Text
                    УДК 53.047:57@75.8)
ББК 22.3
ФЗЗ
Федорова В. Н., Степанова Л. А. Краткий курс меди-
медицинской и биологической физики с элементами реабилитологии.
Лекции и семинары: Учебное пособие. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. —
624 с. - ISBN 5-9221-0568-Х.
Учебное пособие написано в соответствии с официальной програм-
программой по медицинской и биологической физике. Наряду с вопросами
физики и биофизики пособие содержит вопросы теории вероятностей,
математической статистики, корреляционного и регрессионного анали-
анализа. В основу пособия положен материал лекций и семинаров по курсу
«Медицинская и биологическая физика». Отличительная особенность
пособия — многие лекции имеют раздел, посвященный вопросам меди-
медицинской реабилитации.
Предназначается для студентов, преподавателей и аспирантов ме-
медицинских вузов, а также институтов физической культуры.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
© В. Н. Федорова, Л. А. Степанова,
ISBN 5-9221-0568-Х	2005


ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 План лекций 6 I. Лекции 1. Элементы теории вероятностей 14 2. Распределение случайных величин 23 3. Элементы математической статистики 33 4. Проверка статистических гипотез 43 5. Корреляционный и регрессионный анализ 56 6. Механические колебания 64 7. Механические волны 83 8. Акустика. Звук 97 9. Некоторые вопросы физики слуха 111 10. Ультразвук и инфразвук 124 11. Уравнение Бернулли и его следствия 138 12. Вязкость жидкости 146 13. Механические свойства тканей 163 14. Физические основы гемодинамики 187 15. Электричество и магнетизм 199 16. Физические процессы в мембранах 208 17. Биоэлектрические потенциалы 223 18. Диполь. Физические основы электрографии 231 19. Электромагнитные колебания 247 20. Переменный ток 256 21. Электромагнитные волны 267 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма под воздействием токов и электромагнитных полей 274 23. Некоторые вопросы медицинской электроники 290 24. Усилители. Генераторы 302 25. Интерференция света 310 26. Дифракция света 319 27. Поляризация света 329 28. Геометрическая оптика 340 29. Микроскопия 360
Оглавление 30. Тепловое излучение 370 31. Рентгеновское излучение 392 32. Радиоактивность 402 33. Дозиметрия 417 34. Элементы квантовой механики 436 35. Взаимодействие света с веществом 452 36. Люминесценция 461 37. Фотобиологические процессы 471 38. Лазеры. Лазерное излучение 483 39. Магнитные свойства вещества 509 II. Семинары 1. Производная функции 526 2. Неопределенный интеграл 533 3. Определенный интеграл 537 4. Дифференциальные уравнения 544 5. Элементы теории вероятностей 550 6. Случайные величины 554 7. Элементы математической статистики 560 8. Проверка статистических гипотез 567 9. Корреляционный и регрессионный анализ 575 10. Механические колебания и волны. Звук 581 11. Свойства жидкостей 589 12. Механические свойства тел и биотканей 592 13. Интерференция. Дифракция. Поляризация света 595 14. Оптическая система глаза. Микроскопия 599 15. Тепловое излучение 602 16. Рентгеновское излучение 605 17. Дозиметрия ионизирующего излучения 607 Литература 611 Приложения 613 Предметный указатель 616
Предисловие Успешное проведение педагогического процесса возможно при наличии у студентов разнообразной учебной литературы. В этом отношении следует приветствовать инициативу, когда в дополнение к официально утвержденной литературе издаются новые учебные пособия. Такие пособия дополняют содержание учебника, предлагают свои методические подходы, отражают специализацию вузов. К подобным изданиям относится и настоящее пособие «Крат- «Краткий курс медицинской и биологической физики с элементами реабилитологии». Пособие содержит достаточно компактное из- изложение теоретического лекционного материала и задачи по выс- высшей математике, математической статистике, биофизике, физи- физике. Отличительной особенностью является то, что в пособии впервые представлена медико-реабилитационная направлен- направленность медицинской и биологической физики — во многих лек- лекциях содержится раздел: элементы реабилитологии. Это делает пособие очень своевременным. Министерством здравоохранения Российской Федерации в 2003 году принято «Положение об организации деятельности врача восстановительной медицины». Восстановительная, то есть реабилитационная, медицина, та- таким образом, заняла важное место в системе медицинских специальностей. Пособие несомненно полезно будущим врачам, специализирующимся в области восстановительной и реабили- реабилитационной медицины. Пособие предназначается для студентов и преподавателей медицинских вузов, однако оно представляет интерес и для сту- студентов сельскохозяйственных и биологических вузов, а также для студентов факультетов физической культуры и спортивных врачей. Профессор А.Н. Ремизов
План лекций Лекция 1. Элементы теории вероятностей. Случайное собы- событие. Объединение и пересечение событий. Классическое определение вероятности, аксиомы теории вероятностей. Умножение и сложение вероятностей. Полная группа событий. Относительная частота собы- события, закон больших чисел. Лекция 2. Распределение случайных величин. Случайные ве- величины, их виды. Ряд распределения, плотность вероятностей, функ- функция распределения. Числовые характеристики случайных величин. Законы распределения. Нормальный закон распределения. Экспонен- Экспоненциальный закон распределения. Распределение Больцмана. Лекция 3. Элементы математической статистики. Основные понятия. Числовые характеристики статистического ряда. Оценка па- параметров генеральной совокупности по ее выборке: точечная оценка, интервальная оценка. Интервальная оценка генеральной средней для нормального закона распределения. Лекция 4. Проверка статистических гипотез. Общие понятия. Нулевая и альтернативная гипотезы. Задача проверки гипотез. Ошиб- Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Проверка гипотез относительно средних. Критерий Стьюдента. Проверка гипотез для дисперсий, F-критерий Фишера. Ранговый непараметрический U-кри- терий Вилкоксона [Wilcoxon]. Лекция 5. Корреляционный и регрессионный анализ. Функ- Функциональная и корреляционная зависимости. Коэффициент линейной корреляции и его свойства. Уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов. Лекция 6. Механические колебания. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания. Вынужденные колебания. Ре- Резонанс. Автоколебания. Сложение гармонических колебаний, направ- направленных по одной прямой. Сложное колебание. Разложение сложного колебания на простые. Гармонический спектр. Элементы реабилито- логии. Колебательные движения тела при ходьбе, при вертикальном
План лекций положении. Механические колебания сердца. Вибрация. Механотера- Механотерапия. Лекция 7. Механические волны. Механические волны и их виды. Частота волны. Уравнение плоской волны. Длина волны. Энер- Энергетические характеристики волны. Некоторые специальные разновид- разновидности волн: ударные, поверхностные. Эффект Доплера и его исполь- использование в медицине. Элементы реабилитологии. Анизотропия при распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на био- биологические ткани. Лекция 8. Акустика. Звук. Виды звука. Физические характе- характеристики звука: скорость, интенсивность, звуковое давление, волно- волновое сопротивление, уровень интенсивности. Характеристики слухового ощущения: высота, тембр, громкость, закон Вебера-Фехнера, кривые равной громкости. Звуковые измерения. Звуковые методы исследова- исследования: аускультация, фонокардиография, перкуссия. Элементы реабили- реабилитологии. Факторы, определяющие реабилитационную профилактику шума. Защита от шума. Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха. Звукопроводя- Звукопроводящая и звуковоспринимающая части слухового аппарата. Роль наруж- наружного уха. Роль среднего уха. Роль внутреннего уха. Определение лока- локализации источника звука в горизонтальной плоскости — бинауральный эффект. Определение локализации источника звука в вертикальной плоскости. Элементы реабилитологии. Слуховые аппараты и протезы. Лекция 10. Ультразвук и инфразвук. Излучатели и прием- приемники ультразвука. Особенности распространения УЗ волны: малая длина волны, направленность, поглощение, глубина полупоглощения, преломление и отражение. Взаимодействие ультразвука с веществом: деформация, кавитация, выделение тепла, химические реакции. Био- Биофизическое действие УЗ. Использование УЗ в медицине: терапии, хирургии, диагностике. Инфразвук и его воздействие на человека. Элементы реабилитологии. Лекция 11. Уравнение Вернул л и и его следствия. Условие неразрывности струи. Уравнение Бернулли. Следствия уравнения Бер- нулли: горизонтальная трубка тока переменного сечения, наклонная трубка тока постоянного сечения, истечение жидкости из отверстия со- сосуда, измерение скорости жидкости. Элементы реабилитологии. Прин- Принцип работы инжектора, ингалятора. Лекция 12. Вязкость жидкости. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жид- жидкости. Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса. Форму- Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление. Распределение давления
План лекций при течении реальной жидкости по трубам различного сечения. Мето- Методы определения вязкости жидкостей. Элементы реабилитологии. Ла- минарность и турбулентность газового потока при наркозе. Введение жидкостей через капельницу и шприц. Риноманометрия. Фотогемоте- Фотогемотерапия. Лекция 13. Механические свойства тканей. Способы дефор- деформирования тел: растяжение, сжатие, сдвиг, изгиб, кручение. Виды деформации. Механические свойства материалов и методы их исследо- исследования. Механические модели: Максвелла, Кельвина—Фойгта, Зинера. Механические свойства биологических тканей. Элементы реабилито- реабилитологии. Повреждение трубчатых костей. Травма лица. Акустическая анизотропия кожи — диагностический параметр. Лекция 14. Физические основы гемодинамики. Гидродинами- Гидродинамическая модель кровообращения. Сердце как насос. Пульсовая волна. Скорость пульсовой волны. Физические основы клинического метода измерения давления крови. Элементы реабилитологии. Значение дав- давления крови и эластичности сосудов. Лекция 15. Электричество и магнетизм. Электрический заряд. Закон Кулона, электростатическое поле, напряженность. Потенциал, разность потенциалов. Проводники и диэлектрики, относительная ди- диэлектрическая проницаемость. Магнитное поле, магнитная индукция. Магнитное поле в веществе, относительная магнитная проницаемость. Электромагнитная индукция. Токи Фуко. Лекция 16. Физические процессы в мембранах. Функции мем- мембран. Структура и модели мембраны. Физические свойства мембран: прочность, деформируемость, вязкость, электроемкость, жидкокри- жидкокристаллическое состояние. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика. Перенос заряженных частиц, электродиффузионное уравнение Нернста-Планка. Виды транспорта через мембраны: пас- пассивный и активный. Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы. Ионные потоки в мембране. Потенциал покоя. Уравнение Гольдмана-Ходжкина-Кат- ца. Потенциал действия и его распространение. Волна возбуждения. Лекция 18. Электрический диполь. Физические основы электрографии. Электрический диполь. Диполь во внешнем элек- электрическом поле. Электрическое поле диполя. Диполь в равносторон- равностороннем треугольнике. Токовый диполь. Физические основы электрогра- электрографии. Теория отведений Эйнтховена, три стандартных отведения. По- Поле диполя-сердца, анализ электрокардиограмм. Векторкардиография. Элементы реабилитологии. Физические факторы, определяющие ЭКГ.
План лекций 9 Лекция 19. Электромагнитные колебания. Свободные элек- электромагнитные колебания. Апериодический разряд конденсатора. По- Постоянная времени. Зарядка конденсатора. Электрический импульс и импульсный ток. Элементы реабилитологии. Импульсная электро- электротерапия. Лекция 20. Переменный ток. Переменный ток и переменное на- напряжение. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значение тока и напряжения. Конденсатор в цени переменного тока, емкостное сопротивление. Протекание пе- переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, им- импеданс. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Реография. Лекция 21. Электромагнитные волны. Уравнения электромаг- электромагнитной волны. Свойства электромагнитных волн. Объемная плот- плотность энергии электромагнитного поля. Шкала электромагнитных волн. Классификация частотных интервалов, принятая в медицине. Элементы реабилитологии. Влияние электромагнитных волн разного диапазона на человека. Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма под воздействием токов и электромагнитных по- полей. Действие постоянного тока. Действие переменного и импульсного токов (НЧ, 34, УЗЧ). Пороговые значения тока: порог ощутимого тока, порог неотпускающего тока. Действие высокочастотного тока. Действие магнитного поля: постоянного, импульсного, гармоническо- гармонического. Действие постоянного электрического поля. Действие переменного электрического поля (УВЧ). Действие электромагнитных волн (СВЧ). Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники. Основные группы медицинских электронных приборов и аппаратов. Электропроводимость тела человека. Электробезопасность медицин- медицинской аппаратуры. Надежность медицинской аппаратуры, вероятность безотказной работы, интенсивность отказов. Структурная схема съе- съема, передачи и регистрации медико-биологической информации. Элек- Электроды. Датчики медико-биологической информации, их характеристи- характеристики. Элементы реабилитологии. Устройство электродов. Лекция 24. Усилители. Генераторы. Характеристики усилите- усилителей: амплитудная, частотная, коэффициент усиления. Особенности усиления биоэлектрических сигналов. Генераторы, их классификация и использование в медицине.
10 План лекций Лекция 25. Интерференция света. Сложение волн от обычных источников света. Сложение волн от когерентных источников. Интер- Интерференция света. Условия интерференционных максимума и миниму- минимума. Интерферометры, интерференционный микроскоп. Интерферен- Интерференция в тонких пленках. Лекция 26. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Ди- Дифракция на щели в параллельных лучах. Дифракционная решетка. Дифракционный спектр. Характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора. Рентгеноструктурный анализ. Лекция 27. Поляризация света. Свет естественный и поляри- поляризованный. Прохождение естественного света через поляризатор. Си- Система «полязитор-анализатор». Закон Малюса. Способы получения поляризованного света: поляризация при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков, поляризация при двойном лучепреломле- лучепреломлении, призма Николя, дихроизм, поляроиды. Фотоупругость. Вращение плоскости поляризации оптически активными веществами. Поляри- метрия. Лекция 28. Геометрическая оптика. Законы отражения и пре- преломления света. Явление полного внутреннего отражения. Волоконная оптика. Линзы. Оптическая сила линзы. Аберрация линз. Оптическая система глаза. Недостатки оптической системы глаза. Элементы реа- билитологии. Акустическая биомеханика глаз. Лекция 29. Микроскопия. Лупа, увеличение лупы. Оптическая система микроскопа. Ход лучей в микроскопе. Увеличение микроско- микроскопа. Предел разрешения. Разрешающая способность. Полезное увели- увеличение. Специальные приемы и методы микроскопии. Электронный микроскоп. Лекция 30. Тепловое излучение. Характеристики теплового из- излучения: поток излучения, энергетическая светимость, спектральная плотность энергетической светимости, коэффициент поглощения. Чер- Черное тело и спектр его излучения. Закон Кирхгофа. Законы излучения черного тела: формула Планка, закон Стефана-Больцмана, закон Ви- Вина. Излучение Солнца. Физические основы термографии. Теплообмен человека и среды. Элементы реабилитологии. Светолечение. Лечебное применение ультрафиолета. Лекция 31. Рентгеновское излучение. Природа рентгеновского излучения. Тормозное рентгеновское излучение, его спектр, корот- коротковолновая граница. Характеристическое рентгеновское излучение. Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом: когерентное рассеяние, фотоэффект, некогерентное рассеяние. Физические основы использования рентгеновского излучения в медицине.
План лекций 11 Лекция 32. Радиоактивность. Естественная и искусственная ра- радиоактивность. Основной закон радиоактивного распада. Активность. Основные типы радиоактивного распада. Количественные характери- характеристики взаимодействия ионизирующего излучения с веществом: линей- линейная плотность ионизации, линейная тормозная способность, средний линейный пробег. Биофизические основы действия ионизирующего излучения. Элементы реабилитологии. Радиофармацевтические пре- препараты. Лекция 33. Дозиметрия. Детекторы ионизирующего излучения. Использование радионуклидов в медицине. Ускорители заряженных частиц и их использование в медицине. Дозиметрия ионизирующего излучения. Поглощенная, экспозиционная, эквивалентная и эффек- эффективная эквивалентные дозы. Соотношения между различными доза- дозами. Мощность дозы. Дозиметрические приборы. Способы защиты от ионизирующего излучения. Элементы реабилитологии. Газ родон. Лекция 34. Элементы квантовой механики. Волновая функ- функция, ее физический смысл. Соотношения неопределенностей. Уравне- Уравнение Шредингера. Решение уравнения Шредингера для частицы в «по- «потенциальной яме». Электронные энергетические уровни атомов. Энер- Энергетические уровни молекул. Электронные, колебательные, вращатель- вращательные движения молекулы. Излучение и поглощение энергии атомами и молекулами. Лекция 35. Взаимодействие света с веществом. Поглоще- Поглощение света. Закон Бугера. Поглощение света растворами. Закон Бу- гера—Ламберта—Бера. Коэффициент пропускания, оптическая плот- плотность, концентрационная колориметрия. Спектры поглощения. Рассея- Рассеяние света. Рассеяние в мутных средах — явление Тиндаля. Молекуляр- Молекулярное рассеяние на оптических неоднородностях. Зависимость рассеяния от длины волны, закон Рэлея. Ослабление при совместном действии поглощения и рассеяния. Элементы реабилитологии. Факторы, влия- влияющие на рассеяние света в атмосфере. Оптические параметры кожи в области видимого света. Лекция 36. Люминесценция. Виды люминесценции. Некоторые характеристики люминесценции. Фотолюминесценция: флуоресцен- флуоресценция, фосфоресценция. Основные законы люминесценции: закон Сток- са, закон Вавилова. Хемилюминесценция. Использование люминесцен- люминесценции в биологии и медицине. Лекция 37. Фотобиологические процессы. Фотобиологические процессы, их основные стадии. Квантовый выход и поперечное сечение фотохимических превращений молекул. Спектры поглощения и спек- спектры фотобиологического действия. Действие УФ-излучения на биоло- биологические объекты как пример фотобиологического процесса. Элемен- Элементы реабилитологии. Действие света на человека.
12 План лекций Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение. Квантовые перехо- переходы. Распределение по энергетическим уровням. Активная среда. Об- Общий принцип действия лазера. Работа рубинового и гелий-неонового лазеров. Особенности лазерного излучения. Характеристики лазерно- лазерного излучения, применяемого в медицине. Взаимодействие лазерного излучения с биообъектами. Динамика изменения свойств ткани и ее температуры при действии непрерывного мощного лазерного излу- излучения. Использование лазерного излучения в диагностике, терапии и хирургии. Меры безопасности при работе с лазерами. Лекция 39. Магнитные свойства вещества. Магнетики. Маг- Магнитные моменты электрона. Намагниченность. Парамагнетики. Диа- магнетики. Ферромагнетики. Понятие о магнитобиологии. Понятие о биомагнетизме. Магнитный резонанс. Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР). Ядерный магнитный резонанс (ЯМР). ЯМР-томогра- фия (магниторезонансная томография) как диагностический метод.
Часть I ЛЕКЦИИ
Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1. Случайное событие. Объединение и пересечение событий. 2. Классическое определение вероятности, аксиомы теории вероят- вероятностей. 3. Сложение и умножение вероятностей. Полная группа событий. 4. Относительная частота события, закон больших чисел. § 1.1. Случайное событие. Объединение и пересечение событий Теория вероятностей изучает закономерности, присущие слу- случайным событиям массового характера, и оперирует такими по- понятиями, как опыт (эксперимент), исход опыта, событие. Опыт проводится при соблюдении некоторого комплекса условий, которые создаются искусственно или осуществляются независимо от воли экспериментатора. То, что непосредственно получается в результате опыта, есть его элементарный исход, и каждый опыт заканчивается только одним исходом, обозначим его uoi. Совокупность всех возможных исходов опыта (o;i, с^2, • • • , un) определяется его сутью и условиями, в которых он проводится. Совокупность всех исходов опыта называется мно- эюеством элементарных исходов и обозначается буквой п. Понятия теории вероятностей удобно иллюстрировать на примерах азартных игр. Так, при игре в кости бросаются не- несколько кубиков, грани которых помечены числами от 1 до 6. Множество элементарных исходов при броске одного кубика со- состоит из всех этих чисел: ?1 = A, 2, ...,6). При игре в рулетку шарик попадает в одну из 37 лунок, помеченных числами от О до 36. Поэтому ft = (О, 1, . . . , 36). Лунки имеют и дополнитель- дополнительные метки: 18 лунок покрашены в красный цвет, 18 — в черный, лунка 0 — желтого цвета.
§1.1. Случайное событие. Объединение и пересечение событий 15 1.1.1. Случайное событие. В теории вероятностей рассматри- рассматриваются ситуации, когда • все возможные исходы опыта известны, иначе говоря, мно- множество О = (cji, с<;2, • • • , ^n) известно, но • конкретный исход опыта заранее предсказать нельзя. Например, при бросании игральной кости исходом является вы- выпадение одной из шести граней, а при игре в рулетку — попадание шарика в одну из 37 лунок. При проведении опыта, как правило, важны не только кон- конкретные исходы, но и их совокупности. Например, если при игре в рулетку мы делаем ставку на «красное», то мы выигрываем при попадании шарика в любую лунку красного цвета и проиг- проигрываем в противном случае. Таким образом, нас интересует не конкретное выпавшее значения, а только его цвет. Случайным событием или просто событием на- называется любая совокупность исходов опыта. В последнем примере событиями являются выигрыш — попада- попадание шарика в красную лунку, и проигрыш — попадание в лунку другого цвета. Случайные события будем обозначать заглавными латински- латинскими буквами (Л, В, С, . . .). Исход опыта, при котором наступает данное собы- событие, называется благоприятствующим или благо- благоприятным. Событие считается наступившим, если имеет место один из бла- благоприятствующих исходов. 1.1.2. Объединение и пересечение событий. Объединением {суммой) двух событий А, В назы- называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. Объединение событий обозначается А + В или A U В (читается: А или В). Событие А + В представляет собой совокупность исходов, ка- каждый из которых принадлежит хотя бы одному из событий Л, В. Произведением {пересечением) двух событий А, В называется событие, состоящее в наступлении их обоих.
16 Лекция 1. Элементы теории вероятностей Произведение событий обозначается А • В, или А В, или А Г) В (читается: А и В). Событие А - В представляет собой совокупность исходов, принадлежащих каждому из событий А, В. Действия над событиями удобно изображать графически с помощью диаграмм Эйлера-Венна (см. рис. 1.1). О О Рис. 1.1. Объединение и пересечение событий Важное место в теории вероятности занимают несовместные события. Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно. У несовместных событий нет общих исходов, поэтому они изоб- изображаются непересекающимися фигурами (см. рис. 1.2). Рис. 1.2. Несовместные события не пересекаются § 1.2. Классическое определение вероятности, аксиомы теории вероятностей Наблюдая случайные события, мы видим, что одни происхо- происходят чаще, другие — реже. Для того чтобы сравнивать случай- случайные события по степени возможности их наступления, следует с каждым из них связать какое-то число, которое тем больше, чем более возможно это событие. Одним из вариантов является введение вероятности события.
§ 1.2. Классическое определение вероятности 17 Вероятность — это количественная характери- характеристика возможности появления случайного собы- события. Вероятность обозначается буквой «Р»: например, вероятность события А обозначается как Р(Л). Свое первоначальное развитие теория вероятностей получила на материале азартных игр и применялась к опытам, все исходы которых равновозможны. Равновозмоэюными называются исходы, возмож- возможности наступления которых в силу объективных причин до л лены быть одинаковы. Например, если игральный кубик однороден и симметричен, то возможности выпадения всех его граней одинаковы. Разберем, каким образом вводится понятие вероятности для опыта с равновозможными исходами. 1.2.1. Классическое определение вероятности. Пусть выпол- выполняется опыт, в результате которого обязательно появляется один из N равновозможных несовместных исходов: ft = = (с*Л, ^2, • • • , un)- Рассмотрим некоторое событие Л, яв- являющееся подмножеством множества ft. Обозначим Мд — количество элементарных исходов, входящих в А В этом случае используют следующее определение вероятности: Вероятность случайного события А — это отно- отношение числа исходов Мд, благоприятствующих со- событию Л, к общему числу равновозможных несов- несовместных исходов N: РА = MA/N. A.1) Исторически за этой формулой закрепилось название «Клас- «Классическое определение вероятности». Это был первый количе- количественный результат формирующейся теории. Он позволил строго определять шансы на успех в различного рода азартных играх. Рассмотрим применение этого определения к игре в кости. Задача. Игроки А и В играют, бросая по 2 кости. Игрок А выигрывает в том случае, когда сумма выпавших очков равна 7. Игрок В выигрывает в том случае, когда сумма выпавших очков равна 8. Кому выгодна эта игра?
18 Лекция 1. Элементы теории вероятностей Решение. Выпадения различных граней одной игральной кости (однородного куба) — это события очевидно равновозмож- ные и несовместные, так как две грани одновременно выпасть не могут. Построим множество ft для задачи одновременного броса- бросания двух костей. Мы имеем ft± = A, 2, 3, 4, 5, 6) и О2 = = A, 2, 3, 4, 5, 6). Множество ft формируется из всех возмож- возможных комбинаций выпавших граней и состоит из 36 элементов, записанных в таблице. 1 2 3 4 5 6 1 1Д 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 Игроку А (событие А) благоприятствуют 6 исходов A,6; 6,1; 2,5; 5,2; 3,4; 4,3), а игроку В (событие В) — только 5 исходов B,6; 6,2; 5,3; 3,5; 4,4). Общее число исходов — 36. Используя классическую формулу, найдем: P(v4) = 6/36, Р(В) = 5/36. Таким образом, игроку А игра выгоднее. 1.2.2. Аксиомы теории вероятностей. В соответствии с «клас- «классическим определением» вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Эти граничные значения установлены по отношению к двум специальным событиям. 1. Достоверным называется событие, которое в результате эксперимента должно произойти обязательно. Такое событие представляет собой множество всех элементарных исходов и бы- было обозначено выше буквой ft. 2. Невозможным называется событие, которое в данном опы- опыте произойти не может. Например, при игре в рулетку не может выпасть число 38 — его просто нет на колесе. Невозможное событие обозначают символом 0.
§ 1.3. Умножение и сложение вероятностей 19 Вероятность достоверного события принимают за единицу: Р(П) = 1. Вероятность невозмоснсного события принимают за ноль: Р@) = 0. К этим свойствам вероятности добавляют еще две аксиомы: 1. Вероятность любого события А лежит между нулем и еди- единицей: 0< Ра < 1. 2. Для несовместных событий: Р(А + В) = Р{А) + Р(В). A.2) Эту аксиому иногда называют 1-й теоремой сложения вероят- вероятностей: вероятность объединения несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. § 1.3. Умножение и сложение вероятностей. Полная группа событий Перечисленные свойства и аксиомы сделали теорию веро- вероятностей строгой наукой и позволили получить ряд важных для практики результатов. Один из них используют для рас- расчета вероятности пересечения независимых событий. Понятие независимости занимает в теории вероятностей важное место и определяется следующим образом. События А и В называются независимыми, если факт наступления одного из них не меняет веро- вероятности наступления другого. Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет следующий вид: вероятность события, которое является произведением независимых событий Аи В, равна произведению их вероятностей: Р(А-В) = Р(А)-Р(В). A.3) Замечание. Соотношение A.3) используют в теории ве- вероятностей для проверки независимости событий А и В: если выполнено равенство A.3), то события А и В — независимы.
20 Лекция 1. Элементы теории вероятностей Пример. Пусть в одной урне находятся 5 черных и 10 белых шаров, а в другой урне — 3 черных и 17 белых. Найти вероят- вероятность того, что при извлечении по одному шару из каждой урны оба шара окажутся черными. Событие А — извлечение черного шара из первой урны: Р(Л) = 5/15 = 1/3. Событие В — извлечение черного шара из второй урны: Р(Б) = 3/20. Событие А - В — оба шара имеют черный цвет: Р(Л . В) = Р(А) • Р(В) = 1/3 • 3/20 = 1/20. Следующий результат обобщает аксиому сложения вероятно- вероятностей для объединения двух произвольных событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А • В). A.4) Пример. Пусть в одной урне находятся 5 черных и 10 белых шаров, а в другой урне — 3 черных и 17 белых. Найти вероят- вероятность того, что при извлечении по одному шару из каждой урны хотя бы один шар окажется черным. Используя значения Р(А), Р(В) и Р(Л • В), полученные в предыдущем примере, найдем Р(Л + В) = 1/3 + 3/20 - 1/20 = 22/60. 1.3.1. Полная группа событий. В некоторых случаях при решении задач множество элемен- элементарных исходов разбивают на несколько несовместных (непере- (непересекающихся) событий. Полная группа событий — это несколько несов- несовместных событий Ai, A2, ..., Ад., объединение ко- которых дает всё множество элементарных исходов: Из аксиомы сложения вероятностей вытекает, что для полной группы событий сумма всех вероятностей равна единице (условие нормировки): ЕР(Л) = 1. A.5) 1 = 1
§ 1.4. Относительная частота события, закон больших чисел 21 Простейшим примером полной группы событий являются два противоположных события. Противоположные события Am A — такие два со- события, из которых одно и только одно обязательно произойдет. Вероятности таких событий дополняют друг друга до единицы: § 1.4. Относительная частота события, закон больших чисел Условия, в которых допустимо использовать классическое определение вероятности, встречаются чрезвычайно редко, по- поскольку опыты с равновозможными исходами скорее исключе- исключение, чем правило. Например, при стрельбе по мишени возможны два исхода — попадание и промах. Очевидно, что ни о какой равновозможности этих исходов говорить не приходится. Если же исходы не являются равновозможными, то вероят- вероятность события нельзя вычислять по формуле 1.1. В этом случае ее оценивают экспериментально. Проводят серию одинаковых опытов и подсчитывают, в скольких из них данное событие имело место. Пусть была проведена серия из п опытов и событие А произошло в гпа из них. Относительной частотой некоторого события в данной серии опытов называют отношение числа опытов, в которых событие произошло, к общему числу проведенных опытов: Р* = тА/п. A.6) При небольшом п относительная частота события носит в зна- значительной степени случайный характер. Однако по мере уве- увеличения числа проведенных опытов частота все больше теряет свой случайный характер: она проявляет тенденцию стабилизи- стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к неко- некоторой постоянной величине. Ниже приводится таблица, в кото- которую для серии из 600 опытов бросания симметричной монеты занесены частоты выпадения герба.
22 Лекция 1. Элементы теории вероятностей Число опытов п 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 р* 0,650 0,575 0,550 0,512 0,490 0,492 0,500 0,475 0,472 0,465 Число опытов п 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 р* 0,472 0,479 0,477 0,482 0,497 0,503 0,506 0,497 0,492 0,498 Число опытов п 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 Р* 0,502 0,507 0,504 0,504 0,500 0,494 0,496 0,500 0,495 0,499 При большом числе испытаний относительная частота собы- событий стабилизируется; увеличение числа испытаний уменьшает колебание частоты события около постоянной величины. Поэто- Поэтому справедливо следующее утверждение, называемое законом больших чисел: при неограниченном увеличении числа испытаний частота события стремится к его вероятности: ГПА > Р(А) при п -> ос. A.7) Это соотношение иногда называют статистическим опреде- определением вероятности. В соответствии с законом больших чисел, за вероятность события можно принять его относительную ча- частоту при большом числе испытаний.
Лекция 2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1. Случайные величины, их виды. 2. Ряд распределения, плотность вероятности, функция распреде- распределения. 3. Числовые характеристики случайных величин. 4. Законы распределения. Нормальный закон распределения. 5. Экспоненциальный закон распределения. Распределение Больц- мана. § 2.1. Случайные величины, их виды Часто со случайными событиями связывают числовые зна- значения. Например, на гранях кубика написаны числа, поэтому выпадение какой-либо грани есть выпадение соответствующего числа. При повторных бросаниях кубика выпадающие числа будут меняться случайным образом. В этом случае говорят о слу- случайной величине. Под случайной величиной понимается величина, значения которой зависят от результатов опытов со случайными исходами. Случайные величины обозначают большими буквами (X, У, . . .), а их значения — малыми буквами (ж, ?/, . . .). Из множества всех случайных величин выделяют два наибо- наиболее часто встречающихся вида: дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина — такая случай- случайная величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений. Эти значения нумеруются х\, x<i, Ж3, . . ., а вероятности их появления обозначаются pi, р^ Рз? Непрерывная, случайная величина — такая случай- случайная величина, которая может принимать любое значение в некотором определенном интервале.
24 Лекция 2. Распределение случайных величин § 2.2. Ряд распределения, функция распределения, плотность вероятности 2.2.1. Ряд распределения. Дискретная случайная величина считается заданной, если известны ее возможные значения х\, Ж2, . . ., хп и соответствующие им вероятности pi, p2, • • • Рп- Совокупность X и Р, заданная в виде таблицы, называется рядом распределения, или распределением дискретной случайной вели- величины: X р Pi Р2 хз Рз хп Рп Так как совокупность всех возможных значений дискретной случайной величины образует полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице: B.1) 1 = 1 2.2.2. Функция распределения. Непрерывную случайную ве- величину нельзя задать рядом распределения, так как для нее вероятность каждого отдельного значения равна нулю. Поэтому для непрерывной величины сначала вводят функцию распределе- распределения F(x), значение которой в каждой точке х равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, не превосхо- превосходящее х: F(x) = Р(Х < х). B.2) Укажем основные свойства этой функции: 1. F(x) — неубывающая функция; 2. F(—оо) = 0 (х ^ —оо — невозможное событие); 3. F(+oo) = 1 (х ^ +оо — достоверное событие); 4. Р(ж1 < X < Х2) = F(x2) — F(xi) для х\ < х^. 2.2.3. Плотность распределения. В силу первых трех свойств графики функций распределения вероятностей для всех случай- случайных величин обладают общим свойством: возрастают от 0 до 1. Для дифференцируемых функций на практике помимо функции распределения используют ее производную.
§ 2.2. Ряд распределения, функция распределения 25 Плотностью распределения (или плотностью вероятности) f(x) непрерывной случайной величины называется производная от функции распределения: f(x) = F'(x) или f(x) = dF/dx. B.3) Плотность распределения имеет следующее вероятностное истолкование: вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значения из малого интервала (ж, х + dx), равна произведению плотности вероятности на ширину интервала: f{x)-dx. B.4) по опре- определению Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал (а, Ь) определяется выражением 6 ?{а < х < b) = I f(x) dx = F(b) - F(a). B.5) a Плотность вероятности случайной величины удовлетворяет условию нормировки: + ОО f(x)dx = 1. B.6) —оо Со случайной величиной связаны различные характеристи- характеристики; приведем две из них. Если плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины имеет максимум, то точка максимума называется модой (Mod). Распределе- Распределение случайной величины с единственным макси- максимумом называется одномодальным. Можно сказать, что мода — это наиболее вероятное значение случайной величины. Медианой непрерывной случайной величины на- называется такое ее значение Med, для которого вы- выполняется условие: Р(Х < Med) = Р(Х > Med) = 0,5.
26 Лекция 2. Распределение случайных величин Вероятности того, что значение случайной величины окажется левее или правее медианы, одинаковы. § 2.3. Числовые характеристики случайных величин Ряд распределений и плотность распределения вероятностей несут полную информацию о соответствующей случайной вели- величине, однако при решении многих практических вопросов наибо- наиболее часто используются две числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание дискретной случай- случайной величины есть число, равное сумме произве- произведений всех возможных значений случайной вели- величины на вероятность этих значений: г=1 Для непрерывной случайной величины суммирование заме- заменяется интегрированием. Математическое ожидание непрерывной случай- случайной величины — это число, равное определенному интегралу от произведения случайной величины на ее плотность распределения: + ОО М(Х) = I* x-f{x)dx. B.7) Возможные значения случайной величины рассеяны вокруг ее математического ожидания М(Х): часть из них превышает М(Х), часть — меньше М(Х). Рассеяние значений случайной величины вокруг ее математического ожидания оценивают с по- помощью дисперсии. Дисперсия — это математическое ожидание квад- квадрата отклонения случайной величины от ее мате- математического ожидания: D(X) = N\[X -ЩХ)}2. B.8)
§ 2.3. Числовые характеристики случайных величин 27 Формулы для расчета дисперсии дискретной и непрерывной слу- случайных величин имеют следующий вид: "«Р», B-9) г=1 +оо D(X)= [ [х-ЩХ)]2- f{x)dx. B.10) —оо Другое выражение для вычисления дисперсии имеет вид: D(X) = ЩХ2) - [ЩХ)}2. B.11) Оно означает, что дисперсия равна разности между математиче- математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания. Как следует из формул для D(X), эта величина имеет раз- размерность квадрата случайной величины. Оценивать разброс зна- значений случайной величины в квадратных единицах неудобно. Поэтому для этой цели используют среднее квадратическое от- отклонение. Среднее квадратическое отклонение (СКО) — это квадратный корень из дисперсии: ах = л/Щх) B.12) (иногда употребляют термин «стандартное откло- отклонение»). При обработке данных над случайными величинами выпол- выполняют математические действия, в результате которых получают- получаются новые случайные величины. Покажем, как меняются при этом математические ожидания и дисперсии. 1. При сложении случайной величины с константой (с) кон- константа добавляется к математическому ожиданию, а дисперсия и СКО не меняются: М(Х + с) = М(Х) + с; D(X + с) = D(X). 2. При умножении (делении, к ф 0) случайной величины на константу (к) математическое ожидание умножается (делится) на эту константу, а дисперсия — на ее квадрат: = к • М(Х); D(k • X) = к2 • D(X); акх = к • ах\
28 Лекция 2. Распределение случайных величин ЩХ/к) = ЩХ)/к; D(X/k) = D(X)/k2; ax/k = ах/к. 3. При сложении случайных величин (как независимых, так и зависимых) их математические ожидания складываются: M(Xi + Х2) = ЩХг) + М(Х2). 4. При сложении независимых случайных величин их диспер- дисперсии складываются: § 2.4. Законы распределения непрерывных случайных величин Рассмотрим некоторые важные для практического использо- использования законы распределения вероятностей случайных величин. 2.4.1. Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Слу- Случайная величина X распределена по нормальному закону, если она определена на всей числовой оси и ее плотность вероятности определяется формулой: {х-аJ' 1 а • ехр - 2а2 B.13) где а = М(Х) — математическое ожидание случайной величины, а — ее среднее квадратическое отклонение. На рис. 2.1 показаны графики функции распределения и плотности вероятности для этого закона распределения. F(x)\ 1 0,5 0 а х 0 а х Рис. 2.1. Вид функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) для нормального закона распределения
§ 2.4. Законы распределения непрерывных случайных величин 29 Отметим некоторые свойства графика плотности вероятно- вероятностей нормального закона распределения, показанного на рис. 2.1. 1. График плотности распределения вероятностей нормаль- нормального закона имеет симметричный колоколообразный вид; линия симметрии проходит через математическое ожидание случайной величины (х = а). 2. В точке х = а функция достигает максимума: /тах = 3. При изменении параметра а и неизменном а график будет перемещаться вдоль оси ОХ, сохраняя свою форму. 4. Параметр а характеризует форму кривой распределения: чем меньше а, тем «уже» и «выше» график. Важность нормального закона распределения состоит в том, что этому закону обычно подчиняются случайные погрешности прямых измерений. Случайными величинами являются многие характеристики технических или биологических систем. При изменении состоя- состояния системы — например, при заболевании — меняются и ха- характеристики соответствующих случайных величин. На рис. 2.2 показаны различия в плотностях распределений вероятностей для температуры тела в норме и при патологии. f(t) Норма Л а = 36,5 ... °с °с Патология а = 38 = 2 °С °с 1,5- 1- 0,5™ 0 35 36 37 38 39 40 t Рис. 2.2. Функция распределения температуры тела человека в норме и при патологии
30 Лекция 2. Распределение случайных величин Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из некоторого интервала {х\, х2)^ вычисляется с помощью функции распределения вероятностей нормального закона с математическим ожиданием 0 и дисперси- дисперсией 1 (говорят «нормальной, 7V@, 1)»): х Ф(х) = -^= I ехр (-ж2/2) • dx, B.14) таблицы которой представлены в учебниках по теории вероятно- вероятностей. Как правило, значения этой функции приводятся только для неотрицательных значений аргумента. Чтобы получить ее значения для отрицательных значений, используют следующее правило: Ф(-х) = 1-Ф(ж). B.15) Расчет вероятности производится по формуле: X < х2) = Ф[(х2 - а)/а] - Ф[(Х1 - а)/а]. B.16) Приведем вывод этой формулы. Пусть X ~ TV (а; а2) нор- нормальна с математическим ожиданием а и дисперсией а2. Тогда Y = rsj N@] 1) нормальна с математическим ожидани- (j ем 0 и дисперсией 1. Следовательно, если понадобится вычислить Р{х\ ^ X ^ Х2\ для X rsj N(a; а2), делаем этот так: X ^ Х2) = Р(ж1 — а ^ X — а ^ Х2 — а) = = р (х^~а < Х ~а < х2-а\ = ф В качестве иллюстрации применения формулы B.16) вы- вычислим вероятность того, что отклонение нормально распреде- распределенной случайной величины от математического ожидания не превысит значения к • а. В этом случае х\ = а — к • а, х2 = а + + к - a; (xi — а)/а = —/с, (х2 — а)/а = к. По формулам B.15), B.16) получим: Р(-к -а^Х-а^к-а) = Ф(к) - Ф(-к) = 2Ф(к) - 1. B.17) По таблицам найдем: ФA) = 0,8413; ФB) = 0,9772; ФC) = = 0,9987.
§2.5. Экспоненциальный закон распределения 31 Подставив эти значения в формулу B.17), получим: Р(-сг <Х-а< сг) = 0,6826, Р(-2сг < X - а < 2а) = 0,9544, B.18) Р(-За <С X - а < За) = 0,9974. Последнее число показывает, что вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от среднего бо- более, чем на За, составляет всего 0,26%. Соотношения B.18) наглядно можно показать на графике, рис. 2.3. ± Зет, 99,7% ± 2ст, 95,4% ± а, 68,3% -Зет —2сг -а а +а +2cj +3cr Рис. 2.3. Вероятности отклонения нормально распределенной случай- случайной величины от математического ожидания § 2.5. Экспоненциальный закон распределения. Распределение Больцмана Непрерывная случайная величина с положительными значе- значениями, плотность вероятностей которой задана формулой f(x) = ,-А-ж B.19) называется распределенной по экспоненциальному закону. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратиче- ское отклонение равны, соответственно: М(Х) = I/A, D(X) = 1/А2, а(Х) = 1/А. B.20) Распределение частиц по потенциальным энергиям в силовых полях называют распределением Больцмана. Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п мо- молекул от высоты h над уровнем Земли или от потенциальной
32 Лекция 2. Распределение случайных величин энергии mgh: п = п0 • exp(-mghfkT), B.21) где по — концентрация молекул у поверхности Земли, т — масса молекулы, к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура. Графически эта зависимость изображена на рис. 2.4. щ О h Рис. 2.4. Распределение Больцмана
Лекция 3 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 1. Основные понятия. 2. Числовые характеристики статистического ряда. 3. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке: точечная оценка, интервальная оценка. 4. Интервальная оценка генерального среднего для нормального закона распределения. Законы теории вероятностей — это математическое выра- выражение реальных закономерностей, фактически существующих в массовых случайных явлениях. Существует специальный раз- раздел математики, задачей которого является разработка практи- практических методов регистрации, описания и анализа эксперимен- экспериментальных данных, получаемых в опытах с массовыми случайными явлениями. Математическая статистика — раздел матема- математики, посвященный математическим методам об- обработки, систематизации и использования стати- статистических данных для научных и практических выводов. Основными «кирпичиками» здания математической стати- статистики являются понятия генеральной совокупности и выборки. § 3.1. Основные понятия Генеральная совокупность — подлежащая изуче- изучению совокупность однородных элементов, харак- характеризуемых некоторыми признаками. Например, если нас интересует распространенность в регионе какого-либо заболевания, то генеральная совокупность — все население региона. Если же мы хотим выяснить подверженность этому заболеванию мужчин и женщин по отдельности, то следует 2 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
34 Лекция 3. Элементы математической статистики рассматривать две генеральные совокупности. Обычно генераль- генеральная совокупность имеет очень большой объем. Поэтому для изу- изучения свойств генеральной совокупности отбирают некоторую часть ее элементов. Выборка — часть генеральной совокупности, вы- выбираемая для статистической обработки. Свойства объектов выборки должно соответствовать свойствам объектов генеральной совокупности. Результаты исследования некоторого признака генеральной совокупности будут более надежны, если выборку формировать случайным образом, т. е. элементы берутся наугад и каждый из них может попасть в нее с одинаковой вероятностью. Кроме того, выборка должна иметь достаточно большой объем и быть репрезентативной (представительной). Вопрос о том, как сформировать выборку, которая доста- достаточно хорошо представляет генеральную совокупность, и как определить объем выборки, необходимый для получения досто- достоверных результатов, является одним из главных вопросов стати- статистического оценивания. Рассмотрим подробнее вопрос об исследованиях распределе- распределения количественного признака. Для статистической обработки используют значения исследуемого признака, полученные для данной выборки. Каждое такое значение называют вариантой. Нередко значения вариант записывают в виде таблиц. Простой статистический ряд — значения иссле- исследуемого признака, записанные для всех элементов выборки в том порядке, в котором они были полу- получены. Пример простого статистического ряда для выборки из 20 элементов приведен в табл. 3.1 (X — скорость поверхностной волны в коже, м/с; п — номер наблюдения). п X 1 35 2 32 3 38 4 34 5 42 Простой ( 6 36 7 39 8 33 статистический ряд 9 28 10 47 11 39 12 33 13 39 14 41 15 40 г Габлица 16 46 17 28 18 37 19 36 3.1 20 38
§3.1. Основные понятия 35 Из данных табл. 3.1 видно, что некоторые значения варианты в данной выборке повторяются. Для сокращения записи полу- полученные данные располагают в упорядоченном (ранжированном) виде и указывают относительные частоты (р*) этих значений. Вариационный статистический ряд — значения полученных признаков, записанные в упорядочен- упорядоченном виде с указанием их относительных частот. Вариационный статистический ряд для примера, рассмотренного выше, представлен в табл. 3.2. Таблица 3.2 Вариационный статистический ряд X 28 0,1 32 0,05 33 0,1 34 0,05 35 0,05 36 0,1 37 0,05 38 0,1 39 0,15 40 0,05 41 0,05 42 0,05 46 0,05 47 0,05 Вариационный статистический ряд можно изобразить графи- графически. Для этого берут систему координат, в которой по оси абсцисс отложены варианты, а по оси ординат — относитель- относительные частоты. Построив точки вариационного ряда и соединив их ломаной линией, получают полигон относительных частот, приведенный на рис. 3.1. 0,2- o,i- 0 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 Рис. 3.1. Полигон относительных частот 49 Если относительные частоты всех значений ряда малы, то полигон относительных частот выглядит «неубедительно» и не дает наглядного представления о статистических закономерно- закономерностях распределения значений признака. В практических иссле- исследованиях интервал изменения признака разбивают на несколь- несколько интервалов равной ширины и подсчитывают относительные частоты попадания признака в эти интервалы. Если область изменения разбита на к интервалов, то ширина интервала равна: Ах = (Хтах - Хт[п)/к.
36 Лекция 3. Элементы математической статистики Поскольку каждая точка является границей двух интервалов, то во избежание недоразумений придерживаются следующего соглашения: к интервалу (а, Ь) относят значения варианты, удо- удовлетворяющие неравенству: а < X < Ъ. Интервальный статистический ряд образуют интервалы значений вариант и относительные частоты их попадания в эти интервалы. В нашем случае можно образовать, например, такой интерваль- интервальный статистический ряд (к = 5, Ах = 4), табл. 3.3: Таблица 3.3 Интервальный статистический ряд ж, х + Ах Р* 28-32 0,10 32-36 0,25 36-40 0,40 40-44 0,15 44-48 0,10 Здесь к интервалу 28-32 отнесены два значения варианты, равные 28 (табл. 3.2), а к интервалу 32-36 — варианты 32, 33, 34 и 35. Интервальный статистический ряд можно изобразить графи- графически. Для этого по оси абсцисс откладывают интервалы зна- значений вариант и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник с высотой, равной его относительной частоте, деленной на ширину интервала (р* /Ах). Полученная столбчатая диаграмма называется гистограммой. 0,1" 0,075 - 0,05 - 0,025 - 0 -I 28-32 32-36 36-40 40-44 44-48 я Рис. 3.2. Гистограмма На гистограмме статистические закономерности распределе- распределения признака просматриваются достаточно отчетливо. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.
§3.2. Числовые характеристики статистического ряда 37 Если объем выборки неограниченно увеличивать и умень- уменьшать ширину интервала, то гистограмма будет «приближаться» к плотности вероятности данного признака. § 3.2. Числовые характеристики статистического ряда Корректно построенная гистограмма дает достаточно пол- полное представление о распределении рассматриваемого признака. Однако во многих случаях для этого бывает достаточно знать несколько числовых характеристик выборки. Выборочное среднее X, полученное по выборке объ- объемом п, есть среднее арифметическое значение всех вариант статистического ряда: C.1) Для нашего примера X = 37,05 м/с. Выборочная дисперсия D, полученная по выбор- выборке объемом п, равна сумме квадратов отклоне- отклонений вариант от выборочного среднего, поделенной на 71 — 1: В нашем примере D = 25,2 (м/сJ. Обратите внимание, что при вычислении выборочной диспер- дисперсии в знаменателе формулы стоит не объем выборки гг, а п — 1. Выборочное среднее квадратическое отклоне- отклонение — это квадратный корень из выборочной дисперсии: а = л/б. C.3) Для нашего примера <т = 5,02 м/с. Мода (Mod) есть варианта, которая чаще всего встречается в исследуемой выборке, т. е. имеет наибольшую относительную частоту.
38 Лекция 3. Элементы математической статистики В нашем случае мода Mod = 39 м/с. Если две или более несмежных вариант ряда имеют разные наибольшие частоты, то вариационный ряд является полимо- полимодальным. Полимодальность указывает на качественную неодно- неоднородность совокупности по исследуемому признаку. Медиана (Med) есть варианта, которая расположе- расположена в середине распределения. Она делит ряд на две равные части. Для ряда с нечетным числом вариант медианой будет централь- центральная варианта. При четном числе вариант медиана равна полу- полусумме двух соседних вариант, расположенных в центре ранжи- ранжированного ряда. Отметим, что все эти характеристики являются случайными величинами, поскольку получены по случайной выборке. Это означает, что для другой выборки того же объема значения выборочных характеристик получатся другими. Таким образом, выборочные характеристики являются лишь оценками соответ- соответствующих характеристик генеральной совокупности. Рассмот- Рассмотрим вопрос о том, как определить точность этих оценок. § 3.3. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке Как указано выше, при изучении генеральной совокупности исходят из того, что рассматриваемый признак имеет непрерыв- непрерывное распределение с некоторой плотностью вероятности f(x). Математическое ожидание и дисперсия, соответствующие этой плотности распределения, называются генеральным средним Хг и генеральной дисперсией Dr. Эти характеристики непрерывной случайной величины рассмотрены в лекции 2. 3.3.1. Точечная оценка. Как правило, значения генерально- генерального среднего и генеральной дисперсии неизвестны. Выборочные значения, полученные по формулам C.1)-C.3), являются стати- статистическими оценками соответствующих генеральных значений. Эти оценки называют точечными. Например, выборочное сред- среднее C.1) является точечной оценкой генерального среднего, вы- выборочная дисперсия C.2) является точечной оценкой генераль- генеральной дисперсии и т. д.
§ 3.3. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке 39 Достоинство точечных оценок C.1)-C.3) состоит в том, что они являются в некотором смысле наилучшими и не зависят от вида плотности распределения. Недостаток точечных оценок состоит в том, что неизвестно, насколько сильно они отличают- отличаются от значений генеральных параметров. Однако справедливо утверждение, являющееся следствием закона больших чисел. При неограниченном увеличении объема выборки точечные оценки стремятся к истинным значениям соответствующих генеральных характеристик: Х^ХГ, D —» Dr, при п —> оо. C-4) 3.3.2. Интервальная оценка. Недостатки точечного оценива- оценивания компенсирует интервальная оценка, представляющая интер- интервал возможных значений и вероятность того, что он «накрывает» оцениваемую величину. Пусть Z — оцениваемый параметр генеральной совокупности (генеральное среднее, генеральная дисперсия и т.д.), a Z — его точечная оценка, полученная по выборке. Интервальной оценкой параметра Z называется оценка вида P(Z-s < Z < ~Z + e) = Pa. C.5) При этом интервал (Z — е, Z + е) называется доверительным интервалом. Величина е характеризует точность оценки, а величина Ра равна вероятности того, что параметр Z лежит в указанных пределах. Доверительная вероятность Ра — вероятность того, что истинное значение оцениваемой величи- величины находится внутри доверительного интервала. Задача интервального оценивания состоит в том, чтобы по заданной вероятности Ра найти «точность» оценки е. Часто вместо доверительной вероятности используют связан- связанную с ней величину а = 1 — Ра, которая называется уровнем значимости.
40 Лекция 3. Элементы математической статистики Уровень значимости — это вероятность того, что истинное значение оцениваемой величины нахо- находится за пределами указанного интервала, т. е. ве- вероятность того, что наша оценка ошибочна. Иногда а иРа выражают в процентах, например, 5 % вместо 0,05 и 95 % вместо 0,95. При интервальной оценке сначала выбирают соответствую- соответствующую доверительную вероятность (обычно 0,95 или 0,99), а за- затем находят соответствующий интервал значений оцениваемого параметра. Отметим некоторые общие свойства интервальных оценок. 1. Чем ниже уровень значимости (чем больше Ра), тем «шире» интервальная оценка. Так, если при уровне значи- значимости 0,05 интервальная оценка генерального среднего есть 34,7 < Z < 39,4, то для уровня 0,01 она будет гораздо шире: 33,85 < Z < 40,25 (см. табл. 3.1). 2. Чем больше объем выборки п, тем «уже» (следовательно, точнее) интервальная оценка с выбранным уровнем значимости. Пусть, например, 5-процентная оценка генеральной средней (<^ = 0,05), полученная по выборке из 20 элементов, есть 34,7 < Z < 39,4. Увеличив объем выборки до 80, мы при том же уровне значимости получим более точную оценку: 35,5 < Z < 38,6. В общем случае построение надежных доверительных оценок требует знания закона, по которому оцениваемый случайный признак распределен в генеральной совокупности. Рассмотрим, как строится интервальная оценка генерального среднего призна- признака, который распределен в генеральной совокупности по нор- нормальному закону. § 3.4. Интервальная оценка генерального среднего для нормального закона распределения Пусть рассматриваемый признак распределен в генеральной совокупности по нормальному закону с неизвестными значения- значениями генерального среднего и дисперсии. Для того чтобы получить интервальную оценку генерального среднего Хг, поступают сле- следующим образом.
§ 3.4. Интервальная оценка генерального среднего 41 1. Из генеральной совокупности извлекают выборку некото- некоторого объема п и составляют простой статистический ряд: х\, X2i • • . j %n- Для этого статистического ряда вычисляют выборочное сред- среднее X и выборочное среднее квадратическое отклонение ~а по формулам C.1)-C.3). 2. Выбирают доверительную вероятность Ра (обычно 0,95 или 0,99) и для нее по таблице распределения Стьюдента находят параметр t. 3. Рассчитывают полуширину доверительного интервала е: C.6) е = ура ' 4. Получают интервальную оценку генеральной средней с вы- выбранной доверительной вероятностью: Х-е <ХГ<Х Кратко это записывается так: Р(Х-е <ХГ <Х + = Ра. C.7) C.8) Поясним, как пользоваться таблицей распределения Стью- Стьюдента. Эта таблица имеет два «входа»: левый столбец, называе- называемый числом степеней свободы, / = п — 1, и верхняя строка — уровень значимости а. На пересечении соответствующей строки и столбца находят коэффициент Стьюдента t. Применим этот метод к нашей выборке. Фрагмент таблицы распределения Стьюдента представлен ниже. Таблица 3.4. Фрагмент таблицы распределения Стьюдента / 1 10 19 Уровень значимости а 0,5 1,00 0,70 0,69 0,4 1,38 0,88 0,86 0,3 2,00 1,10 1,09 0,2 3,08 1,37 1,33 0,1 6,31 1,81 1,73 0,05 12,71 2,23 2,09 0,01 63,66 3,17 2,86 Простой статистический ряд для выборки из 20 человек (п = = 20, / = 19) представлен в табл. 3.1. Для этого ряда расчеты по формулам C.1)-C.3) дают: Х = 37,05; а = 5,02.
42 Лекция 3. Элементы математической статистики Выберем а = 0,05 (Ра = 0,95). На пересечении строки «19» и столбца «0,05» найдем t = 2,09. Вычислим точность оценки по формуле C.6): ? = 2,09 х х 5,02/у/20 = 2,34. По формуле C.7) построим интервальную оценку: с вероят- вероятностью 0,95 (или в 95 % случаев) искомая генеральная средняя удовлетворяет неравенству 37,05 — 2,34 < Хг < 37,05 + 2,34, или 34,71 <ХГ < 39,39 (м/с). Таким образом, кроме самой точечной оценки X мы указали уровень 95-процентной погрешности — 2,34 м/с. При большой выборке (п > 30) величину е определяют по соотношению е = г • где г находят по соответствующим таблицам.
Лекция 4 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 1. Общие понятия. 2. Нулевая и альтернативная гипотезы. Задача проверки гипотез. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. 3. Проверка гипотез относительно средних, ^-критерий Стьюдента. 4. Проверка гипотез для дисперсий, F-критерий Фишера. 5. Ранговый непараметрический {/-критерий Уилкоксона. 6. Проверка гипотезы о нормальности закона распределения — критерий хи-квадрат. § 4.1. Общие понятия 4.1.1. Статистические гипотезы. Прежде чем сформулиро- сформулировать, что такое статистическая гипотеза, рассмотрим следующий пример. Пусть требуется сравнить две методики лечения одного и того же заболевания. Для этого были составлены две группы пациентов по 36 человек каждая, лечение которых проводилось по этим методикам. Для каждого пациента фиксировалось ко- количество процедур до получения положительного эффекта. Ре- Результаты представлены в табл. 4.1. В первой строке указано количество процедур. Во второй и третьей строках указано, у скольких пациентов каждой группы положительный эффект достигнут после соответствующего ко- количества процедур. Среднее количество процедур до получения положительного эффекта (выборочное среднее) указано в пред- предпоследнем столбце. В последнем столбце приведены выборочные дисперсии. Число процедур Количество пациентов 1-й группы (X) Количество пациентов 2-й группы (У) 1 1 2 6 2 3 2 4 6 4 5 8 7 6 5 5 7 4 4 8 3 6 9 1 7 Таблица 10 1 X Y 4,8 6,5 4.1 4,08 4,24
44 Лекция 4. Проверка статистических гипотез Количество процедур, необходимое для получения положи- положительного эффекта — случайная величина, вся информация о ко- которой на данный момент содержится в приведенных выборках. Из табл. 4.1 видно, что выборочное среднее в первой группе меньше, чем во второй: X < Y. Но значит ли это, что и для ге- генеральных средних имеет место такое же соотношение: Хг < Yr? Достаточно ли статистических данных для такого вывода? От- Ответы на эти вопросы и дает статистическая проверка гипотез. Статистическая гипотеза — это предположе- предположения, которые относятся к виду распределения или отдельным параметрам случайных величин. Статистическая гипотеза может относиться к одной выборке или к нескольким. Например: 1) данная выборка извлечена из генеральной совокупности с нормальным законом распределения; 2) две выборки относятся к одной генеральной совокупности, т. е. имеют одинаковые генеральные средние и дисперсии. Гипотезы о типах распределения и о значениях параметров распределения называют параметри- параметрическими. Гипотезы, в которых о типе распределения ника- никаких предположений не делается, называются непа- непараметрическими. Первая из приведенных выше гипотез — непараметрическая, а вторая — параметрическая. § 4.2. Нулевая и альтернативная гипотезы. Задача проверки гипотез. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости 4.2.1. Нулевая и альтернативная гипотезы. Вернемся к при- примеру, представленному в табл. 4.1. В процессе проверки гипотез всегда имеются две стороны: «скептик» и «оптимист». «Скеп- «Скептик» считает, что первая методика не лучше второй, а лучший показатель числа необходимых процедур получился случайно, из-за малого объема выборок. Он говорит п\Т = П2Г (гипотеза скептика). «Оптимист» считает, что п\г < П2Г (гипотеза оптими- оптимиста). Арбитром между «скептиком» и «оптимистом» выступает статистика.
§ 4.2. Нулевая и альтернативная гипотезы 45 Познакомимся с терминологией, применяемой при проверке гипотез. 1. Hq — нулевая гипотеза — гипотеза об отсутствии различий между сравниваемыми выборками. 2. Hi — альтернативная гипотеза — гипотеза о наличии раз- различий между сравниваемыми выборками. Гипотеза Нулевая — Но: Альтернативная — Hi: Позиция выдвигающего гипотезу Наблюдаемые различия случайны Наблюдаемые различия достоверны и вызваны объективными причинами 4.2.2. Задача проверки гипотез. Задача проверки гипотез за- заключается в том, чтобы на основании анализа выборочных дан- данных принять решение о справедливости одной из них. 4.2.3. Ошибки первого и второго рода. При проверке гипотез могут быть допущены ошибки двух видов: 1. Принимается Hi, когда верна Но — ошибка первого рода. 2. Принимается Но, когда верна Hi — ошибка второго рода. Результат, получен- полученный при проверке Принята гипотеза Но Принята гипотеза Hi На самом деле Верна гипотеза Но Правильное решение Ошибка первого рода, а Верна гипотеза Hi Ошибка второго рода, C Правильное решение Вероятность совершить ошибку первого рода должна быть достаточно мала, так как нужны веские основания для призна- признания того, что один метод лечения лучше другого. Эта вероят- вероятность называется уровнем значимости (а). При проверке статистических гипотез уровнем значимости (а) называется вероятность откло- отклонения (неприятия) нулевой гипотезы, когда она верна. В медицинских исследованиях обычно используют а = 0,05 или а = 0,01.
