СПРАВОЧНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
Л. А. ЛЮСТЕРНИКА
и
А. Р. ЯНПОЛЬСКОГО

В. А. ДИТКИН и А. П. ПРУДНИКОВ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
и
ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1961

АННОТАЦИЯ
Настоящий выпуск серии «Справочная математическая
библиотека» посвящен интегральным преобразованиям и опе¬
рационному исчислению. В первой части изложены основы
теории интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Мел-
лина, Бесселя, Ханкеля, Мейера, Конторовича — Лебедева и др.
Особое внимание уделено преобразованию Лапласа и его
применению к математическому анализу.
Операционное исчисление излагается на основе теории
Микусинского с некоторым ее видоизменением. Указывается,
как оно связано с преобразованием Лапласа, и приводятся
примеры реализации конкретных операторов.
Вторую часть составляют таблицы интегральных пре¬
образований (косинус- и синус-преобразования Фурье, пре¬
образования Лапласа, Меллина, Ханкеля, Конторовича—Лебе¬
дева и Мелера —Фока). При составлении таблиц были использо¬
ваны справочные руководства и работы, опубликованные
в периодической литературе. Некоторые результаты публи¬
куются впервые.
Книга предназначена для математиков, физиков, инжене¬
ров, интересующихся вопросами прикладной математики.
Виталий Арсеньевич Диткин и Анатолий Платонович Прудников.
Интегральные преобразования и операционное исчисление.
Редактор А. Ф. Лапко.
Техн, редактор К. Ф. Брудно.	Корректор Л. О. Сечейко.
Сдано в набор 1/ІІ 1961 г. Подписано к печати 6/VI 1961 г. Бумага 84 X 108/,а.
Физ. печ. л 16,375. Условн. печ. л. 26,85. Уч.-изд. л. 19,43. Тираж 20 000 экз. Т-03171.
Цена книги 1 р. 07 к. Заказ № 1431.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Московского городского совнархоза.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 	 8
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Глава I. Преобразования Фурье	 11
§ 1. Некоторые сведения из теории рядов Фурье .... 11
§ 2. Интегральная формула Фурье	 14
§ 3. Основные свойства "преобразований Фурье		15
§ 4. Кратные преобразования Фурье	 20
§ 5. Некоторые приложения преобразований Фурье ... 21
Глава II. Преобразование Лапласа	30
§ 1.	Интеграл Лапласа и его основные	свойства	....	30
§ 2.	Теоремы о свертках	  .	39
§ 3.	Некоторые свойства преобразования	Лапласа	....	42
§ 4.	Преобразование Лапласа некоторых простейших
функций	48
§ 5.	Вычисление интегралов	50
§ 6. Применение преобразования Лапласа к решению диф¬
ференциальных и интегральных	уравнений	51
§ 7.	Преобразование Меллина	 73
Глава III. Преобразование Бесселя	76
§ 1.	Преобразование Ханкеля	 76
§ 2.	Преобразование Мейера 		80
§ 3.	Преобразование Конторовича—Лебедева	83
Глава IV. Другие интегральные преобразования . ... . 87
§ 1. Преобразование	Мелера—Фока	87
§ 2. Преобразование	Гильберта	 90
§ 3. Преобразование	Лагерра	91
Глава V. Операционное	исчисление	 93
§	1.	Основные понятия и предложения	 93
§	2.	Рациональные операторы	99
§	3.	Операторы, преобразуемые по Лапласу	101
§ 4. К вопросу реализации операторов, преобразуемых по
Лапласу	 103
§	5.	Обобщенное преобразование Лапласа	....... 106

6	СОДЕРЖАНИЕ
§ 6. Поле ЯЛ	109
§ 7. Операторные функции	ПО
§ 8. Предел последовательности операторов. Предел опе¬
раторной функции	111
§ 9. Непрерывная производная операторной функции.
Интеграл от операторной функции	113
§ 10. Ступенчатые функции	115
§ 11. Разностные уравнения	121
§ 12. Преобразование Эфроса	124
§ 13. Операторные дифференциальные уравнения .... 125
§ 14. Применение операционного исчисления к решению
дифференциальных уравнений	127
§ 15. Асимптотические ряды	132
§ 16. Операционное исчисление для оператора
=	 134
at at
ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ
Глава VI. Перечень обозначений специальных функций
и некоторых постоянных	149
Глава VII. Косинус-преобразование Фурье	164
§ 1.	Основные формулы	164
§ 2.	Рациональные и" иррациональные функции	....	.165
§ 3.	Показательные функции	174
§ 4.	Тригонометрические функции	177
§ 5.	Обратные тригонометрические функции	183
§ 6.	Логарифмические функции	184
§ 7.	Гиперболические функции	186
§ 8. Ортогональные многочлены	.	189
§ 9.	Гамма-функция и родственные ей функции	....	192
§ 10.	Интегральные функции		 193
§ 11.	Цилиндрические функции	196
§ 12.	Вырожденные гнпергеометрические функции	....	239
§ 13.	Сферические функции	245
§ 14.	Разные функции	256
Глава VIII. Синус-преобразование Фурье	258
§ 1. Основные формулы	258
§ 2. Рациональные и иррациональные функции	259
§ 3. Показательные функции 	.	... 268
§ 4.	Тригонометрические функции	272
§ 5.	Обратные тригонометрические	функции	277
§ 6.	Логарифмические функции		279
§ 7.	Гиперболические функции	281
§ 8.	Ортогональные многочлены	284
§ 9.	Гамма-функция и родственные	ей	функции	290
§ 10.	Интегральные функции	291
§ 11.	Цилиндрические функции	294
§ 12.	Вырожденные гипергеометрические	функции . . . 337
§ 13.	Сферические функции			346
§ 14.	Разные функции	350

СОДЕРЖАНИЕ	7
Глава IX. Преобразование Лапласа—Карсона ...... 352
§	1.	Основные формулы	352
§	2.	Рациональные и иррациональные	функции	363
§	3.	Показательные и логарифмические	функции .... 383
§ 4. Тригонометрические и гиперболические функции.
Обратные тригонометрические и обратные гипербо¬
лические функции 	389
§ 5. Цилиндрические функции	400
§ 6. Гамма-функция и родственные ей функции. Инте¬
гральные функции. Вырожденные гипергеометриче¬
ские функции	413
§	7. Разные функции	417
Глава	X. Преобразование Меллина	422
§ 1.	Основные формулы	422
§ 2.	Разные функции	423
Глава XI.	Преобразование Бесселя	432
§ 1.	Преобразование Ханкеля	432
1.1.	Основные формулы	432
1.2.	Разные функции	435
§2. Преобразование Мейера	461
2.1.	Основные формулы	461
2.2.	Разные функции	463
§ 3.	/-преобразование Бесселя	478
3.1.	Основные формулы	478
3.2.	Разные функции	479
§ 4.	Н-преобразование Бесселя	487
4.1.	Основные формулы	487
4.2.	Разные функции	488
§ 5.	Преобразование Конторовича—Лебедева	494
§ 6.	Преобразование Конторовича—Лебедева (продолже¬
ние) 	497
Глава	XII. Другие интегральные	преобразования	5С2
§ 1.	Преобразование Мелера—Фока	502
§ 2.	Преобразование Гильберта	505
Библиография	  .	. . . 508
Алфавитный указатель	521

ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние десятилетия в математическом анализе ши¬
рокое распространение получили методы, связанные с исполь¬
зованием интегральных преобразований. Эти методы были
успешно применены к решению дифференциальных и интег¬
ральных уравнений, изучению специальных функций, вычисле¬
нию интегралов. Существенным преимуществом метода интег¬
ральных преобразований является возможность подготовки
таблиц прямых и обратных преобразований различных функций,
часто встречающихся в приложениях.
В настоящем выпуске серии «Справочная математическая
библиотека» (СМБ) рассматриваются наиболее распростра¬
ненные интегральные преобразования. Первая часть посвя¬
щена основам теории и состоит из пяти глав. В первой главе
излагаются элементы теории преобразований Фурье и неко¬
торые их приложения. Центральной и наиболее обширной
является глава вторая, посвященная преобразованию Лапласа.
Здесь же рассматривается преобразование Меллина.
Глава третья посвящена интегральному преобразованию
Бесселя. К последнему относится ряд интегральных преоб¬
разований, ядром которых являются функции Бесселя.
В частности, в этой главе рассматриваются преобразования
Ханкеля, Мейера и Конторовича—Лебедева. В главе четвертой
приводятся краткие сведения о некоторых других интеграль¬
ных преобразованиях. В пятой главе излагаются основы
теории операционного исчисления.
Как известно, символическое или операционное исчисле¬
ние стало систематически разрабатываться в середине прош¬
лого столетия. В конце XIX века Хевисайд успешно приме¬
нил его к решению некоторых задач, связанных с теорией
электромагнитных колебаний. Широкое распространение
операционного исчисления Хевисайда привело к появлению

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
многочисленных работ по его обоснованию. При этом
первоначальная операторная точка зрения Хевисайда была
значительно вытеснена работами Карсона, Деча, Ван дер
Поля и др., которые в своих исследованиях опирались на
преобразованій Лапласа и интеграл Меллина.
Однако такое положение не могло продолжаться долго,
так как успешное развитие функционального анализа и, в част¬
ности, теория линейных операторов способствовали развитию
операторных методов в математическом анализе. В работах
[18], [60] дается операторное изложение операционного
исчисления с использованием преобразования Лапласа.
Полный возврат к первоначальной операторной точке
зрения был сделан Микусинским [59]. Он дает строгое опе¬
раторное обоснование операционному исчислению Хевисайда
без всякой связи с теорией преобразования Лапласа. При
изложении этой теории Минусинскому приходится вводить
различные обозначения для функции и для ее значения
в некоторой точке. Минусинский обозначает функцию через
{/(/)}, а значение этой функции в точке t — через /(/).
Например, 2 есть число, а {2} есть функция, принимающая
постоянное значение 2.
В главе V свертка определяется, в отличие от Минусин¬
ского, таким образом, что не приходится различать кон¬
станты от функций констант. Так как в ряде случаев при
применении интеграла Лапласа значительно упрощаются
различные преобразования и вычисления, связанные с оты¬
сканием операционных формул, то здесь указывается на связь
построенного исчисления с преобразованием Лапласа.
В этой же главе рассматривается также обобщенное преоб¬
разование Лапласа и приводятся его основные свойства.
В конце главы дается краткое изложение операционного
исчисления для оператора Бесселя и устанавливается его
связь с преобразованием Мейера.
Вторую часть книги составляют таблицы формул интег¬
ральных преобразований. Различные формулы интегральных
преобразований возникают при решении конкретных задач,
однако в дальнейшем они могут быть применены к решению
других вопросов. Поэтому таблицы формул интегральных
преобразований имеют обширную область приложений, охва¬
тывающую собой самые разнообразные отрасли знаний:
математику, физику, механику, электротехнику и т. д.

10	ПРЕДИСЛОВИЕ
Таблицам формул предшествует перечень обозначений специ¬
альных функций и некоторых постоянных, приведенных в гл. VI.
В остальных главах рассматриваются: косинус- и синус-преоб-
разования Фурье, преобразования Лапласа—Карсона, Меллина,
Ханкеля, Мейера, Конторовича—Лебедева, Мелера—Фока,
Гильберта и др. При составлении таблиц были использованы
в большинстве случаев существующие работы аналогичного
характера. Среди них следует особо отметить: Erdei у і
А., Magnus W., О be rhe 11 i n ge r F., TricomiF. G.,
Tables of integral Transforms, 1954; Oberhettinger F.,
Tabellen zur Fourier-Transformation, 1957.
При обработке такого большого количества формул воз¬
можны недосмотры и ошибки. За всякие указания и поправки
авторы будут очень обязаны читателям и заранее выражают
им свою благодарность.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ГЛАВА I
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
§ 1. Некоторые сведения из теории рядов Фурье
Функция f(t) при довольно общих предположениях может
быть представлена бесконечным рядом вида
/W = y+ S (a„cosnt-\-basinnt), (1.1)
n=l
где
a„ = l j f(t)cosntdt (л = 0, 1, 2, ...),	(1.2)
	7Г
bn = ^ J /(t)sinntdt (/i=l, 2, ...).	(1.3)
— Л
Этот ряд называется тригонометрическим рядом Фурье.
Числа ап и Ьп называются коэффициентами Фурье функции
/(/). Так как все члены ряда (1.1) периодичны с периодом 2тг,
то при исследовании этого ряда можно ограничиться любым
интервалом длины 2тг. В случае интервала произвольной длины
2/ ряд Фурье
/(о=у+Д (а»соз?+міпт9» и-4)
где
I
а„=у У/(/) cos^d/ (л = 0, 1, 2, ...)	(1.5)

12
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. Î
И
I
Z>n=lJ/(f)sin^ («=1,2, ...),	(1.6)
— I
представляет функцию с периодом 2Z.
Принимая во внимание известное тождество Эйлера, свя¬
зывающее тригонометрические функции с показательной,
е1? = cos (f 4"z sîn	(1.7)
ряд (1.1) можно представить в комплексной форме
/(/)= 2 ѵ'п<>	(1-8)
п = — 00
где
ТС
= й	(л = 0,±1, ±2, ...). (1.9)
— тс
Иногда удобнее рассматривать не интервал (—тг, тт) или
(О, 2тг), а интервал длины 1, например (О, 1). Тогда коэф¬
фициенты ряда Фурье принимают вид
1
с„ =	(« = 0, ±1, ±2, ...). (1.10)
О
Если /(/) — четная функция, т. е. /(—/)=/ (О» и если
она интегрируется на интервале (—Z, Z), симметричном отно¬
сительно начала координат, то
I	I
J /(/)<//= 2 \f(t}dt.
— I	о
Аналогично, если /(/) — нечетная функция, т. е. /(—/) =
=—/(О» то
I
J /(f)df = O.
— I
Если /(/) — четная функция на интервале (—тг, тт), то
функция f(t) cos nt—четная, а функция /(Z)sin/zZ — нечетная
для каждого значения п. Определяя коэффициенты ряда

§ 1] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ	13
Фурье для четной функции /(/) по формулам (1.2) и (1.3),
получим
an = -^f (t) cos nt dt	(1.11)
О
и bn=0. Ряд Фурье для f (/) содержит только члены с ко¬
синусами; коэффициенты этого ряда определяются формулой
(Ml).
Если f(t)— нечетная функция, то функции f(t) cos nt и
/(/)sin/zf будут, соответственно, нечетной и четной функ¬
циями. Ряд Фурье для нечетной функции f (і) содержит только
члены с синусами, коэффициенты при которых опреде¬
ляются по формуле
bn = ^ f(t) sin nt dt.	(1.12)
О
Таким образом, любая функция, интегрируемая в пределах
от 0 до п, формально может быть представлена на этом ин¬
тервале посредством ряда Фурье по синусам или косинусам,
без предположения об ее четности, нечетности, периодичности
или вообще определенности вне этого интервала.
Одной из основных теорем теории рядов Фурье является
Теорема 1 (Римана—Лебега). Если функция f(t)
интегрируема на интервале (а, Ь), то при X—> оо
ь	ь
$/(/) cos 1 tdt -> 0,	J/(0sinX^->0.
a	a
Доказательство см. в [17], [27]. Теорема Римана—Лебега
имеет следующие важные следствия.
Следствие 1. Коэффициенты Фурье любой интегри¬
руемой функции стремятся к нулю.
Следствие 2. Поведение ряда Фурье в некоторой
точке t зависит только от поведения функции в непосред¬
ственной окрестности этой точки (принцип локализации).
Мы сформулируем наиболее употребительный признак
сходимости ряда Фурье. Если f—функция с ограничен¬
ным изменением, то ряд Фурье функции / сходится в
14
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
каждой точке t к значению у{/(/Ц-0)— 0)}. Если /,
кроме того, непрерывна во всех точках некоторого интер¬
вала (я, Ь), то ряд Фурье на этом интервале равномерно схо¬
дится (см. [27]).
§ 2. Интегральная формула Фурье
Пусть функция /(/), имеющая период 2/, представлена
рядом Фурье (1.4). Подставляя в (1.4) выражения для ап и Ьп
из (1.5) и (1.6), получим
I	со I
—Z	«=1	—/
cos—(т — t)dx. (1.13)
Если положить y = k, у = Дк и перейти формально к пре¬
делу при I—>оо, то сумма превратится в интеграл, и мы
получим интегральную формулу Фурье
/(/) = у у d\ у /(t)cos).(t — /)dx.	(1.14)
0 —ОО
Она представляет функцию, определенную в интервале
(—оо, 4~°о) таким же образом, как ряд Фурье представ¬
ляет функцию с конечным периодом. После преобразований
можно привести формулу (1.14) к следующему виду:
или
/(/)= lim
/->00
/	00
âf ‘т J
— Z —00
00
....	1-	1 C sin W — T) Z/ \ A
f(t)= lira - Z_T
I —> 00
(115)
(1-16)
правой части формулы (1.14) называется двойным
ицр^в^ралрм \<Рурье. Формула (1.15) называется комплексной
.-М^еграла Фурье. Формулу (1.16) называют пред-
^^^Н^е^функ^ии/(t) посредством простого интеграла
ф^Рй^^дассцнескце условия справедливости вышеуказанных
формулѵус/тдндвлцваются; следующей теоремой.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
15
§ 3]
Теорема 2 [113]. Пусть функция f(t) интегрируема
по Лебегу на интервале (— оо, + оо)*) и ограниченной вариации
на всяком конечном интервале. Тогда формулы (1.14),
(1.15), (1.16) имеют место, если заменить их левые части
на ~ {/(/4-0) + f(t— 0)} в точках разрыва f(t). Формулы
(1.14), (1.15), (1.16) могут быть записаны также в сле¬
дующей форме-.
f(t) = J [а (и) cos tu-\-b (и) sin tu] du, (1.17)
о
где
а(и) = ^ J f(t}CQsutdt, Ь(и) = ^ у f(t) sin ut dt.
— 00	— 00
Если f(t) — четная функция, то формула (1.17) прини¬
мает вид
/(/)== у J cqs tu du § /(т) cos их dx. (1.18)
о	о
Последняя называется косину с-формулой Фурье.
Аналогично, если /(/) — нечетная функция, то полу¬
чается синус-формула Фурье
f(t) = ^ § sintudu J f (т) sin их dx. (1.19)
о	о
§ 3. Основные свойства преобразований Фурье
1.	Формулы, рассмотренные в предыдущем пункте, приво¬
дят к взаимным или двойственным соотношениям между па¬
рами функций.
Если положить
F (а)
оо
— 00
(1-20)
*) Краткая запись: /(£)Ç L(—оо, оо).

16
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
то формула (1.15) дает
00
т=у= j F(u)eitadu,	(1.21)
— 00
где интеграл в правой части понимается в смысле главного
значения, т. е. как предел
I
lim Ç F {и) eita du.
1-* 00
Функция F (и) называется преобразованием или трансфор¬
мацией Фурье функции /(/).
Если функция /(/) интегрируема в интервале (— оо, -р00)»
то функция F (и) существует для всех t. Функции F (и)
и /(/), являющиеся преобразованием Фурье одна другой,
называются парой преобразований Фурье. Полагая
— °°
Ff(«) = y | j/(/)cos«/<rt,	(1.22)
О
получим из формулы (1.18)
.— 00
/(/) = j/2 Fc(u) cos іи du. (1.23)
О
Функции, связанные указанным образом, называются па¬
рой косинус-преобразований Фурье. Аналогично, из формулы
(1.19) можно получить пару синус-преобразований Фурье\
Fs(u}=y У f(t)s\nutdt>	(1-24)
о
f (f)= У 1 у Fs (и) sin tu du. (1.25)
О
Если f(t) — четная функция, то
F(u) = Fc(u);
если / (/)— нечетная функция, то
Л(и) = /Л5 (и).

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
17
§ 3]
2.	Пусть функции F (и) и G (и)—преобразования Фурье
соответственно функций /(f) и g(t), определенных формулами
(1.20), (1.21).
Формально имеем
-L J F (и) G (и) e~ita du = ~ J F(u)e~iiadu J g{т)еіахdr=
— 00	—	00	—	00
on	00
= У gi^dx У F (и) e~ia{t~’!> du —
— 00	—00
00
= Ç	(1.26)
у 2 к J
— 00
T. e. функции
00
F(a)O(u) и h(t) = ~= У g(x)/(f — т)(к
— CO
являются парой преобразований Фурье. Функция Л(/) назы¬
вается сверткой функций f(t) и g(t)t
Теорема 3. Пусть f (t) — преобразование Фурье
функции F(t)£L (—оо, 4"°°) и функция g(t) £ L (—оо, -j-oo)
(так что ее преобразование Фурье G (t) — ограниченная функ¬
ция). Тогда произведение ]/2п F (t) G\t) принадлежит
L(—оо, 4-ос) и его трансформация Фурье определяется
формулой
00
— 00
Справедливость этой теоремы следует из законности
обращения порядка интегрирования в выражении (1.26)
вследствие абсолютной сходимости.
Теорема 4. Пусть f(t) и g(t) принадлежат
L(—оо, 4-ос). Тогда h(t) принадлежит L(—оо, 4“°°)>
и ее преобразованием Фурье является функция ]/2тг F (f) G (t).
При других предположениях вышеупомянутые свойства
свертки смотри в [73], [103]. По аналогии с выражением

18
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
(1.26) в случае косинус-преобразований будем иметь
Fc (Н)	(U) C0S —
00
Fc (и) cos tu du у g (т) cos tu dt =
0
00	00
g(x)dx Fc (u) [cos 1t— г I и	cos (t -]-t) u] du =
ô
00
= 4 J £(T)[/(|/-t|)+/(*-H)]*: (1-27)
0
u в случае синус-преобразований
со
J Fs (u) Gs (и) sin tu du =
о
		 00	00
= y § Fs(u) sin tu du J g (t) sin их dx =
о	о
00	CO
=-t= \ g(^)dx l Fs(u) [cos I t — t |u — cos ((-|-t) u] du =
y 2 k J	J
F о	о
00
= 4 j ^(T)[/(|/-t|)-/(/ + x)]dT. (1.28)
0
Процесс образования свертки можно повторять п раз.
Тогда будем иметь
00
j F(x)Fx(x}---Fn{x)e-ibdx =
— 00
00	ОО
= j fMdXn J	•••
(2n) 2 - 00	-°0
CO
... J	(1-29)
— 00

§ 3] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ	19
3.	Формулы Парсеваля. Пусть /(/) Ç L (— оо, оо),
g (/) интегрируема на каждом конечном интервале, и пусть
I
°(г') = г4г lim Ç g^)e,hdr
У 2it z-> оо J
для всех f, причем G(t) всюду конечна и принадлежит
L(—оо, 4-ос). Тогда имеет место равенство
ОО	СО	00
У F(t)G(t)dt = ^~ J G (0 dt у /(т)е'”й=
— 00	— 00	— 00
00	00	00
J /(T)dx j	У	(1.30)
— 00	— 00	— 00
В частности, при f=g имеем формулу
00	00
У \F(t}\*dt = у 1/(0[!dt.	(1.31)
— 00	—00
В формулах (1.30) и (1.31), разумеется, содержатся соот¬
ветствующие формулы для косинус- и синус-преобразований
Фурье. А именно, в случае четных функций, имеем
00	00
Fc{t)Gc{t)dt=^ f(t) g{t)dt (1.
О	о
и
оо	- оо
[^(0]2<»=У [Л0]т	(1.
О	о
в случае нечетных
00	00
угдоодол=у/(о^(о^ (1.34)
о	о
и
со	оо
у [f,(o]’<«= у [лот (1-35)
о	о

20	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ	[ГЛ. 1
Эти формулы аналогичны формуле
1	1	00
+ £(^+^)	(1.36)
О	п=\
из теории рядов Фурье и называются формулами Парсеваля
4.	Преобразование Фурье аналитических функций. Пусть
f (z)— аналитическая функция, регулярная в полосе
(—а <у где а^>0, и пусть в каждой полосе,
внутренней к (—а<У
/(*)={
О[е + (н-е)
О [е-(’•-')*]
(х—► — оо),
(х—«--J- °°)>
(1-37)
где е > 0; X, g — некоторые фиксированные положительные
числа. Тогда функция
ОО
F(w) = ^L- J /(C)e'WC	(1.38)
— 00
удовлетворяет аналогичным условиям, с заменой a, b, X, р
на À, pi, а, b соответственно, и
/(*)
e~izwdw
(1.39)
1
/2І
для всех z в полосе (—
§ 4. Кратные преобразования Фурье
По определению, имеем
F((o,l) = <F[/(x,.y)] =
5	J /(•*•> У) dx dy. (1-40)
— 00 —00
Функция F (œ, 1) называется преобразованием Фурье функ¬
ции двух переменных f(x, у). Для функций /(х,у) и f (о), 1),

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 21
принадлежащих А, имеет место следующая формула обра¬
щения:
f(x,y) = &-'[F(<», Х)] =
= У У е~‘F (ш, dadï. (1.41)
— QO —со
Если /(х, у) и g(x, у) принадлежат А, то существует
интеграл
f(X,y) * * g{x,y) =
— 00 — со
00	00
= У У	(1.42)
— 00 —00
причем
<F[/(x,.y) * * g(x, j/)] = F(<o, X) G (со, X).	(1.43)
— СО — 00
Обобщение на большее число переменных очевидно. Доста¬
точно полное изложение теории кратных преобразований
Фурье имеется в книге Бохнера и Чандрасекара [103]. Кроме
того, см. [119].
§ 5. Некоторые приложения преобразований Фурье
Преобразование Фурье играет важную роль при решении
широкого класса задач математической физики, к которым
относятся, например, краевые задачи для уравнения Лапласа,
Гельмгольца и Фурье в области, имеющей вид бесконечной
полосы и полуполосы, бесконечного цилиндра и полуцилинд¬
ра и т. д.
В частности, применение преобразования Фурье целесо¬
образно в задачах, которые приводятся к интегрированию
уравнений вида
d^ + L(u)=f(x,y),
где L (и) — линейный дифференциальный оператор, не содер¬
жащий переменной х; /(х, у) — заданная функция. Приведем

22
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. 1
решение ряда задач математической физики, разрешимых
при помощи интегральных преобразований Фурье.
1.	Рассмотрим одну задачу гидродинамики [34], [41],
сводящуюся к решению уравнения Лапласа
g + g=o (у<0)	(1.44)
при следующих граничных и начальных условиях:
dll	1	.Л	/1 ЛЕХ
à-y = -g^ при j> = °,	(1.45)
и = <р(х),	^ = 0 при _у = 0 и / = 0.	(I.46)
Пусть
00
U(со, у, t) = & [и (х, у, 0] = J « (X, у, t)e~iwxdx.
— 00
rn	л ди ~
Тогда, в предположении, что и—>0 и	—>0 при
I X I—>оо, получим
F [й]
Вместо (1.44) будем иметь уравнение
-^-5- —(ùzU=0.
dy2
Его решение, стремящееся к нулю при у—►—оо, имеет
вид
U=c(<ù, і) еМЛ
где с ((û, t) = С7| j,=0. Учитывая последнее, найдем, после при¬
менения преобразования Фурье к уравнению (I.45),
с (û), t) = A (у>)еіУёТ^\' 4-B((û)e-z^lwH.
Из условий (1.46) получим
Л((і>) = В(<о) =уФ(ш),
где Ф (со) — преобразование Фурье функции <р(х). Таким
§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 23
образом,
U= Ф (ю) cos û) I t) ш IУ
и, следовательно,
00
w (x, y, t) — y-L- J Ф (w) cos ]/g| (о 11 -d I dto.
— 00
2.	Найдем решение iz(x, t) уравнения теплопроводности
с начальным условием
и(х, 0)=/(х)	(—оо <х<4-о°).	(1.48)
Пусть
00
U (a, t) = ^[u(x, 0] = U=- f U(x, ife'^dx. (1.49)
V 2u J
— co
При тех же предположениях, что и в предыдущем пункте,
найдем
о-
Тогда (1.47) и (1.48) сводятся к уравнению
откуда
U(<ù, t) = А (ѵ>) е~шЧ.
Полагая < = 0, будем иметь
Д(<о) = рЬ J f(x)eixu>dx = F(w).
— 00
Следовательно,
[Да, t) = F(<ù)e-wU
И
и(х, 0 =	J F^e-^t-'^dta.
— 00

24	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ	[ГЛ. I
С другой стороны,
«(х, = J e-^-'^dw у /(S)e'^dS =
— 00	—00
= -L У f$)dt У е - “>2(dû) =
— со	— оо
1 Г	(*-0*
=Ï7S I /йе’ “ А
— со
3.	Найдем решение и (х, t) уравнения (1.47) такое, что
и(х, 0) = 0	(х>0), и (0, /)=/(/)	(/>0).
Положим
со
Us ((О, /) = j/^и (х, t) sin (1)X dx.
0
Тогда (1.47) приводится к виду
Vi	t).
Отсюда
_	t
Us{(ù, i) = A (co)e~,ü2'-|- j/	j* е-шѴ(т) dx.
’o
Учитывая, что Us(<û, t) = 0 при / = 0, найдем Л(ю) = 0.
Следовательно,
00	t
и(х, t} = -^ J ”Ç2/ sin $x dS J e^f (t) =
0	0
t	00
= y f (t) dt y qe’’2 _ sin Sx dq =
0	0
P	- -	x2	c
=—I/(t) (t — t) 2e ^t-^dx= \ lF (x, t — x)f(x)dx,
2 У к J	J
о	о

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
25
где
Для обоснования приведенных выше формальных решений
достаточно предположить, например, что все рассматривае¬
мые функции принадлежат L (—оо,
4.	В некоторых случаях с помощью преобразования
Фурье может быть решено интегральное уравнение вида
СО
<р(х) =/(*) + $ k (х — y)<f(y)dy,
— 00
(1.50)
где f(x) и k(x) — заданные функции, <р(х)— искомая.
После применения преобразования Фурье получим
00
f k(x—y)^(y)dy\eixadx =
V in J I J	J
/г(х—у) e'Xttdx =
=	+ j 'PO')'*.)' J k W)e'' (У+’i) udr{ =
= F (u) j/zir Ф (u) K(«).
Отсюда
Ф(«) =
F (и)
1 -/2ÏÏK(K)
и
GO
’,w=ns f
— CO
F (^)	— ixu Л
——	e lxu du.
\-Y2kK(u)

26
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. 1
Учитывая последнее, имеем
— 00
00
= (* F (и)		e~ixa du.
J ' ' 1 ~/2п/С(и)
— 00
Вводя обозначение
Я(«)
найдем
К(и}
1 К (и)'
00
<Р(X) =f(х)4- J r(x — Ê)/(£)dç.
— 00
Если в уравнении (1.50) функции <р(х), f(x) и k(x)
равны нулю для отрицательных значений аргумента, то при¬
ходим к уравнению
X
4W=f(x)+\k(x-tyt(W (х>0).
О
В этом случае решение представляется в виде
X
<Р (X) =f(x) + $/(£) г (х — £) d£,
О
К (и)
где г (х) = 0 при X 0 — функция, преобразованием Фурье
которой является
R(u) —	7=	.
1-К2кК(«)
Заметим, что из последнего равенства следует
X
r(x) = k (х) 4- 5 * të) Г (•* — Ê)
О
Другим интегральным уравнением, которое может быть
решено таким же методом, является уравнение
00
/(*) = $ k(x—y)y(y)dy.	(1.51)
— -л

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 27
По аналогии с предыдущим, формально будем иметь
СО	00
F(u)=-±=r f eixu du [	=
V	J	J
—	оо '	—	со
00	00
= zÿ= f	f k(x — t)eixadn =
V	2л J	J
—	00	—00
00	00
=—^=- f <p(£)^ f А:(і))е' «+’і)“(/г| = )/2пФ(г/)/<(и),
V	2тс J	J
—	00	—00
откуда
У iriïe'ixadu-
— CO
Заметим, что для строгого обоснования метода все функ¬
ции, входящие в уравнение, должны удовлетворять специаль¬
ным условиям. Например, известна теорема. Пусть
/(х)££2(—оо,	—оо,-]—°о). Тогда для того,
чтобы существовало решение у (х) уравнения (1.51), принад¬
лежащее L2(—оо, 4-ос), необходимо и достаточно, чтобы
оо.+оо).
Рассмотрим еще одно интегральное уравнение вида
00
<р(х) =/(*)+ J k (х у) <р (у) dy.
— 00
Как и ранее, имеем
со	со
Ф(и) = Г(и)4--^	[ eixadx f k(x-\-y)<f(y)dy =
V	J	J
— ОО	—00
00	оо
= F(») + pL- J J k(x-l-y)e/xadx =
—	00	—оо
00	оо
=	+ J J k(rl)el'^-y)'ldrt =
—	00	— 00
= F («) + /2п Ф (— и) K(u).

28
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Меняя знак и, имеем
ф (— и) = F (— и) -J-]/2тг Ф (и) К(— и).
Из последних равенств получаем
ф /„X F (и) + У 2те F(— и) К (и)
1-2itK(u)/<(—и) '
Таким образом,
m (х\ — 1 f F (и) + V2Ü F (—и)К(и) е~!ха du
Т /2п J 1 -2пК(и)К(-и)
— 00
В ряде задач математической физики встречаются интег¬
ральные уравнения вида
<? (*)=/(*)+ 5 k (Iх ~У I) V О') ày
О
с симметричным ядром, зависящим от абсолютного значения
разности двух аргументов. Исследование этого уравнения
также основывается на теории интегралов Фурье (см. [79]).
5.	Вычисление интегралов. При вычислении интегралов
применяются формулы Парсеваля (1.30)—(1.35). Для вычис¬
ления некоторых интегралов, содержащих тригонометрические
и показательные функции, можно использовать соответствую¬
щие формулы обращения. Пусть
S = J	(х) dx.
о
Согласно (1-24) имеем

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
Применяя формулу Парсеваля (1.34), получим
29
В силу аналитического продолжения результат остается
справедливым при Rev>y [73].

ГЛАВА П
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 1. Интеграл Лапласа и его основные свойства
Обозначим через /(/) функцию действительного пере¬
менного t,	интегрируемую на любом интер¬
вале (О, А) в смысле Лебега. Пусть р = а-\-іт— комплекс¬
ное число. Выражение
оо
О
(2.1)
называют интегралом Лапласа, а функция /* (р) называется
преобразованием или трансформацией Лапласа функции /(/).
Приведем основные свойства интеграла Лапласа.
1°. Если интеграл (2.1) сходится в точке р0, то он схо¬
дится во всех точках р, для которых Re (р — р0) > 0.
Для интеграла Лапласа возможны три случая:
1)	Интеграл всюду расходится.
2)	Интеграл всюду сходится.
3)	Существует число <зс такое, что при Re р > ас интег¬
рал сходится, а при Rep<atf расходится.
На комплексной плоскости прямая Rep = ac называется
осью сходимости, а число ас — абсциссой сходимости
интеграла (2.1).
2°. Если интеграл (2.1) сходится абсолютно в точке
р0 = а0—то он сходится абсолютно и равномерно
в полуплоскости Rep^Œ0.
Подобно предыдущему, можно определить ось абсолютной
сходимости Reр = <за и абсциссу абсолютной сходимости аа.
Очевидно, <за и нетрудно привести примеры, когда

§ 1] ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА	31
3°. Если интеграл (2.1) сходится в точке /?о = ао-|-/то
и если Q 0 и k 1 — какие-то постоянные, то интеграл
сходится равномерно в области Д, определенной неравен¬
ством
ІР~ Ро — ao)fQ(’_ao).
4°. Если ас<^оо, то интеграл (2.1) представляет анали¬
тическую функцию переменного р во всех точках полупло¬
скости Rep^> $с и
= Ç (-—i)kf(f)e~ptdt.
о
5°. Пусть /*(р),/г(р) — трансформации Лапласа функций
/і(0» /2(0- Если в точке р0 оба интеграла Лапласа схо¬
дятся и
Z (Ро+л/)=А (р,+п1)>
где константа />0 и /г = 0, 1, 2, то почти всюду
/,(/)= Л (0-
Из этого свойства следует, что трансформация Лапласа
/* (р) однозначно с точностью до множества меры нуль
определяет функцию f(i).
6°. Если интеграл (2.1) сходится в точке Ро = 0о4"*то»
а0 >> 0, то
t
lim е “ f (и) du = 0,
Г->со	0J
е.
t
f (и) du = о (e°d) при t—>оо.
о
7°. Если: а) /(/) ограничена снизу, т. е. существует
такое положительное число^ С, что /(/)> — С для всех
t 0, б) существует один из пределов
S	00
lim —	или lim a Ç/(/)e~’*d/ = lim а/* (а),
6 -► о Ê y	0 Y	» ->co

32
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
то существует и другой из этих пределов и
lim —	= lim of* (a).
e -> o e J	a ->oo
8°. Если а) f(t) ограничена снизу, б) существует один
из пределов
е	оо
lim — Ç/(/)JZ, или lima Ç
е ->оо е V	0 _> о J
то существует и другой, при этом
lim — Ç f(t) dt= lim a/* (a).
e —>co Ê J	a -> о
Последние два свойства интеграла Лапласа вытекают из
общей теории тауберовских теорем [257]—[259].
Для сходимости интеграла (2.1) необходимо и достаточно,
чтобы при некотором а0^>0 и t—>оо
t
du = o(e^),
О
т. e.
t
lim e~ <Jo/ Ç f(u) du = O.
g
Как уже было отмечено, трансформация Лапласа одно¬
значно (до множества меры нуль) определяет /(/). Перейдем
теперь к вопросу о нахождении /(/), если известна /*(р).
Теорема 1 (теорема обращения). Если интег¬
рал (2.1) имеет абсциссу сходимости atf<oo, то суще¬
ствует
1 Т	ept
lim 2^7 1 f*(P)~zdp =
Ш^.00 2w J.	P
'[ — ИМ
' 0 при /<0,
t
^f(u)du при
< о
где	Y>0.

§ 1] ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА	33
Таким образом, почти для всех t
d I ï+/<° ept
<23>
Y — z'ao
где интеграл понимается в смысле главного значения.
Примечание. Из свойства 6° следует, что
О
t
где /1 (/)= J/(h) du, a>ac, a > 0 и р = а4-/т. Сущест-
о
вует постоянная Q такая, что | Д (/) | < Qe^ (з > <зс) для
всех і. Поэтому
(2,4)
I Р I °0
Таким образом, если
ao	t
/*(р) = \f(t)e~p‘dt,	и /,(/)= $ Ди) du,
О	о
то преобразованием Лапласа функции Д (/). будет , при¬
чем интеграл Лапласа при a > ас сходится абсолютно. Сле¬
довательно, если
t	е2	j
Л (0 = У <*п	. У / (î.) d-t = pL J / ($) (/ _$)"-* je,
0	0	ü	Ü
то
lfn(t)e-ptdt
0
и
7 + / ®
rin 1 Г	pPt
W = У	Y>ae- (2-5)
ï — / 00
Из неравенства (2.4) следует, что при п = 3 интеграл
в (2.5) сходится абсолютно и равномерно на любом сегменте
a^t^ib. Очевидно, этот интеграл тем лучше сходится,
чем больше п.

34
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
Вычисление интеграла в формулах (2.3) и (2.5) в боль¬
шинстве случаев производится с помощью надлежащего де¬
формирования пути интегрирования; при этом часто оказы¬
вается возможным пользоваться следующими леммами.
Лемма 1 (Жордан). Обозначим через Сп дугу окруж¬
ности
И = /?„, IcargzCy, Jim Rn — co.
z n ->oo
Если функция Ф (z) комплексного переменного z на дугах
Сп равномерно относительно arg z стремится к нулю при
п—> оо, то
lim Ç Ф (z) ezt dz = 0 при />0.
п 00 f
Лемма 2. Пустъ lim /?л = оо и С+, С~— соответ-
п <х>
ственно дуги окружностей
Ы = /?„,	O^Rez^y,	Imz>0,
и
=	0<Еег^у,	Im.2’<0.
Если Ф (г) равномерно ограничена на дугах С„, Сп
(п— 1, 2, 3, ...,) и при п—> оо на этих дугах Ф (г)
стремится к нулю, то
Ііт ^Ф(<г)ег/^ = О и lim \$(z}ez1 dz = ü.
n -* oo ,	n-> oo
Лемма 3. Пусть Ф(г) — аналитическая функция, ре¬
гулярная в полуплоскости Re z у. Если на дугах
RI = /?„,	— у arg z < 4 O’m = •»).
~	n +<X)
Ф(г) при n—> оо равномерно относительно arg z стре¬
мится к нулю, то при / О
ï + 'œ	Y4-/G0
lim Ç <Ü(z)ezidz = Ç Ф (z) eztdz = Q.
ш 00 T —zu)	Y-zoo
Приведем пример вычисления одного контурного инте¬
грала типа (2.3).

§ И
ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
35
Пусть
^4 = ^/7*),
т. е.
а — /оо
(2.6)
Согласно теореме Коши интегрирование вдоль прямой
L (а — ib,a-\-ib) эквивалентно
составленному из дуг С% и Ср
окружности |р| = /?, двубе¬
режного разреза Вѵ В2 и ок¬
ружности сг: |р| = г, (— тт<^
<argp<
котором
рования
Так как
интегрированию по контуру,
^тт) (см. рис. 1, на
направление интегри-
показано стрелками).
т>0, то на дугах
е~х
функция —-=	> О
P Р
при R—> оо. Поэтому, со¬
гласно лемме Жордана, при
/>>0 и R—> оо интеграл от
вдоль и Ср стремится к нулю. Следовательно,
Or и С"ц
Ѵр
/(/, т) = 1іт
7? —> со
Вдоль нижнего разреза Вх имеем р = хе~1\ ]/р =—/]/х;
вдоль верхнего разреза В2) p = xel\ ў р = іў х. Поэтому
V X — xt
dx
Тў^
R
B2 г
/ х — xt
І у ~х
*) Для многозначных функций г« = е’>пг, In г, arctgz и т. д.,
если не оговаривается противное, всегда рассматривается главная
ветвь функций, т. е. In 1 = 0 (arg 1 =0), arctg 1 =
к
T
и т. д.

36
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
На дуге сг при г —> 0 имеем
Таким образом, при /^>0
/(/, т) = — Çe xfcosx]/ х-^=.=
* 0J	Vх
QO	т2
= — Ç е~iu2 cos тн du = e 4t, (2.7)
л J	V*t
где x = uz. При f<0 интегралы от —é~Tp+p* no q'
V p
C#(R—>oo) стремятся к нулю, т. e. /(/, т) = 0 при /<^0.
Следовательно,
Теорема 2. Если интеграл (2.1) сходится абсолютно»
то lim /* (а ZT) = 0 и сходимость равномерная для всех
X -> ± 00
а(а^а1>аа).
Теорема 3. Если интеграл (2.1) сходится абсолютно,
H(z)— аналитическая функция в окрестности каждой
точки z=f*(p) и 7/(0) = О, то функция Ф (р) = 7/[/* (р)]
в полуплоскости ^р^>^а представима абсолютно сходя¬
щимся интегралом Лапласа.
Важное значение имеют критерии, по которым можно было
бы судить, является ли данная функция (аналитическая в
полуплоскости Rep^>y) преобразованием Лапласа. В ряде
случаев теорема 3 позволяет ответить на этот вопрос. На-
00
пример, интеграл J e~pt dt = -y абсолютно сходится при
о
Rep>0. Применяя теорему 3, заключаем, что у — 1
также представима в полуплоскости Re р 0 абсолютно схо¬
дящимся интегралом Лапласа, Отсюда следует представи¬
§ 1]
ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
37
мость функции (■ г — - =■—1 ) е1/^+1 и так далее. В частно-
\Ур + і J
сти, из этих соображений следует
Теорема 4. Аналитическая функция, регулярная в
окрестности бесконечно удаленной точки и равная в ней
нулю, представима абсолютно сходящимся интегралом
Лапласа.
Сформулируем ряд теорем аналогичного характера.
Теорема 5. Пусть аналитическая в полуплоскости
Rep>y функция f*(p) удовлетворяет условиям:
1°.	lim	0, а>у,
и сходимость в полуплоскости а^(70>у равномерная.
2°. Для всех і, —оо	существует
lim
СО —> 00
а Ajo
1 Ç ept ар = Ф (t).
2iu J p r v '
а— но
3°. Функция Ф (f) абсолютно непрерывна и существует
интеграл
CD
F(p) = J V{t}e~ptdt.
0
Тогда f*(p) = F(p) и, следовательноt /*(р) есть преоб¬
разование Лапласа.
Теорема 6. Если функция f*(p) — аналитическая в
полуплоскости Re р у, ограничена в каждой полуплоско¬
сти Rep > у, и если для существует интеграл
5 |/* (<* + к) [Г^Т<С °°»
1 <г<2,
— 00
то f*(p} представима в полуплоскости Rep^>y интегра¬
лом Лапласа.
Теорема 7. Если функция f*(p)t аналитическая в
полуплоскости Rep>y, удовлетворяет условию
00
sup Ç [/* (<?-{-^) \r dx < оо,
°>Т-Л

38
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. И
где	то f* (р) в этой полуплоскости предста¬
вима интегралом Лапласа.
Теорема 8. Условие
со
sup Ç I/* (a -J-zt) |2 dx < оо
3>т _ а.
является необходимым и достаточным для того, чтобы
аналитическая в полуплоскости Rep>y функция /* (р)
была трансформацией Лапласа от функции f(t), для ко¬
торой
00
и
Теорема 9. Пусты.
1°. /* (р) есть регулярная функция в любой конечной час¬
ти плоскости комплексного переменного р, за исключением
множества точек рх, р2, р3, ... , рп, ... (| рх |	| р21
I Pi I	I Рп I • • • ) — полюсов функции f* (р), при¬
чем Кмрп^зс для всех п.
2°. Существует предел
lim
U)->00
7-H'ü)
i ,î
Ï —/ц>
Y4-/QO
ep1 dp.
/ — /00
Y>^- ï>0-
3°. Существует последо¬
вательность простых кон¬
туров Сп, опирающихся на
прямую Rep = y в точках	у — і$п. (Эти контуры
лежат в полуплоскости Rep<^y, они не проходят через
полюсы рп.) Каждый контур Сп заключает начало коорди¬
нат и п первых полюсов рѵ р2, рѵ рп (рис. 2).
4°. Для всех t^>Q
2ш
с»

§ 2]
ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ
39
Тогда интеграл равен сумме сходящегося ряда
7 + іоо
1 С f*Wcrt
2-i J P
ï— Z»
CO
dp=^rn (/),
n = 0
где rn(t) —вычет функции ept
в точке p = pn (л=1,
2, ...) и rQ(t) — вычет в нуле.
Примечание. Если функция у/* (р)
удовлетворяет
условиям лемм 1 и 2, то естественно в качестве Сп выби¬
рать дуги окружностей с центром в начале координат.
Если существуют число Q>0 и последовательности
положительных чисел
и	такие, что
1) Нт р„ = оо,
п GO
lim 8„ = 0.
2> 1^1
I/* (— 3,1 H- /т)
I
Рис. 3.
—	И HI с
то в качестве контуров Сп можно взять [-образный контур,
изображенный на рис. 3.
§ 2. Теоремы о свертках
Сверткой функций я(/) и b (t) действительного перемен¬
ного t называется функция с (/), определяемая равенством
t
c(t)= J a (t — т) b (т) dt.
о
Символически свертку обозначают следующим образом:
c(t) = a(t) К b{t).
Операция получения свертки называется свертыванием.

40
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
Приведем некоторые свойства свертки.
а)	Коммутативность
б)	Ассоциативность
(а*Ь)*с = а* (Ь*с).
в)	Дистрибутивность относительно сложения
[а (f) + b (/)] * с (і) = а (t) * с (f) -I- b (/) * с (f).
г)	Теорема 10 (Титчмарша). Если свертка функ¬
ций а(і) и bit), непрерывных при	тождест¬
венно равна нулю, то хотя бы одна из этих функций
тождественно равна нулю.
Последняя была доказана Титчмаршем в 1924 г. [73],
[248]. После него было предложено несколько доказательств
этой теоремы [129], [220], [262].
Теорема И *) (теорема о свертке). Если инте¬
гралы
tt>	QO
Л(Р)= $ MVe-P'dt и f*(p)= $
о	о
сходятся абсолютно при Х&р>аа, то /* (р) = /*(р)/*(р)
является преобразованием Лапласа от
t
f(t) =	—Т)Л (ТИХ
о
и сходимость интеграла
О
при Rep^>oa абсолютная.
Сформулируем эту теорему также в следующем виде:
Теорема 1 Г. Если	и	— интегралы
P P Р
Лапласа соответственно от функций f(i), g(t) и h(t), то
*) Эту теорему иногда называют теоремой умножения или
теоремой Бореля,

ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ
41
§ 2J
почти всюду
t
Q
Приведем еще одно замечание, относящееся к вышепри¬
веденной теореме. Пусть
0.
Л (р) = î е~Р'Л W) dt, р, > а, (2.9)
«1
и
02
Л <Р) = Î е~р*Л (0 dt, р2 > аа. (2.10)
«2
Тогда получим
01 4" 02
Л(Р)Л(Р)= J e-pt/(t)dt, (2.11)
«1 + «2
причем
min (3iî t — а2)
/W = J /.ад(/-г)Л,	(2.12)
max (а,;	32)
Доказательство (2.11) и (2.12) следует из предположения
абсолютной интегрируемости (2.9) и (2.10).
Теорема 12. Пусть даны, две функции f(t) и g(t) с
показателями роста sx и s2, т. е.
|/(/)|<M?4	|^(0|<Л1еѴ.
Тогда преобразованием Лапласа произведения этих функций
f(t)g(t) является функция
а-\-і со
2^ j f*(z}g*{p — z)dz,
a — i en
где a~^>s, и Re р > s2-|“ а>
/* (Р) = $ e~ptf (0 dt,g* (р) —^e-pt g (/) dt.
о	о

42
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
Очень важное значение имеет доказанная в 1935 г.
А. М. Эфросом следующая обобщенная теорема умножения.
Теорема 13*). Пусть /* (р) = J е~pt f (t) di и анали-
о
тические функции g* (р) и q (р) такие, что
g* (р) е~х(рр} = J e~ptg(t^)dt.
Тогда
00	00
Г[?(Р)]£'*(Р)= \e~ptdt \f(x)g(t,x)dz.
U	и
оо
В частности, полагая q (р) = р, e~ptg(t, x)dt =
о
= e~pxg*(p), т. е. g(t,ï) = g(t — т), имеем (при
g(/_x) = 0)
00	00
/*(Р)£*(Р) = $ е~р' dt J f(x)g(t — x)dt =
0	U
oo	t
— J e~pt dt f (t) g (t — t) dz.
U	0
§ 3. Некоторые свойства преобразования Лапласа
Приведем ряд простых предложений, составляющих аппа¬
рат операционного метода. Далее мы всюду будем обозна¬
чать
00
Г(Р) = $ e-p‘f(t)dt = ^[f(t)],	(2.13)
и
оо
f(P)=P^ e~ptf(i)dt = C[f(t)\.	(2.14)
U
*) Точные условия этой теоремы см. в гл. V, § 12.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
43
§ 3]
1°. Свойство линейности. Пусть
/(0= 2 ckfk(t),
где ck — любые (комплексные) постоянные. Тогда
Я [/ (/)] = 2 [ i Ckfk (0] = 2	[/* (0] =
А=1	k=A
= 2 ^Л(Р) =/*(/>)• (2.15)
А = 1
На основании (2.15) формально имеем
Я Х)] |У(М + ^)-/О j =
= /ЧМ + ^)-/*(р,М =	X),	(2.16)
S [$/(/, X) Л] = $ â' [/ (Л X)] d\ = J /* (P, X) Л. (2.17)
À]	kl
Аналогичные свойства имеют место и для преобразования
Лапласа — Карсона (2.14).
2°. Свойство подобия. Для любого постоянного а имеем
^Кт)]= Р(т)'""й =
о
= а у /(т) е-а/’т<7т = а/*(ар),. (2.18)
о
и
= ар j /(т)е-“^<7т=/(ар).	(2.19)
о

44	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. II
3°. Преобразование Лапласа производных. С помощью
интегрирования по частям легко получить
2 ЕГЧО]=рпГ (р)-ри" V(o	2/'(0)-р”-’/"(0)-...
... — р/(П”2) (0) —	(0), (2.20)
(0]=р"7(р) -рѴ(0) -р"-1/' (0)-рп-*г (0) -...
... — р7("-2) (0) —pf{n-'} (0),	(2.21)
где п — целое положительное число.
Двойственным к свойству 3° является
4°. Дифференцирование преобразования Лапласа. Для
целого положительного п имеем
^^ = (-l)n J	=	(2.22)
о
_	t
=	\)п C\tn f (t) — п J tn~'f(t}df\.	(2.23)
о
5°. Преобразование Лапласа интегралов. Для целого по¬
ложительного п имеем
t	*	ТЛ_2
J/(!„_,).1=^.	(2.24)
о	о	0
6°. Интегрирование преобразования Лапласа. Если ин¬
ею
теграл J f*(q)dq сходится, то он служит преобразованием
р
Лапласа функции , т. е. имеем формулу
°°
= [ф] .	(2.25)
р
Очевидно, что для любого целого положительного п имеем
ОО	00	оо
=	(2.26)
Р	Я	Яп-ъ

§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 45
Приведем еще несколько формул аналогичного вида. Ин¬
тегрируя выражение
/•<“/»= R/""
о
по а от 0 до 1, получим
О	0	0	о
Полагая a.p = q, / = ал, будем иметь
S [ j ф л] = 1 у /* (q) dq.	(2.27)
I	о
Таким же образом
& [уф^
ИИ*
р
(2.28)
Отсюда
0
= jjf*(q)dq,
0
(2.29)
QO	OD
$f-^dx= ^f*(q)dq.	(2.30)
О	о
7°. Для любого положительного т, учитывая, что/(/—т)=0
при легко получить
J /(/-t)e-^d/ =
= J f{u)e-p^du = e-px J f(u)e~padu,
о	о
^(/и-т)] = е-^Л(Р).	(2.31)

46
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
8°. Для любого комплексного q имеем
f*(p — q) — J	J [f (t) e9t]e~ptdt =
О	о
= ^[/(0^], (2.32)
f(p — q) = (P — <l) У f(f)e~(P~9)t di = p $ [f (t) e9t]e~ptdt —
0	0
00	t
[f(i)e^]e-ptdt=C[f(t)e^-q^f(z)e^dTl (2.33)
0	0
Приведем здесь две важные теоремы, позволяющие ре¬
шать весьма большое число практических задач.
Теорема 14 (первая теорема разложения).
Если функция f*(p} регулярна в бесконечно удаленной точке
Г41 ] и имеет в ее окрестности лорановское разложение
Г(р)=ѣ%>
k=l г
то
(2'34)
При этом
является целой функцией.
Теорема 15 (вторая теорема разложения).
Пусть функция Р(р) удовлетворяет следующим условиям*.
1°. /*(р) мероморфна и регулярна в некоторой полу¬
плоскости Rzp>sQ.
2°. Существует система вложенных друг в друга ок¬
ружностей
Q \p\ = Rn>	R,, — ™,

§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 47
на которой f* (р) стремится к нулю равномерно относи¬
тельно argp.
3°. Для любого а^> sQ абсолютно сходится интеграл
$ f{p}dp.
а — /со
Тогда
Г(р)=& (2 res^ /• (р)	,	(2.35)
где сумма вычетов берется по всем особым точкам pk
функции f* (р) в порядке неубывания их модулей.
Следствие. Дробно-рациональная функиия
f* (п\	М О7)	атРт Л~ат-\Рт 1 + • • • -\га\Р + яо
J	/Ѵ(р)— b^ + bn^pn-' + ...+bïP+bQ ’	W</z,
(2.36)
является преобразованием Лапласа функиии
El	гТ *	4
lim £^{/*(Р)(Р-Р,)п‘Н> (2.37)
*=1^* о- P-+Pltdp *
где pk — полюсы f* (р), a nk — их кратности, и сумма бе¬
рется по всем полюсам.
В частности, если все полюсы /*(р) простые, то, восполь¬
зовавшись формулой для вычисления вычётов в простых по¬
люсах, будем иметь
/(/) = у
Если многочлены М (р) и N (р) имеют действительные коэф¬
фициенты, то
^w=w!=Æ’(S^w'',*'+2ReS^âe")’(2!i8)
где первая сумма распространяется на все действительные корни
/Ѵ(р), а вторая — на все комплексные корни с положитель¬
ными мнимыми частями.
Заметим, что каждый член формулы (2.37), соответст¬
вующий комплексному корню pk = vk представляется

48
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
в виде
<?’*' (cos V + i sin V)-
§ 4. Преобразование Лапласа некоторых простейших
функций
По определению гамма-функции Эйлера имеем
Г(А+ 1)= J е-' tkdt, ReA>—1.
О
Полагая t = pn, получим
о
Таким образом
=	ReA>—1.	(2.39)
В частности, при целых неотрицательных k
(72 = 0,1,2,...).	(2.40)
С помощью дифференцирования по параметру k равенства
(2.39) получим
^(^1п/)=^т^№(А+l)-lnp], ReA>-l,
где ф обозначает логарифмическую производную гамма-функ¬
ции. Полагая & = 0, получим
^ (1п /) = _1(С + 1пр),
где
С = -ф(1) =
= Ііш ( 1 + У + .. •+ 7 — Іо л) = 0,577215665...
П->00 '	'
— постоянная Эйлера.

