Text
                    УДК 537.5
ББК 22.333
Т77
Трубецков Д. И., Храмов А. Е. Лекции по сверхвысокоча-
сверхвысокочастотной электронике для физиков. В 2 т. Т. 2. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2004. - 648 с. - ISBN 5-9221-0200-1.
Современная сверхвысокочастотная электроника представлена в книге
не технической стороной с кратким описанием физики и основ теории раз-
различных электронных ламп, а детальным описанием основных физических
явлений, возникающих при взаимодействии электронных потоков с элек-
электромагнитными полями и лежащих в основе различных типов устройств.
В книге уделено большое внимание математическому моделированию на
ЭВМ явлений в электронных потоках на сверхвысоких частотах. Изложение
ведется так, чтобы показать тесную связь сверхвысокочастотной электрони-
электроники с современной нелинейной теорией колебаний и волн и теорией излучения.
Особенностью книги является то, что в ней определенное место занимает
история СВЧ-электроники. Во втором томе книги рассматриваются такие
современные области исследований в электронике сверхвысоких частот, как
взаимодействие криволинейных электронных потоков с электромагнитны-
электромагнитными волнами (мазеры на циклотронном резонансе), лазеры на свободных
электронах, сверхизлучение в электронных потоках, плазменная сверхвысо-
сверхвысокочастотная электроника, сверхмощные релятивистские генераторы высо-
высокочастотного излучения, синхронизация в распределенных системах СВЧ-
электроники, вакуумная микроэлектроника.
Лекции предназначены для физиков различных специальностей, инте-
интересующихся процессами взаимодействия электронов с электромагнитными
полями, для научных работников, аспирантов и инженеров, проводящих
исследования в области вакуумной СВЧ-электроники, радиофизики, радио-
радиотехники и физики плазмы. Они могут быть полезны студентам старших
курсов соответствующих специальностей.
ISBN 5-9221-0200-1 (Т. 2)
ISBN 5-9221-0371-7	© физматлит, 2004


СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ко второму тому . Лекция 1A6). Взаимодействие криволинейных электронных по- потоков с незамедленными электромагнитными волнами; гиропри- боры; пениотрон 7 Гироприборы: история создания и особенности конструкции. Резона- Резонаторы гиротронов. Собственные и вынужденные колебания резонато- резонаторов гиротронов. Уравнения стационарных колебаний. Укороченные урав- уравнения автоколебаний в гиромонотроне. Интегрирование укороченных уравнений автоколебаний в гиромонотроне (теория слабого сигнала). Пусковой реэюим гиромонотрона. Мазеры на циклотронном авторезо- авторезонансе (МЦАР). Другие разновидности гироприборов. Взаимодействие винтовых электронных пучков с незамедленными электромагнитными волнами в волноводе (гиро-ЛВВ и гиро-ЛБВ). Пениотрон — эталонная модель распределенной системы с силовой группировкой электронов. Лекция 2A7). Лазеры на свободных электронах 99 История создания лазера на свободных электронах. Семейство ЛСЭ: от микротрона до накопительных колец. Нерелятивистские предшествен- предшественники ЛСЭ (параметрические усилители О- и М-типа). Основные прин- принципы лазеров на свободных электронах. Элементарная теория ЛСЭ. Нестационарные уравнения ЛСЭ. Методика и результаты численного моделирования нестационарных процессов в ЛСЭ. ЛСЭ, основанные на излучении электронов в периодических статических полях и рассея- рассеянии волн электронными потоками: подход, основанный на введении сил Миллера Лекция 3A8). Сверхизлучение в вакуумной СВЧ-электронике . 167 Сверхизлучение Дике на примере возбужденных двухуровневых атомов. Ближнее поле элементарного электрического диполя. Кооперативное излучение осциллирующих электронов (линейная теория, численные ре- результаты). Индуцированное излучение, имитирующее кооперативное. Теоретическое и экспериментальное исследование генерации импульсов сверхизлучения. Циклотронное и черепковское сверхизлучение. Феноме- Феноменологическая модель электронной турбулентности. Лекция 4A9). Сверхвысокочастотная плазменная электроника . 208 Плазменно-пучковая неустойчивость и нерелятивистская плазмен- плазменная сверхвысокочастотная электроника. Плазменная СВ Ч-электрони- ка: релятивистский виток. Пучково-плазменные СВЧ-лампы с дли- длительным взаимодействием. Пазотрон. Лазеры на свободных электро- электронах с плазменным заполнением. ЛЕКЦИЯ 5B0). Электронный пучок со сверхкритическим током в плоском пролетном промежутке 279 Принципы подобия для динамики виртуального катода в одномерном приближении. Условие развития неустойчивости: нелинейная теория.
4 Содержание Нелинейная динамика виртуального катода в пролетном промежут- промежутке. Феноменологические модели динамики электронного потока с вир- виртуальным катодом в плоском пролетном промежутке. Особенности нелинейной динамики и образование когерентных структур в электрон- электронном пучке с виртуальным катодом в неоднородном ионном фоне. Вли- Влияние подвижности ионного фона на колебания виртуального катода в плоском пролетном промежутке. Проблема ускорения ионов колеблю- колеблющимся виртуальным катодом. Лекция 6B1). Генераторы на виртуальном катоде 352 Предельный вакуумный ток. Типы конструкций и характеристики гене- генераторов на виртуальном катоде (отражательные триоды, виркаторы на пролетном токе, редитроны). Нелинейная динамика генераторов на виртуальном катоде. Виркаторы с различными типами управляемой обратной связи. Связанные системы на виртуальном катоде. Лекция 7B2). Синхронизация в СВЧ-электронике 408 Взаимная синхронизация отраэюательных клистронов. Синхрониза- Синхронизация автоколебаний в распределенной системе «винтовой электронный поток-встречная электромагнитная волна». Особенности синхрониза- синхронизации колебаний в лампе обратной волны типа О. Влияние внешнего сиг- сигнала на хаотические автоколебания в гиролампе со встречной волной. Колебания и синхронизация в гиро-ЛВВ со связанными электродинами- электродинамическими системами. Взаимная синхронизация магнетронных генерато- генераторов. Синхронизация систем с виртуальным катодом. Лекция 8B3). Вакуумная микроэлектроника 494 Немного истории по Айвору Броди: четыре пути к вакуумной микро- микроэлектронике. Кен Шоулдерс — пророк в вакуумной микроэлектронике. Автоэлектронная эмиссия — главное в вакуумной микроэлектронике. Закон Фаулера-Нордгейма. Катод Спиндта. Матрицы автоэмиссион- автоэмиссионных катодов. Триоды возвращаются? Распределенный усилитель с ав- автоэмиссионными катодами — наиболее естественный прибор вакуум- вакуумной микроэлектроники. Характеристики и модификации распределен- распределенного усилителя. Вакуумная электроника и электроника СВ Ч: возврат к истокам. Гигатрон. О некоторых применениях вакуумной микроэлек- микроэлектроники. Туннельная микроскопия. Лекция 9B4). Нелинейная нестационарная теория электронных приборов СВЧ с позиций нелинейной динамики 547 История исследований стохастических автоколебаний (динамического хаоса) в СВ Ч-приборах. Нестационарная теория лампы обратной волны М-типа и ее результаты. Общие замечания об автоколебаниях в си- системах «электронный поток-встречная (обратная) электромагнит- электромагнитная волна». Динамический хаос в нерелятивистских электронных С В Ч- приборах. Шумотрон. Механизмы перехода к хаосу в релятивистских электронно-волновых системах. Управление хаотическими колебания- колебаниями в распределенных системах сверхвысокочастотной электроники.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ТОМУ Самый успешный путь обучения — проделать все самому и учиться на собственных ошибках. Луч- Лучше этого пути нет. Еще один хороший путь — наблюдать как кто-то проделывает это. Третий путь — слушать лекции о том, как и что делать; и последний стоящий путь — прочитать об этом. Р. Компфнер Во втором томе книги «Лекции по сверхвысокочастотной электро- электронике для физиков» сохранен стиль первого тома. Чтобы подчеркнуть единство книги, авторы сочли возможным сохранить в качестве эпи- эпиграфа к этому предисловию эпиграф к предисловию первого тома. В этом томе книги рассматриваются такие современные области иследований в электронике сверхвысоких частот, как взаимодействие криволинейных электронных потоков с электромагнитными волнами (мазеры на циклотронном резонансе), лазеры на свободных электро- электронах, сверхизлучение в электронных потоках, плазменная сверхвысоко- сверхвысокочастотная электроника, сверхмощные релятивистские генераторы вы- высокочастотного излучения, синхронизация в распределенных системах СВЧ-электроники, вакуумная микроэлектроника. Многие вопросы впервые излагаются в систематизированном виде и с достаточно полным охватом материала, включая описание экспе- экспериментальных результатов и некоторых технических деталей новых устройств. В частности, это относится к лекциям по сверхизлуче- сверхизлучению в СВЧ-электронике, плазменной электронике, проблеме генерации сверхмощного излучения электронными потоками с виртуальным ка- катодом. Новой и современной проблемой является изучение синхрони- синхронизации в распределенных системах сверхвысокочастотной электроники. Этим вопросам посвящена отдельная лекция. Приоритет решения ряда задач, рассматриваемых в этом томе, при- принадлежит авторам данной книги. При написании книги мы старались построить изложение таким об- образом, чтобы читатель мог получить достаточно полное представление о том или ином разделе, не прибегая к другим источникам (в то же время каждая глава снабжена достаточно подробным списком литера- литературы, так что читатель при необходимости сможет легко обратиться к первоисточникам). Как и в первом томе, в Предисловии нет краткого изложения каждой лекции, поскольку дано расширенное оглавление, повторяющееся перед текстом каждой из лекций. В связи с тем, что второй том является продолжением первого, и материал, изложенный в нем, тесным образом связан с материалом
6 Предисловие ко второму тому первого тома, мы придерживаемся двойной нумерации лекций. Первый номер — это текущий номер лекции в данном томе, в скобках — но- номер лекции с учетом первого тома. При ссылках на лекции, формулы или рисунки указывается только текущий номер. Если необходима соответствующая ссылка на материал первого тома, то рядом с ней указывается номер тома. Лекции предназначены для физиков различных специальностей, интересующихся процессами взаимодействия электронов с электромаг- электромагнитными полями (в том числе для тех, кто ранее не изучал СВЧ- электронику), для научных работников, аспирантов и инженеров, про- проводящих исследования в области вакуумной СВЧ-электроники, радио- радиофизики, радиотехники и физики плазмы. Они могут заинтересовать студентов старших курсов соответствующих специальностей. Авторы хотят выразить искреннюю признательность Российско- Российскому Фонду Фундаментальных Исследований, программе «Университе- «Университеты России — Фундаментальные исследования», Саратовскому учебно- научному центру «Волновая электроника, микроэлектроника и нели- нелинейная динамика» на базе Саратовского государственного универси- университета, Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН и Государственного учебно-научного центра «Колледж;» (под- (поддерживаемого ФЦП «Интеграция»), научно-образовательному центру «Нелинейная динамика и биофизика» при Саратовском госуниверсите- госуниверситете (грант REC-006 of U.S. Civilian Research & Development Foundation for the Independent States of the Former Soviet Union (CRDF)), фон- фонду некоммерческих программ «Династия» и Международному центру фундаментальной физики, без финансовой поддержки которых данная книга вряд ли бы увидела свет. В заключение заметим, что отбор материала, включенного в книгу лежит целиком на совести авторов и вряд ли может понравиться всем. Чтобы как-то защитить себя, сошлемся на авторитет В.Л. Гинзбурга, который в своей книге «О науке, о себе и о других», М.: Физматлит, 2001, в статье «Какие проблемы физики и астрофизики представляют- представляются наиболее важными и интересными в начале XXI века?» пишет на с. 47 следующее: «Весть мой проект — составление «списка» и его комментарии в ка- качестве некоторой педагогической или образовательной программы и, в известной мере, руководства к действию не всем по душе. Некоторым не понравятся также манера и стиль изложения. Это естественно. Я могу защищать лишь право иметь и излагать свое мнение, что не мешает уважать иные мнения. Надеюсь, настоящая статья принесет пользу». Мы также смеем надеяться, что книга принесет пользу. Д. И. Трубецков А.Е. Храмов
Лекция 1A6) ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКОВ С НЕЗАМЕДЛЕННЫМИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ВОЛНАМИ; ГИРОПРИБОРЫ; ПЕНИОТРОН Гиротроны являются электровакуумными СВЧ-приборами, в которых имеет место когерентное излучение электромагнитных волн потоками электронов, вращающихся во внешнем однородном магнитном поле, на частотах, близких к циклотронной частоте электронов или ее гармоникам. Гироприборы. Горький, ИПФ АН СССР. 1989. С. 7. Гироприборы: история создания и особенности конструкции. Резо- Резонаторы гиротронов. Собственные и вынужденные колебания резона- резонаторов гиротронов. Уравнения стационарных колебаний. Укороченные уравнения автоколебаний в гиромонотроне. Интегрирование укорочен- укороченных уравнений автоколебаний в гиромонотроне (теория слабого сигна- сигнала). Пусковой режим гиромонотрона. Мазеры на циклотронном авто- авторезонансе (МЦАР). Другие разновидности гироприборов. Взаимодей- Взаимодействие винтовых электронных пучков с незамедленными электромаг- электромагнитными волнами в волноводе (гиро-ЛВВ и гиро-ЛБВ). Пениотрон — эталонная модель распределенной системы с силовой группировкой электронов. Вся история сверхвысокочастотной электроники, начиная с самого начала (двадцатые годы) — это, в первую очередь, поиск путей повыше- повышения частоты и мощности генерируемого электромагнитного излучения. До 60-х годов электровакуумные электронные СВЧ-приборы использо- использовали преимущественно излучение электронов, движущихся прямоли- прямолинейно. Даже если траектории частиц и не были строго прямолинейны, то это отличие не являлось существенным для механизма излучения. Несмотря на постоянное совершенствование приборов, их выходная мощность падала с ростом частоты. Так, наиболее коротковолновые генераторы того времени — ЛОВ О-типа — в диапазоне длин волн
Лекция 1 A6) короче одного миллиметра (до 0,2 мм) имели выходную мощность от одного до долей милливатта. Дело в том, что с точки зрения теории излучения приборы, со- соответствующие первым четырем основным идеям, лежащим в основе СВЧ-электроники (см. том 1, лекцию 1), основаны на использовании переходного индуцированного излучения (клистроны) и черенковского индуцированного излучения (магнетрон, ЛОВ, ЛБВ). Переходное из- излучение имеет место при движении электронов около неоднородностей, размеры которых порядка или менее длины волны (в клистроне неод- неоднородности — сетки резонатора или стенки, если зазор бессеточный). Если же электрон движется вблизи поверхности среды с показателем преломления более единицы, то, когда расстояние от поверхности не превышает по порядку величины длину волны, возникает черенковское излучение (роль среды в магнетроне играет анодный резонаторный блок — периодическая структура с периодом порядка длины волны, а в ЛБВ и ЛОВ — замедляющая система). Таким образом, в выше- вышеуказанных типах приборов всегда присутствуют электродинамические структуры с размерами порядка длины волны генерируемого или уси- усиливаемого сигнала, причем электронный поток проходит близко к ним. В этом и состоит основное препятствие для получения больших мощ- мощностей на коротких — миллиметровых и субмиллиметровых — длинах волн. Естественны поэтому поиски других принципов индуцированного излучения электронов, использование которых позволило бы при продвижении во все более коротковолновый диапозон отказаться в СВЧ-генераторах и усилителях от мелкоструктурных замедляющих систем и резонаторов. В конце 50-х — начале 60-х годов внимание было обращено на электронные пучки, в которых электроны движутся по непрямолинейным периодическим траекториям. Хорошо известно, что заряженная частица, траектория которой имеет ненулевую кривизну, излучает при любом соотношении между ее скоростью и фазовой скоростью волн в данной среде. Очевидно, что если траектория периодична в однородной среде, то и излучение должно быть периодическим во времени. Однако это еще не решает проблем получения мощного СВЧ-излучения. Дело в том, что, во-первых, излучение электронов должно быть когерентным: только в этом случае оно имеет какую-то ценность для дальнейшего его применения. Во-вторых, поскольку пространственный период траектории по крайней мере при субрелятивистских энергиях мал по сравнению с длиной волны излучения, то не так просто создать фокусирующие и электронно-оптические системы, элементы которых имели бы большие размеры в масштабе длины волны. В противном случае, трудности, о которых шла речь выше, переходят из электродинамики в электронную оптику, по-прежнему ограничивая объем активной среды. Решающими для создания нового класса мощных приборов сверх- сверхвысокочастотной электроники, использующих криволинейные элек- электронные пучки, стали идеи А.В. Гапонова-Грехова и частично Р. Твисса
Гироприборы 9 и Дж. Шнайдера. Подробнее они будут рассмотрены в следующем разделе лекции. Пока же только заметим, что первая основная идея состояла в применении однородного магнитного поля для создания пе- периодических траекторий. При этом в значительной степени снимаются электронно-оптические проблемы. Вторая идея состоит в трактовке криволинейного периодического электронного пучка как ансамбля воз- возбужденных классических осцилляторов. Электрон в атоме, как известно, является осциллятором с суще- существенно неэквидистантным энергетическим спектром, и в присутствии электромагнитного поля с частотой и вынужденные переходы совер- совершаются практически только между парой уровней, разность энергий которых AW ~ Ни. Поэтому для получения индуцированного излу- излучения достаточно поместить вещество в высокодобротный резонатор и создать инверсную населенность в указанной двухуровневой системе. Значительная величина энергии AW в оптическом диапазоне и вы- высокая плотность активной среды, которую легко создать, ввиду ней- нейтральности атомной структуры, и образуют принципиальные основы получения больших мощностей излучения лазеров. Электроны в криволинейных электронных пучках с квантовой точ- точки зрения также являются осцилляторами с бесконечным спектром, но весьма малыми расстояниями между соседними энергетическими уровнями по сравнению с колебательными энергиями частиц. Поэтому поведение таких осцилляторов практически неотличимо от классиче- классических. Энергетический спектр классических осцилляторов является сла- слабо неэквидистантным. Это приводит к неоднозначности воздействия высокочастотного поля на указанную систему: вынужденные энерге- энергетические переходы с каждого уровня могут совершаться как вниз (из- (излучение), так и вверх (поглощение). Вместе с тем при определенных условиях [1] возможно организовать преимущественно излучающие пе- переходы, причем между многими парами уровней. В результате каждый электрон может совершать большое число последовательных переходов вниз и, несмотря на малость энергии кванта, передать полю значитель- значительную часть своей энергии. Приборы, использующие индуцированное излучение классических электронных осцилляторов, называют электронными мазерами. Как видно из вышесказанного, по своему принципу действия электронные мазеры занимают промежуточное положение между классическими вакуумными СВЧ-приборами и квантовыми генераторами (лазерами). Именно это и позволило в коротковолновом диапазоне преодолеть вы- вышеуказанные специфические трудности и создать уникальные по своим энергетическим характеристикам приборы. Гироприборы: история создания и особенности конструкции Как уже отмечалось во введении к лекции, проблема генерации мощного излучения в миллиметровом диапазоне привела к поиску но- новых принципов индуцированного излучения электронов. Здесь особый интерес вызывает использование индивидуального излучения электро-
10 Лекция 1A6) на, колеблющегося в статическом электромагнитном поле — излучение ускоренно движущегося заряда. В первую очередь это связано с тем, что при этом отпадает необходимость использования мелкоструктур- мелкоструктурных замедляющих систем и резонаторов. Как поведет себя ансамбль та- таких классических возбужденных электронов-осцилляторов? К 1958 г., который является во многом точкой отсчета в истории мазеров на цик- циклотронном резонансе, ответа на этот вопрос не было. Хотя заметим, что СВЧ-электроника начинается именно с электронных мазеров — генера- генератора Баркгаузена-Курца A920 г.) [2] и магнетрона Жачека A928 г.) [3], генерирующего на циклотронной частоте 1). Остановимся чуть подробнее на механизме колебаний, обнаружен- обнаруженных немецкими физиками Баркгаузеном и Курцем в 1919 г. при ис- исследовании обычных триодов, в которых сетка находилась под поло- положительным потенциалом по отношению к аноду и катоду (рис. 1.1). Независимо СИ. Зилитинкевич [4] в Ленинграде обнаружил аналогич- аналогичные колебания в усилительных лампах с сетками. Баркгаузену принад- принадлежит и первое объяснение механизма колебаний в таком генераторе. Вылетевшие из катода электроны ускоряются сеткой, но, пройдя ее, возвращаются обратно тормозящим полем в пространстве сетка-анод; проскакивают сетку в обратном направлении, разворачиваются, вновь ускоряются сеткой, проходят ее, вновь тормозятся и т. д. Такие колеба- колебания электрона около сетки происходят до тех пор, пока он не попадет на нее (траектория 1 на рис. 1.1). Таким образом, каждый электрон подобен маятнику, совершающему в общем случае нелинейные коле- колебания, обусловленные статическими полями между электродами. По современным воззрениям совокупность таких нелинейных электронов- осцилляторов (классических осцилляторов) проявляет свойства «уни- «универсальной» активной среды, способной поддерживать электромагнит- электромагнитные колебания без электродинамических систем с размерами элементов порядка длины усиливаемой или генерируемой волны. Именно возможность использовать, так называемое, индуцирован- индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов (в нашем случае электронов-осцилляторов) и утвердило за подобными прибора- приборами название «электронные мазеры». Напомним, что maser— аббревиа- аббревиатура словосочетания microwave amplification by stimulated emission of radiation. Как следует из расшифровки аббревиатуры, термин не обя- обязательно относится к среде из квантовых осцилляторов: среда может быть и классической. Группирование электронов-осцилляторов под действием перемен- переменного поля определяется их неизохронностью, т. е. зависимостью их собственной частоты и® от энергии ?. Если частота и внешнего воз- воздействия в точности равна ujq (резонанс) и осцилляторы изохронны (duo/d? = 0), то половина электронов будет отдавать энергию вы- Практически Жачеком был создан электронный мазер со скрещенными ями на циклотронном резонансе (!), так как баний была близка к циклотронной частоте ujc. полями на циклотронном резонансе (!), так как частота генерируемых коле-
Гироприборы 11 i X Рис. 1.1. Схема генератора Баркгаузена-Курца Рис. 1.2. Образование сгустка неизохронных электронов-осцилляторов на фазовой плоскости сокочастотному полю («правильнофазные»), а половина — забирать («неправильнофазные»). Поэтому для получения эффекта индуциро- индуцированного излучения электронов-осцилляторов нужно «убрать» непра- неправильнофазные электроны из пространства взаимодействия — нужен механизм фазовой рассортировки. В схеме тормозящего поля таким механизмом является поглощение электронов анодом или сеткой (тра- (траектории 2, 3 на рис. 1.1). Рассмотрим теперь резонансную раскачку неизохронных электронов-осцилляторов (duio/dS ф 0), используя для наглядности фазовую плоскость (х,х), где х — смещение осциллятора, а ж — его скорость. На рис. 1.2 жирная фазовая траектория соответствует движению электронов-осцилляторов в отсутствие переменного поля. Чаще всего duio/dS < 0, т.е. частота уменьшается с ростом энергии. При этом ускоренные электроны-осцилляторы колеблются медленнее (на фазовой плоскости это соответствует переходу на внешнюю по отношению к начальной траектории; относительное движение их показано стрелкой В), а заторможенные начинают колебаться быстрее (переход на внутреннюю по отношению к начальной траекторию; относительное движение — стрелка А). В результате образуется «фазовый сгусток» (на рис. 1.2 он заштрихован). Аналогичная «фазовая группировка» имеет место и при duj^/dS > 0, но сгусток образуется в фазе, сдвинутой на тг по отношению к предыдущему случаю. Образовавшийся сгусток может поддерживать колебания определенной фазы, т. е. можно сказать, что имеет место индуциро- индуцированное излучение классических электронных осцилляторов, которое характеризуется возможностью весьма широкой перестройки частоты, поскольку последняя определяется напряженностью статических полей в пространстве взаимодействия. В данной лекции будем обсуждать особый класс таких мазеров — мазеров на циклотронном резонансе (МЦР). Историю этого класса при- приборов обычно начинают с 1958 г., указывая на работу австралийского астрофизика Р. Твисса. Когда прошло немногим более двадцати лет с момента появления этой работы, библиографический указатель лите- литературы, вышедший в 1983 г. и охватывавший период с 1958 по 1980 гг.,
12 Лекция 1A6) содержал уже 444 ссылки [5]. Заметим, что предыдущий аналогичный указатель, вышедший в 1974 г., содержал лишь 178 ссылок [6]. Несо- Несомненно, что сейчас число публикаций еще более возросло. Активные исследования ведутся в России, США, Франции, КНР, Великобрита- Великобритании, Австралии, ФРГ, Швеции и других странах. В мире продолжается «гиротронный бум», который начался более тридцати лет назад с пуб- публикацией на Западе кратких обзоров результатов, достигнутых в СССР по мощным генераторам миллиметровых длин волн — гиротронам — одной из разновидностей МЦР. Обычно в таких обзорах приводился график мощность-частота, на котором ближе к правому верхнему углу красовалась одинокая точка с надписью «Soviet gyrotron». Итак, в 1958 г. Р. Твисс [7] первым указал на возможность уси- усиления электромагнитной волны системой неравновесных электронов- осцилляторов на циклотронной частоте. Как отмечается в [8, с. 527], в более ранней работе [9] уже имеется упоминание о механизме усиле- усиления, подробно описанном Твиссом в [7]. В связи с чем в [8] делается вывод: «Можно безусловно предположить, что он понимал циклотрон- циклотронные мазеры перед 1958 г.» [8, с. 527]. Твисс вывел формулу для ко- коэффициента поглощения среды, показав возможность отрицательного поглощения. Некоторые исправления расчетов Твисса были приведены позднее в [10]. В 1959 г. независимо от Твисса и друг от друга А.В. Гапонов- Грехов [11,12] и Дж. Шнайдер [13] теоретически показали возможность индуцированного излучения в потоке электронов, вращающихся в маг- магнитном поле. Практически одновременно с теоретическими работами появились сообщения об экспериментальном наблюдении индуциро- индуцированного циклотронного излучения [14-16], В работе [14] был описан эксперимент с усилителем, в котором винтовой пучок в однородном продольном магнитном поле взаимодействовал с волной Ню прямо- прямоугольного волновода. Подход Шнайдера был основан на квантово-механических пред- представлениях, подход Гапонова-Грехова был классическим. Квантовый подход [13] основан на том, что электрон, вращающийся в однородном магнитном поле, ведет себя как ангармонический осциллятор, энерге- энергетический спектр которого неэквидистантный. Поэтому переходам под действием внешнего поля с населенного уровня р на уровень р + п (по- (поглощение) и на уровень р — п (излучение) соответствуют разные, хотя и близкие частоты tmjq (ojq — собственная частота осциллятора, п — целое, положительное число). На частотах, близких к tiljq, осциллятор подобен трехуровневой квантовой системе: он поглощает энергию на частоте перехода ип+р^р и излучает — на ир^п-р. Таким образом, если Шнайдер и думал о мазере на циклотронном резонансе, то исходил из аналогии с соответствующей квантовой системой. В работе [11] изложена линейная теория распространения электро- электромагнитных волн в гладких волноводах, пронизываемых тонким трохо- идальным или винтовым электронным потоком. Основной результат рассмотрения различных механизмов взаимодействия непрямолиней- непрямолинейных пучков с незамедленными электромагнитными волнами — дока-
Гироприборы 13 зательство существования пространственной группировки электронов (инерциальной и силовой), а также анализ усиления и генерирования СВЧ-колебаний в таких системах. Нет сомнения, что самой важной работой для дальнейшего развития мазеров на циклотронном резонан- резонансе, по крайней мере в СССР, оказалось письмо в редакцию журна- журнала «Изв. высш. уч. заведений. Радиофизика» А.В. Гапонова-Грехова [12]. В нем подчеркивалось, что при рассмотрении взаимодействия непрямолинейного пучка с электромагнитной волной необходим учет релятивистских эффектов. Эти эффекты приводят в новому механизму группирования электронов — «азимутальной группировке» (впослед- (впоследствии закрепился термин фазовая группировка), которая возникает из-за того, что «... циклотронная частота ujc зависит от скорости... ...» [12] х). А.В. Гапонов-Грехов пишет в [12], что на данное обстоя- обстоятельство его внимание обратил В.В. Железняков. Замечу, что авторы [8], отмечая этот факт, задают риторический вопрос: «Можем ли мы предположить, что доктор Железняков понимал мазер на циклотрон- циклотронном резонансе в 1959 г.?» [8, с. 527]. На вопрос можно ответить так: да, группа горьковских исследователей уже тогда понимала физику мазеров на циклотронном резонансе. Дело в том, что цитированные статьи были отражением результатов лишь части исследований, ко- которые велись под руководством А.В. Гапонова-Грехова по созданию приборов миллиметрового и субмиллиметрового диапазона длин волн. Постепенно перебирались один возможный механизм за другим, одна конструкция за другой. Так, по разным причинам были «забракова- «забракованы» после подробных исследований лампы с поперечным током [18], электромагнитная линза [19], приборы с сортировкой электронов [20], приборы с электростатической фокусировкой [21] и с трохоидальны- ми потоками [22]. Во всех исследованиях всегда в качестве конечной цели ставилось создание мощного коротковолнового прибора с КПД не менее 50%. Заметим, что В.В. Железняковым в то же время были опубликованы результаты исследования неустойчивости неравновес- неравновесной магнитоактивной астрофизической плазмы по отношению к вы- высокочастотному электромагнитному излучению [23, 24] и совместная с А.В. Гапоновым-Греховым работа [25], касающаяся как ансамбля электронов-осцилляторов в магнитном поле, так и неравновесной маг- магнитоактивной плазмы 2). В 1984 г. В.В. Железнякову Президиумом АН СССР была присуждена премия имени А.А. Белопольского за цикл работ «Циклотронное излучение в астрофизике». При этом его роль в создании мазеров на циклотронном резонансе отмечается в [27, с. 142] следующим образом: «Результаты его работ по теории циклотронного излучения приобрели также важное прикладное значение в области электроники больших мощностей». х) «Релятивистский вариант» работы [11] был дан в статье [17]. 2) Исследование неустойчивостей неравновесной магнитоактивной плазмы, обусловленных индуцированным циклотронным излучением, было проведе- проведено и Шнайдером [26].
14 Лекция 1A6) В конечном счете горьковчане остановились на способе усиления и генерирования электромагнитных колебаний, основанном на взаи- взаимодействии потока электронов, движущихся по винтовым траектори- траекториям, с незамедленной электромагнитной волной, т.е. на механизме ин- индуцированного излучения возбужденных классических осцилляторов [1]. Выбор пал на электроны, вращающиеся с циклотронной частотой в однородном магнитном поле, которыми можно заполнить большой электродинамический объем (однородное магнитное поле в принципе можно создать в очень большом объеме). Таким образом можно нако- накопить в электродинамическом объеме большую энергию и использовать ее для получения мощных электромагнитных колебаний на коротких длинах волн. Приборы, в которых реализуется такое взаимодействие, и получили название мазеров на циклотронном резонансе (МЦР). В ва- вакуумной электронике термин «cyclotron resonance maser», по-видимому, впервые появился в работе [28], хотя ранее его ввел Лэкс, предложив МЦР на полупроводниках (см. [5, с. 4]). Описывая этот этап развития СВЧ-электроники, американский фи- физик Осепчук [29] особо подчеркивает роль горьковских физиков в со- создании МЦР. «Открытие фазовой фокусировки, которая является ре- результатом релятивистской зависимости массы электрона, объясняет интерес к лампе такого типа [11-13] 1). Это позволило назвать та- такие приборы «электронно-циклотронными мазерами» [28]. В США в 60-х гг. [30] возлагали большие надежды на появление эффективных источников миллиметровых волн. Но не получив поддержки, ученые США утратили интерес к разработки этих приборов. А в это вре- время советские ученые сумели объяснить процессы, происходящие во всех циклотронно-резонансных приборах. Например, работа Гапонова 1967 г. [31] содержала обзор мощных миллиметровых приборов и за- заложила основы их серьезного развития. В последующие годы в СССР интенсивно проводились обширные работы, результат которых был отражен в написанных на высоком уровне статьях по СВЧ-лампам, в основном посвященных приборам на циклотронном резонансе» [29, с. 15-17]. Каков же механизм фазовой группировки и в чем его отличие от механизмов, рассмотренных нами в предыдущих лекциях? Для объяс- объяснения данного механизма обратимся к механической аналогии, следуя работе [32]. В качестве модели ансамбля электронов-осцилляторов, взаи- взаимодействующих с электромагнитным полем, рассмотрим систему легких маятников, прикрепленных к упругой балке, качающихся вразнобой и взаимодействующих с ее колебаниями. Напомним, что простой маятник, состоящий из невесомой нити длиной /, один конец которой закреплен, а ко второму прикреплен «точечный» груз с массой т, в общем случае представляет собой нелинейный осциллятор. Маятник колеблется в заданной плоскости, а его положение целиком Ссылки, приведенные в [29] даны в нашей нумерации.
Гироприборы 15 определяется углом в — углом отклонения маятника от вертикали, причем по второму закону Ньютона ^1 + .1 sin 9 = 0, A.1) где ojo = g/l — собственная частота колебаний линейного осциллятора (угол 0 — мал и sin 0 « 0, g — ускорение свободного падения). В слабо- слабонелинейном случае просто показать, что колебания неизохронны, и их период зависит от амплитуды колебаний: Т «То A + 02/16) , A.2) где То = 2тг/о;о — период колебаний линейного осциллятора, во — мак- максимальное угловое смещение маятника. Частота колебаний, очевидно, в этом случае меняется по закону и яооо A-eg/16) . A.3) Если сначала все маятники покоятся, а балка совершает малые колебания, то с течением времени она раскачает их в такт с собой. Забирая энергию колебаний у балки, точно также раскачиваются и слабо (т.е. с малой амплитудой, а следовательно, с постоянной частотой и о) качающиеся маятники. Этот случай соответствует вынужденным колебаниям линейных осцилляторов, собственные колебания которых изохронны. Ситуация кардинально меняется, если начальный размах колебаний маятников настолько велик, что частота их колебаний под- подчиняется закону A.3) и колебания становятся неизохронными. Пред- Предположим, что в начальном состоянии маятники качаются вразнобой, но с одинаковой большой амплитудой (тогда для частот их колебаний справедливо соотношение A.3)). В этом случае переменная сила, вы- вызванная колебаниями балки, ускоряет те маятники, скорости которых большую часть времени совпадают по направлению с переменной си- силой, и тормозит те, у которых направления скорости и силы противо- противоположны. Вспомним, что маятники неизохронны. Поэтому, как свое- своеобразно пишут авторы [32], у более «энергичных» маятников период колебаний возрастает, а у менее «энергичных» — падает (см. соотноше- соотношение A.2)). Из-за неизохронности одна часть маятников подстраивается под другую, маятники начинают качаться в такт и образуется так называемый, «фазовый сгусток». В [32] есть запоминающийся образ фазового огустка. Если вспомнить истории о солдатах, шагающих по мостам и страницам книг по теории колебаний, то в нашем случае в отряде солдат, идущих по мосту, значительная часть солдат в разных местах строя пошла «в ногу» — образовался фазовый сгусток. Для того чтобы маятники в «сгустке» когерентно отдавали свою энергию балке (мост сам «синхронизовал» солдат и раскачивался [32]), нужно выполнение неравенства ujb > &о при ujb ~ шо, где ujb — частота балки (имеется определенная аналогия с ЛБВ, где скорость волны Уф близка к скорости электронов vq, но для нужного энергообмена Уо должна быть больше Уф).
16 Лекция 1 A6) L ЧЛЛЛА/И У Если теперь вернуться от механической аналогии к системе электронов-осцилляторов, взаимодействующих с электромагнит- электромагнитным полем, то, заменив маятники классическими электронами- осцилляторами, а колебания балки — переменным электромагнитным полем, можно сохранить все наглядные рассуждения работы [32]. Строгий анализ механизма фазовой группировки был изложен нами в томе 1, лекции 1 (см. также [1, 31, 33]). Следует, однако, заметить, что, по-видимому, впервые фазовая группировка электронов- осцилляторов, неизохронность которых связана не с релятивистскими эффектами, а с конфигурацией ста- статических полей, была подробно ис- исследована теоретически в работе Агдура [34]. Более того, был соз- создан СВЧ-генератор — строфотрон (рис. 1.3), который работал как в ре- режиме отсортировки неправильно- фазных электронов, так и в режи- режиме фазовой фокусировки (строфо- (строфотрон был предложен в 1950 г. Аль- фвеном и Гомелем; см., например, [35, Т. 2, с. 92-118]). В режиме чи- чистой отсортировки строфотрон мо- может работать лишь в том случае, когда распределение электростати- электростатического потенциала вдоль оси х (см. рис. 1.3) параболическое. Этот ре- режим нас не интересует. Чтобы дока- доказать приоритет Агдура в описании фазовой фокусировки, процитируем его статью [35, Т. 2, стр. 95]. «Рас- «Рассмотрим теперь случай, когда период колебаний электрона зависит от амплитуды. Это имеет место, когда распределение потенциала вдоль оси х непараболическое... Электрон, стартующий с отбором энергии от высокочастотного поля, увеличивает амплитуду своих колебаний, и поэтому период его колебаний изменяется. Фаза электрона, стар- стартующего с отдачей энергии высокочастотному полю и уменьшением амплитуды колебаний, рано или поздно изменится так, что электрон начнет накапливать энергию. Амплитуда колебаний электронов будет поэтому изменяться в некоторых пределах, определяемых распределе- распределением постоянного электрического поля вдоль оси х, высокочастотным потенциалом и соотношением между периодом колебаний электрона в случае отсутствия высокочастотного поля и периодом высокочастот- высокочастотных колебаний. Поскольку при больших амплитудах скорость измене- изменения фазы должна быть большей, чем при малых, то можно ожидать, что электроны будут большую часть времени колебаться при малых амплитудах. Этот механизм обмена энергией мы назовем режимом фазовой фокусировки. В этом режиме можно добиться того, чтобы электроны, покинувшие катод, достигали коллектора с кинетической Рис. 1.3. Плоский периодический пучок в строфотроне. Распределе- Распределение потенциала вдоль оси х пара- параболическое или квазипараболиче- квазипараболическое. Электроны совершают боль- большое число колебаний в высокоча- высокочастотном поле между анодом (А) и отражателем (R)
Гироприборы 17 энергией, в среднем меньшей, чем та, которую они получили от посто- постоянного поля с момента вылета из катода». Вернемся к МЦР, в которых имеет место индуцированное излуче- излучение в активной среде, состоящей из электронов, вращающихся в маг- магнитном поле. Такое излучение естественно называть индуцированным циклотронным излучением, поскольку оно имеет место на циклотрон- циклотронной частоте или одной из ее гармоник. Обсудим качественно причину неизохронности таких осцилляторов, их группировку и взаимодействие с ВЧ-полем. Рассмотрим релятивистское движение электрона в высо- высокочастотном электрическом поле Е и магнитном поле В (В — сумма индукций статического и высокочастотного магнитного поля), которое описывается уравнением для скорости v: 4- , V = — (Е + [vB]) , A.4) dt y/l-v2/c2 m° где е и то — заряд и масса покоя электрона. После преобразований, вводя обозначение ^/ъ2/с2, A.5) mo получим вместо A.4) с учетом A.5) f? + [ncv] = ^yi^W f е + ^ (Щ }. A.6) dt mo I с \с J) С погрешностью v2 /с2 правую часть в A.6) можно заменить выражени- выражением (е/то)Е и считать, что д/1 — v2/с2 « 1 — v2/Bс2). Если пренебречь в A.5) высокочастотным магнитным полем и считать, что Е = 0, то с указанной погрешностью, например, для ж-составляющей скорости получаем уравнение нелинейного осциллятора ^+uc(l-v2/c2)vx=0, A.7) где ис = (e/mo)B. Можно обойтись и без математики. Известно, что если электрону в однородном продольном магнитном поле В сообщить скорость, пер- перпендикулярную полю, то он будет вращаться по окружности с частотой ?lc = (e/m)B = (e/mo)By/l — v2/с2 . При v <С с, когда m « mo, ^с = = ис = const. С ростом энергии, например, когда д/1 — v2/с2 « 1 — — v2/Bс2), ?1С « ис (l — v2/Bc2)), частота вращения электрона умень- уменьшается, поскольку он становится тяжелее. Таким образом, благодаря релятивистскому эффекту (зависимость массы частицы от ее скорости) электрон в магнитном поле оказывается неизохронным осциллятором. Предположим теперь для простоты, что кольцо электронов, враща- вращающихся в однородном магнитном поле В (продольное движение не учитываем), взаимодействует с переменным монохроматическим полем Е = Re {Eoeja;^}, которое однородно и линейно поляризовано в плос- 2 Трубецков, Храмов
18 Лекция 1 A6) Е Рис. 1.4. Стадии взаимодействия электронов с ВЧ-полем в режиме цикло- циклотронного резонанса: а — начальная модуляция орбитальных скоростей; б — образование фазового сгустка; в — торможение сгустка кости, перпендикулярной магнитному полю В. Частота вращения элек- электрического поля почти синхронна с частотой движения электронов в магнитном поле — и « ?1С. Электроны, попавшие в разные фазы поля, получают разные приращения энергии (разные v2/с2). Сначала проис- происходит модуляция орбитальных скоростей электронов: у тех электронов, которые попадают в тормозящую фазу поля, энергия уменьшается, а у тех, которые попадают в ускоряющую — увеличивается (рис. 1.4 а). Далее из-за релятивистской зависимости частоты от энергии электро- электроны начинают вращаться с разными циклотронными частотами и, сме- смещаясь друг относительно друга по фазе, образуют сгусток (рис. 1.4 б). Если теперь uj > ujc у электронов, попавших сначала в тормозящую фазу, угловая скорость \и — ?1С\ относительно поля Е уменьшается (из- за релятивистского эффекта увеличивается Пс), и они задерживаются в этой фазе. У электронов в ускоряющей фазе величина ?1С уменьша- уменьшается, т. е. увеличивается \и — fic|, и они переходят в тормозящую фазу. Таким образом, сгусток образуется в тормозящей фазе поля (рис. 1.4 в), и результат энергообмена оказывается весьма эффективным. Заметим, что если высокочастотное поле Е неоднородно в поперечном к магнит- магнитному полю В направлении, то возможно эффективное взаимодействие этого поля с электронами не только на основной циклотронной частоте, но и на ее гармониках (oj « nfic, n = 1, 2, 3 . . .). Уже в 1960 г. В.К. Юлпатовым была развита нелинейная теория взаимодействия кольца электронов, вращающихся в однородном маг- магнитном поле с собственной модой резонатора [36]. Было показано, что при условиях, близких к оптимальным (оптимальное время взаимо- взаимодействия, не слишком большая неизохронность, подходящая структу- структура электромагнитного поля), электроны-осцилляторы могут отдавать ВЧ-полю порядка 70% своей первоначальной энергии. Позднее анало- аналогичная теория была построена для МЦР с попутной волной [37,38]. Надо сказать, что релятивистский механизм фазовой группировки был не сразу понят специалистами по электронике СВЧ как у нас, так и за рубежом. Однако в 1967 г. можно было подводить итоги
Гироприборы 19 первого этапа развития МЦР. Эти итоги и были подведены в статье А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Петелина и В.К. Юлпатова [31], в ко- которой уже фигурировали главные элементы наиболее эффективного МЦР — гиротрона. В этом же году группе горьковских радиофизиков — И.И. Антакову, М.И. Петелину, В.А. Флягину, В.К. Юлпатову во главе с А.В. Гапоновым-Греховым была присуждена Государственная пре- премия за теоретические и экспериментальные исследования индуциро- индуцированного циклотронного излучения электронов, приведшие к созданию нового класса приборов — мазеров на циклотронном резонансе. С 1967 г. начинается и история гиротрона, когда была предложена его конструк- конструкция [39] и А.В. Гапонов-Грехов ввел сам термин. Любопытно в связи с этим замечание того же Дж. Осепчука [29, с. 18]: «Необходимо под- подчеркнуть, что изобретение гиротрона — результат программы, приня- принятой в 50-х годах Академией Наук СССР [40], официально одобрившей разработку мощных источников миллиметровых и субмиллиметровых волн. Обширная работа, которая проводилась в этом направлении, отражена в большом количестве публикаций [41]». Что же представляет собой такой тип мазеров на циклотронном резонансе как гиротрон? На рис. 1.5 приведена схема гиротрона [42] — генератора с открытым резонатором, пронизываемым электронным потоком с винтовыми траекториями. Поскольку частота излучения практически совпадает с циклотрон- циклотронной частотой, из определения циклотронной частоты следует, что на- напряженность магнитного поля Н [кЭ] = 110/А [мм], А — длина волны излучения. Для достижения больших магнитных полей (при измене- Рис. 1.5. Схема гиротрона: 1 — катод; 2 — анод; 3 — резонатор; 4 ~~ коллек- коллектор; 5 — выходной волновод; 6 — выходное окно; 7 — соленоид. Штриховая линия — силовая линия магнитного поля, волнистая линия — траектория электрона, ломаная линия — траектория лучей, образующих рабочую моду. Внизу график распределения статического магнитного поля В вдоль про- продольной координаты z
20 Лекция 1 A6) Рис. 1.6. Схема магнетронно инжекторной пушки (МИП) гиротрона нии длины волны от 10 до 1 мм требуются поля от 11 до 110 кЭ) оказалось энергетически выгодно использовать соленоиды из сверхпро- сверхпроводящих сплавов, помещенных в криостаты с жидким гелием. Один из важнейших элементов гиротрона — электроннооптическая система. Самой удобной оказалась «адиабатическая» магнетронная инжекци- онная пушка (МИП) [43], схема которой приведена на рис. 1.6. МИП состоит из осесимметричных катода и анода, соосных магнитному по- полю. Электрон, вылетевший из катода, движется в плавнонеоднородных скрещенных статических электри- электрическом и магнитном полях, приоб- приобретая на входе в резонатор про- продольную скорость и циклотрон- циклотронное вращение. Траектория движе- движения электрона в МИП описывает- описывается квази-трохоидальными траекто- траекториями. Компонента электрического поля, параллельная магнитному по- полю обеспечивает инжекцию частиц в переходную область, следующую после пушки (см. рис. 1.5), находя- находящейся в относительно слабом поле рассеяния соленоида Вк, которое, согласно рис. 1.6, наклонено к поверхности катода под острым уг- углом ср. Благодаря этому возрастает начальная вращательная энергия, приобретаемая электронами в пушке; кроме того, по мере движения электронов в более сильное магнитное поле идет перекачка энергии продольного движения в энергию вращения. На языке квантовых мазеров МИП представляла собой эффектив- эффективную систему накачки осцилляторной энергии. Заметим, что в пер- первых зарубежных работах для «накачки» применялся специальный эле- элемент — «штопор» (corkscrew) — бифилярная спираль, по которой про- протекал ток, создающий поперечное магнитное поле [28,44]. Чрезвычайно важной на первом этапе создания гиротрона оказа- оказалась работа [45], в которой были определены условия, когда МЦР-уси- лители и генераторы малокритичны к разбросу электронов по ско- скоростям. При достаточной однородности высокочастотного поля инду- индуцированное излучение возникает только как результат квадратичной группировки в окрестности циклотронного резонанса, т. е. с учетом эффекта Доплера: A.8) и = 1 - Vd/уф ' Здесь Vd — скорость дрейфа ведущих центров вдоль магнитного по- поля. Эта скорость зависит от условий формирования и в принципе не одинакова для разных электронов пучка. Следовательно, излучение в разных направлениях происходит на частотах, сдвинутых на допле- ровскую поправку, разную, если есть разброс по скоростям. Очевидно, что нельзя сформировать односкоростной поток, поэтому было важно понять к чему приведут разброс электронов по частотам излучения из-
Гироприборы 21 за эффекта Доплера и из-за разных полных энергий (разные полные энергии — разные циклотронные частоты). Первое впечатление было неутешительным. Казалось, что частотные области проводимости ак- активной среды, соответствующие разным скоростным группам электро- электронов, могут сместиться по частоте так, что область с отрицательной про- проводимостью перекроется областью с положительной проводимостью, и индуцированного излучения просто не будет [46, с. 22]. Но допле- ровского смещения нет при любой продольной скорости, если огра- ограничиться излучением электромагнитных волн в направлении, перпен- перпендикулярном поступательному движению электронов *), т.е., если ис- использовать резонансную электродинамическую структуру (например, длинный цилиндрический резонатор), в которой возбуждается мода с частотой, близкой к критической соответствующего волновода [31, с. 1445]. В большинстве гиротронов поэтому применяются открытые цилиндрические резонаторы (отрезки слабонерегулярных волноводов), поперечное сечение которых при рабочей длине волны близко к кри- критическому, так что Уф ^> с, а, следовательно, и «ф » ^, и различие по скоростям дрейфа ведущих центров (см. формулу A.8)) оказыва- оказывается несущественным. Открытые резонаторы были выбраны в первую очередь из-за того, что увеличивая поперечное сечение пространства взаимодействия, можно увеличить мощность гиротрона. Но тут же воз- возник вопрос: «Можно ли обеспечить возбуждение одной рабочей моды в многомодовых резонаторах, не теряя в к.п.д прибора (не ограничи- ограничивая сечение)?» Ответ оказался положительным и были разработаны эффективные методы электродинамической [46, с. 62] и электронной селекции мод [46, с. 77]. Первые эксперименты, подтверждающие правильный выбор кон- конструкции данного типа МЦР и возможность получения высоких к.п.д (порядка 50 % — как и задумывалось при выборе направления), были изложены в докладах на 5-й Межвузовской конференции по электро- электронике СВЧ (Саратов, 1966), а позднее опубликованы в работе [47]. Любо- Любопытно, что, несмотря на впечатляющие результаты, полного понимания МЦР как принципиально нового класса электронных приборов СВЧ еще не было у широкого круга электронщиков 2). Показательно в этом смысле, что на упомянутой выше конференции 1966 г. все доклады по МЦР были вынесены первоначально на теоретическую секцию и лишь по настоянию А.В. Гапонова-Грехова перенесены на приборную сек- секцию. Однако уже в 1967 г. расширилось число групп, занимающихся МЦР, а в периодической литературе появилось четкое признание МЦР х) Упомянутый разброс электронов по полным энергиям можно практиче- практически ликвидировать, если использовать эквипотенциальный катод и принять меры к тому, чтобы в пространстве взаимодействия не было статических полей. 2) Были и курьезы, связанные с названием приборов — мазеры на цик- циклотронном резонансе. После присуждения горьковчанам Государственной премии в одном из уважаемых физических журналов было написано, что она присуждена за выдающиеся работы в области квантовой электроники.
