Н. П. Жидков
ЛИНЕЙНЫЕ
АППРОКСИМАЦИИ
ФУНКЦИОНАЛОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1977

УДК 513.88
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Рецензенты: профессор Г. Ф. Теленин,
профессор И. С. Березин
Жидков Н. П. Линейные аппроксимации функци¬
оналов. М., Изд-во Моск. ун-та, 1977.
262 с., 17 ил. Библиогр. 8 назв.
В книге изложена теория, позволяющая с единой точки зре¬
ния оценить различные разделы численных методов. Рассмотрены
оптимальные аппроксимации и даны эффективные методы их полу¬
чения. Теория иллюстрирована многочисленными примерами из об¬
ласти интерполирования, численного интегрирования и др. Особен¬
но следует	отметить	синтез	Фурье и привлекшую	в последнее вре¬
мя бюльшое	внимание	теорию	сплайн-функций.
Теория	основана	на функциональном анализе.	Все необходимые
сведения из	функционального	анализа приведены в тексте.
Книга предназначена для всех интересующихся теорий и прак¬
тикой численных методов.
20203 185
Ж	110—76	(С)	Издательство	Московского	университета,	1977
077(02)—77

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	.	5
Глава I. Общая задача аппроксимации функционалов	7
§ 1. Введение .	.	  .	7
§ 2. Линейные функционалы на линейных системах	...	8
§ 3. Оценочные функционалы 	 97
§ 4.	Область изменения Е(/) на S-^p) fM(ai> а2,	•••> «л)	-	138
§ 5.	Исключение несущественных функционалов	...	146
Глава II. Аппроксимация в предгильбертовых пространствах	169
§ 1.	Введение	  .	169
§ 2. Оптимальные элементы .	.	....	.	169
§ 3.	Вычисление оптимального элемента и оценки	.	185
§ 4.	Воспроизводящие ядра ....	.	207
§ 5.	Ортонормированные системы и ряды Фурье	.	.	253
§ 6.	Сведения к задачам минимизации функционалов	.	256
Литература .	262

ПРЕДИСЛОВИЕ
В работе рассмотрены некоторые вопросы применения функ¬
ционального анализа для обоснования ряда методов аппрокси¬
мации.
Пусть заданы значения некоторых линейных функционалов.
Это могут быть, например, значения функции в некоторых точках,
нескольких коэффициентов Фурье или некоторых интегралов от
функции и т. п. Требуется найти по этой информации значение не¬
которого другого линейного функционала, независимого от исход¬
ных. Таким образом, вопрос может идти о формулах интерполи¬
рования, численного дифференцирования и интегрирования, синте¬
за Фурье и т. д. Круг такого рода задач очень широк. При этом
для выбора «разумной» аппроксимации приходится накладывать
некоторые дополнительные нелинейные ограничения на область
допустимых объектов. Например, ограничить некоторые производ¬
ные от рассматриваемых функций или интегралы от этих произ¬
водных.
В первой главе изучается хМножество объектов, для которых
удовлетворены заданные линейные равенства и нелинейные огра¬
ничения.
Во второй главе рассмотрен случай, когда нелинейные ограни¬
чения порождаются полунормой некоторого предгильбертова про¬
странства. При этом удается эффективно выделить оптимальный
элемент, с помощью которого можно строить различные оптималь¬
ные численные методы. Дана оценка погрешности оптимальной
аппроксимации.
В книге приведены многочисленные примеры, которые содер¬
жат полезный познавательный материал, в основном из области
численного анализа. В качестве примеров рассмотрены формулы
интерполяции, численного интегрирования, сплайн-функций (тесно
связанных с методом регуляризации А. Н. Тихонова) и др.
5

В конце книги приведен список литературы, снабженной обшир¬
ной библиографией.
Небольшой объем книги не позволил достаточно широко раз¬
вить ряд поднятых в ней вопросов. Но предложенные идеи и при¬
веденные примеры, как кажется автору, позволят внимательному
читателю углубиться в интересующие его области. Автор надеется,
продолжить работу в данном направлении.
Для понимания книги достаточно втузовского курса математи¬
ческого анализа и простейших разделов линейной алгебры. Все
необходимые вопросы из функционального анализа приводятся в
нужных местах. Небольшое количество материала, где использует¬
ся теория функций действительного и комплексного переменного,
может быть опущено без ущерба для понимания остального.
Содержание книги основано на лекциях автора для студентов
факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ и
для слушателей факультета повышения квалификации преподава¬
телей высшей школы при МГУ. Ранее этот материал частично
публиковался в ротапринтных изданиях: Н. П. Жидков, «Линей¬
ные аппроксимации функционалов». ВЦ МГУ, 1970 и Н. П. Жид¬
ков, «Линейные аппроксимации функционалов», ч. II. ВЦ МГУ,
1972. Читатели этих книг и слушатели курса дали много полезных
советов, которые автор постарался использовать. Автор особенно
благодарен сотрудникам ВЦ МГУ Б. М. Щедрину, Н. М. Андру-
шевскому, А. В. Вилкову, профессорам факультета ВМиК МГУ
Н.	С. Бахвалову и И. С. Березину, лаборанту факультета ВМиК.
МГУ В. В. Семкину за помощь при оформлении рукописи.
Автор заранее, признателен тем читателям, которые пожелают
прислать свои замечания по ее содержанию и оформлению и вы¬
скажут свои пожелания и предложения.

Глава I
ОБЩАЯ ЗАДАЧА АППРОКСИМАЦИИ
ФУНКЦИОНАЛОВ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Очень многие задачи численных методов можно формулировать
следующим образом. Имеется некоторая линейная система L эле¬
ментов f, gy .... В этой системе определены линейно-независимые
линейные функционалы Fu F2, ..., Fn. Предполагается, что для
каждого элемента f^L мы можем определять значения Fi(f)=au
i= 1, 2, ..., п. Пусть, кроме того, в L определен функционал F так,
что F, Fu F2y ..., Fn линейно-независимы. Требуется указать спо¬
соб, с помощью которого для каждого элемента f<=L можно было
бы по значениям Fi(f)= а*, /= 1, 2, ..,>w, приписать F(f) некото¬
рое «разумное» приближенное значение. Эта постановка задачи
еще очень неопределенна, и в дальнейшем мы будем ее уточнять.
Пока же приведем некоторые примеры.
Пример 1.1. Пусть L — совокупность всех действительных функ¬
ций, заданных на отрезке [а, Ь]^с обычным определением сложе¬
ния функций и умножения их на действительные числа. Пусть х1у
х2, ..., хп — п различных точеюютрезка [а, b] и х\— точка [а, Ь],
отличная от всех Xi. Положим Fi(f) =f{Xi), i = 1, 2, ..., /г, F(f) =
= f(x'). Интерполяционная формула Лагранжа
ставит в соответствие каждой функции f^L некоторое число, опре¬
деляемое значениями этой функции в точках xiy i= 1, 2, ..., п, ко¬
торое принимаетсяРза приближенное значение' f (x'). Формулу (1: Ь)*
можно переписать в виде
(1.1)
где
с
М, (х) = (х — Ху) (х — х,) ...(х — хг),
7

F(f)^ £^(/),
i—\
(1.2)
где коэффициенты Ci не зависят от выбора функции f^L.
Пример 1.2. Пусть L — совокупность всех действительных ин¬
тегрируемых на отрезке [а, b] функций с обычным определением
их сложения и умножения на действительные числа. Функционалы
Fi(f) определим как и прежде, a F(f) определим следующим обра¬
зом:
ь
f (x)dx.
а
Формулы численного интегрирования обычно имеют вид (1.2), при¬
чем и в этом случае коэффициенты ct не зависят от функции f^L.
Довольно часто для получения формул вида (1.2) поступают
следующим образом. Рассматривают некоторую подсистему LiCzL,
на которой функционалы F{, F2, ..., Fn линейно-независимы, а функ¬
ционал F линейно зависит от них:
F(f) = '£ciFi(f)	(1.3)
1=1
для любого элемента f^Lx. Полученные при этом коэффициенты
Ci и используют в формуле (1.2) для вычисления приближенного
значения F(f) уже для любого f^L. Так, формулу (1.1) можно
получить, беря в качестве подсистемы Ьх системы L примера 1.1
множество всех алгебраических многочленов степени не выше
а—1. Аналогично получаются многие формулы численного инте¬
грирования. Конечно, коэффициенты Ci в формуле (1.2) при полу¬
чении ее таким способом будут зависеть от выбора подсистемы Lb
и далеко не всегда ясно, какую из возможных подсистем нужно
предпочесть при решении данной задачи или некоторого класса за¬
дач. Мы рассмотрим здесь несколько иной подход к проблеме, о
которой говорилось в начале параграфа.
Так как формулы вида (1.2) используют только значения Fi(f)
в качестве информации об элементе f, то естественно, прежде, чем
приписывать какое-либо значение F(f), изучить множество всех
элементов f, для которых Fi(f) принимают произвольные, нефикси¬
рованные значения. Это и будет являться нашей ближайшей зада¬
чей, но предварительно напомним некоторые основные факты из
функционального анализа, которые нам при этом потребуются.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ НА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Множество L элементов f, g9 ... называется линейной действи¬
тельной системой, если для любых двух его элементов fi^Ln f2^L
определена их сумма fi + f2 — элемент L и для любого элемента
8

t^L и любого действительного числа с определено произведение
А также являющееся элементом L. При этом указанные опера¬
ции сложения элементов и умножения их на действительные числа
должны удовлетворять следующим условиям.
1. Для любых двух элементов f\^L и f2^L имеет место
/1 ~i" /2 = /2	/1
(коммутативность сложения).
2. Для любых элементов fi^Lf	fs^L	имеет место
(/1 + /2) + /з = /1 + (/2 + /з)
(ассоциативность сложения).
3. Для любых действительных чисел С\ и С2 и любого элемента
/eL имеет место
(<У2) / = С1 Ш)
(ассоциативность умножения).
4. Для любых действительных чисел С\ и С2 и любых элементов
fi^L и f2^L имеет место
(<?1 + с2) fx = cjx + C2flt СХ (/х + /2) =	+	cj2
(дистрибутивные законы, связывающие сложение и умножение).
5. Существует такой элемент 0 (нулевой элемент), что для лю¬
бого элемента f^L имеет место 0 •/ —0.
6. Для любого элемента f^L имеет место 1 -f=f.
Множества элементов L примеров 1.1 и 1.2 с введенными там
операциями сложения и умножения образуют линейные действи¬
тельные системы. Элементом 0 в данном случае является функ¬
ция, тождественно равная нулю на [а, Ь]. Рассмотрим еще один
пример линейной действительной системы.
Пример 1.3. За элементы этой системы примем всевозможные
совокупности из п упорядоченных действительных чисел:
X = (х19 х2, . . . , Хп).
Будем называть эти элементы векторами. При этом числа х\ будем
называть компонентами вектора. Сложение и умножение векторов
определим следующим образом. Пусть х= (хи л:2, ..., хп) и у =
= (Уи 1/2, . Уп) —произвольные векторы и с — произвольное дей¬
ствительное число. Тогда
X -Г у = (*1 -f ух, х.2	у2, хп + уп),
СХ = (схг, СХ2у . .. , схп).
Очевидно, все условия 1—6 будут выполнены. Нулевым элементом
в данном случае является вектор 0= (0, 0, ..., 0). Будем в дальней¬
шем эту линейную действительную систему обозначать через Rn•

Функция F(f), областью определения которой является линей¬
ная-действительная система L, а областью значений — совокуп¬
ность всех действительных чисел, называется действительным ли¬
нейным функционалом, если для любых двух действительных чисел
С\ и с2 и любых двух элементов /ь f2^L имеет место
F{cJ 1 + CoJ2) = c.Fif,) + c2F(f2).	(1.4)
Функционалы F (f) и Fi(f) в примерах 1.1 и 1.2 являются дей¬
ствительными линейными функционалами, определенными на соот¬
ветствующих линейных системах L.
Найдем общий вид линейного действительного функционала в Rn.
Выделим в Rn векторы е*: е1 == (0, 0, ... , 0, 1,0,..., 0), i = 1,
i—1 раз
2,	, п.
Будем называть их координатными. Для любого вектора х= (х,,
д-2, хп) имеем
П
X = £ Xfii.
i=1
Если обозначить Е(ег-) =<:*, то по поедыдущему равенству и по
(1-4)
F (х) = 2 СА-
1 = 1
Обратно, как бы мы ни задавали действительные числа С\, с2,
с,и последнее равенство определит действительный линейный
функционал в Rn.
В дальнейшем, пока мы будем в основном иметь дело только
с действительными линейными системами и действительными ли¬
нейными функционалами, если*не возникнет опасности вызвать
недоразумения, будем называть их соответственно просто система¬
ми и функционалами.
Множество всех элементов f^L, на которых функционал F об¬
ращается в нуль, будем называть ядром F и обозначать 0(F).
Очевидно, 0(F) является подсистемой L. Если F(f) = 0, то 0{F)
совпадает с L. Если же F(f)^0, то 0(F) является правильной
частью L.
Для Fi примеров 1.1 и 1.2 О (Ft) состоит из всех действитель¬
ных (интегрируемых для примера 1.2) функций, обращающихся
в нуль в точке х^[а, Ь]. 0(F) примера 1.2 состоит из всех дей¬
ствительных, интегрируемых на [а, Ь] функций, удовлетворяющих
условию
ь
| / (х) dx = 0.
10

ЯДР° функционала в Rn будет содержать все векторы х= (хи х2,...
хп), удовлетворяющие условию
С1Х1 + С2Х2 + • • • -г спхп =40,
где Си с2, •••, сп — числа, определяющие функционал указанным
выше образом. Если при этом не все равны нулю, будем назы¬
вать такое множество гиперплоскостью. Гиперплоскостью же назо¬
вем и множество всех элементов Rn, для которых выполнено со¬
отношение
п
СгХг =
t=l
п
где Си й — заданные числа, ^ с}ф 0. Аналогичная терминоло-
i=1
гия может применяться и в произвольной линейной системе L.
Если Г(!)Ф0 — линейный функционал в L, то множество элемен¬
тов L, удовлетворяющих условию
F(f) = d,
где d — заданное действительное число, назовем гиперплоскостью.
Лемма 1.1. Пусть РфО и g— произвольный, но фиксированный
элемент L, не принадлежащий 0(F). Тогда произвольный элемент
f^L можно представить в виде
f = cg-r<(,	(1.5)
где с — некоторое действительное число и <p^O(F). Число с и эле¬
мент ф определяются элементами fug однозначно.
Пусть F(f)^0 и g — такой элемент L, что F(g) = а=^=0. Пусть
f — произвольный элемент L и F(f)=$. Тогда F		—	=	0,
т. е. ф = / -gEO(F). Отсюда и следует (1.5).
Предположим, что элемент g зафиксирован, g'^O(F), и для
некоторого f^L имеется два представления:
f = cg-f Ф, / — c'g 4- фг,
где с и с' — действительные числа, а <р и ф' принадлежат 0(F).
Тогда
F(f) = cF(g) = c’F(g).
Следовательно, с = с' и отсюда ф^ф'. Таким образом, с и ф опре¬
деляются элементами fug однозначно. Лемма доказана.
Замечание 1. Ядро 0(F) линейного функционала Р(})фО и
значение этого функционала F (g) =афО для некоторого элемента
g 0 0(F) однозначно определяют значения F (f) для любого f^L.
11
а

Действительно, по (1.5)
F(f) = cF {g) — со,
а с определено f и g однозначно.
Замечание 2. Подсистема L\CiL является ядром некоторого ли¬
нейного функционала F (f) на L тогда и только тогда, когда хотя
бы для одного элемента geL, g £ Lu и любого /eL можно одно¬
значно указать число с и элемент среД, такие, что имеет место
равенство (1.5).
Необходимость следует из леммы 1.1.
Докажем достаточность. Пусть g$LL\— элемент L, для кото¬
рого выполнено условие замечания. Полагаем F {g)=a, где а —
произвольное действительное неравное нулю число, и для произ¬
вольного
F (/) = cF(g) -= со,
где с однозначно определено представлением (1.5). При этом, оче¬
видно, получим линейный функционал с ядром Д.
Замечание 3. Если на системе L заданы два линейных функ¬
ционала Fj и Д>, то их ядра всегда имеют общий элемент 0, т. е.
они имеют непустое пересечение. Если, кроме того, дано 0(Д
=l О (Г2), то либо F 1 = 0, либо 0(Д)=0(Г2).
Действительно, если существует такой элемент g^L, что gе
^О(Д) и ggzO(f2), то, применяя лемму 1.1 к функционалу Р2>
получим в силу разложения 1.5 с данным g Д(/) = 0 для любого
f^L.
Пусть L — линейная система и Д и Ь2— какие-то ее подсисте¬
мы. Говорят, что L является прямой суммой Д и Ь2 и записывают
это следующим образом:
L = Д ф Д,
если каждый элемент f^L можно единственным образом предста¬
вить в виде
/ = ф + g,
где (р^Д и g^L2. Лемма 1.1 утверждает, что L является прямой
суммой подсистемы Д = 0(Г) и подсистемы Ь2, составленной из
элементов eg, где с — произвольное действительное число и g —
произвольный, но фиксированный элемент Д g^O(F).
Будем говорить, что линейные функционалы Д, Г2, ..., Д, опре¬
деленные на Д линейно-зависимы, если существуют такие действи-
2	о	2
тельные числа С], с2, ..., сп, не все равные нулю (с\ + с2 + ... + сп ф
Ф 0), что
c,FM) +c2FJJ) -'г... -rCnFn(f) = 0
для любого /еД Если таких чисел подобрать нельзя, то будем
говорить, что функционалы Д, Д, ..., Fn лиыейно-незавиенмьт.
12

Если функционалы линейно-независимы на некоторой подси¬
стеме и системы L, то они будут линейно-независимы и на всей L,
Если же они линейно-зависимы на некоторой подсистеме LiCiL, то
•отсюда совсем не следует их линейная зависимость на всей L.
функционалы могут быть линейно-независимы на одной подсисте¬
ме .-1 и лицейно-зависимы на другой подсистеме Ь2.
Если для двух функционалов Fx и F2, определенных на L, имеет
место О (Fi)^O (F2), то они линейно-зависимы.
Действительно, как следует из замечания к лемме 1.1, либо
Fi^0 и тогда
FAf)+0-F2(f) = 09
либо O(Fi) =0(F2). В последнем случае либо 0(E\)=L и тогда
имеет место предыдущее равенство, либо существует такой эле¬
мент g(=L, что F\ (g) = афО, F2(g) = $ф0. Но тогда
pFl(f)-aF2(f) = Q.
Обратно, если два функционала Fx и F2 линейно-зависимы на
L, то либо 0(Fi)^0(F2), либо 0(F2)^0(Fi).
Действительно, если бы это было не так, то нашлись бы эле¬
менты gi^L и g2(EzL,f такие, что gi^O(Fi), g\<£0(F2), g2& 0(Fi),
g2EEO(F2). Пусть
ciFi (/) + c2F2 (/) = 0
линейная зависимость между Fi и F2. Подставляя сюда gi, по¬
лучим Co = 0, а подставляя g2, получим ci = 0, что противоречит
определению линейной зависимости.
Следующая лемма является обобщением этих выводов.
Лемма 1.2. Для того чтобы линейные функционалы Fu r2, ...,Fn
были линейно-независимы на L, необходимо и достаточно суще¬
ствование п таких элементов fь /2, fn, принадлежащих L, что
( 1 при j = i,
Л(//) = 6*/=|	U	/=1, 2,	/г.	(1.6)
I 0 при i ф /,
Докажем необходимость. Пусть Fu F2y ..., Fn — линейно-неза¬
висимые функционалы. Тогда	и 0(Fi) является правильной
частью L. Будем рассматривать функционалы F2, F3, ..., Fn только
на линейной системе 0(Fi). Они линейно-независимы на ней. Если
бы это было не так, то нашлись бы такие с2, сз, с?7, не все рав¬
ные нулю, что
c,F2(f) +c3F3(f)~r *-.-cnFn(f) = О
для всех f^O(Fi). Рассмотрим функционал
F (/) = c2F2 (/) + c3F3 (/) 4- • • - -г cnFn (/)

на всей системе L. При этом О (F)^O'(F«) и по предыдущем^ F
и Fi линейно-зависимы. Но тогда линейно-зависимы и Fь F2i
что противоречит нашему предположению.
Итак, F2, Fз,	Fn линейно-независимы на O(Fi). Точно также
доказывается, что F3, F\, ..., будут линейно-независимы на
0(Fi, F2) =0(Fi) П 0(F2). Продолжая эти рассуждения и далее,
мы придем к заключению, что Рп не может быть тождественным
нулем ка множестве	!
О (Fl? F2, ... , Fn-1) = 0 (FJ П О (Л) Л ... Г! 0 (Fn-i).
Следовательно, найдется такой элемент g'rleO(F1, F2, ...,	что
Fn(gn) Но тогда для элемента
fn =
Fn (gn)
также принадлежащего 0(Fь Р2) ..., Fn-i), будем иметь
Fn(fri)^l, Fi(fn) = 0, i=l, 2, n_l.
Меняя в предыдущем рассуждении порядок функционалов, мы
сможем доказать существование и других элементов /у, о которых
говорилось в лемме. Необходимость доказана.
Докажем достаточность. Пусть Ci, с2, ..., сп — такие действи¬
тельные числа, что
CiF, (/) + c2F2 (/)+...+ cnFn (/) = О
для любого f^L. Подставим в это равенство в качестве f элемент
fi равенства (1.6), где i — фиксированное целое число,
При этом получим сг=0. Так как i можно выбрать любым, то с{ =
= с2= ... =сп=0. Следовательно, Fi, F2, ..., Fn линейно-независимы.
Достаточность, а вместе с тем и лемма доказаны.
Следствие. Для того чтобы функционалы Fи Р2, ..., Fn были
линейно-независимы на L, необходимо и достаточно существова¬
ние такого элемента feL, что
Fх(/) = а4. i=l, 2, ... , п,
для любого набора действительных чисел ai, a2, ..., an.
Действительно, если указанные функционалы линейно-незави¬
симы, то согласно лемме существуют элементы fi, f2, fn, при¬
надлежащие L, такие, что FД/у) =6,-j, i, / = 1, 2, ..., /i. При этом
для любых ai, a2, ..., an системе L принадлежит элемент
/ = «i/i + a2/2 -г ... + anfn,
для которого Ft(f) =ai. i=l» 2, n.
С другой стороны, если условия следствия выполнены, то для
любого I,	мы	можем положить a2=l, cij = 0 при всех '\ф[.
Мы получим элементы fi, которые требуются по условиям леммы,
и, следовательно, функционалы Fi} F2, ..., Fn линейно-независимы.
14

Ьункционалы Fu F2, ..., Fn примеров 1.1 и 1.2 линейно-незави¬
сим
на соответствующих линейных системах L. В качестве эле¬
ментов fi, о которых говорилось в лемме 1.2, можно, например,
взя'
мож
/ (JC) = 	1	= 1, 2,	,	п,	(1.7)
иу ’ (x-xt)a>n{xt)	’
где (ол (х) введено в примере 1.1. Вводя функцию
юя+1 (л:) = (х — х') (х — Xl)...(x — х;1),
.ю получить аналогичные элементы и для функционалов F,
Fu .1, Fn примера 1.1.
^инейную независимость г, Fu ..., Fn примера 1.2 можно, на¬
пример, доказать следующим образом. Пусть эти функционалы
линейно-зависимы и
cF(x)+'£ciFi(f) = О
1=1
соответствующая линейная зависимость. Подставим сюда в ка¬
честве f функцию
Г (*) = [ f (xfdx] 1	(х).
Это даст с = О, что противоречит уже доказанной линейкой незави¬
симости функционалов F,-.
В Rn условие линейной независимости можно записать и иначе.
Пусть
п
Fi м " Л cHxh 1 = 1 > 2, ... , т,
/=1
линейные функционалы в Rn. Тогда условия следствия сводятся
к тому, что система линейных алгебраических уравнений
п
=	^	=	1)	2, . . . , /72,
/=1
относительно п неизвестных Xj имеет решение, каковы бы ни были
действительные числа а2, ап. Как известно, это будет тогда
и только тогда, когда ранг матрицы

равен т. Если при этом т = п, то столбцы матрицы С-1 будут да¬
вать компоненты векторов fi леммы 1.2, При т<п эти Элементы
будут определяться неоднозначно.
Будем говорить, что элементы fb f2, fn системы L линейно-
независимы, если из равенства
clf 1 + ^2/2 + • • • + cJn = 6	I
;
следует, что все Сг равны нулю. В противном случае будем Назы¬
вать их линейно-зависимыми. Бесконечное множество элементрв L
называется линейно-независимым, если любое конечное подмнрже-
ство его состоит из линейно-независимых элементов.	|
Элементы f2-, определенные (1.6), линейно-независимы. Дейст¬
вительно, если	j
cifi + ^2/2 + • • • + cjn = 6,
то
F%icifi +^2/2 + . -. + cnfn) = ci = Fi(0) = 0, i = 1, 2, ... , n.
Совокупность {fa} линейно-независимых элементов называется
базисом L, если любой элемент feL можно представить в виде
линейной комбинации конечного числа элементов {fa}:
i=1
Значения п для различных f могут быть различными. Если пред¬
полагать все коэффициенты в этом выражении отличными от нуля,
то из линейной независимости {fa} следует единственность такого
представления.
Можно показать, что для каждой линейной системы L базис
существует. При этом если {fp}—произвольная совокупность ли¬
нейно-независимых элементов L, то существует базис {fa} системы
L, в число элементов которого входят все элементы {fp}.
Линейная система L, для которой существует базис, содержа¬
щий конечное число элементов, называется конечномерной. Если
такого базиса найти нельзя, то система называется бесконечно¬
мерной.
Пусть L — конечномерна и fb f2, ..., fn — какой-то базис L. Тог¬
да любые т элементов gi^L можно представить в виде
п
Si = £ cufb t= 1, 2,	,	,7/.
/=1
Линейная зависимость пли независимость этих элементов будет
определяться свойствами матрицы C=(C{j). Если ранг этой мат¬
рицы меньше т, то элементы gi линейно-зависимы. Если он равен
т, то они линейно-независимы. Отсюда, в частности, следует, что
число элементов базиса конечномерной системы не зависит от вы-

бора! базиса, и совокупность всех базисов можно получить из
базиса {fj}> беря всевозможные невырожденные матрицы С по¬
рядка п. Число элементов базиса конечномерной системы L назо¬
вем размерностью L. Так как в линейной системе L размерности п
(л-мерной линейной системе) не может существовать более п ли¬
нейно-независимых векторов, а векторы, определяемые 1.6, линей¬
но-независимы* то в ней не может существовать более п линейно-
независимых функционалов. В то же время в L можно определить
п линрйно-независимых функционалов следующим образом. Пусть
fu	fn — произвольный базис L. Тогда для любого .элемента
f^Ly j
:	f	=	cJi	+	£2/2 + •.. + cjn,
1
полагаем Fi(f)=ciy i= 1, 2, ..., п. Это по лемме 1.2 дает совокуп¬
ность n линейно-независимых функционалов на L.
Легко видеть, что если Fu F2, Fn — любые п линейно-незави¬
симых функционалов на линейной системе L размерности п и fu
/2, •••, fn — элементы, определяемые леммой 1.2, то любой функцио¬
нал F на L можно представить в виде
F(f) = j?F(f dFdf).
1=1
Если Fu F2, ..., Fn — любые n линейно-независимых функцио¬
налов на системе L размерности /г, то элементы f\, f2, ..., fn лем¬
мы 1.2 определяются равенствами (1.6) однозначно.
Действительно, пусть имеются	две такие системы	{/Д	и	{f(}:
Fi(//) = Fi(/,!) = бг/.	I,	/ = 1. 2. .... п.
Пусть, например, fi—fi =g#=0. Тогда Fi(g)=0, i= 1, 2, ..., п. Раз¬
ложим g по элементам fx, f2, •••, fn'-
g = сifi + c2/2	+	... + cnfn.
Из Fi(g)—Q следует с* —0, i= 1,	2,	..., n, т. e. вопреки	нашему
предположению g'=0.
Пусть Lx и L2 две какие-то линейные системы. Отображение Lx
на Lo (Lj-^La), при котором каждому элементу f^Lx соответству¬
ет один и только один элемент fi^L2 (f-*~f 1), а каждый элемент
fisL2 является образом, по крайней мере, одного элемента f^Lx
и, кроме того, из f-*-f 1, g->g 1 следует
f-rg-^fi-rgu cf-+cfi
(f>"g — произвольные элементы L>, fu gx^.L2, с — произвольное
Действительное число), называется гомоморфизмом, а системы
F\ и Ь2 называются гомоморфными. Если это отображение взаим¬
но-однозначно (f-*—*~f;), то его называют изоморфизмом, а сами

системы изоморфными. С точки зрения абстрактной теории линей¬
ных систем изоморфные системы неразличимы.
Любые две системы размерности п изоморфны. Действительно,
пусть fu /2, fn — базис Lu a gu g2,	gn — базис L2. Тогд£ лю¬
бому элементу f^Lu
f = Clfl +	+ . . . + cjn,
ставим во взаимно-однозначное соответствие элемент geL2,
£ -	+	^£2	+	••• ^гспёп.	i
Очевидно, при этом все свойства изоморфного отображения вы¬
полняются. В частности, все линейные системы размерности ^ изо¬
морфны введенной ранее системе Rn, одним из базисов которой
являются координатные векторы ег.
Совокупность L* всех линейных функционалов, определенных
на системе L, в свою очередь образует линейную систему, если
ввести в ней операции сложения и умножения на действительные
числа следующим образом.
1. Пусть Fi и F2 — два линейных функционала из L*. Тогда
F = Л + F2
есть такой функционал из L**, что для любого feL
2. Пусть F^L* и с — произвольное действительное число. Тогда
F± = cF
есть такой функционал из L*, что для любого f^L
Л (f) = cF(f).
Система L* называется сопряженной по отношению к L. В силу
приведенного выше выражения для линейного функционала в RVt>
каждому такому функционалу однозначно соответствует набор из
п действительных чисел си с2, ..., сп и каждому такому набору
при фиксированном базисе в Rn однозначно соответствует функ¬
ционал в Rn- Поэтому существует естественный изоморфизм меж¬
ду Rn и совокупностью всех линейных функционалов, определен¬
ных на Rn:
(хъ хъ .. . , хп)*->(с1у с2, сп),
если Xi = Ci, i = l, 2, ..., п. Такие системы L, которые изоморфны 1%
называются самосопряженными. Так как любая /г-мерная система
L изоморфна Rn, то все они самосопряженны.
Приведем еще одну лемму, характеризующую линейную зави¬
симость и независимость функционалов в n-мерной системе.
Лемма 1.3 Пусть L — система размерности п,	/2, fn — ка¬
кой-то ее базис и Fu F2i ..., Fm — функционалы, определенные hci L.
18

ТогдА число линейно-независимых функционалов среди F{ равно
ранг$ матрицы
/FAfi) Л(/2)
G = j F?ih) Fa (/*)... Fa(/„) .
\F,n(fi)F,n(h) ...Fm(fn)/
Прежде всего заметим, что ранг этой матрицы не зависит от
выбора базиса L. Действительно, пусть fu %,	— другой ба¬
зис L,
А =	D	=	(rf4/).
/= 1
и G — матрица, аналогичная G, но построенная по векторам /%•.
Тогда
G = GD\
и так как матрица £> невырожденна, то ранги G и G совпадают.
Пусть i7!,	•••,	— линейно-независимы, a Fa+i, ^а+2, Fm—
линейно зависят от них. Тогда ранг матрицы G не может быть
больше k. С другой стороны, если при построении матрицы G мы
взяли такой базис, который содержит линейно-независимые эле¬
менты f 1, /2, fk леммы 1.2, т. е. такие, что Fi(fj) = 6ij, £, / = 1, 2,...
/г, то в левом верхнем углу матрицы G будет стоять единичная
матрица порядка k. Таким образом, ранг. G будет равен k.
Пусть ранг G равен k и определитель
Fi(fi) Л (А)-.-Л (/а)
F2(/i) Ft(f*)...F2(fk)
Fk(h) Fk(h) ■ ■ ■ Fk(Jk)
отличен от нуля. Тогда функционалы Fu F2, ..., /Д линейно-незави¬
симы. Действительно, если
5>^(/) = о
£=1
Для любого feL, то из системы
(/,.) = О, /=1, 2, ..., *,
1=1
находим сг=0, £=1, 2,
19

С другой стороны, функционалы Fh+U Д/---2, Frn линейно зави¬
сят от Fy, F2, Fk. Действительно, существуют соотношения»
к
Пусть [ — произвольный элемент L,
п
I = S d,i.
п	п	к
F-Hi (/) = £ djFli+i (f^ = £ cuF, (/,•) =
/=1 ;=1 /=1
И
к
= S(Ёd]“ ЕCi/F' ^ 1 = 1 ’2> ■ • • ’ т~к-
Лемма доказана.
Приведем пример, имеющий значение в теории интерполиро¬
вания.
Пример 1.4. Пусть L и Fi(f) определены как и в примере 1.1.
Эти функционалы линейно-независимы на п-мерной линейной под¬
системе LidL с базисом 1, х, ..., хп~К Действительно, матрица G
леммы 1.3 в данном случае будет иметь вид
Она невырожденна, так как ее определитель, как определитель
Вандермонда при неравных друг другу лу, отличен от нуля. Эле¬
менты fi^L 1 леммы 1.2 должны быть многочленами степени не
выше п—1, обращающимися в нуль при x = Xj9 ']фьу и в 1—при
x = Xi. Этими требованиями /у определяются однозначно, что также
следует и из общей теории. Они приведены в равенствах (1.7).
Функционалы F, Fu Fn примера 1.1 линейно-зависимы на Lx.
Эта линейная зависимость и определяет интерполяционную фор¬
мулу Лагранжа.
Поставим теперь такой вопрос, каким условиям должны удов¬
летворять функции cpi(x), Ф2(*)> •••> фп(*)> принадлежащие L, что¬
бы на подсистеме L2<^Ly составленной из всевозможных линейных
комбинаций
<аФх (*) Я С2ф2 (х) -f ... -ь спф„ (дс)
20

/с  действительные числа), указанные выше функционалы ЛЧ/:)
были линейно-независимы, как. бы ни выбирались точки лу,
е[я, Xi¥=x.j при 1Ф'\, £, j= 1, 2, п.
Так как размерность Ь2 не может быть меньше /г, функции
фДх), Ф2М» •••» фп(*) должны быть линейно-независимы. Далее
по лемме 1.3 определитель
должен быть отличен от нуля для любых точек лу, удовлетворяю¬
щих поставленным условиям. Это требование можно сформулиро¬
вать и иначе: если линейная комбинация (обобщенный многочлен)
обращается в нуль по крайней мере в /г различных точках отрез¬
ка [а, Ь], то все су равны нулю. Такую совокупность функций на¬
зывают системой Чебышева (Т-системой).
Свойство совокупности функций фДя), фгМ, •••, Фп(я) быть
системой Чебышева можно просто охарактеризовать геометриче¬
ски. Рассмотрим в /г-мерном евклидовом пространстве Rn задан¬
ную параметрически кривую
означает, что никакие п точек этой кривой не могут лежать водной
гиперплоскости размерности п—1, проходящей через начало коор¬
динат. Ясно, что простой линейной независимости функций фДл'),
*’=1, 2, ..., п, для этого недостаточно, так как линейная независи¬
мость означает лишь, что вся кривая <р(£) не лежит в одной гипер¬
плоскости размерности п—1, проходящей через начало координат.
Будем называть множество MczL выпуклым, если наряду с лю¬
быми двумя его элементами f, g^M ему принадлежит весь соеди¬
няющий их отрезок:
Выпуклой оболочкой множества MczL будем называть наимень¬
шее выпуклое множество, содержащее М (пересечение всех вы¬
пуклых множеств, содержащих М). Совокупность функций фДх),
ф2(х*), фп(я) не образует системы Чебышева, если выпуклая обо¬
лочка ф(/) содержит начало координат.
ф /ф!ф3 ... ф,Л
Ul х2 ... Хп)
<Pi (хг) ф3 (лу) ... ср„ (Хх)
<Pi (хг) ф2 (х2) ... фя (хй)
Ф1 (Хп) Ф2 (*„) . . . ф„ (*„)
Cl Ф1 (X) -[- с3 ф2 (х) 4- ... -ь сп ф„ (X)
ф (0 = (ф1 (О» Фг (0. — »<Рн(0). t е [а, Ь].
Тогда отличие от нуля определителя
Ф1 Фа • • • ФЛ
,Х\	.	.	.	Хп	)
tf-T (1 ~f)g, ^[0,1].

Элементарный пример линейно-независимых функций, не обра¬
зующих систему Чебышева, можно построить следующим образом.
Функции sin г, cos t линейно-независимы на любом отрезке. Они
образуют систему Чебышева на отрезке [0, я/2] и не образуют
систему Чебышева на отрезке [0, 3/гя]. На рис. I показаны графи-
Рис. i
ки <р(0- График 1,а соответствует отрезку [0, я/2] и график 1,6—
отрезку [0, 3/гя]. Соответствующие выпуклые оболочки заштрихо¬
ваны. Пунктиром на рис. 1, б показана прямая, соединяющая две
точки q)(t) и проходящая через начало координат.
Системы Чебышева можно вводить следующим образом. Рас¬
смотрим функцию К(х, у) двух переменных х и у, где х прини¬
мает значения на отрезке [а, Ъ] и у — на некотором множестве У,
содержащем, по крайней мере, п точек. Выбирая каким-либо обра¬
зом п различных элементов уи Уъ, Уп, принадлежащих У, мы
получим п функций К(х, г/f), г = 1, 2, ..., п. Если определитель
К
(Уг 02 • ■ • Уп
'А х2 ...хп
K(xv
У1)
К(хъ
Уг) ■
..К(Хг,
Уп)
Уг)
К(х.2,
У г) •
..К(х2,
Уп)
К(хп,
У\)
К{хп,
Уг) •
..К(хп,
Уп)
будет отличен от нуля, как бы ни выбирались точки яг-е[а, 6],
Хгфх- при i¥=j, функции К(х, yi) будут образовывать систему Че¬
бышева. Будем называть функцию К{х, у) ядром. Любой набор
функций <pi(*), фг(Л') >	Фп(*) можно	интерпретировать	как	полу¬
ченный из ядра К{х, у), если считать,	что	множество	У	состоит	из
набора чисел 1, 2, ..., п и положить
К (х, i) = ф4 (х), г =	1, 2,	... , п.
Будем теперь предполагать, что функции ф1(я), Фг(*),	Ф?г(х),
образующие систему Чебышева на [а, Ь], непрерывны там. Тогда
25
Ф1 Ф2
Ф/I
Хх х« ... хк
22

также является непрерывной функцией хи х2, хп. Она обра¬
щается в нуль, если какие-то аргументы совпадают, и отлична от
нуля в противном случае. Поэтому при любых значениях 'аргу¬
ментов, удовлетворяющих неравенствам
а <х1 <х2< ... <xn<£b,
знак этой функции постоянен. Будем называть Г-систему Т+-си¬
стемой, если этот знак положителен, и Т~-системой, если этот знак
отрицателен.
Пусть теперь
а < хг < х, < ... < х„ < b
фиксированы и х пробегает весь отрезок [а, Ь]. Тогда
Ф(*) = ® (ф1 ф2 ■" Ф'1 )
у А/ Х^ ... Х/2—1 f
является обобщенным многочленом, обращающимся в нуль в точ¬
ках Х\, Хг, хп-1 и ни в каких других точках [а, Ь]. Этот много¬
член принимает значения противоположного знака на интервалах
(xk-u xk) и (xk, xk+\) {{а, х{) и (xi, х2), если ххФа, и (х*_2, xn-i)
и (xn_i, Ь), если Хп-хФЬ). Действительно, если всегда располагать
значения х, хп, ..., хп-\ в порядке возрастания, то при переходе от
какого-то интервала к соседнему требуется одна транспозиция
этих значений.
В дальнейшем, если не оговорено другое, будем предполагать
функции фк(х) непрерывными.
Будем называть ядро Kix, у), а^х^Ь, с^у^ё, вполне поло¬
жительным (отрицательным), если для любого п при любом на¬
боре значений аргументов
а < ху < х2 < ... < хп < Ь,
с<Уг<у2< ... < уп< d
определитель
к 1У1 lh • • • Уп\
Ui *2 •. • х„)
положителен (отрицателен). Будем называть ядро знакорегуляр¬
ным ^ если для каждого фиксированного п знак определителя со¬
храняется, как бы мы ни выбирали ху, у:„ удовлетворяющие ука¬
занным выше неравенствам. Очевидно, если ядро вполне положи¬
тельно (отрицательно) или знакорегулярно, функции К(х, ijj) об¬
разуют Г-систему (Г+-систему, если ядро вполне, положительно,
^“-систему, если ядро вполне отрицательно). Если из этого набора
исключить любое количество любых функций, то оставшиеся функ¬
ции снова будут образовывать систему Чебышева.
23

Рассмотрим некоторые частные случаи систем Чебышева.
Функции 1. х, хп~1 образуют Г^-систему на любом отрезке
[а, Ь]. Это следует из выражения для определителя Вандермонда.
Функции
еКх	еЬпх^
где
Я2 <б • • • ^пу
а в остальном А,г- произвольны, также образуют Г+-систему на лю¬
бом отрезке [а, Ь]. Сначала докажем, что они образуют систему
Чебышева. Доказательство будем вести по индукции. При /г= 1
утверждение очевидно. Пусть оно верно при п = т и пусть суще¬
ствует обобщенный многочлен
с/-1* + с2еКх + ... + cm+ieW'\
не тождественно равный нулю и обращающийся в нуль в т+1
точке. Это же будет верно и для функции
сх + с2е(К~К)х -j- ... + cm+ie(Xm+1_X,)*.
Производная ее
с2 (А, — Aj) е(кг~1')х + с3 (13 — К) e(K~kl)x + ...
... + ст+1 (кт+1 — А*) e(X^~Xl)x
должна обращаться в нуль по крайней мере в т точках. Но тогда
по предположению индукции
^2 = ^3 = • • • = С/П-f-l — О
и, следовательно,*:^1* должна обращаться в нуль в тЛ-1 точках,
что невозможно. Утверждение доказано.
Обозначая ex = t, мы приходим к заключению, что
ф1(9 = *\ Фз(0=*Ч...,ф„(0 = *Ч
как функции t, образуют систему Чебышева на любом отрезке,
принадлежащем (0, оо). Составляя для них определитель мы
получим непрерывную функцию	А™. Если непрерывно ме¬
нять эти переменные, не нарушая установленных для них нера¬
венств, мы не изменим знака 2). Таким образом, можно добиться
того, что будем иметь Я/. = /г—1. Это соответствует совокупности
функций
1, t, t\
Для них Зи >0. Следовательно, S5>0 и для случая систем функций
{eNk*} и {Д/г}. Итак, эти функции образуют Т+-системы. Попутно

МЫ показали, что К(х, у) =e*v, — оо<х, у<°°, и К(х, у) =ху,
—оо<у<оо, являются вполне положительными ядрами.
Покажем, что функции
1	1	1	0	<	<	а2	<	... < ап,
а -\-х	а^-\-	х	ап	+	х
образуют Г+-систему на любом отрезке [а, Ь], таком, что ai + a>0.
Эта совокупность функций порождается ядром
К(х,у)=	1
Х + У
Вычтем последнюю строку определителя 3) (или, что то же самое,
К) из всех предшествующих. При этом новые элементы будут
иметь вид
an — cik	k = 1, 2, ...	, п— 1,
(ak + xj) (ап + х{)	j = 1, 2, . . .	, п.
Вынесем из	первых п—1 строк	множители	ап—ah	и из каждого
столбца множитель 1 l(an + x.j). При этом получим
gj /Ф1 Фг • • • Фл\	fe=i
Ul *^2 • • • ^п)	А
п—1
П (dn (Ik)
1
1
1
01 + *1
а1 + Х2
а\ + хп
1
1
1
ап-1 + х\
аП-1 + *2
Дл-i + хп
1
1
1
П (ап + Xj)
У—1
В последнем определителе вычтем элементы последнего столбца
из элементов всех предыдущих. При этом элементы последней
строки будут иметь вид
О 0...0 1,
а в предыдущих строках получим
Xn — Xk	£=l,2,...,/z—1,
(aI -f- Xk) (aj + xn)	j = 1, 2, ... , n • 1.
Вынося из столбца с номером k, k=l9 2, ..., п—1, множитель хп—xk
и из каждой строки с номером /, /= 1, 2, ..., п—1, множитель
1
Щ + хп
мы получим

Продолжая дальнейшее понижение порядка, мы придем к
. П (ак — aL) (хк — xt)
Pi ф-2 • • • Фп | __ _k>i=\
С-, X* ... Л' )
0 ф1ф
\Х1 Х2 • • • Хп '
П [(йр “Г Xq)
p,q=--\
что и доказывает утверждение.
Рассмотрим еще одну совокупность ядер
(х-у)г
КЛ‘.У)=	'	■
Эти ядра при любом />0 будут вполне положительны. Действи-
_ (х—у)г	_ Л'2	_	уг	2XI/
= е t е
тельно, так как е
t р t
е 1 , то
£=1
У1 У-г • • • Уп
Х1 х2 • • • Хп
(2л О
2xtyt
2 хгух
2 хпУ1
е 1
е 1 .
... е 1
2 xty2
2 х2у2
2 хпуг
+
е '
е < .
...е 1
2х1Уп
2 х,уп
2Vn
е 1
е 1
... е 1
и утверждение следует из вполне положительности ядра К(х, у) =
= ех^.
Последние ядра обладают замечательным свойством. Пусть
(pi(;\;), ф2(*),	Фп(^) — произвольная 7-система непрерывных
функций на [а, Ь]. Без уменьшения общности можно положить,
что
'ф1ф2-.-фя
0 [Т1Т2 >0
\*1 х~ • • • хп )
при любых а^х\<х2< ... <хп^Ь. Построим непрерывные на
(—оо, + оо) функции q>k(x) следующим образом. Выберем произ¬
вольным образом а\ и такие, что —oo<ai<a<b<bi<+ сю. По¬
ложим фДя) равными нулю при х<а{ и х>Ьравными фДх) при
xe[a, b\ и линейными на отрезках [аь а] и [b, bi]. При этом
•Цдс, t)= J Kt(x, у)ц>к{у) dy,
как решения уравнения теплопроводности
д Фк д2 Фк
dt
дх2
26

С начальными условиями Фк(х, 0)=фь(х), —оо<д;<ос, будут ана¬
литическими функциями х при всех t>0 и
Далее
Пш Фк(х, t) = ф/; (х).
<-»о+
ф /Ф^а.-.Ф^ _
1*1 х* ■■■ Хп
—оо	—оо
— С ■ • • { Kt{ Уг Уг ''' Уп 1 25 ( ф1	•' • ¥»)	dy±dy, ... dy„.
n! J л раз J	V^l *2 ■ • • *J Wl	Уг ■■■ Уп)
Чтобы не усложнять записей, докажем это равенство при /г=2.
Мы имеем
$
IФ2
\хг х2
оо
-J
j Kt (xv	у) фх (у)	dy	j Kt	(Х2,	у) ф!	(у) dy
-00	—00
00	00
| Kt (хг,	z) ф2 (г)	dz	j К,	(x2,z)	ф2 (2) dz
—00	—00
(*1. у)	Kt	(х-2,	у)
оо	оо
J /С< (лу, 2) ф2 (z) dz j’ (х2, z) ф2 (z) dz
I К, (Xi, у) Kt (хг, у)
= Г; Г I
J" J 1 K,(xltz) Kt(x.2, z)
—OO —00
00	00
= С	f Kt (y 2 ) $1 (у) Фа (z) dydz.
V	t/	\^1	X>2	}
Ф1 (y) dy =
Ф1 (У) Фа (z) dydz =
—OO —OO
Поменяем ролями у и г. При этом получим
'a>i<Da\ (' Г ^ Iх у
Хх х2
<Pi (z) ф2 (у) dydz =--
—00  с»
оо оо
= — f Г К(1У 2 ) ?1(z)$2(y)dydz,
J J \*i *2/
—00	—00
так как
\*х*а/	\*1*а
27

В общем случае нужно взять все п! перестановок уи у2, ..., уп,
сложить полученные выражения и разделить на nl.
Зафиксируем произвольным образом х\<х2< ... <хп. Пусть
У:1<Уг2< ••• < Uin, где (iu h, in) какая-то перестановка (1, 2,...
п), — некоторый набор переменных интегрирования. Значение
подынтегрального выражения при этих значениях ук будет таким
же, как и при значениях переменных у\^у2^ ... ^Д/n, где у\ = Уи,
1)2 = Ущ ..., У,г = Усп, так как соответствующей перестановкой можно
переместить jytt на первое место, у и на второе место и т. д. При
этом если и будут меняться знаки Kt и 2), то одновременно. Таким
образом, полученную формулу можно переписать в виде
—эо<у1<у2<...<уп<<х>
Но подынтегральное выражение последней формулы в области
интегрирования неотрицательно. Нужно рассмотреть только вто¬
рой множитель. Если хотя бы одно из значений ук находится в
области yh^ai или ук^Ь{, то этот множитель равен нулю. Если
все ук принадлежат [а, 6], то 2) >0, так как в этом случае
и соответствующий множитель (ук—а\) !{а—ai)>0 можно вынести
за знак 2). Аналогично в случае yk^(b, &i). Таким образом, при
указанных хк
и функции Фк(х, t) при любом t>0 образуют систему Чебышева
на любом отрезке действительной оси.
Мы показали, что для любой системы Чебышева на [а, Ь], со¬
ставленной из непрерывных функций, можно найти как угодно
близкую к ней систему Чебышева на [а, Ь], составленную из ана¬
литических функций. Фактически доказано большее, а именно если
ф! (л:), ф2<А), ..., Фп(*)—непрерывные функции, такие, что
<Р*Оа)=фОй)- Если Ук^(аи а), то ф*(Ы = фг(а) Oft—ai)/(a—ах)

и всех а^л*1<л*2< ... <Xv><cb, но не. равен тождественно пулю,
то эту систему функций можно с любой степенью точности аппрок¬
симировать Г-системой аналитических функций.
Аналогично доказывается, что если К(х, у), a^x^b, c^y^d
и L(x, у), c^x^d, e^y^f— вполне положительные ядра в своих
областях определения, то
d
М (х, у) = J К (х, z) L (z, у) dz
С
будет вполне положительным ядром в области a^x^b, e^y^:f.
Действительно, при этом
м1УгУч--. Уп
\*i Ч - --Ч
К (2l22	')	L	(У1	Уг • • • Уп) dzyiz, ... dzn
n раз J	\Х1Х2...Хп/	V2lZ-2
c<z^<z2<...<zn<d
и при a < x2 < x2 < ... < xn < b, e < yx < y2 < ... <(/„</
м(УгУ,...Уп\>0
V*i x2... xj
Если для совокупности функций щ(х), определенных и непре¬
рывных на [а, Ь], при всех k, /е=1, 2,	/г, имеют место равен¬
ства щ(а) =щ(Ь), то эти функции можно продолжить непрерывно
и периодически (с периодам b—а) на всю прямую —оо<я<оо.
В этом случае будем говорить, что мы имеем периодическую не¬
прерывную совокупность функций с периодом b—а. Будем назы¬
вать такую совокупность периодической системой Чебышева, если
произвольный обобщенный многочлен
Ф (x) JT ck {x)j ^ сЦ ■=£=. О,
с2
k = l	/г=1
имеет на [а, b] не более п—1 нулей. При этом если Ф(а) =Ф(Ь) =
= 0, то эти два нуля считаются за один. Покажем, что периодиче¬
ские системы Чебышева ц>и(х), k=l, 2, ..., п, непрерывных функ¬
ций могут существовать только при нечетных п.
Действительно, при любых
а < х1 < х2 < ... < хп < 6,
где не может быть одновременно Х\ — а и хп=Ь, должно быть
'Ф1Ф2	Фп\	_^0
xt х2 ... хп
29

и знак ® постоянен. Но при четном п, х\ = а, хпфЪ
2) /ф! Фз• -. фЛ = __ 2; /ф! ф2 ‘ • • Ф/Л ^	^ /Ф1 Ф‘2 • • • Фп\
\а х% ... хп)	\х2х3	...а )	\х2	х3 . .. Ь )
Простейшую периодическую систему Чебышева с периодом 2я
образуют тригонометрические функции
1, sin jc, cos л:, sin 2л:, cos 2л:, ... , sin/.*, cos/гл:.
Произвольный тригонометрический многочлен
Тп (х) = а0 + 2 (ak cos kx -f bk sin kx)
порядка n с действительными коэффициентами ajly bk может обра¬
щаться в нуль на [—л, я] самое большее в 2п точках, если счи¬
тать точки —я и я за одну.
Действительно, полагая
мы приведем Тп(х) к виду
Р2Я (у)
(1 + У2)п 9
где Р2п {у) —алгебраический многочлен степени не выше 2/г. Каж¬
дому действительному корню этого многочлена будет соответство¬
вать только один корень Тп(х) на [—я, я].
Как следствие получим, что совокупность функций
1, cos *, cos 2х, ... , cos 11Х
образует систему Чебышева на [0, я), а совокупность функций
sin х, sin 2*, ... , sin пх
образует систему Чебышева на (0, я).
Рассмотрим теперь несколько способов получения из заданной
на [а, Ь] системы Чебышева фДл:), фг(*), •••, Фп(*) новых систем
Чебышева.
Если р(х)>0 или р(х)<0 всюду на [а, 6], то р(х)щ(х), k =
= 1, 2, ..., /г, также образуют систему Чебышева на [а, Ь\.
Если ф(7)—непрерывная строго возрастающая функция с об¬
ластью определения [с, d] и областью значений [а, Ь], то сово¬
купность функций фл[ф(0]> k=l, 2, ..., пу образует систему Чебы¬
шева на [с, d].
Если А=(ац) —произвольная невырожденная квадратная мат¬
рица порядка /г, то функции
п
Ф* (^) = ^	&	=	1,	2,	.	.. , /г,
/=1
30

азуют систему Чебышева на [а, Ь). Например, так как функции
°ЧХ при различных /.• образуют систему Чебышева на любом от-
резке, то и функции
1, ch х, sh х, ch 2х, sh 2х, ... , ch пх, sh пх
образуют систему Чебышева на любом отрезке.
Доказательства этих утверждений элементарны.
Совокупность функций ф, (х), фг (■«), ..., <рп(х), определенных ка
Г а Ь], назовем системой Чебышева — Маркова (ТМ-системой),
если при любом k, k=\, 2, п, функции срДх), cp2(x), ..., ф/Дх)
образуют систему Чебышева. Обозначим
Vi w ф; (х) ■ ■ • ф?'_|) (х)
ф2(х) ф'(х) ... ф^"1’ (х)
Фk(x) %(х) ■ ■ ■ 9{k~l)(x)
Это — Вронскиан функций <pi(*), Ф2М, щ(х)-
Докажем, что если Wk(x)^ 0 на [а, b] при &=1, 2,	/г,	то
Ф1М, Ф2 (%) у Фп (х) образуют систему Чебышева — Маркова на
[а, Ь\.
Доказательство будем вести по индукции. При п= 1 утверж¬
дение очевидно, так как W\(x) = cpi(.x:)=7^0 на [а, Ь]. Предположим,
что утверждение доказано для любого набора из п—1 функций,
удовлетворяющих поставленным условиям, и пусть а^х{<х2< ...
... <хп^.Ь — произвольные п точек отрезка [а, Ь]. Рассмотрим
25
Г фх ф2
•Ч x<i
Ф л
Фх (ч)
Фх (х°) ■ ■
■ • Фх (*я)
ф2 (хг)
ф2 (х,) .
••Фа(*п)
Фп (ч)
ф« (**) •
••Ф,(*„)
Вынося из каждого столбца соответствующий ненулевой множи¬
тель фДлД и вычитая затем из каждого столбца предыдущий, по¬
лучим
фМфа.-.ф ^
\хх х% ....
= П Фх (-ч)
£=1
Фг (х2)
ф2 (Хх)
ф2 (Хз)
Фг (Х2)
ф2 (х'п)
ф2 (х'п-х)
Ф1 (х2)
Фз (х2)
Ф1 (хх)
Фз (хх)
Фх (хз)
Фз (хз)
Фх(х2)
Фз (х2)
Фх(Хп)
Фз (хп)
Фх (Хп-х)
фз (Хп-х)
Ф1 (х2)
Фх (Хх)
Фх (Хз)
фх (х2)
Фх(Хп)
фх (Хп-х)
Фя (х2)
Фх (х2)
Ф/l (Хх)
Фх(Хх)
Фп (Хз)
Фх (х8)
фп (х2)
Фх (х2)
Фп (Хп)
Фх(хя)
фп (Хя_х)
Фх (Х'п-х)
31

Если ввести функцию
F(x) =
Фа (^)
ф2 (*э)
Ф2 (Хг)
ф2 (Хп)
Ф2 (Xn-l)
Ф1 (х)
Фз (х)
Ф1 (*з)
фзг(*з)
ф1 (хг)
Фз (Хз)
ф1(Хп)
фз (Хп)
Фх (Хп-х)
Фз (*я-х)
ФхМ
ф1 (Хз)
ф1 (Хг)
ф1 (Хп)
фх С*я-х)
фя (*)
Фя (х3)
Фя (Хг)
Фя (Хп)
фя (*л-х)
ФхМ
Ф1 (Хз)
ф! (*2>
ф! (Хп)
Фх (*я-х)
то последний определитель будет равен
F (х2) — F К) = (х2 — хг) F' (Ю,	*!<?!<	*2,
или при обозначениях
**(*) =-7-[-Ф**1/Г> 1» А =1,2,...,/1=1,
dx L <PiW J
получим
F(x) = (x2 — хг)
■фх (II) •
ф2 (*з)
фз (Хг)
Фг(Хп)
Фг (хп-х)
Фх (*з)
Фх(*а)
Фх (*я)
Фх (*л-х)
'Фг (ii)
фз (Хз)
Фз (Хг)
Фз (Хп)
Фз (Xn-i)
Фх (Хз)
ф1 (Хг)
ФхЫ
Фх (Хп-1)
'фя—1 (ii)
Фя (Хз)
Фя (*2>
Фя (хп)
фя (xn-i)
Фх (Хз)
Фх (Хг)
Фх(Хп)
Ф1 (*л-х)
Проведя аналогичные рассуждения со вторым столбцом, третьим
и т. д., мы придем к равенству
а (ф‘= П<*,)П(*,-*-.)»(*■*■••• V
\х, хг ■ ■ ■ Хп/	\Ь	Ь	•	•	•	1»-1 /
1=1	k=2
где Ik — некоторые точки [а, 6], xk<lk<Xk+ь Функции гМ*)> £=
= 1,2,	п—1, удовлетворяют условиям индукции, так как, исполь¬
зуя формулу Лейбница,
г-н
9=0
32

получим
%(*)*; (х)...^1чх)
^.2 (х) 1^2 (*) ... г)f-'Цх)
Фг
_Фз
Ф1
Фх
ф!
ф1
№)
/ ф/г+1
\ Ф1
_Фх_
Ф1
ф2
Ф1
ф! у*>
Ф1 1
Фх
Ф&ьх
ф!
1
[фх(*)]*+1
Следовательно,
а отсюда и
Ф&-и
Фг
Wk+i {х)Ф0,
(/г)
0 0 •
•• 0
- м;.
... Ilf-1»
- ^2^2 •
... *
=
1 ф/кф*
** •
1
Фг
ф|
ф<*>
ф>1
Ф1
Фх
ф2
Ф2
Ф?}
: Ф1
Ф1
Фх
фЛ+1
Ф*+1
Фл+1
Ф1
Ф1
ф1
II
to
, ... , л-
-1.
2>
/Фх Фг • • • Фя-1
\£l ^2 • • •	1
25
ф1фа---фл
•Ч ^2 • • • *^/г
9^0,
что и требовалось доказать.
Конечно, системы Чебышева — Маркова не обязаны удовлетво¬
рять приведенным выше условиям. В частности, в определение
системы Чебышева — Маркова совсем не входит условие диффе¬
ренцируемости.
Если дана произвольная система Чебышева {фь(*)}, k=l, 2,...
•••> п, функций, определенных на [аь Ь\]9 то для любого отрезка
[я, &], целиком лежащего внутри [аи bi], можно построить функ¬
ции
п
ф* (*) = £ М’ k=l,2, ...
/=i
так, что они образуют ?"М-систему на [а, Ь]. Докажем это.
2 н. п. Жидков	33