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ 49
Используя разложения
со	оо
COS/==É	sin/ = g0(-l)"
можно с помощью (2.40) получить
=24005/) = —^,	(2.41)
Найдем еще изображение для функции /2 7^(2 )/"/), где
k — комплексное число, ReÆ^>—1, и Jk(t) обозначает
функцию Бесселя k-vQ порядка
j	( ~1)П-	1 P Y"
АІ) к2/ “о «! i>+*+i)U; ’
Полагая t = 2 Y z, имеем
k	00
—о	1	1 ''
00	!
= ЩгД = р-ете"'- ReAî> —1. (2.42)
n = 0	* Г	Г
Введем в рассмотрение многочлены Лагерра
pt dn
'І ’■ 2> •••)•
Применяя (2.33) и (2.40), получим
te (0} = % {іпе~1} = —= g* (р).
Так как £(0) g (0) = g" (0) = ... = g{n 1}(0) = 0, то
с помощью (2.20) найдем
J — (1пе~1\ 1 —	пУ'рП

) dtn [	> f — (р + 1)" + 1’
Наконец, опять используя (2.33), будем иметь
(0} = 7 (1 - ІУ (« = 0,1,2,...). (2.43)

50
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
§ 5. Вычисление интегралов
Приведем несколько конкретных примеров. Пусть
00
- ... Р II Sin tit ,	. .
/(0 = J T+l?Ju’ />0-	(2-44)
0
Применяя (2.41) и (2.33), найдем S {и sin іи} = u ,
J (/? + и2)(1 +«2)= 2'ЯгТ = с2’Ч|‘2 е
О
Следовательно, =	1. Рассмотрим интеграл
*+1>!>0.	(2.45)
О
Полагая и = 2^ t, найдем
00
(* 1
,__J	 У t2JküVl} „
1	2Л""+1	1	2k-n-\-4 Ub'
J t 2
0
oo k
mx f (MY2 JkÇLVït} ..
Ьведем в рассмотрение интеграл 1\к]= I 	п —at.
о t 2
Согласно (2.42), (2.18), имеем
-	Л+1	--
^{/(à/)2./a(2J/}7)} = (^) +'е р .
Поэтому

51
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
§ 6]
откуда
г/ —
/—	И
1 Jk-n+i ' '	Ok~fi + i /
ф + 1-
Наконец, вычислим интеграл
00
J Jo (/) — COS t
О
где Jo— функция Бесселя нулевого порядка. Имеем
.244 (0-cos О
I	Р
/F+Î Рг +1 '
Поэтому, согласно (2.30),
ОС
О
А (/) — cos t dt
= Г|„г±1ГЁ±'1* =i„2.
L тѴ + i Jo
§ 6. Применение преобразования Лапласа к решению
дифференциальных и интегральных уравнений
1.	Пусть дано дифференциальное уравнение вида
апи^ (t) + аП_^п-'> (0 4-... + atu’ (t)+aau (t)	(2.46)
где и (t) — искомая функция независимого переменного f,
/(/) — заданная «возмущающая» функция, а а- (/ = 0,
1, 2, п) — постоянные коэффициенты [55]. Умножим
наше уравнение на e~pt и проинтегрируем по t от нуля до
бесконечности; после этого получим
а*(/?)и*(р) — b* (p)=f* (р),	(2.47)
где
а*(р) = апр”4-а„_1рл“,+ ...atp-\-аЛ,	(2.48)
b* (Р) = Ъп_, рп~blP + b„,	(2.49)

52
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
причем
ьп-х = апи (0),
£n-2 = a„u' (0) + ап_,«(0),
ьп - з = аХ' (0) + _ X (0) + ап _ 2и (0),
Z>1=aXn"2,(0)+a„_Xn”,(0)+’..’.’+a2«(0);
^ = aX” ”(0) + an_X"-2,(0)+ ...
• • • 4" агй' (0) + aiu (0)-
(2.50)
Разрешая уравнение (2.47) относительно и* (р), получим
следующую формулу:
u^{p}==f*(P) + b*(p)
a*(p)
(2.51)
Введем
обозначения
r* ( n\ 	 *	c* ( n\ —
Г W a*(p)’ S (P>	a*(p)‘
(2.52)
Тогда
«* (P) =f* (P) r* (p) + s* (p).
(2.53)
Величины г* (р) и 5* (р) являются рациональными дробями,
которые известными приемами могут быть разложены на эле¬
ментарные дроби. С помощью теоремы о свертке получим
t
(2.54)
о
Мы получили общее решение уравнения (2.46), содержащее п
произвольных постоянных, роль которых выполняют началь¬
ные значения искомой функции и (/) и ее п—1 производных.
Конкретная форма решения будет зависеть от того, каковы
будут корни характеристического уравнения
а*(р) = 0.	(2.55)
1°. Все корни уравнения (2.55) действительны и различны:
а*(р) = ап(р — р,)(р — р2) ... {р — рп). (2.56)
В соответствии с этим получим
г*(р)
S* (p)
G і G і I гп
Р-РіР-рг^ ’ ’ ‘ ~Р-Рп'
S1	S2 I	I Sn
P-Pi P-P*' ’ ’ ’ 'р—Рп’
§ 6]
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
53
где постоянные коэффициенты гк и sk определяются форму¬
лами
	1 „ _ **(/>*)
’ h		>	>	Ь		/	»
а* (рк)	а* (рк)
п	п
ь*(рк)=и(о) S <м4-1+“'(о) S aiPlk~2 + • • •
1=1	1=2
...+«‘"-”(0) S azp'ft-n+1 + «(n-,,(0)«n.
l=n — 1
Таким образом,
г (о = S rkePit> s (О = 5 skePkt-
k=l	k=l
(2.57)
Подставляя (2.57) в (2.54), получим
п
«(0=É
*=і
«*'(/>*)
t
f (^) e-РЧ'dzb* (рк)
Lo
(2.58)
2°. В случае нулевых корней уравнения (2.55) имеем
а*(р) = апрп	(2.59)
и, следовательно,
Ç* /г)\ 	 ^П-\ 1	I ^П-2 1	I	1^1	^1^0
{Р} ап ап Р2^ апР“~1^апрп*
Тогда
/а— 1
Г ап (п — 1)! ’
ç //\	I ^п-2 І	I I tn 2 I bg 1
ап ап	ап(п-2)\~Гап(п~\)\-
В этом случае уравнение (2.54) принимает вид *
“w=ikwV=T''’+.g
0	«я0
а„ АІ •
(2.^0)

54	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. П
3°. Все корни (2.55) действительны и равны между собой,
а*(р) = ап{р — рх)п,	(2.61)
тогда
Г*(п)=	?	,
ап(р-р1)п’.
і п\			 Сп	[ Сп-1 I	I С1
ап(р-Р1)п	(Р-А)" ‘ (Р ~А)"~1 ‘ ‘ ‘ Р-Рі ’
где ck — линейные однородные функции начальных данных,
определяемые известными способами разложения рациональ¬
ных дробей на элементарные. Найдем
Формула (2.54) представляется в следующем виде:
“ W = j ! І’> л + ‘,J È (Йй ■ <2 62>
о	k—1
В общем случае структура многочлена а*(р) имеет вид
с*(р) = ап (р — pt). ,.(р — р.) (р—Р/+іў(рг-\.і,іР-^Сі),..
• • • (Р2 4~ bkp 4- ck) (р2 + bk+i р-\- ck+l)m...	(2.63)
Тогда
А . V5 I V5 5з I V* с\р + I
Г P — èiP-/’» +	(P-Pi+1)^	P2 +V + CT
m
I У Qp + Д^ I
îèi (p'+^+ip+^+i)0"1- ’ " ”
S* ~ ^1P-P^ + (P-Pi + ^ p2 + b^P + ct
” Ф + Ot
"T (p2 + +1P + ck dJ5	”

§ 6]	ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
55
где коэффициенты Аа, , С?, Z)Y , £>8,	В'^ С', С' ,
£)'f, D\ — некоторые постоянные, причем Æ, Ц, С', D\ —
линейные однородные функции начальных данных. Функции
г (і) и s (/) представляются в следующем виде:
‘	1 В
г а)=Е +Е еР^ +
+Ее [ Цcos т/ Н—sin +
. т	t Т8 — 1 т2
+ е	f •••fcos<pA+lT1X
ô— 1 'Ра 4-1 о g g
X sin <pft+1 (т2 — T,) ... sin <pA+, (t —
2^-СЛп
2ÿ1+i
Sin(pft+1 VsintpA+1(T2—S)-X
0	0	ô
+	—	••• d\-X +«••
' o'
s,',=S^-'+g,ir^
k by
2D'—C’by
—Ц—12 sin <p/
2'pT	Tï
Xsin<pft+1(T2 —t,) ... sin cpA+1 (Z —	... dT6_,4-
t Tô — t	T2
2DÔ-C?A + , f f f. .	,
H—	J	I •••J sln!Pft+lvslnc?A+i(s —s)---
"TA-I-1	0 0	0
•••sin?A+1^ —хг-і)^ ••• dxô-i

56
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
где
<?т
'рА+1=]//' ck+i —-^±1-
Подставляя приведенные здесь выражения для г(/) и s(t)
в формулу (2.54), получим общее решение рассматриваемого
дифференциального уравнения.
2.	Введем в рассмотрение систему линейных дифференци¬
альных уравнений с постоянными коэффициентами aik и с
дополнительными членами Д (/),. являющимися заданными функ¬
циями времени
^■ = аііхі + амхі + • • • + аіЛ+/і (0>
— а21х, 4- «22-ѵ2 4" • • • + агпхп 4-Л (О»
(2.64)
= ап1х14- ап2хг 4- ... 4“ аппхп +Л, (О-
Умножим каждое из уравнений системы на e~pt и проинтегри¬
руем по t от нуля до бесконечности. Тогда будем иметь
(«п — Р) х\ (Р) 4" а^хг <Р) +
(Р) + («22 — Р) Х2 (Р) +
• +«іХ(р)=
=—[/J (р) 4- хі (0)]>
+ ѵ»(Р) =
— — Иг (р) х2 (0)]»
(2.65)
«п1*1 (Р) П ■ агПХ2 (Р) + • • • + («,,„ — Р) Х*п (Р) =
= — [/» (Р) + Хп (°)]- >

§ 6]	ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА	57
Разрешая эту систему, получим
(А= 1, 2, ..л),	(2.66)
где
(«и— Р)	•••	«I»
Д 	 ^21	(®22 р) •••	агп
ап1 апг ... (апп — р)
есть главный определитель системы уравнений (2.65)
^=-
п
-S(-
/=і
1)/+*Л Д/л
(р)- S (-1)'ЧАх, (0)Д/л(р)1
/=1
и
(вн— р)
Й12
(а22 — р).
е	с
~	ем
« 3
+	+ .
ле	ле
—	см
7	7
ле	ле
—•	см
« <3
Д/а(р) =
•
+ 7’ •
Û/ + l,2	‘
Л -Р
+’	1*
йг Хг
1	1
+ 7’
+ +
+ 7’
3	3
ап2	'
•• antk-i ап, к + і * * Лапп р)
есть минор главного определителя, получаемый вычеркива¬
нием /-Й строки и Æ-ro столбца. Таким образом, формула
(2.66) может быть представлена в следующем виде:
п	п
xk(p)= S/,(p)^(P) + 2 х,(0)^(р),	(2.67)
I = 1	i = 1
где
^(P) = (-1)
f+Æ+1 ^ik (P)
A(P)
— рациональные дроби относительно р, степень числителя
Д/Л(р) не менее, чем на единицу, меньше степени знамена¬
теля Д(р), равной п. Для разложения D-k(p) на элементар¬
ные дроби требуется знать корни уравнения Д(р) = 0. Пос¬
ле определения функции x*k(p) из (2.67) и последующего
58
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
нахождения хк (/) будем иметь
п *	п
xk V) = 2 j л W	- *)dx + 2 хі (0) Dik (t).
/ = І0	« = 1
Приведенный метод может быть применен и к системам ли¬
нейных уравнений высшего порядка
п
21 {a^k^-V	+ c.kxk} =/Лі)	(>=1,2, ... , я),
хй(°) = ай> 4(°) = ₽fe (6=1,2, ..., n).
После воздействия на обе части написанного уравнения пре¬
образованием Лапласа будем иметь уравнения следующего
вида:
2 (<w2 + t>4kp + cj X* (р) =
*=1
=/»(/’)+ 2
k = l
Отсюда X* (р) находим средствами линейной алгебры. Не
приводя общих формул, рассмотрим в качестве примера си¬
стему двух линейных уравнений второго порядка
~dt* "Ь ^*2 ~dt = “Ь^12*2 “Ь Л ]
Л2у	Ау	Ау	>(2.0о)
■^/+Л21 ~dt"^ Л22 ^=6Z2LX1 +^22X2+/2 (0»
где Xj и х2 — искомые функции от /, fx (t) и /2 (/) — задан¬
ные «возмущающие» функции времени, Лп, Л12, Л21, Д22, аіѴ
aï2, a2V а22 — постоянные коэффициенты.
Умножая каждое из уравнений системы (2.68) на e~pt и
интегрируя по t от нуля до бесконечности, получим
Л Л — pxt (0) — Х1 (0) 4-рЛпХ1 — лпх, (0) + 412рх* —
— Ал (0) - а,Лі+ачх2 + Л,
ЛЛ — Рхі (°) — Л (°)	— A2tXl (°) + А22рх* —
— А22х2 (0) =	+ а,2х2 +/»•

§ 6]	ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА	59
После приведения подобных членов найдем
(р2 + рДн — ап)х;4-(Л1гр — а12)я2 =	\
=/і + (р + Л.)	+	-4-х;(0), I
(Л1Р — «21)^ + (Р24-РАг — агг)Хг =	I
=/ г+Ліхі (0) -J- (р + л22) х2 (0) 4“х2 (0)- '
Отсюда
= Т (А=1.2),	(2.70)
где Л — главный определитель системы уравнений (2.69)
д= (Рг + ЛиР —а1.)	(Л>2Р —а12)
(Л21Р — а21)	—
Величины Др Д2 определяются
Ді—/Ïïii —	+
где
yL=p’ + A2p—«22.
Ï21 = ^21Р	«2Р
с помощью формул
Д2=/2Т22-Л^ + «2’
Ï12 ~ АгТ1 «12’
'І22 = Р‘ + ЛцР	«и»
*і = х, (о);(р+л„)Т;-л21Ѵ;2Ц-
+*2 (0) IЛ2 yL - (p+A2) yL I + x\ < - < (0) y;2.
S = X1 (°) IA1Y22 — (Р + Л11) Y*i I +
+хг (0) [( p 4- л22) y22—л 12 y21] + x\ (°) y*i 4" Ч (°) Y22*
Введем обозначения:
r^ = (-I)ft+n^. d; = 4 (A,n = l,2). (2.71)
Тогда формулы (2.70) могут быть представлены в следующем
(«, = 1.2).	(2.72)
Величины Г*п, D*k (k> л=1, 2) являются рациональными
60	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. II
дробями относительно параметра р, в которых степень числи¬
теля меньше степени знаменателя, равной четырем. После
разложения последних на элементарные дроби легко найдем
t
Ч (0 = 5 [/1 W ГЙ1 (* - т) + Л (X) ГА2 (і - T)] dr 4- Dk (/) (2.73)
о
(k= 1, 2).
3.	Для некоторого класса дифференциальных уравнений
можно представить решения в виде интегралов Лапласа, где
независимое переменное входит под знаком интеграла как
параметр. Введем в рассмотрение уравнение
++	+	0 %(Л_1) (/)+•••
... +(Яо + М *(0 = 0. (2-74)
Пусть
x(t)= j eptv(p}dp,
причем относительно интервала интегрирования не делаем
пока никаких предположений. Тогда
(t) = ept pkv( р) dp, tx{k) (t} = tept pkv(p)dp =
= [eptpk v ( p)] — y epi [p* V (/?)] dp.
Подставляя эти выражения в (2.74), получим
/ п	п	ч
Ç ePt •) X ак pk ѵ ( P) — Z bk 57 [pk v (P)] dP +
J Ia=o	л=о p	J
n
+ Z Ьк\еР'ркѵ(р-)\ = Ъ. (2.75)
Л=о
Это уравнение удовлетворяется, если выражение, стоящее в
фигурных скобках равенства (2.75), обращается в нуль, что
дает дифференциальное уравнение первого порядка для опре¬
деления функции г/(р). Второе слагаемое также должно
быть равно нулю; этому условию можно удовлетворить,
подобрав надлежащим образом интервал интегрирования.
Пусть
tx" (t) 4- (а 4- b +1) х' (t) 4- a;; (/) = 0.

§ 6]	ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА	61
Преобразование Лапласа x(t) = J eptv(p)dp дает для опре¬
деления ѵ(р) уравнение
®'(p)(p2+p) — v(p)[p(a-\-b — 2)4-а— 1] = 0.
Отсюда следует
Из второго условия имеем
[*" (р + 1	’ ра-* (рг +р)]3 = 0,	(2.76)
где а и р — начало и конец интервала интегрирования.
Для определенности полагаем а^>0, ^^>0. При этом усло¬
вие (2.76) удовлетворится, если а = —1, р = 0. Следова¬
тельно, первый интеграл уравнения (2.74) имеет вид
о
хДі)=
— 1
Полагая [3 = 0 и а = —оо, получим второй интеграл (по
крайней мере для />»0)
о
х2(0 = J^(p+né-,pe-,rfp.
— 00
Во многих случаях путь интегрирования приходится выби¬
рать в комплексной плоскости.
Рассмотрим уравнение
іх (/)—{—2zzx (f) —|— tx (/) = 0.
Как и ранее, найдем
ѵ(р}= (р2 + 1)"“*.
Из условия
[^'(рг+іП=о
найдем а = — /, р = -}-/. Таким образом,

62
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
Полагая р — іи, будем иметь
1
xl(t) = i J eiat{1 — иг)п-' du.
— 1
После разделения действительной и мнимой частей, получим
1 1
xl(t) = i cos ut (1 —u2}n~'du— J sin ut (1 —u2}n~' du.
— 1	-1
Во втором интеграле стоит нечетная функция, поэтому он ра¬
вен нулю. Следовательно,
хД/) = j cosnf (1 —и2)п~* du.
— 1
Второй интеграл получается, если положить а=—оо и
p = -]“z или —/(/>0). Интегрируя от -—оо до 0, затем
от 0 до Z, получим
0	1
х2 (/) = j ept (р2 4~ I)""1 dp-\- i J elîlt (1 — н2)""1 du —
— со	0
0	1
=	ea/(«24~ \)n~ldu-\-i J cos«/(l—u)n~'du—
— QO	0
— J sinnf (1 —h2)””1 du.
0
Таким образом, мнимая часть равна — хД/); следова¬
тельно, действительная часть также должна быть решением,
т. е.
о	1
х2 (t) = J eut (и2 + 1 )п“1 du + J sin ut ( 1 — и2)п"1 du.
— 00	О
Ряд вопросов, относящихся к последнему пункту, см. в [233].
4.	Метод, подобный рассмотренному выше, может быть
применен и при решении дифференциальных уравнений в
частных производных, встречающихся в различных областях
прикладной математики.

§ 6]	ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА	63
Пусть дано уравнение вида
V u-^a(x,y,z)^-\-b(x,y, z) +
с (х, у, z)u = f(x, у, z, /), (2.77)
г-,2 д2и . д2и . д2и	л	. ч
где V ^ = ^2 + ^ + ^г — оператор Лапласа, (х, у, z) —
точка некоторой области и /, обычно обозначающее время,
положительно. Граничное условие имеет вид
а(х, у, z)u-\-$(x,y, z)^ = <f(x, у, z, t),	(2.78)
где означает нормальную производную. Кроме того, зада¬
ются также начальные условия внутри области, например,
Іігп и (х, у, z, /) = и0 (х, у, z},	(2.79)
t->o
lim и (х, у, z, /) = (х, у, z).	(2.80)
f—> о
Умножим исходное уравнение (2.77) на e~pt и проинтегри¬
руем по t от нуля до бесконечности. Предположим, что
интегралы
У e~pt и (х, у, z, /) dt, У e~pt и (х, у, z, t) dt и т. п.
о	о
существуют. Кроме того,
J e~pt уги<11= V2 J e~piudt.
о	о
При указанных предположениях о свойствах неизвестной
функции и (х, у, z, t) получим из (2.77), (2.79), (2.80) урав¬
нение
Ѵ2“* (р) + la U- У> z)ps + b (х, у, Z) р + с (х, у, г)] Ü* (р) =
— а(х, у, г)[ри, (х,у, z) — ul (х, у, z)] +
+ b (х, у, z) (х, у, z) +/* (X, у, z, р). (2.81)

64	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. II
Граничное условие (2.78) переходит в следующее:
ь(х,у, z)u* (р)-]-${х,у,	=	(х, у, г,р). (2.82)
После нахождения и* (р) из уравнений (2.81), (2.82) задача
сведется к нахождению и(х, у, z, t) из равенства
u*(x,y,z,p) = е p1 и(х, у, z, t)dt.
о
В случае, если и* (х, у, z, р) найдется в заранее заготовлен¬
ной таблице формул, то искомое решение сразу выписы¬
вается. В противном случае, решение можно получить при
помощи теоремы обращения
7 4-/00
и(х, y,z, 0 = 2^/ j еИи* (х, у, zyï)dï.
7 — /'со
Как это было замечено ранее (см. § 1), последний интеграл
часто вычисляется при помощи преобразования к соответ¬
ствующему замкнутому контуру и применением теории вы¬
четов. Отметим, что при построении вспомогательного урав¬
нения и его граничных условий и при получении функции
н(х, .у, z, t) из и*(х, _у, z, р) при помощи теоремы обращения
делается ряд определенных предположений о свойствах функ¬
ции и(х,у, z, t). Все подобные предположения о возможности
перемены местами операции преобразования Лапласа, с одной
стороны, и операций дифференцирования и предельного пе¬
рехода, с другой, предположения того, что решение должно
иметь определенный вид, может быть разложено в ряд и т. п.,
во многих случаях не являются ограничительными с физичес¬
кой точки зрения. С другой стороны, указанный метод
решения можно применять формально, если полученный ре¬
зультат удовлетворяет уравнению, а также начальным и гра¬
ничным условиям.
Приведем решение некоторых конкретных задач.
1°. Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности
ди д2и
dt '" дхг
(2.83)

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
65
§ 6]
и положим, что для отрезка O^x^Z поставлена краевая
задача с предельными условиями
« I Х=о = ? І (0. и\х=1 = Чг№	(2-84)
и однородным начальным условием
«|(=о = О.	(2.85)
Вместо и (х, і) введем в качестве искомой функции ее преоб¬
разование Лапласа
ц* (х, р) = е~ріи (х, і) dt.	(2.86)
о
Применяя к обеим частям (2.83) преобразование Лапласа и
считая, что в формуле (2.86) можно дифференцировать по х
под знаком интеграла, получим
=	(2.87)
Применяя преобразование Лапласа и к уравнениям (2.84),
будем иметь
и*\х=1=^*(РЪ	(2-88)
где
= Je’/’'^(/) Л (Аг=1,2).
о
Из уравнений (2.87), (2.88) найдем
«* (X, р) - <?: (Р) < (X, Р) + ср* (P) < (X, р),	(2.89)
где
».	. sh (J — х) У р	»,	. sh X Ѵр
ші (х> P) = —> “г	' г; V- •
sh I У р	sh I У р
Функции ю*(х, р) и œ* (х, р) являются преобразованиями
Лапласа функций
_	—1	1	\1~х А]
I дх [2Z ’ Z2J	И I дх L 2Z ’ Z»J

66
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. I!
соответственно, где
(ѵ, t) = у е2пі™ -
п= — 00
— функция Якоби. Определяя из (2.89) функцию и (х, t)
с учетом теоремы о свертке, будем иметь
1
о
+ т Ц ô> (т ’	'?«(х) dx- <2-90>
о
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
g = g+/(*.O	(2-91)
с однородным начальным и однородными граничными уело-
а(х.0|<=. = 0, и(х, /)|х=о = О, и(х, t)\x=l = 0. (2.92)
Пусть
/*(Х, P)=^e~p'f(x, t)dt.
О
Применяя к (2.91), (2.92) преобразование Лапласа, получим
(2.93)
и*(0, р) = «*(/, р) = 0.	(2.94)
Нетрудно проверить, что для уравнения (2.93) с граничными
условиями (2.94) функция Грина имеет вид
sh (I — Е) У р sh х У р	. *
У р sh I У р
sh (I — х) Ур sh Е У р	е
У р sh I У р
и решение уравнения (2.93), удовлетворяющее условиям
Y*(x, £;р) =

§ 6]	ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА	67
(2.94), выражается в виде
I
и* (х, р) = J у* (X, £; р)/* (X, р)	(2.95)
о
Функция у* (х, £; р) является преобразованием Лапласа функции
ï (». = і [о.	•
Поэтому из формулы (2.95) следует
I t
и(х, f) = j dZ Y (х> t — T)/(£> T) (2.96)
0	0
2°. Пусть требуется найти функцию, удовлетворяющую
уравнению (2.83) и условиям
и(х, 0) = 0(х>0), и (О, /)=/(/).	(2.97)
Как и ранее, после применения преобразования Лапласа к
исходному уравнению (2.83), с учетом условий (2.97), будем
иметь
^^ = ра*(х,р),	М*(0,р)=/*(р).
Представим и* (х, р) в виде
(х, р) = С1е~хУР~
С учетом ограниченности и* (х, р) при х—>оо получим
и* (X, Р) =/* (р) е-^р =pf* (р) -е—г~.
Откуда, с помощью теоремы о свертке, найдем
X2
к е	~^Ъ(ІТ=
со
2 ѴГ

68
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
Легко видеть, что
00
«(х,0) = 0, и (О, 0=/(/)-Д fe-5‘^=/(0.
У * J
о
3°. Рассмотрим для уравнения теплопроводности (2.83)
еще следующую задачу. Пусть 0<^х<^оо,
и (х, 0) = н0, и' (0, t) = hu (0, t) (h = const). (2.98)
При использовании преобразования Лапласа исходное уравне¬
ние (2.83) и условия (2.98) приводятся к виду
Лг* «	du* I . «
—— =ри* — и, -з-	= /щ*.
dx2 г 0 dx L-û
Как и ранее, исходя из ограниченности решения а*(х, р)
при X—> оо, найдем
и* (х, р) — ^--\-се~хУР ,
Ій L = - сŸP= * (у + с) = А«*	/>)•
Откуда
и* (х, р) — 1^-( 1	zJ—е~хѴр'\ =
Р\	V Р + А	)
= (1 — е, Z-	е~хѴР.
Так как
^herf
-Ие-А ('-*)}*) = е-Рх=Г{р),
Р ~г а
то, используя соотношение
_ !_ с-хУр^г^
Vp	V р (У р+л)
Т2
-Л(т-х)--
е	4/
*) Здесь интегрирование ведется от х до оо.

§ 6]
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
69
получим
00	т2
[	.. 	 г ( X \ I Uq С О ' ■*) Тў
и (х, f) == ип erf —) + -??= \е	4/
0	\2Ÿt ) 1 Vnt J
X
4°. Пусть требуется найти решение уравнения
g_ag_^_CM = °	(0<х<оо, />0) (2.99)
такое, что
и (х, 0) = 0, ut (х, 0) = 0, и (0, /) = ср (/). (2.100)
После применения преобразования Лапласа, получим
^--(ар2+^ + ^)И* = 0,	(2.101)
ц*(х, О) = ор*(р).	(2.102)
Решение однородного уравнения (2.101) находится обычным
способом. Из условия ограниченности решения на беско¬
нечности легко найти, что преобразованием Лапласа функ¬
ции U (X, t) ЯВЛЯеТСЯ фуНКЦИЯ U* (Х, р) = Cf* (р) в ~ хѴар^Ьр + с
Если ас—=0, то функция а* (х, р) принимает вид
- X [р Va -4—1
и* (х, р) = (р* (р) е L 2^fl ,
откуда
__ь

и(х, t) = e 2Уа ср(/ — х]/а).
( Ь \2
Если а = яг—(у} =7^0, то, принимая во внимание соотно¬
шение
ь
		 —X 	—	—
р^^Ѵар2-{-Ьр4-с — g	2Va ,^ — хѴар

X Va

70
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. II
будем иметь
0 при 0^/<x]/a»
_ ь

е 2 Ѵа <р(/ — хі^а) —
при t^xYa.
5.	Введем в рассмотрение широко распространенное в
разных областях естествознания уравнение Вольтерра вто¬
рого рода с разностным ядром
t
ср(/)=/(/)4- J k(t — T)çp(T)dT.	(2.103)
о
Предположим, что все функции, входящие в уравнение, имеют
преобразования Лапласа:
<Р* (р) = S [<Р (0], /* (р) = S? [/(П], а* (р) = 2 [k (/)].
Пользуясь сверткой, будем иметь
<р* (р) =/* (р)+л* (р) <р * (р).
Откуда
и
<j-|-zao
tP^)==2^ j 4>*(p)eptdp.
a — ZOO
Для уравнения (2.103) все повторные ядра зависят от раз¬
ности t — т, а поэтому и резольвента зависит от /, т таким
же образом.
Уравнение Вольтерра первого рода
t
/(*) = $ k —
о
может быть решено аналогичным образом. Более того,
§ 6]	ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
71
указанный метод применим к системам интегральных урав¬
нений Вольтерра вида
п І
<Р/(П=Л(П+2	(/=1, 2,..., п).
k = l о
Применяя к обеим частям преобразование Лапласа, получим
<?' (Р)=/* (р) + S К* (р) Ф* (P) (* = h 2» ■ • • . л)-
А = і
Решая эту систему уравнений первой степени, определим
(р/ (р), и решение рассматриваемой системы уравнений при¬
мет вид
О-|-/со
= І У 'р’СР)^'#-
а — І 00
Приведем несколько примеров.
1°. Уравнение Абеля. Впервые в истории математики урав¬
нение, в котором неизвестная функция ср(/) стояла под зна¬
ком интеграла, получил Абель в 1826 г. при решении так
называемой задачи о таутохроне
(0<а<1).	(2.104)
О
Пусть ср* (р) = в2>[ср (/)], £ [/(/)]=/* (р). Тогда, ис¬
пользуя обычную методу применения преобразования Лапласа,
уравнение (2.104) приводится к виду
г (1 - a) =/*(/>).
Отсюда
- /(°) 1 I —/(0)
т \Р)~~ Г(1—а) ~Г(1-а)р’“Г Г(1 — а)р“ '
Теперь легко найти
1	Г/(°> ! С /'(T)rfx 1
Г(1 -а)Г(а) г'-““ГJ	•

72
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[гл. II
Учитывая, что Г (1—а) Г (а) =	, будем иметь
(Г ну—sin 17 (°) I С /' (т)dx
VW— к	p-а-і J (t -Т)1-а •
L о	J
2°. Рассмотрим интегральное уравнение с логарифмиче¬
ским ядром
t
J ср (т) In (Z-t)Jt =/(/),	(2.105)
о
где ср (т)— неизвестная функция. Пусть ср* (р) = £ [ср (0]>
/* (р) =	[/(/)]. Используем равенство
& f Ç rZ*f7n = <1	1 •	(2-106)-
\J Ц* + 1)	/ р(1пр + а)
х0	7
Имея в виду соотношение
eg?(ln/) =— — (C-j-lnp), С — постоянная Эйлера,
получим
_?*(р)1(С + 1пр)=/*(р).
Поэтому
и* / м _	р/* (Р) _ Pzf* (P) - f (0)	/' (0)
VW — \пр + С р (In р-J—(?) р(1пр + С)*
Принимая во внимание (2.106), найдем
т и = - J Г W л Jdk-Г (0) f dk.
0	0	о
3°. Рассмотрим уравнение
t
sin t = Jo (t — т) ср (т) Jr.
о
Совершая над обеими частями преобразование Лапласа,
7]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
73
получим
-Д-і=-т=^=Ф*(р),	<P*(jP) = -TJ=,	—
P +1	У P»-1-1 Y	Г ’	/р2-}-1’ ŸV' °'
В соответствии с последней формулой имеем
t
sin/= J —т)
0
Заметим, что сказанное в этом пункте непосредственно
обобщается на интегро-дифференциальное уравнение вида
и на системы таких уравнений.
§ 7. Преобразование Меллина
Преобразование Меллина
00
dt,	s = a-L/T,	(2.107)
о
тесно связано с преобразованием Фурье и Лапласа.
Преобразование Меллина может быть успешно применено
к решению определенного класса плоских гармонических за¬
дач в секториальной области, задач теории упругости,
а также при изучении специальных функций, суммировании
рядов и вычислении интегралов. Теоремы, относящиеся к
преобразованию Меллина, могут быть получены из соответ¬
ствующих теорем для преобразований Фурье и Лапласа пу¬
тем замены переменной. Приведем некоторые теоремы.
Теорема 16. Пусть ’/(т) £ L (0,4“ причем
функция /(т) имеет ограниченное изменение в окрестно¬
стях точки т = 1. Тогда
О
/« + <))+/(*-0)^» lim Ç	(2.108)
2	м X-oo.ï,-).
где функция & (s) определена по (2.107).

74
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. П
Теорема 17. Пусть ff' (a -J- іи) Ç L (— ос, и име¬
ет ограниченное изменение в окрестности точки и = і.
Тогда
у [IF (<? +z V 4" 0)) 4“ qF (<J + z' (t — 0))] —
à
= lim Ç /(/) t'+v-'dt,	(2.109)
k->00 1
T“
где
а-роо
= i J ^W~'ds-	(2.11°)
а —/оо
Пусть (s) и G (s) — преобразования Меллина функций
/(/) и g(t). Непосредственно можно получить
Л-f-zoo	A-|-zoo	оо
§ $F(s)G(l — s)ds = ± J 0(1 — s)ds §/(t)ts~ldt=
k — lQD	k — ÎG£)	0
=	j 0(1 -s}ts~' ds==^f(t)g(t)dt. (2.111)
0	fe — zoo	0
Подобным же образом
Л-Н’оо	оо	k4 zoo
± 5 ^(s)G(s)ds = ± g(t)dt j iï(s)ts-'ds =
k — ico	0	k- zoo
00
= У^(/)/(ў)у.	(2.112)
0
Теорема 18. Пустъ
'*"*/(0€і(0, + оо) и G(1 — k— ix)£L(— oo, 4-00),
либо
(k-\-ix}^L(— оо, 4-ос) и /*£(/) £ Z. (О, 4-ое).
Тогда справедлива формула (2.111).
Аналогом теоремы о свертке в теории преобразований
Меллина является следующая

§ 7]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА	75
Теорема 19. Пусть tkf(t) и tkg(t) принадлежат
множеству L (0, оо) и
о
Тогда функция tkh (t) £ L (0,	00) u ee преобразование
Меллина есть [s) G (s).
О преобразовании Меллина из других классов функций
и некоторых его приложениях см. [73], [77].

ГЛАВА HI
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
Интегральные преобразования вида
00
/*(*)=$/(О dt,
О
где K(z)— функция Бесселя, известны под названием пре-
образований Бесселя.
К этому виду принадлежат интегральные преобразования
Ханкеля, Мейера, Конторовича — Лебедева и ряд других пре¬
образований.
§ 1. Преобразование Ханкеля
Формулы типа (1.14), (1.15), (1.16), дающие разложение
произвольной функции /(х) в интеграл Фурье, представляют
значительный интерес во многих проблемах математики и фи¬
зики. К числу разложений подобного типа относится разло¬
жение по цилиндрическим функциям, известное под именем
интеграла Фурье — Бесселя:
f(x) = ^J^{xu)udu^f(t}J^(ut}tdt (0 < X <С + оо), (3.1)
о	о
где (х) — функция Бесселя, — у.
Теорема 1. Пустъ функция f(x) ограниченной вариа¬
ции во всяком конечном интервале (0, /?), и
GO	!
J |/(х) |х2 dx < оо.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
77
§ 1]
Тогда при ѵ> — у имеем
4{/(*-Н)+/(*-о)} =
00	00
= J Л (хи) udu\ f(t) (ut) t di. (3.2)
о	о
В точках непрерывности имеет место формула (3.1).
Справедливость указанного разложения сформулирована
и при других предположениях [73], [136], [119].
Преобразованием Ханкеля называется интеграл
00
X («) =	1/(0] = J/(/) // («О dt (0 < и < + оо). (3.3)
О
Из интегрального разложения (3.1) следует формула обра¬
щения
00
f(t) = ^7l\f,(u)}=\A(u)J4{ut)udu (0</<4-оо). (3.4)
О
Заметим, что если функция f(t) такая, что f(t) = O(f) при
t—>0, а4-ѵ-]-2>0 и f(t) = O(fi) при t —* оо, р-["у <9>
то интеграл (3.3) сходится [119].
К разложению (3.1) можно добавить еще одно разложе¬
ние аналогичного типа
00	1	00	!
f(x) = Нѵ (хи) (хи) 2 du § (ut) (ut)2 f(i) dt,
0	0
(3.5)
где К,— функция Бесселя второго рода, Нѵ — функция
Струве.
Формула (3.5) представляет основу для введения соответ¬
ствующего интегрального преобразования [69], [73], [247],
[146].
Приведем связь, существующую между преобразованием
Ханкеля и кратными преобразованиями Фурье.

78	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. 111
Пусть
/(х, у) = ~ у у /* (1, (o)dktf(t),
— 00 —00
f*(ï, u) = ^ у J е-{хХ-‘Уш/(х, y)dxdy.
— СО —00
При переходе к полярным координатам по формулам
хïy = ref(? и Х-|-/й)=р^ функции /(х, у) и /*(Х, ю)
связаны между собой следующим соотношением:
00	21С
и(г, <р) = ^ У У ^Р cos (ф-т) ѵ(р( ф)р</рйф.
р = 0 ф=0
Полагая
»(р, ф) = і~п X (р) еіп*
и принимая во внимание интегральное представление функ¬
ций Бесселя
Jn(z) = ^ j ^cos«+(»ed(|t
ô
будем иметь
00
U {г, <р) = e'nf $ р J„ (гр) X (р) dp.
О
Введем обозначение
и (г, (р) = Ф (г) еіпч,
где
00
Ф (г) = $ pj„ (гр) X (р) dp.
О
Тогда получим
00
V (р, ф) — іпеіп* Jn (— гр) Ф (г) г dr,
о
00
xÿ)=\Jn(riïil>(r)rdr-
О

§ И
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
79
Приведем еще несколько свойств преобразования Ханкеля.
і°. ад^)]=>:(£).
2°. С помощью интегрирования по частям можно полу¬
чить
[S+T S - И = -	№
При этом предполагается, что
f+i^ = 0 1
dt ’ }	0),
Г/(0 = 0, I
f2J=O,
£
/2/(/) = 0,
(/—>oo).
3°. Равенство Парсеваля. Пусть
•%’,[/(0]=Л(«)>	= £■*(«)•
Тогда
J и/* (и) (и) da = J//(/) g (/) <« (ѵ> —
о	о
Условия справедливости последней формулы сформулированы
в [73], [119].
4°. Асимптотика [119]. Если /(/) = О(Г) при t—»-0,
а V + 2 > 0, /(/) = О(^) при t—»-оо, Р4~у<10, то
/* (а) (ѵ >• — 1, и > 0) существует, и, кроме того,
/^(a) = O(a’z) (и—>0), а'шіп (ѵ, —р— 2),
/^(а) = О(«П (и—>оо), р'syntax , —а —2^ .
Обобщением интегрального разложения (3.1) является фор¬
мула
'“<'<+<3-6)
О	а

80
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. Ill
где
(0 = Л (а«) («0 — К И) Л (“С (> > — у)
— линейная комбинация функции Бесселя первого и второго
рода ѵ-го порядка. Разложение (3.6) имеет место, если /(/) —
кусочно-непрерывная функция ограниченной вариации во вся¬
ком конечном интервале (а, R) и интеграл
СО	£
J |/(/)|/2 dt<oo.
а
При а—>0 (3.6) переходит в (3.1).
По аналогии с преобразованием Ханкеля интегральное
разложение (3.6) приводит к соответствующему интеграль¬
ному преобразованию, которое называется преобразованием
Вебера. Представляет интерес обобщенное преобразование
Вебера
00
/*(«) = J/С, («/, au)f(i)dt,
а
где
Сч (z, w) - J, (z) [РГѴ (w) — QwY,+t (w)] —
— Y. U) [/’Л (W) — QwJ,+i (w)],
P и Q—некоторые произвольные постоянные [147]. Преоб¬
разования Ханкеля и Вебера могут быть успешно применены
к решению краевых задач для уравнения Лапласа и Гельм¬
гольца, некоторых задач теории упругости и теплопровод¬
ности.
§ 2. Преобразование Мейера
При решении дифференциальных уравнений типа Бесселя
важное значение имеет интегральное преобразование Мейера.
Последнее определяется посредством интеграла
7(5) =	($0 (sf) 2 f(t) dt, (3.7)
о
где (/) — функция Макдональда. Формула обращения

§ 2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА
81
имеет вид
1 Т 1 -
/(0 = —h(is)(ts}2f(s)ds.
р-іХ
(3.8)
Равенства (3.7), (3.8) непосредственно вытекают из соответ¬
ствующего разложения произвольной функции в обобщенный
интеграл Фурье.
Теорема 2. Пусть f(t) — функция действительного
переменного t, 0	00 ’ интегрируемая на любом ко¬
нечном интервале	и ограниченной вариации
в окрестности точки і = х; пусть, кроме того, сходится
интеграл
00
$е-₽'|/(0|Л,	р>а>0.
О
Тогда имеет место разложение
/(х + 0)+/(х-0)
2
3-НХ	j ®	I
= -, lim Ç /„ (xs) (xs)2 ds Ç К, (st) (st)2 f(i) dt. (3.9)
X —>oo J,	J
3-zX	0
Функция (z), как известно, четная функция ѵ, поэтому
последняя формула может быть представлена в форме
fix -р 0) 4»/ (х — 0)

2	—
Р4-/Х
P — Z X
Ln	1
/_, (xs)} (XS)2ds \K, (st) (st)2 f(t) dt.
(3.10)
В частности, так как
Л (*)=(L)2 sh2- 1 1 ('2) = (,à')2 chz«
2	\кг/	-~2	\KZ/
K±1 w=(4)2"^

82
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
[ГЛ. Ill
то формула (3.10) при ѵ = приводится к виду
(3 / X	оо
/(^ + 0)+/(х-0) = ^ Ит J exsds^e-s,f(t)dt.
^“’p-zx	о
(З.И)
Теорема 3. Пусть аналитическая в полуплоскости
R$s>a^Q функция f(s) удовлетворяет условиям:
1°. Для всех 0 и существует
lim Ç /ѵ (tz) (tz)2 f (z) dz,
K-*°° p-rx
где
причем сходимость относительно f (0 ^t ^b) равномерная.
2°. Сходится интеграл
р-Н®
Р — Ісо
17(g)!
И
!<**!•
3°. Функция f(s) ограничена в полуплоскости Re s р,
т. е.
I7(s)l <л
где А — положительная постоянная, не зависящая от s.
4°. Существует
lim f (%4“ /у) = 0,
х->оо
где сходимость относительно всех действительных значений
у равномерная.
Тогда при Re s > р имеет место равенство (3.7), в ко¬
тором функция f(t) определяется посредством (3.8).
Теорема 4. Пусть функция g (s) такова, что
i^=ks) + ^ciS\

§ 3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА	ЛЕБЕДЕВА
83
где f (s) удовлетворяет условиям, сформулированным
в предыдущей теореме, Re(Oz)<0 (/=1, 2, ..л). Тогда
О
где
i Р-Нх	!
P-A
Для преобразования Мейера определена свертка и по¬
строено операционное исчисление по схеме Минусинского
(см. гл. V, § 16).
§ 3. Преобразование Конторовича—Лебедева
1.	При решении некоторых задач математической физики
важное значение имеет ряд интегральных преобразований,
содержащих интегрирование по индексу функций Бесселя.
Впервые подобная форма интегральных преобразований рас¬
сматривалась М. И. Конторовичем и H. Н. Лебедевым
в 1938 г. [37]. Введенное этими авторами интегральное пре¬
образование в настоящее время носит их имя и называется
преобразованием Конторовича — Лебедева. Последнее было
успешно применено к решению ряда интересных задач [16],
[43], [76], [77]. Основное значение в теории преобразований
Конторовича — Лебедева имеет разложение типа интеграла
Фурье
00	00
Xf (X) = |2 J Kh (X) T sh ж у Kiz (S) f (£) dl, (3.12)
0	0
где (x) — функция Макдональда, x > О, f (х) — произ¬
вольная непрерывная вместе со своей производной функция,
удовлетворяющая условиям х2/(х), x/(x)ÇA(0, -]~°о). Раз¬
ложение (3.12) имеет место и для функций более широкого
класса [43], [46]. Обозначим
00
F(t) = $/(x)Æ/T (x)dx.
о
(3.13)

84	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. III
Интеграл (3.13) называется преобразованием Конторовича—
Лебедева. Непосредственно из (3.12) вытекает следующая
формула обращения:
00
/(x) = 4f^T(x)tshnTF(t)dT (х>0).	(3.14)
К Л J
О
В более симметричной форме указанные формулы имеют вид
00
5(т) = f/(x)*i^dx (0<т<4-оо),	(3.15)
J Ѵх
О
/(х) = ’[г(т)^^й	(0<х<+оо). (3.16)
J к У х
о
Иногда формулы (3.13), (3.14) встречаются в следующей
форме:
00
F(t)= 1 tshnt j/(x)^^dx,	(3.17)
00
f(x)= J F(z)Kic(x)dx.	(3.18)
0
Для вычисления некоторых типов определенных интегра¬
лов большое значение имеют формулы, аналогичные формулам
Парсеваля в теории рядов и интегралов Фурье. Приведем
следующие теоремы [44], [45].
Теорема 5. Пустъ g(x) — произвольная действитель¬
ная функция такая, что*.
__з_
1)	g{x)x 4 ел (0, 4-00), 2) £(х)£А2(0, 4-00),
O(t)=fg(x)^^^dx.	(3.19)
J	71 У х
о
Тогда
00	00
$ [G (т)]2 dx = 5 [£ (х)]2 dx.	(3.20)
О	о

§ 3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА — ЛЕБЕДЕВА
85
Теорема 6. Пусть gx (х) и g2 (х) — произвольные ве¬
щественные функции, удовлетворяющие условиям 1) и 2)
предыдущей теоремы, G{ (т) и О2 (т) — соответственно ин¬
тегральные преобразования вида (3.19) функций gx и g2.
Тогда
00	00
J (*)	(т) dt — \gx (х) gt (х) dx.
О	о
(3.21)
Ряд других интегральных преобразований, включающих
интегрирование по индексу цилиндрических функций, рассма¬
тривается в [168].
2.	Найдем решение уравнения теплопроводности
дТ	( д2Т . 1 дТ . 1 д2Т\
ді — а^ Г=‘Чд7г+7д7 + д	’
удовлетворяющее условиям
Т=$е1^ при <р = 0, 1
Т = 0 при ср = а. /
(3.22)
(3.23)
Такая задача возникает при исследовании периодического
температурного поля в клиновидной области [208]. Будем
искать решение в виде произведения
Т=0?ыд(г, ср).
Для определения и (г, <р) имеем уравнение
ѵ2и 4- k*u = 0, k* — — i — .
v 1	a
Посредством замены переменных
z = ikr, и (r, <p) = l/(z, ср)
получим
™+2ÊK i
dz2 ‘ z dz * z2 cty2	’
V = 1 при (p = 0,
I/=0 при cp = a.
Применяя преобразование Конторовича — Лебедева (3.17),

86	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. ill
(3.18), найдем
00
V (z, (р) = е ~ 2 зіп * -|- J А (s) sh (<ps) Kis (z) ds.
о
Из граничных условий следует
J Л (s) sh (as)fs) ds = — e~2sina. (3.24)
о
Для всех действительных р имеем
J cos (ps) Kis (z}ds=^ e~zch 3.	(3.25)
о
Непосредственно из асимптотического представления для
больших s
следует, что интеграл в (3.25) сходится и для мнимых зна¬
чений p = zg, в предположении, что | |і |	| Y I <С у • С уче¬
том уравнений (3.24), (3.25) найдем
2ch
A(s) =	Ц-

' '	п ch as
Поэтому
00
о

ГЛАВА IV
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Преобразование Мелера — Фока
1. Интегральное преобразование Мелера — Фока опреде-
ляется посредством интеграла
F(z) = 1f(x)P_1 (x)dx, t>0,	(4.1)
1	2 fT
где (х) — сферическая функция Лежандра первого
рода. Пусть /(х)— действительная функция такая, что
f(x)P 1 (х) Ç L (1, —оо). Тогда интеграл (4.1), понимаемый
~~ 2
в смысле Лебега, представляет действительную функцию т,
определенную для всех т 0 (можно рассматривать также
т<^0, при этом F(—т) = Г(т). Фактическое вычисление
преобразования Мелера — Фока для функций различного вида
осуществляется с помощью интегральных представлений функ¬
ций Лежандра, например,
Р 1 , . (ch а) = - f		: ds	(а Ss 0)
“т+'т	’ 0J /2(cha-chs)	'	'
(интеграл Мелера),
P (ch а) = — ch тѵс Ç-- C0ST,y.	(a 0),
K J/2 (ch .y + ch a)	'
и
последующего изменения
порядка интегрирования.

88
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. IV
Разложение произвольной функции в интеграл типа Фурье
ОО	00
/(x)=Ç тШптР ,	(x)JtÇ/($)P ,(£)«£ (4.2)
о	-?+"	1	-l+"
представляет основу для нахождения соответствующей фор¬
мулы обращения для преобразования (4.1). Приведем две
теоремы [78].
Теорема 1. Если функция ф (х), заданная в интервале
(1^Сх<4“°°)» такова, что ср(/) = 2зЬ-^ф (ch t) имеет
первую производную, абсолютно интегрируемую в бесконеч¬
ном интервале (О t <СН~ °°)» и вторую производную,
абсолютно интегрируемую в любом конечном интервале,
и если ср(О) = О, ср(-|-оо) = 0, то ф(х) может бытъ пред¬
ставлена в виде интеграла
00
ф(х) = $Р_,	(x)/(g)dg	(Кх<4-оо), (4.3)
где
00
/(ц) = |і th |1ПJ Р_ , . (х) ф (х) dx. (4.4)
О 2
Теорема 2. Если функция /(g), абсолютно интегри¬
руемая в бесконечном интервале (О g -]- ос), имеет
производную, абсолютно интегрируемую во всяком конеч¬
ном интервале, и если /(0) = 0, то /(g) может быть пред¬
ставлена в виде интеграла (4.4), где ф(х) имеет вид (4.3).
Приведенные теоремы могут быть доказаны и при других
предположениях [43].
2. Интегральное преобразование Мелера — Фока находит
применение при решении некоторых задач теории потенциала,
теории теплопроводности, при решении линейных интегральных
уравнений определенного типа, а также и в ряде других
задач математической физики [43], [45]. В качестве примера
рассмотрим интегральное уравнение
00
=	(4.5)
1

§ И
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕДЕРА — ФОКА
89
где
1 X <Z + 00 »	—оо<ктт<1.
Пусть существует преобразование Медера — Фока функций
<?(*) и g(x)
Ф М = J <р (X) Р_ ±	(х) dx,
O(t)= ^ё(х)Р_± (x)dx.
1	2 ' ZT
Так как
<n<±+/îW
о	х ch кт Ç 2

л J * + « dS'
2 П	1
то будем иметь после умножения равенства (4.5) наР j . (х)
2
и интегрирования по х от 1 до °°
ф(т) = О(г)+-^-ф(т),
откуда при — оо<кп<1, получим
ФИ=-£^-.
1 ch кт
С помощью формулы обращения найдем
00
<р (х) = J T th пт —■ Р_ + (X) dt.
о 1-Zh7T
Строгое обоснование может быть сделано, например, при
предположении, что g(x) — непрерывная функция ограни¬
ченной вариации во всяком конечном интервале (l<^x<^é),
причем
1)	g(x)P_L(x)£L(\, 4-00).
2
2)	О (-с) т е L (О, Ц- <х>) [43].

90
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. IV
§ 2. Преобразование Гильберта
Рассмотрим интегральную формулу Фурье
00
/(х) = J [а (t) cos xt -|- b (t) sin x/] dt.
0
Здесь
00	00
= У /(«) cos ut du, b(t) = -^§ f(u)smutdu.
— 00	—QO
Положим
00
g (x) = J [è (t) cos xt — a (t) sin xt] dt —
0
CO 00
=='tc’S^ î sin (tt — x)t-f(u) du.
0	—00
Интеграл в правой части последнего равенства называется
сопряженным интегралом к интегралу Фурье и получается
формально из приведенной формулы Фурье заменой а на b
и b на — а. Опять формально имеем
I 00
g(x)= lim — \ dt \ sin (и — .г) t-f(u) du =■
Ло
00
p 1 Г 1 — Cos I (и — x) j., . ,
= lim- 		—-i-	’-f(u)du =
I 00 71 J	U — X
— 00
Û0
= limT f ~+	— t)]dt.
I ->QO R
0
Отсюда
g (x) = 1 Ç/(x + n-fix-/. dt'	6)
ft J	t
b

§ 3]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАГЕРРА	91
Аналогично
00
/(X)=_1J	(47)
о
Формулы (4.6), (4.7) эквивалентны формулам
<ю
gW=iv.p. J
—	ао
= 11ІШ J	dt, (4.8)
е
00
/(Х) = 1 V. Р. f l^-dt =
J ' к J t — X
—	oo
00
= -llim f +	(4.9)
* ем о J	1
£
где символ V. P. обозначает главное значение интеграла
в смысле Коши. Последние две формулы представляют собой
пару преобразований Гильберта. Строгое доказательство ряда
теорем, относящихся к теории преобразований Гильберта,
имеется в [73], [255].
§ 3. Преобразование Лагерра
Интегральное преобразование
QO
7'{/(0} = J е~ fL,dt=f (п) (п = 0, 1,2, ...), (4.10)
О
где Ln (/) — многочлены Лагерра п-го порядка, называется
преобразованием Лагерра. Последнее естественно применяется
для решения дифференциального уравнения Лагерра
jg7 аг/гд; = О,	(4.11)
где
^л(/) = /л"(0 + (1-0^(0-

92	ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	[ГЛ. IV
Применение преобразования Лагерра сводит дифференциаль¬
ную операцию к алгебраической по формуле
Г {^[х (/)]} = — пх*(п) (л = 0, 1, 2, ...).
В работе [188] вводится в рассмотрение свертка для пре¬
образований Лагерра
®	т

1 Г	(* V/rcosç

с (і) = — J е~ха (т) J е	cos (]//т sin ср )Х
о	о
Х^ + ^- 2//7 cos ср) dy dx
и строится аппарат операционного исчисления для операторов
Лагерра 2? х.

ГЛАВА V
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Основные понятия и предложения
Пусть М—множество всех абсолютно непрерывных и,
вообще говоря, комплексно-значных функций, определенных
на полупрямой О і <СЧ“ L — множество всех функций,
определенных на полупрямой	и интегрируемых
в смысле Лебега на любом конечном интервале (О, А).
Если функция F (t) £ /И, то существует для почти всех
значений производная F' (/)= /(0> принадлежащая множеству
t
L, и F(t) = F(0)-]-^f(u)du. Обратно, если g(t)£L, то
о
t
функция G (t) = J g (u) du принадлежит множеству M и почти
о
всюду G' = Если	g(t)£L, то для почти
всех t существует интеграл
t
5/('-£) g (ÊX
о
принадлежащий множеству L, Интеграл
t
dZ,
О
где G(t)£M, f принадлежит множеству М. Если
t
где F (f) Ç /И, G (t) Ç /И, то существует Н’ (t) Ç Æ.

94	ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[ГЛ. V
М есть линейное множество и в нем операции сложения
и умножения на число определяются естественным образом.
Произведением функций F(t)^M и	называется вы¬
ражение
t
(5.1)
at J
о
При таком определении произведения нет необходимости раз¬
личать постоянные числа от функций констант. Основные
свойства операции умножения:
1°. Если F(t)ÇM и	то F (t) * G(f)£M.
2°. Произведение коммутативно, т. е. F(t)^G(t) =
= G(t)*F(t).
3°. Произведение ассоциативно, т. е.
(F (0 * G (0) *H(t) = F (/) * (G (/) * H (/)).
4°. Произведение дистрибутивно относительно сложе¬
ния, т. е.
F (0 * (О (0 + И (/)) = F (0 * G (/) + F (0 * H (0.
5°. Если F (t) -K G (t) = 0 для всех 0 t < oo и F (t)	0,
то G(f) = O для всех 0 t <^-|- oo [59].
Множество M относительно сложения и умножения
в смысле (5.1) образует коммутативное кольцо. Из свойства
5° следует, что это кольцо не имеет делителей нуля. Всякое
коммутативное кольцо без делителей нуля может быть
расширено до поля отношений. Назовем парой выражение
(Л(/), G(0), где F(t}£M, G(t)£M и G(/)^0. Две пары
(F (t), G (/)) и (Z7! (f), Gj (/)) называются эквивалентными, если
^J/)*G1(f) = F1(f)*G(f).	(5.2)
В этом случае и только в этом случае будем писать (T7, G) --
^(Fx, GJ. Множество пар (F, G) разбивается на классы,
каждый из которых состоит из эквивалентных между собою
пар. Так как все элементы, эквивалентные элементу класса,
лежат в одном и том же классе, то, следовательно, класс
определяется одним из его элементов. Этот элемент назы¬
вается представителем класса. Обозначим класс, к которому
р
принадлежит пара (Л, G), символом . Согласно этому опре¬
§ И
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
95
делению <- = тогда, и только тогда, когда Г* Gx = F^G.
п
Для символов g- определим сумму и произведение, полагая
; Л (^* G' + F^G)	'
6	* G !	0*0,	’
Ст <j,	0*0,
(G *0,^0).	J
(5.3)
Правые части последних равенств не зависят от выбора пред-
F F	F
ставителей классов и ÿ. Совокупность всех символов
образует коммутативное поле. Обозначим его через 9)1. Эле¬
менты поля 9)1 назовем операторами. Формулы (5.3) опре¬
деляют сумму и произведение операторов. Часто операторы
F R
будем обозначать одной буквой, например а = -&, Ь = -^.
и т. д. Наконец, в целях упрощения записи, там, где это не
может вызвать недоразумений, произведение операторов а и b
р
будем обозначать ab. Таким образом, если а = ^- и
р
b = -pj — операторы, то ab — произведение операторов. При
этом ab = a^ b = 7TTL ij. Символ означает операцию де-
и-к П	и
ления в 9Л. Последняя существенно отличается от обычной
операции деления.
Основные свойства операции сложения и умножения
в поле 9)1:
1°. ab = ba.
2°. (ab)c = a(bc).
3°. a(bс) = ab-\-ас.
Совокупность операторов вида можно отождествить
с множеством Л4, именно каждому оператору вида
можно поставить в соответствие функцию F (/) Ç М. Говорят,
у?
что 9Л есть расширение кольца М. Вместо оператора у
будем писать 1, такой оператор называется единичной функ¬
цией Хевисайда. Вместо оператора будем писать 0.

96	ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[ГЛ. V
Константы принадлежат полю ЭЛ. Деление констант в ЭЛ
совпадает с обычным отношением постоянных. В кольце Æf
уравнение
F (/)**(/) = 0(f)	(5.4)
не всегда имеет решение. Например, если F (t) = t и G (t) = 1,
го уравнение (5.4) примет вид
t
о
ИЛИ
t
\х(№=1,	(5.5)
О
и среди множества М нет функции х(і), удовлетворяющей
уравнению (5.5). В поле 2)1 любое уравнение ах = Ь(а=^=0)
-ІА ь
всегда имеет решение х = а 1Ь=~.
Поле ЭЛ содержит множество Z. Пусть /(/)££, тогда
t
F(t)=^f(u)du£M и F(0) = 0. Поставим функции /(/)
о
Fit) г,
в соответствие оператор —• Двум различным функциям
/(/) и g(t) множества L отвечают различные операторы
и , так как в противном случае t X F= t -X- G или
t -К- (F — G) = 0, откуда F (t) = G (t). Всякому оператору вида
, /У(0) = 0 отвечает функция h (t) = H'(t) £ £. Таким
образом, между множеством всех операторов вида ,
F (0) = О и множеством £ устанавливается взаимнооднознач¬
ное соответствие. При этом сумме функций /(/)-(-g(t) отве-
F(t) . G {t)	„	.
чает сумма операторов	. Произведению функции
F it)
f(t) на число X отвечает произведение X на оператор .
Перечисленные свойства позволяют отождествить операторы
Fit)
вида —F (0) = 0 с функциями множества £ и не делать

§ 1]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
97
F (Л
различия между функцией	и оператором-^. По¬
этому будем писать
Ф = Л (/)=/(/).	(5.6)
Операторы поля ЭЛ, приводящиеся к виду у, F(0) = 0,
естественно назвать функциями, а приведение оператора
—к виду —, г (0) = 0, назовем реализацией оператора. Не
всякий оператор допускает реализацию; например, оператор —
не может быть приведен к виду —, F (0) = 0. Сумма функций
всегда есть функция. Простой пример показывает, что произве¬
дение функций не всегда будет функцией, т. е. что произведение
р	G
операторов f(i) = —ng(t) = — (F(0) = 0, G (0) = 0) не всегда
можно привести к виду , Н (0) = 0. Действительно,
пусть /(0 = ^у=, g(f) = ^y=, T. е. F (/)==/?,
G(t) = yi. Тогда
е.
t
[ /(ТИП Л
/т * gm =	_ _•
-М-
откуда
Следовательно, совокупность всех операторов вида ,
F(0) = 0, не есть кольцо. Однако имеет место
Теорема 1. Если одна из функций f(t) или g (t) абсо¬
лютно непрерывна, т. е. принадлежит множеству М, то
произведение этих функций есть снова функция. При этом
произведение f (t) * g(t) может быть вычислено по формуле
t
f(t)*g(t) = ^f(t-l)g(№.	(5.7)

98
Операционное исчисление
(гл. V
~	Л О
Оператор можно рассматривать как произведение
оператора — на функцию -у- = г(г). Оператор — играет
фундаментальную роль в операционном исчислении. Для него
введено специальное обозначение р = ^. При этом фор¬
мула (5.6) примет вид
pF(t) — F’(t).	(5.8)
Здесь F(t)£M и Л(0) = 0. Если F (/) — любая функция,
принадлежащая Л4, то из (5.8) имеем
рГ(/) = Г(/)+рГ(0).	(5.9)
Следовательно, в случае F(t)£M и F(0) = 0 умножение
функции F (t) на оператор р означает просто ее дифферен¬
цирование. Произведение ра имеет смысл для любого опе¬
ратора a Ç 9)1; в общем случае ра будет оператором. Для
того чтобы ра было функцией, необходимо и достаточно,
чтобы a = F(t]£M и Л(0) = 0. Оператор р называется
оператором дифференцирования. Если F' (t) Ç Л4, то из (5.9)
следует
Р (#* (0) = P2 F (0 = F" (t) + pF' (0) + p2F (0). (5.10)
В общем случае, когда F (t) имеет производную /г-го по¬
рядка, принадлежащую множеству А, последовательное при¬
менение формулы (5.9) дает
Р (Рп~ ’ F (/)) = рп F (t) = Fm (/) + pF"" ” (0) 4-
+ p2F("-2’(0)4-...+p"F(0), (5.11)
где pn обозначает произведение n операторов p -к p -X-.. . -м-р
в поле 9)1. Полагая в (5.9) F (t) = eat, найдем peai — aeat p,
или (p — a) eat = p, откуда
—F— = eaî.	(5.12)
Точно так же полагая в (5.10) F(t) = sin со/, F(/) = cosœ/,
найдем
СОР	•	Р- ' а
—2~Т • 2“ = Sin (і)Г,	-р-т—г = cos (1Я.
р£ -f- or	P + ш
(5.13)

§ 2]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
99
Из равенства
p(ieat) = ateat-]-eat
следует
(р—а) ieat=eat
или (см. (5.12))
(p — a)teat=—^	;
'	р — а
откуда
	P	— teat
(р-аУ
В общем случае
имеем
р	_tn-'e-at
(5.14)
(p — a}n	Г (n)
Оператор р \ обратный к р, очевидно, равен р"1 =— =t.
Функция = t принадлежит множеству М. Поэтому из
(5.1)	следует для любой
t
p-7(O=$/(e)dS.	(5.15)
о
Таким образом, произведение р”1 на f(t) обозначает инте¬
грирование. Оператор р-1 называется оператором интегри¬
рования. Обозначая через р~п произведение п операторов
р^-И-р"1*.. .-Кр”1, найдем из (5.15)
tn
=	(5.16)
Тогда из (5.1) следует для /(/)££
t
p-nf(t)=	(5.17)
О
§ 2. Рациональные операторы
Одной из основных задач операционного исчисления
является изучение операторов вида Z(p), где Z(k) есть не¬
которая функция переменного X. Примерами таких операто¬
ров могут служить операторы
уф- • Рас-
Р
р — а ’

100
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
смотренные в предыдущем параграфе. В простейшем случае,
когда Z(k) есть рациональная функция, т. е.
Z(k) =
рд)
где Р(1) и Q(X)— многочлены
P(l)=2«jV и Q(X)=SpfcX*.
Л=0	k=Q
естественно определить оператор Z(p) посредством равенства
(5Л8’
полю ЭЛ, а следова-
Р(р} -
Операторы Р(р) и Q(p) принадлежат
тельно, полю ЭЛ принадлежит и их отношение . Опера¬
тор Z (р) называется рациональным оператором. Возникает
Q(pY
вопрос, для каких рациональных функций Z (X) операторы
Z(p) приводятся к функциям. Для этого необходимо и до¬
статочно, чтобы степень полинома Р(Х) была меньше или
равна степени полинома Q(X). Следовательно, если
то существует функция ср(/) такая, что
z(p) = <p(0;
(5.19)
при этом легко установить, что ср (/) принадлежит М. Если
значение оператора Z(p) для единичной функции известно,
то определение значения Z(p)f(t) для произвольной функ¬
ции f (i) Ç L дается формулой
t
о
Функцию ср (f) из уравнения (5.19) можно определить, разла¬
гая X“’Z(X) на простые дроби. Можно воспользоваться тео¬
ремами разложения Хевисайда (см. гл. II, § 3). Например,
если все корни знаменателя, т. е. корни многочлена Q(X),
простые и Q (0)^=0, то
к= 1

§ 3]
ОПЕРАТОРЫ, ПРЕОБРАЗУЕМЫЕ ПО ЛАПЛАСУ
101
Здесь \ Л2, ..., \т — корни многочлена Q (к). Если Q (0) = 0,
то это будет означать, что Q(p)=p Q^p), где (0)	0.
Используя (5.21), можно найти ^^ = cp1(f), после чего
t
z (р)=Р~' * <?> (0 = J ?! (a) du.
о
Более сложен случай кратных корней. Если, например,
і = — кратный корень, то при разложении \~lZÇk) на
простые дроби появятся дроби .	7
(À AJ
будет содержать члены Аг{г~'е1'К Таким
случае, решение уравнения (5.19) будет
. Следовательно, <р (t)
образом, в общем
иметь вид
(5.22)
Обратно, для всякой функции ср (і) вида (5.22) существует
такой рациональный оператор Z(p), что Z (р) = ср (і). Рацио¬
нальные операторы не исчерпывают поля 3)1. Они образуют
подполе в 9)1, которое получается расширением кольца функ¬
ций типа (5.22). Каждый элемент этого подполя может быть
представлен рациональным оператором Z(p) =
Р(Р)
Q(p)'
Если
п^т, то Z(p) есть функция, в противном случае Z(p) —
оператор. Предыдущий результат можно обобщить на более
широкий класс операторов поля ЭЛ. Проще всего это сде¬
лать посредством преобразования Лапласа.
§ 3. Операторы, преобразуемые по Лапласу
Пусть S обозначает множество всех функций f(t)
для которых интеграл Лапласа
00
/*(*) = J f(i)e-ztdi
О
сходится абсолютно, a S* обозначает множество их транс¬
формаций Лапласа. Если для оператора a Ç 9Л существует
представитель (Л(/), G (/)) такой, что	и G(t)£S,
то такой оператор называется преобразуемым по Лапласу.