22 Лекция 1A6) как нового класса мощных приборов ведущими специалистами-элек- специалистами-электронщиками [40] (О присуждении Государственной премии мы уже упоминали). В частности, в [48, с. 50] отмечено: «.. .был создан новый класс мощных электронных приборов СВЧ. Практическая неограни- неограниченность пространства взаимодействия позволяет применять в них квазиоптические открытые резонаторы. Это, в свою очередь, позволи- позволило получить в приборах этого класса наивысшие значения мощности в коротковолновой части сантиметрового и в миллиметровом диапазоне длин волн при высоких значениях электронного КПД, достигающих 40% (без рекуперации)». Последующие за 1967 годы характеризуются значительной активно- активностью работ по гиротронам, главным образом в СССР: если посмотреть в библиографический указатель[5], то в 1968-1974 гг. зарубежных работ практически нет (всего четыре работы в 1969 г., одна работа в 1970 г., одна работа в 1971 г., одна работа в 1973 г. при общем числе работ — более 100). Дж. Осепчук, рассуждая о работах по МЦР в СССР, сви- свидетельствует: «... реальную оценку данные исследования не получили в США до 1974 г., когда в советском техническом журнале были опуб- опубликованы ошеломляющие результаты [49], достигнутые на гиротроне. На гиротроне в непрерывном режиме была получена мощность 12 кВт на длине волны 2,8 мм при КПД 31 % и 1,5 кВт на длине 0,9 мм при КПД 6% » [29, с. 17-18]. Именно этим «ошеломляющим» результатам соответствует, как мы уже указывали, одинокая точка с надписью «Soviet gyrotron» около нее. Пожалуй, именно эта публикация послужи- послужила пусковым механизмом последовавшего затем «гиротронного» бума на Западе. В 1977 г. американцы публикуют краткую историю МЦР [8], в которой легко обнаружить некоторую обиду на самих себя («Ведь как хорошо начинали, а бросили»). Во всех последующих обзорах, даже в весьма необъективных по отношению к советской СВЧ-электронике (см., например, обзор [50]), признается приоритет горьковской группы в создании гиротрона от идеи до наиболее удачной конструкции. В этом разделе мы часто упоминали имя академика Андрея Вик- Викторовича Гапонова-Грехова. Он родился в Москве 7 июня 1926 г. В 1949 г. окончил радиофизический факультет Горьковского универ- университета. А.В. Гапонов-Грехов — ученик А.А. Андронова, у которого учился в аспирантуре A949-1952). В 1955 г. он защитил кандидатскую диссертацию по теории электромеханических систем, по результатам защиты которой ему была присуждена ученая степень доктора физико- математических наук. С 1952 по 1955 гг. работал в Горьковском поли- политехническом институте. С 1955 г. Андрей Викторович — зав. отделом, зам. директора НИРФИ, с 1977 г. — директор известного сейчас во всем мире Института прикладной физики (Нижний Новгород). Диа- Диапазон его исследований широк: физика плазмы и высокочастотная электроника, электродинамика и теория электромагнитных излучате- излучателей, теория нелинейных колебаний и волн. А.В. Гапонов-Грехов и его сотрудники дважды становились лауреатами Государственной премии СССР A967 и 1984 гг.).
Гироприборы 23 Дальнейшее изложение материала лекции, посвященного гиротро- нам, будем вести, следуя книге Цимринга Ш.Е. «Мазеры на циклотрон- циклотронном резонансе» [33]. Резонаторы гиротронов Обсудим кратко некоторые особенности конструкции резонаторов гиротронов (рис. 1.7) и наиболее очевидные требования к ним, следую- следующие из характера группировки и излучения электронов-осцилляторов. 1. Осевая симметрия. Применение резонаторов с осевой симметри- симметрией имеет ряд технологических и конструктивных преимуществ. Так она оптимальна для магнитных систем (в частности, соленоидов), и уже по этой причине предпочти- предпочтительна для электронно-оптических систем. 2. Условие Уф ^> с делает необхо- необходимой конструкцию резонатора в ви- виде отрезка волновода, каким-то об- образом закрытого на торцах, с попе- поперечным сечением, близким к крити- критическому. Условие квазикритичности: Z=Z2 зэ : к, A.9) Рис. 1.7. Резонатор гиромонотро- на где зэ и h — соответственно поперечное и продольное волновое число выбранного типа волны. 3. Поперечные размеры резонатора должны быть велики в масшта- масштабе длины волны, т. е. во всяком случае Rp/X > 1. A.10) Это условие важно, чтобы иметь большой объем активной в корот- коротковолновом диапазоне среды и возможности рассеяния на достаточно большой поверхности тепла, выделяющегося на стенках резонатора из- за джоулевых высокочастотных потерь. 4. Длина L резонатора должна быть достаточной для развития квадратичной группировки. Вспомним условие индуцированного излу- излучения при квадратичной группировке, полученное в лекции 1 (том 1, формулы A.42) и A.43)). Тогда где g = у±/у\\ — питч-фактор, характеризующий угол намотки винто- винтовой траектории. Из результатов нелинейной теории известно, что приемлемые КПД гиромонотрона получаются при ц ~ 10, тогда при C± = 0,3 и g = 1,7 длина резонатора L/X = 6. Этим данным соответствует Uq = 30 кВ. 5. Использование ТЕ-мод. Использование взаимодействия электро- электронов винтового пучка с полем ТМ-моды при слаборелятивистских энер- энергиях малоэффективно из-за разгруппировывающего действия продоль-
24 Лекция 1A6) ного электрического поля. Будем интересоваться собственными колеба- колебаниями цилиндрических резонаторов. Они помечаются тремя индекса- индексами: азимутальным т, радиальным п (поперечные индексы) и продоль- продольным индексом q. Каждый из индексов является целым числом, равным числу вариаций поля по соответствующему направлению (т. е. числу полуволн, укладывающихся по каждому масштабу). Таким образом, интересующие нас колебания обозначаются как ТЕШП(?. 6. Слабая нерегулярность волновода. Основная (низшая мода круг- круглого волновода) Нц характеризуется отношением Rp/А « 0,3. Выпол- Выполнение условия A.10) требует использование высоких мод, у которых, как правило, один или оба поперечных индекса существенно больше единицы. Но высокие моды требуют осторожного с собой обращения: любое резкое изменение поперечного сечения сразу же (за редким исключением) ведет к трансформации данной моды в другие, что радикально меняет параметры резонатора и характеристики самого излучения. 7. Селекция мод. Дифракционный вывод энергии. Число N соб- собственных колебаний произвольного резонатора в некотором диапазоне длин волн Л определяется известным соотношением N ~ V/А3, где V — объем резонатора. Из условий A.10), A.11) понятно, что резонаторы гиротронов обладают плотным спектром. Если в полосу циклотронно- циклотронного резонанса попадают две или большее число мод, то возникающее их нелинейное взаимодействие, как правило, существенно ухудшает и эффективность гиротрона, и монохроматичность, и когерентность излучения. Отсюда следует необходимость селекции мод. С электродинамических позиций селекция колебаний возможна двумя способами: 1) разряжение спектра мод в какой-то узкой рабочей области за счет сгущения в другой; 2) разрежение спектра добротных мод путем создания условий для диссипации энергии мешающих коле- колебаний с соответствующим понижением вероятности их возбуждения. Один из наиболее действенных способов селекции — использование открытых резонаторов, когда диссипация энергии громадного числа мешающих колебаний достигается за счет их беспрепятственного излу- излучения. Рассмотрим чуть более подробно селекцию колебаний по продоль- продольному индексу, которая наиболее существенна, принимая во внимание большие значения величины L/А. Оценим длины волн колебаний как функцию продольного индекса. При продольном индексе q на длине ре- резонатора L укладывается q волноводных полуволн Лв. Таким образом, длина волны в свободном пространстве, соответствующая ЯтПG-моде, равна: А = , = , ^, где Акр = АКр(т, га). A.12)
Гироприборы 25 Отсюда видно, что Л максимальна при q = 1 и быстро уменьшается с ростом q. Для мод с небольшим q, когда AKp/2L <С 1: т. е. длины волн первых колебаний весьма близки к критическим. В ка- качестве рабочей наиболее интересна мода TEmni, для которой фазовая скорость максимальна. Если создать небольшое сужение на выходном (левом на рис. 1.7) конце волновода, то можно так подобрать его размеры, что он ока- окажется закритическим для этой моды и докритическим для мод с q > > 1, которые имеют меньшую длину волны. В результате мода ТEmni отражается от сужения и оказывается запертой, тогда как осталь- остальные моды свободно излучаются и соответствующие добротности ма- малы (QtEmn21'QtEmnl = 1/B -г- 3); при q > 3 все добротности (кроме QTEmnl) пренебрежимо малы). Общее число мод с различными q рав- равно примерно 2L/A, т.е. указанный метод селекции разряжает спектр в 2L/A раз. При малой длине сужения имеет место частичное просачивание мощности излучения в выходной волновод. Подбор геометрии сужения позволяет тогда одновременно использовать его и как вывод энергии («дифракционный» вывод энергии), и как корректор добротности ре- резонатора, при котором обеспечивается оптимум КПД. Собственные колебания резонаторов гиротронов Исходными уравнениями для рассмотрения колебаний резонаторов гиротронов являются уравнения Максвелла: A.14) rot E = ~А*о-^-. Пусть Е, Н и j — периодические функции времени. Представим плот- плотность тока в виде ряда Фурье: сю i(r,a;)e^t, A.15) где jn(r, uj) — комплексные амплитуды плотности тока, определяемые обратным преобразованием Фурье: 2тг M)e"^w<iM). A.16)
26 Лекция 1A6) Будем в дальнейшем интересоваться только первой гармоникой плот- плотности тока: 2тг If ji(r,o;) = - \ Ur,t)e~Jujt d(ujt) = j(r, t). A.17) 7Г J о Если j(r, i) — вещественная функция, то согласно выражению A.16) Используя соотношение A.17) и аналогичные соотношения для Е и Н, приходим к уравнениям Максвелла для комплексных амплитуд Е(г, и) иН(г,о;): rot Н = j + jojeoEi, A.19) rot E = — 76 Рассмотрим собственные колебания резонатора, т. е. положим j = 0: rot H = jusoE, A.20) rot Е = — j Из уравнений A.20) непосредственно следует уравнение Гельмгольца, которое для поля Н имеет вид rot rot H - k2tt = 0, A.21) где к = lo^/г^Щ = и/с. Из общих соображений ясно (строгое обоснование приведено в мо- монографии [51]), что в каждом поперечном сечении слабо неоднородного волновода электромагнитное поле имеет такую же структуру, что и по- поле в регулярном волноводе такого же сечения (последний называется волноводом сравнения). Для волноводов с прямолинейной осью z (см. рис. 1.7) и волнами ТЕ отличны от нуля Hz, //ж, Ну, Ех, Еу. Из уравнения A.21) следует, что: Если в поперечных сечениях Hz(x,y, z) имеет такую же структуру, что и в регулярном волноводе, то его можно представить в виде Hz(x,y,z) = C(z)T(zHx,y), A.23) где Т^)(ж, у) — мембранная функция, удовлетворяющая уравнению: ^ + ^ + *2T(z)=0. A.24) ду дхА
Гироприборы 27 Для ТЕ-волны при идеальной проводимости стенок резонатора на контуре поперечного сечения должно выполняться граничное условие: = 0. A.25) дп В каждом сечении контур различен, поэтому зэ = ae(z). Ненулевые решения уравнения A.24) при условии A.25) существуют при дискрет- дискретных значениях зэ, образующих спектр критических волновых чисел собственных мод волновода сравнения. Для Т^\х,у) известно следующее интегральное представление (см., например, [33]): ^dcp. A.26) о Тогда, согласно выражению A.23) имеем 2тг Hz(x,y,z)= \n((p)ej^XCOS(p+ys{n(p)d(p, A.27) Функция Р{ф) выбирается такой, чтобы выполнялось усло- условие A.25). Как показано для осесимметричного волновода (все контуры — окружности) [33] П(ч>, z) = 9^1e-Jm^+n/2) ^ ш = 0, 1, 2, ... A.28) 2тг Поле Hz выражается через функции Бесселя, т.е. Hz(r,i/>, z) = C(z)Jm(&r)e-jm^, A.29) где г, ф и z — цилиндрические координаты, т — азимутальный индекс моды. Подставляя выражение A.23) в уравнение A.22) и используя соотношение A.24), находим ^fi- + h2C = 0. A.30) dz Последнее уравнение отличается от аналогичного уравнения для ре- регулярного волновода тем, что для последнего h2 = к2 — зэ2 = const, тогда как в нашем случае h2 = к2 — 8e2(z) — заданная функция z. Уравнение A.30) является уравнением неоднородной струны. Поскольку нас интересуют собственные колебания, то на концевых сечениях резонатора z = z\ и z = z<i (см. рис. 1.7) поля должны иметь вид уходящих волн: C(z)\z=Zl ~ Jhz\ C(z)\z=Z2 ~ e-^2. A.31)
28 Лекция 1A6) В дифференциальной форме условия излучения A.31) запишутся в ви- виде dC(z) dz = jhC(z1), dC(z) dz = -jhC(z2). A.32) Нетривиальные решения уравнения A.30) при условиях излучения A.31) или A.32) существуют при некоторых дискретных комплексных и) = oj1 + joj2j образующих спектр собственных частот резонатора, при- причем UJ2 = \muj > 0 (колебания затухают). В результате решения крае- краевой задачи, как правило численными методами, находят резонансную частоту (т.е. ио\ и о^) и добротность резонатора, связанную с излуче- излучением (дифракционную добротность): Зная Hz(x,y,z), легко определить остальные компоненты полей по известным формулам для поля ТЕ-волны в регулярных волноводах (в данном случае — в регулярных волноводах сравнения): УхЯг], A.34) ± ±Z, ± ^[гхг], 36 ЭЭ где V_l = i^TF" ~^ ^7Г~' *ж' '1у и lz ~ еДиничные векторы по соответ- соответствующим направлениям. Вынулсденные колебания резонаторов. Баланс энергии при стационарных колебаниях Вернемся к неоднородным уравнениям Максвелла A.19). Умножим первое уравнение на Е* dr и проинтегрируем по объему резонатора между сечениями z = z\ и z — z<i (рис. 1.7): [ E*rot H dr = jojeo [ |E|2 dr + [ jE* dr. Учитывая, что E*rot H = H rot E* - [E*H] = jo;>oHH* - [E*H], а также используя второе уравнение A.19) и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим [ |Е|2 dr - u)*fjL0 [ |H|2 dr = ji [E*H]n da + j I jE* dr. A.35) V V V Здесь поверхностный интеграл взят по замкнутой поверхности резона- резонатора. Приравняем отдельно действительные и мнимые части данного уравнения, учитывая, что о; = и\ + JU2- Тогда
Гироприборы 29 |E|2 dr - ал/х0 |Н|2 dr = -Im [E*H]n da - Im jE* dr. V V 5 V A.36) gj2?0 J |E|2 dr + oj2fio J |H|2 dr = Re J [E*H]n da + Re J jE* dr. V V S V В последнем выражении мы кроме всего перешли от интегрирования по замкнутой поверхности к интегрированию по торцам, подразумевая под S суммарный интеграл по сечениям волновода при z = z\ и z = = Z2, так как на боковых поверхностях омические потери считаются равными нулю. Рассмотрим два частных случая. 1. Свободные колебания, j = 0 (будем отмечать все величины, от- относящиеся к этому случаю, индексом 0). Интеграл J [E*H]n da при s действительной частоте можно считать вещественным, так как на тор- торцах колебания имеют вид чисто бегущих волн, для которых Е и Н находятся в фазе. Тогда из первого уравнения A.36) получаем И/о = \ \ ?о|Е|2 dr = \ J /iO|H|2 dr. A.37) V V Последнее означает, что средняя за период запасенная электрическая энергия равна магнитной. Это известное свойство закрытых резона- резонаторов, не имеющих омических потерь. Выражение A.37) справедливо приближенно и для комплексных частот, если добротность резонатора велика. Из второго уравнения A.36) для свободных колебаний с учетом A.37) следует, что 4о;2И/о = 2Р0, A.38) где Ро = - Re J [ЕдНо]п da — средняя мощность дифракционных по- 2 S терь за счет излучения через торцы. По определению добротности Q = = ujiWo/Po. Комбинируя это определение с A.38), получаем выписан- выписанное ранее соотношение Q = ooi/2oj2- 2. Вынужденные стационарные колебания при фиксированной структуре поля. Пусть теперь j ф 0, но режим стационарен, т.е. установился баланс энергий — поступающей из пучка и излучаемой из резонатора. Для таких колебаний о^ = 0, uj\ = о;, где uj — частота вынужденных колебаний. При достаточно высокой добротности резонатора гиротрона можно считать, что Е = .МЕ0, Н = Л/*Н0. A.39) ДобрОТНОСТЬ Q будем СЧИТаТЬ ВЫСОКОЙ, КОГДа Q/Qmm ^> 1, ГДе Qmin = = 4тг (L/Л) — добротность «резонатора», образованного отрезком ре-
30 Лекция 1A6) гулярного волновода длины L, согласованного с нагрузкой. Легко по- показать, что М = щМ. Подставив выражение A.39) в уравнение A.36), и полагая и 2 = 0 hwi=w, получаем: \M\2oj^ ^o|Eo|2-/io ^ |H0 V = —Im \M\ — [EoHoL da — Im jE dr, (Л лсл to J n J U-4UJ 0 = Re \M\2— \ [E*H0]n do- + Re [ jE* dr. Учтем теперь, что - J [ЕдНо]п da = -Re J [ЕдНо]п da = Po, а также 2 2 J [ЕдНо]п da 2 5 2 соотношения A.37) и A.38), тогда Im Подставив полученный результат в первое уравнение A.40), получаем 2|.М|2о;ИЛо (l-^ + ^J = -Im jE* dr. v Так как |о; — и\\ <С о;, то окончательно имеем 2(о;0 - о;01)И/ = ~ Im fjE* dr, A.41) v где VK = |А^| VKo- Уравнение A.41) выражает собой баланс реактивных мощностей. Аналогично из второго уравнения A.40) с учетом A.37) и A.38) найдем выражение для баланса активных мощностей: 2ojO2W = -l Re fjE* dr. A.42) Здесь в правой части стоит активная мощность, излучаемая потоком в объеме резонатора, а в левой — величина, выражающая мощность дифракционных потерь.
Гироприборы 31 Преобразуем объемный интеграл, введя в него j(г, ?), вместо комп- комплексной амплитуды тока (см. соотношение A.16)): * dr = -i- || j(r, t)E*e"^* d(cot) dr, A.43) V OV где Р — комплексная мощность, которую отдает электронный поток. Окончательно 2uO2W = ReP, A.44) 2(w-uH1)W = ImP. A.45) Если плотность возбуждающего тока j (r, t) задана, то правые части последних двух уравнений могут считаться известными. В приближе- приближении фиксированной структуры поля известны также распределения полей. Аналогичное приближение делалось в теории оротрона (см. том 1, лекция 15), в котором также используется открытый резонатор. Тогда из уравнения A.44) можно определить амплитуду поля, вхо- входящую в VK, а из A.45) — отстройку частоты и стационарных колебаний от собственной частоты резонатора. Однако в задаче об автоколебаниях в гиромонотроне плотность тока (точнее ее переменная составляющая) не является заданной величиной и определяется возмущением движе- движения электронов под воздействием высокочастотного поля неизвестной амплитуды. Поэтому соотношения A.44) и A.45) могут рассматривать- рассматриваться только как решение первой части общей самосогласованной задачи. Вторая ее часть состоит в нахождении j(r, ?), что опирается на анализ движения частиц в гармоническом поле. Последняя задача существен- существенно упрощается за счет усреднения движения и перехода к укороченным уравнениям. Укороченные уравнения автоколебаний в гиромонотроне Уравнение движения электрона в статическом поле Во и высокоча- высокочастотном поле Е и В имеет вид ^ = -eE-e[v,B + B0], A.46) где В = /ioH, Во = i^Bo, Bq = const. На частотах, близких к критиче- критическим /i/ae <C 1, и согласно A.34) имеем соотношение ае откуда следует, что В±«0, ae«Jk«-. A.47) с Таким образом, высокочастотное магнитное поле, как и статическое, направлено вдоль оси z, и уравнение движения принимает вид A.48)
32 Лекция 1A6) или dp р = -еЕ - е(Б0 + В) [v±,iz] , A.49) = 0. A.50) dt dPz dt Сохранение продольного импульса (соотношение A.50)) является пря- прямым следствием использования квазикритических волн, фазовая ско- скорость КОТОРЫХ Уф ^> С. Перепишем уравнение A.49) в виде ^ + eB0[v±,iz] = -eG, A.51) at где G = Е + В [v_l, iz] — высокочастотная сила Лоренца, действующая на единичный положительный заряд. Перейдем в A.51) к независимой переменной z, используя, что d d dr± p_L dt zdz1 dt pz Тогда уравнение A.51) можно преобразовать к виду dp± еВп . . . eGm dz m m Окончательно приходим к системе уравнений: A-52) dr± ~dz~ dt dz 1 T) = P-L Pz ' m Pz' -v2/c2 const. dt Pz fir* i ТТЛ i A.53) A.54) A.56) Здесь hc = eBo/pz = ojc/vz — постоянная распространения волны ча- частоты о;с, бегущей с фазовой скоростью vz; hc = const. Величина hc имеет также смысл угла поворота электронов на ларморовской окруж- окружности при дрейфе вдоль оси z на единицу длины. Прямое решение полученной системы представляет значительные трудности, учитывая, что сила Лоренца G, входящая в правую часть уравнения A.52), сложным образом зависит от времени и координа- координаты частицы, движущейся по многопетлевой траектории. Однако, это движение является почти периодическим, что позволяет упростить уравнения путем их усреднения по быстро меняющейся переменной. В уравнениях A.52), A.53) неизвестными функциями являются ж,
Гироприборы 33 У•> Vxi Py Введем новые переменные следующим образом: х = X + r± cos в, у = У + r± sin в, A.57) рх — — p±sm6, ру = р± cos в, 6 = hcz + 4*. Новыми переменными являются X, У, р±, Ф. Величина r_L выражается через p_L как r± =P±/hcpz. A.58) Рассмотрим ж-компоненту уравнения A.52): Дифференцируя третье из соотношений A.57), заменим —f^- следую- щим образом: —— = —-— sin в — р± cos в— = — pfj_ sin в — hcpy — p±4*f cos в. CL Z CL Z CL Z В результате уравнение A.59) примет вид A.60) A.61) Аналогично для пары уравнений A.53) получаем X' + rf± cos в - r±4*f sin 0 = 0, A.62) У + rf± sin в + г±Ф' cos 0 = 0. A.63) Исключим 0 из левых частей A.60) и A.61). Для этого умножим уравнение A.60) на sin#, а уравнение A.61) — на cos# и сложим их. Получим выражение вида p'± = —Go, Ge = Gxsm0-GyCos0. A.64) v z Теперь домножим уравнение A.60) на cos#, а уравнение A.61) на sin# и вычтем второе из первого. Получим G G G6 + Gsin6. A.65) vz Для ^/-компоненты A.52) имеем vz Исключим в из уравнений A.62) и A.63). Из формулы A.58) имеем dr± I dp± dz hcpz dz ' hcpz 3 Трубецков, Храмов
34 Лекция 1A6) Теперь, используя соотношения A.64) и A.65), находим vzhcpz ' vzhcpz ' С учетом этого из уравнений A.62) и A.63) получаем следующие соот- соотношения: В чем смысл новых переменных? Пусть высокочастотная сила G = = 0. Тогда уравнения A.52) и A.53) описывают движение электрона по винтовой линии (рис. 1.8). На рисунке величинами Xq и Yq обозначены поперечные координаты ведущего центра (оси винтовой линии), г±о — радиус ларморовской окружности. Координаты и импульс частицы равны: х = Хо + r_Lo cos #, у = Уо + r±o sin #, A.68) рх0 = тх = -р±о sin 0, руо = ту = -р±о cos 0, где 0 = о;с? + Фо = hcz + Фо — угол поворота электрона около ведущего центра, r_Lo = ^_lo/^cO = P_Lo/e^o5 P_lo — осцилляторный импульс, Хо, ^о? P_LO5 ^о есть постоянные величины. Сравнение уравнения A.68) с уравнениями A.57) и A.58) свиде- аааааа/1г .-. тельствует об их эквивалентности, т.е. X и У можно считать коор- iD/v v, \jin(An, In/ т и и/ динатами ведущего центра, р± — поперечным импульсом электрона, Рис. 1.8. Параметры электронной г± ~ ларморовским радиусом, Ф - траектории фазой. В отличие от невозмущен- невозмущенных новые величины являются пе- переменными. При включении высокочастотного поля траектория уже не будет винтовой линией, но указанные величины изменяются медленно, т. е. очень мало за циклотронный период (иначе будет нарушаться условие синхронизма, и будет невозможен резонансный механизм вза- взаимодействия). Заметим также, что несмотря на то, что новые переменные явля- являются медленными, у них не исключены быстрые, но мелкие пульса- пульсации, которые вызваны тем, что компонента высокочастотной силы G явно и неявно (через координаты вращающихся электронов) зависит от быстрой переменной 0. Учет этих пульсаций не должен влиять в рамках резонансного механизма на интегральные характеристики индуцированного излучения. Поэтому адекватным методом в данном случае является усреднение правых частей уравнений A.54)—A.67) по быстрой переменной в, т.е. выделение в них медленно меняющихся,
Гироприборы 35 но максимальных по модулю составляющих. При этом мы приходим к «укороченным» уравнениям, существенно более простым, чем преды- предыдущие. Средняя величина G(r, t) равна (с учетом того, что G(r, t) = = ReG(r,Lj)ejuJt) 1 2ж 1 2г (G(r, t)) = — J G(r, t)d0 = — jRe [G(x, y, z)e*wt] d0, A.69) 0 о где G(x,y,z) — комплексная амплитуда. Поскольку х и у периоди- периодически зависят от 0 (см. первые два уравнения A.57)), то G также периодическая функцмя в. Ее разложение в ряд Фурье имеет вид сю G(x,y,z)= J2 Gm(X,Y,r±,z)e-im0, A.70) т= — оо где амплитуда гармоник выражается как Gm(X, Y, гх, z) = -^ | G{x,y, z)Jme dO. A.71) О Подставим выражение A.70) в уравнение A.69). Это дает \О(ХУ)^-твив A.72) Однако величина Gm не зависит от в. Поэтому усреднение сводится к вычислению интегралов вида 2тг — f е№-тв) 60. A.73) 2тг J о Экспоненциальный множитель exp [j(uit — тв)] в общем случае силь- сильно меняется на интервале 0 -г- 2тг, и интегралы A.73) малы. Но если предположить, что для некоторого т = п фаза (oot — тв) остается примерно одинаковой, то соответствующий интеграл дает основной вклад в соотношение A.72). Условие постоянства фазы есть — (ojt-nO) = 0, at или с учетом определения в = hcz + Ф и — nhcvz — пФ' = 0. Но Ф меняется медленно, поэтому величина Ф' мала, и и - пьос « 0. A-^4) Последнее выражение есть условие циклотронного резонанса. Если электрон дрейфует со скоростью vz, это условие справедливо в системе
36 Лекция 1A6) отсчета, связанной с ведущим центром. При переходе в лабораторную систему отсчета следует записать среднее от силы G как (G(r,*)> = ^ Re [Ge^"^j dO. о Поэтому в интегралах A.73) показатели в экспоненциальных членах заменяются на (ut — hz — пв) и резонансным условием будет uj — hvz « nojc, A-75) т. е. появляется доплеровская поправка. Таким образом, в уравнении A.72) есть только один член, содержа- содержащий интеграл 2тг _L [ Jiut-пв) jn ^ j(ut-n6) О Тогда где через $ обозначена медленная фаза $ = — oot + пв = — uot + nhcz + пФ. A-77) Заменяя в правых частях уравнений A.64)—A.67) компоненты С#, G>, Сж и Gy их средними значениями, а также Ф' на $'/п, приходим к укороченным уравнениям: р'± = ~ Re (Gen*4*) , A-78) Р'± (#' + z~ ~ nhc) = — Re {Grne-ji)) , A.79) z и z X' = -^- Re (G^e-^) , A.80) V zt> Y' = —^ Re (Gine-^) . A.81) Определим физический смысл величины $. Для этого найдем ее производную: d$ , и nojc — и , — = nhc + пФ = h пФ . az vz vz Отсюда видно, что скорость изменения фазы зависит от разности (пи — — ujc) и скорости изменения медленной фазы Ф в результате действия высокочастотного поля. В свою очередь и первый фактор содержит ди- динамическую составляющую: помимо кинематического изменения фазы электрона относительно поля, вызванного начальным рассинхрониз- мом и и nojc, вклад дает неизохронность вращения, т.е. зависимость ис от энергии. В целом $ определяет фазу вращения электрона отно- относительно фазы высокочастотного поля.
Гироприборы 37 Найдем теперь правые части укороченных уравнений. Для этого необходимо вычислить коэффициенты Фурье Gon, Grn, Gxn, Gyn. Под- Подставим выражение A.34) с учетом A.9) в выражение для комплексной амплитуды G = Е + [vj_, \ZBZ\. так что G>, Gq, Gx и Gy содержат под знаком интеграла линейные О Г> О Г) комбинации Bz, л z , л z , а также тригонометрические функции sin в (УХ СУ у и cos в, так как v±x = г>ж sin в, v±y = v^ cos в. Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье сводится к расчету интегралов вида 2тг 2тг 2тг l\Bze^d0, I-\ Bz cos 0 dO, i-J^sin 0 0 0 о о 1 27r Вычислим Bzn — — Г Bze^n0 d6, используя соотношения A.27) и 2тг 0 A.9): 2тг2тг Bzn = h о о Здесь х и у — координаты электрона на винтовой траектории, опреде- определяемые соотношениями A.68). Окончательно 2тг 2тг Bzn= о о 2тг ^- [ejkr A.82) Внутренний интеграл выражается через функцию Бесселя Jn(kr±) и поэтому Bzn=jnJn(kr±) n(cp,z)ejk^Xcos^Ys'in^j^ dcp. A.83) о
38 Лекция 1A6) Для вычисления последнего интеграла учтем, что 2тг Bz(X,Y,z)= [ /^0n(^,z)ej^Xcos^Ys[n^ dip. Применим оператор V = - (-гу4^ + jjsrr ) к этому интегралу, диффе- к \ОЛ or ' ренцируя под знаком интеграла. Тогда 2тг VBz(X,Y,z)=j о n-кратное применение оператора V дает: 2тг Т)П г> ( лг \г „\ -n U(т <y\s>Jk(X cos (p+Y sin (p)-\-jn(p j.n Ls LJ z I vA. j 1 j A I — 7 UQ /L l Ц^ j A 1С LLUs . 0 Окончательно где Ln(X,y,*)=Z>nB*(X,y,*). A.84) Аналогично определяются и другие фурье-компоненты. В результате . dJn с с! /'dJn ^вп — Jc~TTLru Ьгп = — —-77 s~77" A.85) ^ _ v± dJn dLn fi _ v±- dJn dLn к d^ dX ' к dt; dY ' где ? = k/r±. При выводе формул A.85) величина /3_l = v±/c полага- полагается равной ?/п, что точно справедливо при uj = nujc. Укороченные уравнения можно записать в более симметричной форме, близкой к уравнениям Гамильтона в механике. Для этого, ис- используя связь энергии и импульса введем в качестве одной из функций энергию ? (вместо р±), которая вместе с фазой $ образует канононически сопряженные величины. Из выражения A.86) следует, что ?' = v±pf±. Умножим уравнение A.78) на v± и учтем соотношение A.85). Тогда v±P± = ~ Re {Gene JV) , Gen = v ' = eRe(-j-H), где H = c^^-Lne~^. A.87) Pz ac;
Гироприборы 39 Поскольку ^у = —jHj то Правая часть уравнения A.79) р± (#' + — — nhc) = — Re (Grne Jn^) V Vz / Vz {c rl f fl 1 \Л А 1/7 ~~(TP (^ /v/1 ) Г* Заметим, что -fe = — , = = —L^T^- Тогда правая часть соотношения A.79) равна — — ep±Re^JpL. Аналогично можно показать, что правые части уравнений A.80) и A.81) равны соответственно 1 _ (дп\ 1 fan Re "^7 и —Б- Re ^V Окончательно получаем следующую систему преобразованных уравнений: (Ю с-88' A.89) Y'=skRe (Ш ¦ (LM) Пары уравнений A.88), A.89) и A.90), A.91) обнаруживают сходства с уравнениями Гамильтона. Функция И (формула A.87)), зависящая от координат, импульса, фазы, играет в этих уравнениях роль функции Гамильтона. Комплексная мощность Р выражается через обычные, а не через медленные переменные, т. е. Р тоже нужно усреднить. Преобразуем выражение A.43), используя, что jE* = J_lE* = jz——. Тогда Pz 2тг 2тг Р = -i- \\j(r,t)E*e->utd(wt) dr = i- [ Jj2Ei5le-i"*dH) dr. 0 V 0 V A.92) Предположим, что пучок тонкий, т. е. скорости электронов и ВЧ-по- ле не меняются по поперечному сечению пучка. Тогда интегрирование по поперечному сечению в уравнении A.92) сводится в приближении
40 Лекция 1A6) L тонкого пучка к замене jz на J = J jz da и J dr на J dz. Следовательно, 5 V О 2тг L р = _ А [ [ E^e-i«* d(wto) dT_ (L93) J J * ^ 0 0 При получении последнего соотношения A.93) использован также за- закон сохранения заряда Jdt = /о dto, где ?о и Л) — соответственно время влета электрона в пространство взаимодействия и входной ток. Используем равенство p_lE* = p±G$ и запишем среднее от выражения A.93) в виде 2тг L | \d{u}ot) dzh \ 0 0 Интеграл по в имеет такой же вид, как среднее от правых частей дифференциальных уравнений A.64)—A.67) при выводе укороченных уравнений. Процедура усреднения также аналогична: разлагаем G^ в ряд Фурье и выделяем резонансный член с медленно меняющейся фа- фазой. Опуская расчеты, которые ничем не отличаются от предыдущих, получаем, что 2тг L 2тг L ^-dz d#0. A.94) 0 0 0 0 Здесь $ = nhcz + пФ — ujt — медленная фаза (уравнение A.77)), $о = = пФо — uto — начальное значение $. Получим интеграл энергий укороченных уравнений. Для этого най- найдем активную мощность, отдаваемую винтовым электронным пучком в среднем за период: 0 0 0 0 Подынтегральная функция является правой частью уравнения A.88), поэтому: 2тг L 2тг Re {p) = -?k\\lz'dzd*0 = ^h\ [m ~ ?{L)] M°- (L95) 0 0 0 Физический смысл уравнения A.95) ясен: активная мощность, пере- передаваемая пучком высокочастотному полю в среднем за период, равна усредненной по начальным фазам убыли энергии электронов пучка за единицу времени.
Гироприборы 41 Интегрирование укороченных уравнений автоколебаний в гиромонотроне (слаборелятивистское приближение) Полученная нами система укороченных уравнений достаточно сложна даже для численного ее решения. Поэтому обычно рас- рассматриваются некоторые частные случаи, которые имеют важное значение для практической реализации гиротрона и понимания общих закономерностей в таких системах. Данный раздел посвящен рассмот- рассмотрению аксиально-симметричного гиротрона в слаборелятивистском приближении. Перейдем в этом случае к цилиндрическим координатам ведущего центра: X = Rcos4*, Y = Rsm4f. A.96) Уравнения A.88) и A.89) не изменятся, а уравнения A.90), A.91), как можно показать, примут вид [33] (§?) (L97) т'=ткR" {ш) ¦ <L98> Преобразуем функцию ?{, используя тот факт, что магнитное поле ТЕ-волн в круглом волноводе выражается через функцию Бесселя: im41, A.99) где f(z) — соответствующим образом нормированное продольное рас- распределение поля. Применим к Bz оператор Vй = —^ (jr^r + Э~яу) и учтем выражение A.96). Тогда получим Ln = VnBz = Af(z)Jm-n{kR)e-*m-n)*. A.100) Подставляя полученное соотношение в выражение для 1-L A.87), нахо- находим U = Af(z)c ^^Jm.n(kR)e-^m-n^l A.101) Pz dq Выпишем окончательно полную систему укороченных уравнений аксиально-симметричного гиротрона, которая имеет вид A.102) + ^ _ nhc = -e Re (^P\ , A.103) V \ ОС ) RR' = \- Re f^f] , A.104)
42 Лекция 1A6) т> = zkRe (м)' AЛ05) = Af(z)c ^^Jm.n(kR)e-^m-n^+^, A.106) Pz at, 2л- L о о Полная система уравнений, кроме интеграла энергии, имеет про- простой интеграл движения. Действительно, из уравнения A.101) с учетом того, что jrj = —j^H, следует: Тогда из уравнений A.97) и A.88) находим рр/_ 1/р2у _ т-п RR - -(R ) - -—^ Re и,следовательно, Если n > m, то отдача энергии электроном сопровождается умень- уменьшением R (радиальным смещением ведущего центра) и наоборот. На- Например, если взаимодействие осуществляется на волне Я01, то на всех гармониках электроны по мере излучения приближаются к оси. Для волны Нц на основном циклотронном резонансе радиус не изменяется, а на второй гармонике ведущие центры приближаются к оси и т. д. Для слаборелятивистских энергий указанное изменение радиуса незначительно. Действительно, из уравнения A.110) находим, учиты- учитывая, что uj = поос, 2Я@) (Я - Я@)) г>/п\/г> г>/п\\ [? — ?@)]п(п — т) 1 ? — 8@) Д@)(Д- Д@))«±^^4^^Т^^ Окончательно получаем Д-Д@) 1 ^-^@) ГА 1 и ^ [ п(п"ш)< ( Тогда при т = 0: Д@) ~ Л и f — ?@) = 100 кэВ, а энергия покоя ?q = = 500 кэВ. В результате даже при п = 3 АД/До ^ 0,05 — достаточно малая величина.
Гироприборы 43 Найденный интеграл движения позволяет свести систему укорочен- укороченных уравнений аксиально-симметричного гиротрона к двум уравнени- уравнениям. Введем для этого новую фазу и образуем выражение, аналогичное левой части уравнения A.89): $' + ^ - nhc = $' + — + (т - га)Ф'. vz vz Используя теперь уравнения A.110) и A.89), находим # + ^ _ nhc = -е Re (*U\ ( ) vz \ ас ) где полная производная ^М = UM- + ^Ш^Т~- Функция % следующим образом выражается через новую фазу #: U = Af(z)c l±^lJm_ p at Производная по старой и по новой фазе одинакова, т. е. дП _ дП В итоге, укороченные уравнения A.102) и A.103) становятся такими: ^ = eReffl, A.114) dz \дд) У ' dz vz Эти уравнения образуют полную систему, так как И не зависит от Ф, а входящий в И радиус R однозначно связан с энергией интегра- интегралом A.110). Заметим, что в традиционных схемах гиротрона, т.е. при синхро- синхронизме и = пи)с, высокий КПД возможен, когда изменение энергии элек- электрона при взаимодействии с высокочастотным полем несущественно меняет их массу и, следовательно, циклотронную частоту. В противном случае, нарушается условие синхронизма. Поэтому энергия электронов должна быть такой, чтобы (? — ?q) /?q <^i 1. Данное неравенство фак- фактически есть условие слабого релятивизма и полностью эквивалентно условию v/с ^С 1. Это условие справедливо для большинства практи- практически используемых конструкций гиротронов. Поэтому будем в даль- дальнейшем рассматривать именно слаборелятивистское приближение для анализа выведенных нами укороченных уравнений. Выведем укороченные уравнения для слаборелятивистского слу- случая, исключив уравнения для ведущих центров (смещения центров ма- малы). Поэтому при вычислении И можно в качестве координат ведущих центров выбирать их начальные значения.
44 Лекция 1A6) Введем следующие безразмерные переменные: безразмерная слаборелятивистская осцилляторная энергия 2 W = ^ф- < 1; A.116) Р±о безразмерная продольная координата С = тЩ; A.117) относительные осцилляторная и дрейфовая скорости на входе в про- пространство взаимодействия /3± =V-f, pz= V-f. A.118) Заметим, что в рассматриваемом приближении C± и /3Z — малые вели- величины. Параметр ? = kr±. В слаборелятивистком приближении при синхронизме и « пис и не слишком высоких п В силу этого, производную —-^, входящую в И, можно заменить пер- вым членом степенного ряда: Таким образом, функция И принимает следующий вид: п-1 Pz d? pz 2n • n\ где F называется параметром поля, и имеет вид е пП вп~4 1 ( Ai \П В Преобразуем теперь величину (— — п/гс), входящую в уравнение A.89): UJ OJ 11 — - nhc = —— - nhc + u) | — - vz vAO) = ^ [ш _ ш(о)] + _^_ - пЛс. A.123)
Гироприборы 45 Заметим, что разность масс пропорциональна разности энергий. Тогда с учетом A.116) и того, что W@) = 1: т - ш@) = —[?- ?@)] = (W - 1) . A.124) с2 При выводе последнего соотношения используется разложение в ряд энергии в виде f — т г Окончательно имеем ^ - nhc = ?(Д + W - 1), A.125) где безразмерная расстройка частоты Параметр ^ = 1^*1 A.127) имеет смысл безразмерной полной длины (ср. с A.117)). Ранее эта вели- величина использовалась как мера квадратичной группировки электронов в магнитном поле и была названа параметром неизохронности (см. том 1, лекция 1). Таким образом, укороченные слаборелятивистские уравнения гиротрона имеют следующий вид: = A Re (wnl2Fe-i°\ , A.128) _ + д + И/-1 = Re [Wn/2Fe-jA (I d? dW V J ' v ' В левой части уравнения A.129) содержится энергия, влияющая на фазу вращающихся электронов относительно волны, т. е. на фазовую группировку. Это слагаемое непосредственно связано с релятивистской неизохронностью осцилляторов (ср. формулы A.123) и A.124)) и опре- определяет инерционную группировку, которая может прогрессировать на участках дрейфа, где отсутствует высокочастотное поле (например, в гироклистронах). Наоборот, правая часть уравнения A.129) пропор- пропорциональна амплитуде поля и определяет силовую группировку. Для получения активной мощности в слаборелятивистском приближении заменим разность ?@) — ?(L), входящую в A.95), на [р\ ~ Рхо) /2ше. Тогда /о 1 7 1 'Г Re (Р) = t±-±- [?@) - ?{L)] d$0 = V±o^ \ A - W) i?Oj
46 Лекция 1A6) т 2 где V±o = — ^-^- — осцилляторная мощность, вносимая пучком в ра- е 2тпе бочую область. Тогда поперечный электронный КПД 2тг Ц^1 1-WHO. A.130) Преобразуем укороченные уравнения к виду, удобному для числен- численного интегрирования. Введем комплексную переменную b = y/We~j*/n. A.131) Очевидно, что модуль |6| = y/W равен осцилляторному импульсу, от- отнесенному к своему начальному значению. Найдем d? 2V\V HW и подставим в полученное выражение производные ^^- и ^г из урав- уравнений A.128) и A.129). Тогда 'n[l-*-W-mJb\W»"Fe-«jj . A.132) Рассчитаем фигурирующие в соотношении A.132) производные: — Re (\Vn/2Fe~j^ = Re (-jbni — i^e (—jwn/2]?e-J® -— Re (wn/2Fe~jd\ = Re (nW71^'1 Fe~jd/2] Тогда 2п^-^Ь[А + \Ь\2-1}=п^ММке(- ixe = jnbn~1F.