46 Лекция 4. Проверка статистических гипотез Как правило, для большинства случаев пятипроцентный уровень значимости является вполне достаточным. И только при рассмотрении вопросов, в которых ошибочное отклонение нулевой гипотезы может повлечь тяжелые последствия (напри- (например, увеличение частоты летальных исходов), используют мень- меньший уровень значимости. 4.2.4. Процедура проверки гипотез. Критерий. Критическая область. Процедура проверки гипотез представляет собой правило, руководствуясь которым принимается статистически обоснованное решение о справед- справедливости одной из них. Построение таких правил и является задачей раздела матема- математической статистики, называемого статистической проверкой гипотез. От исследователя, использующего статистическую про- проверку гипотез в прикладных задачах, требуется научиться поль- пользоваться существующими критериями. Проверка гипотез обычно проходит следующие этапы. 1. Исследователь набирает первичный статистический ма- материал в виде выборок из одной или нескольких генеральных совокупностей. 2. Исследователь формулирует основную (Hq) и альтернатив- альтернативную (Hi) гипотезы, а также выбирает уровень значимости а @,01 или 0,05), соответствующие целям исследования. 3. Выбирают метод проверки, который подходит в данной ситуации, и по соответствующим формулам вычисляют значение статистического критерия для имеющихся данных (выборок). 4. По таблицам, соответствующим выбранному методу, нахо- находят границу критической области для принятого уровня значи- значимости. 5. Принимается решение о справедливости гипотезы Но или Hi. Если значение критерия, вычисленного в п. 3, принадлежит критической области (п. 4), то основная гипотеза Но отвергается и не отвергается альтернативная гипотеза Hi. Если значения критерия не попадает в критическую область, то гипотеза Hq не отвергается. Перейдем к рассмотрению некоторых статистических гипо- гипотез, используемых в медицинских исследованиях.
§4.3. Проверка гипотез относительно средних, t-критерий Стьюдента47 § 4.3. Проверка гипотез относительно средних. t-критерий Стьюдента Сравнение генеральных средних двух случайных величин по результатам независимых выборок, зависит от закона их распре- распределения и объемов выборок. Рассмотрим решение этой задачи в следующем случае. 4.3.1. Постановка задачи. Для случайных величин X и У, распределенных по нормальному закону с одинаковыми диспер- дисперсиями, получены выборки, объемы которых пх и пу соот- соответственно. Требуется сравнить между собой математические ожидания соответствующих генеральных совокупностей (срав- (сравнить генеральные средние). Рассмотрим последовательность действий при решении этой задачи в соответствии с установленным выше порядком. Будем использовать данные из табл. 4.1. 1. Первичная статистическая информация получена в виде двух выборок из пх = 36 и пу = 36 элементов, соответственно. В последних столбцах таблицы приведены вычисленные значе- значения выборочных средних X, Y и выборочных дисперсий Dx, Dy- 2. Проверяемые гипотезы: Но =/* Yr = Хг (генеральные средние одинаковы); Hi =Ф Yr > Хг, так как для выборочных средних Y > X, то и для генеральных дисперсий проверяется та- такое же соотношение. 3. Для проверки гипотез о равенстве генеральных средних при одинаковых генеральных дисперсиях применяется t-крите- t-критерий Стьюдента, рассчитываемый по формуле X-Y пх + пу - 2 Для наших данных t = —3,54. 4. По таблице ^-распределения находим пяти-процентную критическую область. Для этого предварительно определяем число степеней свободы: / = ГЦ + 712 - 2. D.2)
48 Лекция 4. Проверка статистических гипотез В нашем случае / = 70. По таблицам ^-распределения в строке f = 70 находим границу критической области для двух уровней значимости: а 0,05 1,99 0,01 2,65 Сама критическая область (область отвержения нулевой ги- гипотезы, Но) определяется условием |«| > *кР. D.3) 5. Проверяется попадание критерия в критическую область. 5% 2,65 3,54 Из рисунка видно, что значение критерия принадлежит од- однопроцентной области. Поэтому нулевая гипотеза отвергается и признается более высокая эффективность второго метода ле- лечения. 4.3.2. Применение t-критерия Стьюдента (см. семинар 8). t-критерий Стьюдента применяется для оценки различия средних величин двух выборок, которые распределены по нормальному закону с одинако- одинаковой дисперсией. Для случая неравных дисперсий применяется модифицирован- модифицированный критерий. Отметим, что процедуры проверки многих параметрических гипотез включены в состав программы EXCEL'97. § 4.4. Проверка гипотез для дисперсий. F-критерий Фишера Во многих клинических исследованиях важной является про- проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нор- нормальных выборок. Эта задача может быть решена с помощью критерия Фишера.
§4.4. Проверка гипотез для дисперсий. F-критерий Фишера 49 4.4.1. Постановка задачи. Для случайных величин X и У, распределенных по нормальному закону, получены выборки, объемы которых пх и пу соответственно. Требуется сравнить между собой дисперсии соответствующих генеральных совокуп- совокупностей. Рассмотрим последовательность действий при решении этой задачи в соответствии с установленным выше порядком. 1. Первичная статистическая информация получена в виде двух выборок из пх = 16 и пу = 11 элементов, соответственно (табл. 4.2). В последней строке таблицы приведены вычисленные значения выборочных дисперсий Dx и Dy. Таблица 4.2 Выборка 1 0,80 -4,18 0,22 -1,63 1,25 -0,65 5,78 -0,40 ~их = ох-- 5,13 -3,53 -1,47 -0,98 1,02 -0,67 -0,96 0,80 = 2,83 = 8,01 Выборка 2 1,97 -1,73 4,05 -3,91 2,56 -4,57 2,68 2,62 (Уу = DY = 4,39 -4,75 2,15 :3,35 11,22 2. Проверяемые гипотезы: Но => Drу = Drx (генеральные дисперсии одинаковы); Но =^ Dry > Drx так как для выборочных дисперсий Dy > > Dx, то и для генеральных дисперсий проверяется такое же соотношение. 3. Для проверки гипотез о равенстве дисперсий широко при- применяется F-критерий Фишера, рассчитываемый по формуле: D.4) При вычислении отношения по формуле D.4) большая дисперсия делится на меньшую. Для наших выборок F = 11,22/8,01 = 1,4.
50 Лекция 4. Проверка статистических гипотез 4. По таблице .F-распределения найдем 5 %-ную и 1 %-ную критические области. Для этого предварительно определим чи- число степеней свободы для каждой выборки: /i = (пу - 1), h = (пх - 1), D.5) где /i и /2 — число степеней свободы числителя и знаменателя, соответственно. В нашем случае /i = 10, /2 = 15. В таблице ^-распределения находим границу критической области для двух уровней значи- значимости: а 0,05 2,54 0,01 3,80 Сама критическая область определяется условием F > FKP. D.6) 5. Полученное в п. 3 значение критерия (F = 1,4) не по- попадает в пятипроцентную критическую область. Поэтому при- принимается нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий: Dry = DrX. 5% 1,4 2,54 § 4.5. Ранговый непараметрический [/-критерий Вилкоксона (Wilcoxon) Для представления медицинских и биологических данных нередко используется порядковая или ранговая шкала. Измерен- Измеренные признаки располагаются на этой шкале в порядке возраста- возрастания (обычно) или в порядке убывания (реже). Значение имеет не сама величина признака, а лишь порядковое место, который она занимает среди других величин. 4.5.1. Постановка задачи. Для случайных величин X и Y с неизвестными законами распределения получены выборки, объемы которых пх и пу, соответственно. Значения элементов представлены в порядковой шкале. Требуется проверить гипотезу
§4.5. Ранговый непараметрический U-критерий Вилкоксона 51 о принадлежности сравниваемых независимых выборок к одной и той же генеральной совокупности. Рассмотрим последовательность действий при решении этой задачи в соответствии с установленным выше порядком. Будем использовать данные из табл. 4.3. X Y 39 46 38 18 47 50 16 45 28 25 30 41 Таблиц 43 31 25 55 а 4.3 37 1. Первичная статистическая информация получена в виде двух выборок из пх = 8 и пу = 9 элементов соответственно. Используется порядковая шкала измерений. Ни каких предпо- предположений о законах распределений не делается. 2. Проверяемые гипотезы: Но — выборки принадлежат к од- одной генеральной совокупности, Hi — выборки принадлежат к различным генеральным совокупностям. 3. Для проверки таких гипотез широко применяется [/-кри- [/-критерий Вилкоксона, применению которого предшествует подгото- подготовительная работа. • Сначала из исходных выборок составляется одна объеди- объединенная выборка, и ее элементы упорядочиваются. В результате получается табл. 4.4. Сами значения элементов расположены во второй строке. В первой строке указана принадлежность элемен- элемента к исходным выборкам. В третьей строке стоят порядковые номера элементов упорядоченного ряда. Таблица 4.4 Принадл. Знач. Ранг X 16 1 У 18 2 X 25 3 У 25 4 X 28 5 X 30 6 У 31 7 У 37 8 X 38 9 X 39 10 У 41 11 X 43 12 У 45 13 У 46 14 X 47 15 У 50 16 У 55 17 • По правилам ранжирования одинаковым значениям при- присваиваются одинаковые ранги. Поэтому в третью строку следует внести изменения: двум значениям 25 приписывается усреднен- усредненный ранг C + 4)/2 = 3,5. После этих исправлений табл. 4.4 принимает следующий вид: Принадл. Знач. Ранг X 16 1 У 18 2 X 25 3,5 У 25 3,5 X 28 5 X 30 6 У 31 7 У 37 8 X 38 9 X 39 10 У 41 11 X 43 12 У 45 13 У 46 14 X 47 15 У 50 16 У 55 17
52 Лекция 4. Проверка статистических гипотез • Теперь необходимо просуммировать полученные ранги по элементам отдельных выборок X и Y. Для этого удобнее сделать перестановку столбцов. • Итоговая таблица для /7-критерия: Принадл. Знач. Ранг Rx Ry X 16 1 X 25 3,5 X 28 5 X 30 6 Rx = X 38 9 61, X 39 10 5 X 43 12 X 47 15 У 18 2 У 25 3,5 31 7 У 37 8 У 41 11 45 13 = 91,5 У 46 14 У 50 16 55 17 Все описанные действия легко выполняются в среде Windows с помощью приложения ЕхсеГ97. По итоговой таблице среди значений Rx и Ry выбирается максимальное: Ятах = 91,5. Затем рассчитывают значение кри- критерия по формуле U = пх - пу - п (п D.7) где птах — число членов в выборке с максимальным значением суммы рангов. Для нашего случая птах = 9 и U = 72 — 91,5 + 45 = 25,5. 4. По таблице /7-распределения найдем пятипроцентную и од- однопроцентную критические области: а 0,05 18 0,01 11 Сама критическая область определяется условием и <ик 'кр- D.8) 5. Полученное в п. 3 значение критерия (U = 25,5) не попа- попадает в пятипроцентную критическую область. Поэтому нулевая гипотеза принимается. 5% U 11 18 25,5
§ 4.6. Проверка гипотезы о нормальности закона распределения 53 § 4.6. Проверка гипотезы о нормальности закона распределения — критерий хи-квадрат Критерий х2 (хи-квадрат) используется для проверки гипоте- гипотезы об определенном виде закона распределения случайной вели- величины, наблюдения которой мы имеем в виде выборки. Нас будет интересовать принадлежность выборки к нормальному закону распределения. 4.6.1. Постановка задачи. Для случайной величины X полу- получена выборка объема N. Требуется проверить гипотезу о нор- нормальности закона распределения. Рассмотрим последовательность действий при решении этой задачи на следующем примере. 1. Пусть проведены измерения роста у 267 человек с точно- точностью до 0,1 см. Первичная статистическая информация представ- представляет собой соответствующую выборку. 2. Проверяемые гипотезы: Но — выборка принадлежит к генеральной совокупности с нормальным законом распределения, Hi — закон распределения не является нормальным. 3. Для проверки таких гипотез широко используется крите- критерий хи-квадрат, применению которого предшествует подготови- подготовительная работа. • Сначала для исходной выборки находят выборочное среднее X и выборочное среднее квадратическое отклонение ~д'. Затем весь диапазон полученных значений разбивается на несколь- несколько (п) одинаковых интервалов одинаковой ширины (h) и под- подсчитывают количество элементов, попавших в каждый интер- интервал {mi). Центры интервалов xi и т^ — количество наблюдений, по- попавших в интервал с центром ж^, заносят в таблицу. Для нашего случая это табл. 4.5 представлена ниже. Затем рассчитываются нормированные уклонения центров интервалов от выборочного среднего: . D.9) Полученные значения заносят в третий столбец таблицы.
54 Лекция 4. Проверка статистических гипотез Затем по таблице «Ординаты нормальной кривой» находят значения плотности нормального распределения для г-го интер- интервала: и заносят их в четвертый столбец таблицы. D.10) Таблица 4.5 Центры интервалов Xi п = 9 159 161 164 167 170 173 176 179 182 2 9 31 71 82 46 19 5 1 X = 166,22 а = 4,06 А{ = (х{-Х)/а -2,77 -2,03 -1,29 -0,55 +0,19 +0,93 +1,67 +2,41 +3,15 0,0086 0,0508 0,1736 0,3429 0,3918 0,2589 0,0989 0,0219 0,0028 Mi 1,6 10,0 34,3 67,8 77,6 51,2 19,5 4,4 0,6 Значение критерия X? 1,23 0,10 0,32 0,15 0,25 0,53 0,01 0,08 0,27 X2 = 2,93 Далее, в пятый столбец заносят ожидаемые значения для величин М^: „ h DИ) а В шестой столбец таблицы заносят значения %?: Складывая эти величины, находят значение критерия: 4. Число степеней свободы / = п-3. D.12) D.13) D.14) 5. По таблице ^-распределения найдем пятипроцентную и однопроцентную критические области: а у2 Акр 0,05 12,6 0,01 16,8
§ 4.6. Проверка гипотезы о нормальности закона распределения 55 Сама критическая область определяется условием X2 > Хкр- D-15) 6. Полученное в п. 3 значение критерия (%2 = 2,93) не попа- попадает в пятипроцентную критическую область. Поэтому нулевая гипотеза принимается: можно считать, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности. 5% 2,9 12,6
Лекция 5 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 1. Функциональная зависимость. Корреляция и регрессия. 2. Коэффициент корреляции. 3. Проверка статистической значимости выборочного коэффициен- коэффициента корреляции. 4. Регрессионный анализ. Линейная регрессия. Выявление статистических связей между случайными вели- величинами широко используется в медицинской практике. Этим методом решаются задачи установления обоснованного диагно- диагноза, оценки эффективности лечения. Установление зависимости между различными показателями состояния больного и влияние их изменений на жизнедеятельность организма является важ- важной задачей лабораторных и клинических исследований. Более того, все системы, органы, ткани, клетки целостного организма находятся в связи друг с другом; эту связь можно измерить, на- например, с помощью коэффициента корреляции. Благодаря раз- различным формам корреляции организм проявляется как единая сложная целостная система. § 5.1. Функциональная зависимость. Корреляция и регрессия Функциональная зависимость между двумя переменными су- существует в том случае, когда каждому допустимому значению одной из них соответствует одно вполне определенное значение другой. Функциональные зависимости можно выразить анали- аналитически. Так, например, объем шара зависит от его радиуса (у = 4/Зтг • г3), площадь квадрата от его стороны (S = а2). В об- общем случае функциональная зависимость выражаются форму- формулой у = f(x). Функциональная связь свойственна неслучайным (детерминированным) переменным. Между случайными величинами X, Y может существовать и статистическая (вероятностная) связь. При этом каждому
§ 5.2. Коэффициент корреляции Пирсона 57 значению одной величины соответствует не единственное значе- значение другой величины, а некоторое множество значений с опре- определенным законом распределения. Например, между возрастом и ростом детей связь выражается в том, что каждому значению возраста соответствует определенное распределение роста (а не одно единственное значение). При этом с увеличением возраста (до определенных пределов) возрастает и среднее значение роста. Корреляцией называется статистическая (вероят- (вероятностная) зависимость между величинами, не име- имеющая, вообще говоря, строгого функционального характера. При наличии корреляции между случайными величинами закон распределения величины Y зависит от значения, принятого слу- случайной величиной X. Простейший вид статистической связи возникает, когда на функциональную зависимость накладываются случайные возму- возмущения. Например, если случайные величины Y и X связаны соотношением: Y = f(X) + a, E.1) где а — не зависящая от X случайная величина, с нулевым математическим ожиданием. В этом случае одному и тому же значению X будут соответствовать различные значения У, обу- обусловленные различными значениями а. Если значение X извест- известно, то среднее значение Y равно f(X) — т.е. зависит от X. Зависимость среднего значения одной случайной величины от другой величины называется регрес- регрессией, а уравнение, отражающее эту зависимость, называется уравнением регрессии. Для равенства E.1) можно записать Уср = f(X). Поэтому урав- уравнение регрессии отражает функциональную часть корреляции. § 5.2. Коэффициент корреляции Пирсона Количественно величину статистической связи между слу- случайными величинами выражают с помощью коэффициентов корреляции, в частности, коэффициента линейной корреляции
58 Лекция 5. Корреляционный и регрессионный анализ Пирсона (г), который определяется следующей формулой: E-2) ОX ' &Y где ах и а у — среднеквадратические отклонения; М — знак математического ожидания. 5.2.1. Свойства коэффициента корреляции. 1. Величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин X и У. 2. Величина коэффициента корреляции заключена в преде- пределах — 1 ^ г ^ 1. 3. Если г < 0, то с увеличением X соответствующие им значения Y в среднем уменьшаются, т. е. существует обратная связь. 4. Если г > 0, то с увеличением X соответствующие им значения У в среднем растут, то есть существует прямая связь. 5. Если г = 0, то между параметрами нет линейной корреля- корреляционной связи (но может существовать нелинейная корреляци- корреляционная зависимость). 6. Значение г = 1 появляется обычно тогда, когда между величинами X и У существует линейная функциональная связь (крайне редкая в медико-биологических исследованиях). Если закон совместного распределения случайных величин X и У известен, то проведя вычисления по формуле E.2), можно найти значение коэффициента корреляции и тем самым установить наличие или отсутствие статистической зависимости между величинами X и У. Но что делать в таком распространен- распространенном случае, когда закон совместного распределения неизвестен? В этом случае статистическую связь между величинами можно оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции. 5.2.2. Выборочный коэффициент корреляции. Пусть прове- проведено N опытов, в каждом из которых измерены значения слу- случайных величин X и У. Полученные пары значений (ж^, yi) образуют связные выборки, которые записывают в виде табл. 5.1. В последние две колонки заносят вычисленные значения выбо- выборочных средних и выборочных среднеквадратических отклоне- отклонений (лекция 3).
§ 5.2. Коэффициент корреляции Пирсона 59 Таблица Номер опыта Значения X Значения Y 1 У\ 5.1. Представление связных выборок 2 У2 3 Уз N xN Ум Выборочные значения X Y (Ух ау Для наглядности полученные пары значений можно нанести на координатную плоскость. Для этого по оси абсцисс откла- откладывают значения ж^, а по оси ординат — yi (г = 1, 2, ... N). Нанесенные точки займут определенную область, называемую корреляционным полем. По расположению точек корреляцион- корреляционного поля можно сделать некоторые предварительные суждения о характере связи между величинами. Как правило, если между случайными величинами X и Y существует линейная статисти- статистическая связь, то корреляционное поле имеет вид эллипса со сгу- сгущением точек вокруг главной оси и с малым числом их на пери- периферии, рис. 5.1, а. Если связь выражена слабо или отсутствует, то разброс точек велик. При этом длинная ось эллипса параллельна одной из координатных осей или же корреляционное поле похоже на круг (рис. 5.1, б). Если связь между X и Y носит нелинейный характер, то корреляционное поле имеет более сложный вид, рис. 5.1, в. Данные, представленные в табл. 5.1, используют для вычис- вычисления выборочного коэффициента линейной корреляции по сле- следующей формуле: N г = (N - E.3) где X и Y — выборочные средние; а\ и cry — выборочные среднеквадратические отклонения. Если N —» ос, то выборочный коэффициент стремится к ис- истинному значению коэффициента корреляции. Однако эта схо- сходимость настолько медленная, что требуются очень большие объемы выборок, чтобы выборочное значение оказалось близким к истинному. Практически считается, что при |г| < 0,4 связь отсутствует, при 0,4 < |г| < 0,7 имеется слабая связь. Тесная связь между случайными величинами или процессами имеется при 0,7 < |г| < 1.
60 Лекция 5. Корреляционный и регрессионный анализ Корреляция а) Наличие корреляционной зависимости б) Отсутствие корреляционной зависимости в) Нелинейная корреляционная зависимость Вид зависимости У i У , У t ,¦<¦¦¦>• > X . т . • • • • • • • • • • • • • * * т • • • • • • • • * Рис. 5.1. Различные виды корреляционной зависимости § 5.3. Проверка статистической значимости выборочного коэффициента линейной корреляции Очень часто задачей исследования является не определение значения коэффициента корреляции, а выяснение вопроса о на- наличии или отсутствии статистической связи между случайными величинами X и Y. В качестве нулевой принимается гипотеза об отсутствии связи: Hq — линейной корреляции между X и Y нет, Hi — между X и Y присутствует линейная корреляция. Критерием для проверки этих гипотез является значение выборочного коэффициента корреляции E.3), которое сравни- сравнивается с критическим значением гкр, найденным по специальной таблице (табл. 5.2). Число степеней свободы / = N — 2.
§ 5.3. Проверка статистической значимости 61 Таблица 5.2. Критические значения коэффициента линейной корреляции Пирсона / 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 а = 0,05 0,950 0,878 0,811 0,754 0,707 0,666 0,632 0,602 0,576 0,553 0,532 0,514 0,497 0,482 0,468 0,456 0,444 0,433 0,423 0,413 0,404 а = 0,01 0,990 0,959 0,917 0,874 0,834 0,798 0,765 0,735 0,708 0,684 0,661 0,641 0,623 0,606 0,590 0,575 0,561 0,549 0,537 0,523 0,515 / 23 24 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 125 150 200 250 300 400 500 1000 а = 0,05 0,396 0,388 0,381 0,349 0,325 0,304 0,288 0,273 0,250 0,232 0,217 0,205 0,195 0,175 0,163 0,138 0,142 0,113 0,098 0,088 0,062 а = 0,01 0,505 0,496 0,487 0,449 0,418 0,393 0,372 0,354 0,325 0,302 0,283 0,267 0,254 0,230 0,210 0,182 0,163 0,148 0,128 0,115 0,081 Если значения выборочного коэффициента линейной корре- корреляции больше критического значения > г кр, E.4) то нулевая гипотеза отклоняется и принимается гипотеза о на- наличии статистической связи. В этом случае исследование стати- статистической связи следует продолжить и попытаться выделить ее функциональную составляющую. Это делается методами регрес- регрессионного анализа.
62 Лекция 5. Корреляционный и регрессионный анализ § 5.4. Регрессионный анализ. Линейная регрессия Как уже отмечалось выше (§ 5.1), регрессией называется зависимость среднего значения одной случайной величины от другой величины: Ycp = f(X). E.5) Для нахождения уравнения регрессии по экспериментальным данным используют регрессионный анализ. Регрессионный анализ — это метод подбора детер- детерминированных функций У = f(X) или X = (p(Y), которые наилучшим образом соответствуют всей совокупности выборочных пар {а^, yi}. Какая из этих двух зависимостей подлежит отысканию, опре- определяется сутью проводимых исследований. Если X считают независимой переменной, то отысканию подлежит зависимость Y = f(X). При дальнейшем изложении материала мы будем счи- считать, что X — независимая переменная и рассматривать только функцию У = f(X). Рассмотрим простейший случай, когда у нас есть основания предполагать наличие линейной зависимости между величина- величинами X и У. Тогда функция f(X) является линейной: У = а0 + ах - X. E.6) График этой функции называют линией регрессии. Для подбора наилучшего приближения в статистике исполь- используют метод максимума правдоподобия, в соответствии с которым значения коэффициентов а\ и ао выбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений расчетных значений Y{ = а$ + а\ • Х{ от выборочных значений yi, была минимальной. Можно показать, что удовлетворяющие этому требованию коэффициенты регрессии ао и а\ определяются следующими формулами: а0 = Y- r-X-ax/oY, а1 = г-ах/оГу. E.7) При этом уравнение регрессии принимает вид 7.^.Х, E.8)
§5.4. Регрессионный анализ. Линейная регрессия 63 Часто для записи уравнение регрессии записывают в более простом виде: Y = E.9) Из формул E.9) видно, что линия регрессии проходят через точку X, Y. Yi f A 0 ^ X В X Рис. 5.2. Линия регрессии, построенная по методу наименьших квадратов
Лекция 6 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания. 2. Вынужденные колебания. Резонанс. 3. Автоколебания. 4. Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. 5. Сложное колебание. Разложение сложного колебания на про- простые. Гармонический спектр. 6. Элементы реабилитологии. Колебательные движения тела при ходьбе, при вертикальном положении. Механические колебания сердца. Вибрация. Механотерапия. Колебания это движения или изменения состоя- состояния, обладающие той или иной степенью повторя- повторяемости. Колебания могут быть разной природы: механические, тепловые, электрические и т. п. Внутри любого живого организма непре- непрерывно происходят разнообразные повторяющиеся процессы, на- например, работа сердца. Все эти явления подчиняются общим закономерностям и подразделяются на три основных типа: сво- свободные, вынужденные и автоколебания. Рассмотрим каждый из них. § 6.1. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания Свободными собственными механическими ко- колебаниями называют колебания, которые проис- происходят без переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие начального смещения из положения равновесия или сообщения системе начальной скорости. Такие колебания совершаются за счет первоначально получен- полученной энергии.
§6.1. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания 65 6.1.1. Гармонические колебания. Колебания называются пе- периодическими, если значения всех изменяющихся величин, ха- характеризующих систему, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени, удовлетворяющий этому условию называется периодом колебаний Т. В качестве примера рассмотрим идеальный пружинный ма- маятник (рис. 6.1), который представляет собой небольшое тело массой т, подвешенное на невесомой пружине с жесткостью к. Первоначально тело находится в состоянии равновесия @), и сум- сумма всех действующих на него сил равна нулю. Если пружину оттянуть (сжать) на расстояние х от положения равновесия, то сила упругости, с которой деформи- деформированная пружина действует на внешнее тело, определяется законом Гука: F = -кх. F.1) Рис. 6.1. Пружинный маятник Постоянный множитель к назы- называется жесткостью пружины и зависит от ее размеров и ма- материала; знак « —» показывает, что сила упругости всегда на- направлена в сторону, противоположную направлению смещения, то есть к положению равновесия. Предположим, что силы сопротивления отсутствуют. Тогда, подставив выражение F.1) в формулу второго закона Ньютона (ma = F), получим дифференциальное уравнение свободных ко- колебаний при отсутствии трения: d2x F.2) т dt2 = —kx. Преобразуем выражение F.2) следующим образом: d2x Отношение к/т положительно, поэтому его можно заменить квадратом некоторой величины (в данном случае это оказыва- оказывается целесообразным): ul = к/т. F.3) 3 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
66 Лекция 6. Механические колебания Получили дифференциальное уравнение второго порядка: — + ш1х = О, F.4) общее решение которого представляет периодическую функцию и может быть записано в одном из двух видов: х = Acos(ojQt + V?o)? или х = As'm(ojot + (ро). F.5) В математике функции этого вида называют гармонически- гармоническими, поэтому колебания, описываемые такими функциями, тоже называют гармоническими. Гармонические колебания — такие, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени с определенной частотой по закону синуса или косинуса. Таким образом, идеальный пружинный маятник совершает гар- гармонические колебания. Величины, входящие в формулу F.5), имеют следующий смысл: х — смещение точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний (максимальное смещение от по- положения равновесия); cuq — собственная круговая (циклическая) частота колебаний (число колебаний, совершаемых за 2тг секунд); ip = (с^о^ + V?o) — фаза колебаний (в момент времени ?); (ро — начальная фаза колебаний (при t = 0). Собственная круговая частота является основной характе- характеристикой свободных гармонических колебаний. Эта величина зависит только от свойств колебательной системы. В рассматри- рассматриваемом случае — от массы маятника и жесткости пружины F.3). Амплитуда колебаний определяются, как свойствами коле- колебательной системы, так и начальными условиями (положением и скоростью тела в момент времени t = 0). Начальная фаза зависит только от начальных условий. Со- Соответствующим выбором момента начала отсчета времени она может быть сделана равной нулю (<^о = 0). Наиболее распро- распространены следующие формы записи гармонических колебаний, в которых начальная фаза равна нулю:
§6.1. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания 67 х = Acos(u)ot) — в момент t = О отклонение максимально (х = Л), а скорость тела равна нулю; х = Asm(cuot) — в момент t = О тело проходит через поло- положение равновесия (х = 0), а его скорость максимальна. Для случая (ро = 0 зависимость смещения от времени при гармонических колебаниях представлена на рис. 6.2. Наряду с круговой частотой (jJq используют и другие характе- характеристики колебательного движе- движения. Частота колебаний v (число колебаний, совершаемых за еди- единицу времени) равна v = сио/2тг = A/2тг) Рис. 6.2. Зависимость смеще- смещения от времени для гармониче- гармонических колебаний х = t4c F.6) Период колебаний Т — это время, в течение которого совер- совершается одно полное колебание: Т = 2тг/сс;о, Т = 27r^/m/k. F.7) Связь между указанными характеристиками определяется фор- формулами: Т = l/i/, си0 = 2ttz/ = 2тг/Т. Зная закон движения, можно определить скорость и ускорение колеблющегося тела в любой момент времени: v = dx/dt, a = = dv/dt. Для случая (ро = 0 получим: v = - следовательно, V = ^max COs(cUQt + 7г/2), F.8) где г>тах — максимальная скорость (амплитуда скорости); а = — Aojq cos(ojot) = — amax cos(d;o^), следовательно, а = amax cos^ot + тг), F.9) где amax — максимальное ускорение (амплитуда ускорения).
68 Лекция 6. Механические колебания Из сравнения выражений F.5), F.8), F.9) видно, что ско- скорость опережает по фазе смещение на тг/2, а ускорение — на тг (то есть смещение и ускорение изменяются в противофазе). Колеблющееся тело в любой момент времени обладает кине- кинетической энергией собственного движения — Ек и потенциальной энергией Еп, связанной с деформацией пружины. Полная энергия колеблющегося тела складывается из его кинетической и потенциальной энергий: Ек = mv2 /2 = тА 2, ,2 gjn2 + Еп = kx2/2 = kA2 Е = ЕК + Еп = к А1/2 = тА2и?/2. F.10) F.11) F.12) Как видно из F.12), в этом случае полная механическая энергия системы не изменяется. Свободные гармонические колебания могут возникать в си- системе, в которой нет потерь или притока механической энергии. При отсутствии трения свободные колебания, близкие к гармо- гармоническим, реализуются также и в других системах: математиче- математический и физический маятники (теория этих вопросов не рассмат- рассматривается), рис. 6.3. I Рис. 6.3. Математический маятник (а), физический маятник (б)
§6.1. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания 69 Математический маятник — небольшое тело (материальная точка), подвешенное на невесомой нити, рис. 6.3а. Если нить отклонить от положения равновесия на небольшой угол а и от- отпустить, то тело будет совершать колебания с периодом, опреде- определяемым по формуле Т = 2ttv/V^, F.13) где L — длина нити, g — ускорение свободного падения. Физический маятник — твердое тело, совершающее колеба- колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизон- горизонтальной оси. На рис. б.Зб' схематически изображен физический маятник в виде тела произвольной формы, отклоненный от по- положения равновесия на угол а. Период колебаний физического маятника описывается формулой: Т = 2ny/l/(mgh), F.14) где / — момент инерции тела относительно оси, га — масса, h — расстояние между центром тяжести (точка С) и осью подвеса (точка О). 6.1.2. Затухающие колебания. Силы трения и сопротивления в реальных системах существенно изменяют характер движения: энергия движения постоянно убывает, и колебания либо стано- становятся затухающими, либо вообще не возникают. При наличии сил сопротивления среды (сил трения) второй закон Ньютона можно записать так: d2x га —-j = — kx + FTp. F.15) Сила сопротивления направлена в сторону противоположную движению тела и при не очень больших амплитудах и частотах колебаний пропорциональна его скорости: dx FTp = -tv = -г — , F.16) где г — коэффициент сопротивления, зависящий от свойств сре- среды, формы и размеров тела. Подставив F.15) в F.16), получим: d2x dx ТП-—Г = -kx - г — . dt2 dt
70 Лекция 6. Механические колебания Поделив обе части уравнения на массу тела и перенеся все слагае- слагаемые в левую часть, получим уравнение, описывающее свободные колебания при наличии сил сопротивления: $ ^ 0, F.17, где 2/3 = r/ra; oJq = к/т; /3 — коэффициент затухания; с^о — КРУ~ говая частота собственных колебаний системы при отсутствии трения. Вид общего решение полученного дифференциального урав- уравнения зависит от соотношения между величинами C и cuq. 1. Пусть cuq — /З2 > 0. В этом случае решение уравнения F.17) имеет вид х = Aq exp(—/3t) cos(ojt + <?o), F.18) где со = дД^о — /З2) — круговая частота затухающих колебаний. График таких колебаний представлен на рис. 6.4. В этом случае колеба- колебательный характер движения сохраняется, но амплитуда ко- колебаний уменьшается со вре- временем по экспоненциальному закону А = Aq - ехр(—/3 • t). Круговая частота затухаю- затухающих колебаний и меньше, чем _ _ , _ при отсутствии силы трения, гис. D.4. Зависимость смещения от времени при затухающих колеба- а пеРиоД' соответственно - ниях (<р0 = 0) больше: -/?2), Т = 2ж/у/(ш*-р). F.19) Быстрота убывания амплитуды колебаний зависит от коэф- коэффициента затухания: чем больше /3, тем сильнее тормозящее действие среды, и тем быстрее уменьшается амплитуда. В качестве характеристики степени затухания используют безразмерную величину, называемую логарифмическим декре- декрементом затухания А: X = \n[A(t)/A(t
§6.2. Вынужденные колебания, резонанс 71 2. Если cuq < /З2 (сильное затухание), то в этом случае к моменту возвращения тела в положение равновесия запас его механической энергии практически полностью расходуется на преодоление сил трения, тело останавливается и колебания не возникают. Такое движение называется апериодическим. Следует отметить, что рассмотренный пример является лишь частным случаем затухающих колебаний. При других видах сил характер затухающих колебаний может быть иным. § 6.2. Вынужденные колебания, резонанс Свободные колебания, как правило, являются затухающими вследствие наличия сил трения. Незатухающие колебания можно создать с помощью периодического внешнего воздействия. Вынужденные колебания — такие, которые возни- возникают в системе при воздействии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону. Рассмотрим случай, когда на тело, помимо упругой силы F и си- силы трения FTp, действует еще и вынуждающая гармоническая сила FB = Fo-cos((jjB-t), где Fq — амплитуда силы; сив — круговая частота ее колебаний. Запишем дифференциальное уравнение движения, вытекаю- вытекающее из второго закона Ньютона: d x dx т-—г = -kx - г— + Fq cos(ujBt), dtA dt или d x dx + 2/3 — + ф = /o cos(o;Bt), F.20) где /о = Можно показать, что для больших значений t решение этого уравнения определяется формулой х = Acos(ojBt + (pB), F.21) где (рв — разность фаз между силой FB и смещением х. График вынужденных колебаний представлен на рис. 6.5. Таким образом, установившиеся вынужденные колебания, происходящие под воздействием внешней гармонически изменя- изменяющейся силы, являются тоже гармоническими. Их частота равна частоте вынуждающей силы.
72 Лекция 6. Механические колебания х | ^ Собственные Вынуждающая Вынужденные колебания / сила / колебания д* Время установления^ Рис. 6.5. Зависимость смещения от времени при вынужденных коле- колебаниях Амплитуда А установившихся вынужденных колебаний за- зависит от собственной частоты колебаний, массы материальной точки, амплитуды и частоты вынуждающей силы и коэффици- коэффициента затухания: А = /о F.22) 6.2.1. Резонанс. Если ujq и /3 для системы заданы, то ампли- амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называ- называемой резонансной. Само явление — достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы называется резонансом. Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от кру- круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэф- коэффициента затухания показана на рис. 6.6. О шрез1 шрез2шрез3 Рис. 6.6. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круго- круговой частоты вынуждающей силы
§6.3. Автоколебания 73 При больших потерях на трение кривая резонанса не подни- поднимается до больших значений. Резонансную круговую частоту можно найти, если опреде- определить условие минимума знаменателя в F.22): ^-2/32. F.23) При этой частоте имеет место максимум амплитуды вынужден- вынужденных колебаний, определяемый формулой /о F.24) В некоторых случаях сильное возрастание амплитуды коле- колебаний при резонансе является опасным для прочности системы. 6.2.2. Сопоставление колебательных процессов. В табл. 6.1 представлено сопоставление характеристик для рассмотренных выше различных колебаний. Таблица 6.1. Характеристики различных колебаний Вид колебаний Свободные гармониче- гармонические колебания Свободные затухающие колебания Вынужден- Вынужденные колебания Уравнение для смещения х = Acos(ujot) х = Ае~@ь cos(ujt) 2/3 = г/т х = Acos(ojBt) Условия возникновения F = -kx FTp = 0 FB = 0 F = -kx Ftp = -tv FB = 0 F = -kx FtP = —rv FB = Fo cos(ouBt) Частота uo = y/k/m UJ = y/ujQ - C2 uB § 6.3. Автоколебания Существуют такие системы, которые сами регулируют пе- периодическое восполнение потерянной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.
74 Лекция 6. Механические колебания Автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, поступление которой регулируется самой колеба- колебательной системой. Системы, в которых возникают такие колебания, называются ав- автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы. Автоколебатель- Автоколебательную систему можно представить следующей схемой Источник энергии ¦*- Регулятор энергии *»- Колебательная система Обратная связь В данном случае сама колебательная система каналом обрат- обратной связи воздействует на регулятор энергии, информируя его о состоянии этой системы. Обратной связью называется воздействие резуль- результатов какого-либо процесса на его протекание. Если такое воздействие приводит к возрастанию интенсивности процесса, то обратная связь называется положительной. Если воздействие приводит к уменьшению интенсивности процесса, то обратная связь называется отрицательной. В автоколебательной системе может присутствовать как по- положительная, так и отрицательная обратная связь. Примером механической автоколебательной системы являются часы. Примером биологических автоколебательных систем являются такие органы как сердце, легкие. Положительная обратная связь проявляется в процессе гене- генерации потенциала действия в мембранах. При этом деполяриза- деполяризация мембраны приводит к увеличению проницаемости для ионов натрия, а это ведет к еще большему изменению мембранного потенциала. Отрицательная обратная связь имеет место в аппарате регу- регулирования ширины зрачка (чем больше попадает в глаз через зрачок квантов света, тем уже становится диаметр зрачка), в си- системе регуляции уровня сахара в крови, в системе терморегуля- терморегуляции в организме человека.
§ 6.4. Сложение гармонических колебаний 75 § 6.4. Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой Рассмотрим тело, которое участвует в двух колебательных движениях, происходящих вдоль одной прямой линии. Требуется записать закон, по которому изменяется смещение тела в этом случае. Приведем без вывода решение этой задачи для случая, когда частоты обоих колебаний одинаковы. Полное смещение тела (х) равно сумме двух смещений: = А\ = А2 cos(ojt F.25) Можно показать, что при этом получается гармоническое колебание с такой же частотой: X = амплитуда и начальная фаза которого определяются формулами А = ^А\ + А\ + 2АгА2 cos(^0i - Р02), F.26) А\ sin (poi + A2 sin (p02 ^^0 = -; —A • F-27) A\ COS (^01 + A2 COS у?02 При слож:ении двух гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и близкими частотами получается результирующее колебание, с периодически медленно меняющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями (рис. 6.7). Рис. 6.7. Биения, Т — период биений
76 Лекция 6. Механические колебания § 6.5. Сложное колебание, разложение сложного колебания на простые, гармонический спектр Сложное периодическое движение — сложное колебание — можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Существуют математические методы обработки сложных коле- колебаний. Фурье предложил метод разложения любой периодиче- периодической функции в ряд гармонических функций, периоды которых кратны периоду сложного колебания. Разложение периодическо- периодического сложного колебания на гармонические колебания называется гармоническим анализом. Совокупность гармонических колебаний, на которые разло- разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания. Пример периодической функции и ее спек- спектра представлен на рис. 6.8. На этом рисунке показана перио- периодическая функция ж(?), которая раскладывается на сумму двух гармонических функций (asinc^t, bsm2ut), и ее спектр. b sin 2ujt У x(t) = a sin ujt + b sin 2ujt Спектр функции x(t) Рис. 6.8. Сложное колебание и его спектр § 6.6. Элементы реабилитологии Анализ колебаний, создаваемых телом человека или его от- отдельными частями, широко используется в медицинской реаби- реабилитологии. 6.6.1. Колебательные движения тела человека при ходьбе. Анализ процесса ходьбы дает много диагностических признаков. Ходьба — это сложный периодический локомоторный процесс,
§ 6.6. Элементы реабилитологии 77 возникающий в результате сложной координированной деятель- деятельности скелетных мышц туловища и конечностей. Характерной особенностью ходьбы является периодичность опорного положе- положения одной ногой (период одиночной опоры) или двух ног (период двойной опоры). В норме соотношение этих периодов равно 4:1. При ходьбе происходит периодическое смещение Ау центра масс (ЦМ) по вертикальной оси (в норме до 5 см) и отклонение в сторону (в норме на 2,5 см). При этом ЦМ совершает движение по кривой, которую приближенно можно представить гармони- гармонической функцией, рис. 6.9. Рис. 6.9. Смещение ЦМ тела человека по вертикальной оси во время ходьбы При ходьбе колебательные движения совершают различные части тела и отдельные органы. 6.6.2. Сложные колебательные движения при поддержании вертикального положения тела. У человека, стоящего вертикаль- вертикально, происходят сложные колебания ЦМ. На анализе этих колеба- колебаний основана статокинезиметрия — метод оценки способности человека сохранять вертикальную позу. В эту группу методов входит и стабилография — метод оценки способности человека удерживать проекцию центра масс в пределах координат грани- границы площади опоры. Данный метод реализуется с помощью ста- билографа, основной частью которого является стабилоплатфор- ма, на которой находится испытуемый. Колебания, совершаемые центром масс испытуемого при поддержании вертикальной позы, передаются стабилоплатформе и регистрируются специальными тензодатчиками. Сигналы тензодатчиков передаются на реги- регистрирующее устройство. При этом записывается стабилограм-
78 Лекция 6. Механические колебания ма — траектория перемещения центра масс испытуемого в го- горизонтальной плоскости. По гармоническому спектру стабило- граммы можно судить об особенностях вертикализации в норме и при отклонениях от нее. Данный метод эффективен при оцен- оценке результатов соответствующих спортивных реабилитационных тренировочных методик (для спортсменов, для больных после травмы и инсультов, для больных с церебральным параличом и т.д.) 6.6.3. Механические колебания сердца. Существует различ- различные методы исследования сердца, в основе которых лежат меха- механические периодические процессы. Баллистокардиография (БКГ) — метод исследования меха- механических проявлений сердечной деятельности, основанный на регистрации пульсовых микроперемещений тела, обусловленных выбрасыванием толчком крови из желудочков сердца в крупные сосуды. При этом возникает явление отдачи. Тело человека по- помещают на специальную подвижную платформу, находящуюся на массивном неподвижном столе. Платформа в результате от- отдачи приходит в сложное колебательное движение. Зависимость смещения платформы с телом от времени называется балли- стокардиограммой (рис. 6.10), анализ которой позволяет судить о движении крови и состоянии сердечной деятельности. Рис. 6.10. Запись баллистокардиограммы Апекскарбиография (АКГ) — метод графической регистрации низкочастотных колебаний грудной клетки в области верхушеч- верхушечного толчка, вызванных работой сердца. Регистрация апекскар- диограммы производится, как правило, на многоканальном элек- электрокардиографе при помощи пьезокристаллического датчика, являющегося преобразователем механических колебаний в элек- электрические. Перед записью на передней стенке грудной клетки пальпаторно определяют точку максимальной пульсации (верху- (верхушечный толчок), в которой и фиксируют датчик. По сигналам датчика автоматически строится апекскардиограмма. Проводят амплитудный анализ АКГ — сравнивают амплитуды кривой при
§ 6.6. Элементы реабилитологии 79 разных фазах работы сердца с максимальным отклонением от нулевой линии — отрезок ЕО, принимаемый за 100 %. На рис. 6.11 представлена апекскардиограмма. 0 Нулевая линия Рис. 6.11. Запись апекскардиограммы Кинетокардиография (ККГ) — метод регистрации низко- низкочастотных вибраций стенки грудной клетки, обусловленных сердечной деятельностью. Кинетокардиограмма отличается от апекскардиограммы: первая фиксирует запись абсолютных движений грудной стенки в пространстве; вторая регистрирует колебания межреберий относительно ребер. В данном методе определяются перемещение (ККГЖ), скорость перемещения (ККГ^), а также ускорение (ККГа) для колебаний грудной клетки. На рис. 6.12 представлено сопоставление различных кинетокардиограмм. ККГ. Рис. 6.12. Запись кинетокардиограмм перемещения (ж), скорости (v), ускорения (а) Динамокардиография (ДКГ) — метод оценки перемещения центра тяжести грудной клетки. Динамокардиограф позволяет регистрировать силы, действующие со стороны грудной клетки
80 Лекция 6. Механические колебания человека. Для записи динамокардиограммы пациент располага- располагается на столе лежа на спине. Под грудной клеткой находится воспринимающее устройство, которое состоит из двух жестких металлических пластин размером 30 х 30 см, между которыми расположены упругие элементы с укрепленными на них тен- зодатчиками. Периодически меняющаяся по величине и месту приложения нагрузка, действующая на воспринимающее устрой- устройство, слагается из трех компонент: 1) постоянная составляю- составляющая — масса грудной клетки; 2) переменная — механический эффект дыхательных движений; 3) переменная — механические процессы, сопровождающие сердечное сокращение. Запись динамокардиограммы осуществляют при задержке дыхания исследуеммым в двух направлениях: относительно про- продольной и поперечной оси воспринимающего устройства. Срав- Сравнение различных динамокардиограмм показано на рис. 6.13. Рис. 6.13. Запись нормальной продольной (а) и поперечной (б) дина- динамокардиограмм Сейсмокардиография основана на регистрации механических колебаний тела человека, вызванных работой сердца. В этом методе с помощью датчиков, установленных в области основа- основания мечевидного отростка, регистрируется сердечный толчок, обусловленный механической активностью сердца в период со- сокращения. При этом происходят процессы, связанные с деятель- деятельностью тканевых механорецепторов сосудистого русла, активи- активирующихся при снижении объема циркулирующей крови. Сейсмо- кардиосигнал формирует форма колебаний грудины. 6.6.4. Вибрация. Широкое внедрение различных машин и ме- механизмов в жизнь человека повышает производительность труда. Однако работа многих механизмов связана с возникновением
§ 6.6. Элементы реабилитологии 81 вибраций, которые передаются человеку и оказывают на него вредное влияние. Вибрация — вынужденные колебания тела, при которых либо все тело колеблется как единое це- целое, либо колеблются его отдельные части с раз- различными амплитудами и частотами. Колебания, возникшие в каком-либо месте тела (например руки рабочего, держащего отбойный молоток), распространяются по всему телу в виде упругих волн. Эти волны вызывают в тка- тканях организма переменные деформации различных видов (сжа- (сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб). Действие вибраций на человека обусловлено многими факторами, характеризующими вибрации: частота (спектр частот, основная частота), амплитуда, скорость и ускорение колеблющейся точки, энергия колебательных про- процессов. Продолжительное воздействие вибраций вызывает в организ- организме стойкие нарушения нормальных физиологических функций. Может возникнуть «вибрационная болезнь». Эта болезнь приво- приводит к ряду серьезных нарушений в организме человека. Вредное воздействие оказывают даже кратковременные виб- вибрации, если в их спектре содержатся частоты, совпадающие с частотами собственных колебаний каких либо частей тела. Например, при запуске пилотируемых космических кораблей возникают вибрации корпуса с частотой около 4,5 Гц. После отделения двигателей первой ступени частота возрастает до 6 Гц, а после отделения третьей ступени — до 9 Гц. Человеческое тело и его отдельные органы имеют собственные частоты колебаний в диапазоне от 3 до 12 Гц. Когда корабль вибрирует на какой- нибудь из этих частот, вибрация органов человека, вследствие ре- резонанса, увеличивается, эти органы деформируются, смещаются или теряют фиксацию, то есть может произойти их механическое повреждение. Для смягчения вибрации в космических кораблях имеются специальные устройства. Вибрация, как проявление вынужденных колебаний, исполь- используется при массаже. При ручном массаже массируемые ткани приводятся в колебательное движение при помощи рук масса- массажиста. При аппаратном массаже используются вибраторы, в ко- которых для передачи телу колебательных движений служат нако- наконечники различной формы. Вибрационные аппараты подразде-
82 Лекция 6. Механические колебания ляются на аппараты для общей вибрации, вызывающие сотрясе- сотрясение для всего тела (вибрационные «стул», «кровать», «платфор- «платформа» и др.) и аппараты местного вибрационного воздействия на отдельные участки тела. 6.6.5. Механотерапия. В лечебной физкультуре (ЛФК) ис- используются тренажеры, на которых осуществляются колебатель- колебательные движения различных частей тела человека. Они использу- используются в механотерапии — форме ЛФК, одной из задач которой является осуществление дозированных, ритмически повторяю- повторяющихся физических упражнений с целью тренировки или вос- восстановления подвижности в суставах на аппаратах маятнико- маятникового типа. Основу этих аппаратов составляет балансирующий (фр. balancer — качать, уравновешивать) маятник, который пред- представляет собой двуплечный рычаг, совершающий колебательные (качательные) движения около неподвижной оси. Анализ колебательных процессов и движений различных ор- органов позволяет получать взаимодополняющую информацию. Поэтому при разработке способов медицинского контроля, тре- тренировочно-реабилитационных медицинских методик, для обос- обоснования их допустимых параметров необходимо учитывать ха- характеристики колебательных процессов.
Лекция 7 МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 1. Механические волны и их виды. 2. Частота волны. Уравнение плоской волны. 3. Длина волны. 4. Энергетические характеристики волны. 5. Некоторые специальные разновидности волн. 6. Эффект Доплера и его использование в медицине. 7. Элементы реабилитологии. Анизотропия при распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на биологические ткани. § 7.1. Механические волны и их виды Пусть тело, совершающее колебания, находится в среде, ча- частицы которой связаны между собой упругими силами (такие среды называют упругими). В этом случае колебательное движе- движение тела передается прилегающим к нему частицам среды. Они, в свою очередь, вовлекают в колебательное движение соседние частицы и так далее. При этом все точки среды совершают ко- колебания с одинаковой частотой, равной частоте колебания тела. Процесс распространения механических колеба- колебаний в упругой среде называется упругой, или ме- механической, волной. С волной связан перенос энергии колебаний от источника ко- колебаний к периферийным участкам среды. При этом в среде возникают периодические деформации сжатия и сдвига, которые переносятся волной из одной точки среды в другую. Нужно заметить, что при распространении механической волны сами частицы среды не перемещаются вместе с ней, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому распространение волны не сопровождается переносом вещества.
84 Лекция 7. Механические волны Механические волны различаются по тому, как колебания частиц среды ориентированы относительно направления распро- распространения волны. Простейшие типы волн в этом случае следую- следующие. Продольные волны — такие, в которых частицы среды колеблются вдоль направления распростра- распространения колебаний. При этом в среде чередуются области сжатия и разряжения. Продольные механические волны могут возникать во всех средах (твердых, жидких и газообразных). Поперечные волны — такие, в которых частицы колеблются перпендикулярно к направлению рас- распространения колебаний. При этом в среде возни- возникают периодические деформации сдвига. В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому поперечные волны в этих средах не возникают. Исключение составляют волны на поверх- поверхности жид кости. В природе не существует процессов, распространяющихся с бесконечно большой скоростью, поэтому возмущение, создан- созданное внешним воздействием в одной точке среды, достигнет дру- другой точки не мгновенно, а спустя некоторое время. При этом среда делится на две области: область, точки которой уже вовле- вовлечены в колебательное движение, и область, точки которой еще находятся в равновесии. Поверхность, разделяющая эти области, называется фронтом волны. Фронт волны — геометрическое место точек (по- (поверхность), в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение. Для всех точек фронта время, за которое до них дошло возмущение, одинаково. При распространении волны ее фронт перемещается, двигаясь с некоторой скоростью, которую называют скоростью волны. Скоростью волны v называется скорость переме- перемещения ее фронта. Скорость волны зависит от свойств среды и типа волны: попе- поперечные и продольные волны в твердом теле распространяются с различными скоростями.
§ 7.2. Частота волны. Уравнение плоской волны 85 Скорость волны в среде не следует путать со скоростью движения частиц среды, вовлеченных в волновой процесс. На- Например, при распространении звуковой волны в воздухе средняя скорость колебаний его молекул порядка 10 см/с, а скорость звуковой волны при нормальных условиях около 330 м/с. Форма волнового фронта определяет геометрический тип волны. Простейшие типы волн по этому признаку — плоские и сферические. Плоской называется волна, у которой фронтом яв- является плоскость, перпендикулярная направлению распространения. Плоские волны возникают, например, в закрытом поршнем ци- цилиндре с газом, когда поршень совершает колебания. Сферической называется волна, у которой фронт имеет форму сферы. Такой, например, является волна, вызываемая в однородной сре- среде точечным источником. § 7.2. Частота волны. Уравнение плоской волны Волна возникает в результате периодических внешних воз- воздействий на среду. Если источник, создающий волну, колеблется по гармоническому закону с некоторой частотой v, то точки сре- среды вовлекаются в колебательное движение с такой же частотой. Эта частота называется частотой волны. В соответствии с частотой механические волны разделены на различные диапазоны, которые указаны в табл. 7.1. Голос человека имеет разные частотные параметры, которые приведены ниже в табл. 7.2. Для волны, созданной гармоническими колебаниями источ- источника колебания точек среды также являются гармоническими. Такая волна называется гармонической. Колебания каждой точ- точки среды описываются уравнением х — A cos(ojt + <?о), где А — амплитуда колебаний данной точки, си — круговая ча- частота колебаний, определяемая частотой внешнего воздействия (и = 2тти) и потому одинаковая для всех точек, (р$ — фаза колебаний данной точки в момент времени t = 0.
Лекция 7. Механические волны Таблица 7.1. Шкала механических волн Частота, Гц 0,5-20 20-2 • 104 2•104-105 105-107 107-109 109-1013 Наименование диапазона Инфразвуковой Звуковой Низкочастотный ультра-звуковой Среднечастотный ультра-звуковой Высокочастотный ультразвуковой Гиперзвуковой Примеры Цунами, тоны сердца Голос, фонокардиограмма Звуки, издаваемые дельфинами, летучими мышами Колебания магнитострикционных излучателей Тепловые колебания молекул Таблица 7.2. Частотные звуковые параметры голоса человека Действующий звук Разговор у мужчин Разговор у женщин Наибольшая чувствительность уха Пение Бас (длина голосовых связок « 2,5 см) Баритон Тенор (длина связок 1,7-2,0 см) Сопрано (длина связок ~ 1,5 см) Детский голос Колоратурное сопрано Рекордная высота женского голоса Частота, Гц 85-200 160-340 1500-4000 80-350 110-400 130-520 260-1050 260-1050 350-1400 2350 Рассмотрим распространение плоской волны, созданной гар- гармоническими колебаниями источника: xu = Acos(ut). Если неко- некоторая точка среды удалена от источника на расстояние s, а ско- скорость волны — г?, то возмущение, созданное источником, достиг- достигнет этой точки через время г = s/v. Поэтому фаза колебаний в рассматриваемой точке в момент времени t будет такой же, как фаза колебаний источника в момент времени (t — s/v). В резуль- результате колебания данной точки будут определяться уравнением: х = Acos[uj(t — s/v)]. G.1) Уравнение G.1), определяющее смещение любой точки среды в любой момент времени, называется уравнением плоской волны.
§ 7.3. Длина волны 87 Аргумент при косинусе — величина (р = uj(t — s/v) называется фазой волны. Обычно вместо круговой частоты колебаний uj указывают частоту v или период колебаний точек среды Т. Связь между этими величинами была приведена в лекции «Механические ко- колебания»: ио = 2тти = 2тг/Т. § 7.3. Длина волны Для описания волновых явлений, например интерференции и дифракции, используют характеристику, называемую длиной волны. Длиной волны называется расстояние, на которое перемещается ее фронт за время равное периоду колебаний частиц среды: Л = vT. G.2) Обычно в качестве характеристики волны используют не период колебаний (Т), а их частоту {у = 1/Т) и формулу для длины волны записывают в виде Л = v/v. G.3) Так как скорость распространения волны зависит от свойств среды, то длина волны Л при переходе из одной среды в другую изменяется, в то время как частота v остается прежней. Данное определение длины волны имеет важную геометриче- геометрическую интерпретацию. Рассмотрим рис. 7.1а, на котором показаны смещения точек среды в некоторый момент времени. Положение фронта волны отмечено точками А и В. Возмущение среды в некоторый момент t Возмущение среды в момент t + Т f X I Рис. 7.1. Иллюстрация к определению длины волны
Лекция 7. Механические волны Через время, равное одному периоду колебаний, фронт волны переместится. Его положения показаны на рис. 7.16 точками Ai и Bi. Из рисунка видно, что длина волны равна расстоянию между соседними точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Например, это — расстояние между двумя соседними максиму- максимумами или минимумами возмущения (рис. 7.1 б'). § 7.4. Энергетические характеристики волны При волновом движении происходит перенос энергии Е, ко- которая складывается из кинетической энергии колеблющихся ча- частиц среды и потенциальной энергии, обусловленной деформа- деформацией среды при взаимном смещении частиц. Для количественного описания переноса энергии вводят сле- следующие величины. Поток энергии (Ф) — величина, равная средней энергии, проходящей за единицу времени через данную поверхность: <$> = dE/dt [Вт]. G.4) Объемная плотность энергии (wp) — средняя энергия колебательного движения, приходящаяся на единицу объема среды: wp = рА2и2/2 [Дж/м3], G.5) где р — плотность среды. Интенсивность волны (плотность потока энергии волны) (/) — величина, равная потоку энергии вол- волны, проходящей через единичную площадь, пер- перпендикулярную к направлению распространения волны: / = ф/5 [Вт/м2]. G.6) Можно показать, что интенсивность волны определяется соотно- соотношением / = vpA2u2/2. G.7)
§ 7.5. Некоторые специальные разновидности волн 89 § 7.5. Некоторые специальные разновидности волн 7.5.1. Ударные волны. При звуковых волнах скорость коле- колебания отдельной молекулы воздуха не превышает нескольких см/с, то есть она в сотни раз меньше скорости волны. При больших возмущениях (взрыв, движение тел со сверхзвуковой скоростью) скорость колеблющихся частиц среды может стать сравнимой со скоростью звука. При этом возникает эффект, называемый ударной волной. При взрыве сильно нагретые продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают тонкий слой окружающего воздуха. Ударная волна — это распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью тонкая переходная область, в которой происходит резкое возрастание плотности вещества и скорости движения частиц среды; это распространение скачка уплотнения со сверхзвуковой скоростью. Ударная волна может обладать значительной энергией. Так, при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50% всей энергии взрыва. Ударная волна, достигая объектов, способна вызвать разрушения. 7.5.2. Поверхностные волны. Наряду с объемными волнами в сплошных средах при наличии протяженных границ могут существовать волны, локализованные вблизи границ, которые играют роль волноводов. Таковы, в частности, поверхностные волны в жидкости и упругой среде, открытые английским физи- физиком В. Стреттом (лордом Рэлеем) в 90-х годах 19 века. В идеаль- идеальном случае волны Рэлея распространяются вдоль границы по- полупространства, экспоненциально затухая в поперечном направ- направлении. В результате поверхностные волны локализуют энергию возмущений, созданных на поверхности, в сравнительно узком приповерхностном слое. Поверхностные волны — такие волны, которые распространяются вдоль свободной поверхности тела или вдоль границы тела с другими средами и затухают при удалении от границы.
