ввиду этого, пределом последовательности ап
является оператор a = s2 {t} = s2/2 = 1.
Легко также указать последовательность функций an = {an(t)},
сходящуюся к оператору дифференцирования s. Положим
ап = {и2 cos nt). Тогда
и поступая так же, как выше, получаем предел а = s3 {t} = ssl2 = s.
Элементами всех последовательностей, приведенных выше, были
функции класса С. Очевидно, можно рассматривать и последова-
последовательности, элементами которых не являются функции. Например,
ап =s/n есть такая последовательность. Она сходится к нулю,
как это вытекает из представления an = s2-{l/n}.
Аналогично, последовательность ап = е'ш операторов сдвига
сходится к нулю, так как ее можно записать в виде sM2^""8,
где 12е~т есть функция класса С, равная нулю в интервале
0/
Если ап — последовательность числовых операторов, то данное
в начале параграфа определение сходимости равносильно обыч-
обычному определению сходимости числовой последовательности. Дей-
Действительно, можно тогда положить
an = s{an}, a = s{a],
где последовательность функций-констант {ап}, очевидно, в том
и только в том случае равномерно сходится к {а}, если числовая
последовательность ап сходится к а в обычном смысле.
Отсюда, в частности, вытекает, что предел последовательности
(сходящейся) числовых операторов есть опять числовой оператор,
т. е. число.
Если ап — функции класса К, то из равномерной сходимости
последовательности ап в любом конечном интервале 0 < t < t0 выте-
вытекает ее сходимость в операторном смысле. Это очевидно, когда
функции ап принадлежат классу С, ибо тогда достаточно положить
о — I. Если же функции ап принадлежат классу К, то можно
положить an = s-lan, где fon={\ <з„(^)^| — ужепоследователь-
b
ность функций класса С, равномерно сходящаяся в любом конеч-
конечном интервале 0<^</0.
Для доказательства корректности определения сходимости операторов
нужно проверить, что всякая последовательность операторов может иметь
не больше одного предела.
Допустим, что а и 6 —пределы последовательности о„. Тогда существуют
такие операторы guru такие последовательности /п и gn функций класса С.

§ 13. Физические интерпретации оператора сдвига 139
равномерно сходящиеся к / и g в каждом интервале 0<J< t0, что
an = qfn — rgn, a=qf, b=ra.
Пусть qi, /•! и с ф 0—функции класса С, для которых q = ql/c и г=г\[с.
Тогда qifn^rign, т. е.
t t
о о
Так как последовательности /„ и gn равномерно сходятся в любом (конечном)
интервале, то при л—?-оо
t t
или
qif=r!g.
Разл ив это равенство на с, получим q)~rg, т. е. а = Ь', что и доказывает
«динстенность предела.
Упражнения. 1. Доказать, что каждая из следующих последователь-
последовательностей сходится к числу 1:
-п*}, {n—n*t+\n—n*t\}, \
2. Доказать, что последовательность
{п3 sin nt + nH cos nl)
сходится к пределу 2s2.
3. Доказать, что последовательность а+Ье'т, где а и Ь—произвольные
операторы, сходится к пределу а.
§13. Физические интерпретации оператора сдвига
Геометрическую интерпретацию оператора e~Xs мы рассмотрели
в § 10. Здесь мы разберем еще некоторые физические интерпре-
интерпретации.
Исследуем при произвольно фиксированной ). предел последо-
последовательности функций
О при 0 < t < X -
где {1 — положительное число.
Если п достаточно велико, то график функции {/„(/)} имеет
форму, изображенную на фиг. 89; площадь заштрихованного пря-
прямоугольника Р равна )х. Фиг. 90 изображает график функции
'{/п@}. фиг- 91—график функции lz{fn(t)}. Фиг. 91 показывает,
что разность между функцией ta{fn{t)} и функцией p./2e-AS, которой

140
Ч. II, гл. III. Последовательности и ряды операторов
отвечает ломаная, соединяющая точки, обозначенные маленькими
кружками, меньше р./и. Отсюда вытекает, что последовательность
функций I2 {fn (t)} стремится к пределу \xl2e~*s, равномерно в каждом
конечном интервале 0<^</0. Поэтому последовательность
имеет предел [is2/2?~As = \ie~Xs.
Площадь прямоугольника Р можно интерпретировать как массу р.,
распределенную равномерно на отрезке (х — — • ^ + 7F у ' ^ пределе
эта масса сосредоточивается в точке X. Можно поэтому считать, что
оператор \t-e~Xs представляет массу р. в точке X, и аналогично интер-
интерпретировать число р. как массу, сосредоточенную в точке 0.
?
Фиг. 89.
о г-ь я а
Фиг. 90.
о а-* а
Фиг. 91.
Мы приходим к другой физической интерпретации опера-
оператора p.?-"s, рассматривая функции {/„(<)} как кратковременные
электродвижущие силы, или как импульсы э. д. с. Предположив,
что импульс действует очень короткое время.можно, идеализируя
условия, в пределе принять, что
Е = pe-*s.
В частности, ?' = р., когда Х = 0, и мы имеем дело с импульсом
(э. д. с.) в момент ^ = 0 (см. ч. I, § 40).
Пример. Найти ток в электрической цепи с импедансом Z
и током короткого замыкания О.^при включении э. д. с, состоя-
состоящей из двух импульсов величины Ео, действующих с интервалом
времени Т.
Предполагая, что первый импульс действует в момент 1 = 0,
можно положить
и уравнение тока ZI = E дает

§ 14. Свойства предела последовательности операторов
Допустим, в частности, что Z = Ls + R. Тогда
Принимая во внимание геометрический смысл оператора сдвига,
получаем отсюда
Функции fn можно также интерпретировать физически как обыкно-
обыкновенные силы. Тогда предел ^e~xs следует считать ударом, дей-
действующим в момент / = Х.. Это третья интерпретация оператора
сдвига.
Оператор pe~ks можно получить в качестве предела более
общих последовательностей функций. Именно, примем, что функ-
функция /„(О («=1, 2, ...) класса К неотрицательна в интервале
\ — еп< t <\-\-еп и равна нулю вне этого интервала. Если
Игл
\
П-*со
Л-в„
то последовательность {fn{t)} сходится в операторном смысле
к пределу fie~As. Доказательство опускаем.
§ 14. Свойства предела последовательности операторов
Предел последовательности операторов обладает свойствами,
аналогичными свойствам обычного предела числовой последова-
последовательности. Если ап = а, где а — произвольно фиксированный опе-
оператор, то \\тап — а. Если последовательность ап сходится к некото-
некоторому пределу, то любая ее подпоследовательность сходится к тому
же пределу. Существенны также теоремы о сложении, вычитании
и умножении последовательностей: если существуют пределы
Нта„ = а и Iim6n = 6, to и последовательности an-\-bn, an — bn,
апЬп обладают пределами и имеют место равенства
(an — bn) = a-b, Mm anbn = ab.
В самом деле, из предположения сходимости пос педователь-
ностей ап и Ьп следует, что существуют такие операторы q и г,
Для которых
0} a = q{f(t)}, A4.1)
t)} b = r{g(t)}, A4.2)

142 Ч- II, гл. Ill. Последовательности и ряды операторов
где {fn(t)\ и {gn(t)}~ последовательности функций класса С, схо-
сходящиеся к {/(/)) и {§(/)) равномерно в каждом конечном интер-
интервале 0 </</„.
Положим q = qllc и г = rjc, где qv гг и с Ф 0 функции
класса С. Равенство
в силу предположения о равномерной сходимости последователь-
последовательностей {/„(/)} и {?„(/)}, дает
Аналогично доказывается соответствующее предложение для раз-
разности последовательностей.
Для того чтобы доказать теорему об умножении последова-
последовательностей, воспользуемся равенством
из которого, опять в силу равномерной сходимости последователь-
последовательностей {/„@} и {Я„@)> вытекает, что
Частный случай умножения мы имеем тогда, когда члены одной
из последовательностей равны друг другу, например ап = а.
Тогда из предположения Iim6n = & следует, что
lim {abn) — ab.
Из теоремы об умножении последовательностей вытекает, что если
liman = a и lim6n=&F/=0 и Ьп f 0, п=1, 2, ...) и если
последовательность частных ajbn имеет предел, то
lim-,- = -.-,
bn b
От условия сходимости последовательности ап1Ьп здесь нельзя осво-
освободиться (в противоположность теории обычных последовательностей), как

§ 14. Свойства предела последовательности операторов 143
это показывает следующий пример х). Пусть
ап--Л, Ьп=±-\.
Тогда liman=l, Iim6n=—1, а последовательность
bn s — n
не сходится. В самом деле, в случае сходимости существовала бы такая
функция
/ее Aфо), A4.3)
что последовательность
t
равномерно сходилась бы в каждом интервале O^.t^t0, что легко следует
из определения сходимости. Но тогда последовательность
to
была бы ограниченной, и в силу теоремы о моментах (см. ч. I, § 11), мы бы
имели f(t0—т) = 0 при 0 =^ •:<;/„, т. е. f(t) = O для 0<./^/0. Так как/0
можно фиксировать произвольно, то /(/) = 0 для всех /:з=0, что противоречит
условию A4.3).
Докажем еще следующее предложение: если операторная
функция /(X) непрерывна в интервале I и если Хо принадлежит
I, то
для любой числовой последовательности \п (kn?l), сходящейся
к пределу Хо.
Действительно, из условия непрерывности вытекает существо-
существование оператора q и параметрической функции /^(Х), непрерывной
в области D(Xg/, 0<?< со) таких, что
Если \п—»Х0, то последовательность {МХ„, О —MV 0} стре-
стремится к нулю равномерно в каждом конечном интервале 0 </</0.
Поэтому последовательность f (/.„) = qfx (/.n) сходится (в оператор-
операторном смысле) к пределу
х) Пример принадлежит Рыль-Нардзевскому.

144 4. II, гл. III. Последовательности и ряды операторов
§ 15. Ряды операторов
Мы будем писать
2 an = a0 + fli+...=i4,
п-0
если последовательность частных сумм
'Сходится к Л, и будем говорить тогда, что рассматриваемый ряд
имеет сумму А. Например,
так как последовательность частных сумм
•сходится к оператору
Интересный класс образуют ряды операторов сдвига.
Ряд
aoe-Pos + aie-Pis+ ..., A5.1)
где коэффициенты <х0, о,, ...—совершенно произвольные комплекс-
комплексные числа, а показатели р„, р,, .. .—вещественные числа, монотонно
возрастающие к оо, всегда сходится.
Для доказательства рассмотрим сначала последовательность
функций {/„(/)}, заданных равенствами
{/2 (/)} = / (a0 + oie-(Pi-Po)» + o2e-(P«-Pe)«),
{/з @} = ^ (ao + aie-(P»-P<»)s + a2e-(?2-Po)» + a3e-(P9-Pe)s),
Если числа <х0 о,, ... положительны, то этим функциям отвечают
¦графики, изображенные на фиг. 92.
Легко видеть, что для остальных функций
{МО}, {/в(')}> •••
график в интервале 0</<Р3 —Ро совпадает с графиком функции
{/з(/)). Вообще, в любом наперед заданном конечном интервале
0<^<< функции {/п@Ь начиная с некоторого п, равны друг

§ 15. Ряды операторов
145
другу.. Это будет иметь место независимо от того, являются ли
коэффициенты а0, ар ... вещественными или комплексными, хотя
в последнем случае график в плоскости нельзя построить. Поэтому
\falW
О
I
А-А,
;
Oto
0
Фиг. 92.
Рз-fio
последовательность функций {/„(/)} сходится равномерно в любом
конечном интервале 0<^<^0.
Далее, отсюда же вытекает сходимость последовательности
частных сумм
т. е. сходимость ряда A5.1).
Сумму этого ряда можно интерпретировать либо как систему
масс <х0, сс1( ... (положительных, отрицательных или даже ком-
комплексных), сосредоточенных в точках Ро, Plt ..., либо как сово-
совокупность импульсов или ударов величины a0, av ..., возника-
возникающих в моменты времени t = Ро, Рх, ... .
Особо важны ряды
Ян МикусинскиЯ

146 Ч. II, гл. III. Последовательности и ряды операторов
где 8 - произвольное фиксированное положительное число. Умно-
Умножая такой ряд на 1 — e-?s, имеем
A — e-Ps) (I -h e-Ps J- e-2Ps 4- ...) =
= A +e-?s-:-e-2?s \- ...) - (e-?s-{-e~2?s + ...) = 1.
Отсюда следует, что
Легко видеть, что оператор
представляет собой ступенчатую функцию (фиг. 93).
Важную роль в приложениях
играет оператор
f
где / = {f(t)} — произвольная фупк-
_ ция (класса К), которая вне интер-
И ~zji 3fi 4/Г" вала 0<^<Й тождественно рав-
равна нулю. Такой оператор являет-
Фиг- 93- ся функцией, график которой полу-
получается последовательным повторе-
повторением (бесконечное число раз) куска графика функции /(/), соответ-
соответствующего интервалу 0<^<р (фиг. 94 и 95).
"К/
0 Р о /з гр зр
Фиг. 94. фиг. 95.
Таким образом, оператор A5.2) представляет периодическую
функцию (если только значения функции f(t) равны нулю вне
интервала 0<^<^)- с другой стороны, если g(()—периодическая
функция с периодом 3, то выражение
/=(l-e-P»)g
представляет собой функцию, равную нулю при t > 8. Следова-
Следовательно, справедлива теорема:
Функция g = {g(t)\{t>0) в том и только в том случае перио-
периодична, если она представима в виде

§ 15. Ряды операторов 147
где $ —положительное число, а /={/(/)} — функция, равная нулю
при t>$. Число $ является периодом функции g(t).
1 +en
Полагая, в частности, ,3 = 2я и {/(^)}=—7-—-^- (см. пример 5
из § Ю), имеем (после упрощения) оператор
который представляет функцию с графиком, изображенным
О п 2п Зп Ьп 5л 6л
Фиг. 96.
на фиг. 96. Этот оператор может иметь приложения в электро-
электротехнике, ибо представляет выпрямленную полуволну.
Если же {/@} =~0 —е-?5'2), то получаем оператор A5.2)
который отвечает так называемой прямоугольной волне; график
его изображен на фиг. 97.
I I
О р J3 |J3 2/3
Фиг. 97.
Этот график можно получить непосредственно разложением
ряд
и применением общей интерпретации рядов вида A5.1).
Упражнение. Построить графики, соответствующие следующим опе-
операторам:
e-ps j s—1
П\ с /г>\ . C)
s(l+e-Py (sa+l)(l-e-"sj"' 3s2(l-e-»)'
10»

Глава IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ X" (X) = WX (X)
§ 16. Теорема единственности
Докажем следующую теорему:
Если заданы операторы w, k0, kx и вещественное число Хв,
то существует не больше одной операторной функции х(\), удо*
влетворяющей для всех вещественных I уравнению
хГ(К) = юх{1) A6.1)
и условиям
Доказательство. Допустим, что имеются две такие функ-
функции х1(Х) и х2A). Тогда разность
xQ.)=XlQ.)-x2Q.)
удовлетворяет уравнению A6.1) и условиям
A6.2)
и достаточно доказать, что х (X) = 0 для всех вещественных X.
Вводя вспомогательную функцию
у (X) = х' (X) х Bр - X) + х (X) х' B{х - X),
где A— произвольное вещественное число, имеем
и далее, ввиду A6.1),
так что" функция г/(Х) постоянна при всех вещественных X,
Но в силу A6.2)

§ 17. Продолжение решений 149
отсюда следует, что г/ (X) = 0 для всех X, т. е. что
х' (X) х Bр - /) -|- х (X) х' Bр -X) = 0.
Ввиду произвольности ft, это равенство справедливо для всех веще-
вещественных X и р.. Подставляя, в частности, Х = (х, имеем
т. е.
Поэтому функция (х(Х)J постоянна. Так как (х (Х0)J = 0, то
(*(Х)J = 0, а следовательно, и л;(Х) = О для всех вещественных X.
Теорема доказана.
§ 17. Продолжение решений
Докажем теперь следующую теорему:
Если операторная функция х(Х) задана в интервале <х<Х<Р
и удовлетворяет в нем уравнению
x'(\) = wx(\), A7.1)'
где w—оператор, то ее можно продолжить за пределы интер-
интервала а<Х<р таким образом, что она будет удовлетворять
этому же уравнению для всех вещественных I.
Доказательство. Если функция х(к) тождественно равна
нулю для ос<Х<.р, то утверждение теоремы очевидно, ибо мы
получим искомое продолжение, полагая хA) и вне интервала1
а<Х<р всюду равной нулю. Если же она не равна тождественно
нулю, то, ввиду непрерывности хA), в интервале а < X < р суще-
существует точка 7. в которой х(ч)фО. Введем теперь вспомогатель-
вспомогательную функцию
.р1 = Т- 2(Р-Т)
Легко проверить, что у(Х) удовлетворяет в интервале pj
уравнению A7.1), независимо от значения оператора р. Подбе-
Подберем оператор р так, чтобы было дг (Р) = с/ (Р), т. е. положим
р = дг(Р)/лг(y)- Тогда, в силу уравнения A7.1), имеем
и так как значения функций х(/) и у(Х), а также значения их
производных совпадают в точке р, то мы можем объединить обе
Функции в одну функцию, определенную в интервале а<Х<;Р!
и удовлетворяющую в этом интервале уравнению A7.1). Эту
Функцию можно продолжить таким же способом на интервал
«<Х<р2, где р8-т + 2(?1-т) = Т+4(р-т), и т. д. до оо.

150 Ч. II, гл. IV. Дифференциальное уравнение х" (\)=wx (К)
Аналогично можно осуществить продолжение влево до — оо.
Таким образом, доказательство теоремы закончено.
Из этой теоремы и теоремы, доказанной в § 8, вытекает сле-
следующее: если о функции хA) известно, что она удовлетворяет
уравнению A7.1) в конечном интервале ос<Х<р, то она одно-
однозначно определяется своим значением в произвольно фиксированной
точке этого интервала.
Для уравнений второго порядка также имеет место теорема
о продолжении решений:
Если операторная функция хA) задана в интервале а<Х <р
и удовлетворяет в нем уравнению
хГ(\) = шх{\), A7.2)
то ее можно так продолжить за пределы интервала а < X < р,
что она будет удовлетворять этому уравнению для всех вещест-
вещественных X.
Доказательство. Если функция х(Х) тождественно равна
нулю для ос<Х<|3, то теорема очевидна. Поэтому допустим, что
*(?)=/ 0 для некоторой точки ?> причем можно предположить
« < Т < Р ввиду непрерывности функции х(),).
Введем вспомогательную функцию
Тогда
Д' (X) = 2wx{\) х' (X) - 2х' (X) х" (X) = О,
И, следовательно,
где с — постоянный оператор.
Рассмотрим два случая.
(А): с = 0. Тогда
и, в частности,
[J
Полагая для краткости
"e-i(v)-« A7-3)
имеем ы2 = и» и
Пусть (aj, 3j) — наибольший открытый интервал, содержащий
точку -[, лежащий в [а, |3] и такой, что xQ.) уь 0 в (о„ f^). Так

§ 17. Продолжение решений 151
как функция ,v(X) непрерывна, то в (alt Зх) должно быть всюду
либо л:' ().) = их (к)< либо х' (Х) = — ыл:(О(см. ч. II, § 2). Ввиду A7.3),
возможно лишь равенство
*'(Х) = «*(Х) («,<Х<р1). A7.4)
Но из непрерывности функций х (X) и *' (X) вытекает, что уравне-
уравнение A7.4) удовлетворяется и в концах интервала, а значит,
во всем замкнутом интервале [а1? р,]. Если х(я1) = 0 или л-(р1) = О,
то х(Х) = 0 во всем интервале [av 8J, что неверно. Поэтому
x(at) ^0 и ^C^ .? 0, и, следовательно, а1 = а и 3,.-_ 3.
Функция л:(Х) удовлетворяет уравнению A7.4) во всем интер-
интервале [а, ,3], и ее можно так продолжить, чтобы это имело место
для всех вещественных X. Но тогда *(Х) будет удовлетворять
при всех вещественных X и уравнению A7.2), так как
х" (X) --- их' (X) = и • их (X) =г wx (>).
(Б): с Ф 0. Легко проверить, что функция
удовлетворяет в [3, ра] уравнению A7.2) при произвольных опера-
операторах р и q. Эти операторы можно подобрать так, чтобы выпол-
выполнялись равенства у C) = х (р) и г/' C) == х' C), или
поскольку определитель
= с
',' (f) WX (y)
отличен от нуля. Тогда имеем
у" C) = pwx (?) + ^д;' (т) = ^^ (;3) = ^" C).
и так как значения функций х(>) и //(X), а также значения их про-
производных первого и второго порядка соответственно совпадают
в точке 3, то можно объединить эти функции в одну функцию,
определенную во всем интервале [а, 31] и удовлетворяющую в нем
уравнению A7.2). Эту функцию мы можем опять продолжить
тем же способом на интервал [а, 32], где 32 = f -j-4C —^), и т. д.
До бесконечности. Аналогично можно продолжить л:(Х) и влево
До — оо.
Мы доказали таким образом, что продолжение осуществимо
в любом случае.
Из последней теоремы вытекает, что теорема единственности,
доказанная в предыдущем параграфе для бесконечного интервала,
справедлива и для конечного интервала.

Глава V
КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
§ 18. Операторное уравнение колеблющейся струны
Предположим, что струна длины Хо натянута вдоль оси X между
точками 0 и Хо. Функция х(Х, t), представляющая отклонение точки
струны с абсциссой X в момент t, удовлетворяет уравнению в част-
частных производных
д2х , дН ,|о ц
"-^-' A8Л)
где а = 1/-у, Р — натяжение струны, а ц-линейная плотность,
т. е. масса единицы длины. При выводе этого уравнения струну
предполагают абсолютно гибкой, а ее колебания настолько малыми,
что они не оказывают существенного влияния на натяжение Р,
которое считается постоянным.
Допустим, что в момент t=0 струна совпадает с осью X и ско-
скорость ее частиц равна нулю. Это отвечает условиям
х(Х, 0) = 0, *,(Х, 0) = 0 @<Х<Х0). A8.2)
Предположим, далее, что начало струны движется перпендику-
перпендикулярно оси X и его движение задано функцией v(t). Кроме того,
примем, что конечная точка струны закреплена. Это соответствует
условиям
х@, 0 = о@. *(Ь0. 0 = 0 @<^<оо). A8.3)
Найдем движение остальных частиц струны и покажем, что это
движение однозначно определено заданными условиями. Говоря
математическим языком, мы решим уравнение в частных произ-
производных A8.1) при заданных условиях A8.2) и A8.3) и затем пока-
покажем, что найденное решение единственно.
Ввиду предположения A8.2),
аЧ2хA) (а>0) A8.1')

§ 18. Операторное уравнение
153
(где xQ.) = {x(k, t)}) есть операторная форма уравнения A8.1).
Условия A8.2) уже содержатся в уравнении A8. Г), а условия
A8.3) имеют теперь вид
*@) = », *(>.,) = О, A8.3')
де ?> = {о (t)}.
Найдем сначала показательные функции ekw, удовлетворяющие
уравнению A8. Г), т. е. такие, что
(еш)" = a2s2eXw.
После дифференцирования получаем
w2eXw = ah2eXw
и после деления на еы (показательная
функция всюду отлична от нуля)
хю2 = a2s2.
v(t)\
Фиг. 98. Форма струны в мо-
момент с
Отсюда w= — as или w — as. Итак, существуют две (и только две)
показательные функции e~aXS и e1/is, удовлетворяющие уравне-
уравнению A8. Г). Очевидно, что любая операторная функция вида
A8.4)
где Cj и с2 — совершенно произвольные операторы, удовлетворяет
уравнению A8. Г). Подберем эти операторы таким образом, чтобы
выполнялись условия A8.3'), т. е. чтобы
х (>.„) = cfto* •!- c^os = о.
Решая эту систему уравнений, находим
и отсюда получаем искомое решение
@<Х<Х0).
Зная свойства оператора сдвига, можно было бы записать это реше-
решение в символах классического анализа. Однако получаемые этим
путем формулы достаточно сложны, так что при исследовании
лучше всего непосредственно пользоваться более прозрачным опе-
операторным решением.
Разберем, например, решение A8.6) в предположении, что
я = -„-, Aq = 1U,
V(t) =
4,
A8.7)

154
Ч. II, гл. V. Колебания струны
Подставляя вместо X различные значения, можно легко про-
проанализировать движение отдельных частиц струны. Например,
при Х = 2 имеем
e-S e-9S
T—e los~
Для оператора (e~s — e~Bs) v имеем график, изображенный на фиг. 99,
и отсюда наложением волн, смещенных на 10, 20, 30 ... единиц,
01
ю is го
Фиг. 99.
10 15 20
Фиг. 100.
находим график для хB) (фиг. 100). Этот график изображает
движение частицы струны с координатой 2. На фиг. 101 и 102
мы даем еще графики для точек Х = 5 и Х = 8; построение прово-
проводится аналогичным способом.
,.
/X
ю 15
Фиг. 101.
го
ю is го
Фиг. 102.
Представляет интерес следующее обстоятельство: в разобран-
разобранном примере струна движется таким образом, что функция x(k, t)
совсем не удовлетворяет уравнению в частных производных A8.1).
Это происходит по той простой причине, что движение частиц
струны задано ломаными линиями, и, следовательно, функция х{1,1)
не везде имеет производные (даже первого порядка).
Можно было бы сказать, что в действительности струна никогда
не имеет резких изломов и что всегда можно ргесматривать х(к, t)
как функцию с непрерывными производными вплоть до второго
порядка, а фиг. 98 —101 являются лишь приближением и неко-
некоторым упрощением. Однако на практике изломы этого рода
часто лежат в пределах ошибок измерения. Поэтому не стоит
разбирать слишком детальных подробностей, тем более, что вве-
введение последних в вычисления очень усложнило бы как их выпол-
выполнение, так и окончательный результат, который отнюдь не стал бы
при этом более точным. В этих условиях даже целесообразно
избежать в вычислениях мелких поправок, которые не существенны

§ 19. Форма колеблющейся струны Н55
для явления в целом. Наши вычисления проведены именно таким
способом и математически полностью оправданы, если только опе-
операторное уравнение A8.1') считать основным уравнением колеблю-
колеблющейся струны.
Решения этого уравнения тогда и только тогда являются одно-
одновременно и решениями уравнения в частных производных A8.1),
когда они обладают непрерывными производными второго порядка.
Уравнение в частных производных мы не можем поэтому считать
общим уравнением колеблющейся струны, разве только мы совсем
не будем заботиться о корректности производимых вычислений
или же ограничимся классом функций, имеющих непрерывные
вторые производные, что, однако, недостаточно для приложений.
Корректность вычислений в области операторов следует из того,
что все рассматриваемые функции дифференцируемы в оператор-
операторном смысле (даже произвольное число раз).
Согласно классификации, принятой в теории уравнений в част-
частных производных, уравнение A8.1) принадлежит к гиперболиче-
гиперболическому типу. Поэтому операторную функцию e~Xs, тесно связанную
с этим уравнением, мы назвали гиперболической показательной
функцией (см. § 9).
§ 19. Форма колеблющейся струны
Фиг. 97 — 101 изображают не форму струны, но графики дви-
движения отдельных ее частиц. Представляет интерес и исследование
формы самой струны в произвольно фиксированный момент t0.
С этой целью разложим решение A8.6) [в предположении A8.7)]
в бесконечный ряд
х().)— 2. (е *• 2 ' —е \ 2> )v.
л=0
Допустим, что мы желаем изучить форму струны в некоторый
момент /0 < 10. Тогда те члены ряда, в которых множитель при s
больше 10, не играют никакой роли, так как они представляют
функции, равные нулю в интервале 0<^<10. Поэтому можно
изучать вместо xQ.) функцию
Исследуем отдельно функции

156
Ч. II, гл. V. Колебания струны
В силу равенства A8.7) и свойств оператора сдвига имеем
Г о, o<t<±\,
{ 4-
о,
10-^
14—1-
14—~К
Фиксируя произвольно <==/0, находим отсюда графики для функ-
функций x^l, t0) и х2(Ь, t0). График функции х1 изображен на фиг. 103
Zio-e zo-2t0 ю
Фиг. 103.
сплошной кривой, а функции х2 — пунктирной кривой. Вычитая
графически пунктирную кривую из сплошной, находим форму
струны в момент t0 (фиг. 104).
Можно указать чисто графический способ нахождения формы
струны в момент t, когда дан график функции v. Для вывода этого
способа запишем общее решение A8.6) в виде бесконечного ряда:
х{\)=
A9.1)
Если 0<tf<cdo, то достаточно принять во внимание лишь один
член ряда, а именно
0. 0<t<al, ] A92)
которому отвечает поверхность, изображенная на фиг. 105. Она
порождается движением прямой, параллельной ОР, вдоль кривой

§ 19. Форма колеблющейся струны
157
ОВА — графика функции х — v (t). Для того чтобы получить форму
струны в момент /0, достаточно пересечь поверхность плоскостью,
перпендикулярной оси t и про-
проходящей через точку t0; форма
струны изображается линией
пересечения BCD. Отсюда сле-
следует простое построение на
плоскости, которое поясняет
фиг. 106. Жирная линия на
¦фиг. Ю6,а изображает движение
начальной точки струны, жирная
же линия на фиг. 106,6 изобра-
изображает форму струны в момент t0.
Построение не требует пояснений.
Это построение показывает,
что с течением времени t кри-
кривая О А' перемещается как волна фиг- 105-
вправо со скоростью 1/а. В мо-
момент t = ccXq фронт волны достигает конца струны X = Хо, где проис-
происходит отражение волны. При построении, ввиду отражения, нужно
о i в 5 i> з г i
6
Фиг 106.
учесть второй член—e
Оператору
D'l v ряда A9.1).
аХ), ' оBХ0-Х)</
•отвечает поверхность, изображенная на фиг. 107.
Фиг. 107.

158
Ч. II, гл. V. Колебания струны
Желая иметь форму струны в момент t, находим сначала
предыдущим способом форму кривой, которая соответствует опера-
торуA9.2). Следовательно, это кривая
А'О фиг. 106, смещенная вправо до
точки to/a, которая при теперешнем
предположении лежит правее точки
H. После смещения (кривой) получим
кривую ABCD, приведенную на фиг.
108 (для ее построения функция дол-
должна быть известна при значениях t,
больших а\0). От ее части ABC, которая
отвечает интервалу 0<Х<),0, мы
должны еще вычесть дугу, обозначен-
обозначенную буквами t0EC на фиг. 107. Дуга
эта, перенесенная на фиг. 108, обозна-
обозначена буквами ОЕС. Она является зер-
зеркальным отражением дуги CD относи-
относительно прямой CF.
Окончательная форма струны изо-
изображена на фиг. 108 жирной линией
ABF. Излом этой линии в точке В
происходит от отражения волны и пе-
перемещается влево со скоростью 1/а; в
момент 2а) 0 излом достигает начальной
точки, и тсгда происходит повторное
отражение волны. Теперь приобретает
значение и третий по очереди член ряда
A9.1), а форму струны в более поздний
момент времени можно найти соответ-
соответствующей комбинацией трех дуг.
Применяя графический метод ис-
исследования, можно без труда изучить
характер отражения волны при ее наперед заданном профиле.
На фиг. 109 и ПО приведено несколько последовательных поло-
положений струны при отражении простых симметрической и асиммет-
асимметрической волн.
Фиг. 109. Фиг. ПО.
Отражение Отражение
симметриче- асимметри-
ской волны, ческой вол-
волны.

§ 20. Более оСщие краевые условия 159
Шг- "—~ ¦ ' ¦ ' —
Упражнение. Изучить графическим мето- oft)
дом отражение волны в случае а= I, когда график
функции v имеет вид, изображенный на фиг. 111.
0 12
§ 20. Более общие краевые условия
Исследуем еще движение струны в слу- иг-
чае, когда ее обоим концам предписано
произвольное движение, заданное функциями v1={v1(t)} и У2в
^={v2(t)}. Это соответствует условиям
x@) = vv *(>„) = »„ B0.1)
если длина струны равна Хо Кроме того, мы предположим, что
в момент ^ = 0 струна натянута вдоль оси X и находится в покое.
Нам предстоит решить то же уравнение
*"(/') = «'Ле(>.), B0.2)
что и раньше, только краевые условия B0.1) теперь будут более
общими.
Нетрудно подобрать постоянные сг и с2 в формуле A8.4) так,
чтобы были выполнены условия B0.1). Для этого достаточна
решить систему уравнений
C1 + c2 = v1, Cjer-**** + с^7** = va. B0.3)
Этим способом получаем
_
C2 —
и отсюда
В частном случае, когда г>2 = 0, эта формула упрощается и сво-
сводится к A8.6).
Отвлекаясь от физического смысла, можно сказать, что функция
B0.5) всегда есть решение уравнения B0.2), независимо от того, как
мы подберем операторы vt и у2.
Если vt и v2 — функции класса К, то и коэффициенты схи с2,
заданные формулами B0.4), принадлежат классу К.
Действительно, умножение функций класса К на оператор сдвига
не выводит ее из К- Так как сумма и разность функций класса К
являются опять функциями из К, то и числители выражений B0.4)
принадлежат К при любом фиксированном \0> 0. Эти числители разде-

160 4. If, гл. V. Колебания струны
лены на разность 1 — e~2a7-«s', или, что то же самое, умножены на ряд
¦и в результате получаются опять функции класса К.
Совершенно аналогично доказывается предложение:
Если vt и v2 являются функциями класса С и принимают
значение нуль в точке t = 0, то коэффициенты B0.4) снова при-
принадлежат классу С и обращаются в нуль в точке t = 0.
Функцию х(к), удовлетворяющую уравнению B0.2) и условиям
B0.1), можно всегда представить в виде суммы
где хх(Х) и х2(к) удовлетворяют тому же уравнению B0.2) и соот-
соответственно условиям
Функция ^x(>.) описывает движение струны, когда ее конец
закреплен, функция же х2(Х) описывает движение струны, когда
закреплено ее начало. Форму струны в обоих случаях можно
найти с помощью построения, приведенного в предыдущем пара-
параграфе (очевидно, с соответствующей ориентацией чертежей). Про-
Простым наложением графиков можно найти
форму струны, когда оба конца под-
подвижны.
а Упражнение. Найти графическим мето-
Хв "" Дом форму струны в момент t — aka/2, пред-
предполагая, что в момент t = 0 струна покоится не-
112. подвижно на оси к, а для обеих ее концов задано
движение, график которого изображен на фиг. 112.
§ 21. Единственность решения
Докажем, что всякая операторная функция у (к), удовлетво-
удовлетворяющая уравнению A8.1'), имеет вид A8.4). Действительно, эта
функция удовлетворяет в точке X = 0 каким-то начальным условиям
Но в формуле A8.4) можно всегда так подобрать коэффициенты
jCj и с2, чтобы было
х' @) = — Cjas -J- c2as = kt,

§ 22. Струна бесконечной длины . 1б1
ибо определитель
1 1
— as as
= 2as
отличен от нуля. При таком выборе значений с1 и с2 имеем (в силу
замечания в конце § 17) уСк) — х('к) для всех вещественных X рас-
рассматриваемого интервала.
Выражение A8.4) будем называть общим решением уравне-
уравнения A8. Г); оно содержит две произвольные постоянные с1 и с2.
Теперь легко доказать, что условия A8.3') или, более общо,
условия B0.1) определяют решение уравнения A8. Г) единствен-
единственным образом. В самом деле, решение должно иметь вид A8.4);
с другой стороны, в силу условия B0.1), справедливы равенства
B0.3), которые однозначно определяют постоянные с1 и с2, ибо
1 1
aXos gaXos
ф 0.
Таким образом, единственность решения доказана.
В частности, отсюда вытекает следующее: если существует
функция, удовлетворяющая уравнению в частных производных
A8.1) и условиям A8.2) и A8.3), или, более общо, условиям A8.2) и
то она единственна.
§ 22. Струна бесконечной длины
Такой струны в действительности не существует, это лишь
некоторый оборот речи; на самом деле речь идет о следую-
следующем. Допустим, что при условиях, указанных § 18, мы наблю-
наблюдаем струну в промежутке времени 0<^<аХо. Записав решение
A8.6) в виде
х{\) = е-°^ + Ь(\), B2.1)
где
g-cXos (е-« (Хо + Х) s е-а (Хо-Х) s\
Ь М = ГЗР*йГ« V'
мы видим, что функция Ь(Х) = {Ь (X, t)} равна нулю при 0<Х<Х0
и 0<?<аХ0. В силу этого, слагаемое Ъ (\) в формуле B2.1) мы
можем опустить, ограничившись исследованием функции
x(k) = e-a^v. Д22.2)
'' Ян Минусинский

162 У. //, гл. V. Колебания струны'
Имеем тогда
О при 0 < t < аХ,
и фронт волны, распространяющейся от начальной точки струны,
находится в момент t в точке Х = //а. Волна движется со скоро-
скоростью 1/а=|/Р/[А. Скорость волны пропорциональна квадратному
корню из натяжения струны и обратно пропорциональна квадрат-
квадратному корню из линейной плотности струны.
Если струна обладает большой длиной, то мы считаем (при-
(приближенное) решение B2.2) уравнением ее движения и говорим
(не вполне корректно) о струне бесконечной длины.
Попытаемся теперь найти решение *(Х) уравнения
*"().) = <zVjc(X),
которое было бы параметрической функцией в бесконечном интер-
интервале 0<Х<оо и удовлетворяло бы, кроме того, условию
*@) = ». B2.3)
Общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид
Если потребовать, чтобы л:(Х) была параметрической функцией,
то ее значения в точке 0 и в произвольно фиксированной точке
Хо должны быть функциями класса К- Тогда и коэффициен-
коэффициенты сх и с2 будут функциями класса К (см. § 20). Отсюда выте-
вытекает, что с2 = 0, так как в противном случае при больших зна-
значениях X слагаемое c2e'Iis не принадлежало бы больше классу К1)
и *(/.) не была бы параметрической функцией. Отсюда следует,
далее, что наше решение приводится к виду B2.2). Так как из
условия B2.3) вытекает, что cx — v, то искомым решением являет-
является функция B2.2).
Для бесконечной струны можно, таким образом, решать урав-
уравнение сразу в бесконечном интервале. Вычисления тогда короче,
а результат получается тот же.
Интерпретируя это с точки зрения уравнений в частных произ-
производных, мы видим, что единственной функцией, удовлетворяющей
в области 0<Х<оо, 0<^<оо уравнению
См. § 10.— Прим. перев.