Гироприборы 47 Рис. 1.9. Равномерное (а) и треугольное (б) распределение безразмерной силы В итоге приходим к комплексному уравнению, заменяющему пару исходных укороченных уравнений. 2п^- - 2jb [А + |6|2 - 1] = jn (b^F) . A.133) ас, Уравнение A.133) должно интегрироваться при начальном условии _ = е"^°/п, A.134) где начальная фаза может принимать любые значения в интервале 0 ^ ^ $о ^ 2тг. Интегрирование A.129) по достаточно полному набору фаз позволит табулировать функцию |6| = |6(#o)|?=l и затем вычислить поперечный КПД по формуле A.130), которая с учетом A.131) прини- принимает вид 2тг 2тг v± = h \A ~|6|2) Mo = l~h\|6'2 м°- AЛ35) о о Значения начальной фазы обычно задаются в N равноудаленных точ- точках. Далее для каждой фазы $о получаем в результате интегрирования уравнений A.133) свое значение 6^(L), а затем по формуле A.135), которая превращается в сумму находим среднее значение rje±. В таблицах 1.1 и 1.2 приведены оптимальные параметры гиро- монотронов, вычисленные для двух простейших распределений вы- высокочастотного поля в резонаторе (рис. 1.9) [33]. Для равномерного распределения F = Fq (рис. 1.9 а), для треугольного — F = F^/n (рис. 1.9 б). Как видно из данных таблиц, эффективность энергообмена при равномерном распределении поля существенно меньше, чем при треугольном. Основной причиной является то, что при большом поле на начальном участке рабочего пространства, где имеет место линей- линейная группировка, электроны интенсивно поглощают энергию. Особенно сильно это проявляется при работе на второй и более высоких гар- гармониках гирочастоты. Треугольное распределение, согласно табл. 1.2,
48 Лекция 1 A6) Т а б л и ц а 1.1 п 1 2 3 4 п 1 2 3 42% 30% 22% 17% 71% 64% 56% 7,5 8,0 10,0 12,5 fJL 14,0 14,0 20,0 А 0,60 0,55 0,40 0,35 А 0,55 0,55 0,40 \F0\2 • 10а 8 6 2 1 Таблица 1.2 \F0 a • 10а 16 25 9 в значительной мере лишено этих недостатков: КПД существенно выше и медленно спадает с ростом п. Отметим, что треугольное распределение является сильной идеали- идеализацией и его невозможно реализовать. Расчеты, проведенные с рядом других распределений, показывают, однако, их некритичность, если они сохраняют основные особенности треугольного распределения: сла- слабое поле на начальном участке и сильное поле в области энергообмена, где в результате квадратичной группировки формируются плотные фа- фазовые сгустки. В табл. 1.3 приведены характеристики гиромонотрона при гауссовом распределении поля F = Fq ехр [—3B?/х — IJ], которое достаточно близко к реальным распределениям поля в открытых резо- резонаторах. Если теперь произведен расчет оптимального поперечного КПД, то следующим этапом необходимо отыскать такие характеристики прибо- прибора, как параметры электронного пучка /2о, v±, г>ц, ис или, вместо v±, v\\, ускоряющее напряжение Vb и питч-фактор g. Необходимо также выбрать параметры, характеризующие электромагнитное поле: тип ко- колебаний (поперечные индексы TEmn"x моды), продольное распределе- распределение высокочастотного поля, добротность Q и собственную частоту o;oi резонатора; определить профиль резонатора, включая конфигурацию дифракционного вывода энергии, геометрические параметры выход- выходной части прибора, включая область коллектора и окно вывода энер- энергии. Определение всех этих факторов представляет собой задачу, не имеющую однозначного решения. Здесь следует также учитывать ряд дополнительных факторов (устойчивость колебаний на рабочей моде п 1 2 3 Табл V± 72% 71% 55% А* 17 16 22 и ц а 1.3 А 0,50 0,55 0,40
Гироприборы 49 по отношению к конкурирующим модам, устойчивость электронного пучка, тепловые эффекты и т.п.). Данные факторы играют разную роль на различных участках миллиметрового диапазона и при разных требованиях к энергетическим характеристикам прибора. Поэтому тра- традиционно при проектировании гиротронов приходится отказываться от условия оптимума КПД и прибегать к компромиссным решениям. Пусть задана длина волны излучения, номер гармоники п цикло- циклотронной частоты, тип рабочей моды TEmn, параметры электронного пучка /3_l, Pz (а значит и ускоряющее напряжение Vb). Предполагается также, что должен достигаться оптимум поперечного КПД, т. е. извест- известны значения расстройки А, параметра неизохронности ц и параметра поля F (при простейшем однородном распределении поля). Циклотронная частота определяется из выражения A.126) для расстройки А. Магнитная индукция находится по формуле [33] B0«-^-(H-0,002Vo), A.136) Т1ЛС где Лс = 2тгс/исп и измеряется в миллиметрах. Ускоряющее напряже- напряжение Vo измеряется в киловольтах, Bq — в килогауссах. Радиус пучка в резонаторе (средний радиус ведущих центров), как правило, выбирается из условия максимума фактора F как функции R. Тогда оптимум |Fq| будет достигаться при минимально запасенной энергии поля в резонаторе, что создает преимущества рабочей моды по отношению к паразитным и обеспечивает минимальные высокочастот- высокочастотные потери в резонаторе. Из выражения для параметра поля A.122) и формулы A.100), применимой для круглых резонаторов, следует: F = -±-^^pi^Af{z)Jm-n{kR)e^m-n^. A.137) Таким образом, радиус пучка определяется из условия Ro = A^P, A.138) где Хтр — один из нулей производной функции Бесселя Jm-n(x). Чаще всего из бесконечного множества нулей выбирается наибольшее значение при условии, что вращающиеся электроны не касаются стенок резонатора. Длина L рабочего пространства находится из соотношения A.127), исходя из значений /3j_, /3Z и оптимального значения параметра неизо- неизохронности (см. табл. 1.1). Добротность резонатора и ток пучка связаны с отношением, вы- вытекающим из уравнения баланса активных мощностей A.44), которое можно записать в виде 2cj02W « ^ = Re (P) = V±oV± = -^P±V±- A-139) 4 Трубецков, Храмов
50 Лекция 1A6) Запасенная энергия (ср. с формулой A.100) при f(z) = 1) J Jm(krJ7rrdrdz = 0 0 - J2m-AkRP)J2m+1(kRP)] ¦ A-140) Амплитуда поля Л вычисляется путем приравнивания \F\ из выра- выражения A.137) оптимальному значению Fq (cm. табл. 1.1) при учете A.138) и f(z) = 1. Следовательно, уравнение A.139) позволяет опре- определить только произведение IoQ. Это означает, в частности, что для достижения оптимального КПД следует понижать добротность с уве- увеличением тока пучка и наоборот. Физически это объясняется необ- необходимостью поддержания оптимального действующего на электроны высокочастотного поля. Отклонения в любую сторону от этой вели- величины ухудшают условия фазовой группировки и энергообмена частиц и поля, поскольку время взаимодействия задано однозначно через /3Z и L. Отметим, что ток пучка в принципе может задаваться выход- выходной мощностью, связанной с ускоряющим напряжением и поперечным КПД соотношением ^вых = Г]1ОУо = Г]±1ОУо п2 ± п2 (в пренебрежении омическими потерями в резонаторе). Тогда формула A.139) позволяет определить дифракционную добротность Q. Таким образом (с учетом упрощающих предположений), возможно определить практически все параметры, необходимые для проектиро- проектирования электронно-оптической и электродинамической систем и выбора электрического режима. Интегрирование укороченных уравнений автоколебаний в гиромонотроне (теория слабого сигнала) В случае, когда амплитуда поля мала, малыми величинами явля- являются параметр поля F, приращение энергии и динамическая поправка к медленной фазе. С учетом A.77), A.117), A.125)—A.127) представим энергию W и фазу $ в следующем виде: W = $ = -ut + nhcz + пФ = z (-— + пнЛ + пФ = -АС + #о + #ь Здесь W\ и #i — соответственно приращения энергии и фазы, обу- обусловленные высокочастотным взаимодействием. В линейном прибли- приближении W\ <С 1 и #i ^С 1 (# ~ тг). Линеаризуем укороченные уравнения
Гироприборы 51 A.128), A.129), удерживая в правых и левых частях члены первого порядка по F, W\ и #]_. Тогда = -Re [jFei(A^o)] , A-141) d? ^Г = ~Wi - f Re [Fei(^-"o)l . A.142) dq 2 1 J Подставив И из A.121) в уравнение A.94), получаем 2тг /i (Р) = -jV±o^ [ [ Vyn/2F*e^ dt?0 d?. A.143) о о Рассмотрим произведение Wn'2e^, входящее в подынтегральное вы- выражение, в линейном приближении: + A.144) Отбросим постоянное слагаемое («единицу»), поскольку при подста- 2тг новке в интеграл соответствующий член J eJ^° dfio обратится в нуль. о Физически это означает, что если фазы вращающихся электронов не меняются, т. е. если нет группировки, то распределение по фазам оста- остается равномерным и средняя мощность равна нулю. Таким образом, с учетом выражения A.144) имеем 2тг 11 | (Р) = pxoi- | | (Ч - j^Wi) е^о-ДС) Мо dt (L145) О О Интегрируем выражение A.141) непосредственно: = -Л Re [jFoe^'-^jV)] da'. A.146) Здесь вместо (иА введены безразмерные переменные — соответствен- соответственно а = ?//л = z/L и ip = А • /л. Кроме того, функция F(?) = F(a) представлена в виде F(a) = Fq/(ct), f(cr) — соответствующим образом нормированное продольное распределение поля. Интеграл уравнения A.142) имеет вид а а $!{?) =-ц \wi{a')da' -^ [Re [eXv'-^Fof((?')] da'. A.147) о о
52 Лекция 1 A6) М -6п -An -2п Рис. 1.10. График функции М(ф) для однородного распределения поля Подставив в первый из интегралов выражения A.147) VKi(cr) из соотношения A.146), получим двойной интеграл. Если теперь образо- образовать разность f$i — j — Wij и подставить ее в выражение A.145) для комплексной усредненной мощности, то последняя окажется суммой тройного и четырехкратного интегралов, которые в общем случае не бе- берутся. Однако если ограничиться вычислением только активной мощ- мощности, то результат может быть выражен через сравнительно простой однократный интеграл: 2 д Re (Р) = A.148) Из последней формулы следует, что в формуле Re (Р) знак мо- может быть положительным (система электронов-осцилляторов излуча- излучает) только за счет слагаемого д и при достаточно больших /i. Это слагаемое происходит от слагаемого — W\ в уравнении A.142), которое (см. комментарий к формуле A.129)) непосредствено связано с неизохронностью циклотронного вращения электронов и инерционной группировкой. Рассмотрим случай однородного распределения высокочастотного поля /(<т) = 1, 0 ^ z ^ L, т. е. 0 ^ а ^ 1. Интегральный член выража- выражается следующим образом: °f(cr)da Л \00 — ПООс @I г /гл\1 гт! г » где величина ср = /a/j,- ^^ = [и — пис{[))\ 1 представляет собой набег фазы вращающегося электрона относительно поля за время про- пролета Т. Полученная функция изображена на рис. 1.10. Области с отри- отрицательным наклоном кривой соответствуют положительному вкладу слагаемого Hjr— в величину Re (P). Наибольший интерес, естественно,
Гироприборы 53 вызывает область 0 < ср < 2тг, где производная отрицательна и макси- максимальна по модулю. Относительная полоса частот для этой области совпадает с частотой циклотронного резонанса, т. е. с шириной полосы циклотронного резонанса, равной ширине полосы циклотронного по- поглощения при линейной группировке, когда параметр неизохронности мал, и величина Re (Р) в выражении A.148) определяется первым слагаемым. Пусковой режим гиромонотрона Пусковые условия автогенератора фактически представляют собой условия баланса энергий в режиме малых колебаний. Будем исходить из уравнения баланса активных мощностей A.44). Это уравнение при- пригодно при любых амплитудах. Если теперь воспользоваться выраже- выражением A.148) для линеаризованной активной мощности, то, поскольку и запасенная энергия и величина Re (Р) пропорциональны квадрату амплитуды поля, последняя сократится, и равенство A.44) даст непо- непосредственно пусковой ток. Запишем уравнение A.44) с учетом соотношения A.148) в виде = Re (P) - ?ю^дЫ, A.150) где q(<p) = 1 Рассмотрим аксиально- о симметричный гиромонотрон. Для этого случая согласно выражениям A.137) и A.140) W = IA^PL [jKkRp) - Jm-l(kRp)Jm+l(kRp)] . Подставляя эти значения в уравнение A.150) и сокращая на |Л|2, по- получаем пусковой ток: _ nmeuRl{n\Lnp2z [Jl(kRp) - Jm-i(kRp)Jm+1(kRp)] Q»efr2Ln^W)Jl{kR) " ( ' Для гауссова распределения поля в резонаторе минимальный пус- пусковой ток (в Амперах), соответствующий оптимальному углу пролета
54 Лекция 1A6) (/?, равен: ^мин ~ 17, 5— зч 2пу, т /лч5-2п/ ч2C-2п) ' A.152) где параметр — 2 2 2"^ A.153) называется структурным фактором. Расчеты показывают, что оптимальные значения расстройки (/?, со- соответствующие минимальной величине пускового тока, не совпадают со значениями (f(rj±), соответствующими максимальному КПД. Более того, пусковой ток, отвечающий (f(rj±), может превышать рабочий ток в режимах с приемлемыми значениями КПД. Это означает наличие режима жесткого возбуждения автоколебаний в гиромонотроне. По- Последнее является фактором усложняющим эксплуатацию генераторов в импульсном режиме. Отметим также, что область жестких режимов при работе на гармониках циклотронной частоты существенно выше, чем при работе на основном циклотронном резонансе п = 1. Согласно соотношению A.151) пусковой ток (или произведение ^пУск02п-2) быстро возрастает с увеличением п (в первую очередь за счет E\ в знаменателе). Присутствие этого сомножителя, а также фактора Jm-n(kRo) связано с тем, что интенсивность взаимодействия на гармониках гирочастоты определяется неоднородностью высокоча- высокочастотного поля на ларморовской орбите. При размерах неоднородностей порядка длины волны излучения эффективное поле имеет величину ( ~Y~ J i/(E2), где (E2) — среднее поле. Следствием этого и является повышение тока с ростом п. Фактор Jm-n(kRo) связан с выделением из полного высокочастотного поля спектральной компоненты, соответ- соответствующей n-й гармонике циклотронной частоты, которая дает вклад в среднее поле. Из вышесказанного понятно, почему пусковые токи гиромонотрона на гармониках уменьшаются с ростом энергии частиц. Отметим также, что пусковой ток при работе на основном гирорезо- нансе растет с увеличением энергии за счет /3Z в числителе выраже- выражения A.151), что вызвано уменьшением времени взаимодействия. Мазеры на циклотронном авторезонансе (МЦАР). Другие разновидности гироприборов Как уже отмечалось в начале этой лекции очень важной пробле- проблемой с практической точки зрения является задача повышения мощно- мощности генерируемого СВЧ-излучения. Очевидно, что повышение энергии электронов — наиболее действенный способ этого, так как ресурсы наращивания мощности за счет тока пучка ограничены эффектами пространственного заряда. Однако в рамках гиротронного механизма попытка прямого увеличения ускоряющего напряжения наталкивается
Гироприборы 55 на принципиальные ограничения. Легко убедиться в том, что КПД ультарелятивистского гиротрона должен быть достаточно малым. Дей- Действительно, если начальная осцилляторная энергия электронов ?±о ^> ^> ?q, to при электронном КПД порядка единицы, относительное из- изменение циклотронной частоты в процессе взаимодействия !. A.154) Это явно противоречит условию синхронизма. Единственным выходом здесь видится уменьшение числа оборотов электрона в рабочем про- пространстве, чтобы набег фазы вращающегося электрона относительно высокочастотного поля оставался близким к тг. Требуемое число обо- оборотов оценивается следующими равенствами: с учетом соотношения A.154) оно оказывается близким к единице. Од- Однако при этом не работает в достаточной мере механизм квадратичной группировки, и КПД все равно остается малым. Компромиссом являет- является использование субрелятивистских энергий пучков B00 -г- 400 кэВ). В последнем случае возможно поддержать поперечный КПД на уровне 20 -г- 30 %, но тенденция падения КПД с ростом ускоряющего напряже- напряжения сохраняется. Некоторым выходом из создавшегося положения может быть при- применение неоднородного по длине резонатора магнитностатического по- поля (спадающего к выходному сечению) для компенсации ухода цик- циклотронной частоты. Значительные трудности на этом пути связаны с существенно жестким возбуждением колебаний. Действительно, в ре- режиме малого сигнала изменение массы частиц незначительно и неодно- неоднородное магнитностатическое поле нарушает синхронизм. В результате «стартовая» эффективная длина области взаимодействия окажется существенно меньшей, чем «рабочая» длина. Другой выход из создавшегося положения — это использование мазеров на циклотронном резонансе, которые в отличие от гиротрона работают на бегущих волнах, фазовая скорость которых близка к ско- скорости света с. В этом случае отлична от нуля поперечная компонен- компонента магнитного поля волны, и высокочастотная сила Лоренца имеет продольную составляющую. В результате при энергообмене меняется не только осцилляторная, но и продольная скорости частиц. Можно показать, что в процессе энергообмена при этом автоматически поддер- поддерживается синхронизм между вращающимися электронами и электро- электромагнитной волной (циклотронный авторезонанс) за счет компенсации ухода циклотронной частоты доплеровским сдвигом, обусловленным изменением продольной скорости. Рассмотрим излучение электронных осцилляторов в поле электро- электромагнитной волны, бегущей вдоль магнитостатического поля с фазовой скоростью Уф. Запишем квантовые законы сохранения энергии и им-
56 Лекция 1A6) пульса при испускании одного фотона: Атс2 = Пи, A.156) Apz=hk. A.157) Отношение приращений запишется как Атс2 d(mc2) и d(pz) k A.158) Оно не зависит от постоянной Планка, и, следовательно, соотношение A.158) справедливо в классическом пределе. Таким образом, получаем следующий закон сохранения: _UPz (Х _ ? * ) =G = kmec Скомбинируем это соотношение с доплеровским условием синхронизма ПШ A.160) полагая в обеих формулах /Зф = Уф/с = 1 (точный авторезонанс). Пра- Правая часть оказывается константой: П(л)с 1-/3, G v сн с//' т. е. синхронизм сохраняется независимо от изменения энергии электро- электрона в процессе взаимодействия с высокочастотным полем. При указан- указанном строгом авторезонансе вращающиеся электроны вообще не меняют фазу относительно волны. Но тогда нет фазовой группировки и отсут- отсутствует индуцированное излучение. Если, однако, немного отстроиться от авторезонанса, приняв /Зф > 1, то появляется слабая неизохронность и,следовательно, излучение. Особенностью МЦАР является и то, что в процессе энергообмена уменьшается не только осцилляторный, но и продольный импульс, что следует непосредственно из формулы A.158), т.е. энергия черпает- черпается из дрейфового движения осцилляторов. Более того, теоретические оценки [52, 53] показывают, что электронный КПД порядка едини- единицы возможен при 1 — /?ф <С 7о~2 и v±/vz <С I, т.е. когда дрейфовое движение является главным источником энергии излучения. Важным достоинством таких режимов является большое (при 7о ^> 1) допле- ровское преобразование частоты, что открывает возможность получе- получения коротковолнового излучения при относительно слабых магнитных полях. Действительно, полагая, например, в уравнении A.160) Уф = = с A + -Jq2 ) и учитывая, что ujcq = ojch/jo и /3Z « 1 — -Jn2, находим V 2 / 2 uj « njoUJCH. Частота колебаний при п = 1 оказывается в 7о раз больше нерелятивистской циклотронной частоты. Использование в МЦР электромагнитных волн с Уф « с влечет за собой существенные изменения электродинамической системы МЦР от
Гироприборы 57 МЦР Трохотрон Гиротрон Пениотрон Мазер на цикло- циклотронном авторезо- авторезонансе Секционирова- Секционированные МЦР с продольно-неод- продольно-неоднородным магнит- магнитным полем МЦР с попереч- поперечно-неоднородным магнитным полем Та б л и ц а 1.4 (из работы [5, с. 6]) Эффекты, обеспечивающие индуцированное циклотронное излучение Реляти- Релятивистская зависимость циклотрон- циклотронной частоты от энергии электронов + + + Продоль- Продольная неод- нород- нородность высокоча- высокочастотного поля + Сильная поперечная неодно- неоднородность высокоча- высокочастотного поля + Сильная продольная неодно- неоднородность магнито- статичес- кого поля + Попере- Поперечная неодно- неоднородность магнито- статичес- кого поля + Направления «продольное» и «поперечное» отнесены здесь к направлению магнитостатического поля. резонаторов гиротронов. В частности, приходится отказываться от бес- бесполезного в данном случае дифракционного вывода энергии, и исполь- использовать системы, в которых резонатор формируется за счет брэгговского отражения от периодических структур типа гофрированных волново- волноводов или на квазиоптические резонаторы. Более жесткие требования в МЦАР предъявляются и к разбросу скоростей электронов. Обсудим кратко другие типы мазеров на циклотронном резонансе, отличные от гиротромонотрона. Как специально отмечается в темати- тематическом указателе [5] все МЦР подразделяются на группы — по меха- механизму группировки электронного потока и по виду статических полей (см. табл. 1.4) и типы — по характеру используемых неустойчивостей (абсолютная, конвективная) и по конфигурации электродинамических систем [54]. Так в 1966 г. на 5-й межвузовской конференции по электро- электронике СВЧ (Саратов, 1966) в обзорном докладе А.В. Гапонова-Грехова было отмечено, что практически каждому СВЧ-электронному прибо- прибору О-типа соответствует его МЦР-аналог [5]. Различные типы таких аналогов приведены на рис. 1.11, взятом из [5, с. 7]. Теория одного из таких приборов — гироклистрона — была впервые изложена в докладе [55], где показано, что «поперечный» КПД двухрезонаторного гирокли-
58 Лекция 1A6) Рис. 1.11. МЦР-аналоги классических приборов О-типа: а — гиромонотрон; б — гироклистрон и гиротвистрон; в — гиротрон-усилитель бегущей волны (гиро-ЛБВ); г — гиротрон-генератор на встречной волне (гиро-ЛВВ) строна составляет 34%. Гироклистрон с параметрами, аналогичными приведенным в работе [93], был создан в Горьком в 1967 г. [5] (сноска на с. 13). В настоящее время гироклистрон и его разновидность — гиротвистрон — активно исследуются в Мэриленском университете [56- 64]. Взаимодействие винтовых электронных пучков с незамедленными электромагнитными волнами в волноводе (гиро-ЛВВ и гиро-ЛБВ) В конце предыдущего параграфа отмечалось, что практически каж- каждому прибору О-типа соответствует его МЦР-аналог. Особый интерес среди них вызывают гиро-ЛБВ и гиро-ЛВВ (см. рис. 1.11), в которых реализуется взаимодействие винтовых электронных потоков с бегущи- бегущими волнами волноводов в режимах усиления сигнала или генерации с перестраиваемой частотой излучения. Разработке эксперименталь- экспериментальных установок и теоретическому анализу подобных приборов уделяется очень большое внимание [65-81], поэтому расмотрим МЦР с бегущими волнами более подробно. При выполнении условия синхронизма электромагнитной и элек- электронной волн UJ — /Зо^ц « UJC A.161) имеет место эффективное взаимодействие винтового пучка с электро- электромагнитными волнами волноведущей структуры. Здесь /3q — постоянная распространения волны, г>ц — продольная (вдоль направления магнит- магнитного поля Во) скорость движения электронов. Если пучок взаимодей- взаимодействует с одной ТЕ-модой регулярного волновода, а вектор Во направлен
Гироприборы Рис. 1.12. Дисперсионные характеристики винтового электронного пучка и волноводной моды для различных характерных случаев взаимодействия вдоль оси волновода, то = ±- - 1, A.162) где оокр — критическая частота данной моды. При данных о;с, о;кр и г>ц дисперсионные соотношения A.161) и A.162) определяют в общем слу- случае два значения частоты, вблизи которых реализуется эффективное взаимодействие пучка и поля (рис. 1.12). В первом случае (рис. 1.12 а) дисперсионная характеристика пучка пересекает обе ветви дисперсионной характеристики волноводной мо- моды, одна из которых соответствует прямой волне (/?о > 0), а другая — встречной (/?о < 0). Во втором случае (рис. 1.12 6) обе точки пересе- пересечения (в частном случае — точка касания о;кас (рис. 1.12 в)) лежат на «прямой» ветви. С учетом знаков потоков мощности ясно, что в первом случае возможно усиление сигнала с частотой, близкой к и\ (vrp(coi) = 7777 > 0)> и генерация колебаний на частоте о; 2 < 0). л Второй случай более сложен. Если пучок ультрарелятивистский (v\\ ~ с), то частоты и± и о^ достаточно отличаются от критической ча- частоты оокр волноводной моды, поэтому в согласованном на частотах oji^ волноводе возможно только усиление сигнала с частотами примерно равными u\ и U2 (^Гр(^1,2) > 0). Если же пучок слаборелятивистский, то v?Jc2 <C 1, и из-за близости частоты о^ к о;кр возможно не только
60 Лекция 1A6) усиление сигнала с частотами и й^1J,нои самовозбуждение системы вблизи критической частоты даже при хорошем согласовании волново- волновода. Описанные ситуации характерны для любого вида взаимодействия винтового электронного пучка с бегущими волнами независимо от типа группировки. Наиболее удобно их анализировать отдельно. Рассмот- Рассмотрим два типа группировки: фазовая группировка за счет релятивист- релятивистской зависимости массы электрона от его энергии и фазовая сортировка электронов вследствии поперечной неоднородности ВЧ-поля. Первый тип группировки имеет место в гиро-ЛБВ и гиро-ЛВВ и рассматри- рассматривается в этом разделе, второй тип группировки является основным в пениотроне, который будет изучаться в следующем разделе лекции. В отсутствие ВЧ-поля траектория электрона в продольном магнит- магнитном поле описывается уравнениями z = v\\t, Z = a + PejuJc\ A.163) где Z = х + jy, х и у — поперечные координаты, z — продольная координата, а — комплексная координата ведущего центра электрона, C = г exp [jip], г — радиус и ц> — фаза вращения электрона относительно ведущего центра. Для описания динамики электрона в присутствии ВЧ-поля используем, как и в теории гиротрона, метод усреднения, который применим, когда изменение энергии электрона из-за взаимо- взаимодействия с ВЧ-полем за время t ~ 2тг/ujc невелико. Поэтому соотноше- соотношения A.163) сохраняют свой вид и для взаимодействующего электрона, однако а и /3 будут медленно меняющимися (по сравнению с exp [juct]) функциями времени. Уравнения, описывающие их изменение во време- времени или по продольной координате, получаются усреднением уравнения движения релятивистского электрона ^ = -e(E + [vB]/C), A.164) и в слаборелятивистском приближении без учета влияния простран- пространственного заряда и ВЧ-магнитного поля имеют вид [83] Здесь Е = Ех + jEy = E+(z, z*,t)ejwt + E~(z, z*, t)e~jwt, A.167) oo (E) = ^E+ u,u+nl3uj3*u+nejAujz/vw +Y, E~с+п,сР1+пP*Le~jAujz/v", l/ = 0 L = 0 A.168)
Гироприборы 61 (Eexp[-jcjt]) = сю i/=0 E-l+n-1,ipt+n-1Fte-*A"z'v", A.169) /,=0 (L170) где Aoj = oj — ojCj (...) обозначает усреднение по времени 2тг/а;с. Система уравнений A.165)—A.170) учитывает эффекты, связанные с неизохронностью электронов-осцилляторов и неоднородностью попе- поперечного ВЧ-электрического поля (последнее позволит построить тео- теорию пениотрона— МЦР с неоднородным ВЧ-полем, которая будет рас- рассматриваться далее в лекции). Изменение фазы вращения электронов вследствии неизохронности описывается первым членом в правой части уравнения A.166), а от характера неоднородности зависит, какие из членов сумм в выражениях A.168) и A.169) окажутся превалирующи- превалирующими. Начальные условия для уравнений A.165),A.166) зависят от вида электронного пучка. В частности, для нитевидного винтового электронного пучка a(z = 0) = а0 = const, /3(z = 0) = /3° = = roexp[j(/?o] = const, го — ларморовский радиус; для трубчатого винтового пучка a(z = 0) = а0 = const, /3(z = 0) = /3° = r0 exp [jipo], cpo G [0, 2тг]; для аксиально-симметричного поливинтового пучка a(z = = 0) = R° exp [j$o]5 $o ? [0, 2тг], R° — радиус окружности, на которой расположены центры вращения электронов, /3 (z = 0) = го ex [] у[,] Для самосогласованного анализа взаимодействия пучка с полем к уравнениям движения электрона необходимо добавить уравнение возбуждения для поля Е. Если рассматривается взаимодействие вин- винтового электронного пучка отдельно для прямой и встречной волны, то уравнение возбуждения имеет вид (см. том I, лекция 1) j 27Г 2тг dz A^s J Nev|| 5± 5± 0 A.171) где E = Re {C(z)Es(x, y) exp [j(ut - /3oz)]}, ~Es(x,y) — собственная функция взаимодействующей с пучком моды, Ns — норма колебаний, причем в отсутствии потерь Ns ~ Р, Р — поток мощности в волноводе, Ро = ^0(^1,2)- Верхний знак в уравнении A.171) соответствует прямой волне, нижний — встречной. Интеграл в правой части уравнения воз- возбуждения A.171) может быть выражен через величины а и /3, однако его конкретный вид зависит от типа пучка и собственной функции.
62 Лекция 1 A6) TEoi ТЕп ТЕп TEoi TEoi i l X t ( ЩИ пая ) i Рис. 1.13. Примеры взаимодействия винтового (поливинтового) электронного пучка с модами круглого и прямоугольного волновода Начальные условия для уравнения A.171) следующие: для прямой волны C(z = 0) = Свх, где Свх — амплитуда входного сигнала; для встречной волны C(z = L) = 0 в режиме генерации и C(z = L) = — Свх в реж;име регенеративного усиления, где L — длина пространства взаимодействия. Будем далее в этом разделе рассматривать взаимодействие слабо- слаборелятивистского трубчатого пучка с поперечным электрическим по- полем одной из ТЕ-мод волновода в условиях, когда пучок располо- расположен в области максимального поля (максимума функции 'Es(x,y)) и ларморовский радиус электронов достаточно мал для того, чтобы в области взаимодействия поле можно было бы считать однородным. Для однородного поля (Е) = 0, а (Е ехр (—juci)) ~ Е+ /0 в случае резонанса и = ис. Именно этот случай и будет исследоваться в этом разделе г). Рассматриваемые ниже модели являются простейшими мо- моделями, представляющими взаимодействие аксиально-симметричного поливинтового пучка с полями, например, мод TEqi и ТЕц кругло- круглого волновода (рис. 1.13 а, б) и моды ТЕю прямоугольного волновода (рис. 1.13 г), а также трубчатого винтового пучка с полями тех же мод (рис. 1.13 в,д). Напомним, что поле в области пучка может быть представлено в виде суперпозиции двух циркулярно-поляризованных компонент с противоположным направлением вращения, с одной из которых вин- г) Неоднородность поля в этом случае вносит несущественные поправки в основное движение электронов, определяемое однородной компонентой поперечного поля, и не будет учитываться далее.
Гироприборы 63 товой пучок эффективно взаимодействует. Таким образом, задача сво- сводится к анализу взаимодействия кольца неизохронных электронов- осцилляторов с циркулярно-поляризованным однородным поперечным электрическим полем. Рассмотрим вначале усиление сигнала на прямой волне — в ги- роусилителе бегущей волны (см. рис. 1.12 а, и = и±). Для описания процессов в гиро-ЛБВ из уравнений A.165), A.166) и A.171) с учетом соотношений (Е) = О, (Е ехр (—jojct)} ~ Е+ можно получить систему стационарных уравнений в безразмерных переменных, описывающую взаимодействие прямой электромагнитной волны с винтовым элек- электронным пучком: HF 27Г — -jbF = I, I = -±-^f3dtp0, A.172) ? о H? = ^. A-173) Уравнение A.172) есть уравнение возбуждения прямой волны элек- электронным потоком, уравнение A.173) — уравнение движения электронов слаборелятивистского винтового пучка. Уравнения A.172), A.173) решаются со следующими граничными и начальными условиями: = 0) = ej4>o, <р0€[0,2п]. A.174) / 2 2 Здесь ? = kVz, V = w-?-—N 2 ~~ параметр взаимо- y 4'/° v\\ действия, /i = v\\/(Vc) — параметр неизохронности, b = = (uj — /Зо^ц — Ct;c) /(kVv\\) — параметр рассинхронизма, К = = |Es(a°)|2/Bk2N) — сопротивление связи, к = и/с, F ~ С — нормированная амплитуда волны, FBX — начальная амплитуда входного усиливаемого сигнала, величина комплексного радиуса электрона /3 нормирована на невозмущенный начальный радиус го вращения электрона вокруг ведущего центра. В уравнениях A.172)—A.174) предполагается, что возможное само- самовозбуждение системы вблизи частоты о^ (см. рис. 1.12) каким-либо образом предотвращено. Заметим, что уравнение для а отсутствует, поскольку при взаимодействии с однородным полем дрейфа ведуще- ведущего центра не происходит. Поэтому в гирорезонансном взаимодействии главную роль играет изменение комплексного радиуса /3. Впервые физическая модель, соответствующая системе уравнений A.172)—A.174), была изучена В.К. Юлпатовым в 1964-1967 гг. (см, на- например, [37,38]). Система нелинейных уравнений A.172)—A.174) по смыслу анало- аналогична системе уравнений, описывающих ЛБВ типа О в рамках про- простейшей нелинейной модели (см., например, [83], а также том 1, лек-
64 Лекция 1A6) ция 10). Однако есть и существенная разница, связанная с наличием дополнительного параметра /i, который имеет смысл коэффициента эффективности преобразования энергии пучка в энергию поля (именно параметр /i, а не параметр ?>, который соответствует параметру Пирса в теории ЛБВО). Параметр \i является отношением двух малых па- параметров v\\/c и V и может принимать, вообще говоря, произвольные значения. Для режима усиления слабого сигнала (\F\ <С 1) из уравнений A.172)—A.174) следует система линейных уравнений гиро-ЛБВ: <LL+l = jbF, A.175) dF .,, - jF + ^)F /, A.176) = -FBX, A.177) где F = Fexp(j>?), P =/3exp(j>?)- Система линейных уравнений A.175)—A.177) приводит к дисперси- дисперсионному уравнению (F ~ exp (—jrj?)) следующего вида: rJ2(rJ + b)-fi-rJ = 0, A.178) которое было подробно исследовано в книге Л.А. Вайнштейна и В.А.Солнцева [83]. Из его решения вытекает, что при \i — 0 экспоненциальное усиление сигнала невозможно (для всех трех корней уравнения A.178) имеет место Imrji = 0). При \i ^> 1 дисперсионное уравнение гиро-ЛБВ заменой rj = —jS^Jl, b = jb^/JI приводится к виду, в точности совпадающему с дисперсионным уравнением ЛБВО, и следовательно, имеет место решение, описывающее процесс усиления. При произвольных значениях \i также для одного из корней (пусть для определенности 771) Im^i > 0, и по аналогии с ЛБВ можно определить асимптотический коэффициент усиления (том 1, лекция 10) в виде G [дБ] =-Л+ [?-Im »/!]•?, A.179) где А — параметр начальных потерь. При анализе нелинейной стадии взаимодействия следует учесть, что система уравнений A.172)—A.174) имеет интеграл движения, являю- являющийся по смыслу законом сохранения энергии: где г]± — коэффициент эффективности преобразования поперечной ки- кинетической энергии пучка в энергию поля. Заметим, что полный КПД гиро-ЛВВ определяется соотношением r\ — 77_i_(v_i_o/v||)/A
Гироприборы 65 Рис. 1.14. Линии равного КПД rj± на плоскости параметров (/х, 6) (а) и распределения амплитуды поля вдоль длины пространства взаимодействия для различных значений /л (б), построенные в результате численного расчета нелинейных уравнений гиро-ЛБВ (из работы [82]) Из закона сохранения A.180) следует, что увеличение амплитуды поля определяется уменьшением радиусов вращения большего числа электронов кольца. Результаты численного интегрирования системы стационарных нелинейных уравнений A.172)—A.174) приведены на рис. 1.14 [82]. Из представленных на плоскости параметров (/i, b) линий равных значений поперечного КПД г]±, максимально достижимых при данных значениях \i и 6, видно (см. рис. 1.14 а), что величина КПД может достигать больших значений (г]± ~ 0, 6 -г- 0, 7) в достаточно широкой области изменения параметров. Оптимальные значения параметра \i лежат в интервале /i G A,10). Величина оптимальной безразмерной длины пространства взаимодействия ?/,опт, определяемая по длине, на которой наблюдается насыщение мощности |F|2(?), при разумных значениях поперечного КПД и коэффициента усиления составляет, как следует из представленных на рис. 1.14 б распределений амплитуды поля вдоль пространства взаимодействия, величину порядка ?/,опт ~ ~2-г10. Рассмотрим теперь взаимодействие винтового электронного пучка со встречной бегущей волной в волноводе — гироусилитель или гиро- генератор со встречной волной (гиро-ЛВВ) (см. рис. 1.12 а, и = о^)- Система уравнений для этого случая получается из системы уравнений A.172)—A.174) заменой знака в правой части уравнения возбуждения: A.181) A.182) 5 Трубецков, Храмов
66 Лекция 1 A6) 6,дБ 12 8 4 0 \ ^5 а 6,дБ 20 15 10 5 А N X \ N /у =8,0 A560°n\ ^" 7,о ^\ "¦-0 ¦-'•'-•^Ч -4 -3 -2 1 Fo = 0,05 Fo = 0,3 ш 7 . Аш/юо 1,2 0,8 0,4 о п 5 6 б Iх Рис. 1.15. Амплитудно-частотные характеристики гироусилителя со встреч- встречной волной в режиме усиления малого сигнала, построенные для различных значений параметра неизохронности /i (а); зависимости максимального ко- коэффициента усиления G и ширины полосы пропускания Auj/ujo от параметра неизохронности (б). Сплошные линии 1 построены для режима усиления малого сигнала (из работы [86]) Граничные и начальные условия уравнений гиро-ЛВВ A.181) и A.182) в режиме регенеративного усиления записываются в следующем виде: [0,2тг], A.183) в режиме генерации — = Л)=0, = 0) = [0,2тг], A.184) где А — безразмерная длина пространства взаимодействия гиро-ЛВВ. Рассмотрим сначала режим регенеративного усиления в гиро-ЛВВ, предполагая внешнее воздействие A.183) гармоническим FBX = F^e^1 [85,86]. На рис. 1.15 а представлены зависимости коэффициента усиления G от частоты о;, построенные для режима усиления малого сигнала (|Fq| ^C 1), для различных значений параметра неизохронности /i. От- Отрицательные значения частоты определяются тем, что в используемой нормировке частота и представляет собой поправку к частоте «холод-
Гироприборы 67 Рис. 1.16. Зависимости эффектив- эффективности преобразования энергии по- поперечного движения электронов-ос- электронов-осцилляторов винтового пучка в энер- энергию встречной электромагнитной волны при различных параметрах неизохронности /х, построенные в ре- 3 0 L зультате численного расчета нели- ' нейных уравнений гиро-ЛВВ (из ра- работы [82]) ного» синхронизма. Видно, что максимальный коэффициент усиления растет с увеличением параметра неизохронности. На рис. 1.15 ? (сплошные линии) показаны зависимости ширины по- полосы Аи/ljq усиления и коэффициента усиления G в режиме усиления малого сигнала от параметра неизохронности /i, где частота ио соответ- соответствует максимальному усилению. Из рисунка видно, что коэффициент усиления быстро растет с ростом параметра неизохронности и дости- достигает величин порядка 20 дБ. В свою очередь, ширина полосы Аи/ио уменьшается с ростом параметра неизохронности. Полосу пропускания можно достаточно легко сдвигать в широкой полосе частот за счет изменения величины продольной скорости электронов г>ц или магнит- магнитного поля Bq. Учитывая узость полосы пропускания, гироусилитель со встречной волной можно рассматривать как активный узкополосный фильтр миллиметрового диапазона длин волн. На рис. 1.15 ^ (штриховые линии) также представлены характери- характеристики гироусилителя встречной волны при усилении внешнего сигнала с конечной амплитудой как функции параметра неизохронности \i для двух значений амплитуды внешнего сигнала: Fq = 0,05 и Fq = 0,3. В первом случае зависимости Au(fi) и G(fi) существенно отличаются от результатов линейной теории только при больших параметрах неизо- неизохронности \i > 6,0. Это связано с тем, что параметр неизохронности определяет величину фазовой нелинейности гиролампы с бегущей вол- волной (~ /i(l — |/3|2)/3). Поэтому при больших значениях /i нелинейные эффекты начинают сказываться при меньшей амплитуде ВЧ-поля. Во втором случае (Fq = 0,3) вид зависимостей существенно отличается от результатов малосигнальной теории: коэффициент усиления резко па- падает, одновременно имеет место значительное расширение полосы про- пропускания лампы. Таким образом, меняя амплитуды входного сигнала в достаточно широких пределах возможно эффективно перестраивать ширину полосы пропускания гироусилителя (активного фильтра). Рассмотрим теперь генерацию СВЧ-сигналов при взаимодействии винтового электронного пучка со встречной волной. Численное реше- решение системы уравнений A.181)—A.184) показывает, что поперечный КПД гирогенератора со встречной волной в режимах стационарной генерации имеет значения г]±та^ ~ 0,2 (см. рис. 1.16), что значительно меньше, чем при взаимодействии винтового пучка с прямой волной. Причина в инерционном характере фазовой группировки: промодули- рованный по поперечной скорости на входе в пространство взаимодей-
68 Лекция 1A6) ствия сильным полем выходного сигнала винтовой электронный пу- пучок быстро группируется. Электроны-осцилляторы образуют фазовый сгусток, который затем также быстро разгруппировывается, и элек- электроны не успевают отдать полю значительную часть своей поперечной энергии. Поэтому эффективность гирогенератора на встречной волне существенно меньше, чем гиротрона. Преимущество гиро-ЛВВ в воз- возможности перестройки частоты генерации при изменении величины магнитного поля или ускоряющего напряжения г). При взаимодействии винтового пучка со встречной электромагнит- электромагнитной волной с ростом длины системы А и параметра неизохронности /i наблюдается генерация не только монохроматического сигнала, но и сложных хаотических колебаний с узкополосным спектром. Описание таких режимов необходимо вести в рамках нелинейных нестационар- нестационарных уравнений гиро-ЛВВ. Нестационарную теорию гиро-ЛВВ можно строго построить вос- воспользовавшись нестационарным уравнением возбуждения волновода (см. том 1, лекция 1), как это было сделано при построении теории лампы обратной волны О-типа. Однако учитывая методику вывода нестационарных уравнений ЛОВО, получить соответствующие уравне- уравнения гиролампы со встречной волной можно феноменологически путем замены оператора d/ dz новым оператором, а именно d_ d__J_d_ dz dz ^rp dt' или, переходя к переменной ? = k d д 1 д di^ Ъ1 vrpkVdi' Тогда, делая такую замену в уравнении A.181), переходя от времени t к новой переменной г = uV{t — z/v\\)(l + ^n/l^rpl) и положив b = = 0, после соответствующих преобразований приходим к уравнениям нестационарной нелинейной теории гиро-ЛВВ, которые записываются в виде 2тг ff ±\d<po, A-185) A.186) ], A.187) г) В лекции 7B2) будет обсуждаться возможность повышения КПД гиро- ЛВВ путем использования в качестве электродинамической системы связан- связанных волноведущих систем.
Гироприборы 69 где /° — функция, характеризующая начальное распределение поля по координате. Рассмотрим особенности нестационарной динамики модели гиро- ЛВВ, описываемой уравнениями A.185)—A.187) при изменении управ- управляющих параметров. Заметим, что механизм взаимодействия элек- электронной и электромагнитных волн в гиро-ЛВВ инерционный и с точки зрения нелинейной динамики имеет ряд схожих черт с аналогичным механизмов ЛОВ типа О. При больших величинах параметра ц все результаты, полученные при анализе нестационарных процессов в ЛО- ВО, качественно справедливы для гиро-ЛВВ, причем совпадение тем более точнее, чем больше параметр неизохронности [84]. При малых значениях ц в системе превалирует не «интегральный» механизм ограничения амплитуды колебаний из-за перегруппировки электронов, а другой механизм, связанный с фазовой нелинейностью электронов-осцилляторов винтового пучка. Он заключается в том, что сформировавшийся в пучке фазовый сгусток с небольшим разбросом энергий при малом ц на некотором участке пространства взаимо- взаимодействия может вести себя подобно одному «большому» электрону- осциллятору. В этом случае ограничение амплитуды колебаний опреде- определяется главным образом нарушением фазы между электронной волной, образованной такими сгустками, и электромагнитной волной, а не «раз- «разрушением» (разгруппировкой) электронных сгустков, как в ЛОВО. На рис. 1.17 а представлена карта режимов колебаний гиро-ЛВВ на плоскости управляющих параметров (Л,/х). Кривая 1 на рис. 1.17 а соответствует бифуркационной линии возникновения стационарного режима генерации, когда амплитуда выходного поля после переход- переходного процесса становится не равной нулю и \F(? = 0,r)| = const, что соответствует одночастотному режиму генерации МЦР со встречной волной на частоте ljq. Кривая 2 — линия потери устойчивости од- ночастотного режима. При переходе через нее амплитуда выходного сигнала | F(? = 0, г) | начинает зависеть от времени — возникает режим автомодуляции. В этом случае выходной сигнал содержит сложный набор спектральных компонент. Вблизи линии 2 имеет место одно- частотная автомодуляция. В этом случае в спектре выходного сигна- сигнала содержатся базовая высокочастотная спектральная составляющая uq и частоты uq ± 2тг/д, /д — частота автомодуляции. На линии 3 происходит усложнение выходного сигнала: имеет место удвоение пе- периода автомодуляции. Кривая 4 соответствует возникновению слож- нопериодической модуляции выходного сигнала. Кривая 5 — линия перехода к режимам хаотической автомодуляции, когда зависимость \F(? = 0, т)\ ведет себя существенно нерегулярно, а спектр генерации становится сплошным, хотя и остается достаточно узкополосным. Иллюстрацией наблюдающихся в гиро-ЛВВ переходов между ко- колебательными режимами являются рис. 1.17 б,в, на которых представ- представлены бифуркационные диаграммы колебаний медленно меняющей- меняющейся амплитуды выходного поля \F(? = 0,т)| с изменением параметра неизохронности /i при двух значениях безразмерной длины системы А = 3,0 (рис. 1.17 6) и А = 4,0 (рис. 1.17в). На рисунках отложены
70 Лекция 1 A6) 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 \ \ \ \ \\ Хаотическая автомодуляция Состояние равновесия F 0,60 0,40 0,0 б 3,0 4,8 6,6 8,4 10,2 ц F 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 А в 3,0 4,2 5,4 6,6 7,8 Рис. 1.17. Области реализации различных состояний гиро-ЛВВ на плоскости параметров (/х, А) (а); бифуркационные диаграммы колебаний поля на выхо- выходе лампы ? = 0 соответственно при А = 3,0 и Л = 4,0 (б,в) (из работ [84,87]) положения максимумов Fmax амплитуды выходного сигнала \F(? = = 0, т)| в зависимости от параметра /i. С увеличением неизохронности электронов-осцилляторов в системе наблюдается возбуждение автоко- автоколебаний с постоянной амплитудой (режим стационарной генерации). При некотором \i — /iKp возникает периодическая автомодуляция. Мак- Максимумы поля на бифуркационных диаграммах откладываются, начи- начиная с этого значения параметра неизохронности /iKp. С дальнейшим ростом параметра неизохронности имеет место удвоение периода авто- автомодуляции, и далее генератор переходит в режим хаотической автомо- автомодуляции выходного сигнала. Характерными особенностями пространственно-временной динами- динамики гиро-ЛВВ являются, во-первых, возникновение устойчивых одноча- стотных режимов колебаний с «многогорбыми» распределениями ам- амплитуды электромагнитного поля вдоль координаты пространства вза- взаимодействия (в численном моделировании были зафиксированы двух- и трехгорбые распределения) и, во-вторых, бифуркационная линия потери устойчивости одночастотного режима генерации (линия 2 на рис. 1.17 а) оказывается сложно устроенной, поскольку переход в ре- режим периодической автомодуляции может происходить из режимов с различными пространственными распределениями поля 1). Исследованные простые модели гиро-ЛБВ (уравнения A.172)- A.174)) и гиро-ЛВВ (стационарные уравнения A.181)—A.184) и нестационарные уравнения A.185)—A.187)) сильно идеализированы г) Аналогичная картина была обнаружена для нерелятивистской лампы обратной волны О-типа (см. том 1, лекция 13), а также наблюдалась в гиро- ЛВВ со связанными волноведущими системами (см. лекцию 7B1)).
Гироприборы 71 в том смысле, что в реальных гироприборах с бегущими волнами для эффективной перестройки частоты генерации, расширения ширины полосы усиливаемых частот и увеличения КПД генерации часто вводят одновременное изменение геометрии волновода и величины магнитного поля вдоль длины пространства взаимодействия г), и таким образом учитывают вышесформулированные модели. Впервые способ широкодиапазонной перестройки частоты в гиро- гироприборах (гиромонотроне с нефиксированной структурой поля), осно- основанный на использовании электродинамической системы в виде вол- волновода с плавно расширяющимся в направлении коллектора сечением, был предложен в 1976г. в работах [89,90]. В таком гиромонотроне ав- автоколебания возникают на том участке волновода, где критическая ча- частота близка к гирочастоте; соответственно при изменении магнитного поля изменяется и частота генерации. Преимуществом такой схемы яв- является возможность перестройки частоты генерации без необходимости механического перемещения охлаждаемых деталей в ваккуме. В работе [90] рассматривался гиромонотрон с электродинамической структурой, представляющей собой конический переход между регулярными волно- волноводами. Было показано, что при задании линейного закона изменения радиуса волновода и при варьировании величины магнитного поля в гиромонотроне возможно увеличение ширины полосы перестройки частоты генерации примерно в 5 раз. Рассмотрим конструкции и особенности работы гироусилителей и гирогенераторов с бегущими волнами с неоднородными по сечению электродинамическими структурами и соответственно профилирован- профилированными магнитными полями. На рис. 1.18 представлены схематические изображения соответствующих приборов. Обычно в качестве электро- электродинамических систем в таких гиро-ЛБВ и гиро-ЛВВ используются цилиндрические волноводы конической формы. В случае гиро-ЛБВ (рис. 1.18 а) с неоднородной электродинами- электродинамической системой, расширяющейся к коллекторному концу лампы, вход- входной усиливаемый сигнал вводится либо распределенным образом (каж- (каждая частота в свое сечение, которое соответствует критической частоте, близкой к частоте сигнала), либо посредством циркуляторас выходного конца лампы и последующего отражения от критического сужения (для каждой частоты сигнала — своего). Теоретические исследования неоднородной гиро-ЛБВ, проведенные в работах [70,91], показали воз- возможность расширения полосы усиливаемых частот, в которой реализу- реализуются уровень усиления и эффективность энергообмена, сопоставимые с аналогичными параметрами одночастотного режима, в несколько раз. В работе [70] была исследована широкополосная с большим коэф- коэффициентом усиления гиро-ЛБВ, в которой входная и выходные секции были выполнены в виде конических волноводов. Для предотвращения х) Известно, что при использовании нерезонансной регулярной в попереч- поперечном сечении электродинамической системы (волновода) полоса усиления не превышает 2-3% (полоса циклотронного резонанса).