90 Лекция 7. Механические волны Примером таких волн являются волны в земной коре (сейсми- (сейсмические волны). Глубина проникновения поверхностных волн со- составляет несколько длин волн. На глубине, равной длине вол- волны Л, объемная плотность энергии волны wp составляет при- приблизительно 0,05 плотности на поверхности. Амплитуда смеще- смещения быстро убывает при удалении от поверхности и на глубине нескольких длин волн практически исчезает. 7.5.3. Волны возбуждения в активных средах. Активно воз- возбудимая среда, или активная среда, — непрерывная среда, состо- состоящая из большого числа элементов, каждый из которых обладает запасом энергии. При этом каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: 1 — возбуждение, 2 — рефрактерность (невозбу- (невозбудимость в течение определенного времени после возбуждения), 3 — покой. В возбуждение могут перейти элементы только из состояния покоя. Волны возбуждения в активных средах называют автоволна- автоволнами. Автоволны — это самоподдерживающиеся волны в активной среде, сохраняющие свои характери- характеристики постоянными за счет распределенных в сре- среде источников энергии. Характеристики автоволны — период, длина волны, скорость распространения, амплитуда и форма — в установившемся режи- режиме зависят только от локальных свойств среды и не зависят от начальных условий. В табл. 7.3 представлено сходство и различие автоволн и обычных механических волн. Автоволны можно сопоставить с распространением пожара в степи. Пламя распространяется по области с распределенны- распределенными запасами энергии (по сухой траве). Каждый последующий элемент (сухая травинка) зажигается от предыдущего. И таким образом распространяется фронт волны возбуждения (пламя) по активной среде (сухой траве). При встрече двух очагов пожара пламя исчезает, так как исчерпаны запасы энергии — вся трава выгорела. Описание процессов распространения автоволн в активных средах используется в описании распространения потенциалов действия по нервным и мышечным волокнам.
§ 7.6. Эффект Доплера и его использование в медицине 91 Таблица 7.3. Сравнение автоволн и обычных механических волн Свойства и характеристики Источник энергии Интенсивность Перенос энергии Взаимодействие с препятствием Сложение волн Обычные волны Энергия подводится от источника возмущения Интенсивность уменьшается — есть затухание Переносится энергия Волна отражается от препятствия Проявляется интерференция Автоволны Энергия запасена в среде Затухания нет Потребляется энергия среды Волна исчезает Волны гасятся § 7.6. Эффект Доплера и его использование в медицине Христиан Доплер A803-1853 г.) — австрийский физик, мате- математик, астроном, директор первого в мире физического инсти- института. Эффект Доплера состоит в том, что воспринимае- воспринимаемая приемником частота v отличается от излучае- излучаемой источником частоты г/0 вследствие движения источника волн и приемника. Эффект может наблюдаться в акустике и оптике. Пусть гармонические колебания источника волн определя- определяются уравнением где v§ — частота, a Tq — период колебаний источника. На рис. 7.2 сплошной линией выделено одно полное колебание источника. о в Тп , Рис. 7.2. Колебания источника волны
92 Лекция 7. Механические волны Возмущения, созданные началом (т. А) и концом (т. В) полно- полного колебания, распространяются в среде со скоростью V и дости- достигают приемника в моменты времени t\ и ^2, соответственно. При этом приемник фиксирует колебания с периодом и частотой: G.8) Найдем моменты t\ и t<i для следующего случая. Пусть источник и приемник волн движутся в направлении оси X со скоростями К, и Vn, соответственно. В начальный момент времен (t = 0) расстояние между ними — S (рис. 7.3). Положения источника и приемника в момент t= 0 Положение приемника в момент V» — S К — Рис. 7.3. Испускание и прием начала полного колебания Возмущение, созданное в среде началом полного колебания, «догонит» приемник через промежуток времени т\ = S/(V — Vn) и достигнет его в момент времени = S/(V-Vn). G.9) Полное колебание источника завершается в момент времени t = To, когда источник и приемник занимают новые положения и расстояние между ними — Si (рис. 7.4). Положения источника и приемника в момент Положение приемника в момент Рис. 7.4. Испускание и прием конца полного колебания
§ 7.6. Эффект Доплера и его использование в медицине 93 Возмущение, созданное в среде завершением полного коле- колебания, «догонит» приемник через промежуток времени t<i = = S\/(V — Vn) и достигнет его в момент «2 = Т0 + т2 = To + St/iV-Vn) = To + [S+(Vn-Vu)-To]/(V-Vn). G.10) Используя формулы G.8)-G.10), найдем период колебаний, фиксируемых приемником: Т = t<i — t\ — Tq + [S + (Vn — VH) x x Tq]/(V — Vn) — S/(V — Vn). После преобразований получим Эта формула получена для случая, когда Vu и Vn направлены в сторону оси х (от источника к приемнику). Для произвольных направлений вдоль оси х формула принимает вид УтУ, УтУп , , T = V^V-T°> У=у-^ущ- GЛ1) Верхний знак берется, если соответствующая скорость на- направлена в сторону оси х (от источника к приемнику), а нижний знак — для обратного направления. Рассмотрим один частный случай использования эффекта Доплера в медицине. Пусть генератор ультразвука совмещен с приемником в виде некоторой технической системы, которая неподвижна относительно среды. Генератор излучает ультразвук с частотой щ, который распространяется в среде со скоростью V. Навстречу системе со скоростью Vq движется некоторый объект. В данном случае система выполняет роль источника (Vu = 0), а объект — роль приемника (Vn = Vq). По формуле G.11) найдем частоту, воспринимаемую объектом: '-ЦР-Ъ. G.12) Ультразвуковая волна с частотой v1 отражается объектом в сторону технической системы. Теперь система выполняет роль приемника (Vn = 0), а объект — роль источника (Vu = — Vb). В этом случае приемник воспринимает частоту
94 Лекция 7. Механические волны Таким образом, возникает разница между принятой и ис- испущенной частотами, которую называют доплеровским сдвигом частоты: У + Уо 2УЬ vR = u -vQ = -—.vQ-UQ = -—.UQ. G.14) В медицинских приложениях скорость ультразвука значи- значительно больше скорости движения объекта (V ^> Vo). В этом случае V — Vo « V или: ^Д = ^^о- G.15) При приближении объекта к датчику частота отраженного сигнала увеличивается, а при удалении - уменьшается. Эффект Доплера используется для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (допле- ровская эхокардиография) и других органов. Большими возмож- возможностями и преимуществами обладает эффект Доплера, использу- используемый в УЗ диагностике. Схема соответствующей установки для измерения скорости крови показана на рис. 7.5. Кожа Q «< Кровь ) Рис. 7.5. Схема установки для измерения скорости крови: 1 — источник ультразвука, 2 — приемник ультразвука Она состоит из двух пьезокристаллических кристаллов, один из которых (основан на обратном пьезоэффекте) служит для генерации ультразвуковых колебаний, а второй (основан на пря- прямом пьезоэффекте) — для приема ультразвука, рассеянного кровью. Пример. Определить скорость кровотока в артерии, если при отражении ультразвука (щ = 100 кГц = 100 000 Гц, V = = 1500 м/с) от эритроцитов возникает доплеровский сдвиг ча- частоты 1УД = 40 Гц.
§ 7.7. Элементы реабилитологии 95 Решение. Из формулы G.15) найдем: Vq = vA • V/2 • щ = 40-1500/B-100 000) = 0,3 м/с. § 7.7. Элементы реабилитологии 7.7.1. Анизотропия распространения поверхностных волн. При исследовании механических свойств кожи с помощью по- поверхностных волн на частоте 5-6 кГц (не путать с УЗ) прояв- проявляется акустическая анизотропия кожи. Это проявляется в том, что скорость распространения поверхностной волны во взаимно перпендикулярных направлениях — вдоль вертикальной оси (У) и горизонтальной (X) осей тела, различаются. Для количественной оценки степени выраженности акусти- акустической анизотропии используется коэффициент механической анизотропии, который вычисляется по формуле К = (vy/vx) - 1, где vy — скорость вдоль вертикальной оси, vx — вдоль горизон- горизонтальной оси. Коэффициент анизотропии положительный (/^+), если vy > vx] при vy < vx коэффициент отрицательный (К-). Численные значения скорости поверхностных волн в коже и выраженность анизотропии являются объективными кри- критериями для оценки различных воздействий, в том числе и реабилитационно-восстановительных, на кожу (см. лекцию 11). 7.7.2. Действие ударных волн на биологические ткани. Во многих случаях воздействия на биологические ткани (органы) необходимо учитывать возникающие при этом ударные волны. При попадании пули в голову внутри возникают ударные волны, которые легко распространяются через жидкие среды внутри черепной коробки и вызывают огромные разрушения (подобно тому, когда попав в броню, снаряд не пробивает ее, но от внутренней поверхности броневой плиты отлетает рваный кусок металла; скорость и энергия этого осколка будут огромными, и разрушения тоже огромные). Аналогичный эффект может вызвать тупой удар в лоб. По- Поэтому при проектировании защитных касок заботятся о том, чтобы погасить ударную волну и предохранить затылок при
Лекция 7. Механические волны лобовом ударе. Этой цели и служит внутренняя лента в каске, которая на первый взгляд кажется необходимой для вентиляции. Ударные волны возникают в тканях при воздействии на них высокоинтенсивным лазерным излучением (см. лекцию 34). Ча- Часто после этого в коже начинают развиваться рубцовые (или иные) изменения. Например, это имеет место в реабилитацинных косметических процедурах. Поэтому для того, чтобы снизить вредное воздействие ударных волн, необходимо заранее рассчи- рассчитывать дозирование воздействия с учетом физических свойств, как излучения, так и самой кожи.
Лекция 8 АКУСТИКА. ЗВУК 1. Звук, виды звука. 2. Физические характеристики звука. 3. Характеристики слухового ощущения, звуковые измерения. 4. Звуковые методы исследования. 5. Элементы реабилитологии. Факторы, определяющие реабилита- реабилитационную профилактику шума. Защита от шума. Акустика — область физики, изучающая упругие колебания и волны, методы получения и регистра- регистрации колебаний и волн, их взаимодействие с веще- веществом. Звуковые явления, изучаемые в акустике, чрезвычайно валены для медицины, особенно для оценки слуховых ощущений. § 8.1. Звук, виды звука Звук в широком смысле — упругие колебания и волны, рас- распространяющиеся в газообразных, жидких и твердых веществах; в узком смысле — явление, субъективно воспринимаемое органом слуха человека и животных. В норме ухо человека слышит звук в диапазоне частот от 16 Гц до 20 кГц. Однако с возрастом верхняя граница этого диапазона уменьшается: Возраст Маленькие дети До 20 лет 35 лет 50 лет Верхняя граница частоты, Гц 22000 20000 примерно 15000 примерно 12000 Звук с частотой ниже 16 Гц называется инфразвуком, выше 20 кГц — ультразвуком, а самые высокочастотные упругие вол- волны в диапазоне от 109 до 1012 Гц — гиперзвуком. Существующие в природе звуки разделяют на несколько ви- видов. 4 Федорова В.Н., Степанова Л. А.
Лекция 8. Акустика. Звук Звуковой удар - это кратковременное звуковое воздействие (хлопок, взрыв, удар, гром). Тон — это звук, представляющий собой периодический процесс. Основной характеристикой тона является частота. Тон может быть простым, характеризующимся одной частотой (например, издаваемый камертоном, звуковым генератором), и сложным (издаваемым, например, аппаратом речи, музыкаль- музыкальным инструментом). Акустический спектр. Сложный тон можно представить в виде суммы простых тонов (разложить на составляющие тона). Наименьшая частота такого разложения соответствует основно- основному тону, а остальные — обертонам, или гармоникам. Обертоны имеют частоты, кратные основной частоте. Акустический спектр тона — это совокупность всех его ча- частот с указанием их относительных интенсивностей или ампли- амплитуд. Обычно наибольшая амплитуда спектра соответствует основ- основному тону. Именно он воспринимается ухом как высота звука (см. ниже). Обертона создают «окраску» звука. Звуки одной и той же высоты созданные разными инструментами восприни- воспринимаются ухом по-разному именно из-за различного соотношения между амплитудами обертонов. Сложные тоны имеют дискрет- дискретный спектр. Шум — это звук, имеющий сложную, неповторяющуюся вре- временную зависимость, и представляет собой сочетание беспоря- беспорядочно изменяющихся сложных тонов. Акустический спектр шу- шума — сплошной (шорох, скрип). § 8.2. Физические характеристики звука а) Скорость (v). Звук распространяется в любой среде, кроме вакуума. Скорость его распространения зависит от упругости, плотности и температуры среды, но не зависит от частоты коле- колебаний. Скорость звука в воздухе при нормальных условиях равна примерно 330 м/с (« 1200 км/ч). Скорость звука в воде равна 1500 м/с; близкое значение имеет скорость звука и в мягких тка- тканях организма. (Это очень большая скорость — 5400 км/ч. Кроме ракет, ни один аппарат, созданный человеком для движения, не может развивать такой скорости).
§ 8.2. Физические характеристики звука 99 б) Интенсивность (/). Это энергетическая характеристика звука. По определению — это плотность потока энергии звуковой волны. Для уха человека важны два значения интенсивности (на частоте 1 кГц): порог слышимости — /0 = 10~12 Вт/м2, такой порог вы- выбран на основе объективных показателей — это минимальный порог восприятия звука нормальным человеческим ухом; встре- встречаются люди у которых интенсивность может быть 10~13 или Ю-9 Вт/м2; порог болевого ощущения — /max — Ю Вт/м2, звук такой интенсивности человек перестает слышать и воспринимает его как ощущение давления или боли. Органы слуха человека невероятно чувствительны: Imax/Io = = 1013, то есть воспринимаемая максимальная интенсивность превышает минимальную интенсивность в 10 000 000 000 000 раз! Громкому разговору (на частоте 1 кГц) соответствует интен- интенсивность звука, равная 10~6 Вт/м2, то есть одной миллионной доле ватта на 1 м2. в) Звуковое давление (Р). Распространение звуковой волны сопровождается изменением давления. Звуковое давление (Р) — это давление, дополни- дополнительно возникающее при прохождении звуковой волны в среде; оно является избыточным над сред- средним давлением среды. Физиологически звуковое давление проявляется как давление на барабанную перепонку. Для человека важны два значения этого параметра: звуковое давление на пороге слышимости — Pq = 2 • 10~5 Па; звуковое давление на пороге болевого ощущения — Ртах = = 60 Па. Между интенсивностью (/) и звуковым давлением (Р) суще- существует связь: / = P2/2pv, (8.1) где р — плотность среды, v — скорость звука в среде. г) Волновое сопротивление среды (Ra). При падении звуковой волны на границу раздела между двумя средами возникают явления отражения и преломления звука (как плоской волны). Интенсивности отраженной и преломленной волн зависят от вол- волновых сопротивлений сред.
100 Лекция 8. Акустика. Звук Волновым сопротивлением среды (Да) называет- называется произведение плотности среды (р) на скорость распространения звука (v): Ra = pv. (8.2) В табл. 8.1 приведены скорости и волновые сопротивления некоторых веществ при 20 °С. Таблица 8.1. Скорость звука и акустическое сопротивление для некоторых веществ и тканей человека при t = 25°С Вещество Воздух Вода Сталь углеродистая Гладкие мышцы Жировая ткань Мозг Кости черепа Печень Хрусталик Стекловидное тело v, м/с 331 1497 5100 1550 1460 1520 3660 1570 1650 1530 Да, Ю6 КГ/(М2С) 0,00043 1,49 40,0 1,54 1,32 1,6 6,22 1,7 1,73 1,54 Интенсивность отраженной волны зависит от коэффициента отражения. Коэффициент отраснсения (г) — величина, равная отношению интенсивностей отраженной и падаю- падающей волн: г = WW (8.3) При нормальном падении коэффициент г рассчитывается по формуле: г = [(Д^ - Rai)/(Ra2 + Яа1)]2- (8.4) Интенсивность преломленной волны зависит от коэффициента пропускания. Коэффициент пропускания (/3)- величина, равная отношению интенсивностей прошедшей (прелом- (преломленной) и падающей волн: Р — ^прош/^пад*
§ 8.2. Физические характеристики звука 101 При нормальном падении коэффициент /3 рассчитывается по формуле /3 = 4(Яа1/Яа2)/(Яа1/Яа2 + IJ. (8.5) Коэффициент /3, выраженный в процентах, на границе возду- воздуха с водой и бетоном равен, соответственно: /ЗВОДа = 0,122%, /5бетон = 0,037%. Из соотношений (8.4) и (8.5) видно, что чем меньше различа- различаются волновые сопротивления сред, тем меньшая доля энергии отражается на границе раздела. В частности, если сопротивле- сопротивления равны, то при нормальном падении волны отражения вообще не происходит. Отметим, что сумма коэффициентов отражения и преломле- преломления равна единице, а их значения не зависят от того порядка, в котором звук проходит данные среды. Например, для перехода звука из воздуха в воду значения коэффициентов такие же, как для перехода в обратном направлении. д) Уровень интенсивности. При сравнении интенсивности звука удобно пользоваться логарифмической шкалой, то есть сравнивать не сами величины, а их логарифмы. Для этого ис- используется специальная величина— уровень интенсивности (L): = 21g(P/Po). (8.6) Единицей измерения уровня интенсивности является — бел, [Б]. Логарифмический характер зависимости уровня интенсивно- интенсивности от самой интенсивности означает, что при увеличении ин- интенсивности в 10 раз уровень интенсивности возрастает на 1 Б. Интенсивность, Вт/м2 Уровень интенсивности, Б /о 0 Ю-/о 1 Ю2 • /о 2 Ю3 • /о 3 Один бел большая величина, поэтому на практике использу- используют более мелкую единицу уровня интенсивности — децибел [дБ]: 1 дБ = 0,1 Б. Уровень интенсивности в децибелах выражается по следующим формулам: LflB = lOlg(///o); LAB = 20lg(P/P0). Если в данную точку приходят звуковые волны от нескольких некогерентных источников, то интенсивность звука равна сумме
102 Лекция 8. Акустика. Звук интенсивностей всех волн: / = /х + /2 + ... (8.7) Для нахождения уровня интенсивности результирующего сигна- сигнала используется следующая формула: L = lgA0Ll+10L2+ ...)• (8.8) Здесь интенсивности должны быть выражены в белах. Фор- Формула для перехода имеет вид L = 0,l-LflB. (8.9) Высокий уровень интенсивности звука приводит к необратимым изменениям в слуховом аппарате. Так, шум в 160 дБ может вызвать разрыв барабанной перепонки и смещение слуховых косточек в среднем ухе, что приводит к необратимой глухоте. При 140 дБ человек ощущает сильную боль, а продолжительное действие шума в 90-120 дБ приводит к поражению слухового нерва. § 8.3. Характеристики слухового ощущения, звуковые измерения Звук является объектом слухового ощущения. Он оценива- оценивается человеком субъективно. Все субъективные характеристики слухового ощущения связаны с объективными характеристиками звуковой волны. 8.3.1. Высота, тембр, громкость. Воспринимая звуки, чело- человек различает их по высоте, тембру, громкости. Высота тона обусловлена, прежде всего, частотой основного тона (чем больше частота, тем более высоким воспринимается звук). В меньшей степени высота зависит от интенсивности вол- волны (звук большей интенсивности воспринимается более низким). Тембр звука определяется его гармоническим спектром. Раз- Различные акустические спектры соответствуют разному тембру, даже в том случае, когда основной тон у них одинаков. Тембр — это качественная характеристика звука. Громкость звука — это субъективная оценка уровня его ин- интенсивности.
§ 8.3. Характеристики слухового ощущения 103 8.3.2. Закон Вебера-Фехнера. Использование логарифмиче- логарифмической шкалы для оценки уровня интенсивности звука хорошо согласуется с психофизическим законом Вебера-Фехнера: Если увеличивать раздражение в геометрической прогрессии (то есть в одинаковое число раз), то ощущение этого раздражения возрастает в ариф- арифметической прогрессии (то есть на одинаковую ве- величину). Этот закон не может быть назван физическим, так как характе- характеризует свойство субъективных ощущений. Поэтому его называ- называют психофизическим (подобный закон справедлив и при оценке зрительной чувствительности яркости, тактильной чувствитель- чувствительности для кожи и т. д.). На первый взгляд кажется, что громкость звука следует из- измерять в белах или децибелах. Действительно, при таком подходе увеличение интенсивности (раздражителя) в 10 раз вызовет уве- увеличение громкости (ощущения звукового раздражения) на 1 Б. Однако субъективное восприятие интенсивности звука связано не только с уровнем интенсивности, но и с частотой звука. Так, например, ухо человека не воспринимает ультразвук даже при большом уровне интенсивности. По этой причине при построе- построении шкалы громкости следует учитывать восприимчивость уха «среднего» человека к различным частотам. Поступают следующим образом. Для звука с частотой 1 кГц вводят единицу уровня громко- громкости — фон, которая соответствует уровню интенсивности 1 дБ. Для других частот уровень громкости также выражают в фо- фонах по следующему правилу: громкость звука равна уровню интенсивности звука (дБ) на частоте 1 кГц, вызывающего у «среднего», человека такое лее ощущение громкости, что и данный звук. Уровень громкости обозначают буквой Е, например, Е = = 30 фон. Ниже приводится пример зависимости уровня гром- громкости от частоты. Зависимость громкости от частоты при уровне интенсивности 60 дБ Частота, Гц Громкость, фон 50 10 100 30 200 47 500 57 1000 60 2000 64 5000 59 10000 49
104 Лекция 8. Акустика. Звук 8.3.3. Кривые равной громкости. Зависимость громкости от частоты колебаний в системе звуковых измерений определяется на основании экспериментальных данных при помощи графиков, которые называются кривыми равной громкости (рис. 8.1). Эти кривые дают зависимость уровня интенсивности L от частоты v звука при постоянном уровне громкости. Нижняя кривая соот- соответствует порогу слышимости. Она дает зависимость пороговой интенсивности Lq от частоты: Lq = f(v). 120 100 80 60 40 20 0 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 у,Гц Рис. 8.1. Кривые равной громкости У человека с нормальным слухом колебания с частотой ниже 16 Гц или выше 20000 Гц слухового ощущения не вызывают. При увеличении частоты, начиная с 16 Гц, чувствительность уха растет, и порог слышимости снижается; в области частот 1000-5000 Гц чувствительность наибольшая, то есть порог мини- минимален. При дальнейшем увеличении частоты чувствительность падает до нуля при 20 000 Гц. Верхняя кривая показывает верхний предел чувствительно- чувствительности уха, когда слуховое ощущение переходит в ощущение боли (Е = 120 фон). Каждая кривая соответствует одинаковой громкости, но раз- разной интенсивности для разных частот. По отдельной кривой равной громкости можно найти интенсивности, которые при определенных частотах вызывают ощущение этой громкости.
§ 8.3. Характеристики слухового ощущения 105 8.3.4. Звуковые измерения. Различные звуки окружают че- человека. Характеристики часто встречающихся звуков приведены в табл. 8.2. Таблица 8.2. Характеристики встречающихся звуков Действующий звук Порог слышимости Тихий шепот Негромкая музыка Разговорная речь на расстоянии 1 м Шумная улица Шум мотора грузового автомобиля Крик Шум в поезде метро Пневматический молот Реактивный двигатель, удар грома Порог болевого ощущения Интенсивность звука, Вт/м2 10-ю ю-9 ю-8 ю-7 ю-5 1(Г5 10~4 ю-3 ю-1 10° 101 Уровень интенсивности, ДБ 0 30 40 50 70 70 80 90 ПО 120 130 Звуковое давление, Па 0,00002 0,0002 0,002 0,0064 0,064 0,0645 0,2 0,64 645 20 64 Для субъективной оценки слуха применяется метод тональ- тональной пороговой аудиометрии (воздушное и костное проведение). Аудиометрия — метод измерения остроты слуха. На спе- специальном приборе (аудиометре) определяется порог слухового ощущения или порог восприятия ЬП на разных частотах : Ln = 101g(/n//min), где /п — пороговая интенсивность звука, которая приводит к воз- возникновению слухового ощущения у испытуемого. Получают кривые — аудиограммы, которые отражают зави- зависимость порога восприятия от частоты тона, то есть это спек- спектральная характеристика уха на пороге слышимости. При по- построении аудиограмм ось 0Ln направлена вниз, рис. 8.2, в этом случае отклонение кривых от нулевого уровня наглядно харак- характеризует снижение слуха у испытуемых.
106 Лекция 8. Акустика. Звук Сравнивая аудиограмму больного пациента (рис. 8.2в) с нор- нормальной кривой порога слухового ощущения (рис. 8.2а), ставят диагноз. Аудиограмма в зависимости от характера заболевания имеет специфический вид, отличный от аудиограммы здорового уха. 250 600 1000 2000 4000 8000 у, Гц Рис. 8.2. Аудиограммы: а — воздушное проведение, б — костное про- проведение, в — воздушное проведение при заболевании Аудиометр оснащен костным вибратором для исследования костного звукопроведения, (рис. 8.25). Отклонение тональных порогов в среднем на ±10 дБ на каждой частоте считается нор- нормальным, если воздушная и костная проводимость совпадают. Нарушение функции звуковоспринимающего аппарата может привести к тугоухости — стойкому снижению чув- чувствительности к различным тонам и шепотной речи. Международная классификация степеней тугоухости, осно- основанная на усредненных значениях порогов восприятия на рече- речевых частотах, приведена в табл. 8.3. Таблица 8.3. Международная классификация тугоухости Степень тугоухости I II III IV Глухота Среднее значение порогов слышимости, дБ 26-40 41-55 56-70 71-90
§ 8.4. Звуковые методы исследования 107 Шумомеры — приборы для измерения уровня громкости. Шумомер снабжен микрофоном, который превращает акустиче- акустический сигнал в электрический. Уровень громкости (дБ) регистри- регистрируется стрелочным измерительным прибором. § 8.4. Звуковые методы исследования Звук может быть источником информации о состоянии орга- органов человека. а) Лускультация — непосредственное выслушивание звуков, возникающих внутри организма. По характеру таких звуков можно определить, какие именно процессы протекают в данной области тела и в некоторых случая установить диагноз. Прибо- Приборы, применяемые для выслушивания: стетоскоп, фонендоскоп. Фонендоскоп состоит из полой капсулы с передающей мем- мембраной, которая прикладывается к телу, от нее идут резиновые трубки к уху врача. В полой капсуле возникает резонанс стол- столба воздуха, вызывающий усиление звучания и, следовательно, улучшение выслушивания. Выслушиваются дыхательные шумы, хрипы, тоны сердца, шумы в сердце. В клинике используются установки, в которых выслушивание осуществляется при помощи микрофона и динамика. Широко применяется запись звуков с помощью магнитофона на магнит- магнитную ленту, что дает возможность их воспроизведения. б) Фонокардиография — графическая регистрация тонов и шу- шумов сердца и их диагностическая интерпретация. Запись осу- осуществляется с помощью фонокардиографа, который состоит из микрофона, усилителя, частотных фильтров, регистрирующего устройства. в) Перкуссия — исследование внутренних органов посред- посредством постукивания по поверхности тела и анализа возникающих при этом звуков. Постукивание осуществляется либо с помощью специальных молоточков, либо при помощи пальцев. Если в замкнутой полости вызвать звуковые колебания, то при определенной частоте звука воздух в полости начнет ре- резонировать, усиливая тот тон, который соответствует разме- размеру полости и ее положению. Схематично тело человека можно представить суммой разных объемов: газонаполненных (легкие), жидких (внутренние органы), твердых (кости). При ударе по поверхности тела возникают колебания с разными частотами.
108 Лекция 8. Акустика. Звук Часть из них погаснет. Другие совпадут с собственными часто- частотами пустот, следовательно, усилятся и из-за резонанса будут слышны. По тону перкуторных звуков определяют состояние и топографию органа. § 8.5. Элементы реабилитологии 8.5.1. Факторы, определяющие реабилитационную профи- профилактику шума. Для реабилитационной профилактики шума необходимо знать основные факторы, определяющие его воздействие на организм человека: близость источника шума, интенсивность шума, длительность воздействия, ограниченность пространства, в котором действует шум. Длительное воздействие шума вызывает сложный симптома- симптоматический комплекс функциональных и органических изменений в организме (и не только органа слуха). Воздействие длительного шума на ЦНС проявляется в за- замедлении всех нервных реакций, сокращении времени активного внимания, снижении работоспособности. После длительного действия шума изменяется ритм дыха- дыхания, ритм сердечных сокращений, возникает усиление тонуса сосудистой системы, что приводит к повышению систолическо- систолического и диастолического уровня кровяного давления. Изменяется двигательная и секреторная деятельность желудочно-кишечного тракта, гиперсекреция отдельных желез внутренней секреции. Имеет место повышение потливости. Отмечается подавление психических функций, особенно памяти. Специфическое действие оказывает шум на функции органа слуха. Ухо, как и все органы чувств, способно адаптироваться к шуму. При этом под действием шума порог слышимости по- повышается на 10-15 дБ. После прекращения шумового воздей- воздействия нормальное значение порога слышимости восстанавлива- восстанавливается только через 3-5 минут. При высоком уровне интенсивности шума (80-90 дБ) его утомляющее действие резко возрастает. Одной из форм расстройства функции органа слуха, связанной с длительным воздействием шума, является тугоухость. Сильное воздействие как на физическое, так и на психологи- психологическое состояние человека оказывает рок-музыка. Современная рок-музыка создает шум в диапазонах от 10 Гц до 80 кГц.
§ 8.5. Элементы реабилитологии 109 Экспериментально установлено, что если основной ритм, зада- задаваемый ударными инструментами, имеет частоту 1,5 Гц и имеет мощное музыкальное сопровождением на частотах 15-30 Гц, то у человека наступает сильное возбуждение. При ритме 2 Гц при таком же сопровождении человек впадает в состояние, близкое наркотическому. На рок-концертах интенсивность звука может превышать 120 дБ, хотя человеческое ухо настроено наиболее благоприятно на среднюю интенсивность 55 дБ. При этом могут возникать контузии звуком, звуковые «ожоги», потеря слуха и памяти. Шум оказывает вредное воздействие и на орган зрения. Так, длительное воздействие производственного шума на человека, находящегося в затемненном помещении, приводит к заметному снижению активности сетчатки глаза, от которой зависит работа глазного нерва, а, следовательно, и острота зрения. Защита от шума достаточно сложна. Это связано с тем, что вследствие сравнительно большой длины волны звук огибает препятствия (дифракция) и звуковая тень не образуется, рис. 8.3. Рис. 8.3. Дифракция звуковых волн Кроме того, многие материалы, применяемые в строитель- строительстве и технике, имеют не достаточно высокий коэффициент по- поглощения звука. Эти особенности требуют специальных средств борьбы с шу- шумами: подавление шумов, возникающих в самом источнике, ис- использование глушителей, применение упругих подвесов, приме- применение звукоизолирующих материалов, устранение щелей и т. п. Для борьбы с шумами, проникающими в жилые помещения, большое значение имеют правильное планирование расположе- расположения зданий, учет розы ветров, создание защитных зон, в том
110 Лекция 8. Акустика. Звук числе и растительных. Растения — хороший гаситель шума. Деревья и кустарники могут снижать уровень интенсивности на 5-20 дБ. Эффективны зеленые полосы между тротуаром и мо- мостовой. Лучше всего шум гасят липы и ели. Дома, находящиеся позади высокого хвойного заслона, могут быть избавлены от шумов улицы почти полностью. Борьба с шумом не предполагает создание абсолютной ти- тишины, так как при длительном отсутствии слуховых ощущений у человека могут возникнуть расстройства психики. Абсолютная тишина и длительный повышенный шум одинаково противоесте- противоестественны для человека.
Лекция 9 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ФИЗИКИ СЛУХА 1. Звукопроводящая и звуковоспринимающая части слухового ап- аппарата. 2. Роль наружного уха. 3. Роль среднего уха. 4. Роль внутреннего уха. 5. Определение локализации источника звука в горизонтальной плоскости — бинауральный эффект. 6. Определение локализации источника звука в вертикальной плос- плоскости. 7. Элементы реабилитологии. Слуховые аппараты и протезы. Тим- панометрия. Слух — восприятие звуковых колебаний, которое осуществляется органами слуха. § 9.1. Звукопроводящая и звуковоспринимающая части слухового аппарата Орган слуха человека представляет собой сложную систему, элементы которой представлены на рис. 9.1. Среднее ухо ^ Полукружные каналы Внутреннее ухо s: Улитка Наружное Барабанная Евстахиева ¦^ перепонка труба Рис. 9.1. Строение слухового аппарата (а) и элементы органа слу- слуха (б): 1 — ушная раковина, 2 — наружный слуховой проход, 3 — барабанная перепонка, 4 — молоточек, 5 — наковальня, 6 — стремечко, 7 — овальное окно, 8 — вестибулярная лестница, 9 — круглое окно, 10 — барабанная лестница, 11 — улитковый канал, 12 — основная (базилярная) мембрана
112 Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха По выполняемым функциям в слуховом аппарате человека можно выделить звукопроводящую и звуковоспринимающую ча- части, основные элементы которых представлены на рис. 9.2. Наружное ухо Среднее ухо Внутреннее ухо Г У 1 о "» 1 2 j л 4 j f и V А V 7 С / О J Звукопроводящая часть Звуковоспринимающая часть Распространение механических колебаний Распространение биопотенциала Рис. 9.2. Схематическое представление основных элементов слухового аппарата человека: 1 — ушная раковина, 2 — наружный слуховой проход, 3 — барабанная перепонка, 5 — улитка, 4 — система косточек, 6 — основная мембрана, 7 — рецепторы, 8 — разветвление слухового нерва Слуховая система связывает приемник звука с мозгом. § 9.2. Роль наружного уха 9.2.1. Функционирование наружного уха. Наружное ухо со- состоит из ушной раковины, слухового прохода (в виде узкой труб- трубки), барабанной перепонки. Ушная раковина играет роль звуко- звукоулавливателя, концентрирующего звуковые волны на слуховом проходе, в результате чего звуковое давление на барабанную перепонку увеличивается по сравнению со звуковым давлением в падающей волне примерно в 3 раза. Наружный слуховой про- проход вместе с ушной раковиной можно сравнить с резонатором типа трубы. Барабанная перепонка отделяет наружное ухо от среднего уха и представляет собой пластинку, состоящую из двух слоев коллагеновых волокон, ориентированных по-разному. Толщина перепонки около 0,1 мм. 9.2.2. Причина наибольшей чувствительности уха в области 3 кГц. Звук поступает в систему через наружный слуховой канал,
§9.3. Роль среднего уха 113 который является закрытой с одной стороны акустической тру- трубой длиной L = 2,5 см. Звуковая волна проходит через слуховой проход и частично отражается от барабанной перепонки. В ре- результате интерференции падающей и отраженной волны образу- образуется стоячая волна. Возникает акустический резонанс. Условия его появления: длина волны в 4 раза больше длины воздушного столба в слуховом проходе. При этом столб воздуха внутри кана- канала будет резонировать на звук с длиной волны, равной четырем его длинам: Л = 4L = 4 • 0,025 = 0,1 м. Частота, на которой возникает акустический резонанс, определяется так: v = V/X = = 300/D • 0,025) = 3 кГц. Этот резонансный эффект объяс- объясняет тот факт, что человеческое ухо наиболее чувствительно в диапазоне приблизительно 3 кГц (см. кривые равной громкости в лекции 8). § 9.3. Роль среднего уха 9.3.1. Строение среднего уха. Среднее ухо является устрой- устройством, предназначенным для передачи звуковых колебаний из воздушной среды наружного уха в жидкою среду внутреннего уха. Среднее ухо (см. рис. 9.2) содержит барабанную перепонку, овальное и круглое окна, а также слуховые косточки (молоточек, наковальня, стремечко). Оно представляет собой своеобразный барабан (объемом 0,8 см3), который отделяется от наружного уха барабанной перепонкой, а от внутреннего уха овальным и круглым окнами. Среднее ухо заполнено воздухом. Любая разность давлений между наружным и средним ухом приводит к деформации барабанной перепонки. Барабанная перепонка — это воронкообразная мембрана, вдавленная внутрь среднего уха. От нее звуковая информация передается косточкам среднего уха (форма барабанной перепонки обеспечивает отсутствие собствен- собственных колебаний, что весьма существенно, так как собственные колебания перепонки создавали бы шумовой фон). 9.3.2. Проникновение звуковой волны через границу «воздух-жидкость». Для того, чтобы понять назначение среднего уха, рассмотрим непосредственный переход звука из воздушной среды в жидкую. На границе раздела двух сред одна часть падающей волны отражается, а другая часть проходит во вторую среду (см. лекцию 8). Доля энергии, проходящей из одной среды
114 Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха в другую, зависит от коэффициента пропускания /3: Р = ^прошуМпад* V^'-^J При нормальном падении волны коэффициент /3 зависит от соотношения между волновыми сопротивлениями 7?а обеих сред (напомним, что волновое сопротивление среды равно произведе- произведению скорости звука на плотность среды, 7?а = vp)\ /3 = 4(Яа1/Яа2)/(Яа1/Яа2 + IJ. (9.2) Оценим коэффициент пропускания на границе воздух-вода. Волновое сопротивление воздуха (Rai) составляет 440 кг/(м2с). Волновое сопротивление среды внутреннего уха (Ra2) близко к сопротивлению воды — 1440 000 (кг/м2с). Подставив эти значе- значения в (9.2), получим для перехода из воздуха в воду /3 = 0,00122. Это означает, что /прОш ~ 0,001 /пад? т-е только тысячная доля интенсивности попадает в воду. В логарифмическом масштабе потери интенсивности составляют: ЬдВ = 1018(/пад//прош) = 101g(l/0,00122) = 29 дБ. То есть при переходе из воздуха в воду уровень интенсивности звука уменьшается на 29 дБ. С энергетической точки зрения такой переход абсолютно не эффективен. По этой причине эволю- эволюция и создала специальный передаточный механизм — систему слуховых косточек, которые выполняют функцию согласования волновых сопротивлений воздушной и жидкой среды для умень- уменьшения энергетических потерь. 9.3.3. Физические основы функционирования системы слу- слуховых косточек. Система косточек представляет собой последо- последовательное звено, начало которого (молоточек) связано с бара- барабанной перепонкой внешнего уха, а конец (стремечко) — с оваль- овальным окном внутреннего уха (рис. 9.3). Площадь барабанной перепонки равна Squ = 64 мм2, а пло- площадь овального окна Soo = 3 мм2. Схематически их взаимное расположение представлено на рис. 9.4.
§ 9.3. Роль среднего уха 115 7 89 Рис. 9.3. Схема распространения звуковой волны от наружного уха через среднее ухо во внутреннее ухо: 1 — барабанная перепонка, 2 — молоточек, 3 — наковальня, 4 — стремечко, 5 — овальное окно, 6 — круглое окно, 7 — барабанная лестница, 8 — улитка, 9 — лестница преддверия Рис. 9.4. Схематическое представление расположения барабанной пе- перепонки и овального окна: S^n — площадь барабанной перепонки; Soo — площадь овального окна На барабанную перепонку действует звуковое давление Pi, следовательно сила равна Система косточек работает как рычаг с соотношением плеч L\/L2 = 1,3, который дает выигрыш в силе со стороны внут- внутреннего уха в 1,3 раза (рис. 9.5).
116 Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха Рис. 9.5. Схематическое представление работы системы косточек как рычага Поэтому на овальное окно действует сила F<i = l,3Fi, со- создающая в жидкой среде внутреннего уха звуковое давление Р2, которое равно Р2 = F2/SOo = l,3Fi/5oo = l,3Pi • (S6n/Soo). (9.4) Из соотношений (9.3) и (9.4) следует, что P2/Pi = l,3-E6n/5Oo). (9.5) Отношение S^n/Soo « 20. Таким образом, различие площадей барабанной перепонки и овального окна совместно с системой косточек обеспечивают усиление звукового давления в 26 раз. В логарифмических единицах этот выигрыш составляет Выполненные расчеты показывают, что при прохождении звука через среднее ухо происходит увеличение уровня его ин- интенсивности на 28 дБ. Потери уровня интенсивности звука при переходи из воздушной среды в жидкую составляют 29 дБ. Об- Общая потеря интенсивности составляет лишь 1 дБ вместо 29 дБ, которая имела бы место при отсутствии среднего уха. Еще одна функция среднего уха — ослабление передачи коле- колебаний в случае звука большой интенсивности. С помощью мышц рефлекторно может быть ослаблена связь между косточками при слишком больших интенсивностях звука. Сильное изменение давления в окружающей среде (напри- (например, связанное с изменением высоты) может вызвать растяжение
§9.4. Роль внутреннего уха 117 барабанной перепонки, сопровождающееся болевыми ощущения- ощущениями, или даже ее разрыв. Для избавления от таких перепадов дав- давления служит небольшая евстахиева труба, которая соединяет полость среднего уха с верхней частью глотки (с атмосферой). § 9.4. Роль внутреннего уха Звуковоспринимающей системой слухового аппарата являют- являются внутреннее ухо и входящая в него улитка. Внутреннее ухо представляет собой замкнутую полость. Эта полость, называемая лабиринтом, имеет сложную форму и за- заполнена жидкостью — перилимфой. Лабиринт состоит из двух основных частей: улитки, преобразующей механические колеба- колебания в электрический сигнал, и полукружия вестибулярного ап- аппарата, обеспечивающего равновесие тела в поле силы тяжести. 9.4.1. Строение улитки. Улитка является полым костным об- образованием длиной 35 мм и имеет форму конусообразной спира- спирали, содержащей 2,5 завитка. Улитку схематично можно предста- представить в вытянутом виде. Вдоль улитки проходят три канала, их можно представить и в сечении улитки (рис. 9.6). Рис. 9.6. Схематическое строение улитки, содержащей каналы: 1 — вестибулярный, 2 — барабанный, 3 — улитковый; 4 — основная (ба- зилярная) мембрана, 5 — слуховой нерв Вестибулярный и барабанный каналы соединены между со- собой, это единая система, наполненная перилимфой. Колебания стремечка передаются мембране овального окна, от нее пери- лимфе и выпячивают мембрану круглого окна, а затем рассеи- рассеиваются через носоглотку. Пространство между вестибулярным и барабанным каналами (улитковый канал) заполнен эндолим- фой. Между улитковым и барабанным каналом вдоль улитки проходит основная (базилярная) мембрана. На основной мем- мембране находится кортиев орган, содержащий рецепторные (во- лосковые) клетки (около 24 000), в которых возникают электри-
118 Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха ческие потенциалы, передаваемые по слуховому нерву в мозг. Кортиев орган является преобразователем механических коле- колебаний в электрический сигнал. Длина основной мембраны приблизительна равна 32 мм. Она очень неоднородна по своей форме: расширяется и утончается в направлении от овального окна к верхушке улитки. Вследствие этого модуль упругости основной мембраны вблизи стремечка примерно в 100 раз большее, чем у вершины. 9.4.2. Частотно-избирательные свойства основной мембраны улитки. Основная мембрана является неоднородной линией пере- передачи механического возбуждения. При действии акустического раздражителя по основной мембране распространяется волна, степень затухания которой зависит от частоты: чем меньше частота раздражения, тем дальше от овального окна распро- распространится волна по основной мембране. Так, например, волна с частотой 300 Гц до затухания распространится приблизительно на 25 мм от овального окна, а волна с частотой 100 Гц распро- распространяется приблизительно на 30 мм. В настоящее время считается, что восприятие высоты тона определяется положением максимума колебаний основной мем- мембраны. Колебания основной мембраны стимулируют рецепторные клетки, расположенные в кортиевом органе, в результате чего возникают потенциалы действия, передаваемые слуховым нер- нервом в кору головного мозга. § 9.5. Определение локализации источника звука в горизонтальной плоскости — бинауральный эффект Бинауральный эффект — способность устанавливать направ- направление на источник звука в горизонтальной плоскости. Суть эф- эффекта поясняется на рис. 9.7. Пусть источник звука поочередно располагают в точках А, В и С. Из точки А, находящейся прямо перед лицом, звуковая волна попадает одинаково в оба уха, при этом путь звуковой волны до ушных раковин один и тот же, то есть для обоих ушей разность хода д и разность фаз А(р звуковых волн равны нулю:
§ 9.5. Определение локализации источника звука 119 8 = О, А(р = О. Поэтому приходящие волны имеют одинаковую фазу и интенсивность. Из точки В звуковая волна приходит в левую и правую ушные раковины в разных фазах и с отличающимися интенсивностями, так как проходят до ушей разное расстояние. В С Рис. 9.7. Различная локализация источника звука (А, В, С) в горизон- горизонтальной плоскости, L — расстояние между ушными раковинами Если источник расположен в точке С против одной из ушных раковин, то в этом случае разность хода S можно принять равной расстоянию между ушными раковинами 5 ~ L ~ 17 см = = 0,17 м. При этом разность фаз А(р = Bтг/АM. Для частоты v = 1000 Гц и v « 340 м/с длина волны Л = v/v = 0,34 м. Отсюда получим: Аср = Bтг/\M = Bтг/0,340H,17 = тг. В данном примере волны приходят в противофазе. Всем реальным направлениям на источник звука в горизон- горизонтальной плоскости будут соответствовать разности фаз от 0 до тг (от 0° до 180°). Таким образом, разность фаз и неодинаковость интенсив- ностей звуковых волн, попадающих в разные уши, обеспечи- обеспечивают бинауральный эффект. Человек с нормальным слухом может фиксировать направление на источник звука при разности фаз 6°, что соответствует фиксированию направления на источ- источник звука с точностью до 3°.
120 Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха § 9.6. Определение локализации источника звука в вертикальной плоскости Рассмотрим теперь случай, когда источник звука расположен в вертикальной плоскости, проходящей перпендикулярно пря- прямой, соединяющей оба уха. В этом случае он одинаково удален от обоих ушей и разности фаз не возникает. Не отличаются при этом и интенсивности звука, попадающего в правое и левое ухо. На рис. 9.8 показаны два таких источника (А и С). Различит ли слуховой аппарат эти источники? Да. В данном случае это про- произойдет благодаря особой форме ушной раковины, которая (фор- (форма) способствует определению локализации источника звука. А • С Рис. 9.8. Различная локализация источника звука в вертикальной плоскости Звук, исходящий от этих источников, падает на ушные рако- раковины под различными углами. Это приводит к тому, что дифрак- дифракция звуковых волн на ушных раковинах происходит по-разному. В результате на спектр звукового сигнала, попадающего в на- наружный слуховой проход, накладываются дифракционные мак- максимумы и минимумы, зависящие от положения источника звука. Эти различия и позволяют определять положение источника звука в вертикальной плоскости. По всей видимости, в результате огромного опыта слушания люди научились ассоциировать раз- различные спектральные характеристики с соответствующими на- направлениями. Это подтверждается опытными данными. В част- частности, установлено, что специальным подбором спектрального состава звука ухо можно «обмануть». Так, человек воспринимает звуковые волны, содержащие основную часть энергии в области 1 кГц, локализованными «сзади» независимо от действительного направления. Звуковая волна с частотами ниже 500 Гц и в обла- области 3 кГц воспринимается локализованной «спереди». Звуковые
§ 9.7. Элементы реабилитологии 121 источники, содержащие большую часть энергии в области 8 кГц, распознаются локализованными «сверху». § 9.7. Элементы реабилитологии 9.7.1. Слуховые аппараты и протезы. Потеря слуха в резуль- результате нарушения проведения звука или частичного поражения звуковосприятия может быть компенсирована с помощью слу- слуховых аппаратов-усилителей. В последние годы в этой области наблюдается большой прогресс, связанный с развитием аудио- логии и быстрым внедрением достижений электроакустической аппаратуры на основе микроэлектроники. Созданы миниатюр- миниатюрные слуховые аппараты, работающие в широком частотном диа- диапазоне. Однако при некоторых тяжелых формах тугоухости и глухо- глухоты слуховые аппараты не помогают больным. Это имеет место, например, когда глухота связана с поражением рецепторного аппарата улитки. В этом случае улитка не генерирует элек- электрические сигналы при воздействии механических колебаний. Такие поражения могут быть вызванные неправильной дози- дозировкой лекарственных препаратов, применяемых для лечения заболеваний, совсем не связанных с лор-болезнями. В настоящее время возможна частичная реабилитация слуха и у таких боль- больных. Для этого необходимо имплантировать электроды в улитку и подавать на них электрические сигналы, соответствующие тем, которые возникают при воздействии механического стимула. Та- Такое протезирование основной функции улитки осуществляется с помощью кохлеарных протезов. 9.7.2. Тимпанометрия. Тимпанометрия — метод измерения податливости звукопроводящего аппарата слуховой системы под влиянием аппаратного изменения воздушного давления в слухо- слуховом проходе. Данный метод позволяет оценить функциональное состояние барабанной перепонки, подвижность цепи слуховых косточек, давление в среднем ухе и функцию слуховой трубы. Исследование начинается с установки зонда с надетым на него ушным вкладышем в начале наружного слухового прохода, который герметично перекрывает слуховой проход. Через зонд
122 Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха в слуховом проходе создается избыточное (+) или недостаточ- недостаточное (—) давление, а затем подается звуковая волна определенной интенсивности. Дойдя до барабанной перепонки, волна частично отражается и возвращается к зонду, рис. 9.9. Подаваемые звуковые волны _ _ _ _ Звуковые волны, отражающиеся от барабанной перепонки и возвращающиеся к зонду еШИ Жидкость Рис. 9.9. Определение податливости звукопроводящего аппарата мето- методом тимпанометрии Примечание. Здесь и далее значение давления со зна- знаком «+» показывает, насколько давление выше атмосферного, а со знаком « —» — насколько давление ниже атмосферного. Измерение интенсивности отраженной волны позволяет су- судить о звукопроводящих возможностях среднего уха. Чем боль- больше интенсивность отраженной звуковой волны, тем меньше по- подвижность звукопроводящей системы. Мерой механической по- податливости среднего уха является параметр подвижности, из- измеряемый в условных единицах. В процессе исследования давление в среднем ухе изменяют от +200 до —200 дПа. При каждом значении давления определя- определяется параметр подвижности. Результатом исследования является тимпанограмма, отражающая зависимость параметра подвиж- подвижности от величины избыточного давления в слуховом проходе. При отсутствии патологии среднего уха максимум подвижно- подвижности наблюдается при отсутствии избыточного давления (Р = 0), рис. 9.10.
§ 9.7. Элементы реабилитологии 123 Избыточная подвижность -400 -200 0 +200 дПа Давление, при котором наблюдается пиковая подвижность Рис. 9.10. Тимпанограммы при различной степени подвижности системы Повышенная подвижность свидетельствует о недостаточной упругости барабанной перепонки или о вывихе слуховых косто- косточек. Пониженная подвижность указывает на избыточную жест- жесткость среднего уха, связанную, например, с наличием жидкости. При патологии среднего уха вид тимпанограммы изменяется, рис. 9.11. 0 + Давление 0 Давление 0 Давление 0 Давление 0 Давление Рис. 9.11. Основные типы тимпанограмм при патологиях среднего уха: а — отсутствие патологии; б — экссудативный средний отит; в — на- нарушение проходимости слуховой трубы; г — атрофические изменения барабанной перепонки; д — разрыв слуховых косточек
Лекция 10 УЛЬТРАЗВУК И ИНФРАЗВУК 1. Излучатели и приемники ультразвука. 2. Особенности распространения УЗ волны. 3. Взаимодействие ультразвука с веществом. 4. Биофизическое действие УЗ. 5. Использование УЗ в медицине: терапии, хирургии, диагностике. 6. Инфразвук и его воздействие на человека. 7. Элементы реабилитологии. Ультразвук — это упругие механические колебания и волны, частоты которых лежат в интервале 2 • 104-1010~12 Гц. Верхняя граница частот обусловлена физической природой упругих волн, которые могут распространяться в среде при условии, что длина волны не меньше расстояния между элементами среды, переда- передающими взаимодействие друг другу. § 10.1. Излучатели и приемники ультразвука Так как ультразвуковые исследования широко применяются в медицине, рассмотрим физические принципы, используемые для излучения и приема ультразвуковых волн. Электромеханические УЗ излучатели используют явление обратного пьезоэлектрического эффекта, сущность которого за- заключается в механической деформации тел под действием элек- электрического поля. Хорошо выраженными пьезоэлектрическими свойствами обладают кристаллические диэлектрики такие, как кварц, сегнетова соль и др. УЗ излучатель состоит из следующих элементов (рис. 10.1): 1. пластина из вещества с пьезоэлектрическими свойствами; 2. электроды, нанесенные на нее в виде проводящих слоев; 3. генератор, от которого к электродам приложено перемен- переменное электрическое напряжение. При подаче на электроды B) переменного напряжения от ге- генератора C) пластина A) начинает деформироваться. Величина
§ 10.1. Излучатели и приемники ультразвука 125 деформации пропорциональна напряжению. Поэтому возника- возникают вынужденные колебания пластины (сжатия и растяжения), частота которых зависит от частоты изменения напряжения. Пластина начнет вибрировать, излучая механическую волну с со- соответствующей частотой. Рис. 10.1. Ультразвуковой излучатель УЗ приемник (рис. 10.2) действует на основе прямого пьезо- эффекта. В этом случае под действием механической УЗ волны возникает деформация кристаллической пластины A), которая приводит к генерации переменного электрического поля и по- появлению переменного напряжения на электродах B). Это элек- электрическое напряжение может быть измерено регистрирующей системой C). УЗ волна Рис. 10.2. Ультразвуковой приемник В медицинских приборах генератор ультразвуковых волн одновременно используется и как их приемник. Используются генераторы УЗ колебаний, работающие как в непрерывном, так и в импульсном режимах (например, при эхокардиографии). При непрерывном излучении информацию об исследуемом объекте несет стоячая волна, возникающая при интерференции падающей волны и волны, отраженной от поверхности объекта. При импульсном режиме работы УЗ излучается короткими импульсами. Интервал между ними используется для приема отраженного импульса и определения времени распространения УЗ до исследуемого объекта и обратно. Зная скорость распро- распространения ультразвука V, можно определить глубину Н залега- залегания исследуемого объекта, так как путь S, проходимый волной, равен S = Vt. При определении глубины залегания отражающей поверхности путь, проходимый УЗ, делят пополам: Н = (Vt)/2.
126 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук § 10.2. Особенности распространения УЗ волны По физической сущности УЗ не отличается от звука и пред- представляет собой механическую волну. При ее распространении образуются чередующиеся участки сгущения и разряжения ча- частиц среды. Скорость распространения УЗ и звука в средах одинаковы: в воздухе — 330 м/с, в жидкости — 1500 м/с. Однако существуют особенности. а) Малая длина волны. Направленность. Длина волны УЗ су- существенно меньше длины звуковой волны. Учитывая, что длина волны Л = v/v, найдем: для звука с частотой 1 кГц длина волны Лзв = 1500/1000 = 1,5 м; для ультразвука с частотой 1 МГц длина волны Луз = 1500/1 000 000 = 1,5 • 10 м = 1,5 мм. Благодаря малой длине волны отражение и дифракция УЗ происходит на объектах меньших размеров, чем для слышимого звука. Например, тело размером 10 см не будет препятствием для звуковой волны с Л = 1,5 м, но станет преградой для УЗ волны с Л = 1,5 мм. При этом возникает УЗ тень, поэтому в некоторых случаях распространение УЗ волн можно изображать с помощью лучей и применять к ним законы отражения и преломления. То есть при определенных условиях УЗ волна распространяется направленным потоком, к которому применимы законы геомет- геометрической оптики. б) Поглощение, глубина полупоглощения. При прохождении УЗ через вещество происходит его ослабление вследствие погло- поглощения: / = /02-/1/я, A0.1) где /о, / — интенсивности УЗ волны у поверхности вещества и на глубине /г, соответственно; Н — глубина полупоглощения, зависящая от частоты УЗ волны, а также от вязкости и плотно- плотности среды. Поглощение УЗ в веществе весьма значительно, что обусловлено его малой длиной волны. Глубина полупоглощения — это глубина, на которой интен- интенсивность УЗ волны уменьшается вдвое. Глубина полупоглощения для разных тканей имеет различное значение. Поэтому в медицинских целях используют УЗ вол- волны различных интенсивностей: малая — 1,5 Вт/м2, средняя — A,5-3) Вт/м2 и большая — C-10) Вт/м2.
§ 10.2. Особенности распространения УЗ волны 127 Значения глубины полупоглощения для некоторых тканей (на частоте 1 МГц) даны в таблице. Ткань Мышечная Жировая Костная Кровь Глубина полу поглощения, см 2,10 3,30 0,23 35,00 Видно, что поглощение в жидкой среде значительно меньше, чем в мягких тканях и тем более в костной ткани. в) Преломление и отражение. Как и всем видам волн, уль- ультразвуку присущи явления отражения и преломления. Законы, которым подчиняются эти явления полностью аналогичны зако- законам преломления и отражения света. Поэтому во многих случаях распространение УЗ волн изображают с помощью лучей. При прохождении УЗ через границу раздела сред с различ- различными волновыми сопротивлениями происходит его преломление и отражение. Преломление состоит в изменении направления ультразвукового луча. На рис. 10.3 показано преломление, когда скорость волны в среде 2 меньше, чем в среде 1. Среда 1 Среда 2 sin(a1)/sin(a2)= VJ V.2 Рис. 10.3. Преломление волн на границе раздела двух сред Энергия падающей УЗ волны распределяется между пре- преломленной и отраженной волнами. Энергии отраженной (VKqtp) и преломленной (И^рел) волн рассчитываются через безразмер- безразмерный коэффициент отражения г @ ^ г ^ 1): WOTP = rW; Wnpejl = A - r)W,
128 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук где W — энергия падающей волны. Коэффициент отражения зависит от угла падения и волно- волновых сопротивлений (Vр) обеих сред. Обозначим через х отноше- отношение меньшего значения волнового сопротивления к большему: х= (^)меньшее, 0<я<1. A0.2) (Ур)болынее Тогда при нормальном падении УЗ волны на границу раздела между средами коэффициент отражения рассчитывается по сле- следующей формуле: Видно, что чем сильнее различаются волновые сопротивле- сопротивления сред (малые значения ж), тем больше доля отраженной энер- энергии и меньше доля энергии, переходящей через границу раздела. Волновое сопротивление биологических сред примерно в 3000 раз больше волнового сопротивления воздуха (х = = 1/3000), поэтому отражение на границе воздух-кожа состав- составляет 99,99 %. Если УЗ излучатель приложить непосредственно к коже человека, то УЗ не проникнет внутрь, а будет отражаться от тонкого слоя воздуха между излучателем и кожей. Чтобы исключить воздушный слой, поверхность кожи покрывают слоем соответствующей смазки (водным желе), которая играет роль переходной среды, уменьшающей отражение. Смазка должна удовлетворять соответствующим требовани- требованиям: иметь акустическое сопротивление, близкое к акустическому сопротивлению кожи, обладать малым коэффициентом поглоще- поглощения УЗ, иметь значительную вязкость, хорошо смачивать кожу, быть нетоксичной (вазелиновое масло, глицерин и др.) Кроме эффектов отражения и преломления, имеет место по- поглощение ультразвука средой, в которой он распространяется. Поглощение УЗ волны приводит к тому, что эхосигнал, отра- отраженный от структуры, расположенной в глубине, значительно слабее того, который образовался при отражении от подобной структуры, расположенной недалеко от поверхности.