§ 23. Струна в гравитационном поле ЮЗ
и условиям
*(Х,0) = *,(М)) = 0 @<Х<оо),
x{O,t) = v(t) @< *<<») KZl' '
является функция
Г 0 при
Г 0
В некоторых учебниках операторного исчисления, кроме условий
B2.4), приводится добавочное условие
H0. B2.5)
Как видно из предыдущего анализа, условие это совершенно
излишне1). Это интуитивно понятно, ибо скорость волны ко-
конечна, так что никакое возмущение в бесконечности не может
прийти к нам в конечное время.
§ 23. Струна в гравитационном поле
До сих пор мы рассматривали движение струны в предполо-
предположении, что на нее не действует никакая внешняя сила. Предпо-
Предположим теперь, что натянутая струна находится в гравитационном
поле, действующем перпендикулярно к ней. Тогда уравнение
в частных производных будет иметь вид
дЧ „ /дЧ
где g означает ускорение силы тяжести. Предполагая, что в
момент / = 0 струна находится на оси X в покое, запишем
x(\,0) = xl(\,0) = Q @<Х<Х0). B3.1)
Допустим еще, что концы струны закреплены, т. е. что
oo), B3.2)
где \ — длина струны.
В силу условий, B3.1), операторное уравнение будет иметь вид
gl, B3.3)
условиям же B3.2) отвечают условия
B3.4)
1) В этих учебниках применяется метод преобразования Лапласа. Стоит
заметить, что при этом методе даже введение условия B2.5) не дает возмож-
возможности доказать единственность полученного решения.
11»

164 Ч. II, гл. V. Колебания струны
Легко видеть, что уравнению B3.3) удовлетворяет постоянная
операторная функция
однако эта функция не удовлетворяет условиям B3.4). Допустим,
что имеется функция х(Х), удовлетворяющая уравнению B3.3)
и условиям B3.4). Тогда разность
у{\)-х (X) - х0 (X)
является решением однородного уравнения
y>(\) = a*s*y
Отсюда следует, что z/(X) имеет вид
т. е. что
х (X) = с^-"** + czeaXs - gt3.
Определив операторы сг и с2 так, чтобы были выполнены усло-
условия B3.4)
получаем
_ A—е
С
и окончательно
е -« (До-А) S _e-« BAo-A) s + e~2aX(,S_
.Легко проверить, что выражение в числителе представляет
со'бой параметрическую функцию, которая равна нулю для
0<Х<Х0 и 2аХ0 < t. Отсюда следует (см. § 15), что x(k, t) есть
периодическая функция относительно t при всяком фиксированном
X в интервале 0 < X < Хо. Струна колеблется, возвращаясь к одно-
одному и тому же положению через промежутки времени, равные 2аХ„.
Изучим форму струны в фиксированный момент tf<aX0.
С этой целью разложим в ряд выражение для х (X), заменив в
оо
нем множитель 1/A — e~2aXl>s) рядом 2 e~2noiAos и выполнив умно-
п=0
жение. В полученном ряде достаточно взять только те члены,
в показателях которых коэффициенты по абсолютной величине
•меньше аХ„. Итак, мы ограничимся исследованием выражения
{У (>-, 0} - (-

§ 23. Струна в гравитационном поле
165
Для 0<^<аХ0/2 имеем:
Г Я[_
= \ -f (-
и ДЛЯ аХ0/2</<а>.0
Г 1 [-t2
, 0={ ^[-
o<x<xo--^-,
], x ' <х<|,
В частности,
у[ Х,-^-аХ0 1= \ 32^ о>
'
0<Х<Х0;
0<Х<-]-Х0,
у@) @)
0<Х<Х0.
Используя эти формулы, уже
легко начертить форму струны
в моменты / = осХо/4, t = a)^/2,
f=3otXo/4 и ^ = аХ0 (фиг. 113).
Интересно, что в моменты
* = аХ0/2 и ^ = ал0 струна имеет
форму дуги параболы. Напро-
Напротив, в момент t = аЛ0/4 средняя
часть струны совершенно прямо-
прямолинейна, а в момент t = ЗаХ0/4
более выпукла книзу, чем дуга
параболы.
Фнг. 113.

166 У. //, гл. V. Колебания струны
§ 24. Колебания струны при частных начальных положениях
Пусть струна закреплена в точках X = 0 и к = Хо и ее форма
в момент t— О задана функцией
х(\, O) = tisin^- @<Х<Х0), B4.!)
где fi — положительное, a k — натуральное число (фиг. 114).
Мы предполагаем, что скорость частиц струны в момент ? = 0
равна нулю, т. е. что
xt(\, 0) = 0 @<Х<Х0). B4.2)
Предположению, что концы струны закреплены, отвечают условия
v /П Л П v (\ /\ П
X \у, lj =^ U X \^qi I) — U
2. @</<с»). B4.3)
01
Наконец, мы полагаем, что на
Фнг. 114. Форма струны в момент струпу не действует ни сила тя-
г=0 (*=5). жести, ни какая-либо другая внеш-
внешняя сила. Уравнение колебаний
струны в частных производных имеет, следовательно, вид
В силу B4.1) и B4.2),
так что операторное уравнение имеет вид
хГA)-аЧ2хA)= -aVssin^ @<Х<Х„). B4.4)
Условия же B4.3) записываются в форме
х@) = 0, х(Хо) = 0. B4.5)
Выясним, можно ли оператор с определить таким образом, чтобы
функция
^, B4.6)
0
сходная с правой частью уравнения B4.4), была решением
этого уравнения. Подставив B4.6) в B4.4), получим после деле-
ния на —sin-г—
?2.2
С

§ 24. Колебания струны при частных начальных положениях 167
откуда
с = ... „ = -! ц. cos ---
Г
= -!
I
При найденном коэффициенте с функция B4.6) удовлетворяет урав-
уравнению B4.4), но сразу видно, что она удовлетворяет и условиям
B4.5). Таким образом, движение струны описывается формулой
*(Х, t) = pcos-?-s\n~ @<Х<Х0, 0<*<оо).
Отсюда видно, что струна все время сохраняет форму синусоиды,
зато амплитуда меняется. В момент t = -——^-^ (л == 0, 1, 2, ...)
амплитуда равна нулю и струна полностью выпрямляется. Часто-
Частота колебаний равна
k
Для l — \jk, ..., (k—1)\0/k имеем x(l, t) = 0 при всех t. В этих
точках, так называемых узлах, струна все время неподвижна. Число
узлов равно k—l, и с его увеличением частота колебаний возра-
возрастает.
Условия нашей задачи могут быть приблизительно реализова-
реализованы в струнных музыкальных инструментах. Натяжение струн там
настолько велико, что в сравнении с ним
сила тяжести не играет сколько-нибудь
существенной роли. Придерживая струну
в соответствующем месте пальцем, можно
вызвать появление узлов, и звучание
струны будет значительно выше нормаль- Фиг. 115. Форма струны
ного. Это так называемые флажолеты. в момент /=о.
В действительности никогда не удается
добиться полной неподвижности в узлах, и поэтому возникают
добавочно более низкие гармонические тона, придающие флажо-
флажолетам очень нежный оттенок, приятный для слуха.
Решим еще ту же задачу о струне, заменяя условие B4.1)
следующим:
( 0) (Х). B4.7)
Таким образом, мы предполагаем, что в момент ^ = 0 струна
имеет форму дуги параболы (фиг. 115). Остальные условия B4.2)
и B4.3) сохраняем без изменений.
Теперь операторное уравнение принимает вид
х" ().) - <x2s2x (X) = - a2 [xsX (>.о - X). B4.8)
Сначала ищем решение в форме полинома

168 Ч. И, гл. V. Колебания струны
Подставляя это выражение в уравнение B4.8) и сравнивая коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях X, находим
Правда, функция хо(\) удовлетворяет уравнению B4.8), но не
удовлетворяет условиям B4.3). Однако любая функция вида
также является решением уравнения B4.8). Подберем теперь
операторы сг и с2 так, чтобы выполнялись условия
х (ко) = Cle-** + с^* - s? - 0.
Тогда получим
1 — е~аХо$)
и отсюда
Это решение похоже на найденное в § 23 для струны в гравита-
гравитационном поле. Однако там колебания струны совершались между
осью X и параболой х— — <x2gX(X0 — X), а в настоящем случае —
между параболами х = рХ (Хо — X) и х = — [А (Хо — X).
§ 25. Колебания струны при произвольно заданном начальном
положении
Пусть ^ (X) — числовая функция, непрерывная для всех веще-
вещественных X и такая, что
= ?(Х + 2Хо) B5.1)
(фиг. 116). Таким образом,
Я <р (X) — нечетная периодическая
'2Я0 зя<\_* функция с периодом 2Х„. Из этих
свойств следует, что <р (&Хи) = О
при любом целочисленном k.
Легко проверить, что опера-
операторная функция *i (?>) = {<р (). -f t/a)} (а Ф 0) имеет непрерывную
производную xj(X) и что
х1'(Х) = о«1(Х)-окр(Х).

§ 25. Колебания при произвольном начальном положении
В самом деле, имеем
о
и, следовательно,
= aSXi(X) — a<p(X).
Аналогично, операторная функция *2 (X) = | <р Г X — — J | (а Ф 0)
имеет непрерывную производную
Отсюда вытекает, что функция
*(ЬI*
обладает непрерывной производной
и, сверх того, еще второй непрерывной производной
ЯГ (X) = |aV [^ (X) + х2 (X)] - a2s? (X).
Итак, мы доказали, что функция
+ |) + 9(х-4)} B5.2)
удовлетворяет операторному дифференциальному уравнению
*" (X) = a2s2x (X) - a2s? (X). B5.3)
Последнее есть уравнение струны при начальных условиях
х(к, 0) = <?(Х), х,{\,0) = 0 (О<Х<Хо).
Ввиду B5.1), ясно, что

170 V. //, гл. V. Колебания струны
или, в операторной форме,
*@) = 0, *(О = 0. B5.4)
Таким образом, функция B5.2) изображает движение струны
с закрепленными концами и произвольно заданным начальным по-
положением при условии, что скорость частиц струны в момент
t = 0 равна нулю.
Решение B5.2) было известно уже Даламберу. Польза опера-
операторного подхода состоит в том, что в уравнении B5.3) оA) — про-
произвольная непрерывная функция, удовлетворяющая условию B5.1),
значит, не обязательно дифференцируемая. Напротив, отправляясь
от уравнения в частных производных
мы можем только тогда рассматривать функцию B5.2) как ре-
решение, когда функция <р(>) дважды дифференцируема, что,
однако, недостаточно для приложений (см. § 18).
Сверх того, операторное исчисление дает и единственность
решения. Действительно, если бы, кроме *(Х), существовало еще
другое решение Х](/) уравнения B5.3), удовлетворяющее усло-
условию B5.4), то разность уA) = х(к) — х1(к) удовлетворяла бы
однородному уравнению
и, следовательно, имела бы вид
Но
С]е-ы + с^о. = у (х0) = х (Хо) - хх (К) = 0-0 = 0,
откуда Cj = с2 = 0, а значит, у (к) = 0, т. е. хг (X) — х0 (X) = 0.
Итак, решение B5.2) единственно.
Формула B5.2) очень удобна для графического исследования
движения струны. Допустим, например, что
-^^ ' ^ в момент ? = 0 мы оттянули струну в точке,
О л0 отстоящей от начала струны на 1/4 ее длины.
Фиг. 117. Начальному положению отвечает тогда график,
изображенный на фиг. 117. График представляет
функцию (р(Х) в интервале 0<Х<л0. Эта функция продолжается
на всю прямую — оо < X < сю по формулам B5.1) (фиг. 118).

26. Колебания струны при заданной начальной скорости 171
Фиг. 119.
Чтобы найти .«теперь форму струны "в момент t, достаточно
сместить график продолженной функции на расстояние tja влево,
а также на то же расстояние впра-
вправо и затем графически построить
среднее арифметическое обеих сме-
смещенных кривых (фиг. 119). Этот ме-
метод является общим.
На фиг. 120 приведена форма
струны, полученная этим способом, в
течение половины периода колебания.
Упражнения 1. Применяя фор-
формулу B5.2), найти решение в случае'
и сравнить его с решением, полученным
в § 24.
2. Применяя графический метод, изу-
изучить движение струны:
A) когда начальное положение имеет
вид, изображенный на фиг. 115;
B) когда начальное положение имеет
вид, указанный на фиг. 121.
Фиг. 120.
Фиг. 121.
§ 26. Колебания струны при заданной начальной скорости
В предположении, что на струну не действуют внешние силы,
определим ее движение, если заданы условия
*,(>.,
@<Х<Х0),
х @,0 =

172 Ч. II, гл. V. Колебания струны
Тогда операторное уравнение и операторные условия имеют вид
x"(X) = a2s2x(X)-a2<KX), B6.1)
х@) = 0, х(Хо) = 0. B6.2)
Заметим, что если х(Х) удовлетворяет уравнению B6.1) и ус-
ловиям B6.2), то функция
удовлетворяет уравнению
0»(X)
и таким же нулевым краевым условиям B6.2). Поэтому имеем
и отсюда
§ 27. Другие интерпретации
Уравнение в частных производных
Л2 у Л2 у
— =a2|j| B7.1)
появляется не только в теории колебаний струны, но и во мно-
многих других физических задачах. Предположим, например, что
вдоль оси X расположен стержень с модулем сдвига Е и линейной
плотностью 8. Обозначив через x(l, t) угол кручения стержня в точке
с координатой X в момент t, мы приходим опять к уравнению
B7.1), где a2 = ?/8. Это уравнение можно также считать уравне-
уравнением продольных колебаний упругого стержня'). Заметим, нако-
наконец, что уравнение B7.1) является частным случаем телеграфного
уравнения
которое мы детально разберем в гл. VIII.
В предыдущем анализе мы ограничились лишь одной физической
интерпретацией, а именно случаем колеблющейся струны. Область
приложений, однако, очевидно, значительно шире, так как вычис-
вычисления полностью сохраняются при других физических интерпре-
интерпретациях.
В этом случае Е ооозначает модуль упругости (Юнга).—Прим. перев-

§ 28. Общие замечания о краевой задаче 173
§ 28. Общие замечания о краевой задаче
Следующая задача является более общей, чем рассмотренные
выше. Для данного уравнения в частных производных
требуется найти решение х(\, t), удовлетворяющее условиям:
х(Х, 0) = <р(Х), *,(a,O) = «|i(X) @<Х<Х0), B8.2)
*@,0 = Oi@. *(хс 0 = о.@ @</<оо). B8.3)
Условия B8.2) называются условиями Коиш, а B8.3)—краевы-
B8.3)—краевыми условиями. Условия B8.2) и B8.3) вместе взятые называют
смешанными условиями, а вся задача, состоящая в нахождении
решения х (I, t) уравнения B8.1) при условиях B8.2) и B8.3),
—смешанной задачей.
Соответствующее операторное уравнение имеет вид
X" (X) = аЧЧ (X) - a2s? (X) - а2ф (X), B8.4)
а условия
x{0) = olt x(lo) = v2. B8.5)
Условия Коши включены здесь уже в само уравнение, и оста-
остались лишь краевые условия B8.5). Рассматриваемой смешанной
задаче для уравнения в частных производных B8.1) отвечает кра-
краевая задача для операторного уравнения B8.4). Эта последняя,
однако, более обща, ибо допускает решения, которые не имеют
смысла, если их отнести к уравнению в частных производных
B8.1) (см. § 18).
Рассмотрим четыре частных случая:
I. ? = 0, ф = 0, ух = 0;
II. ? = 0, ф = 0, У2 = О;
III. <р = 0, ^ = 0, t;2 = 0;
IV. ф = 0, »х = 0, »2 = 0.
Обозначим соответственно через
x1(l), x2(k), х3(\), *4(Х) B8.6)
решения уравнения B8.4) с условиями B8.5) в этих частных слу-
случаях. Таким образом, имеем
(Х)=Л
(X) = «*S
%(X)-c
%(X)-o
i^ (X),
c2s?(X),
X3@) = Xg
*4@) = *,
:(>-0
) = 0;
) = 0.

174 Ч. II, гл. У. Колебания струны
Складывая четыре написанных дифференциальных равенства и по-
полагая
мы получаем равенство B8.4), причем для функции х(к), кроме
того, будут выполнены условия B8.5).
Функции B8.6) можно назвать основными решениями данной
краевой задачи. В §§18, 25, 26 мы нашли основные решения
хг0-)> *зМ и *4(^)> а функция х1 (к) может быть получена из фор-
формулы B0.5) подстановкой v1 = 0.
Всякое решение краевой задачи B8.4) и B8.5) является сум-
суммой основных решений.
Если ср(Х) и ф (I) — непрерывные функции, а их и v2 — функции
класса К, то все основные решения являются параметрическими
функциями, а следовательно, и х (X) — параметрическая функция.
Разложение краевой задачи на четыре частных случая может
иметь некоторые вычислительные преимущества, ибо позволяет
применять индивидуальные методы при нахождении основных ре-
решений. Этот путь может быть, очевидно, использован и в случае
решения общей смешанной задачи для уравнения в частных про-
производных B8.1).

Глава VI
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
§ 29. Параболическая показательная функция
Для уравнения теплопроводности, которое мы рассмотрим
в настоящей главе, параболическая показательная функция е~х У*
будет играть роль, аналогичную роли гиперболической показатель-
показательной функции в теории уравнения колебаний струны.
Рассмотрим сначала параметрическую функцию
{^Г(-*;)} @<Х<оо).
Имеет место равенство
t
142 F W = {s $<' - >t)"/2 x"8/2 exP ( - s) л } •
о
которое после подстановки Х2/4х = (д.2/4/) + °2 принимает вид
так что
5
о
Так как частная производная
непрерывна при 0 < X< оо, 0 < t < оо, то PI* F'(X) = —IF(k),
и, следовательно,
F'(\)=-VsF(k). B9.3)

176
Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Операторную функцию F (X) можно продолжить на все веществен-
вещественные значения X так, чтобы уравнение B9.3) удовлетворялось
всюду (см. § 17). Тогда, в силу формулы B9.2),
и продолженная функция является показательной функцией
При положительных значениях X эта функция приводится к пара-
параметрической функции
1
B9.4)
Функцию е-*У~* будем назы-
2" вать параболической показа-
показательной функцией ввиду ее
фиг- • связи с уравнением теплопро-
теплопроводности, которое, согласно
классификации уравнений в частных производных, относится к
параболическому типу.
Стоит также отметить формулу
Tf-^-lFST"¦>(-$)}
которая сразу следует из B9.1).
Параболическая показательная функция тесно связана с функ-
функцией ошибок (ч. I, § 55). В самом деле, при X > О
<29-5>
Подставляя в последнем интеграле о = Х/B ]А), получаем
B9.6)
где
= — \e-°*da=\- erf*
(фиг. 122). Функция cerf/ непрерывна и убывает в интервале
0</<оо от 1 к 0 (ч. I, §54).

§ 30. Свойства параболической показательной функции 177
Ввиду того, что cerfO= 1, формула E9.6) справедлива не толь-
только для X > 0, но и для Х = 0 (в противоположность формуле B9.5),
которая для Х = 0 дает в левой части 1/s, а в правой 0).
Символ cerf означает «дополнение» (complementum) к функции
erf (аналогично, например, обозначению ctg для «дополнения»
к функции tg).
§ 30. Некоторые аналитические свойства параболической
показательной функции
При любом фиксированном X > 0 оператор e~*^s представляет
функцию переменного t, заданную формулой
C0.1)
Изучим поведение этой функции. Она положительна при_0 < t < оо,
и легко видеть, что
lim F(\, 0 = 0,
HmF(X, 0 = 0.
Отсюда следует, что максимум
F (X, 0 достигается внутри интер-
интервала 0<t<CQ. ДЛЯ ТОГО, ЧТО- qt-ji-
бы найти этот максимум, прирав- ' '6
ниваем нулю производную по t:
C0.2)
Фиг 123.
ТакЦЦ образом, максимум достигается в точке t = Х2/б и равен
Формула C0.2) показывает также, что
lim ^
т. е. что касательная к кривой становится горизонтальной, когда
точка t стремится к нулю.
На фиг. 123 приведен график функции C0.1) при Х=1.
Замечание. Если положить F(l, 0) = 0, то F будет (не-
(непрерывной) функцией класса С (при всяком фиксированном X > 0),
обладающей производной, равной нулю в точке t = 0. Можно до-
доказать, что в точке / = 0 все производные этой функции равны
нулю.
'" Ян Минусинский

178 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
§ 31. Температура стержня, проводящего тепло
Пусть стержень длины Х„ (фиг. 124) расположен вдоль оси пере-
переменного X таким образом, что начало стержня имеет координату
Х = 0, а конец Х = Х0. Пусть, далее, К обозначает коэффициент-
теплопроводности, с - теплоемкость, 8 — плотность стержня. До-
Допустим, что боковая поверхность стержня полностью изолирована,
так что приток и отдача тепла возможны лишь через его концы
Если х (/., О обозначает температуру по
перечного сечения с координатой X в
я момент t, то х (X, 0 удовлетворяет урав
()а *- нению в частных производных
Фиг. 124.
где а = у сЬ/
Предположим, что в момент t — 0 температура во всем стерж-
стержне равна нулю,
х{\, 0) = 0 @<Х<Х0), C1.2)
и что известно, как изменяется температура на его концах, а
именно
х@, t) = v(t), x{lo,t) = O @</<oo). C1.3)
Задача состоит в том, чтобы найти распределение температуры
в любой момент t > 0. Математически, следовательно, мы имеем
дело с решением дифференциального уравнения C1.1) при задан-
заданных условиях C1.2) и C1.3).
Ввиду C1.2) уравнение C1.1) записывается в операторной
символике следующим образом:
x"{h) = a2sx(k). C1 4)
Условиям же C1.3) отвечают условия
x@) = v, x(X0) = 0. C1.5)
Ищем сначала показательные функции еш, удовлетворяющие урав-
уравнению C1.4), т. е. такие, что
(eiw)" = a2 selw.
Выполнив дифференцирование, получим
w2 e*"" = a2 seXw,
т. е.
W2 = O.2S,
и значит, либо w = — a |/"s, либо w = а |/s.

§ 31. Температура стержня, проводящего тепло 179
Следовательно, существуют две (и только две) показательные
функции
удовлетворяющие уравнению C1.4).
Всякая операторная функция вида
~s C1.6)
также удовлетворяет уравнению C1.4) при любых (фиксирован-
(фиксированных) операторах. с1 и с2. Подберем эти операторы таким образом,
чтобы было
x@) = c1-\-c2 = v,
C1-7)
2eoy = o. y
Решив систему уравнений, получим
Q Q _.
1 V~' 2 2K''
и отсюда искомое решение уравнения C1.4)
( -аХ V~s_e-« BХ0-Х) VI)
1 е
CL8)
Легко доказать, что каждая операторная функция у (к), удов-
удовлетворяющая уравнению C1.4), имеет вид C1.6). Действительно,
в точке X — 0 эта функция удовлетворяет каким-то условиям
Но в формуле C1.6) всегда можно подобрать коэффициенты с1 и с2
так, чтобы выполнялись равенства
ибо определитель
-а Уs а Уs y
отличен от нуля. При значениях с1 и с2, подобранных таким обра-
образом, имеем у (/.) = лс (X) для всех X (см. § 16 и 17). Поскольку
всякое решение уравнения C1.4) имеет вид C1.6), единственным
решением, удовлетворяющим условиям C1.5), является функция"
C1.8), ибо коэффициенты сх и с2 однозначно определяются из урав-
уравнений C1.7).
12*

180 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Разложением в бесконечный ряд можно легко приспособить
решение C1.8) для численных расчетов. Прежде чем корректно
провести это разложение, напомним некоторые сведения из эле-
элементарной теории рядов.
§ 32. О сходимости числовых рядов
Из анализа известно, что всякая неубывающая числовая после-
последовательность
V ^2» ' * '
сходится, если члены ее ограничены:
Ап<М («=1,2,...).
Отсюда следует, что числовой ряд
с неотрицательными членами сходится, если его частные суммы
ограничены:
У
1
Используя последнее предло-
жение, докажем, что ряд
Н1 C2Л)
12 3
125 сходится.
иг- ¦ Действительно, как показывает
фиг. 125, заштрихованная площадь
находится под кривой у=1/х2, и, следовательно,
з
1 , J.
22 "I 32 <¦
Вообще имеем
1
22"
v в силу этого неравенства,
р -г за" + • • ¦ -г-2- < 2 — -п- < 2,
так что частные суммы ряда C2.1) ограничены одним и тем же
¦числом М — 2. Так как члены этого ряда положительны, то ряд
•сходится.
Это рассуждение не дает, однако, точного значения суммы ряда:
•в § 40 мы докажем, что эта сумма равна г2/6.

§ 33. Критерий мажоранты
181
Напротив, гармонический ряд
1+;+¦¦¦
расходится и ввиду этого не имеет (конечной) суммы.
В самом деле, из фиг. 126
видно, что заштрихованная пло-
площадь больше площади, заклю- 'А
ченной между кривой у—\/х
и осью х, т. е. что
3
dx
Фиг. 126.
Вообще,
п+1
и, значит, частные суммы рассматриваемого ряда больше In (л 4 1).
Так как In(п4 1) стремится к бесконечности при л—*-со, то част-
частные суммы подавно стремятся к бесконечности и ряд расходится.
Упражнения. 1. Доказать, что ряд - 3 -+VJ-+ ¦ • • сходится.
2. Доказать, что вообще ряд -р4-р+--- сходится, если р > 1.
3. Доказать, что ряд -р + ~^-т •¦• расходится, если р < 1.
§ 33. Критерий мажоранты
Докажем следующее предложение:
Пусть
C3.1)
C3.2)
C3.3)
и ряд C3.2) сходится, то сходится и ряд C3.1).
Ряд C3.2), для которого выполнены неравенства C3.3), назы-
называется мажорантой ряда C3.1). Предложение, приведенное выше,
допускает словесную формулировку:
— числовые ряды с вещественными членами. Если
!«J<Tn (n=U 2, ...)

182 '/. //, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Ряд сходится, если он обладает сходящейся маэкарантой.
Доказательство. Пусть
aj-f «;+... C3.4)
есть ряд, возникающий из ряда C3.1) при замене всех отрицатель-
отрицательных членов нулями. Аналогично, пусть
<х* + а* + .. . C3.5)
есть ряд, возникающий из ряда C3.1) при замене нулями всех
положительных членов и изменении знака в остальных членах
Тогда
{а[+ . .. +а'п) -« + • ¦ • +*'п) -«i -i- • ¦ • + an, C3.6)
(*[ + • • • +<)+(< + ¦¦¦ +*n) = |<xx |+ • • • + I «„ |< 7i+ ¦ • • + Tn<M'
C3.7)
где М =7! + ?2+ • • ¦ ¦ Из C3.7) вытекает, что
Так как члены рядов C3.4) и C3.5) неотрицательны, то эти ряды
сходятся. Из C3.6) следует, далее, что последовательность частных
сумм otj-f- ... 4-aft сходится, т. е. что ряд C3.1) сходится.
Доказанное предложение имеет многочисленные применения.
Из него вытекает, например, что ряды
„=1 («~2-
-L
22
4 4 4
_Z_ ¦ Л I i
2 — I» " 32 i" 52 T- ¦ • •
сходятся. Для первого ряда это очевидно, для второго же следует
из соотношений
00 СО
v!л. л v '1 1
(п=1, 2, ...).
Упражнение. Доказать сходимость рядов

34. Равномерная сходимость функциональных рядов 183
§ 34. О равномерной сходимости функциональных рядов
Пусть /j, /2, ...—функции, ограниченные в некотором интер-
интервале /. Функциональный ряд
/i(') + M0+-.-. C4.1)
по определению, равномерно сходится в интервале / к функции
f(t), если в этом интервале последовательность частных сумм
равномерно сходится к f(t).
Равномерная сходимость последовательности sn(t) означает
существование такой числовой последовательности elt s2, ...,
стремящейся к нулю, что
«» («=1.2, -..)
для всех точек ?,интервала /.
Ввиду этого, при п>2 имеет место неравенство
и, следовательно, справедливо предложение:
Если ряд C4.1) равномерно сходится в интервале I, то суще-
существует такая числовая последовательность ?„» стремящаяся
к нулю, что
1/»@|<Т„ («=!> 2, ..-) C4.2)
для всех точек t интервала I.
Из неравенства C4.2) все же нельзя сделать заключение о схо-
сходимости ряда C4.1). Действительно, если, например, fn{t)—\jn
в интервале /, то условие C4.2) выполнено, а ряд 1-f у + ...
расходится.
Справедлива, однако, следующая теорема:
Если условие C4.2) выполнено в интервале I и если числовой ряд
сходится, то функциональный ряд C4.1) равномерно сходится
в интервале I.
Другими словами:
Если функциональный ряд обладает сходящейся числовой мажо-
мажорантой, то он равномерно сходится.
Доказательство. Если произвольно зафиксировать t в ин-
интервале /, то ряд C4.1) станет числовым и будет сходиться в силу
предложения предыдущего параграфа. Ввиду произвольности t
ряд C4.1) сходится во всем интервале / к некоторой функции

184 Ч. II, гл VI. Уравнение теплопроводности
f(t). Равномерная сходимость вытекает из неравенства
так как числовая последовательность еп стремится к нулю. (Сходи-
(Сходимость последовательности еп к нулю следует из равенства еп =
= Г —Гп, где Г — сумма, а Гп— частная сумма ряда Ti + Ta+ ¦• )
Пример. Если
0, / = 0,
—— ехр( j— ), 0<f<oo,
то ряд/хСО + МО-г--- равномерно сходится в интервале 0<<< со,
так как обладает в этом интервале сходящейся числовой мажо-
мажорантой Ti + Тг + • ¦ • • гДе (см- § 30)
3 \f 6
4^2 V ъе3
Упражнение. Доказать, что ряды
2jBn-l)*
n=I n=I n=1
равномерно сходятся в любой интервале.
§ 35. Разложение решения в бесконечный ряд
В равенстве
ряд справа равномерно сходится, так как, в силу формулы C0.3I),
1 3 l/~6~
Поэтому решение C1.8) можно представить в виде
хп\ = v ( 5 е-
0
!) Сходимость рассматриваемого ряда следует также из общей теоремы
о степенных рядах, которую мы приведем в § 50

§ 36. Неравенства и модуль 185
ИЛИ
V=0 О
«о t
v=I О
В частности, если G (X)—решение уравнения в случае, когда
v=-i/s, то
G (X) = 1 (" ^ б"" Bvlo+A) VT-^r» Bv*,-l) К J> ,
0 I
v=0 v=I
илщ
G(X, o-Scerf^f^-icerfiS^. C5.1>
¦v=0 v=l
Функция G(X, ^.представляет распределение температуры в стер-
стержне, если температура равна 0 в начальный момент и поддержи-
поддерживается в начале Х=0 на уровне 1, а в конце Х--)о на уровне 0.
С помощью функции G можно написать решение и в общем
случае, когда температура стержня задана условиями C1.3).
В самом деле, в силу формулы C1.8),
t
§ 36. Неравенства и модуль
Вообще говоря, нельзя сказать о двух операторах, какой из них
больше и какой меньше, так же как нельзя этого сказать о ком-
комплексных числах. В частном случае, когда аи Ь — функции класса
К с вещественными значениями, мы под записью
будем понимать, что
при всех значениях t>0, для которых обе функции непрерывны.
Например,
что вытекает из вычислений § 30.

186
Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Аналогично имеем
s2 + 1 ^ s •
так как cost< 1. Напротив, между l/(s2-(-l) и l/2s нельзя устано-
установить отношение неравенства, так как в одних точках sin^ больше,
а в других меньше 1/2.
Под модулем \а\ функции а класса К будем понимать просто
Модуль \а\ является, таким образом, опять функцией класса К.
Если а и /« — функции класса К, то
a-b\<\a\-\b\,
ибо
о
i — т)
| а (f — т) 116 (т) |
Замечание. Вообще говоря, равенство |a-6|=|a|«|6| не
имеет места. Действительно, в противном случае мы для а — 1
имели бы
t t
\
что не всегда верно.
Предположим, что ап (п—1, 2, ...) и a—функции класса С.
Если существуют функция g ? С и числовая последовательность е„ > О,
стремящаяся к нулю, такие, что
\an-a\<Sng (п = 1. 2, ...). C6.2)
то последовательность ап сходится к а равномерно в каждом конечном интер-
интервале 0 ^ / 5^ t0, следовательно, сходится и в операторном смысле.
В самом деле, нз непрерывности g вытекает, что для каждого конечного
интервала 0^/<;/0 существует число М, для которого выполняется неравен-
неравенство
\g(l)\<M,
Отсюда
т. е. имеет место равномерная сходимость в интервале ^?^0
Можно доказать и обратную теорему: если последовательность ап функций
класса С сходится к а равномерно в каждом интервале 0 <1/^/0> то существует
такая функция g?C и такая числовая последовательность еп, сходящаяся
к нулю, что имеют место неравенства C6.2). Таким образом, определение
равномерной сходимости в каждом конечном интервале можно заменить равно-
равносильным определением, в котором нет уже речи о каких-либо интервалах

§ 37. Стержень бесконечной длины 187
Упражнение. Доказать неравенства
§ 37. Стержень бесконечной длины
Формулу C1.8) можно написать в виде
У7C7.1)
где
Но в силу C6.1)
где A' = 6V—г* 2 о _п2- Отсюда видно, что Ь(к) стремится
J Tie ~^ (^ч 1)
к нулю при Хо —=>. оо.
Предполагая, что длина стержня очень велика, мы можем
в формуле C7.1) пренебречь членом Ъ (X) и записать решение в виде
x{\) = ve"t*V1 (X>0), C7.2)
или
4П, C7.3)
оо, 0<^< оо).
Эта функция описывает распределение температуры в бес-
бесконечном стержне в предположении, что в момент t = 0 темпера-
температура стержня равнялась нулю и что температура в точке Х = 0
задана функцией v. Бесконечный стержень является, очевидно,
идеализацией, так же как и бесконечная струна (см. § 22).
Если температура в начальной точке стержня постоянна, v — w/s,
то решение C7.2) записывается в виде
x(X) = —e-^VT @<X<co)

188 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
ИЛИ
*(>., 0 = <«cerf^y , @<Х <co, 0<t< со). C7.4)
Замечание. Функция C7.4) не определена на прямой / = 0; однако,
полагая
х(\, 0) = limx(\, 0 = 0,
f-»o
мы превратим ее в непрерывную функцию во всем квадранте
за исключением одной точки Х.=/-=0 (когда ш^О). Поэтому в этой точке
не существуют частные производные и уравнение C1.1) не может в ней
удовлетворяться. Это затруднение отпадает, если за основное уравнение
теплопроводности принять операторное уравнение C1.4), так как всякое
решение последнего имеет при всех вещественных А. производные, даже про-
произвольно высокого порядка.
При выводе формулы C7.3) существенную роль играло второе
из условий C1.3), т. е. условие
x(\o,t) = 0 @<?<oo). C7.5)
Только приняв во внимание это условие, мы перешли к пределу
при Хо—*-со. Мы приходим к этой же формуле C7.3), решая
уравнение C1.1) сразу для квадранта 0 <Д < оо, 0 < f < оо и заме-
заменяя условие C7.5) аналогичным условием
\\mx{l,t) = 0 @<*<co), C7.6)
Х-»оо
где предполагается равномерность существования предела. Условие
C7.6) можно еще ослабить, предполагая лишь, что функция х(к, t)
в некотором смысле ограничена. Говоря точнее, все сводится
к нахождению для уравнения C1.1)
дгх _ 2 дх_
W~a ~dt
решения х(к, t), которое удовлетворяло бы условиям
ж(Х,0) = 0 @<k<oo), C7.7)
*@, 0 = »@ @«<оо),
\х{\, t)\<m{t) @<X<oo, 0<^<co), C7.8)
где опт — данные функции класса С. Функция т не будет уча-
участвовать в самом решении, так как смысл условия C7.8) состоит
лишь в некотором ограничении, накладываемом на функцию х{\, t),
которое обеспечивает единственность решения.
При операторном подходе эта задача состоит в на-
нахождении параметрической функции хA), удовлетворяющей

§ 37. Стержень бесконечной длины 189
уравнению C1.4),
х"A) = <хЧх(\),
условиям
х@) = и, C7.9)
\xQ.)\<m @<Х<со). C7.10)
Общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид
х (X) = схе~а}- V* -f с2е*А У1.
Докажем, что с2 = 0, если jc(X) есть параметрическая функ-
функция, удовлетворяющая условию C7.10).
В самом деле,
c, = jc(k)e—4*гг-с1е-2«*г»', C7.11)
но ввиду
имеем
А->оо
откуда, в силу условия C7.10), вытекает, что правая часть соотно-
соотношения C7.11) стремится к нулю при X—»оо. Поэтому са = 0.
Таким образом, решение приводится к виду
а из условия C7.9) вытекает, далее, что Cj = u. Отсюда получаем
искомое решение
или в обычной, не операторной форме—C7.3). Найденное решение
единственно.
Можно показать, что если опустить условие C7.8), соответственно C7.10).
то существуют еще другие решения. Положение здесь совсем иное, чем в
случае бесконечной струны, где условие ограниченности решения не играет
никакой роли. В настоящем случае условием ограниченности нельзя прене-
пренебречь. Все же оно может быть заменено следующим более слабым условием:
для всякого числа t0 > 0 найдется такое число ?10, что
lim[e~PoA* max
Тогда теорема единственности все еще сохраняется. Доказательство читатель
найдет в работе Тихонова об уравнении теплопроводности *).
») Тихонов [11].