102
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
Функция
"а®=№	(5.23)
где
F* (z)= J F(t)e-*dt, G*(z) = J G^e'^dt,
О	о
называется преобразованием Лапласа оператора а =	.
Нетрудно проверить, что определение a (z) не зависит от
выбора представителя (F, G) и, следовательно, a (z) одно¬
значно определяется оператором а. Это преобразование обо¬
значают символически
a = a(z).	(5.24)
Множество всех преобразуемых по Лапласу операторов
поля ЭЛ обозначим через 9Ï, а множество их преобразований
Лапласа обозначим через 9t.
Теорема 2. Преобразование (5.24) устанавливает
между множествами 9Ï и взаимно однозначное соот¬
ветствие, при котором сумме операторов а-\-Ь отвечает
сумма функций a(z] -\-b(z}, а произведению операторов
а#Ь отвечает обычное произведение функций a(z)b(z).
Нуль и единица множества 91 переходят в нуль и единицу
множества 9І.
Теорема утверждает изоморфизм полей 9 с и Эі. При этом
,, 1
оператор дифференцирования р = у соответствует функции
a(z) = z, т. е. p=Fz. Поэтому для любого рационального
оператора имеем
(5 25>
Если оператор является функцией /(/)ÇS, то
/Ю- г/* (z) =/(4	(5.26)
Вследствие изоморфизма множеств и различие между
§4]	К ВОПРОСУ РЕАЛИЗАЦИИ ОПЕРАТОРОВ
103
этими множествами в большинстве случаев не является су¬
щественным, что позволяет не делать различия между опе¬
ратором р и комплексным числом z. Поэтому часто вместо
буквы z пишут букву р. В ряде случаев обозначение опера¬
тора дифференцирования и комплексного числа одной и той
же буквой упрощает изложение. Таким образом, р в поле 91
обозначает оператор дифференцирования, а в поле 9£ это же
р является комплексным числом. Вместо (5.26) будем писать
/(0=7(Р)-	(5.27)
В принятых обозначениях /*(р) означает преобразование
Лапласа функции /(/)ÇS, /(р) означает преобразование
Лапласа оператора /(/) = ^р, где F (t) = j/(rz) du. Me-
o
жду f(p) и /* {р) имеет место соотношение /(р)=р/*(р)-
__F(t)
G(t) ’
В общем случае, если aÇ9î и а
то
а(р)
= ^(р)
G* (р) '
(5.28)
Изоморфизм (5.28) сводит изучение структуры поля опера¬
торов 9і к изучению поля 9і. Итак, в поле операторов 9JI
можно выделить подполе 9Î, изоморфное полю 9(, элементами
которого являются функции комплексного переменного р опре¬
деленного вида. Каждый оператор поля 9І можно рассмат¬
ривать как функцию оператора /?, т. е. а = а(р). Послед¬
нее свойство может быть перенесено на все поле 9J1 посредством
обобщенного преобразования Лапласа [20], [23].
§ 4. К вопросу реализации операторов, преобразуемых
по Лапласу
Поле операторов 91, изоморфное полю 9і, образует
в 9Л обширный и важный для применения класс опера¬
торов. Всякая измеримая функция /(/), растущая не быстрее,
чем ед\ т. е. удовлетворяющая, при всех достаточно боль¬
ших /, условию
1/(0|<^',
(5.29)

104
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
где К и q — константы, принадлежит множеству S. В общем
случае для того, чтобы функция f(t) Ç L принадлежала S,
необходимо и достаточно, чтобы при некотором q — const
t
lim Ç /(и) du = 0.
Г->ОО
Поэтому поле операторов 5Î является расширением кольца
функций, удовлетворяющих условию (5.29), где постоянные
К и q могут быть различными для различных функций. Если
оператор а может быть приведен к виду —^=/(/)ифунк-
ция f{i) принадлежит множеству S, то
а = ^1=р/*(р),	(5.30)
где
/*(/>) =	(5.31)
о
При решении задач методом операционного исчисления
одной из важнейших является проблема реализации оператора.
Необходимо иметь критерии, по которым можно было бы
судить о том, приводится ли данный оператор к функции.
Теоремы и леммы из § 1 гл. II позволяют в ряде случаев
ответить на этот вопрос.
В этом и следующих параграфах будут встречаться мно¬
гозначные функции j/p, In p, arctg/эит. д. Во всех случаях,
если не оговорено противное, всегда рассматривается та ветвь
функции, для которой 1 = 1, In 1=0, arctgl=^,npH
этом arg 1=0, т. е. рассматривается главная ветвь функции.
Например, оператор Yр приводится к функции, так
тЛТ"
как удовлетворяет теореме 5 гл. II. Операторы е~кУР,
ch vVp (Q <- g <x- 1 ) согласно теореме 6 гл. Il приводятся
ch У р
к функциям. Из теоремы 3 гл. II следует приводимость
.	-1	1 / 1 I 1 Z / I \
к функциям операторов stn ~ÿ- > ln 1 ~т~ 'ў— j > ^\pj '
p{eP — 1) и т. д.

К ВОПРОСУ РЕАЛИЗАЦИИ ОПЕРАТОРОВ
105
§ 4]
Если функция а (р) регулярна в окрестности бесконечно
удаленной точки, то оператор а (р) называется регулярным.
Теорема 3. Если а (р) — регулярный оператор и
то
00	1
а(Р)/(П = £	(5.32)
k=Q Р
где
â(p)=^ÿ-,	|р|>р.
k=<r
Ряд (5.32) сходится равномерно на любом отрезке 0^ t T.
Например, оператор Г ? регулярный, поэтому
! Ург4-Р
р ^(х I П~т 1	1 ѵ ■ b3À4 I —
уўтрл

— 1	_ —iai\
2 2! ' 2-4 41		» '
Аналогично, разлагая e ? в ряд по степеням — , найдем
*=0
В тех случаях, когда оператор приводится к функции, зна¬
чение функции может быть найдено из равенства (5.31).
Это делается посредством интеграла (см. гл. II, § 1)
/(0 = ^ j f*(P)eptdp.	(5.33)
T—/Qo
Для того чтобы получить удобное выражение для вычисления
функции /(/), как было указано в гл. 11, часто приходится
в формулах (5.33) надлежащим образом деформировать путь
интегрирования. При этом в большинстве случаев оказывается
возможным пользоваться леммами Жордана (см. гл. 11). При¬
меры реализации операторов можно наяти в [10], [24], [34],
[52], [86].

10G
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
§ 5. Обобщенное преобразование Лапласа
Из известных свойств преобразования Лапласа следует,
что S* (см. § 3) относительно обычных операций сложения
и умножения есть кольцо. Константы не принадлежат множе¬
ству S*. Однако произведение V* (Р) € 5 при всяком числе À.
В дальнейшем кольцо S* будем рассматривать над полем
комплексных чисел. Обозначим через совокупность всех
функций из S*, представимых в виде е~р^ g* (р), где
g*(p)ÇS* и (û^O. Произведение e~P<°g* (р) принадлежит
S* для всякой функции g*	Очевидно, есть идеал *)
* S*
в кольце S*. Образуем кольцо	Как известно, эле-
ментами являются смежные относительно классы.
Именно, множество S* распадается на множества такие,
что два элемента /* (р) и /* (р) принадлежат одному и тому
же множеству тогда и только тогда, когда /*(р)—f2(p)
принадлежит /ш. В этом случае элементы /*(р) и f2(p) на¬
зываются сравнимыми по идеалу Тогда часто пишут
/*(р)=Л*(р)(4)-
Пусть и g^ — элементы множества Sœ. Как извест¬
но, суммой классов	и произведением классов g
называются соответственно классы, содержащие элементы
/* (р) + g* (Р) и /* (р) g* (Р)> где /* (р) и g* (Р) — предста¬
вители классов и gM, т. е. /*(р) и £*(р)
Примечание 1. Пусть	тогда, очевидно,
с Jp. Поэтому, если классы и /р содержат хотя бы
один общий элемент /* (р), то g /р (/р содержит множе-
ство /J.
Образуем прямую сумму множеств когда œ пробе¬
гает упорядоченное множество всех действительных положи¬
тельных чисел, 0 (о -j-оо. Как известно, элементами
прямой суммы будут системы {/ш}, 0 < о < оо, где
— элемент множества Прямая сумма есть также
кольцо. Если — другой элемент прямой суммы, то по
*) Идеалом в кольце S* называется совокупность элементов, об¬
ладающих свойствами: 1) из a и b следует а-[-Ь £
2) если а £ и b — любой элемент кольца, то abÇ_J^.

§ 51
ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
107
определению
{/J + {&»} = {/ш + £«>}>
{/ш} teJ =
Среди элементов {/ш} прямой суммы множеств рассмотрим
те, для которых выполнено условие /ш Z)/p всякий раз, как
со Р- Здесь /ш и /р рассматриваются, как множества из S*.
Множество всех таких элементов прямой суммы обозначим
через А*, а элементы будем обозначать {/ш}. Можно пока¬
зать, что множество А* есть кольцо. Нулем в кольце А*
будет элемент {7Ш}.
Примечание 2. Пусть в кольце S* задан линейный
оператор 7, значения которого снова принадлежат кольцу.
Предположим, что идеал инвариантен относительно опе¬
ратора Г, т. е., если /*(р)€7ш, то и Tf* (р) Ç Уш. В этом
случае оператор Т индуцирует в кольце 5(ü линейный опера¬
тор, который мы также будем обозначать через Т. Если
то обозначает класс, представителем которого
является элемент 7/*(р), где /*(р)€/ш-
Пусть принадлежит кольцу А*. Определяем Т {/ш},
полагая =	Рассмотрим интеграл
ш
(5.34)
о
* S*
Пусть / —смежный класс множества 0^=7-, содержащий
* ш
функцию /ш(р). Так как при
р	р -ш
fo(p)-A(p)=\f(t)e-Ptdi=^e-wP J /(/ + й>)е-^Л,
<л>	0
(5.35)
то /р (р)	(р) € Поэтому /р (р) €/ш, следовательно
/ш Z) /р. Отсюда следует, что {/Ш}£А*. Элемент {Д} на¬
зывается обобщенным преобразованием Лапласа функции f(t).
Соответствие между множествами L и А*, порожденное
обобщенным преобразованием Лапласа, будем обозначать сим¬
волически так:
(5.36)

108	ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[ГЛ. V
Такое обозначение оправдывается тем, что в случае суще¬
ствования обычного преобразования Лапласа обобщенное
преобразование совпадает с обычным.
Свойства обобщенного преобразования Лапласа
1°. Если= и £(0Ф{£ш}, то V (/) + fig (t) =
+ где И — константы.
2°. Обобщенное преобразование Лапласа {/ш} с точно¬
стью до множества меры нуль однозначно определяет функ¬
цию /(/)•
3°. Теорема 4 (обобщенная теорема Борел я).
Пусть	и g(i) = {gj, тогда
t
y/(<-S)g(£№=HA,} {gj.
о
4°. Пусть f(t) == {/ш}. Для того чтобы функция /(/)
принадлежала множеству S, необходимо и достаточно, чтобы
пересечение всех множеств /ш, ю0 со <C~h оо (/ш рассмат¬
ривается, как множество из 5*), было не пустым.
На обобщенное преобразование Лапласа переносятся и
другие известные свойства обычного преобразования Лапласа.
5°. Теорема 5 (теорема запаздывания). Если
0, если
f(t — т), если 0<т<7,
то fx (і) ф	или f. (t) = e~Px {/J.
6°. Теорема 6 (теорема смещения). Если
Здесь через /ш(р — а) обозначен смежный относительно
идеала класс, представителем которого является элемент
ш
/о)(р — и) = J eat dt> где /ш (р) есть представитель
о
класса /ш.
7°. Теорема 7 (теорема подобия). Если
/(0=М/ш}. то

§ 6]
ПОЛЕ ЭЛ
109
Здесь через	обозначен смежный относительно
идеала класс, представителем которого является элемент
а
ft , где Л(р)6/Ш.
§ 6. Поле
В § 5 было построено кольцо £*, образованное элемен¬
тами {/ш} — обобщенными преобразованиями Лапласа. Кольцо
А* не имеет делителей нуля. Это следует из обобщенной
теоремы Бореля и теоремы Титчмарша. Следовательно, коль¬
цо L* может быть расширено до поля отношений. Поступая
так же, как это было сделано в § 1, при расширении коль¬
ца /И, введем символы здесь {g^^J. Согласно опре-
I іа I
f -fi \ I к 1

делению -	= -—- только в том случае, если
ИюІ ІМ
= {^Ш}{ЛШ}. Это равенство означает, что для всех предста¬
вителей ft (р) €/ш, gt (р) 6 g^, kt (р) е И ht (р) е имеем
ft(p)kt(p) = gt(p)ht(p) (JJ, ©>соо. (5.37)
Множество всех элементов вида —— образует поле. Обо-
_	кші
значим его через 2)1. Следовательно, с точностью до изомор¬
физма расширение кольца L* до поля отношений совпадает с
полем 9JL Пусть теперь а = ^ц^ — любой оператор поля ЭЛ.
Поставим оператору а в соответствие элемент поля ЭЛ, рав-
ный , где {FJ есть обобщенное преобразование Лап¬
ласа функции F(f), а {GJ есть обобщенное преобразование
{F I
Лапласа функции G(t). Элемент 5= œ ■ назовем обобщен-
ным преобразованием Лапласа оператора а. Это соответ¬
ствие будем обозначать а = а или более подробно
F(Z)
G (О
HJ
(5.38)

110
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
Нетрудно проверить, что соответствие (5.38) будет взаимно
однозначным. При этом сумме операторов в ЯЛ отвечает
сумма соответствующих элементов в ЯЛ, произведению опе¬
раторов в ЯЛ отвечает произведение элементов в ЯЛ, нуле¬
вой оператор в ЯЛ переходит в нулевой элемент ЯЛ, любая
константа из ЯЛ переходит в ту же самую .константу в ЯЭІ,
наконец, оператор переходит в .оператор р. Если F (t)
и G(f) допускают обычное преобразование Лапласа, т. е.
ОО	00
интегралы	и ^G(t)e~~Ptdt сходятся абсолют-
о	о
но, то из свойства 4° обобщенного преобразования Лапласа
(см. § 5) имеем
F(t)_
ü(t)
F*(P)
G*(p)
= S’(P),
1
откуда, в частности, и следует, что оператору у отвечает
функция а(р)=р. Изоморфизм полей ЯЛ и ЯЛ раскрывает
структуру поля операторов Микусинского. Оказывается, что
свойства оператора поля ЯЛ тесно связаны со свойствами
« О	/со (/О	/.* , ч * / \
комплексных функции вида —— , где (р) и (р) — це-
лые функции, представимые интегралами
<0	со
и g*uy(p) = J g^e-ptdt.
о	о
§ 7. Операторные функции
Операторы, зависящие от параметра, встречаются в при¬
ложениях операционного исчисления к задачам математичес¬
кой физики. В этом параграфе будут рассмотрены операторы,
зависящие от одного действительного параметра. Если опера¬
тор а зависит от параметра к,	то будем писать
а = а(\) и называть а (к) операторной, функцией. Всякая
операторная функция определяется своим представителем
(F (t), G (t)). Функции Л и G зависят от параметра к, т. е.,
в общем случае, F = F(t; к) и G—G(f;k). При этом
§ 8]
ПРЕДЕЛ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИИ
111
функция G(t\ X) не обращается тождественно в нуль ни при
каком значении параметра X.
Примеры операторных функций:
а (X) =	= е~( — оо <1 Х< + оо),
а (X) =	= —=.е	(—оо <^Х	°°)>
У nt
п ,		 ( 0, если /<Х,
а(\\= Р	р-хѵ>2 + і — / г	_
' '	I Jo (Ѵ^2 — X2), если Х<4
(0<Х<4-оо),
и. f если /<ГХ,
а(к) = е~)Р = Гі (/; X) = < /	j: /
ѵ '	1 ' ’ ' J 1, если X t
(О X <-j-°°)-
Операторная функция я(Х) называется непрерывной на от¬
резке а^\^Ь, если существует представитель (F, G)
Р
класса такой, что обе функции F (t\ X) и G(t\ X) непре¬
рывны относительно переменных X и t в области а X Ь,
О</<4-оо. Например, операторная функция е~хР непре¬
рывна на [О, 1]. Заметим, что непрерывность операторной
функции на [я, #] не означает, что все ее представители,
т. е. пары (F, G), составлены из непрерывных функций.
§ 8. Предел последовательности операторов.
Предел операторной функции
Последовательность операторов ап Ç Эй называется схо-
.	F
дящеися к оператору а =	, если существуют представи¬
тели (Fn, Gn) такие, что
1)
2)	последовательности Fn (і) и Gn (t) сходятся соответ¬
ственно к пределам F (t) и G(t) равномерно в каждом ко¬
нечном отрезке 0 t Т,
lim Fn (0=F (0. 1іт °п (0 = 0 (О-
П->00	П->00

112
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
Оператор а = -д называется пределом последователь-
Fn
ности операторов ап = -~\ в этом случае пишут
lim ап = а.	(5.39)
П->00
Можно доказать, что определение предела не зависит от
выбора представителей.
Приведем два примера*). Последовательность ап = cos nt
в обычном смысле классического анализа расходится. В опе¬
раторном смысле эта последовательность сходится к нулю.
Действительно,
sin nt
п	..	sin nt
ап = —7—,	lim 	=0
и сходимость равномерная. Следовательно, lim аП = 0. Точно
П->0О
так же сходится последовательность
I sin nt
.	п
ап = п sin nt =	.
Т
Очевидно,
г	t	1
hm ап = - = -=р.
Я->ОО	*	4
2
Рассмотрим еще последовательность an = nent. Имеем
nt t
а* = пе l = ~t

п 2
откуда
lim nent = —*—9 =— р.
2
Таким образом, последовательность nent в операторном смыс¬
ле сходится к оператору — р.
*) Следует помнить, что в этих и других примерах умножение
и деление выполняется в поле ШІ.

§ 9]
ИНТЕГРАЛ ОТ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИИ
113
Основные свойства предела последовательности. Если
последовательность ап сходится к некоторому пределу, то и
любая ее подпоследовательность сходится к тому же пре¬
делу. Если существуют пределы Ит ап = а и lim bn = b,
П-*(Х)	п-мп
то и последовательности ап-\-Ьп> ап— Ьп, апЬп обладают
пределами и имеют место равенства
lim (an±bn) = a±:b, lim anbn = ab.
п-нх>
В частности, если lim an = a и c — любой оператор, то
lim сап = са.
n-ïCD
Если lim bn = b^Q, то
П->0О
Пользуясь пределом для последовательности операторов,
можно ввести понятие предела для операторной функции.
Именно, операторная функция а (к) имеет в точке k = k0
предел, если для любой последовательности кл, сходящейся
к к0, существует lim а (кл), и этот предел не зависит от
выбора последовательности \п—>Х0 и, следовательно, может
зависеть только от точки к0. В этом случае пишем
lim а (\) = Ь.
Следствие. Если операторная функция а(\) непре¬
рывна на отрезке а^Л^Ь, то для всякого k = k0 су¬
ществует lim а (к) = а (к0).
§ 9. Непрерывная производная операторной функции.
Интеграл от операторной функции
Если для операторной функции а (к), а^\^Ь, суще¬
ствует представитель (F(f, к), G(f, к)) такой, что: 1) функ¬
ции F (f, X) и G (t, к) дифференцируемы по пере¬
чу?
менному X, а^Л^Ь, и производные = к)
114
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
и = X) принадлежат множеству /И, 2) функции
X) и (7Х(/, X) непрерывны по переменным /, X в области
оо, a^ï^b, то функция а (X) называется непре¬
рывно дифференцируемой на отрезке а^\^Ь. Непрерывной
производной операторной функции называется в 9)1 класс, пред¬
ставителем которого является пара (f\XG—F%-G), G%G).
Производная обозначается а (X) или . Следовательно,
а' (X)
_^G-FGX
G2
(5.40)
Можно показать, что определение производной не зави¬
сит от выбора представителя класса.
Свойства производной'.
1°. [а (X) -]- b (X)]' = а (X) b' (X).
2°. \Са (X)]' = Са (X), С—постоянный оператор.
3°. [а (X) b (X)]' = а! (X) b (X) + а (X) b’ (X).
4о Г« W1 '	а! (X) b (\) — а (X) Ъ' (X)
PWJ	b2 G)
5°. Если а (X) = 0 при а X Ь, то а (X) = а (|і) для всех
Определение интеграла от операторной функции. Если
для данной операторной функции я(Х) существует оператор¬
ная функция А (X) такая, что Л (X) на отрезке а^Х^р
имеет непрерывную производную А (X) и А (Х) = а(Х), то
оператор А (X) называется неопределенным интегралом от
операторной функции а (X) и обозначается ^a(X)JX. Из
свойства 5° следует, что функция А (X) определена с точ¬
ностью до постоянного оператора. Определенным интегра¬
лом от операторной функции а(Х) называется оператор
3
Ja(X) dï = A($) — Л (а).
Интеграл от операторной функции обладает свойствами,
§ 10]	Ступенчатые функции	115
аналогичными свойствам обычного интеграла, а именно:
1°. Je(k)<Û = 0.
а
3	а
2°.	= — Ja(X)dk.
«	в
3	т	3
3°. Ja(k)dk=Ja(X)<A+
а	а	Y
?	3
4°. са(к) d\ = c aÇk) d\, где с — оператор, независи-
а	а
МЫЙ ОТ X.
3	3	3
5°. J [а(Х)4-/>(Х)]<Л= Ja(X)dk+р(к)<Л.
а	а	а
6°. Если а (1) и b (X) обладают непрерывными производ-
3
ними на отрезке а^Л^Ь, то а (к) b (À) d\ = a§) b($) —
а
0
— а (а) b (а) — J а (к) b' (1) d\.
а
Наконец, можно ввести несобственные интегралы, полагая
Ç а (X) dk = lim Ç а (X) rfX,
J	3->co J
a	a
где предел понимается в операторном смысле, т. е. для лю¬
бой последовательности чисел —>оо существует предел
Зл
последовательности операторов а (X)dX, и этот предел не
a
зависит от выбора последовательности чисел
§ 10. Ступенчатые функции
Определение. Функция f (/), 0 t< -|“ °°> называется
ступенчатой, если интервал (0, -]- оо) можно разбить на
конечное или счетное число непересекающихся интервалов,
в каждом из которых функция /(/) сохраняет постоянное
значение.

116
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
Простейшей ступенчатой функцией является
(5.41)
График этой функции изображен на рис. 4.
Образуем оператор е~Ру—е—Р^.	Очевидно,
е~Р*— е~РР = <
О, если 0	<1,
1, если X t < ц,
О, если pi і.
Эта функция (рис. 5) также является ступенчатой. Пусть
.. —монотонно возрастающая
Рис. 4.
Рис. 5.
последовательность действительных чисел, lim >п=оо,
Л-»0О
и и0. иѵ .... ип....—любая последовательность действи¬
тельных чисел. Ряд
2	= <₽(/),
как это легко установить, всегда сходится. Его сумма пред¬
ставляет ступенчатую функцию. Действительно, для любого
фиксированного t всегда можно указать такое целое число N.
что Тогда из (5.41) следует
N
<?(/)= 2 ип при
в частности, <р(/) = и0 при ООбратно, если задана
ступенчатая функция (/), и значение cp(f) в интервалах

§ 10]
СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
117
U*. \б+1)(А = 0, 1, 2, ...) равно срд, то из (5.41) следует
00
ср (0 = 5 Фл — е-*к+іР),
Л=0
(5.42)
Таким образом, множество
функций совпадает с мно¬
жеством всех операто¬
ров вида	где
о=\ • • • <	• • • >
Хл—>оо и uk — действи¬
тельные числа. Особенно
часто в приложениях
встречаются ряды, в ко¬
торых числа Хо, Хр ...
образуют арифметиче-
действительных ступенчатых
скую прогрессию ïk = kh(k = O, 1, 2, ...). В этом случае
<?(0 = S uke-khP.
л=о
В частности, если uk= 1 (А = 0, 1, 2,...), то
00
<р(/)= 2е-^=(1 — e-Phï-'. (5.43)
Л=о
График этой функции изображен на рис. 6. Если ср(/) — пе¬
риодическая функция, и h — ее период, то операторное
представление такой функции будет
_	h
<? (Р) = P U — e-phY~' J <р (0 e-^dt = руь (р) ( 1 — е-Р*)- *.
О
Множество всех периодических функций, определенных на
интервале и период которых равен числу Л,
совпадает с множеством всех операторов вида

118
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
где
h
?л ІР)=Р $ <Р
О
Вводя новую переменную по формуле /*=—, всегда
можно привести число h к единице. Пусть [/] обозначает
наибольшее целое число, не превосходящее Л Каждой не¬
прерывной функции /(/) можно поставить в соответствие
ступенчатую функцию /([/]), которую будем, ради простоты,
обозначать /[/]. Если график f (/) задан, то легко построить
график /[/] (см. рис. 7). Очевидно,
f И=У f (k) (е - кр — е -(k+ ’» Р) = ( 1 — е ~р) £ f (*) « ~ кр■ (5 -44)
Л = 0
Полагая в (5.44)	= найдем
еМП = (і _е~р) У	=	.
A-ào	еР-ех
Дифференцируя это равенство по параметру к, имеем
ГЛ [t] = іеР-М , или [Л е’ «'1 -Ѵ= еР~і- .
L J (ep - e'f	L J	(eP - ex)2
Поступая аналогично, найдем
И([<]-1)...([/]-^+1)е>-<1<1-*)= еР-і
k\	(ep — ех)л+1 ’
чли
[/][/- 1].. .R - k + 1]	_ ep-l ..	(5 45)
kl	—(eP-e1)^1

§ 10]
СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
119
Для оператора 1 —е~р введем специальное обозначение
Ѵ=1 — е~р.	(5.46)
Если /(/) = 0 при /^0, то
Ѵ/И =/[/]_/[/-!].
В противном случае V/(/) =/р]—f\t—1] при	и
при 0^/<1. Для обратного оператора
—	= Ѵ-1 имеем
V
Ѵ-«/И= 2 е~кр f\f\ — £/(*)•	(5.47)
Л=0	fe=0
Пусть
f(p) = ^i,f(k)e~kp и g(p) = V % g(k)e-kp,
k=G	k=Q
следовательно, если
7(р)=/И и F(p)=g[/],
ТО
^-lf{p)g{p} = {\-e-p^e-rp 2 f^gW,
r=o	k-\-n = r
ъчкуж
v~'f(p)g(p)= ^f(.k)g[t—k]=	/[/ — *]£(&),
Л = 0	Л = 0
или
_ _ гл
f(p)g(p)=v S /MH*—*]•	(5-48)
k=0
Дальше имеем
/(k + n) e~pk =
k=Q
= (1 — e~p) 2 f(r) e~P I'-") = epnf(p) —
—	( 1 — e~p) [enpf(0) + eO-0Pf( 1 ) +... + epf (n — 1 )]. (5.49)
Наконец, из (5.42) следует
Qo
ДЛ] = (1— е	>• .	(5.50)
4=0

120
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
(5.51)
(5.52)
(5.53)
Формулы (5.46), (5.48), полученные из общей теории
операционного исчисления, могли бы быть исходными для
построения операционного исчисления целочисленных функ¬
ций, т. е. функций, определенных только в точках 0, 1, 2,
3, ... Вместо оператора дифференцирования р здесь рас¬
сматривается разностный оператор V. Обратный оператор V-1
означает суммирование. Вместо степенных функций tk здесь
удобно ввести факториальные функции
/<*>=/(/4-4-й—1),
Легко установить, что
Ѵ[/р = /ф]<"-/2 > 1.
Отсюда следует
Но из (5.43)
е~р
\-e~P'
поэтому
Cf—— CfIL+112!
п\	п\
Из (5.53) следует при |Х|<1
или
-5_ = (l_k)-U+n.	(5.54)
Имеем из (5.44)
(1-Ѵ)Ѵ(А)=/И.	(5.55)
fc=0
\k
Полагая здесь f {k) = — найдем
Ve-v>=—рр-.	(5.56)
Если воспользоваться таблицами интегральных преобра¬
зований Лапласа, то можно из (5.56) получить новые фор¬
мулы. Действительно, умножая (5.56) на /(к) и интегрируя

§ И)
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
121
по 1 в пределах от 0 до -{-оо, будем иметь
00
00
V Ç	= Ç e-^Wf^dï. (5.57)
О	о
Эта формула справедлива, если в правой части интеграл
существует. Например, полагая /(к) = е&х, |£|<1, найдем
Это равенство совпадает с (5.54). Другие примеры можно
найти в [10], [52].
§11. Разностные уравнения
В теории конечных разностей наряду с оператором
Vx[f] = x[f] — x[t— 1]	(5.58)
часто рассматриваются разностные операторы
Ьх [f] = X [/ 4- 1] —	(5.59)
Sx И = х 1] —х [/-1] .	(5.60)
Для каждого из операторов V, Д и 8 можно • написать соот¬
ношение, содержащее независимое переменное [/J, разностный
оператор и неизвестную функцию. Такое соотношение назы¬
вается разностным уравнением. Например,
F{[d» x[d» Ах[/]> •••» Дпх[/]} = 0,
где x[f] — искомая функция, называется разностным урав¬
нением с одной неизвестной функцией порядка п. Если
в этом уравнении разности выразить через значения неиз¬
вестной функции по формуле
k
(-і)*-ѵфф + ѵ],
ѵ = 0
то разностное уравнение порядка п можно записать в виде
х[*4-/і] = Ф{[(|, x[/J, х[<+ 1], ...,хр4-л—1J}. (5.61)

122
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
Решение этого уравнения зависит от и начальных значений
х(0), х(1),	х(л—1). Если эти значения известны, то
из (5.61) находим последовательно х(л), х(д-(- 1), ... и т. д.
Операционным методом легко решаются линейные разностные
уравнения с постоянными коэффициентами
— 1]+ • • • 4"аи-і ХІ?4" !] +
+ ѴИ=/И- (5.62)
при условии задания начальных значений искомой функции
х(О) = хо, х(1) = хр х(п—1) = хп_ѵ
Для перехода от (5.62) к операторному уравнению положим
х(Р) = (1— е-р) ^ix{k)e-pk = ^^lx{k')e-p’1,
k=Q	А = 0
7(Р) = (l-e-P) ^f(k)e-pk^^ f(k)e~pk,
A = 0	Л = 0
и, заменяя в (5.62)	согласно формулам (5.49), найдем
*(р)+	... +а„_1е/’ + а„) =
= (1 — е~р) {(епр-|-а1е(п-1)₽4- ... +а„_,И*в +
(е(п-і)р_|_ а^е(п — 2)/?_|_ ап_2 ер) хх ...
• • • + (е‘Р + «Z) х„-„ + ерхп_,} 4- f(p).
Обозначая
L„(ep) = enp + ale<n-Vp+ ... -]-ап_^р + ап,
Lk[ep) = e(n-k^-}-ale<n-k-l'>P-\- .. . an_k_lep,
Ln_i(ep) = ep	(k = 0, 1, 2, .	1),
имеем
*(р) = (1—+
+т^г*»4 + гй- <563>
Следовательно,
'И=ад/и+,1-'‘')^Ж’х‘- t5 641

§ 11]
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
123
Обозначая
имеем
Х И = И + X xk'fk И-
Первое слагаемое есть решение уравнения (5.62) при нулевых
начальных условиях, а есть решение уравнения (5.62),
удовлетворяющее условию срЛ (г) = 0, если r=^=k и qk(k)= 1.
Решение х[/] можно найти, используя (5.63) или (5.64), непо¬
средственно по таблицам с применением теоремы о свертывании
(см. (5.48)). Можно также разложить на простые дроби
или воспользоваться теоремой разложения. В некоторых слу¬
чаях нахождение
1
ложения ту-о. в
будет начинаться
x[f] проще осуществить посредством раз¬
ряд по степеням e~kp. Такое разложение
с члена е~пр, а именно
Зная это разложение, легко из (5.64) найти х[7].
В качестве примера найдем решение уравнения
X 2] — 2х -|- 1 ]	х [/] = sin ш [/]
при начальных условиях х[0] = 0, х[1] = 0.
Имеем
sinû)[(] = (l—е~р)^ sinw&e kp =
(ер — 1) sin ш
е2р — 2ер cos ш -j- 1 ’
L (ер) = е2р — 2ер 4~ 1 = (ер — 1 )2.
Следовательно (см. (5.63)), решением будет
И	sin со
=		•
(ер — 1) (е2р — 2ер cos ю + 1)
Для нахождения х[7] представим
sin со		 А f В I С
{ер - l)(^-2^coso> 4- 1) — ер — 1 ер - еіи' ер -	'

124
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
Найдем
. 	 sin СО	д		1 — COS to 4- I Sin to
2 (1 — cos to) *	4/ (1 — cos to) *
Q	 1 — COS to — І sin to
4/ (1 — cos co)
Пользуясь (5.44) и (5.47), найдем
« » » < (f]
еР-е^ 1-е-РеР-г £0
при Поэтому при /^1 имеем
[f-1]
Г 	 sin to р y, (1 — COS to) sin k(ù 4- sin to COS kto
X*- -1	2 (1 — cos to) L J	2(1— cos to)	‘
и x(0) = 0.
Аналогичным способом можно решать системы разностных
линейных уравнений с постоянными коэффициентами [9J,
[15], [52].
§ 12. Преобразование Эфроса
Во многих случаях при реализации оператора удобно
пользоваться преобразованием Эфроса (см. также гл. II, § 3).
Именно, если F(р) = ср (/) и е-^Юи(р)д(р) = Ф(£*, t), то
u{p)F[q(p}]= J <?(5)ф($; t)dZ.
и
В работе [86] Эфрос и Данилевский дали ряд интересных
применений этого преобразования. При обосновании преобра¬
зования Эфроса можно пользоваться следующей теоремой.
Теорема 8. Пусть*.
О j |<p(/)|e~°o/J/<oo,	ао^0,
о
2) q(p} — аналитическая функция, регулярная в полу¬
плоскости Rep>ap и удовлетворяющая условию Reç(p)^a0
при Rep>a1>a0.

ОПЕРАТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
125
§ 13]
Тогда
Of®л. (5.65)
о
где
ф(£; 0 = 1е-^(Р>.
Из (5.65) следует
^[?(Р)] = Р9(Р) Jo,	(5.66)
О
Если оператор F[ç(p)] приводится к функции, то, пользуясь
(5.66), можно найти эту функцию.
Часто к функции приводится оператор	Обозначим
£-ta(F) = çp($; t). Тогда вместо (5.66) будем иметь
'"[-г (/>)]=<?(/>) J Ф(5;	(5.67)
О
В некоторых случаях оператор q(p) можно внести под знак
интеграла.
Примеры на преобразование Эфроса смотри в гл. IX, § 1.
§ 13« Операторные дифференциальные уравнения
Соотношение, содержащее независимое переменное к,
а<Х<р, неизвестную операторную функцию х(к) и ее
производные х' (1), х"(Х), ..., х(П) (і), называется оператор¬
ным дифференциальным уравнением порядка п
Г {к; х(1), х' (X), ..., х<Л)00}=0.
Даже простейшие типы таких уравнений, как, например,
линейные уравнения
а„(Х)х<'”(1) + ап_1(>)х(П-,,а)+. - -+MW) =/(*). (5.68)
где коэффициенты aQ ()<), at (1), ..., ап (k) — операторы,
зависящие от действительного переменного к, а<^Х<^р, мало
изучены, Поэтому здесь будут рассмотрены только линей¬
ные дифференциальные уравнения с постоянными коэффици¬
ентами
о„х(П> (X) + a„_, х'"-> (X) + ... + а.х(Х) =/(Х), (5.69)

126
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
где а0, аѵ ..., ап — произвольные постоянные операторы.
В частном случае, когда операторы я0, аѵ .ап и /(1)
являются числами, уравнение (5.69) обращается в обыкно¬
венное линейное дифференциальное уравнение порядка п.
Метод решения уравнения (5.69) совпадает с хорошо извест¬
ными приемами решения обыкновенных линейных дифферен¬
циальных уравнений с постоянными коэффициентами. Сначала
находится общее решение однородного уравнения
... +аох = О. (5.70)
Решение ищется в виде показательной операторной функции
xÇk) = c'w. Оператор w определяется из характеристического
уравнения
anwn-|-an_1wn-14- ... 4-ао = О. (5.71)
Пусть корни уравнения (5.71) суть wv w2, ..., Образуем
показательные функции
elw>,	ekw,^	(5.72)
Если эти функции построены, то общим решением (5.70)
будет оператор
х(Х)= s
k=\
где Ck — произвольные постоянные операторы. При решении
следует иметь в виду, что: а) не всякое уравнение вида
(5.71) разрешимо в поле операторов 9Л, б) не для всякого
оператора w существует показательная функция eXw.
Оператор w называется логарифмом, если существует
показательная функция е>и'. Например, операторы р и ]/р —
логарифмы, оператор ір не является логарифмом. Если опе¬
ратор w, будучи логарифмом, является корнем кратности г
уравнения (5.71), то каждая из функций eKW, \e)w, . ..,
удовлетворяет уравнению (5.70). В зависимости от числа
корней логарифмов различают три типа дифференциальных
уравнений:
1)	логарифмический, когда все корни характеристиче¬
ского уравнения логарифмы;
2)	чистый, когда среди корней характеристического
уравнения нет логарифмов;
3)	смешанный, когда некоторые корни характеристиче¬
ского уравнения логарифмы, а другие—не логарифмы.

§ 14] ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	127
В общем случае число произвольных постоянных опера¬
торов в общем решении равно порядку уравнения. Для
уравнения (5.69) имеет место теорема единственности.
Теорема 9. Если даны операторы Ѵо,
и точка Хо, лежащая в интервале а<^Х0<^р, то сущест¬
вует не больше одной операторной функции х (X), которая
удовлетворяет в (а, (В) уравнению (5.69) и условиям х (Хо) =
= Ѵ„ x'(ïll)=Vl, х*""’’^)^,,.,.
Всякое решение уравнения (5.70) может быть получено
из общего решения подходящим подбором постоянных опе¬
раторов Ср С2, ..., Ср. Решение неоднородного уравнения
(5.69)	сводится к решению (5.70), если известна хотя бы
одна функция х0 (X), удовлетворяющая уравнению (5.69).
Таким образом, для решения неоднородного уравнения до¬
статочно найти одну функцию, удовлетворяющую (5.68),
(5.69)	. Нахождение этой функции, вообще говоря, представ¬
ляет трудности, а в некоторых случаях такая функция вообще
не существует. В других случаях, когда правая часть имеет
специальную форму, может оказаться, что найти решение
легко. В частности, это будет, если /(X) есть полином или
показательная функция [59].
§ 14. Применение операционного исчисления к решению
дифференциальных уравнений
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
л-го порядка с постоянными коэффициентами
(/) 4- а^п- (/) 4- ... + апх (0 =/(/),
о ^/<4-00,	(5.73)
при начальных условиях х (0) = х0, х' (0)=хр ..., х<'’_,,(0)=
= хп_Р Применяя формулу (см. (5.11))
(/) =pk [х (/) - X (0) - 1 х' (0) - ...	х<*-1) (0)],
можно уравнение (5.73) записать в виде
Л(р)[х(/)-х0-^-...-^] =
=/(0

128
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
Здесь
л-1
Ир)=рп+а1рп~1 + •••+«„. t>k= 2xsan+k-s
s=k
(k = Q, 1, n— 1),
откуда
x (/)=rb)z (і) ~	+x» + p + • • •+^ • (574)
Эта формула дает решение уравнения (5.73). Непосредственно
видно, что правая часть (5.74) есть п раз дифференцируемая
функция, удовлетворяющая начальным условиям. При нуле¬
вых начальных условиях х0 = х1= ... = хп_1 = 0 решение
становится особенно простым
Так же просто решаются дифференциальные уравнения
с запаздывающим аргументом, когда коэффициенты его по¬
стоянны
л-1
х<в> (/)={і -hk)+ё (/)	(0 t <+°°’hk 530)-
Ради простоты начальные условия будем считать нулевыми,
т. е. для /^0 полагаем х (і) = х' (/) = ... = х(П-1) (/) = 0.
Учитывая, что x{k) (t — hk) — pke~hwx (/), найдем решение
X {t) =		g Wh
рп — akpke~hkP
Можно доказать, что правая часть этого равенства будет
п раз дифференцируемой функцией, удовлетворяющей ну¬
левым начальным условиям [24].
Рассмотрим уравнение в частных производных, коэффи¬
циенты которого (х) — числовые функции переменного х
О. (5-75>
р. = 0 ѵ = 0

§ 14] ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧЙСЛЕНИЯ	129
Применяя формулу (см. (5.11))
д*+ѵ«(х, 0	 V д^и(х, і) у д^и (х, 0)

dx^dt^ ? дх^ Р дх^
_ v_1^+4z(x, 0)	_ д^-'и(х, 0)
P dx^dt * * ’ Р дх^дС"1 ’
приведем уравнение к виду
V / Хд^и(х, t) .. I V V V v-*<^+*zz(x, 0)
LaJ^p)4^=/W)+2-LLp -ra?->
(j. = 0	р. m0v = lA = 0
п
где аи = ар(х; р)= 2 аРѵ(х)Рѵ- Обозначая правую часть
этого уравнения через Ф (х; р) и рассматривая и (х, t) как
операторную функцию, зависящую от параметра х, и (х, /) =
= и (х; р) = и (х), будем иметь
Ümû{m} (х) + ат_1й<т'1) (х) + ... +а0«(х) = Ф(х; р). (5.76)
Здесь коэффициенты ak являются также операторными функ¬
циями, зависящими от х. Таким образом, задача интегриро¬
вания уравнения (5.75) сводится к интегрированию линейного
операторного дифференциального уравнения. Уравнение (5.76)
называется преобразованным уравнением. При решении
уравнения (5.76) следует воспользоваться изоморфизмом по¬
лей ЭЛ и ЭЛ. В поле ЭЛ преобразованное уравнение (5.76)
обращается в обыкновенное линейное дифференциальное
уравнение /z-го порядка, коэффициенты которого и правая
часть зависят от параметра р — комплексного числа. Такие
уравнения хорошо изучены. Пусть Z2 (х; р) — одно из реше¬
ний уравнения. Если окажется, что й(х; р) при заданных
значениях х, а < х р, принадлежит полю ЭЛ, то это будет
означать, что уравнение (5.75) в поле ЭЛ имеет решение
и (х; р), где р рассматривается как оператор р = —.
Применение операционного исчисления к решению урав¬
нений в частных производных состоит в следующем:
1) В замене исходного уравнения преобразованным урав¬
нением. Аналогичным путем граничные условия задачи заме¬
няются преобразованными граничными условиями, которые
будут являться граничными условиями для решения и (х; р)
преобразованного уравнения (5.76).

130
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(гл. V
2)	В нахождении решения и (х; р) преобразованного урав¬
нения при заданных преобразованных граничных условиях.
3)	В исследовании полученного решения с целью установ¬
ления принадлежности решения й(х; р) полю ЭЛ. В случае,
если и (х; р) принадлежит ЭЛ, необходимо провести допол¬
нительные исследования, чтобы выяснить, является ли реше¬
ние н(х, /) = н(х; р) обобщенным решением, или оно может
быть сведено к функции, имеющей частные производные по
переменным х и t до производной —включительно.
Последнее обстоятельство будет обозначать, что и (х, Z)
удовлетворяет исходному уравнению в частных производных
в обычном классическом смысле.
4)	В реализации оператора и (х; р), т. е. определении
функции н(х, /) = й(х; р).
Исследование пункта 3) часто может быть значительно
облегчено, если пункт 4) выполнен.
5)	В доказательстве того, что решение н(х, t) удовлет¬
воряет начальным и граничным условиям задачи.
В качестве примера рассмотрим уравнения
P W «t = ро W ихх + P, (X) их + р2 (х) и, (5.77)
P W «« = Ро W ихх + Р> W их + Ро W «	<5-78)
в области 0^x<Z, Z>0. Здесь р (х), р0 (х), Pj (х), р2 (х) —
заданные непрерывные функции в промежутке 0<^x^Z и
р (х) > 0. Решение и (х, /) должно иметь в области (0 < х Z,
Z^>0) непрерывные частные производные до второго порядка
включительно и удовлетворять начальным условиям
Ііш и (х, f) = ср (х)	0 <1X Z,
для уравнения (5.77) и
Ііш н(х, Z) = cp(x),	lim ut (х, t) =ф(х), 0<x^Z,
r->4-o	1
для уравнения (5.78), а также граничным условиям
Ііш к (х, f)=/(Z), аих (Z, t) 4- but (Z, t) = eu (Z, Z) (5.79)
x->4-o
для f^>0, где cp(x), ф (x) — заданные кусочно-непрерывные
функции; /(Z)ÇS и непрерывна при/>>0;а, b, с — заданные
(5.82)
§ 14]	ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	131
постоянные. Будем искать решение уравнений в форме
и (х, t) = и (х; р). Преобразованные уравнения для (5.77) и
(5.78) будут
PoW S + P* + PP( V)]« =
= -?(Ф?И> (5.80)
?o (*) S + P> W Ê + (x) - (x)l “ =
= — p2p(x)<p(x) —pp(x)d>(x). (5.81)
Из граничных условий задачи получим граничные условия
для решения
й(4-0;р)=/(р), где/(р) =/(/),
айх(Р,р)-\-Ьр[й(Р, р)-<р (/)] = си (I; р).
Теорема 10. Пусть й (х; р) — решение уравнения (5.80)
или (5.81) при условии (5.82). Пусть, кроме того:
1) Операторы й (х; р), йх (х; р) и йхх (х; р) для
приводятся к функциям.
2) Существует такое число а0, что при t —>оо вы¬
полняются условия
м (х; р) — О ( А‘), йх (х; р) = О (e'J), йхх (х; р) = О (e’J)
равномерно относительно х на любом отрезке е х Z.
3)	Существует такое целое число	что
I р ~ kû (х; р) | < Q = const
для всех 0 ^х^е<С/, Re p^><sï^> а0.
4)	Существует предел lim й (х; р) = g(t), />0, при-
t
чем g(t)— непрерывная функция при f^>0 и ограниченная
при t—>0.
Тогда и(х; і) = й(х' р) есть решение уравнения (5.77)
или (5.78), удовлетворяющее заданным граничным и на¬
чальным условиям.
Разберем пример. Найти решение уравнения
utt = auxx
132
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[ГЛ. V
в области (О^х^/, f^>0) при начальных условиях
а(х, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 и граничных условиях и (0, /) = 0,
Eux(l, f) = Asin(of, где Еу œ и А— постоянные.
Преобразованное уравнение будет
d2u р2—
d^r~~^U'i
граничные условия для и (х; р)
и (0; р) = О,	Е~йх (I-, р)	•
Решение преобразованного уравнения, удовлетворяющее гра¬
ничным условиям, имеет вид
h
— . к b a ,	и a A
u (x; p) = -â-j—г	1, b =	,
'	1 P * pl	E
1 ch —
a
откуда
. CùX
_	. sin —
«U; /)=«(*:	=	+
cos —
a
□O
. 2b (— 1)” sin Z^x-sin knat
"T” 1	<o2 — k2 a2
n~ 1	n
где
*п=т(« —y) (л=1, 2, ...), <ü^akn.
§15. Асимптотические ряды
Следуя Пуанкаре, говорят, что ряд J ип (z) представ-
и=0
ляет собой асимптотическое разложение функции s (z)
в данной области значений arg г, если при всяком
2Ѵ
s (2) — 5 “п (2)
Пт 		= 0.
1 г I-+Я? UN W
В частности, асимптотическое представление функции /(/)
§ 15]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
133
со
степенным рядом будет означать, что при всяком N
п = 0
N
Hm
Асимптотическим разложением удобно пользоваться при вы¬
числениях значений функции для больших значений аргумента.
Поэтому в операционном исчислении для операторов, при¬
водящихся к функциям, весьма важным вопросом является
построение асимптотического разложения функции по ее
операторному изображению. Для функций, допускающих пре¬
образование Лапласа, асимптотическое представление во мно¬
гих случаях может быть получено с помощью следующей
теоремы [10].
Теорема 11. Пусть f(p)=f(t) и
1)	f (р) имеет изолированные особые точки — алгебраи¬
ческие особенности (полюсы и точки разветвления),
2)	функция ? в полуплоскости Re р 0 равномерно
относительно argp стремится к нулю, когда \р\—► оо,
3)	число особых точек p = psc наибольшей действитель¬
ной частью конечно (s — 1, 2, .. ., Z),разложение в ок¬
рестности p=ps дается рядом
î (P - ps) ’ (- ч <	< • • • <	—<*>)•
Л=0
Тогда асимптотическое представление f(t) будет
где —î—y-г = 0, если = 0, 1,2, ...
Г(-^	k
f(p)
, кроме
Например, если все особые точки функции
р = 0, имеют отрицательную действительную часть, а начало

134
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
координат есть точка разветвления первого порядка и раз¬
ложение в окрестности р = 0 есть
или
00	X.
у (- D*. 1.3.5... (26-1)
/() èo	2*+,‘
§
16. Операционное исчисление для оператора
р	d f d
в~ аг dt
В основе теории операционного исчисления лежит понятие
свертки [59]. Введение в множестве М (см. § 1) свертки
превращает это линейное множество в коммутативное кольцо
без делителей нуля. На этом факте базируется вся теория
операционного исчисления Микусинского. Исходя из нового
определения свертки, в этом параграфе будет построено
операционное исчисление для оператора В=^і~. Такое
построение выполняется совершенно аналогично тому, как
это было сделано для оператора	Обозначим через Lx
множество всех функций /(/), определенных на полупрямой
интегрируемых на каждом конечном интервале
этой полупрямой и удовлетворяющих условию
JyJ|/(W/<oo
о о
(5.83)
для любого /0^>0. Например, функция f(t) = lnf принад-
(f 	 М2
лежит а функция /(f) = ѵ - не принадлежит Lv хотя

§ 161 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА B=^-t	135
3 J	at at
(t — l)z
-^ln~2y~ ££• Через обозначим множество всех функций
вида
t t
=	du-\-C,
0	0
где f(t) — любая функция из Lr и С—любая постоянная.
В множестве Lx определим свертку функций /1(/)ÇA1 и
Д(0€^> по формуле
t 1
At) = j dZ j Д (т^) Д [(1 - ч) (t - $)] drt. (5.84)
0	0
Можно доказать, что функция /(/) принадлежит множеству
Lv Множество Л11 есть линейное множество. Всякая функция,
принадлежащая множеству имеет почти всюду вторую
производную F" (t). Назовем произведением функций Fx(t)
и F\ (/), принадлежащих множеству Мѵ выражение
F. (0*^(0 =
t 1
ЧЛ'ИФ(Sr,) F* [( 1 ~Гі) ~$)] dri I • (5-85)
'	0	0	'
Если
t s	t z
A(t)=
0	0	о ' о
И	I
t 1
f(t) =	$ Д (^) Д [( 1 — Ïj) (t — $)] drlt
о о
то будем иметь
t a
F,(0*F2(/) = j f $Av)dv.	(5.86)
о У
Отсюда следует, что произведение двух функций множества
Мj снова принадлежит множеству Сложение в Ad1 опре¬
деляется естественным образом. Произведение в смысле (5.85),

136
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
как это нетрудно проверить, коммутативно, ассоциативно и
обладает дистрибутивностью относительно сложения. Сле¬
довательно, множество Afj относительно сложения и произ¬
ведения образует коммутативное кольцо. Это кольцо не имеет
делителей нуля.
Таким образом, кольцо может быть расширено до
отношений. Это поле отношений обозначим через
менты поля назовем операторами. Как и в § 1, будем
F	F
раторы обозначать символами ѵг. Таким образом,
*2	*2
значает класс эквивалентных пар. Равенство операторов
О. -	- • -	- - ~ ~	- -- -
поля
Эле-
опе-
обо-
F и
1 2
обозначает, что F^ G2 = F2*Gr Если в (5.85) функция
^2
F (t) = a — константа, то
t 1
a*FI(0 = »^-'[^	($t()	=
О О
О о
Следовательно, произведение в кольце /Wj числа на функцию
совпадает с обычным произведением числа на функцию. Если
в (5.85) оба сомножителя—числа, то произведение в смысле
(5.85) совпадает с обычным произведением чисел. Отсюда
F (О
следует, что операторы вида можно отождествить с функ-
1 Г7/7Ѵ	F(t)	.
циями — г (t); в частности, операторы -р- совпадают с функ¬
циями F (t) кольца Л4Г В этом случае будем писать
F(t)
Наконец, операторы вида — , ^(0) = 0, отождествляются
с функциями множества Lv Именно, каждому оператору ,
F(f)ÇM1 и F(0) = 0, ставим в соответствие функцию /(/),
причем
(5.87)

§ 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА В = — t 137
at at
где
t , *
F(/) = jyp(a)^.
о ' о
Обратно, каждой функции/(f)ÇA1 отвечает соответствующий
F (О о	D
оператор -у- . Это соответствие взаимно однозначно. Если
P{t}
оператор может быть приведен к виду -у-2,	и
F(0) = 0, то такой оператор называется функцией. Для
1 .
оператора — введем специальное обозначение
1 =	(5.88)
Тогда для обратного оператора 5-1=~ будем иметь
± = Л	(5.89)
Из (5.87) имеем для функций F(t)^Mx и F(0) = 0
или
BF (/) = tF” (/)	F' (/),	(5.90)
Таким образом, в случае F(t)£M^ и F (0) = 0 произведение
BF(t) означает применение к F(t) оператора	Произ¬
ведение обратного оператора на функцию /(/)ÇAP как
это следует из (5.89) и равенства F(t) = t*f(t), равно
о о
Из (5.89) и (5.91) имеем
1 _ tn
п ~~ (/г!)2 *
(5.91)
(5.92)
В‘

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
Тогда из (5.85) и (5.92) для f(t)^Ll следует
t	1
j* (І - 5)”	J f (^) (1 - ч)"	(5.93)
0	0
Уравнению
^'S)=b-	i5-94’
удовлетворяют функции Бесселя /0 (2 ]/)./) и Æ0(2]/kf).
Из (5.90) и (5.94) следует
5[/. (2/17)- 1] = 1/О(2/17),
откуда
^=4 (2/Г/).	(5.95)
Полагая в (5.95) Х = и учитывая, что
/0 (2 У itot) = ber (2 У tot )	i bei (2 У tot ),
найдем
й^_5 = Ьег(2]/ш/), g^ = bei(2/^). (5.96)
Из (5.95) имеем
^ = 4(2/17).	(5.97)
Из (5.95) и (5.96) имеем
=^[/0 (2 /17) + 4 (2 /І7)], ]
IB \ Г-	Г— 7	(5.98)
5^Т«=т[4(2/10-4(2/10]. I
К полю операторов 50^ применима в большей части теория
операционного исчисления, изложенная в предыдущих пара¬
графах. В частности, на поле ЭЛ1 переносятся без изменений
определение операторной функции, определение предела после¬
довательности операторов и понятие операторного ряда,
определение производной от операторной функции, интегри¬
рование операторной функции. Используя эту теорию, можно
известными методами пополнять таблицу значений операто
ров (5.95) — (5.98). Например, дифференцируя (5.95) пр

§ 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА В = t ~ 139
параметру к, найдем
п
(fi — к)л+І =йГ (т) 'Л<2/Я	(5.99)
Из (5.96) находим
ВВ^==В^==шЪет (2Ѵ©0,
В - 1 ) = -	= - «■>	= —®Ьеі (2 ]Л7/).
Отсюда следует
z Ьеі (2 К»/) } = © ber (2 V©/),
d \ d г- I	г- I (5.100)
dr f dT ber (2	( = — “ bei (2 У “О-
Таким образом, функции ber (2 )/œf), bei(2]/œf) ведут себя
d . d	.
по отношению к оператору t — точно так же, как cos œr
и sin (ùt относительно оператора . Операционное исчисле-
г> d . d
ние для оператора B = -^t можно построить, исходя из
соответствующего интегрального преобразования. Аналогом
преобразования Лапласа здесь будет интёграл
/*(В) = 2 J /(0Æ.(2/B/)dt	(5.101)
о
Если /(/)ÇZ,j и удовлетворяет условию
|/(0l^Q^°rr?	(5.102)
где Q и ^0^>0 постоянные, то интеграл (5.101) в области
сходится абсолютно и представляет в этой об¬
ласти аналитическую функцию комплексного переменного В.
При известных ограничениях, накладываемых на функцию
/(/), имеет место обратное преобразование
/(O = 2^.y/*(S)/o(2/W^	(5.103)

140	ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[ГЛ. V
где путь интегрирования L есть любая парабола
Re]/В = q>q^ Формула (5.103) будет, например, иметь
место, если/(/), помимо (5.102), имеет ограниченную вариацию
в окрестности любой точки t = tQ полупрямой 0 </ t оо.
В точках разрыва интеграл (5.103) равен .у {/(/4“ 0) 4~
4-/(/0 — 0)}. Для преобразования (5.101) справедлива
Теорема 12. Пусть J\(t)£Lx и /2(і)^ѣг и, кроме
того, и f2(t) удовлетворяют условию (5.102) (для
каждой функции j\(t) и f2(ï) константы Q и qQ в (5.102)
свои). Тогда функция
t 1
/(/) = $ Æ $ /, (^) /2 [( 1 - r() (t - $)] dTi	(5.104)
о о
принадлежит множеству Lx и тоже удовлетворяет усло¬
вию типа (5.102). Если
00
Х(В)==2 J /.(0^(2/^)^,
о
А (В) = 2 J
о
а
ею
/*(В) = 2 $
О
то
Л(В)=^(В)А(В).	(5.105)
Определение. Если для оператора a Ç 91/ существует
представитель (У7, G) такой, что функции F (t), G (t) допу¬
скают преобразование (5.101), то такой оператор назовем
преобразуемым по Бесселю, а функцию
j F(t)KQ(2Ÿ'Bt)dt
а (В) = 	 (5.106)
J О(<)К0(2У Bt)dt

§ 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА В = t 141
р
преобразованием Бесселя оператора a — ~Q • Множество
всех преобразуемых по Бесселю операторов обозначим че¬
рез а множество их преобразований Бесселя обозначим
через 9(\. Эти множества изоморфны. При этом изомор¬
физме оператор В = у переходит в функцию
4	—=в-
J tKa(2yBt)dt
О
При вычислении можно воспользоваться формулой
2 J	=	.	(5.107)
о
Если оператор а приводится к функции, т. е.
а = ф, F(t)ÇMv F(0) = 0,
TO
оо
2 J F(t) K9(2]FBt)dt
= 			=
2 J tK9$VBt)dt
0
= 2B2 j F (t) K9 (2 /fiF) dt. (5.108)
0
Принимая во внимание, что
о 0
учитывая известные соотношения для функции Бесселя
(xÆt (X)) = — xKQ (X) и .	(К„ (х))'= — Fl (х),

142
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
после двухкратного интегрирования по частям найдем
â(5) = 25 J	(5.109)
о
Получился аналог преобразования Лапласа — Карсона. Посред¬
ством этого преобразования можно получить новые формулы
для оператора — Равенство (5.109) означает
а (£)=/(/).	(5.110)
В частности, если /(/) = fv, то из (5.107) и (5.108) полу¬
чим обобщение формулы (5.92) на любой показатель ѵ
1 Г
я7 = Г2 (1 + V) ’ Rev> !•	(5.111)
Если взять f(i) = e~at, то найдем
«Д ç
а Ju
_в
а
Приведем еще несколько примеров применения формулы
(5.108). Прямыми вычислениями находим
со

25 J K9üV\t)K^Vâ)dt = -^\n у
о
Следовательно,
^_1п У^- = Æ0(2pTo.	(5.112)
Исходя из известного интеграла
Ç К, (ах) J, (Ьх) хѵ+1 dx=	•
V	Xм* I V J
0
найдем обобщение формулы (5.99) на любую степень ѵ
V
(ЩЩ=ГЯ7])(4)~Л<2т	(5.113)

S 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА В = ~ t 143
at at
В частности, из (5.113) при ѵ=—~ имеем
В cos 2 У ït
Дифференцируя по ѵ равенство (5.111), найдем
? ІоГ'Сѵ+І) ln t
В' Г»(ѵ-|- 1) \* Г(ѵ-Н)
(5.114)
(5.115)
Исходя из интеграла
00
j Æo (а	x‘»+'dx = 2» (А)1+иГ(1 +ю ÆJ+„ (ад),
О
найдем
Г(1* 1+и) 2В j (t - X)11 Ка (2 ŸBf} dt =
к
Р + 1
= 2fi(i) 2 X1+J2/Xâ),
откуда
Л+р	/ 0, если t
“(I) ’	<L=i, «„„i.<t <3.116)
4 7	1 I (и Ч-1)
(Reg>—1).
В частности, при pi =	имеем из (5.116)
10,	если t <Л,
1	,	(5.117)
—■- - • , если К <" t.
кУ t-\
Умножая последнее равенство на произвольную (в известном
смысле) функцию ср (к) и интегрируя по X в пределах
от 0 до оо, будем иметь
о	о

144	ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[ГЛ. V
Если в левом интеграле положить 2j/k = c, то получим
Ѵ~в f	(5.119)
о	о
Пользуясь таблицами интеграла Лапласа, из (5.119) можно
получить ряд новых формул. Например, полагая в (5.118)
найдем
Ѵв f (; Kâ)d- f -z‘2F(ft)Л
J	71 J V — Л;
0	0
ИЛИ
Ѵв
VB+a
VB-\-a-V BIv = 1 f 4(2/«).) a
/ n J IW-Àj
Но последний интеграл, являясь сверткой в обычном смысле,
может быть найден посредством преобразования Лапласа
(см. [86], стр. 125). Будем иметь
(5.120)
В частности, при ѵ = 0
Умножая (5.121) на ]/# =—, имеем
л У t
, В = Jj {Vât} * —^-=-,
У В + а	п/ t
или, учитывая равенство (5.114) и (5.85), получим
cos 2 Y at
к \r t
t 1
Ü о
dr,
* /(I - W -

§ 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА В= І 145
f Jl (]/a£ïj) ■■	—

J	/(1 -4)(<-Ê)
Это равенство можно записать в виде
2Ѵ at	t
2 Г	Sin U	,	Г
	du = d%
V a J	и	J
О	0	0
Аналогично, умножая равенство (5.121) на себя и учитывая
(5.97), найдем
t 1
'-àgf-gf? = [ j JI (/^) JI [V(* — £)] drj.
Ô 0
Исходя из формул, подобных (5.118), можно получать раз¬
личные новые соотношения между специальными функциями.
Приведем пример вычисления суммы функционального
ряда. Пусть к = УВ-\-\—УВ\ имеем тождество
[1 —2£2 + 2£‘ —2Л’+ ...] = —~ .
Vfi-H 11	1 J B+l
Учитывая равенство (5.120), найдем
J2 (/7) — 2J‘ (]/7) + 2J* (/7) — 2J* (К?7+ ... = J, (2|/7).
Умножая равенство (5.99) на ц" и суммируя по п от 0 до
оо, найдем
00
у Ви” 	 В
откуда	+ 1	— À — |л ’
п
У S (т)2 fn <2 Кх?)=4 (2 V(Т+7Й).
п = 0
В заключение установим связь между таблицей значений
операторов Л (В) и таблицей значений операторов F(p), где
P = -^t • Пусть F(B) = y(t) и F (p)=f (t). Тогда по опре¬
делению операторов F (В) и F (р) имеем
00
J v(t)Kü(2VBt}dt,
оо
F(P) = P J f(t)e~p'dt.
G

146
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
Следовательно,
<р(0 (2
f(f)e~ptdt.
О
Принимая во внимание равенство
j e-^-7^=27<o(2/^j,
О
где следует q положить равным единице, найдем
е РХ xy = S f^e~ptdt
О	о	о
или
00	00	оо
У е~р* dx ср ($х)	= y f{t}e~ptdt,
оо	о
откуда
00
о
(5.122)
<р(/) принадлежит Lx и удовлетворяет
условию
Здесь
(5.102). Отсюда можно указать следующее правило для
вычисления F (В), исходя из таблиц значений F(p). Для
того чтобы найти F (В), следует вычислить F(p}=f(t).
Затем в функции /(/) аргумент t заменить на у и найти
значение оператора f = ср (/), тогда F (B) = <f(t). Разу¬
меется, это правило справедливо в том случае, когда /(/)
представима интегралом (5.122). Например, пользуясь этим
правилом, найдем значение оператора g-"-g • Имеем ^=eat,
еР =/0(2]/at}. Следовательно, ~ = /0 (2 V at}, т. е.
имеет место равенство (5.95). Таким же путем можно найти
А__ (/В* -J-аг — В)4 = ау J (2 /at) Д (2 Vat), (5.123)
У В2-|- а2
W2 — А (2^)]- (5.124)

§ 16] ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА В= t 147
Обозначая q = Y В2	1 —В, имеем тождества
■_Л._ (<?—— 9’4-...)=—-—,
УВ2 + І 7	7 1	‘	2 (В2-pi)
- В (1—2g!-|-294 —2?’-|-...) = —.
yfi*-(-l 4 1	4	1	fi*-1-1
Заменяя в этих тождествах значение операторов по форму¬
лам (5.96) и (5.124), найдем
(2 /7) /, (2 /7) - J, (2 /7) /, (2 VJ) +
+ 4 (2/оЛ(2Ко-А(2/о/,(2/о+-..=
= |bei (2/7),
Jo (2 VI) I, (2 /7) — 2 (2 VI) /2 (2 /7) +
+ 2JJ2/0 /Д2/0-2J,(2/1) /6 (2 //)+...=_
= ber (2 V О-
Заканчивая краткое изложение теории операционного
л d . d
исчисления для оператора B = ~j- t — , отметим, что, по-
at at
мимо применения этой теории к вычислению определенных
интегралов и суммированию функциональных рядов, можно
было бы привести примеры интегрирования дифференциаль¬
ных уравнений. Наиболее просто находятся решения диффе¬
ренциального уравнения
'я) '(')=/«>.	<5-|25>
где L (к) = Х”4~^1^Л-1 + • • • Л~ап — многочлен с постоян¬
ными коэффициентами Если начальные условия нулевые,
а именно:
X (0) = 0, Вх (t) |(=0 = \tx" (if) 4-х' (/)]t=0 — 0,
В2х (t) |(=0 = /х<ІѴ> (/) + 4tx”' (t) + 2х" (/)]1=0 = 0,
#‘-'x(t)\l=l> = 0,

148
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[ГЛ. V
то уравнение (5.125) при замене оператора t на опера¬
тор В примет вид L (В) x(t)=f (і) и решение будет
х (/) = f (t). Выражение 770;/(О может быть найдено
разложением -=-Тп\ на пРОстые Дроби подобно тому, как это
делается в операционном исчислении Хевисайда. Если на¬
чальные условия Xk отличны от нуля, то в уравнении замена
оператора	на оператор В осуществляется по фор¬
муле (см. (5.90))
Последовательное применение этой формулы дает
{ ït)*X =	В"х,.
Например, найдем решение уравнения
при условии х(0) = 0, 5х(О|/_о = а. Записывая уравнение
в операторной форме, получим
(/) — Во. — ЗВх (t) + 2х (Z) = 0
или
(5* —35+2)х(/) = аВ.
Отсюда (см. (5.95))
...	 аВ 	 аВ аВ

Х Вг —ЗВ4-2 В —2 ~ В— 1
= а{/0(2/2?)-/0(2/7)}.
Подобным образом можно решать некоторые типы уравне¬
ний в частных производных.

ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ
ГЛАВА VI
ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
И НЕКОТОРЫХ ПОСТОЯННЫХ
6.1
arccos х = у In (х + VX2 — 0
6.2
arcsin х — у In (Zx 4- ]/" 1 — X2)
6.3
.	Z , 1 — Zx
arctgx=2ln1 + .x
6.3*
arcctgx=2-ln^
6.4
Arch X = In (x 4~ YX2 — 1 )
6.5
Arsh X = In (x 4- У X2 4- 0
6.6
Arthxr=4 In ;	-
2	1 — x
6.6*
.	1 . * ~h 1
Arcth x = -л- In ——;
2 x — 1
6.7
(a)n — a(a + 0-• -(a + n — 1); л = 1, 2, ...
6.8
(«)o = 1
6.9
Г(а)

150
ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V)
6.10
1 а \	 г (я “F1 )
\Ь J Г(Ь+1)Г(а-Ь+1)
6.11
2
В(Л)= Ç'
J "К 1 — k2 sin2 ср
6.12
в (х,у) = Г е*-> (1 _ y dz = гг(^(у)-
J	1 И ~гУ)
0
6.13
beiv(x) = Im (Хд/УТх)], где Im (z) означает мнимую часть
комплексного числа z
6.14
berv (х) = Re [/„ (Z У"7х)], где Re (z) означает действитель¬
ную часть комплексного числа z
00
6.15
		/ 	 1 \п	/ je \4П +2
bei0 (X) = bei x = Im [/0 (/1 x)] = У	1Д 2 )
L<2nH- 1) 1 J
6.16
ber„ (X) = ber x — Re [/<,(/1 x)] = У	f 2 )
n=0
6.17
C = - Г (1) = - f(l) = 0,577215665...
6.18
v	Г (n 4- 2v)	/	.	. 1 . 1— x\
C”(X)	Г(п4-1)Г(2ѵ) »F>(n + 2’'1 v*t“ 2 ’ 2 )
6.19
X
1 C I
C (x) = -7=7- \ -7= COS U du
/2к J Vu
x x
6.20
C (x) - IS (x)= Ç -^= du = 4- Ç H(t\ W du
J Г2к«	2 J --
00
6.21
ce2„ (z, q) = 2	cos — функции Матье
A=0

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
151
6.22
сегп + і	?) = 2	C0S	2
k=0
6.23
Сегп (z,?) = ce2„ (iz, q)
6.24
Се2п+1(г, ?) = ce2n +,(/?,?)
X
6.25
/ V «	. C ch и — 1 ,
chi (x) = In f x + \ 	du
0
6.26
,	ex + e~x
ch%-
6.27
eix\e-ix
cos X =

00	X
6.28
n-1 \	С cos и .	.	e 1 — cos и .
C1(X)=—\ -^-tûz = lnïx-^ 		—du
x	0
6.29
Ci (x) = — ci (x)
к
T
6.30
C (ft) = j Sin8 y cos8 y rf?
0 (1 — k2 sin2cp)2
к
2
6.31
J V 1 — k2 sin2 cp
0	T
6.32
Dn(x) = e 4Нея(х); л = 0, 1, 2, ...
1	. V	1
6.33
■H
> ІСЧ
+
-hr
ІСЧ
1
4
1^*
+
II
g
q’
6.34
6 = 2,718281828...
00
6.35
e* = expx = ^2^-
л = 0

152 ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
6.36
6.37
6.38
6.39
6.40
6.41
6.42
6.43
Т
Е (k) = V1 — Л2 sin1 ср dy
о
»
E(k, ср) = У1 — k9 sin2 и du
о
It
Еч (X) == — у sin (ѵср — X sin ср) rfcp
о
Ei (X) = j — du = li (ex)
—	00
Z	п=1
_-L	£_
—	z 2 e 2 IT j (z), — к < arg z < к
— —, о
Ei (X) = -i (Ei (X + /0) + Ei (X - ZO)J =
'rtw=^p-''“=7ï'F'G;4;-«,)=
= v= X 2 e 2 M ,	! (X*)
Г"	-T’T
00
erïc (x) = 1 — erf (x) — —^= Ç e _“’dzi=
}zr. J
X
_L __
= (itx) 2 e 2 IF !	! (Xs)
“ T’ T

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
153
ТЕ
т
6.44
p(k)= Г ■
J У 1 — k2 Sin8
6.45
F(k, <?) = Ç —
J У 1 — k2 sin2 II
6.46
?; ï! x) = 2F1(a, f; t; x) =
__ rCr) V Г(а+6)Г(Р-М)х*	. 1
Г(а)Г(?)2-	Г(7+*) kl'
К=1
6.47
а2’ •••» ajp» ?і» ?2» •••»
оо	.
_ХЛ (g1i (а2,	- (Зр, &) X*
“	<?Р*) (?2. ft) ••.(?„.*) ft !’
г„ (=..«=Ц±і!. м=аи
G.48
6.49
(я> 7»	— п> а + п'у 7Î х) =
_ 1 I V (	( П \ (а-г”) -- - (g + ” + &— О гЛ
-’+Z.J 'Цй) 7(ï+i)...(ï+*_i)
(ï 0, — 1, ..., — п 4- 1 )
G.50
Fek2n(z,9)= ’4<г’Л)Х(	2//ÿshz)
0	4 = 0
6.51
Fek2n + 1(z, ?) =
=	cth 2 Ê ( - D* (2* +1) ЛВД’ X
X	( — 2/У? sh z)
6.52
Gek2n+1(z, 9) =

154 ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
6.53
6.54
6.55
6.56
6.57
6.58
6.59
6.60
6.61
6.62
6.63
6.64
6.65
6.66
Gekîn + s(*> ?) =
= “ Cth 2 J-о ( “ 1)Л (2Л + 2) ^++/) Х
X^+j(-2//^shz)
œV + 2« + l
•*,W-	/	3\	/
n=0	+	r(«+* + y>)
//<*’ (z)=Jv(z) + /yv(2)
W«(2) = Jv(Z)-/yv(2)
Неп(х) = (-1)”е2
HeJn (X) = (- 1)” 2-" (л!)-1 (2л)! ,5,	-y)
He2n+1(x) = (— 1)'’2-п(л!)-’(2л + 1)!х1л(-«; y! y)
Не* (x) — ( - l)ne*’ (e-**)
heiv (x) = Im	(iVi x))
hei0 (x) = hei (x)
hei\ (x) = Re (	( / VTx)')
her0 (x) = her (x)
œ mv+2*
Л (^) = i 4, (lx) =
Zz0 (X) = Jl0 (ZX)

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
155
к
6.67
(х) = -iy COS (vcp — X Sin ср) tZ<p
0
6.68
,,,, ѵ-<Г
А!Г(ѵ4_А+1)
6.69
л,vW 3P+n'(|i+l)rb4-l)0??î(,l't'1’27
6.70
К
J % (x) =	(2 COS cp)m COS (/zcp — X Sin <P) rfcp
0
6.71
4 (xi VT) = berv X + i beiv x
У
6.72
Jc (x, y) = JQ (xu) cos и du
0
00
6.73
J/V(x) = j J-^du
X
У
6.74
Js (x, y) = J Jo (xu) sin и du
0
6.75
K(k) = F(k)
6.76
K4(x) = -J Г+'Н^(іх)
00
6.77
X
6.78
кец (x) = Im (Z“v/<v CKFx))
6.79
ker M (x) = Re (i ~	(Уi x))
6.80
Lv (х) = Г^-'Н.(1К)

156
ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V]
6.81
Рх dn
6.82
X
L,(x} = -~M	,	(х) = 1А1(— ■'< І;х)
Ѵх V +L, 0
6.83
W W = T S1	Ѵ + ’)-	= Ln*
«-H x
6.84
X
6.85
lix=Ç.— (x<i)
J In и
0
6.83
In z = /ср 4- In 1 z |, где z = rel	— л < cp< л
—y- / 1	\
6.87
Мц, ,(•<)=* e 2	+	2*4-1; xj
6.88
л! = П(п) = 1 -2-3.. .n - Г(л -|- 1)
6.89
Vv(x) = Kv(x)
6.90
^,./х) = Ги,ѵ(х)
6.91
Mv(x) = K/,(x)
00
6.92
0„ (X) = 1 J e - xa [(u 4- /«2 4-1)" 4- (« -У“г +1)"1 rf«
ü
1 dn ,	. „
6.93
'’«И=г« г

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
157
6.94
р.	(-*, *+і; і; Ц25) |і-х|<2
т
6.95
Г (- 1)т(1 -X1)2 ? jjJ*) при |х|<1,
I	ИЛ
1 (х* !) dx" } при 1X1 > 1
6.96
ПИ-гДСtg л(-«4» 1-« 1^.
|х - 11 < 2
6.96 о
р("')(х) - J ЛX «.«+» + ? +1;а +1 ; 2 )
6.97
Р (х, ѵ) = J е~иіГ"1 dit —Г (v) — Г (v, х) = y (v, x)
0
6.98
W-rO-X-j) X-V,V + 1:1 и: 2 )
z — точка комплексной плоскости с разрезом вдоль
действительной оси от — оо до 4" 1
6.99
& (*)=$(*)
6.100
Л
6.101
Q„(x) =^(x»-l)'’lnj±j-llnj±]pn(x), 1Х|>1
6.102
П ГА - КіГГ(ѵЧ-І)	Г ' _. :-_l ... 3. 1 \
Qi W —	/	Ч \ x	1	’ 2 ’ ' 1 2 ’ Л2 /

158
ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
6.103
1
Dî(z)= КД2~Ѵ~\ ^’rdx + v+Dz-H-’-»^-!)^ X
r«+’)
ХЛ(^Ц±І,	.+1; «-■)
z — точка комплексной плоскости с разрезом вдоль
действительной оси от — оо до -|- 1
6.104
£Mz) = e!(î)
6.105
<?,(%) = <?î (X)
6.106
(ж) =	+	(Х2 _ ц^х-р-’-'х
х^. (ф+1.	*+у;	й> 1
/тса	/кіх
1	г —-	—	1
6.107
рР(Х)=±е-'>" 1 е 2 £Р(х+/0)+г2	/0) 1, W <1
/	т
(-1Г(1-хГ
6.108
’"й= 1 •
6.109
о-й=г-.-2-- £ Й+2-,+г4„
А=о
оо
6.110
Q(x, v)= J e“ü uv-1 ^« = Г(ѵ, x)
6.111
X
a. .	1 0 sin и ,
S(x) = -^= 1 -^du
/2nJ / и
0

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
159
6.112
0	X
6.113
y1(x) = 4-(e-* + e-‘x + e-E2JC)
6.114
st (х) = ±-(е~х + ее-** +
и
6.115
у,(х) = 1(е_* + ‘‘е_‘*4-ее-,а*),	е^1ие’=1
0
6.116
W = Î е-ла((а+/и^1)»-(а-у и’ + щ	.
о	/«‘+1
О)
6.117
se2n+1(2, $) = £	sin (2fe + 1) z
k = 0
QO
6.118
se2n («. Ч> = V Bfg> sin (2fe z)
k—i
6.119
Se2n (г. Я) = — 'se2„ (/z, q)
6.120
Se2n+1 (z, q) = — /se2n+1 (iz, q)
6.121
ex — e~x
sh x =	2

X
6.122
C sh и
shi (X) = J — du
0
QO
6.123
. / ч	C Sin «
S1W=_J ~du
X
X
6.123*
, ч	P sin U ,	K , , . .
S1(X) = J — du = 2-4-si(x)
0
6.124
ox P-ix
sinx=	2/

160
6.125
6.126
6.127
6.128
6.129
6.130
6.131
6.132
6.133
6.134
6.135
6.136
6.137
ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [гл. VI
11 при х<0,
sign X = < и при х=0,
( 1 при х>0
stei., (х) = Im (Hv (iY i x))
sterv (X) = Re (H, ( iY i *) )
XP + 1
(р + * + 1)(н-* + 1)
^Л*) = ^,,(х) + 2|л-1Г
X [cos (Ч2 J--‘(x) -cos (Чг71 )w
Tn (x) = cos (n arccos x) = -у [(x 4“ Ухг — 1 )" 4-
sin [(n 4-1) arccos x]
"n(X) =
U, (w, x) = У (— l)m — j J,+Îm (x)
/я=0
17/ ч	f W I I ° A I ГТ ' ч
Vv(a», x) = cos i —4-—4- — \ + иг_№&
y 	 cos rtv (x)	7^ 4 (x)
л	sin кѵ

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
161
6.138
Уі,(х)= J ~^da
»-±
6.139
6.140
[х] = п ДЛЯ п X < п 4- 1
6.141
т= ес = 1,781072...
00
6.142
Г (ѵ, х) = J іГ~1 е~а du = Q (х, v)
X
00
6.142 а
Г(ѵ) = j iii~1e~udu = П(ѵ—1)
0
6.143
Y (v, x) = Г (v) — Г (v, x) = P (x, v)
6.144
Yn (w,x) = i~n U (iwjx)
6.145
6o=l. e« = 2 (л=1» 2,...)
00
6.146
J,
n=l
00
6.146 е
Ux- v)=£ («+>,*
n=Q
00
6.147
60(v, x)=14-2^2 (—cos2n£v
k=i
6.148
„	— к2	x
6,(1/, x) = 2^2 (—l)*e v 27 sin n (2k + 1) v
k—O
Ь В. Диткин, А. Прудников

162
6.149
6.150
6.151
6.152
6.153
6.154
6.155
6.156
6.157
6.158
ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Э2 X) = 2 У e
k—Q
\2 X
cos z (2k -|- 1) V
«2(Г,
x) = 1 + 2 У е - пгк2х CCS 2nkv
k=l
X) =
- 00
Е*
-k — Q
У ях
Е
о
х) ■—
-Е
k — — 1
- £ (— 1)*е
А— — 1
_±(г,-і-*)2	_;л
e х - У (-!)*<? х
k—— 1
(5 (ѵ .у) = — — I У е
3 > «
L « — О
Ѳп (w\ X) — і~ л Ѵп (iwy ix)
±(. + A)3_	+
k=- 1
о
0
	/ ІПб/д.ія n = qmy где q — простое число, tn > О,
1	\ Ов остальных случаях
f xatia
О

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
163
6.159
00	.
Р	хи+ & иа
»(К,а,Ь) = ^ Ци + ь + 1]аи
0
00	00
6.160
. . С хи du	P x“ 1 du
v(x) J Г(« + 1) J	г (U)
0	1
00
6.161
.	. C x“ dll
!'(« + !)
a
6.162
P V (u,d)
Vi (x, a)= \ 	- du
0
6.163
ад=_і(4+(!у-к»,.(.^)с(і+„
6.164
П (x) = Г (x + 1 )
со	zn
6.165
ф'г’ s. V)
6.166
Ѵ(х)=^Л(л), OO
n X
X2
6.167
6.168
* w=^’
6.169
(ù (x) = In Г (x) — ^X — 4- ) ІП x 4" x —ІН
X2
1

6.170
X(x, ^)=	e
V
6’

ГЛАВА ѴП
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
2
§ 1. Основные формулы
№
/(О
7.1
Fc(t)
72
f (at), a>0
7.3
f (at) cos (bt) (a, b > 0)
7.4
/ (at) sin (bt) (a, £ > 0)
7.5
^/(0
7.6
Fn^f(t)
QD
= f(t) cos (ut) dt
О
a 1 Fc (a lu)
dw
dû*” Fc
din+l
(— 1)" du2"*1
oo
j /(0
0
sin (tu) dt
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. Vil

§ 2. Рациональные и иррациональные функции
to
I 1 при 0 < t < а,
\ 0 при t > а
и'1 sin (au)
7.8
7.9
к2 (2u) 2
при
при
/2=1, 2, 3, ...
У, (n _ pi' (a + ьГт (— u)n~ m 1 sin |д (л — m) —
—~ pi [sin (аи+т) C‘(a« + M —
— cos ( au + y j si (au + bu)
7.10 t2m (t2 + z)-n~'
7.11
t2m (a2n + ^)“1î n > m 0,
zz, m = 1, 2, 3, ...
K	— aasin Г(2Л — 1)-1
Аа2^-2«+іув L 2nJ
2n
k=i
Xsin< — (k—— j(2m4-l) it-^-au cos
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

№
fit)
7.12
t~\ 0<Rev<l
7.13
/ Г-1 при 0 < t < a, p	n
10 при t > a,	Re ' > °
7.14
1 (a — 0’ при 0 < t < a,
< л	,	Rev> — 1
1 0	при t > a,
7.15
{ F (a — ty при 0 < £ < a	.
< n	,.	Re V > — 1
1 0	при t > a,
7.16
( t^1 (a — Zf1 при 0 < t < a,
1 0	при t > a,
Re (v, |i) > 0
со
Fc(u) = f (t) cos (ut) dt
о
CD
CD
sin (т)r(1 — v) M’-1
y a’v“1 [1Л (v; v + 1; iau) + iFt (v; V 4- 1; — гаи)]
1
-^-iu [e V 2 ' ï(v-b 1, iau) —
— e 4	7 7 (> + 1 » — iau)}
cos (au) J <au)
yfi(v> |і)а’+“’-1 [^(v; V -j- |i; lau) +
+ 1Л l>; * + w — iau)] 2
’t2r(v + 1)®
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

7,17	— 1 < Re v < 1
7.18	+	— l<Rev<2
7.19
7.20
V 2, Re>>-1
(	V — —
г (a2 — t2)	2 при 0 < t < a,
l 0	при t > a,
Re*>-4-
(2a)-' (аки)*
r? (è) [г(т+у)] K,{au}
г/ г Г -i- + V J a'и	(au)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ Й ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

№
fW
00
/>(«) = J /(Ocos(irf)rff
0
О
7.21
при О < t < а,
(t2 — a2)	2 при t > a.
- ÿ<Rev<4
7.22
t (a2 — t2)
O
2 при O < t < a.
Re»> —4-
&
7.23
при О < t < а,
t (t2 — a2)
при a,
0<Rev<y
—	,+i(aa)
2 ’-'я2 а,_’Г f a” Jv_, (ли)
\ À J
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
О
7.24
О при O < t < a,
t~’(t2—a2)	2
-1 <Re»<l
n sec (1W) a 2’ * • 1 —	[У, {au} H4_t (au) —
— H^au^-tiau)]

1 0	при 0<f<2a,
7.25
\ (t2 — 2at)	2 при t > 2a,
-l<Re»<±
— V	1	1
7.26
(*г + 2а0	% _±<Re»<-l
(	V	—
7.27
{ (2at — t2)	2 при 0</<2a,
V 0	при t > 2a,
Re * > — y
1
7.28
[(a2-H2)2 +<]“’, Rev>0
1	_L
7.29
(a2-H2) 2[(a24-^)2 +*]-’, Rev> —]
—	712 Г — ѵ) (2a)“V[Jv (au) sin (au) 4-	±2
4- Kv (au) cos (au)]
— у"г(^) г(у — *)[^(«“)cos(aii) —
— Jv (au) sin (au)]
г (4+*) cos (aa)(аи)
nvcosec(то)а_’и“* | /, (au) sin (y) + y[^(iau) —
— J„ (— /au)]}
ncosec (kv) a"’ Г4-Л(M4-1A(— іаиУ —
L
—cos (y)/„(au)j
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

№
/(0
1 1 1
	 	 		 	 	•		 о
7.30
t *(а* + і*) ‘ [(а2 + <2)2 _|_ Zp, Rev < 1.
7.31
t 2(«2 + ^) 2 [(а2 + Н2 — fl’,
Rev> -у
		1_ 1 1
7.32
t 4	2 (аг + ^)-^[(а2 + ^Г+йГ>
Re ѵ < т
_j_	_ 1	1
7.33
і1 2(а2 + /2) 2[(а2+/2)2 -а]-',
Rev<4
7.34
[(а -|- ity -|- (а — НУ]
7.35
е-п [(а 4- /О-’ + (а — if)~0 sS 2л < Re к
2
a
2
Fc (u) — f (t) cos (ut) dt
о
2 r, t (au)M
1 (au)
2 W „	1 (a)M V j (au)
2*4	2*4
«( - 1)"(2л)! ІГ(ѵ)]-Іе-°“«’-2'’-Ч<ѵп-гп-’>(аи)
КОСИНУСПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

7.36
[(я _ it)-* _ (а + гУГЧ,
1 ^72 <
• Rev
2
7-37 (<г4-а2) 2![(я2 + ^)2+^'' +
+ [(a24- t‘)r - /]'!, - l<Rev<l
7.38	(2аг + /2)'7П<і+*+(2^+72)ТГ +
+[a-H-(2af + Z2)rr'|, -l<Rev<l
(а2-/2>"|[<4./(й!_^> +
7.39	-
+ И-<(а2-<2)гГ!
при 0 < t < а,
t	0 при t > а
ІТ.(- 1)" (2п - 1)! [VW-'e-a“u'-™L^‘? (au)
2a’cos 1-^\Кч(аи)
~а* I sin (au —у U,(au) — cos (au —V,(au)
Y a” sec Ç y J [/., (au) + J_y (aa)]
c<Z>
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

№
( -1
t *(a*-	1X
7.40
X{[a + (a2~H2 Г+Ія-(я2-'2)2 П
при 0 < t < a.
0	при t > a,
-l<Rev<l
1 f (a‘ — /Т при 0 < t < a.
7.41
г 0	при t > a,
I	Re (h, V) > — 1
1	0	при 0 < t < a,
7.42
i	2-
■	+lr_(/*_eî)îf}
!	при t > a,
'	— 1 < Re » < 1
00
Fc (и) = J f (0 cos (ut) dt
0
to
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

'	0	при 0 < t < а,
t 2 (іг — а2) 2 jК + (Z* - a2)2 Y +
7.43
+ [Z-(Z’-ayr}
при	t > а,
3 /D	3
-y<Rev<T
1
-V	 1
7.44
Z2n(a24-Z2)	2, Os=n<y-|-Rev
7.45
Г(аг-Нг)_р,_,> - 1 < Re y < 2 4-2 Re ji
1
( - 1)»^ (2а)-’ [Г (1 + у)]	. -gï [цѵКѵ (ав)]
д<~8И~1 РГ1 , > 1_’ I U
2 V 2 + 2 ’ 2	2 Х
Х ,Fî \ 2 + 2 ’ 2~^~~2~ 14 Т ’ ~4~ J +
1
+теЪ’-^[г(1+1х-^)]',Х
X^-’r^—Ь-ц)Х
Хл(н + і;н+і-^. н+|-
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 3. Показательные функции
/(О
00
Fc (u)= f (t) cos (at) dt
0
7.46	t 2 e~at
7.47	Г"’ e~at
7.48	Z'-1 (eat + I)-1,	Re V > О
7.49	Г"' (eat —	I)-’, Re V > 1
7.50	e~att
7.51	t2 e~at2
1 1 _
3
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

1
7.52
і~те~а‘г
7.53
(-2пе-а^
7.54
(^_|_/2)->е-й2'2
7.55
/',-ie-°'-M2, Rev
. ь2
- at- —
7.56
t'-'e	*
7.57
С‘-'е-аУГ, Rev
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
!	cZZ3
4
( — 1)п п22~п~'а~2п~,е~Не2п^2“7 •
■т"?"^202 [ e”ônerfc (ab — ^Л+е&и erfcf ab Ч-т^І
4 b [_	\ 2а J 1	\ 2ayj
р	__ V а2 —и2 іau	1
(2b) e ы {e~ 4b D_., [(26) ~ 7 (a - Zzz)] +
+ <?17D_.,[(26)"7(a + z«)][
Ь' I (a iu) 2 K, [2b (a 4- iu)2 ] -|-
+ (a — iu) 2	[2b (a — iu)2 ]}
/ t \	r _ j_
Г(2v) (2«)"’ «Je-'A 2 8“/ • D_2v и 7 (1 - /)] +
f— I a2\	1
-|-e'\2 8u/ D_t, (1 +4 j*
					:	 СЛ

№
/(0
7.58
1
-Ь(а2+/2) 2
е
2_
_± _6(О> + Р)!
7.59
(а2 4- ?) 2 е
ѵ-±	-±	1
7.60
t 2(a2 + t2) 2[(t2 + a2)2 +а]-'Х
Хе-Ь(аЧ-^2, Rev>_
7.61
e~at (1 — e"w)Vel, Re a, b > 0; Re v
7.62
Zve”flt2, Refl>0, Rev> — 1
00
Fc(u) = J f (t) cos (ut) dt
о
ab(b* + u*) 2 K, [fl Ф24-a2)2]
ЯИа^ + ц’Й
r (z+т) a~' (2a)~T	_ 1 ІаК6*+иѴ-Ч}Х
2 *	4
Х^_л	Ч-Ч{
~~ 2 ’ 4
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
a	[т+т: І’ -£]
ta
<

7.63
t~l sin (at)
7.64
Г 1 sin (at),
7.65
e bt sin (at),
7.66
sin at\2m
§ 4. Тригонометрические функции
те
2"
при
и
< «1
те
T
при
и
= а,
0
при
и
> я
— 1 < Re V < 1
a > 0, Re b > 0
4»
T [cos (?)r (1 -v)] "* +a)’v -
— sign (и — a) 1 и — a |“v|
lb2 + (a + B)T> + ^=2? + (a -
' (—1)т2-гттпІ(т!Ггигт~1 +
■ у ( — l)n [(2an 4- и)гст~1 4- (| 2an — и
„■“J	(m 4-nj! (m — л)!
при и =C 2am,
0 при u^z2am
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
/(0
7.C7
/sin at\2,n + ï
, /n-о, 1, 2,
7.68
f'”1 cos (at), 0 < Re V < 1
7.69
(^2_|_ /2)-! cos
QO
Fc (и) = fl(t) cos (ut) dt
0
(— \)m Tt2-2m-2(2m + l)F(a)t
где
? FGn_ V ( - Г" І(2^+1)а + ^+[(2/г+1)а-^^^
“0	' (m + 1 + ”)'• W - n)\
при 0 и я,
pia\ V' /	i\n [fZ~j-(2л+1 ) aJ2m— fc* — (2^+l)u]2m .
•	~=o	+ 1 + n^m - n)\	+
I V ( _ n« t<2" + 1) a + и]81” + 1(2» + 1) д — u]‘m
!	(«+ 1 +»)!(/n-zz)!
при (2k — 1) a^u ^(2k 4- 1) a
J Л(а) = 0 при (2m -f- 1) a, Æ—1, 2, 3, ...» m
cos [ I u — a I -v + (u + a)-v]
^e~abch(bu) при и < at
^e~buch(ab) при и > a
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

ииТіянхф аилэяьиаіяионсмиаі

00
Fe(u) = f(t)cos(ut)dt
о
7.77
Г 1 cos j, — 1 < Re » < 1
7.78
1
e"wsin (at2)
7.79
1
f'e"0* sin^af2 — y), Rev>0
7.80
tsin (at2), 0 < Re v <
y- cosec (y) (|) * И-,(2 ^аи) — Л <2 Va«)+
+ /_,(2/5ü)-Z,(2/^)]
Y	5	a*b
а(Ь* + их)* -e 4(b’+«a)X
XCOS [4(ft2 + «2)
-4arctgG)]
/
-Ç-Jj (ЗнІ-’е toDlv_.(a« 2)
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

7.81
7.82
7.83
t	0<Rev<l
4 2	1
— at	—
e cos(atf2)
{[(a2 4- Z2)' + zf +1(«2 + іг)2 - 4’i X
_ _1_	1
X (a2 + Z2) * sin [h («2 —|— Z2)2 ],
— 1 < Re V < 1
1	3 aa
aiJ(2«)”Te й
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
XK,[a(u2-62)2l
при и > b
ot>

№
/(0
1	і
7.84
{ [(а2 + гѴ + Zp 4- \(аг + И 2 - /]ѵ 1 X
1	2_
X (а2 -Н2) ~ 7 cos [& (а2 + F)2 ],
- 1 < Re > < ;
( --
7.85
/ (sin t) 2e 2a,mf при 0 < t < л,
I 0 при t > к
GO
Fc(u) = $ f (0 cos (ut) dt
0
00
to
X^sin ^^-^J,[a(ô2 — zj2)2] +
+cos (	) ГЯЙ<62 — “a)2 1 j-,
при 0 < и < b,
«•4^)[CSr+G^)>
1
ч	X [« (н2 — ^2)2 L при и > b
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

7.86
7.87
j (cos^) 2 e 2acost при 0 < t ,
0 при t >
(cos t) 2 e~ a sec t при 0 < t < -y,
О при t > y
2	2
§ 5. Обратные тригонометрические функции
7.88
7.89
arcsin t при 0 < t < 1 ,
О при t > 1
I arccos t при 0 < ^ <• 1, --
) 0 при t > 1
и ~ 1 [sin и — Ho (zz)]
и - 1 H„ (u)
7.90
'■larctg(i)
—Ei ( — au)
7.91
f' (1	t2)2 sin (v arcctg /), — 1 < Re V < 0
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	183

№
/(О
00	со
Fc (а) = J f (i) cos (ui) di
о
7.92
7.93
7.94
7.95
7.96
7.97
V (1 -|- t2)2 cos (v arcctg t), — 1 < Re V < 0
arctg ( 7-)
arctg(ant~n), n = 2, 4, 6, ...
—	« *Г(»4-1)й	* sin (vit) ch У, j 1
u~l [e~aa Ëï (au) — eatt Ei ( — да)]
к ,	л м — aesinl ( т—- ) — I
—	-2 W1 ( — l)me ІА */ ”Jx
m=l
х/ • Г (	1 \ к
X sin \аи cos I m —) —
§ 6. Логарифмические функции
In t при 0 < t < 1,
О при t > 1
t 2 In*
— u"1 Si(w)
“(¥) [c+y + ln(4u)j
u“1 Iу [cos (bu) — cos (au)] + cos (bu) Si (bu) Ц-
+ cos (au) Si (au) — sin (au) Ci (au) — sin (du)Ci (bu)|
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

7.98
f-’lnf, 0<Rev<l
7.99
t'l~,e~at\nt, Rev>0
7.100
/ In (a* — t*) при 0 < t < a,
( 0	при * > a
7.101
\a — t J
1
7.102
(a*-J-;*) 2 ln(a2 + H
7.103
ln(l 4-a2/-2)
7.104
In 11 — aH~2\
f 0 при 0 < t < 1,
7.105
l	— l)2 ] при 1
r(v)u“’cos (y)	— y	— lnu"|
jcos [vai-etg (y)] [и») — yln(a’4-u*)J —
— sin [varctg arctg(y)} Г(ѵ) (a* 4. u*)"
О
u_| sin (au) ^Ci(2au) — C—In	—
— a”1 cos (au) Si (2au)
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
— 2k si (au)
— [c+ln (y)] K„(au)
nu_,(l — e~aa)
ku”1 [1 — cos (ai/)]
-y р-к.ЮЛ
a
00
			 Oi

Х2
/(0
ОО
(л) = J f (0 cos (ut) dt
0
7Л0С
j (а2 — 1‘) 2 In [(а2 — /2)Т]
I	при 0 < t < а,
(	0	при t > а
7.107
_ 1 1
(«24-Z2) 2 1п[< + (а2 + /2)2]
[S_ M (iau) + S_M (— гаи)] + In a K9 {au)
оо
о
§ 7. Гиперболические функции
7.108	[sch(aZ)]2" (л = 1, 2, 3, ...)
7.109	[sch (я/)]2/г+1 (л = 0, 1,2, ...)
7.110	[sch (а*)?, Rev>0
22п~~1гаі
~Т7Г.	ГГГ CSCh
а2 (2п — 1 )!
22П-1г. и
^wsch
Т~2а
п
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

7.111
(sh at) v, 0 Re V
7.112
ch (at) ~	.
ch(W)’ Q<a<b
7.113
sh (at)
sh (bt)
7.114
0<a<b
ch (bt)
if at\
ch -7Г
7.115
\ 2 J
ch b ch (at)
2’na-’sin(^) Г(1-ѵ) [r(l-l- + g)x
HS) Hïï)“ccsH
ita
SID -7
z	b
2b ita , , nu
cos -г- 4- ch -Г-
b ’ b
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
oo

№
f(t)
7.116
sh (at) , _ M
/ch(Ztf)	)
7.117
ch (at) — ch (bt)	.
			, c max (a, b)
t sh (ct)	’ '
7.118
e~at [sh (^)Г» Re V > — 1, & Re v < a
00
Fc (к) = J f (0 cos (at) dt
о
00
oo
7.119
e bt* ch (at)
7.120
cos (a sh t)
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

7.121
7.122
7.123
7.124
7.125
§ 8. Ортогональные многочлены
Pn(t) при0<£<1,
О при t > 1
Ргп{і} при0<£<1,
О при t > 1
хРп (х) при 0 < t < 1,
О при t > 1,
Re (X + ri) О
Рп О 2^2) ПРИ 0 < * < 1»
О при t> 1
(аг — іг) гГ2п(-^ приО</<а,
О	при t > а
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
со
со

№
/1 1
7.126
< t 2 (1 — Z2) 2 Tn (Z) при 0 < Z < 1,
1	0	при Z > 1
7.127
,1(1-Z2) - cos [a (1-Z2)2 ] r2„ (Z)
I	при 0 < t < 1,
\	0	при t 1
__L
7.128
(a2 + Z2) 2T„[a(a2 + Z2) 2]
7.129
Тгп [a (а’ + Z2) " T] Jin p (a2 + Z2)“]
7.130
f (1 - Z2)’’>(Z) при O<Z<1,
0	при t > 1,
Re V > — 1
оо
Р	О
Fc (и) = \ f(t) cos {lit) dt
о
(- 1)" ~ T2n 1« [(a2 + u2) * ] J2n [(a* + u2) * ]]
l(n — l)!]-1 u"~
ïe-a«
(— 1 )n {b2 — u2) 2 cos [a (b2 — и2)2 ]- X
o X T2n [(1 - u2b~2)]
при и < b,
при и > b
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
y —- —
(— 1)" 2	2к2 [(2/2)!]->Х
-V -±
ХГ(2л4-ѵ— l)u 2 J {и)
2«Ч-ѵ4-у

7.131
e bt2\Az2n {at)
7.132
e 2 He„ (0Hen+2ffl (t)
7.133
e-att''-znL^-^{at), Re>>2/z-l
7.134
_ p
t2Tne 2L{2^ {t2)
7.135
— — in ~ t) /12 \
7.136
7.137
(- l)m п\ (у у игте ~ ‘2’	(u*)
1(-1)»+T(,) [(2n-I)!]’1 X
X и2"-1 [(a - lu)-' - (a + Zu)"v]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

№
7.138
7.139
7.140
7.141
7.142
7.143
§ 9. Гамма-функция и родственные ей функции
|Г(а + /7) I2
I Г (a -f- ibt) Г — а 4- tbt^ | ,
О < Re а < у
|г(4+/м)}|*
[Г(а + ^)Г(а
Н^+П-Іп/
* (4+,ѵ)
+ ф(у-zï)
— 2 Inf
тс2“2а
со
ю
00
Fc (и) =	/ (/) cos (ut) dt
о
22
(тсЬр1 cosec (2тса) P2a-i
\ 4b J \ 4b J
I 2— ІГ(2а-1)Г«.4-[соз(^)]’“*
I	при 0 < и < кЬ,
I	0	при и > кЬ
тс Г и 1 —і- csch
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. ѴП

7.144
. Диткин, А. Прудников
7.145
°°	— 9 п	—П
2к2 2 (2ял4е 2 — ?>п2е 2 ) ехр {—Ле”2М|
И=1
т Нт)+т8-10' Iе’”']
§ 10. Интегральные функции
7.146
7.147
7.148
7.149
Еі (— at)
е~at Ya bt), a^ — b
e~atY\(bt), a^b
eat2 Ei (- at2)
1	3 _J- A
—-і-к2а 2e4a erfc
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИЙ

№
/w
7.150
ea ch * Ei (— a ch t)
7.151
si (at)
7.152
e~bt s\(at)
7.153
Ci (at)
7.154
e-atCï(bt)
7.155
si (at2)
оо
Fc (u) = J f (t) cos (ut) dt
0
y [csch (ли)]’ [/,„ (a) 4- I_iu (a) —
7ГП	1Ш
— e г iiu (ta) —e 2 J _ ia (ia)]
1 I R2+(« + ^)2l _
2 (b2 + u’) ] 2	[b* + (a — a)’J
. t ( 2ab \ ■ .1
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	(ГЛ. Vil

7.156
7.157
7.158
7.159
7.160
Ci (at2)
4 — 5 (at*}
-^-C(at*}
£
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
-J [0(0
4 (v) u-I(a2 —u2) 2 [a — (a2 — u2)2|“
при U < <2,
4(4) «-l(u2 —a2) 2 |u — (I? — a2)2)2
при и > a
— 4(1) u“'(a2 —u2) 2 |a — (a2 — u2)2)2
при a < a,
<
J-	_ 1	11^
7 ■f )	1 (z/2 “	2 \u +(z/2 — 212
при и > a
CD
				 СП

о
7.161
t-1 S(at-)
ИО-О]
7.162
t~lC {at2)
“Z [Ci (“а) + si (Га)]
7.163
S (at-1)
)sin [2 (au)2] — cos [2(а«)21 4-е~2 (<“‘> }
7.164
C (at-1)
I /	“	—	I
4- 1 sin [2 (au)2 ] + cos [2 (au)2 ] — e ~2 (aa) J
§ 11. Цилиндрические функции
7.165
J2zï(ûtf), п = 0, 1, 2, ...
I (- 1)” (a3 - йг) * rsn	при 0 < и < a,
1	0	при и > a
7.166
J' (at), Re V > — 1
1 (a2 — u2) 2 cos arcsin	j ПРИ 0 < u'< а,
— a* sin (^yu2 — a2) 2 [и+(и2—a2)2 ]“v при и > a
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

7.167
CJ4(at), -l<Rev<^-
7.168
Rev> —
7.169
<"Ѵѵ+м(а<), Rev>
7.170
<1-1'Л(а<),	Rey>-^-
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
к 2 г (ѵ + 4) (2а)Ѵ (а2 “ и2} Ѵ 2	rr
при 0 < и < а,
— тс 2Г^ѵ +	(2а)’sin (то) (а2- а'} ’ 2
при и > а
пг(2а)-” [r(ÿ + *)] (а2 —и2) 2
при О < и < а,'
О	при и > а
( - 1)” 2Ѵ-1 а-ѵ (2/г)! Г (ѵ) [Г(2ѵ 4- 2л)] -1 X
Х(л2 — и2)	щмй<и<а,
О	при и > а
і-ѵ; ÿ; 5)
при О < и < а
і >+uÿ)’
при и > а

№
/(/)
7.171
Z’ + ’J,(aï), -l<Rev<-l
7.172
—Re><Re|i<-|-
7.173
Jjat), Rev>--|
7.174
(гп-.(Ьг + (г}-Ч^ (at}>
n=0, 1, 2, ...» Rev>2n —-y
00
Fc (u) = f (t) cos (utj dt
0
O
00
)0	при 0 < и < a,
2v+1k2 a* р' — y — y ) j и (u2 — a2)	2
при и > a
y (т)'*Г(ѵ + |і)[Г(і+ѵ“и)Г'х
xz C- f I	. 1 . «S \
XZ.^ + ». o-v; Y- &)
при 0 < и < a,
/ n w
( y ] г (2v 4- 2ц) [Г (2v + 1 )] -1 cos [Tt (V + и)] X
+ > + h + 2v + I;S)
при и > a
e~bu l^(ab), tt>a
1)" ь2П-'‘-'е-Ьи l„(ab), u>a
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

7.175
Г+'(І’+ /’)-’л(^). -KRevCy
7.176
r+2n+i(Z)î_|_z2)-i J(a(}^
n = 0,1,2,..., —1 < Re (v-f-n) < 2—n
7.177
e sin t J, (I), —l<Rev<-i-
7.178
f-vcos/Jv(0, Rev> — y
7.179
t~v sin t'J^+i (0> Re»>—
ti* ch {bu) (ab), 0 <u < a	~
(_ l)nr+2nch(bu)K^(ab)t 0<u<a
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
л22ѵ	— (tt2 + 2tt) 2 при 0 < и < 2,
"2 2’"‘[г(4-v)] X
X [(H2 + 2zz) 2 — (u2 — 2u)	2 ] при 2 < и < oo
( ’сГ2-Ѵ'Г[г(у+>)] ,(2tt-u<~7
I	при	0 < и < 2,
(	0	при	и > 2
при 0 < и < 2,
О	при	и > 2
CO

CD
Fc (и) = f (t) cos (ut) dt
о
7.180
t 21Л(«0]2.	Rev>-|-
7.181
t2J ! (at)J ! (at)
V	 — V — —
4	4
7.182
Г’"'1 J, (at)j (at), Re(v + rt>-l
при 0 < и < 2a
при u > 2a
X $ (cose)-v-H-COS[(pi--V)e]x
0
f	w2 \v 4- p —
XÇCOS4~
при 0 < н< 2a,
при и > 2a
Косинус-прёобрАзованйе фўрьё	[гл. vit

7.183
1	(at).J, (bt), 0 < Re » < 2 + Re |i
7.184
Y. (at), - 1 < Re y < 1
7.185
ГУч(аі), - l-<Rev<l
/
7.186
t-T^at), -l<Rev<A
2’-н-і fc-’ан Г(Ѵ) [Г(1 +*)]-’, 0 < и < ft- а
при 0 < а < а,
—sin (т) & ~а*> 2 X
X {а-’ [к — (иг — а2)2 ]’ ctg (itv) +
1
4- а* [и — (а2 — а2)2 ]"ѵ côsec (кѵ) |
при и > а
г О при О < и < а,
,	при и > а
'	- /IX	—
—	к2 (2а)“ѵ Г ( у — V ) sin (тсѵ) (а2 — и2)	2
при О < и < а,
—	к 2 (2а)-ѵ Г	- У J (Zi2 - а2)	2
ч	при и > а
§ 11]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
/(0
7.187
Гѵ (at) cos	+ J, (at) sin ( у ) ,
— 1 < Re » < 1
7.188
t* [J^ (at) sin (at) + (at) cos (a£)],
7.189
? [Уѵ (at) cos tat) — (at) sin (af)],
- T<ReV<-2
7.190
Jv (at) sin ( at —	) — У, (at) X
X cos (at —	,	— 1 < Re V < 1
	—	 to
о
GO	to
Fc(u) = J f (f) cos (ut)dt
0
' 0 при 0 < и < a,
1 - — —
2{[«+(«’-al)îr +
при u>a
' 0	при 0 < и < 2а,
’ — тсТ(2а)’ [г0-—	(и* — 2аи) ’ ‘
при и > 2а
-к7(2а)’ [г(4-Ѵ)] ,(u, + 2a“)~’ T
_v 1 1
(a2 + 2au) 2 {[a + a4-(u24-2aa)2]v +
4- [a + a — (a2 + 2aa)2 ]*|
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

т	Г	/ я . ѵк\
7.191
^(/’-t-fr2)-1 pjaflcos (д +y J —
Kv(aOsin( 4 + 2	2<Rev<
7.192
t-'J4(at-')
7.193
f2X J,, (at-'), - 1 < Re X < Re v - ~
7.194
t~l sin (at~') J4 (bt~')t Re V > - 2
3
2
b 2 ch (bu) K..(ab), 0<u<a
2 (J, l(2aiu)г ] K. [(2a/u)21 + Л, [(— 2aiu}21 X
XK. [(-2az«)2']!
кГ4х-2’г(1-ѵ + -|)іГ(1 Wl’-T’X
хв2'-*-л(2>+і.|+’-1- »-*; т£)+
+ 4-х->а’+2ХГ (»-Х-±) [г(ѵ + Х + .1)]"х
Хо/Цт, Х-ѵ + _, Х + Ч-_; — J
У (си2 )	(du2 ) cos ( Y ) — (du 2 ) X
X sin ] + sin SJcu2)Kjdu2),
c = 2[(a + *)7 + (a--*)7|, d = 2[(a-H*)T-
— (a — #)21	(a^b)
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
to
о
ùû.

to
о
№
f(f)
7.195
t~l cos {at~l)J4 (Ы~г), Re y > — 1
_ 1
7.196
t 2 cos(aZ",)J2/j_1	w = 0,1,2,...
2
1
7.197
t 2 sin (a4-1) J 2n 2 (ûtf-1) n = 0, 1,2,...
"t” 2
Fc (и) =	f (t) cos (at) dt
о
тс „	— Г . V (	,
— “2 Л <czz ) I Л (du ) sin ^"2 ) H"
+r, (du2 ) cos (y)] +
+ cos ) 4 (си2 ) K, (du* ),
c = 2[(a+6)T4-(a-6)7], rf = 2[(a + &)7 —
1
— (a — d)2] (a^b)
1
(—1)" ■y u-7Jln_j [2(2аи)7)
1
2 _ 1 1
(-1)”^и TA„+1[2(2au)7]
КОСИНУС-ПРЕОЁРАЗОВАНЙЕ ФУРЬЕ	[гл. Vil

7.198
t~x sin (a/”1) J2n (bt"1), 72 = 0, 1, 2, ...
7.199
t-1cos(at^1)J2n+i (ЬГ^ /2 = 0, 1,2,...
7.200
t~l sin (аі~г) Уѵ (bt~l), — 2 < Re V < 2
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
</7>
(- 1)" -J	{2«Г [(a + ьў 4- (a - Z>)7] j X
X Л„ ! 2мТ [(a + Ьў - (а- &)Г]}
(—1)”+’"J Лп+і J2b2 [(« + b)2 4-(я — ІО'ЧІХ
X Лп+І î2іё [(a 4- Ьў - (a - if]}
7 Л (eu2 ) р„ (du2 ) cos (y) — У, (du2 ) sin 4-
-\-K,(du2) [z„ (cu2 ) cos (y) +
c = 2 Ktf 4- b)2 4- (a - z>)7], d = 2((a+b)2-
1
— (a — Z?)2], (a^b)
to
о
ел

№
fit)
7.21)1
t~* cos^-1)^^"1), — 1 < Re
- 2.	-L
7.202
t 2 JJat2), Rev>-1
- - 1
7.203
t2 J.(at2), - 1 < Re><Tj
»	_L
7.204
t2 e”alJ^(bt}2\. Re*> — 1
Fc (a) = f (t) cos (ut) dt
0
— 77 (eu 2 ) I Л (du2 ) sin
4- Y„ (du2 ) cos( y	— Kjdu2) pjcu2)sin
+ 7 K..(cu* )cos( 2 )] ’
c = 2[(a + 6)2 +(a-&)4 d = 2[(a-f-&)2
£
	//T 	 M2
Vît
”■4 ~
,2
2 Wu
ab
b2 (д2 + «2)	2
X COS
-(»+D arctg^^

7.205
Л (atRe V > — 1
7.206
Л(^)ЛД^2), Re*>-y
-1 ; ( ab\ • \a A-b2 vit]
и Л <r sin л	TT
V2w; L 4/z	2 J
( , ,	, _2_ Г Ьги I , f ab* I
[a2 — u2)	2 COS —2	j. -7—2	2\
[4 (a2 — a2) J v L4 (a2 — a2) J
J	при a < a,
(«г — аг) "T sin Гj—Ь^—г - кѵЪ Г—^-1
v '	[4 (a2 — a2) J v L4 (u — a )J
при a > a
7.207
Л (at2 )У_ Jbt2 ) + J_,(bt2 )(at2),
— 1 < Re V
7.208
7.209
7.210
[*(«—*)]	2Лѵ^[^(«-012}
4	при 0 < t <
О	при t > а,
Rev>-1
{(а2 — и2)2 J4\b(a — t)2}
при 0 < t<
О	при t > а,
Re * > — 1
2L	J_	1
d + П2 Л \a (1 + d2b Rev>"2
’-•a [t[(62 + “2)2 +«]|'a{’ï [(Z,2 + “a)2 -“’[x
Xcos(y)
(4У	£A+1(2««, Ьаг}
у) “ ” '	(2«- «)
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
/(0
_L	—
7.211
[<(1+0] 2MW+*)ri’
„ 1
Rev>-y
V	1
7212
и2+аОГЛ1>(^ + «П!].
— l<Rev<y
00
Fc(u)= f (t) cos (ut) dt
0
T [sin (
< T — 1tv) Г' ~
— cos Г y — itv V, (^) rv (x)l ,
х=~[« + (и2- &2)2],у=у[и- (U2 -*2)2 ]. («>*)
(т)2 (т)cos(?)(62-“8) 2^+’^Х
Х\ + 2_ [у (&г — и2)2] при и <Ь,
X { cos (у - vz) J +| [у (И2 - &2)2 ] +
+ $іп(у — vz) Г+і [у(«2 —^2)2]} прии>&
208	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ Г Л. VI

7.213
7.214
7.215
u + ^-') 2 ЛІП' + вОЧ Rev> — 1
;(«5 + ^) 2 ЛІНа2 + *2)2]
(a! + t‘)2 J, [Ma2~H2)2]. Rev<y
§ 11]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(^_B< 2e 2^-^) x
< Xcos jvarctg[zz(6s —I?) 21 — yj- приіг</>,
— Z>v(k2 — b2} 2 [« + (u2 — бУГ'Х
[л	ait , кѵI
~2 (и — b2)— ~2~ + y I при и > b
cos ( ?) І[a “(й’ “ *г)?1} x
2
ХК2_{у[« + (и2-*2р]]>, и > b
X^v ,	— u2)2] приО<«<^
:< t 2 t
— Ç~~ 2 Sin (kv) (aby (u2 — b2) 2 ( 2 ) X
XK 1 [a(w2 — H2] При u>b to
i	O

№
/(О
/>(«) = J f(t) cos (ut) dt
о
7.216
(«* + <*) г^1Ь{аг + (г}г], Rev> —у
(^U)-’(*2-u2)2 (’ 2Ь Ja^-a2)2!
< \ 2 J	*—-г
при О < и < b,
О	при u>d
7.217
(аг + <г)-‘(*2 + ^) Ч[с(*2 + <2)2],
Re » > — у
уа-’е-во(6*-а’) 2J,[c(b2-a2)2], и>с
7.218
7.219
(а2 - t2)
2 J., [ft (а2 - t2)2]
при 0 < t < а,
О	при t > а,
Re V > — 1
(а2-*2)2 Л[&(а2-^2)2]
при
О	при
Re V >—1
у Л { у [(*2 + «2Р + «1} Л {у К* + «2)2 - “1}
X *	2 Ѵ
(y)W(*24-K2) 2(v+2)
J ^[a^ + u2)2]
’+ч
210	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	(ГЛ. VII

о
при О < t < а,
7.22Э
Ï (<2-а2) 2 JJfttf’-a2)2]
\	при t > а,
- l<Rev<l
f	0	при 0 < t < а,
7.221
1 (^-^“jjfc^-a2)2]
(	при t > а,
Re V > — 1
(	0	при 0 < t < 1,
J _	-
7.222
і г(*2-1)2Л1«('2- >)2]
(	при t > 1,
- 1 < Re » < -
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
^У{аЬГ(Ьг-иг)~^^+~г^К^. \а(Ьг—и!)Т|	“
при О < и < Ь,
-(^У W(«2-*2)”T^+ï^ X
ХГ , [а(и2-*2)т1
— V

2
при и > Ь
уЛ [и—<«*— **)’]} X
2
Хг_2{т[“ + (и,-62)Г|}’ и>Ь
О	при О < и < а,
(au)' (и* - а2)"7 (’ + 2 Ь_ * _л [(и2— а2)7]
при и > а ьу

№ >
/(0
f	0,	при 0 < t < cj
7.223 !
< t (V -H2) ’ * tt2 - c2)7 J, [a (Z2 — c2)21
при	c,
A	^l<Rev<A
1 1
7.224
T2n [Z (a2 + Z2)”7]J2n [(a2 + m
72 = 0, 1, 2,...
/	^0	при 0 < t < a,
1	v
7.225
J ft	a\2	—
1 \ T м /
l	при t > a,
Re V > — 1
00
Fc (и) = y f (t) cos (ut) dt
0
(ô2 + c2)2 ch(&M)KJa(&24-c2)2], 0<u<a
(— 1)"(1 — a2) 2 cos[a(l — u2)2] T2n(u\
при 0 < и < 1,
<	0	при и > 1
J.
(b2 — u2) 2e'~a{b2 “a2)2cos |v arctg [u(b2 — u2) 2]j
,	при 0 < u < b,
_ (u2 - b2) ~ 2 b* [u + (u2 - d2)7] - VX
X sin +‘л (я2 — b2)21
k	при u > b
212	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[гЛ. VII

7.226	(t* + a*) гСа[Цаг+^ 2]X
n = 0, 1, 2,...; Rev>^--|
-	1 f iA	**
“ “2)7 1,-7 x
1
XC’„(u)J ,[a(l—и2)2]
Ÿ

2
при 0 < и < 1,
О	при и > 1
7	99_ f <1-'Vc’n+ г(ПЛ[а(1-<*)*]	(•
7,22/	1	при 0</< 1,
: V	0	при t > 1,
л = 0, 1, 2, ...;Rev>-y
7.228 ; (a2 ^-f2)" 7 KJ* (a2-H2)"2]
[u(a2 + «2) *]J	, ((а’ + и2)2]
',4-2«+-
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

к>
№
V	1
—	—	1
7.229
(a’H-H)2 yjHa’-H’)2], Rev<-1-
V —		 1
7.230
(a2-H2) 2 W+'П Rev> — ±
Fc(u)= J f (t) cos (nt) dt
О
(aby {b2 — ü2)
[а — и2)2 ] при 0 < и < Ь,
— (д&г cos (KV) № ~~ b*}
[а[и2 — Ь*}2\ при и>Ь
’ (аЬ)" (Ьг - иг)
У Да^-і?)2 ]
кОСЙНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
К . [a (a2—b2)2
при и > b

1
7.231
(a2-t2) 2 Y^b^-t2)2]
при 0 < t < а,
О	при t > а,
- 1 < Re у < 1
0	при 0 < t < а,
7.232
1 1
(^-а2)'ТУѵ[&(^-а2)Т]
с	при t > а,
- 1 < Re у < 1
у I COS	) [/, (X) У Ду) + Уr (X) -ЛД у)] — sin ( у ) X	2І
XІЛ (X) Л (J) + Л (X)	W1.
2	2	2	2
x=y[(ft2 + a2)'24-u], y = -i[(ft24-a2)T-u]
— у sec f у) (X) У^ (у) + 2 cos (vn) J(X) J(у)],
х — ^[и + (иг—ft2)2], y=^-[u — (ua — ft2)2], (u>ft)
£ &
(	0	при 0 < t < с,
v 1	*
_ -j-п	—
7.233
1
к	Х^[л(<* —с1)'] при t>c,
л = 0, 1, 2,...; — ± — n<Rev<Y—2л
7.234
1
Л!а[(*2 + *г)Т + ЛІХ
1
X л !а ((ft2 + <2)7 - <]|, Rev> —1
(4а2 —и2) 2 ЛЛ*(4л2-и*)21
при 0 < и < 2а,
О	при и > 2а
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	215

№
/(0
7.235
'/y{a[f-b(Z*^ft*)T]}X
ХЛІаК-Р’-**)7]}
7.236
Y^aW + tŸ + tÏÏX
:XKJa[(&*4-/*)7-^, - l<Rev<l
1231
X = a [(ô2 4- Z2)2 4“
y = a[(b* + t*ÿ -t]
J2yt [ 2a cos (y) ]	при 0 < t < u,
12&
0	при t > к,
A
			 ьэ,
??	о
Fc (u)=± \ f (0 cos (ut) dt
0
(4a2-u2) 2 /2Д6(4а2-а2)2]
при 0 < и < 2a,
О	при и > 2a
- (4a* - U*)" *" J2, P(4a* - и*)*]
при 0 < и < 2a,
4тс“1 cos (кѵ) (a2 — 4a2) 2 JC2w [b (a2 — 4a2)2 ]
при и > 2a
2 (4a2 — a2) 2 Y2yt [b (4 a2 — a2)2 ]
при 0 < it < 2a,
4tc~ 1 sin (kv) (a2 — 4a2) 2 K*, p (a2 — 4a2)2 ]
при a > 2a
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
^-В(л)Л+в(«)

7.239
7.240
7.241
7.242
7.243
(2a sin Z)	при
О	при
Re v > — 1
0<Г
t > it,
J (2a sin £)	при 0 < Г
I	0	при t > it,
- 1 < Re v < 1
л. [2ash(4)] - Rev>~4
r-[2ash(4)]’ -y<Re*<4
те cosec (2яѵ) [cos (2itv) J„+o (a) J4_n (a) —
Ju — 4 (a) (a)l
л, К cos ( Т)Л-а(й)Л+а(Д)
2	2
л; л cosec (лѵ) cos Ç ™ ) [/v _ „ (a) J „+a (a) cos (лѵ) —
_»+“	_ v-в
2	2
Ц-іи (a) ^^ + iu (a) + Ц + іи (a) Kv- iu (a)
cosec (2кѵ) I cos (2kv) [A,_Zo (a) K^+iU (a) +
“Ь Ц + іи (л)	(a)] K^ — iu (a) I—v—iu (л) —
ѵ + ш (Д) К>» + Іи (Д)і
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
9 [А + іи	іи (а)	J<i-iu (д)	+ іи (л)1
го

№
fit)
7.245
y2, j2ach(-0]
7.246
А-Л«)Л+ЛД)> Rev> —-i-
ch(4
7.247
shfy
7.248
ch(iU) [J“{a} J~‘t{aïï
— t
7.249
e2 H^(a)
-—t
7.250
e 2	(«)
00
Fc(u)= f (t) cos (ut) dt
о
y [Л+/о (a)	(a) - y,+(O (a) Y.,_ia (a)]
при U < K,
при II > K
cos (a ch и) |C ch2 y j — S (2a ch2-j)] 4~
4- sin (a ch и) Гс ( 2a ch2 4~ S ( 2a ch2 y
— i cos (a ch u) (c \ 2a	(2a c^2 y j j “F
4-/ sin (a ch и) Гс (2a ch2 y) — S (2a ch2y)
/e-iachB
	feia ch я
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