§ 10.3. Взаимодействие ультразвука с веществом 129 § 10.3. Взаимодействие ультразвука с веществом Интенсивность УЗ волны, определяемая по аналогии со зву- звуком по формуле / = puj2vA2/2, пропорциональна квадрату круговой частоты. При этом ускорение частиц, колеблющихся в УЗ волне, может быть большим. Так, например, в воде для УЗ волны с частотой 1 МГц при интенсивности / = 105 Вт/м2 ам- амплитуда смещения частиц воды мала и составляет А = 0,4 мкм. Амплитудное значение ускорения велико — ам = 4-106 м/с2. При этом амплитудное значение избыточного акустического давления также высоко — 5,5 • 105 Па E,5 атм). Приведенные параметры свидетельствуют о наличии суще- существенных сил, действующих на частицы воды (а, следовательно, и биологических тканей) при облучении УЗ. а) Деформация, кавитация. При распространении УЗ волны в веществе развиваются деформации, связанные с поочередным сгущением и разряжением его частиц (так как УЗ волна является продольной). В зависимости от интенсивности УЗ волны эти деформации могут вызывать либо незначительные изменения структуры, либо ее разрушение. Это используется при измельче- измельчении или диспергировании сред. При распространении УЗ в жидкости в областях разряже- разряжения возникают растягивающие силы, которые могут привести к разрыву в сплошной жидкости в данном месте и образованию пузырьков, заполненных парами этой жидкости. Это явление называется кавитацией (кавитация — пустота, лат). Кавитационные пузырьки образуются, когда растягивающее напряжение в жидкости становится больше некоторого крити- критического значения, называемого порогом кавитации Рк. Для чи- чистой воды Рк = 1,5 • 108 Па. Кавитация существует недолго. Пузырьки быстро захлопываются, что сопровождается сильным разогревом их содержимого. При этом также выделяются газы, содержащие атомарные и ионизированные компоненты. В ре- результате вещество в кавитационной области подвергается интен- интенсивным воздействиям: в небольших объемах выделяется значи- значительная энергия, происходит разогрев вещества, а также иониза- ионизация и диссоциация молекул. При интенсивностях меньших, чем 0,8 • 104 Вт/м2, кавитация не возникает. 5 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
130 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук УЗ вызывает и другие эффекты: возникают акустические потоки (звуковой ветер), скорость которых достигает 10 м/с. Эти потоки перемешивают облучаемые жидкости, изменяя их физические свойства. б) Выделение тепла. Поглощение ультразвука веществом со- сопровождается переходом механической энергии во внутреннюю энергию вещества, что ведет к его нагреванию. Наиболее интен- интенсивное нагревание происходит в областях, примыкающих к гра- границам раздела сред с различными волновыми сопротивлениями. Это связано с тем, что при отражении интенсивность волны вблизи границы увеличивается, и соответственно возрастает ко- количество поглощенной энергии. В этом можно убедиться экспе- экспериментально. Надо приложить к влажной руке излучатель УЗ. Вскоре на противоположной стороне ладони возникает ощуще- ощущение, (похожее на боль от ожога) вызванное УЗ, отраженным на границе «кожа-воздух». в) Химические реакции. Под воздействием УЗ в веществе мо- могут происходить изменения в окислительно-восстановительных реакциях. При этом могут протекать даже такие реакции, кото- которые в обычных условиях неосуществимы. § 10.4. Биофизическое действие УЗ Комплексное действие УЗ на биологические объекты основа- основано на механических, тепловых, химических факторах. Эффек- Эффективность этих факторов зависит от частоты и интенсивности УЗ. 10.4.1. Механическое действие на клетки. Ультразвуковые механические колебания частиц вещества в тканях могут вызы- вызывать благоприятные структурные перестройки вследствие мик- микровибрации на клеточном и субклеточном уровне, микромассажа тканевых структур. 10.4.2. Действие на мембраны. УЗ оказывает воздействие на клеточные мембраны. Акустические течения приводят к перено- переносу вещества и перемешиванию жидкости. Внутри клетки мик- микропотоки могут менять взаимное расположение клеточных ор- ганелл, перемешивать цитоплазму и изменять ее вязкость. Они могут отрывать от клеточных мембран биологические макромо- макромолекулы (ферменты, гормоны, антигены), изменять поверхност-
§ 10.5. Использование УЗ в медицине 131 ный заряд мембран и их проницаемость, оказывая этим влияние на жизнедеятельность клетки. При достаточно большой интенсивности УЗ происходит раз- разрушение мембран. Однако разные клетки обладают различной резистентностью: одни клетки разрушаются при интенсивности ОД • 104 Вт/м2, другие — при 25 • 104 Вт/м2. Изменение проницаемости клеточных мембран является уни- универсальной реакцией на УЗ воздействие, независимо от того, какой из факторов УЗ, действующих на клетку, превалирует в том или ином случае. 10.4.3. Разрушение микроорганизмов. Облучение ультразву- ультразвуком с интенсивностью, превышающей порог кавитации, исполь- используют для разрушения имеющихся в жидкости бактерий и виру- вирусов. 10.4.4. Химическое действие. Химическое действие УЗ про- проявляется, в частности, в реакции расщепления молекулы воды на радикалы Н+и ОН~ с последующим образованием перекиси водорода Н2О2. 10.4.5. Тепловое действие. При облучении УЗ происходит на- нагревание тканей. Теплота выделяется в основном не в объеме ткани, а на границах раздела тканей с разными акустическими сопротивлениями или в одной и той же ткани на неоднородностях ее структуры. Ткани со сложной структурой (легкие) более чув- чувствительны к УЗ, чем однородные ткани (печень). Сравнительно много тепла выделяется на границе мягких тканей и кости. Локальный нагрев тканей на доли градусов способствует жизнедеятельности биологических объектов, повышает интен- интенсивность процессов обмена. Однако длительное воздействие может привести к перегреву. § 10.5. Использование УЗ в медицине: терапии, хирургии, диагностике Деформации под воздействием УЗ используются при измель- измельчении или диспергировании сред. Явление кавитации используется для получения эмульсий несмешивающихся жидкостей, для очистки металлов от окалины и жировых пленок.
132 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук 10.5.1. УЗ терапия. Терапевтическое действие УЗ обусловле- обусловлено механическим, тепловым, химическим факторами. Их сов- совместное действие улучшает проницаемость мембран, расширяет кровеносные сосуды, улучшает обмен веществ, что способствует восстановлению равновесного состояния организма. Дозирован- Дозированным пучком УЗ можно провести мягкий массаж сердца, легких и других органов и тканей. В отоларингологии УЗ воздействует на барабанную пере- перепонку, слизистую оболочку носа. Таким способом осуществляют реабилитацию хронического насморка, болезней гайморовых по- полостей. Фонофорез — введение с помощью УЗ в ткани через поры кожи лекарственных веществ. Этот метод аналогичен электро- электрофорезу, однако, в отличие от электрического поля, УЗ поле перемещает не только ионы, но и незаряженные частицы. Под действием УЗ увеличивается проницаемость клеточных мем- мембран, что способствует проникновению лекарственных веществ в клетку, тогда как при электрофорезе лекарственные вещества концентрируются в основном между клетками. Аутогемотерапия — внутримышечное введение человеку собственной крови, взятой из вены. Эта процедура оказывается более эффективной, если взятую кровь перед вливанием облучить УЗ. УЗ облучение повышает чувствительность клетки к воздей- воздействию химических веществ. Это позволяет создавать более без- безвредные вакцины, так как при их изготовлении можно исполь- использовать химические реактивы меньшей концентрации. Предварительное воздействие УЗ усиливает действие 7~ и СВЧ облучения на опухоли. В фармацевтической промышленности ультразвук применя- применяется для получения эмульсий и аэрозолей некоторых лекарствен- лекарственных веществ. 10.5.2. Хирургия. Для разрушения тканей с помощью УЗ в хирургии есть два метода. Первый основан на действии самого УЗ, второй — на ультразвуковых колебаниях хирургического инструмента. Первый метод. Разрушение опухолей. Несколько излуча- излучателей, укрепленных на голове пациента, испускают пучки УЗ,
§ 10.5. Использование УЗ в медицине 133 фокусирующиеся на опухоли. Интенсивность каждого пучка та- такова, что он не приводит к повреждению здоровой ткани, но в том месте, где все пучки сходятся, интенсивность возрастает и опухоль разрушается под действием кавитации и тепла. В урологии с помощью механического действия УЗ дробят камни в мочевых путях и этим спасают больных от операций. Сваривание мягких тканей. Если сложить два разрезанных кровеносных сосуда и прижать их друг к другу, то после облу- облучения образуется сварной шов. Сваривание костей (ультразвуковой остеосинтез). Область перелома заполняют измельченной костной тканью, смешанной с жидким полимером (циакрин), которые под действием УЗ быстро полимеризуются, образуя прочный сварной шов, который постепенно рассасывается и заменяется костной тканью. Стерилизация. Губительное действие УЗ на микроорганизмы используется для стерилизации. Второй метод. УЗ можно рассекать ткань, для чего хи- хирургические инструменты (скальпели, пилки, иглы) соединяют с источником ультразвуковых колебаний. Амплитуда колеба- колебаний режущего инструмента при частоте 20-50 кГц составляет 10-50 мкм. Преимущества этого метода: снижение усилия ре- резания, уменьшение болевого ощущения, кровоостанавливающий и стерилизующий эффекты. УЗ скальпели позволяют проводить операции без вскрытия грудной клетки в дыхательных органах, пищеводе, на кровеносных сосудах. Вводя длинный и тонкий УЗ скальпель в вену, можно разрушить холестериновые утолщения в этих сосудах. 10.5.3. УЗ диагностика. Существуют различные методы, в которых УЗ используется в диагностических целях. Эхоэнцефалография — определение опухолей и отека головно- головного мозга. Ультразвуковая кардиография — измерение размеров сердца в динамике. Эходоплерография — измерение скорости движения кровото- кровотока, клапанов сердца. Ультразвуковая локация — определение размеров глазных сред, применение УЗ для ориентации слепых в пространстве. Отражение УЗ волн {эхо-метод) на границе раздела различ- различных сред используется в УЗ диагностике. Этим методом можно
134 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук обследовать состояние внутренних органов. Направляемые на те- тело исследуемого больного ультразвуковые импульсы отражаются от поверхностей раздела, например, передней и задней границ расположенной неоднородности, — «эхо» звука на экране прибо- прибора сравнивается с посланным импульсом, что дает возможность не только обнаружить эту неоднородность, но и определить ее размеры. Обнаруживаются внутренние дефекты, отражающие 3-5 % падающей звуковой энергии. С помощью ультразвука можно регистрировать изменение объема сердца, размеры полости желудочка, амплитуду сокра- сокращений и толщину сердечной мышцы. § 10.6. Инфразвук и его воздействие на человека Инфразвук — это механические колебания и волны с частотой менее 16 Гц. Эти волны не создают слуховых ощущений. Из- за большой длины волны инфразвуковые волны дифрагируют и огибают большие препятствия; могут распространяться на большие расстояния. Инфразвук воспринимают некоторые жи- животные. Природные источники инфразвука — землетрясения, штор- штормы, цунами (L = 120 дБ, v ~ 11 Гц). Искусственные источни- источники — взрывы, работающие автомашины, станки. Например, лег- легковые автомобили на скорости 100 км/час создают инфразвук с уровнем интенсивности 100 дБ (частично он обусловлен срывом встречного потока воздуха позади автомобиля); в моторном отде- отделении крупных судов зарегистрированы инфразвуковые колеба- колебания, создаваемые работающими двигателями, на частоте 7-13 Гц с уровнем интенсивности 118-113 дБ. На человека инфразвук оказывает, как правило, отрицатель- отрицательное действие: вызывает угнетающее настроение, усталость, го- головную боль, раздражение. При небольших интенсивностях воз- возникают расстройство органов зрения, общая слабость. При сред- средней интенсивности A40-155 дБ) могут проявляться обмороки, временная потеря зрения. При больших интенсивностях (поряд- (порядка 180 дБ) может наступить паралич со смертельным исходом. Предполагают, что негативное влияние инфразвука связано с тем, что в инфразвуковой области лежат частоты собственных
§ 10.7. Элементы реабилитологии 135 колебаний некоторых органов и частей тела человека. Это вызы- вызывает нежелательные резонансные явления. Укажем некоторые частоты собственных колебаний для человека: • центр тяжести человека в положении лежа — C-4) Гц, • грудная клетка - E-8) Гц, • брюшная полость - C-4) Гц. Особенно вредно воздействие инфразвука на сердце. При достаточной мощности возникают вынужденные колебания сер- сердечной мышцы. При резонансе F-7 Гц) их амплитуда возрастает, что может привести к кровоизлиянию. Так как инфразвук оказывает неблагоприятное действие на организм, то одной из задач является снижение уровня его ин- интенсивности в жилых и производственных помещениях, в транс- транспортных средствах. § 10.7. Элементы реабилитологии 10.7.1. Ультразвук. Биологическое действие УЗ зависит от его интенсивности. 10.7.2. Ультразвук низкой и средней интенсивности. Ультра- Ультразвуковые волны малой (до 1,5 Вт/см2) и средней A,5-3 Вт/см2) интенсивности вызывают в живых тканях положительные био- биологические эффекты, стимулирующие протекание нормальных физиологических процессов. Успешное применение УЗ указанных интенсивностей находит в неврологии при реабилитации таких заболеваний как хрони- хронический радикулит, полиартрит, неврит, невралгия. Ультразвук используется при лечении болезней, позвоночника, суставов (раз- (разрушение солевых наслоений в суставах и полостях); при реабили- реабилитационном лечении различных осложнений после повреждения суставов, связок, сухожилий и т. д. УЗ используется часто сов- совместно с другими физическими воздействиями, например, соче- танное крио-ультразвуковое воздействие при лечении гемангиом и различных рубцов. 10.7.3. Ультразвук большой интенсивности. УЗ большой ин- интенсивности C-10 Вт/см2) оказывает вредное воздействие на отдельные органы и человеческий организм в целом. Например,
136 Лекция 10. Ультразвук и инфразвук при длительном воздействии УЗ частотой 20-30 кГц, возника- возникающих в некоторых производственных условиях, у человека по- появляются расстройства нервной системы, повышается утомляе- утомляемость, существенно поднимается температура. Очень интенсивный УЗ для человека смертелен. Так в Ис- Испании 80 добровольцев были подвергнуты действию УЗ тур- турбулентных двигателей. Результаты этого варварского экспери- эксперимента оказались плачевными: 28 человек погибли, остальные оказались полностью или частично парализованы. Тепловой эффект, производимый УЗ, может быть весьма значительным: при ультразвуковом облучении мощностью 4 • • 104 Вт/м2 в течение 20 с температура тканей организма на глубине 2-5 см повышается на 5-6°С. В целях реабилитации профессиональных заболеваний у лиц, работающих на ультразвуковых установках, когда возможен кон- контакт с частями, в которых возбуждаются ультразвуковые коле- колебания, для защиты рук обязательно необходимо применение 2-х пар перчаток: наружных — резиновых и внутренних — хлопча- хлопчатобумажных. 10.7.4. Сопоставление ультразвукового и рентгеновско- рентгеновского «просвечивания». В некоторых случаях ультразвуковое просвечивание имеет преимущество перед с рентгеновским. Это связано с тем, что рентгеновские лучи дают четкое изображение «твердых» тканей на фоне «мягких». Так например, на фоне мягких тканей хороши видны кости. Для получения рентгеновского изображения мягких тканей на фоне других мягких тканей (например, кровеносный сосуд на фоне мышц) сосуд нужно заполнить веществом, хорошо поглощающим рентгеновское излучение (контрастное вещество). Ультразвуковое просвечивание, благодаря уже указанным особенностям, дает в этом случае изображение без применения контрастных веществ. 10.7.5. Инфразвук. У человека, подвергнутого воздействию инфразвука низкой интенсивности, появляются симптомы «мор- «морской болезни», тошнота, головокружение. Появляется головная боль, повышается утомляемость, слабеет зрение.
§ 10.7. Элементы реабилитологии 137 Шум на частоте 2-15 Гц при уровне интенсивности 95 дБ при- приводит к возрастанию ошибки слежения за стрелочными индика- индикаторами. Проявляется судорожное подергивание глазного яблока, нарушение функции органов равновесия. Летчики и космонавты, подвергнутые на тренировках воздей- воздействию инфразвука, медленнее решали даже простые арифмети- арифметические задачи. Существует предположение, что различные аномалии в со- состоянии людей при плохой погоде, объясняемые климатически- климатическими условиями, являются на самом деле следствием воздействия инфразвуковых волн. Инфразвук с уровнем интенсивности 160 дБ на частоте 7 Гц смертелен для человека.
Лекция 11 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 1. Условие неразрывности струи. 2. Уравнение Бернулли. 3. Следствия уравнения Бернулли. 4. Элементы реабилитологии. Принцип работы инжектора, инга- ингалятора. Гидроаэродинамика — раздел физики, в котором изучают законы движения жидкостей и газов и их взаимодействие с твердыми телами. Различия между жидкостью и газом заключается только в ха- характере зависимости их плотности от давления, т. е. в практиче- практической несжимаемости жидкостей и заметной сжимаемости газов. § 11.1. Условие неразрывности струи Течение жидкости изображается линиями тока — линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направ- направлением вектора скорости частиц. Течение жидкости называется установившемся, стационарным, если скорости частиц в каждой точке потока со временем не изменяются (при этом условии линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости). При ламинарном течении (лек. 12) часть потока жидкости, ограниченная линиями тока, образует трубку тока. Частицы жидкости не выходят за пределы трубки тока, поэтому через любое ее сечение проходит одно и то же количество жидкости. Объем жидкости V, протекающей за единицу времени через лю- любое сечение S, перпендикулярное оси трубки тока, определяется формулой V = ?.*; = const, A1.1) где v — скорость движения частиц жидкости в данном сечении. Для идеальной жидкости, не подверженной действию сил трения, скорости движения частиц во всех точках поперечного сечения трубы одинаковы. Эта общая скорость и входит в урав- уравнение A1.1).
111.1. Условие неразрывности струи 139 На частицы реальной жидкости действуют силы трения со стороны стенок трубы и со стороны соседних частиц. Внутренняя поверхность твердой трубы затормаживает прилегающий слой жидкости фактически до полной остановки (v = 0). Частицы этого слоя затормаживают следующий слой и так далее. Поэтому скорость частиц жидкости в одном сечении трубы различна: она максимальна в центре трубы и уменьшается до нуля у ее стенок (здесь речь идет о реальной трубе, а не о воображаемой трубке тока). В этом случае в формуле A1.1) v — это средняя скорость течения жидкости в данном сечении. Условие неразрывности струи: при стационарном течении несжимаемой жидкости через любые се- сечения трубки тока, каждую секунду протекают одинаковые объемы жидкости, равные произведе- произведению площади сечения на среднюю скорость дви- движения ее частиц. Уравнение A1.1) выражает условие неразрывности струи. Оно устанавливает соотношение между скоростями течения жидкости в различных сечениях трубки тока: v\/v2 = S2I S\. A1.2) Если жидкость движется по системе последовательно соединен- соединенных трубок различного сечения, то скорость ее движения обрат- обратно пропорциональна площади сечения трубок, рис. 11.1. о с Рис. 11.1. Движение жидкости в трубе с разными сечениями. Длина стрелок изображает среднюю скорость течения жидкости Площадь сечения пропорциональна квадрату диаметра труб- трубки (S = тго!2/4), поэтому если диаметр трубки в сечении С вдвое меньше, чем в сечении А, то площадь поперечного сечения С в четыре раза меньше, чем площадь сечения А. Следовательно и скорость потока в сечении С будет в четыре раза больше, чем в сечении А.
140 Лекция 11. Уравнение Бернулли и его следствия 11.1.1. Уравнение неразрывности струи при протекании кро- крови в сосудах. Кровеносная система человека — это сложная за- замкнутая система эластичных трубок разного диаметра. В нее входят: аорта, артерии, артериолы, капилляры, венулы, вены. Из сердца кровь поступает в аорту, а оттуда распределяется по главным артериям, затем по более мелким и в конце концов расходится по миллионам мелких капилляров. По венам кровь возвращается в сердце. (Один цикл движения крови длится в среднем 20 с. За сутки сердце перегоняет по всем сосудам до 10 000 л крови!) Скорость кровотока в разных сосудах раз- различна. Ориентировочные значения этой скорости представлены в табл. 11.1. Таблица 11.1. Скорость и давление крови в различных сосудах Сосуды Аорта Артерии Артериолы Капилляры Венулы Вены Диаметр, мм 20 10-5 0,1-0,5 0,5-0,01 0,1-0,2 10-30 Скорость, 10 2 м/с 30-50 20-50 1-20 0,01-0,05 0,1-1,0 10-20 Давление, мм рт. ст. 50-150 80-20 50-20 20-10 10-5 (-5М+5) На первый взгляд кажется, что приведенные значения проти- противоречат уравнению неразрывности — в тонких капиллярах ско- скорость кровотока меньше чем в артериях. Однако это несоответ- несоответствие кажущееся. Дело в том, что в табл. 11.1 приведен диаметр одного сосуда, но ведь по мере разветвления сосудов площадь ка- каждого из них уменьшается, а суммарная площадь разветвления возрастает. Так, суммарная площадь всех капилляров (примерно 2000 см2) в сотни раз превышает площадь аорты — этим и объ- объясняется такая малая скорость крови в капиллярах. § 11.2. Уравнение Бернулли Для идеальной жидкости (сила трения полностью отсутству- отсутствует) справедливо уравнение, которое было получено швейцарским математиком и физиком Даниилом Бернулли A700-1782). Рас- Рассмотрим тонкую трубку тока и выделим в ней два произвольных сечения (рис. 11.2).
§ 11.3. Следствия уравнения Бернулли 141 В общем случае эти сечения находятся на различных высо- высотах (h\ и /12), и их площади различны (Si и S2)- Вследствие уравнения неразрывности, различны будут и скорости течения жидкости в этих сечениях (vi и ^2). Обозначим давления жид- жидкости в этих сечениях Pi и Р2, соответственно. Рис. 11.2. Параметры сечений в трубке тока Можно доказать, что для этих сечений выполняется следую- следующее соотношение: Pi + pvl/2 + pghi = Р2 + pvl/2 + pgh2, A1.3) где р — плотность жидкости. Так как выбор сечений трубки произволен, то соотношение A1.3) можно записать в общем виде: Р + pv2/2 + pgh = const, A1.4) где Р — статическое давление, pv2 /2 — динамическое давление, обусловленное движением жидкости, a pgh — гидростатическое давление. Уравнение Бернулли формулируется так: при стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, динамического и гидростатического давлений, оди- одинаково во всех поперечных сечениях трубки тока. § 11.3. Следствия уравнения Бернулли 11.3.1. Горизонтальная трубка тока переменного сечения. При этом hi = h2 и уравнение A1.3) принимает вид Pi + pvl/2 = P2 + pvl/2. A1.5)
142 Лекция 11. Уравнение Бернулли и его следствия Отсюда следует, что статическое давление идеальной жидкости при течении по горизонтальной трубке возрастает там, где ско- скорость ее уменьшается, и наоборот. Это можно продемонстри- продемонстрировать с помощью манометрических трубок, уровень поднятия жидкости в которых пропорционален статическому давлению (рис. 11.3). Видно, что в широком сечении (а), где скорость те- течения меньше, статическое давление больше, чем в узком сече- сечении (б). а) б) Рис. 11.3. Горизонтальная трубка переменного сечения 11.3.2. Наклонная трубка тока постоянного сечения. В такой трубке скорость жидкости везде одинакова (г; = const), и урав- уравнение A1.3) принимает вид Рг pgh2, A1.6) или A1.7) В этом случае разность давлений обусловлена разностью вы- высот на которых находятся рассматриваемые сечения (рис. 11.4). Рис. 11.4. Наклонная трубка постоянного сечения 11.3.3. Истечение жидкости из отверстия сосуда. Жидкость истекает из широкого сосуда площадью Si через небольшое от- отверстие площадью 5*2 (рис. 11.5).
§ 11.3. Следствия уравнения Бернулли 143 Рис. 11.5. Линия тока при истечении жидкости из небольшого отвер- отверстия широкого сосуда В данном случае h\ = /г, h<i = О, а давления Р\ и P<i одинаковы и равны атмосферному давлению Ра. Кроме того, в соответствии с A1.2) v\ <С г>2, поскольку Si ^> S2- Поэтому можно принять, что vi ~ 0. С учетом этих условий получаем Pa + 0 + pgh = Ра + pvl/2 + 0, откуда A1.8) A1.9) Следовательно, скорость истечения струи равна скорости тела при свободном падении с высоты h. Соотношение A1.9) — это формула Торричелли. 11.3.4. Измерение скорости жидкости. Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы (струи жидкости) одного сечения две трубки: 1) манометрическую трубку, плос- плоскость отверстия которой расположена параллельно движению жидкости; 2) трубку, изогнутую под прямым углом навстречу движению жидкости (трубку Пито) (рис. 11.6). 1 * _^« = Рис. 11.6. Измерение скорости жидкости Манометрическая трубка позволяет измерить статическое давление Pi. Трубка Пито позволяет измерить полное давление
144 Лекция 11. Уравнение Бернулли и его следствия Р2, равное в данном случае сумме статического и динамического давлений. Так как труба горизонтальна, а v2 = 0, то имеем откуда - Рг)/р. A1.10) A1.11) Имея систему двух таких трубок, вычисляют скорость потока жидкости по формуле A1.11). § 11.4. Элементы реабилитологи В медицине широкое применение имеют приборы, действие которых основано на использовании законов гидроаэродинами- гидроаэродинамики. Рассмотрим два таких прибора. 11.4.1. Инжектор. Этот прибор используют для дозирован- дозированной подачи пациенту газообразного препарата. Например, закиси азота или кислорода. Препарат из баллона поступает в смеси- смесительную камеру через узкое сопло (рис. 11.7). При этом скорость движения препарата возрастает, а его давление, в соответствии с уравнением Бернулли, падает. g Он §- Сопло Отверстие для всасывания ГЛ воздуха ^=^ Поворотный диск ч К дыхательному \ мешку Рис. 11.7. Подача кислорода при кислородной терапии
§ 11.4. Элементы реабилитологи 145 В смесительной камере возникает разряжение и в нее засасы- засасывается атмосферный воздух. Всасывание происходит через одно из отверстий поворотного диска. Отверстия имеют различные диаметры. Выбирая соответствующее отверстие, регулируют со- состав смеси, подаваемой пациенту. 11.4.2. Ингалятор. Этот прибор используют для введения в область носоглотки лекарственных средств в распыленном ви- виде, рис. 11.8. 2 8 А Рис. 11.8. Схема ингалятора Он состоит из двух трубок, расположенных под прямым уг- углом. Горизонтально расположенная трубка A) имеет на конце сужение. Чуть ниже этого конца располагается верхний конец вертикальной трубки B), нижний конец которой опущен в сосуд с жидким препаратом. В горизонтальную трубку подается пар. При прохождении суженного конца скорость пара возрастает, а давление падает. В область пониженного давления засасыва- засасывается препарат, который распыляется струей пара. В результате образуется смесь пара, воздуха и капелек препарата, которая через патрубок D) поступает к пациенту.
Лекция 12 ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ 1. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона. 2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости. 3. Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса. 4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление. 5. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам различного сечения. 6. Методы определения вязкости жидкостей. 7. Элементы реабилитологии. Ламинарность и турбулентность га- газового потока при наркозе. Введение жидкостей через капельни- капельницу и шприц. Риноманометрия. Фотогемотерапия. § 12.1. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона В реальной жидкости вследствие взаимного притяжения и теплового движения молекул имеет место внутреннее трение, или вязкость. Рассмотрим это явление на следующем опыте (рис. 12.1). Рис. 12.1. Течение вязкой жидкости между пластинами Поместим слой жидкости между двумя параллельными твер- твердыми пластинами. «Нижняя» пластина закреплена. Если дви- двигать «верхнюю» пластину с постоянной скоростью Vi, то с такой же скоростью будет двигаться самый «верхний» 1-й слой жид- жидкости, который считаем «прилипшим» к верхней пластине. Этот слой влияет на нижележащий непосредственно под ним 2-й слой, заставляя его двигаться со скоростью V2, причем V2 < У\- Каж- Каждый слой (выделим п слоев) передает движение нижележащему
§ 12.2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости 147 слою с меньшей скоростью. Слой, непосредственно «прилипший» к «нижней» пластине, остается неподвижным. Слои взаимодействуют друг с другом: п-й слой ускоряет (п + 1)-й слой, но замедляет {п — 1)-й слой. Силы, действующие между слоями, направленные по касательной к поверхности сло- слоев, называются силами внутреннего трения, или вязкости. Эти силы пропорциональны площади взаимодействующих слоев S и тем больше, чем больше их относительная скорость. Силы внутреннего трения подчиняются уравнению Ньютона: FTp = ri(dV/dx)S, A2.1) где ось х перпендикулярна направлению движения слоев жид- жидкости; г/ — коэффициент внутреннего трения, или динамическая вязкость (размерность г\ в СИ — [Па • с]); dV/dx — градиент скорости (grad V), показывающий изменение скорости, в направ- направлении х (если слой с координатой х имеет скорость V, а другой слой с координатой х + dx имеет скорость V + dV, то grad V = = dV/dx). Коэффициент внутреннего трения зависит от состояния и мо- молекулярных свойств жидкости (от сил межмолекулярного вза- взаимодействия). Вязкость определяется с помощью специальных приборов — вискозиметров. Значения коэффициента вязкости для некоторых веществ представлены в таблице. Вязкость некоторых веществ Вещество Температура [°С] Вязкость [Па • с] Воздух 20 1,8 -Ю-5 Вода 20 1•10~8 Глицерин 20 1,5-Ю-3 Кровь 36 4-10~8 Плазма 36 1,5-ИГ3 Вязкость крови увеличивается при тяжелой физической ра- работе. При некоторых заболеваниях увеличивается вязкость кро- крови до 23• 10~3 Па-с (сахарный диабет), при других уменьшается до 1-10~3 Па-с (туберкулез). Вязкость сказывается на таком кли- клиническом параметре, как скорость оседания эритроцитов (СОЭ). § 12.2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости Ньютоновские жидкости — такие, для которых вязкость не зависит от градиента скорости, они подчиняются уравнению Ньютона. К ним относят воду, водные растворы, низкомолеку- низкомолекулярные органические жидкости (этиловый спирт, ацетон).
148 Лекция 12. Вязкость жидкости Неньютоновские жидкости — такие, для которых вязкость зависит от режима течения и градиента скорости. К ним от- относят высокомолекулярные органические соединения, суспензии, эмульсии. Это жидкости состоят из сложных и крупных молекул. Благодаря сцеплению молекул или частиц в них образуются пространственные структуры. При прочих равных условиях этот вид вязкости много больше, чем у ньютоновсих жидкостей. Это связано с тем, что при течении таких жидкостей работа внеш- внешней силы затрачивается не только на преодоление ньютоновской вязкости, но и на разрушение структурных образований. Цельная кровь (суспензия элементов в белковом растворе — плазме) является неньютоновской жидкостью. Ее вязкость тем выше, чем медленнее она течет. В основном это обусловлено агре- агрегацией эритроцитов. В неподвижной крови эритроциты агреги- агрегируют, образуя так называемые «монетные столбики», при быст- быстром течении крови агрегаты эритроцитов распадаются, и вяз- вязкость уменьшается. На рис. 12.2 показана агрегация эритроцитов при патологии крови. Рис. 12.2. Агрегация эритроцитов при патологии крови § 12.3. Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса В жидкости течение может быть ламинарным или турбу- турбулентным. На рис. 12.3 это показано для одной окрашенной струи жидкости, текущей в другой.
§ 12.3. Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса 149 Рис. 12.3. Ламинарное (а) и турбулентное (б) течение струи жидкости При течении однородной жидкости по сосуду в ней можно выделить несколько слоев. Ламинарное (слоистое) течение — такое, при котором слои жидкости текут, не перемешиваясь, скользя друг относительно друга. Ламинарное течение — это плавное, медленное, упорядо- упорядоченное, регулярное течение жидкости. При этом течении ско- скорость разных частиц жидкости, попадающих поочередно в неко- некоторую точку пространства, одинакова. Такое движение возмож- возможно при небольших скоростях, в трубах с гладкими стенками, в трубах без резких изгибов, при одинаковом давлении по се- сечению трубы. Течение крови в артериях в норме является ламинарным. Вследствие симметрии ясно, что в трубе, при ламинарном те- течении, частицы жидкости, равноудаленные от оси, имеют одина- одинаковую скорость. Рассмотрим ламинарное течение ньютоновской жидкости в трубе радиусом R и длиной L. Для сохранения постоянного ре- режима течения требуется перепад давлений Р\-Р2- Выделим про- произвольный цилиндрический слой радиусом г. Течение жидкости в нем тормозится под действием силы трения, пропорциональной вязкости жидкости ту, площади боковой поверхности (S = 2тггЬ) и градиенту скорости — dVjdr. Так как полная разность сил
150 Лекция 12. Вязкость жидкости давления равна произведению перепада давления на площадь поперечного сечения выделенного цилиндра, то имеем - Р2) = -27rrLr]dV/dr. A2.2) Знак « —» в правой части уравнения обусловлен тем, что скорость уменьшается с увеличением радиуса г, то есть dV/dr < 0. Разделим переменные в уравнении A2.2): dV = - или в интегральном виде, - P2)/{2Lri)]rdr, V dV = Р1-Р2 2Lr] rdr. R Интегрируя, получим: A2.3) A2.4) В соответствии с приведенным выражением имеет место парабо- параболическая зависимость скорости V слоев жидкости от расстояния их до оси трубы г (огибающая всех векторов скорости есть парабола), рис. 12.4. R V Рис. 12.4. Скорости слоев текущей через трубку жидкости распреде- распределены по параболе. На частицы действует сила F, которая толкает ее к центру трубки Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (г = 0); слой, «прилипший» к стенке (г = Я), неподвижен.
§ 12.3. Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса 151 Низкая скорость течения около стенки означает, что давление здесь высокое (в соответствии с уравнением Бернулли). В центре трубы давление минимальное. Следовательно, давление Р воз- возрастает с удалением от центра трубы. Это означает, что частица (например, клетка крови) будет испытывать разность давлений по сечению. Эта разность давлений создаст силу F (рис. 12.4), которая толкает частицу к центру трубы. По этой же причине клетки крови скапливаются вдоль оси потока, а плазма (малой вязкости) — по его периферии. Толщина плазмы составляет 0,004-0,040 мм. В этот слой эритроциты попадают сравнительно редко. Пристеночный слой плазмы играет роль смазки, благодаря которой сопротивление движению эритроцитов по сосуду меньше, чем было бы в том же сосуде при равномерном распределении эритроцитов по всему сечению. Причем, чем тоньше сосуд, тем эффект снижения со- сопротивления более выражен. Этот факт, а также преимуществен- преимущественная концентрация эритроцитов в слоях, движущихся с большей скоростью, приводят к тому, что в своем движении по кровенос- кровеносной системе они всегда имеют немного большую скорость, чем средняя скорость плазмы. Турбулентное {вихревое) течение — такое течение, при ко- котором скорости частиц жидкости в каждой точке непрерывно меняются, приходят в колебательное движение, которое сопро- сопровождается появлением звука. Турбулентное течение — это хао- хаотическое, крайне нерегулярное, неупорядоченное течение жид- жидкости. Элементы жидкости совершают движение по сложным неупорядоченным траекториям, что приводит к перемешиванию между слоями жидкости и к образованию местных завихрений. При этом говорить о течении в ту или иную сторону можно толь- только в среднем за какой-то промежуток времени. При турбулент- турбулентном течении крови эритроциты, которые обычно ориентированы своей длинной осью по направлению потока, переориентируются и располагаются хаотически. При этом движении местное из- изменение давления вызывает колебательное движение жидкости, которое сопровождается шумом. Турбулентное течение связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости: часть энергии расходуется на беспорядочное движение, направление которого отличается от основного направления потока, что в случае крови приводит
152 Лекция 12. Вязкость жидкости к дополнительной работе сердца. Шум, возникающий при тур- турбулентном течении крови, может быть использован для диагно- диагностирования заболевания. Этот шум прослушивается на плечевой артерии при измерении давления крови. Течение воздуха в носовой полости в норме ламинарное. Однако при воспалении или каких-либо других отклонениях от нормы оно может стать турбулентным, что повлечет дополни- дополнительную работу дыхательных мышц. При патологии, когда вязкость бывает меньше нормы, тече- течение крови в артериях становится турбулентным. Турбулентное движением крови может возникнуть вслед- вследствие неравномерного сужения просвета сосуда (или локального выпирания). Турбулентное течение создает условия для оседа- оседания тромбоцитов и образования агрегатов. Этот процесс часто является пусковым в формировании тромба. Кроме того, если тромб слабо связан со стенкой сосуда, то под действием резкого перепада давления вдоль него, вследствие турбулентности, он может начать двигаться. 12.3.1. Число Рейнольдса. Характер течения жид кости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости ее течения, раз- размеров трубы. Английский физик и инженер Осборн Рейнольде A842-1912) изучал переход от ламинарной формы течения к тур- турбулентной. Он экспериментально показал, что турбулентность возникает, когда определенная комбинация величин, характери- характеризующих движение, превосходит некоторое критическое значение. Им было введено безразмерное число, позднее названное в его честь числом Рейнольдса, которое характеризует течение жид- жидкости по трубе (каналу). Число Рейнольдса определяется по формуле Re = (PVD)/V, A2.5) где р — плотность жидкости, г] — ее вязкость, V — скорость те- течения, D — диаметр трубы. Это число является критерием вида течения. Существует критическое значение числа Рейнольдса: для гладких цилиндрических труб ReKp = 2300. Если число Рейнольдса больше критического, то движение жидкости тур- турбулентное, если меньше, то ламинарное. Удобно использовать величину, называемую кинематической вязкостью: v = r\jр (размерность — м2/с). Тогда число Рей- Рейнольдса можно записать в виде Re = VD/и.
§ 12.4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление 153 Число Рейнольдса является критерием подобия. При модели- моделировании гидро- и аэродинамических систем, в частности крове- кровеносной системы, модель должна иметь такое же число Рейнольд- Рейнольдса, как и сам объект, в противном случае не будет соответствия между ними. Переход от ламинарной формы к турбулентной происходит не только при течении в трубе (канале). Он характерен почти для всех течений вязкой жидкости. В частности, обтекание жид- жидкостью профиля корабля или подводной лодки, тела рыбы или крыла самолета или птицы также характеризуется ламинарно- турбулентным переходом, при этом в формулу нужно подставить характерный размер обтекаемого тела и константу, зависящую от формы тела. Важным свойством турбулентного течения (в сравнении с ламинарным) является высокое сопротивление потоку. Если бы удалось «погасить» турбулентность, то удалось бы достичь огромной экономии мощности двигателей кораблей, подводных лодок, самолетов. § 12.4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление Рассмотрим, от каких факторов зависит объем жидкости, протекающей по горизонтальной трубе. 12.4.1. Формула Пуазейля. При ламинарном течении жидко- жидкости по трубе радиусом R и длиной L объем Q жидкости, про- протекающей через горизонтальную трубу за одну секунду, можно вычислить следующим образом. Выделим тонкий цилиндриче- цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr (рис. 12.5). dS=2icrdr Рис. 12.5. Сечение трубы с выделенным слоем
154 Лекция 12. Вязкость жидкости Площадь поперечного сечения его равна dS = 2тгг dr. Так как выделен тонкий слой, жидкость в нем перемещается с оди- одинаковой скоростью — V. За одну секунду слой перенесет объем жидкости dQ = VdS = V2nrdr. A2.6) Подставляя в A2.6) формулу для скорости A2.4), получаем dQ = tt[(Pi - P2)/BLr])}(R2 - r2)rdr. Интегрируя по всему сечению трубы, Я Q = tt[(Pi - P2)/BL*7)] \(R2 - r2)rdr, о получаем формулу Пуазейля: Q = [7rR4/8r]L]{P1-P2). A2.7) Это соотношение справедливо для ньютоновских жидкостей. Формулу Пуазейля можно записать в виде, справедливом для труб переменного сечения. Заменим отношение (Pi — Р2)/ L на градиент давления dP/dl, тогда получим Q = GrR4/8r])dP/dL A2.8) Как видно из A2.7), при заданных внешних условиях объем жид- жидкости, протекающей по трубе, пропорционален четвертой степе- степени ее радиуса. Это очень сильная зависимость. Если по какой- то причине радиус трубы уменьшается, то для поддержания прежнего потока необходимо значительное увеличение перепада давлений. Так, например, если при атеросклерозе радиус сосудов уменьшится в 2 раза, то перепад давлений нужно увеличить в 16 раз. При этом сердце будет работать с перегрузкой. В организме путем изменения радиуса сосудов (сужение или расширение) за счет изменения объемной скорости кровотока регулируется кровоснабжение тканей, теплообмен с окружающей средой. Объемная скорость Q жидкости обратно пропорциональна ее вязкости: Q ~ 1/?7- Следовательно, изменяя вязкость крови, можно влиять на объемную скорость кровотока. Известно, что вязкость жидкости обратно пропорциональна ее температуре Т: г/ rsj \/T. Следовательно, имеет место зависимость объемной
§ 12.4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление 155 скорости кровотока от температуры: с повышением температуры увеличивается объемная скорость кровотока. 12.4.2. Гидравлическое сопротивление. Проведем аналогию между формулой Пуазейля и формулой закона Ома для участка цепи без источника тока: / = AU/R. Для этого перепишем формулу A2.7) в следующем виде: Q = (Р± — Р2)/[8r]L//(тгR4)]. Если сравнить эту формулу с законом Ома для электрического тока, то объем жидкости, протекающей через сечение трубы за одну секунду, соответствует силе тока; разность давлений на концах трубы соответствует разности потенциалов; а величина 8т7Ь/(тг7?4) соответствует электрическому сопротивлению. Эта величина называется гидравлическим сопротивлением: X = 8r]L/GrR4). A2.9) Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость и длина трубы и чем меньше площадь поперечного сечения. Если в сосуде появляется препятствие (при остром атеро- слерозе нарушается эластичность сосуда, и изменяется просвет за счет образующихся бляшек, вследствие чего наступает недо- недостаток кислорода в тканях — ишемия), то производят операции шунтирования. Шунтирование — это способ обхода препятствия в русле посредством присоединения обводного русла выше и ни- ниже препятствия. При этом кровоток частично восстанавливает- восстанавливается. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротив- сопротивлениями позволяет в некоторых случаях использовать правило нахождения электрического сопротивления последовательного и параллельного соединений проводника для определения гид- гидравлического сопротивления системы последовательно или па- параллельно соединенных труб, рис. 12.6. Рис. 12.6. Трубы, соединенные последовательно (а) и параллельно (б)
156 Лекция 12. Вязкость жидкости Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, соединенных последовательно (рис. 12.6а) и параллельно (рис. 12.6^), вычисляется по формулам, соответственно: X = Х1 + Х2 + Х3, A2.10) Л = [L/ Л\ + 1/А2 + I/A3J • (Iz.llj В заключение следует отметить, что формулу Пуазейля мож- можно применять и к газам при условии ламинарного течения и несжимаемости (малой сжимаемости). § 12.5. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам различного сечения При течении по горизонтальной трубе реальной жидкости ее энергия расходуется на работу по преодолению внутреннего трения, и статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Поэтому в начале течения жидкости надо создать давление, не меньшее величины, на которую падает статическое давление вдоль всей трубы. Установим в разных местах горизонтальной трубы, по кото- которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки, рис. 12.7. Рис. 12.7. Течение жидкости по трубе переменного сечения Из рисунка видно, что: а) в трубе постоянного сечения давление падает пропорцио- пропорционально длине L, поэтому dP/dL = const; б) в трубе с переменным сечением давление падает «быстрее» в узкой части.
§ 12.6. Методы определения вязкости жидкостей 157 Из формулы Пуазейля следует, что при фиксированном объ- объеме Q протекающей жидкости падение давления зависит от гид- гидравлического сопротивления: Р±- Р2 = QX. A2.12) По мере разветвления сосудов (артерии-артериолы-капилляры) кровеносной системы полное сечение кровотока увеличивается, но гидравлическое сопротивление при этом высокое (благодаря уменьшению радиусов сосудов). Поэтому значительное падение давления (до 70 %) приходится на мелкие сосуды. § 12.6. Методы определения вязкости жидкостей Совокупность методов измерения вязкости жидкости называ- называется вискозиметрией. Прибор для измерения вязкости называ- называется вискозиметром. В зависимости метода измерения вязкости используют следующие типы вискозиметров. а) Капиллярный вискозиметр Оствальда основан на исполь- использовании формулы Пуазейля. Вязкость определяется по резуль- результату измерения времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений. б) Медицинский вискозиметр Гесса с двумя капиллярами, в которых движутся две жидкости (например, дистиллирован- дистиллированная вода и кровь). Вязкость одной жидкости должна быть из- известна. Учитывая, что перемещение жидкостей за одно и то же время обратно пропорционально их вязкости вычисляют вяз- вязкость второй жид кости. в) Вискозиметр, основанный на методе Стокса, согласно ко- которому при движении шарика в вязкой жидкости с небольшой скоростью сила сопротивления пропорциональна вязкости этой жидкости. г) Вискозиметр ротационный, в котором вязкость измеряет- измеряется по угловой скорости ротора, подвижного цилиндра в системе двух соосных цилиндров, в зазоре между которыми находится жидкость. Данный вискозиметр позволяет измерять вязкость при разных угловых скоростях вращения ротора. Данный метод позволяет установить зависимость между вязкостью и градиен- градиентом скорости, что важно для неньютоновских жидкостей.
158 Лекция 12. Вязкость жидкости § 12.7. Элементы реабилитологии В некоторых медико-реабилитационных мероприятиях ис- используется наркоз. При этом необходимо по возможности умень- уменьшить усилия, затрачиваемые больным на дыхание через эндотра- хеальные и другие дыхательные трубки, посредством которых подается дыхательная смесь из аппаратов для наркоза, рис. 12.8. Эндотрахиальная трубка Из аппарата для наркоза —15 мм рт. ст. Рис. 12.8. Дыхание больного через эндотрахиальную трубку Для обеспечения плавного газового потока используются плавно изогнутые соединительные трубки. Неровности внутрен- внутренних стенок трубки, резкие изгибы и изменения внутреннего диа- диаметра трубок и соединений часто (рис. 12.9) являются причинами перехода ламинарного потока в турбулентный, что затрудняет процесс дыхания у больного. Рис. 12.9. Возникновение турбулентности газового потока в трубке с резкими неоднородностями по сечению
j12.7. Элементы реабилитологии 159 На рис. 12.10 приведен рентгеновский снимок головы боль- больного. Эндотрахеальная трубка перегнулась в глотке. У больного обязательно возникнут затруднения дыхания. :.Г ; Рис. 12.10. Рентгеновский снимок, на котором виден перегиб дыхатель- дыхательной трубки 12.7.1. Введение жидкостей через капельницу и шприц. За- Закон Пуазейля используется при введении жидкостей с лечебной целью. Капельница (стандартный набор для внутривенного вли- вливания) позволяет вводить жидкость самотеком за счет разности давлений, создаваемой при подъеме камеры с препаратом на определенную высоту. Объемная скорость, с которой препарат поступает в вену, зависит от условий введения. Согласно фор- формуле Пуазейля, скорость введения препарата можно увеличить за счет установки камеры на большую высоту или за счет ис- использования иглы большего диаметра. При подъеме камеры на высоту вдвое больше стандартной A20 см вместо 60 см) расход жидкости примерно удваивается, так как поток жидкости через иглу прямо пропорционален разности давлений, рис. 12.11а. При удвоении диаметра иглы (рис. 12.116'), поток жидкости должен увеличиться в 16 раз.
160 Лекция 12. Вязкость жидкости 120 см И 00 Рис. 12.11. Разные способы введения жидкости самотеком: увеличена высота подъема банки с жидкостью (а), увеличен диаметр иглы (б) Формула Пуазейля предполагает медленное течение жидко- жидкости, при котором изменением ее кинетической энергии можно пренебречь. При существенном повышении скорости течения имеют место значительные отклонения от формулы Пуазейля. Так, при переходе от иглы с диаметром 0,36 мм к игле такой же длины C см) с диаметром 0,93 мм расход жидкости повышается только в 17 раз вместо 45-кратного увеличения, которое дает формула Пуазейля @,93/0,36 = 2,58; 2,584 = 45). Это связано
j12.7. Элементы реабилитологии 161 с тем, что в большой игле на сообщение жидкости кинетической энергии расходуется более 50 % работы сил давления. В малой иг- игле скорость течения мала и кинетическая энергия незначительна. Другим устройством для введения лекарственных препара- препаратов является шприц. Введение препарата происходит за счет раз- разности давлений, создаваемой нажатием на подвижный поршень (рис. 12.12). Рис. 12.12. Работа шприца Скорость введения препарата так же определяется форму- формулой Пуазейля. При неизменном усилии удвоение диаметра иглы приводит к 16-ти кратному увеличению скорости инъекции. Для того, чтобы добиться такого увеличения при неизменном диамет- диаметре иглы, потребовалось бы 16-ти кратное увеличение силы. 12.7.2. Риноманометрия. Полноценное носовое дыхание яв- является необходимой предпосылкой для нормальной функции слуховой трубы, которая во многом зависит от степени аэра- аэрации носоглотки и правильного прохождения воздушных потоков в полости носа. Причиной нарушения носового дыхания часто являются некоторые врожденные патологии, например, расще- расщелина верхней губы и неба. Часто при реабилитации этой патоло- патологи используются хирургические методы, например реконструк- реконструктивная ринохейлопластика [ринопластика — операции восста- восстановления носа). Для объективной характеристики результатов оперативного вмешательства используется риноманометрия — метод определения объема носового дыхания и сопротивления. 6 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
162 Лекция 12. Вязкость жидкости Скорость воздушного потока характеризуется формулой Пуазей- ля; при этом учитывается градиент давления в носоглоточном пространстве, диаметр и длина носовой полости, характеристи- характеристики воздушного потока в носоглотке (ламинарность или турбу- турбулентность). Данный метод реализуется с помощью прибора — риноманометра, который позволяет регистрировать давление в одной половине носа, пока пациент дышит через другую. Это осуществляется с помощью катетера, который крепится в носу. Компьютерная схема риноманометра позволяет автоматически измерить общий объем и сопротивление воздуха на вдохе и выдо- выдохе, раздельно проанализировать поток и сопротивление воздуха в каждой половине носа и рассчитать их соотношение. Это позво- позволяет определить носовое дыхание до и после операции и оценить степень восстановления носового дыхания. 12.7.3. Фотогемотерапия. При заболеваниях, сопровождаю- сопровождающихся повышением вязкости крови, для уменьшения вязкости крови применяется метод фотогемотерапии. Он заключается в том, что у больного берут небольшое количество крови (при- (примерно 2 мл/кг веса), подвергают ее УФ-облучению и вводят обратно в кровеносное русло. Примерно через 5 мин после введения больным 100-200 мл облученной крови наблюдается значительное снижение вязкости во всем объеме (около 5 л) циркулирующей крови. Исследования зависимости вязкости от скорости движения крови показали, что при фотогемотерапии вязкость сильнее всего снижается (примерно на 30 %) в медленно движущейся крови и совсем не меняется в быстро движущейся крови. УФ-облучение вызывает снижение способности эритроци- эритроцитов к агрегации и увеличивает деформируемость эритроцитов. Помимо этого происходит снижение образования тромбов. Все эти явления приводят к значительному улучшению как макро-, так и микроциркуляции крови.
Лекция 13 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТКАНЕЙ 1. Способы деформирования тел и виды деформации. 2. Механические свойства материалов и методы их исследования. 3. Механические модели. 4. Прочность. 5. Разрушение. 6. Механические свойства биологических тканей. 7. Элементы реабилитологии. Повреждения трубчатых костей. Травма лица. Акустическая анизотропии кожи — диагностиче- диагностический параметр § 13.1. Способы деформирования тел Механическое воздействие на тело изменяет взаимное распо- расположение его частиц. Деформация — изменение взаимного расположе- расположения точек тела, которое приводит к изменению его формы и размеров. При действии на тело внешней деформирующей силы рас- расстояние между частицами меняется. Это приводит к возник- возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы (ионы) в первоначальное положение. Действие этих сил характеризуется механическим напряжением. Непосредственно напряжение не измеряется. В ряде случаев его можно вычислить через внеш- внешние силы, действующие на тело. Косвенный способ выявления механического напряжения в деформируемом образце основан на явлении фотоупругости (см. лекцию «Поляризация света»). В зависимости от условий внешнего воздействия различают несколько способов деформирования, которые рассматриваются ниже. 13.1.1. Растяжение (сжатие). Деформация возникает, когда к стержню (бруску) с закрепленным основанием прикладывается
164 Лекция 13. Механические свойства тканей сила F, направленная вдоль его оси (рис. 13.1 а, б). Под дей- действием этой силы длина стержня увеличивается на некоторую величину А/ (/ — первоначальная длина). Рис. 13.1. Деформация растяжения (а), сжатия (б) и сдвига (в) Действие растягивающей силы характеризуется механиче- механическим напряжением <т, которое в данном случае равно отношению силы к площади поперечного сечения стержня (малое изменение площади поперечного сечения не учитывается): а = F/S. A3.1) В СИ механическое напряжение измеряется в паскалях (Па). Абсолютная деформация (А/) зависит от первоначальной длины стержня, поэтому степень деформации выражают через отношение абсолютной деформации к первоначальной длине. Это отношение называется относительной деформацией (е): Относительная деформация — величина безразмерная. Ино- Иногда ее выражают в процентах: е = (Д///I00%. При небольшой величине относительной деформации связь между деформацией и механическим напряжением выражается законом Гука: а = Ее, A3.2) где Е — модуль Юнга (модуль продольной упругости, Па). При упругой деформации напряжение прямо пропорционально вели- величине деформации. Модуль Юнга численно равен напряжению, увеличивающему длину образца в два раза (практически разрушение образцов наступает при значительно меньших напряжениях). В табл. 13.1
§ 13.1. Способы деформирования тел 165 представлены значения модулей упругости некоторых материа- материалов. Таблица 13.1. Модуль упругости (модуль Юнга) некоторых материалов Материал Эластин Коллаген Мембрана эритроцита Клетки гладких мышц Мышца в покое Кость Сухожилие Нерв Вена Артерия Древесина Резина Сталь Модуль Юнга Е, Па 105-10б 107-10* 4-Ю7 104 9-Ю5 2-Ю9 1,6 • 108 18,5 • 10б 8,5 • 105 5-Ю4 12 • 109 5-106 2 • 1011 В большинстве случаев при растяжении или сжатии степень деформации в различных сечениях стержня — различна. Это можно увидеть, если на поверхность тела нанести квадратную сетку. После деформирования сетка исказится. По характеру и величине этого искажения можно судить о распределении на- напряжения вдоль образца (рис. 13.2). Рис. 13.2. Искажение квадратной сетки при растяжении стержня Видно, что изменения формы ячеек сетки максимальны в средней части стержня и почти отсутствуют на его краях.
166 Лекция 13. Механические свойства тканей 13.1.2. Сдвиг. Деформация сдвига возникает, если на тело действует касательная сила, приложенная параллельно закреп- закрепленному основанию (рис. 13.1 в). В этом случае направление сме- смещения свободного основания параллельно приложенной силе и перпендикулярно боковой грани. В результате деформации сдвига прямоугольный параллелепипед превращается в косо- косоугольный. При этом боковые грани смещаются на некоторый угол 7 •> называемый углом сдвига. Абсолютная деформация сдвига измеряется величиной сме- смещения свободного основания (А/). Относительная деформация сдвига определяется через тангенс угла сдвига tg7, называемый относительным сдвигом. Так как угол 7 обычно мал, то можно считать tgG) ~ 7- При сдвиге в образце возникает напряжение сдвига г (каса- (касательное напряжение), которое равно отношению силы (F) к пло- площади основания E), параллельно которому действует сила: т = F/S. A3.3) При небольшой величине относительной деформации сдвига связь между деформацией и механическим напряжением выра- выражается эмпирическим соотношением: т = G7, A3.4) где G — модуль сдвига. 13.1.3. Изгиб. Деформация изгиба характеризуется искрив- искривлением оси или срединной поверхности деформируемого объекта (балка, стержень) под действием внешних сил (рис. 13.3). fF Рис. 13.3. Деформация изгиба При изгибе один наружный слой стержня сжимается, а дру- другой наружный слой растягивается. Средний слой (называемый
§ 13.1. Способы деформирования тел 167 нейтральный) изменяет лишь свою форму, сохраняя длину. Сте- Степень деформирования бруска, имеющего две точки опоры, опре- определяется по перемещению Л, которое получает середина стерж- стержня. Величина Л называется стрелой прогиба. Материал, находящийся в нейтральном слое, не работает, а лишь утяжеляет конструкцию, как правило в форме балки. Поэтому часть материала около этого нейтрального слоя можно удалить без большого ущерба для прочности балки, работающей в таких условиях. Это одно из решений задачи минимальной массы конструкции при сохранении заданной прочности. Такой способ в природе используется для уменьшения массы человека и животных при сохранении прочности их скелета. Во многих костях скелета частично отсутствует «сердцевина», так как ци- цилиндрический слой около оси кости не претерпевает существен- существенных деформаций при ее изгибе. Применительно к прямому брусу в зависимости от направ- направления действующих сил изгиб называют продольным или попе- поперечным. Продольный изгиб возникает под действием сил, направ- направленных вдоль бруса и приложенных к его концам навстречу друг другу (рис. 13.4а). Поперечный изгиб возникает под действием сил, направленных перпендикулярно брусу и приложенных как к его концам, так и в средней части (рис. 13.46^). Встречается также и смешанный продольно-поперечный изгиб (рис. 13.4в) Рис. 13.4. Различные виды изгиба: а) продольный, б) поперечный, в) продольно-поперечный 13.1.4. Кручение. Этот способ деформирования характери- характеризуется взаимным поворотом поперечных сечений стержня под влиянием моментов (пар сил), действующих в плоскости этих сечений. Кручение возникает, например, когда нижнее основание стержня закреплено, а верхнее основание поворачивают вокруг продольной оси, рис. 13.5. При этом расстояние между различными слоями остается практически неизменным, но точки слоев, лежащих на одной вертикали, сдвинуты относительно друг друга. Этот сдвиг в раз-
168 Лекция 13. Механические свойства тканей ных местах будет различен. Например в центре сдвига совсем не будет, по краям он будет максимальный. Рис. 13.5. Деформация кручения Таким образом, деформация кручения сводится к деформа- деформации сдвига, различным в различных частях, то есть к неодно- неоднородному сдвигу. Абсолютная деформация при кручении характеризуется уг- углом поворота ((р) одного основания относительно другого. От- Относительная деформация (в) равна отношению угла ср к длине стержня: Сравнивания различные способы деформирования однородных тел, можно увидеть, что все они сводятся к комбинации растя- растяжения (сжатия) и сдвига. § 13.2. Виды деформации Зависимость механического напряжения от относительной деформации для твердых тел при растяжении представлена на рис. 13.6. пр м О ё Рис. 13.6. Зависимость напряжения от деформации — диаграмма рас- растяжения
§ 13.3. Механические свойства материалов и методы их исследования 169 Участок О В соответствует упругой деформации, которая ис- исчезает сразу после снятия нагрузки. Точка В — предел упругости <тупр — напряжение, ниже кото- которого деформация сохраняет упругий характер (то есть справед- справедлив закон Гука). Участок ВМ соответствует пластической деформации, кото- которая не исчезает после снятия нагрузки. Участок MN соответствует деформации текучести, которая возрастает без увеличения напряжения. Напряжение, начиная с которого деформация становится текучей, называется пределом текучести. Точка С — предел прочности апр — механическое напряже- напряжение, при котором происходит разрушение образца. Предел проч- прочности зависит от способа деформирования и свойств материала. В области упругих деформаций (линейная область) связь между механическим напряжением и деформацией описывается законом Гука A3.2). § 13.3. Механические свойства материалов и методы их исследования 13.3.1. Ползучесть. Практически все материалы под действи- действием постоянной нагрузки деформируются, то есть обладают пол- ползучестью. Ползучесть — процесс изменения во времени раз- размеров образца под действием постоянной нагруз- нагрузки. Исследование этого свойства материалов осуществляется по- посредством метода, в котором к образцу (как правило, в форме стержня) подвешивается груз, под действием которого длина образца увеличивается. Процесс установления размеров образца может продолжаться очень долго. Механическое напряжение а при этом считается постоянным. Изменение деформации со вре- временем при этом представлено на рис. 13.7. На кривой ползучести можно выделить различные участки: участок О А — мгновенная упругая деформация; участок АВ — участок неустановившейся ползучести; ВС — участок установив- установившейся ползучести, где скорость деформации постоянна; CD —
170 Лекция 13. Механические свойства тканей участок ускоренной ползучести, где скорость ползучести возрас- возрастает; в точке D происходит разрушение. По кривой ползучести определяется модуль упругости. В 0 t Рис. 13.7. Кривая ползучести: а = const, e = f(t) 13.3.2. Релаксация напряжения. Если растянуть образец до некоторой длины (то есть создать деформацию) и закрепить его в этом положении с помощью динамометров, то показания динамометров (пропорциональные механическому напряжению) будут уменьшаться. Происходит явление релаксации (уменьше- (уменьшения, расслабления) напряжения. Релаксация напряэюения — процесс изменения ме- механического напряжения в образце при условии постоянной относительной деформации. Изменение напряжения в образце со временем показано на рис. 13.8. 0 t Рис. 13.8. Релаксация напряжения: е = const, a = f(t) Вследствие происходящего распрямления и взаимного пере- перемещения макромолекул напряжение будет уменьшаться. Через некоторое время оно может упасть до нуля. По данным этого метода определяется время релаксации.