72 Лекция 1 A6) Гиро-ЛБВ Гиро-ЛВВ В В Рис. 1.18. Схематическое изображение гиро-ЛБВ (а) и гиро-ЛВВ (б) с кони- коническими волноведущими системами и профилированным магнитным полем самовозбуждения лампы (как и в ЛБВО с локальным поглотителем (см. подробнее том I, лекция 10)) в систему была введена секция с боль- большими потерями (~ 100 дБ), которая позволила развязать вход и выход лампы. Рассматривалась система с током пучка 3,5 А и внешним маг- магнитным полем 12,65 < Bq < 12,75 кГс. Выходная мощность в экспери- эксперименте составляла 93 кВт, что соответствовало коэффициенту усиления 70 дБ и КПД ~ 26,5 %. Максимальная ширина полосы усиления лампы составляла ЗГГц (или соответственно 8,6% от центральной частоты, которая равнялась 33,2 ГГц). В гирогенераторе со встречной волной использование коническо- конического волновода и профилированного магнитного поля (см. рис. 1.18 6) также позволяет существенно улучшить выходные характеристики ги- ролампы. В этом случае используется электродинамическая система, расширяющаяся в сторону инжектора винтового электронного пучка (т.е. в сторону вывода высокочастотной мощности). В работах [92] и [69] отдельно исследовались влияние изменения геометрии волновода или величины магнитного поля на выходные ха- характеристики генерации гирогенератора со встречной волной. Влияние изменения магнитного поля вдоль длины системы тео- теоретически изучалось в работе [92]. Рассматривалось взаимодействие винтового электронного пучка с ТЕц-модой круглого волновода неиз- неизменного сечения. Параметры исследуемой модели были следующие: энергия пучка Vb = 50 кВ, релятивистский фактор 7о = 1,098, ток пучка /о = ЗА, питч-фактор g = 1,5, радиус регулярного волновода rw = 0,113см. Внешнее магнитное поле задавалось в виде [92] В = --Воевгго + Во [1 + sBzzo] , A.188)
Гироприборы 73 50 40 30 20" 10- - J } 500 1000 1500 2000 Рис. 1.19. Зависимости поперечного КПД гиро-ЛВВ в случае постоянного и профилированного в соответствии с формулой A.188) магнитного поля (из работы [92]) где Bq = 45 кГс, zq и г о — единичные векторы в продольном и попереч- поперечном направлении в пространстве взаимодействия, ев — коэффициент линейного изменения магнитного поля (величина магнитного поля |В| линейно растет от выхода гиро-ЛВВ z = 0 к коллекторному концу лампы). На рис. 1.19 представлены временные зависимости эффективно- эффективности генерации в гиро-ЛВВ, рассчитанные в соответствии с формулой A.180), для случая отсутствия профилирования магнитного поля (ев — = 0) и случая Eb^w — 0,003. Видно, что во втором случае наблюдается значительный рост «поперечного» КПД г]± (более чем в три раза). Одновременно имеет место увеличение частоты генерации системы в 0,0014о;Кр раз, где о;кр — критическая частота для ТЕц-моды круг- круглого волновода. Исследуем механизм повышения КПД генерации при изменении магнитного поля вдоль длины лампы, для чего рассмотрим распределе- распределения электрического поля ВЧ вдоль длины системы и фазовые портре- портреты электронного пучка на плоскости параметров «фаза в электрона- осциллятора относительно волны — координата z» для случая посто- постоянного и профилированного внешнего магнитного поля (рис. 1.20). Фаза в есть угол между вектором поперечной скорости электрона vj_ и вектором электрического поля Е, действующего на электрон вин- винтового пучка. Очевидно, что электрон будет отдавать энергию ВЧ-по- лю, если в Е @, тг) и, наоборот, забирать энергию у поля, если в Е G (тг, 2тг). Фаза электрона определяется из решения уравнения 0(z) = ipo + {ooc/l -ojo- Pov\\) z/v\\0, A.189) где (fo — начальная фаза электрона. Фазовый сдвиг в электрона от- относительно волны складывается из кинетической составляющей (кото- (которая определяется расстройкой относительно циклотронного резонанса A.Ш)) z/v\\0 A.190)
74 Лекция 1 A6) и динамической составляющей (которая определяется взаимодействи- взаимодействием электронов с электромагнитным полем) 0d = - ((wc/7o2)A7o + А)Д«ц) z/vm, A.191) где А7 и А^ц — изменения релятивистского фактора и продольной скорости электрона в результате взаимодействия с ВЧ-полем. В случае внешнего постоянного магнитного поля (см. рис. 1.20 а) фазовый портрет пучка демонстрирует, что значительная часть элек- электронов пучка находится в «неправильной» фазе электромагнитного поля или имеет фазу в « тг, в которой энергообмен мал. Как видно из рисунка, на длине пространства взаимодействия z ~ 1 см формируется фазовый сгусток, который быстро разрушается, и в системе наблюдает- наблюдается фазовая перегруппировка электронов-осцилляторов, причем часть электронов «выходит» из тормозящей фазы ВЧ-поля. Заметим также, что вторичный фазовый сгусток в области z ~ 2,0 -г- 2,5 см слабо сфор- сформирован, и следовательно, малоэффективно отдает энергию ВЧ-полю. В результате возникает двугорбое распределение электрического поля вдоль оси z, и эффективность генерации не велика. Другая ситуация складывается при оптимально подобранной неод- неоднородности магнитного поля (см. рис. 1.20 6). В этом случае в системе не наблюдается «вредного» разрушения электронного сгустка и даль- дальнейшей перегруппировки электронов. В результате распределение поля I 2 z, см Рис. 1.20. Характерные распределения полей вдоль длины системы для раз- различных моментов времени (сверху) и фазовое пространство винтового пучка на плоскости параметров «фаза электрона-осциллятора относительно волны в — координата z» (снизу) для постоянного (а) и профилированного (б) магнитного поля; фазовый портрет на рис. а построен при uoct = 750, б— 850 (из работы [92])
Гироприборы 75 демонстрирует структуру с одним максимумом. Плотный электронный сгусток формируется в оптимальной фазе для передачи энергии ВЧ-по- лю в = тг/2, и КПД системы резко увеличивается. Это связано с тем, что в системе с увеличивающейся к коллек- коллекторному концу величиной постоянного магнитного поля |В| условие циклотронного резонанса A.161) меняется вдоль длины лампы. Это в свою очередь, как следует из соотношения для динамического фазо- фазового сдвига 6d A.191), приводит к тому, что величина изменения фа- фазового сдвига A6d увеличивается для электронов, которые находятся в ускоряющей фазе ВЧ-поля, и наоборот, уменьшается для электронов в тормозящей фазе поля. Поэтому на длине пространства взаимодей- взаимодействия формируется достаточно плотный электронный сгусток, и число электронов, находящихся в тормозящей фазе ВЧ-поля, существенно больше, чем в случае однородного магнитного поля. Рассмотрим теперь, к чему приводит плавное изменение поперечно- поперечного сечения гиролампы со встречной волной и однородным магнитным полем. В работе [69] теоретически исследовалось взаимодействие вин- винтового электронного пучка со встречной волноводной модой ТЕц (см. рис. 1.13 6). Геометрия системы совпадает с представленной на рис. 1.18 6. Параметры электродинамической системы были следую- следующие: радиус выходного для СВЧ-излучения сечения /2Вых = Змм, ра- радиус входного сечения /2ВХ = 2,4 мм, длина регулярной секции элек- электродинамической структуры Lq = 1,5 см, длина конического волновода L = 5,0 см. Критическая частота ТЕц моды, соответствующая сечению большего радиуса, была равна 29,3 ГГц, меньшего радиуса — 36,6 ГГц. Параметры пучка были следующие: ток /q = 2 А, питч-фактор g = 1,4, радиус ведущего центра 1,05 мм. На рис. 1.21 представлены выходная мощность гиро-ЛВВ и частота генерации в зависимости от внешнего однородного магнитного поля В. Как видно из рис. 1.21 а максимальная выходная мощность си- системы в случае однородного по сечению волновода (сплошные точки на графике) составляет 16,8 кВт, что соответствует КПД 10,5%. При этом наблюдается незначительное уменьшение мощности генерации при увеличении величины приложенного магнитного поля. Применение волновода с плавным измененим радиуса сечения при- приводит к резкому увеличению выходной мощности гирогенератора. Чис- Численный расчет показывает, что в системе с неоднородным сечением волновода при прочих равных параметрах максимальная выходная мощность увеличивается в 2,5 раза, т.е. РВых = 42 кВт при КПД 26%. При этом с ростом магнитного поля имеет место почти линейный рост мощности генерации. Одновременно с ростом мощности генера- генерации имеет место и увеличение частоты ВЧ-изучения при возрастании магнитного поля. Последнее определяется условием, что для переда- передачи энергии от электронов-осцилляторов встречной электромагнитной волне необходимо выполнение условия {и + /?о^ц — шс) > 0, поэтому с увеличением магнитного поля частота генерации увеличивается. Ме- Механизм увеличения эффективности генерации при изменении сечения
76 Лекция 1 A6) Р,кВт /ГГц 1,30 1,35 1,40 1,45 B/Bq 130 1,35 1,40 1,45, а б Рис. 1.21. Зависимости выходной мощности (а) и частоты генерации (б) от внешнего магнитного поля в гиро-ЛВВ с конической волноведущей струк- структурой. Магнитное поле нормируется на величину Во, которая соответствует точному циклотронному резонансу A.161) при радиусе волновода R = Змм (из работы [69]) волновода подобен описанному выше для системы с изменяющимся магнитным полем (подробнее см. [69]). В заключение раздела остановимся на обсуждении нестационарной динамики в гиро-ЛВВ с изменяющимся поперечным сечением элек- электродинамической системы. В работе [81] численно с помощью элек- электромагнитного кода MAGY [88], предназначенного для исследования физических процессов в электронных приборах с длительным взаи- взаимодействием, анализировалась нестационарная динамика в гиро-ЛВВ с входной и выходной секцией в виде волноводов конического сечения, геометрия которого представлена на рис. 1.22 а. Заметим, что анало- аналогичная электродинамическая система использовалась в обсуждаемой выше работе [70] для создания широкополосной с высоким коэффи- коэффициентом усиления гиро-ЛБВ. Геометрические параметры исследуемой гиролампы приведены на рис. 1.22 а, величина внешнего магнитного поля составляла В = 14,52 кГс. Исследование нестационарных процессов проводилось при измене- изменении тока пучка /о и степени неоднородности электродинамической системы (радиуса выходного волновода Rt)- Результаты численного моделирования представлены на рис. 1.22 б, на котором на плоскости параметров (/t^,/o) нанесены области отсутствия колебаний, стацио- стационарной и нестационарной генерации в гиро-ЛВВ. При малых токах пучка пусковые условия не выполнены, и колеба- колебания в гиро-ЛВВ не возбуждаются. С увеличением радиуса выходного волновода Rt эта область на карте режимов незначительно расширяет- расширяется. С ростом тока пучка имеет место установление режима стационар- стационарной генерации, когда амплитуда колебаний выходного ВЧ-сигнала не меняется с течением времени. Дальнейшее увеличение тока приводит
Гироприборы 77 Rt= 2,76 мм Rmf= 2,65 мм 0 2 4 6 10 12 14 Автомодуляция выходного сигнала Стационарная генерация i Отсутствие генерации ¦ 2,65 2,7 2,75 2,8 2,85 Рис. 1.22. а — геометрия исследуемой гиро-ЛВВ с входной и выходной сек- секцией в виде волноводов конического сечения. Первая секция лампы пред- представляет собой волновод диаметром Rt и длиной 1 см, далее располагается ссуживающийся конический волновод длиной 1,27 см; следующая секция — регулярный волновод длиной 10 см и в конце пространства взаимодействия располагается выходная секция, симметричная с входной секцией; б— харак- характерные режимы колебаний гиро-ЛВВ с переменным сечением волновода на плоскости параметров «радиус входного волновода Rt — ток пучка /о» (из работы [81]) к возникновению автомодуляции выходного сигнала гиро-ЛВВ. Однако при Rt > 2,69 -^ 2,77мм и токе пучка 1 А < /0 < 10 А наблюдается вторая область стационарной генерации. Последнее означает, что пу- путем подбора степени неоднородности электродинамической системы возможно подавление автомодуляции выходного сигнала при больших токах пучка, а следовательно, получение одночастотной генерации с высокой выходной мощностью. Возникновение автомодуляции меж- между двумя зонами стационарной генерации при изменении тока пучка и степени неоднородности в работе [81] связывается с возможностью одновременного возбуждения в электродинамической структуре двух мод с различными распределениями поля вдоль пространства взаимо- взаимодействия. Характер автомодуляции, во многом, определяется отраже- отражением встречной волны от входа системы и взаимодействием в области регулярного волновода с винтовым пучком. В заключение этого параграфа приведем некоторые характеристи- характеристики экспериментально реализованных гироприборов с бегущими волна- волнами. В Мэрилендском университете (США) создан экспериментальный макет гироусилителя бегущей волны, внешний вид и схематическое устройство которого представлено на рис. 1.23. Он представляет собой многосекционную лампу со значительной выходной мощностью и зна- значением ширины полосы усиливаемых частот порядка 3%. Винтовой электронный пучок формируется магнетронно-инжекторной пушкой 1 и далее проходит последовательно через три секции. В первой секции 3 имеет место взаимодействие пучка с ТЕо2-модой круглого волновода.
78 Лекция 1 A6) л. ¦ '-¦—,!*..'! Рис. 1.23. Внешний вид и схематическое устройство двухсекционной гиро- ЛБВ. Здесь 1 — магнетронно-инжекторная пушка, 2 — ввод ВЧ-энергии, 3 — первая секция, работающая на моде ТЕ02, 4 — дрейфовая секция, в которой располагается поглотитель ВЧ-мощности, 5 — вторая секция, в которой про- происходит преобразование моды ТЕ02 в моду ТЕоз волновода, частота которой выше в два раза, 6 — коллектор отработанных электронов с водяным охла- охлаждением, 7 — выходное окно для мощного СВЧ-излучения (также с водяным охлаждением) (из доклада В.Л. Гранатстейна на конференции по вакуумной электронике (Монтерей, Калифорния, 1 мая 2000 г.)) Вторая секция (на рис. 1.23 отмечена цифрой 4) — это пространство дрейфа пучка с поглотителем высокочастотной мощности, предназна- предназначенная для развязки входа и выхода лампы (ср. с ЛБВ типа О с погло- поглотителем ВЧ-мощности, обсуждаемой нами в лекции 10 первого тома). В этой секции происходит фазовая группировка винтового электрон- электронного пучка, промодулированного внешним сигналом, подаваемым на вход лампы 2. В третьей секции 5 происходит взаимодействие хорошо сгруппированного винтового пучка с возбуждаемым им полем TEq2- моды. Последняя преобразуется вдоль длины пространства взаимо- взаимодействия в ТЕоз-моду волновода, излучение которой и выводится из вакуумного окна 7. За счет такого преобразования удается осуществить усиление на второй гармонике циклотронной частоты. Соответственно частота усиленного выходного сигнала удваивается по сравнению с ча- частотой входного поля. Отработанный электронный пучок осаждается
Гироприборы 79 на коллектор 6, который имеет водяное охлаждение. Типичные рабочие характеристики гиро-ЛБВ, приведенной на рис. 1.23, следующие. Напряжение пучка 48 кВ Ток пучка 22 А Частота входного сигнала 16-16,5 ГГц Частота выходного сигнала 32-33 ГГц Ширина полосы (по уровню 3 дБ) 3 % Максимальная выходная мощность 120 кВт Коэффициент усиления 36 дБ КПД 12% Величина внешнего магнитного поля 6,41 кГс Более высокочастотный гироусилитель (гиролампа бегущей вол- волны W-диапазона, соответствующего частотам порядка 100 ГГц) раз- разработан фирмой Вариан (в настоящее время — фирма CPI) [74,94]. В лампе используется электродинамическая структура с постоянным поперечным сечением и неизменным вдоль лампы магнитным полем, что делает прибор достаточно узкополосным, как и лампа, характери- характеристики которой представлены выше. В качестве источника электронов используется пушка Пирса с вигглером, обеспечивающим движение электронов по винтовым траекториям. Винтовой пучок взаимодейству- взаимодействует с ТЕц модой круглого волновода. Приведем основные рабочие ха- характеристики лампы. Напряжение пучка 65 кВ Ток пучка 5,6 А Частота входного сигнала 95 ГГц Частота выходного сигнала 95 ГГц Ширина полосы (по уровню 3 дБ) 2 % A,9 ГГц) Максимальная выходная мощность 28 кВт Коэффициент усиления 31 дБ КПД 8% Величина внешнего магнитного поля 33 кГс Как уже говорилось выше, для расширения полосы частот гиро- ламп с бегущей волной необходимо использовать в качестве электро- электродинамических структур волноводы с коническим сечением с одновре- одновременным изменением ведущего магнитного поля вдоль длины лампы. Характеристики экспериментального образца подобной гиро-ЛБВ, раз- разработанной в военно-морской лаборатории США [95], представлены в следующей таблице. Напряжение пучка 33 кВ Ток пучка 1,6 А Частота входного сигнала 33 ГГц Частота выходного сигнала 33 ГГц Ширина полосы (по уровню 3 дБ) 33 % Максимальная выходная мощность 5 кВт
80 Лекция 1 A6) Коэффициент усиления > 20 дБ КПД 11% Величина внешнего магнитного поля 12 кГс (изменяется вдоль пространства взаимодействия) Из таблицы видно, что путем введения неоднородности магнитного поля и геометрии волновода удалось расширить полосу усиливаемых частот гироприбора более, чем в 10 раз. Аналогичные результаты были получены в этой же научной лаборатории при разработке многосекци- многосекционных гиро-ЛБВ [96,97]. Пениотрон — эталонная модель распределенной системы с силовой группировкой электронов Наряду с гиротронами и гироприборами с бегущими волнами боль- большой интерес вызывает и другой МЦР — пениотрон. Этот СВЧ-усили- тель был предложен в середине 60-х годов японскими исследователями [98]. Его конструкция отличается от конструкции гиротрона существен- существенной неоднородностью высокочастотного поля. Электродинамическая структура пениотрона представляет собой прямоугольный волновод с двумя парами выступов (рисунки 1.24 а, 1.25). Электрическое поле ТЕ-волны сосредоточено в основном между выступами (области I, III на рис. 1.25, а в области II поле практически отсутствует). Тонкий полый цилиндрический электронный пучок движется в постоянном магнитном поле Во, направленном вдоль оси волновода. Электроны пучка вращаются с циклотронной частотой ис по винтовым линиям, оси которых совпадают с осью симметрии поперечного сечения волно- волновода. Пучок взаимодействует с быстрой волной TEqi в условиях допле- Рис. 1.24. Конструкция пениотрона
Гироприборы 81 ровского резонанса на какой-либо из четных гармоник циклотронной частоты: ш ~hv\\ -2риос = 0, A.192) где р = 1,2,3, ... будем называть порядком резонанса, и — частота входного сигнала, h — постоянная распространения волны на частоте о;, v\\ — продольная составляющая скоростей электронов. Размеры попе- поперечного сечения волновода и радиус ларморовской орбиты выбираются так, что невозмущенная электронная орбита пересекает все три области A,11, III; см. рис. 1.25). На рис. 1.25 а стрелки соответствуют фазе высокочастотного поля, при котором электроны в области I тормозятся, а в области III — уско- ускоряются. Когда частицы проходят половину окружности и попадают в область III, фаза поля меняется на целое число 2тг, и в области III электроны ускоряются. В начале эти воздействия одинаковы. Однако следует учитывать еще и дрейф ведущего центра в скрещенных полях, который для указанной на рисунке фазы направлен влево. Поэтому вращающиеся электроны все большее время проводят в области I (рис. 1.25 б) и радиус орбиты уменьшается, а энергия передается высо- высокочастотному полю. При обратной фазе поля тормозятся уже правые электроны. Но и направление дрейфа меняется на противоположное, так что торможение опять превалирует, и орбиты стягиваются к право- правому «фокусу» (рис. 1.25 в). Как видно, здесь неизохронность не играет принципиальной роли, и группировка является силовой и простран- пространственной. К достоинствам пениотрона следует отнести следующее. 1. Требуемое магнитное поле существенно меньше, чем в гиротроне: в 2 раза при работе на резонансе первого порядка (р = 1), в 4 раза — на резонансе второго порядка (р = 2) и т. д. 2. Параметры волновода нетрудно выбрать так, чтобы в нем могла распространяться в интересующем диапазоне длин волн только одна рабочая мода, а следовательно, проблемы конкуренции мод, достаточно важной для гиротрона, не существует. 3. Простота электродинамической структуры и легкость ее согласо- согласования. 4. Расчеты демонстрируют возможность достижения КПД близких к единице. / / / / Ж / / / / V а 6 в Рис. 1.25. Схема группировки в пениотроне Трубецков, Храмов
82 Лекция 1A6) Главными недостатками пениотрона являются малый объем актив- активной среды в масштабе длины волны и весьма жесткие требования к электронной оптике. Изложим здесь, следуя работам [99,100], простейшую теорию пенио- пениотрона, которая рассматривает «почти идеальный» пениотрон, учиты- учитывая из всех паразитных факторов только релятивистскую неизохрон- неизохронность циклотронного вращения электронов. Предположим, что распределение поля рабочей моды волны в об- области пучка такое же, как для ТЕМ-волны в четырехпроводной линии передач (см. рис. 1.24 6) [99]: Е = Ех+ jEy = 4*(z*)Re [?(z) exp [-ju(t - z/v\\)]] , A.193) где 2 , j2 л z = x + jy, zi,2 = ±s±jd, gk = y/i + s2/d2 sin [BA; + 1) arctg (d/s)]. Отметим, что выбор функции Ф в виде A.194) обусловлен лишь желанием сделать постановку задачи более конкретной. На самом деле для дальнейших выкладок существенна лишь возможность представ- представления поля в виде аналитической функции от (z*) . Такая возмож- возможность обусловлена, во-первых, малостью геометрических размеров s и d по сравнению с длиной волны 2тг//г (см. рис. 1.24 а), и, во-вторых, симметрией профиля волновода относительно поворота на угол тг. По- Поэтому дальнейшее рассмотрение применимо не только к волноводу, представленному на рис. 1.24 а, но и для другой конфигурации ребер, удовлетворяющих указанным условиям х). Поскольку рассматривается нерезонансная электродинамическая структура — волновод, то можно полагать, что высокочастотное поле не будет слишком сильным, и за один оборот электрон сможет отдавать ему лишь незначительную часть энергии. Так, в работе [101] рассмат- рассматривается пениотрон, в котором электроны совершают за время пролета не меньше 20 оборотов. Поэтому, как и в теории МЦР (гиротронов, гироламп бегущей и встречной волны), для пениотрона применим ме- метод усреднения, в рамках которого движение электрона в поле волны A.193) в слаборелятивистском приближении описывается уравнениями х) При s и d много меньших 2тг/h в уравнении Гельмгольца А^Ф + ае2Ф = = 0, которому подчиняется мембранная функция, в области между ребер можно пренебречь членом ае2Ф. Тогда приходим к уравнению Лапласа, ре- решение которого, представляющее интерес в данном случае, является анали- аналитической функцией Ф(з*).
Гироприборы 83 A.165), A.166) (см. также [83]), которые запишем в следующем виде: z = а + f3e~jUct, z = v\\(t-t0), х. • з_ . A.195) z = --L.{E), /3 = ^/3\/3\2 + ^-о(Ее-^), z\t=to=0, P\t=t0 = r0ei<fi0. A-196) Напомним, что а определяет положение ведущего центра электронной орбиты (х = Re<5, у = 1т а — декартовы координаты центра), /3 — радиус \/3\ и фазу arg/З циклотронного вращения по орбите; го и ifo — полярные координаты электрона в момент to ег0 влета в пространство взаимодействия; (...) означает усреднение по «нерелятивистскому» периоду циклотронного вращения 2тг/а;с. Первый член в правой части уравнения для /3 A.195) отвечает единственному учитываемому здесь релятивистскому эффекту — зависимости массы электрона от скоро- скорости, приводящей к необходимости внесения поправки к циклотронной частоте. Подставляя соотношения A.194) в уравнения A.195) с учетом вы- выражения A.192), несложно увидеть, что после усреднения ненулевой вклад внесут члены ряда A.194) с номерами к ^ р. В дальнейшем будем учитывать только первые неисчезающие после усреднения члены ряда A.194). Строго говоря, вклад следующих членов несущественен при 7*о/ (s2 + d2) <^i 1; величина этого отношения будет определять порядок величины допускаемой ошибки. Практически, однако, общий характер распределения поля описывается достаточно правильно, что позволяет использовать это приближение и в тех случаях, когда нера- неравенство и не является сильным. С учетом последнего предположения и после усреднения уравнения движения принимают вид ^ (в*Jр d2)p[P ] ' A-197) Bo [s + а ) Уравнения движения необходимо дополнить уравнением возбужде- возбуждения рабочей волноводной моды: dl_ .(h_w\E = _h2K dz T «НУ 2 [ dxdyju-E°_sexp (-J^-A , A-198) J \ II / 27r 1 27r. где }ш = — J jeeja;^ dt — первая гармоника плотности тока сгруппи- п о рованного пучка, К — сопротивление связи (поток мощности волны
84 Лекция 1A6) Р связан с амплитудой электрического поля в начале координат соот- соотношением Р = \Е\2 / Bh2 К)), E°_s — вектор с компонентами E®_sx = = Re4*(z*) и E^_sy = Im4*(z*), h — волновое число. Система уравнений A.197) и A.198) описывает самосогласованную задачу. Чтобы ее решить, необходимо эти уравнения записать через одни и те же переменные. Для этого, во-первых, заменим в уравне- уравнении A.197) производную d/dt на v\\d/dz (в соответствии со вторым соотношением в A.195)), и, во-вторых, выразим правую часть уравне- уравнения A.198) через а и /3. Предположим вначале, что электроны влетают в пространство взаимодействия не непрерывно, а компактными сгустками заряда IqT с начальным азимутом сро в моменты времени t = to -\- nZo, n = = О, =Ы, ±2, где Т = 2тг/а;, /о — средний ток пучка. Создаваемая ими плотность тока будет определяться выражением ¦to -пТ - z/v\\). A.199) Здесь хе, уе — координаты сгустка, ve — его скорость, компоненты которой ve^x = Re (ju>cf3ejuJctY ve^y = Im (ju>cf3ejuJct). Отсюда для фурье-компоненты плотности тока имеем jw = — ve5(x - xe)S(y - ye)eJUj{t°^\ A.200) v\\ Подставив полученное выражение в соотношение A.198), правую часть уравнения возбуждения запишем как Используя теперь представление функции Ф(г*) в виде ряда A.194) и пренебрегая, как и раньше, нерезонансными членами и членами степени выше 2р, после усреднения по переменным сро и uto получим уравнение возбуждения в виде / j T A-201) dz \ v\\J V\\N (s2 + d2)P 2? Уравнения A.197) и A.201), дополненные начальными условиями A.196) и условием e\z=o=S@), A.202) полностью определяют задачу об усилении сигнала в пениотроне. Введем безразмерные переменные и параметры: а = \/2р—e2j>^0 ? го /3 = —e~J(/?0, F = ?/BhWo) ~ нормированная амплитуда вы- высокочастотного поля, ? = hVz — продольная координата, b =
Гироприборы 85 = (о; — hv\\ — 2рис) /(hVv\\) — параметр рассинхронизма, е = = oj2Tq/'Bc2v\\hV) — параметр, характеризующий относительную величину релятивистской неизохронности циклотронного вращения _ lloKp Л , ш2сг1\ электронов, V = W / 1 + —^ — параметр взаимодействия, V 2V V ) V Кр = К [(s2 + d2)P /gp], Vo — ускоряющее напряжение. В новых переменных система уравнений принимает вид ^ = -F(/TJp, A.203) ^=je\C\2f3 + Fa*(n2p-1, A-204) 1L _ jbF = -a/32P A.205) с начальными условиями а|с=о, Pk=o = 1, F|c=0 = Fo, A.206) где Fq всегда будем считать действительным. Отметим, что благодаря замене а ~ ae2ip(f0 и /3 ~ f3e~i(f0 зави- зависимость от начальной фазы у?о исчезает из уравнений и начальных условий, так что движение всех электронов, рассматриваемое как из- изменение «новых» координат а и /3, происходит одинаковым образом. Поэтому в уравнении A.201) можно убрать усреднение по начальным фазам, как это и сделано при записи уравнения возбуждения в форме A.205). Такое упрощение связано с тем, что мы задали фиксированным поперечное распределение переменного поля в форме Ф (z*) ~ (z*) p. Очевидно, что при более общем законе распределения Ф (z*) зависи- зависимость от начальных фаз </?о сохраняется. В линейном режиме (т.е. \а\ ^С 1, |F| ^С 1, /3 ~ eJ?^) из системы уравнений A.203)—A.205) следует, что ^ —-jbF = -ae2^. A.207) Если искать решение в виде F ~ е^^, а ~ e(s~2JP?)^^ T0 приходим к дисперсионному уравнению S[S-j(b-2pe)] = 1. A.208) Решая уравнения A.207) с начальными условиями A.206), находим зависимость амплитуды сигнала \F\ = А от длины ? в виде pef. A.209) Область значений управляющих параметров, где реализуется уси- усиление, определяется неравенством 2(ре-1) < b < 2(pe + l). A.210)
86 Лекция 1A6) Получим первые интегралы (законы сохранения) системы A.203)- A.205). Умножим уравнение A.203) на а*, а A.204) — на /3* и сложим их с комплексно сопряженными выражениями и между собой. После интегрирования с учетом соотношения A.206) будем иметь \а2\ + \/32\ = 1. A.211) Аналогичным образом, умножая уравнение A.204) на /3* и A.205) на F*, находим \F\2 + \p\2 = F* + l A-212) — закон сохранения энергии. Наконец, если в правую часть соотноше- соотношения B) = Im A.213) подставить выражения для производных из A.203)—A.205), то следую- следующее интегрирование дает Im (F'af) + Ь-\Й2 ~ f I/3I4 = Ь-=^. A-214) Как видно из выражения A.205), амплитуда А должна удовлетво- удовлетворять уравнению НА ^ = -|aP|2"cos^ A.215) где ф = arg (F*af32p). Выразим \а\, \/3\ и cos-0 через А = |F| из фор- формул A.212), A.214) и подставим в соотношение A.215). В результате получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно А с разделяющимися переменными. Интегрируя его, можно получить соотношение, которое определяет в неявном виде зависимость ампли- амплитуды волны А от координаты: - (а2 ~ F$) [^ + ре (^1 - l)] } V2 da. A.216) В частном случае р = 1, 6 = 0, ? = 0 в результате вычисления интеграла имеем А = v " v " A.217) Из последнего соотношения и рис. 1.26, на котором показаны зависимо- зависимости А(?) для различных значений Fq, видно, что при ? —у ос амплитуда
Гироприборы 87 Рис. 1.26. Зависимости амплитуды поля А от продольной безразмерной ко- координаты ? для различных значений Fo и р = 1, b = О, е = О поля стремится к д/l + Fq . С учетом закона сохранения A.212) это означает, что в пределе ? —у ос вся кинетическая энергия циклотронно- циклотронного вращения электронов передается высокочастотному полю, т. е. КПД преобразования г]± стремится к единице. Анализ полученных уравнений и их решений позволяет рассмотреть механизм фазировки в пениотроне. Приведенная ниже трактовка меха- механизма фазировки аналогична методу усреднения, и в ней также находит отражение возможность достижения 100%-го асимптотического КПД. Для определенности ограничимся случаем основного резонанса р = 1. Рассмотрим электрон, вращающийся по циклотронной орбите, центр которой находится в центре координат (рис. 1.27). Проследим за изменением фазы поля за время одного оборота. Нетрудно видеть, что силы, тормозящие и ускоряющие движение электрона на различных участках его орбиты в точности сбалансированы (на рис. 1.27 эти силы показаны стрелками в тех точках орбиты, где проекция вектора электрического поля на направление движения электрона максимальна по абсолютной величине). Поэтому скорость вращения электрона по орбите сначала меняться не будет, однако, ведущий центр начнет смещаться перпендикулярно направлению средней за период силы (на о jf в Рис. 1.27. Механизм фазировки в пениотроне
Лекция 1 A6) рис. 1.27 а— влево). При этом из-за неоднородности высокочастотного поля баланс между ускоряющей и тормозящей силой нарушается в пользу последней, и электрон начинает отдавать энергию полю. Если электрон попал в другую начальную фазу (см. рис. 1.27 5^ в), то направление смещения ведущего центра будет другое, но оно приведет к тому, что вращение по орбите опять начнет замедляться высокочастотным полем. Интенсивность воздействия поля на электрон оказывается не зависящей от начальной фазы, если 4?(z*) ~ (z*) (см. начало раздела); все электроны находятся в равных условиях. Это можно видеть и непосредственно из рис. 1.27. Рисунки а; б, в переходят друг в друга простым поворотом вокруг начала координат. Таким образом, если удалось полностью отобрать энергию вращения у одного электрона, то она будет полностью отобрана и у остальных: поперечный КПД г]±_ составит 100%. Для других порядков резонанса картина фазировки в общих чертах останется такой же. На рис. 1.28 показано, как меняется вид пучка в поперечном се- сечении в процессе взаимодействия. Такие изящные и сложные формы возникают в результате того, что смещение ведущих центров и враще- вращение по орбитам определенным образом сфазированы для различных электронов. При построении рис. 1.28 использовалась вытекающая из соотношений A.195), A.211) и A.212) формула для поперечных коор- координат электронов (Fq <С 1) z = г0 Отметим, что с течением времени картина вращается с частотой ис/Bр + 1), так что за период 2тг/а;с любой электрон успевает побы- побывать в каждой точке петли. Рассмотрим теперь вопрос самовозбуждения пениотрона на встреч- встречной волне, что позволит использовать данный МЦР не только как уси- усилитель, но и как генератор СВЧ-излучения. Для простоты ограничимся случаем р = 1, е = 0, b = 0. Рис. 1.28. Вид пучка в поперечном сечении в процессе взаимодействия
Гироприборы 89 Частоты, при которых справедливо условие синхронизма A.192), могут быть найдены графически. Им соответствуют точки пересечения дисперсионной характеристики волновода uj2 — и2о = h2с2 и прямой линии и = hv\\ + 2иср, где ио — критическая частота волновода. Как видно из рис. 1.29, на котором пред- представлена соответствующая диаграм- диаграмма Бриллюэна, при 2иср > ио усло- условие A.192) выполняется для прямой волны на частоте uj\, а для встречной волны на частоте о^, причем ио < < U2 < оо\. Поэтому для колебания с частотой шйш2в пениотроне будет существовать распределенная обрат- обратная связь, как и в лампе обратной волны, и возможно возникновение ге- генерации. Взаимодействие встречной волны с электронным пучком описывает- описывается уравнениями A.203)—A.205), где, однако, нужно изменить знак перед правой частью уравнения возбужде- возбуждения. В определении безразмерных переменных и параметров следует понимать под и частоту самовозбуж- самовозбуждающихся автоколебаний о; « и2, h(u) < 0. Первый интеграл A.212) принимает вид (как и раньше, Fq = F@)) \C\2 - \F\2 = 1- F02, A.218) а формулы A.211) и A.214) остаются неизменными. Условие генерации определяется отсутствием сигнала на коллек- коллекторном конце прибора F\i=iL=0. A.219) Как видно из соотношения A.214), при ? = 0 условие A.219) может выполняться только, если 6 = 0. Проводя вычисления, аналогичные проведенным выше, получим зависимость амплитуды поля от расстоя- расстояния при генерации на встречной волне (рис. 1.30 а) в виде р Рис. 1.29. Дисперсионная харак- характеристика волновода, поясняю- поясняющая возникновение в пениотроне распределенной обратной связи на встречной волне F = FoJl-FgcosJl-Fgt A.220) Уровень выходного сигнала Fq и безразмерная длина прибора ?/, свя- связаны соотношением (см. рис. 1.30 6) X A.221)
90 Лекция 1 A6) Рис. 1.30. Зависимость амплитуды поля А в пениотроне от расстояния ? при генерации на встречной волне (а); зависимость уровня выходного сигнала Fq от безразмерной длины прибора ?l (р = 1, Ь = 0, е = 0) (б) При ?/, —у оо и i*o —У 1 КПД генератора при увеличении длины при- приближается к 100%. Пусковое условие генерации получается из соотно- соотношения A.221) при Fq -у 0: ?пуск = тг/2. Таким образом, пениотрон может использоваться в качестве гене- генератора, причем с достаточно высоким КПД С другой стороны, для пениотрона-усилителя самовозбуждение на встречной волне становит- становится весьма неприятным паразитным эффектом. Дело усугубляется тем, что на частоте о^ сопротивление связи больше, чем на частоте и\. Это означает, что предельно допустимая безразмерная длина усилителя даже меньше тг/2. Оценим ее величину, предполагая, что частоты o;i, U2 и 2рис близки к критической частоте х). Аппроксимируем дисперсионную характеристику волновода пара- параболой 2wo ' A.222) а зависимость сопротивления связи от частоты — выражением К = A.223) Тогда можно определить частоту о^, благоприятную для паразитной генерации, и отношение сопротивлений связи K{uj2)/K{uji) через вели- величины ljq и Со?!, предполагаемые заданными, следующими формулами: г) Такой выбор соотношения частот обусловлен стремлением обеспечить более высокое сопротивление связи [101].
Гироприборы 91 A.224) nS-y/2S' где S = o;/o;i — 1, n = с/^ц. Таким образом, на рабочей частоте и\ условие самовозбуждения паразитной генерации дается выражением ib -Спуск - 7^/1- - Взяв значения параметров пениотрона, описанного в [101]: S = 1/9, п = 11,3, для пусковой длины получаем значение Спуск = 1,24. Это очень маленькое значение, которое позволяет получить коэффициент усиления в линейном режиме не более 5,5 дБ. Вместе с тем существуют и некоторые факторы, которые улучша- улучшают вышеописанную ситуацию. Во-первых, на паразитном колебании, более близком к критической частоте, должны сильнее сказываться потери в волноводе. Во-вторых, возможно использование прибора как усилителя на встречной волне, подобного ЛОВ-усилителю. В-третьих, возможно выбрать 2иср < ujq так, чтобы дисперсионная характери- характеристика пучка проходила как штриховая линия на рис. 1.29. Заметим, что при этом вопрос о характере неустойчивости — конвективной или абсолютной — становится нетривиальным и требует для своего кор- корректного решения учета ряда других факторов, в первую очередь учета пространственного заряда. И наконец, естественно попытаться сделать прибор секционированным, т.е. разделенным на несколько электро- электродинамически не связанных друг с другом согласованных на концах отрезков волноводов. В последнем случае многосекционного прибора для расчета коэф- коэффициента усиления необходимо воспользоваться следующей методи- методикой. Для первой секции используются соотношения A.211)—A.217). Далее для последующих секций величины а и /?, характеризующие со- состояние электронного пучка, задаются такими, какими они получаются на выходе предыдущей секции, а амплитуда сигнала предполагается равной нулю. Результаты расчетов [99] свидетельствуют о том, что КПД секци- секционированного пениотрона существенно меньше, чем односекционного (величина г]± не превышает 20 %) и слабо зависит от увеличения числа секций. Коэффициент усиления растет с ростом числа секций и состав- составляет величину порядка 20 дБ для случая шести секций с безразмерной ДЛИНОЙ СеКЦИИ ^секции = 1,2.
92 Лекция 1A6) Видимо, простое секционирование пениотрона не очень удачно, так как фазировка электронов-осцилляторов происходит одновременно с энергоотбором. Поэтому, если на входе в секцию пучок хорошо сгруп- сгруппирован, то он уже обладает небольшим запасом энергии вращения. И наоборот, если запас энергии еще велик, то мала амплитуда высокоча- высокочастотного тока, а значит и возбуждаемого им поля. Список литературы 1. Гапонов А. В. О неустойчивости системы возбужденных осцил- осцилляторов по отношению к электромагнитным возмущениям // ЖЭТФ. 1960. Т. 39. С. 326. 2. Barkhausen H., Kurz К. Die kurzesten, mit Vacuumrohren herstellbaren Wellen // Phys Zs. 1920. V. 21, No 1. P. 1. 3. Zacek A. Nova metoda k vytvor^eni netlumenych oscylaci // Cas. peestov. mat. a fys. V Praze. 1924. Roc. 53. S. 378. 4. Зилитинкевич СИ. Колебательный электронный режим внутри триода // ТиТбП. 1923. № 18. С. 2. 5. Мазеры на циклотронном резонансе. Тематический указатель ли- литературы A958-1980). - Горький: ИПФ АН СССР, 1983. 56 с. 6. Федоров В. Т.; Шаронова Г.М. Мазеры на циклотронном резонансе. Препринт № 77. - Горький: НИРФИ, 1974. 39 с. 7. Twiss R.Q. Radiation transfer and the possibility of negative absorption in radio astronomy // Austral. J. Phys. 1958. V. 11, No 4. P. 564. 8. Hirshfield J.Z., Granatstein V.L. The electron cyclotron maser — an historical survey // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. 1977. V. MTT-25, No 6. P. 522. 9. Twiss R.Q., Roberts J.A. Electromagnetic radiation from electron rotating in an ionized medium under the action of uniform magnetic field // Austral. J. Phys. 1958. V. 11. P. 424. 10. Bekefi Y., Hirshfield J.Z., Brown S.C. Cyclotron emission from plasmas with non-Maxwellian distributions // Phys. Rev. 1961. V. 122, No 4. P. 1037. 11. Гапонов А.В. Взаимодействие непрямолинейных электронных по- потоков с электромагнитными волнами в линиях передачи // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2, № 3. С. 450. 12. Гапонов А.В. К статье: «Взаимодействие непрямолинейных элек- электронных потоков с электромагнитными волнами в линиях пере- передачи». Письмо в редакцию // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2, № 5. С. 836. 13. Schneider J. Stimulated emission of radiation by relativistic electrons in a magnetic field // Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2, No 12. P. 504. 14. Гапонов А.В. // Доклад на сессии научно-технического об-ва ра- радиотехники и электроники им. А.С. Попова. М., июнь 1959.
Гироприборы 93 15. Pantell R.H. Electron beam interaction with fast waves // In: the Proc. Symp. on Millimeter waves. Polytechnic Inst. of Brooklin, N.Y.: Politechnic Press, 1959. V. 9. P. 301. 16. Pantell R.H. Backward-wave oscillattions in an unloaded waveguide // In: the Proc. IRE. 1959. V. 47, No 6. P. 1146. 17. Гапонов А.В. Релятивистские дисперсионные уравнения для вол- новодных систем с винтовыми трохоидальными электронными потоками II Изв. вузов. Радиофизика. 1961. Т. 4, № 3. С. 547. 18. Dochler О., Mourier J. Theory of two-dimensional travelling wave tube. — Miinchen: Microwellenrohren, 1960. P. 97. 19. Цейтлин М.Б., Фурсаев М.А., Бецкий О.В. Сверхвысокочастот- Сверхвысокочастотные усилители на скрещенных полях. — М.: Сов. радио, 1978. С. 185. 20. Тетельбаум СИ. Фазохронный генератор обратной волны // Ра- Радиотехника и электроника. 1957. Т. 2, № 6. С. 705. 21. Боков В.М., Гапонов А.В. О взаимодействии типа О в системе с центробежной фокусировкой // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2, № 5. С. 831. 22. Антаков И.И., Боков В.М., Васильев Р.П., Гапонов А.В. Взаимо- Взаимодействие трохоидального электронного пучка с электромагнитны- электромагнитными волнами в прямоугольном волноводе // Изв. вузов. Радиофи- Радиофизика. 1960. Т. 3, № 6. С. 1033. 23. Железняков В.В. О неустойчивости магнитоактивной плазмы относительно высокочастотных электромагнитных возмущений. I // Изв. вузов. Радиофизика. 1960. Т. 3, № 1. С. 57. 24. Железняков В.В. О неустойчивости магнитоактивной плазмы относительно высокочастотных электромагнитных возмущений. II // Изв. вузов. Радиофизика. 1960. Т. 3, № 2. С. 180. 25. Gaponov A.V., Zheleznyakov V.V. On coherent radiation of excited oscillator system (irrecti-linear electron beams, magnetoactive plasma) // Report submitted to URSI. London, 1960. Proc. of the XIIIth General Assembly URSI, Commission VII on Radioelectronics, 1960. V. XII, part 7. P. 109. 26. Schneider J. Negative electrische leitfahigkeiten // Zeitschrift for Naturforschung. 1960. V. 15a, No 5/6. P. 484. 27. Премия имени А.А. Белопольского В.В. Железнякову // Вестник АН СССР. 1985. № 3. С. 141. 28. Hirshfield J.Z. Wachtel J.M. Electron cyclotron maser // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 12, No 19. P. 533. 29. Osepchuk J.M. Life begins in forty: microwave tubes // Microwave J. 1978. V. 21, No 11. P. 51. 30. Kulke В., Veronda CM. Millimeter-wave generation with electron- beam devices // Microwave J. 1967. V. 10, No 10. P. 45. 31. Гапонов А.В., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов и его ис-
94 Лекция 1A6) пользование в высокочастотной электронике // Изв. вузов. Радио- Радиофизика. 1967. Т. X, № 9-10. С. 1414. 32. Гапонов-Грехов А.В., Петелин М.И. Мазеры на циклотронном резонансе // В кн.: Наука и человечество. — М.: Знание, 1980. С. 283. 33. Цимринг Ш.Е. Мазеры на циклотронном резонансе. — Горький: Изд-во Горьк. гос. ун.-та, 1988. 34. Agdur В. Strophotron — a new electron device // Ericsson Techn.. 1957. V. 13, No 1. P. 3. 35. Электронные сверхвысокочастотные приборы со скрещенными полями. — М.: ИЛ, 1961 (в двух томах). 36. Юлпатов В.К. К вопросу о нелинейной теории взаимодействия электрических осцилляторов с электромагнитными полем // До- Доклад на 4-й Всесоюзной конференции МВССО СССР по радио- радиоэлектронике, Харьков, 1960 (из [5, с. 10]). 37. Юлпатов В.К. Нелинейная теория взаимодействия непрямоли- непрямолинейного периодического электронного пучка с электромагнитным полем. Часть I. Вывод основных уравнений // Вопросы радиоэлек- радиоэлектроники. Сер. 1. Электроника, 1965, № 12. С. 15. 38. Гольденберг В.Н., Ежевская Н.А., Жислин Г.М., Оржеховская М.Н., Юлпатов В.К. Нелинейная теория взаимодействия непря- непрямолинейного периодического электронного пучка с электромаг- электромагнитным полем. Часть П. Численные результаты // Вопросы ра- радиоэлектроники. Сер. 1. Электроника, 1965, № 12. С. 24. 39. Гапонов А.В., Гольденберг В.Н., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Прибор для генерации электромагнитных колебаний в санти- сантиметровом, миллиметровом и субмиллиметровом диапазоне длин волн // А.с. 223931 (СССР). Заявл. 24.03.67, опубл. 25.03.76. 40. Девятков П.Д., Голант М.Б. Пути развития электронных при- приборов миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов длин волн II Радиотехника и электроника. 1967. Т. 12, № 11. С. 1973. 41. Hibben S.J. Open millimeter-band resonators: resent progress in the USSR // Microwave J. 1969. November. P. 59. 42. Гольденберг B.H., Нусинович Г.С. Мощные коротковолновые ги- ротроны II В кн.: Итоги науки и техники. Электроника, Т. 17. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 3. 43. Гольденберг А.Л., Панкратова Т.Е., Петелин М.И. Электронная пушка магнетронного типа // А.с. 226044 (СССР). Кл. НО1 3/02. Заявл. 16.06.67, опубл. 31.05.72. 44. Wingerson R. Corkscrew — a device for changing the magnetic moment of charged particles in magnetic field // Phys. Rev. Lett. 1961. V. 6, No 5. P. 446. 45. Гапонов А.В., Петелин М.И. К вопросу о распространении элек- электромагнитных волн в волноводах, заполненных неравновесной магнитоактивной плазмой // Доклад на 4-й Всесоюзной конферен-
Гироприборы 95 ции МВССО СССР по радиоэлектронике, Харьков, 1960 (из [5, с. 12]). 46. Гиротрон: Сб. научных трудов. — Горький: ИПФ АН СССР. 1981. 47. Гапонов А.В., Гольденберг А.Л., Григорьев Д.П., Панкратова Т.Е., Петелин М.И., Флягин В.А. Экспериментальное исследование ги- ротронов диапазона сантиметровых волн // Изв. вузов. Радиофи- Радиофизика. 1975. Т. 18, № 2. С. 280. 48. Гельвич Э.А. Мощные генераторы и усилители электромагнитных колебаний свервысоких частот // В. сб.: Электронная техника. Сер. Электронные и квантовые приборы. — М.: ЦНИИ ТЭИНИ, 1967. С. 37. 49. Зайцев Н.И., Панкратова Т.В., Петелин М.И., Флягин В.А. Ги- ротроны диапазона миллиметровых и субмиллиметровых волн // Радиотехника и электроника. 1974. Т. 19, № 5. С. 1056. 50. Boring H. 100 Jahre Electronenrohren // NTZ: Nachrachtentechn Z. 1983. V. 36, No 10. P. 644. 51. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. — М.: Изд-во АН СССР, 1961. 52. Братман В.Л. и др. Циклотронные и синхротронные мазеры // В кн.: Релятивисткая высокочастотная электроника. — Горький: ИПФ АН СССР, 1979. С. 157. 53. Братман В.Л., Денисов Г.Г., Офицеров М.М. Мазеры на цикло- циклотронном авторезонансе миллиметрового диапазона длин волн // В кн.: Релятивисткая высокочастотная электроника. — Горький: ИПФ АН СССР, 1983. С. 127. 54. Петелин М.И., Юлпатов В.К. Мазеры на циклотронном резо- резонансе II Лекции по электронике СВЧ и радиофизике C-я зимняя школа-семинар) — Саратов: Изд-во Сарат. госуниверситета. 1974, Кн. 4, С. 95. 55. Гапонов А.В., Гольденберг А.Л., Юлпатов В.К. Мазер на цикло- циклотронном резонансе с двумя резонаторами (МЦР-клистрон) // До- Доклад на 5-й Межвузовской конференции по электронике СВЧ. — Саратов, 1966. 56. Nusinovich G.S., Saraph G.P., Granatstein V.L. Scaling Law for Ballistic Bunching in Multicavity Harmonic Gyroklystrons // Phys.Rev.Lett. 1997. V. 78, No 9. P. 1815. 57. Nusinovich G.S., Walter M. Theory of the inverted gyrotwystron // Phys.Plasmas. 1997. V. 4, No 9. P. 3394. 58. Nusinovich G.S., Latham P.E., and Dumbrajs O. Theory of relativistic cyclotron masers // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 998. 59. Hezhaong Guo, Shiaw-Huei Chen, Granatstein V.L., Rodgers J., Nusinovich G.S., Walter M. Т., Zhao J., Chen W. Operation of a High Performance, Harmonic-Multiplying, Inverted Gyrotwystron // IEEE Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26, No 3. P. 451.