7^51
[Л7(«)]‘ + Р\7(а)Г
7.252
it Iя) У-и W 4” J -а W it (я)
7.253
JitWJ-it<b)-Yit<a}Y_it(b)
7.254
7.255
(Ь)е~*
7.256
K^at), — l<Re><l
7J57
fK^at), Re>>—ÿ
7.258
Re(n±v)<1
—Л Кя’ + Ьг + 2ab ch u)7]
y0[(a* + ft» + 2afrchtt)7)
ІН^ [(а’ 4- Ьг 4- 2ab ch u)7]
— іН^[(аг 4- b2 4- 2ab ch u)7]
-Jsec (у) (a1 4- иг)~Т {«"’ 1« + <я’ + «Vf +
4-a’ Lu 4-(a’4-u«)7]-’|
1 !
у’ (2a)»r(-l-4-v)(u»4-e«)"”7
Ш'г^Ч+4Н4-^-і)х
xz,(ÿ-|+|.
§ И]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	219

№
/W
7.259
-k;(at)I,(bt), a>b, Rc>>-1
1
Z260
tTf . (at) К , 1 (at). Re у > - -^
V_L	*+г'	4
4	4
1
				1
7.261
t 2 Zv (at) K4 (bt), Re v > —
7^62
KAat)K„(bt), --i-<Rev<-~
Fc (u) = J f (t) cos (ut) dt
0
1
y (ab)~*£^_L
^+Ьх+иг
” 2âb
a 2V (u24-4a2) 2 [(4à24-w2)2 — zz]2*
И£)’г(т+-) [Г(т-’)ГХ
: XD-; [«-*(«’4-4а2)Г]5р-\ 1и-‘(«г + 4а2)г1
л* , X, t-r „	/а’ + &’ + и!\
Tsec (кѵ) (ab) P* _ Д	J
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VI

7.263
(aO Кч (bi),
Re р > — 1, Re v >
7.264
(at) (bt). Re v > -1, a
7.265
t - (at) K, (at), -1 < Re v < -1
7.266
Z2V+*Z, (at) K, (at), — у < Re v < 0
3
k2"v"f~ 7Г(1 4-2ѵ)[Г(1 4-И)]-’ X
3	1
(JL — V	—
2 и2 (ch ф —; cos 3) X
1
Х^-’	! (cos 3) (sh ср) 2 ch [(v — |1)ср],
,_и__
/8 çp
u-\-ib = ia ctg ( 2- + i
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
00
0
^22-2'1-іГ(1^ѵ)[Г(14-ѵ)]->Х
X K2’-*Zi (y • y - * 1 +*; - 4a2«"2 j
1	.	,	4	-2V-1 г / 1	1 i	.	A
-^Sln(Kv)«	--4-v; -v,
N3

№
7.267
-4<Rev<|
- - 1 ]
7.268
t ‘l/CJaOF, -j<Re><-4-
7.269
f2 K, (at) К(at),	—	< Re > < |
Fc(u) = f (t) cos (ut) dt
о
X(«2 + 4a2) 2 d-’ (u"'(ul + 4al)s]X
~ 4
X£J21lB-,<ut + 4at)Tl
x(27t)?!£;; («-'(«’+4a»)rjf
4-
1
r (4+v)x
x[r(- ï“”)] '<"’ + 4a2)-7x
XÇ~j [а_,(и24-4а2)2](?_Л [в-1 (в24-4а2)2]
— —	4
4
222	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

7.270
tK-' K,(t) K^t), ReX>|Ren| + lRe>
7.271
Re»> — j
7.272
-4-<Re',<4
7.273
^+’е ~ at\ (at2), — ÿ < Re v < 0
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№ ■
fW
7.274 i
t”e~a,*K, (ai2), Re v > - -1
7.275
— v<Rev<4-
i2	£
7.276
ReX>|Rev|
7	3
7.277 ;
t2I ,	(аЧ2)К.	(a*t\ Rev<-ô
	V		у	о
a	8
. 00
Fc (и) = f (t) cos (lit) dt
0
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VÎI

со
ш 7.278
. Диткин, Л Прудников
7.279
7.280
7.281
7.282
t~xK4(at~\ — 1 < Re V < 1
t 2K^(at2), — l<Rev<l
(at2 ) (at2 ),
Re V > — 1
pv (at2 ) sin ) + Yt (at1 ) cos( y X
1
XK„(^2), — !<Rev<l
t~ 7 J, (at7) K„ (at7),	Re v> -1
— кК, l(2au)2 ] {jvl(2au)2 ] sin^) +
H-У, [(2au)2] cos
Іг(т + І) ^ + ^’Х
x(f)4
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	225

№
/(0
7.283
t 2 (at2 )|\os (y “ t) (at2)-}-
+cos(y + t)
-|<Re><4
1	2_
7,284
[/, (at2 ) 4- /_, (at2 )] K4 (at2 ),
— l<Rev<l
V	. V	1	. V	1
—	lit—	—	-ZTC—	—
7,285
t2 je 4/CJa(ZZ)2] + e 1 AT, [a (-it)2 ]},
Re V > — 1
1 1 1
7,286
t~7KAa(U)T]KAa(- U)2],
-T<Rev<4
00
Fc (и) = J / (0 cos (at) dt
о
4«
4
w
226	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
2

7.287
КЛа(И}г]КЛа(-К)г], -l<Rev
7.288
t 1 pC, (at2 ) cos (itv) —	Г, (at2 )],
— 1 < Re V
7.289
t 2 pC, (at2 ) sin (iw) — J4(at2 )j ,
— 1 < Re »
7.290
(i’ + a<4C,[é(a2 + S]
7.291
T-	-
(t2 + a2) 2Кч[Ь(а2 + ^2]
Is {I K«2 + *2)2 - «1} K + + a]
(^)2(ab}*'(62+“2) 2 1 S»-|ta(62+“2)2J
§ 11]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
/(0
_L
7.292
1Ц1+0] 2KJ&k(l + <)]2}-
- 1 <Rev< 1
7.293
^\al(b2 + t2)7 -t]}X
XKv{a[(b2+t2)7 + t]\
7.294
KAa[t + ^-b2)7]}X
XK^a[t-(t2-b2)7]}
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
00	to
Fc (u}= J f (t) cos (ut) dt
0
?sec (?) {cos (?) ГЛ O')+
+	W YV O')) + sin (?) X
XІЛ 0)гл О) — J(x)Kr O')]},
2	2	2	2
x = y[(/>2 + u2)2 -+-и], у — -- l(b2 + u2)2 —и]
(4a2 + u2) 2 {-1 sec (m) X
X(и2 + 4a2)T] + cosec (2zv) X
X (J2, lib (a2 + 4a2)7] - J_, ( [ib (u2 + 4a2)Г])}
л (4a2 + и2) ~7SOi 2V [& (4a2 + a2)7]

1
7.295
K,\a[(b* + t*)* — fl| X
7.296
J (a* - ts)~~* Ц\Ь (a* — /г)Г]
1	при 0 < t < a,
0	при t > a,
Re V > — 1
7.297
1 (a — t}21^[b (a — t)2}
при 0 < t < a,
О при	t > a,
Re V > — 1
f	V	1
7.298
I (a2 - t2)4 P(«2- t2}2}
1	при 0 < t < a,
0	при	t > a,
Re V > — 1
к(4а2 4~u2) 2 K^[b(u2-\-4a2)2]
1 1
уЛ 1~ [« + («г - *г)2Л Jv /|[и-(«2-*2)2]
2	2
Г Ш'^+’(2ам’ ibat}
(jf)2 (аб)’(&’ - В<7 (ѵ+ г) /,+1 [а (Ь* - и2)7]
при 0 < и < b,
(Ç)7 W(k2-&2)'2'^+7) X
1
X A4- j la (w1 — b2)2 ] при и > b
§ И]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	229

№
/ю
Г	1	1
7.299
1	при 0 < t < а,
1	0	при	t > а,
— 1 < Re V < 1
0	при 0 < t < а,
1 1
7.300
при	t > а,
— 1 < Re * < 1
(а2 __	р (аі _
при 0 < t < а,
1
7.301
<	— — cos (uv) (tg — а1) 2 X
к
при	t > а,
-1 <Rev<l
Fe(u) = f (t) cos (ut) dt
о
— -£-sec (y)l<wr L(y) + rL(x}J ,(»].
2	2	2	2
x=4 [“+(«*-**>4 j=4 [«-(«*-**)’i. «> ъ
Z
J sec (у) и, мл œ+j\ w w
2	2	2	2
X = y [(&* + «*)*+ «]. у = ~[(Ь* + йгў -U]
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

7.302
(a'-t^Y^b (a2-*2)2]
при 0 < t < a,
_2(^_ayx
> XK,[»(<!- a1)2] при t~>a
1	1	J,
y )T W (b2 4- a<1 V * ) Г	Ja (6’ + «’)’ ]
7.303
/2< Гзаcos	ПРИ 0<f<ic
О	при t > тс,
Rev>-1
—ц (л) Іу + ц (Л)
7.304
7.305
|_2a cos	I при 0<£<
О	при t > z,
-4<Rev<T
Z2v (2a sin 0 при 0 < t < тс,
О при t > z,
Re * > — ÿ
тс cosec (2zv) |/ж_ѵ (а) Ки+^ (а) sin [z (а + >)] —
- 4+ѵ («) tfo-v W sin [z (u - v)]|
* " a	a

N2
fit)
7.306
J K2^ (2a sin t) при 0 < t < тс,
1	0	при t > тс,
-|<Rev<¥
e-a2COS2/^ (a2cos2^
7.307
1
<	при 0 < t < y,
0 при t >
Re V > — 1
7.308
K.,[b.sb(4)].	-±<Ke.<l
7.309
K.. [2«e>,(l)]
7.310
Л+/ (a^	^г)
Fc(u) = J f (t) cos (ut) dt
о
y cosec (2лѵ) cos [/ ^_n(a)/	„(a) —
- / o (a) I a (a)]
V		v-|

2	2
(Д) Ли + л» + Yіи-'>	Yiu + v (<Ü +
-f- tg (vtc) l«//n+v Ç<2) Уia-v (a)	Jіи- V ^a) ^ій + ч (л)]}
K^i„(a)K,_ia(a)
R'- [2a cos (I)] при 0 < и < тс,
О	при и > тс
232	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. Vil

7.311
K II (a)
7.312
ch (bt) Кц (a),	b^^-
7.313
sch (ic<) Кц (a)
7.314
sh(itf) tr - .	"
sh(W)K,/ ’	2
7.315
Vu (a) 4“^-it (a)] Ku
7.316
Vit(a) + Y_it(a}}Kit(a)
7.317
[/,,(«) + f-it^]Kit(a)
7.318
[Каю?
7.319
ch («0 K,7 (a)]!
71 --a ch а
2 е
у cos (a sin Ь sh и) е~а cosbcha
У еа ch“ erfc [(2а)2 ch (д
у yX( “1)Л En/™(а) ch (якт)
n=0	b
-J Jo [a (2 sh u)2 ]
у У„ [a (2 sh a)M - Ka [a (2 sh a)2 ]
T7«[2a8h(l)]
^/<0[2ach(|)]
_£y0[2ash(^)]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
/ю
00
Fc(tt)= J f (t) cos (ut) dt
0
7.320
7.321
7322
7323
7.324
Kit(a}Kit(b}
K4+ii(a)K,_it(a)
3
„+2 (0»	Rev>——
і~*'~ %,, U). Re н > — y
Rev> —y,
- 2<Re (h + у) < 1
yKo[(«2 + ^4-2adchu)2]
[2ach(l)]
I —yu(l — и')	2 при0<о<1,
I	0	при и > 1
(т)?ЭТ(7+т + І)Г(4 + т-І)Х
Х(1 — «*) ѵ	! (и)приО<и<1,
V

2
.	О	при и>1
J (2ѵ + I)"12'+* а” Г ( 1 + £ + -0 X
х[г(4-т-і)Г><
X*F>(ÿ+v-y—т + т: 4 + v;1 — ï?)
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

7.325
(«’+<’)	(a*+<«)’]
7.326
X Л [b (a2 + t*f\ +	, ДО (аг + Г]
7.327
50, и (я)
7.328
<csch
7.329
jv(eO + J_,H)
[« + («’
2 '
к^+й’)2 - и]/а;
2 '	2
e-ashe
— cos (a ch u) Ci (a ch u) — sin (a ch u) si (a ch u)
2 cos ( t) (a*—* cos ^varccos
при 0 < и < a,
О	при и > a
§ 11]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	235

№
f(ty
7.330
y(a2+Z2) 2{sec(y)x
X Ц («2 +12}2 ] + i œsec (жѵ) X
X [J, [Z* (a2 + Z2)2"] - J_, («2 + Z2)7]
7.331
J„ (2a chf)
7.332
E, (2a ch Z)
00
Fc (и) = J f (t) cos (ut) dt
0
i csch (km) + .u (a} J ч _ /a (a) X
2	2
X cos(t + /y «) - <_ ,-a («)■•/ <+ltt (g) X
2	2
ч >	/ KV	. 7t \ 1
Xcos ^2--'T'JJ
y csch (iw) p 4_.a {a) Jv+(a (a) sin (y + y u') —
2	2
-J_,_±iu^J,_-ùL<a)sin (т~та)]
2	2
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	(ГЛ. VU

7.333
{a sh t) -J- (a sh t)
7.334
EJ<2 sh t) — E_v; (a sh t)
7.335
t	Rev>-|
7.336
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

7.337
Г[Н,(аО-ГДаО], -l<Re>
7.338
t-" 1Л (at) - L, И)]
7.339
t~v [/_, (at) - Lv (aOL	Re * < 4
7.340
^+> [/, (at) - U (аЩ, - 1 < Re y <
Fc (и) = J f (0 cos (ut) dt
0
Y (4 + *) * CO3<1CV)a'-1 r(J+V)X
Хи-”гл(4.1;|+>; i-§)
/Т2-’а’+-[г (4+>)]"x
x{(v+ÿ)‘I«2u-2V-1 X
Хгл(4-+*. 4-+*; 4+v; — ^+’caI-2'’tg(m'4
\ A	Ы	U	kir J	I
2’'+Ia'’-1 [Г( — v)]-1 «-2V-1 j/7, ^1, -1; — v; —
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

7.341	Z-''-1 [/_, (at) - Lv (a#)], Re v < О
к2 2_,_,Г(_ѵ) |’Г(1_ѵ)Г^+ѵ^-’><
Xa-'(a2 + a2)’Z>(-*,4:
§ 12. Вырожденные гипергеометрические функции
7.342
t~* erf (at)
->(-£)
7.343
7.344
7.345
7.346
erf
f*"1 erfc(a£), Rev>0
erfc {af^
erfc l(a02]
wr(4-+i)x
ХЛ^,1 + 2.;±,1+Г; -£)
1
"T “*	/	2 \
_ !L_1 e’TsW _
2a	\	4a2 J
(y)2 (a2 + и2) 2 [(a2 + u2)2 4- a]" 2
§ 12] ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
f(t)
7.347
1
eat erfc [(at)2 ]
7.348
Z-’erfc (at~T)
7.349
erfc (a ch t)
7.350
eûch2ferfc (a ch t)
7.351
e-a2zh2t erf	ch
P
7.352
e'4 D2n(t),	/2=0, 1, 2,
a-v
7.353
e 4	(at), Re V < 0
00
Fc (и) = f(t) cos (ut) dt
о
(^учв + и-нгаи)2]-’
1 1
— Еі [ — a (2zu)2] — Ei [ - a( - 2zzz)2]
_O_2
~e 2 W_
2a
2-, z“ (a2)
2	2
ûP
_Ç2
Zît “ 2	.
— e sch
4
O.(ï)+M0
(-l)n(-j)2 «2"/2
£ 2-4--»
г 2* 1
V-|- 3 U2
К У	2	4бг2 1V7	(
XU	e	-1 У-H ( 2д2
4	’	4	4
240	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

7.354
e"’4 D^(at}
7.355
Fe 4	Re|i> — 1
7.356
02,_1[(20ЧХ
2
X ! O_ 2V _ 2. [(2Z) N + D_ 2V _ L [ - (2Z) M !
2	2
7.357
e~‘ [O2V_±(/) + D2v_±(-^]
2	2
02	_2_
7.358
<-'’e’4fZ)24_1(a/’2)
7.359
o2u_x(at2)t Rev<l
sin
2a2 J
§ 12] ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
	2V —	/	X 2V
n4	2	.	/ 7b 1	\	2	4
2 тс sin — u e
\ 4 J
1
( AT ov v-1 -aVu . f УК	\
( у I 2ir 1 e sm I 		a V и 1
1 1
[«+(« + К^)2]”ѴХ
\ « / _
X COS Г(2ѵ — 1) arctg f ——— 4-1 w

№
f(t)
a*t	1
7.360
^“v”1e4	Rev<0
7.361
e(a sh	(2a ch t),	Re » < 0
7.362
e“(esh‘)aDJ2ach«)
7.363
/2,ІГЛі, (at) M_k<, (at),
Re » > у, Re (v -f- k) < 0
00
Fc(u) — $ f(t)cos(ut)dt
о
-(y)2 ’■'1« + (‘> + /“)ТХ
X cos |^2v arctg )
2 ~ a-‘ [Г( - v)]-> Г ( -2- + X
хг(-т-'т)^±. Lu^
2	* 2
2~*Ta~'WL * (2a*)
2 ’ 2
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
л2 22ѵ+2Лл2*Г(1 + 2v) |Г(І
X 2^*2	1 — k* ~2	“t” v» 1	— V —
__ И2
a2

7.364
^Wk,4(at) W_k'4(af),
21 Rev 1 < 2+ Reix
p
7.365
— ÿ<Rev<--l- + ReA
— 1
7.366
t-^e 2	Re(£-V)<y
_P
7.367
Rev<l
Г (И + v) г (|X - >) Г (2И) [г (1 + k + и ) X
Хг(у —А + tp, (н. y +|1- н + ’Л н — *;
"2+ft + l‘> -~k + ^, y, -yj
пТ2Т'г Г(1	2>) [Г(* — У)]-»*—1₽“х
XM	(±4
2	’	2
2*-’хГГ(1 +2v) [r 0- - k + y ) ] “x
«a
ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
03

№
fit}
t*
7.368
Wk,,Ç^), Rev<l,
Re (k — v) < 0
p
		1
7.369
e » Wk ' (Z2)i Re Ц > 1 Re V 1 — —
7.370
t~TK. +1 (Ç) Д».
3	1
ReZ?> — — , Rev>	—
3
7.371
'‘4h..U?K._UÏÏ'
Re h < 4" > Re Æ < 4"
O	O
00
Fc(u) = f (t) cos (ut) dt
о
И2
X rf “л-1е4 W	(—
A u e fe+зѵ *-v \ 2 )
2	*	2
■7 г + и) г (т — v и) ira-a + îOr’X
ХгРг (|+^ + н, у-* + н; y. 1-л+к —
— 2p.
M
-P-
r2
244	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	(ГЛ. VU.

1.312
7.373
7.374
7.375
7.376
wkJt{a}
(да)2
7>ï. 1 e
(2a)2 ch
— k — it\ Wkfit(a)
n2k
a
Г(1 — 2k) ег
2
Х^_,[(2а)2 ch (I)]
rn
s
§ 13. Сферические функции
f 0	при 0 < t < 1,
\ 14 M ПРИ * > 4
— 1 < Re V < 0
(s) ■ [!ln (?) r, +1m " c“ (?) +±
2	2
J (t) при 0 < t < 1,
(	0 при t > 1
4-+1>[r(32’)r(‘-i)] X
X« 2 « , 1	(“)
	» —h v
2*2'
+*2), - 1 < Rev<0
_ 1
V 2	2
— — sin(itv)[/C	, (2	к)]2
K	2+t
to
СП
s

№
f(t)
7377
£1„(14-/а), Re>> —1
7.378
7379
7.380
(	P,, (f) при 0 < t < 1,
\	0	при t > 1,
Re|i>0
it
7.381
(**-1)2	Re(n4-v)<0,
Re (|» — v) < 1
Лс(н)= У f (t) cos (ut) dt
о
2 2 к/ t (2 2 и) К . (2 2 и)
V 	 V -1

1 2	1 2
2

— — Yab sin (кѵ) К , (au) К . (М
»+т	’ +т
* Yub I	(bu) К . (au), а>Ь
*+ —	*+—
2	1 2
Г-2- г [г ( 1+Цл) г (	] ■ ■ X
V F f и 1 + н . 1 1 + Н — » I I и + ».	»*\
• V2 ’ ~2~’ ~2’	2	’ 1-1 2“’ “Т)
246	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
— и —V	3
х« ! S ,	, (и)
н-т-.»+—	5

7.382
Щ1 + оГл $1(1+20, ReuCl,
— 1 — Re |л <Re v < Re p
■ { J, »> [і+ў*-,)] +
+У,+г(І)“” [?+>-”]}
* 9
7.383
7.384
I 0	при 0 < t < 1
S --
I (/*— 1) 1	(0 при t > 1,
—-y <Re|A< 1,
Re и > Re V > — 1 — Re |i
,	P*(t)
при 0 < t < 1,
.	0 при t > 1,
Re h < 1
§ 13]	СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
7.385
Л-’ (1 - <’) 1	(0
при 0 < t < 1,
О при t > 1,
Re к > 0, Re |i < 1
2И-і [г (1—Г (2	ѵ)] ’* X
1
— * — 1)«И 1 , 1 («)
-|t-y ’+т

№
fit)
7.386
Р' (^Г2 — 1 ) 11ри 0 < * < 2a>
_ при t>2a<
— 1 < Re V < 0
Г fi	\
7.387
*) пРи0<*<2а-
. прй '>2а’
Re V > — 1
7.388
J P J	— 1 J при 0 < t < a,
l	0	при t > a
7.389
ïab )
при 0 < t < a — bt
0 при t> a — b
Fc (и) = f(t) cos (ut) dt
— — sin (itv) ) [J (azz)P-HK . 'rt(()]2j
2	’+т	’+т
— \--fiaJ	(au) Y	(au)
z v-j-L	-v--
1 2	2
248	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
-i it У ab [J	(bu) Y	(au) —
2	’+т	’+т	~
— J , (au)Y , (6a)]	?
”+t	¥+t	<

f	0	при 0 < t < a 4- b,
(t2-a2-b2\
7.390
H ™ )
1	при t > a-}-b,
— 1 < Re > < 0
(	2	(«? + >■*-t*\
	sin

z	\	2a1)	/
1	при 0 < t < a — b,
7.391
{ p (t*-a*-b‘\
v	J
1	при a — b < t < a 4~ b,
\	0	при t > a -f- b
7.392
/	(2Z2 — 1) при 0 < t < 1,
(	0	при t > 1,
- 1 < Re v < 0
7.393
t-1	(1 4- 2a2t~2)t Re v > - 1
1	,

— л/аЬ[Г , (au)Y ] (bu) -	_
2	»+7	-*-7	«
— J ! (au) J , (bu)]
V -4—	— V

1 2	2
nJ^abJ . (bu) J . (au)
V 4' —	— V

2	2
— y cosec (kv) jFj (v 4-1; 1; іи) ХЛ (v + lî 1; — zw)
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4 Г (1 4- v) (ш/)'1 W i (au) [ctg (кѵ) X
X Al j (au) — cosec (uv) W t (azz)]
v -|— ,0	-V	,0
1 2 ’	2 ’
to
CD

ю
сл
№
/(0
7.394
И« + О(» + О|7Х
Х¥.[2(1 + т)(1 + т)-1
- 1 < Re V < 0
7.395
5$, (a ch t), — 1 < Re у < 0,	1
Fc (ii) = J f (t) cos (ut) dt
0
T<aé> 1
au
KV	—
4" sin ( кѵ —
't —	—	—
— 2 2 к 2 a 2 sin (tïv) [ch (lui)— cos(kv)]“1X
хг(1+і+-)г(1+р£“)х
1	1
Х|Р'7’ Іа-Ча’-І)1^
1 1
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

7.396
(sh tf ^_(ch t), Re (1 + V -1») > 0,
Re (V + н) < 0
7.397
(a1 ch11 - 1)* (a ch f), Re (ix + v) < 0,
Re (1-f-v — (i) > 0
§ 13]	СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
/(0
_ ïil
7.398
(a2 + &2ch20	* W	_
Ча2 + b* ch2 tÿ -
Re (v — и-f- 1) < 0
7.399
(sh/r^^tcthZ), - 1 < Re (v 4“ H) < 0
7.400
P t (cos ср), 0 < ср < к
7.401
sch (nt) P	(a)t — 1 < a < 1
-T+« ,
2 2 (a 4- ch u) 2
00
Fc(u) = J f (t) cos (ut) dt
0
(sin ср)И (coszz — cos Cp)
при 0 < и < <p,
при U > Cp
252	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

7.402
th (itf) „
sh(^)P_2.+ft(a)’ -’<*<’
2 ‘
7.403
$ ,	(а), а > 1
7.404
sch (теО $	(а), а 1
7.495
sch (гЛ) [Pj (а) — Р1 (а)],
—|-if		it
2	2
— 1 < a < 1
7.406
t~' sch (nt) [$,	(a)—	(а)], а
v+rt
7.407
[sch (nt)}2 P ,	(a), — 1 < a < 1
-T+«
со
— V ( — !)" e« cos ( п~ 11 ) Q к 1 («)> —
а	\ а / п

л — О	4	7 а 2
\ 2 2 (а — ch и) 2 при ch и < а,
V	0	при ch и > а
1 1
2 2 {а -|- ch и) 2
/22 [(а 4-ch и)2 -(14- ch и)2
І22 [(я4- ch и)2 — (14-chzz)2]
2 2 те 1 (ch и — а)
(ch zz 4~ 1 )2 4~ (ch и — а}2
_(ch и 4-1)2 — (chzz — а)2..
§ 13]	СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
го
СЛ
со

7.409
7.410
[sch(n« !	(a), a>l
,	(a),
Г(н+«)Г(|і — //)V , И (a),
~т+“
a>l, Re|x>0
CO
Fc(u)= f(t)ws(ut)dt
0
У2	~2	. [Va —chw
— (a-chK) arctg^j-p^
при ch a < a,
—(ch и — a) 2
k/2
Xln
(chtt-H)2 +(СЬЦ —Д)2
-(ch a-}-1)2 — (ch a — a)2
при ch и > a
(a2 — I)2 (a — ch u)
-H--T
0
при ch и < a,
при ch и > a
-J Г(и)(а»- 1)
(a + ch a)”**
254	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VU

7.411
lEi±lMzzizl) X
ch (nt) + sin №)
ХИ\ (а) + Р\ (-<
“+« __+rt
— 1 < a < 1,	Т<'^ей<'4'
7.412
Q , (COSC?) + Q	(cose?), 0<е?<л
-?+"	-T-«
7.413
. (ch a)	, (ch a),
	\-it		it
2 ‘	2
Ren> ÿ
1 1
p.	 |Л

7.414
sch(TC^)[Sl t2 (ch a) — C ,2 (ch a)]
__+,7	___«
3	1	1	cZZ>
2И'+1 к2 sec(upt)(l — а2) 4 $	1 [(1 — а2) 2 ch и] г;
и__ _
к 2 2 (ch и — cos Ср) 2
С	О	при и < а,
j 2-Г J [Г (у-n)]“(sharX
-н-і
Xe'^chu-cha) »
'	при и> а
(т)2 е‘> rw <sh а* 1 (ch а+ch “)-и
Re н > О

§14. Разные функции
№
/Ю
00
Fc (и) = f (t) cos (ut) dt
0
7.415
J	при 0 < t < а,
1	при Z>a
к2 . / au \ y ( au\
~T °V“2"; 0J
7.416
и + <>’7к|/7і« + <)’°1
3	1
1 T 2 Гг f au\ f к . au\ . v f au\ 4Z
“T" U М'2')“!і4+т)+Чт)Х
/к . аа\1
7.417
e>„
7.418
(аг + г2)'7К[6(аг + *2)'Ч
х/- {т	-4!)Т]}' а>ь
256	КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VI I

7.419
sch (at) К [th (æZ)]
1 1
7.420
7.421
!•% (0,	+ »2 (0,	- », (о, ^)] е
*	1	,
7.422
ег [»,(0, - е!<)- Ц
К
X (P 1 , . [(1 - «-2)Т1 + P ,	[ - (1 - a"’)7]}
-7+>«
. 1-4-іа	2__,„ _1_І? .
— 1)(1 — 22 )к 4 2rÇl + i-l)x
хс(4+/«)
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
2(1+4вг)"’[1 -2Е(а)]

№
ГЛАВА ѴПІ
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Основные формулы
/Ю
00
/>(«) = $ f(t)sin(ut)dt
о
8.1
Л,(0
8.2
f(at), a>Q
8.3
f (at) cos (bt), a,b>0
8.4
f (at) sin (W), a, b > 0
8.5
iînf(t)
8.6
tin+'f(t)
f/(«)
a~'Fs(a~' и)
І J/(Z) cos t)dt - ± J/(0 cos('^	dt
О	о	4 J
dzn
00
P
( - 1)п+’ J f Wcos (»0 dt
258	СИНУС ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. ѴПІ

§ 2. Рациональные и иррациональные функции
8.7
( 1 при 0 < t < а,
1 0 при t > а
u~l [1 — cos (au)]
8.8
J 0 при 0 < t < b,
(	при t > b, л=:1,2, 3,...
У. ~i)Ï' cos [y (« -	+ b)-mX
X(—«)	(„Jijj [cos^au+jjx
XCi (au + bu)	sin (au +	si (au 4- ta)]
8.9
/г
t -I- а
f	2 +ка 2 sin (au) [1 — C (au) — S (au)] —
\ TC J
1
— ла2 cos (au) [C (au) — S (au)]
8.10
t (аг 4- t1)-"
22-2П a2-2" л [(n - I)!]"* ue~aa X
n — 2
X S (2u —m — 4)!(2au)’B[m!(n—m —2)!]-*
/л=0
8.11
— (1 — e~aa\
2a2 U	'
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 259

№
/(/)
1
— n

8.12
ігт+‘ (аг + іг)	2,	— \<m<Zn
8.13
m^n (n, m = 1, 2, 3, ...)
8.14
t-'(t*n + azn)-\ h=1, 2, 3, ...
8.15
m^n (n, m=lt 2, 3, ...)
Fs(u)= /(Osin(oO<#
о
— 1)гл+1(2а)"лг.
	агт-2п
2n
— a~2n
k = l
— au sin
n
і-і£е
n k— 1
— au sin
X COS
(-I)"*"1 К dn (*m aVÏ}
		n\	 2d^(	1
z/2m + i
■^Vl[unKn(au)}
au cos
260	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

8.16
f\ 0<Rev<2
8.17
1	при 0 < t <Z a,
1 0 при t > a,
Re V > — 1
8.18
( (a — ff при 0 < t < af
1 0	при t > at
Re V > — 1
8.19
( f* (a —	при 0 < t < a,
( 0	при t > a,
Re V > — 1
8.20
J	(a — tÿ"1 при 0 < t < a,
1 0	при t > a,
Re V > — 1, Re и > 0
8.21
е(а + і)~\ -2<Re> < 1
cos(^) Г(1 - ѵ)иѵ-‘
а* [jT7! (ѵ; V + 1; — іаи) — ,/?l (ѵ; ѵ -|- 1; <««)]
-4-г; л'*+1 [Л (1; * + 2; - іаи) - Л (1; , + 2; іаи)]
1	V 1
тс2 Г(ѵ-}-1)^~^	2 sin (au) J + ! (au)
~ B (v, p) аѵ+и-1 [^! (v; V + h; — iau) —
— i^i (>; v + h; îau)}
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
to
CT

№
/(0
8.22
+	— 2 < Rev <2
1
— V 	1
8.23
(д2+^2)	2, Rev>-^-
1
_ V

8.24
t~l{a2+ t2)	2 , Rev > - 1
1
V

8.25
( {a2 — t2)	2 при 0 < t < at
I 0	при t > a,
Re»> —ў
( 0	при 0 < t <Z a,
8.26
I (t2 — a2)	2 при t > a,
-4-<Rev<4
00
Fs(u) = J /(0 Sin (и/) Л
0
(TU* X тс v_.	f TCV \ . ,	4
— ] — y a cosec I — 1 sh {au)
2-'""1 л2 Г — v) u’a-” [/„(au) — L_„(au)]
-^-a-2’u [ЛГ,(au) L„_, (au)4- L„(au) K„_, (au)]
n2 (2а\> г( I \
~2-{û) ^y+jHJau)
Ѵг(т~ѵ)(^У7’(а“)
262	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

1
V — —
8.27
( t(a2 — t2)	2 при 0<£<а,
| 0	при t > at
Rev>-ÿ
1
V

8.28
( Z-1 (a2 — t2)	2 при 0 < t < a,
( 0	при t > a,
Re>>-1
t 0	при 0 < t < af
8.29
l t(t2 — a2)	2 при г>а,
— <Rev<0
1 0	при 0 < t < a,
8.30
-v-L
l t~x(t2—a2)	2 при £>a,
- l<Rev<-i-
3
V

8.31
t (a‘ +12)	2 , Re V > — 1
__1_ 1
2’ Ѵл2 а1'+,гГ1+ѵ)в-Ѵ,+1(лв)	—
7tz
— sec (tcv) aPu [Jv (au) H_^_j (au) + H_v (au) Jv+1 (ан)]
2V 1 я2 av+’Г f-i-4" и ѵ^-ѵ-і(ди)
•тг2
-4- sec (кѵ) а~2Уи [Нѵ (au) (au) — Уч (au) (а«)]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
р (2а)’[r(-f--v)] ’ в’_’К, (ай)
ND
Où

№
/(0
-V--	1	3
8.32
(Z2 4- 2at)	2 , — y < Re V <
8.33
J (2at — t2)	2 при 0 < t < 2a,
< 0	при t > 2a,
Re v > —*•
( 0	, при 0 < t < 2a,
8.34
-,-±
l (t2 — 2at)	2 при t > 2a,
-4<Re><T
8.35
[(a2 + zy 4-Z]-’, Rev>0
Fs (и) = f (t) sin (ut) dt
0
Çr|
J— v) ^У[Л(а“) cos (au) 4- r, (au) sin (aiz)]
r(
J 4-	(2a)’ и-’ sin (au) J „(au)
2Tr(4“v)(£y^(aK)cos(aB)-
(au) sin (aa)]
264	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1 « 1	/ . Гг /	/ nv \
аЧГ'а/й ™ COSeC ^V) Z" (au} C0S \ T ) —
1 1
— — Jjjau) — y JJ — iau)

1
8.36
(а2-)-/2) 2 [(а24-^2)2+<]-’, Rev>-1
--	--	-	3
8.37
t 2 (а2 +<2) 2 [(а2 + Z2)2 -НГ, Re » < -7j-
1	il
— V	 	 —
8.38
t	2(а2 + <2) 2 [(а2+/2)2+<,
Rev<4
8.39
(а + ity — (a — it)\ Re V < 0
8.40
t2n [(^ + #)~ѵ — {а — zï)”v], 0 2zz < Re ѵ
8.41
t [(а 4-zï)”v + (a — #)~ѵ], Rev>l
8.42
Ка4“^)“ѵ + (л —Z0”l» Rev> —1
8.43
+ і [(д (а _ #)-*],
— 1 =С 2п -H 1 < Re V
8.44
(а2 + <2)"Т і[(а2 + <2)7 +Л’-
— \(а2 + /2)2 — /]ѵ}, — 1 < Re V < 1
іи[Г(—
( - 1)”и(2л)!	е-°°(au)
— ъ[Г(ѵ)]~1и'~г(1 — аи)е~аи
[Г(ѵ)]-1т(*. au)
(— l)"+1z [Г(ѵ)]-‘ е-ааи-гп~г(2п + 1)!	(au)
2а’8іп(т)
K^(au)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
O
СЛ

№
/(0
1 1
8.45
(2at +1‘) г {[a +1 + (2а/ + /*)2 f +
-J” [a -J-1 — Qat -|-12)2 jv|, —l<Rev<l
Г	\[t + i(a‘-tYr +
8.46
J	_|_И_/(аг_^7Г|
при 0 < t < a,
(	0 при t > a
*	1	__L	JL
s t“V 2(a2-t2) 2{[a4-(a2_/2)2p+
8.47
J	4-[a-(a2-/2)Trj
при 0 < t < a,
1,	0 при t > a,
3 / 3
~2<Rev<2-
00
Fs (и) = J f (t) sin (ut) dt
0
ko* [sin (au — 77 ) (azz) + cos f au
L \	/	\
y a'* cosec (y) [Jv (au) —	(a«)l
(2a)2 b \ 4r 2 ’ 4	2 J
kz zr < 3 v 3
ХЛ(?-2; "2 ; -iaU
v 3	.
y; y; tau
to
O
Oi
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. ѴІП

( Г (а* — t2)^ при 0 < t < а,
J О	при t > а,
Re у > — 2, Re р. > — 1
'	0 при 0 < t < а,
1 1
8.49
U2-a2)~2 |[<4-(^-аѴГ’ +
1 1
!	+!'-(*’-а’)2Г!
при t > а,	'
— 1 < Re V < 1
(	0 при 0 < t < а.
8.50
J /~2(<2-а2) 7W+tf2-a2)2]’ +
+ К-(*2-аГГ}
ч	при t > а,
tc| Я
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ьо
СП

00
с'	оо
№	/(0
Л(«)= \ /(Osin(HO<ft
ï)
8.51
8.52
t 2 (аг — t2) 2 {[<4-/(a2 —И2Г +
при 0 < t < а,
О при £> а
Г {а2
Re V > — 2, Re (v — 2p.) < 2
^"2%Ліѵ И X/
ХЛ^ + ^-; i + y —н>4; ^г) +
+	[ф-і + 4)] " X
/	ѵ Ч	v	O^ll2 \
х^-ч+\р2^+1; н-т+т-»-т +1; — )
§ 3. Показательные функции
8.53
л!ап+,(а2 + иг)-"_* V (—1)т
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. ѴІП

I
n

8.54
t 2e~at
8.55
8.56
i 0 при 0 < t < b,
( (t — bÿ e~at при t > bt
Re y > — 1
8.57
f-'te^ + l)-’, Rev> —1
8.58
l)-i, Rev>0
8.59
e-nt(l — e_t)_’
8.60
e~at(l —e~bty~i, Rev>-1
L a	_2	± i_
(-1)”(4У^{(а’4-и2) 2[(«2 + «2)2 -a]2}
\ xi y UU
Г (v) (a2 + и2) 2 sin [v arctg
Г (1 4- y) (a2 + «=)" ~e~ab X
X sin [bu + (> + 1) arctg
r(v)L-’sinf^)+i-(2a)-’	+
I	У £л J û	L \	/
m=.i
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ND
C>
O

№
/ю
8.61
pn+ig-at*
8.62
r-'e-ati
8.63
e-le-at-t>t^ Rev>_l
a
8.64
aV
J.
*"*	a
1
T
8.65
Г-’е	r, Rev> —1
со
^(к)= J f (t)sïn(ut)dt
о
SI	П2	1
(- l)n2_n-7itTa-'’-’e_‘7He2n+1 [(2a) "u]
y a2 — a2 . au	1
уГ«(2*) ге ‘b \e'ibD_J(2b) г{а + іи)]-
- e~'^D_,[(2b) ~ r(a - /и)]|
ia2и *\e	* K4 [2 (tau)2] — e *K, [2 ( — iau) 2]|
7d2 {(a + lu) 2 K, [2Z>2 (a + Z«)2 ] —
— (a — iu) 2	[2b * (a — lu)2 ]}
270	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

8.66
е-іе-аѴТг Rey>-1
_ 1 	 1
8.67
(a2 + /2) 2 e - b y 02+121 [(a2 + <2)2 +/]’-
-l(a’ + ^T-#r|
1 1
V	 	, -,
8.68
t 2(a2 + <2) ге-Пач-Рх
—	Q
X l(a2 + іг}2 +«]■’. Rev>-ÿ
,	• /кѵ I а \	Г /1
/2-’Г(2ѵ)ц-ѵ /е ' *2 +’“) Z>_2, Д( ~г)
2а’ sin ( ч arctg у ) Кч [а (Ьг + к2)2 ]
22 (т) 4Г(т+т)“ 7№2 + «2)2+Ч4Х
X D_ , _ J(2a) Ч(62 + иу + z>p I X
2
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

№
/ю
Fs(a)= J f (t) sin (ut)dt
0
8.69
1 1
— 2V

t	2X
ХПа-(«г-НТреь	+
+ [a + (a2 - /!)?Г e ~ b Va‘ ~ p
при 0 < t < a,
0	при t > a,
Re (у**) >0
4(тПг(І+’)г(І-’)“7х
XM Ja[* + (*!-«2)T]}X
XM , |a[b-(>2-«2)V]}, 0<u<b
— V, —
4
§ 4. Тригонометрические функции
8.70
8.71
/ѵ-Чіп(аО, — 2<Rev<l
t v sin (at) sin (bt), 0 < Re v < 4, a^b
2L [Г (1 — v)]"1 cosec U 11 ~~a\ lu + al"4
Yr(l “ v) cos(y) [(« + «“ &Г”1 — (« + a + &)v“’—
— sign (a — b —;; и) I и — a -j- b p“1 -f-
+ sign (a-j-b — и) I a — a — b p”1]
272	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

8.72
rsin(aZ)']2’”
—-—	, m = 1, 2, о, ...
8.73
e-°'(sini)2n, я = 0,1, 2, ...
8.74
е ~ at (sin t)zn ~ л = 1, 2, 3, ...
8.75
( [sinH)]”’ "P*1 O<Z<1,
1	0	при t > 1,
Re V > 0
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	273

№
f(t)
8.76
Zv“1cos(aO, — 1 <Rev< 1
8.77
( (ch a — cos t) ~ * при 0 < t < к,
0	при t > к
8.78
sin (a/2), — 2 < Re y < 2
00
= J /(0 Sin (ut) dt
0
[(« + a) + sign (и — a) I и — a /"’]
21"1’ [Г MJ"1 e”-*’ ° (sh а)'~”-и X
X S e„ (»’ - n*)~ • (я!)”» Г (n + у) X
X [1—1)" cos (nu)] e-na X
ХЛ(і-»,« + i-v; «4-1; e~2a)
274	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

8.79
Г*"1 cos (а/2),	— 1 < Re у < 2
8.80
Г-’ sin	—2<Rev<2
8.81
—2<Rev<2
8.82
t"'* sin (a Yt ), 0<Rev<-^-
/Ѵ_4И . £. ш_2\1
+ е	‘ 4 2 ’ 2 ’ 4а Л
(v)V{Sin 0г)А[2(аи)'1 +
4-cos (у) У„ [2 (ait)2] 4-cos(у)к,[2(au)2] I
— sin У, [2 (au)214-і sin	(2 (au)2] 1
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
fit)
8.83
t-' cos (a У t ),	0 < Re V < 2
8.84
^v~1 e“a cos	Yt —Re V > — 1
1	j_
8.85
(a2 + Z2) ~Tcos [â (a2 -H2)2] X
X ж + t*ÿ + <]’ - [(a2 + tr-
- 1 < Re y < 1
Fs(a)= J /(Osin(irf)4#
0
276	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

8.86
(a2 + ^2) 2sin[*(a2 + H2]X
X {[(л2 + t2Ÿ + *Г - К*2 + И7 -
— 1 < Re V < 1
СЛ
8.87
8.88
8.89
X-jsin (у) Л [Л (&2-«Tl +
+ cos(y) rja (ft’-«T lj>
при 0 < и < b,
X К, [а (и2 - Ь2)Т]
.	при и > b
§ 5. Обратные тригонометрические функции
arcsin t
при
0<<< 1
0
при
arccos t
при
0<*<1,
0
при
t >> 1
(1 -|-t2) 2 sin (v arctg 0, Re V > О
ІЛ (и) - cos «1
[Г
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
to

№
V
—	1
8.90
f* (1 4“ t2)2 sin (v arcctg t)t — 1 < Re V < —
V
— 1
8.91
Г (1 4-12)2 cos (V arcctg Z), - 1 < Re v <
8.92
arctg [at (fc24- f2)'1]
8.93
arctg^y^ »	n==l, 3, 5, ...
00
Fs(u)= J /(Osin(itf)^
0
тс 2 sin (тсѵ) Г (v 4" 1) U 2 sh ) K + J
i2ro+i)« v 2x
тс -«(Ь’+у V fau\
a	\ 2 J
TC (	— — ou sin \(m —	— 1
+ e и Jn|x
'	m= i
X cos
278	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. ѴПІ

8.94
8.95
8.96
8.97
8.98
8.99
(a2 — t2) 2 arcsin
при 0 < t < a,
(*2-а2)
— (t2 — a2)2
a
при
{1 — [1 C (a2u) — S (a2u)] cos (a2u) —
— [C(a2u) — S(a2w)] sin (a2#)}
t~2 arctg (at)
Z- p — и Ei
§ 6. Логарифмические функции
In t
0
при
при
In (a
-t)
при 0 < Z < a,
0
при t > a
In (a
-t)
при 0 < t < b,
0
при t> b
-i- [Ci (и) — С — In и]
jin а — sin (au) Si (au) — cos (au) [Ci (au) — C — In a]|
jln a — cos (bu) In (a — b) -f- cos (au) [Ci (au — bu) —
— Ci (azz)] -|- sin (au) [Si (au — bu) — Si (azz)]}
§ 6]	ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	279

№
fit)
8.100
r-'lnt, — l<Rev<l
8.101
Re у > — 1
8.102
4Чп/
8.103
ln(l + e~at)
8.104
In (1 — e~at)
00
Fs (u) = f (t) sin (ut) dt
0
2>l'“
v)]->sec(y) [ <H*)-ln« + y cts(y)]
г (v) (a2 +1
i2) 2 1 cos p arctg ( y ) J arctg (	+
+ *
sin [> arctg ) j (v) — i In (a2 + b2) j }
i in
\ a
) [Ko {aVûe ~' *) - Ko (a/ûe '7)] -j-
+ % k. (aVüe17) + tf„ (aV ûe 7)]
— Г1п2 —-
« L
1 . ( i i . и \ 1ГЛ . w \ «
4 * V +‘2a)	4 V V 12а)^
i 1 г / 1 i • и \ i 1 . ( 1	.w\"|
+ Z* (у + 'ш+т * \-2~l2iJ
280	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

§ 7. Гиперболические функции
8.105	sch (at)
8.106	csch (at)
8.107	/“/th (я/)
8.108
8.109
8.110
ch (at}
sh (t)t) *
sh (at)
ch (bt) ’
ch (at)
ch (bt) ’
a < b
a < b
a < b
K th (™\
la th
4b , (ъи\ . (ъа\
ch4J+cos4y
ND
00
§ 7]	ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
f(t)
8.111
sh (at)	,
^(bty a<b
8.112
««=1,2,3,...
m2 -|- F
8.113
e"at csch (bt), a^>b
3.114
e”a*csch (at)
8.115
[sh(a/)]~v, 0<Rev<2
00
Fs(u) = J /(0sin(«0^
0
И?>(?9+Ч”)Г'+
(4+^)]
Л=1
+ (-I)m2^üfflln(1+v) +
-гИ*(4+^Н(7+^)]
■НН
x,h (g) [ch (g) -cosW]
282	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

8.116
e at [csch (W)]’,
Re*v > — 2, — b Re v < Re a < b Re
8.117
e-ashî
8.118
c-acht
8.119
8.120
e - « ch t sh t
csch (ни) jj ea cos çch (uÇ) dZ — y Iia (a) —
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	283

№
fit)
Fs (к) = J f (0 sin (ut) dt
0
8.121
e~ash,(sht)~*
[JA(2_,.)(т)ц(L+,„)(t)-
(H»)
(l) +
§ 8. Ортогональные многочлены
8.122
( Рп (Z) при 0 < t < 1,
I 0	при t > 1
У* (1 _n)(2+n)	1 ~
4 |'(|-т)г(2+т)ѵ'“'
284	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIIj

8.123
( Ргп + іѴ) При 0<t<l,
1	0	при t > 1
8.124
/ ^-lPn(t) при 0<Z<î,
1	0	при t > 1,
Re (X + я) > — 1
8.125
J Pn(l — 2/2) при 0<^< I,
1	0	при t > 1
( (a2 — <2) 2 Г2„+І
8.126
1	при 0 < t < a,
(	0	при t > a
8.127
[ t ”(1 -<2) ~Tn(t}
1	при 0 < t < 1,
(	0 при t > 1
/п2-х-Г(1+МХ
Х[Г(, + ^Г(МІ±^)]-,.Х
(- 1)" Y Лп+ 1(^11)
3 к -|— п е и?\
2	’ ~~Tj
§ 8]	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ	285

№
fit)
1 1
8.128
(l-и 2 cos [a (l—/2) 2]Г2п+1(0
при 0 < t < 1,
0	при t > 1
1	1
8.129
к («2 + *2)“ 2 1 4n+i l(a2 + t1) “]
8.130
sin[a(l — Z2)2 ] Z72n+1 (0
при 0 < t < 1,
0 при t > 1
1 1
8.131
(a2 + i2)~ 2 t/2n+1[f(a2 + /2) 2]X
ХЛп+г[(а2 + <2)Г]
00
Fs (U) = f(t) sin (ut) dt
0
1 1
( - 1)" 5	1« <a‘ + “г)_ 21	K«2 + «’H
(—1)п(1-и2) 2 cos'a(l — u2)2 ] T2n+l(u)
при 0 < и < 1,
<	О при и > 1
( - Dn y («2 + »2)“ TUtn+i [к (a2 + и2) “ T] X
X4>+Îl(a2+«2)21
(—^ sin [a (1 - u2)2 ] U2n+, («)
при 0 < u < 1,
О	при и > 1
286	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VII

8.132
1 t (1 - t2) 2 sin [а (1 - t2)2 ] X
1 Xf/2n+il(l — *2)2 ] при 0<^< 1,
к	0	при t > 1
8.133
I t (1 — t2) 2 cos [a (1 — t2)2 ] X
j	XUin[(l — t2)2 ] при 0</< 1,
к	0	при t > 1
8.134
t (a.2 +12}~ ~U2n [a (a2 +	~| X
ХЛп+.1Наг + ^)Т]
8.135
t (a2 +12) ~~U2n+1[a (a2 +12)~ ~] X
1
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
«zz>
*х
XU2n+i la (a2 + и2) ~ 4 J2n+2 [(a* + и2) 4
:-l)n^l(a’ + a<~X
X Uîn [a (a2 + и2) ~ M J2n+1 [(a» 4- «*)“]
[ (-l')nb~~*ru(b2-u2}~'2' X
X cos [a (b2 - «VI U2n [(1 -
при 0 < и < bt
ç	0	при и > b
(	_1		i_
( - 1)" b * и (b2 - u2) 2 X
Xsinla(b2-u2)~]U2n + , [(1-^)“]
при 0 < и < b,
ч 0	при и > b	с»

00
Fs (и) = f (f) sin (ut) dt
0
f	-4-+Ѵ м /И
8,136
J (*2-Н 2
I	при 0 < t < а,
0	при t > а
8,137
I	при 0 < t < 1,
0 при t > 1,
Re * > — 1
Г [(1 - tr (1 + - (1 + tï* (1 - ОТ X
8.138
•	Х^2ПИ)^) ЦРИ о < ^ < 1»
1	0	при t < 1,
Re (у, |і) > — 1
г [(1-/Г(1+0И + (1+0Ѵ(1-ОТХ
8,139
J	при 0</<1,
0	при і> 1,
Re (v, ji) > — 1
(- 1)" ла'1 Г (2ra-|-2v-|~ 1)
(2«)v	(2«+ 1)! Г(ѵ)
A+sn+i (au)
( — 1)" it 2 2’ 2 [(2ra 4-D’-l-’У
ХГ(2л + > + 2)«
( _ ])П + 122П + Ѵ+|1
(2га)!
B(2ra + >+l, 2ra + tx+l)X
X и»2" (2га + |i 4- 1; 4га + ѵ + и + 2; - 2іи) -
— е~ ialFl (2га -f- |х 4- 1; 4га + V + н + 2; 2/м)1
ХВ(>4-2га4-2, |х4-2га4-2)Х
X[e‘alfl(v + 2n + 2; »4-|х4-4^+4; — 2/и)4-
4- e-‘\Ft (> 4- 2п 4- 2; > 4- р + 4га 4- 4; 2ги)]
288	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

10 В. Диткин, А. Прудников
8.140
е 2 Не2п+1(</2)
8.141
е 2 Не2п+1(а0
8.142
е“^Не2п+, р (у-1)-
8.143
е	(0 Нел+2/я+ 1 (if)
8.144
^+.е-7-/п+т)^
8.145
_ д
tine 1 L%m + '\t*)
8.146
е г Ln (т)Не2п+1 (т)
8.147
1 . оа
( “ 1)П (т)ѵ е~ ~ Не2в+, («/2)
(-1)” (у)~а’’+,(1-а)“”“'ГХ
Хе“°В’нег„+1(В)
( -	) 2 п\ игт е * £<“•+•> (и2)
(т^«’п+,е~Мп+^)(т)
( “ 1)т (т) 2 (л!)_,<? Г Не« (и) Неп + «« + . (“)
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

№
f(t)
8.148
§ 9. Гамма-функция
8.149
	1	1

Г(« + <)Г(»-І) Г(а-ОГ(* + О
8.150
<!>(« + it) — f (a — it)
8.151
*(4+a*)-*(4+az)
8.152
8.153
7 М1+П
Fs (и) = J f (t) sin (lit) dt
0
родственные ей функции
при 0 и < тс,
О	при и > тс
-^C + ln [4 th (£)]}
Я1пг(1+^—£(ln£-l)-£(C + 1na)
\ ZTC J Z \ ZTC J Z
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[гЛ. VI1Î

§10. Интегральные функции
8.154
8.155
8.156
8.157
8.158
8.159
Еі ( — at)
e^Ei( — at)
e”c*Ei(Ztf), a^b
e -a sh sh _ ea sh tEi ( _ a sh
e“wsi {at)
Ci {at)
-^{«arctg^)
«th (y) 50),a(a)
nlnf a8 + (g~&)t
2 I b*
1	(	. ( it 4-a\	. fu — a\ .
2iF + ÏÏ 1 “ arCtg (“Г") - U arC‘g (“Г" J +
. ь . г
+ T n [
y + (a + a)M
*‘+(tt-a)’J ~KU
§ 10]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

8.160
Ci (bti
a2, -|-
8.161
si (at2)
8.162
<7)
8.163
8.164
?[с'
Fs(u}= §/(t) sin (ut) <ft
0
( ~ sh {au) Ei( — ab)
I	при 0 < и < b,
< y sh {au) Ei ( — au) +
+ e~aa [Ei (—au) 4- Ëï {au) —
— Ei ( — ab) — Ei (a&)]
ч	при и > b
-^J0[2(au)~]
— л/С„ [2 (au) г 1
-2(aU)TÆ,[2(aa)4|
292	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. ѴПІ

8.165
у-5(а0
8.166
у-С(аО
8.167
ÿ / [С (а/2)]г + [S (а^)]г
f d \ —		 — —
1 - Il J 2 (в‘ - “2) 2 [« + («* - «’)* ] 2
при 0 < и < а,
1 + ( у )Т (и‘ - а2) ~ 7 [а - (иг - а2)7] 7
при и > а
Йі{1_(т)2 (а2_“2) 2 [а-На2-и2)2] 2
при О < и < а,
I і {1 “ (т)Г(в2 ” в2)~ 7 Ів+<“' - д2Й 7
(	при и > а
§ 10]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
со
со

№
/(0
со
Fs (и) = J f (t) sin (ut) dt
0
8.168
1-5(аГГ)
1 ! a	7z\ , /а‘\
7П + "Г K 2 U	sin І ô	“ô P 1 o“
2Z4 1 4	\8h	8 J 2- \8rtJ
8.169
L_C(aVt]
1 « a 4" —Г . ( a*	5tc\ .	f a2 \
2u 1 4	\ 8u	8 J -J- \ 8u J
\	7	4	7
§ 11. Цилиндрические функции
8.170 Jin+1(af), п = 0, 1, 2,...
8.171	J4(at), Rev>— 2
2 Г2п+1(-£)
при 0 < и < а,
V 0	при и > а
при 0 < и < а,
а* cos j (и2 — а2)	2 [и + (и2 — а2} 2 ]
при и > а
294	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

8.173
Г+Ѵ,(а<),	— -1<ке><_ 1
2»
8.174
e — Jjal), Rev>ÿ
при О < и < а,
— тс 2 2*+’ Г ѵ) а* sin (кѵ) X
X «	- а2) * 2
при и > а
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
и (а2 — и2) * 2
при О < и < а,
при и > а
ю
о
сл

№	/(О
00
/7«(«)= § f (t) sin (ut) dt
0
to
O
o>
8.175
п — О, 1, 2,..., Rev> -1
(_ If 2V-’
(2» + 1)!Г(ѵ) ѵ
Г (2л 4-2» 4-1)24
Х(л2 —и’)	2 с^+1(тг)
при 0 < и < а,
0	при и > а
8.176 Г-'JJat), Re(|i + v)> - 1, ReiK-^
при u>a
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIIÎ

8.177
< 1 [(/-|—vJv+2n(<-|-^) +
+(i - è)-’J,+2n(z - 6)],
Rev> -	n = 0, 1. 2,...
1
8.178
,{at\ я = 0,1,2,...
2П + -
8.179
(&2 + Z2)-' И,(aZ) + J_ JaZ)], — 2<Re >< 2
8.180
Z’(Z>2 + Z2)-'JjaZ), -l<Rev<-|-
8.181
Z’-’^’ + Z2)-1	Rev>-A
8.182
jjat), Re(v-+-n)>_ 1,
Re (V + 2л) < y , и = 0, zrl, ±=2. ...
8.183
Z2n+,-v(Z>24-Z2)-1 JJaZ),
3
Re V > 2n — y ; n = — 1, 0, 1, ...
Jv + 2n
( — 1)" sh (£ш) AT ! (ab), 0<u<a
2”+t
~ cos sh (bu) K^(ab), 0<u<a
^”1 sh (bu) K,, (ab), 0 <u<a
*e-baI,(ab), u>a
2.-D
( — 1)" ^+2И“> sh (bu) (ab), 0 < zz < Zt
( _ If " b2n~' e~bu 1. (ab), u> a
&
§ И]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
to
CD

№	f(t)
00
F S («) =	f (0 Sin (ut) dt
0
8.184
rcos*Jv(0, — 1 <Rev<y
8.185
tl v cos£ JJf), Rev>-1
г
ГЧ2
7~і	г (u24-2tt)
при 0 < и < 2,
+ (u«-2a) * ’]
при в>2
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
>-1
(и — l)(2w — и2)	2
О
при 0 < и < 2,

8.186
t ’ sin t (t), Re V > — y
8.187
J , (at)J , (bt), n — — 1, 0, 1, ...
"+t	"+t
1
8.188
(at) Jt (at)
T” т+’
8.189
J^(at)J^(bt), b^a
—, 1 І7С\ (2ц-ц2/ 2
г(4+ѵ)
при 0 < и < 2,
О	при и> 2
1 р (а2 + Ь2-и2\
2/ab	2а&	)
при О < и < а Ц- bt
О	при и > а -|- b
1
( тш \ 2 /л « “ТХ
(—2~ ) (4а2 — и2) 2/4
X cos j^2v arccos (£)] при 0 < и < 2а,
О	при и > 2а
О при 0 < и < b — а,
1_р fa* + b2-u2)\
2/ab „ ±\ 2aâ J
2
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
при b — а <и<Ь а>
	—: COS (кѵ) о
пу ab	»
и2 — а2 — Ьг
2аЬ
при и > а + b

№
/(0
——	ч
8.190
Z 2 [J, (at)]2, Re v> — 4-
8.191
[/’JJaOj*. -4<Re><4
00
Fs(u)= f(t) sin (ut) dt
0
Oû
O
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

8.192
— 1 < Re ѵ < 1 -|- Re |і, а > ft
8.193
a'>b, 0<Rev<3-f-Ren
8.194
/-'![•/ , (f-W-
»+-г
- P . (* + &)]г!, я = 0, 1, 2, ...
"+т
8.195
+ ѵ +	(*+W|.
п—0, 1, 2, ...; Rev > — 1
8.196
ГДаО, - 2 < Rev <2
О (0 < в < а — fr)
ДТ(14-И) Г(ѵ)ц (°<«<«-6)
, (*)]’ (2=S и)
"+т
^-s’lA+n(fr)F. (и Sa 2)
(а! — и2)
VarCSin(a)]
при 0 < и < а,
1
у cosec
(и2 — а2)
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
X|û * cos (vit) [« — (и2 — а2)2 ]’ —
— а* [м — (и2 — а2)2 ]“ѵ|
при н>а

№
/(0
8.197
— l<Rev<l
8.198
00
Fs(u)= J /(0 Sin (ut) dt
0
при О < и < а,
Х1« - (а* - а2)2 Г - а’ [и _ (ц2 — а2)2 )-»}
при и > а
при 0 < и < а,
	 	 і
и (и2 — а1)	2
при и > а
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	(ГЛ. ѴІІІ

8.199
1	Ч
t'-'YJat), -<Rev<-
8.200
J,at) cos (at—y^4"^»(fl0sin^af—,
— 2 < Re V < 2
8.201	(6* +t‘)~1 [Г_v (at) - К, (а*)],
— 2 < Re V < 2
8.202	t* (bl4-t*)_1X
X^^cosf^-y)] -
-Г,,(Ж) sin [у(и-у)]}.
— |-< Re и < -y
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
»-Л	**
2 (2a)”V 2 sin (кѵ) Г —y J и (a* — и*)	*
при 0 < и < а»
-2к 2 гГ — — уJ(2a)-va(a2-a2)	2
при к>а
1	——	—L	_L _L
у(2а)-*«	2 («4-2а)	2{[(и4-2а)2 +«2]2Ѵ +
+ [(« + 2а)Т- иГ]2Ч
У sin (у) sh (bu) К„ (ab) (0<u<à)
b 2 sh (bu) (ab) (0 < a < a)
со
о
со

№
/(0
8.203
Л (at) F_, (W) + F, (at) J_„ (bt),
а '_> b, — 1 < Re V <
8.204
, (t-b)Y г(і-Ь) +
"+~
-f-J	1 (*4"W1>
п+т „+-
n = 0, 1, 2, ..
8.205
t* ”2V J, (at) F, (at), 0 < Re v < -|-
8.206
JІЛ (аОГ - F (аОГ|. 0 < Re V <
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII
		 со
00
Fs (и) = f(t) sin (ut) dt
и
( 0	при 0 < и < a + bt
I	L«
I У ab V— \	2a& J
(	при и > a 4- b
kJ , (b) Y , (b) (u ^2)
*2	1 2
F(F)KF27jF'x
х^(4~ѵ* î-2v: 2-v; è) <°<“<2a)
2ісГ (2 — v) Sin (2’V) Г ( I - V M T - 2V ) “ X
хл(4-*.I-*;2-*:è) <°<и<2а>