190
Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Для более конкретного пояснения способа распространения
тепла представим себе длинный серебряный стержень с начальной
температурой 0°С. На одном конце стержня поддерживается по-
стоянная температура 100° С.
Нам понадобятся следующие физические постоянные для серебра:
теплоемкость с = 0,055,
коэффициент теплопроводности К, — 1,01,
плотность 8 = 10,5.
Отсюда получаем
,055-10,1
Изменения температуры определены, таким образом, формулой
х(к, 0 = lOOcerf @,38 -^
Через одну секунду температура на расстоянии 10 см от начала
стержня повысится (теоретически) всего лишь на 0,00001° С, что,
очевидно, нельзя проверить экспе-
экспериментально. Имея в распоряже-
распоряжении термометр, реагирующий на
колебания в 0,1° С, можно через
одну секунду подтвердить повыше-
повышение температуры самое большее на
расстоянии 4,8 см. Имея же более-
чувствительный термометр, которым
показывает изменения в 0,001°С,
можно отметить повышение тем-
температуры па расстоянии 8,2 см
На фиг. 127 приведены в форме графика распределения темпе-
температуры в стержне через одну, пять и тридцать секунд после на-
начала процесса.
§ 38. Теплоизолированный стержень
Решим теперь уравнение
(О 0 г оо)
П 1 2 3 Ь S 6 7 8 9 Юсм
Фиг. 127. Распределение темпе-
температуры в серебряном стержне.
дЧ _ 2 дх
dl*~~a d'f
при условиях
хA, 0) = 0,
jc(O, t) = v(t),
0 = 0.
@<Х<Х0),

§ 39. Тригонометрические ряды 191
В физической интерпретации первая производная хх (>.„, t) означает
количество тепла, протекающее через сечение )Ч). Предположение,
что эта производная равна нулю, означает, что конец стержня
(подобно всей боковой поверхности) полностью изолирован от внеш-
внешней среды. Это предположение мы вводим вместо условия § 31,
где предполагалось, что на конце стержня >. = Х0 поддерживается
постоянная температура 0.
Операторное уравнение снова имеет вид
однако условия на концах стержня заданы теперь равенствами
x@) = v, л;'(Хо) = 0.
Общим решением уравнения является функция
х (X) = de—* У1 -г с?* v7.
Постоянные с1 и с2 определяем из условий
x@) = c1-\rci = v,
х' (Хо) = — сха Yse-a^ Vs + ср |/s e?x° У^= 0
и находим
1
1 + е-2осА0 V*'
Окончательно
Это решение отличается от C1.8) только тем, что в числителе и
знаменателе стоят суммы вместо разностей. В настоящем слу-
случае можно опять применить разложения в ряды, исходя из формулы
Доказательство сходимости—такое же, как выше. Формулы,
полученные этим путем, отличаются от предыдущих лишь зна-
знаками, и подробно приводить их мы не будем.
§ 39. Тригонометрические ряды
Тригонометрическим рядом мы называем ряд
/(*)=* у-I- 2 (ancosrw: + 6nsin nx),
п=1

192 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
где ап и Ьп — вещественные или комплексные числа, а х — пере-
переменное, принимающее вещественные значения.
Существуют общие критерии, которые во многих случаях поз-
позволяют установить, что данная функция f(x) представима в виде
тригонометрического ряда. Давно известны также формулы для
коэффициентов этого ряда. Здесь мы не будем пользоваться общей
теорией, а ограничимся лишь рассмотрением нескольких простых
случаев, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Докажем сперва, что
оо
2(— l)n~1^~ = Y, —ic<x<v, C9.1)
и что сходимость этого ряда равномерна в каждом замкнутом
интервале [ — х0, х0], содержащемся в ( — тс, и).
В силу тождества
имеем
2 cos kx cos 2- = cos fk — y J x + cos f k + y) x<
2 [cos x — cos 2x +...+(—1 )* 'cos kx] cos * =
г x , 3*1 г Ъх , 5лг "l .
= у cos -2--j- cos 2 J - у cos y + cos-2- J + ...
...+(- I)* [cos(*-~)x-f cos
= cos y + (- О" cos (ft+ -2-) x,
и отсюда
k
— 2^ Ч х
п=\ 2cos-2-
Иитегрируя последнее равенство в пределах от 0 до х, получаем
2 (- 1)"-' ™?х- ¦= y + (- 1 )*"' /„ (х), C9.2)
где
cos

§ 39. Тригонометрические ряды
193
Интегрированием по частям находим
¦-'—<&
COS'
2 _ . 4
и отсюда для | х \ < х0 < т.
I
l °
l_cos ° J cos"- - 5 J
Это неравенство показывает, что последовательность 1к(х) при
k—*оо сходится к нулю равномерно в интервале [— х0, х0].
Отсюда следует Haiue предложение.
При х = ± ~ ряд C9.1), как сразу видно, также сходится,
однако уже не к xj2, а к нулю. Далее, ввиду периодичности
sinnx ряд C9.1) сходится к периодической функции, изображен-
изображенной на фиг. 128.
-гп
-яг
Фиг. 128.
Из C9.1) можно вывести много других тригонометрических
разложений. Например, ряд
sin
C9.3)
i олучается подстановкой х = -Х/Х0 из ряда C9.1). Ряд C9.3)
равномерно сходится в каждом замкнутом интервале, не содер-
содержащем точек Bk— 1)XO (k — целое число).
Очевидно,
(f1(l) = \ ДЛЯ — \,<Л</Ч).
Заменив \ в C9.3) разностью
получим новую функцию
C9-4>
п=1
13
Ян Минусинский

194 '/. //, гл. VI. Уравнение теплопроводности
такую, что
?2(М = >о->- Для 0 <). <2Хо-
Ряд C9.4) равномерно сходится в любом замкнутом интервале,
не содержащем точек 2kX0 (k — целое число).
~У\
A A A
о
Фиг. 129.
Складывая ряды C9.3) и C9.4), получаем
со
Tst \> —YiW ¦ Y2W я Zi 2п— 1 *.„ '
и теперь
~1 i—i i—i
! ! ! ! ! я ( - /-о при - ).о < X < О,
^ Х<) , О <Х < Хо. C9'6)
Фиг. 130. Ряд C9.5) равномерно сходится в лю-
любом замкнутом интервале, не содержа-
содержащем точек &\) (k — целое число), ибо в таком интервале равно-
равномерно сходится каждый из рядов C9.4) и C9.5).
§ 40. Интегрирование и дифференцирование
функциональных рядов
Докажем следующую теорему:
Если последовательность непрерывных функций gn(K) (с чис-
числовыми значениями) сходится к g(\) равномерно в конечном
интервале [lv l2] то,
\ g(t)dt= lim \ gn(t)dt
для а и л, принадлежащих интервалу [).v \2].
Действительно, существует такая числовая последовательность
еп, стремящаяся к нулю, что

§ 40. Интегрирование и дифференцирование рядов 195
и поэтому
X
X
\\ gAOdt-[ g(t)dt\<\^ \gn(i)-g(l)\dt\<\] endt
= eJX — a|<en(X2-X1).
Так как числовая последовательность sn (Х2 — Xx) стремится к нулю,
то теорема доказана.
Мы доказали даже больше, а именно, что при фиксированном
а последовательность функций
X
сходится равномерно в интервале [Х1( X2].
Так как равномерная сходимость частных сумм означает рав-
равномерную сходимость ряда, то отсюда сразу получаем теорему:
Пусть
п=1
D0.1)
есть ряд из непрерывных функций (с числовыми значениями),
равномерно сходящийся в интервале [lv X2]. Тогда
D0-2)
для а и К, принадлежащих интервалу [\г, Х2].
Равенство D0.2) записывается также в виде
Л СО ОО X
П=1 ОС
Можно поэтому сказать, что если интегрируемый ряд равно-,
мерно сходится, то допустима перестановка символов интеграла
и суммы.
Пример.
X оо со X оо
t ,, xi sin n>.
2
D0.4)
О n=\ n=-.\ a n=l
Положим теперь

196 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
где ряд
ОО
2 Т„=Т (Ю.5)
п—!
СХОДИТСЯ.
Тогда ±Fn{\) = fn{b) и, в силу D0.3),
X оо оо
а п— ! л—1
и дифференцирование дает
П^= I /1-^: I
Равенство это показывает, что допустима перестановка символов
Дифференцирования и суммы. Однако должны быть выполнены
условия, состоящие в том, чтобы ряд D0.1), т. е.
п=-\
равномерно сходился в рассматриваемом интервале и чтобы ряд
D0.5), т. е.
• ОО
сходился. Таким образом, справедлива следующая теорема о диф-
дифференцировании рядов:
Если функциональный ряд
члены которого обладают непрерывными производными в интер-
интервале [\lt X2], сходится хотя бы в одной точке этого интервала
и если ряд из производных
п=1
равномерно сходится в интервале [t.v >.2], то имеет место соот-
соотношение
00 ОО

§ 40. Интегрирование и дифференцирование рядов 197
Пример.
оо со со
-^ У— cos-т— = ), „ ~.,cos,- )=—->'. sin-.— . D0.7)
Дифференцируемый ряд сходится здесь равномерно в любом
интервале, однако вычисления справедливы для каждого замкну-
замкнутого интервала [/,, л2], не содержащего точек 2/г>.0 (целое число), ибо
в таком интервале равномерно сходится ряд из производных.
Отсюда следует, что равенство имеет место для всех X -j= 2&л0.
Практически полезным оказывается еще следующий вид тео-
теоремы об интегрировании рядов:
Пусть
с»
2 /„ М D0.8)
есть ряд функций, ограниченных в интервале [)ч, L,] и непрерыв-
непрерывных, за исключением, быть может, конечного числа точек рх>
Р2, ... , Ph. Тогда справедливо соотношение
со со X
5 2 fn @ dt = 2 \ fn(t)dt (а, ле [К *,]). D0.9)
а л—I n=^J a
если только выполнены следующие условия:
(I) данный ряд D0.8) равномерно сходится в каждом замкну-
замкнутом интервале, который содержится в [к^ л2] и не содержит
точек Pj, ... , 3Л;
(II) проинтегрированный ряд [в правой части формулы D0.9)]
равномерно сходится в интервале [)>,, л2].
Доказательство. Из предположений о функциях /п (X) выте-
вытекает, что для Xj<k<X2 существуют интегралы
Эти интегралы являются непрерывными функциями в интервале
\\, Х2]. Если условия (I) и (II) выполнены, то формула D0.6) имеет
место в каждом замкнутом интервале, который содержится в
[X,, \2] и не содержит точек $v .. . , pft. Следовательно, формула
D0.6) справедлива для всех X из интервала [hlt X2], за исключе-
исключением точек °<ь . . . , °<k. Эту формулу можно записать и в виде
(\Ф?и .... pfc)- D0-10)
n=l л=1 ос

198 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Из условия (II) вытекает, что ряд в правой части формулы
представляет непрерывную функцию при всех X из интервала
[>4lt X2]. Интегрированием обеих частей этой формулы мы и полу-
получаем равенство D0.9) *), что завершает доказательство.
Пример. Если функция ср3 задана формулой C9.5), то
Л со
0 п = !
r? -r?J Brt—IJ я* ZJ Bn— IJ Xo
П---1 П=1
Это равенство справедливо для всех вещественных X, так как
интегрируемый ряд равномерно сходится в каждом замкнутом
интервале, не содержащем точек &Х<, (Ife — целое число), а ряд,
полученный интегрированием, равномерно сходится в любом
интервале.
Этот пример мы используем также для вывода некоторых соот-
соотношений, которые нам понадобятся в дальнейшем. Именно, в силу
C9.6), имеем
2»
2
О
Подставив X = XJ2 в равенство D0.11), получим
П 4П ъ 1
V _J
2l "Bn —I)8 '
п--!
откуда
') Это вытекает из общей теоремы: если ¦¦? (к) — непрерывная функция п
интервале [Хь 12], исключая, быть может, точки ¦},, ...,%< а Ф(Х)—функ-
Ф(Х)—функция, непрерывная во всем интервале [Х1( Х2], то из равенства ?(Х)= ^ф (^)
(при X^fr pk) следует, что С <? @ Л = ф(Х)—6 (a) (X^osJ^). Teope-
иа неверна, если не предполагать непрерывности <р (X) во всем интервале [li, X.|.

§ 41. Изменения температуры стержня .190
Подставляя D0.12) в соотношение D0.11), получаем
А оэ
^ ср3 @ dt = -2? - --? ^ Bп—\У C0S ( 0 '
О п=1
н, в силу C9.6),
m
/ COS
^-J Bn—IJ
n=i
Эту формулу мы используем в § 45.
Соотношение D0.12) было найдено Эйлером. Заслуживает
внимания еще преобразование
1.1.1,
из которого вытекает соотношение
1,1,1,
[2-r 22" З2 " " " ~~~6~ '
найденное также Эйлером.
§ 41. Изменения температуры стержня при заданной
начальной температуре
Предположим, что распределение температуры в стержне
длины Хо в момент * = 0 задано функцией
*(>., 0) = sin-"~ @<).<X0),
где л—натуральное число, и что иа обоих концах стержня под-
поддерживается постоянная температура 0:
Так как теперь
то соответствующее этому случаю операторное уравнение не-
неоднородно,
*"(X)-a2s*()O= -a2sin4^, D1.1)

200 Ч. //, гл VI. Уравнение теплопроводности
и его следует решать при краевых условиях
л@) = 0, *(Х«,) = 0. D1.2)
Задача формально похожа на ту, которую мы решили в § 24
для колеблющейся струны. Мы решим ее аналогичным способом,
подыскав функцию вида
л:(X) = с sin-"\ D!.3)
удовлетворяющую уравнению D1.1). Подставив D1.3) в D1.1),
получим после упрощений
и отсюда
\_ = <e-nyt,
где p = z/oX0.
При так подобранном коэффициенте с функция D1.3) удо-
удовлетворяет уравнению D1.1). Одновременно выполнены и усло-
условия D1.2). Поэтому распределение температуры в стержне
описывается формулой
Таким образом, в любой момент t кривая распределения темпе-
температуры является синусоидой. Амплитуда этой синусоиды быстро
стремится к нулю.
Если начальное распределение температуры задано функцией
7
то операторное уравнение будет иметь вид
@(J%^
Оставляя условия D1.2) без изменения, будем иметь решение
в виде суммы
в виде суммы
х (к) =
Предположим, наконец, что начальное распределевие темпе-
температуры задано функцией

§ 42. Проверка решения 201
которая непрерывна в замкнутом интервале 0<Х<Х0' и разло-
разложима внутри этого интервала в тригонометрический ряд
(>•)-2 РA si
sin
n=l
равномерно сходящийся в любом интервале [Х1, л2], содержа-
содержащемся в (О, Хо).
Операторное уравнение имеет теперь вид
X" (л) — a2 SX (X) = - а2ср (X). D1.4)
Если сохранить условия D1.2), то формальное решение также
будет иметь вид бесконечного ряда
оо
X^)=±>irtb?smu> '3=^V DL5>
Записав это решение в обычной, не операторной форме,
-лучим
оо
. пг.Х
Отсюда, в частности, видно, что при t—* оо температура
стержня всюду очень быстро выравнивается, снижаясь до нуля.
§ 42. Проверка правильности решения
Легко показать, что последовательность jin сходится к нулю.
Действительно, в силу равномерной сходимости ряда 2 Рп S1U ~г~ »
существует такая сходящаяся к нулю последовательность
Тп Тг что
^'<Тп («=1,2,...) D2.1)
при всех X из интервала [Xj, X2]. Для всякого достаточно боль-
большого п можно найти такое значение X из интервала [кх, Х2], что
sin^-=l. При этом значении X неравенство D2.1) сводится
'¦о
к неравенству |р„|<7п> и, значит, последовательность (д.п стре-
стремится к нулю.

202 '/. //, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Ряд D1.5) можно представить в следующем виде:
где
Так как последовательность ап стремится к нулю, то оба ряда
в формуле D2.2) равномерно сходятся во всей области
D @<Х < Хо, 0<*<г да),
и функция Ф(Х, t) непрерывна в этой области. Отсюда вытекает,
что ряд D1.5) сходится в операторном смысле в интервале
О < X < Хо и представляет в этом интервале непрерывную опера-
операторную функцию.
Двукратным формальным дифференцированием ряда D2.2) по
>. получаем
п=1 л=1
По предположению, первый из рядов в D2.3) сходится к <р(Х)
равномерно в каждом интервале [Xj, Ха], содержащемся в @, Хо),
второй же сходится равномерно в области D к некоторой функ-
функции ф (X, t), непрерывной в этой области. Поэтому, в силу тео-
теоремы о дифференцировании функциональных рядов, имеем
•^•Ф(Х, 0 «-*?(*)¦;-Ф(*. 0 D2.4)
в области
D' @ <).<}.„, 0<*<со).
Так как правая часть соотношения D2.4) представляет собой не-
непрерывную функцию во всей области D, то формула D2.4) имеет
место во всей области D.
Это получается с помощью двукратного применения следующей про-
простой леммы:
Если производная (' (к) функции f (X) (числовой), непрерывной в интер-
интервале О^Х^Хо. существует в интервале 0 < X. < \0 и совпадает в нем
с функцией g (\), непрерывной в интервале 0 sg X ^ \0, то производная f (X)
существует в интервале OsgX^X0 и равна g(X).
Лемма эта сразу вытекает из теоремы Лагранжа, ибо
и, следовательно, f'(O)=g(O). Точно так же находим f'(*•<>)

§ 43. Некоторые частные случаи 203
Можно записать
следовательно,
а3!
$
оо
1 я-1 
оо
с
я2
1
S
1
S + /
«¦Л
' ^°
>
) П х0 -
(X)
s
Таким образом, мы проверили, что ряд D1.5) действительно
является решением уравнения D1.4), удовлетворяющим усло-
условиям D1.2).
»
§ 43. Некоторые частные случаи
Для 0 < X < ).о имеем
и, следовательно, согласно § 41, решением хх(Х) операторного
уравнения
*' (X) - a2 sx (X) = - а2 (Хо - X), D3.1)
удовлетворяющим условиям
*,(()) = 0, *1(Х0) = 0, D3.2)
является функция
i (V D3-3)
Легко видеть, что и функция
удовлетворяет уравнению D3.1), однако вместо D3.2) она удо-
удовлетворяет условиям

204 Ч II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Отсюда следует, что функция х (X) = у [х2 (X) — xt (X)] удовлетво
ряет однородному уравнению
x"(l)-a2sxQ) = 0
и условиям
Но последнюю задачу мы уже решили в § 35 и показали,
что найденное там решение G(k) единственно; следовательно,
G(X) = *(X) В силу соотношений D3.3) и D3.4), получаем для
G(X) иное, чем в § 35, разложение:
2 \i
я- 1
и, значит, в обычной записи
со
Osin-x7- D3>5)
Для вычислений эта формула особенно пригодна тогда, когда
/ велико, ибо в этом случае ряд очень быстро сходится. При
значениях t, близких к нулю, предпочтительнее формула C5.1)
§ 44. Стержень, изолированный с одного конца
Если начальное распределение температуры в стержне задано
функцией
x (X, 0) = sin -^—~— @ < X < Xo, n - целое),
то операторное уравнение имеет вид
. D4.1)
Подыскивая решение вида
X (к) — С Sin — j—-— ,

§ 44 Стержень, изолированный с одного конца 205
мы подставим это выражение в D4 1) и разделим полученное
равенство на —sin / "— Этим способом получим
и отсюда
ч ~
= z/aX0. Искомое решение имеет, таким образом, вид
х (х) =Ц- sin -V—^ -
гцовлетворяет краевым условиям
*@) = 0, л;'(ао) = О. D4.2)
Решим теперь ту же задачу, предполагая, что начальное рас-
распределение температуры в стержне произвольно:
*(Х, О) = ср(Х) @</<Х0).
Относительно функции «(X) мы предположим только то, что она
непрерывна в интервале [0, Хо] и допускает внутри этого интер-
интервала разложение в ряд
@ < X < Хо),
равномерно сходящийся в каждом замкнутом интервале [Х1; Х2],
содержащемся в @, Х„).
Операторное уравнение имеет теперь вид
и если оставить краевые условия без изменений, то решение
можно записать в форме бесконечного ряда
х (к) = > "" , v o— sin

206 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
или, в обычной символике,
- ( (--Л2*2) (*-•*>
х (х, о - 2 ft. exP { —^—щ*— Чsin - С ¦
л=-1
Исследование сходимости этого ряда и его производных можно
провести так же, как в § 43.
В силу соотношений C9.5) и C9.6), имеем
f sin ±^h @ < X < 2U
п=1 л —
и этот ряд равномерно сходится в каждом замкнутом интервале,
содержащемся в (О, 2Х„). Поэтому решение уравнения
х" (X) - a2 sx (X) = — о2, D4.3)
удовлетворяющее условиям D4.2), имеет в интервале
вид
2 Г
„=1 я—2-
С другой стороны, функция
также удовлетворяет дифференциальному уравнению D4.3), од-
однако при других краевых условиях, а именно
*2@)=,
Отсюда следует, что функция х(к) = х2(\) — х1 (;¦.), т. е.
, D4.4)
удовлетворяет однородному уравнению
*"(X)-a2s*(X) = 0 D4.5)
и условиям

§ 45. Регулирование притока тепла на одном из концов стержня 207
Записав D4.4) в обыкновенной, не операторной форме, получим
п=1 Л о"
Эта функция выражает изменения температуры в стержне, ко-
который всюду имеет температуру 0 в момент (= 0; в на-
начале X = 0 которого поддерживается температура 1, а конец X = Х^
изолирован. Ясно, что через большой промежуток времени темпе-
температура всего стержня будет очень мало отличаться от 1.
Упражнения. 1. Показать, что функция
sax (К), D4.6)
где х(К) задана формулой D4.4), удовлетворяет уравнению D4.5) и краевым
условиям
Дать физическую интерпретацию.
2. Написать функцию D4.6) в обычной, ие операторной форме.
§ 45. Регулирование притока тепла на одном из концов стержни
Предположим теперь, что начальное распределение темпера-
температуры в стержне задано функцией
B>
*(/., 0) = cos-4 -}—-•¦ @</. <)Ч), л —целое).
Тогда имеем операторное уравнение
X (X) - a2 SX (X) = - a2 COS ^—^ ,
и аналогично предыдущему легко видеть, что функция
является решением этого уравнения таким, что
*'(()) = 0, *(Х0) = 0. D5.1)
При тех же краевых условиях D5.1) решим теперь уравнение
х" (X) - a2 sx (X) = - а2 (Х„ - X). D5.2)

208 Ч. II. гл. VI. Уравнение теплопроводности
Заменив в формуле D0.13) X на Х/2, получим
4 ^ (п J Y
п--=1 V"-
и отсюда
"cos"
2
Ввиду этого искомое решение можно записать в виде беско-
бесконечного ряда
С другой стороны, функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению D5.2) и условиям
Следовательно, функция х (X) = х2 (/) — х1
со
Х S Г'2 «-1 С л—— Y s +(' я-
2
удовлетворяет однородному уравнению
х" (X)-a2sx ().) = (
и краевым условиям
(X), т.
- '-Ур
2
)
е. функция
D5
D5
»
•3)
• 4)
Записав функцию D5.3) в обыкновенной, не операторной форме,
будем иметь
n=1 V~~2

§ 46. Более общие краевые условия 209
Эта функция выражает изменения температуры в стержне при
следующих условиях. Приток тепла через точку Х = 0 отрегули-
отрегулирован так, что он все время равен 1:
на другом конце X = Хо поддерживается постоянная температура 0;
в момент t = 0 температура всего стержня равна 0.
Упражнения 1. Показать, что функция
) = —svx(k). D5.5)
где х(Х) задана формулой D5.3), удовлетворяет уравнению D5.4) и краевым
условиям
Дать физическую интерпретацию.
2. Записать функцию D5.5) в обыкновенной, не операторной форме.
§ 46. Более общие краевые условия
Предположим, что для решений уравнения в частных произ-
производных
д2х о дх i ^ п\
а (а>°)
задано условие
, 0)=0 (Х1<Х<Х2). D6.1)
Если уравнение рассматривается в области, определенной нера-
неравенствами Х,<Х<Х2, 0<t < оо, то общие краевые условия можно
задать в одном из четырех видов:
(I) ж(хх, 0-0,@, *(х2,о=1,2(О;
(II) хд(х„ о = о,@. х(х|,о = оя@;
(Ш) *(х„ 0 = 0,@, ^(^.0 = оя@; ( <t<co)
(IV) хд(Х1; 0-о,@, xx(k2,t) = v2(t).
Можно было бы рассматривать еще более общие условия,
однако мы здесь ими заниматься не будем.
Выполнив подстановку
'4
Ян Минусинский

210 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
мы получим
д*х _ 1 дЧ дх __ 1 дх .
д\* — (X.2-^iJ «ЭХ» ' di a'fa-l,)* 3, ;
функция хA. Г), очевидно, будет удовлетворять уравнению
4?^ , 0<Г<оо)
(ЗА.2
и условию
(Г, 0) = 0
Задача, таким образом, несколько упростилась, ибо в уравнении исчез
множитель а2, а интервал [\v X2] заменен интервалом [0, 1]. Если мы
еще примем обозначения v1(t) = v1(t) и »2(*) = »2(?), то условие (I)
запишется в форме
i@,o-oi@. Je(l,7)-o,(F) @<7<сю).
Аналогично можно записать и остальные условия.
В дальнейшем, отказавшись от утомительного надписывания
черточек над буквами, мы будем просто говорить о решениях
уравнения
@<Х^1. 0<*<со), D6.2)
удовлетворяющих условию
х(Л,0) = 0 @<Х<1) D6.3)
и одному из четырех условий:
(I) «@,0 = 0,@. х( 1.0 = »*(*);
(И)
0
@</<ов)
(Ш) *(O,o = 0i(Q. *i(i,0 = oB@;
(IV) *д@,о = 01@. *i(i,0 = o2@-
Задача без параметров о, Хх и Х2 лишь с виду менее обща: всегда
можно вернуться к задаче с параметрами соответствующей под-
подстановкой переменных.
Уравнение D6.2) при условии D6.3) переходит в операторное
уравнение
1), D6.4)

§ 46. Более общие краевые условия 211
а условия (I) —(IV) можно тогда записать в виде
(I) x@) = v1, x(l) = v2,
(II) x'@) = olf x{l) = vt,
(III) *@) = Ol, *'(l) = Oi. * '
(IV) x'@) = vlt x'(l) = v2.
Вводя гиперболические функции
sh X yi = 2 (e^ _ е-я У7)§ ch X /J = -^
и обозначения
легко проверить, что функции
*i W = yisGi A - ^) + ^s^! (X),
^2 (>>) = - yisG3 A - X) + v2sG2 (X),
*3(X) = ylSG2(l -X) + y2sG3(X),
x4 (X) «= - u^ A - X) + f2sG4 (X)
удовлетворяют уравнению D6.4) и соответственно условиям D6.5).
Итак, все задачи, рассматриваемые в настоящем параграфе,
сводятся окончательно к нахождению функций Gv G2, G3 и G4.
Функции Glt G2, G3 и G4 удовлетворяют уравнению
x" (X) = sx (X)
и условиям
G1@) = 0, 0,A) = !,
g,@)=0, o
g;(O) = o, g
При X. > 0 справедливы разложения
n=0
14*

Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
=2
' п—0
n-0
ИЛИ
D6.6)
n=0
n=0
Эти ряды очень быстро сходятся при малых значениях /.
Напротив, для больших значений t предпочтительнее пользоваться
рядами
n=i л
D6.7)
^7^
Эти разложения получаются из формул D3.5), D4.4) и D5.3)
подстановкой а = 1, Хо=1 и 1-Х вместо X.
Разложения D6.7) показывают, что
HmGJX, 0 = >>, VimG2(k,t)=l, HmGs(X, 0 = ^.
f-»CO I-KS ^-»O0

§ 47. Кольцо, проводящее тепло 213
а из последней из формул D6.6) видно, что
limG4()i, 0 = оо. D6.8)
Из D6.8) следует, что функция G4 не допускает представления
в форме, аналогичной D6.7).
Формула D6.8) имеет простую физическую интерпретацию.
А именно, если к одному концу стержня будет постоянно при-
притекать одно и то же количество тепла, а другой конец будет
так изолирован, что теплоотдача станет невозможной, то темпе-
температура всего стержня должна неограниченно возрастать.
Примечание. В случае, когда условие D6.1) заменяется
более общим:
можно было бы провести исследование, аналогичное исследованию
настоящего параграфа. Этот случай мы разбирать не будем.
§ 47. Кольцо, проводящее тепло
Исследуем теперь, как изменяется температура в кольце, про-
проводящем тепло, когда дано распределение температуры в момент
/ = 0. При этом мы предполагаем, что теплообмен с внешней
средой отсутствует.
Если длина кольца равна \, то с вычислительной стороны
мы можем обращаться с ним, как со стержнем длины Х„, и рас-
рассматривать уравнение
где функция <р(>-), заданная в интервале [О, Хо], выражает началь-
начальное распределение температуры.
Предположим, что функция (р(Х) разлагается в тригонометри-
тригонометрический ряд
равномерно сходящийся в интервале [О, Хо].
Подыскивая решение также в виде тригонометрического ряда
п=1
получим тем же методом, что и в §§ 41 и
а - "п Ь -&

214 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Поэтому искомое решение имеет вид
или, в обыкновенной символике,
п=1
Докажем, что это единственное решение. В самом деле, для каж-
каждого решения должны выполняться условия согласованности
Поэтому каждое решение можно продолжить периодически за
интервал [О, Хо]. Итак, ограничимся периодическими решениями
уравнения D7.1), предполагая, что и <р (X) — периодическая функ-
функция с периодом \.
Допустим, что уравнение D7.1) обладает двумя периодическими
решениями *X(X) и Х2A). Тогда разность
удовлетворяет однородному уравнению
A^(X)-a2sx(X)
и, следовательно, должна иметь вид
х0 (X) = qe-л V
Но эта разность есть опять периодическая функция, и, в частности.
или,
сг + с2 = сге -аХ° V~* + c2eaXo Vi = Cle'2a^ У* + сгеы« У^. D7.2)
Решая эту систему уравнений, получаем
Решать систему D7.2) удобно с помощью определителей, вводя
вспомогательное неизвестное с0 и записывая D7.2) в виде
=0,
^У$' =0,
-I- cae-2e3le V~* + с2е2а>-<> V* = 0.

Так как определитель
1 1 1
§ 48. Операция Та 215
— (e«x0 VI g-aXo W) (e«^o / F _
1
отличен от нуля, то со = с1 = с2 = О.
Отсюда следует, что тождественно *0(Х) = 0. Это и требовалось
доказать.
§ 48. Операция Г и ее применения
В некоторых случаях можно облегчить вычисления введением
операции Т*, определяемой равенством
где а —любое комплексное число и а — произвольная функция
класса К.
Легко видеть, что операция Т* обладает следующими свой-
свойствами:
р +(> D8.1)
Последнее равенство указывает на дистрибутивность операции Т"
относительно сложения. Легко показать, что она обладает свой,
ством дистрибутивности и относительно умножения:
D8.2)
В самом деле,
о
t
--)а (t- т)-ea-b(z) dx\ =T*a-Tab.
о
Операцию Т* мы обобщаем на произвольные операторы a — pfq
0>€С, <7?С), полагая1)
2) Для проверки корректности определения необходимо показать незави-
независимость значения Vp/T^q от выбора представления p/q оператора а:
VpVq'— T*qTap', если pq' = qp' (p' ?C, q'EC). Но это следует из дистрибу-
дистрибутивности Г" относительно умножения TpTaq' = Ta {pq^^T1 (qp^
Прим. перев.

216 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Легко проверить, что свойства D8.1) и D8.2) сохраняются
и для произвольных операторов с и Ь.
В частности, имеем для числового оператора т
ибо
Кроме того, в силу D8.2)
«,о 1 1
a fa
Для оператора дифференцирования s имеем
так как
Ввиду соотношения D8.2), Tas2 = (TasJ = (s — a.J и вообще
T^s" = (s — а)п. Если R (s) — произвольное рациональное выражение
от оператора s
• • • + «о
то
Г/? (s) - /? (s - a). D8.3)
В частности, например,
{е- cos p/} = Г {cos р<} = Г р±р = J
Это соотношение мы другим путем вывели в § 25 ч. I.
Заметим еще, что в силу формулы
(X > 0)
(ч. I, § 55), имеем также
и, в частности,
П/7=/Г^~а D8.4)

_ § 48. Операция Та 217
Согласно соотношениям D8.2) и D8.4), получаем, например,
Докажем еще, что если функция f (X) имеет операторную про-
производную, непрерывную в некотором интервале, то и функция
T*fQ-) имеет непрерывную операторную производную в этом ин-
интервале, причем
Х). D8.5)
В самом деле, если ДХ) = <?/, (X), где /, (X) = {ft (X, t)} — параметри-
параметрическая функция, обладающая непрерывной частной производной
по X, то
l(x, о} ]=П'W-
Из D8.5) и определения показательной функции следует фор-
формула
7V" = е*7*", D8.6>
так как
)' = Гя (we*w) = Tw ¦ Те1",
Формулы D8.3) и D8.4) легко запомнить, заметив, что выпол-
выполнение операции Т" вызывает замену оператора s через s — a.
Используя полученные формулы, легко преобразовывать и более
сложные выражения, например
_т е-ахУГ _е-аBХо-Я)УГ g-aX VTR _g-aBXa-X) V~s+1
Докажем с помощью операции Та еще несколько формул,
которые используем позже.
Приведем сначала формулы (X > 0)

218 Ч^ II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Они получаются следующим простым вычислением:
е-х }TT=i _ е-яг« VI = тае-к V7t
Покажем теперь, что при любом комплексном а и любом поло-
положительном (вещественном) р имеют место формулы
Действительно, полагая
• VT+ -?)-? \
имеем
1 Л
Отсюда вытекает формула D8.8), так как Д + 0) = 1. Аналогично,
положив
а}ГТ-
'
получим равенство
и отсюда формулу D8.9), ибо#(-ЬО)= — 1.

§ 49. Неизолированный проводник тепла 219
Из D8.8) и D8.9) легко получаем соотношения
е_2а? f syf _ j_
Ч /
2 = г 1
I2
. D8.10)
J| D8.11)
У[пражнения. Доказать соотношения
A) Г-1/**—3s + 2 = /i2ZTs; B)
C) 7* ^s3^"i = ^(S _ а)з _!.
(Указание. Разложить многочлены, стоящие под знаком корня, на линей-
линейные множители.)
§ 49. Неизолированный проводник тепла
В §§ 31—47 мы рассматривали теплопроводность в стержне
или кольце в предположении, что проводник полностью изолирован
от внешней среды. Теперь же допустим, что стержень не изоли-
изолирован и что теплоотдача в каждой его точке пропорциональна
разности температур стержня и среды. Кроме того, предположим,
что температура среды равна нулю. Тогда имеем уравнение
где коэффициент [3 подобран соответствующим образом. Предпо-
Предположим еще, что в момент t = 0 температура стержня равна нулю.
Тогда операторное уравнение имеет вид
x{\) = 0. D9.1)
Допустим, наконец, что в начале стержня Х=0 поддерживается
температура v = {»(/)}, а на конце Х = Х0—температура 0. Этому
соответствуют краевые условия
0. D9.2)
Для решения задачи ищем сначала показательные функции, удов-
удовлетворяющие уравнению D9.1). Подставив e*w в уравнение D9.1),
получим после деления на еХа>
откуда
w = — a Ys + у или c« =
где т = Р/а2.

220 Ч. II, гл. VI. Уравнение теплопроводности
Существуют, таким образом, две показательные функции
е—«л Vs+ttj e'A V~s+y >
удовлетворяющие уравнению D9.1); следовательно, выражение
х (X) = с^-"* ^s"+r -f с2еаЛ У^
является общим решением уравнения D9.1). Приспосабливая его
к условиям D9.2), находим (аналогично § 31)
X IX) — V —-;=
Пользуясь обозначениями § 48, можно записать
где t'0 = TTu. Операторная функция у(Х) = Ттх(Х) имеет тот же
вид, что и функция C1.8). Впрочем, это можно было бы предви-
предвидеть, заметив, что
и что
У (Р) = 0О.
Когда длина стержня очень велика, можно положить, как в § 37,
и поэтому
D9.3)
В обычной форме последняя формула переписывается в виде
В частности, когда функция v постоянна, o = m/s, решение
D9.3) записывается в виде
или, в силу формулы D8.11),
Преимуществом этой формы решения является возможность
использования таблиц функции erf.