96 Лекция 1A6) 60. Nusinovich G.S., Wenjun Chen, Tripathi V.K. Linear Theory of a Gyrotwystron with Stagger-Tuned Cavities // IEEE Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26, No 3. P. 468. 61. Nusinovich G.S., Levush В., Danly B.G. Theory of Multibeam Stagger-Tuned Gyroklystrons // IEEE Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26, No 3. P. 475. 62. Chen W., Nusinovich G.S., Granatstein V.L. Nonlinear Theory of Gyrotwystrons with Stagger-Tuned Cavities // IEEE Trans. Plasma Sci. 1999. V. 27, No 2. P. 429. 63. Zhao J., Nusinovich G.S., Guo H., Rodgers J.C, Granatstein V.L. Axial Mode Locking in a Harmonic-Multiplying, Inverted Gyrotwystron // IEEE Trans. Plasma Sci. 2000. V. 28, No 3. P. 597. 64. Zhao J., Guo H., Nusinovich G.S., Rodgers J.C, Granatstein V.L. Studies of a Three-Stage Inverted Gyrotwystron // IEEE Trans. Plasma Sci. 2000. V. 28, No 3. P. 657. 65. Дмитриев А.Ю., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Нестационар- Нестационарные процессы при взаимодействии винтового электронного пучка со встречной волной в волноводе // Изв. вузов. Радиофизика. 1991. Т. 34, № 9. С. 595. 66. Furuno D.S., McDermott D.B., Кои C.S., Luhmann N.C., Vitello P. Theoretical and experimental investigation of a high-harmonic gyro- traveling-wave-tube amplifier // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 1314. 67. Дмитриев А.Ю., Четвериков А.П. Усиление многочастотных сиг- сигналов в гирорезонансном усилителе со встречной волной // Радио- Радиотехника и электроника 1993. Т. 38. № 3. С. 517. 68. Wang Q.S., McDermott D.B., Luhmann N.C Demonstration of Marginal Stability Theory by a 200-kW Second-Harmonic Gyro-TWT Amplifier // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 4322. 69. Kou C.S., Chen C.H., Wu T.J. Mechanism of efficiency enhancement by a trapered waveguide in gyrotron backward wave oscillator // Phys. Rev. E. 1998. V. 57, No 6. P. 7162. 70. Chu K.R., Chen H.Y., Hung C.L., Barnett L.R., Chen S.H., Yang Т. Т. Ultrahigh gain gyrotron traveling wave amplifier // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81, No 21. P. 4760. 71. Denisov G.G., Bratman V.L., Cross A.W., He W., Phelps A.D.R., Ronald K., Samsonov S.V., Whyte CG. Gyrotron Traveling Wave Amplifier with a Helical Interaction Waveguide // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 5680. 72. Nusinovich G.S., Walter M., Zhao J. Excitation of backward waves in forward wave amplifiers // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. P. 6594. 73. Nusinovich G.S., Walter M. Linear theory of multistage forward-wave amplifiers // Phys.Rev.E. 1999. V. 60, No 4. P. 4811. 74. Felch K.L., Danly B.G., Jory H.R., Kreischer K.E., Lawson W., Levush В., Temkin R.J. Characteristics and applications of fast-wave gyrodevices // Proc. of the IEEE. 1999. V. 87, No 5. P. 752.
Гироприборы 97 75. Yang Y., Ding W. High efficiency and wideband gyro-traveling-wave- tube amplifier // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 4450. 76. Chen S.H., Chu K.R., Chang Т.Н. Saturated Behavior of the Gyrotron Backward-Wave Oscillator // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 2633. 77. Rodgers J., Guo H., Nusinovich G.S., Granatstein V.L. Experimental Study of Phase Deviation and Pushing in a Frequency Doubling, Second Harmonic Gyro-Amplifier // IEEE Trans, on Plasma Sci. 2001. V. 48, No 10. P. 2434. 78. Nusinovich G.S., Chen W., Granatstein V.L. Analytical theory of frequency-multiplying gyro-traveling-wave-tubes // Phys. Plasmas. 2001. V. 8, No 2. P. 631. 79. Nusinovich G.S., Sinitsyn O.V., Kesar A. Linear theory of gyro- traveling-wave-tubes with distributed losses // Phys. Plasmas. 2001. V. 8, No 7. P. 3427. 80. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Синхронизация автоколебаний в распределенной системе «винтовой электронный поток — встречная электромагнитная волна» // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, № 18. С. 34. 81. Nusinovich G.S., Vlasov A.N., Antonsen T.M. Nonstationary Phenomena in Tapered Gyro-Backward-Wave Oscillators // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87, No 21. P. 218301-1. 82. Дмитриев А.Ю., Коневец А.Е., Пищик Л.А., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Обзорные лекции по теории взаимодействия слаборелятивистских винтовых электронных пучков с электро- электромагнитными волнами в волноводе // Лекции по электронке СВЧ и радиофизике. 7-я зимняя школа-семинар инженеров. Кн. 1. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 61. 83. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973. 84. Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распре- распределённых системах «электронный поток — встречная (обратная) электромагнитная волна» // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 3. 85. Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Влияние сигнала сложной формы на колебания в активной среде «винтовой элек- электронный поток — встречная электромагнитная волна» // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, № 4. С. 3. 86. Храмов А.Е. Усиление сигналов в гиролампе со встречной вол- волной // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, №11. С. 56. 87. Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Влияние внешне- внешнего сигнала на автоколебания в распределенной системе «винтовой эектронный пучок — встречная электромагнитная волна» // Из- Известия вузов. Радиофизика. 2002. Т. XLV, № 9. С. 773. 88. Botton М. II IEEE Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26. P. 882. 7 Трубецков, Храмов
98 Лекция 1A6) 89. Гапонов А.В., Голъденберг А.Л., Петелин М.И., Юлпатов В. К. Прибор для генерации электромагнитных колебаний в см-, мм- и субмм-диапазонах длин волн. Авторское свидетельство № 223931 с приоритетом от 24.03.1967 г. // Официальный бюллетень КДИО при СМ СССР, 1976. №11. 90. Братман В.Л., Новожилов С.Л., Петелин М.И. Перестройка ча- частоты в гиромонотроне с электродинамической системой в виде конического волновода // Электронная техника. Сер. I. Электро- Электроника СВЧ. 1976. № 11. С. 46. 91. Четвериков А.П. Широкополосное усиление электромагнитных волн в волноводе винтовым электронным пучком // Лекции по электронке СВЧ и радиофизике. 8-я зимняя школа-семинар ин- инженеров. Кн. 2. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989. С. 43. 92. Ыт А.Т. Mechanisms of efficiency enhancement in gyrotron backward-wave oscillators with trapered magnetic field // Phys. Rev. A. 1992. V. 46, No 8. P. 4516. 93. Состояние разработок гиротронов за рубежом // Электронная тех- техника. Сер. 1. Электроника СВЧ, № 12. 1978. С. 121. 94. Eckstein J.N., Latsshaw D. W., Stone D.S. 95 GHz gyro traveling wave tube // Varian Assoc, Inc., Final Rep. Contract DASG60-79-C-005 (BMDATC), 1983. 95. Park G.S., Park S.Y., Kyser R.H., Armstrong СМ., Ganguly A.K., Parker R.K. BroadBand operation of a Ka-band tapered gyro- traveling wave amplifier // IEEE Trans. Plasma Sci. 44. V. 22, No 10. P. 536. 96. Park G.S., Choi J.J., Park S.Y., Armstrong СМ., Kyser R.H., Ganguly A.K., Nguyen К. Т., Parker R.K. Experimental investigation of two-stage tapered gyro-traveling wave amplifier // Proc. 19th Int. Conf. Infrared and Millimeter Waves. October 1994. P. 417. 97. Park G.S., Choi J.J., Park S.Y., Armstrong СМ., Kyser R.H., Ganguly A.K., Parker R.K. Experimental investigation of two-stage tapered gyro-traveling wave amplifier // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 2399. 98. Shoichi Ono et al // Proc. 14th Int. Cong. Microwave Tubes, Scheveningen, September 3-7 1962, P. 355. 99. Кузнецов СП., Моносов Г.Г., Трубецков Д.П., Четвериков А.П. Некоторые вопросы теории пениотрона // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике E-я зимняя школа-семинар) — Саратов: Изд- во Сарат. госуниверситета. 1981, Кн. 1, С. 8. 100. Кузнецов СП., Трубецков Д.П., Четвериков А.П. Нелинейная аналитическая теория пениотрона // Письма в ЖТФ. 1980. Т. 6, № 5. С. 1164. 101. Dohler С, Gallagher В., Moats R. // International Electron Device Meeting, 1978, Washington, D.C., December 4-6, P. 400.
Лекция 2A7) ЛАЗЕРЫ НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ ЛАЗЕР НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ, генератор когерентных электромагнитных колебаний оптического диапазона длин волн (ИК, видимого), принцип работы которого основан на взаимодействии пучка свободных релятивистских электронов с пространственно- периодическим электрическим или магнитным полем. Относится к приборам релятивистской электроники. .. Электроника: энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1991. с. 242. История создания лазера на свободных электронах. Семейство ЛСЭ: от микротрона до накопительных колец. Нерелятивистские предше- предшественники ЛСЭ (параметрические усилители О- и М-типа). Основ- Основные принципы лазеров на свободных электронах. Элементарная тео- теория ЛСЭ. Нестационарные уравнения ЛСЭ. Методика и результаты численного моделирования нестационарных процессов в ЛСЭ. ЛСЭ, основанные на излучении электронов в периодических статических полях и рассеянии волн электронными потоками: подход, основанный на введении сил Миллера. Одними из наиболее перспективных и интенсивно исследуемых при- приборов релятивистской электроники являются мазеры и лазеры на сво- свободных электронах х) (МСЭ и ЛСЭ). В библиографическом указателе [1], посвященном мазерам и лазерам на свободных электронах, дается следующее определение этих приборов. «МСЭ и ЛСЭ — это генераторы и усилители электромагнитных колебаний, действие которых основано на излучении электронов, колеблющихся под действием внешнего элек- электрического и (или) магнитного поля и перемещающихся с релятивист- релятивистской поступательной скоростью в направлении распространения излу- излучаемой волны» [1, с.З]. Главное в этом весьма широком определении х) В.Л. Гинзбург в монографии [2] отмечает, что хотя и имеется некоторая аналогия с лазером, термин ЛСЭ «...вряд ли удачен (достаточно сказать, что основной целью создания лазеров на свободных электронах является от- отнюдь не генерация света, прекрасным источником которого служат обычные лазеры)».
100 Лекция 2A7) то, что частота относящихся к данному классу электронных генерато- генераторов и усилителей из-за эффекта Доплера сильно превосходит частоту колебаний электронов. В работах [3,4] такие генераторы были назва- названы доплертронами. Термин доплертрон применяется к устройствам, основанным как на индивидуальном, так и индуцированном излучении классических (свободных) электронов. Те доплертроны, которые ис- используют индуцированный процесс, и являются МСЭ и ЛСЭ. Заметим, что под определение ЛСЭ не попадают гиротроны и те релятивистские приборы, в которых преобразование частоты из-за эффекта Доплера отсутствует, мало или происходит «вниз» (частота излучения меньше частоты колебаний электронов). Строго говоря, электрон в ЛСЭ не является «свободным», посколь- поскольку испытывает действие электромагнитного поля, которое заставляет его излучать, но он «свободен» в том смысле, что не связан в атоме, как в случае обычного лазера. Излучение в ЛСЭ, как правило, воз- возникает при прохождении электронов через магнитное устройство, на- называемое ондулятором или вигглером, в котором электроны движутся по периодической осциллирующей в пространстве траектории. Онду- ляторное движение может вызываться винтовым магнитным полем, создаваемым током бифилярной спиральной обмотки (в таком онду- ондуляторе электроны движутся по траекториям, близким к спиральным), или же линейно-поляризованным полем, создаваемым последователь- последовательностью магнитов переменной полярности. Ондулятором может быть также некоторое электростатическое устройство или оптическая волна большой интенсивности. Движение электронов в ЛСЭ происходит, как правило, в вакууме, но возможно также и использование диэлектриче- диэлектрических структур; в последнем случае важную роль может играть эффект Черенкова (электроны движутся в среде со сверхсветовой скоростью). Предшественниками ЛСЭ были нерелятивистские малошумящие па- параметрические ВЧ-усилители, активно разрабатываемые в 60-70годах. На них подробнее остановимся в специальном параграфе лекции. Следует подчеркнуть, что В.Л. Гинзбург еще в 1947 г. указал на возможность получения когерентных колебаний в коротковолновом диапазоне длин волн при сверхсветовом движении в среде [5-7]. Бы- Было, в частности, показано, что, если излучатель (заряженная частица, осциллятор и т. п.) движется в среде с показателем преломления п, то из-за эффекта Доплера в системе отсчета, связанной с неподвижной средой, излучение имеет частоту [5,6] (см. также том 1, лекция 1) BЛ) где ооо — частота излучения в системе координат, в которой излуча- излучатель покоится, /3 = vo/c, vo — скорость излучателя, в — угол меж- между вектором скорости vq и направлением наблюдения. При /Зп > 1 эффект Доплера называют нормальным, при /Зп < 1 — аномальным (или «сверхсветовым»). В работе [7] показано, что в потоке электро- электронов-осцилляторов (даже невозбужденных), движущихся со сверхсвето- сверхсветовой скоростью, имеет место неустойчивость, связанная с аномальным
Лазеры на свободных электронах 101 эффектом Доплера. Типичный пример — прямолинейный электронный поток, сфокусированный продольным магнитным полем и взаимодей- взаимодействующий с поперечным электрическим током ВЧ [8]. Однако от идеи до ее воплощения в МСЭ и ЛСЭ прошло много времени. Можно выделить три больших группы приборов среди всех МСЭ и ЛСЭ. 1. МСЭ и ЛСЭ, основанные на вынужденном тормозном излуче- излучении электронов. К ним относятся убитроны х), в которых имеет место ондуляторное излучение частиц, совершающих колебания в простран- пространственно-периодическом магнитостатическом или электростатическом поле и строфотроны (нерелятивистский строфотрон обсуждался в лек- лекции 1A6)). 2. МСЭ и ЛСЭ, основанные на рассеянии волны накачки электрон- электронным потоком. 3. МСЭ и ЛСЭ, в которых используется вынужденное излучение Смита-Парселла и переходное излучение частицы в пространственно- периодических средах. Отметим, что иногда все указанные приборы называют ЛСЭ, а ино- иногда под ЛСЭ понимают лишь приборы второй группы. Так, напри- например, в книге [9] дано следующее определение: «Лазер на свободных электронах представляет собой устройство, в котором на «свободных» частицах релятивистского электронного пучка осуществляется вынуж- вынужденное обратное рассеяние низкочастотной волны». В связи с этим еще раз подчеркнем, что главным в ЛСЭ является значительный сдвиг в сторону высоких частот рассеянного в обратном направлении излу- излучения (частота рассеянного излучения, как покажем ниже, примерно в 72 — 1 /A ~ (vo/c) ) Раз больше частоты падающего излучения) и принципиальная возможность перестройки частоты излучения в ши- широких пределах (например, за счет изменения скорости электронного пучка). На рис. 2.1 приведена классическая схема ЛСЭ, в котором установ- установлены два зеркала, образующие резонатор Фабри-Перо. Этот ЛСЭ был разработан в Станфордском университете в 1977 г. и предназначен для работы в генераторном режиме. Между зеркалами резонатора распо- расположен ондулятор из N периодов; длина каждого периода d. Внутрь системы вводится ультрарелятивистский электронный пучок со скоро- скоростью vo ~ с G ^> 1). При определенных значениях энергии пучка, рас- расстояния между зеркалами резонатора и других параметров устройство будет генерировать когерентное излучение, частоту которого можно оценить следующим образом. х) Убитрон — фирменное название Дженерал Электрик. Оно объединяет словосочетание undulator beam interaction — взаимодействие волнообразного пучка — где под ондулятором понимается устройство, в котором реализуется периодическое в пространстве статическое поле, например, знакопеременное магнитное (ондулятор — от французского Vonde — волна).
102 Лекция 2A7) Зеркало резонатора Спиральный магнит (период 3,2 см) O0O0O0O0O0OQ 5,2 м 12,7 м Электронный пучок D3 МэВ) ^ « ¦ ] Зеркало резонатора Рис. 2.1. Схема Станфордского лазера на свободных электронах, работаю- работающего в режиме генератора [10]. Вблизи зеркал, кроме поля ондулятора, использовалось ведущее поле для ввода и вывода электронного пучка (из монографии [11]) Частота колебаний электрона, движущегося по периодической тра- траектории в ондуляторе, равна v§ — vo/d. В системе координат, дви- движущейся со скоростью электронного потока vo, частота колебаний электрона становится равной vs — vo/ds, где из-за релятивистского сокращения длины период d ондулятора уменьшился в 7 раз, т. е. ds = = d/j. Отсюда vs — cj/d = i/qj. Следовательно, в собственной систе- системе координат электрона частота его колебаний в 7 Раз больше, чем в лабораторной. Тогда частота излучаемых им волн с учетом эффекта Доплера 7A — (vo cos в)/с) 1 — (vo cos в)/с' В ультрарелятивистском случае j = - 1 — — . 1огда в направле- 2 V с / нии движения электронного пучка (в = 0), в котором частота макси- максимальна, получим, что iy = 2j2iy0. B.2) Приближенное соотношение B.2) иногда называют резонансным соот- соотношением — в ЛСЭ частота излучения пропорциональна величине 2j . Так, если период ондулятора равен 1см, а 7 ~ Ю, т.е. энергия элек- электронов приблизительно равна 5 -г- 10 МэВ, то длина волны излучения будет лежать в ИК диапазоне. Длинноволновая граничная длина волны для ЛСЭ примерно равна 1 мм. Диапазон, перекрываемый ЛСЭ, простирается за видимую об- область спектра и проникает в область рентгеновского диапазона. В лю- любой конструкции ЛСЭ перестройка частоты ограничивается возможно- возможностями электронного ускорителя, но можно утверждать, что без особых конструктивных изменений перестройка частоты ЛСЭ возможна в пре- пределах декады. Настоящая лекция ставит своей целью дать элементарное введе- введение в физику лазеров и мазеров на свободных электронах, система- систематизировать основные принципы классических МСЭ и ЛСЭ, изложить основы теории приборов данного класса. Лекция построена следую- следующим образом. В начале лекции излагается история создания ЛСЭ, основываясь, в первую очередь, на книге Т.Маршалла [11]. При этом подробно рассматривается история создания первого ЛСЭ — убитрона.
Лазеры на свободных электронах 103 В этом же параграфе обсуждаются различные представители семей- семейства ЛСЭ, классификация режимов работы и некоторые области при- применения МСЭ и ЛСЭ. Далее обсуждаются нерелятивистские предше- предшественники ЛСЭ — малошумящие параметрические усилители О- и М- типа. Остальная часть лекции посвящена изложению теории лазеров и мазеров на свободных электронах, которое во многом основывается на лекциях В.Л. Братмана, Н.С. Гинзбурга и М.И. Петелина, прочи- прочитанных на 5-й Зимней школе-семинаре инженеров по СВЧ-электронике и радиофизике (Саратов, 1981) [4]. История создания лазера на свободных электронах. Семейство ЛСЭ: от микротрона до накопительных колец Еще в 1933 г. П.Л. Капица и П.A.M. Дирак [12] теоретически про- проанализировали вынужденное рассеяние фотонов на электронах. Од- Однако результаты не нашли практического применения вплоть до 50-х годов, когда попытки продвинуться в более коротковолновый диапа- диапазон натолкнулись на ограничения технологии электронных приборов. Уменьшение их геометрических размеров с уменьшением длины вол- волны оказалось неблагоприятным с точки зрения точности изготовле- изготовления, допусков и мощности; кроме того, исследование таких приборов должно проводиться, как правило, при низкой энергии электронов (< ЮкэВ). Результаты не были обнадеживающими, и с созданием в 60-х годах лазера интерес исследователей переместился в область квантовой электроники. Однако в 1951 г. X. Мотц исследовал ондуля- торное излучение — высокочастотное излучение электронного потока в периодическом в пространстве статическом поле [13]. Статья [13] начинается фразой, кратко суммирующей сделанное: «Электрон, дви- движущийся через последовательный ряд электрических или магнитных полей разной полярности, излучает. Частотный спектр испускаемого излучения зависит от скорости электрона. Как показано ниже, весь спектр электромагнитного излучения от сверхвысоких частот до жест- жестких рентгеновских лучей может быть легко получен при использовании электронов с энергиями в интервале от 1 до 100 МэВ». Работа прово- проводилась в Станфордском университете. Экспериментально полученные значения выходной мощности и спектр излучения сравнивались с ре- результатами расчетов по формулам классической электродинамики для излучения одного электрона. Эксперименты [14] проводились в опти- оптическом и миллиметровом диапазонах длин волн. В 1959 г. Мотц и На- камура [15] показали, что подводимые извне электромагнитные волны могут усиливаться устройством с такой ондуляторной структурой. Позднее в 1960 г. Р.Н. Филлипс описал в работе [56] убитронный усилитель (первый лазер на свободных электронах), в котором реали- реализовано индуцированное ондуляторное излучение. В одном из вариантов убитрона [57] электронный пучок, формируемый магнетронной пуш- пушкой, встреливается в круглый волновод с рабочей модой TEqi. В вол-
104 Лекция 2 A7) новоде размещены чередующиеся стальные и медные диски, поэтому при помещении его в поле соленоида образовывались как периодиче- периодическое, так и постоянное магнитные поля, обеспечивающие фокусировку и пульсации электронного пучка (колебания электронов в периодиче- периодическом магнитном поле с баунс-частотой ив = Bтгуо)/с1, где d — шаг периодической магнитной системы, vo — продольная скорость пучка). Была получена импульсная выходная мощность 1,6 МВт на частоте 16 ГГц и 150 кВт на частоте 54 ГГц. Во втором случае ток пучка был 35 А при напряжении пучка 70 кВ. Как отмечается в монографии [11], другие устройства обеспечивали примерно такую же большую мощ- мощность на этих частотах, и разработка убитрона как СВЧ-прибора была временно приостановлена в связи с созданием гиротрона. История со- создания убитрона подробно изложена самим Р.Н. Филлипсом в работе [58]. Остановимся на ней подробнее. Убитрон обязан своим изобретением исследованиям, которые про- проводились Р.Н. Филлипсом для объяснения, почему происходит самовоз- самовозбуждение ЛБВ ЦСР с периодической магнитной фокусировкой элек- электронного пучка, и не происходит при фокусировке пучка постоянным магнитным полем соленоида. Самое значительное различие между этими двумя способами фокусировки заключалось в поведении пучка: в первом случае электроны пучка совершали колебания, а во втором — двигались по спиральным траекториям. Филлипс предположил, что пу- пучок оказывается сильно связан с TEqi-модой, если имеет место условие синхронизма, заключающееся в том, что электрическое поле меняет направление на обратное в тот же момент времени, когда меняется направление и скорость электрона. Как оказалось, причина возбуждения ЛБВ была совсем в ином (свя- (связанные резонаторы возбуждались на щелевой моде, которая зависит не от колебаний пучка, а от его среднего диаметра), однако, когда это было установлено, Р.Н. Филлипс уже работал над созданием нового прибора, который бы использовал обнаруженное им взаимодействие электронов-осцилляторов с незамедленной электромагнитной волной. Проведенные им в течении семи лет исследования позволили создать новую лампу (убитрон), которая перекрывала весь частотный диапазон от 3 до 60 ГГц и позволила установить новые рекорды по мощности генерации, которые продержались в течении следующих двух десяти- десятилетий. Результаты по созданию первого убитрона были доложены Фил- Филлипсом на 17-й конференции по исследованиям электронных приборов A7th Electron Tube Research Conference) в Мехико, где они вызвали значительный интерес среди тех, кто смог оценить их значение. Как вспоминает Филлипс [58]: «Одним из заинтересовавшихся моими ре- результатами был организатор конференции профессор Паул Колеман, который являлся ведущим специалистом в использовании мегавольт- ных электронных пучков для генерации милиметровых и субмиллимет- субмиллиметровых волн. Другим был председатель конференции профессор Мар- вин Чодоров из Станфордского университета. Третьим был М.Б. Го- лант из Советского Союза, который подошел ко мне и сказал, что он
Лазеры на свободных электронах 105 и его коллеги делали подобную «быстроволновую» работу в институте в Москве... и были очень заинтересованы моей работой. Он предложил обменяться информацией. Работой, на которую он ссылался, были, вероятно, более ранние русские эксперименты с гиротроном. Излишне говорить, что State Department не разрешил никакого обмена инфор- информацией. .. ». Дальнейшие исследования убитрона нашли поддержку в лице Ар- Армии США для создания на его основе сверхмощного СВЧ-оружия. Предполагалась разработка убитрона, который бы давал мощность 1 МВт в сантиметровом диапазоне длин волн. В результате была созда- создана лампа, выходная мощность которой составляла 1,2 МВт при полном КПД 10 %. Ширина полосы частот Аи/ио ~ 30 %. Коэффициент усиле- усиления убитрона в режиме малого сигнала составлял 13 дБ. Эти результаты были представлены в работе [56], опубликованной в октябре 1960 г. Одновременно путем введения неоднородности в онду- ондулятор (заключавшейся в 10 % уменьшении периода магнитной системы к концу пространства взаимодействия лампы) удалось достигнуть КПД порядка 13%. К этому моменту Армия США отказалась от попытки создания СВЧ-оружия, однако убитроном заинтересовались военно-воздушные силы США для создания прибора с максимально возможной выходной мощностью на частоте 1 мм. В результате была разработана и принята многолетняя программа, состоящая из серии испытаний убитрона сна- сначала на 16 ГГц, затем на 60, 120 и 300 ГГц. Как пишет Филлипс, она не была выполнена до конца. В начале был создан убитрон, который имел выходную мощность 1,65 МВт на частоте 15,7 ГГц при КПД приблизительно 6 %. Однако при реализации 60 ГГц- части программы возникли сложности, связанные с дополнительным условием, которое наложили инженеры ВВС США на конструируемую лампу. Так как предполагалось использование убитрона на самолетах, то потребовалось сделать действующее ускоряющее напряжение как можно более низким, и ни в коем случае не превышающим 100 кВ. Это потребовало принципиальной переработки конструкции лампы, так как имеющаяся схема для работы на частоте 60 ГГц требовала ускоряющего напряжения по крайней мере 0,5 МэВ. В результате был разработан прибор с ускоряющим напряжением 70 кВ. Убитрон давал выходную мощность порядка 150 кВт на частоте 54 ГГц с максималь- максимальным КПД 6 %. Пиковое усиление имело место вблизи частоты отсечки волновода и составляло 30 дБ. Полученная таким образом мощность генерации убитрона была на порядок выше зарегистрированной ранее в этом частотном диапазоне. Однако ВВС США отказались от выпол- выполнения дальнейшей 120 ГГц-части программы по разработке убитрона. Таким образом, при поддержке различных военных ведомств США был создан первый прототип лазера на свободных электронах — уби- убитрон. Результаты, полученные группой Р.В. Филлипса, свидетельство- свидетельствовали, что убитрон был способен создавать мощность большую, чем любой другой источник СВЧ-излучения миллиметрового диапазона того времени.
106 Лекция 2A7) И все же отсчет истории ЛСЭ следует вести от работы [59], датиро- датированной 1968 г. Ее авторы впервые предложили использовать вынужден- вынужденное рассеяние на релятивистском электронном пучке для генерации из- излучения сверхкоротких длин волн (именно предложение использовать релятивистский пучок было главным для создания ЛСЭ). В работе было предложено устройство, аналогичное тому, которое разработал Мотц, но теперь к нему были добавлены зеркала и ондулятор. Уже в первых экспериментах с ЛСЭ было установлено, что имеют место процессы рассеяния волны на частице (комптон-эффект) и рассеяние волны на волне (комбинационное рассеяние). В Станфордских экс- экспериментах было получено индуцированное комптоновское рассеяние с мощностью порядка 10 МВт в инфракрасном диапазоне. Позднее были проведены эксперименты по вынужденному комбинационному рассеянию. В конце 60-х-начале 70-х гг. появилось современное название нового устройства — лазер на свободных электронах. Около 1970 г. Дж. Мейди под руководством профессора Шветтмана начал исследования устрой- устройства, которое и было названо им впоследствии лазером на свободных электронах {free electron laser; FEL) [16]. На возможность создания ЛСЭ на базе ускорительной техники впервые указал Пэлмер [17]. Пер- Первые эксперименты на релятивистских энергиях пучка по получению вынужденного рассеяния были выполнены в Станфорде, а в 1976 г. Элиас и др. [18] на слаботочном электронном пучке линейного уско- ускорителя (/ = 70 мА, Vo = 24 MB) реализовали усилитель, который имел максимальный коэффициент усиления равный 7 % на длине волны Л = = 10,6 мкм. В ЛСЭ использовался спиральный ондулятор с магнитным полем 2,4 кГс. Позже аналогичный эксперимент (но в генераторном варианте) выполнили Дикон и др. [10], которые получили импульсную мощность 7 кВт с длиной волны излучения Л = 3,4 мкм, используя тот же режим накачки, но при более высоких значениях интенсивно- интенсивности и энергии электронного пучка (/ = 2,6 A, Vo = 43 MB). Выходная мощность 7 кВт составила 0,01 % мощности пучка. Поскольку усиление здесь было обусловлено интерференционными процессами, коэффици- коэффициент усиления сильно зависел от длины ондулятора ЛСЭ. Первоначаль- Первоначальное рассмотрение ЛСЭ велось на основе квантовомеханических пред- представлений [16,19,20]. Однако как показали последующие теоретические исследования, классическая теория процесса вынужденного рассеяния также дает удовлетворительные результаты по описанию физических процессов в лазерах на свободных электронах [21-23]. Примерно в это же время проводились исследования по получению излучения на сильноточных электронных ускорителях A Ч- 10 кА/см2, 1 Ч- 2МэВ). Нейшен [24,25], а также Фридман и Херндон [26] иссле- исследовали излучение релятивистских электронных потоков, взаимодей- взаимодействующих с замедленными электромагнитными волнами периодиче- периодических электродинамических структур или системами с пространствен- пространственно периодическими магнитными полями. В Научно-исследовательской лаборатории ВМС США [27, 28] изучалось мощное излучение в суб- субмиллиметровом диапазоне, которое объяснялось вынужденным рассе-
Лазеры на свободных электронах 107 янием. В Колумбийском университете была проведена первая серия экспериментов на ондуляторе со статическим магнитным полем для возбуждения комбинационного рассеяния. Эфтимион и Шлезингер [29] получили генерацию с большим уровнем мощности на длинах волн ~ 0,3 -г- 6 см и показали, что физический механизм основан на свя- связи волноводных мод с циклотронной волной отрицательной энергии и волной пространственного заряда, играющих роль холостых волн [30]. Маршалл и др. [31] модифицировали этот эксперимент, используя ин- интенсивное поле накачки, и получили излучение с мощностью несколько мегаватт в диапазоне длин волн Л = 1 -г- Змм. В эксперименте исполь- использовался электромагнитный ондулятор, в котором была предусмотрена возможность изменять поле накачки, что позволило получить линей- линейную зависимость инкремента от амплитуды накачки, свидетельствую- свидетельствующую о том, что взаимодействие осуществлялось в режиме вынужден- вынужденного комбинационного рассеяния [32]. Гильгенбах и др. [33] провели де- детальный спектральный анализ излучения в миллиметровом диапазоне. Мак-Дермотт и др. [34] сообщили о реализации ЛСЭ-генератора на комбинационном рассеянии, работающего в режиме коллективного вза- взаимодействия. В этом устройстве (эксперимент проводился совместно сотрудниками Колумбийского университета и Научно-исследователь- Научно-исследовательской лаборатории ВМС США) использовался квазиоптический резона- резонатор, обеспечивающий оптическую обратную связь, а для уменьшения разброса электронного пучка по импульсам вблизи катода создавалась специальная область с сильным магнитным полем. Выходная мощность ЛСЭ составила 1 МВт при Л = 400 мкм, при этом наблюдалось суже- сужение линии излучения до 2%. Усовершенствование диодной системы и улучшение качества электронного пучка [35] позволили группе из На- Научно-исследовательской лаборатории ВМС США получить генерацию в ЛСЭ на комбинационном рассеянии с эффективностью ~ 7%. Чтобы продемонстрировать различные возможности применения ЛСЭ, Уолш [36] провел серию экспериментов по совместному действию вынужден- вынужденного черенковского эффекта и комбинационного рассеяния: в соответ- соответствующем устройстве для возбуждения вынужденного комбинационно- комбинационного рассеяния использовался ондулятор с диэлектриком, что позволило получить дополнительный сдвиг частоты вверх. В связи с упомянутыми выше экспериментами был проведен ряд теоретических исследований. Первоначально теория разрабатывалась как квантовомеханическая [16]. Однако Кол сон [21] показал, что двух- волновый ЛСЭ можно описать в динамическом режиме с помощью уравнения маятника. Такая модель, в частности, полезна для понима- понимания процессов в неоднородных ондуляторах и эффектов насыщения (см., например, [11]). Позже Л.А. Вайнштейн провел сравнение кван- квантового и классического подхода в случае однуляторного излучения в открытый резонатор [37]. Спрэнгл и др. [32] впервые вычислили инкременты для режима малой амплитуды накачки процесса комби- комбинационного рассеяния, а последующий нелинейный анализ позволил вычислить инкременты и эффективности для всех экспоненциально на- нарастающих процессов [38]. Линейное приближение, которое применили
108 Лекция 2A7) Кролл и МакМуллин [39], позволило рассчитать инкременты в режиме большого усиления и объяснить режим малого усиления двухволно- вого процесса рассеяния. Хасегава [40] сообщил о дальнейшей работе, посвященной системам с большим усилением, включая учет влияния разброса пучка по импульсам, в то время как Бернштейн и Хирш- фильд [41] решали эту проблему как краевую задачу усиления бегущей волны. Используя метод крупных частиц, Кван и др. [42 численно рассмотрели нелинейную стадию усиления. Лин и Доусон [43 показали, что высокую эффективность порядка 25 % можно получить соответ- соответствующим профилированием пространственного периода и амплитуды накачки. В дальнейшем эти идеи использовали Спрэнгл и Танг [44], а также Кролл, Мортон и Розенблют [45], применительно, в частности, к двухволновому ЛСЭ. Последняя из этих теорий оказалась весьма полезной для установления взаимосвязи теории ускорителей и физиче- физических процессов, происходящих в ЛСЭ [46]. С начала 80-х годов количество работ по ЛСЭ значительно увели- увеличивается; появились сообщения об экспериментах по захвату частиц и получению повышенной эффективности в ЛСЭ-усилителях [47-49]; получено усиление в видимой области спектра на накопительном коль- кольце [50]; предпринята разработка ЛСЭ дальнего ИК диапазона фир- фирмой «Бэлл лэборэтриз» [51,52] и Национальным центром комитета по ядерной энергии (ENEA) во Фраскати (Италия) [53] на базе модерни- модернизированного компактного ускорителя микротронного типа; создаются ЛСЭ с использованием накопительных колец во многих лабораториях мира, имеющих дело с ускорительной техникой; среди них АСО во Франции, ADONE в Италии, в Брукхейвенской лаборатории и в Стан- фордском университете в США. На французском накопителе АСО создан ЛСЭ-генератор на длине волны 6400 А [54], а в Станфордском университете ЛСЭ-генератор работал на третьей гармонике основной частоты (~ 0,5 мкм) [55]; в обоих этих экспериментах были использо- использованы неоднородные ондуляторы для повышения эффективности гене- генерации, а следовательно, и выходной мощности генераторов. Остановимся кратко на основных конструктивных особенностях ЛСЭ. Наиболее важным физическим компонентом ЛСЭ является ускори- ускоритель. Энергия электронного пучка, создаваемого ускорителем, лежит в области релятивистских энергий электронов и может превышать величину 1000 МэВ. Ток ускорителя является импульсным с длительно- длительностью импульса от нескольких микросекунд до нескольких пикосекунд. Ускорители могут работать в режиме либо одиночных импульсов, либо повторяющихся импульсов с частотой повторения до 1 кГц. Электроны ускоряются в диодном промежутке или электронной пушкой, которые включают в себя «горячий» или «холодный» катод, фокусирующие элементы и соленоид (обычно сверхпроводящий), создающий ведущее магнитное поле. При увеличении энергии электронов в соответствии с резонансным условием B.2), ЛСЭ будет генерировать (или усиливать) излучение на все более возрастающей частоте. Из рис. 2.2 видно, какие из суще-
Лазеры на свободных электронах 109 Длина волны » 0,1 мкм 1 мкм 10 мкм 100 мкм 1000 мкм Электронное накопительное кольцо Линейный ускоритель Электростатический ускоритель Микротрон Импульсная линия Рис. 2.2. Диапазон длин волн ЛСЭ и соответствующие ускорители электронов (из монографии [11]) ствующих ускорителей, разработанных за предшествующие несколько десятков лет, могут быть использованы для создания ЛСЭ в различных областях спектра электромагнитных волн [11]. Другим параметром, характеризующим электронный пучок, явля- является его собственный разброс по продольным импульсам. В идеальном случае энергия всех электронов, вылетающих из ускорителя, должна быть одной и той же, но из-за конструктивных особенностей уско- ускорителя и системы транспортировки у электронов имеется не равный нулю разброс по импульсам в поперечном и продольном направлениях. Он описывается параметром, называемым эмиттансом пучка, который характеризует яркость электронного потока. Для ЛСЭ нужны яркие электронные потоки с малым разбросом по продольным импульсам. В обычных лазерах излучение на выходе тоже является ярким (т. е. в дополнение к высокому уровню выходной мощности оптический пу- пучок имеет очень малую расходимость и, следовательно, может быть сфокусирован до размера дифракционно ограниченного пятна). Следующим конструктивным элементом ЛСЭ является устройство, которое обеспечивало бы осцилляторное движение электронов. Это, например, может осуществляться путем искривления траектории элек- электрона в периодическом поперечном магнитостатическом поле, созда- создаваемом ондулятором. Большинство разработанных в настоящее время ондуляторов представляют собой либо спиральные токовые обмотки, либо линейную цепочку из постоянных дипольных магнитов. Подроб- Подробнее на способах создания осцилляторного движения электронов пучка остановимся позже. Здесь же отметим, что типичный период ондуля- ондулятора равен примерно Зсм, а типичное значение индукции магнитного
110 Лекция 2A7) поля порядка 1 кГс. Такое поле создается импульсным или постоянным током (последнее возможно в сверхпроводнике) или ондулятор состоит из постоянных магнитов (таких как самарий-кобальтовые магниты). Простейшие конструкции ондуляторов имеют фиксированные значе- значения периода и амплитуды поля, за исключением коротких участков на входе и выходе, где поле адиабатически увеличивается, чтобы обеспе- обеспечивать плавный переход электронов в новую область взаимодействия. Однако часто разрабатываются неоднородные ондуляторы, которые позволяют улучшить характеристики ЛСЭ. Важным элементом ЛСЭ являются зеркала резонаторов. Здесь су- существует важная технологическая проблема совершенствования каче- качества зеркал в соответствии со следующими техническими требования- требованиями. Во-первых, это требование к коэффициенту отражения зеркал, ко- которое является решающим для ЛСЭ с малым усилением, особенно в ви- видимом и ультрафиолетовом диапазонах. Необходимо, чтобы зеркала имели устойчивое широкополосное покрытие. Достижение коэффици- коэффициента отражения R ~ 0,9995 в видимом диапазоне возможно благодаря использованию многослойных (с числом слоев порядка 20) интерферен- интерференционных пленок, а в диапазоне длин волн порядка 100 А коэффициент отражения удается сделать порядка R > 0,50. Во-вторых, в случае работы ЛСЭ на накопителе, энергия элек- электронов которого составляет 100 -г- 200 МэВ, мощное ультрафиолетовое синхротронное излучение будет очень быстро приводить к разруше- разрушению покрытия зеркал с высоким коэффициентом отражения. Поэтому разработка устойчивых к ультрафиолетовому излучению зеркальных покрытий с высоким коэффициентом отражения представляет собой необходимое условие успешной разработки мощных ЛСЭ, использую- использующих энергию накопительного кольца. В-третьих, в ЛСЭ с большим уровнем мощности в коротковолно- коротковолновом диапазоне диссипация энергии на зеркале может привести к разру- разрушению его поверхности. Например, выходную мощность ЛСЭ, равную 10 МВт, при 1 %-ном коэффициенте пропускания зеркала не следует рассматривать как очень высокую, хотя в резонаторе она будет около 1 ГВт. Небольшая доля этой мощности должна рассеиваться подлож- подложкой зеркала без прогрессирующего поверхностного разрушения. Хотя в резонаторе импульсная мощность 1 ГВт не вызывает каких-то ослож- осложнений при существующей технологии, некоторые ускорители создают электронные пучки очень высокой мощности, что неизбежно приводит к соответствующим трудностям при создании оптических систем для сверхмощных ЛСЭ. Характер взаимодействия электронного пучка с электромагнитны- электромагнитными модами оптического резонатора можно описать методами кванто- квантовой электроники. Между зеркалами резонатора Фабри-Перо благо- благодаря многократному отражению оптического пучка устанавливаются поперечные и продольные моды — такой процесс впервые описали Фоке и Ли. В резонаторе Фабри-Перо полные потери складываются
Лазеры на свободных электронах 111 из дифракционных потерь на краях зеркал, потерь за счет диссипации излучения на поверхности зеркал и потерь, обусловленных наличием связи (через отверстие, неустойчивый резонатор или частично пропус- пропускающее зеркальное покрытие). Электронный пучок будет возбуждать только те моды, взаимодействие с которыми является сильным (т. е. обеспечена сильная связь электронного пучка с оптической структу- структурой) и потери для которых малы. Поскольку линия излучения ЛСЭ шире, чем у традиционного лазера, в резонаторе, если в него не внесены фильтры, могут возбуждаться многие резонаторные моды. В некото- некоторых типах ЛСЭ в данный момент времени в резонаторе может при- присутствовать один электронный сгусток диаметра около 1 мм и длины лишь несколько миллиметров. В этом случае оптическая волна будет опережать медленно распространяющийся электронный импульс и воз- возникает эффект, названный лазерной летаргией [11]. В этом случае на выходе ЛСЭ будет наблюдаться последовательность очень коротких импульсов, возникающих за счет синхронизации мод. Заметим, что МСЭ и ЛСЭ могут работать в различных режимах, для которых справедливы различные физические принципы. Кратко рассмотрим режимы работы ЛСЭ и соответствующую их классифика- классификацию, следуя книге [11]. Если ток электронного пучка мал и энергия пучка высока (бо- (более 10 -г- 20МэВ), а длина волны излучения лежит в коротковолно- коротковолновом (ИК) диапазоне, то ЛСЭ работает в режиме, который называ- называется по-разному: комптоновский, двухволновый, интерференционный или режим одночастичного взаимодействия. В этом случае существует очень близкая аналогия между ЛСЭ и линейным ускорителем: увеличе- увеличение (уменьшение) энергии частиц соответствует затуханию (усилению) энергии электромагнитного поля. Оптимальное усиление ЛСЭ зависит от величины энергии пучка и длины ондулятора. К ЛСЭ в общем случае неприменимо положение лазерной физики, согласно которому чем больше объем среды, тем больше усиление и выходная мощность. Лазеры на свободных электронах, в которых имеет место экспо- экспоненциальное нарастание волн и которые напоминают традиционные лазеры с накачкой, работают в длинноволновом режиме (Л > 100 мкм) при низкой энергии (обычно менее 5 МэВ) и при высоких плотностях тока пучка (/ > 1 кА/см ); эти ЛСЭ представляют собой компактные устройства с высоким коэффициентом усиления. Если пучок холодный (т.е. разброс электронов по импульсам невелик), а амплитуда поля накачки ондулятора мала, то имеем ЛСЭ на комбинационном рассея- рассеянии (рамановский ЛСЭ)). При увеличении поля накачки ондулятора коэффициент усиления возрастает, и возникает режим большой ам- амплитуды накачки с оптимальными значениями усиления и эффектив- эффективности (режим осциллирующей двухпотоковой неустойчивости). Если пучок имеет большой разброс по импульсам, то коэффициент уси- усиления и выходная мощность ЛСЭ уменьшаются, но сигнал все еще экспоненциально нарастает вдоль ондулятора. Такой режим называют комптоновским с разбросом по импульсам. Уменьшение коэффициента
112 Лекция 2A7) усиления связано с тем, что ЛСЭ на комбинационном рассеянии — это трехволновое параметрическое устройство (волна накачки, сигнал и холостая волна), в котором в качестве холостых волн могут выступать либо волны в плазме, либо волны пространственного заряда. В случае электронов с разбросом по импульсам, когда холостая волна затухает вследствие бесстолкновительного эффекта (за счет затухания Ландау), ЛСЭ снова переходит в режим малого усиления г). Между одночастичными ЛСЭ и ЛСЭ, в которых существенную роль играют коллективные эффекты, приводящие к экспоненциально- экспоненциальному нарастанию мощности волны, можно провести довольно простую границу. ЛСЭ действуют в коллективном (многочастичном) режиме, когда система имеет достаточно большую длину, а пучок — достаточно высокую плотность, так что вдоль системы укладывается несколько плазменных длин волн. Это накладывает верхний предел на энергию пучка и нижний предел на длину волны. Другим весьма важным эф- эффектом является взаимодействие между силой, которая группирует электроны пучка (пондеромоторная сила), и расталкивающими силами пространственного заряда. Пондеромоторная сила определяется ам- амплитудами ондуляторного поля и сигнала, в то время как силы про- пространственного заряда — плотностью тока и энергией пучка. Из-за этой конкуренции группировки/разгруппировки пучка коэффициент усиления ЛСЭ в некоторых случаях возрастает, а в некоторых — умень- уменьшается. Как и традиционные лазеры на атомных переходах, ЛСЭ могут работать и как усилители когерентного излучения, и как генераторы (при использовании резонатора с зеркалами). Последние устройства при очень большом коэффициенте усиления могут давать мощное ча- частично когерентное излучение. Нерелятивистские предшественники ЛСЭ (параметрические усилители О- и М-типа) Предшественниками ЛСЭ, использующими параметрическое усиле- усиление СВЧ-колебаний, являются параметрические усилители на волнах пространственного заряда, лампа Адлера, параметрические усилители М-типа [60,61]. Интерес к подобным приборам связан с возможностью получения низкого уровня шумов, что делает лампы этого типа неза- незаменимыми в качестве входных усилителей. Р.Адлер предложил прибор [62-64], который был назван парамет- параметрическим усилителем. Во входной и выходной секциях усилителя (лам- (лампы Адлера) должно использоваться взаимодействие поперечного элек- электрического ВЧ-поля с электронным пучком, в котором возбуждаются циклотронные волны, а возрастание поперечных ВЧ-смещений элек- г) Заметим, что для работы всех разновидностей ЛСЭ требуется, чтобы электронный пучок был достаточно «холодным», т.е. разброс по импульсам электронов должен быть малым
Лазеры на свободных электронах 113 тронов достигается путем применения внешнего источника энергии, работающего на частоте накачки ш%. Частота и% должна быть выше частоты сигнала uj\. Необходим также вспомогательный резонансный элемент, работающий на частоте о; 2 = ^з — ^1 (за исключением особого случая, когда соз = 2o;i). Прибор представляет собой устройство с поперечным полем, в ко- котором в качестве входной и выходной секций применены резонаторы, через которые движется поток электронов, фокусируемый однородным магнитным полем. Напряженность поля выбрана так, что циклотрон- циклотронная частота равна частоте сигнала. Параметрическое усиление проис- происходит в квадрупольной системе электродов (квадрупольная система настраивается четырьмя катушками, связанными между собой для обеспечения работы на колебании тг-вида), к которой приложен сигнал накачки, изменяющийся с удвоенной циклотронной частотой. В та- таком приборе периодически меняющимся параметром является кинети- кинетическая энергия электронов, движущихся по спиральной траектории. Сигнал, подаваемый в первый резонатор, приводит к возникновению поперечных ВЧ-смещений электронов (электроны движутся по расши- расширяющейся спирали). Длина входной секции выбирается такой, чтобы на ее выходе имело место полное подавление входного сигнала, а сле- следовательно, поперечные ВЧ-смещения электронов были максимальны (энергия входного сигнала полностью переходит в энергию поперечных колебаний электронов пучка). Квадрупольная секция, которая помещается между входным и вы- выходным резонаторами (рис. 2.3 а), предназначена для постепенного увеличения амплитуд поперечных ВЧ-смещений электронов (радиуса электронных траекторий). Степень возрастания последних характери- характеризует коэффициент усиления прибора. В квадрупольной секции, показанной на рис. 2.3 ?, поле на оси отсутствует и при удалении от оси возрастает линейно с расстоянием; чем больше радиус окружности, по которой движется электрон, тем большей кинетической энергией он обладает. Электроны, которые при движении по спиральной траектории по- попадают в ускоряющий полупериод поля, естественно назвать правиль- нофазными, а электроны, попадающие в отрицательный полупериод, — неправильнофазными. Синхронизм электронов и ВЧ-поля в квадру- квадрупольной системе обеспечивается условием равенства частоты сигнала циклотронной частоте. В среднем, результирующий выходной сигнал будет больше входного, так как экспоненциальное возрастание всегда преобладает над экспоненциальным ослаблением. Из квадрупольной секции пучок поступает в выходной резонатор. Электроны, движущиеся по спирали, наводят в нем токи, и если резона- резонатор правильно нагружен, то результирующее поле вызывает движение электронов по суживающейся спирали и, следовательно, полную отда- отдачу их кинетической энергии. Такой усилитель является малошумящим, поскольку первый резонатор, правильно нагруженный источником сиг- сигнала с омическим внутренним сопротивлением, поглощает шумовую 8 Трубецков, Храмов
114 Лекция 2A7) мощность, содержащуюся в пучке. В идеальном случае шумы в пучке полностью подавляются [63,64]. В экспериментальной лампе [64] коэффициент усиления зависит от мощности накачки. Так, например, был получен коэффициент усиле- усиления до 20 дб при мощности накачки в несколько милливатт; коэффи- коэффициент шума составлял 1,3 дБ, причем 0,4 дБ авторы относят на счет потерь во входном резонаторе. Коэффициент шума отличен от нуля из-за нерегулярностей в электронном пучке, вторичной электронной эмиссии и ряда других явлений, не имеющих решающего значения, так что полученный коэффициент шумов может быть снижен при подав- подавлении подобных нерегулярностей. Лампа Адлера является полностью однонаправленным и чрезвычайно стабильным усилителем. Она имеет полосу усиливаемых частот 10 %, причем широкополосность определя- определяется в основном входной и выходной секциями и, следовательно, может быть увеличена. Рассмотрим простейшую теорию усилителя Адлера. В лампе Адле- Адлера принцип параметрического усиления используется для получения нарастающей быстрой циклотронной волны. Усиление на быстрой цик- циклотронной волне выгодно с точки зрения получения низкого уровня шу- шумов. Процесс собственно параметрического усиления происходит в об- Входной ¦ сигнал (со) I Входной элемент связи Сигнал накачки Выходной сигнал а Квадрупольная секция Выходной элемент связи Пучок электронов Электронная пушка а Д> Коллектор Рис. 2.3. Схема лампы Адлера (а), схема квадрупольной системы лампы Адлера (б, в)
Лазеры на свободных электронах 115 ласти резонатора, называемого резонатором накачки. Электрические поля в резонаторе, как уже указывалось, должны быть такими, чтобы радиусы орбит электронов увеличивались после того, как электроны покинут входной элемент связи, а следовательно, чтобы увеличивалась энергия электронов. Резонаторы, которые пригодны для этой цели, могут представлять собой отрезок квадратного волновода, в котором возбуждается ТЕц-волна, или отрезок круглого волновода при воз- возбуждении в нем ТЕ21-волны. Такие резонаторы создают квадруполь- ную систему электрического поля. Другая возможность состоит в при- применении синусоидального поля, которое возникает в прямоугольном волноводе при ТЕ2о-типе колебаний. Рассмотрим систему накачки, создающую квадрупольные электри- электрические поля вида Ех = - (Vo/a2) 2xcosupt, Ey = (V0/a2) 2ycosojpt, B.3) где Vo и а — постоянные 1). Предположим, что амплитуда поля накачки велика по сравнению с амплитудой поля сигнала и остается постоянной, так что можно пренебречь обратным влиянием пучка на поле накачки. Таким образом, поле накачки будет входить в уравнения движения электронов как заданная вынуждающая сила. Тогда с учетом сделанных предположений и соотношений B.3) ли- линеаризованные уравнения движения электронов в области взаимодей- взаимодействия можно записать как ^ + vo^f + u;cvy = п2х (е**>' + е"^) , B.4) ^ + «0^ - ucvx = П2у (е*'< + е-*"*) , B.5) где vx, vyj x и у — переменные составляющие скорости и смещения электронов в ж- и ^-направлениях соответственно; ?l2 = (e/me)Vo/a2, vo — постоянная составляющая скорости вдоль оси z. Решение системы уравнений B.4) и B.5) будем искать в виде [65] «*= Е Ухп(г)е>ш~*, vy= f; vyn{z)e^\ B.6) п= —сю n= —сю где ujn = nujp + uj. Подставляя выражения B.6) в уравнения B.4) и B.5), и полагая, что все переменные величины изменяются вдоль оси z по гармониче- ) Поля B.3) могут, в частности, соответствовать статическому потенциалу квадрупольной структуры в форме V = —(у2 — ж2), причем у2 — х2 = а = const описывает эквипотенциальную поверхность. Тогда у2 — х2 = a2, Vo — потенциал электродов; размер а показан на рис. 2.3 в.