§ 13.4. Механические модели 171 § 13.4. Механические модели Вязкоупругие свойства тел (сочетание вязкого течения и вы- высокой эластичности) моделируются системами, состоящими из различных комбинаций двух простых моделей: пружины (упру- (упругий элемент) и поршня (вязкий элемент). Эти элементы и «кон- «конструируемые» с их помощью модели показаны на рис. 13.9 слева. Справа показаны зависимости деформаций (е) от времени при импульсном воздействии внешней силы: в момент времени t = О к телу, поведение которого моделируется, прикладывается посто- постоянная сила F; в момент времени t\ действие силы прекращается. Моделью упругого тела является пружина (рис. 13.9а), подчи- подчиняющаяся закону Гука. Деформация (е) мгновенно появляется в момент t = О и мгновенно исчезает в момент t\. Моделью вязкого тела является поршень с отверстиями, дви- движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 13.9^). Связь между скоростью деформации вязкой среды (скорость переме- перемещения поршня) и напряжением имеет вид а = rj(de/dt), a = F/S, A3.5) где г\ — коэффициент вязкости среды; S — площадь поршня. Деформация нарастает линейно до некоторого значения, а после прекращения действия силы (момент t\) перестает меняться. 13.4.1. Модель Максвелла. В модели Максвелла упругий и вязкий элементы соединены последовательно (рис. 13.9в). Напряжение в каждом элементе является одинаковым. В любой момент времени для деформации выполняется условие ^общ = ^упр ~г ?вяз* Скорость общей деформации равна: Aео^щ/dt = deynp/dt + + deBH3/dt. Используя формулу A3.2) для упругого элемента и A3.5) для вязкого, получаем: ^общМ = (l/E)da/dt + а/г]. A3.6) Решение этого уравнения приводит к следующему характеру развития деформации. В момент t = 0 пружина мгновенно растягивается, а затем начинается линейное нарастание дефор- деформации, связанное с движением поршня. В момент t\ пружина
172 Лекция 13. Механические свойства тканей сокращается до начального размера, а поршень останавливает- останавливается — имеет место остаточная деформация. а) Упругий элемент (пружина) б) Вязкий элемент (поршень) в) Модель Максвелла г) Модель Кельвина — Фойгта д) Модель Зинера Рис. 13.9. Механические модели вязкоупругих тел и динамика разви- развития деформации
§ 13.4. Механические модели 173 С помощью модели Максвелла можно моделировать следую- следующие механические процессы. Релаксация напряжения в материале: е = const, de/dt = О, то есть поддерживается постоянная деформация. В этом случае из A3.6) следует: A/ E)da/dt = -сг/г], или da/a = —{E/r])dt. Интегрируя последнее выражение от начального момента вре- времени и начального напряжения его до текущих значений t и сг, получаем выражение, описывающее изменение напряжения со временем, то есть релаксацию напряжения: а = сгоехр ( ) , A3.7) V т7 где т = т\/Е — время релаксации, за которое величина а умень- уменьшается в е раз. Ползучесть: а = const. В этом случае da/dt = 0, и из уравнения A3.6) следует, что de/ dt = а /г/, или de = (a/r])dt. Интегрируя последнее выражение от начального момента време- времени и нулевой деформации до текущих значений t и ?, получаем выражение, описывающее изменение деформации со временем (ползучесть): е = (a/r])t, A3.8) то есть под действием постоянной приложенной силы происходит вязкое течение (поршень движется с постоянной скоростью). 13.4.2. Модель Кельвина-Фойгта. Модель Максвелла не учи- учитывает упругости, отличной от той, которая подчиняется за- закону Гука, то есть упругости, возникающей за счет раскручи- раскручивания макромолекул (высокоэластичности). Основной особенно- особенностью этого вида упругости является необходимость известного промежутка времени для ее развития (аналогия — деформа- деформация пружины в вязкой среде). Такая «запаздывающая» упругая реакция представляется моделью Кельвина-Фойгта, в которой пружина и поршень соединены параллельно (рис. 13.9г). Удли- Удлинение одинаково для обоих элементов. При воздействии внешней силы общее напряжение равно сумме напряжений на каждом
174 Лекция 13. Механические свойства тканей элементе: аовщ = сгупр + сгвяз. Подставляя выражения для ка- каждого элемента, получаем: сгобщ = Ее + rjde/dt. A3.9) Деформация системы в момент t\ (вывод опускаем) определяет- определяется формулой ei = (а/Е)[1 - exp(-tiE/»7)]. A3.10) (При больших t\ экспонента в формуле A3.10) стремится к 0. Поэтому деформация стремится к постоянному значению После прекращения действия силы деформация будет убы- убывать постепенно до полного исчезновения по закону r = t-ti. A3.11) 13.4.3. Модель Зинера. В материалах реализуются разные виды деформаций: упругая обратимая (модель — пружина), вяз- коупругая обратимая (модель Кельвина-Фойгта) и необратимая (модель — поршень). Сочетание трех моделей, рассмотренных выше, позволяет создавать модели, наиболее полно отражающие механические свойства тел и, в частности, биологических объек- объектов. Примером такой модели является модель Зинера (рис. 13.9д), которая состоит из последовательно соединенных упругого эле- элемента и модели Кельвина-Фойгта. Временная зависимость отно- относительной деформации (без вывода) показана на рис. 13.9д. При действии постоянной нагрузки мгновенно растягивается пружи- пружина 1, затем вытягивается поршень, и растягивается пружина 2, после прекращения нагрузки происходит быстрое сжатие пру- пружины 1, а пружина 2 втягивает поршень в прежнее положение; остаточная деформация отсутствует. § 13.5. Прочность Прочность — способность тел выдерживать без разрушения приложенную к ним нагрузку. Прочность обычно характеризуют величиной предельного на- напряжения, вызывающего разрушение тела при данном способе деформирования.
§ 13.6. Разрушение 17'5 Предел прочности — это предельное напряжение, при котором образец разрушается. При различных способах деформирования значения предела прочности отличаются. Ниже (табл. 13.2) это показано на при- примере бедренной кости человека и лошади. Таблица 13.2. Пределы прочности бедренной кости Предел прочности, МПа Сжатие Растяжение Человек 170 124 Лошадь 145 121 Предел прочности в одном органе существенно различен в его различных тканях. В табл. 13.3. приведены характеристики тка- тканей различных органов. Таблица 13.3. Прочностные характеристики различных тканей Вид ткани Сплошная кость Минеральный компонент Белковый компонент Эмаль Дентин Ребро Позвонок Компактное вещество бедренной кости Губчатое вещество бедренной кости Связки крупных суставов Кожа (живот) Предел прочности на сжатие, МПа 147 44 0,1 34-45 20 1-4 7 1470-2940 68 10-16 17-36 § 13.6. Разрушение Разрушение — макроскопическое нарушение сплошности тела (материала) в результате механических или каких либо иных воздействий. В процессе разрушения тела можно выделить две стадии: начальную — развитие пор, трещин и конечную — разделение тела на две и более частей. В зависимости от того, как протекают эти стадии, различают хрупкое и пластическое (вязкое) разрушения.
176 Лекция 13. Механические свойства тканей Рассмотрим, как происходит разрушение однородного стерж- стержня при его растяжении. Пусть один конец стержня закреплен, а к другому приложена продольная растягивающая сила, кото- которую постепенно увеличивают. Эта сила вызывает относительное удлинение стержня (ё), в результате которого в материале возни- возникает механическое напряжение (а). На рис. 13.10 показано, как изменяется величина механического напряжения в зависимости от величины относительного удлинения при вязком A) и хруп- хрупком B) разрушениях. У11? Рис. 13.10. Зависимость напряжения от относительной деформации при одноосном растяжении для пластичного A) и хрупкого B) ма- материалов (О — точка разрушения) Вязкое разрушение. Прямолинейный участок на диаграмме соответствует упругой деформации, при которой напряжение в материале возрастает пропорционально величине относи- относительного удлинения. Затем начинается область необратимых изменений размеров и формы тела, обусловленная зарождением и развитием трещин в наиболее слабом месте. Скорость протекания процесса вязкого разрушения обычно невелика, а сам процесс можно замедлить (остановить), снизив приложенную нагрузку. Когда относительное растяжение достигает некоторого критического значения, происходит разрушение (разрыв) стержня (точка О). Хрупкое разрушение. Это разрушение начинается прак- практически сразу после завершения упругой деформации (пря- (прямолинейный участок) и характеризуется высокой скоростью протекания процесса. Зародившаяся трещина довольно быстро достигает критического размера, после чего происходит ее стре- стремительное самопроизвольное распространение, завершающееся разрушением.
§ 13.7. Механические свойства биологических тканей 177 Основными факторами, определяющими характер процесса разрушения, являются: свойства материала и состояние вещества (структура веще- вещества, температура, влажность и т.п.); свойства объекта (конструкционные особенности, размеры, форма, качество поверхности); динамика силового воздействия (скорость нагружения). § 13.7. Механические свойства биологических тканей Структура материала являются главным фактором, опреде- определяющим его механические свойства и характер процесса разру- разрушения. Большинство биологических тканей являются анизотроп- анизотропными композитными материалами, образованными объемным сочетанием химически разнородных компонентов. Состав каж- каждого типа ткани сформировался в процессе эволюции и зависит от функций, которые она выполняет. 13.7.1. Костная ткань. Кость — основной материал опорно- двигательного аппарата. Так, в скелете человека более 200 ко- костей. Скелет является опорой тела и способствует передвижению (отсюда и произошел термин «опорно-двигательный аппарат»). У взрослого человека скелет весит около 12 кг A8 % общего веса). В компактной костной ткани половину объема составляет неорганический материал — минеральное вещество кости — гид- роксилапатит. Это вещество представлено в форме микроско- микроскопических кристалликов. Другая часть объема состоит из орга- органического материала, главным образом коллагена (высокомоле- (высокомолекулярное соединение, волокнистый белок, обладающий высокой эластичностью). Способность кости к упругой деформации реа- реализуется за счет минерального вещества, а ползучесть — за счет коллагена. Кость является армированным композиционным материа- материалом. Например, кости нижних конечностей армированы высо- высокопрочными волокнами в окружных и спиральных перекрещи- перекрещивающихся направлениях. Механические свойства костной ткани зависят от многих факторов: возраста, заболевания, индивидуальных условий ро- роста. В норме плотность костной ткани равна 2400 кг/м3. Модуль
178 Лекция 13. Механические свойства тканей Юнга Е = 1010 Па, предел прочности при растяжении апр = = 100 МПа, относительная деформация достигает 1 %. При различных способах деформирования (нагружения) кость ведет себя по-разному. Прочность на сжатие выше, чем на растяжение или изгиб. Так, бедренная кость в продольном направлении выдерживает нагрузку 45 000 Н, а при изгибе — 2500 Н. Запас механической прочности кости весьма значителен и за- заметно превышает нагрузки, с которыми она встречается в обыч- обычных жизненных условиях. Бедренная и берцовая кости выдержи- выдерживают нагрузку в 25-30 раз больше веса нормального человека. Механическое поведение костной ткани в первом приближе- приближении описывается моделью Зинера. 13.7.2. Кожа. Кожа представляет собой не только совершен- совершенный покров тела, но является сложным органом, выполняющим важные функции: поддержание гомеостаза; участие в процессе терморегуляции, регуляция общего обмена веществ в организме, секреторная функция (работа сальных и потовых желез), защита от повреждающего действия механических, физических, химиче- химических; инфекционных агентов. Она представляет собой обширное рецепторное поле, воспринимающее извне и передающее в ЦНС целый ряд ощущений. Кожа — граница раздела между телом и окружающей средой, поэтому она обладает значительной ме- механической прочностью. Кожа — самый крупный орган тела. Она важная анатомо- физиологическая часть целостного организма. Функции кожи зависят от состояния всего организма. При различных заболе- заболеваниях, в том числе и внутренних органов, в коже происходят те или иные изменения. Кожу часто рассматривают как гетерогенную ткань, состо- состоящую из 3-х наложенных друг на друга слоев, которые тесно связаны между собой, но четко различаются по природе, струк- структуре, свойствам: эпидермиса, дермы, подкожной клетчатки. Эпи- Эпидермис покрыт сверху роговым слоем. Функции каждого слоя, в том числе и механические, отража- отражают биомеханическую природу ее компонентов и их структурную организацию.
§ 13.7. Механические свойства биологических тканей 179 В общий состав кожи входят волокна коллагена, эластина и основной ткани — матрицы. Коллаген составляет 75% сухой массы, а эластин — около 4%. Плотность кожи в норме (область руки, груди) составляет 1100 кг/м3. Эластин растягивается очень сильно (до 200-300%). Коллаген может растягиваться до 10%. Механические характеристики компонентов кожи: • коллаген — Е = 10-100 МПа, апр = 100 МПа; • эластин - Е — 0,5 МПа, апр = 5 МПа. Кожа является вязкоупругим материалом с высокоэластич- высокоэластичными свойствами, она хорошо растягивается и удлиняется. При исследовании механических свойств кожи с помощью акустического анализатора тканей, позволяющего оценивать ско- скорость распространения акустических возмущений звукового диа- диапазона E-6 кГц) была выявлена акустическая анизотропия ко- эюи. Это проявляется в том, что скорость распространения по- поверхностной волны во взаимно перпендикулярных направлени- направлениях — вдоль вертикальной оси (У) и горизонтальной (X) осей тела, различаются. Для количественной оценки степени выра- выраженности акустической анизотропии был использован коэффи- коэффициент анизотропии К (см. лекцию 5). Проявление акустической анизотропии находится в соответ- соответствии с ориентацией линий естественного натяжения кожи, так называемых линий Лангера. Ориентация линий Лангера на коже лица и ладони представлена на рис. 13.11. Рис. 13.11. Ориентация линий Лангера на коже лица и ладони Сопоставление ориентации линий Лангера и акустической анизотропии показано на рис. 13.12.
180 Лекция 13. Механические свойства тканей 11 12 Рис. 13.12. Проявление акустической анизотропии и ориентация линий Лангера на различных участках кожи 13.7.3. Мышечная ткань. Мышечная активность — это одно из общих свойств высокоорганизованных живых организмов. Вся жизнедеятельность человека связана с мышечной активностью. Она обеспечивает работу отдельных органов и целых систем: работу опорно-двигательного аппарата, легких, сосудистую ак- активность, желудочно-кишечного тракта, сократительную способ- способность сердца и т. д. Нарушение работы мышц может приводить
§ 13.7. Механические свойства биологических тканей 181 к патологии, а ее прекращение — даже к летальному исходу (например, смерть при электротравме от удушья в результате парализации дыхательных мышц). Мышцы разнообразны по форме, размерам, особенностям прикрепления, величине максимально развиваемого усилия. Ко- Количество мышц превышает число звеньев тела. Каждая мышца состоит из большого числа двигательных единиц, каждая из ко- которых управляется через собственный мотонейрон. Таким обра- образом, количество управляющих воздействий в мышечной (нервно- мышечной) системе огромно. Тем не менее эта система обла- обладает удивительной надежностью и широкими компенсаторными возможностями, способностью не только многократно повторять одни и те же стандартные комплексы движений, но и выполнять нестандартные произвольные движения. Деятельность мышц отражается в структурах движения. Благодаря этому становится возможным, наблюдая движение, получать информацию о мышечной регуляции движения и ее нарушениях. Такой возможностью широко пользуются при ди- диагностике заболеваний, при разработке специальных тестов для контроля двигательных навыков у спортсменов. Независимо от назначения, особенности строения и способов регуляции принцип работы различных мышц организма одина- одинаков. В состав мышц входит совокупность мышечных клеток (во- (волокон), внеклеточное вещество (соединительная ткань), состоя- состоящее из коллагена и эластина. Поэтому механические свойства мышц подобны механическим свойствам полимеров. Мышцы по строению разделяются на два вида: гладкие мышцы (кишечник, стенки сосудов, желудка, мочевого пузыря) и скелетные (мышцы сердца, мышцы, крепящиеся к костям и обеспечивающие движе- движение головы, туловища, конечностей). Среднее значение плотности мышечной ткани равно 1050 кг/м3. Модуль Юнга Е = 105 Па. Поведение гладких мышц во многих случаях описывается моделью Максвелла. Они могут значительно растягиваться без особого напряжения, что способствует увеличению объема полых органов, например мочевого пузыря. Мышцы способны деформироваться на десятки процентов, чему способствует распрямление молекул коллагена.
182 Лекция 13. Механические свойства тканей Механизм поведения скелетной мышцы соответствует модели Зинера с соответствующими параметрами упругостей и вязко- вязкости. Для исследования характеристик сокращения мышц реали- реализуют два искусственных режима. Изометрический режим — когда напряжение мышцы про- происходит в искусственных условиях сохранения ее длины, что до- достигается с помощью фиксатора. Изотонический режим — когда искусственно поддерживается постоянство напряжения мышцы. Например, мышца поднимает постоянный груз Р = const, а ре- регистрируется изменение ее длины при сокращении. В процессе жизнедеятельности мышцы непрерывно подстра- подстраиваются под внешнюю нагрузку. Но сохранение напряжения в мышечной ткани требует непрерывного подвода энергии. Рас- Расход энергии приводит к усталости мышц. Только обморок или смерть прерывают мышечные процессы. 13.7.4. Сосудистая ткань. Механические свойства кровенос- кровеносных сосудов определяются главным образом свойствами колла- коллагена, эластина и гладких мышечных волокон. Содержание этих составляющих сосудистой ткани изменяется по ходу кровеносной системы. С удалением от сердца увеличивается доля гладких мышечных волокон, в артериолах они уже являются основной составляющей сосудистой ткани. Так как стенки кровеносных сосудов построены из высоко- высокоэластичного материала, то они способны к значительным обрати- обратимым изменениям размера при действии на них деформирующей силы. Деформирующая сила создается избыточным внутренним давлением. Рассмотрим деформацию сосуда как результат действия дав- давления изнутри на упругий цилиндр. Имеется часть цилиндри- цилиндрического кровеносного сосуда длиной L, с толщиной стенок h и внутренним радиусом г. Сечение вдоль и поперек оси цилиндра показаны на рис. 13.13. Две половинки сосуда взаимодействуют между собой по сече- сечениям стенок цилиндра (заштрихованные области на рис. 13.13а). Общая площадь этого сечения, вдоль которого взаимодействуют обе половинки сосуда, равна 2hL. Если в сосудистой стенке существует механическое напряжение <т, то сила взаимодействия
j13.8. Элементы реабилитологии 183 двух половинок равна F = a2hL. A3.12) Эта сила уравновешивается силами избыточного давления на цилиндр изнутри (они показаны стрелками на рис. 13.13а). Си- Силы направлены под разными углами к горизонтальной плос- плоскости. Для того чтобы найти их равнодействующую, следует просуммировать горизонтальные проекции. Однако проще найти равнодействующую силу, если умножить давление на проекцию площади полуцилиндра на вертикальную плоскость О(У. Эта проекция равна 2rL. Тогда выражение для силы через избыточ- избыточное давление имеет вид F = P2rL. A3.13) Приравнивая A3.12) и A3.13), получим <j2hL = P2rL, откуда а = Pr/h. A3.14) Это соотношение называется уравнением Ламе. а 6 Рис. 13.13. Сечения цилиндрического сосуда вдоль оси (а) и поперек оси (б) § 13.8. Элементы реабилитологии Представления о механических свойствах биологических тка- тканей важны для различных медико-реабилитационных направле- направлений. 13.8.1. Повреждения трубчатых костей. Ниже для примера рассмотрены повреждения, характерные для длинных трубча- трубчатых костей. Разрушения таких костей можно рассматривать, как
184 Лекция 13. Механические свойства тканей разрушения стержня при воздействии нагрузок в продольном или поперечном направлениях. Продольные нагрузки (сжатие) возникают, например, при падении на кисть вытянутой руки, на руку, согнутую в локтевом суставе или на согнутое колено (рис. 13.14). Р Рис. 13.14. Повреждение нижнего эпифаза бедренной кости вследствие разрывных или сдвиговых деформаций возможно при падении на со- согнутое колено В спортивной практике часто имеет место повреждение ко- костей вследствие их изгиба под влиянием внешнего воздействия. Зона начала разрушения диафиза длинной трубчатой кости при изгибе располагается на выпуклой стороне (рис. 13.15) дуги, где сосредотачиваются наибольшие значения растягивающих напря- напряжений. Рис. 13.15. Схема разрушения диафиза длинной трубчатой кости вследствие изгиба: а, б — векторы внешних усилий, в — сжимающие, г — растягивающие усилия Другой вид повреждений больших трубчатых костей, сопро- сопровождающийся множественными переломами, возникает при уда- ударе тупым предметом (рис. 13.16).
j13.8. Элементы реабилитологии 185 ¦ч Рис. 13.16. Схема механизма образования фрагментарного перелома диафиза с равномерным (а) и с неравномерным сечением (б) при воздействии тупым предметом 13.8.2. Травма лица. Часто при повреждениях мягких тка- тканей, особенно на открытых участках тела, в посттравматическом периоде применяют простые методы с использованием подручно- подручного материала. Так, для устранения асимметрии лица после трав- травмы проводится лейкопластырное натяжение со здоровой стороны на больную, рис. 13.17. Лейкопластырное натяжение направлено против тяги мышц здоровой кожи и осуществляется прочной фиксацией другого свободного конца пластыря к специальному шлему — маске, изготовленному индивидуально. Рис. 13.17. Устранение асимметрии лица с помощью лейкопластыря 13.8.3. Акустическая анизотропии кожи — диагностический параметр. Проявление акустической анизотропии в различных участках кожи представлено в табл. 13.5, где указаны преимуще- преимущественные соотношения скоростей и коэффициенты акустической анизотропии (данные указаны для лиц 18-30 лет). Доля прояв- проявления соответствующей акустической анизотропии указана для лиц нормального телосложения.
186 Лекция 13. Механические свойства тканей Таблица 13.4. Проявление акустической анизотропии в коже Область измерений Лоб (середина) Лоб (края) Веко верхнее Щека (середина) Предплечье Запястье Пальцы Ладонь Лопатка Молочная железа Грудь Поясница Живот (средн. лин.) Подколенный сгиб Голень Соотношение скоростей vy>vx УУ<УХ УУ<УХ УУ<УХ УУ>УХ УУ<УХ УУ>УХ УУ<УХ УУ<УХ УУ<УХ УУ<УХ УУ<УХ УУ<УХ УУ<УХ У у > Ух Коэффициент анизотропии к_ к_ к_ к+ к_ к_ к_ К- К- К- к_ к_ к+ Доля проявления 90% 90% 95% 70% 83% 85% 80% 90% 87% 88% 93% 85% 79% 75% 94% Степень анизотропии кожи при некоторых патологиях силь- сильно изменяется: например, при псориазе, при атопических дер- дерматитах (особенно в областях сгибательных поверхностей) или в коже верхнего века при прогрессирующей близорукости. Ани- Анизотропия кожи лица, особенно в области лба позволяет оценивать возрастные изменения. Многочисленные исследования в самых различных областях медицины показали, что анизотропия кожи является объективным диагностическим критерием. В спортивной и космической медицине следует знать устойчи- устойчивость различных биологических структур по отношению к раз- различным деформациям. В челюстно-лицевой хирургии, пласти- пластической хирургии и косметологии механические свойства тканей определяют объем воздействия и служат объективным критери- критерием для оценки эффективности лечения. В травматологии и орто- ортопедии вопросы механического воздействия на организм являются определяющими.
Лекция 14 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕМОДИНАМИКИ 1. Гидродинамическая модель кровообращения. 2. Сердце как насос. 3. Пульсовая волна. 4. Физические основы клинического метода измерения давления крови. 5. Элементы реабилитологии. Значение давления крови и эластич- эластичности сосудов. Гемодинамика — раздел биомеханики, в котором исследуется движение крови по сосудистой си- системе. Физической основой гемодинамики явля- является гидродинамика. Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов. § 14.1. Гидродинамическая модель кровообращения Модель Франка — это гидродинамическая модель (с сосре- сосредоточенными параметрами) кровеносной системы. В ней реша- решается задача: установить связь между ударным объемом крови, гидравлическим сопротивлением периферической части системы кровообращения и изменением давления в артериях. Схематическое представление модели изображено на рис. 14.1. Рис. 14.1. Модель Франка Элементы модели: • УР — упругий резервуар, артериальная часть системы кровообращения; • Q — объемная скорость кровотока, с которой кровь из сердца поступает в упругий резервуар;
188 Лекция 14. Физические основы гемодинамики • Qo — объемная скорость кровотока, с которой кровь от- оттекает от УР в периферическую систему; • Xq — гидравлическое сопротивление периферической си- системы (артериолы, капилляры). Оно постоянно и моделируется жесткой трубкой на выходе из УР. В данной модели предполагается: а) упругость материала стенок является линейной (справед- (справедлив закон Гука); б) толщина стенок не меняется. Объем крови в УР в любой момент времени определяется следующим соотношением: V = Vo + kP, A4.1) где Vo — объем УР при отсутствии давления (Р = 0), к — коэффициент эластичности. Продифференцировав соотношение A4.1), получим: dV/dt = kdP/dt. A4.2) Далее из очевидных соображений имеем следующее уравнение: Q = dV/dt + Qo, A4.3) показывающее, что объемная скорость кровотока из сердца рав- равна скорости возрастания объема dV/dt для упругого резервуара и скорости оттока Qo крови из упругого резервуара в перифери- периферическую систему. Для периферической части системы Qq имеем по формуле Пуазейля: Qo = {P- Ро)/Хо, A4.4) где Р — давление в упругом резервуаре (в начале трубы); Р$ — давление в конце трубы, то есть в конце периферической систе- системы. В месте впадения полых вен в сердце Р$ = 0, поэтому имеем: Qo = Р/Хо. A4.5) Окончательно для объемной скорости кровотока получаем: Q = dV/dt + Р/Хо, или Q = kdP/dt + P/Xo. A4.6)
114.1. Гидродинамическая модель кровообращения 189 Из последнего выражения можно получить важные соотноше- соотношения, описывающие рассматриваемую модель. Для этого перепи- перепишем A4.6) в виде Qdt = kdP + (P/X0)dt, A4.7) а затем проинтегрируем. Выберем для времени следующие пре- пределы интегрирования: нижний предел равен 0; верхний предел равен периоду пульса Тп (периоду сокращения сердца). Этим временным пределам соответствуют одинаковые давле- давления, равные, например, диастолическому давлению Рд. Запишем интегралы с указанием пределов интегрирования: Qdt = I kdP + 4- [ Pdt. A4.8) У первого интеграла верхний и нижний пределы одинаковы, поэтому он равен 0. Окончательно получим: тп тп Qdt = Pdt. A4.9) о о Теперь воспользуемся экспериментальной кривой (рис. 14.2), показывающей зависимость давления в сонной артерии от вре- времени. Р, кПа Р1=16 Рис. 14.2. Зависимость давления от времени за период сокращения На рис. 14.2 показаны: Тс — длительность систолы, Тд — длительность диастолы, Рс — максимальное систолическое дав- давление, Рд — минимальное диастолическое давление. Проанализируем соотношение A4.9). Левая часть равна объе- объему крови, который выталкивается из сердца за одно сокращение, то есть это ударный объем крови. Он может быть найден экспе- экспериментально.
190 Лекция 14. Физические основы гемодинамики Ударный объем крови — объем крови, выбрасыва- выбрасываемый желудочком сердца за одну систолу. тп Интеграл Pdt соответствует площади фигуры, ограниченной о кривой давления и осью времени. Его также можно найти экс- экспериментально. Во время систолы (сокращения сердца) происходит расшире- расширение упругого резервуара. Во время диастолы происходит отток крови к периферии. Для этого периода имеем Q = 0, и уравне- уравнение A4.7) принимает вид dP/P = -dt/(kX0). A4.10) Проинтегрировав полученное выражение, получим зависимость давления в резервуаре после систолы от времени (учитывая, что t = 0 соответствует началу диастолы): Р = Pcexp(-t/kX0). A4.11) Эта теоретическая формула приближенно описывает спад дав- давления на рис. 14.2. Подставив A4.11) в A4.5), получим приближенную формулу для скорости оттока крови во время диастолы: Qo = Qcexp(-t/kXo), A4.12) где Qc = Рс/ Xq — объемная скорость кровотока из УР в конце систолы. Таким образом, хотя модель Франка лишь приближенно опи- описывает реальное явление, она проста и качественно верно отра- отражает процесс к концу диастолы. Вместе с тем изменения давле- давления в начале диастолы с помощью этой модели не описываются. В более точных моделях используется большее количество эла- эластичных резервуаров (модели с распределенными параметрами). § 14.2. Сердце как насос Для поддержания электрического тока в замкнутой цепи требуется источник тока, который создает разность потенци- потенциалов, необходимую для существования тока при наличии со- сопротивления в цепи. Аналогично, для поддержания движения
§ 14.2. Сердце как насос 191 жидкости в замкнутой гидродинамической системе требуется «насос», который создает разность давлений, необходимую для поддержания движения жидкости при наличии гидравлического сопротивления. В системе кровообращения роль такого насоса играет сердце. При сокращениях сердца стенки желудочков воздействуют на находящуюся в них кровь. Полная сила F, действующая на содержащуюся в полости желудочка кровь, определяется фор- формулой F = PS, где Р — давление, S — площадь внутренних стенок полости желудочка. Оценим силу, развиваемую сердцем с помощью упрощенной модели, в которой желудочек принима- принимается за сферу. При нормальной работе сердца человека объем желудочка меняется от 85 см3 (85 • 10~6 м3) в начале систолы до 25 см3 B5 • 10~6 м3) в конце ее. Используя геометрические формулы для площади сферы и объема шара, можно рассчитать, что поверхности стенок при этих объемах равны, соответственно, 93,7 см2 (93,7 • Ю-4 м2) и 41,2 см2 D1,2 • 1(Г4 м2). Тогда пол- полная сила, развиваемая сердцем в начале систолического выброса (Р = 70 мм рт. ст. = 9300 Па), равна 87 Н; в конце систолы (Р = 120 мм рт.ст. = 16 000 Па) развиваемая сердцем сила равна 66 Н. Это означает, что в результате сокращения объема желудочка и площади его стенок сердце развивает меньшую силу при наибольшем давлении. Работу сердца как насоса можно представить следующими фазами. НАСОС РАБОЧАЯ ФАЗА сокращение мышц tc = 0,3 с Рс = 16 кПа ХОЛОСТАЯ ФАЗА расслабление мышц ?д = 0,7 с Рд = 10 кПа Вследствие эластичности стенок крупные артерии за время систолы воспринимают больше крови, чем ее отток к периферии. Схема явлений, происходящих в большом круге кровообраще- кровообращения, такова.
192 Лекция 14. Физические основы гемодинамики При каждом сокращении левого желудочка в аорту, уже заполненную кровью, при некотором давлении выталкивается ударный объем крови, равный приблизительно VyA = 60-70 см3. Затем клапан аорты закрывается, поэтому кровь не течет в об- обратном направлении. В аорте происходит следующее: дополнительный объем крови повышает давление в ней и вызывает растяжение ее стенок, что приводит к увеличению ее объема. Сосудам при этом сообщается потенциальная энергия, переданная им сердцем через ток крови. При этом возникает систолическое давление крови Рс. Во время расслабления сердца (диастолы) растянутые кровеносные сосуды (стенки аорты) спадают до исходного состояния. Их потенциаль- потенциальная энергия Еп переходит в кинетическую энергию тока кро- крови Ек. При этом поддерживается диастолическое давление Рд. Происходит проталкивание поступившего объема крови в при- прилегающие крупные артерии. Стенки последних, в свою очередь, растягиваются и затем сокращаются, проталкивая кровь в по- последующие звенья сосудистой системы. В результате ток крови принимает непрерывный характер. При таком механизме продвижения крови происходит следу- следующее расходование энергии, высвобождаемой при сокращении сердечной мышцы. Высвобождаемая энергия Энергия, расходуемая на сообщение крови кинетической энергии и на преодоление сил сопротивления Энергия, переходящая в потенциальную энергию растяжения эластичных стенок крупных сосудов (аорты) Энергия, передаваемая массе крови в период расслабления сердечной мышцы по мере возвращения растянутых стенок в исходное состояние § 14.3. Пульсовая волна Возникшая в кровеносном сосуде деформация распространя- распространяется в виде пульсовой волны. Пульсовая волна — распространяющаяся по аорте и артериям волна повышенного (над атмосфер- атмосферным) давления, вызванная выбросом крови из ле- левого желудочка в период систолы.
§ 14.3. Пульсовая волна 193 Пульсовая волна распространяется со скоростью Vn = = 5-10 м/с. За время систолы она пройдет путь, равный S = Vntc = 1,5-3 м, что больше расстояния от сердца до ко- конечностей. Это означает, что фронт пульсовой волны достигнет конечностей раньше, чем начнется спад давления в аорте. Профиль артерии в различные фазы волны схематически показан на рис. 14.3. Перед прохождением пульсовой волны Чсрез артсрию начинает проходить пульсовая волна В артерии пульсовая волна Спал, пульсового давления, кровь проталкивается сокращением стенок Рис. 14.3. Профиль артерии при прохождении пульсовой волны П р охож д ев: и е п ул ь с о в о й волны закончено Пульсовой волне будет соответствовать пульсирование ско- скорости кровотока в крупных артериях, однако скорость крови су- существенно меньше скорости распространения пульсовой волны. Скорость кровотока составляет 0,3-0,5 м/с. Сокращение сердца имеет периодический характер, что при- приводит к периодическим изменениям давления. Характер распределения давления в различных участках со- сосудистого русла представлен на рис. 14.4. Здесь показано превы- превышение давления над атмосферным. 1 — давление в аорте 2 — давление в крупных артериях 3 — давление в мелких артериях 4 — давление в артермолах 5 — давление в капиллярах 12 3 4 5 Рис. 14.4. Распределение давления в различных участках сосудистого русла (вертикальные отрезки показывают амплитуду изменения дав- давления) 7 Федорова В.Н., Степанова Л. А.
194 Лекция 14. Физические основы гемодинамики Из рис. 14.4 видно, что при переходе к более мелким сосудам амплитуда колебаний давления уменьшается и в капиллярах спадает до нуля. Это показано на рис. 14.5, на котором показаны временные зависимости давления для артерии и артериолы. Рис. 14.5. Колебания давления в артерии (а) и артериоле (б) Вязкость крови и упруговязкие свойства кровеносных сосу- сосудов обусловливают затухание пульсовой волны. Можно считать, что затухание экспоненциально. То есть для амплитуды пульсо- пульсовой волны (АР = Pmax — ^min) можно записать: АР = АРоехр(-/^ж), A4.13) где АРо — амплитуда давления в начале сосуда, АР — амплиту- амплитуда давления на расстоянии х от начала; к — коэффициент зату- затухания волны, увеличивающийся с уменьшением сечения сосуда. Скорость пульсовой волны в крупных сосудах (для тонко- тонкостенной упругорастяжимой трубы) равна Vn = A4.14) где Е — модуль упругости, h — толщина стенки сосуда, р — плотность вещества сосуда, d — диаметр сосуда. § 14.4. Физические основы клинического метода измерения давления крови В медицине широко используется метод измерения давления крови, предложенный Н.С. Коротковым A905), который состоит в следующем. Вокруг руки между плечом и локтем накладывают манжету, в которую накачивают воздух. Как только давление в манжете
§ 14.4. Физические основы метода измерения давления крови 195 превысит давление крови в плечевой артерии, кровоток прекра- прекращается. При стравливании воздуха из манжеты кровоток возоб- возобновляется сначала частично, а потом полностью. По манометру фиксируют давления, при кото- которых начинается и заканчивается восстановление кровотока. Манжету накладывают все- всегда в области плечевой артерии, рис. 14.6. Такой выбор места для нало- наложения манжеты позволяет стан- стандартизовать результаты, так как плечевая артерия в опущенной Рис. 14.6. Манжета всегда на- руке находится на уровне сердца, ^J ^ J ^ ^^ ' кладывается на уровне сердца и измеряемое давление совпада- совпадает с давлением крови в ближайшей к сердцу части аорты. Если бы давление измерялось, например, на щиколотке, то результат измерения зависел бы от роста человека и его положения (вер- (вертикальное, горизонтальное, сидя). Рассмотрим физические основы этого метода. Схема процес- процессов, последовательно проявляющихся при измерении давления, представлена на рис. 14.7. а) Сначала избыточное давление Ри воздуха в манжете от- отсутствует и кровоток не прерывается. б) По мере закачивания воздуха в манжету последняя сдав- сдавливает плечевую артерию. Когда давление в манжете превысит систолическое давление (Рс), кровоток прекращается. в) Выпуская воздух, уменьшают давление в манжете. Ког- Когда давление на артерию станет равным систолическому, кровь начнет проталкиваться через сдавленную артерию. В ней со- создается поток, сопровождающийся шумами. Эти шумы обуслов- обусловлены вибрацией стенок артерии непосредственно за манжетой под действием толчков от порций крови, которые прорываются сквозь сжатый манжетой участок сосуда. Эти шумы хорошо прослушиваются через фонендоскоп. В момент появления шумов по манометру регистрируется систолическое давление («верхнее давление»). г) Когда давление в манжете станет меньше диастолического давления Рд, манжета перестанет пережимать артерию. Кро-
196 Лекция 14. Физические основы гемодинамики воток прерываться перестанет, и шумы, связанные с вихрями, прекращаются. В момент прекращения шумов по манометру регистрируется диастолическое давление («нижнее давление»). а) Ри=0 артерия мягкие ткани в) ш „<Рс -:-:-:-:-:l-.-.-.-.-.-.-.-.-J:-:-:-»:-:-:-:-»:-:-:-:-»:-:-:-:-:-: г) РД>РИ Рис. 14.7. Схема измерения давления крови Описанный метод имеет тенденцию занижать «верхнее дав- давление» и завышать «нижнее давление» Причина этого понятна из рис. 14.8. Прямой линией показано изменение давление в ман- манжете. «Синусоида» показывает характер изменения артериаль- артериального давления. «Верхнее» и «нижнее» давления, фиксируемые по показаниям манометра, отмечены жирными точками. Видно, что при быстром «стравливании» давления в манжете погреш- погрешности становятся больше. р k рг t б t Рис. 14.8. Погрешности, возникающие при измерении артериального давления при медленном (а) и быстром (б) «стравливании» давления в манжете
§ 14.5. Элементы реабилитологии 197 § 14.5. Элементы реабилитологии 14.5.1. Значение давления крови и эластичности сосудов. Артериальное давление необходимо контролировать при всех медико-реабилитологических мероприятиях. В норме в течение каждого сердечного цикла артериальное давление меняется от 16 кПа A20 мм рт. ст.) до 10 кПа (80 мм рт. ст.). Эти числа пока- показывают, насколько давление крови в артерии выше атмосферного давления. Величина артериального давления определяется в основном следующими факторами: • силой, с которой кровь во время систолы выталкивается в сосудистое русло; • эластичностью стенок сосудов; • сопротивлением сосудистого русла, зависящим от величи- величины просвета сосудов и вязкости крови. Уровень артериального давления изменяется при мышечной нагрузке, при эмоциональных напряжениях, при изменениях функционального состояния, при воздействии ряда физических факторов (звук высокой интенсивности, ультразвук, инфразвук, вибрация, перегрузки и т.д.). Повышением артериального дав- давления сопровождаются некоторые заболевания почек (почечная гипертензия). Величина кровяного давления также изменяется при заболеваниях, связанных с нарушением нервной регуляции просвета сосудов. В одних случаях имеет место увеличение дав- давления до 220/120 мм рт. ст. (гипертония), в других давление снижается ниже нормы до величины 90/60 мм рт. ст. Чрезмерное снижение внешнего давления представляет се- серьезную опасность для организма. Длительному нахождению при пониженном давлении подвергаются, например, альпинисты. Опасности попасть в условия с сильно пониженным давлением подвергаются летчики и космонавты. Исследования показали, что снижение внешнего давления ниже 267 мм рт. ст. (что соответствует высоте 8 км) может приве- привести к развитию «декомпрессионных расстройств». Если внешнее давление падает до 40 мм рт. ст., то такие нарушения стано- становятся необратимыми. Снижение внешнего давления до опасных уровней предотвращается использованием систем герметизации кабин, специальных скафандров, гермошлемов и т. д.
198 Лекция 14. Физические основы гемодинамики Установлено, что нормальная жизнедеятельность космонавта обеспечивается и при снижении давления до 500 мм рт. ст. Оп- Оптимальное парциальное давление кислорода в кабине не должно превышать 420 мм рт. ст. — большие концентрации оказываются вредными. Соотношение между общим давлением и парциаль- парциальным давлением кислорода регулируется химическим путем — с помощью регенерации. С возрастом, в связи с развитием склеротических изменений, сосуды теряют эластичность, становятся жесткими, поэтому их положительное влияние на деятельность сердечно-сосудистой си- системы резко снижается. Пульсовые колебания кровотока возрас- возрастают, эффективность работы сердца снижается, а нагрузка на него растет. Кроме того, наличие склеротических изменений в со- сосудах, в соответствии с формулой Пуазейля, значительно меняет скорость кровотока, и, следовательно, питание тканей. При этом существенно меняются различные регуляторные воздействия. Так, вместо расширения сосуды часто надолго суживаются, что ведет к нарушению кровоснабжения (ведь объем кровотока про- пропорционален четвертой степени ширины просвета сосуда). Это приводит к ухудшению функции мозга, сердца и других органов. В области склеротических изменений имеет место не только сужение просвета сосуда, но и возникновение турбулентности, что приводит к образованию внутрисосудистых тромбов. При резких перепадах давления они могут оторваться и, попадая в со- сосуды мозга или сердца, перекрыть кровоток (тромбоэмболия), что приводит к развитию тяжелых осложнений.
Лекция 15 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 1. Электрический заряд. 2. Закон Кулона, электростатическое поле, напряженность. 3. Потенциал, разность потенциалов. 4. Проводники и диэлектрики, относительная диэлектрическая проницаемость. 5. Магнитное поле, магнитная индукция. 6. Магнитное поле в веществе, относительная магнитная проница- проницаемость. 7. Электромагнитная индукция. Токи Фуко. Характеристики электрического и магнитного полей, кото- которые создаются биологическими системами или действуют на них, являются источником информации о состоянии организма. § 15.1. Электрический заряд Все тела состоят из атомов, которые, в свою очередь, состо- состоят из элементарных частиц. Важнейшей характеристикой этих частиц является электрический заряд, который обусловливает электромагнитное взаимодействие между ними. По признаку электрического заряда различают три класса элементарных ча- частиц: а) отрицательно заряженные частицы (например, электрон); б) положительно заряженные частицы (например, протон); в) электронейтральные частицы (например, нейтрон). Одноименные частицы отталкиваются, а разноименные — притягиваются. Электроны и протоны имеют одинаковые по модулю и проти- противоположные по знаку заряды. Самая минимальная порция элек- электрического заряда — это заряд электрона, абсолютная величина которого в международной системе единиц (СИ) равна е = 1,67 х х Ю-19 Кл. Тела, в которых количество электронов и протонов одинако- одинаково, называются незаряженными.
200 Лекция 15. Электричество и магнетизм Если по какой-то причине равенство между числом электро- электронов и протонов нарушено, тело называется заряженным и его электрический заряд определяется формулой: q = e(np - гсе), A5.1) где пр — число протонов, а пе — число электронов. § 15.2. Закон Кулона, электростатическое поле, напряженность Наиболее простой вид электромагнитное взаимодействие имеет для неподвижных зарядов. Такое взаимодействие называется кулоновским, или электростатическим. Закон Кулона. В вакууме сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов прямо про- пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ни- ними: 4тгб:0 г2 где <7ъ 42 — модули зарядов, г — расстояние между ними, во — константа, называемая электрической постоянной. Ее значение в международной системе (СИ) равно ?0 = 8,85 • 1(Г12 Ф/м. Кулоновское взаимодействие представлено на рис. 15.1. Рис. 15.1. Кулоновское взаимодействие одноименных зарядов Электрическое поле есть разновидность материи, посредством которой осуществляется силовое воз- воздействие на электрические заряды, находящиеся в этом поле. Электрическое поле есть одна из форм проявления электромагнитного поля. То есть электрическое поле создается зарядами, основное свойс- свойство электрического поля — действие на заряды. Силовой харак- характеристикой электрического поля является векторная величина, называемая напряженностью поля.
§ 15.3. Потенциал, разность потенциалов 201 Напряженность электрического поля (Е) равна отношению силы, действующей в данной точке поля на точечный заряд, к величине этого заряда: E = F/<7, [В/м]. A5.3) Напряженность — вектор, направление которого совпадает с на- направлением силы, действующей в данной точке поля на положи- положительный точечный заряд. Напряженность электрического поля, созданная точечным зарядом Q на расстоянии г от него, равна E = Q/{47re0r2). A5.4) Электрическое поле графически представляется силовыми лини- линиями, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности в соответствующих точках поля. Обычно эти линии проводят с такой густотой, чтобы число линий, прохо- проходящих через единичную площадку, перпендикулярную им, было пропорционально значению напряженности электрического поля в месте расположения площадки. На рис. 15.2 изображены сило- силовые линии однородного и неоднородного полей. + Е - Силовые линии однородного поля. Силовые линии неоднородного поля. Рис. 15.2. Графическое изображение электрического поля § 15.3. Потенциал, разность потенциалов При перемещении заряда из одной точки поля в другую силы поля совершают работу, которая не зависит от формы пути. Отношение работы к заряду не зависит от заряда и являет- является энергетической характеристикой поля, относящейся к двум конкретным точкам. Эта характеристика называется разностью потенциалов: Ult2 = <Pi-<P2 = A/q, [В]. A5.5) Потенциал ((р) точки электрического поля чис- численно равен работе, совершаемой силами поля, по
202 Лекция 15. Электричество и магнетизм перемещению единичного полоэюителъного заря- заряда из данной точки в бесконечно удаленную точку пространства: Ч> = A/q. A5.6) Для потенциала поля точечного заряда Q в вакууме (на рассто- расстоянии г от него) справедлива формула <?т.з = Q/4:7T?0r. A5.7) Потенциал и разность потенциалов — скалярные величины. В однородном поле существует связь между напряженностью и разностью потенциалов: <рг - <р2 = Ed, A5.8) где d — расстояние вдоль силовой линии между точками с по- потенциалами (fi И (f2- § 15.4. Проводники и диэлектрики, относительная диэлектрическая проницаемость Свободные молекулы имеют одинаковое число электронов и протонов, и поэтому их заряд равен нулю. Однако в веществе молекула может либо потерять часть своих электронов, либо распасться на ионы. В этом случае в веществе появятся заряды, способные к самостоятельному перемещению. Заряды, находящиеся внутри вещества и способ- способные перемещаться на макроскопические расстоя- расстояния, называются свободными. Вещества, в которых имеются свободные заряды, называются проводниками, а вещества, в которых их нет — диэлектриками. Если в электрическое поле с напряженностью Ео поместить про- проводник, то свободные заряды перераспределятся таким образом, что созданное ими электрическое поле Еи скомпенсирует внеш- внешнее поле и результирующая напряженность внутри проводника станет равной нулю (рис. 15.3). Это явление называется электри- электрической индукцией.
j 15.5. Магнитное поле, магнитная индукция 203 Рис. 15.3. Компенсация внешнего электрического поля в проводнике Если в электрическое поле (Ео) поместить диэлектрик, то его полярные молекулы будут «стремиться» расположиться вдоль поля и на поверхности диэлектрика появятся связанные заряды. Напряженность созданного ими электрического поля Еп направ- направлена против Eg, но (в отличие от проводников) компенсирует внешнее поле не полностью. Поэтому поле внутри диэлектрика уменьшается не до нуля (рис. 15.4). Это явление называется по- поляризацией диэлектрика. Рис. 15.4. Ослабление внешнего электрического поля в диэлектрике Относительная диэлектрическая проницае- проницаемость (е) (часто называемая просто диэлектриче- диэлектрической проницаемостью) — безразмерная, скалярная величина, показывающая, во сколько раз напря- напряженность электрического поля в диэлектрике уменьшается по сравнению с полем в вакууме: е = Eq/ Е (для вакуума е = 1). A5.9) § 15.5. Магнитное поле, магнитная индукция Магнитное поле есть разновидность материи, по- посредством которой осуществляется силовое воз- воздействие на движущиеся электрические заряды, помещенные в поле, и другие тела, обладающие магнитным моментом. Магнитное поле есть одна из форм проявления электромагнитного поля.
204 Лекция 15. Электричество и магнетизм То есть магнитное поле порождается током, магнитами и движу- движущимися зарядами. Оно обнаруживается по действию на внесен- внесенные в него токи, магниты, движущиеся заряды. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции В. Его удобно определять по ориентиру- ориентирующему действию магнитного поля на маленький контур с то- током / и площадью 5, внесенный в данную точку поля. Харак- Характеристикой контура является величина рт = IS — магнитный момент контура с током. Для плоского контура с током вектор рт расположен перпендикулярно плоскости контура и связан с направлением тока / правилом правого винта. По противоположным сторонам контура токи текут в про- противоположных направлениях. Поэтому на них действуют проти- противоположные силы, которые создают вращательный момент М. Величина вращательного момента зависит от ориентации плос- плоскости рамки (рис. 15.5). • Существует положение, в котором вращающий момент равен 0 (положение равновесия). • Если плоскость рамки расположена перпендикулярно по- положению равновесия, то вращающий момент максимален — Мтях. © В IV Положение равновесия рамки Рис. 15.5. Контур с током в магнитном поле Величину Мтах используют при выборе характеристики маг- магнитного поля — магнитной индукции. Магнитная индукция (В) в некоторой точке по- поля равна отношению максимального вращающего момента, действующего на контур с током в од- однородном магнитном поле, к магнитному моменту этого контура: В = Mmax/pn A5.10)
j 15.5. Магнитное поле, магнитная индукция 205 Вектор В совпадает по направлению с вектором рт в положении устойчивого равновесия контура. Единицей магнитной индукции является тесла [Тл]. Магнитное поле графически изображается с помощью линий магнитной индукции (магнитные силовые линии). Касательные к силовым линиям показывают направление вектора В в соот- соответствующих точках. Густота линий пропорциональна модулю вектора В. В отличие от силовых линий электростатического поля, линии магнитной индукции замкнуты (рис. 15.6). N S Прямой провод Виток Постоянный магнит Рис. 15.6. Линии магнитной индукции Магнитная индукция в центре кругового витка радиусом R с током / равна В =fjL0I/2R. A5.11) Магнитная индукция В на расстоянии г от прямолинейного бесконечного проводника с током / равна В = цо1/2тгг. A5.12) Величина /iq = 4тг10~7 Гн/м есть магнитная постоянная. Зная значение магнитной индукции (В) в данном месте, мож- можно вычислить силу, действующую со стороны магнитного поля на проводник с током или движущийся заряд. 15.5.1. Сила Ампера, действующая на прямолинейный уча- участок проводника с током, перпендикулярна как направлению В, так и проводнику с током: F = BLIs'ma, A5.13) где / — сила тока, L — длина проводника, а — угол между направлением тока и вектором В.
206 Лекция 15. Электричество и магнетизм 15.5.2. Сила Лоренца, действующая на движущийся заряд, перпендикулярна как направлению В, так и направлению ско- скорости заряда: F = BVqs'ma, A5.14) где q — заряд, V — его скорость, а — угол между направлени- направлением V и В. Характеристикой магнитного поля является также магнит- магнитный поток Ф, определяемый числом магнитных силовых линий, пронизывающих какую-либо площадку. Магнитный поток через площадку S вычисляется по формуле Ф = BScosa, A5.15) где а — угол между вектором В и вектором нормали п к площад- площадке S. Магнитный поток измеряется в веберах [Вб]. Магнитный поток — это скалярная величина. § 15.6. Магнитное поле в веществе, магнитная проницаемость Вещество, создающее собственное магнитное поле, называет- называется намагниченным. Намагниченность возникает при помещении вещества во внешнее магнитное поле. Магнитная индукция в ве- веществе В выражается через магнитную индукцию внешнего поля Во (в той же точке пространства) по формуле: В = //Во, A5.16) где ц — относительная магнитная проницаемость вещества. Относительная магнитная проницаемость ве- вещества (/i) — это безразмерная, скалярная ве- величина, показывающая, во сколько раз индукция магнитного поля в веществе изменяется по сравне- сравнению с магнитной индукцией поля в вакууме. Для вакуума \± — 1. Остальные вещества по своим магнитным свойствам делятся на три группы: а) диамагнетики, у которых /i < 1; б) парамагнетики, у которых \i > 1; в) ферромагнетики, у которых \i >> 1, ц = f(B).
§ 15.7. Электромагнитная индукция. Токи Фуко 207 § 15.7. Электромагнитная индукция. Токи Фуко По закону Фарадея при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего контур, в нем возникает ЭДС (<J) электромаг- электромагнитной индукции, которая равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур: & = -АФ/At. A5.17) Явление электромагнитной индукции используется, например, для производства электроэнергии. В некоторых случаях это явление проявляется и при отсутствии специально созданного контура. Пусть в переменном магнитном поле находится прово- проводящее вещество. Любой сплошной проводник можно рассматри- рассматривать как «набор» вложенных друг в друга замкнутых контуров. Изменение магнитного поля приводит к изменению магнитного потока, поэтому в каждом контуре возникнет электрический ток, протекание которого вызовет выделение теплоты. Такие токи называются токами Фуко. В технике с токами Фуко приходится бороться (потери энергии). Однако в медицине эти токи находят применение в физиотерапии.
Лекция 16 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В МЕМБРАНАХ 1. Функции мембран. 2. Структура и модели мембран. 3. Физические свойства мембран. 4. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика. 5. Перенос заряженных частиц, электродиффузионное уравнение Нернста-Планка. 6. Виды транспорта через мембраны: пассивный и активный. Изучение структуры и функционирования биологических мембран имеет важное значение для медицины, так как мно- многие патологические процессы в клетке связаны с нарушением функций мембран. Общая площадь мембран в органах и тканях достигает огромных размеров. Благодаря этому клетки распола- располагают достаточной площадью для обеспечения многочисленных процессов, протекающих на мембранах, обеспечивающих жизне- жизнеспособность человека. § 16.1. Функции мембран Мембрана выполняет в жизнедеятельности живых клеток самые различные функции. Механическое разделение. Клетка — элементарная живая си- система. Каждая клетка окружена наружной клеточной мембра- мембраной (плазматической), которая заключает внутри себя содержи- содержимое клетки. С другой стороны, тонкая регуляция внутриклеточ- внутриклеточных процессов осуществляется на основе пространственного раз- разделения органоидов клетки (внутриклеточные мембраны). Мем- Мембрана является поверхностью раздела (диэлектрической грани- границей). Транспортная функция. Через мембрану происходит перенос (транспорт) различных веществ, то есть она принимает активное участие в жизнедеятельности клетки. Селективный барьер. Мембрана защищает клетку от проник- проникновения нежелательных частиц и веществ.
§ 16.2. Структура и модели мембран 209 Рецепция. Через мембрану происходит распознавание других клеток, веществ. Распространение нервного импульса. В мембране локализова- локализованы основные биоэлектрические процессы. Реализуется генерация электрического потенциала. Посредством мембраны происходит распространение нервного импульса. Матрица. Мембрана является матрицей (основой) для удер- удержания белков, ферментов. Таким образом, мембрана — важнейший орган клетки, ре- регулирующий каждое взаимодействие клетки как внутри ее, так и с окружающей средой. Если функции мембраны нарушаются, то происходит изменение нормального функционирования кле- клеток и, как следствие, заболевание организма. § 16.2. Структура и модели мембран Структурную основу любой мембраны составляет двойной фосфолипидный слой (рис. 16.1). Липиды (вещества на основе жирных кислот) построены из полярной головки (содержащей атомы водорода, углерода, азота, фосфора) и двух длинных неполярных углеводородных «хвостов». Полярные головки гид- гидрофильны, то есть могут притягивать к себе дипольные молекулы воды. «Хвосты» обладают гидрофобными свойствами, то есть не любят взаимодействовать с водой. В мембране молекулы фосфолипидов ориентированы так, что их гидрофильные головки выходят наружу и образуют внешнюю и внутреннюю поверхности мембраны, а гидрофобные «хвосты» обращены к середине бимолекулярного слоя, то есть внутрь мембраны. Гидрофильные головки взаимодействуют с внешними белковыми слоями и молекулами воды вне и внутри клетки и образуют с ними водородные связи. Двойной фосфолипидный слой выполняет функцию барьера и матрицы для различных белков. Липиды и белки в бислое мо- могут перемещаться: достаточно быстро внутри слоя вдоль плоско- плоскости мембраны (латеральная диффузия) и очень медленно между двумя монослоями поперек мембраны (флип-флоп-переходы). 16.2.1. Расположение белков в мембране. В липидную матри- матрицу встроены белки (на одну молекулу белка приходится 75-90 мо- молекул липидов) и функциональные белковые комплексы. Белки
210 Лекция 16. Физические процессы в мембранах как бы плавают в липидном слое. Схематично строение мембра- мембраны показано на рис. 16.1. полярная >=- -, г~~ ~~л Г*" 7-—~~\ С*" "г 1 • гидрофильная г С^в С пб ] С пб J I пб ) / ^l v f ^-—iiiLy ^- ' ———/г—О ' / головка '|уу«Ниуууууу0ууу\—-:,„ сю ?~^о ^s ^э <<хвост>> Рис. 16.1. Схематичное строение мембраны: L — толщина мембраны; пб — поверхностные белки; иб — интегральные белки; к - белки, формирующие ионный канал (пору) Поверхностные белки (пб). Эти белки могут находиться либо на внешнем, либо на внутреннем липидном монослое, удержива- удерживаясь преимущественно электростатическими силами. Такие белки занимают 75-80 % поверхности. Белковые молекулы покрывают мембрану с обеих сторон и придают ей эластичность и устойчи- устойчивость к механическим повреждениям. Часть этих включенных в мембрану молекул составляют гли- копротеиды, которые одной из пептидных цепей с присоединен- присоединенными к ней разветвленными углеводами выступают во внешнее примембранное пространство. Таким образом, образуется рых- рыхлый поверхностный слой (выполняющий роль носителя электро- электростатического заряда). Интегральные белки (иб). Эти белки могут пронизывать двойной слой липидов насквозь. Такие белки являются главным компонентом, ответственным за избирательную проницаемость клеточной мембраны. Некоторые из них (к) образуют систему селективных каналов (пор) или функционируют как ионные насосы и регулируют, например, электрохимическую систему возбуждения клетки. Диаметр каналов составляет 0,35-0,8 нм. Количество их относительно невелико (например, в эритроцитах вся площадь каналов составляет 0,06% от площади поверхно- поверхности). Полярные группы молекул белков в каналах направлены в сторону отверстия каналов, а неполярные вступают во вза- взаимодействие с молекулами липидов. Стенки каналов обладают электрическими зарядами.