Глава VII
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
§ 50. Степенные ряды операторов
В §§ 15 и 35 мы уже имели дело со степенными рядами опе-
операторов e-Xs и е~*У*. Важную роль в приложениях играют сте-
степенные ряды вида
Ф (Щ = а^кш f ос2Х2оу2 + . .., E0.1)
где ах, а2, ...—числовые коэффициенты (вещественные или ком-
комплексные), w — фиксированный оператор, а X —числовое переменное
{вещественное или комплексное). Если, в частности, w—\, то ряд
E0.1) сводится к обычному степенному ряду:
Х2+-.-. E0.2)
Под радиусом сходимости ряда E0.2) понимают число р, обла-
обладающее тем свойством, что ряд сходится при | X | < р и расходится
при | X | > р. Докажем следующее предложение:
Если радиус сходимости р рядаE0.2) положителен, aw = {w (/)}
есть функция класса С, то ряд E0.1) равномерно сходится во
всякой области, заданной неравенствами
E0.3)
и представляет параметрическую функцию Ф(Хю) = {Ф(Х, t)}.
Доказательство. Обозначим через М максимум абсолют-
абсолютного значения w (t) в произвольно фиксированном интервале
0<?<^0. Кроме того, введем следующее обозначение:
wn = {wn{t)} (n=l, 2, ...).
Тогда имеем для

222 Ч. II, гл. VII. Функции Бесселя
и вообще
Так как последовательность B\Jp)nMnt^-1l{n — 1)! стремится
к нулю, то она ограничена и мажорируется некоторым числом К,
а потому
Поэтому ряд
а,\а> @ + <х2Х2да2 (/)+..• E0.4>
обладает в области E0.3) числовой мажорантой
Эта мажоранта сходится, так как ряд E0.2) имеет радиус сходи-
сходимости р, и отсюда следует равномерная сходимость ряда E0.4)
в области E0.3).
Равномерная сходимость в области E0.3), очевидно, понимается
в смысле классического анализа. Из доказанной теоремы вытекает,
что ряд E0.1) сходится в операторном смысле для любого ком-
комплексного X. Отсюда следует, далее:
Если радиус сходимости числового ряда
ф(Х) = ао + а1Х + а2Х2+... E0.5)
положителен, то ряд
'а0 + о^Хш + а2Х2ш2 + ...,
где w={w (()} ? С, сходится в операторном смысле для любого
комплексного X.
Действительно, добавление одного члена ос0 не влияет на схо-
сходимость или расходимость ряда.
Примеры. 1. Радиус сходимости ряда
равен единице, а ряд

§ 50. Степенные ряды операторов 22S
сходится при всех X. Отсюда вытекает также формула
которую мы другим способом вывели в § 24 ч. I.
2. Ряд
41 "г • • •
обладает радиусом сходимости Н-оо, и, следовательно, ряд
cos?"= ! -2!F + 4i78+- • •
сходится для всех X.
Теорему, которую мы доказали, можно обобщить на функции
класса К и далее на более широкие классы операторов. Здесь
мы докажем еще следующее:
Если радиус сходимости р ряда E0.5) положителен, то при
любом Р > 0 ряд
ао + «1-?+Ч -^г-Ь-- E0.6)
сходится для всех X.
Доказательство. Справедливы равенства
A. _l?
.Но для всякого числа у>0 имеем
со f + I T+1
ГA-|-я[3)= \ Р$е~1 dt > \ tn^e~{ dt > \ ~[n$e~*~'tdt =
о ir т
При произвольно фиксированных числе X и интервале
имеем, полагая тр = —-,
1 р
1 п,пЗ
Отсюда следует, что в интервале 0</<^0 ряд E0.7) обладает
сходящейся числовой мажорантой и, значит, равномерно схо-
сходится.
Таким образом, ряд E0.6) операторно сходится при любом X,
ибо X было фиксировано совершенно произвольно.

224 Ч. II, гл. VII. Функции Бесселя
Упражнение. Доказать формулы х)
W sin s =1 п —-312Г + Т14Г -•••}¦•
B) in A—Xe~2 ^s~) =
§ 51. Функции Бесселя J0(t) и Ji(f)
Формула Ньютона.для бинома дает разложение
Поэтому ряд
1
v=0
сходится при всех комплексных \. Вводя обозначение
v=0
получаем равенство
^КтГ E1.1,
v=0
Функция Jo(>.) называется функцией Бесселя нулевого порядка.
Ее значения вычисляются из разложения E1.2). В частности,
У@I
й) Под In A—Хе 2 ' s) следует понимать функцию Ф(\и>),
со
И Ф(Х.)= — У, —=1пA—\) (| А. I < 1).—Прим. перев.
*-* п
л=1
е~2^ s

,ff 52. Производные степенных рядов 225
В силу формулы E1.1), имеем также
/^тгр^ 1 у izi1)_li+2^Lr * V+2v/2+2v_
"У?+\! /rTWP ^ ((l + >H2 4 2V '
v=0
Вводя обозначение
получаем
v=0
^2 1 iv л v ;
Заметим, что так как У0@) = 1, то
Таким образом, справедливо соотношение.
которое можно проверить и дифференцированием ряда E1.2).
Подставляя в формулы E1.2) —E1.5) ik вместо X, имеем
Jo
o (''-) - 2 (v!J 4 2"J '
\=0
G
~x
§ 52. Производные степенных рядов
Докажем теперь теорему:
Если радиус сходимости числового степенного ряда
положителен, то производная функции
ф (Щ = a0 -t- axXtw -Ь a2/.2tw2 + ...,
'^ Ян Минусинский

226 Ч. II, гл. VII. Функции Бесселя
где w = {w{()}?C, разлагается в степенной ряд
.., E2.1)
сходящийся при всех комплексных X.
Доказательство. Так как производная постоянной равна
пулю, то, не ограничивая общности доказательства, можно пред-
предположить, что ао = О. Тогда степенной ряд
ос2) 2
с2)
равномерно сходится (в обычном смысле) в каждой области
E2.2)
и представляет параметрическую функцию ф (Хдо) = {Ф (X,/)}. Ана-
Аналогично, и ряд E2.1) равномерно сходится во всякой области
E2.2) и представляет параметрическую функцию. Вводя обозначение
wn = {wn(t)} («=1,2, ...),
можно записать
ajw + ajfw2 +...=¦- КХш1 @ + a2h2w2 (t) +...},
axw + 2<хаХш2 + ... = {а.оу1 (t) + 2a2lw2 (t) +...} =
= {1Х[^Ш @ +
так что
А это и доказывает теорему. Весь смысл доказательства состоял
в использовании теоремы о почленном дифференцировании обык-
обыкновенных степенных рядов переменного i, причем переменное t
выступало в качестве параметра. Благодаря равномерной сходи-
сходимости рассматриваемых рядов в области E2.2), эта теорема пе-
переносится и на операторные ряды.
Если,в частности,
то
[<р (Щ)' = w + ^- + *J- + ... = шф (Щ.
В силу определения показательной функции, имеем
*.= !+ ? + *?+..., E2.3)
ибо ф@)=1.

§ 53. Функции Бесселя Jn (t) 227
Если о»?С, то показательная функция еЯш разлагается
в степенной ряд таким же образом, как обыкновенная показа-
показательная функция. Стоит обратить внимание на то, что в этом
случае показательная функция представима в виде
где /(Х) = {/(Х, f)}— параметрическая функция.
Замечание. И е~л ^s, и многие другие функции разло-
разложимы в степенной ряд, но доказательство сходимости этих ря-
рядов значительно труднее1). Нельзя, однако, с помощью степен-
степенных рядов дать общее определение показательной функции, ибо>
например, для функции e~'-s ряд расходится2).
Для хю= — 1/s разложение E2.3) остается в силе, ибо — l/s =
= {—1}?С. Итак, при Х>0 имеем
и=0
и=0
и, значит, справедлива формула
Упражнение. Доказать, что при \ !> О имеют место формулы:
C)
53. Функции Бесселя Jn(t) при произвольном натуральном л
При любом натуральном п справедливо разложение
v=0
J) Рыль-Нардзевскнй [47]
а) Минусинский н Рыль-Нардзевский [40].

228 Ч. II, гл. VII. Функции Бесселя
Эта формула доказывается следующим образом. Полагая
<РпР0 = О/ТТХ-1)п (я-1,2,...), E3.2)
легко проверить, что
Отсюда
и, следовательно,
?„« (>0=-~
"<?п @1' л. E3.3)
так как из E3.2) видно, что <?п@) = 0. Но из формулы Ньютона
вытекает, что
v=0
и, применяя рекуррентное соотношение E3.3), несложной индук-
индукцией получаем разложение E3.1).
Из формулы E3.1) следует, что
- s)n = sn (j/Г+Ж2 - 1Г
= п у (- n
т. е.
00
E3.4)
v=0
Если заменить п на л+1 в соотношении E3.4), затем продиф-
продифференцировать его и разделить на (п + 1) \, то получится
v=0
(« = 0, 1,2, ...)•

§ 54. Функция ехр A. (s—|^s2 + na) и родственные ей 2Й$
Вводя функцию Бесселя л-го порядка
(" = °. 1.2, ...), E3.6)
v=0
можно соотношения E3.4) и E3.5) записать в виде
Uf* + \*-$T= \^Jn{U)} (я = 1, 2, ...),
—7Ш^~ = {XTl</n (W)} (" = °. !. 2, ... )•
Эти формулы справедливы при всех комплексных X.
§ 54. Функция expX(s — ]/s2-r а2) и родственные ей функции
Показательная функция expX(s — |/s2+oc2} допускает разло-
разложение в степенной ряд
ехрX (s - УЖ+Ж) = 1+2 ^)J ^n+1 (/s2T^- sr\ E4.1)
n=0
ибо оператор
°° /l \
= -2 IT
является элементом класса С.
Заменив в формуле E3.4) X через а, п через п + 1 и v через
V — я, будем иметь
Подставив это выражение в E4.1) и изменив порядок сумми-
суммирования, получим
E4
( + ) ^j
v=0 ' n=0

230
Ч. II, гл. II. Функции Бесселя
В силу определения E1.4), окончательно
E4.3)
Таким образом, рассматриваемая показательная функция выра-
выражается через функцию Бесселя Jv Покажем еще, что имеется
простая связь между этой показательной функцией и Jo. А имен-
именно, дифференцируя равенство E4.2) по а и деля затем резуль-
результат на — аЛ, получаем
v=0
и, ввиду E3.6),
E4-4)
Соотношения E4.3) и E4.4) справедливы при 1>0 и всяком
комплексном а. В частности, подставив в эти формулы w вместо а,
получим
ехрX(s -\/s^?
cxp ^=g^
¦ {Jo (
Так как
то, в силу соотношений E4.3) и E4.4), имеем
ехрX(s- Vi^
E4.6)
Заменив в формулах E4.6) аир соответственно через —аи /а,
получим
ехрX(s-

§ 54. Функция ехрХ (s—J
и родственные ей
231
Умножением формул E4.3) - E4.7) на e~As легко получаются
соответствующие формулы для показательных функций
ехр ( - X y~s* + a*), ехр ( - X /s2^2),
ехр ( - X J/(s-aJ + p2), ехр (- X j/ )
Так, например,
О,
0,
0,
„-«*
exp( —
^Z- iaJi (w V? - X"), 0 < X < t,
0, 0 < t < X,
-atJa{h Vt^>}), U<X<i.

Глава VIII
ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ
§ 55. Общий вид телеграфного уравнения
Теория электрических цепей, которую мы рассматривали в пятой
главе первой части, относится к так называемым коротким линиям.
В случае длинных линий (например, телеграфных) необходимо
принять во внимание конечную скорость распространения тока.
Это приводит к уравнениям в частных производных, а при опера-
операторном подходе —к операторным дифференциальным уравнениям.
Представим себе, что электрический кабель, состоящий из двух
параллельных проводов, расположен вдоль оси "к. Обозначим
через U(k, t) и I (к, () напряжение и ток в момент t в точке
кабеля с координатой X. Для функций U и / справедливы следу-
следующие соотношения:
dU r dl nr dl ndU „,, .-- IN
ai=-Ldt—R!' di=-CdJ-GU' <55Л)
где R означает сопротивление, G —утечку, L — индуктивность
и С — емкость. Эти величины относятся к единице длины кабеля.
Предположим еще, что в момент t = 0 через кабель не проходит
ток и напряжение всюду равно нулю:
U (К 0) = 0, Г (к, 0) = 0.
Тогда уравнения E5.1) будут иметь следующую операторную
форму:
E5.2)
E5-3)
Дифференцируя E5.2) по X, получаем
U" (X)=-(Ls + /?) /'(>-)
откуда, в силу E5.3),
U" (к) = (Ls + R) (Cs + G)U (к).

§ 56. Кабель без потерь 23&
Это — телеграфное уравнение в операторной форме. Выполнив-
умножение и перенеся все члены в левую часть, можно за-
записать его в виде
U (К) — [LA>S -J- \l\Lt -р L\J) S -p 1\U\ U \ti) = U.
Исключив U(l) из уравнений E5.2) и E5.3), легко проверить,
что функция / (к) удовлетворяет тому же уравнению
Г (к) - [LCs* + (RC + LG)s + RG\ 1 ().) = 0.
Проанализируем это уравнение сначала в некоторых частных
случаях.
§ 56. Кабель без потерь
Прохождение тока всегда сопровождается потерями. Их причиной
являются сопротивление R и утечка G. Если, однако, величины R
и G малы, а индуктивность L и емкость С велики, то прибли-
приближенно можно положить
и телеграфное уравнение приводится тогда к виду
U" (X) - LCs2U (X) =0 (L > 0, С > 0).
Если допустить, что длина кабеля велика и что в его началь-
начальной точке включена электродвижущая сила E = {E(t)},
то математически задача формулируется так же, как и в случае
колеблющейся струны бесконечной длины. Ввиду этого, согласно-
§ 22, можно, полагая a2 = LC, сразу написать решение:
или
ио.,Ц , °- ., о<кхуа..
{ E{t-\VLC), 0<x/LC</.
В рассматриваемом случае волна напряжения распространяется
со скоростью 1 / \fLC.
Легко определить и ток, ибо, в силу E5.2),
/ (к) = - -У- W (X) = ]/ j Е ехр ( - VLC Xs),
или
0, 0 < t < X \/ТС,

234 Ч. II, гл. VIII. Телеграфное уравнение
§ 57. Кабель без искажения
Хевисайд первый обратил внимание на то, что в более общем
случае, когда
-?- = -?- (L>0, С>0),
напряжение и ток распространяются таким же образом, как в слу-
случае кабеля без потерь, с той единственной разницей, что ампли-
амплитуда волны при ее продвижении затухает по показательному
закону.
В самом деле, телеграфное уравнение имеет в этом случае вид
Подыскивая показательные функции е*ш, удовлетворяющие
этому уравнению, мы приходим к равенству
ну2 —(as |-РJ = 0,
откуда
w = — as — р или w = as + [3.
Существуют, таким образом, две такие функции,
и, следовательно, общее решение имеет вид
U (к) = схе-^+^ -j- с2е
Если предположить, что U(X) — параметрическая функция для
всех \ > 0 и что
то так же, как в § 22, приходим к формуле
U(l) = Ee-("s+№.
Это решение можно также найти, заметив, что функция
удовлетворяет уравнению
V" (>.) - aW (X) = О
и условию
Этим способом задача сводится к уже решенной в предыдущем
параграфе, и, следовательно,

§ 58. Кабель Томсона 235
так ЧТО
U (к) = T"TV (X) = Е- Т~ V^» = ?е-(
Записывая решения в обычной, не операторной форме, имеем
о, 0<*<хуТс;
\exp{-\VRG)E{t-lVLC),
и, в силу E5.2),
b "' ^ - ^
О,
§ 58. Кабель Томсона
При длинных телеграфных линиях и низкой частоте тока роль
индуктивности L и утечки G уменьшается, и с некоторым прибли-
приближением можно положить
L = 0, G = 0 (Я>0, С>0).
В этих предположениях Уильям Томсон (лорд Кельвин) рассчитал
с практически достаточной точностью прохождение тока в транс-
трансатлантическом кабеле.
Телеграфное уравнение приводится в этом случае к форме
так что оно формально тождественно уравнению теплопроводности.
Так как мы предполагаем, что линия длинная, то можно исполь-
использовать решение, приведенное в § 37. Полагая
будем, следовательно, иметь
где E = {E(t)} — э. д. с. в начале кабеля.
Если, в частности, э. д.с. постоянна,
то решение имеет вид
U (I) = i°

236 Ч. И, гл. VIII. Телеграфное уравнение
ИЛИ [СМ. B9.6)]
Ввиду E5.2), получаем
/00= —^'{Ц^Е.у^^а-
или
'О-<>^
§ 59. Кабель без индуктивности
Рассмотрим теперь случай, когда
L = 0 (/?>0, С> О, G>0).
В этом случае телеграфное уравнение имеет вид
Предполагая, что длина кабеля очень велика и что э. д. с. в его
начале постоянна, ?= {?0}, будем иметь решение, аналогичное
приведенному в § 49:
U (I) = ^° ехр (- I VRCsT~RG ),
S
В силу E5.2), имеем
M*g± w. exp (_
)exp (-x
и отсюда, согласно соотношениям D8.7) и D8.10),
erf (}/?'+ А ]Лг) - 2sh x

§ 60. Кабель без утечки 237
§ 60. Кабель без утечки
Рассмотрим теперь случай, когда
G = 0 (L>0, C> 0, R> 0).
Этот случай часто встречается на практике, ибо утечка тока
бывает так мала, что ею в расчетах можно пренебречь.
При сделанном предположении операторное телеграфное урав-
уравнение имеет вид
UnCK)-(LCsi + RCs)U(l), F0.1)
если в начальный момент ^ = 0 в линии нет ни напряжения, ни тока.
Общим решением этого уравнения является выражение
U (X) = Cxe~
Если решение должно быть параметрической функцией в ин-
интервале 0<Х< со, то обязательно с2 = 0. Действительно,
/LCs2 -|- RCs = s V~LC + a -j- a,
где a = VLCy. ( 2 )( _)" /" —элемент класса С, а о =
t\Wi/VLy
Ввиду этого, можно написать
е~м U (X) - с^е-У10 ** е-а*е-ш = с
Если U(l) — параметрическая функция в интервале 0<Х<оо,
то выражение в левой части равенства — также параметрическая
функция в этом интервале, а отсюда и вытекает, что с2 = О
(см. § 22).
Итак, предполагая, что длина телеграфной линии велика, будем
иметь решение вида
U (I) = Е ехр (- X У LCs2 + RCs),
где ? = {Е (t)} — напряжение в начальной точке \ = 0 рассматри-
рассматриваемой линии.
Разберем еще случай, когда э. д. с. постоянна:
Тогда решение имеет вид

238 Ч. II, гл. VIII. Телеграфное уравнение
В силу E5.2), легко находим и ток:
LS-{-R l/ / /-V2~r D/"V "*
1 J?
Полагая а = -9"Т и используя соотношения из § 54, имеем для
V Vlcx "
I (К t) = Ео ]/-? e~at Jo (la Vi^
Для 0<^< YLC\ обе функции, U{\, t) и /(^, ^), обращаются
а нуль.
Отсюда видно, что в настоящем случае волна тока продви-
продвигается со скоростью 1 / [/LC. Когда фронт волны достигает точки
с координатой X, напряжение и ток имеют соответственно значения
§ 61. Случай, когда все четыре параметра линии положительны
Вводя обозначения
4-Л B±f_
\ + С J' ?~ 2 ^Г С
можно записать телеграфное уравнение в форме
а следовательно, решение —в виде
Если длина линии очень велика, то, рассуждая таким же образом,
как в предыдущем случае, можно положить с2 = 0 и сх = ?
(э. д. с. в начале кабеля). В частности, если ? = {?„} = ?0/s, то
^ ехр (
о

§ 61. Случай положительности всех параметров линии 23&
В силу E5.2),
- G Л
Cs)
Отсюда получаем для
/ (Ь, 0 =
Vi-сд
При 0<^<|^LC). обе функции, U(k,t) и I(к, t), обращаются
в нуль. Очевидно, что с возрастанием к напряжение и ток убы-
убывают тем быстрее, чем больше число а. Поэтому мы назовем а коэф-
коэффициентом затухания. Число же р назовем коэффициентом
искажения. Мы видели в § 57, что при р = 0 волна вообще
не искажается, а только затухает.

Глава IX
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
§ 62. Определение и свойства
В § 48 мы определили операцию Т" (зависящую от параметра а).
Применение Та к функциям класса К вызывает умножение их
значений на е?{. Введем теперь операцию D (не зависящую от па-
параметра), применение которой к функциям класса К вызывает
умножение их значений на — t. Итак, если а = {а (()} 6 К, то
Если а и Ь принадлежат классу К, то
D{a + b) = Da-\-Db, D(ab) = Da-b + a-Db. F2.1)
В^самом деле,
t
ab)={-t \ a(/--
t
о
a-Db.
Формулы F2.1) показывают, что операция D обладает характер-
характерными свойствами производной. Мы будем называть ее алгебраи-
алгебраической производной.
Распространим теперь определение алгебраической производ-
производной на произвольные операторы а = p/q (р, <?€ С, q ¦/= 0), полагая1)
_ Dp-q — p-Dq
]) Это определение корректно, ибо, как нетрудно показать, из равенства
Pl4—PilQi следует, что
Dp-q—p-Dq _Dpi-qx — p1-Dql ,,ч
Для доказательства можно воспользоваться операцией Z?j (логарифмической

§ 62. Определение и свойства
241
Легко проверить, что обобщенная таким образом операция сохра-
сохраняет свойства F2.1), где а и Ь — уже произвольные операторы.
Для любого числового оператора а справедливо равенство
Действительно, полагая
имеем
Da
-«*}{»}-{«}{-/}_{ 2 < J I 
— 7П
производной), которая окажется полезной и в примечании к стр. 242. Для
а?С, а ф 0 операция Di определяется формулой
Dta=~Da. (••)
Делением на ab (при а^О, 6^0) обеих частей второй из формул F2.1)
получаем соотношение
(•**)
которое для равенства pqi—qpi дает
т е. (при p/q=Pi/qi)
Отсюда следует нужное соотношение (*}, ибо
Это равенство показывает еще, что при любом операторе a = p/q
Dia = Di ( ?-^ =Dip—Diq,
если формулой (**) распространить определение операции Dj на произволь-
произвольные операторы а.
При этом из последнего равенства вытекает, что соотношение (***)
справедливо и для любых операторов а и Ь, не равных нулю. В самом деле,
полагая a = m//i и b—plq, имеем
—Прим. перев.
*° Ян Минусинский

242 Ч. II, гл. IX. Алгебраическая производная
В силу второй из формул F2.1),
D{ab) = aDb F2.2)
для любого числового оператора а и произвольного оператора Ь.
Отсюда следует, далее, что для любых операторов а и Ь
D{a-b) = Da-Db,
ибо
Докажем еще, что для произвольных операторов а и Ь (b ^ 0)
справедлива формула *)
Полагая д = т\п и b — p/q (т, п, р, q 6 С; п, р, q =/ 0), имеем
а^ \ _ п / щ'~\ _ D(mq) np — mqD(np) _
_(Dm-q + m- Dq) np — mq (Dn-p + n-Dp).
Dm-n — m-Dn p m Dp-q — p-Dq
Dab — a-Db _ "~n* '~q n q* _
J2
(Dm-n — m-Dn) pq — mn (Dp-q—p-Dq)
Отсюда уже легко получить формулу F2.3).
В частности, имеем
_{/}_
}7~ {l}2 " {l}2 "{/}
Таким образом, алгебраическая производная оператора диффе-
дифференцирования равна числу 1:
Ds=l.
!) С помощью операции D[ из примечания к стр. 241 доказательство
этой формулы может быть проведено следующим образом. В случае афО
и ЬфО соотношение (***) указанного примечания дает [подстановка в (***)
оператора а/Ь вместо а]
и, следовательно,
ns a~\ a _. / а Л aDLa aDib Da aDb
что совпадает с F2.3). Наконец, при а=0, ЬфО обе части равег1ства F2 3)
обращаются в нуль. —Прим. перев.

§ 63. Степени оператора l/(s24-p8) 248
В силу второй из формул F2.1), имеем
Ds= Ls + s-1 =2s;
и вообще
Dsn = nsn~l F2.4)
при любом натуральном п.
Если
№ = ansn+...+a1s-i-a0,
то, в силу формул F2.2) и F2.4),
Следовательно, алгебраическая производная полинома от опе-
оператора дифференцирования s вычисляется формальным дифферен-
дифференцированием этого полинома по s. Аналогично и алгебраическую
производную произвольного рационального выражения от опера-
оператора s
можно вычислить формальным дифференцированием по s.
Алгебраическую производную можно также назвать производ-
производной по оператору s и вместо символа D пользоваться символом
d/ds. Например,
d 1 _ 1
ds s + l (s + IJ '
§ 63. Степени оператора д2 2
С помощью алгебраической производной легко вывести фор-
формулы для степеней оператора а_гж(сР- § ^5 ч. I). Именно
d_ _ j У —sa 2^ 1 __
ds ?+^2 ~ (s2 + ^2J — (sa + ?2J s2"+^2 '
и, значит,
1 1
(s2 + $*)- 2? \ s* + ра ^ ds s2 + З2
или
(S3 Ay={2^" С тsin *3/ ~ ^cos ^0} • ^63>1^
Вообще, положим при га=1, 2, ...
F3.2)
16*

244 Ч II, гл. IX Алгебраическая производная
где функции Ап(х) и Вп(х) еще подлежат определению. Так как
то
A1{x) = l, В1(х) = 0, F3.3)
а в силу F3.1), имеем
At(x)=\, В2(х)=1. F3.4)
С другой стороны,
<**_ ' _2Bп—1)(я—1) 4fn(n— 1)
и, следовательно,
1 2я—1 1 1
(s2 + ^)n*1 2.32n (s2 + ^2)n 4?2n (л — 1
Согласно соотношению F3.2),
)нгг [ ^u (P2^2) } sin $ - 6n (P2/2) • f cos ф ] } -
тsln ^ - в«-х (Р2^г) •'cos
или
= 1 С ^ Л ^2i^ ~~ 4 ^S/2) J Sln ^ ~
T L С ~^ Лп
Поэтому, в силу F3.2),
(я-2,3....). F3.5)
При помощи формул F3.3) —F3.5) можно последовательно
вычислить функции А3, At, ... и В3, Bit .... Очевидно., что все
они являются полиномами. Эти полиномы для п до 10 включи-
включительно приведены в таблице в конце книги.
Пользуясь этой таблицей и формулой F3.2), можно, например,
сразу написать

§ 63. Степени оператора l/(s2+^2) 245
Вычисляя алгебраическую производную соотношения F3.2),
получаем для п = 1, 2 ...
откуда при п = 2, 3, ...
}sin^-B«-i«iacos
Следовательно, имеем, например,
Применив операцию Тх (см. § 48) к соотношениям F3.2) и F3.6),
получим более общие формулы
&h [ л»(?2/2) тsin ^ ~ в^ (^2)'cos
для п = 1, 2, ... и
2(n—l)B?2)n-2 L Л'1 ^^2^ТSltl "~
для п = 2, 3

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ОЧЕРК ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Глава I
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Вводные замечания
Уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности
и телеграфное уравнение представляют собой примеры линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Они имеют соответственно вид
x"~{Ls\-R) {
Теперь мы рассмотрим более общие уравнения
am*«* + am_1*"-1>+...+aax = fW, A.1)
где коэффициенты а0, ..., ат (ат ф 0) — произвольные операторы,
/ (к) — заданная непрерывная операторная функция, а х—хA)-
неизвестная операторная функция. В частном случае, когда опе-
операторы а0, ..., ат являются числами, а /(X) числовой функцией,
уравнение A.1) можно рассматривать как обычное дифферен-
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Поэтому
теорию, очерк которой мы здесь дадим, можно рассматривать как
обобщение классической теории этих последних уравнений.
В первой главе мы разберем однородные уравнения, т. е.
такие, в которых функция /().) тождественно равна нулю.
§ 2. Характеристическое уравнение
Для однородного уравнения
атх<т)-\-..:+а0х = 0 (атФ0) B.1)
ищем сначала решение в виде показательной функции e*u. С этой
целью подставляем в уравнение B.1) х = еХи:

^_____ § 3. О показательных функциях 247
Так как показательная функция отлична от пуля при любом к,
то это равенство можно разделить на е>и. Этим путем мы при-
приходим к уравнению
атит+...+ао = 0, B.2)
которое называется характеристическим уравнением дифферен-
дифференциального уравнения B.1). Полином
называют характеристическим полиномом.
Не всякое уравнение вида B.2), где а0, ..., ат — произволь-
произвольные операторы, разрешимо, т. е. не всегда существует опера-
оператор и, удовлетворяющий этому уравнению1). Рассматривая диф-
дифференциальные уравнения порядка т, мы всегда будем предпо-
предполагать, что число корней их характеристического уравнения
равно т, т. е. степени этого уравнения. Эти корни не должны
быть обязательно различными. Точнее, мы будем всегда предпо-
предполагать, что характеристический полином Р (и) разлагается па т
линейных множителей:
Р(и) = ат II (и-av) B.3)
У.-.-Л
(разложение на такие множители всегда однозначно). Это пред-
предположение оправдывается тем, что во всех приложениях появ-
появляются именно такие полиномы, разложение которых на множи-
множители удается эффективно выполнить. Так например, для уравнения
теплопроводности х" — a?sx = 0 характеристический полином
и2 — <x2s разлагается на множители (ы-j-aj/s) (и — a j/s).
§ 3. О показательных функциях
Если корни wx, w2, ¦¦¦, wm характеристического уравнения
уже известны, то нужно образовать показательные функции
ekwv-. Здесь возникает новое затруднение, ибо такие функции
не всегда существуют. Именно при некоторых операторах w
может случиться, что единственным решением дифференциального
уравнения х' = wx является функция, тождественно равная нулю.
Вследствие этого не может быть выполнено добавочное условие
х @) = 1, которому обязательно удовлетворяет каждая показатель-
показательная функция. Например, не существует показательной функции
г) Построить пример неразрешимого уравнения нелегко, н такой при-
пример до сих пор не опубликован.
[Рыль-Нардзевский [48] нашел простой пример неразрешимого квадрат-
квадратного уравнения. —Прим. перев.]

248 4. Ill, гл. I. Однородны? уравнения ^^
eas (X вещественно). Действительно, в противном случае при под-
подходящем операторе q функция у (X) = qelhl была бы параметрична
(у (I) = {у {к, t)}) в интервале 0<,Х<1 и удовлетворяла бы в нем
уравнению у' (X) = isy ().), а тем самым и уравнению у" (X) + s2y (X) = о
Таким образом, функция двух переменных у (к, t) удовлетворяла
бы уравнению в частных производных
Й+э? = ° (°<^<1' 0<t<co) C 1)
и начальным условиям
у {К 0) = 0, yl{\,0) = 0 @<Х<1). C.2)
Функции, удовлетворяющие уравнению C.1), называются гармо
ническими. Из теории гармонических функций известно, что
функция у (X, t) тождественно равна нулю, если выполнены усло-
условия C.2I). Отсюда e'Xs= г/(Х)/<7 = 0 в интервале [0, 1], что невоз-
невозможно. Поэтому не существует показательной функции eas.
Символ eas не имеет, следовательно, никакого смысла, анало-
аналогично, например, символу 1/0. Бессмысленно было бы говорить,
что функция elXs тождественно равна нулю, ибо условие *@)=1
содержится в определении любой показательной функции.
Если существуют показательные функции еШг и eXw* (X веще-
вещественно), то существует и показательная функция ^)
равная произведению eiiW^e}-a>i.
В самом деле, полагая x(\) — eXwleXw*, имеем
х' (X) = ш1е*и>1еДи>» + eXwm^w"- = (w1 -f w2)
и х @) = Ы = 1, что и доказывает утверждение.
Если существует показательная функция eXw (X вещественно),
то еХаш при любом вещественном а также является показа-
показательной функцией.
Это следует сразу из формулы дифференцирования сложной
функции.
х) Гармоническая функция у (К, t) допускает гармоническое продолжение
иа область 0=^X^1, —со < t < oo, а для ее сопряженной функции
и {К, t) в полосе 0 < X < 1 имеем (уравнения Коши — Римана) цд (X, 0) — 0
Таким образом, функция и (X, t) постоянна на отрезке 0<Х<1,/ = 0,
и, следовательно, на том же отрезке постояшт и аналитическая функция
z(k, t) — у (k, t) + ш (к, t) от Х + (/ В силу теоремы единственности, эта анали-
аналитическая функция постоянна всюду в полосе 0< X < 1, а значит, в области
0<;Х<:1, 0е^/<оо функция у (X, t) равна нулю.
Заметим, что доказательство предполагает существование непрерывных
dy(k,t) d2y(k,t) „
производррых ¦ *. '¦¦ и —^/2~~^ ¦ Этого всегда можно добиться, полагая
y = qs2.l2{y(l, rt}=<?iO/i(X, t)} и рассматривая ух (X, t) вместо y(l,t) —
Прим. перев.

§ 4. Логарифмы 249
Отсюда, в частности, вытекает, что не существует показатель-
показательной функции e~us, так как в противном случае существовала
бы и функция е1^.
Из обеих теорем, приведенных выше, вытекает, что если
существуют показательные функции еАШ1 и еХю>, то существует
и показательная функция ^(«i^i+'s^) при всех вещественных
аг и а2.
Замечание. Можно было бы пытаться так обобщить
понятие оператора, чтобы всегда существовала показательная
функция еш. Однако сам факт отсутствия определенных пока-
показательных функций как раз и предоставляет практические выгоды,
позволяя, например', дать классификацию уравнений в частных
производных, облегчающую подбор методов решения этих урав-
уравнений.
§ 4. Логарифмы
Оператор w мы будем называть логарифмом, если существует
показательная функция eXw. Например, операторы s и ]/s — лога-
логарифмы, а оператор is не является логарифмом. Всякое комплекс-
комплексное число есть логарифм.
Из предложений, приведенных в предыдущем параграфе,
следует:
Если w1 и w2 —логарифмы, а а,1 и а2 — произвольные вещест-
вещественные числа, то и оператор а1ш1 + а2ш2 является логарифмом.
Например, операторы
i+]/~s, 2s — 3 Vs
являются логарифмами.
Если w1 — логарифм, а хюг — не логарифм, то оператор
a1w1 -f <х2до2 (iv а2 Ф 0 — вещественные числа) никогда не будет
логарифмом.
Действительно, в противном случае и оператор
был бы логарифмом вопреки нашему предположению.
Например, операторы
(l + 0s> " 2~IS> + 2~lS
не являются логарифмами.
Из вычислений § 2 вытекает, что если корень w характе-
характеристического уравнения B 2) является логарифмом, то показа-
показательная функция e>w удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению B.1).

250 Ч. Ill, гл. I. Однородные уравнения
§ 5. Кратные корни характеристического уравнения
Корень w уравнения B.2) имеет, по определению, кратность х,
если полином Р (и) содержит % множителей вида и — w. Напри-
Например, оператор —s есть двукратный корень уравнения
«3 + s«2-s2«-s3 = 0, E.1)
так как u3-\-su^— su2 — s3 = (« + sJ{u — s). Напротив, операторе
есть простой (кратности 1) корень, ибо множитель и — s встречается
только один раз.
Если оператор w, будучи логарифмом^ является корнем
кратности % уравнения B.2), то каждая из функций
elw, \eXw Х*-1^ E.2)
удовлетворяет уравнению B.1).
Доказательство. Если х (к) = Х"е?ш (о — натуральное число),
то, в силу теоремы Лейбница о дифференцировании произведения,
имеем
k k
X(k) (X) = 2 ( /) (И0) (*Хш) ('!-;) = S С * ) (Т^)Г Ь-'и^'е*1"-
/=0 /=0
k
1=0
где следует положить .^- г| = 0и (°) — ®> Для / > °- Поэтому
/=--0 k-0
a m
/=0 k=0
Из fалгебры известно, что если в разложении полинома
Р (и) — ^1 akuh на линейные множители имеется % одинаковых
множителей u — w, то его производная порядка / @</<*— 1)

§ 6. Общее решение 251
обращается в нуль при u = w. Итак, если 0<о<х —1, то спра-
справедливо равенство
k=0
во всем рассматриваемом интервале и функция х (X) удовлетворяет
уравнению B.1).
Пример. Уравнение
x"' + sx"-s2x'-s3x=0 E.3)
имеет характеристическое уравнение E.1), для которого оператор
- s является двукратным корнем. В силу этого, каждая из
функций
e~xs, ),e~'-s
удовлетворяет уравнению E.3), что легко проверить подстановкой.
§ 6. Общее решение
Согласно доказанной теореме, для каждого корня w, являю-
являющегося логарифмом, можно написать столько решений E.2),
какова его кратность. Если, таким образом, характеристическое
уравнение B.2) имеет р корней-логарифмов (с учетом их крат-
кратности), то можно написать р решений:
При любых операторах cv ..., ср функция
*(Х) = сЛ(Х)+...+сЛ(Х) F.1)
также является решением уравнения B.1). Выражение F.1) на-
называют общим решением уравнения B.1). Оно содержит столько
произвольных постоянных, каково число корней-логарифмов ха-
характеристического уравнения.
Примеры. 1. Уравнение
х"' + sx" - sV - s3x =-- О
имеет своим характеристическим уравнением
Последнее обладает одним простым корнем s и двукратным — s.
Оба корня — логарифмы, общее решение х (X) содержит три про-
произвольные постоянные:
х (к) = qe

252 Ч. Ill, гл. I. Однородные уравнения
2. Для уравнения
имеем характеристическое уравнение
обладающее тремя корнями is, — is и — s, из которых лишь
последний— логарифм. Поэтому общее решение содержит одну
произвольную постоянную:
*•())« се-*1.
3. Уравнение
x" + s2x = 0
обладает характеристическим уравнением
корни которого is и —is —не логарифмы. Поэтому общее реше-
решение сводится к функции
и не зависит от постоянных.
В зависимости от числа корней-логарифмов мы будем разли-
различать три типа дифференциальных уравнений. Дифференциальное
уравнение называется:
1) логарифмическим, когда все корни характеристического
уравнения — логарифмы;
2) чистым, когда среди корней характеристического уравне-
уравнения нет логарифмов;
3) смешанным, когда некоторые корни характеристического
уравнения — логарифмы, а другие — не логарифмы.
В случае когда коэффициенты уравнения B.1) —числа, мы
имеем дело с обычным дифференциальным уравнением с постоян-
постоянными коэффициентами. Оно логарифмическое, и благодаря этому
общее решение содержит всегда т произвольных постоянных,
т. е. столько, каков порядок дифференциального уравнения.
В общем случае, однако, как мы видели из приведенных выше
примеров, число произвольных постоянных в общем решении мо-
может быть меньше, чем порядок уравнения.
Очень существенна теорема: всякое решение уравнения B.1)
в некотором интервале (а, ,8) может быть получено из общего
решения подходящим подбором постоянных сг,..., ср. Доказа-
Доказательство этого предложения опирается на одну теорему един-
единственности, которую мы рассмотрим в следующем параграфе.