8.207
[J, (at) Л_, (at) - Г, (at) Г,_. (a/)],
1-n	^5
2 <Rev< 4
8.208
J_,	(а/г)Л+ч(а/«)
8	8
8.209
J. (at1'
8.210
-4<Rel<Rev
2кГ(2^)

|-ѵ, у-2»;2->;4^) (0<и<2а)
яТ4К-г-аѵ	rft,-v+J)	 х
r(H-2>)rÇ-A-+>-Àj
Х«”-Л“’Л fl+2», »-Ч ±4-,-!;££) +
ХЛ(4. 2 + 1-ѵ, 24-і + ѵ;
\ Z	lb J
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
co
о
en

№
fit)
8.2П
7!ln(T)J-(7)' R“>>-2
8.212
8213
”=»■'.i-
Лг(«)= J /(Osin(B#)rf<
о
* ) £sin (-y-) A(rfa * )+cos^y^ ^(rf« * ) ] +
+ cos (y) Ц (cu* )K/du * ),
c = 2 [(a 4- b)~ 4- (a - 6)T].
1 1
<Z=2[(a4-&)2 —(a —ft)*] (a >6)
I { J, [(2aiu) * ] AT, [(2a/«) * ] —
1 1
- л К - 2aiu) * ] /С, [( - 2a/u) * ]}
( - 1)"у Лп+і [(« +	4-(«-} X
X An+1 pu7'[(a4-Ьў-(a -ft)4}
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

8.214
ТСО5(г)а(4). Re*> —1
8.215
тС05(т)Цг)- «=0,1,2,...
8.216
2
л=0, 1, 2, .
8.217
гт™(т)\.+± (!)•
n = Qt 1, 2,
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
! , <*>
y A ( eu2 y[ cos	J, (rfu~) —	Z.
— sin (t) Y'(da * ) ] — sin (y) A (C“T) K, (du^),
c = 2 [(я -f- b)2 4“ (я — b)2 ],
<*=2[(я4-*)2 -(я-*)~] (a<b)
( - 1)” у An ( 2«~ 1(я 4- bÿ 4- (a - *fh j X
ХЛ» |2a~Ka 4-*)T - (a - è)7]}
( “ І)П_,4 (■? }~An-i&(?au)~]
( - 1)B y (y )ТЛ«+і 12 (2яя)~]
c*>
					 					 я

№
fit)
8.218
т5іп(т)г’(т)’ -2<Re><2
8.219
Fcos (т) (т) ’ -J<Re*<l
yFjcu2) [cos ) r, (du 2 )4- sin J, (du1) j —
—	K, (du 1 ) [sin (y) 1„ (eu1 ) 4“cos (y) K4(cu2 )],
c = 2[(a-H)T-He-*)4
d = 2[(a4-&)’r-(a-è)T| (a>b)
—	y Л (eu 2 ) [cos ^y^J,(rf«»)4-
+ sin(^y,(rfBT) ] _
— A\ (du2 ) [/„ (eu 2 ) cos (y j -|-
+4^<c“T)sin(?)b
c = 2[(a + ft)V4-(a-*)4
rf=2[(a + Z>)“-(a-Z>)TJ	(a>b)
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

8,220
8^2і
8.222
8.223
A (а yt )> Re V > — 4
t2 e-flZJJ2(*02L Rev> —2
МаУ t) J4(bV t). Re V > -2
Rev> — 1
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

■	-

№
/Ю
— 1_
8.224
< (а — О2 Л,Р(« — *)2]
при 0 < t < а,
0	при	t > а,
Re у > — 1
8.225
’ 1 [t (а - t)~ \Ь (а - О]7
J	при 0 < t < а,
V 0	при	t > а,
Re V > — 3
'	V	1
8.226
t(a* -t^j^b(a*-t*)*]
при 0 < t < а,
V 0	при	t > а,
Rev> —1
00
Лу («) = J f (0 sin (ut) dt
0
■^(è) ^+г(2ак>
X Sin (y-) A {-J [(*2 + «’) ’ + «] } X
[(&24-«2)t-«]}
/wV ,	... ,	—г(*+"г)
a(abyu(bt + ut) îV 2'x
X-f , , (а^ + ^Й
2
310	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIÎ

8.227
8.228
8.229
О при 0 < t < а,
при t > а,
Re V > — 1
О при О < t < а,
(t2 - а2) 2 \b (t2 - а2)2 J
при t > а,
Re V > — 1
О при О < t < а.
(t2 — [é (t2 - a2)1}
при Z > а,
-l<Re»<l
	— —aVb*—a*
(V-U2) 2 e	X
	 1
X sin {y arctg [u (b2 — u2) 2 ]I
при O < и < b,
b'*(u2 - b2)~+ (u2—â2)M-v X
Xcos	+ а («’— é’)T]
<	при ii>b
2	'
Х7_л{т[а + (н’(а>6>
/ О при О < и < Ь,
1
Çj) 1 (аЬГ (и2 - Ь2)~ X
XJ_v_1_[a(u2-b2)2']
2
при и> b
§ 11]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
/Ю
оо
Fs (и)= J f (/) sin (w/) dt
и
8.230
0	при 0 < t < а,
t (I2 - а2) 2 J' - а2)-*]
при t > а,
- l<Rev< — 1
XK , [а(^-и^]
’+т
при 0 < и < ft,
(т)	(U2 - ft2) 2 ( + 2 ) X
XK , [a(a2-ft2)4
— V

2
при и > b
8.231
(	0 при 0 < t < а,
I (Z2 - а2)2 (Z2 + с2)-1 J, [ft (і2 - а2)7]
V	при t > а,
312	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ^УРЬЕ
- l<Re»<4-
&

8.232
8.233
8.231
-- — 1
(1 +')2 А1М1 +02L *ev>“2
Л1*('2 + at)2 ],
Re V > — 2
1 Z XV
- ( Л ) V_„ (2u, a)
u \2u J N
— — — — Vb* — ua
(b2 — u2) 2 e 2	X
X sin V arctg [h (b2 — u2) 2 ] — J»
при 0 < u < b,
г (u2 - b2) 2 [u + (u2 - b2)2 ] -v X
X/ \ a . » usxV au I *V1
Xcos [yU?-**)’ -T + y]
ч	при u^>b
1
(a2 — u2) 2 sin [d (a2 — u2)2 ]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(W2-a2) 2 e-b(u^-a^

№
/(0
8.235
(/2 + аОТЛ[*(^ + а*)Ч
-2<Rev<y
00
Fs (u) = f (0 sin (ut) dt
о
при и>&
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	(ГЛ. ѴІП

1
8.236
8.237
ц&2-Н2)2 -M«(&2 + z’)2].
Rev<_4
1 i
(y) * (аЬУ bu (а* - і?) 2 (’ + 2 ) X	-
X /	, [b (а2 — и2) * ] при 0 < и < a,
— (т) 6 sin (™) («! — aî) * ' 2 X s
X К а [a (u2 — b2)2 ] при и > a 5
»+-r	®
(y) 2 (ab)-" bu (a2 - tt2)2 (” 2 ) X	g
1
X J , lft («2 — U2)2 ] при O < и < a,
V

2
О	при и > a

№
/(О

°°	о>
Лг(и)= Ç /(Osin(irf)<ff
8.238
* 1
+ а}- Т С,п+1 [t{at + /2)- у, х
1
X Л+2Л+1 [(д2 4-*2)2 1,
Rev> - —, /z = 0, 1, 2, ...
ХС2„+1(/:) J t [а(1—и2)2] приО<и<1,
О	при и > 1
8.239
(1 -і2)2	2 ' С2\_. J/)X
1
XJ , [a (I-/2)'2’]
V

2
при 0 < t < 1,
О при t > 1,
Rev> — у ; л = О, 1, 2, ...
а’(л8 + “г) ‘X
ХС1’„+1[«(а'-Ьи,)“|Х
ХЛ+«п+1[(а‘ + «‘)Т1
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

8.240
+ J-dbVT)Y^aVF),
— 2 < Re у < 2
f	0 при 0 < t < a,
8.241
n_pl_(V— ï)	1
Z (t2 — n2\	2	—
] (	«VI
l	при t > a
1	7
—7 — n < Re V < — — 2л;
2л	2л
л = 0, 1, 2, ...
V	1
8.242
t (а1 + У, [ft (а’ + tÿ],
Rev<-T
(— B”""1	>»+—(»-i)
			sh (си) (а’ + с’)	’х
XK,lH^+<^4 (P<u<b)
— (y) (ab)* au (b* — и*) * ( + î^X
XJ , [a(b*-u‘\T]
’+т
’ при 0 < и < bt
i_
~	(«>)’«« («*-**) * ( + ^X
X 3 [«(“* — **) * ] При и > b
* «
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
f(t)
V	1
8.243
t (a2 -j-t2) * Y, [b (a2 +12Ÿ1, Re У > 1
8.244
( (a sin t) при 0 < t < n,
1	0	При t > 71,
Re y > — 2
8.245
. (a sh t), Re y > — 2
K sin
00
^*(»)= J /(0 sin(ut)dt
0
(аЬ)-" au (b2 — и2}
la (b2 — u2)2 ] при 0 < и < â,
(ab)~'t au (и2 — b2)
[a (u2 — b2)2 ] при и > b
V<v+“)
CO
00
— (*+<«)
— (V — «)
— (y-ftl)
~ (Ѵ-ГО)
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. ѴІГ

8.246
sin (T.t)	(a) J'+t (a), Re V > — 1
8.247
c" (t)
ch (itt)	(a) J~‘t(a)1
8.248
•h (?)
chOtf) l7,t W + 7-'Ha)]
8.249
th(KZ) i[Jft(a)]2 + I-vrt(a)]2j
8.250
K, (at), - 2 < Re y < 2
8.251
r+'K„(at), Rev> — -1-
цилиндрические функции
f 4	(2a sin J ) при0<и<2«,
1	0	при и > 2я
— i sin (a ch и) [C ^2a sh2 y) 4- S (2a sh2 4	—
- i cos (a ch u) [c (2a sh2 ) - S (2a sh2
sin (л ch m) ^2a sh2 -y) — S ^2a sh2 —
- cos (a ch к) je (2a sh2 4-S (2a sh2 y)]
/.^esh-j) -L^ash-j)
4P cosec (^ (a2 + u2)”’2' X
X 1l(«2 + a2)T + Bf - K«2 + a2)T - «]’}
(2a)v к 2 Г ( V J « («2 + w2)	2
Ca>
					 					 ǣ>

№
/(О
8.252
t~^K,(at), Re(|iztv)<2
8.253
‘''т^ {а‘}КЦг+^
Re* <4
8.254
[/„ (at) 4- І_ч (a<)] /С, (at),
- 1 < Re * < 1
8.255
( Ц (bt)K„ (at), a > b, Re v > - у
/=;(«)=$ /(о sin (в/) л
о
2-Ѵ-.г(1-Л+»)г(1-±-І-)ВХ
\ " ~ / \ " /
ч/ F 42-н + ѵ 2-И->. 3 . _£»\
Xt *\	2	’	2	’ 2 ’	а*)
(і) * {2а}~'(4а'+а*} 21“+(4а*+“*>* r
1 / M~T	+	J
-2(ab)	2ab ) ’J
1 X
XQ* ,
/gt 4-У4-ц*\
»	Олл	I
’-Г 4
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

11 В. Диткин, А. Прудников
——	3
8.256
t » (at) К, (at), Re»>--y
8.257
t«-”7, (at) K„ (at), 0<Rev<y
8.258
t’-'‘+,J|l(at)^(6t),
Re|t>- 1, Re»;
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
f(t)
1
8.259
t ‘ \K4(at)}\ -A<Rev<|
8.260
tK4(at)KM _-|<Rev<y
8.261
Re><|
00
Fs (и) = J / (0 sin (ut) dt
о
co
to
to

8.262
Re X > 1 Re |i 1 4-1 Re V 1 > — 1
8.263
-j<Rev<T
8.264
Re у > 0
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
/(0
8.265
ie-attK, (at2), Re V > - -|
8.266
— l<Rev<l
8.267
t'-^KAt*)' 0<Rev<-|-
FSW = $ /(0 sin (ut) dt
О
я _,_2_г(4 + 2>)
Т(2а)	* Г(ѵ4-2) Х
-- /1	в*\
Хе ««/Ц-І-ѵ; 2 + »; -g^j
it/C, [(2au) I cos (у) Л [(2a«) » ] —
- sin K,[(2a«F] j>
324	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

8.268
_Rev<Re|i<Re»
8.2G9
— 5
f27,	(at*)Kt (at*), Rev<-jj-
	V		bv	°
8	8 1
8.270
t 2 Æ, (a У t ) cos (vit) -|-
+ £-Ма/Г)1, —l<Rev<2
A	1
8.271
t 1	( a^~t ) sin (*n) 4"
+	— l<Re»<2
Г(цў>)Г(Іі-у)2_е_,ц><
хл(^ + », IX —v; 1, A-4-и; -!0
§ 11]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

К9
f(t)
8.272
Г^КЛаѴТ), ~4<Re><4
8.273
J, (a VT) ft, {a VF), Re V > — 2
8.274
K, {a VF) [J, (a VF) + J_„ (a /Г)]
8.275
V Ч,(а/Г)К,(аУТ), Rev> —4
00
Fs(u)= J /(/) sin(irf)rff
0
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. ѴГ

8.276
к, (а Vt ) [уѵ (а у t ) - г_ѵ (а /Г)]
8.277
/7)Х
X {cos {у 4-	л (а ÿ~t) —
— coS {у — у) У, (а 1^7)},
3	3
— у < Re V < -2
8.278
К (а /7) + (а /7)] К, (а /Г),
- 2 < Re V < 2
8.279
К, [(iat)“] К„ [(- lat)~], - 2 < Re V < 2
§ И]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

/ю
Fy(«)= J /(/)sin(uO^
и
	1	1	1
8.280
-|<Rev<4
8.281
8.282
П(я-О] 2 Л- 0]2 I
при 0 < t < а,
О	при t > а,
* sin ( t) JJL { T ~ * 1} x
Re у > — 3
V	1
Н*2 + *2)2	+
(a*
328	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
2 avô» +’’(а!+і?) г^+*)х
XK , [*(а‘4-В«)”1
’+т

B.283
Pd+П] 1 Kjft kd+o]2 !,
— 3 < Re V < 3
0	при 0< t < a,
S.284
' (t* - a*)~ TK, [& (t‘ - a2)7"]
при t > a,
-l<Rev<l
' 1 1
t (a2-^2)2 y,[&(a*-f2)2 ]
8.285
при 0<f<a,
K„{b (*2 - a2)2"]
ч	при t > a,
Re V > — 1
X (*) Y^ (у) - J (y) Yr (X)] -
2	2	2	2
- si" (y ) ІЛ О') Л. w + r2_ oo y± W1,
' 2	2	2	2
1	2_
* = 4-K^ + b2)2 -tf],
J’ = |[(*24-«2)T + a)
K1	f VTC \ r r t
~8 sec ) [<1 О') ГГ(x) ~ Jl. W УЛ_ О')!.
7	2	2	2	2
a	—	2-
*=2-K*! + u’)’ +«], у = -^№ + иг)' -к]
* вт+” fc’u(62 + «’)_ т(ѵ+т) х
ХГ (a (&2+ «’)“]
*+v
§ И]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
fit)
8.286
Г /м (a sin 0 при 0 < t < к,
(	0	при t > к,
Re V > — 2
8.287
I (a sin t) при 0 < t < л,
(	0	при t > к,
— 2 < Re V < 2
8.288
K. (a sh	- 2 < Re y < 2
00
Fs(u)= J /(Osin(a<)<ft
0
n! ,	. fnu\
— cosec (zv) sin ( — I
X [Z- ^-(’+«)
Ç cosec (w) Г J, (f-V «Г4../4)-
8	L — (y — «o \ 2 / — — (*+<«) \ 2 J
330	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

1
8.289
sh t (a* + 62 + 2ab ch t) 2 X
X [(a2 + b2 4- 2ab ch t)r]
8.290
sin (ut) I4_t (a) Ц+і (a)
8.291
ch (bt)..	. ч _ .	_ те
ch^)^^-7"^1’ b^2
8.292
Кц (a) іЛі (a) ■” J-u (a)]
8.293
8.294
sh(bt)Kit(a), 6^ y
2
1
ab 11 ^iu Kia. W
при 0 < и < 2к,
при и > 2к
é~ a ch (»+«) erf R (2д) 2 sh	+
-i^Jv[a(2sh в)2]
е — a ch (а+іЬ) erf р (2а) 2 ch (ffjhf*
_ е- a ch (и - ІЬ) erf р (2a}T ch
к — a cos b ch a
— e	sin (a sin b sh u)
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
CO»
CO

■ • -- 		 - ■ -•
№
/(0
8.295
cseh
8.296
csch (к/) Кц (a)
8.297
th (nt) Kit (я)
8.298
sh(fcZ)^
chWK«(fl)>	2
8.299
[r,7(a)-r_,7(a)]Krt(a)
8.300
shM|K(/(e)]*
Гх(и)= J f (<) sin (mZ) dt
0
Shu J
0
IshB ? e-5choK0(« + ?HS
2 J
о
_ Ç e-a ch « erf p(2a)T sh (i)]
« { ea ch <«+,») erfc р2д)Г ch (« + »-
_ ea ch (о - ib) erfc [(2a)T ch y j.
- i {-J У. [a (2 Sh u)7] + KQ [a (2 sh и)г ] }
СИНУС-ПРВОВРАЗОЕАНИЕ ФУРЬЕ	(гл. ѴІІ

8301
tKit(a)Kit(b)
8.302
Ren<y
8.303
Re(±v-ri>-l
8304
Re V > — , — 4 < Re Xjx + v) < 0
sh a (û* + 6г + 2a6 ch в) * X
X Кі К я1 + Ь2 + 2ab ch в) ’ ]
§ И]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
оо
00
оо

№
/(0
8.305
yS-^-y), -KRev
8.306
t1 -U^t, a)
co
Fs(u)= J f (t) sin (ut)dt
0
T sin (	K2a/a)* IK, [( — 2аш)2]
~(1-2и)г 'a2~'lJ.l_i[a(l— 2и)г]
при 0 < и < -i ■,
0
При U > -у
8.307
8.308
J.
th(D wa)
при 0 < и < а,
при и > а
[еа sh “ Еі (— а sh и) — е~ а sh “ Еі (а sh и)]
334	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

8.309
Jv(fl sh 0 — J-Дл shf)
8.310
J/ (#) ““ J _ t (^)
8.311
sin (a sin и) при 0 < и < к,
О при и > п
cos (a sin и) при 0 < и < л,
О при и > л
8.312
Rev
§ И]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	335

№
/Ю
00
Fs (и) = J f (0 sin (иЛ dt
о
8313	/*♦» [H, (af) — Г, (<xf)], —
CO |<м
8314
8.315
Г' U- JaO - L, (af)], Rev
8.316
Z’-’ [/JaO-U(af)]
336	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. ѴІП

8.317	Z,_’[7,(aZ) —	0<Rev< —
2
8.318	t-'Hjat), Rev>- -L
8.319	Z-’(6‘ + /’)-* H ,(at),	Re»>-A
2’“’
—— cos (кѵ) г (2 — V) a1 -*uÏV-« X
K2	v

			— (a2 — u2)	2 при 0 <и<а>
(2arr^+-j
О	при и > a
(aé) (0 < и < a)
§ 12. Вырожденные гипергеометрические функции
8320 erf (at), — 2 < Re > < 1
§ 12] ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПБРГЕОМЕТРИЧБСКИЕ ФУНКЦИИ
co
co

№
/(0
8.321
e-a«> erf (Za^
1
1	—
8.322
yerfRaf)’]
_ j_	2_
8.323
t 2 erf[(a/)2]
_ 1
8.324
erf[(ai) 2]
l(2za)
00
Fy (и) = J f(t) sin (ut) dt
0
CO
CO
OO
[(аг4-и2)2 +a]2 —(2a)2 .
ln Гд -F и 4~ (2au)2
L a -f-a — (2azz)2
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

8.325
е— а’ sh2 tefj SÏ1
8.326
erfc (at)
8.327
erfc (at), Re v > — 1
8.328
ед2/2 erfc
8.329
e~bt erfc f ab —	— ebt erfc f ab 4- 4~
\	2a J	\	1 2a
8.330
erf(f)
1
8.331
erfc [(aZ)2 ]
ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
fw
1
1	T*
8332
— eric [(at) ]
1
8333
eat erfc [(af)2 ]
1
1	■■ ■ ■
8.334
-i-eaterfc [(a£)2]
1
1	“ T
8335
y erfc (at )
o’	_ J_
8336
t~lef erk(at 2)
те — 2arctg <
00
Л(«) = J f(t) sin (ut) dt
0
K^+^)a -a]2
U(*2 + «2)2 +aj* -(2a)2
1
a4-tt+(2aw)2
2 arctg 	r]
в7 + (2а)7
1 1
i {Ei [ - a(— 2іи)г ] - Ei [ - a (2гв)1]}
У {H„ [2a (іи)Ч- Ж, [2a ( - іи)7] -
- Г. [2a (Zb)7] 4- Ув [2a( - Zb)7]}
CO
О
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	(ГЛ. VIII

1	1
8.337
erf[/(aOMerfc К«Л*']
8.338
erfc{a[(é2 + f2)7 + *]7}X
XerfVaKft’ + f2)7-*]7}
8.339
ea2c1*2 f erfc (a sh/)
_p
8.340
e 4 [DJ/) - DJ - Z)L Rev>0
a2 P
8.341
t^e 4 DJ/), Repi> —2
+	1 [а + ^ + в*)1] *
J—ae~a2b(a‘+u2) "7[(а‘4-Ву + a’] "7e ~bVa'+u2
/2
- к csch (W) [ I(J£} +	(£)] }
1 z _a»
(2z)2 sinHpJ іГе 1
Г(и + 2)
a-^-’uX
3 іл-у-рз.
2 ’	2
ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЁРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2a2)

№
/(0
8.342
.L
t 2	е* D„(ats), Rev<3
V S û2t	1
8.343
t 2 ге‘ D.,latl), Rev<l
1 ,	,	û2	i
8.344
		5

t 2	e ^D^at 2), Rev> —1
1	I	1
8.345
1(2/)2 ]{ D, [(2tÿ ] - DJ - (202 ]},
Re V > 0
(2тс)2 sin
00
Fs (u) = f (t) sin (ut) dt
0
[a + (a + u2)2] 2 sin
2 [1+(1+му]
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЁ	(гл. VH І

f2
«.346
f2
8.347
‘-”«T	R..<4
8.348
Ret,i4-A)>±
f2
8.349
t^-'e ‘ Mk^	,
— y <ReH<Re*
f2
8.350
Ren <|
1
—	и2
1
—	д2
(т)
к-Т^ + ’11)	Г(1+2|Л)
ТА	А
г(4+н+^
-И2
Хик^-'е 4 ІГ	,	(%'
КТ2Г	Г(1+2|і)
1(1 4-й — и) А
Хв‘-і*-'е *М1. і <*
7„~Т(*+’И) Г ( 2’-2'1) xz
п 2	1(2 — к — у.) Х
-tt2
Хи^+^-'е *М.	,	("-
- (і + Л-а|л), — (1 -Æ -и) \2
§ 12] ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 343

Ks
/(0
P
8.351
ReP<|
_p
8.352
t^-'e	ReX>|Re|i|-1
8353
*	ReH>-4.
Re*>-1
кг2*
00
f's (и) = J f (t) Sin (ut) dt
0
T- 2|^
Х<ГЬ,«‘ 1Г.
Г(1+|1 + 1)Г(1-|1 + 1)
4	\ и /х
Хл(і+*+іч 14-х-ку,	+
Г(1 +2И)
XAfi
7(*-h).
344	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
2 w
-(Л-Ю,

8.354
8.355
8.356
ttk~^k^(at)M_k^(af), Re|x>-1,
Re(H + A)<l
Re X > 2 | Re ц | — 3
212 a2k Г(1Ц-2|і) f u_\ -2 (и+л)
2	Г(1 — и —/г) \ 2 J	X
Xa^i(4~k, 1 — k, -1-4-jjl—k\ 1 — 2Л, 1—jx —Z?; —ï£_
\ z	z	a*
a'~^ Г(1х + МГ(Х-ц)Г(2»
—2	7~\	\—7~i	\ “X
r(±4-*+kjr(±.-A + XJ
хл(к ÿ + x. X + ix. X-h;
4 + * + x.	y; -ÿ)
§ 12] ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Ks
/(О
8.357
8.358
8.359
8.360
§13. Сферические функции
spv(14-ûtf), -1 <Rev<0
spv(14-^2), - 1 <Rev<0
(	0 при 0 < t < a,
J SgJ2Z2a”2 — 1) при t > a,
—	1 < Re y < 0
г 0 при 0 < t < a + b,
)	( t2 — a2 — b2 \
(Ц- iâb ) при *>a + *-
—	1 < Re V < 0
00
Fs (и) =	f (t) sin (ut) dt
0
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

8.361
Re V > — 1
C^5
±(Г(1+Ѵ^І7 (a«)Af (au)
2 au _2__ѵ>0 H, о	co
2	2	L““l
8.362
[(a 4-1) (b + £)]2 X
хЦЧ’ + т)
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
8.363
_ F
(1-P) 2 PJ(O при 0<t< 1,
О при t > 1
лТу-, (1—и — V) (2 + »-!*)
3 —11 —V
2
Р---Г
Xa 2 *
1 («)
T+v
00

№
f(t)
со
Fs(u)= J /(Osin(ttf)rf/
0
Oû
4^
00
(
1	(]-/’) sPNt] приО</<1,
8.364
1
0	при t > 1,
Rek> —1, Re jx < 1
f 0 при 0 < t < 1,
8.365
(^~1) ~Г^(0 при / > 1,
I	J
1 - y<Re|i<l,
(	Re |i > Re у > — Re (1 4- h)
8.366
—	з
(<2-l)2 <(O,Rei»< y. Re(H + »)<l
x» у-^ПІ-Ц)

г(, + 1^)г(3 + ‘ + ’->
X S ,	, (И)
н+г.»+?
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. VIII

U
8.367
па+/)]~ч£(і+2п,
Re и- < 2, — 1 — Re ц < Re V < Re |х
sh(nt) Г (у — fi + it} X
8.368
X r (ÿ -11 - ^-l+rt<ch «>•
Ren> —y
8.369
Qf*- . (ch a) - D11 , (ch a),
-—-it
2 1	2
Reji < y
[“+(,_,) л] X
ху.+1(т)-“4т+<,"у^]
О при и < а,
’(іУ '4
	\ 2 /	(ch и — ch а)
(sha?
\ A J
при и > а
О яри и < а9
- /W>
при и > а
(sh а)^ (ch и — ch а)
§ 13]	СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§14. Разные функции
№
QO
Fs (и) =	/ (t) sin (ut) dt
0
8.370
1	] при
1	0	при t > 1
ё’г[г(4)]
2 *
8.371
f TKGr) при °</<в>
14л'(т) при t>a
T [■'•(?)]’
8J372
ç	0 при 0 < t < 1,
1 "+,) '*[(<;!) ]"р“f>i
1
т(^)2 Ио(«) - r»(«)I
8.373
і
1
1
!1+0 *к[(>40 ]
8
— 1
К2 _'ГГг/ч-/ГМІК\ V/x	( H 1 71 \ 1
— и	^(“)sin^y + TJ-r.(B)cos^y + TJJ
350	СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[ГЛ. ѴІЦ

8.376
8.377
О при О < t < а,
< [(*-?) ] при t>a
f О при О < t < а,
при t > а, (а> Ь)
' О при О < t < b,
<	при b < t < а,
к	при t > а
(аг + і2) ~ 7 К И (а2 + і‘) ~ 71
cZ7>
тс2 Ги (а 4- Ь)1 . Ги(а — £)1
L 2 J L 2 J
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
а>
сл

ГЛАВА IX
3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
§ 1. Основные формулы
fit)
00
F(p)=p J е-^7(<)Л
О
9.1
93
93
9.4
93
9.6
<F(0
F(p)
F (ар)
ср (t 4- а), а О
е^ср (ctf)
I 0 при t < а,
( <р (t — а} при t > а
а . ъ
О при t < —,
Ф (at — b) при t >
eaP \F{p) — p^e~pa<f (a) du]
0
f(p=1}
P — $	\ a J
e~apF(p)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА

. Диткин, А. Прудников
9.7
9.8
9.9
4т (О
t
? W Л
РІГ(Р)-Ч(ѴІ\
F(P)
P
9.10
ср (t) — периодическая функция
с периодом а > 0
ІТ(О = ?(< + «)!
9.11 (-ол?ю
9.12
9.13
9.14
a
p J e~pt<f(t)dt
p-e~aP
pjÇFWI
pdpn L p J
/ d \n
<р(0
іп
QO 00
p p
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ	353

№
/ю
9.15
/ 1 (і \п
(tw) ’“>•
если [(т^У’
при 5 = 0,1, ...» (п — 1)
9.16
ch at ср (t)
9.17
sh at ср (t)
9.18
cos at cp (t)
9.19
Sin at cp (t)
t
9.20
0
F(p)=p J e-Ptf® dt
0
00	00	00	'
P	\ p \	---p	\	Fw{dp)n
PP	P
P [~F(p — a) . HpHH
2 [ p —a	p4~a ]
p ГF{p — _ F(p + аИ
2 [ p — a	P 4- а J
p ÏF(p — /a) . Лр + гдП
2 [ p — іа ’ p -H’a I
P ГF{p — Za) _ Лр-На)1
2/ L P ~ za	P 4“za J
P
354	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА— КАРСОНА	[ГЛ. IX

bJ
«
00
9.21
t
ОО
9.22
Jo(2 V tx)y(x)di
0
9.23
Г sin (2 V7т)	, J
I	V—	? (T dx
J	У «
0
9.24
°f sh(2/7ï)
я<—	? W d*
J	V гл
0
9.25
Г cos (2 V/т)
J rï ■'"|л
0
9.26
J
0
- r J (2 V~iï) , , o
9.27
z 2 I —:~ W rfT> Re v
0	TT
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

№
/ю
F(p)=p J e’^ftfdt
9.28
9.29
9.30
9.31
9.32
P(V P)
356	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.33
9.34
V P F(V P)
P~ F (Vp)
9.35
V тс(2/)ѵ+1
/ + a f(V7)
9.36
Xje »t Di^(_^^(x}dx
0
00	X2 V
— р-.<,.лх
0
X J л(2]6Её)<р(?)Гтл
0
§ 1]	ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Саз
СП

№
/ю
F(P)=P J e~plf(t)dt
00	V
X J т(Е)Л(2/^)
0
00
9.38	J 4* (T,	—
0
— j $ Ф ('> Q Ji (') ? (V P —*0 rf*
0	0
9.39	J <|>(t, f)<?(T)rft4-
0
+ J du J <p (u, Z) Д (T) ? (yi?=P) d-
0	0
F(Vp-ï)
У P — 1
358	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
X

9.40
9.41
9.42
9.43
(20- "J
0
X W —	f ('К t* — иг) Ji (u) du J dt
0
_n_ æ
(20 2 C X(r, 0Не„Л^ X
0
X [ T (0 + J ? (— u2) Д («) du J rft
0
t
J J0(/ï2 — т2) <f (T) rft
0
t
J /.	? « л
0
9.44
пЧ-1
-ЙТГ^^
п + 1
тйт'’^'
УТТ ''<l'?2FT>
-^T-r {Vf+1)
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

№
/(0
9.45
<Р(0 + * С ’X-

J V t — т2
0
9.46
t
Т(П-$ <p	- t*) J. (t) A
0
9.47
t
? (0 + $ T — *’) 4 W d*
0
9.48
t
^ <[> (r, t — T) <p (t) Л
0
9.49
t
X (T. t — T) î (т)л
0
9.50
J rtf + l)d£+<p(0)
о
со
F(p)z=p J e-Pff(t)dt
О
-Р^Р<Ур*-1)
P
F (p + Ÿ~ p)
p + Vp
F(\np)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

oo
951
j r(5 + 1)
0
C	e
9.52
j г(е,
0
9.53
s
0
9.54
т(^)
>
t
9.55
y ? (<—5) g®
0
9.56
/”<?(/»)
9.57
^(Inp)
In/?
P
Inp
F(lnp)
7=W’)
F(p}G(p)
CZZ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

№
/(0
9.58
*v~,<p('9’ Rev>-1
9.59
ср {ael —	a > 0
9.60
cp (a sh Z), a > 0
9.61
! 1
5 ( ат )	*2 (atx a'*} )? (x) dx
0
/ 1
9.62
J ( 1X )	K*2	1 * W dt
0
00
F (p) = p e ~ptf (0 dt
0
p 2 J X2 JM(2 Ypx) F(x) dx
о
тйп>У‘-'«"(-Я4
0
P У Jp(ax)F(x)^-
0
CO
O>
bO
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
X

§ 2. Рациональные и иррациональные функции
to
9.63	1
9.64	tn
9.65	/ Д нр” °<^<^
\ іп при t > b
9.66
tn при 0 < t < b,
О при f > b
9.67
О при 0 < t <
П'РИ t>b'
I arg (а + b) I < к
1
п ! р~п
е-ьр^ -”! ьт
2* т ! рп-'л
/Л—о
2±_е-^ V ”! ьт
рп 2- ml рп~т
т—о
ар
— е р Еі [ — (а 4- Ь) р]
9.68
п 2, I arg а | < к
(От-1)1 (_,	(_р)П
2. (п — 1) ! ат
т=і
9.69
'	0 при t < а,
а>0
1
— — при t > а,
р Еі (— ар)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
со
СТ)
со

/ю
				 со
œ	2
F(p)=p J e’^f^dt
9.70
9.71
9.72
9.73
9.74
9.75
P R-+/>e“'Ei(-ap)
(	0 при t < а,
I	œ>C
I	при />а,
1
^+І
(г!_аг <Л/ + Ва^' I аг£ <— а) I < *
^4-аг'(Л^ + Ва}' I arg (І/а) I < It
(	0	при 0	< t < b,
J	1	.
S	——	при	t>b
I	Vt
P[e"a/, + apEi(—ap)]
— p [sin p ci (p) 4- COS P Si (p)]
— A 2^ PeaP Ei	—tJ— Pe aP Ei
(4 cos ap — B sin ap) p ci (ap) —
— (A sin ap -J- B cos ap) p si (ap)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
Vкр erfc (У bp)	2
><

9.76
( -Д= при 0 < t < b,
1	0 при t > Ь
9.77
Ѵ. + а- 14,10
9.78
^а’ |arga|<,t
9.79
1 4-2л;
VT
9.80
1 ,
——	, arg a < л
Vt (t + a)
/	0	при 0 < t < b9
9.81
1 ■— * ■ — при t>b
9.82
* + a , 1 arg a 1 <it
У fi-\-2at
( ■ &	— при 0 < t < 2b,
9.83
< Vwt -1*
1	0	при t > 2b
у пр erf (У bp)
У пр еар erfc (У ар)
У пр — к У а реар erfc (У ар)
—реар erfc (У ар)
V а
ЬрКх (Ьр)
ареарК1 (ар)
пЬре~ЬрЦ(Ьр)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	365

№
9.84
9.85
9.86
9.87
9.88
9.89
9.90
(t + /1 + z2)" + (t - /1 + Z2)”
(t + /1~+~^)"
УТ+7*
U-/ГТ?)"
/Т+Т2
( 0 при 0 < t < a,
< 1 при a < t < d,
( 0 при t > b
/ 1 при (2n — 1) b < t < 2nb,
I 0 при 2nb <t < (2/1 + 1) b
I	0	при (4zz —	1) b < t < (4/z -|- 1)	b,
(	2	при (4« +	1 ) b < t < (4zz 4- 3)	b
	при (2n	— 1) b < t < 2nb,
y при 2nb	< t < (2n + 1) b
F(p)=p J e^f^dt
0
2pOn(p)
-f- [Sn (P) — ’tEn (p) — -yn (p)]
--^(5,Др) + кЕ„(р) + тгУ„(р)]
e-<v_ e~bp
1
e^+ï
1
ch (bp}
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	КАРСОНА

9.91
п при nb < t < (п + 1) b
9.92
п Ц-l при nb <t <(п-\-\)Ь
9.93
2п 4- 1 при 2nb < t < 2 (п 4- 1) b
9.94
f 0	при	0 < t < b,
1 2п при (2п — 1) b < t < (2п 4- 1) b
9.95
п при Ьт&п2 < / < Ьк2 (п 4~ I)2
9.96
п при Іи п < t < In (п 4- 1)
9.97
2 U —ln/2)a"\ Re а > 0
O^lD
9.98
1 — ап
-y— -- при nb < t < (n 4- 1) b
9.99
при nb < t < (n 4- l)b
9.100
nm при nb <t <(n-[-\)b
§ 2] РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1
eJï — 1
1
1 — e~op
cth (bp)
1
s h (bp)
ÿlMO, M-l]
C(p)
Г (a) "°C (p)
—			, b Re p > Re (In a)
— a
е~Ьр
(ebp - l)m
1 _ e-»p dm I
{ — b}m dpm (l—e-b^
CO
O

№
/<о
9.101
J t при 0 < t < 1,
( 1 при t > 1
( t при 0 < Z < 1,
9.102
< 2 — t при 1 < t < 2,
(	0 при t > 2
9.103
a(t — nb) при nb < t < («4- l)ft
9.104
1-a"	1 _(Л4-і)ап + ,гап+і
1 - a	(1 - a)2
при nb < t < (n -|- 1) b
9.105
(2n4-1)Z — 2èzz(n4-1)
при 2nb < t < 2 (n 4- 1) b
9.106
b — (—î)n (2bnb — t)
при 2nb < t < 2 (n 4- 1) b
0 при 0 < t < b,
9.107
t - (—1)" (t — 2nb)
при (2n — 1)&<* <(2«4-1)&,
n^l
F(P) = P J е-Р^(і)(Н
Ѳ
1 -е-Р
P
(1 -е-Р)*
P
a(ebp — bp—\)
p(ebP-l)
—	-, & Re/? > Re (In a)
p (e°P — a)
ycth (bp)
y th (bp)
1 1
P ch (bp)
368	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.108
9.109
9.110
9.111
9.112
0 при 0 < t < Ь,
2п {t — bn)
при (2п — 1) b < t < (2/z 4- 1) b9
n^\
U - (-1 )n] (2t - &)4- y (— 1)” bn
при nb <t <(n-\-\)b
О при 0 < t < b9
nt ----bn(n-{- 1)
при nb < t < (n + 1) b,
n^\
-g-	при 0 < t < 1,
< 1-
" при 1 < * < 2>
1	при
<>2
т при
0 <t < 1,
3
< 4
л 3 V
-(‘-2) при
1 <t<2,
—3)г	при
2 < t < 3,
0	при
<>3
1 1
P sh (bp)
bO
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

№
/(О
9.113
(t — nb)2 при nb < t < (п 1) b
9.114
1 0 при t < Œ,
| 1 при t > а
9.115
t (14-0а“1 ПРИ
(	0	при t > b
J (14-0° при
9.116
1	0	при	t > b
( 00
— 2 пРи	f < хо.
|	1=0
9.117
?(0 = <	«
—	2	при À*<*<x*+i>
1	i=Æ + i
iÆ> Л = 0, 1, 2, ...
F(p)=p J e-Ptf^dt
0
2
P2
е~*Р
1 b‘ + 2bp
p ebP-\
00
k=0
4a)(p) г ь y-м
л 4” 1 \ 1 4~ /
Ci.
Lb (p} k + 1
00 > „ 00
У k — 2 ’*
£=о	Л = о
370	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА—КАРСОНА	[ГЛ. IX

о
при t < Ào,
9.118
9.119
9.120
9.121
9.122
9.123
к
2 ai nPMÀ*<Z<X* + !
1 при (8k — 7) a < t < (8& — 5) a,
— 1 при (8* — 3) a < t < (8k — lj[a,
О в остальных случаях,
k = 1, 2, 3, ... ; a > 0
( 0 при (8fe — 1) a < t < (8 ? + 1) a
I t — (8& -|— 1) л при
(8k + 1) a < t < (8.!? + 3) a.
< 2a при
(8k + 3) a < t < (8k -h 5) a,
I — t -|“ (8/? -\-l) a при
(8k -j- 5) a <C t < (8k	7) a,
Æ = 0, 1, 2, ... ; a> 0
/ 4& — 2 при
I (4£ - 3) a < t < (4Л - 1) a,
I —4Æ при
I (46- l)a<* <(4Z?J-l)a,
£=1, 2, 3, ... ; a>0
2k — 1 при 2 (k — 1) a < t < 2ak,
k=l, 2, 3, ... ; a>0
( 2t при (4Æ — 3) a < t < (4Æ — 1) a,
1 0 в остальных случаях
£=1, 2, ... ; a>0
2 ake *	M
k=o
sh ap
ch 2ap
sh ap
p ch 2ap
sh ap
ch2 ap
cth ap
1 4- ap th ap
p ch ap
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

№
/(О
9.124
f 0 при t < Œ,
\ Г”1 при t > а
ai-v
9.125
ТМ rq-a"’ ^ev>0’ Rea>°
9.126
(f-f-ap"1, Re a > 0
(	0 при t < a,
9.127
J 1	..
1	При t > Œ
l Y*t
9.128
1
u + ov
9.129
J 1 при (2Â?)V < t < (2k + l)2 u2,
I —1 при (2A? + 1)2k2<^<(2^4-2)2<
^ = 0, 1, 2, ...
9.130
Г 1 при 0 < t < a,
< — 1 при a < t < 2œ,
(	0	при	t	>	2a
F(p)=p J e~ptf(t)dt
0
-^=r Q (ap, v)
pe*PQ(ap, v)
e*P
ÿ-i ■ Q(aP, *)
Vp erfe (Кар)
P S (v, P)
».(0,p)
(1 - е~лр)г
372	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.131
9.132
9.133
9.134
9.135
[	t	при	0	< t < а,
<[	2a	—	t	при	a	< t < 2a,
(	О	При	t > 2a
I О при O < t < a,
при t>a>
Re V > O
pD„ (У p)
p

pe* D_v(V2p)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

№
fit)
V — 1
9.136
	t 2

Г(1±1)(2Н.1Л ’
Re V > — 1
9,137
т?== [U+V> +1)" - (t-Y *4-1)"]
V t “H *
9,138
f 	1	при t < 2,
< к/И2-0
I	0	при t > 2
9.139
y 2a {t — 2ak) — {t — 2ak)2
pSn (P)
pe~p k (P)
/, (яр)
sh ap
00
F(p)=p J e~ptf{f)dt
0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА
при 2ak < t < 2a (k 4- 1),
Л = 0, 1, 2,...

9.140
(2at — t2)	2
(2а)',У	4-1-
0
a > 0. Re V > — y
при t < 2a,
при t > 2a,
9.141
1 / 2 V Г(ѵ)
л \ a / Г (2v)
X [2a (t - 2a£) - (t - 2ak}2]
при 2ak < t < 2a (k 1),
k = 0, 1,2,...; a>0, Re>> —1
9.142
9.143
0	при 0 < t < 1,
- 1	при t > 1
1
0	при 0 < t < a,
			— 	—— при t > a,
(2a)’Г Çv 4-1)
Rev>-1
/, (ap)
р*~' sh ap
PK» (P)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	375

№
/w
/7(р)=р
00
0
9.144
•. .>o,
/О_\Ѵ Г / I 1 \	A
9.145
при
при
9.146
Rev>-|
e’/’KJap)
P’-*
рИо(р)-Ц(р)1
Z, (p)-L, (P)
p’-‘
376	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ПЛ. IX

9.147
(2at — t2)	2
(2а)”
	 1
(2at — t2)	2
(2a)v /яГ(ѵ4-А
О
a > O, Re у > —i-
при t < a,
при a<£<2a,
при t > 2a,
9.148
[2a (t — 2ak) — (t — 2a£)2]	2
при 2ak < £ < (2Л + U
1
— [2a (t — 2ak) — (t — 2ak)2]	2
при (2k + 1) a < t < (2k + 2) a,
k = 09 1, 2, ... ; a > 0; Rev > — y
/ a У Г(2ѵ)	1
\ 2 J Г(ѵ) p'-'shap
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
za

№
/«)
о	при Z < у,
9.149
»•	И	ю
Il	zl і
Ï	-	Sr	-	і
1-	-м
1	.	—	4^|	W
: Л	+
х Î
2	g 1
V	-+ ?
1	“ à
I	W	М
Ю -	1	1
9.150
К(< —2Z)J г, Rev> — -
9.151
[Z(Z4-2Z)J	2, Rev>—-і-
9.152
1
j/~^2 1 J
9.153
z+V> + i
Vt‘ + 1
К (p) — L„ (p)
^■*sh4
4
F(p)=p J e-P^Wdt
0
>’+> Г -J- n nv_* V 'p,e
тсГ(2уЦ- 1)	1	^(2) -p
>>+ir(,-L|| „Ѵ-1 "t W>e
Tp[H0(p)-r0(p))
РІН^-У^Р)]
378	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.154
9.155
1
(/7г=Н)2ѵ+1 ’
—	< Re V <
3
2
9.156
« 1 < .	1
{л—Д’———	|x-|-Æ

t	2(1-Н)	2,
Re	>0
9.157
Г 0 при 0 < t < b,
( Г при t > b
9.158
S t'* при 0 < t < b,
( 0 при t > b, Re > > — 1
9.159
(t + а)\ I arg a | < к
	;	wk, u (p)
p
e~
— Wk, n (P)
2
Г(>4-1, bp)
P*
ffr+ 1, bp)
Р'
РвРГ(ѵ + 1. ap>
P'
§ 2] РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 3/9

№
fit)
9.160
f 0	при 0 < t < b,
t (t — by при t > b,	Rev
9.161
1 (b — ty при 0 < t < by
1	0	при	t > by	Rev
9.162
Г
t 4“ CL
1 arg a 1 < к, Rev
г	0	при 0 < t < by
9.163
1	W	и
S 			 при	t > by
Re v > — 1
Z7"1
9.164
^+1’ Rev>0
1
V

9.165
(1+n 2
со
О
Г(ѵ-к
е~ьрч (v 4- 1, — bp)
?
Г (v —|— 1) a*peaP Г (— V, ap)
г (v +1) ь*pV (— v, bp)
к cosec (kv) p (2p, 0)
2V"* V я Г (v + iy (H, (p) - Y, (p)]
380	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

S	0	при 0 < t < b,
9.166
J (t2 — b2}	2 при t > b,
Rev>— -1
\
J	y	1-
9.167
(a2 — t2) z при 0 < t < a,
J	0	при t > a,
1	Rev>— -L
'	0	при 0 < t < a,
9.168
w -*+—
(t — a)v“’ (t -f-a)	2 при t > a,
Rev>0
9.169
(Vt‘ +14-0’
9.170
(y <2+i -0’
9.171
(V> + 14-O’
y *24-l
9.172
(■yt + ->a + Vt)z‘-(Vt + 2a-Vt )”,
1 arg a 1 < л
2р’-«
(bp)
to
- И, (ар) — L, (ар)]
2’ 2 Г(ѵ)/рР,_2ѵ(2Гар)
si, Jp)+vS0, Лр)
5t,, (P) — vSa, „ (р)
я cosec (nv) р [J_ „ (p) — J_, (p)]
2'*+x^ateapKyt (ap)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
CO
00

№
/и
9.173
(і+У^ + і) + 8	„
?-+і^ + 1	’ Rev<°
9.174
(2а^(^ + Ѵ^+_4аУ
Ѵі’ + 4аЧ	’
С	0	при 0 < t < 1,
9.175
J {(<+У>-1Г + «	1Г
I	y t Vf -1
к	при t> 1
9.176
.( rwi*'-^
1 при t < 1,
t 0 при /> 1,
Re р > Re а > О
F(p)=p §
О
/2Г(— v) pD^V Zip) D„ (/— Up), Rep Sa 0
3	3
f * \T T
к 2 ) p I7, +_L (aP) rv_ J. (aP) —
4	4
— J 1 (ap) Y (ар)]
Г ’+т
РіЛ(а; ?; —p)
382	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	КАРСОНА	[ГЛ. IX

§ 3. Показательные и логарифмические функции
с/73
03
9.177
9.178
9.179
9.180
9.181
9.182
9.183
Г~'е-а\ Rev>0
_ e~bt
t
1
1
_ t
(1 — е аГ~\ Re я > О, Re ѵ > О
tn
	-, Re a > О
1
—Re V > 1
i-e"
1 — е~л
1-е"‘
Г(ѵ)р
(p+a)’ ’
Rep > — Re a
p In (p + ft) — p In (p + a), Re p > — Re a, —Reft
ар В (яр, v)
(— я)л+,рф<л> (яр)
а* Г (v) p С (v, ар)
(P + а) — рф (р)
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФхМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
оз
00
оз

№
fit)
9.184
1 - e~at
t(l +<?-fj
9.185
(a-j-У 1 —e~9-V + (a — V 1—e”f)”V
1 — e~l
p
9.186
te	t Re a > 0
t2
9.187
e 4a
—z=- , Re a > 0
Vt
__p
9.188
Г~'е ,a. Rea>0, Rev>0
a
9.189
e t Re a^O
F(P)=P J е~РУ(і)<и
О
2P^P-^ ^Lp {a> _	’ Q£P (a)
2ap — 2 У тс a 2 p*eaP* erfc (У a p)
Va pVpe~^ K
Г(v)	(2 Vap)
Vар К, (V ap)
384	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

13 в. Днткин, А. Прудников
а
9.190
е 4t
--	, Re а 0
Vt
а
9.191
f-'e *f . Rea>0
9.192
^ty-'e-2^, Rev>0
9.193
exp(— ae-t)
9.194
exp (— ael)t Re a > 0
9.195
(1 —	exp(ae“r), Rev>0
9.196
(1 — e~ty~1 exp(— aef), Rea>0, Rev>0
9.197
пр е ^аР
W'eVD.^ )/у)
ра~рч(р, а)
рарГ(—р, а)
„ „	ѵ4- р а
\ I л /	2^2
_л. р~х
Г(у)ре 2 а 2 W,_p „(а)
	- —V,	~—
2	2
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 385

№
У(Л
9.198
<z" ( - -Ç- tn \
dta e	n \ )
9.199
(1 - e~ r7)
9.290
exp (— bt - 2 y
9201
/ÜZ
9202
ln t
9.203
( 0 при 0 < t < b
\ ln t при t > b
F(p}=p J e-P^iOdt
0
P--
pn+'e 1 D_„_l(p)
( Vp3 + 2 /p ) eXp ( aP ) X
XerfC (/ôp) ~ 7 Va
	P
1
erfc
1
V p -F b
a (/? 4“ b)
. V a (p + b) _
— In (7P)
e’^lnd — Ei(— bp)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАгіЛаСА—kàpcôhà [гл. iX

UJ
9.204
In (1 4- at\ * | arg я | < те
9205
In (t 4- a),	1 arg a | < те
92GG
trt In t
9.207
f~l in tt Re у > 0
9208
(In o*
9209
In + a2)
9210
. ~y/~t 4“ t 4~ 2я .	«

In 		 -— 	, arg a 1 < K
У 2a
9211
~ [ In (£2 4-гі2) — In аг ]
9212
In <1 — Z8)
t
9213
In у 1 + e
f 0	при t < a,
9214
с-
a > 0
In t
7+Г при t>a'
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
—	e a Ei ( — j	W
In a — eap Ei (— ap)
[і+4+т+---+і_ In(v)]
г Mp1-'’[+(*) — Inp]
-g- + lln(7P)l’
2 [In a — ci (ap) cos (ap) — si (ap) sin (яр)]
Le^K.iap)
p[ ci (ap)]‘ 4-p [ si (ap) ]*
p Ei (p) Ei (—p)
—	cos p ci (p) — sin p si (p)
pe*p [Ei2 (— ap) — in a Ei (— 2ap)]
Cas
oo

9.215
9.216
9.217
9.218
О при t < œ,
а > О
In/ — Ina
- t+a ■ при t>a’
In a при t < a,
a>0
In t при t > a,
f i
In — при t < a,
a>0
О при t > a,
2shl
9.219 ф (1) _ in (eaf - 1)
9.220
9.221
ln2/-^
b
[ф (v) — In <], Re V > 0
0
pe^P Ei2 (— ap)
— Ei (— ap) 4- In a
Ei (— ap) — In ap — C
— (o' (p)
(Inp + O2
111 p
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	КАРСОНА	[ГЛ. IX

§ 4. Тригонометрические и гиперболические функции.
Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции
9.222
sin (at)
9.223
cos (at)
9.224
1 sin (at) 1, a>0
9225
1 cos (at) |, a > 0
9226
sin2” (at)
9227
(at)
ар
Р2^
Р2
рг+а2
ар
Р2+а
2 с th
2а
2 Гр + a csch ^1
р2 4-a2 L ‘ 2аJ
	(2п) ! а2п

[р2 4- (2а)2] [р2 4- (4а)2] ... [р2 4~ (2па)2] ’
Re р > 2п I Im а |
(2а) ! а2"
[р2 + (2а)2] [р2 4- (4л)2] ... [а2 4- (2/га)2] А
У I1 , Р2 . Рг[Рг + (2а)г] .
АѴ 1 2!а2^	4! а4
I Р2 (р2 + 4а2) ... [р2 + 4 (па — а)2]
" ' ’	(2л) ! а2"
Rep > 2л I Im а I
§ 4] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 389

№
/(0
9.228
sin2'*4*1 (at)
9229
ws2n+'
9230
f*"1 sin (at), Re V > — 1
9231
Г”1 cos (at), Rev>0
9232
(1 — e”1)*”1 sin (at), Rev> —1
F(p)=p	e ptf(t)dt
0
p(2z?4- 1)] a8n+l

(Рг + а
8)[p84-(3a)2]...]p2-H(2a+ l)a]2}’
Re p > (2л 4~ 1) 1 Im a 1
p8(2»4-l)!a8”
(p2 + a
8)|p24-(3a)8]...|p24-(2«a4-a)2! X
1, , P2 + a2 , (p2 + a2)(p24-^ ,
V‘ 3!a2	1	5 la4	'г,‘’
• •
, (p8 4- a2) [p2 4- (3a)8]... Ip8 4-	- Д>21 I
• +	(In 4- 1 ) ! а2П	1 ’
Rep > (2a -f- 1) 1 lma 1
/гмяГ
— p[
(р4-й)” — (p — /a)"’]
^p[(
p — za)_’,4-(p4-/a)'’]
ÇB(v,
p4-za) — y B(v, p — Za)
390	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.233
(1 — е	1 cos (at), Re V > 0
_ IL
9.234
t >~1e 2a sin (bt), Re a > 0, Re v > — 1
_ Il
9.235
z?v-1e 2a cos (bt), Re a > 0, Rev>0
9.236
4n t sin (at), Re V > — 1
у В (V, P — іа) В (ѵ, р + іа)
V а(р*—Ьа) аЬ .
уГ(ѵ)а2 е 4 je2 PD_4 [^â(p 4-/6)] —
	 _ •
-е~ T‘PD_4[Và(p-ib)]}
(р2 - &«)
г (V) Р (Рг 4- аг)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
СО
СО

№
f(t}
9.237
Г ”1 In t cos (at), Re V > 0
9.238
f-1 sin (У 2a/),	Rev> — y
9.239
Zv-1 cos (У2а/), Re V > 0
9.240
( 0 при 0 < t < b,
1 sin [a Yt2 — b2] при t > b
9.241
sin (ae~l)
00
F(p)=p J e~ptf(f}dt
0
—Г(Ѵ)Р ^cos [varctg(y)] X
(рг + аг)Г
X -J 4» (*) — ln Kps4-as —
— arctg tg Гѵ
2 ’ 2/r. secOtvjp'-’X
— V — — r

2	2 У к cosec (kv)p1 “v X
Xe ip |X_1 ( ]/"y)	Yy)]
abKx {bp)
pa pV (p)[Up(2a, 0) sin a —	(2a, 0) cos a]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.242
cos (ае“1)
9.243
sin [а (1 — е“*)]
9.244
cos [а (1 — е“г)]
9245
sin [аѴ 1 — е~*]
Ѵе‘-1
9246
cos (аѴ 1 — е~^
У е1' — 1
9.247
sin (а Vе1 — 1)	л
/	г , а > 0
У 1 -е~>
9.248
cos (я V е1 — 1) а > о
У\-е-і ’
9.249
sin {at) sin (bt)
9250
cos (at) cos (bt)
ра~рГ (р) [Up (2а, 0) cos а Up+1 (2а, 0) sin а]	<&>
ра~рГ(р)ир+і(2а, 0)
pa~PV(p)Up(2a, 0)
ѴѴрГ^ + 1) (|Унрга), Rep>-1
г"?Рг(p+(4Уjp(a>’ Rep>—4
/л	1^(Л)-Ь_я(а)],
Rep>-1
_р^^)РКр(а}, Rep>-1
Чр+^)
2abp*
ІР2 + (« + *)21 ІР2 + (а — b)*]
р* (рг + я2 +
[p2+(a + *)2]lp2 + (a-è)2j
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 393

9.251
ccs (at) sin (bt)
9.252
sin [(2п + О Л
sin t
9.253
tg^-ccs [(2/2 + 1) t]
9.254
(2at cos at — sin at) sin at
t2
9255
at cos at — sin at
t2
9.256
[sh (aO]v, Re a > 0, Re v >
9.257
[ch (aZ) — l]v, Rea>0, Re
1
F(P)=P J e-P^^dt
0
bp (p2 — a2 4- b2}
[?2 + («+b>2l ІР2 + (« — *)2J
y
Рг + 4/И2
m — i
(2л4- П P 4- 2л” У (~ 1)m (2от + П
(2 + )p2 + (2«4-l)2 + 2p 2- /? + (2/n + l)2
m — о
p2. f, , 4a2 \
pz arctg —— ap
2-v"-B^-y. *+l), Re/>>Reva
2-|B	2. + i)
394	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА— КАРСОНА	[ГЛ. IX

( 0 при 0 < t < 1,
9.258
— sh (at) при t > 1
t 0 при 0 < t < 1,
9.259
< 9
4 y- ch (at) при t > 1
9260
sh (at), Re * > — 1
9.261
ch (at), Re V > 0
9.262
Zv-1 csch t, Re * > 1
9.263
‘ Г-1 cth t,	Re * > 1
9264
f-Mcth/ — 1), Re V >
9.265
e-oshl, Rea>0
9.266
e-ach,> Re a > 0
— p Ei {a — p) + p Ei (— a — p)
— Ei (a — p) — p Ei (— a — p)
~^P Kp ~~ a) ~v — (p + a) ~ 4
P ICp — a)”v + (p + a)~4
2*-ѵГ(ѵ)Х (».	Rep> —1
ГО)р[2,-ч(>, £)-±]
У’ГМ/^», 7 + 1)
np cosec (np) [JA; (a) — J p (a)]
K
p cosec (np) ea cos 9 cos (py) dy — nip (a)
§ 4] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
fit)
9.267
In ch t
9268
In (sh t) — In t
9269
sh 2 У at
9270
ch 2 У at
9.271
sh {Y'lat}, Rev> — -i-
9.272
r-’ch/^ô?, Rev>0
396	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.273
sh [g V 1 — g f]
y et- 1
9.274
ch [g(/l — e~f)]
У ёг^Т
9275
th y У e2t - 1
9276
( arcsin^ при0<£<1,
I 0	при t > J
9277
arccts (4)
9.278
arcig^)
cos |~V arccos ( 1	J
9.279
y t(t 4- W-i-2)
9280
cos fv arccos e-t]
У 1 —e~2'
9281
Arsh t
У крГ (р + 4)	(а)
р2~^(р-1)
-J[/0(p)-L0(/>)^
-^- + ci (ар) sin (ар) + si (ар) cos (ар)
— ci (ар) sin (ар) — si (ар) cos (ар)
V^pePD 1 WTpjD ДѴ^р)
V		— V

2	2


В (c+j+1, (^1+2)
y|H#(p)-r,(p)l
<Z7>
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

№
/(0
1	0 при 0 < t < а,
9.282
Arch	при t > а
9283
Arch ( 1 "Ь » 1 arS а 1 <
9.284
t Arsh t
9285
sh [(2/z 4" 1) Arsh t]
9286
ch (v Arsh t)
9287
sh (v Arsh t)
exp (— v Arsh Л
9288
/l+f2
sh (v Arsh t)
9289
/1 + *2
9290
ch (y Arsh t)
F(p)=p J
О
к„ (ар)
eapKQ (ар)
Н0(р)-У0(р)	Н,(Р)-Л(Р) ,
к	2р	+ к	2	1
рОіп+у(р)
si,, (P)
>5.,, (р)
it cosec (да) p [J, (p) — J* (/>)]
'pS-i^P)
P$o,~,(p}
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

ch
Ÿ t* 4- at
I arg a I < тс
sfï at
О
при CL < t < p,
в остальных случаях
ch at
О
при a < t < p,
в остальных случаях
sh2 at
О
ПрИ CL < t <
в остальных случаях
ch2 at
О
при a < t < p,
в остальных случаях
9291
9292
9293
9294
9295
9296
, Ï arg a I
peap/C„(ap)
, > (ap)K ! (ар)
У 2л »+Г
р2 L а2^е~ар ch аа +Р sh аа) —
—	е~$р (a ch $а -\-р sh ?а)]
——- \е~*р (p ch аа + a sh аа) —
р2 — а2
—	е~$р (p ch $а -|- a sh ?а)]
рГ_ [p sh2 аа + у- + a sh 2аа] -
	г6 I г [ P sh2 ?а + — 4- a sh 2?а1
p2 — 4а2	P	J
pe~*p Г «2	2а2 . i,o I
-4-	—9 p ch2 aa	Hash 2aa —
p2 — 4a2	p '	J
	26 ' л t [ P ch*	”■ ~ + a sh 2?a"|
pz — 4a2	p 1	• J
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 5. Цилиндрические функции
№
F(p)=p J e-Ptf^di
0
9.297
(at), Re V > — 1
	a''p

Yp‘+a‘(p + Vp2+a^
9.298
tnJn(at)
1.3-5-.-(2n- l)an-p (р’4-аг)_П-Т
9.299
CJ., (at), Re V > — ÿ
ÿTrV+T()a’ptpS + a2)
9.300
f+lJ4(at), Re>> —1
ov+l /	ox	_ y __L
^=r v+4)aV(p’ + a’)
V к	\	2 J
9.301
(at), Re (h 4- V) > — 1
—	1	/	n	\
Г(u, -I-v-4- 1Hz?2-1- a2}	2 d*P i 	—	 I
-t-a)	Р^\ург+аі)
9.302
J, (at) (bt), Re » > —
P Q	( рг + аг + Ь* \
9.303
(2 Vât), Re * > - 2
W^-4'^-'^]
400	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.304
Г2 J, (2/ü7), Rev> —1
9.305
t ~ ~ ’ J„(2 Vat), Re » >0
9.306
—+«	г —
t * J, (2 И л/), Re * 4“ п > “ 1
9.307
р—-	г—	1
Г * JIv(2/aO, Re(n + *)> -£
9.308
(ЭѴаі), Re (|14- ѵ) > 0
9.309
л(0л,(2 /07), Rev>-1
9.310
J, (а /Г) J, (Ь /Г), Rev>-1
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
о