§ 16.2. Структура и модели мембран 211 16.2.2. Модели мембран. Уточнение строения биомембран и изучение их свойств осуществляется с использованием физико- химических моделей мембраны. Первая модель — монослой. Молекулы фосфолипидов, бу- будучи помещенными на границу раздела вода-воздух (вода-мас- (вода-масло), выстраиваются в один слой так, что гидрофильные (по- (полярные) головки погружаются в воду, а гидрофобные «хвосты» в контакт с водой не вступают, остаются в воздухе (масле). Мо- Молекулы фосфолипидов как бы «отслаиваются» от воды. Пока мо- молекул немного, они располагаются на поверхности, «прильнув» к воде головками и выставив наружу хвосты, рис. 16.2а. Воздух ШИШ a 6 в Рис. 16.2. Поведение молекул фосфолипидов в воде Вторая модель - плоский бислой. Если в водном растворе липидных молекул становится больше, то эти молекулы собира- собираются вместе так, что гидрофобные углеводородные цепи закры- закрыты от воды, а полярные головки, наоборот, выставлены в воду, рис. 16.25. Такая модель позволяет изучать ионную проницае- проницаемость, генерацию электрического потенциала на мембране. Третья модель — липосомы. Липидные бислой, если они име- имеют большую протяженность, стремятся замкнуться сами на себя, чтобы спрятать гидрофобные «хвосты» от воды. При этом обра- образуются фосфолипидные везикулы — липосомы, рис. 16.2в. Они представляют собой мельчайшие пузырьки (везикулы), состоя- состоящие из билипидной мембраны. Липосомы фактически являются биологической мембраной, полностью лишенной белковых моле- молекул. На липосомах часто проводят эксперименты по изучению влияния различных факторов на свойства мембраны, или, на- наоборот влияния мембранного окружения на свойства встраивае- встраиваемых белков. В медицине липосомы используются для доставки
212 Лекция 16. Физические процессы в мембранах лекарственных веществ, приготавливая их в среде, содержащей нужное вещество, в определенные органы и ткани. Таким спосо- способом готовятся липосомные кремы и мази в дерматологии и кос- косметологии. Сами липосомы не токсичны, полностью усваиваются в организме и являются надежной липидной микрокапсулой для направленной доставки лекарства. § 16.3. Физические свойства мембран Плотность липидного бислоя составляет 800 кг/м3, что меньше, чем у воды. Размеры. По данным электронной микроскопии, толщина мембраны (L) меняется от 4 до 13 нм, причем различным кле- клеточным мембранам присуща разная толщина. Прочность. Предел прочности на разрыв для мембраны ни- низок. В условиях организма средние деформации составляют око- около 0,01 %. Чтобы довести мембрану до разрыва, достаточно внут- внутреннего давления 100 Па. Живая клетка может осуществлять осморегуляцию только за счет изменения своей формы, но не за счет растяжения мембраны. Деформируемость. Клеточная мембрана легко подвергается деформации сдвига. Например, в потоке эритроцитов с градиен- градиентом скорости происходит вращение мембраны вокруг содержи- содержимого клетки. Это явление получило название «феномен гусеницы танка». Мембрана обладает высокой гибкостью. При оценке ме- механических свойств мембраны эффективный модуль упругости принимается равным 0,45 Па. Вязкость. Липидный слой мембраны имеет вязкость г] = = 30-100 мПа • с (что соответствует вязкости растительного масла). Поверхностное натяжение равно 0,03-3 мН • м, что на 2-3 порядка ниже, чем у воды G3 тН • м). Коэффициент проницаемости мембранного вещества для во- воды равен 25-33 • 10~4 см/с. Мембрана — конденсатор. Двойной фосфолипидный слой уподобляет мембрану плоскому конденсатору, обкладки кото- которого образованы поверхностными белками, а роль диэлектрика выполняет липидный бислой. Электроемкость 1 см2 мембраны составляет 0,5-1,3 мкФ. Напряженность электрического поля в мембране составляет приблизительно 20 • 106 В/м (расчет
§ 16.4. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика 213 проведен для мембран митохондрий, имеющих на своих поверх- поверхностях разность потенциалов U = 0,2 В, при толщине d = 10 нм; Е = U/d = 20- 106 В/м). Диэлектрическая проницаемость мембраны составляет: для фосфолипидной области е = 2,0-2,2; для гидрофильной области е = 10-20. Электросопротивление 1 см2 поверхности мембраны состав- составляет 102-105 Ом (что в десятки миллионов раз больше сопротив- сопротивления внеклеточной жидкости или цитоплазмы). Электроизоля- Электроизоляционные свойства мембраны значительно превосходят свойства технических изоляторов. Жидкокристаллическое состояние. Для мембраны характер- характерно жидкокристаллическое состояние, при котором вещество об- обладает текучестью, но сохраняет определенную упорядоченность в расположении молекул и анизотропию свойств. Измерение по- подвижности молекул мембран и диффузии частиц через них сви- свидетельствуют о том, что билипидный слой ведет себя как жид- жидкость, в тоже время мембрана является упорядоченной структу- структурой. При изменении температуры в мембране можно наблюдать фазовые переходы: плавление липидов при нагревании и кри- кристаллизацию при охлаждении — липиды превращаются в гель. При фазовых переходах меняется толщина двойного слоя. В бис- лое при фазовых переходах могут образовываться каналы, по которым через мембрану способны проходить различные ионы и низкомолекулярные соединения. Показатель преломления вещества мембраны равен 1,55 (для сравнения приведен показатель преломления глицерина — 1,47). § 16.4. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика Явления переноса - это самопроизвольные необратимые про- процессы, в которых благодаря молекулярному движению из одной части системы в другую переносится какая-либо физическая величина. К явлениям переноса относятся: диффузия (перенос массы); вязкость (перенос импульса из слоя в слой); теплопроводность (перенос энергии);
214 Лекция 16. Физические процессы в мембранах электропроводность (перенос электрического заряда). Как синоним переноса частиц в биофизике используется тер- термин транспорт частиц. 16.4.1. Уравнение диффузии в однородной среде. Рассмот- Рассмотрим ситуацию, когда в однородную жидкую (газообразную) сре- среду введено некоторое количество инородного вещества. В на- начале распределение этого вещества по объему жидкости будет неравномерным. Однако с течением времени вследствие явлений переноса концентрации этого вещества в различных областях жидкости будут выравниваться. Диффузия — явление самопроизвольного переноса массы вещества из области с большей концентра- концентрацией в область с меньшей. Диффузия приводит к равномерному распределению вещества по всему объему. Количественно диффузия описывается специальными парамет- параметрами. 1. Поток вещества через некоторую поверхность В пространстве, заполненном частицами диффундирующего вещества, выделим некоторое направление ОХ, вдоль которого изменяется концентрация частиц, и небольшой элемент поверх- поверхности, перпендикулярный этому направлению. Потоком вещества (Ф) через элемент поверхно- поверхности, который перпендикулярен направлению диф- диффузии, называется количество этого вещества, пе- переносимого через данный элемент за единицу вре- времени. Количество переносимого вещества можно измерять в килограм- килограммах или молях [у). В зависимости от этого поток определяется формулами: ф = m/t [кг/с] или Ф = v/t [моль/с]. A6.1) Очевидно, что поток пропорционален площади S выделенного элемента. Кроме того, можно показать, что поток пропорцио- пропорционален градиенту концентрации (dc/dx) диффундирующего ве- вещества в направлении ОХ. Поэтому имеет место следующая формула для расчета потока: ф = -D(dc/dx)S. A6.2)
§ 16.4. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика 215 Коэффициент пропорциональности D называется коэффициен- коэффициентом диффузии. Знак « —» означает, что поток направлен в сто- сторону убывания концентрации (плотности) вещества (то есть пе- перенос происходит из области с большей концентрацией в область с меньшей концентрацией). В формуле A6.2) и далее термин концентрация с использу- используется для обозначения как массовой плотности, так и молярной плотности. Этим и определяется единица измерения потока (кг/с или моль/с). Независимо от единиц плотности размерность ко- коэффициента диффузии одинакова: [D] = м2/с. Коэффициент D зависит от свойств жидкости, свойств диф- диффундирующих частиц, температуры. Его численное значение вы- выражается формулой D = сг2/Cт), где а — среднее перемещение молекул (среднее расстояние между молекулами), т — среднее время «оседлой жизни» молекулы. 2. Плотность потока вещества Плотностью потока вещества (J) называется от- отношение потока вещества (Ф) через элемент по- поверхности к площади этого элемента (S): J = Ф/S. Единица плотности потока — [кг/(м2 • с)] или [моль/(м2 • с)]. В соответствии с определением и формулой A6.2) плотность потока выражается уравнением диффузии (уравнение Фика): J = -D(dc/dx). A6.3) Знак « —» показывает, что суммарная плотность потока веще- вещества при диффузии направлена в сторону, противоположную градиенту концентрации. Соотношение A6.3) справедливо для плотности потока в общем случае. 16.4.2. Уравнение Фика для мембраны. Уравнение Фика опи- описывает диффузию в однородной среде. Модифицируем его для случая диффузии через мембрану. Обратим внимание на следу- следующий известный факт: на границе раздела двух сред (например, воды и масла) обязательно имеет место скачкообразное изменение концентрации частиц диффундирующего вещества. Например, если в сосуд, в котором поверх воды налито масло, бросить соль, то ее концентрации в этих средах будут различны.
216 Лекция 16. Физические процессы в мембранах Коэффициент распределения вещества (К) — это величина, равная отношению концентраций ча- частиц в граничащих средах: К = Середа l/Ссреда 2- A6.4) Коэффициент распределения вещества — величина безразмер- безразмерная. Рассмотрим диффузию незаряженных частиц (молекул или атомов) через мембрану (на рис. 16.3 обозначены: «о» — харак- характеристики снаружи мембраны, «i» — характеристики внутри клетки). I м! МО Внутри клетки В мембране L ,J!S, Снаружи клетки а) б) в) Рис. 16.3. Распределение концентрации частиц, проходящих через мем- мембрану Вещество, диффундирующее через мембрану, преодолевает три барьера (рис. 16.3): а) примембранный слой, б) саму мембрану, в) противоположный примембранный слой. Концентрации частиц внутри и вне клетки соответственно равны с\ и со. Концентрация частиц в мембране у ее внутренней и внешней поверхностей обозначены см\ и смо. Коэффициент распределения вещества между мембраной и окружающей средой равен коэффициенту распределения ве- вещества между мембраной и клеткой: К = смо/со = cMi/ci. A6.5) Из A6.5) следует: A6.6)
§ 16.5. Перенос заряженных частиц 217 причем, величины со и с\ можно измерить. Учитывая малую толщину мембраны, можно считать, что концентрация молекул диффундирующего вещества изменяется в ней линейно. Поэтому градиент концентрации диффундирую- диффундирующего вещества постоянен: dc/dx = (смо - см[)/Ь. A6.7) Теперь запишем выражение для плотности потока. С учетом A6.3), A6.6), A6.7) запишем: J = -D{cMO - cMi)/L = DK{c{ - co)/L. A6.8) Введем коэффициент проницаемости мембраны (м/с): Р = DK/L, A6.9) который зависит от коэффициента диффузии, а также от толщи- толщины биомембраны и коэффициента распределения вещества меж- между мембраной и окружающей средой (между липидной и водной фазами). Под проницаемостью понимают способность мембраны пропускать сквозь себя определенные вещества. Окончательно имеем уравнение Фика для диффузии в мем- мембранах: J = P(ci-co). A6.10) Это уравнение Фика определяет плотность потока вещества при диффузии через мембрану, то есть описывает пассивный транс- транспорт в мембранах. В уравнении фигурирует измеряемая вели- величина Р, которая хорошо характеризует способность мембраны пропускать вещества. § 16.5. Перенос заряженных частиц, электродиффузионное уравнение Нернста—Планка Рассмотрим перенос ионов. При отсутствии внешнего воз- воздействия между поверхностями мембраны существует разность потенциалов, то есть в мембране постоянно есть электрическое поле. При отсутствии градиента концентрации главная движу- движущая сила при переносе ионов - это электрическое поле. На отдельный ион в электрическом поле действует сила /о = = qE, где Е — напряженность электрического поля, в котором находится ион, a q = Ze — заряд иона (Z — валентность иона).
218 Лекция 16. Физические процессы в мембранах Напряженность поля выражается через градиент электрического потенциала известной формулой: Е = — grad ip = —d(f/dx. Поэтому можно записать: /0 = -Ze(d(p/dx). A6.11) В дальнейшем мы будем рассматривать силу /, действующую на один моль ионов: / = /оА/д- С учетом A6.11) она определя- определяется формулой / = -ZeNA(dcp/dx) = - Z F (dtp / dx), A6.12) где А/д — постоянная Авогадро, F = eNA — постоянная Фара- дея, которая традиционно используется в электрохимии (этим и объясняется переход от /о к /). Помимо электрической силы, на ионы действуют различные силы сопротивления. Поэтому в среднем их движение является равномерным и характеризуется средней скоростью v. Между средней скоростью движения ионов и силой, действующей на один моль, существует прямо пропорциональная зависимость: v = Umf. A6.13) Коэффициент пропорциональности Um называется подвижно- подвижностью ионов. В общем случае, подвижностью диффундирующей частицы (молекулы, атома, иона, электрона) Um называется коэффициент пропорциональности между скоростью v частицы и силой /, двигающей частицу, в том случае, когда на частицу не действуют другие силы (например, трение или соударения с другими части- частицами). Выражение A6.13) с учетом A6.12) можно переписать в виде v = -UmZF(d(p/dx). A6.14) Чтобы найти поток вещества, переносимый ионами через эле- элемент поверхности S, выделим цилиндрический объем электроли- электролита, ограниченный двумя такими элементами. Длину цилиндра / выразим через скорость и время: I = vt. A6.15)
§ 16.6. Виды транспорта через мембрану 219 Объем цилиндра: V= Sl= Svt За время t все ионы, находившиеся в цилиндре, пройдут через левую площадку S. Количество перенесенного при этом веще- вещества равно произведению концентрации на объем: т = cV = = cSvt (кг) или v = cSvt (моль). Применив формулу A6.1), найдем поток Ф: Ф = cSv. A6.16) Плотность потока найдем по определению J = Ф/S = cv. Используя A6.14), получим: J = -cUmZF(d(p/dx). A6.17) В общем случае перенос частиц определяется как градиентом их концентрации, так и воздействием электрического поля: J = -Ddc/dx - cUmZF(d(p/dx). A6.18) Это — уравнение Нернста-Планка (электродиффузионное уравнение). Оно устанавливает зависимость плотности диффу- диффузионного потока от концентрации ионов и от напряженности электрического поля. § 16.6. Виды транспорта через мембрану 16.6.1. Пассивный транспорт — перенос молекул и ионов че- через мембрану, который осуществляется в направлении меньшей их концентрации. Пассивный транспорт не связан с затратой химической энергии. Он стремится выровнять концентрации ча- частиц по разные стороны от мембраны, то есть свести к нулю их градиенты. Если бы в клетках существовал бы только пассив- пассивный транспорт, то значения физической величины внутри и вне клетки сравнялись бы, но этого не происходит. Различают несколько типов пассивного транспорта, рис. 16.4.
220 Лекция 16. Физические процессы в мембранах т а б в г Рис. 16.4. Виды пассивного транспорта: простая диффузия (а), транс- транспорт через каналы F"), облегченная диффузия (в), эстафетная пере- передача (г) Простая диффузия через липидный слой. Она подчиняется уравнению Фика для молекул или в более общем случае для ней- нейтральных и заряженных частиц — уравнению Нернста-Планка. В живой клетке такая диффузия обеспечивает прохождение кис- кислорода и углекислого газа, ряда лекарственных веществ. Однако простая диффузия протекает достаточно медленно и не может снабдить клетку в нужном количестве питательными вещества- веществами. Транспорт через каналы (поры). Канал — участок мембраны, включающий белковые молекулы и липиды, который образует в мембране проход. Этот проход допускает проникновение через мембрану молекул воды, крупных ионов. Наличие каналов уве- увеличивает проницаемость Р. Проницаемость Р зависит от числа каналов и от их радиуса. Каналы могут проявлять селективность по отношению к разным ионам, это проявляется в различии проницаемости для разных ионов. Облегченная диффузия — перенос ионов специальными мо- молекулами-переносчиками за счет диффузии переносчика вме- вместе с веществом. Наиболее подробно это явление изучено для случая переноса ионов некоторыми антибиотиками, например валиномицином. Установлено, что валиномицин резко повышает проницаемость мембраны для ионов К+ благодаря специфике своей структуры. В нем формируется полость, в которую точ- точно и прочно вписывается ион К+ (ион Na слишком велик для отверстия в молекуле валиномицина). Молекула валиномицина, «захватив» ион К+, образует растворимый в липидах комплекс
§ 16.6. Виды транспорта через мембрану 221 и проходит через мембрану, затем ион К+ остается, а переносчик уходит обратно. Эстафетная передача. В этом случае молекулы-переносчики образуют временную цепочку поперек мембраны и передают ДРУГ Другу диффундирующую молекулу. 16.6.2. Активный транспорт — перенос молекул и ионов, ко- который происходит при затрате химической энергии в направле- направлении от меньших значений величин к большим. При этом ней- нейтральные молекулы переносятся в область большей концентра- концентрации, а ионы переносятся против сил, действующих на них со стороны электрического поля. Таким образом, активным транс- транспортом осуществляется перенос веществ в направлении, про- противоположном транспорту, который должен был бы происхо- происходить под действием градиентов (прежде всего концентрацион- концентрационного и электрического). Энергия получается за счет гидролиза молекул особого химического соединения — аденозинтрифосфор- ной кислоты (АТФ). Экспериментально установлено, что энергии распада одной молекулы АТФ достаточно для выведения наружу трех ионов натрия и введения внутрь клетки двух ионов калия. Одна из схем активного транспорта представлена системой на рис. 16.5. Наружная' ~-Ж к+ Л\г J?O? J?^? 77 J? J^7?? J? 1 f J=" J=" Рис. 16.5. Схема активного транспорта (калий—натриевый насос) Захватив одним активным центром ион калия из наружной среды, а другим ион натрия — из внутренней, система, потребляя АТФ, поворачивается внутри мембраны на 180°. Ион натрия оказывается вне клетки и там отделяется, а ион калия попадает внутрь и тоже освобождается, после чего молекула белка прини- принимает исходное положение и все начинается сначала.
222 Лекция 16. Физические процессы в мембранах За счет активного транспорта клетка поддерживает внутри себя высокую концентрацию калия и низкую концентрацию на- натрия. При этом ионы могут перемещаться против градиента их концентрации (аналогия с газом: это все равно, что перекачивать газ из сосуда с низким давлением в сосуд с высоким). Активный транспорт обеспечивает механизм селективной проницаемости клеточных мембран. Активный транспорт — важнейшая особенность жизненных процессов.
Лекция 17 БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 1. Ионные потоки в мембране. 2. Потенциал покоя. Уравнение Гольдмана-Ходжкина-Катца. 3. Потенциал действия и его распространение. В живых организмах происходят разнообразные электриче- электрические процессы. Функционирование живых тканей сопровожда- сопровождается электрическими явлениями. Генерация и распространение электрических потенциалов — это важнейшее физическое явле- явление в живых клетках и тканях. Биоэлектрический потенциал — это разность по- потенциалов между двумя точками живой ткани, определяющая ее биоэлектрическую активность. Биопотенциал имеет мембранную природу. § 17.1. Ионные потоки в мембране Сквозь мембрану проходят потоки ионов, для которых спра- справедливо уравнение Нернста-Планка: J = -D(dc/dx) - cUmZF(d(p/dx). Подвижность ионов Um можно выразить через коэффициент диффузии и температуру (формула Эйнштейна): Um = D/(RT), тогда уравнение принимает вид J = -D(dc/dx + (cZF/RT)d(p/dx). A7.1) В первом приближении можно считать, что поле внутри мем- мембраны однородно. В этом случае dip/dx = cpM/L, где (рм — раз- разность потенциалов между стенками мембраны, a L — ее толщина. Теперь уравнение Нернста-Планка будет иметь вид J = -D[dc/dx + c(ZF(pM/RT)/L]. A7.2) Введем величину ф, которую называют безразмерным потенци- потенциалом: ф = ZFtpJ(RT). A7.3)
224 Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы Тогда уравнение A7.2) будет иметь вид J = -D(dc/dx + сф/L). A7.4) Это уравнение решается методом разделения переменных (реше- (решение не рассматривается). Решая A7.4) получаем следующее выражение для потока ионов через мембрану: J = P^(Ci-coe^)/(e^-l). A7.5) Уравнение A7.5) устанавливает количественную связь между плотностью потока какого-либо иона и следующими величинами, характеризующими мембрану: безразмерный потенциал ф A7.3); проницаемость мембраны для данного иона Р; концентрации иона в водной среде по обе стороны мембраны (с\ и со). Проанализируем частные случаи полученного уравнения. а) Пусть ф = 0, что означает либо Z = О (нейтральные частицы, то есть поле есть, а переносить нечего), либо отсутствие электрического поля в мембране ((рм = О, даже при наличии ионов ничего переноситься не будет), либо и то и другое. Урав- Уравнение приобретает вид J = P(ci-co). A7.6) При этом вся диффузия будет обусловлена нейтральными моле- молекулами. б) Если с\ = со = с — одинаковая концентрация ионов по разные стороны от мембраны при наличии электрического поля, то J = -фРс. A7.7) Это соответствует электропроводности в электролите. в) Р = 0, мембрана непроницаема для частиц, плотность потока равна нулю. § 17.2. Потенциал покоя. Уравнение Гольдмана—Ходжкина—Катца Внутри клетки поддерживается наиболее благоприятный со- состав ионов. Концентрация каких-либо определенных ионов раз- различна по разные стороны мембраны. Это приводит к появлению разности потенциалов в нормально функционирующей клетке.
§ 17.2. Потенциал покоя. Уравнение Голъдмана-Ходжкина-Катца 225 Потенциал покоя — разность потенциалов между цитоплазмой и окружающей средой в нормально функционирующей клетке. Получим уравнение, позволяющее вычислить потенциал по- покоя. Через мембрану проходят потоки разных ионов. Основной вклад в суммарный поток, а следовательно, в создание и поддер- поддержание потенциала покоя вносят ионы Na+, K+, С1~. Суммарная плотность потока этих ионов с учетом их знаков равна В стационарном состоянии (когда параметры системы не изме- изменяются) суммарная плотность потока равна нулю, то есть число различных ионов, проходящих в единицу времени через мембра- мембрану внутрь клетки, равно числу ионов, выходящих из клетки через мембрану: J = 0. Для потока различных ионов электрический мембранный по- потенциал равен RT , / PK[K+]i + PNa[Na+]i + PCi[Cr] ¦In F '"V^K[K+]o + PNa[Na+1 ' n r^1 '' A?'9) Здесь квадратными скобками [ \\ и [ ]o обозначены концентрации ионов, соответственно, внутри и вне клетки. Полученное выражение называется уравнением Гольдма- на-Ходжкина-Катца, оно отражает состояние системы в том случае, когда через мембрану непрерывно идут встречные потоки ионов. Мембранный потенциал (потенциал покоя) зависит от различия концентрации ионов и от проницаемости. В качестве примера использования уравнения A7.9) рассчи- рассчитаем потенциал покоя для гигантского аксона кальмара. Значе- Значения концентраций приведены ниже. Ион К+ Na+ с\- Концентрация (ммоль на 1 кг Н2О) Внутри (i) 340 49 114 Вне (о) 10,4 463 392 В состоянии покоя при физиологических условиях соотноше- соотношение коэффициентов проницаемости равно: Рк : Рт : Pel = 1 = 0,04 : 0,45. 8 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
226 Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы Проницаемость мембраны для ионов калия самая высокая. Диффузия калия и хлора идет в обе стороны. Натрий идет через мембрану за счет простой диффузии лишь в одну сторо- сторону — снаружи вовнутрь. Однако АТФаза интенсивно выводит ионы натрия из клетки, а калий — в клетку. Следовательно, основной вклад в потенциал покоя вносят только ионы К+ и С1~. Согласно уравнению A7.9) при 30° С имеем: 8,3 • 303 , / 340 + 0,45 • 392 ^ = 1П V 10,4 + 0,45- 114 Из уравнения A7.9) можно получить уравнение для равновес- равновесного состояния. При этом следует пренебречь проницаемостями всех ионов, кроме ионов одного вида. Тогда имеем уравнение Нернста: <рм = -(RT/FZ) ln([c]i/[c]o). A7.10) Эту разность потенциалов называют равновесным мембранным потенциалом. § 17.3. Потенциал действия и его распространение Все живые клетки при действии различных раздражителей переходят в возбужденное состояние. При возбуждении разность потенциалов между клеткой и окружающей средой изменяется, появляется электрический импульс, возникает потенциал дей- действия. Общее изменение разности потенциалов на мембране, происходящее при возбуждении клеток, определяет потенциал действия. Потенциал действия — разность потенциалов между цитоплазмой и окружающей средой при возбуждении. Механизм распространения потенциала действия по нервно- нервному волокну рассматривается в курсе нормальной физиологии. В данном курсе рассмотрим некоторые физические аспекты это- этого процесса, которые иллюстрирует рис. 17.1. Распространение импульса определяется изменением состоя- состояния мембраны. В состоянии покоя (рис. 17.1а) в результате ак- активного транспорта концентрация ионов К+ значительно выше
§ 17.3. Потенциал действия и его распространение 227 в мембране, чем во внешней среде. Для ионов Na+ все наоборот. При этом на внутренней поверхности мембраны находится отри- отрицательный заряд (в рассмотренном выше примере для потенци- потенциала покоя мы получили значение —59,7 мВ). При возбуждении будет происходить следующее. Ф, мВ + 30, мВ о - 60, мВ Na+ Na+ а) б) в) г) Рис. 17.1. Возникновение потенциала действия и деполяризация мем- мембраны 1. В начале увеличивается проницаемость мембраны для ионов Na+. Натриевые каналы открываются лишь при возбуждении. Ио- Ионы Na+ входят в мембрану, в результате чего внутренняя поверх- поверхность мембраны изменяет свой заряд с « —» на «+», то есть про- происходит деполяризация мембраны (рис. 17.16). Натриевый канал открыт малое время @,5-1 мс). В течение этого времени проис- происходит изменение мембранного потенциала от —60 до +30 мВ. 2. Во время генерации импульса натриевый канал закрыва- закрывается и открывается калиевый канал. Ионы К+ выходят нару- наружу, что приводит к восстановлению отрицательного заряда на внутренней стороне мембраны (рис. 17.1в). Во время импульса проводимость мембраны увеличивается в 103 раз. 3. Наступает рефрактерный период. Мембрана не воспри- воспринимает импульс, а возвращается в основное физиологическое состояние (рис. 17.1г). 17.3.1. Сравнение потенциала покоя и потенциала действия. При возбуждении мембрана меняет избирательную проницае- проницаемость: из проницаемой главным образом для К+ мембрана стано-
228 Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы вится проницаемой главным образом для Na+. А так как натрия снаружи больше, то он стремится внутрь и перезаряжает мем- мембрану. В табл. 17.1 приведено сравнение по некоторым факторам обоих потенциалов. Таблица 17.1. Сравнение потенциала покоя и потенциала действия Сравниваемые параметры Заряд на поверхности мембраны Концентрация ионов Проницаемость мембраны Ионные токи Потенциал покоя снаружи «+» внутри « —» ионов (К+) внутри больше, снаружи меньше мембрана проницаема для ионов калия (К+) калиевый и натриевый токи уравновешивают друг друга (состояние устойчивого равновесия) Потенциал действия снаружи « —» внутри «+» ионов (Na+) снаружи больше, внутри меньше мембрана проницаема для ионов (Na+) калиевый и натриевый токи не уравновешивают друг друга (состояние неустойчивого равновесия) 17.3.2. Распространение потенциала действия. При деполя- деполяризации мембраны возникают токи, замыкающиеся через наруж- наружную проводящую среду. Между возбужденным и невозбужден- невозбужденным участками нервного волокна потечет электрический ток, так как у возбужденного участка внутренняя поверхность имеет положительный заряд, а у невозбужденного — отрицательный и между ними возникает разность потенциалов. Этот локальный ток служит раздражителем для невозбужденных участков нерв- нервного волокна, непосредственно примыкающих к месту деполяри- деполяризации. В них также возникает возбуждение, то есть потенциал действия (или деполяризация), и так далее. По поверхности клетки локальный ток течет от невозбужденного участка к воз- возбужденному; внутри клетки он течет в обратном направлении. Локальный ток, как и любой электрический ток, раздражает соседние невозбужденные участки и вызывает увеличение про- проницаемости мембраны. Это приводит к возникновению потен- потенциалов действия в соседних участках. В то же время в ранее возбужденном участке происходит восстановительные процессы реполяризации. Вновь возбужденный участок в свою очередь
§ 17.3. Потенциал действия и его распространение 229 становится электроотрицательным и возникающий локальный ток раздражает следующий за ним участок. Этот процесс много- многократно повторяется и обусловливает распространение импульсов возбуждения по всей длине клетки в обоих направлениях Процесс распространения потенциала действия происходит гораздо медленнее, чем течет локальный электрический ток. У позвоночных животных повышение скорости распростра- распространения возбуждения достигается миелинизацией волокон (мякот- ные волокна). Волокно покрыто миелиновой оболочкой. Тол- Толщина оболочки составляет единицы мкм. Миелин — изолятор. Диффузия ионов через миелиновую оболочку невозможна. По- Поэтому в волокнах генерация потенциала действия сосредоточена только там, где миелиновая оболочка отсутствует. Эти места в мембране называются перехватами Ранвье (или активными уз- узлами). В области перехвата мембрана контактирует с внеклеточ- внеклеточным раствором. Длина перехвата составляет 2 мкм. От перехвата к перехвату (скачкообразно) нервные импульсы передаются че- через движение локальных токов. На долю перехватов приходится 0,02 % от общей длины нервного волокна. На рис. 17.2 показана схема распространения возбуждения по нервному волокну с перехватами Ранвье. Рис. 17.2. Схема распространения возбуждения по нервному волокну с перехватами Ранвье Миелиновая изоляция имеет большое сопротивление — в сот- сотни раз выше, чем сопротивление мембраны аксона кальмара, а емкость — в сотни раз меньшую. В результате получается довольно хороший «кабель», а перехваты с каналами и насосами играют роль источника тока. Если возбудить один перехват, то генерируемый им ток почти без потерь достигнет следующего пе- перехвата. Ток, подошедший к другому перехвату, возбуждает его, вызывает появление в этом месте потенциала действия, и процесс распространяется по всему волокну. Такое проведение возбуж- возбуждения называют «прыгающим». Импульс быстро перепрыгивает от одного перехвата до другого, затрачивая на распространение
230 Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы между перехватами только несколько сотых долей миллисекун- миллисекунды E0-70 мкс). Затраты энергии при таком распространении сиг- сигнала значительно меньше, чем по немиелинизированному волок- волокну, так как общее количество ионов натрия, проходящих через мембрану в области перехватов, значительно меньше, чем если бы они проходили через всю поверхность мембраны. Нарушение миелиновой оболочки ведет к нарушению распро- распространения потенциала действия по нервному волокну (тяжелые нервные заболевания). Особенности распространения биопотен- биопотенциала безусловно важны во многих направленияю медицинской реаби л ито л огии. Скорость распространения возбуждения по гладким немие- лизированным нервным волокнам пропорциональна квадратно- квадратному корню из их радиуса, v ~ y/R. Поэтому головоногие моллюс- моллюски пошли по пути увеличения радиуса нервного волокна, создав гигантские аксоны. У беспозвоночных скорость распространения потенциала действия составляет 20-30 м/с. Распространение потенциала действия по нервному волокну называется волной возбуждения. Эта волна не затухает, так как получает энергию из среды — от заряженной мембраны. Волна возбуждения является автоволной в активной среде возбудимых клеток.
Лекция 18 ДИПОЛЬ. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОГРАФИИ 1. Электрический диполь. 2. Диполь во внешнем электрическом поле. 3. Электрическое поле диполя. 4. Диполь в равностороннем треугольнике. 5. Токовый диполь. 6. Физические основы электрографии. 7. Теория отведений Эйнтховена, три стандартных отведения. По- Поле диполя - сердца, анализ электрокардиограмм. 8. Векторкардиография. 9. Элементы реабилитологии. Физические факторы, определяю- определяющие ЭКГ. § 18.1. Электрический диполь Электрический диполь — система из двух равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расстоя- расстояние / между которыми мало по сравнению с рас- расстоянием до рассматриваемых точек поля. Основной характеристикой диполя является векторная вели- величина, называемая электрическим моментом диполя — р. Век- Вектор р равен произведению заряда на плечо диполя 1. Плечо диполя — вектор, который направлен от « —» к «+»: р = </-1. A8.1) Вокруг диполя, расположенного в диэлектрике, образуется электрическое поле, изображенное на рис. 18.1. Штрихом изоб- изображены эквипотенциальные поверхности, т.е. поверхности, все точки которых имеют одинаковый потенциал (в плоскости ри- рисунка эквипотенциальные поверхности изображаются линиями). Центральная поверхность представляет собой плоскость, прохо- проходящую перпендикулярно плечу диполя через его середину. Все
232 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии ее точки имеют нулевой потенциал (ср = 0). Она делит элек- электрическое поле диполя на две половины, точки которых имеют соответственно положительные ((/? > 0) и отрицательные ((/? < 0) потенциалы. Ф>0 ф= ф<0 Силовая линия Эквипотенциальная поверхность Рис. 18.1. Диполь и образуемое им электрическое поле Величина потенциала возрастает по мере приближения по- поверхности к одному из полюсов диполя и убывает при прибли- приближении к центральной поверхности или при удалении на беско- бесконечность. Диполь не только сам является источником электрического поля, но также может определенным образом взаимодействовать с внешним электрическим полем, созданным другими источни- источниками. § 18.2. Жесткий диполь во внешнем электрическом поле 18.2.1. Жесткий диполь (р = const) в однородном элек- электрическом поле. В однородном электрическом поле напряжен- напряженностью Е на полюса диполя действуют равные по величине и противоположные по направлению силы (рис. 18.2). Поскольку сумма таких сил равна нулю, то поступательного движения они не вызывают. Однако они создают вращательный момент, кото- который можно записать в скалярной A8.2) или в векторной A8.3) форме (р — электрический момент диполя, Е — напряженность внешнего поля): М = р- Е -sina, A8.2) М = р х Е. A8.3)
§ 18.2. Жесткий диполь во внешнем электрическом поле 233 Этот момент «стремится» расположить диполь параллельно линиям поля, то есть перевести его из некоторого положения а) в положение б). а) б) Рис. 18.2. Диполь в однородном электрическом поле 18.2.2. Диполь в неоднородном электрическом поле. В неод- неоднородном электрическом поле вращающее действие тоже имеет место, и диполь ориентируется вдоль соответствующей линии поля. Однако в этом случае значения сил, действующих на по- полюса диполя (силы F+ и F~ на рис. 18.3), не одинаковы, и их сумма не равна нулю. Поэтому возникает результирующая сила, втягивающая диполь в область более сильного поля. -F= F+~F = p-dE/dx ОсьХ Рис. 18.3. Диполь в неоднородном электрическом поле Результирующая сила зависит от изменения напряженности приходящегося на единицу длины диполя. Обозначим Е^ и Е~ модули напряженности поля у положительного и отрицательного полюсов. Тогда F+ = F~ = F = F+ - F~ = q(E+ - E~) = = ql(E+ - - E~)/L
234 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии Так как плечо диполя мало, то приближенно можно считать, что (Е+ - Е~)/1 = dE/dl, A8.4) где dE/dl — градиент поля. Таким образом, на диполь, который ориентирован вдоль си- силовой линии и имеет момент р, действует сила, втягивающая его в область поля с большей напряженностью: F = pdE/d/, или F = grad(p-E). A8.5) § 18.3. Электрическое поле диполя Сам диполь является источником электрического поля, на- напряженность которого зависит от дипольного момента р, от ди- диэлектрической проницаемости среды е и геометрических пара- параметров. Пусть диполь находится в непроводящей бесконечной среде и некоторая точка А удалена от его центра на расстояние г ^> I. Обозначим через а угол между вектором р и направ- направлением на эту точку. Тогда потенциал, создаваемый диполем в точке Л, определяется следующей формулой (рис. 18.4): р cos a V 18'6 /'А У а ^ Рис. 18.4. Потенциал электрического поля, созданного диполем § 18.4. Диполь в равностороннем треугольнике Если диполь поместить в центр равностороннего треугольни- треугольника, то он будет равноудален ото всех его вершин (на рис. 18.5 диполь изображен вектором дипольного момента — р). Можно показать, что в этом случае разность потенциалов (напряжение) между двумя любыми вершинами прямо пропор- пропорциональна проекции дипольного момента на соответствующую сторону (U л в ~ РА в)- Поэтому отношение напряжений между
§ 18.5. Токовый диполь 235 вершинами треугольника равно отношению проекций дипольно- го момента на соответствующие стороны: РАС : РЛВ : Рев = Uас : UАВ • UCb- A8.7) Сопоставляя величины проекций, можно судить о величине са- самого вектора и его расположении внутри треугольника. РА А1 в с Рис. 18.5. Диполь в равностороннем треугольнике § 18.5. Токовый диполь В вакууме или в идеальном диэлектрике электрический ди- диполь может сохраняться сколь угодно долго. Но в проводящей среде под действием электрического поля диполя возникает дви- движение свободных зарядов и диполь экранируется (рис. 18.6). -©- +о+ Рис. 18.6. Экранирование диполя в проводящей среде Для сохранения «диполя» в проводящей среде можно исполь- использовать источник тока. Пусть в проводящую среду (например, в сосуд с раствором электролита) введены два электрода, под- подключенные к источнику напряжения (рис. 18.7). Заряды, индуцированные источником на электродах, будут играть роль полюсов обычного диполя (то есть клеммы «К» источника напряжения можно представить как диполь). В этом случае в среде возникнет электрический ток /, который будет препятствовать эффекту экранирования «диполя». Обозначим сопротивление среды между электродами через R. Тогда сила
236 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии тока определяется законом Ома: I = g/(R + r). A8.8) Если сопротивление среды между электродами значительно меньше, чем внутреннее сопротивление источника г, то / = 8*/г. Рис. 18.7. Токовый диполь: R — эквивалент сопротивления прово- проводящей среды, г — внутреннее сопротивление источника, $ — ЭДС источника; электроды: 1 — исток тока, 2 — сток тока Для того чтобы сделать картину более наглядной, предста- представим себе, что в сосуд с электролитом опущены не два электрода, а обычный элемент питания. Линии электрического тока, воз- возникшего в сосуде в этом случае, показаны на рис. 18.8. Рис. 18.8. Токовый диполь и созданные им линии тока Ток движется в среде от положительного электрода к отри- отрицательному. Эти электроды называют истоком тока и стоком тока соответственно. Двухполюсная система в проводящей среде, состо- состоящая из истока и стока тока, называется диполъ- ным электрическим генератором, или токовым диполем. Характеристикой токового диполя является величина, называе- называемая дипольным моментом. Дипольный момент электрического
§ 18.6. Физические основы электрографии 237 генератора определяется формулой рт = IL, A8.9) где / — сила тока через генератор, L — расстояние между истоком и стоком тока. Между дипольным электрическим генератором и электриче- электрическим диполем есть аналогия: - при одинаковой форме электродов линии тока совпадают с линиями напряженности электростатического поля; - формулы, характеризующие электрическое поле токового диполя, очень похожи на формулы электростатического поля обычного диполя. Потенциал, создаваемый токовым диполем в точке А, удален- удаленной от него на расстояние г ^> L, равен Рт cos a /iQirvt (Рт = -Л о~. A8.10) Эта формула аналогична формуле A8.6). Если для электриче- электрического диполя величина е характеризовала диэлектрические свой- свойства среды, то для токового диполя величина 7 характеризует проводящие свойства среды и называется удельной электропро- электропроводностью G = 1/р, где р — удельное электрическое сопротив- сопротивление). Теория токового диполя применяется для модельного объяс- объяснения возникновения потенциалов, регистрируемых при снятии электрокардиограмм. § 18.6. Физические основы электрографии Живые ткани являются источником электрических потенци- потенциалов. Регистрация биопотенциалов тканей и органов называется электрографией. Существуют следующие диагностические методы. ЭКГ — электрокардиография — регистрация биопотенциалов, возникающих в сердечной мышце при ее возбуждении. ЭРГ — электроретинография — регистрация биопотенциалов сетчатки глаза, возникающих в результате воздействия на глаз. ЭЭГ — электроэнцефалография — регистрация биоэлектриче- биоэлектрической активности головного мозга.
238 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии ЭМГ — электромиография — регистрация биоэлектрической активности мышц. Примерная характеристика регистрируемых при этом биопо- биопотенциалов указана в табл. 18.1. Таблица 18.1. Характеристики биопотенциалов Биопотенциалы ЭКГ ЭМГ ээг Интервал частот, Гц 0,2-120 3-600 1-300 Амплитуда, мкВ максимальная 1500-2000 1000-1500 200-300 минимальная 100-300 30-40 5-10 При изучении электрограмм решаются 2 задачи: а) прямая — выяснение механизма возникновения электро- электрограммы или расчет потенциала в области измерения по задан- заданным характеристикам электрической модели органа; б) обратная (диагностическая) — выявление состояния органа по характеру его электрограммы. Почти во всех существующих моделях электрическую ак- активность органов и тканей сводят к действию определенной со- совокупности токовых электрических генераторов, находящихся в объемной электропроводящей среде. Для токовых генераторов выполняется правило суперпози- суперпозиции электрических полей: if = (fi + <p2 + • • • + <Рп- A8.11) Потенциал поля генераторов равен алгебраической сумме потен- потенциалов полей, создаваемых генераторами. Дальнейшие конкретные рассмотрения физических вопросов электрографии показаны на примере электрокардиографии. § 18.7. Теория отведений Эйнтховена, три стандартных отведения. Поле диполя сердца, анализ электрокардиограмм Сердце человека — мощная мышца. При синхронном возбуж- возбуждении множества волокон сердечной мышцы, в среде, окружаю- окружающей сердце, течет ток, который даже на поверхности тела созда- создает разности потенциалов порядка нескольких мВ. Эта разность потенциалов регистрируется при записи электрокардиограммы.
§ 18.7. Теория отведений Эйнтховена 239 Моделировать электрическую активность сердца можно с ис- использованием дипольного эквивалентного электрического гене- генератора. Дипольное представление о сердце лежит в основе теории отведений Эйнтховена, согласно которой сердце есть токовый диполь с дипольным момен- моментом рс, который поворачивается, изменяет свое по- положение и точку приложения за время сердечного цикла. (В биологической литературе часто вместо термина «дипольный момент сердца» используются термины: «вектор электродвижу- электродвижущей силы сердца», «электрический вектор сердца»). По Эйнтховену, сердце располагается в центре равносторон- равностороннего треугольника, вершинами которого являются: правая ру- рука — левая рука — левая нога. (Вершины треугольника рав- равноудалены как друг от друга, так и от центра треугольника.) Поэтому разности потенциалов, снятые между этими точками, суть проекции дипольного момента сердца на стороны этого треугольника. Эти разности потенциалов со времен Эйнтховена в физиологии принято называть «отведениями». Таким образом, теория Эйнтховена устанавливает связь меж- между разностью биопотенциалов сердца и разностями потенциалов, регистрируемых в соответствующих отведениях. 18.7.1. Три стандартных отведения. На рис. 18.9 представле- представлены три стандартных отведения. Правая рука Левая рука YOL ill Левая нога Рис. 18.9. Схематическое изображение трех стандартных отведений ЭКГ
240 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии Отведение I (правая рука -левая рука), отведение II (пра- (правая рука-левая нога), отведение III (левая рука-левая нога). Им соответствуют разности потенциалов f/i, ?/ц, U\\\. Направ- Направление вектора рс определяет электрическую ось сердца. Линия электрической оси сердца при пересечении с направлением 1-го отведения образует угол а, который определяет направление электрической оси сердца. Соотношения между разностью потенциалов на сторонах тре- треугольника (отведениях) могут быть получены в соответствии с формулой A8.7) как соотношения проекций вектора рс на стороны треугольника: U\ : Uu : f/iii = Pel : Pdi • Pdib A8.12) Так как электрический момент диполя-сердца изменяется со вре- временем, то в отведениях будут получены временные зависимости напряжения, которые и называют электрокардиограммами. 18.7.2. Допущения теории Эйнтховена. Электрическое поле сердца на больших расстояниях от него подобно полю токово- токового диполя; дипольный момент — интегральный электрический вектор сердца (суммарный электрический вектор возбужденных в данный момент клеток). Все ткани и органы, весь организм — однородная проводящая среда (с одинаковым удельным сопротивлением). Электрический вектор сердца изменяется по величине и на- направлению за время сердечного цикла, однако начало вектора остается неподвижным. Точки стандартных отведений образуют равносторонний тре- треугольник (треугольник Эйнтховена), в центре которого нахо- находится сердце — токовый диполь. Проекции дипольного момента сердца — отведения Эйнтховена. Сердце и конечности находятся в одной и той же фронталь- фронтальной плоскости. В 1937-46 гг. появились работы Катца, посвященные кон- концепциям генеза кардиограмм. В них анализировалось положение эквипотенциальных линий на теле человека, создаваемых элек- электрическим полем дипольного эквивалентного электрического ге- генератора сердца.
§ 18.7. Теория отведений Эйнтховена 241 18.7.3. Поле диполя сердца. В каждый данный момент де- деятельности сердца его дипольный электрический генератор со- создает вокруг электрическое поле, которое распространяется по проводящим тканям тела и создает потенциалы в его различ- различных точках. Если представить, что основание сердца заряжено отрицательно (имеет отрицательный потенциал), а верхушка по- положительно, то распределение эквипотенциальных линий вокруг сердца при максимальном значении дипольного момента рс будет таким, как на рис. 18.10. Рис. 18.10. Распределение эквипотенциальных (прерывистые) линий на поверхности тела Потенциалы указаны в некоторых относительных единицах. Вследствие асимметричного положения сердца в грудной клет- клетке его электрическое поле распространяется преимущественно в сторону правой руки и левой ноги и наиболее высокая разность потенциалов может быть зафиксирована в том случае, если элек- электроды разместить на правой руке и левой ноге. В табл. 18.2 приведены значения максимального дипольного момента сердца в сопоставлении с массой сердца и тела. Таблица 18.2. Значения дипольного момента рс Объект Лягушка Крыса Собака Человек Лошадь Масса сердца, г 0,16 1,10 108 300 3060 Масса тела, кг 0,036 0,277 14,2 71,5 419 рс, мА • см 0,005 0,107 1,63 2,32 13,0
242 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии 18.7.4. Анализ электрокардиограмм. Теоретический анализ электрокардиограмм сложен. Развитие кардиографии шло в ос- основном эмпирическим путем. Катц указывал, что расшифровка электрокардиограмм производится на основе опыта, опирающе- опирающегося лишь на самое элементарное понимание теории возникнове- возникновения биопотенциалов. Данные ЭКГ обычно дополняют клиническую картину забо- заболевания. На рис. 18.11 представлена нормальная электрокардиограм- электрокардиограмма человека (обозначения зубцов были даны Эйнтховеном и представляют взятые подряд буквы латинского алфавита). 8 10 20 у, Гц Рис. 18.11. Электрокардиограмма здорового человека (а) и ее спектр (б), р — деполяризация предсердия, QRS — деполяризация желудочков, Т - реполяризация; частота пульса 60 ударов в минуту (период сокращения — 1 с) Она представляет собой зависимость от времени разности потенциалов, снимаемой двумя электродами соответствующего отведения за цикл работы сердца. Горизонтальная ось является не только осью времени, но и осью нулевого потенциала. ЭКГ представляет собой кривую, состоящую из трех характерных зуб- зубцов, обозначениями Р, QSR, Т, разделенных интервалом нулево- нулевого потенциала. Высоты зубцов в различных отведениях обуслов- обусловлены направлением электрической оси сердца, то есть углом а (рис. 18.9). Электрокардиограмма, записанная при норме в стан- стандартных отведениях, характеризуется тем, что ее зубцы в разных отведениях будут неодинаковы по амплитуде, рис. 18.12. Зубцы ЭКГ будут наиболее высокими во II отведении и наи- наиболее низкими в III отведении (при нормальном положении элек- электрической оси). Сопоставляя кривые, зарегистрированные в трех отведениях, можно судить о характере изменения рс за цикл работы сердца,
§ 18.8. Векторкардиография 243 на основании чего и составляется представление о состоянии нервно-мышечного аппарата сердца. Для анализа ЭКГ используют также ее гармонический спектр (рис. 18.11, б). III Рис. 18.12. Нормальная ЭКГ в трех стандартных отведениях § 18.8. Векторкардиография Обычные электрокардиограммы являются одномерными. В 1957 г. немецкий врач физиолог Шмитт разработал метод объемных кривых (векторкардиография). Напряжение от двух взаимно перпендикулярных отведений подают на взаимно перпендикулярные пластины осциллографа. При этом на экране получаются изображение, состоящее из двух петель — большой и малой. Малая петля заключена в большой и сдвинута к одному из полюсов. Вторая аналогичная картина может быть получена на втором осциллографе, где одно из двух уже использованных отведений
244 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии сопоставляется с третьим. Картины на обоих осциллографах можно рассматривать через стереоскопическую систему линз или фотографировать одновременно, чтобы в дальнейшем по- построить пространственную (трехмерную) модель. Для расшифровки электрокардиограмм нужен большой опыт. С появлением ЭВМ стало возможным автоматизировать процесс «чтения» кривых. ЭВМ сравнивает кривую данного больного с образцами, хранящимися в ее памяти, и выдает врачу предположительный диагноз. Иной подход используется при проведении электрокардиото- пографического исследования. При этом на грудную клетку на- накладывают около 200 электродов, строят картину электрическо- электрического поля по 200 кривым, которые анализируются одновременно. § 18.9. Элементы реабилитологии. Физические факторы, определяющие особенности ЭКГ Для точной реабилитационной диагностики работы сердца важно знать от чего зависит ЭКГ у разных здоровых людей. ЭКГ у разных людей и даже у одного и того же человека харак- характеризуется большой вариабельностью. Это зависит от индиви- индивидуальных анатомических особенностей проводниковой системы сердца, от различий в соотношении мышечных масс анатомиче- анатомических фрагментов сердца, от электропроводности окружающих сердце тканей, от индивидуальной реакции нервной системы на воздействие внешних и внутренних факторов. 18.9.1. Физические факторы, определяющие особенности ЭКГ. Факторы, определяющие особенности ЭКГ у отдельного человека следующие: 1) положение сердца в грудной клетке, 2) положение тела, 3) дыхание, 5) действие физических раздражителей, в первую очередь физических нагрузок. Положение сердца в грудной клетке. Оно может оказывать существенное влияние на форму ЭКГ. При этом надо знать, что направление электрической оси сердца совпадает с анатомиче- анатомической осью сердца. Если угол а имеет значение:
§ 18.9. Элементы реабилитологии 245 а) в пределах от 40° до 70°, то такое положение электри- электрической оси сердца считается нормальным; в этих случаях ЭКГ будет иметь обычные соотношения зубцов в I, II, III стандартных отведениях; б) близкое к 0°, то есть электрическая ось сердца параллельна линии первого отведения, то такое положение электрической оси сердца обозначается как горизонтальное, и ЭКГ характеризуется высокими амплитудами зубцов в I отведении; в) близкое к 90°, то положение обозначается как вертикаль- вертикальное; зубцы ЭКГ будут наименьшими в I отведении. В основном положение анатомической и электрической осей сердца совпадают. Но в отдельных случаях может быть расхож- расхождение: рентгенограмма свидетельствует о нормальном положе- положении сердца, а ЭКГ показывает отклонение электрической оси в ту или другую стороны. Такие расхождения имеют важное ди- диагностическое значение (клинически это означает одностороннее поражение миокарда). Изменение положения тела всегда вызывает некоторые из- изменения положения сердца в грудной клетке. Это сопровожда- сопровождается изменением электропроводности окружающих сердце сред. ЭКГ у человека с вертикальным положением сердца будет от- отличаться от нормальной. Если ЭКГ не изменяет своей формы при перемещении тела, то этот факт тоже имеет диагностиче- диагностическое значение; характеристики зубцов изменяются при любом отклонении электрической оси. Дыхание. Амплитуда и направленность зубцов ЭКГ изменя- изменяются при любом отклонении электрической оси, меняясь при вдохе и выдохе. При вдохе электрическая ось сердца отклоняется примерно на 15°, при глубоком вдохе это отклонение может достигнуть 30°. Нарушения или изменения дыхания (при тре- тренировках, при реабилитационных упражнениях и гимнастике) могут быть диагностированы по изменению ЭКГ. Физическая нагрузка. В медицинской реабилитологии роль физических нагрузок чрезвычайно велика. Физическая нагрузка всегда вызывает существенное изменение в ЭКГ. У здоровых людей эти изменения состоят главным образом в учащении рит- ритма, форма зубцов тоже изменяется в определенной закономер- закономерности. При функциональных пробах с физической нагрузкой могут иметь место такие изменения, которые явно указывают
246 Лекция 18. Диполь. Физические основы электрографии на патологические изменения в работе сердца (тахикардия, экс- трасистолия, мерцательная аритмия и т.д.). Искажения при записи ЭКГ. При записи ЭКГ всегда нужно иметь в виду, что существуют причины, которые могут исказить ее форму: неисправности в усилителе электрокардиографа, пе- переменный ток городской сети может наводить ЭДС вследствие электромагнитной индукции в рядом расположенных усилитель- усилительных цепях и даже биологических объектах, нестабильность блока питания и т. д. Расшифровка искаженной ЭКГ приводит к поста- постановке неправильного диагноза. Диагностическая значимость метода электрокариографии несомненно велика. Этот метод совместно с другими методами оценки деятельности сердца (методы регистрации механических колебаний сердца, рентгеновский метод) позволяет получать важную клиническую информацию о работе сердца.
Лекция 19 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Свободные электромагнитные колебания. 2. Апериодический разряд конденсатора. Постоянная времени. За- Зарядка конденсатора. 3. Электрический импульс и импульсный ток. 4. Элементы реабилитологии. Импульсная электротерапия. § 19.1. Свободные электромагнитные колебания Электромагнитные (электрические) колеба- колебания — это периодические изменения различных электрических и магнитных характеристик: токов, напряжений, напряженности электрического поля и др. Свободные электромагнитные колебания совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энер- энергии. Электромагнитные колебания можно создать в колебатель- колебательном контуре, который представляет собой соединение конденса- конденсатора (С) и катушки индуктивности (L). 19.1.1. Незатухающие колебания. Рассмотрим идеальный ко- колебательный контур, который не обладает активным сопротив- сопротивлением. Если зарядить конденсатор такого колебательного контура (рис. 19.1) от источника <J, установив ключ К в положение «1», а затем ключ К перевести в положение «2», то конденсатор начнет разряжаться через катушку. 1К2 Рис. 19.1. Цепь идеального колебательного контура
248 Лекция 19. Электромагнитные колебания При этом в контуре возникает ЭДС самоиндукции Щ = — — Ldl/dt, которая будет равна напряжению на обкладках кон- конденсатора U = q/C, то есть -Ldi - §• A9Л» где / — ток в цепи контура, q — заряд на обкладках конденсато- конденсатора. Учитывая, что / = dq/dt, получаем: —L(d2q/dt2) = q/C, или d 9 ¦ -.2. A9.2) где и2 = 1/(LC). A9.3) Решение уравнения A9.2) по аналогии с механическими колеба- колебаниями приводит к гармоническому закону: q = <7max COs(u0t + ?>о), A9.4) где ^max — начальный (максимальный) заряд на обкладках кон- конденсатора, с^о — собственная круговая частота колебаний в кон- контуре, сро — начальная фаза. По гармоническому закону изменяются также напряжение (U = q/C) и сила тока (/ = dq/dt) в контуре (рис. 19.2): U = f/щах COS^ot + <?>0), A9.5) [/max = <7max/C, I = "/max Sm(cUOt + <?0), A9.6) /max = gmax^O- U П Рис. 19.2. Зависимость заряда, напряжения и тока от времени в иде- идеальном колебательном контуре (незатухающие колебания) Период собственных колебаний равен (формула Томсона): A9.7) Т = — =
§ 19.1. Свободные электромагнитные колебания 249 Энергия электрического поля конденсатора W3Jl и энергия магнитного поля катушки WM периодически изменяются со вре- временем: W3J1 = (CC/Lx/2) cos2 (wot + <po), A9.8) WM = (L/Lx/2) sm2(u0t + <p0). A9.9) В идеальном контуре не происходит выделения теплоты. По- Поэтому суммарная энергия электрического и магнитного полей сохраняется, и колебания являются незатухающими. 19.1.2. Затухающие колебания. Реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением (в цепь включен резистор /?, рис. 19.3), поэтому колебания в нем затухают. К, Рис. 19.3. Цепь реального колебательного контура Возникающая в контуре ЭДС самоиндукции равна напряже- напряжению на сопротивлении и обкладках конденсатора: -L(dl/dt) = IR + q/C. A9.10) Преобразовав это равенство, d2q/dt2 + (R/L)dq/dt + (l/LC)q = 0, A9.11) и сделав замену 2/5 = R/L, ш1 = 1/(LC), A9.12) получим дифференциальное уравнение: d2q/dt2 + 2f3(dq/dt) + u^q = 0. A9.13) Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением механических колебаний. Его решение зависит от соотношения между параметрами:
250 Лекция 19. Электромагнитные колебания Если cuq > /3, то уравнение A9.13) описывает затухающие коле- колебания (рис. 19.4): (-/3t) cos(ut + <p0), A9.14) где и = л Я. Рис. 19.4. Зависимость заряда от времени в реальном колебательном контуре (затухающие колебания) Амплитуда колебаний А = gmaxexp(—/3t) уменьшается с те- течением времени по экспоненциальному закону. Характеристикой затухания является логарифмический декремент затухания X = ^// Следует отметить, что полученное решение подобно решению для механических затухающих колебаний (лекция 6) с вязким трением. Это дает основание представлять движение зарядов в проводниках подобно движению жидкости по трубам Если с^о < /3, то колебаний не возникает, и конденсатор просто разряжается. Такой разряд называется апериодическим. § 19.2. Апериодический разряд конденсатора. Постоянная времени. Зарядка конденсатора Апериодические процессы возникают и в более простых слу- случаях. Если, например, заряженный конденсатор соединить с ре- резистором (рис. 19.5) или незаряженный конденсатор подключить к источнику постоянного напряжения (рис. 19.6), то после замы- замыкания ключей колебания не возникнут. Разрядка конденсатора с начальным зарядом между пласти- пластинами gmax происходит по экспоненциальному закону: Ч = gmaXexp(-t/r), A9.15) где т = RC называется постоянной времени.
j19.3. Электрический импульс и импульсный ток 251 1К2 J? Рис. 19.5. Разряд конденсатора через резистор По такому же закону изменяется и напряжение на обкладках конденсатора: U = Umaxexp{-t/r). A9.16) Изменение напряжения при зарядке конденсатора от источ- источника с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением г показано на рис. 19.6. 1К2 (9 ~™^ ^г с Рис. 19.6. Зарядка конденсатора от источника постоянного тока Напряжение на обкладках конденсатора нарастает по закону: U = ?[1-ехр(-*/т)], A9.17) где г = г С также называется постоянной времени. § 19.3. Электрический импульс и импульсный ток Электрический импульс — кратковременное из- изменение электрического напряжения или силы то- тока на фоне некоторого постоянного значения. Импульсы подразделяются на две группы: Видеоимпульсы — электрические импульсы постоянного тока или напряжения. Радиоимпульсы — модулированные электромагнитные коле- колебания. Видеоимпульсы различной формы (а) и пример радиоим- радиоимпульса (б) показаны на рис. 19.7.
252 Лекция 19. Электромагнитные колебания В физиологии термином «электрический импульс» обознача- обозначают именно видеоимпульсы, характеристики которых имеют важ- важное экспериментальное значение. Для уменьшения возможной погрешности при измерениях условились выделять моменты вре- времени, при которых параметры имеют значение 0,1?/тах и 0,9?/тах @,l/max и 0,9/max). Через эти моменты времени выражают ха- характеристики импульсов. П /1 П к А Видеоимпульсы Радиоимпульс Рис. 19.7. Электрические импульсы Импульсный ток — повторяющиеся импульсы. Характеристики импульса и импульсного тока указаны на рис. 19.8. 0,9 К. од иш Рис. 19.8. Характеристики импульса (а) и импульсного тока (б) На рис. 19.8 указаны: ?Апах — максимальное значение напряжения (тока) импульса; Тф — длительность фронта импульса; Тер — длительность среза (заднего фронта) импульса; ти — длительность импульса; Т — период импульсного тока. Кроме характеристик, указанных на чертеже, используются следующие понятия. К рис. (а): крутизна фронта, равная отношению 0,8?/тах/тф; к рис. (б): скважность следования импульсов Q = Т/тИ;
§ 19.4. Элементы реабилитологии. Импульсная электротерапия 253 коэффициент заполнения К = 1/Q; частота повторения импульсов (величина, обратная перио- ду) v = 1/Т. § 19.4. Элементы реабилитологии. Импульсная электротерапия Прямоугольные импульсы используются в следующих мето- методах. Электросонтерапия — метод лечебного воздействия на структуры головного мозга. Для этой процедуры применяют прямоугольные импульсы с частотой 5-160 имп/с и длительно- длительностью 0,2-0,5 мс. Сила импульсного тока составляет 1-8 мА. Транскраниальная электроанальгезия — метод лечебного воз- воздействия на кожные покровы головы импульсными токами, вы- вызывающими обезболивание или снижение интенсивности боле- болевых ощущений. Для этого метода используются следующие ре- режимы воздействия (рис. 19.9): JLJUUUU JLJL jULJLJL в 1 Рис. 19.9. Основные виды импульсных токов, используемых при транс- транскраниальной электроанальгезии а) прямоугольные импульсы напряжением до 10 В, частотой 60-100 имп/с, длительностью 3,5-4 мс, следующие пучками по 20-50 импульсов; б), в) прямоугольные импульсы постоянной и переменной скважности продолжительностью 0,15-0,5 мс, напряжением до 20 В, следующие с частотой 150-2000 имп/с. Сила импульсного тока при этом не превышает 1 мА.
254 Лекция 19. Электромагнитные колебания Выбор параметров (частоты, длительности, скважности, ам- амплитуды) осуществляется индивидуально для каждого больного. Полусинусоидальные импульсы используются в диадинамоте- рапии. Основные виды таких токов представлены на рис. 19.10: IAAAAA 1,5 с 1,5 с У 3 с 1,5 с 1,5 с Зс Рис. 19.10. Основные виды диадинамических токов а) однополупериодный непрерывный с частотой 50 Гц; б) двухполупериодный непрерывный с частотой 100 Гц; в) однополупериодный ритмический — это прерывистый од- однополупериодный ток, посылки которого чередуются с паузами равной длительности A—1,5 с); г) модулированный разными по длительности периодами. Токи Бернара представляют собой диадинамические токи — импульсы с задним фронтом, имеющим форму экспоненты, ча- частота этих токов 50-100 Гц. Возбудимые ткани организма быстро адаптируются к таким токам. Электростимуляция — метод лечебного применения импульсных токов для восстановления деятельности органов и тканей, утративших нормальную функцию. Основные виды импульсных токов, используемых в этом методе показан на рис. 19.11: Рис. 19.11. Основные виды импульсных токов, используемых для элек- электростимуляции
§ 19.4. Элементы реабилитологии. Импульсная электротерапия 255 а) постоянный ток с прерыванием, б) импульсный ток прямоугольной формы, в) импульсный ток экспоненциальной формы, г) импульсный ток треугольной остроконечной формы. Электропунктура — лечебное воздействие импульсных и пе- переменных токов на биологически активные точки (БAT). По современным представле- представлениям такие точки являют- являются морфо-функционально обособленными участками тканей, расположенными в подкожной жировой клетчатке. Они имеют повышенную электро- проводность по отноше- нию к окружающим их участкам кожи. На этом Нейтральный электрод Г Электрод-щуп Рис. 19.12. Прибор для электропунк- туры свойстве созданы приборы для поиска БАТ и воздействия на них, рис. 19.12. Рабочее напряжение измерительных приборов не превышает 2 В. Измерения проводятся следующим образом: нейтральный электрод пациент держит в руке, а оператор прикладывает к исследуемой БАТ измерительный электрод-щуп малой площади (точеч- (точечные электроды). Экспериментально показано, сила тока, протекающего в измерительной цепи, зависит от давления электрода- щупа на поверхность кожи, рис. 19.13. Поэтому всегда имеется разброс в измеряемой величине. Кроме того, упругость, толщина, влажность кожи в различных участках тела и у различ- различных людей разная, поэтому нельзя ввести единую норму. Следу- Следует особо отметить, что механизмы электрического раздражения БАТ нуждаются в строгом научном обосновании. Необходимо корректное сравнение с концепциями нейрофизиологии. Рис. 19.13. Зависимость силы тока от давления щупа на кожу
Лекция 20 ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК 1. Переменный ток и переменное напряжение. 2. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление ре- резистора, действующие значения тока и напряжения. 3. Конденсатор в цепи переменного тока, емкостное сопротивление 4. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктив- индуктивности, индуктивное сопротивление. 5. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс. 6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схе- схема тканей. Реография. § 20.1. Переменный ток и переменное напряжение В широком смысле «переменным» называют любой ток, ко- который изменяется с течением времени по величине и направле- направлению. В технике переменным называют ток, который изменяется со временем по гармоническому закону. Такой ток мы и будем рассматривать: B0.1) Переменный ток представляет собой вынужденные электромаг- электромагнитные колебания, которые возникают при подключении какого либо прибора в сеть переменного напряжения: U = Umaxcos(u>t). B0.2) Обычно начало отсчета времени выбирают так, чтобы для напряжения электрической сети начальная фаза равнялась ну- нулю. Поэтому в формуле B0.2) нет слагаемого (р$. Как указано выше, при включении в сеть B0.2) какого-либо прибора в цепи возникает переменный ток B0.1). Его максималь- максимальное значение /тах и начальная фаза (р$ зависят от свойств эле- элементов, входящих в электрическую схему прибора. Рассмотрим протекание переменного тока по таким элементам.