§ 7. Теорема единственности решений 253
Упражнения. Написать общие решения для следующих дифферен-
дифференциальных уравнений:
A) x"' + 4sx" + 4s2x' + 16s3x = 0;
B) x"' + s3x = 0;
C) х<4> —s4x = 0;
D) s*'" + (s2 + s+l)(x" + x') + sx = 0,
E) x<4>+s*x = 0.
§ 7. Теорема единственности решений
Теорема. Если даны операторы ko,kv..., km_x и точка
Х„ интервала (а, Р), то существует не больше одной операторной
функции х(\), которая удовлетворяет в (а, Р) уравнению B.1)
и условиям
^)Ч. x'(lo)=kv...,x^){lo) = km_1. G.1)
Доказательство. Допустим, что имеются две такие функ-
функции ха(Х) и х2A). Тогда их разность
*W = *,(X)-*,(X)
удовлетворяет также уравнению B.1) в интервале (a, JS) и, кроме
того, условиям
х (Хв) = 0, х' (Хо) = 0 дС»-Ч (Хо) = 0. G.2)
Достаточно поэтому доказать, что любая функция х(к), удовлет-
удовлетворяющая в (а, р) уравнению B.1) и условиям G.2), равна нулю
в (а, {3). В случае /и = 0 теорема очевидна, а в случае /л—-1 мы
доказали ее в § 17 ч. II. Применяя индукцию, предположим,
что теорема верна для уравнений порядка 0,1,..., т— 1. Пока-
Покажем, что отсюда следует справедливость теоремы для уравнений
порядка т.
Введем вспомогательную функцию
т-1
У (X) = 2 ап [х^-1) (X) х™ (р - X) + *е»-2> (л) *(»+Ч (р - X) +
+ ...+xtm(X)^m-1)(|i-X)], G.3)
где (i —такое произвольно фиксированное число, что
*О-Х0<В. G.4)
Тогда
т-1
У' (X) = 2 ап I*'"" (^) *'"' (I* - ^) - ^"' (X) ^<m) (I* - X)] =
n=0
m-l m-i
n=0

254 Ч. Ill, гл. I. Однородные уравнения
Но, в силу B.1), имеем
т-1
п-0
и, заменив X через р — X,
т-1
п=0
Следовательно,
г/' (X) =-*"»> (X) • amxtm) (р. - X) + *<m> (jx - X) ¦ ат*"»> (X) = 0.
Это равенство справедливо для тех значений X из интервала
(а, 3), при которых [х —X также принадлежит (а, 3) и, значит,
для пересечения / интервалов (а, 3) и (р — 3, ji — а). Отсюда
следует, что в интервале / функция г/(л) постоянна. Так как
точка Хо принадлежит /, a t/(Xo) = O, в силу условий G.2), то
t/(X) = O тождественно в /, т. е.
т-1
2 ап [х^-Ч (X) x<w (ix - X) + *(т-2> (X) лгС1*1' (|i - A) -f
4 ...4-хт)(Х)х('»-1)(!х-Х)] = 0, G.5)
если только выполнены неравенства G.4) и
а<Х<В, a<fi->.<3.
Подставляя х = [л —X в G.5) и выделяя члены, содержащие
производную л;""-1' (X), получим
-1) (X) +
m-2
+ 2 ап [х(т~г) (х) *("+1) (*)+•¦•+ л:' (X) л:""' (*)] = 0. G.6)
Это равенство справедливо, если только
a<*<3, a<X<3, a<x_xo + X<3. G.7)
Пусть X —любая точка внутри интервала (а, В). Докажем,
что х(Х) = 0. С этой целью рассмотрим два случая.
1. В каждой окрестности точки Хо существуют значения х,
для которых
Ят-!*""-1» ¦•'-•••+ аох(х)ф0.
Из этих значений выбираем такое, для которого | х — ).о | меньше,
чем каждое из чисел
Х„ —а, X —а, 8 — Хо, й — К.

§ 7. Теорема единственности решений 255
а + | х — ).о | < Хо < ,8 — | х — Хо |
Тогда
— Х0|<Х<3- j х — Хо |.
Если X принадлежит интервалу
a + i*-X0|<X<j3-|*-4!. G-8)
то неравенства G.7) выполнены. Ввиду этого уравнение G.6)
удовлетворяется при всех X из интервала G.8). Это уравнение
порядка т — 1, ибо коэффициент при производной д^) (X) (наи-
(наивысшего порядка) отличен от нуля. Так как точка Хо принадле-
принадлежит интервалу G.8) и в этой точке выполнены условия
*(Хв) = 0, •--, х<т-2)(Х0) = 0, G.9)
то, в силу индуктивного предположения, согласно которому теорема
справедлива для уравнений порядка <т—-1, отсюда вытекает, что
х(Х) = 0 для любого X из интервала G.8). Но точка X принадлежит
этому интервалу, и, следовательно, в частности, л:(Х) = О, что
и требовалось доказать.
2. Существует такая окрестность точки Хо, что для всех
точек х этой окрестности
Предположим сначала, что по крайней мере один из коэффи-
коэффициентов а0, ..., ат-г отличен от нуля, и обозначим через [<*0, Во]
наибольший интервал (содержащий точку Хо), в котором выпол-
выполняется последнее равенство. Тогда, в силу G.9) и индуктивного
предположения, мы получаем, что л:(Х) = О в интервале [а0, Во].
Если X лежит вне интервала [а0, 30], то можно, таким образом,
фиксировать Xj в интервале (a0, jJ0) и х вне этого интервала так,
чтобы равенство G.6) имело место внутри некоторого интервала,
содержащего точки Хх и X1). Так как
х(Х,) = 0,..., *<"»-«> ().,) = О,
то так же, как в случае 1, получаем л:(Х) = О.
11 Так как X не принадлежит [а0, J$0J, то по крайней мере одно из нера-
неравенств а„ Ф а, Е5„ ф 8 имеет место. Допустим, что 30 ф $ (а„ ф а) и выберем
точки XjEta,,, Э„) и ¦*. по обеим сторонам Зо (ао) достаточно близко друг от
Друга, а именно так, чтобы |х—\1\ было меньше, чем каждое из чисел |$—X
и X—а, и, кроме того, am-iXfm'1) (>.) + ... + а„х (%) Ф 0. Тогда интервал Ilt
пересечение интервалов (я, ^) и (a + Xj —х, 3 + ^—х), содержит точки А,
и X и в /, выполняется равенство G.6), ибо точка X, может играть роль Хо
в неравенствах F.4) и G.7)—Прим. перев.

250
Ч. Ill, гл. I. Однородные уравнения
Остается еще освободиться от предположения, что по крайней
мере один из коэффициентов а0, ..., ат-1 отличен от нуля. Но
если все эти коэффициенты равны нулю, то уравнение B.1) при-
приводится (после деления на ат) к виду х°п' (I) = 0. Таким образом,
функция х'-1'^) постоянна в (а, [3), и так как x'm~v (l0) = 0, то
д<~1)(>.) = 0 всюду в (а, р). С помощью индукции отсюда полу-
получаем, далее, что х(Х) — 0 в (а, ?}), и, значит, доказательство
теоремы завершено.
§ 8. Логарифмическое уравнение
В случае логарифмического уравнения все корни характери-
характеристического уравнения являются логарифмами и общее решение
содержит т. произвольных постоянных. При произвольно заданных
операторах k0, kv ..., km_1 и точке Хо можно подобрать постоян-
постоянные сг, ..., ст таким образом, чтобы выполнялись условия G.1).
Для этого достаточно решить относительно cv ..., ст систему
уравнений
4 ... +cmx'm(l0) =*klt
Эта система в том и только в том случае разрешима (при любых
k0, kt ^m-i). если определитель
(8.1)
отличен от нуля. Легко проверить, что определитель отличен от
нуля в случае, когда все корни характеристического уравнения
различны. Действительно, тогда
и определитель (8.1) имеет вид
• • • с>
w,eXoWl ... wme'-
1 ... 1
Щ ••¦ Wm
...wmm

§ 9. Линейные дифференциальные выражения 257
последний же определитель, называемый определителем Вандер-
монда, как известно, отличен от нуля, если его элементы попар-
попарно различны.
Если пе все корни характеристического уравнения различны,
то среди функций хг().), ..., хт(х) некоторые будут вида )*eXWy,
гдех>1. Тогда вычисление определителя (8.1) более сложно,
однако и в этом случае определитель всегда отличен от нуля1).
Пусть теперь л:0 (X) — любая функция, удовлетворяющая в не-
некотором интервале (а, 3) уравнению B.1). Всегда можно подобрать
коэффициенты cv ... ,ст таким образом, чтобы для точки H ин-
интервала (а, 3) выполнялись условия
Но тогда, в силу теоремы единственности, функции хG) и хо(к)
тождественно совпадают во всем рассматриваемом интервале.
Таким образом, если уравнение логарифмическое, то всякое его
-решение можно получить подстановкой в общее решение соответ-
соответствующих значений для постоянных с3, с2, ..., ст.
Для того чтобы доказать аналогичную теорему для нелогариф-
нелогарифмических уравнений, мы рассмотрим сначала некоторые свойства
линейных дифференциальных выражений.
§ 9. Линейные дифференциальные выражения
Обозначим левую часть дифференциального уравнения B.1)
через Lx,
т
ix= 2а^A1)' (9Л)
и будем называть символ Lx линейным дифференциальным выра-
выражением. Если в такое выражение подставить вместо х некоторую
операторную функцию х(\) (с непрерывной производной порядка
т), то Lx(k) будет непрерывной операторной функцией.
Если Lx (к) = 0 тождественно в некотором интервале, то
в этом интервале функция х(к) обладает производными любого
порядка. В самом деле, тогда
т-1
*tm>W=--^r2 а^Цк) (9.2)
т v.=o
Так как справа имеются только производные порядка не выше
<п - 1, то правая часть (9.2), а тем самым и левая, имеет непре-
х) Минусинский [33] и [37]
'• Ян Минусинский

258 Ч. Ill, гл. I. Однородные уравнения
рывпую производную
m-l
ГA1а)= — У, а„х<»+»{к). (9.3)
Производную x(m) (X) в правой части соотношения (9.3) можно
заменить выражением (9.2), так что производная x'm+v (X) пред-
ставима линейной комбинацией производных, порядок которых
меньше т. Поэтому л:<т41)(Х) можно опять продифференцировать,
и, повторяя этот процесс соответствующее число раз, мы получим
производные сколь угодно высокого порядка.
Если Lx (X) = 0 тождественно в некотором интервале, то в том
же интервале тождественно Lx'™ (X) ¦= 0, каково бы ни было на-
натуральное п. Это сразу следует из очевидного равенства
Таким образом, если л:(Х) есть решение однородного дифферен-
дифференциального уравнения Lx = 0, т. е. уравнения
то каждая производная х'т (X) также является решением этого
уравнения.
§ 10. Действия над линейными дифференциальными
выражениями
Под суммой (Z-i + L2)a: двух линейных выражений Lxx и L2X
будем понимать выражение L^ + L^x. Таким образом, если,
например,
L1x = a2x" + a1x' + аох, ^0 ^
L^x—b^' + box,
то
{Lx + L2) х = а2х° + (fl! 4- &i) x" + (fl0 + b0) x.
Под произведением LxL2x двух линейных выражений мы понимаем
выражение L1(L2x). Например, если L^x и L2x имеют вид A0.1),
то
L^x = a» (L2x)" + ах (L2x)' + a0L2x =
= fl2 F^'" + &0^) + «1 (&1^" + V) + й0 F1^' + M =
= flg&,^"' + (aA -1- a^i) JC + (a A + ao&i) *' -r Oo^x.

§ 12. Чистые уравнения
§ 11. Характеристические полиномы линейных
дифференциальных выражений
С каждым линейным выражением (9.1) связан характеристи-
характеристический полином
т
Я (и) = 2 "*»»¦
,1=0
Например,
— характеристические полиномы для выражений A0.1). Очевидно,
что сумма
Pi (и) + ^ (и) = а2 + (a1 + b1)u + a0 + b0
есть характеристический полином суммы (Ьг + L2) x, и аналогично,
произведение
?х («) р2 («) = я А + (a2b0 + а^) м2 + (atb0
представляет собой характеристический полином произведения
L1L2x. Имеет место общее правило:
Характеристическим полиномом суммы, соответственно про-
произведения, линейных дифференциальных выражений является
сумма, соответственно произведение, характеристических поли-
полиномов этих выражений.
Это правило позволяет производить действия с линейными
дифференциальными выражениями вполне аналогично действиям
с полиномами.
Из этого предложения, в частности, следует1), что каждое
линейное выражение (9.1) можно записать в виде
Lx = amL1... lmx,
где L^x =¦ х' — w^x, a w^ — корни характеристического уравнения
Р 0.
§ 12. Чистые уравнения
Если уравнение Lx = 0 чистое, то каждое из уравнений
имеет только одно решение, а именно, равное тождественно
нулю. Если х(\)фО, то Lmx (X) ф 0. Отсюда вытекает последо-
последовательно, что LmJLmx(X)=fk0, L^iL^LmKQIsjsO и т. д.,
наконец, что Lt... Ь^х{1)ф0. Таким образом, 1х(к)ф0 и ни одна
х) Если характеристический полином выражения (9.1) разлагается на ли-
иейные множители. — Прим. перев.
17*

260 Ч. Ill, гл. I. Однородные уравнения
функция х(к)фО не удовлетворяет уравнению Lx = 0. Поэтому
справедлива теорема:
Чистые (однородные) уравнения обладают лишь решениями,
равными тождественно нулю.
§ 13. Смешанные уравнения
Мы можем теперь легко доказать, что всякое решение сме-
смешанного уравнения Lx = 0 получается из общего решения подхо-
подходящим подбором постоянных cv ..., ср. Если р есть число корией-
логарифмов характеристического уравнения, то можно предполо-
предположить, что уравнения
1^ = 0, ..., Lpx = 0
имеют ненулевые решения, а уравнения
их не имеют. Введем обозначения
L'x = Lx...Lvx, L°x = Lp+l...Lmx.
Тогда уравнение
L'x = 0
логарифмическое, и любое его решение имеет вид (см. § 6)
clXl(\)+...+cpxp(k). A3.1)
Уравнение же
L"* = 0 A3.2)
чистое, и его единственное решение есть тождественный нуль.
Уравнение Lx = 0 можно записать в форме
UL'x = 0.
Если функция х(\) не представима в виде A3.1), то Ь'
и, следовательно, Z/Z/л: (Х) =fe 0, т. е функция х(\) не удовлетво-
удовлетворяет уравнению Lx = 0. Таким образом, любое решение уравне-
уравнения Lx = 0 имеет вид A3.1).
§ 14. Приспособление решения к данным начальным, краевым
и другим условиям
Мы показали, что для дифференциального уравнения B.1) про-
произвольного типа всякое решение получается из общего решения
подходящим выбором постоянных Су.. Общее решение можно при-
приспособить к различным добавочным условиям.

§ 14. Приспособление решения к начальным, краевым и др. условиям 261
Пример 1. Найти функцию х (X), удовлетворяющую уравнению
x"'±sx" — s2x'-s3x = 0 A4.1)
и условиям
х@)=1, x'@) = s-l, *"@) = s2 + 2s. A4.2)
Как мы видели в § 6, общее решение этого уравнения имеет вид
Отсюда
х' (X) = c,se*s -f (- c2s + с8 - c3ls) e~Xs,
x" (X) = CjS Vs + (c2s2 - 2c3s 4- c3Xs2) e~ls.
Полагая Х = 0 и используя условия A4.2), мы приходим к ра-
равенствам
Cj -f С2 = 1 ,
CjS - C2S + С8 = S - 1,
и ПОрстым вычислением получаем
сг=\, с2 = 0, с3=-1.
Taidm образом, искомое решение есть
Пример 2. Найти функцию дс(Х), удовлетворяющую диффе-
дифференциальному уравнению A4.1) и условиям
*@)=-i, x'@) = l+|. хA) = 0.
Аналогично предыдущему, эти условия приводят к равенствам
у >
l +
Отсюда
— \}, c2— — , c8—— ,
и искомое решение имеет вид

262 4. Ill, гл. I. Однородные уравнения
Пример 3. Найти функцию *х(к), удовлетворяющую уравне-
уравнению A4.1) и условиям
х@) = 0, хA) = 0, дсB) = 1.
Теперь мы должны решить систему уравнений
схе* + c^e*3 4- с3е-" = О,
из которой находим
ц окончательно
Условия, приведенные в первом примере, называются начальны-
начальными условиями, условия же во втором примере — краевыми услови-
условиями. Иной тип условий был дан в третьем примере. Во всех трех
примерах решение единственно, ибо постоянные с1У с2, с3 опреде-
определяются однозначно.
Для единственности решения необходимо столько же усло-
условий, сколько имеется произвольных постоянных в общем реше-
решении. В приведенных выше примерах мы имели по три условия.
Уравнение было в этих примерах логарифмическим. В логариф-
логарифмических уравнениях необходимо иметь столько условий, каков
порядок уравнения. Если уравнение не логарифмическое, то число
условий, определяющих решение, меньше, чем порядок уравне-
уравнения, и равно числу корней-логарифмов характеристического уравне-
уравнения, или, что то же самое, числу произвольных постоянных
в общем решении.
Пример 4. Найти функцию х(\), удовлетворяющую урав-
уравнению
и условию
x(l) = s.
Общее решение содержит теперь одну произвольную постоянную
(см. § 6)
х{\) = се-х*;
мы без труда определим ее, принимая во внимание заданное усло-
условие, которое приводит к уравнению

§ 14. Приспособление решения к начальным, краевым и др условиям 263
Отсюда c=ses, и искомое решение есть
x(k) = se(l-vs.
Упражнения. Решить следующие уравнения при заданных условиях:
A) x'" i
B) x"'
C) x<4>-s4a:=:0,
D) sx"'
х@)=»1, л;'@) = 1--, x(-l) = 2
s
Являются ли найденные решения единственными'

Глава II
НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 15. Общее решение неоднородного уравнения
Если функции А'о (X) и х1(\) удовлетворяют неоднородному
уравнению
D /( A5.1)
то их разность х (X) — х1 (X) — х0 (X) удовлетворяет однородному
уравнению
атх№+...+аох = 0. A5 2)
Поэтому если известна хотя бы одна функция хо(к), удовлетво-
удовлетворяющая уравнению A5.1), то достаточно найти общее решение
х(к) = с1х1{\)+...+срхр(\)
уравнения A5.2). Тогда мы сразу будем обладать и общим реше-
решением уравнения A5.1) в виде суммы
хо(Ь.) + х(Х) = хо(Х) + с1х1{к)г...+срхр(\). A5.3)
Любое частное решение уравнения A5 1) можно получить из A5.3)
подходящим выбором постоянных.
Например, для неоднородного уравнения
x'" + sxe-s2x' -s3x- -I A5.4)
можно без труда написать общее решение, используя решение,
приведенное в предыдущем параграфе, а также следующее про-
простое замечание: функция xQ(l) = \/s3 удовлетворяет уравне-
уравнению A5.4). Общее решение имеет, таким образом, в настоящем
случае вид
Напротив, уравнение
х" Ч s-x = 1

§ 16 Правая часть—полином 265
имеет единственное решение
так как единственной функцией, удовлетворяющей однородному
уравнению х'' + s2x = 0, является функция, равная тождественно
нулю.
Итак, решение неоднородного уравнения всегда приводится
к решению однородного уравнения и к нахождению хотя бы одной
функции, удовлетворяющей неоднородному уравнению. Нахожде-
Нахождение этой функции, вообще говоря, представляет трудности,
а в некоторых случаях такая функция вообще не существуетJ).
В других случаях, когда правая часть уравнения A5.1) имеет спе-
специальную форму, может оказаться, что найти решение легко
§ 16. Случай, когда правая часть — полином
Для уравнения
amxW+...+aox=b04-...+bnkn (аоф0) A6 1)
всегда можно найти решение в виде полинома
Достаточно подставить это выражение в A6.1) и затем определить-
с0, ..., сп сравнением коэффициентов при степенях X. Этим спо-
способом находится единственный полином, удовлетворяющий уравне-
уравнению A6.1).
Определим, например, полиномиальное решение для уравнения
. A6.2)
Подставляя в A6.2) выражение
получаем
2с2
и, приравнивая
¦*(*•) = с0+ cix +
+ 6с3Х + s2 (с0 4- схХ Ь
коэффициенты,
2с2 -f s2c0 = 1, 6
s2c2 = 0,
Из этих уравнений вычисляем с,:
I 6
"— 2~ J ^1 — — ~~ 3 *
c2l2 + c3l3,
с2Х2 -\- с3\3) = sX3
iti + Л^О,
s2c3 = s.
I
с2 - 0, f, = т
*) Микусинскнй [33], стр 233 — 237

266 Ч. Ill, гл. II. Неоднородные уравнения
Следовательно, искомое решение имеет вид
... 1 б\ . хз
*b(*) = -s.—¦*»- + — •
Оно является единственным решением уравнения A6.2), ибо
общее решение однородного уравнения х" -\- s2x = 0 сводится к нулю.
Если в уравнении A6.1) ао = 0, то, обозначив через ak по-
последний коэффициент, отличный от нуля, будем иметь полино-
полиномиальные решения вида
х0 (I) = colh + с^1 +...+ cnXh+",
коэффициенты которого определяются тем же путем, что и в пре-
предыдущем случае. Однако это не единственное полиномиальное
решение, ибо к нему можно прибавить произвольный полином
порядка меньше k, получая этим способом другие полиномиальные
решения.
Упражнения. Найти полиномиальные решения для уравнений
A) x<v +
B) х"—s
C)
§ 17. Случай, когда правая часть — показательная функция
Если дано уравнение
атх№+...+(& = (*: A7.1)
где w такой оператор, что amwm -f-...-f- c0 = Р {w) Ф 0, то сразу
можно указать одно из решений уравнения A7.1). Им является
функция
хо М = р щ i
что легко проверить подстановкой.
Например, для уравнения
= e* A7.2)
решением будет функция
Если же Р (w) = 0, то w — корень характеристического уравне-
уравнения. Пусть q — кратность этого корня. Тогда функция
Х0 КЧ ~ ~ptq> (и,) > ' A7.3)

§ 17. Правая часть—показательная функция 267
где Р — производная порядка q полинома Р, удовлетворяет
уравнению A7.1).
Например, для уравнения
szx'-s4 = e-*s A7.4)
полином Р (и) имеет вид
P{U)=U*4-SU2-S2U-S3.
Мы легко проверяем, что Р( — s) — 0 и что —s есть двукратный
корень характеристического уравнения Р (и) = 0. Поэтому функция
удовлетворяет уравнению A7.4). Так как
P"{u) = 6u + 2s, P"(-s)= -4s,
то окончательно имеем
Легко проверить непосредственной подстановкой, что эта функ-
функция действительно является решением уравнения.
Для доказательства того, что в общем случае функция A7.3)
удовлетворяет уравнению A7.1), заметим следующее. В силу
вычислений § 5, мы имеем
tn ц щ
fe=O /=0 fc=/
1
а из предположения, что до — корень кратности q, вытекает, как
это известно из алгебры, что Р0) (w) — 0, у-—0, ...,q— 1. Следо-
Следовательно, сумма справа сводится к одному, а именно последнему
члену, который равен Р(<2> (w), и после сокращения в правой
части равенства остается только е"°. Это и доказывает наше
утверждение.
Упражнения. Найти частные решения для следующих уравнений:
A)
B)
C)

268 4. Ill, гл. II. Неоднородные уравнения
§ 18. Случай, когда правая часть—произведение полинома
и показательной функции
Этот случай охватывает оба предыдущих:
атх<™ + ... + аох = (Ьо + ... + bnln) е»-.
Можно доказать, что если w — корень кратности q характери-
характеристического уравнения, то всегда существует решение вида
Практически постоянные с0, ..., сп определяются приравниванием
коэффициентов при одинаковых степенях X. Например, для урав-
уравнения
x'" + sxr-s2x'-six = lels A8.1)
ищем решение вида
ибо о=1 и q= I (s — простой корень характеристического уравне-
уравнения). Подставив хо(\) в A8.1), получим
[3c0s2 -f 6cxs + (cos8+ 6Cls2) X + Cis3k2) e" +
+ s [2c0s 4- 2c, + (cos2 + 4c,s) X + Cls2X2] e*s -
— s2 [c0 + (CqS + 2cJ X + CjSX2] e** - s3 (co\ + qX2) e^s = Xe*$.
Деля это равенство на e/S и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях X, находим соотношения
4c0s2-f 8^8 = 0, 8Cls2=l,
откуда
! 1
с _ 1
с !_ с
Таким образом, искомым решением является функция
Упражнения Найти по одному частному решению для следующих
уравнений:
A) *D)_ 2sx" + s2x = l2e-15,
B) х'*1— 2sx" + s2x = k2e-*V$.
§ 19. Случай, когда правая часть—линейная комбинация
двух функций
Если уравнение имеет вид
атхМ+ ... +аох = blf1 (X)+.Vi W. С19-1)
где 6, и 62 — произвольно заданные операторы, то достаточно

§ 20. Правая часть—тригонометрическая функция 269
найти решения двух более простых уравнений
А именно, пусть х1 (X) — решение первого из этих уравнений,
а хг (X) - решение второго. Тогда функция
является решением уравнения A9.1), что непосредственно про-
проверяется подстановкой.
Этим замечанием выгодно пользоваться в приложениях. Если,
например, дано уравнение
атх№ + .. + аох = ftje^i -f- b2e*w*, A9.2)
в котором w1 — корень кратности qv a w2 — корень кратности 92
характеристического уравнения, то функция
является решением уравнения A9.2).
Упражнения. Найти частные решения для следующих уравнений'
A) х" — s*'+s2*=Xs + e*,
B) x'
C) sx" + (\ + s2)x' + sxs + e-*
§ 20. Случай, когда правая часть—тригонометрическая функция
Предположим, что существует показательная функция е'Аш
(X вещественно). Тогда существует и показательная функция
е-'ш, и можно принять в качестве определения
ikw_e-Uw Jlw, -Uw
cosXa> ^
Имея дело с уравнением
атх{т) +•••-!- аох = cos Xw, B0.1)
сначала искать решения дсх(Х) и х2(\) для уравнений

270 4. Ill, гл. II. Неоднородные уравнения
а затем запишем решение уравнения B0.1) в виде
Аналогично можно поступить, когда в правой части уравнения
стоит не cosXo>, a sinXm», или, более общо, функция вида
wi cos Хи>2 + Ь^е1а>з sin ),wt.
На практике иногда выгоднее применить непосредственно метод
неопределенных коэффициентов. Например, для уравнения
х" 4 sx' + s*x = X cosXs B0.2)
ищем решение вида
х0 (X) = (с1 + с2Х) cos Xs + (с3 + с4Х) sin Xs.
Подставив это выражение в B0.2), получим после упорядочения
{c2s -\~ CgS2 + 2c4s + с^г1) cos ks 4-
4- (— Cjb2 — 2c2s 4- cts — c2s2X) sin Xs = X cos Xs.
Приравниванием соответствующих коэффициентов получаем урав-
уравнения
c2s 4- c3s2 4- 2c4s = 0, c4s2 = 1,
— cxs2 — 2c2s 4- c4s = 0, — c2s2 == 0,
из которых находим
_ l __„ _ 2 l
Cl — 'j3 > C2 ~ U> C3 — ~ "^3" > Ci — "^2" •
Окончательно решение имеет вид
х0 (X) = Р cos Xs 4- (/2Х - 2/3) sin Xs.
Упражнения. Найтн частные решения для следующих уравнений:
A) x" + s2x = l2slnls,
B) x" + sx = XcosXs-reAsin Xs,
C) х<*>— s2a: = /'
§ 21. Приспособление решения к добавочным условиям
Если известно одно частное решение неоднородного уравне-
уравнения, то способом, изложенным в §15, можно найти общее реше-
решение. Далее, можно приспособить постоянные в общем решении
к добавочным условиям (начальным, краевым или другим). Метод
остается тем же, что и в случае однородного уравнения, и мы
поэтому ограничимся здесь лишь одним примером.
Найдем решение уравнения
x'" + sx"-s2x'~s3x = Xe«, B1.1)

§ 21. Приспособления решения к добавочным условиям 271
удовлетворяющее условиям
*@)=2га, *'@) = 2?-. xB)=ie23+ieS- <21-2>
В § 18 мы нашли следующее частное решение уравнения B1.1)
х n\_
хо \Ч —
Так как общее решение соответствующего однородного уравне-
уравнения имеет вид (см. § 6)
то можно сразу написать общее решение уравнения B1.1):
х (к) = с
Из условий B1.2) получаем соотношения
cs CS + с
откуда
г — - г—О V — '
1 — 2s3 ' 2 ~~ ' 3 ~ 4s3 "
Искомое решение имеет, следовательно, вид
4s3 *
Это единственное решение уравнения B1.1), которое удовле-
удовлетворяет условиям B1.2).
Упражнения. Найти операторные функции, удовлетворяющие сле-
следующим уравнениям и условиям:
6 2 3
A) х" + 5sx' + ds2* = - -, л:@)=-g- , х @) = -j- I
„-2Xs
B) jc" + 5sjc' + 6s3jc = [ 1 + 5Ks + B— 5s + 3Sa) X^Je~2Xs, *@)=—^,
C) sx"'—x* — 2sV + 2sx = 3s si n X y7—3s5'2 cos X Ys ;
D) xD>+2(l+sV* + 4saA: = sinXyr2> x @)=xB) = — ;
E) xD>_2(l+s2)j r
Являются лн найденные решения единственнымн?

Глава III
ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
•§ 22. Сведение дифференциальных уравнений в частных
производных к операторным уравнениям
Во второй части мы свели некоторые специальные уравнения
в частных производных (уравнение колебаний струны, уравнение
теплопроводности, телеграфное уравнение) к операторным урав-
уравнениям.
Теперь мы рассмотрим этот вопрос в общем виде. При этом
мы ограничимся уравнениями в частных производных с постоян-
постоянными коэффициентами, так как к ним наилучшим образом при-
прилагается операторное исчисление. Каждое такое уравнение можно
записать в форме
Ji B2.1)
,1 = 0 -,=0
Применяя общую формулу
{хМ (f)} = sv {х (/)} _ Sv-Ix @) _ . . . _
имеем (v> 1)
V у+^^°) B2 2)
и уравнение B2.1) переписывается в следующей операторной форме:
anxW+...+aox = f(\), B2 3)
•где
m n v- I
2 S S a^sv -' dJ1^i--. B2 4)
)л=0 v=l *=0

§ 22. Сведение к операторным уравнениям 273
Располагая выражение B2.4) по степеням s, получаем
п — 1 m х
( W — if 1'ч> '/I г 2л s 2л 2л aii,n-x+v ^^ • B2.Ь)
х~0 jjl"=O v^O
К этому равенству можно прийти следующим образом. Символ
П V—1
2 2 B2.6)
v=i х—о
означает суммирование по всем парам показателей -л и v, .которым соответ-
соответствуют точки, обозначенные круж-
кружками на фиг. 131. Введение новых
индексов v'=x, *.'= п — v + * ме-• п—1 ¦
няет нумерацию этих точек, и, как
видно из фиг. 131, необходимо заме-
заменить B2.6) символом
П-! X'
У У '
х' = 0 v'-=0 "*
ОС
• в в
о о о о
о о о о О
П-»
Поэтому тройную сумму в соотноше- Фиг. 131.
нии B2.4) можно написать в виде
т п—1 х'
ц=_0 x'=0 v'=0
откуда уже сразу вытекает формула B2.5).
Примеры. 1. Найти решение дифференциального уравнения
dl2 + dt* U> К '
удовлетворяющее условиям
х(Х,0) = еЛ, х, (X, 0) = е2*. B2.8)
Операторное уравнение имеет теперь вид
или, если учесть условия B2.8),
x" + s2x = se* + en. B2.9)
Для простоты лучше всего разложить это уравнение на два сле-
следующих:
х[ + s2xt = е'-, х[ + s2x2 = e2X.
Согласно § 17, решения этих уравнений имеют вид
xi M =
xi M = i+s2 '
Ян Минусинский

274 Ч. Ill, гл. Ill. Уравнения в частных производных
и, следовательно,
х (X) = sx, (X) + хг (X) = у^р е» + j— е2* B2.10)
есть решение уравнения B2.9).
Для того, чтобы найти общее решение уравнения B2.9),
мы должны решить его характеристическое уравнение
Корнями последнего являются операторы — is и is. Однако
мы знаем, что показательные функции е~ш и elXs не существуют.
Поэтому общее решение сводится к функции B2.10) —единствен-
—единственному решению уравнения B2.9). В обычной, не операторной форме
эта функция выражается формулой
х (X, t) = & cos t-\ \ en sin It.
Это единственное решение уравнения B2.7), удовлетворяющее
условиям B2.8).
2. Бигармоническим называют уравнение
il д* - д*х -0 (9<> \\\
Решим его при условиях
х(\, 0) = XsinX, xt(\, 0) = 0,
xi((X,0) = 0, *ш(Х,0) = 0. ^22-1
Согласно B2.2), получаем
, 0),
)-х((((Х, 0).
Поэтому операторная форма уравнения B2.11) имеет следующий вид;
х<4> + 2sV + s4x == !?x (X, 0) + s% (X, 0) +
+ s [2xu (X, 0) + хи (X, 0)] + 2хял( (X, 0) + хш (X, 0).
Учитывая условия B2.12) и вытекающие из них равенства
Хщ (X, 0) = 2 cos X — X sin X, xkKt (X, 0) = 0,
получаем
ж<4> + 2sV H- s4x = s3X sin X + 2s B cos X - X sin X). B2.13)
Ищем теперь решение вида
х (X) = (сх + с„Х) sin X + (c3 + c4X) cos X.

§ 22. Сведение к операторным уравнениям 275
После подстановки этого выражения в B2.13) и упорядочения
получим равенство
+ (s2 - 1) [(ss - 1) (с3 -Ь QX) + 4с2] cos X = (s* - 2s) X sin X + 4s cos X.
Сравнивая коэффициенты этого соотношения, имеем
(s2- lJc2--=s3-2s, (sa-lJc4 = 0,
(s2-l)[(s2-l)Cl-4c4]=0,
откуда
с -О г - s(s2~2) с 4s
Следовательно, функция
является искомым решением.
Так как характеристическое уравнение
имеет корни —is, is (двукратные), а показательные функции
fi-iXs и еш не существуют, то найденное решение единственно.
Ввиду равенств
s(sa—2) _ s 1 , 1
(sa—1)а sa— 1 4(s— 1)я ~^ 4(s+lJ e
4s 1J. 1 , 1
J
(sa—1)" 4(s+l)a 4(s-l)a "h 2(s+l)a " 2(s— 1)»
можно написать
Это единственное решение уравнения B2.11), удовлетворяющее
условиям B2.12).
3. Найти решение уравнения
18»

276 V. ///, гл III У равнения в частных производных
удовлетворяющее условиям
0) = 0, х,(),0) = 0. B2.15)
Так, как (ех~'} = —ц-г , то операторное уравнение имеет форму
х" - ос' -| s*x = sx (X, 0) + х, (К 0) - хх (I, 0) + ^-г ,
а в силу условий B2.15) и вытекающего из них равенства
это уравнение принимает вид
x"-sx'-{ s2x = -^-r. B2.16)
Так как 1 — s + s2 ? 0, то функция
удовлетворяет уравнению B2.16). В силу равенства
1 1 12
3 / 1 \a , 3 + 2
= fi e-t _ \ g//2 COs ?*1 + i e</2 sin
имеем
д: (X, /) = у ex f e"( - e(/2 cos ~^- + /3 e'/2 sin •
Для уравнения B2 14) будет доказана единственность решения,
удовлетворяющего условиям B2.15), если мы проверим, что корни
характеристического уравнения
ыа - su + s2 = О
не являются логарифмами. В самом деле, эти корни имеют вид
¦4. НаДти функцию, удовлетворяющую уравнению
и условиям
х(К, 0)-)", х,(Х, 0) = Ха, х„(Х, 0) = ).. B2.18)

§ 22. Сведение к операторным уравнениям
Так как
то операторное уравнение принимает вид
х'" f3sx'-i-3sV '-s3x = s2x(), O) + s[3jex(X, 0)-r*((>, 0)]
Учитывая условия B2.18), окончательно получаем
х'" -!- 3sx" ¦¦¦- 3s2x' -!- s*x == s2X3-;- 10sX2 + 25X B2.19)
Методом неопределенных коэффициентов легко найти полино-
полиномиальное решение
хо(\)=:1к3 г1\2-^-13\-\51*
уравнения B2 19). Однако это не единственное решение этого
уравнения, так как характеристическое уравнение
имеет трехкратный корень — s, являющийся логарифмом, а ^
довательно, функция
хA) = (со + схк -\ - с2Х2) е~* -! - х0 (X),
где с0, сх и с2 — произвольные операторы, есть общее решение
уравнения B2.19).
Отсюда следует, что и решение уравнения в частных произ-
производных B2.17) не определено однозначно условиями B2.18). Для
того, чтобы добиться единственности решения, необходимо ввести
добавочные условия, например
) = t\ xu(O,t) = t. B2.20)
Этим условиям соответствуют операторные условия
х@) = &\ х'@) = 213, х"@) = /2,
которые приводят к соотношениям
х" @) = 2са - 2scj + s2c0 + 2/2

278 Ч. Ill, гл. III. Уравнения в частных производных
Отсюда вычисляются коэффициенты:
Искомым решением является, таким образом, функция
х (X) = B1/4 + 22РХ + 11/2Х2) е-* + /X3 + 1г\2 +П-Ш*.
Учитывая смысл оператора сдвига, приходим к формулам
Это единственное решение уравнения B2.17), удовлетворяющее
условиям B2.18) и B2.20).
§ 23. Замечания о добавочных условиях
Последний пример отличается от предыдущих тем, что, кроме
условий B2.18), определяющих поведение решения на оси X,
потребовалось еще три добавочных условия, чтобы обеспечить
единственность решения. Это имеет место потому, что общее
решение операторного уравнения B2.19) содержит три произволь-
произвольные постоянные.Число дополнительных условий всегда равно числу
произвольных постоянных в общем решении. Условия эти могут
быть заданы на одной или нескольких прямых, параллельных
оси /. Например, в задачах о колеблющейся струне и о прово-
проводящем тепло стержне мы имели дело с решением в случаях,
когда дополнительные условия были заданы на двух прямых
(число этих прямых не может, очевидно, превышать числа про-
произвольных постоянных в общем решении).
Упражнения. Решить следующие дифференциальные уравнения при
заданных условиях:
) = Х, xt(l, 0) = si
C) -~—|^=ЗХЛ x(l,0) = ^, xi (Х,О) = *«(Х. 0) =х|М<*, 0) = 0,
B) ЭР-+^=Ь
1, 0</<оо);
дЧ 13 дЧ d4^
х(к, O) = xt(k, 0)=xtt(k, 0) = 0, jc(O, 0 =
<со,

24. Ошибочное решение 279
§ 24. Ошибочное решение
Решим уравнение
Э*х дРх д*х д*х дЧ дх ,.
при условиях
x(X, 0) = 0, x, (X, 0) = 1 - e~* @<Х<оо), B4.2)
x@,t) = 0, xx@, i) = 2]/|, х»@,0=-1 @</<оо). B4.3)
Соответствующее операторное уравнение имеет вид
sx'" -} (s + 1)хГ- sV - (sa + s)x = - s[xx(X, 0) + x(X, 0)] +
Из условий B4.2) сразу следует, что
хх (X, 0) = ххх (X, 0) = д;ш (X, 0) = 0, хм (X, 0) = ег\
откуда
А(Х 0) + х(Х 0) = 0
,0)-xw(K, 0)-х,(К, 0)-х(Х, 0)= -1,
так что операторное уравнение приводится к виду
= -1—?-. B4.5)
S
Легко найти полиномиальное решение уравнения B4.5): оно сво-
сводится к функции (постоянной по X)
Характеристическое уравнение имеет вид
sus+(s+l)«2~s2u-(s2+<j) = 0,
а его корнями являются операторы
у s, к s, 1 — — .
Поэтому выражение
есть общее решение уравнения B4.5).
Условиям B4.3) отвечают операторные условия
-Г1.