Пусть для определенности 6j>&. На интервале (&, Ь{) выбе-
рем различные точки gft, k=l, 2, п—1. Функцию Ф\(х) будем
строить как обобщенный многочлен по фа(я), обращающийся в
нуль во всех точках k = l, 2, л—1. Как мы видели, такое
построение возможно. При этом ®i(x) не будет обращаться в нуль
ни в одной точке [а, Ь]. Функцию Ф2(х) будем строить как обоб¬
щенный многочлен по ф/*(х), обращающийся в нуль в точках
k=l, 2,	п—2,	и еще в точке г]1^[аь bi], отличной от всех g/*,
&=1, 2,	я—1.	При этом любой обобщенный многочлен
не будет тождественным нулем, так как из равенства его нулю
в точке 5n_i следует с2 = 0, а из равенства его нулю в точке гр сле¬
дует Ci = 0. Но Ф(х) обращается в нуль в точках gb g2, Sn-2.
Следовательно, Ф(х) может обращаться в нуль на [а, Ь\ самое
большее в одной точке. Обобщенный многочлен Фз(я) должен
обращаться в нуль в точках igb g2,	In-з	и еще в двух каких-либо
точках г]2, Ti3e[ai, 61], отличных от gn_i и gn_2. Пусть
Этот обобщенный многочлен не равен тождественно нулю, так как
из равенства нулю в точке gn-2 следует с3 = 0, но тогда с\ф с\ф 0
и, как мы видели, в этом случае Ф^О. Этот многочлен обращает¬
ся в нуль в точках gi, g2, ..., gn-3 и поэтому может обращаться в
нуль на [а, b] самое большее в двух точках. Очевидно, такие по¬
строения можно продолжать и далее. Как мы видели, никаких
свойств дифференцируемости у функций фь(х), а следовательно,
и у Фк(х) не предполагается.
Рассмотрим еще один подкласс систем Чебышева. Пусть ф1(лг),
ф2(л;), ..., фп(*) образуют систему Чебышева на [а, b] и х\, х2, ...
..., хп — произвольные точки [а, Ь], удовлетворяющие неравен¬
ствам
а < хх < х2 < ... < хп < Ъ.
Будем называть эту совокупность функций системой Чебышева —
Декарта (TD-системой), если для любого г, 1	знаки	всех
миноров порядка г в
одинаковы. Если все знаки положительны, то будем называть ее
ТО+-системой. Такие системы возникают, в частности, при исполь¬
зовании знакоопределенных ядер. Само название связано со сле¬
дующим фаКТОМ. СОВОКУПНОСТЬ фуНКЦИЙ ф1(х) ф2(*), ..., фп(х)
тогда и только тогда является 77)+-системой, когда у любого мно¬
гочлена
Ф (лг) = сг Ф± (х) -f с2 Ф2 (л:), с\ ф с\ Ф 0,
Ф (х) = с± Фг (х) + с2 Ф2 (х) -р с3 ф3 (х), с\ + с\ + с\ Ф 0.
34

п
Ф (*) = £ Сг Фг (*)
1=1
число корней, расположенных на [а, Ь], не превышает числа пере¬
мен знака в последовательности
с11 с2У ... , сп
(нулевые коэффициенты не учитываются). Это является обобще¬
нием известного правила Декарта для алгебраических многочле¬
нов. Доказательство мы приводить не будем.
На этом мы закончим рассмотрение примера .1.4 и перейдем
к лемме, являющейся обобщением леммы 1.1.
Лемма 1.4. Пусть Fu F2j ..., Fn — п линейно-независимых функ¬
ционалов на линейной системе L. Тогда любой элемент f^L можно
записать в виде
/ = Ф + £^(/)/о	(1-8)
1 = 1
где F{(<p)=0, Fi(fj)=8ij, i, j= 1, 2, ..., п.
Пусть /1, Д,	fn — элементы, существование которых доказано
в лемме 1.2. На основании леммы 1.1 каждый элемент f^L можно
единственным образом представить в виде
/ = фх + cjlf
где cpi^O(Fi) и с 1 — некоторое действительное число. Как мы
видели при доказательстве леммы 1.2, F2, Fz, ..., Fn линейно-неза¬
висимы на O(Fi). Кроме того, f2^0(Fi). Таким образом, ф! можно
единственным образом представить в виде
Ф1 = ф2 + Cif 2>
где ф2^0(FU F2) и с2 — действительное число. Продолжая этот
процесс дальше, мы придем к представлению
/ = <Р»Т V С{/г>
где фneO(Fb F2, ..., Fn) и Ci — действительные числа. Применяя
к обеим частям равенства функционалы Fit i= 1, 2, ..., /г, получим
ci = Fi(f)i что и требовалось доказать.
Замечание 1. Если L\— подсистема L элементов 0(Fь F2,...,Fn)
и L2 — подсистема L с базисом fь f2, •••, fn, то по лемме 1.4 каж¬
дый элемент f^L может быть представлен в виде
/=ф+g,
где фeLj и g^L2. Это представление единственно, что следует
Непосредственно из доказательства леммы. Мы доказали, что

I-I,® I,.
При этом Ll определяется функционалами Fu F2, ..., Fn однознач¬
но. Если L содержит более я линейно-независимых элементов, то
Элементы \и f2, fn определяются условиями леммы 1.2 неодно¬
значно.
Действительно, пусть fn+\—такой элемент L, что fb f2, fn+i
линейно-независимы. Пусть
Пример 1.5. Пусть L и F{ заданы как и в примере 1.1. Эле¬
менты fi возьмем из (1.7). Тогда на основании леммы 1.4 любая
функция, определенная на отрезке [а, Ь], может быть представ¬
лена там в виде
где ф(лг)—некоторая функция, обращающаяся в нуль в точках
Х\у *2, хп. Мы снова пришли к интерполяционной формуле Ла¬
гранжа, построенной для функции по ее значениям в точках Хи
*2, •••, хп — узлах интерполяции. Функция ф(х) характеризует
ошибку аппроксимации f(x) с помощью интерполяционной форму¬
лы Лагранжа.
Рассмотрим теперь некоторые вопросы интерполяции, которые
потребуются нам в дальнейшем.
Будем обозначать интерполяционный многочлен Лагранжа, по¬
строенный по приведенным выше условиям, через LXtx2...xn(h х).
Представим многочлен Лагранжа еще в одной, более удобной
в некоторых отношениях форме. Обозначим коэффициент при хп~х
в LXlXa...xn(f; х) через f(xu х2, ..., хп). Тогда, очевидно,
Будем называть это выражение разделенной разностью (п—1)-го
порядка. Смысл такого названия выяснится несколько позже. Из
(1.9)	следует, что f(xi, х2) ..., хп) является симметрической функ¬
цией своих аргументов. Если записать LXlXo^Xfl(h х) в виде
Д-j-l — ф/:-[-1 S'/z-J-b ф'/г-j-l ^	<§л-И	^	^2*
При этом фп+i не может быть нулевым элементом и
f = Атфл+ь £—1,2,..., /г,
также удовлетворяют условиям леммы 1.2. Элементы f опреде¬
ляют систему L2, отличную от L2.
h
(x — xi)a'n(xi)
П
(1.9)
(/;*) = LXt (/; х) + [LXlXt (/; х) - LSx (/; х)] + ...
36

(/; х)]
... "Г \L'Xi.X2...Xn (/>	^xty2...xn_](f	У	-Д]	’
то LXt (/; *) = / (x'i)’a каждое выражениеЬХ1Х>_Хк+х (/; л:) —	(/;	*)
будет являться алгебраическим многочленом степени k со стар¬
шим коэффициентом, равным f(xu х2у xk+\). Этот многочлен
обращается в нуль в точках лу, х2, хк и, следовательно, будет
иметь вид
... (х — X]) (х — х2)	— Хп-л) f (х1У х2, ... , хп).
Это другая запись интерполяционного многочлена Лагранжа. Она
носит название интерполяционной формулы Ньютона для неравных
промежутков.
Разделенные разности можно находить по рекуррентным фор¬
мулам. Для получения этих формул запишем LXlX2m,.Xn(f; х) в виде
... + (я; — хп) (х — хп-\) ...(х — xn-.k+i) f (хпу хп_и ... ,	xn-k) +	•	•	•
... -f (х — хп) (х — Xn-l) ...(х — х2) / (хп, Хп-и ...	у	хг).
Разность между этим выражением и предыдущим должна быть
тождественно равна нулю. В частности, должен быть равен нулю
коэффициент при хп~2. Но этот коэффициент равен
(*1 — ХП) / (хг, X,, ... , хп) +7 (х2, х3, ... , X,.) — / (xlt Х2,	... ,	Xn-l).
Так как мы можем применять подобные рассуждения при любом п,
то разделенные разности можно последовательно находить по зна¬
чениям f(Xi), используя формулы
(х — лу) (х — х2) . .. (х — xk) f (xlt Х2, . . . , Xk+\).
Таким образом,
(/; x) = f fo) 4- (x — Xj) f (xit x2) -f ...
... -f (x — xx) (x — x2) ... (x — xk)f (лу, x2, ... , xk+i) + ...
LxiX.-.x., (ft x) — f (xn) j- (x xn) f (xn, Xn—i) -1- . . .
Отсюда
f {Ху, x2, ... , xn) —
f (x-t, x3, ... , Xn)—f (.<!, X2, ... , Xn_x)
xn — X1
f (xk+i) — f (Xk)
f(xk+1, xk+2)—f(xk, xk+l)
, ... , f (X^X/t^-i, . . . , Xfc^-p) —
37

f(*k+l> *k+2> -'■ > *k+p) — f(*k> Xk+\> •" » Xk+p-1)
•fy+P Xk
Отсюда и происхождение названия — разделенные разности. Эти
выражения и используются при практическом использовании фор¬
мулы Ньютона для неравных промежутков. Заметим, что преиму¬
щество формулы Ньютона по сравнению с формулой Лагранжа
состоит в том, что если нам в процессе вычислений придется до¬
бавлять новые узлы интерполирования, то формулу Лагранжа
нужно перевычислять заново, а в формуле Ньютона лишь доба¬
вится несколько новых членов.
Рассмотрим еще интегральное представление разделенных раз¬
ностей, предполагая, что производные, которые будут входить под
знаки интеграла, непрерывны. Мы имеем
Далее, проводя аналогичные рассуждения и используя симметрию
разделенных разностей, получим
/ (хк+х) — f (xk)   i
*/г+1
xk+\ ХЬ	xk+\	xk
0
f Xfc-\-Ь	X^y	Xk-\-2)	—
f(Xk. xk+2) — f(xk, Xk+1)
xk+2 ~ ^+1
{/' [xk + ti (Xk+2 — Xk)] — f [xk + tx {xk+x — xk]} dti =
1 xff\~ti(xk-]-2 xfz>
о 0
Продолжая эти рассуждения, мы по индукции получим
/ (#£,	.	.	.	,	Х/г+р)	^
1 и и	*р-1
= ^ dt1 J /" [xk + tx (xk+\ — xk) -f to, (xk+2 — *fc+l)] dto.
0 0 0 0
♦ • • tp (xk-\-p	Xk+p—i)] dtp.
38

Отсюда, в частности, по теореме о среднем следует
^(6)
f (xk, Xfi-{-1, . . . , Xfz-t-p) —
P°
где | принадлежит наименьшему интервалу, содержащему точки
Xkf Хк+Ь —» xh+v
Из последнего выражения в свою очередь следует, что если
f(x) является многочленом степени п на отрезке [а, Ь]9 то как бы
мы ни выбирали узлы хи х2, *n+i на [а, &], величина соответ¬
ствующей разделенной разности порядка п будет одной-и той же,
а все разделенные разности порядка п+1 будут равны нулю.
Пусть опять f(x)—произвольная функция, определенная на
[а, Ь]. Рассмотрим разделенную разность f(x9 Х\9 ..., хп), где х —
произвольная точка [а, Ь], отличная от всех хг*. Если воспользо¬
ваться выражением (1.9) для разделенной разности и разрешить
его относительно f (х), то получим
/ (х) = LXlXt...Xn (/; х) + со„ (х) f (х,	хп).	(1.10
Таким образом, функция ф(а:)^0(/7ь F2i Fn) может быть запи¬
сана в виде
ф(*) =	(*)/(*>	*1.	... . *„).
Если f'(x) непрерывна на [а, Ь], то /(х, л;ь ..., яп) также непре¬
рывна на [а, Ь]. Действительно, в этом случае и ф(х) имеет не¬
прерывную производную на [а, b] и
/(*, Xi, ... , *„) = ФМ
юл (л-)
Отношение, стоящее в правой части равенства, непрерывно в точ¬
ках [а, Ь]9 отличных от я*. Но по правилу Лопиталя
ф' (*])
lim f(x, xl9 ... , хп) =
% to)
так как юли4)^=0. Таким образом, /(х, х\9	*п) можно доопре¬
делить в точках Xi так, что она будет непрерывной функцией на
всем отрезке [а, Ь]. При этом выражение (1.10) будет иметь смысл
и в точках х^
Пусть f(x) обладает ограниченной производной /<п)(я) на от¬
резке [а, Ь]. Тогда, воспользовавшись связью разделенной раз¬
ности с производной, полученной ранее, будем иметь
f(x, xlt , х„) =	£<=	(a, b).
tl\
Таким образом, в этом случае (1.10) можно переписать в виде
№ (£)
f(x) =	X)	+0)„(х)--—	(1.10')
39

или, если обозначить
Рп (/) = sup | /<"> (ж) |,
х£[а,Ь]
ТО
| / (ж) — LXlXt...xn (/; х) I < I ©„ (ж) I
Pn(f)
п\
(1.10")
Подобные же оценки можно получить, если предположить
ограниченность производных порядка k, 1 ^.k-^n. Так, например,
®п(х)
х — хп
а>п(х)
<р(ж) = ю„(ж)/(ж, xlt ... , хп) =
- [/ {х, хъ ... , Xn-i) — f (хъ х2, ... , хп)\ =
X— X.
[/ (X, Хъ ... , Жл_2, хп) — / (ж1( Ж2,
п—1
М/г (*)
X — Х\
[/(ж, ж2, ... , x„) — f{хъ ж2,
Х,г)\ =
*„)]•
Отсюда
где
|<р(ж) |«<|ш„(ж) \п~12п
Р/г-1 (/)
(я-1)1 J
р„_1 (/) = sup I /<”-» (ж)
х£1аМ
—	(П
I f(x)-LXlX2...Xn(h ж) | < 21(оп(ж)| »
Действуя таким же образом, можно осуществить и дальнейшее
понижение порядка производных.
Пусть теперь xi+1—Xi = h = const. Будем обозначать
/ (*0 + Щ = / (я*) = Д, i = 0, ± 1, ± 2, ... .
Выражения
АД = Д‘4-1 — Д, i = 0, ± 1, ± 2, .. • ,
называются конечными разностями первого порядка. Аналогично
Д2Д = АД+1 — АД = Д+2 — 2/t-+i + Д, i = 0, ± 1, ± 2, ... ,
называются конечными разностями второго порядка. Точно так же
вводятся конечные разности любого порядка
Д/гД=	1=	0,	±1, ±2, ... , й=1, 2,....
Конечная разность Д^Д порядка k является линейной комбинацией
значений Д, Д+ь ..., Д+Л:
40

A*/i =£(-!)*+'С(/ш.
/=о
Конечные разности тесно связаны с разделенными разностями.
В случае таблицы с постоянным шагом h мы имеем
/ {xv "<+1> • • • > Xi+k) =	.
Отсюда, в частности, следует, что интерполяционная формула
Ньютона для неравных промежутков может быть в рассматривае¬
мом случае переписана в виде
LXlxt...xn (/; х) = fi + tAfi Ч	~	А2/1	+ • • •
...-Г	ъ	-А Л + .,.
...+ JC^;;Jb? + gLAa-./lt
(п — 1)!
где через t обозначено:
Мы получили интерполяционную формулу Ньютона для интерпо¬
лирования вперед.
Далее из той же связи конечных и разделенных разностей и из
связи разделенных разностей с производными следует
A*/i = AWS),
где через £ обозначена некоторая точка интервала (xi, Xi+k). Та¬
ким образом, если fi+u ..., /i+n+m являются значениями некото¬
рого многочлена степени п, то Anfi — Anfi+\ = ••• — Ап/*+т, а
An+[fi+j = 0 при O^j^m—1. Равны нулю и соответствующие раз¬
ности более высокого порядка.
Правила действия с конечными разностями во многом напоми¬
нают правила действий в дифференциальном и интегральном ис¬
числении. Так, легко проверяемое равенство
А (Л£г) = hAgi -i- £<+i А/{
напоминает правило дифференцирования произведения, а полу¬
чаемое из него так называемое правило суммирования по частям
£ fiAgi = £ A (figi) — £ gi+l A/i = [f„gi — f0g0] - £ A/i
i=0	t=0	i—0	0
напоминает правило интегрирования по частям.
41

Рассмотрим еще вопросы интерполирования с помощью про¬
извольной системы Чебышева. Пусть фЬ ф2, фп — произвольная
система Чебышева на отрезке [а, Ь]. Будем искать обобщенный
многочлен
Ф(*)=2 агФг(*)>
1=1
принимающий при х = х{, х^[а, Ь], хьфх^ при 1ф'], i, / = 1, 2,
п, заданные значения Ф(х{) —f (Xi). Легко видеть, что этот
многочлен будет удовлетворять уравнению
= 0.
Фх (*х)
ф'2 (*х) •
. . фп(х1)
/(*х)
Фх (*г)
Фа (*г) ■
■ • ФП (х2)
/(*г)
Фх (*„)
Фг (Хп) ■
•• Ф п(хп)
f(x„)
Фх (*)
Фг(X) • •
• ФяМ
Ф(х)
Отсюда, используя обозначения примера 1.4, найдем
Фх Ф'2
Хг Хо .
• Фл)Ф(л:) =
хп )
Фх (Xl)
Фг(*х) •'
•• Ф«(*х)
/(*х)
Фх (*а)
Фа(*а)
• • Ф „(Хг)
f(x2)
Фх (хп)
Фг (*«) • -
фД*я)
f (Хп)
Фх (*)
фа(х) .
■■4>п(х)
0
Раскрывая определитель правой части по элементам последнего
столбца и деля на определитель, стоящий в левой части, получим
Ф(*)= £/(.*,)
1=1
где фг(*) —такие линейные комбинации Ф;(*), что
(*/) = бг/. Т /=5. 2,	, п.
Таким образом, г|ц(х) представляют элементы fi леммы 1.2. Они
не зависят от значений /(*,-) и целиком определяются выбором уз-
лов интерполирования.
Найдем теперь ошибку аппроксимации функции f(x) с по¬
мощью Ф(х), предполагая, что f(x) и фг(*) обладают непрерыв¬
ными производными порядка п и что все Вронскианы Wk(x), k =
= 1, 2, ..., п, отличны от нуля на [а, b]. Тогда (см. пример 1.4)
42

Функции фг (х) образуют систему Чебышева — Маркова. Построим
линейные дифференциальные операторы
Lk Ы =
Wk (х)
Нетрудно показать, что
d
dx
L ф2 ...
ф*
У
ф2 . . .
фй
у'
ф2
m<fe>
ф/г
у(Щ
WkLk [у] '
wk
п+1 -
Wk+l
k = 1, 2, . . . , п.
WH-i
[у]-
Действительно, левая и правая части являются линейными диф¬
ференциальными операторами порядка k+l. Они обращаются в
нуль при подстановке в качестве у функций ф|, <р2> ф/м-ь Коэф¬
фициенты при у{к+1^ в обеих частях равенства совпадают. Если
ввести обозначения
D =
d
dx
W0{x) = 1,
то мы получим
ЬП[У)
Wa
w,
D
W\
11—1
/1—1
D
Hwn—2
Wf
W2W о
D
Отсюда можно получить следующее обобщение теоремы Ролля.
Пусть у(х) обладает непрерывной производной порядка а на от¬
резке [а, Ь] и обращается в нуль по крайней мере в п+1 различ¬
ных точках [а, Ь\. Тогда найдется по крайней мере одна точка
b], такая, что
К{у(х)] |*=1 = 0.
Действительно, W0yjWi будет обладать такими же свойствами, что
и у. Следовательно, DW0ylWi будет обращаться в нуль на [а, Ь]
по крайней мере в п различных точках, как и (W^lWzWj) D(W0y/Wi).
Отсюда
D
у
W3WX Wx
будет обращаться в нуль на [а, Ь] по крайней мере в п—1 различ¬
ных точках. Продолжая такие рассуждения и дальше, мы получим
утверждение.
43

Рассмотрим функцию
К(х, s) = t;’(s)
Фх (S)
ф, (s) . .
• Ф„(«)
ф! (s)
Фгф
Фя (s)
фД2)
(s) ф(2,_2) (5) .
• •Ф lr2)(s)
Фх (*)
Фг (х)
Фп(*)
i=\
где Wn(s)—Вронскиан, составленный по ^i(s), яМ5)> ..., t|)n(s).
Как функция от х К(х, s) удовлетворяет уравнению
La[K(x. s)] = 0
и, кроме того,
дгК(х, s)
дхг
_ ( 0 при 0 < г < п — 2,
C=s } 1 при Г = п — 1.
(1.11)
(М2)
Отсюда получаем, что
П	X
у (х) = £ ct^ (х) + | К (х, s) g (s) ds,
где £(л;)—произвольная непрерывная функция на [а, Ь\ и Ci —
произвольные действительные числа, будет удовлетворять уравне¬
нию
Ln[y] = g(x)-
Подставив в у(х) вместо К(х, s) его выражение через фДх) и
мы можем записать
«/(*) = £ РхФг (X) + £	{*)	j («) £ («) ds,
i= 1
i+1
где
Pi — ®i + J	(S) § (S)
ds.
Очевидно, t/(xi)=Pi> I=l. 2, ..., п. Положив здесь y(x)=f(x), где
f(x)—интерполируемая функция, и g(x) =L„[f(л:)], мы придем
к следующему:
/ (*) = Ф (*) + £ Фг (X) j (S') Ln [/ (S)] dS.
i—1	Л'-
44

При этом
£ M*)f :^i(s)LnU(s)}ds
г=1
играет роль ср леммы 1.4.
Можно получить и другое выражение для ср. Выберем в каче¬
стве g(x) произвольную непрерывную на [а, Ь] функцию, не обра¬
щающуюся в нуль на этом отрезке. Положим все р* равными ну¬
лю. Тогда мы придем к функции h(x), обладающей следующими
свойствами:
h{xx) = О, /=1,2,..., п, Ln[h{x)] =g(x).
По обобщенной теореме Ролля, h(x) ни в какой точке х^[а, Ь],
отличной от точек хи не обращается в нуль. Поэтому для любого
фиксированного х'<^[а, Ь], х'Фхи можно подобрать число С так,
что
f(x') — Q>(x') — Ch(x') = 0.
Таким образом, функция f(x)—Ф(х)—Ch(x) будет обращаться
в нуль в п+ 1 точках отрезка [а, Ь] и снова по обобщенной тео¬
реме Ролля найдется такая точка |е[а, Ь], что оператор Ln от
нее в этой точке будет равен нулю. Итак,
£»[/(«] = с* (Б)
И
}(х’) = Ф(х') + .УШ}..Н(х').
£(ё)
Наиболее простое выражение мы получим, если положим g (*)==!.
При этом
\f(x')-<l>(x')\<\h(x')\ sup \Ln[fm-
x£[a,b]
Заметим,	что К(х, s) как функция х	является решением	урав¬
нения (1.11),	удовлетворяющим	при x = s начальным	условиям
(1.12). Следовательно, К{х, s) определена однозначно и не зави¬
сит от конкретного выбора фундаментальной системы решений
уравнения (1.11) и точек интерполирования. Тем самым она не
зависит от функций фг(л;). Ее иногда называют функцией Коши.
Вместо функции Коши можно использовать так называемую
функцию Грина, которая определяется следующим образом:
G(x, s) = (	°	ПрИ	a<x<s'
\ к (х,	s) при	s < х < Ь.
G(x, s) как функция х удовлетворяет уравнению Ln[G(x, s)]=0
при x=^=s, непрерывна вместе со всеми своими производными до
45

порядка п—2 включительно на отрезке [a, b]y а производная по¬
рядка п—I имеет при x = s скачок:
В заключение этого примера заметим, что для системы Чебы¬
шева 1, х,	хп~{ мы будем иметь
и при g(x)= 1
Таким образом, мы снова приходим к полученным ранее оценкам.
Пример 1.6. Пусть L — совокупность функций f{x)y определен¬
ных на [а, Ь] и обладающих там непрерывными производными до
порядка т включительно, где /п = тах&* и ku k2y ..., kn — заданные
натуральные числа. Пусть /%•-,(/) =fti)(xi), где х[у х2у хп — раз¬
личные точки [а, Ь]у / = 0, 1, ..., ki—1, и F(f) = f(x')y где х' не рав¬
но ни одному из xt и принадлежит [а, Ь].
У нас имеется N = k{ + k2+ ... +kn функционалов Fij(f). Пока¬
жем, что они линейно-независимы на L. Для этого покажем, что
они линейно-независимы на подсистеме L{czL размерности N с ба¬
зисом 1, л*, ..., л'ЛГ-1. Если обозначить
то будем искать элементы fij(x) леммы 1.2 в виде
+ s)
dxn~l
dn~lG(s — 0, s)
dxn~l
£2 (x) = (x — Xj)k‘ (x — x2)k’- ... (x — xn)k",
где
При этом как бы мы ни выбирали постоянные будем иметь
Fki (fa) = 0 при /е 7^ i или k = iy I < /.
Чтобы Fij(fij) = 1, необходимо потребовать
Отсюда находим
,(0)	1	Г	Q(*)	1~1
Q(x)

далее, должно быть Fis(f.;j)=0 при s=/+ 1, / + 2,	1. Это
приведет к следующим равенствам:
5, Г 1 ai-ГЧ	1>!а?Г/_1)-
L (*-*1)* -1*=*г
• • • + ¥и (хг)«у = 0. s — / _Ь 1,	/-1-2, ... , /г.;—1.
(1) (2)	<**—7—1)
Они позволяют последовательно находить а}/, а;7 , ... , atj
функции fij(x) являются многочленами степени N—1 и опреде¬
лены в L\ однозначно. Итак, нужные нам функционалы fij(x) най¬
дены.
Представление леммы 1.4 будет иметь вид
п 1
-/(*) = ф(*)+£ £M*)/°Vi) = q>*),
i=r 1 ]=Q
где функция ф(х) обращается в нуль в точках х\ вместе со всеми
/	1	•	'^/j)	/	р	\
производными до порядка —I включительно. HXiX2„,Xn (/; х)
называется интерполяционным многочленом Эрмита.
Конечно, использованный нами процесс получения интерполя¬
ционного многочлена Эрмита неудобен для практического исполь¬
зования. Рассмотрим еще один подход, более удобный для этих
целей. Будем предполагать, что производные, которые у нас встре¬
тятся, непрерывны. Введем разделенные разности с повторяющи¬
мися значениями аргумента посредством
f/Y(0) у(0)	г(0) у(0) у(0)	(0)	.	(0)	(0)	<ок	_
/ \л\ 1	»	•	•	•	, Х\ ' > Х>2 > Х2 , . . . , Л2 ’	.	.	•	,	Хп	,	Лп	,	.	.	.	,	Лп	)	—
kx раз	k2	раз	kn	раз
= lim f(x?\ х\'\	xf-1», 4Г, 4>, ... , хр~'\
г(0)	(1)	А-1К
ЛП » ЛП > • • • > лп	)•
При этом достаточно доопределить разности вида / {xf\xf]),
так как в остальном будут действовать рекуррентные формулы,
полученные ранее. Из интегрального представления разделенных
разностей будем иметь
/<*!"',	 *Г>=	lim	/(*Г. 4"	&>)	=
" к{+1 раз	""
1 h
Vi
= lim Г dtx Гdt2... Г	Г40) + У tr (4} - xlrl))
фчЧ oJ	}	L й
dtk. —
47

Используя понятие разделенных разностей с повторяющимися зна¬
чениями аргументов, мы можем обобщить интерполяционную фор¬
мулу Ньютона для неравных промежутков на случай, когда N уз¬
лов интерполяции в пределе образуют группы
Xj f Xif . . .	Х2,	Х2,	•.. , х2, . . . , Хп, ХПу ... | хп>
>— —. —■■■■	■ — 11 ■ ... . ■ ■ ' ц
kx раз	k2	раз	kn	раз
Х{Фху при 1ф'\, х^[а, Ь\. Переходя в интерполяционной формуле
Ньютона для неравных промежутков к пределу, мы получим
f(*) = 2 L (*~х^'1 (х — х*)к'- •■•(х-Xt-ip-1 (X — х{у~1 X
£=1 /= О
yf{Xu , хи Х2, ... , Х2, ... , Х{—1, . . . ,Xj_lt Xit ... , Xj) -Ь
kx раз	k2	раз	!l[—l Раз	/	Раз
+ й (х) f (х, хи ... , xv х2, ... , х%, ... , хп, ... ,хп).
kx раз	k2	раз	kn	раз
Двойная сумма является алгебраическим многочленом степени не
выше N—I. Если разделенная разность, стоящая множителем при
Щ*), непрерывная функция х на [а, Ь] (это так, когда fW(x)
непрерывна на [а, Ь]), разность между f(x) и указанным много¬
членом будет иметь нули в точках xiy i= 1, 2, ..., /г, кратности не
менее /ег-. Таким образом, мы снова пришли к интерполяционному
многочлену Эрмита и
/(х) = /££::;% (/; х) + Q {x)f(x, xlt ... , хъ х2, ... , х2, ...
kx раз	k2	раз
. . . , ХПУ . . . , Хп).
kn раз
Последнее слагаемое равно ср леммы 1.4. Если	непрерывна,
то из связи разделенных разностей с производными получаем
/ (X) = tfSt-'i1 (/; X) + fi (X) -l^L, £ е (а, Ь).
Если записать
/ (х) =	(/; х) + q (х) G (х),
то непрерывность G(x) можно получить и при меньших предполо¬
жениях о f{x). Действительно,

и правая часть непрерывна на [а, Ь] в точках, отличных от лу.
В точках же х{ полагаем
и-. „)/'•<>
G (Хг) =
а'*<’<,)
что, по правилу Лопиталя, обеспечит нам непрерывность G(x),
если f(m)(x)> гДе т определено в начале примера, непрерывна на
[а, 6].
Рассмотрим еще один подход. Пусть дг)—аналитическая
функция в односвязной области, содержащей точки хи х2у хп>
и С — какая-нибудь замкнутая спрямляемая кривая в этой обла¬
сти, такая, что точки хЛу х2у ..., хп находятся строго внутри области,
ограниченной С. Покажем, что
М...ип)	_	1 Г Ш »QC)-Q (г)
Mx'x‘-xn{ttZ)~ 2М у Q® С-г dC-
С
Так как
Q (С) — Q (г>
является алгебраическим многочленом степени N—1 относитель¬
но г, то правая часть будет алгебраическим многочленом степени
не выше N—1 относительно г. Далее
„(*, = /(*)	!_,£_£.«>	.JBO	=
2*1 У Я® t-г
С
= _!_ (6 _Ш_ di _	(6	_Ш_	JiSLiML.	т	=
2Я( У t-г	2ж У В® t-г
С	с
_ а (г) £ /С)
2я£ У Off) C-z ’
с
Итак, ф(г) равно произведению £2 (г) на интеграл типа Коши и,
следовательно, <p (г)—аналитическая внутри контура С функция,
имеющая в точках xiy i= 1, 2, ..., пу нули кратности не менее ки
т. е.
<p(*i) = ф' (х{) ==...= ф№‘_1)(х{) = 0, i = 1, 2, ... , п.
Мы доказали, что данное выше выражение действительно дает
интерполяционный многочлен Эрмита и нашли еще одно выраже¬
ние для остаточного члена.
49

Для иллюстрации рассмотрим случай, когда k]—k2= ... =k„ = p.
Пусть сначала р= 1. Тогда мы будем иметь многочлен Лагранжа
Ьхл..,п (/; z) = —L- ф -Ш-
п	2т	J	(оп(0	С	—г
с
Функдйя
ж (2) = _J (£)-%»(?)
%(С)	1-г
является многочленом степени п—1 относительно 2 и поэтому в
точности представляется своим интерполяционным многочленом
Ньютона с узлами х\, *2, •••, хп. Очевидно,
TW «МО	MS)
Далее
Ъ» (г) - *, <2)	!— Д.+.	И	L «*«)-<..(*)
•«.по t-г »»ю t-г
и так как
®*+1 (£) = (S — Хк+Х) to* (5),	со*+1	(г)	=	(г	—	хк+х)	to*	(г),
то
%+1 (2) — % (г) = ■■ м*(z) .
^/e+l Vb)
Таким образом
/1=1
Тп (2) = ^1 (2) +	[%+1	(2)	—	я|>*	(2)]	=
k = \
_	1	+	М?)	^	+	%-1	<г>
®i (S) “г (?)	(г)
Подставляя это выражение под знак интеграла, получим
k=0	С
Это интерполяционная формула Ньютона для функции /(г), по¬
строенная по узлам Х\, Х2, хп- Следовательно,
Ш__	=	/(Xj, Х2, . . . , JCft-|-i).
2я< Д «й-ы (S)
Мы получили еще одно выражение для разделенных разностей.
Воспользовавшись теорией вычетов, отсюда можно получить преж¬
ние их выражения, а также выражения для разделенных разно¬
стей с повторяющимися значениями аргументов.
50

Вернемся к случаю произвольного р:
{/. г) _ _L_&_t©_ «0-<М „5.
" "	2”‘	7	«о	s-*
Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:
  1Г< (5)-«£(*) = сод (g) —	(г)
<(?) t-г	С	—г
X
X
а>„(г)	<	1	(2)
«*.©	‘	<Й)	<	(?)
Тогда
р-i
и{рр...о) /р.	^	(2)	X	/	(£)	%	G)	■	©я	(^)	^
Я,Л...Л„ о . г, - 2,	£Гг
/—О	с
Если воспользоваться найденным ранее выражением для *фп(2),
то получим
р—1	п—1
HtX
«ЙД,№
/= 0	/е=0	С
Остаточный член этой формулы будет иметь вид
,й=*!(|)	>Ш-
'	2nl	У в? (£.)<£ — 2
2л/	»£	(ОЙ	—г)
Интегралы
1 £ m<*t
„ . (D Г7ГГ 777	—	t \х1>	• • • > -^1» • • • » ^-/г+Ь • • • 1 X	+Ь
2т J со', (£) соь ,, (l)		 ■—1— 	,
с	П	fe-fl	Ь/	раз	раз
%k-{-2> • • • » ^4~2» • • • »	•••	у	%п)
/ раз	j	раз
можно подсчитать с помощью теории вычетов.
Можно построить теорию интерполирования с кратными узла¬
ми (т. е. когда в некоторых	или	во всех узлах заданы не	только
значения функции, но и	значения	нескольких ее последовательных
производных), беря в качестве базисных функций не степени х,
а другие системы функций. Кратко наметим эту теорию, не стре¬
мясь к большой общности.
В качестве базисных функций <pi(x), Ф2(*)> •••> Фn{x) возьмем
непрерывно дифференцируемые до порядка N—1 на [а, Ь] функ¬
ции, для которых Wk(x), /е = 1, 2, ..., N, отличны от нуля на [а, Ь].
При этом по примеру 1.4 {ф&(л;)} образуют систему Чебышева —
Маркова. К линейным операторам Lh[y\, введенным в предыду¬
51

щем примере, будет применима обобщенная теорема Ролля. За¬
метим, что в обобщенной теореме Ролля можно учитывать и крат¬
ность нулей, т. е. можно утверждать, что если у(х) обладает на
[а, Ъ] k+\ нулями с учетом их кратности, то Lh[y] обращаете':
в нуль по крайней мере в одной точке [а, Ь]. Доказательстве
проводится как и прежде, только нужно учитывать, что каждый
оператор дифференцирования понижает кратность корня на еди¬
ницу. Вместо определителей
25
<Pi фа • • • Ф„
% X, ... хп
введенных ранее, будем теперь рассматривать определители
2)
ф! Фа
флг 'j ^
X^ ... Xj Х% ... Хо
?!>••• !
kt раз k2 раз
kn раз
Ф1 (*i) Фа (*i)
Ф-V (ч)
ф! (*i) ф2 (Xi)
■ ■ фл? (ч)
ф^-'Ч*) ф^-'Ч^) -
JKi-l) / ч
фЛ/ (Лй.)
Ф1 (ха) Фа (**)
.. флг (х2)
(Ч) ф2г!~1> (Х2) .
• • флг2 !) (*а)
ф1 (хп) Фа (хп)
■ ■ ФN (Хп)
ч (*„—!) , .
Ф1 (Хп) ф2 (Ч) ■
<V-» / ч
• • фN (ч)
где ki + k2+ ... +kn = N, Xi<=[a, b], х{фх3 при i=£j, i, j= 1, 2, ..., n.
Для сокращения записей будем обозначать главный минор этого
определителя порядка k через 2V
Покажем, что все отличны от нуля. При k^.k) это следует
из наших предположений. Рассмотрим
ф*Н-1 (х) =
Ф1 (ч)
Фа (Ч) ■ ■
• ф*. (ч)
Ф*,+1 (*i)
ф! (ч)
ф2 (*i)
■ ф*. (*i)
фЧ+1 (*i)
ч>\к1~])(ч)4к1~,)(ч) ■
..Ф?Г1,(^) ф&нЧм
Ф1 (ч
Фа (*)
■ • ф л, (х)
Ф*.+1 (*)
52

Это обобщенный многочлен, построенный по фДх), ф2(я), •
cpkl+i{x). Он не равен тождественно нулю, так как коэффи¬
циент1 при cp/iH-iW равен Wkt(xi). Далее Фк1+1(х) имеет корень
кратности kx при х = х\. Других нулей он иметь не может, так как
Wb (xx)Wn м й)
Lkl [Ф*1+1 (X)] = Г,е, (xL) L,h [q>*1+1 (X)] =	к'\	Ф О
wk. (х)
и наличие других нулей противоречило бы обобщенной теореме
Ролля. В частности, Ф/,,+1 (х2) =2'ft,+i ¥=0. Далее рассмотрим
фА,+2 (*i)
Ф*,+2 (*l)
ф*,+2 \Хх)
	  Ф*.+2	(*l)
Фл (Xi) ф2 (*) . . .	ф*1+2(*)
Здесь для сокращения записей мы считаем, что на месте, где запи¬
сано	помещены	элементы этого определителя.
является обобщенным многочленом относительно фДя), фгМ, •••
•	> ф^+гС*)» не обращающимся тождественно в нуль, имеющим
нуль кратности kx в точке хх и нуль кратности единица в точке
Других нулей он иметь не может, так как
Lkl+i [ф*1+2(*)]=2)*,+i Lk,+1 [фл,+2 wj=&kt+\ дд; ■ ф о.
“Да-Н w
В частности, Ф^+г^г) = 25ft,+2# 0. На следующем шаге рассмат¬
риваем определитель Фа,+з(^), получающийся окаймлением ®fe,+2
столбцом соответствующих значений ф/га+з и ее производных и
строкой фх(х), ф2(л:),	,	ф*,+з(дс). Очевидно, приведенные рассуж-'
дения можно продолжать, пока мы не придем к SDN-
Пусть теперь нам требуется построить обобщенный многочлен
Ф(х) по фДа:), фгМ, •••> Ф*г(*), удовлетворяющий условиям
Ф(/)(*г) = /(/)(лч), 1= 1,2, ...,11, / = 0, 1,...,£*-1,
где fW(Xi)—произвольно заданные числа. Тогда Ф(*) должен
удовлетворять уравнению:
53
Ф^+2 (я) =

■ /(*l)
' f'(xl)
' /(**)
; /M(*2)
• f(x„)
• • • • tk«rX){x„)
<Pl (*) Ф2 (X) ■ ■
. фА- (x) Ф (x)
Отсюда получим
a
ф(х) = '£ £ M*)/(/>(*i)-
1=1 /=о
Элемент ф леммы 1.4 находится так же как и в примере 1.5 с. ис¬
пользованием функции Коши.
Следующий пример будет связан с получающими все большую
и большую популярность так называемыми сплайн-фунщиями.
Пример 1.7. Пусть на отрезке [а, Ь] заданы точки
а = х0 < xL < ... < xn = b, xk+i — xk = hk.
В качестве системы L возьмем множество всех функций, обладаю¬
щих на [а, Ь\ непрерывными производными до порядка п—2 вклю¬
чительно и производные которых до порядка п включительно
существуют и ограничены на каждом из отрезков [хь, Хь+i]. Здесь
п — целое число, большее или равное 2. Покажем, что функцио¬
налы Fi(f) =f (Xi), £ = 0, 1, ..., N, линейно-независимы на подсисте¬
ме L,c:L функций, являющихся на каждом из отрезков [xk, a^+i]
многочленами степени не выше п—1.
Сначала рассмотрим случай, когда hk = const = h = ———.
Предварительно рассмотрим некоторые вспомогательные вопросы,
представляющие интерес независимо от рассматриваемой задачи.
Пусть даны функции q\(x) и ^(я), определенные при —оо<х<
<оо, и такие, что
Qi(x) = j Qi (i) (х — 5) dl
54

существует. Тогда существует также
&(*) = j q%(l)4i(x-l)di
—оо
и Qi(*)=Q2(*). Операцию получения Q (х) = Qi (х) = Q2(x) по
qi(x) и q2{x) будем называть сверткой (иногда ее называют кон-
волюционным произведением) и будем обозначать
Q (х) = Й1 (X) * <7., (х).
Рассмотрим некоторые свойства свертки, предполагая, что все опе¬
рации, которые мы будем производить, осуществимы. Положим
ОО	00
Vi= | <7i (x)dx, Vo = j q2(x)dx,
—оо	—оо
оо	оо
сх = -Т	[	xq1 (х) dx,	С2	=	-Т \ xq2 (х) dx,
У\	V	У2	J
 00	—оо
ОО	00
W' = 17- f	(х -	41 (*) dx,	wl	=	4" Г	(JC -	С2)2 q2 (х) dx.
*1 J	I	2 J
 OO	 OO
Это соответственно нулевые, первые и вторые моменты функций
q\{x) и q2(я). Иногда 1Л, Р2 называют объемами, Сь С2—центра¬
ми и 1J^2 — ширинами функций q\(x) и q2{x). Рассмотрим, как
изменяются эти величины при операциях свертки. Мы имеем
оо	оо	оо
V= j Q(x)dx= f dx j ft (|) ft (*-£)</£ =
— 00		OO	—OO
= J Mi)[ J qAx-l)dx\dt = V1V2.
 OO	 00
Следовательно, объемы функций при свертке перемножаются.
Далее
ОО	ОО	00
С = ТрйГ I ^ dx = 777 j j xqi q-(х ~ ® dxd^=
—оо	 ОО	—оо
ОО 00
= тк'1 l^^)^x-l)dxdl +
 ОО 	00
ОО 00
j j (x-l)q1(l)qt(x-l)dxdl = C1 + Ct.
V1V2
—00 —00
55

Следовательно, центры функций при свертке складываются. Нако¬
нец,
ОО
Г2 = тк" I {x~Q'Q(x)dx~
—эо
оо сю
= ~vK I I Н —С1 — С,) <7i (g) Яг (X — |) Жи*Б =
—оо —ое
оо оо
= j* ^ [(6— сх) + (* - g - С2)]2	(I)	Яг	(х	-g) dxdl =
—ОО  ОО
оо оо
= j J (S -Q8<71 (6)Яг(X~l)dxdl +
—эо —оо
00 оо
+ тк" I I	+
—оо —оо
00 оо
+ ~wtI I (i-Ci)(^-g-C2)<71a)^(x'-i)^g=r? + ^2,
—оо —оо
т. е. ширина свертки равна коршо квадратному из суммы квадра¬
тов ширин свертываемых функций.
Рассмотрим, в частности, функцию
Pi до =
1 при |х|<у,
О при | х | > —
и будем рассматривать ее свертки с собой. Функцию р\(х) можно
интерпретировать как плотность распределения случайной вели¬
чины, равномерно распределенной на отрезке
Тогда
свертка pi(x) * р{(х) =р2{х) будет интерпретироваться как плот¬
ность распределения суммы двух таких случайных величин, а
Рп{х) =Pi(x) *pi(x) р\{х) (п раз) будет плотностью распре¬
деления суммы п таких случайных величин. Введем функции
/ ,	(	xk	при х > 0,	,	n t о
Ф*(*)=	„	А = 0,1,2
I — х1 при х < О,
56

В частности,
.	1	при х < О,
Фо(*)=	,	<Pi	(*)=*•
— 1 при х < О,
функция фь(х) при £>1 будет обладать непрерывными производ¬
ными до порядка k—1 (при k = \ будет единственный разрыв при
х = 0), причем
<р' (х) = k срА_, (х).
Очевидно,
Pi (х) = -j-
Фо х-у
1
Фо (^ — 4г) = y AiCP° (* —т)’
2 / \ 2
где разность Дх берется с шагом 1. Следовательно,
1/2
Г	^	1
Л
-Т/2
х
оо	1/2
= Д-А! j фо(и)^и=-Т- Д?фх(дс— 1).
X—1
Покажем методом индукции, что
1
рМ~ Sfr'-I). й?^- (*—т>-
При п = 2 формула верна. Пусть она верна при n = k. Тогда
00
pk+i(x)= J Pi{l)pk{x — l)dl^=
1/2
-1/2
fe—1
=	5	Ai Г ф/г-1 (м) dw = —ДЛ+1срА (x —
2-(Л— 1)!	J	2£!
что и требовалось получить.
Запишем разности в виде линейных комбинаций значений срп-ь
Рп{*)
L_£(_1)П+*с5фп_, (x-JL + k\.	(1.14)
57

Так как каждая из функций <p„_i			 -r /e'j является много¬
членом степени п— 1 при х > — k и х<   к, то рп{х) так-
2 2
же является многочленом степени не выше п—1 на каждом из
отрезков
П I U	П	I	»	f	1
 {- k,	—  р я I
2 2 1
£ = 0,1, п— 1.
Далее при |л:|^п/2 рп(х) будет представлять конечную разность
порядка п от многочлена степени п—1 и поэтому будет равна ну¬
лю. Как линейная комбинация функций cpn-i(*) Рп(х) будет обла¬
дать непрерывными производными до порядка п—2 включительно
на всей числовой прямой. В частности, ее производные до порядка
п—2 в точках л; = —п/2 и х — п/2 равны нулю. Замена х на —х при¬
ведет в (1.14) лишь к перестановке членов суммы. Поэтому
Рп{—х)=рп(х). Используя свойства функций фп_1 и (1.13), мы
получим
рп(х) = Рп-1 (х + y) — р"-1 (* — -у)’ п = 3’ 4’
(1.15)
Отсюда, в частности, следует р'п(0) = 0.
Непосредственные вычисления дают, что Р2(х) имеет вид, ука¬
занный на рис. 2. (Это же можно получить, используя формулу
(1.15) при п = 2 для тех точек, где она
применима.)
Отсюда по формуле 1.15 получаем,
что рг(х) монотонно возрастает при
—3/2<*<0 и монотонно убывает при
0<%<3/2. Рассуждая точно так же,
можно получить аналогичные выводы
для всех п.
Дифференцируя (1.15) один раз,
получим
1N (1.16)
рп(х) = р,;_,
х —
Отсюда находим р" (— V2) = Рг (V2) = 0 и других точек, в кото¬
рых р1(х) обращается в нуль, нет. Таким образом, рз(х) имеет две
точки перегиба, при х=—’/г и д: = */г. При этом р'3 (—х/2) = 1 и
РзГ/г) = — 1.
Мы имеем
Ра (0) =
п
2 (я — 1)1
1)*с5ф„_1 (-f-k
58

Так как
-Л / Я гЛ"-1
1Г<
k=Q
2(я — 1)!	\	2
то, складывая два последних выражения, получим
k—0
Отсюда находим /?з(0)=3/4. Это же можно получить по формуле
1/г
Рп (°) = j Pn-i (z) dz.
Пусть 0^л;^1. Тогда
п \	1
Л Г-Т) “ 2(1.-1)1 л:ф"-'“ П) “
 —- А?флг—1 {X — Я) Н Т“	“— А? (Я — Я) = —
2 (л — 1)! Т V '	2 (л—1)1	(л	—1)1
В частности, рз(—Ч2) =Рз(V2) =1/г. Таким образом, график р3(*>
будет иметь вид, показанный на рис. 3.
Рис. з
По графику рг{х) или по графику рч{х) с использованием фор-*
мулы (1.15) можно построить график р'3 (х). Он показан на рис. 4.
Отсюда, согласно (1.16), следует, что р*{х) имеет в точности
2 точки перегиба. Учитывая предыдущие выводы, мы приходим к
заключению, что график р±{х) будет аналогичен графику рис. 3,
а график р\ (х)—графику рис. 4. Эти рассуждения можно про¬
должить и далее.
59

Суммируем теперь все полученные нами результаты об общем
поведении функций рп{х) и рп {>').
1. рп{х) и рп(х) отличны от нуля лишь на интервале (—п/2,
п/2).
2. рп(х) возрастает (р'п (х) > 0) на интервале (—п/2, 0) и убы¬
вает (р'п(х)< 0) на интервале (0, п/2).
3. При п^З рп(х) непрерывно дифференцируема до порядка
п—2 включительно на —оо<х<оо.
4. рп{х)—четная, а рп {х) — нечетная функции х.
5. рп(х) имеет две точки перегиба: хо (п/2>х0>0) и —х0.
6. р'п(х) монотонно возрастает на интервалах (—п/2, —лго) и
(*о, п/2) и монотонно убывает на интервале (—х0, Хо).
7. рп(х) является многочленом степени не выше п—1 на каж¬
дом из интервалов (—п/2 + k, —n/2 + ft+l), & = 0, 1, п—1.
Перейдем теперь к способам эффективного определения функ¬
ций рп(х). Рассмотрим функции двух переменных х и г\
Так как pn{x + k) будет отлична от нуля лишь при \x + k\<ti/2, то
Fn(x, г) при каждом фиксированном х будет линейной комбина¬
цией конечного числа екг и вопроса о сходимости ряда не возни¬
кает. Далее
Поэтому достаточно рассмотреть Fn(x, г) лишь на каком-нибудь
отрезке значений х длины 1. При z — 0 получим
Fn(x, 0) = ^ Рп(х + Ь)= X] ^p„-i(t)p1(x+k — t)d£ =
ОО
Fn(x>z)--= Yt e'tZpXx+k)> n=
oo
Fn(x + I, z) = £ &*ра {x + k + 1) = e~zFn (x, z).
oo
oo
oo
—oo
oo
oo
(■
2
— oo
60

где
х' = х -]- It ~р —, х" = X -р ft" —■ —
2 2
и ft'— наибольшее из целых чисел ft, при которых x + kt^Ln/2, а
— наименьшее из целых чисел ft, при которых +	—м/2. Но
Таким образом,
рп (х, о) = j* Pn—i	i-
x"
[РаДэГ-21-1	«-1
так как при любом jc	  ,
J — | 2 2
Вернемся к общему случаю. Представим Fn(x, z) в виде
Fn(x, г) = F,h(х, г) -f Р,(х, г),
Fnt (х, z) = J ekzpn {х-[-k),' Fnt (XjZ) = £ екгрп (x+k).
где
/г=0
/г=—оо
Будем преобразовывать /7П1 и суммированием по частям. Пред¬
положим сначала, что z<0. Тогда
00	оо
Fn, (X, 2) - V	(х + k) =	^	РД?	tpn-i	(х	+	Л	—	-J-	j	=
  V I Ai
;— 1)! I
2 (п— 1)!
ekz ДГ ф/г-1 ( х + ft -
к=О
• Ai ekz hk\ (рп—1 (х 4- ft -[- 1 —- —— ] 1 =
1
ekz Д? 1 (рп—\ ( х + ft —
k —'ОО
fe=0
2 (я — 1)!
оо
-(**-!) £WpV-if* + * + 1--у)} =
fe=0
1
ргЧ-Ф—г) +
оо
+ (1 - в*) 2 в** дг1 фя-1 (х + k + 1 - -|-) j,
k=0
61

так как при z < О
lirn ekz Д?-1 фл_1 (x-\-k	=0.
*-»« \ 2 )
Проделав эту операцию п раз, получим
F- г) -	{ - 2 <■	ф„_,	(*+г- f) +
г=0
оо
+ (1 - 0*5] е*гфл-1 (х + k + -j) )•
/г=0
Будем рассматривать значения я, удовлетворяющие неравенству
—п/2. При этом
V d* ф„_, (х + k + -J j = 2 (х + А-+ Y
Л \Л—1
= б
k=0
~{х+ 7 VX+Htlz
£еГ^ТГ (x + k + JLy~l =
k=0
= е
Таким образом, получим
1
2 (/г — 1)!
“ Г+7 Г
dz*-'
тУ
х+ — \г
\—ez
n—1
r—0
<*•2) = I - 2	^	(*+■r -f) +
I'+vj-
— *+ “ 2	W/i-l
+ e \	2	!	(1	—	ezY-
v ' dzn-i
l — &
Так как обе части неравенства являются конечными линейными
комбинациями ehz, то предположение z<0 можно опустить.
Точно так же поступим и с F„„ только будем предполагать,
что г>0. При этом
—1
рп. (х, z) = ^ е**рп (х + k) --
k=—оо
—1
2 (п
X Jr k — 4-
k=—оо
62

— Ai ек' ■ A'i 1 <p,,_t (x -\- k 1 — -у-j |
=			I [ ekz A'i 1 ф«-1 I x	k — dL j
2 (n — 1)! Ц	\	2	/
— 1
- (ez - 1) £ e** АГ1 фп-i (x -f- k -f 1 - -J- ) J =
k=—oo
l
A'I 1 фч-i ! x — )
2{n —1)1 [ T	\	2	/
+(i -ez) j e'uдг‘ (* -r k+1 - 4
k=—oo
r~0
—1
+ (!—«*)" 2 ^ф„_1 fx+ft +
k——oo
При z > 0 и я< — n/2 + 1 получим
—l
—l
£ в**ф„_, (x-fA-Ь 4) =- £ е** ^ + fc+JLj" ‘ =
&=—оо	к=—оо
 Г 1’+ т) * V е(‘+‘+ т!* (х + *+i\-'_
^-1	V	2	1
k=—оо
1Д.-+	г	а\	2

= + е V 2
dzn-1
1—в2
я—1
Таким образом,
F-<*• г) =	{S (11 -'^ АГ'“' f“- (* +r “ f) +
+ е
г=0
— |л-+— |г
Л/ 2-1
(1 JS
V ; dz^
I п
\х+т
1 — е2
и опять предположение z>0 можно опустить. При —п/2^.х^
^—п/2 + 1 будем иметь
63

F„ (x, z) = Fni (x, z) + F,h (x, z) =
(n— 1)!
(1—ег)п-^— Г —
' dzn~x [	1	—
I , П ,
X+-)z
(1.18)
Функции Fn(x, z) можно также получать по рекуррентным форму¬
лам. Для этого продифференцируем (1.18) по г:
dJ^ " “ {х + Т) F"‘У г) - 73?F”<*•г) +
-!ЦЛ+1(д:_Д.,2).
Отсюда при хе — JLk-Lt —
оудем иметь
п+\
■'*’ 2) = “я" [
x + JL±LN1_fx__iLzil)
(* + ~У’ 2) ^
dF„ (* +	,	z
-]	-	(1 — ez) Ц-—
n	ог
или, если обозначитьег через у и Fn(x, z) как функцию х и у через
&п{х, у), получим
*»+.(*,»)-= X [ (* + -1±1) - (* ■- -2-Ы-) у
.	doFn	(*	+ ~Z~> У
+ -У(\-У)
п	ду
&п (х + у)
(1.19)
Пусть
п—1
&п(*> y)=Y, ^r,k(x)l/
к=О
Тогда из (1.19) следует
Q(n+m (х) =	+	k}	q„k	(х	+	-j
-т{х~^ + ,г~1)^ (" + т^
Здесь qnk{x) при k<0 и k>n—1 нужно считать тождественными
нулями.
Приведем некоторые примеры функций ^п(х, у)-
У) = (х + 1 ) — хУ, х^[— 1, 0];
64

cM*. у) = -^- (x+ 4rY ~ (*2 + 2x+ ~7~) у +
+ ~2 (X+ Т) tf' Xi
4
 1_
2 * 2
#4(X, У) = 4 (X + 2)3 — 4- (3*3 + 15л2 + 21л + 5) у +
6 6
+ -M3*3+ 12л2 + 12x + 4)i/2	4('v	+ 1)3y3> *e	t— 2, —1];
6 6
 к (4л4+36^3+П4х2 + 141х+ -HLj y +
+ (бл4 + 48л:3 + 129л2 + 132л + j У2 —
— ~ (4л4 -f 28л3 + 66л2 + 67л + j у3 +
5	3
2 * 2
120
1
#■<>(*> у) = -^-(* + 3)5—
1	(5л6	+	70л4	+	380л3	+	980л2	+	И	50л	+	434)	у	+
120
1
120
(Юл5 + 130л4 + 640л3 + 1460л2 + 1520Л.+ 626)у—
(Юл6 + 120л4 -1- 540л3 + 1140л2 -f 1170л 4- 474) у3 +
+ (5лБ + 55л4 + 230л3 + 470л2 + 475л + 191) у4 —
1 (л + 2)6у6, ле [—3, —2].
120
Нас, в частности, будут в дальнейшем интересовать функции
Fn(x, z) и &п{х, у) при х=—л/а + 1. При этом равенства (1.18)
и (1.19) перейдут в
4“ 2 + Ч	ш	-*■>-■]	(1.18')
3 Н. п. Жидков	65

и
у) = -i-[l + (n-l)y]^„(—f + l, у) +
1	d<Fn	(——+ 1> у)
+ -y(l-y)	X—f	L-	(1.19')
n	dy
Так как
f+•.»)= 2 ntP.(—j+l +*)-
k——w
/г—2
= £</4 (“f + 1+*)’	(L20)
ft=0
to 2ч (—«/2+1, у) является многочленом степени п—2 относи¬
тельно у. Будем обозначать его через Qn-2(y). Таким образом,
т	т
Qm(y) = ^«+2 Y’ У) = 2 У*Р,П+2 (~ Т + k ) = 2
akyk>
k=0	k=0
(1.20')
а (1.19') можно переписать в виде
Qm+i (У) = —hr [ 1 + (m + 1) у] Qm (у) + —i— у (1 - у)
m + 2	т	+	2	<f(/
(1.19")
Приведем несколько выражений для Q (у)-
Qo(y) = 1.
Qi(y)=-j(l+y)’
Q*(y) = y{1 + 4^ + y^
Qs(y) =-^г О + lly + 11y2y3),
24
Q4 (У) = -^5-(1 + 26 у + 66y2 + 26y3 + y«).
Как видно из (1.20'), все коэффициенты Qm{y) положительны
и ak = am-k■ Отсюда, в частности, следует, что
ymQm{-^^j =Qm(y)-
66