116 Лекция 2A7) скому закону ехр (—/?z), ограничиваясь случаем п = 0, — 1 [65], легко получить следующую систему уравнений: - vo/3) vx0 + ujcvyo - — vx-! = 0, \j(uj -шр) - - al 1 vvo + I .v л_^й I ^-i = °> cVy-l =0, + (j( - UJp) - V0/3) Vy-! = 0. Из условия совместности полученной системы уравнений находится дисперсионное уравнение анализируемой схемы 2 \а) UРе ~ Р)№' ~ Рр) ~ PWP' - РJ + Рс] ШРе ~ Рр) ~ PI' + Рс} ' B.7) где введены стандартные обозначения: /Зе = ui/vo, /Зр = ojp/vo и /Зс = Будем искать решение дисперсионного уравнения B.7) предпола- предполагая, что фазовая скорость искомой нарастающей волны близка к фазо- фазовой скорости быстрой циклотронной волны пучка, т. е. , B.8) где слагаемое (?128/vqojc) есть малая величина. С учетом выражения B.8) дисперсионное уравнение B.7) значи- значительно упростится и примет вид 6F + jb) = l, B.9) где b = Шс2 Шр . П /шс Из уравнения B.9) следует, что 1.2 = -; 1 - (I) • BЛ0)
Лазеры на свободных электронах 117 Как видно из последнего соотношения, для того чтобы существовала нарастающая парциальная волна, необходимо выполнение условия - < 1 или \2ис — (jjp\ < 2 —. А си с Максимальное значение действительной части 5 достигается при 6 = 0, т.е. при ир = 2ис. В этом случае 5 = =Ы и Re/3 = ±- а асимптотическая формула для коэффициента усиления на частоте сигнала (п = 0) и на так называемой холостой частоте (п = — 1) имеет вид G [дБ] = -6,02 + 8,68 (—А , B.11) \VoUJc J где L — длина секции накачки г). Более строгое решение задачи требует провести анализ для входно- входного элемента связи, секции накачки и выходного элемента связи [61,67]. Помимо многочисленных исследований лампы Адлера было пред- предпринято несколько попыток создания аналогичных приборов М-типа [68-70]. В работе [70] описан вырожденный параметрический усилитель с коэффициентом усиления 40 дБ и коэффициентом шума 5 дБ, причем собственные шумы пучка составляли всего 3,2 дБ. Усилитель работал при токах луча несколько микроампер и напряжении луча несколько десятков вольт. Преимуществом варианта со скрещенными полями яв- являются высокий КПД и малый зазор магнита. Теоретическому исследованию параметрического усиления цикло- циклотронных волн в приборах типа М посвященны работы [71-73]. Схематическое изображение параметрического усилителя цикло- циклотронных волн со скрещенными полями представлено на рис. 2.4. В первой секции (входном элементе связи) электронный пучок взаи- взаимодействует с прямой замедленной электромагнитной волной вида exp [j(wt — Pox)], где и — частота усиливаемого сигнала, /?о — постоян- постоянная распространения волны сигнала в линии передачи без пучка. Про- модулированный на частоте uj электронный пучок входит во вторую секцию — секцию накачки. Третья секция (выходной элемент связи) служит для выделения выходного сигнала. Во входном элементе связи осуществляется возбуждение в пучке одной из циклотронных волн, что можно достичь путем выполнения условий синхронизма между фазовой скоростью волны в линии пере- передачи и фазовой скоростью одной из циклотронных волн. При введении х) Можно считать, что на входе в область накачки в пренебрежении шумами выполняются следующие граничные условия: амплитуды синхронных волн и амплитуда быстрой циклотронной волны на холостой частоте равны нулю [66]. Формула B.11) получена с учетом того, что в двухволновой теории при 6 = 0 амплитуды парциальных волн в секции накачки равны между собой и каждая равна половине соответствующего значения переменной на входе.
118 Лекция 2A7) Ро рн f Ро I Ў 1_ "_ ' L - .+. _*___J4 ВХОДНОЙ Гртгттма ВЫХОДНОЙ элемент „я™жм элемент связи накачки свжж Рис. 2.4. Схема параметрического лучевого усилителя циклотронных волн со скрещенными параметрами пучка, в котором распространяются циклотронные волны, в поляризо- поляризованное в плоскости распространения поле волны накачки волна сигнала будет параметрически усиливаться. Теория параметрического лучевого усилителя М-типа изложена в работах [61,71-73], и здесь на ней не будем останавливаться. Основные принципы лазеров на свободных электронах В данном параграфе рассматриваются основные кинематические соотношения, описывающие излучение релятивистского электрона, движущегося по периодической траектории, дается классификация механизмов излучения, а также обсуждаются особенности индуциро- индуцированного излучения потока релятивистских электронов-осцилляторов. При изучении этого круга вопросов будем использовать классические соотношения, для справедливости которых необходимо, чтобы энергия излучаемых квантов была существенно меньше энергии электрона: Пи < mc27, B.12) что для МСЭ и ЛСЭ, как правило, выполняется. Рассмотрим кратко различные типы излучения релятивистских ос- осцилляторов, используемые в МСЭ и ЛСЭ. 1. Эффект Доплера. Пусть электрон колеблется с частотой ?1 и при этом перемещается с поступательной скоростью V||. Такой осциллятор излучает электромагнитные волны Е = Re {Eoej(^~kr)} с частотами и), которые вследствии эффекта Доплера w-kv||=ft B.13) отличаются от частоты ?1. 2. Излучение в вакууме. Согласно соотношению B.13) наибольшую частоту uj = П/A — /Зц), где /?ц = v\\/c, осциллятор излучает в на- направлении своего поступательного движения, т.е. при k ^ V||. Если поступательная скорость является ультрарелятивистской, то, как было показано выше (см. формулу B.2)), для коэффициента преобразования частоты Г = и/И получаем выражение Г = 272. B.14)
Лазеры на свободных электронах 119 Последнее соотношение справедливо, если осцилляторная скорость электрона Д«1/7- B.15) Уже при кинетической энергии электронов около 1 МэВ G ~ 3,0) ча- частота излучения более чем на порядок превышает частоту колебаний. Следует отметить, что большой частотный выигрыш сохраняется, пока угол ср между направлением излучения и скоростью электрона остается в пределах ср < 1/j. 3. Излучение на гармониках. Большое преобразование частоты Г ~ ~ 72 сохраняется и при осцилляторных скоростях /3 ~ 1/7? существен- существенно превышающих значения, определяемые условием B.15). При этом наряду с излучением на основной доплеровской частоте s = 1 становит- становится эффективным также и излучение на гармониках s ^ 2, для которых выполняется условие синхронизма вида и -kv|| = sft, B.16) которое обобщает соотношение B.13). При дальнейшем увеличении осцилляторной скорости до значений Д » 1/7 B-17) поступательная скорость электрона (при фиксированной энергии) сни- снижается. Но это не является препятствием для получения высоких ча- частот. Более того, при переходе к большим осцилляторным скоростям B.17) спектральный максимум излучения даже перемещается в об- область еще более высоких частот wMax ~ 73w. B.18) Это так называемое синхротронное излучение [74]. 4. Излучение в среде и электродинамической структуре. В замед- замедляющей диэлектрической среде, как видно из формулы B.13), при при- приближении фазовой скорости волны к поступательной скорости электро- электрона коэффициент преобразования частоты Г также может существенно превзойти величину B.14) и ограничивается лишь дисперсионными свойствами среды. Если же фазовая скорость волн, распространяющихся в среде, мень- меньше поступательной скорости электрона Уф < г>ц, то, как обсуждалось выше, наблюдается аномальный эффект Доплера, при котором излуче- излучение сопровождается не затуханием, а раскачкой осциллятора, причем последняя наблюдается даже при равной нулю начальной осциллятор- осцилляторной скорости частицы. В условиях синхронизма B.16) аномальным до- плеровским частотам соответствуют отрицательные номера гармоник s. Существенные особенности в излучении появляются и при поме- помещении электронов в неоднородную среду. Так, при движении в вол- новедущей системе (например, цилиндрической металлической трубе) осциллятор может излучать лишь счетное число собственных волн (мод) с дискретными частотами.
120 Лекция 2A7) МЦР Скаттрон Флиматрон (I) Убитрон (Е) © в © е ® е ^^—--—-\._^-—\^ © © е ® е ® Убитрон (Я) Флиматрон (II) Hi ?) F.i Яо * е- Рис. 2.5. Способы создания осцилляторного движения в различных вариан- вариантах лсэ Для того чтобы электрон излучал, необходимо тем или иным спо- способом заставить его осциллировать. Существуют различные спосо- способы создания осцилляторного движения в ЛСЭ, представленные на рис. 2.5. Так, можно воспользоваться магнитным полем (рис. 2.5 а); поперечно-неоднородным (рис. 2.5 б) или пространственно-периодиче- пространственно-периодическим (рис. 2.5 в) статическим полем; можно придать осцилляторное движение, воздействуя на электрон интенсивной электромагнитной волной (рис. 2.5 д); можно позволить электрону двигаться равномерно и прямолинейно, а его изображение заставить колебаться в перио- периодически изогнутой металлической стенке (рис. 2.5 е) или в слоистой диэлектрической структуре (рис. 2.5 ж). Соответствующие механизмы излучения охватывают все основные типы излучения классических заряженных частиц: в первых трех случаях наблюдается различное тормозное излучение (циклотронное, строфотронное или ондуляторное), в четвертом случае имеет место параметрический процесс (комптоновское рассеяние), а два последних являются вариантами черенковского и переходного излучения. Рас- Рассмотрим системы, изображенные на рис. 2.5, более подробно.
Лазеры на свободных электронах 121 1. Циклотронное излучение (рис. 2.5 а). Как обсуждалось в лек- лекции 1A6) в однородном магнитном поле электрон осциллирует с цик- циклотронной частотой ft = ujc. Возникающее при этом излучение было предсказано еще в 1898 г. Льенаром и эффективно используется в мазе- мазерах на циклотронном резонансе (см. лекцию 1A6)). Однако пучки, ис- используемые в МЦР, слаборелятивистские, поэтому доплеровский сдвиг частоты весьма мал, а в наиболее распространенном МЦР — гиро- троне — реализуется квазипоперечное распространение волн kv|| = О, когда доплеровское преобразование частоты в принципе отсутствует. Однако при ультрарелятивистских энергиях электронов МЦР также может работать в режиме доплертрона [75,79]. 2. Строфотронное излучение (рис. 2.5 б). При движении в попереч- поперечно-неоднородном поле релятивистский электрон колеблется с частотой, зависящей от вида потенциала и энергии электрона. В параболической яме U(x) = kx2/2 частота колебаний равна fi = ^k/mj. Излучение слаборелятивистских осцилляторов данного типа используется в стро- фотроне, поэтому соответствующий тип излучения называется стро- фотронным. В качестве потенциального желоба для релятивистских частиц может служить внутреннее поле кристалла— среднее поле, соз- созданное атомными цепочками или плоскостями. Инжектированный под достаточно малым углом к оси такого канала электрон в нем удержи- удерживается — канализируется, совершая поперечные колебания. С учетом эффекта Доплера, как показал Кумахов [80], канализируемые электро- электроны могут излучать в направлении своего поступательного движения рентгеновские и гамма-волны. 3. Ондуляторное излучение (рис. 2.5 в,г). Траектория движения электрона в ондуляторе с периодом d может быть в зависимости от структуры поля как пространственной, так и плоской. Электрон в он- ондуляторе колеблется с баунс-частотой ?1 = CxJb = 27rv\\/d. Ондуляторное излучение — это тип излучения, наиболее часто используемый в ЛСЭ. Заметим, что поскольку поле кристалла обладает периодичностью, то в нем наряду со строфотронным излучением частица может испускать еще более коротковолновое — ондуляторное излучение [81]. 4. Комптоновское рассеяние волн (рис. 2.5 д). В поле волны накач- накачки Ei = Re {ЕОг exp [j(u)it - k^r)]} электрон колеблется с доплеровски смещенной частотой ?1 = uji — k^V||. В томсоновском пределе, когда в системе отсчета, связанной с движущимися электронами, энергия налетающего фотона много меньше энергии электрона и, соответствен- соответственно, в лабораторной системе отсчета выполнено условие B.12), часто- частота излучения определяется классической формулой B.13). Как уже говорилось, впервые индуцированное комптоновское рассеяние было рассмотрено в работе [12], однако первое предложение о генерации с помощью него коротковолнового излучения было сформулировано в более поздней работе [59]. 5. Черепковское и переходное излучение (рис. 2.5 е, ж). Электрон, находящийся вблизи металлической поверхности или внутри диэлек- диэлектрика, перераспределяет в первом случае свободные заряды, во вто-
122 Лекция 2 A7) ром — связанные. В первом случае поле электрона и заряда, наведен- наведенного на металлической поверхности, совпадает с полем диполя, образо- образованного электроном и его «позитронным» зеркальным отображением в стенке. Во втором случае электрон оказывается частично экраниро- экранированным окружающими его зарядами. В обоих случаях при равномер- равномерном движении электрона эффективный источник поля периодически меняет свои параметры с баунс-частотой О, = ujb (мигающий диполь или, соответственно, мигающий заряд) и излучает волны, частота ко- которых подчиняется формуле Доплера. Излучение, схематически представленное на рис. 2.5 е, носит на- название излучения Смита-Парселла, оно подробно обсуждалось нами в первом томе книги, лекция 15 (см. также работу [82]). Во втором случае (рис. 2.5 ж) мы имеем дело с разновидностью переходного из- излучения [83]. И в том и другом случае соотношение B.13) можно рас- рассматривать как условие черенковского синхронизма между равномерно движущимся электроном и медленной пространственной гармоникой с фазовой скоростью Уф = и/(к + 2тг/й) одной из собственных волн периодической структуры г). Чтобы выделить черенковские ЛСЭ (до- плертроны) из общей массы черенковских и «переходных» приборов (ЛБВ, ЛОВ, клистрон, магнетрон, оротрон и т.д.), в работе [4] введен новый термин флиматрон (от англ: nickering image — мигающее изоб- изображение). Выше были рассмотрены типы индивидуального (спонтанного) из- излучения частиц. Как обсуждалось нами в первом томе книги (лек- (лекции 1 и 6), в СВЧ-электронике эксплуатируется индуцированное из- излучение заряженных частиц. Действительно, в любом классическом сверхвысокочастотном приборе электронный поток, поступающий на вход в пространство взаимодействия с высокочастотным полем, стацио- стационарен (флуктуации плотности и других макроскопических параметров потока не учитываем), а потому создает непосредственно лишь статиче- статическое поле. Энергообмен между этим потоком и ВЧ-полем может иметь место только как индуцированный коллективный процесс, когда пер- первичное («затравочное») поле возбуждает в потоке макроскопический высокочастотный ток, излучение которого складывается с «затравкой». Макроскопический высокочастотный ток возникает в стационарном потоке вследствии того, что из-за возмущения движения электронов они собираются в сгустки. Эти сгустки могут либо поглощать ВЧ-энер- гию, либо увеличивать ее — в зависимости от того, попадают ли они в ускоряющее или тормозящее поле. При этом имеет место два основных типа группировки электро- электронов — силовой и инерционный. Силовая группировка происходит толь- только в присутствии переменного тока, как только поле «выключается», ее развитие останавливается. Так, если в случае циклотронного резонанса пренебречь неизохронностью осцилляторов, то после выключения поля г) Данный факт свидетельствует об условности границ между различными типами излучения.
Лазеры на свободных электронах 123 электроны будут вращаться с одинаковыми частотами и их взаимное расположение не изменится. Инерционная группировка в отличие от силовой может развиваться и при «выключенном» ВЧ-поле. Если поток электронов, совершающих свободное поступательное движение, промодулировать ВЧ-полем, а затем это поле выключить, то взаимное положение частиц вследствии разности их скоростей будет продолжать изменяться х). Возможны ситуации, когда одновременно реализуется оба типа группировки. В этом случае всегда можно подо- подобрать достаточно большое время взаимодействия электронов с пере- переменным полем, так чтобы инерционная группировка преобладала над силовой. Оба элементарных механизма группировки действуют и в ЛСЭ. Причем, по типу механизмов группировки все ЛСЭ можно разбить на две группы. Первую группу составляют флиматрон, скаттрон и уби- трон, где частота колебаний линейно зависит от его продольной коор- координаты, и поэтому соотношение B.13) можно рассматривать как усло- условие черенковского резонанса электрона с медленной комбинационной волной v\\ = Уф, где v\\ — продольная скорость электрона, Уф = (и — — uji)I (k + ki) — фазовая скорость комбинационной волны, а и){, ki — частота и волновое число накачки для скаттрона и ui = 0, ki = 2тг/d для флиматрона и убитрона. В этих ЛСЭ действует такой же механизм реактивной группировки, что и в прямолинейном потоке электронов, находящихся в поле медленной электромагнитной волны. Вторую группу ЛСЭ составляют МЦР и строфотрон, где частота колебаний является функцией его энергии SI = Sl(?), и поэтому условие резонанса B.13) w-kv|| = Sl(?) B.19) не сводится к черенковскому виду. В этих ЛСЭ кроме реактивной группировки действует также и группировка, основанная на неизохрон- неизохронности колебаний электронов 2). Опираясь на представлении о группировке частиц, нетрудно полу- получить оценку эффективности ЛСЭ и МСЭ [84]. Проанализируем для этого, с какой точностью должно выполняться условие B.13) резонанса электронов с волной. Вследствие конечности времени Т пребывания в пространстве взаи- взаимодействия электрон может эффективно обмениваться энергией с вол- волной и при наличии относительно нее некоторого фазового смещения в = Uu- kv\\ -Si) г) Этот эффект широко используется в секционированных приборах СВЧ — секционированных усилителях клистронного типа, ЛБВ с поглоти- поглотителем и т. п. 2 !) На квантовом языке это означает неэквидистантность их энерегических уровней (см. том 1, лекция 1).
124 Лекция 2 A7) если величина этого смещения не превышает 2тг. Фазовое смещение мо- может обуславливаться двумя причинами — кинематической (начальной расстройкой резонанса): ОКИН = (оо-ку\1о-П0)Т, B.20) и динамической (изменением энергии электрона в процессе взаимодей- взаимодействия с волной): ^1, B.21) 7 где jj, = — I k-TjJ)- + ЯМ ) — параметр группировки, N = ?LqT/2-к — число осцилляции электрона в пространстве взаимодействия. Вторая из этих причин (динамическая) приводит к группировке электронного потока. Эффективный отбор энергии у пучка будет обеспечен, если образующиеся в процессе группировки электронные сгустки, во- первых, будут достаточно компактными и, во-вторых, попадут в тормозящую фазу поля. Первое требование обеспечивается, если динамическое смещение электронов составляет в среднем величину |0Дин|~2^, B.22) а второе, если начальная расстройка резонанса удовлетворяет условию |0к„„|~7г, B.23) причем ее знак должен быть противоположен знаку параметра груп- группировки \i. Из условия B.22) следует оценка величины характерного изменения энергии электронов в процессе группировки ^1 L_ (о 24) Отбор энергии у сгустка осуществляется до тех пор, пока он не пе- переместится из тормозящей фазы поля в ускоряющую. При этом, если торможение сгустка производится однородным в продольном направ- направлении полем волны, допустимое изменение его фазы определяется со- соотношением B.23). Соответственно формула B.24) позволяет найти электронный КПД ЛСЭ rj = G0 — l)/(lo — 1) G ~~ текущий реляти- релятивистский фактор электронов), который определяется усредненным по фазам влета частиц изменением их кинетической энергии. В ультраре- ультрарелятивистском случае КПД определяется выражением B-25) Таким образом, КПД ЛСЭ в общем случае обратно пропорциона- пропорционален коэффициенту преобразования частоты, но зависит еще от числа колебаний электрона в пространстве взаимодействия N и параметра
Лазеры на свободных электронах 125 группировки II. Для ЛСЭ наибольший интерес представляют резонанс- резонансные режимы, когда число колебаний велико N ^> 1 и принимает мак- максимально возможное значение. Последнее облегчает пусковые условия и способствует сужению линии активного вещества. Однако, как сле- следует из формулы B.25), увеличение N ведет к снижению электронного кпд. Выясним теперь, какие значения может принимать параметр груп- группировки ц. Для флиматрона продольная скорость и энергия связаны ( \~1/2 простым соотношением j = ll — /З2,) . Тогда, как не сложно по- показать [4], параметр группирования \i ~ 1/-у2, и соответственно КПД ЛСЭ в режиме большого преобразования частоты (Г ~ j2) может быть оценен как V~jj- B-26) Для остальных типов ЛСЭ необходимую для вычисления параметра группировки связь между изменением продольной скоростью и энерги- энергией можно найти из законов сохранения энергии и импульса. Наиболее просто это сделать из квантовых соотношений для элементарного акта излучения/поглощения: А? = h(u - Ui), Дрц = h(k + кц). Здесь для скаттрона о^, ki — частота и волновое число накачки, для флиматрона и убитрона oji = 0, ki = 2n/d, для МЦР и строфотрона, где накачка осуществляется однородными в продольном направлении статическими полями, иц = 0, ki = 0. Отношение приращений энергии и продольного импульса электрона Д?/Дрц =^Ф B.27) не содержит постоянной Планка и равно в общем случае фазовой ско- скорости комбинационной волны. Для скаттрона, убитрона и флиматрона, в соответствии с условием резонанса B.13) фазовая скорость комбина- комбинационной волны примерно равна поступательной скорости электронов ^Ф ~ v\\o- Поэтому с учетом выражения B.27) и соотношения рц = = ?v\\/с1 находим выражение для параметра группировки: k + ki ( с \ 1 /л = — - v\\ « —, и следовательно, для КПД ЛСЭ будет справедлива та же оценка B.25), что и для флиматрона. В режиме небольшого преобразования частоты (Г ^С 72) КПД фли- флиматрона, скаттрона и убитрона могут иметь значения порядка едини- единицы, если число колебаний удовлетворяет условию Л^пт ~ 72/Г. Соот- Соответственно оптимальная длина L пространства взаимодействия ЛСЭ определяется соотношением L ~ j2X. Для МЦР и строфотрона величина Уф совпадает с фазовой скоро- скоростью излучаемой волны, являющейся независимым параметром. Кроме
126 Лекция 2 A7) того, параметр группировки \i для них зависит не только от производ- производной dv\\/d?, но и от производной d?l/d?. Частота колебаний ?1 в этих ЛСЭ убывает с ростом энергии. Поэтому связанная с неизохронностью электронов-осцилляторов группировка частично компенсирует реак- реактивную группировку. Соответственно для МЦР 1 а для строфотрона В МЦР при равенстве фазовой скорости волны скорости света (/Зф = = 1) параметр группировки ц обращается в нуль, и происходит полная компенсация группировок (так называемый, авторезонанс). Аналогич- Аналогичное явление возможно и в строфотроне. Таким образом, благодаря компенсации группировок параметр /i для МЦР и строфотрона может быть сколь угодно малым и, в частно- частности, возможно выполнение неравенства \/л\ <С 7~2- Тогда и при боль- большом доплеровском преобразовании частоты колебаний Г ~ 72 КПД может быть порядка единицы при числе осцилляции электрона NonT ~ ~ 7~2/М [79]- В генераторах особо коротковолновых диапазонов этот режим требует очень высокой плотности тока и потому трудно реа- реализуем. В этих условиях, по-видимому, более важное значение имеет «стандартный» режим, в котором \/л\ ~ J~2- Соотношение B.23) позволяет определить ширину полосы частот волн, находящихся в синхронизме с заданным электронным пучком (так называемая, полоса отрицательной реабсорбции) [4]: ^T~N- B'28) Из сравнения формул B.28) и B.26) следует, что в «стандартном» режиме работы полоса и максимальный электронный КПД ЛСЭ близ- близки друг к другу по порядку величины. Из формулы B.23) нетрудно найти допустимый начальный разброс параметров пучка. В частности, для начального разброса энергии элек- электронов имеем [4] <229> Элементарная теория ЛСЭ Как было показано в предыдущем параграфе, в узкополосных ЛСЭ при большом преобразовании частоты колебаний изменение энергии электронов относительно не велико, что позволяет существенно упро- упростить уравнения ЛСЭ и представить их в асимптотической форме, универсальной для всех приборов.
Лазеры на свободных электронах 127 Пусть электрон движется в поле волны Е = Re {Еш exp [j(ut - k\\z)} } . B.30) Тогда изменение энергии электрона в любом ЛСЭ описывается урав- уравнением и содержит ряд гармоник. Для флиматрона, где электрон движется прямолинейно, а в отсутствии волны и равномерно, гармоники содер- содержатся в поле периодической электродинамической структуры в соот- соответствии с теоремой Флоке. Для ЛСЭ с криволинейными траекториями электронов гармоники могут появляться как вследствие несинусои- несинусоидальности колебаний электрона в поле накачки, так и пространствен- пространственной неоднородности поля волны. Условие резонанса B.13) позволяет отбросить в правой части урав- уравнения B.31) все слагаемые, кроме одного, содержащего медленную фа- зу в = cot — k\\z — J Л dt. Для простоты ограничимся случаем диполь- ного взаимодействия (формула B.15)) и будем рассматривать резонанс на основной гармонике s = 1. Пользуясь малостью изменения энергии в множителе перед экспонентой положим в формулах B.30) и B.31) скорость электрона равной ее невозмущенному значению. В экспоненте exp (jO) это делать нельзя, так как даже небольшие изменения энергии могут привести на большей длине к значительному фазовому сдвигу. Для фазы в следует записать отдельное уравнение — =u-k\\vn-Sl B.32) с правой частью, зависящей от энергии. Но благодаря малому из- изменению энергии правую часть уравнения можно линеаризовать по величине w = 1 — 7/70• В результате приходим к универсальным асим- асимптотическим уравнениям движения электрона в ЛСЭ [4] ^=aeRe{ae^}, B.33) ^ = 5 + ^ B.34) с начальными условиями w@) = 0, 0@) = 0о, в0 G [0,2тг], B.35) где t' = wt, a = eEfi/(mcojjo) — безразмерная амплитуда волны, S = = (и — k\\v\\ — ilo)/uj — начальная расстройка резонанса, /i — введен- введенный в предыдущем разделе параметр группировки, ае — параметр связи электрона с волной, характеризующий величину проекции вектора ско- скорости электрона на электрическое поле волны. В ЛСЭ с криволинейными траекториями электронов (рис. 2.5 а- д) параметр связи ае пропорционален невозмущенному волной питч- фактору электронов /3_lo (коэффицент пропорциональности имеет ве- величину порядка единицы и зависит только от поляризации волны).
128 Лекция 2 A7) Для флиматрона с электродинамической системой в виде полоскового гофрированного волновода (рис. 2.5 е) величина ае = irg/d, где g — глубина гофрировки, для флиматрона с электродинамической систе- системой в виде плоского диэлектрика (рис. 2.5 ж) зэ = (Аг/гср) sin^, где As — перепад диэлектрических проницаемостей в слоях, еср — средняя диэлектричесая проницаемость, ф — угол между направлением распро- распространения волны и нормалью к структуре. Уравнения B.33)-B.35) были получены впервые для скаттрона и убитрона, а их обобщение на случай произвольного ЛСЭ было про- проведено в работе [84]. При постоянной амплитуде волны уравнения B.33)-B.35) сводятся к уравнению маятника d26 н = /iaeasintf. B.36) at Периоду колебаний маятника Т' ~ 1/^/[/1аёа| соответствует длина Az ~ (|/iaea|)~ ' ^ц/а;, на которой электроны смещаются относитель- относительно волны на расстояние порядка ее периода, образуя сгустки и обмени- обмениваясь энергией с волной. Простейший случай, описываемый уравнением маятника B.36), со- соответствует ЛСЭ-генератору с высокодобротным резонатором типа Фабри-Перо или ЛСЭ-усилителю с очень маленьким усилением. При большом усилении необходим учет изменения амплитуды волны под влиянием электронного потока [4]. Перейдем теперь к расмотрению элементов стационарной теории основных вариантов ЛСЭ: генератора с высокодобротным резонатором и усилителя попутной волны г) . Если резонатор ЛСЭ-генератора обладает высокой добротностью Q ^> ojL/vrp, где L — протяженность резонатора, vrp — групповая скорость волн, образующих поле рабочей моды, то структуру ВЧ-поля в нем можно считать фиксированной, не изменяющейся при введении электронного потока. Амплитуда поля в режиме стационарной генера- генерации определяется в этом случае балансом мощности, вносимой в резо- резонатор электронным потоком, и мощностью, выводимой из резонатора ВЧ-полем: ^ ^ B-37) где / — ток пучка, rj — электронный КПД, W — энергия, запасенная в объеме резонатора. При фиксированной структуре поля в уравнениях движения B.33)- B.35) можно считать, что a(z) — действительная положительная х) Заметим в связи с такой классификацией, что любой ЛСЭ-усилитель можно превратить в автогенератор путем введения обратной связи (на- (например, за счет отражения волн от нерегулярностей электродинамической структуры), а ЛСЭ-генератор в регенеративном режиме будет работать как усилитель.
Лазеры на свободных электронах 129 функция, если учитывать все возможные фазовые изменения в рас- расстройке S(z). Тогда уравнения B.33)-B.35) заменой переменных и = = V~XW, •& = в Sgn/i, ? = l/\fJb\tr, A = (l/lfJbD^S Sgn/i, V = y/2Bamax/\fJb\ (c^max — максимальное значение амплитуды волны) приводятся к виду гх(О)=О i?@) = i?Oj #ое[0,2тг]. B.39) Уравнения B.38) содержат только две независимые функции /(?) = Электронный КПД ЛСЭ-генератора с фиксированной структурой поля равен 2тг rj = i/rj, f) = — u(^l, $o) dfio, B.40) где ^l — безразмерная длина пространства взаимодействия. Для режима малого сигнала (\и\ ^С 1, |^ — #о| ^ 1)? представляя переменную расстройку как Д = До + Д(^), с помощью метода после- последовательных приближений получаем выражение 1 dtp B.41) где — мощность спектра ВЧ-силы, действующей на электрон при пролете через резонатор. В простейшем и наиболее важном случае постоянной структуры поля /(?) = 1, Д(?) = 0 при ? G [O,?l]j которая аппроксиммирует распределение поля попутной волны в двухзеркальном резонаторе, «линейный» КПД равен щ = -fi-rf > B-42) где (р^) = A — cos^)/2^2, ?? = ?/,Д- Основная зона усиления, где производная dtp/'dfi отрицательна и при $ = 0,8тг достигает своего максимального значения (^^/^^)тах = —0,065, имеет ширину Д# = = 2тг, что совпадает с оценкой B.23), проведенной нами из других соображений. Подстановкой выражения B.42) в уравнение баланса B.37) находим пусковой ток генератора ^^ „3 -1 г* т — _1 1 пуск — B.43) Трубецков, Храмов
130 Лекция 2A7) где S — площадь зеркала резонатора ЛСЭ. С ростом числа осцилляции электрона в пространстве взаимодействия N пусковой ток уменьшает- уменьшается пропорционально 1/7V3. Последнее связано с тем, что добротность резонатора пропорциональна его длине и числу осцилляции. Однако такая зависимость имеет место лишь до тех пор, пока при заданном энергетическом разбросе электронов А70 разброс углов Д# остается меньше 2тг, что эквивалентно ограничению N < 7о/А7 B.44) — так называемая гидродинамическая стадия взаимодействия. При достаточно большом разбросе, когда Д# ^> 2тг (кинетическая стадия взаимодействия), величина пускового тока с увеличением N уменьша- уменьшается, но по закону /пуСк ~ 1/-/V [4]. Следует отметить, что в полосу отрицательной реабсорбции попа- попадает очень много продольных мод резонатора ЛСЭ: LAuj/ttc ~ 72 > 1, B.45) поэтому вышеизложенная стационарная теория справедлива только в случае, когда обеспечена эффективная селекция паразитных мод резонатора. Проведем теперь стационарный анализ схемы ЛСЭ, представляю- представляющего собой усилитель попутной волны. ВЧ-поле в такой системе опи- описывается волновым уравнением АЕ = |, B.46) в котором электронный ток j сам определяется воздействием поля Е на пучок. В случае резонансного взаимодействия между электронным пото- потоком и электромагнитной волной, групповая скорость которой совпадает с направлением движения электронов (условие конвективной неустой- неустойчивости), в режиме малого изменения энергии электронов уравнение B.46) можно преобразовать к универсальному для всех типов ЛСЭ виду х) где а — медленно меняющаяся комплексная амплитуда волны, z' = 2 2тг = ujzI'с, J = \ Г e~ie dOo — синхронная с волной гармоника вы- 2тго; о сокочастотного тока, ujp — плазменная частота электронного потока. Фазы электронов относительно волны подчиняются уравнениям B.33)- B.35). г) Данное уравнение будет строго выведено дальше в лекции.
Лазеры на свободных электронах 131 Для стационарных режимов (dp/dtf = 0) заменой переменных (для простоты величина 5 считается константой) = -— sgn/i, С a*(/i<0), где С = (|/i|ae2a;p/2ci;2) — обобщенный параметр Пирса, система самосогласованных уравнений B.47) и B.33)-B.35) сводится к уже рассмотренным уравнениям стационарной теории ЛБВ без учета про- пространственного заряда (см. том I, лекция 10): 2тг B.48) "s B.49) с граничными условиями dti = 0, 0ое[О,2тг]. B.50) Поэтому для анализа работы ЛСЭ-усилителя с попутной волной можно воспользоваться всеми результатами, полученными в теории ЛБВ типа О. КПД ЛСЭ-усилителя пропорционален отношению параметра Пир- Пирса к параметру группировки: 2тг с B.51) Нестационарные уравнения ЛСЭ В предыдущем параграфе рассматривались режимы стационарной генерации и усиления. Однако хорошо известно, что в распределенных автоколебательных системах сверхвысокочастотной электроники при сильном превышении тока пучка над пусковым значением генерация может стать нестационарной. Для ЛСЭ, который возбуждается корот- короткими импульсами тока (см., например, [11,85]), анализ нестационарной динамики тем более актуален. В обоих случаях существенно, что в со- соответствии с соотношением B.45) в ЛСЭ с резонатором Фабри-Перо полоса активного вещества включает большое число эквидистантных мод резонатора. Поэтому модовое описание нестационарных процес- процессов в ЛСЭ оказывается малоэффективным и более предпочтителен
132 Лекция 2 A7) пространственно-временной подход, аналогичный тому который при- применялся в первом томе книги при построении нестационарной теории приборов О-типа с длительным взаимодействием. Подход, положенный в основу нестационарных уравнений, заключа- заключается в методе, который учитывает, что при близких к единице коэффи- коэффициентах отражения от зеркал заметная эволюция огибающей ВЧ-поля происходит лишь при большом числе оборотов отраженной волны вну- внутри резонатора [86]. Тогда взаимодействие электронов-осцилляторов с синхронной им волной Е = Re {En(?, z) exp [j(ut - kz)]} на ее п-м обороте в резона- резонаторе ЛСЭ-генератора, как и в ЛСЭ-усилителе попутной волны, описы- описывается самосогласованной системой уравнений для поля B.47) и урав- уравнений движения электронов B.33) и B.34). В этих уравнениях без- безразмерная амплитуда волны ап = еЕп/'(mcuj) является медленно меняющейся функцией безразмерного времени t' и координаты z'. Если от переменных t' и z' перейти к новым переменным ? = t' — z//Згр и z1', то уравнение для медленно меняющейся амплитуды волны §? = ./. <»2) легко проинтегрировать вдоль характеристики волны ? = const. С уче- учетом граничного условия, характеризующего отражение волны от гра- границ системы где Ri:2 — коэффициенты отражений от зеркал, L — длина резонатора, приходим к уравнению ujL/c «/n|?=const dz'. О B.54) В последнем уравнении предполагается, что длина пространства вза- взаимодействия, где высокочастотный ток отличен от нуля, равна длине резонатора L. При высокой добротности резонатора Q = uL/vrp{\ — R1R2), поль- пользуясь малостью изменения огибающей волны на одном обороте, пе- перейдем от дискретной переменной п к непрерывному времени г = = n2ujL/vrp, а следовательно, от отображения B.54) к дифференци- дифференциальному уравнению. Одновременно можно пренебречь явной зависи- зависимостью а от координаты z в уравнениях для электронов B.33) и B.34). Переходя к безразмерным переменным >/ 1/3 \JJ I J-^\ I с*~' У" ^ р 2Q' ~ \1- RiR2^?
Лазеры на свободных электронах 133 приходим к системе нестационарных уравнений, описывающих ЛСЭ с высокодобротным резонатором (тильду над новыми переменными опускаем) г, L а = J Jl^constd*, B.55) о B.56) Граничное условие B.53) в новых переменных записывается сле- следующим образом: а(?,т) = а(? + Тг,т), B.57) где Tr = ujtrDf3\\f3rp/(f3\\ + /Згр), tr = 2L/vrp — период обращения вол- волны. Для электронного потока граничными условиями являются усло- условия отсутствия модуляции на входе в пространство взаимодействия, которые имеют вид "-¦=«•¦ (*+?)L=°- Полученные уравнения справедливы при стационарной инжекции электронного потока в резонатор ЛСЭ. Режим стационарной инжекции означает, что величина электронного тока и параметры резонатора не зависят от времени. Однако часто в ЛСЭ применяется режим пе- периодической инжекции (см., например, [85]), при работе в котором период tr обращения волны в резонаторе синхронизирован с периодом ti следования коротких (At <С tr) токовых импульсов. Для описания такого режима удобно перейти от переменной ? к но- новой переменной ( = ? — ет, где — параметр тактового рассинхронизма. Тогда граничные условия для электронов будут задаваться на фиксированном интервале 0 ^ ? ^ ^ AT, где AT = coAtD^^1 — Р~рг), уравнения для электронов B.56) сохраняют свою форму, а уравнение для амплитуды поля B.55) примет вид -,dz. B.59) Здесь введена функция g, характеризующая форму токового импульса. В простейшем и наиболее важном случае функция g является констан- константой на промежутке <^ G (О, AT). Важно подчеркнуть [4], что при синхронной инжекции электронов генерация возникает только тогда, когда период следования токовых
134 Лекция 2A7) Рис. 2.6. Режим периодической инжекции электронов: характеристики вол- волнового уравнения B.59) на плоскости (?, г) и характеристики уравнения дви- движения электронов на плоскости (?, г), а также стационарная форма электро- электромагнитного импульса |а(?)|. Волна и электронный поток взаимодействуют на интервале 0 ^ ? ^ AT + L импульсов несколько превышает период обращения волны х) е > О и когда соответственно возмущения переносятся электронами и волной в противоположных направлениях (рис. 2.6). Благодаря этому в ЛСЭ в режиме периодической инжекции формируется обратная связь, ана- аналогичная лежащей в основе действия генератора обратной волны (кар- синотрона). Методика и результаты численного моделирования нестационарных процессов в ЛСЭ Рассмотрим методику численного моделирования уравнений неста- нестационарной теории ЛСЭ [87], сформулированной в предыдущем разделе. Для построения численной схемы введем на плоскости (C,z) прямо- прямоугольную сетку с шагами Д? и Az, причем положим Д? = Az = = h. Значения медленно меняющейся амплитуды поля а определяются только в узлах сетки. Для моделирования динамики электронного потока воспользуемся методом крупных частиц, который сводит решение уравнений движе- движения электронов B.56) к решению N х TVi обыкновенных дифферен- дифференциальных уравнений, которые интегрируются вдоль характеристик на плоскости (С, z), направление которых обозначим вектором 1: д2вкг = - Re {aexp[j6km]} , B.60) х) В отсутствии генерации при точном синхронизме е = 0 можно убедиться аналитически, сведя линеаризованную систему уравнений B.56) и B.59) к однородным интегральным уравнениям Волтерра, которые имеют лишь тривиальные решения [4].
Лазеры на свободных электронах 135 й , _ 27r(fc-l) = 5k, k = 1,.. .,N, m = 1,...,. z=0 #1 B.61) где TV — число крупных частиц, движущихся вдоль одной траектории, TVi — число траекторий (число точек пространственной сетки по оси О- Далее будем опускать индексы к и т, так как для фиксированных кит рассматривается только одно уравнение движения. Интегри- Интегрирование вдоль характеристики 1 означает, что шаг интегрирования уравнений движения необходимо выбрать равным А/ = \/2h. В правые части уравнений B.55), B.56) и B.59) переменная в входит только под знаком экспоненты. Поэтому для интегрирования системы нестационарных уравнений удобно перейти к новой переменной lp = lp1+ jp2 = exp [jO] . B.62) Тогда уравнение B.60) с граничными условиями B.61) относительно новой переменной ср принимает вид ф — ф2ф* — -j(f Re {atp} = 0, B.63) <р@) = exp [Я2тг(А; - 1)/N)] , ф@) = j6k<p@). B.64) Новая переменная позволяет существенно уменьшить объем вычисле- вычислений и снизить погрешность расчетов благодаря отсутствию необходи- необходимости численно рассчитывать большое число экспонент. Полученные уравнения интегрируются стандартными численными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для проверки корректности расчетов можно воспользоваться очевидными соотношениями 2,2-1 i • п /о пг\ (?>-. -|- (р2 = 1, ty?lty?l ~г ty?2ty22 — U. (Z.OO) Дважды проинтегрировав уравнение B.60) на интервале [0, А/] по- получаем следующее уравнение (символ Л определяет значения перемен- переменных в начальной точке интервала, V — в конечной): А/ 1 Re {aejS} dl, B.66) А/ ^ \ (Al-l)Re {aeje} dl. B.67) о Введем следующее обозначение: ф = фг + j$2 = exp [j<9A/] . B.68)
136 Лекция 2 A7) Тогда A/ - J (А/ - I) 2) ехр \j A/ \jAl dl\ B.69) B.70) Интегралы в правых частях уравнений B.69) и B.70) рассчитываются численно с использованием схемы четвертого порядка точности, т.е. с точностью О(А13) и О(А14) сответственно. Поэтому для расчета пер- первого интеграла используется линейная интерполяция функции (Aiipi — — ^2^2), а для расчета второго — метод трапеций. Тогда уравнения B.69) и B.70) принимают следующий вид: + ЗФ2 = (Фг + 3<P2)$i + 3Ф2) О(А14)] , B.71) 1 O(A/4) , B.72) А/2 — Вводя обозначения с + jd = (^1 + j<P2)(i>i + J^), AL = A/2/12, F = = A\(fi — A2(f2j получаем, что выражения для искомых функций (р\ и ф2, а также ^i и ^2 записываются как 0{Al }' B.73) F) + О(А/4), F) + О(А/4). Заметим, что B.74)
Лазеры на свободных электронах 137 т.е. полученное нами численное решение с точностью О(А/4) удовле- удовлетворяет условию <р\ + </?! = 1, которое автоматически следует из опре- определения B.62). Аналогичное условие в соответствии с формулой B.68) имеет место и для переменной ф: ф\ + ' При расчете уравнений движения на каждом шаге будет появляться некоторая ошибка (оцениваемая вели- величиной О (А/4)), которая накапливается и может приводить к неустойчивостям разностной схемы. Для предотвраще- предотвращения этого в работе [87] предложена процедура коррекции решения урав- уравнений движения. Ее идея заключает- заключается в следующем (рис. 2.7). Получен- Полученные в результате численной процеду- процедуры B.73) величины (р\ и (pi лежат вне (или внутри) единичной окружности на плоскости (</?i, ip^). Процедура кор- коррекции заключается в «возвращении» их на единичную окружность вдоль радиус-вектора, который отмечен на рис. 2.7. Очевидно, что таким образом происходит лишь приближение скор- скорректированного значения к точному. Процедура корректировки описы- описывается преобразованием — 1. Рис. 2.7. Процедура коррекции решения уравнений движения электронов. Здесь ф\ и (р2 — нескорректированные величи- величины, (fin и (р2п — скорректиро- скорректированные веЛИЧИНЫ, ф\е И (р2е ~ точное значение B.75) Очевидно, что скорректированные значения удовлетворяют условию (р\п + (р\п — 1. Легко показать, что (р\п — (р\ + О(А/4), (pin — Ф2 + + О(А/4). Аналогичная процедура коррекции проводится при расчете вели- величин ф\ и -02, так что скорректированные значения i\)\n и ip2n такж;е УДОВЛеТВОрЯЮТ УСЛОВИЮ ф\п + Щп = 1- Вышеописанная процедура используется для расчета интегралов ^ 2тг L I = — J ехр [—j6] dOo и В = J / dz в нестационарных уравнениях 27Г о о ЛСЭ. Рассмотрим теперь методику численного решения уравнения для распространяющейся в резонаторе ЛСЭ волны, т.е. уравнения B.55) в случае стационарной инжекции и уравнения B.59) в случае периоди- периодической инжекции. Будем полагать в этих уравнениях, что величина В известна из решения уравнений движения.