280 Ч. Ill, гл. III. Уравнения в частных производных
Учитывая последние, мы определяем постоянные cv c% и с3 из
соотношений
х" @) = sq + sc8 -b A + s-1J c3 = - s-1
и находим
^ = 0, c2= -s-2, c3 = 0.
Следовательно,
Это равенство можно записать еще в виде
Таким образом, мы нашли следующее «решение» задачи, постав
леннрй в начале настоящего параграфа:
^. B4.6)
Слово «решение» взято в кавычки потому, что фактически мы
имеем дело не с решением, ибо найденная функция х Q.J) не
удовлетворяет заданным условиям. В самом деле,
и при t—>0 мы получаем в пределе *,(>., 0)=1, вопреки второ-
второму из условий B4.2).
Где была допущена ошибка? Ответ на это будет дан в сле-
следующем параграфе.
§ 25. Разъяснение мнимого противоречия
Заметим сначала, что найденная операторная функция х{\) —
= {х(к, t)} удовлетворяет операторному уравнению B4.5), кото-
которое мы вывели из уравнения B4.1), учитывая условия B4.2).
Однако эти условия не были полностью использованы, ибо только
равенства B4.4) играли роль при переходе к операторной форме.
Функция х(к, t) удовлетворяет, как это можно проверить, усло-
условиям B4.4), но не удовлетворяет условиям B4.2). Наши вычисления

§ 25. Разъяснение мнимого противоречия 28Г
показывают, что эта функция является единственным решением-
уравнения B4.1), удовлетворяющим условиям B4.3) и B4.4).
Можно, впрочем, непосредственно проверить, что функция х(Х,<)/
удовлетворяет уравнению B4.1) и условиям B4.3) и B4.4).
В самом деле, пользуясь формулой
f t 2Ут
х(К, t)=\ erf--^=dT = -^= С dx С e-'2dj, B5,1)"
о ' о о
вычисляем последовательно производные по X:
dx(\,t) I f 1 / 1!\,
^^ /тс .) V^-: V 4- J
__я
2\Tf
гАна^огично находим производные по г.
дх(к, t) , X 2 С _а2
—-, — — = erf—— — —г-= \ е da,
dt 2Vt l/те J
вычисляем смешанные производные:
«W- = - —F= + -^7— exP (
B5.2)
2/Г
B5 3>
B5.4)

282 4. Ill, гл. III. Уравнения в частных производных
Подставив соответствующие значения в уравнение B4.1) н сократив
одинаковые члены, отличающиеся только знаком, получим в левой части
выражение
— cerf—— — erf —7=+ 1,
равное нулю в силу свойств функций cerf и erf. Следовательно, уравнение
B4.1) удовлетворяется.
Подстановкой Х. = 0 получаем теперь из соотношений B5.1) и B5.2):
*(О./)=о. 4V>t)=y
ибо cerf 0=1. Таким образом, условия B4 3) выполнены Аналогично, под-
подставив / = 0 в формулу B5.1), получим
х(к,0)=0, B5 5)
•откуда
хл(Х, 0)=хп(\, 0)=хш(\, 0)=0. B5.6)
(Эти три последних равенства можно также получить непосредственно из
{25.2) при / -* 0.) Первая из формул B5 3) при t -*¦ 0 дает
xi (X, °) = ^= \ e-°*ds=l, B5.7)
У ~ 0
я отсюда
xlt(\.0) = 0 B5 8)
(последнее равенство дает непосредственно и первая из формул B5.4) при
t -* 0). Подставляя значения B5.5) — B5.8) в равенства B4.4), легко прове-
проверяем, что и эти равенства выполняются.
Если какая-либо функция удовлетворяет условиям B4.2), то
она удовлетворяет и условиям B4.4). Отсюда следует, что вооб-
вообще не существует решений уравнения B4.1), удовлетворяющих
условиям B4.2) и B4.3).
Итак, в предыдущем параграфе задача была неверно постав-
поставлена: система условий B4.2) и B4.3) является противоречивой
для данного уравнения. Это противоречие исчезает, если условия
на оси X сразу задать в форме B4.4). При этих условиях и усло-
условиях B4.3) мы однозначно приходим к функции B4.6), которая
теперь является уже действительным (а не ошибочным) решением
задачи.
Условия B4.2) и B4.4) не эквивалентны. Из B4.2) вытекают
условия B4.4), но не наоборот.
Во всех предшествовавших примерах всегда были эквивалент-
эквивалентны условия, аналогичные условиям B4.2) и B4.4), чем и объяс-
объясняется правильность найденных решений.

§ 26. Условия Коши Ш&
§ 26. Условия Коши и вопрос об их эквивалентности
общим условиям
Для того, чтобы при переходе от общего уравнения B2.1)
ц.=-0 V—О
к соответствующему операторному уравнению B2.3)
определить функцию /(X), достаточно знать в рассматриваемом
интервале а < X < р функции
а
v- n-^j-vц 3 v
ц=0v=0
(vt = O, .... /X-l),
которые задают поведение функции х(Х, t) на оси X.
В некоторых случаях, как в примерах § 22, можно заменить
условия B6.1) более простыми:
d^Sb3 h%(\) (x = 0 /х-1). B6.2)
h%(\) (x 0 /х1).
at
Условия типа B6.2) называются условиями Коши.
Но как мы видели в §§ 24 и 25, условия Коши B6.2) только
тогда можно ввести вместо общих условий B6.1), когда они
эквивалентны последним.
Если для некоторого уравнения в частных производных усло-
условия B6.1) и B6.2) не эквивалентны, то мы будем говорить, что
данное уравнение рестриктивно. В этом случае условия на оси X
должны быть заданы в виде B6.1). Если уравнение не рестрик-
рестриктивно, то условия на оси К могут быть даны либо в форме B6.1),
либо в форме условий Коши B6.2).
Не ограничивая общности, можно предположить, что по край-
крайней мере один из коэффициентов аОп, а1п, ..., атп отличен от
нуля. Тогда справедлив следующий критерий.
Уравнение B2.1) в том и только том случае не рестриктив-
рестриктивно, если
«1„-..-=«т» = 0, B6.3)
т. е. если в нем отсутствуют смешанные производные макси-
максимального порядка относительно t.

284 Ч. Ill, гл. III. Уравнения в частных производных
Доказательство. Если условие B6.3) выполнено, то
аПп ф 0 и равенства B6.1) записываются в виде
B6.4)
а«*(ь, 0) у у ' д*+"х<\, 0) _
ао« —-^г—+ 2j 2j а"'п-"-^~^~^—•-?*(*¦) B6.5)
ц=0 v=0
(x=l, ...,Л-1).
Функция x(X, 0) однозначно определена равенством B6.4). Пола-
Полагая *=1 в B6.5), вычисляем xt (к, 0) однозначно, так как тогда
под знаком двойной суммы находятся исключительно известные
функции д*х(к, 0)/д№, поскольку уже известна функция х(к, 0).
Полагая теперь х = 2, мы можем из B6.5) однозначно вычислить
хп (X, 0), так как под знаком суммы имеются только функции
,v(X, 0), xt (>., 0) н их производные (по X). Этим способом одно-
однозначно вычисляются все функции
х(к, 0), xt (к, 0) дп~хх{\, O)/dtn-K
Отсюда следует, что вместе с функциями gx(K) будут извест-
известны и все функции Л*(Х). С другой стороны, из самой формы
равенств B6.1) и B6.2) видно, что по функциям йх(>.) однозначно
определяются все функции ?*(>.). Таким образом, условия B6.1) и
B6.2) эквивалентны.
Если условие B6.3) не выполнено, то по крайней мере один
из коэффициентов а1п, ..., атп отличен от нуля. Тогда, восполь-
воспользовавшись равенством B6.1) при х = 0, можно вычислить х(к, 0),
решая (обыкновенное) дифференциальное уравнение
H=0
Однако решение этого уравнения не единственно. Зафиксировав
х(к, 0), можно [с помощью равенств B6.1)] последовательно вы-
вычислять (не обязательно однозначно) функции
к, 0)
Итак, в этом случае условия B6.1) и B6.2) не эквивалентны,
и, следовательно, доказана справедливость критерия.
Легко проверить, что во всех примерах § 22 условие B6.3)
выполнено. Например, в уравнении B2.17) последний член пред-
представляет собой производную наивысшего порядка по /, причем
эта производная не смешанная. Напротив, в уравнении B4.1)
члены — д^/дШ2 и —d2x/dt2 являются производными максималь-
максимального (второго) порядка относительно t. Однако первая из них —
смешанная производная, откуда следует, что уравнение B4.1)
рестриктивио.

§ 27. Решение рестриктивных уравнений 285
§ 27. Решение рестриктивных уравнений
Операторный метод позволяет решать как рестриктивные, так
и не рестриктивные уравнения. Примером рестриктивного уравне-
уравнения может служить уравнение B4.1). Найденное в § 24 решение
этого уравнения корректно при условиях B4.3) и B4.4).
Рассмотрим здесь еще один пример рестриктивного уравнения:
Этому уравнению отвечает операторное уравнение
[xu(\, 0) + x(\, 0)]
) + хш(\, 0)+xt{\, 0) + ~ . B7.2)
Так как в уравнении B7.1) производная d*xldkdt3 (максимального
порядка по t) смешанная, то уравнение рестриктивно. Поэтому
условия на оси X мы запишем в виде
Хх{К O)--gQ(k),
0)+*(Х,0) =&(>.), B7.3)
{К 0) + хш (К 0) -!- х, (X, 0) = g2 (I).
Для того, чтобы выяснить, 'сколько еще условий следует задать
на оси /, ищем корни характеристического уравнения
Этими корнями,являются операторы
-|, is, -is.
Так как лишь один из них (первый) — логарифм, то достаточно
одного условия на оси t:
* @,0 = 0@- B7-4)
В силу B7.3), операторное уравнение B7.2) принимает вид •
sx'" + z" + s3z' + s*x = s*g0(l) + sg1(l)-\-g2(Vrsel-l, B7.5)
а условие B7.4) записывается (в операторной форме) в виде
Зная go(k), giO-), g2m и v, можно решить уравнение B7.1) ме-
методом, который мы применяли для решения примеров § 22.

286 Ч. Ill, гл. III. Уравнения в частных производных
Если, например, положить
3 1 B7-6>
^
то соответствующая подстановка в B7.5) приводит к уравнению
. B7.7)
Частное решение этого уравнения легко найти, разбивая его на
два следующих:
sx[" + х\ -Ь s8*; + &*хх = \ (f -V 2s + 3 + ~ ) е\
sx'2" +
Для первого из них находим частное решение (см. § 17),
v ' s+l+ sJ + s2 4 (s—1)
для второго же (см. § 16)
Таким образом, в качестве частного решения уравнения B7.7)
можно взять функцию
xo{4 = x1(X) + x2{\) = ^-[f+^.
Так как только один корень характеристического уравнения
есть логарифм, а именно — 1/s, то общее решение уравнения
B7.7) имеет вид
х()) = се~*» + —— + -
Приспособив это решение к условию
получим с —0 и
Поэтому функция

§ 28. Вопрос об эквивалентности 287
является искомым решением уравнения в частных производных
B7.1), и притом единственным решением, удовлетворяющим усло-
условиям B7.6) [ср. B7.3)].
§ 28. Вопрос об эквивалентности уравнения в частных производ-
производных и операторного уравнения
Уравнению в частных производных B7.1) при условиях B7.3)
соответствует операторное уравнение B7.5). Будет ли последнее-
полностью равносильно первому?
Всякое решение уравнения в частных производных B7.1),
которое удовлетворяет начальным условиям B7.3) и, сверх того,
является параметрической функцией (обладающей соответству-
соответствующими производными), есть одновременно решение операторного-
уравнения B7.5). Если к такому решению прибавить, например,
операторную функцию se~xls, то и сумма будет удовлетворять
операторному уравнению B7.5), ибо функция se~x/s удовлетво-
удовлетворяет однородному уравнению
sx'" +x"-\-s3x'-\-s2x = 0.
Но эта сумма не будет уже параметрической функцией и поэто-
поэтому не может быть решением уравнения в частных производных.
Класс решений операторного уравнения B7.5), следовательно,
шире, чем класс решений уравнения в частных производных B7.1)
при условиях B7.3). Однако если ограничиться классом параме-
параметрических функций, обладающих непрерывными частными произ-
производными
д*х(К, t) д*х (k, t) дЧ (X., t) d*x(l,t)
' дШ3 ' 3k* ' dfl *
то любое решение операторного уравнения B7.5) будет одновре-
одновременно и решением уравнения в частных производных B7.1), удо-
удовлетворяющим условиям B7.3). Следовательно, в пределах этого
класса операторное уравнение B7.5) эквивалентно уравнению
в частных производных B7.1) при условиях B7.3).
Это же справедливо в общем случае.
В пределах класса функций х(\, t), для которых все частные
производные d*+l x(k, t)ldly-dty, входящие явно в уравнение B2.1),
непрерывны в области
D: a<
уравнение B2.1) при дополнительных начальных условиях B6.1)
эквивалентно операторному уравнению B2.3), рассматриваемому/
в интервале а < \ < 3, причем f (X) = {<р (X, /)} -\-
*=о

288 Ч. Ill, гл. III. Уравнения в частных производных
Г. Дёч1) обратил внимание на то обстоятельство, что во мно-
многих приложениях к физике рассмотренный выше класс решений
слишком узок. Поэтому целесообразно расширить класс решений,
требуя для решения существование и непрерывность частных про-
производных, содержащихся явно в уравнении, только внутри обла-
области D. Эти решения должны удовлетворять уравнению внутри
-области D, но не на ее границе. Тогда условия на оси X и оси t
следует понимать как предельные соотношения при t —*0 и соот-
соответственно X—>0. [В таком же виде следует задавать условия
для уравнения теплопроводности (гл. VI ч. II) и условия B4.4)
для уравнения B4.1).] Мы не будем в общем виде разбирать
вопрос об эквивалентности операторного уравнения и уравнения
в частных производных при краевых условиях этого рода. Заме-
Заметим только, что благодаря большой общности понятия предела
в операторном исчислении можно придать краевым условиям для
уравнений в частных производных очень широкое толкование.
§ 29. Дальнейшие примеры решения уравнений в частных
производных
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
I5S >х>0) <29Л)
¦при начальных условиях
х(Х, 0) = я((Х, 0) = я(!(Х, 0) = 0 B9.2)
«и краевом условии
х @, 0 = 0. B9.3)
На оси X здесь заданы условия Коши, так как, согласно крите-
критерию § 26, уравнение не рестриктивно.
Операторное уравнение, соответствующее уравнению B9.1) и
условиям B9.2), имеет вид
Методом неопределенных коэффициентов находим его полиноми-
полиномиальное решение:
Для того, чтобы получить общее решение, ищем корни харак-
характеристического уравнения
Дёч [21].

§ 29. Другие примеры
Ими являются операторы
1 , У~3 1 . /~3
— s, y+1 2"s' y~1 2~Si
из которых только первый есть логарифм. Поэтому общим реше-
решением будет выражение
Так как ж@) = 0, в силу B9.3), то с+/4 = 0, или с= —/*, и
искомым решением будет функция
Учитывая смысл оператора сдвига e-Xs, получаем
Это единственное решение уравнения B9.1), удовлетворяющее
условиям B9.2) и B9.3).
Пример 2. Решить уравнение
д*х д2х . д2х «
40
при условиях
4хи(\,0) = 0 Ахш{\, 0) = 4,
дс(О, 0 = 0, хя @,0-0. B9.4)
Согласно критерию § 26, уравнение теперь рестриктивно.
Поэтому условия на оси X заданы в общей форме. Легко находим
операторное уравнение
s2xU) + Ds4 - 1) х" - 4s*x = 4s*
и его частное решение
Характеристическое уравнение имеет вид
s2m4 + Ds4-1)«2-4s2 =
а его корнями являются операторы
I, —I, 2is, —2is,
из которых лишь первые два — логарифмы.
1" Я» Минусинский

290 Ч. Ill, гл. III. Уравнения в частных производных
Поэтому общим решением будет выражение
В силу B9.4), имеем х@) = д;' @) = 0, откуда сх = са= 1/2. Таким
образом,
А4/3
Это единственное решение, удовлетворяющее условиям задачи.
Пример 3. Решить уравнение
при условиях
п(ь, 0) = е\ Хм(к,0)-2хп(\,0)=\,
) 2t ' )
Так же, как и в предыдущем примере, уравнение рестриктивно
и условия на оси X заданы в общей форме. Имеем операторное
уравнение
и условия, вытекающие из B9.5):
х'{0) = 21\ B9.6)
Для того, чтобы найти частное решение х0 (\), разобьем уравне-
уравнение на два:
Для этих уравнений легко находим частные решения:
х1(к) = A + 2Р)е>, х2A)=-\.
Следовательно,
ХоA) = xi(Х) + *2 (М = С + 21*) *-\
есть искомое частное решение.
Общее решение можно будет получить, решив характеристи-
характеристическое уравнение
(s — 1 J ы2 - 1 = 0.
Оба его корня
1 1
и —-
S—1

§ 30. Общие замечания 291
являются логарифмами, ибо l/(s—1) = {е'}. Поэтому общее реше-
решение имеет вид
X (К) = с, ехр (s-Aj-) + с2 ехр ( - ^) + (* + 2Р) * - X.
словия B9.6) дают
uc что
V—1
окончательно
?то единственное решение, удовлетворяющее условиям задачи.
30. Общие замечания о решении уравнений в частных произ-
производных операторным методом
В рассмотренных до сих пор примерах мы имели дело с по-
показательными функциями
1 *
соответствующими корням
1, -s, ~Vl -/sTT, ~, ^- (ЗОЛ)
характеристических уравнений. Очевидно, что лишь в специаль-
специальных случаях корни характеристического уравнения имеют такую
простую форму.
19*

292 4. Ill, гл. III. Уравнения в частных производных
Возникает вопрос, всегда ли обладает корнями характеристи-
характеристическое уравнение и какую форму имеют последние. Оказывается,
что справедливо такое предложение1):
Если операторное уравнение
было получено из уравнения в частных производных с постоян-
ными коэффициентами
т п
г
то характеристическое уравнение
атит+...+ао = 0
всегда имеет т корней и все корни представимы в виде сходя-
сходящихся рядов с числовыми коэффициентами
C0-2)
х=1
где k — целое неотрицательное число, a q — натуральное число,
не превосходящее т.
Например,
- уТ+1 = _ yT(i +Q1'» =-vTi-i- f у W [ Ч 12+ • • ¦ U
Все операторы (ЗОЛ) можно рассматривать как частные случаи
операторов типа C0.2).
После того как найдены все корни характеристического урав-
уравнения, нужно решить вопрос, являются ли полученные корни
логарифмами, ибо от этого зависит форма общего решения и число
х) Минусинский [331-
(См. примечания переводчика в конце книги.—Прим. перев.]

§ 30. Общие замечания 293
произвольных постоянных в нем. Здесь справедлив следующий
критерий'):
Если kjq> 1, а $кф0, или k/q = \, a §h невещественно, то
оператор w, заданный равенством C0.2), не является логариф-
логарифмом. В остальных случаях ш— всегда логарифм.
Отсюда следует, например, что операторы
s2, s3, s2 + /s, s2+l/s
не являются логарифмами, а все операторы C0.1) — логарифмы?
Если все коэффициенты р» равны нулю, то оператор w сво-
сводится к функции класса К
непрерывной при t > 0. В этом случае ehu = exf разлагается в сте-
степенной ряд
*U=l+rf+^+... • C0.4>
Если k — О, то функцию е^ можно записать в виде
Если k = 1, то
если же А = 2, то
ё**> = exp (>.p
и т. д.
В этих формулах функция e^f задана рядом C0.4), где f
определена рядом C0.3), еР»х —обычная показательная функция,
а остальные множители имеют вид exp^s*/"?).
Можно доказать, что при 0 < а < 1 и любом комплексном ф
справедливо разложение
^^ C0.5)
сходящееся в операторном смысле для всех вещественных X2),
*) Микусинский [33]. [В этой работе Микусинского доказывается:
1) ^sr (л — вещественное и jj — комплексное число) не является логариф-
логарифмом, если г > 1 и 3 =? 0 или же если г=1 и ? невещественно. Во всех
остальных случаях J5s есть логарифм.
k
2) Сумма "?. $р srv- в том и только в том случае является логарифмом,
если каждое слагаемое [$ sr(i — логарифм. Из этих двух предложений и выте-
вытекает указанный критерий, так как бесконечный ряд в C0.2) представляет
параметрическую функцию. —Прим. перев.]
2) Рыль-Нардзевский [47].

294 Ч. III, гл. III. Уравнения в частных производных
Если р вещественно и отрицательно, то предпочтительнее
формула *)
ex
или ей равносильная
exp(Xps»)=
p (Xfis*) = Us" J exp (zt - г*Щ dz C0.6)
I -/со j
"о
В частном случае a =1/2 получаем параболическую показатель-
показательную функцию, и формулы допускают упрощение:
Эту функцию мы подробно разобрали во второй части (§ 29).
Формулы C0.6) и C0.7) применимы, в частности, когда
a = pjq< 1. Если же pjq= 1 и [J вещественно (при невеществен-
невещественном 8 показательная функция не существует), то exp(XBs) есть
просто гиперболическая показательная функция, рассмотренная
в §§ 9 и 10 ч. II.
Из сказанного видно, что операторное исчисление применимо
ко всякому уравнению в частных производных с постоянными
коэффициентами и всегда имеется возможность решить, сколько
корней-логарифмов имеет соответствующее характеристическое
уравнение, а затем найти связанные с этими корнями показатель-
показательные функции. Во многих случаях вид корней характеристиче-
характеристического уравнения и соответствующих показательных функций бывает
сравнительно прост, так что нет необходимости прибегать к об-
общим формулам.
Интересен и важен случай, когда ни один из корней харак-
характеристического уравнения не является логарифмом. Тогда мы
называем операторное уравнение чистым (см. § 6), можно также
назвать чистым соответствующее уравнение в частных производ-
производных, однако следует помнить, что этот термин не симметричен
относительно переменных X и t.
Легко проверить, что во всех случаях, разобранных выше,
чистые уравнения не были рестриктивны. Можно доказать и об-
общую теорему2):
Чистое уравнение никогда не является рестриктивным.
Благодаря этому, в случае чистых уравнений условия на оси X
всегда можно задавать в форме Коши.
») Минусинский [33].
1) Там же [См. примечания переводчика в конце книги. —Прим. перев.]

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
Глава I
ИНТЕГРАЛ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Операторные функции класса (К)
Понятие интеграла в операторном исчислении удобнее всего
вводить, соответствующим образом обобщая интеграл Лебега.
Однако можно обойтись без теории интеграла Лебега, ограничив-
ограничившись специальным классом операторных функций.
Сначала определим некоторый класс функций ДХ, /), который
обозначим через [К].
Функцию /(/., /) будем причислять к классу [К] в области
D: <х<Х<р, 0</<оо,
если выполнены следующие условия:
1. Пересечение каждой частичной области
Do: <х<Х<р, 0<t<to
С любой прямой, параллельной оси X или / (за исключением, быть
может, конечного числа этих прямых), содержит лишь конечное
множество точек разрыва функции /(/., t).
2. В точках непрерывности, принадлежащих области D, спра-
справедливо неравенство
lf(>- 0| <?(*)?(О,
если подходящим образом подобрать функцию g класса К и функ
цию tp (X), обладающую в интервале а<Х< Р не более чем конеч-
ным числом точек разрыва и конечным интегралом J | <р (>.) | d\
а
(в обычном смысле).
Например, функция ДХ,/), равная единице в заштрихованных
треугольниках фиг. 132 и нулю во всей области D вне этих
треугольников, имеет точки разрыва вдоль контуров указанных
треугольников; каждая из прямых
Х = Хо, t = tv / = /„... A.1)

296
Ч. IV, гл. I. Интеграл операторной функции
U
t.
содержит бесконечное множество точек разрыва, а любая другая
прямая, параллельная оси X или t, содержит не более двух точек
разрыва в каждом из треугольников. Всякая ограниченная часть
области D пересекается лишь конечным чис-
числом прямых A.1), так что условие 1 выпол-
выполнено. Далее, очевидно, что выполнено и
условие 2. Таким образом, рассматривае-
рассматриваемая функция принадлежит классу [К].
В частности, любая функция f (I, t),
непрерывная в области D, принадлежит [К].
Каждая функция вида <p(X)g(O, где f H S
обладают свойствами, указанными в усло-
условии 2, также является функцией клас-
са [К].
Будем говорить, что операторная функ-
функция / (X) принадлежит классу (К) в интер-
валеа<Х<,р, если она представима в виде
l fQ>) = q{h(Kt)}, A-2)
фИГ 132 где <7 — оператор, а /, (X, t) - функция клас-
класса [К] в области D(a<X<j3, 0</<оо).
В частности, любая непрерывная операторная функция при-
принадлежит классу (К).
§ 2. Определение интеграла
Под интегралом функции / (X) класса (К) в интервале a < X < ^
будем понимать оператор
B.1)
где /, fl и q связаны соотношением A.2).
При ,3<а мы также принимаем B.1) в качестве определения.
Каждая операторная функция класса (К) представима в виде
A.2) бесконечным множеством способов. В самом деле, при а?С
и а -?ь 0 всегда
где функция f2 (k, t) — ^a(t — x)f1 (X, *) cfx вместе с /2 (X, t) принад-
принадства
B-2)
лежит классу [К].
Наше определение интеграла корректно, если из равенства

§ 3. Свойства интеграла 1ST
следует равенство
р
Л(Х, 0 ^} = <72 { [ h (К О Л} . B.3)
Это действительно имеет место, ибо, полагая
7i = ?. <72 = . B.4)
где av а2 и с ф 0 — функции класса С, имеем, в силу B.2),
t /
\аЛ*- х) /х (X, x)dx=\ а2 (t - х) f2 (X, х) dx B.5)
о о
в области D. Интегрируя обе части B.5) по X и меняя порядок,
интегрирования, мы приходим к равенству
Р t P
Г Г 11' Г i* 1
aiv ~V \ \ /i (X, х)dk I dx = \ a2(t — x) \ /2 (X, x) c(X dx,
О а О а
т. e.
Разделив последнее на с, получим равенство B.3).
Таким образом, мы установили однозначность определения
интеграла.
Если / (>ч) - числовая функция, то данное выше определение
совпадает с обычным определением интеграла. В самом деле,
тогда можно написать f(^) = s{f(l)} и
где интеграл слева понимается в операторном, а интеграл справа—
в обычном смысле.
§ 3. Свойства интеграла
Интеграл операторной функции обладает свойствами, анало-
"ичными свойствам обычного интеграла.
Свойство I. \f(\)dl=O.

298 Ч. IV, гл. I. Интеграл операторной функции
В самом деле,
E
Свойство II. \f(\)d\= -
а Р
Действительно,
Свойство III.
В самом деле, имеем
Свойство IV. \ с/ (X) d\ = с \ / (X) dX для любого оператора с.
а а
В самом деле, используя представление A.2) функции ДХ),
ямеем cf(k) = cq{f1().,t)} и, согласно определению интеграла,
Свойство V.
Действительно, полагая

^ § 3. Свойства интеграла 299
где функции /,(Х, i) и ^(Х, i) принадлежат классу [К], и, исполь-
используя B.4), имеем
4 4^<Х> 0).
где {/, (X, 0} = аг {f, (X, 0} и {g2 (X, /)} = а2 [gl (X, /)}.
Поэтому
и, следовательно,
9 Р
\ U 00 ± 8 (>¦)]dk = 4 { \ Uг (>-, 0 ± ?2(X,
а а
Р Р Р
{ ^ /(* 0А} ± 7 И ga(X> °Л} = \
7
Свойство VI. Если операторные функции /(X) и g(l) обла-
обладают непрерывными производными в интервале а<л.<р, то
9 9
\ Г (X) g (X) Л = / (?) g C) - / (а) g (а) - J / (X) g' (X) dX.
а а
Действительно, используя представления C.1), получаем
5 $ [ \ dfl{X?-x)
а О
О а
= ЯгЯг { \ [h (?,' - t) ffi (?, t) - /i («. <^) ft (a,
Свойство VII. Пусть f (X) — непрерывная операторная функ-
функция, заданная в интервале <х<Х<р. Если значения числовой
функции <p(X)i определенной в [а', Р'] и обладающей непрерыв-

300 Ч. IV, гл. I. Интеграл операторной функции
ной производной, принадлежат интервалу [а, ЭД, то
Р' 9 (У)
<р (о')
В самом деле, имеем
Свойство VIII. Если операторная функция /(X) непрерывна,
то функция
х
имеет производную F' (X) = / (X).
Действительно,
§ 4. Операторные функции двух переменных
Если каждой точке (X, х) некоторой области поставлен в соот-
соответствие оператор, то мы будем говорить, что в этой области
задана операторная функция двух переменных Да., х).
Функцию /(X, х) будем называть непрерывной в прямоугольнике
Х1<Х<Х2, х!<х<х2, D.1)
если существуют оператор q и функция трех переменных Д (X, х, t)
(с числовыми значениями), непрерывная в области
х1<х<х2) 0<*<оо, D 2)
такие, что
/(X,x) = 7{/i(b,*, t)}. D.3)
При произвольно фиксированном х в интервале хх<х<х2 мы
можем рассматривать /(>«, х) как функцию одного переменного X:
g (>)=»/(>>.*)•
Функция g(k) непрерывна в интервале Х1<Х<Х2, если /(X, *)
непрерывна в области D.1). Аналогично, можно считать /(X, х)

§ 4 Операторные функции двух переменных 301
— ¦ ' ¦ ' " ' L- i- ' .
функцией одного переменного х
Л(х) = /(Х, х),
-если произвольно фиксировать X в интервале Х1<Х<Х2. Функция
Л(х) непрерывна в интервале х!<х<х2, если /(X, х) непрерывна
* D 1).
Определение непрерывности операторной функции двух пере-
переменных можно распространить на любую (открытую) область D,
считая функцию непрерывной в D, если она непрерывна в каждом
прямоугольнике D.1), содержащемся в D.
Под частной производной ^/(Х, х) мы понимаем производ-
производную [/(X, %)]' по X при произвольном фиксированном х. Ограни-
Ограничимся случаем, когда эта производная непрерывна. Тогда суще-
существуют оператор q и функция /, (), х, t) (с числовыми значениями),
обладающая частной производной (в обычном смысле)
непрерывной в D.2), такие, что
Докажем еще следующее свойство интеграла:
Свойство IX. Если операторная функция двух переменных
/(X, х) непрерывна в квадрате
сс<Х<р,
и имеет частную производную ьуДх, х), непрерывную в этом же
квадрате, то при произвольно фиксированном Хо (а<Х0<Р) спра-
справедлива формула
Я X
До
Доказательство.
х
/(X, x)dx
х
д
яо

302
Ч. IV, гл. I. Интеграл операторной функции
Свойство IX обобщается на случай, когда пределы интегри-
интегрирования—произвольные дифференцируемые числовые функции.
§ 5. Усечение функций
Покажем, что для функции / (X) @ < X < оо или 0 < X < Х„)
\ f(t), Х,< *<Х2
0, 0<t<X,
н
если f(») принимает числовые значения в интервале [X,, ),].
Смысл этой формулы поясняют графики, изображенные
на фиг. 133 и 134.
fk
_L
Фиг. 133.
Л, Я2
Фиг. 134.
Формула E.1) выражает, таким образом, замену значений
функции / нулем за пределами произвольного интервала (*.,, Х2),
т. е. замену / усеченной функцией.
При доказательстве этой формулы допустим сначала, что
Х^О. Так как e~Xs = s{h(',t)}, где
О при 0 < t < X,
то
Да
\ А(Х, t)f(k)d\] =
,т,
где
f(t) при 0</<Х,
о > о<х<л
Разбиением интеграла в формуле E.1) на два интеграла,
1 О О
случай Xj > 0 приводится к уже разобранному Xt = 0.

§ 5. Усечение функций 303-
Если f(t) периодическая функция с периодом 2Х,,, то имеет
место формула
2i
e~uf(k)dk
В самом деле, интеграл в числителе представляет функцию,
усеченную правее точки t = 2),0, т. е. кусок, соответствующий
одному периоду функции, а деление на 1 е~2х<>$ равносильна
повторению этого куска бесконечное число раз с интервалами 2V
Таким образом, например,
J e~issiakdk
и интегрируя дважды по частям, приходим к известному уже
соотношению {sint} = \/(s2-\- \) (это, очевидно, не самый простой
вывод указанной формулы).
Другую функцию представляет выражение
1-е-27"
График этой функции изображается синусоидой, усеченной правее
точки t = тс и затем повторенной бесконечное число раз с интерва-
интервалами 2*. Такой график мы привели на фиг. 96 (§ 15 ч. II).
Подсчитывая интеграл в числителе, согласно правилам инте-
интегрирования, находим
и, следовательно,
1 l+g-
в соответствии с формулой, полученной в § 15 ч. II.
Функция
Р/2
1 X
принимает значение 1 в интервале 0 < t < р/2, а также в каждом
интервале, смещенном на л,3, т. е. в интервалах rip < t < Bл 4-
+ 1)Р/2 (я = 0, 1, ...).