✓Ч.	л
Таким образом, если у есть корень уравнения Qm(u)— 0, то и \/у
является корнем этого уравнения. Отсюда же у — — 1 является кор¬
нем уравнения Q23H_i(y)=0 при любом р = 0, 1, ... . Покажем, что
все корни Qm(y) = 0 действительны, различны и расположены на
( оо, 0). Единственным корнем Qi(y)=0 является yf = — 1. От¬
сюда по (1.19") получаем, что Q2(—1)<0 и так как Q2(y)>0 при
достаточно больших |у|, то корни yf>, у® уравнения Q2(y) =0
будут расположены следующим образом:
у(2) < у(1) = _ 1 С у(2) < 0.
По индукции можно доказать, что корни yf+1> уравнения
Qm+i(y)=0 и корни yf> уравнения Qm(y)= 0 разделяют друг
друга:
— оо < yf+') < yf) < yf-И) < yf > < ... < yf> < yf+>> < 0.
Вычисления, этих корней можно облегчить, используя соотношения
QiP(у) = урРР (у + “) * ®2*>+1 ^ = уР^ + у)Rp (у + ~) *
где Pp(z) и RP(z) —многочлены степени р от z. Приведем значе¬
ния yf> для некоторых Qm(y)-
yf = — 1;
yf = — 2 — УЗ да — 3,7321, yf = — 2 + ]/3^ — 0,26795;
) = -5-21/6^-9,8990, yf = - 1, yf’ =
= — 5+ 21/6^ — 0,10102]
yf^; —23,204, yf ^ — 2,32347, yf^ —0,430576, yf ^ — 0,043096
Вернемся теперь к задаче, поставленной в начале примера.
Не уменьшая общности, можно положить а — 0, 6 = 1, 6= 1/Л/, Xj =
=У/Л^, / = 0, 1, N. Функции
г|>*(х) = рп (Nx +	~i)’	‘	± 1 - ± 2, ...,
будут являться многочленами степени не выше п—1 на каждом
[к &4-1 1
—,—— , k = 0, ±1, ±2, ... . Их производные до порядка
я—2 включительно непрерывны при —oo<jt<oo. Таким образом,
где Li введено в начале примера. Будем разыскивать
интересующую нас функцию в виде
оо
g{x) = 2 ciPn([Nx + -^-^-1— i'y	(1.21)

Так как (л;) отлична от нуля лишь при ^	—",	1	■	j,
а нас интересует отрезок [0, 1], то достаточно брать
N-\-ti—2
*(*) = J] ciP„(^ + -|--l-ij.	(1.21')
1=0
Интерполяционные условия требуют
N^-n—2
g(Xi) = gWN)= £	=*/.	/	= 0,1 ЛГ.
1=0
(1.22)
Мы получили систему N+1 линейных алгебраических уравнений
с N + n—1 неизвестными коэффициентами с*. Фактически каждое
уравнение содержит только п—1 неизвестных, причем коэффици¬
ентами при этих неизвестных будут являться коэффициенты ajt
многочлена Qn-2(*), определенного в (1.20'). Используя это, мы
можем записать наши уравнения в виде
J] akCk+i =- g/, / = 0, I, ... ,N.	(1.22')
k=0
Прежде чем переходить к дальнейшему изучению полученных
уравнений, кратко остановимся на теории линейных разностных
уравнений.
Линейным разностным уравнением порядка m называют выра¬
жение вида
m
Y,<*k(i)ui+k = b(j),	(1.23)
k=0
где ^ (/), b(j)—заданные функции целочисленного аргумента /,
am(j)¥= 0, а0(/)=7^=0, и uk — искомая функция целочисленного аргу¬
мента k. Областью определения функций а/г(/‘), b(j) является сово¬
купность всех целых чисел некоторого отрезка [р, q] действитель¬
ной	оси.	Если	/	может принимать как угодно	большие	значения,
то будем	считать	q = oo) а если j может принимать	как	угодно ма¬
лые значения, то будем считать р =—оо. Если b(j)= 0, т. е. если
(1.23)	принимает вид
m
£ ak(j)'ui+k = 0,	(1.23')
k=0
то уравнение называется однородным. В противном случае оно
неоднородно. Решением уравнения (1.23) или (1.23') называется
функция щ целочисленного аргумента j с областью определения
68

[р, q + ni], после подстановки которой в уравнение оно превра¬
щается в тождество по /.
Для разностных уравнений могут быть поставлены ряд задач
аналогичных задачам для линейных обыкновенных дифференци¬
альных уравнений, такие, например, как:
1. Найти решение (1.23), которое при / = I, /+1, ..., 1 + т—1
принимает заданные значения щ, щ+и Щ+т-ь Здесь /, /+1, ...
1-+т—1 должны входить в область определения Uj. Это — ана¬
лог задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравне¬
ний. Легко видеть, что из-за предположений о am(j) и a0(j) такая
задача всегда имеет решение.
2. Найти решение (1.23), принимающее в соответствующих точ¬
ках Заданные значения Up, Up+1, ..., Up-\-i и Uq^m, Uq+m—\, •••> Uq+m—t>
где L + t=m—2. Это аналог краевой задачи. Здесь уже нельзя
гарантировать существование решения при любом наборе задан¬
ных значений щ.
3. Изучить поведение частного решения щ или класса решений
(1.23) при j—>-оо или /->—оо. Естественно, что в этом случае нуж¬
но предполагать неограниченность области определения.
Аналогичные задачи можно поставить и для уравнения (1.23').
Можно поставить и другие задачи.
Имеют место следующие утверждения:
1. Если u!j\ ир\ ... у uip являются частными решениями одно¬
родного линейного разностного уравнения (1.23'), то и любая их
линейная комбинация
(1.24)
k=\
с постоянными коэффициентами dk будет также являться реше¬
нием этого уравнения.
2. Всевозможные последовательности действительных чисел
Up, UpJ-i, . . . у Uq-\-m
с естественным определением их сложения и умножения на дей¬
ствительные числа образуют линейную систему. Поэтому к ним
применимы понятия линейной зависимости и независимости. Таким
образом, можно говорить о линейной зависимости и независимости
решений уравнения (1.23'). Если какой-либо из определителей
uk+\
ц(1)
Uk+2 ‘
.. «Ifi
L*. k+m
uk+\
"SI-
k+m
uk+\
. «W
k+m
где k таково, что &+1, k + 2, ..., k + m находятся в области опреде¬
ления щ, отличен от нуля, то решения up, ... , up) линейно¬
69

независимы. При этом определители (1.25) будут отличны от нуля
при любом /г, не выводящем за пределы области определения
и любое частное решение (1.23') можно получить в виде линейной
комбинации и^\ t№\ ... , м<от> вида (1.24).
3.	Общее решение уравнения (1.23) можно представить как
сумму какого-то его частного решения и общего решения соответ¬
ствующего однородного уравнения.
Доказательства этих утверждений мы приводить не будем, так
как они подобны доказательствам соответствующих утверждений
теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Коснемся теперь вопроса о нахождении частного решения не¬
однородного уравнения (1.23), когда нам известны т линейно-не¬
зависимых частных решений соответствующего однородного урав¬
нения. Рассмотрим функцию уДО целочисленных аргументов j и t,
/, t—p, /7+1, ..., удовлетворяющую условиям:
Очевидно, (1.26) и (.1.26') не противоречат друг другу. Функция
уj(t) является аналогом функции Грина, рассмотренной в примере
1.5, и может быть построена по т линейно-независимым частным
решениям однородного уравнения. Покажем, что функция
будет являться решением уравнения (1.23). Действительно,
Заменяя во внутренней сумме верхний индекс суммирования j + k
на j + m9 что приведет лишь к добавлению нулевых членов, мы
придем к
что и требовалось доказать. Заметим, что в (1.27) верхний индекс
суммирования можно положить равным /—т9 так как слагаемые
при t = j—т+ 1, /—/п + 2, ..., / равны нулю. Далее, (1.27) представ¬
ляет такое решение (1.23), которое обращается в нуль при / =
= /7, /7+1, ..., /7 + 272—1 И равно йт'(р) Ь (р) при У = /7 + /72.
(1.26)
(1.26')
/
«/ = £ Y/(0&(0
(1.27)
£ % (/) щ+k = £ ak (/) £ yi+k (t) ь (t).
k=0	k=0	t—p
£ ak (/) Yi Y/+* (0 b (0 = £ b (0 £ ak (/) Y/+* (0 = b (/)-
70

Если коэффициенты ak(j) уравнения (1.23) или (1.23') не зави¬
сят от / (тогда мы будем обозначать их просто a,k), то будем
говорить, что (1.23) или (1.23') являются уравнениями с постоян
ными коэффициентами. Начиная с этого момента будем предпола¬
гать, что ak(j) не зависят от /.
Будем разыскивать решение уравнения (1.23') в виде Uj=zi.
При этом для определения неизвестных значений г получим алге¬
браическое уравнение
Это уравнение назовем характеристическим для (1.23'). Если все
корни Zu ^2, ..., zm характеристического уравнения простые, то
образуют линейно-независимую систему решений (1.23'). Часть
корней или все корни могут оказаться комплексными. Мы ограни¬
чимся случаем, когда все коэффициенты аь действительны. Тогда
комплексные корни будут попарно-сопряжены. Пусть, например,
Этой паре комплексно-сопряженных корней будут соответствовать
два действительных решения (1.23'):
Если произвести такую замену для каждой пары комплексно-со¬
пряженных корней, то полученные решения совместно с решения¬
ми, соответствующими действительным корням, снова образуют m
линейно-независимых решений (1.23').
Если zs является корнем (1.28) кратности р, то частными реше¬
ниями (1.23'), соответствующими этому корню, будут
И в этом случае комплексные корни можно заменить действитель¬
ными. Во всех случаях мы сможем получить m линейно-независи¬
мых действительных решений (1.23'). Доказательств мы проводить
не будем по той же причине, что и ранее.
Функцию \j(t) в данном случае можно заменить функцией уг¬
одного переменного /, удовлетворяющей условиям:
amzm -f	+	... + axz + а0 = 0.
(1.28)
zs = р (cos cp 4- isin ф), zt = p (cos ф — isin ф).
pi cos / ф, pi sin / ф.
0 при / < m 4- p,
a~' при / = m 4- p,
{ 0 при j < p,
(1.26")
(1.26"')
71

При этом решение (1.27) перепишется в виде
/
(1.29)
Найдем функцию у-, в случае, когда все корни соответствую¬
щего характеристического уравнения действительны и различны.
Обозначим характеристический многочлен через Qm(z) и его кор¬
ни через Z\, z2, ..., zm. Рассмотрим функцию целочисленного аргу¬
мента /:
Последнее выражение является разделенной разностью порядка
т—1 (см. пример 1.5, формула (1.9)) от функции	построен¬
ной по узлам zu z2y ..., 2m, поделенной на ат. Поэтому ф; = 0 при
j = p +1, р+2, ..., р + т—1. При j = p + m, учитывая связь разделен-
/^р +1 t|)j является линейной комбинацией частных решений г\
однородного уравнения (1.23'), то
так как все входящие сюда равны нулю. Таким образом, для
этого случая ^з=Уз и общее решение (1.23) можно записать в
виде
где di — произвольные постоянные коэффициенты.
Равенства (1.22') являются неоднородными линейными разност¬
ными уравнениями с постоянными коэффициентами порядка п—2.
О при / < р + 1.
ной разности с производной, получим фр+т = ат1. Так как при
т
При j = p получим
т
£ ak%+k = ат%+пг =-- I.
При /<р будем иметь
т
£ akqi+k = О,
т ' j
(1.30)
1=1	t=,
t=p
72

Как мы показали ранее, уравнение Qn-2(y)=0 имеет п—2 раз¬
личных действительных корня, расположенных на (—оо, 0). По¬
этому ап-2Ф0,	0 и (1.22') всегда имеет решение. Таким обра¬
зом, поставленная в начале примера задача для данного случая
Х/1+1—*fe = /z = const, всегда имеет решение и во введенной там под¬
системе L{ функционалы Fi(f) =f линейно-независимы. Множе¬
ство всех решений (1.22') определяется равенством (1.30), где
надо взять т = п—2, р = 0, гк = yt~2\ b(t)=gt и г|^ определять
при тех же предположениях. Специальным выбором постоянных
di можно удовлетворить тем или иным дополнительным условиям,
налагаемым на g(x). Чаще всего эти условия налагаются на про¬
изводные от g(x) в граничных точках х = 0 и х=\. Для того, чтобы
понять возможности в постановке граничных задач, рассмотрим,
как они влияют на коэффициенты с{.
По (1.21), (1.15), (1.16) и аналогичным равенствам для произ¬
водных более высокого порядка получим
N+n—2
(х) = Nk 2 ciPM (Nx + f -1 -ij =
t=0
N+ti-2
C=0
N-j-ti—2 k
= Nk £ J] (- 1 )/+* Ci p„_ft (Nx +	-	1	-»+/)	=
I—0	/=0
k	N+ n—2
= w*£(-i)/+*c£ 2 ciPn^(Nx+JLYL-i-i + i) =
/=0	1=0
k	N+n-2—j
= ^(-iy+fta £ с?+/Ря_*^х + лг±_i_?),
/=0	q=—j
где q = i—/. Полагая все при i<0 и i>N + n—2 равными нулю,
мы можем продолжить следующим образом:
k	N+n—2
«»>(*)=ЛГ*2(-1)/+*а	£	cq+j	pn~k	(^N	х	+	1	—
/=0	q=—k
N+n—2	k
= N>< 2	+
q=—k	/=0
N+n—2
q=—k
V(-i y+*ac,+/ =
73

При x=Xj, j=О, 1, ..., N, получим
N+n—2
g»>(x,) = N* £ p„_fe	Atcq =
Q——k
j+n—k—2
=	Nk %	(1.31)
Q—j
В частности, при k — n—2 будем иметь
^-2)(д-.) = Д 1-2crNn~2.	(1.31')
Для	наших	значений jgih)(Xj) целиком определяется	с0> сь ...
...,cN+n-2	и ;не	зависит от введенных дополнительно	При	/—О и
N получим
n—k—2
g(k) (0) = ^ 2 Рл_*	-	1	-	<?)	Д?с,,	(1.32)
q=-Q
N+n-k-2
£**>(l)=iV*	^	P.-*(W	+	JL=±_i_9jA?c,.
q—N
Условия grfft)(0)=0 и gW(l)=0 будут наверное выполнены, если
потребовать
Д?с, = 0, <7 = 0. I.---, n — k — 2, N, N-f 1,	, iV + « — k — 2.
(1.33)
Заметим, что если условия (1.33) выполнены при некотором k = t,
то они автоматически выполняются при k = t-\-1, /+2, ...,/г—2.
Таким образом, если (1.33) выполнены, то
£*) (0) = (0) = ... (0) = 0,
fir№)(l)=g(ft+l)(l)= ... = g(«-2)(l) = 0.	(1.34)
Пусть п — четное число, n = 2s, 5^2. При этом в нашем рас¬
поряжении будут 2s—2 постоянных di и можно рассчитывать удов¬
летворить всем условиям (1.33), взяв k = s. Равенства (1.33) и
(1.22') дадут нам систему из N + n—1 линейных алгебраических
уравнений с N+n—1 неизвестными си. Эта система всегда имеет
единственное решение. Достаточно доказать, что однородная си¬
стема будет иметь только тривиальное решение. Пусть g(x) полу¬
чена в результате решения однородной системы. Тогда многократ¬
ное интегрирование по частям даст
74

iV—1 xk+\
j №s) W]2 dx = ^ J g<s> (x)	(x)	dx	=
a	k=0	xk
N— 1 s	*fc-f
=S [2(- i)'->(s-')(^)^(s+/-i,]w
*=0 /=1	r
JV—1 ^As+l
— (— 1 )s 2 J g{x) g{2s) (x) dx =
iV-1
= (- 1 Y~l2 te (**+0 £(2s~,) (*н-0 -£(**) g(2s-1) (**)] +
k=0
s—1
+ ]►](— 1)/_1 [£(s_7> (b) g{s+l~l) (b) — g(s~'\ (a) g^+i-D (a)].
/=i
Здесь мы использовали то, что g(2s)(x) =0 на [xh, xh+\] и непре¬
рывность производных £(л;) до порядка 2s—2. Но первая сумма
за последним равенством равна нулю, так как £(*/*) =0, а вто¬
рая — в силу (1.34) при k=s. Таким образом gKs)(x)=0 на [а, Ь]
и g(jt) является многочленом степени не выше s—1 на каждом из
отрезков [Xk, Xh+1]. Так как g(x) должна иметь непрерывные про¬
изводные до порядка 2s—2, то g*(x) описывается одним многочле¬
ном на всем [a, b], и так как g(Xj) —0, /=0, 1,..., N и iV+1 >s—1,
то g(x) =0, что и требовалось доказать.
Практическое решение системы (1.22'), (1.33) можно осуще¬
ствлять, например, следующим образом. Возьмем разности поряд¬
ка s от обеих частей равенства (1.22'). Это даст
2s—2
£ atAi cl+j = Aigf, / = 0, 1N —s.	(1.35)
1=0
С учетом граничных условий (1.33) мы получили систему из
N—s+1 линейных алгебраических уравнений с N—s+1 неизвест¬
ными А* сщ. Систему можно решать методом прогонка. Запишем
первое уравнение системы в виде
д S	0’S A s „	as-f-l	iS
Ai Cs-i = Ai c6 Ai cs+1 — ... —
as_l	as~i
*2s-2 as.	,	A\8o	2S“2
Д?с25-2 +	=	2	4~l)	At	ci+
s—1	us-l
/=s
75

Подставляя это выражение во второе уравнение и разрешая затем
это уравнение относительно AiC*, получим
*2 с^д^ + рю.
Al Cs =	^	r,(s>	Л	?	z’	_!_
/=S+1
На следующем шаге подставим в третье уравнение выражения для
AiCs-i и Aics и разрешим его относительно Af cs_*_i и т. д. Та¬
кой процесс будем называть прямой прогонкой. В конце концов
мы придем к равенству
A4-S-2
Д? cw-i = £	+
j=N
Тогда по (1.33) получаем А\ с^\ =	и	затем	по полученным
ранее выражениям
s-\-q— 1
Ai £ af Afc; -bpW
/=9+1
мы последовательно найдем AiO/-2, Aic^_3,	A\Cs-\.	Этот
процесс назовем обратной прогонкой.
Если взять разности порядка s—1 от (1.22'), то мы придем к
2” ОгАГ1 с(Н = АГ1 gj, } = о, 1, ... . N - s + 1. (1.35')
1=0
Так как
Al 1 Cq = Al 1 Cq—\ + Ai Cq-\,	(1.36)
то, используя уже найденные Л\ cqy мы по (1.35') при j — Q найдем
Ai 1 ^0, а следовательно, по (1.36) и все Ai~xcq. Процесс пони¬
жения порядка разностей можно продолжить до получения сд.
Можно также воспользоваться общей теорией разностных
уравнений. Для нашего случая функция г|^ будет иметь вид
0	при	у	<	1,
2s—2
у{ 1
при i > 1,
i=l ^2s—2 to)
где iji — корни уравнения Q2s-2{y) =0. При j=0, 1,..., 2s—3 мы
имеем = 0 и ^2s-2= l/^2s-2- Отсюда
Ai% = у = 0, 1, ... , s — 3.
76

Рассмотрим еще одну функцию целочисленного аргумента /
2S-2	/—1
Sy\
  .
i=1 (i-w)?Q2s_2(w)
Как линейная комбинация частных решений разностного уравне¬
ния
2s—2
J] akuk+j = О
k=0
она также является решением этого уравнения. Далее непосредст¬
венные вычисления дают
Ai Л/ = %
при всех /^1. Образуем линейные комбинации
S
га =	—	2	6«т1/+*’ /> 1 = °> 1 * • • • , N.
к—\
Как бы мы ни выбирали Ьии будем иметь
Ai Г jt =■ 0, / = 0, 1, ... , s—3
(разности берутся по у). Подберем теперь but так, чтобы это ра¬
венство выполнялось при у = s—2,	Af+l,..., iV+s—2. Это приво¬
дит к системе уравнений
s	S
2	Л/+*	=	2	М>Н*	=	Ai4v-b	j	=	s—2, N, N + 1, ... ,
k = l	k=\
N + s— 2.
При y=*s—2 получим
s
—  b 'st = Al ^_2_, = У (- 1 )S+‘' C‘ %_2_ж =  i b0i
2s—2	“	a2s—2
и bst = ftQt. Остальные уравнения примут вид
s—1
— Al фу—t	60yl()y_Ls,
k=\
j = N, N+ 1,	, iV -[- s—2.
Определитель этой системы не зависит от t. Найдя Гц, мы полу¬
чим решение нашей системы в виде
77

N
Е г,л.
7=0
Рассмотрим случай s = 2. Используя полученные ранее значе¬
ния t/i2) = — 2 — V3, уТ --- — 2 +1/3, будем иметь
0	при	/	<	0,
1/3 ((/Г‘ — i/Г1) при / > 0.
Здесь гр0 = трх = 0, грг = 6. В данном случае
Ч>/ =
г], = 1/3
Условия
У2 1
у{-1
6(2 —1^3)	6(2	+	Т^З)
/3
[у[-2-у^\
приводят к системе
Ai Г0, == Ai = 0
А? ife-t — Ьи^ —	=	О,
Отсюда
Al 7 — blttyN+\ — ^27^+2 = 0.
^27 — “jr Ai 'Ф—7 — §Ot
При i < N
и при t = N
bu =
[Ai tyx—t — 607^+2]-
’•’A'+l
Д?^ = 61/3[7/Г'-^-']
Ai ^v-7 = 'Фо — 2^1 + 'Фг = 6«
Таким образом, при (< N
гл r,,!-1 _ ,1~1
Г„ - ч>/-< - ^ f - [6 (,jV - уГ) - «» <»Г -sO] -
6 [£7г ~У\ 1
V з
б07 (у! — yi),
/ = 0, 1 N, ( = 0, 1, ... , N-\,
и при (= N
Г/w =
/з (уГ‘-уГ1
,	/	=	0,	1	ЛЛ
.78

Мы получили обратную матрицу для системы линейных алгебраи¬
ческих уравнений относительно cq. При £>2 для получения такой
матрицы нам придется обратить одну матрицу порядка 5—1.
Если использовать (1.31') и полученные ранее значения коэф¬
фициентов ад, то при п=4 уравнения (1.35) можно переписать
в виде
g" (*/) + 4g" (*,+,) + g" (x;+l) = 6N> [8i - 2gJ+l + gi+2]. (1.35')
Мы не будем сейчас заниматься этими уравнениями, а рассмотрим
их позже для более общего случая неравномерного расположения
уЗЛОВ Xj.
Рассмотрим теперь общий случай расположения узлов на
[а, Ь], указанный в начале примера. По аналогии с предыдущим,
рассмотрим функции
Рп(^> ^k>	t	•••	у	Х/г-J-n) ^	фп—1	(X 1	%k.y	%k-\-\y	•	•	• у %k-\-n)y
где в правой части использованы обозначения разделенных разно¬
стей и фй — функции, введенные в предыдущем случае. При
Xk+i—Xh—h = const мы, учитывая связь разделенных и конечных
разностей, получим
к уже рассмотренному случаю.
Используя представление разделенной разности через значе¬
ния функции, мы получим при п = 1, 2 и 3
где через Дд обозначены конечные разности порядка i с шагом h.
k
Если h= 1, а узлы имеют вид — ± i, i = 0, 1, ... , то мы придем
рг(х\ хк, я/н-О = “tJ— [ф0* xk) — ФоС*— ял+О];
Рй^Ху %ky %k-\-\y	Xh-^-2)	—
ф1(*-*д+2) .
hk+\ +Vfi)
Фа (x — xk+l)	 ф2	(х	—	хк+2)
hbhk+\ (fyfe-fl + llk+2)	+	hk+\) Vf-1 hk+2
	ф2	(x	—	Xk-\-z)	'
(hk + hk+{ + hk+2) (hk+l + /ik+2) hk+2 J
На рис. 5 изображены соответствующие графики.
79

Рис. 5
Используя интегральные представления разделенных разностей,
полученные в примере 1.5
1	[ft	*п—1
f (хк, хм xk+n) = j* di1 j* dt2... J /<«>	^	(xk+i	—xk)+...
о	0	0
... Л~ tn (Xk-\-n	)\dta	=
1 ft	*h—2
—	 (dtAdt2...	f	{/(«-')[xk + tj,(xk+i — xk)+...
a —xk4-n—l О 'J	j
о 0
80

... j ta—2 {xk+n—2 Xk+n—3 ) -{ //i_l	Xk+n— 2)]
— f(n~l) [4 + t1 (Xk+l — xk) + . . . + tn—2 (Xk+n-2 — Xk+n-z) +
“Г tn—1 {Xk+n—1 Xk+n—2)]} dtn—1,
мы найдем для нашего случая
Рп	xk+lt	•	•	•	»	*^/г-{-/г)	'2	фя—1 {Х	Хк+\у . . . , X	Хк+ц)==
1	tx	fn—2
=-	р//2 . .. j (q&'lTi0!* —	— txhk-	...	—
/г+гс-1 00	о
tn— 2 hk-{-n—3 tn—1 hk+n—2]	’ ф/г—1 \_X	X^ t^Hfe	■ . .	.
• • • '	t/i—2 hk+n-Z ‘ tn—1 {hk+n—2 "f" hk+n—1 )]}*«_!	=
1	tx	tn—	2
= —!  Г {<p0[^— — hK— •••
2/i/t+/I_, J	J	J
• • •	^n—2 hk+n-3	^и—1 hk-L.n—2]	фо	•'W;	txhk	.	.	.
• • • " tn—2 hk+n—3	^/г—1 (hk+n—2 “Г h-k+n—l)]} <^/г—1	=
1	tt	tn—2
= «! ^ dt^ dt2 ... J 7.г_, pt [x; xk -j- tjik -|- ... + tn-2 hk+n-3 +
0	0	0
"T tn—1 hli+n—2*
xk + t^k + . . . + tn—2 hk+n—Z + ^/г—1 {hk+n—2 Jr hjf+n — i^)] dtn—1 •
Из этой формулы следует целый ряд важных выводов:
1) Рп{х\ хк, Хь+и ...,*л+п) =0 при х^хк и х^хк+п\
2) рп {х\ хку хк+и xk+n) >0 при хее (xft, xk+n);
3) если проинтегрировать обе части равенства по а; в пределах
ОТ Хк ДО Xk+n, ТО получим
Ч+п
J Рп(х; хк, хк+и ... , xk+n)dx = 1.
хк
Далее непосредственно из определения функции рп{х\ хку ...
..., хк+п) получим:
4) на каждом из отрезков [хку хк+\]9 [хк+и **+2],..., [хк+п-ь
^А+?г] функция рп{х\ хк, хк+\,...,хк+п) является многочленом степе¬
ни не выше п—1;
5) Рп(х; хк, хк+и...,хк+п) непрерывна вместе с производными
До порядка я—2 включительно на (—оо, оо);
81

6)	дифференцируя равенство, определяющее рп (*; xh,x,t+n),
получим
Рп{х, Xfcf	,	Xife-f-я) ^ ~ фл—1 {х	Xfa X	.	.	.	X'	Xjt-|_л) ^
п (п — 1)	,	ч
= —^ Lф„_п(х — Xk, Х — Хк+и , X — xk+n) =
_ п(я— 1) Г Ф„-2(-г-а-ь -у —••• ’ x — xk+n-l)— х
[■
2 L	Xk+n	~	хк
]-
х — <Рп-2(х — xk+l< X — Xk+l’ ••• ' х — Ч+п) 1 =
tl
xk+n — xk
' [Р/г—1	xk’ -^£-|-Ь • • • > xk-\-n—l)	Рп—1 («^> *^£+1>
Xk+n — Xk
%k-{-2> • • • j ■K'A-f/i)]*
Используя эту формулу, можно получить и последующие производ¬
ные. Поскольку записи очень громоздки, рассмотрим лишь выра¬
жения для производных первого и второго порядка от
Р4(ХУ Xji, Xk-\-\> Xk-j-2>	^A+4)	»
P${X) Xk, Xk-\-\, *^fc-J-2> xk-\-3y Xk-^.4) —
[p*(x, Xfc, Xk-\-\, Xk-\-2, Xk-\
Xk+A-Xk
Рз(*; -^А+Ь ^£+2> *^A+3> -^£-f-4)I*
Это дает
p4(xk\ Xky Xk+l, Xk+2, xk+3> **44) = 0,
P4(*ft+i; *£> *A+1> *A+2, *£+3, *£44) =
4
*£+4 ““ Xk
■ Pb(Xk+1, *£> *£+1, *£+2> ^43) > 0.
Нетрудно заметить, что производная будет положительна на
(xh, xk41]. Далее
PA(xk-\-2\ Xk, Xk+\% Xk+2, ^A+3> ^£+4) =
4
[Рз(*^/г+2> xki xk-\-\y Xk-\-2y xk-\-3) '	1
*A+4 Xk
’Рз(-^£+2> xk-\-\i *^£+2i xk-\-3y ^£+4)]*
Знак этой производной совпадает со знаком выражения
^£42 (^£+2 + ^£+з) Й£41 (hk + ^£41).
82

При x = xk+3 будем иметь
Pi (*И-3; *ft, */*41 > */*42» */*43> */*44) = '—’
4
^+4-^
-Рз(х/Н-3; ATfe+1, *642, */*43, ^+4) < о
и при X = */*44
Р4 (*/*44, *&» */*4*1» */*42» */*43» */*44) — О*
Если снова использовать то же правило дифференцирования,
то получим
//
Р\ (X,	#£41,	*£42,	*/*43>	*/*44)	—
4 Г 3
*/*44 — xk
*/*43
— xk
— P2 fa */*41 » */*42, *Н-з)]'
*/*44	*/*41
■[p2(x; **, xk+i, xk+2) -
[P2 (*> */*41 > */*42 > */*4з)
В частности,
— P2(*; лгд4-2, */*43, */*44)]
Pl(*/j> */*> xk-\-\y */*42» xk-\-3» */*44) — 6,
P4 (*/*4b xky Xk+\, xk+2, */*43, *£44) —
p2 (*/*41; Чу ч+и ^42) >0,
12
(**+4 "" **) (*3 — xk)
//
Pa(4+2\ xk> Xk+\, */*42 > Xk+Z, ^44) =
P2 (*/*42*’ Xk+l > */*42» */*4з)
— 12
*/*44Xk
*/*43 ■
•*/*
_J^	Pa(*fe42>	*/*41» */*42» */*43)	1	^	Q
*/*44 */*41 J
//
P4 (^43; *£» */И-1, */*42j *fc43> */*44) =
12
’ P2 (*/*43*, */*42, */*43 > *^44) > 0,
(*/*44 **) (*/г44 “ Xk+\)
//
P4	Xfr>	»	^+21	Xk-\-4*)	==	0.
Так как p4 (x; Xft+i, лг*+2, Xk+з, A+4) является линейной функ¬
цией x на каждом из отрезков [xk+i> xA+i+1], то pi(x\ xh, xh+l,
Xh+2, xh+3, Xk+i) имеет две точки перегиба: x'^(xh+i, xh+2) и x"<=
83

<=(хА+2, Xft+з). Она выпукла книзу при хе(х,., х') и хе (х", xh+4]
и выпукла кверху при хе (х', х"). Используя знание производных
первого и второго порядка от д4, нетрудно построить график этой
функции. Он аналогичен графику р3 (см. рис. 3).
Теперь мы можем строить g(x). Возьмем дополнительные точки
х-i, х_2,... и Xk+n+u Xk+n+2, •••> которые можно выбирать произволь¬
но, лишь бы сохранялись неравенства Xi<Xj при i<j. Будем ис¬
кать g(x) в виде
N—1
8(х) = У. ckPn(x> xk> *k+1, ••• , Хк+п).
k—\ —П
Интерполяционные условия дадут
N-1
8 (Xj) = £/ =	£	ckPn(Xj] Xk, Xk+u ... , xk+ll), j = 0, 1, 2, ..-. , N.
k=\~tl
Получили систему из 7V+1 линейных алгебраических уравнений
относительно N-\-n—1 неизвестных ch. Так как п>2, то число урав¬
нений меньше числа неизвестных. Фактически каждое уравнение
содержит лишь п—1 неизвестных, так как рп(Х}\ *л, ...,*л+п)' = 0
при k^j и	Систему можно переписать в виде
У~1
• • • j ^7е-}-л) ^ gj> j = 0, 1, . . . , А/.
Л=у+1-л
Мы онова получили линейное разностное уравнение (но с перемен¬
ными коэффициентами). Так как коэффициенты этого разностного
уравнения строго положительны, то оно всегда имеет решение,
которое можно получить одним из указанных ранее методов. Мож¬
но было бы провести и дальнейшие рассуждения аналогично слу¬
чаю /1/г=1 const, но, чтобы не слишком усложнять их, ограничимся
случаем /2 = 4. При этом для иллюстрации других подходов мы не
будем опираться на предыдущее.
Нам нужно найти функцию g'(x), принимающую в точках xk
заданные значения gu, обладающую непрерывными производными
до второго порядка включительно на [а, Ь\ и являющуюся много¬
членом степени не выше трех на каждом из отрезков [xh, Х/н-i].
Так как g"(x) на каждом из отрезков [хЛ, хк+\] является много¬
членом не выше первой степени, то она в точности равна своему
интерполяционному многочлену:
g" (X) = JLZ5H. g" (Xt+l) £•" (хк), Xе [хк, **+,].
“к	nk
84

Интегрируя это выражение, мы получим
.V
g’ (*) = 8' (Xk) -г J g" (t) dt = g' (xk) +	g"	(xk	+	1)	_
Xk
(X Xk+1>	(JC*)	+	-7“	g"	(Xk),	X<=[xk,	X*+i]-
2ft*	'	2
Повторное интегрирование даст
*
С	(*.— Xk)3
g(*) = gk+ j g' (0 dt =	+	(*	■- xk) g' (xk) +	—— g" (**+1) —
^ ^ _ h+ ^ ^ +	Jhg„	{Xkh	^
6Л*	6	2
Полагая в последнем равенстве x = x*-)_i, найдем
'** hl
Отсюда
gk+i =gk+ hkg' (xk) -J- — g" (x*+1) + — g" (xk).
g' (x*) = -**+1 gk hfg"(Xk+-^-g"(xk).
hk	6	3
Подставляя в полученные ранее выражения для g(;c) и g'(*) это
значение g'(xk), получим
8(х) =	Ш* — xk)s — hl(x— xk)} g" (х*+1) — [(x — x*+1)3 —
bhk
— hi (x — X*+1)J g" (Xk)} + -j- [(X — xk) gh+i — (x — x*+1) g*],
Ilk
X<=[x*. X*+iJ,
g’ (X) = ■—+ t!- {[3 (X - xkf - hi I g" (x*+1) -
hk	bhk
— [3 (x— x*+,)2 — hi] g" (x*)}, X e= [xk, x*+i].
Используем теперь непрерывность g'(x). Относя последнее вы¬
ражение для производной к отрезку [xh-u *k\ и полагая в нем
x=Xk, найдем
е■ ы = .ft-*-' + Vi g ы+ г
hk-\	3	6
Приравнивая это полученному ранее выражению для g'(x*), при-
дем к
85

— [hk-i g" (jcjfe_i) + 2 (A*_i + hk) g" (xk) +	(xft+1)] =
_ &6+1 — 8к 8k hk—l
hk	Aft—i
A = 1, 2, ... , W—1.
Будем считать, что gft равны значениям f(Xh) некоторой функции
f(x)^L и обозначим
а* =
A*-i
hk-i + А*
Тогда последнее равенство можно записать в виде
а*£"	+ 2g" (**) + (1 — a*) g“ (xk+l) = 6/ (jc*_i, xk, xk+x),
k=\, 2, ... , N—l.	(1.37)
Мы получили конечно-разностное уравнение с переменными коэф¬
фициентами второго порядка для получения неизвестных 'нам зна¬
чений g"(Xk). Так как
О < аЛ < 1,	0	<	1 — а* < 1,
то это уравнение всегда имеет решение. Определив отсюда £"(*л),
мы сможем найти по полученным ранее выражениям g(x), g'(x),
g"{x). У нас имеется некоторая свобода для определения g"(xk),
которую мы можем использовать. Интересны следующие случаи
граничных условий.
1.	Если нам известны значения Г (а) и /"(6) для функции
f(x), которую мы аппроксимируем, то естественно положить
в* (*о) =/■(*)>	g"(XN)=f"(b).
При этом уравнение (1.37) для k—\ можно записать в виде
g’ (q) = qg" (х2) +dlt q
^ =	6/(ле>	х1	х2) — аrf" (а)	^	щ
Будем решать уравнения (1.37) методом прогонки. Запишем сна¬
чала их в виде
«Г (**) = Ckg' (Xk+i) + dk.	(1.39)
Для k—\ такое равенство уже имеется. Если мы получили такое
равенство для некоторого то в силу соответствующего уравнения
системы получим
86

«■ <**•> = -*"te+!) + 6,(,ь .
2 + ай_|_! Cfc	2	+- aJk_^.1 ск
Таким образом,
1”~ aA+l	J	6/(*А>	**+!>	*£+2)aA+l ^ п
с*+1 = — тт 	’ d*+! ^П^1 -40'
2+a k+lck	2 +a k+lck
Заметим, что если |са|<1> то 1<2+cea+iск и вычисления по фор¬
муле (1.40) выполнимы. Более того, при этом и |ca+i|<1. Так как
|ci|<l, то отсюда следует, что \ск\<1 при*&=1, 2, ..., N—1. Сле¬
довательно, равенства (1.40) позволяют по С\ и dx найти ск, dk, а
поэтому и выражения (1.39) для всех k = 2, 3, ..., N—1 (прямая
прогонка). При прямой прогонке мы можем получить некоторую
вычислительную погрешность. Пусть вместо точного значения ch
мы получаем ск + 8ск. Вследствие этого вместо ск+х мы получим
. я.	1-аж
Cfc+l Т OCfrfl =	-
2 + afe+1 (ck + 8ck)
Отсюда
2ca+i + a*+i скск+1 + OLk+\ Ck+1 §ck + 28ck+[ + a*+i ск8ск+\ J
+-a*+i &ck6ck+\ = ■— 1 + a/H-i
или, если использовать первое из равенств (1.40),
«а+i Ca+i &ck -f 28ck+\ + а/г+1 ck8cck+i -!- а/г+i &ск8ск+\ = 0.
Таким образом,
о	<*А+1	сА+1	&А
ОС/г+i =■
2 + аЛ+1 (с/г + 6с*)
Если бсА настолько мало, что |са+6са|<1, то знаменатель правой
части будет по модулю больше 1. Так как множитель при бск в
правой части по модулю меньше 1, то 18ск+х | <\8ск\ и прямая
прогонка устойчива.
Получив cn-u dM-и мы сможем по равенствам (1.39) после¬
довательно найти g"(xN-1), g" (xN-2),g" (х 1) (обратная прогон¬
ка). Обратная прогонка также устойчива по отношению ошибок
вычислений, так как каждый раз ошибка умножается на ск, кото¬
рые по модулю меньше 1.
2.	Если Г (а) и f"{b) неизвестны, то мы можем задать g"(*o)
и 8"(xn) произвольным образом. Можно, в частности, задать
g"(*o) =g"(xN) =0. При этом £(л;) будет обладать одним важным
свойством. Рассмотрим равенство
87

j [/" (.K)f dx = j [/" (X) - g" (x)f dx -r 2 j [/" (X) - g" (x)l g" (X) dx -[-
a	a	a
Jr j‘ [g" (x)]i dx.
a
Вычислим второй интеграл правой части интегрированием по
частям
Ь	N-1 xk+\
I [Г (*) - g” (X)] g" (X) dx = £ j [/" (X) -	g" (X)] g" (X)	dx =
a	k=Q Xfe
N—1	x=xk+\	N-1
= £ [/' (*) - W] s" ix) | -J j [/' (*) - / (*)] g'" (x) dx =
k=0	x==xk	k=0
= [/' (*) - g’ (*)] g* Ф) ~ If' (a) - g' («)] йГ (a),
так как gr//(x) — постоянная на каждом из отрезков [хк, хк+{] и
f(xk)=g(Xk). Таким образом,
J 1ё” (х)}2 dx < j [/" (х)Г dx - 2 {[/' (b) - g' (b)] g" (b) -
a	a
— [/' (a) — g' (a)] g" (a)}.
Если фигурная	скобка равна нулю, что произойдет	при	£"(*0) =
=g"(Xiv) = 0, то мы будем иметь
j [£" <Х>]2 dx < j [/" U')]2 dx.
а	а
Следовательно, если рассмотреть всевозможные функции, обладаю¬
щие непрерывной второй производной на [a, Ъ] и принимающие
фиксированные значения gk в точках хк, то g(x) имеет наимень¬
шее значение интеграла от квадрата второй и производной.
3.	Можно также наложить дополнительные условия на g(x),
исходя из следующих рассуждений. Пусть f(x) обладает непре¬
рывной четвертой производной на [а, Ь]. Тогда, учитывая связь
разделенной разности с производной, получим
(1 — aft) Г (*fc-i) — /" (хк) -г a*/" O'ft+i) = hk-i hf" (Xk-1, Xk, xft+1) =
= ^^/(1V) (g*),
4k^[Xk-\> Xk+\\-
88

Далее если воспользоваться (формулой Лагранжа с остаточным
членом
/" (Х) = х~Хк /"	-	X~X,k+i	f"	(*k)	-г
hk	hk
+ (x ■—■ xk) (x — JCft+i) /" (x, Xk, Xk+i)
и провести такие же выкладки, которые мы провели с g(x), то по¬
лучим
akf" (Xk-\) + 2/" (xk) -г (1 — ak) f" (xk+i) = 6/ (жа-ь xk, xk+i) +
Xk	«
+ “T Tu	ГТТ” [ du [ (t — xk-1) (t — ж*) f"{t, Xk-i, Xk) dt —
hk_, (A*_, + hk)	J J
xk—i xk-\
Xk-\-\ U
■ TT,	ГТГ [ duUt-xk)(t -xk+l)f" (t, xk< xk+i)dt —
l‘k </'a_i + hk) J	J •
xk	xk
xk
 1	T7— ( (t — xk-i)(t — xk)f“(t, Xk-u xk)dt.
hk_{	+hk J
Xk—1
Последние	равенства	можно записать	в	виде
(1 - ак)	Г (Xk-i) -	Г (xk) +	*kf“ (Xk+1) = rk
И
akf" (xk-i) + 2f" (xk) -I- (1 - ak) f" (*a+i) = 6/ (**_,, xk, xk+\) -f pk,
где
Ь = 0 (b?pt (/)), pA = О (/г2р4 (/)), h = max hk, p4(/) = sup | f<iv\(x) |.
Отбрасывая члены второго порядка малости, мы запишем
(1 - %) £" (Ж«) - *" (*i) + alg" (х2) = 0,
akg" (Xk-i)	Jr 2g" (xk) + (1 — a*) g" (Xk+i) = 6/ (*a_i, *a> *a+i),
A= 1, 2, ... , W-l,
(1 — ajV_i) g" (xN-2) — g" (xn-i) -I- «л-i g" (xN) = 0.
Получили два дополнительных условия для определения g"(xh).
4.	Если нам известны значения первых производных f(x) на
концах отрезка, то полезно использовать эту информацию. При
этом потребуем
8’ (ж0) = /' (a), g' (xN) = /' (b).
b9

Воспользовавшись выражением для g'(x) получаем
/' (а) =	_£L=iL	_ А_ g" (q)	^	g"	{Xo)t
h3	о	3
ft / l\	8	N	—1	;	hN—1	tt	/	\	,	hN—1	n t v	\
/ (b) = r	1	;	g (xn) 4	 —	g	(Xn-l).
hN_x	3	6
Отсюда находим два дополнительных выражения для
2g" (х0) -г ё" (*i) = -4- [gi - £о] —	f (х0)>
п0	По
g" (Xjv-l) -г 2g" (XN) = —^—Г (XN) —	[gN	-	gN-1].
N—1	tlN-1
5.	Если значения производных неизвестны, то можно использо¬
вать какую-нибудь аппроксимацию этих производных.
Чтобы аппроксимация была достаточно точна, нужно брать
довольно большое количество значений функций. Так, для того,
чтобы ошибка имела порядок /i2, приходится брать четыре значе¬
ния функции. Запишем интерполяционную формулу Ньютона для
неравных промежутков с остаточным членом:
f(x) = f(x0) -f О — x0)f(x0, x1) + (x — x0){x~x1)j:(x0, q, q)+
+ (x — x0)(x — x1)(x — x2)f(x0, q, x2, x3) +
+ (x — x0)(x — x1)(x — x2)(x — x3)f(x, x0, q, x2, x3).
Отсюда получаем
/' (x0) = f (x0t xx) -J- (x0 — x±) f (x09 xl9 x2) +
(x0 — xi) (xo — *2) f (xo> 4*	*з) +
+ (*0	Xl) (X0	X%) (*^0 X*)f(Xo> X0>	Xl'> X2’	Хз)ф
Таким образом
/ (*o) =	/ (x0f Xl)	^0/ (*0* Xl> Xz) i“ ^0 (^0 T ^1)	f {X0> Xl>	X2i *з) ~r Л),
где	при	тех же	предположениях, что и ранее
ri-0(A»p4(/)).
Аналогично получим
Г (xN) = f(xN, xN-\) - г hN-if(xN, Хм-1, xN.-2) +
+ Нм—1 (Нм-1 “Г Нм—2) f(XN, Хм—1, Хм—29 Хм—з) -г rN>
где
г'ы = О (Я3р4(/)).
Для практических вычислений члены г0 и r'N отбрасывают.
90

6.	Рассмотрим, наконец, периодический случай. Если.
f(x+b—я) =/(*), то естественно потребовать
g^(a) = g(r)(b), г = 0, 1, 2.
При этом получаем следующие ограничения на g(x):
g"(*o)=g"(XN),
ft-*,1 _ ho.g»(Xl)-J!2-g"(XN)= gN-gN-'. *
h0	6	3	Лдг—i
Л^-1	ч	,	%n-i	ч
I " g (Xn)-i   g (*A'-l).
Г (*l) + ( ^	)g-	{XN)	+	g"	(xn)	+
Отсюда
"б ° Vi/ 1 I 3
_j_ gi —go 	 Sn	—	8n-\
ho	h*j	j
или
$g" (X1) + (1 — P) g" (Xn-i) + 2g" (xN) = 6/ (xN-u Xn, Xn + h0),
h0
p =
+ hN_i
Займемся теперь оценкой ошибки аппроксимации. Докажем
следующее утверждение.
Если z(x) имеет непрерывную вторую производную
(z(x)^C2[x\ х"]) и z (л/) = z {х") = 0, то при хе[х', х"]
справедливы неравенства:
max |z(;c)|< — (хг/— х'У шах \z"(x)\,
х£[х',х"]	8	хе[х',х"]
шах |г'(х)|< — (х" — х') max | z" (х) I.
Первое неравенство следует из интерполяционной формулы
Лагранжа
2 ^ = 1Г—х" 2 ^ + х* —*' г ^ Т (х — х')(х — х") z (х, х', х") =
= (х — х')(х — x?')z(x, х', х").
Отсюда при хе [х', х"]
I г (лт) | <|(х — х')(х — х")\ Н- max W (х)\.
2 *€[*',*"]
91

Максимум | (л:—л;') (х—х") |	на [х\	х"] достигается при
х= (х'+х")/2 и он равен (х"—х')2/4, что и требовалось доказать.
Чтобы получить второе неравенство, воспользуемся равенством,
которое легко проверяется интегрированием по частям:
что и требовалось доказать.
Как следствие доказанного утверждения получаем:
Пусть #(*) удовлетворяет поставленным условиям (g"(x) не¬
прерывна, g(x) является многочленом степени не выше 3 на каж¬
дом из отрезков [х^ Xk+i] и g(xk) —f(xk)) и одному из приведенных
выше граничных условий. Тогда на отрезке [xk, xk+i], k = 0, 1, ...
N—1, имеем
Mk = ~ hiр4 (/) -I- max {| /" (xk) — g" (xk) |,	|	f"	(xk+i)	—	g"	(xk+i)	|}.
О
Доказывать нужно только последнее утверждение. Мы имеем
-Г (X — xk) (х - xk+x) f" (х, xk, xk+i), X е [xk, xk+x\.
Отсюда и получаем, так как линейная функция принимает свои
наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка,
= — (х"— х')2 max |z"(jc)|,
2	хе[х\х"]
шах | / {х) - g (х) | < -j- hi Mk,
max | /' {x) — g'(x) I < — hkMk,
max | f" (x) — g" (x) | < Mk,
где
f" W — g" (X) = * , **	[/"	(Лг/н-i)	-	g"	(Xft+i)]	-
	—	[/"	(xk)	—■ g" (хЛ)] +
x£lxk,xk+i1
max | f" (x) — g" (x) | < max {| f" (xk+l) — g" (xk+i) |,
92

I f" (ч) — fir" (л) II ~^p4 (/)•
Произведем теперь оценку величин Mh для g(x), полученных
при различных граничных условиях. Пусть f(x) обладает непре¬
рывной четвертой производной на [а, Ь] и g(xk)=f(xh),
k = Q, 1,..., Обозначим z(x)='f(x)—g(x).
Тогда
akz" (xk-i)- r 2z" (xk) -j- (1 — ak) z" (xk+{) = рЛ, £=1,2, ... , N — 1,
где рл определены выше, р/> =0(h2).
Если г"(л;о)=0, г"(л:л')=0; то для определения остальных зна¬
чений z"(Xk) мы получаем систему
Л!=в.
где
2	1 —	а2 0	0	...	О	О*
t2	2	1 — а2 0	...	0	0
^ =	0	а®	2	1—а* ...	0	0
0	0	0	0	ot	дг	12
и | и q — векторы-столбцы с компонентами (z"(*i), z"(x2),...
^"(xjv-i) и (pi, р2,..., piv-i) cooTBetcTBeHHo.
Введем понятие нормы вектора и матрицы (подробнее о нормах
ем. § 3). Определим для любого вектора x^Rm
||х||оо = шах \х{\
i
и для любой матрицы А= (a*j) размера тХт
При этом
= sup И Ах I
1|Х|| 0q=—1
|Л|1оо = max \аи\
и для любого вектора х е Rm
ЦЛхЦо. -с ji л Уоо • i; х Изо.
Назовем эти величины соответственно нормой вектора и нормой
матрицы. Для нормы вектора имеет место:
1. ИхЦоо^О, причем 11x1100=0 тогда и только тогда, когда х = 0.
2. ||сх|| = |с| ||х||оо для любого действительного числа и любого
Х6=Ят.
3. llx+y.Hoos^llxlloo+llylloo для любых х, yei?m.
93

Аналогичными свойствами обладают матричные нормы и, кроме
того:
4.	ИЛВН^НАНоо-НВНоо для любых тХт матриц А и В. Мы не
будем доказывать здесь этих свойств, так как в дальнейшем поня¬
тия норм будут изучаться в более общем виде.
В нашем случае для любого вектора х
II Лх ||м = I! (21 + В) х IU > 2II х \\м — II Вх ||оо > II х |U
так как
IВ ||м = || Л — 21 ||-о < 1.
Гак как при г
у—Ах также
1У Цоо >\\А~1у\
Отсюда А 1 существует-. Так как при произвольном х и невырож¬
денной матрице А вектор у=Лх также произволен, то из
следует, что || А~1 Ц* < 1.
Таким образом,
II 5 Цоо II А~~^ Цоо || р Цоо ^ || р Цоо .
Отсюда z" (хл) =0(h2), k = О, 1, ... , N, и
z" (х) == О (/i2), г' (х) =0(/i3), z(x) =0(/i4),	х^[а,	Ь].
Рассмотрим теперь случай, когда мы производим аппроксима¬
цию Г(х) при х=а и Ъ. Исключая /"(х0) из уравнений
(1 —сы) Г (*о) — Г (*i) -Г агГ (х2) = гъ
<*iГ (*о) + 2/" (хг) + (1— ах) /" (х2) = 6/ (х0, xl9 х2) + рх,
мы получим
(2 Jn Yi) Г (*i)	(11— Yi) f" (xz) =	(x0,	*i,	x2)	4-Pl	—	yxrl9
где
ai
Yi = J 	.
1 — ai
Аналогично получим
(1 — Ум—l) Г (XN—2) 4“ (2 + Yn~ 1) /V (Хдг_ 1) = 6/ (Хм—2, Хм-1, Хл')
+ PiV-1 — YN—\ ГN-1,
где
Y//—1
l—*N-1
a^/-l
Таким образом, мы приходим к системе
въ = р,
94

где
г 2 + Yi	1-Yi	О	О
а2	2	1	—	ах	О
5 = О	а3 5	2	1	— а3	...
О
О
О
I О О О О ... 1 — Y^v—1 2 + Yw-i j
£ имеет прежнее значение и компоненты q имеют порядок 0(h2y.
Если ограничить yi и Y^-ь потребовав, например, |1—
|1—Ywi|^l> то, видоизменяя соответствующим образом преды¬
дущие рассуждения, мы придем к выводам первого случая.
Если g' (л;0) = /' (л:0), g' (xn) = /' (хы), то матрица В заменится на
я мы придем к прежним выводам. Замена f'(x0) и f'(xN) их аппро¬
ксимациями, рассмотренными ранее, приведет лишь к изменению
вектора р, но не порядка малости его компонент.
Периодическому случаю, будет соответствовать матрица
и также проходят все предыдущие рассуждения.
Случай, когда £"(*<,)= 0, f"(x0) ^0,f"(xN) ФО, f"(xN)=£0, или
выполнено хотя бы одно из неравенств, гораздо сложнее. В этом
случае можно доказать лишь, что для достаточно большого N суще¬
ствуют такие натуральные р и qy 0<p<q<N, что предыдущие
оценки справедливы на [xv, xq] и хр—а = О (h log h), b—xq =
= 0(h\ogh). Доказательство этого проводить не будем.
Если нас не интересуют производные второго порядка, но инте¬
ресуют производные первого, особенно в узлах, то целесообразно
избежать вычислений g" {xh)„ Для этой цели можно воспользовать¬
ся интерполяционным многочленом Эрмита (см. пример 1.6).
Интерполяционный многочлен Эрмита, принимающий в точках
Xk и Xk+1 значения gk и gVn соответственно, а производные кото¬
рого в этих точках равны g'(Xk) и g'(Xk+\) соответственно, можно
записать в виде
(2	1	0	0	...	О	0^
ах	2	1 — ах 0	...	0	0
С =	0	а2 2	1 —а2	...	0	0
\0 0 0 0 ... 1 2}
2	1	—	ах	0	0	....	0
0
0
а2	2	1	— а2 0	...	0
0	а3	2	1 — а3	. ..	0	0
Р	0	0	0	...	1	— Р	2
95

hk
& Vvk/ "k
[\ hk )	\	hk	)	.
При этом
J3_
hk
hk
x — xk \ 2
hk
Xk+i—x у
hk
x~xk
Xk+l — X \
hk
hk
9 / *fe+i —*
I hk
8' Ы +
hk
gk+1 4
-2
hk
hk
g' (Xk+l)
^■-1 — *
+4-
hi
2
1 — 3 f
hk
g' (xk) —
hk
1
X- Xk
hk
3 / * — **
gk+i +
Потребуем теперь, чтобы построенные таким образом функции по
данным в Xk и Xfc+ь а также л;*-! и х*. имели равные значения
gf/(Xk). Это приводит к
6igk+\~8k) - 4- [4g' (xk) -2*' (**+,)] =
Я-х
hk
(gk— gh-x)
hk-1
■ [2g' {Xk-x) + 4g' (xk)]
или, если применить прежние обозначения,
(1 — ak) g' (xk-\) + 2g' (x„) + ak g' (xk+x) =
= 3
gfe+1  gk
+ (!-<**)
gfe — gfe~i
Л* ,ч *' Ла-1
= hk-i f (Xk-u Xk, Xk+l) 4- / {xk-u xk), k = 1, 2, ... , N - 1.
И здесь имеется возможность наложить два дополнительных усло¬
вия. Методы решения системы и оценки погрешности проводятся
так же, как и в предыдущем случае.
Функции, которые получаются в результате решения задачи,
поставленной в начале примера, называются сплайнами. В част¬
ности, при п = 4 получаем кубические сплайны.