138 Лекция 2A7) Будем интегрировать уравнения B.55) и B.59) вдоль характеристик С + ет. Тогда случаи с различным типом инжекции практически не различаются. Единственное отличие заключается в том, что в режиме стационарной инжекции (уравнение B.55)) направление характеристик совпадает с направлением оси переменной т, что позволяет произволь- произвольно, независимо от величины h выбрать размер шага по времени Ат. В случае периодической инжекции шаг по времени должен удовлетво- удовлетворять условию Ат ^ h. Производя замену переменной Е = аехр[т], преобразуем уравне- уравнение B.55) к более удобному для численного интегрирования виду Ё = Вехр[т], B.76) где точка над переменной означает дифференцирование вдоль направ- направления характеристики волнового уравнения. Запишем одну из возможных разностных схем третьего порядка точности для уравнения B.76). Так: А А Яп+1 = Еп + \ тВеТ dr = Еп + \ т \вп + Впт + Вт2/2~\ ет dr = о о А Ат r [EJl^zl + B^] re^dr + B J ^ dr = О О = Еп + Вп(еАт - 1) + Вп д^п-1A " еАг + АтеАт) + О(Ат3), B.77) где п — номер шага во времени. Возвращаясь к переменной а, получаем следующую вычислительную схему для нахождения величины поля на (п + 1)-м шаге по времени: Аг^о \л A-Аг)A-е-Ат1 „ Л 1-е-А ап+1 =апе ^т + В 1 - ^?- Б1 I 1 - At B.78) Вычислительная ошибка такой схемы может быть оценена как [88] e1 = ^(An+An)AT3 + O(ATi). В случае периодической инжекции электронов вычислительная схе- схема B.78) также применима к уравнению B.59), но при выборе шага по времени, равного величине Ат — h/e. Рассмотрим результаты, полученные при анализе нестационарных уравнений ЛСЭ. Исследуем вначале случай стационарной инжекции электронов. В случае малых амплитуд поля можно найти аналитическое решение
Лазеры на свободных электронах 139 о 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 L 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 т а б Рис. 2.8. Зависимость от параметра L диапазона углов пролета, при которых имеет место генерация (а); переходный процесс установления одночастотной одномодовой генерации (L = 3,6, Тг = 21,6) (б) системы уравнений B.55) и B.56). Линеаризовав уравнение движения электронов, нетрудно получить уравнение для амплитуды наведенного тока: dz B.79) Учитывая граничные условия B.57) и B.58), решение можно пред- представить в виде разложения по модам с однородной в пространстве амплитудой и эквидистантным спектром Здесь Д/, = 27гк/Тг. Амплитуды этих независимых мод подчиняются уравнениям: dr ¦ak(l-F(dk))=0, B.80) где F(#k) = L4f f [| (#ке*»" - l) - (e^ - l)], #k = AkL - угол пролета электронов относительно к-й моды. Согласно уравнению B.80), амплитуда мод экспоненциально растет, если для нее выполнено условие самовозбуждения Rei^(^^) > 1. Наименьшее значение безразмерной длины системы L, в соответствии с выражением для пускового тока /пуСк B.43), удовлетворяющее условию возбуждения ЛСЭ, равно LnyCK = 2,5. На рис. 2.8 а представлена область на плоскости параметров (L^/,), где имеет место самовозбуждение ЛСЭ-генератора. При L > 4 ширина зоны генерации близка к 2тг. В этой зоне одновременно нарастает примерно Tr/L ~ 7о М°Д открытого резонатора. При больших амплитудах поля уравнения B.55) и B.56) необходимо интегрировать численно с помощью вышерассмотренной разностной
140 Лекция 2A7) 1,0 0,5 -2 г в я V 0,0 8,0 V 0 2 4 6 8 10 к Рис. 2.9. Стационарная самосинхронизация мод: структура ВЧ-поля (а) и спектр (б), построенные при управляющих параметрах L = 5,0, Тг = 12,5 схемы. Результаты удобно интерпретировать на модовом языке, раз- разлагая огибающую а в ряд Фурье. Как показывают расчеты, с ростом тока пучка ЛСЭ проходит следующую последовательность режимов генерации [4]. 1. При относительно небольшом превышении тока пучка над мини- минимальным стартовым значением устанавливается режим стационарной генерации. При одинаковых начальных условиях в результате конку- конкуренции выживает мода с наибольшим инкрементом (см. рис. 2.8 б). 2. При токах, превышающих оптимальное по стационарной теории значения / = 3/пуСк, одномодовая генерация становится неустойчи- неустойчивой и возникает периодическая автомодуляция волны (рис. 2.9 а), т.е. самосинхронизация мод. Амплитуды мод в этом режиме постоянны (рис. 2.9 6). При дальнейшем росте тока пучка или увеличении числа мод в полосе активного вещества (увеличении параметра Тг) амплиту- амплитуды мод начинают меняться во времени сначала периодически, а затем и хаотически. В результате поведение амплитуды поля а становится нерегулярным. Интересно, что в этих режимах средний электронный КПД оказывается даже большим, чем в режимах стационарной гене- генерации, однако излучаемая мощность распределена по большому числу мод в полосе частот, в несколько раз превышающей полосу активного вещества (отмечена штриховой линией на рис. 2.9 б). Изучим теперь режим периодической инжекции электронов. Учи- Учитывая, что в этом режиме реализуется обратная связь, аналогичная имеющей место в лампе обратной волны (см. рис. 2.6), смена режимов генерации ЛСЭ с синхронной инжекцией электронов напоминает смену режимов в ЛОВ типа О (см., например, работы [91-93], а также первый том книги, лекцию 13). По мере превышения тока пучка пускового значения ЛСЭ-генератор проходит три стадии (рис. 2.10): 1. Генерация со стационарной формой импульса (рис. 2.11 а). 2. Генерация с периодической формой имульса (рис. 2.11 б). 3. Генерация со стохастической формой импульса (рис. 2.11 в).
Лазеры на свободных электронах 141 8,0 6,0 4,0 2,0 Автомодуляция формы импульса 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 L Рис. 2.10. Границы области самовозбуждения и автомодуляции ЛСЭ с пе- периодической инжекцией электронов на плоскости управляющих параметров (L,TC) при е = 2,5 :Х Рис. 2.11. Пространственно-временная динамика поля в резонаторе ЛСЭ с периодической инжекцией электронов в различных случаях: а — генерация одинаковых импульсов (L = 3,0, Тс = 5,0, е = 2,5); б— автомодуляция формы импульса (L = 6,5, Тс = 5,0, е = 2,5); в — стохастическая автомодуляция (L = 10,0, Тс = 6,0, е = 1,0) (из работы [87])
142 Лекция 2 A7) ЛСЭ, основанные на излучении электронов в периодических статических полях и рассеянии волн электронными потоками: подход, основанный на введении сил Миллера 1) В предыдущих разделах лекции была изложена элементарная тео- теория различных модификаций ЛСЭ. Однако для убитронов и скат- тронов существует более последовательная и универсальная теория, базирующаяся на релятивистском обобщении широко использумого в физике плазмы метода усредненной высокочастотной силы Гапонова- Миллера [89, 90]. В этом случае с самого начала учитывается, что пондеромоторное воздействие на электрон оказывает лишь синхронная с ним волна, частота и волновой вектор которой равны разностным частотам и волновым векторам волны накачки и сигнала. Комбинаци- Комбинационная волна аналогична по своей пространственно-временной струк- структуре обычным волнам, что позволяет, в принципе, любому прибору классической электроники поставить в соответствие убитронный или скаттронный аналог. 1. Концепция комбинационной волны. Поле в пространстве взаимо- взаимодействия убитрона и скаттрона представляет собой сумму двух волн: А = Re {As(r±, z, t)eje° + А<(г±, z, t)ej6i} . B.81) Здесь A^s и 0i^s = (uji^st — ki^s\\z) — амплитуды и фазы (заданных в кулоновской калибровке) вектор-потенциалов накачки {%) и сигнала (s). Убитрону соответствует накачка с нулевой частотой ц =0и вол- волновым числом hi || = 2тг/й, где d — период статичского поля. Воздействие каждой из волн на электроны, которые совершают в их поле большое число колебаний N = Nt*tNi-»\, B.82) является не синхронным и не может привести к накапливающемуся эффекту. Но синхронизм wc = kcV\\, uc = и8 - Ui, kc = ks\\ - кц\ B.83) и накапливающееся воздействие возможны в поле комбинационной вол- волны, амплитуда которой определяется произведением амплитуд ASA*, а фаза в = 6S — 6i — разностью фаз волн. Тогда естественно пред- представить динамические переменные в виде суммы плавно меняющихся (дрейфовых) и быстро осциллирующих переменных и провести усред- усреднение уравнений движения электрона. Наиболее просто это сделать при г) При написании данного раздела были использованы материалы лек- лекции В.Л. Братмана, Н.С. Гинзбурга и М.И. Петелина на 5-й зимней школе- семинаре по СВЧ-электронике и радиофизике (Саратов, 1981) [4].
Лазеры на свободных электронах 143 использовании канонической формы уравнений движения [4]: S = I<«P + «A»- ? = -fv<™>-gvA>, B.84) где Р = р — (е/с)А и р = mjv — канонический и механический им- импульсы электрона. Для энергии электрона ? = у/?тг2с4 + (сР + еАJ удобно восполь- воспользоваться отдельным уравнением Считая, что наряду с соотношениями B.82) и B.83) выполнено условие малости амплитуд волн, так что ВЧ-осцилляции координаты электрона существенно меньше длин волны накачки и сигнальной вол- волны, т. е. |г~| « \.,и B.86) проведем усреднение уравнений B.84) и B.85) по явно входящим ком- комбинациям exp [jOs^]. Тогда получаем уравнения ^(г)=?^(Р> d(P)_ = _^ , 2 d(?) = е2 д (А2) dt ? ' dt 2 (?) v \ /' dt 2 {?) dt ' B.87) в которых (А2) = Re {AsA*exp(j0)} + \ (|As|2 + Поскольку дрейфовые части механического и канонического им- импульса совпадают: (Р) = (р), правая часть второго уравнения B.87) представляет собой выражение для усредненной силы F = -^JyV(A2), B.88) при этом осциллирующая часть механического импульса определяется динамикой вектора-потенциала А, т. е. р^ = -А. B.89) Можно показать [4], что уравнения B.87) сохраняют канонический вид с гамильтонианом П = (?) = V/m2c4 + c2(p2) + e2(A2) . B.90) С квантовой точки зрения переход от уравнений B.84), B.85) к урав- уравнениям B.87) означает, что в соответствии с условием синхронизма B.83) в гамильтониане опущены ответственные за однофотонные про- процессы слагаемые, пропорциональные первой степени А и оставлены ответственные за двухфотонные процессы слагаемые, пропорциональ- пропорциональные А2.
144 Лекция 2A7) Рис. 2.12. Неколлинеарное рассеяние волн Согласно третьему уравнению B.83) при постоянных во времени амплитудах волн из трех слагаемых, входящих в (А2) и усредненную силу B.88), на энергообмен влияет лишь первое, отвечающее комбина- комбинационной волне. Отметим, что начальные условия для медленно меняющихся ве- величин отличаются от невозмущенных значений го, Ро и ?q. Соответ- Соответствующие поправки можно найти с помощью первого улучшенного приближения метода усреднения [4]. Указанным отличием можно пре- пренебречь при плавном нарастании или достаточно малой интенсивности полей, когда безразмерные амплитуды волн as?i = eAs^/(mc2jo) малы: к,г|<1. 2. Неколлинеарное рассеяние волн. Наряду с рассмотренным выше коллинеарным рассеянием, когда падающая волна распространяется навстречу электронам, а рассеянная — в направлении их поступатель- поступательного движения, важное значение имеет также случай неколлинеар- ного рассеяния. В ряде случаев такая геометрия (рис. 2.12) проще в конструктивном отношении. Кроме того переход к неколлинеарному рассеянию позволяет управлять частотой и эффективностью ЛСЭ. Из условия синхронизма B.83) ясно, что доплеровское преобразо- преобразование частоты электрона в убитроне и скаттроне остается большой величиной Г ~ 7о и ПРИ отклонении сигнальной волны от направления движения электронов на углы ips ^ 1/то- Изменение же направления накачки в скаттроне довольно слабо сказывается на изменение частоты колебаний ft = = Lj{ — k^V||. При переходе от встречной (k^V|| = —kiv\\) к поперечной (k^V|| = 0) накачке частота ft уменьшается в два раза. При неколлинеарной геометрии направление комбинационной вол- волны kc = ks — k^, вообще говоря, отличается от направления движения электронов. Так при большом преобразовании Г ~ j2, когда |ks| ^> |k^|, это направление близко к направлению сигнальной волны. Поэтому под действием комбинационной волны электроны смещаются не только
Лазеры на свободных электронах 145 вдоль, но и поперек своего невозмущенного движения. Для плоских волн As^(r_L, z, t) = As^exp[—jks^r±] это обстоятельство легко ил- иллюстрируется поперечной частью интеграла системы уравнений B.87): кс (?) - ojc (p) = const. B.92) В случае малых амплитуд полей (\as,i | <^ 1) и соответственно малых изменений энергии электронов (\w\ <С 1), используя B.92) и вводя ком- комбинационную фазу вс = uct — kcr, нетрудно привести уравнения B.87) к виду системы уравнений B.33) и B.34). Для неколлинеарного рассея- рассеяния линейно поляризованных волн параметры группировки и связи, входящие в уравнения B.33) и B.34), определяются выражениями Пользуясь соотношениями B.93) для неколлинеарного рассеяния, как и для коллинеарного получаем, что в режиме большого преобразования частоты, электронный КПД пропорционален ширине полосы отрица- отрицательной реабсорбции и сравнительно невелик. 3. Рассеяние в условиях доплеровских синхронизмов пучка с ком- комбинационной волной. При поперечной фокусировке пучка, обеспечива- обеспечиваемой либо наложением однородного магнитостатического поля, либо использованием подходящих поперечно-неоднородных полей накачки, наряду с черенковским синхронизмом B.83) при рассеянии возможен и доплеровский синхронизм (как нормальный, так и аномальный) ко- колеблющихся с частотой П± электронов с комбинационной волной, ко- который определяется следующем условием: ис - kcv\\ = ±il±. B.94) При таком синхронизме взаимодействие электронов с комбинационной волной аналогично их взаимодействию с обычными волнами в соответ- соответствующих однофотонных приборах — МЦР, строфотроне и т. д. В част- частности, при нормальном доплеровском синхронизме (знак « + » в форму- формуле B.94)), когда фазовая скорость комбинационной волны больше ско- скорости света, электроны могут отдавать свою энергию сигнальной волне лишь при наличии у них первоночальной колебательной энергии. При аномальном доплеровском синхронизме (знак « —» в формуле B.94)), когда фазовая скорость комбинационной волны меньше скорости све- света, начальная колебательная энергия у частиц может отсутствовать. Излучая волны, такие предварительно невозбужденные осцилляторы, движущиеся со сверхсветовой поступательной скоростью, переходят на более высокие осцилляторные энергетические уровни. Рассмотрим для определенности случай, когда группировка элек- электронов осуществляется благодаря поперечной неоднородности поля накачки. Необходимый потенциальный рельеф образуют, в частно- частности, периодическая система аксиально-симметричных магнитов в уби- троне (рис. 2.13 а) или цилиндрическая аксиально-симметричная вол- волна накачки (например, волна Hqi) в скаттроне (рис. 2.13 6). Вектор- 10 Трубецков, Храмов
146 Лекция 2A7) s N S N S N S s И S И S И S Hoi @ Ни (s) Рис. 2.13. Схема убитрона (а) и скаттрона (б) с фокусирующими полями накачки потенциал А^ для таких полей вблизи оси симметрии системы можно приближенно представить в виде Ах = уAi cos 6i, Ay = — Az = 0. B.95) Усредненное движение электрона в фокусирующем поле B.95) и по- поле сигнальной волны описывается уравнениями B.87). Считая для про- простоты сигнальную волну плоской циркулярно-поляризованной и рас- распространяющейся вдоль направления поступательного движения элек- электронов Asx + jA8y = -jA8 exp [j68] , уравнения B.87) представляются в виде (знак усреднения опущен) dr+ ~df dt 28 B.96) B.97) где г+ = х + jy, P+ = Рх + jPy, Уф = и;с/кс. Уравнения B.96) и B.97) имеют интеграл, аналогичный интегралу B.92), а именно = С. B.98)
Лазеры на свободных электронах 147 Как отмечалось выше, при резком включении полей значение кон- константы С должно определяться с помощью первого улучшенного при- приближения метода усреднения. Производя соответствующие вычисле- вычисления, получим, что [4] 2 р ( ^0 I 9 9 i 9 I / А 9 \ -%- (га2с2+р]_0 + — (А2) с \ с B.99) где Го, p_i_o — начальные координата и поперечный импульс электро- электрона-осциллятора. В отсутствии сигнала (As = 0) энергия и продольный импульс электрона постоянны, а поперечные колебания в поле усредненного потенциала, создаваемого накачкой, представляют в данном случае суперпозицию двух вращений в противоположные стороны с угловой частотой п±0 = eAikic/V2?0: Р+ = Я1 exp (jil±t) + q2 exp (-jil±t) , B.100) r+ = J sts ^~qi exp ^fi±^ + q2 exp (-jil±t^' ( где амплитуды q\^ определяются из начальных условий. Считая, что при наличии сигнала (As ф 0) выполнено условие до- плеровского синхронизма B.94) между комбинационной волной и попе- поперечными дрейфовыми колебаниями, будем искать решение уравнений B.96), B.97) в виде B.100), B.101), где амплитуды q\^ теперь есть функции времени. Предполагая, что число поперечных вращений, со- совершаемых электроном в пространстве взаимодействия, велико: N± = = ?1±Т/2тг, произведем дополнительное усреднение уравнений по пе- периоду 2тг/Л_ь Переходя от независимой переменной t к продольной координате z, приходим к системе уравнений вида = 0, B.102) где q — qi^-,9 — </2,ъ ^ = ^ ^ J ^_l dt. Первая пара индексов и знак « —» в фазе ср и во втором уравнении B.102) относятся к нормальному до- плеровскому рассинхронизму, когда в резонансе с волной оказывается компонента поперечного движения электрона, которой соответствует вращение в ту же сторону, что и направление вращения сигнальной волны. Вторая пара индексов и знак « + » относятся к аномальному доплеровскому синхронизму, при котором резонансная компонента q поперечного движения вращается в сторону, противоположную на- направлению вращения сигнальной волны. Уравнения B.102) имеют интеграл, связывающий квадрат импульса резонансной компоненты поперечных вращений с изменением энергии ю*
148 Лекция 2 A7) электрона-осциллятора г): q2=q20±^(?-?0)?0. B.103) 00сС В соответствии с этим соотношением торможение электрона в условиях нормального эффекта Доплера (знак « —») сопровождается уменьше- уменьшением поперечного импульса, а в условиях аномального эффекта Допле- Доплера (знак « + ») — его увеличением. Используя интегралы B.98) и B.103) и вводя безразмерные пе- переменные z1 = (uc/c)z, as = eAs/(V2mc2jo), q' = q/(mcj0), p' = = р/(?тгс7о), приведем усредненные уравнения B.102) к двум уравне- уравнениям для энергетической переменной w = 1 — ? /So и фазы $ = (р — — argg, которые записываются в виде (штрихи над безразмерными переменными опускаем): ^ , B.104) dz I - w dz I - w 2wc q(l - w) 2w q(l w) Здесь S = (l - Дф1 +7^2/2 + ^ + p% - п^/ис - начальная расстройка относительно условия синхронизма, q = Если электроны обладают отличной от нуля начальной поперечной скоростью, то граничные условия уравнений движения B.104) и B.105) имеют вид гу(О) = О, #@) = #о е [0,2тт]. B.106) В случае первоночально прямолинейного пучка граничные условия модифицируются: w@) = 0, i?@) = 0. B.107) Рассмотрим случай рассеяния в условиях нормального эффекта Доплера. Хотя в описывающих этот случай уравнениях B.104)—B.106) присутствуют члены, ответственные как за силовую, так и за инерци- инерционную группировку, именно последняя определяет основные характе- характеристики процесса индуцированного излучения. Однако по сравнению с убитронами и скаттронами, основанными на черенковском синхро- синхронизме с комбинационной волной, к инерционной группировке приводит здесь не только эффект отдачи, но и неэквидистантность энергетиче- энергетических уровней электрона, колеблющегося в усредненном потенциальном рельефе, т.е. зависимость ?1± = ?1±(?) (неизохронность электронов- осцилляторов). Причем при фазовой скорости комбинационной волны, г) Амплитуда нерезонансной компоненты в среднем в соответствии со вто- вторым уравнением B.102) постоянна.
Лазеры на свободных электронах 149 равной скорости света, (/?ф = 1), группировки полностью компенси- компенсируют друг друга г) (случай авторезонанса). Следовательно, параметр группировки /i = (Рф2 — 1J может быть сделан сколь угодно малым: \/л\ <С 1/7о? а эт0 означает, что высокое преобразование частоты в скат- тронах и убитронах, использующих нормальный доплеровский син- синхронизм, может быть совместимо с высоким КПД 2) (при однородной продольной структуре поля максимальный КПД составляет величину В случае рассеяния в условиях аномального эффекта Доплера, ког- когда начальная осцилляторная энергия электронов отсутствует (q±o = 0), в системе доминирует силовая группировка электронов, при которой движение и энергообмен для всех электронов происходит совершен- совершенно одинаково. В этом случае нельзя приблизиться к авторезонансу вплотную, так как фазовая скорость комбинационной волны меньше скорости электронов и, тем более, меньше скорости света. В результате КПД такого ЛСЭ не велик: r\ ~ \/ N. 4. Влияние однородного магнитостатического поля на эффектив- эффективность индуцированного рассеяния. В присутствии однородного магнит- магнитного поля HqZq раскачка электронов полем падающей волны суще- существенно облегчается. Действительно, осцилляторная скорость электро- электрона определяется в этом случае величиной [4] 2_ eAi Wi + kiV\\0 Р — 2 i / ' которая резко возрастает при приближении к циклотронному резонан- резонансу, когда uji + kiV\\Q « ujc. B.108) Другой важной особенностью подобного режима является то, что при выполнении условия B.83) черенковского резонанса для комбинацион- комбинационной волны условие циклотронного резонанса us - ksv\\0 « uc B.109) оказывается выполненным и для сигнальной волны (так называемый двойной резонанс). Рассмотрим простейший для анализа случай коллинеарного встреч- встречного рассеяния циркулярно-поляризованных волн постоянной ампли- амплитуды с фазовыми скоростями, равными скорости света, на ультраре- ультрарелятивистском электронном пучке. Считая относительные изменения х) При фазовой скорости волны, равной скорости света, усредненное дви- движение электрона носит авторезонансный характер, при котором электрон в рамках сделанных идеализации бесконечно ускоряется. 2) В убитронах и скаттронах черенковского типа высокий КПД достигается только при малом преобразовании частоты, например, когда сигнальная волна распространяется навстречу пучку [94].
150 Лекция 2 A7) энергии электронов малыми, представим уравнения движения электро- электронов в присутствии магнитного поля в виде [4] B.110) dz 2 ^6~ ' "'" " dOs _ w \p+\ dOi _ w ~df ~ s ? + ^~' "df ~ *~2"' где i" = ojsz/(cJq) — безразмерная координата, р+ = j(Cx + jfiy) ~ безразмерный поперечный импульс, as = as7o, 08^ = (u}s,it + &s,i^ — — Ja;c dt), ^s,i = ( —^-A + P\\o) — —^-) 7o ~~ циклотронные фазы элек- V CO § СО s / трона и начальные расстройки циклотронного резонанса в полях сиг- сигнала и накачки. Для электронов прямолинейного и односкоростного на входе пучка граничные условия к уравнениям B.110) имеют вид гу(О)=О, р+@) = 0, 0в,г(О) = 6>s,i0, #*,го е [0,2тт), а электронный КПД определяется как 2тг 2тг *7 = ^Т [ [^(^)^so^iO. B.111) о о Рассмотрим два возможных случая — нерезонансное и резонансное магнитное поле. Если величина магнитного поля далека от резонансного значения и соответственно набег циклотронных фаз на длине пространства взаи- взаимодействия достаточно велик {Si^'zk ^> 1)? уравнения B.110) могут быть существенно упрощены. Приближенно интегрируя второе уравне- уравнение системы B.110), представим поперечный импульс электрона в виде р+ = I К езе. + ^1 езвЛ + const< B.112) 2 lds di J Подставляя последнее выражение в уравнения для энергии и вводя медленную фазу 0 = 0s — 0i, после усреднения получим систему урав- уравнений dw asai . а dO -7^ = ^^sin6>, — = 6-w, B.113) dz 25i dz где S = (S8 — Si) — начальная расстройка относительно условия ком- комбинационного синхронизма. Уравнения B.113) могут быть получены [95,96] и непосредственно из выражения для усредненной пондеромо- торной силы в присутствии нерезонансного магнтного поля.
Лазеры на свободных электронах 151 Заменой переменных ? = Д = 5 и и = V 26i ' у V эти уравнения сводятся к универсальному виду B.38), причем по- прежнему КПД определяется соотношением B.25). Следовательно, нерезонансное магнитное поле не влияет на величину максимально достижимого КПД, однако приводит к снижению оптимальных на- пряженностей полей сигнала и накачки asai ^ Si/N2. Кроме того, при фиксированной интенсивности волны накачки наложение нерезо- нерезонансного магнитного поля в B5i)~2 раз уменьшает пусковой ток по сравнению с величиной, определяемой соотношением B.43). В случае резонансного магнитного поля при выполнении условий циклотронного резонанса B.108) и B.109) необходимость дополнитель- дополнительного усреднения уравнений B.110) отсутствует. Нетрудно видеть, что в этом случае формирование компактных сгустков электронов и их тор- торможение полем сигнальной волны будут обеспечены при выполнении следующих условий: N -1 B.114) Из них следует, что оптимальные напряженности высокочастотных по- полей в присутствии резонансного магнитного поля уменьшаются в лЛ/V раз. В то же время для КПД остается справедливой та же оценка rj ~ ~ 1/N, что и в случае отсутствия резонансного поля. Решая уравнения B.110) в приближении малого сигнала (as <С 1), найдем КПД в линейном приближении. В случае точного синхронизма электронов с накачкой E{ = 0) электронный КПД равен )}• B.115) Здесь 6sk = Ss^k, функция (f(9sk) описывает циклотронное поглоще- поглощение сигнальной волны в отсутствие накачки, а слагаемое is<&Fsk) от- ответственно за индуцированное излучение, v = а2Щ,/8. При больших параметрах и согласно формуле B.115) индуцированное излучение пре- преобладает над индуцированным поглощением. Тогда стартовое условие для скаттрона и убитрона с резонатором Фабри-Перро представляется в виде [4] 32?г- [кА], B.116) где •<¦>-!¦? Если зафиксировать интенсивность волны накачки и длину простран- пространства взаимодействия (а следовательно, и максимальный КПД r\ ~ ~ 1/N), то как следует из сравнения выражений B.116) и B.43), при
152 Лекция 2 A7) резонансном условии B.108) пусковой ток в TV2 раз меньше, чем в от- отсутствии магнитного поля. 5. Индуцированное ондуляторное излучение в интенсивном поле на- накачки. Генерация высших гармоник баунс-частоты. До сих пор в этом параграфе рассматривался случай относительно слабых полей накачки ol{ <С 1/70? в которых размах осцилляции электрона мал по сравнению с длиной излучаемой волны. В таких полях излучение электрона носит дипольный характер. Рассмотрим теперь случай недипольного излучения электронов в поле очень интенсивной накачки, когда Щ > 1/70, B.П7) и размах осцилляции сравним с длиной излучаемой волны. Соответ- Соответственно в этом случае в спектре излучения электрона представлены высшие гармоники ^/ = 1,2... B.118) 1 ^, 1 — /5ц COS ^ Рассмотрим возможности получения эффективного индуцированного ондуляторного излучения на гармониках. Заметим, что при нарушении условия B.86) процедура усреднения уравнений движения электронов существенно усложняется. Рассмот- Рассмотрим ее на простейшем примере, когда излучение сигнальной волны происходит в направлении поступательного движения электронов As = Re {Aex0 exp [j(ujst - ksz)]} , B.119) а накачка осуществляется периодическим магнитным полем с вектор- потенциалом А{ = Л^х0 sin k{Z. B.120) В выражениях B.119) и B.120) считается, что оба поля линейно по- поляризованы. В этих полях поперечная составляющая канонического импульса электрона сохраняется и, следовательно, для нее можно за- записать выражение вида p_L = -А + const, B.121) где А = As + А^. Константу в этом соотношении можно считать пренебрежимо малой, если инжекция осуществляется в нули вектор- потенциала А^, а амплитуда поля сигнала не слишком велика. Используя выражение B.121) и выражая продольный импульс элек- электрона через его энергию и поперечный импульс -mV-pi, B.122)
Лазеры на свободных электронах 153 сведем уравнения движения к двум уравнениям dS e2 дА dt E dz 2pzc2 dt ' dz c2pz B.123) где за независимую переменную принята координата z электрона. Для дальнейшего упрощения уравнений B.123) сделаем ряд допол- дополнительных предположений. Во-первых, поперечный импульс электрона в поле сигнальной волны будем считать слаборелятивистским p±s <С тс, или соответственно as <С 1/то- Относительно накачки будем считать, что в соответствии с условием B.117) приобретаемый электроном в ее поле поперечный импульс является релятивистским p±i ^ тс, но все же много меньшим поступательного импульса рц. Это означает, что выполняется условие То <«<«!• B-124) Эти ограничения позволяют упростить соотношение B.121), приводя его к виду 2 А2)) , B.125) где можно положить А2 = Л2 = Л2 sin2 k{Z. Во-вторых, относительное изменение энергии электронов w = 1 — — ?/?о невелико: \w\ < 1. B.126) Тогда, с учетом выражений B.125) и B.126) преобразуем уравнения B.123) к следующему виду: — = -asai Re {j exp [j(u8t - ksz)]} sin k{z, B.127) -A = I 1 + 2° + ^1A -cos2kiz) + ( A. + a? j w\ . B.128) dz с [ 2 2 Wo J \ Добавки, обусловленные интенсивной накачкой, сравнимы с основ- основными слагаемыми в правой части уравнения B.128) при а\ ~ 1/То- Решение уравнения B.128) естественно искать в виде суммы t — т + + ?, в которую входят плавно меняющаяся величина г, удовлетворяю- удовлетворяющая уравнению а% ' ' " ' -2 * -1 B.129) и осциллирующая добавка ^, которая описывается выражением B.130)
154 Лекция 2 A7) Именно осциллирующее слагаемое ? в фазовом множителе уравнения B.127) порождает гармоники баунс-частоты: сю exp [-jq sin 2k{z] = ^ jt(q) exP (-Zj r= — oo Здесь q = aiU)s/D:cki), Jr(q) — функция Бесселя порядка г. Соответ- Соответственно уравнение для энергии приобретает вид — = — asai Re Y" Jr(q) {exp [j(lj8t - (k8 + k{)z + 2rk{z)] - dz с - exp [j(w8T - (k8 - ki)z + 2rk{z)]} . B.131) Из последнего уравнения следует, что в поле линейно поляризованной накачки B.120) в направлении поступательного движения электроны излучают лишь на нечетных гармониках / = l + 2r, r = 0, ±1, ±2,... B.132) Будем считать выполненным условие синхронизма u)8-k8v\\&lil, il = kiV\\ B.133) на /-й гармонике и отбросим в уравнении B.131) все нерезонансные слагаемые. В результате получим усредненные уравнения движения электрона в поле интенсивной накачки, записанные относительно новой независимой переменной Z = ujsz/с -^ = ае/ Re {as exp (jO)} , — = 5t + fiw. B.134) Здесь ae/ = <*i [Ji^i (<y) - J/±i (q)] B.135) — коэффициент связи г) (величина ае2 определяет интенсивность 1-й гармоники в спектре индивидуального излучения электрона в ондуля- ондуляторе [4]), Si = 7q2 + q^ -ф B.136) — начальная расстройка синхронизма, /i = а2 + 7G2 ~~ параметр груп- группировки. Увеличение параметра группировки с ростом интенсивности накачки определяется уменьшением эффективности продольной массы частиц. Полученные уравнения B.134) по форме совпадают с асимптоти- асимптотическими универсальными уравнениями ЛСЭ (см. формулы B.33) и B.34)). г) Напомним, что число / — нечетное, поэтому индексы функций Бесселя в уравнении B.135) всегда целые числа.
Лазеры на свободных электронах 155 В случае малой интенсивности накачки, когда q <С 1, и выполнении условия дипольного приближения уравнения B.134) для первой гармо- гармоники баунс-частоты G = 1) полностью переходят в ранее полученные уравнения B.33) и B.34). Заменой переменных ( = Z/ZLj F = fipiZ2LaSj u = fiZLwJ <& = 5tZLj где Zl = uosL/с — безразмерная длина пространства взаимодействия, уравнения B.134) приводятся к виду ^ = Fcos0, ^ = Ф + ", B.137) универсальному для всех гармоник. В этих переменных электронный КПД ЛСЭ определяется выражениями 2тг Ъ l\d6 B.138) в которых величина приведенного КПД fj не зависит от номера гармо- гармоники /. В то же самое время величина полного КПД г\ при фиксиро- фиксированном числе периодов ондулятора N убывает с ростом /. Используя уравнение баланса мощностей B.37) и линеаризованное решение уравнения движения B.137), определим пусковой ток для генерации на 1-й гармонике Hi) Ц^! ^?I-R1R2 / где ^(Ф) = A — cos Ф)/2Ф2, d — период ондулятора. Согласно выраже- выражению для пускового тока, самовозбуждение генератора возможно, когда угол пролета Ф находится в интервале 0 ^ Ф ^ 2тг. Соответственно полоса отрицательной реабсорбции определяется выражением [4]: в котором — частота точного синхронизма. С ростом номера гармоники / отно- относительная ширина полосы Aoji/oji сужается, причем между величи- величиной ширины полосы и величиной КПД сохраняется соотношение rj ~ / / Величина пускового тока B.139) определяется, в первую очередь, значением аргумента функций Бесселя q, который по порядку вели- величины равен отношению размаха продольных осцилляции электрона, вызванных накачкой, к длине излучаемой волны. При слабой накачке,
156 Лекция 2 A7) когда ol{ <С I/70? величина q мала, и с ростом номера гармоники зна- значение коэффициента связи ае/ быстро падает, а пусковой ток — растет. При интенсивной накачке, когда о.{ ^> 1/7о? с увеличением номера гармоники / величина коэффициента связи спадает очень медленно и остается достаточно большой вплоть до / ~ 7о М- Однако реализация индуцированного ондуляторного излучения на высокой гармонике на- налагает очень жесткие требования к качеству пучка и поля накачки, что затрудняет практическое использование режима генерации на высших гармониках. Важно отметить, что при изменении напряженности периодиче- периодического поля ондулятора изменяется средняя скорость поступательного движения электронов и, следовательно, частота излучения (см. форму- формулу B.141)). Поэтому таким образом можно осуществлять перестройку частоты генерации. 6. Рассеяние на частицах и на волнах. Выше при рассмотрении индуцированного рассеяния и индуцированного ондуляторного излу- излучения пренебрегали пространственным зарядом электронных сгустков, сформировавшихся под действием поля комбинационной волны. Такое приближение заведомо справедливо для оптического и более кортко- волновых диапазонов, где при существующей плотности электронных пучков в объеме ~ Л3 содержится весьма малое число частиц (Л — длина излучаемой волны). Однако в более длинноволновых диапазонах пространственный заряд может играть существенную роль, и в них вместо рассеяния на отдельных частицах может иметь место рассеяние на коллективных колебаниях электронной плазмы. Проследим за такой сменой на примере встречного рассеяния циркулярно-поляризованных волн относительно небольшой амплиту- амплитуды (a{iS <1)в однородном безграничном электронном потоке, где все электроны имеют одинаковые невозмущенные скорости, а невозмущен- невозмущенный пространственный заряд скомпенсирован ионным фоном. Тогда задача сводится к одномерной, поскольку комбинационная сила F является чисто продольной, а следовательно, плотность заряда B.142) и обусловленное этим зарядом продольное квазистационарное электри- электрическое поле Ez = -j-lpdz B.143) не зависят от поперечных кординат. Дополним уравнение движения электрона B.87) полем Ez B.143), в котором ограничимся только учетом первой гармоники, и перейдем к новым переменным # = в + jz, a's = as exp [j6z], p's = p\ exp [j6z], z' = kcz. Тогда, опуская штрихи над новыми переменными, запишем
Лазеры на свободных электронах 157 уравнение движения электрона как —2" — Im 1 ( asBl + ~^\р ) ехР и$) Г •> B.144) dz I V То ксс ) ) где О7рц = ujp/jo — «продольная» плазменная частота. Выделяя с помощью выражений B.89) и B.142) в поперечных ком- компонентах плотности переменного тока j = — pw комбинационные сла- слагаемые с частотами ujs и ui Re {AiPleje* +Asplejei} B.145) и подставляя это выражение в волновое уравнение B.46), получим усредненные уравнения для медленно меняющихся амплитуд полей — Ь jSas = jGspcti, —— = —jGip*aSj B.146) где коэффициент Gs^i = oo^/{Akccoos^). Из полученных уравнений сле- следует закон сохранения числа квантов поперечных волн: ojs\as\2 - Ui\ai\2 = const. B.147) Самосогласованная система уравнений B.144) и B.146) описывает различные варианты индуцированного рассеяния волн как на части- частицах, так и на волнах. Граничные условия к этой системе уравнений имеют стандартный вид: = 0, ae@) = ae0, OLi(zk) = aw- B.148) z=0 Рассмотрим вначале простейший случай, когда амплитуда комбина- комбинационной волны мала. Тогда движение электронов может быть описано в линейном приближении ^ = ^о + ^5|^|^15в рамках которого урав- уравнение B.144) приобретает вид г) d2p , «pii . _ад) BЛ49) kcc где р = J I? exp [-j#o] В приближении заданной накачки о^ = const уравнения для as и р становятся линейными, и их решение следует искать в виде as, р ~ exp (—jkz). В результате приходим к дисперсионному уравнению г) Заметим, что система уравнений B.146) и B.149) совпадает с хорошо известными уравнениями модифицированного распада [97].
158 Лекция 2A7) [4,94] 4ujskcc B.150) которое легко сводится к хорошо известному (см., например, [61]) дис- дисперсионному уравнению обычной ЛБВ типа О где к = к/С, А = S/C, q = Сксс '2) + 1 = 0, B.151) параметр пространственного за- П I ШР\\ ряда, С = ^ ^— параметр, аналогичный параметру Пирса \4:UJskccJ в приборах с длительным взаимодействием О-типа. Исследуем случай малого пространственного заряда, т.е. случай, когда в соответствии с уравнением B.151) величина q <$C 1. При задан- заданной плотности пучка это условие ограничивает снизу интенсивность накачки: ai ^> 2-^ир\\/и8 . В этом случае инкремент сигнальной волны достигает максимума: \а2 1/3 B.152) Im ,0 2,0 4,0 Рис. 2.14. Инкремент рассеянной волны, максимизированный по расстройке синхронизма, в зави- зависимости от параметра простран- пространственного заряда q (параметр Пирса С фиксирован) при 6 = 0. С увеличением параметра про- пространственного заряда и при фик- си- рованном параметре Пирса С инкре- инкремент нарастания сигнальной волны уменьшается (рис. 2.14). При большом параметре про- пространственного заряда q2 ^> 1, ког- когда частотный разнос между волнами пространственного заряда превыша- превышает величину инкремента нарастания волны, максимальное значение инкре- инкремента B.153) достигается при нулевой расстройке (А — q = 0) между комбинационной волной и медленной волной простран- пространственного заряда, которая обладает отрицательной энергией. В этом случае уравнения B.146) и B.149) заменой р = -japexp [-3^ as = as exp -
Лазеры на свободных электронах 159 где ар — медленно меняющаяся амплитуда медленной волны простран- пространственного заряда, приводятся к стандартным трехволновым уравнени- уравнениям распада —— = Giasa B.154) dz p dav „ , dz s где коэффициент Gp = kcC/{2^2up\\). Уравнения вида B.154) были детально исследованы в работах [98-100]. Обсудим в заключение данного раздела механизмы насыщения уси- усиления ЛСЭ. Из уравнений B.144) и B.146) следует, что насыщение обуславливается либо истощением накачки, либо захватом сгустков волной. Первый механизм ограничивает в соответствии с законом сохране- сохранения числа поперечных квантов B.147) амплитуду сигнальной волны величиной \as\2 ~ |aio|2/47o- B.155) При достижении этого уровня значительная часть квантов накачки преобразуется в сигнальные кванты. Для исследования второго механизма в «чистом» виде необходимо считать накачку заданной. Тогда уравнения B.144) и B.146) сводятся к нелинейным уравнениям ЛБВ. Максимальная амплитуда сигнала в этом случае равна [4] / Ч) • B-156) Сравнивая выражения B.155) и B.156), условие преобладания пер- первого или второго механизма насыщения можно представить в виде или ai\2 ^ а2 соответственно, где характерное значение амплитуды волны накачки определяется выражением [4] Как показывают оценки, в большинстве практически интересных случаев насыщение усиления определяется нелинейным смещением электронных сгустков в тормозящую фазу поля (ср. с механизмами ограничения мощности в ЛБВ (первый том книги, лекция 10)), а кван- квантовый выход и истощение накачки малы.
160 Лекция 2A7) В заключение лекции кратко остановимся на важной проблеме, ко- которая является центральной при создании ЛСЭ с малой длиной волны излучения — проблеме формирования электронных пучков, обладаю- обладающих одновременно высокой плотностью и малым разбросом парамет- параметров. Воспользовавшись формулой B.44) в сочетании с требованием, на- налагаемым на энергетический разброс электронов (см. формулу B.29)) Ато/То ^ 1/^ (однородное уширение линии), можно сформулировать критерий [4] ^(^J  пег^-^(^) [с-см], B.157) Лае 7о \ То / позволяющий судить о пригодности того или иного инжектора реляти- релятивистских электронов для построения ЛСЭ определенного частотного диапазона. Здесь пе — средняя по сечению пучка плотность электронов, г — характерное время процесса, равное минимальной из двух вели- величин: длительности электронного импульса тс и времени переходного процесса Q/и (для инжектора, работающего в режиме периодического следования импульсов тс равно полной длительности электронного цу- цуга), Л — длина излучаемой волны, ае — коэффициент связи электронов с волной. Согласно критерию B.157) для создания высокоэффективных ЛСЭ могут быть использованы как слаботочные инжекторы (линейные уско- ускорители, накопительные кольца и т.д.), так и сильноточные. Первые обеспечивают малый разброс параметров А70/70 ^ ОД + 0,01 % и вы- высокую частоту следования импульсов, вторые — высокую плотность пучков. Заметим, что при генерации на высших гармониках требования к качеству пучка резко возрастают. Список литературы 1. Лазеры на свободных электронах. Тематический указатель лите- литературы A968-1985). - Горький: ИПФ АН СССР, 1986. 2. Гинзбург В.Л. О физике и астрофизике. — М: Наука, 1985. 3. Granatstein V.L. // Physics of Quantum Electronics. V. 5. Novel sources of coherent radiation / Eds. by Jacobs S.F., Sargent M. Addison-Wesley. P. 273. 4. Братман В.Л., Гинзбург Н.С., Петелин М.И. Теория лазеров и мазеров на свободных электронах // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике E-я зимняя школа-семинар инженеров). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. Книга 1. С. 69. 5. Гинзбург В.Л. Об излучении радиоволн и их поглощении в возду- воздухе // Изв. АН СССР. Физика. 1947. Т. 11, № 2. С. 165. 6. Гинзбург В.Л. Об излучении электронов, движущихся вблизи ди- диэлектрика // ДАН СССР. 1947. Т. VI. С. 145. 7. Гинзбург В.Л. Некоторые вопросы теории излучения при сверх- сверхсветовом движении в среде // УФН. 1959. Т. 19, № 4. С. 537.
Лазеры на свободных электронах 161 8. Безручко Б.П., Трубецков Д.И., Четвериков А. П. Электронные приборы СВЧ с поперечным взаимодействием // Обзоры по элек- электронной технике. Серия I. Электроника СВЧ. Вып. 9C83). ЦНИ- ИИ «Электроника», М., 1976. 9. Миллер Р. Введение в физику сильноточных пучков заряженных частиц. — М., 1984. 10. Deacon D.A. G., Elias L.R., Madey J.M.I., Ramian G.J., Schwettman H.A., Smith T.J. First Operation of a Free-Electron Laser // Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38. P. 892. 11. Маршалл Т. Лазеры на свободных электронах. — М.: Мир, 1987. 12. Kapitza P.L., Dirac P.A.M. The reflection of electrons from stunding light waves // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1933. V. 29. P. 297. 13. Motz H. Application of the radiation from fast electron beams // J. Appl. Phys. 1951. V. 22, No 5. P. 527. 14. Motz H., Thon W., Whitehurst R.W. Experiments on radiation dy fast electron beam // J. Appl. Phys. 1953. V. 24. P. 826. 15. Motz H., Nakamura M. // Annals of Physics. 1959. V. 7. P. 84. 16. Madey J.M.J. Stimulated emission of bremsstrahlung in a periodic magnetic field // J. Appl. Phys. 1971. V. 42, No 5. P. 1906. 17. Palmer R.B. Interaction of a relativistic particles and free electromagnetic waves in the presence of a static helical magnet // J. Appl. Phys. 1972. V. 43. P. 3014. 18. Elias L.R., Fairbank W.M., Madey J.M.I., Schwettman H.A., Smith T.J. Observation of Stimulated Emission of Radiation by Relativistic Electrons in a Spatially Periodic Transverse Magnetic Field // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 36. P. 710. 19. Madey J.M.J., Schwettman H.A., Fairbank W.M. // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1973. V. NS-20. P. 980. 20. Sukhatme V.P., Wolff P.A. Stimulated Compton scattering as a radiation source-theoretical limitations // J. Appl. Phys. 1973. V. 44. P. 2331. 21. Colson W.B. II Phys. Quan. Elect. 1977. V. 5. P. 152. 22. Hopf F.A., Meystre P., Scully M.O., Louisell W.H. Classical Theory of a Free-Electron Laser // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. P. 1215. 23. Hopf F.A., Meystre P., Scully M.O., Louisell W.H. Strong-Signal Theory of a Free-Electron Laser // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. P. 1215. 24. Nation J.A. On the coupling of an high-current relativistic electron beam to a slow wave structure // Appl. Phys. Lett. 1970. V. 17. P. 491. 25. Carmel Y., Ivers J., Kribel R.E., Nation J.A. Intense Coherent Cherenkov Radiation Due to the Interaction of a Relativistic Electron Beam with a Slow-Wave Structure // Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33. P. 1278. 11 Трубецков, Храмов
162 Лекция 2 A7) 26. Friedman M., Herndon М. Emission of Coherent Microwave Radiation from a Relativistic Electron Beam Propagating in a Spatially Modulated Field // Phys. Rev. Lett. 1972. V. 29. P. 55. 27. Granatstein V.L, Herndon M., Parker R.K., Schlesinger S.P. Strong submillimeter radiation from intense electron beams // IEEE Trans. 1974. V. MTT-22. P. 1000. 28. Granatstein V.L, Schlesinger S.P., Herndon M., Parker R.K., Paso- ur J.A. II Appl. Phys. Lett. 1977. V. 30. P. 384. 29. Efthimion P., Schlesinger S.P. Stimulated Raman scattering by an intense relativistic electron beam in a long rippled magnetic field // Phys. Rev.A. 1977. V. 16. P. 633. 30. Manheimer W.M., Ott E. Parametric instabilities induced by the coupling of high and low frequency plasma modes // Phys. Fluids. 1974. V. 17. P. 1413. 31. Marshall T.C., Talmadge S., Efthimton P. // Appl. Phys. Lett. 1977. V. 31. P. 320. 32. Strangle P., Granatstein V. L., Baker L. Stimulated collective scattering from a magnetized relativistic electron beam // Phys. Rev. A. 1975. V. 12. P. 1697. 33. Gilgenbach R.M., Marshall T.C., Schlesinger S.P. // Phys. Fluids. 1979. V. 22. P. 971. 34. MrDermott D.B., Marshall T.C., Schlesinger S.P., Parker R.K., Granatstein V.L. High-Power Free-Electron Laser Based on Stimulated Raman Backscattering // Phys. Rev. Lett. 1978. V. 41. P. 1368. 35. Parker R.K., Jackson R.H., Gold S.H., Freund H.P., Granatstein V.L., Efthimion P.C., Herndon M., Kinkead A.K. Axial Magnetic- Field Effects in a Collective-Interaction Free-Electron Laser at Millimeter Wavelengths // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 238. 36. Walsh J.E. II Phys. Quan. Elect. 1980. V. 7. P. 255. 37. Вайнштейн Л.А. Спонтанное и индуцированное излучение сво- свободных электронов // ЖЭТФ. 1988. Т. 94, № 5. С. 40. 38. Sprangle P., Drobot А. Т. // J. Appl. Phys. 1979. V. 50. P. 2652. 39. Kroll N.M., McMullin W.A. Stimulated emission from relativistic electrons passing through a spatially periodic transverse magnetic field // Phys. Rev. A. 1978. V. 17. P. 300. 40. Hasegawa A. // Bell. Syst. Tech. J.. 1978. V. 57. P. 3069. 41. Bernstein L, Hirshfield J.L. Amplification on a relativistic electron beam in a spatially periodic transverse magnetic field // Phys. Rev. A. 1979. V. 20. P. 1661. 42. Kwan Т., Dawson J.M., Lin A.T. // Phys.Fluids. 1977. V. 20. P. 581. 43. Dawson J.M., Lin A.T. High-Efficiency Free-Electron Laser // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 42. P. 1670.