304
Ч. IV, гл. I. Интеграл операторной функции
Но
и, значит,
р/2
„-3s/2
в соответствии с формулой в § 15 ч. II.
§ 6. Интегральная форма частного решения
логарифмического дифференциального уравнения
Предположим, что операторное уравнение
= 0 F.1)
логарифмическое, т. е. число корней его характеристического
уравнения равно т и все они логарифмы. Тогда общее решение
дается выражением
х (X) = с,х, (X) + ... + стхт (К),
где cv ...,ст — произвольные операторы, а функции л?!()>.), •••
...,хтA) имеют вид \*ekw. Подберем постоянные cv...,cm
таким образом, чтобы выполнялись условия
х@) = 0, *'@) = 0, ..., хС"-2)@) = 0, дс<
С этой целью решим систему уравнений
сЛ@) + ... +стхт@) =0,
=1. F.2)
ci*i '@)+ ...
cv*i (°) + • • •
Обозначая че^ез D определитель
T2)@) = 0,
и через Dlt...,Dm его миноры, соответствующие элементам
последней строки, находим
С1 — р » • ' • >Ст ~ [) *

§ 6. Частное решение логарифмического уравнения
305
Как известно (ч. III, § 8), определитель D всегда отличен от нуля.
Поэтому искомое решение имеет вид
.m _D1xI(X)+...+Dmxm(l)
и легко заметить, что числитель представляет собой разложение
определителя
МО) ---^(О) !
Е(\) =
х1 (к) ... хп,(X)
который получается из определителя D заменой последней строки
ia х, (/.), ..., хтA).
И гак, решение х(\) можно записать как частное двух опре-
определителей
--
D •
Рассмотрим теперь выражение
х
где /(х) —любая непрерывная операторная функция. Используя
свойство IX интеграла (§ 4), а также равенства F.2), легко
получаем
F.3)
"-'> (Х-
f (X).
ледовательно,
(X -
a J (X).
Так как функция х(Х) удовлетворяет уравнению F.1), то вы-
выражение в квадратных скобках тождественно равно нулю, и, зна-
20 Ян Минусинский

306 Ч. IV, гл. I. Интеграл операторной функции
чит, х0 ().) является решением неоднородного уравнения
С помощью определителей D и Е (х) мы можем записать это
решение в виде
^M^jr9*- F-4)
Таким образом, в случае логарифмического уравнения всегда
существует решение, если только функция /(\) в правой части
непрерывна.
Заметим, что решение х0 (к) удовлетворяет начальным условиям
как это вытекает из формул F.3) и F.4).
§ 7. Приложение к уравнению колеблющейся струны
Для уравнения
x"-a2s2x = 0 G.1)
выражение
есть общее решение, а определители D и Е(\) имеют вид
1 1
— as as
= 2as,
g
1 1
_ gaXj g—
Отсюда сразу находим функцию
~Д AS _
удовлетворяющую уравнению G.1) и условиям
ж@) = 0, ж'@)=1.
Неоднородное уравнение
x"-a.2s2x = f{\) G.2)
обладает поэтому частным решением

§ 7. Уравнение колеблющейся струны -36?
общим решением вида
л
х (X) -¦= qe—А» + c2e^s +~ \ f (%) sh [г (X. - х) s] Л. G.3)
о
. 25 ч. II мы рассматривали случай, когда
/(X)=-«2S'f(X) (a>0), G.4)
*@) = 0, *(Хо) = О, G.5)
где <р ().) — любая непрерывная числовая функция. Для того чтобы
приспособить постоянные с, и с, в формуле G.3) к условиям G.5),
мы должны решить систему уравнений
Cle-a;-o' + c2e^os — a { о (%) sh [a (\0 — х) s] dx = 0.
о
После вычисления значений сг и с2 и их подстановки в G.3) по-
получаем, учитывая равенство G.4),
'¦О
a sh > P
х № = ih^r) ?(х) sh [a (x° ~х) s] dx -
о
;.
-а С <p(x)sh[a(X-x)s]rfx. G.6)
6
"О выше мы нашли решение этой же задачи в форме
вдположив притом, что —<р ( — /-) = <р ()ч) = <р ()ч + 2Х0). Так как
чйденное решение единственно, то
К этому же равенству можно прийти, исходя непосредственно
из формулы G.6), однако с помощью достаточно кропотливых
вычислений.
Дадим другое применение формулы G.3). Решим уравнение
в частных производных
Ж«--Тйг=0 @<Х<Хо, 0<*<ооХ G.7)
jpH начальных условиях
x(k,O) = ho(X), х{(/.,0) = Л1(Х) G.8)

V. IV, гл. I. Интеграл операторной функции
и краевых условиях
x(O,f) = vo(t), *л@,0 = °1@- G.9)
Этой задаче отвечает операторное уравнение
*--ss*--sA0(X)-A1(X) G.10)
с условиями
х@) = »0, *'@)-о,. G.11)
Общее решение имеет здесь вид
х
х (X) = схе-* -4- c2e*s - ^ [Ао (*) + /А, (х)] sh [(X- х) s] Л, G.12)
о
а условия G.11) дают
откуда
2 — 2s ' 2 ~ 2 ^ 2s '
Подставив эти значения в G.12), получим после простого преоб-
преобразования
х
х (X) = у @О~foi) e-'s4 у $ в"(д~") S [Л»W + №» (х)^dx + Т ^У(Х)>
о
где
у (X) - о0 + tox - 5 в— [Ао (х) + tt2 (x)] Л.
о
Функция дс(Х) будет в том и только в том случае параметриче-
параметрической, если параметрична функция #(X) = {j/(X, t)} и если, сверх
того,
у (к, 0 = 0 @<*<Х). G.13)
Но
@<х<0-

§ 7. Уравнение колеблющейся струни 309
и, следовательно,
У (X, t) = V0 @ -; J »i (X) <*Т - Ло (X) - \ hx (X) <*Х @ « < X).
о о
Так как X изменяется в интервале 0<Х<Х0, то условие G.13)
дает
$ $ G.14)
Это необходимое и достаточное условие для того, чтобы решение
G.12), удовлетворяющее равенствам G.11), было параметрической
функцией.
Отсюда следует, что для уравнения в частных производных
G.7) условия G.8) и G.9) не могут быть вполне произвольными,
а должны удовлетворять условию G 14). Ввиду этого достаточно
наложить, например, условия G.8) и какое-либо из условий G.9),
тогда второе из них уже будет определяться соотношением G.14V
Пример. Найти функцию x(),t), удовлетворяющую урав-
уравнению
и условиям
х(к,
Из соотношения
—
0)
G
ил
.14)
= 0 @<Х<
-. *<Р.0-<-
0</
Хх{0,
без труда вычисляем
xt (X, 0) = ЗХ2 - 2Х,
<
0
сю)
= 0.
G-
G.
15)
16)
и операторное уравнение имеет, следовательно, вид
х" — s2x = — sX2 - ЗХ2 Н- 2Х.
Однако определение частного решения из общей интегральной
формулы G.6) здесь нецелесообразно, лучше найти полиномиаль-
полиномиальное решение. Оно имеет вид
х0 (X) = ЗРХ2 -- /X2 - 2РХ + 21s f 6/*,
а общее решение соответственно
х (л) = cte-Xs + c2e?s -h л:0 (к)
Для того, чтобы это решение было параметрической функцией,
мы должны положить с2 = 0. Постоянную сх определяем из на-
начального условия х@) = 6/4, т. е. из соотношения
с,-| 2/» :-6/4 = 6/4,

310 Ч. IV, гл. I. Интеграл операторной функции
откуда
Поэтому
х (X) = - 2/3е-'5 + 31V + /X2 - 2/2Х + 213 + 61*,
и, учитывая смысл оператора сдвига, получаем
Это единственная функция, удовлетворяющая в области
0<Х<оо,
уравнению G.15) и, кроме того, условиям G.16).
Замечание. Условие G.14) достаточно для того, чтобы реше-
решение операторного уравнения G.10) было параметрической функцией,
но оно не обеспечивает дифференцируемое™ этой функции
в обычном смысле. В случае решения уравнения в частных про-
производных G.7) следует поэтому проверить дифференцируемость
найденной функции. Если она недифференцируема, то при задан-
заданных начальных условиях не существует вообще решения уравне-
уравнения в частных производных, и задача имеет только в том случае
математический смысл, если ее рассматривать с операторной точки
зрения.
§ 8. Применение бесконечных рядов
и определенных интегралов
Формула F.4) применима лишь тогда, когда данное уравнение
логарифмично. В других случаях можно иногда успешно применять
разложения в (бесконечные) ряды или метод определенных ин-
интегралов.
Уже во второй части (§§ 40 — 46) мы имели дело с разложе-
разложениями в тригонометрические ряды. Здесь мы приведем другие
примеры.
Пример 1. Решить уравнение
дЧ -Й--0 (_1<х<1, 0</<оо) (8 1)
д\2
при условиях
x(l, 0) = 0 xt(k, 0) = 0, xlt{\, 0) = -^. (8 2)
Операторное уравнение имеет вид

§ 8. Применение рядов и интегралов 311
Разлагая функцию 1/A—X) в степенной ряд
подыскивая полиномиальное решение хп(к) уравнения
= \n (я-=0, 1, ...).
входим
"' >31П "! /6.n_2_
nI <Л (П_2)| ' A +•••
... 4- ( _ 1 )cn-u/a j?.
Нормальным решением уравнения (8.3) будет выражение
>0 + ...=co + c1X+..., (8.4)
_де
v=0 v=0
Z
,3v+2-|
Г J
Очевидно, что ряды в фигурных скобках { } равномерно сходятся
в каждом интервале [О, ^о] и, следовательно, коэффициенты сп
имеют смысл. Можно доказать, что ряд с0 -\- сг\ -г ... сходится в опе-
операторном смысле при | X j < 1. Отсюда вытекает, что он в действи-
действительности (а не только формально) представляет операторную
функцию, удовлетворяющую уравнению (8 3). Поэтому решение
уравнения в частных производных (8.1) имеет вид
п=0 \=0
Нетрудно показать, что это единственное решение уравнения (8.1),
удовлетворяющее условиям (8.2), ибо характеристическое урав-
уравнение
имеет корни — is*n и гУ/2, которые не являются логарифмами.

312 Ч. IV, гл. I. Интеграл операторной функции
Замечание. Постоянные с0, с,, с2, .. • в формуле (8.4)
не могут быть непосредственно определены подстановкой ряда
в уравнение
и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях \. Тогда
мы получили бы, правда, определенную рекуррентную формулу,
однако возникли бы затруднения с определением двух начальных
коэффициентов с0 и cv которые нельзя фиксировать произвольным
образом.
Пример 2. Решить уравнение
4? Й ? оо) (8.5)
при начальных условиях
х(Х,0) = 0,
х,(\,0) = 0,
*„(*, 0) = 0, (8.6)
е-1-А
Операторное уравнение имеет вид
s*x = -*i^- . (8.7)
Правая часть этого уравнения представима в форме интеграла
оо
1
Можно сразу написать решение уравнения
Им является функция (см. ч. I, § 25, и ч. III, § 17)
.-A+Х)о
Интегрируя эту функцию по параметру а в пределах от 1 до ее,
получаем формальное решение уравнения (8.5),
со
X (А) =
1

§ 8. Применение рядов и интегралов 313
или же
х(к, 0 = y \ ~аг e-U-rWisinat-atcosat)da.
\
Нетрудно проверить равномерную сходимость этого интеграла
и его производных по \. Поэтому найденное выражение не только
формально, но и фактически удовлетворяет данному уравнению.
Это единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее
условиям (8.6), ибо характеристическое уравнение
имеет (двукратные) корни — is, is, которые не являются лога-
логарифмами.

Глава II
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 9. Преобразование Лапласа
В последнем примере предыдущего параграфа мы имели дело
с несобственным интегралом (8 8), который нужно понимать как
предел
hm
Аналогично следует понимать и другие несобственные интегралы.
В частности,
= hm С
где f — произвольная функция класса К
Но в силу результатов § 5,
и в пределе
(9.1)
Этот предел, очевидно, всегда существует, какую бы функцию
f(t) мы ни взяли в классе К
Представим себе теперь (временно), что буква s в интеграле
(9.1) является не оператором дифференцирования, а обыкновенным
комплексным переменным. Тогда этот интеграл, если только сохра-
сохраняется его сходимость, будет изображать аналитическую функцию

§ 10. Преобразование Лапласа и операторное исчисление JM5
переменного s. Таким образом, каждой функции /, для которой
рассматриваемый интеграл сходится, можно поставить в соответ-
соответствие аналитическую функцию
^ (9.2)
Это соответствие называют преобразованием Лапласа.
§ 10. Преобразование Лапласа как основа операторного
исчисления
Применим преобразование Лапласа к решению обыкновенного
дифференциального уравнения
x'{t)-x{t) = J (ЮЛ)
при начальном условии х @)=1.
Очевидно, справедливо равенство
оо оо
e~st [*' (t)-x(t)]dt= ^ e-ste'dt A0 2)
(символ' s мы рассматриваем здесь как комплексное переменное).
Интегрируя по частям, получаем
оо
] + ^ e~stx(t)dt.
о
В предположении, что функция x(t) не возрастает слишком
быстро, будем иметь [e~stx(t)]™= — х@)— — 1 и
С e-slx'{t)dt= — l+sX(s),
о
где
X(s)= \ e~stx(t)dt.
Принимая во внимание, что
о
можно записать уравнение A0.2) в виде

316 Ч. IV, гл. II. Интегральные преобразования
откуда легко вычисляется
Задача сводится теперь к нахождению функции x(t), которая
удовлетворяла бы интегральному уравнению
Это можно сделать применением так называемою обратного
преобразования
где интегрирование производится вдоль прямой, параллельной
мнимой оси и расположенной справа от нее. Вычисление с помощью
вычетов дает
Этот пример показывает, что если отвлечься от выполнения
самих преобразований, то вычисления, с формальной точки зрения,
напоминают метод решения дифференциальных уравнений, приве-
приведенный в первой части настоящей книги.
С помощью преобразования Лапласа можно решать и уравне-
уравнения в частных производных. Формальные вычисления будут ана-
аналогичны вычислениям, которые мы приводили во второй и третьей
частях настоящей книги в связи с применявшимся там методом,
причем теперь добавочно появляется преобразование Лапласа
в самом начале вычислений и обратное преобразование для на-
нахождения окончательной формы решения.
Метод преобразования Лапласа (или ему родственные) приво-
приводится в большинстве современных учебников операторного исчис-
исчисления.
§ 11. Сравнение непосредственного метода и метода
преобразования Лапласа
Формальное сходство метода преобразования Лапласа и непо-
непосредственного метода, изложенного в настоящей книге, можно
уточнить математически установлением определенного изомор-
изоморфизма. Мы не будем приводить здесь определение этого достаточно
абстрактного понятия, а только на примере поясним, о чем идет
речь.

§ 11 ¦ Сравнение двух методов 317
Выполнив преобразование Лапласа функции е', мы получили
функцию l/(s— 1). Говорят, что функция l/(s - 1) является преоб-
преобразованием функции е', и записывают это обычно в форме
С другой стороны, в непосредственном методе имела место
формула
В формуле A1-1) буква s — комплексное переменное, а в формуле
A1.2) —оператор дифференцирования. Аналитической функции
l/(s —1) в формуле A1.1) отвечает оператор l/(s—1) в формуле
A1.2). В формальных вычислениях мы обращаемся с символом
l/(s—1) одинаково, безотносительно к тому, означает ли он ана-
аналитическую функцию или же оператор. В этом, грубо говоря, и со-
состоит изоморфизм.
Несмотря на формальное сходство метода преобразования
Лапласа и непосредственного метода, они не эквивалентны. Если,
например, функцию е1 в правой части уравнения (ЮЛ) мы заме-
заменим функцией Bt — \)е* (см. ч. I, § 27, пример 1), то примене-
применение преобразования Лапласа окажется невозможным ввиду расхо-
расходимости интеграла
" e-stBt- \)e'2dt.
.Метод преобразования Лапласа ограничивает, таким образом,
пределы применения операторного исчисления классом функций
/(/), для которых интегралы
сходятся.
Однако даже в случае, когда мы в правой части уравнения
A0.1) сохраняем функцию е1, метод преобразования Лапласа не
дает полного решения задачи, ибо на время вычислений необхо-
необходимо предположить, что искомая функция не возрастает слишком
быстро, или, говоря точнее, допускает преобразование. Поэтому
неизвестно, является ли найденное решение единственным. Ана-
Аналогично, в случае уравнений в частных производных метод пре-
преобразования Лапласа не дает ответа на вопрос о единственности
найденного решения.

318 Ч. IV, гл. II. Интегральные преобразования
§ 12. Родственные методы
Существует много учебников операторного исчисления, в ко-
которых изложение основано на преобразовании
A2.1)
где р — комплексное переменное. Преобразование A2.1) отличается
от преобразования Лапласа (9.2) тем, что перед интегралом
имеется еще множитель р. Использование буквы р вместо s не
имеет никакого математического значения и является только
результатом установившейся традиции. Таблицы для преобразова-
преобразования A2.1) получаются из таблиц преобразования Лапласа заменой
s через р и приписыванием в каждой формуле множителя р.
В некоторых книгах исходным пунктом бывает преобразование,
обратное к A2.1):
a+tco
a — ico
Интегрирование в этой формуле выполняется вдоль прямой, па-
параллельной мнимой оси, подходящим образом подобранной к дан-
данной функции F (р).
Кроме того, существуют различные вариации этих методов.
Например, некоторые авторы вводят наряду с множествами функ-
функций вещественного переменного t и аналитических функций комп-
комплексного переменного р еще множество операторов, которое
определяется изоморфизмом с рассматриваемым множеством ана-
аналитических функций. Все эти методы мы уже не будем обсуждать,
отсылая читателя к литературе, приведенной в конце книги.

ЧАСТЬ ПЯТАЯ
ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ
I. Специальные функции
1. Гамма-функция Эйлера:
Г(Х) = ^ tx~ * е~* dt (X > 0) (I, § 54)
о
) = ХГ(Х), Г(п)--=(п —1)! (л=1,2, ...)
2. Функция ошибок:
еГЙ= Л')'1* (Ь §55)
о
cerf/=l — erf/
S. Функции Бесселя:
оо
v~:0 (и, §5i)

320 Ч. V. Формулы и таблицы
^^2vi(i+v)!
со
inf2v
^ (« = 0.1.2...., (II.S53)
v=0 • v -г /•
И. Формулы из операторного исчисления
о
(«-число) (I, §19)
2. s{a(t)} = {a'(t)}+a@) (I. § 21)
{a>n> @}=-sn{a@>—sna@)— ... — sa("-2> @)—a1") @) (I, § 22)
3. Г{а@}={е*'а(/)Ь Г /?(s) = /?(s-a) (II, § 48)
4. A {a (/)} = {_ /a @} (II, §62)
5. «~"tf «)> = {.„ » —\</j (II>§10)
^<<<Х2,| (IV, §5)
жала J v » а /
вне этого интервала
6- y = {l} .(I, §21)

//. Формулы из onepamopHOio исчисления 321
_L- = {e"'} (I. § 24)
A. § 55)
-I =U=e-*) (I, §55)
у S + a (у Kl
Ys+a \/<z /
s*—f
(a>0)
s "
(I. § 26)
(II. § 51)

Ч. V.Формулы и таблицы
(n=l,2, ...) A1, §53)
(п=0, 1, 2, ...)
ch 2
-L
^l-j A__ a/, (
A__
V s2 -j- aa
exp X. (s— /s
Ji (w
у s2 — a2
exp X (я-чЛГ
= «-<*-/-¦¦> — e^
lV<» + 2A(
exp (—X
-I ,
exp_(_-XLVrs2T&s)_
1^4* +2os ~
0)
0) (II. § 53)
. § 54)
, (i
при O^t < X,
Л <t
exp Я(s
0 при
a2) »
0 pV,(
a t

//. Формулы из операторного исчисления
323
ехр( —
при
< х,
exp\f—lV(s— аJ +|
при
e'^s^3
7.
(>. > 0)
(II, §
LЛ-1
(n = l, 2, ...) A1, § 63),
ТsinР*-Вм(?2/2)''2cos•'
= 2. 3, ...)
2/2—1
= 2, 3, ...)
О И 1
——
(n = 2.3, ...)
n=2
n=3
n=4
n=5
Лп {х)
1
1
4"C-*)
5
Bn(9C)
0
1
3
2
T(-i)
21*

324
V. V. Формулы и таблицы
п-в
п=7
п=8
п=9
п=10
Ап(х)
.;. (9-4*4-)
пC3-15*+Т*1-зТ5**)
-Нт-'-^-Л")
j2g F435-3003*+
r'g(l2 155-5720*+
, 1001 „ 44 . 1 .
+ з "-э^+бз**)
Вп(дг)
^C3-4*+!*.)
1 /429 55 3 „ 1 ч
т(-2~Т'+Т^-взо**)
rLF436-8Stef 22*1-^,1)
+'5^-2;-+^-)
III. Электротехнические приложения
Я. Уравнение электрической цепи4
Z(/-7)=?, (I, §§27 и 33)
— , Z/ = L/@)—7r^- (элементарная схема) (I, §§26 и 27)
cs у (U)
(последовательное соединение) (I, § 33)
1 1 1 -
-=- = =- + -=-, / = /г + /2 (параллельное соединение)
2. Синусоидальный ток:
/is — /2<v
(I. § 84V
2 («О "
Z0 — \Z(<at)\ [полное (кажущееся) сопротивление]
6 = argZ(u>0 (угол сдвига)
3. Таблица, простейших четырехполюсников и их матриц

A О
-, о
* О -1 /
С1
>0 1 '
С ")
С Й
\0 f
A О
Cs 1
Г z)
:о
I M M 1
I i_ i^. I
\ Ms M '

326 Ч. V. Формулы и таблицы
IV. Таблицы функций
1. Гамма-функция Эйлера Г (К)
О 123456789
2,0 1,0000 0043 0086 0131 0176 0222 0269 0316 0365 0415
1 0465 0516 0568 С621 0675 0730 0786 0842 0900 0959
2 1018 1078 1140 1202 1266 1330 1395 1462 1529 1598
3 1667 1738 1809 1882 1956 2031 2107 2184 2262 2341
4 2422 2503 2586 2670 2756 2842 2930 3019 3109 3201
5 3293 3388 3483 3580 3678 3777 3878 3981 4084 4190
6 4296 4404 4514 4625 4738 4852 4968 5085 5204 5325
7 5447 5571 5696 5824 5953 6084 6216 6351 6487 6625
8 6765 6907 7051 7196 7344 7494 7646 7799 7955 8113
9 8274 8436 8600 8767 8936 9108 9281 9457 9636 9817
С помощью формулы Г ().-)-1)=>.Г(>.) вычисляются значения, отсутствую
щие в этой таблице.
2. Функция ошибок erf X
0 123456789
0,0 0,0000 0113 0226 0338 0451 0564 0676 0789 0901 1013
1 1123 1236 1348 1459 1569 1680 1790 1900 2009 2118
2 2227 2335 2443 2550 2657 2763 2869 2974 3079 3183
3 3286 3389 3491 3593 3694 3794 3893 3992 4090 4187
4 4284 4380 4475 4569 4662 4755 4847 4937 5027 5117
5 5205 5292 5379 5465 5549 5633 5716 5798 5879 5959
6 6039 6117 6194 6270 6346 6420 6494 6566 6638 6708
7 6778 6847 6914 6981 7047 7112 7175 7238 7300 7361
8 7421 7480 7538 7595 7651 7707 7761 7814 7867 7918
9 7969 8019 8068 8116 8163 8209 8254 8299 8342 8385
1,0 8427 8468 8508 8548 8586 8624 8661 8698 8733 8768
1 8802 8835 8868 8900 8931 8961 8991 9020 9048 9076
2 9103 9130 9155 9181 9205 9229 9252 9275 9297 9319
3 9340 9361 9381 9400 9419 9438 9456 9473 9490 9507
4 9523 9539 9554 9569 9583 9597 9611 9624 9637 9649
5 9661 9673 9684 9695 9706 9716 9726 9736 9745 9755
6 9763 9772 9780 9788 9796 9804 9811 9818 9825 9832
7 9838 9844 9850 9856 9861 9867 9872 9877 9882 9886
8 9891 9895 9899 9903 9907 9911 9915 9918 9922 9925
9 9928 9931 9934 9937 9939 9942 9944 9947 9949 9951
2, 0,9 9532 9702 9814 9886 9931 9959 9976 9987 9993 9996
3,0,99 9978 9988 9994 9997 9998 9999

IV. Таблицы функций 327
0-
0, +t
1, +0,765
2, 224
3, -0,260
4, 397
5, 178
6, +0,151
7, 300
8, 172
9, -0,090
10, 246
11, 171
12, +0,048
13, 207
14, 171
15, -0,014
16, 175
17, 170
18, 013
19, +0,147
1
+0,998
720
167
292
389
144
177
299
148
114
249
153
070
213
157
035
183
159
+005
156
3.
2
990
671
ПО
320
377
ПО
202
295
122
137
250
133
091
217
141
054
189
147
+ 024
165
Функция Бесселя Уа(
3
978
620
056
344
361
076
224
228
096
158
248
112
111
218
125
074
194
134
+ 042
171
4
960
567
003
364
342
041
243
279
069
177
243
090
130
218
107
092
196
119
+060
176
5
938
512
-048
380
321
007
260
266
042
194
237
068
147
215
088
109
196
103
+077
179
6
912
455
-097
392
296
+027
274
252
015
209
228
045
163
210
068
125
195
086
+093
180
7
881
398
— 142
399
269
+060
285
235
-013
222
216
021
177
203
048
140
191
069
+ 109
179
8
846
340
-185
403
240
+092
293
215
-039
232
203
+002
189
194
027
153
186
051
+ 123
177
9
808
282
—224
402
210
+ 122
298
194
—065
240
188
+025
199
184
006
165
179
032
+ 135
173
20, 167 160 150 140 128 115 101 086 070 054
0
0, +0,000
1, 440
2, 577
3, 339
4, -0.С66
5, 328
6, 277
7, 005
8, 1-0,235
9, 245
10, 043
11, -0,177
12, 223
13, 070
14, +0,133
15, 205
16, 090
17, -0,098
18, 188
19, 106
20, +0,067
1
050
471
568
301
103
337
256
+025
248
232
018
191
216
049
149
201
072
114
187
090
083
4.
2
100
498
556
261
139
343
233
+054
258
217
-007
204
206
027
163
196
053
128
184
074
098
Функция Бесселя Jti
3
148
522
540
221
172
346
208
+083
266
200
-031
214
194
005
175
188
034
141
181
056
112
4
196
542
520
179
203
345
182
+ 110
271
182
-055
222
181
+017
185
178
014
153
174
039
125
5
242
558
497
137
231
341
154
+ 135
273
161
-079
228
165
+038
193
167
-006
163
167
021
136
(*¦)
6
287
570
471
095
257
334
125
+ 159
273
140
-101
232
149
+059
200
154
-025
172
157
003
146
7
329
578
442
054
279
324
095
+ 181
270
117
-122
233
131
+079
204
140
-044
179
146
+015
155
8
369
582
410
013
298
311
065
+201
264
093
-142
232
111
+098
207
125
-063
184
134
+033
162
9
40Ь
581
375
—027
315
295
035
+219
256
068
-160
229
091
+ 117
207
108
—081
187
120
+050
167

328 Ч. V. Формулы и таблицы
\
0,0
2
3
4
5
6
7
8
9
1,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2,0
2
3
4
5
6
7
8
9
3,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
J0(i\)
1,000
003
010
023
040
064
092
126
167
213
266
326
394
469
553
647
750
864
990
2,128
280
446
629
830
3,049
290
553
842
4,157
503
881
5,294
747
6,243
785
7,378
8,028
739
9,517
10,369
11,30
12,32
13,44
14,67
16,01
17,48
19,09
20,86
22,79
24,91
5. Функции Jo(&)
-iV, (H)
0,000
050
101
152
204
258
314
372
433
497
565
637
715
797
886
982
1,085
196
317
448
591
745
914
2,098
298
517
755
3,016
301
613
953
4,326
734
5,181
670
6,206
793
7,436
8,140
913
9,76
10,69
11,71
12,82
14,05
15,39
16,86
18,48
20,25
22,20
и
?
5,
6,
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
,0
2
3
4
5
6
7
8
9
,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(Л)
-МЛ)
27,24
29,79
32,58
35,65
39,01
42,69
46,74
51,17
56,04
61,38
67,23
73,66
80,72
88,46
96,98
106,29
116,54
127,79
140,14
153,70
168,6
185,0
202,9
222,7
244,3
268,2
294,3
323,1
354,7
389,4
427,6
469,5
515,6
566,3
621,9
683,2
750,5
824,4
905,8
995,2
1093,6
1201,7
1320,7
1451,5
1595,3
1753
1927
2119
2329
2561
-Hi (Л)
24,34
26,68
29,25
32,08
35,18
38,59
42,33
46,44
?0,95
55,90
61,34
67,32
73,89
81,10
89,03
97,73
107,30
117,82
129,38
142,08
156,0
171,4
188,3
206,8
227,2
249,6
274,2
301,3
331,1
363,9
399,9
439,5
483,0
531,0
583,7
641,6
705,4
775,5
852,7
937,5
1030,9
1133,6
1246,7
1371,0
1507,9
1658
1824
2006
2207
2428

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
ЧАСТЬ [
Глава 1
Стр. 12. 1 и 2: t-
Зи4: -|.
5 и 6: -- (sh f—sin t).
Стр. 12. . принадлежит классу С, ибо /+ 1 > 0.
не принадлежит классу С (разрыв при t=l).
( ——
. принадлежит классу С, ибо 1ф1.
-J —( принадлежит классу С, ибо е( > 0 и е~( > 0.
—( —( не принадлежит классу С (разрыв при *=0).
не принадлежит классу С ( разрыв при t = Bk+I) -„ .
k = 0. I, 2, ...) .
-.— не принадлежит классу С (разрыв при t =
k = 0, I, 2. ...).
_— принадлежит классу С, ибо 2 + cosf > 0.
принадлежит классу C,h6ocos/=?—i при вещественном»-
i + cos t
Стр. 18. 2. A) J-ip

330 Ответы к упражнениям
Стр. 19. 1. A) it— isin nt\ .
Глава III
Стр.44. 1. A) {iV'-sIn-
B) {е3' + 2е-2<}.
C)
D) {4 + < + 2cos<—sin<}.
E) {l-e-^-cos^Z-^
F) s2— l+{sin/}.
G)
Глава IV
Стр. 49. 1. A) x=j^
B) x={-g sin*--^-
О) x={-A+11(.e2(+|C0S,_isin,}.
D) x=
E) *= {-J- ^+A—f) (<-l)+(^A_v)e-(+ *. cos^-g
F) x={e'}.
G) x=|-^(/«—sh^.sin
1 a»
Г 1
L2-—

¦* *"r
Offieetmc к упражнениям 301
——- -—*-»- -
(9) x=-[?-2a+-g./«
86ch2/-
Стр. 50. 2. A) x={2—2^-'—it-e-%
B) ^{^(cos/ —2sin/)}, у = {e1 (cos / + 3 sin <)}•
C) x=z |_A + l|cos2/ — 3sin?/| ,
D) X={—J. + e'-gi^-
2 . 22 ,, 4 1
E) x^-^e' + -\ e*'
4/23
__5_
8 /23
F) *= j_6-4/~*<4i^e'/2
G) x={2—ef}, y = {—
(8)

332 Ответы к упражнениям
Глава V
Стр. 69.
1. Для фиг. 16:
E(L^ + 2R)(R1Cs+\)
г (к + Hi) LCb* + [(R + /ех + /?,) L + RRl (/? + 2tf2) C]s + R(R + 2R1 + 2Rt)
Для фиг. 17:
2. Предполагаем, что тг-^О, -7>-фО, -^ФО, ЬфО, /?,#0,
Ci С2 С3
Тогда
3. /—/! —/2=0,
/1-/3-/7=0,
/2-/4-/8=0,
J_
^ (/ - 7) + /?г/2 + /?4/4 + ±- (/в- 7.)=?.
^'i + 'cj(/в
Стр. 74.
1. Для фиг. 29-
Для фиг. 30-
Z=;
Для фиг. 31:
, (Z.Zj-Y ZtZi + Z2Z4) (Z3Z5
(Z
(Zx + Z2) (ZSZO + Z,Ze + ZbZe) + (Z5 + Ze)
. G, + 72) 4- z4 (z, + z2) /4 z3 (Z5 4- z6) 78 + ztze G5 + 76)
+ ZZ + Z

Ответы к упражнениям
333
Для фиг. 32.
т
a (ZsZe+ Z42. + Z4Z5
ZiZzZ^ZsZt-
Z^Z5Z6 {ZjtZs "b
bZe~
-'-Z^a + Z.Z,,)
4±/+T6)
I 7 7 I 7 7 \ "
j -j- 6163 ~T ?.\?.l)
Для фиг. 33:
7
(
= 2 _i
Z
!Z2 + Z2Z3 +
+ Z2Z3 +~Z1Z3) (Z5Ze
^
Z3 ZsZt + Z^Za + Z4Z5
z1zb)[z1(Zl±zi) T2 + z,z3 G,
e + ZAZe + ZXZ5) + Z
+ z3) G_4+7j +76)
+ Z3)
(Z, + Z3) "
3.
_ Zt
4.
Z^s + ZzZs + i
3
9 „ 6
Zi + Z3Z5
ф .„г
(Решение справедливо при произ-
произвольно фиксированной системе еди-
единиц, например: генри, ом, фарада.)
Это решение не единственно, ибо
каждое омическое сопротивление можно, как мы видели в § 38 ч. 1.
заменить эквивалентной схемой, изображенной на фиг. 22.
¦Стр. 77.
Для фиг. 35:
Для фиг. 36:
-рг л/
/?2д«»2+1

334 Ответы к упражнениям
Для фиг. 37:
/ - ?°_ i/ft2 (Z-Cu.2 - 2L- ш2 (I + /?2С)а
8 J?Lu>
/?D_ICu>2-f
Стр. 81.
Для фиг. 4J:
Введем обозначение: /? = (L,/?1C1s2 + LjS + fljMLj^fcC»** + L2s +
Al22 (^C + 1) (R2C2s + 1). Тогда
=-^ Ms (R&s+l) (Ri
Для фиг. 42:
Напишем
2 \ 1
Тогда
Стр 86.
| |, l = !1+Lcf^ "
LCs*+\
1 0'
1 If If
2> " " Cs . 1 , 1

Ответы к упражнениям335
r V \Ж+Ж1псГ+~ь
1 0W1 LsV
clS 1 До i / \
O\ / LC2s!+l
)
Стр. 91.
Для короткого замыкания-
¦A) /,=
B) /1 =
Z.2Cs _
Ь11 2~~(
Для холостого хода:
Cs+l
ir
?,
Cs
Глава VI
t
Стр. 100. 1. A) x = eat(A + Bt + Ct + ~
B) х = Ае~*' +(В sin t + C cos t)eil
C) x^Ae-

336 Ответы к упражнениям
D) x =
2. A) *=-.3/«—/—
—2) cos Л
C) л:=44/1 + Ве5' + ЗСе-17', # = — 26Л — 4Ве»<—Се-1",
г= — 75А — ЮВеЫ + ЗСе".
Стр. 102. 1. A) *=sSh-2"- 2. x=et-K/2-sint.
B) Неразрешимо.
Стр. 103. A) х = А + Ве*' + Се-2' + -^еи— jgQe4'-sin 2<, где*
А =т?0(-2sin 2-4cos 2 + 5) + -Jfc B=^(sin 2 + cos2-2) +A ,
B) x = 2eeB-'>[cos(< — 2)— sin (/—2)]. #=2ee<2-'>-cos (<—2).
Глава VII
Стр. 105. A) Единственная точка разрыва—при t = 0;
t
о
B) Точки разрыва только прн t = fm (k = 0, ±1, ±2, ...);
<2ft+l)it Bft+lIt те/2 я/2
C) Единственная точка разрыва—при t = \;
fx 2 '

Ответы к упражнениям
337
D) Единственная точка разрыва —при / = 1; /(/)= — 1 для
< 1 и /@=1 для (>1, откуда
t
Стр. 107. Пусть X.s?![i; тогда для
t
для t>
имеем:
t
И.+Х t
Стр. 112.
s —о
Г (К)
оо оо
Так как Г(К)= \ е-'^ dt = ох \ е-""^-1 dr. (подстановка
о о
а. > 0), ТО
1-л \га) а j " J г(Х)
Стр. ИЗ.
11)
1 2 3
Фиг. 136.
22 Ян Минусинский

338
Ответы к упражнениям
ЧАСТЬ II
Глава I
Стр. 124. A) /'(Х) = {2А} = 2/Х.
C) /' (X) = {cos (К + О!- =Т1-a (s cos X—sin X).
D)
1
30
Стр.125. A) /"(Х) = {2} = 2/, /'"(Х) = 0.
B) /' (Х) = {12Х2 + 2*2} = 12/Х2 + 4/3,
/'"(Х) = {24Ь} = 24/Х.
C) /"(Х) = {—sin (^ + Х)}:
/'" (>.) = {—cos (t + l)}--= -2-.-т ( — scos X + sin
tQJ+Щ
2H
Стр. 137. 1.
cos rc/!
Гл а в a 111
•0.
2. Пусть s,(= ПРИ "</о'| Тогда гп -* 0 и | h(n, /)—О I < з„
[О » п > t0 J
для 0 -^ ; sg /0.
Стр. 139. I. A) ап = {п-
Так как /„ ^ {/} в интервале 0< ^ < со, то en->s2{/} = l.
[Двойная стрелка ^ означает здесь равномерную сходимость
функций, а одинарная стрелка ->¦ сходимость последователь-
последовательности операторов (см. § 12) или же обычную сходимость
числовой последовательности.]
B) ап =
Функция {/„ (/) —;} имеет производную { —гс/е~"'— e~n'i
и, следовательно, убывает; поэтому
I /п (/) -' I < | /„ (/о)-'
е-ш0 _|_ . e-nt0 _ .
п п
->0

Ответы к упражнениям
339
Отсюда /„ ;J {t} в каждом интерпале
2 l
C) all = {n—n2
2п 2n-t при 0
так что
1
и
nP— ~ V при
О
1_
п
1
п
Так как
при О < t¦¦
1
Зя
' i + nt2 + , /3(ipnO<
О
1
Зп
то /п
D) Оп= {{.
^ 1 л
"^ п
t < оо
1 ^t
» s5f < о
п
1 1 1
—i i- s- при
п п Зп v
1
Зп "
1 -,
п
1 <оо
: 5- для 0 ь? / < оо,
ОП
во всем интервале
} = !¦
< оо, и, следовательно,
'+>
Функция {/«(г) —'} отрицательна и убывает в интервале
@, 1). Достигая в точке t=\ минимума, равного —г ,
она при t > 1 возрастает. Поэтому в каждом интервале
0 ^ t s^ to имеем
П 'п1
Так как г„ -> 0, то /„ ^ {'} и а„-+ s2{t} = \.
2. an={n3sin nt+ пЧ cos n^} =
-to
= s* |i cos n/ + -i sin
Так как \fn(t)—t2\—¦-.:+- для
, то /„ ^ {t} в ин-
тервале
и an-s5{/2}=s5-2/3=2s2.
fO при 0</ < п ) , ,. ,
{ } = о j- os {ft (п, г)).
U » п < t < ooj
22*

Ответы к упражнениям
Так как {h (п, t)} It 0 в каждом интервале 0 ¦< t < /0 (см. упраж-
упражнение 2 на стр. 137), то s {h(n, t)} -* 0, н, следовательно,
а + Ъег™ -> а+Ь-О.
CtpL 147. A) Пишем
и используем резуль-
резуль(Ч
тат предыдущего примера.
гр
(г)
Фиг. 137.
2л
Глава V
Стр. 158. Х0=6. См. фиг. 138.
Способ построения, например, для / = 63/4 указан на фиг. 139.
(Дуга, концы которой на фигуре обозначены через W и 6, является
дугой кривой четвертого порядка, а не дугой окружности.)
Стр. 156. См. фнг. 140.
Стр. 171. 1. Если 0<г<-2 ак0, то
хA, 0=
при 0
0 ^^ А.
а

1=1
«
-7
-1-
Фиг. 138.
Фиг. 139.
Фиг. 140.
'-20Г-,
'10
Фиг. 141.
V >^_ Я
<. я
t-агЯ,,
Фиг. 142.