Построенная нами теория сплайн-функций допускает ряд обоб¬
щений. Во-первых, вместо алгебраических многочленов можно
брать обобщенные многочлены, построенные по некоторой системе
функций и\(х), и2(х),..., ип(х). Во-вторых, можно пойти по пути,
которым мы следовали при переходе от многочленов Лагранжа к
многочленам Эрмйта, т. е. в узлах Xj задавать не только значения
функции, но и значения ее производных. Можно идти и дальше,
задавая в узлах xj значения некоторых дифференциальных опера¬
торов от сплайна. Еще более общее условие будет заключаться в
том, что заданные значения и значения, полученные от сплайна,
не совпадают в точности, а близки в том или ином смысле. В-треть¬
их, гладкость можно понимать не в смысле непрерывности неко¬
торых производных от сплайна, а непрерывности некоторых диф¬
ференциальных операторов от него. В-четвертых, можно анало¬
гичным образом обобщать граничные условия. Сейчас мы этим
заниматься не будем. В следующей главе мы придем к сплайнам
с другой точки зрения.
§ 3. ОЦЕНОЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
Пусть в системе L заданы п+1 линейно-независимых функцио¬
налов F, /д,..., Еп. Обозначим через А(аь а2,..., ап) совокупность
всех элементов L, для которых /д(/) = аг-, i= 1, 2,..., /г, где щ —
некоторые заданные числа. По следствию к лемме 1.2, для любого
набора чисел аь а2,..., ап множество А(сц, а2,..., ап) не пусто. Оче¬
видно, если хотя бы для одного i а	то множества
А (ai,a2,..., ап) и Л(рь р2, Р?г) не пересекаются. Далее, если f —
произвольный элемент А(од, а2, ...,ап) и g — произвольный эле¬
мент 0(FU Е2, ...,Fn), то f+g^A(au а2, ап). Обратно, если
f, g&4(ai, а2,..., an), то f—g^O (Fu F2,..., Fn). Чтобы полностью
описать множество А(аь а2,..., ап), удобно ввести операции сложе¬
ния множеств и умножения их на действительные числа в линей¬
ных системах.
Пусть W и V — произвольные множества элементов линейной
системы L. Будем называть суммой этих множеств и обозначать
W-\-V совокупность всех элементов L, имеющих вид f + g, где
f^W и g^V. (Чтобы отличить так введенную сумму от теоретико-
множественной суммы W и V, т. е. множества L, принадлежащих,
по крайней мере, одному из множеств W или V, мы будем обозна¬
чать последнюю всегда через W\JV.) Прямая сумма подсистем Ьх
и L2i введенная ранее, является суммой Li®L2. Но при определе¬
нии прямой суммы требовалась единственность представления
каждого элемента f^L{QL2 в виде /=ср+ф, где	и
В настоящем определении этого не требуется.
Если U — произвольное множество элементов L и а — произ¬
вольное действительное число, то под их произведением aU будем
понимать совокупность всех элементов L, имеющих вид af,
пд e/<=tA
4 Н. П. Жидков
97

Теперь мы можем записать
п
А(а1У а2, ... , а,,) = £ сцЛ-г О(Fv F2, ... , F„),
i=\
где fi — элементы, определенные леммой 1.2.
По следствию к лемме 1.2 функционал F может принимать «а
А(сц, CL2,	любые	значения.	Очевидно,	если	взять	вместо L
любую ее линейную подсистему, на которой F, Fu...,Fn линейно¬
независимы, то результат получится такой же. Поэтому, если мы
хотим выделить из всевозможных значений F(f) на множестве
А {а 1, (Х2, ...,ап) какое-то ограниченное множество, то нужно либо
выбрать подсистему L так, что на ней функционалы F, Fu...,F;
линейно-зависимы (на это указывалось в § 1 и осуществлялось и
некоторых примерах предыдущего параграфа), либо накладывать
нелинейные ограничения на множество Л(аь аг,
Чтобы было яснее, как накладывать нелинейные ограничения,
сошлемся на примеры предыдущего параграфа. В каждом из них
в качестве аппроксимации F(f) берется выражение
F(f) = ^(/) + сЛ(/) + • • • + cnFn(f),	(1.41)
где с 1, с2, ...,сп — некоторые действительные числа. При этом
F(f) = P(f) + R(F,?,f),	.
где через R(F, F, f) обозначен линейный относительно f функцио¬
нал, характеризующий отклонение F(f) от его приближения F(f).
Так как F и F линейно-независимы на L, то O(R) является пра¬
вильной частью L и R(F, F, f) может принимать любые действи¬
тельные значения.
Оценки, полученные в предыдущем параграфе, имеют вид
\R(F,?,f)\<C(F,?)p(f)	(1.42)
или, в более общем виде,
Ci (F, F) р, (/) < R (F, F, f) < С2 (F, Р) р2 (/),	(1.42')
где р, рь р2 — функционалы, определенные на L, и С, Сь С2 —
функционалы, определенные на множестве линейных функциона¬
лов, заданных на L, т. е. на системе L*, сопряженной L. Эти оценки
могут оказаться полезными с различных точек зрения. Если, на¬
пример, F и F зафиксированы, т. е. С, Сь С2 принимают фиксиро¬
ванные значения, которые мы считаем известными, а для p(f).
pi (/), р2 (f) известны некоторые границы, то мы выделим ограни¬
ченное множество возможных значений R(F, F, /). Другими сло¬
вами, мы выделим из множества А такое подмножество, на кото¬
ром функционал F ограничен. Если же мы умеем находить
98

C(F, F) или Ci(F, F) и C2{F, F) для различных F (например, для
различных значений сь с2,..., сп в (1.41)), то можно решать зада¬
чу о выборе функционала F лучше всего аппроксимирующего F в
смысле оценок (1.42) и (1.42').
Не всякие функционалы можно использовать в качестве р, рь
р2 в оценках (1.42) и (1.42'). Так как функционал p(f) в (1.42) не¬
отрицателен, то он не может быть линейным. Но и pi(/). рг(/) в
(1.420 нельзя брать линейным. Действительно, пусть, например,
рj(/) линеен. Тогда при любом действительном с должно быть
сСх (F, F) Pl (/) С cR (F, F,f)
и в случае отрицательного с отсюда получим
Ci(F, F)Pl(f)>R(F, F, /),
что вместе с (1.420 даст
CAF, F)Pi(f)=R(F>F*f)>
т. е. pi пропорционален R. Конечно, такие оценки не представляют
никакого интереса. Аналогичный результат получается и для р2(/)-
С другой стороны, нет оснований отказываться от линейной за¬
висимости р(cf) от числового параметра с при с^О. Потребуем
также некоторую гладкость зависимости р (/) от f. Точнее, мы бу¬
дем требовать, чтобы нелинейный функционал р(/) удовлетворял
следующим условиям:
1) р(/)>0 для любого /gL;
2) р (с/) = с р (/) для любого / ^ L и любого действи¬
тельного числа с> 0;
3) существует такое /С, что для любых /, g е L имеет ' *	'
место
\p(f)-p(g)\<Kp(f-g).
Условие 1 является следствием остальных, но для удобства ссы¬
лок, мы ввели его независимо.
Функционал p(f), удовлетворяющий (1.43), будем называть
оценочным функционалом. Свойство, определяемое условием 1
(1.43), будем называть неотрицательностью. Свойство, определяе¬
мое условием 2 (1.43), будем называть положительной однород¬
ностью. Свойство, определяемое условием 3 (1.43), будем называть
условием Липшица.
В дальнейшем мы будем изучать множество значений F(f) на
совокупности элементов /gL, принадлежащих А(аь а2,..., ап), и
таких, что для некоторого оценочного функционала р (f) и некото¬
рой постоянной С имеет место р (/)^С, Это и будет вся исполь¬
зуемая информация. Пока же рассмотрим свойства оценочных
функционалов.
4*
99

Из услозия 2 следует р(0)=О. Поэтому, полагая в условии 3
,§* = 0, получим /0^.1. Полагая в условии 3 / = 0, придем к
p(g)<Xp(— g)	(1-44)
и, заменяя здесь g на —g9 получим
р(— g)<Kp(g)-	(1.44')
Из этих двух неравенств следует (условие 2'):
9(cf)<\c\K9(f)	(1.43')
для любого f^L и любого действительного числа с. При К—1 из
(1.44) и (1.44') следует
р(— S) = p(g)-
Отсюда и из условия 2 (1.43) следует (условие 2")\
р(*/) = |с|р(/).	(1.43")
Пусть i/i и f2 — произвольные элементы L. Положим в усло¬
вии 3 f = /1 —|—/2? g = f2- При этом получим
p(/i+/2)<p(/2)+Xp(/i).
Поменяв местами fi и /2, будем иметь
p(/i + /2)<p(/i) + ^p(/2).
Полусумма двух последних неравенств даст нам (условие 3'):
Р (/х+/.)<[р (Л)+ Р (/.)]•
В частности, при /С=1 получим так называемое неравенство тре¬
угольника (условие 3"):
p(/i-r /*)<p(/i)+p'(/a).
Заметим, что из неравенства треугольника 2" и 1 следует 3 с
к=\.
Если для оценочного функционала р (f) выполнены условия 1,
2" и 3", то его называют преднормой или полунормой. Если же,
кроме того, из р(/)=0 следует /= 0, то р(/) называют нормой и
часто обозначают р(/) = ||/||.
Таким образом, для полунормы должны быть выполнены усло¬
вия:
1) Р (/) >0 для любого /е L;	>
2) р (с/) = | с | р (/) для любого /eL и любого действи¬
тельного числа с;	(1.45)
3) для любых f,g^L имеет место
Р (/ + g) < Р (/) + Р (£)•
100

Система L, в которой определена полунорма, называется полунор-
мированным пространством.
Соответствующие условия для нормы будут выглядеть так:
1) 11/11 > 0» причем равенство нулю достигается тогда и
только тогда, когда /=0;
2) I! с/ II = \с | || /1| для любого /eL и любого действи- , j 4^
тельного числа с;
3) для любых элементов /, gL
11/-г^К1/Н-1!^||.
Линейная система L, в которой задана норма, удовлетворяющая
(1.46), называется нормированным пространством.
Имея в L один или несколько оценочных функционалов, мы
можем образовать с их помощью другие оценочные функционалы.
Рассмотрим некоторые примеры.
Если р(/) — некоторый оценочный функционал на L и с>0 —
некоторое действительное число, то, очевидно, и р1(/)=ср(/) так¬
же является оценочным функционалом, причем /С, входящее в ус¬
ловие 3 (1.43), одно и то же для р(/) и pi (/).
Далее, если pi(/) и р2 ('/) — некоторые оценочные функциона¬
лы, то и
Рз (/) = Pi (/) -Г р2 (/)
также является оценочным функционалом на L. Доказывать нуж¬
но только выполнение условия 3 (1.43). Пусть для функционала
pi (/) в условии 3 (1.43) входит постоянная Ки а для р2 (/) —/Сг-
Тогда, если f и g — произвольные элементы L, то
I Рз (/) — Рз (ё) I = I Pi (/) + Ра (/) — Pi (§) — Ра (g) I <
< I Pi (f) — Pi (g) I -Ы Pa (/) — P2 (g) I < Pi (f — g) - г К, p2 (/ — g) <
< max {/Ci, /C2}[pi(/ — g) -I-P2 (f — g)] = max {/Ci, /C2}p3(/ — g),
т. e. для p3 (/) условие 3 (1.43) выполнено с константой
/Сз = тах{/Сь /С2}. Объединяя оба факта, получим, что если pi(f) и
92(f)—оценочные функционалы на L исо^О, а2^0,	+	а	в
остальном произвольны, то
Рз (/) = «iPi (/) -г- сх2р2 (/)
также является оценочным функционалом на L, причем констан¬
той,	входящей	в условие 3	(1.43), для него является
тах{/Сь К2}.
Заметим, что если р(/) — оценочный функционал, то и
Pi (/) = Р (— /)
также является оценочным функционалом с той же константой К
в условии 3 (1.43). Отсюда
101

Р*(/)-^Гр(/) + Р(-/)]	(1-47)
также является оценочным функционалом с той же константой К
в	условии 3	(1.43), что и для р (/). Для	него	имеет место
Р2 (/) = р2 (—/)	и,	следовательно, выполнено условие	2"	в	(1.43")-
Будем говорить,, что оценочный функционал p(1)(f) эквивален¬
тен оценочному функционалу р(2)(/), если существуют такие дей¬
ствительные числа М>0 и пг>0, что
^Р(2)(/)<Р(1)(/Х^Р(2)(/)	(1-48)
для любого элемента f^L. Очевидно, в этом случае
-^р(1)(/)«Р(2)(/)<— Р(1)(/)	(1.48')
М	m
для любого элемента f^L, т. е. понятие эквивалентности взаимно.
Таким образом, можно говорить просто об эквивалентности функ¬
ционалов p(1)(f) и р(2)(/).
Введенный с помощью равенства (1.47) оценочный функционал
р2(/) эквивалентен р(/). Действительно, по (1.44) мы имеем
Р,</>= 0<Д + Р(-Д <JLVl±x Р(Д. « 2Ш. р(/)
и по (1.44')
.mX., fx P(f)+~j7P(f) к , .
р, </) = Р(Я |Р(~П > —^р т-
2К
Таким образом,
К + 1 ’ Р (/) < Р2 (/) < K Z l - Р (/)>
2 К	2
2 Рг (/) < Р (/) < fK , р2 (/).
/с+1	*	ч,/	л:+1
что и требовалось доказать.
Приведем еще примеры оценочных функционалов, получаемых
как некоторые функции других оценочных функционалов.
Пусть pi(/) и р2(f) — некоторые оценочные функционалы, при¬
чем им соответствуют в условии 3	(1.43)	постоянные	К\	и
Введем функционал
Р (/) = шах {Pl (f), р2(/)}.
Очевидно, для этого функционала выполнены условия 1 и 2
(1.43). Проверим, что и условие 3 также будет выполнено. Дей¬
ствительно,
102

IP (/) — P (g) I = I max {Pl (/), p, (/)} — max (Pl (g), p, (g)} |.
Пусть p(f)>p(g) и max {Pl (/), p2 (/)} = Pi (/)- Тогда
0 < P (/) — p (g) < Pi (/) — Pi (g) < Kx pi (f — g)< Kx p (f — g)-
Если же p(/)>p(g) и max {Pl (/), p, (/)} = p2 (/), to
0 < P (/) — P (g) < Ко p (/ — g).
При p (g) > p (/) мы соответственно получим
o< p(£) —p(/) <KiPi(g— fXKip(f-g)
И
о < P(g) — P(/) < K2Р»(g — f)<Klp(f — g).
Таким образом, во всех случаях
IР (/) — Р (g) I < max {Kl К\) р (/ — g),
т. е. р(/) является оценочным функционалом.
Пусть теперь pi(/) и р2 (f) — эквивалентные оценочные функ¬
ционалы и
"*Pi(/)<P2(/)<Mpi(/), т > 0.
Образуем функционал
Р (/) = min{Pl (/), р2 (/)>.
Очевидно, и этот функционал удовлетворяет условиям 1 и 2 (1.43).
Далее,
1 Р (/) — p(£)l = |min{p1 (/), р2(/)} — min{p1(g), p2(g)}|.
Пусть p(f)>p{g) и minjp,(g), p2(g)} = Pi(g)- Тогда
0<p(/)— p(g) <pi(/) — Px(g)<KxPx(f — g)< — ps(/ -g)-
m
При p(/)>p(g) и minute), p2(^)} = p2(g) получим
0 < P (/) — P (g) < Pa (/) — P2 ig) < Kt pi (/ - g) < KiM р, (/ — g).
Таким образом, при p (/) > p (g) мы будем иметь
0 < Р (/) — Р (g) < max |/Ci, ^L, Ki, M/C2J p (f — g).
При p(g) >p(/) и min{px(f), p2(/)} = Pi(/) получим
0 < P (g) - P (/) < Pi (g) - Pi (/) < Kx Pi (g~f)<
■ <K2ipx(f — g)< — p2(f — g),
m
103

а если min {Pl (/), р2 (/)} = р2 (/), то
0 < Р (ё) — Р (/) < Рг (ё) — Р2 (/) < К2 р2 (g — /) <
<К2Р2(/ — ё)< MKlpiif — ё)-
Таким образом, в этом случае
О < p (g) - Р (/) < шах {/Cf, ^, Kl M/Ci) Р (/ - ё)-
Итак, при любых знаках p(f)—р (g) мы будем иметь
IР (/) - Р (ё) I < шах {/С?, Kl МК|) р (/ - g),
т. е. условие 3 (1.43) выполнено.
Наконец, рассмотрим функционал
р(/) = /р? (/) +рК/)>
где pi (/) и р2(/) — оценочные функционалы, причем постоянные,
входящие в условие 3 (1.43) для оценочных функционалов, равны
соответственно К\ и /С2. Очевидно, для р (/) выполнены условия 1
и 2 (1.43). Далее,
[Р (/) - Р (£)]2 = Р? (/) + Р| (/) - 2	+	Щ	+
+ Р? (ё) + 9% (ё) < [pi (/) — Pi (ё)¥ + [р2 (/) — р2 (#)]“•
Действительно, .
[Pl (/) — Pl (ёОГ + [р2 (/) — р2 (g)]2 — [Р (/) — Р (g)]2 =
= 2 ушп+рцт [p?(g)+Pite)f- 2Pl'(/)-Pl (g) - 2р2 (/) р2 (g)
и
[р? (/) + Pl (/)] Гр? (ё) -'г Pi (£)] - [Рх (/) Pl (я) + р2 (/) р2 te)]2 =
= [Ра (/) Pi (ё) — Pi (/) Ра (g)]2 > О-
Таким образом,
[р (/) - р te)]2 < Kl pi (/ - g) + к\ pi (/ - g) <
< max {/Ci. /Cl} P2 (/ —
И
! P (/) - P (ё) 1 < max {/Cl Ко} p (/ — g).
Как мы видели, для любого оценочного функционала имеет
место р(0) =0. Но могут существовать и другие элементы g^L,
104

g^G, для которых р(g") = 0. Совокупность всех элементов feL,
удовлетворяющих равенству р(/)=0, будем обозначать О(р) и
называть ядром р(/).
Лемма 1.5. Пусть р (/) — оценочный функционал на линейной
системе L. Тогда О(р) является линейной подсистемой L, такой,
что если f — произвольный элемент Lug — произвольный эле¬
мент О(р), то
Р (/ + 8) = Р (/)•
Действительно, если p(/)=p(g)=0 и а, р — произвольные
действительные числа, то по 2' и 3' (1.43') будем, иметь
p(«/ + Pg)< Ку [р(<*/H-p(Pg)]<
< '{К+21)К ■ [ 1а 1Р (/) + I Р IР(g)] = 0.
т. е. af-f (3g^O (р) и О(р) является подсистемой L.
Далее, если f — произвольный элемент Lug — произвольный
элемент О(р), то
|р(/ +g)-9(f)\<Kp(g) = 0,
т. е. o(/+g)=p(/), что и требовалось доказать.
Как следует из (1.48) и (1.48'), ядра эквивалентных оценочных
функционалов совпадают. Это является необходимым условием
эквивалентности, но недостаточным. Так, на множестве L непре¬
рывно дифференцируемых на [a, 6] функций f(x) оценочными
функционалами являются
Pl (/) = sup | Г (X) | И р2 (/) = [ f [/' (x)f dx]42
x£[a,b]	о
(см. примеры 1.9 и 1.10 ниже). При этом 0(р^ и 0(р2) состоят
из функций, принимающих постоянные значения на [а, 6]. Однако
эти оценочные функционалы не эквивалентны. В самом деле, пусть
а — 0, 6=1 и fn(x), п— 1, 2, ..., такая последовательность функций
(см. рис. 6), что

Тогда pi(fn) = l при всех п, a p2(f„) = ^ и р2(/«) —^0 при
п—>оо. Поэтому не может существовать такого числа Л4>0, что
Pi (f)<;-Mp2(f) для любого f^L.
Пусть L\ — некоторая подсистема L. Разобьем элементы L на
классы следующим образом. Будем говорить, что два элемента
/, g eL принадлежат к одному смежно¬
му классу по Lu если f—g^L1. При этом
каждый элемент L будет принадлежать к
одному и только одному смежному клас¬
су по L\ и вся система L разобьется на
некоторое множество непересекающихся
смежных классов.
В этом множестве классов можно
так ввести операции сложения и умно¬
жения на действительные числа, что оно
само будет образовывать систему. Эти
Рас. 6	операции	есть не что иное, как введен¬
ные в начале этого параграфа сложение
множеств в L и умножение их на действительные числа. Прове¬
рим, что сумма двух классов CDi и Ф2 есть некоторый класс. Дейст¬
вительно, если /1, /^eCDi и gu £2еФ2, то
(/1 gi) (/2 ~г g*) = (/1	/2) Jr {gi g'l) ^ А»
так как f\—/2eL, g 1—g2^L{ и /^-подсистема. Аналогично, если
Ф — какой-то смежный класс и с — произвольное действительное
число, для любых /г, /о^Ф будем иметь
cfi — с/, = с (Д — Д) е h,
так как /д—/2eL 1 и Li-подсистема. Будем называть полученную
таким образом систему фактор-системой системы L по подсистеме
L\ и обозначать ее L[L\. Если поставить в соответствие каждому
элементу f^L тот класс, которому он принадлежит, то получим
гомоморфное отображение L на LIL\.
Пусть теперь L можно представить как прямую сумму подси¬
стем L\ и L2:
L = L1 L2.
Тогда каждый элемент f^L можно единственным образом запи¬
сать в виде
/ = Ф Д ф,
где ф^Т2 и феД. Это равенство позволяет поставить в соответ¬
ствие каждому элементу f^L некоторый элемент срg/2. Обратно,
каждый элемент фе/2 при этом соответствии имеет в качестве
прообраза тот класс АДь который содержит ф. И в этом случае
106

мы имеем дело с гомоморфным отображением L на L2. При этом
Ь2 изоморфно L/Li.
Если подсистема L\ конечномерна, то разложение L на прямую
сумму Lx и Ь2 всегда возможно. Действительно, пусть Ьх имеет
размерность k. Возьмем произвольные k линейно-независимых на
1Х функционалов Gb G2,Gk и пусть gь g2,...,gk — такие элемен¬
ты Lu что Gi(gi) =6{j, i, /=1, 2, Тогда на основании лем¬
мы 1.4 любой элемент f^L единственным образом представляется
в виде
f= ф + Е 8"
i=i
где фЕ 0(GX, G2, ... , G^). Таким образом,
£ = Li 0 О (Gi> G2i , Gk).
С одним примером фактор-системы мы уже встречались. Мно¬
жества А(аи СС2) •••> сстг), определенные в начале этого параграфа,
являются смежными классами L по подсистеме
Lx = 0(Fu F2,...,Fn).
При этом
A (alf a2, ... , a„) -j- А (р,, ра, ... , р„) = A (ax + plf as -f ра, ... , а„ + Р,.),
сА(аг, а2, ... , а„) = А(са1, са2, ... , сап).
Другой пример фактор-системы мы получим, если образуем-
L/0(p). Два элемента /, g^L принадлежат к одному смежному
классу L/0(р), если f—g^O(p). Отсюда по лемме 1.5 p(/j=p(g).
Таким образом, к одному классу принадлежат элементы, для ко¬
торых оценочные функционалы имеют одинаковые значения, но
могут быть различные классы, для элементов которых оценочные
функционалы имеют одинаковые значения. р(Ф) равно нулю для
нулевого класса 0(р) и только для него.
Можно образовать фактор-систему по подсистеме
О (р) П о (Flf F2, ... ,F#1) = О (р, Fl9 F2, ... , Fn).
Соответствующие классы будут содержать элементы /eL, для ко¬
торых значения р(/), Л(/), F2(f), ...,Fn(f) одни и те же. При этом
если проводить все рассуждения не на L, а на L/0(р, Fь F2,...,Fn),
то с точки зрения той информации, которую мы имеем (значения
F\{f), F2(f),..., Fn(f) и граница р(/)), ничего не изменится. С дру¬
гой стороны, так как L гомоморфно отображается на
L/0(р, Fь F2,...,Fn), то, вообще говоря, работа с фактор-системой
проще, чем со всей системой L. Это особенно заметно, если можно
представить L как прямую сумму 0(р, F\, F2,...,Fn) и некоторой
подсистемы Ь2:
107

L = 0 (p, Fj, F2,	,	Fn)	®	L2.
Тогда достаточно проводить все рассуждения на L2.
Удобно также пользоваться таким оценочным функционалом,
для которого из р(f) = О следует [=в. Как мы видели, это имеет
место на фактор-системе L/0(р). Однако это может не выполнять¬
ся на	L/0(р,	Fu...,Fn). Но	всегда можно так видоизменить функ¬
ционал	р(/),	что	указанное	условие выполнено.	Рассмотрим, на¬
пример, вместо оценочного функционала р (f) функционалы
Pl(/) = P(/)+£ Цг(/)1,	(1-49)
1=1
Р*(/)=	[p2(/)-h£^(/)],/2.	(1-49')
1=1
Они также являются оценочными функционалами, что следует из
наших предшествующих рассуждений о комбинациях оценочных
функционалов и того факта, что если F (/) — линейный функцио¬
нал, то |Е(/) | — оценочный функционал. Последнее следует из
\\F(n\-\F(g)W<}F(f)-F(g)\ = \F(f-g)\,
т. е. условие Липшица для \F(f) | выполнено с К= 1. Выполнение
остальных условий очевидно. При этом Ь/0(р{, Fu..., Fn) =
— L/0(pi), /=1, 2, и, следовательно, из рДФ)=0 можно заклю¬
чить ф = 0(р7). Для задачи, которую мы рассматриваем, где F{{f)
считаются заданными, замена р (/) на pi(/) или рг (/) не вызовет
затруднений.
Каждый оценочный функционал может быть связан с некото¬
рым множеством элементов L. Обозначим через Sc(р) множество
всех элементов	для которых р(/)-^С. Множество Si(p) бу¬
дем называть базой оценочного функционала. Рассмотрим ка¬
кими свойствами должна обладать база оценочного функционала.
Предварительно введем некоторые определения.
Множество U элементов L называется поглощающим, если
выполнены следующие условия.
1. Если /е£/, то и любой элемент а/ при 0.^а^1 принадле¬
жит U.
2. Для любого элемента g^L существует такое число (3>0, что
P*ejy.
Ранее мы ввели определение выпуклого множества. Множество
U элементов L называется абсолютно выпуклым, если из f^U и
g<=U следует af+$g^U для любых а и § с |а| + |р| = 1.
Множество U элементов L называется уравновешенным, если
из f^U следует —f^U. Выпуклое и уравновешенное множество,
очевидно, является абсолютно выпуклым и, обратно, абсолютно
выпуклое множество будет выпуклым и уравновешенным.
108

База любого оценочного функционала является поглощающим
множеством. Действительно, если р(/)^1, то и р(а/)=ар(/) при
любом а, O^a^il, будет не больше 1.
Далее, если р (/) = 0, то feSi(p), если же р(/)#0, то
Р (//Р (/) =1 и //р (f) <=S) (р).
Бели известна база Si(p) оценочного функционала р(/), то для
любого f^.L будем иметь1
р(/)= inf a = inf a, a > 0.	(1.50)
/e«sl(P, _i_7eS|(p)
Фактически мы можем строить функционал р(/) исходя не из из¬
вестной базы Si(p), а из произвольного поглощающего множе¬
ства 5:
р(/)= inf a = inf a, a > 0.	(1.50')
ft*8 ±fes
При этом всегда будут выполнены свойства 1 и 2 оценочного функ¬
ционала. Ответ на вопрос, какими дополнительными свойствами
должно обладать поглощающее множество, чтобы было выпол¬
нено и третье свойство оценочного функционала, дает следую¬
щая лемма.
Лемма 1.6. Для того чтобы поглощающее множество S опре¬
деляло с помощью равенства (1.50') оценочный функционал р(/),
т. е. являлось базой оценочного функционала, необходимо и до¬
статочно существование такого числа /С^1, что:
а) если /gS, mo и ~/е5;
К
б) если /,	5,	mo	и	a	/	-	S,	где	a,	Р	> 0, а + Р =- 1, а
К
в остальном произвольны.
Геометрически свойства а) и б) можно охарактеризовать сле¬
дующим образом. Строим по S множества S\ = KS и S2 = —5.
К
Тогда условие а) означает, что если /gS, то —f^Su а условие
в), что если /&S, g^S2, то af+Pg, где а и р удовлетворяют усло¬
виям леммы, принадлежит 5.
Сначала докажем необходимость. Пусть р(/) — оценочный
функционал. Возьмем К в лемме равным К в условии (3) (1.43).
Тогда если р(/)<С 1, то на основании (1.44') будем иметь
р (—^ /) <Р (/)< г
т. е. свойство а) выполнено. Далее, если р(/)^1, p(g)^l, то для
указанных выше а и р будем иметь на основании свойства 3 (1.43)
Р («/ +<p(af) \ Кр	<ap(/)	Pp(g)<a-i-P<	1.
Таким образом, и свойство б) выполнено.
109

Докажем достаточность. Нам нужно доказать только выпол¬
нение условия 3 (1.43) для оценочных функционалов.
Прежде всего докажем, что при выполнении условий леммы
для определенного (1.50') функционала будет иметь место
р(—/)C/Cp(;f) для любого элемента f^L.
Если p(f) =0, то для любого а>0 a/eS.
Тогда на основании условия а) леммы —af^S для любого a>0,
т. е. р(—f) =0 и утверждение справедливо. Если же р(1)ф0, то
f/p(f)<=S и на основании условия а) леммы —f//Cp(/)eS, т. е.
функционала для p(f) выполнены.
Далее докажем, что совокупность элементов ;/eL, для которых
р(/) =0, образуют линейную систему.
Действительно, если p(f)=0, то на основании определения
p(f) и свойства а) леммы 1.6 для любого действительного числа с
p(cf)=0. Пусть теперь Д g^L и р(/) =p(g‘) =0. На основании
свойства б) леммы
Здесь c’l и с2 — произвольные действительные числа, а, (5^0,
а+Р=1. Зафиксируем произвольные действительные числа d{ и
d2 и положим
В силу произвольности с отсюда следует, что p{dJ-\-d2g) =0.
Докажем, наконец, что если f и g — произвольные элементы L,
такие, что р(/)=И= 0, p(g)=0, то p(f+g)=p(f).
Действительно, в этом случае для любого числа с и произволь¬
ных а, р^0, 0<а<1, а+р=1, на основании свойства б) лем¬
мы 1.6 будем иметь
Для каждого фиксированного а, удовлетворяющего указанным ус¬
ловиям, можно подобрать с так, что рср(/)/а/С=1. Таким образом,
будем иметь
Отсюда и следует утверждение, так как свойства 1 и 2 оценочного
с>0 — произвольно. Тогда получим
Р Ш -г- dog) <
С
или
110

и, в силу произвольности а, (0 < а <i).
p(f-rg)<p(f)-
Запишем теперь / в виде f= (/+g)+ (—&)• Здесь p(f+g)^=0, так
как в противном случае на основании предыдущего утверждения
было бы р (/) =0. Поэтому будем иметь
Совокупность двух последних неравенств и доказывает утверж¬
дение.
Перейдем теперь к доказательству выполнения свойства 3
(1.43) функционалом р (/), определенным S, удовлетворяющим
условиям леммы. Это свойство можно сформулировать следующим
образом. Существует такое число 1, что для любых элементов
ft g^L имеет место
Если хотя бы одно из значений р (f) или p(g) равно нулю, то
последнее неравенство будет удовлетворено с К'= 1. Поэтому
предположим, что р(/)=^0, p^j^O. При этом на основании усло¬
вия б) леммы
Запишем теперь /= (f+g) + (—g) • Если p(f+g)¥z0, то по пре¬
дыдущему неравенству получим
Совокупность полученных нами неравенств и дает доказываемое
неравенство с К\ — К2. Лемма доказана.
Замечание. Нетрудно проверить, что если К в условии лем¬
мы 1.6 равно 1, то множество 5 будет абсолютно выпуклым. При
этом К в условии 3 (1.43) также можно взять равным 1.
Р (/)<Р (/ + £)•
где аир определены как и ранее. Возьмем
Р (/) < Р (/ -г g) + К Р (—g)< Р (/ -г g) -г К2 р (g).
Если же р (/ + g) = 0, то
I Р (/ -г g) - р (/) | = р (/) = Р (- g) < К р (ff).
111

Обратно, если К в 3 (1.43) равно 1, то база оценочного функ¬
ционала будет абсолютно выпуклой. Это можно показать следую¬
щим образом. Если К= 1 и/, geSi(p), то при | ot| +1РI = 1
р(«/т Р£)<р(«/) H-p(Pff) =
= Iа IР (/) ■!-|Р1р(г)<|о|-ЫР1 = 1.
т. е.
aZ-i-pseSHp).
Рассмотрим, как видоизменяются базы, когда комбинируются
несколько оценочных функционалов или каким-либо образом видо¬
изменяется один оценочный функционал.
Если р (/) — оценочный функционал, а pi (f)=p(cf), где с —
некоторое действительное число, с>0, то
S1(P1) = —5ПР).
С
В частности, отсюда следует, что базы Si(pi) и Si(p2) эквивалент¬
ных оценочных функционалов pi(f) и 92(f) удовлетворяют следую¬
щим условиям: существуют такие постоянные Л1>0 и т>0, что
MSi (pi) ID Si (Ра) ID mSi (Pi).
Пусть теперь
Рз(/) = Y lpl(f)Jrp2(f)h
где pi (/) и р2(f) — данные оценочные функционалы с базами
Si(pi) и Si (р2)• Если для некоторого f^L p3(f)=0, то р\{f) =
= р2(/) = 0 и, следовательно, 0(р3)^0(рь р2). Обратно, если
Pi (/) =-р2(/) = 0, то рз (/) =0 и 0(р3)з0(р1, р2). Таким образом
0(p3)=0(pi, р2). Пусть рз(/) =7^=0. При этом, либо Pl (/) =^=0,
92(f) =0, либо р! (/) =0, р2(/)^=0, либо pi(f)¥=0, р2(/) =^=0- В пер¬
вом случае для любого элемента ср = cf, где с>0, будем иметь
Pi (ф) =2р3(ф). Отсюда, к базе Si(p3) принадлежат все элементы
вида 2'ф, где ф — произвольный элемент базы Si(pi), принадлежа¬
щий 0(р2). Второй случай аналогичен первому, только вместо
Si(pi) нужно взять Si(p2) и вместо 0(р2)—O(pi). В третьем слу¬
чае найдутся элементы fь /2, /з вида cf, с>0, такие, что
Pl (Л) = р2 (/2) =Рз(/з) = 1- При этом если f2=dfu d>0, то
, ___ 2dft __ 2h
/з 1 +d 1 + d ’
Используя эти равенства, нетрудно построить f3, а следовательно,
и 5i(p3).
Если
Рз(/) = Кр?(/) + р1(/).
112

ТО опять 0(рз)=0(рь р2). Случаи pi(f)¥=0, p2(f) =0 и pi (f) =0,
02ффО обсуждаются аналогично предыдущему, а случай
рх(/) =#=0, p2(/)#0 при тех же обозначениях, что и ранее, даст
f =	_	h
/3	/1 + d? '
При
Рз (/) = max (Pl(/), р2(/)}
имеем
О (р3) = О (pi, р2), Sx (р3) = Sx (рх) Г) Sx (ра).
и при
Рз(/) = min{Pl(/), р2(/)}
имеем
О (Рз) == О (рО и о (pi), Sx (рз) = Sx (pi) и Sx (pg).
Рассмотрим теперь .некоторые примеры оценочных функциона¬
лов р (f). При этом предполагается, что системы L таковы, что со¬
ответствующие р(/) построить можно.
Пример 1.8. Пусть
Р (х) = р (Хх, хй, ... , х„)
оценочный функционал в Rn. Функция р (a:i, л:о, хп) определена
для произвольных действительных хи х2,...,хп, неотрицательна, по¬
ложительно однородна, т. е.
р (а х19 ах2, ... у а хп) = ар (хг, я2, ... , хп)
для произвольного а^О, и удовлетворяет условию Липшица по
всем своим переменным. Действительно,
|р (*!,**, ... ,Хп) — р (Ух, У О, ... , уп)\ = I Р (х) — р Су) IС
п
</Ср(х— y) = /cp[j] (Xi — г/i)et].
1=1
Применяя к правой части несколько раз условие 3 (1.43), получим
ЯР [£	(*i “ Уд ei]	<	[£	(Хг — Уд ег]	-Г К2 р [(хп — уп) е„] <
i=1	i=l
п—2
< Кр [ £ (Xi — Ух) et] -f К2 р [хп-1 - у,г-l) е/г—1 ] -f к2 р [(*„ — у„) е„] <
1=1
< ... < кр [(Xi — Ух) е,] + к2 2 р [(xt — Ух) е{] <
i=2
< К2 £	р [(хх - Уд е«] < К2 £	| х, - ух | р (et) < МК? £	\xt - Ух |.
1=1	1=1	1=1
где М = тахр(е4). Таким образом,
i
113

I P (Al> *^2> • • • > A?) P {.Уъ У2» • • • > Уп) I ^	J	^	i/i !»
f=l
что и требовалось доказать. Как следствие, получим равномерную
непрерывность функции p(*i, х2,...ухп) по совокупности перемен¬
ных Хи х2,хп.
Предположим теперь, что функционал р(х) таков, что из
р(х)=0 следует х=0, т. е. из р(хи х2, ...,хп)=0 следует
х\ = х2=-• . = хп = 0. Рассмотрим в Rn множество векторов, ком¬
поненты которых удовлетворяют равенству
х\ х\ ... -;-х2 = 1.
Это замкнутое ограниченное множество Rn. Непрерывная функ¬
ция p(xi, х2,...,хп) принимает на нем свое наибольшее значение
М<оо и свое наименьшее значение т>0. При этом на множестве
векторов, компоненты которых удовлетворяют неравенству
мы будем иметь
М2
Р (ХЪ Хоу ... у хп) < 1.
Это множество выпукло в Rn. Таким образом, база Si(p) содер¬
жит некоторое выпуклое множество. С другой стороны, на мно¬
жестве векторов, компоненты которых удовлетворяют неравен¬
ству
у 2	у2 _!_	у2
А1 i	I	•	•	•	i	лп	о »
т2	(
мы имеем
р (хг, Хоу ... , хп) > 1.
Таким образом, база Si(p) содержится в выпуклом множестве
векторов, компоненты которых удовлетворяют неравенству
-L *!+••• -ь хп < -V-
mz
Множество векторов, компоненты которых удовлетворяют нера¬
венству
х\ х\ -f ... -г х2п< 1,
является базой оценочного функционала pi(x) с /С=1. Итак, мы
получили, что в случае, когда из р(х)=0 следует х=0, р(х) экви¬
валентен оценочному функционалу pi (х) с /С = 1.
114

Если из р(х)=0 не следует х = 0, то О(р) является подсисте-
мой Rn размерности т, l^m^n—1. При этом Rn можно пред¬
ставить в виде
Rn — О (р) ® Rn—m•
Здесь Rn-m изоморфно L/0(p) и поэтому на нем из р(х)=0 сле¬
дует х=0, т. е. справедливы все предыдущие рассуждения. В част¬
ности, на Rn-m функционал р(х) будет эквивалентен некоторому
определенному на Rn-m оценочному функционалу pi(x) с К—\.
функционал pi(x) естественным образом распространяется на
все Rn, а именно: если
f =	?еО(р),
TQ
pi (f) = pi (Ф)-
Таким образом, любой оценочный функционал Rn эквивалентен
некоторому оценочному функционалу с К= 1. Если 5i>n_m(p) —
база р (f) на Rn-m, то
Si (р) = Sifn-m (р) + О (р).
Рассмотрим несколько оценочных функционалов при п = 2.
Пусть сначала т= 1. При этом О(р) есть прямая, проходящая
через начало координат. В представлении
^2 = 0 (р) © Ri
в качестве Ri можно взять любую прямую, проходящую через на¬
чало координат и не совпадающую с 0(р). Так как р(х) на R\
эквивалентен pi(x), а база pi(x) есть
отрезок с центром в начале координат,
то база р(х) на Ri также является от¬
резком, содержащим начало координат
строго внутри, но не обязательно по¬
средине. Таким образом, Si(p) есть
полоса, ограниченная прямыми
параллельными 0(р), содержащая
0(р) строго внутри (см. рис. 7). На
рис. 7 мы взяли в качестве базы не¬
уравновешенное множество. Здесь ве-	рис	7
личина К в условии Липшица будет
определяться отношением длин ОР
и 0Q. Значение р(f) для вектора f на
рис. 7 равно отношению длины вектора f к длине вектора g.
Пусть теперь 0(р) состоит только из нулевого вектора. Тогда
для любого нулевого вектора f существует такое с>0, что
p(rf) = l. Если рассмотреть совокупность концов всех векторов g,
для которых p(g) = l, то получим замкнутую кривую Г, окружаю¬
щую начало координат. Векторы, которые находятся внутри этой
кривой, имеют оценочные функционалы, заключенные между О
115

и 1. Остальные векторы имеют оценочные функционалы большие
или равные 1. Оценочный функционал произвольного вектора
f =т^= 0, равен l/с, где с>0 таково, что ci^T.
тъхЦ U?|,g lx2l}s< 1
0,В >0,
а 'х,1 + в Ч|s,>
о,В>0}
iax [1^1,2 ix
Рис. 8
На рис. 8 показаны некоторые замкнутые кривые Г и области,
которые они определяют. Области, показанные на рис. 8, а, 8, б и
8 е, являются базами норм
|| х| = |/ 011^ -г 2апх1х.2 -j- аг%х\,
Iх|| = шах {— I* |, -L-1лг21} и Нх|| = — \х1\-г-^-\х2\,
[а	b )	а	b
так как эти области являются абсолютно выпуклыми множества¬
ми. Задавая произвольным образом такие множества, мы получим
бесчисленную совокупность норм.
На рис. 8,г показана область, являющаяся базой оценочного
функционала
P(*i> X(i) = niin{max[2|x1), |*2|]> max[ l*il> 21 ^21 ]}•
il6

В том, что это оценочный функционал, можно убедиться, если
записать
Р (*i. *2) = min [р, (хХ) х2), р2 (xv х2)],
где
Pi ('vi> *2) = max I21 a:i I, |*a| ], p., (xu x2) = max [ | xx |, 21 x21 ],
и вспомнить наши рассуждения о комбинации оценочных функцио-
налов. Здесь pi(xi, *2) и р2(*ь *2) являются нормами (ср.
рис. 8, б), причем
~ Pl (**T #2) 'С р2 (*1» *2) 'С 2рх (хх, х2).
Таким образом, К в условии Липшица в данном случае будет рав¬
но 2. На рис. 8, д показана область, являющаяся базой оценочного
функционала, но не нормы. Хотя эта область и выпукла, но она не
уравновешена. Постоянная К в условии Липшица в данном случае
также равна 2. На рис. 8, в показана область, не являющаяся ба¬
зой никакого оценочного функционала, так как для нее не выпол¬
нены условия леммы 1.6.
Пример 1.9. Пусть L — совокупность действительных функций,
определенных на отрезке [а, Ь\ и обладающих там ограниченной
производной порядка п с естественным сложением их и умноже¬
нием на действительные числа. Положим
Рп (/)= sup l/(,,)WI-
*6 [a,b]
Выполнение свойств 1 и 2 (1.43) очевидно. Далее
| sup | /<"> (х) | — sup | g<rt) (х) 11 < sup | /<"> (х) — gW {х) |,
х€\а,Ь]	х£[а,Ь~\	х£[а,Ь]
т. е. свойство 3 (1.43) будет выполнено с К= 1. Базой р?г(^) будет
являться множество (функций f(x)<=L, для которых
|/(д)(*)| < 1,	[а,	Ъ].
Ядром рп(/) является множество функций /(x)gL, для кото¬
рых /(п)(*)=0, хе[а, Ь]. Это множество состоит из всех много¬
членов степени не выше п—1. Таким образом, размерность 0(р„)
равна п. В качестве базиса 0(рп) можно, например, взять функ¬
ции 1, х, ..., хп~\ Рассмотрим функционалы
Gk(x)=P4<*)> А = 0, 1, ... ,п—1.
Они линейно-независимы на 0(рп). Таким образом, L/0(рп) бу¬
дет изоморфна О (G0, Gb ..., Gn_i), т. е. совокупности функций
f {х) gL, имеющих вид
(х — а)п ф (.х),
117

где ф(я) — функция, обладающая ограниченной производной по¬
рядка п. Если для такой функции рп(/) =0, то f(x) =0.
Пример 1.10. Пусть в L задан билинейный функционал. Это
значит, что каждой паре элементов f, g^L поставлено в соответ¬
ствие некоторое действительное число (/, g), причем для любых
действительных чисел С\ и с2 и любых элементов Д, f2, g^L имеет
место
(cJi -г С./а. g) = cl (/l. g) -Г С2 (ft, g),
(g, cifi -T Ctfi) ='Cj (g, /i) -!- C2 (g, ft).
Будем еще предполагать, что наш билинейный функционал пере¬
становочен,	т.	е. для любых двух элементов f, g^L	будет	выпол¬
нено	(Д	g)	=	(g, f), и неотрицателен, т. е. для любого	элемента
feL имеет место (Д f) ^0. Билинейный перестановочный и неот¬
рицательный функционал будем называть скалярным произведе¬
нием.
Покажем, что если в системе L со скалярным произведением
(/, g) ввести p(f) = (/, /у/*, то L становится полунормированным
пространством. Будем называть его предгильбертовым простран¬
ством.
Очевидно, при таком определении р(/) свойства 1 и 2 (1.43)
выполнены. Проверим, что выполнено и свойство 3. Пусть с —
произвольное действительное число и / и g — произвольные эле¬
менты L. Тогда
о < (/ + Cg, f + eg) = (А /) -Г 2с (A g) -Г С2 (g, g).	(1.51)
Так как это неравенство должно выполняться при всех действи¬
тельных с, то
КА g)\<[(f, /)]2 [(g,g)]2 = p(f)p(g)-	(1-52)
Мы получили неравенство Коши — Буняковского. Далее, для лю¬
бых f и g
Р2 (/ -L g) = (/ + g, f-i-g) = (f, /) -г 2 (A g) г (g, g) <
< P2 (/) - 2p (/) p (g) + p2 (g) = [p (/) + P (£)]2
ИЛИ
p(f + g)<p(f) + p(g)’
Таким образом p (/) удовлетворяет условию 3" (1.43") и так как
р(—f)=p(/), то отсюда следует, что выполнено и условие 3 (1.43)
с К= 1. Поэтому р(/) является полунормой.
Будем называть предгильбертово пространство гильбертовым,
если из (Д f)— 0 следует /=0, т. е. если для любых двух элемен¬
тов Д g^L определено действительное число (Д g), удовлетворяю¬
щее условиям:
118

1- (/, g) = (g, /) для любых /, ^EL;
2. (/, /) > 0, причем (/, /) = О тогда и только тогда,
когда / = 0;
3. (c1f1-rc2f2,g) = c1(fljg)--c2(f29g) для любых /г,
f2yg^L и любых действительных и с2.
(1.53)
Очевидно, гильбертово пространство будет являться нормиро¬
ванным и мы можем писать р(/) = ||/||. В дальнейшем мы сузим
класс гильбертовых пространств. Пока же выявим некоторые спе¬
цифические их свойства.
Для гильбертовых пространств скалярное произведение в (1.51)
будет обращаться в нуль в том и только в том случае, если
f-\-cg=Q или /=—eg. Вследствие этого, и в (1.52) будет иметь
место знак равенства тогда и только тогда, когда выполнено это
условие. Далее, когда мы доказывали неравенство треугольника,
то заменили (/, g) на p{f)p{g). Поэтому, чтобы в неравенстве
треугольника имел место знак равенства, должно быть
(/. £) = Ш II !•
Отсюда получаем, что —с>0. Обратно, если f=ag, а>0, то в не¬
равенстве треугольника будет иметь место знак равенства.
Нормированные пространства, в которых в неравенстве тре¬
угольника знак равенства наблюдается тогда и только тогда,,
когда f = ag, где а>0, называются строго нормированными. Итак,
мы показали, что гильбертовы пространства являются строго нор¬
мированными. Но это свойство присуще не только таким нормиро¬
ванным пространствам.
Пусть L — нормированное пространство и f — некоторый его*
элемент. Окрестностью этого элемента назовем совокупность всех
элементов geL, таких, что
I/ —£1<е,
где е — произвольное положительное число. Пусть W — произ¬
вольное множество нормированного пространства L. Элемент
будем называть внутренним для W, если существует такая окрест¬
ность f, которая целиком принадлежит W. Элемент f^L будем
называть граничным для W, если в любой окрестности его суще¬
ствуют как точки, принадлежащие W, так и точки, не принадле¬
жащие ему.
Если / и g — элементы линейной системы L, f=£g, то, как
было определено ранее, множество элементов
tf-41-Ог, *ев[0, 1]
называется отрезком, соединяющим f и g. При этом сами f и g
являются концами отрезка, а все остальные элементы являются
внутренними для отрезка.
119

Будем называть множество W нормированного постранства L
строго выпуклым, если внутренние точки любого отрезка, концы
которого принадлежат W, целиком состоят из внутренних то¬
чек W.
Покажем, что база нормы строго нормированного пространства
строго выпукла.
Действительно, пусть / и g — элементы базы, f¥=g, и f,
0<£<1, таковы, что 1—t)g принадлежит границе базы.
Тогда
//: (1 — 1-
При этом, так как
w л-(\-*)ё\<пп
то 11/11 = 1, ||g-|! = l и, в силу строгой нормированное™, f = ag,
а>0. Но отсюда получаем f=g, что противоречит нашему пред¬
положению.
Обратно пусть S — произвольное поглощающее, абсолютно и
строго выпуклое множество, не содержащее никакой подсистемы
L, за исключением тривиальной (состоящей из одного элемента
0). Построим по (1.48') оценочный функционал р (/). При наших
предположениях это будет норма. Покажем, что соответствующее
нормированное пространство будет строго нормированным.
Действительно, пусть существуют элементы /, g^L, f=/=g,
/, g=£0, такие, что
ll/-i-ff!!H/il -УIs !!•
Рассмотрим отрезок	—t)g, ^[0, 1]. В силу свойств нормы
ф (t)=I tf -ь (1 — /) g I! < f II / ii -г- (i — t) II g [i = Ф (0-
Функция ф(/) выпукла книзу1. В самом деле
Ф
g
= YII [tif + (1 - k) g] + [kf -г (1 - k) g] II <
< \ I ■kt + (:i - k) gII + у I! kf + (i - k) gII = ф(Ц + фв>.
Поэтому из совпадения ф(^) с линейной функцией ф(^) в трех точ¬
ках /=0, 1/2, 1 следует ф(^)=ф(£) при ^е[0, 1]. Возьмем
t =	11-г-11--
II /1! + IISII
1 Подробнее о выпуклых книзу функциях смотрите в следующем примере.
120

При этом элементы
/1 = tf = —— g = (1 — t) g — —5/M—
Ш + llgli	ll/ll	+	ilg||
будут иметь равные нормы Ilf1|| = llg,1|| и для них
lfi+gi || = 11/ill + НАН¬
ЕСЛИ ввести элементы /2=/i/ll/ill, g2=gi/\\gi\\, то последнее равен¬
ство перейдет в
||/s + ft|| = ||/2|| + ilfti-2f
так как ll/2ll = Ilg2ll = l. Если не выполнено равенство /2=^2 (что
возможно лишь когда f=ag при некотором а>0), отрезок, соеди¬
няющий элементы /2 и g2, принадлежащий базе, содержит элемент
— (/24-^2), лежащий на границе базы. Это противоречит ее стро¬
гой выпуклости.
Чтобы убедиться в существовании строго нормированных про¬
странств, норма которых не может быть порождена скалярным
произведением, рассмотрим билинейные произведения в Rn. Обо¬
значим, как и ранее, через е* координатные векторы. Тогда векто¬
ры х, у представляются в виде
п	п
х = £ у = £ yfih
f=l	;=1
В силу свойств билинейного произведения будем иметь
п п
(х. У) = £ 2	е7).
i=l /=1
Здесь (ег-, ej) фиксированы для данного билинейного произведения.
Их можно задавать произвольно и получать различные билиней¬
ные произведения с теми или иными нужными свойствами. Для
сокращения записей, будем обозначать (ег-, ej)=e^. Мы получим
квадратную матрицу порядка /г:
/ е11 е12 • • • ^1Д
S = j е21 е22 • • • е2,г j»
\£/?i еп2 . . . впп)
характеризующую билинейное произведение. Для перестановочно¬
сти билинейного произведения должно выполняться равенство
егз = ен и матрица i будет симметрична. Неотрицательность били¬
нейного произведения приведет к неотрицательности соответствую¬
щей матрицы, а чтобы получить гильбертово пространство, нужно
потребовать положительную определенность ее. Таким образом,
121

совокупность всех гильбертовых пространств в Rn можно полу¬
чить, беря в качестве базы нормы всевозможные области, опре¬
деляемые неравенством
где — элементы положительно определенной матрицы 8. По¬
этому если взять в качестве базы нормы произвольное поглощаю¬
щее, абсолютно и строго выпуклое множество, не определяемое
таким неравенством, то получим строго нормированное простран¬
ство, норма которого не может быть задана скалярным произве¬
дением.
Отметим еще одно свойство пространств со скалярным произ¬
ведением. Пусть f и g — произвольные элементы L. Тогда
Будем называть это равенство тождеством параллелограмма. Его
можно интерпретировать как теорему о том, что сумма квадратов
длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин
всех его сторон. При этом fug — стороны, a f-\-g и f—g — диа¬
гонали параллелограмма.
Если в нормированном пространстве для любых двух его эле¬
ментов выполнено тождество параллелограмма, то в нем можно
ввести скалярное произведение (/, g), согласованное с нормой,
Очевидно, при этом свойства 1 и 2 скалярного произведения, а
также согласованность его с нормой будут выполнены. Далее,
п п
^ eijxixj 1 >
If-gf -I-1/-gIf = (/ гg, f-g)(f-g, f~g) =
= 2 (A f) r-2(g, g) = 2( ||/f -j- i! S' II2).
т. e. (f, f) — ||fH2. Положим
(f,g) = YUfJrgf~U~gf]-
Мы имеем
(/ж. g) -г (A> g) = ^-П/i	g if — Ui—g if	-: ■ II A -I- g !f — IA — g II2]-
Но на основании тождества параллелограмма
И ft -ft I2
122

Таким образом,
(/. g) + (/2, g) = Y
fl + /2 g IP   /l + /2
2 2
Отсюда, при /2 = 0, Для любых элементов
(А. §) =2 (-р <?) •
Следовательно,
(/1. «?) + (/2. Я) = (Л + /г- £)-
а также
при любом целом положительном т.
Покажем теперь, что для любого действительного с и любых
f, g^L имеет место
Из только что доказанных утверждений следует, что это равенство
имеет место при с вида п/2т, где тип — произвольные целые
числа. Теперь остается лишь использовать непрерывность p(cf-\-g)
как функции с, которая следует из
IР (c'f + g)- р (c"f + g)\<Kp [(С' - (?) /] < К2 | С' - с" I р (/).
Таким образом, ||c/+g||, \\cf—g||, ||cH-g||2 и ||cf—g||2 непрерывны,
Итак, мы доказали, что в нормированном пространстве можно
ввести скалярное произведение, согласованное с нормой тогда и
только тогда, когда в нем выполняется тождество параллело¬
грамма.
Приведем два частных случая скалярных произведений и соот¬
ветствующих им оценочных функционалов (норм), находящих
широкое применение.
с (A g) = (cf, g).
а поэтому непрерывно и
(с/> g) = -^-[|k/ + £||2 -\cf — £||2].
b
1 • (/> g) = j p (*) / (*) g (x) dx> p (*) > 0.
a
b
P (/) = [j p(x) f2 (x)dx]I/2.
a
123

11/2
2- (/, g) = j* [p(x) f {x) g’ (x) -i- q (x) f (x) g (x) J dx
a
p (x) > 0, q (x) > 0,
P (f) = [j (p(*) [/' W]2 I ?Wf (x)}dx|
a
Пример 1.11. Положим
P (/) = {j I / (*) I" dx\l/p, 1 < p < oo.
Выполнение свойств 1 и 2 оценочного функционала очевидно. До¬
кажем выполнение условия 3" (1.43")* Пусть q удовлетворяет
соотношению
-L + -L = 1.
р я
Очевидно, при наших условиях 1^^<оо. При этом для любых
неотрицательных аир будем иметь
« ^ а/7	■	Р7
ар <	i- -—.
Р	Я
Действительно, функция
f/\	°р	I	1
f(c) = н	с
Р	Я
при с^О имеет в точке с — 1 минимум, равный 0. Отсюда и полу¬
чается требуемое неравенство, если положить c = a$~q,v.
Пусть f(x) и g(x) — функции, для которых
ь	ъ
0 < j | / (х) \р dx < оо, 0< j \g(x)\tdx<oo.
а	и
Положим
а .. If(х)I	р	lg(*)l
[jj\f(x)\Pdx]llp	[jl£(*)l^*]1/?
а	а
Подставляя эти значения а и р в доказанное неравенство и инте¬
грируя затем в пределах от а до 6, получим
J I/(*)£(*)I^< [J I f{x)\pdx^lp. [j‘|g(*)l,d*]I/?.
а	а	а
124

Это — так называемое неравенство Гёльдера. Очевидно, оно
остается верным и в том случае, когда один из интегралов в пра¬
вой части или оба они обращаются в нуль. Далее имеем
j I / (*) Ч- g (*) Г dx < j | / (x) ; g (x)	| / (x) | dx -f
a	a
-!- j I /(*)-! - S (x) I"-1 \g(x)\dx<
a
< [j I fix) \-g(x)\^-»dx yq [j \f(x)\pdx]'
a	a
+ [j |/(*) 4- g(x)\«P-»dx]llq [j \g{x)\’dxfp =
a	a
= [j \f(x) -I- g {x) \p dx]l/q {j j I / (x) I" dx]l/p -!- [ j I g (x) |p dx]I/p}.
li/p
Итак,
[f I/M + g(x)\pdx]l/p <[j|/MI'’^]1/p + [I\g(x)\pdx]
Up)
Это — неравенство Минковского. Оно означает, что для p(f) вы¬
полнено условие 3" (1.43"). Так как мы имеем р (/) = р (—f), то
выполнено и условие 3 с К=1.
Таким образом, в данном случае мы получаем норму или по¬
лунорму в зависимости от того, какие системы L функций f(x)
мы рассматриваем. Если в качестве системы L взять совокупность
всех непрерывных на [а, b] функций, то мы получим норму. Мож¬
но взять в качестве L совокупность измеримых функций, для ко-
ь
торых f\f(x)\vdx существует. Интеграл здесь понимается в смыс-
а
ле Лебега. При этом две функции /, g^L, отличающиеся самое
большее на множестве меры нуль, имеют р(/—9)=0 и р(f) яв¬
ляется полунормой. Будем обозначать соответствующую систему
через «5?р. Ядром О(р) в Jz?p является совокупность всех функций,
определенных на [а, Ь] и отличающихся там от нуля самое боль¬
шее на множестве меры нуль. Нормированное пространство
J£P/0(p) будем обозначать Lv [а, Ь\ или просто L.p, а норму на
нем H/ILp или ||f||р.
Пусть /?, q, г>0 и связаны соотношением
1 1,1
г р q	Р	Я
125

Применяя к |/|r- |g|r неравенство Гёльдера, получим
11 / lr! g Г dx < [j | / |р dxj/p . [ J | £ l* dxfo
ИЛИ
[fife Г dx]l,r < [f \f\p dx]'lp • [J |g|? dx]11*.
a	a	a
В терминах .нормы это запишется
life КII/Ms И*-
В частности, при g= 1 получим
||Д < (Ь-ау/< Ц/|р = (Ь~ау/'-ЧрЩр
или
(Ь — а)-Уг II / ||г < {Ь - ау-ЧР || f ||р.
Отсюда следует, что если	то	она	принадлежит	и	всем Lr с
Будем говорить, что нормированное пространство L равномерно
выпукло, если для любого е>0 существует такое S(e), 0<6(е)<1,
что какие бы элементы /, g^L, удовлетворяющие условиям
li/ll = llgll —1, II/—g 11^в, мы ни взяли, имеет место
iv+g)
<1-6(8).
Равномерно выпуклое пространство всегда строго нормировано.
Докажем это.
Прежде всего докажем, что если в нормированном простран¬
стве имеется отрезок, концы которого и одна внутренняя точка при¬
надлежат границе базы, то и весь отрезок принадлежит границе
базы.
В самом деле, пусть ||/|| = ||g|| = l, f^g,
ll^i!l = IKl/-r(l— tl)gl= 1,	0	<*!< 1,
a
I'M -b(l—=	1. 0<*2< 1-
Положим, для определенности,	На отрезке
а —+ (1—а)^,	0<а<1,
Г
соединяющем две точки базы нормы, при а=аь где
1

получим элемент
норма которого больше 1, а это невозможно в силу абсолютной
выпуклости базы.
Если пространство равномерно выпукло, то никакая внутренняя
точка отрезка, соедняющего элементы границы базы, не может
принадлежать границе базы, так как по доказанному тогда и се¬
редина отрезка должна принадлежать границе базы. • Это и есть
строгая выпуклость.
Если нормированное пространство конечномерно, то верно и
обратное утверждение, т. е. из строгой нормированное™ следует
равномерная выпуклость.
Действительно, пусть L имеет размерность п и х, у gL, !|x|j =
= !; у |j = 1, I х — у || > е. При этом не может быть х = а у, а > 0.
Поэтому по строгой нормированное™
-[ ,Х-; у;<Н.:х:	. -Л--у!	1.
Функция —1| х -j- у || непрерывна и на ограниченном замкнутом
множестве 2п компонент, удовлетворяющих поставленным усло¬
виям, достигает своего наибольшего значения М, 0<М<1. Таким
образом, в данном случае можно взять 6(e) условия равномерной
выпуклости равным 1—М. Если пространство не является конечно¬
мерным, то оно может быть строго нормированным, но не равно¬
мерно выпуклым.
Докажем теперь, что пространства Lv при 1<р<оо равномерно
выпуклы. Предварительно докажем несколько вспомогательных
утверждений.
Рассмотрим функцию
ф(0 = '
Т(Н-0
-tP)
при 0 < ^ < 1 и 1 < р < оо. Мы имеем ф (0) < 1, Ф(1) = 1 и
ф'(0 =
р_
4
■ О + 0
Р-1
(1-Г-1)
Таким образом, при 0^^<1 ф'(0 >0 и ф(/) возрастают на отрезке
[0, 1 ] от 1/2?-1 до 1, т. е.
127

при ^[0, 1], причем знак равенства достигается только при t= 1.
Отсюда получаем, что
' (а + Ь)
<1
— (\а\р + \ъ\р)
или
J-{\aY+\bY)-
>о
для любых действительных или комплексных а и Ь.
Теперь докажем, что если L равномерно выпуклое нормирован¬
ное пространство, то для любого г>0 и любого р, 1<р<оо, можно
найти такое 6р(е), 0<6р(е)<1, что для любых /, g^L, удовлетво¬
ряющих условиям 11/11 = 1, llgll^l, ||/—gll^e, имеет место
или
|Ц if+ 8)
■jdfr + hT)
(f + g)
>бр(е)
'+Ш
Предположим, что это утверждение неверно. Тогда найдутся
такое е>0 и такие последовательности элементов {/„}, {gn}, при¬
надлежащих L, что ||/„|| = 1, HgJKl, \\fn—gn\\^e и
lim
п->оо
2 (fn + gn)
= 1.
■(11Л.Р + 11&.Р)
При этом должно быть lim||g„|| = l. В самом деле, если бы это
было не так, то нашлось бы бесконечное множество индексов п,
при которых llgnll.—1- Не уменьшая общности, можно счи¬
тать, что это выполнено для всех п. При этом
2 (/л + Яп)
■<
■0 + «
■ШпГ+ШП
<
Т(1+?)
< 1,
(1 + яр)
что следует из свойств нормы и свойств функции <р(0- Рассмотрим
элементы i|>n=gn/llgjl> для которых ||фп|| = 1. Очевидно,
limllgn—ф„|| = 0 и