§ 20.2. Протекание переменного тока по резистору 257 § 20.2. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значения тока и напряжения Резистором называется проводник, в котором при протекании переменного тока не возникает элек- электродвижущая сила. При протекании переменного тока через резистор выполняет- выполняется закон Ома для участка цепи. Поэтому отношение напряжения к силе тока остается постоянным и называется сопротивлением резистора (R): U{t)/I(t) = R. B0.3) Таким образом, сопротивление резистора не зависит от частоты тока и совпадает с его сопротивлением в сети постоянного тока. Из формул B0.2) и B0.3) вытекает формула, выражающая закон изменения переменного тока, текущего через резистор: / = /maxCOsM), /max = Umax/R. B0.4) При протекании по резистору сила тока изменяет- изменяется в одинаковой фазе с приложенным напряжени- напряжением. Для цепи переменного тока сопротивлением участка цепи при- принято называть отношение амплитуды напряжения к амплитуде силы тока. Сопротивление резистора в сети переменного то- тока равно отношению амплитудного значения пере- переменного напряжения на резисторе к амплитудному значению силы тока в нем: R = Ушах я//тах. B0.5) Цепь с резистором R и соответствующая ей векторная диаграм- диаграмма представлены на рис. 20.1. R UmaiL Лпах Ось ТОКОВ и Рис. 20.1. Цепь переменного тока с резистором и ее векторная диа- диаграмма 9 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
258 Лекция 20. Переменный ток Поскольку ток и напряжение изменяются в одинаковой фазе, вектора ?/тах и /тах отложены по одной прямой в одном направ- направлении. В принципе, любому переменному току сопутствует элек- электромагнитное излучение. Однако для частот переменного тока, используемых в промышленности, интенсивность такого излу- излучения ничтожно мала и потерями энергии на электромагнит- электромагнитное излучение пренебрегают. Поэтому работа переменного тока протекающего через резистор полностью превращается в его внутреннюю энергию. В связи с этим, сопротивление резистора называют активным. Расчеты показывают, что средняя мощность выделяемая в резисторе при протекании переменного (гармонического) тока вычисляется по формулам Р = I2maxR/2 = U2maJBR). Если ввести обозначения /д = W/V2, ид = Umax/V2, B0.6) то формулы для мощности переменного тока примут такой же вид, как и для постоянного тока: Р = /2д = t/2/я. B0.7) Значения переменного тока и напряжения, определяемые формулой B0.6), называется действующими. Существует дого- договоренность о том, что по умолчанию для цепи переменного тока указывают именно действующие значения. Например, напряже- напряжение в бытовой сети переменного тока равно 220 В. Указанное значение 220 В является действующим значением напряжения. § 20.3. Конденсатор в цепи переменного тока, емкостное сопротивление Включим в цепь переменного напряжения B0.2) конденса- конденсатор емкостью С. Вместе с изменением напряжения будет менять- меняться заряд конденсатора, а в подводящих проводах возникнет ток. Тогда заряд конденсатора связан с текущим напряжением в цепи соотношением q = CU = CUmaxcos(ut). B0.8)
§ 20.4. Протекание переменного тока 259 Учитывая, что / = dq/dt, получим / = — CUm3>xcusm(ujt). Используя формулы тригонометрии, найдем / = /maxCos(o;t + 7r/2), B0.9) где Эта формула показывает, что ток в цепи с конденсатором опереэюает напряже- напряжение по фазе на тг/2. Иногда удобнее говорить, что напряжение отстает по фазе от тока на тг/2. Цепь с конденсатором характеризуется емкостным сопро- сопротивлением. Емкостное сопротивление равно отношению ам- амплитудного значения переменного напряжения на пластинах конденсатора к амплитудному значе- значению силы тока в цепи: ХС = t/max с/Лпах = l/(Cu>). B0.10) Цепь с конденсатором С и соответствующая ей векторная диа- диаграмма представлены на рис. 20.2. С I 1 1 -'max ~S Ось токов U Цтах Рис. 20.2. Цепь переменного тока с конденсатором и ее векторная диаграмма Поскольку напряжение отстает по фазе от тока на тг/2, вектор /Утах повернут относительно оси токов по часовой стрелке (в математике это направление считают отрицательным). § 20.4. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление Включим в цепь переменного напряжения B0.2) катушку с индуктивностью L, активным сопротивлением которой можно
260 Лекция 20. Переменный ток пренебречь. Такую катушку называют идеальной. Вследствие явления самоиндукции в ней возникнет ЭДС, препятствующая изменению тока в цепи. Поскольку активным сопротивлением катушки мы пренебре- пренебрегаем, ЭДС и напряжение одинаковы: & = U. Используя закон электромагнитной индукции, получаем дифференциальное урав- уравнение для тока в цепи: — Ldl/dt = t/maxcos(cj?). Интегрируя это уравнение, получаем: -Ы = -(Umax/(j) Sm(cut) = -(?/max/w) COs(t^ - 7г/2). Таким образом, сила тока в катушке изменяется по следующему закону: / = /maxCos(o;t-7r/2), B0.11) где Это соотношение показывает, что сила тока в идеальной катушке индуктивности отстает по фазе от приложенного напряжения на тг/2. Иногда удобнее говорить, что напряжение опережает по фазе ток на тг/2. Цепь с катушкой характеризуется индуктивным сопротивле- сопротивлением. Индуктивное сопротивление равно отношению амплитудного значения переменного напряжения на катушке индуктивности к амплитудному зна- значению силы тока в ней: ХЬ = f/max L//max = Lw. B0.12) Цепь с катушкой L и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 20.3. Поскольку напряжение опережает по фазе ток на тг/2, то вектор f/max повернут относительно оси токов против часовой стрелки (в математике это направление считают положитель- положительным).
§ 20.5. Протекание переменного тока по RLC'-цепочке 261 При протекании переменного тока по конденсатору и идеаль- идеальной катушке индуктивности не происходит потерь энергии. Эти элементы половину периода забирают энергию из сети и преоб- преобразуют ее в энергию электрического и магнитного поля. Вторую половину периода энергия поля возвращается в сеть, поддер- поддерживая ток. В связи с отсутствием потерь энергии, емкостное и индуктивное сопротивления называют реактивными и вместо обозначения R используют обозначение X. U /щах ОСЬ ТОКОВ Рис. 20.3. Цепь переменного тока с катушкой и ее векторная диаграмма § 20.5. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс. Резонанс напряжений Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединен- соединенных резистора /?, катушки индуктивности L и конденсатора С. Если на нее подать переменное напряжение B0.2), то ток в цепи будет изменяться по закону / = /maxCos(o;t-^), B0.13) где (р — разность фаз напряжения и силы тока. Такая цепь имеет как активное, так и реактивное сопротив- сопротивления. Поэтому ее сопротивление называют импедансом и обо- обозначают Z. Импеданс равен отношению амплитудного значе- значения переменного напряжения на концах цепи к ам- амплитудному значению силы тока в ней: Z = [/max//max. B0.14) RLC-цепь и соответствующая ей векторная диаграмма пред- представлены на рис. 20.4. Элементы (Я, L, С) полной цепи переменного тока на рис. 20.4 соединены последовательно. Поэтому по ним про- протекает одинаковый ток, а напряжение U(t) = f/maxcos(cjt)
262 Лекция 20. Переменный ток складывается из напряжений на отдельных участках цепи: U(t) = UR(t) + Uc(t) + UL(t). B0.15) Для сложения напряжений используется следующий графи- графический прием. На векторной диаграмме откладываются как век- векторы все 3 амплитуды напряжений (f/max я, t^max С, t^max l). При этом направления векторов согласуются с рис. 20.1, 20.2, 20.3. Тогда сумма этих векторов дает вектор напряжения в цепи. Величина и направление вектора ?/тах дают амплитуду напря- напряжения в сети и фазовый угол (р между током и напряжением. R -^maxl/ иТ max С' ОСЬ ТОКОВ Рис. 20.4. RLC-цепъ в сети переменного тока и соответствующая ей векторная диаграмма На основании рис. 20.4 по теореме Пифагора имеем "max = ^ max Я + L ~ C/max с)'- B0.16) Подставляя в B0.16) выражения этих амплитуд из B0.7), B0.10), B0.12) и учитывая закон Ома, находим: )]2. B0.17) Из B0.17) получаем выражение для определения импеданса: B0.18) Z = V& + (Хь Из рис.20 46 найдем значение разности фаз ср: t (U L - Umax C)/Umax r = (Xl- Xc)/R. B0.19) 20.5.1. Резонанс напряжений. Если величины L, С, и и по- подобраны таким образом, что Xq = ^l5 TO полное сопротив- сопротивление Z (формула 20.18) имеет минимально возможное значе- значение, равное R (Z = R). При этом сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе ((р = 0) так, как будто в цепи имеется только активное сопротивление; напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по ампли- амплитуде, но противоположны по фазе. В этом случае амплитуда
§ 20.6. Импеданс тканей организма 263 силы тока максимальна. Данное явление называется резонансом напряжений. Так как f/max ь = Umaxc, то Ьирез = 1/Сирез. Следовательно, резонансная частота равна ¦фез B0.20) § 20.6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Дисперсия импеданса. Реография 20.6.1. Импеданс тканей организма. По своим электрическим свойствам ткани организма представляют собой разнородную среду. Органические вещества (белки, жиры, углеводы) являют- являются диэлектриками. В состав тканевых жидкостей входят элек- электролиты. Ткани состоят из клеток, важной частью которых являются мембраны. Двойной фосфолипидный слой мембраны обладает емкостным сопротивлением, т. е. она подобна конденсатору. В организме нет таких систем, которые были бы подобны катушкам индуктивности, поэтому индуктивность его тканей близка к нулю. Таким образом, импеданс тканей определяется только актив- активным и емкостным сопротивлениями. Наличие в биологических системах емкостных элементов подтверждается тем, что сила тока опережает по фазе приложенное напряжение. Ниже приве- приведены значения углов сдвига фаз, полученные при частоте 1 кГц для разных биологических объектов. Биологический объект Кожа человека, лягушки Нерв лягушки Мышцы кролика Десна Эмаль зуба Угол сдвига фаз (р, град 55 64 65 42 25 20.6.2. Эквивалентная электрическая схема тканей. Актив- Активные и емкостные свойства биологических тканей можно предста- представить электрической схемой, приведенной на рис. 20.5. Она состо- состоит из резисторов, которые обладают активным сопротивлением, и конденсатора, обладающего емкостным сопротивлением.
264 Лекция 20. Переменный ток С Z R2 R -1 - живая ткань \ 2 - мертвая ткань In (у) Рис. 20.5. Эквивалентная электрическая схема ткани и частотная за- зависимость ее импеданса Кривая 1 описывает зависимость сопротивления от частоты согласно эквивалентной схеме для живой ткани. Частотная зави- зависимость (дисперсия) импеданса такой системы наиболее близка к частотной зависимости импеданса биологической ткани, ко- которая имеет место в реальных экспериментах. В этой эквива- эквивалентной схеме электроемкость и диэлектрическая проницаемость остаются постоянными. Кривая 2 соответствует мертвой ткани. В мертвой ткани разрушены мембраны, и она не обладает емкостным сопротивле- сопротивлением, поэтому нет частотной зависимости импеданса. Величину сопротивления схемы для этого случая можно найти по пра- правилу параллельного соединения сопротивлений (учитывая, что Хс = 0): R = R1R2/(R1 + R2). B0.21) 20.6.3. Дисперсия импеданса. В реальных биологических тканях имеются отличия в частотной зависимости импеданса по сравнению с рис. 20.56. На рис. 20.6 представлена частотная зависимость импе- импеданса мышечной ткани (по- (построена в логарифмическом масштабе ради компактно- компактности). Общих ход зависимости свидетельствует о плавном уменьшении импеданса с уве- g z 1 10° 103 106 *ЛГц Рис. 20.6. Частотная зависимость импеданса биологической ткани личением частоты. При этом четко проявляются три интервала частот, в которых величина Z медленнее меняется с частотой по сравнению с общим ходом кривой. Они названы, соответственно, областями а-, /3- и 7-Дисперсии.
§ 20.6. Импеданс тканей организма 265 При воздействии переменным (гармоническим) электриче- электрическим полем проявляется частотная зависимость диэлектриче- диэлектрической проницаемости: е = f(v). Изменение диэлектрической про- проницаемости с изменением частоты электрического поля приво- приводит к изменению электроемкости, а следовательно, к изменению импеданса (теоретическое доказательство этого здесь не приво- приводится) На рис. 20.7 показана частотная зависимость диэлектриче- диэлектрической проницаемости, в которой также выделяются области а-, /3- и 7"ДиспеРсии- е 105 103 101 О 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 i/, Гц Рис. 20.7. Частотная зависимость диэлектрической проницаемости Наличие областей дисперсии указывает на различные ме- механизмы поляризации тканей в разных частотных диапазонах действующего внешнего электромагнитного поля. Каждый из механизмов поляризации характеризуется своей частотой, вбли- вблизи которой запаздывание смещения (поворота) различных эле- элементов биологических тканей относительно изменения действу- действующего переменного электромагнитного поля минимально. Механизмы возникновения областей дисперсии следующие: а-дисперсия обусловлена поляризацией целых клеток (_/, 2) в результате диффузии ионов, что требует относительно большо- большого времени, поэтому данный механизм проявляется при действии электрического поля низкой частоты @,1-10 кГц); в этой области емкостное сопротивление мембран очень большое и преобладают токи, протекающие через растворы электролитов, окружающие фрагменты мембран.
266 Лекция 20. Переменный ток /3- дисперсия обусловлена структурной поляризацией клеточ- клеточных мембран C), в которой участвуют белковые макромолеку- макромолекулы (^), а на их верхней границе — глобулярные водораствори- водорастворимые белки E), фосфолипиды (#, 7) и мельчайшие субклеточные структуры (#); данный механизм проявляется при действии пе- переменного электрического поля с частотой 1-10 МГц; 7- дисперсии обусловлена процессами ориентационной поля- поляризации молекул E, 10) свободной и связанной воды (частота около 20 ГГц), а также низкомолекулярных веществ типа Саха- Сахаров и аминокислот (частотный интервал 1-10 ГГц). По частотной зависимости импеданса можно оценивать жиз- жизнеспособность ткани, что важно при пересадке органов. Раз- Различия в частотных зависимостях импеданса имеют место при сравнении здоровой и больной ткани. 20.6.4. Реография. Импеданс тканей и органов зависит от их физиологического состояния, от степени наполнения крове- кровеносных сосудов, проходящих в этих тканях. При наполнении ткани кровью во время систолы полное сопротивление ткани уменьшается, а при диастоле увеличивается. Это используется в диагностических целях. Реография — диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности. Для реографии применяют переменный ток с частотой 20-30 кГц и измеряют полное сопротивление определенного участка тканей в течение цикла сердечной деятельности. Реограмма — зависимость Z = f(t) при v = const. С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), маги- магистральных сосудов, легких, печени, конечностей. Исследование реограмм применяют в диагностике заболеваний перифериче- периферических кровеносных сосудов, сопровождающихся изменением их эластичности, сужением артерий и т. д.
Лекция 21 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 1. Уравнения электромагнитной волны. Свойства электромагнит- электромагнитных волн. 2. Объемная плотность энергии электромагнитного поля 3. Шкала электромагнитных волн. Классификация частотных ин- интервалов, принятая в медицине. 4. Элементы реабилитологии. Влияние электромагнитных волн разного диапазона на человека. Переменные электрические и магнитные поля не могут суще- существовать независимо друг от друга. Нельзя создать переменное магнитное поле без того, чтобы одновременно не возникло и пе- переменное электрическое поле, и наоборот. Электромагнитное поле представляет собой взаимосвязанные колебания электрического (Е) и магнитного полей (В). Рас- Распространение единого электромагнитного поля в пространстве осуществляется посредством электромагнитных волн. § 21.1. Уравнения электромагнитной волны. Свойства электромагнитных волн Электромагнитная волна — электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью и переносящие энергию. Особенности электромагнитных волн, законы их возбужде- возбуждения и распространения описываются уравнениями Максвелла (которые в данном курсе не рассматриваются). Если в какой-то области пространства существуют электрические заряды и токи, то изменение их со временем приводит к излучению электромаг- электромагнитных волн. Описание их распространения аналогично описа- описанию механических волн. Если среда однородна, и волна распространяется вдоль оси X со скоростью г>, то электрическая (Е) и магнитная (В) состав- составляющие поля в каждой точке среды изменяются по гармониче- гармоническому закону с одинаковой частотой (со) и в одинаковой фазе
268 Лекция 21. Электромагнитные волны (уравнение плоской волны): Е = Ет cos[u(t — ж/г;)], В = Bmcos[u(t — ж/г;)], B1.1) B1.2) где х — координата точки, at — время. Векторы Е и В взаимно перпендикулярны, и каждый из них перпендикулярен направлению распространения волны, то есть вектору скорости, рис. 21.1. Поэтому электромагнитные вол- волны являются поперечными. Рис. 21.1. Взаимное расположение векторов Е, В, v в электромагнит- электромагнитной волне Модули векторов Е и В в плоской электромагнитной волне связаны соотношением г$еЕ2 = В2//ioM- Скорость распространения электромагнитной волны зависит от относительной диэлектрической (е) и магнитной (/i) проница- емостей среды и определяется по формуле: v = где ?о и /io — электрическая и магнитная постоянные, с — ско- скорость электромагнитных волн в вакууме, равная с = 1/д/^оМо — = 3 • 108 м/с. В вакууме скорость распространения электромагнитных волн равна скорости распространения света (это послужило основани- основанием для создания Максвеллом электромагнитной теории света). Учитывая, что абсолютный показатель преломления среды равен п = c/v, можно установить связь между п, г, fi: п = y/eJI. B1.4) Свойства электромагнитных волн: 1) частичное поглощение волн диэлектриком; 2) практически полное отражение волн от металлов;
§21.3. Шкала электромагнитных волн 269 3) преломление волн на границе диэлектриков; 4) интерференция, дифракция волн. § 21.2. Объемная плотность энергии электромагнитного поля Объемная плотность энергии электромагнитного поля w3M складывается из объемных плотностей электрического w3 и маг- магнитного wM полей: Е2 В2 - + ^~Мо- B1.5) Электрическая и магнитная составляющие электромагнитно- электромагнитного поля в диэлектрике равноправны: es0E2/2 = B2/2fifi0, B1.6) поэтому для объемной плотности энергии можно записать не- несколько выражений: гиэм = ?SOE2 = B2/fifi0 = EB/vfiofi. B1.7) Плотность потока энергии волны, или интенсивность вол- волны (усредненную величину), получим из общего соотношения: I = wv, где w — объемная плотность энергии, v — скорость распространения волны в среде: / = w3mV = vEB/vfiofi = EB/^fi [Вт/м2]. B1.8) На границе атмосферы Земли среднегодовое значение / сол- солнечного света составляет 1,5 кВт/м2 (солнечная постоянная). Эта интенсивность обеспечивает все процессы, которые протекают за счет солнечной энергии. § 21.3. Шкала электромагнитных волн. Классификация частотных интервалов, принятая в медицине 21.3.1. Шкала электромагнитных волн. Из теории Максвел- Максвелла вытекает, что радиоволны, свет, рентгеновское излучение и гамма-излучение представляют собой электромагнитные вол- волны с различной длиной волны (частотой). В физике принята сле- следующая классификация электромагнитных волн. Вся шкала раз- разделена на несколько диапазонов длин волн (см. табл. 21.1). Элек- Электромагнитные волны различных диапазонов по-разному взаимо- взаимодействуют с веществом.
270 Лекция 21. Электромагнитные волны Таблица 21.1. Интервалы электромагнитных волн Длина волны, м 104_10-4 ю-4-ю-6 8 • 10-7-4 • Ю-7 4 • 10-7-5 • Ю-9 5 • 10~9-4 • Ю-12 4 • 10-12-10-13 Название диапазона Радиоволны (длинные, средние, короткие) Инфракрасное излучение Видимый свет (А = 400-760 нм) Ультрафиолетовое излучение Рентгеновское излучение 7-излучение Источники Переменные токи в проводниках Излучение атомов и молекул Внутриатомные процессы Ядерные процессы, радиоактивный распад, космические процессы Часто все электромагнитные волны изображают на единой шкале, рис. 21.2. Радиоисточники и радиогалактики I I Звезды I I l I Область | I реликтового I ь^с щачеж.жж.м.41. л. ЧыГ ж^<-%*р м. щ*г • ' излучения j Ост^ичфкое излучение X 106 1 104 102 •*— Радиоизлучение 10° Х = 21,1 см Линия Юпитер 2f излучения Венера Рис. 21.2. Шкала электромагнитных волн
$21.4. Элементы реабилитологии 271 Весь диапазон электромагнитных волн весьма широк: по длине волны от 10~12 м 1013 м; по частоте от 10~5 Гц до 1020 Гц. Некоторые диапазоны перекрываются, так как волны одной и той же длины могут образовываться в разных процессах. Так, например, наиболее коротковолновое ультрафиолетовое излу- излучение перекрывается длинноволновым рентгеновским, коротко- коротковолновое рентгеновское излучение перекрывается 7-излучением. 21.3.2. Классификация частотных интервалов. В медицине принято следующее разделение электромагнитных колебаний на частотные диапазоны: Название интервала Низкие (НЧ) Звуковые C4) Ультразвуковые (УЗЧ) Высокие (ВЧ) Ультравысокие (УВЧ) Сверхвысокие (СВЧ) Крайне высокие (КВЧ) Частоты До 20 Гц 20 Гц-20 кГц 20 кГц-200 кГц 200 кГц-30 МГц 30-300 МГц 300 МГц-300 ГГц Свыше 300 ГГц § 21.4. Элементы реабилитологии 21.4.1. Влияние волн радиодиапазона на человека. Радиовол- Радиоволны, генерируемые с помощью электронных устройств, по длине охватывают диапазон от миллиметров до нескольких километ- километров. Длинные и средние радиоволны (Л > 100 м) практически не взаимодействуют с биологическими объектами. В медицинских целях они не используются. С уменьшением длины волны биологическая активность ра- радиоволн возрастает. Волны ВЧ-диапазона заметно поглощаются биологическими тканями, а для УВЧ и СВЧ-диапазонов это поглощение становится очень значительным. УВЧ-диапазон ис- используется в медицине для глубокого прогревания тканей. Особенно эффективно поглощают такие волны ткани со зна- значительным содержанием воды, что приводит к их сильному на- нагреванию. Большое выделение тепла опасно для органов и тка- тканей, имеющих плохую систему кровоснабжения, например, для хрусталика. Так, радиоизлучение с длиной волны 10-12 см может
272 Лекция 21. Электромагнитные волны повысить температуру в задней части хрусталика на 20°. Подоб- Подобное воздействие способно вызвать катаракту, которая развивает- развивается не сразу, а через несколько недель после облучения и прогрес- прогрессирует даже при отсутствии дополнительного облучения. 21.4.2. Инфракрасное излучение. Низкочастотный край этой области не имеет резкой границы, которая отделяла бы ее от микроволновой области. Верхний предел инфракрасного излуче- излучения определяется началом области видимого света. На высокоча- высокочастотной границе инфракрасной области фотоны имеют энергию (W «1,8 эВ), достаточную для возбуждения молекул некото- некоторых типов. Это используется для изучения строения вещества (ИК-спектроскопия). Источником инфракрасного излучения являются все тела. При повышении температуры интенсивность излучения растет. Это излучение является основным переносчиком тепла от Солн- Солнца. Молекулы, входящие в состав кожного покрова человека, «резонируют» на инфракрасных частотах; поэтому именно это излучение преимущественно поглощается и тем самым согревает человека. 21.4.3. Видимый свет. Видимая область спектра электромаг- электромагнитного излучения очень узка и имеет весьма резкие границы, определяемые свойствами органа зрения человека. Длины волн (нм), соответствующие основным цветам видимого света, приве- приведены в табл. 21.2. Таблица 21.2. Длины волн основных цветов видимого света Красный Оранжевый Желтый Зеленый Голубой Синий Фиолетовый 760-620 нм 620-590 нм 590-560 нм 560-500 нм 500-480 нм 480-450 нм 450-400 нм Энергия высокочастотной границы этого диапазона составля- составляет 3 эВ. Поскольку энергия связи атомов порядка 1 эВ, видимый свет может вызывать химические превращения (фотосинтез, фо- фотография, фотобиологические реакции, отбеливание).
§21.4. Элементы реабилитологии 273 Видимый свет может генерироваться в большом числе раз- различных процессов, которые происходит в связанных атомных или молекулярных системах — за счет их возбуждения вслед- вследствие нагревания или иного воздействия, например, электронно- электронного удара. 21.4.4. Ультрафиолетовое излучение испускается атомами при воздействии ускоренных заряженных частиц. Область уль- ультрафиолетового излучения начинается у фиолетовой границы видимого света и сливается с длинноволновым рентгеновским излучением (подробнее см. лекцию 37). 21.4.5. Рентгеновское и 7"излУчение» Рентгеновское излуче- излучение испускается при резком торможении электронов, движу- движущихся с большой скоростью, при попадании на металлическую мишень. Точно также, как не существует четкой границы между ультрафиолетовым излучением и мягким рентгеновским излуче- излучением, так и отсутствует четкая граница с 7-излучением.
Лекция 22 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, ПРОИСХОДЯЩИЕ В ТКАНЯХ ОРГАНИЗМА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ТОКОВ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ 1. Действие постоянного тока. 2. Действие переменного и импульсного токов (НЧ, 34, УЗЧ). 3. Действие высокочастотного тока. 4. Действие магнитного поля: постоянного, импульсного, гармони- гармонического. 5. Действие постоянного электрического поля. 6. Действие переменного электрического поля (УВЧ). 7. Действие электромагнитных волн (СВЧ). Биологические ткани и органы обладают различными элек- электрическими свойствами. Например, одни из них являются ди- диэлектриками, а другие — проводниками. Значительную часть ор- организма составляют биологические жидкости (электролиты), со- содержащие большое количество ионов, которые участвуют в раз- различных обменных процессах. Свойства биологических тканей су- существенно зависят от действия на них токов и электромагнитных полей. § 22.1. Действие постоянного тока Под воздействием постоянного электрического поля ионы, содержащиеся в биологических тканях, совершают направленное движение. При этом происходит их разделение и изменение их концентрации в различных элементах ткани. Как и при всяком протекании тока через электролит, на электродах происходит выделение веществ. Продукты электролиза являются химиче- химически активными веществами и в достаточной концентрации мо- могут вызвать химический ожог подлежащих тканей (поэтому под электроды кладут влажные прокладки). Для предотвращения ионного дисбаланса тканей продолжительность процедур с по- постоянным током не превышает 20-30 минут.
§22.1. Действие постоянного тока 275 Аппараты для проведения лечебных процедур постоянным током питаются от сети переменного тока с напряжением 220 В. Для получения постоянного тока осуществляется: • трансформаторное снижение переменного напряжения до требуемой величины; • преобразование переменного тока в пульсирующий с по- помощью полупроводникового двухполупериодного выпрямителя; • сглаживание пульсации фильтром; • величина постоянного тока, используемого в процедурах, регулируется потенциометром. Гальванизация — физиотерапевтический метод, основан на пропускании через ткани организма постоянного тока напряже- напряжением 60-80 В. При гальванизации различных участков тела используют следующие различные токи: конечности — 20-30 мА, туловище — 15-20 мА части лица — 3-5 мА слизистые — 2-3 мА. При проведении гальванизации в подлежащих тканях ак- активизируются системы регуляции локального кровотока. Про- Происходит расширение просвета дермальных сосудов и возникает гиперемия кожных покровов. Расширение капилляров и повы- повышение проницаемости их стенок происходит не только в месте приложения электродов, но и в глубоко расположенных тканях, через которые проходит постоянный электрический ток. Электрофорез — метод, основанный на введении лекарствен- лекарственного вещества через кожу или слизистые оболочки под дей- действием постоянного тока. При этой процедуре осуществляет- осуществляется сочетанное воздействие на организм постоянного электри- электрического тока и вводимого с его помощью лекарственного ве- вещества. При использовании данного метода к перечисленным выше (см. гальванизацию) механизмам биологического действия постоянного тока добавляются лечебные эффекты конкретного лекарственного вещества (способ его введения, количество, об- область введения). Для проведения электрофореза под электроды на кожу кладут прокладки, смоченные соответствующим лекарственным препаратом. Лекарство вводят с того полюса, зарядом которого
276 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма оно обладает. Через катод вводят анионы (йод, гепарин, бром), а через анод — катионы (Na, Ca, новокаин). § 22.2. Действие переменного и импульсного токов (НЧ, 34, УЗЧ) Действие, которое оказывают на организм переменный или импульсный ток, зависит от частоты, максимальной силы то- тока и формы его импульсов. Первичное действие переменного тока низкой (НЧ), звуковой C4) или ультразвуковой (УЗЧ) частот связано с периодическими процессами смещения ионов в растворах электролитов, их разделением, перераспределением и изменением концентрации. Как и постоянный ток, переменный ток оказывает на ткани организма раздражающее действие. 22.2.1. Пороговые значения тока. Действие, которое оказы- оказывает на организм переменный синусоидальный ток, характери- характеризуют двумя пороговыми значениями: порогом ощутимого тока и порогом неотпуекающего тока. Эти значения зависят от ин- индивидуальных особенностей организма и являются случайными величинами. Их средние значения и называют пороговыми зна- значениями переменного тока. Порог ощутимого тока — минимальная сила то- тока, раздражающее действие которого ощущает че- человек. Эта величина зависит как от индивидуальных особенностей че- человека, так и от частоты тока, места и площади контакта. У мужчин для участка «предплечье-кисть» на частоте 50 Гц эта величина составляет приблизительно 1 мА. У детей и женщин пороговые значения обычно меньше. Порог неотпускающего тока — минимальная си- сила тока, вызывающая такое сгибание сустава, при котором человек не может самостоятельно освобо- освободиться от проводника. Для мужчин эта величина составляет 10-15 мА. Превышение по- порога неотпускающего тока может быть губительны для человека (паралич дыхательных мышц, фибрилляция сердца).
§ 22.3. Действие высокочастотного тока 277 /, мА- 100 10 Пороговые значения тока зависят от частоты. На рис. 22.1 показана зависимость среднего значения порогов тока (для муж- мужчин). При использовании импульсного тока раздражающее дей- действие зависит от формы, амплитуды и длительности импульсов (см. лекцию 18). Особенно силь- сильно влияет на характер воздей- воздействия крутизна фронта импуль- импульса. При увеличении крутизны фронта уменьшается пороговая сила тока, который вызывает раздражение. Наибольшей кру- крутизной переднего фронта обла- обладают прямоугольные импульсы поэтому пороговая сила тока, который вызывает раздражение, для них минимальна. Вместе с тем, пороговое значение зави- зависит и от длительности импульса. Кривая, отображающая эту за- зависимость, называется характеристикой возбуждения и показана на рис. 22.2. ¦1-m.cQ 0,01 ОД 1 10 у, кГц Рис. 22.1. Зависимость средне- среднего значения порога ощутимого тока A) и порога неотпускаю- щего тока B) от частоты 0 Рис. 22.2. Характеристика возбуждения § 22.3. Действие высокочастотного тока При частотах более 500 кГц смещение ионов, вызванное переменным током, становится соизмеримым с их смещением в результате молекулярно-теплового движения, поэтому ток или электромагнитная волна не будет вызывать раздражающего дей- действия, характерного для низких частот. Основным первичным эффектом в этом случае является тепловое воздействие. (Посто- (Постоянный ток, токи НЧ и 34 для нагревания тканей не пригодны,
278 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма так как их использование при больших значениях может приве- привести к электролизу и разрушению). Преимущества лечебного прогревания ВЧ электромагнитны- электромагнитными колебаниями перед грелкой: • образование теплоты во внутренних частях организма; • подбирая соответствующую частоту, можно осуществлять термоселективное воздействие; • можно дозировать нагревание, регулируя мощность гене- генератора; • возникновение внутримолекулярных процессов, которые приводят к специфическим эффектам. Вычислим тепловую мощность д, выделяющуюся в единице объема. Мощность тока, расходуемая на нагревание тканей, определя- определяется по формуле Р = I2R. Преобразуем ее, считая, что образец биологической ткани длиной L контактирует с двумя плоскими электродами площадью S (рис. 22.3). ¦) ! I кань ! и 1 ") Рис. 22.3. Схема расположение биологической ткани между электро- электродами Пусть плотность тока j одинакова во всех точках ткани и рав- равна плотности тока на электродах. Учитывая, что R = pL/S, получаем: P = I2R = j2S2PL/S = j2pV, B2.1) где V = SL — объем ткани. Разделив полученное выражение на объем, получим количество теплоты д, выделяющееся за 1 с в 1 м3: Я = J2P- B2.2) Тепловая мощность q, выделяющаяся в единице объема ткани при протекании тока, пропорцио- пропорциональна квадрату плотности тока j, умноженному на удельное электросопротивление ткани р.
§ 22.3. Действие высокочастотного тока 279 Пропускание тока высокой частоты через ткань используют в следующих физиотерапевтических процедурах. Диатермия (сквозное прогревание) — получение теплового эффекта в глубоколежащих тканях. При диатермии применя- применяют ток частотой 1-2 МГц, напряжением 100-150 В, сила тока 1-1,5 А. При этом сильно нагреваются кожа, жир, кости, мышцы (так как у них наибольшее удельное сопротивление). Меньше на- нагреваются органы, богатые кровью или лимфой: легкие, печень, лимфоузлы. Недостаток диатермии — непродуктивное выделение теплоты в слое кожи и подкожной клетчатке. Местная дарсонвализация — лечебное воздействие на отдель- отдельные участки тела больного слабым импульсным переменным током высокого напряжения, рис. 22.4. При этом применяют ток частотой 100-400 кГц, силой / = 10-15 мА и напряжением — десятки кВ. Рис. 22.4. Дарсонвализация лица (а), десен {б) При значительном увеличении амплитуды импульсного тока и некотором удалении от тела между электродом и кожей возни- возникают разветвленные каналы, заполненные ионизированным воз- воздухом. Здесь формируется искровой разряд, который сопровож- сопровождается характерным треском. Кроме физиологического действия переменного тока, возникающий искровой разряд вызывает де- деструкцию оболочек микроорганизмов и их гибель. Токи высокой частоты используются и для хирургических целей. Диатермокоагуляция — прижигание, «сваривание» ткани. При этом применяется плотность тока 6-10 мА/мм2, в результате чего температура ткани повышается и ткань коагулирует.
280 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма Диатермотомия — рассечение тканей при помощи электрода в форме лезвия. При этом плотность тока составляет 40 мА/мм2. Электрохирургическое воздействие сопровождается меньши- меньшими кровопотерями. § 22.4. Действие магнитного поля: постоянного, импульсного, гармонического Действие магнитного поля на биологические объекты обусловлено электродинамическими изменениями биологиче- биологических структур в виде соответствующей ориентации доменов поляризации и жидкокристаллических образований, наведения электродвижущей силы. Эти изменения вызывают опреде- определенные конформационные перестройки структур тканей, что мягко модифицирует те или иные биохимические реакции и биологические процессы. 22.4.1. Постоянное магнитное поле. Постоянная магнитоте- рапия — лечебное использование постоянного магнитного поля. В настоящее время с лечебной целью используют устройства разных типов. 1. Магнитоэласты, изготовленные из смеси полимерного вещества с порошкообразным ферромагнитным наполнителем (имеет множество локальных магнитных полюсов). Наборы эластичных магнитов в корсете создают основу всевозможных радикулитных поясов, рис. 22.5. Магнитная индукция 8-16 мТл. Рис. 22.5. Пояс противорадикулитный
§ 22.4. Действие магнитного поля 281 2. Магниты кольцевые, пластинчатые, дисковые. Магнитная индукция 60-130 мТл. 3. Микромагниты — намагниченные иглы, шарики, клипсы (для магнитопунктуры). Магнитная индукция — 60-100 мТл. 4. Пластинчатые магниты используют в виде браслетов, но- носимых на запястье пациента. Магнитная индукция 20-70 мТл. 22.4.2. Импульсное магнитное поле. Импульсная магнито- терапия — лечебное применение импульсов магнитного поля низкой частоты. Используются импульсные магнитные поля с частотами 0,125-1000 имп/с, магнитная индукция которых не превышает 100 мТл. Действующим фактором в данном методе являются вихревые электрические поля, индуцируемые в тка- тканях импульсным магнитным полем высокой амплитуды. За счет быстрого нарастания вектора магнитной индукции (скорость ко- которого достигает 104 мТл/с) возникающие вихревые электри- электрические поля вызывают круговые движения зарядов. Высокая эффективность данного метода обусловлена максимальной поро- пороговой чувствительностью организма к импульсным магнитным полям, составляющей 0,1 Тл, в то время как для постоянных магнитных полей она равна 8 мТл, а для переменных — 3 мТл. Применяются различные способы расположения индукторов. Например, при воздействии на конечности, их помещают внутрь блока соленоидов, рис. 22.6. Рис. 22.6. Расположение индуктора при низкочастотной магнитотера- пии нижней конечности
282 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма 22.4.3. Гармоническое магнитное поле. Высокочастотная магнитотерапия — лечебное применение магнитной со- составляющей электромагнитного поля высокой частоты. Для формирования переменного магнитного поля в данном случае используют индукторы-соленоиды. В результате явления электромагнитной индукции (как и в случае импульсного магнитного поля) в проводящих тканях образуются вихревые токи Фуко, нагревающие объект. Оценим тепловой эффект при действии переменного магнит- магнитного поля. По закону электромагнитной индукции в контуре при изменении магнитного потока возникает ЭДС, равная е{ = -dO/dt = -S(dB/dt), B2.3) где Ф — магнитный поток, пронизывающий контур, S — площадь контура, В — магнитная индукция, пронизывающая поверхность (предполагается, что вектор индукции перпендикулярен поверх- поверхности). Из B2.3) на основании закона Ома можно записать вы- выражение для силы тока в контуре: / = -(S/R)dB/dt. Используя формулу R = pl/S для сопротивления, получим / = -(ki/p)dB/dt, B2.4) где к\ — некоторый коэффициент, учитывающий размеры образ- образца. В нашем конкретном случае магнитная индукция меняется по гармоническому закону В = Bmcosojt, тогда dB/dt = -Bmusinut. B2.5) Подставляя в B2.2) вместо плотности тока силу тока из B2.4) и учитывая B2.5), находим q = (кI р2)В2^2р sin2 ujt = (kcu2/p)Blluj2sm2ojt = (kuj2/p)B2. Таким образом для 1 м3 за 1 с имеем: q = kuj2B2/p. B2.6) Тепловая мощность q, выделяемая в единице объ- объема ткани под воздействием переменного магнит- магнитного поля, прямо пропорциональна квадрату маг- магнитной индукции В, квадрату частоты и обрат- обратно пропорциональна удельному электросопротив- электросопротивлению р.
§22.5. Действие постоянного электрического поля 283 При высокочастотной магнитотерапии больше теплоты выде- выделяется в тканях с меньшим удельным сопротивлением. Поэтому сильнее нагреваются ткани, богатые сосудами, например мыш- мышцы. В меньшей степени нагреваются такие ткани, как жир. Нагревание области тела при действии высокочастотного магнитного поля осуществляется на частотах 10-15 МГц. Воз- Воздействие на биологический объект осуществляется с использо- использованием кабельных индукторов, которые располагаются в трех положениях (рис. 22.7): Рис. 22.7. Способы наложения индуктора кабеля при различных мето- методиках высокочастотной магнитотерапии а) плоская продольная петля (чаще на спине); б) плоская круглая спираль (на туловище); в) цилиндрическая спираль (на конечностях). В результате выделения тепла происходит равномерный ло- локальный нагрев облучаемой ткани на 2-4 градуса на глубину 8-12 см, а также повышение температуры тела пациента на 0,3-0,9 градуса. Для этого вида магнитотерапии используется старое название — индуктотермия — наведение тепла. В процессе высокочастотной магнитотерапии проявляется и нетепловой эффект: вихревые токи вызывают изменение ха- характера взаимодействия собственных магнитных полей заряжен- заряженных частиц в ткани, но подробно этот механизм здесь на разби- разбирается. § 22.5. Действие постоянного электрического поля Постоянный электрический ток является основой старейших методов электролечения. Франклинизация — лечебное воздействие постоянным элек- электрическим полем высокой напряженности. В аппаратах для франклинизации имеются электроды разной формы с иглами
284 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма на концах. Постоянное напряжение, создаваемое на концах элек- электродов при общей франклинизации (электростатический душ) (рис. 22.8а) достигает 40-50 кВ, при местной (рис. 22.85) состав- составляет 10-20 кВ. Во всех случаях сила тока не превышает 1 мА. При этой процедуре в проводящих тканях человека, помещенно- помещенного в постоянное электрическое поле, возникают токи проводимо- проводимости, плотность которых не превышает 5 мА/м2. Рис. 22.8. Общая (а) и местная (б) франклинизация Используется разновидность этого метода — акупунктурная франклинизация, в котором для усиления эффекта воздействия электрическое поле действует на иглы, введенные в биологически активные точки. При этом происходит «стекание» зарядов по иглам, вызывающее раздражение тканей. Для групповых процедур применяют высоковольтный гене- генератор, электроэффлювиальную лампу Чижевского (аэроиониза- (аэроионизатор). Эта система предназначена для получения ионизированного воздуха, в частности ионов кислорода (озона), оказывающих био- биологическое действие. Аэроионизатор системы А.Л. Чижевского (рис. 22.9) подает высокое постоянное напряжение на «электро- «электроэффлювиальную люстру», снабженную большим количеством острых окончаний — игл. Вследствие высокой неоднородности электрического поля вокруг игл возникает тихий разряд, явля- являющийся источником ионов. При высоком напряжении постоянного электрического поля в воздушном пространстве между электродом с малым радиусом
§22.6. Действие переменного электрического поля (УВЧ) 285 кривизны и телом человека возникает коронный разряд. В этом случае вокруг электродов возникает ионизация молекул возду- воздуха, формируется поток аэронов и озона (электроэффлювия). Воздействию аэроионами подвергаются лицо, Воротникова зона, верхние дыхательные пути Рис. 22.9. Аэроионизатор системы А.Л. Чижевского с головным элек- электродом (а), электрод для общей аэроионизации (б) § 22.6. Действие переменного электрического поля (УВЧ) Одним из распространенных методов высокочастотной тера- терапии является воздействие высокочастотным электрическим по- полем УВЧ. Ультравысокочастотная (УВЧ) терапия — лечебное исполь- использование электрической составляющей переменного электромаг- электромагнитного поля ультравысокой частоты. При этом биологическая система помещается между плоски- плоскими электродами, которые не касаются тела (рис. 22.10). Ткань ¦о ^ о- Э и Рис. 22.10. Схема воздействия полем УВЧ
286 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма Электроды могут накладываться различными способами, рис. 22.11. При УВЧ терапии колебания имеют частоту 40-50 МГц. В России в аппаратах УВЧ, в основном, используется частота 40,58 МГц, длина волны 7,37 м. Также использу- используются аппараты с часто- частотой 27,12 МГц (длина вол- волны 11,05 м), которая явля- является между народной. Воз- Воздействие оказывается на значительную поверхность тела пациента, который на- находится в ближней зоне ис- источника электромагнитно- электромагнитного поля. Механизм воздействия Рис. 22.11. Способы наложения элек- электродов: а — поперечное, б — продоль- продольное, в — тангенциальное УВЧ на проводящие и ди- диэлектрические среды раз- различен. 22.6.1. Воздействие поля УВЧ на проводник. Пусть провод- проводник (например, электролит) находится в переменном электриче- электрическом поле. Высокочастотное поле вызывает колебательное дви- движение ионов, то есть ток проводимости, сопровождающийся теп- тепловым эффектом. Количество теплоты выразим через напряженность Е элек- электрического поля в проводящем теле, сопротивление которого R = pL/S. Для этого выполним следующие преобразования: Р = U2/R = {ELJ/R = E2L2S/{pL) = E2SL/p. Разделив это равенство на объем тела (SL), получим количество теплоты, выделяющееся за 1 с в 1 м3 ткани: = P/(SL) = где Е = B2.7) Тепловая мощность q, выделяемая в единице объ- объема проводника в электрическом поле УВЧ, пря- прямо пропорциональна квадрату напряженности Е электрического поля и обратно пропорциональна удельному электросопротивлению р.
§22.7. Действие электромагнитных волн (СВЧ) 287 22.6.2. Воздействие поля УВЧ на диэлектрик. Пусть в пере- переменном электрическом поле находится диэлектрик с относитель- относительной диэлектрической проницаемостью е. Под действием перемен- переменного электрического поля происходят ориентационная и струк- структурная поляризации молекул. При этом возникает колебательное движение молекул, сопровождающееся выделением теплоты (ди- (диэлектрические потери). Количество выделившейся теплоты зави- зависит от угла #, на который колебания молекул отстают по фазе от колебаний напряженности поля, то есть это фазовый сдвиг между вектором напряженности электрического поля и плечом диполя полярных молекул в среде (угол S называется углом диэлектрических потерь). Количество теплоты, выделяющееся за 1 с в 1 м3 вещества, определяется соотношением q = e0eu>E2tg5. B2.8) Тепловая мощность q, выделяемая в единице объ- объема диэлектрика в электрическом поле УВЧ, пря- прямо пропорциональна относительной диэлектриче- диэлектрической проницаемости е, круговой частоте о;, квад- квадрату напряженности электрического поля Е и тан- тангенсу угла диэлектрических потерь tg д. При УВЧ терапии диэлектрические ткани организма нагре- нагреваются интенсивнее проводящих (на частоте около 40 МГц, ко- которая используется на практике). Тепловой эффект не всегда является главной целью УВЧ процедуры. Во многих случаях важным является действие на физиологическое состояние клетки, которое может изменяться под влиянием колебаний полярных молекул или отдельных ча- частей органических молекул в переменном УВЧ электрическом поле. § 22.7. Действие электромагнитных волн (СВЧ) Существуют физиотерапевтические методы, основанные на использовании электромагнитных волн СВЧ диапазона (радио- (радиоволны). Дециметровая терапия (ДЦВ-терапия) — лечебное исполь- использование электромагнитных волн дециметрового диапазона (ча- (частота — 460 МГц, длина волны — 65,2 см). Под действием таких
288 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма волн в тканях организма возникают ориентационные колебания дипольных молекул связанной воды. Микроволновая (сантиметровая) терапия — лечебное ис- использование электромагнитных волн сантиметрового диапазона (частота — 2375 МГц, длина волны — 12,6 см). В первичном действии дециметровых и сантиметровых волн принципиальных различий нет. Электромагнитные волны СВЧ диапазона вызывают тепло- тепловой эффект вследствие реализации следующих механизмов. 1. Поляризация молекул вещества и ориентационные колеба- колебания дипольных молекул, в первую очередь дипольных молекул связанной воды. Частоты воздействующего электромагнитного поля как раз и лежат в диапазоне 7-Дисперсии диэлектрической проницаемости биологических тканей (лекция 18). 2. Электромагнитная волна воздействует на ионы биологиче- биологических тканей и вызывает переменный ток проводимости. Тепловой эффект определяется соотношением q = keu2l2, B2.9) где / — интенсивность волны, а к — некоторый коэффициент, зависящий от свойств ткани. Тепловая мощность q, выделяемая в единице объема ткани при микроволновой терапии, прямо пропорциональна относительной диэлектрической проницаемости ткани е, квадрату частоты v и квадрату интенсивности электромагнитной волны /. Максимальное поглощение энергии СВЧ-волн, а следователь- следовательно и большее выделение тепла, происходит в органах и тканях, богатых водой (кровь, лимфа, мышечная ткань, паренхиматоз- паренхиматозные органы). В костной и жировой ткани воды меньше, они нагреваются меньше. Следует иметь в виду, что на границе раздела сред с разным содержанием воды (с разными коэффициентами поглощения) может возникнуть перегрев тканей. Сильнее перегреваются тка- ткани с недостаточным кровоснабжением и плохой терморегуляцией (хрусталик глаза, стекловидное тело). Процедуры СВЧ-терапии осуществляются по двум основным методикам.
\ 22.7. Действие электромагнитных волн (СВЧ) 289 Дистанционная методика — облучение электромагнитны- электромагнитными волнами осуществляется дистанционно, при этом расстояние между излучателем и биологическим объектом не превышает 5 см. В этом случае от поверхности будет отражаться энергия волны (в некоторых случаях до 70-80%). Контактная методика — излучатель волн размещается непосредственно на теле больного или вводится внутрь. При любом методе лечения необходимо строго дозировать воздействие по выходной мощности, генерируемой излучателем. Глубина проникновения электромагнитных волн в биологи- биологические ткани зависит от способности этих тканей поглощать энергию волны. Сантиметровые волны проникают в мышцы, кожу на глубину до 2 см, в жировую ткань, кости — около 10 см. Дециметровые волны проникают на глубину в 2 раза большую. Сравнение воздействий низкочастотного и высокочастотного полей (токов) представлены ниже в таблице. Низкочастотное поле (ток) v < 105 Гц Возбуждение нервной и мышечной ткани Длина волны многократно превосходит размеры тела, весь организм подвергается воздействию Отсутствует заметное нагревание тканей Возможно возникновение электротравмы Применение: электродиагностика, электростимуляция, электрофорез Высокочастотное поле (ток) v = 1-300 МГц Отсутствует возбуждение нервной и мышечной ткани Длина волны соизмерима или меньше размеров тела; воздействие как общее, так и локальное Нагревание тканей, тепловой эффект усиливается при возрастании частоты Невозможно возникновение электротравмы Применение: диатермия, индуктотермия, УВЧ терапия, микроволновая терапия 10 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Лекция 23 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕДИЦИНСКОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ 1. Основные группы медицинских электронных приборов и аппа- аппаратов. 2. Электропроводность тела человека. 3. Электробезопасность медицинской аппаратуры. 4. Надежность медицинской аппаратуры. 5. Структурная схема съема, передачи и регистрации медико- биологической информации. 6. Принцип действия электродов. 7. Датчики медико-биологической информации. 8. Элементы реабилитологии. Устройство электродов. Разделы электроники, в которых рассматриваются особенно- особенности применения электронных устройств в медико-биологических целях, получили название медицинской электроники. § 23.1. Основные группы медицинских электронных приборов и аппаратов Медицинскую электронную аппаратуру можно разделить на два класса: медицинские приборы и медицинские аппараты. Медицинский прибор — техническое устройство, предназна- предназначенное для диагностических или лечебных измерений (медицин- (медицинский термометр, электрокардиограф и др.). Медицинский аппарат — техническое устройство, позволяю- позволяющее создавать энергетическое воздействие (часто дозированное) терапевтического, хирургического или бактерицидного свойства (аппарат УВЧ терапии, аппарат искусственной почки и др.), а также обеспечить сохранение определенного состава некоторых субстанций. Выделены следующие основные группы приборов и аппара- аппаратов, используемые для медико-биологических целей. — Устройство для получения (съема), передачи и реги- регистрации медико-биологической информации. Большинство этих
§ 23.2. Электропроводность тела человека 291 устройств содержит в своей схеме усилитель электрических сигналов. — Устройство, обеспечивающее дозирующее воздействие на организм различными физическими факторами с целью лечения. С физической точки зрения эти устройства являются генерато- генераторами различных электрических сигналов. — Кибернетические электронные устройства. В ряде случаев электронное устройство может совмещать в себе различные группы приборов и аппаратов. § 23.2. Электропроводность тела человека В электрической сети действие на организм или органы ока- оказывает электрический ток, то есть заряд, протекающий через биологический объект в единицу времени. Сопротивление тела человека между двумя касаниями (электродами) складывается из сопротивления внутренних тканей и органов и сопротивления кожи. Электросопротивление можно смоделировать электрической цепью, представленной на рис. 23.1, состоящей из резисторов и конденсаторов, отображающих омические (R) и емкостные (С) свойства биологических тканей. Рис. 23.1. Эквивалентная электрическая схема тела между двумя ка- касаниями (электродами) Сопротивление RBH внутренних частей организма слабо за- зависит от общего состояния человека, в расчетах принимают RBH = 1 кОм (для пути «ладонь-ступня»). Сопротивление ко- кожи RK при прохождении тока от ее поверхности к внутренним тканям в десятки раз больше RBH. Поэтому для постоянного и низкочастотного тока E0-60 Гц) сопротивление кожи при то- точечном контакте является определяющим фактором, который определяет ток. (При высоких частотах более существенным фактором является внутреннее сопротивление тела). Электро- Электропроводность кожи зависит от ее толщины, состояния ее слоев ю*
292 Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники и содержания воды. Толщина эпидермиса большинства участ- участков тела составляет 0,07-0,12 мм, а на ладонных поверхностях кистей и подошвенных поверхностях стоп достигает 0,8-1,4 мм. Содержание воды в поверхностном слое составляет всего 10 % от массы клеток, тогда как в нижележащих слоях достигает 70 %. Площадь потовых и сальных желез, волосяных фолликулов на разных участках тела неодинакова и составляет 0,5% поверх- поверхности кожных покровов. С учетом этих особенностей удельная электропроводность отдельных участков кожи существенно раз- различается и составляет 10~3-2 • 10~2 Ом~ м. Следовательно, в большинстве ситуаций ток, протекающий через тело, в основ- основном зависит от состояния тела в точке контакта. Сухая кожа имеет высокое сопротивление, а влажная или мокрая кожа будет обладать низким сопротивлением, так как ионы, находящиеся во влаге, обеспечат прохождение тока в тело. При сухой коже сопротивление между крайними точками тела (ладонь-ступня) может быть равным 105 Ом, а при мокрой коже может составить 1 % этого значения. Полное сопротивление тела между потными руками принимают равным 1500 Ом. Максимальные токи, которые возникнут при контакте с бы- бытовой электросетью с напряжением 220 В, будут равны: / = 220 В/105 Ом = 2,2 мА (сухая кожа), / = 220 В/1500 Ом = 146 мА ( мокрая кожа). Ток 1 мА при прохождении через тело будет едва заметен, но ток 146 мА будет смертелен даже при кратковременном воздей- воздействии. Сопротивление кожи RK существенно зависит от внутренних и внешних причин (потливость, влажность, наличие раневого повреждения). Кроме того, на разных участках тела кожа имеет разную толщину и, следовательно, различное сопротивление. По- Поэтому, учитывая изменчивость сопротивления кожи, принимают RK = 0. Ток, протекающий через тело, рассчитывают по формуле / = U/RBH = /7/1000 Ом. При действии электрического тока на человека может иметь место электротравма. Наиболее чувствительными к электриче- электрическому току частями организма являются мозг, грудные мышцы и нервные центры, которые контролируют дыхание и сердце. По- Поэтому последствия электротравмы зависят от того, какая часть
§ 23.3. Электробезопасность медицинской аппаратуры 293 тела оказалась включенной в электрическую цепь. Очень опасно, если электрический ток идет через сердце. Опасно и действие то- тока на кожу лица, где слабо развит роговой слой, обеспечивающий высокое сопротивление кожных покровов. Низким сопротивле- сопротивлением обладают слизистые оболочки. Удельная электропроводность высокая @,6-2,0 Ом^см-1) Кровь, лимфа, желчь, спинномозговая жидкость, моча, мышечная ткань, ткань головного мозга Удельная электропроводность низкая (ПГ3-10-6 Ом^см-1) Ткань костная, жировая, нервная, грубоволокнистая соединительная, зубная эмаль Характер электротравмы зависит и от силы тока. Так, при включении в цепь обеих рук с органами грудной клетки, распо- расположенными между ними, происходит следующее: ток 10 мА вызывает сокращение мышц обеих рук; ток 20 мА вызывает расстройства дыхания, связанные с те- таническим сокращением дыхательных мышц; ток 80 мА вызывает нарушение сердечной деятельности; ток 100-400 мА вызывает необратимые расстройства в функ- функционировании возбудимых тканей сердца (одна из причин гибели при электротравме). § 23.3. Электробезопасность медицинской аппаратуры Главное требование при обеспечении безопасности аппарату- аппаратуры — сделать невозможным случайное касание ее частей, нахо- находящихся под напряжением. Для этого прежде всего изолируют друг от друга и от корпуса части приборов и аппаратов, находящихся под напряжением. Однако это еще не обеспечивает полной безопасности по двум причинам. а) Сопротивление приборов и аппаратов переменному току не бесконечно. Не бесконечно и сопротивление между проводами электросети и землей. Поэтому при касании человеком корпуса аппаратуры через тело человека пройдет некоторый ток, назы- называемый током утечки.
294 Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники При конструировании аппаратуры учитывают допустимую силу тока утечки, которая различна в разных типах электро- электромедицинских приборов и аппаратов. Допустимая сила тока утечки — безопасная для человека сила тока, который может проходить че- через его тело в результате касания корпуса и других частей аппарата. В зависимости от типов электромедицинских изделий эта вели- величина изменяется в пределах 0,05-0,25 мА. б) Из-за порчи рабочей изоляции возникнет электрическое замыкание внутренних частей аппаратуры с корпусом («пробой на корпус»). При этом доступная для касания часть аппарату- аппаратуры — корпус окажется под напряжением. В обоих случаях должны быть приняты меры, которые ис- исключали бы поражение током лиц при касании корпуса аппара- аппаратуры. Одним из основных способов защиты от поражения элек- электрическим током при работе с аппаратурой является заземле- заземление. Термин «заземление» означает электрическое соединение элементов электрической аппаратуры с землей или техническое устройство, обеспечивающее такое соединение. Однако не всякая электромедицинская аппаратура надежно защищена заземлением. Существуют дополнительные способы защиты, которые не рассматриваются в данном курсе. § 23.4. Надежность медицинской аппаратуры Для медицинской аппаратуры проблема надежности особен- особенно актуальна, так как выход приборов и аппаратов из строя может привести не только к экономическим потерям, но и к ги- гибели пациентов. Надеэюность — способность изделия не отказы- отказывать в работе в заданных условиях эксплуатации и сохранять свою работоспособность в течение за- заданного интервала времени. Способность аппаратуры к безотказной работе зависит от многих причин, учесть которые практически невозможно, поэтому ко- количественная характеристика надежности имеет вероятностный характер.