342
Ответы к упражнениям.
если же -д- аК0 ^ t <; dk0, то
при
[С** —
Для t > аХ0 движение периодически повторяется.
2. A) См фиг. 141 на предыдущей стр. B). См. фиг 142.
Глава VI
Стр. .8..
k=\
k=2
ft=2
\
21 i> \ ?=!¦=
Стр. 182. A) Вытекает из доказанной сходимости ряда V -г
*=1
B) Это ряд
1
11—1
4 ^ZJ (Зл + 2)*
п=1
Сходимость последнего ряда доказана выше.
Стр. 184. A)
B)
sin nt
cos nt
„
2
1
<¦?•

Ответы к упражнениям
343
л=1
Bл— 1
1 cosBrt—l)itX
- cos
I cos Brc +
л=1
Bя+1J
Bn+lJ
< -i- • J- .
Стр. 187. A) _
I
— sin at
a
a
yje"X s=|y=r-exp( -?г)}. Функция в фигур-
ных скобках имеет в точке t=~n~ максимум, равный
Стр. 207. 1. X"(X) = syx"'(X).
) = sv— = v.
s
2.
Функция X (X) = {X (X, t)} изображает изменения темпе-
температуры в стержне, который в момент 1 = 0 имел всюду темпе-
температуру 0 и в начале которого \ = 0 мы задаем температуру
{()}, изолируя одновременно конец Х = Х0.
i—' ) „х
1=1
о
С-тУ
Стр 209. I. X"(k) = —sv-x'(k).
X" (К)—лЧ-х (Х)^= — sv[x" (X) — a's-лг(?.)] = 0.
*'(»)= — st-x'@)=— so/ 1Л = и.
Функция X(X) = {X(k, t)} выражает изменения темпе
ратуры стержня, когда теплоотдача в точке Х=0 определена

344 Ответы к упражнениям
функцией v = {f (/)}. а на конце Х. = Х0 поддерживается''"по-
стоянная температура 0; в момент t = 0 весь стержень имеет
температуру 0.
2.
л=1
°° °° п+-
»
n=0
OO П— tt
_!v ,_ sn^n « 2
~1Zl l n; n! „/ . 1
n! r
|n=o r
Так как
и вообще
S У"-2».2.4. ...-2я
то
e —I Ai I ' «i
• ~L4l" ' n! (*.)«/
«
B) Искомую формулу мы получаем из предыдущей, под-
подставляя — X. вместо X.

Ответы к упражнениям 345
п=0 п=0
n=0
? (-г^..Щ
n=0
Стр. 253.
Стр. 263.
A)
B)
C)
D)
E)
(О
B)
D)
х = с-е'^
х=0.
Решения
ЧАСТЬ
Глава
.S
fCt.e-4
е-*».
-X),.
единственны.
Глава
Ш
1
е ).
II
Стр.266. A) х0 {}.)=—(а\ + Ь).
S
B)
C)
Стр. 267. A)
B) xo(?.)=-2--e-X
C)

346 Ответы к упражнениям
<:,Р.т о,
Стр.
Стр.
269.
270.
(О
B)
C)
С)
sBs+!)(s + 2)
-~si
B) х0 (>.) =--^=—f) cos Xs + s(s_
-[25-cos \s + (S2_s_ |) sin
C) *0(X)=--|i— _^=-s
CtP: 271. (I) x(K)=-i-Fe-2sX_5e-3
l
C) x(X) = ex
D) х(Х)=Г- ?J^ 1-008 1

Ответы к упражнениям 347
Глава III
р. 278. (I) x(k, t) = l + sinl-shi.
B) х(К t)=e~x[B—t2)sin t~2t-cos t + 21 (sin t—t-cos t) +
+ l*.sin «]+-?••
C) Для О < t < \:
x(K, о = ед(-'
для
x(\, г) = ея(—
—cos (t—I)—sin (/ — X.).
D) для 0</ < \:
для 0 < I < t:
*(М)=-яг--

ЛИТЕРАТУРА1)
|1J* Вая Дер Поль Б. н Бреммер X., Операционное исчисление
на основе двустороннего преобразования Лапласа, М., 1952.
B] Г а р д н е р М. С. и Берне Дж. Л., Переходные процессы в ли-
линейных системах с сосредоточенными постоянными, М.—Л., 1949.
C] Д и т к и н В. А., Операционное исчисление, Успехи математических
наук, II, вып. 6 B2), 72—158 A947).
[4] Д и т к и н В. А. и Кузнецов П, П., Справочник по операци-
операционному нечислению, М.—Л., 1951.
[5] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным урав-
уравнениям, М., 1950.
F]Карслоу X. и Егер Д., Операционные методы в прикладной
математике, М., 1948.
[7] К а р с о н, Электрические нестационарные процессы и операционное
исчисление, Харьков—Киев, 1934.
[8] Лурье А. Н., Операционное нечисление, М., 1950.
(9]* Плеснер А. И., О включении операционного исчисления Heavi-
side в спектральную теорию максимальных операторов, ДАН СССР,
26, 10—12 A940).
[10] Титчмарш Э., Введение в теорию интегралов Фурье, М., 1948-
[11] Тихонов А. Н., Thdoremes d'unicite pour Г equation de la chaleur.
Математический сборник, 42, 199—216.
[12] Эфрос А. М. и Данилевский А. М., Операционное ис-
исчисление и контурные интегралы, Харьков, 1937.
[13] Янке Е. иЭмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми,
М.—Л., 1949.
[14] Berg E. J., Heaviside's operational calculus as applied toEngineering
and Physics, New York, 1936.
A5] Bush V., Operational circuit analysis, 1929.
*) Звездочками отмечены названия, добавленные переводчиком.—Прим.
перев.

Литература 349
[16] Churchill R. V., Modern operational Mathematics in Engineering,
New York. 1944.
[17]Comrie L. J., Mathematical Tables, London, 1949.
[18] С r u m M. M., On the resultant of two functions, TheQuarterly Journ.
of Math., Oxford Series, 12, № 46, 108—111 A941).
[19] D a h r K... A course of integrational and operational calculus with appli-
applications to problems of physics and electrotechnics, Stockholm, 1935.
B0] D о e t s с h G., Tabellen zur Laplace-Transformation und Anleitung
zum Gebrauch, Berlin—Gottingen, 1947.
[21] Doetsch G., Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation,
Berlin, 1937.
B2] Drobot S., Mikusinski J. G., Sur l'unicite des solutions de
quelques equations differentielles dans les espaces abstraits, Studia
Mathematica, 11, 38—40 A950).
[23] Dufresnoy J., Sur le produit de composition de deux fonctions,
Comptes Rendus de l'Academie des Sciences, 225, 857—859 A947).
[24] Dufresnoy J., Autour du theoreme de Phragmen-Lindelof, Bulle-
Bulletin des Sciences Mathematiques, 72, 17—22 A948).
[25] Heaviside O., Electromagnetic theory, London, 1899.
[26] Humbert P., Le calcul symbolique, Actualites scientifiques et in-
dustrielles, 147 A934).
[27] Jeffreys H., Operational methods in mathematical physics, 2nd
ed., Cambridge Tracts, 23 A931).
[28] L e г с h M., Sur un point de la theorie des fonctions generatrices d'Abel,
Acta Mathematica, 27, 339—352 A903).
. [29] Magnus W., Oberhettinger F., Formeln und Satze fur die
Speziellen Funktionen der Mathematischen Physik, Berlin, 1943.
[30] Me Lachlan N. W., Complex Variable and Operational Calculus
with technical applications, Cambridge, 1939.
[31] Me Lachlan N. W., Modern Operational Calculus, London, 1948.
[32] Mikusinski J. G., Remarks on the moment problem and a theo-
theorem of Picone, Colloquium Mathematicum, 11, 2, 138—141 A951).
[33] Mikusinski J. G., Sur les equations differentielles du calcul
operatoire et leurs applications aux equations aux derivees partielles,
Studia Mathematica, 12, 227—270 A951).
[34] Mikusinski J. G., Sur les fonctions exponentielles du calcul ope-
operatoire, там же, 12, 208—224 A951).
[35] Mikusinski J. G., Sur les fondements du calcul operatoire, там
же, 11, 41—70 A950).
[36] Mikusinski J. G., Sur l'unicite des solutions de quelques equa-
equations differentielles dans les espaces abstraits,'Annales de la Societe
Polonaise de Mathematique, 22, 157—160 A949).
[37] Mikusinski J. G., Sur un determinant, там же, 25, 27—29 A952).
[38] Mikusinski J. G., Un theoreme d'unicite pour quelques jsyste-
mes d'equations differentielles considerees dans les espaces abstraits,
Studia Mathematica, 12, 80—83 A951).

350 Литературе
[39] Mikusiiiski J. G., Une nouvelle justification du calcul opera-
toire, Attidella Academia Nazionale dei Lincei, 2, 113—121 A950).
[40] MikusinskiJ.G., Ryll-Nardzewski C, Sur le produit
de composition, Studia Mathematica, 12, 52—57 A951).
D1]Mikusinski J. G., Sur l'operateur de translation, там же, 12,
205—207 (!951).
[42] Phragmen E., Sur uneextension d'un theoreme classique de la theorie
des fonctions, Acta Mathematica, 28, 331—368 A904).
[43] Picone M., Nouvelles methodes de recherche pour la determination
des intdgrales des equations lineaires aux derivees partielles, Annales
de la Socicte Polonaise de Mathematique, 19, 36—61 A946).
[44] Picone M., Nuovi metodi d'indagine per la teoria delle equazioni
a derivate parziali, Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di
Milano, 18 A939).
[45] Pogorzelski W., Rachunek operatorowy i przeksztajcenie La-
place'a, Warszawa, 1950.
[46] Ryll-Nardzewski C, Sur la convergence des series d'operateurs,
Studia Mathematica, 13, 37—40 A953).
[47] R у 1 1-N ardzewski C., Sur les series de puissances de l'operateur
differentiel, там же, 13, 41—47 A953).
[48]* R у 1 1-N ardzewski C, Sur le corps des operateurs deMikusinski,
там же, 14, 247—248 A954).
149) T i t с h m a r s h E. C, The zeros of certain integral functions, Proc.
of the London Math. Soc, 25, 283—302 A926).
[50] Wagner K. W., Operatorenrechnung, 2 Aufl., Leipzig. 1950.

ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
(К § 30 ч. III)
1. В случае, когда операторное уравнение
а„*<'п>+... + ао*=--7(Х) A)
соответствует уравнению в частных производных
2 Ё^
(см. ч. III, § 22), коэффициенты а^ имеют] вид
% = av.nsn+-•¦+%<> (ц = 0, 1. .... ш) C)
и характеристическое уравнение записывается, следовательно, в форме
Нетрудно показать, что характеристический полином уравнения A) раз-
разлагается в поле операторов на линейные множители, т. е. что
amumji ¦...-! ао—ап1(и- и,) ... (и—ит) (¦>•¦
(u^ —операторы), если только коэффициенты а)Л уравнения A) заданы фор-
формулой C).
С этой целью рассмотрим уравнение
т п
u.= l -,= 1
определяющее алгебраическую функцию (илн несколько таких функций,
если оно приводимо) комплексного переменного г. Как известно, т ветвей
этой функции (или этих функции) разлагаются в окрестности точки г—
в ряды по степеням 1/z вида (q и А —целые числа, бЗ^О и 1^^)

352 Примечания переводчика
которые сходятся в некоторой области | г| > р (р <оо). Обозначим эти ветви
через Ui,us um. Тогда
2<wv-(«-«.)¦•• («-«m)= f 2 w"*. F>
A=1 V=-l
причем правая часть может быть получена и непосредственным перемноже-
перемножением в левой части [после подстановки соответствующих рядов вида E) для
ветвей ит].
Заменив в E) переменное г оператором s, мы получим ряд
который сходится в операторном смысле к некоторому оператору, ибо ряд E)
¦сходится при | г | > р (см. ч. 11, § 50). Проделав эту замену для разложений всех
ветвей ит, мы получим т рядов, сходящихся соответственно к операторам щ.
¦"г. • ••,ит. При такой замене переменного z оператором s соотношение F)
переходит в равенство
am(u-Ui) ... (и-ит)= § § «Vv^-S V*'
Jl=l -V=-l
в силу приведенного выше замечания о непосредственном перемножении
в левой части соотношения F), ибо действия с г или оператором s произ- .
водятся одинаковым образом. В рассматриваемом случае доказана, таким об-
образом, разложимость характеристического полинома иа линейные множители.
2. Если B) — чистое уравнение, то в равенстве D) операторы и^ пред-
¦ставлеиы рядами вида G), в которых k/q > 1 и % Ф 0, так как в противном
случае по крайней мере один из операторов «^ был бы логарифмом (см. ч. III,
критерий § 30), в противоречие с предположением, что уравнение B) чистое.
Для рядов вида G) можно ввести понятие порядка 8, полагая
bQksk'4+...) = k/q (%ФЩ.
Пусть в C) первый из коэффициентов а^, отличный 'от нуля, равен
Тогда 8@^) = /!^. Из известных формул
вытекает теперь:
*. У uhxuH...u
*!¦ ft2 km_^
... « )
¦(индексы &m+ll+1, ..., Am вместе с klt ..:, ^т_ц образуют систему 1,2,.... m).
*бо В(ит_11 + 1)>1, .... в^^Ж Отсюда следует, что
«о > "ц + f.

Примечания переводчика 353
Но п^ + ц есть наивысший порядок частных производных, входящих явно
в уравнение B), порядок которых относительно X равен ц, в частности, п0
есть порядок (максимальный) частной производной no t. Поэтому последнее
неравенство показывает, что частная производная по t имеет максимальный
порядок, т. е. что выполнен критерий § 26 ч. Ill, и уравнение B) не ре-
стриктивно. Таким образом, доказано, что чистое уравнение не рестрнктивно.
3. Операция подобия. Для практического применения оператор-
операторного исчисления желательно иметь заранее заготовленный набор представ-
представлений функций переменного t через оператор s, что целесообразно офор-
оформить в виде таблиц таких представлений [в традиционной трактовке — таб-
таблицы преобразования Лапласа (Карсона)]. Операции 7е (§ 48 ч. II) и D
(гл. IX ч. II) позволяют из ранее известных представлении получать новые.
Ту же роль играет операция Va (a > 0), которая будет определена ниже.
Она переводит оператор s в as (а > 0). Операции Г™, D и V" дают возмож-
возможность уменьшить объем указанных выше таблиц.
Свойства операции Va будут изложены по аналогии с трактовкой,
данной в § 48 ч. II для операции Т". Операция V (а > 0), которую можно
назнать операцией подобия, определяется для функций f={f(f)\ класса С
формулой
(a > 0). (8)
Операция Va удовлетворяет, очевидно, свойствам линейности:
В' (9)
где /6 С, #?С ц f—комплексное число. Кроме того, (/?С)
vf"/ (а > о, р > 0),
так как
Докажем дистрибутивность операции Vх относительно умножения:
V(f-g)=vaf-vag. (ID
Действительно, имеем
Пусть теперь а= — = ——произвольный оператор, где /, g, /i и g,
принадлежат С. Тогда из fg1 = gf1 вытекает, что
23 Ян Минусинский

354 Примечания переводчика
и, следовательно,
yiL
Vag
Формула
может служить определением Vх для произвольного оператора а=— , ибо
ее правая часть, в силу A2), не зависит от представления оператора а.
Легко видеть, что соотношения (9), A0) и A1) остаются справедливыми,
если fug означают произвольные операторы. В частности, получаем
где а —оператор, так как
/ V]
V" -¦¦¦Va = Va(
a V a
Из A3) и (8) следует, что
ибо
Далее, при любом вещественном X справедлива формула
так как при X < 0 имеем
05,
При Х=0 равенство A5) превращается в первое из равенств A4), а при
\ > 0 второе из них и уже разобранный случай X < 0 дают
Vs->- (as)~x '
Оператор, заданный рядом E0.6) ч. II, где радиус сходимости ряда
E0.5) положителен, запишем в виде lF ( —^- ) (°, > 0).
Тогда
fL^fAV A6)

Примечания переводчика 35
В самом деле, ряд справа в формуле E0.7) ч. II сходится при />0 и всех
комплексных X и, следовательно (см. (8)),
° ¦ ai4
Применив A5) при Х=1 к равенству (см. § 53 ч. II)
(/s4-~I-s)n
"~71Щ { ()}l ( *
получим соотношение (см. (8))
так как левая часть в A7) представима в виде Ф" [ — J , где радиус сходи-
сходимости степенного ряда 4" (X) положителен.
Покажем еще, что для операторной функции /(X), обладающей в неко-
некотором интервале непрерывной производной /' (X), операция Vя перестановочна
е операцией дифференцирования по X, т. е.
[V(X)]' = VTW- A8)
Действительно, пусть f(k)=qf1(K), где \f1 (X) = {f1'(X, г)}—параметри-
г)}—параметрическая функция, которая имеет непрерывную^, частную производную но X.
Тогда
Из A8) и определения показательной функции вытекает формула
VVu> = eAVa<D, A9)
ибо
[ V" ех"']' =V (<oe*'°) = Vau>. Va eXm
23*

366 ' Примечания переводчика
Применяя формулу A9) к показательным функциям е Д8 и е А '
I —л V7 1 — х VT
и функциям —р= е и — е ' , находим
У s s
V"ё~^==е~х"\ V"е~А Vs -е"л ^~as,
1/° _L ?—*¦ Уs — L_ p~~x' аъ v" - p ¦" — p
и, принимая во внимание соотношения § 29 ч II, получаем формулы
B1)
Формулы B0) и B1) могут быть получены н с помощью определения (8),
причем для e~Xs = e~Xs{l}/{l} нужно использовать A3), в остальных же слу-
случаях— соотношения § 29 ч. II.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраическая производная 240
Амплитуда тока 61
— э. д. с. 61
Андерсона мостик 65
Ассоциативность свертки 13
Бесконечной длины стержень 187
струна 161
Бесселя функции 224, 227
Бигармоническое уравнение 274
Вандермонда определитель 257
Волна прямоугольная 147
Выражения линейные дифференци-
дифференциальные 257
— рациональные от оператора s 40
Гамма-функция Эйлера 108
Гармонические функции 248
Гиперболическая показательная
функция 128, 155
Гиперболическоготипа уравнение 155
Действие, обратное к свертке, 30
Действия над операторами 32
Дистрибутивность свертки относи-
относительно сложения 15
Дифференциальные линейные выра-
выражения 257
— уравнения в частных производ-
производных 152, 272
Дифференцирование функциональных
рядов 194
Дифференцирования оператор 36
Дифференцируемая функция 126
Длинная линия 232
Единичная матрица 83
Единичный ток 78 *
Единственность решения 146, 160
Задача краевая 100, 209
обобщенная 209
— смешанная 173
Законы Кирхгофа 63
Затухания коэффициент 239
Значение функции 16
Идеальный импульс 83
Изолированный с одного конца стер-
стержень 204
Изоморфизм 316
Импеданс 59, 70
Импульс идеальный 77
— э. д. с. 77, 140
Импульса величина 77
Индуктивная связь 79
Интеграл Лебега 295
— функций класса (К) 296
Интеграла свойства 297—301
Интегрирование функциональных ря-
рядов 194
Интегрирования оператор 18
Искажения коэффициент 239
Кабель без индуктивности 236
— — искажения 234
утечки 237
— Томсона 235
Кажущееся полное сопротивление 61
Катодная лампа 93
Кирхгофа законы 63
Класс функций С 12

358
Предметный указатель
Класс функций К 104
(К) 292
[К] 291
Колебания струны 152, 306
Кольцо, проводящее тепло, 303
Коммутативность (перестановочность)
свертки 12
Корень кратный 250
Короткая линия 232
Короткого замыкания ток 55, 70, 72
Коши условия 173, 283
— формула 19
Коэффициент затухания 239
— искажения 239
Краевая задача 100, 209
Краевые условия 176, 262
Кратный корень 250
Критерий мажоранты 181
Лагерра полиномы 95
Лампа катодная 93
Лапласа преобразование 314
Лебега интеграл 295
Лерха теорема 25
Линейные дифференциальные выра-
выражения 257
Линия длинная 232
— короткая 232
Логарифм 249
Логарифмическое дифференциальное
уравнение 252, 256, 304
Мажоранта ряда 182
Матриц, произведение 85
Матрица 82
— единичная 83
Модуль функции 186
Момент функции 25
Мостик Андерсона 65
— Уитстона 63
Начальные условия 262
Неоднородное уравнение 264
Непрерывная производная 120
Непрерывные операторные функции
116
— производные высших порядков
124
Неравенства 185
Обобщенные показательные функции
128, 247
Обратное действие к свертке 30
Обратное преобразование 316
Обратный оператор 36
Общее решение 97, 161, 251
Обыкновенные дифференциальные
уравнения 45
Оператор 31
— дифференцирования 36
— интегрирования 18
— обратный 36
— сдвига 129
— числовой 33
Оператора s степени 38
Операторная функция 115
— — двух переменных 300
непрерывная 116
— — числовая 116
Операторов предел последовательно
сти 137
- произведение 34
— ряды 144
Операция Та 215
— V 353
Определитель Вандермонда 257
Ошибочное решение 279
Параболическая показательная функ-
функция 175
Параболического типа уравнение 176
Параллельное соединение 69, 74
Параметрическая функция 115
Перестановочность (коммутативность)
свертки 12
Периодическая функция 146
Показательная функция 39
— — гиперболическая 128, 155
обобщенная 128, 247
— — параболическая 175
Полином характеристический 247, 259
Полиномы Лагерра 95
¦— от оператора s 38
Полное (кажущееся) сопротивление
61
Последовательное соединение 69, 74
Предел последовательности операто-
операторов 137
Преобразование 317
— Лапласа 314
Преходящий (свободный) ток 60
Принужденный (установившийся) ток
60
Продолжение решений 151
Произведение матриц 85
— операторов 34
— числа и функции 34
Производная алгебраическая 240
— непрерывная 120
— степенного ряда 225
Производные непрерывные высших
порядков 124
Прямоугольная волна 147

Равномерная сходимость 130, 179
— — функциональных рядов 179
Радиус сходимости ряда 221
Рациональные выражения от опера-
оператора s 40
Рестриктивное уравнение 283
Решение общее 97, 161, 251
— ошибочное 279
Решений продолжение 151
Решения единственность 150, 160
Ряд функциональный, равномерно
сходящийся 183
Ряда мажоранта 182
— операторов сумма 144
— степенного производная 225
— радиус сходимости 221
Рядов функциональных дифферен-
дифференцирование 194
интегрирование 194
— числовых сходимость 180
Ряды операторов 144
— тригонометрические 191
Предметный указатель
359
Телеграфное уравнение 228
Теорема единственности 148
— Лерха 25
— Титч.чарша 20
— Фрагмепа 21
— Эйлера 67
Теоремы о моментах 23
— о продолжении решений 149. 150
Теплоизолированный стержень 190
Теплопроводности уравнение 175
Тшчмарша теорема 20
Ток единичный 78
— короткого замыкания 55, 70. 72
— преходящий (свободный) 60
— синусоидальный 59
— установившийся (принужденный)
60
Тока амплитуда 61
— флза 61
Томсона кабель 235
Трансформатор 91
Тригонометрические ряды 191
-¦ функции 39
Свертка функций 11
Свертки ассоциативность 13
— перестановочность (коммутатив-
(коммутативность) 12
Свободный (преходящий'! ток 60
Свойства интеграла 297—301
Связь индуктивная 79
Сдвига оператор 129
— угол 61
Синусоидальный ток 59
Скрещивание 83
Сложение функций 14
Смешанная задача 173
Смешанное дифференциальное урав-
уравнение 252, 260
Смешанные условия 173
Соединение параллельное 65, 74
— последовательное 67, 74
— четырехполюсников 85
Степенного ряда производная 225
Степень оператора s 38
Стержень, изолированный с одного
конца, 204
— бесконечной длины 187
Струна бесконечной длины 161
— колеблющаяся 152, 306
Сумма ряда операторов 144
Сходимости ряда радиус 221
Сходимость равномерная последова-
последовательности функций 134
— — функциональных рядов 183
— — числовых рядов 180
Угловая частота э д. с, 59
Угол сдвига 61
Уитстона мостик 63
Упрощенная матрица трансформато-
трансформатора 93
Уравнение бигармоиическое 274
— гиперболического типа 155
— колеблющейся струны 152, 306
— логарифмическое дифференциаль-
дифференциальное 252, 256, 304
— неоднородное 264
— параболического типа 176
— рестриктивное 283
— смешанное дифференциальное 252,
260
— телеграфное 232
— теплопроводности 175
— характеристическое 247
— чистое 252, 259, 294
Уравнения дифференциальные в ча-
частных производных 152, 272
— — обыкновенные 45
— — с разрывной правой частью
113
Усечение функции 302
Условия красные 170, 262
— Коши 173, 283
— начальные 262
—¦ смешанные 173
Установившийся (принужденный) ток
60

360
Предметный указатель
Фаза тока 61
— э. д. с. 61
Флажочеты 167
Формула Коши 19
Формулы Эйлера 199
Фрагмена теорема 21
Функции Бесселя 224, 227
— гармонические 248
— класса С 12
К 104
(К) 292
[К] 291
— модуль 186
— момент 25
— непрерывные 116
— обладающие производными клас-
класса К 112
— обобщенные показательные 129,
247
— операторной непрерывная произ-
производная 120
— тригонометрические 39
— усеченно 302
Функций свертка 11
— сложение 14¦
Функциональных рядов дифференци-
дифференцирование 194
— — интегрирование 194
Функция дифференцируемая 126
— непрерывная операторная 116
— операторная 115
— — двух переменных 300
— ошибок 111, 176
— параметрическая 115
— периодическая 146
— показательная 39
Функция показательная гиперболиче-
гиперболическая 128, 155
— — параболическая 175
— Хевисайда 117
— числовая 116
Характеристика 104
Характеристический полином247,259
Характеристическое уравнение 247
Хевисайда функция 117
Целая часть 104
Цепь электрическая 53
— элементарная 69
Четырехполюсник 81
Четырехполюсников соединение 8S
Числовая функция 116
Числовой оператор 33
Числовых рядов сходимость 180
Чистое уравнение 252, 259, 294
Э. д. с. амплитуда 61
— импульс 77, 140
— угловая частота 59
— фаза 61
Эйлера гамма-функция 108
— теорема 67
— формулы 199
Электрическая цепь 53
Элементарная цепь 69

ОГЛАВЛЕНИЕ
П редисловие переводчика
Из предисловия автора
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ
Глава I. Понятие свертки и ее свойства. Класс функций С 11
§ 1. Определение свертки II
§ 2. Класс С 12
§ 3. Перестановочность свертки 12
§ 4. Ассоциативность свертки 13
§ 5. Сложение и свертка—основные операции операторного
исчисления 14
§ 6. Функция и значение функции 15
§ 7. Символика \Т
§ 8. Оператор интегрирования 18
Глааа II. Теорема Тнтчмарша 20
§ 9. Формулировка теоремы и общие замечания 20
§ 10. Теорема Фрагмена 21
§11. Теоремы о моментах 23
§ 12. Доказательство теоремы Титчмарша в случае f=g . . 26
§ 13. Доказательство теоремы Титчмарша в общем случае . . 28
Глава III. Операторы 30
§ 14. Действие, обратное к свертке 30
§ 15. Операторы 31
§ 16. Действия над операторами 32
§ 17. Числовые операторы 32
§ 18. Терминологические замечания 35
§ 19. Произведение числа и функции 34

362 Оглавление
§ 20. Числа 0 и 1 35
§ 21. Оператор дифференцирования 36
§ 22. Степени оператора s 38
§ 23. Полиномы от оператора s 38
§ 24. Связь оператора s с показательной функцией 39
§ 25. Связь оператора s с тригонометрическими функциями 39
§ 26 Рациональные выражения от оператора s 40
Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами 45
§ 27. Общий метод и примеры 45
Глава V. Теория электрических цепей 51
§ 28. Замечания относительно приложений операторного
исчисления к задачам физики и техники 51
§ 29. Электрическая цепь 53
§ 30. Нулевые начальные условия 54
§ 31. Ток короткого замыкания 55
§ 32. Импеданс 59
§ 33. Синусоидальные токи 59
§ 34. Законы Кирхгсфа 63
§ 35. Мостик Уитстона 63
§ 36. Мостик Андерсона 65
§ 37. Общие замечания о составлении уравнений для токов
цепи 66
§ 38. Импеданс и ток короткого замыкания сложных цепей 6.9
§ 39. Случай синусоидальной э. д. с 75
§ 40. Импульс э. д. с. и его применение к измерениям импе-
импеданса 77
§ 41. Индуктивные связи 79
§ 42. Четырехполюсники 82
§ 43. Соединение четырехполюсников 85
§ 44. Соединение трех четырехполюсников 87
§ 45. Короткое замыкание четырехполюсника 89
§ 46. Холостой ход четырехполюсника 90
§ 47. Трансформаторы 91
§ 48. Катодная лампа как четырехполюсник 93
Глава VI. Общие решения дифференциальных уравнений. Краевые
задачи 97
§ 49. Общее решение 97
§ 50. Краевые задачи 100
§ 51. Решение дифференциальных уравнений при начальных
условиях, заданных в точке 1афО 102
Глава VII. Разрывные функции 104
§ 52. Функции класса К 104

Оглавление
363
§ 53. Действия над функциями класса К . . . . ¦ 105
§ 54. Интеграл Эйлера (гамма-функция) 108
§ 55. Дробные степени операторов / и s—a 110
§ 56. Функции, обладающие производными класса К .... 112
§ 57. Дифференциальные уравнения с разрывной правой
частью 113
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
Глава I. Операторные функции и их производные 115
§ 1. Операторные функции 115
§ 2. Непрерывные операторные функции 116
§ 3. Непрерывная производная операторной функции .... 120
§ 4. Свойства непрерывной производной 122
§ 5. Непрерывные производные высших порядков 124
§ 6. Непрерывная производная в бесконечном интервале . . 125
§ 7. Общее определение производной 126
Глава П. Показательные функции 127
§ 8. Дифференциальное уравнение х' (k)~wx (К) 127
§ 9. Обобщенные показательные функции 128
§ 10. Операторы сдвига 129
Гл'ава III. Последовательности и ряды операторов 134
§ 11. Равномерная сходимость 134
§ 12. Предел последовательности операторов 137
§ 13. Физические интерпретации оператора сдвига 139
§ 14. Свойства предела последовательности операторов . . . 141
§ 15. Ряды операторов 144
Гл'ава IV. Дифференциальное уравнение х" (k)=wx (к) 148
§ 16. Теорема единственности 148
§ 17. Продолжение решений 149
Глава V. Колебания струны 152
§ 18. Операторное уравнение колеблющейся струны .... 152
§ 19. Форма колеблющейся струны 155
§ 20. Более общие краевые условия 159
§ 21. Единственность решения 160
§ 22. Струна бесконечной длины 161
§ 23. Струна в гравитационном поле • . . 163
§ 24. Колебания струны при частных начальных положениях 166
25. Колебания струны при произвольно заданном началь-
начальном положении 168
§ 26. Колебания струны при заданной начальной скорости . . 171

364 Оглавление
§ 27. Другие интерпретации 172
§ 28. Общие замечания о краевой задаче 173
Глава VI. Уравнение теплопроводности 175
§ 29. Параболическая показательная функция 175
§ 30. Некоторые аналитические свойства параболической по-
показательной функции 177
§ 31. Температура стержня, проводящего тепло 178
§ 32. О сходимости числовых рядов 180
§ 33. Критерий мажоранты 181
§ 34. О равномерной сходимости функциональных рядов • - 183
§ 35. Разложение решения в бесконечный ряд 184
§ 36. Неравенства и модуль 185
§ 37. Стержень бесконечной длины 187
§ 38. Теплоизолированный стержень 190
§ 39. Тригонометрические ряды 191
§ 40. Интегрирование и дифференцирование функциональных
рядов 194
§ 41. Изменения температуры стержня при заданной началь-
начальной температуре 199
§ 42. Проверка правильности решения 201
§ 43. Некоторые частные случаи 203
§ 44. Стержень, изолированный с одного конца 204
§ 45. Регулирование притока тепла на одном из концов
стержня 207
§ 46. Более общие краевые условия 209
§ 47. Кольцо, проводящее тепло 213
§ 48. Операция Та и ее применения 215
§ 49. Неизолированный проводник тепла 219
Глава VII. Функции Бесселя 22Г
§ 50. Степенные ряды операторов 221
§ 51. Функции Бесселя У0@ и У,(<) 224
§ 52. Производные степенных рядов 225
§ 53. Функции Бесселя /„(/) при произвольном натураль-
натуральном п 227
§ 54. Функция exp*. (s—I/T2+Y2) н родственные ей функции 22»
Глава VIII. Телеграфное уравнение 232
§ 55. Общий вид телеграфного уравнения 232
§ 56. Кабель без потерь 233
§ 57. Кабель без искажения 234
§ 58. Кабель Томсона 235
§ 59. Кабель без индуктивности 236
§ 60. Кабель без утечки 237
§ 61. Случай, когда все четыре параметра линии положитель-
положительны 23&

Оглавление 365
Глава IX. Алгебраическая производная 240
§ 62. Определение и свойства 240
§ 63. Степени оператора l/(s2+p2) 243
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ОЧЕРК ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Глава I. Однородные уравнения 246
§ 1. Вводные замечания 246
§ 2. Характеристическое уравнение 246
§ 3. О показательных функциях 247
§ 4. Логарифмы 249
§ 5. Кратные корни характеристического уравнения .... 250
§ 6. Общее решение • 251
§ 7. Теорема единственности решений 253
§ 8. Логарифмическое уравнение 25G
§ 9. Линейные дифференциальные выражения 257
§ 10. Действия над линейными дифференциальными выраже-
выражениями ..... 258
§11. Характеристические полиномы линейных дифференци-
дифференциальных выражений 259
§ 12. Чистые уравнения 259
§ 13. Смешанные уравнения 260
§ 14. Приспособление решения к данным начальным, крае-
краевым и другим условиям 260
Тлава II. Неоднородные уравнения 264
§ 15. Общее решение неоднородного уравнения 264
§ 16. Случай, когда правая часть—полином 265
§ 17. Случай, когда правая часть—показательная функция 266
§ 18. Случай, когда правая часть—произведение полинома
и показательной функции 268
§ 19. Случай, когда правая часть—линейная комбинация
двух функций 268
§ 20. Случай, когда правая часть—тригонометрическая функ-
функция 269
§ 21. Приспособление решения к добавочным условиям . . . 270
Глава III. Приложения к дифференциальвым уравнениям в частных
производных 272
§ 22. Сведение дифференциальных уравнений в частных про-
производных к операторным уравнениям 272
§ 23. Замечания о добавочных условиях 278
§ 24. Ошибочное решение 279
§ 25. Разъяснение мнимого противоречия 280

366 Оглавление
% 26. Условия Коши и вопрос об их эквивалентности общим
условиям 283
§ 27. Решение рестрнктивиых уравнений 285
§ 28. Вопрос об эквивалентности уравнения в частных произ-
производных и операторного уравнения 287
| 29. Дальнейшие примеры решения уравнений в частных
производных 288
§ 30. Общие замечания о решении уравнений в частных про-
производных операторным методом 291
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
Г л а 11 а I. Интеграл операторной функции и его приложения 295
§ 1. Операторные функции класса (К) 295
§ 2. Определение интеграла 296
§ 3. Свойства интеграла 297
§ 4. Операторные функции двух переменных 300
§ 5. Усечение функций 302
8 6. Интегральная форма частного решения логарифмиче-
логарифмического дифференциального уравнения 304
§ 7. Приложение к уравнению колеблющейся струны . . . 306
§ 8. Применение бесконечных рядов и определенных инте-
интегралов 310
Глава П. Интегральные преобразования 314
§ 9. Преобразование Лапласа 314
§ 10. Преобразование Лапласа как основа операторного исчи-
исчисления 315
§ 11. Сравнение непосредственного метода и метода преобра-
преобразования Лапласа 316
§ 12. Родственные методы 318
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ
I. Специальные функции 319
II. Формулы из операторного исчисления 320
III. Электротехнические приложения 324
IV. Таблицы функций 326
Ответы к упражнениям 329
Литература 348-
Примечания переводчика 351
Предметный указатель 35Г

Ян Минусинский
ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Технический редактор М. П. Грибова
Корректор А. П. Иванова
Сдано в производство 15/ХЦ [955 г.
Подписано к печати 31/1 1956 г.
Т-01436. Бумага 60X92Vl6=! ' .5
бум. л. 23.0 неч. л.
Уч.-изд. л. 18,9. Изд. № 1/2648
Цена 15 р. 25 к. Зак. 1360
Издательство иностранной литературы
Москва, Ново-Алексеевская 52
16-я типография Главполиграфпрома
Министерства культуры СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9.