2 (fn + 8n)
lim
'M0° ■~(|1/л|1р + 1кя1И
= lim
II 1	0
| ~ (fn + Фл)
-7гШ«Р + 11ФлИ
= lim
/!-> 00
(fn I 1|5„)
= 1,
а это противоречит равномерной выпуклости L. Утверждение дока¬
зано. Его можно также формулировать следующим образом: для
произвольных Д g^L имеет место
!-</ + *)
<
1
sup (II
-jWr + lgr)
Перейдем теперь непосредственно к доказательству рав¬
номерной выпуклости Lp при 1</7<оо. Пусть 11/11 p^l, llgllp^l,
||/—gW-р^г. Обозначим через М множество точек хе/=[а, Ь], в
которых выполнено неравенство
f(x) — g(x)\p>-^~ (\f(x)\p-r\g(x)\p)>-^-snp(\f(x)\p, |^(х)Г).
На этом измеримом множестве по только что доказанному нера¬
венству с L=Ri будем иметь
у (/ (х) + 8 (х)} f < [ 1 - бр (~^ ) ] [у (] / (х) \» + | * (х) |р)].
На N = I — М получим
Jl f(x) — g(x) \pdx<-^~ j(|/(x) r+ Ifif(jc) \p)dx <
Следовательно,
JI/(*) — £(*) \pdx>
M
eP
Если обозначить через X ,м(*) характеристическую функцию мно¬
жества М9 т. е. функцию
Хм (х) =
1 при х е Му
О при х$£М,
то будем иметь
И 8) Хм Ир ^ 21/р ’ su^ ^ ^ ^ Ир II8 Хм Ир) ^ 2.21 fp *
Так как подынтегральное выражение неотрицательно, то по опре¬
делению множества М будем иметь
5 Н. П. Жидков
129

о
j {■Y (I / (x) r;+1 g (x) I") - | ± (ftx) + g (x)) \» J dx
a
>
kwn-
(f(x) + g{x))\'^dx>
>[\bP {Jw) (I f(x) \p +\g(x) \”)dx > Sp
M
ep
Итак,
т(/+л
<
1-ая
P \ 4^/A' J 2p+2
i Ip
4 Up J 2p~^2
что и требовалось доказать.
В то же время пространство Lb которое чаще всего обозначают
просто L, не только не является равномерно выпуклым, но даже не
строго нормировано. Для доказательства приведем пример. Пусть
а = — 1, 6=1,
fix) = J
g(x) =
при х > О,
при х < О,
при х > О,
при х < 0.
При этом
II/ + S’Hi = 2. Il/flx = 1, Ill'll = 1, |/ + 5lli = il/Ui + ||firli,
но равенства f=ag с a>0 нет.
Часто вводят также пространство LЕго можно понимать по-
разному, в зависимости от того, какие функции включаются в си¬
стему L. Так, если ограничиваются лишь непрерывными на [а, Ь]
функциями, то полагают
!! / {х) II = sup \f(x)\.
*6[a, b]
To, что это действительно норма, проверяется без труда. Соответ
ствующее пространство часто обозначают С[а, 6], или просто С.
Это же определение нормы можно использовать, когда в систему L
включаются все ограниченные на [а, 6] функции. Соответствую¬
щее пространство обозначают М[а, 6] или просто М.
Если в качестве L рассматриваются все измеримые и ограни¬
ченные почти всюду на [а, 6] функции, то вводят
||/(х)| = vrai sup | f (x) |,
*€[а,Ь]
где значение правой части (существенная верхняя грань) равно
точной нижней грани множества чисел Л, таких, что множество
130

значений .v, для которых |/(л:) \ >А, имеет меру нуль. Фактически,
здесь, как и в случае Jz?p, мы имеем 1не норму, а полунорму. Таким
же образом, как мы перешли от к Lp, можно получить норми¬
рованное пространство, которое обозначают Л4[а, 6] или М.
Последние три пространства также не являются строго норми¬
рованными. Простой пример иллюстрирует это. Пусть а = 0, 6=1,
f(x) = 1, g(x)=x. Тогда во всех трех пространствах
1/1 = 1, т = 1, ii/+^ii = 2,
II/ + 8\\ = 11/11+ \\§\\>
а / и g линейно-независимы.
В пространствах Lp при 1^/7<оо, за исключением случая
/7 = 2, нельзя ввести скалярное произведение, согласованное с нор¬
мой. Действительно, пусть а =— 1, 6 = 1, a f(x) и g“(x) определены
так же, как и при доказательстве того, что Lx не строго нормиро¬
вано. Тогда
!!/«р = 1. 11йГ|р=1, 1/ + ^||р = 2>/р, |/_^!|р = 2>/р
и тождество параллелограмма
221р + 22>р = 4
будет выполнено лишь при р = 2. При /7=2 скалярное произведе¬
ние вводится посредством
(/. 8) = j f(x)g(x)dx
а
(см. предыдущий пример). Пространство Loo не является строго
нормированным и поэтому там также нельзя вести скалярное про¬
изведение, согласованное с нормой.
При /7, заключенных в интервале (0, 1), введенное в начале
примера р(/) не будет даже являться оценочным функционалом.
При этих значениях р знаки неравенств в неравенствах Гёль-
дера и Минковского меняются на обратные. Как и ранее, дока¬
зывается, что если /7^(0, 1) и а, Р^О, то
+ — + — = 1.
Р	ЯРЯ
Отсюда рассуждениями, которыми мы получили неравенства
Гёльдера и Минковского, найдем
J I/(*)8(х) |dx > [j |/(*)|;’dx\up fj \g(x) Кdx\l/q
a	a	a
5*	131

[ J I / (*) + g (X) |p dx^/p >l$\f(x)\<’dx\1/p + | J I g {x) \p dx Jl/p,
a	a	a
причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
f=ag, а^=0.
Введем функции, определенные на [—1, 1]
fci.% (х) =
ct при х < О,
с.г при х > 0.
Для них при 0 < р < оо
Рр </*,.*,) = [ J I fct.c, (xf dxfp = [| с, |р -{- I с2 П'/р
— 1
Р» (Д.О = sup I fcuc2 (х) I = max {| сх |, | с21>.
*6[-М]
В том, что рp(f) при р^(0, 1) не является оценочным функциона¬
лом, легко убедиться на примере этих функций с использованием
леммы 1.6. Мы имеем
Рр(Л.о) — Рр (/ол) = 1
и для любых а, р > 0, а ~'г р = 1, К > 1
Р
(«Л,1
Рассмотрим функцию
Рр (аЛ,о Н—~
ар -!-
(±Г
1/р __
Га- -Ь (1-^‘
\ к } J
КР
i/p
Фр(«) =а'Ч-
(1 —а)1’
Для нее срр (1) = 1 и
фр(а) = Р [аД_1 —
Если выбрать а на интервале
1 >а >
КР
(1 — g)P-lj
КР
то
<рр (а) < 0
и фр(а) >1, т. е. при этих значениях а
Pp(«/i.o -!-	>	1	■
132

Таким образом, какое бы /С^1 мы ни взяли, условия леммы 1.6
не выполнены.
Заметим, что если в двумерном пространстве R2 ввести
I ХИр = [ I Х1 Г’ + I *2 Г]1/Р>	0	<	Р	<	ОО.
II х Цое = шах{|х1|, | х21}
и поставить в соответствие каждой функции fCl,c, (я) вектор
с =(си c2)^R2, то при указанном взаимно-однозначном соответ¬
ствии будет иметь место 6p(fCl,c2) = ||с||р, 0<р<оо. Такие соот¬
ветствия называют изометрическими. На рис. 9 приведены базы
||х||р, соответствующие различным р.
—— — ■ р =00
	2<р<оо
	р= 2
	 1<р< 2
	р =/
	О <р<1
Рис. 9
Мы видим, что если задать {рп}-*Р, то базы ||х||% стремятся к
базе ||х||р и, следовательно, для любого вектора хе/?2 имеет место
||х||рл-^||х||р. Другими словами, при фиксированном х ||х||р яв¬
ляется непрерывной функцией р. В силу изометричности, аналогич¬
ное свойство имеет место и для бp(fcuc2).
Распространим это свойство на все Lv. Как было показано ра¬
нее, совокупность всех значений /?, для которых существует
ь
j | / О) I" dx,
а
может быть пустым множеством или принимать всевозможные зна¬
чения между 1 и Л1, причем М может быть и оо. Само М может
принадлежать этой совокупности, а может и не принадлежать ей.
Нужное нам утверждение будет следовать из свойств выпуклых
функций. С такими функциями мы уже сталкивались в предыду¬
щем примере, но здесь нам нужно несколько большее. Назовем
функцию ф(р) выпуклой (иногда говорят, что она выпукла книзу)
133

на интервале (полуинтервале, отрезке)	(с, d), если для любого
fe[0, 1] и любых р\ р"'е (с, d), р/ = р///, имеет место
ф[ф' -|-(1 — t)p"'] <t<f(p')+ (1 — t)y(p"').	(1.54)
На первый взгляд мы накладываем здесь более жесткие требова¬
ния, чем в предыдущем примере (там бралось только t—1/2).
Однако это не совсем так. Если неравенство (1.54) выполняется
для любых р', p/ff^(c, d) и t= 1/2, то нетрудно показать, что оно
будет выполнено также для лю¬
бых р\ р"г (с, d) и любого рацио¬
нального tе [0, 1]. При этом для
непрерывной функции ф (а это
имело место для функции, рас¬
смотренной в предыдущем приме¬
ре) будет следовать, что неравен¬
ство 1.54 выполняется для любо-
 	п	ni	го te[0, 1]. Значительно более
Р Р	Р	трудные	рассуждения показыва-
р	ют, что достаточно потребовать
ис'	не непрерывность ф, а лишь ее
измеримость.
Геометрически неравенство (1.54) означает, что на плоскости
(,р, q) отрезок, соединяющий точки (р', ф (р')) и {р'", ф(Р7//))’ ПРИ
всех р", p'<p"<pf//, лежит над или на кривой <7 = ф(р). Иначе
говоря, множество всех точек плоскости (р, q), расположенных
выше графика ^ = ф(р), будет выпуклым. При этом эквивалентны
следующие геометрические утверждения (см. рис. 10):
а) В лежит ниже или на отрезке АС;
в)	С лежит выше или на прямой, проходящей через А и В\
c) А лежит выше или на прямой, проходящей через В и С.
Если ввести наклон отрезка, соединяющего точки (р, ф(р)) и
(q, ф(?)) —разделенную разность
- f(p. q).
p — q
ТО
d) ф(р', р")<ф(р', р'")-,
e) Ф(р\ р'")<ф(р", Р'")-
Последние два утверждения говорят о том, что при фиксиро¬
ванном q ф(р, q) будет возрастающей функцией р.
Выпуклая на интервале (с, d) функция ф(р) непрерывна там.
В самом деле, пусть р"<=(с, d) фиксировано. Тогда ф (р/7/, рг/) при
р'">р", р'"^(с, d) есть возрастающая функция р'", ограничен¬
ная снизу хотя бы ф(р', р"), где р'<р", р'е(с, d). Следовательно,
существует lim ф (р"\ р"), равный производной справа фп(р")
134

от ф {р) в точке р". Аналогично, существует lim ф (//, р"),
р'->р"—о
равный производной слева фл(р") от ф(р) в точке р". При этом
фп (р) и фл (р) будут неубывающими функциями р при р^{с, d).
Из существования правой и левой производной от ф(р) следует
полунепрерывность справа и полунепрерывность слева функции
ф(р) на (с, d), т. е. ее непрерывность на (с, d).
Так как фп(р) не убывает на (с, d), то либо она всюду непо¬
ложительна, либо она всюду неотрицательна, либо она неположи¬
тельна при р^р" и неотрицательна при р^-р", р"щ(с, d). В пер¬
вом случае ф(р) будет невозрастающей на (с, d), во втором —
неубывающей на (с, d) ив третьем она не возрастает при р^р" и
не убывает при р^р". Во всех случаях существуют конечные или
бесконечные пределы
lim ф(р) = ф(с + 0) и lim ф(р) = ф(^ — 0).
р-*с+0	р-н1—0
Если ф(р) выпукла на полуотрезках [с, d), (с, d] или на отрезке
[с, d],	то мы будем иметь соответственно ф(с) ^ф(с+0),
Ф^)^ф^—0). Рассмотрим, например, случай, когда с принадле¬
жит области выпуклости. Тогда при c<x“<c'<d точка (х, ф(х))
будет лежать под или на отрезке, соединяющем точки (с, ф(с)) и
(с\ ф(с')). Когда мы будем стремить х к с, то .в пределе получим
ф(с+0) ^ф(с). Аналогично и для правого конца.
Если р\ р" е (су d), р' < ff, то
фп(р')<ф(р', ff) <фл (ff).
Обозначим через Е множество точек (с, d), в которых ф(/?) не
дифференцируема, т. е. при р&Е, фл (/?) < фп (р). При этом если
qf, q"^E, q <q”, то из предыдущего неравенства следует, что
интервалы (фл (</'), фпО?')) и (фл(р”)> Фп(<7”)) числовой прямой не
пересекаются. Таких интервалов может быть счетное множество.
Таким образом, выпуклая на (с, d) функция ф(р) дифференцируе¬
ма там всюду, за исключением, быть может, конечного или счет¬
ного множества точек.
Вернемся теперь к оценочным функционалам рp(f). Пусть
ll/flp>0, гфъ, г, 5^[1, Af], а, р^О, а+1 = 1, а в остальном про¬
извольны, и
1   а	(3
р	г	s
т. е. \Iр — произвольное число, заключенное между 1 /г и 1/5.
Обозначим	Тогда 1 —t — —^	Применим
г	S
неравенство Гёльдера к произведению функций \f\rt и |f1
взяв в качестве р и q в нем 1//и 1/(1—t). Это даст
135

11 / N / l(1-‘):s dx < | J | / Y dx• [ j | / p dxf~‘.
a	a	ci
Отсюда
[J | f\»dx]i,p < [j I fYdxjalr. | j \f\*dxf/s
a	'	a	a
ИЛИ
l!/ilp<ll/r -!!/|f.
Логарифмируя это неравенство, получим
log.II / Ир С а log II / Иг -г p log || / ||s,
т. e. log||/||p является выпуклой функцией \/p при pE( 1, M). Сле¬
довательно, |||f||p является непрерывной функцией р при р^( 1, М).
Отсюда же следует, что существуют конечные или бесконечные
пределы lim ||/|| и lim ||/|L Покажем, что они равны соответ-
р-»1+0	р-*М—о
ствеино \\'f\\i и ||/Им-
Пусть М<оо, I/|)м< оо и 1 < т< р< М. При |/|<1|/|р<
<|/|т, а при |/| >1, |/|р<|/|м. Таким образом
|/1р<1/Г-г|/1м-
При наших условиях правая часть неравенства интегрируема. Та¬
ким образом, при любом р, т<р<М,
\\f\pdx
а
ограничен и по теореме Лебега
ь	ь
lim \\f\pdx = [\f\Mdx,
р-*м—о J	J
а	а
т. е. lim II/|L = ||/||м. Аналогичное доказательство проходит
р-+М—0 р
и для /7=1. В этом случае можно также воспользоваться убыва¬
нием (Ь — а) р || / ||р-
Пусть теперь М<оо и НЛ1м=°°. Обозначим через А измеримое
множество тех точек хе [а, Ь], где \f(x) | ^1.
При этом
j' \f\pdx = jj\f\p%Adx + j |/|px<^*,
а	а	а
136

где %а — характеристическая функция множества А и Хсл — ха¬
рактеристическая функция дополнения А до [а, Ь]. Когда
р-+М—0, \f\p%A, возрастая, стремится к	|/|м%л> a \f\p%CA
убывая, стремится к \f\M%CA- Таким образом,
ь
lim Г \f\pdx = сю.
р-*М—о J
а
Пусть М = сю и р„ (/) < оо. Тогда
11/!р= ||/Г^<Р»(/) Ф-а),
а
т. е. Ilfllp конечна для любого р, 1^.р<оо, и
Пт l/||p<p« (/)•
00
Пусть 0<c<poo(f) и Ас — множество тех точек яе[а, 6], для ко-
торых |/(лг) I	При	этом	%АС	<	и	ll/llp>c[m(^c)]1/p.
где /я(Лс) — мера множества Ас. Таким образом lim ||/||р > с,
р-*оо
и так как с можно взять произвольным в рассматриваемом интер¬
вале, то
lim ||/||р>роо (/).
р-кх>
Совокупность двух последних неравенств показывает, что в дан¬
ном случае
Пт ||/||р = р» (/).
р->оо
Рассмотрим, наконец, случай М = оо,	При	этом	для
любого с>0 существует множество Ас точек [а, b] положительной
меры, на котором \f\^c. Отсюда
\тр>с[т(Ас)Гр
и
Игл ||/||р>с.
р-»оо
Так как с произвольно, то в данном случае
lim i/I =оо,
что и требовалось.
На этом мы закончим рассмотрение примеров оценочных функ¬
ционалов. В дальнейшем мы встретимся и с другими оценочными
функционалами.
137

§ 4. ОБЛАСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ F(f) НА S1 (р)П А(аь а2, ... , осп)
Пусть F, Fu...,Fn — линейно-независимые на линейной систе¬
ме L функционалы и сц, аг, ...,ап — некоторые действительные
числа. Будем предполагать, что на L задан оценочный функционал
р. Нас будет интересовать множество значений F (/) на совокуп¬
ности элементов L, принадлежащих 5м(р)ГИ(сн, 0.2, ...,ап),
где М — некоторое положительное число. При этом, конечно,
интерес представляет только случай, когда последнее множество
не пусто. Так как 5M(p) =MSi (р) =SX (Мр), то, заменяя в нужных
случаях р на p1=Mp, мы можем ограничиться случаем М= 1.
Не при всяком оценочном функционале р функционал F (f)
будет ограниченным на множестве Si(p)fH(ai, аг,..., а7г). Докажем
сейчас теорему, обеспечивающую необходимые и достаточные ус¬
ловия ограниченности.
Теорема 1.1. Функционал F (/) будет ограниченным на множе¬
стве Si(p)fVl(ai, аг, ...,an) при любых си, аг,..., an, для которых по¬
следнее множество не пусто, тогда и только тогда, когда сущест¬
вует постоянная С, такая, что
для любого элемента f^O(Fu F2,...,Fn).
Докажем необходимость. Пусть F(f) ограничен на множестве,
указанном в теореме. В частности, он ограничен на
Si(p)fM(0, 0, ...,0). Это множество не пусто, так как к нему при¬
надлежит хотя бы элемент 0. Поэтому существует такая постоян¬
ная С, что
Пусть I/ — произвольный элемент 0(FU F2i...,Fn). Если
р (/) = 0, то и F (/) должно равняться нулю. Действительно, в этом
случае при любом а>0 будем иметь a\f^O (Fu F2,..., Fn), р(а/) =
= 0< 1 и F(af)=aJF(f) и если бы F(;f) не было равно нулю, то на¬
рушилось (1.56). В этом случае (1.55) выполнено с любым значе¬
нием С. Пусть ■i/eO(F1, F2,...,Fn) и р(/)=г>0. Тогда
|F(/)|<Cp(/)
(1.55)
(1.56)
при f(=Si (р) ПО (F1, F2,..., Fn) •
Г
ff=0(Flt F2, ..
= 1,
т. e.
Поэтому no (1.56)
или
|F(/)|<Cr = Cp(/).
Необходимость доказана.
138

Докажем достаточность. На основании леммы 1.4 любой эле¬
мент /eL можно представить в виде
/ = ф -г £ Fi (/) fi,
i= 1
где cpеО(Fx, F2, ... , Fn) и Ft(//) = 6£/, i, /=1,2, ... , п. Отсюда
и по (1.55)
И?(/)К1*Чф)1 + £ 1А(/)М^(А)К'
i=i
< Ср (ф) + шах| F(А) | £ 1Л(/)|.
1	1 = 1
Далее, третье свойство (1.43) дает
Р (ф) < р (/) Н- К р (- £ Л (/)А) < р (/) + /с2 р (£ F{ (/) A).
1=1 1=1
Таким образом
IF (/) | < С р (П -I- CF2 Р (£ F, (/) А) + max | F (А) | £ | Ft (/) |.	(1-57)
1 = 1 * 1 = 1
В частности, на множестве Si(p)fVl(ai, аг,..., ап) будем иметь
| F (/)■| < С + СК* р (£ а,А) + max | F(А) I £ | о, |.
1 = 1 1 1=1
Так как элементы Д фиксированы и не зависят от выбора
feSi (р)[ф4 (ai, аг,ап), то правая часть последнего неравенства
есть некоторое фиксированное число. Ограниченность F(f) на
Si(p)(]A(au а2, ...,ап) доказана. Теорема доказана полностью.
Замечание 1. Из условия (1.55) можно получить более про¬
стое и удобное для приложений необходимое условие ограничен¬
ности F(f) на Si (р)ГИ (си, а2, ...,ап):	если /^0(р, /Д,..., Еп), то
F (f) должно равняться нулю.
Замечание 2. В предыдущем параграфе мы ввели фактор-си¬
стему L/0(р, F\,..., Fn). Если условия теоремы 1.1 выполнены, то,
как следует из предыдущего замечания, подсистема 0(р, Fu...yFn)
будет совпадать с подсистемой 0(р, F, Fu...,Fn). Таким образом
и L/0(р, F, Fu...,Fn) будет совпадать с L/0(р, Fu...,Fn). Для всех
элементов /eL, принадлежащих одному смежному классу L по
0(р, Fu ..., Fn), значения функционалов р, F, /Д,..., Fn одинаковы.
Замечание 3. Неравенство (1.57) можно записать в более ком¬
пактном виде. Используя несколько раз условие Липшица, мы по¬
лучим
139

Р (2 Л (/) /|) < Р (£ Fi (/) h) + Kp (Fn (/) /„) <
1=1 ' 1=1
< p ('J F,if) A) -1- кp{Fn-1 (/) fn~x) + Кp(Fn(/)
1=1
... < К £ p (Л (/) A) < A2 £ | л (/) | p (A) <
£=1	£=1
< /С2 max p (A) V |Л(/)1-
1 £=1
Отсюда, если выполнены условия теоремы 1.1, то для любого
f^L
|^(/)|<С[р(/)+£|/ч(/)|],	(1.57')
1=1
где
С = шах {С, max | F(fi) |, С/С4 max р (/*)}.
i	i
Таким образом, если ввести в L новый оценочный функционал •
pi(/) = p(/)+ £ 1ЛШ1
t=i
(см. предыдущий параграф относительно комбинации оценочных
функционалов), то будем иметь
\F(f)\<CPl(f).	(1.57")
Замечание 4. В дальнейшем иногда будем предполагать, что на
множество 0(7% Fu..., Fn) существует такой элемент g, что
р(ё’)>0- Если это предположение не выполнено, то р («/), F(f),
F\ (f),..., Fn(f) связаны некоторой функциональной зависимостью.
Действительно, на основании леммы 1.4 любой элемент feL мож¬
но представить в виде
/ = ф +£Л(М -ЫЧ/) Г,
t=l
где ФеО(Л Fu...}Fn), F,(/i) = Ъ* ЕД/*)=0, /%)=<), F(/*) = l,
/, У = 1, 2,...,/г. При этом на основании условия Липшица будем
иметь
| р (/) - р (£ (/) A -f f (/)/*) | < ТС р (ф)
i=l
140

и если р(ф) = 0, то
Р(/) = Р(£ Л(/)/* + ^(/)/‘
i=1
для любого f^L. Это и есть искомая зависимость.
Пример 1.12. Пусть на Rn заданы некоторый линейный функцио¬
нал F(x) и оценочный функционал р(х). Будем предполагать, что
F(x)^0. Пусть сначала функционал р(х) таков, что из р(х)=0
следует х=0. Рассмотрим, как и в примере 1.8, множество векто¬
ров, удовлетворяющих условию
2,2.	I	2	t
■*4 + х2 + • • • Т %п = 1 •
Пусть на этом множестве оценочный функционал |Е(х)| прини¬
мает свое наибольшее значение N, 0<iV<oo, а оценочный функ¬
ционал р(х) принимает наименьшее значение m, т>0. Тогда для
всякого ненулевого вектора х будем иметь
I F (х) | = ]/~xi - f %2 + ... + х2п
|/"*i+4 + ■■•+хп
"С N \/~Х\ -\- Х2 + ... + х^>
Р (х) — Х1 + х2 4" ... +4 р / —	—^ >
\ У^*1+х2 +	I
Отсюда
^ т Х\ -j-	-f-	... хй •
IF (х) I < — Р (х).
т
Очевидно, это неравенство будет выполнено и для х=0. Таким
образом, в этом случае неравенство (1.55) будет выполнено для
любого вектора хе^п.
Если О(р) является подсистемой Rn и F не обращается тожде¬
ственно в нуль на О(р), то (1.55) не может выполняться во всем
Rn. Пусть F=0 на О(р) и О(р) имеет размерность р, 1	—1.
Представим Rn в виде Rn = 0 (р)®/?п-р и возьмем произвольный
вектор x^Rn\
х = у + z, у ^ О (р), z <= Rn-p.
При этом, так как в Rn~p применимы предыдущие рассуждения,
\F(x)\ = |E(z)|<Cp(z) = Ср(х).
Последнее следует из леммы 1.5. Таким образом, для того, чтобы
неравенство (1.55) имело место для всех x^Rn при некотором С,
141

необходимо и достаточно выполнение условия F (х) ==0 для всех
хеО(р).
Пусть теперь мы имеем на Rn линейно-независимые функциона¬
лы F, Fu ...,Fn и оценочный функционал р(х). Будем проводить все
предыдущие рассуждения на 0(Fь F2,...,Fn). Так как F, Fu...,Fn
линейно-независимы, то РФ0 на этом множестве. Поэтому на
основании теоремы 1.1 и предыдущих рассуждений функционал F
будет ограничен на множестве Si (р)ГИ fab a2, ...,an) тогда и толь¬
ко тогда, когда выполнено условие замечания 1 к теореме 1.1.
Пример 1.13. Пусть L — система функций /(*), определенных
на [a, b] и обладающих там ограниченной производной порядка
k. Пусть х1у х2,-..,хп — различные точки отрезка [а, &],
Fi(f) =f(Xi)y i=l, 2, ...у п, F(f)=f(x'), где х' — точка отрезка
[а, Ь]у отличная от Х\у х2л ..., хп,
9k (/) = SUP I /w I. (x) =(x- Xj) (X — Xt) ... (X — xn).
x£[a,b]
При k>n функционал Ftf) не будет ограничен на множестве
Si(p)fV4ab a2,an), так как не выполнено необходимое условие
замечания 1. Действительно, если взять
/(х)=<л„(х), ТО р k(f)z=Fl(f)= ... = Еп(/) = 0, но Р(/)ф 0.
Если же k^ti, то F(/) будет ограничен на множестве
Si(p)fVl(ai, ct2,	Выберем	произвольным	образом k различ¬
ных точек из Х\, Х2, ...,хп. Пусть это будут х,-,, xtt, ... ; xik_ Тогда
(см. формулу (1.10))'
I f {х) — Lxhxti..:xtk (/; х) | <	|	(х	—	xit)	(х — xi,) ...
••• (x~ xik)\pk{f).
В частности, если /(*)еО(Flt F2, ... , Fn), то
Е*гЛ...%(/;х) = 0,
и мы получим
I / (X’) I = IF (/) I < -i- I (х' - х,ч) (х' - xtl) ... (x' - Xik) I p* (/).
Таким образом, условие теоремы 1.1 выполнено. Последнее нера¬
венство можно заменить более симметричным, если провести сле¬
дующие рассуждения. Напишем аналогичные выражения для каж¬
дого из наборов по k различных точек из Х\у х2,...ухп. Всего’ таким
образом получится Скп неравенств. Перемножим их и из обеих
частей получившегося неравенства извлечем корень степени С*.
При этом мы придем к
|/4/)l<-^K(*')lfc/,,p*(/)
к\
(ср. пример 1.4).
142

Полученный в данном примере результат можно сформулиро¬
вать следующим образом: не существует интерполяционных фор¬
мул (линейных или нелинейных), построенных по значениям функ¬
ции в п узлах, остаточный член которых содержал бы только про¬
изводные порядка п-\-1 или выше. Действительно, пусть
Ф(аь ct2,ап) — интерполяционная формула и
|/(*') — Ф(ах, а2,	, а„|<С4р*(/), k>n,
соответствующая ей оценка. Тогда при рk{f)^M и фиксиро¬
ванных аь аг,ап мы получим ограниченность f(x') =F(f), а это
противоречит теореме 1.1.
Пример 1.14. Пусть L, Fi(f), pu(f) определены как и в преды-
ft
дущем примере, F (f) = Jр(x)f(x)dx, где /?(х)>0— заданная
а
функция. Предполагается, что L такова, что указанный интеграл
существует для любой f^L.
При k>2п существует функция f(x) = со^ (х), для которой
pk(f) =F\ (/) — .. . — Fn(f) =0, a F(f)=£0. Следовательно, при
k>2 п функционал F (/) не будет ограничен на множестве
Si(p/i)fM(«b «2,ctn). Отсюда, в частности, следует, что не су¬
ществует формул численного интегрирования вида
^ p(x)f(x)dx^O[f(x1), f(x2), ... ,/(*„)],
а
которые давали бы точные значения для интеграла, если f(x) —
произвольный многочлен степени k, k^2n.
Займемся теперь более подробным изучением множества значе¬
ний F (f) на Si(p)nA(ai,...,an). Обозначим через А (а, аь ..., ап)
множество всех элементов feL, для которых
F(f) = a, Fx (/) = а,, ... , Fn (/) = а„.
Это можно записать так:
А (а, а1г ... , ап) = {feL\F(f) = а,
Л(/) -«*1. • • • > FЛИ ==««}•
Аналогичную запись мы будем употреблять и в дальнейшем. Оче¬
видно,
А (а, а„ ... , а„) = a f* + ах + ... + а„ /„ + 0(FV Ft, ... , Fn),
где Fi(fj)= 8ij, Fi(f*) =0, F(fj)= 0, F(f*) = 1, i, /== 1, 2,...,n.
Обозначим, далее,
Г] (a, alt , a„) = inf p (g).
g£A( a,alf...,an)
143

г| (а, аь...,ап) является обычной числовой функцией /г-И перемен¬
ных с действительными неотрицательными значениями. Если
F, Fu...,Fn линейно-независимы, то она определена для произ¬
вольных действительных a, ai,...,an. Докажем следующую лемму.
Лемма 1.7. т)(а, аь...,а?г) — непрерывная функция по совокуп¬
ности своих переменных.
Любой элемент £^Л(а, ai,...,an) можно записать в виде
g = ф + а Г + а, Д -j- а
где ф^О(Е, Fu...,Fn) и /*, f 1,....,fn определены выше. При этом
g' = ф + а' Г + ai'/i + ... -г ап fn
будет принадлежать Л (а', а[, ... , ап).
Возьмем произвольное е>0 и пусть g — такой элемент
Л (а, аь ..., а71), что
Р(£)<Л(<*>	ап)+	е.
По g строим g', как указано выше. Многократное применение
свойства положительной однородности и условия Липшица для
оценочного функционала дают:
I Р(£') — Р(£)] <КР [(<*'-«)Г + £	^	]	<
1=1
< к р [£ («; - а{) Д] + tf2p [(а' - а) Г] <
t = 1
< кр [J] (ai — at) Д] + К2Р [(«я — а„) /„] + /С2р [(а' — а) /*]<••.
1=1
... </е р [(а; — ах) Д] 4- /С2 £ р [(ai — а*) Д] + К2 р [(а' — а) /*] <
1=2
</С3{£!«:--а,|р(Д) + |а' а | р (/*)}.
t—i
Отсюда
П
г] (a', а[, .... а< р (g) К3 | J] | ai — а* | р (Д) — | а' — а | р (/*)} <
t=l
<ri(a, ах, ... , a„) + e + К3 | ai — a*) p (Д) 4- |a'—a|p(f) j.
1 = 1
144

Итак
т| (а', аь ... , ct/i) т) (сс, а1( ... , а„)<
< 6 + К* {£ I а<- — ai I Р (А) - I— а | р (/*) j.
1 = 1
Меняя ролями g и g', получим
Т] (а, а!, ... , а„) — Г] (а', аь ... , а„) <
<e + /C{J | ai — оц|р(Л) + |а' — а|р(/*)}.
1=1
Так как е > 0 —■ произвольно, то отсюда следует
111 (a', ai, ... , а’п) — т] (а, ах, ... , а„) | <
< К3 {£ | щ — а41р(/4) -Ь | а' — а |р (/*)].
£=i
Если обозначить
Ж = /С3 шах {р (/*), р (Д) р (/„)},
то будем иметь
п
| Т1 (а', аь ... , а^) —11 (а,	...	, а„) | < Ж || а' — а | -р £ | а{ — а41|.
1 = 1
Мы доказали даже несколько больше, чем требовалось по усло¬
вию леммы, а именно доказано, что т](а, аь ..., ап) удовлетворяет
условию Липшица по всем своим переменным.
Обозначим
W (аь а2, ... , а„) = {F (/) | / 6= Sx (р) (1A (alf а* а„)}.
Это и есть то самое множество, которое мы изучаем. Верна сле¬
дующая теорема.
Теорема 1.2. Если р, Fy Fь ..., Fn удовлетворяют условиям тео¬
ремы 1.1, то W(ai, a2, а,г) является замкнутым ограниченным
множеством. При этом если К в условии 3 (1.43) равно 1, то
W(аь аг, ..., а,г) связно, т. е. образует замкнутый ограниченный
отрезок.
Ограниченность W следует из теоремы 1.1. Далее,
W (alf a2, . .. , an) = {a | ц (a, осх, . . . , an) < 1}
и так как функция тДа, аь ..., ап) непрерывна, то W — замкнутое
множество.
При К = 1 база Si(p) является абсолютно выпуклым множе¬
ством (см. замечание к лемме 1.6). Таким образом, если с и с'
145

принадлежат W, a f и g—элементы, которым соответствуют эти
значения:
F(f) = c, F(g) = c\ Fi (/) = F{ (g) - aif t = 1, 2,	,	n,
P(/)<!> p(g)<K то при любом p, 0<P<1, будем иметь
Л[Р/+(1-Р)г] = а*,	1,2,	... , /г, Pz-Ml-Piges^p),
^•[PZ-f (1-Р)г] = Р^(1-Р)^
т. e. tt? содержит и все значения, заключенные между с и с'. Тео¬
рема доказана.
§ 5. ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕСУЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
Как мы видели при доказательстве леммы 1.7, изменения функ¬
ции т| (a, ai, а,г) при изменении значений ее аргументов суще¬
ственно зависят от величин р(fi). Так как множество W(а\у а2, ...
..., an) определяется функцией r](a, аь ..., а?г) (см. доказательство
теоремы 1.2), то и оно зависит от р(/г). В частности, если p{fi) =
= 0, то W(а\, аг, ..., ап) совершенно не зависит от конкретного
значения /7г-([)=а?-. При этом, так как F{(f) не дает никакой ин¬
формации для определения W, а нас сейчас интересует именно
это множество, мы можем совершенно опустить функционал Fit
Чтобы уточнить эти соображения, докажем следующую теоре*му.
Теорема 1.3. Если р, F, Fu Fn удовлетворяют условиям тео¬
ремы 1.1 и если для некоторого г,	и любого е>0 суще¬
ствуют такие элементы fie, /ге, .. . , /Ve, что
р (/%) < е, Fi (/>) = 8ф F (f}e) = 0, г = 1, 2,	...	, п,	j = 1,	2, ... , г,
то множество W(а\, «г, ..., ап) не зависит	от	числовых	значений
Fj(f), /= 1, 2, г.
Рассмотрим две группы по п+1 действительных чисел:
(a, ах, аг, ... , аг, аг+и ... ,а„) и (а, а1; а2, ... ,ar, аг+и ... , а.,)
и соответствующие им множества Л (а, си, а2,	а,-, ar+i, а„) и
Л( а, ах, а2, ... , аг, аг+\, ... , а„). Пусть f — произвольный элемент
Л (а, аь аг, а,., аг+ь •••, а„). Тогда
ф = / + (a, — aj fie -!- (а2 — а2) /2е J- ..	.	--	(ar — ar) fre ^
e Л(а, ax, a2, .. . , ar, ar+u ... , a„).
Рассуждая как и при доказательстве леммы 1.7, получим
I Р (ф) — Р (/) I < К р [J] (а/ — ау) //е] < л:3 £ I ау — ау | р (/>) <
7=1	"	7 = 1
146

<e/(s£\a,— a}\.
/=1
Таким образом,
P (ф) < P (/) ' к3 8 £ I а,- — а;-1
/=i
И
Р (/) < Р (ф) !- Я3 е £ | а/ — а/1-
/=1
Из первого неравенства, в силу произвольности f, следует
11 (а, ах	аг, аЛ+1	а„) < т) (а, а,, ... , аг, аЛ+1) ... , а„) +
--/С3е£ |ау —а;|
/=1
и из второго, в силу произвольности ф,
Г] (а,	аг, аг+ь ... , а„) < т] (а, ах, ... , аг, аЛ+ь . .. , а„)-+-
-/С3е^ |а, —а;|.
i=I
Так как е>0 произвольно, то отсюда получаем
г\ (а, аь . . . , аг, аг+ь .. . , aJ = г\ (а, а1? . . . , аг, аг+ь .. . , а„),
т. е. функция г) не зависит от значений аь а2, ..., аг. Но так как
множество W определяется функцией гц то и оно не зависит от
значений функционалов Fь F2, ..., Fr. Теорема доказана.
Будем называть функционалы Fu F2, Fr, удовлетворяющие
условиям теоремы 1.3, несущественными. Несущественные функ¬
ционалы 'можно исключить из рассмотрения, не изменяя множе¬
ства W.
Рассмотрим некоторые примеры на применение этой теоремы.
Пример 1.15. Рассмотрим векторную систему R3. Пусть
F (х) = х3, F, (х) = xl7 F2 (х) = х2, р (х) = Yх\-± х\.
В данном случае 0(FU F2) есть одномерная система векторов
(О, 0, х3). Оценочный функционал на этом множестве примет вид
р(х) = |х3| и на О (Fu F2)
|F(x)i =р(х).
Таким образом, условие (1.55) теоремы 1.1 выполнено. На элемен¬
те ei = (1, 0, 0) мы имеем Е1(е1) = 1, Е2(е1)=Е(еi) =р(ei) =0. По¬
147

этому функционал Fx несуществен, и мы его можем опустить, не
изменяя множество значений F (х) на Si(p)n^(ai, аг). Однако
мы не можем этого сделать с функционалом F2, так как его зна-
чение будет определять область значений F (х) на Si(p) П^(«1, аг).
Эта область значений есть
-j/l-a2<F(x)< ]Л“ “1.
Все это наглядно видно на рис. 11.
Пример 1.16. Пусть L — множество функций, заданных на
[—1, 1] и обладающих там ограниченной производной четвертого
порядка. Положим
F(/) = \f(x)dx, F1(f) = f(- 1), F2(/) = /(0),
—1
= 1). FAf) = f'( 0),
p(/)= sup | /(IV) (x) I.
.<€[-1,1]
Как мы видели в примере 1.9, р(/)
удовлетворяет условиям (1.43). Про¬
верим, что удовлетворено условие,
теоремы 1.1. Множество 0(Fь F2, F3y
F4), состоит из всех функций f(x
gL, удовлетворяющих условиям
F(-1)= (0)=f(l)=/'(0)=0. Как
видно из примера 1.6, каждая такая
функция может быть записана в
виде
f(x) = х2 (x2 — l)G(x),
где G(x)—некоторая непрерывная на [—1, 1] функция. Отсюда
1 1
F(/) = j х2 (х2 — 1) G (х)dx — G (£) ^ x2(x2 — l)dx =
-1
— 1
=	пгО(£).	ge(-l.l).
10
В том же примере 1.6 было показано, что
Таким образом,
G(x) = -
F(f) =
4!
/(IV)(%)
90
Т|€=(— 1, 1).
1. О
148

т. e. условия теоремы 1.1 выполнены. Рассмотрим функцию
/eW = —х(х2 - 1).
Для нее Fx (/е) = F2 (/е) = F3(fs) = р (/£) = 0, F^(fe) = 1. Таким обра¬
зом, функционал F4(f) удовлетворяет условиям теоремы 1.3 и его
можно опустить, не изменяя W.
Пример 1.17. Пусть L — множество функций, заданных на
[а, b] и обладающих там ограниченной производной порядка 2п.
Пусть а^х\<х2< ... <хп^Ь,
Fi(f) = f(Xi), i = 1,2	п, Fj(/) = /'
j =	n -	1,	n	2,	...	,	2/2,
p (/) sup	I /<2«) (x) |,	F (/) =-	f	p (x)	/ (x) dx, p (x) > 0.
xe[a,b]	J
Снова по примеру 1.9, p(/) удовлетворяет условиям (1.43). Да¬
лее, если Fi(f) =0, i= 1, 2, ..., 2/г, то (см. пример 1.6)
/(*) = ©*(*)<?(*).
где (о?г(л:) определено ранее (см. пример 1.13) и G(x)—непре¬
рывная функция, причем
G(x) =	|е=(а, 6).
V '	(2/г)! b V '
Отсюда, на О (/д , F ... , Z72/г)
ь	ь
I ^ (/) I = | J Р (х) f (X) dx = | j p (x) CO2 (x) G (x) dx
a	a
b	b
= IG (л) I j p (*) ап (x)dx <	j p	(*)	(*)
a	a
т. e. как бы мы	ни выбирали	точки хи х2,	..., хп,	условие (1.55)
теоремы 1.1 выполнено.
Попробуем теперь так подобрать хи х2, ..., хп, чтобы функцио¬
налы Fn+1, jFn+2, ..., ^2п стали несущественными.
Всякая функция fj(x)^L, для которой Fi(/j)= 0 при i=l, 2, ...
..., /2, я+1, ..., n + j—1, /2+/+1, ..., 2/г, у = 1, 2, ..., /г, имеет вид
149

где Gj(x) —некоторая непрерывная функция. При этом р(/у) будет
равно нулю, если Gj(x) = const = G?. Для Fn+j будем иметь
Fn+j(fj)¥=0 и постоянную Gj можно подобрать так, что Fn+j(/y) = 1.
Чтобы F (fj) обращалось в нуль, нужно потребовать
р	СО	^ (х)
р(х) ■■■-■-— dx = 0,	/=	1,	2,	... ,п.	(1.58)
J	(х —
а
Перепишем последнее равенство в виде
ь
| р{х)(лп{х)Ры{х)йх = 0, j = 1, 2, ... ,п,
а
где
Pnj(x) = -^-y	/=1,2,...,	п.
ДС — Xj
Многочлен Pnj(jc) имеет степень п—1 и его старший коэффициент
равен 1. Кроме того, Pnj(Xk)= 0 при кф'\ и Pnj(Xj) ФО. Отсюда
следует, что РпЛх) линейно-независимы на [а, Ь]. Действительно,
если
J) ciP„j(x) = 0
/ = I
при я^[а, &], то, полагая последовательно A:=xb х2, ..., *п, полу¬
чим ci = c2= ... =сп = 0. Поэтому вместо (1.58) можно требовать
выполнения следующего эквивалентного ему условия
ь
^ p(x)(x>n(x)qn-i(x)dx = 0,	(1.58')
а
где qn-i(x)—произвольный многочлен степени не выше п—1.
В этом случае говорят, что (оп(я) должен быть ортогонален с весом
р(х) на отрезке [а, b] произвольному многочлену степени не вы¬
ше п—1.
Покажем, что если при любом /г, n = 0, 1, 2, ...,
ь
j р (х) хп dx
а
существует, то и соп(*) существует при любом п.
Рассуждения удобно проводить в Гильбертовом пространстве
(см. пример 1.10). Пусть L — Гильбертово пространство со скаляр¬
ным произведением (f, g). Будем называть элементы /, g^L орто¬
гональнымиесли (/, g) = 0. Элемент f^L будем называть норми¬
рованным, если ||f|| = l. Совокупность элементов {/Д будем назы¬
вать ортонормированной, если при любых i и / (/*, /;)=бг/. Если
150

{g-J —произвольное конечное или счетное множество элементов L,
то можно построить ортонормированную совокупность {fi} так,
что каждый элемент fi является линейной комбинацией конечного
числа элементов gj и обратно, каждый элемент gj является линей¬
ной комбинацией конечного числа элементов fi. Построение будем
производить следующим образом. В множестве {g\} опустим ну¬
левой элемент, если он там имеется, и все элементы, которые мож¬
но представить как линейные комбинации предшествующих. Таким
образом оставшаяся совокупность элементов {hi} будет линейно¬
независима. В качестве f\ возьмем h\/\\hi\\. Далее подберем число
С21 так, чтобы элемент cp2 = ^2 + C2i/i был ортогонален f\. Для этого
должно быть
Отсюда
(h2 Г ^2l/l» /1) — О-
c2i *= ——= ■— (h2, А).
л./.) у ’
Полученный при этом элемент ф2 будет отличен от 0, так как h2
и /j линейно-независимы. Положим
f	1
/2 = -7= т ф2 •
У (фа, фа)
Подберем теперь с3\ и с32 так, чтобы элемент ^ъ — Ь3Л-с3\!\ + с^2
был ортогонален f 1 и /2:
(h3	c31fx -- С32/2, /1) = О,
(h3 C31f1 i“ C32/2, /2) = 0.
Отсюда
с.
31
= - 7ГТГ = - {Н°’	с®	=	=	-(йз’
(/1» /1/	(/	2	>	/2)
Элемент ср3 не равен 0, так как /ь f2, h3 линейно-независимы. По¬
ложим
* 1
/з = г- Фз-
У (фз» Фз)
Очевидно, этот процесс можно продолжить и дальше. Полученная
при этом совокупность элементов {/г} будет удовлетворять требуе¬
мым условиям.
Возвращаясь к нашей задаче, положим
(/. Я) = [ P(x)f(x)g(x)dx
и, исходя из счетного множества элементов 1, х, х2, ..., указанным
процессом построим ортонормированную совокупность многочле-
151

нов соп(я). Деля затем каждый из многочленов соп(я) на коэф¬
фициент при старшем члене, получим нужные нам многочлены
сдп{х). В самом деле, для них справедливы соотношения:
ь
| р (х) cofc (х) со у (х) dx = О при кф-j
а
и любой многочлен qn-\(x) степени не выше п—1 можно предста¬
вить в виде линейной комбинации соо(*), coi(*)>	(on_i(x). По¬
этому
ь
j р (х)	(х)	<7«_i (х) dx = О,
а
что и требовалось.
Покажем, что <оп(*) имеет п различных корней, расположен¬
ных на отрезке [а, Ь].
Пусть х\9 *2,	Xi^Xj	при 1ф}, — все корни соп(х), распо¬
ложенные на отрезке [а, Ь] и имеющие нечетную кратность. Обо¬
значим
qk(x) = (х~х1)(х~ х2) ...(х —х*).
Тогда
ю„(х) = &n-k(x)qk(x),
где $*n-k(x)—многочлен степени п—k9 не меняющий знака на
[а, Ь]. При этом
ъ	ь
| р (х) 0)„ (х) qk (х) dx= j р (х)	(х)	q\ (х) dx ф О,
а	а
что при k<n противоречит ортогональности соп(х) и qk(x). Утвер¬
ждение доказано.
Мы показали, что поставленная в начале примера задача: по¬
добрать хи х2, хп так, чтобы функционалы Fn+и Fn+2, F2п
были несущественными, всегда имеет решение. При этом х\, х2у ...
..., хп являются корнями уравнения соп(*)=0, где соп(*) удовлет¬
воряет (1.58'). Условие (1.58') определяет (on(*) однозначно. Дей¬
ствительно, пусть имеются две последовательности {соп(*)} и
{со™(я)} такие, что
ь ь ^
j р (х) (0„ (х) qn-1 (х) dx = j р (х) tt>„ (х) qn-\ (х) dx — О
а	а
для любого многочлена qn-\(x) степени не выше п—1, причем
коэффициенты при старших степенях хп у (оп(*) и а>п(^) равны 1.
152

Тогда
ь	ь
j P (*)	(*) —	(*)]	Qn-i	(X)	dx=	j p (x) Pn-1 (x) qn-\ (x) dx = 0
a	a
и если (On (*)—|0)n(^) =Pn-i (x) #0, то, полагая qn-\{x) =Pn-\(x),
придем к противоречию. Таким образом, Х\, Х2, ..., хп определены
однозначно.
В примере 1.14 было показано, что как бы ни выбирались точ¬
ки хи х2, хп на [а, Ь], условия теоремы 1.1 для функционалов
F, F\, ..., FП) р/г> где
ъ
F(f) = $p(x)f(x)dx, F{ (/) = f (xt), i= 1, 2, ... , n,
a
P*(/)= sup \f(k)(x)\,
xG[a,b]
при k>2n не выполнены. Из полученного в данном примере ре¬
зультата следует, что если взять в качестве Х\, Хг, •••, хп корни
уравнения (Dn(*)=0, то при k = 2п условие (1.55) будет выпол¬
нено.
В самом деле, пусть feSi(p2„) П 0(FU F2, Fn) и f'(*i)=Pi>
j= 1, 2, п. Тогда
/ е Sj (р2п) П A (0,0	0, p1( p„ ... , p„).
п раз
Таким образом
F(f)eW (0, 0, • • • , 0, Pi, Р, PJ.
п раз
Но так как функционалы Fn+j(f) =f'(Xj), /=1, 2, ..., п, несуще¬
ственны, то
F(f)<E=W( 0, 0, ...,0).
2п раз
Отсюда при / с= 5Х (р2п) П О (Flt F2 Fn)
\F(f)\<C.
Рассуждая так же, как при доказательстве необходимости условий
теоремы 1.1, мы придем к (1.55).
При k^.n условие (1.55) будет выполнено для любых различ¬
ных хи х2, хп, расположенных на [а, Ь\.
153

Действительно, если воспользоваться
ь	ъ
j р (х) / (х) dx = j" р (х) LXlX2.„Xn (f; х) dx -f
a	a
b
- j’ P (*)	(*)	f	(X, xltx2, ... , x„) dx,
a
то при /eOf?!, F2> ... , Fn) будем иметь
ь	b
I J P (X) f (x) dx | < j p (x) | co„ (x) II f(x, xlt x2 x„) | dx.
a	a
Оценивая | f(x, xu ..., xn) | с помощью pk(f), k^ny как в приме¬
ре 1.4, получим
| Jp(x)/(x)dx|<C*p*(/).
a
Чтобы такого рода неравенство было выполнено для
f^O(Fj, F2i ..., Fn) при n<k<2ny нужно накладывать некоторые
ограничения на узлы х\, х2у хп. Будем рассуждать так же, как
и в случае k = 2п. Пусть х\9 х2у ..., хп любые различные точки [а, Ь\
и
Л(/)' f(xi), Fn+j (f) = f (xj), t = 1,2, ... , n, / =1,2, n>k,
F(f)= f P (x) / (*) dx, Рл+й (/) = sup | /<"+*> (x) |.
J	x£[a,b]
Так как (см. пример 1.6)
f (х) = H{t?xk;xl.v..xn (/; *)" • i «V, (*) (Oft (x) / (X, Xlt Xlt ...
• • • » •K'ft, Xjt, Xfc-^-i, -^ft-j-2. • • • » ^/i),
где coA (x) — (x — x,) (x — x2) ... (x — xk), to
\F(f)\<\[p (x) H{t^k;x^v..xk (/; x) dx |;+
a
b
+ jp(x)|con(x)(Oft(x)||/(x, ...,xn)\dx
a
и на 0(Fb F2, ... , Fn+k) будем иметь
ь
I F if) \<	J	P	(x)	I	CO„	(X)	<0* (X) I dx,
a
т.' e. условия теоремы 1.1 выполнены.
154

Обозначим
Для этих функций имеем
Fi(fi) = 0, t = 1, 2, ... ,л,	/=1,2,...,	Л;
рЛ+Л (/у) = 0,	/=1,2,...,*.
Чтобы была применима теорема 1.3, нужно потребовать
ь
а
Это означает ортогональность соп(л) с весом р(х) на [а, Ъ] про¬
извольному многочлену степени не выше k—1. В частности, для
этой цели пригодны полученные ранее многочлены соп(я), орто¬
гональные с весом р(х) на [а, b] произвольному многочлену сте¬
пени не выше п—1. Но в данном случае допускается некоторая
свобода выбора и можно потребовать, чтобы соп(х) удовлетворял
некоторым дополнительным условиям. Рассмотрим некоторые част¬
ные случаи.
Пусть k = n—1. Потребуем дополнительно: хп = а. Тогда по¬
следнее равенство примет вид
Это эквивалентно требованию, что con-i (*) ортогонален с весом
р(х)(х—а) на [а, Ь] произвольному многочлену степени не выше
п—2. По предыдущему con-i(x) существует и определяется одно¬
значно. Здесь лишь возникает опасение: не является ли а корнем
(On-i(x), так как эта точка уже использована в качестве хп.
Докажем, что если р(х)^0 (или р(х)^.0) на [a,’ft], то корни
многочлена соп(я), ортогонального с весом р(х) на [а, Ь] произ¬
вольному многочлену степени не выше п—1, не могут совпадать
с концами отрезка.
Действительно, пусть, например, один из корней со?г(х) совпа¬
дает с а. Тогда подынтегральное выражение в
1 (*)
р (х) (х — а)   dx= 0,	/	=	1, 2, ... , п — 1.
ь	ь
Г р (х) & (х)	dx=[p	(X)	(х-а)	dx
J	x	—	a	J	I	x	—	a
155

неотрицательно (неположительно) на [а, Ь] и интеграл не обра¬
щается в нуль, что противоречит ортогональности соп(*) и -п ^ .
х — а
Итак, случай k = n—1 и хп = а всегда реализуется. Аналогично
рассматривается случай k = n—1 и хп = Ь. Рассмотрим случай
k = n—2, хп-\ = а, хп = Ь. При этом мы придем к
ь
Г р(х) (х — а)(х — Ь) со/г_9 (х) С0/г~2 dx= 0,	/	=	1, 2, ... , п — 2,
J	X	—	Xj
а
т. е. <.)?г—2 (*) должен быть ортогонален с весом р(х)(х—а) (х—Ь)
на [а, b] произвольному многочлену степени не выше п—3. Рас¬
суждая как и в предыдущем случае, мы приходим к выводу, что
и эта задача всегда имеет единственное решение. При р(х) = 1,
п = 3 условие сводится к
ь
| (х — а) (х — Ь) (х — хг) dx = 0.
а
Это дает
т. е. результат предыдущего примера возможен лишь при данном
выборе узла Х\.
Повторяя рассуждения, проведенные для k = 2п, мы придем к
выводу, что неравенство (1.55) справедливо на 0(FU F2, ..., Fn)
при рh(f)y определенном как в примере 1.9 для n<k<2n, если
узлы хь х2, хп выбраны подходящим образом. Этим и завершим
пример 1.17.
Предположим, что исключение несущественных функционалов
согласно теореме 1.3 уже осуществлено и ни один из функциона¬
лов Fu F2, ..., Fп исключить нельзя. Тогда для каждого t, 1
найдется такая постоянная С*>0, что для любого элемента
удовлетворяющего условиям
F (S) =■■ Fj (g) = 0 при у ф i, Fi (£) = 1,
будет выполнено неравенство
р (g) > Q-
Это можно записать и иначе. Если f —• произвольный элемент
О (F, Fu Fi-U Fi+U Fn), то
l^(/)l<CiP(/),
156

где Ci = К/С{. Таким образом, мы находимся в условиях теоре¬
мы 1.1 с заменой функционала F на Fi. Следовательно, в этом слу¬
чае для каждого i существует такая постоянная С{) что
I Fi (/) I < Ci [р (/) + £ || F, (/) 1 + 1F (/) |]	(1.57'")
/=1
№
для любого f^L.
Невозможность применения теоремы 1.3 еще не означает, что
мы не можем обойтись меньшим, чем л, числом функционалов для
определения области W. Может оказаться, что хотя каждый из
функционалов Fiy i= 1, 2, ..., п, исключить нельзя, но можно ис¬
ключить какую-либо их линейную комбинацию. Прежде чем пере¬
ходить к этому вопросу, введем одно определение.
Поставленная нами задача об определении области значений
функционала F (f) на множестве Si(p) f|^(cti, ct2, ап) будет ре¬
шена, если мы сумеем решить аналогичную задачу для функцио¬
нала
F(f) = F(f) + £‘Л(/),
1=1
где сь Ci, ..., сп—-любые данные действительные числа. Кроме то¬
го, если вместо Fu
налы
где a,;j — данные числа и
...,
Fn
п
Е*
ij'Fj
/=1
И
а11
^12
а21
^22
ani
ап 2
<hn
<hn
апп
Ф о,
то, придав Fi(f) значения
/2
/=1
мы не изменим область W(ai, аг, ап) значений F (f). В этом
случае будем называть две совокупности функционалов F, Fly...,Fn
и F, Fu ..., Fn эквивалентными.
Для эквивалентных совокупностей функционалов Ff Fu ..., Fn
и F, Fu ..., Fn мы имеем 0(FU F2y ..., Fn)=0(Fb P2, • Fn) и на
этом множестве F(f)=F(f). Таким образом, если для р, /\ Fь ...yFn
157

выполнены условия теоремы 1.1, то они выполнены и для р, F,
Fu ..., Fn. Далее, если Fn — несущественный функционал старой
совокупности и при переходе к эквивалентной совокупности мы
положим аг?1 = 0, i= 1, 2,	п—1, аП) = 0, / = 1, 2,	п—1,	апп= U
то и Fn — несущественный функционал новой совокупности.
Теорема 1.4. Если р(/), F(f), F{(f), ..., Fn(f) удовлетворяют
условиям теоремы 1.1, то либо существует такая постоянная С>0,
что для любого элемента f^L
\F(h\-r\Fi(f)\+ ... -\-\Fn(f)\<CP(f),	(1-59)
и тогда в любой эквивалентной совокупности функционалов F, Fi,...
..., Fn нет несущественных функционалов, либо такой постоянной С
подобрать нельзя, и тогда существует эквивалентная для F, Fu ...
..., Fn совокупность функционалов F, Fu ...,Fn, содержащая несу¬
щественные функционалы.
Докажем сначала первое утверждение теоремы. Пусть условие
(1.59) выполнено, но существует такая^эквивалентная^для F, Fu ...
..., Fn совокупность функционалов F, Fu ..., Fny что Fn — несуще»
ственный функционал совокупности р, F, ..., Fn. Пусть
t=i
Fi (/) = Е aHFi (f)> i = 1. 2, .... га.
/=i
Так как Fn — несущественный функционал, то для любого е>0
найдется такой элемент fe^L, что
р(/е)<8, F (/8) = Pi (/8) = 0, 1 = 1,2, ... ,12— 1, Fn(fe) = 1.
Подставим в неравенство (1.59) вместо F, Fи Fn их выражения
через F, Fu Fn:
| F (/) -j- £ гД (/) | + J|£ a,// (/) j < С p (/).
1=1	1 = 1	/=1
При f = fe отсюда получаем
•с,!	£	|aiH|<C8.
1=1
Так как е>0 произвольно, то cn = ain = ... an7l = U, что противоре¬
чит эквивалентности совокупности функционалов /\ /Д ..., Fn и
Л, ..., ?м.
158

Пусть теперь постоянную С подобрать нельзя. Тогда для лю¬
бого р, р= 1,2, ..., найдется элемент fv^Ly для которого
\F(fP)\-r\Fl(fp)\-r ... +\Fn(fp)\ =fip>pp(/p).
Рассмотрим элементы gp = fp/pp. Для них будем иметь
... + if„(/p)| = i	(1.60)
и	p(gp) < — ■ Так как множества	{^(gp)}, {Fi(gp)}	ограничены,
Р
то из последовательности {gp} можно выделить такую подпоследо¬
вательность {gPk}, что
lim F (gPk) = q, lim F{ (gP/)	= qt, i = 1, 2, ... ,	n.
В	дальнейшем, чтобы не усложнять обозначений, будем	считать,
что последние пределы существуют при р-^оо.
п
Величины qi9 i= 1, 2, ..., п, таковы, что ^^.>0. Действи-
£=1
тельно, если qi = q2 = ... = <7п = 0, то для любого е>0 можно найти
такое роу что при р>ро будет \Fi(gp) |<е, i= 1, 2, ..., п. При в до¬
статочно малом и р достаточно большом p(gp) и, в силу (1.57'),
1^(£р)1 будут также достаточно малы. При этом мы получаем
противоречие с (1.60).
Рассмотрим в /г-мерном пространстве Rn вектор q = (<7i, <72, ...
..., qn). Для него всегда можно найти п—1 векторов a j, /= 1, 2, ...,
п—1, таких, что q и a j образуют систему п взаимно ортогональных
векторов. Пусть
п
а, = (ап, а/г а/и) и (а7, 7) = £ а,ч^ = 0,
1 = 1
П
(а,, ак) = £ адам = 6д,	/,	k	= 1, 2 п — 1.
1=1
Образуем функционалы
п
2 ^
f=l
^(/)=j;e/»(/). / = i.,2,...,n-i,
*=i
П
F(n (/) = —^  J] <7i^i(/)-	(1.61)
2 1=4
t=l
159