№
/(0
9.311
^-V2|t (2
Re (* + н 4- >) > 0
9.312
Re (|x ± y) > - 1
9.313
-^YJzYiï)' |Re»|<l
V t	1
F(p)=p e~ptf(t}dt
0
Г(2|х+ 1) Г(2ѵ-Ь 1) /+н+’->
ХЛ(н + * 4--g-. і* + ѵ4-і> ь + ^ + ѵ;
2н + 1, 2ѵ4-і, 2|л + 2> + 1; -yj
— ц~^~1 г
р(р’ + а’)	* r(|i + v4-l)ctg(w)X
X р-’( р — ) —
и \ У Рг + аг)
- Г (ц - у + 1) cosec (ку) Р; (
— Y tip е tp j^tg (w) /,	+
+ 1sec (ку) Кч (J)]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.314
|Rev|<l
9.315
|Rev|<l
9.316
* H<$(2VTt}, Re (>i * V) > - 7
9.317
_ 1	,
t и 2	(2 V^t), Re (Rit V) > - -7
9.3Г8
9.319
i cosec (itv) p le-,TOa, {p + ypz + агг*
Ѵр‘ + аг

— «-v (P + VP* + aTJ
i cosec (kv) -p _		\v
~i7zT^i ta (р + Ѵл^-г a-r-
V pi + a?
-е^аЧрЛ-ѴрЧ^Г"]
-^Г(ѵ+1)Г>	х(ре' *)D	,(ре~‘*)
V л
2/>4(УЗДК,(КЗД
§ 5]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	403

№
/(0
9.320
0 при 0 < t < b,
J (a VF -Ьг)	...
—	—	 при t > b,
V t2 - b2
Re V > — 1
9.321
( 0 при 0 < t < b,
\	2

l (f2—fc2) 2 (a Vt2 — b2) при t > b,
Re > > - 1
9.322
{F + bt)2 J, la Vf -j- bt],
Rev> — 1, 1 arg & 1 <it
V	y
9.323
t d + b) ‘ J,(aVF + bt),
Rev> — 1, 1 arg b | < л
00
F(p}=p J e-P^^dt
0
^г=І,+)7Ггі-,4І'-’^и
V/>2 + «2
404	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.324
’u+l) !А(аУ«Ч«)>
Re V > 0
9.325
(e‘ — If	(2a Vel — 1),
a > 0, Re (|x -f v) > — 1
9.326
(2a sh 0, Re V > — 1, a > 0
9.327
csch(i)J„(acsch£), a>0
9.328
( t \	fa -bef\ . //a&\
'““Ы
Re a >0, Re b > 0
В (|1 -|- V 4- 1, /? — |1 — v)
1 (2v 4“ 1 )
ХЛ^ + ’+І; H + v + 1 — P'< 2v-f- 1; a2) +
! pa2f ~2ИГ(nH-v — p) v
Ï- i'(v_h+?+ 1) A
x л (p +1; p +1 + * — h. p +1 — н — »; «2).
рг№+4
		i< IT
аГ (V 4-1)
2рГ (р + ѵ + т4
		L	— e
У ab i'(2v + 1)
c0o
7
Rep>Ren —-4
ReP>- T
v (tz) Л4 p V (#)>
2	2*2
Re p > — Re v — 1
a 4- b
~К_р1'(Ь)Мр1Ла).
Re p > — Re v — у
цилиндрические функции	405

9.329
9.330
!«?’(!)
9.331
9.332
ZM (at), Re V > — 1
9.333
Rev>-1
Vt	2
9.334
ГІ, (at), Re V > — ÿ
9.335
Re,>0
9.336
f'+1l„(at), Re V > — 1
9.337
F Д, (at), Re (ji + v) > — 1
F(P)=P J e~ptf(t)dt
0
‘IpYSV^P)^ (Г2р)
2P H^VTp) KAVîiï
2pH^(VTp)KAV2p)
a'-.—
(р + Ѵр2-а2Г Ѵрг-а*
y -~pQ i(p)
y K V

2
2”«’ Г ( . 1 \ , г гГ’"
г v + v p-(p -аг)
У it	\	z /
£	P

2
* (p-b//’2-^)’
°V+’ d' r (	( 3 \ 2/ 2	2 ~
—— 1 v + V И (p a >
У it	\	z J
V	-
2
_ p -1-1
Hh-H + DW2-«2)	2
\ У p — л2 t
406	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.338
f 2 1 , 1 (at), Re (h + v) > — 1
’+т
9.339
9.340
1
и ” Т	/~	1
t ‘ I2y(2lPat), Re(n + v)>-±
9.341
/2(/2Ô7), Rev> —1
9.342
4, (/2«î) Д (V2bi), Re V > - 1
9.343
K4(at), |Rev|<l
A sin (Д7)	Р р\
ait sin [г. (ц -f- -/)] (у _ Я2^ ѵ, а J
§ 5]	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТС	р
— cosec (тсѵ) - ■ • т X
2	V рг - аг
Х й*
О

№
f(t)
1
U —

9.344
t *K , (at),
’+т
Re (h + v) > — 1, Re (и — v) >0
9.345
FK„(at), Re(!i2=v)> —1
9.346
^exp(-i)K’(aW)! Re(l)>°
9.347
Rev>-1
00
F{P)=P J e~ptf(t)dt
0
(Re p > — Re a)
sin (it|x) Г(|і — v-|- 1)	p

8ІП [Л (|X + >)] (y pi _	+1 x
X Q» f	(Re p > — Re a)
\ T P2 —a2;
р^(]/% (р + Ур2-^)} X
XK,( /	a-	 )
\ y p + V p* — a2)
(Re /? > — Re a À)
408	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА

9.348
Z 2К2'(2Уаі), Re(|x±:>)>-1
9.349
Г Кг.. (УТ) /2,(УТ). Re V > -1
9.350
/2ѵ	< t2 \ 1
£2Vexp -Q- UJq- ,
\ 8а J \Sa J
Rea^O, Rev>	1-
4
9.351
1	(	a-\-b\ т (a — b\
t eX₽	2t )	\ 2t ) '
Re a Re b > 0
(	0	при	0 < t '< b,
9.352
1 (t-b)‘(t + b) 4„(aVt2-b2)
\	при t > bt
Re V > — 1
—	ар2
а2гп +** e~w
2ir V (Ivpp'е
.Jap2)
2р У (V ар + VЬр) Ц (У ар -VЬр)
у	— b Ѵр2 — и 2	1
а ре	----	.,	. ..	,
1 рг — а‘ (р + У рг — а2)
Re р > I Re а |
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
нРХ
О
СО

№
9.353
(t* + btÿ ц(аѴ? + Ы),
9.354
Re y > — 1, 1 arg b | < л
7TZX(^). Re->0
9.355
1	fa -|-	f a — b\
2f)K\2t )’
9.356
Re a > Re b > 0
-|/C0[2ash(4J], Re a > 0
9.357
sin (2itv) K2v ^2ash	a > °
9.358
csch	^acsch ^-|-^,Rea>0


о
F(p) = p J
О
2 V кр К2. (2 У 2 ар)
2р ( VV+ У АГ. (/Vbp)
дУ„ (a)	dJn (a)
Pjpw^--PYP w-fy-
pJ~,-.p (a)Y_,i_p(a)—p J_,_p (a) Y„_p (a)
f г(/> + - + у)г(р-. + т)х
X W..Pt v (la) W_Ft, (— ta), Re (p ± v) > — 1

9.359
/ Z \ еХР Г ! Х
^■■(4і)Ѵе“>о'к“>о
9.360
ber t
9.361
Ьеі/
9.362
ber (2 Vt )
9.363
bei (2 VT)
9.364
Ho (at)
9.365
Н_„_±(аП
2
^г(.» + > + 4)г(л-- + 1)х
_ д	J
Хе 2 W_p^(a}W_p^(b), Re(p^r>)> - у
Р [2 (^+1) 2 +‘Цр1 + 1)] ’
/’[т(р4+1) 2 ~2(/? + 1)] ’
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
, 2р — In
тс Ур2 -|- а2
Rep > I Im а |
(-1)" дп+тг^ + іЛ/>2^а2)	-, Rep > limai

№
f(t}
9.366
ГЦ (at), Re V > — у
9.367
^ГЦ(У'Г), Rev>- -1
9.368
Аь_ЛГГ)
9.369
^>-4
00
F(p)=p J e~pif(t)dt
(2arr(v+l) p
У^(р‘-а2)+т
Г(2ѵ+Пдѵ ^2	p-’-V
Уіг p 2 (a2 —рг) 2 *	2
Re p > I Re a |
2->-’everf -A=
\2Vp
2— A(2f + 4)S _>У)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА—КАРСОНА	[ГЛ. IX

§ 6. Гамма-функция и родственные ей функции.
Интегральные функции. Вырожденные гипергеометрические функции
9.370
9.371
9.372
9.373
9.374
9.375
9.373
9.377
9.378
9.379
9.380
9.381
Г (v, at), Re V > -ь- 1
еаі Г (v, at), Re * > — 1
Р~1еТГ (v, ~) , Re (v — |arg a|<it
ebt t (v, at), Re V > — 1
r f t \	,	, те
ег/С^Г larg a 1 < T
erfc (V"at)
erfc j/ , Re a > 0
Si(Z)
si(0
Ci(0 = — ci(0
cos t Si (0 — sin t Ci (t)
sin t Si (0 + cos t Ci (t)
Re jo > — Re a
- i—__
22+(l"2’ г (1 + и _ y) a2 P 2 Sïï_(i_ij p(2 Yap)
a'vWj4zb(P + a-b>l ’
1 — ea2p2 erfc {ap)
Re p > — Re a
arcctg p
— arctgp
y In (P* 4-1)
. Inp
p' +1
p2 In p
§ 6] ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ 413

№
/(fl
9.382
li (e*)
9.383
9.384
ln a — Ei (a0» Re я > 0
9.385
In a — Ei ( — aZ), Re a > 0
9.386
sh i (at)
9.387
Jio (afl + ln a
9.388
flo (afl H- ln a H- ‘’ ~2
9.389
Ji„ (fl, Re y > 0
9.390
A (2 /Г)
p
9.391
Fe* £>_И(А, Rev> —1
9.392
exp (-£) [D-* (_4)-d-s/4)]
V 1 t
9.393
t 2 e* ОД/Г), Rev<l
со
F(p)=p J e-P‘f(t)dt
0
-ln(/>- 1)
-ln(/7-H)
ln(p —a)
ln(p + a)
V'n^
2 p — a
1п(р4-Ур24-а!)
ln(p + /^P)
|(Грг+1-р)’-у * I
a2P* Г ( V, —
У~2п	e 2	‘
I (V)
/V(l+/2p)’
414	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.394
■^2П+1 (V 2t)
9.395
Di4 (— 2 /57) - d2v (2 /57)
9.396
t_
e-' el D^_y(VT\
Re V > 0, Re (v — |i) > — 1
9.397
, Rea>0
9.398
e*	f a \\/
exp!	_ X
■>+—	\	1 — e 4
(e'-l)	2
XZ>2|t (, Re a > 0
\V 1 — e 1 J
(_2)"г(п+4) Гр
Кер>-±-
’>+- *

2	2 тс У ар(р —	2
Г(— V) (р + af+1
Ул2тс Г (2v)p(2p)
2 *Ѵ*р‘е
СТ>
Re р > I Re а I
2 (2р-і) ’
■ \
Ѵ'ір)
Vар
е-а 2Р+Р- р г ( р 4- и) D-гр (2 Va \ Rep > — Re н
ГАММА-ФУНКЦиЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ

№
/(0
р. - —	1
9.399
t г -Мл, v (.at), Re и > —
9.400
t"-1 Mk, и (at), Re(n + v)>--^-
9.401
^еХр(-^)іГА>(1(|), Rea>0
	.—			—
F(p)=p \ e'P‘f(t)dt
Re p>4-|Rea|
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА—КАРСОНА
	 k ——

2Ѵар гКг^2Ѵар]

. Диткин, А. Прудников
9.402 у (0
9.403
ѵ(П
(1 - e-t)
9.404
ѵ(2УГ)
vt
9.405
V (1 — e~l)
9.406
4 (e "5
9.407
90(v,<),
9.408
9.409
82 (ü, t), 0 ==S V ==; 1
9.410
»3
§ 7. Разные функции
1
In р
P J С (и 4-1, p}du,
о
2 У др V ( у
рГ(р) ѵ(1,р)
00
С р du

J (/>4-и)1'(и 4-1)
о
Y P ch 2v Y P
shYp
Yp sh2vYp
ch Y P
Ур sh (2u —\}Yp
~ ch Ур
Ур ch (2fr — 1) Ур
sh Y P
CZZ
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ

№
f(t)
9.411
9.412
$2 (v, t), 0 V 1
9.413
&3 (v, *),	0 < V 1
1 |\ (v — и t \	«!V-\-ii M.l
9.414
2a L ‘І 2 ’ aj ЦгН ) \
a
9.415
* 1
J5*5
to| И
1
A
и
A
9.416
1 d Q ( X t \	л .	. n
— -S- hr > “2 » о < X < 2a
a dx 2 \ 2a a2 J
9.417
ldQ/x	. n
— -r- JT- , -5 ,	0 < X < 2a
a dx 8 \2a a2J
F(p)—P J e~ptf(t)di
0
У p-sh2v}^p
sh У p
Уp ch (2v — \)Ур
сИУУ K
Ур sh (2v — 1) Уp
sh Уp
1Z"—sh (a — zz) Ур sh ü Уp
sh аУp
роЬхУр
ch V p
pth(a- X) Ур
ch a У p
pshjg — х)У p
sh a У р
418	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	КАРСОНА	[ГЛ. IX

9.418
P~l F(2a, 2b; f, - W). Re т > 0, | arg к | < к
9.419
(1 —e~t'f'F(— п, [t -|- b -f- п; Ь; е~1)
Re н> - 1
(1 4-20
9.420
. Rei»<l
[Л14-0]2
9.421
И
(І + т)8 Р’(1+2<)’ Re|i<1
9.422
p»; ( ѴГ+7)
. Re|i<l
é Ÿï+~t
1 __1^
9.423
VГP* (КПр5) Pv 4 (/14- z2)
.. t
CL “f~b —' — p
pB(p, н + я + l)B(p,ft4-n — p)
B(p,ft — p)
ег W (p)
h. ’+ —
ij-L Z
*P*	* e^W^_L L ,(p)
Z 4 ’ S 4
t /ІРРИР)
2	2
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ	419

№
/(0
9.424
Р2п (cos t)
9.425
^zn + l (COS t)
9.426
Pznicht)
9.427
Ргп + l (ch 0
9.428
He2n+1(/F)
00
F(p)=p J e~P‘f(t)dt
0
(p*+lW + 3*)...[p2 + (2n-l)*]
(P2 + 22)(p2 + 42)...[p2 + (2n)2]
p2 (p2 + 22) (p2 + 4’)... (p2 + (2/z)2]
(p2 + l2)(p2 + 32)...[p2+(2« + l)2]
(p2 - l2)(p2 - 32).. .[p2 - (2л - l)2]
(p2-22)(p2-42)...[p2-(2n)2]
p2 ( p2 — 22) ( p2 — 42)... [ p2 — (2л)2І
(p2 - W - 32)... [p2 - (2n + 1И
420	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	КАРСОНА	[ГЛ. IX

14* в. Диткин, А. Прудников
9.429
о	1	0, если п — четное,
Re а > <
( — 1, если п — нечетное
9.430
^(0
9.431
Re₽>-1
9.432
Re а > - 1
9.433
'■“■'М’ 2' ' 2'|’1+2:'"'У
Re (v г— à) > 0
9.434
^-1S2 (v_ ’	’ 1+ ' 1;A
\	Zi	Zi	1
Re (X ±z v) < 0
2-21-1
у п\ Г {а 4- п — 2т)
т\ (п — 2т)\
Р‘
П
—, если п четное,
п — 1
—2—» если п нечетное
т — 1 ( р — 1)п~т
т
рп-т
С^5
п\ pb+n 2J
п, а —Ь\ — b— п\
р—1
п\	(n—k^+n+i»
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ

ГЛАВА X
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
§ 1. Основные формулы
№
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
fit)
с + І 00
Дт Ç F(s}t~sds
2та J
C — I 00
/ (at), a > 0
taj{t)
'(t)
tbf{at\ a > 0, *>0
tbf {at a > 0. Л > 0
F(s) =
f- is)
Fis}
F is 4“ a)
F {—s}
422	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА

14**
10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
tZZ>
r J
O
J ^»(т)Л(т)Л
0
( — l)nsnF(s)
+<z) Fi(l — s — a + ÿ)
Л(*+аИИ* + а + ?4-1)
§ 2. Разные функции
(1 +at)-n~\ |arga| <k
J f* при 0 < t < 1,
( 0 при t > 1
(1 4-2^ coscp + *2)”v> — ^<ç< л
( — 1)" c°sec (tis)	0<Res<n-f-l
—J— , Re s > — Re v
$4“v
2* " V(sin T)’ "“r (ÿ + y) B (s, 2v - s) X
XP^ -ï , (cosep), 0<Res<Re2v
J—V

2
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
Cû

№
/(0
10.14
(1 +0’(l	1 arg a | < тс
10.15
e~at, RQa>0
10.16
( е~& при 0<Z<a,
1	0 при t > a
10.17
e~at
tt.h< Rea>°> |arg&|<it
И T
10.18
^+1 ’ Rea>°
10.19
, Re a > 0
eat— 1
10.20
Rea>0
10.21
expj -aVT+t} , Rea>()
00
F(s) = J ts-lf(t)dt
0
B (s, — }i — y — s) 2f\ ( — |i, s; — и — v; 1 — a),
0 < Re s < — Re (|i 4- v)
Г (s) &5"1 eabV (1 — s, ab}
a-jr(s)(l	Re s >0
д-'ГСуКСу), Res> 1
s
	s
г (s)/g (a)
	5*
2
424	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА

10«22
( r\nt при 0 < t < 1,
1	0 при t > 1
10.23
Rea>0
10.24
( (1 — Z)v“1 (Inг")2 при 0<£<l,
(	0	при £> 1, Re v>0
10.25
(In О"	л
{a2 -j- ‘lat cos cp 4-12) ’ a^> ’
10.26
(In t)n
10.27
(a 4- ^)“v In (a 4- /), 1 arg a | < к
10.28
sin (a/), a > 0
10.29
e~bt sin (at)t Re b > | Im a |
10.30
e 2	sin (^), Re a > 0
"(яЬ5’ Re*>-Re*	2
д-5-vp	де	_ ]n ajt Re s > — Re v
B (s, v) {[<[> (s) — <[>(* + v)]2 + У (s) — <[»'(s + v)[
dn
—	к CQs cp [a5 2 cosec (7ls) sin (s — 1) cp],
0 < Re s < 2
£l>), Res>0
a5“v B (s, V — s) [<p (v) — <[> (v — s) + In a],
0 < Re <y < Re v
a“jr(s)sin (y s),	— 1 <Res< 1
(a24-6*) 2 T(s) sin parctg • Res> — 1
.	b2 —	f&
—	— F(s)a 2 e ia Je 2«T D - f — fT\ —
2	I "4 V~a )
itn , . .
-eiaD ,/LtïïM
I V~a )]’
Re e > — 1
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ	425

№
f(t}
00
F(s} = J ts“1f(t)dt
0
10.31
In t sin (at). a > 0
10.32
sin2 (at), a > 0
10.33
sin (t—y)]’ я > 0, 6>0
10.34
sin |px + -y , a > 0, &>0
10.35
( (1 —	cos (at) при 0<^<l,
1	0	при t > 1, Re v>0
10.36
cos (bt), Re a > | Im b |
a sr (s) sin (y) p (s) — In a + y ctg •
- 1 < Re s < 1
-2-J-1a-'rr(s)cos (y s), — 2<Res<0
2bsKs (2ab) sin y s), I Re s | < 1
nbs (2ab) cos ^y s) — Ys (2ab) sin ^y s) ] ,
IRes |< 1
ÿ B (s, v) [,F, (s; s + »; îa) — ,Ft (s; s + *; — /a)],
Re s > 0
(a2 4- b2) 2 Г (s) cos parctg^y^j, Res>0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА

afa
- — ~bt
10.37
e 2	cos (Y^), Re a > 0
10.38
In t cos (a/), a > 0
10.39
cos [a + у )] , a > 0, ft > 0
10.40
cos [tz	a > 0, ft > 0
10.41
sin (at) sin (bt), a>0, ft>0, a b
10.42
sin (at) cos (bt)t a > 0, ft > 0
10.43
sch (at), Re a > 0
Res> О
РАЗНЫЕ ФУНКЦИЙ
a *Г (s) cos j (5) — In a — tg Ç y s j j ,
O < Re s < 1
— Ttbs ps(2a&)sin s) 4-^s (2ab)cos ^y ,
-	1 < Re s < 1
2bsKs (2ab) cos Ç -£■ s) , — 1 < Re < 1
^'C0S(.T'f) [|fr — ai-*-(*+ <*)"*],
-	2 < Re 5 < 1
Цу sin ( y s) «a + b)~s + sign (a — b) I a — b Г*],
-	1 <Res< 1
Res>0
\	2 J
to

№
/«)
10.44
csch (at), Re a > 0
10.45
e~lsch t
10.46
e~lcsch t
10.47
sh (at) csch (bf), Re b > | Re a |
10.48
H^+D + lnï
10.49
ф(1+<)_1П(1+0
10.50
f (t 4-1)
10.51
erfcï
10.52
Ei(-1)
оо
F(s)== J ts~xf(t)dt
0
a”5 2(1	2” *) Г (s) £ (s), Re s > 1
(1Res>0
2,-5Г($)Г($), Res>l
Re ^ > — 1
тс cosec (tcs) C (2 — s), 0 < Re s < 1
— тс cosec (tcs)-^ (1 — s)-|-y J*, 0 < Re s < 1
тс (1 — s) cosec (tcs) Ç (2 — s), 0 < Re s < 2
428	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
—, Re s > 0
S

10.53
sî(o
10.54
si (0
10.55
Ci(n
10.56
J, (af\, a > 0
10.57
(af), a > 0
10.58
a>0
10.59
a>0
—	1 < Re s < О
—	1 < Re s < О
0<Res< 1
—	Re » < Re s < y
2s~'a~s r( s . y \ rf s V \ fit J
——Ч2+т)Чт-т)СО8І2(5-’')]’
[Rev|<Res <-|-
<1-І)2-'Г(|+Г)
“‘г(т_т+1)
Q
I Re VI < Re j < 4
&
Q
|Rev|<Res<~2
РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ	429

№
fit)
10.60
(at), Re a > 0
10.61
Kia(t)
10.62
e-atK,(bt), Re (a + b) >0
10.63
./„(bfiY^af), a>b>0
00
f(s)== J ts~'f(t)dt
0
a-s2s-zV(±._-	\ Res>|Re>|
V к у? (^ + у) г — v)^
2W+T^ + ÿ^
хл(!±г±1, ф;»+4;
Re $ > I Re VI
430	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
sin -î-(v — |i4-s — 1) r t	,
2,_M'(v-}-1) av+'s r [-g- (« + H + *) j X
xrC“z=T±_v)><
X^(S-±J±2!,^±2;1+v;g),
Re ( — у ±z pi) < Re $ < 2

00
10.64
У^(аі)Гч(Ы), a>b>Ü
10.65
(at) Кч (at), 1 arg a | <
10.66
Ky. (at) /и (bt), Rea>Reb
10.67
Ц(аі}^(аі), Rea>0
10.68
Щ (at), a > 0
j (at) J, (bt) + Д, sin [y (1 - г +11 + v)J X
X Kp (at) Кч (bt) I dt, I Re (|1 ± V) I <-Re s < 2
РАЗНЫЕ ФУНКЦИЙ
г(£±^)в(і-,,£^Н)
2г-Ѵг(ѵ~Ц~,У4-1)
Re ( — y ±t: |i) < Re 5 < 1
of-ІГ ( * + VA
—/Д/ <tg [y (*+*)].
eqïl—£ + lj L* 2 J
— 1 — Re »< Re s < min f-|-, 1— Rev^

11.2
11.3
11.3a
ГЛАВА XI
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
§ 1. Преобразование Ханкеля
1.1. Основные формулы
ОО
F (и; v)= f(t)J4(ut)Yutdt, н>0
о
00
J F (и)	(ut) Y ut du,
о
f(at), a>0
tmf(t), m = 0, 1, 2, . . .
t-ïf(t), Rev4-l>Re|i>0
F (u)
— F f—,
a \ a )
	yf d \m v

ui lK 2
2‘-^Г(1і)]-ІиТ“'’х
X Jf~P"r’T(u2-V),t-,F(Ç, >-!»)«
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[гл. Xî

11.4
T/(o
11.5
Re V —-|-> Re h > 0
11.6
2 »/' (0
11.7
—	f d \m v-4-w——
(i Ш 1'	2^)b
m = 0, 1, 2, . . .
11.8
—- -|-v/ d \m m —  —
• ■ (ra) "	‘ «'»•
m = 0, 1, 2
11.9
j	v t	,_i_
f2 ’Js7 и 2 (і2-?у-Ѵ(5)<Й,
0
Re»+y >Re|i>0
uF(u\ y—1)+^(и; *4-1)
v+-L
rW’a 2X
X J H	> + fi)Æ
a
( *—4) к/г(“: *+i)_ ( *^"4)uF(u’ v~
um F(u\ v-|-m)
( — u)mF(u\ v — m)
2^1^) u^F(a; v-|i)
§ 1]	преобразование ХАНКЕЛЯ

№
00
F(u; v)= J f{t)J4(ut)Vûidt, u>0
O
2-4-v °? JL-n-v
11.10
t* p2
t
Re V + 1 > Re h > 0
.	---
11.11
2>T(XH 2 X
X J s 7~l-|l+’('2-ÎT-1 /(5)dt,
0
Re>>0, Re|x> 0, Re v> Re (> + |i) —
11.12
—+ ■»
2кган2 X
X $ ЕТ“Х_|‘_,'(Е2-^-*/(В)Л,
1
Re X > 0, Re pi > 0, Re V > 1 Re (к — |i) 1 — 1
2^-1Г(|і) иF(u; y + n)
2T(;i)B 2 X
X Ç e’2"’x-‘‘+\«2-£2)x"1 /=ЧВ; »-і-іИ
— H-Vp — — ). — и —V
2^(1!)U2 J B2	(B*-nŸ"’X
U
X^is; »-Н+н)Л
434	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
X

11.13
1 при 0 < t < 1,
О при t > 1,
Re V >
2
2
11.14
О при О < t < 1,
1 при t >1
11.15
t2 при О < t < 1,
О при t >1
11.16
11.17
1.2« Разные функции
[ ѵЦ- —
' t 2 при О < t < 1,
( О при t > 1,
Re V > — 1
-Rev-|-<Re|x<—-J

№
/(*)
11.18
t 2 (t2-t-a2r',
Re a > 0, — 1 < Re V
1
11.19
t	2
Re a > 0, — -j < Re »
1 1
	 	 >	 	 V

11.20
t	2 (*2 + a2)	2 ,
Re a > 0, Re V >
« 1 1
M-|	 — V

11.21
t 2 (t2-\-a2)	2 ,
Re a > 0, Re V >
„4-1.	—
11.22
t 2 (t2 4-a2)	2 ,
Re a > 0, Re * >
00	О
F(u\ v)= f(t) J„(ut)Vui dt, u>0
a’«~ K„ (au)
3
2
я
2 sec(Ttv)'/'	g
£
2
w
о
>
2-а~2^+'> Г(; + Ѵ	"
1
2
1 (2v + 1)	2 J \ 2 J	g
Я
m
я
i	i
K~/~~
2
2’e««r(>+±)
u+'2'n~	-
- 1
2*+,aeeBr('v4--^	?
\	2/	S

11.23
t 2 (^ + а2)-1*-’.
Re a > 0, — 1 < Re v < 2Re H + y
t	1	1
1 V	 N

11.24
<[ t 2 (a2 —t2)	2 при 0 < t < a,
(	0	при t > a,
Re»>-y
1	0	при 0 < t < a,
11.25
\ t	2 (Z2 — a2)	2 при t > a,
|Re»|<y
(	v+—	— V- —
11.26
г t 2 (a2 — tz)	при 0 < t < a,
(	0	при t > a,
1 Re»l < 4-
(	0	при 0 < t < a,
J	ï	1
11.27
( t	2 (tz — a2)	2 при t > a.
IRe»|<y
О*“Ѵ-ц 2
2^Г(|14-1)
— — < 1
2-^к
2-.Jr(. + ±)a-J 'p.(f)]'
2
у ) и 2 sin (au)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
— — ( 1	\ — V -
2“vu 2 Г( — 4-ѵ jit	2 cos(au)

00
F(u\ v)= J f (t)J4(ut)Y~üt dt, и>0
о
11.28
< t2	(а2 — t2)^ при 0 < t < at
(	0	при t > а,
Re |i > — 1
г 0	при 0 < t < а,
11.29
( t2	(t2 — a2Ÿ при t > а,
Re и > — 1, Re (v - 2 p.) > -i-
Z
11.30
< t 2 (a2 — t2)^ при 0 < t < a,
(	0	при t > a,
Re v> — 1, Reji> — 1
__ 1		i_	i
11.31
t 2(t2 + a2) 2[(t2 + a2)2
Re a > 0, Re y > - 1, Re h < -|
i'i	1
— p.	 	 —
11.32
t 2 (І2 4- a2) 2 [(*2 4- «’)2 4- af,
Re a > 0, Re (v — [i) > — 1
2»’^-^Ч+ц,и ѵ+1(ап)
	U.

ЭТ^+Оа’+н-Ъ 2Л_р_,(аа)
	 U

2Т (и 4-1) и 2 а^+,4+іи-і(*«)
а У иГ(»4-1)
(1 V (ÆJX) ЛА |х у (ни)
2*2	*" ’ ~2~
438	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

11.33	t
11.34	t
11.35	t
11.36	t
11.37	t
11.38	t
+ 2 (#*4-4a‘) ’ 2,
larga| <-î-, Rev>-|
+t (t* + 4a*)~ V~~,
Iarga|<^-, Re»> —
* e~at, Rev> — m — 2
4-2-
2	Rea>0, Rev> —1
2 e~at, Re a > 0, Re v > —
~~e~at, a > 0, Re (|i + v) > 0
— —4“ V
TC 2 M 2 Л-l (aU) (ДЦ)
2з»-іаг»-гг(
v 	1_
и 2 t. 2 J {au) K/au}
|(a2+ »2)7 [(a2 + u2)7-a]’}
2,+ІГ »+y) а«’+т(а2 + в2Г’“
2V f 1 X V -4——	— V ——
7Tr( *+2jw	2(«2 + «2)
a2(a24-u2) 2 rCii + vJp-JJaCa’ + H2) 2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
CO
CO

Ks
/(0
11.39
t 2 e~at\ Rea>0, Rev> —1
11.40
.	, t	p
2«4~vH—

t	2 e 4 , ReV> — 1 — 2n
s	a
11.41
t 2 e 1, Re a > 0
11.42
J t + 2 ea (1"f2) при 0 < t < 1,
(	0	при t > 1,
Rev>-y
1 1
11.43
t 2 exp [ — a (t2 4- à2)2 ],
Re a > 0, Re b > 0, Re v >
F(u; v)= J f(t]J4(ut)Vûidt, k>0
22л+»+ія!в г е~и*Гп(иЬ
2u~J, [(2 au)~] K, [(2 au)~]
»+—
(2ia)~',~'u	2 [t/4+, (2ia, u) — iU„+t (2ia, и)]
XK	,[*(и2 + а2)2]
*+т
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. ХГ

11.44
*+—	__L	_L
t 2 (b2 -|-t2) 2 exp [la (b2 4-t2)2 ],
a > 0, Re b > 0, — 1 < Re v < -1
11.45
v+-L	_ _L	_L
t 2 (b2 4- t2) 2 exp [ - a (b2 4-12)2 ],
Re a > 0, Re b > 0, Re v > — 1
11.46
F In t, —Rev —< Re pi < 0
Преобразование ханкеля

00
F (и; v)= J	ut dt, a>0
0
11.47
Z 2 sin (at),
a > 0, — Re у < Re h < у
1
V

11.48
t 2 (^ + Z>2)-1 sin (a/),
3
a > 0, Re b > 0, — 1 < Re v <
1
		V
11.49
t2 (f24-fc2)-’sin(a0,
a > 0, Re b > 0, Re v > —
A e~abu2(bu), 0<u^a
442	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
X

11.50
t 2 sin (at*),
а > 0, — 2 < Re у < у
U— 8
11.51
t 2 cos (at),
з
a > 0, — Rev<Repi< y
11.52
*4—-
t 2 (F + bvr'costaf),
a > 0, Re b > 0, — 1 < Re < -y
«+—
и 2	/и2 V1t\
2’+'а’+> C0S\4a — ~2 J
U 2 Г (v 4“ и) COS
при 0 < и < а,
при и > а
F ch (ab) и2	(bu), и^а
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ	443

№
f(f)
11.53
t	2 (^4-&2)-lCOS(^),
3
a > 0, Re b > 0, Re v > ——
v + —	I
11.54
t 2 cos	— 1 < Re v < -y
.i	8	1
v -4	 	 —
11.55
t г (t'+b*) 1 cos [a tf2-f-t2)2 ],
a > 0, b > 0, - 1 < Re v < y
11.56
	1	/кА	1
t 2 e 2 csch (	, Re v > — -7Г-
\ Z j	À
*4-—
11.57
t 2 sh (a/) csch (к^),
1 Re a 1 < к, Re v > — 1
F (u; v) =
00
J /(/)Л(и*) Vûtdt, u>0
0
tc| n
1
t
1
R
A (bu\ 0 < u a
U 2	. /И2
kv\
2ѵ+1аѵ+15Ш^4д 2J
u 2 Ь'КЧ (bu), u> a
K-'r21’+1rfv 4--H u'>+~ 2
\ J	n=l
9 2_ 00
~^U2 y*, ( — l)””1 /2V+1 sin (nd\ K4(nu)
Л = 1
444	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

11.58
t 2 ( 1 _|_ £2) г sh (2ц Arsh t),
Rev> —1, |Re|i|<-|-
1 1
11.59
t 2 (1-Нг) 2 ch (2ц Arsh Z),
Rev> —1, |Re|i|<-|-
0	при 0 < t < 1,
11.60
- — - —
1 t 2 (t* — 1) 2 ch (u Arch t} при t > 1
(	IRenKy
11.61
1 t~~(l -t^~~Tn (t) При 0<^<!,
(	0	при<>1, Rev> — n— 1
11.62
?+T e-PRev> —1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ	445

№
v+-	—
11.63
t 2e 2 i^tf2), Rev> —1
11.64
Z"+’+T’ ~~£(»+»)^Çy Rev>
1	V
11.65
/+^(^4_a2)“pv 	e + 2a*,
i2a(t‘ + as)2 _
Re a > 0, — 1 < Re \
H.66
t~ {^7Tiu+aV)Tir>
Re a > 0, — -|- < Re |i < —
Rev>
1
F(u;v)= J f(t) J4(ut)Vut dt. a>0
о	♦
— — V I 1
(-l)”e 2 и 2 L4n(ul)
1 и2
' «“+,+^ «--£;+■ (і)
(2a)’~l~l u~'~~ f„ /œ\l-
.іч-.і L .+4-u JJ
паГ 4-й +y) Г(у~ h) a 2
преобразование БЕССЕЛЯ

11.67
2
11.68
Г’"Т«2 + а2)Г"“х
-î—ѵ/ , 2a’\
X q; (1 + j,
3
Re a > 0, 0 < Re v < Re h + ~2
X M 1	! (au) W ,	, (au)
cZZ>
11.69
t'P* 2 [(1 + a2t*)2 ]X
3
Re a > 0, Re ji > —, Re v > — 1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ

№
/Ю
-2к	—
11.70
t г ММ),
а>0, Re*4~4->ReÀ> —
2л	2л
11.71
t~ (tî-{-bt)-x J, (at),
а > 0, Re b > 0, Re v > — 1
. 1
V —|X-1_
11.72
t	г (b^t^-U^at},
a > 0, Re b > 0, 1 4- Re н > Re v > — 1
11.73
a > 0, Re b > 0, 1 -f- Re v > Re н > — 1
11.74
X-1.2

t 2e J^(bt),
Re a > 0, Re (и + V +1) > — 2
00
F(u;v)= J f(t)J4(ut)Vuidt, и>0
0
v + ±; 2*4-1;
У и /ѵ (bu) Кч (ab) при 0 < и < а,
УиЦ (ab) (bu) при и > а
1
V — |Л

b и2 /и (ab) (bu), и> а
У и ^“7. (bu) (ab), 0 < и < а
Г(ОТ + т + 1 + 4) /_	т
т\ Г (т + н 4- 1 )	\ 4а )
448	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ

3
2П — [л

11.75
t	г (^-\-сг)~1 J4(at)J^(bt),
а > & > О, Re V > — n,
9
Re |i > 2n — -у
11.76
P (/2 +JÎ)-. |co5	(v _ и)]	(at) 4-
4-sin [y (v — H)] ^(aZ) 1
a > 0, Re b > 0, Re (v ± ц) > — 2
11.77
?+г (ft24-^)-i jeos ^(р_ц4-ѵ)] X
X (at) 4- sin [y(p — и4-ѵ) Ги(а*)|-,
a > C, Re b > 0, Re (v zt p. 4* p) > — 2,
Rep< 1
— , / at2\
11.78
t2	-4-j* a > 0, Re у > - 1
11.79
/ at*\ t (bt2\
* “ц-тГтЫ'
Re a > 1 Im b |, Re v > — 1
( — 1)"+гс2п ^2 Y и (be) Д (си) (ас),
О < и < а — b
Y и Ц (bu) Кр (ab), О < и а
b? Y и Іч (Ьи) Ку, (ab), О < и < а
§ 1]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ

№
/(0
11.80
f2	я>0, Rev>_1
11.81
Z-’V,	(4-}, a>0, —4-<Re*<3
_—,\t J	1
00
F(a;v) =	/(0Л(«0Ѵй?Л, a>0
0
M—

ï-cosec (2kv) (£)	2 [e™'Л_и*)Л,_іО')-
-е-^Лѵ-іЮЛ-ьО')].
11.82	t* (? + &) »exp^-^r)x
vj ( аЧ \
\f- + bz) »
Re b > 0, Re » > —
11.83	^.,(a^7), Rev> —1
A
450	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. Хі

11.84
t * J2jaК о, Re V > — —
2
11.85
V t
Re b > 0, Re V > —i-
11.86
1 7Г2.(т)’ a>0’ R6^-1
11.87
'Ц(т')Мт’).
a > 0, Re V > — 1
11.88
V~te~0li	Ret>0, Rev> —1
11.89
+ —
t	‘ Ku (at), Re a > 0,
Re (» + 1) > 1 Re и 1
2^н-Г(и + >4-1)	2
(и* + а2)и+ѵ+1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ

№
f(t)
11.90
v-p—
t 2 J. (at) K. (bt),
Re b > 1 Im a |, Re v > — y
11.91
p+~“
t * J„(bt}Kv(at), Rea>|ImH
Re » > — 1, Re (h + v) > — 1
11.92
Re a > 0, Rev> —1, Re(v — p) > — 2
00
F (u\ v) = f (t) (ut) У ut dt, к > 0
2,',(aVÿu+ 2 r(v +4}
J_	v-k —
л 2 [(a2 + £2 + u2)2 — 4a2a2]	2
(2u)	2a^-F-i„	2 x
—t (k+-—) к	—-—— h+4"
Xe 27 (/-1) 2 4Q î (j),
V

2
2byu = a2 4- b2 + uz
[к 4- (u2 + a2}2
cP Y и (u2 -f- a2)
452	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

11.93
t г ки (at) К (Ы), Re а > 0, Re Ь > 0,
Re (ѵ ±2 |і) > — 1, Re V > — 1
11.94
Д--’	( a*t*\ (a't'X
t exp (ч 4 ) Ц 4 J ,
1 arg a K > Rev>—
11.95
V	f at2\ f at2\
t2 exp(--J
Re a > 0, Re V > — 1
—	f at2\
11.96
t2K\\^r Rea>0’
2	'
— _ fatz\ r, (at2\
11.97
t2
4	4	'	4	'
Re a > 0, Re V > — 1
1	1	<-0*
^(ѵ + ц + пг^-н+П -' —“
—	—+—	н-- —
22 (а&)’ + 1 (и2 — 1)2	4	2
2аЬх = иг + Ьг + аг
Г nau\
\~J
2 ( U*\
ехц-2«;
44
Vu ,
“Г 2L
4
(ÊK®
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
ел
СЛ

№
fit)
11.98
trJ4(2VTt)K,(2VTt),
Re a > 0, Re V > — 1
11.99
t + v 4, (2/57) Кгч (2/57),
Re a > 0, Re V > —
_ 1
11.100
t	2 Jîv+I (2/57)/C2v+I (2/57),
Re a > 0, Re V > — 1
11.101
t~	[кг, (2 /57) - y 4, (2 /57)] ,
a > 0, Re V > — -i
F (и; v) = f(t) J, (ut) V ut dt, u>0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

11.102
t * K^2Vat)Y,(2Vat),
Re а > 0, Re V > —
11.103
Q
Н , (at), а > 0, — 1 < Re V <
V	 2
2
—	fat2\	3
11.104
Z2H2l(t)’ *>°> ~2<Rev<|
2	4	'
1
11.105
F(H_.(a/)-y_JaZ)],
|arga| <тс, — X<Rev
11.106
i arg a 1 < it, 1 Re V 1 < y
2 и 2
А COS (ТСѴ) —:

тсаѵ ѵ ' и + а
— cos (тсѵ) -4=	(2 V аи)
тс У и
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
сл

№
fit)
1
V — P- —

11.107
t	2 Иц <a<) — Lp (aZ)]- Re a > 0,
|Rev| <1
. 1
V — Ц.-1

11.108
t	г Иц(яП-Ь_ц(аО],
Re a > 0, Re V > — y,
Re (> — |i)>— 1, Re (v — 2ц) < y
P- + v —
11.109
t	г [lv.(af)-L_f,(at)],
3
Re a > 0, — 1 < Re V < y »
Re (h + v) > — y
2*-иг
2И+» г I
F (и; ѵ) = f (t) J.t (ut) Yut dt, и > 0
0
о
а?
2J
2 ’
,2
2
— —	/ 3
22+’-hz	2 cos (Яц) f ( y
- -Г + 2!1-’ C- / 3
'	I7
аги
V,
3^
2 ;
а2
и2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
X

ÜD
. Диткнн, А. Прудников
11.110
11.111
11.112
11.113
11.114
Re а > 0, — 1 < Re V < y
* + —
t 2 {Д+1 (2azb, at), а > 0, Re ѵ > — 1
V -|

t * U.+2(2azb, at),
a > 0, Re*> — 1
t 2	Rev>~4
\ X,
t * exp ( —X
X i(l - 2 cos (xv)l Dt,_. (0 - Z>2_, (- /)},
Re»-±
a 1	1	1 1
2 2 к 2 и 2a * ^+і(У2ай)К^+і (K2ÔÜ)
I	»+—
I (2ft)v+1 и	2 cos [ft (d1 — и2)] при 0 < и < a,
t 0	при и > a
?+ —
(2ftp+1 и 2 sin [ft (a2 — г?)] при 0 < и < a,
k 0	при и > a
1	. . v[ uz\ ..
—— sec (кѵ) u	2 exp ( —— J X
ХІ^-.ОО-^-И-и)]
« exP^—fJX
X j[1 — 2 cos (itv)] оъ_, (B) — Djv_, ( — b)|
§ 1]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
en

№
/(0
11.115
t 2 exp (—4-) X
X Ш + 2 cos («»)] Ds,_. (0 - Dîv_, (—/)},
Re>>-y
11.116
Z 2 exp (— D_î4 (t), Re » > —
11.117
/ 2 exp	Rev>—-1
11.118
t 2 exp	O_2,_2(0. Rev>— -1
11.119
/+ 2 exp f —	Dj, (0, Re V > — 1
00
F (а; »)= J /(0Л(«0 Vûidt, u>0
0
4^
СЛ
00
v——	( u2\
и 2expÇ-7Jx
X i [1 + 2 cos (w)]	(a) -	( - a)}
——-   * l o2\ , tU2\
2	2 i« a2
»’ 2 exP
a + 2	/ a2\ n
Йй'^Ы D_lv_,(a)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ

vn
11.120
Z+î ехр(-^)о2ч+2(0, Rev> —1
1	*+— f 2\
— y sec (яѵ) и 2expl — y ) X
X [^2v + 2 (H) + ^2»+ 2 ( — «)]
11.121
	 f a2t2\
t * exp(-^jD2tl(aO,
I arg a I < i, Re y > — 1
11.122
11.123
Rev> —1
*+—
Г(ѵ + 2)ц	2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
4b
СЛ

о
№
fit}
11.124
2|* — V	/	t2 \
t	2exp(--rjx
Г fl \
XAI	(y •
зр,— v-h— , p. \ 2 J
Reii>— Ÿ- ReHp —.)>—Ÿ
11.125
(Ç)'
Re V > — y
11.126
z-x-‘exp ( -	Afx+|4,p
к = 2pt — * —	» — 1 < Re V < 4 Re pi
2^-н-Г
к
2 p. — V

u 2 exp
F (и; v) = f (О (ut) Y ut dt, и > 0
M
Г(2|14-П
				fTu 2 exp
^2м-4рі 00
1 (4|i — V)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

v +7	It
11.127	t erfc (at), | arg a | < — , Re v> - 1
1
V — —	_	J
11.128	t 2 eric (aZ), I arg a I < —, Rev> — ~
§ 2. Преобразование Мейера
2.1. Основные формулы
№
/(0
^J«) = f(t)(utÿ K.,(ut)dt
0
11.129
c-f-/ao
J F4 (и) /ѵ (tu) УТй du
11.130
С — IQD
f(at), a>0
§ 2]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА
о

№
/(0
11.131
т = 0, 1, 2, ...
11.132
t-v-ftf), Re|i>0
11.133
2>f(0
11.134
1 1
—"v f d \m
‘ (ra) 11
m = 0, 1, 2, ...
11.135
m = 0, 1, 2, ...
1	1	1 1
11.136
t2 Je	2(t2-w-if®di,
Ren>0
f\№= J /(fl (в*)1 K„(ut)dt
0
d \m
и du J
2>-h v +r ?	—H-- v
J E <y-u*r-'F'+^)rt
U
(* - 4) »^+. («) - (*+1) (»)
ИтЛ-т(«)
У-Г(ц)
цР-	W
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

2.2. Разные функции
с0>
to
11.137
11.138
11.139
11.140
r~\ Re|i>|Rev|-y
О при 0 < t < а,
V -]

t 2 при а < t < оо
О при 0 < t < а,
н+ѵ
Z"
I arg a I < л, Re ix > I Re VI — 1
2И’г	+ Reu>0
аѵ+,а 2 К„+1(аи), Rezz>0
1 /ян
au 2 * e 2 \K^(au)S^+byt(iau)-\~
+ Ф + H) (au) (zazz)],
Re и > 0
2'"г('42)г(Ѵ)“,’’л(1: і-Ц^.
хг№-1)«Л’л(і; - ; —.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА
"4“ J — ксРй2 cosec [к (н — v)] j/Cv (au) 4-
4- л cos (z|a) cosec [к (v 4- н)] Л (^zz) (, Re zz > 0

№
/(Л
П.141
7 * (t + a)-1	1 arg a | < n,
— 1 < Re V < 1
_2_	i_
11.142
t~2
Re a > 0, — 1 < Re V < 1
1
11.143
t 2	(/24-a2)-i, Rea>0, Rev<-^-
T+v
11.144
t* (t2 + a2y\ Re a > 0, Re V > — 1
(	V - —
Î1.145
г [Z (a2 — Z2)]	2- при 0 < t < a,
(	0	при t > a,
Re»>-y
00	1
'Л(о) = J fit) (ut)* к, (Ut) dt
U
y [cosec (itv)]2 и* [/, (au) + (au) —
fat	ivn
— e 2 Jv (iau) — e 2	(Zaa)], Re и > 0
1
Л2 /ltv\ 7,,
8'sec(<2jB X
(?)’]}• Reu>0
1
у sec (kv) a”*”1 и2	— J\(au)j, Re«>0
;2T(>+Re«>0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
X

J	0	при 0 < t < а,
11.146
1 [£(£2— а2)]	2 при Z>a,
Rev> — 1
11.147
<! t2 (а2 — t2)^ при 0 < t < а,
V	0	при t > а,
Re и > — 1, Re у < 1
(	0	при 0 < t < а,
11.148
\ t2 (t* — а2)1* при t > а,
Re н > — 1
1	2-
11.149
^2(^4-а2) 2 |(f24-a2)2
Re а > 0, V = 0
_2_	_L
** 21'-1	Re«>0 22
»+-
2-’-«a^+’tt	» (ц+ 1)-' Г( — ѵ)Х
ХЛ (1; ѵ+1, и + 2;
1
X и 2 cosec (кѵ) Г (|14- 1) /F-v+1 (au)
№Ніа И 2 Г(|і+ ІЖр-ѵ+ііаи), Reu>0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА
У (аи\ д (аи\\
2 МЧтД’
Rea>0
о
сл

оо
№
1 _£ 1
11.150
t 2 (t2 + a2) 2 {(^4-a2)2 +*|-2l\
Re a > 0
1	i_	1
11.151
Г’ (<’ + a!)-i |((^+ a2)’ + ^X
Xcos [(y->) «] + Г + «2)7- 'FX
Xcos[(t+и) к] I > Rea>°
- 2UL	—
11.152
t *	(<!4-a2) 2 [(<’ +a2)2 4-a]!i\
Re a > 0, 2 Re h +1 Re у 1 < 1
f\(u) = J f(t)(ut)2 K'(ut}dt
о
4^
О
œ
а 2И u2 cosec (тсѵ)
Re и > О
К2 etl
■4 а и
1
2а
Г
2
Re и > О
1 — * \ 4Z
;	H —	iJX
X , (tau) W , ( — tau}, Re и > 0
H.7
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

11.153
11.154
11.155
'	0	при О < t < а,
<	j[Z44*2-a2)?]2,x +
+ И — к2 — я2)2 Ги) при t > а
f О при О < t < а,
- — - 2[Л	- —
t 2 к2 - а2) 2 X
Х!(а + і(/!-вуГ+
ч -f- [а — і (t* — а2)2 ]2р,| при t > а
1
t 2 e~at, v = O
11.156 e~at, Reн > I Re* I-4
C0O
лЧ+,	(?) • r”>°	25
9	1 ~	9	~
^■u 2 IT V (au) W v (au), Reu>0
h,7	-r,7
u2 (u2 — a2) 2 arccos , Re (a -f- u) > 0;
1
/ •	9\	2	( O’ \
и (и2—a2) arccos ( — \ —► — при и—* oo
XZ.(h+v4-1, v4-1; H + 1;
Re (tz u) 0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА

00	1
Л(») = J f(t)(utÿ K„(ut)dt
0
11.157
t 2 ехр ( — at2), Re а > 0, — 1 < Re ѵ<
1
_	-2|л
11.158
t 2	exp ( — at2),
Re a > 0, 2 Re и < 1 — 1 Re V
11.159
t 2 (f24-a2) 2 exp [ — b(t2-^a2)2],
Re a > 0, Re b > 0, — 1 < Re v <
11.160
-J-cos(a^), -l<Rev<l
1
1 /zv\ f itu	( u2\ __ ( u2 \
TSeCWW e*P\s-a)K^)
2
4»’‘“‘?r(LTr-’)r(-LF-»)x
x“O“;i(S)
2
1
4%«е(5)к^||» + «.--ЛГ|}х
2
1
Xtf„ /у[&-ф2-иг)2]1, Re(« + ft)>0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЙ	[ГЛ. XÏ

1 1
11.161
— exp( —af )Cos faf2 + —— —
-4<Re,<±
0 при 0 < t < a,
— - V	1
11.162
t2 sin [ft {t2 — a2)2 ] при Z> a
11.163
ft2 (a2 — t2) 2 cos [b (a2 — t2) 2 ]
I	при 0 < t < ay
1	0	при t > a,
— 1 <Rev< 1
f	0	при 0 < t < ay
11.164
J t2 ~ * (t2 — a2)~Гcos [ft (t2 - a2)2}
V	при t> a
1	fir
(іГг(4-'ИЛ-й'7)х
2
XD	4 , Reu>0
у - — \ у и	J
2
(у)7дГ 'b“T ”(“2 + ^г~гх
XK s [a(t? + fts)2], Reii>|Im6|
V

2
* 1
— ^u2 cosec (icv) [J* (X)J4 (y}—J y>(x)J v (y)],
T 2 ~т ~t
X=f P + (62-u2)r], J = y[6-(62-u’)r]
(^УаТ~\7'\^ + ЬГ"*Х
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА
XK [a(B’4-6’)!], Re»>|Imft|
»

№
/(О
F, (И) = J / (/) (ut)г K, (ut) dt
O
П.165
2 sh (at),
- 2 < Re > < 2
f 1tv\ .
cosec I -y 1 sin
Reu >IRe a
11.166
2 ch(âtf),
— 1 < Re y < 1
nu2 cos varcsin( — )
		L	X±/J , Re a > I Re a |
2(u2 — a2)2 cos
11.167 *
2 sh (at),
— 1 < Re V < ]
я sec I y 1 p / a \ 1
		—- sin y arcsin ( ~ ) > Re и | Re a |
2vu2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
11.168 J
t 2 (a2 — t2) 2 ch p (a2 — t2)2 ]
при O < t < a,
О при t > a,
— 1 < Re y < 1
^-tt2 cosec (y)	» О')-7, О)7, О'))»
2	2	T 2
X = y[(&2 + U2)2 +*], J = y[(62 + «2)7-Ч	3
И

11.169
11.170
11.171
< t2 Pn(\-2t2) при О < * < 1»
I О при t > 1,
> = 0; л = О, 1, 2, ...
' О	при О < t < а,
.	при t > а,
Ren< 1
{О	при О < t < а,
ё(е-а^ ^(^-1)
при t > а,
Re><l
-V—				 /	?д?
11.172 t 2(^ + а2)4 2 Q2 , (і+тг
2
Re а > О» Re V < 1
н-+*+-
11.173 t 2 Ju(a/), Re|x>IRev|— 1
!	V7)
_ 1)»+. Kîn+I (B) + -L s,n+, (/«)]	*2
(2«)’ 2	. Re и > О
2“v au 2 Ku +1 (au), Re и > О
1е~™к2 2^-9а2 'и 2 [Г(1 - ѵ)]!Х
Re и > О
W+Wu + 2 Г (pi + V 4- I) (н2 4- а’Г1*

Rew > I Im a |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА

№
/(0
_ 1
11.174
t *	2Rei*>IRev|-1
1
11.175
'2 ІАл(яО)2, 2 Re JX > 1 Re V1 — 2
11.176
t2 Jv (a/2), a > 0, Re у > — 1
2
ки
8а cos
00	1
о
н —
2
ьо
и
\ Re и > 21 Im а |
Re и > 2 I Im а |
4аг \ _ г
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
_Ц£)]’ Re“>o
X

1
11.177
і* r„ (at*), а > 0, - 1 <_ Re V < 1
2
11.178
ё J v(at*)J „ (at*),
н+г	*-т
а > 0, 4 Re |і > 1 Re V 1 — 2
11.179
+л(г)'
11.180
І-2Ѵ/ І (у), а > 0, Rev<l
Ѵ 2
11.181
(4 м «>о. Rev> —1
—+ » \ ‘ /
2
(£)]. В"»>»
2	2
к-’ц 2 г(ц+^ + 1)г(и-^+1)х
Re и > О
1		 у I 1	1	1
(2л)2	г [(2айў ]KU(2M* b Re и > О
2 ^гѵ-1 [(2ли)21 {sin (nv) Jt.,_, [(2а«)2 ] +
4-cos (лѵ) F2,_! [(2аи)2 ] j, Re«>0
2 Jt+,„[(2a.7)2| АГ1+г.Д(2а«)2|,
Re и > О
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА	473

№
fit)
11.182
' 2
11.183
<-г,г . (т)’ a>°>Re*<1
* ” 2
11.184
<2’K	1(f)’ «>0, Re><-1
11.185
ë K,(at), — l<Rev<l
11.186
(1). Re«>0
*" 2
F,(b)= J f(t}(ut}* K„(ut)dt
0
(2k)1 (	1 ’ Г„ [(2au)2 1 Kt4Ц2аи)* ], Re и > О
- (f ) * (у У * sec (кѵ) [(2а«)М X
X !А,_. 1(2а«Й - -Л-г. ((2а«Й|
1 У^+,[&ай}г]К^+і[(2айў],
Rew > О
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
гл'Ѵ
2 sin (кѵ)
д2Ѵ __ И2Ѵ
p-, Re(w4-a)>0
(2*)’ (f) ” 2 К2м+1[(2аи)2/‘IX
1	-i-	?
X Kîv+i [(2a«)2 e * ], Re и > O „

11.187
<2’-2K t	, Rea>0
V jT
11.188
f 2 1л(т)]*’ Rea>°* v = 0
11.189
<~г[ЛЛ«/О+4,(иѴ0].
Re*> —-y
11.190
t ТЛГгѵ(а/7), -l<Re><l
11.191
Re>>-1
11.192
2 Av—1	"j/" (}^2ч— 1 (а У i)t Rev>0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА
1	2__ V	- i-
(2 л)2 (т)2 4l(2au)T е'<] X	-
X	[(2ан)7 е~‘ Т1, Re и > О
2іад 2 К2^ (2 V au е * ) /С2(1 (2 У au е * ), Re « > О
~7=1 (г') > Re«>°
Vu
1_
ли 2 J / а?_\ . Я Г. /_
4 cos (лѵ) I 4 \4и J ”* 2 sin (itv) L “v \ 4uJ
-к(5)І}’ReB>0
Я2 2-,-Іа21’+,И-2Ѵ-Ѵ	.	Reu>0
2
к^г-’а^-'и-2’/ i	Reu>0

№
/(0
11.193
1 * Кр(аУ 7) [sin
+ cos (у) У, (а VI)j,
— 1 < Re |і < 1, ѵ = 0
^ + ѵ+т
11.194
І	2HF(aZ),
Ren> — A, Re(|i-f-.v)>— A
** £
1
11.195
J s v (a<2).
^■T
a > 0, Rei»> A|Rev|-2
11.196
D . (-4=)^ . (-Д=)»
2	2
1 arg a 1 <
00	1
^,(«)= $	K,{ut)dt
о
		-S^-V	I	3 \
it 2 гн+'+’а^+’и	2 Г(р + > + у ]х
Х/і ^ + ѵ +4> у’’ — ReH>|Ima|
Re и > О
~ ехр [ — а Re и > О
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
X

11.197
Î|l+*_T	f 1	\
t	exp — -y at2 j Mk t(l (at1},
Rea>0, Re|i>—Jj-, Re(2|i-|-v)> - 1
11.198
t~T М^л(іа^Мк>п(-іа^,
a > 0, V = 0
11.199
L_£±2±*
2	2 a* *	н»-і‘-іГ(2(і+ 1)Г(2|» + »+1)Х
2Л = — 3|i-v-fe— ÿ,
2л>= h + * -* + 4-,
A
Rew>0
2au 2 K2(JL [(2au)2 e 4 ]	[(2aa)2 e
Re и > 0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЙЕРА

§ 3. У-преобразование Бесселя
3.1.	Основные формулы
№
/(*)
Г(и, >)= ftf)Y^Vutdt,
о
в>0
11.200
11.201
11.202
11.203
11.204
11.205
00
F(u)H4(ut)Vûidu,
о
£
2
а > О
т = 0, 1, 2, ...
Tf{t}
T- ” / d V + OT-T
* \îdt} И Л'"-
іи = 0, 1, 2, ...
Г (и)
;— » ( d \m * -4-+“
U (Wdii) l“	F(U' * + m)1
uF(uf V— l)-|-wF(tt, >4-1)
(v—4) uF^u’ '"*■ ~ (*+4)uF(u*
umF(u, »H-m)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

11.206
11.207
11.208
пда
11.210
m = 0, 1, 2, ...
е 3 е*и+2 ~ л’
о
Rev-f-у > Ren>0
<-•7 W> Re |і > 0, Re V > —
Q
|Rev|-y<i*<0
( — и)т F (и, * — т)
(и)	V — pt)
2*-і*ІГ(>)]-’ и +т J Er”!“”(eî-u‘)I‘_,X
XA(£, > + н)Л
3.2. Разные функции
C^3
ОЭ
У-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
t *(t + a)-\
1	3
I arg a I < 7t, — — < Re v < y
4^
CD

№
/(0
11.211
t 2(^4-a2)-i,
Re а > 0,	— у < Re V <
ѵ+т
11.212
t «
3
Re a > 0,	— — < Re v <
1 v+±	- —
11.213
\ t 2 (a2 — t2) 2 при 0 < t < a,
l	0	при t > a,
Re v > — 1
1	0	при 0 < t < at
11.214
\ t +2 (t2 —- a2) 2 при t > a9
Rev<y
F (ut v)= J f(t) Y4(ut) Yutdt, u>0
о
— a*~xu,2 Ky,(au)
à*+lu2 K^(au)
£
2
1
— * +—
a S cosec (лѵ) [cos (itv) J (au) —
- H , (u)]
— »

(тУаѴ+ч+і(аи>
* •
480	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

11.215
t 2 (<’+as) 2U«2 + flî)*+^ +
+ [и4 + а‘)7-<П,
ч	ч
v = o, -±<Re)x<4
Z	Z
_ 2_	_-L	2_
11.216
t 2(t2+a2) 2 [(t* + a2)2 - a]2*,
Rea>0, |Rev|<y + Re*
11.217
8
Z 2 e~at, a>0, Reg> |Rev|
1
11.218
Re a > 0, Re h > I Re VI — 1
-1(?)]■
2
F-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ

№
/(')
з	a
11.219
t 2 e * , Re a > 0
_1 _1 1
11.220
t 2 (^ + ^) 2 exp[-a(^4-ft») *],
Rea>0, Reè>0, —l<Rev<
1
11.221
t 2 sin at2, a > 0,	— 3 < Re V < 3
00
F (и, ») = 5 / W У, («OKôi dt, и > 0
0
2u2 rj(2att)2]KJ(2att)2]
482	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
X

_ 1
11.222
t 2 cos at2, а > 0, — 1 < Re v
11.223
S	при 0<<<l,
v	0	при t > 1,
л = 0, 1, 2,	v = 0
11.224
t2 J„(at\ a>0, Rev> — 1
t
11,225
Av-1 (« KF), a > 0, Re > > - ±
Z
1
11.226
t* Jv (a/2) J v (a/2),
4	4
а > 0,	— 2 < Re V < 2
У-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ

№
/(П
F (и, ѵ) = J f (t) Y4 (ut) Уut dt, и > 0
о
оо
11.227
^2л(т). «>o. -4<«е*<|
\ * J	£	L
11.228 :
а>°’ -v<r^<4
11.229
ë K4(at\ Re a > 0, - 1 < Rev < 1
Z
11.230
“7	[ аіг\ f at*\
t	exp^—J K«\~2 ) • v = 0
(at*\ „ fafiX
11.231
»=0, -|<Re|z<l
-J=[r,J2a ^U)+l^(2ay «)]
V и L	K
(2а У и)
cosec (tcv) L v
2
тс У и
—T^exp
2У a
2
_ 	exp
Vu Г(1 — 2|x)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
!»