§ 23.4. Надежность медицинской аппаратуры 295 Вероятность безотказной работы оценивается экспериментально отношением числа N исправ- исправных на данный момент t изделий к общему чис- числу No изделий, взятых для испытаний: P(t) = N(t)/N0. B3.1) Эта характеристика оценивает возможность сохранения издели- изделием работоспособности в заданном интервале времени. Количественным показателем надежности является также Интенсивность отказов — отношение числа от- отказов в единицу времени dN/dt к общему числу N работающих изделий: Знак « —» взят потому, что dN < О, так как число работающих изделий убывает со временем. Наиболее характерный вид функ- функции X(t) представлен на рис. 23.2. 1 \ 2 t Рис. 23.2. График зависимости интенсивности отказов от времени На графике выделены три области: 1 — период приработки, интенсивность отказов высока; 2 — период нормальной эксплуа- эксплуатации, интенсивность отказов сохраняет постоянное значение; 3 — период старения, интенсивность отказов возрастает. Между вероятностью безотказной работы Р и интенсивно- интенсивностью отказов Л существует связь. Установим ее для 2-го периода, Л = const. Запишем дифференциальное уравнение, вытекающее из формулы B3.2): dN/N = -\dt. B3.3) Интегрируя и подставляя нижние пределы (начальное число Nq испытывавшихся изделий в момент t = 0) и верхние пределы
296 Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники (число Nq безотказно работающих изделий в момент времени получаем N t — = -A j dt => In — = -Xt No 0 N — = exp(-At). B3.4) Так как N/Nq = P, то имеем: P(t) =exp(-At). B3.5) Таким образом, при постоянной интенсивности отказа ве- вероятность безотказной работы убывает с течением времени по экспоненциальному закону. В зависимости от возможных последствий отказа в процессе эксплуатации медицинские изделия подразделяются на 4 класса. А — изделия, отказ которых представляет непосредственную опасность для жизни пациента или персонала. Вероятность без- безотказной работы при этом должна быть не менее 0,99. Б — изделия, отказ которых вызывает искажение инфор- информации о состоянии организма. Вероятность безотказной работы должна быть не менее 0,8. В — изделия, отказ которых снижает эффективность лечебно-диагностического процесса. Г — изделия, не содержащие частей, отказ которых возможен. § 23.5. Структурная схема съема, передачи и регистрации медико-биологической информации Для того чтобы получить и зафиксировать информацию о медико-биологической системе, необходимо иметь целую со- совокупность устройств. Структурная схема измерительной цепи представлена на рис. 23.3. X Устройство съема (электрод или датчик) Усили- Усилитель Пере- Передатчик Г 1 Прием- Приемник Канал связи Измерительный (регистрирующий) прибор Рис. 23.3. Структурная схема измерительной цепи для получения ин- информации
§ 23.6. Принцип действия электродов 297 Здесь X — измеряемый параметр биологической системы, Y — величина, регистрируемая на выходе измерительным прибо- прибором (для вычисления по измеренному значению Y параметра X должна быть известна зависимость Y = f(X)). § 23.6. Принцип действия электродов В некоторых случаях первичным элементом структурной схе- схемы съема медико-биологической информации являются электро- электроды. Электроды — это проводники специальной фор- формы, соединяющие измерительную цепь с биологи- биологической системой. При диагностике электроды используются не только для снятия электрического сигнала, но и для подведения внешнего электро- электромагнитного воздействия. К электродам предъявляются опреде- определенные требования: они должны быстро фиксироваться и сни- сниматься, иметь высокую стабильность электрических параметров, быть прочными, не раздражать биологическую ткань и т. п. Важная физическая проблема, относящаяся к электродам для снятия биоэлектрического сигнала, заключается в минима- лизации потерь полезной информации, особенно на переходном сопротивлении «электрод-кожа». Эквивалентная электрическая схема контура, включающего в себя биологическую систему и электроды, изображена на рис. 23.4. 8бп — ЭДС источника биопотенциалов; г — сопротивление внутренних органов; R — сопротивление кожи и электродов; RBX — входное сопротивление усилителя. Рис. 23.4. Эквивалентная схема снятия биопотенциалов Из закона Ома (без учета разветвления цепи) следует, что »бп = /г + /Д + /Двх. B3.6) Падение напряжения на входе усилителя полезное, так как усилитель увеличивает именно эту часть ЭДС источника. Паде- Падение напряжения /г и IR внутри биологической системы и на
298 Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники контакте кожи с электродом бесполезное. Поскольку <?бп зада- задана, а повлиять на уменьшение /г невозможно, то увеличивать /7?вх можно лишь уменьшением R и прежде всего уменьшением сопротивления контакта «электрод-кожа». Это можно сделать разными способами: • используя салфетки, смоченные физраствором; • увеличивая площадь электрода (истинная картина в этом случае может искажаться, так как электрод будет захватывать сразу несколько эквипотенциальных поверхностей). При работе с электродами возникают две проблемы. Пер- Первая — возникновение гальванической ЭДС в месте контакта элек- электрода с биологической системой. Вторая — электролитическая поляризация электродов, что приводит к выделению на элек- электродах продуктов реакции при прохождении тока. В результате возникает встречная (по отношению к основной) ЭДС. В обоих случаях возникновение ЭДС искажает снимаемый электродами полезный биоэлектрический сигнал. Существуют способы, позволяющие снизить или устранить эти отрицатель- отрицательные явления, которые здесь не рассматриваются. § 23.7. Датчики медико-биологической информации Многие медико-биологические характеристики являются неэлектрическими (давление крови, температура, пульс). В этом случае применяются методы измерения неэлектрических величин и используются датчики. В медицинской электронике рассматриваются только такие датчики, которые преобразуют измеряемую неэлектрическую величину в электрический сигнал, так как электрические сигналы с помощью электронных устройств можно сравнительно легко усиливать, передавать и регистрировать. Датчик — устройство, преобразующее измеря- измеряемую или контролируемую величину в сигнал, удобный для передачи и регистрации. Преобразуемая величина X называется входной, а измеряемый сигнал а — выходной величиной.
§ 23.8. Элементы реабилитологии 299 Характеристика датчика — функциональная зависимость выходной величины а от входной X (описывается аналитически или графически). Обычно стремятся иметь датчик с линейной характеристикой а = kX, где к — постоянный коэффициент. Чувствительность датчика S — отношение изменения вы- выходной величины к соответствующему изменению входной вели- величины: S = Аа/АХ. B3.7) Предел датчика — максимальное значение входной величины, которое может быть воспринято датчиком без искажения и без повреждения датчика. Порог датчика — минимальное изменение входной величины, которое можно обнаружить датчиком. Датчики делятся на два класса: генераторные и параметри- параметрические. Генераторные датчики — такие, которые под воздействием входного сигнала генерируют напряжение или ток (индукцион- (индукционные, пьезоэлектрические, фотоэлектрические и т.п.). Параметрические датчики — такие, в которых под воздей- воздействием входного сигнала изменяется какой-либо параметр (тен- зометрические, емкостные, индуктивные, реостатные и т.п.). В зависимости от энергии, являющейся носителем инфор- информации, различают механические, акустические, температурные, оптические и другие датчики. § 23.8. Элементы реабилитологии В медицинской реабилитологии большое применение имеют различные методы физиотерапии, в том числе и электромагнито- терапии. Рассмотрим устройство некоторых электродов, исполь- используемых при этом. Плоские электроды. Такие электроды используются при галь- гальванизации, электрофорезе. К телу больного подводят постоян- постоянный ток с помощью двух электродов, каждый из которых состоит из свинцовой пластинки (или токопроводящей углеграфитовой ткани) и гидрофильной прокладки. Гидрофильные прокладки толщиной 1-1,5 см смачивают во- водой и размещают на соответствующем участке поверхности тела.
300 Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники При помощи прокладок, как уже указывалось выше, создают хороший контакт электрода с телом больного, и его кожа (или слизистые) предохраняются от воздействия продуктов электро- электролиза (кислоты и щелочи). Форма гидрофильной прокладки дол- должна соответствовать форме металлической пластины электрода. Для предотвращения контакта металлической части электрода с кожей больного, гидрофильная прокладка должна выступать со всех сторон за края пластины на 1-2 см. Используют электро- электроды различной формы, площадью от 8-15 см2 до 50 см2. Наряду с электродами прямоугольной формы для местной процедуры применяют электроды в виде полумаски (для лица), воротника (для верхней части спины и надплечий), в виде круга (для век) или специальные полостные электроды. На рис. 23.5 показаны разные способы наложения электродов. Рис. 23.5. Расположение электродов при гальванизации в области ли- лица (а) и век глаз (б) При продольном расположении электродов (на одной стороне тела) воздействию подвергаются поверхностно расположенные ткани. При поперечном расположении электродов (на проти- противоположных участках тела) воздействию подвергаются глубоко расположенные органы и ткани. Вакуумные электроды. Такие электроды используются в дар- дарсонвализации. Стандартные аппараты для этого метода име- имеют наборы вакуумных электродов для разного применения, рис. 23.6а. Воздух внутри стеклянных электродов баллонов име- имеет низкое давление F,7-13,5 Па). Систему электрод-человек в этом случае можно представить как некоторый конденсатор: одной обкладкой служит помещенный в разряженное простран- пространство стеклянного баллона металлический проводник, соединен-
5 23.8. Элементы реабилитологии 301 ный с прибором; второй обкладкой служит участок тела боль- больного, который подвергается лечению. При контактной мето- методике (непрерывный контакт электрода с кожей) действующим фактором является среднечастотный электрический ток. При дистанционной методике (электрод удален от кожи) действую- действующим фактором является искровой разряд. При обеих методиках вакуумные электроды перемещаются относительно кожи. Для улучшения контакта электрода с кожей перед процедурой его тщательно протирают, кожу присыпают тальком. При лечении волосистой части головы (рис. 23.6/9) обязательно из волос уда- удаляют металлические заколки. Рис. 23.6. Стеклянные вакуумные электроды (а), использование элек- электродов при лечении волосистой части головы {б)
Лекция 24 УСИЛИТЕЛИ. ГЕНЕРАТОРЫ 1. Усилители. 2. Характеристики усилителя. 3. Особенности усиления биоэлектрических сигналов. 4. Генераторы, их классификация и использование в медицине. § 24.1. Усилители В схемы медицинских электронных приборов и аппаратов входят усилители. Их применяют для усиления слабых биопо- биопотенциалов в системах, регистрирующих медико-биологическую информацию. Усилитель электрических сигналов (электрон- (электронный усилитель) — устройство, увеличивающее эти сигналы без изменения их формы. Усилители могут создаваться на основе различных элементов (транзисторы, триоды и др.), однако в общих чертах их можно представить одинаково. Они имеют вход, на который подается усиливаемый электрический сигнал, и выход, с которого снима- снимается усиленный сигнал. Усиление происходит за счет источника электрической энергии (рис. 24.1). Входной сигнал Усилитель Выходной сигнал Источник электрической энергии Рис. 24.1. Схема усиления сигнала В зависимости от целей различаются усилители по напряже- напряжению, силе тока, мощности.
§ 24.2. Характеристики усилителя 303 § 24.2. Характеристики усилителя Все характеристики и параметры ниже будем рассматривать для усилителя по напряжению. Будем рассматривать усиление синусоидального сигнала. а) Входное сопротивление. Важным параметром усилителя является его входное сопротивление 7?вх — сопротивление между его входными клеммами, которое можно найти по формуле Явх = /7ВХ//ВХ. B4.1) б) Коэффициент усиления. Степень усиления усилителем по- подаваемого на его вход сигнала количественно оценивается коэф- коэффициентом усиления. Коэффициент усиления усилителя равен отноше- отношению сигнала на выходе усилителя к значению сиг- сигнала на входе: К = UBbKX/Um. B4.2) Если К имеет значения, не достаточные для получения на выходе сигнала нужного напряжения, то соединяют несколько усилителей. Каждый отдельный усилитель называется при этом усилительным каскадом. Коэффициент усиления усилителя из нескольких каскадов равен произведению коэффициентов уси- усиления усилителей всех используемых каскадов: Ко6щ = КгК2К3... B4.3) в) Амплитудная характеристика усилителя. Она выражает степень его усиления, от этой характеристики зависит также, насколько сильно искажается форма выходного сигнала. Амплитудная характеристика усилителя — это зависимость максимального значения выходного сигнала от максимального значения входного. Для рассматриваемого усилителя по напряжению амплитуд- амплитудная характеристика представляется зависимостью ?/тах вых = = /(t/maxBx). Для неизменности формы сигнала коэффициент усиления должен быть одинаков в пределах изменения входного сигнала.
304 Лекция 24. Усилители. Генераторы Для этого необходимо использовать усилитель с линейной ам- амплитудной зависимостью: ?/тахвых = Кишз>^ вх. В действитель- действительности у реального усилителя линейная зависимость выполняется в ограниченной области изменения входного сигнала (линейный участок на рис. 24.2). При выходе за пределы этой области линей- линейность зависимости нарушается (штриховая линия на рис. 24.2). Если входной гармонический сигнал выйдет за пределы ли- линейной части амплитудной характеристики, то выходной сигнал уже не будет гармоническим. Возникнут нелинейные (ампли- (амплитудные) искажения. __Линейная область Рис. 24.2. Амплитудная характеристика усилителя При линейной амплитудной характеристике выходной сигнал такой же по форме, как и входной. При нелинейной характе- характеристике выходной сигнал не адекватен входному. Нелинейные искажения можно рассматривать как появление новых гармо- гармоник в сигнале при его усилении. Нелинейные искажения в этом случае оцениваются коэффициентом нелинейных искажений: 7 = л/([/^ах 2 + f/^ax з + • • О/^тах 1' B4'4) где ?/тах 1 — амплитуда напряжения основной гармоники, ?/тах 2, tAnax з? • • • — амплитуды новых гармоник. Чем меньше коэффи- коэффициент 7, тем ближе по форме выходной сигнал ко входному. г) Частотная характеристика. В том случае, когда уси- усиливаемый сигнал несинусоидальный, его можно разложить на отдельные гармоники, характеризующиеся соответствующей ча- частотой. Коэффициент усиления для каждой гармоники может оказаться разным. Поэтому необходимо учитывать частотную характеристику усилителя. Частотная характеристика усилителя — это за- зависимость коэффициента усиления от частоты сиг- сигнала: К = f(v).
§ 24.3. Особенности усиления биоэлектрических сигналов 305 Для того чтобы несинусоидальный сигнал был усилен без ис- искажения, нужно, чтобы коэффициент усиления не зависел от частоты, то есть К {и) = const. В общем случае это условие не выполняется, что приводит к искажениям формы сигнала, которые называются частотными. Частотная характеристика усилителя представлена на рис. 24.3. В интервале ^2~^з коэффициент усиления примерно постоя- постоянен и форма сигнала при усилении не искажается. К, ¦"max Рис. 24.3. Частотная характеристика усилителя В радиотехнике принято считать, что и в области, где К ^ ^ 0,7/Cmax @,7/^max ~ ^тах/л/2), искажения не существенны. Поэтому диапазон частот v\-v/± называют полосой пропускания усилителя. Полосой пропускания усилителя называется ин- интервал частот, в котором коэффициент усиления постоянен. Полоса пропускания усилителя определяется задачами усиления. Поэтому, например, не всегда усилитель, предназначенный для записи одних биопотенциалов, может быть использован для за- записи других. § 24.3. Особенности усиления биоэлектрических сигналов Биоэлектрические сигналы обычно весьма малы, поэтому для их регистрации необходимо использовать усилитель. Рассмотрим усиление сигнала, который снимается электродами с биологиче- биологического объекта. Специфика усилителей биопотенциалов определяется особен- особенностями биопотенциалов: • выходное сопротивление биологической системы совмест- совместно с сопротивлением электродов, как правило, высокое; • биопотенциалы — медленно изменяющиеся сигналы;
306 Лекция 24. Усилители. Генераторы • биопотенциалы — слабые сигналы. При усилении необходимо согласовывать сопротивление вход- входной цепи /?вх усилителя и выходное сопротивление биологиче- биологической системы. Выходное сопротивление биологической системы Ri может быть равно сумме сопротивлений внутренних органов и кожи. При снятии биоэлектрического сигнала с помощью электро- электродов можно считать (см. лекцию 23), что ЭДС источника биопо- биопотенциала определяется как Йбп = I{R\ + Явх). Следовательно, сила тока равна / = ($6n/{Ri + RB*)- Тогда входное напряжение усилителя равно U = //?вх = RB*(%6n/{Ri + ^вхM или U = ?бп/A + #i/#bx). B4.5) Рассмотрим предельные случаи. 1. Входное сопротивление мало: 7?вх ~ 0. При этом ?/вх « 0, то есть на входе усилителя не будет сигнала. 2. Входное сопротивление велико: 7?вх —> ос. При этом ?/вх = = Вбш то есть входное напряжение максимально возможное. В этом случае во входной цепи нет тока, следовательно, энергия сигнала не достаточна для функционирования усилителя, от источника сигнала не будет передаваться мощность. В реальной ситуации на входе усилителя окажется часть напряжения, генерируемого биологической системой, зависящая от отношения R\/RB*. В электрофизиологии считают, что /?вх должно в 10-20 раз превышать наибольшее возможное значе- значение R[. Из радиотехники известно, что наибольшее усиление сигнала получается при равенстве выходного сопротивления предыдуще- предыдущего каскада входному сопротивлению последующего. Низкая частота биоэлектрических сигналов приводит к тому, что для их усиления используются специальные усилители по- постоянного тока. § 24.4. Генераторы, их классификация и использование в медицине Большая группа медицинских аппаратов в физиотерапии, стимуляции, диагностике является по существу генераторами разнообразных электромагнитных колебаний.
§ 24.4. Генераторы, их классификация и использование в медицине 307 Генераторы — устройства, которые преобразуют энергию источников постоянного напряжения в энергию электромагнитных колебаний различ- различной формы. Классификация генераторов: • по форме сигнала: генератор гармонических колебаний и генератор колебаний специальной формы (импульсные коле- колебания); • по частоте сигналов; • по мощности; • по принципу работы: генератор с самовозбуждением и ге- генератор с внешним возбуждением. Генераторы гармонических колебаний работают на транзи- транзисторах или трех электродных лампах. Общие принципы функ- функционирования их основаны на принципах работы автоколеба- автоколебательных систем. Типичная схема с автоколебаниями содержит: колебательный контур, цепь положительной обратной связи, ре- регулятор поступления энергии в колебательный контур, источник питания. В некоторых случаях используются генераторы импульсных (релаксационных) колебаний. Релаксационные колебания — электромагнитные колебания несинусоидальной формы. Рассмотрим принцип действия генератора релаксационных колебаний на примере генератора с использованием газоразряд- газоразрядной (неоновой) лампы. Возьмем газоразрядную лампу (Л), у которой напряжение «зажигания» U3 и напряжение «гашения» Ur меньше ЭДС ис- источника (?и: Ur < U3 < <JH. Рассмотрим схему, показанную на рис. 24.4. t Рис. 24.4. Схема генератора релаксационных колебаний (а) и график изменения напряжения в цепи (б)
308 Лекция 24. Усилители. Генераторы После замыкания ключа К начнется зарядка конденсатора с постоянной времени г = (R + г)С по закону: В тот момент, когда напряжение на нем достигнет [/3, в лампе начнется разряд (она загорается) и ее сопротивление упадет почти до 0. Пластины конденсатора окажутся замкнутыми этим малым сопротивлением, и конденсатор начнет разряжаться с ма- малой постоянной времени. Когда напряжение на нем снизится до ?/г, разряд погаснет, и лампа перейдет в непроводящее состоя- состояние, ее сопротивление значительно возрастет. После этого снова начнется зарядка и т. д. В системе возникнут релаксационные ко- колебания напряжения на конденсаторе без изменения полярности пластин. Период таких колебаний зависит от величин Я, г, С, ?/3, Ur. Скорость возрастания напряжения в такой схеме можно изменять, изменяя параметры R и С. Так, увеличение сопро- сопротивления R приведет к увеличению времени 7\, участок С А станет более пологим. Уменьшение напряжения на участке АВ происходит при разрядке лампы и зависит, следовательно, от ее характеристик. Подбирая параметры схемы, можно график изменения на- напряжения (рис. 24.4) приблизить к «идеальному» виду, когда участки СА и АВ практически прямые. Напряжение с импуль- импульсами такой формы называется пилообразным. Такое напряжение используется в развертке электронного осциллографа. Генераторы релаксационных колебаний используют для по- получения импульсных токов разной формы. Укажем некоторые примеры. Амплипулъстерапия — генератор соответствующего аппара- аппарата создает синусоидальные токи на частоте 5000 Гц, модули- модулированные по амплитуде низкой частотой в пределах 10-150 Гц (аппараты «Стимул»). Выбор основной частоты 5000 Гц связан с тем, что на этой частоте сопротивление кожи очень мало. Это обеспечивает хорошее проникновение тока в глубь тканей. Флюктуоризация — генератор соответствующего аппарата создает синусоидальный ток малой силы и небольшого напряже- напряжения, беспорядочно меняющегося по амплитуде и частоте в пре- пределах 100-2000 Гц. Использование таких токов уменьшает веро-
§ 24.4. Генераторы, их классификация и использование в медицине 309 ятность привыкания тканей к раздражителю (аппараты снятия боли — АСБ). Электросон — генератор соответствующего аппарата создает импульсный ток низкой частоты и малой силы с импульсами прямоугольной формы (аппараты «Электросон»). Диадинамотерапия — генератор соответствующего аппарата создает ток с импульсами полусинусоидальной формы (аппарат «Тонус»). Электростимуляция — генератор соответствующего прибора создает импульсные токи (в частности, импульсы экспоненци- экспоненциальной формы) для восстановления функции нервно-мышечного аппарата человека (аппараты АСМ).
Лекция 25 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА 1. Сложение волн от обычных источников света. 2. Сложение волн от когерентных источников. Интерференция све- света. 3. Условия интерференционного максимума и минимума. 4. Интерферометры, интерференционный микроскоп. 5. Интерференция в тонких пленках. Свет является электромагнитной волной. Сложение волн, распространяющихся в среде, определяется сложением соответ- соответствующих колебаний. Рассмотрим наиболее простой случай сло- сложения электромагнитных волн (колебаний): 1) частоты их одинаковы, 2) направления электрических векторов совпадают. В этом случае для каждой точки среды, в которой происходит сложение волн, амплитуда результирующей волны для напря- напряженности электрического поля равна Е2 = Ef + Ei + 2E1E2cosA(p, B5.1) где А(р — разность фаз слагаемых волн (колебаний). Результат сложения волн зависит от особенностей источников света и может быть различен. § 25.1. Сложение волн от обычных источников света Обычные источники (лампа, пламя, Солнце и т. п.) представ- представляют собой совокупность огромного числа излучающих атомов. Излучение света атомом происходит при его переходе с одного энергетического уровня на другой. Длительность излучения ка- каждого атома очень мала (~ 10~8 с), а момент излучения есть событие случайное. Излучение атомов в таких источниках не согласовано друг с другом. При этих условиях среднее значение cos A(p равно нулю и мы получаем следующее равенство: EcP = Efcp + Elp. B5.2)
§ 25.2. Сложение волн от когерентных источников 311 Так как интенсивность волны / пропорциональна квадрату ам- амплитуды, то / = /i + /2. B5.3) Для обычных источников света интенсивность суммарного излучения равна сумме интенсивностей слагаемых волн. § 25.2. Сложение волн от когерентных источников. Интерференция света Результат сложения будет иным, если разность фаз будет иметь некоторое постоянное значение, что реализуется при ис- использовании когерентных источников. Когерентные источники — такие источники, ко- которые обеспечивают постоянную во времени раз- разность фаз слагаемых волн в различных точках. Когерентные источники являются источниками когерентных волн. Когерентные волны — волны с постоянной во времени и пространстве разностью фаз. Они излучаются лазерами или получаются специальными способами. Часто практически используется метод, который за- заключается в том, что исходящий из источника пучок (он должен быть достаточно малым) делится на два, происходит «расщепле- «расщепление» волны. Рассмотрим реализацию этого метода, рис. 25.1. Рис. 25.1. Получение когерентных волн методом Юнга: а) непрозрач- непрозрачная преграда с двумя щелями, б) интерференция на щелях Метод Юнга (рис. 25.1). На пути волны, идущей от источни- источника S, установлена непрозрачная преграда с двумя щелями (а). Роль когерентных источников S\ и $2 играют две узкие щели,
312 Лекция 25. Интерференция света освещаемые источником. Так как волны, исходящие из Si и S2 получены разбиением одного и того же волнового фронта, то они являются когерентными. В области перекрытия этих световых пучков наблюдается интерференция (на рис. 25.16' эта область закрашена). Зеркало Ллойда (рис. 25.2). Точечный источник S находит- находится на близком расстоянии к поверхности плоского зеркала М, поэтому свет отражается зеркалом под некоторым углом. Коге- Когерентными источниками являются первичный источник S и его мнимое изображение Si в зеркале. В области перекрытия этих световых пучков наблюдается интерференция. Рис. 25.2. Получение когерентных волн с использованием зеркала Ллойда При сложении двух когерентных волн интенсивность резуль- результирующей волны принимает в различных точках пространства значения от минимального (когда cosAip = — 1) до некоторого максимального (когда cosA(/? = +1). При этом наблюдается явление интерференции. Интерференция света — такое сложение световых волн, в результате которого происходит простран- пространственное перераспределение энергии, приводящее к образованию устойчивой картины их усиления или ослабления. § 25.3. Условия интерференционного максимума и минимума Условия максимумов и минимумов интенсивностей удобнее выражать не через разность фаз, а через разность хода, так как пути, проходимые когерентными волнами при интерференции, обычно известны.
§ 25.3. Условия интерференционного максимума и минимума 313 Рассмотрим пример сложения 2-х плоских волн, распростра- распространяющихся в направлениях, указанных стрелками (рис. 25.3). Ко- Колебания вектора Е этих волн в некоторой точке В происходят по гармоническому закону: E2 = Emax2cos[u(t - x2/v2)]. B5.4) В точке В происходит сложение двух колеблющихся векторов Е\ и Е2 с одинаковой частотой со. Возникает колебание той же самой частоты. щ хг 1-я волна В 2-я волна Рис. 25.3. Интерференция двух плоских волн Амплитуда Ет этого колебания определяется по формуле: El = Е2ш1 + Е2ш2 + 2Ет1Ет2 cosAip. B5.5) Для большей общности предположим, что волны распространя- распространяются в разных средах с показателями преломления п\ и п2. Ско- Скорости распространения волн соответственно равны v\ = с/п\, v2 = с/п2, где с — скорость света в вакууме. Найдем выражение для разности фаз: = <р2 — <pi= uj{t — x2/v2) — - x2/v2) или после деления и умножения на скорость света в вакууме — с: — - х2— B5.6) Учитывая формулы: си = 2тг/Т (связь циклической частоты и периода колебаний света), Тс = Л, (связь длины волны в ваку- вакууме с периодом колебаний и скоростью света), c/v = п, получим: А(р = Л — х2п2) . B5.7)
314 Лекция 25. Интерференция света Произведение геометрического пути волны на показатель преломления среды (хп) называется оптической длиной пути. Разность оптических длин \х\П\ — x<in<i\ = S называется опти- оптической разностью хода. Окончательно получим связь между разностью фаз и опти- оптической разностью хода интерферирующих волн: А(р = (УBтг/Л), или 6 = Д<р(А/2тг). B5.8) 25.3.1. Условия интерференционного максимума. Максимум получается, когда cos Аср = 1, (Аср = 2ктг). В этом случае 5 = к\, (fc = 0, 1, 2, ...)• B5.9) Максимум интенсивности при интерференции наблюдается тогда, когда оптическая разность хо- хода равна целому числу длин волн (четному числу полуволн). 25.3.2. Условия интерференционного минимума. Минимум получается, когда cos Аср = — 1, (Aip = B& + 1)тг). В этом случае S = Bfc + l)A/2. B5.10) Минимум интенсивности при интерференции наблюдается тогда, когда оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн. 25.3.3. Перераспределение энергии при интерференции. Ин- Интенсивность волны пропорциональна амплитуде / « Е^. Учиты- Учитывая это, соотношение B5.5) можно записать в виде: / = /х + /2 + 2v/7i/2 cos Aip. B5.11) Для максимума (cos A(f = 1) имеем: Для минимума (cos A(p = —1) имеем: / I < (h + h). Действительно при интерференции происходит перераспределе- перераспределение энергии.
§ 25.4. Интерферометры, интерференционный микроскоп 315 § 25.4. Интерферометры, интерференционный микроскоп Для исследований применяются измерительные и контроль- контрольные приборы, основанные на интерференции света. 25.4.1. Интерферометр. Принцип действия интерферометра показан на рис. 25.4. д к, S — источник, узкая щель, освещенная монохроматическим светом L — линза, в фокусе которой источник К — одинаковые кюветы длиной / Д — диафрагма с двумя щелями Э — экран Рис. 25.4. Ход лучей в интерферометре На пути лучей устанавливаются кюветы Ki и К2, заполнен- заполненные веществами с показателями преломления, соответственно, П1 и П2, один из которых заранее известен. Оптическая разность хода этих лучей равна S = 1п\ — 1п2 = 1{п\ — П2). Если вследствие этой разности хода интерференционная картина сместится на N полос (по сравнению с картиной при одинаковых веществах), то S = NX. Тогда связь между показателями преломления имеет вид: т = П2 + NX/1. Назначение интерферометров: измерение с высокой степенью точности длин волн, показателей преломления (биологических объектов, газов), измерение эталонов длины. С помощью интер- интерферометров легко и быстро обнаруживается содержание состава газа, появление примесей. Это используется в санитарной прак- практике для контроля чистоты воздуха в помещениях, шахтах. По интерференционной картине, определяемой интерферометром, определяют величину отступлений от плоскости и форму мик- микронеровностей различных поверхностей. 25.4.2. Интерференционный микроскоп представляет собой сочетание оптического микроскопа и интерферометра (рис. 25.5). В связи с разницей показателей преломления объекта М и среды лучи приобретают разность хода. В результате между
316 Лекция 25. Интерференция света объектом и средой образуется световой контраст (при монохро- монохроматическом свете) или объект станет окрашенным (при белом свете). L Д Ш) ; d \ М — прозрачный объект v О Д — диафрагма ^^1 | О — окуляр микроскопа / для наблюдения интерферирующих лучей d — толщина объекта Рис. 25.5. Ход лучей в интерференционном микроскопе Этот прибор применяется для измерения концентрации сухо- сухого вещества, размеров прозрачных неокрашенных микрообъек- микрообъектов, которые не контрастны в проходящем свете. Разность хода определяется толщиной d объекта. Оптиче- Оптическую разность хода можно измерить с точностью до сотых долей длины волны, что дает возможность количественно исследовать структуру живой клетки. § 25.5. Интерференция в тонких пленках Рассмотрим прохождение света через тонкую пленку, рис. 25.6. Рис. 25.6. Прохождение лучей через тонкую пленку (отражение) Малая толщина пленки L необходима для уменьшения по- поглощения света. Свет (луч 1) падает от источника S из воздуха на пленку с показателем преломления п под углом падения г. Свет будет частично отражаться от поверхности пленки (луч 2). При отражении от более плотной среды фаза отраженной волны изменится на противоположную. Это равносильно изменению оптической длины пути луча 2 на величину Л/2. Вторая часть луча 1 преломится в пленке, отразится от ее нижней поверхности и выйдет из пленки (луч 3), параллельно лучу 2. Лучи 2 и 3
§ 25.5. Интерференция в тонких пленках 317 когерентны, так как они образованы от одного источника. При их сложении при помощи линзы (или глаза) будет происходить интерференция в отраженном свете. Между лучами 2 и 3 воз- возникнет разность хода, определяемая соотношением (без вывода) S = При освещении пленки монохроматическим светом в отражен- отраженных лучах будет происходить интерференция. Условия для мак- максимумов интерференции: 2L\/n2-sin2z = Bk + 1)(Л/2), B5.12) условия для минимумов: 2bVn2-sm2i = k\, k = О, 1, 2, . . . B5.13) В проходящих лучах максимум интерференции в отраженном свете соответствует минимуму в проходящем, и наоборот. Из выражений B5.12) и B5.13) следует, что интерференционная картина в тонких пленках определяется значениями Л, L, п, г. Для данных Л, L, п каждому углу падения г лучей соответствует своя интерференционная картина. Если на тонкую пленку (пластинку) под некоторым углом падает белый свет, то условия максимума и минимума выполня- выполняются для отдельных длин волн. Пленка при этом станет окра- окрашенной. Явление интерференция в тонких пленках используется в оптических устройствах, уменьшающих долю световой энергии, отраженной оптическими системами, и увеличивающих (вследствие закона сохранения энергии), следовательно, энергию поступающую к регистрирующим системам — фотопластинке, глазу. Это явление обусловливает разную окраску мыльных пузы- пузырей, бензиновых пленок на воде, цвет на закаленном металле, окрас крыльев птиц. 25.5.1. Применение интерференции в тонких пленках. Про- Просветление оптики. В современных оптических системах, исполь- использующих большое число отражающих поверхностей, прохождение света сопровождается значительными потерями (например, даже на границе стекло-воздух при нормальном падении отражается
318 Лекция 25. Интерференция света до 4 % падающего света). В результате интенсивность прошедше- прошедшего света ослабляется, потери светового потока могут составлять 50-80 %. Кроме того, отражение ухудшает формируемое оптиче- оптической системой изображение (например, создается фон, уменьша- уменьшающий контраст изображений). Поверхности объективов оптических приборов покрывают пленками. Толщину и вещество, из которого сделаны пленки, подбирают таким образом, чтобы получать максимум интерфе- интерференции в проходящем свете в соответствующей области света. Это позволяет снизить потери интенсивности света при его от- отражении. Бестеневые лампы — поверхности хирургических бестеневых ламп покрывают пленкой, дающей минимум отраженного света в инфракрасной области излучения. Этим самым понижают теп- тепловую отдачу ламп и, следовательно, нагревание операционного поля.
Лекция 26 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса—Френеля. 2. Дифракция на щели в параллельных лучах. 3. Дифракционная решетка. 4. Дифракционный спектр. 5. Характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора. 6. Рентгеноструктурный анализ. В природе существуют явления, при которых имеет место отклонение от законов распространения света, описываемых гео- геометрической оптикой: распространение света сквозь малые от- отверстия, вблизи границ непрозрачных тел и т. д. Под дифракцией света обычно понимают отклонения от законов распространения света, описываемых геометрической оптикой. Дифракция наибо- наиболее отчетливо проявляется в том случае, когда размеры препят- препятствия соизмеримы (одного порядка) с длиной волны падающего света. § 26.1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса—Френеля Дифракцией называется комплекс явлений, кото- которые обусловлены волновой природой света и на- наблюдаются при распространении света в среде с резкими оптическими неоднородностями. Дифракция, например, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и их проникновению в область геометрической тени, т. е. наблюдается отклонение от законов геометрической оптики. Качественное объяснение явления дифракции дает принцип Гюйгенса, который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + At, если известно его положение в момент времени t.
320 Лекция 26. Дифракция света а) По принципу Гюйгенса, каждая точка волнового фронта является центром вторичных волн. Огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени. Поясним применение принципа Гюйгенса на следующем при- примере. Пусть на плоскую преграду с отверстием падает плоская волна, фронт которой параллелен преграде (рис. 26.1). -| ФрОНТ ВОЛНЫ т в момент t - At ^ Г^ХХХ,Х Ч^ Фронт волны /! I Г Г Г 1 1 !^ в момент t \ Фронт волны \ в момент t + At Рис. 26.1. Пояснение принципа Гюйгенса Согласно Гюйгенсу, каждая точка волнового фронта, выде- выделяемого отверстием, служит центром вторичных сферических волн. Из рис. 26.1 видно, что огибающая этих волн проника- проникает в область геометрической тени, границы которой помечены штриховой линией. Принцип Гюйгенса ничего не говорит об интенсивности вто- вторичных волн. Этот недостаток был устранен Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн и их амплитудах. Дополненный таким образом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса-Фре- Гюйгенса-Френеля. б) По принципу Гюйгенса-Френеля каждый малый элемент волновой поверхности S служит источником вторичной световой волны, амплитуда которой пропорциональна площади элемен- элемента dS. Волны излучаемые различными элементами волновой поверхности когерентны. Интенсивность световых колебаний в произвольной точке О есть результат интерференции в этой точке вторичных волн, ис- испускаемых всеми элементами волновой поверхности (рис. 26.2). Амплитуда каждой приходящей в точку О волны зависит от расстояния г и угла а между нормалью п и направлением излу- излучения.
5 26.2. Дифракция на щели в параллельных лучах 321 Рис. 26.2. Испускание вторичных волн элементами волновой поверхности § 26.2. Дифракция на щели в параллельных лучах Вычисления, связанные с применением принципа Гюйген- Гюйгенса-Френеля, в общем случае представляют собой очень трудную в математическом плане задачу. Однако в ряде случаев, обла- обладающих высокой степенью симметрии, нахождение амплитуды результирующих колебаний может быть выполнено алгебраиче- алгебраическим или геометрическим суммированием. Продемонстрируем это путем расчета дифракции света на щели. На узкую щель (АВ) шириной а в непрозрачной преграде, падает плоская монохроматическая световая волна длиной Л. Направление распространения волны перпендикулярно поверх- поверхности щели (рис. 26.3а). Поместим за щелью собирающую лин- линзу L, а в ее фокальной плоскости расположим экран Э. В этом случае вторичные волны, испущенные под одним и тем же углом к оптической оси линзы, соберутся в одной точке экрана (О'). I i О' О sin a Рис. 26.3. Дифракция на одной щели: а) ход лучей, б) распределение интенсивности света 11 Федорова В. Н., Степанова Л.А.
322 Лекция 26. Дифракция света Можно показать, что разность хода (А) лучей, идущих от краев щели, вычисляется по формуле А = asm а. B6.1) Рассмотрим только те направления распространения вторич- вторичных волн, для которых выполняется условие Д = п(А/2), где п — целое число. При п = О получим А = 0 и а = 0. Это соответствует вторичным волнам, испущенным параллельно оси линзы. Они приходят в центр экрана (О) в одинаковой фазе (А = 0), поэтому в центре экрана получается максимум интенсивности для волн любой длины. При п = 2к щель можно разбить на 2fc равных полос (зон Френеля). При этом разность хода соответствующих лучей, иду- идущих от соседних щелей, равна А/2. Такие лучи приходят в точ- точку О1 в противофазе и гасят друг друга. Минимум интенсивности при дифракции на щели будет наблюдаться для направлений лучей вторич- вторичных волн, удовлетворяющих условию a sin а = ±2к\/2 = ±к\, к = 1, 2, 3, ... B6.2) Между соседними минимумами располагаются максимумы ин- интенсивности. При п = 2к + 1 щель можно разбить на 2к + 1 равных полос. При этом разность хода соответствующих лучей, идущих от соседних зон Френеля, также равна Л/2. В результате ин- интерференции излучение 2к зон будет полностью погашено, но излучение одной зоны останется. В данной точке экрана будет наблюдаться локальный максимум интенсивности. Максимум интенсивности при дифракции на ще- щели будет наблюдаться для направлений лучей вто- вторичных волн, соответствующих условию as'ma = ±Bk + 1)А/2, к = 1, 2, 3, ... B6.3) На рис. 26.36 показан график распределения интенсивности в за- зависимости от направления отклоненного луча (sinа). Основная
§ 26.3. Дифракционная решетка. Дифракционный спектр 323 часть световой энергии сосредоточена в центральном максиму- максимуме. С увеличением угла дифракции интенсивность побочных максимумов резко уменьшается (относительная интенсивность максимумов: /0 : h : h = 1 : 0,047 : 0,017). Если щель освещена белым светом, то на экране центральный максимум будет белым (он общий для всех длин волн); побочные максимумы будут содержать системы цветных полос. § 26.3. Дифракционная решетка. Дифракционный спектр Интенсивности максимумов, возникающих при дифракции на щели столь незначительны, что не могут быть использованы для решения практических задач. В качестве спектрального прибора используется оптическое устройство — дифракционная решетка, которая представляет собой систему параллельных равноотсто- равноотстоящих щелей. Дифракционную решетку можно получить нанесе- нанесением непрозрачных царапин (через которые свет не проходит) на стеклянную пластину рис. 26.4. Непроцарапанные места (щели) будут пропускать свет. а Ь a MVVVVVVV1 Рис. 26.4. Сечение дифракционной решетки (а) и ее схематическое изображение {б) Сумму ширины щели а и промежутка между щелями b назы- называют постоянной [периодом) дифракционной решетки: d = a + b. Дифракционная картина на решетке определяется как ре- результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей. Ход лучей в дифракционной решетке представлен на рис. 26.5. На решетку нормально падает плоская монохроматическая световая волна. Выберем направление вторичных волн под уг- углом а относительно нормали к решетке. Лучи, идущие в этом направлении от крайних точек двух соседних щелей, имеют раз- разность хода, которая равна d sin а. Такая же разность хода будет 11*
324 Лекция 26. Дифракция света для всех вторичных волн, идущих от соответственно располо- расположенных пар точек соседних щелей. Экран располагают в фокаль- фокальной плоскости линзы. Поэтому все параллельные лучи соберутся в одной точке (О7), и между ними возникнет интерференция. II!! \ \ \ \ *¦ Линза Оптическая ось " линзы О' О Рис. 26.5. Дифракция света на дифракционной решетке 1. При интерференции возникнут главные максимумы, когда разность хода между лучами от соседних щелей кратна целому числу длин волн (основная формула дифракционной решетки): d sin a = B6.4) где к = О, 1, 2 — порядок главных максимумов. 2. В том направлении, где одна щель дает минимум, каждая щель даст минимум, поэтому минимум для одной щели сохра- сохранится и для всей решетки: a sin a = B6.5) 3. Если для некоторого направления будут одновременно вы- выполняться условия минимума для одной щели (a sin a = к±Х) и максимума для всей решетки (ds'ma = &2A), то соответствую- соответствующие главные максимумы не появятся. 4. Для характеристики решетки часто используется пара- параметр N — число щелей дифракционной решетки. Между любыми двумя соседними главными максимумами имеется (N — 1) доба- добавочных минимумов. При большом числе щелей все пространство между главными максимумами выглядит темным. Чем больше число щелей в дифракционной решетке, тем большее количество световой энергии проходит через решетку, тем более интенсивными и более острыми будут максимумы.
§ 26.4. Дифракционный спектр 325 На рис. 26.6 представлены графики распределения интенсивно- стей, полученные от решеток с разным числом N щелей. /V А N=5 /\/\/\/\/\/\/\/\1 1/\/\/\/\/\/\/\/\1 1/\/\/\/\/\/\/\/\ л JV=10 ПллллллллЛ „ N=15 1ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛАЛЛ1 1ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ111ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ1 1ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ/ q sin a Рис. 26.6. Распределение интенсивностей при разных значениях N § 26.4. Дифракционный спектр Из основной формулы дифракционной решетки B6.4) вид- видно, что угол дифракции а, под которым образуются главные максимумы, зависит от длины волны падающего света. Поэтому максимумы интенсивности, соответствующие различным длинам волн, получаются в различных местах экрана. Это и позволяет использовать решетку как спектральный прибор. Дифракционный спектр — это спектр, получен- полученный с помощью дифракционной решетки, При падении на дифракционную решетку белого света все мак- максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр. При этом положение максимума порядка к определяется условием sin a = ±k\/d. Чем больше длина волны (Л), тем дальше от центра отстоит к-й максимум. Поэтому фиолетовая область главного максимума
326 Лекция 26. Дифракция света каждого порядка будет обращена к центру дифракционной кар- картины, красная — наружу. Заметим, что при разложении белого света призмой, сильнее отклоняются фиолетовые лучи. § 26.5. Характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора Основное соотношение для дифракционной решетки B6.4), позволяет определить длину волны света измеряя угол а, соответствующий положению k-го максимума. Таким образом дифракционная решетка позволяет получать и анализировать спектры сложного света. 26.5.1. Спектральные характеристики решетки. • Угловая дисперсия — величина, определяющая угловую ширину спектра и численно равная угловому расстоянию da между двумя линиями спектра, длины волн которых различа- различаются на единицу (d\ = 1): D = da/d\, D = k/(dcosa). B6.6) Угловая дисперсия тем выше, чем больше порядок к спектра и чем меньше период решетки (d). Для анализа выгоднее исполь- использовать спектры больших порядков, период решетки уменьшать. • Разрешающая способность — величина, равная отноше- отношению длины волны к наименьшему интервалу длин волн, которые еще могут быть разрешены: R = Л/АЛ, R = kN. B6.7) Из формулы видно, что разрешающая способность дифрак- дифракционной решетки тем больше, чем больше порядок к спектра и число N щелей. Но практически это не используется, так как спектры больших порядков могут перекрываться, кроме того, их интенсивность мала. Необходимо отметить, что явление дифракции может играть отрицательную роль: ограничивает использование оптических приборов в создании четкого изображения объектов наблюдения.
§ 26.6. Рентгеноструктурный анализ 327 § 26.6. Рентгеноструктурный анализ Основная формула дифракционной решетки может быть ис- использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи — нахождения постоянной дифракци- дифракционной решетки по известной длине волны. В качестве дифракционной решетки можно взять структур- структурную решетку кристалла. Если на простую кристаллическую решетку направить поток рентгеновских лучей под углом в (рис. 26.7), то они будут дифрагировать, так как расстояние меж- между рассеивающими центрами (атомами) в кристалле соответству- соответствует длине волны рентгеновского излучения. Если на некотором расстоянии от кристалла поместить фотопластинку, то она за- зарегистрирует интерференцию отраженных лучей. Разность хода между отраженными лучами равна 2dsm6. Максимумы будут наблюдаться при условии 2dsin(9 = /cA, к = 1, 2, 3, ... B6.8) где d — межплоскостное расстояние в кристалле, в — угол между плоскостью кристалла и падающим рентгеновским лучом (угол скольжения), Л — длина волны рентгеновского излучения. Соот- Соотношение B6.8) называется условием Брэгга-Вульфа. d\ Ш Ш Ш Ш Ш Рис. 26.7. Дифракция рентгеновских лучей на простой кристалличе- кристаллической решетке, точками указано расположение атомов Если известна длина волны рентгеновского излучения и из- измерен угол #, отвечающий условию B6.8), то можно определить межплоскостное (межатомное) расстояние d. На этом основан рентгеноструктурный анализ. Рентгеноструктурный анализ — метод определе- определения структуры вещества по исследованию законо-
328 Лекция 26. Дифракция света мерностей дифракции рентгеновского излучения на изучаемых образцах. Рентгеновские дифракционные картины очень сложны, так как кристалл представляет собой трехмерный объект, и рент- рентгеновские лучи могут дифрагировать на различных плоскостях под разными углами. Если вещество представляет собой моно- монокристалл, то дифракционная картина представляет собой че- чередование темных (засвеченных) и светлых (не засвеченных) пятен, рис. 26.8а. \ • • •¦¦; --.'•¦¦ Рис. 26.8. Рентгенограмма для монокристалла (а), рентгенограмма для поликристалла (б) В том случае, когда вещество представляет собой смесь боль- большого числа очень маленьких кристалликов (как в металле или порошке), возникает серия колец (рис. 26.85). Каждое кольцо со- соответствует дифракционному максимуму определенного поряд- порядка &, при этом рентгенограмма образуется в виде окружностей, рис. 26.85. Рентгеноструктурный анализ используют для исследования структур биологических систем. Например, этим методом была установлена структура ДНК.
Лекция 27 ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА 1. Свет естественный и поляризованный. 2. Прохождение естественного света через поляризатор. 3. Система «поляризатор-анализатор». Закон Малюса. 4. Способы получения поляризованного света. 5. Фотоупругость. 6. Вращение плоскости поляризации оптически активными веще- веществами. 7. Поляриметрия. 8. Элементы реабилитологии. Использование поляризованного света. § 27.1. Свет естественный и поляризованный Максвелл показал, что свет имеет электромагнитную приро- природу, то есть представляет собой электромагнитные волны. Есте- Естественный свет, испускаемый солнцем, лампами и т.д., представ- представляет собой совокупность огромного количества электромагнит- электромагнитных волн с различной частотой, испущенных различными атома- атомами вещества. Электромагнитная волна, испущенная отдельным атомом, характеризуется взаимно перпендикулярными вектора- векторами напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н) по- полей, лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению рас- распространения волны. При этом направления этих векторов при распространении волны остаются неизменными. В дальнейшем нас будет интересовать только вектор напряженности электри- электрического поля — Е, который называют световым вектором. На- Направления световых векторов, "испущенных"различными атома- атомами, различны. Поэтому в естественном свете имеются волны со всевозможными направлениями ориентации световых векторов, и все направления равноправны. Естественный свет — это совокупность электро- электромагнитных волн со всевозможными направления- направлениями световых векторов (Е), и все направления рав- равноправны.
330 Лекция 27. Поляризация света Существуют устройства, позволяющие выделить из есте- естественного света совокупность электромагнитных волн, у кото- которых направления колебаний всех световых векторов одинаковы. Такой свет называется плоскополяризованным. Плоскополяризованный свет — это совокупность электромагнитных волн с одинаковой ориентацией всех световых векторов. Плоскость, в которой лежат световой вектор (Е) и направление распространения света, называется плоскостью поляризации. Свет, в котором имеется преимущественное направление ко- колебаний вектора Е (то есть имеются естественные и поляри- поляризованные составляющие) называют частично поляризованным светом. На рис. 27.1 представлен свет: естественный, частично поляризованный, плоскополяризованный. Направление света (луч О) — перпендикулярно плоскости рисунка. Е естественный свет Е О плоско-поляризо- плоско-поляризованный свет Е частично-поляри- зеванный свет Е Е плоско-поляризо- плоско-поляризованный свет частично-поляри- зованный свет естественный свет Рис. 27.1. Колебания вектора Е (а) и схематическое изображение (б) естественного и поляризованного света § 27.2. Прохождение естественного света через поляризатор Процесс выделения из естественного света поляризованного называется поляризацией. Этот процесс может быть осуществлен посредством специальных устройств — поляризаторов. Поляризатор — устройство, пропускающее составляющую светового вектора, лежащую в определенной плоскости, которую называют главной плоскостью поляризатора.
§ 27.3. Система «поляризатор-анализатор». Закон Малюса 331 Схематично действие поляризатора можно представить следую- следующим образом. Пусть на него падает световая волна, в которой световой вектор лежит в плоскости, образующей с главной плос- плоскостью поляризатора некоторый угол (р. Такой световой вектор можно разложить на 2 компоненты, одна из которых (Епроп) лежит в главной плоскости, а другая (Еперп) перпендикулярна ей. Первую составляющую поляризатор пропустит, а вторую — нет. Это иллюстрирует рис. 27.2, где показаны световые вектора падающего (Епад) и пропущенного поляризатором (Епроп) света. Здесь же показано изменение интенсивности света, для которого вектор Е образует с главной плоскостью угол ср. Выходит из поляризатора Не выходит из поляризатора 1ч\Главная плоскость поляризатора Рис. 27.2. Действие поляризатора на отдельную волну в составе есте- естественного света Описанная операция будет «проделана» для каждой волны, входящей в состав естественного света. В результате все световые волны на выходе поляризатора будут иметь световые вектора, лежащие в одной плоскости. При этом интенсивность естественного света после прохожде- прохождения поляризатора уменьшается в два раза. Действительно, для естественного света все направления световых векторов равно- равновероятны и средний угол между световым вектором и главной плоскостью поляризатора составляет 45° (cos2 45° = 1/2). Отсю- Отсюда получаем -'проп = ^пад COS </?ср = ^пад(-^/^)* § 27.3. Система «поляризатор—анализатор». Закон Малюса Для изучения свойств предварительно поляризованного (пол- (полностью или частично) света используют второй поляризатор, который в данном случае называют анализатором.
332 Лекция 27. Поляризация света Анализатор — это поляризатор, используемый для анализа предварительно поляризованного света. Пусть, например, на анализатор падает свет, прошедший через поляризатор и, вследствие этого, являющийся плоскополяризо- ванным. Плоскость его поляризации совпадает с главной плоско- плоскостью поляризатора. Анализатор пропустит только ту составляю- составляющую светового вектора, которая параллельна его (анализатора) главной плоскости. Если угол между главными плоскостями по- поляризатора и анализатора равен (/?, то Епроп = Enaflcos((^). Ин- Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды свето- светового вектора. Поэтому Iupou = /пад COS2 if. B7.1) Это уравнение выражает закон Малюса. При падении на анализатор плоскополяризованно- го света интенсивность пропущенного пучка (/прОп) равна произведению интенсивности падающего света (/Пад)? умноженной на квадрат косинуса угла между плоскостью поляризации и главной плоскостью анализатора. Из выражения B7.1) следует, что интенсивность света, про- прошедшего последовательно через поляризатор и анализатор, про- пропорциональна квадрату косинуса угла между их главными плос- плоскостями. Как видно из закона Малюса, при повороте анализа- анализатора вокруг луча падающего плоскополяризованного света ин- интенсивность вышедшего света изменяется от 0, при ip = 90° (плоскость поляризатора и анализатора перпендикулярны друг другу) до /пад? ПРИ V? = 0 (плоскость поляризатора и анализатора параллельны друг другу). Если же на анализатор падает частично поляризованный свет, то при повороте анализатора интенсивность прошедшего света не будет спадать до нуля. В частности, если на анализатор падает естественный свет, то интенсивность вышедшего света при повороте анализатора вообще не изменяется. § 27.4. Способы получения поляризованного света Рассмотрим несколько способов получения поляризованного света из естественного.
§ 27.4. Способы получения поляризованного света 333 27.4.1. Поляризация при отражении и преломлении. При па- падении светового луча на границу раздела двух изотропных ди- диэлектриков (например, воздух и стекло) он частично отражается, а частично проникает во вторую среду. При этом в общем случае оба луча оказываются частично поляризованными. В отражен- отраженном луче преобладают направления вектора Е, перпендикуляр- перпендикулярные плоскости падения, а в преломленном — параллельные ей. Степень поляризации лучей зависит от угла падения. При неко- некотором угле падения отраженный луч оказывается полностью плоскополяризован (рис. 26.3). Этот угол называется углом Брю- стера (г в) и определяется условием tgiB = n, B7.2) где п = П2/п\ — показатель преломления второй среды относи- относительно первой. Отметим, что поляризация преломленного луча в этом случае является максимальной, хотя и далеко не полной. Рис. 27.3. Поляризация света при отражении и преломлении на грани- границе раздела диэлектриков Степень поляризации преломленного луча может быть зна- значительно повышена путем многократного преломления при усло- условии падения света каждый раз на границу раздела под углом Брюстера. Если, например, для стекла (п = 1,53) степень по- поляризации преломленного света луча составляет примерно 15 %, то после преломления на 8-10 наложенных друг на друга стек- стеклянных пластин вышедший из такой системы свет будет пол- полностью поляризованным. Такая совокупность пластинок назы- называется стопой Столетова. При этом интенсивность света будет незначительной.
334 Лекция 27. Поляризация света 27.4.2. Поляризация при двойном лучепреломлении. При пе- переходе луча света из одной изотропной среды в другую вы- выполняется закон преломления, и во второй среде распространя- распространяется один преломленный луч. Явление осложняется, если вто- вторая среда является анизотропной. Анизотропия — зависимость физических свойств от направления. Многие кристаллы анизо- анизотропны из-за асимметрии кристаллических решеток. Вследствие этого показатель преломления зависит от направления падаю- падающего луча и от ориентации электрического вектора Е световой волны. В некоторых кристаллах наблюдается двойное лучепре- лучепреломление: преломленный луч раздваивается. Это явление имеет место, например, в кристаллах кварца и исландского шпата. Один луч подчиняется законам преломления и называется обык- обыкновенным (о). Для другого луча эти законы не выполняются, и его называют необыкновенным (е). На рис. 27.4 двойное луче- лучепреломление показано при нормальном падении луча на границу раздела. Рис. 27.4. Двойное лучепреломление Объяснение механизма двойного лучепреломления выходит за рамки данной лекции. Отметим лишь следующее. Обыкновенный и необыкновенный лучи плоскополяризованы во взаимно перпендикулярных направлениях (луч «о» поляризо- поляризован перпендикулярно главной плоскости кристалла, а луч «е» — параллельно ей). Показатели преломления (по, пе) среды для этих лучей и ско- скорости (г>о, ve) их распространения различны. После выхода из среды с двойным лучепреломлением оба луча идут параллельно друг другу. Таким образом, двойное лучепреломление — способность ани- анизотропных веществ разделять (расщеплять) падающий световой
§ 27.4. Способы получения поляризованного света 335 луч на два, распространяющихся в разных направлениях с раз- разной скоростью и поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях. На использовании двойного лучепреломления основано дей- действие некоторых поляризаторов. Поскольку при двойном лу- лучепреломлении задача получения полностью поляризованного света решается автоматически, остается лишь из двух лучей выделить один. Рассмотрим два способа. а) Призма Николя. Этот поляризатор изготавливается из исландского шпата, для которого показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей различны: по = 1,65, пе = 1,48. Призма разрезана по диагонали и склеена канадским бальзамом с «промежуточным» показателем преломления ^к.б. = 1,55 (гае < гак.б. < гао). При соответствующих углах падения на грань призмы обык- обыкновенный луч «о» претерпевает полное внутреннее отражение на прослойке канадского бальзама (не проходит через границу) и поглощается зачерненной нижней гранью. Необыкновенный луч «е» проходит через границу и выходит из призмы парал- параллельно нижней грани. \ Рис. 27.5. Ход лучей в призме Николя б) Дихроизм, поляроиды. В некоторых кристаллах с двойным лучепреломлением обыкновенный луч «о» поглощается значи- значительно сильнее, чем необыкновенный «е». Такое явление на- называется дихроизмом. Дихроизмом в диапазоне видимого света обладает, например, турмалин. В толстой пластине из турмалина при падающем видимом свете луч «о» практически целиком поглощается. Выходит только луч «е». Поляроид представляет собой пленку очень сильно дихроич- ного кристалла — герапатита. Слой герапатита толщиною всего 0,1 мм практически полностью поглощает один из лучей, являясь
336 Лекция 27. Поляризация света уже в таком слое совершенным поляризатором. В настоящее время научились изготавливать покрытия из герапатита с боль- большой площадью, что дает возможность получать широкие пучки поляризованного света. Подобные пленки широко применяются в дисплеях кальку- калькуляторов и жидкокристаллических экранах мониторов компью- компьютеров. Листовые поляроидные покрытия из соответствующих мате- материалов применяются для автомобильных фар, чтобы не слепить водителей встречных машин. Поляроидные очки с поляризационными стеклами уменьша- уменьшают солнечные блики. При отражении от какой-либо поверхности свет поляризуется в плоскости, параллельной поверхности. По- Поляроидные очки пропускают только вертикально поляризован- поляризованный свет, а отраженный от дороги горизонтально поляризован- поляризованный свет поглощается стеклом очков. § 27.5. Фотоупругость Под влиянием механических воздействий (различных спосо- способов деформирования) изотропные тела могут становиться ани- анизотропными, а анизотропные изменять свою анизотропию. Фотоупругость — явление возникновения опти- оптической анизотропии в первоначально изотропных телах (или изменение анизотропии) под действием механических нагрузок. Например, при одноосном растяжении (сжатии) изотропное тело приобретает свойства оптически одноосного кристалла с оптиче- оптической осью, параллельной оси растяжения (сжатия). В теле возни- возникает двойное лучепреломление. Разность показателей преломле- преломления вещества для лучей с разной поляризацией, служащая мерой анизотропии, пропорциональна механическому напряжению а: An = Kg, B7.3) где An — разность показателей преломления вещества для обык- обыкновенного и необыкновенного лучей; К — упругооптическая кон- константа.
§ 27.6. Вращение плоскости поляризации 337 При рассматривании в белом свете таких прозрачных объек- объектов, точки с одинаковым внутренним напряжением будут соеди- соединяться линиями одинаковой окраски. Для анализа распределе- распределения внутренних напряжений в непрозрачных телах изготавлива- изготавливают их копии из прозрачных материалов. § 27.6. Вращение плоскости поляризации оптически активными веществами Явление вращение плоскости поляризации заключается в по- повороте плоскости поляризации плоскополяризованного света при прохождении через вещество. Оптически активные вещества — вещества, поворачиваю- поворачивающие плоскость поляризации поляризованного света при прохож- прохождении через них. Угол поворота а плоскости поляризации про- пропорционален толщине слоя L вещества: а = aoL, B7.4) где ао — постоянная вращения (вращательная способность), размерность — [град/мм]. Оптически активными веществами являются также растворы оптически активных веществ. Для них угол поворота зависит еще и от концентрации: а = aocL, B7.5) где с — концентрация, ао — удельное вращение, (численно равное углу поворота плоскости поляризации света слоем оптически активного вещества единичной толщины с единичной концентра- концентрацией). Примеры оптически активных веществ: твердые вещества — кварц, сахар, киноварь; жидкие вещества — водный раствор сахара, скипидар, винная кислота. Вещество, которое поворачивает плоскость поляризации вле- влево, называется левовращающим, и величину а считают отри- отрицательной. Антипод данного вещества поворачивает плоскость поляризации на столько же вправо, величина а для него такая же по абсолютной величине, но положительная. Оптические ан- антиподы, взятые по отдельности, не отличаются друг от друга по физическим свойствам (температура кипения или плавления, плотность, ИК-спектр). Столь же неотличима от них по этим
338 Лекция 27. Поляризация света признакам невращающаяся, рацемическая смесь, в которую ан- антиподы входят в равных количествах. Дисперсия оптической активности — явление, заключающе- заключающееся в том, что существует зависимость удельного вращения ао от длины волны: ао = /(А). Существует вращательная дисперсия, которая приводит к тому, что при пропускании белого света составляющие с разной длиной волны поворачиваются на разные углы. § 27.7. Поляриметрия Исследования, основанные на измерении величины вращения плоскости поляризации при прохождении поляризованного света через оптически активное вещество, используются в медицине для определения концентрации сахара в моче, в биофизических исследованиях, а также в пищевой промышленности. Соответ- Соответствующие измерительные приборы называются поляриметрами, или сахариметрами (если они специально приспособлены для измерения концентрации сахара). Поляриметрия — метод, применяемый при качественном и количественном анализе веществ с помощью поляриметров. Поляризационный микроскоп, который отличается от обыч- обычного оптического микроскопа тем, что перед объективом поме- помещен поляризатор, а в тубусе — анализатор. Он используется для исследования биологических систем, обладающих оптической анизотропией. В нем видны только те фрагменты биологического объекта, анизотропия которых изменяет поляризованный свет. § 27.8. Элементы реабилитологии. Использование поляризованного света Поляризованный свет используется в травматологии для определения механического напряжение, возникающего в кост- костных тканях. Этот метод основан на явлении фотоупругости. Из прозрачного материала (часто плексиглаза) создают модель кости. В ненагруженном состоянии в ск