Совокупности функционалов F, Fu ..., Fn и F(I), F\\ ... , Fn экви¬
валентны, так как строки матрицы перехода от одной совокупно¬
сти к другой являются компонентами ненулевых взаимно ортого¬
нальных векторов. При этом
lim F{i)(g) = limp (^) = HmfPtep) = 0,	/ = 1, 2, ... ,п — 1,
р—*0О	р-+90	р—ЮО
lim ^1)(^)=1.
р-> ов
Рассмотрим еще одну последовательность элементов:
% =	Р=	1, 2,
j =1
где /j1’ и /|(1>* таковы, что
^(/Р) = Si/. /^(Г*) = 0, F(1)(/P) = 0, F(1)(/(1>*) = 1,
I, /=1,2, ... , /г.
Для нее в силу свойств р(/), gp, /|1), /(1)* будем иметь
lim р (г|>р) = 0, fР (%) = Ff} (gp), j = 1, 2, ... , п - 1,
р~¥00
№ (%) = F™ (gp) - 1, F(l) (fp) = F(l) (gp).
Таким образом, для последовательности фр = gp — фр, р = 1,2,...,
lim р (фр) = 0, F(1) (Фр) = F(P (фр) = 0, у = 1, 2, ... , п - 1, (Фр) = 1.
р~¥ оо
Поэтому, по теореме 1.3, функционал несуществен. Теорема
доказана.
Замечание 1. Как мы уже отметили, для функционалов р, Я1),
F\l), ... , Fn] выполнены условия теоремы 1.1 и, следовательно, вы¬
полнено неравенство, аналогичное (1.57'):
\F{l)(f)\<C(')[p(n^fl\Fi(n\\
i=1
для любого f^L. Так как Fn*—несущественный функционал, то
в последнем неравенстве можно положить Fn* (f) = 0 и для функ¬
ционалов р, F(1), Fi1*, ... ,Fn-1 будет выполнено неравенство
| Я(,) (/) | ^ С(1) [р (/) Ч- ^ I (/) I]
i=l
160

и тем самым условие теоремы 1.1. Поэтому дальнейшие рассуж¬
дения можно проводить с F{1\ F{i \ ... , F(n-i.
Если при некотором №>0
I ^(1) (/) I + | W (/) | -I- • • • + I Fil-1 (/) I < С(2) Р (/)
для любого	то дальнейшее использование предыдущей тео¬
ремы невозможно. Если такой постоянной подобрать нельзя, то
строим функционалы F(2), F\2), ... , F{2-1 по формулам, аналогичным
(1.61), и положим F{2) = F{n - При этом функционалы F*%L\ и F(2n
будут несущественными. Дальнейшие преобразования будем про¬
водить с F{2\ F{2\ ... , F^2-2 и т. д. Так как количество функциона¬
лов F-i конечно, то при некотором г будем иметь
I F[r) (/) I + IFV (/)! + ... + [ Ftlr (f) I < c(r+1) p (/)
для любого f^L. Здесь C<?,+1)— некоторая постоянная, а функцио¬
налы FnLr+\, F{n-r+2, .. • , F{n несущественны.
Замечание 2. Действуя путем, указанным в замечании 1, или
каким-нибудь другим путем, мы можем в некоторых случаях пе¬
рейти к совокупности эквивалентных функционалов, в которой
некоторое число функционалов Fm+U Fm+2i Fn несущественно,
а для остальных выполнено неравенство
т
|£(/)1 + £|Л(/)1<Ср(/)	(1.59')
i=\
при любом f^L. Вообще говоря, такой переход от исходной сово¬
купности функционалов к эквивалентной с указанными свойствами
не однозначен, но число несущественных функционалов при усло¬
вии удовлетворения (1.59') всегда одно и то же.
Н самом деле, пусть имеются две совокупности функционалов
F{'\ F{i \ ... , Fn} и F(2\ F(2), . . . , F(2\ эквивалентных F, Fu ..., Fni
и таких, что при некоторых № и О2) выполнены неравенства
"Ч	_
t=l
т2 _
1?<2>(/)1+ £И2)(/)1<с(2,р(/)
i=l
для всех элементов f^L, причем т\^=т2 и функционалы
/г?(1)	)	^сЧ2)	^(2)
Fm\+1 .... , Fn и rvm>+i, ... ,гп несущественны в соответствующих
6]/-2 Н. П. Жидков	161

совокупностях. Пусть для определенности т\>т2. Так как сово¬
купности функционалов F(1), F\l\ .. . , F(nl) и F(2), F(2*, .. . , F{2) экви¬
валентны, то мы можем записать
?<»(/) =Р>(/)+ £сЛ2)(/),
{-■=1
/=1,2, .... л.
1=1
Подставляя эти выражения в первое из приведенных выше нера¬
венств, получим
п	т	п
|(ft + £ (ft | + £ |£ (ft | < г01 р(ft..
1 = 1	/= 1	/=*1
Пусть ffe такие элементы L, что
p(/l?)<e,	=	F2)(ffl)	=	0>	f	=	1,2	л; /=/пя+1	/г.
Беря в последнем неравенстве в качестве / последовательно все
/fe, будем иметь
\cf\ =£ |а17|<Сб)е, / = m2 + 1, ... , я.
«=1
Отсюда с,- = а1;- = а2/ — ... = ат1/- = 0, / = т2 + 1 > • • • > я. Но это
противоречит линейной независимости функционалов F[l\ F^, •.. ,
/?<*>.
Замечание 3. Если число несущественных функционалов равно
гс, т. е. если	(1.59') сводится к
\~F(f)\<Cp(h	(1.59")
и функционалы Fb F2, •••, Fn несущественны, то F определяется
однозначно.
Пусть имеются две совокупности функционалов Я1), F(il), ... , F{n
и F(2), F(2),	.	.. , F„\ эквивалентных F, Fb ..., Fn,	таких, что
F(il), F^, ...	,	F{n и F(2), F(22), ... , F{2) несущественны	в	своих сово¬
купностях. Пусть
IЯО (/) I < &р (/) и I F(2) (/) I < С(2>р (/)	(1.62)
162

для всех feL. Так как F(i\ Fi \ ... , Fn} и F2, Ff\ ... , F(„2) также
эквивалентны, то мы можем записать
Я‘> (/) = F (/) г £ с Л' (/). Р{2) (/) = F (/) -г £ diff (/)•
i=i	1=	1
Отсюда и в силу (1.62) будем иметь
|£(ci-di)?i,)(/)|<(&,> + с(2))р(/)
i=l
для всех f^L. Так как У7!1*, У7^,	,	У7^ несущественны, то для
любого в>0 найдутся такие элементы fje^L, j=	1,	2,	п,	что
Р (Ы < е, Fp (//е) = 6i/f £, / = 1, 2,	,	п.
Подставляя их в последнее неравенство, как и ранее, придем к вы¬
воду, что с*—di = 0, £=1, 2, ..., п. Таким образом, Я1)(f)==У7(2)(/).
Замечание 4. Если т = п, то постоянную С в (1.59") можно
взять равной С в условии (1.55) теоремы 1.1 для функционалов
р, У7, У7!, ..., Еп.
В самом деле, множество W(аи аг, ..., ап), построенное для
функционалов р, У7, Fu ..., En, в данном случае не будет зависеть
от конкретных значений аь аг, ..., ап. В частности, при любых
ai, аг, ..., а?г, для которых это множество не пусто, будем иметь
W( аь а2, ... , ая) = ИР(0* 0, . .. , 0).
Поэтому, если С такая постоянная, что
\F(f)\<C	(1.63)
для всех f^S\(р) [}0(FU F2y ..., Fn), то это неравенство будет вы¬
полнено для всех	с p(f)^l. Но тогда для любого f^L с
Р(0 =7^=0 будем иметь
\F(f)\<Cp(f).
Это неравенство выполнено и для f^L с р (/) = 0, так как в этом
случае по (1.59") должно быть F(f) = 0. Таким образом, постоян¬
ную в (1.59") можно считать равной любому из значений, для ко¬
торого выполнено (1.63) на Si(р) ПО (У7!, ^2, Fn). Но Si(p) П
ПО (У7!, F 2, ..., y7n)=Si(p) ПО (У7!, E2, ..., Fn) и на этом множестве
F(f) =F(f). Отсюда и следует утверждение.
Приведем пример, иллюстрирующий теорему 1.4.
Пример 1.18. В векторной системе возьмем
F (х) = х3, Fi (х) = хг — JC.J, F% (х) - хг -f х%, р (х) = Ух\ +	л£.
61/**	163

Воспользовавшись результатами примера 1.15, мы видим, что для
р, F, Fu F2 выполнено условие теоремы 1.1. Условиям F(x) = О,
F1 (х) = 1, F2(x)=0 удовлетворяет единственный вектор х=(1/2,
7г, 0). Для него р (х) = V2. Поэтому функционал Fx не может быть
несущественным. Условиям F(x)= 0, Т7! (х) = 0, F2(x) = 1 также
удовлетворяет единственный вектор х=(1/2у —72, 0). Для него
р(х) =72 и функционал F2 не может быть несущественным. Нера¬
венство (1.59) в данном случае примет вид
] Х3 |	| Хг — Х2 | + | X-l Х2 | ^ С ]/"Х2 -f- Х3.
Оно не выполняется ни при каком С>0 для векторов (хь 0, 0)
с Х\=^=0. Таким образом, на основании теоремы 1.4 существует си¬
стема функционалов, эквивалентная F, Fb F2, содержащая несу¬
щественные функционалы. Равенству
I *8 I + I *1 — *2 I + I *1 + *2 I = 1
удовлетворяет, в частности, вектор х=(1/2, 0, 0), для которого
р(х)=0. Поэтому можно взять <7 = 0, q=(72, 7г). В качестве век¬
тора ai возьмем ai=(—7г, 72). Пользуясь формулой (1.61), полу¬
чим эквивалентную исходной систему функционалов
Я1) (х) = *3, Fi0 (х) = х2У F{2] (х) - хъ
в которой функционал F2} несуществен. Для оставшейся совокуп¬
ности функционалов неравенство (1.59) примет вид
I Х3 I ”KI I	Х2 + *3.
Оно выполняется для любых х2 и х3, если взять С > 1/2. Таким
образом, дальнейшее исключение функционалов невозможно.
В более сложных случаях исключение функционалов, следуя
алгоритму доказательства теоремы 1.4, осуществить трудно. В свя¬
зи с этим приведем следующее замечание.
Замечание 5. Пусть из данных нам линейных функционалов
Я, Я,'..., Fn максимальное число линейно-независимых на О(р)
равно т и функционалы Fb F2, ..., Fm линейно-независимы на О(р).
Согласно леммы 1.2 на О(р) имеются элементы fu f2, ..., [m, такие,
что Fi(fj)=8ij, /, /=1, 2, ..., т. Образуем функционалы F, Я, ...
..., Fn следующим образом:
F(f) = F (/) - F (А) Л (/) - F (A) F2	F (fm) Fm (f),
A(/) = A(/), i=l, 2,
Fi if) = Fj (/) - F, (A) F, (/) - Fj (A) F2 (/)-... - F, (/„) Fm (/).
j = m -|- 1, m + 2, ... ,v /2.
Совокупности функционалов F, Fb ..., Fn и F, Fb ..., Fn эквива-
164

лентны. Действительно, матрица перехода от Fu F2, ..., Fn к Fu F2,...
. Fn имеет вид
1
0
0
..
. о ^
0
1
0
..
. 0
0
0
1
о..
.. 0
— Fт+1 (/2) • • •
— F,n+1 (/m)
.,
.. 0
-Fnih)
-Fn(h) •••
-ДС/J
о..
. 1 J
Она невырожденна, так как ее определитель равен 1. В силу по-
строения F(f), F{ (f), i=l, 2, n, имеем F(f{) =F {fi)—F (fi) =
= Fj(h)=Fi(fi)-P(h)=Q> l=l> 2. mLj=m+1, m+2, п. Сле¬
довательно, функционалы Fu F2, Fm удовлетворяют условию
теоремы 1.3 и их можно исключить.
Пример 1.19. Пусть L, F(f), Fi(f), F2(f), F3(f) и p(f) такие же,
как и в примере 1.16. Множество О(р) состоит из всех многочле¬
нов степени не выше 3. Функционалы Fi(f), F2(f), Fz(f) линейно¬
независимы на О(р). В качестве элементов f\, f2, /3 можно, на¬
пример, взять
х(х~1} . Ш =	ш	=	--(х+-)-.
При этом
= l —2~ <k==Tt
1
1
—1
^(/2) = J (1— X%)dx= —
—1
—1
Таким образом, по теореме 1.4 и замечанию 5 к ней
1Ь
—1
где С — некоторая постоянная. В качестве этой постоянно^ можно
взять, согласно замечанию 1, величину 1/90 примера 1.16. При этом
1
|| f(x)dx—1(/-1)_±/(0)_Д-/(1)|<-±-р(/).
— 1
6 Н. П. Жидков
165

Мы получим формулу численного интегрирования Симпсона с оста ¬
точным членом.
Пример 1.20. Возьмем, как и в примере 1.17,
F(f)=$p(x)f(x)dx,	Л(/)=/0О,	Fr.+i (f)=f' (xl)> t=l, 2,
a
pk(/)= sup l/(W(*)l-
л:G[a,6]
Мы уже показали, что если соп(л:) ортогонален с весом р(х) на
[а, b] произвольному многочлену степени не выше п—1, то функ¬
ционалы Fn+1, Fn+2,	F2n несущественны. Функции
/и*) =
	(X)
(X — Xj)a>'n
(*/)
\	/=	1,	2	п,
принадлежат 0(р2,г). Для них Fi(fj) = 8ц, i, / = 1, 2, п. Таким
образом,
| J Р (*) / (х) dx — J сД (**) | < C2np2„ (/),
i=l
где
с, = ■
1
a>n(x)
О
dX' Сы = ~(2п)Г J P ^	^
Мы получим формулу численного интегрирования Гаусса с оста¬
точным членом.
Снова, как и в примере 1.17, возьмем k = 2п—1, хп = а и con-i (*)
ортогональным с весом р(л;) (я—а) на [а, ft] произвольному много¬
члену степени не выше п—2. При этом в совокупности функцио¬
налов р, F, Fu ..., F2n функционалы Fn+U Fn+2i ..., F2n-i несуще¬
ственны. Функции
/)W--£=A.f ■ "-w
(Xj — d)	(x-	x,)	a>n	(a:,)
,	/=	1,	2,	.. . , n — 1,
L ®я-1
-1 w_
(a)
удовлетворяют условиям p2n-i(fj) =0,	i,	/=1,	2,	n.
Поэтому
b	a
I j P (x) f (x) dx ~ £ Ci/ (Xi) j < Сгя-1 Р2Я-1 (/),
a	t'=l
166

где
Ъ	о
ci = | P (x) fi (x) dx, C2n-1 = (2n — i)\ J P ^(,/V ~Cp) W/'-1 ^ dx'
a	a
Аналогичная формула имеет место, когда выбирается хп = Ь. При
этом con-i(^) должен быть ортогонален с весом р(х)(х—Ь) про¬
извольному многочлену не выше п—2. В качестве функции fj(x)
можно взять
fi (х) =
Ъ — х
b — Xj
%-1(*)
(X — Xj) Шп(х)
®«-1 (*)
,	/=	1,	2,	.. . , л — 1,
“л-1 W
fn (X) =
а С2л_ 1 будет равно
ъ
С2,г-1 = /0 1 1Ч, Г Р (ЛС) (6 — X) W„_1 (х) dx.
(2/г— 1)! J
а
При xn-i = a, xn = b, k = 2п—2 и с0п—2 (х) ортогональном с весом
р(х) (х—а) (х—Ъ) на [а, b] произвольному многочлену степени
не выше п—3 в совокупности функционалов p2n-2, F, F\, •••, F2n-2
несущественны функционалы Fn+U Fn+2, ..., F2n-2. Функции
/,(х) =	(х-а)(Ь-х)
(.Xj — а) (6 — Xj)
4-2 W
Шя-2(Х)
(х — х,-) со^_2 (х;-)	.
,	/=1,2	л —2,
/л-1 (х) =
®„-2 (д)
— а)	(6	—	а)	[	<в„_2(6)	J
удовлетворяют /Дх)еО(p2n-2), Fi(fj)=6ij, i, /= 1, 2, п. При
этом получим
b	п
I j‘ p(x)f (X) dx — £ С{/ (х{) | < С2л-2 Р2Л-2 (/),
i=l
где
о	о
Ci = ^P (х) /i (х) dx, Cm-2 = (2п_2)| ^ р (х) (х—а) (6 ■-х) сол-2(х) dx.
а	а
Последние три формулы носят название формул численного инте¬
грирования Маркова.
Заметим, что все коэффициенты сг- формул численного интегри¬
рования Гаусса и Маркова положительны. Кроме того, так как
167

при f(x) = 1 и k^l pk(f)=Oy то во всех рассмотренных случаях
п	b
J] Ci = j P(x)dX.
t=l	а
Наконец заметим, что если f(x)—произвольный многочлен сте¬
пени N, то при k>N будем иметь рл(/)=0 и, следовательно, при
достаточно большом п все эти формулы дадут точные значения
для
ь
j p(x)f (х) dx.

Глава II
АППРОКСИМАЦИЯ В ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущей главе мы исследовали множество значений не¬
которого функционала F, определенного на линейной системе L,
когда множество элементов f^L подчинено условиям: Fi(f)=au
i= 1, 2,	/г, и р(/)^1, где Fi — заданные линейные, линейно¬
независимые функционалы, р — нелинейный, так называемый оце¬
ночный функционал и а* — заданные числа.
В данной главе будет рассмотрен случай, когда оценочный
функционал задается скалярным произведением. При этом удается
эффективно выделить указанную выше область и указать опти¬
мальное значение для функционала F (/). Основное внимание уде¬
ляется способам отыскания этого оптимального значения.
Сведения о предгильбертовых пространствах, используемые в
этой главе, сосредоточены в примере 1.10 гл. I. Дополнительные
сведения о гильбертовых пространствах, которые нам потребуются
в дальнейшем, приведены в соответствующих местах данной
главы.
§ 2. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Гильбертово пространство является линейным нормированным
пространством. Говорят, что последовательность {fn} элементов
линейного нормированного пространства L сильно сходится к эле¬
менту feL, если
lim||/„ — /II = 0.
/г—» оо
Так же как и в классическом анализе, доказывается, что в этом
случае для любого е>0 можно указать такое ЛДе), что при любых
m, n>N(&)
II/т — /JI <8.	(2.1)
169

Если последовательность {fn} элементов L такова, что для любого
£>0 можно найти такое Я(е), что при любых т, n>N(s) выпол¬
нено неравенство (2.1), то говорят, что {fn} сильно сходится в
себе. Назовем систему L полной, если всякая сильно сходящаяся
в себе последовательность сильно сходится к некоторому элементу
f^L. Легко показать, что каждая сильно сходящаяся в себе после¬
довательность может иметь только один предельный элемент. По¬
ка мы не встретимся с другими видами сходимости, для краткости
будем опускать слово «сильный» и говорить, что последователь¬
ность {/п} сходится к feL или что она сходится в себе.
Если система L не полна, то ее можно сделать полной, добавив
новые элементы следующим образом. Каждой сходящейся в себе
последовательности {fn} ставится в соответствие элемент. Он бу¬
дет совпадать с f^L, если {fn} сходится к f. Он будет новым эле¬
ментом, если в L не существует такого элемента /, к которому
сходится {fn}. Две сходящиеся в себе последовательности {fn} и
{gn} определяют один и тот же элемент, если
— £,1 = 0.
П~*оо
Если {fn} определяет таким образом элемент / (бывший ранее в L
или добавленный согласно сказанному), то элемент cf определяет¬
ся последовательностью {с/п}. Если элемент f определяет¬
ся последовательностью {fn}, а элемент g— последовательностью
{gn}, то элемент f + g определяется последовательностью {fn + gn}>
а (/, g) — последовательностью (fn, gn):
(/, g) = lim (/„, gn).
П—>оо
Этот предел существует. Действительно,
I (/л» gn) (/gm) I = I (/я ' fm> gn) "T (/m> gn gm) I ^
<\\fn~fm\\ II+ 11 /mil [fiTn —fifml-
Последнее следует из неравенства Коши — Буняковского (см. при¬
мер 1.10). Так как {fn} и {gn} сходятся в себе, то ||/п|| и ||gn||
ограничены, a ||/n—fm\\ и ||gn—gm|| могут быть сделаны как угодно
малыми. Таким образом, последовательность (fn, gn) удовлетво¬
ряет условиям Коши и сходится. Также легко показать, что (f, g)
не зависит от последовательностей, определяющих f и g.
Без труда проверяется, что пополненное таким образом множе¬
ство L образует линейную систему и что введенное таким образом
скалярное произведение удовлетворяет нужным условиям.
В дальнейшем мы всегда будем считать, что гильбертово про¬
странство полно. Будем обозначать полное гильбертово простран¬
ство буквой Я.
В гильбертовом пространстве легко проверить линейную зави¬
симость и независимость элементов.
170

Лемма 2.1. Пусть fь /2, • ••, fn — элементы гильбертова простран¬
ства Н. Тогда определитель Грамма
(fu
/2)..
• • (/x,
/,)
(/г>
e+>^
1—1
/2)..
• (/2,
/„)
(,fn,
/2)..
• • (A,
fn)
равен нулю тогда и только тогда, когда элементы fu f2, fn ли¬
нейно-независимы.
Докажем достаточность. Пусть элементы fu f2, fn линейно¬
зависимы. Тогда существуют действительные числа Ci, с2у	сп,
не все равные нулю, такие, что
Clfl -Г с2/2 + ... + Cnf:l = в.
Умножим это равенство скалярно на fi, f2, ..., fn. При этом полу¬
чим
Су.(fu fi) + c2(fi, h) + ... + cn(fi, fn) = 0,	/	=	1,2,...,	n.
(2.2)
Будем рассматривать эти равенства как систему линейных алге¬
браических уравнений относительно си с2у ..., сп. Она имеет не¬
тривиальное решение. Следовательно, ее определитель, который
является определителем Грамма элементов f 1, /2, ...» fn, равен нулю.
Докажем необходимость. Пусть определитель Грамма T(fb f2,...
..., fn) равен нулю. Составим по элементам fb f2, ..., fn систему (2.2)
относительно с 1, С2, ..., сп. Она имеет нетривиальные решения.
Обозначим через с\, с2, ... , сп какое-нибудь из них и через g—
элемент
g = Cifi + cS/a-f- ••• +c»/„.
Тогда равенства (2.2) можно записать в виде
(Л. £) = °>	*	=	1,	2,	...	,	/г.
Умножим каждое из этих равенств на соответствующее с* и сло¬
жим полученные результаты. При этом будем иметь (g, g) =0.
Отсюда по свойству гильбертова пространства
g = cl fx -Ь clf2 — . . . -L Cn fn = 0.
Таким образом, элементы fu f2, ..., fn линейно-зависимы. Лемма
доказана.
Пусть Н1 — некоторое линейное полное подпространство Н и
т — произвольный элемент Я. Назовем число
m = inf j]/ — g\\
getfi
171

наименьшим уклонением f от Нх. Очевидно, m определено всегда,
как бы ни выбирались /еЯ и HxczH. Назовем ф^Нх элементом
наилучшего приближения для f^H из Нха Я, если
||/ — ф |! = /77.
Лемма 2,2. Элемент наилучшего приближения существует.
В Нх имеется последовательность элементов {gp}, такая, что
lim —
р~* оо
Следовательно, для любого е>0 найдется такое N, что при любых
р, q>N
—	Wf	—	gqKm	+	E.
Отсюда
m< Jpj_gv_	+	Л-Ц	f—gQl<m	+ e.
Далее, по тождеству параллелограмма,
W-gP) + (/ — <§'«/) I!2 -f W-gP)-(f-g,)f = 2||/-^ll2 + 2\\f-gq\\\
Таким образом,
II gP gq IP = II (/ gp) (/	gq) f = 2 |j / —■ gp ||2	+ 2 I / — gq ||2 —
• 4 /
gp T gt7
< 4 (/772 -h 2/778 -r s2) — 4/Т72 = 4 (2/77 + 8) 8
и последовательность {gp} сходится в себе. В силу полноты Нх
имеется элемент ф = lim g’p, ф^Ях. Для этого элемента имеем
р-* 00
!/ — ф1! = 1!(/ — gp) + (gP — ф) КII/—gpll + flgp—ф||-
Выбирая р так, что
f--gP <«» ■ ~1 • gp- "ф: <
получим
I; / — ф • < m + е.
В силу произвольности 8 > 0, отсюда следует
|,7 — ф 1: = /72
и ф является элементом наилучшего приближения.
Замечание 1. Утверждение леммы будет справедливым, если
под Hi понимать не подпространство, а произвольное замкнутое
подмножество Я. Замкнутость множества Нх при этом понимается
в том смысле, что если к Нх принадлежит каждый элемент fn, схо¬
дящийся в Я последовательности {/„}, то к Нх принадлежит и
172

предельный элемент. Доказательство существования элемента наи¬
лучшего приближения в этом случае остается прежним.
Замечание 2. Как в случае, когда Нх является подпростран¬
ством Я, так и в случае, когда Нх является выпуклым замкнутым
подмножеством Я, элемент наилучшего приближения для каждого
элемента f^H будет единственным. Действительно, если ф! и фг —
два элемента найлучшего приближения для	(фь	ф2^НХ), то,
применяя использованное выше для gv—gq неравенство, получим
о С II ф! — Фар НК/ — ф2) — (/ -фг)!2 = 21 / — <Pi!P -!- 2 !| / — ф2||г -
< 4т2 — 4т2 == 0.
^ _ ф! Н~ Ф2
Отсюда ф! = ф2.
Лемма 2.3. Если Нх— подпространство гильбертова простран¬
ства Я и ф^Я) — элемент наилучшего приближения для	то
для любого элемента g^Hx
(/—ф. g) = 0.
Действительно, пусть ф — элемент наилучшего приближения
для |еЯ в Я! и пусть существует такой элемент gx(=HXy что
(/ —ф, gi) = аф0.
Не уменьшая общности, можно предполагать, что lig'ill = l. При
этом
/ —Ф —agif = (/ — ф — ag, / — ф — 0^)1 = ||/ — Ф?| — a?<lf— ф|2,
т. е. ф не является элементом наилучшего приближения.
Замечание. В Нх не может быть двух элементов ф! и фг, таких,
что имеет место
(f—Фь g) = (/—ф2, g) =0, где £<=Я 1 — произвольный.
Действительно, если такие элементы существуют, то ||ф!—фг112 =
= (Ф1—Фг, Ф1—Фг) = ((/—Фг) — (/—Ф1), Ф1—Фг) = (f—Фг, Ф1—фг) —
— (/—Фь ф1—фг) =0, т. е. ср! = ф2.
Этим самым мы еще раз доказали единственность элемента
наилучшего приближения в случае, когда Нх является подпро¬
странством Я. Также доказано, что условие леммы 2.3 является
не только необходимым, но и достаточным, чтобы ф являлся эле¬
ментом наилучшего приближения.
Лемма 2.3 утверждает, что элемент f—ф ортогонален любому
элементу, принадлежащему Нх. В этом случае говорят, что эле¬
мент f—ф ортогонален Нх. Обозначим через Яг совокупность всех,
элементов Я, ортогональных Нх. Если
/_ ф=ф,
где /еЯ и фопределен леммой 2.2, то 1|)еЯь причем пред-
ставление
173

/ = Ф + Ч?
определяется однозначно элементом /еЯ и подпространством Яь
Н\~ также является подпространством Я. Доказывать нужно толь¬
ко полноту Яi4 Остальное очевидно. Если последовательность
{г()п} элементов Я^ входится к элементу феЯ, то для любого
?еЯ1 будем иметь
\(% §) 1 = К^ —^ А) К 111? —	\\§1
Правая часть стремится к нулю при п-*оо, а левая часть не зави¬
сит от п. Следовательно, (ф, £)=0 и феЯт1*. Я]1- называется
ортогональным дополнением Яь Очевидно,
н = н1@нЬ.
(Понятие прямой суммы было введено в § 2 гл. I.)
Линейный функционал F называется ограниченным в Я, если
существует такое число С, что для любого /еЯ
1^(/)1<сц/|.
Точная нижняя граница всех таких чисел С называется нормой F
и обозначается ||F||.
Лемма 2.4. Пусть Е2, ..., Fn — линейные ограниченные функ¬
ционалы в гильбертовом пространстве Я. Тогда Hi = 0(Fu f2, ...
..., Fn) является линейным подпространством Я.
Доказывать нужно только полноту Яь Если последователь¬
ность {фп} элементов ЯТ сходится к элементу феЯ, то будем
иметь
1ЛЖ1 = 1^(^-^)1<1!Л|М1ф-^|1	/=1>	2,..., /г,
т. е. Fi (ф) = 0,	/=1,2,...,	/г, и ф<= Я^
Лемма 2.5. Всякий линейный ограниченный функционал F в
гильбертовом пространстве Я можно представить в виде
Fif) = (/» Я),
где g — некоторый элемент Я, однозначно представленный F. При
этом ||F|| = ||g||.
Рассмотрим подпространство H{ = 0(F). Если Яi совпадает с
Я, то полагаем £ = 0 и лемма доказана. Если Н{ не совпадает с Я,
то представим
н = н1@нЬ.
Возьмем произвольный элемент феЯ]1-, ф#0, и рассмотрим эле-
менты
Ф/ = F(t)'k — F№)f>
где / — произвольный элемент Я. При этом Я (ф/) = 0, т. е. ф/ЕЯь
174

Следовательно,
(ф/. Ф) = (F (/) Ф — F (ф) /, ф) = О
F{f) = _£М_ у ^ ^ ,'д _£СФ)_	ш
KU (Ф, Ф)	Т' \	(ф, Ф)	V
F Ш
Полагая £ =	г|э,	получим	первое	утверждение леммы.
Докажем единственность элемента g. Если бы существовало
два элемента gu Й2^Я, таких, что
F (/) = (/, ft) = (A ft)
при любом f^H, то мы должны были бы иметь
(A ft—ft) = 0
для любого f^H. В частности, при /=ft—ft получим
(ft — ft. ft — ft) = il ft — ft li2 = 0,
а это возможно лишь при ft—ft=0 или ft=ft.
Далее,
КА £)1<!1/!1 • IIg 11-
Таким образом,
, ип<ш-
С другом стороны, при f = g получим
F(g) = (g, g) = ll£lHlftl-
Итак, ||f|| = ||g|| и лемма доказана.
Замечание. Для a|)=gVllg|| мы будем иметь ||ф|| = 1 и
^(Ф) = ~r(ft £) =Hlft!-
ilftl
Для любого другого элемента с ||f|| = l будет
I ^ (/) I = I (А S)l<;!/Hl£ll = |ftl-
Таким образом, на множестве элементов /еЯ с |!Л1 = 1 набольшее
значение \F(f)\ равно \\gII и оно достигается при f = ф, где г|х=Я f
введено выше. Конечно, оно достигается и при f = —\|э.
Пусть наряду с ф имеется еще элемент /=^ф, /^Я, с ||f|| = l,
такой, что E(/) = ||g||. Очевидно,	так	как	равенство	привело
бы к f = *ф.
Рассмотрим элемент (/ + \|:)/2. Для него
- (2±±_\ -^il

и в силу строгой нормированное™ гильбертова пространства (см.
пример 1.10)
Но тогда для элемента
(/+40/11/-Ы>||.
норма которого равна единице, мы имели бы
Ft J±*.)=F(1+±)I\J+X >|g|,
\ I/ + «U V 2 //	2
что невозможно. Итак, F (f) принимает свое наибольшее значение,
равное Ilg’H, на множестве элементов	с	||f||	=	l	только при
f = 0j).
Лемма 2.6. Пусть Fu F2,	Fn — линейно-независимые линей¬
ные ограниченные функционалы на Я. На множестве А(а\> «2, ...
ап) элементов /^Я, на которых функционалы Fi принимают
заданные значения Fi(f)=au i= 1, 2, п, существует единствен¬
ный элемент f0 наименьшей нормы. Этот элемент ортогонален под¬
пространству Hi = 0(Fu F2,	Fnj.
Произвольный элемент [еЯ можно представить в виде
f=ч> ч- j] Fi (/) д>
i=i
где ереЯ и Fi(fj)=6ij, i, j= 1, 2, я. Элементы Д можно считать
принадлежащими #f. Если этого нет, то представим Д, как при
определении ЯД, в виде
А = Фг + 'Фг*
где ф{еЯ! и яД <= ЯД. При этом F} (Д) = 8iy = Fj (<р4) + Fy (яД) =
= Еу(яД), т. е. элементы яД, принадлежащие Н{~9 удовлетворяют
нужным условиям. Будем считать, что ДеЯтА
Подсчитаем ||/|| для элементов /<= А (а1у а2, ... , аг1):
II / II2 = (ф + £ «г/i, ф + £ «гД) = IIФ I2 + 1£ а,д ||2.
1= 1	1 = 1	1=1
Таким образом, ||f||2 принимает наименьшее значение на множе¬
стве А (аь а2, ..., а„), когда f = fo, где
/о = £ «Л.	(2.3)
1=1
Очевидно, /о^яД. Лемма доказана.
176

Замечание. Элементы /у, такие, что /у е tf F{ (/у) = 64у, i> ] =
ss 1, 2, ... , /г, о которых говорилось в лемме, определены однознач¬
но. В самом деле, если, например, имелись бы элементы /д, /ь та¬
кие, что :/х —/i = /1^0, /i,	Л (Л) = Л (/0 = би, i = l,
2, ... , п, то /i должен принадлежать Нх и tfj1, а это возможно
лишь при /i = 0. Попутно мы доказали, что Я]1* з данном случае
имеет размерность я и что функционалы Я2, ... , Я/г линейно¬
независимы на этом множестве.
Теорема 2.1. Пусть Fи F2i ..., /7?г — линейно-независимые линей¬
ные ограниченные функционалы в гильбертовом пространстве Н.
Совокупность значений F (f) на множестве элементов f^A(аь аг, ...
а?г), для которых ll/ll^r, r^Wfol есть отрезок
F (/о) ~ \Fm (г2 - II /о Г)2 < F (/) < F (/0) + [F (ф) I (г2 -1| /0f)2 ,
где /о определено равенством (2.3) и ф— замечанием к лемме 2.5.
Любой элемент f^A(au а2, ..., ап) можно записать в виде
где ф^Я1 = 0(771, F2, ..., Fn). Пусть F — произвольный ограничен¬
ный линейный функционал, такой, что F, Fu ..., Fn линейно-неза¬
висимы. Будем рассматривать его на подпространстве Яь По за-
. F (/) — F (/о)
Итак, всякий элемент / е Л (ах, а2, ... , ал) представим в виде
/ = ф + /о.
и
[Я(/)-Я(/о)]г
Я сW
[Я (/) — Я (/о)]8
Я(Ч>)
177

При этом равенство достигается, если взять т = 0, т. е. при
Fm
Теорема доказана.
Теорема 2.1 полностью решает для гильбертовых пространств
задачу, поставленную в § 4 гл. I. Заметим, что середина отрезка
значений F(f) на рассматриваемом множестве целиком опреде¬
ляется элементом fo в равенстве 2.3. Этот элемент не зависит от
функционала F и значения г. Поэтому естественно назвать его
оптимальным. При любом функционале F F (f0) будет оптималь¬
ным значением для F(f) при данной информации.
Если из (f, f)— 0 не следует, что f = 0, т. е. если L является
предгильбертовым пространством, то как и в § 3 гл. I переходим
к фактор-системе L/0(р, Fu Я2, Fn). Если О(р) в этой фактор-
системе содержит кроме 0 и другие элементы, то рассмотрим на
этом множестве линейно-независимые функционалы Fь F2,	Fn.
Пусть Fp+i, Fp+2,	En линейно зависят от них. Тогда вводим но¬
вое скалярное произведение
[Л g]-(f,g)^'£Fi(f)Fi(g)-
1=1
Для него имеет место следующее: если [f, f]=0, то f = 0. Попол¬
нив, если это необходимо, фактор-систему Ь/0(р, У7!, ..., Яп) в
смысле Ilf|| = ]/[/, п. мы придем к гильбертову пространству Ну
для которого будут справедливы все предыдущие рассуждения.
Пример 2.1. Поясним смысл введенных понятий на примере
конечномерной системы Rx, N>n. Как мы видели (см. пример
1.10), в этом случае скалярное произведение определяется посред¬
ством
(х, у)s = хТ g у = уТ g х,
где хТ, уТ—векторы-строки или матрицы IXN (одна строка и
N столбцов, знак Т сверху справа у матрицы означает транспони¬
рование) и & — (eij)—симметрическая, неотрицательно или поло¬
жительно определенная матрица.
Рассмотрим, сначала, случай, когда ё положительно опреде¬
ленна. При этом из (х, х)о? — 0 будет следовать х = 0, т. е. по тер¬
минологии предыдущей главы RN является гильбертовым прост¬
ранством. Покажем полноту этого пространства. Пусть {х(р)} про¬
извольная сходящаяся в себе последовательность. Тогда для любого
г>0 существует такое Я, что при всех ру q>P имеем
II XW — Х(<?) У = (х(/;) — Х<*>)Т g (х(Р) — хW) < 62.
178

Введем в Rn еще одно скалярное произведение
N
(*. у)/ = 2 *i Ui = Хт у = УТ X
1=л
(/ — единичная матрица NxN). Так как любые две нормы в ко¬
нечномерном пространстве эквивалентны (см. пример 1.8), то най¬
дем |ы> 0, такое, что
р I х(р> — х<*> ||/ < || хй>) — х№ У < е.
Отсюда
I хо»_х(*)
р
и
I х\р) —	|	<	—	1=1,2, ... , N.
м-
Таким образом, существует такой вектор у, что
lim x{f) = ук, 1=1,2,
Р~ЮО
Так как норма в Rn является непрерывной функцией компонент
вектора (см. пример 1.8), то
lim || х<р> — у|Jg- = 0.
р->оо
Любое подпространство Н{ размерности N—п в Rn определяет¬
ся равенствами Fi(x)= 0, i= 1, 2, ..., /г, где Fi — некоторые линей¬
ные и линейно-независимые функционалы.
В самом деле, пусть хб), х<2), ..., х<^-п) — какой-либо базис Н\.
Дополним его векторами x^N~n+l\ x(N~n+2\ ..., #) до полного бази¬
са Rn. Ортонормируем векторы хб), х<2), x(N) в смысле скаляр¬
ного произведения (х, у)х как в примере 1.17. Пусть новый базис
будет уб), у(2), ..., yW. При этом убб является линейной комбина¬
цией
хб), хм, ... , х<*> и (уб), у(/))/ = б4/, t, /=1,2, ... , N.
Система уравнений
N
£ yfXj = 0, i = N — n+ 1, N — пА- 2, ...
/=i
определит всю совокупность элементов HL и только их. Но
N
Fi(x)='£tfi)xi-, i = N~n + 1, N-n + 2, ...,N,"
J=1
179

являются линейными функционалами в RN. Утверждение дока¬
зано.
Пусть у — произвольный вектор Rn и Нх — какое-то подпро¬
странство Rn. Наименьшее уклонение у от Нх будет определяться
наименьшим значением т, при котором эллипсоид
(х — у)Т g (х —у) = т
имеет общие точки с Нх. При этом
значении т эллипсоид будет касаться
Нх и точка касания определит элемент
наилучшего приближения *0 (см.
рис. 12, где N=2, п— 1). Все линей¬
ные функционалы в RN ограниченны.
Действительно, пусть
F(x) = V с{х{.
Рис. 12
Тогда по неравенству Коши — Буняковского
|F(*)|< (£ cff (£*?)1/2 - (£ cTf12 • 11x11/
Г=1	1=1	7=1
и учитывая эквивалентность норм при подходящем М
|F(x)|<Mg ^)1/2||х||,.
1 = 1
Пусть в Rn заданы п линейно-независимых функционалов
N
Fi (x)=J^cllxh t = 1, 2, ... , п.
/=i
Множество Л(аь а2, ..., ап) является гиперплоскостью RN> парал¬
лельной Hx = 0(F 1, F2, ..., Fn)=A(Oy 0, ..., 0) размерности N—п.
Чтобы получить оптимальный элемент х0, нам нужно найти такие
векторы х^\ что
F. (х(/)) = 8ц, i, /=1,2, ... ,п и х« <= tff.
Обозначим

Тогда искомые векторы должны удовлетворять матричному
уравнению
СХ «= /,	(2.4)
где I — единичная матрица размера пХп.
Пусть С — произвольная матрица размера nXN (n^N). Мат¬
рица CJT1 размера NXn называется правой обратной для С, если
ССп1 = I.
Аналогично вводится левая обратная матрица для С:
с-'с = /.
Таким образом, для решения уравнения (2.4) нам нужно найти
правую обратную матрицу для С. Если ранг С равен п (как это
имеет место в нашем случае), то СТ1 существует. Действительно,
в этом случае для любого вектора b^Rn имеется его. прообраз
XZEzRn'.
Сх = Ь.
Пусть уВ), у(2), у(п) (уW^Rn) какие-либо прообразы векторов
Ci, е2, еп (координатных векторов Rn). Тогда в качестве CJT1
можно взять
сг1
(у\1) yi2) ...
d" yl2) •.. yin)
..(О ..(2)	(п)
KPn Уи . . . Уы )
Общее решение уравнения (2.4) можно представить как частное
решение С1Г1 и общее решение однородного уравнения
CY = 0,	(2.5)
где справа стоит нулевая квадратная матрица порядка п.
Рассмотрим матрицу размером NXN
Rn = I~Cn1 С.
Для нее будем иметь
сяп = с—сс^'с = 0.
Таким образом, какую бы матрицу D размера NXn мы не взяли,
RJD будет являться решением уравнения (2.5). Покажем, что лю¬
бое решение (2.5) можно записать в таком виде. В самом деле,
если У — некоторое решение (2.5), то
181

RnY = Y — CiT* CY — Y,
т. e. Y представляется в указанном виде с D = Y.
Итак, общее решение (2.4) записывается в виде:
X = CZl + RBD.
Теперь нам нужно выбрать из этой совокупности решений такое,
которое принадлежит НЬ. Это удобно сделать не из полученного
общего выражения, а используя следующие рассуждения.
Каждый столбец Ru удовлетворяет уравнению
Су = 0,	(2.5')
где у и 0 — векторы столбцы (матрицы NX 1). Так как ранг С ра¬
вен п, то совокупность решений (2.5') образует пространство Н{
размерности N—п. Так как любой вектор Н{ можно получить как
линейную комбинацию столбцов RUy то ранг Ru равен N—п и Rn
содержит N—п линейно-независимых столбцов гь г2, Гдг_п, яв¬
ляющихся базисом Нх. Столбцы cti, а2, ап матрицы СТ1 линейно¬
независимы и не принадлежат Нх. Поэтому гь г2, Гдг_п, <ri, а2,...
..., ап образуют базис Rn. Ортогонализируя его при скалярном
произведении (х, у)#, как в примере 1.17, мы получим векторы
Zi, Z2, ... , ZN—ny ^1» ^2> • • • ’
последние п из которых и удовлетворяют нужным условиям
Fi($i) = б{/,	i, j'=1,2, ... , п.
Заметим, что при осуществлении этого процесса нет необходимости
предварительно выделять линейно-независимые векторы i*i,'r2, ...
..., гN—n• Можно последовательно ортогонализировать столбцы Ru.
При этом если на каком-то шаге мы получим нулевой вектор, то
соответствующий столбец следует опустить, так как он линейно
зависит от предыдущих. Процесс продолжается со следующим
столбцом. Когда мы получим N—п ортогональных векторов ziy
процесс заканчивается, даже если мы еще не перебрали все столб¬
цы Ru.
Оптимальный элемент записывается в виде
п
*о = j] <*i St.
i=1
Гиперплоскость А(аъ а2, ... , а/г) пересекает эллипсоид
хТ g х < г2
(если пересечение не пусто) по эллипсоиду размерности N—п.
Оптимальный элемент х0 будет являться центром этого эллип-сои-
182

да. Действительно, любой элемент Л(а[, аг, а„) можно записать
в виде
х = хо + У-
где у e//i. При этом
(х0 + У)т & (х0 + у) = xj $ х0 + Ут § у = (х0 — у)Т S (х0 — у),
так как (х0, у)§ = 0. Таким образом, если (х0 + У> хо + У)» < г2> то
и (х0 — у, х0 — у)»<г2.
Пусть у щ Н1г || у |]? = 1, произволен и
х = су + х0.
Тогда
F {х) = cF (у) + F (х0)
и если
(с у + х0, с у + х0)* < г2,
то
с2< г2 — II х01||.
Следовательно, на диаметре эллипсоида 5г(р)П^(аь аг, ап),
параллельном вектору у, функционал F (х) изменяется в пределах
F (х0) — [г2 — II х0 ||I]>/21F (у) I < F (х) < F (х0) +
+ I''2 — II Хо ||1]1/2 |Д(У)|-
Этот промежуток будет иметь максимальную длину, когда у, удов¬
летворяющий поставленным условиям, таков, что | Т7 (у) | прини¬
мает наибольшее значение. Это наибольшее значение достигается
для у, где
уеЯ^П Нъ I у Ц, = 1, #2 = 0 (F%FX, ... , Fn).
Действительно, любой вектор у, уе Нъ || у ||$ = 1 можно записать
в виде
у = dy+ z,
где г e//j, При этом
II у III = d2 -I- IIZ III = 1, [F (y) = dF (y)
и |F(y)| будет наибольшим, когда ||z||s= 0 или y = y (см. рис. 13).
На рис. 14 показано взаимное расположение гиперплоскостей
д (cti), jF (х) = Fmax, F{x)=Fmln, где Fmах и Fmln — наибольшее и
наименьшее значение F(x) на множестве 5г(р) f| A (ai), а также
множества 5г(р) и 5||x0|U (р) для случая N = 2, п=1.
Рассмотрим теперь случай, когда 6 — симметричная неотри¬
цательно определенная матрица и | <g | (определитель матрицы <§)
183

равен нулю. В этом случае О(р) содержит ненулевые векторы и
мы воспользуемся указанием, сделанным перед началом данного
примера. Для наглядности ограничимся случаем N = 2, п= 1. Пусть
F,(х) = *1+Х2, «1 = 1, F(х) =хи
Таким образом,
(х, у) = (*! — хг) (уг — у2), II х ||| = (хх — x2f.
Множество О(б) состоит, в
данном случае, из векторов х,
для которых х\ = х2. Функцио¬
нал F\ не равен тождественно
нулю на этом множестве. Поэ¬
тому образуем новое скаляр¬
ное произведение
[х, у] =(*1— Х,)(01 — Уг) +
+ Ft (x)F(y) =
= 2х1у1 + 2 хгуг = хТ (21) у.
При этом
6? (х) = ||х)!(22/) = 2х2
и 0(pi) состоит только из нулевого элемента. На рис. 15 было взя¬
то г — 1.
Приведенный пример показывает наряду с другими факторами
трудности, которые возникают при отыскании оптимального эле¬
мента и оценок. Поэтому дальнейшая часть главы будет посвящена
этим вопросам.
184
2
)
0(р)
/*0 ] \|
' Х1
Л v
\/ N.
/\
А (а,)
F(x)-F
' ГТ11 п
F(x)*f
max
Рис. 15

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА
И ОЦЕНКИ
Мы предполагаем, что функционалы F, Fu Fn ограничены
в Я. Таким образом, на основании леммы 2.5, найдутся элементы
g, gu •••> 8п такие, что
F(f) = (/. g), Fiif) = (/, ft), i = 1, 2, ... ,n,
для любого fetf.
Если функционалы E, ..., Fn линейно-независимы, то и эле¬
менты g, gi, ..., gn линейно-независимы. Действительно, если суще¬
ствуют такие числа с, съ ... , сп, что с2 с\ -f- .... -f с2п ф 0 и
eg + Cift + ... Л- = 0.
то для любого элемента / еЯ имеет место
e(f, g) -f сЦ/, ft) + ... + с„(/, ft) = О
или
^(/) + ^г(/)-ь ... з-сЛ(/) = о.
Это противоречит линейной независимости F, Fь ..., Fn.
Пусть, как и прежде, Hx = 0(Fu F2, Fn). Элементы ft, ft, ...
..., gn принадлежат Hi~. Действительно, пусть
ft = <PiJr%> i — 1, 2, ... , n,
где фjEffj и ф4<= Яf. Тогда
Л (ф*) = (фг» Фг) 4- (Фг. Фг) = II Ф* И* = О
и, следовательно, фг = 0, i=l, 2, ..., /г.
Как следует из замечания к лемме 2.6, Н\~ имеет размерность
п. Поэтому элемент fo, принадлежащий Н\-, можно представить
в виде
/о =*	+ c2g2 + ... -]- cngn.
Коэффициенты ci определим из условий Л-(/о) =агД= 1, 2, ..., д.
Таким образом, мы придем к системе
п	п
(/о. gi) = £ ct(ft, ft) = £ ft/Ct = a/( /=1,2, ... ,n,
1=1	1=1
где gij=gi,gj). Определитель этой системы есть определитель
Грамма F(gь g2, •••, gn) линейно-независимых элементов и поэтому
отличен от нуля. Запишем систему и представление /0 в виде
п
]Г gijCi + ajCn+i = 0, j = 1,2, ... , n,
t=l
7 H. П. Жидков	185

где сп+1 =—1, и будем рассматривать совокупность этих равенств
как систему линейных однородных уравнений относительно с\, с2,...
..., сп+и забыв на время, что /о и gu g2, gn элементы Н, а не
числа. Так как система имеет нетривиальные решения, то должно
быть
= 0.
Отсюда
gn •
• • Sin
«1
5*21 •
• • ftn
a2
Snl • «
' • gnn
<*П
gl *
• • £n
/о
• Sin
«1
gn .
■ • gin
0
gzi •
• ftn
a2
i
~r
ft!
• • ftn
0
gnl •
* йип
an
gnl •
• • gnn
0
gi •
* ft
0
ft •
• • gn
/о
= 0
fo =
а2
О ai
gi
gz gii
gn
dn
I (gij)
(2.6)
т. e., формально разложив определитель в числителе по элементам
первого столбца, получим искомую линейную комбинацию элемен¬
тов gu g2, -gn- Нетрудно проверить, что условия (f0, gj)=ajy
j= 1, 2, ..., пу при этом выполнены.
Из равенства (2.6) следует, что
F(fo) = -
0 ai a-г
F(gi)
an
gij
F (gn)
I (gij) 1
(2.7)
(fo, /o) = ll/o!l2 =
0 ax a2 ... an
ai
a2
gij
dn
i to/) I
(2.8)
186

Элемент а|) должен принадлежать	где	H2 = 0(F, Fu...
Fn). Так как он должен принадлежать Hi", то, рассуждая так
нее как и при отыскании /о, мы приходим к выводу, что его можно
представить в виде
П
Ч? = cg +J] cift,
г=1
где с, с 1, ..., сп — действительные числа. Эти числа надо подобрать
так, что Fj(ty)=0, / = 1, 2, п.
Итак,
= c(g, gj) + £ Ci(£;, gj) = 0,	/=1,2,...,	п.
L — \
Это однородная линейная система из п алгебраических уравнений
относительно п+1 неизвестных с, си •••, сп. Ранг этой системы ра¬
вен п. Следовательно,
с: сл
Six
S21
Sl2 • •
S22 • •
•	gin
*	g2n
:(- 1)
(g> gi)
(g. Si)
S12 .
S22 •
■ • Sin
• * S2n
gnl
Sn2 • •
• Snn
(s> Sn)
Sn2 •
• • gnn
If
(£> Si)
(g> g2)
S11
S21
S13 • • •
S23 • • •
gin
g%n
(g> gn)
Srtl gns • • • gnn
(- о"
(S’»	5*1)	S11	S12	• •	•	gln—l
(S»	gz)	S2I	S22	• •	•	g2n—1
(S>	gn)	gnl	Sn2	• •	•	grin—I
Подставляя эти определители вместо с и Ci в выражение для ф,
мы формально можем записать
(f» Si),
(g> gn)
Si* • -gn
где число с* подбирается так, что (ф, ф) = 1. Это даст
7*
187

- ^ I = с‘ I (gi/) I (g, Ф) = 1.
0 gl ■■■ gn
(g> gi)
:	Sa
(g> gn)
Так как (g{, ф) =^7г(Ч|) =0. Подставляя сюда вместо ф его выра-
жение через определитель, получим
(.8> g) (g> gi)
(g> gi)
§a
(g> gn)
(ф, ч>) = с* I (gu)
Отсюда
Таким образом,
F2 = с
(g> gn)
= 1.
<£> g) (g> gi) ■
(g, gi)
Sij
(g> gn)
(g> gn)
— 1
= I (gi/) Г*
(g. g) (g> g l) • • • (g, gn) 2
(fir. gl)
Sij
(g> gn)
(fir. fir) (fir. fiTi) • • • (fir. gn)
(g. fiTi)
I	Sij
(fir. gn)
Оценка, полученная в предыдущем параграфе, может быть записана
в виде
0 cci .. • а»
F(gi)
: 81/
F(gn)
F(f)
I (8t/) I
<
<
(&. g) (8> gl) (g. gn)
1
0 ai ... an
(g. gl)
ai
: 81/
: sij
(g> gn)
(f, /) +
an
1 (gij) 1
1 (gij) 1
)
188

или
(/, g) Oj . .. а„
fei. ft
:	Si/
ten. g)
<
te. г) (s'- ft) • • • (ft ft)
(/, /)«!...«„
(ft- ft
®1
: Su
; ft/
(ft. ft
ft
Если ввести новое скалярное произведение
(Л g) (/> ft) • • • (f, g„)
. (ft. ft
(А ft =
ten. г)
то последнее неравенство будет иметь вид
</. g)*<(t, /) te. ft-
Это неравенство Буняковского — Коши для введенного таким обра¬
зом скалярного произведения.
Возьмем в качестве аппроксимируемых элементов gi, t= 1, 2,...
..., п, т. е. в качестве aj, j= 1, 2,	п, возьмем aj = Fj(gi). Тогда,
по (2.3), получим
Ли = £ ft (gi) fi = £ (ft. ft) //» г = 1,2,	,	Я,	(2.9)
/=i	/=i
где элементы fj принадлежат	и	удовлетворяют условиям
ft(fj)=Sij, А /=1> 2, ft. Но по (2.6) в этом случае получен
fot=ft-. Следовательно,
П	П
Е (ft. ft) // = Е Fi (ft) U = ft- i=l,2, ... , ft. (2.10)
/=1	/=1
Система (2.10) отражает тот факт, что при аппроксимации любого
элемента пространства tff, для которого элементы £ь g2, gn
являются базисом, мы получим в качестве оптимального элемен¬
та f0 сам этот элемент.
Из системы (2.10) получаем
£ft(ft)^(/y) = ftft)-
/=1
(2.11)
189

Отсюда можно найти коэффициенты F(f}) для полученного из (2.3)
выражения
которое является аппроксимацией F (/).
Выражение (2.9) можно записать в виде
О F^g) ... Fn(g)
F(gi)
:	stj
Если учесть (2.7) и (2.12), то (2.9') можно переписать в виде
Таким образом, первый множитель оценки квадрата отклонения
F(f) от его оптимальной аппроксимации F(f0) равен отклонению
F(g) от своей оптимальной аппроксимации. Второй множитель
равен отклонению (/', f) от его оптимальной аппроксимации (f0, f0).
Пример 2.2. Пусть, как и в примере 2.1, H = RN со скалярным
произведением
где S — положительно определенная, симметричная матрица.
Пусть F, Fu ..., Fn, n<iV, линейные, линейно-независимые функ¬
ционалы. Найдем элементы g, gz-, такие, что
для любого хе^. Проделаем это, например, для F. Пусть
п
(2.12)
F*W) = F(g)+ —^
IШ I
(2.9')
п
Fi(^) = F(g)~yiFi(g)F(fi).
(2.13)
(х, у) = хТ g у,
F(x) = (х, g), Fi(x) = (х, gt), i = l,2, ... , п,
N
F(x) =	с^.
190

Аналогично, если
N
Fi (х) = £ aHxi’ / = !• 2, ... , п,
1=1
то
g, = §~l a j,
где
а7 = (а1/( а,/, • ■ • - «///)-
При этом
ft/ = (gi. g/) = A(g/) - ^ (gi) = g7 £ g/ = a7 3 §~l A, = a7 3 а/,
^(gi) = ^(g) = (gi, g) = aT|-ic,
f(g) = (g. g) = cT§-i c,
т. e. все значения, необходимые нам для отыскания f0, F(i0),
(Jo, Jo), ^2(ф) находятся после обращения &. Можно воспользо¬
ваться либо соответствующими выражениями в виде определите¬
лей, либо использовать (2.11) и (2.13). Последние примут вид
2(a7<g-,a/)/7(fy) = a7^-1c, £=1,2,... , п (2.1 Г)
/ = 1
Р(ф) = ст г-1 с-2 (а7 с)74//).	(2.13')
/-=1
В частности, при § = / (евклидова метрика) мы получим
ft/ = а7 а,-, Т7 (g,-) = а7 с, Т7 (g) = сТ с,
£ (а7 a j) F (fj) = а7 с, £=1,2, ... , п,
/=*
а
1=1
Рассмотрим случай N = 3, /г = 1, /^(х) = х3, а = 1,
Т7 (х) =	+ Х2 + *8.	1; х ]2 = -f л| + Хз,
г = 2. Вычисления показывают
х7 = (О, О, 1), F(х0) = 1, Я(<*) = 2.
Таким образом на 5г(р) Г)Д(1) мы будем иметь
[Т7 (х) — I]2 < 6.
P(4>) = cTc-£(a7c)77(f/).
191

Отметим еще, что квадрат обычного евклидова расстояния от на¬
чала координат до линейного многообразия RNy определяемого
уравнениями /7г(х)=аг-, i = 1, 2,	/г,	равен
О ах ... ап
«1
м=-
а,- а
I (а? ау)
Пример 2.3. Пусть L — система функций, определенных на от¬
резке [—я, я] и обладающая там суммируемой с квадратом про¬
изводной, с обычным определением сложения функций и умноже¬
ния их на действительные числа.
Определим в L скалярное произведение, положив для любых
двух элементов f и g, принадлежащих L,
(/. g) = j [/' (х) g’ (х) + а7 (х) g (*)] dx,
—Я
где а — некоторое число, а^О. Интеграл понимается в смысле
Лебега.
Рассмотрим сначала случай а>0. Нетрудно проверить, что все
необходимые для скалярного произведения условия выполнены и
из (/, f) =0 следует f = 0. Пополнив, если это будет необходимо, Ь9
мы получим гильбертово пространство.
Пусть в L заданы функционалы
я
С (/) = — С f (х) cos rxdx, г = 0, 1, ... , п,
л J
—Я
г я
Ss (/) = — J / (я) sin sxdx, s = 1, 2,
, /г.
Их линейная независимость следует из линейной независимости
функций 1, sin л:, cosx, sin2x, cos2x, ..., sin пх, cos пх. Разыщем
такие функции фг(я), что Cr{f) = (f, фг). Для любой функции feL
мы должны иметь
я	я
(/. Фг) = j [/' (*) Фг М -Г а2/ (*) фг (*)] dx^f (х) фг (х)	+
—Я	—Я
ТС	я
+ J / (х) [— ф"г (х) -г а2фг (X)J dx — -у- j" f(x) cos rxdx,
192