11232
(~2"к , Гт-L Rea>0,Re»>l
» - 2_ \ t J	6
2
11233
(i).
2
Re a > 0, Re V > —
11234
e-^-^K	, (y), Rea>0, Rev<
V 2
11235
|arga|<^-;	—— <Re|x<2.( v =
1
11236
t 2 (a } 7),
Re a > 0, —^- < Re > <
L
2
1 1 _ _ •_ 1 1
(2*)2 аг и 1 V.-i 1(2а«)‘t [(2au)2]	«
(2к)2 a 2 ’ и2 + * V, [(2au)2 ] l(2au)2 ]
(“o") cosec (kv) a 2 и2 /С4,Ц2аи)г] X
Х{Л,[(2а«)Г]-/_гЛ(2а«)71і
~^= [cos (141) J2 (2a VÜ) — sin (пц) V (2a Vi?)[
V и	r
”ГЙ [sec(© “H-’ (S)+
+ 2 cosec (2itv)
(£)]
У-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	485

№
/(0
1
11.237
t 2 А,-1 (а Ѵй(«‘КЛ.
1 arg а [ <	, Re V > 0
.’“Г falt2\ „	, v
11.238
t еХр\"4/ D',~ ’ а^’
2~
large |<—, — y<Rev<-^-
11.239
D 1 (~^=}D	1
V-1 \y t J -, _1	t J
|arga|<j
11.240
p / 1	1	. 3 .	t/.\
t + 2 гГ* \ 2 ’ 2 V’ 2 ’	a * ) ’
Rea>0, —-|-<Re»<—2-
00
F(a» v)= J f(t)Y^(ut)Y ut dt, u>0
о
зѵ F s
~ exp ( — a У и ) sin [a У и —
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
и

11.241
*+-	ч
t 2 SF.(1, 2v + -l; v + 2; -a2t*>,
Rea>0, —y <Rev<y
r|,+afr [*•■(£)]'
r^2v +-|Л n2 2’a”+’
С0Э
§ 4. Н-преобразование Бесселя
4.1. Основные формулы
№
/ю
F(w, v)
00
= f(t) H4(ut) yûtdt, и>0
0
11.242
F (ut v) (tu) Y tu du,
0
F(m, v)
— y<Re*<-y
11.243
f(at), a>0
a 1 a
-1«
11.244
m = 0, 1, 2, ...
^"’(4
\udu.
\m *” у + л
j [ц	F (a,
H-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ

№
7(0
со
F (и, »)= $ /(/)Н,(и/)1<й?Л, и>0
о
11.245
( — ii)mF(u; * — т)
11.246
1 . 1 СО 1
Ѵ-|	р	V - р.
t 2 J Е2 (Е2 — z*)'“"’/(E)dE,
2и“,Г(|і)и *4-ц)
11.247
11.248
Q
Иец>0, Re V > — -І
Q
Re> + -| > Reji>0
при 0 < t
при t > at
2>-Н[Г(И)Г’и2 \
a j	*
X J ET (u2 - ET"’ F(E; v - F)rfE
0
4.2. Разные функции
a'+’u 2Н.+1(аи)
488	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

1
11.249
t 2(Z2 + a2)-’. Rea>0, v=l
1 1
11.250
(1г + а*)~Ч и_|_(^_|_а2)2р+і,
Re л > 0,	— 2 < Re v < 0
X - —
41.251
t 2 e~at. Re л > 0, Re (X + v) > — 2
11.252
t 2 exp ( — at\ Re a > 0,
Re (к + V) > - 3
ÿ [Z. (au) - L, (ли)]	±
Н-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	489

№
fit)
11.253
J y(at), a > 0, _3<Rev<l
V -|

' 2
-4	3	3
11.254
t 2 Уч+Х(си), a > 0, — 2-< Rev< y
v+4
11.255
t 2 J,, (at) (at),
a > 0, —	< Re * < 0
11.256
«>o, — 4<Rev<4'
11.257
t ‘ Jt,(aVF), a>0, -l<Rev<A
00
F (и, v) = f (/) Hv (ut) Y ut dt, zz > 0
о
О при 0 < и < a,
при и > a
f 0 при 0 < и < a,
< 	-+ *
V — a * Чі2 при u > a
r(2,+4)»’4
T		x
к2 г’+’^’+’Г^ + г)
ХЛ(1. 2v + |; » + 2;	(0<u<2a)
2« 2
490	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ

11.258
1
t2 Кч (at), Rea>0, Re v > —|-
11.259
и +v + ~
t	2 K^(at),
Rea>0, Rev> —y, Re(ji + v)> —
v +4*	2
11.260
t	[K^ (a/)]2, Re a > 0, Re v > —-
1
11.261
i-’-7 KAat)K,+i(at),
Re a > 0, Re v <
11.262
(2a VT), Re a > 0, Re v> - 1
H-преобразование бесселя
о

№
/(0
11.263
- 7 [4 Кіч (2а УТ) + К2Ѵ (2а УТ)],
л>0, — 4<Rev<4
11.264
7 (a УТ) К„ (а УГ), 1 arg а | < ,
Rev> — -|
11.265
t 2 У^-і(^У^)^-і(аУі).
1 arg a 1 < 4 > Re V > —
11.266
»+-
t 2Y^(ayt}Kt'(ayt),
7C	3
|arga|<^> Rev> ——
00
F (и, v)= $ /(<)НЧ («<)/«/Л, и>0
О
со
to
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
и

11.267
ЗЧт)’ «>0. Re»-4
11.268
і 2 Н.-. (у) . «>0, Rev>—-1-
11.269
‘ 2	+sinfo)Hv)]-
а>0, — -|- < Re » < 0
1
“'’“'о	/	1	\
11.270
t	exp	j [Ou (t) - Dj-t)],
Re (и + V) > — 4 , Re и > — 1
11.271
_£
t 2 exp	^_v+i л(П
Re V > — 1
	1_	cZft
—	и 2 J2„(2a Vu)	*
—	^-Лѵ-і <2а
__і_
« 2 [4 К^(2а Ѵй) - Уг,(2а У'й)
I
2-’-’в	2 itexpÇj) erfc
H-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	493

№
§ 5. Преобразование Конторовича— Лебедева
/Ю
11.272
тс
t sin (at),	1 Im a | < —
11.273
cos (at), |Im a 1 < y
11.274
Mh(K/)P !	(a)
-2+"
11.275
t th (Kt) Kit &), 1 arg b 1 < к
11.276
t sh (Kt) Кгіі (a),	1 arg a | <
11.277
Г sin	Kit (a), |arg a | < у
F(h)= J f(t)Kit(u)dt, и>0
О
~ sh а ехр ( — и ch а)
ехр ( — и ch а)
/	2 -au
Ы
у (ta)7
-^нгехр(-6-ц)
3
22и2
а —
и2
8а
494	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ	[ГЛ. XI

О
*
11.278
ch (at) Кц (b), 1 Re a 1 +1 arg 6 1 < it
11.279
t (іг + n2)-1 sh (nt) Кц (a)> a > 0>
n — 0, 1, 2, ...
11.280
t sh (itf ) Кц (a) Kit (b)>
|arga| + |arg6|< j
11.281
Zsh (y) Kit (я) Kit (й>’
~2	7
1 arg a 1 4- 1 arg b | < n
11.282
t sh (it/) Kit (a) К ц (a), a > 0
T+x T-x
11.283
t sh (it/) Г (X + it) Г (X — it) Ku («)>
1 arg a 1 < it, Re X > 0
_1	сбь
y Kq [(«2 + 62 + C0S a) 2 ]	~
(7t2
-2^п(и)Кп(а) при 0 < и < a,
y 4 («)	(u) при и > a
it2 Г и ( a . b . a/Al
4еХр[“2-(у+т + і?Л
1
n2u Г (a 4- b) V 1	. , - . , ч 2
2уехр	, v = (us4-4at)
2 (ab)2 J
f 0 при 0 < и < 2a,
<! O2X+“2~ [(K + V)2X + {U ~ ü)2kl
Ч 22Л+1а2Аѵ	1
V	при и >2a, v = (a2 — 4a2)2
3 i
9V_,-2(^)	/	1X
, і а— ф+| Их(<* + *)
(a +a)	\	2 /
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА	ЛЕБЕДЕВА	495

№
fit)
H.284
t sh (2тс£) Г (к 4- it) Г (к — it) Кц (а),
а > 0, 0 < Re X <-і-
11.285
t sh (^) Г (к + у) Г (к -	Kit(a),
1 arg а 1 < у. ReX > 0
11.2CG
Mh (тЛ) Klt (a)	- тс
ГГ^«\-Х	‘
VïHH
11.287
t sh (тЛ) Г (к —j- it) Г (к — it) X
7“ х
ХР1 t	(b) К и (а),
-7+it
1 arg а 1 < 4, 1 arg(Z> — 1)| <n, ReX>0
00
F (и) = J f (t) Kit (h) u > °
о
2z'Tt2
'■(т-0
( au V
i	i Kx(\u — а )
и — a \j K 1
2к2®2^(ѵ)> ü=(«2+«2)2
£ £
1 / Tx.au \ 2 r z 2 I 2x 2 ,
2Ai?+ïï\) exp [-(<? + <?) ]
_£ 2 i _L_1
2 2 n2 (6* - l)2 4 /C.(v),
2
V = (u2 -|- a2 + ^abu,}2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ
X

№
11.288
11.289
11.290
11.291
11.292
§ 6. Преобразование Конторовича — Лебедева (продолжение, см. [43])
АО
00
о
1
t
t\ Rev> —1
t2n, л=1, 2, 3, ...
f2""1, л = 2, 3, ...
к
2chT т
71 t
sh
2»-i Г (v +1 + /т) г (v^~ 1 ~Zt
In	-V
,=i	ch—t
sh — t j=l
§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА—ЛЕБЕДЕВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 497

№
11.293
e-tcosa, O^a<it
11.294
e-fch«
11.295
e~f
11.296
Ге-*, Rev> —1
11.297
tne~l, n = 1, 2, ...
11.298
e
F?
TC sh ŒT
sin a sh tct
тс sin ax
sh a shm
00
0
2’ Г(2> + 2) Г (1 + v + /t) Г(1 + v “ Л>
2"«! n «	.
(2л + 1)! shutll +T >
«s=l
TC
ch TCT
498	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ

e-t cha
11.299
/г
e_<<+a)
11.300
(t + a)V7
.	-t-a-
11.301
1	2t	л \ n
2te	’ a>°
11.302
e-ait2
11.303
COS t
11.304
sinf
к
ch кт
к (a)
ch kt
Kfx(a)
P i^.(cha)
-т+"
r— 1 К • T ( — I
К ъа- 1 2 \8æ /
— e 			-
cos ( Arch V 2
к \ Л
ch^-z
2/2 sh|t
o>
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА —ЛЕБЕДЕВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 49'

№
/ю
11.305
cos sh у)
11.306
sin sh
/	а \
Sin / sh — )
11.307
\ /
t
( а \
1 — cos t sh — I
11.308
	\ 2 /
t
f	а \
1 — cos [ t sh — 1
11.309
а
COS— Т
л , а , к
2 ch у ch — т
а
sin — т
тс 2
, а , к
2 ch sh — т
2	2
тс 1	а
7 1Ï sin Тт
т ch у т
00
о
T(1 + ~2) Ch— 7
сл
о
о
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕССЕЛЯ

11.310
e t ch а cos ? cos у sh a sin jjj
11.311
Л (fsh
11.312
tm Jm (<sh-^), Rem>-1
11.313
— !<Rev<l
00
11.314
1-Ф(/Г) = -^=: Ç e~xid*
У те J
V~t
к I ch [k sin ат cos ? sh a
sh гл | sh2 a cos2 [J -|- ch2 a sin2 p
			P t {
2ch-Jt -y+v’
(ch a)
sh jk cos ат sin В ch а
sh2 a cos2 ? + с^2 a sin2 ?
/ 2 \m r (	, 1 I h \
(tv) rr+T+2jx
\ch2-/
TC2	1
2 ch kt -|- cos теѵ
	1—— (/2 ch	t - 1
2 ch нт ch — г
p~l ,*(cha)
2	2
§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА—ЛЕБЕДЕВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 50

№
12.1
12^
12.3
12.4
12.5
ГЛАВА XII
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Преобразование Мелера — Фока (см. [43])
00
, (t)dt
?	- г+"
P ( y 1 I it к P f y 1	\
2,-г \~2 ~~4 ~г~Т/ \T~ 4 ~ 2 )
/V	1»
1 Г ( I \ p f 1	\
ГрѴ Ѵ4“Г 2j \4 — 2 /
1 p	\ p ( 3	ft \
УѴ к 4 f 2 ) V 4	2 )
УТ
i. 11
chyr
2 yT r
о
ьо
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. XII

12.6
(< + a)_ï, a> —1, *>-y
12.7
1
t —1~ fl
12.8
——= ,	n =1,2,...
(t + a)a
12.9
1
W + a)3'»
12.10
' 0<’<2“
12.11
	!	, n=l, 2, ...
tf + a) 2
Y sin (т Arch g)
2 У fl2 — 1 sh кт
з
22 sh (к — ₽) т
sin ? sh кт
2 к (— I)"-1 dn~l
it sh лт г, (	, 1 \ da.n~1
Г| n+— )
T Arch a
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЕРА—ФОКА
СЛ
о
00

№
fit)
12.12
(t + D-,	ѵ>1
12.13
1	а^О
V t* + аг - 1
12.14
e~at, а>0
— a^zt-t-z
12.15
а>0
V2t + 2
12.16
_L ( J _ arctg A
Л yr J
12.17
Іп(І+т)
12.18
— e~ at Ei (— at)
F(^=\f(t)P , (И
oJ "г+'*
г^р.й.Л,г(4н4М4-4)
т*А<»>
те 1
1AV 1.	, те
' ch тет ch — т
Ѵ"те те	1

2 ch’'r(4-4)r(4-'i)
/ïars *<.<“>
504	ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. XI

§ 2. Преобразование Гильберта
№
f(t}
— co
12.19
f(t)
g(x)
12.20
g(t)
-fix)
12.21
f(a-{-t), a — действительное число
g(a + x)
12.22
/ (at), a > 0
g (ax)
12.23
f(— at), a >0
— g(—ax)
12.24
tf(t)
X£(x)+-~ J f(f)<lt
— 00
12.25
d + a)f(t)
(x + a)g-(x)+-i- У f(f)dt
— 00
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА
От
О
Оз

№
f(t)
12.26
f (0
12.27
Rea>0
12.28
t
+	Rea>0
12.29
И’-1, 0<Rev<l
12.30
sign И Л*”1» 0 < Re
12.31
eiat, a > 0
12.32
sin (at), a > 0
12.33
a>0
12.34
cos (at), a > 0
12.35
1 — cos (at)	л
t » «> o
ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. XI
,м_ ■ Г 2*dt	1
' TC F J £ —x
g' W
X
a (X2 + a2)
a
x2 -J- a2
—	Ctg (y) signx|xr-
tg
ieiax
cos (ax)
cos (ах) — 1
X
—	sin (ax)
sin (ax)
X

12.36
sin (at) Jx (at),	a > 0
12.37
cos (at) Jx (at), a > 0
12.33
sin (at) Jn (bt),
0<b<a; /2 = 0, 1, 2, ...
12.39
cos (at) Jn (bt),
Kb<a', /2 = 0, 1, 2, ...
12.40
e—alf| /„(at),	a>0
12.41
sh(aZ)/C0(a| 11), a>0
12.42
ch (at) K„ (a 111), a>0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА
cos (ax) J у (ax)
nd
—	sin (ax) Jj (ax)
cos (ax) Jn (bx)
—	sin (ax) Jn (bx)
9
—	— sh (ax) Ko (a | x |)
—	у sign xe~ a 1 x 1 Zo (ax)
СЛ
о

БИБЛИОГРАФИЯ
Ниже приводится основная литература к первой части справоч¬
ника по главам и список литературы в алфавитном порядке.
К главе I
[17], [27], [30], [41], [49], [68], [69], [72], [73], [74], [75], [102], [103],
[112], [113], [154], [204], [257].
К главе II
[10], [24], [32], [34], [36], [41], [52], [53], [64], [68], [80], [86], [125],
[126], [127], [190], [209], [253], [255].
К главе III
[37], [43], [47], [73], [77], [119], [136], [168], [192], [208].
К главе IV
[43], [73], [79], [115], [146], [188], [255].
К главе V
[10], [21], [24], [25], [59], [66], [94], [117], [197].
1.	Агранович 3. С. и Повзнер А. Я., Применение опера¬
ционных методов к решению некоторых задач математической
физики, изд. ХГУ, 1954.
2.	Адамов А. А., О разложениях произвольной функции одной
вещественной переменной в ряды, расположенные по функциям
определенного вида, Петербург, 1907.
3.	Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение
в теорию функций действительного переменного, М.— Л., ГТТИ,
1933.
4.	А т а б е к о в Г. И., Гармонический анализ и операторный метод,
Оборонгиз, 1956.
5.	А X и е з е р Н. И., Об одном обобщении преобразования Фурье
и теоремы Винер—Палей, ДАН 96 (1954), 889—892.

БИБЛИОГРАФИЯ
509
6t Бер лян д О. С., О некоторых асимптотических оценках, ДАН
124 (1959), 507—508.
7.	Б у л г а к о в В. В., Колебания, М.— Л., Гостехиздат, 1948.
8.	Валл е-П у с с е н Ш., Курс анализа бесконечно малых, М.— Л.,
ГТТИ, 1933.
9.	В а н-д е р-В арден Б. Л., Современная алгебра, М.—Л., Гостех¬
издат, 1947.
10.	В а н-д е р-П о л ь Б. и Б р е м м е р X., Операционное исчисление
на основе двустороннего преобразования Лапласа, М., ИЛ, 1952.
11.	Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, М., ИЛ, 1949.
12.	В а ще н к о-З а X а р ч е н к о М., Символическое исчисление и
приложение его к интегрированию линейных дифференциальных
уравнений, Киев, 1862.
13.	Гарднер М. Ф. и Бернс Дж. Л., Переходные процессы
в линейных системах, М.—Л., Гостехиздат, 1951.
14.	Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Обобщенные функции и
действия над ними, М., Физматгиз, 1958.
15.	Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, М.—Л.,
Гостехиздат, 1952.
16.	Гринберг Г. А., Избранные вопросы математической теории
электрических и магнитных явлений, Изд. АН СССР, 1948.
17.	Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные многочлены, М.,
ИЛ, 1948.
18.	Диткин В. А., Операционное исчисление, УМН 2, вып. 6 (22),
(1947), 72—158.
19.	Д и т к и н В. А., Исследование строения идеалов в некоторых
нормированных кольцах, Учен. зап. МГУ, вып. 30 (1939).
20.	Д и т к и н В. А., Обобщенное преобразование Лапласа, Инж.-физ.
журн. 1, № И (1958).
21.	Диткин В. А., К теории операторного исчисления, ДАН 116
(1957), 15—17.	а
22.	Диткин В. А., Операционные исчисления для функций, опре¬
деленных на всей прямой, ДАН 112 (1957), 191 —194.
23.	Диткин В. А., К теории операционного исчисления, ДАН 123
(1958), 395—396.
24.	Д и т к и н В. А. и К у з я е ц о в П. И., Справочник по операци¬
онному исчислению, М.— Л., Гостехиздат, 1951.
25.	Диткин В. А. и Прудников А. П., Операционное- исчисле¬
ние по двум переменным и его приложения, М., Физматгиз, 1958.
26.	Е в т я н о в С. И., Переходные процессы в приемно-усилитель¬
ных схемах, Связьиздат, 1948.
27.	Зигмунд А., Тригонометрические ряды, М.— Л., Гостехиздат,
1939.
28.	И г н а т о в с к и й В. С., По поводу лапласовской трансформации,
ДАН 2(1935), 5—11; 2(1936), 169—172; 4 (1936), 107—110; 14(1937),
167—172, 475—478; 15 (1937), 67—70, 163—166, 231—234; 15 (1937),
169—172; 18 (1938), 511-514.
29.	Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям, М., ИЛ, 1951.
30.	К а н т о р о в и ч Л. В., Определенные интегралы и ряды Фурье,
Л., 1940.

510
БИБЛИОГРАФИЯ
31.	КарманТ. и Био М., Математические методы в инженерном
деле, М.—Л., Гостехиздат, 1948.
32.	К а р с о h Д. Р., Электрические и нестационарные явления и
операционное исчисление, Харьков — Киев, 1934.
33.	Карс л оу X. С., Теория теплопроводности, М.—Л., Гостехиз¬
дат, 1947.
34.	К а р с л о у X. и Е г е р Ф., Операционные методы в прикладной
математике, М., ИЛ., 1948.
35.	К в а л ь в а с с е р В. И., Очерк современного состояния опера¬
ционного исчисления и его приложений, Сб. научно-ис след. раб.
Куйбышев, индустр. инет. 2 (1941).
36.	К о нто ро вич М. И., Операционное исчисление и нестацио¬
нарные явления в электрических цепях, Изд. 2, М., Гостехиз¬
дат, 1953.
37.	К о н т о р о в и ч М. И. и Лебедев H. Н., Об одном методе
решения некоторых задач теории дифракции и родственных ей
проблем, ЖЭТФ 8, вып. 10—11 (1938), 1192—1206.
38.	К р у г К. А., Переходные процессы в линейных электрических
цепях, Госэнергоиздат, 1948.
39.	Кузнецов П. И., О представлении одного контурного интег¬
рала, ПММ, № 2 (1947).
40.	Купцов Н. П., К вопросу об абсолютной и равномерной схо¬
димости интегралов Фурье, Матем. сб. 42 (84), (1957), 461—478.
41.	Л а в р е н т ь е в М. А. и Ш а б а т Б. В., Методы теории функций
комплексного переменного, М.— Л., Гостехиздат, 1951.
42.	Лебедев H. Н., Специальные функции и их приложения, М.,
Гостехиздат, 1953.
43.	Лебедев H. Н., Некоторые интегральные преобразования ма¬
тематической физики, Диссертация, ЛГУ, 1950.
44.	Л е б е д е в H. Н., Об одной формуле обращения, ДАН 52 (1946),
, 395—398.
45? Лебедев H. Н., Некоторые сингулярные интегральные урав¬
нения, связанные с интегральными разложениями математической
физики, ДАН 65 (1949), 621—624.
46.	Лебедев H. Н., О разложении произвольной функции в ин¬
теграл по функциям Макдональда с комплексным значком, ДАН
58 (1947), 1007—1010.
47.	Лебедев H. Н. и К о н т о р о в и ч М. И., ЖЭТФ 9, 6 (1939), 729
487 Левин Б., Преобразования типа Фурье и Лапласа при помощи
решений дифференциального уравнения второго порядка, ДАН
106 (1956), 187—190.
49.	Левин В. И., Ряды и интегралы Фурье, элементы операцион¬
ного исчисления, М., Советское радио, 1948.
50.	Л е в и т а н Б. М., Разложение по собственным функциям, М.— Л.,
Гостехиздат, 1950.
51.	Л е т н и к о в А. В., Теория дифференцирования с произвольным
указателем, М., 1868.
52.	Лурье, А. И., Операционное исчисление и его приложения
к задачам механики, М,— Л., Гостехиздат, 1950.
53.	Лыков А. В., Теория теплопроводности, М,—Л., Гостехиздат,
1952.

БИБЛИОГРАФИЯ
511
54.	Л ю б и ч Ю. И., Некоторые тауберовы теоремы для обобщенных
преобразований Фурье, ДАН ИЗ (1957), 32—35.
55.	Моисеев Н. Д., Решение линейных дифференциальных урав¬
нений с постоянными коэффициентами при помощи преобразова¬
ния Лапласа, Труды военно-воздушной академии им. Жуковского,
вып. 102 (1944).
56.	М о р с Ф. М. и Ф е ш б а X Г., Методы теоретической физики,
тт. Іи 2, М., ИЛ, 1958—1960.
57.	М а л ю ж и н е ц Г. Д., Связь между формулами обращения ин¬
теграла Зоммерфельда и формулами Конторовича—Лебедева, ДАН
119 (1958), 49—51.
58.	М а л ю ж и н е ц Г. Д., Формула обращения для интеграла Зом¬
мерфельда, ДАН 118 (1958), 1099—1102.
59.	М и к у с и н с к и й Я., Операторное исчисление, М., ИЛ, 1956.
60.	П л е с с н е р А. И., О включении операционного исчисления
Хевисайда в спектральную теорию максимальных операторов,
ДАН 26, № 1 (1940).
61.	Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного
переменного, М.— Л., 1\ стехиздат, 1948.
62.	Р и е к с т ы н ь ш Э. Я., Некоторые формулы для преобразования
Лапласа, ПММ 17 (1953), 761—768.
63? Римски й-К о р с а к о в Б. С., Элементы операционного исчисле¬
ния, М., 1958.
64.	Романовский П. И., Ряды Фурье. Теория поля. Аналитиче¬
ские и специальные функции. Преобразование Лапласа, М.,
Физматгиз, 1959.
65.	Р у м ш и с к и й Л. 3., Преобразование Лапласа и позитивные
функции, Учен. зап. ХГУ 4, 21 (1949), 101—130.
66.	Рябцев И. И., О структуре операторов Микусинского в одном
псевдонормированном пространстве, Изв. вузов (математика)
№ 1 (2), (1958), 143—151.
67? Рябцев И. И., О переменном запаздывании, Изв. вузов (мате¬
матика), № 1 (8), (1959), 164—173.
68.	С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, М.—Л., Гостехиздат,
1950—1952.
69.	Снеддон И., Преобразования Фурье, М., ИЛ, 1955.
70.	Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и спе¬
циальных полиномах, М., Гостехиздат, 1954.
71.	Стендер П. В., Сборник упражнений пооперационному исчис¬
лению, 1954.
72.	Титчмарш Э., Теория функций, М., ИЛ, 1951.
73.	Титчмарш Э., Введение в теорию интегралов Фурье, М.,
ИЛ, 1948.
74.	Толстов Г. П., Ряды Фурье, М.—Л., Гостехиздат, 1951.
75.	Т р а н т е р К. Дж., Интегральные преобразования в математи¬
ческой физике, М., Гостехиздат, 1956.
76.	У ф л я н д Я- С., Решение пространственной задачи теории упру¬
гости для клиновидного тела при заданных перемещениях на
границе, ДАН 105 (1955), 1177—1179.
77.	У ф л я и д Я. С., Некоторые задачи теории упругости, разре¬
шимые с помощью интегральных преобразований^ Диссертация,
Ленинград, политехи, ин-т, 1957.

512
БИБЛИОГРАФИЯ
78.	Фок В. А., О разложении произвольной функции в интеграл
по функциям Лежандра с комплексным значком, ДАН 39 (1943),
279—283.
79.	Фок В. А., О некоторых интегральных уравнениях математи¬
ческой физики, ДАН 36 (1942), 147—151.
80.	Ф у к с Б. А. и Ле в и н В. И. Функции комплексного перемен¬
ного и некоторые их приложения, М.— Л., Гостехиздат, 1951.
81.	Фукс Б. А. и Шабат Б. В., Функции комплексного пере¬
менного и некоторые его приложения, М.— Л., Гостехиздат, 1949.
82.	X а р к е в и ч А. А., Неустановившиеся волновые явления,
М.—Л., Гостехиздат, 1950.
83.	Хиршман И. И. и Уиддер Д. В., Преобразования типа
свертки, М., ИЛ, 1948.
84.	Цыпки н Я. 3., Переходные и установившиеся процессы в
импульсных цепях, М.— Л., Гостехиздат, 1951.
85.	ЭфросА. М., О некоторых применениях операторного исчисле¬
ния к анализу, Матем. сб. 42 (1935).
86.	Эфрос А. М. и Данилевский А. М., Операционное ис¬
числение и контурные интегралы, Харьков, 1937.
87.	Юрьев М. Ю., Установившийся режим в четырехполюсниках,
1936.
88.	Якоб, О применении преобразования Лапласа к суммированию
ряда Фурье и интерполяционных многочленов, ДАН 32 (1941),
390-394.
89.	Akutowicz Е. J., The uniqueness of Laplace integrals, Duke
Math. Journ. 23 (1956), 165—174.
90.	А г e n s R. F. and Calderon A. P., Analytic functions of
Fourier transforms, Segundo symposium sobre algunos problemas
matematicos que se estan estudiando en Latino America, julio
1954, 39—52, Montevideo, Uruguay, 1954.
91.	Athurs E. and Martin L., Closed expansion of the convôlu-
tion integral (a generalization of servomechanism error coeffi¬
cients), Journ. Appl. Phys. 26 (1955), 58—60.
92.	Ascoli G., Trasformazione di Laplace, Torino, Gheroni 1956,
256 p.
93.	Batschelet E., Die Operatorenmethode von L. Fantappie und
die Laplace-Transformation, Comment, Math. Helv. 22 (1949),
200—214.
94.	В e 11 e r t S., On Foundations of Operational Calculus, Bull. Acad.
Polon. Sci. 5 (1957), 855—859.
95.	Berge C., Sur un nouveau calcul symbolique et ses applications,
Journ. Math. Pures Appl. (9) 29 (1950), 245—274.
96.	Bergstrom H., Über die Konvergenz von Faltungen in ver-
schiedenen Weierstrassnormen, Math. Nachr. 18 (1958), 244—264.
97.	B e г к e s B., Fouriersche Reihen und Laplacesche Transformation,
Hrvatsko Prirodoslovno Drustvo, Glasnik Mat.-Fiz. Astr., ser. 11,
8 (1953), 196—212.
98.	B h о n s 1 e B. R., On some results involving generalised Laplace’s
transforms, Bull. Calcutta Math. Soc. 48 (1956), 55—63.
99.	B i e 1 e с к i A., Sur le module dans les espaces J. G. Mikusinski,
Fund. Math. 36.

БИБЛИОГРАФИЯ
513
100.	Bl u mental L., Note on fractional operators and the theory of
composition. Amer. Journ. Math. 53 (1931), 483—492.
101.	Bochner S., Darstellung rell-variables und analytischer Funk-
tionen durch verallgemeinerte Fourier- und Laplace-Integrale,
Math. Ann. 97 (1927), 635-662.
102.	Bochner S., Vorlesungen über Fouriersche Intégrale, Akad.
Verl. Leipzig, 1932.
103.	Bochner S. and C h a n d r a s e к a r a n К. C., Fourier Trans¬
forms, Princeton Univ. Press, 1949.
104.	Bojanic, Jurkat und Peyerimhoff, Uber eiken Tauber-
satz für Faltungen, Math. Z. 65 (1956), 195—200.
105.	BoseS. K., A study of the generalised Laplace integral, Bull.
Calcuta Math. Soc. 41 (1949).
106.	Bose S. K., On Laplace transform, Math. Z. 56 (1952), 84—93.
107.	Bose S. K., Laplace transform and self-reciprocal functions,
Ganita 5 (1954), 25—32.
108.	Br anges L. L., Local operators on Fourier transforms, Duke
Math. Journ. 25 (1958), 143—153.
109.	B u s c h m a n R. G., A substitution theorem for the Laplace
transformation and its generalization to transformations with sym¬
metric kernel, Pacific. Journ. Math. 7 (1957), 1529—1533.
110.	Butz er P. L., Halbgruppen von linearen Operatoren und das
Darstellungs- und Umkehrproblem für Laplace-Transformationen,
Math. Ann. 134 (1957), 154—166.
111.	Cambi E., Inverse Laplace transforms experessed as Neumann
series, Journ. Math. Phys. 35 (1956), 114—122.
112.	C a m p b e 11 G. and Foster R., Fourier integrals for practical
applications, New-York, van Nostrand, 1948.
113.	Carle man T., L’integrale de Fourier et questions qui s’y
Rattachent, Uppsala, 1944.
114.	C h u r c h i 11 R. V., Extensions of operational mathematics, Univ.
Maryland Book Store, College Park, Md. 1956.
115.	Churchill R. V., The operational calculus of Legendre trans¬
forms, Journ. Math. Physics 33 (1954), 165—178.
116.	Colombo S., Les transformations de Mellin et de Hankel,
applications a la physique mathématique, Paris, CNRS, 1959, 99.
117.	Dalton J., Symbolic operators, 1954.
118.	De 1 ange H., Sur les singularités des fonctions definies par des
intégrales de Laplace, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 26 (1954—1955),
88—102 (1957).
119.	Del a vault H., Application de la transformation de Laplace et
de la transformation de Hankel a la determination de solutions de
l’equation de la cha’eur et des equations de Maxwell en coordon¬
nées cylindriques, Paris, 1957.
120.	D e n i s -P a p i n, Cours de calcul opérationnel, Paris, 1950.
121.	Doetsch G., Problems solved and unsolved in the theory of
the Laplace transform, Rev. Acad. Ci. Madrid 46 (1952), 125—136.
122.	Doetsch G., Über den Konvergenzbereich von Laplace-Integ-
ralen mit komplexem Integrationsweg, Math. Nachr. 18 (1958),
129—135.
123.	Doetsch G., Über die Singularitâten der Mellin-Transformier-
ten, Math. Ann. 128 (1954), 171—176.

514
БИБЛИОГРАФИЯ
124.	Doetsch G., Asymptotic developmente and the Laplace-Trans¬
form, Revista Mat. Hisp.-Amer. (4) 13 (1953), 5—60.
125.	Doetsch G., Handbuch der Laplace-Transformation, bd. I—IV,
Birkhâuser Verlag, Basel, 1950—1956.
126.	Doetsch G., Theorie und Anwendung der Laplace Transforma¬
tion, Berlin, 1937.
127.	Doetsch G., Tabellen zur Laplace-Transformation und Anleitung
zum Gebrauch, Berlin und Gottingen, 1947.
128.	D ol e z a 1 V., Reseni linearnich elektrickych obvodu distribucemi,
Slaboproudy obzor 20 (1959), 302—306.
129.	Dufresnoy J., Sur le produit de composition de deux foncti¬
ons, Compt. Rend. Acad. Sci (Paris) 225 (1947), 857—859.
130.	Dufresnoy J., Autor du theoreme de Phragmen-Lindelôf, Bull.
Sci. Math. 72 (1948), 17—22.
131.	Erdelyi A., Magnus W., O b e r h e 11 i ng e r F., T r i-
comi F. G., Tables of integral transforms, vol. 1, 2, New-York,
McGraw-Hill, 1954.
132.	Erdelyi A., Bemerkungen zur Integration der Mathieuschen
Differentialgleichung durch Laplacesche Intégrale, Compositio Math
5 (1938), 435—446.
133.	Erdelyi A., On a generalisation of the Laplace transformation,
Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 10 (1954), 53—55.
134.	Fan К y, Expose sur le calcul symbolique de Heaviside, Revue
Sci. (Rev. Rose illus) 80 (1942), 147—163.
135.	Fazekas F. es Frey T., Operatorszamitas. Specialis függve-
nyek, Budapest, 1957.
136.	Fenyô L, Eine Bemerkung zur Theorie der Hankelschen Trans¬
formation, Magyar Tud. Akad. Alkalm. Mat. Int. Kôzl. 2 (1953).
137.	Fenyô L, A Mikusinski-fele operatorfogalom es a disztribucio
fogalma kôzti kapcsolatrol, Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt.
Kôzl. 8 (1958), 385—392.
138.	Fenyô L, Über die Verallgemeinerung der Operatorenrechnung,
Publ. Math. 6, N 1—2 (1959), 48—59.
139.	Fox C., A classification of kernels which possess integral trans¬
forms, Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), 401—412.
140.	Fourier, Theorie analytique de la chaleur, Paris, 1882.
141.	Fujiwara M., Asymptotic expansions in the Heaviside’s opera¬
tional calculus, Proc. Imp. Acad. Jap. 15 (1939), 283—287.
142.	Gaffey W. R., A real inversion formula for a class of bilateral
Laplace Transforms, Pacific. Journ. Math. 7 (1957), 879—883.
143.	Ganelius T., Un theoreme tauberien pour la transformation de
Laplace, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 242 (1956), 719—721.
144.	Gill y J., Etude analitique des produits de composition, Compt.
Rend. Acad. Sci. (Paris) 219 (1944) 383—385.
145.	G ill y J., Les parties finies d’integrals et la transformation de
Laplace-Carson, Revue Sci. 83 (1945), 259—270.
146.	Griffith J. L., On the Hankel J-, Y- and //-transforms, Proc.
Amer. Math. Soc. 9 (1958), 738—741.
147.	Griffith J. L., On the asymptotic behaviour of Hankel trans¬
forms, Journ. Proc. Roy. Soc. New South Wales 88 (1954), 71—76
(1955).

БИБЛИОГРАФИЯ
515
148.	Gu in а nd A. P., Matrices associated with fractional Hankel and
Fourier Transformations, Proc. Glasgow Math. Assoc. 2 (1956),
185—192.
149.	Hahn H., Über eine Verallgemeinerung der Fourierschen Integ-
ralformel, Acta Math. 49 (1926), 301—353.
150.	Haller J., Lap1acesche Integraltransformation und Integration
partieller Differentialgleichungen vom parabolischen Typus, Zurich,
1953.
151.	Hankel H., Bestimmte Intégrale mit Zylinderfunktionen, Math.
Ann. 8 (1875), 354—470.
152.	Hankel H., Die Fourierchen Reichen und Intégrale für Zylin¬
derfunktionen, Math. Ann. 8 (1875), 471—494.
153.	Heywood P., Integrability theorems for power series and
Laplace transforms, Journ. London Math. Soc. 32 (1957), 22—27.
154.	Hill E., On Laplace integrals, 8 Skand. Math. Kogr. Stockholm
(1934), 216—227.
155.	Hill E. and Tamar kin J. D., On the theory of Fourier trans¬
forms, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (1933), 768—774.
156.	Hill E. and Tamar kin J. D., On absolute integrability of
Fourier transforms, Fund. Math. 25 (1935), 329—352.
157.	Horn J., Laplacesche Intégrale und Gammaquotienten in der
Theorie der linearen Integralgleichungen, Math. Z. 8 (1920),
100—114.
158.	Hsu L. C., Note on generalized Jordan’s condition for the Fourier
and Mellin transforms, Acta Math. Sinica 3 (1953), 142—147.
159.	Humbert P. et Colombo S., Le calcul symbolique et ses
applications a la Physique mathématique, Gcu'hier—Villars, 1947.
160.	Isaacs G. L., Comparison theorems for Laplace integrals, Journ.
London Math. Soc. 31 (1956), 282—300.
161.	Jaeckel K-, Integraltransformationen mit Differenzkern, ,bei
denen Kern-, Objekt- und Bildfunktion zuin gleichen Typus gehô-
ren, 7. Angew. Math. Meeh. 37 (1957), 401—403.,
162.	Jaeger J. C., Introduction to the Laplace transforma’ion with
engineering applications, L. Methuen, 1949.
163.	Jaiswal J. P., On Meijer transform, Comp. Math. 12 (1956),
284—297; Math. Z. 55 (1952), 385—398; Ann. Soc. Sci. Bruxelles,
ser. 1, 66 (1952), 131—151.
164.	Janet M., Complements divers sur la transformation de Laplace
et les equations aux derivees partielles. Paris, 1957.
165.	Jeffreys H. and Jeffreys B. S., Methods of mathematical
physics, 2-nd ed., Cambridge, University Press, 1950.
166.	Jurkat W. und Peyerimhoff A., Über einen absoluten
Fatou-Rieszschen Satz für Laplaceintegrale, Acad. Serbe. Publ.
Inst. Math. 7 (1954), 61—68.
167.	Kaushik S. P., A theorem for the generalised Laplace trans¬
form, Proc. Nat. Acad. Sci. India, sect. A 21 (1952), 209—212.
168.	Kikushi H., Bessel Transforms, Bull. Electrot. Lab. 16 (1954),
111—120.
169.	KoizumiS. and Sunouchi G., Generalized Fourier integrals,
Tohoku Math. Journ. (2) 5 (1954), 243—260.
170.	Корре H., Die Berechnung von Zustandssummen mittels Laplace-
Transformationen, Ann. der Physik 6 (1951), 423—428.

516
БИБЛИОГРАФИЯ
171.	Korevaar J., Distributions defined from the point of view of
applied mathematics, Indag. Math. 17 (1955), 368—378.
172.	Korevaar J., Distributions defined by fundamental sequences,
Nederl. Akad. We'ensch. Proc. ser. A. 58-Indag. Math. 17 (1955),
494—503, 483—493.
173.	Ko nig, Neue Begründung der Theorie der Distributionen von
L. Schvartz, Math. Nachr. 9 (1953), 129—148.
174.	Kumar J. M., On Meijer transform, Acta Math. 93 (1955),
121—168.
175.	Laks h mana Rao S. K. and Bhatnagar P. L., A note on
the Gegenbauer transform, Journ. Indian Inst. Sci. Sect. A. 38
(1956), 249—255.
176.	L avoine J., Sur le passage de l’image de g(t) a celle de g(it)
dans la transformation de Laplace, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris)
244 (1957), 991—993.
177.	Lerch M., Sur un point de la theorie des fonctions generatrices
d’Abel, Acta Math. 27 (1903).
178.	Levy P., Calcul Symbolique d’Heaviside, Bull. Sci. Math. 50
(1926), 174.
179.	Lions J. L., Supports dans la transformation de Laplace, Journ.
Analyse Math. 2 (1953), 369—380.
180.	M а с e V A., On the inmersion of an algebraic ring into a filed,
Math. Ann. 113 (1936), 686—691.
181.	Mainra V. P., On certain operational images of infinite series,
Bull. Calcutta Math. Soc. 50 (1958), 34—52.
182.	Maitre J., Sur l’intégration generalisee, la These, Moi;tpellier,
1950.
183.	Malgrange B., Sur quelques propriétés der Equations de convo¬
lution, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 238 (1954), 2219—2221.
184.	Mandelbrojt S., Quelques theoremes sur les transformées de
Fourier, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 240 (1955), 1393—1394.
185.	Mandelbrojt S., La transformée de Fourier et les fonctions
holomorphes dans un demi-plan, Journ. Math. Pures Appl. (9) 35
(1956), 211—222.
186.	Mann P. A., Summation von Founerschen Reihen mittels der
Laplaceschen Transformation, Arch. Elektr. Übertragung 7 (1953),
390—3J2.
187.	M c-C о y N. H., Remarks on divisors of zero, Amer. Math.
Monthly 49 (1942), 286—295.
188.	Мс-Cully J. C., The operational Calculus of the Laguerre
Transform, Ph. D. University of Michigan, 1957.
189.	McLachlan N. W. et Humbert P., Formulaire pour le
Calcul symbolique, Mem. Sci. Math. (Paris) 100 (1947).
190.	McLachlan N. W., Humbert P. et Poli, Supplement au
formulaire pour le calcul symbolique, Mem. Sci. Math. (Paris)
113 (1950).
191.	McLachlan N. W., Complex variable and operational calculus,
Cambridge the University Press, New-York, 1946.
192.	Meijer C. S., Ueber eine Erweiterung der Laplace-Transforma-
tion, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 43 (1940), 599—608,702—711.
193.	Miguel da Silveira, General operational calculus in n
variables, Port. Math. 15 (1956), 49; 16 (1957), 41.

БИБЛИОГРАФИЯ
517
194.	Mi к u s in ski J. G., Le calcul opérationnel d’intervalle fini, Stud.
Math. 15 (1956), 225—251.
195.	M i к u s i n s ki J. G., Sur la methode de generalisation de Laurent
Schwartz et sur la convergence faible, Fund. Math. 36 (1948),
235—239.
196.	Mikusinski J. Sur les solutions linéairement indépendantes
des equations différentielles a coefficients constants, Stud. Math.
.16 (1957), 41—47.
197.	Mikusinski J., L’anneau algébrique et ses applications dans
l’annalyse fonctionnelle, Annales Univ. M. C.-Sclodowska, sec. A,
2 (1947), Lublin; 3 (1949), Lublin—Polonia.
198.	Milne-Thomson L. T., On the operational solution of the
homogenoaurs linear equation of finite differences by generalised
continued fractions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 51 (1931), 91—96.
199.	Neufeld J., On the operational solution of linear mixed diffe¬
rence differential equations, Proc. Cambridge Philos. Soc. 30
(1934), 389—391.
200.	Noble B., Methods based on the Wiener-Hopf technique for the
solution of partial differential equations, New-York, 1958.
201.	Nora in R., On a generalized Laplace transform, Math. Z. 69
(1958), 228—233.
202.	Nor do n J., Sur une methode de calcul des images symboliques,
Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 227 (1948), 23—25.
203.	Nowacki W., A dynamical problem of Thermoelasticity, Arch.
Meeh. Stosowanej (3) 9 (1957), Warszawa.
204.	Oberhettinger F., Tabellen zur Fourier Transformation,
Springer-Verlag, Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1957.
205.	P a i 1 1 о u X H., Calcul symbolique et equations aux derivees
partielles, Proc. Internat. Congr. Math., 1954, 2, Amsterdam
(1954), 153.
206.	Paley R. and Wiener N., Fourier transforms in the complex
domain, New-York, 1934.
207.	Papou lis A., A new method of inversion of the Laplace trans¬
form, Quart. Appl. Math. 14 (1957), 405—414.
208.	Park us H., Periodisches Temperaturfeld im Keil, Osterr. Ing.
Arch. 10 (1956), 241—243.
209.	Parodi M., Eduations intégrales et transformation Laplace,
Paris, 1950.
210.	Parodi M., Applications physiques de la transformation de
Laplace, Paris, 1948.
211.	Peres J., Calcul symbolique d’Heaviside et calcul de composi¬
tion de Vito Volterra, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 217 (1943),
517—520.
212.	Peres J., Quelques applications du calcul de composition de
Volterra, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 217 (1943), 585—588.
213.	Petersen R., Laplace transformation of almost periodic func¬
tions, Den 11 Skandinaviske Matemat. Kongr., Trondheim, 1949,
Oslo (1952), 158—165.
214.	Petersen R., On Lerch’s theorem, Compt. Rend. Dixième
Congress Math. Scandinave;, 1945, Copenhagen (1947), 376—383.
215.	Pincherle et Amaldi, Operazioni distributive, Bologne, 1902.

518
БИБЛИОГРАФИЯ
216.	Pinkham R. S., An inversion of the Laplace and Stieltjes trans¬
forms utilizing difference operators, Trans. Amer. Math. Soc. 83
(1956), 1 — 18.
217.	Pipes L., Operational represetation of discontinuous functions,
Journ. Franklin Inst. 225 (1938), 53—61.
218.	Pleijel A., Beitrag zur Theorie der Laplace-Transformationen,
Tolfte Skandinaviska Matematikerkongressen, Lund, 1953 (1954),
217—221.
219.	Pollard H. and Standish C., Inversion of a class of discrete
convolution transform, Scripta Math. 22 (1956\ 207—216.
220.	Ryll-Nardzewski G., Sur la convergence des series d’ope-
rateurs, Stud. Math. 13 (1953), 37—40, 41—47.
221.	Saks en a К. M., Some theorems concerning a generalized
Laplace transform, Collect. Math. 10 (1958), 3—19.
222.	S a к u r a i T., A new operational method in mathematical physics,
Tohoku Math. Journ. 44 (1937), 39—80.
223.	Sakurai T., The application of operational methods to Vol¬
terra’s integral equation, Proc. Phys. Math. Soc. Jap. (3) 19(1937),
1046—1072.
224.	Sakurai T., The operators in the finite calculus, Proc. Phys.
Math. Soc. Jap. (3) 20 (1938), 190—220.
225.	S akurai T., An extension of Heavisaile’s operational method.
Proc. Phys. Math. Soc. Jap. 18 (1936), 356; 19 (1937), 108; 20
(1938), 355.
226.	Sakurai T., Fourier integral and some physical problems, Proc.
Phys. Math. Soc. Jap. (3) 18 (1936), 706—726.
227.	Salzer H., Tables of Coefficients for the Numerical Calculus
of Laplace-transform, Washington, 1953.
228.	San Juan R., Charakterisierung der durch einfach konver-
gente Laplace-Integrale darstellbaren Funktionei, Math. Nachr.
12 (1954), 113—118.
229.	San Juan R. and Rodrigue z-S a 1 i n a s B., Exposition of
some known and other new theorems on ordinary and uniform
convergence of the Fourier integral, Revista Acad. Ci. Madrid 47
(1953), 495—510.
230.	S ar к ar G. K-, On certain theorems on operational calculus and
some properties of the generalised ^function of Bateman, Bull.
Calcutta Math. Soc. 47 (1955), 81—86.
231.	Schmeidler W., Integralgleichungen mit anwendungen in
physik und technik, Leipzig, 1955.
232.	Schwartz L., Theorie des distributions, Paris, T. 1—2, 1950—1951.
233.	Sexi Th., Zur systematischen Integration der Laplaceschen
Differentialgieichung, Osterr, Ing.-Archiv 10 (1956), 280—288.
234.	Singh V., Convergence theorems for a generalized Laplace
integral, Math. Z. 64 (1955), 1—9.
235.	Smith J. J. and Alger P. L., A Derivation of Heaviside’s
Operational Calculus Based on Generalized Functions of Schwartz,
Trans. AIEE 68, part 2 (1949), 939—944.
236.	Sneddon I. N., Functional analysis, Berlin, 1955.
237.	S n e h I a t a, On generalised Laplace transform and self-recipro¬
cal function, Proc. Nat. Acad. Sci. India. Sect. A 21 (1952),
190-200.

БИБЛИОГРАФИЯ
519
238.	Srivastava К. J., Fractional integration and Meijer transform,
Math. Z. 67 (1957), 404—412.
239.	Steinberg J., Sur les lois de commutation de certaines trans¬
formations intégrales, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 10 (1956),
25—33.
240.	S z i 1 V a y F. G. und Z e r g e n y i E., Über ein Wârmeleitungs-
problem, Magyar Tud. Akad. Alkalm. Mat. Int. Küzl. 3 (1954),
253—263 (1955).
241.	Tam ar kin I. D., On Laplace’s integral equation, Trans. Am.
Math. Soc. 28 (1926), 417—425.
242.	T a n n о Y., An inversion formula for convolution transforms,
Kodai Math. Sem. Rep. 8 (1956), 79—84.
243.	Tadenuma R., Conduction of Heat in a circular Cylinder
Varying in Length at a Constant Rate, Bull. Electrot. Lab. 16
(1952), 784—786.
244.	Tadenuma R., Conduction of Heat in a Rod with Moving
Boundary, Bull. Electrot. Lab. 16 (1952), 860—863.
245.	Thomson W., Laplace Transformation, New-York, 1950.
246.	Tillmann, Analytische Fortsetzung in der Fantappiesehen
Theorie der analytischen Funktionale, Archiv der Math. 8, 1,
43—45.
247.	T i t c h m a r c h E. C., Complex Fourier-Bessel transforms, Quart.
Journ. Math. Oxford 19 (1948), 164—175.
248.	T i t c h m a r c h E. C., The zeros of certain integral functions,
Proc. London Math. Soc. 25 (1926), 283—302.
249.	T r i с о m i F., Über Doetschs Umkehrformel der GauB-Transfor-
mation und eine neue Umkehrung der Laplace-Transformation,
Math. Z. 40 (1936), 720—726.
250.	Varma R. S., On a generalization of Laplace integral, Proc.
Nat. Acad. Sci. India, sect. A, 20 (1951), 209—216.
251.	Vasil ach S., Sur la caractérisation de la transformation de
Fourier des distributions, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 246
(1958), 2836—2838.
252.	Va si lâche S., Elemente de Teoria Multimilor si a Structurilor
Algebrice, Edit. Acad. Rep. Popul. Romine (1956).
253.	Wagner K. W., Operatorenrechnung und Laplacesche transfor¬
mation, Leipzig, 1950.
254.	Wasow W., Discrete approximations to the Laplace transfor¬
mation, Zeitschr. Angew. Math. Phys. 8, № 5, 401—417.
255.	Widder D. W., The Laplace Transform, Princeton, 1946.
256.	Widder D. V., The heat equation and the Weierstrass trans¬
form, Proc. Conference on differential equations, Univ. Maryland
Book Store (1956), 227—234.
257.	Wiener N., The Fourier integral and certain of its applications,
Cambridge University Press, 1933.
258.	Wiener N., The operational calculus, Math. Ann. 95 (1926),
557—584.
259.	Wiener N., Tauberian theorems, Ann. of Math. 33 (1932),
1-100.
260.	W 1 о d a r s к i L., Sur une formule de Efros, Studia Math. 13
(1953), 183—187.

520
БИБЛИОГРАФИЯ
261.	Wlodarski L., Une remarque sur une class de fonctions
exponentielles du calcul opérationnel, Studia Math. 13 (1953),
188—189.
262.	Wolibner W., Sur certains corollaires du theoreme de
Titchmarsh, Studia Math. 14 (1953), 107—110; (1954).
263.	Wrinch D., Fourier transforms and structure crystalls, 1946.
264.	W u y t s P., Region of convergens of an integral of the form
QO
e-& (b dt (> (^-complex), Meded. Kon. Vlaamse Acad,
о
KI. Wetensch. 18 (1956), 70.
265.	W u y t s P., On the representation of an analytic function by a
Laplace-integral, Nieuw Arch. Wisk. (3) 4 (1956), 71—80.
266.	W u y t s P., On the zeros of a Laplace transform, Simon Stevin
31 (1956), 37—46.
267.	W u y t s P., On the convergence-abscissa of a Laplace integral,
Nieuw Arch. Wiskunde (3) 2 (1954), 1—27.
268.	Yoshihiro T., Some theorems of Fourier integral, Journ. Math.
Tokyo 1 (1953), 87—93.
&+0
269.	Young R. C., The asymptotic behaviour of F(z)= J eztdg(t)t
a — 0
Math. Z. 40 (1935), 292—311.
270.	Z a id m a n S., La representation des fonctions vectorielles par
des intégrales de Laplace-Stieltjes, Ann. of Math. (2) 68 (1958),
260—277.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель 71
Абеля интегральное уравнение 71
Абсцисса сходимости интеграла
Лапласа 30
Асимптотическое разложение 132
Бесселя Н-преобразование 487
—	/-преобразование 478
—	преобразование 76
	 оператора 141
	, таблицы 432
—	функция второго рода 77
	 &-го порядка 49
Бореля обобщенная теорема 108
Вебера преобразование 80
Вольтерра интегральное уравне¬
ние первого, второго рода 70
Гамма-функция Эйлера 48
Гильберта преобразование 90, 91
	, таблицы 504
Данилевский 124
Двойной интеграл Фурье 14
		, комплексная форма 14
Дифференцирование преобразова¬
ния Лапласа 44
Единичная функция Хевисайда 95
Жордана теорема 34
Идеал 106
Интеграл Лапласа 30, 101
	, свойства 30—39
—	Мелера 87
—	несобственный 115
—	от операторной функции 114
—, сопряженный к интегралу
Фурье 90
—	Фурье-Бесселя 76
Интегральная формула Фурье 14
Интегральное уравнение Абеля 71
	Вольтерра первого, второго
рода 70
	с логарифмическим ядром
72
Интегрирование преобразования
Лапласа 44
Канторович М. И. 83
Конторовича—Лебедева преобра¬
зование 83, 84
	, таблицы 494, 497
Косинус-преобразование Фурье,
гамма-функция 192
—	.—, ортогональные многочле¬
ны 189
	, основные формулы 164
	, функции гиперболические
186
	, — гипергеометрические
вырожденные 239
—	—, — интегральные 193
	, — логарифмические 184
	, — обратные тригонометри¬
ческие 183
	, — рациональные и ирра¬
циональные 165
—	—, — сферические 245
	, — тригонометрические 177
	, — цилиндрические 196
Косинус формула Фурье 15
Коэффициенты Фурье 11

522
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лагерра многочлены 49
	 n-го порядка 91
—	преобразование 91
—	уравнение 91
Лапласа интеграл 30, 101
—	оператор 63
—	преобразование 30, 42, 43
	 интегралов 44
	обобщенное оператора 109
	— функция 107, 108
	 оператора 102
	производных 44
—	трансформация 30
—	уравнение 22
Лапласа — Карсона преобразова¬
ние 43, 352—431
Лебедев Н. И. 83
Лежандра сферическая функция
87
Логарифм 126
Локализации принцип 13
Макдональда функция 81, 83
Мейера преобразование 80
		, таблицы 461
Мелера интеграл 87
Мелера — Фока преобразование
87, 88
	, таблицы 502
Меллина преобразование 73
	, таблицы 422—431
Многочлены Лагерра 49
	 n-го порядка 91
Оператор 95, 136
—	В 134
—	дифференцирования 98
—	интегрирования 99
—	Лапласа 63
—, преобразуемый по Бесселю 140
—, — по Лапласу 101
—	рациональный 100
—	регулярный 105
Операторная функция НО
	непрерывная 111
Операторное дифференциальное
уравнение 125, 126
Операционное исчисление, при¬
менение к решению дифферен¬
циальных уравнений 127, 129
Ось сходимости интеграла Лап¬
ласа 30
Пара косинус-преобразований
Фурье 16
—	преобразований Фурье 16
—	синус-преобразований Фурье 16
Парсеваля равенство 79
—	формулы 18, 20, 21
Показатель роста функции 41
Поле 109
Последовательность операторов
сходящаяся 111
Постоянная Эйлера 48
Предел операторной функции 113
—	последовательности операто¬
ров 112
Преобразование Бесселя 76
	 оператора 141
	, таблицы 432
—	Вебера 80
	обобщенное 80
—	Гильберта 90, 91
	, таблицы 504
—	Конторовича — Лебедева 83, 84
	, таблицы 494, 497
—	Лагерра 91
	, свертка 92
—	Лапласа 30
	 интегралов 44
	обобщенное 107, 108, 109
	, обозначение 42
	 оператора 102
	, подобие 43
	, применение к • решению
дифференциальных и интеграль¬
ных уравнений 51
	произведения функций 41
	производных 44
—	—, свойства 43, 44
—	Лапласа — Карсона 43
	, гамма-функция 413
	, основные формулы 352
	, функции гиперболические
394, 399
	, — гипергеометрические вы¬
рожденные 413
	, — интегральные 413

алфавитный указатель
523
Преобразование Лапласа—Карсо¬
на, функции логарифмические 386
		, — обратные гиперболи
ческие 398
	,	  тригонометриче¬
ские 397
	, — показательные 383
	, — рациональные и ир¬
рациональные 363
	, — тригонометрические
389
—	—, — цилиндрические 400
—	Мейера 80
	, таблицы 461
	, формула обращения 81
—	Мелера — Фока 87, 88
—	—, таблицы 502
—	Меллина 73
—	—, обозначение 73
	, таблицы 422
—	Фурье 15, 16
	 аналитических функций
20
	функции двух переменных
20
—	Ханкеля 77
	, связь с кратными преоб¬
разованиями Фурье 78
	, свойства 78, 79
	, таблицы 432
Преобразования Фурье кратные
20
—	—, некоторые приложения
22—25
Признак сходимости ряда Фурье
13
Принцип локализации 13
Произведение функций 94, 135
Производная непрерывная опера¬
торной функции 114
Равенство Парсеваля 79
Разностное уравнение 121
Разностный оператор 121
Рациональный оператор 100
Реализация оператора 97, 104
Римана — Лебега теорема 13
Ряд Фурье 11
	 для нечетной и четной
функции 13
Свертка функций 17, 39, 135
—	—, обозначение 40
Свертывание 40
Синус-преобразование Фурье,
гамма-функции 290
—	—, ортогональные многочле¬
ны 284
	, основные формулы 258
	» функции гиперболические
281
	, — гипергеометрические вы¬
рожденные 337
	, — интегральные 291
	, — логарифмические 279
	, —обратные тригонометри¬
ческие 277
	, — показательные 268
	, — рациональные и ирра¬
циональные 259
	, — сферические 346
	, — тригонометрические
272
—	—, — цилиндрические 294
Синус-формула Фурье 15
Специальные функции, таблицы
обозначений 149
Струве функция 77
Ступенчатая функция 115
Сферическая функция Лежандра
87
Сходимость ряда Фурье 13
Теорема Бореля обобщенная 108
—	Жордана 34
—	запаздывания 108
—	обращения 32
—	о свертке 40, 41, 74
—	подобия 108
—	разложения первая, вторая
46
—	Римана — Лебега 13
—	смещения 108
—	Титчмарша 40
—	умножения обобщенная 42
Типгчмаріи 40
Титчмарша теорема 40
Тождество Эйлера 12
Трансформация Лапласа 30
Тригонометрический ряд Фурье
11

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уравнение Лагерра 91
—	Лапласа 22
—	преобразованное 129
—	теплопроводности 23, 64, 66
Формулы Парсеваля 18
Функция 97, 137
—	Бесселя второго рода 77
	k-ro порядка 49
—	единичная Хевисайда 95
—	Макдональда 81, 83
—	непрерывно дифференцируемая
114
—	нечетная 12
—	операторная НО
	непрерывная 111
—, представление	посредством
простого интеграла Фурье 14
—	Струве 77
1— ступенчатая 115
—	сферическая Лежандра 87
—	четная 12
—	Якоби 66
Фурье интегральная формула 14
—	косинус-преобразование, таб¬
лица формул 164—257
—	косинус-формула 15
—	коэффициенты 11, 13
—	кратные преобразования 20
Фурье пара косинус-преобразо-
ваний 16
Фурье пара преобразований 16
	 синус-преобразований 16
—	преобразование 16
	аналитических функций 20
	функции двух переменных
20
—	преобразования, приложения
22—25
	, свойства 15, 16
—	синус-преобразование, таблица
формул 258—351
—	синус-формула 15
—	тригонометрический ряд 11, 13
Фурье — Бесселя интеграл 76
Ханкеля преобразование 77
	, таблицы 432
Хевисайда единичная функция 95
Эйлера гамма-функция 48
—	постоянная 48
—	тождество 12
Элементы сравнимые по идеалу
106
Эфрос А. М 42, 124
Якоби функция 66

Цепа 1 р. 07 к.
СПРАВОЧНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ
■
-,
ДАНИЛОВ В. Л., ИВАНОВА А. Н. и др., Мате-
ма ический, іализ (функции, пределы, ряды, цеп¬
ные дроби).
АГ ХЧАг.СЗИЧ к. Г., ГУТЕР Р. С. и др;,
Мзіемсітичеекмй сінал .з (дифференцирование и
интегрирование).
т