Лазеры на свободных электронах 163 44. Sprangle P., Tang CM // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1981. V. NS-28. P. 3346. 45. Kroll N.M., Morton P., Rosenbluth M.N. // IEEE J. Quan. Elect. 1981. V. QE-17. P. 1436. 46. Morton P. If Phys. Quan. Elect.. 1982. V. 8. P. 1. 47. Edighoffer J., Boehmer H., Caponi M.Z., Fornaca S., Munch J., Neil G.R., Saur В., Shih С // IEEE J. Quan. Elect. 1983. V. QE-19. P. 316. 48. Slater J.M., AdamskiJ., Churchill T.L., Nelson L.Y., Carter R.E. // IEEE J. Quan. Elect. 1983. V. QE-19. P. 374. 49. Warren R. W., Newnam B.E, Winston J.Q., Stern W.E., Young L.M., Brau C.A. II IEEE J. Quan. Elect. 1983. V. QE-19. P. 391. 50. Deacon D.A., Robinson K.E., Madey J.M.J., Bazin C, Biltardon M., Elleaume P., Farge Y., Ortega J.M., Petroff Y., Velghe M.F. I I Opt. Comm. 1982. V. 40. P. 373. 51. Shaw E.D., Patel CK. // Phys. Quan. Elect. 1980. V. 7. P. 665. 52. Shaw E.D., Patel CK. // Phys. Quan. Elect. 1980. V. 9. P. 671. 53. Dattoli G., Fiorentino E., Letardi Т., Marino A., Renieri A. // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1981. V. NS-28. P. 3133. 54. Billardon M., Elleaume P., Ortega J.M., Bazin C, Bergher M., Velghe M., Petroff Y., Deacon D.A.G., Robinson K.E., Madey J.M.J. First Operation of a Storage-Ring Free-Electron Laser // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 1652. 55. Edighoffer J.A., Neil G.R., Hess C.E., Smith T.L, Fornaca S.W., Schwettman H.A. Variable-wiggler free-electron-laser oscillation // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 344. 56. Phyllips R.N. The ubitron, a high-power travelling-wave tube based on a periodic beam interaction in unloaded waveguide // IRE Tran. ED. 1960. V. 7. P. 231. 57. Эндбери СИ., Филлипс P.M. Убитронный усилитель — мощная ЛБВ миллиметрового диапазона // ТИИЭР. 1965. № 10. С. 1848. 58. Phyllips R.N. Hystory of the ubitron // Nuclea Instruments and methods in physics research. 1988. V. A272. P. 1. 59. Pantell R.H., Soncini Y., Puthoff H.E. Stimulated photon-electron scattering // IEEE Quantum Electronics. 1968. V. 4, No 11. P. 905. 60. Шевчик В.Н., Шведов Г.Н., Соболева А.В. Волновые и колебатель- колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. — Саратов: Изд-во СГУ, 1963. 61. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970. 62. Adler R. Paramteric amplification of the fast electron wave // Proc. IRE. 1958. V. 46, No 6. P. 1300. 63. Adler R., Hrbek G., Wade G. A low-noise electron-beam paramteric amplifier // Proc. IRE. 1958. V. 46, No 10. P. 1756. n*
164 Лекция 2 A7) 64. Adler R. et al The quadrupole amplifier, a low-noise parametric device // Proc. IRE. 1957. V. 47, No 10. P. 1713. 65. Johnson С С Theory of fast-wave parametric amplification // J. Appl. Phys. 1960. V. 31, No 2. P. 338. 66. Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в эектронике / Пер. с англ. под ред. А.Н. Выставкина. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. 67. Железовский Б.Е. Электроннолучевые параметрические СВЧ- усилители. — М: Наука, 1971. 68. Kliiver J.W. An M-type fast cyclotron wave coupler // Internat. Microwellenrohren, Munchen, 1960. S. 367. 69. Сэкингер. Параметрический усилитель М-типа, имеющий квадру- польную систему со статическими полями // ТИИРИ. 1963. No 7. С. 1066. 70. Kliiver J. W. A low-noise M-type parametric amlifier // IEEE Trans. 1964. V. ED-11, No 5. P. 204. 71. Kliiver J.W. Parametric coupling between the transverse waves O- and M-type beams // J. Appl. Phys. 1961. V. 32, No 6. P. 1111. 72. Гурзо В.В., Сталъмахов B.C., Трубецков Д.И. К теории парамет- параметрического усиления циклотронных волн в лучевых приборах со скрещенными полями // Радиотхника и электроника. 1965. Т. 10, № 12. С. 2251. 73. Куликов М.П., Сталъмахов B.C. К расчету электронно-волнового усилителя типа М с тонким лучом // Радиотхника и электроника. 1964. Т. 11, № 2. С. 252. 74. Синхротронное излучение. Сб. ст. / Под ред. Соколова А.А., Тер- нова И.М.. — М.: Наука, 1966. 75. Петелин М.И. К теории ультрарелятивистских лазеров на цик- циклотронном авторезонансе // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17, № 6. С. 902. 76. Гапонов А.В. О неустойчивости системы возбужденных осцил- осцилляторов по отношению к электромагнитным возмущениям // ЖЭТФ. 1960. Т. 39, № 2(8). С. 326. 77. Давыдовский В.Я. О возможности резонансного ускорения заря- заряженных частиц электромагнитными волнами в постоянном маг- магнитном поле // ЖЭТФ. 1962. Т. 43, № 3(9). С. 886. 78. Коломенский А.А., Лебедев А.Н. Авторезонансное движение ча- частицы в плоской электромагнитной волне // ДАН СССР. 1962. Т. 145, № 6. С. 1259. 79. Братман В.Л., Гинзбург Н.С, Нусинович ГС, Петелин М.И., Юлпатов В.К. // Релятивистская сверхвысокочастотная электро- электроника / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. Горький: Изд-во ИПФАН СССР, 1979. 80. Kumakhov М.А. // Phys. Lett. 1976. V. 57, No 1. P. 17.
Лазеры на свободных электронах 165 81. Тер-Микаэлян М.Л. Рассеяние сверхбыстрых волн в кристалле // ЖЭТФ. 1953. Т. 25. С. 289. 82. Smith S.J., Purcell Е.М. Visible Light from Localized Surface Charges Moving across a Grating // Phys. Rev. 1953. V. 92, No 4. P. 1069. 83. Файнберг Я.Б., Хижняк П.А. Потери энергии заряженной части- частицей при прохождении через слоистый диэлектрик // ЖЭТФ. 1957. Т. 32, № 4. С. 883. 84. Bratman V.L., Ginzburg N.S., Petelin M.I. // Optics Commun. 1979. V. 30. P. 409. 85. Deacon D.A.G., Elias L.R., Madey J.M.J., Ramian G.J., Schwettman H.A., Smith T.I. First Operation of a Free-Electron Laser // Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38, No 16. P. 892. 86. Братман В.Л., Гинзбург П.С, Петелин М.И. Лазер на свободных электронах: перспективы продвижения классических электрон- электронных генераторов в коротковолновые диапазоны // Известия АН СССР. Сер. физич. 1980. Т. 44, № 8. С. 1593. 87. Bogomolov Ya.L., Yunakovsky A.D. Numerical simulation of nonstationary processes in free electron lasers // J. Comput. Phys. 1985. V. 58. P. 80. 88. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972. 89. Гапонов А.В., Миллер М.Л. О потенциальных ямах для заряжен- заряженных частиц в высокочастотном электромагнитном поле // ЖЭТФ. 1958. Т. 34, № 1. С. 242. 90. Миллер М.А. Ускорение плазменных сгустков высокочастотными полями // ЖЭТФ. 1959. Т. 36, № 6. С. 1909. 91. Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Нестационарные нелинейные яв- явления при взаимодействии электронного потока, движущегося в скрещенных полях, с обратной электромагнитной волной // Изв. вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20, № 2. С. 300. 92. Трубецков Д.П., Четвериков А.П. Автоколебания в распределен- распределенных системах «электронный поток—встречная (обратная) элек- электромагнитная волна» If Изв. вузов. Прикладная нелинейная ди- динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 9. 93. Безручко Б.П., Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания в системе электронный пучок — обратная волна / в сб.: «Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность». — Горький: ИПФ АН СССР, 1980, С. 29. 94. Братман В.Л., Гинзбург П. С, Петелин М.И. Нелинейная теория вынужденного рассеяния волн на релятивистских электронных пучках // ЖЭТФ. 1979. Т. 76, № 3. С. 930. 95. Мирошниченко В.И. Вынужденное когерентное рассеяние элек- электромагнитной волны релятивистским электронным пучком в маг- магнитном поле // Физика плазмы. 1976. Т. 2, № 5. С. 789.
166 Лекция 2A7) 96. Мирошниченко В. И. Нелинейная теория вынужденного когерент- когерентного рассеяния электромагнитных волн релятивистским элек- электронным пучком (РЭП) в магнитном поле // Физика плазмы. 1980. Т. 6, № 3. С. 581. 97. Алътеркоп Б.А., Волокитин А.С, Шапиро В.Д., Шевченко В.И. II Письма в ЖЭТФ. 1973. Т. 13. С. 46. 98. Sprangle P., Granatstein V.L. // Appl. Phys. Lett. 1974. V. 25, No 7. P. 377. 99. Калмыков A.M., Коцаренко Н.Я., Кулиш В.В. Возможность пара- параметрической генерации и усиления электромагнитных волн с ча- частотами, выше частоты волны накачки, в электронных приборах // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1977. Т. 20, № 10. С. 76. 100. Кулиш В.В., Силин Р.А. К теории параметрических электронных мазеров. Ч. 1. Малосигнальный и нелинейный анализ // Электрон- Электронная техника. Сер. I. Электроника СВЧ. 1980. № 1. С. 3.
Лекция 3A8) СВЕРХИЗЛУЧЕНИЕ В ВАКУУМНОЙ СВЧ-ЭЛЕКТРОНИКЕ В данной работе исследована фазировка элек- электронов в отсутствии каких-либо внешних полей под действием их ближнего поля, причем показа- показано, что классическое кооперативное излучение во многом отличается от квантового. Показано так- также, что индуцированное излучение осциллирую- осциллирующих электронов в резонатор, может имитировать свойства кооперативного излучения. Л. А. Вайнштейн, А. И. Клеев. Кооперативное излучение электро- электронов-осцилляторов. ДАН. 1990. Т. 311, №4. С. 499. Сверхизлучение Дике на примере возбужденных двухуровневых атомов. Ближнее поле элементарного электрического диполя. Коопе- Кооперативное излучение осциллирующих электронов (линейная теория, численные результаты). Индуцированное излучение, имитирующее кооперативное. Теоретическое и экспериментальное исследование генерации импульсов сверхизлучения. Циклотронное и черепковское сверхизлучение. Феноменологическая модель электронной турбулент- турбулентности. В квантовой электронике кооперативное излучение (или, как его еще называют, коллективное спонтанное излучение, сверхизлучение Дике) хорошо изучено как теоретически, так и экспериментально [1-3]. Простейшей теоретической задачей здесь является задача об излуче- излучении возбужденных двухуровневых атомов, заполняющих объем, все размеры которого малы по сравнению с длиной волны. В этой задаче учитывается только однородное в пространстве фазирующее электри- электрическое поле. При этом особенно существенные для малых объемов дефазирующие поля во внимание не принимаются. В первой части лекции будет рассмотрена полуклассическая тео- теория кооперативного излучения и получено решение вышесформули- рованной задачи. Поскольку кооперативное излучение происходит за короткий промежуток времени, другими релаксационными процессами (индивидуальным спонтанным излучением (см. том 1, лекции 1 и 4), столкновениями) с самого начала можно пренебречь. Далее в лекции
168 Лекция 3A8) будут изложены результаты классической теории кооперативного излу- излучения электронов-осцилляторов. В заключение этой лекции рассматри- рассматривается феноменологическая модель электронной турбулентности, свя- связанная с взаимодействием электронных структур, под которыми пони- понимаются малые ансамбли электронов-осцилляторов, для которых имеет место сверхизлучение, а также некоторые экспериментальные работы, посвященные наблюдению эффектов сверхизлучения в электронных потоках. Сверхизлучение Дике на примере возбужденных двухуровневых атомов Пусть в небольшом объеме К, размеры которого малы по сравне- сравнению с длиной волны Л = 2тгс/а;, в начальный момент находится N возбужденных атомов. В процессе излучения атомы переходят в невоз- невозбужденное состояние, излучая энергию Ни. Обозначим через 7V+ число возбужденных атомов в момент времени ?, через 7V_ — число атомов в невозбужденном состоянии. Тогда энергию всей системы можно пред- представить в виде ? = ANhui/2, где AN = 7V_|_ — 7V_. В начальный момент времени, когда все атомы ансамбля возбуждены, энергия максимальна (?max = NHuj/2). В момент времени, когда все атомы отдали свою энер- энергию, равную Nhui, энергия ансамбля минимальна (?т\п = — Nhuo/2). Полуклассическая теория, которая используется здесь, применима при условии, что в момент времени t = О уже существует электромагнитное поле Е и Н, которое можно трактовать классически, т. е. излучено 5N фотонов, где 1 <С SN <С N. Этому полю соответствует энергия ? = = (N -25N)hu/2. Обозначим через р дипольный момент объема V. Под величиной р понимается векторная сумма всех атомных дипольных моментов, вызванных переходом |+) \—у |—). В полуклассическом приближении вектор р удовлетворяет уравнению p + u;2p = -^ANE, C.1) т где Е — электрическое поле, создаваемое переходами и предполагаемое однородным в объеме К, коэффициент / @ < / < 1) — это так называ- называемая сила осциллятора, связанная с дипольным моментом перехода d соотношением / = 2mud2/e2h. В классической теории дисперсии для системы упруго связанных электронов используется уравнение 2 р + ^р = - —7VrE, C.2) тп где Nr — число электронов с собственной частотй иг. При наличии возбужденных атомов с частотой перехода uj величина Nr заменяется на /GV+ - 7V_) = /ATV.
Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 169 В уравнении C.1) величина Е есть поле, создаваемое самими ато- атомами в объеме V, в то время как в уравнении C.2) Е — поле рас- распространяющейся волны. Иначе говоря, в уравнении C.1) поле Е есть поле, создаваемое током поляризации с плотностью j = <9P/dt, где Р — вектор поляризации, т. е. дипольный момент единицы объема. Поэтому величина есть плотность мощности, отдаваемой полем атомной системе. Если считать поле Е однородным в пределах объема К, то интегральная мощность будет равна рЕ. Обозначив через W электромагнитную энергию в объеме, можем записать энергетический баланс в виде W = -pE-E, C.3) где Е = ^з IpI2 C.4) — мощность излучения из объема V. Здесь величину р можно заменить на —о;2р, так как правая часть уравнения C.1) достаточно мала. Тогда = |4р2- C-5) Вместе с тем очевидно, что полный энергетический баланс может быть выражен как W + ? = -Jl. C.6) Отсюда вытекает важное соотношение ? = рЕ. Оно показывает, что поле Е, возникшее из-за переходов |+) н-» |—), индуцирует дальнейшие переходы, изменяя величину AN. Из уравнения C.1) следует тождество I ^ ^, C.7) связывающее между собой величины ? и ?. Используя тождество где (...) означает усреднение по периоду 2тг/о;, выражение C.7) можно представить в виде t\ = _М^?ё. C.8) / Зтс3П
170 Лекция 3A8) Усредняя аналогичным образом уравнение C.6) и пренебрегая слагае- слагаемым W (этот момент будет рассмотрен ниже), получим соотношение ? = - <?>. C.9) Усреднение величин X, W и р ликвидирует у них вторые гармоники (с частотой 2а;), приводя к рассмотрению медленно изменяющихся величин. У энергии гармоник нет, поэтому (?) = ?. Введем беразмерные функции ф)=т и параметры а = 4/е2о;? @) ЗтсЧ ' ^ " ?@) ' V У имеющие размерность [Т]. Тогда уравнения C.8) и C.9) можно пе- переписать в более простом виде ё = -/3<т, а = ~её, C.12) причем из второго выражения следует, что е2 + —а = 72 = const, j2 = 1 + —, C.13) а а поскольку е — а — \ при t = 0. Первое уравнение принимает вид ?l = -tf-e*), T = ±t, C.14) и подстановка е = jthu приводит к соотношениям du Тт=-Ъ и = у(т-т), C.15) где г — постоянная интегрирования. В итоге получаем е = jthu. а = -^—, C.16) 2/3 ch2 и так что при и = 0, т — т реализуется максимальная мощность из- излучения и наиболее быстрое уменьшение энергии атомной системы (рис. 3.1). Выясним физический смысл величин а, /3 ит, входящих в решение C.16). Прежде всего ясно, что при t —> ос энергия должна стремиться ? —у —NHuj/2 и е —у —1/A — 2SN/N). Отсюда следует, что 7 ^ 1? и приближенно
Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 171 2,0 Рис. 3.1. Зависимости мощности излучения и энергии ансамбля от величи- величины и поэтому момент времени t, когда излучение максимально, выражается как Т- l N C.18) Величина а определяет временной масштаб процесса. В частности, в начале высвечивания, когда ? « 1, величина а « e2r = eat. Последнее следует как из решения уравнения C.16), так и непосредственно из со- соотношений C.12). При обычном спонтанном излучении, когда каждый атом излучает сам по себе, а = e~vt, где v — 4u>3d2/(ЗНс3). Подставляя в первое выражение C.11) значение /, находим а = C.19) т. е. кооперативное излучение изменяется во времени в N раз быстрее, чем спонтанное. Возвращаясь к размерным величинам и делая анало- аналогичные аппроксимации, получим для кооперативного излучения ?(t) = - Nu (t- t) , C.20) 4 ch2u ' в то время как при спонтанном излучении той же системы было бы ?{t) = [e~vt - i) , C.21) т. е. при кооперативном излучении максимальное значение ? в 7V/4 раз больше, чем при спонтанном. Максимальная мощность излучения, про- пропорциональная TV2, свидетельствует о том, что излучение всех атомов сфазировано. В уравнении C.9) мы пренебрегли слагаемым (W ) по сравнению с ?. Оценивая (W), предположим, что в объеме V величины Е и Р
172 Лекция 3A8) одного порядка (здесь под Е понимается полное поле, а не только фазирующее). Тогда aeS ill где ftk = \/ ——Г7— — кооперативная частота атомной системы. Обыч- но ftk <С ^5 ? < 1? и слагаемым ( W) действительно можно пренебречь. Выше было введено однородное в объеме V поле Е, которое в даль- дальнейшем было исключено и которое фазирует излучение атомов в дан- данной системе. В классической теории осциллирующих электронов, кото- которая будет рассмотрена дальше, это фазирующее поле фигурирует явно, вместе с тем появляются и дефазирующие поля. Ближнее поле элементарного электрического диполя Рассмотрим классическую задачу об излучении элементарного ди- диполя р, направленного вдоль оси z. Опуская временной множитель eja;*, можно вычислить поле диполя, исходя из вектора Герца с единственной составляющей На малых расстояниях г от диполя, при кг ^ 1 (к = 2тг/Л), можно ограничиться только выписанными слагаемыми. Составляющая Ez по- получается при кг <С 1 в виде OZ z = p Первое слагаемое в скобке при к —у 0 дает статическое поле диполя, при г —У 0 оно пропорционально 1/г3. Второе слагаемое пропорционально 1/г и в \/{кгJ раз меньше первого. Третье слагаемое постоянно и, в отличие от первых двух, которые имеют реактивный характер, яв- является активным, а именно находится в противофазе с током диполя. При использовании комплексных обозначений мощность, излучаемая током с плотностью j, равна iJ C.24) где Е — комплексная амплитуда создаваемого этим током электриче- электрического поля. В данном случае j = — jujp5(r), поэтому согласно формулам C.23) и C.24) <?> = |4|Р|2, C.25)
Сверхизлучение в вакуумной СВЧ-электронике 173 что согласуется с соотношением C.4), если учесть связь между средним значением квадрата физической величины и ее комплексной ампли- амплитудой. В уравнения C.1) и C.3) входит полученное здесь однородное активное поле Ez = —&3р, которое при переходе к физическим вели- величинам имеет вид Е = Л Р- C-26) ОС При AN = — 1 и Nr = /, когда имеется один упруго связанный электрон, уравнения C.1) и C.2) принимают вид ^4р. C.27) Правую часть уравнения можно записать в виде — г/р, где v — коэф- коэффициент затухания осциллирующего электрона по энергии, который равен о п 2 2 . 3,2 Зшс3 3/гс3 V } В квантовой электронике основным дефазирующим полем является первое слагаемое в формуле C.23) — квазистатическое дипольное поле (диполь-дипольное взаимодействие между атомами, силы Ван дер Ва- альса (см. [3])), которое гораздо сильнее (в 1/(кгK раз) фазирующего поля C.26). В малых объемах влияние этого поля сказывается в сме- смещении частот различных атомов (в зависимости от их расположения в объеме), а при симметричном расположении атомов — в смещении частоты атомной системы как целого [3]. В больших объемах все ато- атомы находятся в одинаковых условиях (за исключением относительно малого числа атомов в приповерхностном слое толщиной Л), однако при этом необходимо учитывать распространение волн. В полуклас- полуклассической теории дефазирующие поля автоматически отбрасываются, поскольку при усреднении величины рЕ, фигурирующей в формулах C.3) и C.7), по периоду 2тг/а; они дают нуль. В вакуумной электронике дефазирующие поля имеют другую при- природу, что будет рассмотрено далее. Кооперативное излучение осциллирующих электронов (линейная теория, численные результаты) Рассмотрим систему электронов-осцилляторов в малом объеме V. Электроны осциллируют с частотой и в направлении оси z, их энергия велика по сравнению с величиной Ни, поэтому классическая теория полностью применима. По аналогии с формулой C.23) ближнее поле каждого электрона представляется как сумма трех слагаемых 1 I z Q О Ez = е —5- 2 z(t) + -^г z (t) + • • • , C.29) [г 2с г Зс
174 Лекция 3A8) где z(t) — мгновенное положение электрона, г — расстояние точки наблюдения до него, $ — угол между осью и направлением от электро- электрона к этой точке. Выражение C.29) строго выводится из потенциалов Льенара-Вихерта [4], но в нашем случае достаточно воспользоваться соотношением C.23), заменяя в нем комплексные амплитуды физи- физическими величинами, полагая p(t) = ez(t) и, кроме того, учитывая в первом слагаемом отличие поля заряда от поля диполя. Первое слагаемое — это просто квазистатическое кулоновское поле, пропор- пропорциональное 1/г2. Второе слагаемое, пропорциональное 1/г, есть по- поле электромагнитной индукции и дает электромагнитную поправку Am к массе электрона. После интегрирования по объему электрона (предполагаемому конечным) получается инерциальное слагаемое — —Amz(t)/e. Третье слагаемое, в соответствии с формулами C.23) и C.26), имеет вид Ez = ~^'z(t), C.30) а уравнение движения электрона под действием этого поля имеет вид z + oj2z = te'z\ C.31) где 2 2 te = -^-з =^р-= 6,27 • 104 с, го = -Ц = 2,82 • 103 см C.32) Зтс ос тс — классический радиус электрона. Вследствии малости времени te в правой части уравнения C.30) "z можно заменить на —o;2i, после чего общее решение уравнения C.30) примет вид z — ае vt'2 cos (coot + <р) , v — oo2te, uj$ = л/со2 — (v/2J ~ a;, C.33) где а и <р — постоянные интегрирования. Формула C.33) показывает, что энергия электрона уменьшается как e~vt вследствие высвечивания, что дает так называемую естественную ширину линии. В системе электронов-осцилляторов, заполняющих объем К, ку- кулоновское поле каждого электрона дает нам поле постранственного заряда, которое в вакуумной электронике учитывается только тогда, когда оно явно и сильно влияет на фазировку, например, в приборах с прямолинейными электронными пучками или в приборах магнетрон- ного типа. Фазировка осцилляторов не сопровождается образовани- образованием сгустков (см. лекцию, посвященную приборам с криволинейными электронными потоками), поэтому пространственный заряд в расчетах можно не учитывать. Поле электромагнитной индукции в нерелятивистской вакуумной электронике вообще не принимают во внимание, поскольку оно зна- значительно слабее — имеет порядок v2 / с2 = uj2a2/c2, где v = и а — максимальная скорость электрона. Однако здесь необходимо учиты- учитывать, что, во-первых, это поле, как и поле пространственного заряда,
Сверхизлучение в вакуумной СВЧ-электронике 175 является реактивным, и, во-вторых, возрастает по мере фазировки (оно пропорционально N (z) = —u2N (z)). Его влияние сложно учесть. Здесь существенно, что дефазирующие поля определяются не пар- парными взаимодействиями (т.е. столкновениями, которыми в вакуумной электронике можно пренебречь), а усредненным распределением заря- зарядов и токов в объеме V. Учет дефазирующих полей крайне осложняет теорию, поэтому не будем их рассматривать, как это и делается в по- полуклассической теории и в теории индуцированного излучения. Остается только поле, обусловленное излучением. Для одного элек- электрона оно определяется соотношением C.30), а для N электронов Ez = ^N('z), <*> = -|,$>, ? = 1,2,...,7V. C.34) 6с к Поскольку поле C.30) не зависит от расстояния (при иг/с <С 1), то будем учитывать только это третье — фазирующее — поле, пренебрегая первым и вторым, которые являются дефазирующими. Учитывая только фазирующее поле C.34), для ансамбля N элек- электронов можно записать систему уравнений zk+w2zk = -Nv(z), C.35) из которой следует, что величина (z), определяющая дипольный мо- момент электронной системы, удовлетворяет уравнению (z)+u;2(z) = -Niy(z), C.36) т.е. релаксирует по закону e-Nvt/2 Тем быстрее, чем больше элек- электронов. Здесь уже проявляется кооперативный эффект, однако при этом не происходит эффективного превращения колебательной энер- энергии электронов в электромагнитное излучение: начальная модуляция быстро исчезает, после этого (z) = 0, и каждый электрон колеблется независимо от других в соответствии с формулой C.33). Иные результаты получаются для слабонелинейных осцилляторов, у которых частота колебаний зависит от энергии (неизохронные осцил- осцилляторы) и имеются сравнительно слабые высшие гармоники. Неизо- Неизохронность можно ввести, добавляя в правую часть уравнения C.35) кубическую нелинейность, т. е. рассматривая систему уравнений вида zk + u2zk + fjLzl = -Nv (z) . C.37) Введем вместо величин zk комплексные безразмерные переменные ск по формуле zk = aRe (cke-juot) , C.38) где а — начальная амплитуда колебаний (как и в формуле C.33)), и® — начальная частота, которая зависит от амплитуды а. Затем частота изменяется вместе с изменением \ск\ (\ск\ = 1 при t = 0). В выражении C.38) не учтены высшие гармоники, нас не интересующие. Принимая
176 Лекция 3A8) во внимание малость нелинейности и затухания, а также медленность изменения с&, с помощью либо метода усреднения, либо метода разде- разделения частот [5] нетрудно преобразовать уравнения C.37) к виду ck+jAu>kck = ~Nv(c), <с> = ^$>ь C'39) к где Аи;/* = аеа;о (\ck\2 — l) —смещение частоты из-за нелинейности,ае = = 3/ш2/(8о;2) — коэффициент неизохронности. В соотношении C.38) выделен множитель е~^ш°1 с начальной частотой oj$ (тогда Auik = О при \ck\ = 1). Если же выделить множитель e~^ut, то уравнения C.39) будут применимы, но в последнем случае Ашк = аео;|с&|2 (тогда Ашк —>¦ -»• 0 при ск ->¦ 0). Вводя безразмерные параметры r = \Nvt, в = ^, C.40) уравнения C.39) можно переписать в более простой форме ^\2-l)ck = -(c), C.41) содержащей параметр #, который может принимать как положитель- положительные, так и отрицательные значения. При в = 0 возвращаемся к линей- линейным осцилляторам, т.е. к уравнениям вида d (с) /dr = — (с). В этом случае начальная модуляция затухает пропорционально е~т. При в ф = 0 из системы уравнений C.41) вытекает тождество __ /\с 2\ _ _2| /с\ |2 (\с\2) = — V \с\2 C 42) к являющееся законом сохранения энергии. Действительно, энергия электронной системы ? и мощность излучения (?) даются выражени- выражениями ? = \mu2a2 J2 Ы2 = \Nmuj2a2 (\c\2) , C.43) к ? = 4fa2 ((Re 5>e~J J поскольку энергия каждого электрона равна -Nmuj2a2\ck\2, а диполь- ный момент, им создаваемый, равен еа Re (ске~^ш°ь). Величины ? и (?) в соответствии с тождеством C.42) связаны соотношением ? = -(?), C.45)
Сверхизлучение в вакуумной СВЧ-электронике 177 совпадающим с выражением C.9). Как и в квантовой электронике, энергия электронной системы (пропорциональная (|с|2)) монотонно убывает, причем (|с|2) = 1 при t = 0. Систему уравнений C.41) разумно решать численно при следующих начальных условиях: Ск = е-Л^+<Ь cos <ph) _ e-jV* (! _ jSQ cos (pk) , C.46) (c) « -jSo/2 при r = 0, <fk = 2тг&/М, A: = 1, 2, ... M. Здесь М — число «крупных» частиц, которые в численном расчете заменяют N реальных электро- электронов. При г = 0 частицы почти равномерно распределены по фазам и подвергнуты слабой модуляции с глубиной модуляции So <С 1. Из этой начальной затравки развивается кооперативное излучение. Заметим, что при численном расчете можно положить So = 0, тогда излучение возникает (при достаточно больших О) из численного шума подобно тому, как в реальной электронной системе оно возникает из некогерент- некогерентного спонтанного излучения электронов. Индуцированное излучение осциллирующих электронов, подробно исследованное в лекции 1 первого тома (см. также [6-8]), возможно только в случае нелинейных (неизохронных) осцилляторов. Примером такого осциллятора является электрон в однородном магнитном поле при учете релятивизма. Кооперативное излучение также реализуется только в системе нелинейных осцилляторов, причем уравнения C.41) применимы и к электронам в магнитном поле. Система линейных осцилляторов в однородном поле не способна к фазировке, т. е. к индуцированному или кооперативному излучению. Причина лежит в принципе суперпозиции, выполняющемся для ли- линейных систем. Внешнее поле раскачивает их, тратя свою энергию, вне зависимости от их собственных колебаний, поэтому вместо индуци- индуцированного излучения имеет место лишь поглощение. Индивидуальное движение каждого электрона, описываемое уравнением C.33), и коопе- кооперативное движение согласно уравнениям C.35) и C.36) накладываются друг на друга, не взаимодействуя. Лишь благодаря нелинейности и на- нарушению принципа суперпозиции происходит взаимодействие, ведущее к фазировке, т. е. к когерентному излучению — индуцированному или кооперативному. Фазировка обусловлена неизохронностью осцилляторов, т. е. зави- зависимостью частоты колебаний от их амплитуды. В простейшем случае эта зависимость такая же как в формуле C.39). Аналогичная зависи- зависимость будет для электронов, вращающихся в постоянном магнитном поле. Действительно, двумерное уравнение движения электрона в плос- плоскости ху, перпендикулярной направлению магнитного поля В, имеет вид [8] z + jooc(l-^\z\2)z = te'z\ C.47) 12 Трубецков, Храмов
178 Лекция 3A8) где z = х + jy — комплексная координата электрона, ис = rjB — циклотронная частота, а выражение в скобках — релятивистская по- поправка к частоте, предполагаемая малой. Реакция излучения, стоящая в правой части уравнения C.47), имеет составляющие te'x и te У , и при переходе к комплексной координате z может быть записана как —i/z, где v = u2te. Для N электронов в малом объеме уравнение движения можно записать как h +juc (l ~ -K\zk\2) zk = Nte (z) . C.48) V 2c / Введем медленно меняющиеся функции Ck(r) в соответствии с фор- формулой / 2 2 \ zk = -ju)cacke-juot, loo = loc(i- ^- ) , C.49) где а — радиус окружностей, по которым движутся электроны в на- начальный момент времени. Тогда приходим к уравнениям C.41), где медленное время г и параметр в определяются соотношениями г = Nut = Nultet, в = ——— = 5^5 ае = -^^ ; C.50) а вместо выражений C.43) и C.44) имеем ? = \Nmuj2ca2 \(с)\2 , Е = N2vmw2c \(c)\2 . C.51) Видно, что в данной задаче роль частоты и берет на себя цикло- циклотронная частота о;с, причем небольшие отличия формул C.49)-C.51) от соответствующих формул для осцилляторов объясняются тем, что движение двумерное. Знаки ае и в не имеют значения, поскольку при замене в на — в функции С& переходят в с?, а все энергетические величины остаются без изменений. Поэтому всегда можно считать, что в > 0. Еще один пример применения уравнений C.39) и C.41) — это ко- колебания в генераторе Баркгаузена-Курца (см. предыдущую лекцию). Если внешний контур в этом генераторе резонансный, то эти колеба- колебания дают индуцированное излучение, в противном случае — только кооперативное. Заметим также, что потенциальная яма в триоде сильно отличается от параболической, поэтому зависимость Ао;^(|с^|2) более сложная и уравнения C.39) и C.41) дают лишь грубую ориентировку. Система уравнений C.41) не поддается аналитическому решению, но некоторые аналитические выводы из нее можно сделать без чис- численных расчетов. Эта система имеет тривиальное решение С& = e~J(/?fc, (с) = 0, которое неустойчиво — малые начальные возмущения вида C.46) экспоненциально нарастают. Это следует из линейной теории. Построим ее, следуя работам [9,10].
Сверхизлучение в вакуумной СВЧ-электронике 179 Положим с* = е-^A + С*). Са = Cfe+iC iai«l C-52) и, оставляя только линейные по (k члены, преобразуем систему C.41) к виду e4<Pb*dL + 2j0e-w-C'k = -(с), (с) = <е-^С) = ^?e~jVfc0fc- C.53) Из последнего соотношения получаем два выражения C-54) из которых следует, что dr/" dr ' C.55) Учитывая соотношение и комбинируя формулы C.55), приходим к линейному уравнению d2(c) , d(c) dr2 dr -j9(c)=0 C.56) для величины (с), определяющей дипольный момент электронной си- системы. Это уравнение имеет решение вида eqT, где C.57) Reqi = -^ + л/( л/1 + 166»2 +1)/2 > 0, Re<72<0. C.58) 12*
180 Лекция 3A8) Экспонента exp [qir] всегда возрастает, причем Req± — монотонно воз- возрастающая функция \0\. В предельных случаях Re,?! = л/\в\/2 при |<9|>1, Re<?i=02 при \в\ < 1. C.59) Безразмерное время г в квантовой и классической задачах имеет один и тот же смысл, но в квантовой электронике дипольный момент согласно линейной теории пропорционален ехр[т], а в классической показатель экспоненты зависит от параметра в. Кроме того экспонен- экспоненциальное нарастание реализуется лишь при |ехр[</2т] | <^С 1. Наличие дополнительного параметра #, зависящего как от числа электронов TV, так и от коэффициента неизохронности ае, усложняет все зависимости. Если бы этого параметра в уравнениях C.41) не было, то характер- характерное время высвечивания было пропорционально 1/N, а максимальная мощность излучения — пропорциональна TV2 (см. формулы C.20) для квантовой задачи и формулы C.40), C.43) и C.44) для классической). Параметр #, сам зависящий от числа электронов TV, изменяет за- законы 1/7V для времени и TV2 для мощности, но не они являются опре- определяющими для кооперативного излучения. Определяющим является фазирующее действие ближнего поля — оно одно и то же в квантовой и классической электронике. Линейные уравнения C.56) относятся к начальной стадии коопера- кооперативного излучения. В конечной стадии величины |с&|2 и (|с|2) обычно невелики, поэтому из уравнений C.41) следуют приближенные линей- линейные уравнения C.60) соответствующие гармоническим осцилляторам, колеблющимся с бес- бесконечно малой амплитудой. Из последнего соотношения следует, что величина | (с) |2 убывает как е~2т. Поэтому после достижения свое- своего максимума величина | (с) |2 быстро спадает, а согласно тождеству C.42) величина, определяющая энергию осциллирующих электронов, стремится к постоянному пределу, в общем случае отличному от нуля. Поэтому эффективность излучения в отличие от квантовой электрони- электроники получается из уравнений C.41) меньше единицы, хотя при больших в приближается к ней (рис. 3.2). Уравнения C.41) не учитывают других видов излучения. Так, после прекращения дипольного излучения (пропорционального | (с) |2) опре- определяющим будет квадрупольное и высшие мультипольные излучения, гораздо более слабые, а кроме того, всегда будет спонтанное излучение каждого электрона в отдельности. Благодаря этим более медленным процессам излучение будет продолжаться вплоть до полного охлажде-
Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 181 16,0 Рис. 3.2. Зависимости величин | (с) |2 (безразмерной мощности излучения) и (|с|2) (безразмерная энергия осцилляторов) от медленного времени г ния электронной системы. Вместе с тем дефазирующие поля, препят- препятствующие формированию когерентного излучения при малой началь- начальной модуляции | (с) | <С 1 ускоряют распад кооперативного состояния, когда величина (с) опять становится малой. Рассмотрим теперь результаты численного решения системы нели- нелинейных уравнений C.41) с начальными условиями C.46). Типичные графики для величин 2| (с) |2 (безразмерная мощность излучения) и 2(|с|2) (безразмерная энергия осцилляторов) при различных зна- значениях 0 представлены на рисунках 3.2 и 3.3. Расчеты показывают, что параметр So, определяющий начальную модуляцию, слабо влияет на процесс излучения. При уменьшении 5q происходит незначительное возрастание времени, необходимого для формирования кооперативного состояния ансамбля электронов-осцилляторов. Как уже было сказано выше, кооперативное излучение может возникнуть и при So = 0 из машинного шума, однако, в этом случае процесс сильно зависит от применяемого численного метода. 2|<с>|2 <Н2> 0,840 Q,44G 6=1/16/ Л ч - 1 - ¦¦¦¦¦—¦¦ 0 100 200 300 400 т 0,8- 0,4- 0,75 ю-3 0,50 ю-3 0,25 \ 9 = 1/16 е = 1/4 0 100 200 300 400 т Рис. 3.3. Численный расчет зависимостей величин (с) и (\с\ ) от медлен- медленного времени т
182 Лекция 3A8) Решение системы C.41) зависит от числа крупных частиц М. Од- Однако при М > 24 дальнейшее увеличение числа частиц практически не сказывается на форме кривых 2| (с) |2 и (|с|2) при т ^т, где т со- соответствует максимуму кооперативного излучения. Зависимость от М существенно более существенна после прохождения максимума, когда излучение уже незначительно. Как и следовало ожидать, при увеличении #, т.е. в случае сильной нелинейности, время установления кооперативного состояния умень- уменьшается, а мощность излучения возрастает. Зависимость максимальной безразмерной мощности излучения 2| (с) |^ах и безразмерного времени т от в представлены на рис. 3.4. Все зависимости построены для М = = 36 и So = 0,05. Величина ?, логарифмически зависящая от So, определяет время формирования кооперативного состояния. При т <т происходит фази- ровка электронов, осциллирую- осциллирующих в вакууме, под действием ближнего поля, создаваемого самими электронами. После быстрого высвечивания при т ы т электроны, отдавшие значительную часть запасенной энергии, переходят в состоя- состояние с суммарным дипольным моментом, близким к нулю. Это иллюстрирует рис. 3.5, на котором показаны мгновенные положения осцилляторов на фазовой плоскости в начале фазировки (рис. 3.5 а), в мак- максимуме излучения (рис. 3.5 б) и при последующей дефазировке (рис. 3.5 в). Первоначально электроны-осцилляторы распре- распределены на окружности единичного радиуса с небольшим (So = 0,05) сгущением вблизи фазы ip = 0 и ip = тг. Расчеты проводились при М = 48 и в = 1. Приведенные выше результаты показывают, что в отличие от двух- двухуровневых атомов (см. рис. 3.1) кооперативное излучение прекраща- прекращается, когда электроны еще осциллируют. При расчетах считалось, что излучение прекращается при г = Т = 50,0. Введем величину Рис. 3.4. Численный расчет зависи- зависимостей максимальной безразмерной мощности излучения 2| (с) |^ах и вре- времени т достижения максимума ко- кооперативного излучения от величи- величины в г 1 М V = 2 J | (с (г)) |2 dr = 1 - <|с(Т)|2) = 1 - ± ? |с,(Т)|2, C.61)
Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 183 ¦Г i 1 ¦ 1 1,0 - 0,0 -i,oh -1,0 0,0 Re Ck -1,0 0,0 Re Ck -1,0 0,0 Re Ck а б e Рис. З.5. Мгновенные положения осцилляторов на фазовой плоскости в раз- различные моменты времени являющуюся эффективностью кооперативного излучению, и величину Ат = 2|<с> C.62) определяющую длительность излучаемого импульса, т. е. ширину пря- прямоугольного импульса с той же энергией. Зависимости этих величин от О для М = 36 и #о = 0,05 приведены на рис. 3.6. Эти зависимости пока- показывают, что увеличение па- параметра О укорачивает им- Ах пульс излучения и увеличи- увеличивает эффективность излуче- излучения, хотя форма импульса при этом усложняется. При умень- уменьшении величины О коопера- кооперативное излучение уменьшает- уменьшается и становится близким к ну- нулю. Параметр #, согласно фор- формуле C.40), есть отношение двух величин — аес^о и Nv/2. Первая из величин определяет полосу частотной перестрой- перестройки неизохронных осциллято- осцилляторов при изменении их ампли- амплитуды от \ск\ = 1 до \ск\ = 0. Вторая величина согласно уравнению C.36) представляет собой коэф- коэффициент затухания синфазных колебаний в электронной системе. Если затухание слишком велико, то неизохронность не успевает фазировать электроны. Возникающий небольшой дипольный момент системы элек- электронов-осцилляторов быстро стремится к нулю. Таким образом, в отличие от кооперативного излучения двухуров- двухуровневых атомов, излучение электронов-осцилляторов характеризуется более сложными свойствами. Хотя на основании соотношений C.40), Рис. 3.6. Зависимости величин эффек- эффективности г] и длительности импульса Аг кооперативного излучения от величины в
184 Лекция 3A8) C.43) и C.44) для г и (?) следовало бы ожидать, что длительность излучаемого импульса будет пропорциональна 1/N, а максимальная мощность излучения — пропорциональна TV2, фактические закономер- закономерности иные, поскольку безразмерные величины Аг и 2| (с) |^ах зависят от параметра #, который сам также зависит от N. Заметим, что эта зависимость (см. рис. 3.4 и 3.6) более слабая, но все же об излучении, аналогичном излучению двухуровневых атомов можно говорить лишь в ограниченном интервале значений в Е @,1,10,0). Безразмерные ве- величины т и г\ также зависят от в. Приведем некоторые оценки из работы [9]. Для электронов в маг- магнитном поле положим Л = 0,1 м, тогда Но = 8 • 104 А/м и|/^ 10~3 м. Если ооса/с = 0,1, то по формуле C.50) ае = 5 • 10 и N = 4 • 1О1О/0, а по формуле C.51) энергия, запасенная в электронной системе ? = = 1,7 • 10~5 Дж. При в = 1 эта энергия излучается за время At = 70 не, Smax = 0,12 кВт, г] « 0,5. Оценки для других значений в можно дать с помощью рис. 3.4 и рис. 3.6. Индуцированное излучение, имитирующее кооперативное Индуцированное излучение в квантовой или классической элек- электронике происходит под действием не ближних, а дальних внешних полей. Наиболее типичный случай — индуцированное излучение в поле одного из собственных колебаний объемного или открытого резона- резонатора. Движение нелинейных электронов-осцилляторов в этом случае определяется уравнением (аналогично соотношению C.37)) zk + u2zk + fjLzl = —Ez, C.63) где Е = Re {Cs(t)Ese-juJot} C.64) — поле резонатора, колебания которого имеют комплексную частоту cj8 = u's — juj'J. Зададим zk в виде C.38), воспользуемся уравнением возбуждения резонатора (см. лекцию 1 первого тома) и введем вместо Сs нормированную функцию ь2, C.65) где ?о — начальная энергия электронной системы. Ее энергия ? в про- произвольный момент времени, электромагнитная энергия Ws и мощность излучения в резонатор определяются по формулам ? = ?0 (\с\2) , Ws = ?o\cs\2, (Vs) = Ioj'^Ws. C.66)
Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 185 Для функций Ck и cs получается следующая симметричная система уравнений ск + jAukck = 3-uqcs, Аик = жи0 (\ск\2 - l) , C.67) cs + jAu>scs = |w9 (с) , Au>s = u>s-u>0, C.68) где к = \^v = j^j^ C.69) (jjp — плазменная частота пучка, К — коэффициент связи электронной системы с резонатором, Ns — норма резонаторного колебания с ин- индексом s, Es^z — составляющая резонаторного поля, действующая на колебания электронов. Если теперь ввести безразмерное время г и безразмерные парамет- параметры ? = ?' — j?", г и О по формулам т = еыо1, we = w0(l + e0. « = -. е = ^-. C-70) то приходим к уравнениям ^2l)ck=jcs, C.71) #=j(c). C.72) Поскольку параметр е, который естественно назвать параметром усиления, пропорционален \/7V, безразмерное время г и параметр О содержат соответственно множители лЛ/V и l/yTV вместо N и 1/7V в выраж;ениях C.40). Зависимость мощности излучения от TV, которая пропорциональна |cs|2, также иная. На рис. 3.7 показана зависимость величин |cs|2 и 2| (с) |2 от г при О = 1, найденная в результате численного моделирования. Расчеты про- проводились для М = 36, св@) = 0,05, сЛ@) = ej27rk/M, А; = 1, 2,. . ., М. Как и при кооперативном излучении, на начальном этапе происходит фазировка электронов-осцилляторов, но уже под действием резона- резонаторного поля. После относительно быстрого высвечивания электроны начинают отбирать энергию у поля, а потом энергообмен много раз меняет знак, и функция |cs|2 испытывает сильные колебания, которых нет у кооперативного излучения, сразу покидающего электронную си- систему. При условиях ?" ^> ?', ?" ^> 1, когда резонаторное колебание бы- быстро затухает (в масштабе безразмерного времени г), индуцированное излучение по своим свойствам становится похожим на кооперативное. В частности, зависимость энергетических характеристик от числа N
186 Лекция 3A8) 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 Рис. 3.7. Зависимости величин |cs|2 и 2| (с) |