Отсюда фг(*) должны являться решениями следующих краевых задач
— Фг (х) + а2фг (х) = —cos гя, фг (— я) = фг (я) == О,
г = О, 1, ... , п.
Этими решениями будут
Ф,(х) =
COS гх
-, г = 0,1,	,	п.
л (а2 + г2)
Разыщем теперь функции ф5 (х), такие, что Ss (/) = (/, ф5). Мы
должны иметь для любой функции / е L:
ТС	ТС
(Л Ч>*) = j U' (х)Ь(х) a2f(x)^t(x)]dx = f(x)^’s(x)
Л	Л
+ ^ / W [—	(х)	+	я2^	0*0]	dx	=	—	J	f	(х)	sin	sxdx,	s=	1,2,	...,	п.
Отсюда приходим к краевым задачам
— ф* (х) + а2ф8 (х) = — sin sx, ф* (— я) = ф* (я) = О,
Я
s = 1, 2, ... , п.
Решениями этих краевых задач являются функции
ф,(*) = •
1
я (а2 + s2)
sinsx — (— l)s
s sh ax
a ch яа
Таким образом, каждый из наших функционалов можно предста¬
вить в виде скалярного произведения и поэтому все они ограни¬
чены.
Найдем- теперь необходимые для дальнейшего скалярные про¬
изведения. При r=s = 0 будем иметь
я
(Фо> Фо) = ~тт ( dx =
я2а2 J
яа*
Если хотя бы одно из чисел г или s не равно нулю, будем иметь
ТС	JT
(Фг. ф«) = j [фг Фз + а2фгф5] dx = фгф5 -Г j фг [— ф'з -Г а2ф3] dx =
ТС
=	   Г	cos	rx	cos	sxdx	■
я2 (a2 + г2) J
—Я —Я
О
II
я (а2 + г2)
при г ф 5,
при г = S.
193

Далее
Я
(Фг» “Ф.) = jV[— Ф* С* + «Ч* (*)]
—я
1
я2 (а2 +
cos rx sin sxdx = О,
(Фг. Ф*) = J ФД — Ф* + а2Ф*] dx =
—Я
Я
1	Г	г	,	,	1	чг	г sh ах
=	 \	|	sin	ГХ — (—	1 )r
д2 (а2	Г2)	j	L	а	ch	яа
sin sxdx =
(— l)r+s 2rs th яа
я2а (a2 + г2) (a2 + s2)
1	,	2r2	th	яа
я (a2 + г2) я2а (a2 + r2)
при г ф S,
при г = s.
Для определения элемента f0 воспользуемся равенством (2.3),
а для определения входящих в него элементов fj— уравнениями
(2.10). Введем при этом новые обозначения. Элементы fj в (2.3),
соответствующие нашим функционалам Сг(/), обозначим через
иг(,т), а элементы fj, соответствующие функционалам Ss(f), обо¬
значим через сrs(f). При этом (2.3) в новых обозначениях примет
вид
/о (*)=£СД/)хД*) + 2 S, (/)*.(/)•
г=0	s—1
Соответственно система (2.10) перейдет в
п
£(ф.. Фг)М*)+£ (Фз. Ф9)М*) = фД*)> s=0. 1...., л,
г=0
<7=1
п
£ (Фр. Фг) (*) -Г- £	Ф«)	О0	W	=	М’	Р	s	1	’	2-	•	•	•	’	"•
<7=1
г=0
В силу найденных ранее выражений для скалярных произведений,
первые п 1 из этих уравнений сведутся к
яа
2 , ч 1
«о (*) =
я (а2 + s2)
1	,	ч	coss*
*.(*) = ■
я (а2 + s2)
5=1, 2,	,	п.
194

Отсюда	j
Хо(*) = -р М*) = cos sjc, s = 1, 2, ... , п.
Последняя группа из п уравнений перейдет в
П
£ (Фр. ФЛМ*) = ФрМ. Р = 1, 2, ... , п.
<7=1
Если выписать здесь явно скалярные произведения, то получим
S(— 1)р+<7 2pq th яа	L уар (х)	__
я2а (а2 + р2) (а2 + q2)	‘я (а2 + р2)
<7=1
psh ах
sin рл:— (— 1)р
или
я (а2 + р2) [	а Яа
(— 1)^ 2р th яа yi (	1)^ дод (х)	& ^ =
яа	^	а2	+	р2	р
<7=1
= slnpx — (— 1/ pshax-
ach яа
Запишем ар(х), р= 1, 2 п, в виде
ар (х) = sin рх -f ер (х).
При этом получим
psh ах
(— \)Р 2р th яа у! (— \у qog (х) J	=	,	j	_р
яа Zmi а2 + р2	р	а	ch	яа
<7=1
или
8 (х) _= (_ пр+1 р { 2th яа V (— *)* ^ (*) sho*
р	[	яа	J	а2 + q2 а ch яс
<7=1
Выражение в фигурных скобках от р не зависит. Поэтому
/ Ч =	2	th	яа	yi	(-	1)?	qog	(х)	sh	ах
яа ^ а2 + q2	а	ch	яа	’
<7=1
бр (*) = (— 1 )p+1 Р&1 (х)> Р= 1. 2, и.
Отсюда получаем
8 (х) =т 2 th яа (—	Я tsin Ях + (— 1)‘?+1 gBi (х)]	sh	ах
1	яа	а2	+	q2	а	ch	яа
<7=1.
195

или
®i (*)
2 th яа
яа
2 th яа V! q2
яа ^ а2 + q2
<7=1
(—- \)qq sin qx ^ sh ax
£—
AU a
Таким образом,
®1 (x) =
<7=1
+ й2
a ch яа
яа
2 th яа VI (—l^qs’mqx ( shax
2il a2 + q2
ach яа
д=л
1 +
2 th яа
яа
<7=1
+ я2
2 th яа	(—1)4 sin qx	sh	ах
яа
У-Ы
а2
Ор (X) = Sltl рх + (— 1 )Р+1 р.
<7= 1
+ <?2
ach яа
2 th яа
яа
<7=1
+ <72
Отсюда находим /„(*)• Если Cp{f) = ap, р = 0, 1 п, Sq(f)=bq,
<7=1, 2 п, то
П
fo(x) = ~Y (ft cos kx + bk sin kx) +
k=\
- . (— 1)^ ^ sin kx
2 sh яа > .	——	+	я	sh	a*
a2 + k2
+ !
■s
k=\
яа ch яа + 2 sh яа > , —;
a*
/г2
fc=l
+ £2
k=\
Мы видим, что полученное выражение состоит из двух частей.
Первая из них представляет частную сумму ряда Фурье функции
f(x). Выражение в фигурных скобках не зависит от рассматривае¬
мой функции f(x). Поэтому вторая часть может быть легко вы¬
числена, если заранее вычислить фигурную скобку и умножить ее
п
на множитель (—l)k+l kbk. Если функция f(x) четна, а в этом
/г=1
196

лучае непрерывно ее периодическое продолжение на всю прямую,
то коэффициенты bh равны нулю и вторая часть отсутствует.
рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешности, если в каче¬
стве функционала F (f) выбран F(f)=f(x), где х — произвольная,
но фиксированная точка отрезка [—я, я]. Найдем множитель
р2(^), входящий в оценку. Для этого воспользуемся выражением
(2.13). При этом нам потребуется элемент gx^L, такой, что
= &)=/(*)
для любой функции f(x)^L. Действуя аналогично предыдущему,
мы получим
f (х) = (/, gx) = f [/' ш gx (I) + 0?f Ш g (£)] dl =
—Я
= f(l)gx(l) f+ J/(!)[-**(£) +«*&(£)№
—я - я
Таким образом,
—	+<**&(Е)	=	6(1 —jc), gx(-n) = g'x(n) = О,
где б(х)—так называемая дельта-функция, т. е. такая обобщен¬
ная функция, что для любой функции f(x)^L и любого хе[—я, я]
имеет место
Мы не будем здесь останавливаться подробно на свойствах дельта¬
функции. Для получения £*(£) нам нужно лишь указанное выше
свойство. Желающие могут проверить, что полученная таким обра¬
зом функция £*(£) удовлетворяет нужным нам условиям.
Функция Грина нашей краевой задачи (о функциях Грина бу¬
дет рассказано подробно в следующем параграфе) имеет вид
ка, *) =
cha(g + tt)cha(s—я)
	——	 при	§	^	s,
a sh 2яа
ch a (13 — jt) ch a (s + я)	^	.
4	-	—-—	при | > S.
a sh 2яа
Таким образом,
дДЮ= jW s)8(s-x)ds-=K(l X).
19 7

Отсюда
F(g):=g {х) = К(х, x)== ch a (x + я) ch a (x я) =
a sh 2яа
sh2 ax . cth яа
a sh 2яа	2a
Далее, без труда находим
Cp(gx) = (Фр> 8х) = р{%) = ФР(*) = я(а2 + р2) ■ Р = 0. 1.
s,<&> - f«.) - тттЬг
л (а2 + <72)
a ch яа
<7=1, 2,	,	и,
_1_
2
F (и0) = —. F (кр) = cos рх, р = 1, 2 га,
F (о,) = sin qx — (— 1)? 9e1(x),	<7=1,	2,	... , га,
где ех (лг) определено ранее. Таким образом,
я «>=-2 е- <«■>F w -
р=0
Я
V’c /^r/,v	sh2ax	. cth ла
+^;
<7=1
n	n
1	,	VI cos2 px ] V!	i
2яа2	я	(a2	+	p2)	J	я	(a2	+?2)
p=1	<7=1
-]-St
sin qx
 ^Я sh ax
a ch яа
sh2 ax	cth	яа
[sin qx — (— 1 )q qzx {x)]
n
1	,	V4	1
4- ■
a sh 2яа	2a
П
sh ax
St
2яа2	я	(a2	+	p2)
p=i
у	?81П£_
a ch яа	я	(a2	+	<72)	я	(a2	+	q2)
<7= 1	<7=1
a ch яа я (a2 + <?2)

sh ax
jta sh 2яа
cth зга
и
и 'O’	(—• 1 )r/ <7 sin ax
я sh ал: -f 2 sn яа > —	—	—
a2 -f* q2
q=1
+
2a
2
2яа2 ‘ JmJ я (a2 + p2)
p= l
ex
(— 1)? qs’mqx
<7=1
(a2 + Ф
■ 8i (X)
sh ax ^	q2
a ch яа я (a2 +. q2)
<7=1
= вЦх)
sh ax
яа sh 2яа
яа ch яа -f 2 sh яа ■
k2
k=\
a2 + k2
+
cth яа
2a
2яа2	я	(a2	+	p2)
p=l
Bi
/,аШ (—l^singx
^ 2j	я (a2 + q2)
<7=1
— 8l(x)
= ex (л:)
sh ax
n
Sq* =
я (a2 4- <72)
2 ch яа aJ я (a2 + <72)
<7=1
sh ax
2sh яа
yiV (— l)?<7sinffx
<7=1
я (a2 + <72)
П
j cth яа   Г 1	,	VI	1	"M
| 2a	2яа2	^	я	(a2	+	P2)	J	J
/7=1
Разложение chax в ряд Фурье на отрезке [—я, я] имеет вид
оо
1
2a sh яа
2яа2
(— Y)p cos рх
—1	я (а2 + р2)
р=1
На основании известных условий этот ряд равномерно сходится к
chax на [—я, я]. Обозначим
Rn(x) =
ch ax
2a sh яа
1
2яа2
У—
я (
■ 1	(— \)р cos рх
; (а2 + р2)
2-5
(— 1) COS рх
р=1	7?=п+1
Тогда выражение для ^(ф) можно записать в виде
[«„(я)]
(а 2 + р2)
199

Оценим каждое из входящих сюда выражений. Мы имеем
Rn(n) = У 	  <—	f—-— = —arctg—< —.
Z-л я (а2 + р2)	я J а2 х2, яа	п	яп
р=п~-1
Далее
Р., (у-) =
2 sh яа
а ch ах
2 sh я а
yl (— \)Р р sin рх
р=1
2
р= 1
п
у (-1
я (а2 + р2'
я (а2 + р2)
(— 1)^ р2 cos рх
р=1
Отсюда
(я) = — cth яа -f
я _ а2 уч
/г я	а:
Р=1
1
 с = — cth яа +
я (а2 + р2)	2
р—1
+ р2
Л
Я
1
2я
+ o?R(я) > — \п + 2- + aarctg —1.
я [	2	Л+1J
Оценим теперь Rn(x). Так как на отрезке [—тс, я] производная от
shcu;/2sh:rm ограничена величиной -^-cthjta, то на [— я, л]
sh ax
2 sh яа
< —cthjta/
2
Обозначим
(— \)р р sin рх
р=1
(а2 + р2)
Эта функция нечетна и обращается в нуль в точках х = 0, ± я.
Поэтому достаточно оценить ее на интервале — я < Х< 0. При этом
нам следует оценить функцию
Уп(У) = ю„(я + У) =
Р Sin ру
р= 1
(а2 + р2)
на интервале 0<#<я. Пусть v =	^делая часть — j. Если
п < v, то будем иметь
200

р= 1
При ft>v разобьем уп(у) на два слагаемых
Р sin ру
: (а2 + р2)
+ S^r-»-W + T-W.
: (а2 + р2)
р=1	p=v+l
Для У,а(У) получим ту же оценку, что и ранее. Чтобы оценить
у (у)/ применим преобразование Абеля:
я—1
где
Полагая
получим
Е аЛ= Е («р — QP+i) ВР — av+i fiv + а А
p=V~H	p=v+l
в,=Е6-
/е=1
йр я (а2 + Р2)
и
, bp — sin ру, Bp=^\sh\ky,
k=\
УпЗ
п—\
- 2Ь
р+ 1
p==v+l
(а2 + Р2) я[а2 + (р+ I)2]
v+ 1 д j п в
я [а2 + (v + I)2] v 1 я (а2 + п2)	”
Оценим Вр. Мы имеем
р	р
2sin	^	2sin ky 6in ^ Tcos -bj у —
fc=l	ft=l
Итак,
— COS (k -j — ] у
I Bp\<-
ft=i
= cosf-(p + ±)y.
1
sin ■
так как при 0 <	,
sin — ■< — — = —.
2 я 2 я
Н. П. Жидков
201

Будем предполагать, что v(v+l)—а2^0. Это всегда можно обес-
печить, взяв а2^2. При этом квадратные скобки под знаком сум¬
мы в выражении для уП2 (у) будут положительными. Поэтому
п—1
 	  р	+	1
_	(а2	+	р2)	я [а3 + (р + I)2]
p=v-(-l
+
v+1	^	п	1	=	2(у+1)
1	/	О	I	I	Г	-.9»	I	/	I
я [а2 + (v+1)2] я (а2 + я2) j [а2 + (v + I)2] у
Таким образом,
<   <"
^ (V+ 1)1/ ^ я •
I Уп (У) | < 1 + —,
Я
| Rn (х) I < 1 + — cth яа.
я
Мы доказали, что
Я(ф)<
-[‘+т
Яа хи
 cth яа
J 1_
,	I
1	а	пп
п + — + а arctg •
2	п-\-	1
Последнее выражение стремится к нулю при оо как О j.
Второй множитель, входящий в оценку, будет меньше, чем
(/. /) = j t/12 + a2/2] dx.
Итак, при п-+оо построенная нами функция fo(x) будет равно
мерно стремиться к f(x) на [—я, я]. Это, вообще говоря, не имеет
места для ряда Фурье этой функции, хотя бы в случае /(—п)ф
¥=f{n).
Распишем подробнее второй множитель оценки. Нам нужно
найти (f0, /о). Для этого заметим, что
(cos рх, cos qx) |
I я
(cos px, sin qx) = 0,
0	при	p^q,
(a2 + p2) при p = q,
(sin px, sin/pt) = |	^
l я (a +,
при рф-q,
p2) при p = q,
(sh ax, cos px) = (sh ax, sin px) — 0,
202

(sh axy sh ax) = a sh 2яа,
(1, 1) = 2jta2.
Отсюда, воспользовавшись выражением для /0, получим
п
(/о. /о) = - --у— + я J (<х2 -!- /г2) (а* -|- bk) +
k=\
П
4 sh яа ^ (— 1)* Tikbk
m (-1 )k+'kbk
k2
2
ласИ яа + 2 shjta ^^ t u2 k=x
• + k2
k=\
n
SZlk2
—a -^2 + я2а sh 2яа	n1
*=1 л ! T (—i )fe+1^
k2
яа ch яа + 2 sh яа > —
i-J a<
k=\
ti\
[2
/г=1
2
11
2[£
Ж ' я (a2 -r £2) (ai ■ r $	—	+
сь	\	4
ft=I	2	a+2jn(a2	+	n
L“	J	яааа2|
f dh"»+£
k =1
“	[S(-.»‘4
- n \	(a2	+	A2)	(a*	4-	&*)
fc=l
8*
203

Итак,
lRn Ml2
^(я))2-Ц[/'2 + а2/2]^-
l Я„(*)	'	[_
П
па2a„	^	1	2	2	[У]	(—
• ~ i mwJ i a?\ I LZ-I	J
2
<!=i
К„(я)
где
л» м = -?-+S cos kx+sitl kx>> —R"(x)' 5] 1 )*
2	^	Rn(*)	ti
fe=l
Так как f0(x) равномерно стремится к f{x) на [—я, я] при я-*оо,
то
/ (— я) = lim
~ -!- Va^costrt
k=l
R»W
ft=i
f (я) = lim
/Z-XX
Отсюда
/(я) —/(—я) = lim
——|- V ak cos &я •
2
fc=l
*>) VI
*»<»>
2<-»‘
kbb
Rn(-«)-R'n{*)_^{_l)kkbk
Rn («)
fc=i
= я lim — V (— l)ft+1
kbh
fe=i
Случай a = 0 можно рассматривать, переходя к пределу в полу¬
ченных выражениях при a -*-0. Мы будем иметь
h (*) =
Оо
П
k~\
х + 2^1- 1)*
sinkx
(ak cos kx -f bk sin kx)■
/2=1
2n+ 1
X
X 7	(-l№,
/2 = 1
204

я
П
11
^ f'2dx — я
2jt [£ (- '
X
k=\
До сих пор мы не предполагали, что функции f(x) могут быть
периодическими и непрерывно продолженными на всю числовую
прямую. Предположим теперь, что система L такова, что для лю¬
бой функции feL
При этом и все функции, построенные нами в предыдущих рас¬
суждениях, должны удовлетворять этим условиям. В частности,
таковыми должны быть функции cpr(x) и ^s(x). Граничные усло¬
вия для них теперь примут вид:
' Фг (— П) = Фг(Л)> Фг(—Я) = ЧУ(я), ф5(—Я) = ф5(я^),
ям— я) = ф,(я).
Полученные ранее функции фг(я) удовлетворяют этим граничным
условиям, а вместо прежних функций tys(x) нужно взять
Скалярные произведения (<pr, <ps) и (<рг, ф5) сохранят свои значе¬
ния, а
/(— я) =/(я).
Отсюда найдем
Х° М = \’ Кр ^ = C°S pXl ^ = Sin QX
и
п
То (х) =	^	(ak	cos	kx	+	bk	sill	kx).
k=l
Мы получили обычный ряд Фурье.

В новых граничных условиях получим
K(l, S) =
Отсюда
cha(jT +i-A. при g<s.
2а sh яа
cha(Jt+s-D при l>s
2а sh яа
FQx) = К{Х, X) =
ch яа
2а sh яа
Таким образом,
cth яа
Я(г|>) =
2а
cth яа
cos2 рх
sin2 qx
2яа2	я	(а2	+	q2)	^	я	(а2	+	Я2)
р= 1	<7=1
2а
2-
2яа2 '	я	(а2	+	р2)
р=1
= *„(0)
л
[/(*)-/о (*)]2<Я,,(0) { J [/'2 + a2/2] dx
—Я
п
— n'-L a?al + J (а2 -Ь &) (at + b\) }.
k=\
Эта оценка лучше предыдущей, но не по порядку, а по величине.
Вернемся снова к общей теории. Как уже было отмечено в кон¬
це предыдущего параграфа, если скалярное произведение таково,
что существуют ненулевые элементы geL, для которых (g, g)=0,
то следует перейти к фактор-системе L/0(р, Fu F2,...,Fn), где
p(f) = Y (f, f). Если же и в ней имеются ненулевые элементы, при¬
надлежащие О(р), то следует ввести новое скалярное произве¬
дение
[Д £] = (/. g) + '£Fi(f)Fi(g).
Здесь р — максимальное число линейно-независимых на О(р)
функционалов среди Fu F2,...,Fn и Fь F2,...,FP линейно-независи-
мы на О(р). При этом на 1/0(рь Fu...,Fn), где рх(/) = [/, Я-у,
из pi (Ф) =0 будет следовать Ф = 0.
В О(р) найдутся такие элементы fu /2, что
Fi(fi) = 6ih i, j = 1, 2, ... , p.
206

Любой элемент 0(р) можно записать в виде
/ = £Л(/)/*.
Кроме того,
[/. А] = (А А) + Л(/)=Л(/)
для любого элемента f^L/0(р,	, Fn), так как
(/. А)2 < (А /КА, А) = о.
Итак, элементы /* будут играть роль элементов git скалярные про¬
изведения которых на / дают /\(/). При этом
[A. A] = V
Все это упрощает полученные нами выражения. Так, [при р = п в
этом случае мы получим
/о = J aiA.
i=l
F(f0) = '£aiF(fi),
i = 1
[A,	[A	/]-[/„, /0] = (/, /).
i=l
§ 4. ВОСПРОИЗВОДЯЩИЕ ЯДРА
Получение элементов gь g2,	которые	определяют	функ¬
ционалы fi, F2,	являются не простой задачей. В этом пара¬
графе мы рассмотрим еще один подход, который позволит нам опре¬
делить эти элементы, и, следовательно, применить всю теорию пре¬
дыдущего параграфа.
Пусть X — произвольное множество и Я — гильбертово про¬
странство действительных функций f(x) с областью определения X.
Действительная функция К{х, у) двух переменных х и у с
областью определения X по каждому из переменных, принадле¬
жащая как функция х при любом j/gI пространству Я, назы¬
вается воспроизводящим ядром, если для любой функции f(x)^H
и любого у^Х
f(y) = (f(x), К(х, у))х.
Здесь индекс х у скалярного произведения показывает, что при
вычислении скалярного произведения мы рассматриваем входящие
в него сомножители как функции х.
207

Рассмотрим некоторые свойства воспроизводящих ядер.
Лемма 2.7. Для того чтобы в Н существовало воспроизводящее
ядро, необходимо и достаточно существование при любом у^Х
такой постоянной Су, зависящей только от у, что
\f(y)\<cym
для всех f €EzH.
Докажем необходимость. Если воспроизводящее ядро сущест¬
вует, то по неравенству Коши — Буняковского
_i_	_i_
\ny)\<\\f(x)\\[(K(x, у), К(х, у))х]2 =|/||[/С(ft У)]2.
Таким образом, в качестве Су можно взять [К{у, у)]1/2.
Докажем достаточность. Зафиксируем j/gX и рассмотрим
функционал
Fy(f) — / (у)'
По условию леммы он ограничен. Следовательно, существует та¬
кой элемент gy(x)^H, что
Fy(f) = f(y) = (f(x), gy{x))x.
Таким образом, в качестве воспроизводящего ядра можно взять
gy(x).
Замечание 1. Так как элемент gy(x) определяется функциона¬
лом Fy(f) однозначно, то в Я может существовать только одно
воспроизводящее ядро.
Замечание 2. Из доказательства леммы следует, что
_i_
sup 1/(0)К[/f(ft У)]2.
НАМ
С другой стороны, если в качестве f(x) взять функции
/(*) = ± -V ■ 11/1 = 1.
[К{у, у)]2
то получим
f(y)=(± -К(х’-УХ, К(Х, 0Й =±[/C(ft у)\2.
V [К(у, У)]2	К
Таким образом
j_
sup \f(y)\ = [К(у, у)]2.
В частности, отсюда следует, что К(у, у)^0 для любого j/eX и,
если К{у, у)= 0 для некоторого у^Х, то и f(y)= 0 для всех
208

Пространствам, обладающим воспроизводящим ядром, присуще
амечательное свойство, связанное со сходимостью элементов.
Прежде чем переходить к доказательству этого свойства, приве¬
дем еще одно определение. Ранее мы ввели понятие сильной схо¬
димости в линейном нормированном пространстве. Определим
теперь понятие слабой сходимости. Говорят, что последователь¬
ность {fn} элементов линейного нормированного пространства L
слабо сходится к элементу feL, если для любого ограниченного
линейного функционала F, определенного на L, имеет место
lim F(/„) = F(f).
/г-»оо
Очевидно, из сильной сходимости {fn} к f следует слабая сходи¬
мость {fn} к f. Обратное не всегда верно.
Лемма 2.8 Если гильбертово пространство Н обладает воспро¬
изводящим ядром К(х, у), то последовательность функций {fn(x)}>
принадлежащих к Н и сильно сходящаяся в Н к функции /(я)еЯ,
сходится к f(x) в каждой точке х^Х в обычном смысле:
limfn(x) = f(x). Эта сходимость равномерна на любом подмно-
-»00
жестве Х'аХ, на котором К(х, х) равномерно ограничена. Если
{fn(x)} слабо сходится к f(x), то \imfn(x) =f(x) в каждой точке
п->оо
х^Х, но, вообще говоря, сходимость неравномерная.
Если у — произвольный фиксированный элемент X, то
I f(y)~ fn (у) I = I (/ (X) — fn (X), К(х, у))х I <
_1_
<11/-/я|| ИК(*. y)l = M-fn№(y> у)]2-
Отсюда и следует первое утверждение леммы. Далее
I / (У) - fn (У) 1 = 1 (/ (*), к (X, у))х - (/„ (X), к (X, у)\х\.
Скалярные произведения (/(*), К(х, у))х и (fn(x), К(х, у))х
можно рассматривать как линейные ограниченные функционалы
на Н. Поэтому если {fn(x)} слабо сходится к f{х), то из послед¬
него равенства следует, что fn(y)-+f(y) п.ри п-^оо для любого
у^Х. Лемма доказана.
Замечание. В любом нормированном пространстве действитель¬
ных функций f(x) при f(x)= 0 будем иметь ||/||=0. Однако могут
существовать и функции }(х)фО, для которых ||/||=0. Это проти¬
воречит тому, что в нормированном пространстве должен сущест¬
вовать один и только один нулевой элемент, так как все функции,
для которых ||f|| = 0, принимаются за один элемент пространства.
Как следует из доказанной леммы, в гильбертовых простран¬
ствах Я, обладающих воспроизводящим ядром, из ||/|| = 0 следует
f{x)= 0.
209

Воспроизводящее ядро является симметричной функцией своих
аргументов. Действительно, пусть у и г — произвольные фиксиро¬
ванные элементы X. Тогда
К (у, г) = (К(х, г), *(*, у))х = (К(х, у), К(х, г))х = К(г, у).
Воспроизводящее ядро обладает еще одним характерным свой¬
ством.
Лемма 2.9. Если К(х, у) — воспроизводящее ядро в гильбер¬
товом пространстве Я, то для любых уи у ,...,уп, принадлежащих
У^Уз пРи i¥=j> квадратичная форма действительных перемен¬
ных аь 0.2, •••, оп
п п
2 £ К(Уг> «//)<**<*/
i=1 /=1
неотрицательна.
Действительно,
2 J X (Уь Уд а4а;- = £ £ (/С (х, г//), /С (х, г/4))х а*ау =
i=l /=1	1=1 /=1
= (£ «Д (х, уд, сц /С (х, t/{)) = J J а* /С (х, уд ||2 > 0.
1=1 1=1 ^ 1=1
Лемма доказана.
Применяя лемму к квадратичной форме
а2 К (х, х) -f 2ар К (х, у) + |32 К (у, у),
получим
[К(Х, У)]2<К(Х, Х)К(У, у)
для любых х, i/gJ.
Справедливо и утверждение, обратное предыдущей лемме.
Лемма 2.10. Пусть К(х, у) — действительная функция х и у,
определенная по каждому из переменных на множестве X, причем
К(х, у)=К(у, х). Пусть, кроме того, для любого целого положи¬
тельного п, любых действительных ои щ, ...,ап и любых
У\, У2,-~,Уп, Уг^Х, УгФУз пРи 1Ф\> квадратичная форма
п п
i=i /=1
неотрицательна. Тогда имеется гильбертово пространство Н, для
которого К(х, у) является воспроизводящим ядром.
Так как мы хотим получить пространство Я, для которого
К{х, у) является воспроизводящим ядром, то мы должны вклю¬
чить в число элементов Я функции К(х, у) при любом у^Х. Сле-
210

повательно, при любом целом положительном п, любых у и У2,--Уп,
и-еХ’ У^-Уз ПРИ	и	любых действительных аь 0.2,ап
функция
£<*,*(*,&)	(2.14)
(=1
также должна принадлежать Я. Совокупность функций вида (2.14)
уже образует систему. Действительно, если
п	т
/(*) = £ а{К (х, у*), £ (*) = £ Рi /С (х, Zf)
i—i	(=1
две такие функции, то выберем все различные элементы среди
уи У2,--,Уп, zi, z2,...,zm. Пусть это будут U, i2,...,tT. Тогда можно
записать
/(*) = £ а'К(х, tj), *(*)=£ ft’fK(x, t}),	(2.15)
/=i	/=1
где a'j равно аи если ^ = */г, и равно нулю, если tj не совпадает ни
с одним yi. Аналогично и с Р/. При этом
f (*)+g{^)=Yi	"*■ ^ к
/=1
т. е. f(x)+g(x) имеет вид (2.14). Далее, если f(x) имеет вид
(2.14), то
cf(x)^J^caiK(x, у{)
1=1
имеет вид (2.14). Обозначим систему функций вида 2.14 через L.
Введем в L полунорму, используя ее связь с квадратичной фор¬
мой, построенной по воспроизводящему ядру, установленную при
доказательстве предыдущей леммы. Для элемента вида (2.14) по¬
ложим
р2 (/) = р2 (£ aiK(x, yt)) = £ 2 а*а/-К (i/i. у,)-
i=\	i=l	/= 1
To, что все условия, которым должна удовлетворять полунорма,
будут при этом выполнены, проверяется без труда.
Покажем, что для' этой полунормы выполнено тождество па¬
раллелограмма. Действительно,
211

р2 (/+g) -f p2 (/-£)=£ £ («;• pi) (<*;•+p)) * (/t, t,)+
i=i /=i
-r £ £ (ai - Pi) («;. - Pi) /с (th ti) = 2 2 £ /с	*y) +
1=1 y = l	1=1	/=1
+2£ £K {ti’ ^ ^2p2 (/) +2p2 (я)’
i=1 /=1
где выражения для f <и g взяты из (2.15). Таким образом (см. при¬
мер 1.10), в L можно ввести согласованное с р(/) скалярное про¬
изведение, с помощью равенства
г г
(/- g)=j- (р2 (f+g)- р2 (/ - г» - 2 Sti]-
i=1 /=1
Если существуют такие элементы f^L, что (f, f) =р2(/) =0, но
1(х)ФО, то будем рассматривать фактор-систему L/0(р). Попол¬
нив, если это необходимо, полученную систему, мы придем к гиль¬
бертову пространству Я. Рассуждая как при доказательстве лем¬
мы 2.8, можно убедиться, что добавленные при пополнении элемен¬
ты будут также являться	функциями,	определенными	на X.
Покажем, что К(х, у)	является воспроизводящим	ядром	в	Я.
Пусть f(x) имеет вид (2.14). Тогда, рассматривая К(х, у) как
выражение вида (2.14) с rt= 1 и си = 1, получим
{f{x), К(х, у))х = (£ а{К{х, Уд, К(Х,	У))( = £ щК(у,	Уд = f{y).
i—1	' t=l
Справедливость этого равенства в случае, когда f(x) нельзя пред¬
ставить в виде (2.14) (f(x) добавлена при пополнении), следует
из возможности переходить к пределу под знаком скалярного про¬
изведения, доказанной в § 2. Лемма доказана.
Замечание. К(х, у) определяет гильбертово пространство одно¬
значно. Действительно, если существует другое гильбертово про¬
странство Яь то, как следует из доказательства леммы, должно
быть H\ZdH. Пусть [(х)еЯь но f(x)^H. Тогда найдется элемент
fi(x)^H наилучшего приближения для f(x) в Я. На основании
леммы 2.3, для любого элемента g(x)^H должно быть
■(/(*) — A (*)» g(*)) = °-
В частности,
(/ (х) — h (X), К (х, у))х = /(*/) — h {У) = о,
т. е. f(y) = f1{y).
212

Будем называть множество элементов {/а} нормированного
пространства L всюду плотным в L, если для любого	и	лю¬
бого е>0 найдется такой элемент fa множества {fa}, что
II/ /а II <С 8*
Как следует из доказательства последней леммы, если гильберто¬
во пространство Н обладает воспроизводящим ядром К(х, у), то
совокупность функций вида (2.14) всюду плотна в Я.
Лемма применима, например, к вполне положительным ядрам,
введенным в примере 1.4.
Зная воспроизводящее ядро К(х, у), нетрудно найти для лю¬
бого ограниченного линейного функционала F(/) такой элемент
^геЯ, что для любого элемента i/еЯ
^ (/) = (//£)•
Действительно,
g(x) = (g(y)> к (У- х))у = (К (у, х), g(y))y = FyK (х, у),
где индекс у у функционала Я означает, что он берется от К{х, у)
как функции у.
Скалярные произведения (g*, gj), использующиеся при опре¬
делении /о и оценок, также находятся легко.
Действительно,
(ft. gj) = ^ (ft) = FiFiF (*. y)-
Конечно, функционалы Fi и Fj берутся по разным переменным.
Теперь нетрудно переписать полученные формулы в терминах вос¬
производящих ядер.
Рассмотрим примеры на отыскание воспроизводящих ядер.
Пример 2.4. Пусть L — система функций f(x), определенных
на отрезке [а, b] и обладающих там интегрируемой с квадратом
по Лебегу производной порядка т.
Пусть
b m
(f, §) = J J] ar (x) fir) (X) g(r) (x) dx-
a r=0
При этом предполагается, что m>О, а0>0, am>0,	О,
а2^0,...,	и	функции	аг(х) имеют кусочно-непрерывные
производные порядка г на [а, Ь].
На основании определения воспроизводящего ядра К(х, у)
для любой функции f(x)^L должно быть
Ь пг
/ (У) = J J (*) /<'> (*)
а г=0
213

Отсюда, интегрируя по частям, получим
Ь	т
/(у) =	1)г-£т	аЛх)
г—О
дгК (х, у)
дхг
dx —
т г—1
г=0 fc=0
m г—1
r=0 ft=0
ar (*)
dxr
drK (x, y)
и	m
dxr
r=0
a,(x)
axr
drK(x,y)
dxr
x=y—0
dx —
m—1
-E <-!>*/»>« V (-1 yJL-c-
k=0	r=k+1
m—1	tn
-£ (-!)*/«« 2 (-O'-gi
axr
k=0
r—k+l
ar(x)
drK (x, p)
axr
x=y—Q
x=0
x—b
x=y+0
Так как f(x)^L произвольна, то К (х, у) должна удовлетворять
условиям:
т
^ ~ hr "£г ar М д ^дх*’ У) 3 = 0 при ВСеХ Х,у(= 1а> Х ^ У’
г=0
2
ачс(х, у)
дхг
= 0
r=fc-fl
при х = а и х = b, k = 0, 1, ...,/п — 1.
Кроме того, производные от К(х, g) по х и у до порядка 2т—2
включительно должны быть непрерывными, а производная поряд¬
ка 2т—1 непрерывна всюду, кроме точек х=у, где
а2т—1
/С(у + 0.у)	а2^-1К(1/-0,р)	_	(-1Г
ах2т~1	ах2т-1	«т (у)
Таким образом К(х, г/) является функцией Грина следующей
краевой задачи: найти функцию и (х), удовлетворяющую урав¬
нению
'214

т
Ш =	'У-£г	ar^drJ^~	=ср	W	при	всех	х^а’	61	<2Л6)
г—О
и краевым условиям
Г k 1
/*(“) =“ 2	1)Г	"^г-ft-l	W	=	0	ПРИ	Х	=	а	И	Ь’	(2Л6,)
Решение краевой задачи имеет вид
ь
и (х) = j* ф (s) К (s, х) ds.
а
Если известна фундаментальная система решений и,\(х)у
UiQx,..., U2m(x) однородного дифференциального уравнения (2.16),
то функция Грина ищется следующим образом. Для каждого у,
а^у-^b, находим решение системы линейных алгебраических
уравнений
относительно Ci(y). Определитель этой системы есть определитель
Вронского функций щ(х), и2(х),..., и2т(х) и, следовательно, отли¬
чен от нуля. Поэтому система всегда имеет решение. Затем нахо¬
дим 4т функций, удовлетворяющих уравнениям
Всего мы имеем 4т линейных алгебраических уравнений. Можно
показать, что если решение краевой задачи (2.16), (2.16') сущест¬
вует, то существует и решение этой системы уравнений. При этом
2т
2 сг (у) <4Р) (у) = 0, р = 0, 1, ... , 2т —2,
1=1
2т
1=1
2т
k = 0, 1, ... , т—1,
^i(y) — bi(y) = ci(y)i i = 1, 2, ... , 2т.
215

f 2 rn
К (х, у) =
£ ь% (у) Щ W при а < X- < у < 6,
1 = 1
2т
£ d{ (у) и* (х) при а < у < X < 6.
£=1
Применим полученный результат к случаю, рассмотренному в при¬
мере 2.3. Там мы имели
(/> £) = J [/' (х) g' (х) + а2 / (х) g (х)] dx, а > 0.
Соответствующая краевая задача примет вид:
d2u
4- а ‘и = ф,
dx2	Y
(— Jt) = и' (я) = 0.
Фундаментальная система решений состоит из щ = е^х и и2 = е~~ах.
Система уравнений относительно с{(г/) имеет вид
Ci {у) еаУ + с2 (у) е~аУ = 0,
а сг (у) еаУ — а с2 (у) е~аУ = — 1.
Ее решениями являются
Cl(</) = - -4~ с2 (г/) = 4-^.
2а	2а
Система для определения Ьх(у), b2(y), dx(y), d2(y) примет вид
ЬЛу)ег<* — Ьг(у)е^= 0,
d1(y)ean — d.2(y)	=	0,
di (*/) — bi(y) = — -j~ е~ау’
2а
d*(y)-bAy) =
2а
Отсюда
и (и\ ch а (я — г/)	,	,	,	ch	а	(я	—	у)
1	2а	е—яа sh 2яа ’	2	2а еш sh 2яа
a iu\ - ch а (я а) , , . _ ch а (я —у) _1_
2ае-я“5Ь2яа’ ** (У) "	+"	в	’
2а е sh 2яа 2а
216

Хаким образом,
/С(*. У) =
ch а (я — у) ch а (я + л:)
а sh 2яа
ch а (я + у) ch а (я — х)
а sh 2яа
при — я<л:<^/<я,
при — Л< г/<л;<я.
Этим выражением мы и воспользовались в предыдущем примере.
Заметим еще, что условие т>0, указанное в начале примера,
существенно. Для упрощения последующих записей возьмем
#=— 1, 6=1, а0(х) = 1. Тогда при т = 0 получим
(/> S')=j f(x)g{x)dx
— 1
и к L принадлежат все функции, интегрируемые с квадратом на
[—1, 1]. К числу таких функций
принадлежат при любом е>0
j 1	—	при	XG	[— 8, 0],
I	8
/е(*) — 1	Х_ ПрИ х е	еj
г
0 при х£[—8, 8]
(см. рис. 16).
При этом для любого е, 0<е<1, мы имеем fG{0) = 1 и
1	0	е
1 /е (х) ||2 = ^fl(x)dx= Д1 -г yj2dA:-l- j ^1 — dx =
2е_
3
Таким образом, не будет выполнено условие леммы 2.7. Действи¬
тельно, если взять у=0, то для функции fe(x) должна найтись
такая постоянная С0, что
1
для любого е>0, а это невозможно. Функция К(х, у), для которой
f(y) = | f(x)K(x, y)dx
при любой f(x)^L, в данном случае должна быть дельта-функ¬
цией, о которой говорилось в примере 2.3. Но дельта-функция
217

является обобщенной функцией и не принадлежит к L ни как
функция х, ни как функция у.
С другой стороны, условие а0>0 введено здесь лишь для того,
чтобы обеспечить выполнение условия: если 11/11=0, то /=0. Поз¬
же мы рассмотрим случай ао = 0-
Пример 2.5. Пусть G — некоторая ограниченная область плос-
коети (х, у) с границей Г. В качестве системы L возьмем совокуп¬
ность всех действительных функций f(x, у), определенных на L и
обладающих там производными первого порядка, интегрируемым]]
с квадратом. Скалярное произведение введем следующим образом:
(Л<г)=Я
д[_ dg_
дх дх
JL iL j. а2
ду ду
fg | dxdy,
где а>0 — постоянная. Для воспроизводящего ядра К(х, у, |, т|)
мы должны иметь
fit л) =
df дК	df	дК	,
дх дх	ду	ду
dxdy
какова бы ни была функция f^L. Воспользовавшись известной
формулой Грина
ди ди , да ди \ j j
	-У-	dxdy	=
дх дх дуду
д2и
дх2
д2и
ду2
dxdy,
получим
;'(1, Tl) = ^ d$ 1 П / [_ Л К “ “2 7(1 dxdy’ А =
д2 а2
дх2
ду2
Отсюда, в силу произвольности feL, мы приходим к следующим
условиям, которым должно удовлетворять воспроизводящее ядро:
— А К(х, у; 1, т)) а2 К (х, у, %,г\) = 6 [(х, у) — (£, tj)], (х, у) <= G,
dK (х, у; g, ц)
dn
= 0,
где 8[х, у) — (g, г))] есть дельта-функция, т. е. такая обобщенная
функция, что для любой f(x, y)^L
f(x, у) 6 Цх, у) — (£, 11)] dxdy = / (I, п).
G
218

Так как формула Грина справедлива для пространств любого ко¬
нечного числа измерений, то аналогичный результат будет иметь
место и в более общем случае.
Будем рассматривать следующую задачу:
Если Г — достаточно гладкая кривая, а а2(х, у) — достаточно
гладкая функция, то верны следующие утверждения.
1. Имеется счетное множество собственных значений этой за¬
дачи, т. е. «счетное множество значений А,, для которых существуют
нетривиальные ее решения и(х, у)Ф0 (собственные функции). Все
собственные значения неотрицательны. К=0 будет собственным
значением в том и только том случае, когда а2(х, у)= 0.
2. Каждому собственному значению соответствует конечное
число линейно-|независимых собственных функций. Наибольшее
число линейно-независимых собственных функций, соответствую¬
щих некоторому собственному значению, назовем кратностью этого
собственного значения. Если л,=0 является собственным значени¬
ем, то кратность его равна единице.
3. Множество собственных значений не имеет конечных пре¬
дельных точек. Поэтому их можно расположить в неубывающую
последовательность
в которой каждое из лг- встречается столько раз, какова его крат¬
ность-
4.	Если ввести новое скалярное произведение
и обозначить через ип(х, у) собственную функцию, соответствую¬
щую собственному значению ап, то всегда можно считать, что
т. е. считать, что функции {ип(х)} образуют ортонормированную
систему в смысле так введенного скалярного произведения. Будем
в дальнейшем предполагать, что это имеет место.
5.	Обозначим через D совокупность функций и(х, у), обладаю¬
щих непрерывными вторыми производными в области G (и(х, у
e=C2(G)) и непрерывными_первыми производными в замыкании
G (G=G(jr, и(х, у) €=С{ (G)). Для любой функции и(х, y)^D
dn г
G
\щ, ^/]	j	о»	1,	...	,
219

можно найти
an = JJ и(х, у)ип(х, у)dxdy, п = О, 1, ... .
G
Назовем ап коэффициентами Фурье функции и по системе {ип)
и ряд
оо
и(х, «/)=]£ апип(х, у)
/г=О
рядом Фурье функции и по системе функций {ип}.
оо
Ряд	У), составленный из непрерывных на G функций
п—0
vnj называется регулярно сходящимся, если равномерно сходится
оо
ряд £ К(*. у)1-
/2=0
Можно доказать, что ряд Фурье для функции u^D, составлен¬
ный по системе собственных функций {ип}, будет регулярно схо¬
диться к и.
Мы не будем доказывать приведенных утверждений, отсылая
читателя к соответствующей литературе (см., например, [1]).
Так как К(х, у; £, г\) как функция (х, у) (и (|, г])) принадле¬
жит к D, то мы можем записать
оо
К (х, у; I, Ti) = £ ап (£. Л) ип (х> У)-
/2=0
При этом
оо
[LK(X, у; g, Г)), ит (х, у)](ХуУ) = J <x„(g, 11) [Lu„(*. г/), иот(х, у)] =
/2=0
оо
= J] Е^ап(£. 11) К(*. 1/). ит(х, У)] =	л)-
/2=0
С другой стороны, мы должны иметь
[LK(x, у; g, 11), ит(х, у)](х,у) = [6[(х, «/) — (£. л)], ит{х, у)} =
= j f Um {х, у) 6 [(*, у) — (g, ц)] dxdy = ит (1,11).
•	G
Таким образом
Уп (*> у)ип(1, г])
Кп
п~ о
220
К(х, у, g, т]) = У

рассмотрим теперь частный случай, когда G является прямо-
угольником —я^я^я, —я<;г/^я. Будем искать функции
и(х, У)* удовлетворяющие уравнению Lu = \u, методом разделения
переменных. Пусть и{ху y)=X(x)Y(y), где Х(х) зависит только
0т х и Y(у) зависит только от у. Тогда
Следовательно,
X" Y" __ ^ а2
X"	У"	о	'i	2	2	2
— = Ц2.	—	= V2, ^	= ф2	— Ц2	— V2,
где р и v — некоторые постоянные. Отсюда находим
Х(х) =	+	С2е~^х.
Чтобы удовлетворить граничным условиям при х = — я и х = я, мы
должны потребовать
р [Сге»п — С2е~»п] = р [Схв—м-я _ с2^я] = 0.
Таким образом, либо р = 0, либо
С2 = С!в2^я, Сх — С^4^ = 0, е4я^ = 1 = е2Ш,
Vk = -Y> Л = 0, 1.2. ....
И
/г(*—-я)*	k(x—n)i
kxi	kxi	kn	i	9	2
2
Так как постоянный множитель несуществен, то мы можем принять
Хк (я) = cos --у — ,	/5=0,	1,2,....
Аналогично находим vz = -у- и
; Yi(y) = cos	I	= 0, 1, 2, ....
Итак, наша задача имеет собственные функции
««С*. У) = cos -(- я) ■ cos --у я), k,l = О, 1, 2, ....
221

и собственные значения
л	,	.	k2	.	1г
kl = а +
Чтобы нормировать ukl(x, у), заметим
я я
j J uki (х, У) “Рч (х, У) dxdy =
—Я —Я
= Г cos ——I1), cos	dx	Г	cos	lbj	cos	q	^	~	dy	=
J 2	2	J	2	2
—я	—я
я
-if
я
(k + р) (л: — я) , (k — p) (х — я)
COS -—'-d-Ll	L. _L cos  	—	—
dx X
—я
я
X
-я
j* ["cos -<■'■+?Ну-*> cos ILzMLzJIL] dy =
’ 0 при	(k,	1)Ф(р, q),
я2 при	(k,	I) = (p, q),	k-фО,	1ф0,
2я2 при	(k,	/)’= (p, q),	k —	0	или	I = 0 (но не одновременно),
4я2 при	k = р = I = q	= 0.
Отсюда
00	k	(X	—	Я)	k	(§	—	Я)
_	_	COS	 1	COS 	Г
К(х,у;1 г,)=	1	1
2
4я2а2	2я2	/	,	k2
а2+-4-
Цу — я) / (г) — я)
cos	cos	■
1 \ ' 2 2
2
2я2	/	,	,	/2
а- + —
/=1 4
00	00	k(x	—	я)	k	(£ — я) / ((/ — я) / (г) — я)
COS	cos	 COS	COS
V
2 2 2 2
Л" / I	/ I	.	ft2	/2
_	а2	+ т	+ т
k=l 1=1	*	*
Это и есть воспроизводящее ядро.
222

Пример 2.6. Пусть L — конечномерная система и фх (х), <р2 (л:), ...
(рр(х) — ее базис. Обозначим
(ф* (*). Ф/ (*)) = Шф ти = тн.
При этом матрица M=(rriij) будет не вырожденной, так как ее
определитель есть определитель Грамма линейно-независимых
элементов гильбертова пространства. Она будет и положительно
определенна, так как для любых действительных чисел а и
/=1,	•••» Р>
р	р	р	р
£	£ Щ\ <*i<*/	= (£ <**ЧЧ	(х),	J а4<р* (х)) > О,
1=1	/= 1	' 1=1	1=1
причем	равенство	нулю	возможно	тогда	и	только	тогда, когда
ai=!(X2=. . • = (Хр = 0.
Каждая функция f(x)^L может быть единственным способом
представлена в виде
/(х) = £ <*i<Pi(x).
i=l
Если воспроизводящее ядро существует, то оно, являясь элемен¬
том L по каждому из своих переменных, должно иметь вид
р р
Ж*, */) = £ Е CU W Фу (у)>
1=1 /=1
где Cij — некоторые постоянные сц=Сц.
В	силу	определения	воспроизводящего	ядра для	любых а*
должно иметь место
/ (У) = £ «гФ< (У) = (/ (*). К (х, у))х =
1 = 1
Р	Р	Р	Р	Р Р
= IJ] а*Ф*	(■*)>	£	£ сн	Фу (*) Ф*	(^))	=	j ф; (У) £ j	Сд/я*/.
fe=l	/=1	i=l	г=1	k=l j—Л
Так как аг*, i= 1, 2могут принимать произвольные значения
и фг(у)>	2линейно-независимы, то отсюда следует
р
^ CjiMkj = $ik
i=1
или в матричной форме
C/W = /,
223

где / — единичная матрица порядка р и C = (ci}). Таким образом,
С = АГ‘
и, в силу невырожденности М, воспроизводящее ядро всегда суще,
ствует. Для его отыскания нужно обратить матрицу порядка р,
Пусть Хь ... Др — собственные значения матрицы Л4 ц
Vi, v2,...,vp — соответствующие им собственные векторы. Так как
М — положительно-определенная матрица, то все ?w>0. Для соб¬
ственных векторов можно считать выполненным
р
(vi< v/>=£ vikvik = fii/-
k=\
где Vik и — соответствующие компоненты векторов v* и vf.
Возьмем в качестве нового базиса системы L функции
/=1
При этом
р	р	р	р
(Xi (x)r %k (х)) = (£ о*/Ф/(х), у	(*)) = у у ЩрыЩг =
/=1	/=а	'	/=1	/=1
р	р	р	(0 при 1=5^ ft,
= >] vu У mnvki = ^ У vavki = ч
/=1	/=1	/=1	I л* при i = ft.
Таким образом, в новом базисе матрица скалярных произведений при¬
мет вид
откуда
/%1 0 ... О
М =
С =
К(х, у)=
i=i
Xt (-у) Xi (у)
и
224

Пусть имеется еще одна конечномерная система Lx функций
е(у) с областью определения У и базисом ф){у), ф2(</)>—,Ф<?(*/)•
рассмотрим систему F£ функций, определенных на множестве пар
(.х, У)’ где х^Х’ У^У’ вида
р я
£ Е<*«Ф»(*)Ф/(У).
.=1 /=1
где aij — произвольные действительные числа. Функциифг(х)ф;-(у)у
/= 1, 2, ...,р, /= 1, 2,..., <7, образуют базис этой системы. Действи¬
тельно, если
2 £ аг/Фг(*)Ф;(</) = 0-
£=1 /-1
то, в силу линейной независимости функций срДх) на L, при лю¬
бом фиксированном у должно быть
2«1/Ф/(0) = 0. i= 1, 2, ... ,р,
/=1
и, в силу линейной независимости tyj(y) на aij = 0, х = 1, 2, ...,р,
/=1, 2,...,
Пусть в L и Lx определены скалярные произведения
('Ы*)> /2W) и [gi(y), £2 (*/)], при которых они являются гильбер¬
товыми пространствами. Определим в У скалярное произведение
следующим образом
(Е 2 а*/Ф< (*)tyte). Е E^w^ (у)) =
1=1 /=1	k=\ 4=1
= Е Е Е Е ф*^ Ш-
t=i /3 *=i /—■ 1
Таким образом, если
(ф* (*)> ф* (*)) = mik> [ф/ (у), Ф/ (у)] = пп,
то для базисных функций в будем иметь
(Фг (х) Ф/ (у), Ф* (X) Фг (у)) = miknH.
Упорядочим базисные функции в лексикографическим способом
Ф; (*) Ф/(</) = Ф«-1)Р+/(*. у).
Тогда матрица <М скалярных произведений в будет выглядеть
следующим образом
225

<Ж = Af®N =
тппп.
• тппЦ т12пп ..
.. m12nlq .,
■ mlpnn .
■ ■nilpn
mnnql.
■mxxnqq m12nql..
..m12nqq..
■ mlpnql..
■■mipnqq
т21П11 •
■ m2XnXq т22пп .
.. m22nlq.
..m2pnn.
■■m2pniq
ln21ngl •
■ tn2Xnqq m22nql.
■ ■m22nqq.
■ ■ m2pnql.
■■m2Pnqq
тр1пп.
■tnplnlq mp2nn..
•mp2nlq..
■ • тррПц ..
-ntp^lq
•mp2nqq ••
■ mppnql..
-mppnqql
mlxN m12N . .. mlpN\
m21N m22N ... m2pN J
\mplN mp2N ... mppNj
где M — (mik), N = (пц). Это — так называемое тензорное произведе¬
ние матриц М и N. Тензорное произведение обладает следующими
свойствами:
1.	Л®0 = 0®Л = 0;
2-
3. (Аг -\- Л) ® в = (А, ® В) -г (Л ® 5);
4. Л ® (Б, -г Я2) = (А ® В,) -!- (Л?® Вг);
5. а Л® рв = ар (А ® В);
6. (Л®В)' = Л' ®В';
7. (Л®В)(С®Я) = (ЛС)®(ВО);
8. (Л®В)-1 = Л-1®#-1;
9. Если х и у — собственные векторы соответственно Л и В, а
и р— соответствующие им собственные значения, то хфу есть соб¬
ственный вектор Л®В, соответствующий собственному значению Яр.
В. этих соотношениях Л, В, Ль Л2, Вь В2 — матрицы, аир —
скаляры, /р, /д, /рд — единичные матрицы соответствующих поряд¬
ков, О — нулевая матрица, хфу — тензорное произведение х и
у, рассматриваемых как матрицы, состоящие из одного столбца.
Предполагается, что операции, которые указаны в соотношениях,
произвести можно.
Первые шесть соотношений очевидны. Чтобы проверить соот¬
ношение 7, заметим, что размеры входящих в него матриц должны
быть согласованы. Пусть размер матрицы Л равен тХп (т строк
и п столбцов), размер В — pXq, размер С — пХг и размер
D — qXs- Тогда размер Л®В ..есть mpXnq, размер C(g)Z) —
tiqXrs, (Л(§)В)(С®0) — mpXrs, размер АС — mXr, BD — pXs
и размер (АС) (g)(BD) — mpXrs. При этом
226

#цВ #12 ^	•	#1^
Л®В = (	a^B...d2nB	|
dm\B	dm2B	...	dmnB
cxlD	c12D	...	clrDN
C(g)D-| C21^	^22^	•	•	•	C2r^
•	•	*	Cnr^J
Производя умножение этих матриц по правилам действия с клеточ¬
ными матрицами, получим
(Л®5) (С® D) =
( п	п
£ a1;c;1fiD£ a^c^BD ... £ axjcjrBD
/=i	/=i	/=i
п	п	п
^ #2/^/1	^2jdj2BD ... ^ d2jCjrBD
/=1
/=1
/=1
£amycyiBD£ dmjcj2BD... £ dmjcjrBD
4=i	/=i	/=i	J
= (ЛС)®(В£).
Соотношение 8 сразу же следует из соотношения 7. Действительно,
(Л-1 <g> В" О (Л ® Б) = (Л-1 Л) ® (5-1 В) = /.
Также просто получается соотношение 9. Если Ах = Ях, By = ру, то
(Л <gf Я) (х ® у) = (Ах) ® (By) = (Я х) <g) (р у) = Яр (х ® у).
Так как матрицы М и N положительно определенны, то из по¬
следнего соотношения будет следовать, что и матрица М положи¬
тельно определенна.
Из свойства 8 будет следовать, что воспроизводящим ядром си¬
стемы «£? будет
РЯ РЯ
ф(х, у; £, л) = j j ®цФг(х, у) Ф,(6, л).
i=l ]—\
где матрица Q = (сoif) имеет вид
Q = сЖ~1 =M-l(g)N-1.
Выражение для ‘К(х, у\ g, г\) опять упростится, если перейти к бо¬
лее удобному базису ££. Пусть Яь Яг, ...,ЯР (Яг>0) — собственные
значения матрицы М и ub u2, ...,ир	—	соответствующие	им	соб-
227

ственные векторы. Пусть рь Ц2, •••, Цд (^>0) — собственные значе
ния матрицы N и vb v2iVg— соответствующие им собственны
векторы. Предполагается, что	е
р	я
,(ui. U/} = J] uik ujk = 6{/) {vt, v;} = £ vik vjk = bij.
k=\
k=l
Перейдем в L и Lx к новым базисным функциям
р
XiW = 2 «уФ/(*). *=1,2, ... , р;
/=1
Я
ъ (у) = 2 »*/ (у). * =1.2. • • •. <?; «г (у) е= .
/=1
При этом матрицы М-1 и N-1 примут вид
м-1 -
/V-1 =
Но тогда
р я
/=1 /=1
( 1
0 .
.. 0
^1
0
1
... 0
0
0
1
%p
г 1
0 .
.. 0
Hi
0
1
.. 0
N
0
0 .
1
1
Ия
Xi М Xi (5) Kj (у)
k/(ti)
U Р/
гДе /C(jc, |) — воспроизводящее ядро L и К\{у, ц) — воспроизво¬
дящее ядро L\.
Приведенные примеры показывают, какие трудности возникают
при отыскании воспроизводящих ядер. Поэтому очень важны ре¬
зультаты, позволяющие получать воспроизводящие ядра для не¬
которых задач как комбинации воспроизводящих ядер для более
простых задач, типа полученного в конце последнего примера.
Сначала обобщим этот результат.
228

Пусть X и Y — два произвольных множества. Будем называть
дологическим произведением этих множеств и обозначать ХхУ
Говокупность всевозможных пар (х, у), где х^Х и y^Y. Предпо¬
ложим, что на X определена система функций f(x), образующая
гильбертово пространство Н{ со скалярным произведением
(fi(x)’ Ы*))» а :На ^ определена система действительных функций
а(у)у образующая гильбертово пространство Я2 со скалярным
произведением [ft (у), g2 {у) ] •
Рассмотрим «а XxY семейство L всевозможных действитель¬
ных функций вида
& (х, у) = £ fi (х) gi (у),	(2.17)
i=i
где fi (х) <= Нг и gi (у) е #2. Для произвольной пары таких функций
&i(x, У)= £ ft(x)'gt(y),
(2.17')
т
& г (х, у) = £ Ф/ (*) Ф/ ({/)
/=1
введем билинейное произведение
п т
(&Лх, у)> ^«(*, {/)> = ££ (А- ф/) [ft. Ч?/] =
t =l /=1
m	п
= £ [(54. Ф/), ф/] = £ (Л, [ft. 5г2]).
/=1	г=1
Из последних двух выражений следует, что определенное таким
образом билинейное произведение не зависит от конкретного пред¬
ставления и &2 в виде (2.17').
Очевидно, это билинейное произведение коммутативно и для
любой функции вида (2.17) имеет место <^,^>^0. Покажем,
что здесь имеет место знак равенства тогда и только тогда, когда
Пусть & имеет вид (2.17). Ортогонализируем функции fi{x)
и gi(x) в своих пространствах Н{ и Н2. Пусть
i
fdx) = 2 а*/<М*)’ (ЧЧ’ Ф/) = в*/’	/=1,2, ... , /г,
/=1
ft (У) = 2 6г/Ф/(*/)>	Ф/J	-	6i/, i, / - 1,2	/г.
/=1
229

Тогда
п п
&(х> у)= 2 £ aki4>k(x)^i(y)-
k=l /=1
Следовательно,
п п п п
(&(х, У), &(Х, у)) = £ £ £ 2 вув*, (ф(, ф„) [фу, ф,] =
1=1 /=1 &=1 /=1
= ^ ^ vli ^ О,
/г=1 /=1
причем равенство нулю возможно тогда и только тогда, когда все
a hi равны нулю, т. е. когда & (х, у) =0.
Пусть теперь Н\ обладает воспроизводящим ядром К\{х, £), а
Н2 — воспроизводящим ядром К2(у, л)* Тогда
^(&Л) = £ аг/ФгШФ/(л) =
1=1 /=1
= I 2 М<М*)> *№ ЮШ/(у)> *«(0. л)]„ =
1=1 /=1
= (&(х, у), /Сг(х, £) К2(у, л))-
Таким образом,
К(х, у; I, у]) = КАх, 1)К2(У, л)
является на L воспроизводящим ядром при введенном нами там
скалярном произведении. Чтобы сделать L гильбертовым простран¬
ством Я, нужно еще произвести пополнение, как указано в нача¬
ле § 2.
Рассмотрим еще один прием. Пусть К(х, у) — функция двух
переменных * и у, каждое из которых принимает значения в мно¬
жестве X. Пусть по каждому из переменных При фиксированном
другом переменном она принадлежит гильбертову пространству Я
функций, определенных на X. Предположим также, что для любой
f(x)(=H
g(y) = f(y) — (f(x),X(x,y))x
также принадлежит Я. Совокупность элементов такого вида обра¬
зует подпространство Я^Я. Если это подпространство состоит
из одного нулевого элемента, то К(х, у) есть воспроизводящее
ядро. Предположим, что этого нет и что Нх обладает воспроизво¬
дящим ядром К\{х, у). Таким образом, для любой g(x)^Hx
g(y) = (g(x), КАх, у))х.
230

flpH ЭТОМ получим
g{y) = f (у) ~ (f (ft К (х, у))х = (g (ft Кг (X, у))х =
= (/ С*) — (/ (2), t (г, х))г, Кг (X, у))х =
= (/(*), /Са(х, y))-((f(z), K(z, х))г, Кг(х, у))х.
Если предполагать, что порядок сомножителей в повторных ска¬
лярных произведениях можно менять, т. е. предполагать
((/(2), K(z, х))г, Кг(х, у))х = (f(z), (К(г, X), Кг(х, у))х)г,
то последнее равенство можно переписать в виде
/ (У) = (/ (X), К {X, у))х 4- (/ (х), Кг (X, у))х -
-(/(х), (К{х,г), Кг (г, У))г)х.
Так как это равенство верно для любой / (х) е Я, то
К (х, у) = К (X, у) + Кг (х, у) — (К (х, г), Кг (г, у))г
будет воспроизводящим ядром пространства Я.
В частности, если Яi — конечномерное подпространство Я, то
будут применимы результаты предыдущего примера и мы сможем
построить	воспроизводящее ядро	Яь а затем, как было	только	что
показано,	и воспроизводящее ядро Я. Будем в этом	случае	назы¬
вать функцию К(х, у) элементарным ядром.
Рассмотрим еще один способ построения воспроизводящего
ядра Я в случае конечномерности пространства Яь
Пусть Я1 имеет размерность р и g*i(*), §2{х), •••, gvix)—какой-
то базис Яь Тогда
f(y) — (f(x), К(х, «/))* = £ Ф,(f)gi(y),	(2.18)
/=1
где Фj(f) — некоторые линейные функционалы на Я. Пусть
ф2 {х)»фр (^) — такие элементы Я, что матрица
/(фь ft)	(«Pi. ft) • • • (Фх. gP)
м = (ц{/) = I ft)	(Ч>2> ft) • • • (Фа* ft)
\ (ФР- ft)	(Фр- ft) • • • (Фр- ft)
невырожденна. В качестве фг(*) можно, например, также как и в
примере 2.6, взять £*(*)• Умножая (2.18) скалярно на фг(*), мы
получим
231

(/(у). Фi (у))—((/(*)> К{х, у))х, Ф<(у))„=2 Ф/(/) (gj(y), фi(y)).
/=1
Снова воспользуемся свойством
((/(X), *(х, у)),, ф, (у)), =(/;(*), Д(х, у), Ф1(у)),),
в повторных скалярных произведениях. Тогда последнее равенство
можно переписать в виде
(/(*). ф£ W —(фi(y)>%(X, У))у)х = £ Ф/(Л (фг (х)> gj(x))x.
/=1
Так как матрица М невырожденна, то отсюда можно найти Фj(f).
Мы получим
Ф/ (/) = (/ (*), £ Р</ (ф£ (X) — (ф; (у), X (х, у),)),, /=1,2, ... ,р,
1 = 1
где цл — элементы обратной матрицы М^1. Итак, для любой
/(х)еЯ
Ф/(/) = (/(*), Ф/(*))*. /=1.2, ... ,р,
где
Ф/ (*) = £ ^ М ~ to* ^ ^уШ-
i=1
Подставляя полученные для Ф/(/) выражения в (2.18), мы придем к
/(у) = (/(*). К(х, у) + £ Ф/МяИу)),-
/=1
Таким образом, функция
X (х, у) = X (х, у) I - £ ф/ (х)	(у)
/=1
является воспроизводящим ядром для пространства Я.
Если, в частности, нам удастся найти такие элементы gi, £2,
принадлежащие Я, что
ii(У)-&(*), £(*, у))Л, t = 1, 2, ... ,р,
линейно-независимы, то мы можем принять их за g»(y). Полагая
при этом фг(х) =£»(*).
Ф/ W = £ I1/* lb (*) — (it (У). £ (У. *))„],	/=1,2, ... , у,
1 = 1
232

ты придем к
К(х, y) = R(x, у) +
+ £ £ Villi M-ihiyhKiy, *)ШЕ/ 0/)—(£/(*). *(*, *))J.
1=1 /=1
Если для некоторых функционалов Ф7 (/), /=1,2, ... ,5, нам
известны такие элементы £у е Я, что
Ф/(/) = (/(*). £/(*))*>	/=	1,2, ... ,5,
то порядок матрицы Л1, которую следует обратить, можно понизить.
Для этого возьмем вместо К(х, у) новое элементарное ядро
К(х, у) = К (х, y) + '£gi(y)W-
i=i
Тогда будем иметь
(Нх), К (X, у))х = / (X) - £ Фу (/) gj (у).
/=8 + 1
Пример 2.7. Пусть L — линейная система действительных
функций /(*), определенных на отрезке [а, b] и обладающих там
непрерывными производными до порядка k включительно. Введем
в L скалярное произведение
[/ {х), g(*)] = j /<*> (jc) gW (x) dx.
a
b
Множество 0(p) функций /(x)gL, для которых j* [/(Л) (x)]2 dx
a
равно нулю, состоит из всех многочленов степени k—1 и ниже.
Размерность О(р) равна k.
Пусть Fu F2,...,Fn — совокупность заданных линейно-незави¬
симых линейных функционалов, ограниченных на L. Пусть / —
максимальное число функционалов из Fi линейно-независимых на
О(р) и Fu F2,.-.,Fi — линейно-независимы там. Выберем из k
функционалов f(b), f'(b),	k—I	таких, что они вместе с
Л, F2,...,Fi образуют k линейно-независимых на О(р) функцио¬
налов. Обозначим их <Di (/), Ф2 Фь-г(/).
Рассмотрим подсистему L:
11 = {/(х)еЦФ1(/) = Ф2(/)= ... = Ф*—г (/) = 0}.
Если ввести на новое скалярное произведение
(/ (X), g (X)) = j Р> (X) g<*> (X) dx + ^F, (/) Ft (g),
a	»=1
9 H. П. Жидков	233

то в Ll из (/, /) = О следует /=0 (ср. § 3 главы I). Пополним L{
до гильбертова пространства Н. Найдем воспроизводящее ядро Я.
Пусть К(х, у) — некоторая, достаточное число раз дифферен¬
цируемая функция х и у, xt уе[а, Ь]. Интегрированием по частям
получаем
ь	^	i
(f(x), К(Х, у))х= j /<*> (X) dkKd(~tL dx + у; Ft (f (x)) Fi (к (x, y))x =
a	i=1
b	_	I
= (-i)feJ/W^4(/(x))4(^(x, у))х +
/Т	/	—	1
+2 (-1 )*-1	w y)'
r=l
ЛГ=Г/—0
4-
x=a
VI / i \r—l tfk-r) д^-1 К (x, y)
2j(~1) /w	'
r=l
x=b
x=y + 0*
Отсюда, как и в примере 2.4, естественно появляются следующие
условия.
1. Как функция х при любом у^[а, Ь] К{х, у) непрерывна
вместе со своими производными до порядка 2k—2 включительно.
2. При любом	Ь] производная о2к~1К{ху у)/ох2к~1 непре¬
рывна при х<.у и х>у, а при х=у претерпевает скачок
d2k-iK(y + о, Г/)	дЫ-'К(у- о, У)	,	1ч*
а*3*-1	•
3. Для производной порядка 2k имеет место
d2kK(x, £/) Л	г	м
—ау2У у' = 0, *, !/е[а, 6],
При выполнении этих условий наше равенство примет вид
(f (х), к (X, У))х = f (у) - £ Л (/) л (ff (X, у))х
)х +
1=1
х—Ь
+2 (--1 )r_i (■'••) dk+r2iiiy)
г—\
х=а
Таким образом, (f{x)y К{х, у))х является линейной комбинацией
функций
234

и Х(*> У) будет являться элементарным ядром, если только она
как функция х и у принадлежит Н.
В частности, условиям 1, 2, 3 будет удовлетворять функция
К(х, у) =
О	при	х	<	у,
'	’	'	J’ при X > у.
(2k — 1)!
Но эта функция не принадлежит Н по хп у, так как ФДХ) отличны
от нуля. Такое положение легко исправить. Так как Fu F2,...,Fh
Фь Фг»—.Фл-г линейно-независимы на О(р), то найдутся много¬
члены Р\{х), p2(x),...,pi(x), qi(x), q2(x),...,qh-i{x) степени не вы¬
ше k—1, такие, что
Fi (Pi) = 6i/> Pi (<7s) = О, Фг (pj) = О, Фг (qs) = 6,s,
i, j = 1,2, ... , r, s —1,2, ... , k — I.
(2.19)
Функция
k—l
К (X, у) = К (X, y) — £ Ф3 (К (X, y))x qs (x)
S—1
уже является элементарным ядром. При этом
i
(/ (X), К (X, у))х = / (у) + £ Ft (/) F, (К (X, у))х
1=1
+ 5j(~ ^r_1 ^_r) w dk'r~1*(x’ y)
r=1
x—b
x=a
k—\
= f{y)-r	(*,	y))x~	^-Ь^(Ь-уУ^)(Ь).
1
r=0
Как мы видели ранее (см. рассуждения конца предыдущего па¬
раграфа),
^ (/) = (/, Л). 1=1,2,
для любой /£Я. Воспользуемся этим для получения более простого
элементарного ядра. Положим
*1 (*> у) = # (*> У) — £ Л	(*> У))* Pi (х).
1 = 1
9*
235

Легко проверить, что Ki (х, у) принадлежит Н и
k—\
(fix), /СП*. y))x = f(y)- £ -t^ib-yYPHb).
r=О
Так как в Н (bj(f)=f(rj) (b) = 0, то фактически в последней сумме
содержится только I слагаемых. Далее
(Pi (х), /СП*, у))х = о, (pt(*). Ру(*)) = 6{/, i, / - 1. 2, ... , /.
Поэтому удобно выбрать
фП*) = &'(*) = а(*)«
При этом матрица М будет единичной, и мы получим воспроизво¬
дящее ядро
К (X, У) = Кг (X, У) -г £ Pi (у) [Pi (х) — F{ (Кг (х, у))у].
1=1
Если вернуться к К(х, у), то мы придем к
_	i
К (X, у) = К (X, у) + £ Pi (х) Pi (у) —
1=1
— 2 {ft (*, У)]уР{ (у) + ft I* (*. у)]х Pi (*)} +
1=1
/ I	ft-/
+ У] Е Fi [F<{К	у))*]«pi {х) Pi {у) ~~ Е	ФЛК (х> у)]* (х) +
i=1 /-1	*-=1
ftE	Е	ft[®.(*(‘*	л (^) ?•(*)•
i=i $s=i
Поменяем в этом равенстве х и у местами. Тогда полусумма полу¬
ченного и прежнего выражений в силу симметрии К (х, у) даст
i
к (X, у) = п (х, у) + £ Pi (х) Pi (У) —
i=* 1
— 2 (ft [X (X, y)]t Pi (У) f ft [X (X, y)\„ Pi (X)} +
1=1
+E E ft ift w (*• уШу * w pi м ~
.•.=i /=i
aafi

- £ {Ф5 \Ж (У, X)\yqs (у) - ф; [Ж (х, у)], ft (х)}
S=1
I k-l
+ Е £	<*)	ч*	м
1 = 1. s = i
~г Ft [Ф, (Л* (X, у))х]у ft (у) ft (X)}.	(2.20)
Здесь
Ж (X, у) - —  	\Х — у j2*-1 = 	 <p2fe	—	i	(х — у),
V У'	2(2*—	1)! 2(2*— 1)! ‘
а функции <рп(*) были введены в примере 1.7. Ж (х, у) является
симметричной функцией своих аргументов.
Воспользуемся теперь полученным воспроизводящим ядром для
отыскания скалярных произведений, входящих в выражения для
определения /0 и оценки | F(f)—F(fo) |. Как мы видели,
(ft. gi)-FiF,[K(x, у)].
Из-за (2.19) члены в К(х, у), содержащие ft (х) или ft (у), на (g ,gj)
влияния не оказывают. Таким образом,
{§i< S,) = FiF] [Ж (х, у)] -i- £ F{ (рт) Fj (рт) —
т=1
- 2 {fi/7,, [tf (X, у)] F,- (ft„) -f F,Fm [tf (x, у)] Ft (ft,,)} +
m=l
+ £ 2 ^ [# (Jc. У)] ^ Ы Fj (ft„)0.	(2.21)
r=l m=l
В этом выражении не определены явно только рь р2, Заме¬
тим, что при их определении нам не обязательно удовлетворять
всем условиям (2.19). Достаточно только, чтобы Р{(р^= 62j, так
как добавление к р\ любой линейной комбинации qs не окажет
влияния на (2.21).
Как видно из выражения 2.21, при /, /= 1, 2,...,/ (gh ^)=6f,-.
Скалярные произведения (gi, g7) не зависят от функционалов Ф5.
Эти функционалы были нам нужны только для выделения конкрет¬
ной системы L\ гомоморфной L/0(р).
Равенства (2.11) при /=1, 2в данном случае примут вид
£ f/(ft) f (//) = f (ft).
/—i
237

или в силу (2.18)
F(fi)+ t Fi(Pi)F(fi) = F(Pi).	(2.22)
/=/+1
По (2.21) для i = /Jr 1, /-{- 2, ... ,п равенства (2.11) примут вид
£{^(30+ £ FdPm)F,(pm)-
/= 1	т—1
- £ № W) F; (рт) F;Fm (Щ F, (рт)} +
[т=1
+ Е Е F'F" W) Fi (Рт) Pi (Л)} Р (/;) =
Г = 1	/71=1
= FtF(#)-b £ F(pm) F£(Pffl)- £ [FiFmG«WA») +
/П=1	772=1
4- FFm (JO Ft (pm)\ + £ £ F,Fm (JJ) Ft (Pr) F (pm).	(2.23)
r=l m=l
Если выразить F(fi), i=l, 2через остальные Е(/г) с помощью
равенств (2.22) и подставить эти выражения в (2.23), то получим
систему п—I линейных алгебраических уравнений относительно
п—/ неизвестных Е(Д-), /=/+1, 1—2,..., п. Решив эту систему мы.
по (2.22) найдем остальные F(fi), а это позволит нам найти
в F(f0).
Множитель F2(\|>), входящий в оценку и определяемый форму¬
лой (2.13), в данном случае будет равен
Р2 (Ф) = (Р ~ £ Р (fi) Р) [Р (X) ~ £ Р (Рт) Рт Щ .	(2.24)
/ = 1	/72=1
и так как FK (/) = Ft (/0), ,то
(/. /) - (/о. /о) = [Л /] - [/о, /о] = f {[Р> (О]2 - [/(о6) (*)П d*.	(2-25)
а
Пояснений требует только формула (2.24). В нашем случае
g=F(X) = F(9C)+ £ Р (Рт) Рт
m=1
- £ {FFm.(JOpm + ^W^(Pm)} +
т=1
238

I r	k—l
+ E E FrFmW)F(pr)pm- £ F<bs(y£)qs
r — 1 /?г=1	s=l
si ^mOs(^)^(Pm) 4s-
m—1 s=l
Отсюда
F(g) = FF(X)- r £ F2 (pm) 2 £ fFm(^(pJ +
/77 = 1	/77 =1
+ E E FrFm{9C)F(pr)F(pm)-
Г---1 m=l
_ 2 F<Ds(tf)Ffo)-f E E /ГшФ5(^)^(Рт)^Ы.
S = 1	777 = 1 S=1
Далее, учитывая (2.22) и аналогичные равенства для qs(x), получим
£ F(f,)F,(g) =	£	£	F(pm)	£	F(fl)FJ(pn)-
/= 1	/=1	/77=1	/=1
- £ Ffm(^) £ F(f,)F,(pm)- £ i7 (Ап) E ^ (//№«<<*) +
777=1	/=1	/77=1	/=1
+ E 77 ^ E	iF(h)Fi(pm)-
Г— 1	777=1	/=1
- £ FO,(Jf) £F(//)Fy(?f) +
s=l	/=1
+	i	s' FmOs(X)F(pm) £	F(fi)Fl(q^ =
777 = 1	S=1	/=1
= E P{fi)PiFW)-r E Я(Рт)- E PFm(9C)F(pm)-
/=1	777	=1	/77=1
- E FiP:':) E р(?1)рт(Х)± £ F(Pr) £ FrFm(9C)F(pm)~
tn — \	j	—	1	r=l	'/72	=	1
S I Os (^*) ^ (Pm) F(qs).
S = 1	777=	1	S	=	:l
239

Таким образом,
Р (t) = F(g) - £ Я (fj) Fj (g) - FF (9C) -j^F (/,) Ft F (tt) -j
/=1	/=1
- £	FFm(K)F(pm)+ £ F(pm) £	Я (/у) F jFm (УС),
m—\	m—l	j— 1
а отсюда следует (2.24).
В частном случае, когда I = п, т. е. все F; линейно-независимы
на О(р), оценка сводится к
[F (/) - y,Fi (/) F (Pi) ]2 < {FF ~ 2 S FFi w77 (/i) +
i=?l	t	=	l
+ E S	(2-26)
1=1	j= 1	a
Проиллюстрируем теперь наши общие результаты на конкрет¬
ных задачах.
Пусть
а =	< х2 < ... < хп = Ь,
£ = 2, Fi(f)=f(xi), i= 1, 2, ... , п, F(f) = f(x0)t х0 е= [a, 6].
При этом О(р) состоит из всех алгебраических многочленов сте¬
пени не выше 1. Размерность О(р) равна 2. Любые два функцио¬
нала из Fi Линейно-независимы на О(р). Выберем для определен¬
ности Fi и Fn и введем скалярное произведение
(/. ё) = j’ Г (х) ё" (х) dx+f (хх) g (хх) 4- / (хп) g (хп).
а
Очевидно (/, /) > 0 и если (/, /) = 0, то /" (х) = 0, / (хх) = / (хл) = О
и, следовательно, /(х) = 0. Функционалом Fx и Fn будут соответ-
ствовать функции
ftW = —,
Xi—	Хл	—*i
такие, что Z7»(рj) =	i, j=h n- Функция К(х,	г/) в данном случае
имеет вид

Она является элементарным ядром. Для элементарного ядра Кг (х, у),
где	~	„
/Ci (х, у) = К {х, у) — A fa, у) Pi (л-') — А (хя, у) рп (х),
будет иметь место
ь
(f (х). Кг (X, у))х = ^ Г (X)	у)	dx + f (Xl) Кг (xlt у) +
a
b
+ f (xn) Кг (Xn, У) = f г (X) (x - y) dx = f (y)	/	(b) + /' (b)	(b-y).
У
Так как
(Pi (*). Кг (x, У))х = р; (Xj) Aj (Xj, y) -4- p{ (,v„) Ai (x„, у) =
= Pi(xi)[K(xv y) — K(xlt y)] Pi(Xn) [K{xn, y) — K(xn, y)] = 0,
(Pi(*)» Pi(x)) = Pi[Xj) Pj(x2) -r Pi (x„) pj (xn) = 6i/( i, j = I, n,
то выбираем
<Pi (*) = gi (x) = Pi (x')> i = l, n.
При этом М=1 и воспроизводящее ядро примет вид
К (х, у) = Кг (х, у) + Pj. (у) [pj (х) — Кг (х, Xj)] +
-Г рп (у) [Рп (х) — Кг (х, О] =
= К (х, у)+ [рг (X) Рг (у) -Г Рп (X) Рп ({/)] —
— [рх (х) К (Xj, у) -г Рг (у)~К(х, хД -г р„(х) А(х„, у) -f р„(у)А (х, х„)],+
+ [А (х„, хх) р„(х) Рг (У) г К(xlt х„) pj (х) р„(г/)].
Беря полусумму К(х, у) и /С (у, л;) и вводя обозначение
я*(*. У) = |Д'7/'3 = -]£-<Рз(* — */).
в силу симметрии /С (я, у) получим
А (X, У) = Ж (X, У) -г [Pj (X) Pj (у) Рп (х) Рп (у)] —
— [Рх (х)	(у, Xj) • - рх (у) ЗТ (X, Xj) -- р„ (х) # (у, хп) +
+ Рп(У)К (*. *п)] -г Ж (х1- хп) [pi (х) Рп(у) -г Рг(у) Р„(х)].,
Выражения (gi, gj) в (2.21) теперь примут вид
(gi’ gi) =К (Xh Xj) -г [Pi(Xj) pj(xy) T p„(Xj) Рл (•'■/)] —
— [Pj (X<) (Xy, Xj) 4- Pj (Ху) 7Г (X£, Xj) У- P„ (Xj) Ж (X j, X„) +
+ Pi,(*i) 3F (Xj, X„)]	#	(Xj,	X„)	[pj (Xj) P„(Xy) r Pi (x-y) P„(Xi)].
241

Наконец, уравнения (2.22) и (2.23) запишутся в виде
П— 1
F (/i) V iin5L-F(//) =
л—1
-Г0 хп
Хх —хп " "	*1	—Хя
/=2
/1—1
Л'о — Д'1
S
;=1
хп — ЛГ.	хп	— х1
/=2
kt —-У/13	(*t	—	*/|)	(Xj	—	Хя)	(Xj	— ЛТ) (Xj — *0
12 _i	(^-A'l)2	Г	fo-Jfl)2
_	I -Vt — XX [3 (Xj — Xn)	\Xj — X1 I3 (.Xj — Xn)
12	(a'i	—	xn)	12	(л*1	—	Xn)
I Xj — xn I3 (Xj — xQ	1	Xj	—	луз	I3	fe	— XX) _
12	(х,г	—	xx)	12	—
1 •*!	^/1	I3	(Xj Xn) (Xj X\)	1	X\	Xn	|3	[Xj	аД	(xj — Xn) | p / p \
12	fe-A'i)2	12	[(xn	—	Xl)2	J	{fi)^
1 *1 — *0 I3 , (a'o — xn) (Xj — xn) .	(д-0	— Xl) (*f — Xl)
12 1 (х, — хп)2
(xn — A-'i)2
1
1
0
со
1
l*0—*1 |3
1 Xl Xn |
1
>?
1
<м
12
(*1 — Xn)
1 *1 — хп I3 (*0 —*l)
1 A'o — Xn I3
(xi xn)
12 (xn-xi)
12
(Xn — Xi)
1 -Yi — ХП |3 (Х[
— xn) (x0 — Xl)
12	(Xn-xtf
I xx — ДГЯ I3 (xt* — *l) (*0 — д i)
12	{Xn-xtf
, i = 2, 3, ... , n — 1.
На каждом из отрезков между соседними узлами л* правые
части последних уравнений'являются алгебраическими многочле¬
нами степени не выше 3 относительно Хо. Поэтому и /Д/о) будет
обладать этим свойством. Далее, /Д/о) непрерывна по Хо вместе
со своими производными до второго порядка включительно в силу
выбора L. Таким образом, мы пришли к решению задачи, которая
рассматривалась в конце примера 1.7. Тем самым подчеркивается
значение сплайн-функций как оптимальных аппроксимаций.
Общую задачу, поставленную в начале примера 1.7, также
можно ввести в рамки рассматриваемой теории. Пусть
а = х0<х 1 < ... < xn = Ъ
и в точках хл заданы значения 'функции f(x) :/(xf)=gv Требуется
найти функцию g(x), обладающую следующими свойствами:
242

1. g2h(x) = 0 при всех хе[а, У], не равных xit r = 0, 1,	Л';
2. g(Xi)=gi при всех i=0,
3. gil)(a) — gm(b) =0 при l—k, /е+1,.... 2/е—2;
4. g(x) непрерывна вместе со своими производными до поряд¬
ка 2k—2 включительно на отрезке [а, Ь].
Пусть
=	i	=	F(f)	=	f(x),
(/ (*), g (х)) = J f(k) (x)	(x) dx + 2 Fi (/) Fi (g).
a	i—0
*
Произведя интегрирование по частям, мы придем к выводу, что
воспроизводящее ядро К(х, у) должно удовлетворять следующим
условиям.
1. К{х, у) непрерывна вместе со своими производными до по¬
рядка 2 k—2 включительно на [a, b], а производная порядка 2k—1
имеет скачок
a2*-i*(y + о, у) _ д*ь-Ч((у-о, у) = , l)k
дх2*-1	дх2*"1
2. Производная от К(х, у) порядка 2k по х существует при хфу
и Ху уфxh i = 0, 1, ... , N, причем
д*К(х,у)
дх™
3. Kfa, у) = 0, t = 0, 1,
4<	=	0	при	х	=--	а,	х = b и I = k, k 1, ... , 2k — 2.
d,r
Этими условиями /С(а:, у) определяется однозначно. Зная вос¬
производящее ядро (д;, у), нетрудно построить функцию, удовле¬
творяющую условиям (2.27). Действительно, легко проверить, что
функция
1=0
удовлетворяет всем этим условиям. Также несложно проводится и
оценка. Мы имеем
ь
f(y)-g(y) = § lf(k) (х) - gM (X)] дкКд^’У) dx■
a
Отсюда по неравенству Коши — Буняковского
I/(у)— g{y)\i<^U(k)(x)— g^kHx)fdx j dkKd^k’ y) dhK^lj) dx.
a	a
243

Но в силу СВОЙСТВ К (х, у)
Р д*К (х, у) д*К (х,у)
J dxk	dxk
dx = К (у у).
а
Интегрируя по частям, получим
ъ
f ё{к) (х) [fw (X) — g(k) (х)] dx = 0.
а
Таким образом,
ъ
ь
I / (У) - g (У) I2 < {j [/<*> (*)]2 dx~l [£<*> (X)]2 dx) к (у, у).
а
а
Эта оценка точна в том смысле, что существуют функции f{x), для
которых она достигается.
Пример 2.8. В этом примере мы кратко остановимся на некото¬
рых аспектах теории обобщенных сплайн-функций. Предваритель¬
но рассмотрим ряд вспомогательных вопросов.
Будем обозначать через 0[а, Ъ] совокупность всех действи¬
тельных функций, определенных на [а, b] и обладающих там не¬
прерывными производными до порядка ' р включительно.
В С°°[а, Ь] определим норму
При этом множество С°°[а, b] не будет полным. Его пополнение
называется пространством Соболева и обозначается W™ [а, 6].
При т>0 Wql [а, Ь] состоит из всех действительных функ¬
ций f(x), производная которых порядка т—1 абсолютно непрерыв¬
на на [а, Ь] и производная порядка т принадлежит Lq [а, Ь]. В даль¬
нейшем мы часто будем обозначать через [а, Ь] само множе¬
ство функций, не рассматривая его как нормированное простран¬
ство. В этом смысле Wql[a, b] a Cm_1 [а, Ь]. Через W„[a, Ъ] будем
обозначать множество функций С00[а, Ь], пополненное в смысле
т b
нормы
т
и соответствующее нормированное пространство.
244

Пусть
т •
& [и (*')] = V а, (х) -^р-
1=о
линейный дифференциальный оператор. Будем предполагать, что
коэффициенты а;- (х) этого оператора принадлежат [а, Ь] и ат (х) >
© > 0. При этом уравнение
J’£ [и(х)] = 0
имеет т линейно-независимых решений Ч\ (х), и2(х), ...,ит(х),
обладающих непрерывными производными порядка т на [а, Ь],
(Ui(x)czCm[a, &]), Вронскиан от которых ни в одной точке [а, b]
не обращается в нуль. Формально сопряженный для ££ оператор
определяется посредством
гп
[V (X)] = £ (- IУ [а; (х) о (х)]}.
/=0
Если ввести билинейную форму
m	,	г
р (и, v) = £ ^„-/-1 {“ (х)	1)4	"JSr	[ат-/+*	Wv
/=0	'	А=0
то, интегрируя по частям, получим формулу Грина
j [о 2 (и) - и (и)] dx = Р [и (Р), v (р)] - Р [и (а), а (а)]
сс
при любых а, Ре [а, Ь] и любых !/,»е W'd[а, Ь].
Введем в рассмотрение разбиение
я: а -- ха < Xj < ... < x.v = Ь
и вектор
Z =: (Zj, Zo, • . . , ZtX—l)
с целочисленными компонентами z;, 1 < z£ < in. В	некоторых	случаях
будем вводить еще г„ и z.v, удовлетворяющие тем же условиям.
Будем называть функцию s(x) -сплайном и обозначать SP(J£,
я, г), если s (х) е Wlm [х,, xf_j_i].
J£*3[s(x)] = 0
при	почти всех хе (х£, х£.ц), i = 0, 1, 2, ... , N—	1, и
— s(xi-!-0)=-^~s(xi — 0), k=Q, 1, ...	, 2m —	1 —	г,-,
dx*	dx*	'	1	’
при i = 1, 2, ... , N —-1.
245

Пус гь дана произвольная функция f(x) eC,n_1 [а, Ь]. Будем
говорить, что 5(х) является Sv (Jzf, я, z)-интерполяцией для f(x)
одного из приведенных ниже 4-х типов, если s(x)e5p(J2?, я, z) и
удовлетворяет условиям?
I тип
1. J*-s(xi) = -¥-f(xi), 0<k<Zi-l,
ахя	ах*
2. s (лу) =	/	(x'i),	0 < ft < т — 1, t = О, Л4
III тип
1‘	l<t<N—	1;
2- 47TS^> = 47T^)’ 0<fe<2i-l, i =0, N;
dx*	dx*
3. Если ZL < /77 при i = 0, yv, TO ДЛЯ ЭТИХ 7
J] (— i)* {Om-z+fc (*<)	[s (ЛГ*)]> =0, 0 < j < m — 1 - zt.
k=0
III ТИП
1. ■dkrrL= dkflf-> 0<ft<2i-l, Ki<N-U
dx*	dx*
2. -dk-d^l)- =	,	0<ft<2i-l, * = 0, ЛГ;
3. Если г{ < m при t = 0, N, то для этих i
S(_ 1 )к <“'»-/+« <**> i ^ ^ <x‘»> - ^	=°*
fc=0
0< j<m- 1 — Zj.
IV тип
Если f s c2m_1 [a, ft],	=	dkf	~	-	при	0	< ft < 2m — 1
d**	dx*
и ay <= Cm_1 [a, ft], ^ ^a)- =	.	при	0	< ft < m — 1, to
dx*	cLe*
1. -£rs(*i> = d^r~’
2. -j-r-s(х{) = —tt^-» 0<ft<2i-l, t = 0, Л7;
djt* ‘	d*ft
246

3	=	^	^<к<2т-\.
dx*	dx*
Нас будут интересовать вопросы существования, единственно¬
сти и практического построения таких сплайнов.
На каждом из отрезков [хг-,	1] для всех 4-х типов
Sp(J£> Jt, z) -интерполяции f(x) будет представима в виде
2 т
s(x) = J]'aijVj (х),
/=1
где Vj(x)9 j=l, 2,...,2т, образуют фундаментальную систему ре¬
шений уравнения	(v)=0.	Таким образом, чтобы найти s(x)
на всем отрезке [а, Ь], нам нужно найти 2mN коэффициентов а^.
Для их определения мы имеем 2т—z* условий непрерывности
N—1
производных в каждом внутреннем узле х> и 2т -\- ^ z* интерпо-
i=i
ляционных условий для каждого типа интерполяции. В итоге полу¬
чим также 2mN линейных алгебраических уравнений. Для того
чтобы решение этой системы уравнений существовало при любых
интерполяционных	условиях	и было	единственным, необходимо и
достаточно, чтобы	в случае	f(x)=0	мы	получили 5(.г)=0.
Рассмотрим интеграл
Ъ	Х-Щ'м-1
J = j*	[if (s(x))]3dx = £	j	[if (s (х))]2 dx,
a	i=0	Xj
где s(x) — произвольный SP(L, я, г)-сплайн. Применим к этому интег¬
ралу формулу Грина, положив u = s и е = if (s), мы получим
JV—1 xl+t	А'—1
J = ^ j s(x)J£*J£ [s (х)] dx г P [s (x), if (s (x))]
1=0 X(	1=0
Первая сумма обратится в .нуль, так как s(x) является
Sp(2,n, z) -сплайном. Если f(x)= 0, то при всех 4-х типах интер¬
поляции вторая сумма обращается в нуль. Таким образом, почти
всюду на [а, Ъ] J£ [з(х)]=0. Покажем, что <£ [s(x)]=0 на
[а, 6]. Это тождество будет иметь место на всех [хг-, хг-+]], так как
s(x)e WT[x{l ху+i]. Далее, если Ui(x), и2(х),9..,ит(х) — фунда¬
ментальная система решений уравнения [и(х)]= 0, то на каж¬
дом из отрезков [хи ^г-ы] 5(х) представима в виде
А=1
247

Так как по определению SP(J£, я, z)-сплайна
то pi7- должны удовлетворять уравнениям
т
Определитель этой системы есть определитель Вронского системы
функций {uj(x)}, взятый в точке Xi+i. Он отличен от нуля. Следо¬
вательно, рг7 = Рг-hii и oS? [s(x)]=0 на [а, Ь].
Таким образом, для того чтобы задача SP(J£, я, z) -интерполя¬
ции была однозначно разрешима для любой f(x)^Cm~[[a1 6], не¬
обходимо и достаточно выполнение следующего условия: любая
функция s(x) &Sp(cS?, я, z) , удовлетворяющая уравнению
££ [s(x)] Е=0на [а, Ъ] и интерполяционным условиям типа I, II, III
или IV с /(jc)eeeeO, тождественно равна нулю. Последние условия,
в частности, влекут за собой, что s(x) должна иметь нули крат¬
ности Zi в каждом иs узлов xi, t=0, 1,Поэтому если —
такой оператор, что решение уравнения cS?[s]=0, обладающее
таким количеством нулей, тождественно равно нулю, то сущест¬
вование и единственность SP(J£, я, z)-интерполяции имеет место.
Проверка этого при конкретном задании д обычно производится
несложно. Имеется ряд достаточных условий. Можно, в частности,
воспользоваться обобщенной теоремой Ролля (см. пример 1.5).
Рассмотрим еще интеграл •
b	b	b	ь
J [if (f)]% dx = J [if (/ — s)]2 dx-,- 2 Jif [/ — s] if (s) dx + f [if (s)f dx,
где /е W7[at b] и s — SP(J£, я, г)-интерполяция типа I, II или IV.
Снова используя формулу Грина, взяв в ней и = / — s, v = Jz? (s),
получим
а
а
а
а
Ь
A—I х1+1
Jiftf —s]2[s]dx= £ j (f-s)if*if(s)ds4-
а
t=0
A'—1
Таким образом,
ь
ь
ь
j [if (/)]*	=	j	[if	(/	-	s)f	dx	f	[if	(s)f	dx.

g частности, отсюда следует, что для любой	b] и Sp(J
л, г)-интерполяции s для / имеет место
l[%{s)Ydx<b\[x{f)Ydx.
а	а
Последнее неравенство позволяет расширить постановку задачи
о построении сплайн-функций. Прежде чем перейти к этому, ко¬
снемся еще некоторых вопросов функционального анализа.
Пусть Я и Я — линейные нормированные пространства. Функ¬
цию Т с областью определения D(T)^H и областью значений
R(T)^H будем называть оператором. Будем говорить, что опера¬
тор Т линеен, если для любых :/ь f2^D(T) и любых действитель¬
ных чисел ci и с2 имеет место
T{clh-\-c2h)~clT{fl) + cJ'{h).
Оператор Т называется ограниченным, если существует такая по¬
стоянная С, что для любого элемента f^D(T) имеет место
№<сшя.
Здесь у норм поставлены индексы, чтобы показать, в каком про¬
странстве они берутся. Нижняя грань всех чисел С, для которых
выполнено последнее неравенство, будем называть нормой Т и
обозначать \}Т\\.
Как и ранее, совокупность всех элементов /еЯ(Г), для кото¬
рых Г/=0еЯ, будем называть ядром Т и обозначать О (Г). Функ¬
ционалы можно рассматривать как частные случаи операторов,
когда H=R\.
Будем теперь предполагать, что Я и Я — гильбертовы про¬
странства и Т — линейный ограниченный оператор Я->Я. Пусть
8и g2— некоторые линейно-независимые элементы Я. Будем
рассматривать их как базис линейного подпространства Н{ (замк¬
нутая линейная оболочка элементов gu g2t ...,gn) пространства Я.
Элементы gi определяют линейные ограниченные функционалы
=	t	=	l,2,	...,л,
на Я.
Пусть задан набор действительных чисел а1( а2, ... , а„. Тогда
Л(«!, о2, ... ,а„) = {f^H\Fi(f) = ai, i == 1, 2 п}
можно записать в виде (см. начало § 3 главы I)
Л(сс1( а2, ... , а„) = /«-[-„О^, F2, ... , Fn),
где /«-произвольный фиксированный элемент Л (а,, а2, ... , ап).
249

В данном случае
о (Л, ^2,=
Будем называть элемент ае /а -j- Н\~ сплайн-элементом относи*
тельно Т, (аь а3 а„), (glt g2, ... , gn), если
ir»'!»=,c „inf
/€Ж aua2,...,an)
Рассмотрим вопросы существования и единственности сплайн-элемен¬
тов.
Мы имеем
ТА(аъ а2, .. . , ап) = Т/а + ТЯ^.
Множество элементов ТЯ^ образует подпространство Й. Если это
множество замкнуто (пространство ТН\~ полно), то в ТН\- имеется
элемент наилучшего приближения ф0 для Г/а. При этом
ф0 + Т/а будет элементом наименьшей нормы, принадлежащим
ТА(а1 ,а2,	а,,). Этот элемент единствен. Он ^ортогонален ТН\~.
В Я имеются элементы А(ах, а2, ... , ал), являющиеся прообразами
Фо + Т’/сь при преобразовании Г. Итак, существование сплайна связа¬
но с замкнутостью THiX.
Если а —сплайн, то и любой элемент множества
о-гО (Т) Л Н\-
также будет являться сплайном. Обратно, если О] и 02 — два
сплайна, то
ах — сто е О (Т) п я/*.
Таким образом, сплайн будет единственным тогда и только тогда,
когда О (Г) П Я^ содержит только нулевой элемент.
Итак, сплайн существует и единствен, если
THf' — замкнуто, 0(Т) ПЯ11 = 0.	(2.27)
Рассмотрим теперь способы отыскания сплайнов. При этом нам
потребуются некоторые дополнительные сведения из функциональ¬
ного анализа.
Пусть Т — линейный ограниченный оператор, отображающий
гильбертово пространство Я в гильбертово пространство Я. Рас¬
смотрим (Тх, y)fi, где х пробегает все пространство Я, а у — про¬
извольный, но фиксированный элемент Я. Таким образом, опреде¬
лен линейный функционал в Я. Этот функционал ограничен, так
как
I (Тх, у)п | < I Тх !|й || у !|й < i! ТII II у If) II х ||н.
250

Следовательно, существует и однозначно определяется элемент
такой, что
(Тх, у)й = (х, х')н.
д^ы поставили в соответствие каждому элементу уеЯ единствен¬
ный элемент х’еЯ, т. е. получили оператор
х* = Гу,
осуществляющий отображение Н -> Н, такой, что
(Тх, у)й = (х, Т*у)ц	(2.28)
для любых яеЯ, у^Н. Этот оператор линеен. В самом деле,
пусть
(Тх, у1)й = (х,х\)н, (Тх, у2)й = (х, х\)н
для любого х е Я. Тогда
(Тх, г/0й + (Т1*, уг)й = (Тх, У1 + У»)п = (х, х1 + х1)н
или
Т* (У1 -I- У-г) = х\ -г х\ = Гу, -1- Гуг.
Далее для любого действительного с
(Тх, су)й = с(Тх, у)р = с(х, х*)ц = (х, сх*)н
или
Г (су) = сГу.
Он и ограничен. Действительно, по определению Т*
II Гу ||2Я = (Гу, Гу)н = (у, ТГу)п <
<1уЫТН\ГуУ.
Отсюда
1гуу<тмй
для любого «еЯ и
[Г|К1Г||.
Оператор Г* называется сопряженным по отношению Т. Из опре¬
деления Т* следует, что (Г*) * = Т и из последнего неравенства
получим II7"* || = || ГЦ.
Пусть, в частности, H—Rn с определенным там скалярным
произведением
П П
(х> у) = Е Е саХ\У у
<=i /=i
261

где C=(Cij) — некоторая положительно определенная симме¬
тричная матрица (см. пример 1.10). Мы можем рассматривать
преобразование Т (H-*Rn) как составленное из п преобразовании
Т{у = Х{. Каждое из этих преобразований является ограниченным
функционалом. Поэтому существуют такие элементы g2ygn,
принадлежащие Я, что для любого /еЯ
Tf = ((f, ft), (A ft)...., (/. ft)).
Таким образом
(77,	y)Rn = V у cyftCft,	/)я = (/, у	у с*/М/)д
i=i /=i	i=1	/=i
и по (2.27)
T'V = У У CaUigr
1=1 /=1
Введем наряду с заданным нам оператором Т (Я->Я) еще
один оператор ЕГ (Я->£), где £ — евклидово пространство, т. е.
пространство Rn, в котором при введении скалярного произведения
в качестве С	берут единичную матрицу 1.	При	этом
37 = ((ft, /), (ft,	/),...,	(ft.	/)),
где. {ft} — базис Hlt и
З^х = у Xift.
i=\
Таким образом, R(ET*)—H\ и существует Л*"1, отображающее Hi
в Я. Очевидно, 0(^7')= Я]1. Так как выполняются условия
(2.27), то S отображает О (Г) в £ взаимно-однозначно. Следова¬
тельно, размерность 0(Т)^п и существует ЕГ~\ где^1 — опера¬
тор ЕГ с областью определения О(Т). Если размерность О(Т) рав¬
на q, то размерность Я]ПО(Т)-1- равна п—<7.
При выполнении условий (2.27) элемент а будет являться
сплайн-элементом, если
аЕ0(71)1ПЯ1 и a^A(alt а2, ... , а„).
Поэтому нужно начать с отыскания базиса 0(Г)Тр|ЯЬ Пусть этот
базис состоит из /гь h2,...,hn-q. Эти элементы можно записать
в виде
= У #ft-
/=1
где = (6(/\ bf\ ... , Мл)) принадлежат £ и образуют там базис
ЕГ[0(Т)^ n//i] или, что то же самое, базис ЕГ (0(Г)Х),
= hK = ET'bv
252

Строим элементы
fi = T*~l (hj)
и ищем / = Та в виде
n-q
/ = X Vi.
i=l
Нам нужно удовлетворить условию аеЛ (аь аг, ...,ап). Это приво¬
дит к системе линейных алгебраических уравнений
2 МЛ- //)/? = (bi- * = Л 2. ■ • •. п~я-
1=1
Система всегда имеет единственное решение, так как ее опреде¬
литель есть определитель Грамма линейно-независимых элементов
fu •••> fn—q•
Найдя /, следует найти такой элемент аЕЙ, что
Та = /, а — Л (а1? а2, ... , ал).
Упомянем кратко еще об одном типе сплайнов. Если значения
а г известны нам не точно (например, получены из эксперимента),
то нет необходимости в точности удовлетворять равенствам
Fi(f)= аи ^=1, 2, В этих случаях введем следующее опреде¬
ление. Назовем о сглаживающим сплайном относительно Ту
(gu g2,	(cti,	a2,a?1) и (Л>0), если он удовлетворяет сле¬
дующему условию
Л*л(а)=тШх(/),
где
АЫ/) = 1Г/1&+*£[(/,
Мы не будем здесь останавливаться на вопросах существования,
единственности и способах построения таких сплайнов, так как эти
результаты можно получить комбинацией предыдущих рассужде¬
ний и рассуждений § 6 этой главы.
§ 5. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
В примере 1.17 мы уже ввели понятие ортонормированной си¬
стемы. Будем называть ортонормироваиную систему {А*} гильбер¬
това пространства Н полной, если из (/, Аг)=0 при всех i следует
;=е.
Гильбертово пространство Н называется сепарабельным, если
в нем существует счетное всюду плотное множество элементов
{ф?}, т. е. такое счетное множество элементов, что для любого эле-
253

мента /еЯ и любого s>0 (найдется такой элемент фг-, что
!/ — ф.;|;< 8.
Лемма 2.12. Если гильбертово пространство Я сепарабельно, то
в нем имеется не более, чем счетная полная ортонормированная
система элементов.
Пусть {фг-} — счетное всюду плотное в Я множество. Опустим
в нем нулевой элемент, если он там имеется, и все элементы, явля¬
ющиеся линейными комбинациями предыдущих. Оставшиеся эле¬
менты ортонормируем, как это делалось в примере 1.17. Покажем,
что полученная совокупность ортонормированных элементов {h}
полна. Пусть f — такой элемент Н, что при всех i (f, 1г}= 0. При
этом, так как все элементы {срг} можно представить как линейные
комбинации элементов {AJ, при всех j имеет место (f, ф;-)=0. Для
любого 8>0 можно найти такой элемент ф;-, что ||f—ф^П <е. Но
тогда
1!/Р = (Л /) = (/- /) — (/. ф/) = (/> / — Ф/ХИ/1! II/ — ч>/|.
Отсюда ИЯКе. В* силу произвольности г, 1!/||=0 и f=0.
В дальнейшем будем предполагать гильбертово пространство Я
сепарабельным и через {1г} будем обозначать полную ортонор-
мированную систему в нем.
Пусть f — произвольный элемент Я. Скалярные произведения
щ—ify h} будем называть коэффициентами Фурье элемента f-по
ортонормированной системе {/г2-}, а ряд
оо
f ~ £ «А
1=1
рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе {hг}.
Обозначим
sn = J] «Л-
С— 1
Тогда
= (/-5й.	=	f) — 2 (/,	S„) + (S„. S„) =
= |!Я12-2£ af-u £a? = ||/f-£ai	(2.29)
i=l	t=i	i=l
Отсюда
£«?<!/IP,
1=1
i=7Z 1
Это — так называемое неравенство Бесселя.
254

Лемма 2.13. Ряд Фурье сильно сходится к /.
Оценим величину
IIsn smip = jj £ «А--
t=m+l
Мы имеем
1S„ — 5„,!|2=( J] a A,	У	«£.
i=;?i-Ul	r=m-fl
oo
Так как ряд £ а? сходящийся, то для последовательности Sn вы-
i= 1
оо
полнен критерий Коши и ряд Фурье	сильно	сходится	к неко-
i =1
торому элементу *S е Н. Покажем, что S = /. При п > i будем иметь
(f-S, ft{) = (/. Ai)-(S, Л4) = «i — (*S —	/ч)-(5„Л) =
= а* — (5 — 5Я>	—	ач = — (5 — Sn, /ij.
Отсюда
К/—s, ftiJKts-sj
и так как Sn-^S и левая часть от п не зависит, то (/—S, /ii) = О
при любом i и в силу полноты {/ij S = /.
Переходя в (2.29) к пределу при /г->оо, по последней лемме
получаем
i=l
Это так называемое равенство Парсеваля.
Имея в сепарабельном гильбертовом пространстве Н полную
ортонормированную систему {hi}, нетрудно для каждого ограни¬
ченного линейного функционала F построить такой элемент g, что
F (/) = (/, g).
Действительно, если
с»
8 = £ “А*
1=1
ТО
и
1=1
255

Отсюда, в частности, следует, что
йП2=!И12 = £ я (А,).
1=1
Если в Я существует воспроизводящее ядро, то его также мож¬
но выразить через hi. Так как воспроизводящее ядро К(х> у) при¬
надлежит по каждому из своих переменных к Я, то, разлагая его
в ряд по полной ортонормированной системе функций {Л*(я)}, по¬
лучим
оо
К (X, г/) = £ сц (у) Л, (х).
1=1
Пусть /(х)— произвольная функция Я и
/(*) = £ PiM*)-
i=1
Тогда
f(y) = £ РА (у) = if {А К(Х, у))х =
1 = 1
=; (£ ЭЛ (*).	J	(у) К (х))х = £	Рл (у).
;=1	0=1	t=l
Так как это равенство должно выполняться Апри = 1, (5/= О для
]ф1, I = 1, 2, ... , то а* (у) = hi (у) и
У) = 2 hi (х) hi (у).
1 = 1
Пользуясь этими представлениями, мы могли бы решить ряд за¬
дач, с которыми имели дело ранее.
§6. СВЕДЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МИНИМИЗАЦИИ
ФУНКЦИОНАЛОВ
Используем еще один подход к решению задачи нахождения
оптимального элемента f0.
Как и ранее, рассмотрим систему 55? n-мерных векторов
х= (хи х2} .,.,хп) со скалярным произведением
п п
[х> У] = V £ CiiXiyh Cii = С'4’
t=i /=1
256

где cij — такие действительные числа, что квадратичная форма
п п
tx- х] = 2 Е caxixi
положительно определена. [Множество А(аъ а2, ... ,ал) всех элемен¬
тов Я, удовлетворяющих условиям
Pi(f) = аг» i = 1, 2, ... , /г,
теперь можно охарактеризовать равенством
[F (/)-«, F (/) — а] = О,
где F=	ЯД/),..,,	Яп(/))	и	а=	(аь	а2,...,ап).	Таким	обра¬
зом, задачу определения /0 можно интерпретировать следующим
образом: найти элемент /еЯ, для которого (/, /) принимает наи¬
меньшее значение, при условии, что [F(/)—a, F(/)—а]=0. Это —
типичная задача на условный экстремум. Поэтому естественно вве¬
сти совокупность функционалов
AM/) = [F (/)-*> F (/)-*] + Я (/, /),
где Я — произвольное положительное число. Для любого / е Н
Mi (/) > 0. Обозначим
тх = inf Afx (/),
Я>0 — фиксированно и / пробегает все Я. Докажем теорему.
Теорема 2.2. При любом Я>0 существует единственный элемент
/х<=Я, для которого	=/п?,. Этот элемент ортогонален
Hi = 0(Fu Я2,..., Яп). При Я->0 /х сильно сходится к /0.
Выберем произвольный вектор р= (рь р2,Рп) и рассмотрим
M^if) на множестве элементов Л(рь р2,Рп) ^Я. Для каждого
элемента /О) этого множества [F(/)—a, F(/)—а] постоянно.
Поэтому Мх [/({$)] будет принимать наименьшее значение на та¬
ком элементе /х(Р), который имеет наименьшую норму. По лем¬
ме 2.6 такой элемент всегда существует, единствен, принадлежит
НЬ и может быть записан в виде
ЫР) = £ PiA.
£=1
где элементы /ь /2, ...,/п принадлежат Н\~ и	=fi<j4
/, /=1, 2, ...,и. Если мы будем таким образом выбирать все воз¬
можные р, то совокупность элементов Л(рь |32, -^Рп) будет пробе¬
гать все Я, а совокупность элементов /х(Р«) все НЬ . Следовательно,
при отыскании элемента /х, минимизирующего функционал Мх(/)
на Я, достаточно ограничиться элементами /х(Р)еЯ1".
257

При подстановке Ь(Р) в ЛЬ, (/) мы получим
М[ЫР)] = [Р(Ш)-«. F(/х(Р)) — «] -i- Я(/=х(Р), Д(Р)) =
= 2 Е c*/(Pi-««)(P/-a/) + ^ls Е Л) р*р/•
£=1 /-=1	и=1 '=1
Зго — квадратичная функция относительно Рь |3г,рп- Ее можно
записать в виде
Мх [h (Р)] - {(С + КА) р, р} - 2 {Ср, а} + {С«, а},
где
С =
С12 • • • Cin \
({fu
/l)
ifu
h).
..{fu
A,)]
С22 • • • С2п
h)
{fu
h) ■ ■
■ . {fu
fn)
С«2 • • • Спи}
\{fn,
fl)
(A,
fi) • •
. ■ (/„.
fn)
и через (х, у} обозначено билинейное произведение в Ж'-
П
{*. у) = Yi
1=1.
Очевидно, матрица С+Ы будет положительно определена, так как
С положительно определена, а А0— неотрицательно определена,
ибо она представляет матрицы неотрицательной квадратичной
формы (/Ь(Р), Ь(Р))- Таким образом, Мх будет иметь единствен¬
ный минимум, положение которого определяется из системы урав¬
нений
(С 4- Щ р - С«,
имеющей единственное решение. Обозначим это решение через
Р* = (Рм, Р^2, •••> Р^?г). Таким образом
h = £ fWi-
i=1
Записывая систему в виде
(/ + ЛС-М)Р,. = «,
где / — единичная матрица [порядка /г, мы при достаточно малых Я
получим
р^ = (/ + ЛС-М)-1« = « — ^(C-M)a-; ^2(C-M)2a—	...	.
Отсюда следует, что при Я-*•(),	и	так	как
Д.— /о1<1Р>л — <*il • II fi II -Г I Рмг — а, | • II II "г ... + 1Р*л —ал| • ||/„||,
то f% сильно сходится к /0. Теорема доказана.
258

Замечание. При любых Я > 0 ПДЦ'СИ/о!!-
Действительно,
Мк (/о) = Л (Д. /о) > Mh (Д) = £ £ си (рЯ£ — а4) (Рх,- — а;) -|- Я (Д, Д).
1 = 1 у =1
В силу неотрицательности двойной суммы мы получим утверж¬
дение.
Из алгебры известно [4], что если С — положительно опреде¬
ленная матрица, а А — симметричная матрица, то квадратичные
формы
11 п	гг	п
Ц £	auxixi и £ £ cuxixi
i=i /=1	i=i	1=\
могут быть одновременно приведены к виду
i=i	i=i
Здесь pi — корни уравнения
\А~ рС| = 0.
Эти корни действительны и заключены в пределах
п п	п	п
2 S a»7-'W	2	2
inf ■ ‘-=1 ;-=-	<	Pi	<	sup	-=1-/==-	.
n n
2 2	2 2 сч*х1
i=l /=1	i=l /=1
В нашем случае все (ьц > 0. Корням pi соответствуют векторы гх>
обладающие свойством
п п
AZi = PiCZj, ^ ^	^ ®г/>	^	2,	. . . , Л.
/г=1 /=1
Преобразование осуществляется с помощью матрицы Z, столбцами
которой являются векторы z*.
Применим этот результат к М7, (/*,((3)). Полагая
р = Zg, а = Zg0,
мы придем к
A«x[M5)]=2(b-6i0)a + *£>&
1=1 *=1
где gt— компоненты g в новом базисе Я!1 и £i0 — компоненты g0,
В новом базисе компоненты элемента fx будут удовлетворять
259

системе уравнений
£>(h £io "г	“О,	i	=	1, 2, ... , п.
Отсюда
Таким образом, в новом базисе при л—ИЗ компоненты ga монотон¬
но стремятся к lio. Исключая л из выражений для ga, получим
/ Jrt_ _ i \ _L = (J». _ 1 \ _L « ... = / i*_ _ j) _L = я.
\	i I*1	' ^2?v	/	Н'2	\ S/гЛ. ' Ия
Это — уравнение некоторой кривой в /г-мерном пространстве, по
которой будет перемещаться /Ч при изменении К. Рассмотрим, на¬
пример, проекцию этой кривой на плоскость (g*. ь g*,2). Уравнение
проекции имеет вид:
(м-l Ц2) £lA^2fc	-Г	|^2^10?2Я< = 0.
При Ц1 = Ц2 — это уравнение прямой, проходящей через начало
координат и (gio, £20)- При pi^=p2 — это уравнение гиперболы,
проходящей через те же точки. В этом случае уравнение гипер¬
болы может быть переписано в виде
(Р - л--	We	Р1520 \ __ _ HiHaSio^o
[ 1К Ц! —р2 ) \	Их— Иг /	(Hi	— И2)2
Частный случай указан на рис. 17.
260

Рассмотрим теперь, как будет изменяться [F(/\)—a, F(/4)—а]
при изменении л. Подставим сюда выражение для fПри этом
Это — монотонно убывающая функция при убывании /.. При
Я=0 она равна нулю. Для Mx(fx) получим
Это также монотонно стремящаяся к нулю функция при л-Я).
Предложенный здесь подход является не чем иным, как мето¬
дом регуляризации А. Н. Тихонова. Очевидно, что он позволяет
рассматривать целый ряд задач, не рассматривавшихся ранее:
линейно-зависимые функционалы, неточно заданные функционалы
и т. п. Мы этих вопросов здесь касаться не будем, так как они под¬
робно рассмотрены в литературе по регуляризации (см., например,
1S	=	Я	-	М/о.	Д).
п	с	2	п
i= 1	1=1
£4, 5]).

ЛИТЕРАТУРА
1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М., «Наука»
1967.
2. Ароншайн Н. Теория воспроизводящих ядер. В сб.: «Математика».
М., ИЛ, 7": 2, 1963.
3. И о с и д а К. Функциональный анализ. М., «Мир», 1967.
4. Г а н м а х е р Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967.
5. Т и х о н о в А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных за¬
дач. М., «Наука», 1974.
6. М о р о з о в В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи.
ВИНИТИ, сер. Итоги науки и техники, математический анализ, т. 11, 1973.
♦ 7. Алберг Дж., Нильсон Э., У о л ш Д ж, Теория сплайнов и ее
приложения. М., «Мир», 1972.
8. В а р г а Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в чис¬
ленном анализе. М., «Мир», 1974.

Николай Петрович Жидков
ЛИНЕЙН ЫЕ АППРOICCИМАЦИ РГ
ФУНКЦИОНАЛОВ
Зав. редакцией Т. Г. Батенина
Редактор О. В. Семененко
Художественный редактор Л. В. Мухина
Переплет художника В. А. Гарбузова
Технический редактор
К. С. Чистякова
Корректоры Л. С. Клочкова, Г. В. Зотова
Тематический план 1976 г. № 110
ИБ N° 108
Сдано в набор 19/VIII 1976 г.
Подписано к печати 25/1	1977 г.
Л-86218 Формат 60x90l/ie Бумага тип. № 3
Уел. печ. л. 16,5	Уч.-изд. л. 16,04
Изд. № 2816 За к. 544 Тираж 4320 экз.
Цена 71 коп.
Издательство
Московского университета.
Москва, К-9, ул. Герцена, 5/7.
Типография Изд-ва МГУ.
Москва. Ленинские горы